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CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Ejemplo 3.26 Decimos que una función f ( x, y) es homogénea de grado n cuando f (tx, ty) = tn f ( x, y), para todo t > 0. Si f es diferenciable y homogénea de grado n entonces, a.) Sin hacer ningún cálculo, explique porqué se puede asegurar que b.) Use regla de la cadena para calcular
∂ −n t f (tx, ty) = 0. ∂t
∂ −n t f (tx, ty) y deduzca que u f u (u, v) + v f v (u, v) = n f (u, v). ∂t
∂ f ( x, y) ∂ f ( x, y) y y verifique, usando el ejercicio anterior, que x f x ( x, y) + y f y ( x, y) = n f ( x, y). ∂u ∂v
c.) Calcule Solución: a.)
∂ −n t f (tx, ty) = 0 pues, como f es homogénea, entonces [t−n f (tx, ty)] = f ( x, y), es decir el lado derecho ∂t de la igualdad es una función sólo de x e y.
b.) Poniendo u = xt y v = yt entonces plicando a ambos lados por tn+1 ,
∂ −n t f (u, v) = −nt−n−1 f (u, v) + t−n (u f u + v f v ) = 0 por lo que, multi∂t
u f u (u, v) + v f v (u, v) = n f (u, v) c.)
∂ f ( x, y) 1 ∂ f ( x, y) 1 = fx · y = f y · . Sustituyendo en la última relación del ejercicio anterior x f x ( x, y) + ∂u t ∂v t y f y ( x, y) = n f ( x, y)
Ejemplo 3.27 Sea F (u, v) = −u − v con u2 = x − y y v2 = x + y. Si u 6= 0 y v 6= 0, verifique a.) Fx = −
u+v . 2uv
b.) Fy = −
v−u . 2uv
Solución: Primero veamos que 2u u x = 1, 2v v x = 1, 2u uy = −1 y 2v vy = 1. Por lo tanto
a.) Fx = Fu u x + Fv v x = −1 ·
1 1 u+v −1 · =− . 2u 2v 2uv
1 1 v−u b.) Fy = Fu uy + Fv vy = −1 · − −1 · =− . 2u 2v 2uv