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La Integral de Convolución Ejemplo paso a paso

José Mujica

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Ejemplo de la resolución de una Integral de Convolución. JOSE MUJICA EE, AES Fellow jmujica@escuelasuperiordeaudio.com.ve Escuela Superior de Audio y Acústica, Caracas, Venezuela

ABSTRACT Hay fenómenos físicos que no pueden ser explicados por las operaciones aritméticas tradicionales. Recordemos que una parte importante de los grandes descubrimientos surgen de la experiencia. Una vez obtenida ésta, vienen los matemáticos a explicarla y hacerla universal, buscando algún método cuyo resultado se le asemeje o la recree íntegramente en papel. En Acústica si suenan dos instrumentos en el mismo recinto y al mismo tiempo bastará con sumar sus dos ondas en el mismo intervalo de tiempo (Fourier) para saber la resultante [Figura 6]. Pero hay situaciones donde la suma de ondas, su producto o división no alcanzarán a explicar el fenómeno que las origina. Tal es el caso de la respuesta de un sistema a una señal de entrada donde su diseño creará una respuesta, como l reflexión acústica o los procesadores de señal. En este punto donde métodos más ambiciosos como la Convolución entran en escena.

INTRODUCTION La Convolución es una operación matemática que muestra la dinámica dos funciones que se mezclan y el resultado de esta mezcla. El término convolución comenzó a emplearse en la década de los años 50. Anteriormente se le describía como plegamiento. Su operador se encuentra en trabajos de Laplace y Fourier entre otros. En el diccionario Merriam-Webster la palabra va asociada a fenómenos de embobinado, arrollamiento y espiral. La mayoría de autores coinciden en hablar de un método donde al solaparse dos funciones dan origen a una tercera. También se menciona al producto de dos funciones donde una es traslada e invertida. En Ingeniería Acústica y de Audio es una herramienta muy poderos que explica fenómenos físicos en el manejo del sonido en las diferentes formas en que se transforma. Es una parte importante en el Análisis de Circuitos en Electrónica. En Electrónica se le define como “la integral que describe que la salida de un Sistema Lineal es igual a la convolución de la entrada y la respuesta impulso”[1]

1 LA CONVOLUCIÓN EN LA ACÚSTICA Y EN LA SIMULACION COMPUTARIZADA. Una forma de entender rápidamente el concepto de convolución es imaginarse lo que sucede cuando generamos un sonido puntual en un recinto cerrado y el mismo al incidir sobre una superficie rebota y se encuentra con el remanente de la onda que lo generó. (Fig.1).

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Figura 1. [2][3]

En este mismo campo, una aplicación reciente del proceso de Convolución es el de “componer” virtualmente el sonido real de la palabra o de una pieza musical, en un determinado recinto, a partir de la convolución de la respuesta impulsional del mismo y un registro “seco” de las señales realizado en cámara anecóica o en espacio abierto, es decir sin reflexiones. [4]

El presente trabajo no pretende ser un tratado de la convolución, sino explicar por medio de una analogía y un problema, cómo se aplica el método para resolver una integral de este tipo. Para estos fines hemos incluido desde la interpretación gráfica más difundida como de dominio público (Fig.2), hasta ejemplos previos de los métodos de resolver integrales por sustitución y por partes, (Recuadros azules).

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Figura 2. InterpretaciĂłn grĂĄfica de la convoluciĂłn

Simplificando âˆŤ đ??żđ?‘›(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??żđ?‘›(đ?‘Ľ)đ?‘Ľ − âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ??żđ?‘›(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??żđ?‘›(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś

1.2 Planteamiento de las funciones a resolver por la Integral de ConvoluciĂłn. Hemos elegido la funciĂłn exponencial e-t y Sen(t) para suponer que generamos un sonido puntual en un recinto cerrado y ĂŠste al rebotar en una de sus superficies da origen a una onda sinusoidal que se encuentra en su camino al remanente del sonido original. Deseamos resolver el resultado de la convoluciĂłn.

1.1 Herramientas Auxiliares previas. IntegraciĂłn por partes

Para resolver la convoluciĂłn que hemos escogido se necesitarĂĄn mĂŠtodos auxiliares de resoluciĂłn de integrales como la IntegraciĂłn por partes. A continuaciĂłn dejamos un ejemplo de cĂłmo se procede.

Ejemplo Calcule la convolución de [5] f (t )  et y g (t )  Sen(t )

Graficando ambas funciones en Maple 14[6], nos quedan las siguientes grĂĄficas. La de e(-t)

SoluciĂłn La FĂłrmula de la IntegraciĂłn por partes es Figura 3 âˆŤ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ł − âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘˘

La emplearemos para resolver

ďƒ˛

Ln( x)dx

Haremos que 1

đ?‘˘ = đ??żđ?‘›(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘˘ = đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘‘đ?‘Ľ y đ?‘Ł = đ?‘Ľ Po lo tanto, 1 âˆŤ đ??żđ?‘›(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??żđ?‘›(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ − âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ

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Resolviendo por sustituciĂłn đ?‘˘ =đ?‘Ąâˆ’đ?œ?

Figura 4

đ?‘‘đ?‘˘ = −đ?‘‘đ?œ? − âˆŤ đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘˘)đ?‘‘đ?‘˘ −(−đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘˘)) Y Finalmente đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)

Po lo tanto, đ?‘Ą đ?‘Ą đ?‘Ą âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘› (đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ? = đ?‘’ −đ?œ? đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)| − (− âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ?) 0 0 0

2 RESOLUCION DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCION

Y nos queda

Por definiciĂłn đ?‘Ą đ?‘Ą đ?‘Ą âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘› (đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ? = đ?‘’ −đ?œ? đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)| + âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ? 0 0 0

đ?‘Ą

(đ?‘“ ∗ đ?‘”)(đ?‘Ą) = âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ? 0

Integraremos por partes Usando la definiciĂłn e integraciĂłn por partes, tenemos que âˆŤ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ł − âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘˘

Con esto obtenemos que la integral de la derecha es similar a la original, con la diferencia de que en lugar de Sen (t- Ď„) tenemos a Cos(t- Ď„). Aplicaremos la IntegraciĂłn por partes nuevamente., haciendo ahora que: đ?‘˘Ě… = đ?‘’ −đ?œ? y

Ě…đ?‘‘đ?‘Ł Ě…Ě…Ě… = đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ?

đ?‘‘Ě… đ?‘˘ = −đ?‘’ −đ?œ? đ?‘‘đ?œ? y đ?‘ŁĚ… = −đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?) Haremos que De

�= �

−đ?œ?

đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ?

đ?‘‘đ?‘˘ = −đ?‘’ đ?œ? đ?‘‘đ?œ?

y đ?‘Ł = cos(đ?‘Ą − đ?œ?)

De

đ?‘‘đ?‘Ł = đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ? A đ?‘Ł = −đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?)

đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ?

âˆŤ đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ?

A Resolviendo por sustituciĂłn đ?‘Ł = đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?) đ?‘˘ =đ?‘Ąâˆ’đ?œ? âˆŤ đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ?

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đ?‘‘đ?‘˘ = −đ?‘‘đ?œ?

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− âˆŤ đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘˘)đ?‘‘đ?‘˘ −(đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘˘)) Y Finalmente −đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?)

Aplicando por segunda vez la IntegraciĂłn por partes, tendremos đ?‘Ą đ?‘Ą đ?‘Ą âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘› (đ?‘Ą − đ?œ?) = đ?‘’ −đ?œ? đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)| − đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?)| 0 0 0 đ?‘Ą

− âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?)đ?‘‘đ?œ? 0

Observamos que la integral de la derecha es igual a la original por lo que agrupĂĄndolas a la izquierda nos queda:

3 COMPARION DE LAS GRAFICAS DE LA CONVOLUCION CON LA SUMA Y EL PRODUCTO DE FUNCIONES Figura 6 ConvoluciĂłn

đ?‘Ą đ?‘Ą đ?‘Ą 2 âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘› (đ?‘Ą − đ?œ?) = đ?‘’ −đ?œ? đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?œ?)| + đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?œ?)| 0 0 0

Con lo que evaluĂĄndolas en 0 y t, se obtiene đ?‘Ą 1 âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘› (đ?‘Ą − đ?œ?) = (đ?‘’ −đ?‘Ą đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − đ?‘Ą) − đ?‘’ 0 đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą − 0) 2 0 + đ?‘’ −đ?‘Ą đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − đ?‘Ą) + đ?‘’ 0 đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą − 0))

Figura 7 Suma de las funciones

Y Finalmente đ?‘Ą 1 âˆŤ đ?‘’ −đ?œ? đ?‘†đ?‘’đ?‘› (đ?‘Ą − đ?œ?) = (đ?‘’ −đ?‘Ą − đ??śđ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą) + 0 + đ?‘†đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ą)) 2 0

t

âˆŤ e−t Sen(t − Ď„)dĎ„ = 0

e−t − Cos(t) + Sen(t) 2

Figura 8 Producto de las funciones

2.1 Graficando en el software Maple 14 la expresiĂłn resultante nos queda Figura 5

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REFERENCIAS [*] Dibujo de portada realizado con Catt Acoustic Software Demo. https://www.catt.se/ [**] Dibujo de portada realizado con Software EASE. http://ease.afmg.eu/ [1] William H. Hayt,Jr. y Jack E. Kermmerly, Análisis de Circuitos en ingeniería, 1982, (McGraw-Hill de México S.A. de C.V.). [2] Dr. Kyle. Forinash, Sound, An interactive ebook on the physic of sounds. Indiana University Southeast https://soundphysics.ius.edu/?page_id=1101 [3] Tom Irvine, An introduction to the shock response spectrum, 2012, (Vibrationdata.com) http://www.vibrationdata.com/tutorials2/srs_intr.pdf [4] Lara Saenz Andrés, Sobre la transformación TiempoFrecuencia y la aplicación del proceso de Convolución a la dinámica de sistemas físicos, 2006, anales de Mecánica y Electricidad, (Asociación Colegio de Ingenieros del ICAI). https://www.icai.es/contenidos/publicaciones/anales_g et.php?id=1320

[5] Convolution Solutions, Enlace [6] Maple Software plot. https://www.maplesoft.com/

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La integral de convolución  

Un ejemplo resuelto, paso a paso, de la integral de convolución aplicada a la acústica.

La integral de convolución  

Un ejemplo resuelto, paso a paso, de la integral de convolución aplicada a la acústica.

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