Page 1


ÍNDICE LIMIAR

07

HISTORIA E CURIOSIDADES

11

TALLER DE MATEMÁTICAS

47

ACTIVIDADES FEITAS NOS DÍAS ESCOLARES DAS MATEMÁTICAS

63

CONCURSO DE FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA

67

ADIVIÑAS MATEMÁTICAS

69

Adiviñas Matemáticas Nivel A

71

Adiviñas Matemáticas Nivel B

80

Adiviñas Matemáticas Nivel C

88

Adiviñas Matemáticas Nivel D

94

RECUNCHO MATEMÁTICO

97

BIBLIOGRAFÍA

98


EDITA Asoc. Escola Rosalía de Castro Estrada de Bembrive, 91. Vigo Telf. 986 420 433 www.escolarosaliadecastro.edu.es AUTORES: Xulio Ferro Marra X. Carlos Vázquez TRADUCCIÓN: Rafael Gutiérrez Araújo DESEÑO E MAQUETACIÓN: Susi Ubeira Verea IMPRESIÓN:


Limiar Naquel Setembro de 1999, algúns dos membros do Departamento de Ciencias (na nosa Escola, este Departamento inclúe as seccións de Matemáticas, Física, Química, Naturais, Tecnoloxía, ...) asistimos ás JAEM, que aquel ano se celebraban en Lugo. Aproveitando as poucas horas de lecer (no xantar, no tempo do café ....) encetamos a debater a necesidade de achega-las Matemáticas ós nosos alumnos, dun xeito máis lúdico, máis en relación coa vida cotía, sen que interferise nos curriculos desta materia. Como nese curso se celebraba o Ano Mundial das Matemáticas (en 1997 a Conferencia Xeral da UNESCO acordou apoiar para o 2000 que declarara a Unión Matemática Internacional en 1992 en Rio de Janeiro), pensamos en comezar unha serie de novas actividades (a Escola xa participaba no “Rebumbio Matemático” e na Olimpíada Matemática), fóra do horario de clase, que tiveran como remate o Día da Escola, que no noso centro, se celebra co gallo do Día das Letras Galegas (17 de Maio). Naceron asi as seguintes actividades programadas para ese curso: 4 Concurso de Matemática Recreativa. 4 Concurso de Fotografía Matemática. 4 Edición dún boletín informativo sobre as diversas actividades a realizar durante o curso. 4 Publicación dún número monográfico da revista da Escola (Trisquel) adicada ás Matemáticas. 4 Xornada de “portas abertas” da Escola, na que se realizarían: 4 xogos de estratexia, pasatempos, contrucción con módulos e estructuras matemáticas, etc. Non todas as actividades foron feitas, pero así naceu e continuou ó longo de cinco anos o Concurso de Adiviñas Matemáticas, a Folla Matemática e o Concurso de Fotografía Matemática. Nese ano celebráronse unha serie de conferencias-debate sobre as Matemáticas, e a xornada de “portas abertas” foise transformando ó longo destes tempo na celebración do Días Escolar das


Matemáticas que facemos coincidir co Día da Escola e que levan adiante os alumnos do Taller de Matemáticas de 1º e 2º de E.S.O. Nos últimos dous anos ampliamos a nosa actividade cunha Gymkhana Matemática, na que participan os alumnos de 3º e 4º de E.S.O. o mesmo día. Este libriño é unha escolma, unha mostra do noso traballo destes cinco anos, para que sexa empregado por unha banda como “divertimento matemático”: adiviñas, curiosidades, humor, historia...., sempre en clave matemática, pero tamén para pór a disposición dos ensinantes de Matemáticas un material para que o usen como mellor lles conveña. Subliñar o noso recoñecemento a un artista xenial: M. C. Escher. Tivemos o atrevemento e o disfrute de utiliza-las súas ilustracións , a cotío, para “iluminar” a nosa Folla Matemática. A nosa gratitude á Escola Rosalía de Castro que puxo os medios ó noso dispor para levar adiante estas actividades e ó profesorado que foi colaborando ó longo dos anos, especialmente a Rafael Gutiérrez que foi o noso corrector de Galego durante este lustro. Xulio Ferro e X. Carlos Vázquez


A poesía é unha ciencia tan exacta como a xeometría G. Flaubert


Historias e Curiosidades


imos ver...


Historia e Curiosidades “2000” Ano Mundial das Matemáticas O 6 de maio de 1992, en Río de Xaneiro, a Unión Matemática Internacional (IMU) declarou a ano 2000 como ano Mudial das Matemáticas, co obxectivo de impulsa-la presencia sistemática das matemáticas na sociedade, promociona-lo seu uso e coñecemento, e salienta-lo seu papel fundamental como chave do desenvolvemento científico, tecnolóxico e cultural. A Unesco acordou na súa Conferencia xeral de 1997 apoiar e patrocina-lo ano 2000 como Ano Mundial das Matemáticas.

NA ESCOLA CON ESTE MOTIVO PROGRAMÁRONSE AS SEGUINTES ACTIVIDADES

Día 23 Mañá Actividades de matemática recreativa (xogos de estratexia, calculadoras, construccións, papiroflexia, espellos, etc) no patio da Escola.

Tarde De 16:00 a 18:00 horas, Xornadas de Portas Abertas nas que se poderá participar nas distintas actividades (xogos, pasatempos,...) así como visitar a Exposición dos Xogos de taboleiro dos cinco continentes ó través da Historia, recopilados por Rafael Losada Liste e a Exposición-concurso de fotografía matemática. Ambas no Salón de Actos da Escola.

Ás 20:00 horas: Conferencia: “(Profesores + pais + ...) x X = Educación Matemática”, a cargo de Manuel Pazos Crespo.

13


Día 24 Mañá Actividades de matemática recreativa (xogos de estratexia, construccións, papiroflexia, espellos, etc.) no patio da Escola.

calculadoras,

Tarde 16:00 a 18:00 horas, Xornadas de Portas Abertas nas que se poderá participar nas distintas actividades (xogos, pasatempos,...) así como visitar a Exposición dos Xogos de taboleiro dos cinco continentes ó través da Historia, recopilados por Rafael Losada Liste e a Exposición concurso de fotografía matemática. Ambas no Salón de actos da Escola.

Ás 20:00 horas: Conferencia “A matemática nos Xogos”, por Rafael Losada Liste.

Ás 20:45 horas: Entrega de diplomas e agasallos ós gañadores dos distintos concursos realizados na Escola ó longo do segundoº semestre de curso, co gallo da celebración do Ano Mundial das Matemáticas.

Ás 21:00 horas: Mesa redonda, título: “Nós ensinamos, vós ensinades, eles aprenden”, coa colaboración de: Rafael Losada (IB Antonio Machado de Madrid), Manuel Pazos (CEFOCOP A Coruña), Antonio Castro (CEFOCOP Vigo), Xulio Ferro, X. Carlos Vázquez (Escola Rosalía de Castro, Vigo). Todas as conferencias celebraranse na Sala de Caixa Galicia sita na rúa Policarpo Sanz 21- 2º Vigo.

14


Historia e Curiosidades Día Escolar Das Matemáticas O 12 de maio do 2000, cumpriuse o centenario do nacemento de Pedro Puig Adam. Ademais de profesor adicou unha boa parte dos seus esforzos a reflexionar sobre o ensino das matemáticas. As súas aportacións neste eido son notables e recoñecidas a nível internacional. As súas ideas sobre a didáctica estaban colocadas nas correntes máis modernas da súa época, resistindo, moitas delas, o paso do tempo. A federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas propón a celebración, cada curso, dun Día Escolar das Matemáticas, escollendo esta data como recoñecemento de Puig Adam. Queremos conmemorar, este ano, dende a nosa Escola, aquel ano de 1952 no que Puig Adam construiu un poliedro no patio, cos seus alumnos do instituto San Isidro de Madrid.

Pedro Puig Adam Pedro Puig Adam (1900/1960) foi un dos matemáticos españois que máis traballaron na didáctica das matemáticas. En calquera país europeo houbera sido un luxo. No noso, que tamén é europeo, con escasa tradición científica e moi orgullosos daquilo de "...que inventen eles", foi, agás entre os círculos profesionais, un descoñecido. Catedrático do Instituto San Isidro de Madrid e de Metodoloxía das Matemáticas naquela universidade, compaxinaba o seu contacto real coa ensinanza, coas súas inquedanzas pedagóxicas influíndo nos novos profesores. A súa preocupación polos problemas do ensino levouno a ser un destacado membro da C.I.E.M. (Comisión Internacional para o Ensino das Matemáticas), acadando que a XI C.I.E.M. se celebrase en Madrid en 1958. En 1958 redactou o Decálogo do Profesor de Matemáticas no que recollía as súas opinións sobre a ensinanza das matemáticas nos Institutos de Bacharelato. O Decálogo, sempre en vigor, amósanos que os actuais pontífices didácticos non nos descobren nada novo.

15


Pedro Puig Adam Decálogo da didáctica matemática media. 1. Non adoptar unha didáctica ríxida, senón amoldala en cada caso ó alumno, observándoo constantemente. 2. Non esquence-la orixe concreta da Matemática, nin os procesos históricos da súa evolución. 3. Presenta-la Matemática como unha unidade en relación coa vida natural e social. 4. Graduar coidadosamente os planos de abstracción. 5. Ensinar guiando a actividade creadora e descubridora do alumno. 6. Estimula-la actividade creadora, espertando o interese directo e funcional cara o obxecto de coñecemento. 7. Promover en todo o posible a autocorrección. 8. Acadar certa mestría nas solucións antes de automatizalas. 9. Coidar que a expresión do alumno sexa traducción fiel do seu pensamento. 10. Procurar que todo alumno teña éxito para evita-lo seu desalento. www.arrakis.es/~mcj/puigadam.htm

16

Estructuras alxebraicas nun xogo de mosaico


Historia e Curiosidades A EMMATEMÁTICASTELNUOVO A comezos dos anos 80 frecuentei as escolas de verán Rosa Sensat de Barcelona, e nun daqueles cursos atopeime cunha ponente, miúda fisicamente, que falaba nunha fermosa língua, cun entusiasmo sen igual das súas experiencias como membro do grupo didáctico da matemática na “Scuola dell’obbligo” de Xénova. Esta “donna das matemáticas” era Emma Castelnuovo. Enma Castelnuovo Xa non era unha rapaciña pois naceu na eterna Roma aló polo ano 1913, pero a aparente fraxilidade do seu corpo estaba fortemente compensada pola súa vitalidade e pola fe que tiña no que transmitía. Todo este entusiasmo contaxiábase de tal xeito que me facía intelixible o italiano ( lembro que eu participaba noutro curso cun ponente francés, e que os outros dous cursos eran en catalán). Emma amosounos aqueles tres “libros” feitos con fotocopias dos traballos dos alumnos e alumnas, e coas observacións metodolóxicas que ela e os seus compañeiros facían. Gardoos con especial agarimo e de cando en vez bótolles unha ollada. -Bambino maestri realta (1981-82) -Uomo e natura (1982-83) -Uomo e produzione ( 1982-83 Nestes libros puiden ver cómo as Matremáticas se achegan á realidade, cómo as Matemáticas forman parte das nosas vidas, cómo a xeometría é palPable… e cómo todo o que non sexa ve-las Matemáticas deste xeito, de pouco ou nada vale. Volvín te-la oportunidade de asistir a cursos, ponencias e conferencias con Emma Castelnuovo; mesmo no ano 2000, nas JAEM de Lugo compraceunos cunha fermosa conferencia, agora xa en castelán, titulada “La matemática escolar en este siglo”. Con estas liñas quero amosarlle o meu respecto e admiración por eses noventa anos de maxisterio. As persoas coma ela fan que algúns de nós sigamos nesta marabillosa tarefa de facer chegar as Matemáticas a todos. Noraboa Emma, agardo poder seguir contando coa túa presencia polo menos ata a celebración do teu século de vida. Xulio Ferro Marra Vigo, Setembro de 2004 17


A miúdo atópome máis cerca dos matemáticos que dos meus colegas os artistas. Todos os meus traballos son xogos. Xogos serios. M. C. ESCHER


Historia e Curiosidades Mauritis Cornelius Escher (1898-1972) Naceu un 17 de Xuño de 1898 en Leeuwarden (Holanda) e xa dende cativo se intuían as súas especiais dotes para a arte a pesares de non salientar na escola. Comezou os estudios de Arquitectura pero acabou especializándose en técnicas gráficas e traballo sobre madeira (disciplina que xa lle fora inculcada polo seu pai G.A. Escher) na Escola de Arquitectura e Deseño Ornamental da cidade de Haarlem onde tivo como profesor a S. Jesserum de Mesquita. Escher viaxou por diversos países de Europa, sobre todo por Italia onde rematou establecéndose durante 10 anos na cidade de Roma (1924-1934). Ademáis de Italia coñeceu o Sur de Francia e España. Precisamente foi neste país onde atopou unha das súas maiores fontes de inspiración: a Alhambra. Os preciosos e ensarillados detalles ornamentais foron a viva imaxe dos esquemas xeométricos que tanto o entusiasmaban. Pódese dicir que a raíz da súa visita á Alhambra e á mesquita de Córdoba a obra de Escher, que baseara na representación de paisaxes ata entón, variou seu rumbo hacia os debuxos matemáticos que tan famoso o fixeron. Trala súa longa estadía na capital transalpina trasladouse a Suiza, logo a Bruxelas (1937-1941) e máis tarde a Baarn, no seu país natal, onde residiría ata a súa morte, o 27 de Marzo de 1972. A súa prodixiosa visión abstracta legounos unha interesante e extensa obra na que se conxugan a arte e as matemáticas dunha maneira abraiante. Precisamente foi iso o que lle pechou as portas dos círculos artísticos da época, aínda que por outra parte espertara gran devoción entre matemáticos, físicos e cristalógrafos. Escher ecribiu: “A miúdo síntome máis próximo ós matemáticos que ós meus colegas os artistas”. O seu traballo foi cobrando recoñecemento, sobre todo, durante os últimos anos da súa vida e actualmente adquiriu tal sona que mesmo se venden posters, crebacabezas, camisetas e garavatas cos seus debuxos como tema.

19


Historia e Curiosidades O caso do número discapacitado 1

2

3

4

Un sete e unha sete casaron e tiveron un fillo que resultou ser un 6. Incapaces de se recoñecer naquel neno, botáronse a chorar desconsoladamente. O médico que atendeu ó recén nado aseguroulles que tiveran un fillo discapacitado. Nunca xamais poderá levar unha vida normal, aínda que o meu consello é que busquen un colexio onde o acepten durante os primeiros anos para que se socialice ata onde lle sexa posible.

Finalmente o nove e a nove reuniron a un equipo de eminentes doutores que procedían de tódolos recantos do Sistema Métrico Décimal. - ¿Con quen compararon vostedes a este 8 para chegar á conclusión de que é un subnormal? Preguntaron ó médico que establecera o diagnóstico. - Con outros noves naturalmente - Respondeu o médico con xesto suficiente.

7

-¿É vostede non ouiu falar da existencia doutros números diferentes ó nove? -Pois non estou seguro respondeu o doutor de forma evasiva. -Pois este número que a vostede lle parece un discapacitado -engadiron- é perfectamente normal. o que pasa é que se trata dun número 8. Convertirano nun discapacitado se o obrigan a comportarse coma un 9.

8

A nova saiu en tódolos xornais do Sistema Métrico Décimal e chegoulle á señora sete que tivera un fillo 6. -fíxate o que dí aquí- díxolle dirixíndose ó marido. -Di que non hai números discapacitados, senón diferentes.

9

A partires dese día, aceptaron a diferencia do seu fillo 6, que de seguido, ó ser tratado como un número normal, con capacidade para medrar e xogar e para madurar. De maior, ocupou un posto, como o resto dos números no Sistema Métrico Décimal e foi todo o feliz que se pode ser nesta vida.

Os pais atoparon un colexio dos chamados de integración e tódalas mañás levaban ó 6, que pasaba o día tentando adaptarse, sen éxito, ós costumes dos setes.

Por aqueles días deuse a casualidade que noutra zona do Sistema Métrico Decimal un nove e unha nove moi sabidos tiveron un fillo que resultou ser un 8. O médico apresurouse a dicirlles que tiveran un fillo diminuido física e psiquicamente; un discapacitado, ó cabo.

5

20

6

Pero o nove e a nove non se conformaron con ese diagnóstico e viaxaron ó longo e ancho do Sistema Métrico Décimal na procura da opinión doutros doutores, filósofos e matemáticos noutras latitudes. Adoraban ó seu fillo e non estaban dispostos a facerlle levar unha vida de discapacitado, sen esgotar tódalas posibilidades.

Números pares, impares e idiotas de Juan José Millás e Antonio Fraguas(Forges) Alba Editorial


Historia e Curiosidades Os Números “¿Qué é un número? Mentres formulaba a pregunta decateime de que non coñecía a resposta.” Escribía no ano 1982 Philip I. Davis na súa obra “O universo matemático”. Non imos dar resposta á vella pregunta ¿cabe definir un número?, pero imos falar deles.

O nacemento do número Algúns traballos recentes, no ano 1960 nas escavacións de Susa ( Irán), permiten reconstruír a xénese do número escrito en Mesopotamia. Ó principio (3300 a.C.), eran bólas de arxila que tiñan no seu interior unhas pequenas fichas de distintos tamaños e formas variadas que representaban cantidades de bens (años, medidas de aceite ou trigo), que sen dúbida eran unha especie de rexistro contable primitivo. Na súa superficie levaban o selo do seu propietario ou das partes contratantes. Máis adiante as fichas desapareceron, quedando as súas marcas na superficie da bóla, é entón cando as bólas se esmagan transformándose en taboíñas, e para gravar todas as marcas exteriores utilízase un único instrumento de cana con dous extremos. A combinación dos trazos que deixan estes dous extremos ó ser afundidos na taboíña de arxila, permite ter os signos necesarios. Nunha derradeira etapa estes signos ían acompañados duns debuxos máis elaborados para completar a información sobre a natureza das mercadorías. Establécese, nese intre, unha separación entre o signo escrito cuantitativo e o signo cualitativo, que irán evolucionando ó longo dos tempos para se transformar uns nas matemáticas e outros na literatura.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 21


Historia e Curiosidades ¿De onde veñen as nosas cifras? As cifras de nosa numeración, ¿escribíronse sempre como agora? ¿sufriron algunha evolución? Disque as cifras se representaban ó comezo dos tempos con figuras xeométricas: rectas, triángulos, rombos, … Dese xeito, o un era unha recta vertical, que ó representala con moita celeridade, e no transcurso do tempo, saíulle unha especie de cola:

O dous eran dúas rectas paralelas. Pero se non erguemos a man axiña nos dá o dous actual:

O cinco era un cadrado e unha recta unida ó vértice. A celeridade, e as curvas crearon o actual:

5 O seis era un cadrado e un ángulo enriba del. Ollade cómo se converteu no actual:

6 O sete era un rombo e máis un triángulo. A súa metamorfose, xuntando a velocidade coa simplificación fan o sete de hoxe:

7

2 O tres eran tres rectas paralelas. Se non se solta o que escribe e do mesmo xeito que o dous, as rectas fanse curvas:

3 O catro era un cadrado. Aquí tes a súa transformación no catro actual:

4 22

O oito eran dous abondou redondealos:

rombos,

8 O nove, dous rombos e unha recta:

9 O cero foi nun principio un punto, pero foi ampliando o seu tamaño, e rematou no cero de hoxe.


Historia e Curiosidades Números moi grandes .... e moi pequenos Gúgol é o nome dun número xigante: 10¹ºº (un 1 seguido de 100 ceros). Este nome foi inventado por un cativo de 9 anos. Gúgolplex é un Gúgol seguido dun Gúgol de ceros: un 1 seguido de 200 ceros , esto é: 10¹ºº.10¹ºº = 10²ºº. Micrómetro, micra ou micrón (ì) : millonésima de metro. Nanómetro (nm): milmillonésima de metro. Picómetro (pm): billonésima de metro.

Tres números con nome de letra Hai tres números de gran importancia nas matemáticas e que "paradóxicamente" nomeámolos cunha letra. Estes números son: * O número designado coa letra grega p = 3,14159....(Pi) que é necesario para poder calcular a lonxitude da circunferencia: Lonxitude = 2.p. radio. * O número e = 2´71828......, inicial do apelido do seu descubridor Leonhard Euler (matemático suizo do século XVIII). * O número designado coa letra grega f = 1,61803... (Fi), chamado número de ouro e que é a inicial do nome do escultor grego Fidias que o tivo presente nas súas obras. Os tres números teñen infinitas cifras decimais e non se repiten seguindo unha regra, é decir non seguen ningunha periodicidade. A estes números chámanselle en matemáticas irracionais. Unha diferencia importante dende o punto de vista matemático entre os dous primeiros e o número de ouro é que os primeros non son solución de ningunha ecuación polinómica (a estes números chámanselle: trascendentes), mentras que o número de ouro, si o é.

23


Historia e Curiosidades

Don Miguel Miguel de de Guzmán: Guzmán: MESTRE ! ¡ MESTRE O pasado 14 de abril finou en madrid a idade de 68 anos o matemático español Miguel de Guzmán, excelente profesor. Nado en Cartagena no 1936, estudiou filosofía en Alemania e posteriormente Matemáticas en Madrid , onde se licenciou no ano 1965. Alcanzou o Doutorado pola Universidade de Chicago no 1968. Foi profesor en universidades de EEUU, Suecia, Finlandia e Brasil. Actualmente era Catedrático de Analise Matemática na Complutense de Madrid. Ingresou na Real Academia das Ciencias no 1982. Entre 1991 e 1998 foi presidente do ICMI (International Comission of Mathematical Instruction) e baixo a súa dirección, celebrouse en Sevilla no ano 1996 o ICME (Iternacional Congress of Mathematical Education). Profesor do proxecto ESTALMAT (Estímulo del talento matemático) que pretende estimular e guiar a alumnos "brillantes" de entre 12 e 15 anos. Membro fundador da ONG "CUES" (Cooperación Universitaria Española) . Autor de moitas ponencias, conferencias e libros, algúns dos cales foron traducidos o Inglés, francés, Potugués, Chinés e Finés. Sempre loitou por facerlle os alumnos/as unhas matemáticas máis atractivas desenrolando a súa creatividade ó través de procesos matemáticos. Unha perda sen dúbida irreparable para os que gustamos das matemáticas. 24


Historia e Curiosidades A pesar de que a gran invención práctica do cero sexa atribuída ós hindús, desenvolvementos parciais ou limitados do concepto de cero son evidentes noutros sistemas de numeración polo menos tan antigos como o sistema hindú, se non máis. Pero o efecto real de calquera deses pasos máis antigos sobre o desenvolvemento pleno do concepto de cero (se é que de feito tiveran algún efecto) non está claro. O sistema sexaxesimal babilónico usado nos textos matemáticos e astronómicos era esencialmente un sistema posicional, aínda que o concepto de cero non estivese plenamente desenvolvido. Moitas das táboas babilónicas indican un espacio entre grupos de símbolos cando unha potencia particular de 60 non era precisa, de maneira que as potencias exactas de 60 deben ser determinadas, en parte, polo contexto. Nas táboas babilónicas máis serodias (aquelas dos últimos tres séculos a.C.) usábase un símbolo para indicar unha potencia ausente, mais isto só ocurría no interior dun grupo numérico e non no final. Cando os gregos proseguiran o desenvolvemento de táboas astronómicas, escolleron explicitamente o sistema sexaxesimal babilónico para expresar as súas fraccións, e non o sistema exípcio de fraccións unitarias.

E o Señor di: crecede e multiplicádevos

¡ E dicías que non íamos ter matemáticas!

A subdivisión repetida dunha parte en 60 partes menores precisaba que ás veces “ningunha parte” dunha unidade fose escrita, de modo que as táboas de Ptolomeu no Almaxesto (150 d.C.) inclúen o símbolo ou o 0 para indicar isto.

25


Moito máis tarde, aproximadamente no ano 500, algúns textos gregos usaban o ómicron, que é a primeira letra da palabra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ómicron, restrinxíase para representar o número 70, no seu valor alfabético regular. Tal vez o uso sistemático máis antigo dun símbolo para o cero nun sistema de valor relativo se atope na matemática dos Maias das América Central e do Sur. O símbolo maia do cero era usado para indicar a ausencia de calquera das unidades das varias ordes do sistema de base vinte modificado. Ese sistema era moito máis empregado, probablemente, para rexistrar o tempo en calendarios que para propósitos computacionais. É posible que o máis antigo símbolo hindú para o cero teña sido o punto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, o seu contido talvez remonte do século III ou IV d.C., pero algúns historiadores non o localizan ata o século XII. Calquera asociación do pequeno círculo dos hindús, máis comúns, co símbolo usado polos gregos seria unha ousadía. Como a máis antiga forma do símbolo hindú era comunmente usado en inscricións e manuscritos para sinalar un espacio en branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “baleiro”. Esa palabra entrou no árabe como sifr, que significa “preguiceiro”. E foi transliterada para o latín como zephirum ou zephyrum sobre o ano 1200, manténdose o seu son mais non o seu sentido. Mudanzas sucesivas desas formas, pasando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levarán ás nosas palabras “cifra” e “cero”. O significado duplo da palabra “cifra” hoxe (tanto se pode referir ó símbolo do cero como a calquera díxito) non ocurría no orixinal hindú.

26


Historia e Curiosidades A Orixe dos signos A orixe dos signos + e - non se coñece con certeza. Existen varias opinións. Unha delas supón que xurdiron das marcas feitas con xiz nas caixas de mercadorías, polos comerciantes alemáns do século XV, para indicar as diferencias de peso en máis ou en menos según un patrón establecido. O símbolo . para a multiplicación foi utilizado por Thomas Harriot, pero quen o popularizou foi Leibniz. O signo = para as igualdades foi empregado por primeira vez polo inglés Robert Recorbe en 1557 aparecendo por primeira vez no seu libro "O aguzador do enxeño", que é o primero tratado inglés de álxebra. Según o autor, elixiu ese símbolo porque dúas cousas non poden ser máis iguais que dúas rectas paralelas. Este símbolo xeralizouse nos finais do século XVII. Descartes utilizou un signo semellante ó símbolo do infinito. O que hoxe coñecemos como ecuacións liñais, aparecían no papiro Rhind, escrito polo sacerdote exipcio Ahmes (2000 anos a. C.), representando a incógnita cunha ibis (ave tropical) escaravellando no chan.

Ilusión óptica

27


Historia e Curiosidades Matemáticas para todos Todo o mundo pode acceder ó estudio das matemáticas, pero ¿cómo ten que facer unha persoa cega ou deficiente visual para acceder ó "mundo dos números”?. Para que esto sexa posible, o sistema Braille é unha ferramenta fundamental. Un alfabeto de puntos en relevo que combinados de xeitos diferentes dán lugar ás letras, signos de puntuación, números, simboloxía científica …

Louis Braille

Indica que é o que vén a seguir é un número

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ademais ó igual que todos nós, estas persoas poden axudarse de calculadoras, escuadras, regras, cartabóns, transportadores de ángulos, compás, etc, todos eles marcados en relevo. Susana Rodríguez Gacio (4º ESO - Laxeiro)

28


Historia e Curiosidades Os números en esperanto

Algúns exemplos de números decimais: 0´5: nul komo kvin; 4´32: kavar komo tridek du L.L Zamenhof, de ontwerper van het Esperanto

As operacións: 3 + 7 = 10 tri plus sep faras dek 3 . 7 = 21 tri per sep faras dudek unu 10 : 5 = 2 dek dividite kvin faras du

Os números 1: unu 2: du 3: tri 4: kvar 5: kvin 6: ses; 7: sep 8: ok 9: naû 10: dek

As fraccións: 3/7 triseponoj 4/5 kvar kvinonoj´ As proporcións: 2/4 = 1/2 du ricatas al kvar, kiel unu al du. Ismael Alonso Lorenzo (4º ESO - Laxeiro)

29


Historia e Curiosidades Escola Pitagórica A Escola pitagórica daba calidades morais ós números e ás figuras xeométricas. - O número 1 representaba a razón (orixe de todos os números). - O númeo 2, o primeiro número femia (par). - O número 3, o primeiro número macho (impar). - O número 4, representaba á xustiza. - O número 5, ó matrimonio (suma do primeiro número femia, o 2, co primeiro número macho, o 3); no número 5, tamén estaba o segredo da cor. - O número 6, representaba o segredo do frío. - No 7, o da saúde. - No 8 o do amor (suma de 3, macho-potencia, e o 5, matrimonio). - O número 9, parece ser o matrimonio perfecto (suma de 4, a xustiza, co 5, matrimonio). - O 10, era un número triangular de catro fileiras, o símbolo polo que xuraban os pitagóricos.

30


Historia e Curiosidades Algunhas curiosidade númericas O NÚMERO 13 - Dende sempre o número 13 foi asociado á má sorte. - Xa Hesíodo advertía ós labregos sobre comezar a sementa-lo día 13 do mes. -No ano babilónico tiñan un mes 13 intercalado co signo do CORVO DA MÁ SORTE. - 13 foron os comensais da derradeira cea de Cristo. - COVEN chamábase o grupo de doce bruxas as que asistía o demo como o décimo terceiro. - Nas crenzas dos maias existían 13 ceos e o calendario azteca estaba dividido en períodos de 13 días. Outra curiosidade: 111.111´111 X 111.111´111 = 12.345.678.987´654321

Esta é a demostración de:

0´999999 = 1 Imos proceder á demostración:

1=1 1= 1/3+1/3+1/3=3/3 0´3333...+ 0´3333...+ 0´3333...=1 e se sumamos:

0´9999=1

¿Qué ves?

31


Historia e Curiosidades Enigma Cabalgaban, camiño a Bagdad, polo deserto dous beduinos cando atoparon a un vello xeque deitado na area famento e sedento. Os beduinos ofreceron un pouco de auga ó xeque e cando se repuxo contou que fora asaltado por un grupo de enmascarados. O xeque preguntou ós beduinos se levaban algunha cousa para comer. O primeiro contestou que aínda lle quedaban cinco pans, o segundo contestou que lle quedaban tres pans. O xeque propuxo que compartiran entre os tres toda esta comida e ó chegar a Bagdad recompensaríaos con oito moedas de ouro. Así o fixeron e ó chegar a Bagdad ó día seguinte, xa comeran entre os tres os oito pans. O xeque recompensounos coas oito moedas, polo que entregou cinco moedas ó primeiro beduino e tres moedas ó segundo. Pero o primeiro beduino dixo: “O reparto non é correcto. Se eu dei cinco pans tócanme sete moedas e o meu compañeiro, que só aportou tres pans, só lle toca unha moeda" ¿Por que dixo isto o beduino?. Solución: Asumindo que compartan os pans a partes iguais, correspondería 8/3 de pans a cada un deles. O beduino que posuía cinco pans contribuiu en 5 - 8/3 = 7/3, mentres que o que posuía tres pans contribuiu en 3 - 8/3 = 1/3. Daquela, o primeiro contribúe sete veces máis que o segundo, e por iso debe recibir sete veces máis moedas que o segundo. Recollido por Alba Martín Burgos (4º ESO - Laxeiro)


Historia e Curiosidades

Un problema das «Viaxes de Gulliver» Os liliputienses, lemos nas «Viaxes», estableceron para Gulliver a seguinte norma de productos alimenticios: «Serálle entregada diariamente unha ración de comestibles e bebidas suficiente para alimentar 1728 súbditos de Liliput». Trescentos cociñeiros preparábanlle a comida. Cando chegaba a hora do xantar, Gulliver collía coa man vinte servidores pondos en riba da mesa, uns cen servíano dende o chan valéndose de cordas e poleas. ¿En qué cálculo se basearon os liliputienses para establecer esta ración e por qué eran precisos tantos serventes para alimentar un só home, que non era máis que unha ducia de veces máis alto ca eles?.

O ENGANO DO CORDEL Unha vella historia narra que certo día un comprador se achegou a un vendedor de espárragos e díxolle: Con este cordel que mide unha cuarta, ¿canto me ides cobrar polo mazo de espárragos que poida atar con el?. O vendedor de espárragos pediu 10 reais e o comprador amosouse conforme. Ós dous días, o comprador díxolle ó vendedor de espárragos: Volvo con este cordel que mide dúas cuartas, lembras que polos espárragos que puiden atar co que medía unha cuarta cobráchesme 10 reais, así que por este cordel que mide dúas pagareivos 20 reais, se o vedes xusto. O aldeano aceptou, aínda que ficou con certa dúbida de se fora enganado ou non polo comprador. ¿TI QUE PENSAS? Solución: Cun cordel de doble lonxitude encérrase unha superficie catro veces maior, polo que non se trataba de doble cantidade de espárragos, senón de cuádruple cantidade.

33


Historia e Curiosidades Paradoxa de Braess É paradóxica a conclusión de Dietrich Braess, un matemático alemán: en certas ocasións a apertura dun tramo da autoestrada... ¡pode agravar os atascos!. No sinxelo modelo do matemático alemán, os 6000 residentes da poboación A teñen que desprazarse pola estrada ata o seu traballo na poboación D. E para iso teñen dúas rotas alternativas, e os conductores divídense en dúas metades. Pola primeira rota, despóis de 50 minutos de autoestrada ata a poboación intermedia C, os conductores tardan 30 minutos adicionais no breve pero conxestionado tramo C-D. Pola segunda, os conductores tardan 30 minutos en cubrir o conxestionado tramo inicial ata a poboación B, pero a partir de alí unha marabillosa autoestrada levaraos en 50 minutos ata D. Asi pois, aínda que a orde autoestrada-tramo estreito sexa diferente en cada rota, os 3000 conductores que transitan por cada unha delas tardan 80 minutos en chegar ó destino final. Pois ben a chave da "paradoxa de Braess" está en que o tempo que se tarda en atravesar os tramos conxestionados depende do número de vehículos que compiten por intentalo. Así, en percorrer os estreitos tramos C-D ou A-B tárdase 10 minutos cando son 1000 ou menos conductores; 20 cando son 2000; 30 cando son 3000; 40 cando son 4000 e así sucesivamente. Pois ben, ¿qué ocorre se as autoridades abren unha nova e espaciosa autoestrada que comunica entre sí, en tan só 10 minutos, as poboacións B e C? En días de escaso tránsito (por exemplo, os festivos) o novo tramo de autoestrada acotará seguramente o traxecto A-D: permitirá facelo apenas en 30 minutos (10+10+10, en vez de 60 (10+50, ou o revés). Pero en días laborais o novo tramo de autoestrada alongará a viaxe ó traballo de tódolos conductores, ¡calquera que sexa a rota que escollan!. E efecto, se supoñemos que un tercio dos residentes (é dicir 2000) optan polo novo traxecto A-B-C-B e os restantes seguen a usar a vella rota, ¡todos tardarán 90 minutos!, pois polos dous tramos estreitos, A-B 50 minutos e C-D, pasarán agora 4000 conductores (os 2000 fieis á súa vella rota, máis os 2000 atraídos pola nova x min 10 min x min rota), en vez de 3000, de tal sorte que A B D C farán falla agora 10 minutos máis para atravesalos. 50 minutos 34

Sergio Pego (4º ESO - Pitágoras)


Historia e Curiosidades Na Illa dos Zombis Nunha illa perto de Haití a metade dos habitantes foron enmeigados por un Vudú e transformados en Zombis, eses Zombis non se comportan según as típicas convencións: falan e non se poden distinguir dos seres humanos normais, a única diferencia é que os zombis menten sempre e os humanos sempre din a verdade. A situación é enormemente complicada polo feito de que aínda que os nativos entendan o noso idioma á perfección un vello tabú prohíbelles usar palabras estranxeiras cando falan. Polo que ó facerlle unha pregunta que require unha resposta de si ou non, eles contestan "Bal" ou "Da", un deles significa si e o outro non. O problema é que non sabemos se "Bal" ou "Da" é si ou non. Atópaste nesa illa e queres casar coa filla do rei, tes que superar unha proba. A proba consiste en facerlle ó bruxo do rei unha soa pregunta. Se el contesta "Bal" entón poderás casar coa filla do rei, pero se contesta "Da" terás fracasado na proba. O problema consiste en atopar unha pregunta tal que, independentemente do feito de que o bruxo sexa humano ou sexa Zombi e independentemente do feito de que "Bal" signifique si ou non, o bruxo conteste "Bal".

Solución: Unha posible solución sería preguntalle ó menciñeiro: ¿Bal é a resposta á pregunta de se es humano?”

35


Historia e Curiosidades O Primeiro Cadrado Máxico O primeiro cadrado máxico coñecido historicamente, é o da figura adxunta que ten uns 3000 anos. Apareceu nun libro chinés chamado “Libro das permutacións” escrito 500 anos antes de Pitágoras. Os círculos brancos representan números machos (impares) e os negros números femias (pares).

Sumando os números por columnas, por fileiras ou por diagonais sempre dá 15.

¡Esa curiosa xeometría! ¿Cómo distribuir 10 soldados en 5 fileiras de 4 soldados cada unha? Ninguén atopaba a solución; ata que un coñecedor dos polígonos estrelados deu con ela. Deste xeito

1

3

2

4

6

5

7 8

36

9

10


Historia e Curiosidades PITÁGORAS A figura de Pitágoras aparece fortemente fabulada polos seus haxiógrafos serodios Dióxenes Laercio e Porfirio, do século III , e Lámblico, do IV. Pero xa incluso no século V a. de C. Herodoto mesmo presenta un Pitágoras mítico confundido cunha figura tan fabulosa como Zalmoxis, medio heroe, medio deus. E tamén a figura que Aristóteles debuxa de Pitágoras nos fragmentos que se conservan aparece entre as brétemas da lenda. Naceu na illa de Samos, xunto a Mileto, na primeira metade do século VI. Fillo de Menesarco, talvez un rico comerciante de Samos. Probablemente viaxou a Exipto, Fenicia e Babilonia. Volveu a Samos durante a dictadura de Policrates (538-522). Cara 529 viaxou ó sur de Italia e fundou en Crotona a fraternidade pitagórica. Morreu moi ancián en Metaponto. Pódense distinguir tres etapas na súa vida: a primeira no mundo grego, a segunda de viaxes a Babilonia e Exipto e a terceira no que máis tarde se chamou a Magna Grecia (Sur de Italia), cun intermedio en Samos entre a segunda e a terceira etapas. Lámblico conta que Pitágoras visitou a Tales en Mileto, o que cronoloxicamente é acorde e xeograficamente moi posible pola proximidade entre Samos e Mileto. Tamén alí puido coñecer ó filósofo Anaximandro personalmente. Como o seu mestre cítase sobre todo a Ferekides de Siros Pode que leves razón Pitágoras pero vanse rir todos de tí se a iso lle chamas Hipotenusa

(Aristóteles, Aristoxeno, Dicaiarcos) a quen Aristóteles caracteriza como teólogo e taumaturgo. O feito das súas estadías en Exipto e Babilonia aparece xa testemuñado en escritores moito máis antigos como Isocrates (IV.a. de C), Herodoto (V a. de C.) e Aristoxeno (IV a. de C).

37


Por outra banda, o parentesco de moitas das ideas pitagóricas primitivas, tanto matemáticas e astronómicas como relixiosas, sinalan claramente o forte influxo oriental e exipcio e pódese pensar con confianza que pertencen ó acervo de ensinanzas iniciais de Pitágoras mesmo. No 529 Pitágoras trasladouse á pole (ciudadeestado) de Crotona, fundación aquea do século (VIII a. de C.), na parte sul do golfo de Tarento. As colonias gregas do sur de Italia gozaban daquela dunha grande prosperidade, sobranceando entre elas Síbaris, famosa no mundo grego polas súas riquezas e a súa vida luxosa. Crotona era a súa principal rival e veciña. Alí chegou Pitágoras cun sistema de pensamento máis ou menos perfilado despois da súa longa experiencia por Oriente e Exipto. A cidade pediulle que espuxera as súas ideas e, según a tradición, Pitágoras dirixiu por separado catro grandes discursos ós mozos, ó Senado, ás mulleres e ós nenos. O contido destes catro discursos tal como foi transmitido por diversos conductos, está cheo de recomendacións morais derivadas fun d a m e n t a l m e n t e d a necesidade de axustar a conducta humana ós cánones de harmonía e xusteza que se derivan da natureza mesma das cousas e ilustradas con elementos específicos da mitoloxía dos habitantes de Crotona. Como consecuencia deste primeiro contacto xurdiu, seica non só en Crotona, senón en toda Italia un grande entusiasmo por Pitágoras. 38


Abondan estas regras para indicar o seu carácter: 1.- Cando vaias a un templo, adora (primeiro) , e no camiño , non fagas nin digas nada que teña relación coa túa vida cotiá. 2.- Cando viaxes, non entres nun templo nin adores de xeito ningún, nin aínda cando te atopes no limiar mesmo do templo. 3.- Sacrifica e adora descalzo. 4.- Afástate dos camiños frecuentados e camiña polas corredoiras. 5.- Refrea sobre de todo a túa lingua e segue ós deuses. 6.- Non remexas o lume cun coitelo (ou instrumento de ferro). 7.- Axuda ó home que trata de ergue-la súa carga, pero non ó que a pousa. 8.- Ó te calzar, comeza polo pé dereito, e ó te lavar, polo esquerdo. 9.- Non fales das cuestións pitagóricas sen luz. 10.- Non pases nunca por riba dun xugo. 11.- Cando esteas fóra da casa, non olles nunca cara atrás, pois as Erinias seguen os teus pasos.

12.- Alimenta a un galo, pero non o sacrifiques, pois está consagrado á lúa e ó sol. 13.- Non sentes sobre dun cuartillo. 14.- Non permitas que unha andoriña aniñe no teu tellado. 15.- Non leves anelo. 16.- Non te mires nun espello a carón dunha lámpada. 17.- Non creas nada extraño sobre os deuses ou as crenzas relixiosas. 18.- Non te deixes posuír por un riso incontible. 19.- Non cortes as unllas durante un sacrificio. 20.- Logo de te ergueres da cama, enrola os cobertores e achanda o lugar onde xaciches. 21.- Non comas o corazón. 22.- Cuspe nos recortes do teu pelo e as limaduras das túas unllas. 23.- Borra da cinsa a pegada do pote. 24.- Abstente das fabas. 25.- Abstente dos seres vivos.

Xeralización do teorema de Pitágoras. Para os semicírculos da figura, a partires da expresión c 2 = a 2 + b 2 multiplicando ámbolosdous membros por ( /8) resulta:

8

2 C =

2

8

2

(b + a )=

8

b2+

8

a

2

de onde:

s´ b

s

c a s´´

Área (Semicírculo S) = Área(SemicírculoS´ ) + Área (SemicírculoS´´ )

Se as superficies S, S´ e S´´ son semellantes, daquela Área (S) = Área (S´) + Área (S´´) 39


Historia e Curiosidades Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) Arquímedes pode ser considerado como o máis grande dos matemáticos da Antigüidade. Pasou case toda a súa vida na súa cidade natal de Siracusa, aínda que se sabe que visitou E x i p t o n un h a o c a s i ó n . A s ú a s o n a b a s é a s e , fundamentalmente, nos seus descubrimentos matemáticos. Determinou un valor aproximado de Pi cun erro moi pequeno. Calculou volumes e áreas, entre eles o volume da esfera. Demostrou o seguinte resultado fundamental “Os volumes dun cono, dunha semiesfera e dun cilindro, todos da mesma altura e radio, atópanse na razón 1:2:3”. Nas obras Da esfera e do cilindro, Dos conoides e esferoides, Das espirais e nas novas ideas (método de exhausción, cadratura do segmento de parábola), pódese ver o xerme do cálculo infinitesimal. Arquímedes foi ademais un xenio da mecánica. Entre os seus inventos más célebres atópanse o parafuso de Arquímedes, utilizado en moitos países, para extraer auga dos pozos. Construíu planetarios que eran, daquela, tan populares como o son na actualidade. Non foron só os inventos «pacíficos» os que deron a Arquímedes a súa sona na Antigüidade, senón tamén a súa contribución na defensa de Siracusa contra dos romanos. Este septuaxenario matemático dotou ó exército da cidade de armas modernas que causaron o desconcerto entre os soldados romanos. Os historiadores da época non describen os espellos ustorios, pero si o fan os posteriores. Foron mencionados por vez primeira Galeno (129-199). Se realmente existiron, trataranse dalgunha especie de espello parabólico. Según conta a lenda, durante o asedio das tropas romanas a Siracusa (213-212 a C) foron quen de concentrar os raios do sol nunha zona reducida, deste xeito, dirixidos a armada romana, provocaron o incendio das naves. Arquímedes situounos de forma que os raios do sol chegaran paralelos ó eixo e, unha vez concentrados, apuntarán ás velas dos barcos inimigos. Axiña os romanos viron cómo as velas dos seus barcos ardían como por arte de maxia. Pero Siracusa caeu nas mans dos romanos e Arquímedes foi asasinado. Aínda que non dunha maneira explícita, Arquímedes contribuíu a aplicación das matemáticas. En efecto, en Equilibrio, trataba do problema da panca, que, xunto a cuña, o plano inclinado, o rolo e a polea, compoñían a colección das máquinas simples utilizadas na Antigüidade. Utilizou libremente a noción de baricentro ou centro de gravidade dun corpo como se o coñecese e fora familiar. Case vinte séculos máis tarde, S. Stevin e Galileo Galilei constrúen a teoría da estática: unha teoría do equilibrio para complicados sistemas mecánicos. 40


Historia e Curiosidades

Al-Khwarizmi O máis coñecido dos matemáticos árabes é Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), coñecido como o pai da álxebra. Sábese pouco da sua vida agás que viviu na primera metade do século IX e que traballou na biblioteca do califa de Bagdad. Escribiu libros sobre xeografía, astronomía e matemática. Na súa obra Artimética ("Algoritmi de número indorum") explica polo miúdo o funcionamento do sistema decimal e do cero que usaban na India. Obra de gran importancia pois contribuiu a difusión do sistema de numeración indio e ó coñecemento do cero. Cómpre salientar a obra de contido alxebráico "Hisab al-yabr wa'l muqqabala", considerada un dos primeiros libros de álxebra. Obra eminentemente didáctica con abundantes problemas para resolver e adestrar ó lector, principalmente, na resolución de ecuacións de segundo grao.

i m z i r a w h

A maioría das súas dez obras son coñecidas en forma indirecta ou por traduccións feitas máis tarde ó latín (moitas delas en Toledo) e dalgunhas só se coñece o título. Al-Jwarizmi foi un recopilador do coñecemento dos gregos e da India, principalmente matemáticas, pero tamén astronomía (incluíndo o calendario xudeo), astroloxía, xeografía e historia. A súa obra tiña influencias particularmente dos escritos de Diofanto. O seu traballo máis coñecido e usado foron as súas Taboás Astronómicas, baseadas na astronomía india. Teñen algoritmos para calcular datas e as primeras táboas coñecidas das funcións trigonométricas seno e cotanxente. O más incríble é que non usou os números negativos (que aínda non se coñecían), nin o sistema decimal nin fraccións, aínda que sí o concepto do cero. A súa aritmética introduce o sistema numérico indio (só coñecido polos árabes uns 50 anos antes) e os algoritmos para calcular con el. Finalmente temos a Álxebra, unha introducción compacta ó cálculo, usando regras para completar e reducir ecuacións. Ademáis de sistematizar a resolución de ecuacións cuadráticas, tamén trata xeometría, cálculos comerciais e de herdanzas. Quizais éste é o libro árabe máis vello coñecido e parte do seu título Kitab a-yabr wa'l-muqqabala dá orixe á palabra álxebra. O significado era “ciencia da transposición e da reducción”. O término “al-yabr” correspondía a operación da trasposición e o térmo “muqqabala” referíase a reducción. Á incógnita chamábaa “cousa” (“shay”, xay no castelán); a el débese que se utilice a letra x para nomear á incógnita nas ecuacións.

K l A

41


Historia e Curiosidades

Matemáticas

e

Literatura

A matemática está, ¡non podía ser menos!, en boas relacións coa Poesía, fundamentalmente no tocante á medida dos versos. Sabedes que hai versos de diferentes lonxitudes: monosílabos, bisílabos, trisílabos,... Os de once sílabas chámanse hendecasílabos, os de catorce alexandrinos, os máis populares son os octosílabos. As combinacións de versos formando un todo harmónico e rítmico é a estrofa. Algunhas estrofas chámanse: pareados, tercetos, cuartetos, quintetos ... O Soneto é unha combinación de dous cuartetos e dous tercetos. Lope de Vega escribiu un famoso soneto case matemático:

Un soneto me manda hacer Violante y en mí vida me he visto en tal aprieto. Catorce versos dicen que es soneto; Burla, burlando, van los tres delante. yo pensé que no hallara consonante y estoy en la mitad de otro cuarteto; mas si me hallo en el primer terceto, Nada habrá en los cuartetos que me espante. Por el primer terceto voy entrando, y aún parece que entré con pie derecho, Pues fin con este verso le voy dando. Ya estoy en el segundo y aún sospecho Que estoy los trece versos acabando. Contad si son catorce y está hecho. Lope de Vega 42


Historia e Curiosidades

Palíndromos “Dábale arroz a la zorra el abad” é o máis coñecido dos Palíndromos, é dicir, as palabras ou frases que teñen a mesma lectura de esquerda a dereita que de dereita a esquerda. Palíndromo é un termo que procede do grego (palín, de novo, e dromos, carreira). Existen numerosos Palíndromos constituidos por unha soa palabra. ¿Adiviñarias os seis que che propoñemos a seguir?. indicámosche o seu significado e, entre parénteses, o número de letras que o forma. 1.2.3.4.5.6.-

Derivado de añil (7) Sujeta con ligaduras (3) Mamífero plantígrado (3) Leyendas de Escandinavia (5) En plural: sin compañía (5) Examinar con cuidado (9)

A construcción de palíndromos remóntase a tempos moi antigos, dise que foron inventados polo poeta grego Sótades no século III a C. Non tódolos idiomas se prestan coa mesma facilidade á súa creación. Os ingleses adoitan ofrecer bos exemplos, pero hai que dicir que o español é dos idiomas con máis altas condicións q u e e x i s t e n . E n G a l e g o , G o n z a l o N a v a z a e s c r i b i u un l i b r o “A torre da derrotA” que está composto todo el con versos palíndromos. Este é un dos seus poemas:

O norte é trono Se corta soños atroces O noso sono E acaso a rosa cae Na man

43


Historia e Curiosidades

Humor Un enxeñeiro, un físico e un matemático preséntanse a un exame. A única pregunta é:

cánto é 1 + 1

O enxeñeiro escribe uns momentos no seu papel e entrega:

1+1=2

Ós cinco minutos entrega o físico e escribe: 2 (dous) O matemático segue escribindo e solicita media hora máis de tempo para rematar. Ó cabo da mesma o tribunal recrimínao, ¡Pero home, entregue xa!, e o matemático dirixíndose ó tribunal dille: Síntoo, só puiden demostrar que a solución existe e é única.

Avaliación na E.S.O. Acaba de chegar ó meu poder este valioso documento, asinado por Inocencio Docente, e tal como o recibo, así o amoso:

Resposta do alumno:

6 + 7 = 18

Comentario da avaliación: 1. A grafía do signo seis é de todo correcta. 2. Pódese aprecia-lo mesmo co sete. 3. O signo máis dinos, acertadamente, que se trata dunha suma. 4. En canto ó resultado vemos que o un é correcto. O segundo número, efectivamente, non é oito. Ben, se o cortamos pola metade de arriba abaixo, observamos que o alumno escribiu dous treses simétricos. Eliximos o bo porque se ve que a súa intención era boa.

44

Avaliación: O conxunto destas observacións evidencia que: (a) A actitude do alumno é positiva (tentouno) (b) Os procedementos son correctos (os elementos están ordeados correctamente) (c) En conceptos só se trabucou parcialmente nun dos seis elementos que forman o exercicio. Isto é case de sobresaliente. Daquela podemos outorgarlle un "Notable" é dicir que "Progresa Adecuadamente”.


Historia e Curiosidades O Teorema do Salario O "teorema do salario" de Dilbert establece que "os enxeñeiros e científicos nunca poden gañar tanto como os executivos e os comerciais". Este teorema pódese demostrar matematicamente a partir dos seguintes dous postulados: - Postulado número 1 : "O coñecemento é poder" - Postulado número 2 : “O tempo é diñeiro" Todos sabemos o seguinte axioma: poder (potencia) = traballo / tempo, e como coñecemento = poder, entón temos que: coñecemento = traballo / tempo e como tempo = diñeiro, temos que coñecemento = traballo / diñeiro . Resolvendo para "diñeiro" obtemos: diñeiro = traballo / coñecemento. Así, se "coñecemento" se aproxima a cero, o diñeiro tende a infinito, independentemente da cantidade de traballo feito. Demostrado: ”canto menos saibas, máis gañarás”.

Matemáticos Un home, o único tripulante dun globo, atopábase perdido e a piques da desesperación, decidiu lanzar o lastre para tomar terra axiña. Como estaba nunha zona dominada pola brétema, un dos sacos co lastre deulle na testa a un pensador que estaba sentado sobre uns penedos. O modesto e desconcertado aeronauta apresurouse a pedirlle desculpas e aproveitou a ocasión para preguntarlle ó solitario pensador se podería axudarlle a coñecer ónde estaba; este mirouno un intre, agachou a testa e volvendo levantala díxolle: “Está nun globo sobre a miña vertical”. O viaxeiro preguntoulle: ¿É vostede matemático?. “Si”, dixo o pensador gratamente sorprendido, ¿Cómo o descubriu?. O noso desanimado aventureiro engadiu: “Miroume, reflexionou e deume unha resposta lóxica, absolutamente exacta, e perfectamente inútil” Profesor Pérez de Vargas

45


Historia e Curiosidades Obxectos Imposibles No ano 1934, o artista Oscar Reutervärd debuxou nove cubos nunha composición espacial imposible. Naceu así a primeira figura triangular imposible feita de forma deliberada. O correo sueco editou no ano 1982 unha serie de selos adicados a Reutersärd.

SVERIGE 25 Oscar Reutervärd

M. C. Escher

46


os am ? v le ca os áti n a m te s to Ma n á a ¿C Foll de

199

9-

200

4


TALLER de MATEMÁTICAS Historia dO tangrÁm O tangram é un crebacabezas de orixe chinesa que probablemente apareceu hai tan só 200 ou 300 anos. Os chineses chamárona "táboa da sabedoría" e "táboa de sagacidade" facendo referencia ás cualidades que o xogo require. A mesma palabra "tangrám" é un invento occidental: Suponse que foi creada por un norteamericano afeccionado ós crebacabezas, quen tería combinado tang, unha palabra cantonesa que significa "chinés", co sufixo inglés gram (-grama) que significa "escrito" ou "gráfico" (como en cardiograma). Outra teoría sostén que "tangrám" deriva de tan, que en chinés significa "prostituta". Segundo esta hipótese, os mariñeiros norteamericanos terían coñecido o xogo a través de prostitutas chinesas e "tangram" significaría, polo tanto, "o crebacabezas das prostitutas". Os primeiros libros sobre o tangrám apareceron en Europa a comezos do século XIX e presentaban tanto figuras coma solucións. Tratábase duns cantos centos de imaxes na súa maior parte figurativas como animais, casas e flores... xunto a unha escasa representación de formas abstractas. Ó longo do século XIX apareceron diversos libros de tangrám chineses, que foron copiados polas editoriais europeas, boa proba da popularidade que adquirira o xogo. A partires de 1818 publicáronse libros de tangrám nos EEUU, Inglaterra, Francia, Alemaña, Austria e Italia. No limiar do libro publicado en Italia facíase notar que o tangrám se xogaba "en todas partes con verdadeira paixón". En efecto, anque unha antiga enciclopedia chinesa o describía coma "un xogo de mulleres e nenos", o tangrám convertérase nun divertimento universal. En canto ó número de figuras, a maior parte das publicacións occidentais copiaron as figuras chinesas orixinais, que ascendían a algúns centos. Ó comezo o tangrám foi publicado en forma de libro, ó redor de 1870 concedíase máis atención ó xogo mesmo e os seus sete compoñentes, de forma que o tangrám era producido e vendido como un obxecto: pezas de marfín, tarxetas coas siluetas e envoltorio en forma de caixa. Cara 1900 engadiranse novas figuras e formas xeométricas, chegando a un total de máis de 900 e en 1973, os deseñadores holandeses Joost Elffers e Michael Schuyt produciron unha edición en rústica con 750 figuras novas, acadando así un total de máis de 1.600. A edición de 1973 vendeu ata a data máis dun millón de exemplares en todo o mundo. (El Antiguo Rompecabezas Chino) ELFFERS, J. y SCHUYT, M. C.

49


TALLER de MATEMÁTICAS TangrÁm de catro pezas Na imaxe da esquerda tes as pistas para poder construir o tangrám da dereita. Fíxate que A, B, C, D, son os puntos medios dos lados do cadrado. (Recoméndoche que teña 8 cm. de lado). Unha vez construido o tangrám, tenta reproducir cada unha das seis figuras que tes a continuación. (Todas conteñen as catro pezas). Tamén podes inventar outras figuras orixinais.

C

B

A

D

50


TALLER de MATEMÁTICAS TANGRÁM TRIANGULAR

8

4 5

2

7

6 1

3

Constrúe un. Tenta facer as figuras: 51


TALLER de MATEMÁTICAS TANGRÁM PITAGÓRICO

TP

TP

CP TG R

CG TG

1º) - Calcula a área do CP - Calcula a área do CG

CP

CP

TP CG

Comproba que: Área CP + Área CP = Área CG (teorema de Pitágoras: a suma dos cadrados dos catetos é igual ó cadrado da hipotenusa). 2º) - Construe un hexágono de lados paralelos 2 a 2 e que 4 dos seus lados sexan iguais entre sí, e iguais ó lado do CG.

52


TALLER de MATEMÁTICAS

Cuadriláteros Recorta 15 (para comezar) cuadriláteros como o que está debuxado debaixo.

¡Todos iguais!

Módulo

Podes empregar papel de revista e seleccionar cores chamativas ó teu gusto. Con eles tes que encher un folio pegándoos de xeito que non quede ningún espacio baleiro entre eles, nin que se superpoñan uns a outros. ¡Asegúroche que se pode facer!

Formarás un bonito "collage" se combinas as cores adecuadamente. Podes recortar as que sobresaian polos bordes do folio. Chámase módulo á superficie que "encaixada" consigo mesma cobre totalmente o plano.

Aquí tedes un problema de “pregar e cortar” no que se trata de formar un cubo. ¿Cal é a lonxitude mínima que debe ter unha banda de papel de 5 cm de anchura, para que pregada axeitadamente podamos obter un cubo con tódalas súas caras, de 5 cm de aresta.

b

a

c d 53


TALLER de MATEMÁTICAS Cuboctedro Trucando os vértices dun cubo a 1/2 das súas arestas obtense o cuboctaedro. Este desenvolvemento plano non ten as solapas necesarias para poder construir o corpo en volume. Ponllas onde ti creas conveniente.

¡Recorta e constrúe!

54


TALLER de MATEMÁTICAS A fita de Möbius Colle unha fita de papel ABCD duns 30 cm de longo e uns 2 cm de ancho e une os seus extremos como indica a figura:

Esta fita ten dúas caras: a interior e a exterior: 1.- ¿Cantas cores seran precisas para pintala, se cada cara debe ter unha diferente?. 2.- ¿Cantos lados ten?. 3.- ¿Qué pasará se cortamos a fita como se indica na figura?.

O que fixemos ate agora non ten misterio ningún. Observa que pasa se en vez de xuntar os extremos como antes, facemos un xiro de 180º a un dos extremos, como indica a figura.

4.- Pinta a parte interior da fita. ¿Qué observas? 5.- ¿Cantas caras ten esta fita? ¿Cantos lados? Esta fita tan curiosa, dunha soa cara, coñécese como fita ou banda de Möbius. 49


6.- Corta a fita de Möbius do mesmo xeito que fixeches coa fita anterior. ¿Cál é o resultado?. 7.- Fai outra fita de Möbius, vas cortala de novo lonxitudinalmente, pero agora faino a 1/3 da súa anchura. Despois de dúas voltas atoparás o punto de partida. ¿Cál é o resultado? ¿Podes dar algunha explicación?. 8.-Une formando un ángulo recto unha fita normal e outra de Möbius tal como se ve na figura, e vas cortalas como está indicado.

Antes de facelo tenta predicir cal será o resultado. ¿Qué obtiveches?

Hai artistas que se inspiraron na banda de Möbius para face-los seus debuxos. Tamén a podemos atopar en selos de correos e nalgún logotipo dalgunha empresa (véxase Caixanova) Un deses artistas que conseguiu resultados moi fermosos foi o pintor holandés M. C. Escher. (1898 -1972). Aquí tes un dos seus gravados. Escher é un dos pintores máis apreciado polos matemáticos.

Fita de Möbius II (1963) 56


TALLER de MATEMÁTICAS Pentominós Recorta as “formas “ dos pentominós (son as 12 fichas ) Tenta reproducir as figuras que presentamos, usando as fichas dos pentominós. Lembra que só tés á túa disposición un xogo completo de fichas de pentominós (12 fichas). Tanto para a “cruz” como para o ”te”, necesitas colocar 9 das 12 fichas, no caso do “can”, necesitas as 12.

57


TALLER de MATEMÁTICAS

Cadrado Máxico Coloca os números do 1 ó 9 (un en cada cadriño e sen repetir ningún) de xeito que sumadas as filas, columnas e diagonais dea sempre 15.

Xustifica a túa estratexia

As Dianas

Dispoñemos de sete disparos para totalizar 225 puntos. Pódese acadar abatendo dúas dianas de cada fileira e reservar o sétimo disparo para o gong de abaixo.

58


TALLER de MATEMÁTICAS

Simetrias e Refraccións Colocando doadamente un espello sobre o modelo, poderás obter todas as figuras. ¿Cómo tés que colocalo en cada caso?.

Modelo

A

F

E

D

H

L

C

B

I

G

J

K

M N

O

59


TALLER de MATEMÁTICAS AFundi-la flota.

Normas de xogo: A flota consta de 10 Naves. 1 portavións de 4 puntos vulnerables. 2 destructores de 3 puntos vulnerables. 3 veleiros de 2 puntos vulnerables. 4 submarinos de 1 punto vulnerable. Non poden situarse dúas naves en contacto unha coa outra. Non podes “saír” de pantalla. É limitada. Os disparos fanse alternativamente. Gaña quen elimine toda a flota contraria. A cada disparo do contrario hai que contestar, auga, tocado, ou afundido, según o disparo sexa errado con acerto en parte, ou con acerto e afundimento. As naves hanse colocar en posición horizontal ou vertical, puidendo ocupar calquera parte da pantalla sen saír dela. Exemplo de colocación dunha flota.

¿Cómo nomealos? Se tomamos o portavións de 4 puntos como exemplo. Sería: comezando pola esquerda: (-5, 5); (-4, 5); (-3,5); (-2,5). Outro exemplo: o veleiro de 2 puntos que está debaixo á dereita, sería: (4, -4), o punto superior e (4, -5) o punto inferior.

¡Ánimo! e … ¡sorte! 60


TALLER de MATEMÁTICAS

O Xogo de Ada Byron Este xogo foi descuberto pola matemática inglesa Ada Byron (1815 - 1852) quen nuha carta o científico inglés Charles Babbage escribiu o seguinte: "Acabo de descubrir o seguinte xogo, ou crebacabezas, chamado Solitario. Consta dun taboleiro octagonal como o do debuxo, con 37 casiñas na posición na que está debuxado, e 37 fichas colocadas nas casiñas. Debe quitarse unha ficha para poder empezar, entón sáltase e cómese unha ficha. Por exemplo, se a ficha 19, a do centro, é a que quitamos de primeira, entón a ficha 6 pode saltar sobre a 12 e colocarse na casiña baleira 19, a ficha 12 retírase do taboleiro. As fichas só se poden mover saltando sobre outras, e sempre en ángulo recto, nunca en diagonal. O xogo consiste en deixar unicamente unha ficha no taboleiro. Pódese xogar durante moito tempo, non ter éxito e deixar 3, 4, 5 ou máis fichas, pois ó non ter ningunha ficha ó seu caron xa non poden nin saltar, nin comer, nin retirarse do taboleiro. Teño estado observando e investigando sobre o xogo e son capaz de rematalo correctamente, pero non coñezo se o problema admite algunha fórmula matemática que permita resolvelo. Estou convencida de que así é. Imaxino que debe ter un principio definido, unha composición de propiedades númericas e xeométricas das que dependa a solución, que poida ser expresada en linguaxe simbólica. Penso que depende da primeira ficha eliminada.

Ada Byron

4 9

1

2

3

5

6

7

8

10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

¿Queres intentalo? Podes construir o xogo debuxando o taboleiro e usando fichas doutro xogo, ou botóns, moedas, …

30 31 32 33 34 35 36 37

Aide Lasa (4º ESO-Pitágoras) 61


TALLER de MATEMÁTICAS O problema de Penrose O matemático británico Roger Penrose e o seu pai, o biólogo L. S. Penrose, propuxeron un problema moi curioso. ¿Cantos chanzos, como mínimo, temos que subir para chegar ó punto C? (Entre A e B só temos un chanzo).

Unha escaleira desesperante Coa primeira ollada pensarás que esta escaleira é do mais normaliña. Tenta subir por ela. ¿Podes chegar ó seu fin?.

Multiplicación Rusa Fíxate como se multiplica 53 x 11. Colócanse dúas columnas do seguinte xeito: 53 11* 26 22 13 44* 6 88 3 176* 1 352* Despois súmanse os números da columna dereita sinalados co *: 11 + 44 + 1756 + 352 = 583 Xa témo-lo resultado: 53 x 11 = 583 ¿Poderías explica-lo procedemento e xustificalo? 62


ACTIVIDADES FEITAS DIAS ESCOLARES DAS MATEMÁTICAS ALGUNHAS

NOS

Despois dos actos de celebración do Ano Mundial das Matemáticas no ano 2000, como responsables do departamento de Matemáticas, decidimos que continuariamos celebrando ese día en anos sucesivos na Escola. Dada a proximidade da celebración do día escolar das matemáticas (12 de Maio) co da festa da Escola (Venres máis próximo ó 17 de Maio), acordamos unificar esas datas e celebrar durante a mañá os actos do día escolar das matemáticas. (A festa celebrarase pola tarde). Para ese día fixemos ó longo do curso escolar 2000/01, oito murais que se corresponden cos “Recunchos” de actividades que se realizarán no patio cuberto da Escola ese día. Os murais son de: -Tangráms: chinés, de 4 pezas, triangular, ovo marabilloso, 700 marabillosos, Pitagórico etc... - Pentaminós: con construccións e con xogos - Policubos: con construccións e con xogos (soma) - Xogos de taboleiro: tres en raia, a ficha que foxe, o Nim, trioker, faundi-la flota etc... - Xogos con pauciños - Actividades con espellos - Papiroflexia - Construccións de poliedros De cada recuncho de actividades están encargados uns monitores, que son os alumnos do taller de matemáticas de 1º e 2º da ESO que ó longo do curso realizaron estas actividades na aula. Tamén durante o curso , estes monitores visitan algunha vez ós máis pequerrechiños da escola para xogar con eles ás matemáticas.(Non se sabe quén o pasa mellor, e quén aprende máis). No día escolar das matemáticas, os alumnos dende 3 anos ata 2º de ESO van pasando todos/as polos “recunchos”, en horario e grupos previamente establecidos e van realizando as actividades programadas, coa axuda dos monitores. Cada ano que pasa, vanse modificando ou cambiando actividades nos “Rincóns”. Cos alumnos de 3º da ESO realizamos mentres tanto a Gymkana Científica, nos arredores da escola. Este ano (curso 2003/04), tamén se fará cos alumnos de 4º da ESO.

63


O L E IR O B A T MATEMÁTICO


ACTIVIDADES FEITAS DIAS ESCOLARES DAS MATEMÁTICAS ALGUNHAS

NOS

Gimkana Matemática Bases: 1.- Os equipos estarán formados por cinco alumnos. Cada equipo terá un nome que o identificará. 2.- No punto de saída (patio cuberto) entregaráse a cada grupo un sobre cos datos para atopa-los cinco puntos-base. 3.- Cada grupo poderá comezar polo punto-base que desexe, pero terá que selo grupo ó completo. 4.- Unha vez no punto-base daráselle a cada grupo traballo para realizar. Unha vez resoltos os problemas ou cuestións presentadas, entregaránselle a un profesor que estará nese punto-base. Se o grupo decide deixar incompleta algunha cuestión ou problema, non poderá volver máis tarde resolvelo. 5.- O grupo que solucione os cinco puntos-base, comunicará o profesor que rematou e este apuntará a hora de finalización. 6.- Gañará o equipo que obteña maior puntuación no menor tempo posible. 7.- Para a puntuación terase en conta non só o resultado correcto, senón tamén a orixinalidade, claridade, orde, explicacións, etc., dos exercicios realizados. 8.- Ningún integrante do equipo poderá saír fóra dos límites marcados no plano que se exporá no Patio Cuberto. Se esta norma non se cumpre será excluido o grupo completo. NOTA: Aconséllase levar instrumentos de debuxo, calculadora, cinta métrica, etc.

Actividade proposta no Curso 2002/2003 ós alumnos de 3º da E.S.O. Folla de localización dos Puntos Base:

Punto Base nº 1 Caracterízase por ser unha estructura metálica que formaría o esqueleto dun prisma cadrangular regular; unha cara lateral estaría formada por 46 triángulos equiláteros que terían un lado común cada dous. Moi próximo a ela (uns 20 metros) hai outra estructura que ten unha capacidade de aproximadamente 40000 litros.

65


Punto Base nº 2 Trátase de localizar un número que ten unha estructura do tipo: Atópase escrito sobre un rectángulo de fondo branco e de aproximadamente 12 x 40 cm e está no recinto da Escola. É un número múltiplo de 3. O “A” é elemento neutro duna operación básica e “AB” é número primo. “BC” > LXX, sendo “B” número primo e “C” é o triple de “A”. Cando descifres este número secreto tes que buscalo e a seguir deberás ir á Secretaría xunto de Angel Peteiro, quen che dará máis traballo.

Punto Base nº 3 Trátase de localizar nas cercanías do centro e na dirección que marca a agulla minuteira do reloxo á sinala-las doce e cinco (se colocamos as 12 cara a saída do sol), unha construcción onde se acostuma lava-la roupa. Ten un tellado simétrico a dúas augas e a súa planta é cadrada.

Punto Base nº 4 É unha zona de lecer, ó aire libre, de aproximadamente 12 metros de longo e 8 metros de ancho cun círculo central de perto de 7 metros de diámetro. A zona central está empedrada con croios e rodeándoa hai terra e céspede. Está nas instalacións da Escola.

Punto Base nº 5 Unha construcción típica galega moi abondosa nas zonas rurais. Está construida básicamente en pedra e madeira, o tellado está rematado cun símbolo relixioso e outro pagán. Está preparado para que os animais roedores non poidan acceder ó seu interior. A construcción que tedes que buscar ten no lateral que se ve dende a estrada tres ventás con táboas de madeira e a fronte está cuberta con tixolo (ladrillo) cos buracos cara fóra.

66


úa R a n ca i t á m Mate Paseando pola rúa podes sacar as túas mellores fotos que teñan algunha relación coa matemática e participar no noso concurso. Bases 1º.- Obxectivo: O concurso Matemática na rúa” pretende ser unha plataforma lúdica na que os participantes (alumnos/as, profesores/as, pais e nais) mostren e compartan as súas visións matemáticas ó traverso do seu obxectivo fotográfico. 2º.- Temática: O concurso está aberto a tódalas persoas do colexio sen máis limitacións que as derivadas destas bases. A temática da fotografía ten que estar encadrada con motivos xeométricos: rodas, celosías, carteis, estructuras, etc, … 3º.- Participación: Para participar haberá que enviar as fotografías (en branco e negro ou en cor , en formato libre) ou ben en diapositiva ó comité organizador: Xulio Ferro , X. Carlos Vázquez, Escola Rosalía de Castro ou depositalas na caixa de suxestións que haberá na entrada do colexio. Cada unha das fotos ou diapositivas terá que ir acompañada dun breve texto ou lema explicativo cun máximo de 3 liñas. Os participantes porán no dorso do sobre onde se envíe o material os seus datos persoais. O comité non devolverá as fotografías ós seus autores e poderá facer libre uso delas. 4º.- Calendario: a) Período de participación: b) O material enviado será exposto o Día Escolar das Matemáticas que se celebrará ó redor do 12 de Maio. Na exposición non irán os nomes dos autores. C) O fallo do xurado, composto polo comité organizador, un membro do equipo directivo do centro, José Javier Álvarez no nome do profesorado, un membro da directiva da Asociación de Pais, un membro do Consello Escolar e un representante dos alumnos por cada nivel, será dado a coñecer nas xornadas de portas abertas. d) O xurado fará unha primeira selección de 10 finalistas, dos que sairá un gañador/a e dous máis que recibirán premio.


ADIVIÑAS Nivel A

Adiviñas nivel A: 4º de ESO, 1º e 2º de Bacharelato 1ª

As Pontes de Leningrado

Tedes que pasar por todas as pontes pero sen repetir ningunha.

¿Qué ves?

¿Cómo agrupa-las moedas? Dispoñense sobre a mesa tres moedas de 5 pts e dúas de unha, alternándose entre sí como se indica na figura. O problema consiste e dispoñelas como se amosa na parte inferior desa mesa figura efectuando para iso o mínimo número de movementos.

Un movemento consiste en apoia-las puntas dos dedos indicador e corazón sobre dúas moedas en contacto, unha das que ha ser forzosamente de 5 pts e outra de 1, e facelas esvarar sobre a mesa ata outro lugar da recta imaxinaria que se amosa na liña punteada do debuxo. As dúas moedas do par deben permanecer sempre en contacto; a moeda da esquerda debe atoparse sempre na banda esquerda, a moeda da dereita debe estar sempre na banda da dereita. Permítese que tras facer un movemento queden ocos na cadea, agás, naturalmente, no movemento final. Non é obrigatorio que logo de realiza-lo derradeiro movemento as moedas deban atoparse no mesmo lugar da recta imaxinaria na que se atopaban ó comezo.

71


ADIVIÑAS Nivel A

Adiviñas nivel A: 4º de ESO, 1º e 2º de Bacharelato 3ª O pentágono convexo, da figura, ten os 5 lados iguais: a súa lonxitude é un mesmo número a. Nun punto M interior ó pentágono, asócianselle: MA + MB + MC + MD + ME, suma das distancias de M ós cinco lados do pentágono (ou da súa prolongación). ¿Por qué non depende este valor do punto de elección de M? ¿Mantense esa propiedade se o Pentágono ten cinco ángulos iguais sen que o sexan os seus lados?.

B

A E

M C (Adiviña proposta por Lucas Soto Alonso (2º Bach)

D 4ª

Fuxida de cifras:

1

x 3

2 3

72

3 2 2 5 1 8 30

En cada cadro has colocar unha cifra para completa-la multiplicación. (que foi ben realizada). ¡Ollo!, xa que tes datos abondo. Á beira de cada cadro deberías colocarlle unha letra para “identificalo” e así poder entendernos. Xustifica, cómo obtés cada número, e a orde que levas.


ADIVIÑAS Nivel A

Adiviñas nivel A: 4º de ESO, 1º e 2º de Bacharelato 5ª

Os cadetes e a súa mascota

Unha compañia de cadetes, formada en cadro de 20 m de lado, avanza con paso regular. A mascota da súa compañia, un cativo foxterrier, parte do centro da derradeira fileira (posición A), bota unha carreiriña en liña recta ata o centro da fileira de cabeza (posición B) e volve ata o centro da derradeira fileira. No momento de acadar A, os cadetes percorreron exactamente 20 m. Supoñendo que o canciño corra a velocidade constante e non perda tempo nos xiros …

6ª Teño 10 sacos de moedas. Cada moeda pesa 10 gramos agás as de un dos sacos que pesan 9 gramos cada unha. Desexo saber cunha soa pesada cál é o saco das moedas máis liviáns.

¿Cántos metros percorreu? 7ª

B

A

Un xefe di a un dos seus empregados: “se houberas traballado todo o ano corresponderiache de paga extra de Nadal: 18000 pts e unha cesta, pero como só traballaches catro meses, en proporción, dareiche a mesma cesta e 2000 pts. ¿En canto está valorada a cesta de Nadal?.

73


ADIVIÑAS Nivel A

Adiviñas nivel A: 4º de ESO, 1º e 2º de Bacharelato 8ª

Temos sete sacos de moedas de curso legal que pesa cada unha 10 gramos, pero xunto a estas hai outro saco de moedas falsas que só se diferencian das boas en que cada unha pesa 1 gramo menos. Averigua o saco das falsas facendo unha soa pesada.

10ª A multiplicación hindú:

6827 x 345 = 6 2 3

2

5

3

7

2

2

8

6

4 3

8

2 4 0

3

0

1

4

5

5

5

O resultado é: 2355315 ¿Cómo funciona? Xustifica o algoritmo empregado na resolución do producto. 74

3

8 3

1

0

5

1 2

4

11ª

?

2

8

1

Dispoñemos de dúas bólas brancas, dúas vermellas e dúas negras, todas do mesmo tamaño. Cunha balanza de dous pratos e en só dúas pesadas temos que saber cáles son as máis pesadas e cáles as máis lixeiras.

Un crocodrilo colle un fillo a unha señora e dille: “Se dis a verdade devolvereiche ó teu fillo” Pregunta o crocodrilo: ¿Cobolígrafosmo ó teu fillo? Perante esta pregunta: ¿Cal será a contestación da señora?


ADIVIÑAS Nivel A

Adiviñas nivel A: 4º de ESO, 1º e 2º de Bacharelato 13ª

12ª Nun almacén de froitas temos seis caixas que conteñen, respectivamente, 3, 10, 11, 13, 19 e 24 kg. Sabemos que unhas caixas teñen mazás e outras peras, e que se apartamos unha das caixas, as outras terán o doble, en kg, de mazás que de peras. ¿Qué caixa teremos que apartar?

14ª

De 5 caixas; 4 conteñen parafusos de 2 gramos, e unha de 3 gramos. Cunha balanza, e nunha única pesada, ¿Poderías determinar a caixa distinta?

Seccións planas dun cubo

Temos un cubo de cortiza branca e o seccionamos cun só corte plano. Como observaredes a cara común os dous anacos no que dividimos o cubo, é un polígono. O que che propoñemos e que matines por ónde debes facer o corte para que este polígono sexa un cadrado. ¿E para que sexa un rectángulo de maior área?. ¿E para un hexágono? ¿É para un hexágono regular?.

15ª Atopar catro números primos da forma AA, BAB, BACD, AAAC. (Letras iguais teñen igual valor e tes que mante-la orde).

16ª Observa o seguinte razoamento: Sexa x = y; entón: x² = x . y; e polo tanto: x² - y² = x . y-y²; de onde: (x+y)(x-y)= y(x-y); é dicir: x + y = y; e como ademáis: x = y ; entón: x + x = x; o que o mesmo: 2x = x e 2 = 1. ¿É certo?. ¿Ónde falla o razoamento? 75


ADIVIÑAS Nivel A

Adiviñas nivel A: 4º de ESO, 1º e 2º de Bacharelato 17ª

18ª

31n + 14n = 41n Eu podo afirmar que esta igualdade non é certa, sexa quen sexa o valor de n. ¿E ti?

Coloca os números do 1 ó 10 (sen repetir ningún), de xeito que cada un sexa a diferencia dos que ten encima. Explica a estratexia seguida

19ª Atópanse na rúa tres persoas: unha mentireira e dúas sinceras. Un espectador ten que saber que é o mentireiro baseándose no que din: O “A” di: ..... “algo” que non escoita o espectador. O “B” di: “Eu non son o mentireiro” O “C” di: “O mentireiro é o Primeiro” ¿Quen é o mentireiro?

20ª Nun billar de 160 cm de ancho, está situada unha bóla na parte inferior dereita, a 60 cm de cada un dos bordes da mesa. Lanzamos unha bóla sen efecto en dirección á parte superior esquerda co taco e cun ángulo de 45º co lado máis grande do billar. Despóis de tocar 5 bandas, a bóla volve ó seu punto de partida. ¿Cal é a lonxitude do billar?

76


O xogo de pesas dunha balanza só ten dúas pesas, unha de 10 gramos e outra de 40 gramos. Con só tres pesadas, separa 1800 gramos de semente en dúas bolsas, unha delas de 400 e a outra de 1400 gramos.

23ª

Dadas tres circunferencias iguais e tanxentes entre sí dúas a dúas, determina a área da superficie encerrada entre as tres.


ADIVIÑAS Nivel A

Adiviñas nivel A: 4º de ESO, 1º e 2º de Bacharelato 24ª Dous ciclistas distantes entre sí 90 km saen un ó encontro do outro ó mesmo tempo, un a 10 km/h e outro a 20 km/h. Xunto ó primeiro ciclista e no mesmo sentido sae unha mosca a 40 km/h. Cando a mosca chega ó segundo ciclista, dá a volta ata atoparse coa primeira, e ó chegar a esta, dá de novo a volta para atoparse coa segunda, e así sucesivamente ata que se encontran os dous ciclistas. ¿Qué espacio total percorreu a mosca?

25ª 26ª

26ª

Cinco amigos reunénse nun restaurante. Cada un deles pide unha bebida, un segundo é unha sobremesa. Luis e o Sr. Barea toman 2 martinis, mentres que Santiago e o Sr. Rasín prefiren un güisqui. O Sr. Sáez pide un refresco porque ten que conducir. Luis e o Sr. Muñoz encargan filetes. Xosé e o Sr. Sáez elixen carne asada. Para a sobremesa, Xosé e o Sr. Hernández toman un doce de chocolate, mentres Carlos e o Sr. Sáez encargan tarta. O outro home toma un xelado. Non hai dúas persoas sentadas contiguas que pediran dúas cousas iguais.

Tres mandarinas e un melón pesan o mesmo cunha ducia de plátanos, e o melón só ,pesa igual cunha mandarina e oito plátanos. Se cada plátano pesa 200 gramos., ¿cánto pesa o melón?

¿Quen encargou faisán?, ¿Qué comeu Antonio? 78

¿Qué ves?


ADIVIÑAS Nivel A

Adiviñas nivel A: 4º de ESO, 1º e 2º de Bacharelato 28ª

27ª Escribe un número de tres cifras, e a continuación amplíao a un de seis engadíndolle de novo as mesmas tres cifras (por exemplo: se elixes 742 formarías o 742742). Divídeo entre 7: verás que o cociente é exacto e enteiro. O cociente obtido, divídeo entre 11: verás que, outra vez, obtés un cociente enteiro e exacto. Con este cociente fas o mesmo, pero agora divídeo por 13 e ... de novo volve dar exacto e enteiro, pero ademais obtés o número que tiñas pensado.

isto?

¿Por qué cres que sucede

Demostrar que calquera que sexa o número n, o producto: n(n² + 2) é sempre múltiplo de tres.

29ª Determinar dous números, de xeito que a súa suma, o seu producto e o seu cociente sexan iguais.

79


ADIVIÑAS

ADIVIÑAS

Nivel B

Adiviñas nivel B: 1º, 2º, 3º da ESO 1ª

Completa a seguinte Táboa

Sabendo que: n A persoa de A Coruña obtivo 4 puntos máis que X. Lois. n As notas máis altas, 8 e 9 son dos que veñen os xoves. n Maite obtivo 7 puntos, algo máis có de Santiago. n X. Lois e María fixeron o exáme en dias distintos. n A García non lle gusta a Matemática e entre clase e clase visita o bar. n Samper acadou 1 punto máis que López e 1 punto menos que o de Ourense. n Fernández acadou unha puntuación menor que Xosé Mª, pero máis alta que Martínez, tendo ido os tres o mesmo día a clase. n Os que obtiveron 5 e 6 puntos veñen os sábados e están ledos de ter aprobado. n O de Vigo non atura o “rolo” do profesor. n Bieito é de Lugo e non coñece a Fernández. n Maite e Samper tiveron unha diferencia de 1 punto.

Nome

Apelido

2ª Queremos asar tres costeletas, pero na grella só caben dúas ó tempo. Se cada unha delas tarda en asar 20 minutos (10 por cada lado) ¿cándo estarán preparadas para comelas?. 80

(Ollo, 40 minutos non é a resposta ideal)

Cidade

Nota


ADIVIÑAS Nivel B

Adiviñas nivel B: 1º, 2º, 3º da ESO 3ª Hai moitos anos na lonxana Persia vivía un rico xeque que tiña tres fillos. O maior chamábase Alí, o segundo Mustafá e o terceiro Abdulá. Sentindo que lle chegaba á fin dos seus días, o xeque decidiu facer testamento repartindo entre os seus benqueridos fillos o capital que posuía: ó fillo máis vello, Alí, deixoulle a metade do capital; ó segundo, Mustafá, unha terceira parte; e ó benxamín, Abdulá, unha novena parte. Cando ó cabo dos anos o xeque morre, os seus fillos repartiron o capital que daquela posuía e que consistía en 17 camelos. 1.- ¿Cómo repartiron o capital en camelos enteiros? 2.- ¿Cántos camelos lle tocaron a cada un dos fillos? 3.- ¿Cál é a explicación matemática do reparto que fixeches?

Adiviña proposta por Fernando Guitián Guitián.

4ª Teño 9 bólas aparentemente iguais pero unha delas é un pouco máis pesada que as outras. Dispoño dunha balanza de dous pratos e quero identificala con dúas pesadas. ¿Cómo fago?

81


ADIVIÑAS

ADIVIÑAS

Nivel B

Adiviñas nivel B: 1º, 2º, 3º da ESO 5ª

Un lingote de ouro pesa tres cuartos de quilo máis as tres cuartas partes do seu peso.

¿Cánto pesa?

Ó repartir boligrafos entre certo número de nenos corresponden tres a cada un e sobran 12. Engadimos tres bolígrafos ós que tiñamos e entón corresponde un bolígrafo máis a cada neno e non sobra ningún. ¿Cántos nenos e cantos bolígrafos había?

7ª Un home percorre varias tendas para vender as súas mazás. Na primeira mércanlle a metade máis medio quilogramo. Na segunda vende a metade das que lle quedan menos medio quilogramo. Na terceira vende a metade das que lle quedan, e na cuarta os 16 quilogramos restantes. ¿Con cantos quilos comezou a venda?

8ª ¿Serás quen de quitar(*) a dezanove un e que dea como resultado vinte? (*) Quitar non sempre é restar.

9ª Este músico está acompañado. ¿Por quen?

82

Debuxa dous círculos máis de tal xeito que cada unha das fichas quede separada do resto.


ADIVIÑAS Nivel B

Adiviñas nivel B: 1º, 2º, 3º da ESO 10ª Nun caixón dun cuarto ás escuras, teño 6 calcetíns vermellos e 6 calcetíns brancos. ¿Cantos calcetíns terei que coller para que ó saír teña a seguridade de contar cun par da mesma cor?

11ª Dispoñemos dun triángulo e d un s i s t e m a d e c oo r d e n a d a s cartesianas no plano. ¿De cántas formas podemos colocar o triángulo de xeito que os seus vértices se atopen nos eixos?

12ª Tres nenos van mercar un paquete de caramelos que custan 25 pts. Cada un entrega unha moeda de 10 pts ó vendedor, e pide que lle devolva unha peseta a cada un, e que quede con as outras dúas pts como propina. ¿Cánto pagaron finalmente entre os tres?:10-1= 9 ¿Cánto pagaron finalmente entre os tres?: 9 x 3 = 27 27 pts + 2 pts de propina = 29

13ª As tampas dos sumidoiros pequenos son, normalmente, cadradas ou circulares. Pero as dos colectores xerais (grandes) son sempre circulares. ¿Cres que teñen vantaxes as circulares sobre as cadradas? ¿En qué se basean esas vantaxes?.

¿Ónde está a outra peseta?

77


ADIVIÑAS

ADIVIÑAS

Nivel B

Adiviñas nivel B: 1º, 2º, 3º da ESO 14ª ¿Cántos cubos necesitamos como mínimo para poder colocalos formando unha plataforma cadrada ou unha plataforma cúbica?.

15ª ¿Qué parte da área do hexágono regular representa o triángulo representado na figura?.

¡Nos dous casos co mesmo número de cubos!

16ª Este debuxo é o esbozo dun terreo. Tes que medir a súa superficie, sabendo que a cadricula sobre a que está debuxado é de 1 cm². (Non esquezas que medir é comparar coa unidade) Determina, tamén, a súa superficie real, sabendo que o debuxo está a escala 1: 100 . Para comprobar o teu resultado, dámosche unha forma doada. Chámase a fórmula de Pick: Conta os puntos da malla que están no seu contorno. (Pc) Conta os puntos da malla que están no seu interior. (Pi) Fórmula de Pick : Pc/2 + Pi - 1

84


ADIVIÑAS Nivel B

Adiviñas nivel B: 1º, 2º, 3º da ESO 18ª

17ª Busca tres números para colocalos nos tres vértices do triángulo, de xeito que a suma dos números colocados nos círculos de cada lado do triángulo sexa a mesma.

45

10

Un pai quere repartir entre os tres seus fillos 17 moedas de ouro, de tal xeito que ó vinculeiro lle correspóndan a metade das moedas, ó do medio a terceira parte, e o máis novo a novena parte. ¿Cómo fará?. Tes que buscar un “xeito", xustificándoo matematicamente.

20ª A operación:

17 19ª Sobre os lados dun triángulo equilátero constrúense semicírculos, tal como se ve na figura. Se o lado do triángulo mide 12 cm. ¿Cál será a área da superficie sombreada?

250758 x 2073 Ten como resultado un dos seguintes: 500177 419234 519821334 104329494 4398523474 Sen facer a operación, tes que elexir un dos resultados e xustificar a túa elección.

¿Qué pasa?

85


ADIVIÑAS

ADIVIÑAS

Nivel B

Adiviñas nivel B: 1º, 2º, 3º da ESO 22ª

21ª Un cativo vende bolígrafos ós seus compañeiros, cobrándolles por dous bolígrafos o que el paga por tres bolígrafos. ¿Cál é a porcentaxe da súa gañancia?. (Xustifica a túa resposta)

23ª Un melón pesa 4/5 Kg mais que as 4/5 partes do melón. ¿Cánto pesa o melón?.

Os gardiáns das laranxas

Un pobre furtivo entra nuha horta allea para apropiarse dalgunhas laranxas. Ó sair tropezou cun gardián que, compadecido pola súa necesidade, deixouno pasar facéndolle entrega-la metade das laranxas que levaba e outra media laranxa. Cun segundo gardián conseguiu, por mágoa das súas peticións, que tamén o deixara pasar, pero dándolle tamén a metade das laranxas que tiña, mais media laranxa. E o mesmo exactamente lle aconteceu cun terceiro garda. Despois o ladrón viuse en campo aberto e na posesión de dúas laranxas.

Xustifica a túa resposta. ¿Sabes cántas tiña ó comezo?

24ª No número 4 da rúa 4, nunha casa de 4 andares, viven 4 matemáticos que fan unha xuntanza cada 4 días, durante 4 horas ó redor dunha mesa de 4 patas para resolver o problema do 4. Trátase de conquerir formar os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9 , utilizando 4 catros e os signos das 4 operacións básicas (suma, resta, multiplicación, división). En cada un dos casos poden ser de signos iguais ou distintos. 86

¿Qué ves?


ADIVIÑAS Nivel B

Adiviñas nivel B: 1º, 2º, 3º da ESO 25ª Tódolos números capicúas cun número par de cifras, son múltiplos de 11. Xustifica esta afirmación.

26ª ¿É posible descompoñer un triángulo obtusángulo en sete triángulos acutángulos?.

28ª 27ª Para repartir 1000 bolígrafos en estoxos de 12, Pedro divide 1000 entre 12, e dí que necesita 83 estoxos e que lle sobran 4 bolígrafos; pero Rosa fai o seguinte: 1000/12 = 500/6 = 250/3 e despóis divide 250 entre 3 e dí que necesita 83 bolígrafos e que lle sobra un. É evidente que as dúas conclusións non poden ser certas (o que pode ocorrer e que sexan falsas as dúas). E tí, ¿qué cres?. Xustifica a túa resposta.

Se nunha división sumamos 6 ó divisor e 72 ó dividendo e non varían nin o cociente nin o resto. ¿Cál é cociente da división?

Falsa perspectiva 87


ADIVIÑAS Nivel C

Adiviñas nivel C: ata 5º de E. Primaria (inclusive) 1ª

As 10 fichas

No taboleiro á beira están dispostas as 10 fichas como se indica. Proponse colocalas de xeito que en cada fileira horizontal, vertical e nas dúas diagonais, se atope un número par de fichas.

Pensa “moito” e responde

Localiza o traxe de baño de Xavier, sabendo que está xunto a outro, que está colgado a dereita da súa toalla e que a súa toalla está colgada entre un traxe de baño e outra toalla.

4ª 3ª Movendo só 4 vasos, colocádeos de forma alternada (cheo, baleiro, cheo,...) Poderías acada-lo mesmo que no caso anterior (cheo, baleiro, cheo,...) pero facendo só dous movementos.... e algo máis.

5ª O monstro do Lago Ness mide 20 metros máis a metade da súa lonxitude. ¿Cánto mide? 88

Tiña 83 pts e gastei todo menos 17 pts. ¿Cántas me quedan?

6ª Con tres rectas que corten á figura M acadar o maior número de triángulos. Non valen os inscritos uns noutros.

M


ADIVIÑAS Nivel C

Adiviñas nivel C: ata 5º de E. Primaria (inclusive) 7ª

¿Qué animal hai en cada caixa?

Dentro destas caixas hai un parrulo, un oso, unha galiña, un mono e un grilo. Un animal en cada caixa - O grilo e o parrulo están en caixas con números pares. - Se quitámo-la caixa do oso caería a caixa na que está o grilo. - Se quitámo-la caixa da galiña caería a caixa onde está o mono.

3

4

Cronometrar 15 minutos con dous reloxos se area, un de 11 minutos e outro de 7 minutos.

9ª O xefe dunha banda de ladróns dispón ós seus 41 homes en ringleira e di que irá castigando a un de cada tres comezando a contar polo primeiro (castiga ó número tres) ata que só queden dous homes. ¿Que números se salvarán?

2

1

5

10ª 9ª ¿Cál é a palabra, en castelán, de seis letras que ó quitarlle dúas letras obtense “doce”?.

O meu noivo é o meu sogro

89


ADIVIÑAS Nivel C

Adiviñas nivel C: ata 5º de E. Primaria (inclusive) 12ª

11ª ¿Cantos animais teño na miña casa, se sabemos que todos son cans menos dous, todos son gatos menos dous e todos son papagaios menos dous?.

Cinco gardas tardan cinco minutos en poñer cinco multas. ¿Cánto tempo necesitarán 25 gardas para poñer 25 multas?

14ª

13ª ¿Qué é maior, un cadrado de medio metro de lado ou medio metro cadrado?. ¡Fíxate! ¡Non é o mesmo!

Po d e m o s a s e g u r a r s e n necesidade de facer operacións, nin de tomar medidas, que a altura dun bote de 3 pelotas de tenis é menor que a medida do seu contorno. ¿En que nos baseamos para facer esta afirmación?. No bote collen, “xustiño”, as 3 pelotas.

ILUSIÓN ÓPTICA Achégate ata a figura, de xeito que o teu nariz case toque a rotura que está no medio da ponte. ¿Qué observas?

90


ADIVIÑAS Nivel C

Adiviñas nivel C: ata 5º de E. Primaria (inclusive) 15ª Estes mistos están colocados formando un cadrado que ten en cada lado 4 mistos. Trocando de lugar catro mistos tes que acadar que haxa 5 en cada lado do cadrado. ¡Ánimo!

16ª Coa cera que queda despois de queimar tres velas, pódese facer outra vela. ¿Cántas velas poderán facerse se queimamos 9 velas?

16ª Nun peto temos 12 moedas dun valor total de 2 euros e 85 céntimos (2,85 Euros). Temos moedas de 5, 20 e 50 céntimos de euro. Queremos saber cántas temos de cada clase.

¿Qué ves? 89


ADIVIÑAS Nivel C

Adiviñas nivel C: ata 5º de E. Primaria (inclusive) 18ª Con 200 baldosas cadradas podemos formar distintos chans rectangulares, sen cortar ningunha baldosa. ¿Poderías decir cáles?

19ª ¿Cómo teñen que sentar 4 matrimonios ó redor dunha mesa redonda de xeito que cada home debe de estar entre dúas mulleres, e ademáis que ningunha delas sexa a súa dona?.

20ª As diagonais deste cadrilátero de lados desiguais, miden 5 e 8 metros respectivamente, e son perpendiculares entre sí. ¿Cánto valerá a súa área? ¡Fixate!

22ª Con tres matrimonios, ¿cantos grupos de tres persoas poderemos formar de xeito que non haxa dous consortes xuntos?. 92

21ª Coloca os números do un ó sete sen repetir ningún, cada un no seu círculo de maneira que tódalas fileiras sumen doce.


ADIVIÑAS Nivel C

Adiviñas nivel C: ata 5º de E. Primaria (inclusive) 23ª

24ª

Para dividir un queixo de forma cilíndrica en 2 partes iguais, abonda con facer un corte, ¿sabes cómo?. Para dividilo en 4 partes iguais fan falla dous cortes, ¿sabes cómo? Pero, ¿cáles serán os cortes mínimos necesarios para dividilo en 8 partes iguais?. ¡Non son 4!

Tódolos camiños levan a Roma, pero ... Tes que atopar os camiños para ir do punto A ó punto Z. Para isto busca unha estratexia que che permita descubrir todos, e ademais comunicar cales son. Sempre se avanza hacia o leste ou o sur.

A

25ª Explica por que tódolos números primos (excepto o número 2) teñen que rematar necesariamente en 1, 3, 7 ou 9.

Z

26ª Atopa unha estratexia que permita atopar tres números impares consecutivos calquera a partires da súa suma.

¿Qué ves?

93


ADIVIÑAS Nivel D

Adiviñas nivel D: ata 4º de E. Primaria (inclusive) 1ª Aquí podes ver 5 cadrados formados por 12 mistos. ¿Velos? Pois,... eliminando só 2, tés que conseguir que queden só 2 cadrados.

2ª sumar,

Con 10 treses, e o signo de tes que conseguir 3 uns.

Pista: tres poden ser 111 (cento once). Os treses poden usarse sós: 3 + 3 (aquí uso 2 treses) ou formando cantidades: 33 + 333 (aquí uso 5 treses).

4ª 3ª Un libro e o seu forro teñen un custo de 7 €. O libro vale 6 € máis có forro. ¿Cánto vale o libro e cánto o forro?

En cada un dos seguintes taboleiros están colocadas dúas fichas. Tes que colocar en cada un deles catro fichas máis, de xeito que nunca queden tres en liña recta.

Non contestes o primeiro que se che ocorra e comproba o resultado obtido.

5ª Un home vai ó mercado vender as laranxas da súa colleita. Se as coloca en grupos de 11 sóbranlle 5, e se as coloca en grupos de 23 sóbranlle 3. ¿Cál é o menor número de laranxas que pode levar? 94

¡Mira o debuxo!, e … dálle a volta.


ADIVIÑAS Nivel D

Adiviñas nivel D: ata 4º de E. Primaria (inclusive) 6ª

“O rectángulo que quería ser cadrado” Nunha tira de papel de 20 cm de longa e 10 cm de ancha, debuxa o triángulo tal como está na figura. Despois recorta as tres pezas que se forman, e tenta facer con elas un cadrado.

Os catro mistos que ves na figura forman unha copa na que está metida unha bóla. Tes que mover dous mistos para que a bóla quede fóra da copa. ¡Non tocar a bóla! ¿Cales moverás?

10 cm

10 cm

20 cm

8ª Aquí pon: 11 - 10 = 11. Esta igualdade é evidentemente falsa. Cambiando de lugar un misto, tes que conquerir que a igualdade sexa certa. Faino de dúas maneiras diferentes.

95


ADIVIÑAS Nivel D

Adiviñas nivel D: ata 4º de E. Primaria (inclusive) 9ª

10ª

Completa este cadrado máxico, sabendo que tódalas fileiras suman 60, tódalas columnas suman tamén 60 e as diagonais tamén suman 60.

Con dez seises e o signo de sumar consegue: 222

12ª

10

15

5

30

11ª Tiña 83 euros e gastei todos menos 17. ¿Cántos me quedan? Pista: fíxate na pregunta

96

Cómo podes conseguir o número 100 usando cinco veces o número 1 (somentes o un). Pista: Tes que facer unha operación.


O Recuncho Matemático está situado no recibidor da Escola, e nel poñense as adiviñas, taller de matemáticas, curiosidades, debuxos etc.. e o buzón onde os alumnos deixan as respostas das adiviñas máis as dos xogos.


Bibliografía N Problemas A Mí -Fernando Corbalán y José Mª Gairin - Edinumen N La Matemática Aplicada A La Vida Cotidiana - Fernando Corbalán - Grao N Matemáticas Recreativas 1- Michael Holt - Martínez Roca S.A. N Matemáticas Recreativas 2- Michael Holt - Martínez Roca S.A. N El Divertido Juego De Las Matemáticas - Y. Perelman - Círculo de Lectores N Paradojas Y Juegos - Nicholas Falletta - Gedisa N El Tangrám: Juegos De Formas Chinas -Joost Elffers - Labor S.A. N Inspiración ¡aja! -Martín Gadner - Labor S.A. N Paradojas ¡aja! - Martín Gadner - Labor S.A. N Fácil, Menos Fácil y Difícil - Manzano Mataix - Marcombo N Nuevos Pasatiempos Matemáticos - Manzano Mataix - Marcombo N Hai Que Roelo 1 - Emilio R. Galiñanes - Sotelo Blanco N Hai Que Roelo 2 - Emilio R. Galiñanes - Sotelo Blanco N La Cuadratura del Círculo - Luis Segarra - Grao N Juegos de Ingenio y Entretenimiento Matemático - Jean Pierre Alem - Gedisa N Nuevos Juegos de Entretenimiento Matemático - Jean Pierre Alem - Gedisa N Actividades Matemáticas - Brian Bolt - Labor N Mas Actividades Matemáticas - Brian Bolt - Labor N Pongame Un Kilo de Matemáticas - C. Andradas Heran - S.M. - El barco de vapor N Curiosidades Matemáticas - Manuel Bernabé Flores - Alianza Ed. N Problemas y Experimentos Recreativos - Y. Perelman - Mir Moscú N Matemáticas Recreativas - Y. Perelman- Ed. Martínez Roca N Juega y Sorpréndete Con Las Matemáticas - Luis Segarra- Círculo de Lectores N Juegos Matemáticos - Miguel Calabria - Akal N Matemática Recreativa Y Otros Juegos De Ingenio -Juan A. Argüelles - Akal N Historia De La Matemática - Juan A. Argüelles - Akal N El Profesor De Matemáticas en el IES.- Luis M. Cutillas, Dolores de la Coba, Luis Balbuena - Proyecto sur de edicciones. N Juegos Con Números - Gyles Brandreth - Gedisa N Los Matemáticos No Son Gente Seria -Claudi Alsina - Ruber N La Matemática De Pitágoras A Newton -Lucio Lombardo - Laia N El Libro De Los Porqués - Kafhy Wollard/Debra Solomons - Oniro N Clones, Moscas y Sabios - Antonio López Campello - Planeta N Números Pares, Impares E Idiotas - Juan José Millás - Alba Editorial N Estampas y dibujos M. C. Escher, Taschen N El espejo mágico de M.C. Escher - Bruno Ernst - Taschen N M.C. Escher Calidociclos - P. Shattschneider y W. Walicer -Taschen.


O que se debe aprender a facer, apréndese facéndoo. Aristóteles (384 - 322 a.C.) Saber. Saber facer. Facer. Facer saber. Departamento de Física do Trimity College (Dublin) O que non quere pensar é un fanático, o que non pode pensar é un idiota; o que non se atreve a pensar é un covarde. Francis Bacon (1561 - 1626) Os vieiros do descubrimento son máis importantes que o propio descubrimento Gottfried W. Leibnitz (1646 - 1716) ¿E iso que importa? - Retrucou o Dodo; o mellor xeito de explicar unha cousa é practicala. Lewis Carroll (Charles L. Dodgson) (1832-1898) (Alicia no pais das marbillas) La mano es la herramienta del alma. Miguel Hernández (Viento del Pueblo) (1910 - 1914) Oio, e esquezo. Vexo, e lembro. Fago, e comprendo. Anónimo

Folla Matemática  

Folla Matemática

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you