El teorema fundamental del cálculo Supongamos que la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b]
Parte 1 Si la función F está definida en [a,b] como x
F(x) =
∫ f (t )dt , a
Entonces F es una primitiva de f. Es decir, F´(x)=f(x) para x en (a,b).
Parte 2 Si G es cualquier primitiva de f en [a,b], entonces b
∫ f ( x)dx = [G ( x)]
b a
= G (b) − G (a ).
a
De esto se obtiene que
La integral definida La integral definida de f desde a hasta b es la diferencia b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a
Donde F es una antiderivada de f. Es decir, la integral definida es el cambio neto producido en la antiderivada entre x = a y x = b. Las propiedades o reglas para resolver integrales definidas son similares a las la integral indefinida, sólo que luego de integrar se evalúa el resultado según los límites de la integral. Una propiedad importante de la integral definida que hay que resaltar pues no se presenta en la integral indefinida es:
Si f es continua sobre un intervalo I y a, b y están en I, entonces c
∫ a
b
c
a
b
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx.
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