Issuu on Google+

Matemàtiques Constructivistes. Els Gatges (visual-manipulatiu) en la representació de la realitat matemàtiques des d’una perpectiva VygotsKiana. Bernat Orellana López 2005-2011


Programa Informàtic Generador de Situacions Matemàtiques a partir de l’operació de contar. (COPYRIGHT 2011, Bernat Orellana López)

NO ESTA PERMES TREBALLAR AMB AQUEST PROGRAMA EN ACTIVITATS DE FORMACIÓ DEL PROFESSORAT SENSE L’AUTORITZACIÓ PER ESCRIT DE L’AUTOR. Llicència respecte a aquesta presentació:


Una proposta per treballar les matemàtiques d’una forma reflexiva. D'una manera natural l'alumne descobreix, assenyala i descriu diferents realitats matemàtiques com són les propietats commutativa, associativa, l'ús de parèntesi, el concepte d'igualtat, propietats elementals en el càlcul amb més de dues operacions diferents. D’una forma oberta i participativa ens fem preguntes -amb respostes diverses– les matemàtiques, en tant que llenguatge, admet diferents possibilitats comunicatives.

Bernat Orellana López


L’OPERACIÓ DE CONTAR


CONTAR D’UN EN UN... Presentem un grup de monedes sense cap tipus d’ordenació espacial amb la consigna. “Conta les monedes amb la única condició de que ni les pots tocar ni desplaçar” L'única resposta per part dels alumnes va ser: Una,dues,tres...set. Al demanar que representessin l'operació amb números és va arribar a la conclusió que l'única forma possible és la següent:

1+1+1+1+1+1+1=7.


CONTAR DE DOS EN DOS... Al disposar les monedes en “un altre ordre espacial" i davant la mateixa pregunta dos grups diferents d'alumnes de diferent nivell realitzen l'operació de contar. Les respostes van ser:

• una,dues,tres,quatre ...vuit • dues, quatre,sis,vuit I les operacions associades a les dues solucions van ser:

1+1+1+1+1+1+1+1=8 2+2+2+2=8


POSADA EN COMUNA

 Una forma de contar és més ràpida que l'altra.  Per a contar de dos en dos les monedes han d'estar ordenades.  Contar de tres en tres resulta més complicat.  Contar és una operació.  Les operacions es realitzen amb nombres.  L'operació està acabada sempre que el signe igual tingui una resposta.


ALTRES FORMES DE CONTAR: Observem que existeixen "altres formes de contar” que es poden representar mitjançant operacions: (i que totes elles tenen una representació gràfica)

2+2+2+2+2+2=12. 3+3+3+3=12. 4+4+4=12. 6+6=12.


Lliurem un foli a4 segons model i demanem als alumnes que escriguin diferents operacions que representin el nombre d'unitats de la figura.

Els resultats obtinguts en el treball realitzats d'una manera individual van ser aquests:

1+1+1+1+...= 9 3+3+3=9 1+2+3+2+1= 9 (un Ăşnic alumne) 3x3=9 (proposat per un grup important d'alumnes) 3^2 = 9 (proposta per alguns alumnes)


POSADA EN COMUNA Hi ha diferents operacions. Les operacions recullen diferents formes de veurer la realitat matemĂ tica.

1+1+1+1+...= 9 3+3+3=9 1+2+3+2+1= 9


En el diccionari es defineix a la multiplicaci贸 com "la suma de conjunts iguals". Anem a analitzar les operacions que hem realitzat i vam observar que:3+3+3 = 3 x 3.

Conjunts sumables i "multiplicables" 3+3=6 ; 2x3=6.

Conjunts sumables i "no multiplicables" 3+2=5 ;


Amb l'experiència anterior i amb la idea clara que "hi ha diverses formes de contar" els alumnes donen diferents respostes a aquesta nova situació:

1+1+1+1+...= 24 (proposta minoritària) 3+3+3+...= 24 (proposta majoritària) 8+8+8 = 24

(proposta molt minoritària)


La primera forma de contar resulta lenta. 1+1+...+1=24 La segona forma de contar no és tan lenta i resulta més fàcil, més operativa.

3+3+...+3 = 24 L'última forma de contar resulta més complicada. (menys visual) 8+8+8 = 24


POSADA EN COMÚ •La primera forma de contar resulta lenta. •L'última forma de contar resulta més complicada

•La segona forma de contar no és tan lenta i resulta més fàcil, més operativa .

3+3+3+...+3 = 24 (proposta majoritària)


Demanem als alumnes que observin la figura i que l'analitzin. Els comentaris que es realitzen en el desenvolupament de la classe van ser molts i interessants, com és pot comprovar a continuació:

La figura no “està completa”. Presenta "una irregularitat" . Si contem de dues en dues, al final sobra una unitat. Sobra una unitat perquè és no es par. Les propostes per a representar la figura són diferents i determinen la capacitat de abstracció matemàtica dels diferents alumnes del grup de classe. 1+1+1+1+...= 13 (només una alumne) 2+2+2+...+1 = 13 (proposta majoritària) 7+6 = 13 (només un alumne)


En la posada en comuna i com a conseqüència del treball en grup obtenim respostes "més elaborades". Sorgeix la necessitat de representar l'operació de contar amb operacions distintes a les de la suma. Preguntem als alumnes la possibilitat de presentar l'operació mitjançant una resta i vam obtenir una resposta d'un alumne que va explicar als seus companys la següent operació: 2+2+2+2+2+2+2-1=13. A la pregunta: ¿Com agrupar els dosos en una sóla operació? Vam trobar aquesta solució: 2x7=14; 14-1=13. Que agrupada mitjançant dues operacions: 2x7-1=13. Altra forma d'interpretar l'operació: 2x6 = 12 ; 12+1 = 13; 2x6+1= 13.


Es a dir: La forma de contar 2x6+1 i 2x7-1 es poden expressar gràficament d’aquesta manera:


Demanem als alumnes que trobin diverses formes de contar, de representar mitjançant operacions distintes aquestes situacions gràfiques. Resulta interessant realitzar diverses preguntes de cara a formalitzar els resultats i establir propietats:

Són iguals aquestes figures? -respecte a la seva formaTenen una mateixa dimensió? Són quadrats? Presenten regularitat quant a la seva forma? Tenen una mateixa base? Tenen una mateixa altura?


POSADA EN COMUNA Les dues figures tenen la mateixa dimensió. Les dues figures són iguals . Cada figura té una posició diferent. El costat que guarda l'horitzontal és la base. Cadascun dels costats pot ser la base. La figura és un rectangle. La figura és un cuadrilater. 2+2+2=6 representa una disposició espacial i 3+3=6 altre. Després s'establix que 3+3=2+2+2 -igualtat-

2x3 = 3x2 = 6. propietat commutativa


Es comença a complicar les figures geomètriques i amb això les possibilitats de trobar solucions operatives a l'operació de contar. Demanem als alumnes que d'una manera individual trobin totes les possibles solucions per a establir mitjançant operacions el nombre d’unitats, encara que aquestes estiguin molt reiteratives i repetides.

Escrivim totes les solucions oposades, les més fàcils van ser proposades per tot el grup de classe i les més complexes les van formular els alumnes amb un millor nivell en l'àrea de matemàtiques.

Escrivim totes les solucions i en la posada en comuna els alumnes expliquen cada operació sobre la base d'unes dades, a una situació espacial, a una forma, etc. Els resultats van anar en alguns casos sorprenents:


Les formes més senzilles es realitzen amb l'operació de sumar:

1+1+1+1...+1 = 12. 4+1+1+1+1+4 = 12. 4+2+2+4 = 12. L'alumne que proposa aquestes solucions mostra una gran capacitat de percepció de l'espai i reconeix mitjançant les dues operacions dues figures geomètriques. Opera "el tot , opera amb "la part" i realitza la resta... 4 x 4 = 16; 2 x 2 = 4; 16-4=12. En aquest cas treballem amb les dues operacions:

4x4-2x2 = 16-4 = 12


Observar la capacitat d’anàlisis que expressa un alumne en aquesta expressió matemàtica. Junt conjumina bona capacitat per a interpretar la realitat espacial i demostra un bona capacitat per al desenvolupament de les matemàtiques

4^2 - 2^2 = 16-4 = 12.


1+1+1+1...+1 = 7 3+1+3 = 7 4+3 = 7 3+1+3 = 7 4x4-3x3 = 16 - 9 = 7 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7


Algunes plantilles del programa informĂ tic especĂ­fic per a la

PDI


ContaMates