Page 1

Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modeli Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi ˙Iktisat Bölümü

˙IKT351 – Ekonometri I

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Kullanım Sartları ¸

˙Is¸ bu ekonometri ders malzemesi, A. Talha Yalta tarafından, "Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported License" (CC-by-SA-3.0) lisans s¸ artları altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur. Yani, eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve ˘ geçerli lisansın korunması s¸ artıyla özgürce kullanılabilir, çogaltılabilir, ˘ stirilebilir. Creative Commons örgütü ve “CC-by-SA-3.0” lisansı degi¸ ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ders notlarının “pdf” biçimindeki en yeni sürümüne “http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz. Dr. A. Talha Yalta, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi (2010)

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Ders Planı 1

Aralık Tahmini Bazı Temel Noktalar β1 , β2 ve σ 2 ˙Için Güven Aralıkları

2

Önsav Sınaması ˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

3

Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Bazı Temel Noktalar β1 , β2 ve σ 2 ˙Için Güven Aralıkları

Bazı Temel Noktalar ˘ tahminlerin anakütle Yansız SEK tahmincilerinin ürettigi ˘ degerlerine e¸sit olması beklenir. ˘ nedeniyle sonuçların Ancak, örneklemlerin rastsallıgı ˘ ˘ de bir gerçektir. gerçek degerlerden farklı çıkabilecegi ˘ varsayımı altında βˆ1 , βˆ2 , ve σ Hata teriminin normalligi ˆ2 ˘ tahmincilerinin dagılımlarına ili¸skin s¸ u bilgiler geçerlidir: βˆ1 ∼ N(β1 , σ 2 ) βˆ2 ∼ N(β2 , σ 2 ) 2 Z = (n − 2) σσˆ 2 ∼ χ2n−2

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Bazı Temel Noktalar β1 , β2 ve σ 2 ˙Için Güven Aralıkları

Bazı Temel Noktalar ˘ Rastsallık etmeni nedeniyle tahminlerin gerçek degerlerine ˘ ne kadar yakın oldugunu bilmek isteriz. Öyleyse, yalnızca nokta tahminine güvenmek yerine onun iki yanında öyle bir aralık olu¸sturalım ki anakütlenin gerçek katsayısını belli bir olasılıkla içersin: P(βˆ − δ ≤ β ≤ βˆ + δ) = 1 − α Yukarıdaki: 0 < α < 1’e “anlamlılık düzeyi” (significance level), 1 − α’ya “güven katsayısı” (confidence coefficient), βˆ − δ’ya “alt güven sınırı” (lower confidence limit), βˆ + δ’ya ise “üst güven sınırı” (upper confidence limit) adı verilir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Bazı Temel Noktalar β1 , β2 ve σ 2 ˙Için Güven Aralıkları

Bazı Temel Noktalar

Aralık tahminine ili¸skin bazı önemli noktalar s¸ unlardır: Tanımlanan aralık rastsal bir aralıktır ve bir örneklemden ˘ ˘ secektir. digerine degi¸ ˘ α = 0,05 ise, tanımlanan rastsal aralıgın ˘ gerçek β Eger ˘ ˘ 0,95 ya da %95’tir. degerini içerme olasılıgı ˘ gerçek Belli bir örneklem alınarak bulunan sabit aralıgın ˘ ˘ söylenemez. β’yı içerme olasılıgının ise (1 − α) oldugu ˘ içindedir ya da Çünkü, böyle bir durumda β ya bu aralıgın ˘ bir deyi¸sle olasılık ya 1’dir ya da 0’dır. dı¸sındadır. Diger

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Bazı Temel Noktalar β1 , β2 ve σ 2 ˙Için Güven Aralıkları

˘ β1 ve β2 ˙Için Güven Aralıgı ˘ varsayımı altında βˆ1 ve βˆ2 SEK Hata teriminin normalligi ˘ ˘ tahmincilerinin normal dagılımlı oldugunu biliyoruz. ˘ sken olan Z ’yi a¸sagıdaki ˘ Öyleyse, bir ölçünlü normal degi¸ gibi tanımlayabiliriz: q ˆ2 − β2 ) P x 2 ( β ˆ β 2 − β2 i Z = = σ öh(βˆ2 )

Demek ki anakütlenin gerçek varyansı σ 2 biliniyorsa, β2 ’yi ˘ incelemek için normal dagılımdan yararlanılabilir. ˘ için uygulamada yansız Ancak, σ 2 genellikle bilinemedigi 2 tahmincisi σ ˆ kullanılır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Bazı Temel Noktalar β1 , β2 ve σ 2 ˙Için Güven Aralıkları

˘ β1 ve β2 ˙Için Güven Aralıgı ˘ zaman bunun yerine yansız tahminci σ σ 2 bilinmedigi ˆ2 ˘ a¸sagıda gösterilen s¸ ekilde kullanılır:

Z1 =

qP (βˆ2 − β2 ) xi2

σ σ ˆ2 Z2 = (n − 2) 2 σ Z1 t = p Z2 /(n − 2) qP xi2 (βˆ2 − β2 ) = σ ˆ Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

˘ Demek ki, normal dagılan ˘ Z1 ’in ki-kare dagılan Z2 ’nin kendi serbestlik derecesine bölümünün kareköküne bölünmesi ile elde edilen t ˘ skeni, n − 2 sd rastsal degi¸ ˘ ile t dagılımlıdır. Bu i¸slem βq 1 için P 2 P 2 öh(βˆ1 ) = X /n x σ i

i

olması dı¸sında benzerdir. Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Bazı Temel Noktalar β1 , β2 ve σ 2 ˙Için Güven Aralıkları

˘ β1 ve β2 ˙Için Güven Aralıgı ˘ ˘ ˘ zaman β1 için Normal dagılım yerine t dagılımı kullanıldıgı ˘ a¸sagıdaki ˘ güven aralıgı gibi kurulur: P(−tα/2 ≤ t ≤ tα/2 ) = 1 − α # βˆ1 − β1 P −tα/2 ≤ = 1−α ≤ tα/2 öh(βˆ1 ) "

˘ Buradaki tα/2 degeri, α/2 anlamlılık düzeyinde ve (n − 2) ˘ ˘ serbestlik derecesi için t dagılımından bulunan t degeridir. ˘ tα/2 ’ye ise α/2 anlamlılık düzeyindeki “kritik t degeri” (critical t value) adı verilir. ˘ gı ˘ bilinen β2 ’nin güven aralıgı ˘ da benzer Normal dagıldı s¸ ekilde bulunur. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Bazı Temel Noktalar β1 , β2 ve σ 2 ˙Için Güven Aralıkları

˘ β1 ve β2 ˙Için Güven Aralıgı ˘ β1 ve β2 ’nin %100(1 − α) güven aralıkları kısaca a¸sagıdaki gibi de gösterilebilir: βˆ1 ± tα/2 öh(βˆ1 ) βˆ2 ± tα/2 öh(βˆ2 ) ˘ ˘ tahmincinin Her iki durumda da güven aralıgının geni¸sligi ˘ orantılıdır. ölçünlü hatası ile dogru ˘ (joint Zaman zaman β1 ve β2 için bir “birle¸sik güven aralıgı” confidence interval) kurmak gerekli olabilir. Bu durum daha sonraki konularda ele alınacaktır.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Bazı Temel Noktalar β1 , β2 ve σ 2 ˙Için Güven Aralıkları

˘ σ 2 ˙Için Güven Aralıgı 2

Normallik varsayımı altında (n − 2) σσˆ 2 s¸ eklinde tanımlanan ˘ skenin n − 2 sd ile ki-kare dagılımlı ˘ ˘ degi¸ oldugunu biliyoruz. ˘ Bu bilgiden yararlanarak σ 2 ’nin güven aralıgını bulabiliriz:

"

P (n − 2)

σ ˆ2 χ2α/2

P(χ21−α/2 ≤ χ2 ≤ χ2α/2 ) = 1 − α # σ ˆ2 2 ≤ σ ≤ (n − 2) 2 = 1−α χ1−α/2

Bu güven aralıklarının yorumu s¸ udur: Farklı örneklemler kullanarak σ 2 ve β’lar için %100(1 − α) güven sınırları ˘ ˘ bulur ve gerçek degerlerin bu sınırlar içinde oldugunu söylersek, her 100 seferde 100(1 − α) kez haklı çıkarız. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

Bazı Önemli Noktalar Önsav sınaması konusu ile ilgili bazı önemli noktalar s¸ unlardır: Önsav sınaması, verili bir gözlem ya da bulgunun belli bir ˘ sorusu ile ilgilenir. önsav ile uyu¸sup uyu¸smadıgı ˘ önsavdaki degere ˘ Buradaki uyu¸smak sözcügü, bu önsavı ˘ reddetmemeyi saglamaya yetecek derecede yakın olmak anlamındadır. ˙Ileri sürülen önsava H0 ya da “sıfır önsavı” (null hypothesis) denir ve H1 ile gösterilen “alma¸sık önsav” (alternative hypothesis) kar¸sısında sınanır. Alma¸sık önsav “basit” (simple) veya “bile¸sik” (composite) ˘ belli bir deger ˘ öne sürülüyor ise önsav basittir. olabilir. Eger Örnek olarak: H1 : β1 = 3 basit, H1 : β1 ≥ 3 bile¸sik, H1 : β1 6= 3 de yine bile¸sik önsava örnektir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı

Önsav sınamasına birbirini kar¸sılıklı tamamlayıcı iki farklı yakla¸sım vardır. ˘ (confidence interval) ve Bu yakla¸sımlar “güven aralıgı” “anlamlılık sınaması” (test of significance) yakla¸sımlarıdır. ˘ yakla¸sımı için karar kuralı a¸sagıdaki ˘ Güven aralıgı gibidir: ˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı ˘ belirlenir. Sınanacak katsayı için %100(1 − α) güven aralıgı ˘ katsayı bu güven aralıgının ˘ Eger içinde ise H0 reddedilmez. ˘ güven aralıgının ˘ Katsayı eger dı¸sında kalıyorsa H0 reddedilir.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Örnek olarak, serbestlik derecesi 11 ve ölçünlü hatası 0,1 olan ve βˆ2 = 0,5 olarak tahmin edilen katsayı için s¸ unu ileri ˘ sürdügümüzü dü¸sünelim: H0 : β2 = 0,8 H1 : β2 6= 0,8 Alma¸sık önsava göre β2 0,8’den küçük veya büyük olabilir. Dolayısı ile bu “çift kuyruklu” (two tailed) bir sınamadır. ˘ bulmak Gözlemlenen βˆ2 ’nın H0 ile uyumlu olup olmadıgını ˘ için β2 ’ye ait %95 güven aralıgını olu¸sturalım: 0,28 ≤ β2 ≤ 0,72 ˘ ˘ 0,8 degeri, %95 güven aralıgının dı¸sında kalmaktadır. ˘ önsavını %95 güvenle Buna göre gerçek β2 ’nin 0,8 oldugu reddederiz. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı

Zaman zaman alma¸sık önsavın iki yanlı yerine tek yanlı ˘ yönünde önsel bilgi veya kuramsal beklentilerimiz oldugu olabilir. ˘ “tek-yanlı” (one-sided) ya da Bu durumda güven aralıgı ˘ “tek-kuyruklu” (one-tailed) olarak a¸sagıdaki gibi belirlenir: ˆ ˆ ˆ ˆ β ≥ β − tα öh(β) veya β ≤ β + tα öh(β) ˘ Güven aralıgının tek-kuyruklu mu yoksa çift-kuyruklu mu ˘ alma¸sık önsavın belirleni¸s biçimine baglıdır. ˘ olu¸sturulacagı

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Tek kuyruklu sınamaya örnek olarak, serbestlik derecesi 11 ve ölçünlü hatası 0,1 olan βˆ2 = 0,5 için β2 ’nin 0,8’den ˘ kanısında oldugumuzu ˘ küçük oldugu varsayalım. Bu durumda sıfır önsavı ve alma¸sık önsav s¸ öyle seçilir: H0 : β2 ≥ 0,8 H1 : β2 < 0,8 ˘ ˘ Burada dagılımının sol kuyrugunu göz önüne almaya gerek ˘ için 1 − α güven aralıgı ˘ (−∞, βˆ2 + tα öh(βˆ2 )] olur. olmadıgı ˘ a¸sagıdaki ˘ Tek kuyruklu %95 güven aralıgı gibi bulunur: −∞ ≤ β2 ≤ 0,6796 ˘ ˘ ˘ 0,8 degeri %95 tek yanlı güven aralıgının dı¸sında olduguna ˘ göre gerçek β2 ’nin 0,8’den büyük veya 0,8’e e¸sit oldugu sıfır önsavını %95 güvenle reddedebiliriz. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı ˘ yakla¸sımını Anlamlılık sınaması yakla¸sımı güven aralıgı tamamlayıcı ve ona benzer bir süreçtir. Normallik varsayımı altında t=

βˆ − β ˆ öh(β)

˘ skeninin (n − 2) sd ile t dagılımına ˘ ˘ degi¸ uydugunu biliyoruz. ˘ sıfır önsavı altında sınanmak üzere belli bir β degeri ˘ Eger ˘ seçilmi¸s ise yukarıdaki t degeri örneklemden kolayca ˘ görevi görebilir. hesaplanabilir ve bir sınama istatistigi

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı ˘ t Anlamlılık sınaması yakla¸sımındaki sınama istatistigi ˘ ˘ ˘ dagılımlı olduguna göre s¸ u güven aralıgını yazabiliriz: "

P −tα/2

# βˆ − β ∗ ≤ ≤ tα/2 = 1 − α ˆ öh(β)

ˆ |βˆ − β ∗ | ≤ tα/2 öh(β) ˘ Buradaki β ∗ degeri H0 altındaki β’dır. tα/2 ise (α/2) anlamlılık düzeyinde ve (n − 2) sd ile t ˘ çizelgesinden okunan kritik degerdir.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)

(1) (2)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık sınaması yakla¸sımına bir örnek olarak σ 2 ’yi ele alalım: 2 χ2 = (n − 2) σσˆ2∗ ˘ skenin (n − 2) serbestlik derecesi Yukarıda gösterilen degi¸ ˘ ˘ ile ki-kare dagılımına uydugunu biliyoruz. 2 n = 13 ve σ ˆ = 40 verili olsun. 2∗ ˘ H0 : σ = 50 önsavını sınamak için önce a¸sagıdaki ki-kare ˘ degeri hesaplanır. χ2 = (13 − 2) 40 50 = 8,8 11 serbestlik derecesi ile ve anlamlılık düzeyi α = 0,05 için χ20,025 = 21,92 ve χ20,975 = 3,82’dir. ˘ ˘ arasında kaldıgı ˘ Hesaplanan χ2 degeri yukarıdaki iki deger için sıfır önsavı reddedilmez. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı

˘ t sınaması karar kuralları a¸sagıdaki gibi özetlenebilir: Çizelge: t Anlamlılık Sınaması Karar Kuralları Önsav Türü Çift Kuyruk Sag˘ Kuyruk Sol Kuyruk

Sıfır önsavı ∗

β=β β ≤ β∗ β ≥ β∗

Alma¸sık önsav

H0 ret kuralı

β 6= β β > β∗ β < β∗

|t| > tα/2,sd t > tα,sd t < −tα,sd

˘ skenli model için sd = (n − 2)’dir. Dikkat: ˙Iki degi¸

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

Bir Önsavın Kabulünün Anlamı

Bir anlamlılık sınamasına dayanılarak sıfır önsavı kabul ˘ zaman aslında tüm söylenen örneklem verilerine edildigi ˘ dayanarak bu önsavı reddedecek bir neden olmadıgıdır. ˘ Örnek olarak gerçek β = 0,5 oldugunu varsayalım. Verilere dayanarak burada H0 : β = 0,4 ve H0 : β = 0,5 gibi farklı önsavlar ileri sürmek olasıdır. ˘ oldugu ˘ bilinemez. Ancak bu önsavlardan hangisinin dogru Bu nedenle, tıpkı bir mahkemenin “suçsuzdur” yerine “beraat etmi¸stir” demesi gibi “kabul ederiz” yerine “reddedemeyiz” sonucuna varmalıyız.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

β2 = 0 Sıfır Önsavı ve 2t Yöntemi Görgül çalı¸smalarda H0 : β2 = 0 önsavı sıklıkla sınanır. ˘ sken X ile ili¸skisi olup Burada amaç Y ’nin açıklayıcı degi¸ ˘ olmadıgına karar vermektir. H0 : β2 = 0 sıfır önsavını sınamada “2t ba¸sparmak kuralı” (2t rule of thumb) kullanılabilir: 2t Yöntemi Serbestlik derecesi 30 veya daha fazla ise, anlamlılık düzeyi ˘ olarak eger ˘ α = 0,05 iken bulunan t = βˆ2 /öh(βˆ2 ), mutlak deger 2’den büyükse, β2 = 0 sıfır önsavı reddedilir. ˘ Bunun nedeni, bu düzeyde t çizelgesindeki tüm degerlerin 2 veya 2’den daha dü¸sük olmasıdır. H0 : β2 = 0’a kar¸sı β2 < 0 ya da β2 > 0 tek yanlı sınamaları ˘ ˘ için ise bu degerin 1,7 olduguna dikkat edilmelidir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

Anlamlılık Düzeyi α’nın Seçimi ˘ zaman %1, %5 ya Uygulamada anlamlılık düzeyi α çogu da en çok %10 olarak seçilmektedir. ˘ ˘ de Aslında bu degerlerin yerine ba¸ska herhangi bir deger aynı i¸si görebilir. H0 ’ı kabul veya ret kararı verilirken iki tür hata yapılabilir: ˘ olan H0 ’ı reddetmek. I. Tür Hata: Aslında dogru II. Tür Hata: Aslında yanlı¸s olan H0 ’ı reddetmemek. ˘ veriliyken, I. tür hata yapma olasılıgı ˘ Örneklem büyüklügü ˘ artar. Eger ˘ II azaltılmak istenirse II. tür hata yapma olasılıgı azaltılırsa bu sefer de I artar. Anlamlılık düzeyi seçimindeki klasik yakla¸sım, uygulamada ˘ I. tür hatanın II. türe göre daha ciddi oldugudur. Dolayısıyla, α = 0,01 veya α = 0,05 seçilerek I. tür hata ˘ olabildigince ˘ yapma olasılıgı dü¸sük tutulur. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

˘ Kesin Düzeyi Anlamlılıgın Önsav sınamasındaki zayıf noktanın α’nın seçimindeki ˘ ˘ geli¸sigüzellik oldugunu biliyoruz. “p-degeri” (p-value) ˘ kavramı, α degerini seçme sorununu ortadan kaldırır: ˘ P degeri ˘ ˘ ˘ P-degeri ya da “olasılık degeri” (probability value), anlamlılıgın ˘ gözlenen kesin düzeyi veya I. tür hata yapma olasılıgının kesin düzeyinin ölçüsüdür. ˘ bir deyi¸sle p degeri, ˘ ˘ Diger sıfır önsavının reddedilebilecegi en dü¸sük anlamlılık düzeyini verir. ˘ Belli bir örneklem veriliyken |t| büyüdükçe p degeri azalır ve sıfır önsavı da gittikçe artan bir güvenle reddedilebilir. Güncel ekonometri yazılımları çe¸sitli sınama istatistiklerine ˘ ili¸skin p-degerlerini de hesaplayıp verebilmektedir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

˘ Yakla¸sımı Güven Aralıgı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

˙Istatistikte Anlamlılık ve Uygulamada Anlamlılık ˙Istatistiksel anlamlılık uygulamada anlamlıgı ˘ gerektirmez. Buna ˘ ˘ ele alalım: ili¸skin olarak a¸sagıdaki örnegi ˘ ˘ Örneklemden elde ettigimiz βˆ2 degeri 0,51 olsun. ˘ ˘ %95 güven aralıgını (0,43, 0,59) olarak belirledigimizi varsayalım. Buna göre β2 = 0,61 sıfır önsavını reddedebiliriz. Öte yandan, βˆ2 ’yı 0,43 veya 0,59 almak arasındaki farkın ˘ da dikkate alınmalıdır. uygulamada önemli olup olmadıgı ˘ sir. Bu sorunun yanıtı modelden modele degi¸ ˆ Örnek olarak, β2 tüketim-gelir modelindeki MTüE olsun. ˙Iktisat kuramına göre yatırım çarpanı 1/(1 − MTüE)’dir. ˘ MTüE = 0,51 ise çarpan 1,75 olurken Buna göre eger MTüE = 0,61 ise de çarpan 2,44 olacaktır. ˘ gibi, bu örnekteki fark hem istatistiksel olarak Görüldügü hem de uygulama açısından önemlidir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Varyans Çözümlemesi

“Varyans çözümlemesi” (analysis of variance) ya da kısaca “VARÇÖZ” (ANOVA), istatistiksel çıkarsama sorununa tamamlayıcı ve aydınlatıcı bir yakla¸sım sunar. ˘ ˘ hatırlayalım: A¸sagıdaki özde¸sligi P 2 P 2 P 2 yi = yˆi + uˆi TKT = BKT + KKT

VARÇÖZ yakla¸sımının temelinde TKT’nin bu iki parçasının incelenmesi yatar.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Varyans Çözümlemesi ˘ skenli model için (n − 2) sd BKT 1 sd ile ve KKT de iki degi¸ ˘ ile ki-kare dagılımlıdır. O halde, toplamların kendi sd’lerine bölünmesi ile bulunan “ortalama kareleri toplamı” (mean sum of squares) ya da ˘ kullanarak s¸ unu yazabiliriz: kısaca “OKT” (MSS) degerlerini

F

= =

BKT’nin OKT’si KKT’nin OKT’si P (βˆ22 xi2 )/1 P 2 uˆi /(n − 2)

˘ sken, hata teriminin normalligi ˘ varsayımı Yukarıdaki degi¸ ˘ altında 1 ve (n − 2) sd ile F dagılımına uyar. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Varyans Çözümlemesi ˘ ˘ Tanımladıgımız F oranından nasıl yararlanabilecegimizi ˘ görmek için a¸sagıdaki e¸sitliklere bakalım:   P P E (βˆ22 xi2 )/1 = σ 2 + β22 xi2 P  E uˆi 2 /(n − 2) = E (ˆ σ2) = σ2 β2 ve σ 2 gerçek anakütle katsayılarıdır. ˘ β2 sıfır ise e¸sitliklerin her ikisi de aynı çıkar. Eger Demek ki, F oranı bize H0 : β2 = 0 sıfır önsavını sınamada ˘ vermektedir. kullanılabilek bir sınama istatistigi

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Varyans Çözümlemesi ˘ ˘ Örnek olarak tüketim-gelir örnegimiz için F degeri 202,87 olarak hesaplanmaktadır. ˘ 1 ve 8 sd için e¸sik F degerleri %5 anlamlılık seviyesi için 5,32 ve %1 anlamlılık seviyesi için de 11,3 olarak verilidir. ˘ ˘ F degeri %1 düzeyinde anlamlı (p = 0,0000001) oldugu için, β2 = 0 önsavını reddederek gelirin, tüketim üzerinde ˘ etkili oldugunu söyleyebiliriz. ˘ ˘ skenin karesinin Bu noktada, k sd ile t dagılımına uyan degi¸ ˘ ˘ de 1 ve k sd ile F dagılımına uydugunu anımsayalım. ˘ H0 : β2 = 0 altında tahmin edilen t degeri 14,24’tür. Yuvarlama hataları bir yana bırakılırsa, t 2 = (14,24)2 = F ˘ ˘ görülebilir. e¸sitliginin geçerli oldugu Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Varyans Çözümlemesi

Su ¸ an için F ve t sınamalarının β2 = 0 sınamasının iki ˘ farklı ve birbirini tamamlayıcı yolu oldugunu söyleyebiliriz. ˙Iki degi¸ ˘ skenli baglanım ˘ modeli için F sınamasına aslında gerek yoktur. F sınamasının önemini ve farklı uygulamalarını çoklu ˘ ˘ baglanım konusu içerisinde ele alacagız.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Ortalama Kestirimi ˘ Örneklem katsayıları yanında tekil Yˆi degerleri için de aralık tahmini ve önsav sınaması yapılabilir. ˘ ˘ Örnek olarak, a¸sagıdaki örneklem baglanımına bakalım: Yˆi = 25 + 2Xi Katsayı tahminlerine dayanarak E (Y |X0 = 100) kestirimini ˘ yapmak istedigimizi varsayalım. Bu “ortalama kestirimi” (mean prediction) s¸ öyle bulunur: Yˆ0 = β1 + β2 X0 = 25 + 2(100) = 225 Yˆ0 burada E (Y |X0) tahmincisidir.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Ortalama Kestirimi Yˆ0 ’nın, bir tahminci olmasından dolayı, kendi gerçek ˘ degerinden farklı çıkması söz konusudur. ˘ Yˆ0 tahmincisinin a¸sagıda gösterilen ortalama ve varyans ˘ ˘ kanıtlanabilir: ile normal dagılımlı oldugu " # ¯ )2 (X − X 1 0 + P 2 E (Yˆ0 ) = β1 + β2 X0 var(Yˆ0 ) = σ 2 n xi

˘ Bilinmeyen σ 2 yerine yansız tahminci σ ˆ 2 koyuldugunda ise ˘ sken (n − 2) sd ile t dagılımına ˘ bulunan degi¸ uyacaktır: t=

Yˆ0 − (β1 + β2 X0 ) öh(Yˆ0 )

˘ ˘ Öyleyse, t dagılımını kullanarak E (Y0 |X0 ) güven aralıgını bulabilir ve bunu önsav sınaması yapmada kullanabiliriz. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Ortalama Kestirimi

˘ E (Y0 |X0 ) güven aralıgının tüm X ’ler için hesaplanması ile ˘ ˘ anakütle baglanım i¸slevine ili¸skin bir “güven ku¸sagı” (confidence band) elde edilebilir. ¯ oldugunda ˘ X0 = X ˘ Bu güven ku¸sagı en dar noktadadır. X0 ¯ ’den uzakla¸stıkça kemer de geni¸sler. ˘ degeri X ¯ ’den uzakla¸sıldıkça Dolayısıyla, örneklem ortalaması X ˘ ˘ de azalacaktır. örneklem baglanımının kestirim yetenegi

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

˘ SEK Baglanımı gretl Çıktısı ˘ için gretl baglanım ˘ Tüketim-gelir örnegi çıktısına bir bakalım:

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

˘ Baglanım Bulgularının Sunulması ˘ ˘ Baglanım bulgularını inceledigimizde s¸ unları görürüz: ˘ ˘ varsayımı t istatistikleri ilgili anakütle degerinin sıfır oldugu altında bulunmu¸stur. β1 için 3,813 = 24,4545/6,41382’dir. ˘ β1 ’e ait p-degeri de 8 sd ile 3,813 ya da daha yüksek bir t ˘ ˘ ˘ degeri bulma olasılıgının 0,0051 oldugunu göstermektedir. Buna göre, tüm uygulama amaçları için anakütledeki sabit ˘ terimin sıfırdan farklı oldugunu söyleyebiliriz. β2 ’ye ait bulguların yorumu da benzer s¸ ekildedir. ˘ Ayrıca, H0 : β2 = 0 önsavı altında F1,8 degeri 202,87 olarak ˘ ˘ bulunmu¸stur. t = 14,2432 degerinin karesinin beklenildigi ˘ ˘ gibi F degerini verdigine dikkat ediniz.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

˘ Baglanım Bulgularının Sunulması

˘ Verilere yakı¸stırılan modelin ne kadar iyi olduguna karar ˘ verebilmek için a¸sagıdaki üç ölçüt göz önüne alınmalıdır: 1

Tahmin edilen katsayıların i¸saretlerinin kuramsal veya ˘ önsel bilgilere dayalı beklentilerle uyumlulugu,

2

˘ Kuramsal ili¸skinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadıgı,

3

˘ Baglanım modelinin kuramsal ili¸skiyi açıklayabilme derecesi.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

˘ Baglanım Bulgularının Sunulması

˘ ˘ Baglanım modelinin yeterli olduguna karar vermeden önce ˘ ˘ da onaylamak modelin KNDBM varsayımlarını sagladı gını zorundayız. Su ¸ an tüm KNDBM’nin varsayımlarını denetleyemesek de ˘ varsayımına bakabiliriz. ui hata teriminin normalligi Yazında çe¸sitli normallik sınamaları bulunmaktadır. Biz ˘ (goodness of fit) ve bunlardan ki-kare “yakı¸smanın iyiligi” ˘ Jarque-Bera normallik sınamalarını ele alacagız. Bu sınamaların ikisi de uˆi kalıntılarını ve ki-kare olasılık ˘ dagılımını temel almaktadır.

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

˘ Sınaması χ2 Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ sınaması s¸ u s¸ ekilde yapılır: χ2 yakı¸smanın iyiligi 1 ˘ Baglanım i¸slevi bulunur ve uˆi kalıntıları elde edilir. 2 uˆi ’nın örneklem ölçünlü sapması hesaplanır. 3 ˘ Örneklem büyüklügüne göre bir “kap” (bin) sayısı belirlenir. Kalıntılar büyüklük sırasına sokulur ve sıfırdan kaç ölçünlü sapma uzaklıkta olduklarına göre bu kaplara bölü¸stürülür. 4 ˘ Gözlenen sıklıklar ile normal dagılım için beklenen sıklıklar arasındaki farkın kareleri alınır, beklenen sıklıklara bölünür ve bunların toplamı hesaplanır: K X (Gi − Bi )2 2 χ = Bi i=1

5

6

˘ sken (k − 3) (normal k = kap sayısı iken, yukarıdaki degi¸ ˘ ˘ ˘ dagılıma kar¸sı sınadıgımız için) sd ile χ2 dagılımına uyar. ˘ p degeri ˘ Eger yüksekse H0 : normallik önsavı reddedilmez. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Jarque-Bera Normallik Sınaması JB sınaması bir “kavu¸smazsal” (asymptotic) ya da büyük örneklem sınamasıdır. Bu sınamayı yapmak için önce SEK kalıntılarının “çarpıklık” (skewness) ve “basıklık” (kurtosis) ölçüleri bulunur. ˘ ˘ hesaplanır: Daha sonra a¸sagıdaki sınama istatistigi   2 (K − 3)2 S + JB = n 6 24 ˘ K ise basıklıgı ˘ göstermektedir. Burada S çarpıklıgı, ˘ gı ˘ varsayımı Jarque ve Bera, kalıntıların normal dagıldı ˘ altında JB istatistiginin büyük örneklemde 2 sd ile χ2 ˘ ˘ dagılımına uydugunu göstermi¸slerdir. ˘ p degeri ˘ Eger yüksekse H0 : normallik önsavı reddedilmez. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Jarque-Bera Normallik Sınaması ˘ ˘ Ki-kare sınamasının çekici yanı, “yıgınsal dagılım i¸slevi” (cumulative distribution function) hesaplanabilen her türlü ˘ dagılım için yakı¸smayı sınamada için kullanılabilmesidir. ˘ için Sakıncası ise kap sayısı için nesnel bir ölçüt olmadıgı 2 ˘ hesaplanan χ degerinin farklılık gösterebilmesidir. SEK yönteminin istatistiksel özelliklerinden dolayı, büyük ˘ zaman gerekmez. örneklemlerde normallik sınaması çogu ˘ Baglanım ile ilgili olarak normallik sınaması daha çok bir küçük örneklem konusudur. ˘ yandan, JB kavu¸smazsal bir sınama oldugu ˘ için Diger ˘ küçük örneklemlerde ki-kare dagılımından sapmaktadır. Örnek olarak, n = 70 gibi çok da küçük sayılamayacak ˘ örneklemlerde bile bulunan JB p degeri yanıltıcı olabilir. Bu yüzden Jarque-Bera yerine Doornik-Hansen sınaması ˘ yazında daha çok yeglenmektedir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)


Aralık Tahmini Önsav Sınaması Uygulama ile ˙Ilgili Bazı Noktalar

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu ˘ ˘ Baglanım Bulgularının Degerlendirilmesi

Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev

Ödev Kitaptan Bölüm 5 “Two-Variable Regression: Interval Estimation and Hypothesis Testing” okunacak. Önümüzdeki Ders ˙Iki Degi¸ ˘ skenli Dogrusal ˘ ˘ Baglanım Modelinin Uzantıları

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)

Aralık Tahmini ve Önsav Sınaması (sürüm 1,81)

ekonometri ders notları 6  

gujarati'nin kitabının özeti

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you