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GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER. Los cálculos de Johannes Kepler, basados en las observaciones que su maestro Tycho Brahe había registrado por más de 20 años de las posiciones de los planetas y las estrellas, proporcionaron las bases para la teoría de la gravitación universal de Newton. LEYES DE KEPLER. Para Platón y Aristóteles la Tierra estaba en el centro del cosmos y el cielo daba vueltas en torno a ella. Esta idea dominó el pensamiento humano durante la antigüedad y la edad media (Teoría Geocéntrica). . En el siglo XVI Copérnico propuso el sistema que sostenía que el Sol era el centro del universo y los demás planetas giraban alrededor de él (Teoría Heliocéntrica). J. Kepler astrónomo y filósofo alemán se dedicó a estudiar las tablas confeccionadas por Tycho Brahe sobre la posición de los planetas. Siguió la teoría heliocéntrica , intentando ajustar los datos que poseía de la órbita de Marte y determinó una diferencia de 8/60 grados entre los datos de Brahe y sus cálculos. Después de numerosos estudios dedujo que las trayectorias de los planetas no tenían por que ser circunferencias; supuso que eran elípticas, de esta forma coincidían los datos de las tablas y sus cálculos. Así surgió la primera Ley de Kepler: PRIMERA LEY DE KEPLER Todo planeta se mueve en una trayectoria elíptica, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

PLANETA

SOL


La aplicación de la dinámica al movimiento de los planetas, lleva a admitir que están sometidos a la acción de ciertas fuerzas, pues de otro modo seguirían movimientos uniformes y rectilíneos, y no órbitas elípticas, como afirma la primera ley de Kepler. Kepler descartó la idea de que los planetas se desplazan con movimientos uniformes, y determino que estos se mueven con más rapidez cuando están más cercanos al Sol, y con más lentitud cuando están más alejados. SEGUNDA LEY DE KEPLER El radio vector que une al Sol y al planeta , barre áreas iguales de una elipse durante intervalos iguales de tiempo.. T2 Area 2 Sol Area 1 T1

Esta ley permite afirmar que las fuerzas que actúan sobre los planetas están dirigidas hacia el centro de la órbita, es decir hacia el Sol. A partir de aquí y siempre intentando justificar los datos existentes en las tablas de Brahe, buscó una relación entre el tamaño de la órbita del planeta y el periodo o tiempo de una revolución alrededor del Sol. Como resultado de sus estudios dedujo la tercera ley del movimiento planetario. TERCERA LEY DE KEPLER El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia promedio del planeta al Sol.


GRAVITACIÓN UNIVERSAL Las leyes de Kepler constituyen la cinemática del sistema Solar, nos proporcionan una descripción exacta de los movimientos de los planetas, pero, no explican las causas o fuerzas que los producen. ¿Qué clase de fuerza ejerce el Sol sobre los planetas para que éstos se muevan según las leyes descubiertas por Kepler? Newton estudió el movimiento de la Luna tratando de entender el movimiento de los cuerpos celestes. Sabía que si ninguna fuerza actuaba sobre la Luna, esta debía moverse en línea recta con velocidad constante. Sin embargo vista desde la Tierra, la Luna sigue una trayectoria casi circular. En consecuencia, debe existir una aceleración hacia el centro de la Tierra y una fuerza que la genere. Cuenta la leyenda que un día que Newton meditaba en su jardín una manzana cayó al suelo; entonces supuso, que la fuerza que la Tierra ejercía sobre la manzana, podía igualmente ejercerse sobre la Luna. Newton concluyó que la Tierra atraía a la Luna en la misma forma con que atraía también a la manzana en caída libre. Por lo que determinó que sus leyes del movimiento eran válidas para los cuerpos celestes.

Sobre la base de las leyes de Kepler, Newton dedujo que una fuerza centrípeta es la que mantiene a todos los planetas en su órbita y se debe a la interacción que el Sol ejerce sobre ellos.


La gravitación es universal, de modo que todos los cuerpos ejercen una fuerza de atracción sobre los demás cuerpos. Para explicar el movimiento de los planetas, Newton estableció la ley de la gravitación universal. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Dos cuerpos cualesquiera se atraen el uno al otro con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancias que las separa. Matemáticamente se expresa:

F=G

m1 m 2 r2

Donde: F = Fuerza de atracción gravitacional ( N, lb ) G = Constante de gravitación universal (6.67 x 10

–11

Nm 2 , 3.44 x 10 kg 2

–8

lbft 2 ) slug 2

m1 y m2 = masa de los cuerpos ( kg, slug) r = Distancia que hay entre los centros de gravedad de ambos cuerpos ( m , ft ) F m1

F m2

La fuerza de atracción entre 2 cuerpos de poca masa es muy pequeña, por ello sólo podemos apreciar en nuestro entorno la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos que se encuentran en su superficie.


CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE La Tierra crea a su alrededor un campo gravitacional terrestre. Debido a este campo, cualquier objeto situado en el espacio perturbado por la presencia de la Tierra, experimentará una interacción gravitacional. Esta será apreciable cuando la separación del objeto con respecto a la superficie terrestre sea pequeña comparada con el radio de la Tierra ( 6.38 x 10 6 m). Cuando se trata de un cuerpo de masa (m) pequeña respecto a la masa de la Tierra, la fuerza gravitacional que actúa sobre él, en las proximidades de la superficie terrestre se llama peso del cuerpo, dado por la ecuación: W= mg =

GMm

(Re

+ h)

2

Donde: W = Peso del cuerpo Re= Radio de la Tierra h = Altura a la que se encuentra el cuerpo sobre la superficie terrestre M = Masa de la Tierra m = Masa del objeto g = Aceleración debida a la gravedad G = Constante de gravitación Universal


El peso de un objeto disminuye, al aumentar de forma apreciable la altitud como se observa en la figura siguiente:

2

g = 1 .1 m /s

g = 2 .4 m /s

3 R

e

192 N ( 4 3 lb )

2

2 R

e

hH

2

88 N ( 2 0 lb )

g = 9 .8 m /s

784 N (1 7 6 lb )

Si h es mucho menor que Re, como sucede con todos los cuerpos que se encuentran en la superficie o cerca de la superficie terrestre h se puede eliminar y el peso se determina con la formula siguiente: W=

GMm R e2

Se puede escribir de la forma: mg =

GMm R 2e

Al cancelar m en la ecuación se obtiene: g=

GM R 2e

Comprobamos que la aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie terrestre se considera constante.

La fórmula de gravitación universal se aplicó 70 años después de la muerte de Newton. Cuando el valor de la Constante de Gravitación universal (G) fue


determinada por el físico ingles Henry Cavendish al desarrollar un instrumento de alta sensibilidad para medirla. Se afirma que Cavendish fue el primero que calculó la masa de la Tierra ( 5.98 x 1024 kg ) , utilizando el valor de (G) y aplicando la fórmula de Gravitación Universal. Los cuerpos caen con una aceleración g, porque actúa sobre ellos una fuerza F = W, esta es la fuerza de atracción entre la Tierra y el cuerpo por lo tanto: GMm r2

W=

mg = g=

GMm r2

GM r2

M=

g r2 G

Sustituyendo

(6.38 x 10 m )  9.8 6

M=

2

m  s2 

 2 −11 N m (6.67 x 10 ) kg

M = 5.98 x 1024 kg


Ejercicios Resueltos 1) Determina la fuerza de atracción gravitacional entre una masa de 2 kg y otra de 3 kg separadas 1 m Datos F=? m1= 2 kg m2=3 kg r= 1 m

Fórmula F= G

G = 6.678 x 10-11

Desarrollo

m1 m 2 r2

Nm 2 kg 2

 Nm 2   6.67 x 10 −11  ( 2 kg ) ( 3 kg ) kg 2  F=  1 m2

F= 4.002 x 10-10 N

2) La fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos es de 20 N cuando están a la distancia de 1 m ¿Cuál será la fuerza si la distancia aumenta a 2 m? La fórmula de la fuerza de atracción gravitacional nos indica que la fuerza es inversamente proporcional a la distancia cuadrada, por lo que si la distancia se duplica al estar elevada al cuadrado el valor se cuadriplica ocasionando que la fuerza se reduzca a una cuarta parte de su valor. Por lo tanto F = 5 N 3) Determina la fuerza gravitacional entre la Tierra y la Luna a partir de los siguientes datos: masa de la Tierra = 5.98 x 1024 kg masa de la Luna = 7.3 x 1022 kg radio promedio de la órbita Lunar = 3.9 x 10 8 m Datos

Fórmula

F= ? m1= 5.98 x 1024 kg m2= 7.3 x 1022 kg r= 3.9 x 108 m G= 6.67 x 10-11

F= G

m1 m 2 r2

Nm 2 kg 2

Desarrollo  Nm 2   6.67 x 10 −11  (5.98 x 10 24 kg ) ( 7.3 x 10 22 kg ) 2  kg  F=  (3.9 x 10 8 m ) 2 F= 1.914 x 1020 N

17 GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER  

Para Platón y Aristóteles la Tierra estaba en el centro del cosmos y el cielo daba vueltas en torno a ella. Esta idea dominó el pensamiento...

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