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PLAN DE CLASE N.- 3 TEMA: CONJUNTOS Y CUANTIFICADORES. PENSAMIENTO: “UN MATEMÁTICO COMO UN PINTOR O UN POETA, ES UN FABRICANTE DE MODELOS. SI SUS MODELOS SON MÁS DURADEROS QUE LOS DE ESTOS ÚLTIMOS, ES DEBIDO A QUE ESTÁN HECHOS DE IDEAS… LOS MODELOS DEL

MATEMÁTICO COMO LOS DEL PINTOR O LOS DEL POETA, DEBEN SER HERMOSOS… LA BELLEZA ES LA PRIMERA PRUEBA; NO HAY LUGAR PERMANENTE EN EL MUNDO PARA UNAS MATEMÁTICAS FEAS”. G H HARDY…


OBJETIVO: APLICAR PROCESOS DE TRADUCCIÓN, DEMOSTRACIÓN DE PROPOSICIONES, A PARTIR DE FUNCIONES PROPOSICIONALES, YA SEA POR EJEMPLIFICACIÓN, ESTO ES LA SUSTITUCIÓN DE UNA VARIABLE DE X, POR UNA CONSTANTE DE X (PREDICADOS, O POR GENERALIZACIÓN, ES DECIR COLOCANDO DELANTE DE ELLOS UN CUANTIFICADOR UNIVERSAL O EXISTENCIAL. SABER HACER DESARROLLAR VALORES DE VERDAD DE PROPOSICIONES, ATRAVÉS DE LAS CONEXIONES ENTRE LOS CUANTIFICADORES UNIVERSAL Y EXISTENCIAL EN FUNCIÓN DE UN CONJUNTO REFERENCIAL. SABER SER

TRADUCIR PROPOSICIONES, A LA NOTACIÓN LÓGICA DE FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES.

TENER PACIENCIA Y REPONSABILIDAD EN LAS TAREAS.


CONTEXTUALIZACIÓN. ¿QUÉ ES UNA PROPOSICIÓN? SE LLAMA AL ENUNCIADO CUYO VALOR DE VERDAD SE PUEDE DETERMINAR. EJEMPLO:

2+5=7 3-2=-1

VERDADERO FALSO

¿QUÉ ES UNA PROPOSICIÓN ABIERTA? SE LLAMA A AQUELLOS ENUNCIADOS, QUE POR FALTAR OTRAS PROPIEDADES NECESARIAS PARA JUZGAR Y DAR SU VALOR DE VERDAD, NO SE PUEDEN DETERMINAR SI SON VERDADEROS O FALSOS. EJEMPLO:

x + 5=7; x-5>9. SE DESCONOCE SI X PUEDE TOMAR CUALQUIER VALOR, O UN SOLO VALOR, Y CUAL ES EL CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS PUEDEN REEMPLAZAR A X. EN NUESTRO EJEMPLO, NO CONOCEMOS SI X PUEDE TOMAR VALORES ENTEROS, RACIONALES O REALES, O SI PUEDE TOMAR LOS DE UN CONJUNTO COMO LOS SIGUIENTES: {1}; {-1, 1, 1}.


FUNCIÓN PROPOSICIÓN FUNCIÓN PROPOSICIONAL DE UNA VARIABLE X, SE LLAMA A UNA PROPOSICIÓN ABIERTA EN X, EN LA QUE SE INDICA EL CONJUNTO AL QUE PERTENECE.

EJEMPLO:

x+5=7 Xєℝ x-5>6 XєN 3+y=y+3 Y є {1,2,3,4,5,6} CONOCEMOS QUE LA VARIABLE PERTENECE A UN CONJUNTO DADO, POR LO QUE SE PUEDE DETERMINAR PARA QUE ELEMENTOS ES VERDADERA LA PROPOSICIÓN ABIERTA. EN EL PRIMER EJEMPLO (x+5=7 x є ℝ) PODEMOS DETERMINAR QUE SOLAMENTE EXISTE UN ELEMENTO DEL CONJUNTO DADO, QUE HACE VERDADERA LA PROPOSICIÓN:

x +5=7 2+5=7 EL CONJUNTO SOLUCIÓN (VERDAD) TIENE UN SOLO ELEMENTO {2}.


DEL EJEMPLO 3+y = y+3 y є {1, 2, VERDADERA LA PROPOSICIÓN.

3, 4, 5, 6}, SE PUEDE DETERMINAR QUE TODOS LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO HACEN

3+y= y+3 3+1= 1+3

VERDADERA

3+2= 2+3

VERDADERA

3+3 = 3+3 VERDADERA

EL CONJUNTO SOLUCIONES {1, 2, 3, 4,

3+4= 4+3

VERDADERA

3+5= 5+3

VERDADERA

3+6= 3+6

VERDADERA

5, 6}.

COMO SE PUEDE OBSERVAR HAY LA POSIBILIDAD DE QUE EXISTA ALGÚN VALOR (ELEMENTO) O QUE TODOS LOS VALORES CUMPLAN O HAGAN VERDADERA LA PROPOSICIÓN.

SI SE CUMPLE LA PRIMERA POSIBILIDAD, SE PUEDE DECIR: PARA TODO VALOR LA PROPOSICIÓN ES VERDADERA: ∀x

p(x).

EXISTE AL MENOS UN VALOR QUE HACE LA PROPOSICIÓN VERDADERA ∃x

p(x).

DEFINICIÓN DE CUANTIFICADOR UNIVERSAL

∀ ACTÚA SOBRE UN PREDICADO p(x) PARA FORMAR LA PROPOSICIÓN ∀x p(x) QUE SE LEE: “TODO x CUMPLE p(x)” O “CADA x CUMPLE p(x)”. NOTA: ∀x p(x) ES VERDADERA SI EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE p(x) ES EL REFERENCIAL. ∀x p(x) ≡ Ap(x) = R.


CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ∃ x p(x) ES VERDADERA SI EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE p(x) TIENE AL MENOS UN ELEMENTO: ∃ x p(x) ∀x p(x) ≡ Ap(x) ≠ Ø. EJERCICIOS DE APLICACIÓN.- SI SE DEFINE EL REFERENCIAL: Re= {1, 2, 3, 4, 5} Y EL PREDICADO p(x): x ≥2 DETERMINE EL VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES: a) ∀x p(x). b) ∃x p(x). SOLUCIÓN: PRIMERO HALLAMOS EL CONJUNTO SOLUCIÓN DEL PREDICADO Ap(x) = {2, 3, 4, 5}. ∀x p(x) ES FALSA PORQUE EL CONJUNTO SOLUCIÓN NO ES IGUAL A TODO EL REFERENCIAL. ∃ x p(x) ES VERDADERA PORQUE EL CONJUNTO SOLUCIÓN SI TIENE ELEMENTOS.


EJERCICIO 2 SI SE DEFINE Re = {-4, -3, -1, 3, 5, 7} DETERMINE EL VALOR DE LA VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES: a)

∀x x > 3

b)

∀x x es par

c)

∀x x > -5

d)

∃x x es par y x < 3

e)

∃x x>7

f)

∀x x es primo → x>7

SOLUCIÓN: a)

∀x x > 3: FALSA PORQUE SÓLO 5 Y 7 SON MAYORES QUE 3.

b)

∀x x es par: FALSA PORQUE SÓLO - 4 ES PAR.

c)

∀x x > -5: VERDADERA PORQUE TODOS LOS ELEMENTOS DEL Re SON MAYORES A -5.

d)

∃x x es par y x < 3: VERDADERA, PORQUE SI HAY NÚMERO PAR MENOR A 3, EL -4.

e)

∃x x>7: FALSA PORQUE NINGÚN ELEMENTO DEL Re ES MAYOR A 7.

f)

∀x x es primo → x>7: VERDADERA, PORQUE LA HIPÓTESIS Y LA CONCLUSIÓN SON FALSAS.


NEGACIÓN PARA NEGAR UNA FUNCIÓN PROPOSICIONAL, HAY QUE NEGAR LA PROPOSICIÓN ABIERTA. EJEMPLO: y+2=8, y є {1, 2, 3, 4}. NEGAMOS: y+2 ≡ 8, y є {1, 2, 3, 4}. SI SE TRATA DE UNA PROPOSICIÓN SIMPLE, QUE USA CUNATIFICADORES, HAY QUE MIGRAR TODA LA PROPOSICIÓN COMO EL CUANTIFICADOR. ¬ (∀x) = ∃x; ¬ (∃x) = ∀x SEA: (∀x) p(x) NEGAMOS ¬ (∀x) ¬p(x) EQUIVALE A (∃x) ¬p(x) SEA: (∃x) p(x) NEGAMOS: ¬ (∃x) ¬ p(x) que equivale a ¬ (∀x) ¬ p(x).


SEA: (∀x) p(x) NEGAMOS ¬ (∀x) ¬p(x) EQUIVALE A (∃x) ¬p(x) SEA: (∃x) p(x) NEGAMOS: ¬ (∃x) ¬ p(x) que equivale a ¬ (∀x) ¬ p(x). EJERCICIOS DE APLICACIÓN: EJERCICIO 1: DETERMINE EL VALOR DE VERDAD Y LUEGO NIÉGELO: PARA TODO NÚMERO REAL EXISTE OTRO QUE SUMADO DE CERO. SOLUCIÓN: ∀a є ℝ, ∃b є ℝ a + b=0 VERDADERO ∃a, є ℝ, ∀b є ℝ a+b≠0 FALSO COMPROBACIÓN: SI a=3 existe b=-3 tal que 3-3=0 (∀a) (∃b) (a + b=0) ES VERDAD NEGAMOS (∃a) (∀b) (a+b≠0) FALSO Pues, si a=5, todos los valores que se dan a y no hace que sea diferente de cero.


EJERCICIOS PROPUESTOS: TALLER PEDAGÓGICO. a) Escriba en símbolos, niegue y determine el valor de verdad en ambos casos: 1) Existe al menos un elemento que hace que x2 = 2 2) Todo número real, tiene un número menor. 3) Hay algunos números que son pares. 4) Ni existen valores que hacen que x=x, ni para todo valor de y, y+2=5. b) 1) 2) 3)

Niegue las siguientes proposiciones y determine el valor de verdad: (∀x) (x ≠ x) (∀y) (y=2) (∃x) (x-x =2)

c) Las siguientes funciones proposicionales conviértalas en proposiciones verdaderas: 1) x + 5= 2x + 6 2) x = 2y


TRADUCCIONES CON CUANTIFICADORES LA SIGUIENTE TABLA MUESTRA LECTURAS TÍPICAS CON CUANTIFICADORES, SU TRADUCCIÓN AL LENGUAJE FORMAL Y SU INTERPRETACIÓN UTILIZANDO CONJUNTOS:

LECTURA a satisface p(x) Todo p(x) es q(x) Ningún p(x) es q(x) Algún p(x) es q(x) No todo p(x) es q(x)

LÓGICA P(a) ≡ 1 ∀x[p(x) →q(x)] ∀x[p(x) →¬q(x)] ∃x [p(x) /\ q(x)] ∃x [p(x) /\ ¬q(x)]

CONJUNTOS a є Ap(x) Ap(x) ⊆ Aq(x) Ap(x) ⊆ Ac q(x) Ap(x) ∩ Aq(x) ≠ 0 Ap(x) ∩ Ac q(x) ≠ 0

Nota: La expresión “NO TODO p(x)’’ ES EQUIVALENTE A LA EXPRESIÓN “ALGÚN p(x) NO ES q(x)”.

EJERCICIOS: EJERCICIO N.-1 TRADUZCA AL LENGUAJE FORMA2: NINGUNA BALLENA ES PEZ. p(x): x es una ballena. q(x): x es pez. SEGÚN LA TABLA ANTERIOR LA TRADUCCIÓN AL LENGUAJE FORMAL ES: ∀x[p(x) →¬q(x)]


LEYES DE MORGAN PARA CUANTIFICADORES.

TEOREMA: SEA p(x) UN PREDICADO DEL REFERENCIAL: Re, ENTONCES SE CUMPLE QUE:

¬∀x p(x) ≡ ∃x ¬p(x). ¬ ∃x p(x) ≡ ∀x ¬p(x). EJERCICIOS PARA RESOLVER: SEA p(x): x ES FUTBOLISTA, UN PREDICADO DEL REFERENCIAL Re. NIEGE LA PROPOSICIÓN: EXISTE x QUE SON FUTBOLISTAS. SOLUCIÓN: LA TRADUCCIÓN ES: ∃x p(x)

NEGANDO Y APLICANDO LEY DE D’ MORGAN: ¬ ∃x p(x) ≡ ∀x ¬p(x) LA NEGACIÓN EN LENJUAGUE NATURAL ES: NINGÚN x ES FUTBOLISTA.


PROPIEDADES DE LOS CUANTIFICADORES TEOREMA: Si p(x) y q(x) son predicados de un referencial Re, entonces se cumple que:

∃x [p(x) \/ q(x)] ≡ ∃x p(x) \/ ∃xq(x) ∃x [p(x) /\ q(x)] → ∃x p(x) /\ ∃xq(x) ∀xp(x) /\ ∀xp(x) ≡ ∀x[p(x) /\ q(x)]

∀xp(x) \/ ∀xp(x) → ∀x[p(x) \/ q(x)] NOTA: HAY DOS EQUIVALENCIAS Y DOS IMPLICACIONES.

RECUERDA: QUE LAS EQUIVALENCIAS SON VÁLIDAS EN AMBOS SENTIDOS PERO LAS IMPLICACIONES SÓLO EN EL SENTIDO DE LA FLECHA.


EJERCICIO:

DEMUESTRA LA PROPIEDAD: ∃x [p(x) /\ q(x)] → ∃x p(x) /\∃x q(x) SOLUCIÓN: APLICANDO EL MÉTODO DIRECTO: ∃x [p(x) /\ q(x)] → B−− EXISTENCIAL. → Ap(x) ∩ Aq(x) ≠ 0

A [p(x) /\ q(x)] ≠ 0

POR DEFINICIÓN DEL

PROPIEDAD DE CONJUNTO SOLUCIÓN.

→ Ap(x) ≠ 0 /\ Aq(x) ≠ 0 Ap(x) y Aq(x) TIENEN ELEMENTOS EN COMÚN.

→ ∃x p(x) /\ ∃x q(x)

POR DEFINICIÓN

ES FUNDAMENTAL TENER CLARO QUE EN LA PROPOSICIÓN ∃x [p(x) /\ q(x)] EL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ESTÁ ACTUANDO SOBRE UN PREDICADO COMPUESTO, EL PREDICADO p(x) /\ q(x).

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CONJUNTOS Y MODIFICADORES

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