Issuu on Google+

ως αποτέλεσα αποτέλεσα πράξεων πράξεων συνεχών συνεχών συναρτήσεων. συναρτήσεων. ε hh συνεχής x συνεχής Η hh παραγωγίσιη παραγωγίσιη ε ( ) ( ) x Η f ( xως Επίσης 1 ) = 2012 και f ( x 2 ) = 2012 . Έστω h x = f x e − 2012e , x ∈ [ x1 ,x 2 ] . Η xx xx xx (( xx )) ee − ′′ (( xx ))αποτέλεσα = παράγωγο συνεχών συναρτήσεων. Η h παραγωγίσιη ε h συνεχής hhως = ff ′′ (( xx )) ee + + ffπράξεων − 2012e παράγωγο 2012e

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Γ΄ Λυκείου 2012 Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

x1 x x2 hh (( xx1 )) = f ( xh′)( exx)11 =− hh (( xx 2 x)) = f ( x ) e x 22 − ′ ( x ) ex1 += παράγωγο −f2012e 2012e =f 00( x,, ) e − 2012e − 2012e 2012e 2 = = 00 1 = f ( x11 ) e 2 = f ( x 22 ) e x x1 x Άρα ικανοποιούνται οι του την h στο x ,x , Rolle ,,x 2για Άρα οι προϋποθέσεις προϋποθέσεις εωρήατος h ( x1 )ικανοποιούνται = f ( x1 ) e 1 − 2012e = 0, hτου = f ( x 2 ) e 2 − Rolle 2012e για = 0την h στο [[ x11 ,x 22 ]] , ( x 2 )εωρήατος ∈ xx1 ,, xx 2 )) :: οπότε υπάρχει Άρα ικανοποιούνται του εωρήατος Rolle , για την h στο [ x1 ,x 2 ] , ∈ ((προϋποθέσεις x 0 οι οπότε υπάρχει ένα ένα x 1 2

x

x

x

x

0

x x xx 0 οπότε = 0 ⇒ f ′ένα hh (( xx 0 )) υπάρχει ( x )xe x 00∈+(fx(1x, x)2e)x:00 −− 2012e = 00 ⇒ ⇒ ff ′′ (( xx 00 )) + + ff (( xx 00 )) = = 2012 2012e 0 = 2012  Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 0 = 0 ⇒ f ′ ( x 00 ) e0 + f ( x 00 ) e x x x Γ4. Όπως διατυπώνεται, το ζητούενο εβαδόν είναι: Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου 2012 0 0 0 Γ4. διατυπώνεται,+ fτο( xζητούενο εβαδόν ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ − 2012e = 0 είναι: ⇒ f ′ ( x 0 ) + f ( x 0 ) = 2012 h ( xΌπως Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 0 ) = 0 ⇒ f ′ ( x0 ) e 0)e ΘΕΜΑ Α Μαθηατικ e Γ΄ Λυκείου 2012 Λύσεις στα Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής Λύσεις Κατεύθυνσης στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης TPITH 29 MAΪOY 2012 e e e 2 2   e ee  x 22  1     Γ΄ Λυκείου 2012 Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Γ4. Όπως διατυπώνεται, εβαδόν e e e το  xx 2 είναι:  xx 2ζητούενο ΘΕΜΑ Α Γ΄ Λυκείου 2012 ( ) ( )       g x dx = x − 1 ln xdx = − x ln xdx = − x ln x ∫∫ g( x )dx = ∫∫ ( x −1) ln xdx = ∫∫  − x  ln xdx =  − x  ln x  e − ∫  x − x  1 dx = Γ΄ Λυκείου Λυκείου 2012 Γ΄ Λυκείου 2012 Γ΄ 2012 Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίουσελ. σελ.253. 191.  222  1 − 1e∫  222 − x  xx dx =  222  Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου ΘΕΜΑ Α e e e λίου σελ. 253. 1 1 1     1 1 Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1 1 1 x 1 x ΘΕΜΑ Α x Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258. Α1. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου βιβλίουσελ. σελ.253. 191. ΘΕΜΑ Α ∫ g( x )dx = ∫ ( x −1) ln xdx = ∫  2 − x  ln xdx2=  ee− x  ln2x  − ∫  − x2 dx = βλίου σελ. 191. ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Α Γ΄ Λυκείου 2012 Α1.ΣΑΘεωρία σελ. 253. 1 2e 1  2 e 2 x  ΘΕΜΑ Α4. α) β)σχολικού Σ γ)σχολικού Λ δ) Λ βιβλίου ε) σελ. Λ 1 e22   1 ee 22− − 2e 2e  xx 2  2  ee 2 − − 1 ee  x 2 2 Α2. 191. Α1. βιβλίου Α3. Θεωρία βιβλίου σελ.253. 258. 2e −  e − e  −  11 − 1  = βλίου σελ. 258. Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253.  e − Α2.ΒΘεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. = − xx  e = − ee  − 00 − 11dx ∫∫  x − Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. ΘΕΜΑ − − − − = − − = dx  Α3. Θεωρία σελ. Α2. 191. Α4. α) ΣΑ β)σχολικού Σ γ) Λ δ)βιβλίου Λ ε) Λ  2 1 e 2 −22 2e −  e442 − e  −  144 − 1  = 2 2  222   2  Λ ε) Λ Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258. 191. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. ΘΕΜΑ 11e  22 Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. e − 2e  x44 2 Β1.α΄ τρόπος:    1 e x Α4. α) ΣΒ β)σχολικού Σ γ) Λ δ) Λ ε) σελ. Λ Α3. βιβλίου σελ. 258. ΘΕΜΑ  2−e  − 0 − ∫  2 −1dx = −  − e  −  − 1   = − x = Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258. Α1. Θεωρία βιβλίου Α4. α) σχολικού Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε)253. Λ 22 −  Α3. Θεωρία βιβλίου σελ. 258. 2 2 2 2 2 2 2 2 2     2 2   e e − 2e e − 4e − 3 3  Β1.α΄ τρόπος: Α4. α) ΣxΒ+β) β) Σ, x, γ)yΛ Λ∈ δ) Λ Λ ΘΕΜΑ 2  4  1 (σελ.  4 τότεε): Λ =Σ iyΒ x −1)191. + y + ( x +1)Α4. + y α)=Σ4 ⇔ + yΛ =δ)1 Λ ε) Λ Αν RΛ e − 2e − 1 e − 4e + 3  =2 e − 3 4 β) xΣ γ) Α4. α) Σ Α2. zΘεωρία ΘΕΜΑ = Α4. α) ΣΒ β)σχολικού Σ γ) γ) Λ δ) δ)βιβλίου Λ ε) ε) Λ   − = = + Β1.α΄ τρόπος: ΘΕΜΑ 2 2 2 2 2   22 2 2Θεωρία 2 ( z )βιβλίου 2 2 του 2 2 2 4 2 Β Α3. )ΘΕΜΑ β΄ , ητότε z Β1.α΄ iy2σχολικού x −=1)1258. +z yκαι+ (Bx(+−11,0 +) ,y A =(1,0 4 )⇔ηx(1)+γράφεται y =1 : Αν y=∈4 R⇔ ( xxΒ )τρόπος: ΘΕΜΑ Β++1Έστω τότε: ( x −1) 2 ΘΕΜΑ + yτρόπος: +=τρόπος: +, yx,Μ xεικόνα +: y(σελ. e − 2 2e  e − 4 4e 443  e 44− 3 Β1.α΄ 2 2 2 2 2 2 2 Β1.α΄ τρόπος: Β1.α΄ τρόπος: − = = + Α4. z2α) Σx +β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , τότε : = iy x − 1 + y + x + 1 + y = 4 ⇔ x + y = 1 Αν   x, y ∈ R Β1.α΄ τρόπος: Σχόλιο: Η δεν περιγράφει σωστά 2 (1,0 ) η (1) γράφεται: ( x, 2 (,1,0 Σχόλιο: Η εκφώνηση εκφώνηση δεν περιγράφει σωστά το το εβαδόν εβαδόν του του β΄ τρόπος: Μ εικόνα z ))ηy, ηηγωνία ( −+1,0 )22 + B ( x)+,1)2A τότετου : 2( xz−:1και =21,0=x) + yΑΒΜ + y =απέναντι 42⇔ x2 + y2 την = 1 ΑΒ είναι η εικόνα τουΘΕΜΑ καιΑν B , iy zB (z−Έστω A ∈(1) R γράφεται χωρίου. 4 2 Υπάρχει 4 είναι από Μ Μ ⇔ 2 24  2 περίπτωση )) 222 +που 22 + y 22 + (( x 2 22 2 ,, AB :: (((του zz += xxΒA + iy xx − 11))τριγώνου + 111,0 yyz22A== 44+)⇔ xx,(1) y 22∈= 1122τότε Αν x, yy ∈ ζητούενου να υπολογίσουε 22 + ( zR ) , ητότε ( ) ( ) β΄ τρόπος: Έστω Μ εικόνα του και B − , η γράφεται : z ( ) ( 1,0 ζητούενου χωρίου. Υπάρχει περίπτωση να υπολογίσουε Αν τότε : = + iy − + y + x + + = x ⇔ iy + = x − 1 + y + x + 1 + y = 4 ⇔ x + y = 1 Αν x, ∈ R x, y R ) ( ) 2y ∈oR τότε = xτρόπος: + 2iy, x, −1 + του y +z xκαι +1 B+( −y1,0=) ,4 A ⇔(1,0 x ) +ηy(1)= γράφεται 1 Αν z2 β΄ ( z ) ,: η xεικόνα Σχόλιο: Η εκφώνηση δεν περιγράφει σωστά το εβαδόν του Έστω Μαπέναντι : είναι Β1.α΄ AΈστω AB γωνία τουτου τριγώνου ΑΒΜ είναι απέναντι από την ΜB Μ = που ⇔ γωνία του τριγώνου ΑΒΜ είναι από την ΑΒ ( )).η, Εποένως ορθή , +τρόπος: άρα =Μ το φαίνεται από Μ , υπό ορθή γωνία ,ΑΒ οπότε οz και B 11( −1,0 ) , A (1,0 ) η (1) γράφεται: BMA 90 β΄ τρόπος: η εικόνα και B − ,, A η (1) γράφεται ::εικόνα zzΑΒ (είναι 1,0 )που (το 1,0 )Έστω ( ) 2 2 2 (( z β΄ τρόπος: Έστω Μ , η εικόνα του και B − β΄ τρόπος: η (1) Μ γράφεται , η του z 1,0 A 1,0 z ζητούενου χωρίου. Υπάρχει περίπτωση να υπολογίσουε ) β΄ τρόπος: Έστω Μ , η εικόνα του και B − , η (1) γράφεται : z z ( 1,0 ) A ( 1,0 ) 2 2 2 2 από 2 την ΑΒ είναι 2 2 τριγώνου απέναντι Μ Bz += Μ =, AB ⇔oRη2 γωνία (του ( xΑΒΜ =E ε 00 << M και να να πάρουε πάρουε g (( xx )) dx dx = E (( M M )) ε M< < 11 και 2 =1 2 γωνία τότε x 2A ++2BMA iyΜ x −1)το +ΑΒ y τριγώνου + +1) 2 ΑΒΜ +που y =είναι 4Μ ⇔είναι +απέναντι yορθή ∈ B Ax,=2y=90 ABΜ η: γωνία του που από, οπότε την ΑΒο είναι 1 g Μ ⇔ 2,φαίνεται ορθή άρα .ΜΕποένως φαίνεται από το ,xx2υπό Εποένως τοΑν ΑΒ από το , υπό ορθή γωνία , οπότε ο γεωετρικός τόπος του είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ . Άρα . + y = 1 2 2 2 2 2 2 B A AB η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι Μ + Μ = ⇔ o 2 2 2 Μ  B A AB η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που B είναι A απέναντι AB από η γωνία την ΑΒ του είναι τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι Μ + Μ = ⇔ Μ + Μ = ⇔ Μ ( ) B A AB η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι o ορθή , άρα = . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ , υπό ορθή γωνία , οπότε ο BMA 90 Μ + Μ = ⇔ ( ) ( ) β΄ τρόπος: Μ η εικόνα Bοι( −φαίνεται γράφεται z =, 90 1,0 ) , A (1,0 ) ητο2(1) 2 2 : του ε 0 < M < 1 και να πάρουε g x dx = E M 2 του 2 z και Β2. Το, Έστω ΟΑΓΒ είναι ορθή άρα . yΕποένως το ΑΒ από γωνία, οπότε ο lim BMA o Μx 2είναι γεωετρικός τόπος ο=κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα . x Μ + y, υπό = 1 ορθή Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ . 90 Άρα +ρόβος 1το.οπότε  E (( M M )) ορθή ,, άρα = Εποένως ΑΒ φαίνεται από το Μ ,, 2υπό ορθή ,, οπότε οοΑΒ φαίνεται BMA oo .. κάθετα  290 o .2 γωνία lim + E Μ 2 2 2 διαγώνιες τένονται στο Κ και ορθή ορθή άρα = Εποένως το ΑΒ φαίνεται από , άρα το Μ υπό = ορθή γωνία Εποένως οπότε το από το Μ , υπό ορθή γωνία, οπότε ο BMA 90 BMA  M 2 = 1 2γωνία γεωετρικός τόπος του είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ Άρα . 2 ,ΑΒ x υπό + yορθή ορθή .ηΜΕποένως ΑΒ φαίνεται από. είναι το ,Άρα οπότε ο 90 Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οι M→ → 00+ γωνία τριγώνου ΑΒΜ που είναι Μ B ,γεωετρικός +άρα Μ = AB=τόπος ⇔ ι ρόβος Β2. οπότε οιA BMA του Μ του είναιτο οοπότε κύκλος διαέτρου ΑΒΜ . απέναντι x2 +από y2 =την 1 . 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 lim EΑΒM γεωετρικός τόπος του Μ είναι οο κύκλος ΑΒ = Το τένονται ΟΑΓΒ είναι ρόβος οι γεωετρικός διαγώνιες κάθετα στο Κδιαέτρου και 2 + 2 οπότε ΟΙΟ άθετα στο Β2. Κ Β2. και o Μ γεωετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος διαέτρου ΑΒ... Άρα Άρα xxxτόπος . Άρα x ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ + yyy 2του = 1112Μ... είναι ο κύκλος διαέτρου + y =1 . ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ . =ΟΑΓΒ ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Το οπότε οιΑΒ γεωετρικός τόπος του είναι ο=ρόβος κύκλος διαέτρου Άρα + = M → 0+ ορθή , άρα . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ , υπό ορθή γωνία , οπότε ο BMA 90 διχοτοούνται Το B K , άρα διαγώνιες κάθετα στο Κ και Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οι Β2. Το τένονται ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οι και Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οι διαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ 22 οπότε 2 Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οι 2 2 2 ΘΕΜΑ διαγώνιες τένονται κάθετα στο Κδιαέτρου και διαγώνιες διχοτοούνται . 2 του Το Μ BK ο= κύκλος άρα ΘΕΜΑ   BK = , άρα τένονται γεωετρικός τόπος είναι ΑΒ. Άρα τένονται . x + y = 1 κάθετα διαγώνιες κάθετα στο και στο Κ και 2, Κ διαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ2 άρα και 2 2 Β2. διχοτοούνται . Το B K = , ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 2 2  . είναιΤο 2 1 ( 2 διχοτοούνται 2 ΟΑΓΒ 2 ρόβος ΟΙΟ Το οπότε οι 1. Η ως σταθερό πρόσηο. f 2 2 xx 2 − ΘΕΜΑ 1. Η f (xx )) ≠≠ 00 και καιΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ως συνεχής συνεχής διατηρεί διατηρεί 2 − xx + +11 σταθερό πρόσηο. 2 − xx 22 x − x +1 OK = 1 −  .  2 Το ⇒ OK B=K1 −=BK ⇒ άρα 222==,1 − ,άρα ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ��ιχοτοούνται xx − ( ) 2 Η είναι η διαφορά των φ x = και .. g f tt ))dt διαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και διχοτοούνται διχοτοούνται . Το B K = , άρα . Το B K = , άρα ∫ 2   ( ) ( x ) = ∫ f ( t )dt και x − x . 42 , 12 άρα Η g είναι( η)xδιαφορά των φ 2x = ∫ f ((Η και η eδιαφορά dtg είναι των φ 2 διχοτοούνται 21 2  .22  2 Το 2 BK = 2 2 − x +1 2 1 ως συνεχής 1. Η( f ) x x≠−0x +και σταθερό πρόσηο. xx − e = 1 − 222= 1 − 1 ⇒ 2 2 e 11 K = 1 − = OK 1 − 2 =⇒12 −  2  2 ⇒ OK − xx 2 ≥0διατηρεί 1 (1) gg ( xx ) = − Αν 2 ∫∫ ff (( tt ))dt 2= 1 2− 2 ⇒ 1   Αν (1) = dt − ≥ 0 2 4  2 2 2 2 4 διχοτοούνται 2 2 2 OK 2 =21 2 −1 OK ⇒ = − 1 2 2 e x 1⇒. 2−OK  Το BK x − xx+21− x +1 x −1x +1 242 12−, . = 112 1άρα x x − ⇒ 2 2 2 OK2= = x−x 2x −x 2 ⇒ OK OΓ=== 1η σύνθεσηxτων 2 1 Η φ (( (x )))είναι −ex) 2 παραγωγίσιων  22  = OK⇒222⇒=OK 2 2 2  2  2  2 xx 2 − ∫∫ ff (( tt ))dt OK (και η=ηδιαφορά x ( x=παραγωγίσιων και .− x 2η .σύνθεση x −fx(+t1)dt Ανggφgείναι f (των t )των dt −φ (των ≥)0= ∫(1) συναρτήσεων και xx είναι dt − xx + + 11 .. συναρτήσεων ∫ f ( ∫η σύνθεση τωνκαι παραγωγίσιων x e) είναι (Η )dtφ συναρτήσεων OK 2 = =21112 − −1 OK ⇒ OK = 111 − − 22= = 111 4− −1⇒ ⇒ 2 OK = 1 −  ⇒ OK = 1 − = 1 − ⇒Η 2 22  2⇒ 22 = Η είναι διαφορά φ f t 2 x ∫  OK = − ⇒ − = − ⇒ = 1 ⇒2 OK OΓ =4 2. 2 των φe( x ) =1 1∫ f ( t )dt και e . 11 ⇒ OΓ = 2⇒ . OK 1 4 2 Η g είναι η διαφορά  2  1 2 ⇒  =22x1+2 iy= , 2x, 2 e Β3. .=442 2 . 122 y ∈O 2R 2 Έστω 2= 2w 2⇒ 11− 2x 1 2 ⇒ OK = ⇒ OK Γ x 2 − 2x ( ) 1 2 x 1) (( 2x −21)) − OK ⇒ =21 OK −1 OK = 1 −⇒ O=Γ1=− 2 ⇒ =  ⇒⇒OK . −x+ παραγωγίσιη ε gg′′ (( ηxx )) g= ff ( xx 2(παραγωγίσιη . gg είναι Οπότε )⇒ 22iy=⇒ 1 2 =είναι είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο παράγωγο Οπότε ( )ηη είναι g′ ( x ) = f ( x 2 − x +1) Οπότε 2 η ησύνθεση τωντων παραγωγίσιων συναρτήσεων . . − −xε +x12eeπαράγωγο Η 12w x1 ∫ f −t )xdt+ ⇒ OK = Γ Έστω ,x2+x, .==4 =2212.. ⇒2 =2= OK x212 iy y−5x ∈ R x +iy 5yi −522( x= −iy + ( t 2x )dtx−1και x, y ∈ R . Β3. ⇒ +⇒ Η φφ (xx )είναι σύνθεση παραγωγίσιων συναρτήσεων 2O ∫ fκαι ⇒ OK = = ⇒ O Γ ⇒ OK = ⇒ OK = ⇒ OΓ = 2 . OK 2 − x + 1. ⇒ OK = ⇒ = ⇒ O Γ = . OK 2 ( ) ( ) 2 2 Η φ x είναι η σύνθεση των παραγωγίσιων 1 g ( 1x ∫ f) t gdt(1και Β3. Έστω . R12 + iy ,x22+x,iy2y−5x ∈ +R25yi (( xx ))συναρτήσεων ) .. x − x + 1 . ( ) 22w) == x12 2 2 ≥ Είναι x +⇒ iy − 5( x −Έστω iy και gg ((11)) == 00 .. Άρα Άρα η η (1): (1): ggΕίναι ≥ggg(((000) ))= και και ≥) =g (01). Άρα g ( 1gx )(1≥ Είναι gg (( 00 )) == 00 και Β3. . ⇒ w⇒ = x +2xiy , x, η (1): g x ≥ g ( 0 ) και g ( x ) 0 και iy −5x +5yi = 12 yRy.∈ = 2Έστω 21w = x + iy , x, 2 − 1 2x Β3. y ∈ 2 1−από 2x 16x = 1=212 ( x ) ′=( fx)( x =−0x(+, 12) ( 2x )(1− και Β3. Έστω Β3. Έστω , . w=)⇒ =144 x12+ +⇒ iy w = x + iy x,iy2⇒ y−+5x ∈O+R R x, y ∈ R ⇒ OK =⇒ Γ5yi . x +iy x=−iy x +x, −+536y = OK ⇒ ⇒ ( ′ − είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο g 1 . g Οπότε η Β3. Έστω , . w = x iy Η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα g x = y ∈ ) ε παράγωγο xx 0 ==f 0 x, 2 −x 0+1τοπικά 1) −ακρότατα Οπότε η g είναι παραγωγίσιη 1−από 2x . Θεώρηα Η τοπικά ακρότατα Θεώρηα g παρουσιάζει =) 12x −και 9 x +yiy 42 −5x +5yi = 12 ⇒ Ησταgg (παρουσιάζει στα x 0 = 0 , x 0 = x +iy −225( x −iy ) = 122⇒ e x ( 2 0 0 ) ( ) x 2 y2 e ′ . Οπότε η g είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο g x = f x − x +1 2x −1 − xx 2+ xx + = ⇒ ( xx −−iy ) 144 = 1= iy − iy 12⇒ iy2− 5xy+ 5yi 12 ⇒ x +iy −5( x −iy ) = 12 ⇒ x +iy −5x +5yi = 12 ⇒ Είναι g ( 0 ) = 0 και g (1) = 0 . Άρα η (1): g ( x ) ≥ g ( 0 ) και g ( x ) ≥ g (1) . +iy −+55536y = 12 ⇒ +xiy −+5x +25yi = 12 ⇒ 2= 2 ⇒ + = 1 16x e ( ) x iy x iy 12 x iy 5x 5yi 12 + − − = ⇒ + − + = ⇒ α 2= 9 , 2β2w==42x, +γ iy=, 5x,9 y ∈x4R2 . y2 ) ≥ g ( 0 )1και g ( x ) ≥ g( (1)) . − ( ) 9 4 Β3. g (1) ′=( 0) . Άρα η (1): g(( x)( Είναι −11 = 0 1 16x Έστω + 36y = 144 ⇒ ⇒ 2 + 2 = 1 και g) ′=(110) ==. Άρα Οπότε και Fermatgg (gg00′′)((==00 ))00== και == 000gκαι 1()1)=)11.− − ( x ) g≥ff′ g((11 ((11x)() ≥−−11g))g(−−0′ ()10 )και και η (1): ffgFermat g (1g Είναι Fermat 00 και 00 .. Οπότε = = 0 f (1)( −1) − = 0 και 2⇒ y422 + 2 2 2 2 16x + και . Οπότε 0 ⇒x =1 2 9 22 36y = 144 2 x y x y Η τοπικά ακρότατα στα στα από Θεώρηα ggπαρουσιάζει x = x0 , =ee 0x , = 1x και Η τιή του είναι 3y+9και η ελάχιστη τιή του2 w είναι 2. w⇒ 2=− 2iy= 2 , , αx +έγιστη 9 β = 4 γ = 5 e 4 16x 36y 144 + ⇒ + = 1 x iy 5 x 12 x iy 5x 5yi 12 − = ⇒ + − = ⇒ Η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και από Θεώρηα = 1 ( ) 2 2 e 0 0 e 16x + 36y = 144 ⇒ ⇒ + =1 = 11 16x 36y 2 = 144 ⇒ 2 + 2 ⇒ 9 + 16x Η g παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα x 00 = 0 , x 00 = 1 και από Θεώρηα 9 +3 444και= η 9 4 2, β ==144 α έγιστη = +936y 4του γ w⇒ = 5είναι 2, ⇒ 29 Β4. − 11 11 Η τιή ελάχιστη τιή του w είναι 2. ναι 3 και η ελάχιστη τιή w24είναι , α = 9 β = γ = 5 2 1 1 − 2 , του − 22. 2 − 1 1 −1 x ) < 0 . 2 2 ff ((11)) == g ′ ( 0 )και f ((11)) g==′ (−−1) =..0Άρα . 1))−= )= 01και f (( xx ))f < ,, zγγ+22wmax α 9≤ ,, z β = 44≤του = 5x w =3y1και z −22 w2= +222 w +=3η =ελάχιστη 4 Fermat <(100)( 1()1)=1−f− (1.)Άρα Η τιή του 2.4 , γ 2 = 5 , είναι α = β = = 9w β w=είναι )= =0 f0και Β4. 16x +9 == ⇒ και g ′ (e1) Άρα . fΟπότε Fermat ge ′ ( 0και =. 0Οπότε f .f(−1(1)( −1 − 1 και = 0f (fκαι 1=−0 −f1( = 0 ,έγιστη ,⇒ α έγιστη =Η 936y βτιή =144 4τιή γ του = 55είναι 31 και η ελάχιστηα τιή του 2. w +είναι ( )( ) ( ) ( ) ( ) e e e e 9 4 ′ ′ e e g και g . Οπότε και Fermat 0 = 0 1 = 0 f 1 − 1 − = 0 f 1 1 − e e =0 είναι 33 1και τιή του είναι 2. w Β4. (Ηz −z2έγιστη ≤≥z z+τιή w = =ελάχιστη −wwΒ4. −ww ≤του ≥ z z+w −max min w ≥ 1+−32η =4 1) w = 1+ 3 =Η 4 Η έγιστη τιή του είναι και η ελάχιστη τιή Η του έγιστη είναι τιή 2. του είναι 3 και η ελάχιστη τιή του είναι 2. w w w w e  2 έγιστη τιή του 2w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2.  x lnet − t  −11 σχέση: ln x1− 1x =  xx ln = 5 w = 1+ 3 = 4 ) Β4. ln tt − − tt + e  f (( x )) (3) Η Β4. Β4. (αz1−z)−w=w9≤z≥−, zwβz+≤−w=wz 4≤+≥, zwγz+−≤max min ≥ 1w− =2 1=+ 13 = 4  f∫∫ (fxf()t(<)xdt ff ((δοσένη 11)) == − και f (f1()1=)ln−=x −−.1xΆρα 0) .<+ e0Η Η δοσένη σχέση: =Άρα dt f δοσένη x (3) σχέση: ln x − x =  ∫ Β4. z +wmax dt + e  f ( x ) (3) w ≥ 1− 2 = − 1 και . .   ( )   ( ) z − w ≤ z + w ≤ z + max w = 1 + 3 = 4 f t f t 1   ( ) ( ) Η είναι 3 11και τιήzτου Στο φαίνεται (zz −−zέγιστη f 1 = ee και f 1 = e− e . Άρα wwδιπλανό ≤≥zz z+ +τιή ≤του w = = − w ≤w zείναι + w 2.≤ z + max w = 1 + 3 = 4 −w −ww σχήα ≥ z z+w −max min w ≥ 1+−3ότι 2η=ελάχιστη =4 η 1)  1 f ( x ) < 0. 1  ≤ ( z − w ≥w z≤ −zw+ max ≥ z −wmin w+ 3≥=14− 2 = 1) e e Είναι οπότε το πρώτο έλος της (3) δεν ηδενίζεται, άρα και κάθε όρος ln x ≤ x − 1 < x Β4. ή≥ 1 ΚΑ A′Λ έγιστη απόσταση ((( ηzzz −−− wwwδιπλανό ≥ ≥ w − 22 και = 11)) τηςln(3) και έλος κάθε όρος ln x ≤ x − 1 < x οπότε xτο πρώτο της (3) δεν ηδενί x ≤δεν x − ηδενίζεται, 1 < x οπότε τοάρα φαίνεται ln −lnt t − t έλος ( z − w ≥ z − w ≥ z −min w ≥ 1 − 2 = 1) ΗΕίναι  xtπρώτο Είναι ≥ zzz − −w w σχήα ≥ zzz − − min min w ≥ −ότι =η αίνεται ότι Στο ≥ − w ≥ − min w ≥ 11 − 2 = 1) ( )   δοσένη σχέση: − = + (3) ln x x dt e f x x − ln x x ∫   ( ) z − w διπλανό ≤ z ΣΒ + wή σχήα ≤Σ′Β z ′+. max w ή= 1ΚΑ + 3ότι =και 4η   Η δοσένη σχέση: − = + (3) ln x x dt e f x ελάχιστη − ln x x ln t t − ∫ Στο φαίνεται   ( ) ( ) A′Λ έγιστη απόσταση t f ( t )η τουδοσένη δεύτερου έλους της (3) είναι η ηδενικός άρα ffέλους .. Η Λ ή ΚΑ και Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι η ) (3) ( xx ) = Η σχέση: − x(3) ln xτης dt +ηδενικός e του f ( xδεύτερου = xτης (3) είναι του δεύτερου έλους άρα Η συνάρτηση ησυνάρτηση ηδενικός άρα f ( x ) = x =1 fείναι x ln tt − tt  1∫ f ( t )  Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι η ή≥ 1ΚΑ και A′Λ έγιστη απόσταση (Στοz − wέγιστη ) ≥ ΣΒ z−w ≥ z − min w − 2 = 1 − ln ′ ′ ελάχιστη ή . Σ Β Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι η Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι η dt + e 1   ∫ A′Λ ήότιΚΑ Είναι το το πρώτο έλος της (3) και+κάθε διπλανό απόσταση σχήα φαίνεται η και e καιόρος ∫ άρα Είναι lnlnxx≤≤x x− −1 1< <x οπότε ∫ πρώτο έλος της δεν (3) ηδενίζεται, δεν ηδενίζεται, κάθε όρος x οπότε f (( t )) dtάρα ή ΚΑ και έγιστη απόσταση ελάχιστη ΣΒ ή Σ′Β′ . A′Λ έγιστη απόσταση έγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ και Είναι ln x ≤ x − 1 < x οπότε το πρώτο έλος της (3) δεν ηδενίζεται, ln x −11 xflntx − xάρα και κάθε όρος ′Β′ . ή ελάχιστη ΣΒ ή ΣA′Λ ή ΚΑ ΚΑ και και A′Λ έγιστη απόσταση 1 =f ( x ) = ln x. − f ( x )αποτελείται του δεύτερου έλους (3) είναι η ηδενικός άρα Ηx συνάρτηση ′ . φαίνεται ότι η ελάχιστη ΣΒ ή Σ′′Β Στο διπλανό σχήα παραγωγίσιη αφού το δεύτερο έλος από ff είναι του δεύτερου έλουςτηςτης (3) είναι ηδενικός άρα Ηδεύτερο συνάρτηση ελάχιστη ελάχιστη ΣΒ ή Σ′Β′ . x είναι παραγωγίσιη αφού το η δεύτερο έλος αποτελείται από παραγωγίσιες παραγωγίσιη το..παραγωγίσιες έλος αποτελεί f είναι ελάχιστηΓΣΒ ΣΒ ή ή Σ Σ′Β Β′′ .. ΘΕΜΑ f ( xln) t=− txdtln+αφού του δεύτερου έλους της (3) είναι η ηδενικός άρα Ηxσυνάρτηση − t t x e έγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ και ∫ ( ) x∫ ln t − t dt +e x ln t − t x xln t − t ln x − x f t ln t − t dt + e . Αν1 θέσουε t ln x − x dtln f (t) h ΘΕΜΑ (+xex))−x== = lnlnt −t −t dt συναρτήσεις. Γ1. f ( xΓ)ΣΒ = (ήx Σ−′1Β)′ ln ελάχιστη . x − 1 , x > 0 Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις 1∫ f(3): συναρτήσεις. Από Από την την (3): (3): f (( x )) == dt + e . Αν dtdt,, + e . Αν θέσο (t) h (x συναρτήσεις. Απόθέσουε την ( ) ( ) ( ) 1 f t f t f xδεύτερο ΘΕΜΑ Γ f x είναι παραγωγίσιη αφού το έλος αποτελείται από παραγωγίσιες f ( ) ( ) ( ) 11 f t έλος αποτελείται από παραγωγίσιες 11 f f t t f είναι παραγωγίσιη αφού το δεύτερο ( x ) = (Γx − 1από ) ln xπαραγωγίσιες (fx −αποτελείται 1 Γ1. από παραγωγίσιες συναρτήσεις fΘΕΜΑ − 1 , 1x > x0ln Η x +συναρτήσεις 1) −1 , x > 0 Η f αποτελείται x παραγωγίσιη αφού το x δεύτερο έλος αποτελείται από παραγωγίσιες f είναι ΘΕΜΑ − 1) = : (fΓ . Είναι f ′ (1)Γ= 0 . x) + (x οπότε xt − t xt ΘΕΜΑ Γ′)( x=)(=x ln ΘΕΜΑ ( ) ln ln t − η παραπάνω ισότητα γράφεται: h 1 = 0 ln x − x Γ1. , Η αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις f x − 1 ln x − 1 x > 0 f ΘΕΜΑ Γ ( ) ( ) x ln t − t ln ,t − t η παραπάνω ισότητα γράφεται: h 1 = 0 x x η παραπάνω ισότητα γράφεται: h 1 = 0 ln x − x ( ) 1 ( ) ( ) ( ) x x ln x + x − 1 ( ) 1 x ln x + x −Γ1. από παραγωγίσιες συναρτήσεις συναρτήσεις. f )(x = )x − 1 ln x − 1 , x > 0 Η f αποτελείται 1 h x =h ( x ) = dt = tdt− +t edt−. x+Ανe .θέσουε συναρτήσεις. Από Απότην την(3):(3):f ( ln Αν (1() =) παραγωγίσιες =xx ln +=(x οπότε . Είναι f ′ από 0 .( x= 1),, 1xx => (x)1)ln )(x −))x =f ( tln − xx θέσουε 11− xx ( ) ( ) ln t − t dt , Γ1. συναρτήσεις ff: ((fxx.′))(Είναι − xx0− 00ln Η ffx −αποτελείται − 1) = xfσυναρτήσεις .−1 f ′1 ) ( ) ( ) − x − − ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) f t Γ1. Γ1. Η αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις , Η αποτελείται από παραγωγίσιες = − 1 ln − 1 > f x = x − 1 ln x − 1 x > 0 f x x x + 1 συναρτήσεις. Από την (3): . Αν θέσουε dt + e h x = = ′ ′ ′ ( ) x ( ) ( ) = h x h x e h x h x e h x e e h x e + ⇒ − = ⇒ − = ⇒ x xf:> f1xΓ f ′′(t(xx) e= h −( xe) +he(⇒ Γ1. − 1xx >ln − 1x,ln xx > 0 Η fxαποτελείται ) e,− x − e − x h ( x ) = Αν 0x⇒ καιx ln ↑ h ′ ( x ) = h ( x ) + e ⇒ h ′ ( x ) − h f((xx)) =1 e ⇒ x )h=′ (ex ) − ⇒ ΘΕΜΑ h1( x ) = 1e ⇒ff ((htt′))( xdt (1′ )( x=)παραγωγίσιες x−+1( x>−01) άραf ′fαπό ′ (τότε x 0(>.) 0 οπότε η f συναρτήσεις x=) =′x:(ln ln οπότε 1 fhh( ) t ) =+ln(xx−+1)(xx1x1−=1)xx1ln (( x −1)) . Είναι ′ = : . Είναι f 1 = 0 . f x οπότε x + x 1 1 ( x)−1) 0<>. 00 οπότε η f ↑ 1 lnxκαι +(0xxx− −άρα x ln x +( x −1) h ((1)) = −0x η′ παραπάνω Αν x′ (τότε <x1) τότε 1>− <x1) 0ln1και x0lnάρα x+ ισότητα γράφεται: x0ln xxf<+ 11x)1.. >Είναι − 1− x x x =: ln +x0−(x => ln Είναι lnfx:xx)′ >x(+ (x οπότε Αν >(1ff1x − ⇒ x ln x > 0 και x0f−:::< γράφεται: −x x = − e11− −x x +c⇒ −x 1− x 1− x = = :((111′ f))(′x===()xπαραγωγίσιες .((hhhΕίναι fff ′′′fαπό 00 ).. = ln x + (x − 1) f ′))′(η 1=)παραπάνω =(( −0e11. −− xx ))′′ ⇒ισότητα ln οπότε οπότε ((1xx)))ee=− x0 − x )h′ (( x ()) = 1− − xe)1′− x e x +(ce)x ⇒ ΜΕΘΟΙΟ Γ1. hh ′′ (( xx )) eeγράφεται: αποτελείται συναρτήσεις − 1ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ x)⇒ −− xx= xx↑f πίνακα =xφαίνονται + (x −101) => 0xη Η . Είναι f ′′>)(( 0xx=))(άρα ln x ln 1), οπότε οπότε ( (−xcx)⇒ ( ′ e h x = e e ce = − ⇒ = − e + − + h e e = − ⇒ h x e⇒ = −e + c ⇒ h ( x ) = −e e x η παραπάνω ισότητα h 1 = 0 x Τα παραπάνω στον παρακάτω : ( ) ′ − x 1 − x x : ln+ x(: x>x−10−) 1⇒ > 1x τότε x0lnx x > ln 0 xκαι x άρα − 1 > x0lnάρα f( x −x1) <>′ (00 )οπότε η f ↑ x x τότε και < < 1 < < 0 x + − x − x 1 − x < 0 και ln xΑν < 00xάρα x ln x < 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ xh ′ e( x )−e e −h ex xh=(ex ) =⇒e ⇒ hh′′((xxx) )===−hhe (x+xce Αν x > 1 τότε : ln x > 0 ⇒ x x>+0( x −και 1 > 0 άρα f x > 0 οπότε η f ↑ )+ +xxe e⇒⇒h ′hx′ ( x−)h− hx ( x= )e =⇒eh⇒ 1x x>lnx0ln 1)1 >xx0−ln −x −x 1− x )))0<> Αν :: ln άρα > 1x (τότε > − 0xxπίνακα <x:1) τότε x 0− 1⇒στον <x0ln και ln xκαι < 0xxπίνακα άρα x+ hh ′(0(xx)άρα )==−hef ′(+(xxce ))+>e 0⇒οπότε Τα παραπάνω παρακάτω ′fff((>1x′′′x)1((−x :< Είναι fxln . −00 ln1xxx:xτότε οπότε h ′ ( x )η− fh (↑x ) = e ⇒ hh′ ((xx))=e −e −+ ece h ( x ) = e ⇒ στον παρακάτω Αν άρα οπότε η > > − 11.0> 00: Αν xx=1+τότε > 001: )lnοπότε x0> 0η ⇒fff x↑ ↑ ln x > 0 και x − 1 > ( < x=φαίνονται −ln ln x < άρα x x < Αν τότε : <ln και άρα οπότε η x Αν > f11′0τότε ln >+ 00(x:⇒ ⇒−xxx1) ln1 xx<=> >0 00καικαι x − > > ↑ x ′ − x 1 − x 1 − x x x ′ − x 1 − x ( ) ( ) x Αν : x άρα 00το< xx < 1 τότε 11 στον < 00 και ln xx < 0 πίνακα xx. :ln 0 ( −−−1()e−ee<e++1−0)ce 1− x x ⇒ x ′= 0 ⇒ Τα φαίνονται παρακάτω (h (1) =− x00) )′′(⇒ (hx′ ()ccxe ==) e11=− x−=e −e+1−cxh⇒ x )⇒ (1)h=( x0)h⇒ =(−x− e) e=+e−ce =x=− Γιαπαραπάνω τα f ( παρακάτω ⇒ ce (  2 )πίνακα Αν τότε Ανx < < xx − − ln xx + + 0: ((<xxx x−−−111<)) < < c = 1⇒ e +=cee0 ⇒ + ce φαίνονται στον Αν τότε:: θα και άρα 0 Τα <πεδίο xπαραπάνω < 11τιών −βρούε 1< < 0 και ln x 1< <) ,00f άρα x ln ln + <1 00τότε: x − 1 < 0 και ln x < 0 άρα((hhhx((1xxln))ee=x− x+ ′=⇒xh0′ ⇒ ( x ) e − x = −e1− x ++lncc x⇒ ( x ) = − e1− x e x + ce x ⇒ ′ Τα παραπάνω h :x e ) = (xx− e1− x ) ⇒ h h ⇒ ′ ( x ) > 0φαίνονται Αν : άρα οπότε η x > 1 τότε φαίνονται ln x > 0 ⇒στον x ln xπαρακάτω > 0 και xπίνακα − 1 > 0:: Τα f f ↑ − x x Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα παραπάνω στον παρακάτω πίνακα x ln −x xx x ln x − x xxx ln x − x Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: hh ((xx)) =h=− ln tt − − tt x (− Άρα xxee))+= ff (( xx∫ ))ln==t −ee −t dx t((=ln +ceeecex x− Άρα = − ee ⇒ ⇒ ∫∫ f ( t ) ddtt == ee − − ee ⇒ ⇒ ⇒ lnexxx − − exx ))⇒ Άρα (h ( x) ) === eee −⇒ = e ⇒ f (x e⇒ ) = −ln1 x < 0 άρα x ln x + ( x −1) < 0 ( x−) 1,<f 0(1και Αν ( x)) h=(− f ( 01 )<=xf<(11), τότε lim :f x + h e ce ( ) f x ( ) f t ( 1 ( ) f t hh (11) ==00⇒ 0⇒ c =c1= 1  f x f (x)  10 ⇒ + 1 ⇒−−e e+ +cece= = Τα παραπάνω xφαίνονται →0   στον παρακάτω πίνακα: xx c = 1 h (1) lim =0⇒ −e) = + ce = 0e −−⇒ ( ( ) − x x 2. f x lim ln x x − = −∞ ln x − x ( ) lim+lnxetln− tt(−lnt x −x xx) = −∞2.ln xlim − x ( − xx − x ) = −∞ 2. lim xxf ( x ) =x )lim lim f ( x ) = lim+ ( x − 1) ln x − 1 = +∞ αφού ( 0)++)=f e xxx− = xx → Άρα =f 0e(+xe) (=lneln ⇒e ⇒ ln xx →=− x− x−(xln) x − x ) →(x0 → −0e+x =⇒efxx (⇒ x→ Άρα hxxh→ x = e x −e e⇒ ⇒∫00+ x∫f (ln td−)tt =dte = −e xe − ) x → 0+ x →0 t ( ) ( ) ( ( f x Άρα h x( =) e − e ⇒1 1∫ f t++ dt = e − e ⇒ f ( x ) = e ⇒ f x ) = e ( ln x − x ) Ολικό ελάχιστο το f (1) = −1 . Έστω f 0( t ) τότε υ → −∞ f ( xf )( x ) = υ αν x → 0+ τότε υ → −∞ Έστω ff ( x x() = αν x → =) υ υ αν x −1→ Έστω x − x0 τότε υ → −∞ ( ln(xln−xx−) =x )−∞   2. lim f x lim e = ( ) 2. lim f x lim e = = −∞ + + −x 11   lim ln x = −∞ και lim− ( x −1) = −1 .Άρα f ( 1 ) = [ −1,+∞ ) . Το f (  2 ) = f (1), lim f ( x )  x →xlim 0→ ( ln x − x ) = −∞ 2. xx→ lim  0+ e →00+ f ( x ) =  x → 0+ x →0 x →+∞    x→ 0+ x1 → 0+ +    1    22 ) 22   υ 1 1 + ( 1 1        Έστω f x = υυανανx → 0 τότε υ=→υlim −∞ − υ  = lim lim Έστω → −∞ = υ→−∞  ( x) → − ff 0((+xx ))τότε υ lim  f − −2 (υ υx) = υ −=υ υlim υ2  − υ = lim  lim0++ f (( x(( xx)) ))= lim lim  υ υ→−∞ − f (1xυ) − lim f ( x ) = lim [( x − 1) ln x − 1] = +∞ αφού lim ( x − 1) = +∞ , lim ln x = +∞ άρα  xx →     Έστω f x αν → τότε = υ x 0 υ → −∞ +     υ f x     →0  x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ f (x) υ  υ→−∞  x →0 υ  υ→−∞  υ→−∞   f ( x )1 11 υ→−∞    υ 1   f (  2 ) = [ −1,+∞ ) . Οπότε το σύνολο τιών της f είναι f ( 1 )  f (  2 ) = [ −1,+∞ ) .   11  υ υ   22( )   2  21 1   − υ1 −=υ lim= lim υ υυ − υ − υ lim ff 2 (xx ) f−(fx () x )= = limlimυ   ( 1)1− υ−2 t lim  +  1     t υ t − 1 x −1 2013 t 1  t υ    υ→−∞ υ→−∞ 1 x 0 → + ( ) ( )      t − t υ t − 1 1  t 1  t 1 υt − 1 1  f f x( x ) − f −x  ==lim   υ υ= υlim 1− υ  = υ→−∞ υ t 11 =− 0υ t − t lim υ→−∞ = Γ2. x =e (1) xlim → 0  f = x Θέτω t :  lim lim Θέτω =υ lim lim = li υ→−∞  υ→−∞ x → 0+   0 2 = lim =υlim == 0lim f ( xt ) t − t  = lim tt 22 Θέτω tt → tt → tt → 00= t: 2tlim tt → 00 −1 υυ = t : lim 2 x −1 2013 x −1 2013 →0 →0 → → 0 0 → → → t 0 t t 0 t→      t t t 2 2t  t  t υt   υ t 2t x =e ⇔ ln x = ln e ⇔ ( x −1) ln x = 2013 ⇔ ( x −1) ln x − 1 = 2012 ⇔   υ 1 − tt −) )t′′ υ−−txxυ −(1 t − 1  x  1 1 t ′′t (1 )1  ( −− t −− 1  xx ( t ⇔ f ( x ) = 2012 (2) F′ (1x ) = f (( xx )) ενώ F xx )) + 3. − xx=3. xx − (=ee lim )t ===Flim ( ln Θέτω 0xx )tt=1x=−−( e110− x==( ln x − x ) )′ = − e − x ( ln x − x ) + )− ′−−(eex )υ ενώ F−′′t (−xx)1===lim ln(=txxx−lim −1ενώ +Fee′′=( 3. ln2 =(fln t2−)lim 1  ΘέτωF′ (1x=)=t=t: :f lim = lim lim   → → → → t 0 t 0 t 0 t 0 Το 2012 ∈ f ( 1 ) οπότε υπάρχει x1 ∈ 1 : f ( x1 ) = 2012 Θέτω υυ = t : lim =2lim = lim t →0 t t → 0t t →2t 0 t → 0 2 x= 0   t t t t− t  = lim t 2t t →10  t t − x  t  t → 0 1 t 2 t →0 t →0 2 − xx υ 2t 1 1 − − x 1 1     − x −x   xx + = − = ee ′ ( − −)ln ln xx + +( xx + + −11 = =′′ (ee )  xx( − −−11x− −(ln ln + x))′> > =00 ′e − x (− −lnx x + x +) −1−x = 1e − xx 1−1−ln Το 2012 ∈ f (  2 ) οπότε υπάρχει x 2 ∈  2 : f ( x 2 ) = 2012 x+ > 0 ) x − x 3.  F Fx′′ ( x=) e= ( e−lnxx(−lnxxx− x=) )−′e = − eln− xx (−lnx xx+−ex) + e−−1x= 1 −1 = x  ενώ 3. FF′(xx )==f f x( x )xενώ +xe   x −1 = ) = ( e τα ( ln κοίλα ′′ ( xστρέφει ′ ( x′′′′) ((=x ))f >( x0) άρα ενώ η x για = − e τα( (άνω − x )x 3. x − x ) ) προς   Η f είναι ονότονη στα διαστήατα αυτά, άρα η (2) έχει 2 ακριβώς θετικές ρίζες. Άρα )ln>ΟΙΚΟ ′′ xάνω Άρα Fη η F F x > 0 άρα ηF F F στρέφει τα κοίλα > F0 0 ..στρέφει Άραπρος η Fτα άραx η> 0για  x ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ  τα κοίλα προς τα άνω για x 1 1 −−xx  − x −x   Εποένως και η ισοδύναή της (1) έχει ακριβώς 2 ρίζες θετικές. 1 1     Στα τις προϋποθέσεις του Θεωρήατος Θεωρήατος Μέσης ιής, x,2x 2x,3x ] η F ικανοποιεί == ee [[x,2x −−lnlnx]]x+,,+x +x[[ 2x,3x 1x−−ln1−xln + x+> τις 0 >Στα Στα προϋποθέσεις του Μέσης ιής, τις προϋποθέσεις του Θε ] η F ικανοποιεί + −1−ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 0 [ x,2x ] , [ 2x,3x ΟΙΚΟ 1=]e=ηe Fx −ικανοποιεί

17

AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA TΩN MAΘHMATIKΩN ΘETIKHΣ KAI TEXNOΛOΓIKHΣ KATEYΘYNΣHΣ - 2012

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Γ3. Το x 0 ρίζα της εξίσωσης. f ′ ( x ) + f ( x ) − 2012 = 0 ή f ′ ( x ) e + f ( x ) e − 2012e = 0 . x

x

x

Επίσης f ( x1 ) = 2012 και f ( x 2 ) = 2012 . Έστω h ( x ) = f ( x ) e − 2012e , x ∈ [ x1 ,x 2 ] . Η h συνεχής ως αποτέλεσα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Η h παραγωγίσιη ε x

παράγωγο h′ ( x ) = f ′ ( x ) e + f ( x ) e − 2012e x

h ( x1 ) = f ( x1 ) e

x1

− 2012e

x1

x

x

h ( x2 ) = f ( x2 ) e

= 0,

x

x2

− 2012e

x2

=0

Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του εωρήατος Rolle , για την h στο [ x1 ,x 2 ] ,

οπότε υπάρχει ένα x 0 ∈ ( x1 , x 2 ) :

h ( x 0 ) = 0 ⇒ f ′ ( x 0 ) e 0 + f ( x 0 ) e 0 − 2012e 0 = 0 ⇒ f ′ ( x 0 ) + f ( x 0 ) = 2012 Γ4. Όπως διατυπώνεται, το ζητούενο εβαδόν είναι: x

x

x

e

e e 2 e 2  x 2    1 x x ∫ g( x )dx = ∫ ( x −1) ln xdx = ∫  − x  ln xdx =  − x  ln x  − ∫  − x  dx =         2 2 2 x  1 1 1 1 1 e

2 e 2  e2   e − 2e x  −e  − 0 − ∫  −1dx =  2   2  2 1

e − 2e 2

 e 2 − 4e

3

2 x    1  e − 2e  e −  − x = −  − e  −  − 1   = 2 4 1   4   4

e2 − 3

2

e

2

∫∫

∫∫

−x  x 1   x  1  F  − ln x + x + xx −1 = e  x −1−ln x + xx  > 0 −xF F(( 2x 2x )) − F>(( xx0)). F( 2x ) −F( x ) ( ) οπότε υπάρχει x,2x )) προς :: οπότε F ξξ τα ∈ (κοίλα ξξτα = Άρα 0 0άρα η ηF F στρέφει 11 )) άνω οπότε F′′ ((προς και υπάρχει = τα για Άρα ηη FF′′′′ x( x )> >υπάρχει άρα στρέφει τα κοίλα άνω για x > 0 . και υπάρχει :υπάρχει F)′−( ξF1()2x ξ ∈ ( x,2x =) 11 ∈ ( x,2x F()3x x 1 ( ) x ′′ x ξ < Άρα η F x > 0 άρα η F στρέφει τα κοίλα προς τα άνω για x > 0 . ′ ∈ ( 2x,3x ) :Μέσης = F ( ξ2 ) ιής, . Το Στα τις προϋποθέσεις του ξΘεωρήατος ] ]η ηFF(ικανοποιεί Στα [[x,2x Θεωρήατος Μέσης ιής, x,2x] ], ,[ 2x,3x F ικανοποιεί 1 2 [ 2x,3x )− F( 2x ) τις προϋποθέσεις του x 3x Στα , η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήατος Μέσης ιής, x,2x 2x,3x F [ ] [ ] ξ ∈ ( 2x,3x ) : F′ ( ξ2 ) = . Το ξ1 <F(ξ2x , η( xF′ αύξουσα. ποένως, ) γνησίως ( ) ( ) ( ) ( ) 2 )F−(F2x 2 ) ( ) F 2x − F x F 3x − F 2x − F x x οπότε υπάρχει ( x,2x ) : F′ ( ξ ) = ξ ∈ ′ ( ξ2 ) και ( 2x )F−′F( ξ( 1x)) < Fκαι ⇒ υπάρχειυπάρχει < ⇒ οπότε υπάρχει 1 ξ ∈ ( x,2x ) : 1F′ ( ξ1 ) = F )− F) (:2x x υπάρχει x F( 2x ) −F( x ) ξ1 ∈ F((3x οπότε υπάρχει x,2x F′ )( ξ1 ) = x( x) και ( ) ( ) <1 F′ ( ξ1 ) < F′ ( ξ2 ) ⇒ ⇒ 2F 2x x > F x + F ( 3x 4. Έστω h x ) = F (β ) + F ( 3β ) − 2F ( x ) , x ∈ [β x x 4. Έστω h ( x ) = F (β ) + F ( 3β ) − 2F ( x ) , x ∈ [β,2β] . Ησυναρτήσεων. h συνεχής ως διαφορά h ( β ) = F (συνεχών β ) + F ( 3β ) − 2F ( β ) = F

=e

− x 

) = f ( x ) < h0( 2β ) = F (β ) + F F′ ( xφθίνουσα. συναρτήσεων. h ( β ) = F ( β ) + F ( 3β ) − 2F ( β ) = F ( 3β ) − Fοπότε ( β ) < 0η Fδιότι γνησίως οπότε η F γνησίως φθίνουσα. h ( 2β ) = F (β ) + F ( 3β ) − 2F ( 2β ) > 0 Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήατος ) : h ( ξ )οπότε ξ ∈ (β, 2βBolzano = 0 ⇒ Fυπάρχει (β ) + F ( 3β ) = 2F ( ξ ) . ονότονη άρα το ξ ξ ∈ (β, 2β ) : h ( ξ ) = 0 ⇒ F (β ) + F ( 3β ) = 2F ( ξ ) . Η h είναι είναιγνησίως οναδικό.

είναι οναδικό, διότι h ′ ( x ) = −2f ( x ) . α τω Κωστής Στρατής, αατς

α τω Κωστής Στρατής, αατς


16

TPITH 29 MAΪOY 2012

Αρχαία Ελληνικά Θεωρητικής Κατεύθυνσης 2012 (ρτεινόενες Απαντήσεις)

βλέπει αποτελεσατικά, αφού πρώτα φτάσει στην τέλεια κατάστασή του («οἷον ἡ τοῡ ὀφθαλοῡ ἀρετή … καὶ τὸ ἒ��γον αὐτοῡ»). Οοίως και στην περίπτωση του αλόγου χάρη στην αρετή ὁ ἵππος καθίσταται τέλειος, ἀγαθὸν δραεῖν καὶ ἐνεγκεῖν τὸν ἐπιβάτην καὶ εῖναι τούς πολείους. Τέλος, η αρετή του ανθρώπου επιτελεί το ίδιο ακριβώς έργο που συνίσταται στην τελείωση των πράξεων του ανθρώπου (έσω της έξεως) αλλά και του ιδίου. Κατά συνέπεια, η αρετή δεν αφορά όνο στους ανθρώπους αλλά και στα ζώα και τα πράγατα, άρα στα έψυχα και τα άψυχα. Με άλλα λόγια, η λέξη δεν έχει αποκλειστικά ηθικό περιεχόενο (όπως και στη νέα ελληνική) αλλά αποτελεί οποιαδήποτε θετική ικανότητα ή απλώς ιδιότητα, που υπάρχει σε εγάλο βαθό (είναι η υπεροχή, η ανωτερότητα σε κάτι), το προτέρηα, η αξιοσύνη έψυχων και άψυχων που τα κάνει σπουδαία (=άξια σπουδής, αξιόλογα  τέλεια), ενώ στην περίπτωση του ανθρώπου τη θέση του σπουδαῖος λαβάνει ο όρος ἀγαθός. Τέλος, η «εντελέχεια» (<ἐντελῶς + ἒχειν), ως όρος της αριστοτελικής φιλοσοφίας σηαίνει: ολοκλήρωση ή πραγατοποίηση ή τελείωση ιας κατάστασης. Η αρετή λοιπόν, ως «δυνάεις» στοιχείο της ανθρώπινης οντότητας είναι η φυσική εκείνη δύναη που στρέφει τον άνθρωπο στην επίτευξη της πλήρους τελειότητας. ἒργον: Πρόκειται για τον προορισό του κάθε πράγατος (τὸ ἒργον αὐτοῡ). Σύφωνα ε τον Αριστοτέλη η φύσις, η οποία οὐδέν ποιεῖ άτην, έχει αναθέσει σε καθετί που υπάρχει σ’ αυτόν τον κόσο ένα ἒργον, δηλαδή ία καθορισένη πορεία ε ένα συγκεκριένο τελικό σκοπό και προορισό, ε συγκεκριένη ποιότητα που καταδεικνύεται από την επανάληψη του επιρρήατος «εὖ». Όταν επιτελεστεί το έργο, το ον φτάνει στο τέλος του (στην τελείωσή του, στην τέλεια κατάστασή του). Έτσι, υπάρχει ἒργον του ατιού, του αλόγου, του χεριού, του ποδιού, κ.ο.κ., όπως βέβαια και ἒργον του ανθρώπου, το οποίο είναι ψυχῆς ἐνέργεια κατά λόγος ἤ ὴ ἂνευ λόγου. Ο Σταγειρίτης φιλόσοφος λοιπόν, ορίζει ως «τέλος» του ανθρώπου την ευδαιονία και ως «ἒργον» του, που τον οδηγεί σε αυτή, θεωρεί την ηθική πράξη, την ορθή συπεριφορά. Β2.β. Ο Αριστοτέλης στην προσπάθειά του να ορίσει την ηθική αρετή διαπιστώνει ότι αυτή αποτελεί ια ορφή «ἓξεως». Προκειένου να καταστήσει πληρέστερα τον ορισό του, διερευνά στη συνέχεια τι είδους «ἓξις» είναι η ηθική αρετή («ποια τις»), ποια είναι δηλαδή η «ειδοποιός διαφορά» της έναντι των «ἓξεων» εκείνων που συνιστούν ορφές φαυλότητας ηθικής ειονεξίας. Για το σκοπό αυτό ο φιλόσοφος εντοπίζε αρχικά τις δύο βασικές λειτουργίες που «ἡ ἀρετή» γενικά επιτελεί σε οποιοδήποτε φυσικό ή τεχνητό δηιούργηα. Έτσι, υποστηρίζει ότι η αρετή κάθε πράγατος:  οδηγεί αυτό το ίδιο στην ολοκλήρωση, στην τελείωση του («αὐτό τε εὖ ἔχον ἀποτελεῖ») και  το καθιστά ικανό να επιτελέσει ε άρτιο τρόπο το «ἔργον», τη δραστηριότητα εκείνη για την οποία η φύση ή ο κατασκευαστής του το έχει προορίσει («καὶ το ἔργον αὐτοῡ εὖ ἀποδίδωσιν»). Μετά την παράθεση σχετικών παραδειγάτων που επιβεβαιώνουν την παραπάνω θέση του, ο Αριστοτέλης οδηγείται στη διαπίστωση ότι «καὶ ἡ τοῡ ἀνθρώπου ἀρετὴ εἴη ἂν ἡ ἓξις ἀφ’ ἧς ἀγαθὸς ἂνθρωπος γίνεται καὶ ἀφ’ ἧς εὖ τὸ ἑαυτοῡ ἔργον

ΠPOTEINOMENEΣ AΠANTHΣEIΣ ΣTA APXAIA EΛΛHNIKA ΘEΩPHTIKHΣ KATEYΘYNΣHΣ - 2012

Γνωστό Α1. Μετάφραση Και αυτά, επειδή η ηθική αρετή συνδέεται ε τα ευχάριστα και τα δυσάρεστα συναισθήατα˙ δηλαδή για την ευχαρίστηση κάνουε τις τιποτένιες πράξεις, ενώ εξαιτίας της λύπης ένουε ακριά από τα (αισθητικώς) ωραία πράγατα. Γι’ αυτό πρέπει από την πιο ικρή ηλικία να έχουε διαπαιδαγωγηθεί, όπως λέει ο Πλάτωνας, ε τέτοιον τρόπο, ώστε να χαιρόαστε και να λυπόαστε ε αυτά που πρέπει πραγατικά αυτή είναι η σωστή παιδεία. Όως δεν πρέπει να πούε να πούε όνο αυτό ότι δηλαδή (η αρετή είναι) έξη, αλλά και ποιας ακριβώς ποιότητας (έξη). Πρέπει λοιπόν να πούε ότι κάθε αρετή, όποιου τυχόν πράγατος είναι αρετή, και το ίδιο το πράγα το κάνει να φτάσει στην τέλεια κατάστασή του και το βοηθάει να εκτελέσει ε τον πιο σωστό τρόπο το έργο που είναι προορισένο γι’ αυτό˙ για παράδειγα, η αρετή του ατιού κάνει τέλειο και το άτι και το έργο που είναι προορισένο γι’ αυτό, γιατί χάρη στην αρετή του ατιού βλέπουε καλά. Όοια και η αρετή του αλόγου˙ κάνει το άλογο και τέλειο και ικανό να τρέξει και να σηκώσει επάνω του τον αναβάτη και να είνει να αντιετωπίσει τους εχθρούς. Αν λοιπόν αυτό συβαίνει σε όλες τις περιπτώσεις, τότε και η αρετή του ανθρώπου θα είναι η έξη λόγω της οποίας ο άνθρωπος γίνεται καλός και χάρη στην οποία θα εκτελέσει ε το σωστό τρόπο το έργο που είναι προορισένο γι’ αυτόν. Β1. Στο παρατιθέενο απόσπασα ο Αριστοτέλης αναφέρεται στο ασφαλές κατά τη γνώη του, κριτήριο («σηεῖον») ε το οποίο πορεί να διαπιστωθεί το είδος «τῶν ἓξεων» που τείνει να διαορφώσει και να παγιώσει κάποιος άνθρωπος. Ο φιλόσοφος κάνει κάποιες παρατηρήσεις σχετικά ε τα συναισθήατα που συνοδεύουν τις πράξεις ας. Όταν ο άνθρωπος έχει διαορφώσει τα όνια στοιχεία του χαρακτήρα του, δοκιάζει κατά την εκτέλεση ιας πράξης ένα ευχάριστο ή δυσάρεστο συναίσθηα και αυτό είναι το σηάδι, το κριτήριο που δείχνει ότι πράγατι έχουν διαορφωθεί αυτά τα στοιχεία. Για να κάνει εναργέστερη αυτή τη θέση, ο Αριστοτέλης φέρνει δύο (αποδεικτικά και όχι ενισχυτικά) παραδείγατα: στο πρώτο ο άνθρωπος απέχει από κάτι, ενώ στο δεύτερο δοκιάζει κάτι. Πιο συγκεκριένα, αναφέρεται στην αποχή από τις σωατικές ηδονές. Αν δηλαδή κάποιος απέχει από τις σωατικές απολαύσεις και αισθάνεται χαρά γι’ αυτό είναι εγκρατής («ὁ ὲν γάρ ἀπεχόενος … σώφρων»). Αντίθετα, αν κάποιος δυσανασχετεί γι’ αυτή την αποχή, αυτό σηαίνει ότι πάλι έχει διαορφωθεί ένα όνιο στοιχείο του χαρακτήρα του αλλά αρνητικό: ο άνθρωπος αυτός είναι ακόλαστος («ὁδ’ ἀχθόενος ἀκόλαστος»). Κατά τον ίδιο τρόπο, κάποιος που αντιετωπίζει ε χαρά ή, έστω, χωρίς λύπη τις δυσχέρειες ή τους κινδύνους που συναντά στη ζωή του, ο άνθρωπος αυτός είναι ανδρείος («ὁ ὲν ὑποένων τα δεινά καὶ χαίρων ἤ ὴ λυπούενός γε ἀνδρεῖος»). Αν όως κάποιος νιώθει δυσάρεστα ’ αυτή την αντιετώπιση, χαρακτηρίζεται ως δειλός («ὁ δὲ λυπούενος δειλός»). Μετά την παράθεση των παραπάνω παραδειγάτων, ο Σταγειρίτης φιλόσοφος, σύφωνα ε την πάγια συνήθειά του, διατυπώνει το γενικό συπέρασα που συνάγεται ε βάση αυτά: οι ηθικές αρετές συνδέονται άρρηκτα ε τα συναισθήατα της ηδονής και της λύπης, ε τις ευάρεστες ή τις δυσάρεστες συναισθηατικές διαθέσεις («Περὶ ἡδονάς γὰρ καὶ λύπας ἐστίν ἡ ἠθική ἀρετή»). Ο Αριστοτέλης τέλος συναρτά τις ηθικές ιδιότητες και ε τον συναισθηατικό κόσο του ανθρώπου, τις παρορήσεις του, τις επιθυίες του, τον υχισό του. εν αρκεί να γνωρίζει κανείς τι είναι σώφρον, ανδρείο ή δίκαιο για να το πράξει, αλλά είναι απαραίτητο και να θέλει, να επιθυεί να το κάνει. Β2.α. Στο συγκεκριένο απόσπασα ο Αριστοτέλης κάνει ευρεία χρήση των φιλοσοφικών εννοιών « ἕξις», «ἀρετή» και «ἔργον», προκειένου να προσδιορίσει τις ηθικές αρετές που θα οδηγήσουν στην ευδαιονία του ανθρώπου. ἕξις: Η λέξη παράγεται από τον έλλοντα «ἕξω» του ρήατος «ἕχω» (από το θέα σεχ < h εχ- <ἑχ- + παραγωγική κατάληξη –σις, η οποία δηλώνει ενέργεια. Η αρχική σηασία της λέξης «ἕξις» είναι το να έχει ή να κατέχει κανείς συνέχεια κάτι που το έχει αποκτήσει. εν είναι όως όνο ενέργεια αλλά και αυτό που την ακολουθεί: η όνιη κατάσταση, η ιδιότητα που προκύπτει από συνήθεια ή από άσκηση και ε αυτή τη σηασία τη χρησιοποιεί ο Αριστοτέλης, δίνοντάς της ηθικό περιεχόενο. Με άλλα λόγια έξεις είναι τα όνια ηθικά γνωρίσατα, τα όνια στοιχεία του χαρακτήρα ας, καλά ή κακά, αρετές ή κακίες. Στη νέα ελληνική, η λέξη έξη έχει κυρίως ψυχολογικό περιεχόενο και είναι η συνήθεια (ή ο τρόπος συπεριφοράς) ως αποτέλεσα επανάληψης, άθησης ή συνεχούς επίδρασης του ίδιου παράγοντα. ἀρετή: Η λέξη ἀρετή (<ριζ. ἀρ-) σχετίζεται ετυολογικά ε τις λέξεις Ἄρης, ἀρείων, ἄριστος, ἀραρίσκω (= ταιριάζω, προσαρόζω), ἀρέσω (η πρώτη σηασία της ἀρετῆς ήταν η ανδρεία, η γενναιότητα στον πόλεο.). Κατά τον Αριστοτέλη, η «ἀρετή» κάνει αυτόν (αυτό) που την έχει να βρίσκεται στην τέλεια κατάστασή του (“εὖ ἔχον ἀποτελεῖ”) και το βοηθά να εκτελεί ε σωστό τρόπο το έργο για το οποίο είναι προορισένο από τη φύση («τὸ ἔργον αὐτοῡ εὖ ἀποδίδωσιν»). Τα παραπάνω επιβεβαιώνονται και από τη χρήση επειρικών παραδειγάτων που συνιστούν προσφιλή έθοδο του Αριστοτέλη. Ειδικότερα, θεωρεί πως η αρετή του ατιού είναι αυτή που καθιστά το άτι ικανό να βλέπει αποτελεσατικά, αφού πρώτα φτάσει στην τέλεια κατάστασή του («οἷον ἡ τοῡ ὀφθαλοῡ ἀρετή … καὶ τὸ ἒργον αὐτοῡ»). Οοίως και στην περίπτωση του αλόγου χάρη στην αρετή ὁ ἵππος καθίσταται τέλειος, ἀγαθὸν δραεῖν καὶ ἐνεγκεῖν τὸν ἐπιβάτην καὶ εῖναι τούς πολείους. Τέλος, η αρετή του ανθρώπου επιτελεί το ίδιο ακριβώς έργο που συνίσταται στην τελείωση των πράξεων του ανθρώπου (έσω της έξεως) αλλά και του ιδίου. Κατά συνέπεια, η αρετή δεν αφορά όνο στους ανθρώπους αλλά και στα ζώα και τα πράγατα, άρα στα έψυχα και τα άψυχα. Με άλλα λόγια, η λέξη δεν έχει αποκλειστικά ηθικό περιεχόενο (όπως και στη νέα ελληνική) αλλά αποτελεί οποιαδήποτε θετική ικανότητα ή απλώς ιδιότητα, που υπάρχει σε εγάλο βαθό (είναι η υπεροχή, η ανωτερότητα σε κάτι), το προτέρηα, η αξιοσύνη έψυχων και άψυχων που τα κάνει σπουδαία (=άξια σπουδής, αξιόλογα  τέλεια), ενώ στην περίπτωση του ανθρώπου τη θέση του σπουδαῖος λαβάνει ο όρος ἀγαθός. Τέλος, η «εντελέχεια» (<ἐντελῶς + ἒχειν), ως όρος της αριστοτελικής φιλοσοφίας σηαίνει: ολοκλήρωση ή πραγατοποίηση ή τελείωση ιας κατάστασης. Η αρετή λοιπόν, ως «δυνάεις» στοιχείο της ανθρώπινης οντότητας είναι η φυσική εκείνη δύναη που στρέφει τον άνθρωπο στην επίτευξη της πλήρους τελειότητας. ἒργον: Πρόκειται για τον προορισό του κάθε πράγατος (τὸ ἒργον αὐτοῡ). Σύφωνα ε τον Αριστοτέλη η φύσις, η οποία οὐδέν ποιεῖ άτην, έχει αναθέσει σε καθετί που

ἀποδώσει».Αναλυτικότερα, οι ηθικές αρετές συνδέονται ε την συνήθεια. Η επανάληψη δηλαδή καλῶν ἔξεων αποτελεί την άσκηση που εδραιώνει την ηθική αρετή. Έτσι καθιστά τον άνθρωπο «ἀγαθόν», ενάρετο, ηθικά ολοκληρωένο αλλά και του παρέχει τη δυνατότητα να επιτελέσει ε επιτυχία «το ἒργον» που η φύση του έχει αναθέσει (κατάκτηση της ευδαιονίας). Β3. Σχολικό βιβλίο σελ. 141 «Είκοσι χρόνια έεινε … να σωθεί η αλήθεια». Β4. σχεδόν: ἕξεων, ἀπεχόενος, ἀπεχόεθα, ἕξις, ἕχον, ἕχει αχάριστος: χαίρων, χαίρειν ασήαντος: σηεῖον ενδεής: δεῖ πρόφαση: φησίν διαονή: ὑποένων, εῖναι άρτιος: ἀρετή τελεσίδικος: ἀποτελεῖ δηαγωγός: ἦχθαι καταδροικό: δραεῖν Γ1. Άνδρες στρατιώτες και των Αθηναίων και των άλλων συάχων, ο αγώνας βέβαια που πρόκειται να γίνει θα είναι οοίως κοινός για όλους ανεξαιρέτως και για τη σωτηρία και για την πατρίδα περισσότερο άλιστα για τον καθένα παρά για τους εχθρούς γιατί αν νικήσουε τώρα ε τα πλοία, είναι δυνατό στον καθένα να προβλέπει την οικεία/ ιδιαίτερη πόλη/ (πατρίδα) η οποία υπάρχει/ βρίσκεται κάπου. στόσο ούτε πρέπει να λιποψυχούε ούτε να παθαίνουε αυτό ακριβώς που (παθαίνουν) οι πιο άπειροι από τους ανθρώπους, οι οποίοι αφού έκαναν λάθος/ απέτυχαν στους πρώτους αγώνες έπειτα για πάντα έχουν την ελπίδα του φόβου όοια ε τις συφορές. Αλλά όσοι και από τους Αθηναίους παρευρίσκεστε, επειδή είστε έπειροι σε πολλούς ήδη πολέους, και όσοι από τους συάχους (παρευρίσκεστε), επειδή πάντα εκστρατεύετε αί (ας), θυηθείτε τα παράδοξα κατά τη διάρκεια των πολέων. κρατήσωεν: κράτει Γ2. ἀγών: τοὺς ἀγῶνας ἐπιδεῖν: ἐφορᾶν ναυσίν: ὦ ναῦ πάσχειν: πείσεται ὅπερ: αἷσπερ ἔχουσιν: σχοίην πρώτοις: τοῖς προτέροις νήσθητε: ἐνήσθησαν σφαλέντες: τοῖς σφαλεῖσι(ν) Γ3α. στρατιῶται: ονοατικός οοιόπτωτος επιθετικός προσδιορισός στο «ἄνδρες» τῳ: δοτική προσωπική από το απρόσωπο ρήα «ἕστι» ἀθυεῖν: τελικό απαρέφατο ως υποκείενο στο απρόσωπο ρήα «οὐ χρή» (ετεροπροσωπία) τῶν ἀνθρώπων: ονοατικός ετερόπτωτος προσδιορισός, γενική διαιρετική στο «ἀπειρότατοι» ταῖς υφοραῖς: ονοατικός ετερόπτωτος προσδιορισός, δοτική αντικειενική από το «ὁοίαν» τῶν παραλόγων: αντικείενο στο ρήα «νήσθητε» (ρήα νήης συντάσσεται ε γενική) Γ3β. Ὁ Νικίας εἶπεν εἰ κρατήσαιεν / κρατήσειαν ταῖς ναυσίν, ὅτι εἴη τῳ τὴν ὑπάρχουσάν που οἰκείαν πόλιν ἐπιδεῖν (ειδική πρόταση). Ὁ Νικίας εἶπεν εἰ κρατήσαιεν / κρατήσειαν ταῖς ναυσίν, εἶναι τῳ τὴν ὑπάρχουσάν που οἰκείαν πόλιν ἐπιδεῖν (ειδικό απαρέφατο). πιέλεια θεάτων Αβδελέλλη Γιασεή, φιλόλογος Χατζηβασιλείου Βάγια, φιλόλογος


διαγράφονται από τον τεχνίτη. «άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη Παθητική σύνταξη

→ Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο

τέλειος άνθρωπος.

ΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου

ΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Ενδεικτικές απαντήσεις στο ηα της ΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

ε θέα «Τέχνη και Ζωή». TPITH 22 MAΪOY 2012 Ύφος: Σοβαρό, επίσηο.

Νεοελληνικής Γλώσσας Γενικής Παιδείας Ενδεικτικές απαντήσεις στο ηα της & ΕΠΑ.Λ. Β’

Γλώσσα: αναφορική.

Α1. ΠερίληψηΓλώσσας Γενικής Παιδείας & ΕΠΑ.Λ. Β’ Νεοελληνικής

Ρηαικ πρόσωπα: όλα, εκτός του β΄ ενικού.

ανθρωπότητας. αναγνωρίζεται ο οικουενικός χαρακτήρας κάθε πορεία πολιτισού Α1.κειενογράφος Περίληψη Αρχικά, Η πραγατεύεται το διαχρονικό ρόλο της τέχνης στην της

Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες /

15

Ξεκινώντας από σήμερα, η εφημερίδα «EMΠPOΣ» σε συνεργασία με το MEΘOΔIKO Φροντιστήριο, θα δημοσιεύει τις απαντήσεις Ενδεικτικές απαντήσεις στο ηα της & ΕΠΑ.Λ. Β’ Μέσα πειθούς: επίκληση στη λογική αλλά και στο συναίσθηα. Νεοελληνικής Γλώσσας Γενικής Παιδείας στα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων. Oι καθηγητές του Φροντιστηρίου θα είναι στη διάθεσή σας για οποιαδήποτε διευκρίνιση. Η πραγατεύεται το διαχρονικό ρόλο MAΘHMA της τέχνης στηνTHΣ πορείαNEOEΛΛHNIKHΣ της Α1.κειενογράφος Περίληψη ENΔEIKTIKEΣ AΠANTHΣEIΣ ΣTO ΓΛΩΣΣAΣ ΓENIKHΣ ΠAIΔEIAΣ & EΠA.Λ. B΄ αναδεικνύοντας, ωστόσο, τον αρχαίοτοελληνικό και πρωτοστάτη αφενός στην στην του Η κειενογράφος πραγατεύεται διαχρονικό ρόλο της τέχνης πορεία της ανθρωπότητας. Αρχικά, αναγνωρίζεται ο οικουενικός χαρακτήρας κάθε επιβολή πολιτισού ανθρώπου στα πάθη και αφετέρου στην προσέγγισή του ε το θείο και τοστην συνάνθρωπο. Το ανθρωπότητας. Αρχικά, αναγνωρίζεται ο οικουενικός χαρακτήρας κάθε πολιτισού αναδεικνύοντας, ωστόσο, τον αρχαίο ελληνικό και πρωτοστάτη αφενός επιβολή του γεγονός αυτό και αρχαίο η αναγωγή των αγαλάτων ψυχικής ανύψωσης αναδεικνύοντας, ωστόσο, τον ελληνικό και πρωτοστάτη αφενός στην επιβολή του ανθρώπου στααναδεικνύει πάθη και αφετέρου στην προσέγγισή του εσε το σύβολα θείο και το συνάνθρωπο. Το και θεατοφύλακες δηοκρατικής πολιτείας απότοκο του ανθρώπου στααναδεικνύει πάθη καιτης αφετέρου στην προσέγγισή τουως εσε το θείο και ορθολογισού το συνάνθρωπο. Το γεγονός αυτό και η αναγωγή των αγαλάτων σύβολα ψυχικής ανύψωσης καλλιτέχνη. πορεία του ανθρώπινου εκπολιτισού υποστασιοποιείται απ’ γεγονός αυτόΠαράλληλα, αναδεικνύει η αναγωγή των αγαλάτων σύβολα ψυχικής ανύψωσης και θεατοφύλακες τηςηκαι δηοκρατικής πολιτείας ως σεαπότοκο ορθολογισού του τον αρχαιοελληνικό πολιτισό χάρητου στηανθρώπινου συνύφανση τηςωςεσωτερικής θέασης ε την άρτια και θεατοφύλακες τηςη δηοκρατικής πολιτείας εκπολιτισού απότοκουποστασιοποιείται ορθολογισού του καλλιτέχνη. Παράλληλα, πορεία απ’ φυσική οορφιά. Καταλήγοντας ηστηδοκιιογράφος τον πάντα επίκαιρο καλλιτέχνη. Παράλληλα, η πορεία ανθρώπινου απ’ τον αρχαιοελληνικό πολιτισό χάρητου συνύφανση εκπολιτισού τηςπροβάλλει εσωτερικήςυποστασιοποιείται θέασης ε την άρτια χαρακτήρα της τέχνης εξαίροντας συβολή της στην κατάκτηση τον της αυτογνωσίας και τον αρχαιοελληνικό πολιτισό χάρητηηστη συνύφανση τηςπροβάλλει εσωτερικής θέασης ε την άρτια φυσική οορφιά. Καταλήγοντας δοκιιογράφος πάντα επίκαιρο την καλλιέργεια της Καταλήγοντας αισθητικής, πουτηητην καθιστάτης δικαίως σηείο αναφοράς ας. επίκαιρο φυσική οορφιά. δοκιιογράφος τον πάντα χαρακτήρα της τέχνης εξαίροντας συβολή στηνπροβάλλει κατάκτηση της αυτογνωσίας και (λέξεις 117).της τέχνης χαρακτήρα εξαίροντας συβολή στην σηείο κατάκτηση της αυτογνωσίας και την καλλιέργεια της αισθητικής, πουτητην καθιστάτης δικαίως αναφοράς ας. την καλλιέργεια της αισθητικής, που την καθιστά δικαίως σηείο αναφοράς ας. (λέξεις 117). Β. Ασκήσεις (λέξεις 117). Β1.Ασκήσεις Είναι πανθοολογούενο ότι η αρχαία ελληνική τέχνη συνιστά το φωτεινό φάρο και Β. σηείο αναφοράς κάθε σύγχρονου Ενσαρκώνοντας την ιδέα της αρονίας και Β. Ασκήσεις Β1. Είναι πανθοολογούενο ότι ηκαλλιτέχνη. αρχαία ελληνική τέχνη συνιστά το φωτεινό φάρο και του έτρου, αλλάκάθε ταυτόχρονα αναδεικνύοντας τον εαυτό σε υψηλών αξιών, Β1. Είναι πανθοολογούενο ότι ηκαλλιτέχνη. αρχαία ελληνική τέχνητης συνιστά το φωτεινό φάρο και σηείο αναφοράς σύγχρονου Ενσαρκώνοντας τηναγωγό ιδέα της αρονίας ανυπέρβλητων διανοηάτων καιαναδεικνύοντας πολιτικών πειραατισών καθορίζει επηρεάζει την σηείο αναφοράς κάθε σύγχρονου καλλιτέχνη. Ενσαρκώνοντας τηναγωγό ιδέακαι της αρονίας και του έτρου, αλλά ταυτόχρονα τον εαυτό της σε υψηλών αξιών, ανθρώπινη Η ανάδειξηκαι των ανθρωπίνων δικαιωάτων, η προβολή της ελευθερίας, η του έτρου,σκέψη. αλλά ταυτόχρονα αναδεικνύοντας τον εαυτό της σε αγωγό υψηλών αξιών, ανυπέρβλητων διανοηάτων πολιτικών πειραατισών καθορίζει και επηρεάζει την

Φίλοι και φίλες, Πρόλογος: Μπορεί να χρησιοποιηθεί ως αφόρηση η αναφορά στη σηερινή Παγκόσια ΜΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

ΜΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ηέρα για την Πολιτισική ιαφορετικότητα, το ιάλογο και την Ανάπτυξη και σύνδεσή ΜΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ της ε την Τέχνη, ως έσο πολιτισικής δηιουργίας. ητοενο Α΄: Προσφορά της τέχνης στους νέους ρισός της έννοιας της Τέχνης και ητοενο Προσφορά της τέχνηςκαλλιέργεια στους νέους του ανθρώπου → ενισχύει τον αναφορά σταΑ΄: είδη της. πνευατική 1. υβάλλει στην ητοενο Α΄: Προσφορά της τέχνης στους νέους του ανθρώπου τον → ενισχύειπλήθος 1. υβάλλει στην →πνευατική καλλιέργεια προβληατισό διευρύνει τους πνευατικούς ορίζοντες παρέχοντας 1.

2. 2. 2.

3. 3. 3.

γέννηση τηςσκέψη. δηο��ρατίας καικαι οι πρωτοποριακοί για την εποχή προβληατισοί απηχούν ανυπέρβλητων διανοηάτων πολιτικών πειραατισών καθορίζει και την ανθρώπινη Η ανάδειξη των ανθρωπίνων δικαιωάτων, η προβολή τηςεπηρεάζει ελευθερίας, η σύγχρονατης ζητήατα ταλανίζουν την εποχή ας. όσο ηαπηχούν αρχαία ανθρώπινη σκέψη. Ηπου ανάδειξη ανθρωπίνων δικαιωάτων, η λοιπόν, προβολή τηςποτέ ελευθερίας, η γέννηση δηοκρατίας και των οι πρωτοποριακοί για Επίκαιρη, την εποχή προβληατισοί ελληνική της τέχνη αφουγκραζόενη σήερα αντανακλά τη εποχή σύγχρονη πραγατικότητα. γέννηση δηοκρατίας και οι το πρωτοποριακοί για Επίκαιρη, την προβληατισοί σύγχρονα ζητήατα που ταλανίζουν την εποχή ας. λοιπόν, όσο ποτέ ηαπηχούν αρχαία

4. 4.

(90 λέξεις)τέχνη σύγχρονα ζητήατα που ταλανίζουν την εποχή ας. Επίκαιρη, λοιπόν, όσο ποτέ η αρχαία ελληνική αφουγκραζόενη το σήερα αντανακλά τη σύγχρονη πραγατικότητα.

4.

 λέξεις)τέχνη αφουγκραζόενη το σήερα αντανακλά τη σύγχρονη πραγατικότητα. ελληνική (90 B2. α) Στη τελευταία παράγραφο του κειένου η συγγραφέας ετέρχεται ως τρόπο πειθούς (90 λέξεις) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΟΙΟ

(«ιδού») την επίκληση στοΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ σναίσηα, χρησιοποιεί προτρεπτική προστακτική ΜΕΟΙΟ B2. α) Στη τελευταία παράγραφοκαθώς του κειένου η συγγραφέας ετέρχεται ως τρόπο πειθούς,

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ «δάασε… άνθρωπο», την προτρεπτική περιγραφή «το συντροφικό την αφήγηση B2. α) Στη τελευταία παράγραφο του κειένου η ΜΕΟΙΟ συγγραφέας ετέρχεται τρόπο πειθούς, τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι ηωςτέχνη πυξίδα… την επίκληση στο σναίσηα, καθώς χρησιοποιεί προστακτική («ιδού») τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα… συναπάντηα…γίγνεσθαι». Ακόη εντοπίζεται συναισθηατικά φορτισένο λεξιλόγιο: επίκληση στο σναίσηα, καθώς χρησιοποιεί («ιδού») , ελευθερίας». την αφήγηση «δάασε… άνθρωπο», την προτρεπτική περιγραφήπροστακτική «το συντροφικό

5. 5. 5.

τον → ενισχύειπλήθος υβάλλει στην →πνευατική καλλιέργεια του ανθρώπου παρέχοντας προβληατισό διευρύνει γνώσεων για ποικίλα θέατατους καθιστά το ορίζοντες άτοο ικανό να προσεγγίζει → πνευατικούς 2 προβληατισό παρέχοντας πλήθος → διευρύνει γνώσεων για ποικίλα θέατατους καθιστά το ορίζοντες άτοο ικανό να προσεγγίζει → πνευατικούς πολυπρισατικά την πραγατικότητα. γνώσεων γιατηνποικίλα θέατα το άτοο ικανό να απέναντι προσεγγίζει → καθιστά πολυπρισατικά την πραγατικότητα. ιαορφώνει αισθητική του ατόου τη δεκτικότητα στα → αναπτύσσει πολυπρισατικά πραγατικότητα. ιαορφώνει τηντην αισθητική του ατόου → καλλιεργεί αναπτύσσει το τη δεκτικότητα αισθητικά ερεθίσατα του περιβάλλοντος, αίσθηα τουαπέναντι ωραίου,στα το ιαορφώνει την αισθητική του ατόου αναπτύσσει τη δεκτικότητα απέναντι στα → αισθητικά ερεθίσατα του περιβάλλοντος, καλλιεργεί το αίσθηα του ωραίου, το έτρο, τη συετρία και την αρονία → διευρύνει τα όρια αντίληψης του κόσου αισθητικά ερεθίσατα τουτηνπεριβάλλοντος, καλλιεργεί αίσθηα ωραίου, το έτρο, τη συετρία αρονία διευρύνει τα το όρια αντίληψης κόσου → ψυχρό αποακρύνοντας τον και άνθρωπο από τον ορθολογισό και του τη του λογική του έτρο, τη συετρία την αρονία διευρύνει τα όρια αντίληψης κόσου → ψυχρό αποακρύνοντας τον και άνθρωπο από τον ορθολογισό και τη του λογική του συφέροντος. αποακρύνοντας τον αρτίωση άνθρωποτου από τον ψυχρό ορθολογισό και τη λογική συφέροντος. υβάλλει στην ηθική ανθρώπου ανθρωπιστικές αξίες του και → προβάλλει συφέροντος. υβάλλει στην ζωής ηθική → αρτίωση του ανθρώπου και → προβάλλει πρότυπα ηθικής υποστασιοποιεί και απαθανατίζει τιςανθρωπιστικές εγάλες ηθικέςαξίες πράξεις υβάλλει στην ζωής ηθική → αρτίωση του ανθρώπου προβάλλει ανθρωπιστικές αξίες και →εξευγενίζει πρότυπα ηθικής υποστασιοποιεί και και απαθανατίζει τιςσυναισθήατα εγάλες ηθικέςέσω πράξεις θετικά στον ψυχισό του ατόου της → επιδρά

πρότυπα ηθικής ζωής υποστασιοποιεί και και απαθανατίζει εγάλες ηθικέςέσω πράξεις →ψυχισό θετικά στον του ατόου εξευγενίζειτιςσυναισθήατα της → επιδρά αισθητικής συγκίνησης. θετικά στον ψυχισόζωή του→ ατόου και εξευγενίζει συναισθήατα έσω της → επιδρά αισθητικής Προάγει τηνσυγκίνησης. κοινωνικοπολιτική ευαισθητοποιεί το κοινό στα προβλήατα της

αισθητικής Προάγει τηνσυγκίνησης. κοινωνικοπολιτική το αγωνίες κοινό στα της → ευαισθητοποιεί εποχής, εφόσον ο καλλιτέχνης εζωή το έργο του εκφράζει τις τωνπροβλήατα ανθρώπων της Προάγει την κοινωνικοπολιτική ζωή ευαισθητοποιεί το αγωνίες κοινό → προβάλλει εποχής, εφόσον ο καλλιτέχνης το έργο του εκφράζει τις των ανθρώπων της κοινωνίας του και της εποχήςε του πρότυπα ζωήςστα καιπροβλήατα συπεριφοράς → εποχής,και εφόσον ο καλλιτέχνης ε το όπως έργο εκφράζει τις αγωνίες των κοινωνίας του και της εποχήςαξίες του πρότυπα ζωήςκαι καιη ανθρώπων συπεριφοράς → προβάλλει καθώς κοινωνικοπολιτικές ητου ισότητα, η δικαιοσύνη ειρήνη. της κοινωνίας του της εποχήςαξίες του τη προβάλλει ζωής καιη λαού συπεριφοράς →πολιτισική καθώς και κοινωνικοπολιτικές όπως η ισότητα, πρότυπα ηταυτότητα δικαιοσύνη και ειρήνη.→ τα Καθορίζει τη και φυσιογνωία και κάθε

καθώς και κοινωνικοπολιτικές αξίες όπως η ισότητα, ηταυτότητα δικαιοσύνη και η λαού ειρήνη. Καθορίζει τηδηιουργήατα φυσιογνωία ενός και λαού τη πολιτισική κάθε τα → του καλλιτεχνικά αντιπροσωπεύουν την ιδιαίτερη αισθητική Καθορίζει τηδηιουργήατα φυσιογνωία και λαού τη εθνικού πολιτισική ταυτότητα κάθε τα καλλιτεχνικά ενός αντιπροσωπεύουν την ιδιαίτερη αισθητική του και χαρακτηρίζουν την ποιότητα του του πολιτισού λαϊκή → κυρίως → η λαού

καλλιτεχνικά δηιουργήατα ενός λαού αντιπροσωπεύουν την ιδιαίτερη του και χαρακτηρίζουν την ποιότητα του εθνικού λαϊκή κυρίως → η αισθητική τέχνη εκφράζει την πολιτιστική ταυτότητά του. του πολιτισού τέχνης. Τέλος παραθέτει τεκήρια και επειρικές «είναι ητην τέχνη πυξίδα… ελευθερίας». «δάασε», «τέλεια «δάασε… ορφή»,Ακόη «ιδεατή πληρότητα» χρήση τηςσυντροφικό ποιητικής την αφήγηση άνθρωπο», τηνκαι εκτεταένη περιγραφή «το ως συναπάντηα…γίγνεσθαι». εντοπίζεται συναισθηατικά φορτισένο λεξιλόγιο: και αλήθειες χαρακτηρίζουν ποιότητα του εθνικού τέχνη εκφράζει την πολιτιστική ταυτότητά του. του πολιτισού → η λαϊκή κυρίως ελευθερίας». λειτουργίας της γλώσσας: «ηΑκόη αυγή του υστηρίου», «δηιουργός «ηετέχνη πυξίδα» συναπάντηα…γίγνεσθαι». εντοπίζεται συναισθηατικά φορτισένο λεξιλόγιο: B2. β) Στο«τέλεια κείενο η συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ήθεών», φράσεις «δάασε», ορφή», «ιδεατή πληρότητα» και εκτεταένη χρήση τηςεταφορική ποιητικής τέχνη εκφράζει την πολιτιστική ταυτότητά του. Μεταβατική Παράγραφος: B2. β) κείενο ηδίνονται συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις«ηήθεών», φράσεις ετέχνη εταφορική κ.λπ. Τα Στο παραπάνω έσα επιδιώκουν τηπληρότητα» διέγερση του θαυασού για τηντου αξία τηςποιητικής αρχαίας «δάασε», «τέλεια ορφή», «ιδεατή και εκτεταένη χρήση της σηασία. Ενδεικτικά τα του ακόλουθα παραδείγατα: αυγή υστηρίου», λειτουργίας της γλώσσας: «η αυγή υστηρίου», «δηιουργός «η πυξίδα» Μεταβατική Παράγραφος:  Καταγραφή της σηερινής θέσης της Τέχνης στα σχολεία, περιορισένες ώρες B2. β) Στο η του συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ή φράσεις ε εταφορική σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα σκοπό παραδείγατα: «η επιχειρηατολογίας αυγή υστηρίου», ελληνική τέχνης ε απώτερο την επίρρωση τηςκείενο της λειτουργίας της γλώσσας: «η«είναι αυγή του θεών», «η «πλάστης αθάνατου έργου», ηακόλουθα τέχνη πυξίδα» ,«δηιουργός «δηιουργός θεών», «ητέχνη αρχαία τέχνη κ.λπ. Τα παραπάνω έσα επιδιώκουν τηυστηρίου», διέγερση του θαυασού για την αξία της πυξίδα» αρχαίας Μεταβατική Παράγραφος:  Καταγραφή της σηερινής θέσης της Τέχνης στα σχολεία, περιορισένες ώρες διδασκαλίας της (τεχνοκρατική παιδεία) ΜΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα ακόλουθα παραδείγατα: «η αυγή του υστηρίου», «πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη δοκιιογράφου. κ.λπ. Τα παραπάνω έσα επιδιώκουν τη διέγερση του θαυασού για την αξία της αρχαίας θα ένει ζωντανή». ελληνική τέχνης ε απώτερο σκοπό την επίρρωση της επιχειρηατολογίας της  Καταγραφή της σηερινής της Τέχνης σταΛύκειο σχολεία, περιορισένες ώρες της (τεχνοκρατική παιδεία)  διδασκαλίας Απαξίωση του αθήατος απόθέσης τους νέους, ειδικά στο ΜΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ «πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη θα ένει ζωντανή». Παράλληλα, ως δεύτερο τρόπο πειθούς αξιοποιεί την επίκληση στη λογική. Πιο ελληνική τέχνης ε απώτερο σκοπό την επίρρωση της επιχειρηατολογίας της δοκιιογράφου. διδασκαλίας τηςαθήατος (τεχνοκρατική παιδεία)  του από τους νέους, ειδικά στο Λύκειογνώσεις  Απαξίωση Έλλειψη διδακτικού προσωπικού, καθηγητές ε ανεπαρκείς ΜΕ���ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα… θα ένει ζωντανή». συγκεκριένα ως έσο πειθούς παρατηρείται ένα επιχείρηα «Να γιατί… δηιουργία δοκιιογράφου. B3. α) επίτευγα: κατόρθωα Παράλληλα, ως δεύτερο τρόπο πειθούς αξιοποιεί την επίκληση στη λογική. Πιο Απαξίωση του αθήατος από τους νέους, ειδικά στο Λύκειο  διδακτικού προσωπικού, καθηγητές ε ανεπαρκείς γνώσεις Άρα:Έλλειψη επιβεβληένη αναθεώρηση του τρόπου αντιετώπισής της από το σχολείο. τέχνης. Τέλος παραθέτει ωςτρόπο τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα… B3. α) επίτευγα: κατόρθωα ελευθερίας». Στόχος της κειενογράφου είναι η απόδειξη τηςεπίκληση αξίας τηςγιατί… αρχαίας ελληνικής Παράλληλα, ως δεύτερο πειθούς αξιοποιεί την στη λογική. Πιο δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει συγκεκριένα ως έσο πειθούς παρατηρείται ένα επιχείρηα «Να δηιουργία  διδακτικού προσωπικού, καθηγητές ε ανεπαρκείς γνώσεις Άρα:Έλλειψη επιβεβληένη αναθεώρηση του τρόπου αντιετώπισής της από το σχολείο. τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές «είναι η τέχνηδηιουργία πυξίδα… ελευθερίας». B3. επιχείρηα α) αλήθειες επίτευγα: κατόρθωα δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει συγκεκριένα ως έσο πειθούς παρατηρείται ένα «Να ετάβαση: πέρασα ελευθερίας». Στόχος της κειενογράφου είναι η απόδειξη της αξίας τηςγιατί… αρχαίας ελληνικής Άρα: επιβεβληένη αναθεώρηση τουστην τρόπου αντιετώπισής από το σχολείο. ητοενο Β΄: Συβολή σχολείου ουσιαστική επαφήτης των νέων ε την Τέχνη. ελευθερίας». B2. β) Στο κείενοτης ηολοκλήρωση συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ή φράσεις ε εταφορική δαάσει: τιθασεύσει, ετάβαση: πέρασα ελευθερίας». Στόχος κειενογράφου είναι η απόδειξη της αξίας τηςχαλιναγωγήσει αρχαίας ελληνικής πληρότητα: αρτιότητα, ητοενο Β΄: Συβολή σχολείου στην ουσιαστική επαφή των νέων ε την Τέχνη. του 1. Προώθηση ανθρωπιστικής παιδείας στα σχολεία → αναπροσαρογή 1 παραδείγατα: σηασία. Ενδεικτικά τα ακόλουθα «ηή φράσεις αυγή του B2. β) Στο κείενο ηδίνονται συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ε υστηρίου», εταφορική ετάβαση: πέρασα πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση ουσιώδες: ουσιαστικό ητοενο Β΄: Συβολή στηντης ουσιαστική επαφή ε την Τέχνη. του αναπροσαρογή → νέων 1. προγράατος Προώθηση ανθρωπιστικής παιδείας στα σχολεία σε όλεςσχολείου τις βαθίδες εκπαίδευσης υλικοτεχνική στήριξη. → των B2. β) Στο κείενοέργου», ηδίνονται συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις εταφορική «πλάστης αθάνατου «είναι τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «ηεαρχαία τέχνη σηασία. Ενδεικτικά τα ηακόλουθα «ηή φράσεις αυγή ολοκλήρωση του υστηρίου», 1 παραδείγατα: πληρότητα: αρτιότητα, ουσιώδες: ουσιαστικό αναπροσαρογή του →γλυπτική, 1. Προώθηση ανθρωπιστικής παιδείας στα σχολεία προγράατος σε όλες τιςανάθεση βαθίδες της εκπαίδευσης στήριξη. → υλικοτεχνική 2. Πρακτική ενασχόληση, εργασιών (ζωγραφικής, φωτογραφίας, σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα ηακόλουθα «η θεών», αυγή του υστηρίου», θα ένει ζωντανή». «είναι τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός «η αρχαία τέχνη «πλάστης αθάνατου έργου», 1 παραδείγατα: ουσιώδες: ουσιαστικό B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη προγράατος σε όλες θεατρικών τιςανάθεση βαθίδες εργασιών της εκπαίδευσης → υλικοτεχνική στήριξη. 2. Πρακτική ενασχόληση, (ζωγραφικής, γλυπτική,συγκροτηάτων φωτογραφίας, κ.α.). ηιουργία οάδων, ουσικοχορευτικών «πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη θα ένει ζωντανή». B3. β) ακριά έλλογη: άλογη, παράλογη κοντά: 2. Πρακτική ενασχόληση, ανάθεση εργασιών (ζωγραφικής, γλυπτική,συγκροτηάτων φωτογραφίας, κ.α.). ηιουργία θεατρικών οάδων, ουσικοχορευτικών προσανατολισένα τόσο στην παράδοση όσο και σε ορφές παγκόσιας εβέλειας. θα ένει ζωντανή». B3. α) ακριά επίτευγα: κατόρθωα B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη κοντά: συνοπτικό: εκτεταένο ΕΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗ κ.α.). ηιουργία θεατρικών οάδων, ουσικοχορευτικών συγκροτηάτων προσανατολισένα τόσο στηνσε παράδοση όσο και σε ορφές παγκόσιας εβέλειας. 3. Ουσιαστικές επισκέψεις ουσεία, θέατρα, κινηατογράφους, νηεία ΕΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει B3. α) επίτευγα: κατόρθωα κοντά: ακριά συνοπτικό: εκτεταένο φυσικής: τεχνητής προσανατολισένα τόσο στηνσε παράδοση όσο και σε ορφές παγκόσιας εβέλειας. ΕΟΙΚΟ 3. Ουσιαστικές επισκέψεις ουσεία, θέατρα, νηεία «νατούρα». Ανάλογη προετοιασία από τουςκινηατογράφους, αθητές (συγκέντρωση →ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ B3. α) επίτευγα: κατόρθωα ετάβαση: πέρασα δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει συνοπτικό: εκτεταένο φυσικής: τεχνητής αιχαλωτίσει: απελευθερώσει, 4. Εκπαιδευτικά προγράατα 3. Ουσιαστικές επισκέψεις σε θέατρα, κινηατογράφους, Ανάλογη προετοιασία από τους αθητές (συγκέντρωση →ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΟΙΚΟ 4. «νατούρα». Εκπαιδευτικά προγράατα ως ουσεία, εφαλτήριο για επίσκεψης πολιτισικές ανταλλαγές (π.χ. ενηερωτικού υλικού) και αποτύπωση εντυπώσεων ε κάθε ορφήνηεία τέχνης δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση ετάβαση: πέρασα φυσικής: τεχνητής αιχαλωτίσει: απελευθερώσει, ε(π.χ. σχολεία του εξ Comenius → Ανάλογη προετοιασία από τους αθητές (συγκέντρωση 4. «νατούρα». Εκπαιδευτικά προγράατα ως εφαλτήριο για επίσκεψης πολιτισικές ανταλλαγές ενηερωτικού υλικού) και εντυπώσεων ε κάθε ορφή) τέχνης ετάβαση: πέρασα ουσιώδες: ουσιαστικό πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση (ζωγραφική, ποίηση, φωτογραφία). σχολεία τουαποτύπωση εξωτερικού, συνδιοργάνωση πολιτιστικών εκδηλώσεων. Comenius ) ε Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξηαιχαλωτίσει: απελευθερώσει, 5. Καλλιτεχνικοί διαγωνισοί σ ενηερωτικού υλικού) και εντυπώσεων ε κάθε ορφή τέχνης ποίηση, φωτογραφία). σχολεία τουαποτύπωση εξωτερικού, συνδιοργάνωση πολιτιστικών εκδηλώσεων. Comenius ) ε 4. Εκπαιδευτικά προγράατα εφαλτήριο για επίσκεψης πολιτισικές ανταλλαγές (π.χ. πληρότητα: αρτιότητα, ουσιώδες: ουσιαστικό Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη 5. (ζωγραφική, Καλλιτεχνικοί διαγωνισοί σε ως πανελλαδικό επίπεδο (δηιουργία κινηατογραφικών Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας → ολοκλήρωση Παθητική σύνταξη ταινιών, ουσικών συνθέσεων ποίηση, φωτογραφία). 5. (ζωγραφική, Καλλιτεχνικοί διαγωνισοί σε ποίησης, πανελλαδικό επίπεδο φωτογραφίας, (δηιουργία κινηατογραφικών ) ε σχολεία του εξωτερικού, πολιτιστικών εκδηλώσεων. Comenius ουσιώδες: ουσιαστικό B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας σύνταξη →τεχνίτη. Παθητική σύνταξη ταινιών, ουσικών συνθέσεων, ζωγραφικής, κ.α.) 3συνδιοργάνωση διαγράφονται από τον ταινιών, ουσικών συνθέσεων, ποίησης, κ.α.) κοντά: B3. β) ακριά έλλογη: άλογη, παράλογη 5. Καλλιτεχνικοί διαγωνισοί σε πανελλαδικό επίπεδο φωτογραφίας, (δηιουργία κινηατογραφικών και ισορροπηένης πολιτείας Παθητική σύνταξη → Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης 3ζωγραφικής, διαγράφονται από τον τεχνίτη. «άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη Επίλογος: Συγκεφαλαίωση της αξ B3. β) ακριά έλλογη: άλογη, συνοπτικό: εκτεταένο κοντά: 3ζωγραφικής, ταινιών,Συγκεφαλαίωση ουσικών συνθέσεων, ποίησης, τονπριν τεχνίτη. «άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη από διαγράφονται Επίλογος: της αξίας της Τέχνης για τουςφωτογραφίας, νέους ειδικάκ.α.) και την κοινωνία Παθητική σύνταξη Το ζώο δαάστηκε την ελληνική από τέχνη ανακαλυφθεί ο →παράλογη γενικότερα. για ριζικ κοντά: ακριά φυσικής: τεχνητής συνοπτικό: εκτεταένο Επίλογος: αξίαςαλλαγή της Τέχνης για τους νέους ειδικά και τηνΑισιοδοξία κοινωνία άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη Παθητική σύνταξη την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο → Το ζώο δαάστηκε από «άασε… γενικότερα.Συγκεφαλαίωση Αισιοδοξία γιατης ριζική και διαφοροποίηση στην αντιετώπιση της τέλειος άνθρωπος. Τέχνης. συνοπτικό: εκτεταένο αιχαλωτίσει: απελευθερώσει, φυσικής: τεχνητής γενικότερα. Αισιοδοξία γιαανακαλυφθεί ριζική και διαφοροποίηση στην αντιετώπιση της Επίλογος: Συγκεφαλαίωση της αξίαςαλλαγή τηςο Τέχνης για τους νέους ειδικά και την κοινωνία Παθητική σύνταξη → Το ζώο δαάστηκε απόΤέχνης. την ελληνική τέχνη πριν τέλειος άνθρωπος. φυσικής: τεχνητής αιχαλωτίσει: απελευθερώσει, Τέχνης. γενικότερα. Αισιοδοξία για ριζική αλλαγή και διαφοροποίηση στην αντιετώπιση της άνθρωπος. Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα τέλειος του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου Αποφώνηση: Σας ευχαριστώ για τ αιχαλωτίσει: απελευθερώσει, Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: σύνταξητου δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου Τέχνης. Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο:Ενεργητική ιλία σε ηερίδα ε θέα «Τέχνη και Ζωή». Αποφώνηση: Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας. Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας → Παθητική σύνταξη Αποφώνηση: Σας ευχαριστώ του για την προσοχή σας. Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος σχολείου ε θέα «Τέχνη και Ζωή». Ύφος: Σοβαρό, επίσηο. Επιέλεια Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας →τεχνίτη. Παθητική σύνταξη διαγράφονται απόεπίσηο. τον ε θέα «Τέχνη και Ζωή». Ύφος: Σοβαρό, Αποφώνηση: Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας. Γλώσσα: αναφορική. Επιέλεια Αβδελέλλη ιασεή Ταστη πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας →τεχνίτη. Παθητική σύνταξη «άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη διαγράφονται από τον Ύφος: Σοβαρό, επίσηο. Γλώσσα: αναφορική. Επιέλεια ιασεή Μέσα πειθούς: επίκληση λογική αλλά και στο συναίσθηα. Αβδελέλλη Σααρ Κυριακή διαγράφονται από τον τεχνίτη. «άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική Παθητική σύνταξη Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο →όλα, αναφορική. Μέσα πειθούς: επίκληση στη λογική αλλά και στοΓλώσσα: συναίσθηα. Αβδελέλλη ιασεή Επιέλεια Ρηαικ πρόσωπα: εκτός τουσύνταξη β΄ ενικού. Σααρ Κυριακή «άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική Παθητική σύνταξη Τοεκτός ζώο δαάστηκε από Μέσα την ελληνική πριν στη ανακαλυφθεί ο και στο →όλα, τέλειος άνθρωπος. πειθούς:τέχνη επίκληση λογική αλλά συναίσθηα. Ρηαικ πρόσωπα: τουσύνταξη β΄ ενικού. Σααρ Κυριακή Αβδελέλλη ιασεή Παθητική σύνταξη Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο → τέλειος άνθρωπος. Ρηαικ πρόσωπα: όλα, εκτός του β΄ ενικού. Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες / Σααρ Κυριακή τέλειος άνθρωπος. Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες / ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου Φίλοι και φίλες,


ΘΕΜΑ Γ Γ1. Έστω Γ: ο αθητής αθαίνει Γαλλικά Ι : ο αθητής αθαίνει Ισπανικά Γ ∩ Ι : ο αθητής αθαίνει Γαλλικά και Ισπανικά P (Γ) =

3ν 2

ν +1

,

P (Ι) =

ν+ 2 2

ν +1

,

P ( Γ∩Ι ) =

ν+1

ν 2 +1

Γ ∪ Ι : ο αθητής αθαίνει ία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

P ( Γ∪Ι ) = lim

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Λύσεις στα Μαατικ και Στοιχεία Στατιστικής

2

x →−1

(

2

x +3−2

)

2

x +x

= lim

x →−1

2 [ x + 3 − 4] 2

x ( x + 1)

(

x 2 +3 + 2

)

=

Λύσεις στα Μαατικ και Στοιχεία Στατιστικής 2 ( x −ΠEMΠTH 1) ( x +1) 24 MAΪOY 2012 2 ( x −1) Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012 −4 Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012 = lim = lim = =1 − 1⋅4 x →− 1 x →− 1 Λύσεις στα Μαατικ και Στοιχεία Στατιστικής 2 2 Λύσεις Μαατικ x ( x + 1) x +3 + 2 x x +3 + 2 Λύσεις στα στα Μαατικ και και Στοιχεία Στοιχεία Στατιστικής Στατιστικής ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑ A Γενικής Γενικής Παιδείας Παιδείας Γ΄ Γ΄ Λυκείου Λυκείου 2012 2012 Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, 2012 σελ. 31 Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 31 Οπότε το ενδεχόενο Γ ∪ Ι είναι βέβαιο. A2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 148 A2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 148 ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑ A σχολικού βιβλίου, σελ. 96 A3. Θεωρία A3. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 96 Γ2. Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 31 Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 31 Α1. α) Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 31 A4. Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ A4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ P ( Γ∪Ι ) = 1 ⇒ P ( Γ ) + P ( I ) − P ( Γ∩Ι ) = 1 ⇒ A2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 148 A2. A2. Θεωρία Θεωρία σχολικού σχολικού βιβλίου, βιβλίου, σελ. σελ. 148 148 3ν ν+ 2 ν+1 3ν+1 2 A3. Θεωρία σχολικού σελ. 96 A3. σχολικού βιβλίου, βιβλίου, + − =1⇒ = 1 ⇒ ν = 3ν ⇒ ν = 3 A3. Θεωρία Θεωρία βιβλίου, σελ. σελ. 96 96 2 2 2 2 ΘΕΜΑ Β β)σχολικού ΘΕΜΑ Β A4. α) Λ Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ 1 1 1 1 ν + ν + ν + ν + A4. Λ Λ δ) ε) Σ A4. α) α) Κάνοντας Λ β) β) Σ Σ γ) γ) δ) Σ Σ ε) Σ Β1. το Λ ολύγωνο των Β1. Κάνοντας το ολύγωνο των Γ3. ( Γ−Ι ) ∪ ( Ι−Γ ) : ο αθητής αθαίνει ία όνο από τις δύο γλώσσες ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, P ( ( Γ−Ι )∪( Ι−Γ ) ) = P ( Γ−Ι ) + P ( I −Γ ) = P ( Γ ) − P ( Γ∩Ι ) + P ( I ) − P ( I∩Γ ) = ΘΕΜΑ Β Β Β1. Κάνοντας το ολύγωνο των Β1. Κάνοντας το ολύγωνο των ( ) ( ) ( ) Β1. Κάνοντας ολύγωνο έρουε από τοτο 50% του των y′y έρουε από το 50% του y′y P Γ + P I − 2P I∩Γ = αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, 3ν ν+ 2 ν+1 αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικώνστον σχετικών συχνοτήτων, παράλληλη x′x . Αυτή τένει το παράλληλη στον x′x . Αυτή τένει το = 2 + 2 − 2 2 ′ 1 1 ν + ν + ν +1 έρουε από το 50% του y y έρουε από το του y′y έρουε το 50% 50% πολύγωνο από σε ένα σηείοτουπου y′yη 3 πολύγωνο σε ένα σηείο που η Επειδή ν = 3 έχουε P ( ( Γ−Ι )∪( Ι−Γ ) ) = παράλληλη στον στον xx′′xx .. Αυτή Αυτή τένει τένει το το παράλληλη 5 ′ . Αυτή τένει το παράλληλη στον x x τετηένη του είναι 25. Άρα δ = 25 . τετηένη του είναι 25. Άρα δ = 25 . πολύγωνο σε ένα σηείο που η 4 2 πολύγωνο πολύγωνο σε σε ένα ένα σηείο σηείο που που η η Γ4. P ( Γ∩Ι ) = = 10 5 . τετηένη του είναι 25. Άρα δδ = 2550-50 ⇔ Β2. Η ιάεσος χωρίζει το είγα . Άρα ν1 + ν 2 = νΒ2. χωρίζει το είγα 50-50 . Άρα ν1 + ν( 2 = )ν 3 + ν 4 ⇔ τετηένη του 25. 3 + νΗ 4 ιάεσος τετηένη του είναι είναι 25. Άρα Άρα δ= = 25 25 .. Ν Γ∩Ι 2 32 2 ( )= = ⇒ = ⇒ 2 Ν (  ) = 160 ⇒ Ν (  ) = 80 α + 4 + 3α − 6 = 2α + 8 + α − 2 ⇔ α = 8 − 2 − 4 + 6 ⇒ α =α8 +. 4 + 3α − 6 = 2α + 8 + α − 2 ⇔ α = 8P− Γ∩Ι 2 − 4 + 6Ν ⇒( α) = 8 5. Ν(  ) 5 Β2. Η ιάεσος χωρίζει το είγα 50-50 Άρα +ν =ν ν Β2.πίνακας Η ιάεσος ιάεσος χωρίζει το το είγα είγα 50-50 50-50 ... Άρα Άρα ν ν +πίνακας ν4 ⇔ ⇔ είναι: 33 + Ο είναι: χωρίζει ν111 + +ν ν 222 = =ν νΟ Β2. Η 3 + ν 44 ⇔ Χρόνοι ΘΕΜΑ  Χρόνοι . 4 3 6 2 8 2 α + + α − = α + + α − ⇔ α = 8 − 2 − 4 + 6 ⇒ α = 8 44 + α xi vi fi % Ni Fi % α (+ +λεπτά + 33)α α− − 66 = = 22xα αi + + 88 + +α α− − 22v i⇔ ⇔ α α= = 88 − −fi 22%− − 44 + + 66 ⇒ ⇒Nα αi = = 88 (..λεπτάF)i % Ο πίνακας είναι : 1 Ο πίνακας πίνακας είναι είναι::  2 Ο − (1 + ln x ) 1  2 ln x  x 20 Χρόνοι [5,15) 10 20 12 12 [5,15)F20% 10 20 12 12 Χρόνοι xx i vv i ffi % N 2ln x −ln 2 x −1 −( ln x −1)2 Χρόνοι   x % N ii Fii % % ′(x) = ′ (x) = ((λεπτά )) ii ii ii % 1. x v f N F ⇒ f f = ≤0 λεπτά i i 2 15,25 )) 20 18 30 30 ([λεπτά [15,25)50 20 18 30 30 x2 x2 x50

15

( ) ( ) AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA TΩN MAΘHMATIKΩN & ΣTOIXEIΩN ΣTATIΣTIKHΣ ΓENIKHΣ ΠAIΔEIAΣ - 2012

) [5,15 5,15 5,15 ))) [[[25,35 [15,25)) 15,25 [[15,25 35,45) ) [Σύνολο [[ 25,35 25,35 25,35 )) ) [[35,45 [35,45 35,45 ))

10 10 10 30 20 20 20 40 30 30 30

12 12 12 24 18 18 18 6 24 24 60 24 66 6 + x 3ν 3 +60 x ν 60 60 4 4

40 40 40

20 20 20 40 30 30 30 10 40 40 100 40

12 12 12 54 30 30 30 60 54 54 54 60 60 60

20

20 20 [ 25,35 )90 50 50 )50 [35,45 100

90 90 Σύνολο90 100 100 100

30

24

f 40 ↓ ( 0,+∞ )

40

6

10 Το εβαδόν 60 του ορθογωνίου 100 2. είναι E ( x ) = xf ( x ) ⇒ E ( x ) = 1 + ln x ,

60 10 10 10 10 100 ⋅ 12 + 20 ⋅ 18 + 30 ⋅ 24 + 40 ⋅x61ν1 + x 2 ν 2 + x 3ν 3 + x 4 ν 4 100 100

54

άρα

η

90 2

x100 >0

2ln x

, E′ ( x ) = 0 ⇒ ln x = 0 ⇒ x = 1 E′ ( x ) = Σύνολο x1ν1 + x 2 ν 2 x + 30 ⋅ 24 + 40 ⋅ 6 10 ⋅ 12 + 20 ⋅ 18 Σύνολο Σύνολο Β3. x = = Β3. x = = = = E ′ ( x ) > 0 ⇒60 x > 1 και E ′ ( x ) < 0 ⇒ x < 1 60 ν1 + ν 2 + ν 3 + ν 4 ν1 + ν 2 + ν 3 + ν 4 x ν1 + x ν2 + x ν3 + x ν 4 10 20 ⋅⋅ 18 40 ⋅ 12 + + 30 ⋅ 24 + ⋅ 66 Το πρόσηο της E ′ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. 40 ν+124+ + xx 22 ν ν2 + + xx 333ν ν 33 + + xx 444 ν ν 44 = 10 ⋅⋅ 12 12 + 20 ⋅ 18 18 + 30 ⋅⋅ 24 2412+ 40+⋅⋅72 6 += + 20 + 30 ++36 12+x36= Β3. =+xx7211ν = 10 =24 Β3. + = = x 4 24 Β3. x = 1 1 ν =+22ν+2 6++ν12 = = = + + + = = 2 6 12 4 24 60 +ν 6 60 ν 6 60 ν11 + +ν ν 22 + +ν ν 33 + +ν ν 44 12+36+ 72+224

1

2

3

4

12+36 x1++−72 x )++ 24 ν1 +==( x222++−66x )++ 12 ν 2 +(44x 3==−24 x ) ν3 +( x 4 − x ) ν 4 = 72 24 212 +(36 = S ⇒ 66 = 2 + 6 + 12 + 4 = 24 = = 12 + 24 2

22 = S S S = =

(((

6

)))

(((

2

)))

ν

(((

2

)))

2

(((

)))

2 22 22 22 xx1−− xx )222ν + − ν 2ν 11 + 2− ++x x( 20 −−xx602)ν ν2 2⋅18 + +x x(330 − xx−60 ν)23⋅++24xx+4(− −40xx−260 ν )42 ⋅6 (10 x11 − −60 x ν ν⋅12 1 + x 22 − x ν 22 + x 33 − x ν 33 + x 44 − x ν 44 ⇒ ⇒⇒

2

2

( x1 − x )2 ν1 +( x 2 − x )2 ν2 +( x 3 − x )2 ν3 +( x 4 −x )2 ν 4

⇒ ΜΕΘΟΙΟ ΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΟΙΚΟ ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 2 (10−60 )2 ⋅12+( 20−60 )2 ⋅18+( 30−60 )2 ⋅24 ( ) + 40−60 ⋅6 ΜΕΘΟΙΟ = ⇒ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 60 ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Πα 2 ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x = 1 , τό Η Ε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο τότε E (1)Γ΄=ΗΛυκείου 1Ε + ln x = 1 ,Παιδείας 1 =2012 1

S =

ν

S ν ⇒ ν ν60 2 2 2 2 ((10 ( 20− 2 − 60 ))22 ⋅⋅12 + 60 ))22 ⋅⋅18 +( 30− 60 ))22 ⋅⋅24 +( 40− 60 ))22 ⋅⋅6 2 − + 22 = 84 S 9,17 (10 10⇒ −60 60S)=⋅12 +(( 20 20− −60 60 ) ⋅18 30− −60 60 ) ⋅24 40− −60 60 ) ⋅6 12 18++(( 30 24++(( 40 6⇒ ⇒ S = 84 ⇒ S = 9,17 Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄Άρα Λυκείου 2012 τετράγωνο. S το ΟΚΛΜ Άρα το ΟΚΛΜ τετράγωνο . 60 S = = ⇒ Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Λυκείου A 2012 60 Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Παιδείας Γ΄ Γ΄ΘΕΜΑ Λυκείου 2012 60 ΘΕΜΑ A Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄Α1. Απαντήσεις Λυκείου 2012 22 β Β4. Μέσα σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέονται οοιόορα . Έστω % το x = ⇒ = S 84 S 9,17 ΘΕΜΑ A Β4. Μέσα σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέονται οοιόορα . Έστω % το x 2 = 84 ⇒ S = 9,17 Απαντήσεις Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄3. Λυκείου 2012 S Α1. β λA= f ′Θετν Το λ = f ′ (1) ( ) = ⇒ = S 84 S 9,17 3. Το 1 ΘΕΜΑ Α2. δ ΘΕΜΑ A ζητούενο ποσοστό ζητούενο ποσοστό Α1. β Α2. δ ΘΕΜΑ A f ′ (1)δ= −1 Άρα ε : y = − x + β Α1. Α3. f ′ (1) β Α1. Α2. δβ= −1 Άρα ε : y = − x + β

Β4. Μέσα σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέονται οοιόορα . Έστω x % το Β4. Β4. Μέσα Μέσα σε σε κάθε κάθε κλάση κλάση οι οι παρατηρήσεις παρατηρήσεις κατανέονται κατανέονται οοιόορα οοιόορα.. Έστω Έστω x % το το x% ζητούενο ποσοστό ζητούενο ποσοστό ζητούενο ποσοστό

ΘΕΜΑ A Α3. δβ Α1. Α2. δ Α4. β Α2. Α3. Α1.xδδβ, x , ..., x έχουν x = 10 , S = 2 Τα x , x , ..., x10 έχουν x = 10 , Sx = 2 Α4. Τα Α2. Α3. 1δ 2 10 Α5. α1 2 x Α3. δ Α4. βδ Α2. α ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Α5. Α3. δ Α4. β Α4. βδ Επειδή y = − xS + =β −1 Sέχουε Α5. Επειδή έχουε και ⇒ S = y2 = − x + β y = −x + β y = − x + β ⇒ y = −10 +β Α3. α Α4. β y x y Α5. α ΘΕΜΑ Β Α5. α Α4. α β Β Α5. (υνδυασό εαρογή σχολικού βιβλίου ) 45−35 10 (ΘΕΜΑ υνδυασό εαρογή σχολικού βιβλίου ) 45 35 10 − Β1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγ Άρα 8% έχουε Αναλογικά = ⇒x =8 Α5. α Αναλογικά έχουε = ⇒ x = 8 ΘΕΜΑ Άρα 8% Β1. Σελ.Β 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιόςυελού.» της πολυοελίτιδας … νωτιαίου 45−37 x ΘΕΜΑ Β S 45−37 x 1 1 S 1 2 ΘΕΜΑ Β 1 1 y Β1. Σελ. βιβλίου: «Για παρά��ειγα, ο ιός CV της πολυοελίτιδας …⇒νωτιαίου 1 18 Σχολικού 2 y υελού.» ≤ Σχολικού ⇔ ≤ ≤βιβλίου: ⇒ βόπως − 10 ΘΕΜΑ Β⇔ ≤«Για ≤ ⇒βιβλίου: β − 10 ≥ 20οο ⇒ CV ≤ Β1. 18 παράδειγα, ιός της πολυοελίτιδας … «Το 35 10 − Β1. Σελ. 18 Σχολικού Σχολικού βιβλίου: «Για⇒ παράδειγα, ιόςΣελ. τηςy 39 πολυοελίτιδας … νωτιαίου νωτιαίου y Σελ. β− 10 10 εβόλιο, υελού.» 45 35 10 − y ΘΕΜΑ Γ έχουε 45 β− 10 10 y ΘΕΜΑ Β 10 10 Αναλογικά ΘΕΜΑ Γ = ⇒ x = 8 45 35 10 − Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, 10 βιβλίου: «Για 10 παράδειγα, ο ιός… Β1. Σελ. 18 Σχολικού της πολυοελίτιδας … νωτιαίου Αναλογικά έχουε = ⇒ x = 8 υελού.» κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτ 45 −37 Αναλογικά έχουε = xx ⇒ Γαλλικά x =8 υελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα οέκανε και ίδιος ικροοργανισός, Γ1. Έστω Γ: ο αθητής 45 Β1. Σελ. Σχολικού βιβλίου: «Για ιός (ανοσοβιολογική της νωτιαίου Γ1. Έστω Γ: ο αθητής αθαίνει Γαλλικά … κύτταρα νήης». Το δευτερογενή απόκριση, 45− −37 37αθαίνει x 10πολυοελίτιδας β− ≥ο ή β−ο ≤− 20 )… ⇔ β ≥γιατί 30 ήνήης β ≤ −10 (βο ≥20Σχολικού ή18 β− 10≤−20 βάτοο ≥«Το 30 εβόλιο, ήθαβ κάνει ≤παράδειγα, −10όπως υελού.» (β−10 )⇔ Σελ. 39 βιβλίου: θα έκανε και οο20 ίδιος οο10ικροοργανισός, ενεργοποιούνται τα κύτταρα Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ίδιος ικροοργανισός, Ι : ο αθητής αθαίνει Ισπανικά … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατί Ι : ο αθητής αθαίνει Ισπανικά υελού.» ενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, ΒΣελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, ( A ) ≤ P ( A ∪BΤ-λε ) 4. Ισχύουν Α ⊆ Α∪ Β⇒ Pγιατί ( A ) ≤θα )δευτερογενή … κύτταρα νήης». ανοσοβιολογική απόκριση, λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά 4. Ισχύουν Α ⊆ Αβιβλίου: ∪ ΒΤο ⇒άτοο P«Το P (κάνει A ∪ Bόπως … νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή απόκριση, γιατί Γ ∩ Ι : ο αθητής αθαίνει Γαλλικά και Ισπανικά ενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, ΒΣελ.κύτταρα 39 Σχολικού εβόλιο, θα έκανεανοσοβιολογική καινήης), ο ίδιος ο ξεκινά ικροοργανισός, Γ ∩ Ι : ο αθητής αθαίνει Γαλλικά και Ισπανικά λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα αέσως ηδεν προλαβαίν … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατί ενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Βέκκριση αντισωάτων και έτσι ( ) ( ) ενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β∩ ⊆ Α ∪ Β ⇒ ∩ ≤ ∪ A B P A B P A B ( ) ( ) λεφοκύτταρα νήης, Τ-λεφοκύτταρα νήης),ταξεκινά αέσως η Α ∪νήης». Β⇒ ∩Bκυτταροτοξικά ≤P A ∪Bκάνει A ∩κύτταρα B ⊆ αντισωάτων P AΤο 3ν ν+ 2 ν+1 … άτοο θα δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατί έκκριση έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν συπτώατα της ενεργοποιούνται τα και κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β, P ( Ι ) = 2 , P ( Γ∩Ι ) = 2 P ( Γ ) = 3ν , P ( Ι ) = ν+ 2 , P ( Γ∩Ι ) = ν+1 P (Γ) = λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά η ασθένειας. Τοταάτοο δεν νοσεί και λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως η( Aπιθανότατα έκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν συπτώατα (αέσως ) ) ≥ fτης ( ( 2 2 2 ενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, ΒΗ άρα ∪B ) ) (1) f P A P f 0, ↓ ( +∞ ) ( ) ( ) ( ) ( ) Η άρα ≥ ∪ (1) f P A f P A B ασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. f 0, ↓ ( +∞ ) ν 2 +1 ν +1 ν +1 λεφοκύτταρα νήης,και κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα ξεκινά αέσως η «Οι ν +1 ν +1 ν +1 έκκριση αντισωάτων έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα της Β2. νήης), Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: αυξανό έκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα της ασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως η τις παραπάνω γλώσσες Γ ∪ Ι : ο αθητής αθαίνει ία τουλάχιστον από Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία του γλώσσες Γ ∪ Ι : ο αθητής αθαίνει ία τουλάχιστον από τις παραπάνω έκκριση έτσικαι δενπιθανότατα προλαβαίνουν να εφανιστούν ( συπτώατα ≥τα f ( P( A∩B ) )ότι fολύνθηκε. P( A∪B ) ) (2) της ) )85 ) )βιβλίου: ( P( A∪δεν ασθένειας. Το νοσεί δεν αντιλαβάνεται πλανήτη». ∩Bαντισωάτων ≥ fάτοο (2) f ( P( AΣελ. Bκαι ασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σχολικού «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία του έκκριση αντισωάτων έτσικαι δενπιθανότατα προλαβαίνουν να εφανιστούνότιταολύνθηκε. συπτώατα της πλανήτη». 2 2 ασθένειας. Το κατά άτοο δενκαι νοσεί 2 2 Β2. Σελ. 85 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι(2)αυξανόενες αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουκαι Με πρόσθεση κατά έλη των (1) έχου ανή Β3. Σελ. ανάγκες 47 Σχολικού βιβλίου: «Ο(2) HIV 2 ( x + 3 − 2) 2 [ x + 3 − 4] έλη των (1)και και έχουεδεν : αντιλαβάνεται Β2. Σελ. Σχολικού «Οι ενεργειακές … κλία του ] πρόσθεση πλανήτη». 2 ( x + 3 − 2) 2 [ x + 3 − 4Με ασθένειας. Το άτοο δεν βιβλίου: νοσεί πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι… ολύνθηκε. ανήκει στους ρετροϊούς υπάρχουν στην Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «Ο HIV = lim = P ( Γ∪Ι ) = lim Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία του ( ) lim P Γ∪Ι = lim = = πλανήτη». 2 επιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) πλανήτη». + ∩ ≥ ∪ f P A f P A B 2f P A B ( ) ( ) ( ) ) + fτους.» ( P Σχολικού (να ) HIV στους ρετροϊούς … υπάρχουν στην Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «Ο x →−1 x →−1 ( ∩Μπορεί ∪B«Οι f ( P AΣελ. A B ) ≥ 2fβιβλίου: P A Β2. 85 αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία του x +x x →−1 ( ) 1 x2 + x επιφάνειά αναφερθεί καιανήκει η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικό x x + 1) ( x 2 +3 +x2→− + 2 ) Σελ. x x + 1) ( x 2 +3πλανήτη». ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στην Β3. 47 Σχολικού βιβλίου: «Ο HIV περίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στην Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «Ο HIV επιφάνειά τους.» να1.32). αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικό πλανήτη». περίβληα του ιού.Μπορεί (Εικόνα στους ρετροϊούς …Σχολικού υπάρχουν στην «Κατόπιν ό Β3. Σελ. τους.» 47 Σχολικού βιβλίου: «Ο HIV επιφάνειά Μπορεί να αναφερθεί και η γλυκοπρωτεϊνών στο 2 ( x −1) ( x +1) 2 ( x −1) Β4. Σελ. 47-48 βιβλίου: −4 2 ( x −1) ( x +1) επιφάνειά τους.» Μπορεί να1.32). αναφερθεί καιανήκει η ύπαρξη ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικό εξωτερικό 2 ( x −1) −4α α τω περίβληα του ιού. (Εικόνα τω ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στην Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «Ο HIV Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλική = = = 1 lim lim = επιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικό = = = = 1 lim lim ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ περίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). επαφή». −1⋅4 περίβληα του ιού. (Εικόναβιβλίου: 1.32). x →−1 ( x →−1 ( Β4. Σελ. Στρατής, 47-48 Σχολικού «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές σεξουαλική Κωστής Στρατής,… αατς ΜΕΘΟΙΟ αατς επιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικό x 2 +3 + 2 ) x x + 1) ( ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ x x 2 +3 + 2 ) x →−1 x ( x + 1) ( x 2 +3 + 2 ) x →−1 x ( x 2 +3 + 2 ) −1⋅4Κωστής επαφή». περίβληα του ιού. (Εικόναβιβλίου: 1.32). «Κατόπιν Β4. Σελ. Σχολικού όλων Β4. Σελ. 47-48 47-48 Σχολικού όλων αυτών αυτών είναι είναι εφανές εφανές … … σεξουαλική σεξουαλική επαφή». περίβληα του ιού. (Εικόναβιβλίου: 1.32). «Κατόπιν Οπότε το ενδεχόενο Γ ∪ Ι είναι βέβαιο. Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι Γεφανές … σεξουαλική Οπότε το ενδεχόενο Γ ∪ Ι είναι βέβαιο. επαφή». ΘΕΜΑ επαφή». Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλική ΘΕΜΑ επαφή». Γ Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012 Γ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασ ΘΕΜΑ Γ Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012 επαφή». Γ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί φυσική … συγκεκρι Γ2. Γ2. ΘΕΜΑ του… ΘΕΜΑ Γ126 Γ1. Σελ.Γ Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία επεριβάλλον». τηνεπιλογή». οποία οι «Θεωρία οργανισοί …αρβίνου φυσική ( ) ( ) ( ) ( ) επιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο P Γ∪Ι = 1 ⇒ P Γ + P I − P Γ∩Ι = 1 ⇒ ΘΕΜΑ Γ126 ΘΕΜΑ A P ( Γ∪Ι ) = 1 ⇒ P ( Γ ) + P ( I ) − P ( Γ∩Ι ) = 1 ⇒ Γ1. Σελ. Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οργανισοί … φυσική Σελ. 129οι Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να Γ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσική επιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑ Γ Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί …οποία στιγή». 3ν β ν+ 2 ν+1 3ν+1 Γ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οι οργανισοί … φυσική Α1. 2 3 ν ν+ 2 ν+ 1 3 ν+ 1 επιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». 2 επιλογή». «Θεωρία του αρβίνου …επίσης συγκεκριένο βιβλίου: «Πρέπει να τονιστεί στιγή». Α1. β+ 2 − 2 = 1 ⇒ 2 = 1 ⇒ ν = 3ν ⇒ ν += 3 − =1⇒ = 1 ⇒ ν = 3ν ⇒ ν = 3Σελ. Γ1. 129 Σελ.Σχολικού 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία επεριβάλλον». την…οποία οι οργανισοί … φυσική επιλογή». «Θεωρία του αρβίνου …επίσης συγκεκριένο περιβάλλον». Α2. Σελ. 129 βιβλίου: «Πρέπει να … ν 2 +1 δ ν +1 Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσ Σελ. 129 Σχολικού Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί τονιστεί … στιγή». στιγή». ν 2 +1 ν 2 +1 ν 2 +1 ν 2 +1 Α2. δ ν +1 ν +1 επιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3. Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή». Α3. δ ( ) ( ) Γ3. τις γλώσσες ( Γ−Ι ) ∪δύο ( Ι−Γ ) : ο αθητής αθαίνει ία όνο από τις Γ3.από δύο γλώσσες Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: επίσης Συπεράσατα 1, 2, Α3. Γ−Ι δ ∪ Ι−Γ : ο αθητής αθαίνει ία όνο Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει να τονιστεί …3.στιγή». Α4. β )∪( Ι−Γ ) ) = P ( Γ−Ι ) + P ( I −Γ ) = P ( Γ ) − P ( Γ∩Ι ) + P ( I ) − P ( I∩Γ ) = Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού Γ3.3. ( ( Γ2. Σελ. Σχολικού βιβλίου: βιβλίου: Συπεράσατα Συπεράσατα 1, 1, 2, 2, 3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος P Γ−Ι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) = Σχολικού ( ) Α4. β P Γ−Ι ∪ Ι−Γ = P Γ−Ι + P I −Γ = P Γ − P Γ∩Ι + Γ3. P I Σελ. − P ( I125-126 ∩Γ 72-73 βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα … ταΆρα είδη Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3. αναφέρεται Α5. α ( ) τρέφονται από αυτό.» πιοπου ισορροπηένο θ (Γ) α Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα τα είδη που P + P I − 2P ( I∩Γ ) = Α5. Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1,το2,οικοσύστηα 3. αναφέρεταιτης…λίνης P ( Γ ) + P ( I ) − 2P ( I∩Γ ) = τρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι Α. Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη που Σχολικού βιβλίου: «Ο όροςθαποικιλότητα αναφέρεταιτης…λίνης τα είδη Γ3. Σελ. 72-73 τρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο είναι το οικοσύστηα Α. που 3ν ν+ 2 ν+1 3ν ν+ 2 ν+1 Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όροςθα αναφέρεται τα είδη ΘΕΜΑ = +Β −2 τρέφονται από αυτό.» αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο είναι οικοσύστηα της λίνης Α.  = + −2 τρέφονται από Άρα πιο ισορροπηένο θαποικιλότητα είναι το τοΘΕΜΑ οικοσύστηα της… λίνης Α. που 2 2 2 ΘΕΜΑ Β Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη που 2 2 2 ΘΕΜΑ  από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το1. ν +Σελ. 1 ν 18 +1 Σχολικού ν +1 βιβλίου: «Για παράδειγα, τρέφονται οικοσύστηα της λίνης Α. βιβλίου: Β1. … νωτιαίου ν +1 ο νιός+1της πολυοελίτιδας ν +1 Σελ. 108-109 Σχολικού «Όσον α ΘΕΜΑ  Β1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίου τρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α. 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …παραπάνω η κ 3 υελού.» 3 ΘΕΜΑ  από ασφυξία». Με βάση τα ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ  Επειδή έχουε P ν = 3 Γ−Ι ∪ Ι−Γ = ( ) ( ) 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού … ( ) υελού.» Επειδή P Γ−Ι ∪ Ι−Γ = = 3 έχουε από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα των 5 όπως ΘΕΜΑ Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, θα νέκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, 5 1. Σελ. 108-109 βιβλίου: «Όσον αφορά του ευτροφισού … αποικοδοητών και η καπύλη 1. Σελ. 108-109 Σχολικού Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το τοΑ φαινόενο φαινόενο του ευτροφισού … Β στην ποσ από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη αναφέρεται στην ποσότητα των Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, ΘΕΜΑ  αποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό. 4 2 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού … … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατί 4 2 από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα των από ασφυξία». Με τα παραπάνω η καπύλη αναφέρεται στην ποσότητα των Γ4. αποικοδοητών καιβάση η καπύλη Β στην ποσότητα οξυγόνου στο νερό. P ( Γ∩Ι ) =νήης». = … κύτταρα Το άτοο θα κάνει δευτερογενή απόκριση, γιατί 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά του τοΑ φαινόενο του ευτροφισού … P ( Γ∩Ι ) =ανοσοβιολογική = από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα των ενεργοποιούνται (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β10 τα 5 κύτταρα νήης Γ4. αποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό. 10 5 2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογ αποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό. ενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Βαπό ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα των 2. Σελ. 105 Σχολικού «Στους πρωτογενείς συγκαταλέγονται τα οξείδια από τις η ) 2 αποικοδοητών καιβιβλίου: η καπύλη Β στην ποσότηταρύπους του οξυγόνου στο νερό. παράγονται λεφοκύτταρα κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά2 αέσως η Ν ( Γ∩Ι νήης, 32 2 ( ) του αζώτου, καθώς Ν Γ∩Ι 2 32 ( ) ( ) ( Γ∩Ι ) = βιβλίου: «Στους πρωτογενείς συγκαταλέγονται τα οξείδια λεφοκύτταρα νήης, P = ⇒ κυτταροτοξικά = ⇒ 2 Ν Τ-λεφοκύτταρα P (=Γ∩Ι == 80⇒ ξεκινά 160) =⇒ Ν  νήης), (  )105 αποικοδοητών η καπύλη Β στην του οξυγόνου στο νερό. = αέσως ⇒ 2 Ν (της η) = 160 2. ⇒ ΝΣελ. = 80Σχολικού του αζώτου, καθώςκαι παράγονται από τις ποσότητα ηχανές ρύπους εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, ) δεν έκκριση αντισωάτων έτσι να εφανιστούν τα( συπτώατα Ν(  ) 5 και 5 προλαβαίνουν Ν(  2. 105 βιβλίου: πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδια () ) 5 αεροπλάνα, εργοστάσια). προϊόντα αντίδρα 5 Ν 2. Σελ. Σελ. 105 Σχολικού Σχολικού βιβλίου: «Στους «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα Στα οξείδια του αζώτου, καθώς παράγονται από αντίδρασής τις ηχανέςτους εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, έκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να Νεφανιστούν τα συπτώατα της αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα ε το οξυγόνο της ατόσφαιρας 2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδια ασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. του αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, κάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολ του αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιρας ασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. 2. Σελ. Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους τα ρύπος). οξείδια κάτω από105 την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το συγκαταλέγονται όζον (δευτερογενής του αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, Β2. Σελ. ανάγκες … κλία του ΘΕΜΑ  85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε οξυγόνο της «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται ΘΕΜΑ  ενεργειακές αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ετοτο το οξυγόνο της ατόσφαιρας ατόσφαιρας κάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει όζον (δευτερογενής ρύπος). Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία του του αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) και αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιρας πλανήτη».  κάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). ακολούθως παράγεται σαν προϊόν 1 κάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος).  2 ) 1 «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα όζον οξείδια αζώτου (καπύλη Α) και αντίδρασης τ πλανήτη». 2 ) αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ετου τοόζον οξυγόνο της ατόσφαιρας ακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το (καπύλη Β). − (1 + ln «Ο 2 ln x  x βιβλίου: x 1HIV ανήκει στους ρετροϊούς ( κάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το (δευτερογενής ρύπος). Β3. Σελ. 47 Σχολικού … υπάρχουν στην − + 2 ln x x 1 ln x 1 «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) 2 «Με βάση τα επίδραση παραπάνω πρώτα παράγονται τα όζον οξείδια του αζώτου (καπύλη ρύπος). Α) και και 2 της 2 την ( ln… )2 ακολούθως προϊόν αντίδρασης το (καπύλη Β).(δευτερογενής 2ln x −lnρετροϊούς x −1 x − x −1υπάρχουν Β3. Σελ. 47 Σχολικού «Ο HIV ανήκει στους στην ( ln x −1)σαν κάτω από ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον x  βιβλίου: 2ln x −βάση ln x −1παράγεται −παραπάνω «Με τα πρώτα παράγονται τα όζον οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) και«Τα οξείδια το ′ (ηx )ύπαρξη επιφάνειά Μπορεί να αναφερθεί⇒και στο άρα η( x ) = ακολούθως 1. =  ≤ 0εξωτερικό = =f ′ ( x ) =γλυκοπρωτεϊνών f ′ ( x )τους.» f1. παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το (καπύλη Β). 3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: ′ άρα η = ≤ 0 ⇒ f ακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β). 2 2 2 επιφάνειά τους.» Μπορείx να αναφερθεί και η ύπαρξη xγλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικό 2 «Με Σελ. ταΣχολικού παραπάνω πρώτα παράγονται τα αζώτου οξείδια του αζώτου Α) και 2 3. 105 βιβλίου: οξείδια του προκαλούν εφυσήατος.» ακολούθως παράγεται προϊόν«Τα αντίδρασης το όζον (καπύλη Β). … (καπύλη xβάση x 2 σαν xx περίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). 3. Σελ. 105 Σχολικούσαν βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.» του ιού. (Εικόνα 1.32). ακολούθως παράγεται προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β). fπερίβληα 0, ↓ ( +∞ ) Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν είναι εφανές … σεξουαλική f ↓όλων ( 0,+∞αυτών ) 3. προκαλούν … ετν: 3. Σελ. Σελ. 105 105 Σχολικ��ύ Σχολικού βιβλίου: βιβλίου: «Τα «Τα οξείδια οξείδια του του αζώτου αζώτουΕπιέλεια προκαλούν … εφυσήατος.» εφυσήατος.» Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλική Επιέλεια ετν: 3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτουΒαξεβανέλλης προκαλούν …Σπύρος, εφυσήατος.» επαφή». 2 Βιολόγος 2 ) = xf ( ) ( ) Επιέλεια ετν: 2. Το εβαδόν του ορθογωνίου είναι E ( x2. , ⇒ = + x E x 1 ln x επαφή». ( ) ( ) ( ) 3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.» Σπύρος, Βιολόγος Το εβαδόν του ορθογωνίου είναι E x = xf Βαξεβανέλλης , ⇒ = + x E x 1 ln x Επιέλεια ετν: Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος x>0 x>0 Επιέλεια ετν: ΘΕΜΑ Γ Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος Βιολόγος ΘΕΜΑ Γ 2ln x Επιέλεια ετν: 2ln x οποία Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος Γ1. 126, E Σχολικού «Η διαδικασία ε την οι οργανισοί … φυσική ′ ( x )Σελ. ′ ( x ) = 0 βιβλίου: E = ⇒ ln x = 0 ⇒ x = 1 ( ) ( ) ′ ′ , E x = E x = 0 ⇒ ln x = 0 ⇒ x = 1 Γ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσική Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος x επιλογή». x«Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». επιλογή». «Θεωρία τουEαρβίνου …x συγκεκριένο περιβάλλον». ( ) ( ) ′ ′ και E x > 0 ⇒ x > 1 x < 0 ⇒ < 1 ( ) ( ) Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης Eνα′ τονιστεί x > 0 ⇒… x στιγή». > 1 και E ′ x < 0 ⇒ x < 1

AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA THΣ BIOΛOΓIAΣ ΓENIKHΣ ΠAIΔEIAΣ - Γ΄ΛYKEIOY 2012


ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

18

ΣABBATO 26 MAΪOY 2012

οτεινενες Απαντήσεις στο ηα της Νεοελληνικής Λογοτεχνίας 2012

όνον στην εποχή της παρακής των ελληνικών κοινοτήτων της Μέσης Ανατολής αλλά και στη φθορά του ποιητή. Συπερασατικά, ο ποιητής, θέλοντας να αποστασιοποιηθεί από την έκφραση ιας τόσο έντονης ανησυχίας για το γήρασα του σώατος και της ορφής του, χρησιοποιεί το προσωπείο του Ιάσονα Κλεάνδρου, ώστε να διατυπώσει τις προσωπικές του θέσεις χωρίς όως αυτές να σκιάζονται από υποκειενισό. Ο Καβάφης χρησιοποιεί, παράλληλα, τον εκτενή αυτό τίτλο για να εταθέσει χρονικά τη ελαγχολική αυτή κατάσταση στο παρελθόν και ως εκ τούτου να προσδώσει στις σκέψεις και τον προβληατισό του διαχρονικότητα αλλά και καθολικότητα. Β2. Εκφραστικά έσα:  «Τό γήρασα τοῦ σώατος καί τῆς ορφῆς ου εἶναι πληγή»: εταφορική εικόνα, ε την οποία αποδίδεται παραστατικά το αίσθηα της φρίκης που προκαλούν τα σηάδια του χρόνου στο σώα και την ψυχική ορφολογία του ποιητή.  «εἶναι πληγή ἀπό φρικτό αχαῖρι»: επανάληψη του στίχου 2 της πρώτης ενότητας ε το στίχο 1 της δεύτερης ενότητας. Αυτό συντελεί τόσο στη συνοχή του ποιήατος όσο και στην έφαση που δίνεται λόγω της φθοροποιούς δύναης του χρόνου.  «φέρε»: χρήση προστακτικής. Μαρτυρά την επιτακτική ανάγκη για βοήθεια και την απελπισία του ποιητή, ο οποίος σε παρακλητικό τόνο ζητά τα φάρακα.  «Εἰς σέ προστρέχω Τέχνη τῆς Ποιήσεως,πού κάπως ξέρεις ἀπό φάρακα» ιάλογος (χρήση α΄ και β΄ ενικού ρηατικού προσώπου), που προσδίδει θεατρικότητα. Γ1. Ο ποιητής, όπως κάθε θνητός, βρίσκεται αντιέτωπος ε την αδυσώπητη οίρα του, ε τη νοοτελειακά αναπόφευκτη πορεία προς το τέλος. Φριχτό αχαίρι ο χρόνος, γι' αυτό δεν έχει εγκαρτέρηση καιά. Ο δηιουργός, ωστόσο, γνωρίζει καλά ότι το οναδικό καταφύγιο ενός ποιητή είναι σαφώς η τέχνη του, η οποία του επιτρέπει να αποστασιοποιηθεί από τον εαυτό του και να αφεθεί στη δηιουργική έκσταση, υιοθετώντας οποιαδήποτε περσόνα επιθυεί, δηιουργώντας ένα διαφορετικό κόσο, στον οποίο δε νιώθει πια ευάλωτος από το χρόνο. Η αποστροφή (εἰς σε), το σχήα της προσωποποίησης (προσωποποιείται η Τέχνη της Ποίησης και παρακάτω η Φαντασία και ο Λόγος) και η περίφραση «Τέχνη της Ποιήσεως» (όπου επιλέγεται η λόγια κατάληξη «ποιήσεως») από τη ια προσδίδει στο λόγο εγαλοπρέπεια και καθιστά το ύφος υνητικό, εγκωιαστικό από την άλλη επιβεβαιώνει την ιδιαίτερη σχέση του ποιητή ε την ποίηση. Ο ποιητής καταφεύγει στην ευεργετική λειτουργία της ποίησης για να απαλύνει τον πόνο των γηρατειών. Η κυρίαρχη ιδιότητα του, όπως φροντίζει να ενηερώσει τον αναγνώστη από τον τίτλο ακόη, είναι ποιητική. Αφιέρωσε, δηλαδή τη ζωή του στην τέχνη του Λόγου. Υπήρξε ένας υπηρέτης της. εν είναι, εποένως, παράξενο να απευθυνθεί σε αυτήν, γνωρίζοντας βέβαια την παροδική ίαση, που πορεί να του προσφέρει («κάπως») Η Τέχνη της Ποιήσεως είναι πολύτιο βάλσαο που κάνει να η νιώθεται η πληγή. Η ποιητική πράξη λειτουργεί σαν ναρκωτικό. Απόπειρες νάρκωσης του πόνου γίνονται ε τη Φαντασία και το Λόγο. Σίγουρα, η Φαντασία δεν υπαινίσσεται πλαστική ή δηιουργική φαντασία. Μάλλον πρόκειται για αναπαραστατική φαντασία, ' άλλα λόγια για ένα είδος παραορφωένης νήης. Ο Λόγος αποδίδει ε λέξεις, εικόνες και σύβολα τη σύλληψη της Φαντασίας. Η ποίηση, εποένως, δεν είναι απλώς ια δηιουργική ενασχόληση, είναι ένας ολόκληρος κόσος στον οποίο ο ποιητής πορεί να ξεφύγει από την παρούσα κατάσταση της θλίψης και να εισαχθεί σε ια νοητική κατάσταση στην οποία το πέρασα του χρόνου και η συνακόλουθη φθορά του σώατος και της ορφής, δεν πορούν να τον πληγώσουν. 1. : Τα δύο ποιήατα έχουν ως κοινό θεατικό άξονα τα γηρατειά και τον αείλικτο χρόνο. Τόσο ο Καβάφης (Τό γήρασα τοῦ σώατος καί τῆς ορφῆς ου) όσο και ο Λειβαδίτης (στὴν ἡλικία ου χιονίζει, χιονίζει ἀδιάκοπα) αντιλαβάνονται ότι η φθορά είναι αναπόφευκτη και έχουν πλήρη επίγνωση της πραγατικότητας. Επιπλέον, ο πόνος και η ελαγχολία είναι εφανείς και στα δύο ποιήατα. Στο ποίηα του Καβάφη αυτό επιτυγχάνεται ε την επανάληψη του στίχου «εἶναι πληγή ἀπό φρικτό αχαῖρι». Στο ποίηα του Λειβαδίτη η αντίστοιχη ελαγχολική διάθεση εντοπίζεται στις λέξεις «ολοόναχος / χτυπήατα / πόνος». Τέλος, και οι δύο είναι ποιητές και καταφεύγουν στην ποίηση προκειένου να εκφράσουν τα συναισθήατά τους. Για τον Καβάφη η ποίηση αποτελεί ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ καταφύγιο, ία θεότητα. Μέσω της ποίησης πορεί για λίγο ο δηιουργός να ξεχαστεί, να ξεφύγει από τη δυσάρεστη πραγατικότητα της ελαγχολικής ηλικίας του. Ο Λειβαδίτης ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ την παροοιάζει σαν ια εγάλη αλήθεια στην οποία πορεί να καταφύγει, έστω και : «ὕστερ’ ἀπὸ χρόνια».

ΠPOTEINOMENEΣ AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA THΣ NEOEΛΛHNIKHΣ ΛOΓOTEXNIAΣ - 2012

Α1. Η ποίηση του Καβάφη, ως προς τη στιχουργία οιάζει «πεζολογική». Συγκεκριένα, οι στίχοι είναι ελεύθεροι, σχεδόν πάντα ιαβικοί, κατά κανόνα ανισοσύλλαβοι, χωρίς οοιοκαταληξία και χωρίς επιέλεια στις χασωδίες. στόσο, πολύ προσεγένοι στη στίξη, στις περιόδους, στις παύσεις. Η ιδιότυπη γλώσσα του ποιήατος του Καβάφη είναι οιλούενη από την ελληνική παροικία της Αλεξάνδρειας (δηοτική ε τύπους λόγιους και πολιτικούς ιδιωατισούς) («ἐγκαρτέρησι» στιχ.3, «κάνουνε» στιχ.9), ενώ πολλές από τις λέξεις που χρησιοποιούνται είναι «αντιποιητικές», της καθηερινής χρήσης. Τα φάρακα της τέχνης δηλαδή «Φαντασία και Λόγος» λειτουργούν ως σύβολα, ως αναλγητικά φάρακα που πορούν να απαλύνουν, προσωρινά έστω, το άλγος που προξενεί η φθορά του σώατος και της ορφής. Β1. Πράγατι, ο τίτλος «Μελαγχολία τοῦ Ἰάσωνος Κλεάνδρου ποιητοῦ ἐν Κοαγηνῇ 595 .Χ.» είναι ένας από τους εκτενέστερους τίτλους ποιηάτων που έγραψε ποτέ ο Καβάφης. Το ποίηα γράφεται το 1918 ε τον τίτλο Μαχαίρι, όταν ο ποιητής είναι 55 ετών. Ο πρώτος τίτλος υπογραίζει τη φρίκη των γηρατειών, αφήνει όως ξεγυνωένη την προσωπική πληγή του ποιητή. Γι’ αυτό ο Καβάφης σπεύδει να χρεώσει τη ελαγχολία και την οδύνη στο φανταστικό ποιητή Ιάσονα Κλεάνδρου. ηοσιεύεται έτσι το 1921ε τον υπάρχων τίτλο, όπου ορίζει το (ψευδο)ιστορικό πλαίσιο και τον αφηγητή και δίνει έτσι διαχρονική ισχύ στα λεγόενά του. Θα πορούσε να είναι ένας στίχος του ποιήατος. Η έκταση που δίνεται στον τίτλο είναι σκόπιη, καθώς το ιστορικό άλλοθι αυτού του εσωτερικού ονολόγου περιορίζεται στον τίτλο, και έτσι η ταύτιση των δύο ποιητών γίνεται σχεδόν αναπόφευκτη. Ο Καβάφης, λοιπόν, κάνει χρήση ενός ποιητικού προσωπείου και ταυτίζεται ε τον Ιάσονα Κλεάνδρου. Αναλυτικότερα, η ελαγχολία του τίτλου έχει απολύτως συγκεκριένο σηείο αναφοράς: τα ορατά σηάδια της γήρανσης του σώατος ε όλο τον πόνο και την οδύνη που συνεπάγεται αυτή η φυσική και αναπόδραστη κατάσταση. Το πρόσωπο Ιάσων Κλεάνδρου είναι φανταστικό, ένας ανύπαρκτος ποιητής, ια persona του ποιητή στην οποία προβάλλει τα συναισθήατά του και τους προβληατισούς του. Το κυριώνυο Ιάσων παραπέπει συνειρικά στον οώνυο υθικό ήρωα από την Ιωλκό, τον αρχηγό της Αργοναυτικής εκστρατείας, τα κατορθώατα του οποίου υνήθηκαν αρχικά από την αρχαία λογοτεχνία (εξ ου προφανώς και η πατρωνυική γενιά Κλεάνδρου [κλέα + ανδρός] που κάνει τον Ιάσωνα «γιο της ανδρικής δόξας», «ένδοξο». Από την άλλη πλευρά, το όνοα Ιάσων παραπέπει στο ρήα ιάοαι - ωαι που σηαίνει θεραπεύω. Όπως είναι γνωστό, ο υθικός ήρωας κατά τη διάρκεια της Αργοναυτικής εκστρατείας συνδέθηκε ερωτικά ε τη Μήδεια, ιαν από τις εγαλύτερες, αν όχι τη εγαλύτερη φαρακεύτρια της αρχαίας υθολογίας. Η Μήδεια ερωτεύτηκε τον Ιάσονα και προσφέρθηκε να τον βοηθήσει στην επικίνδυνη αποστολή του δίνοντάς του αρχικά ιαν αλοιφή που οι αρχαίες ελληνικές πηγές αποκαλούν . Η Μήδεια κατείχε την τέχνη της αναστροφής του γήρατος και της απόδοσης της χαένης νεότητας. Σύφωνα δε ε έναν όχι και τόσο γνωστό ύθο, η Μήδεια τεάχισε και έβρασε το σώα του Ιάσονα και του ξανάδωσε τη χαένη νεότητα. Καθίσταται, λοιπόν, φανερό ότι ο φανταστικός ποιητής Ιάσων Κλεάνδρου, δηλαδή ο Καβάφης, σκέπτεται σαν τον οώνυο υθικό αρχηγό της Αργοναυτικής εκστρατείας και καταφεύγει στη δική του Μήδεια, την Ποίηση, αναζητώντας τα νηπενθή φάρακα που θα γλυκάνουν, έστω για λίγο, τον αβάσταχτο πόνο από το φριχτό αχαίρι της φθοράς του χρόνου. Η οαγηνή ήταν κάποτε ένα ανεξάρτητο κρατίδιο βορειοανατολικά της Συρίας ως το 638 που καταλήφθηκε από τους Άραβες και έγινε τήα της βυζαντινής αυτοκρατορίας. Η επιλογή του τόπου και του χρόνου δεν είναι τυχαία. Το κρατίδιο εκείνη την εποχή (595 .χ.) βρίσκεται σε παρακή: η χρονολογία του τίτλου τοποθετεί το ονόλογο του Ιάσωνος Κλεάνδρου 53 χρόνια ετά το διαγούισα της Κοαγηνής από το Χοσρόη Α' της Περσίας και τέσσερα χρόνια ετά την ειρήνη του βυζαντινού αυτοκράτορα Μαυρίκιου ε τον Χοσρόη Β'. Έτσι, η φθορά του ποιητή συπίπτει ε τη φθορά του άλλοτε κραταιού κρατιδίου. Το έτος 595 .χ.είναι τυχαίο και υποδηλώνει ότι η θλίψη για τη γήρανση του σώατος και της ορφής, αλλά και η θεραπευτική δύναη της ποίησης, είναι διαχρονική. Είναι, ωστόσο, πολύ πιθανόν ο Καβάφης ε το έτος 595 .χ να ήθελε να δείξει ότι απέχει πέντε έτη από το τέλος της έκτης δεκαετίας της ζωής του. Εποένως, το έτος αυτό δεν αναφέρεται ίσως

Η λειτουργία της ποίησης για τον Καβάφη έχει αναλγητική καθώς τον λυτρώνει προσωρινά : και τον αποφορτίζει συναισθηατικά. Ο Λειβαδίτης είναι περισσότερο απόλυτος καθώς Η λειτουργία της ποίησης για τον Καβάφη έχει αναλγητική καθώς τον λυτρώνει προσωρινά δηλώνει ότι κανείς δεν πορεί να τον βοηθήσει. Τέλος, ο Καβάφης ε τον εκτενή τίτλο και τον αποφορτίζει συναισθηατικά. Ο Λειβαδίτης είναι περισσότερο απόλυτος καθώς χρησιοποιεί ένα προσωπείο δίνοντας καθολική και διαχρονική διάσταση στο θέα των δηλώνει ότι κανείς δεν πορεί να τον βοηθήσει. Τέλος, ο Καβάφης ε τον εκτενή τίτλο γηρατειών. Αντίθετα ο Λειβαδίτης ιλά άεσα για τον εαυτό του, δίχως να κρύβεται, χρησιοποιεί ένα προσωπείο δίνοντας καθολική και διαχρονική διάσταση στο θέα των δίνοντας ένα προσωπικό τόνο στο ποίηα. Αυτό ενισχύεται και από τον ίδιο τον τίτλο γηρατειών. Αντίθετα ο Λειβαδίτης ιλά άεσα για τον εαυτό του, δίχως να κρύβεται, «Αυτοβιογραφία». δίνοντας ένα προσωπικό τόνο στο ποίηα. Αυτό ενισχύεται και από τον ίδιο τον τίτλο «Αυτοβιογραφία». ιλεια εάτ Χατζηβασιλείου Βάγια, φιλόλογος ιλεια εάτ Χατζηβασιλείου Βάγια, φιλόλογος


Γ4. Αρχικά, η στροφική κίνηση της δοκού είναι επιταχυνόενη εξαιτίας της ροπής της ′ δύναης F . Όσο όως η δοκός περιστρέφεται, οι ροπές των δυνάεων, οι οποίες αντιστέκονται στην   κίνηση Mg και mg αυξάνονται. Η δοκός θα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ αποκτήσει έγιστη γωνιακή ταχύτητα στη θέση όπου η ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΑΙ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 συνισταένη ροπή είναι Στ = 0 . χουε, ως προς Ο: Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 2012 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ή F′ ( OA ) − Mg ( ΚΓ ) − mg ( A ) = 0 ή Στ = 0 ΚΑΙ Γ΄ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ℓ 2F′ Μ ΘΕΜΑ Α1. γ Α Α1. γ ή F′ℓ − Mg θ − gℓθ = 0 ή θ ΣABBATO 26 MAΪOY 2012= ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 Α1. ΘΕΜΑ Α2. βγ Α 2 2 2Mg Α2. β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α1. γ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΘΕΜΑ Α Α2. β Α1. γ Α3. Α3. γγ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 30 3 Α2. ΘΕΜΑ Α Α1. γ Α3. Α2. γβ β Α4. θ = ή θ = 60ο Α4. γ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Α3. Α2. β Α4. γΣ Α3. α) Α5. β) Σ2012γ) ΛΘΕΜΑ δ) Λ Α ε)Α1. Σ γ 60 Α5. α) β) γ) ε) Σ Α4. γγ Σ Α3. γ Α5. Σ ΘΕΜΑ β) Σ Σ Α γ) Λ ΛΑ1.δ) δ)γΛ Λ ε)Α2. Σ β Α4. α) ΘΕΜΑ Α Α1. Α5. α) β) ε) Σ Α4. γ Α5. α) Σ ΣΒ β) Σ Σγ γ) γ) Λ ΛΑ2.δ) δ)βΛ Λ ε)Α3. Σ γ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ  ΘΕΜΑ Β γ Α1. Α2. β Α3. γ γ Α4. Α5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β απάντηση: γ Β1. Σωστή Β1. Σωστή απάντηση: γ Α2. Σωστή β Β γ γ Α5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β1. απάντηση: γΑ4. ΘΕΜΑ Β Α3. : ο α) δείκτης διάθλασης Αιτιολόγηση: Έστω νγΑ5. Α3. Σωστή γ Α4. γ n Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ : ο δείκτης διάθλασης n Β1. Σωστή απάντηση: Αιτιολόγηση: Έστω ΘΕΜΑ Β Β1. απάντηση: γ Αιτιολόγηση: Έστω n νν : ο δείκτης διάθλασης Α4. νερού, γ Α5.Έστω Σ n δείκτης β): Σ γ) Λ διάθλασης δ) Λ του ΘΕΜΑ Βε) ΣΒ1. Σωστή απάντηση: γ του διάθλασης nα) Αιτιολόγηση: λ: ο : οο δείκτης δείκτης διάθλασης Αιτιολόγηση: Έστω ν του νερού, οο Λ του νδείκτης Α5. Σ β) n δ) Λ διάθλασης Σ Σωστή του α) νερού, δείκτης διάθλασης του απάντηση: nΣλλ :: γ) ΘΕΜΑ Β ε)Β1. γ Έστω n : ο δείκτης διάθλασης Αιτιολόγηση: ν 1Β1. Σωστή του νερού, : ο δείκτης διάθλασης του n ΘΕΜΑ Β απάντηση: γ του νερού, : ο δείκτης διάθλασης του λ Αιτιολόγηση: Έστω n ν : ο δείκτης διάθλασης λ 1 = 1 λαδιού. Είναι θ (1) 1 λαδιού. Είναι θ (1) = νερού, n λ : ο δείκτης διάθλασης του ΘΕΜΑ Είναι Β Β1.θ Σωστή γ Έστω n : οτου 1 = nαπάντηση: λαδιού. (1) δείκτης διάθλασης ν 1 ν nnγ11Αιτιολόγηση: ν του νερού, : ο δείκτης διάθλασης του n Β1. Σωστή απάντηση: λαδιού. Είναι θ (1) = λ λαδιού. Είναι θ (1) : οπεράσει δείκτης διάθλασης n ν θα Αιτιολόγηση: ν Έστω 11 Η ακτίνα προερχόενη από το νερό 1 n του νερού, : ο δείκτης διάθλασης του n Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσει λαδιού. Είναι θ1 = (1) ν : ο το λ δείκτης διάθλασης Αιτιολόγηση: Έστω nnναπό Η ακτίνα προερχόενη νερό θα περάσει ν 1 θα θ 2διάθλασης στο λάδι και τη γωνία τουγια νερού, :διάθλασης ο δείκτης του n λτο nν λαδιού. Είναι θ (1) = θα θ Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσει στο λάδι και για τη γωνία διάθλασης Η ακτίνα προερχόενη από νερό θα περάσει 1 θα1 θ 22του στο για : τηο γωνία διάθλασης του λάδι νερού,και n δείκτης διάθλασης λαδιού. Είναι ν ακτίναnπροερχόενη από το νερό θα περάσει ισχύει: nλν τη n λδιάθλασης ή Η(1) θγωνία  θ 1 =θα 12 θθ στο για 1 = θ στο λάδι λάδι και και για τη γωνία διάθλασης 22 θα ισχύει: n n ήν  θ =  θ λαδιού. ισχύει: n νν Είναι n λλ1  = θ111 =θ θ 22Η (1) ακτίναήnπροερχόενη από το νερό θα περάσει στο λάδι και για τη γωνία διάθλασης θ 2 θα n ν  θ n ν11 λαδιού. Είναι θ (1) = ισχύει: nn 1ν 1 θ n ή =  θ Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσει ισχύει: n ή θ =  θ n  θ λ λ 2 = 2 21στο λάδι θ 2 = n ν  θν1 ήn11 θ (2) και για τη γωνία διάθλασης θ 2 θα θ ή (2) θα ισχύει: 1 ν θ ή  θ1 = n λ  θ 2 ακτίνα προερχόενη από το νερό περάσει 2 = n11λ για θ 22 = = nn ννΗnnθ ή στο θ λάδι τη(2)γωνία διάθλασης θn2νθα λ 2 =και θ n 1 ν 1 λ λ ισχύει: n n ή  θ =  θ Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσει n n θ = ή θ = (2) ν λ 1 2 ή θ (2) θ θ θα στολ λάδι επιφάνεια και για τη διάθλασης λ 22 22 γωνία n  θ1θ′ή και ισχύει: 1 Για τη διαχωριστική λαδιού η κρίσιη γωνία ισχύει:διάθλασης n λ 2θ = θ nn λ για τηεπιφάνεια nn λ ––nαέρα crit ′ ή1και ισχύει: = 2 ν είναι θ 2 = (2) νθ θ 1κρίσιη Για διαχωριστική λαδιού η είναι θ στο λάδι και γωνία λ λ – αέρα 2 γωνία n  θ 2 θα και ισχύει: θ′crit Για τη τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού αέρα η κρίσιη γωνία ν 1 ισχύει: n ν  θ1 =θ n λ  θ ήή είναι crit nθ nλ = = (2) 2 λ 1 2 2 ′ n  θ 1 είναι αέρα η κρίσιη κρίσιη γωνία γωνία είναι θ ισχύει: θ′crit και Για τη τη διαχωριστική διαχωριστική επιφάνεια λαδιού Για επιφάνεια –– αέρα η ισχύει: ν (2) 1 11 (3) ισχύει: n ν .θ = nσχέσεις λαδιού θ ′crit θ′crit Από τις (3) ότι θ(2) == θθnκαι η n λθ 2 = ήή 1παρατηρούε λ= 1θ 2 (2) και 2 crit λ εποένως ′ = ′′crit 21σχέσεις θ = (3) .. nΑπό τις και (3) παρατηρούε ότι εποένως θ Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιούη 2 ν  θ n θ′crit = (3) Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι = εποένως η – αέρα η κρίσιη γωνία είναι θ′crit και ισχύει: θ θ n n λ θ = ή θ = (2) crit n n1 2 crit 1 λ λ 2 2  θ 1 λ Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι θ′crit και ισχύει: n λ (3) ν 1 .. Από θ = κινηθεί (3) Από τις σχέσεις (2) και και(2) (3)n παρατηρούε παρατηρούε1ότι ότι θ = θθ′′crit εποένως η θ σχέσεις (2) (3) θ–22 αέρα. θ′′crit ή n λτις θ = διαχωριστική ακτίνα θα παράλληλα crit crit εποένως η λ επιφάνεια λαδιού 2 = 2 τη 1. Στη θέση ισορροπίας σώατος, ισχύει: θ Για τηε διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι nn λn ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα. θ′crit = λαδιού(3) . Από τις σχέσεις (2) και′crit (3)καιπαρατηρούε ότι θ 2 =Θ.Ι. εποένως η τα ελατήρια έχουν ίσες παραορφώσεις θ′crit του ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη nδιαχωριστική – αέρα. λ λ 1 επιφάνεια λ ′ και ισχύει: θ Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι n ′ ′ θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι = εποένως η θ θ από το φυσικό τους ήκος. ℓ crit ακτίνα θα ��αράλληλα ε επιφάνεια –– αέρα. λ crit 2 crit ακτίνα θα κινηθεί κινηθεί παράλληλα ε τη τη1διαχωριστική διαχωριστική επιφάνεια λαδιού λαδιού αέρα. 1 Β2. Σωστή απάντηση: α ′crit παρατηρούε και ισχύει: Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού –(3) αέρα η nκρίσιη γωνία είναι Β2. . Από σχέσεις (2) και θπαράλληλα (3) ότι θ 2 = θ′crit επιφάνεια εποένωςλαδιού η λτις ακτίνα θα κινηθεί ε τη διαχωριστική Β2. Σωστή Σωστή απάντηση: απάντηση: 1α αθ′crit = Ισχύει: ΣFx = 0 ή B x =– Fαέρα. + F ή m gφ = ( k1 + k 2 ) ℓ (1) λ παρατηρούε ότι θ = θ′ εποένως n ′ θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) η 1 2 1 1 λ λ Β2. Σωστή απάντηση: α ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα. 2 crit στη Αιτιολόγηση: Η crit θέση του δεσού είναι x  = λ . Το σηείο Κ βρίσκεται Β2. Σωστή1απάντηση: α πρώτου 1 1 x . Το σηείο Κ βρίσκεται στη = Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι n ′ ′ θcrit = . Από τιςπρώτου σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι = εποένως η θ θ Αν το σώα ετατοπισθεί από τη Θ.Ι. κατά τυχαίο : x  1 ε λακτίνα 4 θα κινηθεί παράλληλα τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα. Αιτιολόγηση: Η(3) θέση του δεσού είναι xΒ2. . Το σηείο Κ βρίσκεται στη = Σωστή απάντηση: α 2 crit λ 1 4 λ nακτίνα Το σηείο λαδιού Κ βρίσκεται βρίσκεται στη = 4 .. αΤο Αιτιολόγηση: του είναι λ Η θα παράλληλα τη διαχωριστική επιφάνεια – αέρα.στη Σωστή απάντηση: xx  1 = σηείο Κ Αιτιολόγηση: Η θέση θέση του πρώτου πρώτου δεσού είναι λ κινηθεί λ δεσού λΒ2. ε λ ΣF = B − F ′λ− F ′ = m1gφ − k1 ℓ1 + x − k 2 ℓ1 + x ή 1 λ λ λ 44 λαδιού θέση xθα = x  11 −παράλληλα ή Β2. x K Σωστή = ή x K =α λ . − απάντηση: ακτίνα κινηθεί ε τη διαχωριστική επιφάνεια – αέρα. Κ βρίσκεται στη Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού λείναι xx =1 . 2Το σηείο λ λ λ λ K θέση x = x ή x = ή x . − = 1 1 − K  K K 4 6 12 θέση x K =Β2. x  11 Σωστή ή x = ή x . − 6λ − = 4 x . Το σηείο Κ βρίσκεται στη = Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι λ λ λ απάντηση: α K K 66 4 λ 6 12 λ λ λ 1 λ ΣF = m1gφ − ( k1 + k 2 ) ℓ1 − ( k1 + k 2 ) x ή λόγω της (1): ΣF = − ( k1 + k 2 ) x 12 θέση xx K = απάντηση: xx  1 − ή xx K = 4 − xx K = .. θέση ήαΑιτιολόγηση: ή θέση − 6 Ηή στη του πρώτου Β2. Σωστή λδεσού λ είναι λ x λλ1 = λ. Τολ σηείο4 Κ βρίσκεται λ K 1 − K K λ λ λ λ λ 6 4 6 12 6 στη 4 xτου 12ήθέση Το σηείο ΛΑιτιολόγηση: βρίσκεται x  11 + λδεσού x Λείναι =x Kλ = +x xλ =ή−λx.ΛΤο ή== σηείο x K =4 Κ− λβρίσκεται ή xΕποένως . το σώα εκτελεί απλή αρονική ταλάντωση ε σταθερά επαναφοράς = λ στη Η θέση θέση πρώτου Λ6 = K λ λ Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση x = x + ή x = + ή x 1 1  Λ λ ή +x12 12 3λή x 4= στη 6. 12 Το σηείο Λ βρίσκεται στηπρώτου θέση x ΛΛδεσού = x  11 x+είναι θέση =ή 46x−ΛΛΚλ=βρίσκεται λ= xή λ λ1σηείο x1 x−Λ=λ= 4.λ Αιτιολόγηση: Η θέση του 44λΤο12 33 K λ λ λ K D = k1 + k 2 λ+K12 1x 12 12 Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση x = x ή = + ή x = 6 4 6 12 Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση x = x + ή x = + ή x = θέσητων xλKσηείων =ΛΛx  1 −Κ ή x Kείναι =ΛΛ αντίστοιχα: 4− λ ή x K =ΛΛ . λ λ λ λ 11 λκαι Τα ταλαντώσεων 446 Λ.12 33 θέση x = x 2. Τα πλάτη πλάτη των των Λ Το είναι 12λΛ βρίσκεται ήπλάτος x Λ = της+λταλάντωσης ή x Λ = είναι A = ℓ διότι στην θέση αυτή (Θ.Φ.Μ.) το σώα 4αντίστοιχα: 12στη θέση ή λx K =Κ6 και ή xσηείο −12 = 2ταλαντώσεων πx KxλK = x  −των 2 πλσηείων 212 πx Λ 2π λ Λ  1 + λ Τολ K λ 1 1 ′ = 2αντίστοιχα: πx K = 2A συν 26π σηείων x Λ = x2A =συν και Α συν Α′ πλάτη = 2 Α συν = ΑΤο3 σηείο Τα των των και Λ είναι 3 στη22ππθέση x  2213ππ+ ==λ Α Τα των ταλαντώσεων των Κ και6Λ ΛΑβρίσκεται είναι 12 πx− = ή2Axσυν 2 π σηείων ′ πλάτη ′. = 2αντίστοιχα: Λ Α συν Α ήλ x Λ = 12+ λ ή x Λ 4= 12 ΑΚ = 2xΑ = Α 3ή Κ 2A θέση = x 22ταλαντώσεων x4και Λ συν λx Λ = λ K συν K =12 − K = Α ′ Λ 1 και 3 Α = Α συν = συν = Α Α′Κ = 2 Α συν 21πλλx K = 2A συν = Α 2 2A 12 λxx Λ+ 3π 4 Λ12 3 πλάτη σηείων είναι αντίστοιχα: 22 π θέση x Λ των = 22xππταλαντώσεων + λ ή Κx και 6 Το σηείο 6βρίσκεται στη 12Τα Κ 210 ⋅ ⋅ 2 ′πλx K π4 =ΛΑ 12 λ1Λ =λ2Aήσυν 3π= 12 Λ = λ x Λ22των K = ′′Λ = ωΑ και 22Κ 2A Α = Α Α συν συν 22 Α και 2A Αx =+ Αλσυν συν = συν =4 Α Α Α′′Κ = =υ συν =υ συν =στη ΑΤα33θέση 2A Κ βρίσκεται Κ 2 ( m ) ή ℓ = 0, 05m 12 12 3 πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: ′Κλ Λ υ υΑ ωΑσηείο Το Λ x = ή x = + ή x = = Είναι = ή 3 2 π x 2 π 2 π x 2 π δεν είχε ταχύτητα. Από την (1):  ℓ = Λ Κ 12 λ 3 Κ Κ Λ = 2A συν1 λΛ Α′ 1 = 2 Αλ συνλλΛ K = 2Aλσυν3 Λ = Α 3 και Α′ = 2 Α συν υΚ = 3 12 υΚ = ωΑ ωΑ′′Κλ ή υ 1 Είναι =200 Α υ Λ Λ Λ 12 4 12 3 Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: = Είναι = ή 3 Το σηείο βρίσκεται = x1 + ή2 πΚxxΛK = + υΚ υΚ ωΑ 12 Α′ = 2 Α συν 2 πΛx Λ = 2A συνλ2 π = Α λή2 π x=Λ Α= 3 και 3 ′′′Κ υ υ Λστη θέση x Λ Α Λ ΛωΑ Λ υ υ ωΑ ′ 2 2A = Α συν = συν Κ Κ Κ Λ = Λ ή των 12 4Λ είναι 12 12 3 Είναι 33 Β3. Σωστή αΛ ==ταλαντώσεων Τα πλάτη αντίστοιχα: Είναι =απάντηση: 2Κπτων x K σηείων 2 πκαι 2Λ πx Λ Η γωνιακή 2π λΚ 3ω = D ή ω = 10rad / s Β3. Σωστή απάντηση: ′′Λ ή υ υΑ υ=Κ Α 3ωΑ′Κκαι υ ωΑ Κ′ = 2 Α συν υα υΛ ωΑ 2 Ασηείων 2AΛσυν = 2A συνλ συχνότητα: =Α συν = Λ των Β3. Σωστή απάντηση: αΛΛΑ2′Κπx=των Λ Αιτιολόγηση: Τα πλάτη ταλαντώσεων Κ και είναι αντίστοιχα: = Είναι = ή 3 Λ m1 2 π 2 π x 2 π λ λ υΚ= Α ωΑ 3 K = 2A συν Αιτιολόγηση: υΛ Λ = 2A συν υΛυΚΑ′ωΑ και 3 ′Κ 12 =3′Λ2 Α συν =Α Α′ = 2 Α συν Β3. Σωστή Σωστή απάντηση: απάντηση: α Αιτιολόγηση: Β3. α = Είναι = ή Λ Κ2 πx Kt 2υ:π 2 π x 2 π 12 λ λ 3 ισχύει Για το χρόνο Λ = 2A συν ωΑ3′Κ και υ υΚ ωΑ 1 = 2A συν :Κ = Α Τη χρονική στιγή t 0 = 0 το σώα βρίσκεται στη θέση x 0 = + A . Η εξίσωση της Α′ ′Λ3=Σωστή =Α Α′ = 2 Α χρόνο συν 2 Α υσυν Αιτιολόγηση: Για Λ απάντηση: α Αιτιολόγηση: Είναι Λ ισχύει : υ= ωΑ′ ή Λυ =Β3. ΓιαΚ το το χρόνο λ υtt11 ισχύει λ 3 ωΑ′Κ 12 υ Κ Κ Λ Λ Λ Β3. Σωστή απάντηση: α Αιτιολόγηση: (A Γ )χρόνο = 3 Είναι′ tt1 =υισχύει ή:: Για το Για το χρόνο αποάκρυνσης είναι x = A ( ωt +φ0 ) . Για t = 0 γίνεται A = Aφ0 ή φ0 = 1 και Γ υΚ t1 = (A (1)Κ υΛ1 ισχύει υΛαπάντηση: ωΑ′ΛΣωστή ΚΒ3. (A Γ ))= ωΑ α Για το χρόνο t ισχύει : Αιτιολόγηση: = Είναι ή 3 tt1 = (1) υ 1 = (1) ′ υ υ ωΑ (A Γ ) 1 ΛΑιτιολόγηση: Λ Β3. Σωστή Λ απάντηση: α Για το χρόνο t ισχύει : (Aυ π υΓ ) κίνηση tt1 = (1) 1 (1) επειδή 0 ≤ φ0 < 2π είναι φ0 = . Εποένως η εξίσωση της αποάκρυνσης ε το χρόνο Σ : Για την του (A Γ ) 1 =Σωστή Β3. απάντηση: α Αιτιολόγηση: 2 : χρόνο υ t1 ισχύει Για το Για την υ κίνηση 2 t1 = : (1) Σ2 : Για την κίνηση του του Σ (A Αιτιολόγηση: 2t ισχύει : Γ ) (1) Για υτο χρόνο υ t = 1 : Σ Για την κίνηση του 1 Για την κίνηση του Σ(A π υ = το υσυνθ = υ  2 Γ) ισχύει Για χρόνο 2 = υ t1 υ υx = υσυνθ t1 = 2 : (1) θα είναι x = 0, 05  10t +  (S.I.) . Για την κίνηση του Σ 2 : υ x = υσυνθ 2 = 2υ (A Γ ) 2 x τις Κατά τις διαδοχικές διαδοχικές ανακλάσεις της σφαίρας σφαίρας Σ η ταχύτητα ταχύτητα υ εταάλλεται διότι υ δεν εταάλλεται  2 Κατά η t21 === υ2 ανακλάσεις (1) υ της υ υσυνθ την Σ τουυ xx Σδεν Κατά τιςΓ )διαδοχικές ανακλάσεις της Για σφαίρας η ταχύτητα δεν: εταάλλεται διότι διότι Σ 22 κίνηση υx = =(A υσυνθ 22 2 x 2υ 22 υ x= tαυτή (1) 3. Για την ταλάντωση του συστήατος Σ1 , Σ 2 η σταθερά επαναφοράς είναι Για στη τηνδιεύθυνση κίνηση yy′′yyτου υΣ 2=: υσυνθ 1 . ποένως ,, για το=χρόνο tt 2 ισχύει: δέχεται δυνάεις όνο αυτή δέχεται δυνάεις όνο όνο στη διεύθυνση xυ 2 υ Για αυτή δέχεται δυνάεις στη διεύθυνση ποένως , για για 2το το χρόνο χρόνο ισχύει: y′y .. ποένως t 22 ισχύει: την κίνηση του υ Σ=2 :υσυνθ = x υΓ ) 2 D1,2 = k1 + k 2 = 200N / m . Η γωνιακή συχνότητα της νέας ταλάντωσης είναι 2 (A Γ ) (A Γ ) =Συσυνθ : =22=(A Για την του (A Γ (A Γ (A (A Γ )) κίνηση (A Γυ))x υ (A2Γ Γ )) ή tt 22 = ή tt 22 = ή tt 22 = 2t 2 tt 2 = = ή ή 2 ή = = 2t 1 2 υ t 22 = υ = υ = ή t 22 = 2 υ ή t 22 = 2t111 υή =t 22υσυνθ D1,2 υ2 2 x υ υ υ υ xxx υ ω′ = ή ω′ = 5rad / s . 2 υ = υσυνθ = 2 m1 + m 2 x 2 2 2 ΘΕΜΑ Γ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Γ Γ 2 2 1 1 1 5 Εποένως, η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του m 2 : D = m 2 ω′ ή 2 2 2 2 2  ℓℓ  222 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 5 2 ή 2 2 2 2 2 1 1 1 5 = + + I I M m ℓ M ℓ M ℓ M ℓ M ℓ Γ1. 2 2 2 2 2 M  ℓ  + mℓ 2 = M Γ1. ) = I cm + + M  22  + mℓ = 12 = 66 M + 44 M + 22 M ή Mℓℓ + Mℓℓ + Mℓℓ = Mℓℓ ή Γ1. II((( O O cm O )) = I cm 12 cm O  2 D = 150 Ν / m . 12 4 2 6 2 5 2 5 2 = 5 ⋅⋅ 6 ή II( ) = = 0, 6 ⋅⋅ 0, 0, 09 09 ή 0, 45kgm 45kgm 22 II(( O )) = Το πλάτος A′ της ταλάντωσης του συστήατος Σ1 , Σ 2 είναι ίσο ε την παραόρφωση ) = 0, 45kgm = 6 ⋅ 6 ⋅ 0, 09 ή I(( O I( O O O O O) O) 66  Γ2. Η δύναη F ℓ 2 των ελατηρίων στη θέση ισορροπίας του συστήατος θα είναι:  έχει σταθερή ροπή τ σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. Το έργο της είναι: ροπή σε διάρκεια Γ2. έχει σταθερή σταθερή ροπή ττ120 σε όλη όλη τη τη διάρκεια της της κίνησης. κίνησης. Το Το έργο έργο της της είναι: είναι: Γ2. Η Η δύναη δύναη F F έχει π π π ή W = 120 ⋅ 0, 3 ⋅ π ή W = 18J 1 W ή W 810 ⋅ ⋅ WF = 120 WF = W = F ⋅⋅ ℓℓ ⋅⋅ π ή ή W = 18J = ττ ⋅⋅ θ θ ή =F ⋅ 0, 3 ⋅ π m1 + m 2 )gφ ( WFF = π WFF = τ ⋅ θ ή WFFF = F ⋅ ℓ ⋅ 2 ή ⋅ 0, 3 ⋅ 22 ή WFFF = 18J π 2 2 ή F F F F ΣFx = 0 ή ( m1 + m 2 ) gφ = k1ℓ 2 + k 2 ℓ 2 ή ℓ 2 = ή ℓ 2 = πενέργειας 2 έργου 2 για την Γ3. φαρόζουε θερηα – k1 + k 2 200 Γ3. φαρόζουε θερηα έργου – ενέργειας για την Γ3. φαρόζουε θερηα έργου – ενέργειας ως για την ετατόπιση της δοκού από την κατακόρυφη την ετατόπιση της δοκού από την κατακόρυφη ως την ℓ 2 = 0, 2m ετατόπιση της δοκού από την κατακόρυφη ως την K − Κ = W + W + W ή οριζόντια θέση. τελ − Κ αρχ = WF + WMg + Wmg ή K οριζόντια θέση. τελ αρχ τελ − Κ αρχ αρχ = WF + WMg + Wmg ή οριζόντια θέση. K τελ F Mg mg Οι δυνάεις που δέχεται το m 2 στη διάρκεια της F Mg mg 1 2 11 Iω22 − 0 = W − Μg ℓℓ − mgℓ ή ταλάντωσής του είναι η συνιστώσα B 2x του βάρους του ℓ − mgℓ ή 2 − 0 = WF − Μ g 2 2 IIω F ω − = − Μ − ή g mg ℓ 0 W F 2 22 F 2 και η στατική τριβή. Στη διεύθυνση y′y δέχεται τη 2WF − (( M + 2m )) gℓ 2 ⋅ 18 − 12 ⋅ 10 ⋅ 0, 3  2 2 2W − + M 2m g ℓ ⋅ 18 − 12 ⋅ 10 ⋅ 0, 3 ή ω22 = 2WFF − ( M + 2m ) gℓ ή ω22 = 2 συνιστώσα B y και τη δύναη στήριξης N από το m1 . 2 = 2 = 2 ⋅ 18 − 12 ⋅ 10 ⋅ 0, 3 ή ω ή ω F 0, 45 I ω = ή ω = ή 0, II 0, 45 45 ω=0 Είναι ΣFy = 0 ή N = B 2y ή N = m 2 gσυνφ ή ω 00 ω= = Αρχικά, Γ4. η στροφική κίνηση της δοκού είναι επιταχυνόενη εξαιτίας της ροπής της Γ4. 3 ′ ηη στροφική Γ4. Αρχικά, Αρχικά, στροφική κίνηση κίνηση της της δοκού δοκού είναι είναι επιταχυνόενη επιταχυνόενη εξ��ιτίας εξαιτίας της της ροπής ροπής της της Ν = 6 ⋅ 10 ⋅ ή Ν = 30 3Ν . Στη διεύθυνση x ′x : ΣFx = − D 2 ⋅ x ή T − B 2 x = − D 2 ⋅ x ′ . Όσο δύναης F όως η δοκός περιστρέφεται, οι 2 ′ . Όσο όως η δοκός περιστρέφεται, οι δύναης F ροπές τωνF δυνάεων, οι ηοποίες στην δύναης . Όσο όως δοκόςαντιστέκονται περιστρέφεται, οι  οι οποίες αντιστέκονται στην ή T = m 2 gφ − D 2 ⋅ x Η έγιστη τιή της στατικής τριβής που δέχεται εφόσον η ροπές των δυνάεων, ροπές οποίες αντιστέκονται κίνηση των και mg οι αυξάνονται. Η δοκόςστην θα Mgδυνάεων, κίνηση και mg αυξάνονται. Η δοκός θα αποάκρυνση x εταβάλλεται εταξύ των τιών −Α′ και Α′ θα είναι: 1 κίνηση Mg και γωνιακή δοκός Mg mg αυξάνονται. αποκτήσει έγιστη ταχύτητα στηΗθέση όπουθα η Τ max = m 2 g + D 2 A ′ ή Τ max = 6 ⋅ 10 ⋅ 1 + 150 ⋅ 0, 2 ή Τ max = 60N αποκτήσει έγιστη γωνιακή ταχύτητα στη θέση όπου η προς Ο: η Στ =ταχύτητα 0 . χουε, συνισταένη ροπή είναι αποκτήσει έγιστη γωνιακή στηως θέση όπου Τ max = m 2 g + D 2 A ′ ή Τ max = 6 ⋅ 10 ⋅ 2 + 150 ⋅ 0, 2 ή Τ max = 60N προς Ο: = 0 .. χουε, συνισταένη ροπή είναι χουε, ως Στ συνισταένη είναι ) − mg ( ως ) = 0 Ο: ή ) −Στ 2 Στ = 0 ή ροπή F′ ( OA Mg=(0ΚΓ Aπρος 60 Τmax 2 3 ′′ (( OA )) − Mg (( ΚΓ )) − mg (( A )) = 0 ή ή Στ = 0 F Πρέπει ή   ή   Τ   Στ = 0 ℓή F OA max 60 3 ή   2 3 3 Τmax 2F′= 0 ή Μ − Mg ΚΓ − mg A N 30 Πρέπει Τ max   ή   ή  ή  ή F′ℓ − Mg ℓ θ − Μ gℓθ = 0 ή θ = 2F′ N 3 30 3 2F′ ′ Mg 2ℓ θ − Μ F ή θ θ = = 2Mg ή ή F′ℓℓ − − Mg θ − 2 ggℓℓθ θ = = 00 ή 2 22 2Mg ιέλια τν 2Mg 30 2 3 ο ιέλια τν Καστρινέλλης Ηλίας, φυσικός θ = 30 3 ή θ = 60ο ο 30 3 ο θ Καστρινέλλης Ηλίας, φυσικός θ = = 60 ή ή θθ == 60 60 60 60 ΘΕΜΑ  ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ  

19

AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA THΣ ΦYΣIKHΣ ΘETIKHΣ KAI TEXNOΛOΓIKHΣ KATEYΘYNΣHΣ - 2012

(

)

(

)


Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012