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Emilie Chassé PE 1 / 2007- 2008

DIDACTIQUE DES MATHS

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TABLE DES MATIERES

CHAPITRE 1 : INTRODUCTION A LA DIDACTIQUE I.

LES THEORIES DE L’APPRENTISSAGE :

1) Apprendre/ Enseigner :  Apprendre : Du côté de l’élève : apprend du vocabulaire, des connaissances, développe des compétences  Enseigner : Le professeur inculque, transmet, construit des connaissances.

2) Didactique / Pédagogie :  Didactique : C’est tout ce qui est lié au savoir. Processus qui permet de transmettre et d’acquérir.  Pédagogie : Connaissance de l’enfant et des méthodes d’enseignement pour l’enfant : - Pédagogie par objectifs - Pédagogie de Soutien - Pédagogie différenciée : travaux de groupes, par niveau (les faire travailler sur leurs difficultés)

3) Transposition Didactique : Rendre le savoir enseignable, à la portée des élèves.

4) Cognition et Cognitif : Processus d’acquisition des compétences.

5) Contrat Didactique : Ensemble des règles entre un prof et ses élèves. Ex : Ne pas écrire en rouge. Souligner le résultat.

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RĖSUMĖ : TRIANGLE PEDAGOGIQUE SAVOIR

Apprendre

Enseigner

PROF

Former

ELEVE

TRIANGLE DIDACTIQUE APPRENANT

Représentation

SAVOIR

Contrat Didactique

Transposition Didactique

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ENSEIGNANT


II.

LES MODELES THEORIQUES :

1) Conception Transmissive : Existait du temps de nos grands-parents. Tête vide à remplir. Prof fait cours / Elève : écoute, répète, applique.  Centre de la pédagogie :

LE SAVOIR = « Pédagogie Frontale »

Erreur : C’est une faute grave de L’ ELEVE qui a mal appris. Il doit réapprendre. Variations : • Cours dialogués : Le prof fait parler les élèves pour qu’ils trouvent le savoir d’eux même. • Le prof pause une question pour voir si les élèves suivent. Avantage : Ca va vite pour le prof = RAPIDE Inconvénients : - Communication : Ce que l’on dit, les élèves ne comprennent pas toujours, élèves passifs. - On ne tient pas compte du rythme de l’élève. - Ceux qui réussissent : Concentration et Motivation.

2) Conception comportementaliste, Behaviouriste (70’s) : On ne sait pas comment pense un élève donc on se base sur son attitude : Observable. On agit sur son comportement. (Schéma de l’escalier pour relier un point A à un point B où on veut amener l’enfant… Progression par paliers et non par une ligne droite !) - Enseigner : Proposer le bon exemple qui préparera l’élève à passer à la marche suivante. - Apprendre : Donner la réponse adéquate.  Centre de la pédagogie : L’ENFANT (Pédagogie par objectifs de compétences : « être capable de… ») Méthode : - Evaluation diagnostique : Avant la séance pour savoir l’état des connaissances.

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-

-

Evaluation formative : Pendant la séquence, voir si l’élève a commencé a acquérir des connaissances (But : Remédier aux éventuelles lacunes sur les notions que l’élève n’a pas compris) Evaluation sommative : Fin de séquence : Evaluer et vérifier les connaissances.

Erreur : Plutôt à éviter car pourrait s’imprimer comme un modèle erroné dans la tête d’un élève. C’est la faute du PROF qui n’a pas donné le bon ex. adapté au niveau de l’élève. Avantages : Elève en situation de réussite. Inconvénient : Elève n’a pas de recul sur ce qu’il apprend, ne sait pas où il va.

3) Conception Socio-Constructiviste : - 2 Temps : Le Socio / Le constructivisme.  Socio : L’élève apprend au travers des interactions avec les autres Ex : Travaux de groupes, formuler des questions.  Constructivisme : L’élève construit lui-même ses compétences et connaissances. L’élève a des représentations (= idées qu’il a sur un sujet) : ça peut être un appui ou un obstacle. Apprendre c’est transformer ses représentations en connaissances construites. Utilisation de la situation problème : - Elève essaye des connaissances acquises : ASSIMILATION - Echec : CONFLIT COGNITIF : Phase de déséquilibre. - L’élève réessaye avec les autres : CONFRONTATION avec autrui. - S’il réussit : Meilleure intégration des connaissances que si on lui avait dit directement (EQUILIBRE MAJORANTE) car il a cherché luimême. Erreur : Etape indispensable pour comprendre c’est un état du savoir. Il faut se tromper pour apprendre. Méthode : - Phase d’ASSIMILATION : Place le problème dans un contexte connu : Il se rend compte que ce qu’il connaît ne suffit pas ! - Phase d’ACCOMMODATION: Comment faire pour combler les lacunes ? S’adapter à la situation en remettant en cause les connaissances antérieures. - Phases / Dialectiques de Mise en Œuvre :

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• • • • •

Action : Recherche individuelle puis collective. Formulation : Par écrit ou par oral de ce qu’ont trouvé les élèves entre eux Validation par les élèves : ça fonctionne ? ou pas ? Institutionnalisation par le prof : Bilan, synthèse. Entraînement et Réinvestissement (dans problèmes plus complexes)

Avantages : Donne un réel statut à l’erreur donc l’élève déculpabilise. Mise en valeur des acquis des élèves. Inconvénients : Pas applicable à toutes les matières ni à tous les concepts Ex : Arts plastiques. Gestion des élèves : les motivés ceux qui participent/ les passifs. Déstabilisation : Manque de repère de l’élève/ Situation de déséquilibre (car on les laisse libres !)

III.

LES PROBLEMES :

- Place centrale dans les programmes. - Présentation expérience effective, description orale/ Enoncé par écrit (texte graphique…) - Types de Problèmes : * Situation –problème : A traiter en groupe : Construction de nouvelles connaissances/Remettre en cause conceptions erronées / Améliorer une procédure trop lourde. * Problème ouvert : Dur pour l’élève car mobilisent beaucoup de connaissances. Doivent rechercher : Démarche Scientifique. A placer à la fin quand les connaissances sont déjà acquises. * Problème d’Application : Simple : travail à la maison / Complexes : réinvestir un ensemble de compétences et connaissances. (Procédure experte et personnelle : + Efficace / +Rapide) - Nature des problèmes : * Problème Additifs : Se résolvent par addition ou soustraction Ex : J’ai 8 billes j’en perds 5. / J’ai perdu 4 billes, j’en avais 7. Combien il m’en reste ? Rq : Place de l’inconnu n’est pas la même donc, c’est plus dur à résoudre. Ex : 8 - 5 = ? / ? – 4 = 7 * Problème Multiplicatif :

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- Multiplication - Division  Partition (valeur d’une part)  Quotition (recherche d’un nombre de parts) - Proportionnalité, 4ème proportionnalité - Grandeurs et mesures : « J’ai 3 fois plus/ moins de… »

IV.

CONCEVOIR DES SITUATION D’APPRENTISSAGE :

1) Définir Objectifs -

Savoir/ Connaissance d’une notion. Savoir-faire : Maîtrise et mise en œuvre des savoirs. Savoir être : Acquisition des comportement et des attitudes

2) Situer le savoir dans la progression (= Ordre apprentissage) -

Acquérir Consolider Réinvestir

Chaque notion est vue plusieurs fois.

3) Choisir sa démarche d’apprentissage -

Transmissive Comportementaliste Varier selon l’heure de la journée Socio-constructivisme selon le type de connaissances… Mouvement Inductif : Ex > Règles Mouvement Déductif : Règles > Ex

4) Identifier les obstacles S’appuyer sur évaluation diagnostique. Anticiper les difficultés.

5) Concevoir des situations d’application Activité, Consolidation, Mémorisation, Remédiation, Approfondissement, Réinvestissement…

6) Concevoir une évaluation - Savoir ce qu’on attend de l’élève (Cf : p19 Hatier Conc. Act. 3Q3) - Ne pas attendre la fin pour la préparer.

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CHAPITRE 2 : IMPLICATIONS

On dit qu ‘une proposition A implique une proposition B lorsque B est une conséquence de A. Si A est vraie alors B est vérifié. Ex : Si Mr X est Français, Alors il est Européen. Si un Réel est supérieur à 7, alors il est positif. Vocabulaire : - Si j’ai A alors J’ai B - Si j’ai A donc j’ai B - J’ai B car j’ai A - A implique B - AB - A est une condition suffisante de B - B est une condition nécessaire de A - Pour avoir B il suffit d’avoir B Ex : P Q ou Q P 1) P : x est un multiple de 2 Q : x est un multiple de 10

QP

2) P : X ≥ 5 Q:x>5

Q P

3) P : x est un réel compris entre (-1) et 4 Q : x est un réel compris entre (-2) et 5 PQ 4) P: ABCD à 2 Angles droits Q: ABCD est un rectangle

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Q P


CHAPITRE 3 : EQUIVALENCE Ex : -

Si (un point appartient à la médiatrice d’un segment) A alors il est (équidistant des extrémités de ce segment) B. - Réciproque : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

 Les propositions A et B sont Equivalentes. Lorsque A implique B, B implique A. Vocabulaire : - A équivaut à B - A et B sont équivalente - A si et seulement si (ssi) B - A <--> B - B est une condition nécessaire et suffisante de A - Pour avoir B il faut et il suffit d’avoir A RQ : Pour démontrer une équivalence, on démontre chacune des implications. Ex : Pour prouver A<--> B, il faut prouver AB et B A

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CHAPITRE 4 : LES ENTIERS NATURELS ARITHMETIQUE I.

VOCABULAIRE : -

Bande numérique/File : Chiffre de 1-9 inscrit sur une banderole affichée dans la classe. Repère important pour l’enfant.

-

Collection : un grand nombre d’élément de même nature.

Collection Equipotentes : Deux collections avec le même nombre d’éléments. Ex : N et Z ont le même nombre d’élément car à chaque élément de N ont associe un élément de Z : les deux sont infinis ! -

-

Comptine numérique : connaissance orale.

Difficultés : • Bien associer un élément à un nom. Ex : 3 stylos : Un stylo= un / 2ème= deux ≠ un stylo = « un deux » / 2ème = « trois quatre » • Respecter l’ordre de la comptine • Problème du mot énoncé. Ex : 3 stylos  Yen a combien ? « un-deux-trois » Non car on utilise seulement le dernier mot : trois ! - Compter : à partir de 1. - Recompter : Lorsque l’on ajoute des éléments en plus. - Surcompter : à partir d’une quantité d’une des deux collections à ajouter Ex : 5+3  6, 7, 8 Problème du départ 6 et non pas 5 !! - Double comptage : Pour aller de 5 à 9, je compte 4 sur mes doigts. - Décompter : Compter à l’envers (dans le cas où on retranche une quantité.) - Dénombrer : Indiquer le nombre d’élément d’une collection (cardinal)

-

Procédure : • Non Numérique : Correspondance terme à terme, permet de savoir que 2 collections ont le même nombre d’éléments sans avoir à compter + Reconnaissance visuelle de la configuration : constellation du dés, des cartes a jouer, doigts de la main • Numérique : Dénombrement. - 10 -


(cf application)

II.

PROGRAMMES 1) CYCLE 1 (PS – MS) :

- Perception Instantanée d’un chiffre : Subitizing. - Comparaison à des collections naturelles (doigts de la main, constellation du dé) - Dénombrement par la comptine parlée (jusqu’à 30) - Savoir traiter les nombre en fonction : Du cardinal : Définir une quantité. De l’ordre Ordinal définir un ordre, une position. - Pouvoir anticiper un résultat. Ex : « Je cache 4 crayons dans une boîte puis 2 autres : combien il y en a dans la boite ? »

Acquis de fin de cycle 1 • Compétences/ Formes et Grandeurs : Comparer, classer et ranger des objets suivant leur taille et contenance. •

Compétences/ Quantité et Nombres : -

Comparer des quantités (numérique ou non)

-

Réaliser une collection ayant la même quantité qu’une autre (numérique ou non/ orale et écrite)

-

Résoudre des problèmes portant sur des quantités (augmentation/ diminution/ distribution/ partage)

-

Reconnaître globalement et exprimer :  De très petites quantités : (de 1 à 4)  De petites quantités (de 5 à …30)

-

Connaître la comptine numérique (30)

-

Dénombrer en utilisant la comptine

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Associer le nom des nombres à leur écriture chiffrée en se référant à la bande numérique.

-

(cf fiche d’application)

2) CYCLE 2 (GS – CP – CE 1) : Compétences Acquises en fin de cycle 2 : •

Désignation orales et écrites (<1000) : Connaître valeurs chiffres en fonction de la position Associer les désignations chiffrées et orales Dénombrer des quantités en utilisant (comptage de 1 à 1, groupement 10/100) Produire des suites orales et écrites : 1 à 1 / 10 à 10 / 100 à 100

Ordre : Comparer, ranger encadrer Situer des Nombres (droite/ graduée) de 1 à 1 / de 10 à 10/ 100 à 100

-

-

• Relation Arithmétique - Connaître double/ moitié (<80) - Relation entre nombres courant (5 x 10) (30x60) (Cf application du cours)

3) CYCLE 3 : Compétences Acquises à la fin du cycle 3 •

Désignation Orale et Ecrite. Connaître la valeur des chiffres en fonction de leur position (dizaines/ unités) Décomposer un nombres (10 ; 100 ;1000) et recomposer Produire des suites orales/ écrites 1/100/100 à partir de tout nombre. Associer orales/ écrites nombres  million

Ordre : Connaître sens < ; > plus grand /petit que Comparer, ranger par ordre croissant et décroissant Encadrement entre 2 milliers Comparer en utilisant < et > Placer les nombres sur une droite graduée de 10 en 10 et 100 en 100.

-

-

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Arithmétique : - Connaître et savoir utiliser : double/ moitié / tiers/ triple/ quart/ quadruple - Connaître les relation additives / multiplicatives : 5 -10-25-50-75-100 / 50-100-250-500-750-1000 / 5-15-30-45-60-90 - Reconnaître multiples 2 ; 5 ; 10 (Cf exercice d’applications du cours)

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CHAPITRE 5 : GEOMETRIE PLANE

I.

PROGRAMMES :

1) CYCLE 1 : Reconnaître et classer les objets Différencier et classer les objets selon leur forme Reconnaître des formes simples telles qu’un carré, triangle, rond. Reproduire un assemblage de forme (puzzle) Comparer, classer suivant la taille, la masse, la contenance.

-

2) CYCLE 2 : •

Relations et Propriétés :

 Alignement – Angle Droit – Axe de symétrie – Egalité de longueur : - Connaître et savoir utiliser le vocabulaire : Aligné, Angle droit… - Percevoir ses relations sur un objet pour le reproduire ou le décrire. - Vérifier ses relations avec le matériel (règle, équerre…) ou des techniques : Ex : Vérification de la symétrie axiale avec un calque ou des pliages. •

Figures :

 Triangle – carré – rectangle – cercle : - Distinguer ses figures - Connaître utiliser le vocabulaire : côté, sommet. - Reproduire ou compléter une figure (papier quadrillé) - Vérifier si 2 figures sont superposables.

3) CYCLE 3 : • -

-

Relations et propriétés Connaître et utiliser le vocabulaire : Même qu’en cycle 2 + Droite/segment, Perpendiculaire, Parallèle, Milieu, Angle, Figures symétriques. Vérifier avec des instruments : alignement des points, égalité de longueurs, que deux droites sont parallèles ou perpendiculaires. Trouver le milieu d’un segment (mesure) Percevoir des axes de symétrie Compléter une figure par symétrie axiale. - 14 -


Tracer une figure symétrique à l’aide de papier quadrillé.

-

• -

-

Figures Cycle 2 + triangle (isocèle, équilatéral..), carré rectangle, losange, cercle… Connaître et utiliser le vocabulaire : sommet, côté, centre, rayon, diamètre… Reconnaître une figure plane dans une figure plus complexe/ Vérifier l’existence de ses figure a l’aide du matériel. Etre capable de décomposer une figure complexe en figures simples. Tracer des figures sur papier uni ou quadrillé. Soit a partir d’un modèle ou d’une description, d’un programme de construction ou d’un dessin à main levée codé pour permettre de reconnaître les propriétés. Tracer un cercle dont on connaît le centre/rayon Décrire une figure en vue de l’identifier ou de la reproduire.

II.

ACTIVITES DANS LE PROGRAMME :

1) Activités de Reconnaissance et d’Organisation L’enfant doit résoudre un problème au moyen d’objets déjà existants sans matériel EX : Cycle 1 : Classer les figures selon leur forme Cycle 2 : Reproduire une figure en Tan Gram

2) Activités de Reproduction Représenter un objet géométrique identique à un modèle. Pour l’analyser, être capable de : - Repérer des figures de base (images mentales) Ex : Difficulté losange/ carré Les deux sont des carrés, Ils son simplement

pas sur le même plan !

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-

Repérer les liens entre les figures et anticiper une chronologie du tracé. Exécution des tracés (problème de psychomotricité : dyspraxie)

3) Activités de Description Ex : Problème : un élève est malade, son ami lui décrit au téléphone son exercice de géométrie. Décrire, c’est donner des indications verbales afin de réaliser des figures. Compétences : - Repérer des figures de base - Repérer les liens entre les figures - Efficacité de la chronologie - Absence d’ambiguïté des consignes - Bien utiliser le vocabulaire spécifique - Efficacité du codage (savoir décrypter) Ex : angle droit

4) Activités de Représentation Représenter c’est faire un dessin qui permette de reconnaître un objet ou de le construire (≠ reproduction)

5) Activités de Construction Réaliser à partir d’une description ou d’une représentation.

6) Manipulation d’Outils Nécessite un apprentissage spécifique à la motricité (équerre)

III.

LES DIFFICULTES :

1) Liées aux connaissances spatiales -

Distinguer droite et segment :

Ex : (D1) A. Le point A appartient –il a la droite (D1) ?? OUI !!! -

S’abstraire des bords de la feuille (perpendiculaire /parallèle) : Notions Infinies. Conflit entre « Voir » et « Savoir »  Jeu du portraits

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Ex :

On a l’impression que ce sont tous des carrés mais on doit utiliser les propriétés pour le vérifier. - Représentation erronées de certains concepts des connaissances spatiales se construisent progressivement elles nécessitent l’intériorisation des actions (penser les actions sans les exécuter)

2) Liées aux représentations des objets géométriques : Dessin et figure Dessin : Représentation de l’objet tel qu’on le voit. Figure : Représentation géométrique avec ses propriétés, ses codages.

3) Liées aux tâches de Reproduction et de Construction -

Déficit de « réservoir » des figures modèles (= idées des représentation des figures de base qu’on les enfants) Difficulté à s’abstraire des bords de la feuille Difficulté à repérer les figure : Coller/Imbriquer

Ex : Repasse en rouge un triangle isocèle.

- Difficulté d’anticipation pour établir une chronologie - Difficulté à manipuler les instruments de géométrie - Conception limitée de l’usage des instruments : Ex : Un compas ne sert pas qu’à tracer des cercles. - Méconnaissance des propriétés de Mathématiques

4) Liées aux descriptions -

Maîtrise de la Langue : construire une phrase, utiliser le bon vocabulaire. Méconnaissance du Vocabulaire

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-

Difficulté de décentration (changement de point de vue)

Ex : Des bonbons cachés par l’adulte, lorsqu’on demande aux enfants de le faire, ils ne se mettent pas à notre place et souvent ne se rendent pas compte que nous nous voyons les bonbons. - Réticence à transformer le dessin en le codant.

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CHAPITRE 6 : LA PROPORTIONNALITE I.

LES PROGRAMMES :

Abordée à partir du Cycle 3.

1) Types de Problèmes -

Ceux qui sont résolus en utilisant des procédures personnelles.

- Utilisation des données graphiques Ex : tableaux, diagrammes (camembert)  Etre capable de distinguer : Proportionnalité et non proportionnalité.  Pourcentages, échelles, vitesses moyennes, conversions. = MISE EN PLACE DE METHODES RQ : On reste sur des résolutions personnelles et non expertes (elles sont mise en place au Collège)

2) Compétences -

Résoudre dans des cas simples des problèmes de proportionnalité (pourcentages, échelles, conversions) en utilisant les propriétés de linéarité (additions, multiplications) ou par l’application d’un coefficient donné dans l’énoncé ou calculé.

-

Organisation et représentations de données numériques :

 Organiser des séries de données (listes, tableaux)  Lire interpréter, construire quelques représentations (diagrammes et graphiques) -

Repérage et utilisation de plans et cartes :

 Savoir évaluer une distance entre deux objets / lieux en utilisant les indications de longueurs données par le plan/ la carte, par lecture directe sans devoir recourir à l’échelle. Ex : Evaluation des 6ème : B A

C D - 19 -


Mesure BC= 6 cm 1cm = 500 m Distance réelle BC ? 3000m = 3km Mesurer distance totale et distance réelle. -

Agrandissement et Réduction

 Savoir quand une figure est un agrandissement ou une réduction.  Réaliser dans des cas simples un agrandissement ou une réduction (dans le plan)  Contraste si une figure est un agrandissement ou une réduction (cf. Fascicule p 28) Rq : la proportionnalité est liée à la linéarité F (x) = ax F (x+y) = a (x+y) = ax+ ay = F (x) + F (y)

II.

SUJETS SUR PROCEDURES D’ELEVES :

Cf fiche + cours sur procédures d’élèves avec les barres pour les nombres de livres vendus.

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CHAPITRE 7 : LES ENSEMBLES DE NOMBRES I. LES CONNAISSANCES :  Ensemble des Naturels : Sont utilisés dans le dénombrement de quantités discrètes (Cad composées d’éléments séparés). Cet ensemble est noté : N  Ensemble des entiers relatifs : Composé des naturels et de leurs opposés (négatifs). Cet ensemble est noté : Z  Ensemble des décimaux : Composé de tous les nombres qui peuvent s’écrire comme une fraction de deux entiers, dont le dénominateur est une puissance de 10. Ils peuvent aussi s’écrire en ligne avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule. Cet ensemble est noté : D Ex : 0,33 = 33/100  Fraction décimale 0,4699… = 0,469 = 0,47  c’est un décimal Reconnaître un décimal à partir d’une écriture fractionnaire : Etudier le dénominateur : - On le met sous forme de fraction irréductible - On étudie le dénominateur : si c’est un multiple de 2 ou 5 ou un mélange des deux  c’est un décimal. Ecriture décimale : partie entière + partie décimale. Ex : 12/13 = 0,923076  Le premier chiffre de l’écriture décimale = 0 On cherche le 617ème chiffre de la partie décimale : 617= 6 x 102 + 5  le 5ème chiffre de la partie décimale est 7 !  Ensemble des nombres rationnels : Composé de tous les nombres qui peuvent s’écrire comme une fraction de deux entiers (le dénominateur étant différent de 0) Cet ensemble est noté : Q Ex : 0,87878787… = 0,87  nombre rationnel car il y a répétition d’une même séquence.

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 Ensemble des nombres réels : Composé des rationnels et irrationnels comme √2 ou π ces derniers ne pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers. Cet ensemble est noté : R Rq : Un nombre peut appartenir à plusieurs ensembles de nombres.

II. LES PROGRAMMES : -

Les fractions/ décimaux  Cycle 3.

Mise en place : 1) compréhension des écritures 2) Mise en relation des nombres à virgule avec des sommes de fractions décimales Ex : 3,25 = 3/1 + 2/10 + 5/100 3) Comparaison des décimaux : plus petit/ grand ordre croissant/ décroissant. 4) Utilisation des graduations 0 1 2

-

Nouveaux nombres :

Pour introduire :  Problèmes de partage de mesure, de longueur, d’aire  Problèmes de repérage sur une droite graduée. -

Connaissances :

 Fractions : Savoir les nommer, les décomposer (Ex: 5/3 = 1+ 2/3) Les encadrer, utiliser des longueurs.  Désignations orales et écrites des décimaux : Décomposer, utiliser mesures On ne va pas au delà du millième Produire des suites orales/écrites de 0,1 en 0,1… Savoir faire la transition nombre décimal  Ecriture fractionnaire.  Ordre sur les décimaux : Comparer, encadrer, intercales (infini) Utiliser symboles < ; > Situer approximativement et exactement sur une droite graduée un nombre, de 1 en 1 de 0,1 en 0,1.  Relations en certains nombres décimaux Ex : 0,1 = 1/10 0, 25 = ¼ 0, 5 = ½ 0, 75 = ¾ - 22 -


Dans des situations concrètes.

III.

LES PROGRESSIONS D’APPRENTISSAGES :

1) Difficultés des apprentissages :  Origine : Différence / Entier naturels Ex : N  Précédent – suivant D  On peut toujours intercaler un nombre : après 4,8 il y a quoi ? 4,9 ? Non ! Il y a : 4,81 ; 4,818… une infinité de nombres !  Problèmes de taille du nombre qui n’est plus un repère d’ordre Ex : 0,999 < 2  Ecriture à virgule perçue comme un codage de deux entiers. Ex : 1,25 € = 1€ et 25 cents  Ne perçoivent pas que 25 cents = ¼ d’euro.

2) Difficultés observées : 3, 124 > 3, 41  Apprentissage : Comparer de gauche à droite ou Mise au même format 3, 41= 3, 410 (Rq : Ce n’est pas forcément la meilleure méthode car on sépare encore les unités et les chiffres après la virgule.) Il n’y a pas de nombre entre 14,8 et 14,9  7,5 x 10 = 7,50  12,3 – 8, 75 = ? L’élève effectue 12,75 - 8,3  2.25 + 3, 75 = 5,100 Les nombres décimaux ne sont pas la juxtaposition de 2 entiers.

3) Conséquences : Progression des apprentissages A) On commence par voir les fractions B) On voit les fractions décimales C) Ecriture à virgule. OBJECTIF : Voir les décimaux comme des nouveaux nombres. - 23 -


A) Travail sur les « fractions simples » Travail sur les grandeurs= les longueurs.

¾ d’unité

1 unité

 On a une bande unité. Proposer d’autres bandes et il faut les mesurer avec : ½ ¼ 1/8 voire 1/16. Types fractions 1/3 ou 1/5  Dites parallèles équidistantes.

1/3

1/5

¾ Ce n’est pas le quotient de 3/ 4 (vu en 6ème) mais 3 x ¼ ! B) Travail sur les fractions décimales et les « écriture à virgules » A partir des fractions, on enchaîne sur les fractions décimales. Fractionnement de l’unité en 10, 100,1000.  Travail sur les écriture fractionnaires à l’aide de repérage – construction : Tableau de fractions Centaine s

Dizaines Unités Dixième Centième Millième

Ce tableau permet de donner du sens au mot décimal « dix » Ex : 46+ 5/10 + 7/100 = 46+ 57/100 = 4657/100 … Les écrits à virgules sont présentés comme une autre façon d’écrire les fractions décimales. Eviter d’utiliser les mots « puissance de 10 »  756,34 = ( (7x100)+(5x10)+(6x1)+(3x0,1)+(4x0,01) ) Insister sur la lecture d’un nombre.

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Dictée de nombres pour savoir différencier : dixième, centième, millième  en chiffres et en lettres.

IV.

SUJETS DE CONCOURS

Cf cours et analyse de copies d’élèves.

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CHAPITRE 8 : LES TRANSFORMATIONS : I.

ETUDE DU COURS: (cf poly p. 25)

 ISOMETRIE : - Symétrie centrale/axiale - Translation - Rotation M  M’ N  N’ MN= M’N’  PAS D’ISOMETRIE : - Homothétie K> 1 = Agrandissement 0 > K>1 = Réduction K=1 = Identité M’N’ = K M N  VECTEURS : Caractéristiques : - Direction : droite - Sens - Norme : longueur/ distance RQ : → → U =V Si même sens + même norme Si même direction = parallélisme Vecteurs opposés : - Même direction - Même norme - Sens opposé

→ → U=-V

Valeur absolue d’un vecteur = Longueur / norme → │V│ U

V= 3U

W = - 2U

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t AB : CD  ABCD est un parallélogramme. B

C La symétrie est liée à la notion de médiatrice. Dans la symétrie axiale = axe de symétrie = médiatrice de la droite formée par un point et son image  ANGLES Sens trigonométrique/ sens positif = sens inverse des aiguilles d’une montre. BOA = + 50° AOB = - 50° A 50°

O

B = Plan orienté/ angles orienté (sens positif ou négatif) RQ : Dans une figure on note les angles (sommets) dans le sens trigonométrique c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.  HOMOTHETIE : - M’N’ = MN x K → → → → - Si K = 3 OM’= 3 OM Si K= - 3 OM’= - 3 OM CF. propriétés de conservations valables pour les 5 transformations. La configuration de Thalès est un cas d’homothétie : Si K> 0 : forme de triangle. SI K< 0 : forme de papillon. II.

APPLICATIONS DIRECTES (CF cours.)

1) Reconnaître des configurations liées aux transformations 2) Fiche exos : les propriétés isométriques 3) Homothéties

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CHAPITRE 9 : LES 4 OPERATIONS : I.

LES DIFFERENTS TYPES DE CALCUL

1) Calcul mental (automatisé) Il renvoie au résultats mémorisés (table d’addition= table de Pythagore, multiplication) Recherche d’un complément. Ex : 6 pour aller à 10 ? … Exécution d’un algorithme mémorisé (poser les opérations)  Il occupe une place importante dans les programmes. Sa pratique améliore les performances de l’élève. Lui donne une connaissance intuitive des nombres. Aide à la résolution des problèmes. CCL° : -

Universel : tout le monde applique la même méthode Nécessite peu d’effort (dans la réflexion) Rapide

2) Calcul réfléchi (raisonné) S’appuie sur des traces écrites qui rendent compte d’un raisonnement. Elabore une procédure spécifique- personnelle : EX : 43+19  40+10= 50 3+9= 12 50+12= 62  43+10= 53 53+9=62  43+20= 63 63-1= 62 Rq : Le calcul réfléchi fait appel à des connaissances : mémoire, numération, propriété des opérations (distributivité) CCL° : -

Procédure personnelle, utilise et dépend des relations entre les nombres. Plusieurs démarches possibles. S’apparente à la résolution de problème.

3) Calcul instrumenté Usage de la calculatrice : introduite au cycle 2

- 29 -


Doivent savoir M+ M- MR Très souvent c’est une variable didactique :  Donner de l’intérêt dans l’apprentissage des opérations (grands nombres) Ex : Vérification  Dans les problèmes, pour favoriser le raisonnement (la résolution de problème) plutôt que le résultat / « pose de calculs » Rq : Calcul posé : concerne la pose d’opération Calcul approché : ordre de grandeur. II.

ADDITION/ SOUSTRACTION

Les compétences se construisent entre CP – CE2, puis étendues aux décimaux en cycle 3. 2 Types :  Etre capable de résoudre des problèmes relevant de ces opérations par des procédures personnelles (dessin comptage…) puis par procédures expertes.  Reconnaître si un problème est additif ou soustractif.  Produire le résultat de tout calcul en choisissant la méthode la plus appropriée compte tenu des nombres et des outils (calcul réfléchi, algorithme, calculatrice. Rq : « Pierre a 15 images, il en donne 8 à Paul combien lui en reste t il ? » = PROBLEME SOUSTRACTIF « Pierre à donné 8 images à Paul, il lui en reste 15. Combien en avait il avant ? » = PROBLEME ADDITIF Souvent les élèves réussissent mieux le problème soustractif, car ici le problème additif est plus compliqué à comprendre.

1) La classification des problèmes • Composition de 2 états : A +/- B = C Problème où on cherche A,B ou C. Ex : J’ai 15 billes rouges, 10 billes bleues, total ? J’ai 3 kg de fruits dont 1,25 Kg de poires, combien de Kg d’autres fruits il y a ? •

La transformation de 2 états : - 30 -


« Gagné – perdu » A +/- C B Ex : J’ai 15 billes rouges, j’en gagne 3, combien au total ? J’ai perdu 7 billes, j’en ai 12, combien avant ? • Comparaison d’états : « De plus / de moins » A B Ex : J’ai 15 billes soit 5 de plus que Charles, combien de billes possède Charles ? Un jouet coûte 10 euros dans un magasin, 8.75 euros dans un autre, combien je payerai en plus dans le premier magasin ? • Comparaison de transformations : A  +/-  B  +/-  C Ex : J’ai gagné 8 billes, puis 13 billes, combien de billes gagnées ? J’ai gagné 12 billes, perdues 3, en ai-je perdu ou gagné par rapport au début ?

2) Types de procédures : • Figuration de la réalité : L’élève représente les objets, des bâtons, fias des schémas… • Comptage : De 1 en 1, 10 en 10 (sur comptage, décomptage) • Calculs sur les nombres après reconnaissance du calcul à effectuer (Experte)

3) Difficultés - Place de l’inconnue dans la phrase énoncée. - Difficulté des calculs. - L’ordre d’apparition des données dans un texte. - Mots inducteurs : plus/moins, gagné/ perdu… - Notion de « O » ; pour les enfants ça ne représente « rien ».

III.

MULTIPLICATION/ DIVISION :

1) Classification des problèmes : •

Proportion simple avec l’unité : 1 B

C D - 31 -


Problème multiplication : Ex : 12 rubans de 8 cm chacun, taille d’une bande ? 1 8 12 ?

 Problème de division partition (valeur d’une part) Ex : Bande de 100cm coupée en 12 morceaux de même mesure. Longueur d’un morceau ? 1 12

? 100

 Problème division quotition (Nb parts) Ex : 448 Timbres, on range 14 timbres par page, combien y a-t-il de pages ? 1 14 ? 448 • Proportion simple- sans unité Proportionnalité classique Ex : J’ai besoin de 3 œufs, crêpes pour 7 personnes. Combien en fautil pour 20 personnes ? • Problèmes : fois +/ fois – Ex : Pierre à 14 ans, son père en a 3 fois plus, quel âge a –t-il ? • Problème : produit de mesures Multiplication : Rectangle : 7 cm de largeur/ 20 cm de longueur : aire rectangle ? Division : Total rectangle : 108 carreaux/ 12 carreaux de longueur : combien de carreaux en largeur ? • Proportion double : Ex : Une journée de ski = 23 euros par jour et par personne. Quel sera le coût pour 7 personnes pendant 4 jours. • Proportion simple composée (cycle 3) 1 carnet = 20 timbres / 1 timbre= 0.53 euros  coût de 14 carnets ?

2) Procédures • Multiplication  Schema: III III III III  Additive: 3+3+3+3  Multiplicative : 3x4 ou 4x3  multiplication commutative. - 32 -


• Division  Dessin : 11/3

 Addition pas à pas : 20/6  6+6=12 12+6=18 et…  Soustraction pas à pas : 20-6=14 14-6= 8 … Ne pas utiliser la notation : 20-6=14-6=8… Car ce sont des égalités fausses.  Utilisation multiples/ diviseurs (grands nombres) 65/6 12+12=24 24+12= 36  Pose à trou de la multiplication.  Essais successifs de quotients. Rq : CM2  Bons élèves capables de faire la division avec un décimal au dividende. La plus grande difficulté est de reconnaître le type d’opération à faire pour résoudre un problème. Cf cours pour analyse de copies d’élèves.

ERREUR DES ECARTS NON-ORIENTES : Lorsque un enfant, dans une soustraction, fait la différence du plus grand chiffre avec le plus petit indépendamment sans tenir en compte l’ordre vertical de la soustraction.

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CHAPITRE 10: GRANDEURS ET MESURES : I.

GRANDEURS :

Qu’est –ce qu’une grandeur ? Une grandeur c’est une CARACTERISTIQUE susceptible de variations qui peut être distinguée QUALITATIVEMENT et QUANTITATIVEMENT. Si on considère un objet (une boîte), les grandeurs qui caractérisent cette boîte : la longueur de ses côtés, son volume, son prix, sa masse, sa couleur…

1) Les grandeurs repérables : Ce sont des grandeurs qui permettent une COMPARAISON OBJECTIVE mais sur lesquelles il n’est pas possible d’effectuer des opérations. Ex : La gentillesse est une grandeur comparable entre les individus mais SUBJECTIVE. Généralement, les grandeurs qualitatives ne sont pas repérables. On dit aussi que ce sont des INDICATEURS. La température, l’intensité d’un séisme sont des grandeurs repérables. Elles nécessitent la définition d’échelles de repérage ( °C, °F, échelle Richter…) Par contre, effectuer des opérations sur les valeurs n’a pas de sens (Ajouter la température de lundi et mardi ne donne pas celle de mercredi/ 2 vol d’eau à température différente on n’obtiendra pas la température du mélange en effectuant une opération)

2) Les grandeurs mesurables : Il existe une définition mathématique rigoureuse pour dire que des grandeurs sont MESURABLES, il faut qu’il y ait : - une relation d’équivalence : Si on prend des baguettes de différentes longueurs. « à même longueur que » = baguettes superposables. On peut faire des sous ensemble de baguettes avec celles qui sont superposables. Chaque sous-ensemble correspond à une grandeur et non pas à un nombre, ni même à une baguette. C’est une caractéristique. - une relation d’ordre total « A une longueur plus grande ». Avec cette relation, on peut toujours COMPARER 2 longueurs entre elles. -

une opération interne (addition a du sens) - 34 -


une opération externe (multiplication d’une valeur par un nombre à du sens) On peut définir une addition et une multiplication. * La longueur d’une baguette A ajoutée à la longueur d’une baguette B aura une longueur A+B * La longueur de n baguettes de longueur A sera n x A. -

BILAN : - On peut définir une grandeur sans recouvrir aux nombres. - Des objets ne sont pas comparables mais ce sont leurs nombres qui le sont. - A partir d’un objet, on peut définir plusieurs grandeurs. EX : GRANDEURS : poids, longueur MESURES : 3 Kg/ 5 cm

Masse d’un objet Intelligence Durée Instant auquel se produit un événement Encombrement : distance plus grde entre 2 pts, objets

Repérable X Non repérable/ Indicateur

X Non mesurable

X

Non mesurable

X

X

Air - Volume

II.

Mesurable X

MESURAGE :

Mesurer : Etablir une relation entre une grandeur et des nombres réels positifs. Pour se faire, on a besoin d’une grandeur référence (unité appelée UNITE DE MESURE) : - Historiquement : coudée, pied, pouce, pinte, gallon… Uniformisation en 1793 avec l’utilisation du système METRIQUE ( sf Angleterre / URSS) - 1m : 1/ 40 000 méridien terrestre puis la distance parcourue par la lumière en 1/ 299 792 452 s . - 1s : Durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome césium 133. -1g : Défini comme le fait que 1000g d’eau distillée occupent 1 dm3.

- 35 -


III. •

QUELQUES MESURES :

Longueur / périmètre :

π représente le demi périmètre d’un cercle de rayon d’1 unité. •

Aires :

1 dam 2 = 1 are 1 hm 2 = 1 ha 1 ha = 100 ares •

Volumes :

2 unités « en cube » « en litre » : 1 dm3= 1L •

Durée :

Système non décimal mais sexagésimal : 1.5 heures= 1 heure et 30 min • Angles : - Ne pas confondre un angle et sa mesure. - 1° correspond à l’angle au centre qu’intercepte 1/360 du périmètre du centre. - Le radian, classes d’équivalence « modules » [2π] 90° π/2

180° π

30°

0;2π ≠390°

3π/2

IV.

SITUATIONS EN CLASSE :

L’objectif est d’aider les élèves à percevoir les différences entre : objet – grandeur – mesure.

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Les grandeurs se définissent par comparaison et indépendamment des nombres. C’est suite à l’insuffisance de ces méthode qu’on introduira la mesure = DONNER DU SENS A LA MESURE.

1) Progression des apprentissages : Démarche pédagogique : - Des activités de COMPARAISON DIRECTE : à la vue ,par juxtaposition, par superposition (mettre 2 personnes dos à dos) Objectif : définir une grandeur indépendamment de la mesure. - Des activités de COMPARAISON INDIRECTE : recours à un objet intermédiaire, élaton (allumettes par exemple) ou d’un gabarit ( angle), transvasement dans un autre contenant. - Des activités de MESURAGE : (suite à l’insuffisance des autres méthodes.) 2 temps : 1/ une unité arbitraire (allumettes) 2/ des unité usuelles pour communiquer au-delà. Entre l’école et chez moi il y a 2 000 allumettes  les gens ne comprendront pas donc on utilise une unité connue de tous= me mètre !) Cycle 1 - Taille (longueur), masses, contenances, durée (jour/s/ année/ présent/ futur) - Permettre aux enfants d’identifier et distinguer les caractéristiques : GRANDEURS. - Acquérir le vocabulaire : grand/moyen/petit : moins que, plus que, autant que… - Activité de comparaison, classement, rangement (ordonner) Cycle 2 - Même chose, on approfondit. - Approche de la notion de mesure (long., masse, durée, vol.) - Apprendre à utiliser instrument : règle, mètre ruban, balance Roberval (= à 2 plateaux), horloge… - Volume : on continue le transvasement, comparer, utilisation verre référence. - Conversion (long, masse, durée) Cycle 3

- 37 -


- Aire : Beaucoup d’activités de comparaison, superposition, découpage, de recollement, de pavage (comparaison indirecte) et approche mesure. - Périmètre. - A distinguer les différences entre les 2 grandeurs ( à étudier simultanément). - Angles : utiliser un gabarit pliable ( ½ ; 1/3 ; ¼ …). - Système métrique.

2) Quelques difficultés : •

Elèves non conservants : A

A

B

B

A=B A< B Problèmes liés au déplacement de transformations ou déplacement. •

Manipulation :

Mauvais placement de la règle graduée : calcul à partir du bord de la règles et non pas du « 0 » Mauvaise lecture de nombre : avec règle graduée compter 3.2cm à la place de 2.8 (lecture en partant de la droite à la gauche). • Confusion Aires/Périmètres : Lien entre augmentation des aires / périmètres.

3) Variables didactiques : -

Type de tâche (comparer, représenter, construire) Nature des objets (matériel, dessins) Taille des objets (mesurables ou non) Mobilité des objets (déplaçables ou non) Support (quadrillage, papier uni) Instrument mis à disposition (bande de papier, papier calque, ficelle, règle…)

Cf cours pour analyse de copies d’élèves.

- 38 -


CHAPITRE 11: GEOMETRIE DANS L’ESPACE: I.

CONNAISSANCES SCIENTIQUES : 1) Définitions :

- Polyèdre : Plusieurs- faces. L’intersection de deux faces est une arête. L’intersection de deux arête est un sommet. -

Convexe : Si le polyèdre est situé entièrement du même côté du plan défini par l’un des côtés du polyèdre (quelque soit le côté du polyèdre)

Ex :

CONVEXE

CONCAVE

- Prisme droit : Deux faces superposables. Des faces latérales rectangulaires ( et donc aussi carrées.) Ex : Pavé droit.

Non prisme droit.

Cylindre.

On ne dit pas que deux triangles sont égaux on dit que ce sont des triangles superposables ou isométriques ! - Pyramide : Base quelconque. Autres faces sont des triangles ayant le même sommet. Ex : Tétraèdre régulier = base triangle.

- 39 -


Pyramide à base carrée. Pyramide régulière : base= polygone régulier + le sommet commun aux autres faces est équidistant des sommets de la base.

Conséquence : Les faces latérales seront des triangles isocèles et la hauteur passera par le centre de la base. Cylindre de révolution : Solide obtenu par la rotation d’un rectangle autour d’un axe. Un tour = une révolution. -

Cône de révolution : Solide obtenu par la rotation d’un triangle rectangle autour d’un axe. Le coté du cône est appelé l’APOTHÈME. -

-

Sphère : Enveloppe extérieure  cercle. (peau de l’orange)

-

Boule : Enveloppe extérieure + intérieure  disque. (peau orange + chaire)

2) La perspective cavalière : LES REGLES : - Une figure située dans un plan « vu de face » est représentée en vraie grandeur. - Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles. - Deux points alignés sont représentés par deux points alignés. - Le milieu d’un segment sont représentés par le milieu d’un segment dessiné. - Les éléments visibles sont en traits pleins et les éléments non visibles en pointillés. - Par convention les fuyantes sont réduites de moitié et les angles sont de 45°.

- 40 -


3) Patrons : Un patron est une figure plane constituée de surfaces assemblées, qui par pliage, sans chevauchement, permet de reconstituer le solide. Le cube admet 11 patrons Ex :

4) Orthogonalité et parallélisme dans l’espace : POSITION RELATIVE DANS L’ESPACE : • De deux droites : - Coplanaires= dans le même plan, sécantes, parallèles, confondues.

-

Non coplanaire = lorsque aucun plan ne les contient toutes les deux.

Rq : Deux droites perpendiculaires, elles sont sécantes. Ex : (AB) ┴ (BC) Deux droites sont orthogonales, elles ne sont pas coplanaires, en revanche, il existe une autre droite parallèle à l’une et perpendiculaire à l’autre. Ex : (EF) est orthogonale à (BC) : (EF) ┴ (BC) (AB) ┴ (BC) (AB) // (EF) •

De deux plans ou d’une droite et d’un plan : Une droite et un plan

Sécants

- 41 -

Deux plans


Parallèles

• Orthogonalité dans l’espace : Définition : une droite est perpendiculaire à un plan lorsqu’elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan. d┴P

Théorème : Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Comme d ┴ P et ∆ C P alors ∆ ┴ P

Incidences et parallélisme :

Théorèmes : 1- Si deux droites d’un plan sont sécantes et sont parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan alors ces plans sont parallèles.

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2- Si deux droites sont parallèles alors l’une des droites est parallèle à tout plan contenant l’autre. 3- Du toit :    

d1 // d2 d2 C P2 d1 C P1 P1 ∩ P2= ∆

alors : ∆ // d1 et ∆//d2

4- D’incidence : Si deux plans sont parallèles, tout plan coupant l’un coupe l’autre et les droites d’intersections sont parallèles.

(Cf exercice sur la section d’un pavé par un plan)

II.

CONNAISSANCES DIDACTIQUES : 1) Progression dans les apprentissages :

• Cycle 1 : Beaucoup de concret au travers d’expériences vécues sous la forme de jeux : - réalité - espace représenté (legos) - feuille (devant, derrière, coloriage..) Objectif : Construire la latéralité, pour aborder la lecture et l’écriture. En grande section : les enfants doivent être sensibilisés au fait qu’un objet peut être perçu différemment selon le point de vue ou l’on se place. •

Cycle 2 : -

Domaine spatial :

- Consolider structure dans l’espace, maîtriser le langage (devant, derrière, à côté…) - Utiliser plan, vocabulaire, description..

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- Activités de communication : mise en œuvre (Cacher un objet dans une salle et un élève doit décrire aux autres où il se trouve.) -

Domaine géométrique :

- Première étude des solides. - Vocabulaire - Classement de solides. - Jeux du portrait. Ex : Quadrilatère ?

Losange •

Carré

Losange

Rien

Cycle 3 : -

Domaine spatial :

Activités de mise ne relation de l’espace réel/ espace représenté. Ex : plan / course d’orientation - Domaine géométrique : - Cube / pavé. - Identification à partir de patrons + activité de construction. Ex : On donne un patron du cube, le faire dessiner en perspective cavalière…

2) Repérage : Problème de repérage : trouver un lieu/ un objet en communiquant.  Travail en 1 dimension : Exemple d’un télésiège.

 Travail en 2 dimensions : Aller de ce point à ce point…

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 Travail en 3 dimensions. Communication : Orale, écrite, utiliser le vocabulaire… A (3 ; 4)

3) Solides : reconnaissance et patrons : Identifier les propriétés (nombre de faces, sommets, arêtes).  3 situations : * l’élève possède le solide. * l’élève voit le solide mais ne peut pas le manipuler. * l’élève a seulement le nom du solide. Reconnaissance et construction de patrons : Variables didactiques : - Nature du solide, familiarité qu’aura l’élève avec ce solide. (= figure connue ou non.) - Présence ou non du solide (ou perspective cavalière.) - Possibilité de découper et déplier le patron. Représenter un solide :  2 problèmes proposés aux élèves : - Représenter un objet qu’ils ont sous les yeux. - Reconnaître un objet à partir d’une représentation.  Principales erreurs : - Ecarts / caractéristiques de la perspective. - Ne représenter que la face avant. - Conserver l’orthogonalité. - Conserver les distances des fuyantes (en général on emploi un coefficient de ½.)

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Didactique des maths