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Compendio de Técnicas para la toma de decisiones

Universidad Fermín Toro Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Administración Análisis de problemas y Toma de Decisiones

Emerson Díaz Cabudare, Enero del 2014


La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente, del siglo XX, que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, entre otros. Cabe destacar que, para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos pasos que son: 1. Entender el problema a fondo. 2. Describir el objetivo. 3. Describir cada restricción. 4. Definir las variables de decisión. 5. Escribir el objetivo en función de las variables de decisión. 6. Escribir las restricciones en función delas variables de decisión. 7. Agregar las restricciones de no negatividad. Es indispensable primero saber que, un modelo de programación lineal es un modelo de programación matemática donde la función objetivo y las restricciones son lineales; es decir, tiene la forma: f(x,y) = ax + by. La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales: a1x + b1y ≤ c1 a2x + b2y ≤ c2 ...

...

...

anx + bny ≤ cn Para llevar a cabo esta técnica matemática se deben tener en cuenta los siguientes conceptos:


Modelo Matemático: Representación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción se describen con expresiones matemáticas.

Restricciones de no negatividad: Conjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas. Solución Factible: Solución que satisface simultáneamente todas las restricciones.

Región Factible: Conjunto de todas las soluciones factibles.


Variable de holgura: Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado. Forma Estándar: Programación lineal en el que todas las restricciones están escritas como igualdades. La solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la solución óptima de la formulación original del programa lineal. Punto Extremo: Desde el punto de vista gráfico, los puntos extremos son los puntos de solución factible que ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. Con problemas de dos variables, los puntos extremos están determinados por la intersección de las líneas de restricción. Variable de Excedente: Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido. Ejemplo y explicación: Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución Es un problema de programación lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B inversión rendimiento Tipo A

x

0,1x

Tipo B

y

0,08y


210000 0,1x+0,08y Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la regi贸n factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a r4

OX)

x

y

x

y

x

y

x

y

0

210000

130000 0

0

60000

0

0

210000 0

130000 65000

La regi贸n factible es la pintada de amarillo, de v茅rtices A, B, C, D y E


A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La función objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice más alejado es el D, y por tanto es la solución óptima. Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)

Es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones). Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior. Como se verá en el método Gráfico, dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro o polícoro, si el número de variables es mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema (llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta.


Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más común el método de las Dos Fases.

Una vez estandarizado el modelo puede ocurrir que sea necesario aplicar el método Simplex o el método de las Dos Fases. A continuación en la siguiente figura se presenta la forma de actuación para llegar a la solución del problema modelado.


A continuación se explican paso a paso los puntos de cada método, concretando los aspectos a tener en cuenta.  Construcción de la primera tabla:

Las columnas de la tabla están dispuestas de la siguiente forma: la primera columna de la tabla contiene las variables que se encuentran en la base (o variables básicas), esto es, aquellas que toman valor para proporcionar una solución; la segunda columna recoge los coeficientes que dichas variables básicas tienen en la función objetivo (esta columna es llamada Cb); la tercera muestra el término independiente de cada restricción (P0); a partir de ésta aparece una columna por cada una de las variables de decisión y holgura presentes en la función objetivo (Pj). Para tener una visión más clara de la tabla, se incluye una fila que contiene los títulos de cada una de las columnas. Sobre esta tabla se agregan dos nuevas filas: una de ellas, que lidera la tabla, donde aparecen los coeficientes de las variables de la función objetivo, y una última fila que recoge el valor la función objetivo y los costes reducidos Zj - Cj. Los costes reducidos muestran la posibilidad de mejora en la solución Z 0. Por este motivo también son llamados valores indicadores. Se muestra a continuación el aspecto general de la tabla del método Simplex: Tabla C1

C2

...

Cn

Base

Cb

P0

P1

P2

...

Pn

P1

Cb1

b1

a11

a12

...

a1n

P2

Cb2

b2

a21

a22

...

a2n

...

...

...

...

...

...

...

Pm

Cbm

bm

am1

am2

...

amn

Z0

Z1-C1

Z2-C2

...

Zn-Cn

Z


Todos los valores incluidos en la tabla vendrán dados por el modelo del problema salvo los valores de la fila Z (o fila indicadora). Estos se obtienen de la siguiente forma: Zj = Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij. Se observa, al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla ocupan la base todas las variables de holgura y por ello (todos los coeficientes de las variables de holgura son 0 en la función objetivo) el valor inicial de Z es cero. Por este mismo motivo tampoco es necesario realizar los cálculos de los costes reducidos en la primera tabla, pudiéndose determinar directamente como el cambio de signo de los coeficientes de cada variable en la función objetivo, esto es, -Cj.  Condición de parada:

Se cumple la condición de parada cuando la fila indicadora no contiene ningún valor negativo entre los costes reducidos (cuando el objetivo es la maximización), esto es, no existe posibilidad de mejora. Si no se cumple la condición de parada es necesario realizar una iteración más del algoritmo, esto es, determinar la variable que se vuelve básica y la que deja de serlo, encontrar el elemento pivote, actualizar los valores de la tabla y comprobar si se cumple nuevamente la condición de parada. Es también posible determinar que el problema no se encuentra acotado y su solución siempre resultará mejorable. En tal caso no es necesario continuar iterando indefinidamente y se puede finalizar el algoritmo. Esta situación ocurre cuando en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos.  Elección de la variable que entra a la base:

Cuando una variable se vuelve básica, es decir, entra en la base, comienza a formar parte de la solución. Observando los costes reducidos en la fila Z, se decide que entra a la base la variable de la columna en la que éste sea el de menor valor (o de mayor valor absoluto) entre los negativos.  Elección de la variable que sale de la base:


Una vez obtenida la variable entrante, se determina que sale de la base la variable que se encuentre en aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que esta operación se hará únicamente cuando Pj sea superior a 0).  Elemento pivote:

El elemento pivote de la tabla queda marcado por la intersección entre la columna de la variable entrante y la fila de la variable saliente.  Actualización de la tabla:

Las filas correspondientes a la función objetivo y a los títulos permanecerán inalteradas en la nueva tabla. El resto de valores deberán calcularse como se explica a continuación:  En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como:

Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote.  En el resto de las filas cada elemento se calcula:

Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote). De esta forma se consigue que todos los elementos de la columna de la variable entrante sean nulos salvo el de la fila de la variable saliente cuyo valor será 1. (Es análogo a utilizar el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales).

Ejemplo y resolución: La empresa el SAMÁN Ltda. Dedicada a la fabricación de muebles, ha ampliado su producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades.


PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL Las variables: X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades) X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades) X3 = Cantidad de camas a producir (unidades) X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades) Las restricciones: 2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 <= 24 2X1 + 2X2 + 1X3 <= 20 2X3 + 2X4 <= 20 4X4 <= 16 La función Objetivo: ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4 PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas las restricciones son "<=". 2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 24 2X1 + 2X2 + 1X3 + 0X4 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 20 0X1 + 0X2 + 2X3 + 2X4 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 20 0X1 + 0X2 + 0X3 + 4X4 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 16 De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables de holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el recurso 1. La función objetivo no sufre variaciones: ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4


PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (0) en la matriz identidad. 1S1 = 24 1S2 = 20 1S3 = 20 1S4 = 16 PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL

Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la solución, es decir las variables, lo más adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de restricciones. Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila "solución" en la función objetivo. Variable Solución = En esta columna se consigna la solución básica inicial, y a partir de esta en cada iteración se van incluyendo las variables que formarán parte de la solución final. Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha "Variable solución" en la función objetivo. Zj = En esta fila se consigna la contribución total, es decir la suma de los productos entre término y Cb. Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un "Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable correspondiente que no forme parte de la solución. Solución inicial:


PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS Este es el paso definitivo en la resolución por medio del Método Simplex, consiste en realizar intentos mientras el modelo va de un vértice del poliedro objetivo a otro. El procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima: Maximizar Variable que entra

Minimizar

La más positiva de los Cj - Zj

La más negativa de los Cj - Zj Siendo b los valores bajo la

Siendo b los Variable que sale

solución

y a el

valor

solución y a el valor correspondiente a la correspondiente

valores

bajo

la

celda celda

a

la

intersección entre b y la variable que intersección entra. La menos positiva de los b/a.

entre b y

la

variable que entra. La más positiva de los b/a.

2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solución implica una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarán a continuación. - Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en este caso el "a = 4".


- Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.

- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harán los cálculos correspondientes en el resto de las celdas.

De esta manera se culmina la primera iteración, este paso se repetirá cuantas veces sea necesario y solo se dará por terminado el método según los siguientes criterios. Maximizar

Minimizar

Solución Óptima Cuando todos los Cj - Zj sean <= 0 Cuando todos los Cj - Zj sean >= 0


- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores.

En esta última iteración podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj <= 0, para ejercicios cuya función objetivo sea "Maximizar", por ende hemos llegado a la respuesta óptima. X1 = 3 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 4 Con una utilidad de: $ 340000 Sin embargo una vez finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz identidad en el rectángulo determinado por las variables de decisión, el hecho de que en este caso no se muestre la matriz identidad significa que existe una solución óptima alterna.


La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el orden en que cada una de las variables entro a la solución básica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aquí les presentamos una de las maneras de llegar a la otra solución.


Bryan Antonio Salazar López Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la combinación de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que se encuentre la variable "S1" en la solución óptima con un coeficiente de "3" significa que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines). X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0) X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7) X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6) X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4) S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3) Con una utilidad de: $ 340000

Para hablar sobre la lógica bayesiana, se habla del teorema de Bayes, lo cual es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la


comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados. Sea

un

conjunto

de

sucesos

mutuamente

excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades

condicionales

.

probabilidad

viene dada por la expresión:

Entonces,

la

dónde: 

son las probabilidades a priori.

es la probabilidad de

son las probabilidades a posteriori.

en la hipótesis

.

El análisis bayesiano lo podemos dividir en las siguientes etapas: 1. Elección de un modelo de probabilidad completo. Elección de una distribución de probabilidad conjunta para todas las cantidades observables y no observables. El modelo debe ser consistente con el conocimiento acerca del problema fundamental y el proceso de recolección de la información; 2. Condicionamiento de los datos observados. Calcular e interpretar la distribución a posteriori apropiada que se define como la distribución de probabilidad condicional de las cantidades no observadas de interés, dados los datos observados; 3. Evaluación del ajuste del modelo y las implicancias de la distribución a posteriori resultante. ¿Es el modelo apropiado a los datos?, ¿son las conclusiones razonables?, ¿qué tan sensibles son los resultados a las suposiciones de modelamiento de la primera etapa?. Si fuese necesario, alterar o ampliar el modelo, y repetir las tres etapas mencionadas.


A continuación los pasos a seguir son: Supongamos que estamos interesados en estimar un parametro, 0, a partir de unos datos x = (x1;……;xn). Con la Filosofía Bayesiana 0 no es un valor fijo, sino una variable aleatoria. Los pasos esenciales son: 1. Fijar una distribución a priori para 0, que denotamos por Pi (0), que exprese nuestras creencias sobre 0 antes de observar los datos. 2. Datos los datos, x, escoger un modelo estad

stico que describa su

distribución dado 0, es la verosimilitud f (x / 0). 3. Usando el Teorema de Bayes, actualizar las creencias sobre 0 calculando su distribución a posteriori: Pi (0 / x) = f (x / 0) 0 (0) f (x) La verosimilitud marginal o distribución marginal de los datos: f (x) = [ f (x / 0) pi (0)d0 Es una constante de integración que asegura que la distribución a posteriori de 0 integre uno, no depende de 0. Por tanto, esta constante no proporciona ninguna información adicional sobre la distribución a posteriori y a menudo se escribe, pi (0 / x) / f (x / 0) pi (0) Esta expresión es la distribución a posteriori sin normalizar, que es proporcional a la verosimilitud multiplicada por la distribución a priori. Un intervalo creíble al 95 % para 0 es simplemente un intervalo (a; b) tal que la probabilidad a posteriori de que 0 este en el intervalo es del 95%.


La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su libro clásico The Theory of Games Behavior, publicado en 1944. Otros habían anticipado algunas ideas. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemáticos Borel y Zermelo. El mismo Von Neumann ya había puesto los fundamentos en el artículo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareció el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendió cuán potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas. La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego. El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a las acciones de jugadores interdependientes. Un juego es cualquier situación en la cual compiten dos o más jugadores. El ajedrez y el póker son buenos ejemplos, pero también lo son el duopolio y el oligopolio en los negocios. La extensión con que un jugador alcanza sus objetivos en un juego depende del azar, de sus recursos físicos y mentales y de los de sus rivales, de las reglas del juego y de los cursos de acciones que siguen los jugadores individuales, es decir, sus estrategias. Una estrategia es una especificación de la acción que ha de emprender un jugador en cada contingencia posible del juego. Se supone que, en un juego, todos los jugadores son racionales, inteligentes y están bien informados. En particular, se supone que cada


jugador conoce todo el conjunto de estrategias existentes, no solo para él, sino también para sus rivales, y que cada jugador conoce los resultados de todas las combinaciones posibles de las estrategias. Igualmente, en una gran variedad de juegos, el resultado es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidades debe ser establecida para que pueda ser posible una solución para el juego. A este respecto, debe observarse que las decisiones de los jugadores interdependientes no se toman en un vacío y que los pagos resultantes de estas decisiones dependen de las acciones emprendidas por todos los jugadores. Esta interdependencia implica que puede ser inapropiado suponer que los pagos están siendo generados por un proceso probabilista invariante que no es afectado por el curso de acción que uno escoja. En otras palabras, la acción que emprende un jugador puede dictar los actos de otros jugadores o influir en la probabilidad de que se comporten en una forma particular. Esta potencialidad de posibles efectos en los resultados es la que distingue la toma de decisiones en conflictos y la toma de decisiones en un medio incierto.

Ejemplo: Supongamos que en cierto proceso electoral hay un aspecto referente a cual de dos ciudades (A o B) le ser a construido un sistema de transporte masivo. Hay solo dos candidatos a la presidencia y cada uno de estos debe anunciar a cuál de las dos ciudades se compromete a construirle el sistema de transporte, o evadir el tema en sus apariciones públicas. Cada candidato busca obtener el mayor porcentaje posible de los votos de las dos ciudades. Los votantes de las demás ciudades son indiferentes respecto al tema. Los porcentajes de votos que obtiene el candidato 1 dadas las elecciones de 1 y 2 aparecen en la matriz de la gura 1. Así, por ejemplo, si el candidato 1 se compromete a construirle el sistema de transporte masivo a la ciudad A, mientras el candidato 2 se compromete a construírselo a B, cada uno obtendrá al 50% de los votos. Para encontrar el valor maxmin de este juego, inicialmente tomemos como dada la elección del candidato 1 y encontremos la estrategia de 2 que minimiza el pago de 1; así,


independientemente de la elección del candidato 1, el candidato 2 decide evadir el tema, con lo que los pagos mínimos para el candidato 1 (porcentajes de votación ) son 40 %, 50% o 40 %; como este debe ahora maximizar su pago mínimo, elegirá construirle a B y as, la repartición del electorado será 50%-50%, con lo que el valor maxmin es, efectivamente, v1 = 0;5. SOLUCIÓN: Se tiene el siguiente cuadro:

Encontremos ahora el valor minmax; para las elecciones del candidato 2 "Construirle a A, Construirle a B" y "Evadir el tema", los máximos pagos para el candidato 1 son 60%, 55% y 50%, respectivamente. Como el candidato 2 debe minimizar estos pagos, elige "Evadir el tema", con lo que el valor minmax es v2 = 0;5. Observemos que, en este juego, v1 = v2 = 0;5. Cabe destacar que la Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. La intuición no educada no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar. De igual manera, se debe saber que hay dos tipos de respuesta, la del tipo educativo, los jugadores suponen

que

tienen

al

equilibrio

como

el

resultado

de

razonar

cuidadosamente y un segundo tipo de respuestas, las evolutivas, según éstas, el equilibrio se consigue, no porque los jugadores piensan todo de antemano, sino como consecuencia de que los jugadores miopes ajustan su conducta por tanteo cuando juegan y se repiten durante largos períodos de tiempo.


Hay que tener en cuenta que, las estrategias maxmin y minmax conducen a los dos jugadores del juego a situaciones en las que ningún jugador tiene razón o incentivo alguno para cambiar su posición. Se dice que un jugador posee una estrategia dominante si una estrategia particular es preferida a cualquier otra estrategia a disposición de él. Y por último, se debe considerar saber que, la estrategia mixta es una combinación de dos estrategias escogidas al azar, una cada vez, según determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia pura que no contiene tales elementos de azar.

La modelización de transporte, también conocida como modelación de la demanda de transporte, permite estimar los flujos de pasajeros o vehículos por modo que habrá en una infraestructura de transporte en un escenario futuro. Actualmente los modelos de transporte son herramientas necesarias para la planificación de transporte, en especial en las ciudades de cierto tamaño. Los modelos permiten representar procesos o fenómenos complejos de una forma simple. Los modelos simplifican la realidad. La modelación de la demanda de transporte busca poder pronosticar para situaciones futuras:  La cantidad de viajes que se atraen o se producen en una zona.  Cómo se distribuyen los viajes producidos en todas las zonas que

atraen.  En qué modos de transporte viajan.  Los volúmenes de pasajeros en las líneas de transporte público


 Los flujos vehiculares en las vías

Ejemplo y resolución: Existen 5 posibles Localizaciones para una planta de queso, considerando que la mayor influencia en el costo total del proyecto lo constituye el precio de la leche y, principalmente el costo por el transporte de la materia prima. En la siguiente tabla se muestra el precio de la leche y la producción disponible:

La planta requiere un abastecimiento diario de 7000 litros. La siguiente tabla muestra las distancias entre los posibles lugares de localización y sus fuentes de abastecimiento, expresados en Kilómetros:

¿Qué localización elegiría? si el costo del flete es de $5 el litro/km. la pérdida de leche por carga y descarga asciende a un 2% del volumen transportado, que debe absorber la planta.


Soluci贸n:


La simulación Monte Carlo es la amiga de los matemáticos no refinados. Para comprenderla y usarla, se necesita poca capacitación matemática. Puede ser adaptada fácilmente a cualquier situación, con tal que las alternativas puedan ser especificadas cuantitativamente y que los datos requeridos puedan ser calculados con aceptable confianza. Monte Carlo es un proceso de resolver un problema simulando datos originales con generadores de números al azar. Su aplicación sólo requiere dos cosas básicas: 1. Se debe tener un modelo que represente una imagen de realidad tal como lo vemos. El modelo en este caso no es más que la distribución por probabilidades de la variable que se considera. El mérito importante de la simulación es que puede ser aplicada aunque las distribuciones de probabilidades no puedan ser expresadas explícitamente en cualquiera de las formas teóricas, tales como aquellas que han sido presentadas en este texto. Todo lo que se requiere es una tabla o un gráfico de una distribución de una variable directa o, indirectamente, por el

uso

de registros pasados. 2. Es un mecanismo para simular el modelo. El mecanismo pudo ser cualquier generador de números al azar, tal como un par de dados, un puntero giratorio, una rueda de ruleta, una tabla de dígitos al azar o una computadora de alta velocidad apropiadamente instruida.


3. El método Monte Carlo es para simular, mediante procedimientos al azar, situaciones del mundo real de naturaleza probabilística. Ejemplo: Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.


Costales, Felipe. (2009). Teoría de juegos. Disponible: http://www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml#ixzz2rMV J8Ecw. [Consulta: Enero 20, 2014] Sin

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Compendio de tecnicas para la toma de decisiones