Issuu on Google+

www.emathisis.gr

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης

1


www.emathisis.gr

Ι. Η εξίσωση αx + β=0,α,β ∈ »

Φύλλο Εργασίας

Ονοµ/µο:

Στόχοι:

• • •

(1)

Ηµεροµηνία:

Υπενθύµιση των εξισώσεων 1ου βαθµού από το Γυµνάσιο. Εισαγωγή της έννοιας της παραµέτρου. Λύση - ∆ιερεύνηση της εξίσωσης (1) µε άγνωστο το x και παραµέτρους τα α και β.

1. Υπενθυµίσεις από το Γυµνάσιο: Κάθε εξίσωση που έχει ή µπορεί να γραφτεί µε τη µορφή αx + β = 0 ,α,β∈», λέγεται εξίσωση 1ου βαθµού µε άγνωστο το x. Λύση αυτής της εξίσωσης όταν υπάρχει, ονοµάζουµε την τιµή ή τις τιµές του x (µπορεί να είναι και άπειρες) που την επαληθεύουν.  Παραδείγµατα • •

• •

Η εξίσωση x + 2 = 0 έχει ως λύση την x = −2 . 1 Η εξίσωση 2x − 1 = 0 έχει ως λύση την x = 2 Η εξίσωση 0x − 3 = 0 δεν έχει ____________ λύση και για το λόγο αυτό λέγεται ____________ . Η εξίσωση 0x + 0 = 0 έχει άπειρες λύσεις (δηλαδή το x µπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγµατική τιµή) και λέγεται ____________ ή και ____________

2. Η έννοια της παραµέτρου Ι.

ΙΙ.

Προσπαθήστε να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 2x = 1 ⇔ x = …

3x = 1 ⇔ x =

4x = 1 ⇔ x = …

5x = 1 ⇔ x = …

6x = 1 ⇔ x = …

7x = 1 ⇔ x = …

Τι παρατηρείτε για τις προηγούµενες εξισώσεις; ___________________________________________________________________________

ΙΙΙ. Αν είχατε γνώσεις προγραµµατισµού Η/Υ, ποια από τις παρακάτω λύσεις θα προτιµούσατε για την επίλυση των παραπάνω εξισώσεων; Α. Θα δηµιουργούσα ξεχωριστά προγράµµατα για να λύνει κάθε µία εξίσωση χωριστά.  Β. Θα έφτιαχνα ένα πρόγραµµα, που θα ζητούσε κάθε φορά την τιµή του συντελεστή του x, ας την ονοµάσουµε µε α και στη συνέχεια θα υπολόγιζε τις λύσεις της αντίστοιχης εξίσωσης.  Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης

2


www.emathisis.gr

Αν επιλέξατε το (Β), µόλις χρησιµοποιήσατε για πρώτη φορά παράµετρο. Μπορείτε τώρα να δώσετε µια δική σας εκδοχή για το τι είναι παράµετρος; ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ IV. Τι θα συµβεί στην περίπτωση όπου α = 0 ; ___________________________________________________________________________ 3. Λύση και ∆ιερεύνηση της εξίσωσης αx = -β (1) Προηγούµενα στο 2IV, είδαµε την ανάγκη «να προβλέψουµε», την περίπτωση όπου µια παράµετρος πάρει κάποια κρίσιµη τιµή. Αυτού του είδους … οι προβλέψεις, µας υποχρεώνουν να κάνουµε διερεύνηση για τις διάφορες τιµές των παραµέτρων α και β κατά την επίλυση της εξίσωσης (1).

Πριν δώσουµε τον ολοκληρωµένο πίνακα λύσεων, ας ξαναδούµε τα παραδείγµατα της Παραγρ.1 για τις περιπτώσεις που η εξίσωση αx + β = 0 έχει λύση, ή είναι αδύνατη ή είναι αόριστη. Μετά από αυτό θα καταλήξουµε στον παρακάτω γενικό πίνακα λύσης της εξίσωσης που συζητάµε.

α=0

α≠0 β≠0

x=−

β=0

β α

II. Οι εξισώσεις |f(x)| = g(x) και |f(x)|=|g(x)|

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης

3


www.emathisis.gr

f(x) = g(x)

g(x) ≥ 0 f(x) = −g(x)

| f(x) |= g(x)

g(x) < 0

f(x) = g(x)

| f(x) |=| g(x) |

f(x) = −g(x)

Παραδείγµατα: Βλέπε Σχολικό Βιβλίο σελ. 58 – παράδειγµα 3ο και 2ο αντίστοιχα.

Λυµένα Παραδείγµατα 2λ(λ − 3)x = (λ − 3)(λ − 1) (2) 1. Οι συντελεστές είναι συγκεκριµένοι αριθµοί: ∆ιερεύνηση: ∆ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις για την παράσταση 2λ(λ − 3) (που παίζει το ρόλο Α. Να λυθεί η εξίσωση: της παραµέτρου α): Να ισούται ή όχι µε το 0. Πάµε: 1 1 1 3 (1 − 3x) − (x + 2) = (x − 2) + 5 4 20 4 Ι. 2λ(λ − 3) ≠ 0 δηλαδή λ ≠ 0 και λ ≠ 3 . Τότε η εξίσωση θα έχει µία λύση που προκύπτει Λύση: από τη σχέση (2) αν λύσουµε ως προς x. Τότε: Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη µε το Ε.Κ.Π =20 και έχουµε:

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης

x=

(λ − 3) (λ − 1) 2λ (λ − 3)

=

λ −1 2λ

4


www.emathisis.gr

4(1 − 3x) − 5(x + 2) = x − 2 + 15 ⇔ −18x = 19 ⇔ x = −

19 18

Β. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 4 + = 2 x−2 x+2 x −4

Λύση: Αρχικά θα περιορίσουµε τις τιµές του αγνώστου x αφού υπάρχουν παρονοµαστές που µηδενίζονται. Έτσι θα πρέπει:

ΙΙ. 2λ( λ − 3) = 0 οπότε ή λ = 0 ή λ = 3. Σε κάθε περίπτωση αντικαθιστούµε στην εξίσωση (2) τις τιµές αυτές για να δούµε την εξέλιξη της εξίσωσης (αδύνατη ή αόριστη, όπως αναφέρει η θεωρία µας). Πάµε:

• λ = 0 τότε από (2) έχουµε: 0x = 3 όπου φανερά είναι αδύνατη (καµία λύση). •

λ = 3 τότε από (2) έχουµε:

0x = 0 όπου φανερά είναι αόριστη (άπειρες λύσεις) δηλαδή η εξίσωση είναι ταυτότητα.

x − 2 ≠ 0, x + 2 ≠ 0, x 2 − 4 ≠ 0 από όπου τελικά Β. Όµοια η εξίσωση: 3x + 1 = λ x−λ έχουµε x ≠ −2,2 . Πολλαπλασιάζουµε τώρα και τα δύο µέλη µε το Λύση: Ε.Κ.Π των παρονοµαστών που είναι το 2 x − 4 = (x − 2)(x + 2) και θα έχουµε: Αρχικά θα πρέπει x − λ ≠ 0 ⇔ x ≠ λ . Τότε η εξίσωση µε πράξεις θα γράφεται: x + 2 + x − 2 = 4 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2

όπου αυτή η λύση απορρίπτεται από τους περιορισµούς και άρα η εξίσωση θα είναι αδύνατη,

( λ − 3)x = λ2 + 1

(1)

Όπως και προηγούµενα διακρίνουµε δύο περιπτώσεις : 2. Παραµετρική εξίσωση • λ ≠ 3 τότε θα υπάρχει µία λύση x µε Α. Να επιλυθεί η εξίσωση: λ2 + 1 x = . Θα πρέπει όµως να είναι x ≠ λ λ−3 λ2 (2x − 1) = 6λx − 4λ + 3 (1) και άρα (άγνωστος ο x, παράµετρος το λ). λ2 + 1 1 λ≠ ⇔ λ2 − 3λ ≠ λ2 + 1 ⇔ λ ≠ − . Λύση: λ−3 3 Κάνουµε πράξεις ώστε να έρθει στη µορφή 1 Τελικά για λ ≠ 3, − η εξίσωση έχει µοναδική αx = β . 3 Θα είναι τελικά 2λ( λ − 3)x = λ2 − 4λ + 3 οπότε λύση. • λ = 3 η εξίσωση γράφεται 0x = 10 που από παραγοντοποίηση τριωνύµου θα γράφεται φανερά είναι αδύνατη (καµία λύση). τελικά: 4 − 3 x −2 x + 3 = 6x − 6 4x − 5 2x + 5 x ∆. = . 2x − 2 x + 2 Γ.

9. Αν οι α, β είναι πραγµατικοί µε a ≠ β να λυθεί η εξίσωση: ( x + α )2 − ( x + β ) 2 = 2α (α − β ) . 10. Α. Αν η εξίσωση λ x + 5λ = λ 2 + 2 x + 6 είναι αόριστη, να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης: Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης

5


www.emathisis.gr

Για εξάσκηση 1. Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου λ, η εξίσωση: λ 2 x + 2 = λ ( x + 2) . 3 x + 2λκ 1 + . 3 2 Να βρείτε τις τιµές των λ, κ ∈R για τις

2. ∆ίνεται η εξίσωση λ x + κ =

οποίες η εξίσωση είναι: Ι. ταυτότητα ΙΙ. Αδύνατη.

3. Να βρεθεί ο µ∈R ώστε η εξίσωση ( µ − 3) x = µ − 5µ + 6 να έχει µοναδική λύση το 0. 2

4. Αν η εξίσωση λ (λ x − 1) = 4( x − 1) είναι αδύνατη, να βρεθεί ο λ∈R.

5. Αν η εξίσωση (λ − 1) x µ 2( x + 1) µ − 2 + = + είναι ταυ3 6 3 5 τότητα (δηλαδή έχει άπειρες λύσεις) , να προσδιοριστούν οι πραγµατικοί λ και µ.

6. Να βρεθούν τα λ και µ∈R, ώστε η εξίσωση (λ − 1) x = 2µ + 4 Ι. Να έχει µοναδική λύση ΙΙ. Να αληθεύει για κάθε x. ΙΙΙ. Να είναι αδύνατη.

(−1 + λ ) 2001 + (3 − λ )2004 ( −λ 3 ) 2 Β. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 4 + = 2 x−2 x+2 x −4

11. Να λυθεί η εξίσωση: x −1 x + 2 x +1 x − 2 + = + . x + 2 x −1 x − 2 x +1 Υπόδειξη: Να αφαιρέσετε και από τα δύο µέλη τον αριθµό -1-1.

12. Α. Να βρείτε την τιµή το λ για την οποία η εξίσωση: λ ( x − 3λ ) = −2(λ − x) είναι αδύνατη. Β. Να βρείτε την τιµή της παράστασης Α = λ 2 ( µ − 1)2001 αν η εξίσωση

µ x + 4 = λ 2 είναι αόριστη. 13. Να λυθούν οι εξισώσεις: | 2x − 1| +1 | 2 − 4x | −1 Α. − = −2 4 3 Β. | 2x + 3 |= 2λ + 3 µε άγνωστο το x. 14. Να λυθούν οι εξισώσεις: Α. − x 2 + 4x − 4 =| x + 2 | Β. 3 x 2 − 4 =| x − 2 | Γ. | 2 − 5x | − x = 3

15. Να λυθεί η εξίσωση: | 3x − 2 | +3x − 2 = x

7. Να βρεθούν οι τιµές του λ (αν υπάρχουν) ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να είναι αδύνατες: Α. (2λ − 1)( x − 2) − 5 = (λ + 1)( x − 2) − 2λ 2

1 1  Β.  λ + 1 x − 3λ = λ 2 + 9 + (λ + 10) x 4 2  2 2 Γ. 4(λ + 1) x + 1 − 4λ = (2λ + 1)2 + 4 x

8. Να λύσετε τις εξισώσεις: x +1 3 x+2 Α. + = x − 2 ( x − 2)( x − 3) x − 3 x +1 x −1 = 1 Β. x +1 4 4− x −1 1+

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης

6


www.emathisis.gr

Ερωτήµατα Κλειστού τύπου 1. Η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη όταν α = 0

Σ Λ

2. Η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη όταν α = β = 0

Σ Λ

3. Η εξίσωση αx+β=0 έχει µοναδική λύση όταν β ≠ 0

Σ Λ

4. Αν η εξίσωση αx+β=0 είναι ταυτότητα τότε και η εξίσωση βx+α=0 είναι ταυτότητα.

Σ Λ

5. Αν η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη τότε και η εξίσωση βx+α=0 είναι αδύνατη.

Σ Λ

6. Αν η εξίσωση (α − 1)x=β+1είναι ταυτότητα τότε η εξίσωση (α2 − 1)x=β2 -1 είναι αδύνατη.

Σ Λ

7. Η εξίσωση αx+β2 +1=0 αποκλείεται να είναι ταυτότητα.

Σ Λ

8. Η εξίσωση (α2 + 1)x+β=0 αποκλείεται να είναι αδύνατη.

Σ Λ

9. Η εξίσωση (α2 + 1)x+β2 +1=0 έχει µοναδική λύση για κάθε τιµή των παραµέτρων α και β.

Σ Λ

10. Οι εξισώσεις αx + β = 0 και α2 x + β2 = 0 είναι ισοδύναµες.

Σ Λ

11. Η εξίσωση | x |= α, α ∈ » έχει τουλάχιστον µία λύση ως προς x.

Σ Λ

12. Η εξίσωση | x |= α , α ∈ » έχει τουλάχιστον µία λύση ως προς x.

Σ Λ

13. Η εξίσωση | x |= −α2 , α ∈ » µε άγνωστο το x, είναι αδύνατη.

Σ Λ

14. Η εξίσωση | x |= − | α | είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών.

Σ Λ

15. Οι εξισώσεις | f(x) |= g(x) και |f(x)|=|g(x)| είναι ισοδύναµες όταν g(x) ≥ 0 για κάθε x πραγµατικό.

Σ Λ

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης

7


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ