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LIÇÕES DE

CÁLCULO POLIÁDICO TOMO I - ÁLGEBRA VOLUME II

por

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto Furnas Centrais Elétricas SA Centro Tecnológico de Engenharia Civil

Goiânia 2013


II

© 2013 - Elysio R. F. Ruggeri Projeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. Ruggeri Editoração eletrônica: Elysio R. F. Ruggeri Capa: Luciano Dalmiglio, Alexandre de Castro Pereira e Elysio R. F. Ruggeri

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo. Lições de Cálculo Poliádico: tomo I, volume II, álgebra / Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed. do Autor, 2013. XX, 447 p. ISBN 978-85-907001-1-1 1. Análise tensorial. 2. Leis físicas lineares. 3. Matemática aplicada. I. Título.

CDU 514.742

Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada página da reprodução.

Contato com o autor: elysio.ruggeri@gmail.com


III

PREFÁCIO No volume I desenvolvemos os conceitos e as operações básicas com os mais simples dos poliádicos, os vetores e os diádicos, apontando a utilidade deles em Física sem, entretanto, fazer aplicações diretas, quase todas já conhecidas desde os tempos de Gibbs. Neste volume II, por um lado, desenvolvemos o Cap. IV – POLIÁDICOS, uma álgebra multilinear particular na visão dos matemáticos – com uma preocupação físicomatemática quase desesperada. Com efeito, do ponto de vista matemático devíamos estender conceitos e definições que generalizassem coerentemente conceitos anteriores; do ponto de vista físico, as operações deviam prestar-se à já anunciada pretensão de representação analítica das leis físicas. Para tal, fomos socorridos, em muito, por pré-claros autores de obras magistrais e de requintado conteúdo. Mas devemos estar alertas para o fato de que a Física à qual nos referimos é apenas linear na imensa maioria das vezes, ou seja, nessa Física, cartesianamente falando, “as componentes de uma grandeza física são proporcionais a todas as componentes de outras grandezas físicas”. Isso é o mesmo que dizer que, nessa Física, as leis são lineares ou, ainda, que uma grandeza física – representada por um poliádico de certa valência – é "ponderadamente proporcional" a uma ou mais grandezas – representadas por outros poliádicos de diferentes valências. Não é só essa proporcionalidade ponderada que as operações estudadas neste Tomo I se prestam a traduzir com simplicidade, mas também os casos de dependência entre as grandezas em qualquer grau. Com essas operações podemos também e principalmente, com ampla generalidade e rara simplicidade, formular a Física Não Linear. Muitos desses assuntos têm sido expostos com a utilização do Cálculo Tensorial na sua forma clássica. Por outro lado, do ponto de vista matemático, o desenvolvimento foi feito sem podar as asas da imaginação. Por força de estilo, pela suspeita da utilidade prática que pudesse vir a ter as nossas lucubrações e para ser bem leal ao leitor, devemos confessar que nem todas as operações definidas (§06 e §09) satisfazem ao importante requisito da utilidade imediata direta, mas apenas indireta. Definimo-las por analogia com outras, mas intuitivamente sentimos que em algum instante do desenvolvimento da física poderão (mais diretamente) ser necessárias. A situação é mais ou menos como a de Mendelyev que, ao sentir a falta de certos elementos em sua classificação periódica, ousou predizer a existência deles e algumas de suas propriedades; ou como aquela do descobrimento de certos cristais cuja simetria helicoidal fora antecipadamente estabelecida como "matematicamente possível". No Cap. IV podemos destacar alguns tópicos como inéditos: 1º) – a feliz concepção (§03.04) da associação de matrizes a poliádicos (por apelo ao conceito clássico de submatrizes ou blocos); 2º) – a ampliação da operação de dupla multiplicação ponteada de matrizes (já apresentada de forma preliminar no Cap. II) relacionada com a multiplicação ponteada múltipla de poliádicos (§06.02); 3º) – a concepção unificada dos tensores cartesianos por métodos poliádicos (§06.05); 4º) – a introdução dos conceitos de norma, módulo e ângulo de dois poliádicos (§06.06), o que caracteriza o espaço dos poliádicos como euclidiano (no sentido da Álgebra Linear); 5º) – um estudo mais geral da isomeria – termo provavelmente introduzido por Sirotin e Chaskolskaya (bibliografia [2] do Cap. IV) – como uma generalização da operação de transposição dos diádicos (§07); 6º) – a elementar e generalíssima concepção de poliádico unidade (§08.01); 7º) – a “tabuada do um” (§08.04), que dá os produtos de poliádicos unidade de diferentes valências; 8º) – o estudo do “poliádico desvio” ou desviante (§08.05), adaptado da obra de Drew (bibliografia [1] do Cap. IV), generalização do clássico tensor desvio (de ordem 2) utilizado em Elasticidade e

Poliádicos - Ruggeri


IV

Plasticidade. Estudos originais são apresentados no §09 relativos ao conceito de espaço poliádico, ao de bases poliádicas recíprocas, às operações de multiplicação cruzada, à dupla multiplicação cruzada e à multiplicação mista de vários poliádicos, que generalizam as noções correlatas já estudas para os diádicos no §10 do Cap. II. Também originais são a pesquisa dos invariantes de um poliádico (§10), a definição de poliádico completo e seu Gésimo (§11) e a extensão aos poliádicos (§13) dos conceitos de adjunto, segundo, inverso e principal (conceitos estes já definidos por Gibbs e Moreira para os diádicos (§08, II)). Muitos desses assuntos foram desenvolvidos como preliminares à solução do problema da determinação dos autovalores e dos autopoliádicos de dado poliádico (de valência par), uma generalização do problema clássico com diádicos. Sobre os Elementos Característicos de Poliádicos (§14), cujo desenvolvimento parece depender fortemente da teoria clássica dos polinômios, não fizemos mais que interpretar geometricamente os coeficientes da equação característica de um poliádico de valência par e demonstrar o teorema CH (Caylei-Hamilton). Sabemos, porém, que diádicos e tetrádicos estão presentes nas expressões analíticas das diferentes leis que descrevem os fenômenos naturais. Ora, se, na prática, os autovalores e os autovetores de um diádico desempenham sabidamente importante papel no estudo desses fenômenos, porque não desempenharão, igualmente, os autovalores e os autodiádicos de um tetrádico? Podemos perguntar, por exemplo, em primeira instância: qual o significado (teórico e aplicado) dos autovalores e autodiádicos do tetrádico das constantes elásticas na Lei de Hooke da Teoria Linear da Elasticidade? Não reconhece o leitor que essa pergunta, teoricamente cabível, merece uma resposta judiciosa? Dentro dessa mesma linha de raciocínio – discussão do valor aplicado de generalizações de conceitos simples de reconhecida utilidade prática – devemos citar, também, o conceito de poliádico desvio (§08.05). É conhecido o valor do conceito de diádico desvio (para tensões e deformações, pelo menos) em relação às suas partes escalares, nas teorias da elasticidade e plasticidade. Não terão, também, por exemplo, os tetrádicos desvio (dos tetrádicos de Green, de Riemann-Christofel, de Hooke, apresentados neste volume), em relação às suas partes escalares e diádicas principais, algum valor prático nas respectivas teorias em que aparecem? Concebemos neste volume o tetrádico cíclico, ampliando o estudo das rotações com os tetrádicos de rotação (§14.04), estes já apresentados por Drew (o. c.) por outras vias. Não foi difícil conceber o poliádico de rotação (§15) com valência (inteira) igual a 2 k para k>2. Além dos tetrádicos especiais apresentados (cuja nomenclatura, espera-se, seja do agrado do leitor), aparecem os conceitos de simetria externa dos tetrádicos, isto é, tetrádicos com planos de simetria (§17.01) e com eixos de simetria (§17.02), que atendem as necessidades práticas correspondentes a muitos materiais naturais e, mesmo, artificiais. Com os tetrádicos cíclicos, entretanto, abre-se uma nova (e mais geral) possibilidade de simetria externa de tetrádicos, cuja utilidade na física ainda não se conhece. Com o que até aqui foi apresentado e com a operação de dupla multiplicação ponteada matricial o leitor poderá, por exemplo, avaliar com facilidade as possibilidades de aplicação dessas concepções na Teoria da Elasticidade e, mesmo, expressar a clássica equação constitutiva do sólido de Hooke (§17.02). É fácil empregar esses mesmos conceitos noutras áreas da Física. Fechando a apresentação do Cap. IV devemos considerar, ainda, que é necessário


V

pesquisar uma interpretação geométrica das operações ponteadas e cruzadas múltiplas com poliádicos, muito semelhantes à da interpretação da multiplicação ponteada entre diádico e vetor, de resultado vetor, base da Geometria da Transformação Linear. O estudo dessa matéria – não tão elementar quanto possa parecer – precisa ser mais desenvolvida para superar o que já foi realizado nos §’s 15 e 16 do Cap. II. Numa primeira investida essas interpretações geométricas poderiam ficar restritas apenas às multiplicações ponteadas simples entre um triádico e um vetor (de resultado diádico), entre um tetrádico e um vetor (de resultado triádico) etc.. Muitas surpresas poderiam originar-se dessas pesquisas, pelas quais os físicos certamente se interessariam; estão ligadas à geometria da transformação multilinear, uma ampliação natural do Cap. III desta Álgebra, em que provavelmente se fariam necessárias certas reduções canônicas (para facilitar a descrição das transformações) e, possivelmente, uma classificação geral dos poliádicos. O capítulo V é dedicado aos poliádicos complexos. Os conceitos básicos sobre os números complexos são revistos (Ap. I) para facilitar o entendimento de sua aplicação no estudo de oscilações e composição de movimentos oscilatórios unidirecionais (Ap. II). A composição desses movimentos em duas ou em três direções exige a introdução dos vetores complexos associado a diádicos reais (§01 a §05); mas isto pode não representar toda a utilidade desses vetores. A analogia dos conceitos pode ser estendida aos diádicos complexos associados a tetrádicos reais (§06) e aos poliádicos complexos em geral (§07); ambos os temas foram apresentados de modo bem superficial. A introdução de poliádicos complexos permite explorar de modo mais objetivo a questão dos autodiádicos dos tetrádicos cíclicos e de rotação (§08), assunto já iniciado no (§14.04,IV). Fecha-se o Capítulo V com o estudo da redução normal do tetrádico completo (§09), sua decomposição polar (§10), e uma menção aos tetrádicos definidos e semidefinidos (§11). Quando se dão aos poliádicos representações cartesianas em bases convenientes, é possível expressar em forma matricial todos os conceitos vistos. Se as relações entre poliádicos são lineares e se as bases utilizadas são poliádicas, os temas podem ser vistos como na “álgebra linear” a muitas dimensões. Um dos valores da álgebra dos poliádicos está em estar ela sempre traduzindo questões de geometria entre espaços de diferentes dimensões, questões essas que vêm sendo induzidas desde a geometria euclidiana de uma, duas e três dimensões, como no volume I. É óbvio que não podemos considerar este trabalho como livro texto para algum curso, mas como relato de aprendizado, pesquisa solitária, curiosidade e de estudos realizados por pelo menos três décadas (de forma bastante intermitente). Acrescento a essas observações que o estudo de muitos temas e aplicações não estão aqui concluídos. Lamentavelmente a flecha implacável do tempo impõe dar-se a esse trabalho algum paradeiro.

Poliádicos - Ruggeri


VI

CONVENÇÕES Numerações diversas (já utilizadas no Volume I) Os capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafos e estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico. As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo. As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cada capítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foi feita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos). A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceira figura do § 02 do capítulo III. As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafo ou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses. Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com o mesmo número desta, acompanhado de um sub-índice; assim (021) é uma fórmula que deriva de (02). Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número. Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente da esquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmula de ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice, à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, (03)2 representa a segunda fórmula do conjunto (03). Citações e Referências Durante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização de conceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito com a indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referido conceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, apesar de alguma redundância, ((02)3,§03.02,Cap.II,Vol.I) representa: a terceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03 do capítulo II do volume I. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítulo em que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo. ABREVIATURAS CNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), página 20. EN - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, página 9. Teor. - Teorema, página 7. Corol. - Corolário, página 8. Propr. - Propriedade, página 75. nsn - Não simultaneamente nulo, página 92. min - Minorante, Pmin (polinômio mínimo), página 86, 250. sen, co-sen, tg - linhas trigonométricas circulares, páginas 52.


VII

SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS (Notações não apresentadas no Volume I)

SÍMBOLOS A L F A B E T O L A T I N O

REPRESENTAÇÃO

TOM

PÁGINA

Duplo produto ponteado de matrizes multiordinais

Natural

33

Matriz unidade de ordem 4

Negrito

73

Airk, Airk, Birk, ...

Coordenadas de triádicos

Natural

1, 13

Ahijk, Ahijk, ...

Coordenadas de tetrádicos

Natural

16

Diádico cíclico, tetrádico cíclico

Negrito

169,170

Poliádico  de valência P (P=3, 4, ...)

Negrito

3

:[B] Q [ A ] MQ P LP

[ ] 4

(aa*,φ), 4(aa*,φ)

 [ ] 2Q  P

2Q

P

P+Q

(i,)

4

  P RT P RT ,

A L F A B E T O

 P R

|| || P

 P Q

P

Negrito

16

Negrito

71

Poliádico nulo de valência P (P=3, 4, ...)

Negrito

21

Poliádico  de valência P+Q

Negrito

4

Tetrádico de rotação (de eixo ˆi e ângulo ) Transposto de R vetores de P para montante (), ou para jusante (), e posto T. Transposto de R vetores de P para montante (), ou para jusante () Norma do poliádico ||P||

Negrito

170, 1724

Natural

54

Natural

54

-

52

Potência ponteada Q-pla de 

Negrito

38

P

R Q 



P

P

Produto R-plo de  por  (ponteado ou cruzado)

Negrito

27

Q

Função P-ádica linear de argumento Q-ádico

Negrito

42

P-ádicos reversos

Negrito

55

Transposição composta com P

Natural

56

T Q SR   

Produto misto de poliádicos

Negrito

68

 P

G R E G O

 P R

Poliádico unidade de valência 2Q (Q=2, 3, ...)

Matriz associada ao poliádico

2Q

 ( )  P

 e

  P R SQ T

P

P

Q

(maj )

A-ádico majorante de 

Negrito

86

(min P)

A-ádico minorante de P

Negrito

86

devA 

Poliádico desvio de  em relação à sua parte Aádica principal

Natural

89

fatA )

Fator desviante de  para A-ádicos

Natural

89

Base diádica definida por diádicos 1, 2, ...

Negrito

116

A

P

A

P

P

{*}

P

P

P

Poliádicos - Ruggeri


VIII

ÍNDICE PREFÁCIO ....................................................................................................................................................... III CONVENÇÕES................................................................................................................................................ VI SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS.......................................................................................................... VII CAPÍTULO IV POLIÁDICOS § 01 - POLIÁDICOS DE VALÊNCIA P. .......................................................................................................... 1 § 01.01 - Vetores e diádicos. ........................................................................................................... 1 § 01.02 - Geração de triádicos. ........................................................................................................ 2 § 01.03 - Geração de tetrádicos. ...................................................................................................... 2 § 01.04 – Poliádicos: geração, notação, nomenclatura. ................................................................... 3 § 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ........................................................................................................ 4 § 02.01- Multiplicação de poliádico por número real. ..................................................................... 4 Produto de triádico por número real. .............................................................................. 4 Produto de poliádico por número real. ........................................................................... 5 § 02.02 - Adição de poliádicos. ....................................................................................................... 5 Soma de poliádicos ........................................................................................................ 5 Combinação linear de poliádicos ................................................................................... 6 § 02.03 - Multiplicação ponteada entre poliádico e vetor. ............................................................... 6 Produto ponteado de poliádico por vetor ........................................................................ 6 Função linear de argumento (ou variável) vetor e valor diádico ..................................... 7 Função linear de argumento vetor e valor poliádico ....................................................... 7 § 02.04 - Igualdade de poliádicos. ................................................................................................... 8 § 03 - REPRESENTAÇÕES Ni-NOMIAIS DE POLIÁDICOS. ....................................................................... 9 § 03.01 - Representações N-nomiais de triádicos. ........................................................................... 9 § 03.02 - Representações N2-nomiais de triádicos........................................................................... 12 § 03.03 - Representações N3-nomiais de triádicos........................................................................... 13 § 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos......................................................................... 14 Matriz associada a poliádico em base vetorial ............................................................... 16 Representações mistas e não mistas de 2H-ádicos. ........................................................ 19 § 04 - POLIÁDICO NULO. .............................................................................................................................. 20 § 05 - CASOS DE IGUALDADE DE POLIÁDICOS. ...................................................................................... 22 § 06 - MULTIPLICAÇÃO DE POLIÁDICOS. ................................................................................................. 24 § 06.01 - Multiplicação simples. ..................................................................................................... 24 § 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes. .................................... 25 Propriedades ................................................................................................................... 26 Caso de igualdade de poliádicos .................................................................................... 30 Matriz associada a produtos ponteados. ......................................................................... 31 Multiplicação múltipla dupla ......................................................................................... 37 Propriedades dos produtos duplos (P+Q)-plos ............................................................... 38 § 06.03 - Potenciação de poliádicos. ............................................................................................... 38 Propriedades ................................................................................................................... 39 Potenciação ponteada poliádica e potenciação matricial. ............................................... 41 § 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico. ............................................................... 41 § 06.05 – Tensores cartesianos de ordem qualquer ......................................................................... 46 § 06.06 - Norma e flecha de poliádico. Ângulo de dois poliádicos. ................................................ 50 § 07 - POLIÁDICOS ISÔMEROS. ................................................................................................................... 52 § 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão. ...................................... 52 Fórmulas de transposições compostas sobre um triádico e seu reverso .......................... 59 Fórmulas de transposições compostas sobre um tetrádico e seu reverso, ....................... 59 § 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras................................................... 63 Políades quaisquer, de valências diferentes. ................................................................... 63 Políades quaisquer, de mesma valência.......................................................................... 64


IX

Produtos múltiplos ponteados ou cruzados com três poliádicos. .................................... 66 Casos particulares .......................................................................................................... 69 Produtos duplos (P+Q)-plos. .......................................................................................... 69 § 07.03 – Matrizes isômeras. ........................................................................................................... 70 § 08 - POLIÁDICO UNIDADE. ....................................................................................................................... 70 § 08.01 - Definição e propriedades. ................................................................................................. 70 Matriz associada ao tetrádico unidade ........................................................................... 73 Propriedades do poliádico unidade. ............................................................................... 75 A transposição: uma multiplicação ponteada. ................................................................ 77 Propriedades da transposição sobre poliádicos unidade. ................................................ 78 § 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o Q-vec de um 2Q-ádico. ........................................................ 79 §08.03 - Isômeros distintos do poliádico unidade ........................................................................... 82 § 08.04 - A tabuada do um. ............................................................................................................. 83 § 08.05 - Poliádico desvio. .............................................................................................................. 86 A-ádicos majorantes e minorantes de um poliádico ....................................................... 86 Parte A-ádica principal de um poliádico ........................................................................ 88 § 09 - ESPAÇO POLIÁDICO. BASES. OPERAÇÕES. ................................................................................... 91 § 09.01 - Espaço poliádico. ............................................................................................................. 91 § 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana. ............................... 97 Constituição de bases ..................................................................................................... 100 Cálculo cartesiano de sistemas recíprocos...................................................................... 102 Isômeros do hexádico unidade e seus recíprocos ........................................................... 103 Novas operações com poliádicos de um espaço G-dimensional. .................................... 104 § 09.03 - Multiplicação cruzada múltipla de poliádicos .................................................................. 104 Propriedades ................................................................................................................... 105 Cruzado e Q-vetor de um 2Q-ádico................................................................................ 105 § 09.04 - Multiplicação cruzada múltipla dupla de poliádicos. ....................................................... 106 § 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos. ..................................................................... 107 Propriedades:.................................................................................................................. 108 § 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico. ..................................... 113 Transformações Lineares entre espaços poliádicos ........................................................ 113 Cálculo do operador de uma Transformação Linear ....................................................... 115 Equações poliádicas. ...................................................................................................... 116 Simplex e baricentros ..................................................................................................... 117 Trigonometria Plana e Esférica do espaço poliádico. ..................................................... 117 Projeções no espaço dos 2H-adicos. 2H-adicos menores. .............................................. 117 §10 - INVARIANTES DOS POLIÁDICOS. ..................................................................................................... 120 § 10.01 - Invariância do escalar, do Q-vec e do cruzado de um 2Q-ádico. ...................................... 120 § 10.02 - Invariantes primários ........................................................................................................ 122 § 10.03 - Invariantes secundários. ................................................................................................... 129 § 10.04 - Invariantes P-ários. ........................................................................................................... 130 § 11 - POLIÁDICO COMPLETO. G-ÉSIMO DE UM POLIÁDICO. .............................................................. 131 § 11.01 - Caso geral. ........................................................................................................................ 131 § 11.02 - Caso dos tetrádicos (H=1) gerados do E3 (para G = 32); o nono. ..................................... 135 § 11.03 - Relações entre as matrizes associadas a um tetrádico. ..................................................... 136 § 11.04 – Produtos de poliádicos completos e incompletos............................................................. 138 § 12 – POLIÁDICOS DE MOREIRA (OU EM FEIXE). .................................................................................. 140 § 12.01 – O grupo ortocêntrico do espaço poliádico. ...................................................................... 140 § 12.02 – Poliádicos em feixe. ......................................................................................................... 141 Generalização ................................................................................................................. 142 § 13 - ADJUNTO, SEGUNDO, INVERSO E PRINCIPAL. ............................................................................. 143 § 13.01 – Definições e propriedades................................................................................................ 143 Caso de poliádicos completos ........................................................................................ 146 § 13.02 - O ponteado e o G-ésimo do adjunto. ................................................................................ 148 § 13.03 – Poliádicos incompletos planares e lineares. ..................................................................... 152 Aspectos geométricos relativos aos tetrádico incompletos. ............................................ 152 Caracterização dos incompletos pelo adjunto. ............................................................... 156 § 13.04 – Potências ponteadas de poliádicos incompletos. ............................................................. 157

Poliádicos - Ruggeri


X

Potências ponteadas de poliádicos lineares e ortolineares .............................................. 157 Potências ponteadas de poliádicos planares e ortoplanares ............................................ 158 § 14 – TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE. .................................................................................... 161 § 14.01- Tetrádico de mudança de base. ......................................................................................... 161 Definição........................................................................................................................ 161 Propriedades e invariantes primários ............................................................................. 162 Matrizes associadas a tetrádico de mudança de base ..................................................... 164 § 14.02- Transformação de tetrádicos por similaridade. .................................................................. 166 Propriedades dos tetrádicos e das transformações similares. .......................................... 167 § 14.03 - Transformação de coordenadas de tetrádico por uma mudança de base diádica. Tensor de quarta ordem. ................................................................................... 168 § 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação. ........................................................................................ 170 Definição. Matriz associada. .......................................................................................... 170 Bases diádicas congruentes ou concordantes ................................................................. 173 Díade semitangente de rotação ....................................................................................... 174 Bases cíclicas vetoriais e diádicas .................................................................................. 175 Tetrádicos similares mediante tetrádicos cíclicos e de rotação....................................... 178 Relações entre o tetrádico cíclico e alguns de seus invariantes. ..................................... 178 Relações entre um cíclico e os isômeros de 4I ................................................................ 180 § 14.05 - Produto de tetrádicos de rotação. ..................................................................................... 182 §14.06 - Generalizações. ................................................................................................................. 185 § 15 - POLIÁDICOS INTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTI-SIMÉTRICOS. .......................................... 187 § 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros. ................................................................. 187 Decomposição aditiva de poliádicos .............................................................................. 190 § 15.02 – Simetria interna dos triádicos. ......................................................................................... 195 Dupla simetria interna. Triádicos simétricos e anti-simétricos....................................... 199 A simetria e a anti-simetria internas dos triádicos pelas suas coordenadas. ................... 202 Triádicos internamente simétricos e anti-simétricos. ..................................................... 205 O triádico de Civita, 3I ................................................................................................... 207 Transposições com o hexádico de Civita, 6C ................................................................. 210 § 15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos. .................................................................................... 212 Estudo das simetrias pelas escritas triádicas, diádicas e vetoriais .................................. 213 Estudo da simetria pelas escritas cartesianas ................................................................. 217 Tetrádico igual ao seu reverso ........................................................................................ 218 Tetrádicos diadicamente simétricos ............................................................................... 220 Tetrádicos com simetrias múltiplas e respectivas matrizes associadas. .......................... 221 Tetrádicos vetorialmente simétricos e simétricos ........................................................... 222 Tetrádicos simétricos e diadicamente simétricos ........................................................... 224 Tetrádico Elástico (simetria dupla) ................................................................................ 225 Matriz associada a tetrádico elástico referida a base ortonormada. Notação de Voigt. ............................................................................................................... 227 O tetrádico de Green (simetria tripla) ............................................................................. 228 Tetrádico de Riemann–Christoffel (simetria quádrupla) ................................................ 230 § 16 – POLIÁDICOS EXTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTI-SIMÉTRICOS. ........................................ 233 § 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria. ................................................................................. 233 Tetrádicos com um plano de simetria ............................................................................. 235 Tetrádicos com dois planos de simetria (ou ortotrópicos) .............................................. 237 Caso do tetrádico de Green ............................................................................................ 239 § 16. 02 – Tetrádicos com eixos de simetria.................................................................................... 241 Tetrádicos transversalmente isotrópicos ......................................................................... 241 Caso de tetrádicos simétricos ......................................................................................... 242 Tetrádicos de Green Transversalmente Isotrópicos ........................................................ 244 Tetrádico Isotropicos (ou Isótropos) ............................................................................... 246 Caso do tetrádico de Green Isotrópico............................................................................ 247 § 16. 03 – Hexádicos isotrópicos. .................................................................................................... 249 § 17 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE POLIÁDICOS. ..................................................................... 249 § 17.01 – Polinômio mínimo de um poliádico ................................................................................ 249 § 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos ...................................................... 251


XI

Poliádicos com autovalores nulos. Poliádicos antitriangulares. ..................................... 256 Poliádicos antitriangulares ............................................................................................. 256 § 17.03 - Forma espectral. Redução Tônica. ................................................................................... 258 O Teorema de Cayley-Hamilton para poliádicos. ........................................................... 260 § 18 – FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS POLIÁDICOS. ............................................................ 262 § 18.01 – Redução de poliádicos com autovalores simples. ............................................................ 262 Poliádicos com autovalores imaginários. ....................................................................... 262 Poliádicos com autovalores reais.................................................................................... 266 Caso dos poliádicos simétricos. ..................................................................................... 266 Forma espectral dos 2H-ádicos simétricos ..................................................................... 269 § 18.02 – Redução dos poliádicos com autovalores múltiplos. ....................................................... 269 Tetrádico cíclico............................................................................................................. 269 Caso geral....................................................................................................................... 270 § 18.03 – Redução dos tetrádicos de uso em Elasticidade. .............................................................. 275 Autovalores e autodiádicos dos ortotrópicos .................................................................. 275 Autovalores e Autodiádicos do tetrádico transversalmente isotrópico. .......................... 276 Autovalores e autodiádicos do tetrádico isotrópico ........................................................ 277 Compatibilidade de resultados ....................................................................................... 278 §19 – A DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE 2H-ÁDICOS .................................................................. 279 Sobre as leis físicas lineares ........................................................................................... 279 §19.01 – Leis do tipo: b=.a, ou vetor=diádico . vetor ................................................................... 281 Um teorema fundamental ............................................................................................... 283 Uma solução para o problema com medidas perturbadas............................................... 284 Aplicação numérica considerando pequenas perturbações ............................................. 284 Ampliação do método .................................................................................................... 285 Um exemplo numérico ................................................................................................... 287 Resumo e conclusões ..................................................................................................... 288 §19.02 – Leis do tipo: β= 4:α, ou diádico=tetrádico : diádico ....................................................... 289 Sobre as leis físicas do tipo β= 4:α ............................................................................... 289 §20 – SOBRE AS LEIS FÍSICAS NÃO LINEARES ........................................................................................ 290 §20.01 - Isotropias ......................................................................................................................... 290 §20.02 - Anisotropias ...................................................................................................................... 294 APÊNDICES..................................................................................................................................................... 301 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................... 309 CAPÍTULO V POLIÁDICOS COMPLEXOS VETORES COMPLEXOS E DIÁDICOS REAIS Da necessidade dos vetores complexos .......................................................................... 313 Geometria dos vetores complexos .................................................................................. 315 § 01 – IDÉIAS PRIMÁRIAS ............................................................................................................................ 315 § 01.01 – Definições........................................................................................................................ 315 § 01.02 – Elipse direcional de um vetor complexo. ......................................................................... 316 Rememorando conceitos relativos à elipse. .................................................................... 316 Elipse direcional e elíptico direcional. ........................................................................... 317 § 01.03 – Oposto e conjugado de um vetor complexo. .................................................................... 319 Oposto do vetor complexo ............................................................................................. 319 Conjugado do vetor complexo. ...................................................................................... 319 § 01.04 – Vetores complexos coplanares oblíquos e paralelos. ....................................................... 320 § 01.05 – Vetores complexos ortogonais. ........................................................................................ 323 Complexos polares recíprocos coplanares e elipses polares recíprocas. ......................... 323 Complexos coplanares ortogonais .................................................................................. 325 Determinação dos eixos de elipses polares recíprocas .................................................... 327 Complexos não coplanares ortogonais ........................................................................... 328 Complexos ortogonais e sistemas recíprocos no espaço ................................................. 330 § 01.06 – Vetores complexos oblíquos. ........................................................................................... 331

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XII § 01.07 – Exercícios. ....................................................................................................................... 331 Álgebra dos vetores complexos. ..................................................................................... 332 § 02 – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ........................................................................................................ 332 § 02.01 – Adição de vetores complexos. ......................................................................................... 332 § 02.02 – Multiplicação de vetor complexo por número complexo ................................................. 333 § 02.03 – Norma e Módulo de vetor complexo ............................................................................... 335 Vetor complexo unitário e unitário de um vetor complexo ............................................ 335 § 02.04 – Forma binomial dos vetores complexos ........................................................................... 336 § 02.05 – Interpretação geométrica do produto Zz. ......................................................................... 337 Produto e-iz ................................................................................................................... 337 O produto Zz e a definição de complexos paralelos ....................................................... 339 § 02.06 - Axial e fásico de um vetor complexo ............................................................................... 339 § 03 – MULTIPLICAÇÕES DE VETORES COMPLEXOS, PONTEADA E CRUZADA .............................. 341 § 03.01 - Produtos ponteado e cruzado ............................................................................................ 341 § 03.02 - Paralelismo e ortogonalidade de complexos em forma algébrica. .................................... 344 § 03.03 – Produto misto de complexos ............................................................................................ 346 Propriedades ................................................................................................................... 346 § 03.04 – Nulidade do produto misto de complexos ....................................................................... 347 Caso de fatores complexos paralelos .............................................................................. 347 Caso de complexos coplanares ....................................................................................... 347 Caso de complexos não coplanares ................................................................................ 348 § 04 – IDENTIDADES COM VETORES COMPLEXOS ................................................................................ 352 § 05 – VETORES COMPLEXOS RECÍPROCOS ........................................................................................... 354 § 05.01 – Produto cruzado de dois produtos cruzados..................................................................... 354 § 05.02 – Vetores complexos recíprocos. Bases. ............................................................................. 355 § 05.03 – Representações cartesianas diversas. ............................................................................... 356 DIÁDICOS COMPLEXOS E TETRÁDICOS REAIS § 06 – ÁLGEBRA E GEOMETRIA DOS DIÁDICOS COMPLEXOS ............................................................ 358 Idéias primárias .............................................................................................................. 358 § 06.01 – Definições........................................................................................................................ 358 § 06.02 – Operações com um diádico complexo. ............................................................................ 359 § 06.03 – Elipsóide direcional de um diádico complexo. ................................................................ 361 § 06.04 – Diádicos complexos paralelos e perpendiculares. ............................................................ 362 § 06.05 – Diádicos complexos esféricos e Trigonometria Esférica. ................................................ 363 §07 – POLIÁDICOS COMPLEXOS ................................................................................................................ 369 §08 – AUTODIÁDICOS DOS TETRÁDICOS CÍCLICO E ROTAÇÃO ......................................................... 370 § 09 - REDUÇÃO NORMAL DO TETRÁDICO COMPLETO. ...................................................................... 373 §09.01 - Teoremas fundamentais. Definições. ................................................................................. 373 §09.02 - Marcha de cálculo da redução normal. .............................................................................. 376 §09.03 - Tetrádico reto. Deformação pura. ...................................................................................... 376 §09.04 - Tetrádico reto e deformação de um corpo. ........................................................................ 377 § 10 - DECOMPOSIÇÃO POLAR DO TETRÁDICO COMPLETO ............................................................... 377 § 11 – TETRÁDICOS DEFINIDOS E SEMIDEFINIDOS, POSITIVOS E NEGATIVOS ............................... 380

APÊNDICES APÊNDICE I..................................................................................................................................................... 383 SOBRE OS NÚMEROS COMPLEXOS. ......................................................................................................... 383 §I.01 – Definição, notação............................................................................................................... 383 §I.02 – Adição e multiplicação por número real. ............................................................................. 383 §I.03 – Forma binomial. .................................................................................................................. 384 §I,04 – Conjugado de um complexo. ............................................................................................... 384 §I,05 – Multiplicação de complexos. Norma e módulo. .................................................................. 384 §I,06 – Divisão de complexos. Inverso. ........................................................................................... 384 §I,07 – Diagrama de Argand de um complexo. ............................................................................... 385 §I,08 – Forma polar ou exponencial de um complexo. .................................................................... 386


XIII

APÊNDICE II ................................................................................................................................................... 389 OSCILAÇÕES MECÂNICAS (noções)............................................................................................................ 389 §II.01 – Movimento circular uniforme. ........................................................................................... 389 §II.02 – Um movimento oscilatório associado ao circular uniforme. .............................................. 390 §II.03 – Movimentos oscilatórios harmônicos livres (MOH’s). ....................................................... 392 Movimento vibratório harmônico .................................................................................. 392 Movimento pendular harmônico .................................................................................... 392 §II.04 – Energia no MOH livre. ....................................................................................................... 393 §II.05 – Os números complexos e a composição de MOH’s livres, de mesma direção. .................. 394 Composição de MOH’s livres, de mesma direção .......................................................... 395 §II.06 – Análise Harmônica. ............................................................................................................ 397 §II.07 – MOH’s amortecidos. .......................................................................................................... 398 §II.08 – MOH forçado. .................................................................................................................... 400 §II.09 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de mesma freqüência, mas de diferentes direções. ............................................................................... 404 §II.10 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de diferentes freqüências e diferentes direções. ........................................................................................ 405 APÊNDICE III .................................................................................................................................................. 411 CURVAS POLARES RECÍPROCAS (noções). ............................................................................................... 411 §III.01 – Razão anarmônica de quatro pontos colineares................................................................. 411 §III.02 – Curvas polares recíprocas. ................................................................................................ 412 §III.03 – Notas sobre a inversão ...................................................................................................... 414 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................... 418 ÍNDICE REMISSIVO ....................................................................................................................................... 419

Tomo I, Volume I: Capítulo I – Vetores Capítulo II – Diádicos Capítulo III – Geometria das Transformações Lineares

Tomo II: Capítulo VI – Análise poliádica Capítulo VII – Campos de poliádicos

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XIV


CAPÍTULO IV

POLIÁDICOS § 01 - POLIÁDICOS DE VALÊNCIA P. § 01.01 - Vetores e diádicos. A pista para a generalização dos conceitos estudados nos capítulos anteriores (volume I) está bem visível. A primeira generalização deve dar-se em relação às entidades; a segunda, em relação às operações com essas entidades. A entidade admitida conhecida, e introduzida na exposição sem maiores referências, é o número real. A partir de conceitos geométricos elementares, criamos uma segunda entidade: o vetor (§01,Cap.I,Vol.I). Com a concepção da multiplicidade linear vetorial e a da independência linear de vetores (§04,Cap.I,Vol.I), demos aos vetores uma expressão cartesiana geral, exposta na forma seguinte:

r :

r  (r. g i )g i  (r. g i )g i ,

(i=1,2,..., N e N=1, ou 2, ou 3),

(01),

onde os gi e os gi constituem sistemas recíprocos (§03,Cap.I,Vol.I), e os números reais r.gi e r.gi, as coordenadas cartesianas contravariantes e covariantes de r. A partir do conceito de vetor de um EN, como se caminhássemos passo a passo, criamos os diádicos (§02.01,Cap.II,Vol.I), e demos a eles: 1°)- uma representação (reduzida) denominada N-nomial (§02.07,Cap.II,Vol.I), exposta na forma

 :   a i g i  b j g j ,

(i,j=1,2, ...,N),

(02),

onde os gi e gi (no caso, os conseqüentes de ) constituem, ainda, sistemas recíprocos; e os ai e os bj (no caso, os antecedentes de ), vetores determinados; 2) - uma representação N2nomial, mais apropriadamente denominada representação cartesiana, e escrevemos:

 :

  ijgig j  ijgig j  i jgig j  i jgig j ,

(021),

onde os ij , ij etc. são números reais1. Não é demais relembrar que, tanto a representação N-nomial quanto a N2-nomial, são gerais e sempre possíveis.

1Essa representação é, também, denominada redução N2-nomial; mas a denominação redução é errônea uma vez que ela apresenta nove díades, isto é, o triplo das díades da redução N-nomial; logo não há redução. Gibbs denominou-a de fundamental certamente por causa da sua utilidade nas aplicações numéricas, onde intervem as coordenadas cartesianas dos vetores do motivo do diádico (§02.07,Cap.II,Vol.I).

Poliádicos - Ruggeri


2

§ 01 - Poliádicos de valência P.

§ 01.02 - Geração de triádicos. Consideremos, agora, um conjunto de S vetores de um EN, que representaremos por

{v1, v2 , ... , vi , ... vS} , e um conjunto de S diádicos gerados do mesmo EN, que representaremos por

{1 ,  2 , ...,  i , ..., S } , entre os quais, por hipótese, esteja estabelecida a correspondência

 i , i  1,2, ..., S

i  v i ,

(01).

Definições: (tríades, triádicos) As entidades representadas simbolicamente pela justaposição de um diádico com um vetor, em qualquer ordem, são ditas tríades binárias. A soma simbólica das tríades binárias formadas com elementos correspondentes de um conjunto de diádicos e um conjunto de vetores,

1v1  2 v 2  ... S vS , ou v11  v 22  ... vSS ,

(02).

é denominada triádico. Assim, ivi e vi i (observe as somas indicadas em i) são triádicos do conjunto dos vetores vi (de um EN) e do conjunto dos diádicos i (gerados do mesmo EN). Da esquerda para a direita, em tríades binárias, as entidades encontradas são ditas os antecedentes do triádico; da direita para a esquerda, são ditas os conseqüentes do triádico. Notação: Os triádicos serão representados por letras gregas (maiúsculas ou minúsculas), em negrito, em cujo canto superior esquerdo se disporá o número 3 (como um sobre índice): 3, 3, 3 etc.. Então, com os conjuntos atrás referidos, podemos gerar os triádico 3  

i

vi e

3  vi

i ,

(i 1,2, ...,S) ,

em geral distintos. A escrita (03) será dita polinomial. § 01.03 - Geração de tetrádicos. Consideremos agora dois conjuntos de S diádicos, representados por

{1,  2 , ... ,  i , ... , S} e {1, 2 , ... , i , ... S}, ou um conjunto de triádicos e um conjunto de vetores,

IV,§ 01.03

(03),


§ 01.04 - Geração de poliádicos. Valência.

3

{3 1,3 2 , ... ,3  i , ... ,3 S} e {v1, v2 , ... , vi , ... vS} , entre os quais, por hipótese, esteja estabelecida a correspondência

 i , i  1,2, ..., S

 i   i , ou

3

i  vi .

Tal como anteriormente, as entidades representadas simbolicamente pela justaposição de dois diádicos, ou de um triádico e um vetor, em qualquer ordem, serão denominadas tétrades binárias. A soma simbólica das tétrades binárias formadas com elementos correspondentes de dois conjuntos de diádicos, ou de um conjunto de triádicos e um de vetores, é denominada tetrádico; escrevemos: 4 4

 i i e

4

3 i v i e

4

 i i ,

  vi

3

(i  1,2, ... ,S) ,

i ,

(i  1,2, ..., S) ,

(01), (02).

Assim, i i e i i são tetrádicos dos conjuntos dos diádicos i e i , bem como 3  v i e v i 3 são tetrádicos dos conjuntos de triádicos 3  e vetores v i . Da esquerda i i i para a direita, nas tétrades binárias, as entidades encontradas são ditas os antecedentes do tetrádico; da direita para a esquerda, são ditas os conseqüentes do tetrádico. As escritas (01) e (02) são ditas polinomiais. § 01.04 – Poliádicos: geração, notação, nomenclatura. Os vetores, os diádicos, os triádicos etc. são denominados, em geral, poliádicos. Diremos que 1 é a valência ou a ordem dos vetores (que seriam ditos, ainda, uniádicos ou monádicos); 2 é a valência dos diádicos, 3 a dos triádicos etc. Um poliádico de valência P será também denominado um P-ádico quando tivermos interesse em especificar a sua valência. Na forma de P-ades binárias, um P-ádico assim será representado: P   P 1  P-1

i

vi e

P   v i P 1 

i,

(i = 1,2, ..., S),

(01),

e P-1i sendo poliádicos de valência P-1. Quando houver perigo de confusão deveremos usar a seguinte representação equivalente, i

P

 ( P1 i ) vi e

P 

vi ( P1i ) ,

(i = 1, 2, ..., S),

(02),

com a finalidade de explicitar os poliádicos (antecedentes ou conseqüentes) de valência P-1. Podemos, com facilidade, definir (P + Q)-ades binárias por meio de um conjunto dado de P-ádicos, P, com um conjunto de Q-ádicos, Q, postos em correspondência. Somando (simbolicamente) os produtos justapostos desses poliádicos em diferentes ordens, obteremos os dois poliádicos seguintes, distintos em geral, mas ambos da mesma valência, P + Q:

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§ 02 - Operações fundamentais.

4 P Q

  P i Q  i e

P Q

  Qi

P

i ,

(i  1,2, ..., S) ,

(03),

ou, ainda, quando quisermos destacar os poliádicos antecedentes e conseqüentes das P + Q ades binárias: P Q 

 ( P  i )(Q i ) e

P Q 

 (Q i )( P  i ),

(i  1,2, ... ,S) ,

(04).

É evidente que a expressão (04) engloba todas as anteriormente apresentadas, isto é, (04) é a expressão geral da composição de poliádicos em produto direto, em forma binária. Como um P-ádico pode, então, conforme (04), ser gerado de dois outros poliádicos cujas somas das valências seja P, digamos, P  i  R k S k i , com P=R+S e k=1,2, ...,T, escrevemos também2: P Q 

RSQ 

 R k Sk i Qi ,

(05).

Em (05) temos, assim, somas simbólicas de (R+S+Q)-ades ternárias (políades ternárias). Agora, fica evidente o meio de representação de poliádicos em geral, nas formas de somas simbólicas de políades n-árias (n, qualquer, finito). Aos poliádicos podemos dar representações binárias, ternárias, quaternárias etc., isto é, pares e ímpares. Nas representações pares os poliádicos encontrados na metade das políades da esquerda para a direita são ditos os antecedentes do poliádico (e diremos: os primeiros antecedentes, os segundos antecedentes etc.); os poliádicos encontrados na outra metade das políades da direita para a esquerda são ditos os conseqüentes do poliádico (e diremos: os primeiros conseqüentes etc.). Nas representações ímpares a nomenclatura é a mesma das pares, mas os poliádicos que separam as duas metades de cada políade recebem o nome de medianos. Para i>3 as escritas dos poliádicos são ditas polinomiais.

§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. § 02.01- Multiplicação de poliádico por número real. Produto de triádico por número real. Definição: Chama-se produto do triádico, 3

  i vi ou

3 

vi  i ,

(i  1,2, ... ,S) ,

pelo número real M, e representa-se por M 3, ou 3 M, o triádico que se obtém efetuando-se as somas simbólicas de todas as suas tríades cujos diádicos ou vetores componentes sejam multiplicados por M, ou, ainda, cujos diádicos e vetores sejam multiplicados por fatores de M.

2 A representação P   R k S i

ki

se justifica porque para dado valor de i o poliádico correspondente, P  , i

é, por hipótese, gerado de dois outros conjuntos de poliádicos (um de valência R, outro de valência S), a somatória em k estendendo-se de 1 até o número de poliádicos que compõe esses dois conjuntos (no caso, T).

IV,§ 02.01


§ 02.02 - Adição de poliádicos.

5

Assim, 3

  i v i (i  1,2, ... ,S), M  AB   M 3  ( M  i ) vi   i ( M vi )  (A  i )( Bvi ) ,

(01);

analogamente, 3 

vi i (i  1,2, ... ,S), M  AB   M 3  vi ( M i )  ( M vi ) i  ( B vi )(A i ) ,

(011).

A multiplicação de triádico por número real é a operação que tem por fim gerar o triádico produto. É operação sempre possível e unívoca. O triádico M 3 será dito paralelo a 3. Produto de poliádico por número real. De próximo em próximo podemos formar os produtos de número real por tetrádico, pentádicos etc. para obter os poliádicos correspondentes paralelos aos iniciais. Genericamente, para P  Q   P i Q i com i=1,2,...,V, escreveremos:

M PQ   (M P i ) Q i  P i (M Q i )  (A P i ) (B Q i ) , ou, ainda, se M = A B C e

R S Q

  R k S ki

Q

(02),

i para k=1,2,...,T e i=1,2,...,V),

M R S Q  (A R k )(B S ki )(C Q i ) ,

(021).

Essa operação goza das mesmas propriedades da multiplicação de diádicos por número real (§02.02,Cap.II,Vol.I). § 02.02 - Adição de poliádicos. Soma de poliádicos Chama-se soma de poliádicos de mesma valência, e dados na mesma forma binária, ao poliádico cujas políades binárias sejam as somas simbólicas das políades binárias dos poliádicos parcela. Resulta, logo, que o poliádico soma tem a mesma valência que as parcelas; diremos, eventualmente, que eles são homovalentes. A adição poliádica de poliádicos é a operação que tem por fim gerar o poliádico soma desses poliádicos. Essa operação é sempre possível, unívoca e goza, ainda, das mesmas propriedades da adição de diádicos (§04,Cap.II,Vol.I).

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§02 - Operações Fundamentais.

6

Combinação linear de poliádicos Estabelecidas as definições de adição e de multiplicação por número real, podemos definir o conceito de combinação linear poliádica pela expressão (polinomial): P

  A 1 ( P  1 )  A 2 ( P  2 )  ...  A i ( P  i ) (i = 1, 2, ..., S) ,

(02),

ou, ainda, não havendo perigo de confusão, na forma equivalente, P

  A 1 P  1  A 2 P  2  ...  A i P  i (i = 1, 2, ..., S) ,

(021).

§ 02.03 - Multiplicação ponteada entre poliádico e vetor. Chama-se produto pontuado, ou ponteado, anterior (posterior) do triádico   i v i (i  1,2, ...,S) pelo vetor v, e representa-se por 3. v (v . 3), lendo-se triádico fi ponto v (v ponto triádico fi), o diádico definido pela expressão: 3

3

 . v   i ( v i . v ) ou v.3   ( v.  i ) v i ,

(i  1,2, ... ,S) ,

(01).

A multiplicação ponteada de triádico por vetor é a operação que tem por fim gerar o produto ponteado dos mesmos, na ordem estabelecida. É uma operação sempre possível e unívoca. Essa operação goza, ainda, das mesmas propriedades da multiplicação ponteada entre diádicos e vetores, destacando-se: 1) - o produto ponteado de qualquer triádico pelo vetor nulo é o diádico nulo; 2) - a operação é associativa em relação a fatores escalares e distributiva em relação à adição de vetores:

M( 3  . v)  3  . ( Mv)  ( M 3  ). v

e

3

 . (a + b + ...) 3  . a + 3  .b + ... ,

(02).

3) - não é comutativa, isto é 3

 . v  v. 3  ,

(03),

o que é evidente pelas (01).

Produto ponteado de poliádico por vetor De próximo em próximo (com o aumento da valência dos poliádicos) podemos escrever, genericamente:

 v, P  

IV, § 02.03

P1

i

vi :

P

. v  ( P1)i ( vi . v)

e

v .P   ( v .P1 i ) vi ,

(04).


§02.03 - Multiplicação ponteada entre poliádico e vetor.

7

A multiplicação ponteada de poliádico por vetor é a operação que tem por fim gerar o produto ponteado do poliádico pelo vetor. É uma operação sempre possível e unívoca, não sendo difícil comprovar que ela goza, ainda, das mesmas três propriedades anteriormente apontadas para os triádicos. Função linear de argumento (ou variável) vetor e valor diádico Pela expressão (01), considerando 3 independente do vetor (agora, variável) v, podemos conceber a função linear de valor diádico e de argumento vetor, ( v ) , isto é, uma função que transforme, de alguma maneira, um vetor num diádico, com absoluta analogia com a função linear de variável vetor e de valor vetor (§ 01, II). Escrevemos, simbolicamente,

 v  Vi v i :

( v )  (V i v i )  V i ( v i )

(i  1, 2, ..., N)

(05).

A mesma concepção é válida no sentido inverso, isto é, se v for independente dos diádicos (agora, variáveis) i. Função linear de argumento vetor e valor poliádico Pela primeira expressão (04), P .v ( P 1)i ( v i .v) , podemos, analogamente, conceber a função linear de valor poliádico e de argumento vetor:

 v  Vi v i :

P

 ( v )  P  (V i v i )  V i [ P  ( v i )]

(i  1, 2, ..., N) ,

(06),

onde, relembramos, N – a dimensão do espaço dos vetores - deve valer 1, ou 2, ou 3. Assim, a função linear poliádica age como um operador, transformando um vetor num poliádico. Teor. 1: Uma função de argumento vetor e valor poliádico, gerados na reta (N=1), no plano (N=2) e no espaço (N=3), fica perfeitamente determinada se são conhecidos os seus valores (poliádicos) para um vetor não nulo, dois vetores não paralelos e três vetores não coplanares, respectivamente. Com efeito, se, por exemplo, P-1i são três (P-1)-ádicos supostos conhecidos, valores das funções poliádicas P-1(vi) de três vetores independentes, vi, isto é, P1  i  P1 ( v i ) , então, para qualquer vetor v = Vi vi , é, conforme (05), P1

 ( V i v i )  V i [ P1  ( v i )]  V i ( P1  i ) ,

isto é, está determinada a função P-1(...) porque são conhecidos os Vi e os P-1i. Tal como demonstramos para os diádicos (§02.04,Cap.II,Vol.I), podemos demonstrar o seguinte Teor. 2: Qualquer poliádico, quando usado como pré ou como pós-fator em multiplicação ponteada por vetor, é operador de uma transformação linear;

Poliádicos – Ruggeri


§02 - Operações Fundamentais.

8

reciprocamente, toda transformação linear sobre vetores (na reta, no plano ou no espaço) pode ser univocamente representada por um poliádico para ser usado como pré ou pós-fator. O teorema direto é de demonstração evidente em vista da definição de multiplicação ponteada de poliádico por vetor. Reciprocamente, se P1( ) é uma função linear poliádica, determinada pelo conhecimento dos (P-1)-ádicos P1  i , transformados dos vetores independentes ai, tem-se: P1

(ai ) 

P1

i 

P1

 ji j 

P1

 j (a j . ai )  ( P1 ja j ). ai

(i, j  1, 2, ..., N) .

Assim, denotando por P o poliádico dentro dos parênteses no último membro - poliádico este, conhecido, porque são conhecidos, por hipótese, os seus antecedentes e os seus conseqüentes - podemos escrever: P1(ai )  P . ai (i  1, 2, ..., N) . Como podemos escrever, também: P1

(ai ) 

P1

i  i j ( P1 j )  (ai . a j )

P1

 j  ai . [a j ( P1 j )] (i, j  1, 2, ..., N),

resulta, denotando-se por P o poliádico dentro dos colchetes no último membro: P1

(ai )  ai .P 

(i  1, 2, ..., N) .

Corol. 1: Um P-ádico, gerado de um espaço N-dimensional de vetores EN, fica perfeitamente determinado quando são conhecidos os seus produtos ponteados ((P-1)-ádicos) por N vetores independentes, quaisquer, desse espaço:

v i independentes

P 1 P    i  . vi   P1 P    j  v j.  

P

 ( P1 i ) v i

P

 v j ( P1 j )

,

(07).

Esses conceitos serão ampliados no § 06.04. § 02.04 - Igualdade de poliádicos. Definição: (poliádicos iguais) Dois P-ádicos, P e P, são ditos iguais, e se escreve P = P (lendo-se: Pádico fi igual a P-ádico psi) se, nas mesmas condições de multiplicação ponteada (anterior ou posterior), transformam um mesmo e qualquer vetor em (P-1)-ádicos iguais3: 3 Esta é uma "definição por recorrência", isto é, pressupõe conhecido o conceito de igualdade de dois poliádicos homovalentes, mas de valências menores que P. Em outras palavras, para que sejam definidos triádicos iguais é necessário o conhecimento do que sejam diádicos iguais etc.

IV, § 02.04


§ 03.01 - Representações N-nomiais de triádicos.

P

 P .v  P .v   P   v   P P , v .   v . 

9

(01).

Teor. 1: A multiplicação direta de diádico por vetor é distributiva em relação à adição de diádicos e de vetores: 3

 (Ai  i )( B j b j )  Ai B j  i b j,

(02).

Com efeito, para qualquer v, tem-se: 3 . v

 (Ai i )[( B jb j ). v]  (Ai i )[ B j (b j . v)] .

Ora, A i i é uma soma de diádicos e B j (b j . v) é uma soma de produtos de escalares. Como a operação de multiplicação de diádico por número é distributiva em relação à adição de diádicos e à adição de números, e associativa em relação à multiplicação por números, podemos escrever: 3. v  (Ai B j i )(b j . v) . Agora, lembrando a definição ((01), § 02.03), escrevemos, ainda: 3 . v

 (Ai B j ib j ). v ,

no segundo membro sendo imutáveis as ordens dos vetores e diádicos entre parêntesis. Mas as somas indicadas entre parêntesis representam um triádico porque são somas de produtos diretos de diádicos por vetores. Como v é um vetor qualquer, a expressão (01), tradutora da igualdade de poliádicos, implica a veracidade de (02). Corol. 1: A multiplicação direta de poliádico por poliádico é distributiva em relação à adição de poliádicos: P+Q 

 (Ai P i )( B jQ j )  Ai B j P iQ j ,

(021).

§ 03 - REPRESENTAÇÕES Ni-NOMIAIS DE POLIÁDICOS. § 03.01 - Representações N-nomiais de triádicos. Consideremos, inicialmente, os triádicos representados nas formas ((03), § 01.01), isto é, 3

  i vi e

3 

vi i ,

(i  1,2, ... ,S) ,

(01).

Se {g*} e {g*} são sistemas de vetores recíprocos de EN, podemos escrever:

vi  Vi kgk  Vi kgk , (k  1,2, ..., N) , e, então, em vista da definição de produto de triádico por número real e de ((02), §02.04):

Poliádicos – Ruggeri


.§ 03 - Representações Ni -nomiais de poliádicos.

10 3

  i ( Vi kgk )  ( Vi k  i )gk e

3

  i ( Vi kgk )  ( Vi k i )gk , (i  1,2, ... ,S) .

Considerando que as expressões entre parênteses nos últimos membros das igualdades anteriores são combinações lineares de diádicos (§ 02.02), poderemos por 4

Vi k i   k

e

Vi k i   k ;

então: 3

  k gk   k gk

(k  1,2,..., N) .

É evidente que existem relações entre os diádicos k e  k, pois, das igualdades acima podemos deduzir, operando com os vetores recíprocos (§ 03, I):

 j  G k j k , e sua inversa,  j  Gi ji , com Gjk=gj.gk e Gij=gi.gj ,

(02).

Poderíamos obter resultados análogos para o triádico 3, dado por (01)2. Consideremos, agora, as 4 únicas reduções N-nomiais (§ 02.07, II) de cada um dos diádicos k e  k. Ponhamos, para r,k = 1,2, ..., N nos dois sistemas recíprocos {f  },{f  } e {e },{e }:

 k  a r kf r  a r kf r  er ck r  er ckr ,

(03),

k  br kf r  br kf r  er dkr  er dk r ,

(031).

e

Então, podemos escrever:

  kgk  (a r kf r )gk  (a r kf r )gk  (er ck r )gk  (er ckr )gk

3

e

  kgk  (br kf r )gk  (br kf r )gk  (er dkr )gk  (er dk r )gk ,

3

expressões nas quais o uso dos parêntesis é irrelevante. Com efeito, temos, por exemplo:

r: r.3   (r. a r k )f r gk  r. [(a r kf r )gk ]  r. [a r k (f r gk )], isto é,

  ( a r k f r )g k  a r k ( f r g k ) .

3

Então,

  kgk  a r kf r gk  a r kf r gk  er ck r gk  er c kr gk ,

3

(04),

4 Notar que k (letra latina minúscula) é um índice. Os expoentes de potências são representados por latinas maiúsculas. Assim, a potência P de k se escreve ( k ) P .

IV, § 03.01


§ 03.01 - Representações N-nomiais de poliádicos.

11

e

  kgk  br kf r gk  br kf r gk  er dkr gk  er dk r gk ,

3

(041).

Notemos, por outro lado, que, por exemplo, c krg k  d kr g k , porque das (02) escrevemos:

er . k  (er . i )Gi k e, logo: (er . k )gk  (er . i )gi . Agora, considerando as (03) e as (031), comprovamos logo a tese. Analogamente comprovaríamos que ckr gk  dk r gk . Então, pondo

 r  ck r gk  dr kgk

e

r  ckr gk  dr kgk ,

teremos novas representações para o triádico 3, na forma de somas de N tríades binárias: 3

r

r

  er   e r

(r  1,2,..., N) .

Em resumo: 3

   k gk   k gk  e r  r  e r  r ,

(r,k=1,2,...,N)

(05).

É evidente que em todas as representações poderíamos adotar uma única base vetorial e sua recíproca, digamos {g*} e {g*}, caso em que essas representações seriam escritas apenas em função dos vetores dessas bases. Então: Teor. 1: Todo triádico gerado de um EN pode ser expresso de quatro, e apenas de quatro, maneiras distintas, mas únicas, como uma soma de N tríades binárias de que antecedentes ou conseqüentes sejam N vetores independentes de EN. Definição: As expressões (05) às quais se reduzem um triádico 3 denominam-se reduções N-nomiais do triádico. Os diádicos k,  k, r e r são ditos os diádicos motivo do triádico nas respectivas bases. Diremos, também, por isso, que nas formas (05) os triádicos estão diadicamente escritos. Teor. 2: Se numa representação trinomial de um triádico, dois diádicos motivo são não paralelos, existe uma segunda redução trinomial em que dois diádicos motivo são os mesmos não paralelos da primeira redução, mas, agora, perpendiculares ao terceiro.

Poliádicos - Ruggeri


§ 03 - Representações Ni -nomiais de poliádicos.

12

Com efeito, consideremos a redução N-nomial do triádico arbitrário 3 em relação a um terceto de vetores não coplanares {e*}, 3   1e1   2e 2  3e3 em que, por hipótese,

1 não é paralelo a 2. Pelo Teor. 9,§10.02,Cap.II, existem números M 1 e M2, e um diádico  3 perpendicular a 1 e a 2 tais que 3  M11 + M 2 2   3 . Então 3

  1 (e1  M1e3 )   2 (e 2  M 2e3 )   3e3 ,

ou 3

  1u1   2u 2   3u3 , com u1  e1  M1e3 , u 2  e 2  M 2e3 e u 3  e3 .

Sendo

(e1  M1e3 )  (e 2  M 2e3 ) . e3  (e1e 2e3 ) , concluímos que os vetores u1, u2 e u3 são não coplanares e que a expressão 3    i u i é uma autêntica redução trinomial; o que comprova o teorema. § 03.02 - Representações N2-nomiais de triádicos. Se, ainda, considerarmos que os diádicos motivo r e r podem ser escritos nas formas

 r  f kmk r  f kmkr e r  f knkr  f knk r ,

(01),

então, das (04) e (041), § 03.01 e de (01) escreveremos 3 nas 12 formas alternativas seguintes, únicas e distintas, constituindo três grupos: 1 grupo:

  br k f r gk  br k f r gk  a r k f r gk  a r k f r gk ,

(021),

  er ckr gk  er ck r gk  er dr kgk  er drkgk ,

(022),

  er f kmk r  er f kmkr  er f knk r  er f knkr ,

(023).

3

3

2 grupo: 3 grupo:

3

Definição: Qualquer uma das 12 diferentes expressões a que se reduz um triádico, representadas em (021), (022) ou (023), denomina-se redução N2-nomial desse triádico, nomenclatura esta que se justifica pelo fato de cada forma apresentar N2 parcelas. Em cada uma destas 12 novas formas de representação de um mesmo triádico, todas as parcelas são justaposições de três vetores; são tríades ternárias (§01.04). Então, triádicos são, também, somas simbólicas de (no máximo) N2 tríades ternárias. Em cada tríade, dois dos vetores são, necessariamente, vetores (independentes) de dois sistemas de vetores recíprocos (idênticos ou distintos). O terceiro vetor em cada tríade (com dois índices) está ligado ao motivo de cada diádico motivo; em seu conjunto, são ditos os vetores motivo do triádico. Por isso, diremos que um triádico, posto sob qualquer uma das formas (02), está vetorialmente (ou monadicamente) escrito.

IV, § 03.02


§ 03.03 - Representações N3-nomiais de triádicos.

13

§ 03.03 - Representações N3-nomiais de triádicos. Se, finalmente, considerarmos que os vetores motivo do triádico (aqueles representados com dois índices nas formas N2-nomiais) podem ser convenientemente decompostos cartesianamente em relação a novas bases recíprocas, obteremos novas representações para o triádico. A forma N2-nomial br kfr gk, por exemplo, dará, em relação aos sistemas recíprocos {e*} e {e*} (do mesmo EN de que os sistemas {f*}, {f*} e {g*}, {g*} são bases):

  Bi r keif r gk  Bir keif r gk ,

(011),

Bi r k  ei .br k e Bir k  ei .br k ,

(01).

3

sendo

Operando analogamente com as demais representações, obteremos para 3 um total de 12  2 = 24 representações do tipo (011). Três são os grupos de 4 representações N2-nomiais de um triádico (§03.02): aqueles em que os vetores motivo aparecem como primeiros antecedentes, como primeiros conseqüentes e como medianos. Cada representação N2-nomial dá duas novas representações que assim podem ser escritas: - do primeiro grupo:

A i r k eif r g k  A ir k eif r g k  A i rk eif r g k  A ir k eif r g k  ,

A

irk

ei f r g k 

A ir k eif r g k

A ir k eif r g k

(021);

A i rk eif r g k ;

- do segundo grupo:

B

rki

er f kgi  B

rk i e f g i r k

ir

k

r

k

i

 B k er f gi  B k ier f g  ,

i r k Br k e f g i

r

k

i

 Br k i e f g 

ki B r

r

k

r

(022);

i

e f k g i  Br i e f k g ;

- do terceiro grupo: ik r

k r i

Cr e figk  Cr i e f gk  C i

r

k

r i

k

rik

 Cr ke fig  Cr i ke f g  C

ri

erfigk  C k

r k i erf gk i

e fg C

r

k r i

i

e f g

k

 ,

(023).

ik r

É fácil ver que cada grupo contém uma representação do mesmo tipo, sendo, pois, idênticas. É o caso, por exemplo, das representações:

A i r k ei f r g k ,

Br k i er f k gi ,

Cr i k e r f ig k etc.

A ir k eif r g k , Br k i er f k gi , Cri k er f ig k

Poliádicos - Ruggeri


§ 03 - Representações N3-nomiais de poliádicos.

14

Teremos, portanto, um total de 8 representações distintas. Isto, de certa forma, poderia ser previsto porque essas representações deveriam ser tantas quantas fossem as diferentes posições que os três índices podem assumir nos dois níveis, ou seja, 2 3 = 8. Definições: Qualquer uma das 8 diferentes expressões (02), à qual se reduz um triádico, denomina-se uma representação N3-nomial desse triádico. Os coeficientes numéricos das tríades ternárias dessas representações são ditos as coordenadas cartesianas do triádico no terceto de bases recíprocas adotado. Diremos, também, que numa qualquer das formas (02), o triádico está cartesianamente escrito. Tal como no caso dos diádicos, as coordenadas cartesianas de um triádico serão ditas: triplamente contravariantes (como Aijk), triplamente covariantes (como Aijk), uma vez contravariante e duas vezes covariante (como Aijk), uma vez contravariante, uma vez covariante, outra vez contravariante (como Aijk) etc.. Em vista das definições e das deduções feitas, podemos enunciar: Todo triádico pode ser (cartesianamente) escrito como uma combinação linear de N3 tríades ternárias cujos coeficientes são as suas coordenadas em relação aos sistemas recíprocos constituídos pelos seus antecedentes, medianos e conseqüentes. § 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos. Com um raciocínio análogo ao desenvolvido no caso dos triádicos, podemos comprovar que: 1) - os tetrádicos têm: - 4 representações N-nomiais distintas em que os motivos são triádicos, - 3 2 2 = 12 representações N2-nomiais distintas em que os motivos são diádicos, - 4  2 3 = 32 representações N3-nomiais distintas em que os motivos são vetores, e - 2 4 = 16 representações N4- nomiais distintas (ou cartesianas) em que os motivos são escalares. 2) - os pentádicos têm: - 4 representações N-nomiais distintas em que os motivos são tetrádicos, - 3  2 2  12 representações N2-nomiais distintas em que os motivos são triádicos, - 4  2 3 = 32 representações N3-nomiais distintas em que os motivos são diádicos, - 5  2 4 = 80 representações N4- nomiais distintas em que os motivos são vetores, e IV,§ 03.04


§ 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

15

- 2 5 = 32 representações N5- nomiais distintas (ou cartesianas) em que os motivos são escalares. E assim, sucessivamente. Genericamente, um poliádico de valência P tem 221 representações N-nomiais distintas em que os motivos são poliádicos de valência P-1, e que pode ser (P-1)-adicamente escrito; 322 representações N2-nomiais distintas em que os motivos são poliádicos de valência P-2, e que pode ser (P-2)-adicamente escrito; ... etc.; (i+1)2i representações Ninomiais distintas (i < P) em que os motivos são poliádicos de valência P-i, e que pode ser (P-i)-adicamente escrito, isto é, triadicamente, diadicamente, vetorialmente escrito; e 2P representações NP-nomiais (cartesianas) distintas em que os motivos são escalares e que pode ser cartesianamente escrito5. A seqüência

2  21, 3  22 , 4  23 , ...,(i + 1)2i , ...,P  2P 1, 2P dá a quantidade de escritas i-ádicas de um P-ádico, e gera a tabela seguinte, paras P = 1, 2, ...,5:

Quantidade de representações de um poliádico Valência Escrita

1

Cartesiana

2=

Vetorial

2 21

1

Diádica

4=

3 22

8=

4 23

16 =

5 24

32 = 25

4 = 2 x 21

12 = 3 x 22

32 = 4 x 23

80 = 5 x 24

1

4 = 2 x 21

12 = 3 x 22

32 = 4 x 23

1

4 = 2 x 21

12 = 3 x 22

1

4 = 2 x 21

Triádica Tetrádica Pentádica

1

Se {e*} e {e*}, {f*} e {f*}, ..., {g*} e {g*}, {h*} e {h*}, são P - 1 sistemas recíprocos arbitrários de EN, dentre as múltiplas possibilidades podemos escrever, por exemplo: P



P1

 v h , em escrita (P - 1)-ádica,

P



P2

 v g u h , em escrita (P - 2)-ádica

v

u

v

.... 5 O que aqui denominamos (P - i)-adicamente escrito, Drew denomina i-adicamente escrito (Bibl. 1, item 2.8 3).

Poliádicos - Ruggeri


§ 03 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

16

... P

P

p

  jk ... rs ... u v

f j ... n r m s ... g u h v , em escrita diádica,

 ai j k ...sr ... u vei f j ...n r ms ...g u h v , em escrita vetorial,

 A h i j k ... r s ... u v d h ei f j ... n r ms ... g u h v , em escrita cartesiana,

(01),

onde i, j, k, ..., u, v = 1, 2, ..., N (e N = 1, ou 2, ou 3). As escritas (P-1)-ádicas de um poliádico requerem apenas que os vetores presentes nas representações sejam independentes no EN. Teor. 1: Todo poliádico pode ser escrito (P-1)-adicamente com conseqüentes (ou antecedentes) vetores, tais, que um deles seja perpendicular aos outros dois. Pois, no E3, e1 , e 2 e e 3 , com e 3 . e1  e 3 . e 2  0 constituem uma base, e P

  P11e1 

P1 2

 e2 

P1 3

 e3 ,

constituiria uma autêntica escrita (P-1)-ádica do poliádico. Matriz associada a poliádico em base vetorial A cada uma das 16 escritas cartesianas de um tetrádico relativas a um único sistema de vetores recíprocos do E3 (por exemplo), a saber, 4

  A hijke h e i e je k  A hijk e h e i e je k  A hijk e h e i e je k   A hijk e h e i e je k  A hijke h e i e je k  A hi jk e h e i e je k etc.

poderemos associar uma matriz 99 que contenha todas as suas 34 = 81 coordenadas. Para tal vamos imaginar essa matriz subdividida em 9 blocos, ou submatrizes 33. Representando cada bloco pela letra B, acompanhado do primeiro e do terceiro índices faremos as seguintes associações:

4

1) - Se   A

IV,§ 03.04

hijk

e h e i e je k ,

4

 9 9

  B  B    B  B    B  B 

 11  B  21  B  31  B

3

12 3

3 3

3 22 3

3 3

3 32 3

3

3

13 3  3 23 3  3 33 3 

 3


§ 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

17

sendo

B 

hj 3

2) - Se 4   A hijk e h e i e je k ,

3

 A h1 j1  h 2 j1  A  h 3 j1 A

9 4   9

sendo

B  h

j

h1 j2

A h 2 j2 A h 3 j2 A

h1 j3  A h 2 j3  A ; h 3 j3  A 

   B   B      B   B  ,    B   B  

 B1  1   B21   B3 1

1 2

1 3

2 2

2 3

3 2

3 3

 A h1 A h1 j1 j2    A h2j1 A h2j2 3  A h3j1 A h3j2

A h1j3   A h2j3 ; A h3j3 

3

4

e assim sucessivamente, para todas as 16 representações cartesianas de  . As nove submatrizes com índices h e j iguais são ditas submatrizes diagonais; os elementos destas, com i=k, em número de nove, compõem a diagonal principal da matriz associada. Esse critério de associação de matriz a poliádicos de valência quatro pode ser estendido aos de valência 6, que têm 36 = 3333 = 2727 = 729 coordenadas; e de próximo em próximo ao 2H-ádicos em geral. Criamos uma matriz 2727 e a subdividimos em 9 blocos (três horizontais e três verticais) representados pela letra B acompanhada do primeiro e quarto índices da representação cartesiana correspondente, cada bloco comportando as coordenadas de cada um dos 9 tetrádicos motivo do hexádico. Assim, por exemplo, 9 9  1 9 B12 B13   B1 9 9 9 27 9 9  2 9 6 hij k l m 6  2 2 se   A klm e h e i e j e e e , então   B 1 B2 B 3 , 27 9 9 9  9 9 9 3 3 3 B2 B3   B 1 9 9 9

sendo

 

9 B hk 9

  

 h1  B k1    B h2k1  h3  B k1

                 

 B  B   B  B   B  B  3 3 3 3 3 3

3 h1 k2 3 3 h2 k2 3 3 h3 k1 3

3 h1 k3 3  3 h2 k3 3  3 h3 k3 3  

e

[Bhikj ] 

A hi1kj1 A hi1kj2 A hi1kj3   hi2 hi2 hi2  A kj1 A kj2 A kj3  . hi3 hi3  A hi3 kj1 A kj2 A kj3  

Poliádicos - Ruggeri


§ 03 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

18

As matrizes 9x9 com índices h=k, em número de nove, são ditas submatrizes 9x9 diagonais do hexádico. A submatriz diagonal com índices i e l iguais (do tipo [Bhihi]) serão submatrizes 3x3 diagonais do hexádico; e este terá, pois, nove submatrizes 3x3 diagonais. Como cada submatriz 3x3 diagonal apresenta três elementos na diagonal principal – os números Bhijhij – tais elementos, em número de vinte e sete comporão a diagonal principal da matriz associada ao hexádico. Fica evidente o processo de representação cartesiana das 3 2H coordenadas de um 2H - ádico. É evidente também que outros processos poderiam ser idealizados, mas o apresentado tem a vantagem de identificação imediata dos números componentes da diagonal principal da matriz final ou das submatrizes diagonais. Representemos o tetrádico 4 por cada uma de suas 4 escritas diádicas (ternárias), isto é, 4

   j k e j e k   jk e j e k  ... .

Como cada um dos seus 32 diádicos apresenta 4 representações cartesianas,

 j k  A h i j k e h e i  A hi j k e h e i  A h i j k e h e i  A hi j k e h e i ,  j k  A h i j k e h e i  ... , concluímos que a matriz de certo nome associada a cada conjunto de 3 2 diádicos motivo de um tetrádico (§ 10, II) é a própria matriz de mesmo nome associada ao tetrádico. Essa propriedade é verdadeira para todos os poliádicos de valência par, 2H. Por exemplo, uma escrita H-ádica de um 2H-ádico é: 2H

  H  hi j... ...u

w h j v e ei e

...e u e v e w ,

(h, i = 1,2,3) ,

(02),

onde se evidenciam os 3H H-ádicos motivo (antecedentes) de 2H. Nestas condições (de valência), e apenas nestas condições, aos H-ádicos ficam associadas matrizes quadradas 3H x 3H já que cada um tem 3H coordenadas (que formariam as linhas da matriz) e existem em número de 3H (que comporiam as colunas da matriz). Concluímos: A matriz de certo nome associada a cada conjunto de 3 H H-ádicos motivo de um 2H-ádico é a própria matriz de mesmo nome associada ao 2H-ádico. • Com facilidade podemos associar matrizes retangulares a poliádicos de valência ímpar. Assim, para o triádico 3  A hij eheie j , aplicando critério análogo ao já utilizado no

IV,§ 03.04


§ 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

19

caso dos tetrádicos, poderíamos efetuar a seguinte associação matricial:

 A111  121 A  A131  211 A [ 3 ]39  A 221  A 231  311 A  A 321  331  A

A112 122

A

A132 A 212 A 222 A 232 A 312 A 322 A 332

A113   A123  A133   1 3 A 213 [A ]3   2 3 A 223  [A ]3  , 3 3 A 233 [A ]3   A 313 A 323  A 333

com submatrizes 3x3 dispostas na vertical (formando blocos horizontais), sendo

A 

1 3 3

 A111 A112 A113     A121 A122 A123 , A 2    A131 A132 A133  

 

3 3

 A 211 A 212 A 213     A 221 A 222 A 223 e A 3    A 231 A 232 A 233  

 

3 3

 A 311 A 312 A 313     A 321 A 322 A 323 .    A 331 A 332 A 333  

Entretanto, poderíamos efetuar também a associação:

  3

9 3

 A111 A121 A131 A112 A122 A132 A113 A123 A133     A 211 A 221 A 231 A 212 A 222 A 232 A 213 A 223 A 223  A1 A 2 A3 A 311 A 321 A 331 A 312 A 322 A 332 A 313 A 323 A 333  

   

com três submatrizes 3x3 dispostas na horizontal. Neste caso, o último índice de um elemento da matriz representa a ordem de cada bloco, o penúltimo a ordem da coluna dentro do bloco e o primeiro índice a ordem da linha no bloco. No caso dos triádicos mais duas outras associações poderiam ser efetuadas. No caso dos pentádicos, a associação matricial poderia ser realizada por procedimentos análogos, mas as matrizes associadas teriam, agora, 33=27 linhas e 32=9 colunas, ou 9 linhas e 27 colunas. É fácil deduzir que, no caso geral de um poliádico de valência ímpar 2H-1 (H=1,2, ...), as matrizes associadas teriam 3H linhas e 3H-1 colunas (ou 3H colunas e 3H-1 linhas). Representações mistas e não mistas de 2H-ádicos. A denominação "representação não mista" é muito apropriada às escritas cartesianas dos poliádicos de valência par, 2H, em que os H primeiros vetores de base de cada 2H-ade apresentem índices em níveis idênticos dos seus correspondentes nos H vetores restantes. Assim, uma representação não mista de um 2H-ádico é

A h i j......

r

t ... k s u

e h e i e j ...e k e r e s e t ...e u   , H fatores

H fatores

Poliádicos - Ruggeri


§ 04 - Poliádico Nulo.

20

em que eh é o correspondente de er, ei é o de es etc. (os índices desses vetores correspondentes estando em níveis idênticos). Para os tetrádicos, por exemplo, quatro e apenas quatro das suas 16 representações cartesianas são representações não mistas (distintas):

A hijk e h ei e je k ,

A hijk e h ei e je k ,

A hi jk e h ei e je k e A h i j k e h ei e je k .

Outras representações de tetrádicos – todas mistas - recebem as denominações já estabelecidas. Por exemplo:

A hijk e h e i e j e k é uma representação três vezes contravariante e um vez covariante; A h i jk e h e i e je k é uma representação contravariante e três vezes covariante etc.. Os poliádicos de valência par, 2H, apresentam coordenadas não mistas duplamente homônimas porque se os seus primeiros H índices ocupam certas posições, os seus H índices correspondentes ocuparão posições idênticas. Assim, para os diádicos (H=1), elas são duplamente covariantes ( A hi ) ou duplamente contravariantes ( A hi ); para os tetrádicos elas são quadruplamente covariantes ( A hijk ), quadruplamente contravariantes ( A hijk ), ( A hi jk )

antravariantes/covariantes/contravariantes/covariantes covariantes/contravariantes/covariantes/contravariantes

( Ah ij k

ou,

finalmente,

); e assim por diante para os

demais 2H-ádicos.

§ 04 - POLIÁDICO NULO. Consideremos o seguinte triádico reduzido à forma N-nomial, 3 = kgk , (k = 1, 2, ..., N); tem-se:

 v:

3 .v   k (g

k .v) .

Para que o diádico resultado - o transformado do vetor mediante o triádico - seja o diádico nulo é necessário e suficiente que os diádicos k sejam todos nulos (§02.09,Cap.II,Vol.I). Tem-se, ainda:

v: v. 3  ( v. k )g k Para que o novo (diádico) resultado seja, ainda, o diádico nulo, é condição necessária e suficiente que os vetores v.k sejam todos nulos. Mas como o vetor v é qualquer, é necessário e suficiente que todos os k sejam nulos (§02.09,Cap.II,Vol.I). Faríamos as mesmas deduções caso o triádico 3 fosse reduzido a uma forma Nnomial com conseqüentes diádicos. Logo: Teor. 1: A CNS para que um triádico, representado em forma N-nomial, transforme qualquer vetor no diádico nulo é que os seus antecedentes ou os seus conseqüentes sejam todos nulos.

IV,§ 04


§ 04 - Poliádico Nulo.

21

Definição: ( triádico nulo) O poliádico, único, de valência 3, que transforma qualquer vetor no diádico nulo, denomina-se 3-ádico nulo, triádico nulo, ou, ainda, poliádico nulo de valência 3; será representado por 3  . De próximo em próximo podemos generalizar esses resultados e definir o P-ádico nulo; este será representado por P  . Teor. 2: A CNS para que um P-ádico transforme qualquer vetor no (P-1)-ádico nulo é que os seus antecedentes, ou os seus conseqüentes, sejam todos nulos. Dada a arbitrariedade do vetor v, e em face da definição de igualdade de poliádicos (§02.04), concluímos que são iguais todos os poliádicos de valência P que transformam qualquer vetor no (P - 1)-ádico nulo. São, pois, poliádicos nulos: o vetor nulo, o diádico nulo, o triádico nulo etc., respectivamente de valências um, dois, três etc. É evidente que, estando um P-ádico nulo expresso em forma Ni-nomial (§03.03), todos os seus (P-i)-ádicos motivo são nulos. A matriz associada ao tetrádico nulo é a matriz zero 99 se os vetores recíprocos utilizados na representação cartesiana são do E3; nestas mesmas condições a matriz associada ao 2H-ádico nulo é a matriz zero 3H3H. É evidente a demonstração do seguinte Teor. 3:

v . P 

P 1 ,

ou

P  . v  P 1 

v

P  P 

,

(01).

Teor. 4:  P , a i , e i , com (a 1a 2 a 3 )  0 e (e1e 2 e 3 )  0 (i  1,2,3) :

a1 e1 .a1 e 2 .a1 e 3 .a1

a2 e1 .a 2 e 2 .a 2 e 3 .a 2

P

a3 e1 .a 3 e 2 .a 3 e 3 .a 3

e1 . P   P , e 2 .P  e3 .P 

(02),

desde que os (P-1)-ádicos da última coluna sejam os antecedentes nas políades binárias a serem formadas no cálculo desse pseudo-determinante. A demonstração é a mesma já apresentada (§02.09,Cap.II,Vol.I), bastando lá trocar-se  por P.

no

caso

dos

diádicos

Corol. 1: 

P

 {e } e {e }, e   :

P

P

i

P

i

  (  . e i )e  (  . e )e i

(i  1, 2, ..., N) ,

(03).

Poliádicos - Ruggeri


22

§ 05 - Casos de igualdade de poliádicos.

Com efeito, para comprovar basta trocar ai por ei em (02) para se obterem os dois primeiros membros de (03); ou trocar ei por ei e ai por ei para se obterem o primeiro membro e o último.

§ 05 - CASOS DE IGUALDADE DE POLIÁDICOS. Alguns casos de igualdade de poliádicos podem ser assinalados. As demonstrações dos teoremas seguintes são as mesmas dos casos de igualdades de diádicos (§02.07,Cap.II,Vol.I). Teor. 1: Dois poliádicos iguais, reduzidos a uma forma N-nomial com os mesmos vetores antecedentes (conseqüentes) independentes, têm iguais conseqüentes (antecedentes); e reciprocamente: P



P

  g i indep. (i  1, 2, ..., N), ,

P



P 1 i

 gi ,

P



P 1 i

 gi , 

P 1 i

 

(01).

P 1 i

Temos, para qualquer vetor v:

v . P   v . P ,

( v . P1  i )g i  ( v . P1  i )g i .

ou

Multiplicando escalarmente ambos os membros por gj e simplificando, resulta:

v.

P1

j  v .

P1

 j.

Então, lembrando a definição de igualdade de poliádicos, resulta a igualdade dos (P-1)ádicos antecedentes dos P-ádicos iguais, já que v é qualquer. A recíproca é de demonstração imediata6. Corol. 1: Uma CNS para que dois P-ádicos sejam iguais, é que os seus antecedentes e os seus conseqüentes, em qualquer redução N-nomial, sejam respectivamente iguais. Teor. 2: Uma CNS para que dois P-ádicos gerados de EN sejam iguais, é que transformem os mesmos N vetores independentes de EN em (P-1)-ádicos iguais. Com efeito, sejam ui e ui (i = 1, 2, ..., N) sistemas de vetores recíprocos de E N. A P P condição é necessária porque, por hipótese,  . u i   . u i , P  e P  sendo dois P6 Este teorema será generalizado no § 06.

IV,§ 05


§ 05 - Casos de igualdade de poliádicos.

23

ádicos quaisquer, mas que transformam os mesmos N vetores independentes nos mesmos (P-1)-ádicos. Então, multiplicando diretamente ambos os membros dessa igualdade por u i e somando em i, temos a igualdade poliádica:

( P  . u i )u i  ( P  . u i )u i (i  1, 2, ..., N) . Mas, pelo Corol. 1 do Teor. 4 do §04, o primeiro membro é igual a P  e o segundo é igual a P  ; donde a tese. A condição suficiente é de demonstração imediata. O Teor. 1 pode ser generalizado facilmente, dando lugar ao seguinte Teor. 3: A CNS para que dois P-ádicos, escritos (P-Q)-adicamente em função de Q sistemas de vetores recíprocos, sejam iguais, é que seus (P-Q)-ádicos motivo sejam respectivamente iguais: P

P

  P



PQ

P

P

P Q

r

 {n  },{n }, {m },{m }, ...,  ,  :

 r

s ... u

r

v

n m s ... g u h

v

e

(r, s, ..., u, v = 1, 2, ..., N) P

P



PQ

r

s ... u

r

v

s ... u v

v

n m s ... g u h ,

PQ

r

s ... u v

,

(02).

P

Com efeito, se    , das escritas (P-Q) - ádicas desses P-ádicos em função dos mesmos Q sistemas de vetores recíprocos (como em (02)), temos P  . h i  P  . h i , ou melhor:

P Q

r

s ... u

r

i

n m s ... g u 

P Q

r

s ... u

r

s ... j

r

i

n m s ... g u ;

i

n m s ... .

também, ( P  . h i ). g j  ( P  . h i ). g j, ou P Q

r

s ... j

r

i

n m s ... 

P Q

r

Após Q multiplicações escalares pelos recíprocos dos primeiros conseqüentes dos poliádicos remanescentes de multiplicações anteriores encontra-se a igualdade final procurada. Reciprocamente, se são correspondentemente iguais os (P-Q)-ádicos, PQ

r

s ... u v

PQ

r

s ... u v

( r, s, ..., u, v = 1, 2, ..., N),

então, em relação aos sistemas recíprocos {n*} e {n*}, o Teor. 1 permite escrever: P Q

r

s ... u v

n

r

P Q

r

s ... u

r

v

n ,

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

24

expressão na qual está estabelecida uma somatória em r (de 1 até N). Aplicando novamente o Teor. 1 para esses novos (P-Q+1)-ádicos e adotando um novo sistema de vetores recíprocos, {m*}, {m*}, teremos: PQ

r

s ... u

r

v

n ms 

P Q

r

s ... u

r

v

n ms .

Assim, operando com Q sistemas de vetores recíprocos, encontraremos dois P-ádicos iguais, P P  e , escritos (P-Q)-adicamente em função desses mesmos Q sistemas.

§ 06 - MULTIPLICAÇÃO DE POLIÁDICOS. § 06.01 - Multiplicação simples. As operações denominadas multiplicação ponteada e cruzada, já definidas e estudadas para os vetores e diádicos (Cap.II), já foram estendidas para os poliádicos e vetores em geral no caso de multiplicação ponteada (§02.03). Consideremos a pêntade e a tríade seguintes: abcde e xyz. Podemos efetuar com essas políades a operação de multiplicação ponteada ou cruzada, representadas indiferentemente pelo símbolo ◦, pela seguinte definição: (abcde)  (xyz)  abcd(e  x)yz ,

onde o produto (e◦x) é um escalar ou um vetor, conforme ◦ esteja representando a multiplicação ponteada ou a cruzada. No primeiro caso, conforme já definimos (§02.01), a posição desse produto é irrelevante (pois representa um escalar); mas no segundo - caso de multiplicação cruzada - a posição desse vetor produto no políade resultado é imutável. Concluímos, logo, que nesse segundo caso, a políade produto tem valência uma unidade menor que a soma das valências das políades fatores; no primeiro caso, a políade produto tem valência duas unidades menor que a soma das valências das políades fatores. Esses conceitos e resultados são válidos, também, quando as políades têm como primeiro conseqüente e/ou primeiro antecedente (§01.04) outras políades. Assim, por exemplo,

(abc4 )  (xy)  abc( 4   x)y isto é, o produto ◦ do 7-ádico multiplicando (que tem um tetrádico como primeiro conseqüente) pelo tetrádico multiplicador (que, por sua vez, tem um vetor como primeiro antecedente) é uma (7 + 4 - 2)-ade no caso de multiplicação ponteada, e uma (7 + 4 - 1)-ade no caso de multiplicação cruzada. Nas aplicações, notadamente em Física, trabalhamos com triádicos, tetrádicos e, no máximo, com hexádicos, representados nas suas várias formas Ni-nomiais; podem, pois, ter como primeiros antecedentes ou primeiros conseqüentes vetores, diádicos etc., até pentádicos. Isto torna o entendimento e os resultados das operações relativamente simples em comparação com operações entre poliádicos em geral as quais aparecem com pouca freqüência; o que justifica um estudo bastante sumário. IV,§ 06.01


§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes.

25

Essas operações não são comutativas (em geral), mas são distributivas em relação à adição; podem ser estendidas aos poliádicos porque elas se distribuem em relação à adição de políades. Assim, por exemplo,

se 3  aij gig j

e

4  

k

k , (i, j, k = 1,2, ..., Q) então 3 .4   aij gi (g j .  k )k .

De um modo geral, o primeiro conseqüente de um P-ádico multiplicando é outro poliádico (de valência menor que P); similarmente, o primeiro antecedente de um Q-ádico multiplicador é também um poliádico (de valência menor que Q). Então, de próximo em próximo, poderemos sempre calcular o produto (ponteado ou cruzado) de qualquer poliádico por outro. Particularmente, do Corol. 1 do Teor.4 do §04 podemos escrever: P

P

 :

P

 .   .  

P

,

(01).

Ainda, , , a : i

  ( . a)  (  ) . a ,

(02).

j

Pois, sendo   a i b e   c j d , tem-se:

  ( . a)    [c j (d j . a)]  ai (b i  c j )(d j . a) . Considerando-se a definição de produto ponteado de poliádico por vetor (§02.03), o último membro pode ser escrito na forma [a i (b i  c j )d j ] . a . Agora, considerando a definição de multiplicação simples cruzada de diádico por diádico, concluímos a veracidade de (02). É evidente, ainda, pelos mesmos motivos, que

, , a :

(a . )    a . (  ) ,

(03),

, , a :

  (  a)  (  )  a ,

(04),

, ,  :

  (  )  (  )   ,

(05).

e

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes. Consideremos as políades

abcd ... xyzw, e ... xyzw ... dcba de valências P e Q, respectivamente, com, suponhamos, P > Q. Como a, b, c, ... são vetores, essas políades estão escritas em forma P-ária e Q-ária, respectivamente.

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

26

Definição: Chama-se produto R-plo (duplo, triplo, etc.) da P-ade abcd ...xyzw pela Qade xyzw ...dcba , para R  Q, e escreve-se

(abcd ...... xyzw ) R ( ... xy z w ...dcba),     R fatores

R fatores

onde ◦ é o símbolo da operação de multiplicação ponteada ou cruzada de vetores, à políade

abcd... ...(y  y )( z  z )( w  w) ...dcba      , P-R fatores

R fatores

(01),

Q-R fatores

onde, a ordem dos fatores entre parênteses (vetores) deve ser mantida caso representem vetores A multiplicação R-pla de duas políades é a operação que tem por fim gerar o produto R-plo das mesmas. Quando a multiplicação R-pla é a ponteada, o produto é dito produto ponteado Rplo; quando a multiplicação é a cruzada, o produto é dito produto cruzado R-plo. Essa operação múltipla goza das seguintes Propriedades 1ª) - É sempre possível e unívoca. Com efeito, é possível porque, sendo RQ (será RP), ao (R-j)-ésimo antecedente da políade multiplicadora (no caso, a de menor valência) corresponderá sempre o j-ésimo conseqüente da políade multiplicando (no caso, a de maior valência); logo, é sempre possível a determinação tanto dos R primeiros fatores da políade produto (que são escalares ou vetores) como a dos demais, sem ambigüidade. É unívoca porque todos os fatores da políade produto, sejam eles vetores ou escalares, são determinados de forma única. 2ª) - A multiplicação ponteada R-pla de políades somente será comutativa se ambas as políades tiverem a mesma valência R. Pois,

a b c d ... ... ( y . y )( z. z)( w . w) ... dcba         , Q-R fatores

R fatores

P-R fatores

é obviamente diferente de (01) onde se faça   . . Mas, R

( abcd ... ... xyzw ) ( a bcd ... xyzw)     .  R fatores

R fatores

 (a. a )(b.b )(c. c ) ... ... ( y. y )( z. z)( w. w )     R fatores

IV,§ 06.02

(02),


§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes.

27

 (a . a)(b .b)(c . c) ... ... ( y . y)( z. z)( w . w)     R fatores

 (a bcd ... xyzw) .R (abcd ... ... xyzw)     , R fatores

R fatores

o que comprova a propriedade. 3ª) - Para a multiplicação cruzada R-pla de políades de valência R, tem-se:

(abcd ...... xyzw ) R (abcd ... xy z w)    R fatores

R fatores

 (a  a)(b  b)(c  c) ......(y  y )( z  z )( w  w)   R fatores

 (1) R (a  a)(b  b)(c  c) ......(y   y)( z   z)( w  w).  R fatores

Para R ímpar diremos que a multiplicação cruzada R-pla de duas políades é anticomutativa; para R par, ela é sempre comutativa. 4ª) - A operação é distributiva em relação à adição de políades e associativa em relação a fatores escalares, o que é evidente. Definição: Chama-se produto R-plo de um P-ádico ordem, para RP e RQ, e se indica por: P

R 

P

Q

por um Q-ádico

Q

 , nessa

,

o poliádico que se obtém efetuando-se as somas das políades produto R-plo de cada políade de P  por cada políade de Q  . A multiplicação R-pla do poliádico por fim gerar o produto R-plo deles.

P

pelo poliádico

Q

 é a operação que tem

Essa operação é sempre possível porque é sempre possível reduzir qualquer S-ádico a uma forma que contenha R vetores de base como antecedentes ou como conseqüentes (desde que R  S), o que possibilita a aplicação da definição (01). Resultam logo de (02): P

P

.

P P

P

.

P ,

(021),

e P  P P 

 (1) P

P P P 

,

(022).

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

28

Pode acontecer que a representação de alguma das políades fatores contenha letras que representem outras políades, como a bc 3  , em que o primeiro e o segundo conseqüentes são diádicos, o terceiro conseqüente um triádico, e os demais são vetores. Nesse caso será necessário dar aos diádicos uma representação N-nomial e ao triádico uma representação N2-nomial, ou N3-nomial, antes de proceder-se a operação. Com efeito, sem o que não se aplica a definição representada pela expressão (01). Entretanto, poderão ocorrer casos de multiplicação possíveis com políades expressas em função de outras políades, desde que haja compatibilidade da multiplicidade das operações indicadas com as valências das políades componentes das políades fatores. Exemplo: 3

abc 

7 3

.

   y z.

Nesta multiplicação ponteada 7-pla, os três primeiros conseqüentes da políade multiplicando têm valências 2, 2 e 3; os três primeiros antecedentes na políade multiplicadora têm valências 3, 2 e 2. Em ambos os casos, a soma das valências é 7, e as valências se correspondem em ordem inversa; o que possibilita escrever, imediatamente: 3

abc 

7 3

.

���   yz 3

 a b c( 

3 3

.

3

)( :  )( : ) y z ( 

3 3

.

)( :  )( : )a b c y z.

Com efeito, se pusermos, para atender às condições da definição (01): 3

  d e f ,   g h,   i j, e

3

  k l m,   n o,   p q,

escreveremos: 3

abc 

7 3

.

   yz 7

abcdefghij k l m n o p q y z  a b c ( d.k )( e.l)( f.m)( g.n)( h.o)( i.p)( j.q) y z.  .    7 fatores

7 fatores

Mas

(d e f g h i j) 7. (k l m n o p q )  (d.k)( e.l )( f.m)( g.n)( h.o)( i.p)( j.q)  [( d.k)( e.l )( f.m)][( g.n)( h.o)][( i.p)( j.q)]  [( d e f )

3 .

(k l m)][( gh ) : (no)][( ij) : (pq)],

resultado que comprova a assertiva. Outros casos de multiplicação poderão ocorrer em que o cálculo do produto poderá ser conduzido de maneira bastante próxima da anteriormente considerada, eventualmente sem uma simplificação satisfatória. Exemplo:

a b c 3  5 

IV,§ 06.02

6 

  3 x y z w .


§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes.

29

Nesse caso a soma das valências dos dois primeiros conseqüentes da políade multiplicando, 7, é maior que R = 6; e a soma das valências dos dois primeiros antecedentes da políade multiplicadora, 4, é menor que R. Ponhamos, então, para podermos aplicar (01),

  d e,

5

  f g h i j,

  k l,

  m n,

3

  o p q.

Teremos:

a b c3   5 

6 

 3  x y z w  abc 3 d(efghij)

6 

(klmnopqxyzw) 

 a b c 3  d (e f g h i j) 6 (k l m n o p ) q x y z w   a b c 3  d [( e  k )( f  l )( g  m)( h  n )( i  o)( j  p )] q x y w É impossível descobrir dentro dos colchetes operações simples ou múltiplas envolvendo todas as políades componentes das políades fatores que possam simplificar o resultado. Essas multiplicações nem sempre são associativas, mesmo nos casos em que os fatores têm as mesmas valências. Entretanto, para os poliádicos de valência par, 2H, em multiplicação H-pla (ponteada ou cruzada), é fácil comprovar que: 2H  H 

( 2H 

H 2H  ) 

 ( 2H 

H 2H ) H 2H   

,

(03).

Em algumas ocasiões estaremos efetuando multiplicações com poliádicos expressos em formas Ni-nomiais em relação aos mesmos sistemas recíprocos de vetores; o que, em geral, reduz substancialmente os cálculos a efetuar e os resultados. Exemplos 1: (nos quais {g* } e {g*} são sistemas recíprocos) 1.1) - Seja calcular 3  : , sendo 3

 Fi jk gig jgk e   P r s gr gs.

Tem-se, aplicando a definição (01): 3

 :   Fi jk gig jgk : P rs gr gs 

 Fi jk P rs gi (g j .gr )( g k .gs )  Fi jk P rs  jr ks gi   Fi jk Pj k gi  Ci gi , sendo Ci  F i jk P j k . 1.2) - Se 4   a rs t g r g sg t e 3

j

3

  Pijk g i g jg k , então: r t

a) - 4  . 3   Pi k a s  r i 

s

j

j

i k

 t k  Pi k a j

(vetor);

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

30

b) - 4 

 3 

 Pi jk ars t g r (gs  gi )(g t  g j )g k (pentádico).

Teor. 1: (produto ponteado nulo) P Q

Q   P Q 

.

  Q

P  P  .

Pois, sendo P

  a ib jc k ... y i z j w k ... 

Q

e

 = y u zv w w ... ,   

Q fatores

Q fatores

deve ser P

 Q.

Q

  a i b jc k ...(y i .y  u )( z j .z v )( w k .w  w ) ...  

P Q

.

Q fatores escalares

Nenhum dos fatores escalares de cada políade é necessariamente nulo, porque o poliádico multiplicador é qualquer. Então, para que o poliádico produto seja nulo, cada políade do poliádico multiplicando deve ter um vetor fator nulo, o que implicará a sua nulidade. A demonstração da recíproca é imediata. Definição: (poliádicos perpendiculares) Se o produto ponteado Q-plo de dois Q-adicos é nulo eles são ditos ortogonais ou perpendiculares. Caso de igualdade de poliádicos Teor. 2: A CNS para sejam iguais dois P-ádicos, P  e P  , é que nas mesmas condições de multiplicação ponteada R-pla (P, Q  R), seus produtos por um Q-ádico qualquer sejam (P + Q - 2 R)-ádicos iguais:

 P   P P Q        Q   

R Q

.

ou R P

.

A condição é necessária, porque se, digamos,

( P   P ) R.

  P  R. Q 

P



, Q

 R.

Q   P Q2R 

 .

R P

Q

(04).

.

  P  R.

Q

 , então:

,

condição que só se verifica se o poliádico entre parênteses for o poliádico nulo de valência P (Teor. 1); o que implica a tese. A condição suficiente é de demonstração evidente7. 7 No caso particular em que Q = 1, o poliádico é um vetor e o teorema fica reduzido à definição de § 02.04.

IV,§ 06.02


§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos.

31

Matriz associada a produtos ponteados. Sejam P

A

h j ... r t i k s

(R  P),

e h e i ... e k ... e r e s e t    R fatores

e

B

Q

k1 ... s1 j1 r1

h1

t 1 i1

r

t

i

(R  Q)

e k ... e 1 e s e 1 e j e 1 e h , 1 1 1   1

.

R fatores

Tem-se: P

 .

R Q



A hi jk ... r s t

R fatores    

B

k1 ... s1 j1 h1 r1 t 1 i1

 kk ...  rr1  s s  1

1

t1 t

e e i e j ... e j e i1 e h . 1  1 h  P+Q-2R fatores

Efetuando-se as somas indicadas resulta: P

 R.

Q

Representando por Chi j

  A hi jk ... r s t ... j1 h1 i1

B

k ... s j1 h1 r t i1

e h e i e j ... e j e i1 e h . 1

1

a coordenada geral do produto, a lei geral de formação

dessas coordenadas é dada por:

Chi j .... j1i h1  A hi jk ... r s t B 1

k ... s j1 h1 r t i1

,

(05).

Teor. 3: Quando os poliádicos são ambos de mesma valência par, 2H, e a multiplicação ponteada é H-pla (metade da valência), a matriz mista 3 H x 3H de certo nome, associada ao poliádico produto (numa certa base vetorial), é igual ao produto, na mesma ordem, das matrizes 3 H x 3H homônimas das matrizes associadas a cada poliádico (na mesma base vetorial): 2H

 H.

2H



2H

H

H

H

[ 2H ]3H . [ 2H ]3H  [ 2H  ]3H , 3

3

3

(051).

Com efeito, tendo os poliádicos valências pares iguais, e estando escritos em formas cartesianas homônimas numa mesma base vetorial, os i-ésimos dos H conseqüentes do 2Hádico multiplicando têm seus índices em níveis opostos aos dos índices dos (H - 1)-ésimos antecedentes do 2H-ádico multiplicador. Na expressão cartesiana do produto ponteado Hplo desses poliádicos ocorrerão necessariamente H deltas de Kronecker que acarretam as igualdades desses índices assim correspondentes nas expressões cartesianas de cada poliádico. Como índice(s) repetido(s) em níveis diferentes implica somatório, a expressão encontrada do produto impõe que a composição da matriz produto seja realizada da mesma maneira como se multiplicam ordinariamente as matrizes. De fato, pois os H últimos índices das coordenadas numa linha qualquer da matriz multiplicando são iguais aos H primeiros índices de uma coluna qualquer da matriz multiplicadora.

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

32

Exemplos 2: 2.1) - Se 4   H h i j k e h e i e j e k e

4

  G r s t u e r e s e t e u , tem-se:

 H1111 H1112   H1211 H1212 [ 4    ]    ... ...   H 33 H 33 12  11

... H1133   ... H1233   ... ...   ... H 3333 

e

G1111 G1112 ... G1123 ... G1133    G1211 G1212 ... G1223 ... G1223  . [ 4    ]    ... ... ...    G 33 G 33 ... G 33 ... G 33  12 23 33   11 Sendo 4

 4 : 4  Hh ij k G

jk tu

e h e i e t e u  ( H h i 11 G 11 t u  H h i 12 G 12 t u   ...  H h i 3 3 G 3 3t u )e h e i e t e u  F h it u e h e i e t e u ,

tem-se, por exemplo:

F1223  ( H 12 11 G 11 23  H 12 12 G 12 23  ...  H 12 3 3 G 3 323 ) elemento esse igual ao produto da segunda linha de [4H****] pela sexta coluna de [4****]. 2.2) - Se 7   H h ij kl mn e h e i e j e k e l e m e n e

6

  G r s t u vw e r e s e t e u e v e w ,

então: 7

 3. 6   H hi j kl mn G rs

t v u w

 r l  ms t n e h e i e j e k e u e v e w 

= H h ij

k m l n

G l mn uv w e h e i e j e k e u e v e w .

No caso geral de poliádicos de valências distintas em multiplicação ponteada de qualquer ordem, o estabelecimento da matriz associada ao produto requer uma ampliação da operação de dupla multiplicação ponteada matricial estuda no §09.11,Cap.II,Vol.I; pois, apenas com esta operação e com a multiplicação ponteada (simples) de matrizes, nem sempre é vantajosa, ou possível, a representação matricial desses produtos. Definição: Diremos que duas matrizes são multiordinais quando os números de linhas e colunas de uma são múltiplos dos seus correspondentes da outra.

IV,§ 06.02


§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos.

33

Assim, são multiordinais as matrizes [B] QP (de P linhas e Q colunas) e [ A ] MQ se L e M são LP inteiros. É evidente que a matriz [ A ] MQ pode ser decomposta em LM blocos de P linhas e LP Q colunas, isto é, [ A ] MQ é uma matriz de L linhas e M colunas cujos elementos são LP matrizes Aij de P linhas e Q colunas. Definição: Chama-se duplo produto ponteado das matrizes multiordinais [ A ] MQ e LP : [B] QP , à matriz de L [B] QP nessa ordem, e representa-se por [ A ] MQ LP linhas e M colunas cujos elementos sejam os duplos produtos ponteados de cada submatriz [ A ij ] QP de [ A ] MQ , com i = 1, 2, ..., L e j = 1, 2, ..., M, LP pela matriz [B] QP . Assim,

 A11 Q P  A Q  21 P  ...   Q  A L1 P

A12 QP A 22 QP ...

A L2 QP

... ...

A1M QP   A 2M QP 

MQ

... ...   Q ... A LM P  LP

   

Q  Q  A 11 P :  B P Q  Q   A 21 P :  B P  ... Q  Q  A L1 P :  B P

 

: BQP 

A  A 

Q

12 P Q 22 P

A 

Q :  B P

...

 B QP

...

:

... Q

L2 P

...

Q :  B P

...

A  A  1M

2M

A  LM

Q :  B P  P Q Q :  B P  . P  ... Q Q :  B P  L P

Q

M

A dupla multiplicação ponteada de matrizes multiordinais é a operação que tem por fim determinar o duplo produto ponteado dessas matrizes. Essa operação é sempre possível, unívoca, comutativa, distributiva em relação à adição de matrizes, mas em geral não é associativa. Exemplo 3 (numérico):

1 4 3 5 

2 1 2 1

3 1 2 1x2  4x1 0 :  1    3x2 + 5x1 1 2 0 4=2x2 3=3x1

2x2 + (-1)x1 2x2 + (-1)x1

3x2 + 0x1  6  1x2 + 0x1 11

3 3

6 . 2 

Com essa operação de dupla multiplicação ponteada matricial de matrizes multiordinais, as matrizes associadas aos produtos ponteados de poliádicos podem ser escritas com facilidade. De imediato devemos observar que quando a multiplicação

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

34

ponteada entre os poliádicos é simples, as matrizes dos poliádicos fatores são multiplicadas em multiplicação matricial simples; quando essa multiplicação é no mínimo dupla, as matrizes dos poliádicos são multiplicadas na forma dupla. Exemplo 4: Consideremos o produto de valor diádico

  3  . r  (A ijk e i e j e k ) . ( R m e m ) , ou seja,   A ijk R k e i e j . A matriz associada ao diádico  pode ser expressa na forma

   33

 A 111  A 112  113 A  211 A    A 212  A 213  A 311  A 312  A 313 

A 121 A 122 A 123 A 221 A 222 A 223 A 321 A 322 A 323

A 131  A 132   A 133 1 R  231  A  1  : R 2  , A 232  A 233   R 3  3 A 331  332  A A 333  9=3x3 3=3x1

ou, na forma

 A 111 A 112 A 113 A 121 A 122 A 123 A 131 A 132 A 133  3  A 211 A 212 A 213 A 221 A 222 A 223 A 231 A 232 A 233  : R1 R 2 R 3 . 1 A 311 A 312 A 313 A 321 A 322 A 323 A 331 A 332 A 333  3=3x1 9=3x3

3  3

Devemos observar que, nesse exemplo, cada coordenada do diádico produto é função de todas as coordenadas do vetor fator. Exemplo 5: O produto 3  :  , com 3   A ijk e i e j e k e   B rs e r e s , é o vetor

v  A ijk B jk e i  V i e i . Matricialmente a expressão acima pode ser representada na forma:

V   1 V  2  V3  3 1

ou, na forma

IV,§ 06.02

 A 111  A 121  A 131  A 211   A 221  A 231  A 311  A 321  A 331

A 112 A 122 A 132 A 212 A 222 A 232 A 312 A 322 A 332

A 113  A 123  A 133  B A 213   11 223 A  : B 21  A 233   B 31 A 313  A 323  A 333  3x3 1x3

B12 B 22 B 32

B13   B 23 ,  B 33  3 3


§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos.

V

1

35

3

V2 V3 1  9  3x3

A111 A112 A113 A211 A212 A213 A311 A312 A313    A121 A122 A123 A221 A222 A223 A321 A322 A323 A131 A132 A133 A231 A232 A233 A331 A332 A333  31x3

3

B11 B12 B13 : B21 B22 B23 , B31 B32 B33 3

não sendo estas as únicas formas. Observemos que, também nesse exemplo, cada coordenada do vetor produto é função de todas as coordenadas do diádico fator. Exemplo 6: Para esses mesmos poliádicos temos, por outro lado: 3

  3  .   A ijk B ks e i e j e s ,

expressão poliádica esta cujo equivalente matricial é

 3  39

 A 111  A 121  131 A  211 A    A 221  A 231  A 311  A 321  A 331 

A 112 A 122 A 132 A 212 A 222 A 232 A 312 A 322 A 332

A 113  A 123   A 133 3  B B B  A 213  11 12 13   A 223  .  B 21 B 22 B 23  . A 233   B 31 B 32 B 33  3 A 313  323  A A 333  9 3

Observa-se, nesse caso, que cada coordenada do triádico produto não é função de todas as coordenadas do diádico fator (apenas de algumas). Outros exemplos com poliádicos de valências maiores e com multiplicações ponteadas de maiores ordens poderiam ser facilmente estabelecidos, como a seguir. Exemplo 7: Se 4   A hijk e h e i e j e k e   B rs e r e s , então

4  :   A hijk B

jk e h e i

. A matriz associada ao

produto pode ser calculada em função das matrizes associadas aos fatores por dois caminhos:

 4  :   A1111  A1121  1131  A2111 A  A 2121 A 2131 A 3111  3121 A 3131 A

A1112 A1122 A1132 A 2112 A 2122 A 2132 A 3112 A 3122 A 3132

uma matriz 3x3; e

A1113 A1123 A1133 A 2113 A 2123 A 2133 A 3113 A 3123 A 3133

A1211 A1221 A1231 A 2211 A 2221 A 2231 A 3211 A 3221 A 3231

A1212 A1222 A1232 A 2212 A 2222 A 2232 A 3212 A 3222 A 3232

A1213 A1223 A1233 A 2213 A 2223 A 2233 A 3213 A 3223 A 3233

A1311 A1321 A1331 A 2311 A 2321 A 2331 A 3311 A 3321 A 3331

A1312 A1322 A1332 A 2312 A 2322 A 2332 A 3312 A 3322 A 3332

3x3

A1313 A1323  A1333 3 2313  B11 B12 B13  A  A 2323 : B21 B22 B23  , B B B  A 2333  31 32 33  3 3313 A  A 3323 3333 A  3x3 ,

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

36

 A1111  A1211  1311  A2111 A 2211 A A 2311 A 3111  3211 A 3311 A

A1112 A1212 A1312 A 2112 A 2212 A 2312 A 3112 A 3212 A 3312

A1113 A1213 A1313 A 2113 A 2213 A 2313 A 3113 A 3213 A 3313

A1121 A1221 A1321 A 2121 A 2221 A 2321 A 3121 A 3221 A 3321

A1122 A1222 A1322 A 2122 A 2222 A 2322 A 3122 A 3222 A 3322

A1123 A1223 A1323 A 2123 A 2223 A 2323 A 3123 A 3223 A 3323

A1131 A1231 A1331 A 2131 A 2231 A 2331 A 3231 A 3231 A 3331

A1132 A1232 A1332 A 2132 A 2232 A 2332 A 3132 A 3232 A 3332

9

1

A1133  B11  A1233  B12     A1333  B13  A 2133  B21  A 2233 .B22  , A 2333  B23  A 3133  B31     A 3233  B32  3333 A  9  B33  9

uma matriz 9x1. Deve ser observado que as matrizes associadas aos poliádicos num caso e noutro são montadas por caminhos diferentes; a do segundo caso corresponde ao critério adotado no (§03.04) para ser usada em multiplicação ordinária. Deve ser observado também que, decomposta a matriz associada no primeiro caso em 9 submatrizes 3x3 – compondo-se, assim uma matriz 3x3 cujos elementos são matrizes 3x3 –, as submatrizes são formadas com as linhas da matriz do segundo caso. Nota: A segunda maneira de calcular-se o produto ponteado dos poliádicos deste exemplo 7 requer representações de poliádicos em bases poliádicas, como veremos oportunamente (§09.02).

Exemplo 8: Se 4   A hijk e h e i e j e k e 4   Brstue r ese t e u , então 4  : 4   A hirsBrstu eh eie t e u . A matriz associada ao produto, de elemento genérico Chitu, pode ser calculada em função das matrizes associadas aos fatores devidamente preparadas. Montemos, a partir da matriz 9x9 [Ahijk] associada a 4 (segundo o critério adotado no §03.04), a submatriz 3x3: Ahirs, tendo o par (h,i) fixo, digamos h=1, i=2; ou seja, a matriz: A12rs. Essa matriz será montada, evidentemente, com os elementos da segunda linha do primeiro bloco horizontal de [A hijk]. Montemos também, a partir da matriz 9x9 [Brstu] associada a 4, a submatriz 3x3, digamos Brs23, com os elementos da terceira coluna do segundo bloco vertical. Temos então as matrizes: 12rs

[A

A1211 A1212 A1213 ]  A1221 A1222 A1223  1231 1232 1233 A A  A 

 B1123 B1223 B1323 e [Brs23 ]  B2123 B2223 B2323 , B   3123 B3223 B3323

cujo duplo produto (duplo), [A12rs]:[Brs23], dá como resultado o número C1223 que, na matriz 9x9 associada ao produto (duplo) dos tetrádicos, deve ocupar posição no primeiro bloco horizontal (1), segunda linha (2), segundo bloco vertical (2) e terceira coluna (3). Compare este resultado com o obtido no exemplo 2.1. Consideremos agora a matriz 27x3 cujos elementos sejam as matrizes 3x3 do tipo [A12rs] dispostas na vertical, ou seja, a matriz cujos 9 elementos sejam, ordenadamente: [A11rs], [A12rs], ..., [A33rs]. Consideremos também, analogamente, a matriz a matriz 3x27 cujos elementos, dispostos na horizontal, sejam, ordenadamente, as matrizes 3x3: [B rs11],

IV,§ 06.02


§ 06.03 - Potenciação de poliádicos.

37

[Brs12], [Brs13], ..., [Brs33]. Nestas condições é possível calcular o duplo produto dessas matrizes – uma matriz 9x9 – posto que seus elementos correspondentes sejam todos de ma ordem. Tem-se:

[A11rs ]  12rs  [A ] [A13rs ] : [B rs11] [B rs12 ] [B rs13 ] ... [B rs33 ]   ...  [A 33rs ]  

[A11rs ] : [B rs11]  12rs [A ] : [B rs11]  13rs  [A 21rs] : [B rs11] [A ] : [B rs11] ...  [A 33rs ] : [B ] rs11 

[A11rs ] : [B rs12 ] [A12rs ] : [B rs12 ] [A13rs ] : [B rs12 ] [A 21rs ] : [B rs12 ] ... 33rs [A ] : [B rs12 ]

[A11rs ] : [B rs13 ] ... ... [A11rs ] : [B rs33 ]  [A12rs ] : [B rs13 ] ... [A12rs ] : [B rs33 ] [A13rs ] : [B rs13 ] ... [A13rs ] : [B rs33 ] ,  ... ... ...  ... ... ...  [A 33rs ] : [B rs13 ] ... [A 33rs ] : [B rs33 ]

sendo esta a matriz (9x9) associada ao duplo produto dos tetrádicos. Notar que a multiplicação simples entre matrizes, realizada no exemplo 2.1, pode ser substituída por uma multiplicação dupla apresentada neste exemplo. Em muitas situações as submatrizes originadas do “preparo” de uma matriz 9x9 podem assumir formas simples (matrizes zero, unidade, simétricas etc.), casos em que a obtenção do produto pode ser mais rápida e menos cansativa pelo caminho aqui apresentado. No §14.02 faremos uma aplicação dessa operação. * Multiplicação múltipla dupla Definição: Os produtos duplos (P+Q)-plos entre políades (de valências não menores que P+Q), são definidos pela expressão: Q

(rst... ...cba

...efg) P ( ...uvx ...yzw ...lmn ) 

    P fatores

*

Q fatores

    Q fatores

P fatores

 rst... ...(c*y )(b*z)(a*w) ...(e  u)(f  v)(g  x) ...lmn     P fatores

(06),

Q fatores

na qual, como sempre, os sinais ◦ e , distintos, podem representar tanto a multiplicação ponteada quanto a cruzada, e as ordens dos fatores são imutáveis, excetuado para os fatores produto ponteado. A multiplicação múltipla dupla, (P+Q)-pla, entre poliádes é a operação que tem por fim determinar o produto (P+Q)-plo dessas políades. O produto duplo (P+Q)-plo dos poliádicos de valência P+Q+A e P+Q+B, com A>1 e B>1, é um poliádico de valência no mínimo igual a 3P+A+B, ou 3Q+A+B.

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

38

Propriedades dos produtos duplos (P+Q)-plos 1) - A multiplicação (P+Q)-pla de poliádicos de valência pelo menos iguais a P+Q é sempre possível e unívoca; 2) - É operação não comutativa em relação às políades e em relação aos símbolos operatórios ( Q e P ); 3) - A multiplicação (P+Q)-pla é distributiva em relação à adição de políades e associativa em relação a fatores numéricos. Desta última propriedade podemos estender a operação acima definida para os poliádicos, isto é, podemos definir os produtos duplos (P+Q)-plos entre poliádicos e a multiplicações (P+Q)-plas entre poliádicos. Não vamos detalhar o estudo desta operação porque ela não apresenta utilidade prática. * § 06.03 - Potenciação de poliádicos. Definiremos duas potências distintas para dado poliádico, a partir das definições de multiplicações múltiplas (com poliádicos iguais), todas elas, entretanto, tendo como resultado um poliádico de mesma valência que o poliádico dado. Esse condicionante limita a quantidade dessas potências a não mais que duas. Recordemos inicialmente que as multiplicações múltiplas, quando possíveis, em geral não são associativas, mas há exceções (§06.02). Particularmente,

( 2H  H. (P 

2H

 ) H.

2H

 

P P ) P P   

2H

 H. ( 2H  H.

P  P ( P  P P )  

2H

 ),

.

Definição: Chama-se potência ponteada Q-pla (ou potência de expoente Q>1) do . 2H poliádico de valência par  , e representa-se por 2H  Q (lendo-se: fi 2H, Q ponto), o poliádico (de valência 2H) produto ponteado H-plo de Q fatores 2H : 2H

.

Q

2H

 H. 2H  H. ... H. 2H  ,   

(01),

Q fatores

lendo-se o segundo membro na forma:

IV,§ 06.03

2H

 H ponto

2H

 , H ponto

2H

 , ... .


§ 06.03 - Potenciação de poliádicos.

39

Chama-se potência cruzada Q-pla (ou potência de expoente Q>1) do P

poliádico de valência P,

 , e representa-se por

P

 Q (lendo-se: fi P, Q P

cruz), o poliádico (de valência P) produto cruzado P-plo de Q fatores  : 

 Q  P  P P  P ... P  ,   

P

(02).

Q fatores 2H

2H

Por definição, toma-se  1   porque não existe produto múltiplo com um só fator. Para Q=2,3,4 ... as potências assumem os nomes de quadrado, cubo, quarta  . 4 potência etc. Assim 4  2 e 4  2 são os quadrados ponteado e cruzado de  .

4

. 2

4  3

3

Denominaremos também, simplesmente, a potência ponteada, de potência; assim .  4  : 4  é o quadrado de 4  , 8 2  8 4. 8 é o quadrado de 8  , 

4

 4  : 4  : 4  é o cubo ponteado de  ; 3  2  3 

3 3  

é o quadrado cruzado de

etc.. Propriedades 1ª) - As potenciações são sempre possíveis e unívocas. 2ª) - As potências pares são positivas; as ímpares têm o sinal da base: 

( 2H ) Q  (1) Q 3ª) - Tem-se:

P

Q ,

( 2H ) Q  (1) Q

2H ( A B)

2H

2H ( A B)

2H

2H

 ( A B)  2H A 

 ( A  B) 

 ( AB)  ( 2H  A ) B 

2H

2H

A

P

Q ,

(04).

H 2H B  

H 2H B  

,

(05).



AB

Pois, aplicando a definição (01) escrevemos, para o caso de potência ponteada: 2H (A  B).

2H

 H. 2H  ... H. 2H       A +B fatores

 .  ... H 2H  H.  . 

2H

H 2H

A fatores

 H. 2H  ... H. 2H     

2H

.

.  .

2H A H 2H B

.

B fatores

Para o caso da potência cruzada a demonstração é semelhante.

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

40

Tem-se, ainda aplicando a definição (01): 2H (AB).

2H

 H. 2H  ... H. 2H      AB fatores

2H

 H. 2H  ... H. 2H  H.  

 H. 2H  ... H. 2H  H. ... H. 2H  H. 2H  ... H. 2H  ,     

2H

A fatores

A fatores

A fatores

com B fatores formando potências com A fatores. Reaplicando a definição (01), encontramos em cada grupo de A fatores, múltiplo ponteado H-plo dos poliádicos demonstradas de forma análoga.

2H

2H

.

A

 , e em todo o segundo membro, um produto .

A

 ; donde, então, a tese. As demais fórmulas são

As fórmulas do conjunto (05) podem ser generalizadas com facilidade; tem-se: 2H

.  (A B+C+...) 

2H ( AB...) 

2H

 P



2H AK

.  B H.

  Como casos particulares, temos:

2H

 2H  ( AB... )  2H  A

2H ( ABC...)

2H (KA) 

.  A H.

2H

 ABC... 

2H

.  C H. ...

H 2H B H   

2H

 

 ABC

... ,

(06).

...



2H KA

,





 (KA)  P  AK  P  KA ,

(07).

K fatores 2H

 (A

K 

)

2H

  

 2H1 (KA)

...

 AAA

,

2H1

  AK 



2H1

  KA

 

Exemplo: 







  4  4 4  4 4  4 ... 4 4   4  (24)  4  24  4  222  4  42 . 

4 8

8 fatores

4ª) - A potenciação R-pla ponteada ou cruzada de poliádicos de mesma valência é distributiva em relação à multiplicação múltipla de mesmo nome desses poliádicos:

IV,§ 06.03


§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico.

( 2H  H. (P 

2H

. ) R  

P P ) R 

2H

.  R H. 

 P R

2H

. R  

2H

. R H.

P P R  

 P R

2H

41

. R ,

(08),

P P R  

(09).

Pois

( 2H  H.

2H

. ) R  ( 2H  H. 

2H

2H

) H. ( 2H  H.

H 2H

.

H 2H

.

2H

) H. ... H. ( 2H  H.

H 2H

.

 H. ...

H 2H

.

2H

 H.

) 

2H

,

2H

2H

existindo, neste último membro, R fatores  e R fatores  . Como essas multiplicações são comutativas (todos os poliádicos têm a mesma valência par, 2H, e a multiplicação é H2H 2H pla) poderemos agrupar todos os  ou todos os  como primeiros fatores; e escreveremos:

(

2H

H 2H

 .

. R 2H H 2H H H 2H H 2H H 2H H H 2H )  (  .  . ... .  ) . (  .  . ... . ),    R fatores

R fatores

donde a tese. Analogamente pode ser demonstrada (09). Potenciação ponteada poliádica e potenciação matricial. Em vista do Teor.3, §06.02, a expressão matricial do 2H-ádico potência ponteada Q de um 2H-ádico, é obtida multiplicando-se, na forma clássica, a matriz do 2H-ádico base por ela própria Q vezes; então, em coordenadas cartesianas, a matriz associada a um poliádico potência é obtida pela potenciação matricial:

. [( 2H  ) Q ] [ 2H  ] . [ 2H  ] . ... . [ 2H  ] [ 2H  ]Q ,   

(11).

Q fatores

§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico. A operação de multiplicação ponteada permite generalizar a noção de função vetorial linear (de valor vetor) e argumento vetor criada no Cap. II,Vol.I, geometricamente estudada no Cap. III,Vol.I, e a noção de função poliádica linear (de valor poliádico) e argumento vetor criada no §02.03. Recordemos inicialmente que uma função é um liame entre duas entidades (variáveis), no caso, entre um poliádico, digamos P  , com outro poliádico, digamos Q  . O mesmo liame deve existir, equivalentemente, entre as coordenadas cartesianas desses

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

42

poliádicos (em bases vetoriais recíprocas quaisquer previamente estipuladas). Quando essas coordenadas estão ligadas por funções lineares (caso em que só aparecem com expoente um nessas funções), dizemos que a função que liga esses poliádicos é linear, tem argumento poliádico (ou a variável independente é um poliádico) e valor poliádico (a variável dependente é um poliádico); representamos isso, sinteticamente, escrevendo: P



 ( Q ) ,

P

em que P  ( ) é o símbolo usado para representar a função linear de valor poliádico de valência P. Teor. 1: Se certo poliádico P  é função linear de certo poliádico Q  e, digamos, PQ, então existe um e apenas um poliádico S  que não depende de Q  nem de P  , e certa ordem S  S de multiplicação ponteada, com S  Q tais, que P   S  S. Q  , ou seja: P

  P ( Q ), P  Q

  S  indep. de P  e Q , e S  S, S  Q

P

  S  S. Q ,

(01).

Se P  é função linear de Q  , com PQ, então, em bases vetoriais recíprocas arbitrárias, cada uma das 3P coordenadas de P  é uma combinação linear única de pelo menos 3S das 3Q coordenadas de Q  (S  Q) ; e os coeficientes dessa combinação não dependem das coordenadas de P  , nem das de Q  . Escrevendo P

  F ab ... fg

r ... u s t

e a e b ... e f e g e r e s ... e t e u  (QS) fatores

e ordenando as coordenadas de Q  , de que dependem as de P  para que se correspondam com os primeiros S índices da expressão cartesiana, escrevemos também: Q

  X mn ...

p r ... u q s t

e me n ... e p e q e r e s ... e t e u  . (QS) fatores

Então existe um e um único conjunto de coeficientes de proporcionalidade, C a b ...

f m p , g n .... q

com P+Q - 2S índices tais, que

Fab ...

f r ... u g  s t

= C

QS indices

IV,§ 06.04

a

f

m p n .... q

b ... g 

P  (QS) indices

X

m p r ... u n ... q s t ,



S indices

(011),


§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico.

43

expressão em que, para dado conjunto de P-(Q-S) índices a,b,...,f,g, e os (Q-S) outros r,s,...,t,u, está estabelecida uma somatória nos S índices (repetidos) m,n,...,p,q através dos 3P-Q+2S coeficientes C a b ... fg m n .... pq (que não dependem dos X mn ... pq rs ...tu nem dos

Fab ... fg

r ... u s t

). Esta expressão (011) representa um sistema de P-(Q-S) equações lineares

com P incógnitas (os números C) Assim, multiplicando ambos os membros de (011) pela P-ade de base

ea eb ... ef eg er es ... et eu  Q-S

e somando em a, b, ...f, g, r, s, ..., t, u teremos formado no primeiro membro o poliádico P  . Aplicando propriedades dos vetores recíprocos e lembrando a definição de produto ponteado múltiplo de poliádicos (§06.02), o segundo membro pode ser escrito na forma:

Ca b ...

f x z g y .... w

ea eb ... ef eg exey ... ezew S. X mn ... pq rs ...tu emen ... epeq er es ... et eu ,     S

S

ou seja, na forma de um produto ponteado S-plo do poliádico de valência S'= P – Q + 2S, único (para dado S), S

  C a b ...

f x z g y .... w



e a e b ... e f e g e x e y ... e z e w  S fatores

S fatores

pelo poliádico

Q

,

 ; o que comprova a tese.

Notas: Q

P

1 - Se cada coordenada de  é função de todas as coordenadas de  , então, na demonstração anterior deverá ser S=Q, logo S'=P+Q; 2 - Os exemplos 2, 3 e 4 apresentados no §06.02 mostram algumas situações particulares relativas a esse teorema.

Para P e Q variáveis até 4, logo S' variável até 7, podemos organizar a Tabela 5 apresentada no final do capítulo, que mostra alguns modos (não todos) de expressão da função linear P   P ( Q  ) . De um modo geral, se 2Q é a valência de um poliádico (logo Q  0, finito), e se J é a ordem de multiplicação ponteada múltipla entre poliádicos (logo J  0, finito) , então, para qualquer K tal que 2Q K

deve ser

J 2JK , .

2Q  K  J ,

(02), (03).

Com efeito, além das condições já estabelecidas para J e Q, a possibilidade da operação (02) impõe ainda que:

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

44

1ª condição: J  2J  K , ou seja, simplificando, K  J ; 2ª condição: J2Q+K, ou, KJ-2Q, isto é, K-2Q (porque J  0 ), devendo notar-se que para Q = 0 deve ser K  J (primeira condição) e K  J (segunda condição), isto é, apenas J = K. Logo, nos casos em que K  J deve ser Q > 0. Para as funções de valor poliádico de valência ímpar, 2H+1, devemos ter, analogamente, 2H+1+K

 .J

2J  K

,

(021),

o que exige seja

(2H +1)  K  J ,

(031).

Como de costume, representemos por X e C poliádicos de valência zero (escalares) tais que C não seja função de X. Representemos, ainda, por x e c os poliádicos de valência um (vetores) tais, que c não seja função de x, e assim sucessivamente. Genericamente, então, sejam Q  e Q  dois poliádicos independentes de valência Q. Para dado H, somando todos os poliádicos obtidos de (02) atribuindo-se a J e K todos os valores possíveis, encontramos: 2H 

2H  X  2H1 x  2H2    ...  H1 H1  H  H   H1 H1  ... 



2H2

 ... 

2H1

c H1

.

C

: 

 3.  



H1  H 

2H+2 

2H+4

2H

H1

2H+1

:

 .x

2H

H2   H-1

: 3  + ...

2H+2

H5

.

2H1

H1

.

2H3

 . 3 

2H2

H3   ...  

.

:

3H   H 

4H   ...  

H6

 + ...

:

2H  c

 . 4 

.

 3. 4  + ... H  3.

  ... 3  3.

2H1

. 2H+1   :

2H+2  

 (04),

e assim sucessivamente. Logo, se um poliádico 2H  é função linear de poliádicos 2J  K  de valências 0, 1, 2, ... (finita), existem poliádicos 2H+K  de valências 0, 1, 2, ... com os quais é possível expressar aquela linearidade na forma da expressão (04) que pode ser escrita, ainda, resumidamente, na forma finito 2H



J,K 0

IV,§ 06.04

2H+K

 .J

2JK

 ,

(041),


§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico.

45

satisfeitas as condições (03). Com base em (021) e (031) podemos escrever também para os poliádicos de valência ímpar finito 2H+1



2H+1+K

 .J

2JK

 ,

(042).

J,K 0

As formas (041) e (042) são as formas mais gerais de expressar a linearidade da dependência de 2H  , ou de 2H+1  com os demais poliádicos. Com outras palavras podemos dizer que se, por exemplo, 2H



(X, x, , 3 , ...) ,

2H

(05),

então podemos escrever (04) para representar 2H. Mas é óbvio que poderíamos ter vários argumentos escalares, vários vetores, vários diádicos etc. Escreveríamos, então, a expressão correlata de (04), 2H



2H

 i Xi 

2H1

 j. x j 

2H1

 k:  k  ... ,

para i = 1, 2, 3, ..., M;

j = 1, 2, 3, ..., P;

k = 1, 2, 3, ..., Q etc.,

desde que tivéssemos M grandezas escalares X, P vetoriais x, Q diádicas  etc.. Até o momento pudemos apenas comprovar a existência dos poliádicos 2H, 2H+1, ..., mas não sabemos ainda como determiná-los. * Expressões do tipo (05) são utilizadas com freqüência em Mecânica do Contínuo, sendo especialmente úteis no estudo geral das equações constitutivas8. Na Física, em geral, é comum expressões em que H  2, J  2, logo - 4  K  2; raramente encontramos J = 4. Alem disso, nem sempre o poliádico é função de vários poliádicos, sendo comum expressarse um poliádico de certa valência em função de outros poliádicos de valências não maiores. Por exemplo: 1)- Em Elasticidade expressamos o diádico das tensões, , em função do diádico das deformações, , conforme a lei de Hooke, na forma

  4H : ,

(06);

2)- Em Física de Cristais podemos citar vários exemplos de leis lineares (usando notações clássicas):

    4 ,

d  d 0   . e,

e   . d,

    e . 3   4  : ,

(07),

8Ver, por exemplo, Eringen, A. C., Mechanics of Continua, Robert E. Krieger Publishing Company, 1980, Capítulo 5.

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

46

onde  é o diádico permitividade dielétrica,  o diádico suscetibilidade dielétrica, d e d0 os vetores de indução elétrica, e o vetor campo elétrico,  o diádico impermeabilidade dielétrica,  o escalar variação de temperatura,  o diádico expansão térmica, 3 o triádico piezelétrico e 4 o tetrádico de compliência. Mas se formos estudar a atividade acústica dos cristais, encontraremos um pouco mais de dificuldades9. Em cristais não centro simétricos e em corpos girotrópicos a preponderância da dispersão espacial na propagação de ondas elásticas causa atividade acústica. Nesse caso, a lei de Hooke (já citada), numa primeira aproximação, deve ser posta na forma:

  4 H :   5  .3  ,

(08),

onde 5 é o pentádico de giração acústica e  é o triádico gradiente do diádico das deformações. Nota: Oportunamente (§ 09.06) poderemos entender as leis (06), (07) e (08) como transformações lineares, tal como já interpretamos expressões parecidas envolvendo diádicos e vetores. No caso dos vetores, os diádicos são interpretados como operadores de transformações lineares, transformando vetores (pacientes) em vetores (operados). Na lei (06), por exemplo, 4H opera uma transformação linear no campo diádico das deformações e o transforma no campo diádico das tensões. Na lei (08), o campo das tensões é uma superposição de duas transformações lineares: uma idêntica à anteriormente citada, regida por 4H, e uma segunda, regida pelo pentádico 5, tendo o campo triádico  por paciente.

§ 06.05 – Tensores cartesianos de ordem qualquer Consideremos as expressões cartesianas de um triádico relativas a duas bases vetoriais {a*} e {b*} do E3: 3   A ijk a i a ja k  Brst b r b sb t , às quais correspondem, respectivamente, as matrizes associadas:

 A  39

 A111  A121   A131  A 211    A 221  A 231  A 311  321 A  A 331

A112 A122 A132 A 212 A 222 A 232 A 312 A 322 A 332

A113  A123   A133  A 213   A 223  A 233  A 313   A 323  A 333 

3 3x1

e

9=3x3

 B  9 3

 B111 B  121  B131  B211    ...  ...  ...   ...  B331

B112 B122 B132 ... ... ... ... ... ...

B113  B123   A133  ...   ...  B233  ...   ...  B333 

3 3x1

.

9=3x3

Ora, se esse triádico é uma entidade cuja existência independe de bases, entre as suas matrizes associadas (em diferentes bases) deve existir uma relação. De fato, sendo 9 Sirotin e Chaskolskaya, o. c., seção 83.

IV,§ 06.05


§ 06.05 - Tensores de ordens quaisquer.

A ijk  a i a ja k 3.

3 ,

47

ou seja, A ijk  a i a ja k 3. b r b s b t Brst ,

podemos escrever, em forma matricial,

3 A  9

          

M M M M M

111 121 131 211

 M  M   3 9 3 9 3

9 3 9

... 331

 M 3 9

112 122

 M  M 3 9 3

113 123

9

...

...

... ...

... ...

332

 M 3 9

333

 

3  9=3x3

  9  : B     3  9  81=9x9 9 3

3 9

,

(01),

expressão na qual

M ijk 39

 a i a ja k 3. b1b1b1 a i a ja k 3. b1b1b 2 a i a ja k 3. b1b1b 3     a i a ja k 3. b1b 2 b1 a i a ja k 3. b1b 2 b 2 a i a ja k 3. b1b 2 b 3     a i a ja k 3 b1b 3b1  ... ... . ,   a i a ja k 3 b 2 b1b1  ... ... .     ... ... ...    a i a j a k 3 b 3 b 3 b1 a i a j a k 3 b 3 b 3 b 2 a i a j a k 3 b 3 b 3 b 3  . . .  

(02).

Reciprocamente, se entre dois conjuntos de 27 números Aijk e Brst, referidos cada um a uma base, existe uma relação do tipo (01) em que as submatrizes 9x3 [M ijkrst] são definidas por (02) - os elementos das quais são definidos por multiplicações ponteadas triplas entre os vetores das bases - dizemos que esses conjuntos constituem um tensor cartesiano de ordem 3. Com outras palavras, dizemos que um tensor de ordem 3 é uma entidade - um conjunto de 33 números - que, numa mudança de base, se comporta exatamente como os triádicos cuja existência independa de bases. Por isso mesmo, todo tensor de ordem 3 pode sempre ser convenientemente representado por um triádico, mas nem todo triádico pode ser um tensor. Para os tetrádicos podemos deduzir expressões análogas. Se 4

  A hijk a h a i a ja k  Brstub r b sb t b u , então A hijk  a h ai a ja k .4 b r b s b t b u Brstu .

Se, por exemplo,

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

48

 A   99

 A 1111   A 1211   A 1311   A 2111   ...  3311 A

A 1112 A 1113 ... A 1133   A 1212 A 1213 ... A 1233   A 1312 A 1313 ... A 1333   e A 2112 ... ... ...   ... ...   A 3312 A 3313 ... A 3333  9 9

B 

9

 9

 B1111   B1211   B1311   B 2111   ...   B 3311

B1112 B1113 ... B1133   B1212 B1213 ... B1233   B1312 ... ... B1333   , .. ...   ... ... ...   B 3312 B 3313 ... B 3333  9 9

então

 A   39

          

M M M M 

1111 1211 1311 2111

... M 3311

   

9 9 9 9 9 9 9 9

M M M M

  9 9

1112 1212 1312 2112

... M 3312

   

9 9 9 9 9 9 9 9

M M M M

  9 9

1113 1213 1313 2113

. .. M 3313

    

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

 ...  M ...  M ...  M

... M 1133 1233 1333 2133

... ... 3333 ... M 

    

9  81=9x9

  9 9 9 : B , 9 9 9 9  9  9  81=9x9 9 9

sendo

M hijk 99

 a h a i a ja k .4 b1b1b1b1 a h a i a ja k   a h a i a ja k .4 b1b 2 b1b1 a h a i a ja k   ...  a h a i a ja k 4 b 3b 3b1b1 a h a i a ja k . 

4 1 1 1 2 h i j k 4 1 1 3 3 . b b b b ... a a a a . b b b b   4 1 2 1 2 h i j k 4 1 2 3 3 . b b b b ... a a a a . b b b b  .  ... ... ...  4 b 3 b 3 b1b 2 ... a h a i a ja k 4 b 3 b 3 b 3 b 3  . . 

Podemos, agora, conceber o tensor cartesiano de ordem 4 e concluir que numa mudança de base, ele se comporta exatamente como o tetrádico cuja existência independa de bases, ou, ainda, que todo tensor de ordem 4 pode sempre ser convenientemente representado por um tetrádico. É fácil generalizar esses resultados para os poliádicos e para os tensores (cartesianos) de um modo geral. As expressões matriciais correspondentes podem ser escritas, evidentemente, com alguma simplicidade, embora bastante longas posto que as ordens das matrizes, bem como as ordens das multiplicações ponteadas entre os vetores de base, vão aumentando significativamente. • IV,§ 06.05


§ 06.05 - Tensores de ordens quaisquer.

49

Se nos reportarmos, agora, ao §02.04,Cap.III,Vol.I, e compararmos as expressões matriciais (031), (081) e outras lá deduzidas - pelas quais são caracterizados os tensores de ordens 1 e 2 - com as que acabamos de deduzir para os tensores de ordens 3, 4 etc., veremos que não existe homogeneidade entre elas. Com efeito, as relativas aos tensores de ordens 1 e 2 são definidas pelas operações clássicas de multiplicação matricial, enquanto que as relativas aos tensores de ordens mais elevadas são definidas pelas duplas multiplicações matriciais. Mostraremos, agora, que esse segundo modo de proceder é geral e suficiente para a caracterização dos tensores. Ponhamos, então, no caso dos vetores e dos diádicos:

v  A i a i  B r b r , donde A i  (a i .b r ) B r ; e

  A ij a i a j  B rsb r b s , donde A ij  (a i a j : b r b s ) B rs .

Por consideração da definição de dupla multiplicação matricial, podemos escrever: - no caso dos vetores:

 a 1 . b1   a 1 . b 2    1 3    a . b    a 2 .b 1    a 2 . b 2  :  a 2 . b 3       a 3 .b 1    a 3 . b 2    a 3 . b 3   9=3x3 1=1x1

 A1  A 2   3 A 3 1

B   1  B2  ;  B 3  3 1

- no caso dos diádicos: sendo

 A 11 A 12 A 13    A 21 A 22 A 23   31 32 33  A A A 3

 A   33

B B B   11 12 13    B 21 B 22 B 23  ,  B 31 B 32 B 33  3 3

3

B 

e

3

 3

então

3 A  3

  

 11  M    M 21   M 31 

 M  M   M  M   M  M  3

3 3 3 3 3

12

22 32

3

3 3 3 3 3

13

23 33

3  9=3x3 3 3

3  3

 , 3

: B

3

3  9=3x3

Poliádicos - Ruggeri


§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

50

com

 ( a i a j ) 2 (b1b1 ) ( a i a j ) 2 (b1b 2 ) ( a i a j ) 2 (b1b 3 )  . . .    i j 2 2 1 i j 2 2 2 i j 2 2 3    ( a a ) . (b b ) ( a a ) . (b b ) ( a a ) . (b b )  .    ( a i a j ) .2 (b 3b1 ) ( a i a j ) .2 (b 3b 2 ) ( a i a j ) .2 (b 3b 3 )  3 3

M  ij

3 3

É evidente que essas novas formas de expressão das relações matriciais entre as coordenadas dos vetores e dos diádicos se enquadram no sistema geral deduzido anteriormente para triádicos, tetrádicos etc.. De fato, para o poliádico de valência par, 2H (com H = 1, 2, ... ), as suas matrizes associadas nas bases {a*} e {b*} têm, ambas, 3H linhas e 3H colunas. A matriz de transformação de uma matriz associada na outra tem 32H linhas e 32H colunas e as submatrizes que a constituem, todas com 3H linhas e 3H colunas, têm seus elementos definidos como produtos ponteados 2H-plos entre 2H-ades compostas ordenadamente com os vetores das bases. Para o poliádico de valência ímpar, 2H-1 (com H = 1, 2, ...), as suas matrizes associadas nas bases {a*} e {b*} têm, ambas, 3H linhas e 3H-1 colunas. A matriz de transformação de uma matriz associada na outra tem 32H linhas e 32(H1) colunas e as submatrizes que a constituem, todas com 3 H linhas e 3H-1 colunas, têm seus elementos definidos como produtos ponteados (2H-1)-plos entre (2H-1)-ades compostas ordenadamente com os vetores das bases. Mostraremos oportunamente (§14) que para os poliádicos de valência par existem expressões similares às apresentadas no (§02,Cap.III,Vol.I) relativas aos diádicos. Por ora, com relação ao modo como se conectam as coordenadas de um poliádico numa e noutra base vetorial, devemos nos contentar com os resultados gerais encontrados, facilmente computáveis. § 06.06 - Norma e flecha de poliádico. Ângulo de dois poliádicos. Consideremos um poliádico genérico, P  , associado a um vetor não nulo e1 de E1, e sua escrita (P-1)-ádica P



P1 1

 e 1.

Tem-se, sempre: P

 P. P  ( P1 1 P.

P1 1

 )(e1 ) 2 ,

(01).

Analogamente, em relação a dois vetores não paralelos de E2, escrevendo-se, P



P1 1

 e1 

P1

 2e2 ,

temos também: P

 P. P   ( P1 1 P.-1

P1 1

 )( e1 ) 2  ( P1  2

P-1 P1

.

 2( P1 1 P.-1 IV,§ 06.06

 2 )( e 2 ) 2 

P 1

 2 )( e1 .e2 )

,

(02).


§ 06.06 - Norma e módulo de poliádico. Ângulo de dois poliádicos.

P

51

Recorrendo ao Teor.1,§03.04, podemos escrever, para vetores não coplanares do E 3,   e1  P1  2e 2  P1  3e3 , resultando, pois, P1 1

P

 P. P    ( P1 1 P.-1

P 1 1

 )( e1 ) 2  ( P1  2

 2( P1 1 P.-1

P-1 P 1

.

 2 )( e 2 ) 2  ( P1  3 P.-1

P 1

 3 )( e 3 ) 2 

(03).

P 1

 2 )( e1 .e2 )  ....,

Teor. 1:

 P :

P P P

.

 0,

(04).

Consideremos a primeira associação, dada por (01), entre poliádicos e um vetor do E1. Para triádicos, caso P = 3, (04) é evidente já que as normas de diádicos (§07.07,Cap.II,Vol.I) e vetores são números positivos. Consideremos a segunda associação, dada por (02), entre poliádicos e vetores do E 2. Para os casos P=1 e P=2 a desigualdade (04) já é nossa conhecida. Para o caso P=3 temos: 3  3 3 .

|| 1 |||| e1 ||  ||  2 |||| e 2 || 2(1 :  2 )(e1.e2 ) .

Ora,  | 1 ||  2 | 1 :  2 | 1 ||  2 | e  | e1 || e 2 | e1 . e 2 | e1 || e 2 | . Logo 3  3 3 || 1 .

|||| e1 ||  ||  2 |||| e 2 || 2 | 1 ||  2 || e1 || e 2 |

ou seja, 3  3. 3  (| 1 || e1 |  |  2 || e 2 |)2 , o que comprova (03) para P=3. A associação dada por (03) pode ser demonstrada analogamente. Para o caso P=3, com triádico e vetores do E3, temos: 3  3 3  || 1 |||| e ||  ||  2 |||| e ||  ||  3 |||| e ||  . 1 2 3

 2(1 :  2 )( e1.e2 )  2( 2 :  3 )( e 2 .e3 )  2( 3 : 1 )( e 3.e1 ) e sendo  | 1 ||  2 || e1 || e 2 | (1 :  2 )(e1.e2 ) | 1 ||  2 || e1 || e 2 | etc., vem, analogamente à dedução anterior, 3  3 3 || 1 .

|||| e1 ||  ||  2 |||| e 2 ||  ||  3 |||| e3 || 2 | 1 ||  2 || e1 || e 2 | ...

isto é, 3  3. 3  (| 1 || e1 |  |  2 || e 2 |  |  3 || e3 |)2 . Para P=4 (associação entre triádicos e vetores do E 3), escritos os triádicos na forma de uma soma de um triádico planar com um triádico linear, perpendiculares entre si, é válida também (04) já que (03) equivale a somar uma parcela positiva a uma expressão positiva do tipo (02)10.

10 Isto significa, na linguagem da Álgebra Linear, que o espaço dos triádicos com a operação de multiplicação escalar, definida como uma multiplicação ponteada tripla, é um espaço euclidiano, isto é, os triádicos têm quadrado escalar positivo (ou norma positiva).

Poliádicos - Ruggeri


52

§ 07 - Poliádicos isômeros.

Definamos 3 .3 3 como a norma de 3  e ponhamos 3 .3 3  ||3  || . Definamos também o módulo do triádico 3  com a raiz quadrada positiva da sua norma e ponhamos

|3  |  ||3  || . Então:

3 ,3  : Com efeito, seja escalar. Tem-se: 3

3

3

 3 3   |3  | |3  | ,

(05).

  3   X 3  , em que 3  e 3 são triádicos quaisquer e X um

 .3 3   ( 3  .3 3 )  2 X ( 3  .3 3 )  X 2 ( 3  .3 3 )

Como as normas dos triádicos são números positivos, o trinômio do segundo grau acima tem discriminante negativo; logo (3  3 3) 2  ||3  ||||3  || 0 , donde a comprovação de (05). Então,

3 ,3  :

-1 

 3 3  1, |  | |3  | 3

3

(051),

isto é, dados dois triádicos quaisquer, existe um ângulo - que denominaremos ângulo dos dois triádicos - cujo co-seno vale o triplo produto ponteado desses triádicos dividido pelo produto dos seus módulos. Com estes resultados alcançados podemos prosseguir a demonstração do teorema para os tetrádicos. Recairemos em situação idêntica em que definiremos a norma de um tetrádico, o ângulo de dois tetrádicos etc.. Em geral, então, escreveremos:

 P, P :

P P P 

.

|P  | |P  | cos( P ,P ) ,

(06),

tornando-se evidente o significado da notação cos(P, P). Esses conceitos, de natureza algébrica, serão utilizados mais à frente (§ 09.06) para associar a um poliádico uma “flecha” de natureza idêntica à dos vetores.

§ 07 - POLIÁDICOS ISÔMEROS. § 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão. Se 3

   k g k  g k  k  a kr f r g k ,

então para qualquer vetor v podemos escrever: IV,§07.01


§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

3

53

 . v   k (g k . v )  ( v. g k ) k  v. (g k  k )  v. 3  ,

ou

v. 3   ( v. g k )  k   k (g k . v )  (  k g k ) . v  3  . v Analogamente, para qualquer diádico   a i b i , escrevemos: 3

 :   (a kr f r g k ) : (a i b i )  a kr (f r . a i )(g k .b i )  (b i a i ) : (g k f r a kr )  T : (g k f r a kr ).

Assim, para os triádicos, diádicos e vetores, tal como já sucedera com diádicos e vetores (§02,05,Cap.II,Vol.I), constatamos a necessidade da criação de novos triádicos, a partir do triádico dado, obtidos por operações algo parecidas com a transposição para os diádicos; seriam estes os triádicos

g k  k ,  k g k e g k f r a kr . Similarmente, se 4

  3  k g k   k  k  a kr s e s f r g k ,

então, para quaisquer

  ai bi ,

v,

3

 r mn u m v n ,

escrevemos: 4

4

 . v  3  k (g k . v )  ( v. g k ) 3  k  v. (g k 3  k ) ,

 :    k ( k : )  ( :  k ) k   : ( k  k ) ,

ou, ainda, 4

 :    k ( k : )  ( k T : T ) k  ( k  k T ) : T ,

e 4

3 3  .

 (a

k s r 3 e f gk ) . r s

n

k s r 3 ( e sf g k . r

n

 ( v r n u m ) . ( g k e sf a

m r k s .e )( u m .f ) a r n s

k s r 3 [ ( g k e sf ) . r

n m

( v r n u m )  (a

3 .

n

 

 ( v .g k )( r

3

m

r nu mv ) 

m r n k s .e )( u m .f )( v .g k ) a r n s

(r

 a

m

(r n u m v )  a

r

( e sf g k a

n m

3

k s r 3 g ef ) . r k s

k s ) r

 r

k s ) r

n m

( v r n u m ).

Poliádicos - Ruggeri


54

§ 07 - Poliádicos isômeros.

Definição: Chama-se transposta múltipla para montante (ou dianteira) de R vetores e posto TR da políade P-ária (de valência P>R), P

  a b c d ... v x y z w ,

e representa-se por 

P

 RT  (a b c d ... v x y z w) RT ,

a políade que se forma, a partir da políade P-ária dada, inserindo-se o conjunto dos seus R primeiros vetores conseqüentes, sem alterar-lhes a ordem nesse conjunto, entre os conseqüentes de postos T e T+1 da políade paciente11, mantendo-se a ordem das demais letras: 

P

 R T  ( a b c ... r s t u ...... v x y z w ) R T  a b c ... r s ... v x y z w t u ...     , fatores R fatores  R  

(01).

T fatores

Definição: Analogamente se define e se representa a transposta múltipla para jusante (ou traseira), de R vetores e posto T: 

P

 R T  (a b c ..... r s t u ...... v x y z w) R T  ... r s t a b c ... u ... v x y z w      , R fatores R fatores  

(02).

T fatores

Quando, numa transposição, o posto T é igual à valência P, escrevemos, simplesmente:  R

( a b c ... r s t u ...... v x y z w )  s t u ... v x y z w a b c ... r   , R fatores

R fatores

 R

( a b c ... r s t u ...... v x y z w ) ... v x y z w a b c ... r s t u ... ,   R fatores

(021),

R fatores

e a denominamos simplesmente de transposição múltipla de ordem R para montante ou para jusante. Poremos, por definição, P

 0

P

 0

P

P

 P

P

 P

         ,

(022);

com os símbolos acima estaremos, pois, representando a transposição idêntica. Para os 2Q-ádicos existem as transposições especiais de Q vetores para montante ou 11 A noção de posto é óbvia: é o lugar entre letras na representação de uma políade.

IV,§ 07.01


§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

55

para jusante, casos especiais de (021) em que P=2Q, R=Q; e escrevemos:  2Q Q

 

 2Q Q

 

 ,

2Q T

(031).

No §15 estudaremos os caso de igualdade entre poliádicos isômeros. Um caso especial de igualdade está relacionado com os 2Q-ádicos tais, que 2Q



2Q T

e

2Q

   2Q T ,

(032),

casos em que os 2Q-ádicos serão ditos, respectivamente: simétricos e anti-simétricos. Com base nas definições (023) é fácil comprovar que

 Q :

Q

1  sim  ( Q  T  Q ) 2

e

 Q :

Q

1  ant  ( Q  T  Q ) , 2

(033),

são Q-ádicos simétrico e anti-simétrico, respectivamente; o que justifica a notação. Políades reversas Definição: Chama-se políade reversa de dada políade P-ária aquela cujos vetores fatores sejam os da primeira, mas dispostos em ordem inversa. Assim a reversa de abcd é dcba; e vice-versa.  P

Quando necessário, para especificar políades reversas, usaremos as notações: 

 e

P

.

A transposição múltipla para montante ou para jusante de R vetores e posto T de uma políade é a operação que tenha por fim determinar a transposta de mesmo nome dessa políade. A reversão de uma políade é a operação que tenha por fim determinar a sua reversa. A operação de transposição múltipla generaliza a operação de transposição para a díade, pois   (ab) T  ba  (ab) 1  (ab) 1 , (04); identifica-se também com a reversão, isto é

  T ( a b)  b a  ( a b)  ( a b) ,

(041).

As operações de transposição e de reversão estendem-se ao P-ádico P  transpondose e revertendo-se, respectivamente, cada uma de suas díades na sua representação P-ária, e somando-as em seguida; obtêm-se, então, os poliádicos transpostos para montante ou para jusante de P  , de R vetores e posto T e os poliádicos reversos. Os transpostos de

Poliádicos - Ruggeri


56

§ 07 - Poliádicos isômeros.

P

poliádicos são representados por  P

reversos por 

 RT

,

 P

 RT

 RT

P

ou

 RT

; os transpostos correspondentes dos

.

Exemplos: 1) – Sendo 9   abcdexyzw, tem- se: 9

9

 26  37

 ( abcdexyzw )  ( abcdexyzw )

 26

 abczwdexy;

 37

 dexyabczw. 

2) - (a b c d e f ) 2  e f a b c d, e (a b c d e f ) 2  c d e f a b . 3) - No caso do triádico parágrafo, temos:

3

   k g k  g k  k  a kr f r g k , referido no início deste 

 1  g k  k , 3  1   k g k , 3   g k f r a kr ; 4 no caso do tetrádico   3  k g k   k  k  a kr s e s f r g k , 3

4

 1

3

k

4

 3

  gk    ,

 4 2

k

 2

4

 4 1

k

   k   ,   k T   2 , a

k s r

r

4

 1

g k e sf   3 .

4) - Não é difícil comprovar-se que 

(  P )12  (P 1  )( P 1) , P

P

(05),

 1

de onde podemos também deduzir, trocando  por  :  

(  P  1 ) 12  ( P   ) (P 1 ) ,

(051).

Então, para P = 2 (diádicos), temos, dentre outras fórmulas: 

(  )12  (T  )1 ,

(052),

5) - Transposição de um triádico resultado de produtos com três diádicos:

, ,  :

[  (

 

)] 1    (. ) T    (.) T ,

(053).

Transposição simples e composta As transposições múltiplas definidas serão denominadas, também, de simples para diferençá-las da composta, isto é, de uma transposição (múltipla) realizada sobre uma transposição (múltipla) anteriormente executada. Escreveremos, por exemplo, para as

IV,§ 07.01


§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

57

transposições compostas de ordens Q e R:     P Q R  ( P Q ) R ,

    P Q R  ( P Q ) R

etc ,

(06).

No primeiro exemplo, indicamos uma transposição para montante sobre P  (o que gera um poliádico P  , diferente de P  ), seguida de uma transposição, também para montante, sobre P  . No segundo exemplo, a primeira transposição é para jusante, a segunda é para montante. Exemplos: 

1) -

(abcdxyz) 2 3  (yzabcdx ) 3  bcdxyza ,

isto é, 

(abcdxyz) 2 3  (abcdxyz) 1 .  

2) -

(abcdxyz) 3 5  (xyzabcd) 5  zabcdxy ,

isto é,  

(abcdxyz) 3 5  (abcdxyz) 1 .  

3) -

(abcdxyz) 3 5  (xyzabcd) 5  cdxyzab ,

isto é,  

(abcdxyz) 3 5  (abcdxyz) 2 . 

(abcd) 4  abcd  (abcd) 4 ,

4) -





(abcd) 6  (abcd) 4 2  (abcd) 2  cdab, 

(abcd) 8  (abcd) 4 4  (abcd) ( 24 )  abcd, 

5) -



(abcd) 3  dabc  (abcd) 4 3  (abcd)1 ,

ou

(abcd) 3  (abcd) ( 4  3 ) . 

6) -

(abcd) 3  bcda  (abcd) ( 4  3 )

Estes exemplos podem ser generalizados pelas fórmulas seguintes

Poliádicos - Ruggeri


58

§ 07 - Poliádicos isômeros.

P

P

 (KP)

P

P

  Q R

  Q R

P

  P

P

  Q R

 Q  Q

 (R  Q)

P

 (R  Q)

P

 (R Q)

 

 

 (KP)

P

 

P

 

  R Q

P

  R Q

P

 (Q R)

 

 

,

(07);

,

(071);

,

(08);

P

  (K inteiro ou K = 0), P

  P

 

 (P Q)  (P Q)

(09);

,

(10);

,

(11).

Pelas fórmulas (07) e (071) são resolvidos os problemas da composição de transposição quando ambas são de mesma natureza, podendo a ordem resultante ser maior que a valência do poliádico a transpor (ver exemplo 4). Convenção Convencionando-se que uma transposição de ordem negativa deva ser entendida como uma transposição de mesma ordem em sentido contrário, isto é, que: 

P

 Q  P  Q ,

(12),

os dois últimos membros de (08) tornam-se equivalentes. A fórmula (12) resolve, pois, o problema da composição de transposições de naturezas diferentes (exemplo 3). Poderíamos também dizer, em relação aos dois últimos membros de (08), que a seta indicativa da transposição resultante é a da transposição correspondente ao minuendo. Assim, por exemplo, 



sendo (abcd) 3  (abcd) 4 3, porque (abcd) 4  abcd , resulta: 

(abcd) 3  (abcd) (4  3)  (abcd) (3  4)  (abcd) 1  (abcd) 1 . Pela fórmula (09) pode-se determinar o transposto de um poliádico em que a ordem da transposição é um múltiplo inteiro da valência do poliádico; o que, evidentemente, é uma transposição idêntica. As fórmulas (10) e (11) resultam logo das anteriores, porque, lembrando (03) e em seguida aplicando (08), temos:    P  Q ( P  P ) Q

IV,§ 07.01

 P  (Q P )  P  (P Q) ,

(121).


§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

59

Analogamente, P

 Q

( P  P ) Q  P 

 (P  Q)

 P

 (Q  P)

,

(122).

Poderemos, também, efetuar transposições compostas de ordens e postos diferentes, para montante e para jusante, representadas genericamente pelas expressões: P

  Q R ST

P

,

  Q R ST

P

,

  Q R ST

etc.

Alguns casos particulares merecem destaque por sua utilidade prática. Assim, exporemos as Fórmulas de transposições compostas sobre um triádico e seu reverso todas de ordem 1 e postos 2 ou 3, que se demonstram facilmente: 3

 3 12 12

   3 12

 3 12 12

 

 3 12 1

 

 3 12 12

 3 1

 3 12 12

 3 11

 

 3 11

  

 3

 3 12 1

 

(14);

  ,

(15);

  3 1

  2,

(16);

  3 12

 

  ,

 3 12 1

 3 1 12

 

(13);

  3 1

  3 1

 

  

 3 11

  ,

  ,

 3 1 12

 

 3 1

 3 1 12

 

 3 12 1

 3 12

 3 11

 

 

(17);  3 1 12

 

,

(18);

Estas fórmulas são válidas para qualquer triádico; então, para o triádico reverso de 3 podemos escrever, ainda, dentre outras fórmulas:  3

  3 12 12

  3 12 12

  3 11

 

 

 

 12

  3 12 1

  3 1 12

 3

 

 

  3 11

  ,

(131);

 3 1

  ,

(141).

Exporemos também, a seguir, algumas formulas, sem demonstração. Fórmulas de transposições compostas sobre um tetrádico e seu reverso, de diversas ordens e diversos postos: 4

  4

 12 12

 4

 12 12





 4  1 1  4  1 1,

(19),

Poliádicos - Ruggeri


60

§ 07 - Poliádicos isômeros.

4

4

4

4

4

4

 4 12 2

 4 12 2

 12 1  12 1

 12 1  12 1  12 2 3  12 2 3

 2

 4 3 , 

  ,

(22),

 2

 4 3 ,

(23),

  ,

(24),

 4

 1

 41,

 4

(21),

 23

4

  4 2 312

 2

 4 3 ,

 4 

(20),

 12  12

(25),

 4  4 

 4

 131

 212

,

(26),

 212

,

(27),

,

(28),

e várias outras. * Exercícios: 1 - Comprovar que, de (052), considerando-se (18), pode deduzir-se: 

(  )   T   , ou,     ( T   ) ,

(29).

2 – Mostrar que: 3

 : (  a)  3  12 .a , *

(30).

Isomeria Definições: (Isômeros, isomeria) Um poliádico e todos os seus transpostos e reversos são ditos isômeros uns dos outros. Então, poliádicos isômeros são aqueles que se escrevem com os mesmos vetores, diádicos, triádicos etc., mas em ordens diferentes. Isomeria é a parte da álgebra dos poliádicos que tem por finalidade o estudo das propriedades dos poliádicos isômeros bem como das propriedades das operações com isômeros. IV,§ 07.01


§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

61

Verificam-se as seguintes propriedades: 1ª) - Uma transposição para montante ou para jusante com R vetores é operação equivalente a R operações sucessivas para montante ou para jusante com apenas um vetor:  PR



 P 111 ... 1

 P R

e



 P 111 ... 1 .

Assim, por exemplo, 5

 3

 3

 1

  (abcde)  (deabc)  (cdeab)  (bcdea ) P

Logo: 

 R

P

 11

 (abcde)

 111

.

 R

e  , qualquer que seja R, são duas permutações, em geral distintas, P sobre a escrita vetorial de  . Analogamente, uma transposição para montante (jusante) de R vetores e posto Q é operação equivalente a R transposições sucessivas para montante (jusante) com um vetor e posto Q:  P  RQ

R vezes    

   P  1Q 1Q ... 1Q

 P RQ

e

R vezes      

 P  1Q1Q ... 1Q

.

2ª) - Uma transposição para montante de R vetores e posto T sobre uma Pade é operação equivalente à conservação da (P-T)-ade formada pelos seus antecedentes e à transposição para montante (ou para jusante) de ordem R (ou T-R) da T-ade formada pelos seus conseqüentes. Pois, aplicando as definições e, depois, as fórmulas (10) e (11), temos:

P

 RT

T fatores    

 ( a b c ... r s t u ...... v x y z w ) 

 RT

 T fatores P 

 a b c ... r s ... v x y z w t u ...    

R fatores

 ( a b c ... r s)( t u ..... .... v x y z w )           P  T fatores

T R fatores

R fatores

(T R)

R fatores 

 ( a b c ... r s)( t u ..... ... v x y z w )       P  T fatores

 R

.

T fatores

Analogamente, uma transposição para jusante de R vetores e posto T sobre uma P-ade é operação equivalente à conservação da (P-T)-ade formada pelos seus conseqüentes e à transposição de ordem R (ou T-R) para jusante (ou para montante) da T-ade formada pelos seus antecedentes:

Poliádicos - Ruggeri


§ 07 – Poliádicos isômeros

62

P

 RT

T fatores   

 ( a b c .... .... r s t u ...... v x y z w )   

 RT

P  T fatores  

 (... r s t a b c ...) u ... v x y z w          T R fatores R fatores

R fatores T fatores  

 R

 ( a b c ... ... r s t ) ( u ..... .... v x y z w ) .      P  T fatores

R fatores  R

P

 R

P

 T e  T são duas permutações, em geral distintas, sobre a escrita P vetorial de  . Com efeito, a transposição sobre a políade fator não conservada gera políades distintas. Logo:

 P

 , reversa de  , representam novas permutações, em geral distintas, sobre a escrita P vetorial de  . 3ª) - As duas propriedades anteriores aplicadas à políade P

Com efeito, pois P

 R

 P

 R

 P

 RT

  ( T Q )T QT

P

P

  , 

 RT

 

, ... .

4ª) - Tem-se: P

P

  , T  Q:

P

 

  QT ( T Q )T

P

 

 

  ( T Q )T QT

P

 

  QT ( T Q )T

,

(30).

Com efeito, pela propriedade 2ª podemos decompor univocamente o P-ádico no P T P T  para T  P, produto direto de um T-ádico por um (P-T)-ádico, escrevendo    caso em que a transposição de Q vetores e posto R sobre

P

 é equivalente a uma

T

transposição de ordem Q sobre  se Q  T  P. Logo, P

Mas, segundo (11),

 QT

T

T

 

 Q PT

  Q ( T Q )

T

  P

P

e  QQ

  QT ( T Q )T

T

  T

; e segundo (08), 

  QT ( T Q )T

T

 

PT

  Q ( T Q ) P T

  Q Q

T

  ; logo:

P

  ,

o que justifica os dois primeiros membros de (20). Como, por (07 1), P

  QT ( T Q )T

P

 

  ( T Q )T QT

,

justifica-se, também, o terceiro membro de (30). Para se comprovarem os dois últimos membros de (30) basta que se considere a IV,§07.01


§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras.

P

decomposição  

P T

63

T

  e se leve em conta que as transposições de ordens Q e T - Q T para montante são realizadas apenas sobre  porque QT. 5ª) - Existem, no máximo, P! políades isômeras de valência P. Com efeito, imaginada uma políade escrita vetorialmente, todas as suas isômeras (as transpostas e as reversas) podem ser obtidas por permutação circular dos vetores; com o que se obtêm P! permutações. As tabelas 1 e 2 apresentadas em apêndice, no final deste capítulo, apresentam todas as isômeras de uma tríade e uma tétrade, políades estas de maior utilidade nas aplicações. § 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras. Políades quaisquer, de valências diferentes. Pondo T fatores    P

  abc ... e fg ... l mn ... pqr ... yz , onde T  P, 0 Q,       Q fatores

Q fatores

têm-se as isômeras P

 QT

 fg ...  lmn ...p ab ... qr yz ,    e  ...  T - Q fatores

P

 ( P  T)PQ

(A),

Q fatores P-T fatores

fatores P-T  

 ab ... e qr ... yzfg ... lmn...  p,  

(B),

P - Q fatores

e a fórmula geral

 P, Q, T com T  P e 0  Q : P

 QT

Q P  T

.

Q P  T

 

Q P  T

Q P  T

.

P

 (P  T)P  Q

,

.

(01).

Com efeito, considerando (A), escrevemos: P

 QT

Q P  T

.

Q P  T

  fg ... lmn ... p( ab ... eqr ... yz

Q P  T

.

Q P  T

 ),

ou, ainda, lembrando que a multiplicação múltipla entre parênteses é comutativa (§06.02) e que o resultado é um número:

Poliádicos - Ruggeri


§ 07 - Poliádicos isômeros.

64

P

 QT

Q P  T

Q P  T

.

 

Q P  T

Q P  T

ab ... eqr ... yzfg ... lmn ... p .

.

Agora, considerando (B) temos, logo, (01). Analogamente,

 P, Q, T com T  P e 0  Q : P

 (P  T)P  Q

Q P  T

Q P  T

.

 

Q P  T

Q P  T

P

.

 QT

(011).

,

Para P=T resultam, de (01) e (011), respectivamente:

 P  , Q :

P

 Q

Q

Q

.

 

Q

 Q.

P

P

e

Q

Q

.

 

Q

 Q.

P

Q ,

(012).

Para a multiplicação cruzada, considerando a sua eventual anticomutatividade e lembrando que o produto (Q+P-T)-plo é um (Q+P-T)-ádico, deduzimos, sucessivamente: P

 QT QP-T Q P-T  

 (1) QPT fg...lmn...p( QP-T 

 (1) QP-T ( QP-T 

QP-T 

QP-T 

ab...eqr...yz )  

ab...eqr...yzfg ...lmn...p) (QP-T )

ou, ainda, considerando (B) e efetuando uma transposição para montante, de ordem Q+P-T:

 P, Q, T com T  P e 0  Q : (P 

 QT

 Q  P T Q  P T (Q  P  T )  ) 

 (1) Q  P T

Q  P T

Q  P T 

 (1) Q

Q

( P  Q Q ) Q  (1) Q

Q

 P (P  T )PQ

(02).

,

Para P=T resulta, logo: 

P , Q  : P

( P Q P

 Q Q Q  ) 

Q P , 

(021),

 Q P Q  

(022).

 Q

e, trocando-se nesta fórmula  por  :

P , Q  :

Políades quaisquer, de mesma valência. Independentemente de ◦ representar  ou . é fácil comprovar a validade da fórmula

IV,§ 07.02


§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras

 P , P , T :

P

 P P  ( P 

   QT P P QT (T -Q )T  ) 

65

,

(03), P

a transposição no segundo membro sendo irrelevante no caso de ◦  . . Trocando-se  por P

 (T Q)T

em (03) e lembrando-se ((20),§07.01), resulta:

 P , P , T :

P

 P P 

 (T Q )T

 (P 

  QT P P (T Q )T  ) 

,

(04),

ou, ainda, especificamente:

.

P

e P

P P

 (T Q)T

 P P (T -Q )T  

 QT P P

  P

 (P 

.

,

 (T -Q )T P P  ) 

 QT

(041), ,

(042).

Considerando-se ((11),§07.01) e fazendo-se T = P em (04) resulta:

 P , P , T :

P

 P P Q  

 ( P Q

 P P Q ,  ) 

(05),

ou, especificamente: 

P

 P. P  Q  P  Q .P

,

(051),

 P P Q  ) , 

(052).

P

e P

P

P

Trocando  por 

 P P Q  

 (T Q)T

P

e P

em (03), obtemos:  P (T -Q )T P P   

 P , P , T : donde,

 ( P Q

( P  P P 

 (T Q)T P P

P P .   .

 (T -Q )T P P  

P

( P  P P 

 QT

  QT (T -Q )T

,

  QT (T -Q )T

)

)

,

(06), (061),

,

(062).

Fazendo-se P = T nas fórmulas (06), tem-se:

 P , P , Q : 

P

 Q P.

P

 P Q P P   

  P  P.

( P  P P  Q ) Q ,

(07),

P

Q,

(071),

Poliádicos - Ruggeri


§ 07 - Poliádicos isômeros.

66

P

Q

P P  

( P  P P  Q ) Q ,

(072).

É válida também a fórmula análoga a (03),

 P , P , Q, T : P

P

P

Trocando-se em (08)  por 

 P P  ( P 

 (T Q)T

   QT P P QT (T -Q )T  ) 

,

(08).

e relembrando (20), § 07.01 resulta:  P (T -Q )T

 P , P , Q, T :

P P  

  P P QT (T -Q )T  ) 

( P 

,

(09),

donde P

P

 (T -Q )T

 (T -Q )T

P P  

P P  

 P P QT  

 P

( P 

,

  P P QT (T -Q )T  ) 

(091), ,

(092).

Analogamente ao caso anterior, fazendo P = T em (09) obtemos:  P Q P P   

 P , P , Q :

( P 

  P P Q Q  )  ,

(10),

e, especificamente, P

Q

P P  

 P

 P P Q  , 

(101),

  P P Q Q  ) , 

(102).

e P

Q

P P  

 (P 

Exemplos para simples comprovação: Tem-se, para 4  zwxy e 4 E  abcd : 4

 2

4 4  .

4 1 4 4   

 ( z. c)( w. d)(x. a )( y.b)  zwxy

 (yzwx )

4 

4 .

4

cdab  

 4 4 2  , .

(abcd)  (y  a)( z  b)( w  c)( x  d)  

 [(z  b)( w  c)( x  d)( y  a)]1  [( zwxy )

4 

(bcda)]1 ( 4

etc.. Produtos múltiplos ponteados ou cruzados com três poliádicos. Conforme (01) e (011), podemos escrever: IV,§ 07.02

  4 4 1 1  ) 


§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras

67

 P, Q, T com T  P e 0  Q : T Q

T Q

  P

  P

 QT

P  ( T Q)

P  ( T Q)

.

 (P  T)P  Q

P  ( T Q)

 

P  ( T Q)

.

P  ( T Q)

 

P  ( T Q)

P  ( T Q)

P

.

P  ( T Q)

P

.

 (P  T)P  Q

 QT

,

;

 0  S, V  R: R

 SV

R  S V

R  S V

.



R  S V

R  S V

R

.

 (R  V)R  S

.

Logo, para R + S - V = T - Q podemos escrever: R

 SV

T Q

[

.

P

 QT

[ R

 SV

T Q

.

[

P  ( T Q)

P  ( T Q)

. P  ( T Q)

P  ( T Q)

 [ P

] 

P  ( T Q)

P

.

P  ( T Q)

P

.

 (P  T)P  Q

 QT

 (P  T)P  Q

T Q R

]

.

 (R  V)R  S

R  ( T Q)

R  ( T Q)

, (111),

] 

P  ( T Q) P  ( T Q)

.

T Q R

]

.

 (R  V)R  S

,

(112).

Para T - Q = R e, portanto, S = V, temos os escalares:

 ,  , R

P

P R

, Q:

R

[

R

. [

P R

P

P R

R

P R

 QRQ

P

.

P R

P R

.

 (P  Q  R)P  Q

]  ,

]

R R

.

(121),

 A

e

 R  , P  R , Q:

R

[  P

. [

 (P  Q  R)P  Q

P R

. P R

.

P

P R

 QRQ

]  ,

]

R

.

R

 B

(122).

Fazendo-se R = P - Q, (121) e (122) dão:

Poliádicos - Ruggeri


§ 07 - Poliádicos isômeros.

68

PQ

 , P  , P R :

PQ

P Q

( PQ

.

Q

Q

.

)  (

Q

Q

P

.

)

PQ

PQ

.

 , (13 ), 1

e

PQ

 , Q , P :

PQ

PQ

( Q

.

Q

P

.

Q )  (P

Q

Q

.

)

PQ

PQ

.

,

(132).

Considerando, ainda, que: P

P P  

 (1) P

P

P P  

,

P

então, denotando por  a políade entre parêntesis no primeiro membro de (022), temos:

 P , P , Q  :

P

( P  Q Q )  (1) PQ ( Q 

P 

  Q P Q Q P P  )   

,

(141);

analogamente, deduzimos:

 P , P , Q  :

P

(Q 

P 

Q P ) 

 (1) PQ ( P  Q

 Q Q Q P P  )   

,

(142).

Assim, aplicando (102) a (141) e (07) a (142), podemos deduzir:

 P , P , Q  : [ P 

P 

(Q 

e

 P , P , Q  : [ P 

P 

(Q 

 Q P )]Q 

 Q P Q  )] 

 (1) PQ ( Q 

  Q P Q P P Q  )   

(151),

 Q Q P P Q  )   

(152).

 (1) PQ ( P  Q

Produtos mistos ponteados ou cruzados com três poliádicos. Procuremos, agora, algumas expressões de produtos múltiplos compostos, de nomes diferentes, com políades isômeras12. São eles: R

R 

(P 

Q Q ) 

e

R

R 

(P 

Q Q )  .

O primeiro é uma (P - R)-ade se P  Q, ou uma |Q - R|-ade se P  Q. A segunda é uma |R |P - Q||-ade, mas P  Q e R  |P - Q|. Tem-se, aplicando (012)1 ao primeiro produto:

 R , P , Q , P  R :

R

R 

(P 

 Q Q ) ( P  Q Q ) R R R  ; 

em seguida, aplicando (022) aos parênteses do segundo membro:

12 Existem expressões mais gerais que o leitor poderá pacientemente encontrar.

IV,§ 07.02


§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras

 R , P , Q , P  Q  R : R

(P 

R 

Q Q )  

(1) Q ( Q 

69

  , Q P Q (Q  R ) R R  )   

(16).

Aplicando (021) ao segundo produto, escrevemos: R

(P 

R 

Q Q ) 

 (-1) R [( P 

  Q Q ) R R R ]R 

,

ou, efetuando em ambos os membros uma transposição para jusante de ordem R:

 R , P , Q , P  Q  R : R

 Q Q ) R 

 R ( P 

 (1) R ( P 

Q Q  ) R R R  

,

(17).

Casos particulares Alguns casos particulares podem ser deduzidos dessas expressões gerais. Assim, para R = Q, temos de (16) e de (17), respectivamente:

 Q ( P 

  Q Q Q Q Q P Q (2Q) Q Q  )  (  1 ) (   )    

(181),

 Q ( P 

 Q Q Q  ) 

(191).

 R , P , Q , P  2Q :

Q

 R , P , Q , P  2Q :

Q

 (1) Q ( P 

 Q Q Q Q Q  ) ,  

Para R = Q = P/2 (logo, P é par), temos, de (18 1), e (191), respectivamente:

 Q , 2Q , Q  :

Q

 Q ( 2Q 

 Q , 2Q , Q  : [ Q  Q ( 2Q 

 Q Q )  (1) Q ( Q  Q 2Q Q ) Q Q    Q Q )]Q 

 (1) Q ( 2Q 

,

Q Q ) Q Q  , 

(182); (192).

Para R = Q = P só podemos operar em (18 1); e deduzimos,

 R , P , P  :

P

P P (  P P )  (1) P 

(P 

P P ) P P  

(183),

Produtos duplos (P+Q)-plos. Não é difícil comprovar a seguinte fórmula para produtos duplos: R

Q  P 

S

  R

 QP  Q

Q  P 

S

 QP  Q

(23).

Poliádicos - Ruggeri


70

§ 08 - Poliádico unidade.

Para P = Q = H = 2H

1 1 R= S 2 2

H  H 

2H



 2H H 2H

H  H 

2H

 H 2H

 2H H

H  H 

2H

H ,

(231).

* Exercícios: Comprovar as seguintes fórmulas:  P  

 P

 

 1

 P  2    : P  ,

(20);

 1

  P  2  P  :   ,

  .4 P  

(201);

P

 4 .4   ,

(21);

 : P  :  =   .4 P  2 ,

(22).

* § 07.03 – Matrizes isômeras. Vimos (§03.04) como associar uma matriz a um poliádico (estando este escrito cartesianamente). A matriz de qualquer um dos isômeros de um poliádico é formada com as coordenadas desse poliádico dispostas, porém, em postos diferentes. As matrizes associadas a poliádicos isômeros são ditas matrizes isômeras e podem ser determinadas facilmente.

§ 08 - POLIÁDICO UNIDADE. § 08.01 - Definição e propriedades. Sejam {e1e 2 ... e N } e {e1e 2 ... e N } sistemas de vetores recíprocos em EN (N = 1, ou 2, ou 3). O diádico cujos antecedentes e conseqüentes sejam vetores recíprocos correspondentes de sistemas recíprocos quaisquer é o diádico unidade, único, que se representa por  (§02.09,Cap.II,Vol.I). Para N=3,

  e i e i  e 1e 1 + e 2 e 2 + e 3 e 3  e j e j  e 1e 1 + e 2 e 2 + e 3 e 3 ,

(01),

sendo, em geral:

 v:

v  v.   (v.ei )ei  (v.ei )ei

(i  1,2,..., N) ,

(02).

Temos também:

IV,§ 08.01

Q

:

Q

 .    .Q   Q  ,

(03).


§ 08.01 - Definição e propriedades.

71

Consideremos, então, a políade: P

  rst ... lmnabc ... xyz   Q fatores

e Q sistemas de vetores recíprocos de EN,

{e } e {e}, {f} e {f }, ...,{g  } e {g  }, {h} e {h } . Em vista de (02), P  pode ser escrita na forma: P

  rst ... lmn(a. e i )e i (b. f j )f j ... ( y. g v )g v ( z. h w )h w

dentre as 2Q formas possíveis. Como os produtos entre parênteses são números, podemos acomodá-los convenientemente na expressão e escrever: P

  rst ... lmn(a. e i )(b. f j ) ... ( y. g v )( z. h w ) e i f j ... g v h w    , Q fatores

ou, ainda, lembrando a definição de produto ponteado múltiplo de poliádicos (§06.02): P

[(rst ...lmnabc ... xyz) Q. (e i f j ...g v h w )] e i f j ...g v h w         Q fatores

Q fatores

Q fatores

Ora, dentro dos primeiros parênteses encontramos P  . Dentro dos segundos parênteses encontramos a políade que se obtém da políade externa aos colchetes por simples contraposição dos índices das letras. Em outras palavras: os vetores que ocupam os mesmos postos nestas políades são correspondentemente recíprocos nos sistemas aos quais pertencem. Podemos escrever, mais uma vez relembrando a definição de produto ponteado Q-plo de poliádicos: P

 P  Q. (e i f j ...g v h w e i f j ...g v h w )     , Q fatores

Q fatores

o poliádico multiplicador tendo valência 2 Q. Analogamente podemos comprovar que P

 (eif j ... gvh w eif j ... g v h w ) Q. P     , Q fatores

P  P Q

if ... g v h e f j ... g h w ) . (e j w i v      

Q fatores

Q fatores

Q fatores

e P

 (eif j ... g v h w eif j ... gvh w ) Q. P        . Q fatores

Q fatores

É evidente que os mesmos resultados poderiam ser deduzidos se P fosse um poliádico e não apenas uma políade. Então, como os produtos ponteados múltiplos Q-plos

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádico unidade.

72

dos 2Q-ádicos entre parêntesis são iguais, qualquer que seja o poliádico P, resulta que tais poliádicos são todos iguais para cada Q (conforme Teor.2,§06). Deve ser observado que a assertiva independe dos Q sistemas recíprocos de vetores adotados. Dada a arbitrariedade desses sistemas recíprocos, resulta ser único o referido 2Q-ádico; será denotado por 2Q  . Definição: (poliádico unidade) O 2Q-ádico da forma 2Q

j

w

i

v

  e i f ... g v h e f j ... g h w )  (e i f j ... g v h w e i f j ... g v h w )       ,     Q fatores

Q fatores

Q fatores

(04),

Q fatores

em que {e } e {e }, {f  } e {f  }, ..., {g } e {g }, {h } e {h } são sistemas de vetores recíprocos em EN, e que transformam um poliádico nele mesmo, é denominado poliádico unidade, ou 2Q-ádico unidade, ou ainda, idem-fator de valência 2Q. Então, como propriedade característica do 2Q-ádico unidade resulta a expressão: P

P

 :

Q 2Q

.

2Q



Q P

 .

P

  ,

PQ

(05).

* Exercício 1: Provar que: 2Q

 Q

4Q 2Q 2Q   

2Q

 Q

2Q

.

* Além do diádico unidade (01), com duas representações distintas, cada uma com 31 = 3 parcelas, temos também: o tetrádico unidade, 4

  e i f je i f j  e i f je i f j  e i f je i f j  e i f je i f j,

(06),

ou, em relação aos mesmos tercetos recíprocos: 4

j i

i

j

i

j

i

j

  e i e e e j  e i e je e  e e je i e  e e e i e j .

(061),

com 4 (2Q, Q=2) representações distintas, cada uma com 9 (3Q, Q=2) parcelas; o hexádico unidade, 6

  e i f jg k e i f jg k  e i f jg k e i f jg k  e i f jg k e i f jg k   e i f jg k e i f jg k  e i f jg k e i f jg k  e i f jg k e i f jg k 

(062),

 e i f jg k e i f jg k  e i f jg k e i f jg k , com 8 (2Q, Q=3) representações distintas, cada uma com 33 = 27 (3Q, Q=3) parcelas etc.. IV, § 08.01


§ 08.01 - Definição e propriedades.

73

* Exercício 2: Provar que: u.4 .v  vu ( 4 .u).v ,

(b.  c). 4 .a  ab.  c ,

a.(u.4   .v)  ua  .v ,

 T 1

a.(u. 4 .v)  va  u. ,

c. 4   (a.)..b  ( T   ) : abc ,

c. 4   a..b  a  .bc .

* Matriz associada ao tetrádico unidade É fácil escrever uma das matrizes mistas (§ 03.04) associadas ao tetrádico unidade. Temos, por exemplo: 4

I  e jeke jek  Ahijkeheie jek , sendo A hijk   h jik .

Então, utilizando a mesma notação do §03.04, deve ser:

 h   j h [B j ]   0   0 1 0 0  0 1 0 0 0 1 0 0 0  [ 4   ] 99   0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0  0 0 0

0 

h j

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

  h 0  j ,  h  j  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0  0 0 0  0 , 0 0  0 1

É fácil comprovar que qualquer que seja a escrita cartesiana de correspondentes são todas iguais à matriz unidade 99, isto é,

(063).

4

 , suas matrizes

[ 4   ]  [ 4   ]  [ 4   ]  [ 4   ]  [ 4  ],

(064).

* Exercícios: 3 – Tem-se os isômeros com 4I:  4 13

  e jeieie j  e j  e j ,

 4 23

 eieie je j    ,

(065),

e :  4 13

 :   T ,

 4 23

 :   E ,

1 4 4 13 (    ):   sim , 2

( 4  13  4  23 ):      ,

(066).

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádico unidade.

74

4 – Igualdades matriciais:

[11] [12] [13]  1 0 0 0 1 0      [ ]  [21] [22] [23], com [11]  0 0 0, [12]  0 0 0 etc. , [31] [32] [33] 0 0 0 0 0 0  2

:

5-

[ ]  [ ] : [ 4  3 ]

e

 1

[ ]T  [ ] : [ 4  3 ] ,

e

(067).

(068),

 1 [sim ] [] : ([ 4  ] [ 4  2 3 ]) , 2

(069).

6 – Observe-se que:

:

   : 4

[]  [] : [ 4  ]  (Tr[]) [ ]   E [ ] ,

e

(0610).

Poderia parecer que as igualdades poliádicas acarretassem correspondentes matriciais. O leitor não deve estranhar eventualmente esses resultados matriciais porque as valências dos poliádicos fatores são diferentes (veja Teor. 3, §06.02). 7 - Demonstrar que 4

  1   [( ) 13  ( ) 13 ] 2

e generalizar: 2H

      1   [(   ...  ) 13 ... (H -2 )2H-3 (H -1 )2H-1  (   ...  ) 13 ... (H -2 )2H-3 (H -1 )2H-1 ] .   2 H fatores H fatores 

8) - Comprovar que os isômeros 4 , 4  13 , 4  23 têm módulo igual a 3 e formam entre si ângulos iguais cujo co-seno é igual a 1/3 (ou seja, 7031'43,61") e tentar interpretar geometricamente essa questão antes de estudar o §09. 9) - Comprovar que: 9.1) - 6I e os 14 tetrádicos seguintes são isômeros distintos: 

( 4  ) 2 3  I I I ,

 4 ,  13

(  ) , 4

 35

 15

( 4   ) ( 4   ) , 

(   )1  (   )1 ,

( 4   )13  ( 4  )13  ( 4  )12  (   )14 ,  25

 23

(  ) (   ) , 4

4

( 4  ) , 

(   )  15

 23

 ,

 14 

( 4  ) ,

( 4  )1 ( 4   )1 ,

4

( 4  ) 2 4 , 

( 4   )35 ( 4   )15 ;

9.2) - que todos têm módulo igual a 27 , formam entre si o mesmo ângulo cujo co-seno é igual a 1/9 (ou seja 8337'14,27") e tal como no exercício anterior, tentar interpretar geometricamente essa questão antes de estudar o §08.03 e o §09. *

IV, § 08.01


§ 08.01 - Definição e propriedades.

75

No caso particular de bases ortonormadas em E3, {ˆi, ˆj, kˆ } , {aˆ , bˆ , cˆ} , {rˆ , sˆ, tˆ} e outras, os poliádicos unidade têm uma única representação:   i i + j j + k k , ou   aˆ aˆ  bˆ bˆ  cˆcˆ ,

(07),

  i a i a + i b i b + i c i c +  b + j c j c + + j a j a + j bj   b + k c k c , + k a k a + k bk

(08),

  i a r i a r + i a s i a s + i a t i a t +   i br   + i bs   i bs   + i bt   i bt  + + i br + i c r i c r + i c s i c s + i c t i c t + + j a r j a r + ... ... .

(09).

4

6

Propriedades do poliádico unidade. Uma escrita do 2Q-ádico unidade requer Q somatórias (com Q pares de índices), cada qual estabelecida por uma repetição de índices (em níveis diferentes) entre cada um dos seus i-ésimos antecedentes e o seu correspondente (2Q + 1 - i)-ésimo recíproco conseqüente. Se representarmos por

Q  Qi j

v ....u

 eif j...g u h v

a Q-ade formada pelos antecedentes e por

Q  Qi j ...u v  eif j...g u h v , a Q-ade formada pelos conseqüentes (a letra Q já define a valência dessa políade), então 2Q

  QQ  Qi j...u v Qi j ...u v  ei f j ...g u h v ei f j ...g u h v  

i

u

j

v

 Q Q   Qi j...u v Qi j...u v  e f j ... g h v e i f ... g u h ,

(10).

Logo, de (05) deduzimos:

P

:

P

  ( P  Q. Q )Q  ( P  Q. Q )Q ,

(101).

Os poliádicos unidade gozam das seguintes propriedades: 1ª) - Uma mesma transposição, arbitrária, realizada simultaneamente sobre cada uma das Q-ades de um 2Q-ádico unidade não lhe altera o valor. Com efeito, como a construção de um 2Q-ádico unidade requer que vetores correspondentes de uma e outra Q-ade sejam recíprocos, uma mesma transposição sobre ambas as Q-ades não altera essa condição. 2ª) - Cada Q-ade que compõe o 2Q-ádico unidade pode ser decomposta arbitrariamente em produtos diretos de uma A-ade, uma B-ade, uma C-ade etc., desde que A + B + C + ... = Q.

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádico unidade.

76

Pois, escrevendo: j m Q   Qi k l

p n ...

r t q s u

 A ij B k l m C n . . . R pq r s t S v

,

(11),

com A*=Aij (díade), resulta

B*=Bklm (tríade),

Q  ABC ... R S ;

ou, então, escrevendo:

Q  Qi j klmn ... ,

(111),

e fazendo A*=Aij (díade), B*=Bklm (tríade), resulta:

 

Q  A B C ... R S . 3ª) - O tetrádico unidade é igual à soma dos produtos diretos dos diádicos de uma base pelos seus correspondentes recíprocos: 4

  rr  rr ,

Se para o tetrádico qualquer, 4, diádicas (notar que os ((08),§10.02,Cap.II,Vol.I): 4

ij

são

4

(r = 1, 2, ...,9),

(12).

   i j e i e j (i, j = 1,2,3) é uma de suas escritas diádicos),

podemos

  [ r ( r :  i j )]ei e j  [ r ( r :  i j )]ei e j ,

escrever,

aplicando

(r = 1, 2, ..., 9) .

Lembrando a definição de multiplicação ponteada múltipla simples (§06.02), escrevemos: 4

   r  r :  i j e i e j   r  r :  i je i e j =  r  r : 4    r  r : 4  .

Mas, por (05), 4   4  : 4   4  : 4  ; e pelo teorema da igualdade de poliádicos (Teor.2,§06.02) resulta a tese. Essa propriedade será generalizada com facilidade pelo Teor. 2 no §09.02. 4ª) - Se P  R e Q  R:

 P , Q  : ( P 

R 2R ) R Q  

 P

R Q  

,

(13).

De fato, o primeiro membro não se altera com a outra associação possível dos fatores. Então, aplicando (05) ao segundo fator encontramos (13). Esta fórmula generaliza algumas já conhecidas envolvendo vetores e diádico unidade, como ((01)2 e (021),§06.02,Cap.II,Vol.I) para P=Q=R=1 e P=R=1 e Q=2.

IV, § 08.01


§ 08.01 - Definição e propriedades.

77

A transposição: uma multiplicação ponteada. Teor. 1:  P   e PQ : 2Q  P

.

 2Q   ( P  2(Q P)  ) PQ

P  P  P

.

2Q P 

,

(14).

P

Calculando o produto ponteado P-plo da políade   a b c ... n p q pelo 2Q-ádico unidade escrito na forma (10),§08.01, P

 P.

2Q

2P

  P (Q  P) P (Q  P) , temos:

 ( P  .P P )(Q  P) P  (Q  P)  (Q  P) [( P  .P P ) P  ](Q  P)

Por força de ((101),§08.01) os P fatores vetores intermediários (entre colchetes) são a própria expressão da políade. Os Q - P outros fatores de um lado e do outro desta políade constituem políades recíprocas. Podemos escrever, efetuando uma transposição para montante, de ordem P - Q e posto Q,: P

 .

P 2Q

  PQ

  [  ( Q  P ) ( Q  P ) ] P

(  P

2(Q P)

)

 PQ

Como também podemos escrever, pela propr. 1ª dos poliádicos unidade (§ 08.01): 2Q

  (Q  P)  P (Q  P) P ,

o produto ponteado P-plo deste poliádico unidade pela políade apresentará na extrema direita o escalar com P fatores, P .P P   P  .P P , que pode ser convenientemente alocado entre os fatores do poliádico produto. Poderemos, assim, escrever:

 P. P   (Q  P) [( P  .P P )P ](Q  P) . Ora, reaplicando (021),§08.01, encontramos a políade dentro dos colchetes; logo: 2Q

2Q

 .P

P

  ( Q  P ) P  ( Q  P )  ( P 

2(Q P)

)

 PQ

.

É evidente dos resultados a que chegamos que o poliádico resultante da operação é sempre diferente do poliádico nulo de valência compatível, exceto se o poliádico de partida é o poliádico nulo. Corol. 1: Fazendo P = 2T e trocando Q por Q + T em (01), temos:

2T

, T  Q : 2(Q+T)

 .

2T 2T



2T

 .

2T

2(Q+T)

 (  2T

2(QT)

)

 2TQ +T

2Q

,

(141).

A utilização da fórmula (14) requer apenas seja obedecida a condição de ser a ordem da multiplicação menor ou igual que a metade da valência do poliádico unidade, o que, no caso, está satisfeita; de fato, 2T  Q + T se T  Q.

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádico unidade.

78

Corol. 2: Fazendo 2T = 2T em (011), temos: 2(Q+T)

 2T .

2T



2T

 2T .

2(Q+T)

 T

  ( 2Q  ) Q ,

(142);

e trocando nesta, T por Q–T, com Q T: 2(2Q T)

2(Q T) 2(Q T)

.

2(Q T)



2(Q T) 2(2Q T)

.

  ( 2Q  )

(Q T) Q

,

(143).

De fato, operando no penúltimo membro de (14 1), teremos:

( 2T 

2(QT)

)

 2TQ +T

 [TT (Q  T) (Q  T) ]  [TQ  T) T (Q  T) ]

 2TQ +T

 TQ

 (Q  T) TT (Q  T) ] 

 2Q TQ

 ,

o que comprova a primeira fórmula. A comprovação da segunda fórmula é imediata. Teor. 2: (a transposição como multiplicação ponteada múltipla) Tem-se:

Q

 ,Q  T :

 Q T

 2Q TQ

 Q T

 2Q (Q T)Q

 

 

Q Q

.

  Q  Q.

Q Q

.

 2Q (Q T)Q

 Q 2Q TQ

  . Q

 Q  (QT) 

 Q  (QT) ,

(15).

Com efeito, podemos escrever, por exemplo: 2Q

 TQ

Q Q

.

  (Q  T) T [T (Q  T) Q.

Q

],

donde, aplicando ((04),§07.02) e em seguida ((05),§08.01): 2Q

 TQ

Q Q

.

  [ Q  T Q. (Q  T) T ](Q  T) T  Q  T Q.

2Q

  QT ,

Analogamente podemos comprovar as demais fórmulas13. No final deste capítulo  apresentamos na Tabela 6 um quadro com alguns valores do poliádico

2Q TQ

.

Propriedades da transposição sobre poliádicos unidade. 1ª) - O transposto para montante (jusante) de S + T vetores e posto Q do 2Qádico unidade é igual ao produto ponteado Q-plo, em qualquer ordem, dos seus transpostos para montante (jusante) de S e T vetores e posto Q:  2Q (S+T)Q

 2Q (S+T)Q

 

 2Q SQ

 Q 2Q TQ

 2Q SQ

 Q 2Q TQ

.

.

 

 2Q TQ

 Q 2Q SQ

 2Q TQ

 Q 2Q SQ

.

.

,

(16).

,

(161).

13 A transposição como resultado de uma multiplicação ponteada múltipla por alguns poliádicos especiais será vista no §15.02.

IV, § 08.01


§ 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o cruzado de um poliádico.

79

Podemos escrever, lembrando ((071),§ 07.01):  2Q TQ

Q

. (

 2Q SQ

Q Q

.

 2Q TQ

) 

Q

 Q S

  Q S T

 Q (S+T)

  (  )  

.

 2Q (S+T)Q

Q

.

Q

.

Associando no primeiro membro e considerando a arbitrariedade de Q resulta logo (03). Analogamente demonstra-se (161). 2ª) - O transposto de posto Q de S vetores para jusante e T vetores para montante do 2Q-ádico unidade é igual ao produto ponteado Q-plo, em qualquer ordem, do transposto de T vetores e posto Q para montante desse poliádico pelo seu transposto de S vetores e posto Q para jusante:  2Q (S T)Q

 2Q SQ

 Q 2Q TQ

.

 2Q TQ

 Q 2Q SQ

.

,

(17).

A demonstração é análoga à do teorema anterior. No §15.01 (Teor.8) apresentaremos as CNS para que 2Q-ádicos tenham cruzado nulo e no §10.01 mostraremos que escalar e cruzado de poliádicos são invariantes. § 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o Q-vec de um 2Q-ádico. Definição: (ponteado e Q-vec de uma 2Q-áde) Chamam-se: ponteado (ou escalar) e Q-vec (ou Q-ade) da 2Q-áde 2Q

  a b ... l m n p ... y z   , Q fatores

Q fatores

e representam-se, respectivamente, por 2Q  E e 2Q  V , o produto de todos os fatores que se obtêm multiplicando ponteadamente (para o ponteado) e cruzadamente (para o Q-vec) cada um dos seus Q primeiros antecedentes pelos seus correspondentes Q + 1 - i primeiros conseqüentes:  E (a. n)(b.p) ...(l .y)(m.z) ,

(01),

 V  (a  n)(b  p) ...(l  y)(m  z) ,

(02).

2Q

2Q

Lembrando a definição dos produtos ponteado e cruzado múltiplos (§06.02) podemos escrever: 2Q (011), E  (ab...lm) Q. (np...yz ) , e 2Q (021). V  (ab...lm) Q (np...yz ) , O escalar e o Q-vec de um poliádico

2Q

 são, respectivamente, as somas dos produtos

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádico unidade.

80

ponteados e cruzados múltiplos de todas as suas 2Q-ades. Por exemplo: se 4   Ai j kmeie j e k e m , então: 4 V  Ai j kmeie j  e k e m ou 4 V  Ai j km (ei  e k )(e j e m ) . De (01) e (02) deduzimos imediatamente, para 2Q-ades e 2Q-ádicos: 2Q T E

E

2Q

2Q T V

e

 (1) Q

V ,

2Q

(03),

igualdades que se comprovam facilmente por serem: a multiplicação ponteada de vetores comutativa e a multiplicação cruzada anti-comutativa. Partindo das fórmulas (03) podemos demonstrar o seguinte Teor.1: O escalar de um 2Q-ádico é igual ao produto ponteado (comutativo) 2Q-plo desse poliádico pelo 2Q-ádico unidade:

2Q

:

2Q

2Q 2Q

.



2Q

 2Q.

2Q



2Q

E,

(04).

O Q-vec de um 2Q-ádico é igual ao produto misto (Q+Q)-plo (nem sempre comutativo) desse poliádico pelo 2Q-ádico unidade:

2Q

:

2Q

V 

2Q

Q  Q 

2Q

  (-1) Q

2Q

Q  Q 

 ,

2Q T

(05).

Com efeito, deduzimos, sucessivamente, no caso do escalar, usando a representação simbólica para o 2Q (§08.01): 2Q  2Q 2Q 

.

 a b ... l m n p ... y z   Q fatores

2Q Q

.

Q Q Q 

Q fatores

[(a b ...l m) Q.

Q

{[(a b ...l m) Q.

Q  ][( n p ... y z ) Q.

Q

Q

Q  ] Q Q  } Q. (n p ... y z )  .

(a b ...l m) Q. (n p ... y z )(a.n)(b.p) ... No caso do Q-vec, temos: 2Q

Q  Q 

2Q

  a b ...l m n p ... y z   Q fatores

IV, § 08.02

Q fatores

Q  Q 

Q

Q  ]

Q QQ 


§ 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o cruzado de um poliádico.

 [(a b ...l m)

Q 

[ (n p ... y z ) Q.

Q

Q

Q

81

Q ]  ,

 (a b ...l m)

(n p ... y z )  (a  n)(b  p) ... 

Q 

2Q

(06).

V

Tem-se, ainda, de (06): 2Q

 V  (1) Q (n  a)(p  b) ...  (1) Q (np...yz )     Q fatores

Q 

(ab ...lm)

,

Q fatores

donde, 2Q

 V  (1) Q [ Q Q 

Q

Q

Q 

(n p ... y z)]

 (1) Q Q Q  Q Q 

Q  Q 

Q 

(a b ...l m) 

(n p ... y z)(a b ...l m)  (1) Q

2Q

Q  Q 

2Q T

.

Teor. 2: (escalar e Q-vec do poliádico unidade) O escalar do 2Q-ádico unidade é a potência Q de N; o seu Q-vec é o Qádico nulo: 2Q

 E N Q ,

2Q

e

 V  Q ,

(07).

O produto ponteado Q-plo de duas Q-ades pertencentes a Q-plas recíprocas (logo, de índices diferentes) é o produto dos Q deltas de Kronecker formados com os pares de índices correspondentes: Q Qi j k ...l mn Q. QQ rs t ... uv wir  js  k t ...; se os índices são iguais esse produto ponteado é o ponteado do 2Q-ádico unidade, e tem-se: 2Q

 E  QQi j k ... l mn Q.

Q

Qi j k...

l n i j k Q m  i  j k ...NNN  ... N .

Se pusermos, como em ((04),§08.01), 2Q

j

w

i

v

  e i f ... g v h e f j ... g h w )     , Q fatores

para i, j, ..., w=1, 2, ..., N,

Q fatores

a aplicação da definição (02) a cada uma das 2H-ádes de poliádico unidade dá: 2Q

 V  (e i  ei )(f j  f j )...(g v  g v )(h w  h w ) .

Observando que dentro de cada um dos parênteses temos o vetor do diádico unidade relativo a vetores de EN, e lembrando que este é o vetor nulo, temos comprovado a tese.

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádico unidade.

82

§08.03 - Isômeros distintos do poliádico unidade Consideremos o 2Q posto na forma (04),§08.01, ou seja 2Q

j

w

i

v

  e i f ... g v h e f j ... g h w )  (e i f j ... g v h w e i f j ... g v h w )       .     Q fatores

Q fatores

Q fatores

Q fatores

Havendo 2Q letras indexadas (ou índices) para a formação dos isômeros de 2Q, haverão (2Q)! agrupamentos possíveis dessas letras que suporemos listados. Dentre esses agrupamentos, muitos representarão o próprio 2Q em vista da possibilidade das letras indexadas de dois tercetos recíprocos, independentemente da posição dos índices, ocorrerem nas mesmas casas em cada um dos dois conjuntos de Q letras, como em 2Q

  ei g v ...f j ei g v ...fj j ei g ...f e g v ...f j . v j i     Q fatores Q fatores

Com as Q letras e, f, ... podemos formas Q! permutações e como a posição dos índices é irrelevante estaremos formando permutações com objetos iguais (pois, para esse efeito, ei tem o mesmo significado que ei, etc.). Então o número de agrupamentos iguais a 2Q é 2Q Q!. Consideremos agora os seguintes isômeros, distintos de 2QI, digamos

ei ei ...f j g v f j ...gj v g v g v ...f j eif j ...ei    = ... .     =  Q fatores Q fatores

Q fatores

Q fatores

Fazendo o mesmo raciocínio anterior, comprovamos que este isômero aparecerá também na mesma quantidade 2Q Q! dentre todos os (2Q)! agrupamentos já estabelecidos. Isto significa que dentre todos os (2Q)! agrupamentos listados haverá apenas (2Q)!/2Q Q! distintos. Sendo

(2Q)! 2Q(2Q -1)(2Q - 2)(2Q - 3)(2Q - 4)...[2Q- (2Q - 3)][[2Q - (2Q - 2)][2Q - (2Q -1)]  2 Q Q! 2 Q (Q)(Q -1)(Q - 2) ...(3)(2)(1) tem-se, fatorando 2 em Q fatores no denominador (em 2Q, em (2Q-2) etc., em 2Q-(2Q4)=2x2 e em 2Q-(2Q-2))=2x1, simplificando os fatores comuns entre o novo numerador e o denominador e lembrando a definição de semi-fatorial (!!), vem:

(2Q)! 2 Q Q!

 (2Q 1)( 2Q  3)...(3)(1)  (2Q 1)!! .

Assim, diádicos, tetrádicos e hexádicos – os poliádicos de maior valência utilizados na prática - têm, respectivamente, 1, 3 e 15 isômeros distintos. No §09 poderemos comprovar, por inspeção, que esse isômeros são também todos independentes nas suas respectivas categorias; o que, entretanto, não ocorre exatamente com os 105 isômeros de 8I.

IV,§ 08.03


§ 08.04 - A tabuada do um.

83

§ 08.04 - A tabuada do um. Teor. 1:  P  P ,

Q<P, Q1, P1, P

 .P

2Q



2(P Q)

2(P Q)

P

.

 (P Q)Q

2Q

P

P

.

,

(01).

Escrevamos a políade qualquer na forma composta de três políades P

  r s ... 

n p ...

x y ...  ;

P  Q fatores 2Q P fatores P  Q fatores

e o 2Q-ádico unidade (ver §08.01) na forma 2Q

  (P  Q) (2Q  P) (P  Q) (2Q  P) .  P fatores

Então: P

P

2Q

.



( r s ... ) P.Q (P  Q) 

( n p ... ) 2Q. P (2Q  P)  

P  Q fatores

2Q P fatores

(x y ... ) P.Q (P  Q) (2Q  P) .  P  Q fatores

Com os dois conjuntos de P - Q números podemos escrever, lembrando o Teor.2,§08.02:

(r s ... x y ...)

2(P  Q) 2(P  Q)

.



 (r s ... x y ...) E  (r.x)(s.y) ... 

2(P  Q)

2(P  Q)

.

(A).

(r s ... x y ...),

Agora, acoplando convenientemente os 2Q - P números restantes com os 2Q - P vetores da políade (2Q - P)*, e observando que essa políade assim formada é a políade (intermediária) de 2Q - P fatores do poliádico base, escrevemos: P - Q fatores 2Q- P fatores      P

P 2Q  .

2(P-Q)

2(P-Q) .

(rs ... xy ... np ... )   

2(P-Q)

 2(P-Q) P ( P  Q )Q  .

,

Q fatores

o que conclui a demonstração do teorema, pois, por ((05),§08.01) a comutatividade está comprovada. Nota: Esse teorema não garante a não nulidade do produto, pois para Q  P e P    poderá acontecer que o produto seja o poliádico nulo. Exemplo: para P=2, Q=1, tem-se  :I=E, o escalar de  podendo ser nulo.

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádico unidade.

84

Corol. 1: A CNS para que seja nulo o produto ponteado P-plo de P   P  pelo 2Q-ádico unidade, com Q  P , é que dentre os seus P-Q primeiros antecedentes e os P-Q primeiros conseqüentes exista ao menos um par de vetores correspondentes (os de ordens i e P-Q+1-i) que sejam perpendiculares. A demonstração é garantida por (A) e o Corol.1 do Teor.1,§08.02. Teor. 2: Para H1; 2PH, 2QH, (ou P1 e Q1) 2P

H 2Q  

  2(P  Q - H) PPQ-H (Q - H )Q2(P-H)

,

(02).

Usando o modo simplificado de representação dos poliádicos unidade pelos grupos de políades recíprocas, escrevamos: 2PI=ABA*B* e 2QI=CDC*D*, as políades A, B, C e D tendo, respectivamente, P-H vetores, H vetores, H vetores e Q-H vetores. Então: 2P H 2Q =ABA*(B* H C)DC*D*; e agrupando convenientemente o escalar entre    parênteses, observando que B B  H C =C, vem: 2P  H 2Q =ACA*DC*D*. Entretanto, podemos escrever, aplicando os conceitos de transposição seguidamente: 

ACA*DC*D*= (DACA * C * D*)(Q -H)Q2(P-H)  (ACDA CD )P(PQ-H) (Q H)Q2(P-H) . Este resultado demonstra o teorema uma vez que dentro dos parênteses reconhecemos o poliádico unidade de valência 2(P+Q-H). Notas: 1 - Poderíamos dar à expressão (02) uma representação equivalente acoplando o escalar (B*.C) após o fator D na expressão 2P  H 2Q  =ABA*( B H C )DC*D*. 2 – Releva observar que o produto 2H  H 2Q não é comutativo em geral, exceto para valores particulares de H, por exemplo, H=P, ou H=Q, cujos resultados são conhecidos.

De (02) podemos deduzir, sem dificuldades que: P=Q1, H1, 2PH:

2P

H 2P  

  2(2P- H) P2P-H ( P  H )3P2H ,

(03).

Os casos extremos são: Q=P=1, H=2, com I . I=I e P=Q=2, H=2, 4I : 4I= 4I, P=Q=3,  

H=2, 6I : 6I= 8  3415 Pondo H=Y1 e 2P-Y=X, resulta, somando membro a membro: 2P=X+Y – o que significa que X e Y são de mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares). Assim: P+QH=2P-H=2P-Y=X e Q-H=P-Y=(X+Y)/2-Y=(X-Y)/20., X-Y sendo par. Então, sendo 2PY=X e P-Y=(X-Y)/2 vem, somando membro a membro: 3P-2Y=[2X+(X-Y)]/2, ou seja par/2=inteiro.

IV,§ 08.04


§ 08.04 - A tabuada do um.

85

A fórmula (03) fica, assim, reduzida a: XY

X  Y:

Y XY  

Exemplos:

X Y  XY 2X ( 2 )X ( 2 ) (3XY)/2 

,

(031).

 

 

Para X=3, Y=1 tem-se: 4  . 4  6  2 314 ; para X=4 e Y=2, 6  : 6  8  34 15 ; para X=2 e  

Y=2, 4  : 4   4  2202  4  . Os casos de multiplicação com XY são resolvidos pelo teorema seguinte. Teor. 3: Para XY e X e Y de mesma paridade (logo X+Y é par, bem como Y-X) X Y

 Y.

X Y

 3

Y X 2X 2 ,

(04).

Consideremos a L-ade (com L2B e B1, logo L2): i

r

t

u

L  ei f j ...k f l r msh t ... ... n pq u e sua recíproca L*= e f j ... k f l m sh ... ... n p q .              B fatores

B fatores

B fatores

B fatores

Fazendo i, j, ..., p, u = 1, 2, 3, ..., o produto direto dessas políades representará o 2L-ádico unidade, isto é, 2L

i

r

t

u

j f s p   e i f ... k l r m h t ... ... n q u e f j ... k f l m sh ... ... n p q                B fatores

B fatores

B fatores

B fatores

Considerando as B-ades recíprocas

B  r qok ...y vz w e

B  rqo k ... y v z w

e o 2(L + B)-ádico unidade correspondente (2(L+B)6B), isto é,

2( L+B)

  L  B L B ,

temos: 2(L+B)

L+2B 2(L+B)

.

  LBLB

L+2B

.

LBLB

O 2L-ádico produto terá a L-ade L* por antecedentes, a L-ade lr ms ht ... np qu B* por conseqüentes e o fator numérico (r q .e i  )(o k .f j )...(y v .k f  )(z w .l r  )(e i .m s  )(f j.h t  )...  B fatores

...(n p .y v  )(q u .z w  )(rq .e i  )(o k .f j )...(y v .k f  )(z w .l r  )  B fatores

Agrupando convenientemente, aos pares, os 2B fatores, escrevemos:

(r q . e i' )(e i' . rq )(o k . f j' )(f j' . o k ) ...(y v . k f' )(k f' . y v )( z w . l r' )(l r' . z w ) .

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádico unidade.

86

Cada par de fatores é igual a três, pois, por exemplo,

(r q . e i' )(e i' . rq )  [(r q . e i' )e i' ]. rq  r q . rq  3 . Logo, o produto desses 2B fatores é 3 B. Acoplando convenientemente os 2L fatores restantes do grande fator numérico do poliádico produto aos vetores da sua L-ade antecedente, escrevemos: (m s .ei )e i (h t  .f j )f j ... ... (n p  .k f )k f (q u  .l r )l r (r q  .m s )m s (o k  .h t )h t ... ... (y v  .n p )n p (z w  .q u )q u  m s' h t' ... n p q u  r q  o k  ... y v  z w      L  B fatores

pois m s'h t' ...n p'q u'B m s h t ...n p q u B é o 2L-ádico

 2L,

Então o poliádico resultante é 3B

B fatores

unidade. Assim, da identidade: 2(L+B)

L+2B 2(L+B)

.

  3B

2L

,

fazendo L+2B=Y e L=X, donde B=(Y-X)/2 e 2(L+B)=X+Y6B (desigualdades que acarretam Y2X), encontramos (04). Com as fórmulas deduzidas podemos montar um quadro que dê o resultado da multiplicação múltipla T-pla do poliádico unidade de valência 2R pelo poliádico unidade de valência 2Q; para abreviar denominá-lo-emos de tabuada do um. Esta tabuada está apresentada na Tabela 3 no final deste capítulo. * Exercícios: Comprovar as seguintes fórmulas: 12-

4

4

      - ( ) 1     ( ) 1

 

 ( 4 

 

 2

) ( 4 

 

(05);

 2

)  ( 4 

 

)

 1

(06).

* § 08.05 - Poliádico desvio. A-ádicos majorantes e minorantes de um poliádico Fazendo-se A=2Q-P (logo, A+P e A-P são pares), o A-ádico definido pela fórmula ((01),§08.03) é escrito na forma: A+P

 P. P   P  P.

A+P

  (P 

AP

)

e o A-ádico definido pela fórmula ((01),§08.04), na forma

IV,§ 08.05

 PA +P 2

, se A-P≥2

(01);


§ 08.05 - Poliádico desvio.

A+P

 .   . P P

P

P A+P



PA

87

PA

P

.

 ( P  A ) P A 2 2

, se P-A≤2

(011).

Definição: (A-ádicos majorantes e minorantes de um P-ádico) Os A-ádicos A(maj P) e A(min P) dados por (01) e (011), respectivamente, P são denominados os A-ádicos do P-ádico  : majorantes no primeiro caso (porque A-P2), minorantes no segundo caso (porque P-A≤2). Exemplos: (apresentados na tabela seguinte) A-ádicos majorantes de P:

A

( maj P  )

P

AP

2

4

 :   (  )

6

 :   (  )

Escrita poliádica 6

8

4

... 3

3 3 8 

5

3 3 10

.

4  4 10

.

3 4

... A-ádicos minorantes de P:

0

 ( 4   ) 45  ( 4   ) 1

...

2

 (3 4 )35  (4  3)2 ...

6

AP

 (3  )34  (3  )1

.

...

P

 24

...

7

4

 23

A

( min P )

Escrita poliádica

 :    :

1 0

:

2

 3 12

E

3 3 4 

.

4  4 4  4 4 4  4 .  .  E  4 13 4 13 4 1 6 4 4    E   E3   .  1

...

...

Vê-se que o escalar de  é o seu minorante 0-ádico (ou minorante escalar). P

Teor. 1: (majorantes de 2P)

A  2P :

2A

(maj

2P

) 

 2A PA

,

(02).

Trocando A por 2A, P por 2P e  por I em (01), temos: 2A

(maj

2P

 ) ( 2P 

2(A-P)

 ) ( 2P)A  P .

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádico unidade.

88

Lembrando a notação estabelecida no §08.01 para escrita compacta do poliádico unidade, escrevemos:

( 2P 

2(A  P)

 )(2P)A+P  [PP ( A  P) ( A  P) ](2P)A+P  

= ( A  P) PP ( A  P)  [P ( A  P) P ( A  P) ]PA , donde, logo, (02) já que o poliádico unidade entre colchetes tem valência 2A. * Exemplos: 4

 1

( maj  )  4  2 ,

6

 2

( maj 4  )  6  3 ,

8

( maj 6 )  8 

 34

etc .

* Teor. 2: Se A>P e A+P é par (logo, A-P é par), todo poliádico de valência P é AP

equivalente a 3 2 avos do produto ponteado A-plo do (A+P)-ádico unidade pelo seu A-ádico majorante:

1

 P :

A P 3 2

A  P  A A ( maj P  )

.

 P ,

(03).

Com efeito, lembrando a definição de majorante (fórmula (01)) e considerando que a multiplicação múltipla de poliádicos é operação associativa, temos:

1

A P 3 2

A+P

 A. ( A+P  P. P  ) 

1

A P 3 2

( A+P  A.

A+P

 ) P. P  .

Como por hipótese AP e A+P é par, podemos calcular o produto múltiplo entre parêntesis aplicando ((04),§08.04); em seguida, simplificando e lembrando ((05),§08.01) encontramos (03). Parte A-ádica principal de um poliádico Então, se A<P e A+P é par (logo, P-A é par), todo poliádico de valência P é diferente dos 3(P-A)/2 avos do produto ponteado A-plo dos seus correspondentes (A+P)ádicos unidade e A-ádicos minorantes; e escrevemos:

A < P e A  P  par,

IV,§ 08.05

1 P A 3 2

A+P  A A (min P )

.

P

2P  P P 

.

,

(04).


§ 08.05 - Poliádico desvio.

89

Definição: (parte A-ádica principal de um poliádico) Para A < P, o P-ádico igual os 3(P-A)/2 avos do produto ponteado A-plo do (A + P)-ádico unidade pelo A-ádico minorante do poliádico P será dito a parte A-ádica principal desse poliádico; e será representado por P  prA :

 P , A < P e A  P  par :

1 PA 3 2

AP  A

A (min P )

.

P

prA

,

(05).

Para A=0 tem-se a parte escalar principal de P, também dita a parte esférica de P: P

 pr0  (

1 P/2

3

P

E ) P  ,

donde

1  pr0  (  E )  , 3 *

4

 pr0  (

1 4  E ) 4  etc. 32

Exercício 1: Comprove que o escalar, o escalar do adjunto e o 3 P-ésimo de respectivamente: PE, (PE)2/3P/2 e (PE/3P/2)3. * De (04), (05) e (011) deduzimos:

A  P e A  P  par,

P

 prA  (

1

AP

P A 3 2

A AP  ) P. P  .

2P

pr0 são,

P

P P  .

ou, ainda, por ser P arbitrário:

A < P e A  P  par,

(

1

AP

P A 3 2

 A.

AP

)

2P

 .

Ponhamos, para

A  P e A  P  par,

(fat A 2P  ) 

2P



1

AP

P A 3 2

A A P  .

,

(06).

Denotando-se, ainda, por (dev A P ) o produto ponteado P-plo de (fat A 2 P ) por P, de (06) e (05) resulta:

(fat A 2P ) P. P   P   P  prA  (dev A P ) ,

(07).

Definições: (poliádico desvio e fator desviante) O P-ádico (dev A P  ) , visto como a diferença entre o poliádico P e sua parte A-ádica principal, é denominado poliádico desvio de P em relação à sua

Poliádicos - Ruggeri


§ 08 - Poliádicos Unidade.

90

parte A-ádica principal. O 2P-ádico (fat A 2 P ) que, por multiplicação ponteada P-pla por P, dá o desvio desse poliádico em relação à sua parte A-ádica principal, será dito o fator desviante de 2PI para A-ádicos. Exemplos: Fator desviante de

2P

 para A-ádicos: (fat A 2 P ) , (A+P=par)

P

A (< P)

(fat A 2 P )

2

0

3

1

4

0

(fat 0 4  )  4   1   3 1 4 6 4 (fat 1  )     . 4 3 (fat 0 8  )  8   1 4  4  9 1 8 8 ( fat 2  )    6  : 6 3 10 10 ( fat 0  )    1 6  . 6 9 1 10 10 ( fat 3  )    8  3. 8 3 12 12 ( fat 0  )    1 6  6 27 1 12 12 ( fat 2  )    8  : 8 9 1 12 12 ( fat 4  )    10  4. 10 3

2 5

1 3

6

0 2 4 P

P-ádico desvio de  em relação à sua parte A-ádica principal: (dev A P  ) P

AP

Representação de (dev A P  )

2

0

4

0

  1 E  3 4 4 4 1  E  9

2 6

4



6

0 2 4

1 6  : 6 3

4 4 . 

 fat 2 8 

44  

6 6   1 E  27

1 8  : 8  6. 6   fat 2 12  6 6  9 1 6   10  4. 10  6. 6   fat 4 12  6 6  3 6



... Para A=0 tem-se o desvio de P em relação à sua parte escalar (ou esférica). Muito utilizados na prática são os diádicos desvio (H=2). * IV,§ 08.05


§ 09.01 - Espaço Poliádico.

91

Exercício 2: Demonstrar que:   : fat 0 4   (fat 0 4  ) :    4  . * Teor. 3: A parte A-adica principal de um P-ádico e o seu fator desviante para Aádicos são P-ádicos ortogonais: P

 prA

P .

dev A P   0 ,

(08).

Do primeiro e último membros de (07) escrevemos: P

 prA

P .

dev A   prA P

P

P .

(fat A

2P

) .  , P P

donde, associando e considerando (06): P

 prA

P .

dev A P   P  prA

P 2P . ( 

1 PA 3 2

AP

A A P  ) P. P  .

.

Lembrando que A<P e aplicando ((04), §08.04) para o subtraendo dentro dos parênteses, com X=P e Y=A, concluímos que é nulo o 2P-ádico entre parênteses; o que comprova (08) Corol. 1: No espaço dos P-ádicos, um P-ádico qualquer, sua parte A-ádica principal e seu fator desviante para A-ádicos formam um triângulo retângulo de que o P-ádico é hipotenusa.

§ 09 - ESPAÇO POLIÁDICO. BASES. OPERAÇÕES. As noções de espaço de vetores e de diádicos - casos particulares da noção mais geral de "espaço linear ou vetorial" - são, evidentemente, estendidas aos poliádicos. Com efeito, pois para estes já estão definidas as operações de adição e de multiplicação por número real, e estas gozam das propriedades requeridas para poder-se enquadra-los como mais um caso particular daquela noção geral. § 09.01 - Espaço poliádico. Seja 3

 i  A i j k r e je k e r

(i  1,2,...,G; j, k, r  1,2, ..., N) ,

(01),

uma representação de um dos triádicos de dado conjunto de G deles, em relação às bases vetoriais recíprocas do EN, {e*} e {e*} (valendo lembrar que N=1, ou 2, ou 3). A combinação linear desses triádicos,

Mi

3i

 3 ,

(i=1, 2, ..., G)

(02),

Poliádicos - Ruggeri


92

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

em que os Mi são G incógnitas, é equivalente ao sistema de N3 equações algébricas lineares

Ai j kr Mi  0

(i = 1,2, ...,G; j, k, r = 1,2, ..., N) ,

(021).

A matriz desse sistema não difere da sua correspondente (023), § 10.01, II - caso dos diádicos - senão pelas suas ordens e pela estrutura de suas colunas. Com efeito, aqui os elementos da i-ésima coluna são as N3 coordenadas do triádico 3i,

A i111 , A i112 , A i113 , A i121 , A i122 , A i123 , A i13 1 , ... , e a matriz é de ordem N3 x G. É evidente que no caso dos tetrádicos será Mi 4i=4 e a matriz correspondente, de ordem N4 x G, terá por i-ésima coluna as N4 coordenadas do tetrádico 4i de dado conjunto de tetrádicos, isto é,

Ai1111 , Ai1112 , Ai1113 , Ai1121 , Ai1122 , Ai1123 , Ai11 31 , ... (em número de N4=14, ou 24, ou 34). No caso geral de um conjunto de H-ádicos ordenados será Mi Hi= H e as equações correspondentes a (01) e (021) serão: H i

 A i j k ... uv w e j e k ... e u e v e w  

e

A i j k ...

v M u w i

0

,

(022).

H índices

Então, analogamente ao caso dos diádicos, a matriz associada ao poliádico de valência H de um conjunto de G desses H-ádicos terá a ordem NH x G (com NH=1H, ou 2H, ou 3H). Se a ordem do principal dessa matriz for P, então: 1) - Se for P = G, o sistema admitirá apenas as soluções nulas, isto é, a combinação Mi Hi só será possível para os Mi simultaneamente nulos. Nesse caso os G poliádicos serão ditos linearmente independentes e constituirão uma base do espaço a que pertencem; este terá a dimensão G e será denotado por HEG, sendo GNH. As bases serão representadas, como habitualmente, inserindo seus poliádicos ordenados entre chaves, por exemplo, {H1, H2, ..., HG}. Como o maior valor possível de G é NH, concluímos: No espaço HEG uma base é definida por, no máximo, NH H-ádicos, isto é, por no máximo N3 triádicos para o espaço dos triádicos, N4 tetrádicos para o espaço dos tetrádicos etc., com N=1, ou 2, ou 3. A todos os valores de G inferiores a N H (1H, ou 2H, ou 3H) corresponderão subespaços do espaço dos H-ádicos. Em resumo: GNH, e não obstante essa desigualdade, todos os G H-ádicos entrarão na composição de uma base para esse sub-espaço. 2) - Se for P < G, isto é, se a matriz associada aos G poliádicos tem o principal do grau menor que G, a combinação Mi Hi = 0 é possível para os Mi não simultaneamente nulos (nsn); nesse caso os poliádicos pertencerão a um subespaço do espaço dos H-ádicos e P será a sua dimensão (apenas P dentre os G H-ádicos entrarão na composição de uma base para esse sub-espaço).

IV,§ 09.01


§ 09.01 - Espaço poliádico.

93

Fica, pois, demonstrado o seguinte Teor. 1: Se H é um H-ádico e {H1, H2, ..., HG}, para G  NH, é uma base de um subespaço HEG do H E NH (espaço dos H-ádicos), ambos quaisquer, existe um e um único conjunto de G números Mi tal que H = Mi Hi:

H ,{H 1 , H  2 , ..., H  G ,} : (03).

M i (i  1,2, ...,G), G  N H |

H

  Mi H i ,

Com outras palavras diríamos, também: Todo H-ádico de um HEG do espaço dos H-ádicos (G  NH) pode ser representado como uma combinação linear única dos H-ádicos de uma base desse subespaço. Os G números Mi que em relação a uma base H-ádica {H*} de um HEG determinam univocamente um H-ádico do mesmo, são ditos as coordenadas cartesianas desse H-ádico naquela base. A expressão H = Mi Hi é dita, então, a decomposição cartesiana do Hádico na base {H*}. Tal como já se dera com os vetores, a todo H-adico referido a uma base H-ádica poderemos associar uma matriz linha, ou coluna, cujos elementos sejam as coordenadas desse H-ádico naquela base. Definição: Denominaremos matriz métrica de um conjunto

H

 i (i = 1, 2, ..., G) de G

poliádicos de valência H, a matriz G x G

 H  H H 1 . 1  H 2 H H 1  .  ...    H  H H  G . 1

H

H

1 H .

H

2 H .

H

2

...

2

...

... H

G H .

... H

2

...

G    H H H 2 G  . , ...   H G H H G  . H

1

H H

.

(04).

Os elementos da matriz (04) poderiam ser facilmente calculados se os H-ádicos estivessem referidos a bases vetoriais recíprocas do EN, pois, então (§ 06.02), seriam iguais aos produtos duplos das matrizes de nomes contrários associadas aos H-ádicos. Considerando que podemos escrever, H n

A

nj k

...

u we ek v j

... e u e v e w ,

o elemento genérico da matriz métrica dos G H-ádicos

H i

é

Poliádicos - Ruggeri


94

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

H  n H H i

.

A

nj k

...

u w v

A i jk ...

v , u w

n, i = 1,2, ...,G, onde   j, k, ...,u, v, w = 1,2, ..., N. 

Então, considerando (022), o sistema (02) pode ser escrito também na forma

(H n

H H i )M

.

i

A

nj k

u w v

...

(A i jk ...

v M ) u w i

0

(05).

Para que esse sistema admita apenas a solução trivial é CNS que a matriz associada aos G H-ádicos seja regular. Assim, fica demonstrado o seguinte Teor. 2: A CNS para que um conjunto de G H-ádicos de um HEG constitua uma base desse espaço é que a matriz métrica desse conjunto seja regular. * Exercício 1:  4 13

 4 23

Mostrar que a matriz métrica do conjunto ,  ,  4

9 3 3 é 3 9 3 . 3 3 9

Sugestão: aplique apenas a definição de matriz métrica, fórmula (04). Exercício 2: Provar que

A 4  B 4 13  C 4 23  4 

 A=B=C=0,

4

o que significa que I e seus dois isômeros definem uma base de um espaço particular de tetrádicos – dito espaço de tetrádicos isotrópicos – isto é, aqueles postos na forma 4

  A 4  B 4 13  C 4 23

em que A, B e C são números reais (assunto a ser estudado no §16). Sugestão: calcule o produto ponteado quádruplo da igualdade dada por cada um dos isômeros, constitua três equações lineares em A, B e C e conclua a tese. * Teor. 3: O determinante da matriz métrica de uma base poliádica pode ser considerado sempre positivo. Com efeito, se esse número (não nulo) fosse negativo - caso em que a base se diria negativa - poderíamos reordenar os seus poliádicos (já previamente ordenados) alternandoos de forma que a nova ordenação apresente um número ímpar de inversões em relação à anterior. Teríamos uma nova base cuja matriz métrica seria a matriz da antiga base com linhas (ou colunas) alternadas (um número ímpar de vezes). Logo, seu determinante será o mesmo determinante da antiga com o sinal trocado, isto é, positivo.

IV,§ 09.01


§ 09.01 - Espaço poliádico.

95

Definição: (norma e módulo de base) O determinante, sempre positivo, da matriz métrica de uma base {H  1 H  2 ... H  G } será denominado a norma dessa base e será representado por ||H*||; a raiz quadrada positiva da norma será denominada o módulo da base e será representada por |H*|. * Exercício 3: (independência dos 15 isômeros de 6I). No enunciado do Exercício 9 do §08.01 foram listados os 15 isômeros distintos de 6 I, tendo sido solicitada, inclusive, a comprovação de que todos eles têm a mesma norma 27 e seus produtos sextuplos iguais a 3. Comprove, então: a) - que os elementos da diagonal principal da matriz métrica 15x15 (simétrica) do conjunto são iguais a 27 e os demais elementos iguais a 3; b) - que o determinante dessa matriz é igual a 23x315x814; c) – que a introdução de qualquer outro isômero na lista dos 15 acarretará matriz métrica não regular para esse conjunto (pois o determinante 16x16 desse conjunto terá necessariamente duas linhas ou colunas iguais). Teor. 4: Se {H*} é uma base de um HEG e Ai são G números dados, existe um e um só H-ádico de HEG, H, tal que: H

 H.

 

H i

 .

H i H H

  Ai

(i  1,2, ..., G) ,

(06).

Se H é um poliádico qualquer de um HEG onde elegemos arbitrariamente uma base {H*}, e se M1, M2, ..., MG são as coordenadas desse poliádico nessa base, podemos escrever (Teor. 1): H

 H.

  Mk

H i

H k H H i

.

(i, k = 1, 2, ..., G).

 H. H  i por Pi, as G equações acima, uma correspondente a cada valor de i, constituem o sistema Representando-se os números

H

( H  1 H H  1 ) M  ( H  1 H H  2 ) M  ...  ( H  1 H H  G ) M  P1 . 1 . 2 . G  ( H  2 H H  1 ) M  ( H  2 H H  2 ) M  ...  ( H  2 H H  G ) M  P 2  . 1 . 2 . G  , ...  ( H  G H. H  1 ) M1  ( H  G H. H  2 ) M 2  ...  ( H  G H. H  G ) M G  P G

(061).

Esse sistema tem determinante (do grau G) não nulo porque os i constituem uma base de H EG (Teor. 2). Existe, pois, uma correspondência biunívoca entre os conjuntos dos Mi e o dos Pi. Trocando-se, no sistema, os termos independentes pelos números Ai, dados, os G novos números, Qi, que lhes correspondem, constituirão as coordenadas de um e um único H-ádico que, na base {H*}, satisfará (06).

Poliádicos - Ruggeri


96

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Corol. 1: Se {H*} é uma base de um HEG, existe um e um só conjunto de H-ádicos desse HEG, {H*} tal, que H

 j H.

  A i j , (i, j = 1,2, ..., G),

H i

(07),

os Aij sendo G2 números dados. H

Com efeito, para dado j escreveríamos:

 j  M jk H  j ; e o sistema equivalente a

(061) seria escrito na forma:

M j k H  k H.

  Ai j .

H i

Para todos os j's, o sistema seria escrito na forma matricial

[ E] . [ M ]  [A   ] ,

(071),

em que

 E



 H 1 H H 1 .  H 2 H H 1   .   ...   H  G H H 1  .

 M 11 M 12  M M 22  21  ...  ...   M G1 M G2

...

.  ...

...

...

H 1 H H 2

.

H 2 H H 2

...

H G H H 2

.

... M 1G   ... M 2G      M  ... ...   ... M GG 

e

 A 

   H 2 H H G  .   , ...  H G H H G  .   

H 1 H H G

.

 A1 A1 2  1  2 A A 22  1   ... ...   A G A G 1 2

... A 1G    ... A 2G  , ... ...   ... A GG 

(072).

1

Como [E]** é regular, tem-se: [ M  ]  [ E] . [A   ], e os Hj estão todos determinados. Corol. 2: Se G poliádicos Hj de um HEG satisfazem o sistema (07), em que os Aij são G2 números dados, a CNS para que eles constituam uma base de HEG é que a matriz G x G, [A] **, seja regular. Pois, sendo H

IV,§ 09.01

 j  M jk H  j , tem-se:

H

 j H.

H

 r  M j k ( H  k H.

 ) M ir .

H i


§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

97

Então a matriz métrica do conjunto dos Hj pode ser escrita na forma

[ H  ]  [ M] . [E  ] . [M] , de onde se conclui que | H   |  | M |2 | E  | . Agora se torna evidente que | H   |  0  | M |  0 , o que demonstra o teorema. Notas: 1 - Vimos no §08.03 que a quantidade de isômeros do 6I é 5!!=15 e que, por inspeção, é possível constatar que eles são distintos. O processo apresentado nesse Exercício 3 pode servir de "crivo" para eliminar algum suposto isômero de 6I diferente de qualquer um dos 15 citados. 2 – Ainda no §08.03 informamos que nem todos os 7!!=105 isômeros distintos de 8I são independentes. É trabalhoso verificar que apenas 91 são independentes. Para a aplicação do "crivo" seria necessário calcular os produtos de cada isômero por todos os demais para compor a matriz associada ao conjunto deles e, em seguida, comprovar que o posto dessa matriz é 91. Essa matriz deverá apresentar 105-91=14 linhas ou colunas iguais que devem ser eliminadas para se selecionarem os isômeros componentes da base do espaço dos 

hexádicos da forma 8   A18  A 28 12  ... em que os A1, A2 ... são números reais, cada número multiplicando um dos 91 isômeros. Esse é o espaço dos octádicos isotrópicos que não tem tanta utilidade prática como o dos hexádicos isotrópicos (ver §16 e §20).

§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana. Teor. 1: Se {H*} é uma base de um HEG, existe uma e apenas uma base {H1, H2, ..., H } nesse subespaço tal, que G

 .

H i H H

 j  i j ,

(i, j = 1, 2, ..., G),

(01),

onde os deltas são os deltas de Kronecker14. Com efeito, a matriz associada aos deltas de Kronecker é a matriz unidade G x G cujo determinante é +1. Então, pelo Corol. 2 do Teor. 3, os H-ádicos Hj constituem uma base do subespaço; e são os únicos a satisfazerem (01). Definições: As bases {H1, H2, ..., HG} e {H1, H2, ..., HG} de um HEG - que representaremos sintética e respectivamente por {H*} e {H*} - cujos Hádicos satisfazem (01) serão denominadas bases H-ádicas recíprocas de H EG. Suas matrizes métricas, regulares, serão representadas por [HE] ** e H [ E] **.. H-adicos de bases recíprocas que apresentem o mesmo índice são ditos homólogos; os de índices diferentes não homólogos. Por (01) concluímos logo, para ij: 14 É dispensável nova definição dos deltas de Kronecker com a finalidade de ampliar o conceito introduzido no § 04.02,I.

Poliádicos - Ruggeri


98

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Num HEG, um H-ádico de uma base é perpendicular a todos os H-adicos não homólogos da base recíproca, logo perpendicular ao subespaço HEG-1 do qual estes últimos constituem base. Resulta imediatamente de (03), § 09.01 e de (01), que

H ,{H  },{H  } de um H E G : (i = 1, 2, ..., G), H

 (  H

H H i )H i .

(  H

(011).

H H i H  ) i .

* Exercício 1: Comprovar que (com H=4 e G=3) os tercetos

{

      1 1 1 1 4 1 4 13 1 4 2 3 ;  ;  } e { (44   4  13  4  2 3 ); ( 4  44  13  4  2 3 ); ( 4   4  13 44  2 3 )} 10 10 10 3 3 3

constituem sistemas recíprocos no 4E3 dos isômeros do tetrádico unidade (logo, base do espaço dos tetrádicos isotrópicos, como será visto no §16.02). * Teor. 2: O poliádico unidade de valência 2H de um 2H E G (G N2H) é igual à soma dos produtos justapostos de cada H-ádico de uma base de um HEG pelo Hádico homólogo da base recíproca:

 {H  },{H  }:

2H

H



H

De (011) podemos escrever

 H

H jH

j

(j  1,2, ..., G) ,

(02).

 H. ( H  j H  j ) . Lembrando que por (05) § 08.01,

escrevemos, ainda:

 H :

H 2H

.



2H

 H.

H



H

concluímos a veracidade de (02). Teor. 3: Todo poliádico de valência par, 2H, de um 2H E G (GN2H), pode ser decomposto numa soma de G produtos diretos de poliádicos de valência H de dois conjuntos em um HEG, um deles constituindo uma base desse HEG. Sejam dois conjuntos arbitrários de P poliádicos de valência H de um HEG,

{H  1 , H  2 , ...,

IV,§ 09.02

H

 P ,} e {H  1 , H  2 , ...,

H

 P ,}.


§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

A soma dos produtos justapostos, espaço,

2H

H

i

H

99

 i (i = 1, 2, ..., P), é um poliádico arbitrário desse

 . Se {H   } e {H   } são bases H-ádicas recíprocas desse mesmo espaço

podemos escrever, aplicando (011): H

 i  ( H  i H.

H

Então, reescrevendo-se a expressão de 2H

 j ) H j

2H

(j = 1, 2, ..., G).

 e agrupando convenientemente, vem:

  [ H  i ( H  i H. H j )] H j 

H

 j H j ,

(03),

expressão que comprova o teorema. Evidentemente, se escrevêssemos: H

 i  ( H  i H.

 ) H j

H j

teríamos uma nova forma de representação de 2H

  [ H  i ( H  i H.

 )] H j 

H j

H j H

2H

(j = 1, 2, ..., G),

,

 j onde (i = 1, 2, ..., P) e (j = 1, 2, ..., G), (04),

pela qual também se demonstra o teorema. Pondo, conforme o Teor. 1, § 09.01, H

j

C kj

H

k

,

Hj

 D kj

Hk

para k=1,2, ...,G,

e substituindo essa expressão em (03) e (04), deduzimos: 2H  C k

H H j , k

(j,k=1,2,...,G)

(03 1),

2H  D j H  k H  j k

(j,k=1,2,...,G)

(04 1).

j

e

Definição: (representações) As formas (03) e (04) denominam-se representações G-nomiais do poliádico de valência 2H no 2H E G 2 ; as (031) e (041) são representações cartesianas G2-nomiais nas bases H-adicas recíprocas {H*} e {H*} de um HEG; as representações (011) são representações cartesianas de H em base H-adica. No § 03.04 associamos uma matriz (retangular ou quadrada) a poliádicos quando representados cartesianamente em bases vetoriais recíprocas (das quais extraímos políades recíprocas de base). Com as generalizações agora introduzidas – criação de novos espaços e

Poliádicos - Ruggeri


100

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

suas bases – podemos associar por (011) uma matriz coluna com G linhas a um H-adico representado numa base H-adica, sua i-esima linha sendo a coordenada H  H. H  i . Para os poliádicos de valência par, por exemplo, quando representados na forma G 2nomial (031), ou na forma (041), podemos também associar a matriz quadrada GxG com as respectivas coordenadas (Ckj ou Dkj). Assim, num HEG, conforme a conveniência, pode-se associar aos poliádicos de valência K (par ou ímpar, pouco importa) uma matriz coluna com G linhas (para GK) se a base é K-ádica. Aos poliádicos de valência 2H, particularmente, poderemos associar uma matriz quadrada GxG (com GNH, com N=1, ou 2, ou 3) se a base é H-adica (representação H-adica), ou uma matriz G2xG2 (com G2N2H) se a base é vetorial (representação cartesiana). As matrizes associadas a poliádicos podem apresentar formas mais simples em situações particulares. Esse assunto será estudado no §16.02 e §16.03. Teor. 4: São inversas as matrizes métricas de bases poliádicas recíprocas. Aplicando (011) podemos escrever (01) na forma

[( H  i H.

 )  k ] H.

H k H

H

 j  i j ,

ou seja, operando,

( H  i H.

 )( H  k H.

H k

H

 j )  i j .

Ora, a expressão obtida representa a soma (no índice k) dos produtos dos elementos da iésima linha da matriz [HE]** pelos seus correspondentes da coluna j da matriz [ HE]**. Para todos os valores de i e de j esta expressão representa, então, o produto das mencionadas matrizes, produto esse igual à matriz unidade de ordem H; essas matrizes são, pois, inversas. Como poderíamos escrever, também:

( H  j H.

H

 k )( H  k H.

 )  i j ,

H i

concluímos, analogamente, que o produto das matrizes é comutativo, o que completa a demonstração. Constituição de bases Tal como no caso dos diádicos é fácil demonstrar o seguinte Teor. 5: Constituem bases de um HEG os conjuntos (de H-ádicos) obtidos substituindo-se qualquer H-ádico de uma base desse espaço pelos seus correspondentes recíprocos.

IV,§ 09.02


§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

101

Assim, se {H*} e {H*} são bases recíprocas de um HEG,

{H 1 , H  2 , ..., H  G } e {H 1 , H  2 , ..., H  G } são também bases desse espaço, embora não recíprocas. Partindo do Teorema 5 é fácil demonstrar o seguinte Corol. 1: É sempre possível constituir uma base H-ádica de um HEG, a partir de uma base dada do mesmo, substituindo-se um, dois, três etc. H-ádicos dessa base por H-ádicos paralelos aos seus correspondentes recíprocos. Teor. 6: Todo poliádico de um HEG pode ser decomposto numa soma de T<G poliádicos de mesma valência, um deles perpendicular a outros T-1 não paralelos. Consideremos as bases H-ádicas recíprocas {H*} e {H*} de um HEG. Pelo corolário do Teor. 4, constitui uma base desse espaço o conjunto formado por T H-ádicos quaisquer de {H*} (logo, não paralelos), digamos H1, H2, ..., HT, com os G-2 outros não homólogos da base {H*} (aos quais H1, H2, ... são perpendiculares). Ora, qualquer H pode ser decomposto cartesianamente nessa base (Teor. 1, § 09.01) e escrito na forma: H

 M1

H 1

 M2

H

2

 ... MT

H T

 MT1 T1  ... MG

H

 ... MT

H G ,

 H ,

ou seja, na forma: H

 M1

H 1

 M2

2

H T

 H ,

em que H, por ser uma combinação linear de H-ádicos perpendiculares a H1, H2, ..., é perpendicular a esses H-ádicos. Em resumo:

 H ,  M1 , M 2 , ..., M T , H 1 , H  2 , H , ..., H  T , H

H

|

  M1 H 1  M 2 H  2  ...  M T H  T  sendo H  H.

H

1  H  H.

H

H

,

 2  ...  H  H.

(05). H

 T  0,

Teor. 7: Se {H1, H2, ..., HG} e {F1, F2, ..., FS} são, respectivamente, bases dos espaços HEG e FES (G  NH e S  NF), então o conjunto de GxS poliádicos de valência H+F, HkFm para k=1, 2, ..., G e m=1, 2, ..., S, constitui base num H+F EGxS.

Poliádicos - Ruggeri


102

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Com os recíprocos das bases dadas podemos constituir o conjunto de GxS poliádicos  j, com i=1, 2, ..., G e j=1, 2, ..., S. Tem-se, então a expressão:

H iF

H i F

j

H F H  k F m .

 ( H i

H H  k )( F  j .

F F m  ) .

 i k  j m ,

pela qual vemos que os conjuntos H1F1 , H1F2, ... e H1 F1, H1 F2, ..., constituem sistemas de (H+F)-ádicos recíprocos de um H+FEGxS; logo, formam bases. Nota: A recíproca do Teor. 7 não é verdadeira. Por exemplo: para dado espaço triádico construído com vetores do E3 e com características tais que a sua dimensão seja um número primo (digamos, onze) – o que é sempre possível porque esse número deve ser menor que 27 - pode não existir um 2EG que satisfaça as condições do teorema.

Cálculo cartesiano de sistemas recíprocos Os H-ádicos H1, H2, ... HG (com GNH) são linearmente independentes em um subespaço e estão referidos a uma base H-diádica { H   } desse subespaço. Os Hs constituem, também, uma base no subespaço, cujo sistema recíproco quer-se expressar cartesianamente em relação à base { H   } . Conforme (01)1, a expressão cartesiana de Hu em termos das suas coordenadas covariantes é H  u  ( H  u H. H  i ) H  i , com u,i=1,2, ...,G. Se H1, H2, ... HG são os Hádicos recíprocos dos H-ádicos dados, então escrevendo Hi em termos das suas coordenadas contravariantes, isto é, H  u  ( H  u H. H  j ) H  j e observando que H

u

H H v .

  uv podemos escrever, para u,v=1,2, ...,G:

 H  1 H H  1 H H H   2  1  ... H H H   G   1

H H 2  H H H 2  2

...

...

... ...

H

H

1

 G H H  2

 H  1 H H  1 H 1 H H 2    .  ... H 1 H H G    

...

2 H 2 

H

1

H

G

  .  ...  H H  G  

H H G  H H H 2  G

H

H H 1   H H 2  

... ...

... H

 2 H H  G

... ...

G H G  H

H

G

 1     0  ... ...   H H G    0  H H 1   H H 2  

G

0 0  , ... ... ...  0 0 1G 0 1

0 0

ou, sinteticamente, [E**].[E**]=[I]G, onde as matrizes [E**], [E**] e [I]G têm representação evidente: as linhas de [E**] são formadas com as coordenadas covariantes dos Hu e as linhas de [E**] com as coordenadas contravariantes dos Hv. Deduzimos, facilmente, [E**]=[E**]-1, pois [E**] é regular (por hipótese os Hu formam uma base).

IV,§ 09.02

(06),


§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

Se escrevêssemos Hu em coordenadas contravariantes,

103

 u  ( H  u H. H  i ) H  i e os recíprocos dos  em coordenadas covariantes seria, analogamente: [E**].[E**]=[I**]G, as linhas de [E**] sendo formadas com as coordenadas covariantes de Hv (as incógnitas) e as colunas de [E**] com as coordenadas contravariantes de Hu. Então: H

H v

[E**]=[E**]-1,

(07).

Isômeros do hexádico unidade e seus recíprocos Como aplicação, para calcular cartesianamente o sistema recíproco do conjunto dos 14 isômeros de 6I, listados no Exercício 9 do §08.01, dispostos na tabela seguinte 

4 (4   )23 I I

1

4

(I I)

2

3

 12

4

 4

(I   ) 7

 14

( 4   )13

(4   )23

5

6

(  ) 4

 23

10

(   )

6

 ( 4   )14 8

 1

(  ) 4

13

11

( 4   )15 ( 4  ) 2 4 9

 15

(  ) 4

12  1

(   )15

14

4

15

dados em relação a uma base vetorial nas formas 

( 4   ) 23  ei ei e je je k e k ,

I 4 I  e k e k eie jeie j ,

( 4  )12  eieie k e je je k etc.,

poderíamos aplicar o critério exposto nesta seção. Entretanto, vamos fazê-lo por outro caminho utilizando os resultados expostos no referido Exercício 9 do §08.01, consubstanciado na matriz métrica determinada no Exercíco 3 do §09.01. Nesse caso, invertendo aquela matriz métrica obtemos a matriz simétrica 15x15, denotada por [Metr Isom]-1:  22  1  1 ...  1  1  1 22  1  1  1  1  1  1 22 ...  1  1 [Metr Isom]1   , 552  ... ... ... ... ... ...   1  1 22  1    1  1  1 ...  1 22  a qual, conforme o Teorema 4, é a matriz métrica da base recíproca da base definida pelos isômeros. Então podemos escrever, denotando a coluna dos hexádicos isômeros por { 6Iisom} e a dos seus recíprocos por {6Iisom}rec :

{6  isom}rec  [Metr Isom]1.{6  isom} . Assim, por exemplo: 

( 4  2 3  ) rec  

(( 4   ) 2 ) rec 

      1 [22( 4  2 3  ) ( 4   ) 2 ( 4   )13  ...  ( 4  )1  ( 4  13 ) 2 4 ] , 552       1 [ 4  2 3   22( 4   ) 2 ( 4   )13  ...  ( 4  )1  ( 4  13 ) 2 4 ] , 552

e outros.

Poliádicos - Ruggeri


104

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Novas operações com poliádicos de um espaço G-dimensional. Todas as operações já definidas para diádicos (§11, §12, II) podem ser estendidas aos poliádicos. É o que faremos a seguir, sem delongas, uma vez que as demonstrações dessas propriedades são análogas às dos diádicos. § 09.03 - Multiplicação cruzada múltipla de poliádicos Definição: (produto cruzado) Chama-se produto cruzado de G - 1 poliádicos de valência H de um HEG, H 1 H 2  ,  , ..., H  G1 , nessa ordem, para 2  G-1  NH-1 (ou 3 G  NH, logo N=2 ou 3), e representa-se por  H  1 H  2 ... H  G1  , o H-ádico do H EG que, em relação às bases recíprocas arbitrárias desse espaço, {H   }, {H   } (de módulos | H   | e | H   | ), é definido pelo determinante simbólico:

H

 1 H  2 ...

H

 G 1  

H 1

 1 H. H  1 H 2 H H 1  |H   |  . 

H

... 

...

 1 H. H  3 ...

...

H 3

 1 H. H  2 H 2 H H 2  . 

H

H

H 2 H

H G

 1 H. H  G H 2 H H G , (01),  .  H

...

...

G 1 H H 1

.

H

...

G 1 H H 2

.

H

G 1 H H 3

.

H

...

G 1 H H G

.

que convencionaremos desenvolver segundo a regra de Laplace pelos elementos da primeira linha. Em vista da arbitrariedade da base, podemos escrever, também: 

H

 1 H  2 ...

H

 G 1  H

 |  | H

1

H

H

1 H H

H

2 H H

H

. . ...

 G 1 H.

2

H

1

H

1 H H

1

H

2 H H

H

1

H

. . ...

 G 1 H.

2

H

2

H

2

H

3

. 3 ...

1 H H

 G 1 H.

H

...

H

3

...

H

...

H

...

H

G 1 H H

.

G

. G ...

2 H H

 G 1

,

(011).

H H G .

Deve ser observado que o produto cruzado não está definido para G<3 e que esta definição, para H=1, encampa a definição de produto vetorial posto em forma cartesiana (§04.03,Cap.I,Vol.I,T.I).

IV,§ 09.03


§ 09.03 - Multiplicação cruzada múltipla de poliádicos.

Para

H

i 

105

 (i = 1, 2, ..., G - 1) resulta de (01), aplicando ((01), § 09.02):

H i

 ...

H G 1

 2 ...

H

H 1 H 2

H

 |

H 

 | G ,

(02).

 | G ,

(021).

Analogamente, obtemos:

1

H

 G1  |

H

A multiplicação cruzada de poliádicos é a operação que tem por fim determinar o produto cruzado desses poliádicos. Essa operação, ou o seu resultado, gozam das seguintes Propriedades 1ª) - O produto cruzado é nulo: a) - se um dos poliádicos é o poliádico nulo; b) - se dois poliádicos são paralelos; c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais poliádicos fatores. Com efeito, em qualquer um dos casos o determinante (01) seria nulo porque uma de suas linhas seria uma combinação linear de linhas paralelas. 2ª) - Alternância: Permutando-se dois poliádicos contíguos quaisquer de dado produto cruzado, o novo produto cruzado é igual ao anterior com o sinal trocado, pois essa operação equivale a alternar duas linhas paralelas do determinante (01). Genericamente, diríamos: O produto cruzado de poliádicos troca de sinal tantas vezes quantas forem as inversões contadas entre os poliádicos em relação a uma ordem préfixada. 3ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição, ou, ainda, é uma operação linear. 4ª) - G-1 poliádicos de um espaço G-dimensional e seu produto cruzado não nulo são linearmente independentes nesse espaço. Cruzado e Q-vetor de um 2Q-ádico A dimensão do espaço dos 2Q-ádicos (logo, vetores excluídos) é N2Q=G2 com G=NQ e N=2 ou 3. Eles podem ser escritos em forma G-nomial em função de Q-ádicos de base. Algumas dimensões (N2Q) e valores de G para N=2 e 3, com Q=1,2,3,4, estão apresentados na tabela a seguir. Dimensões (N2Q) e valores de G=NQ Q=1 Q=2 Q=3 Q=4 N N2Q G=NQ N2Q G=NQ N2Q G=NQ N2Q G=NQ 2 4 2 16 4 64 8 256 16 3 9 3 81 9 729 27 6561 81 2Q-ádico diádico tetrádico hexádico octádico Poliádicos - Ruggeri


106

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

É óbvio que os subespaços terão dimensões menores. Consideremos o 2Q-ádico: 2Q=Qi Qi com i=1,2,...,N2Q. Cada 2Q-áde de 2Q define um subespaço bidimensional 2QE2 de 2Q E N Q . O produto cruzado do antecedente pelo conseqüente de cada 2Q-áde, do tipo <Q Q>, é um Q-ádico ortogonal ao plano da 2Q-áde Q Q   e gera com ela um subespaço tridimensional do mesmo 2Q E N Q . Definição: (cruzado de um 2Q-ádico) O Q-ádico soma desses Q-ádicos produtos assim determinados, <Qi Qi>, é, por definição, o cruzado do 2Q-ádico.

Q

i

É importante observar que o cruzado de um 2Q-ádico não tem haver com o Q-vetor gerado do mesmo 2Q-ádico, isto é:

 Q  i

2Q Q iQ Q i  Q       i  2Q i  V,    Q-ádico

(03),

Q-ádico

exceto para Q=1 porque as fórmulas (01) e (01 1) se identificam com as correspondentes cartesianas do produto vetorial de vetores. Assim, excepcionalmente para os diádicos:

   ai ei   a i  ei   V ,  vetor

(031).

vetor

§ 09.04 - Multiplicação cruzada múltipla dupla de poliádicos. Definição: (duplo produto cruzado múltiplo) Chama-se duplo produto cruzado múltiplo, H  , de G-1 poliádicos, H

1 ,

H

 2 , ...,

H

 G1 ,

de um HEG-1 (3GNH), um produto cruzado desses poliádicos em que um deles seja um segundo produto cruzado

 H 1

H

 2 ...

H

 G1  ;

e escrevemos: H

  H  1

H

 2 ...

H

 G2  H  1

H

 2 ...

H

 G1  .

A multiplicação cruzada dupla de poliádicos é a operação que tem por fim determinar o duplo produto cruzado desses poliádicos. É válida para os poliádicos fórmula análoga à demonstrada para os diádicos (§ 12, II):

 H 1 ,

H

 2 , ..., H

IV, § 09.04

 

H

 G2 e H  G1 

H 1 H

 2 ... H G2 

 2 ...

 ...

H 1 H

H 1 H 2

H

 G1 :

H G1




§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos.

H 1

1 H. H 1  H  2 H. H 1 ... H G 2 H H 1  .  H

H

2

3

...

1 H. H  3 ...

...

H

1 H. H  2 H 2 H H 2  .  ... H G 2 H H 2  .  H

H

H

 G 2 H.

H

107

 G 1

1 H. H  G 1 ... H  2 H. H  G 1 , ... ... H  G 2 H. H  G 1

H 3

H

(01),

os H i devendo forma uma base (num 2EG-1) cuja recíproca tem por módulo | H *|. Multiplicação cruzada dupla com um produto cruzado Uma aplicação interessante dessa operação aparece no estudo do produto cruzado de um Q-ádico dado, Q, pelo Q-ádico cruzado < Qi Qi > com (i=1,2,...,G e GNQ) do dado 2Q-ádico 2Q= Qi Qi. Tem-se, então aplicando (01):

 Q  Q  i Q  i 

Q Q

i

Q Q i  .

i Q Q i .

Q Q

,

donde, desenvolvendo o determinante:

Q Q i Q i  Q  Q. (Q i Q i Q i Q i )Q  Q. ( 2QT 2Q). Para qualquer 2Q, o 2Q-ádico: 2QT Então, lembrando ((033),§07.01):

2Q

 é anti-simétrico, pois

Q 2Q   2 Q  Q.

ant  2

2Q

ant

2Q

 -

2Q T

2Q

Q Q , .

=-(2QT -

2Q

)T.

(02).

§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos. Definição: (produto misto) Chama-se produto misto múltiplo de G H-ádicos H 1, H  2 , ..., H  G de um H EG (3GNH, N>1), nessa ordem, e representa-se por ( H 1 H 2 ... H G ) , o escalar definido como o produto ponteado H-plo do produto cruzado múltiplo dos G-1 primeiros (que é um H-ádico) pelo último; e escrevemos:

( H 1 H 2 ... H G ) 

H 1 H

 2 ... H G1  H. H G ,

(01).

A multiplicação mista múltipla de vários poliádicos é a operação que tenha por fim determinar o produto misto desses poliádicos. Deve ser observado que o produto misto não está definido para NH3 (devendo ser, pois, N=2, ou 3 e H2). Se {H   } e {H   } são base H-ádicas recíprocas do HEG, então para H

i 

 (i = 1, 2, ..., G),

H i

Poliádicos - Ruggeri


108

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

temos, lembrando (02), § 09.03:

 ...

 ) |

H 1 H 2

(

H G

H 

 |,

(02).

Analogamente podemos comprovar que

(

H

1

H

 2 ...

H

G )  |

H

  |,

(021).

De (01), aplicando (011), § 09.03, podemos concluir:

G:

( H  1 H  2 ...

H

 G )  ( 1) G 1 ( H  1 H  2 ...

 1 H. H  1 H 2 H H  . 1 H

.

H

 3 H. ...

H

H

 G H.

H

H

 2 ...

 1 H. H  2 H 2 H H  . 2 H

1

H

 3 H. H  2 ...

1

H

 G H.

H

 ).

H G

 1 H. H  3 H 2 H H  . 3

...

...

...

H

 3 H. H  G ...

...

H

 G H.

H

2

H

 G H.

H

 1 H. H  G H 2 H H  . G H

...

3

H

,

(03).

G

ou, ainda,

G:

( H1

.

H

 G )  (1) G 1 ( H  1

H

 2 ...

H

G ) .

H

 1 H.

H 1

H

 1 H.

H 2

H

 1 H.

H 3

...

H

 1 H.

H G

H

 2 H.

H 1

H

 2 H.

H 2

H

 2 H.

H 3

...

H

 2 H.

H G

...

H  3 H H G

H  3 H H1

H  3 H H 2

...

...

.

H

 G H.

H 1

...

.

H

 G H.

.

... 

H 2

H

 G H.

H 3

...

H

 G H.

Propriedades: 1ª) - Um produto misto de vários poliádicos é nulo: a) - se um dos poliádicos é nulo; b) - se dois deles são paralelos; c) - se existe uma combinação linear qualquer entre eles.

IV, § 09.05

H G

, (031).


§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos.

109

2ª) - A operação é linear:

( H 1

H

 2 , ..., (B H   C

H

 ), ...,

H

 G )  B( H  1

H

 2 , ...,

H

 , ...,

H

G )  ,

 C(  H

1 H

 , ..., 2

H

 , ...,

H

(04).

 ) G

3ª) - A alternância: Um produto misto troca de sinal se alternamos dois quaisquer dos seus poliádicos. Logo: No HEG, uma permutação circular dos fatores muda G - 1 vezes o sinal de um produto misto de poliádicos, e, portanto, Nos HEG, com G = ímpar, o produto misto de G poliádicos de valência H é invariante numa permutação circular; nos de dimensão par esse produto troca de sinal. Logo, lembrando propriedades do permutador a G índices (§14,II), podemos escrever:

G:

( Hi H j ... Hm )  ij ... m ( H 1 H2 ... HG ) ,

(05).

Teor. 1: São números recíprocos os produtos mistos de H-ádicos de bases recíprocas (H2) de qualquer HEG (3G  NH, N=2, ou 3):

(

 ...

H 1 H 2

 )(

H G

H

1

H

 2 ...

H

G )  1 ,

(06).

Conforme o Teor.3, § 09.02, as matrizes métricas de bases recíprocas são inversas. Então são números inversos os seus determinantes, isto é, os seus módulos (§ 09.01). Logo, multiplicando membro a membro (02) por (02 1), encontramos (06). Teor. 2:

 3  G  N H , i  1,2,...,G, {H   },{H   } : H

 i  (1) i(G 1)

H i 1 H i  2

(

 ... H  G H  1 ... H  i-2 H  i1  ,  ... H  i1 H  i H  i1 ... H  G )

H 1 H 2

(07),

Poliádicos - Ruggeri


110

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

H

 j  ( 1) j(G 1)

H

 j1 H  j 2 ...

( H  1 H  2 ...

H

H

G

H

 1 ...

H

 j 2 H  j1 

 j1 H  j H  j1 ...

H

G )

,

(071);

ou H

H

 i  ( 1) iG 

 j  ( 1) j G

 ... H  i1 H  i1 ... H  G  , ( H 1 H  2 ... H  G )

H 1 H 2

H

 1 H  2 ...H  j1H  j1 ... (  1  2 ... H

H

H

H

G 

G )

(08),

,

(081).

Consideremos a expressão evidentemente verdadeira para dado i: H i 1 H i  2

(

 ...

H G H 1

...

 )

H i-1 H i

.



H i 1 H i  2

...

 ...

H G H 1

H i-1

 .

 0

H H i

Então: H i 1 H i  2

 

H i 1 H i  2

... H  G H  1 ... H  i-1  H ... H  G H  1 ... H  i-1 H  i ) .

  1,

H i

isto é, para aquele valor fixo de i, o primeiro H-ádico fator no primeiro membro é o H-ádico recíproco do segundo, H  i . Transpondo-se para as primeiras posições os i últimos fatores do produto misto, esse produto trocará de sinal G-1 vezes para cada fator transportado, isto é, trocará de sinal i(G-1) vezes; o que comprova (07) e, por analogia, (07 1). Agora escrevemos, transportando os (i-1) últimos fatores do numerador para as primeiras posições: H i 1 H i  2

H i 1

 ...

 ( 1)

( i 1)( G  2 )

H G H 1

...



H 1 H 2

,

 ...

H i 1 H i 1

...

H G

justificando-se o expoente da potência de (-1) porque o numerador tem G-1 fatores e cada vez que se transporta um fator para a primeira posição ele troca de sinal G-2 vezes. O expoente de -1 será, pois, (i  1)(G  2)  i(G  1)  2(iG  i  1)  (i  G) , ou seja, i + G, o que comprova (08). É fácil comprovar-se (081). Resulta imediatamente de (08) e (081) que

 ... H  i1

H 1 H 2

IV, § 09.05

H i 1

... H  G  H. 

H

1 H 2 ...H  j1 H j1 ...H  G  ij ,

(09).


§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos.

111

Com efeito, pré multiplicando pontual e H-plamente (08) por (081) obtemos, no primeiro membro,  ij (uma vez que as bases são recíprocas). Conforme (06), o produto dos denominadores do segundo membro vale 1. O expoente de -1 é 2G+i+j. Portanto, o sinal do segundo membro será positivo se i = j, o que comprova (09) para i = j. Se for i  j, esse segundo membro é nulo porque  ij = 0, sendo irrelevante o valor de (- 1) i+j. Logo (09) é válida para i e j quaisquer. Teor. 3:

 ... H G ; H 1 H  2 ... H  G de H E G :

H 1 H 2

( 

 ...  )( 

H 1 H 2

H G

 .

H

1 H

 ...  )  2

 .

H

G

H 1 H H

1

H 1 H H

2

H 1 H H

 3 ...

H 1 H H

G

H

 2 H.

H

1

H

 2 H.

H

2

H

 2 H.

 3 ...

H

 2 H.

H

G

H

 3 H.

H

1

H

 3 H.

H

2

...

...

H

 3 H.

H

G ,

...

...

... H

 G H.

 .

... H

1

H

 G H.

H

2

H

 G H.

H

H

 .

(10).

...

 3 ...

H

 G H.

H

G

De fato, fazendo H  i  H  i (i = 1, 2, ..., G) em (03), H  i  H i em (031) e multiplicando membro a membro as expressões obtidas encontramos no primeiro membro o primeiro membro de (10). O segundo membro tem sinal positivo, (- 1) 2(G -1). Como o produto dos produtos mistos das bases recíprocas neste segundo membro vale 1, resta-nos comprovar que o produto dos determinantes que aí ocorrem é igual ao determinante do segundo membro de (10). Ora, o produto da i-ésima linha do determinante de (03) pela jésima coluna do determinante de (031) em que se tenham trocado previamente linhas por colunas é, já representando o resultado numa expressão com soma em k:

( H  i H.

 )( H  k H.

H k

H

j) 

H

 i H.

H

j

Fazendo, agora, i, j = 1, 2, ..., G, podemos montar e justificar o determinante (10). Teor. 4: É um invariante o produto misto de poliádicos. Representemos por ( H  1

H

 2 ...

H

 G )  e ( H 1

H

 2 ...

H

 G )  os produtos

mistos dos mesmos poliádicos em relação a duas bases {H  } e {H  } do HEG. O primeiro produto é dado por (03). Conforme (03 1), podemos escrever o segundo na forma:

Poliádicos - Ruggeri


112

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

( H 1 H  2 ... H  G )   (1) G 1 ( H 1 H  2 ... H  G )  1 H. H 1  2 H. H 1  H  3 H. H 1 ... H G H H 1  . 

1 H. H  2  2 H. H  2 H 3 H H 2  .  ... H G H H 2  . 

H

H

Multiplicando por ( H  1

H

 2 ...

H

H

H

H

1 H. H  3  2 H. H  3 ...

H

 G H.

H 3

1 H. H  G  2 H. H  G H 3 H H G .  .  ... H G H H G ...  .  ... ... ...

H

H

 G ) ambos os membros dessa igualdade, vem:

H

( H 1 H  2 ... H  G )  ( H 1 H  2 ... H  G )  1 H. H 1 H 2 H H 1  .  H 3 H H 1  .  ... H G H H 1  . 

1 H. H  2 H 2 H H 2  .  H 3 H H 2  .  ... H G H H 2  . 

H

1 H. H  3 H 2 H H 3  .  ...

H

1 H. H  G H 2 H H G  .  , ... H  3 H. H  G ... H G H H G ...  . 

H

H

 G H.

... ...

H 3

H

(A).

Analogamente, multiplicando por ( H  1 H  2 ... H  G ) ambos os membros de (03) e aplicando (10), ao primeiro fator do segundo membro, temos:

( H 1

H

 2 ...

H

 G )  ( H 1

H

 2 ...

G ) 

H 1 H H 1

.

H 1 H H  2

.

H 1 H H  3

H  2 H H 1

.

H 2 H H2

H 2 H H3

H  3 H H 1

.

H 3 H H2

...

...

H  G H H 1

H G H H2

.

.

.

.

...

.

.

...

H 1 H H  G

...

H 2 H HG

...

H 3 H HG

.

.

.

.

... H G H H3

.

...

.

H G H HG

.

H

 1 H.

H

1

H

 1 H.

H

2

H

 1 H.

H

3

...

H

 1 H.

H

G

H

 2 H.

H

1

H

 2 H.

H

2

H

 2 H.

H

3

...

H

 2 H.

H

G

H

 3 H.

H

1

H

 3 H.

H

2

...

H

 3 H.

H

G

... H

IV, § 09.05

H

 G H.

...

... H

1

H

 G H.

... H

2

H

 G H.

H

3

...

H

 G H.

H

G

, (B).


§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico.

113

Ora, em (B), o produto da i-ésima linha do primeiro determinante fator pela j-ésima coluna do segundo determinante fator vale, já representando o resultado com uma soma em k:

( H  i H.

 )( H  k H.

H k

H

 j).

 i H. H  j . Mas esse é o elemento da iésima linha e j-ésima coluna do determinante (A). Então, igualando os primeiros membros e cancelando-lhes o fator comum (não nulo), comprovamos a igualdade dos produtos mistos. Portanto, o produto misto dos poliádicos independe das bases em relação às quais ele é calculado; é, pois, um invariante. Então, conforme (011), § 09.02, esse produto vale

H

§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico. Nesse instante o leitor está convidado a fazer uma incursão ao § 10.03 do Capítulo II para rever a introdução que fizemos das idéias primárias principais no espaço diádico. Por analogia, o leitor verá que aqui também, a rigor, devemos postular a existência de pontos, retas, planos, 3-espaços, ... G-espaços como regiões definidas por um, dois, ... G+1 pontos dados, com dimensões zero, um, dois, ..., G, respectivamente. Nesses espaços, entretanto, representados genericamente por HEG, habitam os poliádicos de valência H. A teoria a ser aqui exposta seria, em resumo, a mesma exposta no referido parágrafo. Tornam-se necessárias apenas pequenas (e até raras) adaptações nos enunciados de teoremas e notações. Basicamente devemos estar atentos para a troca de biflecha por Hflecha, N2 por NH e para a generalização da tabela relativa ao número de espaços fronteira de dimensão R de um paralelotopo. Ficará por conta do leitor essa tarefa um tanto trabalhosa. Transformações Lineares entre espaços poliádicos Um importante conceito (ou operação) a generalizar é o de transformação linear entre poliádicos de valência H de um espaço em poliádicos de valência R de outro espaço. Essa transformação é representada genericamente pela expressão R



R H

H H , .

(01),

na qual o poliádico RH  , cuja valência é a soma das valências dos demais poliádicos, é operador da transformação. Em geral, H e R são poliádicos variáveis; quando a transformação está representada na forma indicada, H pode ser tratado como a variável independente e R a dependente. Do ponto de vista geométrico podemos entender a expressão (01) como a transformação (linear) de pontos do espaço dos H-ádicos (com até 3H dimensões se os poliádicos são gerados do E3) em pontos do espaço dos R-ádicos (com até 3R dimensões), operada por RH  , espaços esses que têm pelo menos um ponto comum. Para tal basta que imaginemos aplicadas ao ponto comum dos espaços (eleito como uma origem comum) as flechas dos poliádicos correspondentes (§06.06).

Poliádicos - Ruggeri


114

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Muitas das leis lineares da Física podem ser representadas por uma equação poliádica do tipo (01) para diferentes valores de R e H. Em geral os poliádicos H e R constituem campos15 porque as grandezas correspondentes variam de ponto para ponto no espaço físico considerado (uma massa material, por exemplo) e são relacionadas por uma propriedade física do espaço considerado. Assim, podemos entender essas leis como transformações lineares entre os campos representados por H e R operadas pelo poliádico representante de alguma propriedade física do meio onde prevalece a lei. Algumas novas características devem ser imediatamente adicionadas; por exemplo, a invertibilidade da equação (01). Pois, devendo ser possível expressar também H em função de R, deve existir ainda a lei H



H R

 R.

R

,

(02).

Então, por substituição de (02) em (01) e por associação, vem: R



R H

H .

( HR  H.

R

)  ( R H 

H H R  ) H. R  .

,

isto é, R H

H H R   2R .

,

(03).

Por outro lado, substituindo (01) em (02) e operando analogamente obteríamos: R H



R .

H R

  2H ,

(04).

Interpretamos as expressões (03) e (04) dizendo que as propriedades que correlacionam os campos H e R nas leis físicas lineares que expressam uma variável em função da outra são “pseudoinversas”; quando R=H essas propriedades são realmente inversas, ou, o que é o mesmo, os poliádicos que as representam são inversos, conforme definiremos no § 13. Em Elasticidade, por exemplo, para R=H=2, (01) é a lei de Hooke que correlaciona o diádico de tensões (2) com o de deformações (2); 4 é o tetrádico de rigidez (stiffness, em Inglês) e 4’ é o de flexibilidade (compliance, em Inglês). Demonstremos o seguinte Teor. 1: (teorema fundamental) Qualquer poliádico de valência R+H, usado como pré-fator em multiplicação ponteada múltipla por poliádicos de valência H, é operador de uma TL entre o espaço destes e o espaço dos poliádicos produto. Reciprocamente, toda TL dos poliádicos de valências H nos poliádicos de valência R pode ser univocamente representada por um poliádico de valência R+H, para ser usado como pré-fator em multiplicação ponteada múltipla. O teorema direto decorre imediatamente da definição de multiplicação ponteada múltipla e das interpretações geométricas já introduzidas.

15 Esse conceito será rigorosamente definido no Tomo II.

IV, § 09.06


§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico.

115

Reciprocamente, se existe uma transformação linear entre os poliádicos H (de um EA) e os R (de um REB) e se é sabido que, nesta transformação, certos A R-ádicos independentes (§09.01) de HEA, H1, H2, ..., RA, têm como transformados certos A Hádicos R1, H2, ..., HA de HEB, então o operador da transformação, H+R, está determinado: H

R H

 R  u H  u , (u=1,2,...,A)

(05),

os poliádicos H1, H2, ..., HA constituindo os recíprocos (§09.02) dos H-ádicos H1, H2, ..., H A. Cálculo do operador de uma Transformação Linear Quer-se determinar o 2H-ádico 2HH que transforme G(NH) H-ádicos dados, linearmente independentes, H1, H2, ..., HG, obedecendo à expressão H  u  2H H H. H  u (u=1,2,...,G), sendo dados, também, os G transformados H1, H2, ..., HG. Supõe-se, ademais, que os H-ádicos sejam todos dados por suas representações cartesianas em relação a uma base H-ádica do espaço, { H   } , de recíproca { H   } . Podemos escrever, conforme o Teor. 1: recíprocos dos Hu. Como 2H H

( H  u

H

 u ( H  u

2H H

H H i H  ) i .

e

 H u

Hu

, em que os Hu são os

H u (H u H H )H  j , . j

H H  i )( H  u H H  ) H  ˆ i H j, . . j

resulta:

(i,j=1,2, ..., G).

A matriz mista associada a 2HH em relação às bases H-ádicas recíprocas é, então:

 ( H  H H  1 )( H  u H. H  ) ( H  u . 1 u   ( H  u H. H  2 )( H  u H. H  1 ) ( H  u  ...  ( H  u H. H  G )( H  u H. H  1 )( H  u

HH 1 H u HH  )(  .  2 ) ... ( H  u H. H  1 )( H  u H. H  G )  .  HH 2 H u HH  )(  .  2 ) ...( H  u H. H  2 )( H  u H. H  G )  .

... HH G H u  )(  .

... HH  2 )...( H  u .

H .

... H G H u  )( 

  HH  G ) .

na expressão de cada um de seus elementos estando estabelecida uma soma em u. Essa matriz pode ser fatorada no produto das matrizes quadradas

 H  1 H. H  1 H H H 2  1 .   ... H H HG  1 . 

H

H H 1 . H  2 H. H  2 2

... H

2

H HG .

... ... ... ...

    ...  H H HG G .  H

H H 1 . H  G H. H  2 G

e

 H  1 H. H 2 H  . .  ... H G H .  

H H

1

1

H 1 H H  . 2 H 2 H H  . 2

... H

1

H G

H H . 2

... ... ... ...

  .  ...  H H  . G

H 1 H H  . G H 2 H H  . G H G

Poliádicos - Ruggeri


116

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Então, sinteticamente, [2HH**]=[H**].[HE**], as matrizes fatores tendo representação evidente: a i-ésima coluna de [H**] é formada com as coordenadas contravariantes de Hi e a j-ésima linha [HE**] com as coordenadas covariantes de Hj. Voltaremos a esse assunto no §19 deste capítulo para uma aplicação em Elasticidade. Equações poliádicas. Consideremos a expressão poliádica

H  H H  1 .

em que

H

 é um poliádico

constante e  um poliádico variável no EG. Esta expressão é uma equação poliádica uma vez que apenas certo conjunto de H-ádicos a satisfaz. Para H=2 esta equação já é nossa conhecida (§ 16.03, II), podendo representar uma reta para G=2, um plano para G=3, um 3espaço para G=4 etc.. H

H

Vamos dar inicialmente uma expressão cartesiana à equação. Uma base no espaço EG pode ser imaginada como as suas correspondentes no espaço dos vetores e diádicos, ou seja, como um conjunto de G H-ádicos independentes (§ 09.01) cujas H-flechas estejam todas aplicadas num mesmo ponto arbitrário do espaço, ou ponto origem. Se, em relação a essa base, H tem G coordenadas (A, B, C, ..., L) e, na base H-ádica recíproca (§ 09.02), H tem (G) coordenadas X,Y,Z, ..., W, então a equação cartesiana correspondente a H  H H  1 (de um (G-1)-espaço) é AX  BY  CZ  ...  LW  1 . Essa equação é tão . H

válida do ponto de vista algébrico quanto a do plano (em três dimensões) no espaço dos vetores, ou do plano no espaço diádico. Diríamos que X,Y,Z, ...,W são números que, para o dado conjunto A,B,C, ...,L, satisfazem perfeitamente a referida equação. Por outro lado, o conceito de módulo de um poliádico e a desigualdade de Schwarz entre dois poliádicos - com os quais comprovamos a existência de um ângulo definido por esses poliádicos (§ 06.06) - permite dar uma interpretação geométrica à equação H  H H  1 tal como a sua correspondente dos vetores e diádicos. Uma infinidade de H. flechas satisfaz a equação, todas elas sendo paralelas ao (ou contidas no) subespaço ortogonal a H, subespaço esse tal, que a origem esteja distante dele de um comprimento d igual ao inverso do módulo de H. Como, agora, G  NH, a referida equação pode ter alguns significados. Se G=2 a equação é a da reta ortogonal ao H-ádico fixo H à distância d da origem; se for G=3, a equação é de um plano ortogonal a H à distância d da origem; se for G=4, a equação é a do 3-espaço ortogonal a H à distância d da origem etc.. É fácil, também, justificar que a equação H ˆ H. H ˆ  1 , em que H ˆ é um poliádico unitário variável cuja H-flecha tem origem aplicada num ponto arbitrário do espaço (com até 3H dimensões se esses poliádicos são gerados do E3), representa uma superfície esférica de raio unitário e centro naquele ponto. Já vimos que a equação rˆ..rˆ  1 representa, no espaço tridimensional (bidimensional) dos vetores, uma quádrica (cônica) centrada na origem comum dos vetores

IV,§ 09.06


§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico.

117

unitários variáveis rˆ , podendo ser, pois, um (uma) elipsóide (elipse) ou um (uma) hiperbolóide (hipérbole). Na oportunidade (§ 09.07, II) não conseguimos estender outros conceitos ao espaço diádico por falta dos recursos algébricos ora adquiridos. Assim, H ˆ H 2H  .  H. H ˆ  1 representa um hiperquádrica centrada num espaço de NH dimensões, ou uma hipercônica centrada, em subespaços. Para H=2 a citada equação é a das quádricas fechadas no espaço diádico. Esse assunto pode ser mais bem desenvolvido, mas não o faremos aqui. Simplex e baricentros No espaço dos poliádicos, os simplex são definidos tal como no espaço diádico; seus elementos: vértices, lados, faces, 3-espaços, 4-espaços etc., bem como o conceito de baricentro, aparecem da mesma forma. Assim, todas as propriedades estabelecidas para os simplex e a grande multiplicidade de baricentros no espaço diádico são igualmente válidas no espaço poliádico. Vamos nos dispensar dessa penosa tarefa. Trigonometria Plana e Esférica do espaço poliádico. Calculando a norma de

H  H  H 

temos:

||H ||||H ||||H ||2| H ||H | cos( H , H ) , ou melhor,

| H | 2 | H | 2 | H | 2 2| H ||H | cos( H , H ) . Vemos, assim, que os H-ádicos são somados geometricamente como os vetores, ou seja, no espaço poliádico a soma de duas poliflechas pode ser representada graficamente pela regra do paralelogramo, mas não dispomos de recursos geométricos para a resolução gráfica desse problema quando o espaço tem dimensão maior que três. Na expressão acima reconhecemos uma generalização da “fórmula de Carnot” da Trigonometria Plana. Na verdade, todas as fórmulas da Trigonometria Plana são válidas no espaço poliádico. E muito mais: sobre a superfície esférica do espaço poliádico de dimensão G existem “subespaços esféricos” de dimensão G-J (J=1,2, 3, ...,G) cuja trigonometria pode também ser desenvolvida via a álgebra dos poliádicos. Isto é, cada conjunto de j pontos (0<j<NH) da superfície esférica

H

HH  .

 1 - e existem C Nj H deles – define com o centro

dessa superfície um HEj que tem em comum com ela um HE

N H J

são “os

HE

N H J

HE

N H J ;

estes C Nj H subespaços

do triângulo esférico”. Esse assunto poderá ser desenvolvido em

maior extensão. Projeções no espaço dos 2H-adicos. 2H-adicos menores. Vimos (§ 15,II) como são feitas as projeções de diádicos sobre um subespaço paralelamente a outro subespaço e como se apresentam as matrizes associadas a essas projeções, conhecida a matriz associada ao diádico. As projeções dos 2H-adicos podem ser feitas de modo inteiramente análogo.

Poliádicos - Ruggeri


118

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Vamos induzir o processo de generalização de conceitos a partir da consideração dos tetrádicos (H=2). Consideremos a representação 9-nomial 4   i  i com i=1,2,...,9 em relação à base diádica {*} e a correspondente cartesiana, em relação à base vetorial {e*}, 4   A rs e e e t e v em que, sendo  i  A rsi e e e   E e t e v , a matriz associada a 4 r s i itv tv r s em relação à base vetorial {e*} é A rs

tv  A

rsi E

itv ,

com r,s,t,v=1,2,3. Em forma matricial

escrevemos:

 A 111  121 A  A 131 A   211 A  ...  331 A

A 112 A 122 A 132 A 212 ... A 332

A 113 A 114 ... A 119   E 111  A 123 A 124 ... A 129  E 211 ... A 139   E 311 . ... ... A 219  E 411 ... ...   ...  ... ... A 339   E 911

E 112 E 113 E 121 E 212 E 213 E 221 E 312 E 313 E 412 ... ... ... E 912 E 913 ...

... E 133  ... E 233  ...  .  ... ...   ... E 933 

Essas matrizes 9x9 podem ser imaginadas subdivididas em nove submatrizes 3x3 cada uma. Na matriz multiplicando o primeiro índice das coordenadas representa a ordem do bloco horizontal dentro da matriz e o segundo, a ordem da linha dentro desse bloco. Na matriz multiplicadora o segundo índice representa a ordem do bloco vertical dentro da matriz e o terceiro a ordem da coluna dentro do bloco. Para que a matriz [A]**** tenha elementos nulos na s-esima linha do seu r-esimo bloco horizontal (ou na v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical) é necessário que a matriz multiplicando (multiplicadora) tenha apenas zeros na s-esima linha do seu r-esimo bloco horizontal (na v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical). Em relação ao sistema global, essa matriz é a matriz associada ao tetrádico projeção de 4 paralelamente ao subespaço cuja tétrade local de base tem por antecedentes eres e conseqüentes etev, sobre o subespaço complementar que tem 81-9=72 dimensões. Para que a matriz [A]**** tenha elementos nulos na s-esima linha do seu r-esimo bloco horizontal e na v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical é suficiente que as matrizes multiplicando e multiplicadora tenham, respectivamente, a s-esima linha do seu resimo bloco horizontal e a sua v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical simultaneamente nulas. Em relação ao sistema global, essa matriz é a matriz associada ao tetrádico projeção de 4 paralelamente ao subespaço cujos índices das tétrades locais de base se iniciem por eres e os que se findem por etev, sobre o subespaço complementar que tem 81-17=64 dimensões; esse tetrádico pertence a um 4E64. Se fizermos a projeção de 4 paralelamente ao subespaço cujas tétrades locais de base iniciem por eres ou er'es' e terminem por etev ou et'ev', sobre o subespaço complementar que tem 81-17-15=49 dimensões, obteremos um tetrádico de um 4E49; e assim sucessivamente até obtermos os tetrádicos em subespaços com 81- 17-15-13-...-3=1 dimensão, isto é tetrádicos de 4E1. Vê-se, assim, que as matrizes (quadradas) associadas aos tetrádicos projeção de um tetrádico dado – ou seja, as projeções desse tetrádico paralelamente a certo j-espaço, sobre o (k=81-j)-espaço complementar - são formadas como se formam os menores de um

IV,§ 09.06


§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico.

119

determinante. As matrizes associadas aos tetrádicos do 4E64 têm por determinante os menores do grau 8 extraídos da matriz associada ao tetrádico, e são tantos quantos são as combinações de 9 objetos tomadas um a um, C91=9; as matrizes associadas aos tetrádicos do 4 E49 são do grau 7, em número de C92=36 etc.. Por isso mesmo denominaremos esses tetrádicos de "tetrádicos menores" do tetrádico dado; existem em número total de 2 91=511. Os tetrádicos menores correspondentes a tétrades (ou grupo de tétrades) com pares de índices repetidos na mesma seqüência (e1e3e1e3, e3e2e3e2, e1e1e1e1 etc.) serão denominados "tetrádicos menores diagonais". As considerações até aqui feitas à partir de todo o espaço dos tetrádicos (de 81 dimensões) são válidas também à partir de um G-espaço tetrádico qualquer (dentre os já considerados), com G81. Na prática trabalha-se mais freqüentemente com os subespaços de dimensões 82=64, 72=49, ..22=4 e 12=1. O caminho para a generalização é bem visível. Consideremos a representação 3 Hnomial 2H  H  z H  z com z=1,2,...,3H na base H-adica {H*} e a correspondente cartesiana, na base vetorial {e*}, índices) em que, sendo a

2H

H z

2H   A ij ... m

uv...we i e j ...e m e

 A ij...kze i e j ...e k e

H

z

u e v ...e w

(com 2 grupos de H

 E zuv...we u e v ...e w , a matriz associada

 na base vetorial {e*} tem elemento genérico A ij...kuv...w  A ij...kzE zuv...w, com

i,j,...k,u,v,...,w=1,2,3. Em vista da somatória em z, essa matriz é o produto de duas matrizes 3Hx3H, cujos elementos são definidos por H+1 índices. Essas matrizes 3 Hx3H podem ser subdivididas em 9 submatrizes 3H-1x3H-1 cada uma. Na matriz multiplicando o primeiro índice das coordenadas representa a ordem do bloco primário horizontal (de 3 H-1 linhas) dentro da matriz; o segundo, a ordem de um bloco secundário de 3 H-2 linhas dentro do bloco primário etc.; o último índice representará a ordem da linha dentro do bloco de ordem 3 H com apenas uma linha. Na matriz multiplicadora o segundo índice representa a ordem do bloco primário vertical dentro da matriz (com 3 H-1 colunas); o terceiro, a ordem de um bloco secundário de 3H-2 colunas dentro do bloco primário etc., o último índice representando a ordem da coluna dentro do bloco de ordem 3 H-1 com apenas uma coluna. Isto é equivalente a subdividir a matriz em 9 blocos, cada bloco em nove outros blocos, cada um destes em outros nove e assim por diante até que os blocos sejam constituídos por um único elemento. Para que uma linha da matriz [A]**...***...* seja constituída apenas por zeros, basta que a linha correspondente da [A]**...* seja constituída de zeros; o mesmo se dando com a matriz E**...* se se pretende que uma coluna da matriz [A]**...***...* seja constituída apenas por zeros. Em relação ao sistema global, a matriz do primeiro caso é a matriz associada ao tetrádico projeção de 2H paralelamente ao subespaço cuja tétrade local de base inicie-se por e i e j ...e k , sobre o subespaço complementar que tem 3 2H-3H dimensões. Podem ser feitas as mesmas considerações em relação à matriz do segundo caso. Para que a matriz [A]**...***...* tenha elementos nulos em toda uma linha e em toda uma coluna é suficiente que as matrizes multiplicando e multiplicadora tenham, respectivamente, a linha e a coluna correspondentes com elementos todos nulos. Em relação ao sistema global, essa matriz é a matriz associada ao tetrádico projeção de 4 paralelamente ao subespaço cujos H primeiros índices das 2H-ades locais de base iniciem-

Poliádicos - Ruggeri


§ 10 - Invariantes dos poliádicos.

120

se com os índices da linha considerada de [A]**...*; e os H últimos índices com os índices correspondentes da coluna de E**...*, sobre o subespaço complementar que tem 3 2H-3H-3H1=32H-2x3H-1 dimensões. Os 2H-adicos assim obtidos pertencem a algum 2H E 3 H 1 . Se fizermos a projeção de 4 paralelamente ao subespaço cujas 2H-ades locais de base iniciemse por eiej ... ek ou ei'ej' ...ek' e findem-se por euev...ew ou eu'ev'...ew', sobre o subespaço complementar que tem 32H-4x3H-4 dimensões, obteremos 2H-adicos de algum 2H E 3 H 2 ; e assim sucessivamente até obtermos os 2H-adicos dos

2H

E1 .

Pelas mesmas razões expostas para o caso dos tetrádicos, os poliádicos projeção serão denominados "poliádicos menores", dentre os quais se destacam os "poliádicos menores diagonais".

§10 - INVARIANTES DOS POLIÁDICOS. § 10.01 - Invariância do escalar, do Q-vec e do cruzado de um 2Q-ádico. Consideremos a seguinte escrita arbitrária de um 2Q-ádico, 2Q 

 a i j... l mi

1

j1 m1 ... l1

b i ...p l q m r i1 s j1 ... y l1 z m1    , Q 1 fatores

i, j, ... = 1, 2, ..., S,

(01),

Q fatores

onde S é um número finito positivo qualquer. Temos, pois, no segundo membro de (01), S 2Q parcelas 2Q-ades. Lembrando ((05),§08.02), o produto múltiplo misto (Q+Q)-plo de 2Q pelo 2Q-ádico unidade, isto é, 2Q 

Q . Q 

2Q

2Q 

, com

s

t

r

k

  e r f ... g k h e f s ... g h t     , Q fatores

Q fatores

é o cruzado de 2Q (§08.02), 2QV, sendo, no caso, 2Q

V 

2Q

Q

Q 

2Q

j

m j

m

  (a i ... l i 1... l 1  e r )( b i  f s ) ...(p l  g k )(q m  h t ) 1  1  Q fatores i

l

(r 1 .er )(s j .f s ) ...(y 1 .g k )( z m .h t ), 1  1  

(02).

Q fatores

Acoplando convenientemente os Q produtos ponteados aos Q produtos cruzados e destacando fatores, vem: 2Q

j

 V  a i ... l

m j1 m1 i1 ... l1

i

 [e r (e r .r 1 )] b i  [f s (f s .s j )] ... 1

l

....p l  [g k (g k .y 1 )] q m  [h t (h t .z m )], 1

IV,§ 10.01


§ 10.01 - Invariância do escalar e do cruzado de um 2Q-ádico.

121

ou melhor, 2Q

j

 V  (a i ... l

m j1 m1 i1 ... l1

i

l

 r 1 )( b i  s j ) ...(p l  y 1 )(q m  z m ) , 1

(03).

1

Como também podemos escrever o 2Q-ádico unidade permutando o grupo dos conseqüentes com o grupo dos antecedentes, resulta: 2Q

V ���

2Q

Q

 2Q  Q 

2Q

 Q  2Q  Q

 (-1) Q

Q 

2Q

Q

 2Q  Q ,

(04).

Q 

Teor. 1: (invariância) São invariantes o ponteado, o Q-vetor e o cruzado de um 2Q-ádico. Podemos representar os Q conseqüentes do 2Q-ádico (01), em relação a Q sistemas recíprocos {e*}, {e*}, {f*}, {f*}, ... , nas formas: l

q

l

p

i

s

i

r

z m  ( z m . h q )h , y 1  ( y 1 . g )g p ... s j  (s j . f s )f , r 1  ( r 1 . e )e r , (A), 1

1

1

1

e todos os seus antecedentes, excetuado o primeiro, nas formas m

q

m

q  (q . h 1 )h q , p l  (p l . g p )g 1

1

p1

i

i

s

... b  (b . f 1 )f s ,

(B).

1

Então, uma escrita vetorial arbitrária do poliádico é 2Q

v

s1 q1 r p ... p1 s ... q

p

f s ... g 1 h q e r f r ... g p h q 1 1    ,

(C),

Q fatores

sendo

v

s1

q1 r

... p1

s ...

p q

(a i

j

m j1

m1

i

( e r .r 1 )

... l i1 ... l1 i s1

( b .f )

( f s .s j ) 1

...

(D). l1

p

(p l .g p )

(g . y )

1

m

q1

... ( q .h )

( h q . z m ), 1

Calculando o produto misto (Q + Q)-plo de encontramos: 2Q

 V  ( v

s1 q1 r p ... p1 s ... q

2Q,

dado por (C), pelo 2Q-ádico unidade, p

 e r )(f s  f r ) ... (g 1  g p )(h q  h q ) , 1

1

(031).

Se esse produto for um invariante, isto é, se independer das formas pelas quais se possam escrever os 2Q-ádicos fatores, os primeiros membros de (03) e (03 1) deverão ser iguais; e

Poliádicos - Ruggeri


122

§10 - Invariantes dos poliádicos.

de fato são. Calculando-se o primeiro antecedente do produto misto múltiplo pela expressão (D), substituindo-se o resultado em (031) e destacando-se os vetores fatores, vem: 2Q

 V   {(a i ... l j

m j1 m1 i1 ... l1

i

s

 [e r (e r .r 1 )]} {[( b i .f 1 )(f s ]  [f s (f s .s j )]} ... 1

p1

l1

1

q1

...{[(p l .g p )( g ]  [g p )( g p .y )]} {[(q m .h )(h q ]  [h q )(h q .z m )]}, 1

1

1

ou seja, lembrando as expressões (A) e (B): 2Q

 V  (ai ... l j

m j1 m1 i1 ... l1

i

l

 r 1 )( b i  s j ) ...(p l  y 1 )(q m  z m ). 1

1

A comparação dessa expressão com (03), confirma a nossa assertiva relativamente à invariância do produto misto múltiplo do poliádico 2Q por 2Q, logo de 2QV. O caminho para a demonstração da invariância do escalar do poliádico é, agora, evidente, uma vez que a simples substituição do sinal de multiplicação cruzada pelo sinal de multiplicação ponteada não altera o raciocínio exposto. É evidente ainda que o cruzado do 2Q-ádico qualquer 2Q é um invariante. De fato, a parte anti-simétrica desse 2Q-ádico independe, obviamente, de qualquer representação Gnomial (=2QT-2Q); e ((02),§09.04) mostra que o produto cruzado duplo < Q<2Q>> é um Q-ádico único, porque 2Qant transforma o Q-ádico qualquer Q em Q-ádicos iguais. § 10.02 - Invariantes primários Da tríade 3   abc podemos obter duas díades, dois vetores e um número, assim especificados, representados e denominados: - Díades: 3

 V  a  bc , primeira díade, 1

3

 V  ab  c , segunda díade; 2

- Vetores: 3

 E  a  bc , primeiro vetor, 1

3

 E  ab  c , segundo vetor; 2

- Escalar: 3

(1)

 ( abc) , primeiro escalar. *

Exercício: Comprovar que: ( 3  :  )  a  a3  E 2 e ( 3  :  ).a  a. 3  E 2 . * IV,§ 10.02


§ 10.02 - Invariantes primários.

123

Analogamente, para a tétrade 4   abcd, temos: - Tríades: 4

 V  a  bcd , primeira tríade, 1

4

 V  ab  cd , segunda tríade, 2

 V  abc d , terceira tríade;

4

3

- Díades:

 E  a  bcd , primeira díade,

4

1

 E  ab  cd , segunda díade,

4

2

4

 E  abc  d , terceira díade; 3

- Vetores: 4 4

 

 (abc)d  4 

(1)

 4

VE

1 1

 a (bcd)  4 

(2)

VE 2

VE

, primeiro vetor,

2 1

 4 2

VE

, segundo vetor.

3 2

Esses vetores, díades, tríades etc. assim obtidos serão denominados primários para distingui-los de outros similares existentes que receberão outras denominações. Essas denominações, notações e conceitos podem ser estendidos para uma Q-ade qualquer, como, também, para Q-ádicos. Representando uma Q-ade, cujo P-ésimo antecedente seja o vetor n, por Q   abcd ...lmnrst ... xyz,

P - esimo antecedente 

a P-ésima (Q - 1)-ade de

Q

 é

Q

 V  abcd ... jm(n  r)st ... xyz . Analogamente, a P-ésima P

(Q - 2)-ade de

Q

 será: 

 abcd ... lm(n. r )st ... xyz ; e a P-ésima (Q - 3)-ade

Q

E

P

Q

(P)

 abcd ... lm(nrs) t ... xyz.

Assim, uma Q-ade tem Q-1 políades de valência (Q-1), Q-1 políades de valência (Q2) e Q-2 políades de valência (Q-3), todas denominadas, também, primárias; as mesmas quantidades de poliádicos existem para Q-ádicos e a eles estendemos as mesmas denominações. Então, um Q-ádico tem 3Q-4 poliádicos primários cujas valências são, no mínimo, igual a Q-3.

Poliádicos - Ruggeri


124

§10 - Invariantes dos poliádicos.

Teor. 2: O P-ésimo poliádico primário de uma combinação linear de poliádicos é a combinação linear correspondente dos P-ésimos poliádicos primários dos poliádicos da combinação:

(A Q  + B Q )

 A Q

V

P

(A Q  + B Q )

(A Q  + B Q )

Q

E

P

 A Q P

 A Q

(P)

+ B Q

V

E

,

V

(01),

P

+ B Q

,

(011),

+ B Q ,

(012).

P

( P)

E

P

(P)

Com efeito, pois sendo sempre possível escrever vetorialmente os Q-ádicos  e Q  em termos dos mesmos Q-1 sistemas recíprocos ((01), § 03.03), temos: Q

  ai

k ...

j

Q

s ... u ... r

  bi

k ...

j

e f j ... n r m ... g h v ,

v

i

s ... u ... r

s

u

e f j ... n r m ... g h v

v

i

s

u

e

A Q  + B Q   (A a i

j

k ...

s ... u ... r

v

+ B bi

j

k ...

s ... u ... r

v

) e f j ... n r m ... g h v . i

s

u

Logo:

( A Q  + B Q ) V  (A ai j k ... ... r s ... u v + B b i j k ... ... r s ... u v ) ei f j ...n r  ms ...g u h v  P

 A a i j k ... ... r s ... u ve i f j ...n r  m s ...g u h v + + B b i j k ... ... r s ... u v e i f j ...n r  m s ...g u h v   A Q

V

+ B Q

P

V

.

P

Analogamente podem ser demonstradas as demais fórmulas. Corol. 1: As operações de cálculo de invariantes primários são lineares. Teor. 3: (invariância) São invariantes todos os 3Q-4 poliádicos primários de um Q-ádico. Consideremos o poliádico qualquer, de valência Q-1 e S vetores vi: Q

IV,§ 10.02



Q1

Q

 , definido por, digamos, S poliádicos

iv

i

i  1,2,..., S ,

Q1

i

(A).


§ 10.02 - Invariantes primários.

125

O seu P-ésimo (Q-1)-ádico primário é Q

Q1

V

i

v

V

P

P

i

se P < Q  1,

(A'),

ou Q

Q1

V  P

i  vi

se P=Q-1,

(A"),

Reduzindo esse mesmo poliádico a uma forma (Q-1)-nomial de que os conseqüentes sejam os vetores de base {g*} de EN, isto é, Q

Q1



kg

k  1,2,..., N ,

k

(B),

o seu P-ésimo (Q - 1)-ádico primário é Q

V

 

Q1

k

se P < Q  1,

(B'),

  g k se P  Q  1 ,

(B"),

V

P

ou Q

g

P

V  

k

Q 1 k

P

Ora, em relação aos sistemas recíprocos {g*} e {g*} podemos escrever:

v  ( v . g k )g i

i

i  1, 2, ..., S e k  1, 2, ..., N ;

k

então, Q



Q1

 i ( v . g k )g i

i  1,2,..., S; k  1, 2, ..., N ,

k

(C).

De (B) e (C), lembrando o Teor.1, § 05, resulta: Q1

k 

Q1

 i (v . g k ) , i

(D),

isto é, o poliádico Q1  k é uma combinação linear dos S poliádicos Q1  i . Pelo Teor. 1, Q1 k   Q1  i ( v . g k ) , ou seja, multiplicando diretamente ambos os membros por gk V

V

P

P

e somando em k:

i

Q1

k g  V

P

Q

V

P

Q

V

Q1

k

 i v . Então, considerando-se (A') e (B'), resulta: V

P

i

 , isto é, se P<Q-1 o P-ésimo (Q-1)-ádico de

Q

 independe da forma sob a

P

qual este se apresente, sendo, pois, um invariante. Se multiplicarmos vetorialmente ambos os membros de (D) por gk, se somarmos em k e agruparmos convenientemente no segundo membro, teremos: Q1 k

  gk 

Q1

 i  [( v i .gk )g k ] ,

ou seja, observando que dentro dos colchetes temos vi: Q1 k

  gk 

Q1

i  vi .

Poliádicos - Ruggeri


126

§10 - Invariantes dos poliádicos.

Então, considerando (A") e (B"), concluímos que o mesmo resultado anteriormente obtido vale também para P = Q-1. Às mesmas conclusões poderíamos chegar, com o raciocínio exposto, se em vez de calcular o P-ésimo (Q-1)-ádico de Q  , calculássemos o seu P-ésimo (Q-2)-ádico. Consideremos agora, em EN, as duas escritas vetoriais arbitrárias seguintes de um poliádico Q  :

Q

Q

v

i

k1 ...

  w 1j

i k ... s j ... r t ...

s1

... r1

1

t1 ...

j

r

t

a i b c k ... l m s n ...

i, j, ...  1, 2, ..., N ,

(E),

a i b j1 c k ... l r1 m s n t1 ...

i 1 , j1 ,...  1, 2, ..., N ,

(F).

1

1

1

Se os vetores l r e l r1 ocupam os postos de ordem P, então o P-ésimo (Q-3)-ádico de calculado por (E), é Q

 (P)  v

i k ... s j ... r t ...

j

r

t

i, j, ...  1, 2, ..., N ,

a i b c k ... (l m s n ) ...

Q

,

(E'),

e calculado por (F), Q

 (P)   w 1j i

k1 ...

s1

... r1

1

t 1 ...

i 1 , j1 ,...  1, 2, ..., N .

a i b j1 c k ... (l r1 m s n t1 ) ... 1

1

1

Ora, i

j

a  (a . a )a i , b j1  (b j1 .b j )b , ... i1

(F');

i1

então, de (E) e (F) deduzimos, aplicando o Teor. 3, § 05:

v

i

k ... j

i

s ... r

t ...

w1j

1

k1 ...

s1

... r1

i

(a i . a )(b j1 .b j ) ... ,

t 1 ...

(G).

1

Assim, alocando-se os escalares convenientemente, levando-se (G) a (E'), tem-se: Q

 (P)  w

i1

k1 ... j1

s1

... r1

i

t1 ...

j

( a . a )a i (b j1 .b j )b ... i1

s

r

t

... (l r1 . l r )(m . m )(n t1 . n t )(l m s n ) ... s1

Agora, reconsiderando-se as igualdades (F') e observando-se que

(l r1 m s n t1 )  (l r1 . l )(m s . m s )(n t1 . n )(l r m n t ) , r

1

concluímos que

Q

(P)

Q

(P)

1

t

s

 , isto é, o P-ésimo (Q-3)-ádico de um poliádico pode ser

calculado por qualquer uma de suas escritas vetoriais, sendo, pois, um invariante.

IV,§ 10.02


§ 10.02 - Invariantes primários.

127

Corol. 1: Se dois poliádicos são iguais, iguais são os seus invariantes primários correspondentes. Corol. 2: São invariantes os poliádicos primários dos isômeros de dado poliádico. Pois cada isômero é um poliádico que, por isso mesmo, apresenta poliádicos primários invariantes. É evidente que muitos dos invariantes primários dos isômeros de um poliádico são idênticos aos seus próprios invariantes. Por exemplo: se 3   a i jb i c j , então, 3

 1

j i

  bic a

j

e

3

3

E  

 1

3

E1

2

, mas 

 1

V2

e

3

 1

E2

não se identificam com nenhum

dos invariantes primários de 3  . Teor. 4: (quantidade de invariantes primários) Os poliádicos primários invariantes, distintos, de um Q-ádico e seus isômeros (Q≥2) são em número de: Q1

1º) - A Q

2C Q2

 Q!, de valência (Q-1), opostos (aos pares) e formam

conjuntos de (Q-1)! isômeros; Q 2

2°) - A Q

1 Q! , de valência (Q-2) e formam C 2Q conjuntos de (Q2

2)! isômeros; 3 3°) - A Q  Q

1 Q! , opostos (aos pares), de valência (Q-3) para Q≥3. 6

Com efeito, um Q-ádico tem Q! isômeros. Como cada isômero tem (Q-1) postos (para a formação de invariantes), forma-se um total de Q!(Q-1) poliádicos primários invariantes de valências Q-1. Mas, como a cada (Q-1)-ádico primário corresponde um oposto (por inversão das letras do produto cruzado), tem-se

1 Q ! (Q  1) 2

poliádicos opostos

de valências (Q-1). Como a dado par de vetores em produto vetorial (em certa ordem) corresponde (Q-1)! isômeros distintos, no máximo, existirão 2C 2Q conjuntos de poliádicos isômeros de valências Q-1. Como a multiplicação ponteada é comutativa, com pares de vetores podemos formar C 2Q conjuntos distintos (uma vez que estes diferem pela natureza), a cada conjunto correspondendo tantos (Q-2)-ádicos quantas são as permutações das (Q-2) outras letras. Então, o total de (Q-2)-ádicos distintos obtidos é C 2Q  PQ 2 , ou seja16, A QQ  2 . Com as permutações cíclicas e anticíclicas das letras de um produto misto, obtemos 16 Na Análise Combinatória são clássicas as fórmulas: C p  P  A p e C p  C n p . n p n n n

Poliádicos - Ruggeri


128

§10 - Invariantes dos poliádicos.

apenas um par de números opostos. Com Q letras podem ser formados C 3Q produtos mistos e com cada produto misto obter PQ 3 (permutações de Q-3) poliádicos opostos de valências (Q-3); ou seja, pelos mesmos motivos anteriormente expostos, com 3 letras dentre Q, podemos obter C 3Q  PQ 3 = A QQ 3 pares de (Q-3)-ádicos opostos. Notas: 1ª) - As tríades isômeras têm 3 vetores invariantes diferentes (um paralelo ao seu antecedente, outro ao seu mediano e outro ao seu conseqüente) e 12 díades invariantes (3 pares de díades opostas e 3 pares de transpostas). As tétrades isômeras têm 4 pares de vetores opostos (cada par paralelo a um vetor de sua escrita vetorial), 6 pares de díades transpostas (cada díade formada com um par de vetores de sua escrita vetorial) e 12 conjuntos de 6 tríades isômeras, ou 36 pares de tríades opostas. 2ª) - Os triádicos isômeros têm: 3 vetores invariantes distintos, cada um sendo uma combinação linear dos seus antecedentes, dos seus medianos e dos seus conseqüentes; tem também 12 diádicos invariantes ... . Os tetrádicos isômeros têm 4 pares de vetores invariantes, opostos, distintos, cada par sendo uma combinação linear dos seus primeiros antecedentes, dos seus segundos antecedentes, dos seus primeiros conseqüentes e dos seus segundos conseqüentes; têm também 12 conjuntos de diádicos ... .

* Exercícios: Comprovar que, para vetores, diádicos e poliádicos quaisquer: 1) - para os vetores, (r  ).v  r  v ; para os diádicos (  ).     . 2) - para os vetores, (r  ) V  2r ; para os poliádicos:

( P   ) V

P1

 2 P  ,

(02);

3) - para os diádicos  T       V ; para os poliádicos,  P  :  P 12

 P 12

  P     P V , 1

  P   P V   ,

  P 1

2

 P

      V , P

P

1

4) - para os diádicos  P

 

  P 1  P  V   ,

(03);

2

   T   E  ; para os poliádicos:

 1

 1

     P  2 + P  E  ,

  P    P  2 +  P  E ,

P1

(04).

1

5) – são válidas as seguintes fórmulas   4 1

  4

 23

 2

 (  4  V ) 3 ,

(05);

1

3

3

3

2

3

4

3

 :   E ,

 :   E , 

 

(06),

1

 1

  3  + 3  E  ,

(07),

2

V :   V,

(08),

1

4

 E  , 2

IV,§ 10.02

(09),


§ 10.03 - Invariantes secundários. 4

 :   4 E ,

 : 4  4 E

3

4

(11),

(  ) : (  )  2 ,

(12),

3

(  )  4  

V

(10), 1

 V  4 V      , 1

4

129

3 .

(  )  6 , 

(13),

( 4  4  2 ) ( 4 1  4 1 ) ,

(14).

§ 10.03 - Invariantes secundários. Por força do Teor.3, § 10.02 os invariantes primários de um poliádico qualquer são novos poliádicos; logo, estes também admitirão invariantes primários, aos quais denominaremos invariantes secundários do primeiro. Assim, por exemplo, o escalar e o vetor do primeiro diádico do triádico 3   a i b c j , são: 3  V E  a i j  b i .c j e 3  V V  (a i j  b i )  c j , sendo, ainda, nesse caso j i

1 1

1 1

particular, 3

3

 V E   (1) ,

(01),

1 1

e 3  V1V1  b i (c j .aij )  ai j (b i .c j ) , isto é, 3

 3 1

V V  

3

E2

1 1

 E ,

(02).

2

Com esse exemplo simples vê-se que os invariantes secundários de um poliádico podem constituir novos poliádicos invariantes; todos eles, entretanto, se expressarão como funções dos invariantes primários. Exemplos: 3 i j 1) - O vetor do segundo diádico de   a jb i c é 3

 V V  a i j  (b i  c j )  b i (c j .aij )  (a i j .bi )c j , 2 1

donde 3

3

V V   2 1

2) - O primeiro diádico do triádico

 1 E2

4

3

 E ,

(03).

1

 V  a i j k  b i c jd k , invariante do tetrádico 1

4

a

i k j bic dk j

é 4  V V  (ai j k  b i )  c jd k pode ser escrito na forma: 1 1

4

j

 V V  (c . a 1 1

i k )b i d k j

j

 (b i . c )a

i k dk . j

Poliádicos - Ruggeri


§ 10 - Invariantes dos poliádicos.

130

Mas, sendo j

( c .a

i k )b i d k j

j

 b i (c .a

i k )dk j

 4 13

 

j

E2

e (b i . c )a

resulta: 4

VV

4

 2

1 1

4

 4

3

E

i k dk j

2

E

 a

i k j (b i . c )d k j

4

 E , 2

,

(04).

2

4

Para    , considerando-se (09), §10.02, tem-se, de (04): 4

V V  1 1

 4 23  E 2

4

  E  I  =,

(05).

2

§ 10.04 - Invariantes P-ários. Os poliádicos de valência maior que três admitem, ainda, invariantes terciários, 4 i k j quaternários etc. Assim, por exemplo, para o tetrádico   a j b i c d k , temos: 4

 V  a i j k  b i c jd k ,

4

1

 V V  ai j k  bic j  d k 1 2

e 4

 V V V  (ai j k  b i )  (c j  d k )  (ai j k b i d k )c j  (ai j k b i c j )d k , 1 2 1

ou melhor, 4

  4

VV V

1 2 1

 1

2

(1)

 4

(1)

.

Dezenas de fórmulas análogas às encontradas até aqui, envolvendo os invariantes de um poliádico e os invariantes de seus isômeros, poderiam ser deduzidas sem dificuldades, porém não sem algum trabalho. Com as indicações apresentadas, o leitor poderá encontrar aquela que possa lhe interessar mais de perto numa particular aplicação. Exercícios: Demonstrar as seguintes fórmulas: 4

4 4  

 1

 1

 11

 1

 4  E 4   4  2  ( 4  2E ) 3  ( 4  2E ) 3 , 2

(

 

 )

4 4  



2

3

( 4   4 ) 4 4  ( 4   ) :    4  V  ( 

IV,§ 10.04

4 4 ) E 



 

 1

(  4  2 ) ,

  T : 4  E   E 4  E E , 3 1

 T 4

(4 

4 4  

( 4  E ) 2 ( 4  : 4 ) E ( 4 

  1  2V )1 2

 23 2 ) E1 E

( 4 

( 4 

 12 V2

  T )1 ,

 23 )2 E2 E

.


§ 11.01 - Caso geral.

131

§ 11 - POLIÁDICO COMPLETO. G-ÉSIMO DE UM POLIÁDICO. § 11.01 - Caso geral. Consideremos o poliádico escrito nas formas G-nomiais 2H 

Hi H

i

2H

 , de valência par, pertencente a um

H H i i

H H  i i

H i H i

2H

EG (GN2H),

(i = 1, 2, ..., G),

(01),

em que {H   } e {H   } são bases H-ádicas recíprocas (§ 09.02) geradas com vetores de E N. Escrevemos, então, as relações evidentes: 2H  H H

.

i

H

i

H

( H  j H. Hi )  ( H k H. Hi ) H  k

j

(i, j, k = 1, 2, . G),

(01 1),

das quais deduzimos, considerando as (01):

i, r, s  1,2, ..., G):

 i H.

H

 

H r

H

 r H.

H

i

H

e

 i H.

H

s 

H

 s H.

H

 i , (02).

Fazendo-se i, r = 1, 2, ..., G na primeira das igualdades (02), resulta: H

 1 H.

H 1

H

 1 H.

H

2

...

H

 1 H.

H

G

H

 2 H.

H 1

H

 2 H.

H

2

...

H

 2 H.

H

G

... H

 G H.

... 

H 1

H

 G H.

... H

2

...

... H

 G H.

H

G

H

 1 H.

H 1

H

 1 H.

H

2

...

H

 1 H.

H

G

H

 2 H.

H 1

H

 2 H.

H

2

...

H

 2 H.

H

G

... H

 G H.

... H

1

H

 G H.

... H

2

...

(021),

,

... H

 G H.

H

G

ou seja, conforme ((10), § 09.05):

( H 1

H

 2 ...

H

 G )( H  1

 ...

H 2

 )

H G

,

 ( H 1

H

 2 ...

H

 G )( H  1

H

 2 ...

H

(022),

G)

o que justifica exigir-se G3. Assim, 3G3H, ou N=3 porque H pode ser igual a 1.

Poliádicos - Ruggeri


132

§ 11 - Poliádico completo. G-ésimo de um poliádico.

Analogamente, fazendo i, s = 1, 2, ..., G na segunda das equações (02) podemos montar um determinante, escrevê-lo na forma de um produto de produtos mistos e simplificar o fator comum ( H  1 H  2 ... H  G ) para obter:

( H 1

H

 2 ...

H

 G )  ( H 1

H

 2 ...

H

G ) ,

(023).

Como temos, também: 2H

 H.

 

H i

H

i 

H

 j ( H  j H.

 )

 (  k H.

H i

H k H

 )

H i

(i, j, k = 1, 2, . G),

deduzimos, analogamente aos casos anteriores:

i, r, s  1,2, ..., G): H

 i H.

 

H

 r H.

H i

( H 1

H

 2 ...

H

H r

H

e

 i H.

H

r 

H

 r H.

,

(03).

H i

Então:

G )  ( H  1

H

 2 ...

H

G) ,

(031).

e

( H 1

H

 2 ...

H

 G )( H  1

 ( H 1

H

 2 ...

 ...

H 2

H

G ) 

 )( H  1

H G

H

 2 ...

H

G )

(032).

De (01), considerando-se (022), (023), (031) e (032) resulta demonstrado o seguinte Teor. 1: Para todo poliádico 2H  de um 2H E G (3G3H), escrito nas 4 formas Gnomiais com antecedentes ou conseqüentes independentes, são iguais o produto misto dos G H-ádicos antecedentes pelo produto misto dos G Hádicos conseqüentes correspondentes. Definição: (G-ésimo de um 2H-ádico) O número a que se refere o Teor. 1 será denominado o G-ésimo do 2H-ádico no 2HEG (3G3H), e o representaremos por 2HG. No 3-espaço o G-ésimo de um 2H-ádico denomina-se terceiro; no 4-espaço, quarto etc.. Em resumo: 2H

G   ( H 1

H

2

...

H

G

)( H  1

 ( H 1

IV,§ 11.01

H

H 2

 2 ...

... H

H G )

 G )( H  1

H

 2 ...

H

G) 


§ 11.01 - Caso geral.

 ( H 1

H

 2 ...

H

 G )( H  1

H

 2 ...

133

H

G )  ,

( 

 ...

H 1 H 2

 )(  1

H G

H

H

 2 ...

H

(04).

G )

Pelas (04) fica evidente o seguinte Teor. 2: Se os H-ádicos de uma escrita G-nomial de um 2H-ádico são linearmente independentes, então são também linearmente independentes os H-ádicos de todas as suas outras escritas G-nomiais. Definição: (poliádicos completos) O 2H-ádico de um 2HEG que, escrito G-nomialmente, tem os seus antecedentes e conseqüentes linearmente independentes, é dito completo; se antecedentes ou conseqüentes são linearmente dependentes, o 2H-ádico é dito incompleto. Se um 2H-ádico, por hipótese pertencente a um 2HEG, for incompleto, ele pertencerá, na verdade, a um 2HEG-1 e a sua escrita G-nomial poderá ser reduzida a uma escrita (G-1)nomial. Portanto, estando assegurada a pertinência de certo 2H-ádico a um 2HEG, esta assegurada também a completeza desse poliádico apenas no 2HEG (mas não no 2H E 3 H ) Considerando novamente as (04) podemos enunciar: Teor. 3: A CNS para que um 2H-ádico de um espaço G-dimensional (3G3H) seja completo é que o seu G-ésimo seja diferente de zero: 2H 

é completo 

2H  2HE

G

2H

G

0,

(05).

Teor. 4: É um invariante o G-ésimo de um poliádico no seu G-espaço. Com efeito, se, além das representações (01), escrevêssemos, em relação a bases Hádicas recíprocas {H  } e {H   } do espaço G-dimensional a que pertence 2H  , 2H



H i H

i 

H

i

H

i 

H

i

H

i 

H

i

H

i

(i = 1, 2, ..., G),

escreveríamos, também: 2H

 G  ( H 1 H 2 ... H G )( H 1 H 2 ... H G )   ( H 1 H  2 ... H  G )( H 1 H  2 ... H  G )  ...

Poliádicos - Ruggeri


134

§ 11 - Poliádico completo. G-ésimo de um poliádico.

Temos: 2H



2H

 H.

2H



2H

 H. ( H  i

i ) =

H

 ( 2H  H.

H

H

 j ( H  j H.

k )

H

 ) i 

H i H

k 

H

 i ( H  i H.

k )

H

H

k ,

donde, 2H

 H.

 

H r

H

 j ( H  j H.

 ) 

H r

H

r , e

2H

 H.

H

s 

H

 i ( H  i H.

H

s ) 

H s

para (i, j, k = 1, 2, . G). Se o 2H-ádico é completo podemos escrever, em relação à base {H*}, lembrando (03) e (04), § 13, II:

( H 1 H 1

...

H G )

( H  1 H  1

...

H

 1 H.

H

1

H

 1 H.

H

 2 ...

H

 1 H.

H

G

H

 2 H.

H

1

H

 2 H.

H

 1 ...

H

 2 H.

H

G

HG )

... H

...

 G H.

H

1

H

 G H.

... H

 1 ...

,

... H

 G H.

H

G

ou, aplicando (092), § 13, II:

( H 1

 ...

H 1

 ) ( H  1

H G

H

 1 ...

H

 G )( H  1

H

 2 ...

H

 G )( H  1

H

 2 ...

H

G ) .

Logo: 2H

 G  ( H 1 

 ...

H 1

( H  1

H

 ) ( H 1

H G

 1 ...

H

H

2 ...

 G )( H  1

H

H

G ) 

 2 ...

H

G ) 

2H

G

isto é, o G-ésimo de um 2H-ádico, calculado em relação à base {H*}, é igual ao calculado em relação a qualquer outra base. Corol. 1: A completeza de um 2H-ádico no seu desse poliádico.

2H

EG é uma propriedade invariante

É evidente que todos os poliádicos menores de dado 2H-adico de um 2HEG (§ 09.06) são incompletos nesse espaço, podendo ser completos nos seus respectivos subespaços. * Exercício: Estudar as relações entre o G-ésimo de um 2H-adico e os G-ésimos de seus isômeros. * IV,§ 11.01


§ 11.02 - Caso dos tetrádicos (para G = 9); o nono.

135

§ 11.02 - Caso dos tetrádicos (H=1) gerados do E3 (para G = 32); o nono. 4

Por sua relevância, consideraremos o caso particular de um tetrádico dado por suas 4 representações diádicas: 4

   mi e m e i   mi e m e i   m i e m e i   m i e m e i ,

 quando

i,m=1,2,3,

das quais podemos deduzir as respectivas representações cartesianas quando efetuamos as substituições dos seus antecedentes por suas expressões cartesianas seguintes:

 mi  A jkm i e j e k  A jk mi e j e k  A jkm i e j e k  A jkm i e j e k ,

(011),

 mi  A jkm i e j e k  A jkm i e j e k  A jkm i e j e k  A jk m i e j e k ,

(012),

 m i  A jkm i e je k  A jk m i e je k  A jkm i e je k  A jkm i e je k ,

(013),

 m i  A jkm i e je k  A jkm i e je k  A jkm i e je k  A jk m i e je k ,

(014),

onde todos os índices variam de 1 a 3. O produto misto dos antecedentes pode ser calculado aplicando-se as fórmulas (13), (131), (14) e (141) do § 13, II. Temos:

(1112 ...  33 )  (ee )| A  |  (ee )| A   |  (ee )| A  |  (ee )| A    | ,

(021);

(11 21 ...  33 )  (ee )| A |  (ee )| A |  (ee )| A |  (ee )| A   | ,

(022);

(1112 ...  33 )  (ee )| A  |  (ee )| A |  (ee )| A |  (ee )| A |,

(023);

(1112 ...  33 )  (ee )| A |  (ee )| A |  (ee )| A |  (ee )| A | ,

(024);

ou seja, em função das coordenadas cartesianas: 4

 9 | A |  (ee )(ee )| A |  (ee ) 2 | A |  (ee )(ee )| A | ,

(031);

4

 9 | A |  (ee )(ee )| A |  (ee ) 2 | A |  (ee )(ee )| A |,

(032);

e outras análogas. Como se vê, tal como no caso dos diádicos, o nono de um tetrádico é igual ao determinante de qualquer uma de suas matrizes mistas associadas (§ 03.04), e apenas destas, ou seja: 4

 9 | A   || A   || A    || A   | ,

(033).

Poliádicos - Ruggeri


136

§ 11 - Poliádico completo. G-ésimo de um poliádico.

Particularmente,

 9  1,

4 1ˆ3

 1,

 4 23

 1,

(034).

§ 11.03 - Relações entre as matrizes associadas a um tetrádico. Tal como no caso dos diádicos (§ 09.03, II), existem relações entre as diferentes matrizes associadas a um tetrádico, relações essas que podem ser estendidas aos poliádicos em geral. No que segue todos os índices assumem valores no conjunto 1, 2 e 3. Assim, por exemplo, das representações: 4

  mi emei  A jkm i e jekemei  A jk mi e jekemei ,,

(01),

deduzimos

A jkm i 4  .4 e jek emei  A rs tu er eset eu .4 e jek emei  (02).

 A rs tu rj (es .e k )tmui  A js mi (es .ek ), Podemos, então, estabelecer uma relação entre as matrizes:

A1111  1 A121 A 1  1311 A 211  [A  ]  A 2211  A 2311  1 A 311 A 3211  1 A 331

A1112

A1113

A1121

A1122

A1123

A1131

A1132

A1212 A1312 A 2112 A 2212 A 2312

A1213 A1313 A 2113 A 2213

A1221 A1321 A 2121

A1222 A1322

A1223 A1323

A1231 A1331

A1232 A1332

...

...

...

...

A 3312

A 3313

A 3321

...

... ... ...

...

A 3323

...

A1133   A1233  A1333   ...  ...  , ...    ...   A 3333 

(03),

e

 A1111  21  A1 1 A 3 1  1 111  A 21 [A  ]  A 2211   A 2311  31 A 3 1 A 321 1  31  A 3 1 IV,§ 11.03

A1112

A111 3

A1121 ...

...

A121 2

A1213

A1221 ...

...

A1312 A 2112

A1313

...

... ... ...

... ...

...

...

... ...

...

... ...

... ...

... A 3312

A 33 13

A 3323

A1133   A1233  A1 333   ...  ...  , ...    ...   A 3333 

(031),


§ 11.03 - Relações entre as matrizes associadas a um tetrádico.

137

associadas ao tetrádico conforme exposto no § 03.04. . Com efeito, tem-se:

[A   ]99  [ B]99 .[A  ]99 ,

(04),

com

     0 [B]   0  0   0  0  0 

0 0 0

    0 0 0

0 0 0

0 0 0

M

0 0 0     0 0 0

0 0 0 M 0 0 0

0 0 0     0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0    

0 0 0 M

0  0  0   0  0  , 0      

a submatriz M sendo

 e1 . e1 [M]  e 2 . e1  e 3 . e 1

e1 . e 2 e2 . e2 e3 . e2

e1 . e 3  e2 . e3  ,  e3 . e3 

isto é, a matriz métrica da base vetorial. Notando-se que a submatriz [M] e as submatrizes nulas da matriz [B] podem ser escritas nas formas

 e1e : e e e1e : e e e1e : e e   e 2 e : e e e 2 e : e e e 2 e : e e  1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 3 3  1 1 1    1 1 1 2 2 2    [ M]  e e 2 : e1e1 e e 2 : e1e 2 e e 2 : e1e 3  e e 2 : e 2 e 1 e e 2 : e 2 e 2 e e 2 : e 2 e 3        e1e 3 : e1e1 e1e 3 : e1e 2 e1e 3 : e1e 3   e 2 e 3 : e 2 e 1 e 2 e 3 : e 2 e 2 e 2 e 3 : e 2 e 3   e 3e : e e e 3e : e e 1 3 1 1 3 2   e 3e 2 : e 3e1 e 3e 2 : e 3e 2 e 3e : e 3 e 3e : e e  3 1 1 3 3 2

e 3e1 : e 3e 3   e 3e 2 : e 3e 3 , e 3 e 3 : e 3 e 3 

e

 e 1e : e e e 1e : e e 2 1 1 2 2  1 [0]   e 1e 2 : e 2 e 1 e 1e 2 : e 2 e 2  e 1e : e e e 1e : e e  3 2 1 3 2 2

e 1e 1 : e 2 e 3   e 1e 2 : e 2 e 3  , e 1e 3 : e 2 e 3 

 e 1e : e e e 1e : e e 3 1 1 3 2  1 [0]   e 1e 2 : e 3 e 1 e 1e 2 : e 3 e 2  e 1e : e e e 1e : e e  3 3 1 3 3 2

e 1e 1 : e 3 e 3   e 1e 2 : e 3 e 3  etc., e 1e 3 : e 3 e 3 

Poliádicos - Ruggeri


138

§ 11 - Poliádico completo. G-ésimo de um poliádico.

vemos que

| B|  (e e )(e e ) ,

(05).

Tomando, então, os determinantes de ambos os membros de (04), e considerando (05), vem: (06), | A   |  (e e )(e e )| A  |, relação essa que juntaremos ao conjunto das (03), § 11.02. Das várias relações entre as matrizes associadas a um tetrádico poderíamos determinar todas as relações entre os respectivos determinantes, isto é, as relações (02) e (03), § 11.02. Da análise destas relações, concluímos a veracidade do seguinte Teor. 5: A CNS para que um tetrádico seja completo é que seja diferente de zero o determinante de qualquer uma de suas matrizes associadas. Por esse teorema vemos que um poliádico projeção de dado 2H-adico, pertencendo a certo subespaço, nem sempre é incompleto, mas são incompletos necessariamente todos os poliádicos menores do dado 2H-ádico (§ 09.06). Esses menores, por outro lado, nos seus respectivos subespaços, referidos a bases locais, são completos, isto é, os determinantes das suas matrizes (quadradas) associadas (mistas) – menores extraídos da matriz associada ao poliádico dado – são necessariamente diferentes de zero. § 11.04 – Produtos de poliádicos completos e incompletos. Teor. 1: Se um 2H não nulo transforma (por multiplicação ponteada H-pla) qualquer H-ádico de um HEG no H-ádico nulo de HEG, então o operador 2H é necessariamente incompleto:

2H 

2H

e H   2HE G :

2H H H 

.

 H

2H

G

0,

(01).

Consideremos as escritas G-nomiais de 2H  e H , cujos conseqüentes sejam Hádicos de uma base, digamos, 2H   H  i H  i e H   M j H  j com i, j = 1, 2, ..., G. Temos, então, 2H  H H 

.

 H  M j H j ,

isto é, os G poliádicos (de valência H) da escrita G-nomial de dependentes; logo, esse poliádico é incompleto.

(011), 2H

 são linearmente

Teor. 2: Se 2H  é completo e transforma um H-ádico de um HEG no H-ádico nulo de H EG, então esse H-ádico é o próprio H-ádico nulo:

 2H G  0,

IV,§ 11.04

2H  H H   H 

.

 H  H ,

(02).


§ 11.04 – Produtos de poliádicos completos e incompletos.

139

Escrevendo 2H  e H  como na demonstração do teorema anterior, devemos verificar (011). Como os diádicos do último membro são linearmente independentes todos os coeficientes M devem ser nulos, o que acarreta a nulidade de H  . Teor. 3: O G-ésimo de um produto ponteado H-plo de dois 2H-adicos é igual ao produto dos seus G-ésimos. Pondo, em escrita H-adica: 2H



H

i

H

i

2H

e



H j H

j

com i, j = 1, 2, ..., G,

temos: 2H

 H.

2H



H

 i i j H  j 

H

i

H

i

Então:

( 2H  H.

2H )

G

 ( H 1

 ( H 1

H 2

H2

... H  G ) ( H 1 H  2 ... H  G ) 

... H  G )( H 1 H  2 ... H  G )( H 1

Nos dois primeiros fatores detectamos o G-ésimo de 2H .

2H

H2

... H  G )( H 1 H  2 ... H  G ) .

; nos dois últimos o G-ésimo de

Corol. 1: O produto ponteado múltiplo H-plo de dois 2H-ádicos em que um é completo é um 2H-ádico completo ou incompleto conforme o outro fator seja completo ou incompleto. Nota: Poderíamos fazer, também, as demonstrações desses teoremas recorrendo às representações cartesianas dos poliádicos, ou, ainda, às matrizes de um mesmo nome associadas a esses poliádicos nas mesmas bases vetoriais recíprocas. Com efeito, nesse caso, a matriz (de mesmo nome que as anteriores) associada ao produto H-plo é o produto das matrizes daqueles poliádicos (§ 06.02). Se essas matrizes são as mistas, esses determinantes são os G-ésimos dos 2H-ádicos, caso em que o produto será nulo ou não conforme um dos G-ésimos fatores seja nulo ou não.

Teor. 4:

 X  0 e 3  G  NH :

(X 2H) G  X G

A proposição é evidente, pois sendo

2H



H

i

2H

H

G

,

(03).

 i uma escrita G-nomial do

poliádico, o G-ésimo de X  não diferiria do G-ésimo de  senão pelo fator XG pois este é o fator por que diferem os produtos mistos dos antecedentes de X 2H e 2H. 2H

2H

Poliádicos - Ruggeri


§ 12 – Poliádicos de Moreira (ou em feixe).

140

§ 12 – POLIÁDICOS DE MOREIRA (OU EM FEIXE). § 12.01 – O grupo ortocêntrico do espaço poliádico. Vamos interpretar geometricamente a anulação do cruzado do 2Q-ádico unidade já estabelecida pela fórmula ((07), § 08.02). Para tal escreveremos o poliádico unidade numa forma G-nomial com antecedentes e conseqüentes recíprocos num QEG, isto é, 2Q   Q  i Q  i com i = 1, 2, ..., G (N G  NQ); e admitiremos extendida ao espaço dos poliádicos de valência par maior que dois, sem demonstração, os conceitos geométricos estabelecidos para o espaço dos diádicos17. Imaginemos inicialmente aplicados os Q-ádicos recíprocos de um sistema num mesmo ponto arbitrário do espaço. O cruzado de qualquer 2Q-ádico unidade é o cruzado nulo Q. De fato, por ser 2Q diádico simétrico e por consideração de ((03 3),§07.01): 2Q   Q i Q i  Q  . Decorre dai que os cruzados das 2Q-ades binárias

1 , Q  2 Q  2 etc. formam um contorno Q-ádico fechado num subespaço denotado por contido no QEG. Como cada cruzado (um Q-ádico componente do contorno fechado) é perpendicular ao plano da 2Q-áde correspondente, decorre ainda que esses planos têm um Q E1 (reta) comum ortogonal ao espaço que contém o contorno fechado. Em outras palavras, os planos das 2Q-ades formam um feixe no QEG e a charneira desse feixe, denotada por e), é perpendicular ao subespaço QESG-1 que contém o contorno fechado, isto é: Q 1 Q

Q S E G-1

Teor. 1: Os planos definidos por retas homólogas de sistemas de Q-ádicos recíprocos formam um feixe (ou têm reta comum). Definição: (eixo e espaço de sistemas recíprocos) Denominaremos a reta e) e o espaço QESG-1 atrás referidos de eixo e (G-1)espaço do sistema de Q-ádicos recíprocos. O cruzado  Q 1 Q 1  , por exemplo, é perpendicular ao plano da díade O Q-ádico

Q 1

é perpendicular ao

Q

Q 1 Q

EG-1 definido por ( Q  2 Q  3 ... Q  G ) e

Q

1 .

1 é

perpendicular ao E G-1 definido por (   ...  ) . Logo o cruzado   1  é, necessariamente, paralelo à reta interseção dos espaços homólogos 2QEG-1 e 2QE*G-1. O mesmo acontece com os cruzados das demais 2Q-ádes. Logo: Q *

Q 2 Q 3

Q G

Teor. 2: As interseções dos espaços homólogos recíprocos pertencem a um mesmo QEG-1.

2Q

Q

1 Q

EG-1 de sistemas de Q-ádicos

Apliquemos, agora, os Q-ádicos recíprocos de um sistema em pontos distintos D e D’ de uma reta paralela ao eixo desse sistema. Por força do teorema 2, os pares de retas homólogas de cada 2Q-áde se interceptam necessariamente; sejam A1, A2, ..., AG os correspondentes pontos de interseção de cada par, todos, evidentemente, pertencentes a um mesmo QES’G-1 paralelo ao QESG-1. Seja, ainda, H a interseção do eixo e) com QES’G-1. 17 O leitor poderá executar essa penosa tarefa por analogia com o que foi estabelecido para o 2EG com G9 (§10, Cap.II,Vol.I,T.I)

IV, § 12.01


§ 12.02 – Poliádicos em feixe.

141

Como Q 1 e Q 1 são respectivamente perpendiculares aos homólogos 2QEG-1 e que lhes correspondem, o plano definido por e) e A1, ou plano (DD’A1), além de ser perpendicular ao QES’G-1 do sistema (por conter uma reta perpendicular a esse espaço) é também perpendicular ao QEG-2, comum a QEG-1 e QE*G-1, definido pelos pontos A2A3 ...AG. Seja A’1 o ponto de interseção de QEG-2 com o plano definido por e) e A1. Então: 1) – tal plano é seção reta do (G-1)-edro formado pelos (G-1)-espaços Q ˆ '1 D  1 o “ângulo (G-1)homólogos (  2 Q  3 ... Q  G ) e ( Q  2 Q  3 ... Q  G ) ; seja DA 2Q * E G-1

edro” correspondente; 2) – a aresta DA1 do (G+1)-edro A1A2 ... AGD é ortogonal ao seu espaço oposto A2A3 ... AG; 3) – deduções análogas podem ser feitas em relação aos demais (G-1)espaços homólogos (relativos às demais 2Q-ádes), o que nos permite concluir que D’ é o ponto comum às G+1 alturas do (G+1)-edro A1A2 ... AGD. Então: Teor. 3: Os (G+1)-edros A1A2 ... AGD e A1A2 ... AGD’, associados ao sistema de Qádicos recíprocos {Q   } e {Q   } são (G+1)-edros ortocêntricos, D’ sendo o ortocentro de A1A2 ... AGD e D o de A1A2 ... AGD’. Resta agora observar que o conjunto dos G+2 pontos: D, D’, A1, A2, ..., AG, é tal que qualquer um deles é ortocentro do (G+1)-edro definido pelos demais; tal conjunto será denominado, por analogia com conceito clássico já apresentado (§03.02,I, §03.03,I e (§03.03,II), o grupo ortocêntrico de (G+1)-edros do espaço poliádico. * Exercício: (desafio) Demonstrar que um (G+1)-edro tem uma superfície esférica inscrita e G+1 exinscritas (isto é, tangentes a uma face e aos prolongamentos das outras G). O centro da superfície esférica inscrita é o incentro do (G+1)-edro e os centros das ex-inscritas, os seus ex-incentros. Demonstrar, então, que num (G+1)-edro o incentro e os G ex-incentros formam um grupo ortocêntrico. * § 12.02 – Poliádicos em feixe. No espaço dos H-ádicos, dois quaisquer deles, H1 e H1, definem um plano. Se três quaisquer dos H-ádicos de dois pares, (H1,H1) e (H2,H2), são não coplanares, eles têm uma reta comum distinta do suporte de qualquer um deles. Consideremos G pares quaisquer de H-ádicos de um HEG: (H1,H1), (H2,H2), ..., H GH (  , G), cujos planos formem um feixe, e tais que os conjuntos { H1, H2, ..., HG} e {H1, H 2, ..., HG} sejam linearmente independentes. Qualquer um dos conjuntos define uma base do HEG. Apliquemos todos os H-ádicos co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O, ponto esse pertencente à charneira do feixe. Podemos constituir, em O, o 2H-ádico completo: 2H

M= Hi Hi

(i=1, 2, ..., G),

(01),

e procurar traduzir algebricamente a condição geométrica imposta para a sua formação. Os

Poliádicos - Ruggeri


§ 12 – Poliádicos em feixe.

142

cruzados (§ 10.01) de todas as 2H-ádes parcela, < H1H1>, < H2H2>, ..., co-iniciais em O, devem pertencer a um espaço de dimensão G-1 ao qual é perpendicular a charneira do feixe, porque cada cruzado é perpendicular a um plano do feixe; vamos denotar esse espaço por H M E G-1. Então, por ser <2HM>= <Hi Hi>= <H1 H1>+<H2 H2>+ ...,

(02),

o cruzado de 2HM fecha a poligonal (contida num HE(O)G-1, o índice (O) indicando a ligação desse espaço com o ponto O) definida pelos cruzados das 2H-ádes quando estes são dispostos consecutivamente (a origem de um sendo a extremidade do outro). Dada a arbitrariedade do ponto O pode-se enunciar, em resumo: Se os planos das 2H-ádes de um 2H-ádico completo formam um feixe, o cruzado desse 2H-ádico e os cruzados de suas 2H-ádes, dispostos consecutivamente, definem uma poligonal fechada contida num HEG-1 ao qual é ortogonal a charneira do feixe. Os suportes dos H-ádicos antecedentes e conseqüentes de cada 2H-ade de 2HM haverão de se interceptar quando forem aplicados em pontos D e D’, respectivamente, da charneira do feixe. Denotando-se por Ai a interseção de Hi com Hi para i=1, 2, ..., G resulta que todos os G pontos Ai são linearmente independentes num HEG-1 que é ortogonal à charneira do feixe, logo paralelo ao HE(O)G-1 do feixe relativo a O. Para H=1 (no espaço 1 E3 dos vetores) vimos que o simplex formado pelos quatro pontos A1, A2, A3, e D (ou D’) era um ortoquadrângulo (ou um tetraedro cujos lados opostos eram ortogonais). Aqui também, qualquer que seja H > 1, sendo independentes os G+1 pontos A1, A2, ..., AG e D (ou D’), eles constituirão um simplex especial, um orto-(G+1)-ângulo. Assim, Hi, para i= 1, 2, ..., G, será ortogonal ao HEG-2 (definido pelos G-1 pontos A2, ..., AG) que lhe é oposto. Generalização Esse processo de geração de orto-(G+1)-ângulos pode ser generalizado. Podemos escrever um 3H-ádico na forma 3H   H  ij H  i H  j para i,j = 1, 2, ..., G (com G  NH), os H-ádicos Hi constituindo uma base num HEG. Para i  j, cada 3H-áde constituinte de 3H definirá um 3HE3 (um subespaço no 3H E G 3 ); para i = j, as 3H-ades correspondentes definirão 3H-ades planares. Suponhamos agora que todas as 3H-ádes de 3H tenham um 3HE2 (plano) comum, isto é, formem um feixe cuja charneira seja esse plano. Consequentemente as 3H-ades de 3H com índices iguais ( H 11 H 1 H 1 , H  22 H  2 H  2 etc.) estão contidas na charneira e seus cruzados são nulos (porque duas das H-ádes são iguais). Os cruzados de todas as demais 3H-ádes estarão contidos num HEG-1 ao qual é ortogonal a charneira do feixe. Dispostos esses cruzados consecutivamente nesse espaço, o cruzado de 3H fechará a poligonal por eles definida. Os demais conceitos, operações etc. aparecem como nos casos anteriores. Definição: (poliádicos de Moreira, ou em feixe) Os poliádicos assim constituídos serão denominados "poliádicos de Moreira", ou “poliádicos em feixe”; a eles estará associado um orto(G+1)-ângulo.

IV,§ 12.02


143

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

§ 13 - ADJUNTO, SEGUNDO, INVERSO E PRINCIPAL. § 13.01 – Definições e propriedades. Consideremos o 2H-ádico genérico de um

2H

E G (3GN2H), escrito G-nomialmente

em relação às H-ádicas recíprocas {H   } e {H   } , digamos na forma: 2H 2H

Representemos por ~ 2H G

 

~ G

  H i

H i

(i = 1, 2, ..., G),

(01).

o 2H-ádico

1  H  i H j ... H m  H  i (G  1)! 

H

 j ... H  m 

G 1 fatores

(i j ... m = 1, 2, ..., G),

(02),

soma de G! políades de valência H (porque esse é o número de permutações que podemos formar com os G H-ádicos distintos de base, em cada permutação entrando apenas G - 1 dos ~

H-ádicos). Para dado G e dado 2H  do espaço, 2H  G é único. Além disso, ou ele é o 2Hádico nulo se dois quaisquer dos H  's são paralelos, ou um 2H-ádico em que, para certo conjunto de valores atribuídos aos índices i, j, ..., m, as H-ades

H

i

H

 j ...

H

m 

e

H