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LIÇÕES DE

CÁLCULO POLIÁDICO TOMO I - ÁLGEBRA VOLUME I

por

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto Furnas Centrais Elétricas SA Centro Tecnológico de Engenharia Civil – DCT.C

Goiânia (GO) – Brasil 2008

Poliádicos - Ruggeri


II

© 2008 - Elysio R. F. Ruggeri Projeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. Ruggeri Editoração eletrônica: Elysio R. F. Ruggeri Capa: Luciano Dalmiglio e Elysio R. F. Ruggeri

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo. Lições de cálculo poliádico : tomo I, volume I, álgebra / Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed. do Autor, 2008. XX, 444 p. ISBN 978-85-907001-0-4 1. Análise tensorial. 2. Leis físicas lineares. 3. Matemática aplicada. I. Título.

CDU 514.742

Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada página da reprodução.

Contato com o autor: elysio.ruggeri@gmail.com


III

À minha amada esposa, principal vítima da minha paixão descomedida, Leila Maria; e aos nossos resignados filhos (e meus netos), Heloísa (Eiki, Kaito, Naoki), Renê, Elysio (Lucas e Paula), Marisa (João Antônio e João Luis), Fabiano, Carolina (Eduarda), Galileo, Carla e Viviane, com algum remorso pelos sacrifícios impostos.

À ESCOLA DE MINAS DE OURO PRETO ...

onde, em 1876, floresceu a engenharia mineral nas Minas Gerais e no Brasil; outrora a mais brilhante estrela na flâmula nacional da minha imaginação; cujo "Anexo", saudoso, foi o credor do meu despertar consciente pela ciência; cuja severa e eficaz filosofia de ensino, herdada da escola francesa de Gorceix e sustentada pela vontade de D. Pedro II, desvanecendo-se paulatinamente, sucumbiu ingenuamente aos 93 anos.

Ao entusiasta, dinâmico e companheiro incomparável, Prof. Dr. Walter José von Krüger (in memorian) com admiração, respeito e gratidão pelo apoio incondicional na empreitada desse meu trabalho idealista.

Poliádicos - Ruggeri


IV

GRATIDÃO

Ao meu ex-professor e amigo Dr. Antônio Moreira Calaes (in memorian), Professor Emérito da UFOP, pelo incentivo e pela ajuda financeira no desenvolvimento desta primeira fase do Projeto Poliádico, iniciado em abril de 1992. Ao Prof. Dr. Jerzy Tadeuz Sielawa (ITA, INPE, EFEI), pelas oportunidades que tivemos para troca de opiniões e informações relativas às aplicações do Cálculo Diádico. Aos professores do Departamento de Geologia da UFOP: Dr. Antônio Gomes de Araújo, Dr. Fernando Flecha de Alkimim e Dr. Issamu Endo pelo apoio concedido quando do início dos trabalhos de edição desse texto (durante o ano de 1992) através do Laboratório de Computação Científica desse Departamento. Aos meus colaboradores diretos nos primórdios dessa edição, universitário Elysio G. Ruggeri e Eng. Renê G. Ruggeri, pelas inúmeras ajudas concedidas. Aos empresários, presidentes e/ou diretores que, sem exigirem retorno ou contrapartida para as suas empresas, simplesmente doaram o essencial em prol do ensino da engenharia e da geração de conhecimento científico ... para o bem comum. Por tanta generosidade e para que sejam sempre lembradas, deixo aqui registrados os nomes das seguintes empresas: SAMITRI - Sociedade Anônima de Minerações Trindade, SAMARCO Mineração S. A., MBR - Minerações Brasileiras Reunidas S. A., Mineração MORRO VELHO S. A., CBMM - Companhia Brasileira de Mineração e Metalurgia, CST - Cia. Siderúrgica de Tubarão, MAGNESITA S. A., ACESITA - Aços Especiais Itabira S. A., Grupo PARANAPANEMA e USIMINAS – Usinas Siderúrgicas de Minas Gerais S. A.. À FUNDAÇÃO GORCEIX - interveniente neste trabalho entre os anos 1992 e 2000 - na pessoa do seu Conselheiro-Diretor e ex-professor catedrático da antiga ESCOLA DE MINAS de OURO PRETO, Dr. Walter José von Krüger. Ao CENTRO TECNOLÓGICO DE ENGENHARIA CIVIL de FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A. pela acolhida generosa à minha causa (desde março de 2001), por ter propiciado a continuidade da redação desta obra (que se desenvolve desde abril de 1992), por ter aberto espaço para pesquisas experimentais em seus conceituados laboratórios e por procurar viabilizar aplicações de matérias deste Tomo I ao campo prático da engenharia.

Goiânia, novembro de 2008.

E. Ruggeri


V

APRESENTAÇÃO O Autor desta obra magnífica e pioneira em termos dos avanços da Matemática Aplicada, - o Engenheiro e Ex-Professor Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri - foi distinto ex-aluno e proficiente auxiliar meu nas múltiplas atividades da Cátedra de que fui titular Geometria Analítica e disciplinas afins (Cálculo Vetorial - Cálculo Matricial - Geometria Descritiva - Geometria Projetiva e Nomografia); e ainda, quando Estudante, nos idos de 1970, colaborou destacadamente na organização e instalação do C.P.D. da Escola de Minas de Ouro Preto, iniciativa de minha autoria. Mas prestou, também, eficiente e valiosa colaboração naquela mesma Escola (onde havia se formado recentemente), nas atividades pertinentes de outras Cátedras, v. g. Física, Resistência dos Materiais, Teoria de Estruturas etc. Entretanto, seus pesados encargos familiares e injustos embaraços burocráticos (estes mais onerosos com a criação da UFOP) tornaram impraticável, lamentavelmente, sua permanência no quadro de docentes da Escola de Minas de Ouro Preto. Eis que, então, o autor torna-se um engenheiro da construção pesada e desempenha esta função por vários anos. Alem de construtor de estradas de rodagem e metrôs, foi, em especial, um construtor de barragens; intitulava-se, parece-me que com certo orgulho, um "barrageiro". A atual publicação desta obra, de tão importante valia técno-científica, é fiel testemunho do quanto poderia o seu ilustre Autor ter proporcionado à renomada E.M.O.P., em termos do enriquecimento didático-científico de suas atividades. Ademais há que se ressaltar a clareza, metodicidade e objetividade com que o Autor soube ater-se na relação dos tópicos pertinentes dessa obra. Obra tão meritória, oxalá produza frutos ubérrimos na Literatura Científica Brasileira. E ao seu autor uma consagração, ainda que tardia! ...

Belo Horizonte (MG), agosto de 2005.

Antônio Moreira Calaes Professor Emérito Universidade Federal de Ouro Preto

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VI

PREFÁCIO Algum filósofo já disse que toda matemática que explica não é integralmente verdadeira, pois tem um fundo de inverdade. Portanto, essa nossa matemática pode ser profana, embora pareça que, tendo-a como ponto de partida, comecemos a perceber intuitivamente, mas ainda bem de longe e um pouco difusamente, alguns aspectos do sublime maravilhoso, do inexplicável. Tão profana deve ser essa nossa matemática que, com ela, somos suficientemente francos para nos declarar, de forma algo arrogante e pouco habilidosa, um cientista empírico-analista. Essa postura é, talvez, uma condição necessária para a conquista da ciência, podendo ter, eventualmente, algum valor num prelúdio a alguma sapiência. Estas "Lições" tentam atender as necessidades da ciência dos fatos; devem, pois, agradar a maioria dos leitores que, como nós, estão comprometidos com o entendimento de fatos concretos. Do ponto de vista didático, tudo aqui foi escrito com a finalidade de satisfazer aos interessados e aplicados alunos dos cursos de graduação em Engenharia, Física e Matemática (Aplicada). Preferimos correr o risco de, eventualmente, levar à exaustão o leitor mais exigente e mais preparado. Despreocupamo-nos, com efeito, com a extravagância da síntese, com a compacidade do texto, com a violência do rigor lógico, tão apreciados pelos matemáticos, mas que desalentam os noviços por não permitirem em geral o entendimento fácil e rápido. Porfiamos o entendimento de conceitos eventualmente banais; conclamamos o leitor, repetidas vezes, em benefício da inteligibilidade fácil do texto, à revisão de conceitos emitidos a poucas e a muitas páginas atrás. Esmiuçamos. Isto talvez justifique certa prolixidade do texto, mas esperamos não levar o leitor ao enfado. A matéria é desenvolvida com o objetivo de atender à Física básica (a relativista e a quântica excluídas), da qual consideramos fazer parte a Geometria (de Euclides). Pois se o leitor observar que, nesta Física, todas as grandezas conhecidas, sem exceção, são grandezas inerentes a P direções, com P (finito) = 0, 1, 2, ..., - isso é, a nenhuma direção (P = 0), caso das grandezas escalares; a uma direção (P = 1), caso das grandezas vetoriais; a pares de direções (P = 2), caso das grandezas tensoriais de ordem 2 etc. - verá inicialmente que a entidade matemática aqui criada e denominada "poliádico", inerente a várias direções (caso em que ela se dirá de "valência P"), tem a missão específica de expressar matematicamente uma feição da natureza. Se com essas entidades, das mais diferentes valências, definirmos adequadamente certas operações (montando assim uma álgebra, tema desse tomo), o leitor concluirá que realmente atingimos o objetivo pretendido. Restará, apenas, discutir as vantagens dessas concepções (em grande maioria, devidas a Gibbs) em relação às portentosas matemáticas ora existentes (Cálculo Tensorial e Álgebra Linear) utilizadas eficazmente com a mesma finalidade à custa de generalidade e aridez exacerbadas.


VII

O leitor certamente está familiarizado com o Cálculo Vetorial estudado nos cursos de graduação em Engenharia, pois esse cálculo é básico para o estudo da Mecânica Racional e do Eletromagnetismo. Possivelmente experimentou certo desconforto - uma quebra de harmonia no desenvolvimento matemático da teoria - com a introdução do tensor de inércia (de ordem 2) no estudo da dinâmica do corpo rígido uma vez que os seus conhecimentos não iam alem dos vetores (tensores de ordem 1). Pelo mesmo motivo, o mesmo desconforto pode ter sido experimentado com a introdução dos tensores de tensão (de ordem 2), de deformação (de ordem 2) e o das constantes elásticas (de ordem 4) nas relações tensão/deformação estudadas na Teoria da Elasticidade; ou, até, quando da introdução do tensor viscoso das tensões na Mecânica dos Fluidos. O leitor eventualmente replicará as questões colocadas, mas sucumbirão irremediavelmente os seus argumentos, pois tudo depende da complexidade do problema que se propõe estudar num curso de Engenharia. Afinal, os problemas de engenharia vão desde o levantamento de uma simples parede de tijolos até a complexa análise do desempenho (funcional, seguro, econômico, estético e ambiental) dos mais variados materiais (sólidos ou fluidos, naturais ou artificiais) componentes dos mais diferentes elementos dos engenhos, das artes e da própria natureza. O Cálculo Poliádico estabelece certamente um suporte adequado, na medida necessária, para atender às necessidades dos estudiosos dos problemas gradualmente complexos em engenharia. Com outros termos, afirmamos seguramente que o Cálculo Poliádico, bem dosado, faz-se necessário nos cursos de graduação em Engenharia, apenas porque a heurística é uma propriedade da alma do engenheiro. Montamos essa obra procurando auto-suficiência de conteúdo e manutenção de uniformidade de procedimentos, nomenclatura e notação. Procuramos sempre dar continuidade na exposição, do particular para o geral, criando, assim, uma estrutura organizada em todos os níveis de necessidade, de forma que cada novo assunto lançado tivesse como pré-requisito a familiaridade com assuntos expostos anteriormente. Isso exigiu incluir nessa obra tudo o que fosse essencial do Cálculo Vetorial clássico. No Cap. I- VETORES - estendemos o conceito clássico de sistema de vetores recíprocos (do espaço tridimensional) ao conjunto dos vetores de direção comum (de um espaço unidimensional) e de plano comum (de um espaço bidimensional). Abordando o assunto seqüencialmente (sempre do particular para o geral), tivemos a surpresa de ter conseguido uma exposição estruturalmente original, de ter encontrado uma nova dedução da fórmula do duplo produto vetorial (§ 03.03) e a dedução de identidades (§ 05.02 e § 05.03) que generalizam as clássicas de Fibonacci e Lagrange (da Álgebra Superior). Notável, ainda, é a relação entre os sistemas de vetores recíprocos e os grupos ortocêntricos de pontos (§ 03.02 e § 03.03). Dificilmente tudo isso teria sido revelado sem a força dos vetores recíprocos. Estruturamos grande parte do Cap. II - DIÁDICOS - (até ao § 09) suportados pelos sistemas de vetores recíprocos; dai em diante criamos os espaços diádicos (de até 9 dimensões), as bases diádicas e os sistemas de diádicos recíprocos, perseguindo insistentemente certa "linha melódica" promissora em generalizações (no Cap. IV do volume II). Algumas fórmulas e alguns diádicos, não referidos por Gibbs e seus seguidores,

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VIII

são aqui apresentados pela primeira vez; desempenharão um importante papel no capítulo seguinte. A dupla multiplicação pontuada de diádicos sugeriu a introdução de uma nova operação com matrizes (§09.11), ampliada mais à frente (no §06.02 do Cap. IV do volume II) para atender aos novos avanços. Por igual motivo foi necessário criar também novas operações com os diádicos de um espaço diádico (§’s 11 a 13), algo isomórficas de algumas operações com os vetores, bem como ampliar adequadamente o conceito de permutador (§14). Exceto pelo fato de termos que atender necessidades matemáticas de ordens estrutural e lógica, não nos consideramos satisfeitos com a utilidade prática dos assuntos tratados no final desse capítulo II (§ 10 em diante). Pensemos fisicamente por um instante. É certamente trivial para o leitor que qualquer força dada ao acaso possa ser uma combinação linear de (não mais que) três outras forças independentes, escolhidas arbitrariamente (já que estas formariam uma base de referência de forças). Então, a matemática desenvolvida no final deste capítulo sugere, intuitivamente, que deva ser válida a seguinte proposição: qualquer tensão, dada ao acaso (dentre todas as tensões suportadas por um corpo físico), deve ser uma combinação linear de nove outras tensões independentes (na verdade, seis, por questão de simetria) escolhidas arbitrariamente (desde que estas formassem uma base de referência de tensões). Mas isto possivelmente não é trivial para o leitor; além disso, contrariamente ao caso das forças, ele pode nem sequer conhecer a utilidade prática da proposição. Mas não julga o leitor, por outro lado, que essa questão, no seu aspecto físico mais geral, merece ser judiciosamente respondida? Não acha também, de imediato, que esses conceitos podem ser estendidos - até com certa facilidade - para as demais grandezas (de outras ordens) existentes na Física? Não será isso ... prático, útil? A criação (algébrica) do espaço diádico e a introdução dos conceitos de norma, módulo e ângulo de diádicos sugeriram associar a esse espaço “idéias geométricas primárias” sobre as quais se pudesse erigir uma autêntica geometria euclidiana de até nove dimensões, como uma extensão da geometria de três dimensões. Isto foi esboçado nos §’s 10.03 a 10.05 e §11.02. No §15 estudamos as projeções no espaço diádico e no § 16 esboçamos uma ligeira introdução à Geometria Analítica desse espaço. A partir disso fica estabelecida uma Geometria Euclidiana N-dimensional para ser usada na física dos problemas envolvendo grandezas diádicas (ou tensoriais de ordem dois); na Teoria da Elasticidade, por exemplo. No Cap. III - GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR - apresentamos uma definição de tensor de ordem 2 (§02), preparando uma generalização a ser feita no capítulo seguinte (Cap. IV do volume II). Buscamos, com mudança de bases, sistemas convenientes (de bases vetoriais recíprocas) de representação de um diádico e de estudo de uma transformação linear (TL); estudamos, então, os elementos característicos dos diádicos (§03). Isto nos leva às reduções canônicas dos diádicos (§04) e a uma descrição das TL's por essas reduções (§05). Percorrendo essa trilha natural, o diádico de rotação (que rege a clássica transformação geométrica das figuras por rotação) aparece vinculado e como um caso particular de uma rotação mais geral denominada elíptica, esta regida por um diádico cíclico. Assim, alguns teoremas clássicos relativos a produto de rotações circulares tornamse corolários de teoremas mais gerais relativos a produtos de rotações elípticas (§06.03). Por esse capítulo, sempre apoiados numa interpretação geométrica, entendemos, ainda, ter "quebrado o tabu das bases ortonormadas". De fato, mostramos, em definitivo, de uma forma simples e elegante, que a análise dos problemas físicos em bases quaisquer apresenta


IX

o mesmo grau de facilidade (ou de dificuldade) que em relação a qualquer outra base particular. Visto também, por outro lado (§04 e §05,I), que as bases ortonormadas nem sempre simplificam cálculos, nem sempre são convenientes e nem sempre são necessárias, concluímos que a adoção rotineira de bases quaisquer é a forma mais elegante, a mais lógica, e, principalmente, a mais segura de tratar os problemas (físicos ou geométricos). Isto, entretanto, não implica que as bases ortonormadas devam sempre ser rejeitadas; apenas que sejam utilizadas quando naturalmente necessárias. Com efeito, é o que comprovamos no estudo das rotações circulares (§06), no estudo da redução normal e da decomposição polar de um diádico completo (§07), de extrema utilidade em mecânica de materiais. O leitor arguto certamente já terá pensado em estender esses conceitos aos poliádicos em geral (assunto do Cap. IV do volume II) mas, certamente, tal como nós, estará interessado na sua utilidade prática. Parece-nos que, ainda por um bom tempo, deveremos insistir em estudos para responder a essas colocações. A utilidade desta matéria é inquestionável. As aplicações serão expostas futuramente em volume a parte, acompanhadas de um resumo dos conceitos, operações e principais fórmulas. Algumas aplicações aqui expostas, dispensáveis numa primeira leitura, foram dispostas entre o sinal ⇒ onde começam e o sinal ⇐ onde terminam. Os que estiverem acostumados ao cálculo tensorial perceberão as diferenças de estilo e certamente não hesitarão em migrar para o estilo simples e elegante do poliádico, especialmente porque neste não se apela necessariamente para qualquer sistema de referência. Os métodos poliádicos são estritamente geométricos. Para o cientista empírico-analista esta nova abordagem pode gerar certo fascínio por questões ainda não abordadas classicamente, como pequenos mistérios. Na pior das hipóteses buscaremos um maior e melhor entendimento de “problemas já colocados” dentro da Física Linear (e da Geometria) de que, em geral, nos valemos em Física Aplicada e Engenharia. Mas poderemos dar, também, um passo interessante em direção à formulação da Física Não Linear do futuro cujas leis poderão ser certamente expressas de uma forma elegante e compacta pelos métodos poliádicos do presente, generalíssimos, abundantes e de generosa simplicidade matemática frente a tanta complexidade física. Complexidade física é a regra em muitas das ciências das quais se valem os engenheiros, dentre outras: a Geologia Estrutural, a Geofísica, a Mecânica dos Meios Porosos, o Cálculo das Estruturas, a Mecânica das Rochas e dos Solos, a Física dos Cristais, a Ciência dos Materiais, o Eletromagnetismo etc., cujas bases vêm sendo magistralmente unificadas, desde a segunda metade do século XX, na Física dos Meios Contínuos. Disciplina desconhecida, o Cálculo Poliádico desponta como uma das mais úteis e simples ferramentas de trabalho na Física Aplicada e na Engenharia. Idealizado por Gibbs por volta de 1890, é um cálculo mais geral, tão geometrizado quanto o Cálculo Vetorial clássico que, parece, foi adaptado à Física, entre 1870 e 1900, por Gibbs e Heaviside, das obras de Hamilton e Grassman1. É, ainda, esse Cálculo Poliádico menos abstrato e bem menos algebrizado que o seu parente um pouco mais jovem, o Cálculo Tensorial (de Ricci e 1 Segundo Crowe, M. J., A History of Vector Analysis, Dover, 1967: 1) - Grassmann, H. G., Die Ausdehnungslehere, Berlin, 1844; 2) – Hamilton, W. R., Lectures on Quaternions, 1848 (os quaterniuos foram descobertos em 1843).

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X

Civita) que vem adquirindo as suas feições em partes específicas. O Cálculo Poliádico é o Cálculo Tensorial exposto em bases geométricas, com estrutura própria e na medida certa para a abordagem de problemas de engenharia. ... E isso basta para justificar a canonização de, pelo menos, os Elementos de Cálculo Poliádico nos cursos de Engenharia ..., mas de engenharia de concepção e desenvolvimento de engenhos, ... aquela engenharia pura, judiciosamente temperada com economia, funcionalidade, segurança, ecologia e arte. Goiânia (GO), outubro de 2008 E. R. F. Ruggeri


XI

CONVENÇÕES NUMERAÇÕES DIVERSAS Os capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafos e estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico (como §01, ou §03.01). As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo. As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cada capítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foi feita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos). A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceira figura do § 02 do capítulo III. As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafo ou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses. Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com o mesmo número desta, acompanhado de um subíndice; assim (021) é o número de uma fórmula que deriva de (02), como pode ser encontrado no §02.04 do Cap. I. Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número (ver, por exemplo, as fórmulas (09) do §02.02 do Cap. I). Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente da esquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmula de ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice, à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, a citação (09)1 no texto é, apenas, uma referência à primeira fórmula do conjunto (09) e não representará número de nenhuma fórmula especificamente; isso é, (09)1 e (091) têm significados totalmente distintos. CITAÇÕES E REFERÊNCIAS Durante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização de conceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito com a indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referido conceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, ((02)3, § 03.02, II) representa: a terceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03 do Cap. II. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítulo em que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo. ABREVIATURAS CNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), pagina 15. - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, paginas 47, 59. EN Teor. - Teorema, pagina 22. Corol. - Corolário, pagina 23. Propr. - Propriedade, pagina 19. nsn - Não simultaneamente nulo, pagina 30. Min - Mínimo, menor, pagina 419. Med - Médio, pagina 419. Max - Máximo, maior, pagina 419. sen, cos, tg - linhas trigonométricas circulares, paginas 11, 14.

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XII

SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS SÍMBOLOS

REPRESENTAÇÃO

A

o

Números, variáveis numéricas, funções de valor numérico, coordenadas de pontos e de vetores. Vetor nulo

L

ei ,ei,

Xi, Yj, A, B,

F A B

u, v,

ab, aiei vˆ , ˆiˆj, ... I

E

M

T

I, J , K , Z

O

Pau( , ) {e*}

TOM

PÁGINA

Natural

3,11,20

Negrito

3

Vetores (sem seta)

Negrito

3,11,14,17

Díade, diádicos em forma N-nomial

Negrito

72,78

Vetor e díade unitários

Negrito

3,86

Operador de Argand (ver rodapé da página 129)

Natural

129

Diádico de Moreira

Negrito

96

Operadores diádicos especiais

Negrito

129

Par de diádicos de Pauly

Natural

142

Base vetorial definida pelos vetores e1, e2, e3

Negrito

47

Negrito

73,109

L A T I N O

A

φ,ψ ψ,α α,β β,..

Diádicos em geral

L

α), β), ...

Planos: α, β

Natural

91

F

Ι

Diádico unidade, poliádico unidade

Negrito

86

A

Ο

Diádico nulo

Negrito

86

B

Ω(i,ϕ)

Negrito

356

E

µ

Diádico de rotação (de eixo ˆi e ângulo ϕ) Diádico de mudança de base

Negrito

298

T

Γ

Diádico ciclotônico

Negrito

357

O

δ ij, δ ij εij, εijk, εijk

Deltas de Kronecker

Natural

49

Alternadores, ou Permutadores

Natural

50

G

χ

Diádico cisalhante

Negrito

362,365

R

Ι × kˆ

Diádico de Argand

Negrito

129

{εε*}

Base diádica definida por diádicos ε1, ε2, ...

Negrito

224

E G O


XIII

SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS (Símbolos especiais envolvendo ou não letras latinas e gregas) Todos os índices e todos os sinais constantes desta tabela são representados ao natural SÍMBOLO

. × :

REPRESENTAÇÃO

PÁGINA

× × . ×

Multiplicação escalar ou pontuada Multiplicação vetorial ou cruzada Dupla multiplicação escalar ou pontuada Dupla multiplicação vetorial ou cruzada Dupla multiplicação mista

134

× .

Dupla multiplicação mista

134

Adjunto (sobre-índice) Símbolos que substituem . e × . Aproximadamente igual Idêntico Matriz Determinante da matriz A Módulo, determinante Norma Base, matriz coluna Escalar e vetor do diádico φ Ângulo ou plano dos vetores x e y Produto misto dos vetores x, y e z ou diádicos α,β β e γ. Símbolos usuais da Teoria dos Conjuntos O texto é hipótese nos dois sentidos Paralelismo e perpendicularidade Diádico cíclico Transposto ou conjugado do diádico φ

165

~

° e * ≅ ≡ [ ] Det[A] | | || || { } φE , φV (x , y) (xyz), (α αβγ)

∀ , ∃, ∈,...

A ⇐ Texto ⇒ B || , ⊥  φT

11 14

134 134

134 322 70 183 229 2,17 158 47,186 80 12,15 18,261 7,23 24,30,40 15,12 354 76

φ∼ φ

Adjunto do diádico φ

165

φ-1

Inverso ou recíproco do diádico φ

166

φP

Principal do diádico φ

168

φ2

Segundo do diádico φ

167

φ3

Terceiro do diádico φ

82

Homológico do diádico φ

96

Hom(φ φ) l(x) < α β ... λ > (α α β ... λ) Cnp EN 2 EG

Função linear vetorial do vetor x

70

Produto cruzado dos diádicos α, β , ..., λ Produto misto dos diádicos α, β , ..., λ Combinações de n objetos tomados p a p Espaço de vetores, de dimensão N (N=1, ou 2, ou 3) Espaço de diádicos, de dimensão G (G ≤ N2)

248 261 223, 243 47 224

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XIV

SUMÁRIO GRATIDÃO ..................................................................................................................................................... IV APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................................ V PREFÁCIO ....................................................................................................................................................... VI CONVENÇÕES................................................................................................................................................ XI SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS ........................................................................................................ XII

CAPÍTULO I VETORES § 01 - VETOR. .................................................................................................................................................... 1 § 01.01 - Definição, notação. ............................................................................................................. 1 § 01.02 - Igualdade vetorial. .............................................................................................................. 3 § 01.03 - Alguns tipos de vetores. ...................................................................................................... 3 § 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. ................................................................... 3 § 01.05 - O uso dos vetores em Física. .............................................................................................. 4 § 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES............................................................................... 5 § 02.01 - Adição de vetores. .............................................................................................................. 6 Soma de vetores. .............................................................................................................. 6 Propriedades da adição. .................................................................................................... 7 § 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. ............................................................................. 8 Produto de vetor por número real. .................................................................................... 8 Propriedades da multiplicação de vetor por número real. ................................................. 8 § 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória. ...................................................... 10 § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. .............................................................................. 11 Produto escalar. .............................................................................................................. 11 Propriedades da multiplicação escalar. ........................................................................... 11 Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. ............................................ 13 § 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. ............................................................................. 14 Produto Vetorial. ............................................................................................................ 14 Propriedades da multiplicação vetorial. .......................................................................... 14 Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. ........................................... 16 Identidade de Lagrange. ................................................................................................. 17 § 02.06 - Multiplicação mista de três vetores. .................................................................................. 18 Produto misto. ................................................................................................................ 18 Propriedades da multiplicação mista. ............................................................................. 18 Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais. ................................................. 20 § 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. ................................................................................. 21 § 03.01 - Os VR de vetores paralelos. .............................................................................................. 22 Inversão na reta. ............................................................................................................. 22 Construção gráfica de vetores recíprocos na reta............................................................ 22 O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta. ..................................... 23 Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta. ........................................................... 24 § 03.02 - Os VR de vetores coplanares. ........................................................................................... 25 Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano. ................................................................ 25 Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano....................................................... 26 Grupo Ortocêntrico no plano .......................................................................................... 26 Propriedade fundamental de pares recíprocos. ............................................................... 27 Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares........................................................ 27 O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos. ................................. 29 Vetores término colineares. ............................................................................................ 31 Varias formas de equação da reta (no plano). ................................................................. 32 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano). ...................................... 33 § 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. .................................................................................... 34 Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço. ......................................................... 34


XV

Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço..................................................... 35 Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos. .......................................................... 36 Dupla multiplicação vetorial (no espaço). ...................................................................... 37 Generalização da identidade vetorial de Lagrange. ........................................................ 37 O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos. ............................. 39 O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores. .................................................................. 41 Vetores término coplanares. ........................................................................................... 43 Várias formas de equação de um plano. ......................................................................... 44 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço). .................................... 45 § 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS. ........................................................................... 46 § 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. .............................................................................. 46 Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos............................................... 48 § 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores. ............................................................................... 49 Similarmente comprovaríamos que ................................................................................ 51 Produtos de Deltas de Kronecker. .................................................................................. 51 Produto de permutadores. ............................................................................................... 51 § 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos. .......................................................... 52 § 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos. ........................ 55 § 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos. ....................................................................... 59 § 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES. ............................................................................................. 59 § 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. ............................................................................. 59 § 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. ................................................ 62 § 05.03 - Generalização de identidades clássicas. ............................................................................ 64 § 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. .......................................................... 67 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................................. 68

CAPÍTULO II DIÁDICOS § 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR. ....................... 69 § 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ...................................... 72 § 02.01- Definições e notações. ....................................................................................................... 72 § 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos.......................................... 73 § 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. ................................................................... 73 Propriedades. .................................................................................................................. 74 § 02.04- O diádico como operador de uma T.L.. ............................................................................. 75 § 02.05 - Transposição diádica. ....................................................................................................... 76 § 02.06- Igualdade de diádicos. ....................................................................................................... 77 § 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos. ......................................................................... 78 O motivo de um diádico. ................................................................................................ 79 Casos de igualdade. ........................................................................................................ 79 § 02.08- Invariantes primários de um diádico. ................................................................................. 80 O escalar e o vetor. ......................................................................................................... 80 O terceiro. ...................................................................................................................... 82 § 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto................................................................. 85 Diádico unidade. ............................................................................................................ 86 Diádicos opostos ............................................................................................................ 88 § 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS. .................................................................................... 89 § 03.01 - Definições e propriedades gerais. ..................................................................................... 89 § 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares...................................................................... 94 Propriedades. .................................................................................................................. 96 § 03.03 - Diádicos de Moreira. ........................................................................................................ 96 Quadrângulo associado. ................................................................................................. 96 Quadrângulos transpostos............................................................................................... 98 § 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS. ...................................................................................................................... 99 § 04.01 - Definição e propriedades. ................................................................................................. 99 Propriedades. .................................................................................................................. 99 § 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva......................................... 101

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XVI

§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS. ............................................................................. 107 § 05.01- Definição e propriedades. ................................................................................................ 107 Propriedades. ................................................................................................................ 107 § 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. ....................................................................... 110 Propriedades:................................................................................................................ 111 § 05.03 - Terceiro e transposto de um produto............................................................................... 112 § 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. ................................................ 113 Exceções. ..................................................................................................................... 114 Produto nulo de diádicos não nulos. ............................................................................. 117 § 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR. ........................................................ 121 § 06.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 121 Propriedades. ................................................................................................................ 121 § 06.02- Fórmulas notáveis. ........................................................................................................... 124 § 06.03 - Escalar e vetor de φ×r..................................................................................................... 125 § 06.04 - Simetrias e anti-simetrias. ............................................................................................... 126 § 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. ........................................................... 127 Interpretação geométrica do diádico de Argand. .......................................................... 128 Potências do diádico de Argand. .................................................................................. 129 Generalizações. ............................................................................................................ 131 § 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS. ........................................................................................................... 134 § 07.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 134 Propriedades. ................................................................................................................ 137 § 07.02 - Nulidade de duplos produtos. ......................................................................................... 140 Duplo produto nulo de diádicos não nulos. .................................................................. 141 Diádicos de Pauly. ........................................................................................................ 142 Diádicos ortogonais. ..................................................................................................... 144 Diádicos paralelos. ....................................................................................................... 145 § 07.03 - Invariância. ..................................................................................................................... 146 § 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. ........................................................................ 147 § 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. ..................................... 153 § 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. ............................................................ 154 Dupla multiplicação mista de três diádicos. ................................................................. 155 Propriedades. ................................................................................................................ 156 § 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos. .................................................... 158 § 08 - SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL. ........................................................................ 165 § 08.01 - Definições e principais propriedades. ............................................................................. 165 Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).................................. 169 § 08.02 - Invariância e invariantes. ................................................................................................ 171 § 08.03 - Propriedades formais. ..................................................................................................... 171 § 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo). ...................................................... 176 Casos particulares......................................................................................................... 177 § 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. ................ 177 § 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira. ................................................................... 179 § 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA. ................................................................................... 180 § 09.01 - Definições....................................................................................................................... 180 § 09.02 - Matriz associada a um diádico. ....................................................................................... 182 Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos .............................................................. 187 § 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas ................................................... 187 Tábua de multiplicação de matrizes associadas a diádico............................................. 188 § 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana.................................................................. 189 § 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana. ........................................................................ 191 § 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana. ............................................................ 191 Expressões matriciais de φ.ψ ψ ........................................................................................ 192 Expressões matriciais de I×a e φ×a .............................................................................. 192 § 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). ........................................................... 193 Quádrica centrada......................................................................................................... 196 § 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana. .......................................................................... 198 § 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.............................. 200 Propriedades Gerais...................................................................................................... 201 Caracterização dos diádicos lineares. ........................................................................... 202


XVII

Caracterização dos ortolineares:. .................................................................................. 203 Caracterização dos planares. ........................................................................................ 204 Caracterização dos uniplanares e dos unilineares ......................................................... 205 Caracterização dos ortoplanares. .................................................................................. 206 Os diádicos antitriangulares e sua caracterização. ........................................................ 207 § 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. ........................... 210 § 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. ........................................................................ 215 § 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS. ........................................................................................ 217 § 10.01 - Espaço diádico. ............................................................................................................... 217 Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos...................................................... 218 § 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. .............................. 223 Decomposição cartesiana de diádico em base diádica. ................................................. 226 Diádico posicional. ....................................................................................................... 227 Bases diádicas recíprocas. ............................................................................................ 229 Constituição de bases. .................................................................................................. 231 Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice).................................... 232 Bases no espaço diádico simétrico. .............................................................................. 233 Bases no espaço diádico anti-simétrico. ....................................................................... 235 Bases diádicas ortonormadas........................................................................................ 237 § 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. ............................................................ 238 Biflechas ...................................................................................................................... 238 Independência de pontos e bases. ................................................................................. 239 União e interseção de espaços. ..................................................................................... 239 Graus de liberdade de um espaço diádico. .................................................................... 241 § 10.04 – Ordem no espaço diádico. .............................................................................................. 242 § 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. ...................................................................................... 243 Direção e orientação. .................................................................................................... 243 Pontos impróprios (ou no infinito). .............................................................................. 243 Extensão de conceitos. ................................................................................................. 244 O paralelotopo. ............................................................................................................. 245 Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional. ......................... 246 § 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA. PERPENDICULARIDADES. .................................... 246 § 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla. ..................................................................................... 246 Identidades notáveis ..................................................................................................... 251 § 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico............................................................................ 255 Ângulo de dois espaços. ............................................................................................... 256 Ortotopos...................................................................................................................... 256 § 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G DIÁDICOS. ........................................ 256 § 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS. ............................................................ 261 Propriedades................................................................................................................. 263 Produto misto de nove diádicos, dados em forma cartesiana. ....................................... 269 Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma cartesiana........................................................................................................ 270 § 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES. .............................................................................................. 270 § 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO. .............................................................................................. 275 Projeção qualquer. ........................................................................................................ 275 Projeção paralela. ......................................................................................................... 276 § 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO DIÁDICO. ....................................... 277 § 16.01 – Espaços opostos nos simplex. ........................................................................................ 278 § 16.02 - Baricentros. .................................................................................................................... 279 Definições. ................................................................................................................... 279 Bimedianas e medianas. ............................................................................................... 280 § 16.03 - Equações de espaços. ...................................................................................................... 282 Várias formas de equação de uma reta. ........................................................................ 282 Várias formas de equação de um plano. ....................................................................... 283 Várias formas de equação de um 3-espaço. .................................................................. 284 Várias formas de equação de um espaço qualquer........................................................ 286 § 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica................................................................................. 287 § 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies. ............................... 288 BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 289

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XVIII

CAPÍTULO III GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR § 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA. ........................................................................... 291 § 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL. ............................................................. 291 § 01.02 - Propriedades fundamentais. ............................................................................................ 292 § 01.03 - Aplicação numérica. ....................................................................................................... 295 § 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE. ........................................... 299 § 02.01 - Diádicos de mudança de base. ........................................................................................ 299 § 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. .................................................... 300 Propriedades dos diádicos e das transformações similares. .......................................... 301 § 02.03 - Matriz de mudança de base. ............................................................................................ 305 § 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de base. Matrizes similares. Tensores clássicos. ............................................................................................. 307 Transformação de coordenadas de vetores. .................................................................. 307 Transformação das coordenadas de diádicos ................................................................ 308 § 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. ................................................................ 311 Diádicos com simetria externa em relação a um plano. ................................................ 312 Pesquisa de sistemas convenientes de representação .................................................... 314 § 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS. ....................................................................... 314 § 03.01 - Polinômio mínimo. ......................................................................................................... 314 § 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico. ............................................... 318 § 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. .................................. 321 Diádicos com autovalores nulos. .................................................................................. 327 § 03.04 - Outros exemplos numéricos............................................................................................ 330 § 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS. ............................................................... 332 § 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C............................................... 332 § 04.01,A - Autovalores imaginários. ............................................................................................ 332 Caso de diádicos uniplanares........................................................................................ 336 Caso de diádico anti-simétrico ..................................................................................... 336 Outras reduções. ........................................................................................................... 337 § 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral. ........................................................ 338 Elementos característicos de diádicos simétricos. ........................................................ 340 Tônicos associados a uma homologia........................................................................... 343 § 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠ B = C. ............................................... 344 Diádicos simétricos ...................................................................................................... 346 § 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C.................................................... 347 § 05 - DESCRIÇÃO DAS TL'S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS. ........................................................... 349 § 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis....................................................................... 350 § 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis. ............................................................... 351 § 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*)...................................................... 352 Diádico cíclico. Rotação elíptica. ................................................................................. 352 Diádico ciclotônico. ..................................................................................................... 358 Auto-similaridade dos ciclotônicos. ............................................................................. 359 § 05.02,B - TL regida por: φ=Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* ................................................................. 362 Cisalhamento simples. Diádico cisalhante.................................................................... 362 § 05.02,C - TL regida pelo : φ=ab*+bc*,........................................................................................ 365 § 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos. ................................................... 366 § 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES). ................................................................................... 368 § 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. ............................................................ 368 Caracterização dos cíclicos e rotores. ........................................................................... 374 Generalização de conceitos clássicos. .......................................................................... 376 § 06.02 - Rotações próprias e impróprias....................................................................................... 378 § 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares).............................................................. 379 § 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. ............................................. 379 Cíclicos e rotores biquadrantais.................................................................................... 379 Produto de biquadrantais. ............................................................................................. 382


XIX

Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1. ................................................. 384 Expressão cartesiana para Π......................................................................................... 385 Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3. ...................................................... 387 Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo do outro. ......................................................................................................... 388 Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais................................ 391 Fatoração de cíclicos e rotores...................................................................................... 393 Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.................................................. 399 § 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. ....................................... 400 Raízes K-ésimas do diádico unidade. ........................................................................... 401 Potências de expoente inteiro de um cíclico. ................................................................ 402 Representação do cíclico em série de Mac Laurin. ....................................................... 404 Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico. ................................................... 406 Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados. .................................... 407 Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação. ......................... 408 Diádico de rotação e diádico de Argand associados. .................................................... 408 § 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. ........................................................ 411 § 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO. DECOMPOSIÇÃO POLAR. ........................... 413 § 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições. .............................................................................. 413 § 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. ........................................................................... 415 § 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. ...................................................................................... 427 Diádico reto e deformação de um corpo. ...................................................................... 428 § 07.04 - Decomposição polar. ...................................................................................................... 429 § 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos ............................................. 432 APÊNDICE..................................................................................................................................................... 435 BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 440

VOLUME II (deste Tomo I) Capítulo IV - Poliádicos Capítulo V - Poliádicos complexos

TOMO II Capítulo VI - Análise Poliádica Capítulo VII - Campos de poliádicos

Poliádicos - Ruggeri


XX


CAPÍTULO I

VETORES § 01 - VETOR. § 01.01 - Definição, notação. A reta da Geometria pode ser percorrida em dois sentidos pelo seu ponto corrente. Um desses sentidos, arbitrariamente escolhido, é denominado sentido positivo; o outro, sentido negativo. Diz-se, então, quando se fixa esse sentido, que se orientou a reta; esta passa, assim, a denominar-se eixo ou reta orientada. Dados dois pontos A e B de um eixo, o conjunto dos pontos A e B, e dos infinitos pontos compreendidos entre A e B denomina-se segmento orientado AB e representa-se por AB ; A e B denominam-se, respectivamente, a origem e a extremidade do segmento orientado; e o sentido de A para B, o seu sentido. Os pontos, de um modo geral, são determinados sobre os eixos pelos segmentos orientados que cada um define com um ponto fixo O, arbitrariamente escolhido sobre o mesmo e fixado, por convenção, como origem desses segmentos. Com a introdução da origem, o eixo fica dividido em dois semi-eixos: um positivo e um negativo, cujos sentidos são concordantes, respectivamente, com os sentidos positivo e negativo do eixo (Fig. 01.01)2.

Postula-se, como fez Descartes, a existência de uma correspondência biunívoca entre as distâncias da origem a pontos do semi-eixo positivo e do negativo, respectivamente, com os conjuntos dos números reais, positivos e negativos. A distância, positiva ou negativa, de um ponto qualquer A à origem O é denominada abscissa do ponto; e o segmento OA segmento-posição; diz-se, assim, que o ponto é dado, analiticamente, por sua abscissa; ou, geometricamente, por seu segmento-posição. Escreve-se: OA = A e lê-se: a abscissa do ponto A é A (A um número real, positivo ou negativo, não acompanhado de nenhuma unidade de medida). Na prática, visualizamos questões conceituais através de gráficos e figuras. Para construí-los a primeira providência é a fixação de uma escala. Escolhemos, arbitrariamente, 2Veja o critério de numeração das figuras dentro da seção "Convenções". Poliádicos - Ruggeri


2

§ 01 - Vetor

um segmento orientado OU com origem coincidente com a origem O dos semi-eixos de um eixo (Fig. 01.02), com a extremidade U sobre o semi-eixo positivo e com a abscissa U fixada, por convenção, como 1. Qualquer outro ponto, A, a ser concretizado sobre o eixo, com uma abscissa dada A, deve ser marcado de forma a que OA =A× OU , assinalando-se A sobre o semi-eixo positivo se A>0; ou sobre o semi-eixo negativo se A<0. O segmento OU é denominado unidade de medida de segmentos; a abscissa A é dita, também, a medida algébrica de OA em relação a OU .

Consideremos, agora, dois pontos, A e B, de um eixo e o segmento orientado AB por eles definido. A medida algébrica do segmento orientado AB é o número real puro (não acompanhado de nenhuma unidade de medida) obtido como a diferença entre as abscissas de sua extremidade e sua origem, nessa ordem, multiplicado por OU ; escreve-se, então:

AB = (B − A )OU ,

(01)3,

independentemente da origem O, para qualquer unidade de medida. Resulta logo que se AB tem sentido coincidente com o do eixo, sua medida algébrica é um número real positivo, pois B>A; se não, esta medida é número negativo. O número real positivo puro, representado por |B-A| OU , denomina-se o módulo do segmento orientado AB . Logo (01) pode ser escrita na forma AB = ± | B − A | OU , (02), onde o sinal é positivo ou negativo conforme o sentido do segmento orientado seja concordante ou não com o do eixo. Ora, em Geometria Euclidiana, um feixe de retas paralelas tem em comum a mesma direção; e qualquer reta do feixe pode ser uma representante do mesmo numa concretização. Então, orientar uma reta é operação equivalente a orientar uma direção; e toda proposição válida para segmentos orientados de uma reta orientada de um feixe, é válida, igualmente, para as demais retas do feixe. Diz-se que dois segmentos orientados são eqüipolentes se têm a mesma direção (pertencem a um mesmo feixe) e a mesma medida algébrica (isso é, o mesmo sentido e o mesmo módulo). Os segmentos orientados eqüipolentes (de um mesmo feixe de retas paralelas) denominam-se vetores livres (do feixe); a diferentes feixes estão associados, então, diferentes vetores livres. 3 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".

I,§ 01.01


§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.

3

Aos vetores livres estendem-se todas as definições relativas aos segmentos orientados que lhes correspondem: origem, extremidade, sentido, direção, módulo etc. O vetor é representado pelo par de letras relativas à sua origem e à sua extremidade, nessa ordem, encimadas por uma pequena flecha: AB , por exemplo. É também representado, com muita freqüência, por letra minúscula do alfabeto latino encimada por flecha. Em Mecânica é comum o uso da notação de Grassmann: AB = B − A , justificando-se esta notação com a introdução da operação de adição de um vetor AB com um ponto A, cujo resultado (a soma) é o ponto B. Desse ponto de vista, o ponto A seria transportado pelo vetor AB até o ponto B, o que justifica a nomenclatura: a palavra vetor provém da palavra latina vehere que significa transportar. Doravante os números reais e os pontos serão denotados, na maioria das vezes, pelas letras latinas maiúsculas, eventualmente indexadas: A1, A1, B2, etc. Os vetores serão denotados pelas letras latinas minúsculas em negrito, sem a clássica seta; e seus módulos, por estas mesmas letras dispostas entre duas barras verticais: |u|, |v| etc.

§ 01.02 - Igualdade vetorial. Diz-se que dois vetores u e v são iguais ou eqüipolentes e escreve-se: u=v (ler: u igual a v), quando são eqüipolentes a um mesmo segmento orientado de um mesmo feixe; isso é, quando têm um mesmo módulo, uma mesma direção e um mesmo sentido.

§ 01.03 - Alguns tipos de vetores. Dois vetores são ditos paralelos ou colineares quando têm a mesma direção. Assim dois vetores iguais são sempre paralelos. Dois vetores u e v são ditos opostos quando, paralelos, têm o mesmo módulo e sentidos opostos; escreve-se u = − v ou v = −u. Vetores coplanares são aqueles paralelos a um mesmo plano; dois vetores são, pois, sempre coplanares. Vetor nulo é o vetor de módulo zero; escreve-se u=o e lê-se: o vetor u é igual a zero. Graficamente o vetor nulo tem a sua origem coincidente com a sua extremidade. Por convenção, o vetor nulo faz um ângulo qualquer com qualquer vetor, com qualquer plano e seu sentido é qualquer. Vetor unitário é o vetor de módulo igual a um; é utilizado geralmente para especificar uma direção e representado por uma letra encimada por um acento circunflexo: v$ .

§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. Para sintetizar um pouco o desenvolvimento da teoria dos vetores, e por reconhecer a sua origem geométrica, estenderemos aos mesmos os conceitos de perpendicularidade, projeção etc., como em Geometria Elementar. Deve ser observado, entretanto, que não é necessário lançar mão de toda a Geometria para se fazer a teoria dos vetores. Pelo contrário, basta o estabelecimento dos conceitos mais elementares de Geometria, como os de: ângulos, retas perpendiculares e paralelas, figuras planas de segunda categoria (linhas quebradas, polígonos, teoremas fundamentais da geometria do triângulo, do quadrilátero, da circunferência) para estarmos prontos para utilizar os vetores no desenvolvimento dessa mesma Geometria. A rigor, entretanto, pretendendo-se aplicar conceitos vetoriais à Geometria, é necessário estabelecer um encadeamento lógico dedutivo de conceitos e

Poliádicos - Ruggeri


4

§ 01 - Vetor

propriedades. Com efeito, pois, do contrário, correr-se-ia um sério risco de deduzir propriedades a partir de outras ainda não demonstradas ou, até, de deduzir uma propriedade a partir de outras cujas validades dependem necessariamente da primeira. Deve ser considerado, também, que a Matemática sempre requer concisão, precisão e economia de pensamento; isso é, não é de índole matemática a utilização de um "aparato pesado" para a dedução de resultados que poderiam ser obtidos com "aparatos leves". Por exemplo, como demonstrar que as mediatrizes de um triângulo têm ponto comum, de um modo mais simples que o da Geometria Elementar? Por outro lado, montando-se um aparato com o objetivo de estudar questões mais avançadas, nada impede que, de passagem, se possam deduzir propriedades elementares. Assim, por exemplo, poderíamos resolver o problema proposto das mediatrizes do triângulo pela Geometria Analítica; solução esta que não é tão simples quanto a da Geometria Elementar, mas que também é independente dos métodos elementares. Finalmente, deve ser considerado que o Cálculo Vetorial é formulado hoje praticamente nos mesmos moldes como GIBBS o formulou há pouco mais de 100 anos [1]4 com vistas à sua utilização na carente Física-Matemática da sua época e com vistas à sua utilização em Geometria. As necessidades da Física-Matemática, por outro lado, parecem ter forçado um estudo mais vetorial da Geometria Diferencial onde, indubitavelmente, os métodos vetoriais são expressivos. Em resumo: parece-nos que o uso metódico da Álgebra Vetorial em Geometria Elementar requer desta Álgebra uma estruturação diferente da clássica, mais adequada à finalidade visada. Seguiremos, aproximadamente, a apresentação clássica porque não nos interessa aqui um desenvolvimento específico para a Geometria Elementar.

§ 01.05 - O uso dos vetores em Física. A Física é desenvolvida sobre o conceito de grandeza, ou seja, de entidades que participam dos fenômenos físicos e que são mensuráveis. Medições são necessárias para atender necessidades práticas relacionadas com os conceitos de maior, menor, muito, pouco, alto, baixo, forte, fraco etc., conceitos que exigem, logicamente, uma referência. Criam-se, então, as unidades de medidas como o metro, o quilograma força, o segundo etc.. O desenvolvimento da Física através do tempo mostrou a necessidade de se expressarem matematicamente as suas grandezas. Em vista das diferentes naturezas destas, criaram-se diferentes entidades matemáticas para representá-las. Assim, as grandezas denominadas escalares são representadas simplesmente por um número real acompanhado de uma unidade de medida (escala); são exemplos: uma distância, uma temperatura etc. Outras grandezas, inerentes a uma direção e um sentido sobre esta, puderam ser representadas por vetores e foram denominadas grandezas vetoriais; são exemplos: força, velocidade, aceleração etc. Existem outras grandezas, inerentes a mais de uma direção, que serão apresentadas mais à frente. Vejamos como foi possível a representação das grandezas vetoriais pelos vetores. Ora, sendo a grandeza vetorial inerente a uma direção podemos imaginar um vetor cuja direção seja paralela à direção da grandeza e com um sentido arbitrado. Façamos, agora, corresponder a intensidade dessa grandeza, acompanhada da sua unidade de medida, com o módulo do vetor a definir. Se, finalmente, associamos a esse conjunto o sinal + ou conforme o sentido da grandeza coincida ou não com o sentido arbitrado para o vetor, 4 Veja também os clássicos "Scientific Papers" de Gibbs.

I,§ 01.05


§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

5

poderemos dizer que essa entidade abstrata, o vetor, assim definido, representa aquela grandeza. Interessando a construção de um gráfico basta escolher uma escala. Assim, quando se diz, em Física: "seja f a força que atua sobre o corpo...", todas as considerações geométricas e físicas feitas neste § 01 ficam subentendidas, para felicidade do leitor. Nos parágrafos seguintes definiremos operações com os vetores destacando, quando conveniente, o seu significado em Física. O conceito de igualdade de vetores (§ 01.02)5 é exclusivamente algébricogeométrico e não físico, isso é, se um vetor representa uma força e um outro vetor uma velocidade, não faz sentido analisar a igualdade desses vetores porque essas grandezas são de naturezas diferentes. De outra forma, diríamos: dois vetores podem ser paralelos, ter os mesmos módulos e os mesmos sentidos e não fazer sentido a sua igualdade porque representam grandezas diferentes. Os tipos de vetores já criados (§ 01.03) têm também correspondência na Física na forma dos conceitos físicos: velocidades opostas, forças paralelas, força nula, velocidade unitária etc. Analogamente, os conceitos geométricos estendidos aos vetores (§ 01.04) são também assimiláveis em Física; falamos, pois, em forças que fazem certo ângulo, vetor velocidade tangente à trajetória etc. Esse é o modo mais simples de contemplar-se o uso dos vetores em Física. O entendimento de certos fenômenos físicos, algo complexos, por outro lado, exigiu a criação de entidades matemáticas bem mais complexas que, numa situação limite - isso é, numa particular condição - representassem também os vetores elementares. No espaço físico em que ocorrem tais fenômenos, figuras geométricas como segmentos de reta, porções de plano, poliedros, por exemplo, só existem nas "vizinhanças de um ponto". Isto significa, em outros termos, que os vetores só existem no espaço vizinho (nas proximidades) de um ponto. Mas o que será essa "vizinhança", nesse espaço eventualmente estranho? Por acaso, nesse espaço, as retas e os planos se empenam quando um pouco distantes desse ponto? Por acaso, nesse espaço, o critério de medida de distâncias muda de um ponto para um outro "um pouco afastado"? Neste capítulo o leitor encontrará não mais que uma teoria elementar dos vetores, montada de um ponto de vista superior, respigada de pistas para uma generalização futura de operações e conceitos de utilidade prática em Física.

§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES. São sobejamente conhecidas as utilidades geométricas e físicas ordinárias dessas operações (veja a bibliografia). Interessa registrá-las aqui, como referência, para facilitar o desenvolvimento dos capítulos seguintes e tornar a obra auto-suficiente. Suporemos em relação a tudo o que será desenvolvido a seguir, que os módulos de dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento unidade (de medida de distâncias) comum aos respectivos eixos (| xˆ |=1 e | yˆ |=1). Não obstante, estaremos interessados em conseguir resultados com segmentos quaisquer de comparação (ex e ey); passo a passo conseguiremos esse intento.

5O leitor será ajudado na leitura deste livro com a indicação, entre parênteses, do parágrafo onde se encontra o conceito ou o assunto em referência.

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

§ 02.01 - Adição de vetores. Soma de vetores. Dados dois vetores u e v, chama-se soma de u com v, e representa-se por u+v (ler: u mais v), o vetor s tal que, dispostos u e v consecutivamente nessa ordem no espaço, a sua origem seja a origem de u e a sua extremidade a extremidade de v. Escreve-se: s=u+v, lendo-se: s é igual a u mais v. A adição de dois vetores é a operação que tenha por fim determinar a sua soma. Provemos que ela é unívoca. Disponhamos dois vetores quaisquer, u e v, consecutivamente em ordens inversas, a partir de um ponto qualquer do espaço; sejam s e s' os vetores somas em cada caso. Os triângulos formados por esses vetores, num caso e noutro, são iguais, o que acarreta s = s' já que s e s' têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Graficamente, o vetor s, co-inicial com dois vetores a somar, u e v, e cuja extremidade seja a diagonal do paralelogramo construído sobre u e v, é o vetor soma de u com v. Esse processo de obtenção do vetor soma costuma ser designado como "regra do paralelogramo" (Fig. 02.01), sendo já conhecido dos gregos antigos para compor velocidades e forças.

A adição se estende a vários vetores, bastando ordená-los e convencionar que a soma de vários vetores é obtida somando o terceiro com a soma dos dois primeiros, e assim sucessivamente. Escreve-se, então: s = [( u + v ) + w ]+... . A operação é sempre possível porque é sempre possível dispor consecutivamente vetores diversos no espaço. A soma de vetores obtém-se como a "linha de fechamento" da poligonal reversa cujos lados sejam os vetores parcela na soma a ser determinada, conforme esquematizado na Fig. 02.02.

I,§ 02.01


§ 02.01 - Adição de vetores..

7

Do ponto de vista físico a adição só tem sentido para vetores representantes de uma mesma grandeza física (medidas com a mesma unidade de medida). Com efeito, faria sentido somar força com velocidade? Outra observação se faz necessária. Sempre que recorremos a uma representação gráfica, supomos mentalmente que esta seja feita com certa escala (o segmento unidade é o mesmo para os eixos orientados de todos os vetores envolvidos). Geralmente, entretanto, essas figuras são feitas apenas para orientar e ordenar o raciocínio uma vez que a sua correta construção poderia ser extremamente trabalhosa. Assim, por exemplo, o cálculo do vetor soma de dois outros, dados os seus módulos, sentidos e ângulos de suas direções, pode ser feito com muito mais simplicidade, rapidez e precisão com o uso da Trigonometria e calculadoras de bolso, do que graficamente; supõe-se, obviamente, se esses vetores representam grandezas, que as unidades de medida (de grandezas) que acompanham os seus módulos sejam as mesmas. Propriedades da adição. 1ª) - É operação associativa:

∀a , b , c :

( a + b ) + c = a + (b + c ) ,

(01)6,

o que é evidente; 2ª) - É operação comutativa:

∀a , b :

a + b = b + a,

(02),

o que também é evidente, pela definição de soma; 3ª) - Adição com o vetor zero: ∀a :

a + o = a,

(03).

Com efeito, pondo MN = a tem-se, obviamente, pela definição: MN + NN = MN; logo, tem-se (03), pois, NN = o . Observando-se, ainda, que MN + MM = MN e que, por (02), MN + NM = MM , tem-se MM = o . Resulta, então, que NN , MM , etc. são iguais ao vetor nulo, isso é, o vetor nulo é único. 4ª) - Adição com vetores opostos: ∀a :

a + ( − a ) = o,

(04).

Pondo-se MN = a , resulta que o vetor NM é oposto a a, porque ambos têm o mesmo módulo, a mesma direção e sentidos opostos. Logo: MN + NM = o , isso é, a + ( − a ) = o. 5ª) - Subtração de vetores: Chama-se diferença de dois vetores u e v, nessa ordem, e se denota por u-v (ler: u menos v), o vetor d tal, que

d = u − v = u + ( − v ). 6 Usaremos, oportunamente, a simbologia da teoria dos conjuntos (veja a lista de "Notações Gerais").

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

A subtração é a operação que tem por fim determinar a diferença de vetores. Esta operação, sempre possível e unívoca, é extensível a vários vetores. É operação inversa da adição. Ademais: a) ∀u :

u − u = o;

b) graficamente, d = u − v obtém-se como a diagonal do paralelogramo construído sobre os vetores co-iniciais u e v, a origem de d sendo a extremidade do subtraendo (Fig. 02.03).

§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. Produto de vetor por número real. Chama-se produto de um vetor v por um número real M e se indica por Mv (que se lê: M vezes v), o vetor u de mesma direção que v (logo, paralelo a v), mesmo sentido que v se M>0 e sentido contrário se M<0, e cujo módulo valha |M||v|; escreve-se, então:

u = Mv . A multiplicação de vetor por número real é a operação que tenha por fim determinar o produto do vetor pelo número real7. Propriedades da multiplicação de vetor por número real. 1ª) - É sempre possível e unívoca; 2ª) - O produto de qualquer vetor pelo número 1 é o próprio vetor:

1v = v ,

(05),

o que é evidente; 3ª) - A multiplicação é associativa em relação a fatores numéricos,

A ( Bv ) = ( AB) v ,

7 Gibbs deu a essa operação o nome de multiplicação escalar.

I,§ 02.02

(06).


§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real.

9

Pondo Bv = w, tem-se: A(Bv) = Aw = r. Ora, r tem a mesma direção de v porque r e v têm a mesma direção de w. O sentido de r é o mesmo de w se A>0, ou o sentido contrário se A<0. Mas w tem o mesmo sentido de v se B>0, ou o sentido contrário, se B<0. Logo, r terá o mesmo sentido de v se A e B forem de mesmo sinal e sentido contrário se A e B forem de sinais contrários. O módulo de r vale |A||B||v|. O vetor do segundo membro de (06) tem precisamente as mesmas características de r, isso é, tem a mesma direção que v, o módulo |AB||v| = |A||B||v|, o mesmo sentido de r se A e B tem o mesmo sinal e sentido contrário ao de r se A e B têm sinais contrários; 4ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de números:

( A + B+...) v = Av + Bv +...,

(07).

Demonstraremos a propriedade por indução. Que a propriedade é válida para dois números A e B é fácil provar, bastando considerar: 1°) - que os vetores (A+B)v, Av e Bv são paralelos quaisquer que sejam os sinais de A e B; 2°) - que |Av+Bv| = |A+B||v|, donde a igualdade dos módulos; 3°) - que (A+B)|v| = A|v|+B|v|, donde a igualdade dos sinais dos vetores (A+B)v e Av+Bv. Suponhamos que a propriedade seja válida para N números, isso é, ( A + B+...+ N ) v = Av + Bv +...+ Nv. Pondo A+B+...+N = X e somando Yv a ambos os membros da igualdade anterior, temos: Xv + Yv = Av + Bv +...+ Nv + Yv. Como, por hipótese, a propriedade é válida para dois números reais, temos Xv + Yv = ( X + Y) v , isso é, ( A + B+...+ N + Y) v = Av + Bv +...+ Nv + Yv , e a propriedade é válida para um número qualquer de parcelas dentro dos parênteses; 5ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de vetores,

A ( u + v +...) = Au + Av +...,

(08),

Dispondo-se consecutivamente os vetores u, v, ..., a partir de um ponto arbitrário, O, (Fig. 02.04), obtém-se com o vetor s=u+v+... uma poligonal fechada, que será homotética, de intensidade A, da poligonal (também fechada) formada pelos vetores Au, Av, ... e seu vetor soma As, isso é, As = Au + Av +... . Logo, tem-se (08).

A multiplicação de vetor por número real segue as leis da multiplicação numérica, valendo as seguintes fórmulas:

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

∀A,B,a ,b ,v ,...:

A . o = o, 0. a = o, Aa = o ⇒ A = 0 ou a = o , A (−a ) = − Aa ,

( − A ) a = − Aa , A ( a − b ) = Aa − Ab , ( A − B) a = Aa − Ba , vˆ = v / | v |

(09).

Demonstraremos apenas a fórmula (09)18. De (08) temos, para u = v = o, A(o+o) = Ao+Ao. Considerando (03) com a = o, subtraindo Ao de ambos os membros dessa igualdade e agrupando convenientemente no segundo membro, temos:

Ao − Ao = Ao + ( Ao − Ao ). Considerando (04) e a definição de diferença de vetores, deduzimos: o = Ao + o , donde, novamente considerando (03), Ao=o. Suponhamos que o vetor v representasse a grandeza física aceleração, expressa em m/s2. Em vista de (09)8 escreveríamos: v = | v | (m/s 2 ) vˆ . Essa expressão de v destaca, através de v$ , a direção e o sentido (sobre esta) inerentes à grandeza; e através de | v |( m / s 2 ) o seu módulo (sua intensidade) e unidade de medida. Na prática, geralmente, omitimos a unidade de medida, deixando-a subentendida. Se, ainda, M estivesse representando massa expressa em kg, então escreveríamos, aplicando (09)8 e (06):

| f |( unidade de f )f$ = M| a|( kgm / s2 )a$ , expressão que destaca, por f$ ou a$ , a direção e o sentido de f, e por M|a| (kgm/s2) a intensidade e a unidade de medida de f (que é uma força). Repetimos: na prática, muitos desses aspectos ficam subentendidos não devendo trazer confusão ao leitor.

§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória. Sejam dados N vetores ei e N números reais Ai, i = 1, 2, ..., N. Com as operações fundamentais estudadas nos parágrafos precedentes, está perfeitamente definido o vetor

a = A 1e 1 + A 2 e 2 + ... + A N e N ; diremos que a (eventualmente o vetor zero) é uma combinação linear dos vetores ei com coeficientes Ai. Para facilitar e sintetizar as deduções futuras com as combinações lineares vetoriais podemos escrevê-las numa forma mais compacta com o estabelecimento da seguinte convenção, denominada 8 Veja o critério de referência a uma fórmula de um conjunto de fórmulas na seção "Convenções".

I,§ 02.03


§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores.

11

Convenção Somatória: Toda expressão monômia, contendo índice(s) literal(is) repetido(s) em níveis diferentes é equivalente à soma dos monômios que se obtêm da expressão fazendo o(s) referido(s) índice(s) variar(em) dentro do(s) seu(s) campo(s), previamente fixado(s). Objetivando simplicidade e elegância para as expressões matemáticas, os índices são representados geralmente por letras latinas minúsculas i, j, k, l etc. em tipos bem menores do que as latinas normais do texto, precisamente do mesmo tamanho dos números que indexam as letras na expressão indicada do vetor a. Assim, esta expressão pode ser posta na forma sintética e simples: i

a = A ei ,

(i = 1,2,..., N).

Do ponto de vista físico, uma combinação linear de vetores apresenta uma particularidade que deve ser observada: todas as suas parcelas devem representar, necessariamente, grandezas vetoriais da mesma espécie (com a mesma dimensão) que a representada pelo vetor a. Assim, se este representar uma força, os vetores A1e1, A2e2 etc. deverão também representar forças. Isto implica que os Ai sejam massas e os ei acelerações, ou, eventualmente, que A1 seja massa, e1 aceleração, A2 carga elétrica, e2 campo elétrico etc, para que A1e1, A2e2 etc. representem forças.

§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. Produto escalar. Chama-se produto escalar de dois vetores x e y, e representa-se por x.y (ler: x escalar y), o número real

x. y =| x|| y|cos( x , y),

(01)9.

A multiplicação escalar de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o produto escalar desses vetores. Obviamente, se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x.y será o produto das dimensões de x e de y. Assim, por exemplo, se x representa uma força e y um deslocamento, x.y representa trabalho. Propriedades da multiplicação escalar. 1ª) - É uma operação sempre possível e unívoca; 2ª) - (Interpretação Geométrica): O produto escalar de dois vetores é numericamente igual ao produto do módulo de um deles pela projeção ortogonal do outro sobre o suporte do primeiro.

9 Gibbs deu a esse produto o nome de "direct product" e, embora usasse a mesma notação, lia "x dot y ".

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12

§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

Pois, com efeito, temos, de (01):

| x.y | = | x | [| y | cos(x, y )] = | x | projx y ,

(021)10,

onde projxy tem representação evidente, sendo um número real positivo, negativo ou nulo conforme (x,y), o ângulo dos vetores x e y, seja agudo, obtuso ou reto, respectivamente. Similarmente, poderíamos escrever:

x. y =| y|[| x|cos( x, y )] =| y| proj y x,

(022).

Resulta, logo:

x. y = 0

x ⊥y ,

(03)11.

Se x.y=0, de (021) e (022) concluímos: 1º)- que ao menos um dos vetores é o vetor nulo, caso em que eles são ortogonais (o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor, inclusive a si próprio); 2º)- que é nula a projeção do outro vetor sobre o primeiro, isso é, esses vetores são ortogonais. A recíproca se demonstra analogamente. Se, porém, para todo y, x.y=0, então x=o, e reciprocamente:

∀y:

x. y = 0

⇔ x = o,

(04).

Com efeito, em (01) |y| e o ângulo (x,y) são quaisquer, o que acarreta |x|=0, isso é, x=o. 3ª) - Para quaisquer vetores x e y, a operação é comutativa:

∀x,y:

x.y = y.x,

(05),

o que é evidente por (01). 4ª) - A operação é associativa em relação a fatores numéricos:

∀M , x , y:

( Mx) . y = M ( x. y) = x. ( My ),

(06).

Observando-se que, se o ângulo de x com y é A, o ângulo de Mx com y é A se M>0 e π-A se M<0, tem-se, de (01):

( Mx ) . y =| Mx|| y|cos( Mx , y) = M| x|| y|cos( x, y ) = M ( x. y). A validade do terceiro membro de (06) pode ser comprovada analogamente. 5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:

∀x , y, z:

( x + y ) . z = x. z + y. z,

De (022) podemos escrever:

w. z =| z| proj z w . 10 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções". 11 O símbolo ⊥ representa ortogonalidade, conforme nossas "Notações Gerais".

I,§ 02.04

(07).


§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores.

13

Se, nessa igualdade, o vetor w é substituído por uma soma de vetores, o número projzw se distribui em relação a essa soma, porque, conforme a Geometria, a projeção do vetor soma é igual à soma algébrica das projeções dos vetores parcela, isso é,

( x + y ) . z =| z| proj z ( x + y) =| z|( proj z x + proj z y), tendo-se, logo, (07). 6ª) - Fazendo x=y em (01), temos o quadrado escalar ou norma do vetor x; a raiz quadrada positiva da norma é, pois, o módulo do vetor x e escrevemos:

x. x > 0,

| x| = x. x ;

( x.x = 0

x = o)

(08).

Exercício:

a i .xi = 0

⇐ ∀a i com i = 1,2,... G ⇒

| xi | = 0 .

A dado conjunto {a1, a2, ..., aG} tal que, para certos xi, ai.xi=0, podemos fazer corresponder o conjunto {b1, b2, ..., bG} tal que para todo i, ai +bi =xi . Então

(a i + b i ). xi = (x1) 2 + (x2 ) 2 + ... + (xG )2 = 0 , porque, por hipótese, ai.xi=0 e bi.xi=0. Logo, | x1| = 0 =| x2 | = ... . A recíproca é de demonstração evidente. Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. A multiplicação escalar segue as leis da multiplicação numérica, valendo as seguintes fórmulas:

( a + b ) . ( x + y) = a. x + a. y + b. x + b. y 2

2

2

( x + y) . ( x + y) = ( x + y) = x + y + 2 x. y 2

( x + y) . ( x − y) = x − y

2

etc.,

(09).

As demonstrações dessas fórmulas são simples, decorrendo imediatamente das propriedades fundamentais. De uma forma mais abrangente poderíamos escrever, lembrando a convenção somatória (§ 02.03): i

j

i

j

(A e i ). ( B r j ) = A B e i . r j

( i = 1,2,..., N; j = 1,2,... , M ),

(10),

expressão cujo segundo membro apresenta NxM parcelas porque é um monômio com dois índices repetidos.

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14

§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. Produto Vetorial. Chama-se produto vetorial dos vetores x e y, e se indica por x×y (ler: x vec y), o vetor ortogonal ao plano definido por x e y, tal que |x×y| = |x||y|sen(x,y) e tal que o triedro definido pelos vetores x×y, x e y, nessa ordem, seja positivo (Fig. 02.05)12 .

A multiplicação vetorial de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o produto vetorial desses vetores13. Se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x×y será o produto das dimensões de x e de y. Assim, se x é vetor posicional e y representar força, x×y representará um momento (que tem a mesma dimensão de trabalho). Propriedades da multiplicação vetorial. 1ª) - É operação sempre possível e unívoca. 2ª) - (Interpretação geométrica): O módulo do produto vetorial de dois vetores é numericamente equivalente à área do paralelogramo construído sobre esses vetores. Com efeito, pois se x e y são os vetores e se A é o ângulo formado por eles, então |y|senA é (numericamente) a altura H do paralelogramo que tem |x| por base (Fig. 02.06).

12 Para se fixar o sentido de x× y usamos a regra do observador. Imagina-se um observador com os pés na origem comum dos vetores e com o corpo disposto no sentido de x× y; se, estando esse observador voltado para o interior do triedro x× y, x, y, ele enxergar x à sua direita e y à sua esquerda, o triedro será direto. 13 Gibbs deu ao produto vetorial o nome de skew (ou cross) product, escrevia x × y e lia x cross y.

I,§ 02.05


§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores.

15

Sendo:

| x × y |=| x || y | sen(A) , resulta: | x × y |=| x | H , isso é, o módulo do produto vetorial é numericamente igual à área do paralelogramo que tem x e y por lados. Em razão desta interpretação geométrica o produto vetorial é usado em muitas situações, na Física notadamente, como um "vetor-área", ou como um "elemento paralelogrâmico" de área. Deduzimos, logo: Uma CNS para que dois vetores sejam paralelos é que o seu produto vetorial seja o vetor zero:

x×y = o

x || y ,

(01)14.

Se x×y=o, a área do paralelogramo construído sobre x e y é nula. Então, os vetores x e y são paralelos, um deles, ou ambos, podendo ser o vetor zero (o vetor zero é paralelo a qualquer vetor). A recíproca é evidente. Se x || y (um deles ou ambos podendo ser o vetor zero), o ângulo (x,y) é o ângulo nulo; então sen(x,y)=0 e o módulo de x × y é zero, ou seja, x×y = o . É óbvio que:

∀x :

x×x = o,

(011).

3ª) - A operação é anticomutativa, isso é,

x × y = −y × x ,

(02).

Com efeito, os vetores x × y e y × x têm o mesmo módulo, são ambos perpendiculares ao plano definido por x e y (têm, pois, a mesma direção), mas têm sentidos opostos. Logo x × y e −y × x são iguais. 4ª) - A operação é associativa em relação a fatores escalares:

∀M, x, y :

(Mx) × y = M(x × y ) = x × (My ) ,

(03).

De fato, independentemente de ser M>0 ou M<0 as direções dos vetores de ambos os membros de (03) são a da normal ao plano de x e y e seus módulos são obviamente iguais (porque são iguais o seno de um ângulo e o seno do suplemento desse ângulo). Quanto ao sentido dos vetores, deve-se observar que se M>0 os sentidos dos vetores (Mx) × y , M( x × y ) e x × (My) são os mesmos, obviamente; se M<0, o sentido de Mx se inverte e o sentido de (Mx) × y é contrário ao de x × y que, por sua vez, terá seu sentido invertido quando for multiplicado por M<0. Analogamente raciocinaríamos em relação aos vetores x × (My) e x × y . 14 O símbolo || representa paralelismo, conforme nossas "Notações Gerais".

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16

§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:

∀x, y, z :

z × (x ± y ) = z × x ± z × y

(04).

Consideremos a Fig. 02.07 onde se destacam os vetores x, y, x+y, z, z × x e z × y .

Projetemos ortogonalmente sobre o plano ortogonal a z os vetores x, y e x+y. Os vetores OB1 e OC1 são, necessariamente, coplanares com z × x = OC′ e z × y = OB′ , e B'ÔC' = B1ÔC1 porque seus lados são perpendiculares; logo, o paralelogramo OC'D'B' é rotohomotético de OB1D1C1 sendo π/2 o ângulo de rotação e a razão de homotetia |z|. Então: OD ′ = z × OD1 = z × OD , ou seja,

z × x + z × y = z × (x + y ) . Sendo B′C ′ = z × B1C1 = z × BC , tem-se, também:

z × x − z × y = z × (x − y ) . Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. A multiplicação vetorial segue as leis da multiplicação numérica, respeitada a anticomutatividade. Tem-se, por exemplo:

(a + b) × (x + y ) = a × x + a × y + b × x + b × y, (x − y ) × (x + y ) = 2x × y etc.. Obviamente, tal como mostramos para o caso da multiplicação escalar de duas combinações lineares vetoriais,

(A i e i ) × (B jr j ) = A i B je i × r j ,

(i=1,2,...,N; j=1,2,...,M)

(05).

É claro que, não obstante as diferentes representações físicas das letras Ai, B j e dos vetores ei, rj, o segundo membro de (05) deve representar uma soma de vetores de mesma dimensão, necessariamente. À igualdade (05) pode dar-se expressão mais simpática quando as combinações lineares vetoriais com as quais se efetua o produto vetorial assumem as formas particulares seguintes: a = A i e i e b = B je j , i, j = 1 ou i, j = 1,2, ou i, j = 1,2,3. I,§ 02.05


§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores.

17

Nesses casos temos, respectivamente:

a×b = o ,

a×b =

a×b =

A1 B1

e2 × e3 A

1

1

B

A2 e ×e , B2 1 2 e 3 × e1

e1 × e 2

A

2

A3

B

2

3

B

,

(06),

desde que convencionemos desenvolver o pseudo-determinante (ou determinante simbólico) (06)3 entendendo os vetores da primeira linha como se fossem números. Com efeito, para i,j=1 os vetores a e b são paralelos a e1 e a × b = o . Para i,j=1,2 deduzimos, lembrando a anticomutatividade da multiplicação vetorial e a nulidade do produto vetorial com vetores iguais:

a × b = (A 1e1 + A 2 e 2 ) × (B1e1 + B 2 e 2 ) = = A1B 2 e1 × e 2 + A 2 B1e 2 × e1 = (A1 B 2 − A 2 B1 ) e1 × e 2 , expressão equivalente a (06)2. Para i,j=1,2,3 podemos efetuar cálculos análogos e comprovar, facilmente, (06)3. Identidade de Lagrange. Uma conexão entre os produtos escalar e vetorial de dois vetores é realizada pela identidade seguinte, que denominamos identidade de Lagrange: ∀x, y :

(x.y) 2 + (x × y ) 2 = x 2 y 2 ,

(07),

ou sua equivalente, ∀x, y :

(x × y ) 2 = (x × y ).(x × y ) =

x.x x.y y.x y.y

,

(071).

Sabemos que:

x. y =| x|| y|cos( x , y), e | x × y |=| x || y | sen(x, y ) . Então, elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade e somando membro a membro encontramos (07). Lembrando a teoria dos determinantes e a propriedade comutativa da multiplicação escalar de vetores encontra-se logo (071).

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18

§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

Consideremos, agora, os vetores a e b, combinações lineares arbitrárias dos vetores (quaisquer) e1 e e2:

a = A1e1 + A 2 e 2 e b = B1e1 + B 2 e 2 . Os vetores a, b, e1 e e2 são, obviamente, coplanares. Escrevendo as expressões de a.e1, a.e2, b.e1 e b.e2 podemos, em seguida, calcular a diferença entre (a.e1)(b.e2) e (a.e2)(b.e1). Encontramos, facilmente, após simplificações e evidências:

a. e 1

a. e 2

b. e 1

b. e 2

=

A

1

B

1

A

2

B

2

2

2

2

[( e 1 ) ( e 2 ) − ( e 1 . e 2 ) ].

Lembrando (07) notamos que o número entre colchetes, no segundo membro, é o quadrado de e1×e2. Assim, multiplicando escalarmente ambos os membros de (06)2 por e1×e2 e comparando o seu segundo membro com o segundo membro da expressão obtida acima, deduzimos:

∀a, b, e1 , e 2 , coplanares :

(a × b).(e1 × e 2 ) =

a.e1 a.e 2 , b.e1 b.e 2

(08).

Obviamente, (08) é uma forma mais geral da Identidade de Lagrange (071).

§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores. Produto misto. Chama-se produto misto de três vetores x, y e z, nessa ordem, e indica-se por (xyz), o produto escalar do produto vetorial dos dois primeiros vetores (que é um vetor) pelo terceiro:

(xyz) = x × y.z ,

(01).15

A multiplicação mista de três vetores é a operação que tem por fim determinar o produto misto desses três vetores. Propriedades da multiplicação mista. 1ª) – É uma operação sempre possível e unívoca. 2ª) – (Interpretação geométrica) O produto misto de três vetores representa, em grandeza e sinal, a medida numérica do volume do paralelepípedo construído sobre esses vetores dispostos co-inicialmente numa representação gráfica. 15 Gibbs denominou esse produto de scalar triple product e usava a notação [xyz].

I,§ 02.06


§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores

19

Consideremos a Fig. 02.08 onde se representam os vetores x, y e x × y . Da definição de produto escalar escrevemos:

(xyz) = x × y.z =| x × y || z | cosA .

Ora, |z|cosA - distância (numérica) da extremidade de z ao plano (x,y) - é positiva se z forma com x × y um ângulo agudo, isso é, se z e x × y estão no mesmo semi-espaço em relação ao plano (x,y); é negativa em caso contrário. O módulo de x × y é numericamente igual à área do paralelogramo construído sobre x e y (§ 02.04, propr. 2ª), paralelogramo este que, por sua vez, é uma base do paralelepípedo construído sobre x, y e z. Logo |x×y||z|cosA é numericamente igual ao volume desse paralelepípedo (positivo ou negativo). Em vista desta interpretação geométrica poderíamos denominar o produto misto de "produto caixa" ou "produto paralelepípedo". * Exercício: Demonstre que |( xyz)| ≤ | x|| y|| z| , isso é, o volume de um paralelepípedo oblíquo é menor que ou no máximo igual ao volume do paralelepípedo reto que tenha as mesmas arestas. * 3ª) - (Nulidade do produto misto) Resulta logo: Uma CNS para que seja nulo o produto misto de três vetores é que eles sejam coplanares (podendo ser todos não paralelos, dois deles paralelos, ou os três paralelos). De fato, em qualquer um dos casos uma das dimensões do paralelepípedo seria nula e seu volume se anularia. Com outras palavras, diríamos, também: Uma CNS para que três vetores sejam coplanares é que seu produto misto seja nulo, ou, ainda: É nulo um produto misto com dois vetores paralelos:

( xxz) = ( xzz) = ... = 0,

(02).

4ª) - É associativa em relação a fatores escalares:

∀M, x, y , z :

M (xyz ) = M(x × y.z ) = (Mx) × y.z = ... ,

(03).

Poliádicos - Ruggeri


20

§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

Essa propriedade decorre imediatamente da associatividade das multiplicações escalar e vetorial. 5ª) - Um produto misto não se altera quando se permutam ciclicamente os vetores que o compõem:

∀x , y, z:

( xyz) = ( yzx ) = ( zxy),

(04),

mas muda de sinal quando se permutam os vetores na ordem anti-cíclica:

(xyz) = −( yxz) = −(xzy) = −( zyx),

(041).

De fato, no primeiro caso (permutação cíclica) o volume do paralelepípedo manterse-ia em grandeza e com o mesmo sinal; no segundo, mudar-se-ia apenas o sinal. 6ª) - Os símbolos operatórios são comutativos: ∀x, y , z :

x × y.z = x.y × z ,

(05),

pois, pela propriedade anterior e pela comutatividade da multiplicação escalar, tem-se:

x × y.z = y × z.x = x.y × z . Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais. Tal como nos casos anteriores, se os vetores x, y, e z, no produto misto (xyz), forem combinações lineares vetoriais, isso é, por exemplo, se i

x = X ei ,

j

y = Y rj com

e

k

z = Z sk ,

(i = 1,2,..., N ;

j = 1,2,..., M;

k = 1,2,..., P) ,

então:

( xyz) = X i Y j Z k ( e i r js k ),

(06),

igualdade cujo segundo membro tem NxMxP parcelas. Com efeito, pois, conforme vimos (§ 02.05): x × y = X i Y je i × r j , igualdade cujo segundo membro contém NxM parcelas. Logo (§ 02.04),

x × y.z = (xyz) = X i Y j Z k e i × r j .s k = X i Y j Z k (e i r js k ) , o último membro contendo (NxM)xP parcelas.

I,§ 02.06


§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

21

Não obstante as diferentes representações físicas que as letras Xi, Yj, Zk e os vetores ei, rj, sk possam ter (cada uma com sua dimensão), deve ser observado que no segundo membro de (06) deveremos ter sempre uma soma de parcelas de dimensões todas iguais à dimensão do primeiro membro. À fórmula (06) pode dar-se uma feição especial quando os vetores x, y e z, são combinações lineares de um mesmo terceto de vetores. Assim,

∀ e1 ,e2 , e3 , Xi , Yi , Zi , x = Xi ei , y = Yi ei , z = Zi ei , (i = 1,2,3): X

1

X

2

X

( xyz) = ( e 1 e 2 e 3 ) Y

1

Y

2

Y ,

Z

2

3

Z

1

3 3

Z

(061).

Aplicando-se a fórmula ((06)3,§ 02.05)16 para o cálculo de x × y e em seguida multiplicando-se escalarmente ambos os membros da expressão obtida por z deduz-se logo (061). Basta, para isso, anularem-se as parcelas em que um dos fatores é um produto misto com vetores iguais (ocorrem seis delas), evidenciar-se o fator comum a todas as outras (aplicando-se a propr. 5ª da multiplicação mista) e reconhecer-se na soma das três parcelas positivas e três negativas remanescentes o determinante do segundo membro de (061).

§ 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. Recordemos inicialmente que, dados N vetores ei e N números reais Ai, existe, determinado e único, o vetor a,

a = A i e i , (i = 1,2,...,N), combinação linear vetorial dos ei. Dados, entretanto, um vetor x e o conjunto dos ei, será sempre possível determinar N números reais Xi tais, que

x = X i e i , (i = 1,2,...,N) ? No primeiro caso, a função linear vetorial dos ei é uma identidade vetorial. No segundo caso, essa função é uma equação vetorial de variáveis escalares, devendo-se procurar números Xi - que se chamam incógnitas da equação - que a tornem uma identidade; determinar esses números é procurar as soluções da equação, ou resolver a equação. Importa considerar para as operações que serão definidas a seguir, que os módulos de dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento unidade de medida de distâncias comum aos respectivos eixos (| x$ | e | y$ | = 1). Nesse caso 16 Conforme nossas "Convenções", ((06)3, § 02.05) significa: a terceira fórmula do grupo (de fórmulas) (06), do § 02.05, do presente capítulo.

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22

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

poderemos escrever: x =| x | xˆ e y =| y | yˆ . Uma vez estabelecida essa convenção poderemos adotar quaisquer vetores não nulos paralelos a x e a y, digamos ex e ey, para servirem de “nova” unidade de medida. Escreveremos, nesse caso: x = ± | x |e x e x e

y = ± | y | e y e y , onde com | x|e estamos representando a quantidade necessária de ex para x

formar x e com | y | e y a quantidade de ey para formar y. Então:

| x |= | x | e x | e x |

e

| y |= | y | e y | e y | ,

| x |ex = | x | | e x |

e

| y |ey = | y | | e y | .

de onde deduzimos:

Assim, quando se adota ex para comparação, o módulo do vetor x (isso é, | x|e ) difere do x

seu módulo (|x|) quando se adota xˆ para comparação apenas por um fator igual ao inverso do módulo de ex. A mesma análise se faz com relação ao vetor y. O uso de vetores quaisquer para referência em uma, duas ou três direções distintas, nas condições expostas, é perfeitamente admissível desde que os vetores recíprocos sejam utilizados na forma apresentada nos parágrafos seguintes.

§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos. Inversão na reta. Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dada reta (r). Teor. 1: (existência) Se e1≠o é paralelo à reta (r), existe um e um único e1≠o paralelo a (r) tal, que

e 1 .e 1 =1,

(01).

Com efeito, e1 e e1 devem ter, necessariamente, o mesmo sentido para que (01) subsista, o que é sempre possível; logo, bastará que se determine o e1 paralelo a (r) que tenha por módulo o inverso do módulo de e1, número esse que se determina univocamente. Definições: Os vetores e1 e e1 paralelos a dada reta (r), cujo produto escalar seja igual a um, são denominados vetores recíprocos ou duais na reta. A operação, sempre possível e unívoca numa reta, que tem por fim determinar o recíproco de dado vetor paralelo a essa reta, denomina-se inversão nessa reta. ⇒ Construção gráfica de vetores recíprocos na reta. I,§ 03.01


§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos.

23

Seja T o ponto de contato da tangente à circunferência de centro na origem de e1 e de raio unitário (circunferência de inversão)17, situada num plano qualquer que contenha o vetor e1. Seja X a projeção de T sobre o suporte de e1. Da semelhança dos triângulos retângulos OTX e OET deduz-se: OX : 1 = 1 : OE. Como e1 e o vetor de origem O e extremidade X, x, têm a mesma direção podemos escrever x . e1 = 1, isso é, x=e1 (Fig. 03.01). Se fosse |e1|<1 far-se-ia a construção no sentido inverso.

⇐ Teor. 2: ∀ a1, b, e1 paralelos,

a1 a1.e1 b

b.e1

=o,

(02) 18.

Com efeito, se ao menos um dos vetores é o vetor zero a identidade é evidente porque o determinante (02) teria uma fila (linha ou coluna) com elementos nulos. Se os vetores são todos não nulos, podemos escrever: a 1 =| a 1 | u$ , b =| b| u$ , onde u$ é o unitário da direção comum a esses vetores. Temos, então, evidentemente, para qualquer e1 (paralelo a u$ ): (b.e 1 )a1 =| a 1 || b || e1 | uˆ e (a 1 .e1 )b =| b || a1 || e1 | uˆ . A igualdade dos primeiros membros dessas expressões (já que os segundos são iguais) é, obviamente, equivalente a (02). O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta. Corol. 1: Todo vetor a, colinear com os recíprocos e1 e e1, pode ser expresso como combinações lineares vetoriais únicas desses vetores, isso é:

a = (a.e1)e1 ∀a, {e1}, {e1} paralelos :  , 1 a = (a.e1)e

(021).

Com efeito, se fizermos na identidade geral (02), b = e1, a1=a e desenvolvermos o determinante considerando (01), obteremos (021)2; em seguida, se fizermos b = e1, a1=a e e1 = e1 obtemos (021)1. Nota: 17 Esse problema é típico do estudo das transformações das figuras por inversão. 18 Já convencionamos desenvolver um pseudodeterminante como se os vetores fossem números; veja ((06) , 3 §02.05).

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24

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Deve ser observado que se a representasse uma grandeza física, digamos uma força, esta poderia ser representada por qualquer das expressões (021) com uma mesma unidade de medida (digamos, N) embutida nas expressões de a.e1 e a.e1. Mas as quantidades a.e1 e a.e1 são diferentes porque representam, respectivamente, quantidades de a referidas a e1 e e1, as quais são diferentes (nesse caso, inversas). Veremos, passo a passo, que a existência dos vetores recíprocos elimina a imposição desnecessária (§ 02.01) de que os vetores de referência tenham os mesmos módulos em todas as direções.

Corol. 2: A CNS para que dois vetores quaisquer, a e e1 ≠ o , sejam paralelos, é que a=A1e1, sendo A1 um número real qualquer:

a || e1 ⇐ e1 ≠ o ⇒ a = A1e1 ,

(022)19.

A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de produto de vetor por número real. Corol. 3: A CNS para que dois vetores e1 e e2 sejam paralelos é que exista uma combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não simultaneamente nulos20:

e1 || e 2 ⇔ A1e1 + A 2e 2 = o ou, A i e i = o, A i nsn, (i = 1,2) ,

(023).

Se e1 e e2 são nulos eles são paralelos e satisfazem a condição com quaisquer valores de A1 e A2. Se ao menos um deles não é nulo, e1 por exemplo, então, pelo Corol. 2: e2 = A'1e1. Mas sendo sempre possível determinar dois números A1 e A2 ≠ 0 tais que A'1 = A1/A2, resulta: A1e1+A2e2 = o. A recíproca se demonstra analogamente. Corol. 4: Se e1≠o, a solução da equação em X, e1X = a, é X = a.e1:

e1 ≠ o e e1 X = a

X = a.e1 ,

(024).

Com efeito, por (022), a e e1 são paralelos; e por (021), tem-se: X = a.e1. ⇒ Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta. Consideremos sobre uma reta, em relação a uma origem arbitrária, O, o "ponto unidade", U, isso é, o ponto distante 1 de O, e dois outros, X1 e X2. Os vetores posicionais correspondentes (relativos a O) são uˆ para U (um vetor unitário), x1 para X1 e x2 para X2. 19 As indicações entre os símbolos ⇐ e ⇒ representam as mesmas hipóteses nos dois sentidos, conforme as nossas "Notações Gerais". 20 Usaremos doravante, oportunamente, a abreviatura nsn para representar "não simultaneamente nulos", conforme as nossas "Notações Gerais".

I,§ 03.01


§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

25

Seja, então, X o ponto corrente da reta, de posicional x. Os módulos desses vetores representam as distâncias dos pontos correspondentes à origem. A cada módulo juntaremos o sinal + se o sentido do vetor correspondente for coincidente com o de uˆ ; e o sinal – em caso contrário. O módulo do vetor posicional acompanhado do sinal é a abscissa da sua extremidade. Chama-se razão anarmônica dos quatro pontos X, U, X1 e X2, nessa ordem, o número definido pela expressão:

X=

XX 1 UX 2 XX 2 UX 1

(03),

em que os segmentos são orientados. Como o domínio de trabalho é a reta, esses segmentos podem ser substituídos pelas diferenças das abscissas (x, x1 etc.) de suas origens e extremidades, caso em que

X=

( x 1 − x )( x 2 −1) ( x 2 − x )( x 1 −1)

(031).

A razão anarmônica dos quatro pontos é, então, uma função homográfica em que a variável independente é a abscissa do ponto corrente X da reta. Para o que nos interessa no presente livro essa questão da determinação da razão anarmônica de quatro pontos não pode ainda ser mais desenvolvida. Voltaremos a ela repetidas vezes. ⇐

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dado plano. Estes, têm os conjuntos dos vetores paralelos a uma reta como um subconjunto, desde que a reta seja paralela ao plano. Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano. Teor. 1: (existência) Dado um par {e1,e2} de vetores não paralelos, existe um e um único par {e1,e2} de vetores também não paralelos, do plano (e1,e2) tal, que:

e 1 .e 1 = e 2 .e 2 =1 e e 1 .e 2 = e 2 .e 1 = 0,

(01).

Com efeito, apliquemos e1 e e2 num ponto qualquer, O. Sobre as normais a e1 e e2 conduzidas por O, no plano (e1,e2), é sempre possível determinar univocamente os vetores e1 e e2, respectivamente, tais, que: e 1 . e 1 = e 2 . e 2 = 1 . De fato, devendo ser

| e 1 || e 1 |cos( e 1 , e 1 ) = | e 2 || e 2 |cos( e 2 , e 2 ) = 1, bastará que e1 e e2 tenham por módulos os recíprocos das projeções dos módulos de e1 e e2, respectivamente, sobre os seus suportes; tem-se então, para i = 1,2: | ei | = 1/| ei |sen(e1, e2 ) = 1/| OE i |, o ponto Ei sendo a projeção ortogonal da extremidade de ei sobre o suporte de ei. Sendo, ainda, por construção, e1 perpendicular a e2 e e2 perpendicular a e1, deduzimos: e1.e2 = e2.e1 = 0, o que comprova o Poliádicos - Ruggeri


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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

teorema. Considerando-se que os ângulos (e1,e2) e (e1,e2) são suplementares, tem-se também: | ei | = 1/| ei |sen(e1 , e2 ) = 1/| OE i |, o ponto Ei sendo a projeção ortogonal de ei sobre o suporte de ei. Então: | e1|| e1|sen(e1 , e2 ) =| e1|| e1|sen(e1, e2 ) =| e2 || e2 |sen(e1 , e2 ) =.... . Definições: Os pares (ou sistemas) de vetores coplanares {e1,e2} e {e1,e2} que satisfazem a (01) são denominados pares (ou sistemas) recíprocos (ou duais) no seu plano. Para dois pares recíprocos, os vetores de mesmos índices são ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos. A operação, sempre possível e unívoca num plano, que tem por fim determinar os recíprocos de um par de vetores desse plano denomina-se inversão nesse plano. ⇒ Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano. Sejam U e V as extremidades de dois vetores quaisquer co-iniciais u e v de recíprocos a determinar (Fig. 03.02). A projeção U* (V*), sobre o suporte da normal a v (u), do ponto de contato da tangente à circunferência (de inversão) de raio 1 conduzida pela projeção U' (V') de U (V) sobre essa normal, é o ponto inverso de U' (V'), ou seja, é a extremidade de u* (v*).

Com efeito, pela projeção efetuada podemos escrever: OU' =| u| cos(u, u∗ ) . Conforme já comprovamos (§ 03.01), se O é o centro da circunferência, o segmento OU* é o inverso do segmento OU'. Logo, OU∗ | u| cos(u, u∗ ) = 1. Como devemos ter também u . u∗ = 1 =| u|| u∗ | cos(u, u∗ ) , U* é a extremidade de u*. Grupo Ortocêntrico no plano Sejam 1 e 2 os pontos de interseção dos suportes dos pares de recíprocos homólogos no plano (e1, e1) e (e2 , e2 ) , quando os sistemas recíprocos (e1, e2 ) e (e1, e2 ) são aplicados respectivamente, nos pontos arbitrários O e O* desse plano (Figura 03.03). Em vista da construção realizada o triângulo OO*2 tem o ponto 1 por ortocentro. Logo as retas OO* e 12 são sempre perpendiculares entre si quaisquer que sejam os pontos O e O*. É fácil ver que o grupo de quatro pontos O, O*, 1 e 2 forma um grupo ortocêntrico de pontos, isso é, eles são tais que o triângulo formado por três deles tem I,§ 03.02


§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

27

o quarto ponto como ortocentro (como os vértices de um triângulo e seu ortocentro). Os quatro triângulos formados são denominados um grupo ortocêntrico de triângulos. Desafio: Provar que o incentro de um triângulo e seus três ex-incentros formam um grupo ortocêntrico. Exercício: Demonstrar que são inversas (ou recíprocas) as elipses cujos semi-diâmetros conjugados sejam pares de vetores recíprocos. ⇐ Propriedade fundamental de pares recíprocos. Teor. 2: Se {e1,e2} e {e1,e2} são pares recíprocos, os produtos vetoriais e1 × e2 e e1 × e2 são recíprocos na reta ortogonal ao plano dos pares:

(e1 × e 2 ).(e1 × e 2 ) = 1 ,

(02).

Com efeito, é o que decorre imediatamente de ((08),§ 02.05) e (01). Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares. Se a, b e c são vetores quaisquer de um plano, os vetores a × b, b × c e c × a são todos paralelos, por serem ortogonais a esse plano. Existem, obviamente, os vetores a × (b × c), b × (c × a), c × (a × b), são geralmente distintos, porém todos pertencem ao plano dos vetores a, b e c. Vetores assim definidos são denominados duplos produtos vetoriais21 por razões óbvias; a dupla multiplicação vetorial no plano, numa certa associação de três vetores, é a operação que tem por fim determinar o duplo produto vetorial desses vetores nessa associação. Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares)

∀a, b, c, com (abc) = 0 : c × (b × a) = (c.a)b − (c.b)a = (a × b) × c,

(03).

Se um ao menos dos vetores é o vetor zero, (03) é verdadeira por evidência. Se r é um vetor qualquer do plano dos vetores não nulos a, b e c, podemos escrever, aplicando ((08),§ 02.05):

(r × c).(b × a) =

r.b r.a c.b c.a

= (r.b)(c.a) − (r.a)(c.b) = r.[(c.a)b − (c.b)a].

Lembrando propriedades da multiplicação mista, podemos também escrever: 21 Gibbs denominou esse produto de vector triple product.

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28

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

(r × c).(b × a) = r.[c × (b × a)]; então, r.{c × (b × a) − [(c.a)b − (c.b)a]} = 0. Por ser r qualquer, o vetor entre chaves é o vetor nulo conforme ((04), § 02.04); o que justifica, então, os dois primeiros membros de (03). A igualdade do primeiro com o terceiro membro de (03) é de dedução imediata em vista da anticomutatividade da multiplicação vetorial. Corol. 1: Se {e1,e2} e {e1,e2} são recíprocos,

e1 =

e 2 × (e1 × e 2 ) (e1 × e 2 )

2

, e2 =

e1 × (e 2 × e1 ) (e1 × e 2 ) 2

,

(031).

Pois, aplicando (03), escrevemos:

e 2 × (e1 × e 2 ) = (e 2 ) 2 e1 − (e 2 .e1 )e 2 ,

e1 × (e 2 × e1 ) = (e1 ) 2 e 2 − (e1 .e 2 )e1 ;

e

donde:

e1 .[e 2 × (e1 × e 2 )] = (e 2 ) 2 (e1 ) 2 − (e 2 .e1 ) 2 , e 2 .[e1 × (e 2 × e1 )] = (e1 ) 2 (e 2 ) 2 − (e1 .e 2 ) 2 . Considerando a identidade de Lagrange ((07),§ 02.05) temos, ainda:

e1 .

e 2 × (e1 × e 2 ) ( e1 × e 2 ) 2

= e2 .

e 1 × ( e 2 × e1 ) (e1 × e 2 ) 2

=1;

logo, lembrando as (01), deduzimos as (031). Notas: 1)- As fórmulas (031) podem ser demonstradas geometricamente sem recorrência às fórmulas (03) e (01); 2)- Nos numeradores das (031) os parênteses são dispensáveis, pois, por exemplo:

e 2 × (e1 × e 2 ) = (e 2 × e1 ) × e 2 = (e 2 ) 2 e1 − (e 2 .e1 )e 2 . Evidentemente, podemos também escrever:

e1 =

e 2 × (e1 × e 2 ) (e1 × e 2 ) 2

, e2 =

e1 × (e 2 × e1 ) (e1 × e 2 ) 2

,

(032).

Teor. 4: ∀ a1, a2, e1, e2 e b coplanares:

a1 a2 b

a1 .e1 a 2 .e1 b.e 1

a 1 .e 2 a 2 .e 2 = o , b.e 2

Com efeito, usando (03) podemos escrever a identidade: I,§ 03.02

(04).


§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

29

[b × (e1 × e 2 )] × (a1 × a 2 ) + [(a1 × a 2 ).(e1 × e 2 )]b = o uma vez que a1 × a2.b = 0 (a1,a2 e b são coplanares). Operando na primeira parcela escrevemos, ainda, mais uma vez aplicando (03):

[b × (e1 × e 2 ).a 2 ]a1 − [b × (e1 × e 2 ).a1 ]a 2 + (a1 × a 2 ).(e1 × e 2 )]b = o Lembrando, agora, propriedade da multiplicação mista, escrevemos:

(a 2 × b).(e1 × e 2 )a1 − (a1 × b).(e1 × e 2 )a 2 + (a1 × a 2 ).(e1 × e 2 )b = o . Aplicando ((08),§ 02.05), esta expressão pode ser escrita na forma:

a 2 . e1

a 2 . e2

b. e 1

b. e 2

a1 −

a 1. e1

a1 . e2

b. e 1

b. e 2

a2 +

a 1 . e1

a1 . e2

a 2 . e1

a 2 . e2

b = o,

ou, ainda, na forma do determinante simbólico (04), como facilmente se comprova. O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos. Corol. 1: Todo vetor a, coplanar com os pares recíprocos {e1,e2} e {e1,e2}, pode ser expresso como funções lineares únicas dos vetores de cada par: 1

2

∀a , {e 1 , e 2 } e {e , e } coplanares: (041).

 a = ( a. e 1 ) e + ( a. e 2 ) e = ( a. e i ) e 1 2 i ∃ 1 2 i ( i = 1,2),  a = ( a. e 1 ) e + ( a. e 2 ) e = ( a. e i ) e Com efeito, se aplicarmos (04) para b = a, a1 = e1 e a2 = e2, teremos imediatamente (041)2. Se fizermos ainda, em (04), b = a, a1 = e1 , a2 = e2, e1 = e1 e e2 = e2, obteremos (041)1. Os coeficientes das funções lineares (041) são únicos porque se existissem outros números, A1, A2, A1, A2 tais, que

a = A1e1 + A 2e 2 , ou a = A1e1 + A 2e 2 , deduziríamos:

a.e 1 = A 1 , a.e 2 = A 2 etc, isso é, os números a.e1, a.e2, ... são únicos. Nota: É válida aqui a mesma observação feita relativamente à expressão (021), § 03.01. A existência e a utilização dos pares recíprocos possibilitam total liberdade de expressão e de representação gráfica de um vetor qualquer de um plano já que fica eliminada a imposição de que os vetores e1 e e2, de direções diferentes, tenham o mesmo módulo; isso é, que nas representações gráficas, a todas as direções correspondam vetores de comparação de mesmo módulo (basta que os unitários das direções tenham o mesmo comprimento).

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Corol. 2: A CNS para que um vetor qualquer a seja coplanar com dois vetores não paralelos e1 e e2 é que a seja uma combinação linear de e1 e e2:

(ae1e 2 ) = 0 ⇐ e1 × e 2 ≠ o, ∀a ⇒ a = A1e1 + A 2e 2 = A i ei , (i = 1,2)

,

(042).

A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de soma dos vetores A1e1 e A2e2. Corol. 3: A CNS para que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares é que exista uma combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não simultaneamente nulos:

(e 1e 2 e 3 ) = 0 A 1e

⇔ 1 +A

2e

2

+ A 3 e 3 = o = A i e i , A i nsn (i=1,2,3),

(043).

Sejam e1, e2 e e3 coplanares. Se e1 e e2, por exemplo, forem paralelos, de ((023),§03.01) podemos escrever (se A1 e A2 são nsn): A1e1 + A 2 e2 = o, ou,

A1e1 + A 2 e2 + 0e3 = o, existindo, pois, combinação linear dos vetores com coeficientes não simultaneamente nulos. Se e1 e e2 não forem paralelos, o corolário anterior permitirá escrever: e3 = A ′1e1 + A ′ 2e2 , ou,

A1e1 + A 2 e2 + A 3e3 = o,

porque é sempre possível determinar um terceto de números A1, A2 e A3 ≠ 0 tal, que A 'i = − A i / A 3 (i = 1,2). Também neste caso existirá uma combinação linear nula entre os vetores com coeficientes não simultaneamente nulos. Reciprocamente, existindo a combinação linear Aiei=o com pelo menos A3 ≠ 0, podemos escrever: e3 = A ′1e1 + A ′ 2e2 , com A ′1 = A1 A 3 , e o corolário 2 mais uma vez permite concluir que e1, e2 e e3 são coplanares. Corol. 4: Se e1 e e2 são não paralelos, as soluções da equação em X1 e X2, e1X1+e2X2=a são X1=a.e1 e X2=a.e2, isso é,

e1 × e 2 ≠ o e e1 X1 + e 2 X 2 = a ⇒ X1 = a.e1 e X 2 = a.e 2 ,

(044).

Com efeito, por (042), a, e1 e e2 são vetores coplanares; e por (041) deduzimos os valores das incógnitas. Exercício 1: Comprove que, quando os vetores das duplas recíprocas { uˆ 2, uˆ 3 } e {u2, u3} são dispostos co-inicialmente num ponto O, a extremidade de u2 é a interseção da normal a uˆ 3 por O com a normal a uˆ 2 pela sua extremidade. Analogamente, mutatis mutandis, em relação a u3. I,§ 03.02


§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

31

Exercício 2: Os unitários u$ 2 e u$ 3 formam um ângulo γ1. O unitário u$ ( γ ) , coplanar com os primeiros, forma um ângulo γ com u$ . Comprove então, que: 2

uˆ ( γ )

1 = [sen ( γ1 − γ ) uˆ 2 + sen γ uˆ 3 ] . sen γ1

Vetores término colineares. O Corol. 3 exige apenas que os coeficientes da dependência linear de três vetores coplanares sejam nsn (não simultaneamente nulos). Teor. 5: (direto) Se três pontos A, B e C são colineares, seus posicionais a, b e c, respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência linear nula com coeficientes de soma nula. Como os vetores c-a e c-b têm o mesmo suporte, o Corol. 3 do Teor. 2 garante a existência de números nsn L e M tais, que L(c-a)+M(c-b)=o. Então,

La + Mb − (L + M)c = o ,

(05),

isso é, a dependência linear nula de a, b e c tem coeficientes de soma nula. Teor. 6: (recíproco) Se três vetores co-iniciais a, b e c, de extremidades A, B e C, respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma nula, suas extremidades são colineares. Os vetores a, b e c, por terem dependência linear nula, são coplanares (Corol. 3, Teor. 4); seja La + Mb + Nc = o a expressão dessa dependência com L+M+N=0. Então,

La + Mb − (L + M)c = o , ou seja, L(c − a) + N(c − b ) = o . Pelo Corol. 3, Teor. 2, § 03.01, os vetores c-a e c-b devem ser paralelos. Como ambos têm origem em C, as suas extremidades A e B são colineares com C. Definição: (vetores término colineares) Vetores co-iniciais com extremidades colineares são ditos término colineares. * Muitos problemas em Geometria Plana podem ser facilmente resolvidos por métodos vetoriais. Qualquer vetor do plano pode ser referido a dois vetores fixos quaisquer desse plano, co-iniciais num ponto arbitrário, tomados como referência. Quando o ponto de início e os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico da solução pode ser apreciavelmente simplificado22. Para o que nos interessa no contexto desta obra faremos menção apenas às várias formas de equação da reta. 22 O leitor poderá consultar obras [1, 2, 4, 8] que detalham as aplicações.

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Varias formas de equação da reta (no plano). ⇒ Um ponto de uma reta tem um "grau de liberdade": o de percorrer a reta; depende, pois, analiticamente falando, de um só parâmetro. Com efeito, pondo, na equação (05), λ=M/L tem-se (1+ λ)c = a + λb . Se, agora, entendermos os pontos A e B como pontos fixos e o parâmetro λ como uma variável real continua (assumindo todos os valores de -∞ a +∞), a cada valor de λ corresponderá um ponto C sobre a reta definida por A e B. Na notação usual o ponto corrente da reta é representado por X e seu posicional por x. Assim e equação vetorial da reta definida pelos pontos A e B é

(1+ λ)x = a + λb ,

(061).

Para x=a deve ser λ=0 (para que resulte uma identidade), posto que os posicionais a e b devem ser distintos. Pondo a equação na forma (λ −1 +1)x = λ −1a + b vê-se que deve ser λ=∞ para x=b, ou seja, ao ponto B corresponde o valor ±∞ do parâmetro. Podemos também procurar a equação da reta que passa por um ponto fixo A e é paralela ao vetor unitário uˆ . Como o vetor x-a, de módulo λ, variável, deve, então, ser paralelo a uˆ , escrevemos x − a = λuˆ , ou seja,

x = a + λuˆ ,

(062),

ou, se estivermos resolvendo um problema no espaço tridimensional,

(x − a) × uˆ = o ,

(062').

As equações (061) e (062) são as equações paramétrica da reta no plano; a forma (062') é a forma normal de equação dessa mesma reta. Consideremos agora a equação x . a = C em que a e C são vetor e escalar constantes. Tem-se: x . a = C =| x || a | cos(x, a) =| a | d em que d é a projeção (constante) de x sobre a. Conseqüentemente os pontos χ pertencem a uma reta ortogonal a a cuja distância à origem é C/|a|=d. A equação dada,

x .a = C ,

(07),

é denominada forma geral de equação de uma reta e pode, evidentemente, ser escrita na forma mais simples aˆ . x = d . Pesquisemos a equação da reta que passa por um ponto fixo A e seja ortogonal à direção uˆ . Ora, x-a deve ser então, ortogonal a uˆ ; logo,

(x − a) . uˆ = 0 ,

(08),

equação essa denominada forma hessiana de representação da reta. Desenvolvendo o primeiro membro podemos escrever, ainda,

x . uˆ = a . uˆ = C , por onde vemos que a constante C é a distância da origem à reta. * I,§ 03.02

(091),


§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

33

Se levarmos em conta que os posicionais a e b admitem os recíprocos a* e b* a equação paramétrica (061) pode assumir uma forma hessiana. Multiplicando-se escalarmente ambos os seus membros por, digamos a*, resulta (1+ λ)x.a ∗ =1 , ou seja,

x.aˆ ∗ =

1 , |a ∗ | (1+ λ )

(092).

A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano). Sejam e1 e e2 dois vetores de extremidades 1 e 2, respectivamente, co-iniciais num ponto 0 do plano que definem; e U o ponto de posicional u=e1+e2, denominado "ponto unidade" do plano em relação a esses vetores. Justifica-se a nomenclatura pelo fato de U ter coordenadas 1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se associarem coordenadas univocamente a um ponto qualquer, P, em termos de certas razões anarmônicas (ver § 03.01). A reta do plano, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta a reta 12 (oposta ao ponto 0) no ponto L0 e as retas suporte de e1 e e2 nos pontos L2 e L1, respectivamente. A reta L1L2 (definida por P, posto que U só dependa dos pontos dados 0, 1 e 2) tem por equação vetorial, (1 + λ )x = u + λ p , (10), em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de λ corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor λj do parâmetro para j=0,1,2, sendo λ j (l

j

− p) = u − l j ,

(101).

A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1 ou 2) é o número:

X k = (L k L o , UP) =

Lk U L0P . Lk P L0U

em que L 0 U , L 0 P , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos têm a mesma direção, podemos escrever, também:

(u − l k ) . (p − l 0 ) = X k (u − l 0 ) . (p − l k ) , ou, ainda, substituindo os valores de l k − p e u − l 0 obtidos de (101) e simplificando:

Xk = λk / λ0 ,

(11).

Vê-se, assim, que, em relação a um terceto arbitrário de pontos de um plano: 0, 1 e 2, do qual derivamos um ponto unidade, U, univocamente determinado, as coordenadas do ponto genérico desse plano podem ser definidas pelas razões anarmônicas X1, X2, ou pelo terceto de números λ0, λ1 e λ2. Por métodos vetoriais pudemos, assim, estabelecer essa forma de proceder, fundamental em Geometria Projetiva Algébrica (cujo desenvolvimento está fora do escopo deste livro). Nos capítulos seguintes esses conceitos serão transmitidos facilmente para espaços de dimensões maiores. ⇐ Poliádicos - Ruggeri


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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. Consideremos o conjunto formado por três vetores quaisquer, não coplanares, cujos suportes definem um triedro. É sempre possível aplicar esses vetores co-inicialmente num ponto qualquer do espaço, O, e denotá-los por letras seqüenciais de um alfabeto (a, b e c, por exemplo). Podemos, também, denotá-los por uma mesma letra indexada (e1, e2 e e3, por exemplo), de forma a que o triedro definido por eles seja positivo23 em relação a uma seqüência básica (por exemplo: abc ou 123). Nestas condições diremos também que o terceto e1, e2, e3 é positivo ou direto. Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço. Teor. 1: (existência) Dado um terceto direto de vetores não coplanares {e1,e2,e3}, existe um e um único terceto direto de vetores não coplanares, {e1,e2,e3} tal, que:

e 1 .e 1 = e 2 .e 2 = e 3 .e 3 = 1 e 1 .e 2 = e 2 .e 3 = e 3 .e 1 = e 1 .e 3 = e 2 .e 1 = e 3 .e 2 = 0,

(01).

Denotemos por e3 um vetor com módulo finito, a determinar, paralelo a e1^e2 e de mesmo sentido que este; seja, então:

e 3 = 1 e1 × e 2 , com E = número finito positivo, E

(A).

Nestas condições e3 encontra-se, em relação ao plano (e1,e2), no mesmo semi-espaço que e3. O ângulo (e3,e3) é agudo, sendo possível determinar, de modo unívoco, um módulo para e3, tal, que: e 3 .e 3 =1, (B). A fórmula (A) dá, então, imediatamente:

E=(e 1 e 2 e 3 ) ,

e

e 1 .e 3 = e 2 .e 3 = 0,

(C),

uma vez que o segundo membro de (A) é um produto misto com dois vetores iguais. Com um raciocínio análogo poderíamos mostrar a existência de dois outros vetores, e2 e e1, de determinações únicas, satisfazendo relações dos tipos (B) e (C) que, em conjunto, ficam resumidas a (01). Das igualdades (01) consideremos, por exemplo, e 3 .e 1 = e 3 .e 2 = 0 . Então, e3 é ortogonal ao plano (e1,e2); logo, podemos escrever, pela definição de produto vetorial de

23 Relembremos que, segundo a regra do observador, um triedro definido pelos vetores co-iniciais e , e , e é 1 2 3 positivo quando este, voltado para o interior do triedro, com os pés na origem comum dos vetores e com o corpo dirigido segundo o vetor ei , vê o vetor ej à sua direita e o vetor ek à sua esquerda, desde que ijk forme uma permutação par do grupo (123).

I,§ 03.03


§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

35

dois vetores: e 3 = 1∗ e1 × e 2 , onde E* é um número finito positivo a determinar (não nulo E porque e3 tem módulo finito). Considerando (B), deduzimos:

E ∗ = (e 1e 2 e 3 ) ≠ 0. Concluímos, assim, que os ei são não coplanares. Em resumo, então:

e1 = (e 2 × e 3 ) /(e1e 2 e 3 ),

e 2 = (e 3 × e1 ) /(e1e 2 e 3 ),

e 3 = (e1 × e 2 ) /(e1e 2 e 3 ),

(02),

e

e1 = (e 2 × e 3 ) /(e1e 2 e 3 ),

e 2 = (e 3 × e1 ) /(e1e 2 e 3 ),

e 3 = (e1 × e 2 ) /(e1e 2 e 3 ), (021),

igualdades que mostram que se {e1, e2, e3} é direto, então, {e1, e2, e3} é direto; e reciprocamente. Definições: Os tercetos (ou sistemas) de vetores {e1,e2,e3}≡{e } e {e1,e2,e3}≡{e*}, que * satisfazem a (01), são denominados tercetos (ou sistemas) recíprocos (ou duais) no espaço. Para dois tercetos recíprocos, os vetores de mesmos índices são ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos. A operação, sempre possível e unívoca no espaço, que tem por fim determinar os recíprocos de dado terceto de vetores não coplanares, denomina-se inversão no espaço. Nota: Deve ser observado que os vetores e1, e2 e e3, recíprocos de e1, e2 e e3 no E3, não têm haver com os recíprocos dos pares (e1, e2), (e2, e3) e (e3, e1), pois cada par admite um par recíproco no seu próprio plano (§ 03.02).

Exercícios: 1) - Mostrar que se {u 2 ,u 3} e {u 2 ,u 3} são sistemas recíprocos num plano, então, se

nˆ é um unitário normal a esse plano, os sistemas {nˆ , u 2 , u 3 } e {nˆ , u 2 , u 3 } são recíprocos no espaço. 2) - Existe um e apenas um elipsóide que admite três vetores não coplanares quaisquer por semi-diâmetros. Então, o elipsóide que admite os vetores de um terceto por semi-diâmetros, é inverso do elipsóide que admite por semi-diâmetros os vetores do terceto recíproco do primeiro24. ⇒ Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço. A superfície esférica de raio unitário centrada na origem comum dos vetores, O, intercepta o conhecido plano definido pelos recíprocos homólogos e1 e e1 (ortogonal ao definido por e2 e e3) segundo a circunferência de raio um e centro O. Se | e1|>1 e E1 é a 24 Exploraremos um pouco mais esse assunto no Cap. V, Tomo II.

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

projeção ortogonal da extremidade de e1 sobre o suporte de e1, então o vetor e1 e o vetor de extremidade E1 têm também o mesmo sentido. A projeção ortogonal, E1, do ponto de contato, T, da tangente à circunferência, conduzida por E1, sobre o suporte de e1, define a extremidade de e1 (Fig. 03.04).

1

Com efeito, por evidência, OE1 =| e1| cos(e1, e1) . Sendo, ainda, OE x OE 1 = 1 - pois, da semelhança dos triângulos retângulos OTE1 e OE1T deduzimos OE 1 : OT = OT : OE

1

-

1

tem-se: OE | e1 | cos(e1 , e1 ) = 1 , os vetores de extremidades E1 e E1 tendo o mesmo sentido. Mas devendo ser e1 . e1 = 1 , e tendo então o vetor de extremidade E1 a mesma direção, o mesmo módulo e o mesmo sentido que e1, resulta que a extremidade de e1 é E1. Se |e1|<1 aplica-se a operação inversa da descrita para a determinação do recíproco. Não é difícil interpretar o caso em que um dos vetores tem módulo igual a um. ⇐ Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos. Teor. 2: São números recíprocos os produtos mistos dos vetores de tercetos recíprocos ordenados homologamente:

(e1e 2 e 3 )(e1e 2 e 3 ) = 1 = (e 3 e1e 2 )(e 3 e1e 2 ) = ... ,

(03).

Da fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares ((03),§ 03.02), temos:

e 2 × (e 2 × e 3 ) = (e 2 .e 3 )e 2 − (e 2 .e 2 )e 3 . Multiplicando escalarmente ambos os membros por e3/(e1e2e3) e considerando (02)1 e (01), deduzimos: e 2 × e1 .e 3 = −(e 2 .e 2 ) /(e1e 2 e 3 ) . Como um produto misto não se altera pelo intercâmbio dos sinais operatórios, e 2 .e1 × e 3 = −(e 2 .e 2 ) /(e1e 2 e 3 ) . Dividindo, agora, ambos os membros dessa igualdade por (e1e2e3), considerando (021)2 e simplificando, resultará (03)25. 25 Como se vê, a fórmula (03) pode ser demonstrada sem recorrência à fórmula adiante, de número (04), dita fórmula do duplo produto vetorial no espaço (expressão do Teor. 3).

I,§ 03.03


§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

37

Dupla multiplicação vetorial (no espaço). Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial)26

∀e1 , e 2 , e 3 : e1 × (e 2 × e 3 ) = (e1 .e 3 )e 2 − (e1 .e 2 )e 3 ,

(04).

A fórmula é válida se os vetores são coplanares, conforme ((03),§ 03.02). Se os vetores não são coplanares eles admitem um terceto recíproco. Temos, considerando (021)3 e propriedade da multiplicação mista:

(e1e 2 e 3 )(e1 .e 3 ) = e1 .e1 × e 2 = e1 × e1 .e 2 . Subtraindo ao primeiro membro desta igualdade o termo nulo (e2.e1)(e3.e2)(e1e2e3) e lembrando que e2.e2=1, podemos escrever:

(e1e2e3)[(e3 . e1)(e2 .e 2) − (e2 . e1)(e3 . e2)] = e1 × e1 . e2 , donde, transpondo termos e fatorando:

{e1 × e1 − (e1e 2 e 3 )[(e 3 .e1 )e 2 − (e 2 .e1 )e 3 ]}.e 2 = 0 . Conforme propriedade da multiplicação escalar, o vetor entre chaves, se não é o vetor nulo, é ortogonal a e2; é também ortogonal a e1 porque seu produto escalar por e1 é nulo. Logo, por (021)3, esse vetor deve ser paralelo a e3. Mas o seu produto escalar por e1 também é nulo. Então esse vetor deve ser paralelo a e3 e ortogonal a e1; logo, só pode ser o vetor nulo, uma vez que e1 e e3 não são necessariamente ortogonais. Assim, se substituirmos na expressão desse vetor, e1 pela sua expressão (02)1, resultará:

e1 × (e 2 × e 3 ) = (e1e 2 e 3 )(e1e 2 e 3 )[(e1.e 3 )e 2 − (e1.e 2 )e 3 ] . Considerando, agora, (03), resulta (04). Generalização da identidade vetorial de Lagrange. Teor. 4: Tem-se:

∀x, y, a, b : (x × y ).(a × b) =

x.a x.b y.a y.b

,

(05).

Com efeito, lembrando propriedade da multiplicação mista e aplicando (04) podemos escrever, sucessivamente: (x × y ).(a × b) = [(x × y ) × a].b = [(x.a)y − (y.a)x].b,

tendo-se, logo, (05). Obviamente, (05) é uma forma mais geral que ((08),§ 02.05). 26 Diferentes deduções originais desta fórmula, sem recorrer a expressões cartesianas dos vetores, foram também apresentadas por: Moreira, L.C.A., Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1957; Bricard R., Le Calcul Vectoriel, Coleção Armand Colin, 1929, e em anexo a demonstração de El Annabi; Chattelun, L., Calcul Vectoriel, tomo I, Gauthier-Villars, 1952; Calaes A. M. , Coleção de Estudos Matemáticos, Editora UFOP, 1993.

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Teor. 5: ∀ a, e1,e2,e3:

(e1e 2 e 3 )a = (a.e 2 × e 3 )e1 + (a.e 3 × e1 )e 2 + (a.e1 × e 2 )e 3 ,

(06).

Podemos escrever, por evidência:

(e1e 2 e 3 )a = (a.e 2 × e 3 )e1 + (e 2 × e 3 .e1 )a − (e 2 × e 3 .a)e1 = = (a.e 2 × e 3 )e1 + (e 2 × e 3 ) × (a × e1 ), ou, recalculando o duplo produto vetorial na segunda parcela deste último membro:

(e1e 2 e 3 )a = (a.e 2 × e 3 )e1 + (a × e1 .e 2 )e 3 − (a × e1 .e 3 )e 2 . Aplicando propriedades da multiplicação mista e da vetorial às duas últimas parcelas encontramos, logo, (06). Corol. 1:

∀x, y, e1 , e 2 , e 3 :

(e1e 2 e 3 )x × y = x.e1

e1

e2

e3

x.e 2

x.e 3 ,

y.e1

y.e 2

y.e 3

(061).

Com efeito, fazendo-se a = x × y , a última parcela do segundo membro de (06) pode ser escrita na forma

(a.e1 × e 2 )e 3 = [(x × y ).(e1 × e 2 )]e 3 =

x.e1

x.e 2

y.e1

y.e 2

e3 ,

conforme nos possibilita (05). A referida parcela é, então, o produto de e3 pelo seu complemento algébrico no pseudodeterminante em (061). Operando analogamente com todas as parcelas de (06) encontraríamos as demais parcelas do referido pseudodeterminante desenvolvido segundo Laplace pelos elementos da primeira linha, o que comprova (061). Corol. 2:

∀x,y,z,e 1 ,e 2 ,e 3 :

x.e 1 x.e 2 x.e 3 (xyz)(e 1e 2 e 3 ) = y.e1 y.e 2 y.e 3 , z.e 1 z.e 2 z.e 3

(062)27.

Com efeito, para demonstrar: 1º) basta multiplicar-se escalarmente ambos os membros de (061) por z; 2º) considerar-se que, no segundo membro, essa operação é equivalente a multiplicar escalarmente no pseudo-determinante, a primeira linha de vetores por z; 3º) deslocar-se a primeira linha do determinante assim formado para a posição de terceira linha, o que não altera o seu valor. 27 Deve ser observado que esta fórmula é válida mesmo quando sejam coplanares os vetores do terceto {e1,e2,e3}, ou os do terceto {x,y,z}.

I,§ 03.03


§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

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Teor. 6:

∀a i , e i , b (i = 1,2,3) :

a1

a1 .e1

a1 .e 2

a1 .e 3

a2

a 2 .e1 a 2 .e 2

a 2 .e 3

a3

a 3 .e1

a 3 .e 2

a 3 .e 3

b

b.e1

b.e 2

b.e 3

=o,

(07)28.

Desenvolvendo a identidade óbvia (a1 × a 2 ) × (a 3 × b + b × a 3 ) = o colocada na forma (a1 × a 2 ) × (a 3 × b) − (b × a 3 ) × (a1 × a 2 ) = o e operando de forma conveniente, encontramos: (a1a 2b)a 3 − (a1a 2a 3 )b − (ba 3a 2 )a1 + (ba 3a1 )a 2 = o . Mais uma vez aplicando propriedades da multiplicação mista, escrevemos, ainda:

( a 2 a 3b ) a 1 − ( a 1 a 3b ) a 2 + ( a 1 a 2 b ) a 3 − ( a 1a 2 a 3 )b = o. Multiplicando ambos os membros dessa identidade pelo produto misto (e1e2e3) dos vetores quaisquer e1, e2, e3 e lembrando a fórmula geral (062), temos:

a 2 .e1 a 2 .e 2 a 3 .e1 a 3 .e 2 b.e1 b.e 2 a1 .e1 a1 .e 2 + a 2 .e1 a 2 .e 2 b.e1 b.e 2

a 2 .e 3 a1 .e1 a1 .e 2 a 3 .e 3 a1 − a 3 .e1 a 3 .e 2 b.e 3 b.e1 b.e 2 a1 .e 3 a1 .e1 a1 .e 2 a 2 .e 3 a 3 − a 2 .e1 a 2 .e 2 b.e 3 a 3 .e1 a 3 .e 2

a1 .e 3 a 3 .e 3 a 2 + b.e 3 a1 .e 3 a 2 .e 3 b = o. a 3 .e 3

Não é difícil, agora, comprovar-se que essa identidade é equivalente ao determinante simbólico (07) desenvolvido segundo Lapalace pelos elementos da primeira coluna. O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos. Corol. 1: É sempre possível exprimir qualquer vetor a do espaço por combinações lineares únicas dos vetores de cada terceto de dois tercetos recíprocos:

a = (a . e1 )e1 + ... = (a . ei )e i ∀a, {e1 , e 2 , e3 }, {e1 , e 2 , e3 } :  (i = 1,2,3), a = (a . e1 )e1 + ... = (a . e i )ei

(071).

Esta fórmula é análoga a ((041),§ 03.02) e sua demonstração pode ser feita por analogia. Assim, por exemplo, se fizermos na fórmula geral (07), b = a, ai = ei (i = 1,2,3) e desenvolvermos o determinante, encontraremos facilmente (071)1. Se fizermos, para i = 1,2,3, ei = ei, ai = ei, e b = a, de (07) deduziremos também (071)2. 28 Esta fórmula tem ((02), § 03.01) e ((04), § 03.02) como correspondentes na reta e no plano.

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

É fácil interpretar geometricamente o significado dos coeficientes a.ei e a.ei (como veremos no § 04.01), sendo desnecessário, mais uma vez, destacar-se que a existência e a utilização dos tercetos recíprocos eliminam a imposição de que os vetores e1, e2 e e3 devam ter os mesmos módulos (ver § 04.01 à frente) 29. Corol. 2: A CNS para que três vetores e1, e2, e3 sejam não coplanares é que qualquer a do espaço possa exprimir-se como uma combinação linear única desses vetores:

(e 1e 2 e 3 ) ≠ 0

⇐ ∀a ⇒

i

∃ a = A e i (i = 1,2,3),

(072).

A condição é necessária pelo Corol. 1. Vamos provar que ela é suficiente por redução ao absurdo, isso é: se qualquer vetor a pode exprimir-se como duas combinações lineares (pelo menos) dos vetores e1, e2 e e3, então esses vetores são coplanares. Pois, escrevendo: a = A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = A ′ 1 e 1 + A ′ 2 e 2 + A ′ 3 e 3 , onde ao menos um dos A difere do correspondente A', deduzimos:

(A 1 − A ′ 1 )e 1 + (A 2 − A ′ 2 )e 2 + (A 3 − A ′ 3 )e 3 = o isso é, os vetores e1, e2 e e3 são coplanares conforme ((043),§ 03.02); o que é um absurdo. Corol. 3: Uma condição necessária para que quatro vetores e1, e2, e3 e e4 sejam não coplanares é que exista a combinação linear, Aiei = o, (i = 1,2,3,4), com os Ai nsn:

e i não copla nares, (i = 1,2,3,4)

i

i

∃ A e i = o, A nsn,

(073).

A condição é necessária porque se os quatro vetores são não coplanares, existe necessariamente dentre eles um terceto de não coplanares, podendo acontecer, entretanto, que dentre os quatro: 1º) um (apenas) seja o vetor nulo; 2º) dois (apenas) sejam colineares; 3º) três (apenas) sejam coplanares. Então, por (072), o quarto vetor, e4, por exemplo, - o vetor nulo, um vetor paralelo a apenas um dos três, o vetor coplanar com dois quaisquer dos outros três - poderá ser escrito como uma combinação linear única dos três não coplanares e1, e2, e3, na forma: e 4 = Z 1 e 1 + Z 2 e 2 + Z 3 e 3 . Como, para qualquer A4 ≠ 0, é sempre possível determinar um Ai tal que Z i = − A i / A 4 , (i=1,2,3), a substituição desses valores na expressão de e4 nos leva à tese (já que pelo menos A4 ≠ 0). Corol. 4: Se e1, e2, e3 são não coplanares, as soluções da equação eiXi = a são Xi = a.ei: (e 1 e 2 e 3 ) ≠ 0 e e i X i = a (i=1,2,3) ⇒ X i = a.e i , (074). ⇒ 29 Deve ser observado que para a dedução dessas fórmulas não é necessário recorrer-se à "decomposição cartesiana de um vetor" (conceito que será abordado no § 04).

I,§ 03.03


§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

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O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores. Sejam {a ,b,c} e {a ∗ ,b ∗ ,c ∗ } sistemas recíprocos30, isso é,

a ∗ = b × c , ... (abc)

e

∗ ∗ a = b∗ ×∗c ∗ , ... . (a b c )

Definições: As retas suportes de vetores recíprocos homólogos (como a e a* etc.) serão ditas retas homólogas; as demais, não homólogas. Os pares de planos (a,b) e (a*,b*) etc., serão ditos planos homólogos. É clara a correspondência existente entre os planos homólogos e as retas homólogas que lhes são ortogonais. A aplicação de (04) permite concluir imediatamente que

a × a ∗ + b × b ∗ + c × c∗ = o ,

(08).

Com efeito, para o par homólogo (a,a*) escrevemos:

a × a ∗ = a × b × c = 1 [(a.c)b − (a.b)c] , (abc) (abc)

(091),

ou ∗ ∗ a × a ∗ = b∗ ×∗c ∗ × a ∗ = ∗ 1∗ ∗ [(a ∗ .c ∗ )b ∗ − (a ∗ .b ∗ )c ∗ ] , (a b c ) (a b c )

(092).

Para os demais pares escreveríamos expressões similares. Somando as expressões correspondentes a (091), ou as correspondentes a (092), comprovamos facilmente (08). Então os produtos vetoriais dos recíprocos homólogos, formando um contorno fechado (soma nula), são, por isso, coplanares. Por (091) e (092) vemos, ainda, que a × a ∗ é um vetor do plano (b,c), mas também

de (b*,c*). Então a × a ∗ é paralelo à interseção desses planos homólogos, isso é, o suporte de a × a ∗ é a reta comum a esses planos homólogos. Analogamente, os suportes de b × b ∗ e

c × c ∗ são, respectivamente, as retas comuns dos planos homólogos (c,a),(c*,a*) e (a,b),(a*,b*). Logo: Teor. 7: São coplanares as interseções de planos homólogos de sistemas recíprocos. Consideremos os vetores dos sistemas recíprocos aplicados co-inicialmente num mesmo ponto do espaço; seja π) o plano que contém os produtos a × a ∗ , b × b ∗ e c × c ∗ e e) a reta ortogonal a π) tirada por esse ponto. Como a × a ∗ é ortogonal ao plano (a,a*), resulta que esse plano contém e). Analogamente, podemos comprovar que os planos (b,b*) e (c,c*) contêm o eixo e). Logo: 30 A nova notação, que certamente não dificultará o entendimento, é mais adequada em Geometria.

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Teor. 8: Os planos das retas homólogas de sistemas recíprocos têm uma reta comum. Definição: A reta e) e o plano π) serão denominados eixo e plano do sistema de vetores recíprocos. Apliquemos, agora, co-inicialmente, os tercetos recíprocos {a , b, c} e {a ∗ , b ∗ , c ∗ } nos pontos arbitrários D e D*, respectivamente, de uma reta qualquer paralela ao eixo e) do sistema. Por força do Teor. 8, os pares de retas homólogas a e a*, b e b*, e c e c* se interceptam necessariamente; sejam, respectivamente, A, B e C essas interseções (Figura 03.05).

Seja, ainda, H a interseção de e) com o plano γ)≡(ABC), plano esse que é, evidentemente, paralelo ao plano π) do sistema. Como a e a* são respectivamente perpendiculares aos planos homólogos (b,c) e (b*c*) que lhes correspondem, o plano (DD*A), além de ser perpendicular ao plano do sistema (por conter uma reta perpendicular a esse plano) é também perpendicular à reta comum desses planos, BC, num ponto A'. Logo: 1°) - tal plano é seção reta do diedro ˆ ′D∗ = γ o ângulo diedro formado pelos planos homólogos (b,c) e (b*,c*), sendo DA 1 correspondente; 2°) - a aresta DA do tetraedro ABCD é ortogonal à sua oposta BC; 3º) – deduções análogas podemos fazer com relação aos dois outros planos homólogos, o que mostra que D* é o ponto de encontro das quatro alturas do tetraedro ABCD.; tal tetraedro particular recebe o nome de ortocêntrico. Logo: Os tetraedros ABCD e ABCD* associados aos sistemas recíprocos {a , b , c} e {a ∗ , b ∗ , c ∗ } são tetraedros ortocêntricos, D* sendo o ortocentro de ABCD e D o de ABCD*.

I,§ 03.03


§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

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Não é difícil ver que o grupo dos cinco pontos D, D*, A, B e C forma um grupo ortocêntrico de pontos no espaço, isso é, eles são tais que o tetraedro formado por quatro quaisquer deles tem o quinto ponto como ortocentro. Os quatro tetraedros formados são chamados o grupo ortocêntrico de tetraedros e gozam de várias propriedades. Desafio: É sabido que um tetraedro tem uma superfície esférica inscrita e quatro ex-inscritas (estas, tangentes a cada face e ao prolongamento das outras três); o centro da inscrita é o incentro do tetraedro e os centros das ex-inscritas, os ex-incentros. Provar que, num tetraedro, o incentro e os quatro ex-incentros formam um grupo ortocêntrico. Exercícios: 1) - Os ângulos das retas homólogas de sistemas recíprocos são iguais aos ângulos dos planos homólogos que lhes correspondem. 2) - Em sistemas recíprocos, os ângulos diedros de planos homólogos são iguais às diferenças dos ângulos do eixo do sistema com os vetores recíprocos (homólogos) que lhes são correspondentes. 3) - Verificar as singularidades que ocorrem quando em um dos tercetos de um sistema de vetores recíprocos um vetor é perpendicular ao plano dos outros dois. 4) - Comprovar que para sistemas de vetores recíprocos, a soma de dois vetores quaisquer de um sistema é ortogonal à diferença dos homólogos correspondentes do outro. ⇐ Vetores término coplanares. O Corol. 3 do Teor. 6 exige apenas que os coeficientes da dependência linear nula de quatro vetores não coplanares e co-iniciais sejam nsn. Teor.9: (direto) Se quatro pontos A, B, C e D são coplanares, seus posicionais a, b, c e d, respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência linear nula com coeficientes de soma nula. Como os vetores d-a, d-b e d-c pertencem ao mesmo plano, o Corol. 3 do Teor. 4, § 03.02, garante a existência de números nsn, L, M e N tais, que L(d − a) + M(d − b) + N(d − c) = o . Então,

La + Mb + Nc − (L + M + N)d = o ,

(10),

isso é, a dependência linear nula de a, b, c e d tem coeficientes de soma nula. Teor. 10: (recíproco) Se quatro vetores co-iniciais a, b, c e d, de extremidades A, B, C e D, respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma nula, suas extremidades são pontos de um mesmo plano. Os vetores a, b, c e d, por terem dependência linear nula, são não coplanares (Corol. 3, Teor. 6); seja La + Mb + Nc + Pd = o essa dependência, com L+M+N+P=0. Então,

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

La + Mb + Nc − (L + M + N)d = o , ou seja, L(d − a) + M(d − b ) + N(d − c) = o . Pelo Corol. 3, Teor. 4, § 03.02, os vetores d-a, d-b e d-c dever ser coplanares. Logo, os pontos A, B, C e D pertencem necessariamente a um mesmo plano. Definição: (vetores término coplanares) Vetores co-iniciais com extremidades num mesmo plano são ditos término coplanares. É útil lembrar novamente que muitos problemas em Geometria Espacial podem ser facilmente resolvidos por métodos vetoriais. Tal como no caso da Geometria Plana, qualquer vetor do espaço pode ser referido a três vetores desse espaço, co-iniciais num ponto arbitrário, fixos, quaisquer, tomados como referência. Quando o ponto de co-início e os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico é substancialmente simplificado. Para algumas aplicações consulte as obras [1],[2] e [8] listadas na referencia. Interessa-nos apenas mencionar os dois itens seguintes. ⇒ Várias formas de equação de um plano. No E3, duas retas concorrentes quaisquer definem um plano. Um ponto de um plano tem dois "graus de liberdade" porque para atingir uma posição qualquer desse plano esse ponto pode percorrer duas e apenas duas trajetórias paralelas às retas dadas. Isto significa que a determinação analítica de um ponto qualquer do plano dependerá de dois e apenas dois parâmetros (independentes). Como três pontos não colineares, fixos, 1, 2 e 3 (ou duas quaisquer das retas por eles definidas), bastam para determinar unicamente um plano, sua equação, como facilmente se deduz a partir de (09), é

(1+ λ 1 + λ 2 )x = x1 + λ 1 x 2 + λ 2 x 3 ,

(101),

onde x1, x2 e x3 são os posicionais dos pontos 1, 2 e 3, respectivamente, em relação a um ponto arbitrário 0, e λ1 e λ2 são parâmetros variáveis. A forma (101) de representação do plano é denominada paramétrica. Todos os pontos das retas definidas por (x1, x2), (x2 e x3) e (x1, x3) pertencem ao plano (101). Para x=x1 vê-se que deve ser e λ1=λ2=0 porque os pontos não são colineares. Se λ1,λ2≠0 podemos dividir ambos os membros da equação por λ1λ2 e escrevê-la na forma

( 1 + 1 + 1 )x = 1 x1 + 1 x 2 + 1 x 3 , λ 1λ 2 λ 2 λ 1 λ 1λ 2 λ2 λ1

(102).

Para x=x2 tem-se, simplificando termos semelhantes em x2 e em seguida evidenciando o fator comum 1/λ1 em ambos os membros,

1 ( 1 +1)x 2 = 1 ( 1 x1 + x 3 ) . λ1 λ 2 λ1 λ 2 I,§ 03.03


§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

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Como os pontos não são colineares, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são: λ2=qualquer e λ1=∞. O mesmo raciocínio e a mesma análise permitem concluir que os valores dos parâmetros associados ao ponto 3 são: λ1=qualquer e λ2=∞. A forma, denominada geral, é a que representa o plano que passa por um ponto 1 e é paralelo a duas direções uˆ 1 e uˆ 2 . O vetor x-x1 deve, pois, ser coplanar com uˆ 1 e uˆ 2 ; logo,

(uˆ 1uˆ 2 (x −x1 )) = 0 ,

(11).

A forma normal de representação do plano está ligada à condição desse plano passar por dois pontos, 1 e 2, e ser ortogonal à direção uˆ . Nesse caso, os vetores x-x1 e x-x2, contidos no plano, devem ser simultaneamente ortogonais a uˆ ; logo, o produto vetorial deles deve ser paralelo a uˆ , isso é,

[(x − x1 ) × (x − x 2 )] × uˆ = o ,

(12).

A equação do plano que passa pelo ponto 1 e é perpendicular à direção uˆ é, evidentemente, (x − x1 ) . uˆ = 0 , (13), posto que para o ponto corrente x, o vetor x-x1 deve ser necessariamente ortogonal a uˆ ; esta é a forma hessiana de representação do plano no espaço. O número x 1 : uˆ = d é a distância da origem ao plano. A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço). Sejam e1, e2 e e3 três vetores não coplanares, de extremidades 1, 2 e 3, respectivamente, co-iniciais num ponto 0 do espaço; e U o ponto de posicional u=e1+e2+e3, denominado "ponto unidade" do espaço em relação a esses vetores (ou aos 4 pontos 0, 1, 2 e 3). Justifica-se a nomenclatura, como no caso do plano (§ 03.02) pelo fato de U ter coordenadas 1,1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se associarem coordenadas a um ponto qualquer, P, de forma unívoca, em termos de certas razões anarmônicas (ver § 03.01 e § 03.02). A reta do espaço, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta o plano 123 (oposto ao ponto 0) no ponto L0 e os planos 230 (oposto a 1), 301 (oposto a 2) e 012 (oposto a 3) nos pontos L1, L2 e L3, respectivamente. A reta PU (definida por P, posto que U só dependa dos pontos dados 0, 1, 2 e 3) tem por equação vetorial,

(1+ λ )x = uˆ + λp ,

(14),

em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de λ corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor λj do parâmetro para j=0,1,2,3, sendo λ j (l j − p ) = u − l j ,

(141).

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§ 04 – Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1, ou 2, ou 3) é o número

X k = (L k L o , UP) =

Lk U L0P . Lk P L0U

em que L 0 U , L 0 P , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos têm a mesma direção, podemos escrever, também:

(u − l k ) . (p − l 0 ) = X k (u − l 0 ) . (p − l k ) , ou, ainda, substituindo os valores de l k − p e u − l 0 obtidos de (101) e simplificando:

Xk = λk / λ0 ,

(15).

Vê-se, assim, como no caso do mesmo problema a duas dimensões, que, em relação a um terceto arbitrário de pontos do espaço, 1, 2 e 3, do qual derivamos um ponto unidade, U, univocamente determinado, as coordenadas do ponto genérico desse plano podem ser definidas pelas razões anarmônicas X1, X2 e X3, ou pela quadra de números λ0, λ1, λ2 e λ3. Novamente, por métodos vetoriais, podemos estabelecer essa forma fundamental de proceder em Geometria Projetiva Algébrica. Voltamos a insistir no fato de que, nos capítulos seguintes, esses conceitos serão transmitidos, dentro dessa mesma linha de atuação, para espaços de dimensões maiores. ⇐

§ 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS. § 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. Qualquer conjunto de vetores, para os quais estejam definidas as operações de multiplicação por número real (como no § 02.02) e de adição (como no § 02.01), a primeira operação gozando das propriedades:

1 v = v, A(Bv ) = ( AB) v , ( A + B+...) v = Av + Bv +... , A( u + v +...) = Au + Av +..., e a segunda, das propriedades

( a + b ) + c = a + (b + c), a + b = b + a, a + o = a, a + ( − a ) = o,

denomina-se um espaço vetorial sobre a Geometria Euclidiana. I,§ 04.01


§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas.

47

Assim, o conjunto E1 dos vetores paralelos a dada reta, o conjunto E2 dos vetores paralelos a dado plano, formam espaços vetoriais particulares; o conjunto E3 de todos os vetores do espaço da Geometria Euclidiana forma também um espaço vetorial, espaço esse que contém os demais como espaços particulares ou subespaços31. Demonstramos alguns teoremas (de existência) para esses espaços. Assim, vimos que: A CNS para que um vetor e1 seja nulo, dois vetores e1 e e2 sejam paralelos, e que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares, é que existam combinações lineares entre esses vetores com coeficientes não simultaneamente nulos:

e1 = o ⇔ ∃ A i e i = o (i = 1), A i nsn, e1 × e 2 = o ⇔ ∃ A i e i = o (i = 1,2), A i nsn,

(01).

(e1e 2 e 3 ) = 0 ⇔ ∃ A i e i = o (i = 1,2,3) A i nsn, Dizemos, em vista disso, que o vetor nulo em E1, E2 e E3, dois vetores paralelos em E2 e E3 e três vetores coplanares em E3 são sempre linearmente dependentes. Demonstramos, ainda, outros teoremas (de existência) segundo os quais: se um vetor é não nulo em E1, E2 e E3, se dois são não paralelos em E2 e E3 e se três são não coplanares em E3, então qualquer vetor paralelo ao vetor não nulo em E1, E2 e E3, qualquer vetor coplanar com dois outros não paralelos em E2 e E3 e um vetor qualquer em relação aos três não coplanares em E3, pode exprimir-se como uma combinação linear única desses vetores (de referência) nas formas respectivas ((021),§ 03.01), ((041),§ 03.02) e ((071),§ 03.03). Com outras palavras, diríamos que para um vetor não nulo e1 em E1, E2 e E3, para dois vetores não paralelos e1, e2 em E2 e E3 e para três vetores não coplanares e1, e2, e3, em E3, as combinações lineares respectivas (01) são possíveis se, e somente se, os coeficientes dessas combinações são simultaneamente nulos. Assim, contrariamente ao caso anterior, um vetor não nulo em E1, dois vetores não paralelos em E2 e três vetores não coplanares em E3 são ditos linearmente independentes. O número máximo de vetores linearmente independentes de um espaço é dito a dimensão desse espaço e qualquer conjunto desses vetores é dito uma base do mesmo. Assim, qualquer vetor não nulo é uma base de um espaço de vetores paralelos e sua dimensão é um; qualquer par de vetores não paralelos é uma base de um espaço de vetores coplanares e dois é a sua dimensão; qualquer terceto de vetores não coplanares é uma base no espaço de toda a Geometria Euclidiana e três é a sua dimensão. As bases serão denotadas pelos seus vetores entre chaves: {e1} e {e1}, {e1,e2} e {e1,e2} e {e1,e2,e3}, {e1,e2,e3} ou, sinteticamente, nos espaços respectivos: {e } e {e*}. * Bases como {e } e {e*} são ditas recíprocas e desempenham papel expressivo na Física. * Conduzamos pela extremidade do vetor do E3

a = A iei = A iei ,

(i=1,2,3)

(02),

31 Esses conceitos são aqui destacados porque podem ser estendidos para conjuntos de objetos quaisquer, como: polinômios, números reais etc.; tornam-se, nesse caso, mais gerais, porem muito abstratos. A teoria matemática que cuida dessas generalizações é a Álgebra Linear. A álgebra que aqui desenvolvemos - não obstante ter servido de inspiração ao desenvolvimento da Álgebra Linear - é um caso particular desta. Justifica-se, porém, essa nossa abordagem específica e particular, pelo valor da sua aplicação prática imediata e objetiva em Física, em Geometria e, conseqüentemente, em Engenharia.

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48

§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

co-inicial com a origem, o plano paralelo ao plano (ej,ek), que é furado pelos vetor ei no ponto Ai para todo i≠j≠k. Analogamente, o plano conduzido pela extremidade de a paralelamente ao plano (ej,ek) é furado pelo vetor ei no ponto Ai. Tal como Ai é a projeção da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,ek), também Ai é a projeção da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,ek). Como todos os eixos têm uma unidade de distância comum, podemos associar-lhes um sistema de coordenadas cartesianas e escrever:

a = OA1 eˆ1 + ... = OA1 eˆ1 + ... , ou

a=

OA1 OA e + ... = 1 1 e1 + ... . | e1 | 1 |e |

Então, em vista de (02):

OA1 = A1 | e1 |, ...

e

OA1 = A1 | e1 |, ...

Comprovamos, assim, que os três coeficientes Ai e os três Ai representam, precisa e respectivamente, as coordenadas da extremidade do vetor a nas bases {e } e {e*} porque * os módulos dos vetores de base (determinados em relação a uma unidade comum de medida de distâncias) representam as escalas (virtuais) com que são graduados os vários eixos. Por isso mesmo, os coeficientes das decomposições (02) - decomposições essas denominadas cartesianas - são denominadas coordenadas cartesianas do vetor a nas bases respectivas i

{e } e {e*}. Os segmentos OA i e OA costumam ser denominados as “componentes * físicas” de a. Como as coordenadas de um mesmo vetor variam de uma base para a sua recíproca, convencionaremos que aquelas coordenadas relativas à base representada por vetores cujas letras estejam indexadas em nível inferior sejam denominadas contravariantes; contrariamente, as outras coordenadas serão denominadas co-variantes. Assim, em (02), as coordenadas Ai são as coordenadas contravariantes de a (na base {e }); * as Ai são as coordenadas co-variantes de a (na base {e*}). Coordenadas co-variantes e contravariantes de vetores referem-se então, necessariamente, a bases vetoriais recíprocas. Apenas os sistemas de vetores recíprocos permitem essa representação cartesiana geral, elegante e versátil dos vetores. Vale salientar mais uma vez que os conceitos de coordenadas contravariantes e covariantes de um mesmo vetor são válidos quaisquer que sejam as unidades de medida fixadas para cada eixo de um terceto de vetores, desde que exista uma unidade de medida de distâncias comum a todos eles, pouco importando qual seja ela. Esta é a única limitação - embora muito forte - para a dedução de tudo aquilo que almejamos daqui a diante. Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos. A introdução das coordenadas de um vetor (em relação a uma base) impõe-nos um modo de trabalho aparentemente paradoxal, como veremos, paulatinamente. Por ora, devemos entender - salvo por prova em contrário - que todas as propriedades, fórmulas etc. que venhamos a desenvolver ou a demonstrar a seguir, são válidas em relação à base a que se referem as coordenadas dos vetores. Fica o leitor desde já alertado para essa importante questão, porque até o momento não temos critério para decidir se algo que "é certo" em relação a uma base (ou em relação a um observador) deve ser "igualmente certo" em I,§ 04.02


§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas.

49

relação a outra base (ou outro observador). Isso é, a adoção de coordenadas e vetores de base induz, intuitivamente, a separação do que seja "invariante", "universal", válido para todos os observadores, do que seja específico para dado observador. Na essência dessa "separação" é que residem os "métodos tensoriais", o "tensorialismo" ou o chamado Cálculo Tensorial e o seu significado para a Física. Evitando os sistemas de coordenadas de um lado, mas apegando-nos inevitavelmente a bases vetoriais (vetores independentes) por outro lado, fomos levados naturalmente ao desenvolvimento da teoria dos vetores recíprocos. Mostraremos oportunamente, em cada capítulo, a importância dos recíprocos para os "métodos poliádicos", métodos esses que serão confrontados com o "modo cartesiano" ou tensorial. Em resumo: no Cálculo Tensorial, as coordenadas desempenham um papel fundamental, sendo usadas, entretanto, para provar que o que tem "caráter tensorial" independe de coordenadas32. No Cálculo Poliádico é dispensável a coordenada para a formulação dos problemas, mas é inevitável a recorrência indireta a uma base na forma de vetores independentes. O Cálculo Tensorial, de índole algébrica, foi essencial para a estruturação lógica e matemática da Física. O Cálculo Poliádico, de índole geométrica, se nos apresenta mais "natural" e mais "piedoso" para a mesma tarefa. Ao se efetuarem medidas das grandezas (com o uso de suas componentes, necessariamente) os métodos poliádicos devem ser degradados em métodos numéricos, tal como os métodos tensoriais. Mas a caça aos invariantes pelos métodos poliádicos supera de longe, por sua simplicidade e elegância, os métodos tensoriais, como pretendemos expor nesse texto.

§ 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores. Chamam-se Deltas de Kronecker símbolos (adimensionais) contendo dois índices em níveis diferentes e assim definidos, quando todos os seus índices assumem os valores do conjunto {1,2,3}: valem a unidade positiva sempre que dois dos índices numéricos são iguais e zero quando esses índices são diferentes. Representando-os por δij, ou por δji, escrevemos, sinteticamente:

1 para i = j δ i j = δ ji =  , isso é: δ11 = δ22 = δ33 =δ11=...= 1 e δ12 = δ13 = δ23 =δ12 = ... = 0. 0 para i ≠ j 

(01).

Em função dos Deltas de Kronecker os produtos escalares de vetores recíprocos no espaço euclidiano N dimensional EN (com N=1, ou 2, ou 3), podem ser escritos resumidamente na forma:

ei .e j = e j .e i = δi j = δ ji ,

(i,j=1,2, ..., N),

(02).

Chamam-se Permutadores (ou alternadores) símbolos (adimensionais) com N (=2, ou 3) índices no mesmo nível, tais que quando todos os índices assumem todos os valores do conjunto {1,2,...,N}: 32 Bertrand Russel manifestou-se a esse respeito, em sua "Análise da Matéria", Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1978, Cap. VII, pag. 83: "...O método dos tensores primeiro determina coordenadas, e depois mostra como obter resultados que, embora expressos em termos de coordenadas, realmente não depende delas."

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50

§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

a) valham +1 sempre que os índices formem uma permutação par, considerando como fundamental a permutação 1,2,...,N, isso é, sempre que os N índices ocorrem na seqüência cíclica positiva 12 se N = 2, 12312 se N = 3; b) valham -1 sempre que os índices formem uma permutação ímpar em relação à permutação fundamental 12 ou 123, isso é, sempre que os N índices ocorrem na seqüência cíclica negativa 21 se N = 2, ou 32132 se N = 3; c) valham zero sempre que dois dos índices numéricos ocorrem repetidos. Denotando estes símbolos por εij ou εij, se N = 2, e εijk ou εijk se N = 3, podemos escrever: ε 12 = 1= ε 12

ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1= ε 123 = ε 231 = ε 312 ε 21 = −1= ε 21 ε 321 = ε 213 = ε 132 = −1= ε 321 = ... ε 11 = ε 22 = 0 = ε 11 = ε 22 ε 112 = ε 122 = ... =0= ε 221 = ... Em resumo, para i≠j≠k: no E2: ε ij = −ε ji = 1 ;

e no E3: ε ijk = ε jki = ε kij = −ε kji = −εikj = −ε jik = 1 ,

todos os demais casos correspondendo à nulidade dos símbolos. Não é difícil comprovar que as igualdades ((031) e (032),§ 03.02), ((02) e (021),§ 03.03) podem ser escritas, em função dos permutadores, nas formas respectivas:

e i = ε ij

e i = ε ij

e j × (e1 × e 2 ) (e1 × e 2 ) 2 e j × ( e1 × e 2 ) ( e1 × e 2 ) 2

, ou ε ij e i = , ou ε ij e i =

e j × (e1 × e 2 ) (e1 × e 2 ) 2

e j × (e1 × e 2 ) (e1 × e 2 ) 2

, (i, j = 1,2),

(03),

(i,j=1,2),

(031),

,

e i × e j = (e1e 2 e 3 )ε ijk e k , ou ε kij e i × e j = 2(e1e 2 e 3 )e k ,

(i,j,k=1,2,3),

(04),

e i × e j = (e1e 2 e 3 )ε ijk e k , ou ε kij e i × e j = 2(e1e 2 e 3 )e k ,

(i,j,k=1,2,3),

(041).

Em vista de propriedades da multiplicação mista relativas às permutações cíclicas e anticíclicas das letras representativas dos vetores, podemos também escrever:

( e i e j e k ) = ε ijk ( e 1e 2 e 3 ), (i, j, k = 1,2,3), i

j k

(e e e ) = ε I,§ 04.02

ijk

1 2 3

( e e e ), (i, j, k = 1,2,3) ,

(05), (051).


§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas.

51

Similarmente comprovaríamos que

ei × e j = ε ije1 × e 2

ei × e j = ε ije1 × e 2 ,

e

(052).

Produtos de Deltas de Kronecker. Têm-se as seguintes fórmulas:

δ i jδ j k = δ i k , δ i jδ j i = δ i i = N , δ i jδ n k δ k m = δ i j δ n m ,

(06).

δ i jδ j k δ k m = δ i m , δ i jδ j k δ k i = δ i i = N ,

(i, j, ...= 1,2, ..., N),

Demonstremos a primeira fórmula. Podemos escrever, em relação às bases recíprocas {e } e {e*}: ei = (ei .e j )e j = δ i je j com i,j=1,2,...,N. Multiplicando escalarmente * ambos os membros por ek, temos, finalmente: e i .e k = δ ik = δ i j (e j.e k ) = δ i jδ jk . Aplicando (06)1, temos, sucessivamente: δ i jδ jk δ km = δik δ km = δ im . Por procedimento análogo podemos demonstrar as demais fórmulas (06) que traduzem uma “regra de substituição” no sentido de que na multiplicação de dois deltas que apresentem índice repetido – dito índice mudo - o produto correspondente pode ser substituído por um único delta cujos índices sejam aqueles não repetidos. Produto de permutadores. Teor. 1: Determinante de Gram (de um produto de permutadores) Tem-se: δi m δi n mn ε ij ε = m , (i, j, m, n = 1,2); δj δ jn (07).

ε ijk ε

mnp

δi

m

= δj

m

δk m

δi

n

δi

δj

n

δ jp ,

δk n

p

( i, j, k, m, n, p = 1,2,3),

δk p

Com efeito, para N = 3, podemos escrever, lembrando ((03),§ 03.03), (05) e (051):

ε ijk ε

mnp

1 2 3

= ( e 1e 2 e 3 )ε ijk ( e e e )ε

mnp

m n p

= ( e i e j e k ) ( e e e ).

Agora, aplicando ((062),§ 03.03) e lembrando que e i . e j = δ i j , encontramos, logo, (07)2. A demonstração de (07)1 é análoga à de (072), bastando considerar ((052), (053) e (02),§03.02).

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52

§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

Os determinantes (07) são denominados determinantes de Gram nos seus respectivos espaços. Corol. 1:

εijk εmnk =

δim δ jm

δin = (ei × e j) . (em × en); δ jn

εijk εmjk = 2 δim = 2(ei × e j) . (em × e j); εijk εijk = 6 = (ei × e j) . (ei × e j) ,

(071).

Temos, com efeito, relativamente à primeira das fórmulas:

ε ijk ε mnk = (e i e je k ) (e m e n e k ) = = (e i × e j .e k ) (e k .e m × e n ) = [(e i × e j .e k )e k ].(e m × e n ), donde, aplicando ((071),§ 03.03) ao primeiro fator e, em seguida, ((05),§ 03.03):

ε ijk ε mnk = (e i × e j ).(e m × e n ) = =

e i .e m

e i .e n

e j .e m

e j .e n

=

δi m

δi n

δj

δj

m

n

= δi m δ jn − δ jm δi n .

Fazendo n = j na primeira fórmula, considerando que δ j j = 3 = e j . e j e que

δ j m δ i j = δ i m (conforme (061)), encontramos, logo, a segunda; fazendo nesta, i = m, deduzimos a terceira. A partir de (04)1 e (041)1, aplicando (071)2, podemos demonstrar imediatamente a validade de (04)2 e (041)2. Com efeito, multiplicando ambos os membros de (04)1, por exemplo, por εpij , e somando (em i e j), temos:

ε pij e i × e j = (e1e 2 e 3 )ε pij ε kij e k = (e1e 2 e 3 )2δ k p e k = 2(e1e 2 e 3 )e p .

§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos. Ponhamos, em relação a bases recíprocas {e } e {e*} de EN: * x = X i e i = X i e i , y = Y j e j = Y j e j e z = Z k e k = Z k e k , (i, j, k = 1,2,..., N). Teor. 1: O produto escalar de dois vetores, expressos cartesianamente em bases recíprocas, é igual à soma dos produtos das coordenadas contravariantes de um pelas coordenadas co-variantes correspondentes do outro:

x . y = XiYi = XiYi I, §04.03

(i = 1,2,...,N),

(01).


§ 04.03 - Expressões cartesianas de produtos.

53

Com efeito, aplicando propriedades da multiplicação escalar de vetores e as i j i definições dos Deltas de Kronecker, escrevemos: x. y = X Y j e i . e = X Y j δ i j , ou j i

j i

x. y = X i Y e . e j = X i Y δ j , (i, j = 1,2,... , N). Efetuando as somas indicadas em i e em j, observando que para i ≠ j a parcela correspondente é nula, temos, logo, (01). A regra da substituição (§04.02) pode ser estendida ao caso em que um dos fatores não é um delta de Kronecker. Assim: Yjδ i j = Yi , o que é equivalente a efetuar a soma indicada em j. Corol. 1: O quadrado escalar (ou a norma) de um vetor expresso cartesianamente em bases recíprocas, é igual à soma dos produtos das suas coordenadas co-variantes e contravariantes correspondentes: 2

i

x = X Xi

(i=1,2,...,N),

(011).

Exercício: Comprovar que

∀v:

cos ( v , e1 ) cos ( v , e1 ) cos ( v , e2 ) cos ( v , e2 ) cos ( v , e3 ) cos ( v , e3 ) + + = 1. cos (e1 , e1 ) cos (e2 , e2 ) cos (e3 , e3 ) Teor. 2: Tem-se, para o produto vetorial: - para N=1:

x×y = o ,

- para N=2:

x×y =

X1 Y1

X2 e ×e , Y2 1 2

e x×y =

X1 Y1

X2 1 2 e ×e , Y2

(02);

- para N=3:

e1 x × y = (e1e 2 e 3 ) X1 Y1

e2 X2 Y2

e3 X3 Y3

e1 e x × y = (e e e ) X1 Y1 1 2 3

e2 X2 Y2

e3 X3 Y3

(03)33.

Os casos N = 1 e N = 2 podem ser comprovados facilmente. O caso N = 3 também é de comprovação imediata. Com efeito, se na fórmula geral ((061),§ 03.03) os vetores e1, e2 e e3 são considerados independentes, eles admitem um terceto recíproco; logo, considerando a propriedade fundamental ((03), §03.03) e considerando que x.ei=Xi, comprovamos (03)2. Analogamente comprovaríamos (03)1. 33 O desconhecimento ou o esquecimento dessas fórmulas podem nos levar a conclusões desastrosas. Veja artigo do autor: "Um engano matemático repetido por 100 anos", Revista Escola de Minas, REM – Rev. Escola de Minas, Ouro Preto, 56(3):211-218, jul. set. 2003.

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§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

Corol. 1: - para N = 2:

X1 Y1

X2 Y2

e1

e2

e3

(x × y )(e e e ) = X

1

X

2

X

3

Y

1

Y

2

Y

3

(x × y ).(e1 × e 2 ) =

X1 Y1

e (x × y ).(e1 × e 2 ) =

X2 , Y2

(021);

- para N = 3: 1 2 3

e1

e (x × y )(e1e 2 e 3 ) = X 1

e2

e3

X2

X3 ,

Y1

Y2

Y3

(031).

Para comprovar estas fórmulas basta lembrar que as bases {e } e {e*} são * recíprocas. Assim, por exemplo, multiplicando ambos os membros de (03)2 por (e1e2e3), e lembrando ((03), § 03.03), encontraríamos, logo, (031). Corol. 2: Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente na mesma base, sejam paralelos, é que as suas coordenadas homônimas correspondentes nessa base sejam proporcionais. Com efeito, pois se x e y são paralelos, x × y = o e (031)1 fornece, relativamente à 2

3

3

2

3

1

1

3

1

2

2

1

base {e*}, por exemplo, para N=3: X Y − X Y = X Y − X Y = X Y − X Y = 0, isso é, 1 2 3 X X X = 2 = 3 = K. 1 Y Y Y A recíproca se demonstra analogamente, isso é, se as coordenadas Xi e Yi dos vetores x e y na base {e } são proporcionais, então o determinante em (031)1 é nulo e * x × y = o ; logo . Corol. 3: Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente numa mesma base, sejam iguais é que as suas coordenadas homônimas correspondentes nessa base sejam iguais. Teor. 3: Tem-se, para o produto misto:

X

1

X

2

( xyz) = ( e 1 e 2 e 3 ) Y

X1

X2

X3

1

Y

2

Y , ou ( xyz) = ( e e e ) Y1

Y2

Y3 , (04);

1

Z

2

Z

Z1

Z2

Z3

X

1

X

2

X

X1

X2

X3

( xyz)( e e e ) = Y

1

Y

2

Y , ou ( xyz)( e 1 e 2 e 3 ) = Y1

Y2

Y3 ,

Z

1

Z

2

Z2

Z3

Z

1 2 3

I, §04.03

3

X

3

3

3

1 2 3

3

Z

3

Z1

(05).


§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos.

55

Estas fórmulas são evidentes a partir da fórmula geral ((062),§ 03.03), devendo observar-se, apenas, que, aqui, o terceto {e1,e2,e3} constitui uma base, sendo, então, (e1e2e3)(e1e2e3) = 1 e Xi = x.ei, Xi = x.ei . Nota: A multiplicação escalar de ambos os membros das (031) por z e a aplicação de propriedades elementares dos determinantes conduzem também a uma demonstração imediata dessas fórmulas.

Corol. 1: Se det e det* representam os determinantes cujas linhas sejam formadas * com as coordenadas co-variantes e as contravariantes, respectivamente, de três vetores quaisquer nas bases recíprocas {e*} e {e }, então: * ∗

det ∗ = det ( e 1 e 2 e 3 )

2

1 2 3 2

e det = det ∗ ( e e e ) ,

(051).

A demonstração é imediata porque, das (04), escrevemos: (e 1 e 2 e 3 )det ∗ =

= (e 1 e 2 e 3 )det ∗ ; logo, considerando ((03),§ 03.03), comprovamos as (051). Exercício: Determinar as equações cartesianas de retas e planos correspondentes às equações vetoriais apresentadas no § 03.02 e no § 03.03. ⇒

§ 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos. Consideremos os N vetores independentes, ai, de EN, de representações cartesianas na base {e }, *

a m = A m je j (m, j =1,2,..., N),

(01).

No caso N = 1, a expressão cartesiana do recíproco a1 é de determinação imediata: 1 a1 = e 1 . A1

No caso N = 2, deve ser, conforme ((02)2,§ 04.03):

a1 × a 2 =| A | (e1 × e 2 ), com | A |=

A11

A1 2

A 21

A22

;

logo,

a j × (a1 × a 2 ) = A j k | A | e k × (e1 × e 2 ) .

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56

§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por εmj e somando em j obtemos, no primeiro membro, aplicando ((03)1,§ 04.02), (a1 × a 2 ) 2 a m ; aplicando ((03)2,§ 04.02) ao segundo membro podemos escrever, então:

(a1 × a 2 ) 2 a m = ε mj A jk | A | (e1 × e 2 ) 2 ε ik e i , ou melhor, lembrando a expressão de a1×a2 e simplificando:

a

m

= ε εi k mj

A jk |A|

ei .

Examinemos as somatórias do segundo membro desta igualdade. Se m = i as parcelas não nulas ocorrerão para j = k ≠ i e ε mj ε ik = ( −1) i + m = +1; se m ≠ i, as parcelas não nulas ocorrerão para j = i e k = m, sendo, ainda, ε mj ε ik = ( −1) i + m = −1. Então, ε mj ε ik A j k é o co-fator (ou complemento algébrico) do elemento Ami em |A|. Pondo, então, cof(Ami) = Ami, escrevemos:

a

m

=

A

m i

|A|

i

e ,

(i, m = 1,2).

No caso N = 3, escrevemos analogamente, lembrando ((04)1,§ 04.02):

a j × a k = A jr A ks e r × e s = A jr A ks (e1e 2 e 3 )ε irs e i . Multipliquemos o primeiro e o último membros por εmjk/[2(a1a2a3)] e somemos. No primeiro membro teremos a expressão de am, conforme ((04)2,§ 04.02); considerando que:

( a 1a 2 a 3 ) =| A|( e 1 e 2 e 3 )

A 11

A 12

A 13

com |A| = A 2 1

A22

A 2 3 ≠ 0,

A 31

A 32

A 33

e simplificando no segundo membro, resulta:

a

m

=

ε

mjk

ε irs A j r A k s 2|A|

i

e .

Para m = 1 e i = 2, por exemplo, temos:

ε1 jk ε 2rs A j r A k s = ε1jk (ε 231 A j 3 A k 1 + ε 213 A j1 A k 3 ) =

I, §04.04


§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos.

57

= ε123 (A 2 3 A 31 − A 21A 3 3 ) + ε132 (A 3 3 A 21 − A 31A 2 3 ) = = 2(A 2 3 A 31 − A 21A 3 3 ) = −2

A 21 A 2 3 = 2cof(A1 2 ). A 31 A 3 3

Tal como no caso anterior, comprovamos que

ε

mjk

ε irs A j r A k s = 2 cof(A m i ) = 2A

m

i.

Logo:

am =

A mi i e |A|

(i,m =1,2,3).

Em vista desses resultados podemos escrever, então, as expressões dos recíprocos dos vetores dados por (01): A mi i am = e (i,m =1,2,...,N), (02). |A| Multiplicando ambos os membros de (02) por an e depois por ek, temos:

|A|δ n m = A m i e i .a n

e |A|a m .e k = A m k

(i,k,m,n = 1,2,...,N),

(A).

Mas, de (01), escrevemos: a r . e i = A r i . Logo, por substituição desta igualdade na primeira das igualdades (A), onde façamos r = n, temos:

| A| δ n m = A

m

iA n

i

,

(i, m, n = 1,2,...,N),

(03).

Multiplicando ambos os membros da segunda das igualdades (A) por Ami temos, ainda:

A

m

kAm

i

m

m

i

i

=|A|( e k . a ) A m i =| A|( e k . a )( a m . e ) =|A| e k . e ,

isso é,

A

m

kAm

i

=| A| δ k i ,

(031).

As igualdades (03) e (031) traduzem interessantes propriedades dos determinantes: 1º)- É igual a zero a soma de todos os produtos dos elementos de uma fila de um determinante pelos complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela (i ≠ k); 2º)- Todo determinante vale a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos seus respectivos complementos algébricos (i = k)34. Multiplicando, agora, ambos os membros de (01) por Amk e aplicando (031) temos, sucessivamente: A mk a m = A mk A m j e j =|A|δ k j e j =|A|e k ; logo: 34 Para determinantes estas proposições são válidas para qualquer N finito.

Poliádicos - Ruggeri


58

§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

ek =

A mk a , |A| m

(m,k =1,2,...,N),

(04).

As equações (04) são as inversas das (01). Para N = 2, a1 × a 2 =| A | e1 × e 2 , e

a1 × a 2 =| X | e1 × e 2 . Multiplicando membro a membro teremos: |A||X| = 1, ou |X| = |A|-1. Então, de (02), fazendo m = 1 e 2, e multiplicando vetorialmente membro a membro, temos:

a1 × a 2 =

1 A1 A 2 (e i × e j ) . | A |2 i j

O determinante 1

~ A 1 | A| = 2 A 1

A

1

A

2

2

,

2

denomina-se adjunto de |A|; e tem-se:

a1 × a 2 =

~ |A| 1 2 e ×e , | A |2

~ isso é, considerando-se que |X| = |A|-1: |A| =|A|. Para N = 3 em (01), teríamos: ( a 1a 2 a 3 ) =|A|( e 1 e 2 e 3 ),

(B),

~ 1 2 3 3 1 2 3 |A| ( a a a ) =| A|( e e e ),

(C),

e, por (02), para m = 1,2 e 3: sendo 1 1 1 ~ A1 A 2 A 3 |A|= A 2 1 A 2 2 A 2 3 . A 31 A 3 2 A 3 3

~ 2 Deduzimos, então, multiplicando membro a membro (B) e (C): |A| =|A| . Genericamente, então: ~ |A|=|A| N −1 , (N = 2 ou 3),

(05).

Representando por |R| o determinante das coordenadas dos vetores ei na base {a }, * escrevemos, de (04): ~ A m k |A| |R|=| |= . |A| |A|N

I, §04.04


§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.

59

~ |A| Então, considerando (05): |A||R|=|A| N =1. O determinante |R| denomina-se o recíproco |A| (ou inverso) de |A|, sendo mais prático representá-lo por |A|-1. Temos, então: ~ |A| |A|−1 = N , (06). |A| Assim: O determinante cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos vetores de uma base numa outra base é recíproco do determinante cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos vetores correspondentes dessa base naquela.

§ 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos. Vimos que as propriedades da figuras na Geometria ordinária podem ser buscadas de uma maneira mais simples usando os métodos vetoriais. Isto também pode ser verificado em Geometria Analítica (GA); as equações de retas e de planos, já deduzidas nos parágrafos anteriores, respondem por essa afirmação quando as comparamos com as suas expressões clássicas em GA. Como exercício, o leitor poderá utilizar os conceitos relativos a expressões cartesianas de vetores e produtos (§04.01 ao §04.03) para encontrar as várias formas de equação de retas e de planos da GA em duas e três dimensões. Desafio: No (§ 03.03) os vetores x1, x2 e x3 são não coplanares (eles definem uma base) e admitem recíprocos (x1, x2 e x3, respectivamente). Então, a equação cartesiana do plano definido por x1, x2 e x3 é X1 + X 2 + X 3 = 1 , desde que X1, X2 e X3 sejam as coordenadas co-variantes do ponto corrente desse plano em relação à base {x1, x2, x3}. ⇐

§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES. § 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. Consideremos a equação vetorial de variáveis escalares Xi, i

a i X = b (i = 1,2,..., N),

(01),

com b ≠ o e os ai independentes. Pelas considerações anteriores, o vetor a1 é paralelo a b, no caso N = 1; os vetores ai e b são coplanares, no caso N = 2; os vetores ai e b são não coplanares, no caso N = 3. Em qualquer caso, os vetores ai, independentes, definem uma base nos espaços que lhes correspondem. Sejam, em relação a uma base qualquer {e } = {e1,e2,...,eN} de EN: * j

a m = A m je j e b = B e j

(m, j = 1,2,..., N),

(02).

Poliádicos - Ruggeri


60

§ 05 - Mudança de base. Invariantes.

Substituindo-se as (02) em (01), agrupando-se convenientemente, aplicando-se as propriedades fundamentais e igualando-se as coordenadas homônimas dos vetores (iguais) de ambos os membros, resultam as equações:

A m jX

m

=B

j

(m, j = 1,2, ..., N),

(03),

ou, ainda, em forma expandida:

 A 1 X 1 + A 1 X 2 +...+A 1 X N = B1 1 2 N   A 1 2 X 1 + A 2 2 X 2 +...+A N 2 X N = B 2  M  A N X 1 + A N X 2 +...+A N X N = B N , 1 2 N

(031).

O sistema (031) tem N equações (N = 1, ou 2, ou 3) e N incógnitas. Na sua constituição observa-se que os coeficientes Amj das incógnitas Xm são as coordenadas (contravariantes, no caso) dos vetores am na base arbitrária {e } do espaço vetorial EN; os termos * independentes são, analogamente, as coordenadas (contravariantes) do vetor b nessa mesma base. Claramente, vê-se que, fixada uma base {e } de EN, a equação (01) e o sistema (031) * são equivalentes; resolvendo esse sistema, encontra-se a solução da equação vetorial, ou vice-versa; solução essa que existe sempre porque o determinante do sistema (031) é não nulo. Por outro lado, observa-se que, escolhendo-se uma outra base, {r }, de EN, * encontrar-se-ia certamente um sistema diferente de (031), equivalente à mesma equação vetorial (01), uma vez que as coordenadas (co-variantes ou contravariantes, pouco importa) dos vetores ai nessa nova base seriam certamente diferentes das primeiras (teríamos novas expressões (02) para os vetores ai e b). Mas, pelos corolários 4 dos teoremas: 2 do § 03.01, 4 do § 03.02 e 6 do § 03.03, os números Xi (soluções da equação) são únicos; logo, os infinitos sistemas (031) que podem ser formados a partir de (01) com uma Mudança de Base, admitem a mesma solução. Diríamos, em outras palavras, que: A solução da equação vetorial (01) é um invariante numa mudança de base no espaço EN a que está referida; e a equação (01) será dita universal ou tensorial em EN. Ora, se a equação (01) independe de bases de EN, deverá certamente ser possível determiná-la sem alusão a essas bases. Mas isso já é do nosso conhecimento, pois, com efeito, os mesmos corolários atrás já referidos, dão:

X

m

m

= b. a ,

(m=1,2,...N),

(04),

uma vez que, sendo os am independentes em EN, os seus recíprocos, am, estão univocamente determinados. Assim, concluímos que, dado um sistema do tipo (031), ao acaso, podemos sempre montar uma equação vetorial do tipo (01) que lhe seja equivalente, impondo que os coeficientes de cada incógnita sejam as coordenadas de N vetores a1, a2,...,aN em certa base (virtual) de um espaço (virtual) de vetores e que os termos independentes sejam as I, §05.01


§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.

61

coordenadas de um vetor b nessa mesma base desse espaço. Resolvida essa equação vetorial por aplicação de (04), teremos, então, as soluções de (031). Por já termos deduzido, no parágrafo anterior, as expressões cartesianas de sistemas de vetores recíprocos, a aplicação das fórmulas (04) dá imediatamente as incógnitas Xm. De fato, considerando ((02),§ 04.04), escrevemos: X m = (A m i / | A ∗ |) B jei .e j , ou, operando e somando:

Xm =

1 m i A B , |A ∗ | i

(i,m=1,2,...,N),

(041),

expressão na qual, relembremos, Ami = cof(Ami) em |A*| = |Ami|. Se expressarmos os vetores am e b na base {e*}, isso é, pondo:

a m = A mj e

j

e b = B je

j

(m, j = 1,2,..., N),

então (04) dá expressão análoga a (041) para Xm:

X

m

=

mi 1 A Bi , |A ∗ |

(m, i = 1,2,..., N),

(042),

onde Ami = cof(Ami) em |A | = |Ami|. * Por outro lado, se pretendêssemos a expressão das incógnitas em função dos vetores (conhecidos) figurantes na equação vetorial (01), escreveríamos: - para N = 1,

X1 =

a (b.a 1 ) , pois a 1 = 12 , |a 1 |2 |a 1 |

(05);

- para N = 2, aplicando ((03)1,§ 04.02) e propriedades da multiplicação mista de vetores:

X m = b.a m = ε mk

(b × a k ).(a1 × a 2 ) (a1 × a 2 ) 2

,

ou,

X1 =

(b × a 2 ).(a1 × a 2 ) (a1 × a 2 )

2

e

X2 = −

(b × a1 ).(a1 × a 2 ) (a1 × a 2 ) 2

,

(06);

- para N = 3, aplicando ((04)2,§ 04.02):

X m = b.a m = ε mij

(ba i a j ) 2( a 1 a 2 a 3 )

,

(m,i, j =1,2,3);

ou, fazendo m = 1,2,3, somando i e em j e aplicando propriedades da multiplicação mista:

X1 =

(ba 2 a 3 ) (a ba ) ( a a b) , X2 = 1 3 , X3 = 1 2 , (a 1a 2 a 3 ) (a 1 a 2 a 3 ) (a 1a 2 a 3 )

(07).

O leitor pode, facilmente, comprovar a equivalência das expressões (05), (06) e (07) com as expressões (041) e (042). Importa frisar, entretanto, que as expressões (05), (06) e

Poliádicos - Ruggeri


62

§ 05 - Mudança de base. Invariantes.

(07) são universais, isso é, elas são válidas em qualquer base; nas bases recíprocas {e } e * {e*}, particularmente, elas assumem as formas (041) e (042). Se pusermos:

|A 1 | =

B1

A 21

A N1

B2

A22

AN2

M

M

M

BN

A2N

ANN

L

, |A 2 | =

A 11

B1

A 12

B2

AN2

M

M

M

A1N

BN

ANN

L

A N1 etc,

e

|A 1 | =

L

B1

A 21

A N1

B2

A 22

A N2

M

M

M

BN

A 2N

A NN

etc,

escreveremos: i

i

X =

|A | ∗

|A |

=

|A i | |A ∗ |

(i = 1,2,..., N),

(043).

§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. Deve ser salientado que, não obstante a invariância dos Xi, os determinantes |Ai|, |Ai|, |A*|, |A*| em ((043),§05.01), bem como os seus elementos, variam em geral com as bases escolhidas. Tais determinantes só serão invariantes em relação a bases unimodulares, ou seja, bases tais que: (e1)2 = 1, se N = 1; (e1×e2)2 = 1, se N = 2 e (e1e2e3)2 = 1, se N = 3. São unimodulares, por exemplo, as bases ortonormadas: aquelas formadas por um unitário se N = 1 e unitários ortogonais se N = 2 ou N = 3. Dissemos que algo tem caráter universal ou tensorial quando independe de bases ou, o que é o mesmo, independe de sistema de referência. Assim é uma equação vetorial de variáveis escalares, posto que os vetores que a compõem, e a sua solução, são universais, conforme já mostramos (§05.01). Por comodidade, para facilidade de cálculos ou de medições experimentais, uma equação vetorial poderá ser resolvida em relação a uma base virtual particular. Mostraremos agora, entretanto, que nem tudo que é geral e invariante numa base particular é igualmente geral e invariante em qualquer outra base. Se o estudo de um particular evento, envolvendo grandezas vetoriais (como num sistema físico ou numa figura geométrica), é feito vetorialmente (sem alusão a qualquer base), esse estudo é universal e as propriedades daí deduzidas são universais. Entretanto, os "resultados" oriundos desses eventos, deduzidos relativamente a uma base particular, podem não ter ampla generalidade. Com efeito, pondo, para i, j, ... = 1,2,...,N: i

x = X e i = X je

j

i

j

e a = A e i = A je ,

temos:

a.x = A i X i = A i X i , e I, §05.02

x 2 = X i X i > 0,

a 2 = AiAi > 0 ,


§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante.

63

2(x × a) 2 = (X r A m − X m A r )(X r A m − X m A r ) , (r,m=1,2, ..., N). Substituindo esses resultados na identidade vetorial de Lagrange ((07),§ 02.05), escrevemos, então:

A i A i X jX j = A i X i A jX j + + 1 (X r A m − X mA r )(X r A m − X mA r ), (i, j, r, m = 1,2,..., N), 2

(01),

identidade que denominamos: identidade das 4N letras. Para destacar, poremos: 1

2

3

A 1 = A' , A 2 = B' , A 3 = C' ;

1

2

3

X 1 = X' , X 2 = Y' , X 3 = Z' .

A = A, A = B, A = C, X = X, X = Y, X = Z,

Assim, deduzimos de (01) os seguintes casos particulares: - para N = 2:

(AA' +BB')(XX' +YY') = = (AX' +BY')(A' X + B' Y) + (XB − YA)(X' B'−Y' A' ),

(011);

- para N = 3:

(AA ′ + BB' +CC')(XX' +YY' +ZZ' ) = = (AX' +BY' +CZ' )(A' X + B' Y + C' Z) + + (XB − YA)(X' B'− Y' A' ) + (ZA − CX)(Z' A'− C' X' ) +

(012).

+ (YC − ZB)(Y' C'− Z' B' ), Quando os vetores estão referidos a bases ortonormadas, as coordenadas covariantes e contravariantes dos vetores são idênticas. Nestas condições, das identidades (011) e (012), resultam como casos mais particulares, respectivamente, as clássicas identidades de Fibonacci:

(A 2 + B2 )(X2 + Y2 ) = (AX + BY) 2 + (XB − YA)2 ,

(013),

e de Lagrange,

(A 2 + B2 + C2 )(X2 + Y2 + Z2 ) = =

(AX + BY + CZ) 2

+ (XB − YA)2

+ (ZA − CX)2

+ (YC − ZB)2 ,

(014)35.

35 Essas identidades especiais são referidas por E. Lucas, para números inteiros, em sua obra Theorie de Nombres, Gauthier-Villar, 1891, Livre I, Chapitre VIII, seção 69. Na seção 70 Lucas afirma que Lagrange generalizou essas identidades para um número qualquer de quadrados. Podemos encontrar essas mesmas fórmulas com a “identidade diádica de Lagrange” (ver § 11.01, Cap. II).

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64

§ 05 - Mudança de base. Invariantes.

Devemos destacar dois aspectos fundamentais em torno da idéia de que as bases têm igual “status" no estudo dos fenômenos físicos e das figuras geométricas. As leis naturais e as propriedades das figuras geométricas são verdades independentes de observadores, de bases ou de referenciais. Toda medida ou conjunto de medidas, entretanto, é dependente de uma referência; assim, um mesmo vetor tem diferentes conjuntos de coordenadas (suas medidas) em relação a diferentes bases. Com esses conjuntos de medidas é possível formular juízos sobre o sistema em estudo. Um juízo somente será elevado à categoria de lei natural ou de propriedade de uma figura se, com uma mudança de base, ficar assegurada a invariância do mesmo (já que ele deve independer de base). Esse modo de proceder, além de natural, parece ser realmente correto. Devemos, entretanto, estar alertas para os dois aspectos seguintes, para não incorrermos em impropriedades: 1º) Nem sempre o que é invariante em relação a mudanças de bases particulares é igualmente invariante em relação a mudanças de bases quaisquer. Assim, por exemplo: os determinantes det e det* das coordenadas co-variantes e contravariantes de três vetores * independentes são iguais e invariantes em relação a mudanças de bases ortonormadas, mas diferentes e variantes em relação a mudanças de bases quaisquer. Com efeito, conforme ((05),§ 04.03), o invariante (xyz) - volume do paralelepípedo construído sobre x, y e z pode ser escrito nas formas: ∗

1 2 3

( xyz) = ( e 1e 2 e 3 ) det = ( e e e ) det ∗ . Logo, serão variáveis, necessariamente, det e det*, uma vez que, obviamente, os produtos * mistos dos vetores de base dependem dessas bases. 2º) É sabido que bases particulares, geralmente as ortonormadas, favorecem e simplificam cálculos. Esse favorecimento, entretanto, pode ocultar juízos (propriedades) mais gerais, facilmente determináveis em bases quaisquer. Com efeito, como mostramos, (013) e (014), válidas em bases ortonormadas, são casos particulares de (011) e (012), relativas a bases quaisquer. Façamos, pois, uma advertência: Resultados gerais e invariantes em relação a bases especiais podem ser particularidades e variâncias em relação a bases quaisquer.

§ 05.03 - Generalização de identidades clássicas. A identidade das 12 letras, ((012), § 05.02), refere-se a dois vetores expressos cartesianamente em bases recíprocas. Podemos deduzir esta mesma identidade a partir de quatro vetores expressos cartesianamente numa mesma base ortonormada { $i , $j , k$ } . Sejam:

s = A$i + B$j + Ck$ , x = X $i + Y$j + Zk$ , r = A' $i + B' $j + C' k$ , y = X' $i + Y' $j + Z' k$ . I, §05.03


§ 05.03 - Generalizações de identidades clássicas.

65

Aplicando ((03),§ 04.03) para o caso particular de bases ortonormadas, escrevemos: ˆi (s × x).(r × y ) = A

ˆj kˆ ˆi ˆj kˆ B C . A′ B′ C′ = ( B′Z′ − C′Y ′)(B′Z′ − C′Y ′) + X Y Z X′ Y ′ Z′ + (CX − AZ)(C′X′ − A′Z′) + (AY − BX)(A ′Y′ − B′X ′).

Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos também:

( s × x ) .( r × y ) =

s.r

s.y

x.r x.y

=

AA′ + BB′ + CC′ AX′ + BY′ + CZ′

.

XA′ + YB′ + ZC′ XX′ + YY′ + ZZ′

Igualando os últimos membros das expressões obtidas de (s×x).(r×y) encontramos facilmente (012), § 05.02. Finalmente, para gáudio dos algebristas, podemos "super generalizar" a identidade (01), § 05.02, deduzindo a "identidade das 8N letras". Sejam, para i = 1,2,...,N: i

i

i

i

i

i

i

i

s = S e i = S i e ; x = X e i = X i e ; r = R e i = R i e ; y = Y e i = Yi e , as representações cartesianas dos vetores s, x, r e y nas bases recíprocas {e } e {e*}. * Para o caso N = 3, por ((03),§ 04.03) escrevemos: e1 (s × x).(r × y ) = S

1

X1

e2 S

2

X2

e 3 e1

e2

S . R1

R2 Y2

3

X 3 Y1

e 3 e1

e2

R 3 = S1

e2 S2

S3 . R

R

Y3

X2

e3

e1

X1

1

X 3 Y1

2

Y2

e3 R3 , Y3

isso é, utilizando a convenção somatória:

(s × x).(r × y ) =

1 i j 1 (S X − S jX i )(R i Yj − R jYi ) = (Si X j − S jX i )(R i Y j − R jY i ) , 2 2

(01).

Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos:

(s × x).(r × y ) =

s.r

s.y

x.r x.y

=

Si R i

Si Yi

X jR j

X j Yj

=

Si R i

Si Y i

X jR j

X jY j

,

(011),

ou,

(s × x).(r × y ) = S i R i X j Y j − S i Yi X j R j = S i R i X j Y j − Si Y i X j R j ,

(012).

Se igualarmos o penúltimo membro de (01) com o penúltimo membro de (012), ou o último membro de (01) com o último membro (012), obteremos novas identidades com 12 letras, idênticas entre si, mas distintas de (01), § 05.02):

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66

§ 05 - Mudança de base. Invariantes.

1 i j (S X − S jX i )(R i Yj − R jYi ) = Si R i X jYj − Si Yi X jR j , 2

(013),

ou

1 (Si X j − S jX i )(R i Y j − R jY i ) = Si R i X jY j − Si Yi X jR j , 2

(014),

Particularmente, se os vetores forem referidos a uma base ortonormada, pondo, então: x≡(X,Y,Z), y≡(X’,Y’,Z’), r≡ ≡(A,B,C) e s≡(A’,B’,C’), obteremos a identidade: (A’Y-B’X)(AY’-BX’)+(B’Z-C’Y)(BZ’-CY’)+(A’Z-C’X)(AZ’-CX’)= =(AA’+BB’+CC’)(XX’+YY’+ZZ’)-(AX+BY+CZ)(A’X’+B’Y’+C’Z’),

(015).

Entretanto, da soma do penúltimo membro de (01) com o último membro de (012) igualada com o último membro de (01) somado com o penúltimo membro (012), obteremos a seguinte identidade:

1 i j (S X − S jX i )(R i Yj − R jYi ) + Si R i X jY j − Si Yi X jR j = 2 1 = (Si X j − S jX i )(R i Y j − R jY i ) + Si R i X jYj − Si Y i X jR j , 2

(02).

O desenvolvimento das somatórias indicadas para vetores do E3 implica escrever a identidade acima na forma:

(S2 X1 − S1X 2 )(R 2 Y1 − R 1Y2 ) + (S1X 3 − S3 X1 )(R1Y3 − R 3 Y1 ) + + (S3 X 2 − S 2 X 3 )(R 3 Y2 − R 2 Y3 ) + (S1R 1 + S 2 R 2 + S3 R 3 )(X1Y1 + X 2 Y 2 + X 3 Y 3 ) − − (S1Y1 + S 2 Y2 + S3 Y3 )(X1R 1 + X 2 R 2 + X 3 R 3 ) = = (S 2 X 1 − S 1 X 2 )(R 2 Y 1 − R 1 Y 2 ) + (S 1 X 3 − S 3 X 1 )(R 1 Y 3 − R 3 Y 1 ) + + (S 3 X 2 − S 2 X 3 )(R 3 Y 2 − R 2 Y 3 ) + (S 1 R 1 + S 2 R 2 + S 3 R 3 )(X 1 Y 1 + X 2 Y 2 + X 3 Y 3 ) − − (S 1 Y 1 + S 2 Y 2 + S 3 Y 3 )(X 1 R 1 + X 2 R 2 + X 3 R 3 ). Não é difícil comprovar que (02) é válida para i, j = 1 (identidade óbvia) e i, j = 1,2 (identidade das 16 letras); isso é, para i,j = 1,2,...N, (02) é a "identidade das 8N letras"36.

36 Essas identidades são válidas desde que SiSi, XiXi etc. sejam positivos.

I, §05.03


§ 06 - O caráter tensorial das expressões vetoriais.

67

Em estudos avançados, criam-se espaços vetoriais abstratos de um número qualquer (finito ou infinito) de dimensões. Não é difícil, apenas trabalhoso, mostrar que (02) é válida para um número qualquer, N, finito. Para N tendendo para o infinito, muitas considerações devem ser preliminarmente estabelecidas no estudo da questão; isto, entretanto, está muito além das pretensões desta exposição.

§ 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. A criação dos conceitos de base e coordenadas de vetores em relação a uma base levou-nos, no § 04.01, a um primeiro contato com o Tensorialismo. Do § 04.02 ao § 04.04 aplicamos a técnica das coordenadas para expressar produtos (escalares, vetoriais e mistos), e condições geométricas diversas entre vetores (paralelismo, perpendicularidade e coplanaridade). Nessa ordem de idéias mostramos no § 05 que a solução de uma equação vetorial é um invariante numa mudança de base. Apresentamos essa solução na forma cartesiana ((043), § 05) e na forma vetorial ((04), § 05). Neste mesmo § 05 mostramos que com a adoção da técnica das coordenadas expomo-nos ao risco do empecilho de enxergar mais longe; com efeito, ((02),§05.03) não é uma identidade mais geral que ((012),§05.02) ? Com essas exemplificações modestas, mas didáticas - que de forma alguma pretendem fechar definitivamente essas discussões - concluímos que as representações cartesianas de produtos, de condições geométricas entre vetores, de soluções de uma equação vetorial etc., variam com as bases escolhidas; os produtos, em si, e as expressões vetoriais tradutoras de condições geométricas e as soluções de equações vetoriais, ficam invariantes em EN. Assim, diríamos: 1°) - aiXi = b é uma equação vetorial cujas soluções são Xi = b.ai ; 2°) - (x.y)2+(x×y)2 = x2y2 é a identidade universal de Lagrange ; 3°) - (s×x).(r×y)=(s.r)(x.y)-(x.r)(s.y) é a “super” identidade (universal) de Lagrange (que tem a anterior como caso particular)... e coisas tais. O que importa, nesse instante, é destacar o tensorialismo ou o universalismo das expressões vetoriais em EN. Particularmente, é mister considerar-se o vetor, na forma como o concebemos no § 01.01, como um tensor, já que os conceitos que o caracterizam: módulo, direção e sentido têm o mesmo significado para todos os observadores. Em vista das considerações anteriores, é necessária certa cautela nas conclusões quando a consideração de um tensor é feita em relação a bases particulares.

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68

Bibliografia

BIBLIOGRAFIA. É bastante extensa a bibliografia existente sobre Vetores. Limitamo-nos aqui à listagem apenas das obras que tiveram uma maior influência na exposição.

1 - 1901: GIBBS, J. W. and WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, Connecticut, USA, 436 pp. (Yale Bicentennial Publications, Dover). Republished in 1913, 1916, 1922, 1925, 1929, 1931, 1943, 1947 and 1948. 2 - 1921: WEATHERBURN, C. E., Elementary Vector Analysis (with applications to Geometry and Physics), G.Bell and Sons, Ltda, London, 184 p.. Reeditado em 1926, 1928 e 1931. 3 - 1927: SANTOS, C. C., Cálculo Vetorial - (Lições professadas na Escola de Minas de Ouro Preto), Oficinas Gráficas da Escola de Minas de Ouro Preto, Ouro Preto 159. p. 4 - 1929: BRICARD, R., Le Calcul Vectoriel, Librairie Armand Colin, Paris. Reeditado em português, em 1958, pela Editora Ao Livro Técnico Ltda., Rio de Janeiro, 184 p. 5 - 1937: CARAÇA, B. J., Cálculo Vetorial, Depositário Geral, Livraria Sá Costa, Lisboa, 254 p. Reeditado em 1957. 6 - 1953: DIAS, A. T., Álgebra Vetorial e Exercícios, Oficinas Gráficas da Escola de Minas de Ouro Preto, 109 p. 7 - 1960: MOREIRA, L. C. A., Vetores recíprocos, Boletim n° 8, Departamento de Matemática, Escola de Minas de Ouro Preto. 8 - 1974: CALAES, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, Imprensa da Universidade Federal de Ouro Preto, 328 p. Reeditado em 1979 pela Fundação Gorceix, Ouro Preto, tomos I e II, com 415 p..

I,Bibliografia


CAPÍTULO II

DIÁDICOS § 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR. É intuitivo o conceito de variável numérica: uma letra X que pode representar qualquer número de dado conjunto de números. Por analogia, uma variável vetorial é uma letra que pode representar um vetor qualquer de dado conjunto de vetores. Assim, por exemplo: 1º) r poderia representar o conjunto de todos os vetores paralelos a dado vetor unitário rˆ - esses vetores seriam, então, vetores de dado E1 -, caso em que

r = ± | r | rˆ Se |r|, variável numérica, varia dentro de um intervalo conhecido, os vetores r ficam determinados; a variável vetorial r representa, assim, qualquer um dos vetores desse conjunto, ou seja, do espaço E1 (§ 04,I)37; 2º) Se a é um vetor cuja direção, módulo e sentido não se alteram, a é dito um vetor constante. Imaginemos, entretanto, o vetor a com a sua origem deslizando sobre dada reta (r). Em relação a certo ponto fixo, O, do espaço, os conjuntos dos vetores x de origem O e extremidade em pontos X de (r), e os x' = x + a ficam, então, determinados; e as variáveis vetoriais x e x' podem representar cada vetor dos respectivos conjuntos (Fig.01.01). Assim, a X0 corresponderia o vetor x0 de um conjunto e o vetor x0′ do outro conjunto; a X1 corresponderiam x1 e x1′ etc..

Se X é uma variável numérica e Y outra variável numérica que dependa de alguma forma da variável X, escrevemos: Y=F(X); F expressa essa dependência e dizemos que Y é função de X. A variável Y é dita o valor da função e X o seu argumento. 37 Conforme nossas "Convenções", com (§ 04,I) estamos nos referindo ao § 04 do cap.I.

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70

-

§ 01 Função de variável vetor, de valor escalar e de valor vetor

Podemos estender estes conceitos aos vetores. Consideremos o segundo exemplo atrás citado. Como a cada ponto X de (r) podemos fazer corresponder o vetor m = a × x e o escalar M = a.x, dizemos que m e M são funções de valor vetor e valor escalar, respectivamente, do vetor x; o vetor x é dito também o argumento da função. Se a cada x corresponde um e um único vetor m ou escalar M, como no caso do exemplo citado, dizemos também que as funções vetoriais a × x e a.x são unívocas. Genericamente representaremos por f(x), f em negrito, uma função de valor vetor de um vetor x; e por F(x), F ao natural, uma função de valor escalar do vetor x. Assim, em resumo, diremos que f(x) e F(x) são funções de valor vetor e valor escalar, respectivamente, do argumento vetor x. Esta notação é adequada porque ela permite facilmente distinguir uma função de valor escalar e argumento vetor de uma função escalar ordinária (de variável numérica). Do ponto de vista geométrico podemos entender uma função de valor vetor e argumento vetor como alguma operação sobre o argumento que transforma esse vetor no valor da função (que é outro vetor). Assim diremos também que f(x) é o transformado de x mediante a função f( ). Uma função de valor vetor, v, que tenha por argumento uma combinação linear de vetores: x = Xixi, é dita linear, e se escreve v = l(x), se

v = l( x ) = l( Xi x i ) = Xil(x i ), donde

o = l( o) ,

(01),

(011).

Assim, por exemplo, conforme sabemos (§ 02.04 e § 02.05,I), sendo

m = a × x = a × ( X i x i ) = X i (a × x i ) , e i

i

M = a. x = a. ( X x i ) = X ( a. x i ), para a vetor constante e x variável, concluímos que as operações de multiplicação vetorial e escalar de vetores são, respectivamente, funções lineares de valor vetor e valor escalar, entendendo-se:

l() ≡ a × , ou

l () ≡ a. .

Doravante todas as funções a serem consideradas serão funções lineares de argumento vetor e valor vetor, razão pela qual a ela nos referiremos apenas como função vetorial linear ficando o restante subentendido, salvo onde for observado o contrário. Além disso, todos os índices deverão assumir os valores do conjunto {1,2,...,N}, sendo N = 1, ou N = 2, ou N = 3, casos em que estaremos nos referindo a espaços uni, bi e tridimensionais de vetores, respectivamente (§ 04,I).

II,§ 01


-

§ 01 Função de variável vetor, de valor escalar e de valor vetor

71

Teor. 1: Uma função vetorial linear na reta, no plano e no espaço, fica univocamente determinada se são conhecidos os seus valores para um vetor não nulo, dois vetores não paralelos e três vetores não coplanares, respectivamente. Com efeito, se bi são os transformados de N vetores independentes ai mediante a função l( ), isso é, se b i = l (a i ) então o transformado de qualquer vetor x = Xiai (i = 1,2,...,N) é l (x) = l (X i a i ) = X i l (a i ) = X i b i . Como por hipótese são conhecidos os Xi e os bi, resulta l(x) determinada. A função vetorial linear, entendida como uma operação é também dita operadora de uma transformação linear. Esta nomenclatura tem mais sentido geométrico (matemático) do que físico, mas pode ser entendida de uma forma bem ampla. Em relação ao espaço N dimensional o conceito de transformação linear pode ser entendido de três pontos de vista: 1º) - ponto de vista algébrico. A transformação linear x’ = l(x) é uma operação que transforma um conjunto ordenado de N números reais (coordenadas do vetor x em certa base) em outro conjunto ordenado de N números reais (coordenadas de x' na mesma base a que se refere x) através de relações lineares; 2º) - ponto de vista geométrico. Seja P(Xi) o ponto genérico de um domínio D, N dimensional, definido em relação a um sistema cartesiano por equações Xi = Xi(A1, A2, ...,AN), i = 1, 2, ..., N, onde os parâmetros Aj variam dentro de intervalos definidos. Seja P'(Xi) o ponto de um domínio D' tal, que

x' = l (x), ou X'i = A i j X j

(i,j=1,2,...,N),

(02),

onde os Ai j não dependem dos Xj. Uma função vetorial linear pode, pois, ser entendida como uma transformação de pontos P de D em pontos P' de D'; 3º) - ponto de vista físico. Nesse caso a transformação linear não pode ser entendida de um modo tão elementar quanto o algébrico e o geométrico. Diríamos que a transformação linear, em Física, é a própria expressão da lei física representativa de dado fenômeno que correlacione duas grandezas vetoriais na forma (01). Por exemplo, na lei de Newton: f = Ma, da Mecânica, a massa M proporcionaria uma transformação linear da aceleração em força atuante, ou, o inverso da massa proporcionaria uma transformação da força atuante em aceleração; similarmente, diríamos que a carga elétrica proporciona uma transformação do campo elétrico em força atuante, conforme a expressão clássica: f=Qe. É curioso observar que, do ponto de vista geométrico, a transformação linear tem um "significado físico" - um transporte de pontos de D para D' - enquanto que em Física pode parecer não caber, em geral, qualquer "significado geométrico" para as leis físicas. Por outro lado, poder-se-ia questionar: quais seriam as equações (02) se interessasse conhecer o tempo para D transformar-se em D'? Quais seriam as trajetórias, as velocidades, as acelerações dos pontos? Paralela e relativamente às leis físicas, faria sentido questionar, por exemplo: em quanto tempo ou com que velocidade, o inverso da massa de um corpo transforma a força atuante em aceleração? Está fora do escopo destas "Lições" a análise de algumas destas questões.

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§ 02 - Díades e diádicos. Conceitos e operações fundamentais.

§ 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. § 02.01- Definições e notações. Vimos (§ 03, I) que qualquer vetor x pode ser expresso nas formas

x = (x.ei )ei ou x = (x.ei )ei ,

(i = 1,2,..., N),

(01),

onde, relembremos, N (= 1, ou 2, ou 3) é a dimensão do espaço a que pertence x. Nestas expressões é até dispensável o uso dos parênteses, uma vez que relações do tipo

x = x. (eiei ) ou x = x. (eiei ), (i = 1,2,..., no finito),

(02),

não têm, até o momento, nenhum significado. Poderíamos, por outro lado, postular que as (02) acarretassem as (01), correspondentemente, caso em que estaríamos admitindo: 1º)- uma expressão do tipo (eiei), ou (eiei), obtida por somas simbólicas de "produtos justapostos" de vetores de um conjunto de N vetores independentes pelos seus correspondentes recíprocos; 2º)- uma operação entre esta expressão e o vetor x que gerasse o próprio x. Isto constitui, de fato, nosso interesse, mas de uma forma mais ampla. Objetivando generalizar a expressão e a operação atrás referidas, consideremos dois dados conjuntos ordenados de P vetores quaisquer, duas P-plas de vetores: P

1

2

3

P

{a}P = {a1 , a 2 , a 3 ,..., a P } e {b} = {b , b , b ,..., b } (P finito), (03), onde cada vetor aj do conjunto {a}P tem um correspondente bj no conjunto {b}P, qualquer um dos vetores podendo pertencer a um E1, a um E2 ou ao E3. Chamam-se díades desses conjuntos, quaisquer "produtos justapostos" de um vetor de um dos conjuntos com o seu correspondente do outro conjunto, sem nenhuma interposição de sinal de operação entre eles; por isso mesmo esses símbolos foram chamados por Gibbs de produtos indeterminados. São díades, então, os símbolos abstratos: 1

2

P

a 1b , a 2b ,..., a P b . Da esquerda para a direita, o primeiro e o segundo vetores em cada díade são ditos, respectivamente, o antecedente e o conseqüente da díade.

II,§ 02.01


§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor.

73

Chama-se diádico dos conjuntos {a}P e {b}P, nessa ordem, a soma simbólica e abstrata de todas as suas díades, em qualquer ordem. Assim,

a1b1 + a 2b 2 + ... + a P b P = ai b i = a 2b 2 + a P b P + ... + a1b1 , (i=1,2 ... ,P)

(04),

justificando-se a notação compacta do produto justaposto de vetores do último membro desde que convencionemos aplicar-lhe a convenção somatória (§ 02.02, I). Os vetores dos conjuntos {a}P e {b}P são ditos, respectivamente, os antecedentes e os conseqüentes do diádico. Dizemos que o diádico é gerado de EN se todos os seus antecedentes e conseqüentes são vetores desse EN. Quando, em (03), P = 1, diz-se que o diádico está escrito em forma monomial; quando P = 2, em forma binomial; quando P = 3 em forma trinomial e, geralmente, em forma polinomial ou P-nomial (quando se pretende especificar o número de díades). Notação: Manteremos a notação introduzida (§ 01.01, I) para vetores e números. Os diádicos serão representados, na maioria das vezes: 1º)- pelas letras minúsculas do alfabeto grego, em negrito: φ, ψ, µ etc., salvo onde for observado o contrário; 2º)- também pelas latinas maiúsculas em negrito e ocasionalmente em itálico e negrito.

§ 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos. Chama-se produto de um diádico φ (e, portanto, de uma díade) por um número M, e representa-se por φM ou Mφ φ, o diádico que se obtém de φ multiplicando os seus antecedentes ou os seus conseqüentes por esse número, ou, ainda, distribuindo o número A de alguma forma (por fatoração arbitrária) entre todos os antecedentes e todos os conseqüentes de φ. Assim, se M = A.B, então: j

j

j

j

Mφ = M( a jb ) = (Ma j )b = a j ( Mb ) = ( Aa j )( Bb ),

(01).

A multiplicação do diádico φ por um número real M é a operação que tem por fim determinar o produto Mφ φ = φM. Por analogia com os vetores, os diádicos φ e Mφ serão ditos paralelos.

§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. Chama-se produto pontuado anterior (posterior) do diádico φ = ajbj (j = 1,2,...,P) pelo vetor r, e representa-se por φ.r (r.φ φ), lendo-se φ ponto r (r ponto φ), o vetor que se obtém como uma multiplicidade vetorial linear dos seus antecedentes (conseqüentes) cujos

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74

§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

coeficientes são os produtos escalares dos correspondentes conseqüentes (antecedentes) pelo vetor r38. Assim: j

j

1

2

φ . r = ( a jb ) . r = a j (b . r ) = a 1 (b . r ) + a 2 (b . r ) +...,

(01),

ou, j

j

1

2

r. φ = r. ( a j b ) = ( r. a j )b = ( r. a 1 )b + ( r. a 2 )b +... ,

(011).

A multiplicação pontuada de diádico por vetor é a operação que tem por fim determinar o produto escalar anterior ou o posterior do diádico pelo vetor. É uma operação sempre possível e unívoca, porque o são as operações vetoriais em (01) e (011). Propriedades. 1º) - O produto pontuado (anterior ou posterior) de qualquer diádico pelo vetor nulo é sempre o vetor nulo.

∀φ:

o. φ = φ . o = o,

(02). i

Com efeito, pois em (01) teríamos: φ . o = a i (b . o) = o ; similarmente, em (011), o. φ = ( o. a i ) b i = o . 2º) - A operação é associativa em relação a fatores escalares e distributiva em relação a adição de vetores, isso é:

M(φ . r ) = φ . (Mr ) = (Mφ ) . r e φ . ( a + b +...) = φ . a + φ . b +...,

(03).

Tem-se: j

j

j

M(φ . r ) = Ma j (b . r ) = a j [ M(b . r )] = a j [b . ( Mr )] = φ . ( Mr ), e i

i

i

φ . ( a + b +...) = a i [b . ( a + b +...)] = a i (b . a ) + a i (b .b ) +... = φ . a + φ . b +.... Assim, genericamente, se, em relação à base {e*}:

r = R i e i , (para i=1, 2, ..., N), então, φ .r = φ .(R i e i ) = R i ( φ .e i ) = R i φ .e i ,

(031).

3°) - A operação é associativa em relação a fatores vetores se o diádico está entre vetores:

∀a , b , φ :

( a. φ ) .b = a. (φ .b ) ≡ a. φ . b ,

38 Gibbs denominou este produto de "direct product of φ into r".

II,§ 02.03

(04).


-

§ 02.04 O diádico como operador de uma T.L.

75

§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L.. Teor. 1: Qualquer diádico, quando usado como pré-fator ou pós-fator em multiplicação pontuada por vetor, é operador (ou regente) de uma transformação linear (T.L.); reciprocamente, toda T.L. sobre vetores (na reta, no plano ou no espaço) pode ser univocamente representada por um diádico para ser usado como pré ou pós-fator em multiplicação pontuada por vetor. Com efeito, o teorema direto decorre imediatamente da definição de multiplicação pontuada de diádico por vetor, nas formas das expressões ((01) e (011), §02.03) e da definição de transformação linear dada por ((01), §01), bastando entender-se l ≡ φ. (l idêntico a φ ponto). Reciprocamente, se l é uma função vetorial linear (representativa de uma T.L.) determinada pelo conhecimento dos vetores bi, transformados dos vetores independentes ai (Teor.1, §01), tem-se (lembrando a teoria dos recíprocos, § 03, I):

l(a i ) = b i = b jδ i j = b j (a j .a i ) = (b ja j ).a i ,

(i, j=1,2,...,N).

Assim, denotando por ψ o diádico bjaj - único, porque são conhecidos os bj e os aj se determinam univocamente - podemos escrever:

l ( a i ) = ψ. a i . Como também se possa escrever: j

j

l ( a i ) = b i = δ i j b j = ( a i . a )b j = a i . ( a b j ), (i, j = 1,2, ..., N), resulta, pondo φ = ajbj (diádico também único ): l(a i ) = a i . φ , como queríamos demonstrar. Corol. 1: Um diádico gerado de um EN fica univocamente determinado quando são conhecidos os seus produtos pontuados por N vetores independentes quaisquer de EN, isso é,

 b = φ . a ⇒ φ = b a i i i i a i independentes  (i = 1,2,..., N),  c i = a i . ψ ⇒ ψ = a i c i

(01).

Corol. 2: Dadas duas N-plas de vetores independentes de EN, existe sempre um e um único diádico que, usado como pré ou pós-fator, transforma uma Npla na outra.

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76

§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

Aplicação: Mostrar que em qualquer T.L. no E3, pontos dependentes de uma reta ou de um plano transformam-se, respectivamente, em pontos dependentes de uma reta ou de um plano. Denotemos por φ o diádico que rege a transformação de pontos R em pontos R', isso é, seja r' = φ.r. Os vetores posição r1, r2 e r3 de três pontos colineares R1, R2 e R3 satisfazem a função vetorial linear Airi = o, (i = 1,2,3), com A1+A2+A3 = 0 (Teor. 5, §03.01, I). Logo, φ.ri) = φ.(Airi) = φ.o = o, o que mostra serem os lembrando ((031), §02.03): Airi' = Ai(φ pontos R1', R2' e R3' também colineares. Similarmente podemos demonstrar o caso em que os pontos são dependentes de um plano recorrendo ao Teor. 9, §03.03, I.

§ 02.05 - Transposição diádica. Teor. 1: A operação de multiplicação pontuada entre diádico e vetor não é comutativa, isso é, φ . r ≠ r. φ , o que é evidente pelas ((01) e (011),§ 02.03). Observemos, porém, que das ((01),§ 02.03) podemos, ainda, escrever:

φ .r = a j (b j .r ) = (r.b j )a j = r.(b j a j ). ,

(j = 1, 2, ... , P) .

Os diádicos cujos antecedentes e conseqüentes são mutuamente alternados são denominados transpostos ou conjugados39 um do outro. Assim, sendo φ = ajbj com (j = 1,2,...,P), seu transposto, que se representa por φT (ou φC na notação de Gibbs), é escrito na forma: φT = bjaj. Logo: j

T

j

φ = a jb ⇔ φ = b a j ,

(j = 1, 2, ... , P)

(01).

Resulta que: T

φ . r = r. φ ,

(02),

De ((01),§ 02.04) escrevemos, então: T

b i = l( a i ) = φ . a i = a i . φ ,

(i = 1, 2, ..., N)

(021).

39 A denominação conjugado é de Gibbs; transposto é uma denominação mais moderna, como acentuaremos mais à frente (§09.02).

II,§ 02.05


-

§ 02.06 Igualdade de diádicos.

77

A operação que consiste em alternar correspondentemente os antecedentes e os conseqüentes de dado diádico - operação esta sempre possível e unívoca - é denominada transposição diádica. Resulta, logo, de (01), que uma dupla transposição diádica - operação também sempre possível e unívoca - é operação idêntica, isso é, T T

(φ ) ≡ φ

TT

= φ,

(03).

§ 02.06- Igualdade de diádicos. Diz-se que dois diádicos φ e ψ são iguais, e escreve-se φ = ψ (ler φ igual a ψ) se, nas mesmas condições de multiplicação pontuada (anterior ou posterior), transformam um mesmo e qualquer vetor em vetores iguais:

φ=ψ

∀r

 φ . r = ψ. r   r. φ = r. ψ,

(01).

Teor. 1:

φ = ψ ⇐ ∀v , r ⇒ v. (φ . r ) = ( v. ψ) . r = v. φ . r = v. ψ. r ,

(02)

Como efeito, se φ = ψ temos de (01), lembrando ((04),§ 02.03): v. (φ . r ) = v. (ψ. r ) , sendo irrelevante o uso dos parênteses nesta expressão. Reciprocamente, de (02) deduzimos: v.(φ.r − ψ .r ) = o .Ora, não sendo o vetor entre parênteses necessariamente ortogonal a v (pois v é qualquer), deve ser φ.r - ψ.r = o, isso é, φ.r = ψ.r; logo φ = ψ, pois r é qualquer. Teor. 2: A multiplicação direta de vetores é distributiva em relação à adição de vetores: i

j

i

j

φ = ( A a i )( B jb ) = A B ja i b ,

(i, j = 1,2,..., P),

(03).

Com efeito, para qualquer r, tem-se: i

j

φ . r = (A a i )[B j (b . r )]. Ora, Aiai é uma soma de vetores e Bj(bj.r) é uma soma de escalares. Como a operação de multiplicação de vetor por número é distributiva em relação à adição de vetores e à adição de escalares, e associativa em relação a fatores numéricos, tem-se, considerando também ((01),§ 02.03): i

j

i

j

φ . r = A B j a i (b . r ) = (A B j a i b ) . r ,

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78

§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

sendo imutáveis no último membro a ordem dos vetores nas parcelas entre parênteses. Os diádicos φ e AiBjaibj são, pois, iguais, pela definição de igualdade; donde, então, (03).

§ 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos. Teor.1: Qualquer diádico pode ser expresso de quatro, e apenas de quatro maneiras distintas, como uma soma de N díades de que antecedentes ou conseqüentes sejam N vetores independentes arbitrários de EN. Sejam: φ = cjdj (j = 1,2,...,P) um diádico dado em forma polinomial, gerado de um EN, e {e∗} e {e∗} sistemas quaisquer de vetores recíprocos desse espaço. Como seja sempre possível expressar antecedentes ou conseqüentes de φ por combinações lineares (únicas) dos ei e ei (§ 03,I), escrevendo dj = (dj.ei)ei = (dj.ei)ei, resulta φ = [cj(dj.ei)]ei = [cj(dj.ei)]ei. Assim, pondo

c j (d j .ei ) = a i e c j (d j .ei ) = v i ,

(i = 1, 2, ..., N), (j = 1, 2, ..., P)

(01),

resulta

φ = v iei = a iei , (i = 1,2,..., N),

(011),

onde, então, os conseqüentes são independentes, nada se podendo afirmar, nesse particular, a respeito dos antecedentes ai e vi. Com um raciocínio análogo, podemos expressar os antecedentes da forma polinomial de φ, em relação a {e } e {e*}, para obter expressões análogas a (011), nas * quais, agora, os antecedentes de φ são esses vetores independentes. Escrevemos:

c j = (c j .ei )ei = (c j .ei )ei , (c j .ei )d j = b i ,

(c j .ei )d j = w i ,

(02),

e

φ = eib i = ei w i ,

(i = 1, 2, ..., N)

(021);

donde

ei . φ = w i ,

ei . φ = bi ,

(022).

Também nesse caso, não se pode decidir sobre a dependência ou independência dos wi e bi. Podemos, então, escrever:

φ = a i ei = v i ei

e

φ T = b i ei = w i ei ,

(i = 1,2,..., N),

(03),

sendo, geralmente, φ≠φ φT40. Definições: (forma e redução N-nomial) As formas (011) e (021) são denominadas formas N-nomiais (§ 02.01) de representação de um diádico. Quando se expressa um diádico em forma Nnomial diz-se que se pratica uma redução N-nomial do diádico; diz-se também que se reduz o diádico à forma N-nomial.

40A possibilidade de ser φ=φT será analisada no § 04.02.

II,§ 02.07


§ 02.07- Redução N-nomial e motivo de diádicos.

79

Particularmente, em E1 a redução se dirá monomial; em E2, binomial e em E3, trinomial. Evidentemente, um mesmo diádico pode ser reduzido de infinitos modos a uma forma N-nomial, uma vez que existem infinitas N-plas de vetores independentes em EN. Por analogia com as representações cartesianas e nomenclaturas vetoriais, diremos que φ = aiei e φ = viei são , respectivamente, representações N-nomiais contravariantes e co-variantes de φ nas bases (recíprocas) {e } e {e*}; analogamente, os vetores ai e vi serão * ditos as coordenadas vetoriais contravariantes e co-variantes de φ naquelas bases (recíprocas). As representações (011) e (021) têm o mesmo status; são válidas, para ambas, as mesmas nomenclaturas. Ordinariamente vamos nos referir a uma representação N-nomial com conseqüentes independentes, exceto onde for observado o contrário. O motivo de um diádico. Conforme já observamos, os diádicos podem representar certas grandezas físicas, tal como os vetores podem representar grandezas físicas vetoriais. No caso dos vetores, tanto as coordenadas escalares quanto os tercetos de vetores independentes podem representar grandezas físicas. Da mesma forma, os antecedentes e/ou os conseqüentes de um diádico vetores - podem representar "partes" da grandeza complexa que ele representa, mas pelo menos um dos tercetos deve ser constituído de vetores independentes (representando ou não alguma grandeza física). Assim, numa redução N-nomial de um diádico, distinguem-se sempre duas N-plas de vetores: uma que denominaremos "espacial" ou "referencial", de vetores independentes e outra "substancial" de vetores (independentes ou não), em correspondência (biunivoca) com a primeira. Quando a N-pla espacial é de natureza geométrica, a substancial é relativa a um motivo específico do diádico (uma tensão, por exemplo). Quando os dois tercetos são de natureza física, o motivo é misto. É esta a concepção matemática que, sutil e imperceptivelmente, está implícita nas leis físicas. E da arbitrariedade e independência de pelo menos um dos tercetos de vetores brota a necessidade dos vetores recíprocos porque num fenômeno físico um terceto tomado ao acaso não é ortonormado necessariamente. Casos de igualdade. Teor. 2: Dois diádicos iguais, reduzidos a uma forma N-nomial com os mesmos antecedentes (conseqüentes) independentes, têm iguais conseqüentes (antecedentes); e reciprocamente.

φ = ψ ⇐ e i indep. (i = 1,2,..., N), i

i

i

i

φ = a ei , ψ = b ei ⇒ a = b ,

(04).

Consideremos os diádicos iguais φ e ψ, reduzidos a uma forma N-nomial com iguais conseqüentes independentes ei, isso é, sejam i

φ = a ei

e

i

ψ = b ei

(i = 1,2,... , N).

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80

§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

Para qualquer r escrevemos, pela definição de igualdade de diádicos ((01),§ 02.06): r. φ = r. ψ isso é, i

i

( r. a ) e i = ( r.b ) e i . Resulta então (Corol.3, Teor.2, § 04.03, I): i

i

i

i

r. a = r.b , isto é , r. ( a − b ) = 0,

(i = 1,2, ..., N).

Mas sendo r qualquer, ai - bi = o conforme ((04),§ 02.04,I); ou ai = bi, isso é, os conseqüentes de φ e ψ são também iguais. Reciprocamente, se dois diádicos têm antecedentes e conseqüentes respectivamente iguais, eles são iguais porque, obviamente, transformam um mesmo e qualquer vetor em vetores iguais. Corol. 1: Uma CNS para que dois diádicos sejam iguais, é que, escritos Nnomialmente com os mesmos conseqüentes (antecedentes), os seus antecedentes (conseqüentes) sejam respectivamente iguais. Corol. 2: CNS para que dois diádicos φ e ψ sejam iguais é que, nas mesmas condições de multiplicação pontuada, transformem os mesmos N vetores independentes, vi, em vetores iguais:

φ = ψ ⇐ v i indep.

(i = 1,2,... N) ⇒ φ . v i = ψ. v i ,

(041).

O teorema direto é evidente por definição de igualdade de diádicos. Reciprocamente, pondo: wi = φ.vi = ψ.vi, resulta de ((01),§ 02.04):

φ = wiv

i

e

i

ψ = wiv ,

isso é, pelo corolário anterior, φ = ψ.

§ 02.08- Invariantes primários de um diádico. O escalar e o vetor. De cada diádico é possível deduzir alguns números e alguns vetores. Os principais são os denominados: escalar e vetor do diádico φ, que se representam por φE e φV, respectivamente, e que se obtêm inserindo entre as suas díades os sinais operatórios de multiplicação pontuada e cruzada. Assim, II,§ 02.08


§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico.

se φ = c jd

j

φ = c .d j j  E (j=1,2,...,P), então:  j φ V = c j × d

81

(01).

Doravante consideraremos que o sinal o (ponto vazio) represente tanto a multiplicação escalar de vetores quanto a vetorial. Então as igualdades (01) são representadas unicamente por

φ o = c j o d j (j=1, 2, ..., P), a pequena bola vazia usada como índice representando também os índices E (escalar) e V (vetor). É óbvio que o escalar e o vetor de um diádico são determinados univocamente, porque as operações de que dependem as suas determinações são unívocas. De ((01),§ 02.02) deduzimos:

(Mφ) o = Mφ o ,

(02),

entendendo-se, por exemplo, que o vetor de Mφ, isso é, (Mφ)V: 1º)- é paralelo ao vetor de φ;; 2º)- tem módulo M vezes o do vetor de φ; 3º)- tem o mesmo sentido do vetor de φ se M > 0, e o sentido contrário se M < 0. Decorre também, imediatamente, de ((01), § 02.05) e de propriedades das multiplicações escalar e vetorial entre vetores, que:

(φ T ) E = φ E , ou φ TE = φ E ,

(03),

e

(φ T ) V = − φ V ,

ou

φ TV = − φ V ,

(031).

Teor. 1: São invariantes (logo, únicos) o escalar e o vetor de um diádico. Com efeito, sejam φ ′o e φ ′o′ os escalares ou os vetores de φ obtidos de uma forma Pnomial φ = cjdj (j = 1,2,...,P) e de uma forma N-nomial (N=1,2 ou 3) φ = aiei, (i=1,2,...,N), respectivamente. Escrevemos:

φ ′o = c j o d j (j=1,2,...,P)

e

φ ′o′ = a i o e i (i=1,2,...,N).

Provemos que φ ′o = φ ′o′ . Ora, das relações ((01),§ 02.07) escrevemos: φ ′o′ = [c j (d j .e i )] o e i . Mas, sendo distributivas as multiplicações escalar e vetorial de vetores em relação à soma de vetores, e associativas em relação a fatores escalares,

φ ′o′ = c j o [(d j .e i )e i ] . Observando que o vetor entre colchetes é dj, concluímos a demonstração da tese.

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82

§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

O terceiro. Seja φ = aiei, (i = 1,2,...,N), ei independentes, uma redução N-nomial qualquer de dado diádico φ. Definição: (terceiro de um diádico) Expresso um diádico φ em forma N-nomial, chama-se terceiro desse diádico, e representa-se por φ3, o produto pontuado do antecedente pelo conseqüente, se N = 1; o produto pontuado do produto cruzado dos antecedentes pelo produto cruzado dos conseqüentes, se N = 2; o produto dos produtos mistos dos antecedentes e correspondentes conseqüentes, se N = 3:

φ = a1 .e , se N = 1; 1  3  i 1 φ = a e i , (i = 1,2,..., N) φ 3 = (a × a 2 ).(e1 × e 2 ), se N = 2;  φ 3 = (a1a 2 a 3 )(e1e 2 e 3 ), se N = 3,

(04).

Devemos notar que o cálculo do terceiro no E2 apela para vetores do E3. O leitor não deve entender que isto seja um defeito da estrutura da teoria. Pelo contrário, isso é um alerta em relação às operações que serão definidas futuramente com poliádicos cujos espaços têm dimensões muito superiores a três. Teor. 1: (Invariância) É um invariante o terceiro de um diádico. Com efeito, consideremos duas reduções N-nomiais quaisquer de um diádico φ, com, digamos, antecedentes independentes,

φ = a ib i e φ = c jd j (i, j = 1,2,..., N). Devemos provar que, para um mesmo valor de N (mesmo espaço), (φ φ3 )1= (φ φ3)2, sendo, conforme a definição (04),

a .b1 c .d1  1  1   1 2 (φ 3 )1 = (a1 × a 2 ).(b × b ) e (φ 3 ) 2 = (c1 × c 2 ).(d1 × d 2 )   (a1a 2 a 3 )(b1b 2 b 3 ) (c1c 2 c 3 )(d1d 2 d 3 ). Expressando os ai em função dos cj, escrevemos, lembrando ((021),§ (03.01,I), ((041),§ (03.02,I), e ((071),§ (03.03,I), correspondentemente a N = 1, N = 2 e N = 3: ai = (ai.cj)cj. Assim, para N = 3, por exemplo, podemos escrever, lembrando ((04)1,§ (04.03,I):

(a1a 2a 3 ) =| a i .c j|(c1c2c3 ); logo: (φ 3 )1 =|a i .c j| (c1c2c3 )(b1b2b3 ). Nestas condições,

φ = a ib i = (a i .c j )c jb i = c j[(a i .c j )bi ]; II,§ 02.08


§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico.

83

então, como todo diádico é igual a si próprio, resulta (Teor.2, § 02.07):

d j = (a i .c j )b i , donde (d1d2d3 ) =| a i .c j|(b1b 2b 3 ). Assim,

(φ 3 ) 2 = ( c 1 c 2 c 3 )( d1 d 2 d 3 ) = ( c 1 c 2 c 3 )| a i . c j |(b 1b 2 b 3 ), isso é, (φ 3 ) 1 = (φ 3 ) 2 . j

Para N = 2 teríamos, analogamente, pondo a i = ( a i . c ) c j e aplicando ((02)1, § 04.03,I):

a1.c1

(φ 3 )1 = (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ) =

a1.c 2

a 2 .c1 a 2 .c 2

(c1 × c 2 ).(b1 × b 2 ) .

Pondo ainda, por outro lado:

φ = a ib i = (a i .c j )c jb i = c j[(a i .c j )bi ] = c jd j , (i, j = 1,2), resulta: dj = (ai.cj)bi; donde:

d ×d = 1

2

a1.c1

a1.c 2

1

2

a 2 .c

a 2 .c

(b1 × b 2 ) .

Logo:

(φ 3 ) 2 = (c1 × c 2 ).(d × d ) = 1

2

a1 .c1

a1 .c 2

1

2

a 2 .c

a 2 .c

(c1 × c 2 ).(b1 × b 2 ) ,

isso é (φ 3 )1 = (φ 3 ) 2 . Para N = 1 a demonstração é evidente. Teor. 2: (não nulidade do terceiro) Uma CNS para que o terceiro de um diádico seja diferente de zero é que ele seja redutível a uma forma N-nomial com antecedentes e conseqüentes simultaneamente independentes (não nulos se N = 1, não paralelos se N = 2 e não coplanares se N = 3). A condição é necessária porque se φ = aiei com ei independentes e φ3≠0, as (04) implicam a independência dos ai, isso é, a independência dos antecedentes. A recíproca é de demonstração evidente.

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84

§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

Teor. 3: (interpretação geométrica do terceiro) Na T.L. regida pelo diádico φ, o seu terceiro rege a transformação numérica (algébrica) das distâncias se o espaço é unidimensional, a das áreas se o espaço é bidimensional e dos volumes se o espaço é tridimensional:

φ3 =

(dist., area, vol.) transformado (dist., area, vol.) transformando

(05).

Sejam bi (i = 1,2,...,N) os transformados de N vetores independentes ai, respectivamente, mediante um diádico φ, isso é, sejam bi = φ.ai. Se N = 1, a1 representa (numericamente) uma distância entre pontos; se N = 2, a1 × a2 representa o vetor-área do paralelogramo construído sobre a1 e a2; se N = 3, (a1a2a3) representa o volume do i paralelepípedo construído sobre a1, a2 e a3. Ora, b i = φ . a i ⇒ φ = b i a , conforme Corol.1, Teor.1, § 02.04, qualquer que seja a dimensão N do espaço. Logo:

b1.a1 = ± | b1 | / | a1 |,   φ 3 = (b1 × b 2 ).(a1 × a 2 ) = ± | b1 × b 2 || a1 × a 2 |= ± | b1 × b 2 | / | a1 × a 2 |,  (b1b 2 b 3 )(a1a 2a 3 ) = ± | (b1b 2 b 3 ) | / | (a1a 2 a 3 ) |, onde os sinais são positivos se e somente se: 1º)- para N = 1, b1 e a1 têm o mesmo sentido; 2º)- para N = 2 e qualquer vetor c ortogonal ao plano desse espaço (bidimensional), os triedros c, b1, b2 e c, a1, a2 são igualmente orientados; 3º)- para N = 3 os triedros b1, b2, b3 e a1, a2, a3 são igualmente orientados. Em qualquer caso, o terceiro do diádico representará sempre, em grandeza e sinal, os elementos geométricos correspondentes a cada dimensão do espaço (distância se N = 1, área se N = 2 e volume se N = 3), o que demonstra o teorema. Teor. 4: Se X≠0 é um número real qualquer, então, para um diádico gerado de EN,

(Xφ) 3 = X i φ 3 (i=1, ou 2, ou 3)

(06).

Sendo φ = aibi e pondo Xφ = (Xai)bi deduzimos, aplicando a definição e lembrando propriedade das multiplicações escalar, vetorial e mista de vetores:

(Xa ).b i = X(a .b i ) = Xφ , se N = 1; i i 3   1 2 (Xφ) 3 = (Xa1 × Xa 2 ).(b × b ) = X 2 (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ) = X 2 φ 3 , se N = 2;  3 [X (a1a 2 a 3 )](b1b 2 b 3 ) = X 3 φ 3 , se N = 3, expressões sintetizadas por (06). Teor. 5:

II,§ 02.08

∀ φ:

φ 3 = φ T3 ,

(07).


§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto.

85

É o que decorre imediatamente da definição (04) uma vez que:

φ 3 = a1.b1 = b1.a1 = φ T 3 , se N = 1 φ 3 = (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ) = (b1 × b 2 ). (a1 × a 2 ) = φ T3 , se N = 2; φ 3 = (a1a 2 a 3 )(b1b 2 b 3 ) = (b1b 2 b 3 )(a1a 2 a 3 ) = φ T3 , se N = 3, Teor. 6: (Desigualdade de Hadamard) Se o módulo de uma base é menor que o da sua recíproca, o quadrado do terceiro de um diádico é menor ou no máximo igual ao produto dos quadrados dos seus vetores motivo nessa base: ∗

i

j

∀{e ∗ }, {e }, φ = a e i = b je do E 3 : ( e 1 e 2 e 3 ) ≥ ( e 1 e 2 e 3 ) ⇔ (φ 3 ) 2 ≤ | a 1 | 2 | a 2 |2 | a 3 |2 ,

(08).

( e 1 e 2 e 3 ) ≤ ( e 1 e 2 e 3 ) ⇔ (φ 3 ) 2 ≤ | b 1 | 2 | b 2 |2 | b 3 |2 , Tem-se:

φ 3 = ( a 1 a 2 a 3 )( e 1 e 2 e 3 ) = (b 1b 2 b 3 )( e 1 e 2 e 3 ) e (φ 3 ) 2 = ( a 1 a 2 a 3 )(b 1b 2 b 3 ) . Ora,

( e 1 e 2 e 3 ) ≠ ( e 1e 2 e 3 ) porque ( e 1 e 2 e 3 )( e 1e 2 e 3 ) = 1 ; logo, (a1a 2a 3 ) ≠ (b1b 2b 3 ) . Assim,

(e1e2e3 ) ≥ (e1e2e3 ) ⇔ (b1b 2b 3 ) ≤ (a1a 2a 3 ), (e1e2e3 ) ≤ (e1e2e3 ) ⇔ (b1b 2b 3 ) ≥ (a1a 2a 3 ). Então, correspondentemente,

(b1b2b3 )2 ≤ (φ 3 )2 ≤ (a1a 2a 3 )2 , (a1a 2a 3 )2 ≤ (φ 3 )2 ≤ (b1b2b3 )2 . Agora, considerando o exercício do § 02. 06, I, i.e., sendo ∀x, y, z: ( xyz) 2 ≤ x 2 y 2 z 2 , concluímos logo a demonstração da a tese.

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. Consideremos os diádicos dos conjuntos definidos por uma N-pla de vetores independentes quaisquer e seu sistema recíproco; sejam eiei e riri dois quaisquer desses diádicos para (i = 1,2,...,N). Escrevemos, para qualquer vetor v:

v = ( v.e i )e i = v.(e i e i ) ,

e

v = ( v.r i )ri = v.(r i ri ) , (i =1,2,..., N).

Poliádicos - Ruggeri


86

§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

Diádico unidade. As igualdades anteriores mostram que existem diádicos que transformam qualquer vetor em si mesmo executando, então, a "transformação identidade"; são denominados diádicos unidade (ou idem fatores), sendo representáveis de infinitas maneiras (pois existem infinitas N-plas de vetores independentes)41. Como podemos escrever, também:

∀ v:

i

i

i

v = v. ( e i e ) = v. ( e e i ) = v. ( ri r ) =...,

resulta da definição de igualdade de diádicos que todos os diádicos unidade são iguais; são representados, por isso, por um único símbolo: a letra maiúscula Ι (em negrito) do alfabeto grego. Assim, i

i

i

Ι = ri r = e i e = e e i =..., (i = 1,2,..., N),

(01),

se os ri , os ei etc. são independentes. Resulta também, imediatamente:

∀ φ:

φ = (φ .e i ) e i = (φ .e i ) e i ,

(i = 1,2,..., N),

(011),

pois, pondo φ = a i e i = b j e j (i,j=1,2,3), tem-se, por exemplo: (φ.e i )e i = b i e i = φ . No caso particular em que os vetores independentes são os unitários ortogonais $i , $j , k$ , de E , escrevemos: 3

$$ . Ι = $$ ii + $$ jj + kk Lembrando propriedades dos recíprocos deduzimos, logo, para reduções no EN:

Ι E = N , Ι V = o e Ι 3 = 1, Diádico nulo. Seja, agora, Ο um diádico reduzido à forma N-nomial

Ο = e i n i , e i independentes, (i = 1,2,..., N). Para qualquer r,

Ο .r = e i (n i .r ). 41 Compare esta situação com a apresentada no início do § 02.01

II,§ 02.09

(02).


§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto.

87

O vetor ei(ni.r) é nulo se, e somente se, ni.r = 0, para todo i. Mas sendo r qualquer, r não é ortogonal a nenhum dos ni necessariamente (tão pouco a todos simultaneamente), isso é,

∀ r : Ο = e i n i , e i independentes e Ο .r = o ⇔ n i = o,

(03).

Sendo, ainda, para qualquer r: r.Ο = (r.ei )ni , o vetor (r . ei) ni é nulo se, e somente se, os ni são todos nulos porque, do contrário, existiriam tantas combinações dos ni quantas se quisessem sem que os mesmos fossem nulos; o que é impossível. Como poderíamos aplicar o mesmo raciocínio ao caso em que o diádico fosse reduzido à forma N-nomial com conseqüentes independentes, concluímos que: A CNS para que um diádico transforme qualquer vetor no vetor nulo é que os seus antecedentes ou os seus conseqüentes sejam todos nulos. Dada a arbitrariedade do vetor r concluímos que todos os diádicos que transformam qualquer vetor no vetor nulo são iguais; esse diádico, único, é denominado diádico nulo e representado, assim, por um único símbolo: a letra maiúscula Ο (em negrito) do alfabeto grego. Obviamente

Ο E = 0 , Ο V = o , Ο 3 = 0, Teor. 1:

M = 0 ⇔ MΙ = ΙM = Ο ,

(04).

Pois, escrevendo Ι nas várias formas N-nomiais (01), teríamos, nos diferentes membros das expressões de 0ΙΙ, ou Ι0, diádicos todos iguais ao diádico nulo (com todos os antecedentes ou todos os conseqüentes nulos). Reciprocamente, se MΙΙ = ΙM = Ο, todos os antecedentes ou todos os conseqüentes de MΙΙ = ΙM são nulos. Como os antecedentes e os conseqüentes de Ι não são nulos, deve ser M = 0. Teor. 2: ∀ φ, a i , e i , (a1a 2 a 3 ) ≠ 0, (e1e 2 e 3 ) ≠ 0:

a1 e1 .a1 e 2 .a1 e 3 .a1

a2 e1 .a 2 e 2 .a 2 e 3 .a 2

a3 e1 .a 3 e 2 .a 3 e 3 .a 3

φ e1 .φ = Ο, e 2 .φ e 3 .φ

(05)

desde que os vetores da última coluna sejam os antecedentes nas díades a serem formadas. Pois, considerando (011) e a identidade evidente:

(a1a 2a3 )(e1e2e3 )φ = (a1a 2a3 )(e1e2e3 )(φ.ai )ai ,

Poliádicos - Ruggeri


88

§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

pode deduzir-se, sucessivamente, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03,I):

(a1a 2 a 3 )(e1e 2 e 3 )φ = = (e1e 2 e 3 )[φ.(a 2 × a 3 )a1 + φ.(a 3 × a1 )a 2 + φ.(a1 × a 2 )a 3 ] = = [(e1e 2 e 3 )(φ.e i )e i ].[(a 2 × a 3 )a1 + (a 3 × a1 )a 2 + (a1 × a 2 )a 3 ]. Mas,

(e1e 2 e 3 )(φ.e i )e i = (φ.e1 )(e 2 × e 3 ) + (φ.e 2 )(e 3 × e1 ) + (φ.e 3 )(e1 × e 2 ) ; logo, aplicando ((05), § 03.03,I):

(a1a 2a 3 )(e1e 2 e 3 )φ =

(φ.e1 )(

e 2 .a 2 e 2 .a 3 1 e 2 .a 3 e 2 .a1 2 e 2 .a1 e 2 .a 2 3 a + a + a )+ e 3 .a 2 e 3 .a 3 e 3 .a 3 e 3 .a1 e 3 .a1 e 3 .a 2

+(φ .e2 )(

e3 .a 2

e1.a 3

e1 .a 2

e1.a 3

a1+...) + (φ .e3 )(

e1.a 2

e1.a 3

e2 .a 2

e2 .a 3

a1+...) .

Os conseqüentes das três díades no segundo membro podem ser representados pelos determinantes a1

a2

a3

a1

a2

a3

a1

a2

a3

e 2 .a1 e 2 .a 2 e 2 .a 3 , − e1 .a1 e1 .a 2 e1 .a 3 e e1 .a1 e1 .a 2 e1 .a 3 . e 3 .a1 e 3 .a 2 e 3 .a 3

e 3 .a1 e 3 .a 2 e 3 .a 3

e 2 .a1 e 2 .a 2 e 2 .a 3

Conforme ((062),§ 03.03,I), (a1a2a3)(e1e2e3) é o co-fator de φ em (05); e os determinantes simbólicos, antes referidos, são os complementos algébricos dos demais elementos da quarta coluna de (05). Assim, a expressão a que chegamos é o desenvolvimento do determinante (05), segundo Laplace, pelos elementos da quarta coluna.

Diádicos opostos Consideremos, agora, dois diádicos φ e ψ que transformam um vetor qualquer, v, em vetores opostos, isso é, φ.v = w ,

II,§ 02.09

e

ψ. v = − w .


§ 03.01 - Definições e propriedades gerais.

89

Se os ei são independentes (i = 1,2,...,N) e eiai e eibi são as reduções N-nomiais de φ e ψ, i

i

i

i

escrevemos: e i ( a . v ) = e i ( − b . v ). Então, necessariamente, a . v = − b . v para todo i, i

i

isso é: a = − b . Logo: Se dois diádicos, reduzidos a uma forma N-nomial com antecedentes (conseqüentes) independentes, transformam por multiplicação pontuada posterior (anterior) um mesmo vetor em vetores opostos, seus conseqüentes (antecedentes) são vetores opostos. É evidente que a recíproca desta propriedade é verdadeira e que os mesmos resultados poderiam ser obtidos caso os diádicos fossem reduzidos a forma N-nomial com conseqüentes independentes. Diádicos que transformam um mesmo vetor em vetores opostos são denominados diádicos opostos. É evidente, em vista da definição de multiplicação de diádico por número real (§ 02.03), que se dois diádicos são opostos um deles é igual ao outro multiplicado por (-1). Assim, se ψ é oposto de φ, ψ = (-1)φ φ, isso é, a todo diádico φ corresponde um único oposto, e o representamos por - φ. Então:

− φ = ( −1)φ ,

(06);

logo:

(−φ ) E = −(φ E ) ,

(−φ ) V = −(φ V ) e (−φ ) 3 = (−1) N φ 3 ,

(07).

§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS. § 03.01 - Definições e propriedades gerais. Numa redução N-nomial de um diádico com antecedentes (conseqüentes) independentes, os conseqüentes (antecedentes) poderão ser ou não independentes. Um diádico é dito completo (ou não degenerado) quando, reduzido a uma forma N-nomial, tem antecedentes e conseqüentes simultaneamente independentes; ele é dito incompleto em caso contrário. Consideremos a forma N-nomial φ = eibi (i = 1,2,...,N) em que, por hipótese, os antecedentes são independentes. Se os bi não forem independentes eles serão, necessariamente: coplanares no E3, paralelos no E2, e nulo no E1. No E3 dois casos podem acontecer relativamente aos conseqüentes (Fig.03.01): 1°)- pelo menos um deles é nulo. Geometricamente, ilustraríamos esse caso com a Figura (a), em que o plano de b1 e b2 é o plano dos três vetores; ou em que tal plano é Poliádicos - Ruggeri


90

§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos

qualquer plano que contenha a reta suporte de b1 (Figura (b)); ou, que tal plano é indeterminado (o diádico correspondente é o diádico nulo).

2º)- Todos eles são não nulos (Figura (c)), com dois subcasos: dois dos conseqüentes são paralelos, (Figura (d)), ou os três paralelos, (Figura (e)). Neste último caso os vetores pertencem a qualquer um dos infinitos planos que contenham a direção comum a esses vetores. No caso 1º), Figura 03.01(a), b3 = o e o diádico fica reduzido a forma binomial φ = e1b1+e2b2 uma vez que e3b3 = Ο (díade nula). Se dois dos conseqüentes são nulos, b2 = b3 = o, por exemplo, então φ fica reduzido à forma monomial: φ = e1b1. No caso 2º), em que os três conseqüentes são não nulos, podemos expressar um 3 3 1 3 2 deles em função dos outros dois, escrevendo, por exemplo, b = B b + B′ b ; logo:

φ = e 1b + e 2 b + e 3 (B b + B′ b ) = ( e 1 + B e 3 )b + ( e 2 + B ′ e 3 )b . 1

2

3 1

3 2

3

1

3

2

Pondo

e 1 + B e 3 = e 1′ e e 2 + B′ e 3 = e ′2 , 3

3

temos, finalmente:

φ = e 1′ b + e ′2 b , 1

2

isso é, φ fica reduzido a uma forma binomial. 2 3 Caso dois dos bi sejam paralelos, por exemplo b || b , podemos escrever: b3 = 3 2 B b e, então, 1

2

3 2

1

3

2

φ = e 1b + e 2 b + e 3 (B b ) = e 1b + ( e 2 + B e 3 )b , isso é, φ fica reduzido à forma binomial. II,§ 03.01


§ 03.01 - Definições e propriedades gerais.

91

Finalmente, é óbvio que se todos os conseqüentes são paralelos, o diádico pode ser reduzido à forma monomial. Analogamente, no E2 dois casos podem acontecer, relativamente aos conseqüentes de uma redução binomial do diádico: 1º) ao menos um dos vetores é nulo: φ = e1b1+e2b2 com b2 = o. Então, obviamente, o diádico fica reduzido à forma monomial φ = e1b1; 2º) os conseqüentes são não nulos, mas paralelos. Nesse caso podemos escrever: b1 = e b2 = B2b; e φ = (B1e1+B2e2)b = eb, sendo e = B1e1+B2e2. Assim, também nesse caso, o diádico fica reduzido a uma forma monomial. B 1b

Definições: No E3, diádicos redutíveis à forma binomial denominam-se planares; no E3 ou no E2, os diádicos redutíveis à forma monomial denominam-se lineares. Quando um diádico está reduzido a uma forma não passível de maior redução no espaço a que pertence, dizemos que ele está representado em redução mínima ou em forma mínima. Assim, no E3, a forma mínima de um diádico planar é a binomial e a de um diádico linear a monomial. No E2 a forma mínima de um diádico linear é a monomial. Teor. 1: A todo diádico planar no E3 está associado um e um único par de planos; a todo diádico linear no E3 ou no E2 está associado um e um único par de direções. Seja, no E3, φ = eibi uma redução trinomial do diádico φ com antecedentes independentes, e β o plano dos seus conseqüentes. Este diádico transforma, por multiplicação pontuada posterior, qualquer vetor r de E3 no vetor r′ do plano β (Figura i 03.02), pois, r ′ = r. φ = ( r. e i )b .

Logo, como o transformado de qualquer outro vetor v , v', é ainda um vetor do plano β, concluímos que, nestas condições (multiplicação pontuada posterior e redução com antecedentes independentes), o diádico φ transforma qualquer plano do espaço no plano β.

Poliádicos - Ruggeri


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§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos

Suponhamos, agora, que a redução de φ seja φ = rici, com os ri independentes. Então o plano definido pelos mesmos vetores r e v, anteriormente considerados, deve ser transformado no plano β ' dos seus novos conseqüentes c1, c2 e c3. Mas como a transformação regida por φ é unívoca, o transformado do plano de r e v é um só, isso é, β e β ' são confundidos ou paralelos. Se fizéssemos a redução trinomial do mesmo diádico φ, agora com conseqüentes independentes e quaisquer - operação sempre possível (Teor.1, § 02.07) - , os antecedentes de φ deveriam ser coplanares porque, por hipótese, φ é planar. Procedendo como anteriormente poderíamos comprovar que esse plano tem orientação única. Então, não obstante serem, correspondentemente, os antecedentes (dois pares) de duas reduções binomiais arbitrárias de um mesmo diádico, vetores diferentes, esses vetores são coplanares; o mesmo ocorre com os conseqüentes. Logo, a todo diádico planar estão associados dois planos, em geral distintos. A demonstração da segunda parte do teorema, no E3 ou no E2, é análoga a primeira. Definições: No E3, os planos associados a um diádico planar e a interseção desses planos são ditos, respectivamente, os planos e a direção desse diádico; se esses planos são paralelos o diádico é dito uniplanar, se ortogonais, ortoplanares. No E3, ou no E2, a direção e o plano associados a um diádico linear são ditos a direção e o plano desse diádico, respectivamente; se o antecedente e o conseqüente de um diádico linear são paralelos o diádico é dito unilinear, se ortogonais, ortolineares. No E2, todos os diádicos são uniplanares; no E1 todos os diádicos são unilineares. Corol. 1: Todo diádico planar (gerado do E3) transforma qualquer figura (uni, bi ou tridimensional) numa figura de um dos seus planos. Corol. 2: Todo diádico linear (gerado do E3 ou de um E2) transforma qualquer figura (uni, bi ou tridimensional) em pontos ou segmentos de reta de uma de suas direções. Não é demais observar que, tanto aos diádicos planares (do E3), quanto aos lineares (do E3 e do E2), estão associados, respectivamente, uma direção única (interseção de dois planos) e um plano único (união de duas direções); geralmente, entretanto, essas direções não têm haver com as direções dos vetores desses diádicos. Por outro lado, quando, no E3, um diádico é uniplanar, o seu vetor é ortogonal ao seu plano; quando, no E3, um diádico é linear, o seu vetor é ortogonal ao seu plano, e quando ele é unilinear o seu vetor é o vetor nulo.

φ V .φ .

Exercício: Demonstre que a direção do diádico planar φ (gerado do E3) é paralela ao vetor

II,§ 03.01


§ 03.01 - Definições e propriedades gerais.

93

Teor. 2: Todo diádico completo transforma vetores independentes em vetores independentes; reciprocamente, se um diádico transforma vetores independentes em vetores independentes, ele é completo. Com efeito, se φ é completo e os ai são independentes, então, sendo bi = φ.ai, temse: φ = biai, conforme ((01),§ 02.04). Mas se φ é completo, os seus antecedentes são independentes (os ai já o são, por hipótese). Reciprocamente, se um diádico φ transforma os vetores independentes ai nos vetores independentes bi, isso é, bi = φ.ai, então φ = biai e φ é completo. Corol. 1: Uma CNS para que um diádico seja completo é que transforme vetores independentes em vetores independentes. Corol. 2: Uma CNS para que um diádico seja completo é que seu terceiro seja diferente de zero.

φ completo ⇔ φ 3 ≠ 0,

(01).

Teor. 3: Se φ é completo e φ.r = o, então, r = o:

φ3 ≠ 0

e

φ.r = o

r = o,

(02).

Escrevamos o diádico completo, φ, numa qualquer forma N-nomial: φ = eibi com os ei independentes. Então, também por hipótese, φ.r = ei(bi.r) = o. Como os ei são independentes, bi.r = 0 para todo i, isso é, r = o porque r não poderia ser ortogonal a N vetores independentes simultaneamente. Teor. 4:

φ≠Ο Ο, r≠o e φ.r = o

φ é incompleto,

(03).

Reduzamos o diádico φ à forma N-nomial com conseqüentes ei independentes. Deduzimos, então: φ.r = ai(ei.r) = o. Ora, os coeficientes ei.r na combinação linear dos vetores ai não podem ser simultaneamente nulos porque os vetores ei são independentes e r é qualquer. Logo (Corol.3, Teor.4, § 03.02, I) os ai são dependentes e φ é incompleto. Teor. 5: ai independentes e φ.ai = o (i = 1,2,...,N)

φ = Ο,

(04).

Pois teríamos de ((01),§ 02.04): φ = oa1 se N = 1, ou φ = oa1+oa2 se N = 2, ou φ = se N = 3, isso é, φ = Ο.

oa1+oa2+oa3

Teor. 6: Se φ é completo, então para qualquer r≠o, tem-se φ.r≠o e r.φ≠o; ou,

φ 3 ≠ 0, ∀r ≠ o :

φ.r ≠ o e r.φ ≠ o,

(05).

Poliádicos - Ruggeri


94

§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos.

Escrevendo φ = eibi, com (e1e 2 e 3 ) ≠ 0 , tem-se φ.r = ei(bi.r). Ora, ao menos um dos números entre parênteses é não nulo porque o vetor não nulo, r, não poderia ser ortogonal aos três vetores independentes bi simultaneamente; logo φ .r ≠ o . Analogamente comprova-se que r .φ ≠ o .

§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. Consideremos, no E3 , dois diádicos completos, φ e ψ, escritos, por exemplo, nas formas trinomiais seguintes (com antecedentes independentes)

φ = ei a i e ψ = e ip i

(i = 1, 2, 3) ,

(01),

com a condição de que os pi, não nulos, sejam paralelos aos correspondentes ai, isso é,

p 1 = X 1 a 1 , p 2 = X 2 a 2 , p 3 = X 3 a 3 , (X 1 , X 2 , X 3 ≠ 0) ,

(011).

Então podemos dar a ψ a nova representação:

ψ = ei Xia i

(i = 1, 2, 3) 42,

(012).

Aplicados os ai e os pi co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O, suas extremidades A1, A2, A3 e P1, P2, P3 definirão os triângulos espacialmente homológicos, A1A2A3 e P1 P2 P3. O centro dessa homologia é O e seu eixo é a interseção dos planos dos triângulos, interseção esta que contém, ademais, os pontos de interseção B1, B2 e B3 dos lados homólogos (A2A3, P2 P3), (A3A1, P3 P1) e (A1A2, P1 P2), respectivamente (Fig. 03.03).

Explicitando os vetores ai em (011) e substituindo em (01), vemos que as representações de φ e de ψ são análogas, porem com coeficientes recíprocos:

φ = ei

1 Xi

pi ,

(013).

42 Notar que quando dois índices aparecem repetidos num mesmo nível mas seguidos do mesmo índice em nível diferente, fica estabelecida a somatória convencionada; e apenas nestes caso. Por isso, as expressões (011) poderiam ser escritas na forma p i = X i a i (i = 1, 2, 3) .

II,§ 03.02


§ 03.02

- Diádicos homológicos e término colineares.

95

Definição: (diádicos homológicos) Diádicos como φ e ψ, cujos conseqüentes satisfazem (011), serão ditos reciprocamente homológicos (ou, simplesmente, homológicos). Escritos os diádicos nas formas (01)1 e (012), diremos que ψ é homológico com φ e tem coeficientes de homologia Xi; e escreveremos ψ = Homφ. Nota: Quando não houver perigo de confusão escreveremos, simplesmente ψ = Homφ e φ = Hom −1ψ para representar a reciprocidade homológica dos diádicos. Devemos notar, entretanto, neste caso, que a substituição da segunda igualdade na primeira dá: −1 HomHom ψ ≠ ψ .

Segue-se das considerações geométricas estabelecidas que, a dado par de diádicos homológicos, é possível associar, de modo unívoco, o diádico χ que, escrito em forma trinomial com antecedentes ei, é χ = e i b i (i=1, 2, 3), os vetores bi sendo co-iniciais em O e tendo extremidades Bi sobre o eixo da homologia (portanto, colineares). Definição: (diádico término colinear) Um diádico que, escrito em forma trinomial, tem por vetores motivos, vetores término colineares quando co-iniciais, é dito término colinear. É geometricamente evidente que resultados análogos poderiam ser obtidos fazendose a projeção do sistema espacial de triângulos homológicos da Figura 03.03 sobre um plano arbitrário, paralelamente a uma direção também arbitrária do espaço. Nesse caso, os diádicos homológicos φ e ψ, antes completos, agora devem ser considerados dados por expressões idênticas às (01), com a condição se serem ambos planares, seus conseqüentes satisfazendo (011). Mantêm-se as mesmas denominações e notações já estabelecidas no caso da homologia espacial. Particularmente, o diádico término colinear associado com essa homologia tem seu plano coincidente com o plano da mesma. Exercícios: 1) – Teorema da invariância da homologia: A homologia de dois diádicos homológicos independe de suas representações N-nomiais. 2) - Se ψ=eiXiai é homológico de φ = eiai com (e1e2e3)≠0 e (a1a2a3)≠0, então o eixo da homologia é paralelo ao vetor

a = X1 ( X 2 − X 3 )a1 + X 2 ( X 3 − X1 )a 2 + X 3 ( X1 − X 2 )a 3 ; e este é perpendicular ao vetor a1 + a 2 + a 3 . * No caso particular em que os coeficientes da homologia (plana ou espacial) de dois diádicos são todos iguais, os diádicos correspondentes são paralelos; os triângulos que lhes correspondem são semelhantes e têm planos paralelos.

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96

§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos.

Propriedades. 1°) - O transposto do homológico de um diádico é igual ao homológico do transposto desse diádico:

( Homφ ) T = Hom(φ T ) ,

(02).

Pois

(Homφ ) T = ( e i X i a i ) T = X i a i e i e Hom(φ T ) = a i X i e i

(i = 1, 2, 3) .

2°) - O terceiro do homológico de um diádico é igual ao produto do terceiro desse diádico pelos coeficientes de suas homologias:

( Homφ ) 3 = X 1 X 2 X 3φ 3 ,

(03).

Pois,

(Homφ ) 3 = (e i X i a i ) 3 = (e1e 2 e 3 )( X1a1 × X 2 a 2 .X 3a 3 ) = X1X 2 X 3 (e1e 2 e 3 )(a1a 2a 3 ) . 3°) - Se dois diádicos são paralelos (§ 02.03), seus homológicos são igualmente paralelos:

ψ = Kφ

⇔ Homψ = K Homφ ,

(04).

Pois

Hom(Ke i a i ) = Ke i X i a i = K( e i X i a i ) = KHom( e i a i ). ⇒

§ 03.03 - Diádicos de Moreira. Quadrângulo associado. Consideremos um feixe qualquer de três planos α1), α2) e α3), de charneira e), Figura 03.04. Podemos escolher de uma (múltipla) infinidade de maneiras dois tercetos de vetores não coplanares, {e1 , e 2 , e 3 } e {a 1 , a 2 , a 3 } , tais, que para i=1,2,3, ei e ai pertençam ao plano αi). Com esses tercetos podemos constituir o diádico, digamos completo43,

M = eia i

(i = 1,2,3),

43 Nada impede que esse diádico possa ser planar.

II,§ 03.03

M 3 ≠ 0,

(01).


§ 03.03 - Diádicos de Moreira.

97

Decorre dessa construção que os vetores das díades de M são coplanares, isso é,

(e1 × a1 ) × (e 2 × a 2 ).(e 3 × a 3 ) = 0 ,

(02).

Com efeito, pois esses vetores são ortogonais a planos que têm uma reta comum. O plano π), ao qual são paralelos os vetores das díades de M, é, evidentemente, ortogonal a e). É evidente, ainda, que MV (em geral não nulo) também é paralelo a π). Em resumo: se os planos das díades de um diádico completo formam um feixe, o vetor (em geral não nulo) desse diádico e os vetores de suas díades são paralelos a um mesmo plano que é ortogonal à charneira do feixe.

Os suportes dos vetores constituintes de cada díade de M haverão de se interceptar quando os tercetos de antecedentes e conseqüentes forem aplicados co-inicialmente em pontos arbitrários, D* e D, respectivamente, da charneira e) do feixe a ele associado. Se A, B e C são as interseções de e1 com a1, de e2 com a2 e de e3 com a3, respectivamente, resulta que o plano (ABC) é necessariamente paralelo ao plano π).

Representemos no plano (ABC) os pontos: HA, de interseção do plano (e1,a1) com BC, HB de interseção de (e2,a2) com CA, HC de interseção de (e3,a3) com AB, e H, interseção de DD* com (ABC).

Poliádicos - Ruggeri


98

§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos

Definições: (Quadrângulo) Quadrângulo44, é a figura formada por 4 pontos quaisquer, de que são os vértices, e os 6 segmentos que definem, de que são os lados. Constatamos, então, na representação geométrica do diádico M = e i a i , Fig. 03.05, a existência de um quadrângulo (no caso, um tetraedro), DABC, e três quadrângulos planos, DD*AHA, DD*BHB e DD*CHC com um par de vértices em comum. No quadrângulo ABCD, os lados que não possuem vértices comuns, ditos lados opostos, são três pares: DA e BC, AB e CD, CA e BD. Assim, ao suporte de a1 corresponde o suporte (oposto) de e1 × a1 etc. Ora, e1 × a1 (que é paralelo a BC) é perpendicular a e1 (que é paralelo a D*A) e a a1 (que é paralelo a DA); o mesmo ocorre com e 2 × a 2 em relação a e2 e a a2 etc. O quadrângulo é, por isso, um quadrângulo especial, cujos lados opostos (de comprimentos diferentes em geral e variáveis com DD*) são ortogonais; denomina-se um ortoquadrângulo na nomenclatura de Moreira. Os pontos HA, HB e HC são, assim, os pés das alturas do triângulo ABC, ou seja, H é o ortocentro desse triângulo. A escolha de novos pontos D e D* sobre a reta e) implica a formação de novos quadrângulos, todos de lados paralelos aos lados do primeiro. Como os antecedentes e os conseqüentes do diádico são quaisquer, o ortoquadrângulo que lhe é associado, é um ortoquadrângulo qualquer. É óbvio que poderíamos constituir diádicos M tais que um dos tercetos que definem o feixe fosse constituído de vetores coplanares, ou ambos os tercetos fossem coplanares e seus planos distintos, ou, mesmo, confundidos. Ficará a cargo do leitor a discussão geométrica dessas situações particulares, casos em que M seria planar ou uniplanar. Definição: (diádico de Moreira) Denominaremos diádico de Moreira todo diádico cujos planos de suas díades constituam um feixe. Assim, aos diádicos de Moreira estão sempre associados um eixo e) e um plano π), ortogonais, que serão denominados eixo e plano desse diádico. Deve ser observado, porém, que diferentes diádicos de Moreira podem ter um mesmo eixo e um mesmo plano. Quadrângulos transpostos. Exploraremos um pouco mais o assunto no § 08 06. Por ora podemos deduzir que se certo diádico é um diádico de Moreira, o seu transposto também é. Se aplicarmos os antecedentes e os conseqüentes de MT nos mesmos pontos D e D* de aplicação dos antecedentes e conseqüentes de M, o novo quadrângulo formado tem seus vértices simétricos dos vértices do primeiro em relação ao ponto médio de DD*. Os diádicos M e MT têm, pois, eixos coincidentes e planos paralelos; poderíamos denominar o quadrângulo associado a MT o quadrângulo transposto ou conjugado do primeiro. Devemos observar que qualquer plano e a reta a ele ortogonal constituem, respectivamente, o plano e o eixo de uma representação do diádico unidade. 44 Conforme Moreira, L. C. de A., Fundamentos da Geometria dos Quadrângulos, Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1960, p. 95 a 126.

II,§ 03.03


§ 04.01- Definição e propriedades.

99

Nota: Esses conceitos generalizam aqueles apresentados no § 03.03,I para sistemas de vetores recíprocos, sendo fácil detectar a correspondência existente entre os vários conceitos envolvidos. Assim, por exemplo, qualquer diádico de Moreira está para o seu ortoquadrângulo assim como o diádico unidade está para o quadrângulo ortocêntrico. Deve ser notado também que qualquer plano e qualquer reta podem constituir o plano e o eixo do diádico unidade.

§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS. § 04.01 - Definição e propriedades. Chama-se soma de dois diádicos φ e ψ, e representa-se por φ+ψ ψ (ler: φ mais ψ), o diádico cujas díades são as de φ e as de ψ. Assim, se φ = ai bi e ψ = cj d j, para i e j quaisquer, tem-se: 1 2 1 2 φ + ψ = a 1b + a 2 b +...+ c 1 d + c 2 d +.... A soma de dois diádicos é, pois, a soma simbólica de todas as díades desses diádicos. A adição de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar a soma desses diádicos; ela é, obviamente, extensível a mais de dois diádicos. Como, para qualquer vetor r, i

i

i

i

(φ + ψ +...) . r = ( a i b + c i d +...) . r = a i (b . r ) + c i ( d . r ) +..., vemos que a adição de diádicos goza das mesmas propriedades que a adição de vetores45. Por outro lado, como é sempre possível, com diádicos gerados do EN, reduzir qualquer diádico a uma forma N-nomial (com antecedentes ou conseqüentes independentes), vemos que a realização de uma redução N-nomial similar dos diádicos parcela (com os mesmos antecedentes, por exemplo) pode conduzir-nos rapidamente à determinação do diádico soma. Assim, por exemplo, i

i

i

i

se φ = e i b e ψ = e i c , então, φ + ψ = e i (b + c ),

( i = 1,2, ..., N ),

(01).

Nestas condições, demonstram-se facilmente as seguintes Propriedades. 1º)- É sempre possível e unívoca. Com efeito, dados dois diádicos é sempre possível reduzi-los a forma N-nomial com antecedentes (ou conseqüentes) independentes; além disso, a soma dos conseqüentes (ou antecedentes) é também possível e unívoca. 45 Essa operação de adição juntamente com a de multiplicação de diádico por número real (§ 02.02) e algumas de suas propriedades permitem enquadrar o conjunto dos diádicos como um "espaço vetorial no corpo dos números reais" em linguagem da Álgebra Linear.

Poliádicos - Ruggeri


100

§ 04- Adição de diádicos.

2º)- É comutativa e associativa: φ + ψ = ψ + φ,

φ + ψ + λ +... = (φ + ψ) + λ +...,

(02),

o que é evidente. 3º)- Chama-se diferença de dois diádicos φ e ψ, e representa-se por φ - ψ, o diádico que se obtém somando ao primeiro o oposto do segundo. Esta operação é, também, sempre possível e unívoca, podendo ser estendida a vários diádicos. Tem-se também, (03), φ − φ = Ο, isso é, a diferença de dois diádicos iguais é o diádico nulo. 4º)- A operação é distributiva em relação à multiplicação por número:

M(φ + ψ +...) = Mφ + Mψ +...,

(04),

porque: i

i

i

i

M(φ + ψ +...) = M[ a i (b + c +...)] = (Ma i )(b + c +...) = i

i

i

i

= a i ( Mb + Mc +...) = M ( a i b ) + M ( a i c ) +... = Mφ + Mψ+... . 5º)- A multiplicação pontuada de diádico por vetor é distributiva em relação à adição de diádicos:

(φ + ψ +...) . r = φ . r + ψ. r +...,

(05).

É evidente a demonstração.

6º)- O diádico transposto de uma soma algébrica de diádicos é igual à soma algébrica dos transpostos dos diádicos parcela: T

T

T

(φ + ψ +...) = φ + ψ +..., T

i

i

T

i

i

(06). i

i

T

T

(φ + ψ +...) = [ a i (b + c +...)] = (b + c +...) a i = b a i + c a i +... = φ + ψ +... 7º)- O escalar e o vetor de uma soma algébrica de diádicos são respectivamente iguais à soma algébrica dos escalares e dos vetores dos diádicos parcela:

(φ + ψ + ...) o = φ o + ψ o + ... ,

II,§ 04.01

(07).


§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva.

101

Com efeito, reduzindo os diádicos a uma forma N-nomial com os mesmos antecedentes independentes, tem-se (com ͦ denotando E ou V):

(φ + ψ + ...) o = [a i (b i + c i + ...)]o = = a i o (b i + c i + ...) = a i o b i + a i o c i + ... = φ o + ψ o + ...

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. Sejam s1, s2, ..., N vetores não simultaneamente nulos que, em relação a uma base qualquer {e } de EN, são escritos na forma: *

si = (si .e j )e j com si .e j = s j .ei ,

(i, j = 1,2,..., N).

Existe sempre (Corol.1,Teor.1,§ 02.04) um diádico S que transforma os vetores da base recíproca de {e } nos vetores si, isso é, se si = S.ei, então, em forma N-nomial, S = siei. * Para qualquer r, i

i

j

S . r = s (e i . r ) = s . e (e i . r )e j , T

j

j

i

S . r = e j ( s . r ) = s . e ( r. e i ) e j . Por serem si.ej = sj.ei para todo i e j, resulta da definição de igualdade de diádicos que S=ST. Existem, pois, diádicos que são iguais aos seus respectivos transpostos; denominam-se diádicos simétricos e são representados genericamente por S. O diádico nulo e o diádico unidade são exemplos particulares de diádicos simétricos. Similarmente, seja a N-pla de vetores não simultaneamente nulos

a i = (a i .e j )e j com − a i .e j = a j .e i (i,j=1,2, ..., N). Existe sempre um diádico, digamos A, que transforma os vetores da base {e*} nos vetores ai; logo A = aiei. Então: i

i

j

A. r = a ( e i . r ) = a . e ( e i . r ) e j e T

j

j

i

A . r = e j (a . r ) = a . e (e i . r)e j . Logo, por ser - ai.ej = aj.ei e lembrando a definição de igualdade de diádicos e diádicos opostos: A = - AT. Existem, pois, diádicos que são iguais aos opostos dos seus respectivos

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102

§ 04- Adição de diádicos.

transpostos; são denominados diádicos anti-simétricos e representados geralmente por A46. O diádico nulo é um exemplo particular de diádico anti-simétrico para qualquer N. Teor. 1: A soma e a diferença de qualquer diádico com o seu transposto são, respectivamente, diádicos simétrico e anti-simétrico. Com efeito, pois pela propriedade 6ª (§ 04.01) e considerando ((03),§ 02.05), temos, com correspondência de sinais: T T

T

(φ ± φ ) = φ ± φ

TT

T

T

= φ ± φ = ± (φ ± φ );

isso é, T

T T

φ ± φ = ± (φ ± φ ) ,

(01),

donde a tese. Teor. 2: Qualquer diádico pode ser decomposto de modo único na soma de um diádico simétrico com um anti-simétrico. Da identidade

φ=

1 2

T

(φ + φ ) +

1 2

T

(φ − φ ),

(02),

e do teorema anterior, resulta, logo, comprovada a possibilidade da decomposição. Demonstremos que ela é única. Pondo

φ′ =

1 2

(φ + φ ) e φ ′′ = T

1 2

T

(φ − φ ),

temos: φ = φ'+φ φ''. Se existissem dois outros diádicos ψ' e ψ'' tais, que

φ = ψ ′ + ψ′′ com ψ′ = ψ′

T

ψ′′ = − ψ′′ , T

e

então poderíamos escrever:

ψ ′ = φ′ + χ e ψ ′′ = φ′′ − χ, com χ ≠ Ο, para que ψ ′ + ψ ′′ = φ′ + φ′′ = φ . Sendo ψ ′ e ψ ′′ , respectivamente, simétrico e antisimétrico, deduzimos:

(φ ′ + χ ) = φ ′ + χ e (φ ′′ − χ ) = − (φ ′′ − χ ). T

T

46 A simetria e a anti-simetria dos diádicos aqui apresentadas são "internas". Oportunamente (§02.05,III) serão apresentadas as "externas".

II,§ 04.02


§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva.

103

Mas sendo φ ′ simétrico e φ ′′ anti-simétrico, deduzimos também, aplicando propriedade da adição:

χT = χ

e − χ T = χ, isto é, χ = Ο.

Logo: ψ ′ = φ ′ e ψ ′′ = φ ′′ , e a decomposição é única. Definições: A identidade (02) representa a decomposição aditiva do diádico φ. Nesta decomposição de φ, o diádico parcela (φ+φT)/2, simétrico, é dito a parte simétrica de φ; o diádico (φ - φT)/2, anti-simétrico, é dito a parte antisimétrica de φ. Esses diádicos serão representados, respectivamente, por φ sim e φ ant . Então:

φ = φ sim + φ ant , com φ sim =

1 1 (φ + φ T ) e φ ant = (φ − φ T ), 2 2

(03).

Corol. 1: Se um diádico é simétrico, a sua parte anti-simétrica é nula, e reciprocamente. Corol. 2: Se um diádico é anti-simétrico a sua parte simétrica é nula, e reciprocamente. Teor. 3: Os diádicos anti-simétricos, Α, são nulos no E1, unilineares no E2. No E3 eles são uniplanares e, particularmente,

∀r :

r × A V = 2A.r = 2r.A T = −2r.A ,

(04),

isso é, o vetor de um diádico anti-simétrico é perpendicular ao seu plano.47 No E1, A = ae =

- ea implicam a.e = 0; como a é paralelo a e: ou a = o, ou e = o e A

é o diádico nulo. No E2, A deveria ser ao menos linear, logo, da forma A = ae = - ea com a≠o e e≠o. Mas, para qualquer r de E2: A.r = a(e.r) = - e(a.r), isso é, a e e são paralelos; logo A é unilinear. Por ser A = - AT, A3 = (-1)N A3, isso é, Α3 = 0 para N=1, ou 3. Então, no E3, A deve ser ao menos planar porque A3=0. Com efeito, por ser A=-AT tem-se, lembrando ((06), § 02.09) e ((07), § 02.08): Α 3 = (− Α T ) 3 = (−1) 3 Α 3 = − Α 3 ; logo, no E3, A3=0. Então

47 Dispensam-se considerações aos vetores de diádicos anti-simétricos em E e E porque são sempre nulos. 1 2

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104

§ 04- Adição de diádicos.

esse diádico pode ser escrito na forma A=ab+cd. Mas devendo ser, também, A=-ba-dc, resulta que os planos (a,c) e (b,d) são coincidentes e Α é uniplanar. Então:

∀ r : A.r = a(b.r ) + c(d.r ) = −b(a.r ) − d(c.r ), Mas

r × A V = r × (a × b) + r × (c × d) = −(r.a)b + (r.b)a + (r.d)c − (r.c)d , donde, considerando a igualdade anterior

r × A V = 2[(r.b)a + (r.d)c] = 2r.A T = −2r.A = 2A.r , o que comprova (041). Analogamente, podemos escrever:

r × A V = −2[(r.a)b + (r.c)d] = −2r.A . Como r é qualquer, ΑV é perpendicular a qualquer combinação linear de a e c e de b e d; isso é, perpendicular ao plano do diádico. Corol. 1:

Α = −Α T

e ΑV = o

Α=Ο.

Pois, por (04) seria r.Α = o para todo e qualquer r, ou seja, conforme (03), § 02.09, Α = Ο . A recíproca é evidente pois o diádico nulo é anti-simétrico e tem vetor nulo. Corol. 2: Todo diádico anti-simétrico gerado do E3 tem escalar e terceiro nulos, e vetor não nulo:  AE = 0, A = − A T ⇒  A3 = 0, (041).  AV ≠ o Que o vetor de A é não nulo é evidente porque, se não fosse, o Corol. 1 garantiria ser esse diádico o diádico nulo; o que é contra a hipótese. Por ser A = - AT, deduzimos, igualando os escalares e os terceiros de ambos os membros: AE = Mas, segundo ((03) e (07),§ 02.08),

- ATE e A3 = - (AT )3.

ATE = AE e A3 = (AT)3; logo AE = 0 = A3. Corol. 3:

∀r:

Α = -Α T

r. Α . r = 0 ,

Pois, sendo r. Α . r = − r. Α T . r , temos, evidentemente:

r. Α . r = − r. ( r. Α ) = − ( r. Α ) . r = − r. Α . r .

II,§ 04.02

(042).


§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva.

105

Teor. 4: Todo diádico simétrico tem vetor nulo; reciprocamente, se um diádico tem vetor nulo ele é simétrico. Pois se S=ST, então, SV=(ST)V, isso é, lembrando ((031),§ 02.08), SV=-SV, ou SV=o. Reciprocamente, por hipótese SV=o. Mas, para qualquer diádico φ, (φ φT)V=- φV; logo: (ST)V=-SV=o=SV, ou seja, lembrando ((07), 04.01): (ST-S)V=o. Mas o diádico ST-S é antiΟ, ou seja, simétrico (Teor. 1); e tendo vetor nulo, o Corol. 1 do Teor. 3 garante ser ST-S=Ο ST=S. Corol. 1: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo:

φ = φT

φV = o

(05).

Logo (§ 03.03): todo diádico simétrico é um diádico de Moreira. Exercício: Caracterizar o diádico de Moreira associado a um diádico simétrico. Corol. 2: No E3 todo diádico planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear). No E2 todo diádico linear simétrico é unilinear. Com efeito, se φ é simétrico, φV=o pelo corolário anterior; sendo planar podemos escrevê-lo, em redução mínima, φ=miai (i=1,2). Logo, mi × ai = o , igualdade que implica serem coplanares os antecedentes m1, m2 e os conseqüentes a1, a2 de φ. Então φ é uniplanar. A demonstração para o caso linear tanto no E3 quanto no E2 é evidente. Nota: A recíproca deste teorema para o caso planar não é verdadeira porque, obviamente, existem diádicos uniplanares cujos vetores não são nulos, logo não simétricos.

Corol. 3: Os diádicos ortoplanares e os ortolineares são não simétricos. Com efeito, se fossem simétricos seriam uniplanares os ortoplanares e unilineares os ortolineares, o que é absurdo. Teor. 5: A todo v≠o de E3 é possível associar, de infinitas maneiras, um diádico antisimétrico (uniplanar), de plano perpendicular a v, cujo vetor seja 2v.

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106

§ 04- Adição de diádicos.

Com efeito, sejam e1 e e2 dois dos infinitos vetores não paralelos arbitrários do plano ortogonal a dado vetor v tais, que v=e1×e2. O diádico e1e2-e2e1 é anti-simétrico porque T

e 1e 2 − e 2 e 1 = − ( e 1 e 2 − e 2 e 1 ) ; e seu vetor é 2e1×e2=2v, o que comprova o teorema. Teor. 6: O escalar e o vetor de um diádico são iguais, respectivamente, ao escalar de sua parte simétrica e ao vetor de sua parte anti-simétrica. Com efeito, sendo φ = φ sim + φ ant e considerando os teoremas 3 e 4 deduzimos:

φ E = φ sim E + φ ant E = φ sim E ,

e

φ V = φ sim V + φ ant V = φ ant V .

Teor. 7: Se dois diádicos têm vetores iguais, então suas partes anti-simétricas são iguais; e reciprocamente. φ-ψ)V = o e φ-ψ é diádico Com efeito, se φ e ψ são quaisquer e φV=ψ ψV, então: (φ T T T simétrico (Teor.4). Logo: φ-ψ=(φ φ-ψ) , ou, φ-φ =ψ ψ-ψ e as partes anti-simétricas desses diádicos são iguais.

φT)

A demonstração da recíproca é imediata, pois, devendo ser φ-φT=ψ ψ-ψT, então: (φ φT ψ-ψ )V, isso é, pelo Teor.6, φV=ψ ψ V. V=(ψ Corol. 1: Se o vetor φV de um diádico φ é igual ao vetor AV de um diádico antisimétrico A, então A é a parte anti-simétrica de φ:

∀ φ , A:

φ V = AV

A = φ ant

(06).

Pois, pelo Teor.7 as partes anti-simétricas de φ e A são iguais e a parte antisimétrica de A é o próprio A. Corol. 2: Se dois diádicos anti-simétricos têm vetores iguais, eles são iguais.

Exercício: Provar que

∀φ, ψ :

II,§ 04.02

2ψ V × φ V = −ψ V .φ ant = φ V .ψ ant ,

(07).


§ 05.01- Definição e propriedades.

107

Teor. 8: Se a soma (diferença) de dois diádicos é um diádico simétrico (antisimétrico), as suas partes anti-simétricas (simétricas) são diádicos opostos (iguais), e reciprocamente:

φ ± ψ = ± (φ ± ψ ) T

∀φ, ψ

1 1 (φ m φ T ) = m ((ψ m ψ T ) , 2 2

(08),

expressões em que os sinais se correspondem. Pois se φ ± ψ = ± (φ ± ψ) T = ±φ T + ψ T , então por transposição de termos resulta:

φ m φ T = m ψ + ψ T = m (ψ m ψT ) . A recíproca é de demonstração evidente. Exercício: Qualquer combinação linear de diádicos simétricos (anti-simétricos) é diádico simétrico (anti-simétrico).

§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS. § 05.01- Definição e propriedades. Chama-se produto pontuado do diádico φ = aibi (i = 1,2,...,P) pelo diádico ψ = cjdj (j = 1,2,...,Q), nessa ordem, e representa-se por φ.ψ ψ (lendo-se φ ponto ψ), o diádico χ representado pela soma simbólica das díades que se obtém multiplicando escalarmente o conseqüente de cada díade de φ pelos antecedentes de cada díade de ψ. Escreve-se: χ = φ . ψ , sendo:

χ = a i ( b i . c j ) d j = a 1 ( b 1 . c 1 ) d 1 + a 1 ( b 1 . c 2 ) d 2 +... +a 2 ( b 2 . c 1 ) d1 +... ,

(01).

Na ordem inversa o produto pontuado dos diádicos é:

ψ . φ = c j ( d j . a i ) b i = c 1 ( d 1 . a 1 ) b 1 + c 1 ( d 1 . a 2 ) b 2 + ...,

(011).

A multiplicação pontuada de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar o produto pontuado desses diádicos. Propriedades. 1ª)- É operação sempre possível e unívoca, o que é evidente. 2ª)- É operação não comutativa:

φ . ψ ≠ ψ . φ,

(02),

o que é evidente por (01) e (011).

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108

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

3ª)- A operação é associativa em relação a fatores escalares:

N ( φ . ψ ) = ( Nφ ) . ψ = φ . ( Nψ ) = ( φ . ψ ) N ,

(03).

Tem-se, por exemplo, aplicando (01) e lembrando ((01),§ 02.02):

N ( φ . ψ ) = N [ a i ( b i . c j ) d j ] = Na i [ ( b i . c j ) d j ] = [ ( Na i ) b i ] . ( c j d j ) = ( Nφ ) . ψ . O terceiro e quarto membros de (03) podem ser deduzidos analogamente. 4ª)- É associativa em relação a fator vetor, se o vetor não aparecer entre os diádicos, isso é:

(φ. ψ ). r = φ. (ψ . r),

(04),

(φ.r). ψ ≠ φ. (r. ψ ) ,

(041).

mas, geralmente,

De fato,

( φ . ψ ) . r = [ a i ( b i . c j ) d j ]. r = a i ( b i . c j ) ( d j . r ) = a i {b i . [ c j ( d j . r ) ]} = = a i [ b i . ( ψ . r ) ] = ( a i b i ) . ( ψ . r ) = φ . ( ψ . r ). A expressão (041) é verdadeira porque, sendo:

( φ . r ) . ψ = a i ( b i . r ) . ψ = ( b i . r ) ( a i . c i ) d j = combinação linear dos dj, e

φ . ( r . ψ ) = φ . ( r . c j ) d j = ( r . c j ) a i ( b i . d j ) = combinação linear dos ai, a combinação linear dos dj sendo, geralmente, diferente da combinação linear dos ai. Concluímos, logo:

∀ φ: φ . Ι = φ ,

(042).

Com efeito, para comprovar basta fazer em (04) ψ = Ι, considerar que Ι.r = r, considerar que r é qualquer e lembrar a definição de igualdade de diádicos. 5ª)- Para quaisquer a e b:

(a. φ ). (ψ.b) = (a. φ . ψ). b = a. (φ . ψ). b = a. (φ . ψ.b),

(05).

Pondo ψ.b=v e lembrando ((02),§ 02.06), o primeiro membro de (05) pode ser assim escrito: ( a . φ ) . v = a . ( φ . v ) = a . [ φ . ( ψ .b )]. Mas lembrando (04) e em seguida reaplicando ((02),§ 02.06), o último membro da expressão obtida é escrito na forma:

a . [( φ . ψ ) .b ] = a . ( φ . ψ ) .b ,

II,§ 05.01


§ 05.01- Definição e propriedades.

109

o que comprova a igualdade do primeiro e terceiro membros de (05). As demais fórmulas podem ser demonstradas analogamente. 6ª)- A operação é distributiva em relação à adição de diádicos,

φ . ( α + β +...) = φ . α + φ . β +...,

(06).

Com efeito, pondo φ = aibi e lembrando que a multiplicação pontuada de vetor por soma de diádicos é distributiva (propr. 5ª, § 04.01), temos:

φ . ( α + β +...) = a i [ b i . ( α + β +...)] = a i ( b i . α + b i . β +... . Entre os parênteses do último membro temos uma soma de vetores; e sendo distributiva a multiplicação justaposta de vetores em relação à adição de vetores (Teor.2, § 02.06), deduzimos:

φ . ( α + β + ...) = a i ( b i . α ) + a i ( b i . β ) + ... = φ . α + φ . β + ... 7ª)- A operação é associativa em relação a fatores diádicos, isso é:

( φ . α ) . χ . ... = φ . ( α . χ ) . ...,

(07).

Pondo φ = aibi, ψ = cjdj e χ = fkgk, quaisquer que sejam os campos de variação dos índices, temos:

( φ . ψ ) . χ = [ a i ( b i . c j ) d j ] . ( f k g k ) = a i [ ( b i . c j ) ( d j . f k ) g k ]. Dentro dos colchetes, no último membro, existe uma soma de vetores cujos coeficientes são somas de escalares; tais coeficientes podem ser escritos na forma:

b i .[ ( c jd j ) . f k ] = b i . ( ψ . f k ) , donde,

( b i . c j ) ( d j . f k ) g k = b i . [ ( ψ . f k ) g k ] = b i . [ ψ . ( f k g k ) ]; logo,

( φ . ψ ) . χ = a i [ b i . ( ψ . χ ) ] = ( a i b i ) . ( ψ . χ ) = φ . ( ψ . χ ). 8ª)- Critério de igualdade de diádicos:

 φ . ψ = φ . ψ′  ∀φ: ψ = ψ′ ⇒  ou  = ψ . φ ψ ′. φ , 

(08);

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110

§ 05- Multiplicação escalar de diádicos.

para diádico completo, a recíproca de (08) é verdadeira:

ψ = ψ′

 φ . ψ = φ . ψ′  ⇐ ∀φ , φ 3 ≠ 0 ⇒  ou   ψ. φ = ψ ′. φ ,

(081).

Se ψ = ψ' e r é um vetor qualquer, temos, lembrando (04):

∀ φ:

( φ . ψ) . r = φ . ( ψ . r ) = φ . ( ψ ' . r ) = ( φ . ψ ' ) . r ;

logo, os diádicos φ.ψ ψ e φ.ψ ψ' são iguais em vista da definição de igualdade de diádicos (§ 02.06), o que comprova (08). Se φ.ψ ψ=φ φ.ψ ψ', ∀ φ completo, temos:

r. (φ. ψ ) = r.(φ. ψ ' ) = (r. φ). ψ = (r. φ). ψ '. Pondo r.φ φ=v, v é qualquer porque r é qualquer e φ é qualquer e completo; logo:

v. ψ = v. ψ ′, isso é, como conseqüência da definição de diádicos iguais, ψ=ψ ψ'. 9ª)- (Produto pontuado nulo) Se ψ é qualquer e o produto pontuado de um diádico φ por ψ é o diádico nulo, Ο, então φ=Ο; e reciprocamente: φ.ψ = Ο

⇐∀ ψ ⇒

φ = Ο,

(09).

Com efeito, pois, para qualquer r:

(φ.ψ ).r = Ο.r = o, ou,

φ . ( ψ . r ) = o = φ . r ′.

Mas r' é qualquer porque ψ e r o são. Logo, por definição de diádico nulo (§ 02.09), φ=Ο Ο. A recíproca é de demonstração evidente.

§ 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. Chama-se potência de expoente inteiro e positivo, P, de um diádico φ, e indica-se por φP, o produto pontuado de P fatores diádicos φ, isso é,

φ P = φ . φ . ... . φ 14243 , P fatores

II,§ 05.02

(01).


§ 05.02- Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro.

111

Para P = 0 põe-se, por definição,

φ0 = Ι,

(011).

A potenciação diádica é a operação que tem por fim determinar a potência de um diádico, e goza das seguintes Propriedades: 1ª)- É sempre possível e unívoca, o que é evidente. 2ª)- O produto pontuado de potências de diferentes expoentes de um mesmo diádico é igual à potência da soma dos expoentes desse diádico, isso é:

φ P . φ M = φ P+M ,

(02),

cuja demonstração é evidente. 3ª)- Qualquer potência do diádico unidade é igual ao diádico unidade:

ΙP = Ι,

(03).

Por extensão de conceitos algébricos ordinários, define-se o polinômio diádico inteiro como toda expressão diádica do tipo: P

ΡP (φ ) = A 0φ + A 1φ

P −1

+ A 2φ

P− 2

+...+ A P Ι ,

(04),

onde os Ai são números reais e P é inteiro positivo. Genericamente, dois polinômios diádicos de um mesmo diádico φ, podem ser escritos nas formas:

Ρ P (φ ) = A i φ e tem-se:

P− i

e ΡM (φ ) = B jφ

M− j

,

(i = 1,2,...P; j = 1,2,...M),

ΡP (φ ) . ΡM (φ ) = Ρ M (φ ) . Ρ P (φ ),

(05).

Com efeito, pois, sendo: P−i

M− j

= A i B jφ

M− j

P−i

= A i B jφ

ΡP (φ ) . ΡM (φ ) = A i B jφ e

Ρ M (φ ) . Ρ P ( φ ) = B j A i φ

(P+M) − (i+ j)

(P+M) − (i+ j)

,

deduzimos logo, (05). Assim, ''É comutativo o produto pontuado de dois polinômios diádicos de um mesmo diádico''.

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112

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

§ 05.03 - Terceiro e transposto de um produto. Teor. 1: O transposto de um produto de diádicos é igual ao produto dos transpostos dos diádicos multiplicados em ordem inversa, isso é:

(φ . ψ. χ . ... ) T = (... . χ T . ψ T . φ T ),

(01).

Temos: ( φ . ψ ) T = [ a i ( b i . c j ) d j ] T = d j ( b i . c j ) a i = d j ( c j . b i ) a i = ( d j c j ) . ( b i a i ) = ψ T .φ T .

A generalização é imediata. Corol. 1: O transposto da enésima potência de um diádico é igual à enésima potência do seu transposto:

(φ P )T = (φ T )P ,

(02).

Corol. 2: O produto de qualquer diádico pelo seu transposto é diádico simétrico. Porque deduzimos, de (01), lembrando ((03).§ 02.05):

( φ . φ T ) T = φ TT . φ T = φ . φ T ,

(03),

isso é, o diádico φ.φ φT é igual ao seu transposto, sendo, pois, simétrico. Definições: (produtos simétricos de um diádico) O produto pontuado de um diádico φ pelo seu transposto será denominado produto simétrico: esquerdo se o diádico é fator multiplicando (φ.φT), direito se é fator multiplicado (φT.φ). Teor. 2: O terceiro de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto pontuado dos terceiros dos diádicos fatores:

(φ . ψ) 3 = φ 3 ψ 3 ,

(04).

Reduzamos os diádicos φ e ψ a formas N-nomiais em que os antecedentes de um são o sistema recíproco dos conseqüentes do outro; sejam:

φ = a iei e ψ = e jb j , (i, j = 1,2,..., N).

II,§ 05.03


§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.

113

Então, aplicando ((04),§ 02.08) escrevemos, sucessivamente, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03, I):

(a .e1 )(e .b1 ) = [(a .e1 )e ].b1 = a .b1 , se N = 1; 1 1 1 1  1 [(a × a ).(e1 × e 2 )][(e × e ).(b1 × b 2 )] = 2 1 2  1  1 φ 3ψ 3 =  = {[(a1 × a 2 ).(e × e 2 )](e1 × e 2 )}.(b1 × b 2 ) =  = (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ), se N = 2;   (a a a )(e1e 2 e 3 )(e e e )(b1b 2 b 3 ) = (a a a )(b1b 2 b 3 ), se N = 3. 1 2 3 1 2 3  1 2 3 Mas

φ . ψ = a i ( e i . e j )b j = a ib i e, reaplicando ((04),§ 02.08), deduzimos:

a .b1 , se N = 1;  1  (φ.ψ ψ ) 3 = (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ), se N = 2;  (a1a 2 a 3 )(b1b 2 b 3 ), se N = 3. Comparando os resultados obtidos para os valores correspondentes de N, temos demonstrado o teorema qualquer que seja a dimensão do espaço dos vetores a que se refiram os diádicos.

§ 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. Dados dois diádicos quaisquer, φ e ψ, a interpretação do produto φ.ψ ψ pode ser levada a bom termo escrevendo-se o multiplicando, φ, e o multiplicador, ψ, nas formas N-nomiais

φ = a i e i e ψ = e jb j ( i, j = 1, 2, ..., N ) ,

(01),

onde os conseqüentes de φ e os antecedentes de ψ constituem sistemas recíprocos; isso é sempre possível conforme nos garante o teorema da redução N-nomial (Teor.1,§ 02.07). Assim,

φ . ψ = a i b i , ( i = 1, 2, ..., N ) ,

(02).

Resultam então, facilmente, as seguintes propriedades, para diádicos gerados no E348. 48Propriedades correlatas no E podem ser deduzidas facilmente. 2

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114

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

Teor. 1: O produto pontuado de dois diádicos em que um é completo é um diádico completo, planar ou linear conforme o outro seja um diádico completo, planar ou linear, respectivamente. Se φ é completo, os ai são não coplanares; e se ψ é completo os bi são não coplanares. Logo, por (02), vemos que φ.ψ ψ é completo. Mas se φ é completo e ψ é planar (os bi são coplanares), φ.ψ ψ é planar. Se ψ é linear (os bi são paralelos), φ.ψ ψ é linear. Teor. 2: Em geral o produto pontuado de dois diádicos em que: 1º) um é planar, é um diádico planar ou linear conforme o outro seja, respectivamente, planar e linear; 2º) ambos são lineares, é um diádico linear. A demonstração é análoga à do Teor.1. Corol. 1: Se φ e ψ são planares, φ.ψ≠Ο Ο, φ2≠Ο Ο. Exceções. O enunciado do Teor.2 exigiu a expressão "em geral" porque nem sempre ele é verdadeiro, isso é, existem exceções a todos esses casos de multiplicação. Teor. 3: (planar.planar = linear) O produto pontuado de dois diádicos planares em que o plano dos conseqüentes do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do multiplicador é um diádico linear. Reciprocamente, todo diádico linear pode ser decomposto, de uma infinidade de maneiras, no produto de dois planares, em que o plano dos conseqüentes do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do multiplicador.

Sejam φ' = aimi e ψ' = njdj dois dados diádicos planares com (a1a2a3) ≠ 0, (d1d2d3) ≠ 0, (m1m2m3) = 0 = (n1n2n3), o plano dos mi sendo ortogonal ao dos ni (Figura 05.01). Se b é um vetor não nulo, arbitrário, porém ortogonal ao plano dos mi, e c um segundo vetor, também arbitrário, mas ortogonal ao plano dos ni, então b.c = 0 (b ⊥ c). Os diádicos φ =ai(mi×b) e ψ = (c×nj)dj são planares; e o plano dos conseqüentes de φ é ortogonal ao plano dos antecedentes de ψ. Temos, então: φ.ψ = a i [(m i × b).(c × n j )]d j . Mas, aplicando propriedade da multiplicação mista e a fórmula do duplo produto vetorial, sucessivamente,

II,§ 05.04


§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.

115

podemos escrever: (m i × b).(c × n j ) = (m i × b) × c.n j = (c.m i )(b.n j ) porque b.c = 0. Logo:

φ.ψ = a i (m i .c)(b.n j )d j = (φ′.c)(b.ψ ′) = ad o que comprova o teorema direto. Reciprocamente, seja χ = ad um diádico linear. Se {a1,a2,a3} e {d1,d2,d3} são dois tercetos de vetores não coplanares quaisquer, escolhendo arbitrariamente dois vetores ortogonais b e c, podemos determinar, de infinitos modos, os vetores mi perpendiculares a b (logo coplanares) e os vetores nj perpendiculares a c (também coplanares) tais, que: a = a i (m i .c) e d = (b.n j )d j .

Então, de uma dupla infinidade de maneiras, i

j

χ = a i ( m . c)(b. n j ) d = (φ . c)(b. ψ), sendo φ = aimi e ψ = njdj diádicos planares, o plano dos conseqüentes de φ sendo ortogonal ao plano dos antecedentes de ψ. Também de uma dupla infinidade de maneiras, os diádicos φ' =ai(ni ×b) e ψ' = (c×nj) dj são ainda planares, o plano dos conseqüentes de φ' sendo ortogonal ao plano dos antecedentes de ψ'; e tem-se:

φ ′.ψ ′ = a i (m i × b).(c × n j )d j . Mas, tal como na demonstração do teorema direto:

(m i × b).(c × n j )d j = (m i .c)(b.n j ) , isso é,

χ = ad = ( φ . c )( b. ψ ) = φ ′ . ψ ′ , igualdade que comprova a recíproca. Corol.1: Se o quadrado de um diádico planar é linear, esse diádico é ortoplanar. Teor. 4: Se u$ 2 é um vetor unitário paralelo à interseção dos planos de um diádico planar dado, ψ, e u$ e u$ vetores unitários cujo ângulo seja o ângulo diedro 1

3

dos planos de ψ, então ψ pode ser escrito na forma:

ψ = Bu$ 1 u$ 2 + Cu$ 1 u$ 3 + Eu$ 2 u$ 2 + Fu$ 2 u$ 3 ,

(03),

Poliádicos - Ruggeri


116

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

ou na forma

ψ = ( Bu$ 1 + Eu$ 2 ) u$ 2 + (Cu$ 1 + Fu$ 2 ) u$ 3 ,

(031),

sendo

B = uˆ 1.ψ .uˆ 2 ,

C = uˆ 1 .ψ .uˆ 3 ,

E = uˆ 2 .ψ .uˆ 2 ,

F = uˆ 2 .ψ .uˆ 3 ,

(032).

Seja ψ = siri (i = 1, 2) uma redução mínima arbitrária do diádico planar ψ e u$ 2 o unitário que define a direção da interseção dos seus planos. Sejam, ainda, u$ 1 e u$ 3 os unitários da seção reta desses planos, tais que o triedro {u$ , u$ , u$ } seja direto (Fig. 1

2

3

05.02).

Nestas condições, os planos dos antecedentes e dos conseqüentes de ψ são ( u$ 1 , u$ 2 ) e ( u$ 2 , u$ 3 ) , respectivamente. Como os unitários definem sistemas ortonormados nos seus respectivos planos, podemos escrever:

ri = ( u$ j . ri ) u$ j (j = 2,3) e s i = ( s i . u$ k ) u$ k (k = 1,2) . Efetuando os produtos justapostos e lembrando a propriedade 3ª da multiplicação pontuada de diádico por vetor (§ 02.03) temos:

ψ = (uˆ k .ψ .uˆ j )uˆ k uˆ j ,

(k = 1,2; j = 2,3).

Agora, desenvolvendo as somas indicadas comprovamos facilmente a tese. Corol. 1: Todo diádico ortoplanar, ψ, pode ser escrito na forma:

ψ = (F$j + C$i ) k$ + (B$i + E$j) $j,

(04),

em que B, C, E e F são números, { i$ j$ k$ } um triedro direto de unitários, j$ sendo paralelo à interseção dos planos (ortogonais) do diádico49, ˆi pertencendo ao plano dos antecedentes e kˆ ao plano dos conseqüentes. 49 Oportunamente (§ 09.09) poderemos demonstrar que, na representação (04), FB=CE.

II,§ 05.04


§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.

117

Corol. 2: (quadrado e cubo de um ortoplanar) Se um diádico ψ é ortoplanar de escalar não nulo: 1º)- ψ2, linear, tem seu antecedente e seu conseqüente pertencentes, respectivamente, ao plano dos antecedentes e dos conseqüentes de ψ; 2º)- ψ3 é igual ao quadrado de ψ multiplicado pelo escalar de ψ: ψ3 = ψE ψ2. Com efeito, quadrando (04), encontramos:

ψ 2 = (B$i + E$j)(Fk$ + E$j),

(041),

o que mostra que ψ2 é linear e que seu antecedente é do plano s s , e seu conseqüente do plano r ,r . Multiplicando pontuadamente (04) por (04 ) temos: ψ 3 = E(B$i + E$j)(Fk$ + E$j), 1 2

1

2

1

donde, observando que, segundo (04),

deduzimos:

ψ E = E = $j. ψ. $j,

(05),

ψ3 = ψE ψ2 ,

(06).

Exercício: Comprovar que, se ψ é ortoplanar, ψ P = ψ E P -2 ψ 2 . Produto nulo de diádicos não nulos. Teor. 5: No E3, é nulo o produto pontuado: 1º)- de um diádico planar por um linear quando o plano dos conseqüentes do primeiro é ortogonal ao antecedente do segundo, e reciprocamente; 2º)- de um diádico linear por um planar quando o conseqüente do primeiro é ortogonal ao plano dos antecedentes do segundo, e reciprocamente; 3º)- de dois diádicos lineares quando o conseqüente do primeiro é ortogonal ao antecedente do segundo, e reciprocamente. As demonstrações são simples e imediatas a partir das representações desses diádicos em redução mínima. Corol. 1: Se φ e ψ são incompletos, não nulos e φ.ψ=Ο, ao menos um dos diádicos é linear. Pois, pelo Corol.1 do Teor.2 ambos não podem ser planares. Teor. 6: Se um diádico é ortolinear, seu quadrado é o diádico nulo; e reciprocamente:

φ ortolinear

φ 2 = Ο,

(07).

Poliádicos - Ruggeri


118

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

Pois, com efeito, representando o ortolinear em redução mínima por φ = ab, temos: φ = a(b.a)b = Ο , pois a ⊥ b. Reciprocamente, se φ2 = Ο, pelo corolário anterior, φ deve ser linear. Então, escrevendo φ = ab, temos: φ2 = a(b.a)b=Ο Ο, o que implica b.a = 0, isso é, b ⊥ a; e φ é ortolinear. 2

Teor. 7: Se um diádico ψ é ortoplanar e tem escalar nulo, seu quadrado é ortolinear e seu cubo é o diádico nulo; e reciprocamente.

ψ ortoplanar, ψ E = 0

ψ 2 ortolinear  3 ψ = Ο

(08).

Segundo (05), $j. ψ . $j = 0 . Então, por (041), deduzimos: (ψ ψ2)E = E2 = 0, isso é, ψ2 é ortolinear (Teor. 6). Logo, segundo (06), ψ 3 = Ο . Reciprocamente, suponhamos ψ3 = Ο e ψ2 ortolinear. Ponhamos: ψ 3 = ψ 2 . ψ = ψ .ψ

2

= Ο .

Ora, ψ não pode ser linear porque, se fosse, ψ2 deveria ser linear; e para que fosse nulo o produto deles, em qualquer ordem, o conseqüente do multiplicando deveria ser ortogonal ao antecedente do multiplicador. Então, se ψ = xy, é ψ2 = x (y.x) y, e ψ 3 = x( x. y ) 2 y , isso é, x ⊥ y para que ψ3 = Ο. Assim, ψ seria ortolinear e, portanto, ψ2 = Ο, o que é contra a hipótese (ψ ψ2 é ortolinear). Então, ψ deve ser planar; e sendo ψ2 ortolinear, o conseqüente de 2 ψ = Ο) e o ψ deve ser perpendicular ao plano dos antecedentes de ψ (porque ψ2.ψ antecedente de ψ2 perpendicular ao plano dos conseqüentes de ψ. Logo, os planos dos antecedentes e conseqüentes de ψ são ortogonais e ψ é ortoplanar. Escrevendo-se ψ na 2 forma (04), ψ2 é dado por (041). Como ψ2 é ortolinear, ( ψ )E = E2 = 0, isso é, E = 0. Então ψ = F$jk$ + C$ik$ + B$$ ij e ψ = 0. E

Corol. 1: Se um diádico ψ é ortoplanar e tem escalar nulo, existe uma base ortonormada { i$ , j$ , k$ } , da qual ˆi é vetor do plano dos seus antecedentes, kˆ é vetor do plano dos seus conseqüentes e ˆj é paralelo à interseção desses planos, em relação à qual ψ fica reduzido à forma

ψ = ( $j. ψ. k$ ) $jk$ + ( $i. ψ. k$ ) $ik$ + ( $i. ψ. $j) $$ ij, 12 4 4 3 123 123 F

e reciprocamente.

II,§ 05.04

C

B

(09);


§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.

119

Nota: Se um diádico ortoplanar tem escalar nulo, nem B nem F podem ser nulos, pois, do contrário, o diádico seria linear (o que é absurdo).

Corol. 2: Se um diádico ψ é ortoplanar de escalar nulo, existem dois pares de vetores: e1,e2 e e2,e3, respectivamente pertencentes aos planos dos seus conseqüentes e antecedentes, que gozam das propriedades: e2 . e3 = e1 . e2 = e1 . e3 = 0 , e que reduzem ψ à forma:

ψ = e 1e 2 + e 2 e 3 ,

(10);

e reciprocamente. De (09), escrevemos, lembrando que B ≠ 0 e F ≠ 0:

[( $i. ψ. k$ ) k$ + ( $i. ψ. j) $j] ψ = ( $j. ψ. k$ )( $i. ψ. $j) $i + [( $j. ψ. k$ ) $j]k$ . $ $ $ $ ( j. ψ. k )( i. ψ. j) 12 4 4 3 123 F B Pondo:

e1 = (ˆj.ψ .kˆ )(ˆi.ψ .ˆj)ˆi , e 2 = (ˆj.ψ .kˆ )ˆj, e2 =

(11),

[(ˆi.ψ .kˆ )kˆ + (ˆi.ψ .ˆj)ˆj] , (ˆj.ψ .kˆ )(ˆi.ψ .ˆj)

e 3 = kˆ , resulta a forma (10) de representação de ψ na qual, obviamente, destaca-se a ortogonalidade do plano (e2,e1) dos antecedentes com o plano (e3,e2) dos conseqüentes. Constata-se, ainda, que ψE=0, pois, e1.e2=0=e2.e3. A recíproca é evidente, pois, se existem dois pares de vetores: e2,e1 e e3,e2 tais, que 3 e2.e =e1.e2=e1.e3=0 e que reduzem certo diádico ψ à forma (10), então ψ é ortoplanar (porque o plano dos seus antecedentes contém o vetor e1 que é ortogonal ao plano dos seus conseqüentes ) e ψE=0. Notas: 1) - Deve ser observado que e2.e2=1 e e2.e1=0, mas estas condições não são necessárias para a demonstração da recíproca. 1 1 2 3 2) - Se ψ é tal, que F2B=1, então se tomando e = F $i resultam: e1.e1= ( e e e ) = 1 e 1 2 3 ˆ ˆ e3 = (−Cj + Bk) / B . Nesse caso os sistemas de vetores {e1e2e3} e {e e e } são recíprocos,

{e2e3} e {e2e3} sendo recíprocos planares. 3) – No §09.09 justificaremos a nomenclatura "diádicos dispensaremos aos diádicos ortoplanares de escalar nulo.

antitriangulares"

que

Poliádicos - Ruggeri


120

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

Exercícios: S, S1, S2, ... são diádicos simétricos, A, A1, A2, ... são diádicos anti-simétricos e v, a, b, ... são vetores. 1°) - Mostre que são anti-simétricos os diádicos: A) - S 1 .S 2 − S 2 .S 1 ,

(S 1 ) 2 .S 2 − S 2 . (S 1 ) 2 , S 1 . ( S 2 ) 2 − (S 2 ) 2 .S 1 , S 1 .S 2 . (S 1 ) 2 − (S 1 ) 2 .S 2 .S 1 , S 2 .S 1 . (S 2 ) 2 − (S 2 ) 2 .S 1 . S 2 . B) - v (S. v ) − (S. v ) v , v (S 2 . v ) − (S 2 . v ) v , (S. v )(S 2 . v ) − (S 2 . v )(S. v ), S. A + A.S , S. A 2 − A 2 .S , v ( A. v ) − ( A. v ) v v ( A. v ) − ( A. v ) v A 1 .A 2 − A 2 . A 1 C) - S 1 .S 2 .S 3 + S 2 .S 3 .S 1 + S 3 . S 1 . S 2 − −S 2 .S 1 .S 3 − S 1 .S 3 .S 2 − S 3 . S 2 .S 1 , (S 1 . v )(S 2 . v ) − ( S 2 . v )(S 1 . v ) +

+ v ( S 1 .S 2 − S 2 .S 1 ) . v − [(S 1 .S 2 − S 2 .S 1 ) . v ]v , S. ( ab − ba ) + ( ab − ba ) .S , A. ( ab − ba ) − ( ab − ba ) . A . 2°) - Mostre que são simétricos os diádicos: A) - S2, B) - S 1 .S 2 + S 2 . S 1 ,

(S 1 ) 2 .S 2 + S 2 . (S 1 ) 2 , S 1 . ( S 2 ) 2 + (S 2 ) 2 . S 1 , C) - vS. v + S. vv ,

vS 2 . v + S 2 . vv , D) - S. A − A.S

A.S. A , S 2 . A − A. S 2 , A.S. A 2 − A 2 .S. A ,

II,§ 05.04


§ 06.01- Definições e propriedades.

121

E) - A. v A. v vA.v + A.vv,

A.vA 2 .v + A 2 .vA.v, A1 .A 2 + A 2 .A1 , A1 ( A 2 ) 2 − ( A 2 ) 2 .A1 , ( A1 ) 2 .A 2 − A 2 .( A1 ) 2 .

§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR. § 06.01 - Definições e propriedades. Chama-se produto cruzado anterior (posterior) do diádico φ pelo vetor r, e indica-se por φ×r (r×φ φ), lendo-se: φ cruz r (r cruz φ), o diádico cujos antecedentes (conseqüentes) são os de φ e cujos conseqüentes (antecedentes) são os produtos vetoriais dos conseqüentes (antecedentes) do diádico pelo vetor. Assim, se φ=aibi,

φ × r = a i (b i × r ) e r × φ = (r × a i )b i ,

(i=1,2,...,N)

(01).

A multiplicação cruzada anterior ou posterior de diádico por vetor é a operação que tem por fim determinar o produto cruzado entre o diádico e o vetor50. Esta operação goza das seguintes Propriedades. 1ª)- É operação sempre possível e unívoca. 2ª)- Os diádicos produto φ×r e r×φ φ são sempre incompletos. No E3, esses diádicos são planares se φ é completo ou planar, e não passível de maior redução; lineares se φ é linear; nulos se, sendo φ linear, os conseqüentes ou os antecedentes de φ são, respectivamente, paralelos a r. Se φ é completo, φ×r e r×φ φ são planares porque, correspondentemente, os seus conseqüentes em (01)1, e os seus antecedentes em (01)2, são tercetos de vetores contidos num mesmo plano perpendicular ao vetor r. Se φ é planar, com b1, b2 e b3 distintos mas coplanares: 1º)- os vetores bi×r em (01)1, são sempre distintos mas coplanares, e φ×r é planar; 2º)- os vetores r×ai, em (01)2, são coplanares mas distintos, e φ é planar. Se φ é planar e dois quaisquer dos seus conseqüentes são paralelos, φ×r e r×φ φ são, ainda, planares. 50 Gibbs denominou este produto de "skew product of φ into r". Poliádicos - Ruggeri


122

§ 06- Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

Se φ é linear, os seus conseqüentes são paralelos a um mesmo vetor b, donde φ são escrevermos φ = aibi = ai(Bib). Pondo Biai = a, temos: φ = ab. Logo: φ×r e r×φ lineares. Se, sendo φ linear, r é paralelo a b, resulta φ×r = Ο e se r é paralelo a a, resulta r×φ φ = Ο, o que demonstra a última parte da propriedade. Se φ é um diádico de um E2 (logo, uniplanar em E3), os diádicos φ×r e r×φ φ são, necessariamente, diádicos lineares de E3, pois têm, respectivamente, conseqüentes e φ são sempre antecedentes ortogonais ao plano de E2. Então, ∀ φ os terceiros de φ×r e r×φ nulos:

∀φ, r :

(φ × r ) 3 = 0 = (r × φ ) 3 ,

(011).

3ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um diádico completo:

φ 3 ≠ 0 e φ × r = Ο ( ou r × φ = Ο) ⇒ r = o, logo:

Ι × r = r × Ι = Ο ⇒ r = o,

(02); (021).

4ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um vetor qualquer:

∀r :

φ × r = Ο ( ou r × φ = Ο) ⇒ φ = Ο,

(03).

Com efeito, reduzindo φ à forma N-nomial aibi com conseqüentes independentes, temos: φ×r = ai(bi×r) = Ο. Ora, os conseqüentes de φ×r, coplanares em E3 e colineares em E2, não são nulos necessariamente, porque os bi e r são quaisquer; logo, ai = o e φ = Ο. 5ª)- Operação com vetores e diádico quaisquer:

∀φ, a, b :

φ.(a × b) = φ × a.b ,

(04).

Pois, lembrando propriedades do produto misto, escrevemos:

φ.(a × b) = a i (b i .a × b ) = a i (b i × a.b) = [a i (b i × a)].b = φ × a.b . A fórmula (04) é válida em qualquer espaço, acontecendo, apenas, que

∀φ, a, b de E 2 ou E1 :

φ.(a × b ) = φ × a.b = o ,

(041).

6ª)- Operação envolvendo diádicos iguais e um vetor qualquer:

φ = φ′

II,§ 06.01

∀r

φ × r = φ ′ × r ,  r × φ = r × φ ′

(05).


§ 06.01- Definições e propriedades.

123

Temos, com efeito, para quaisquer r e v, aplicando ((01),§ 02.06):

φ.(r × v) = φ′.(r × v) ; mas, aplicando (04) aos dois membros, temos, também: φ × r.v = φ′ × r.v, isso é, os diádicos φ×r e φ'×r transformam um vetor qualquer, v, no mesmo vetor. Logo esses diádicos são iguais: φ×r = φ'×r. Reciprocamente, se para qualquer r, φ×r = φ'×r, então, para qualquer v:

(φ × r ).v = (φ ′ × r ).v , donde, reconsiderando (04): φ.(r × v) = φ ′.(r × v ), isto é, φ = φ ′, porque r e v são quaisquer. A fórmula (05)2 pode ser comprovada analogamente. 7ª)- Operação em que o vetor é um produto vetorial:

∀φ, a, b :

φ × (a × b) = (φ.b)a − (φ.a)b = φ.(ba − ab) ,  (a × b ) × φ = (ba − ab).φ

(06).

Lembrando a fórmula do duplo produto vetorial e pondo φ = eiai , temos:

φ × (a × b) = e i [a i × (a × b)] = e i [(a i .b)a − (a i .a)b] , donde, agrupando convenientemente:

φ × (a × b) = [e i (a i .b)]a − [e i (a i .a)]b = (φ.b)a − (φ.a)b . A obtenção do último membro de (06)1 é imediata, bastando evidenciar-se φ no segundo membro já comprovado. Tem-se também, similarmente, sem delongas:

(a × b) × φ = [(a × b) × e i ]a i = [(e i .a)b − (e i .b)a]a i = = b(a.e i )a i − a(b.e i )a i = (ba − ab).φ Decorre imediatamente das (06), para φ = I:

∀a, b :

Ι × (a × b) = (a × b) × Ι = ba − ab ,

(07),

ou, ainda, por serem a e b vetores quaisquer:

∀r :

Ι×r = r×Ι ,

(08).

Poliádicos - Ruggeri


124

§ 06- Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

8ª)- Tem-se:

∀ φ, r : φ × r = −(r × φ T ) T , donde, r × φ = −( φ T × r ) T ,

(09).

Transpondo no primeiro e o último membros de (06)1 aplicando (01), § 05.03 a este último membro, substituindo φ por φT em (06)2 e comparando os resultados obtidos, encontramos: φ × (a × b) = −[(a × b) × φ T ]T . Por serem a e b quaisquer, a×b = r é qualquer, o que comprova (09)1. Trocando-se, em (09)1, φ por φT e transpondo-se, resulta, logo, (09)2. Casos particulares. Para os diádicos simétricos:

∀S = S T :

S × r = −(r × S ) T ,

(10).

Logo, para S = Ι:

Ι × r = −(r × Ι ) T ,

(11).

Lembrando (08), concluímos também:

Ι × r = r × Ι = − (Ι × r ) T = − (r × Ι ) T ,

(12);

assim, o diádico Ι×r é diádico anti-simétrico. Como I é uma constante universal vemos de imediato que a todo vetor r está associado o diádico anti-simétrico Ι × r = r × Ι cujo vetor é -2r. Voltaremos a tratar desse assunto no § 06.05. Para os diádicos anti-simétricos A,

A × r = (r × A ) T ,

(13).

§ 06.02- Fórmulas notáveis. Em diferentes multiplicações com diádicos e vetores, estão demonstradas as seguintes fórmulas, contendo:

- um diádico no centro e vetores nas laterais (a × φ) × b = a × (φ × b )  (a × φ).b = a × (φ.b) ,  (a.φ) × b = a.(φ × b) (a.φ).b = a.(φ.b)  ou, II,§ 06.02

(01),


§ 06.03

- Escalar e vetor de φ×r.

125

a o φ ∗ b = (a o φ ) ∗ b = a o ( φ ∗ b ) ,

(011),

independentemente de o e * estarem representando os sinais da multiplicação pontuada ou da cruzada;

- dois diádicos com um vetor na lateral:  (φ.ψ ).r = φ.(ψ .r )    ou (φ.ψ ) o r = φ.(ψ o r ),  (φ.ψ ) × r = φ.(ψ × r )   r.(φ.ψ ) = (r.φ).ψ   ou r o (φ.ψ ) = (r o φ).ψ ,  r × (φ.ψ ) = (r × φ).ψ 

(02)

(021 );

- um diádico na lateral com dois vetores: φ.(a × b) = φ × a.b = −φ × b.a = −b.a × φ T = a.b × φ T  (φ.a) × b = −b × φ.a  φ × (a × b) = (φ.b)a − (φ.a)b = φ.(ba − ab) ,  ( a × b ) × φ = ( ba − ab ) . φ   (φ × a) × b = (φ.b)a − (b.a)φ  b × (a × φ) = a(b.φ) − (a.b)φ 

(03);

- dois diádicos com um vetor no centro: (φ.e).ψ ≠ φ.(e.ψ ) φ.(e × ψ ) = (φ × e).ψ ≠ (φ.e) × ψ

,

(04).

§ 06.03 - Escalar e vetor de φ×r O escalar e o vetor do diádico φ×r podem ser calculados com muita simplicidade. Temos: (φ × r ) V = a i × (b i × r ) = (r.a i )b i − (a i .b i )r , isso é, (φ × r ) V = r.(a i b i ) − φ E r , ou melhor,

(φ × r ) V = −(−φ T + φ E Ι ) .r ,

(01).

Para expressão do escalar de φ×r, temos:

(φ × r ) E = a i .b i × r = a i × b i .r , isso é,

(φ × r ) E = r.φ V ,

(02).

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126

§ 06- Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

Resultam como casos particulares de (01) e (02), para φ = Ι:

(Ι × r ) V = −2r ,

(011),

(Ι × r ) E = 0 ,

(021),

pois Ι E = 3 e Ι V = o ((02),§ 02.09).

§ 06.04 - Simetrias e anti-simetrias. Teor. 1: O duplo do oposto da parte anti-simétrica de qualquer diádico é igual ao produto cruzado anterior ou posterior de seu vetor pelo diádico unidade, isso é

φ ant = 1 (φ − φ T ) = − 1 φ V × Ι = − 1 Ι × φ V , 2 2 2

∀φ:

(01).

Com efeito, seja φ = aibi uma das reduções trinomiais de φ com antecedentes independentes. Temos, aplicando ((07),§ 06.01:

Ι × φ V = Ι × (a i × b i ) = b i a i − a i b i = φ T − φ . Analogamente, aplicando a mesma fórmula, deduzimos:

φ V × Ι = (a i × b i ) × Ι = (b i a i − a i b i ).Ι = φ T − φ . Nota:

-

-

Por este teorema pode se confirmar a anti simetria do diádico r×ΙΙ uma vez que sendo φ qualquer, seu vetor φV = r é qualquer.

Corol. 1: O produto pontuado anterior da parte anti-simétrica de um diádico qualquer por um vetor qualquer é igual à metade do produto cruzado desse vetor pelo vetor do diádico:

∀ r, φ :

φ ant .r = 1 r × φ V = − 1 φ V × r = 1 (φ − φ T ).r , 2 2 2

Pois temos, de (01), aplicando ((01)2,§ 06.02):

2φ ant .r = (φ − φ T ).r = −(φ V × Ι ).r = −φ V × (Ι .r ) = −φ V × r = r × φ V .

II,§ 06.04

(011).


§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand.

127

Corol. 251: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo.

φT = φ

⇔ φ V = o,

(012).

A condição é suficiente, pois, se o vetor φV do diádico φ é nulo, então (01) dá: φT = φ; assim, φ é simétrico. A condição é necessária porque se φ = φT, (01) dá: Ι×φ φV = Ο , igualdade que implica φV = o, conforme ((021),§ 06.01). Corol. 3: CNS para que um diádico seja anti-simétrico é que ele seja igual ao oposto da metade do produto vetorial do seu vetor pelo diádico unidade. A condição é necessária pelo teorema 1, porque se

- A = AT, então (01) dá

A = − A T = − 1 AV × Ι = − 1 Ι × AV , 2 2

(013).

A condição é suficiente porque se um diádico satisfaz à igualdade anterior, (01) dá 2 A T = A T − A, donde, A T = − A, e A é anti-simétrico.

Corol. 4: Tem-se, para qualquer φ:

φ = φ sim − 1 Ι × φ V , 2

(014).

Com efeito, é o que resulta da substituição de (01) em ((03),§ 04.02).

§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. Teor. 1: Para qualquer vetor q, a operação q× em E3 equivale a uma transformação linear representada pelo diádico anti-simétrico I×q = q×I para ser usado como pré-fator. Considerando que, obviamente, q×r = Ι.(q×r), e que, por ((04),§ 06.01), q × r = Ι × q.r ,

(01),

51 A proposição seguinte já foi demonstrada por outras vias (Teor.4, § 04.02).

Poliádicos - Ruggeri


128

§ 06 - Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

a transformação que q× opera sobre r é equivalente à do diádico anti-simétrico Ι×q, se usado como pré-fator. Temos também, da igualdade anterior e de ((12),§ 06.01):

− r × q = r.(Ι × q) T = −r.Ι × q ou r × q = r.Ι × q ,

(011).

De (01) e (011) resulta então que, se no produto cruzado, r precede ou segue q, então o diádico I×q deve ser usado como pós ou pré-fator, respectivamente. Corol. 1: O diádico correspondente ao operador (a × b) × é dado por ba - ab. É o que se deduz imediatamente de (01), (011) e ((07),§ 06.01). Corol. 2: A qualquer vetor q corresponde o diádico anti-simétrico Ι × q = q × Ι . Nota: Todo produto vetorial de vetores pode ser substituído pelo produto pontuado do diádico anti-simétrico associado a um dos vetores pelo outro vetor.

Interpretação geométrica do diádico de Argand.

A operação kˆ × que o unitário k$ realiza sobre o vetor v que lhe é ortogonal é uma rotação de v, de um ângulo reto, em torno do eixo k$ , no sentido anti-horário, no plano ortogonal a k$ , quando se observa o plano do semi-espaço para o qual aponta k$ . Logo o diádico anti-simétrico Ι × kˆ = kˆ × Ι roda de um ângulo reto no sentido anti-horário, qualquer vetor v ortogonal a k$ . O diádico Ι × kˆ se confunde então com o operador de Argand do Cálculo Vetorial52. Se o vetor r não é ortogonal a k$ , podemos decompô-lo na direção de k$ e na direção ortogonal a k$ no plano ( k$ ,r); seja r = v+K k$ . Sendo: kˆ × r = Ι × kˆ .r = kˆ × v = Ι × kˆ .v , vemos que o diádico Ι × kˆ transformará qualquer r num vetor ortogonal a k$ girando de um ângulo reto no sentido anti-horário a componente v de r ortogonal a k$ (Fig.06.01).

52Essa nomenclatura não é de uso geral; veja Calaes, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, 2ª edição, Fundação Gorceix, 1979, tomo I, cap.III. Outros autores usam a notação Ι ( π / 2 ) e, no caso geral, Ι (ϕ).

II,§ 06.05


§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand

129

Assim, a operação que o operador de Argand do Cálculo Vetorial executa sobre vetores de um plano, fica estendida para qualquer vetor do espaço pelo diádico Ι × kˆ ; e a este diádico denominaremos diádico de Argand (do unitário k$ ).

Potências do diádico de Argand. Se o diádico de Argand é aplicado várias vezes sobre o mesmo vetor ele provoca a rotação da componente ortogonal desse vetor em relação a k$ de tantos ângulos retos quantas aplicações sejam feitas. Essas aplicações são equivalentes a potências inteiras desse diádico e podem ser calculadas com facilidade tal como se calculam as potências inteiras do operador de Argand no Cálculo Vetorial53. Pondo J = Ι × kˆ , ( J é uniplanar), (02), escrevemos, lembrando ((02)2.§ 06.02):

(Ι × kˆ ) 2 = J 2 = (Ι × kˆ ).(Ι × kˆ ) = [(Ι × kˆ ).Ι ] × kˆ = (Ι × kˆ ) × kˆ , donde, lembrando ((03)5,§ 06.02):

J 2 = (I.kˆ )kˆ − (kˆ .kˆ )I = −(I − kˆ kˆ ) ,

(021).

* Exercício: $ $ , então, sendo | r | J = Ι × r resulta de (021): Como ∀r: rr = r 2 rr

∀r :

(Ι × r ) 2 = −(−rr + r 2 Ι ) ,

(022).

O diádico (022) é o diádico de inércia da Mecânica Racional. * Pondo, ainda:

Ι − k$ k$ = Ι ,

( I é uniplanar)54,

(03),

teremos:

I 2 = I , I. J = J ,

(04),

53 Essa operação será generalizada no capítulo III. 54Observar a diferença de notação entre I e Ι (diádico unidade). Notar, ainda, que I , uniplanar, é o diádico unidade do plano ortogonal a k$ .

Poliádicos - Ruggeri


130

§ 06 - Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

e

J 2 = − I,

J 3 = J 2 . J = − I. J = − J ,

J 4 = I2 = I

etc.,

(05).

Da quinta potência em diante podemos escrever: Para N=1,2,3,...

J 4N = I,

J 4N+1 = J ,

J 4N+2 = − I,

J 4N+3 = − J ,

(051).

Notemos mais uma vez que o diádico de Argand J = Ι × kˆ = kˆ × Ι só produz rotações de 90o sobre os vetores perpendiculares a k$ , anulando aqueles vetores paralelos a k$ . Esse efeito anulador de J = Ι × kˆ sobre os vetores paralelos a k$ pode ser eliminado transformando vetores quaisquer do espaço pelo diádico

Z = kˆ × Ι + kˆ kˆ = Ι × kˆ + kˆ kˆ = J + kˆ kˆ ,

(06).

Nesse caso, teríamos:

(kˆ × Ι + kˆ kˆ ).r = kˆ × r + (r.kˆ )kˆ = r ′ , resultado de interpretação geométrica evidente, conforme ilustrado na Figura 06.02.

As potências inteiras sucessivas de Z são calculadas com simplicidade; temos: Z 2 = −Ι + 2kˆ kˆ = −Ι + kˆ kˆ ,

Z 3 = −Ι × kˆ kˆ + kˆ kˆ = −J + kˆ kˆ , Z 4 = Ι + kˆ kˆ = Ι ,

(07),

Z 5 = Z 4 .Z = Z, Z 6 = Z 4 .Z 2 = Z 2 etc. Não é difícil provar que Z é completo. Com efeito, se $i e $j são dois unitários ortogonais do plano perpendicular a k$ podemos escrever:

Z = Ι × kˆ + kˆ kˆ , sendo Ι = ˆiˆi + ˆjˆj + kˆ kˆ , donde,

Z = −&i&ˆj + ˆjˆi + kˆ kˆ

II,§ 06.05

e

Z 3 = −(ˆiˆjkˆ )(ˆjˆikˆ ) = 1

(08).


§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand

131

Obviamente, é também igual à unidade positiva o terceiro de qualquer potência de Z, donde concluirmos, ainda, que todos os diádicos Z P são completos para P finito. Exercício: Se P>4 e P=4Q+R, então ZP=ZR. Generalizações. Esses resultados podem ser generalizados. Sejam a, b e c três vetores independentes e a*, b* e c* seus correspondentes recíprocos. Temos:

Ι × a = a(a ∗ × a) + b(b ∗ × a) + c(c ∗ × a) , e

Ι × a + aa = a(a ∗ × a + a) + b (b ∗ × a) + c(c ∗ × a) . Logo:

(Ι × a + aa) 3 = (abc)[(a ∗ × a + a) × (b ∗ × a).(c ∗ × a)] . Sendo

(a ∗ × a + a) × (b ∗ × a) = −(ab ∗a ∗ )a + a 2 b ∗ , o número entre colchetes vale

[−(ab ∗ a ∗ )a + a 2 b ∗ ].(c ∗ × a) = a 2 (ab ∗ c ∗ ) . Então, aplicando propriedades dos recíprocos, escrevemos o valor do terceiro em pauta na forma

( abc) a 2 ( ab ∗ c ∗ ) = ( abc) a 2 ( a ∗ b ∗ c ∗ )( a . a ); donde, novamente lembrando as propriedades dos recíprocos:

Z 3 = (Ι × a + aa) 3 = a 4 . Este resultado, obviamente, generaliza a fórmula (08). Calculemos agora as potências N-ésimas do diádico Z=ΙΙ×a+aa. Notemos, preliminarmente, que, se φ e ψ são dois diádicos não nulos que gozem da propriedade: φ.ψ = ψ .φ = Ο ,

então, φ e ψ não são completos (§ 05.04) e

φ.ψ = ψ .φ = Ο ⇒ (φ + ψ ) N = φ N + ψ N ,

(09).

Poliádicos - Ruggeri


132

§ 06 - Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

Com efeito, para N = 2, por exemplo, temos: 2

2

2

2

2

(φ + ψ) = φ + φ . ψ + ψ. φ + ψ = φ + ψ . Logo, se (09) for válida para o expoente N - 1, escrevemos:

(φ + ψ)

N −1

N −1

N −1

,

donde

(φ + ψ)

N

= (φ + ψ) . (φ

N −1

N −1

N

N

) = φ + ψ + φ. ψ

N −1

+ ψ. φ

N −1

.

Porém

φ.ψ N −1 = (φ.ψ ).ψ N −2 = Ο .ψ N − 2 = Ο , e

ψ N −1 .φ = ψ N − 2 .(ψ .φ) = ψ N − 2 .Ο = Ο; donde, então, a fórmula (09), válida para qualquer N inteiro positivo. Ora,

(Ι × a).(a a) = [(Ι × a).a]a = (a × Ι .a)a = (a × a)a = Ο = (a a).(Ι × a),

(A);

logo, de (09), escrevemos:

Z N = (Ι × a + aa) N = (Ι × a) N + (aa) N ,

(10).

A segunda parcela de (10) pode ser calculada imediatamente; temos:

(a a )

N

=| a |

2 ( N −1)

( a a ),

(11).

Com efeito, é simples comprovar que a fórmula é válida para N = 2,3,...; supondo que ela valha para o expoente N - 1, escrevemos:

(a a )

N −1

=| a |

2 ( N − 2)

( a a ),

donde, multiplicando escalarmente ambos os membros por (aa):

( a a ) N =| a|2 ( N − 2) ( a a ) 2 =| a|2 ( N − 2) | a|2 ( a a ) =| a|2 ( N −1) ( a a ) ; isso é, a fórmula é válida para qualquer expoente. O cálculo da primeira parcela de (10) é mais trabalhoso. Temos:

(Ι × a) 2H +1 = (−1) H | a | 2H Ι × a , ou

II,§ 06.05

(H=1,2,...,N)

(12),


§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand

(Ι × a) 2H = (−1) H +1 | a | 2(H-1) (Ι × a) 2 ,

(H=1, 2,..., N),

133

(121),

conforme o expoente seja ímpar ou par, respectivamente. É fácil comprovar que essas fórmulas são válidas para H = 1,2,..., isso é,

(Ι × a) 3 = − | a |2 Ι × a, (Ι × a) 4 = − | a |2 (Ι × a) 2 etc.

(B).

Supondo que valham para H=N-1, escrevemos:

(Ι × a) 2N−1 = (−1) N −1 | a |2(N −1) Ι × a e

(Ι × a) 2(N −1) = (−1) N | a |2( N −2) (Ι × a) 2 . Então, multiplicando ambos os membros da primeira por (I×a)2, deduzimos:

(Ι × a) 2N +1 = (−1) N −1 | a |2( N −1) (Ι × a) 3 = (−1) N | a |2N Ι × a isso é, (12) é válida para H=N. Similarmente, multiplicando ambos os membros da segunda por (ΙΙ×a)2, escrevemos:

(Ι × a) 2N = (−1) N | a |2( N−2) (Ι × a) 4 Lembrando (B)2,, resulta:

(Ι × a) 2 N = (−1) N +1 | a |2( N−1) (Ι × a) 2 isso é, (121) é válida para qualquer H. Podemos, assim, finalmente, apresentar as expressões das potências enésimas de Z = Ι×a+aa em função de Ι × a e (aa) nas formas:

Z 2N = (−1) N +1 | a |2(N −1) (Ι × a) 2 + | a |2(2N −1) (a a)

(13),

Z 2N +1 = (−1) N | a |2N Ι × a+ | a |4N (a a)

(131),

E

conforme o expoente seja par ou ímpar, respectivamente55.

55Notar que as potências pares de Z podem ser expressas em função de Ι e aa, bastando considerar que (Ι × a ) 2 = aa − | a | 2 Ι.

Poliádicos - Ruggeri


134

§ 07 – Multiplicações duplas.

§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS. § 07.01 - Definições e propriedades. Dados dois diádicos em forma polinomial:

φ = a ib

i

(i = 1,2,..., P)

e ψ = c jd

j

(j = 1,2,..., Q),

chama-se duplo produto de φ por ψ, e representa-se por φ ∗o ψ (ler: φ operando operando ψ), a expressão:

φ

o ∗

ψ = (a i b i ) ∗o (c jd j ) = (a i ∗ c j )(b i o d j )

(011)56,

a cujo terceiro membro deve ser aplicada a convenção somatória (ele apresenta PxQ parcelas). Este produto é um número se as operações indicadas são a de multiplicação pontuada, um diádico se as referidas operações são as de multiplicação cruzada, ou um vetor se as operações representadas por o e * são distintas. Assim:

  φ ×× ψ = (a i × c j )(b i × d j ), diádico , i = 1,2,..., P e j = 1,2,..., Q. φ ×. ψ = (a i . c j )(b i × d j ), vetor   φ ×. ψ = (a i × c j )(b i . d j ), vetor  φ:ψ = (ai . c j )(b i . d j ), escalar

(01).

A primeira expressão representa o duplo produto pontuado, a segunda o duplo produto cruzado, as duas últimas os duplos produtos mistos dos diádicos φ e ψ. A multiplicação dupla (pontuada, cruzada ou mista) de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar o duplo produto (pontuado, cruzado ou misto) desses dois diádicos. Considerando-se ((01),§ 02.08), a expressão (01)1 pode ser escrita nas formas:

φ : ψ = [ a i c j (b i . d j )] E = [( a i . c j )b i d j ] E = = [ c j a i ( d j .b i )] E = [( c j . a i ) d jb i ] E ; ou, ainda, inserindo-se os números dentro dos parênteses entre os antecedentes e os conseqüentes das díades (operação possível conforme (§ 02.02)): i

j

i

j

j

i

j

i

φ : ψ = [ a i (b . d ) c j ] E = [b ( a i . c j ) d ] E = [ c j ( d .b ) a i ] E = [ d ( c j . a i )b ] E . 56 Entender-se-á, doravante, que o símbolo * disposto entre vetores terá o mesmo significado que poderá representar uma multiplicação escalar ou uma multiplicação vetorial.

II,§ 07.01

o , isso é,


§ 07.01 - Definições e propriedades

135

Nos diferentes membros da expressão acima, vemos dentro dos colchetes a própria expressão de definição do produto pontuado de diádicos; logo, correspondentemente, T

T

T

T

φ : ψ = ( φ . ψ ) E = ( φ . ψ) E = ( ψ. φ ) E = ( ψ . φ ) E ,

(02).

Então, a operação dupla multiplicação pontuada de diádicos acrescenta um novo número à nossa Álgebra, número esse que, em princípio, é independente dos escalares de φ e ψ. Fazendo-se ψ = φT, (02) dá:

φ : φ T = (φ 2 ) E ,

(021).

Exercício: Provar que

∀φ, ψ , P inteiro:

(φ.ψ ) PE = (ψ .φ) PE ,

(022),

e generalizar: São iguais os escalares de uma mesma potência de produtos de diádicos em que os fatores formem uma permutação cíclica:

(α.β.χ. ... .λ .µ ) PE = (β.χ . ... .λ .µ .α) PE = ... = (µ .λ . ... .χ.β.α ) PE ,

(023).

Fórmulas análogas a (02) não podemos deduzir para a dupla multiplicação cruzada uma vez que o produto cruzado de dois diádicos (que dá um triádico, como veremos oportunamente) não está definido; tão pouco está definido o que seja "vetor de um triádico". Porém, para a Álgebra dos Diádicos, essa operação acrescenta mais um diádico associado aos diádicos φ e ψ. Por outro lado, pondo: φ=eiai, ψ=ej bj, com ei independentes, e ai = (ai. er)er, bj = (bj. es)es, escrevemos:

φ

× ×

ψ = (a i .e r )(b j .e s )(e i × e j )(e r × e s ), (i, j, r, s = 1,2,3) ,

(A).

Aplicando ((04),(041),(07),§ 04.02,I) e ((03),§ 03.03,I) escrevemos, ainda, sucessivamente:

φ

× ×

ψ = ( a i . e r )(b j . e s )ε rsk ε ijm e m e k =

δi r

δ jr

δmr

= ( a i . e r )(b j . e s ) δ i s

δ js

δms e me k .

δi k

δ jk

δmk

Desenvolvendo o determinante e efetuando as somas indicadas em cada uma das seis parcelas do último membro, encontramos:

Poliádicos - Ruggeri


136

§ 07 – Multiplicações duplas.

( a i . e r )(b j . e s )δ i r δ j sδ m k e m e k = ( a i . e i )(b j . e j ) e k e k = φ E ψ E Ι , ( a i . e r )(b j . e s )δ j r δ m s δ i k e m e k = ( a i . e j )(b j . e m ) e m e i = b j ( e j . a i ) e i = ψ T . φ T , ( a i . e r )(b j . e s )δ m r δ j k δ i s e m e k = ( a i . e m )(b j . e i ) e m e j = a i ( e i .b j ) e j = φ T . ψ T , ( a i . e r )(b j . e s )δ i k δ j sδ m r e m e k = ( a i . e m )(b j . e j ) e m e i = ψ E a i e i = ψ E φ T ,

( a i . e r )(b j . e s )δ j k δ m s δ i r e m e k = ( a i . e i )(b j . e m ) e m e j = φ E b j e j = φ E ψ T ,

( a i . e r )(b j . e s )δ m k δ j r δ i s e m e k = ( a i . e j )(b j . e i ) e m e m = = [b j ( e j . a i ) e i ] E Ι = ( ψ T . φ T ) E Ι . Logo:

φ

× ×

ψ = φ E ψ E Ι + ψ T .φ T + φ T .ψ T − ψ E φ T − φ E ψ T − (ψ T .φ T ) E Ι

(03),

ou, transpondo, agrupando convenientemente, fatorando e aplicando (022) para P=1:

( φ ×× ψ ) T = ( − φ + φ E Ι ).( −ψ + ψ E Ι ) − [ −ψ .φ + ( ψ .φ ) E Ι ]

(031).

A fórmula (03) é válida em E3, quaisquer que sejam os diádicos φ e ψ (completos, planares ou lineares). No E2, entretanto, temos, de (A), para i,j = 1, 2:

φ

× ×

ψ = [(a1 .e1 )(b 2 .e 2 ) + (a 2 .e1 )(b 1 .e 2 ) − (a1 .e 2 )(b 2 .e1 ) − − (a 2 .e 2 )(b 1 .e1 )](e1 × e 2 )(e1 × e 2 ).

Somando e subtraindo, dentro dos colchetes, as parcelas

(a 1 .e1 )(b 1 .e1 ) e (a 2 .e 2 )(b 2 .e 2 ) , agrupando convenientemente, fatorando e lembrando (01)1, vem:

φ

× ×

ψ = [(e1 .a1 + e 2 .a 2 )(e1 .b1 + e 2 .b 2 ) − − (a1e1 + a 2 e 2 ) : (e1b1 + e 2 b 2 )](e1 × e 2 )(e1 × e 2 ),

isso é, em E2:

φ

× ×

ψ = (φ E ψ E − φ T : ψ ) Ι ⊥ ,

(032),

expressão em que Ι ⊥ é o diádico unidade do espaço unidimensional ortogonal de E2. Entretanto, em E3, as duplas multiplicações cruzadas de diádicos planares que têm um plano homônimo coincidente, dão como resultado diádicos unilineares do mesmo espaço cujas direções são perpendiculares aos respectivos planos (coincidentes) dos diádicos fatores; para estes aplica-se a fórmula (03).

II,§ 07.01


§ 07.01 - Definições e propriedades

137

Raciocinando e operando como anteriormente, podemos escrever (01)3 e (01)4 nas formas respectivas:

φ ×. ψ = [b i (a i .c j )d j ] V = ( φ T .ψ ) V , φ ×. ψ = [a i (b i .d j )c j ] V = ( φ .ψ T ) V ,

(04),

para concluirmos: as duplas multiplicações mistas acrescentam novos vetores à nossa Álgebra, vetores esses que, em princípio, são independentes dos vetores de φ e de ψ. Por analogia com o duplo produto de φ por ψ, definido por (011), poderíamos definir outros duplos produtos, denominá-los duplos produtos horizontais e representá-los por φ o *ψ, escrevendo:

φ o ∗ψ ψ = (b i ∗ c j )(a i o d j )

(05).

Teríamos, assim, o duplo produto pontuado horizontal φ..ψ ψ, o duplo produto cruzado horizontal φ××ψ ψ e os duplos produtos mistos horizontais φ×.ψ ψ e φ.×ψ ψ, acrescentando com isto novos elementos à nossa Álgebra (um número, um diádico e dois vetores). Deduzimos, facilmente:

φ o ∗ψ ψ = (c jd j ) ∗o (b i a i ) , isso é

φ o ∗ψ = ψ ∗o φ T ,

(06).

Em vista de (06), a dupla multiplicação horizontal fica reduzida à dupla multiplicação definida por (011), sendo, pois, desnecessária. Deve ser observado, entretanto, que o escalar, os vetores e o diádico dados por (05), geralmente são diferentes daqueles dados por (01); uma exceção, por exemplo, verifica-se quando φ=φ φT (φ simétrico), situação muito comum nas aplicações. Manteremos as definições de Gibbs. As duplas multiplicações gozam das seguintes Propriedades. 1ª)- São sempre possíveis, unívocas e os seus resultados são invariantes, o que é evidente. 2ª)- São comutativas as duplas multiplicações pontuadas e cruzadas:

 φ : ψ = ψ : φ, φ ∗∗ ψ = ψ ∗∗ φ, or  × × φ × ψ = ψ × φ ,

(07).

Com efeito, para comprovar basta comutarem-se as letras dentro dos parênteses em (01)1,2 e em seguida aplicar-se a definição (01) à expressão obtida.

Poliádicos - Ruggeri


138

§ 07 – Multiplicações duplas.

3ª)- O escalar de um produto pontuado de diádicos é igual ao escalar do produto pontuado desses mesmos diádicos em ordem inversa:

( φ . ψ) E = ( ψ. φ ) E ,

(08).

Com efeito, é o que podemos deduzir considerando o segundo e o último membros de (02), ou o terceiro e o quarto. 4ª)- A dupla multiplicação mista de diádicos é anti-comutativa:

 φ × ψ = − ψ ×. φ, φ ∗o ψ = − ψ ∗o φ, or  .. . φ × ψ = −ψ × φ,

(09).

De (01)3 podemos escrever:

φ ×. ψ = − (c j .a i )(d j × b i ) = − (c jd j ) ×. (a i b i ) , o que comprova (09)1. Similarmente podemos comprovar (09)2. Decorre imediatamente da anti-comutatividade da dupla multiplicação mista, representada por (09), que,

∀φ : φ ×. φ = o

(09)1.

Esta propriedade, aliás, pode ser confirmada pelas igualdades (04), pois, para ψ = φ, φT.ψ ψé diádico simétrico (Corol. 2, Teor. 1, § 05.03), logo, de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, § 04.02). 5ª)- As duplas multiplicações mistas não se alteram se, simultaneamente, comutamos os símbolos operatórios e substituímos os diádicos fatores pelos seus respectivos transpostos:

φ

o ∗

ψ = φT

∗ o

ψT ,

or

φ ×. ψ = φ T ×. ψ T ,   φ . ψ = φ T × ψ T , .  ×

Com efeito, pois podemos escrever (01)3 na forma:

φ ×. ψ = (b i × d j )(a i .c j ) = (b i a i ) ×. (d jc j ) , o que comprova (10)1. Similarmente podemos comprovar (10)2.

II,§ 07.01

(10).


§ 07.01 - Definições e propriedades

139

6ª)- As duplas multiplicações são associativas em relação a fatores escalares:

A ( φ ∗o ψ ) = ( Aφ ) ∗o ψ = φ ∗o ( Aψ ) ≡ Aφ ∗o ψ ,

(11).

A demonstração é imediata, bastando lembrar-se a definição de produto de diádico por número (§ 02.02) e considerar-se que os produtos escalar e vetorial de vetores são associativos em relação a fatores escalares. 7ª)- As duplas multiplicações são distributivas em relação à adição de diádicos:

φ ∗o (ψ ± χ ± ...) = φ ∗o ψ ± φ ∗o χ ± ...

(12).

Reduzamos, por exemplo, os diádicos entre parênteses a formas trinomiais com os mesmos antecedentes independentes. Ponhamos: i

ψ = eia ,

χ = e ib

i

i

etc e φ = x i y .

Então deduzimos, sucessivamente, por duplas multiplicações:

( x i y i ) ∗o [e j (a j ± b j ± ...)] = ( x i ∗ e j )[ y i o (a j ± b j ± ...)] = = ( x i ∗ e j )( y i o a j ± y i o b j ± ...). Considerando agora a distributividade da multiplicação de números por soma de números, ou a de números por soma de vetores ou a de multiplicação direta de vetor por soma de vetores, temos:

φ ∗o (ψ ± χ ± ...) = ( x i ∗ e j )(y i o a j ) ± ( x i ∗ e j )( y i o b j ) ± ... . Considerando a definição (01), reconhecemos nas parcelas do segundo membro as parcelas do segundo membro de (12). Nota: As propriedades 6ª) e 7ª) mostram que as duplas multiplicações são operações lineares: φ ∗o ( A ψ ± B χ ± ...) = A φ ∗o ψ ± B φ ∗o χ ± ...

(13).

8ª)- A dupla multiplicação cruzada não é associativa:

( φ ×× ψ ) ×× χ ≠ φ ×× ( ψ ×× χ )

(14).

Para comprovar basta desenvolver ambos os membros de (14) para verificarmos que os antecedentes de um (bem como os conseqüentes) são diferentes dos correspondentes do outro.

Poliádicos - Ruggeri


140

§ 07 – Multiplicações duplas.

9ª)- O transposto de um duplo produto cruzado de diádicos é igual ao duplo produto cruzado dos transpostos dos diádicos:

( φ ×× ψ ) T = φ T

× ×

ψT

(15).

Com efeito, pois de (01)2 podemos escrever:

× ×

ψ ) T = (b i × d j )(a i × c j ) = φ T

× ×

ψT .

10ª)- O duplo produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto pontuado dos seus transpostos: T

T

φ : ψ=φ : ψ ,

(16).

Com efeito, pois de (01)1 podemos escrever:

φ : ψ = (b i .d j )(a i .c j ) = (b i a i ) : (d j c j ) = φ T : ψ T

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. Teor.1: (CNS para que um duplo produto seja nulo)

φ

o ∗

0  ψ = o Ο 

⇐ ∀ψ ⇒ φ = Ο ,

(01).

Analisemos em primeiro lugar a dupla multiplicação cruzada, pondo, para tal, φ = eiai e ψ = ejbj, com ei independentes. Temos, com diádicos gerados do E3:

φ ×× ψ = (e i × e j )(a i × b j ) = (e1e 2 e 3 )ε ijk e k (a i × b j ) = Ο . Logo, efetuando as somas indicadas e considerando que os conseqüentes de φ ×× ψ devem ser todos nulos (§ 02.09): a 2 × b 3 = a 3 × b 2 ,  3 1  a × b = a1 × b 3 ,  a1 × b 2 = a 2 × b1.  Para todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3) as igualdades acima só são possíveis se a 1 = a 2 = a 3 = o , o que implica φ = Ο. Analisemos, agora, a dupla multiplicação pontuada, pondo φ = eiai e ψ = ejbj, com (e1e2e3)≠0. Temos: φ : ψ = ( e i . e j )( a i .b j ) = a i . b i = 0. Tal como no caso anterior, para todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3), esta igualdade só é possível se a 1 = a 2 = a 3 = o , isso é, se φ = Ο. Poderíamos analisar analogamente a operação φ ×. ψ com as reduções φ = aiei e ψ = j bje . A recíproca do teorema é de demonstração evidente.

II,§ 07.02


§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos.

141

Duplo produto nulo de diádicos não nulos. O Teor. 1 só é verdadeiro para qualquer ψ, isso é, para dado ψ, φ ×× ψ = Ο não acarreta φ=Ο Ο. Com efeito, sejam, φ = e i a i e ψ = e jb j com (e1e 2 e 3 ) ≠ 0 , a i ≠ o , b j ≠ o . Sendo φ ×× ψ = Ο , resultam a2×b3 = a3×b2, .... Essas igualdades serão possíveis se os vetores a1, a2, a3 e b1, b2, b3, além de coplanares, satisfizerem também as condições (de igualdade de áreas orientadas):

| a 2 || b 3 |sen( a 2 , b 3 ) =| a 3 || b 2 |sen( a 3 , b 2 )   3 1 | a || b |sen( a 3 , b 1 ) =| a 1 || b 3 |sen( a 1 , b 3 )  | a 1 || b 2 |sen( a 1 , b 2 ) =| a 2 || b 1 |sen( a 2 , b 1 ),

(02),

onde os ângulos (a2,b3), (a3,b2) etc. são orientados no plano dos vetores. Destas três condições deduzimos, se nenhum dos vetores é o vetor zero: 1

2

1

3

sen ( a , b ) sen( a , b )

×

2

3

2

1

sen( a , b ) sen( a , b )

×

3

1

3

2

sen( a , b ) sen ( a , b )

= 1,

(021);

ou, ainda, lembrando a definição de razão simples de três raios: 1 2

3

2

3 1

3 1 2

(a b b )(a b b )(a b b ) = 1,

(022).

Denominaremos um feixe de seis raios que satisfaça a (022) um "feixe de Ceva". Traçando-se arbitrariamente retas paralelas a b1, b2 e b3 e denotando-se por B1 a interseção de b2 com b3, B2 a de b3 com b1 e B3 a de b1 com b2, estas definem um triângulo B1B2B3 cujos ângulos internos só dependem de ψ. Então as paralelas aos ai conduzidas pelos Bi, que interceptam as bi nos pontos Ai, são dependentes de um ponto V, (Fig.07.02).

Se é nulo o duplo produto cruzado de dois diádicos não nulos as retas suporte dos seus (seis) conseqüentes (ou antecedentes) em uma redução trinomial arbitrária formam um feixe de Ceva. Fig.07.02

Com efeito, ponhamos (021) na forma equivalente

B1B 2 sen (b 2 , a1 ) B 2 B 3 sen (b 3 , a 2 ) B 3 B1 sen (b1 , a 3 ) × × =1, B1B 3 sen (b 2 , a 3 ) B 2 B1 sen (b 3 , a1 ) B 3 B 2 sen (b1 , a 2 )

Poliádicos - Ruggeri


142

§ 07 – Multiplicações duplas.

e reescrevamos essa expressão, agora lembrando a expressão da razão simples de três pontos expressa em função da razão simples de três raios que os projetam dos centros B1, B2 e B3 (Fig. 07.02); teremos: A1B2 A 2B3 A3B1 × × = −1 , A1B3 A 2B1 A 3B2 expressão que confirma a nossa assertiva, conforme o clássico teorema de Ceva. Diádicos de Pauly. Definição: (diádicos de Pauly) Dois diádicos que, reduzidos a formas trinomiais com os mesmos antecedentes independentes, admitam por conseqüentes vetores cujos suportes definam um feixe de Ceva, são denominados diádicos de Pauly, ou par de Pauly; serão indicados por Pau( , ). Logo: Se o duplo produto cruzado de dois diádicos é o diádico nulo, esses diádicos formam um par de Pauly. A recíproca deste teorema não é verdadeira: O duplo produto cruzado dos diádicos de um par de Pauly não é nulo necessariamente. Com efeito, de (022) ou (021) não se deduzem as (02). Com mais forte razão, podemos escrever:

φ 3 ≠ 0, ψ 3 ≠ 0 ⇒ φ ×× ψ ≠ Ο ,

(03).

Da mesma forma, sendo φ completo, qualquer um de seus homológicos é completo; logo

φ 3 ≠ 0, ⇒ φ ×× Homφ ≠ Ο ,

(04).

Consideremos, agora, o par de diádicos de Pauly, φ e ψ, de conseqüentes a 1 , a 2 , a 3 e b 1 , b 2 , b 3 . O duplo produto cruzado de φ por ψ tem por conseqüentes os vetores não nulos a 2 × b 3 − a 3 × b 2 ≠ o,  3 1 1 3  a × b − a × b ≠ o,  a1 × b 2 − a 2 × b1 ≠ o,  sendo, pois, em geral, não nulo; isso é, embora os conseqüentes de φ e ψ formem um feixe de Ceva, os vetores paralelos a 2 × b 3 e a 3 × b 2 etc. podem ter módulos diferentes. Isto significa que, em geral, o sistema (02) não se verifica. Entretanto, podemos determinar os vetores c i = X i a i (i = 1, 2, 3)57, paralelos aos ai, tais que o sistema (02) se verifique. Para isto bastará comprovarmos que o sistema 57 Deve ser notado, conforme já convencionamos, que no segundo membro não está estabelecido somatória.

II,§ 07.02


§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos.

143

 0 X 1 + | a 2 || b 3 | sen( a 2 , b 3 ) X 2 −| a 3 || b 2 | sen( a 3 , b 2 ) X 3 = 0   −| a 1 || b 3 | sen( a 1 , b 3 ) X 1 + 0X 2 + | a 3 || b 1 | sen( a 3 , b 1 ) X 3 = 0   | a 1 || b 2 | sen( a 1 , b 2 ) X 1 − | a 2 || b 1 | sen( a 2 , b 1 ) X 2 + 0X 3 = 0 admite solução diferente da trivial. Com efeito, o determinante do sistema, 1

2

3

1

2

1

2

3

2

3

| a || a || a || b || b || b | 3

1

1

3

2

1

3

2

[ sen( a , b ) sen( a , b ) sen( a , b ) − sen( a , b ) sen( a , b ) sen( a , b )], é nulo porque, em vista da validade de (021), o fator entre colchetes é nulo, isso é, as retas suporte dos vetores formam um feixe de Ceva. Assim, se (X1,X2,X3) for uma solução do sistema, as demais serão do tipo K(X1,X2,X3), em que K é uma constante arbitrária. Então, existem diádicos planares (formando uma família), de conseqüentes paralelos aos ai, portanto homológicos do diádico fator φ, que anulam o duplo produto cruzado de qualquer um deles pelo diádico ψ. Ora, como os vetores ci, em vez de paralelos aos ai, poderiam ser tomados paralelos aos bi, concluímos: Teor. 2: Dado um par de Pauly, de diádicos φ e ψ, existe uma família de diádicos semelhantes e homológicos com φ (ou ψ), tal, que o duplo produto cruzado de qualquer dos membros dessa família, Hom φX (ou Hom ψ1/X), por ψ (ou φ) seja o diádico nulo:

 Homφ X ×× ψ = Ο Pau(φ, ψ ) ⇒  × Homψ 1/X × φ = Ο. Observação: Os Xi são determinados em função dos diádicos φ e ψ do par de Pauly; estão, pois, associados a esse par. Por isso mesmo, usamos a notação HomφX para especificar os membros da família interessada já que HomφX é um subconjunto de Homφ.

É fácil justificar porque

o para os ψ ≠ Ο , gerados do E 3 , φ .o ψ =  não ⇒ φ = Ο , 0

(05).

Ponhamos φ=eiai e ψ=ejbj com (e1e2e3)≠0. Então:

φ o. ψ = ( e i .e

j

)( a i o b

j

 o (vetor zero) ) = δ i j (a i o b j ) = a i o b i =  0 (escalar nulo).

Poliádicos - Ruggeri


144

§ 07 – Multiplicações duplas.

Sendo ψ≠Ο Ο, os seus conseqüentes, bi, não são simultaneamente nulos; para que ai o bi seja nula basta, por exemplo, que os bi sejam correspondentemente ortogonais aos ai, se o ≡., ou que os bi sejam correspondentemente paralelos aos ai, se o ≡×. Assim, existem infinitos diádicos não nulos que anulam o duplo produto φ o. ψ , qualquer que seja ψ≠Ο Ο. Diádicos ortogonais. Consideremos um diádico linear cujo antecedente seja perpendicular ao plano dos antecedentes de um diádico planar dado. É evidentemente nulo o duplo produto pontuado desses diádicos não nulos, isso é, Teor. 3: Se o antecedente (conseqüente) de um diádico linear é perpendicular ao plano dos antecedentes (conseqüentes) de um diádico planar, o duplo produto pontuado deles é nulo. É evidente também a demonstração do seguinte Teor. 4: É nulo o duplo produto pontuado de dois diádicos lineares cujos antecedentes ou conseqüentes sejam perpendiculares. Existem, pois, diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo. Definição: (diádicos ortogonais) Diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo são ditos ortogonais ( ou perpendiculares) Teor. 5: Todo diádico completo pode ser decomposto na soma de dois diádicos ortogonais, um planar e um linear. Com efeito, seja φ = ax ′ + by ′ + cz′ um diádico completo de antecedentes e conseqüentes co-iniciais num ponto arbitrário, O, do espaço. Sejam, ainda, A' e B' as interseções dos vetores a e b com o plano conduzido pela extremidade C de c. Seja C’ a projeção ortogonal da extremidade C de c sobre o plano (a,b) quando c é co-inicial com a e b em O. Decompondo o vetor o vetor de origem O e extremidade C’ em relação a a e b, podemos escrever: OC' = Ma + Nb . Então: c = OC' + n , sendo n ortogonal a a e b. Assim,

φ = ax ′ + by ′ + ( n + Ma + Nb ) z′ = ax + by + nz , sendo x = x ′ + Mz′, y = y ′ + Nz′ e z = z′ . Então o completo φ é a soma do planar ax + by com o linear nz cujo antecedente é perpendicular ao plano dos antecedentes de ax+by. Logo, o duplo produto pontuado desses diádicos vale zero, e eles são perpendiculares.

II,§ 07.02


§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos.

145

Teor. 6: Se A é anti-simétrico, então todo diádico simétrico, S, é ortogonal a A. Reciprocamente, se todo diádico simétrico, S, é ortogonal a certo diádico A, então A é anti-simétrico:

Α = −Α T

∀ S = ST

Α : S = 0,

(06).

Se Α = − Α T e S = S T é qualquer, então Α : S = − Α T : S T . Aplicando ao segundo membro a propr. 5ª da multiplicação pontuada dupla, vem A : S = − A : S , donde Α : S = 0 , isso é, A é ortogonal a S. Reciprocamente, se certo diádico A A, isso é, Α : S = 0 , então, aplicando a diádicos ao primeiro membro dessa considerando que S = S T , Α T : S = 0 .

é ortogonal a todo e qualquer diádico simétrico propr. 5 da multiplicação pontuada dupla de igualdade, vem: Α T : S T = 0 ; ou, ainda, Logo, (Α Α + Α T ): S = 0 , isso é, Α + Α T é

ortogonal a todo S = S T ; e o Teor. 1 exige seja Α + Α T = Ο porque S, embora simétrico, é qualquer. Portanto A deve ser anti-simétrico.

O ortogonalismo dos diádicos será detalhadamente discutido no §10 e no §11, não sendo possível precisar, no momento, em que condições e a quantos diádicos dado diádico possa ser ortogonal; mas um mesmo diádico pode ser ortogonal a pelo menos dois outros. Exercício 1: Se um diádico é ortogonal a dois outros, ele é ortogonal a qualquer combinação linear desses últimos. Diádicos paralelos. Particularmente, no caso dos diádicos paralelos (§ 02.02), φ e ψ = M φ, temos, conforme (04), § 07.01:

φ paralelo a ψ ⇒ φ ×. ψ = o ,

(07).

Com efeito, pois φ ×. ψ = M (φ . φ T ) V = o já que φ . φ T é simétrico (Corol. 2, Teor.1, § 05.03), logo de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, § 04.02). Teor. 7: A CNS para que seja nulo o produto misto de dois diádicos é que o produto pontuado de um deles pelo transposto do outro seja um diádico simétrico:

φ ×. ψ = o

φ . ψ T = ( φ . ψ T ) T = ψ .φ T

(08).

Poliádicos - Ruggeri


146

§ 07 – Multiplicações duplas.

A condição é necessária porque sendo φ ×. ψ = o , (042), § 07.01 implica a anulação do vetor de φ . ψ T , ou seja, que esse diádico seja simétrico. A condição é suficiente pois, dados dois diádicos φ e ψ tais que φ . ψ T seja simétrico, então o vetor desse produto é o vetor zero e, logo, ainda conforme (042), § 07.01, φ ×. ψ = o . Corol. 1: Todo diádico é paralelo a si próprio:58

φ ×. φ = o ,

(09).

Com efeito, φ . φ T é diádico simétrico. Corol. 2: Se um diádico é simétrico, ele é paralelo ao seu transposto:

φ = φT

φ ×. φ T = o ,

(091).

Nota: A recíproca desse teorema não é verdadeira. Existem diádicos não simétricos paralelos aos seus respectivos transpostos, mas os seus quadrados são simétricos necessariamente; pois, φ ×. φ T = o ⇒ φ .φ = ( φ .φ ) T .

Corol. 3: A CNS para que um diádico seja simétrico é que seja nulo o seu produto misto pelo diádico unidade:

φ = φ T ⇔ φ ×. Ι = o ,

(10).

Com efeito, em (08) poderia ser ψ = Ι . Notas: 1) - Não se conclua daí que seja sempre nulo o produto misto de dois diádicos simétricos. Com efeito, mesmo que φ e ψ sejam simétricos, (042), § 07.01 não nos permite concluir que . ψ = o porque φ.ψ não é em geral diádico simétrico. φ × 2) - Entretanto, dois diádicos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.

§ 07.03 - Invariância. Teor. 1: (substituição de diádicos iguais em dupla multiplicação)

φ = φ′ ⇐ ∀ψ ⇒ φ

o ∗

ψ = φ′

o ∗

ψ,

58 Provaremos no § 07.07 que todo diádico não nulo jamais é ortogonal a si próprio.

II,§ 07.03

(01).


§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos.

147

No E3, ponhamos em forma trinomial, com (e1e2e3)≠0,

φ = e i a i , φ′ = e i a′i e ψ = e jb j , ψ sendo um diádico qualquer. Se φ = φ', então, ai = a'i e

φ

o ∗

ψ = (e i ∗ e j )(a i o b j ) = (e i ∗ e j )(a′i o b j )

uma vez que vetores iguais se substituem tanto em multiplicação escalar quanto em multiplicação vetorial de vetores. Considerando a definição de duplo produto de di��dicos, do último membro da expressão de φ ∗o ψ concluímos a veracidade do teorema direto. Reciprocamente,

∀ψ : φ

o ∗

ψ = φ′

o ∗

0  ψ ⇒ ( φ − φ ′) ψ =  o Ο.  o ∗

Como ψ é qualquer, destas relações deduzimos: φ = φ', conforme (01),§ 07.02. E óbvio que

φ = φ′ and ψ = ψ ′ ⇒ φ

o ∗

ψ = φ′

o ∗

ψ′

(02).

Então: 1º) por não alterar-se um duplo produto de diádicos quando estes são substituídos por outros que lhes sejam iguais; 2º) porque diádicos iguais podem ser reduzidos a formas trinomiais de infinitas maneiras, concluímos: Teor. 2: os duplos produtos são invariantes, isso é, independem da forma sob que se apresentem os diádicos fatores.

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. Os duplos produtos apresentam valores notáveis quando um dos diádicos é o diádico unidade. Teor. 1: Tem-se:

φ : Ι = φ E ,  ∀φ :  φ × Ι = − φ T + φ Ι , E  ×

(01).

Estas fórmulas são, respectivamente, conseqüências imediatas de ((02) e (03) ou (031), § 07.01) para ψ = Ι. * Poliádicos - Ruggeri


148

§ 07 – Multiplicações duplas.

Exercício: Provar que (φ ×× Ι ) T = φ T

× ×

Ι *

Particularmente, para φ = rr , temos: rr ×× Ι = −rr + r 2 Ι . Considerando (022), § 06.05, deduzimos:

− rr ×× Ι = (Ι × r ) 2 ,

∀r :

(011).

Recorrendo a (121), § 06.05, temos:

∀r :

(rr

× ×

Ι ) N = (−1) N +1 | r | 2(N −1) (rr

× ×

Ι) ,

(012).

Corol. 1: Uma CNS para que um diádico seja o diádico nulo é que seu duplo produto cruzado com o diádico unidade seja o diádico nulo.

φ ×× Ι = Ο

φ=Ο,

(013).

A condição é necessária porque de (01)2 deduzimos: φT = φEΙ; donde, tomando o escalar de ambos os membros: φE = 3φ φE, ou φE = 0. Então: φ = 0 Ι = Ο. A condição suficiente é evidente. Nota: Este corolário é também um caso particular do Teor.1 do § 07.02, bastando considerar ψ = Ι (pois Ι é um diádico completo).

Corol. 2: Uma CNS para que um diádico (não nulo) tenha escalar nulo é que ele seja ortogonal ao diádico unidade:

φ : Ι=0

φ E = 0,

(014).

A demonstração decorre imediatamente de (01)1. Corol. 3: Uma CNS para que um diádico tenha escalar nulo é que o oposto do seu transposto seja igual ao seu duplo produto cruzado com o diádico unidade:

φ ×× Ι = −φ T Pois, se φE = 0, (01)2 dá: φ

× ×

φE = 0 ,

Ι = − φ T . Reciprocamente, se φ

(015). × ×

Ι = − φ T , então (01)2

também fornece: φEΙ = Ο, isso é, conforme ((04).§ 02.09), φE = 0. Decorrem imediatamente das (01) as seguintes expressões:

Ι ×× Ι = 2 Ι ,

II,§ 07.04

Ι:Ι = 3 ,

(016).


§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos.

149

Particularmente (01)5 dá:

− AT = A = A

× ×

Ι,

(017).

Nota: Em vista de (01)2 a fórmula ((031),§ 07.01) pode ser escrita também na forma

φ

× ×

ψ = (φ

× ×

Ι ).(ψ ×× Ι ) − (φ.ψ) ×× Ι ,

(018)

Considerando (016)1, (01)2 pode ser escrita na forma:

(φ −

1 φ E Ι ) ×× Ι = −φ T , 2

(019).

Exercício: Provar que

∀φ : Teor. 2: ∀a eb :

(φ T

(a × Ι )

× ×

× ×

Ι ) 2 = φ 2 − 2φ E φ + (φ E ) 2 Ι .

(b × Ι ) = ab + ba,

(a × Ι ) ×. (b × Ι ) = a × b = [(ab)

× ×

(a × Ι ) : (b × I) = 2a.b = [(ab)

Ι]E

× ×

Ι]V ,

(02).

Com o intuito de abreviar as demonstrações não explicitaremos as diversas propriedades utilizadas da multiplicação mista e da dupla multiplicação vetorial de vetores. Pondo Ι = eiei = ejej, temos, para i, j,... = 1,2,3:

(a × Ι ) ×× (b × Ι ) = [(a × e i ) × (b × e j )](e i × e j ) = = (a × e i .e j )b (e i × e j ) − (a × e i .b )e j (e i × e j ) = = (ba ) .(e i × e j ) (e i × e j ) + e j (e j × e i )(e i .b × a ). Observando que a primeira parcela pode ser escrita na forma

(ba).(e i × e j )(e i × e j ) = (ba).(Ι ×× Ι ) = (ba).2Ι = 2ba e a segunda na forma

e j (e j × e i )(e i .b × a) = Ι × (b × a) , deduzimos, aplicando ((07),§ 06.01):

(a × Ι ) ×× (b × Ι ) = 2ba + ab − ba = ab + ba , o que comprova (02)1.

Poliádicos - Ruggeri


150

§ 07 – Multiplicações duplas.

Sendo a × Ι = (a × e i )e i e b × Ι = (b × e j )e j deduzimos também:

(a × Ι ) o. (b × Ι ) = (a × e i ) o (b × e j )(e i .e j ) = = (a × e i ) o (b × e i ) = [(ab ) ×× (e i e i )]o = [(ab ) ×× Ι ]o . Lembrando (01)2 concluímos: (a × Ι ) .o (b × Ι ) = −b o a + (a.b )Ι o . É fácil, agora, encontrar (02)2 e (02)3. Corol. 1: Se A = - AT e B = - BT em E3, então:

4 A ×× B = B V A V + A V B V = 4( A ×× B ) T , 4 A ×. B = − A V × B V = [( A V B V ) ×× Ι ]V , 4 A : B = 2 A V .B V = ( A V B V

× ×

(021).

Ι )S ,

Com efeito, pois lembrando ((013),§ 06.04), escrevemos:

4 A oo B = ( A V × Ι ) oo ( B V × Ι ) Aplicando, agora, as fórmulas (02) podemos facilmente encontrar as (021). Notas:

-

1 - O primeiro e o último membros de (021)1 mostram que, não obstante serem A e B anti simétricos, o seu duplo produto cruzado é simétrico. 2 - As fórmulas (021)2 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem não nulos, o seu duplo produto misto será nulo quando os planos desses diádicos forem paralelos (caso em que seus vetores são paralelos). 3 - As fórmulas (021)3 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem nulos, o seu duplo produto pontuado é geralmente não nulo, exceto quando os vetores (ou os planos) desses diádicos são ortogonais.

Corol. 2: Não há mais que três diádicos anti-simétricos ortogonais entre si. Com efeito, pois não há mais que três vetores (ou três planos) ortogonais entre si. Corol. 3: Se A = - AT , em E3,

1 A ×× A = A V A V , 2 A ×. A = o, 1 A : A = AV 2 , 2

(022)59.

59 Por (01 ) e (02 ) vemos que o duplo produto pontuado de I por si próprio e o do anti-simétrico A por si 6 2 2 3 próprio são números positivos. No § 07.07 essa propriedade será demonstrada verdadeira para qualquer diádico.

II,§ 07.04


§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos.

151

Teor. 3: (produto cruzado de um vetor por um duplo produto de diádicos)

∀φ, ψ, x :

x × (φ ×o ψ) = φ o (x.ψ) - (x.φ o ψT)T

(03).

(φ ×o ψ) × x = (φ.x) o ψ − (φT o ψ.x)T Pondo φ = aiei e ψ = bjej, temos:

x × (φ ×o ψ) = x × (ai × b j)(ei o e j) = [(x.b j)ai − (x.ai)b j](ei o e j) . Independentemente da operação que o possa representar, podemos agrupar convenientemente os fatores das duas parcelas no último membro, mantendo a ordem dos vetores ai, bj e de ei o ej (um escalar ou um vetor). Então:

x × (φ ×o ψ) = (x.b j)ai(ei o e j) − (x.ai)b j(ei o e j) . Não é difícil, agora, comprovar-se que a primeira parcela é igual a φ o (x.ψ) e que a segunda é igual a (x.φ o ψT)T ; o que comprova (03)1. Analogamente podemos demonstrar (03)2. Corol. 1:

(φ × ψ ) × x = ( φ .x) × ψ + (ψ .x ) × φ, ∀φ, ψ , x :  × ×  (φ . ψ ) × x = (ψ .x).φ − (φ .x ).ψ ,

(031).

Quando em (03)2 a operação o é a multiplicação pontuada, φ ×. ψ é um vetor. Sendo ψ.x um vetor, φT.ψ ψ.x = (ψ ψ.x).φ φ, fazendo-se necessários os parênteses em vista de ((04)1,§ 06.02); mas a transposição é irrelevante. Comprova-se, assim, (031)2. Aplicando-se as ((09),§ 06.01) à segunda parcela do segundo membro de (03)2 encontra-se logo (031)1. Corol. 2:

∀ φ, x :

1 (φ 2

× ×

φ ) × x = (φ .x) × φ ,

(032).

Teor. 4: (produto pontuado de um produto vetorial de vetores por um duplo produto de diádicos)

∀φ, ψ , x, y : ( x × y ).( φ

o ×

ψ ) = ( x.φ ) o ( y.ψ ) − ( y.φ ) o ( x.ψ )

(04).

Pré-multipliquemos escalarmente ambos os membros de (03)1 por y. Aplicando propriedade do produto misto de vetores, no caso em que a multiplicação é a pontuada, e ((03)1, § 06.02) no caso em que a multiplicação é a cruzada, escrevemos:

Poliádicos - Ruggeri


152

§ 07 – Multiplicações duplas.

y.[ x × (φ

o ×

ψ ] = y × x.( φ

o ×

ψ ) = − ( x × y ) .( φ

o ×

ψ) .

Ainda, usando ((01)1,§ 06.02), escrevemos:

y.(φ o ψ T .x) = (y.φ) o (x.ψ ) , e, por evidência

y.(x.φ o ψ T ) T = (x.φ o ψ T ).y = (x.φ) o (y.ψ ) . Logo, temos (04). Corol. 1: (caso de multiplicação pontuada)

( x × y ).(φ ×× ψ ) = ( x.φ ) × ( y.ψ ) − ( y.φ ) × ( x.ψ ), ∀φ, ψ , x, y :  .  ( x × y ).(φ × ψ ) = ( x.φ ).( y.ψ ) − ( y.φ ).( x.ψ ),

(041).

Corol. 2: (caso de multiplicação cruzada com diádicos iguais)

1  ×  ( x × y ). 2 (φ × φ ) = ( x.φ ) × ( y.φ ) ∀φ, x, y :  1  (φ ×× φ ).( x × y ) = (φ .x ) × (φ .y ), 2

(042).

Teor. 5: (Produto pontuado dos vetores de dois diádicos)

∀ φ, ψ :

φ V .ψ V = φ : ( ψ − ψ T ) = − φ : ( Ι × ψ V ) ,

(05)

Pondo φ = a i b i , ψ = c jd j , temos φ V = a i × b i , ψ V = c j × d j ; logo, aplicando ((05), § 03.03,I):

φ V .ψ V = ( a i × b i ) .( c j × d j ) =

a i .c j a i .d j = (a i .c j )(b i .d j ) − (b i .c j )(a i .d j ) . b i .c j b i .d j

Aplicando a definição de duplo produto pontuado ao último membro da expressão obtida temos:

φ V .ψ V = (a i b i ) : (c jd j ) − (a i b i ) : (d jc j ) , donde a tese.

II,§ 07.04


§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos.

153

§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. Teor. 1: ∀ φ,ψ gerados do E3:

× ×

ψ ) V = φ.ψ V + ψ .φ V = ψ V .φ + φ V .ψ ,

(01),

e

× ×

ψ ) E = φ E ψ E − (φ.ψ ) E ,

(02).

Temos, de ((01)2,§ 07.01), em relação ao E3, aplicando a fórmula do duplo produto vetorial: (φ ×× ψ ) V = (b i d j a i )c j − (b i d j c j )a i , para i,j=1,2,3. Considerando que

(b i d jc j )a i = (a i b i ).(d j × c j ) = −φ.ψ V e (b i d ja i )c j = c j (d ja i b i ) = (c jd j ).(a i × b i ) = ψ .φ V , temos demonstrado (01)1. Por outro lado poderíamos ainda escrever: (φ

× ×

ψ ) V = (a i c j d j )b i − (a i c j b i )d j , ou

aplicando propriedades:

× ×

ψ ) V = (c j d j a i )b i − (a i b i c j )d j . Então: (φ

× ×

ψ ) V = ψ V .φ + φ V .ψ ,

o que comprova (01)2. Ainda de ((01)2,§ 07.01), aplicando ((05),§ 03.03,I):

× ×

ψ ) E = (a i .b i )(c j .d j ) − (c j .b i )(d j .a i ), (i, j = 1,2,3) .

Mas,

(a i .b i )(c j .d j ) = φ E ψ E , e ( c j . b i )( a i . d j ) = [ a i (b i . c j ) d j ] E = [( a i b i ) . ( c j d j )] E = (φ . ψ) E ; logo, comprovamos (02). * Exercício: Comprovar que “o produto pontuado da parte anti-simétrica de um diádico pelo vetor de um outro é o vetor oposto ao produto pontuado da parte anti-simétrica deste pelo vetor do primeiro”, isso é: (φ − φ T ).ψ V + (ψ − ψ T ).φ V = o . * Corol. 1: Tem-se, ∀φ :

1 (φ 2

× ×

φ) E = ( φ E ) 2 − ( φ 2 ) E

× ×

φ) V = φ.φ V = φ V .φ ,

(021),

fórmulas que se comprovam fazendo φ = ψ em (01) e em (02). Decorre de (021) que φ V .φ = φ V .φ T , mas isso não significa que φ seja simétrico (especialmente porque φV≠o). Mas se φ é simétrico (φ ×× φ) V = o .

Poliádicos - Ruggeri


154

§ 07 – Multiplicações duplas.

Corol. 2: Tem-se:

× ×

Ι)V = φV ,

× ×

Ι ) E = 2φ E ,

(022),

fórmulas que se comprovam fazendo-se ψ = Ι em (01) e em (02), e considerando-se que Ι E = 3. Se A = - AT, deduzimos, de ((022)1 e (022)3,§ 07.04):

2( A ×× A )S = A v = 2 A : A , 2

(023).

De (022)2, ou de (021)2 para φ = Ι, tem-se:

( Ι ×× Ι ) E = 6 ,

(024).

§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. Posto que a dupla multiplicação cruzada de dois diádicos é um diádico, caberá uma segunda dupla multiplicação deste com um terceiro diádico, e assim sucessivamente. Teor. 1:

∀ φ, ψ e χ no E3: ( φ ×× ψ ) T  ( φ ×× ψ ) T

× ×

χ ]T = (φ : χ T ) ψ + (ψ : χ T )φ − φ .χ .ψ − ψ .χ .φ = ( φ ×× ψ ) ×× χ T

× ×

χ = ψ T .[(φ .χ ) ×× Ι ] + φ T .[(ψ .χ ) ×× Ι ],

(01).

Pondo φ = aibi, ψ = cjdj e χ = ekfk, com (i,j,k = 1,2,3), temos:

( φ ×× ψ ) T = (b i × d j )(a i × c j ) e [ ( φ ×× ψ ) T

× ×

χ ]T = [(a i × c j ) × f k ][(b i × d j ) × e k ] .

Desenvolvendo os duplos produtos vetoriais, efetuando os produtos diretos e agrupando convenientemente, escrevemos:

[(φ ×× ψ ) T

× ×

χ ]T = [(f k .a i )c j − (f k .c j )a i ][(e k .b i )d j − (e k .d j )b i ] = = (b i .e k )(a i .f k )(c jd j ) − a i (b i .e k )(f k .c j )d j + + (c j .f k )(d j .e k )(a i b i ) − c j (d j .e k )(f k .a i )b i .

II,§ 07.06


§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos.

155

Ora,

(b i .e k )(a i .f k )(c jd j ) = [(a i b i ).(e k f k )]E ψ = (φ.χ) E ψ = (φ : χ T )ψ i

k

j

k

a i (b . e k )( f . c j ) d = (φ . e k )( f . ψ) = φ . χ . ψ. Desenvolvendo analogamente as duas outras parcelas, comprovamos (01)1, expressão esta que pode, ainda, ser escrita na forma:

( φ ×× ψ ) T

× ×

χ = ψ T .[ −( φ .χ ) T + (φ .χ ) E Ι ] + φ T .[ −( ψ .χ ) T + (ψ .χ ) E Ι ] .

Lembrando agora ((01)2,§ 07.04), encontramos (01)2. Como casos particulares das (01), temos:

1 × T (φ φ) 2 × (φ ×× ψ ) T

× ×

1 × T (φ × φ ) 2

× ×

ψ = φ T .[(φ .ψ ) ×× Ι ] = − φ T .ψ T .φ T + (φ .ψ ) E φ T

Ι = ψ T .(φ ×× Ι ) + φ T .(ψ ×× Ι ) × ×

φ = φ T .(φ 2 ×× Ι ) = −(φ T )3 + (φ 2 ) E φ T

(Ι ×× Ι ) ×× Ι = 4Ι ( φ ×× Ι ) T

× ×

ψ = (φ .ψ ) ×× Ι + φ T .( ψ ×× Ι )

(02).

Dupla multiplicação mista de três diádicos. Definição: (duplo produto misto) Chama-se duplo produto misto de três diádicos φ, ψ e χ, numa certa ordem, e representa-se por (φψχ), o duplo produto pontuado do primeiro pelo duplo produto cruzado dos dois seguintes:

( φ ψ χ ) = φ : ψ ×× χ ,

(03).

A dupla multiplicação mista de três diádicos é a operação que tem por fim determinar um duplo produto misto qualquer desses diádicos. Se, em representação trinomial,

φ = a iei ,

ψ = b je j

e

χ = ckek

(i,j,k = 1, 2, 3),

tem-se:

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156

§ 07 – Multiplicações duplas.

ai . ei

ai .e j

ai .ek

(φ ψ χ ) = ( a i b j c k )( e i e j e k ) = b j . e i

b j.e j

b j .ek ,

k

c . ei

k

(031).

k

c .e j

c .ek

Com base em (031) demonstram-se as seguintes Propriedades. 1ª) – Os símbolos operatórios são comutativos:

∀φ, ψ , χ :

φ : ψ ×× χ = φ

× ×

ψ :χ ,

(04).

Pois, operando no segundo membro de (031), escrevemos:

φ : ψ ×× χ = (a i .b j × c k )(e i .e j × e k ) = [(a i × b j )(e i × e j )] : (c k e k ) , donde, lembrando as definições dos duplos produtos:

φ : ψ ×× χ = [(a i e i ) ×× (b je j )] : (c k e k ) , resultando, logo, a tese. 2ª) – Um duplo produto misto não se altera quando se permutam os diádicos que o compõem:

φ : ψ ×× χ = ψ : χ ×× φ = χ : φ ×× ψ = ( χ ψ φ ) = ... ,

(05).

Pois os duplos produtos são comutativos, isso é,

φ : ψ ×× χ = φ : χ ×× ψ = χ ×× ψ : φ = ... 3ª) – Se os três diádicos de um duplo produto misto são iguais, esse duplo produto é igual a 6 vezes o seu terceiro:

φ :φ

× ×

φ = 6 φ3 ,

(06).

Pois teríamos de (031): (φ φ φ ) = ( a i b jc k )( e i e je k ) , donde, aplicando (05) e (051), § 04.02, I: (φ φ φ ) = ε ijk ε ijk ( a 1a 2 a 3 )( e1e 2 e 3 ) . Conforme ((071)3,§ 04.02,I), o produto dos permutadores vale 6 e o produto dos produtos mistos vale φ3; isto conclui a comprovação de (06). *

II,§ 07.06


§ 07.06 - Multiplicação dupla com mais de dois diádicos.

157

Exercícios: 1°) - É nulo o duplo produto misto dos diádicos de uma dupla de Pauly (§07.02) por qualquer um dos diádicos da família a eles associada:

Pau( φ, ψ )

φ ×× ψ : Homφ X = φ ×× ψ : Homψ1/X = ... = 0 .

Pois temos, por exemplo, aplicando a propr. 2ª),

φ ×× ψ : Homφ X = Homφ X

× ×

φ : ψ = ψ ×× Homφ X : φ .

Agora, lembrando o Teor. 2, §07.02, concluímos a tese. 2°) - A CNS para que um duplo produto misto de três diádicos seja nulo é que um deles seja ortogonal ao duplo produto cruzado dos outros dois. É evidente a demonstração em face da definição de diádicos ortogonais (§ 07.02). 3°) - Comprovar que:

∀φ , ψ, χ:

(φ ψ χ ) = φ E ψ E χ E + (χ . φ . ψ) E + (χ . ψ. φ ) E − − φ E (ψ. χ ) E − ψ E (φ . χ ) E − χ E (φ . ψ) E .

Com base nessa fórmula: a) - pondo

φ2 =

1 × φ φ, 2 ×

K1 = φ E ,

K2 =

1 2 φ 2 E

K3 =

1 3 φ 3 E

,

comprovar também que

K2 =

1 2 (φ E − 2φ 2E ) 2

e

K3 =

1 (φ 3 − 3φ E φ 2E + 3φ 3 ) . 3 E

b) - comprovar ainda, que: 1°) – ( φ ψ χ ) = [(ψ ×× Ι ) . ( φ ×× Ι ) . χ ]E − (φ . ψ ) ×× Ι : χ . 2°) – ∀φ, ψ , α , β : φ ×× ψ : α ×× β = ( φ : α )(ψ : β ) + (φ : β)(ψ : α ) − − (φ . α T ) : (β . ψ T ) − (φ . β T ) : (α . ψ T ).

3°) - ∀φ, ψ , α , β :

φ ×× ψ : ( α ×× β ) T = {[(φ .α ) ×× (ψ .β)] + [(φ .β) ×× ( ψ .α )]}E .

4°) - Se ψ 3 ≠ 0, φ ×× ψ : φ = 0 ⇔ φ 3 = 0 ou φ : φ P = 0 , pois φ ×× ψ : φ = 2φ 3φ : ψ P . 5°) - Se ψ 3 ≠ 0, φ ×× ψ : φ = 0 ⇔ φ 3 = 0 ou φ : ψ P = 0 , pois φ ×× ψ : φ = 2 φ 3φ : ψ P . *

Poliádicos - Ruggeri


158

§ 07 - Duplas multiplicações.

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos60. Definição: (norma) Denominaremos norma de um diádico φ, e a representaremos por ||φ ||, o duplo produto pontuado desse diádico por si próprio:

|| φ || = φ : φ ,

(01).

Sendo um invariante um duplo produto pontuado (§07.03), concluímos que a norma de um diádico é mais um de seus invariantes. Resulta logo de (02),§ 07.01 que podemos também escrever:

φ = (φ.φ T ) E = (φ T .φ) E ,

(011).

Considerando (021), § 07.01 e (05), § 07.04 deduzimos logo, também:

∀ φ:

|| φ || = (φ V ) 2 + (φ 2 ) E ,

(012).

* Exercício: Uma CNS para que um diádico seja simétrico é que a sua norma seja igual ao escalar do seu quadrado. * Teor. 1: A norma de todo diádico não nulo é um número positivo: ∀φ ≠ Ο :

φ :φ > 0 ,

(02)61.

Se φ é um diádico linear (logo não nulo) a proposição é evidente, pois

φ = mn ⇒ φ : φ = ( mn ) : ( mn ) = m 2 n 2 > 0 . Se φ é um diádico planar (não nulo) podemos escrevê-lo na forma binomial genérica φ = ax + by em que a não é paralelo a b nem x paralelo a y. Então,

φ : φ = a 2x2 + b2 y2 + 2(a.b)(x. y) .

60Esses conceitos são aqui apresentados pela primeira vez na teoria dos diádicos. 61 Na linguagem da Álgebra Linear dizemos que "o espaço vetorial dos diádicos munido da operação de dupla multiplicação escalar como a multiplicação escalar de dois de seus vetores é um espaço euclidiano".

II,§ 07.07


§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos.

159

Os módulos dos antecedentes e dos conseqüentes do diádico são arbitrários, podendo-se considerar | a|| x| ≠| b|| y| . Nesse caso, sendo

(| a|| x|−| b|| y|) 2 > 0, ou , a 2 x 2 + b 2 y 2 > 2| a|| x|| b|| y| , com mais forte razão é

a 2 x 2 + b 2 y 2 > −2| a || b|| x|| y| cos( a , b )cos( x, y) = −2 ( a.b )( x. y) porque o primeiro membro é maior que o maior valor possível do segundo membro. Logo, φ : φ > 0. Se, entretanto, for | a|| x| =| b|| y| , escreveremos:

$$) $ $ + by φ = K 2 ( ax

(K 2 =| a|| x|)

e

φ : φ = 2 K 4 [1 + cos ( a , b )cos( x, y)] .

Ora, o produto dos co-senos é maior que -1 porque por hipótese o diádico é planar. Logo φ : φ > 0. Suponhamos agora que o diádico seja completo e escrito na forma φ = ax ′ + by ′ + cz′ com (abc) ≠ 0 e (x'y'z') ≠ 0. Pelo Teor. 5, § 07.02 podemos sempre escrever esse diádico como uma soma de um planar ax+by e um linear nz perpendiculares. Então,

φ : φ = ( ax + by) : ( ax + by) + n 2 z 2 já que (ax+by):nz = 0. Como a primeira parcela do segundo membro é um número positivo – porque (ax+by) é um diádico planar – resulta φ : φ > 0 . Corol. 1: Apenas o diádico nulo é ortogonal a si próprio: φ=Ο

φ :φ = 0 ,

(021).

Corol. 2: As normas dos diádicos unidade e nulo são, respectivamente, 3 e 0:

|| Ι ||= 3,

|| Ο ||= 0 ,

(022).

Teor. 2: (desigualdade de Schwarz) O quadrado do duplo produto pontuado de dois diádicos é sempre menor que o produto de suas normas:

∀φ , ψ :

(φ : ψ) 2 <|| φ || || ψ|| ,

(03).

Seja o diádico γ = φ + Xψ onde φ e ψ são diádicos quaisquer. Tem-se:

γ : γ = φ : φ + 2(φ : ψ) X + ( ψ : ψ) X 2 .

Poliádicos - Ruggeri


160

§ 07 - Duplas multiplicações.

Lembrando (01) e o Teor. 1, deve ser

|| ψ || X 2 + 2(φ : ψ) X + || φ || > 0 ; e para tal o discriminante dessa inequação deve ser negativo porque o coeficiente de X2 é positivo. Então, (φ : ψ) 2 −|| φ || || ψ|| < 0 , donde a tese.

De (03), considerando que as normas são números positivos, deduzimos:

−1 ≤

φ :ψ + || φ || || ψ||

≤ 1,

(031),

isso é, existe um ângulo definido por dois diádicos φ e ψ cujo co-seno vale o duplo produto pontuado deles dividido pelo produto das raízes quadradas positivas das suas normas. Assim, podemos escrever:

φ : ψ = || φ ||

|| ψ|| cos (φ , ψ) ,

(032).

Definições: (módulo e ângulo) À raiz quadrada positiva da norma de um diádico φ denominaremos módulo desse diádico, e o representaremos por |φ| ou mod φ:

∀φ :

| φ | = mod φ = + || φ || ,

(03).

O ângulo (φ,ψ), definido por φ e por ψ, que satisfaz (032), será denominado ângulo dos diádicos φ e ψ. Escrevemos então, finalmente:

φ : ψ =| φ || ψ | cos (φ , ψ) ,

(04),

expressão que apresenta espetacular analogia com a expressão do produto escalar (pontuado) de dois vetores; voltaremos a esse assunto no § 16. A introdução de uma representação gráfica será feita no §10.03. Tem-se logo, então, de (022): Ι = mod Ι =

3,

* II,§ 07.07

Ο = mod Ο = 0 ,

(041).


§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos.

161

Exercício: Consideremos os diádicos Π ( tt∗ ) = 2 tt ∗ − Ι e Π ( ss∗ ) = 2ss ∗ − Ι com t. t ∗ = 1 = s. s ∗ e |t|=|s|. Seja α ≅ 19 o 28' . Então: 1) - Se s.t = 0 (ou s ∗ .t ∗ = 0 ), o ângulo dos diádicos não pode assumir valores superiores a 90o − α nem inferiores a 90o + α ; 2) - Se s.t ∗ = 0 (ou

s ∗ .t = 0 ) o ângulo dos diádicos não pode assumir valores inferiores a 90o − α nem superiores a 90o + α . * Teor. 3: (norma do produto de um número real por um diádico)

∀ K, φ:

|| Kφ || = K 2 || φ || , logo | Kφ | = + K| φ | ,

(05).

Com efeito, pois Kφ : Kφ = K 2 φ : φ . Teor. 4: A norma e o módulo de um diádico são respectivamente iguais à norma e ao módulo do seu transposto ou do oposto do seu transposto:

∀ φ:

|| φ || = || ± φ T || = || φ T ||,

logo, | φ | = | ± φ T | = | φ T |,

(06).

Pois, conforme ((16), § 07.01), φ : φ = φ T : φ T . Teor. 5: Norma e módulo de um diádico anti-simétrico:

∀ Α = −Α T :

Α =

1 (Α V ) 2 2

e

Α =

2 | Α V |, 2

(07).

Com efeito, é o que se deduz imediatamente de (022), § 07.04. Teor. 6: (norma de uma soma) A norma de uma soma de diádicos é igual à soma de suas normas com os duplos dos seus duplos produtos pontuados dois a dois:

∀ α , β , ... :

|| α + β + γ ...|| = || α || + || β || + || γ || + ...

+ 2(α : β ) + 2(α : γ ) + ... + 2 ( β : γ ) + ... ,

(08).

Para uma soma de dois diádicos, por exemplo, temos:

∀ α, β : isso é,

|| α + β || = (α + β ) : (α + β ) = (α : α ) + 2 (α : β ) + ( β : β ) , ∀ α, β :

|| α + β || = || α|| + 2(α : β ) + || β|| ,

(081).

Por indução completa podemos facilmente comprovar (08). * Exercício: Comprove que |α α+β β |<|α α|+|β β |, mas ||α α+β β ||<||α α||+||β β || se o ângulo de α com β é agudo e ||α α+β β ||>||α α||+||β β || se o ângulo de α com β é obtuso. *

Poliádicos - Ruggeri


162

§ 07 - Duplas multiplicações.

Corol. 1: (norma de uma combinação linear)

∀ α , β , ..., A, B, ... :

|| Aα + Bβ + Cγ ... || = A 2 || α || + B 2 || β || + C 2 || γ || + ... +

+2 AB(α : β ) + 2 AC(α : γ ) + ... + 2BC( β : γ ) + ... ,

(082).

Notas: 1 – O desenvolvimento da norma de uma soma pode ser entendido como um "quadrado simbólico da soma", isso é, pela expressão clássica do desenvolvimento do quadrado de uma soma de números onde se troquem números por diádicos e produtos (de números) por duplos produtos pontuados (de diádicos). Assim, || α + β ||= ((α + β )) 2 . 2 – Mostraremos no §09.06,IV (esboço da geometria do espaço diádico) que a fórmula (081) tem por corresponde a fórmula de Carnot da Trigonometria Plana clássica (no espaço dos vetores).

Teor. 7: (norma de um produto pontuado de diádicos) A norma de um produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto pontuado do produto simétrico direito do multiplicando pelo produto simétrico esquerdo do multiplicador:

∀ φ , ψ:

|| φ . ψ || = (φ T . φ ) : ( ψ . ψ T ) ,

(09).

Aplicando a definição e (02), § 07.01 temos:

|| φ . ψ || = (φ . ψ) : (φ . ψ) = [φ . ψ . (φ . ψ) T ] E = (φ . ψ . ψ T . φ T ) E . Agora, aplicando (08), § 07.01 ao último membro considerando-se φT como um dos fatores, e depois reaplicando (02), § 07.01 temos, finalmente:

|| φ . ψ || = (φ T . φ . ψ. ψ T ) E = (φ T . φ ) : ( ψ. ψ T ) . Corol. 1: (norma de duplo produto pontuado de diádicos simétricos ou anti-simétricos)

∀ φ = ± φ T , ψ = ± ψT :

|| φ : ψ || = φ 2 : ψ 2 ,

(091).

Teor. 8: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos)

∀ φ , ψ : || φ

× ×

ψ || = || φ || || ψ || + ( φ : ψ ) 2 − || φ T . ψ || − || ψ . φ T || ,

Aplicando propriedade do duplo produto misto de três diádicos, escrevemos:

|| φ ×× ψ || = (φ ×× ψ ) : (φ ×× ψ ) = (φ ×× ψ ) ×× φ : ψ . Fazendo χ T = φ em (01), § 07.06 obtemos:

(φ ×× ψ ) ×× φ = || φ || ψ + (ψ : φ)φ − φ.φ T .ψ − ψ .φ T .φ . II,§ 07.07

(10).


§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos.

163

Então,

|| φ

× ×

ψ || = || φ || || ψ || + (ψ : φ ) 2 − (φ .φ T .ψ ) : ψ − (ψ .φ T .φ ) : ψ .

Mas aplicando ((02),§07.01) duas vezes seguidamente, podemos escrever a terceira parcela na forma

(φ . φ T . ψ) : ψ = (φ . φ T . ψ. ψ T ) E = (φ . φ T ) : ( ψ. ψ T ) , donde, lembrando (09), (φ . φ T . ψ) : ψ = || φ T . ψ ||. Operando analogamente com a última parcela comprovamos (10). Corol. 1: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos simétricos)

∀ φ = φT , ψ = ψ T :

|| φ

× ×

ψ || = || φ || || ψ || + ( φ : ψ ) 2 − 2 || φ . ψ || ,

(101).

Exercícios: Comprovar que ∀ φ, ∀ Α = − Α T , ∀ Β = −Β T :

2 || φ 2 || = || φ

1 || φ ×× φ || =|| φ || 2 − || φ 2 || 2 × ×

Ι || = 7 || φ || + (φ S ) 2 ,

1 || Α ×× Β ||= [( Α V ) 2 (Β V ) 2 + ( Α V .Β V ) 2 ] , 8

(11); (111); (112).

Teor. 9: O ângulo de dois diádicos é igual ao ângulo de diádicos que lhes sejam paralelos:

∀ φ , ψ, K, M:

(φ , ψ) = ( Kφ , Mψ) ,

(12).

Com efeito, pois considerando (04) e (05), escrevemos:

cos (φ , ψ) =

φ :ψ KMφ : ψ (Kφ ) : ( Mψ) = = = cos (Kφ , Mψ) . |φ | | ψ | KM| φ | | ψ | | Kφ | | Mψ |

Teor. 10: (Co-seno do ângulo de um diádico com o seu transposto)

∀φ:

cos ( φ ,φ T ) =

(φ 2 ) E φ : φ T = , | φ| φ:φ

(13).

Poliádicos - Ruggeri


164

§ 07 - Duplas multiplicações.

Pois, de (01) e (021), § 07.01 deduzimos:

cos (φ , φ T ) =

(φ 2 ) E (φ 2 ) E φ : φT = = . || φ || |φ | |φ T | | φ |2

Se φ 2E = 0 então φ é perpendicular a φT. Reciprocamente, se φ é perpendicular a φT,

φ:φ T = 0 , ou seja, relembrando (021), § 07.01, φ 2E = 0 . Logo: Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que seja nulo o escalar do seu quadrado. Considerando (012) comprovamos também que Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que o módulo desse diádico seja igual ao módulo do seu vetor. Teor. 11: (Co-seno do ângulo de um diádico com o diádico unidade) ∀φ:

cos ( φ , Ι ) =

3 φE , 3 |φ |

Pois temos, sem delongas, lembrando ((01)1,§07.04): cos (φ , Ι ) =

(14).

φE φ :Ι ; = | φ| | Ι| 3 |φ|

racionalizando, encontramos (14). Corol. 1: Todos os diádicos de escalar nulo são ortogonais ao diádico unidade. Teor. 12: O ângulo de dois diádicos anti-simétricos é igual ao ângulo dos seus vetores:

∀Α = − Α T , Β = − Β T :

( Α , Β) = ( Α V , Β V ) ,

(15).

Lembrando (07) e (021)3, § 07.04, podemos escrever:

1 Α .Β Α :Β 2 V V cos ( Α, Β) = = = cos ( Α V , Β V ) , ΑΒ 1 | Α || Β | 2 V V donde, então, a igualdade dos ângulos. Corol. 1: A CNS para que dois diádicos anti-simétricos sejam ortogonais é que os seus vetores o sejam.

II,§ 07.07


§ 08.01 - Definições e principais propriedades.

165

§ 08 – SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL. § 08.01 – Definições e principais propriedades. Denotemos por φ ~ o diádico

φ~ =

1 (φ 2 1 (φ 2

× ×

× ×

φ ) T , isso é, ponhamos:

φ) T =

1 T φ 2

× ×

φT

(01),

e procuremos, no E3, uma redução trinomial para φ ~ , a partir de uma redução trinomial de φ, φ = aibi, com (a1a2a3)≠0. Desenvolvendo os produtos vetoriais dos conseqüentes (independentes) de φ ~ , escrevemos, lembrando ((04)1,§ 04.02,I):

φ ~ = 1 (a1a 2 a 3 ) ε ijk (b i × b j )a k 2

(i, j, k = 1,2,3).

Pondo

1 (a a a )ε (b i × b j ) = b′k , 2 1 2 3 ijk

(02),

resulta a redução trinomial de φ ~ :

φ = b ′k a , ~

k

(03).

Se os conseqüentes de φ forem independentes, e nesse caso φ será completo, φ3 = (a1a2a3)(b1b2b3)≠0 e φ ~ também será completo. Com efeito, temos, efetuando os produtos vetoriais na expressão de b'k, considerando mais uma vez ((04)1,§ 04.02,I) e ((071)2,§ 04.02,I):

b ′k = 1 (a1a 2 a 3 )ε ijk ε ijr (b 1b 2 b 3 )b r = ( 1 )2δ k r φ 3b r , 2 2 isso é:

b ′k = φ 3b k ,

(04).

Então, os antecedentes de φ ~ , sendo paralelos aos recíprocos dos conseqüentes de φ, são necessariamente independentes; logo, φ ~3 ≠ 0 e φ ~ é completo. Ora, então, uma vez que

φ ~ = φ 3 (b k a k ),

(05),

deduzimos, lembrando propriedade do terceiro de um diádico ((06),§ 02.08):

φ ~3 = (φ 3 ) 3 (b k a k ) 3 = (φ 3 ) 3 (b 1b 2 b 3 )( a 1a 2 a 3 ), isso é:

φ ~3 = (φ 3 ) 2 ,

(06).

Poliádicos - Ruggeri


166

§ 08 - Segundo e Adjunto. Inverso e Principal.

A propriedade (06) e a lembrança da teoria dos determinantes justificam a seguinte Definição: (adjunto) Chama-se adjunto de φ ao diádico φ ~ dado por (03). De (06) concluímos logo: "Um diádico é completo ou incompleto conforme o seu adjunto seja, respectivamente, completo ou incompleto; e reciprocamente". Segundo (05), o adjunto do diádico φ = aibi difere do diádico completo bkak apenas pelo fator φ3; ademais,

1 φ3

k

i

φ . φ ~ = φ . (b k a k ) = ( a i b i ) . ( b k a k ) = a i δ k i a = a i a = Ι ,

e

(b k a k ) 3 = (b 1b 2 b 3 )(a1a 2 a 3 ) =

1 = 1 = φ 3 −1 , [(a1a 2 a 3 )(b 1b 2 b 3 )] φ 3

(07).

Definição: (inverso) Estas igualdades sugerem representar o diádico bkak, completo e único, por φ-1 e denominar-lhe diádico inverso ou recíproco de φ=ακ.bk. Das (07) deduzimos, ainda:

φ 3 ≠ 0, φ = a i b i

φ −1 = b i a i , φ.φ

−1

(φ −1 ) 3 = φ 3 −1 ≠ 0,

−1

= φ . φ = Ι,

(08), (09),

φ ~ = φ 3 φ −1 ,

(10),

φ ~ . φ = φ . φ ~ = φ 3Ι,

(11).

De (08) deduzimos a seguinte regra: "Dado um diádico (completo) φ em forma trinomial, o seu inverso (em forma trinomial) obtém-se do seu transposto onde se substituam os seus antecedentes e conseqüentes pelos seus correspondentes vetores recíprocos". Quando φ é completo, a regra enunciada e a fórmula (10) permitem estabelecer a redução trinomial de φ ~ . Dado um diádico φ, o seu inverso, dado por (08) e satisfazendo a (09), só é determinável se φ é completo; a inversão diádica é a operação que tem por fim determinar o inverso de um diádico, sendo unívoca quando possível. O adjunto de um diádico, entretanto, existirá sempre, único, completo, planar, linear, determinável por (02) e (03), satisfazendo, ainda, (10) ou (11) quando o diádico é completo.

II,§ 08.01


§ 08.01 - Definições e principais propriedades.

167

Faremos oportunamente (§ 09) uma associação da teoria dos diádicos com a teoria das matrizes no E3. A definição (01) é interessante porque a fórmula (11) tem uma isomórfica matricial. No entender de Gibbs, entretanto, esse diádico cede lugar a um outro, que introduziu com a seguinte Definição: (segundo de um diádico) Chama-se segundo de um diádico qualquer, φ, e representa-se por φ2, a metade do seu duplo produto cruzado por si próprio:

φ2 =

1 φ 2

× ×

φ,

(12).

É evidente, então, que

φ2 = φ~ T,

(13),

φ 2 . φ T = φ T . φ 2 = φ 3Ι ,

(14),

φ : φ 2 = 3φ 3 = φ T : φ ~ ,

(15).

e Então, podemos enunciar: O triplo do terceiro de um diádico é igual ao duplo produto pontuado desse diádico pelo seu segundo, ou do seu transposto pelo seu adjunto, donde concluirmos, também, que: A CNS para que um diádico seja incompleto é que ele seja ortogonal ao seu segundo. * Exercício 1: (segundo e terceiro de uma soma de vários diádicos) Tem-se: ∀ A, B, C, φ, ψ, η :

(Aφ + Bψ + Cη) 2 = A 2 φ 2 + B 2 ψ 2 + Cη 2 + ABφ ×× ψ + BCψ ×× η + CAη×× φ

(Aφ + Bψ + Cη) 3 = A 3φ 3 + B3 ψ 3 + C 3 η3 + + AB 2 φ : ψ 2 + AC 2 φ : η 2 + BA 2 ψ : φ 2 + BC 2 ψ : η 2 + CA 2 η : φ 2 + CB 2 η : ψ 2 + + ABC(φψη) Estas fórmulas podem ser deduzidas facilmente por recorrência a fórmulas com duas parcelas dentro dos parênteses; a generalização delas é imediata. *

Poliádicos - Ruggeri


168

§ 08 - Segundo e Adjunto. Inverso e Principal.

Conforme mostrou Moreira (1966) – e entendeu isso como o principal, especialmente por sua utilidade prática – entre os diádicos completos deve-se distinguir um outro, que introduziu com a seguinte Definição: (principal de um completo) Dado um completo, φ, em redução N-nomial, chama-se principal desse diádico, e representa-se por φP, o diádico que dele se obtém substituindo-se os seus antecedentes e conseqüentes pelos correspondentes recíprocos. Assim, i

φ = eia , φ 3 ≠ 0

j

φP = e a j,

(i, j = 1,2, ..., N) ,

(16),

e

φ . (φ P ) T = e i ( a i . a j ) e j = e i δ i j e j = e i e i = Ι (φ P ) T . φ = a i ( e i . e j ) a j = a i δ i j a j = a i a i = Ι . Sendo, ainda,

φ PP = φ

e

(φ P ) T = a j e j = (φ T ) P ,

concluímos, em resumo:

(φ P ) T = (φ T ) P ≡ φ PT = φ TP = φ −1, donde φ T = φ −1P

(17).

Então, transpondo ambos os membros de (10) e considerando (17), temos:

φ 2 = φ 3φ P ,

(18).

Multiplicando dupla e pontualmente ambos os membros de (18) por φ, considerando (15), temos: φ : φ P = 3, (19). Concluímos: 1°) – O segundo de um diádico é igual ao produto do seu terceiro pelo seu principal; 2°) – É igual a três o duplo produto pontuado de um diádico pelo seu principal. * Exercício 2: Demonstrar que

∀φ, ψ , com φ 3 ≠ 0 and ψ 3 ≠ 0 : × ×

1) -

ψ ) 3 = φ 3ψ 3 [(φ : ψ P )(φ P : ψ ) − 1]

2) -

(φ 2 ) 3 = ( φ3 ) 2 = (φ 2 ) 3

3) - φ V .φ .φ V = φ 3 (3 − φ P : φ T ) = −2φ ~ : φ ant = 4φ sim : φ ant2 4) - (φ ×× ψ) 2 = (φ : ψ 2)φ + (ψ : φ 2)ψ − II,§ 08.01

1 1 φ . (φ ×× ψ)T . ψ − ψ . (φ ×× ψ)T . φ 2 2


§ 08.01 - Definições e principais propriedades.

169

* Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo). Teor. 1: Uma CNS para que um diádico seja incompleto é que o seu produto pontuado pelo seu adjunto, em qualquer ordem, seja o diádico nulo:

φ 3 = 0 ⇔ φ.φ ~ = φ ~ .φ = Ο ,

(20).

O teorema direto é evidente em face de (11). Reciprocamente, se φ.φ ~ = φ ~ .φ = Ο então, por (11), φ3Ι =Ο Ο, ou, ainda, conforme (04), § 02.09, II, φ3 = 0 e φ é incompleto. Teor. 2: Se um diádico é linear, o seu terceiro e o seu adjunto são nulos. Com efeito, porque os antecedentes (conseqüentes) desse diádico, sendo todos paralelos, implicarão que seu terceiro seja nulo e que seu adjunto, tendo por conseqüentes (antecedentes) vetores nulos, seja o diádico nulo. Corol. 1: As CsNsSs para que um diádico seja planar são que seu terceiro seja nulo e seu adjunto linear:

φ 3 = 0  φ planar ⇔  ~ 1 φ = 2 (φ 

× ×

φ) T linear.

A condição é necessária porque se φ = aibi (com (a1a2a3)≠0) é planar, os seus conseqüentes, bi , são dependentes de um de seus planos e seu terceiro é nulo. Além disso, pelo menos dois dos seus conseqüentes não são colineares (φ φ é planar, Fig.08.01), isso é, todos os antecedentes do seu adjunto (dados por (02)) são paralelos (ao menos um é não nulo); então φ ~ é linear.

Imagens possíveis dos conseqüentes do diádico planar φ = aibi com (a1a2a3)≠0, e dos antecedentes do seu adjunto: quando os três bi são não colineares (Fig.(a)), e quando dois dos bi são colineares (Fig (b)). Fig.08.01

Poliádicos - Ruggeri


170

§ 08 - Segundo e Adjunto. Inverso e Principal.

A condição é suficiente porque se o diádico φ tem terceiro nulo, seus conseqüentes, bi, são necessariamente coplanares, isso é, φ é planar ou linear. Mas, pelo Teor.2, φ não pode ser linear porque teria adjunto nulo e contrariaria a hipótese (o adjunto deve ser linear). Corol. 2: As CsNsSs para que um diádico seja linear são que seu terceiro e o seu adjunto sejam nulos. As condições são necessárias pelo Teor.2. As condições são suficientes porque se φ tem terceiro nulo ele é planar ou linear; mas tendo adjunto nulo, ele não pode ser planar (corolário anterior); logo, deve ser linear. Corol. 3: O adjunto de um diádico anti-simétrico é unilinear e seu escalar, sempre positivo, vale o quadrado da metade do módulo do seu vetor. Pois, considerando ((022)1,§ 07.04) e (01), temos: ~

A =

1 4

AVAV ,

(21),

donde,

1 ~ 2 A E = ( A V ) > 0, 2 Exercício: Comprovar que:

(211).

∀a : (ΙΙ × a) ~ = aa .

Corol. 4: As CsNsSs para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) são que ele seja planar e seu adjunto seja ortolinear (unilinear). Para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) ele deve ser necessariamente planar; logo, deve ter adjunto linear (Corol. 1). Mas, como os planos dos seus conseqüentes e antecedentes são ortogonais (paralelos), o antecedente e o conseqüente do seu adjunto são ortogonais (paralelos), isso é, esse adjunto é ortolinear (unilinear). Reciprocamente, se um diádico é planar e tem adjunto ortolinear (unilinear), os antecedentes e os conseqüentes desse diádico devem ser necessariamente de planos ortogonais (paralelos), isso é, esse diádico é ortoplanar (uniplanar). Teor. 3:

∀φ:

× ×

Ι ) ~ = φ 2 + φ E φ T , ou

× ×

Com efeito, colocando ((01)2,§ 07.04) na forma φ T ((15), ,§ 07.02), vem:

II,§ 08.01

× ×

Ι )2 = φ~ + φEφ × ×

(22).

Ι = −φ + φ E Ι e lembrando

1 Ι )~= ( − φ + φ E Ι )~= ( −φ + φ E Ι ) ×× ( −φ + φ E Ι ) . 2


§ 08.03 - Propriedades formais.

171

Operando, reaplicando (132) e as fórmulas citadas, e simplificando, encontramos, facilmente, (22)1. A fórmula (222) pode ser obtida de (221) por transposição. * Exercício 3: 1) - ∀φ : (φ ×× Ι )3 = φ Eφ 2E − φ3 . Então: [(Ι × a) ×× Ι ] = Ο . Comprove esse resultado a partir de (22), considerando o exercício 1, bem como a parte 1) do exercício 2. 2) – Demonstre que se φ 3 ≠ 0 , a CNS para que φ ×× Ι seja incompleto é que φ 2E = 1. *

§ 08.02 - Invariância e invariantes. Visto que as duplas multiplicações são operações invariantes (§ 07.03), concluímos de ((01) e (10),§ 08.01) que o adjunto e o inverso de um diádico e por conseqüência, o segundo e o principal, são outros invariantes desse mesmo diádico. Os invariantes elementares do adjunto, do inverso, do segundo e do principal de um diádico podem ser expressos diretamente em função dos invariantes elementares desse diádico. Além das expressões ((06) e (08)2,§ 08.01), temos, também: ×

φ ~E = 1 [(φ E ) 2 − (φ 2 ) E ] = φ 2E , 2

φ~V = φT.φV = (φ~× Ι)V = −φ2V = φV.φ ,

(01),

e

φ −V1 =

1 φ3

φ ~V = −φ P V ,

φ −E1 =

1 φ3

φ ~E = φ P E ,

(02).

De ((021),§ 07.05) e de ((13),§ 08.01) obtêm-se imediatamente as fórmulas (01); as (02) são óbvias em vista de ((10),§ 08.01).

§ 08.03 - Propriedades formais. Teor. 1: O adjunto (segundo) de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto pontuado dos adjuntos (segundo) desses diádicos multiplicados em ordem inversa (na mesma ordem): ~

~

~

~

(φ . ψ. χ . ...) = ... χ . ψ . φ ,

(01),

(φ.ψ.χ....) 2 = φ 2 .ψ 2 .χ 2 .... ,

(01)1.

Se os diádicos são todos completos, a mesma propriedade é válida para a inversão:

(φ . ψ. χ . ...)

−1

−1

−1

−1

=.... χ . ψ . φ ,

(02).

Com efeito, pondo φ = aiei e ψ = ejbj temos φ.ψ ψ = aibi; logo, aplicando a definição ((01),§ 08.01), deduzimos:

1 (φ.ψ)~= [(a i b i ) 2

× ×

(a j b j )] T =

1 (b i × b j )(a i × a j ) . 2

Poliádicos - Ruggeri


172

§ 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

Mais uma vez aplicando a definição, escrevemos:

ψ ~ = 1 (b j × b k )(e j × e k ) e φ ~ = 1 (e i × e m )(a i × a m ). 2 2 Então,

ψ ~ .φ ~ =

1 (b j × b k )(e j × e k ).(ei × e m )(ai × a m ). 4

Lembrando ((05),§ 03.03,I) e efetuando as somas, escrevemos: ~

~

ψ .φ =

1 j k j k (b j × b k )(δ i δ m − δ m δ i )(a i × a m ) = 4 1 = [(b i × b m )(ai × a m ) − (b m × b i )(ai × a m )] 4

ou, ainda, finalmente

1 (b i × b m )(a i × a m ) = (φ.ψ ) ~ 2

ψ ~ .φ ~ =

Se os diádicos são completos podemos escrever para dois quaisquer deles, usando ((10),§ 08.01): 1 (φ . ψ) −1 = (φ . ψ ) ~ . (φ . ψ) 3 De (01) e de ((04),§ 05.03) deduzimos então, facilmente, agrupando convenientemente:

(φ . ψ) −1 =

ψ~ φ ~ . , ψ3 φ 3

donde, relembrando ((10),§ 08.01):

(φ . ψ)

−1

−1

−1

= ψ .φ .

A generalização desses resultados para mais de dois diádicos é imediata. A demonstração para o caso do segundo é imediata uma vez que o transposto de um produto é igual ao produto dos transpostos em ordem inversa (§05.03, Teor. 1). Corol. 1: O escalar do adjunto de um produto de diádicos é igual ao escalar do adjunto do produto desses diádicos em ordem inversa: ~

~

( φ . ψ) E = ( ψ. φ ) E ,

(011).

Pois de (01), lembrando ((08),§ 07.01), deduzimos: ~

~

~

~

~

~

~

( φ . ψ) E = ( ψ . φ ) E = ( φ . ψ ) E = ( ψ. φ ) E = ( ψ. φ ) E .

II,§ 08.03


§ 08.03 - Propriedades formais.

173

Corol. 2: O adjunto da P-ésima potência de um diádico é igual à P-ésima potência do adjunto desse diádico: P ~

~ P

(φ ) = (φ ) ,

(012).

Se o diádico é completo, P −1

−1 P

(φ )

= (φ ) ,

(021).

Para simplicidade da notação e sem perigo de erros, poremos: −1 P

(φ ) = φ

−P

φ

e

P~

~P

.

Decorre imediatamente de (012) que

φ e de (021):

φ

P~

−P

P

φ .φ

Q~

−Q

−Q

P Q

(φ ) (φ

− (P+Q)

P−Q

−P Q

)

−1 P − Q

(φ )

~ P+Q

= (φ )

) ,

(013),

,

, Q P

= (φ ) = φ

− PQ

P+Q ~

,

Q− P

PQ

= (φ

QP

,

,

(022).

Teor. 2: ∀ X,

(Xφ ) ~ = X2φ ~

e

(Xφ )2 = X2 φ 2

(03);

e

(Xφ ) P = X−1 φ P

(04).

e se φ é completo e X≠0:

(Xφ )−1 = X−1 φ −1

Com efeito, pois considerando ((11),§ 07.01) temos:

(Xφ ) ~ =

1 2 × 1 (X φ × φ ) = X 2 (φ ×× φ ) = X 2 φ ~ 2 2 −1

Se φ é completo podemos escrever: (Xφ ) . (Xφ ) = Ι , de onde, pós multiplicando ambos os membros por X-1φ-1, agrupando e simplificando, deduzimos (04). Por simples transposição podemos demonstrar as demais fórmulas. Corol. 1:

(Xφ −1) P = X−1 φ T

(041).

Poliádicos - Ruggeri


174

§ 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

Teor. 3:(Adjunto do adjunto e inverso do inverso de φ com φ3≠0).

φ ~~ = φ 3 φ = (φ 2 ) 2

(05),

( φ −1 ) −1 = φ ,

(06).

Substituindo em ((11),§ 08.01) φ por φ ~ , temos: φ ~ . φ ~~ = φ ~3 Ι , donde, prémultiplicando ambos os membros por φ, reconsiderando ((11),§ 08.01) e lembrando ((06),§ 08.01):

φ 3 Ι . φ ~~ = (φ 3 ) 2 φ . Logo, dividindo ambos os membros por φ3≠0, encontramos os dois primeiros membros de (05). Analogamente comprovamos o terceiro membro. Similarmente, trocando em ((09),§ 08.01) φ por φ-1 e em seguida pré ou pósmultiplicando ambos os membros por φ ou φ-1, encontramos, logo, (06). Corol. 1: (inverso e principal do adjunto)

φ (φ ~ )−1 = = (φ −1) ~ , φ3

(φ ~ ) P = (φ P ) ~ ,

(07).

Com efeito, se tomarmos o inverso e depois o adjunto de ambos os membros de ((10),§ 08.01) e considerarmos (04) e (05), comprovaremos (07)1. Por transposição de (07)1 obtemos (07)2. Teor. 4: O adjunto e o inverso do diádico unidade são o próprio diádico unidade: ~

Ι =Ι

−1

= Ι,

(08).

Com efeito, de ((11),§ 08.01) temos: ~

~

~

Ι . Ι = Ι . Ι = Ι =| Ι | Ι = 1Ι = Ι ; e de ((10),§ 08.01):

Ι −1 =

1 Ι3

Ι~ = Ι~.

Teor. 5: O adjunto e o inverso do transposto são iguais, respectivamente, aos transpostos do adjunto e do inverso:

∀ φ:

II,§ 08.03

T

(φ T ) ~ = (φ ~ ) T ≡ φ ~ = φ 2 ,

(09);


§ 08.03 - Propriedades formais.

e se φ3≠0:

T −1

(φ )

−1 T

= (φ ) ≡ φ

−T

175

,

(10).

A demonstração de (09) é evidente a partir da própria definição de adjunto. −1 −1 T T −1 T Sendo Ι = φ . φ = (φ . φ ) = φ . (φ ) , temos, pré-multiplicando o primeiro e último membro por (φ φT)-1: T −1

(φ )

T −1

−1 T

T

−1 T

= (φ ) . φ . (φ ) = (φ ) ,

o que demonstra (10). Corol. 1: O adjunto de um diádico simétrico é um diádico simétrico (que é igual ao seu segundo):

φ =φ

T

φ ~ = (φ ~ ) T = φ 2 ,

(091).

Se o diádico simétrico é completo, o seu inverso é simétrico; e reciprocamente:

φ = φT e φ3 ≠ 0

φ −1 = φ − T

(101).

Esses resultados são facilmente comprovados a partir de (09) e (10). Nota: A fórmula (091) não é válida em sentido contrário, isso é: φ ~ = φ 2 não ⇒ φ = ± φ T . É φ ~ = φ ~ T = φ T ~ , mas dois diádicos que têm o mesmo adjunto não são iguais necessariamente; com efeito, se φ

~

~

= ψ , temos, tomando o adjunto de ambos os

membros e aplicando (05): φ φ = ψ ψ . Mas φ 3 3

~ 3

e, portanto, ψ = ± φ . Podemos, assim, enunciar:

= (φ )

2

3

~ 3

2

= ( ψ ) , isso é ψ = ± φ 3 3 3

Se um diádico tem adjunto e segundo iguais ele é simétrico ou anti-simétrico.

Teor. 6: Se é nulo o produto pontuado de dois diádicos não nulos, então ambos são incompletos:

φ ≠ Ο, ψ ≠ Ο, φ.ψ = Ο

φ 3 = ψ 3 = 0,

(11).

Com efeito, porque se ao menos um dos diádicos fosse completo, digamos φ, existiria φ-1 (§ 08.01) e de φ.ψ ψ = Ο deduziríamos:

φ −1 .φ.ψ = ψ = φ −1 .Ο = Ο, o que é contra a hipótese (ψ ψ≠Ο Ο).

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176

§ 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

Corol. 1: Se é nulo o produto pontuado de vários diádicos não nulos, então ao menos dois desses diádicos são incompletos: φ, ψ ,..., χ ≠ Ο e φ.ψ.....χ = Ο ⇒ ao menos dois diadicos incompletos,

(12).

* Exercício 4:

∀φ :

|| φ T ||=|| φ ||, 2 || φ~ ||=|| φ || 2 − || φ 2 ||= 2 || φ 2 || , donde || φ ||>| φ 2 | ; ∀φ , φ 3 ≠ 0:

2 || φ 2 || = 2 (φ 3 ) 2 || φ P || = 2 (φ 3 )2 || φ −1||. *

§ 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo). Temos insistido em mostrar a utilidade dos diádicos como regentes de uma transformação linear (Teor.1,§ 02.04). Assim, os vetores posição, x, de pontos de dado domínio Dx, transformam-se em vetores posição, y, de pontos de um novo domínio, DY, por multiplicação pontuada com um diádico regente, φ; algebricamente, escrevemos: y = φ . x . Se esse diádico é completo (φ3 ≠ 0) ele admite um inverso: φ-1; então, pré-multiplicando ambos os membros da expressão acima por φ-1, deduzimos: x = φ −1 .y. Interpretamos geometricamente o resultado obtido, por analogia com a interpretação anterior, dizendo que o diádico inverso opera uma transformação inversa da anterior: os vetores posição, y, de pontos de DY, transformam-se univocamente em vetores posição de pontos de Dx. Se x' é o vetor posição de um outro ponto qualquer de Dx, então x - x' é o vetor genérico de Dx, pois liga dois pontos quaisquer de Dx. Sendo, obviamente: y − y ′ = φ . ( x − x ′), dizemos que a transformação linear regida por φ, bem como sua inversa, aplica-se a qualquer vetor do domínio. Se, agora, x e y são dois vetores quaisquer antes da transformação executada por φ (logo, são pontos de DX), o produto vetorial deles, x×y, é o seu vetor-área. Após a transformação, tais vetores são φ.x e φ.y e seu produto vetorial, (φ.x)×(φ.y), é o "vetor-área transformado". Que relação existe entre esses vetores? Lembrando ((042)2,§ 07.04) e ((01),§ 08.01) temos:

(φ.x) × (φ.y ) = (x × y ).φ ~ = φ 2 .(x × y ) ,

(01).

Interpretando (01), podemos enunciar:

"Na T.L. regida pelo diádico φ, usado como pré-fator (pós-fator), o seu segundo (adjunto), usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação pontuada, rege a transformação das áreas".

II,§ 08.04


§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia.

177

Nota: Um modo de calcular a relação entre os valores numéricos das áreas (a transformar e transformada) será apresentado no § 01.02 do cap. III.

Casos particulares. Numa situação particular em que o diádico φ (gerado do E3) seja planar - caso em que φ transforma, por multiplicação pontuada posterior (anterior) qualquer vetor num vetor do plano dos seus antecedentes (conseqüentes) (Corol.1,Teor.1,§ 03 e 01) - o seu adjunto, linear (Corol.1,Teor.2,§ 08.01), terá por conseqüentes (antecedentes) vetores paralelos à direção da normal ao plano dos antecedentes (conseqüentes) de φ e transforma, em multiplicação pontuada anterior (posterior), qualquer vetor num vetor paralelo à essa direção, Fig.08.02.

Então, conforme (01), por serem x e y arbitrários, podemos concluir: Teor. 1: Se um diádico é planar, e é usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor do plano dos seus antecedentes (conseqüentes); o seu adjunto, linear, usado como pósfator (pré-fator) em multiplicação pontuada, transforma qualquer vetor num vetor ortogonal ao plano dos seus antecedentes (conseqüentes). Similarmente, em vista do Corol.2 do Teor.2, § 08.01, podemos também enunciar: Teor. 2: Se um diádico é linear e é usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor paralelo à direção do seu antecedente (conseqüente); o seu adjunto, que é o diádico nulo, transforma qualquer vetor no vetor zero.

§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. Seja o diádico φ = e i a i e um seu homológico arbitrário (§ 03.02), Homφ = e i X i a i .

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178

§ 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

Teor. 1: Tem-se:

∀ φ : Homφ 2 = (ΣX )φ 2 − φ ×× Homφ Homφ ~ = (ΣX ) φ ~ − ( φ ×× Homφ ) T

,

(01).

Com efeito, podemos escrever: 1 Homφ 2 = Hom[ (e i × e j )(a i × a j )] = Hom[(e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + ... ] = 2 = X1 (e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + ... = [(ΣX) − (X 2 + X 3 )](e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + ... = = (ΣX)φ 2 − [ (X 2 + X 3 ) (e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + ... ].

Por outro lado, temos:

φ ×× Homφ = (e i a i ) ×× (e j X ja j ) = X j (e i × e j )(a i × a j ) = = X 3 (e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + X 2 (e 3 × e 2 )(a 3 × a 2 ) + ... , não sendo difícil, agora, completar a demonstração. Transpondo em ambos os membros da fórmula encontrada, lembrando ((02),§ 03.02) e ((13),§08.01), encontramos imediatamente ((01)2. O Teorema 1 é válido para qualquer diádico. Quando este é completo a soma dos coeficientes da homologia, ΣX, pode ser calculada como o duplo produto pontuado do seu homológico com o seu principal, isso é: Teor. 2:

∀ φ com φ 3 ≠ 0 :

ΣX = Homφ : φ P ,

(02).

Com efeito, temos: e1 .(Homφ).a1 = X 1 , etc. ; então, somando membro a membro estas igualdades, vem: ΣX = e i . ( Homφ ) . a i = ( Homφ ) : ( e i a i ) , o que comprova (02). Teor. 3: A CNS para que φ ×× Homφ = Ο é que φ seja linear. Pois, sendo φ linear, é φ 2 = Ο (Teor. 2, § 08.01); e conforme (01), φ Reciprocamente, se φ

× ×

Homφ = Ο ,

(X 2 + X 3 )(e 2 × e3 )(a 2 × a3 ) + ... = Ο , isso é,

II,§ 08.05

× ×

Homφ = Ο .


§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira.

179

o = (X 2 + X 3 )(a 2 × a3 ) = (X 3 + X1 )(a3 × a1 ) = (X1 + X 2 )(a1 × a 2 ) . Então a1 // a2 // a3, e φ é linear. Teor. 4:

∀ φ com φ 3 ≠ 0 : Homφ 2 = (Homφ : φ P )φ 2 − φ Homφ P = (Homφ : φ P )φ P −

× ×

1 φ φ3

Homφ × ×

Homφ,

Homφ~= ( Homφ : φ P ) φ~ − ( φ ×× Homφ ) T

,

(03).

1 Homφ -1 = ( Homφ : φ P ) φ -1 − ( φ ×× Homφ ) T φ3 Estas fórmulas são conseqüências imediatas das (01) e (02) e das relações já estabelecidas (no § 08.01) entre o adjunto, o segundo, o principal e o recíproco de um diádico. ⇒

§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira. Seja M = e i a i (i = 1, 2, 3) qualquer diádico de Moreira e ABCD um ortoquadrângulo a ele associado, Fig. 03.05, § 03.03. O segundo de M tem por expressão

M 2 = (e1 × e 2 )(a1 × a 2 ) + (e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + (e 3 × e1 )(a 3 × a1 ) . Então, M 2V , tal como M V , é um vetor paralelo ao plano π) desse diádico, pois, conforme indica a referida figura, o vetor da primeira díade é paralelo a BC, o da segunda é paralelo a CA e o da terceira a AB. Logo: O plano de um diádico de Moreira é paralelo ao plano definido pelo seu vetor e o vetor do seu segundo. Segundo ((17) e (18), § 08.01), M −1 = M PT e M 2 = M 3 M P . Então, concluímos: Se um diádico (completo) é um diádico de Moreira, o transposto, o principal, o segundo, o adjunto e o recíproco desse diádico são também diádicos de Moreira, todos com eixos paralelos e planos paralelos.

Consideremos ainda a figura citada. O vetor e1 × a1 é um vetor paralelo a BC e

e 2 × e3 é perpendicular a BC porque e 2 × e3 é perpendicular a qualquer reta do plano (D*BC). Logo e 1 é paralelo ao plano (e 1 , a 1 ) . Analogamente podemos comprovar que e 2 é paralelo ao plano (e 2 , a 2 ) e e 3 paralelo ao plano (e 3 , a 3 ) . Imaginando o sistema

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana.

180

{ e1 , e 2 , e 3 } aplicado em D, vemos que o eixo associado aos sistemas recíprocos {e 1 , e 2 , e 3 } e { e1 , e 2 , e 3 } é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC). Os mesmos resultados são válidos para o sistema recíproco de { a1 , a 2 , a 3 }, isso é, sendo e1 × a1 paralelo a BC e a 2 × a 3 perpendicular a BC, a 1 pertence ao plano (e 1 , a 1 ) etc.. Se {a 1 , a 2 , a 3 } é aplicado em D*, o eixo associado aos sistemas recíprocos

{a 1 , a 2 , a 3 } e { a1 , a 2 , a 3 } é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC). Assim, ampliamos a propriedade anterior, enunciando: Se um diádico completo é um diádico de Moreira, todos os seus derivados (transposto, principal, segundo etc.) são também diádicos de Moreira. Os eixos e os planos desses diádicos são todos paralelos ao eixo e ao plano do diádico unidade quando este é representado pelos antecedentes do diádico (e seus recíprocos), ou pelos conseqüentes do diádico (e seus recíprocos). * Exercício: Estudar a norma de um diádico de Moreira. * Consideremos agora o quadrângulo plano, DD*AHA (Fig. 03.05, § 03.03). Os vetores e 1 e a 1 são paralelos ao plano desse quadrângulo, suas direções sendo, respectivamente, as normais aos lados D*HA e DHA. Portanto, os suportes desses vetores, quando estes estão aplicados em D e D*, respectivamente, interceptam esses lados em pontos da circunferência de diâmetro DD*. Resultados análogos podem ser obtidos com permutação circular das letras nos (planos dos) demais quadrângulos. Concluímos, então: As interseções dos tercetos de lados DHA, DHB, DHC e D*HA, D*HB, D*HC dos quadrângulos planos DD*AHA, DD*BHB e DD*CHC com a esfera de diâmetro DD* definem, respectivamente, com D* e D, as direções dos antecedentes e conseqüentes de M P . ⇐

§ 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA. Daqui em diante a teoria dos diádicos passa a ter algum parecer com o modo tensorial, tal como ocorreu com a teoria dos vetores do §04,Cap.I em diante.

§ 09.01 - Definições. Dado um diádico, φ, numa forma polinomial qualquer, podemos sempre reduzi-lo a uma forma N-nomial com, por exemplo, conseqüentes gj independentes (Teor.1,§ 02.07); seja, então: j φ = a g j (j = 1,2, ..., N), (01), uma forma qualquer contravariante de representação de φ (§ 02.07).

II,§ 09.01


§ 09.02

- Matriz associada a um diádico.

181

Cada um dos antecedentes de φ pode ser expresso, por sua vez (§ 03,I), em função de suas coordenadas contravariantes (em relação à base {g }) ou em função de suas * coordenadas co-variantes (em relação à base {g*}) nas formas j

j

k

j

a = ( a . g ) g k , ou,

j

k

a = (a . g k )g

(k = 1,2,..., N),

(02).

Então, por substituição das (02) em (01): j

k

φ = ( a . g ) g k g j , ou

j

k

φ = ( a . g k )g g j

(j, k = 1,2,... , N)

(03).

Nota: Se for conveniente poder-se-á também expressar cada um dos antecedentes do diádico em relação a outro sistema {r*},{r*} de vetores recíprocos.

Poderíamos, por outro lado, reduzir o mesmo diádico φ a uma forma N-nomial que tivesse por conseqüentes os recíprocos dos mesmos gj independentes, caso em que (Teor.1,§ 02.07) estaríamos escrevendo φ em forma co-variante

φ = b jg

j

(j = 1,2,..., N),

(011).

Como também podemos escrever: k

b j = (b j . g k ) g , ou

k

b j = (b j . g ) g k

(k = 1,2, ..., N),

(021),

deduzimos, ainda, que k

j

k

φ = (b j . g k ) g g , ou φ = (b j . g ) g k g

j

(j, k = 1,2, ..., N),

(031).

Pondo-se:

g k .a j = a j .g k = φ kj

a j .g k = φ k j ,, ,

b j .g k = φ kj

,

b j .g = φ k

(04)62,

k j

φ pode ser escrito em qualquer uma das formas seguintes: kj

φ =φ gkg j, k

φ = φ k jg g j , k

j

φ = φ kj g g ,

φ = φ kj g k g j ,

(05).

62Notar que cada índice ocupa um posto, como sobre-índice ou como sub-índice. Nunca representaremos letras duplamente indexadas com índices encavalados ou sobrepostos (em níveis diferentes) no mesmo posto.

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana.

182

Vemos, assim, que qualquer diádico pode ser expresso na forma de uma combinação linear de N2 díades, obtidas como produtos diretos de N vetores independentes entre si ou pelos seus recíprocos. Quando se expressa um diádico em qualquer uma das formas (05) diz-se que se pratica uma redução N2-nomial, ou, cartesiana do diádico. As formas (05) são ditas, em geral, N2-nomiais: monomiais para N = 1, tetranomiais para N = 2 e eneanomiais para N = 3; suas díades são denominadas díades basais (ou fundamentais) e os coeficientes destas, coordenadas do diádico nas bases recíprocas {g } e {g*}. * Por ser um diádico uma entidade estritamente relacionada a pares de vetores (justapostos em produto direto) podemos considerar qualquer uma das (05) como uma expressão (ou decomposição) cartesiana do diádico φ nas bases recíprocas {g } e {g*}. A * analogia com as expressões correspondentes dos vetores é evidente. Numa redução N2-nomial, as coordenadas de um diádico estarão sempre relacionadas com a sua "parte substancial" (ou "motivo") (§ 02.07), isso é, as suas coordenadas são os "quinhões" da grandeza que ele representa distribuídos por cada par de vetores de duas bases (idênticas ou recíprocas). Cada parcela do diádico (produto de cada coordenada pela díade que lhe corresponde) é dita uma componente do mesmo. As parcelas correspondentes a índices iguais são denominadas componentes normais ou radiais do diádico (ou da forma); as demais componentes são denominadas transversais ou tangenciais. As coordenadas φkj, por representarem coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais co-variantes (bj) do diádico (§ 02.07), denominam-se: coordenadas duplamente co-variantes do diádico, ou, simplesmente, coordenadas co-variantes ; as coordenadas φkj por representarem coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais contravariantes (aj) do diádico, denominam-se: coordenadas uma vez contravariante uma vez co-variante, ou, mistas. Analogamente, as φjk são as coordenadas duplamente contravariantes, ou simplesmente coordenadas contravariantes; e as φkj, coordenadas uma vez contravariante e uma vez co-variante, ou mistas63. Deve ser observado que, em geral,

φ kj ≠ φ jk ,... e φ kj ≠ φ

kj

≠ φk j ≠ φ

k

j,

(06).

As formas e as componentes correspondentes a essas coordenadas recebem os mesmos nomes dessas coordenadas.

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. A cada uma das formas N2-nomiais ((05),§ 09.01) podemos associar uma matriz quadrada de ordem N64 cujo elemento genérico é dado pela coordenada genérica do diádico 63Estas nomenclaturas tornar-se-ão mais expressivas quando tratarmos dos poliádicos de ordem p+q, que poderão ser p vezes contravariantes e q vezes co-variantes etc.. 64Chama-se matriz de ordem MxN a um conjunto de MxN números - representados genericamente por uma letra com dois índices, letra indexada essa denominada elemento genérico da matriz - dispostos ordenadamente em M linhas N colunas. Quando M≠N a matriz se diz retangular; quando M=N, quadrada. Quando N=1, a matriz denomina-se matriz coluna ou vetor; quando M=1, matriz linha ou vetor linha.

II,§ 09.02


§ 09.02 - Matriz associada a um diádico.

183

nas referidas formas, desde que convencionemos que os índices dos antecedentes e os dos conseqüentes das díades representem, respectivamente, a linha e a coluna da coordenada na matriz65. Representando as matrizes com duplas chaves escrevemos, para o caso em que N = 3, por exemplo:

 φ 11  ∗∗ 21 [φ ] =  φ  31 φ

φ 1  1 ∗ 2 [φ ∗ ] =  φ 1  3 φ 1

φ

12

φ

22

φ

32

φ

1

φ

2

φ

3

13 φ   23 φ , 33  φ 

φ 11  [φ ∗∗ ] = φ 21  φ 31

  2 φ 3 , 3  φ 3 φ

2 2 2

1

3

φ 1 1  ∗ [φ ∗ ] =  φ 2 1  1 φ 3

φ 13   φ 23 ,  φ 33 

φ 12 φ 22 φ 32 φ 12 φ22 φ3

2

φ 13   φ 2 3 ,  φ 33 

(01).

Qualquer uma das matrizes (01) é denominada matriz associada ao diádico; diremos também que [φ φ**] é a matriz contravariante, [φ φ ] é a co-variante, [φ φ* ] a ** * matriz mista contra/co-variante e [φ φ *], a matriz mista co/contravariante. * Genericamente a matriz associada ao diádico φ será representada por [φ φ]. Devemos notar que, nas matrizes (01), as colunas representam as coordenadas cartesianas dos antecedentes do diádico, representado em formas trinomiais nas quais os vetores de base (gi ou gj) aparecem como conseqüentes. Resultados análogos seriam obtidos com as representações trinomiais φ=gjcj=gjdj (≠φ φ =gjaj=bjgj). T

Pondo:

g j . g k = G jk = G kj

e

g j . g k = G jk = G kj ,

(011),

escrevemos, relembrando a teoria dos recíprocos: k

k

k

g j = ( g j . g k ) g = G jk g = G kj g , j

j

k

jk

kj

g = (g . g )g k = G g k = G g k ,

(j,k = 1,2,...,N).

Logo, por ser Ι= gj gj = Gjk gk gj = gj gj = Gjk gk gj, escrevemos, para N = 3 por exemplo66: 65Uma matriz só pode ser associada a um diádico ou a um vetor. Aparentemente não é possível essa associação a triádicos, tetrádicos etc. porque estes estão associados a três, quatro ou mais índices. Esse assunto será abordado no § 03.04 do Cap. IV. 66Duas matrizes de mesma ordem são iguais se são iguais seus elementos correspondentes (os de mesma linha e mesma coluna). Duas matrizes, cujas linhas de uma são as colunas de mesmo nome da outra, são ditas transpostas; é o caso, por exemplo, das matrizes [φij] e [φji]. Quando duas transpostas são iguais elas são ditas simétricas; é o caso das [Gij] e [Gji], e o das [Gij] e [Gji],por conseqüência das (011). Quando duas transpostas são opostas elas são ditas anti-simétricas; nesse caso os elementos de sua diagonal principal são todos nulos.

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

184

 G 11  ∗∗ ∗∗ 21 [Ι ] = [G ] =  G  31 G

G  11 [ Ι ∗∗ ] = [ G ∗∗ ] =  G 21    G 31

G

12

G

22

G

32

G 12 G 22 G 32

13 11 G  G   23 12 G  = G 33   13 G  G

G 13   G 11   G 23  =  G 12     G 33   G 13

G

21

G

G

22

G

G

23

31 

 , 33  G  32

G 31   G 32 ,   G 33 

G 21 G 22 G 23

k

e, relembrando que g j . g = δ j k ( δ j k , deltas de Kronecker, §04.02,I):

1  ∗ [G ∗ ] = [G ∗∗ ] = [Ι ] =  0  0

0 1 0

0  0 ,  1

(012)67.

As matrizes [G**], [G**] e [ΙΙ] são denominadas matrizes métricas contravariante, co-variante e mista, respectivamente, da base {g1,g2,g3}. Nota 1: Deve ser notado que não tem significado falar de uma matriz associada a um diádico φ sem mencionar: 1°) - a sua natureza, isso é se ela é a co-variante [φ**], a contravariante [φ**], a mista contra/co-variante [φ**], ou a mista co/contravariante [φ**]; 2°) - a matriz métrica da base a que ela se refere; 3°) - Obviamente, quando a matriz é a mista (qualquer uma delas) a matriz métrica correspondente, qualquer que seja a base, é a matriz unidade. A menção de apenas uma matriz mista, entretanto, não especifica o diádico (exceto se for definida a base).

É fácil, também, mostrar que para N = 3,

0 0 0  [Ο] = [Ο ] = [Ο ∗∗ ] = [Ο ∗ ] = [Ο ∗ ] = 0 0 0, 0 0 0 ∗∗

(013)68.

Teor. 1: Obtém-se o transposto de um diádico expresso em forma N2-nomial, simplesmente trocando, em cada uma de suas componentes, o antecedente pelo conseqüente: se φ = φ

j

k

k

g jg ,

então,

T

φ =φ

j

k

k

g gj ,

67As matrizes métricas mistas de qualquer base, todas iguais, são denominadas matriz unidade. 68As matrizes associadas ao diádico nulo, todas iguais, são denominadas matriz zero ou matriz nula.

II,§ 09.02

(02).


§ 09.02 - Matriz associada a um diádico.

185

Com efeito, pois, sendo, na forma das coordenadas mistas, por exemplo, φ = φjkgjgk, é, também, φ = akgk com ak = φjkgj. Então φT = gkak = gkφjkgj. Mas sendo distributivo o produto direto de vetores em relação a soma de vetores (Teor.2,§ 02.06), resulta, φT = φjkgkgj , c.q.d.. Corol. 1: As transpostas das matrizes co-variantes e contravariantes associadas a um diádico φ são iguais às matrizes homônimas correspondentes associadas ao transposto de φ:

[φ** ]T = [(φ T )** ] ,

[φ** ]T = [(φ T )** ] ,

(031)69.

A transposta da matriz mista de certo nome associada a um diádico φ é igual à matriz mista do mesmo nome associada ao transposto de φ.

[φ ∗∗ ] T = [(φ T ) ∗∗ ] , ou

[φ ∗∗ ] T = [(φ T ) ∗∗ ] ,

(03).

Pois, sendo, por exemplo: j

k

1

1

1

2

1

3

2

1

φ = φ k g j g = φ 1 g 1 g + φ 2 g 1 g + φ 3 g 1 g + φ 1 g 2 g +... e j

k

1

φ 12

φ 13   φ 23  ;  φ 33 

1

2

1

3

1

1

2

φ T = φ k g g j = φ 1g g 1 + φ 1 g g 2 + φ 1g g 3 + φ 2 g g 1 +... , temos:

φ 1  1 ∗ [φ ∗ ] = φ 21  3 φ 1

φ 22 φ 32

[(φ ) ∗ T

 φ1  1 ] =  φ12 φ 1

φ 21

φ 22

φ 23

3

φ 31   φ 3 2  = [φ ∗ ∗ ] T . φ 33 

Analogamente provaríamos para os demais casos de representação de φ. Teor. 2: Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais díades, têm suas coordenadas respectivamente iguais; e reciprocamente. Com efeito, expressos os diádicos φ e ψ em forma N2-nomial em termos das mesmas díades basais escrevemos, por exemplo: k

j

k

φ = φ jg k g e ψ = ψ jg k g

j

.

69Por este corolário, justifica-se a (nossa) nomenclatura: "transposto de um diádico", em relação a: "conjugado de um diádico" (de Gibbs) mencionada no §02.05.

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

186

Pondo φkj gj = uk e ψkj gj = vk, e sendo φ = ψ, escrevemos: gkuk = gkvk. Ora, estando os diádicos expressos em forma N-nomial com os mesmos antecedentes independentes, k

j

k

j

resulta uk = vk (Teor.2,§ 02.07). Então: φ j g = ψ j g , isto é , φ

k j

k

= ψ j.

Sejam agora dois diádicos φ e ψ expressos em termos das mesmas díades basais e com coordenadas iguais: k

j

k

j

φ = φ j g k g e ψ = ψ j g k g com φ

k j

k

= ψ j.

Escrevemos, logo: φ = gkuk e ψ = gkvk, com uk = vk = φkj gj = ψkj gj. Então, φ = ψ. Corol. 1: Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais díades basais, têm matrizes associadas iguais70. Teor. 3: A multiplicação de um diádico por um número é operação equivalente à multiplicação de sua matriz associada por esse número71. Com efeito, as coordenadas co-variantes ou contravariantes dos seus antecedentes ou conseqüentes, expressas por ((04),§ 09.01), estarão multiplicadas por esse número; logo, os elementos da matriz associada ao diádico em (01) estarão multiplicados por esse número. Teor. 4: A pré-multiplicação pontuada de diádico por vetor é operação equivalente à pré-multiplicação da sua matriz mista associada co/contravariante (contra/co-variante) pela matriz coluna co-variante (contravariante) associada ao vetor72. O vetor produto vem expresso por sua matriz coluna co-variante (contravariante):

r′ = φ. r ⇔

{r∗′ } = [φ ∗ ∗ ]. {r∗ },

(04).

Pondo, por exemplo:

r = R k g k , r′ = R′i gi e φ = φ i g g j , j i

(i, j, k = 1,2,..., N),

deduzimos:

r ′ = φ . r = (φ i g g j ) . ( R k g ) = φ i R k g ( g j . g ) = φ i R k g , j i

k

j

i

k

k

i

70Deve ser observado que se um mesmo diádico esta expresso em formas cartesianas homônimas em termos de diferentes díades de base, suas matrizes associadas (de mesmo nome) não são iguais, mas similares; este conceito será explorado no § 02.04, III. 71Chama-se produto de um número por dada matriz a uma matriz cujos elementos são os elementos correspondentes da matriz dada multiplicados por esse número. 72Chama-se produto de uma matriz A, de ordem MxN, por uma matriz coluna {v}, de ordem Nx1, à matriz coluna de ordem Mx1, {v'}, cujo elemento da i-ésima linha é a soma dos produtos de cada elemento da i-ésima linha de A pelo seu correspondente da matriz coluna.

II,§ 09.02


§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas.

187

de onde resulta, considerando a expressão cartesiana co-variante de r′: R′i = φ i k R k . Esta expressão é equivalente a (04), quando se faz (k, i = 1,2,...,N). Nota 2:

-

Em pós multiplicação, escreveríamos: v ′ = v. ψ

{v′}

e, no caso específico de (04): r ′ = φ . r = r. φ

T

T

T

= {v} . [ ψ],

, donde {r ′ } ∗

T

(05),

T ∗ T = {r } . [φ ] . ∗ ∗

Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos Se A é diádico simétrico (§ 04.02), pondo A=Aijeiej, deve ser Aij=Aji. Então, para i=1,2,3, A12=A21, A23=A32, A31=A13. Resultados análogos seriam obtidos escrevendo-se A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a duplamente contravariante associadas a um diádico simétrico são, assim, matrizes simétricas, e apenas estas. Da mesma forma, se A é diádico anti-simétrico (§ 04.02), pondo A=Aijeiej, deve ser Aij=-Aji. Então, para i=1, A11=A22=A33=0 e A12=-A21= A23=-A32=A31=-A13, resultados análogos podendo ser obtidos escrevendo-se A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a duplamente contravariante associadas a um diádico anti-simétrico são, assim, matrizes antisimétricas, e apenas estas.

§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas Posto que a multiplicação pontuada entre diádico e vetor é associativa em relação a números, deduzimos, por exemplo, que: j k

j

k

sendo φ = φ jk g g , então g r . φ . g s = φ jk ( g r . g )( g . g s ), isso é,

g r . φ . g s = φ rs ,

(r, s = 1,2,..., N).

Similarmente, considerando as outras formas fundamentais de φ, poderíamos deduzir expressões análogas para as demais coordenadas do diádico. Como regra geral, diríamos que uma coordenada de um diádico, expresso em forma cartesiana, pode ser obtida por pré e pós-multiplicação do diádico pelos recíprocos dos antecedentes e dos conseqüentes de suas díades fundamentais. Assim:

φ

rs

r

s

= g .φ .g ,

φ rs = g r . φ . g s , φ

= g .φ .gs , r

r s

(01).

s

s φr = gr .φ .g ,

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

188

Ora, não sendo independentes as coordenadas co-variantes e contravariantes de vetores (§ 04, I), podemos esperar não serem também independentes as coordenadas de um diádico. De fato, substituindo, por exemplo, em (01)1 as expressões de φ dadas por ((05),§ 09.01), deduzimos:

φ

rs

= G φk ,

rk

s

φ

rs

= G φ kj G ,

φ

rs

= φ jG ,

rk

js

r

(02),

js

sendo, conforme já definimos ((01)1,§ 09.02), Grk = gr.gk = Gkr. Similarmente, podemos deduzir das (01): s

φ r = G rk φ

ks

φ rs = G rk φ G js kj

φ

r

(03),

= φ G js rj

s

onde Grk = gr.gk. As fórmulas (02) e (03) são correspondentemente inversas porque, por exemplo, se a (02)2 exprime as coordenadas contravariantes em função das co-variantes, a (03)2 exprime as coordenadas co-variantes em função das contravariantes etc. Tal como com as (02) exprimimos as coordenadas contravariantes em função das demais coordenadas, poderíamos também exprimir as coordenadas co-variantes em função de todas as outras coordenadas. Exprimindo todas as coordenadas de φ em função apenas das coordenadas mistas, φ rs por exemplo, teríamos:

φ

rs

r

ks

= φ kG , k

φ rs = G rk φ s , s

k

φ r = G rk φ j G

(04). js

,

As expressões (02), (03) e (04) podem ser expressas em forma matricial, e essas novas expressões podem ser obtidas na tábua de multiplicação seguinte. Tábua de multiplicação de matrizes associadas a um mesmo diádico [φ φ ]= [φ φ**]= [φ φ**]= [φ φ**]= **

II,§ 09.03

φ**] [φ [G**].[φ φ**].[G**] [φ φ**].[G**] [G**].[φ φ**]

[φ φ**]

[G ].[φ φ**].[G ] ** [G ].[φ φ**] [φ φ**].[G**] **

**

[φ φ **]

[φ φ *].[G ] * [G**].[φ φ *] * [G**].[φ φ *].[G**] *

**

[φ φ **]

[G ].[φ φ* ] * [φ φ* ].[G**] * [G**].[φ φ* ].[G**] **

*


§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana.

189

§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. Da consideração das ((05),§ 09.01) obtemos, logo: jk

φ E = φ G jk = φ jk G

jk

j

j

j

= φ j , (j, k = 1,2, ..., N),

(01),

tornando-se óbvio que a forma mais simples de se obter o escalar de um diádico é pelas suas formas cartesianas mistas pois, com efeito, este é o traço73 de qualquer uma das matrizes associadas (mistas). Não se deve confundir, entretanto, o traço de uma matriz com o escalar de um diádico, pois, em geral, ∗

∗∗

Tr[φ ∗∗ ] ≠ φ E = Tr [φ ∗ ] = Tr[φ ∗ ∗ ] ≠ Tr[φ ], excetuado quando a base a que se refere o diádico é ortonormal ou ortonormada. Temos também de ((05)1 e (05)3,§ 09.01), as formas mais simples de expressão de φ V:

φ V = φ jk g j × g k = φ jk g j × g k ,

(02),

ou, ainda, em forma expandida: φV = o,

(021);

φ V = (φ12 − φ 21 )g1 × g 2 = (φ12 − φ 21 )g1 × g 2 ,

(022);

para N = 1, para N = 2,

para N = 3, aplicando ((04) e (04)1,§ 04.02),I) e efetuando as somas: φV = (g1g 2 g 3 )[(φ 23 − φ32 )g1 + (φ31 − φ13 )g 2 + (φ12 − φ 21 )g 3 ] ou φV = (g g g )[(φ 23 − φ32 )g1 + (φ − φ )g 2 + (φ − φ )g 3 ] 1 2 3

31

13

12

(023)74.

21

Das representações N-nomiais (01) e (011), § 09.01 deduzimos:

φ 3 = a1 .g1 = a1 .g1 , se N = 1; φ 3 = (a1 × a 2 ).(g1 × g 2 ) = (a1 × a 2 ).(g1 × g 2 ), se N = 2; φ 3 = (a1a 2 a 3 )(g1g 2 g 3 ) = (a1a 2a 3 )(g1g 2 g 3 ), se N = 3. 73O traço de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos da sua diagonal principal (os da i-ésima linha e i-ésima coluna); é representado, às vezes, por TrA. 74Pelas expressões (02 ),(02 ) e (02 ) pode-se definir o vetor de uma matriz (co-variante ou contravariante), 1

2

3

conceito pouco difundido e pouco utilizado nos tratados de Álgebra Linear e de Cálculo Matricial.

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

190

Considerando as expressões ((02) e (021),§ 09.01) deduzimos também, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03,I):

para N = 3 :

(a1a 2 a 3 ) =| φ ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) =| φ ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) ,

(b1b 2b 3 ) =| φ ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) =| φ ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) ; para N=2:

a1 × a 2 =| φ∗∗ | g1 × g 2 =| φ∗∗ | (g1 × g 2 ) , b1 × b 2 =| φ ∗∗ | (g1 × g 2 ) =| φ ∗∗ | (g1 × g 2 ) ;

para N=1:

a1 =| φ∗∗ | g1 =| φ∗∗ | g1 b1 =| φ∗∗ | g1 =| φ∗∗ | g1 ,

isso é

| φ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) 2 =| φ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) 2 =| φ∗∗ |=| φ∗∗ |, para N = 3;  φ 3 = | φ∗∗ | (g1 × g 2 ) 2 =| φ∗∗ | (g1 × g 2 ) 2 =| φ∗∗ |=| φ∗∗ |, para N = 2;  | φ∗∗ | (g1 ) 2 =| φ∗∗ | (g1 ) 2 =| φ∗∗ |=| φ∗∗ |, para N = 1,  É óbvio, por (03), que:

(03).

A CNS para que um diádico, expresso cartesianamente, seja completo, é que o determinante associado a qualquer uma de suas matrizes seja diferente de zero. Para os diádicos anti-simétricos A=-AT tem-se:

A E = 0,  A 3 = 0, ,  1 2 3 23 31 12 A V = 2(e e e )(| A | e1 + | A | e 2 + | A | e 3 ) =  = 2(e1e 2 e 3 )(| A 23 | e1 + | A 31 | e 2 + | A12 | e 3 ). 

(04),

resultados compatíveis com ((041), (§ 04.02)). Para os diádicos simétricos nada de extraordinário se vai acrescentar além do fato de que eles têm vetor nulo; e este pode ser calculado pelas suas coordenadas duplas contravariantes ou co-variantes. Algumas observações devem ser feitas no tocante à determinação dos invariantes elementares de um diádico quando este é dado em forma cartesiana. Em primeiro lugar, lembremo-nos de que a representação de um diádico por uma de suas matrizes associadas (a co-variante, a contravariante ou as mistas) deve sempre ser acompanhada da especificação da base a que ela se refere. A especificação dessa base pode ser feita pela configuração de seus vetores (em módulo, direção e sentido) e ângulos mútuos, ou por uma das matrizes métricas dessa base (§ 09.02). Em qualquer caso as matrizes associadas ao diádico deverão satisfazer as relações ((04),§09.03).

II,§ 09.04


§ 09.06- Multiplicações de diádicos em forma cartesiana.

191

Em segundo lugar, observemos que, se dispomos da matriz mista para o cálculo do vetor de um diádico, este não pode ser realizado pelas expressões (023) porque estas são válidas para coordenadas co-variantes ou contravariantes do diádico. Mas, de posse da matriz associada mista, [φ φ* ], por exemplo, e da matriz métrica [G ] (ou sua inversa) * ** poderemos, por ((04)2,§ 09.03), determinar [φ φ ], e somente então, calcular φV por (023). ** Finalmente, observemos que, sendo φ3 e φE invariantes de φ, os determinantes |φ φ**| e |φ φ | e os traços Trφ φ** e Trφ φ associados às matrizes contravariantes e co-variantes de φ ** ** não são invariantes, mas apenas aqueles das matrizes mistas. Com outras palavras: o traço e o determinante de uma matriz associada ao diádico nem sempre são iguais ao seu escalar e ao seu terceiro (apenas os traços e os determinantes das matrizes mistas). Obviamente, tais determinantes (excluídos os traços) serão invariantes se, e somente se, os vetores de base a que se referem definem paralelepípedos de volumes unitários. Nesse caso as bases são denominadas unimodulares e, dessas, as bases ortonormadas são um caso particular. Novamente devemos observar que, quando a base adotada é ortonormada, as quatro matrizes associadas ao diádico são iguais; e apenas nesse caso, determinantes e traços são respectivamente iguais ao terceiro e ao escalar do diádico. Entretanto, nem sempre é vantajoso, possível e prudente, o uso de bases ortonormadas (§05,Cap.I; §04 e §05,Cap.III).

§ 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana. Teor. 1: A adição de diádicos, expressos em forma cartesiana em termos das mesmas díades basais, é operação equivalente à adição de suas matrizes associadas75. Com efeito, sendo, por exemplo, ij

φ = φ gig j e

ij

ψ = ψ g i g j , (i, j = 1,2,... , N),

deduzimos, agrupando convenientemente e aplicando ((01),§ 04.01): ij

ij

φ + ψ = gi (φ ijg j + ψijg j ) = (φ ij + ψij )gi g j , donde, [φ + ψ] = [φ + ψ ] = [φ ] + [ ψ], o que, evidentemente, comprova o teorema. As propriedades já demonstradas da adição de diádicos (§ 01) podem ser também demonstradas para as matrizes.

§ 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana. Em relação às bases não ortonormadas a matriz associada ao produto de dois diádicos nem sempre é igual ao produto das matrizes associadas aos diádicos, exceto se as matrizes forem mistas de mesmos nomes. 75Chama-se soma de duas matrizes de mesma ordem, [A] e [B], a matriz de mesma ordem que as matrizes parcela, [C], cujos elementos são as soma dos elementos correspondentes de [A] e de [B]; escreve-se: [C]=[A]+[B].

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

192

Expressões matriciais de φ.ψ ψ Se χ = φ . ψ, são válidas as seguintes fórmulas, que podem ser comprovadas facilmente: [χ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [G∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [ψ∗ ∗ ] = [φ ∗ ∗ ]. [ψ∗∗ ]

[χ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [G∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗ ∗ ]. [ψ∗∗ ] [χ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [G∗ ∗ ]. [ψ∗ ∗ ] = [φ ∗ ∗ ]. [ψ∗ ∗ ] [χ∗ ∗ ] = [φ∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [G∗∗ ]. [ψ∗ ∗ ] = [φ ∗ ∗ ]. [ψ∗ ∗ ],

(01).

São válidas para as matrizes as propriedades já demonstradas para os diádicos no § 05.03 e no § 05.04. O enunciado dessas propriedades pode ser obtido daqueles trocando-se neles a palavra diádico por matriz (quadrada), devendo ser observado que no caso da transposição a matriz pode ser retangular.

Temos assinalado certo isomorfismo entre a álgebra dos diádicos e a conhecida álgebra das matrizes. Esse isomorfismo fica, entretanto, incompleto, uma vez que não se estuda na teoria das matrizes a operação que poderia ser denominada multiplicação cruzada entre matriz e vetor, cujo resultado fosse uma matriz (veja § 06). Este § 09 - Representação de diádicos por matrizes - tem significado prático quando as funções vetoriais lineares devem estar referidas a uma base. Nesse caso, no estudo de um problema físico ou geométrico, poderá ser cômoda essa representação numérica (cartesiana). Expressões matriciais de I× ×a e φ×a Ponhamos I=gigi e a=Ajgj. Tem-se: I×a=Ajgigi×gj=(g1g2g3)Ajεijkgigk, os números (g g g )Ajεijk sendo as coordenadas duplamente contravariantes do diádico. Efetuando-se as somas indicadas podemos escrever a matriz [(I×a)**]. Tem-se: 1 2 3

[(Ι × a) ∗∗ ] =

 0  A  3 − A 2

− A3 0 A1

A2  − A1  (g1g 2 g 3 ) 0 

(02).

Analogamente provaríamos que

 0  [(I × a) ∗∗ ] =  A 3 - A 2 

− A3 0 A1

A2   - A 1  (g 1 g 2 g 3 ) 0  

Se o vetor a é um dos vetores da base {g }, por exemplo, a = g3, isso é, * II,§ 09.06

(021).


§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas).

193

0 − 1 0  se a = A 3g 3 , então, [I × A 3g 3 ] = A 3 (g1g 2 g 3 ) 1 0 0 0 0 0

(022),

0 − 1 0 se a = A 3g , então, [I × A 3g ] = A 3 (g g g ) 1 0 0 , 0 0 0

(023).

e 3

3

1 2 3

Lembrando ((02)2, §06.02, II), podemos escrever: φ × v = (φ.Ι ) × v = φ.(Ι × v ) . Para quaisquer α e β postos, por exemplo, na forma α=αijgigj e β=βkmgkgm,

tem-se:

α.β =αikβkm gigm ,

isto é, em termos matriciais: [α.β]**=[α]**.[β]**. Então, para o produto cruzado φ×v escreveríamos:

[φ × v]∗∗ = [φ]∗∗ . [Ι × v]∗∗ = [φ]∗∗ . [Ι × v ]∗∗ ,

(024).

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). Os polinômios homogêneos (nas variáveis independentes X, Y, Z, ... ), também denominados formas, são os polinômios cujos termos têm todos o mesmo grau. Assim, se A, B, C, ... são coeficientes (de polinômios),

AX,

AX + BY,

AX + BY + CZ ,

(01),

são formas lineares (ou polinômios homogêneos do grau um);

AX 2 ,

AX 2 + BY 2 + 2CXY,

AX 2 + BY 2 + CZ 2 + 2 DXY + 2 EYZ + 2 FZX ,

(02),

são formas quadráticas etc. Formas quadráticas isentas de termos quadrados são denominadas retangulares. Se uma forma tem apenas uma variável independente, como as formas (01)1 e (02)1, ela é dita unária; se tem duas, como a (01)2 e (02)2, ela é dita binária; se tem três, ternária etc. Então, por exemplo, (02)2 e (02)3 são, respectivamente, formas quadráticas binária e ternária. Consideremos, no E3, por exemplo76, dado diádico, φ, e os vetores variáveis coiniciais x e y; e representemo-los cartesianamente nos vários modos possíveis, a saber: 76 Tudo o que fizermos nesse espaço poderá ser desenvolvido igualmente para os espaços de dimensões 1 e 2.

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

194

j

φ = φ ije i e j = φije i e j = φ i je i e j = φi e i e j , ,

x = X ei = Xie i

i

y = Y e i = Yi e , i

i

(03).

com i, j = 1,2,3.

Os polinômios

e k . φ .x = φ kj X j = φ k j X j ,

∀ k = 1,2,3 ,

representados (para cada valor de k) das duas maneiras distintas correspondentes ao segundo e terceiro membros, são formas lineares nas coordenadas co-variantes ou nas contravariantes de x. São também formas lineares nestas mesmas letras os polinômios j

e k . φ .x = φkj X j = φ k X j ,

∀ k = 1,2,3 .

O polinômio

x. φ .x = X i φ ij X j = X i φij X j é uma forma quadrática. Mas esse polinômio é um invariante (independe das mais diversas representações que se possam dar ao diádico e ao vetor). Se o representarmos, porém, nas formas (possíveis, evidentemente) j

x. φ .x = X i φ i j X j = X i φi X j ,

(04),

caímos aparentemente num outro problema pois nem o segundo e nem o terceiro membros de (04) se encaixam na definição de forma quadrática. De fato, nestas representações as variáveis não são independentes, pois x 2 = X i X i estabelece uma ligação entre elas. Como φ.x=XiφijGkjXk; e lembrando ((041), §09.03): x.φ φ.x=XiφikXk. Assim, Xj=XkGkj, tem-se: x.φ (04) é, apenas, uma forma diferente de expressar-se uma forma quadrática. * Representando φ na forma da soma de sua parte simétrica, φ sim , com a sua parte anti-simétrica, φ ant , podemos escrever:

x. φ . x = x. φ sim . x , posto que, conforme (042), §04.02,

∀ φ , x:

x. φ ant .x = 0 ,

(041).

Então, qualquer que seja o diádico φ, a forma quadrática x .φ φ. x pode sempre ser substituída por uma forma quadrática equivalente como o diádico (simétrico) igual à parte simétrica de φ. Tais formas são denominadas formas quadráticas simétricas. Assim, poderemos escrever (04) na forma II,§ 09.07


§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas).

∀φ, x :

x.φ.x = x.φ sim .x =

1 i 1 X (φ ij + φ ji )X j = X i (φ ij + φ ji )X j , 2 2

195

(042).

Em resumo: toda forma quadrática x.φ.x pode sempre ser cartesianamente representada em função das coordenadas contravariantes(co-variantes) do vetor x e pela parte simétrica da matriz co-variante (contravariante) associadas ao diádico φ. * Consideremos o polinômio x. φ . y (nas variáveis representativas das coordenadas dos vetores co-iniciais x e y) o qual, considerando as representações (03), pode ser representado nos quatro modos distintos seguintes:

x.φ.y = X i φij Y j = X i φij Yj = X i φi jYj = X i φi jY j ,

(05).

Esse polinômio x. φ . y é uma função linear em y porque, se y = Uu + Vv , então

x. φ . y = U ( x. φ . u ) + V( x. φ . v ) , isso é, se y = Uu + Vv , o polinômio x. φ . y é uma combinação linear, de coeficientes U e V, de polinômios que se obtêm de x. φ . y substituindo-se y por u e v. Então esse mesmo polinômio, linear em y, é, também, linear em x. Definição: (forma bilinear) Todo polinômio da forma (05), em que φ é um diádico dado e x e y são vetores quaisquer, será dito uma forma bilinear do diádico φ nos vetores x e y. Deve ser observado que

∀ Σ ≠ ΣT , x, y

x. Σ. y ≠ y. Σ. x ,

(06),

porque

x.Σ.y = y.Σ T .x ,

(061),

e, evidentemente,

y. Σ T .x ≠ y. Σ .x .

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

196

Mas

Σ = ΣT

x. Σ . y = y. Σ .x ,

(062).

Definição: Formas bilineares com diádicos simétricos são ditas formas bilineares simétricas. Resulta dessas definições que as formas quadráticas são casos particulares das formas bilineares. Com efeito, as quadráticas são as bilineares que derivam de (05) onde se faça y = x. Ponhamos, lembrando ((03), §04.02),

∀x , y, φ:

x. φ . y = x. (φ sim + φ ant ) . y ,

(07).

Ora, conforme (061),

x. φ ant . y = y. φ ant T .x = − y. φ ant .x e, conforme (062),

x. φ sim . y = y. φ sim .x . Como a substituição de y por x em (07) acarreta, lembrando (041), forma quadrática simétrica apenas pela parcela x. φ sim . y , diz-se que a forma bilinear simétrica x. φ sim . y é uma forma polarizada77 da forma quadrática x. φ sim .x . Quádrica centrada. Consideremos uma forma quadrática representada genericamente por (042). Quando se dá a x o valor x0, ou seja, quando se especifica certo ponto do espaço (extremidade do vetor x), a forma assume certo valor, digamos F0. O terceiro e o quarto membros de (041), por outro lado, mostram (não trivialmente) que é possível encontrar outros vetores coiniciais com x, ou outros pontos do espaço, que dêem a essa forma o mesmo valor F0. Ao conjunto dos pontos x corresponde o conjunto dos pontos simétricos em relação à origem comum porque os vetores -x também dão à forma o valor F0. Definição: (quádrica centrada) O conjunto dos pontos definidos pelas extremidades dos vetores co-iniciais, x, da forma quadrática simétrica x.φ.x que assume o valor F0, denomina-se quádrica centrada relativo a F0. Como o diádico da forma e o valor F0 são genéricos, podemos sempre, sem perda de generalidade, dizer que

77 A nomenclatura, embora introduzida por via matricial no estudo das cônicas e quádricas, parece ser conhecida como equação de Joachimsthal.

II,§ 09.07


§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas).

197

Quádrica centrada num ponto O é o lugar geométrico dos pontos do espaço, extremidades dos vetores co-iniciais em O, x, vetores esses que, para dado diádico φ, atribuam à forma x. φ .x o valor +1. Como toda forma quadrática pode ser escrita na forma simétrica, resulta que a dado diádico, φ, está associada de modo unívoco a quádrica centrada

x. φ sim .x = 1 ,

(08).

Mas o contrário não é verdadeiro, isso é, a dada quádrica centrada não está associado um único diádico. Com efeito, conforme Teor. 8, § 04.02, para que dois diádicos distintos tenham a mesma parte simétrica, basta que a diferença deles seja um diádico anti-simétrico. Não cabe aqui desenvolver a teoria das quádricas centradas. Demonstraremos alguns teoremas a título de aplicação. Uma alteração da dimensão do espaço permite também deduzir propriedades análogas para as cônicas centradas. A introdução de "coordenadas homogêneas" permite generalizar a teoria para as quádricas em geral. Teor. 1: Uma quádrica centrada é interceptada por uma reta do espaço em dois pontos, reais ou imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou impróprios. Se X é um parâmetro e r e s são vetores co-iniciais num ponto O, definindo dois pontos R e S do espaço, o vetor posicional x do ponto corrente X da reta (relativo a X) que passa por esses pontos é (1+X)x = r + Xs. A CNS para que esse ponto X pertença à quádrica é que ele satisfaça (08), isso é,

(r + Xs). φ sim . (r + Xs) = (1 + X) 2 ,

(09).

Desenvolvendo esta equação e considerando (062), vem:

(1 − s. φ sim .s) X2 + 2(1 − r. φ sim .s) X + 1 − r. φ sim .r = 0 ,

(10),

equação do segundo grau em X78 que, resolvida, dará dois valores para X; são eles:

1 − (r. φ sim .s) ± (1 − r. φ sim .s) 2 − (1 − s. φ sim .s)(1 − r. φ sim .r) , 1 − s. φ sim .s

(101),

Com esses valores, que representaremos por X1 e X2, podemos construir dois vetores coiniciais em O cujas extremidades certamente pertencem à quádrica. Discutindo as soluções dessa equação, o leitor poderá determinar em que condições esses pontos são reais ou imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou impróprios, bem como o caso em que a equação (10) seja uma identidade. 78 Diríamos que essa é uma forma diádica de representação da clássica "equação de Jochimsthal" da Geometria Projetiva Algébrica.

Poliádicos - Ruggeri


§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

198

Definição: ( pontos conjugados) Os pontos R e S serão ditos conjugados em relação à quádrica centrada do diádico φ se eles forem conjugados harmônicos em relação aos pontos A1 e A2 segundo os quais a reta (1+X)x=r+Xs intercepta a quádrica. Ora, os pontos A1 e A2 estarão harmonicamente separados por R e E se, e somente se, X1 + X2 = 0, conforme sabemos. Então, de (101), concluímos: Teor. 2: A CNS para que os pontos R e S, de vetores posicionais r e s, sejam conjugados em relação à quádrica x. φ sim .x = 1 é que valha um a forma polarizada de r. φ sim . r , isso é: r. φ sim . s =1. Como (fixo o r) a equação r. φ sim . s = 1 é linear em s, concluímos, imediatamente: Corol. 1: É um plano o lugar geométrico dos pontos conjugados de um ponto fixo em relação a uma quádrica centrada. O plano a que se refere o Corol. 1 denomina-se plano polar do ponto fixo em relação à quádrica. Corol. 2: Se o plano polar de um ponto (em relação a uma quádrica centrada) passa por um determinado ponto, então o plano polar deste ponto (em relação à mesma quádrica) passa pelo primeiro. ⇐

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana. Denotemos por Φjk o complemento algébrico do elemento φkj (observe a inversão dos índices) no determinante

φ

1

|φ ∗ ∗ | = φ

2

φ

3

φ

1

1

2

1

φ φ

3

1

φ

1

2

2

2

φ φ

3

2

3 3

(01),

3

determinante este associado à forma cartesiana mista contravariante/co-variante de φ (§ 02.01), j

k

φ = φ k g jg ,

II,§ 09.08

(02).


§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana.

199

Temos, então: ~

j

k

φ = Φ k g jg ,

(03),

e

φ −1 =

1 φ3

j

Φ k g jg k ,

(04).

Com efeito, pondo j

v k = φ k g j , temos, de (02), φ = v k g k ,

(05);

logo, lembrando a definição de adjunto (§ 08.01), escrevemos:

φ~ =

1 r s (g × g )( v r × vs ) 2

(06).

Conforme ((04)1,§ 04.02,I), é

v r × v s = φ j r φ ks (g1g 2 g 3 )ε jkm g m

(07);

conforme ((041)1,§ 04.02,I) é

g r × g s = (g1g 2 g 3 )ε rst g t . Então: ~

φ =

1 2

j

k

rst

m

φ r φ s ε ε jkm g t g .

Para t = 1 e m = 2, por exemplo, temos:

1 j k rs1 1 φ r φ s ε ε jk2 g1g 2 = (φ j 2 φ k3 − φ j 3 φ k2 )ε jk2 g1g 2 = 2 2 =

1 3 1 ( φ φ − φ 33φ1 2 − φ1 2 φ 33 + φ1 3 φ 32 )g1g 2 = 2 2 3

= −(φ1 2 φ 33 − φ1 3φ 32 ) g1g 2 = Φ1 2 g1g 2 . Fazendo cálculos análogos podemos comprovar (03). A fórmula (04) é conseqüência imediata de (03) e ((10),§ 08.01). Poderíamos obter resultados análogos pela consideração das outras três formas de representação cartesiana de φ.

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

200

~

A matriz associada a φ é:

Φ1  1 2 ~ [ φ ] = Φ 1  3 Φ 1

Φ

1 2

Φ

2

Φ

3

2 2

1 Φ 3  2 Φ 3 , 3  Φ 3

(08),

e denomina-se a adjunta de [φ φ]. Assim: "para constituir-se a matriz mista de certo nome do adjunto de um diádico, basta substituir, na matriz mista transposta de mesmo nome desse diádico, cada elemento pelo seu respectivo complemento algébrico". Similarmente, a matriz associada a φ-1 é, em vista de (04):

[φ −1 ] = 1 [φ ~ ] . φ3 Definição: (matriz inversa) [φ-1] denomina-se a matriz inversa de [φ], sendo representada também por [φ φ]-1. Dada [φ φ], a determinação de [φ φ]-1 é imediata em vista das fórmulas anteriores Como a representação cartesiana de um diádico é conseqüência de uma redução trinomial do mesmo, vemos que as propriedades das matrizes adjunta e inversa da matriz de um diádico são as mesmas do adjunto e do inverso desse diádico79. Se fizermos φ = Ι em ((041)3, § 09.03), considerando as ((012), § 09.02), deduzimos:

[Ι ] = [G∗∗ ]. [G∗∗ ],

(09).

o que nos permite concluir serem inversas as matrizes métricas de bases recíprocas.

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. O problema consiste em, sendo dadas a matriz métrica de uma base (por inversão dessa matriz deduzimos a matriz métrica da base recíproca ((09),§09.08)) e a especificação de uma das matrizes associadas ao diádico (logo, as outras estão determinadas (§09.03)), determinar as características geométricas desse diádico, isso é, dizer se ele é completo, planar, linear, uniplanar, ortoplanar, determinar seus planos, direções etc..

79Esses resultados, todos concordantes com o Cálculo Matricial, também justificam a introdução do adjunto na teoria dos diádicos, juntamente com o "segundo" de Gibbs.

II, § 09.09


§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.

201

Para a resolução do problema proposto é relevante termos em mente as seguintes Propriedades Gerais. 1°) - Um diádico é incompleto ou completo quando o determinante de qualquer uma de suas matrizes associadas é nulo ou não nulo, respectivamente. 2°) - A CNS para que um diádico seja simétrico (anti-simétrico), é que: ou a sua matriz contravariante ou a co-variante associada seja simétrica (antisimétrica), ou que a sua matriz mista de certo nome seja igual à transposta da matriz mista de nome contrário. Pois, se a matriz co-variante (contravariante) associada ao diádico é simétrica, a matriz contravariante (co-variante) correspondente é também simétrica; nesse caso, o vetor do diádico, dado por ((023)1 ou (023)2, §09.04) é nulo e o diádico é simétrico. No caso das matrizes mistas, se [φ ij ] = [φ ij ]T = [φ ji ], então φ = φ ij gig j = φ ji gig j , donde φT = φ ji g jgi = φ, conforme (05),§09.01. As recíprocas são de demonstração evidente. A demonstração para o caso de diádico anti-simétrico é análoga. Notar que Um diádico não é necessariamente simétrico (anti-simétrico), se qualquer uma de suas matrizes mistas é simétrica (anti-simétrica)80. 3°) - O escalar do diádico tem a expressão geral φ E = φ : Ι , e pode ser calculado pelas fórmulas

φ E = φ i i = φ i i = φ jk G jk = φ jk G jk , o que é garantido por ((01), §09.04). 4°) - Se um diádico é completo (incompleto), seu adjunto é completo (incompleto); e reciprocamente, porque φ ~3 = (φ 3 ) 2 . Os teoremas demonstrados no §08.01 permitirão caracterizar o diádico quanto ao seu ~ grau de nulidade. Assim, esse problema se reduz à caracterização do diádico φ representado por uma de suas matrizes associadas. Na forma mista esta matriz é dada por ((08), §09.08), cujo elemento genérico é (notar a inversão da posição dos índices j e k):

Φ

j k

= complemento algébrico de φ kj em [φ

∗ ].

80 Essa questão será abordada mais a diante neste parágrafo. No § 04.01,A, III, fórmulas (10) e (11), esse aspecto poderá ser observado no caso de diádico anti-simétrico; ou no § 04.01, B,III, Teor.4, no caso de diádico simétrico.

Poliádicos - Ruggeri


§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

202

~

Na forma co-variante, a matriz associada a φ tem elemento genérico: ∗∗

Φ jk = (g1g2g3 )2 × complemento algébrico de φkj em [ φ ]; e na forma contravariante:

Φ jk = (g1g2g3 )2 × complemento algébrico de φ kj em [φ ∗∗ ], sendo: ~

j k

jk

φ = Φ jk g g = Φ g j g k . Exemplos: 1) Se em determinada base (qualquer) a matriz contravariante associada ao diádico (incompleto) φ é

18 − 36   − 5 2 − 4  36   2 [φ ] =  2 − 8 − 2, então [Φ∗∗ ] = (g1g 2g3 )  18 9 − 18. − 4 − 2 − 5 − 36 − 18 36  ∗∗

2) Analogamente, se

6  4 − 6 − 6 − 3 6 [φ ∗∗ ] = − 1 3 2 , então [φ ~∗∗ ] = (g1g 2 g 3 ) 2  1 − 2 − 2.  3 − 6 − 5  3 6 6  Para a caracterização dos diádicos planares, lineares e seus variantes aplicaremos os critérios gerais listados a seguir. Caracterização dos diádicos lineares. Serão lineares todos os diádicos em cujas matrizes (qualquer uma delas) se constate: 1°) a ocorrência de apenas duas filas (linhas ou colunas) paralelas nulas; 2°) a ocorrência de uma fila nula, paralela a duas outras proporcionais; 3°) a ocorrência de três filas paralelas proporcionais. Deve ser observado que em todas as matrizes associadas a um mesmo diádico (linear) verifica-se um dos casos acima citados. Assim, por exemplo, se em uma das matrizes duas colunas são nulas, numa outra as colunas poderão ser proporcionais.

II, § 09.09


§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.

203

Exemplos:

1°)

 −3   1   −3

6 −2 6

6  1  −2 ,  1  6   −1

1  1 ,  −1

1 1 −1

matrizes com três filas paralelas proporcionais;

2°)

 1   −1   0

0 0 0

2  0  −2 ,  0  0  0

−2 1 −1

2  −1,  1

matrizes com uma coluna nula, paralela a duas outras proporcionais;

3°)

0  0  0

0 0 0

2  0  −1,  0  3  0

2  0 ,  0

0 0 0

matrizes com apenas duas colunas paralelas nulas. Caracterização dos ortolineares. Estes diádicos são lineares (caso anterior) e têm escalar nulo. Exemplos: 1°) - o de matriz mista

[φ ∗∗ ] =

4 2 2 0 0 0  , numa base qualquer.  − 1 − 1 − 2

2°) - o de matriz co-variante

 12  [φ ∗∗ ] =  0   −6

18 0 −9

12   0 ,  −6 

na base de métrica co-variante

2  [G∗∗ ] = 2  1

2 5 1

1  1.  2

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

204

Com efeito, pois, sendo: [φ∗ ∗ ] = [G∗∗ ]. [φ∗∗ ] , e

 9  [G∗∗ ] = [G∗∗ ]−1 = 1  −3 9   −3

−3 3 0

−3   0 ,  6

encontramos:

φ E = φ ij G

jk

=

1 9

(12 × 9 + 18 × 3 + 12 × 3 + 6 × 3 + 9 × 0 + 6 × 6) = 0.

Notar que [ φ ∗∗ ] tem uma linha nula, as duas outras paralelas proporcionais, e traço não nulo (veja final do § 09.04). 3°) - Analogamente, é ortolinear o diádico de matriz co-variante

− 1 − 3 [φ φ ∗∗ ] =  0 0  0 0

0 0 0

,

na base de métrica co-variante idêntica à do exemplo anterior. Observa-se novamente, pela análise de [ φ ∗∗ ] , que o diádico é linear, mas seu escalar (um invariante) não é traço de

[ φ ∗∗ ] (que vale

- 1); pois: φ E

= φ jk G

jk

= 0 , conforme ((01), § 09.04).

Caracterização dos planares. Relativamente à sua matriz associada (qualquer uma delas) caracterizam-se estes: 1°) - pela ocorrência de uma fila de coordenadas nulas e as outras duas filas paralelas não proporcionais; caso em que um dos vetores do motivo do diádico (§ 02.07) é o vetor nulo e os outros dois não são paralelos; Exemplo: 3  A  B

0  0,  0

0 3 C

2°) - pela ocorrência de apenas duas filas paralelas proporcionais, caso em que apenas dois dos vetores do motivo são paralelos. Exemplos:

 −2   0   2

II, § 09.09

0 −3 2

1  0 ,  −1

 1   −1   1

0 1 0

1  3,  1

2  2  2

1 1 2

−1  −1.  −1


§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.

205

3°) - pela ocorrência de uma fila que é uma combinação linear das outras duas; caso em que os três vetores do motivo são coplanares, mas não paralelos. Exemplos:

 4   −1   3

−6

 0  10   5

−2

3 −6

−6 −4

−6   2 , (a terceira linha é igual à metade da primeira subtraída da segunda);  −5  3  5 , (a terceira linha é igual à semi-soma das duas primeiras).  4 Caracterização dos uniplanares e dos unilineares

Observemos inicialmente que, conforme Corol. 2, Teor. 4, § 04.02: todo diádico planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear); mas existem diádicos uniplanares que não são simétricos. Além disso, se a matriz mista associada a um diádico é simétrica (antisimétrica) o diádico não é simétrico (anti-simétrico) necessariamente. Assim se {a,b,c} e {a*,b*,c*} são bases recíprocas e φ = N(cb ∗ − bc ∗ ) , com

0  [φ ∗ ] =  0  0 ∗

0 0 N

0  − N ,  0

φ ≠ −φ , não obstante ser [φ ∗ ∗ ] = −[φ ∗ ∗ ] . Analogamente, se com φ = N(cb ∗ + bc ∗ ) T

T

0  [φ ∗ ∗ ] =  0  0

0 0 N

0  N ,  0

φ ≠ φ , não obstante ser [φ ∗ ∗ ] = [φ ∗ ∗ ] . Isto se justifica porque as matrizes associadas são as mista. T

T

Entretanto se um diádico estiver representado pela sua matriz contravariante, ou por sua matriz co-variante, a constatação de sua uniplanaridade poderá ser feita pela simples verificação da unilinearidade do seu adjunto. Com efeito, a unilinearidade de um diádico dado por sua matriz contravariante, ou por sua matriz co-variante, é constatada pela condição de que qualquer uma dessas matrizes tenha todos os elementos nulos, exceto um, e apenas um, pertencente à diagonal principal. Poliádicos - Ruggeri


§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

206

Exemplo: Digamos que a matriz contravariante de φ (na base {g1,g2,g3}) seja

3

0 3 0

 [φ∗∗ ] = 1   0

0  0. 0

Que φ é planar é obvio, porque uma das filas (linha ou coluna) é nula e as outras duas não ~ são proporcionais. O adjunto de φ , φ , porém, tem matriz co-variante

0  [Φ∗∗ ] =  0  0 ~

0 0 0

0  0 ,  9

3 3

isso é, φ = 9 g g , diádico obviamente unilinear. Logo, φ é uniplanar (Corol.4, Teor.2, § 08.01). Deve ser observado ainda, neste exemplo, que, não obstante ser φ uniplanar, φ não é simétrico: T

φ = 3g 1g 1 + g 2 g 1 + 3g 2 g 2 ≠ φ = 3g 1 g 1 + g 1g 2 + 3g 2 g 2 . Exercício: Comprovar que é uniplanar o diádico que na base ortonormada {ijk} tem matriz associada [φ]ijk

 0  = 0  senα

senα   − cosα ., 0 

0 0 cosα

e especificar seus planos.

Caracterização dos ortoplanares. O ortoplanar é caracterizado por ter adjunto ortolinear (Corol.4,Teor.1,§ 08.01).

Exemplos:

1°)

II, § 09.09

 1 −2 3   φ ∗ ] = 10 −5 5,  5 −4 5

[φ ∗

[φ ∗ φ

]~

 − 5 − 2 5   =  −25 −10 25.  −15 − 6 15


§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. ∗

207

~

~

A matriz mista [ φ ∗ ] tem três filas proporcionais e tem traço nulo; logo, o diádico φ é ortolinear e, portanto, φ é ortoplanar.

0  [φ ∗ ∗ ] =  A  B

2°)

A matriz [ φ

]

~

0 0 C

0  0  , (A ≠ 0);  −3 

 0  [φ ∗ ∗ ] ~ =  3A   AC

0  0.  0

0 0 0

tem apenas duas colunas nulas (por hipótese A≠0); logo φ

ortolinear porque é linear e tem escalar nulo (nesse caso o traço de [ φ

~

é diádico

~

] é o escalar de

~

φ ). 4  3°) - O diádico de matriz co-variante [φ ∗∗ ] =  4  5 2  co-variante [G∗∗ ] =  2  1

2 5 1

e

=

Φ jk g

jg k

2 4

4  4 , na base de matriz métrica  5

1  1, é diádico ortoplanar. Porque, sendo  2  −6  ~ [φ ∗∗ ] =  0   6

φ~

2

6 0 −6

0  ∗∗ 0  = [Φ ] ,  0

, tem-se: ~

jk

φ E = Φ G jk = −6 × 2 + 6 × 2 + 6 × 1 − 6 × 1 = 0, isso é, o adjunto de φ é ortolinear (é linear e tem escalar nulo); logo, φ é ortoplanar. (Notar ~ ~ que o traço de [ φ ∗∗ ] é -6 e não representa o escalar de φ ). Os diádicos antitriangulares e sua caracterização. Vimos (Corol.1, Teor.7, § 05.04) que se um diádico ψ é ortoplanar e tem escalar nulo, existe uma base ortonormada { $i , $j , k$ } em relação a qual ψ fica reduzido a uma forma tal, que:

ψ T = (ˆj.ψ T .ˆi )ˆjˆi + (kˆ .ψ T .ˆi )kˆ ˆi + (kˆ .ψ T .ˆj)kˆˆj e reciprocamente. Então, nessa base - em que $i é do plano dos conseqüentes de ψT, k$ é do plano dos antecedentes e $j é o vetor unitário da interseção desses planos, a matriz (única) associada a ψT é:

Poliádicos - Ruggeri


§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

208

 0  [ψT ] =  $j. ψT . $i $ T $ k. ψ . i

0  0,  0

0 0 $ ψT . $j k.

(01),

donde

0  [ψ] =  0  0

$i. ψ. $j 0 0

$i. ψ. k$   $j. ψ. k$ ,  0 

(02).

Definição: (diádico antitriangular) Em vista de (01) e (02), o diádico ortoplanar de escalar nulo será denominado diádico antitriangular81 ; a esse nome poder-se-á acrescer o vocábulo "superior" ou "inferior" quando se pretender especificar a posição do triângulo de elementos não nulos, em relação à diagonal principal. Exemplos:

0  ∗ 1°) - Se em certa base (qualquer), [φ ∗ ] =  2  2

0  −2 2 , o diádico correspondente,  −3 2  φ, é antitriangular. Que φ E = 0 é evidente; provemos que φ é ortoplanar. Temos:  2  ∗ [Φ ∗ ] =  0   −2

−2 0 2

1

2  0 ,  −2 

~

isso é, φ , o adjunto de φ, é ortolinear (linear de escalar nulo); logo, φ é ortoplanar.

 −1  2°) - O diádico de matriz co-variante [φ ∗∗ ] =  3   −6 variante 2  [G∗∗ ] =  1  2

1 2

−1

−2 −1 −2

−2   −1 na base de métrica co −2 

2  −1 é antitriangular.  5

81Justifica-se o nome porque as clássicas matrizes triangulares são aquelas que apresentam elementos todos nulos situados apenas de um dos lados da diagonal principal.

II, § 09.09


§ 09.09

- Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.

 9  Com efeito, [G∗∗ ] = −7   −5

−7 6 4

−5  4 ,  3

 0  e [φ∗∗ ] = [G∗∗ ][φ∗∗ ] =  1   −1

209

−1 0 0

−1  0 .  0

Sendo

 0  [φ ∗ ] =  −1   −1 ∗

T

−1  0  0

1 0 0

e

0  [φ ∗ ] =  0  0 ∗

~

0 −1 1

0  −1,  1

~

vê-se que φ é ortolinear (linear de escalar nulo), isso é, φ é ortoplanar. Mas φ E = 0 ;logo φ é antitriangular. Se pusermos

r1 = −g1 + 3g 2 − 6g 3 r 2 = −(2g1 + g 2 − 2g 3 ) 

s1 = g1 s = g 2 + g 3  2

escreveremos: φ = r i s i (i=1,2), o plano dos antecedentes sendo ortogonal ao plano dos conseqüentes (r1 × r 2 é ortogonal a s1 × s 2 ) . Denotando por $i e k$ os unitários das normais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de φ, respectivamente, podemos comprovar, não sem algum trabalho, que:

1 ˆ (−12g1 + 10g 2 + 7g 3 ), i = 17  ˆ ˆ ˆ 2 g1 , j = k × i = − 17  kˆ = 2g − 2g − g . 1 2 3   Então, em relação a {$i , $j, k$ } , a matriz de φ é:

[φ]ijk

 0 0  0  4 =  ˆj.φ.ˆi 0 0 =  17  kˆ .φ.ˆi kˆ .φ.ˆj 0 

0 0  84 ˆ ˆ 24 ˆ ˆ 4 0 0 , pois: ˆj.φ.ˆi = , k.φ.i = , k.φ.j = . 17 17 17 17  6 1 0 *

0 21

Exercício: Se M=ajej=Aijeiej é um diádico de Moreira: A12A23A31=A21A13A32; e reciprocamente. Mostrar, então, aplicando a condição ((02), §03.03), que o diádico de matriz contravariante associada

3 6 1  − 3 − 5 − 6 ,    3 3 4  em relação à base {e*}, é um diádico de Moreira.

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

210

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. Uma equação vetorial de três variáveis escalares (§ 03,I), do tipo

aX + bY + cZ = o ,

(01),

onde a, b e c são vetores dados não paralelos (logo, não nulos) e independentes das letras X, Y e Z, é dita uma equação homogênea. As letras X, Y e Z, cujos valores estão a determinar, são ditas as incógnitas da equação; um conjunto delas que torne (01) uma identidade é dito o conjunto solução de (01). Obviamente, toda equação homogênea admite a solução X = Y = Z = 0; esta é denominada a solução nula ou trivial de (01). Uma CNS para que (01) apresente solução diferente da trivial é que os vetores a, b e c sejam coplanares, conforme ((043),§ 03.02,I). Se os vetores a, b e c são coplanares e não paralelos existem infinitos conjuntos solução para a equação (01), nenhuma incógnita sendo nula. Quando dois quaisquer dos vetores são paralelos a equação (01) padece de certa singularidade, não muito relevante. Uma equação homogênea em que os três vetores são paralelos implica, necessariamente, a solução indeterminada. Com efeito, a equação seria da forma (AX+BY+CZ) a = o, com A, B e C constantes; logo, AX+BY+CZ = 0, isso é, X, Y e Z indeterminados. Procuremos inicialmente uma solução essencialmente geométrica para a equação. O plano dos vetores a, b e c é um subespaço do espaço tridimensional, bastando dois dos vetores, digamos a e b, para caracterizá-lo. Designando por a* e b* os seus recíprocos - ambos facilmente determináveis (§ 03.02,I) - podemos multiplicar escalarmente ambos os membros de (01) por esses vetores e transpor termos para obtermos, sucessivamente:

- X = (c.a∗ )Z , - Y = (c.b ∗ )Z 

(02).

Observemos por (01) que se um terceto (X,Y,Z) é solução dessa equação, então (MX,MY,MZ), M = número real arbitrário ≠0, é também solução da mesma. Isto significa que, em (02), podemos atribuir um valor arbitrário a Z para obter qualquer um dos infinitos tercetos solução da equação. Se, entretanto, impusermos que os números X, Y e Z satisfaçam a determinada relação arbitrária,

F(X, Y, Z) = 0,

(03),

a equação (01) admitirá um número finito de soluções. Se (03) for uma relação linear a solução de (01) será única. Podemos abordar a solução geométrica de (01) de outro ponto de vista. Indexando as letras, podemos escrever a equação na forma: 1

2

3

i

a 1 X + a 2 X + a 3 X = a i X = o, II, § 09.10

(04),


§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares.

211

sendo

( a 1a 2 a 3 ) = 0. Se x é um vetor que em relação a uma base {g1,g2,g3} tem coordenadas Xi, escrevemos: i

i

x = X g i , donde, X = x. g

i

(05).

Logo, (04) pode ser escrita na forma: i

i

a i ( g . x) = (a i g ). x = 0 . Pondo-se

φ = a i g i , com φ 3 = 0,

(06),

resulta a expressão diádica equivalente a (04): φ . x = o.

(07).

Assim: Toda equação vetorial homogênea de três variáveis escalares, do tipo (04), pode ser representada, em relação a uma base virtual, por uma equação do tipo (07), onde: 1º) o diádico φ, planar, tem por antecedentes os vetores da equação (04); 2º) o vetor x, a incógnita, tem por coordenadas, naquela base, os coeficientes Xi em (04). Posto que, então, φ seja diádico planar - no caso com antecedentes dependentes - a incógnita x de (04) é transformada num vetor do plano dos antecedentes. O adjunto de φ, linear, usado como pós-fator, transforma qualquer vetor r de E3 num vetor ortogonal ao plano dos antecedentes de φ (Teor.1,§ 08.04); porém, usado como pré-fator, transforma qualquer vetor num dos infinitos vetores solução de (07). Com efeito, temos, lembrando ((11),§ 08.01) e que φ3 = 0:

φ . ( φ ~ . r ) = (φ . φ ~ ) . r = φ 3 r = o . ~

Então qualquer vetor paralelo a φ . r é solução de (07) e, portanto, de (04). Temos, ainda: ~

φ =

1 i 1 (g × g j )(ai × a j ) = (g1g 2 g 3 )ε ijk g k (ai × a j ), 2 2

(08),

e ~

φ .gm =

1 2

1 2 3

( g g g )ε

ijk

(a i a j g m )g k .

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

212

~

Um vetor paralelo a φ . g m é, então, por exemplo:

φ .gm ~

x′ =

1 2 3 (g g g )

=

1 2

ε

ijk

(a i a j g m )g k .

Ora, se n$ é unitário da normal ao plano dos antecedentes de φ, podemos escrever o número (aiajgm) na forma |ai||aj|sen(ai,aj) n$ .gm; logo:

$ g m ) (i ≠ j ≠ k = 1,2,3). 82 x ′ = g k | a i || a j |sen( a i , a j )( n. Então, um vetor solução de (07) é

x=

sen(a i ,a j ) g k i ≠ j≠ k =1,2,3, |a k |

(09),

$ g m ) x. sendo x ′ =| a 1 || a 2 || a 3 |( n. Procuremos, agora, uma solução algébrica para a equação. Se pusermos, em relação à base {g1,g2,g3}: j

a i = φ i g j , com ( a 1a 2 a 3 ) = 0,

(10),

o diádico será escrito na forma ((02),§ 09,08), e a equação (04) na forma: j

i

φ i X = 0 (i, j = 1,2,3),

(11);

φ 1 X 1 + φ 1 X 2 + φ 1 X 3 = 0 2 3  1  2 1 2 2 2 φ 1 X + φ 2 X + φ 3 X 3 = 0  φ 31 X 1 + φ 32 X 2 + φ 33 X 3 = 0,

(12).

ou, na forma expandida:

Em (12) temos um sistema de equações lineares, homogêneas, cujo determinante é nulo porque a matriz do sistema, cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vetores ai na base {g1,g2,g3}, é:

82Observar que não se aplica, aqui, a convenção somatória porque os índices repetidos estão todos no mesmo nível.

II, § 09.10


§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares.

φ 1  1 2 [ φ ] = φ 1  3 φ 1

φ

1

φ

2

φ

3

213

  2 φ 3 , e | φ | = 0. 3  φ 3 φ

2 2 2

1

3

Temos também:

φ 1  1 T 1 [φ ] =  φ 2  1 φ 3

φ

2

φ

2

1

2 2 φ 3

 Φ1   1 ~ 2 3 φ 2 , donde, [φ ] = Φ 1  3 3  φ 3 Φ 1 φ

3

1

Φ

1 2

Φ

2

Φ

3

2 2

1 Φ 3  2 Φ 3 . 3  Φ 3

Pondo ((03).§ 09.08) na forma ~

φ = g k (Φ

k n

n

g ),

(14), ~

e comparando esta expressão com (08), vemos que as linhas de [ φ ], representadas também pelos vetores Φkngn em (14), são proporcionais entre si porque os vetores a i × a j em (08) são todos ortogonais ao plano dos antecedentes de φ (e, portanto, paralelos)83. Isto, aliás, ~

também já sabíamos (§ 09.09) porque φ é linear. ~

Como φ .gm é paralelo ao vetor solução do sistema, de (14) deduzimos: ~

φ .gm = Φ

k m

gk ,

~

isso é: qualquer coluna de [ φ ] é paralela ao vetor solução. Resulta, então, facilmente, a seguinte regra para a determinação da solução de (12): já tendo escrito a matriz [φ] T, as coordenadas do vetor x, solução do sistema, são os complementos algébricos dos elementos de uma qualquer de suas colunas. Exemplo numérico. Seja resolver o sistema homogêneo, de determinante nulo:

 −1X 1 +1X 2 + 0X 3 = 0    +9X 1 + 3X 2 + 6X 3 = 0   +8X 1 + 0X 2 + 4X 3 = 0,

(15).

83Isto comprova um clássico teorema: "Em todo determinante nulo os complementos algébricos dos elementos de uma fila são proporcionais aos complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela".

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

214

Tem-se logo:

 −1  T [φ ] =  1   0

8  0 ,  4

9 3 6

donde, considerando a terceira coluna, por exemplo:

1 T {x} =   0

3 6

−1

9 −1

0

6

1

9  = [ 6 6 − 12] = 6 [1 1 − 2], 3 

vetor solução do sistema. ~

Verifiquemos a proporcionalidade das colunas de [ φ ]: 2ª coluna:

 1 T {x ′} =  −  0

0 −1

8

4

4

0

−1

1

8  = [ −4 0 

− 4 8] = −4 [1 1 − 2];

1ª coluna:

3 T {x ′′} =   6

0 4

9

8 9

6

4 3

8  = [12 12 − 24] = 12 [1 1 − 2] 0 

sendo, obviamente, x | | x ′ | | x ′′ , todos soluções de (14). Similarmente podem ser resolvidos os sistemas:

1X 1 +1X 2 + 0X 3 = 0   1  9X +1X 2 + 6X 3 = 0  8X 1 + 0X 2 + 6X 3 = 0,

 −3X 1 + 1X 2 + 0X 3 = 0    9X 1 + 5X 2 + 6X 3 = 0   8X 1 + 0X 2 + 2X 3 = 0,

(16).

É fácil, agora, analisar certas particularidades já aludidas no início deste parágrafo. No caso em que b | | c ( ou a 2 | | a 3 ) por exemplo, deduzimos resultados análogos com algumas particularidades não muito relevantes. Assim, as duas últimas linhas de [φ φ]T são ~ proporcionais, o que acarreta a primeira linha de [ φ ] com elementos nulos. Então, o vetor solução tem como primeira coordenada o número zero, sendo, pois, solução da equação, qualquer vetor do plano (g2,g3). II, § 09.10


§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial.

215

No caso em que os três vetores são paralelos, todas as linhas de [φ φ]T são ~ ~ proporcionais (φ φ é linear) e todos os elementos de [ φ ] são nulos ( φ = Ο), resultado que, aliás, já conhecíamos (Corol.2,Teor.2,§ 08.01). Nesse caso, então, um vetor solução é o vetor zero (que corresponde à solução trivial). Por outro lado, se escrevermos: ai = uAi, então, i

φ . x = o = u (A i g ) . x, isso é, pondo

a = A i g i = (u.a i )g i = u.φ , deduzimos:

( u. φ ) . x = 0. Logo: Se (g1g2g3)≠0, se φ = aigi é linear, e se u$ é o unitário que define a direção dos antecedentes de φ, então qualquer x do plano ortogonal ao vetor û.φ é solução da equação φ.x = o. * Exercício: Resolver o sistema

 2X 1 + 4X 2 + 6X 3 = 0   1  X + 2X 2 + 3X 3 = 0   3X 1 + 6X 2 + 9X 3 = 0. ⇐ *

§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. Para ampliar a harmonia do Cálculo Poliádico com o Cálculo Matricial é necessário definir novas operações para este último visando a tradução das duplas multiplicações de diádicos por meio das matrizes que lhes são associadas84. Definição: (duplo produto pontuado de duas matrizes) Chamaremos duplo produto pontuado de duas matrizes A e B, de mesmas ordens, e o representaremos por A : B, o número que se obtenha somando-se todos os produtos dos seus elementos correspondentes.

84 Uma ampliação dessa operação será feita no § 06.02, IV.

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

216

Assim, se A e B são de ordem M x N e têm elementos genéricos correspondentes Aij e Bij, então:

[A] : [B] = A i jBi j = A11B11 + A12 B12 + ... + A MN BMN ,

(01).

A dupla multiplicação pontuada matricial é a operação que tem por fim determinar o duplo produto pontuado de duas matrizes. É uma operação sempre possível e unívoca, e goza das mesmas propriedades da dupla multiplicação pontuada de diádicos. Particularmente, lembrando ((01),§ 09.04), tem-se:

[φ ∗∗ ]:[G ∗∗ ] = [φ ∗∗ ]:[G ∗∗ ] = [φ ∗∗ ]:[G ∗∗ ] = [φ ∗∗ ]:[G ∗∗ ] = Tr[φ ∗∗ ] = Tr[φ ∗∗ ] ,

(011).

Escrevendo

φ = φ i j eie j = φi j ei e j = φ i j eie j = φi j eie j temos, por definição de norma de um diádico (§ 07.02):

|| φ || = φ : φ = φ i j φi j = φ i j φi j ,

(01),

isso é: A norma de um diádico vale a soma dos produtos de suas coordenadas correspondentes de nomes contrários. Em termos matriciais escrevemos:

|| φ || = [φ ∗∗ ] : [φ ∗∗ ] = [φ ∗ ∗ ] : [φ ∗ ∗ ] ,

(011);

então: A norma de um diádico - um número sempre positivo - é igual ao duplo produto pontuado de suas matrizes associadas de nomes contrários85.

Surge espontaneamente a necessidade da definição de uma operação entre matrizes quadradas 3 x 3, de resultado matriz quadrada 3 x 3, que pudesse representar a matriz associada ao duplo produto cruzado de dois diádicos a partir das matrizes 3 x 3 associadas aos diádicos fatores. Consideremos a expressão geral ((03), § 07.01) que dá o duplo produto cruzado de dois diádicos φ e ψ em função deles próprios (de seus transpostos e de seus escalares) e de I: φ ×× ψ = φ E ψ E Ι + ψ T .φ T + φ T .ψ T − ψ E φ T − φ E ψ T − (ψ T .φ T ) E Ι (02). 85Quando o espaço das matrizes é referido a bases ortonormadas, a operação de dupla multiplicação de uma matriz por si própria - que define a norma dessa matriz - caracteriza esse espaço como euclidiano.

II, § 09.11


§ 10.01 - Espaço diádico.

217

Ora, o elemento genérico da matriz associada a φ ×× ψ é a soma dos elementos correspondentes das matrizes associadas aos vários diádicos parcela, φ E ψ E Ι , ψ T .φ T etc. Pondo φ = φ i j e i e j e ψ = ψ i j e i e j , deduzimos de (02),

( φ ×× ψ ) i j = e i .(φ ×× ψ ) .e j = φ E ψ E δ i j + ψ s i φ j s +

+ φ si ψ j s − ψ E φ ji − φ E ψ j i − ψmn φ nmδ i j ,

(021).

A segunda parcela em (021), ψs i φ js , representa o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto [ ψ∗∗ ]T .[φ ∗∗ ]T . Analogamente, a terceira parcela, φ si ψ j s , representa o

elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto [φ ∗ ∗ ] T . [ ψ∗∗ ] T . A última parcela é representada por ( [φ ∗ ∗ ]T : [ ψ∗ ∗ ] )[ Ι ∗ ∗ ] . Então, lembrando ((031), § 09.02):

× ×

ψ ]∗∗ = φ E ψ E [Ι ] + [ψ ∗∗ ]T .[φ ∗∗ ]T + [φ ∗∗ ]T .[ψ ∗∗ ]T − −ψ E [φ ∗∗ ]T − φ E [ψ ∗∗ ]T − ( [φ ∗∗ ] : [ψ ∗∗ ] )[Ι ] ,

(03).

Portanto: A matriz mista de certo nome associada ao duplo produto cruzado de dois diádicos se expressa em função de operações com as matrizes mistas de nome contrário associadas aos seus transpostos.

§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS. § 10.01 - Espaço diádico. O conjunto de todos os diádicos, φ, ψ etc., criados dentro da Geometria Euclidiana, para os quais estão definidas as operações de multiplicação por número real e de adição, como no § 02.02 e no § 04, respectivamente, a primeira operação gozando das propriedades: 1 φ = φ,

A(Bφ) = (AB)φ, (A + B + ...)φ = Aφ + Bφ + ..., A(φ + ψ + ...) = Aφ + Aψ + ..., e a segunda, das propriedades

(φ + ψ ) + χ = φ + (ψ + χ), φ + ψ = ψ + φ, φ + Ο = φ, φ + ( − φ) = Ο ,

Poliádicos - Ruggeri


218

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

constitui um espaço linear montado sobre a Geometria Euclidiana. Por serem diádicos os seus elementos, chamá-lo-emos também de espaço diádico86. Esse espaço, entretanto, não pode conter as figuras em geral da Geometria Euclidiana, nem o espaço dos vetores. O conjunto dos diádicos lineares e unilineares, planares e uniplanares (§ 03.01), formam espaços diádicos particulares (subespaços) dentro da Geometria Euclidiana. Para os conceitos que serão emitidos a seguir faltará provisoriamente o importante suporte da interpretação geométrica com o qual vínhamos respaldando a teoria; quando for possível esta interpretação, ela poderá ser extremamente complexa (ver § 10.03 e seguintes). A teoria será, então, exposta em forma essencialmente algébrica, mantendo espetacular analogia com as teorias vetoriais, até que se introduzam novos conceitos geométricos. Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos. Dados G diádicos αi, podemos ordená-los e dispô-los mentalmente em ordem cíclica positiva (horária) nos vértices de um G-ágono regular. Interessa-nos pesquisar a existência de G números Mi, não simultaneamente nulos (nsn), com os quais possamos constituir a combinação linear desses diádicos: M i α i = Ο . Escrevamos cada um dos diádicos αi, por hipótese gerados do E3, em relação às bases vetoriais recíprocas {e*} e {e*}, nas formas trinomial e cartesiana mista87 (covariante /contravariante) seguintes :

α i = a ik e k ,

(i = 1, 2, ..., G e k = 1, 2, 3),

(01),

e

α i = A i j k e je k ,

(i = 1, 2, ..., G e j, k = 1, 2, 3),

(02),

a cada diádico αi estando associada a matriz 3 x 3

A i 1  1 i [α ] =  A i21  i1  A 3

A i12 A i22 A i32

A i13   A i23  ,  A i33 

(021).

Temos, também, evidentemente, partindo da expressão M i α i = Ο :

∀ j = 1,2,..., G:

(α j : α i ) M i = 0 ,

(03).

A combinação linear em referência é, então, relativamente às (01), equivalente ao sistema homogêneo de 3 equações vetoriais, 86 Na linguagem da Álgebra Linear, o espaço diádico é um "espaço vetorial" cujos "vetores" são diádicos. 87 É evidente que poderíamos escrevê-los também nas formas cartesianas duplamente co-variantes e duplamente contravariantes.

II, § 10.01


§ 10.01 - Espaço diádico.

219

 M a 11 + M a 21 + M a 31 +...+ M a G1 = o 2 3 G  1  M 1a 12 + M 2 a 22 + M 3 a 32 +...+ M G a G2 = o   M 1a 13 + M 2 a 23 + M 3 a 33 +...+ M G a G3 = o,

(011),

ou, relativamente às (02), ao sistema linear homogêneo de 9 equações algébricas,

 A 1 1 M + A 2 1 M + A 3 1 M +... + A G 1 M = 0 1 2 1 3 1 G  11 2 1 2 2 3 2 G 2  A 1 M 1 + A 1 M 2 + A 1 M 3 +... + A 1 M G = 0 .  .  .  A 1 3 M + A 2 3 M + A 3 3 M +... + A G 3 M = 0, 3 1 3 2 3 3 3 G

(022),

ou, ainda, relativamente às (03), ao sistema de G equações algébricas lineares,

(α1 : α1)M + (α1 : α 2 )M + (α1 : α 3 )M +... + (α1 : α G )M = 0 1 2 3 G  2 1 2 2 2 3 2 G ( α : α )M + ( α : α )M + ( α : α )M + ... + ( α : α )M 1 2 3 G =0  .  .  . (α G : α1)M1 + (α G : α 2 )M 2 + (α G : α 3 )M 3 +... + (α G : α G )M G = 0,

(031).

A esses sistemas podemos associar, respectivamente: 1) - a matriz 3 x 9, de elementos vetores, cuja i-ésima coluna é formada com os antecedentes dos diádicos αi:

 a 11  12 a  13 a

a 21

a 31

...

a 22

a 32

...

a 23

a 33

...

a G1   a G2  ,  a G3 

(013);

2) - a matriz numérica 9 x G,

A1 1  1 1 2 A 1  1 3 A 1  ...  A 1 2 3  1 3  A 3

A 21 1

A 31 1

A 41 1

...

A 21 2

A 31 2

A 41 2

...

A 21 3

A 31 3

...

...

...

...

...

...

A 23 2

A 33 2

A 43 2

...

A 23 3

A 33 3

A 43 3

...

A G1 1   A G1 2   A G1 3  , ...   A G3 2   A G3 3 

(023),

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220

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

cuja i-ésima coluna, imaginada dividida essa matriz em três blocos horizontais de três linhas cada um, tem para elementos do primeiro bloco os elementos correspondentes da primeira linha da matriz (021) associada a αi, para elementos do segundo bloco os elementos correspondentes da segunda linha dessa matriz, e para os do terceiro bloco os da terceira linha; 3) - a matriz G x G

 (α1 : α1 )  2 1  (α : α )  ...  (α G −1 : α1 )   (α G : α1)

(α1 : α 2 )

(α1 : α 3 )

(α 2 : α 2 )

...

... (α

G −1

...

:α ) 2

(α G : α 2 )

...

G −1

...

:α ) 3

...

(α G : α 3 )

...

(α1 : α G )   (α 2 : α G )   ... , G −1 G  (α :α )  (α G : α G ) 

(032).

Definições: (matriz associada e matriz métrica de G diádicos) A matriz de elementos vetoriais aik, dada por (013) e a de elementos numéricos dada por (023), ou suas transpostas, serão denominadas matrizes associadas aos G diádicos. A matriz simétrica (032), de elementos αi:α αj será denominada matriz métrica do conjunto dos G diádicos. Examinemos o sistema vetorial (011) que representa combinações lineares entre os correspondentes antecedentes dos αi. Imaginados os G vetores de cada uma das combinações dispostos co-inicialmente num ponto O do espaço, algumas hipóteses relativas às eventuais singularidades (coplanaridade e paralelismo) de grupos desses vetores podem ser aventadas: 1)- Se G = 2, os correspondentes antecedentes de α1 e α2 são paralelos. Nesse caso os diádicos são ditos paralelos (e já foram definidos no § 02.02). Devemos notar que esses diádicos podem ser completos (Fig. 10.01,a)), planares (Fig. 10.01,b)) ou lineares.

2)- Se G = 3, os correspondentes antecedentes de α1, α2 e α3 são coplanares.

II, § 10.01


§ 10.01 - Espaço diádico.

221

Nesse caso, como no anterior, os diádicos poderão ser completos, planares ou lineares. Quando completos, definem uma estrela de (no máximo) 12 planos: três correspondentes a cada diádico completo (no total, 9) e um correspondente a cada combinação (no total, 3), Fig.10.02.

Diremos, por isso, que esses três diádicos são dodecaplanares ou, simplesmente, 12-planares. Quando um, dois ou os três diádicos são incompletos a estrela definida tem, respectivamente, 10, 8 e 6 planos no máximo; e os três diádicos são ditos decaplanares (ou 10-planares), octoplanares (ou 8-planares) e hexaplanares (ou 6-planares). Além disso, poderá acontecer também que dois dos diádicos, ou todos os três, sejam paralelos. Nesse último caso os tercetos de antecedentes correspondentes estarão dispostos segundo as arestas de um triedro desde que os três diádicos sejam completos (Fig. 10.03,a)); os três diádicos serão ditos triplanares (ou 3-planares).

Esses antecedentes poderão, ainda, estar dispostos segundo duas retas concorrentes, ou segundo três retas concorrentes coplanares (Fig. 10.03,b)) se todos os diádicos forem planares, caso em que serão ditos uniplanares. Finalmente, esses vetores poderão estar dispostos segundo uma única reta se todos os diádicos forem lineares, e os três diádicos serão ditos unilineares.

Poliádicos - Ruggeri


222

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

3)- Se G = 4, três casos gerais podem ocorrer (em cada uma das três combinações lineares) com relação aos quatro antecedentes dos diádicos αi: a)- eles são não coplanares (Fig. 10.04,a)); b)- apenas três são não coplanares, o quarto vetor podendo ser paralelo a um dos planos definidos pelos anteriores (Fig. 10.04,b)), ou, mesmo, ser paralelo a um dos vetores anteriores (Fig. 10.04,c));

c)- os quatro vetores são coplanares, podendo ocorrer dois paralelos, dois pares paralelos, três paralelos ou quatro paralelos. Para a análise que será feita a seguir é oportuno observar de início que a cada diádico completo estão associados 3 planos e a cada incompleto 1 plano. Portanto, se dentre os 4 diádicos temos c completos e i incompletos, o número de planos da estrela de planos por eles definido é 3 c + i. Se em todas as três combinações ocorrer o caso a), cada combinação definirá C 24 = 6 planos distintos em geral; logo essas combinações definirão, no máximo, 18 planos para a estrela de planos correspondente. Se, além disso, dentre os 4 diádicos existirem i incompletos teremos (4 - i) x 3 + i + 18 planos, isso é, (30 - 2 i) planos; os 4 diádicos correspondentes serão ditos, por isso, (30 - 2i)-planares. Teremos, pois, nesses casos, 4 diádicos 30, 28, 26, 22 e 20-planares. Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso b), cada combinação definirá 3 planos para a estrela, logo num total de 9. Se i dentre os quatro diádicos são incompletos, a estrela terá, então, no máximo, (21 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos, (21 - 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 21,19, 17, 15 e 13-planares. Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso c), cada combinação definirá 1 plano para a estrela, logo num total de 3. Se i dentre os quatro diádicos forem incompletos, a estrela terá, então, no máximo, (15 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos, (15 - 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 15,13,11, 9 e 7-planares. Os casos em que G > 4 podem ser analisados analogamente, ficando bem evidente as dificuldades de interpretação geométrica a serem encontradas.

II, § 10.01


§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

223

Se dentre G diádicos de um conjunto existem i incompletos, o número de planos por eles definido é no máximo 3 G - 2 i. Se, ainda, em cada uma das três combinações lineares dos antecedentes dos diádicos do conjunto, os G vetores que a formam são não coplanares, estarão definidos 3× C 2G novos planos para compor a estrela de planos associada ao conjunto. Teremos pois, nesse caso, um total de, no máximo,

3G - 2i + 3C 2G =

3 G(G + 1) - 2i 2

planos distintos na estrela do conjunto. Para um conjunto de 8 diádicos completos, por exemplo, a estrela correspondente tem 84 planos. Se, em geral, apenas G - P dos antecedentes correspondentes de cada uma das combinações ( G - P > 2), e em todas as combinações, são não coplanares, estarão definidos C 2G-P planos para cada combinação linear dos vetores. Logo o número total de planos da 3 estrela será 3G - 2i + 3C 2G-P = G(G +1) - 2i - P(3G - P -1) , isso é, se G - P dos antecedentes 2 em cada combinação são não coplanares, o número total de planos da estrela diminui, em relação ao caso anterior, de P(3G - P - 1). Esses conjuntos de diádicos ainda constituem espaços diádicos dentro da Geometria Euclidiana. Por apresentarem singularidades - multiplanaridade de grupos dos antecedentes correspondentes (ou dos conseqüentes) de suas representações cartesianas – recebem a denominação especial de multiplanos.

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. Os sistemas ((022), ou (031), § 10.01), representativos de um multiplano, têm nove equações (porque nove são os elementos das matrizes (021) associadas aos diádicos) e G equações, respectivamente; ambos têm G incógnitas, Mi. Seja P o grau do determinante principal da matriz88 associada aos G diádicos αi (matriz do sistema). Se for P = G a matriz métrica ((032), § 10.01) dos G diádicos será regular e o sistema (031) admitirá apenas as soluções nulas. Então: Se a matriz ((023),§10.01) associada a G diádicos αi, tem o principal do grau G, ou se a matriz métrica de G diádicos αi, (032), é regular, a combinação linear M i α i = Ο (i = 1, 2, ..., G) só é possível para os Mi simultaneamente nulos. Nesse caso diremos que os G diádicos são linearmente independentes no G-espaço a que pertencem. Assim, no espaço diádico montado sobre o E3 existem, no máximo, 9 diádicos linearmente independentes, cuja matriz métrica 9 x 9 é regular. Nos subespaços diádicos 88 Recordemos que o principal de uma matriz é o determinante não nulo da maior ordem que se pode extrair dessa matriz; o grau desse determinante é a característica ou o posto (rank, em inglês) da matriz.

Poliádicos - Ruggeri


224

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

(ou multiplanos) os diádicos linearmente independentes são em número G < 9, e as matrizes métricas G x G de cada conjunto são regulares. Se for G > P, isso é, se a matriz métrica dos G diádicos for não regular, haverá G - P incógnitas não principais e o sistema admitirá outras soluções além das soluções nulas89. Então: Se a matriz (023) associada a G diádicos αi tem o principal do grau menor que G, ou se a matriz métrica de G diádicos αi, (032), é não regular, a combinação linear M i α i = Ο (i = 1, 2, ..., G) é possível para os Mi não simultaneamente nulos (e de infinitas maneiras). Nesse caso os G diádicos serão ditos linearmente dependentes no espaço diádico a que pertencem. Assim, no espaço diádico, 10 diádicos são sempre linearmente dependentes; num multiplano onde G diádicos são independentes, G+1 serão sempre dependentes. Definição: (base e dimensão) Qualquer conjunto de G diádicos linearmente independentes de um espaço diádico montado sobre o EN é dito uma base diádica desse espaço; e G - o número máximo de diádicos linearmente independentes desse espaço - a sua dimensão. Notação: O espaço diádico de dimensão G, montado sobre o EN (espaço dos vetores, de dimensão N, com N=1, ou 2, ou 3), será denotado por 2EG sendo G≤N2; uma base de 2EG, formada com os diádicos ε1, ε2, ... , εG, será denotada por {εε*}. Resultam demonstrados, então, os seguintes teoremas: Teor. 1: Uma CNS para que G diádicos de um espaço (G ≤ 9) formem uma base é que o principal da matriz (de ordem 9 x G) associada a esses diádicos seja do grau G. Teor. 2: O determinante da matriz métrica de uma base diádica pode ser considerado um número sempre positivo. Pois, se o principal da matriz métrica dos G diádicos inicialmente ordenados de uma base for um número negativo - caso em que a base será dita negativa - poderemos reordená-los de modo a que esse principal seja positivo. Para tal, bastará que troquemos de posição dois quaisquer dos diádicos contíguos (pois o principal simplesmente trocará de sinal); e a nova base será dita positiva. Definição: Norma de uma base {ε*} é o determinante de sua matriz métrica, e se representa por ||ε*||. A raiz quadrada positiva da norma de uma base será dita o seu módulo, e será representada por |ε*|. 89Qualquer sistema fundamental de soluções do sistema consta de G - P soluções.

II, § 10.02


§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

225

Temos, então:

| ε ∗ | = || ε ∗ || , sendo

ε 1 : ε 1 ε 1 : ε 2 ... ε 1 : ε G || ε ∗ || =

ε 2 : ε 1 ε 2 : ε 2 ... ε 2 : ε G ...

...

...

(01).

...

ε G : ε 1 ε G : ε 2 ... ε G : ε G * Exercício 1: Sejam α e β os ângulos dos vetores e1 e e2 respectivamente com o unitário ˆi de dada base ortonormada { ˆi , ˆj } de um E2. 1) – Identifique as condições para que as díades e1e1, e1e2, e2e1, e2e2 constituam uma base para o espaço dos diádicos gerados desse E2 e determine o sistema recíproco delas; 2) – Comprove, então, que o quarteto auto-recíproco ˆiˆi , ˆiˆj, ˆjˆi , ˆjˆj constitui uma base de diádicos unitários e ortogonais entre si para o espaço dos diádicos gerados do E2. * Se {e*} e {e*} são bases vetoriais recíprocas do E3, as 9 díades

e 1e 1 , e 1 e 2 , e 1 e 3 , e 2 e 1 , ..., e 3 e 3 - diádicos particulares (lineares) cada um com apenas uma díade - constituem uma base do espaço diádico 9-dimensional. Com efeito, é impossível encontrar nesse espaço nove números Aij não simultaneamente nulos, tais, que A i je i e j = Ο (i,j=1, 2, 3). Observando que podemos escrever Aijeiej=ajej com aj=Aijei, vê-se que para que Aijeiej=Ο Ο, deve ser aj=o para ij qualquer j, o que é impossível, pois os A não são simultaneamente nulos. Então, simbolicamente escrevemos:

e 1e 1 : e 1 e 1 e 1 e 1 : e 1 e 2 ... e 1 e 1 : e 3 e 3 {e ∗ }, {e ∗ }

|| e ∗ e ∗ || =

e 1 e 2 : e 1e 1 e 1 e 2 : e 1 e 2 ... e 1 e 2 : e 3 e 3 ...

...

...

...

> 0,

(02).

> 0,

(021),

e 3 e 3 : e 1 e 1 e 3 e 3 : e 1 e 2 ... e 3 e 3 : e 3 e 3 Ainda,

{e∗},{e∗}

|| e∗e∗ || =

e1e1 : e1e1

e1e1 : e1e2

...

e1e1 : e3e3

e1e2 : e1e1

e1e2 : e1e2

...

e1e2 : e3e3

...

...

...

...

e3e3 : e1e1

e3e3 : e1e2

...

e3e3 : e3e3

Poliádicos - Ruggeri


226

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

podendo-se também escrever, por analogia, expressões para ||e*e*|| e ||e*e*||. Resulta dessas expressões, | e ∗ e ∗ || e ∗ e ∗ | = 1 =| e ∗ e ∗ || e ∗ e ∗ |, (03). Com efeito, no primeiro caso, por exemplo, o produto da j-ésima linha do i-ésimo bloco horizontal do determinante (02) pela s-ésima coluna do r-ésimo bloco vertical do determinante (021) para G=9 é

( e i e j : e m e n )( e m e n : e r e s ) = e i e j : 4 Ι : e r e s = δ ir δ js . Então, todos os elementos do determinante produto serão nulos, exceto os pertencentes à sua diagonal principal; e esse determinante é igual a +1. * *

Pelo simples fato de {e*} e {e } constituírem bases recíprocas, qualquer conjunto de G díades distintas dentre as 9 díades, sinteticamente denotados por {e* e*}, {e* e*}, {e* e*} e {e* e*}, constituirão bases diádicas recíprocas do 2E9 (espaço diádico de 9 dimensões). De fato, as matrizes associadas às díades do conjunto {e*,e*}, por exemplo, em relação às bases vetoriais recíprocas são:

1 0 0 0 1 0  0 0 1  0 0 0  [(e1e1 ) ∗∗ ] = 0 0 0 , [(e1e 2 )∗∗ ] = 0 0 0 , [(e1e 3 )∗∗ ] = 0 0 0 , [(e 2 e1 ) ∗∗ ] = 1 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 etc.. A matriz associada ao conjunto é a matriz unidade 9x9 cujo determinante é igual a um. Exercício 2: Comprovar que as mesmas matrizes acima indicadas são associadas às díades dos demais conjuntos {e* e*}, {e* e*}, {e* e*}. Comprovar, ainda, que qualquer conjunto de G<9 díades de qualquer um dos conjuntos constitui base de um 2EG. Decomposição cartesiana de diádico em base diádica. Fica também comprovado o seguinte Teor. 3: Se, num 2EG gerado do E3 (G≤9),φ é um diádico qualquer e {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } é uma base diádica qualquer, existe um e um único conjunto de G números Mi tal, que φ = M i ε i (i=1,2,...,G):

∀φ , {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } ∈ E 3 , ∃ M i ( i = 1,2, ..., G ) ∈ R, G ≤ 9 | φ = M i ε i

(04).

Pois φ , ε 1 , ε 2 , ..., ε G são G + 1 diádicos de um mesmo subespaço, logo, linearmente dependentes. Então, existem números nsn, A, N1, N2, ..., NG tais, que Aφ + N i ε i = Ο . A ≠ 0 porque, do contrário, seria Niεi = Ο e todos os Ni deveriam ser nulos também (posto que os ε's constituem uma base). Mas isso é impossível porque A e todos os Ni não podem ser simultaneamente nulos (eles são linearmente dependentes por hipótese). Logo,

II, § 10.02


§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

φ=−

227

Ni

ε i = M iε i . A Os números Mi são únicos porque se existissem outros, M'i, teríamos: i (M − M ′i )ε i = Ο Mas como os εi são linearmente independentes (formam uma base) a combinação implica que os coeficientes sejam todos nulos, isso é, Mi = M'i. Com outras palavras diríamos: Todo diádico de um 2EG pode ser representado como uma combinação linear única dos diádicos de uma base desse espaço. Definição: (coordenadas cartesianas) Os G números Mi, únicos, que, na base diádica {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } de um 2EG, determinam univocamente dado diádico do mesmo, são ditos as coordenadas cartesianas desse diádico naquela base diádica (do 2EG). A expressão φ = M i ε i é dita, então, a decomposição cartesiana do diádico φ na base

{ε 1 , ε 2 , ..., ε G } (do 2EG). Esses conceitos generalizam a noção de coordenadas cartesianas de um diádico, já definida no § 09, onde os "diádicos de base" eram as 9 díades e 1e 1 , e 1 e 2 , ... . Diádico posicional. Sem muito esforço podemos conceber "geometricamente", por abstração, "pontos no espaço diádico", cada ponto sendo definido por um "diádico posicional" em relação a uma origem fixa, diádico esse que, em rela