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Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

6

6.1 Rappel (fonctions trigonométriques) Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions dites élémentaires, les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont indispensables à l’étude des phénomènes périodiques. mesure d’angles

La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est un angle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotation d’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dont le côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le point θ d’origine est dit en position standard ou canonique. L’angle est positif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguilles figure 6.1.1 d’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans le sens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2). ’

θ

Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° est associé à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas le figure 6.1.2 segment de droite revient à sa position initiale après avoir fait une rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi le nombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur ellemême en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, il est essentiel d’utiliser une autre mesure, le radian. L’emploi du radian 360° comme mesure d’angles simplifie la dérivée des fonctions trigonométriques, de la même façon que la base e simplifie la dérivée des figure 6.1.3 fonctions exponentielles et logarithmiques. définition 6.1.1 On mesure un angle θ en radians en traçant le radian d’abord un cercle centré sur le sommet de lorsque r = 1, la mesure l’angle puis, on établit le rapport entre l’arc en radians de l’angle de cercle s qu’il sous-tend et le rayon r du AOB correspond à la cercle. L’unité «radian» est habituellement longueur de l’arc AB omise. secteur angulaire une révolution θ AA r

s

θ 2π ⇒

s = rθ

=

longueur de l’arc circonférence

=

s 2πr et

B O

1

s A

θ=

aire du secteur = aire du cercle =

A = 2 r2θ

θ r

A πr 2

s r


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

relation entre degrés et radians

Comme la circonférence d’un demi-cercle de rayon r est πr et que θ = s/r, un angle de 180° correspond à un angle en radians de s πr θ = r = r = π Par conséquent 180° = π radians .

exemple 6.1.1 Convertir 30° en radians. ____________ pour convertir des degrés en radians, on multiplie la mesure en π degrés par 180

Une simple règle de trois permet d’effectuer la conversion. Si θ est la quantité cherchée,  180° = π 30°× π π ⇒ θ = 180° = 6   30° = θ

exemple 6.1.2 Convertir π/4 radians en degrés ____________ pour convertir des radians en degrés, on multiplie la mesure en 180 radians par π

Si θ est la quantité cherchée,  180° = π   θ = π/4

θ =

π/4× 180° = 45° π

exemple 6.1.3 Calculer la longueur de l’arc de cercle de la figure 6.1.4. ____________ π/3

s=?

On a S = rθ (où θ est un angle en radians) = 6(π/3) = 2π (6,28) figure 6.1.4 r=6

définition 6.1.2 Soit θ un angle en position standard et P(x, y) un point situé à une les six rapports distance r de l’origine O sur le côté terminal de l’angle. trigonométriques

sinus:

tangente:

;

cosécante:

;

sécante:

;

cotangente:

r cosec θ = y r sec θ = x x cotg θ = y

nu té po hy

θ côté adjacent

André Lévesque

côté opposé

Si le point P(x, y) est dans le premier quadrant alors θ est un angle aigu d’un triangle rectangle. Dans un tel cas, on peut définir les six rapports trigonométriques de la manière suivante. se

O

cosinus:

P (x, y) r y θ x

y sin θ = r x cos θ = r y tg θ = x

côté opposé sin θ = hypoténuse côté adjacent cos θ = hypoténuse côté opposé tg θ = côté adjacent

; ; ;

6-2

hypoténuse cosec θ = côté opposé hypoténuse sec θ = côté adjacent côté adjacent cotg θ = côté opposé


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

les six fonctions trigonométriques

le cercle trigonométrique

Les six rapports trigonométriques permettent de définir six nouvelles fonctions: sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg), cotangente (cotg), sécante (sec) et cosécante (cosec). L’étude de ces fonctions est grandement simplifiée lorsqu’elle est faite à partir d’un cercle de rayon 1. On considère d’abord un cercle de rayon 1 centré à l’origine d’un plan cartésien que l’on nomme cercle trigonométrique. On trace un angle de θ radians ayant pour sommet le point (0, 0) et dont l’un des côtés repose sur l’axe positif des x. L’autre côté rencontre le cercle en un point (x, y). On appelle • sin θ la valeur de y, • cos θ la valeur de x, • tg θ la valeur de y/x,

r=

1

(cos θ, sin θ)

θ

(0, 0)

• cosec θ la valeur de 1/y, • sec θ la valeur de 1/x, • cotg θ la valeur de x/y.

exemple 6.1.4 Trouver sin (π/2) , cos(π/2) , tg(π/2) , cotg(π/2) , sec(π/2) et cosec(π/2). __________________________________

(0, 1)

L’angle de π/2 est associé au couple (x, y) = (0, 1) ;

π/2

⇒ sin(π/2) = 1 cos(π/2) = 0

; ;

tg(π/2) = 1/0 ( ∃/ ) ; cotg(π/2) = 0/1 = 0 ;

sec(π/2) = 1/0 ( ∃/ ) cosec(π/2) = 1/1 = 1

exemple 6.1.5 Si sin θ = 4/5 (0< θ<π/2), trouver cos θ , tg θ , cotg θ , sec θ , cosec θ __________________________________

côté opposé 4 sin θ = hypoténuse = 5 , par la relation de Pythagore on a côté adjacent = 5 4 θ

52 - 42 = 3

52 - 4 2  √

= 3

côté adjacent

3

hypoténuse 5 ; sec θ = côté adjacent = 3

⇒ cos θ = hypoténuse = 5 côté opposé 4 tg θ = côté adjacent = 3

hypoténuse 5 ; cosec θ = côté opposé = 4

côté adjacent 3 cotg θ = côté opposé = 4

Il est possible à l’aide de la géométrie élémentaire d’obtenir la valeur exacte de sin θ et de cos θ lorsque θ = π/6, θ = π/4 ou θ = π/3. (1/2, 3/2)

sin(π/6) = 1/2 cos(π/6) = √  3/2 ( 3/2,1/2)

André Lévesque

1

1

1

π/3

sin(π/4) =  √ 2/2 cos(π/4) = √  2/2 sin(π/3) =  √ 3/2 cos(π/3) = 1/2

π/4

( 2/2, 2/2)

π/6

angles remarquables

3/2

2/2

1/2 π/6

3/2

π/4

π/3

2/2

6-3

1/2


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

exemple 6.1.6 Trouver sin(π/6) , cos(π/6) , tg(π/6) , cosec(π/6). ____________

cotg(π/6) , sec(π/6) et

( 3/2, 1/2)

L’angle de π/6 est associé au couple (x, y) = (√  3/2, 1/2) ; ⇒

π/6

sin(π/6) = 1/2 cos(π/6) = √  3/2 tg(π/6) =

1/2 1 1 √ 3 3 = = = √ 3  3/2 √ √ 3 √ 3 √ 3

3/2 cotg(π/6) = √1/2 = √ 3 2 2 √ 3 2 3 1 = = = √ 3 3 3 3 3/2  √ √ √   √ 2 cosec(π/6) = 1 = 2

sec(π/6) =

II en est de même pour les angles associés à des couples symétriques sur le cercle trigonométrique.

π/2 (90°) → (0, 1)

π/3 (60°) → (1/2, 3/2)

2π/3 (120°) → (-1/2, 3/2)

π/4 (45°) → ( 2/2, 2/2)

3π/4 (135°) → (- 2/2, 2/2) 5π/6 (150°) → (- 3/2, 1/2)

π/6 (30°) → ( 3/2, 1/2)

(-,+)

(+,+)

π (180°) → (−1, 0)

0 (0°) → (1, 0)

(-,-)

(+,-) 11π/6 (330°) → ( 3/2, -1/2)

7π/6 (210°) → (- 3/2, -1/2)

7π/4 (315°) → ( 2/2, - 2/2)

5π/4 (225°) → (- 2/2, - 2/2)

5π/3 (300°) → (1/2, - 3/2)

4π/3 (240°) → (-1/2, - 3/2) 3π/2 (270°) → (0, -1)

André Lévesque

6-4


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

identités trigonométriques une fonction ƒ(x) est périodique de période p > 0 si ƒ(x + p) = ƒ(x) pour toute valeur de x (cos θ, sin θ)

θ −θ (cos θ, -sin θ)

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. 1. 2.

sin( θ ± 2kπ) = sin θ cos(θ ± 2kπ) = cosθ

(k est un nombre entier)

La fonction sinus est une fonction impaire tandis que la fonction cosinus est une fonction paire. 3. 4.

sin(- θ) = -sin θ cos(-θ) = cosθ

Deux identités fort utiles, sont les identités d’angles complémentaires et celles permettant les translations horizontales. 5. 6.

π

π 2

( ) = cos(θ - ) cos θ = sin( - θ) = sin(θ + ) sin θ = cos 2 - θ π 2

π 2

Plusieurs identités découlent directement de la définition 6.1.2. sin θ cos θ cos θ 11. cotg θ = sin θ

1 cos θ 1 8. cosecθ = sin θ 1 tg θ = 9. cotg θ 7.

r=

1

(cos θ, sin θ)

θ cos θ

sin θ

sec θ =

10.

tg θ =

En utilisant la relation de Pythagore sur la figure de gauche, on a 12. sin2 θ + cos2 θ = 1

Si on divise chaque membre de l’identité 12 par cos2 θ on obtient l’identité 13 et si on on divise chaque membre de l’identité 12 par sin2 θ on obtient l’identité 14, 13. tg2 θ + 1 = sec2 θ 14. 1 + cotg2 θ = cosec2 θ Les identités d’addition pour le sinus et le cosinus sont: mais attention! sin(θ1+θ2) ≠ sinθ1 + sinθ2 sin(θ1 -θ2) ≠ sinθ1 - sinθ2 cos( θ1+θ2) ≠ cosθ1 + cosθ2 cos( θ1 -θ2) ≠ cosθ1 - cosθ2

15. sin( θ1+θ2) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1 16. sin( θ1–θ2) = sin θ1 cos θ2 – sin θ2 cos θ1 17. cos(θ1+θ2) = cosθ1 cos θ2 – sin θ1 sin θ2 18. cos(θ1–θ2) = cosθ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2

André Lévesque

6-5


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

À partir des identités 15 et 17, on peut en déduire deux autres sur le sinus et le cosinus d’angles doubles. 19. sin 2θ = 2 sinθ cos θ 20. cos 2θ = cos 2 θ - sin2 θ En utilisant l’identité 12 dans la dernière, on obtient 1 - cos 2θ 2 1 + cos 2θ 22. cos2 θ = 2

21. sin2 θ =

résolution d’équations On résout une équation contenant une ou plusieurs fonctions trigonotrigonométriques métriques de la même façon que l’on résout les équations algébriques.

exemple 6.1.7 Résoudre l’équation sin 2x = sin x pour x ∈ [0, 2π[ . ____________ on s’assure d’abord que les arguments des fonctions trigonométriques sont les mêmes puis, si c’est possible, on transforme tout en sinus ou en cosinus

sin 2x 2 sin x cos x 2 sin x cos x - sinx (sin x)(2 cos x - 1) ⇒

= = = =

sin x sin x 0 0

sin x = 0

ou

(identité 19)

cos x = 21

Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a

sin x = 0

cos x = 21

 x → (1, 0) ⇒   x → (-1, 0) ⇒

  

x=π

x → (1/2, √ 3/2) ⇒ x → (1/2, -√ 3/2) ⇒

Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont

André Lévesque

x=0

6-6

x = 3π x = 5π 3

{ 0 ,π3 , π , 5π3 } .


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

exemple 6.1.8 Résoudre l’équation sin2 x - cos2 x + sin x = 0 pour x ∈ [0, 2π[ . ____________ sin2 x - cos2 x + sin x = 0 sin2 x - (1 - sin2 x) + sin x = 0 (identité 12) sin2 x - 1 + sin2 x + sin x = 0 2 sin2 x + sin x - 1 = 0 (2 sin x - 1)(sin x + 1) = 0 ⇒

1

sin x = 2

ou

sin x = -1

Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a

sin x = 1 ⇒ 2 sin x = -1 ⇒

  

x=6

x → (-√ 3/2, 1/2)

x= 6

x → (0, -1)

x= 2

Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont

exemple 6.1.9 Résoudre l’équation ____________

π

x → (√  3/2, 1/2)

{ 6π ,3π2 ,5π6 } .

cos2 x = sin2 x pour x ∈ [0, 2π[ .

il n’est pas toujours nécessaire de tout exprimer en sinus ou en cosinus

rép:

André Lévesque

6-7

{ 4π , 3π4 , 5π4 , 7π4 }


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

graphiques des fonctions trigonométriques

y

y 1

1

la fonction sinus est une fonction impaire de période 2π −3π/2 −π

−π/2

π/2

π

3π/2

la fonction cosinus est une fonction paire de période 2π

x

−3π/2 −π −π/2

π/2

−1

π

3π/2

x

−1

ƒ(x) = sin x

ƒ(x) = cos x

dom sin: R

ima sin: [-1, 1]

dom cos: R

ima cos: [-1, 1]

y

y

la fonction tangente est une fonction impaire de période π la fonction cotangente est une fonction impaire de période π

−3π/2 −π

−π/2

π/2

π

3π/2

x

−3π/2 −π

ƒ(x) = tg x ima tg: R

André Lévesque

3π/2

x

ima cotg: R

y

1

1 −3π/2 −π

π

dom cotg: R \ { 0 , ±π , ±2π ...}

y

la fonction cosécante est une fonction impaire de période 2π

π/2

ƒ(x) = cotg x

dom tg: R \ { ±π/2 , ±3π/2…}

la fonction sécante est une fonction paire de période 2π

−π/2

−π/2

π/2

π

3π/2

x

−1

−3π/2 −π

−π/2

π/2

π

3π/2

x

−1

ƒ(x) = sec x

ƒ(x) = cosec x

dom sec: R \ { ±π/2 , ±3π/2…} ima sec: ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

dom cosec: R \ { 0 , ±π , ±2π …} ima cosec: ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

6-8


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

L’importance des fonctions trigonométriques tient au fait qu’une grande majorité des phénomènes étudiés en sciences sont périodiques. Les ondes cérébrales ou les battements du coeur sont périodiques. Le courant électrique, le champ électromagnétique produit par un microonde, les mouvements des planètes, les saisons ou encore la température sont autant de phénomènes périodiques. On n’a qu’à penser à un phénomène et on a de fortes chances qu’il soit périodique. Même si tous ces phénomènes semblent totalement différents, ils ont un point en commun leur périodicité. Il a été démontré que « tout phénomène périodique quel qu’il soit peut être représenté comme une combinaison algébrique de fonctions sinus ou cosinus ». Par conséquent, une bonne compréhension des fonctions sinus et cosinus, permet de créer des modèles mathématiques pour tout phénomène à caractère périodique.

caractérisques du graphique du sinus lorsqu’on multiplie l’argument par une quantité supérieure à 1 ou inférieure à -1, la courbe se contracte

y

1

y = sin x

B > 1 ou B < -1

−3π/2

−π

y = sin(2x)

1

Si l’on multiplie l’argument de sin x par une quantité −π/2

la période de cette fonction diminue; elle devient

π/2

π

3π/2

x

−1

2π B

y

2 y = sin x

lorsqu’on multiplie l’argument par une fraction, la courbe s’allonge

-1 < B < 1

−3π/2

−π

y = sin(x/2)

1

Si l’on multiplie l’argument de sin x par une quantité −π/2

la période de cette fonction augmente; elle devient

π/2

π

3π/2

x

−1

2π B

y

3 y = sin x

l’amplitude correspond à la moitié de la différence entre le maximum et le minimum de la fonction

Si l’on multiplie sin x par une quantité A≠0 l’amplitude de cette fonction devient |A|.

−3π/2

−π

2 1

−π/2

π/2 −1 −2

André Lévesque

6-9

y = 2 sin x

π

3π/2

x


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

4 le déplacement horizontal (vers la droite ou vers la gauche) de la courbe du sinus détermine le déphasage de cette courbe

Si on soustrait une quantité C positive à l’argument du sinus, le graphique subit une translation horizontale de C unités vers la droite tandis que si on soustrait une quantité C négative à l’argument du sinus le graphique subit une translation horizontale de C unités vers la gauche.

y y = sin x

−3π/2

−π

1

−π/2 −1

y

5 Si on ajoute une quantité D positive à la fonction sin x, le graphique subit une translation verticale de D unités vers le haut tandis que si on ajoute une quantité D négative à la fonction sin x, le graphique subit une translation verticale de D unités vers le bas.

π/2

π

3π/2

x

y = sin(x+π /2)

2

y = sin x + 1

1

−3π/2

−π

−π/2

π/2 −1

π

3π/2

x

y = sin x

−2

y

En résumé

y = A sin B (x - C) + D D + |A|

en physique, tous les ƒ(x) = A sin B(x - C) + D mouvements vibratoires simples, telles les ondes correspond à une fonction électromagnétiques et les sinusoïdale cordes vibrantes, peuvent 2π la période est être représentés par des |B| sinusoïdes; on les utilise l’amplitude est |A| aussi pour représenter les mouvements oscillatoires le déphasage est C d’un pendule ou d’un ressort déplacement vertical de D

exemple 6.1.10

D

C + 2π x |B|

C D - |A|

(C > 0 et D > 0)

Tracer le graphique de ƒ(x) = 2 sin 3x. ____________________ y

période:

2π 2π = |3| 3

2

amplitude: |2| = 2

π/3

déphasage: aucun −2

déplacement vert.: aucun

André Lévesque

6-10

2π/3

x


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

exemple 6.1.11

Tracer le graphique de ƒ(x) = 31 sin x - π2 .

( )

____________________

période: amplitude: déphasage: déplacement vert.:

exemple 6.1.12

Tracer le graphique de ƒ(x) = cos(4x + π) + 1 .

____________________

période: les mêmes considérations s’appliquent à la fonction cosinus

exemple 6.1.13

amplitude: déphasage: déplacement vert.:

Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit la courbe ci-dessous. ____________________ y

période:

3

amplitude: π

déphasage: déplacement vert.:

−3

équation:

André Lévesque

6-11

x


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

L’exemple qui suit nous montre comment on peut utiliser la fonction sinus comme modèle pour approximer un phénomène concret. À partir de données expérimentales recueillies entre 1941 et 1970 sur la température moyenne de l’air (en degrés Fahrenheit) à Fairbanks en Alaska, 70

Tempé rature (°F)

60 50 40 30 20 10

-10 -20

la variable x représente le nombre de jours écoulés depuis le début de l’année ainsi le 31 janvier la température moyenne à Fairbanks en Alaska est 37 sin

[

]

2π (31 - 101) 365

+ 25

jan fév

mars

mai avril

juillet juin

sept nov jan mars fév août oct déc avril

on a utilisé la fonction 2π ƒ(x) = 37 sin  365 (x - 101) + 25   pour approximer le phénomène étudié.

= -9,6 °F

André Lévesque

6-12


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

Exercices 6.1 1. Convertir en radians la mesure d’angle donnée. a) b) c)

135° 15° -150°

d) e) f)

-240° 540° 1°

2. Evaluer si possible sans l’aide de votre calculatrice. a) b) c) d) e) f) g)

sin(π/3) cos(3π/2) tg(5π/6) sin(4π/3) sec(5π/4) tg(3π/4) cosec(π/3)

h) i) j) k) l) m) n)

tg(π/2) cotg π cotg(π/2) sec(5π/2) cosec π cosec(-π/4) sin(-2π/3)

o) p) q) r) s) t) u)

sec(-3π/4) cotg(-5π/4) cosec(7π/6) cotg(-2π/3) sin (5π) sin(-3π) tg(5π/4)

3. Soit un triangle rectangle en C. Les angles A, B et C sont opposés respectivement aux côtés a, b et c. Trouver a) c si a = 3 et b = 4, b) b si a = 1 et c = 3, c) sin A , cos B , tg A , sec B si a = 6 et b = 8, d) sin A , sin B , cotg A , cosec B si a = 2 et b = 2, e) a et b si c = 1 et A = π/6.

v) w) x) y) z)

tg(3π/2) cotg(5π) sec(9π/4) cosec(23π/6) tg(-25π/4)

B c

A

b

a C

4. A l’aide des identités trigonométriques montrer que a)

cos4 x - sin4 x = 1 - 2sin2 x

d)

(cos x + sin x)2 = 1 + sin 2x

b)

sec θ - cos θ = sin θ . tg θ 1 1 2 1 + sin u + 1 - sin u = 2 sec u

e)

cos 2x . cos x + sin 2x . sin x = cos x

f)

sec(π - x) = -sec x

c)

5. Résoudre pour x ∈ [0, 2π[ . a) b)

2 sin x - 1 = 0 sin x cos x = 0

f) g)

sin2 x - cos2 x + 3 sin x = 1 sin 2x + sin x = 0

c)

sin2 x + sin x - 2 = 0 3 4 cos x = cos x 2 cos2 x + sin x = 1

h)

tg x = 2 sin x

i)

2 cos2 x = sin 2x

j)

sin2 x - 3 cos2 x = 0

d) e)

André Lévesque

6-13


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

6. Tracer le graphique des fonctions suivantes sur une période. a)

y = sin 4 x

1

c)

b)

y = 4 sin(3x + 2π)

d)

( π) y = 3 sin(13 x + π5) 1

y = 4 cos 2x - 2

7. Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit les courbes suivantes. a)

d) y

y 2

5

x

−5

4π/3

b)

x

e) y

y 1

1/2

3π/4

π/3

x

−1

−1/2

c) y 2

π/4

5π/4

x

−−2

André Lévesque

6-14

x


6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

Réponses aux exercices 6.1 1. a) b) c)

3π/4 π/12 -5π/6

2. a) b) c) d) e) f) g)

√ 3/2  0 -√  3/3 -√  3/2 -√ 2 -1 2√  3/3

3. a)

5

5. a) b) c) d) e)

{ π/6 , 5π/6 } { 0 , π , π/2 , 3π/2 } { π/2 } { π/6 , 5π/6 , 7π/6 , 11π/6 } { π/2 , 7π/6 , 11π/6 }

h) ∃/ i) / ∃ j) 0 k) ∃/ l) ∃/ m) -√ 2 n) -√  3/2

d) e) f)

-4π/3 3π π/180

o) p) q) r) s) t) u)

-√ 2 -1 -2  3/3 √ 0 0 1

h) i) j) c)

y

y 1

1/4

π/4

x

−1

5π/4

x

27π/5

x

d) y

y

4

−2π/3

−π/3

3

−3π/5

x

y = 5 sin(x - π)

d)

( ) y = 2sin(2x - π2)

e)

y = sin 43 x

André Lévesque

12π/5

−3

−4

c)

3π/4

−1/4

b)

b)

1 √ 3 e) 2 , 2

{ π/6 , 5π/6 } g) { 0 , π , 2π/3 , 4π/3 } { 0 , π/3 , π , 5π/3 } { π/4 , π/2 , 5π/4 , 3π/2 } { π/3 , 2π/3, 4π/3, 5π/3 }

f)

6. a)

7. a)

2 √ 2 d) √2 , 2 , 1 , √ 2

c) 3 , 3 , 3 , 5 5 5 4 3

b) 2√ 2

v) ∃/ w) ∃/ x) √ 2 y) -2 z) -1

y = sin 32 x - 2π + 1 y = 21 sin(3x - π)

(

6-15

)


6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

6.2 Limites et continuité (fonctions trigonométriques) _ proposition 6.2.1 Si lim ƒ(x) = b ( a ∈R et b ∈R ) x→ a alors a) lim sin ƒ(x) = sin lim ƒ(x) = sin b, x→ a  x→ a b) lim cos ƒ(x) = cos lim ƒ(x) = cos b. x→ a  x→ a

exemple 6.2.1 prop. 6.2.1 et prop. 1.2.3

_ Évaluer chacune des limites si elles existent dans R . ____________ a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

lim sin x = sin lim x = sin 0 = 0, x→ 0 

x→ 0

lim cos x

x→ 0

lim cos(x + π)

x→ 0

(

)

1 cos2 x lim x→ 3π/4 2

lim sec(3r)

r→ -π

lim

x→ π/2+

lim

u→ π +

tg x

cosec u

(1)

lim sec x x→ - ∞

lim

θ→ 0

1 - cos θ √ 

rép: b) 1 ; c) -1 ; d)

André Lévesque

1 4

; e) -1 ; f)

6-16

-∞

; g) -∞ ; h) 1 ; i) 0


6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

les formes sin(±∞) et cos(± ∞ )

_ ( a ∈R )

Si lim ƒ(x) = ∞ ou lim ƒ(x) = -∞ x→ a x→ a lim sin ƒ(x) ∃/

alors

lim cos ƒ(x) ∃/ .

et

x→ a

x→ a

Dans chacun des cas les fonctions ne s’approchent d’aucune valeur précise, ils oscillent indéfiniment entre -1 et 1. _ exemple 6.2.2 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R . ____________

cos( ∞) ne s’approche d’aucune valeur précise

a)

b)

cos x = cos lim x  = cos ∞ ∃/ , x→ ∞ 

lim

x→ ∞

 sin x lim x→ - ∞  x  rép: b) 0

Pour obtenir la dérivée de y = sin x ou de y = cos x nous aurons à utiliser les deux limites suivantes: lim sin x x

lim cos x - 1 x

et

x→ 0

x→ 0

Penchons-nous d’abord sur le premier problème. lim

x→ 0

sin x 0 x = 0 IND.

Pour lever l’indétermination, on doit transformer l’expression. Il n’est pas possible présentement de procéder de cette façon étant donné la on doit s’assurer que la calculatrice est en mode nature de la fonction. Contentons-nous seulement d’estimer la limite radian en question en utilisant une calculatrice. En examinant les tableaux du bas, x sin x x

x sin x x

André Lévesque

1

0,5

0,1

0,84147 0,95885 0,99833

-1

-0,5

-0,1

0,84147 0,95885 0,99833

6-17

0,05

0,001

0,99958 0,99999

-0,05

-0,001

0,99958 0,99999


6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

on obtient lim sin x x x→ 0

sin x lim = 1 x→ 0+ x sin x lim x = 1 x→ 0

   

sin x lim x = 1 x→ 0

Si le tableau avait été complété en mode degré, on aurait obtenu une valeur limite de 0,01745... On verra à la section 3 que les dérivées des fonctions trigonométriques ont une forme beaucoup plus simple lorsque la limite précédente vaut 1 plutôt que 0,01745... Pour cette raison, le radian sera préféré au degré comme mesure d’angle dans le calcul différentiel. _ sin x exemple 6.2.3 Sachant que lim = 1 évaluer dans R x→ 0 x sin2x lim 2 . x→ 0 4x ____________ 2 lim sin x x→ 0 4x2

1 sin x sin x = 4  lim x . x   x→ 0  1 sin x sin x = 4  lim x   lim x   x→ 0   x→ 0  1 1 = 4 (1) (1) = 4

_ sin θ exemple 6.2.4 Sachant que lim = 1 évaluer dans R θ→ 0 θ 3sin θ - 5θ lim θ→ 0 2θ + sin θ ____________

3sin θ - 5θ lim = θ→ 0 2θ + sin θ sin θ

3 θ - 5   lim  θ→ 0  2 + sin θ   θ  rép: -

André Lévesque

6-18

2 3


6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

_ sin x exemple 6.2.5 Sachant que lim x = 1 évaluer dans R x→ 0 lim cos x - 1 x x→ 0 ____________ on multiplie le cos x - 1 . (cos x + 1) lim cos x - 1 numérateur et le = lim x x (cos x + 1) x→ 0 x→ 0 dénominateur par le conjugué de (cos x - 1)

sin 2x + cos 2x = 1 ⇒ cos2x - 1 = -sin2x

cos2x - 1 = lim x (cos x + 1) x→ 0 -sin2x = lim x (cos x + 1) x→ 0 sin x -sin x = lim  x   cos x + 1 x→ 0   

la limite d’un produit est égale au produit des limites si chacune des limites existe lim

x→ 0

[ ]=1 sin x x

sin x -sin x = lim  x  . lim  cos x + 1 x→ 0  x → 0    = =

0 1 . 2 0

_ sin x exemple 6.2.6 Sachant que lim x = 1 évaluer dans R x→ 0 x sin x lim . x→ 0 1 - cos x ____________

rép: 2

André Lévesque

6-19


6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

proposition 6.2.2 Si g(x) est continue sur l’intervalle ouvert I alors la fonction sin x et cos x sont deux a) ƒ(x) = sin g(x) est continue sur I, fonctions continues sur R b) ƒ(x) = cos g(x) est continue sur I.

exemple 6.2.7

Étudier la continuité de ƒ(x) = cos√ 1 - x sur ]0, 2π[. ____________ continue sur ] -∞, 1[ (forme irrationnelle)

678

ƒ(x) = cos 1 - x 14444244443 la fonction ƒ(x) est donc continue sur ]-∞, 1[ (prop. 6.2.2)

La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.

exemple 6.2.8 Étudier la continuité de ƒ(x) = tg x sur ]0, 2π[. ____________ la fonction sinus est continue sur R (prop. 6.2.2) 678

ƒ(x) = tan x =

sin x cos x

123 la fonction cosinus est continue sur R (prop. 6.2.2) 14444444244444443 la fonction ƒ(x) est donc continue surR (l'intersection des deux réponses du haut) sauf pour les valeurs qui annulent le dénominateur c'est-à-dire sauf pour { ±π/2, ±3π/2, ... } (prop.2.2.3)

La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.

1 exemple 6.2.9 Étudier la continuité de ƒ(x) = sin x - cos x ____________

sur ]0, 2π[.

rép: la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle présente deux discontinuités une en x = π/4 et une en x = 5π/4)

André Lévesque

6-20


6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

exemple 6.2.10 Étudier la continuité de ƒ(x) = √ 2 sin x + 3 sur ]0, 2π[. ____________

rép: la fonction est continue sur ]0, 2π[

André Lévesque

6-21


6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

Exercices 6.2 _ 1. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R. a)

lim (3x + 2) cos πx x→ 1

n)

cos x - 2 lim  1 - cos x   x→ 0

b)

lim sec 2x x→ π/3

o)

lim x→ 0

3 sin x 4x

c)

lim sin2 x 8- π x→ -π

p)

lim x→ 0

tg2 x x2

d)

lim (tg x - sec x) x→ π

q)

lim x→ 0

sin 2x x

e)

lim cosec2 x x→ 0

r)

cos2 x - 1 lim  x sin x   x→ 0 

f)

lim sec x x→ π/2-

s)

x - sin x lim  x  x→ 0 

g)

lim cotg x x→ π-

t)

x - sin x lim  x  x→ ∞ 

h)

lim cosec x x→ π+

u)

x + tg x lim  sin x   x→ 0 

i)

lim cotg 1x x→ ∞

()

v)

sin x  lim  2 x→ 0  x + 3x

j)

lim x→ ∞

k)

x lim sin x x→ ∞

x)

sin2 x lim  1 - cos x  x→ 0 

l)

sin x lim x→ - ∞ x

y)

lim x→ 0

(1 + cos x) sin2 x 3x2

m) lim √ sin x - 1 x→ π/2

z)

lim

(cosec x - cotg x)

( )

André Lévesque

(1x + sin x)

cos x - 1 w) lim  5x sin x   x→ 0 

x→ 0

6-22


6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

2. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur ]0, 2π[. a)

ƒ(x) = x + sin x

d)

cotg x h(x) = 1 + 2 sin x

b)

g(x) =

1 - cos x sin x

e)

ƒ(x) = √ cos x 

c)

ƒ(x) = sec x + tg x

f)

1 - sin x  ƒ(x) = √ cos x + 2

André Lévesque

6-23


6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

Réponses aux exercices 6.2 1. a) b) c) d)

-5 -2 1/2 1

n) o) p) q)

-∞ 3/4 1 2

e)

r)

-1

s)

0

t)

1

u)

2

i)

∞ ∞ -∞ -∞ ∞

v)

1/3

j)

∃/

w) -1/10

k) l)

∃/ 0

x) y)

2 2/3

m)

∃/

z)

0

f) g) h)

2. a) la fonction est continue sur ]0, 2π[. b) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π). c) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π/2 et x = 3π/2). d) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π , x = 7π/6 et x = 11π/6). e) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est continue sur ]0, π/2[ ∪ ]3π/2, 2π[ ). f) la fonction est continue sur ]0, 2π[.

André Lévesque

6-24


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

6.3 Dérivée (fonctions trigonométriques) proposition 6.3.1

par définition

sin(x + ∆x) = sin x cos ∆x + sin ∆x cos x

d dx sin x = cos x d sin(x + ∆x) - sin x lim dx sin x = ∆x ∆x →0 0 = 0 IND. (sin x cos ∆x + sin ∆x cos x) - sin x = lim ∆x ∆x→ 0 (sin x cos ∆x - sin x) + sin ∆x cos x = lim ∆x ∆x→ 0 = lim ∆x→ 0

la limite d’une somme est égale à la somme des limites et la limite d’un produit est égale au produit des limites * les deux limites ont été évaluées à la section précédente

sin x (cos ∆x - 1) + sin ∆x cos x ∆x

= lim  sin x   ∆x→ 0 

cos ∆x - 1 sin ∆x +  ∆x  cos x  ∆x    

cos ∆x - 1 sin ∆x = lim sin x . lim  + lim  ∆x  . lim cos x ∆x  ∆x→ 0  ∆x→ 0 ∆x→ 0 ∆x→ 0 = sin x . (0)* + (1)* . cos x = cos x

ƒ(x) = sin x

La dérivée de la fonction sinus en x = c correspond à l’image de la fonction cosinus en x = c.

-3π/2

-π/2

π

3π/2

-

Si ƒ(x) = sin x alors ƒ’(-π) = cos(-π) = -1, ƒ’(-π/2) = cos(-π/2) = 0, ƒ’(0) = cos 0 = 1, ƒ’(π) = cos π = -1, etc.

ƒ'(x) = cos x

-3π/2

André Lévesque

π/2

6-25

-π/2

π/2

π

3π/2


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

proposition 6.3.2

d dx cos x = -sin x

démonstration

d sin x exemple 6.3.1 Trouver dx  1 - cos x .   ____________ toutes les formules de dérivation déjà vues s’appliquent ainsi que les deux nouvelles règles: d sin x = cos x dx d cos x = -sin x dx

cos x 678

d d sin x - sin x dx (1 - cos x) d  sin x  (1 - cos x) dx = dx  1 - cos x (1 - cos x)2 =

(1 - cos x) cos x - sin x sin x (1 - cos x)2

=

cos x - cos2 x - sin2 x (1 - cos x)2

=

cos x - 1 (1 - cos x)2

=

- (1 - cos x) (1 - cos x)2

-1 = (1 - cos x)

André Lévesque

sin x 64748

ou

6-26

1 cos x - 1


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

proposition 6.3.3

démonstration

d 2 dx tg x = sec x d dx tg x

d sin x = dx  cos x   cos x 678

= sin 2 x + cos2 x = 1

-sin x 678

d d cos x . dx sin x - sin x . dx cos x cos2 x

cos2 x + sin2 x cos2 x 1 = ou sec2 x cos2 x =

1 = sec x cos x

proposition 6.3.4

d 2 dx cotg x = - cosec x

démonstration

proposition 6.3.5

d dx sec x = sec x tg x

démonstration

André Lévesque

6-27


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

proposition 6.3.6

d dx cosec x = - cosec x cotg x

démonstration

d  tg2 θ  . dθ  2  ____________

exemple 6.3.2 Trouver

sec2 θ 678 d tg θ dθ 64748

2 (tg θ)

d  tg2 θ  dθ  2 

1 d = 2 (tg θ )2 dθ 1 = 2 (2 tg θ sec2 θ) = tg θ sec2 θ

Lorsque l’argument est composé on aura recours à la règle de dérivation en chaîne. d exemple 6.3.3 Trouver dx sin 2x ____________  y = sin u y = sin 2x est le résultat de la composition de   u = 2x dy dy du Par la règle de dérivation en chaîne, dx = du . dx d d d ⇒ dx sin 2x = du sin u . dx 2x = cos u . (2) puisque u = 2x

André Lévesque

= 2 cos 2x

6-28


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

De la même façon on obtient les formules générales des 6 fonctions trigonométriques. règle 14 règle 15 règle 16 règle 17 règle 18 règle 19

d dx d dx d dx d dx d dx d dx

d sin ƒ(x) = cos ƒ(x) . dx ƒ(x) d cos ƒ(x) = - sin ƒ(x) . dx ƒ(x) d tg ƒ(x) = sec2 ƒ(x) . dx ƒ(x) d cotg ƒ(x) = - cosec2 ƒ(x) . dx ƒ(x) d sec ƒ(x) = sec ƒ(x) tg ƒ(x) . dx ƒ(x) d cosec ƒ(x) = - cosec ƒ(x) cotg ƒ(x) . dx ƒ(x)

d exemple 6.3.4 Trouver dx sin (3x2 + 5) . ____________ 6x 6447448 par la règle 14

d d 2 2 2 dx sin (3x + 5) = cos(3x + 5) . dx (3x + 5) = 6x cos(3x2 + 5)

d 3 exemple 6.3.5 Trouver dx tg (5 - 2x) . ____________ -2 678 d (5 - 2x) dx 6447448

3(5 - 2x)2 par la règle 16

d d 3 3 3 2 dx tg (5 - 2x) = sec (5 - 2x) . dx (5 - 2x) = - 6 (5 - 2x)2 sec2(5 - 2x)3

d exemple 6.3.6 Trouver dt sec4 (5 - 2t) . ____________

rép: -8 sec4(5 - 2t) tg(5 - 2t)

André Lévesque

6-29


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

d exemple 6.3.7 Trouver dv cos4 (5 - 2v)3 . ____________

rép: 24(5 - 2v) 2 sin(5 - 2v) 3 cos3(5 - 2v)3

d39 exemple 6.3.8 Trouver dx39 sin x . ____________

rép: - cos x

dy exemple 6.3.9 Trouver dx si ____________

sin2 y = y - cos x. sin2 y = y - cos x

on trouve y’ implicitement

(sin y)2 = y - cos x dy dx 678

cos y

d dy 2 sin y dx sin y = dx - (- sin x) dy dy 2 sin y cos y dx = dx + sin x dy dy 2 sin y cos y dx dx = sin x dy dx (2 sin y cos y - 1) = sin x dy sin x sin x dx = 2sin y cos y - 1 ou sin 2y - 1

André Lévesque

6-30


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

Exercices 6.3 dy 1. Trouver dx . a)

y = sin 3x

n)

3x2 + 1 y = cotg  √

b)

y = cos(1 - 2x)

o)

y =

c)

y = 3 sin x2

p)

y = sec3(2x - 1)2

d)

y = cos3(4x - 1)

q)

sec x y = cosec x

e)

y =

sin2(1 - 3x)3 18

r)

y =

f)

y = 4√ sin √ x 

s)

y = 2x sin x + 2 cos x - x 2 cos x

g)

y = sin2(cos 2x)

t)

y = 2 sin 2x cos x - cos 2x sin x

h)

y = sin x - x cos x

u)

cos x y = 1 + sin x

i)

y = (cos x + 2x sin x) 3

v)

y =

j)

y = sec 3x

w) y =

k)

y = 2 tg √ x

x)

y = cotg4 x - cosec4 x

l)

y = cosec2 5x

y)

y = x cos2 x sin3 x

z)

sin x - x cos x y = cos x + x sin x

m) y =

sec3 2x 3

cosec x2  √

sec7 x sec5 x 7 - 5

cos2 x 1 + sin2 x 1 - sin x  √

1 + sin x

2. Trouver y’. a)

y = e2 sin 5x

d)

y = ln|cosec 2x - cotg 2x|

b)

y = sec e3x

e)

y = ln(cos2 e3x)

c)

y = ln|sec x|

André Lévesque

6-31


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

d2y 3. Trouver dx2 . a) y = (1 + cos x) sin x

c) y = 3x2 sin x - 6 sin x - x3 cos x + 6x cos x

b) y = cos2 2x - sin2 2x

4. Trouver a)

d36 sin x dx36

b)

d61 cos x dx61

c)

x cos y = sin(x + y)

dy 5. Trouver dx implicitement. a)

x sin x + y cos y = 0

b)

cos 3y = tg 2x

dy 6. Trouver dx en utilisant le procédé de dérivation logarithmique. a)

y =

André Lévesque

x sin3 x 1 + sec2 x  √

b)

y = (sin x)x (sin x > 0)

6-32


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

Réponses aux exercices 6.3 1. a)

3x2 + 1 3x cosec2  √

3 cos 3x

n)

-

b)

2 sin(1 - 2x)

o)

- x cotg x2  cosec x2 √

c)

6x cos x2

p)

12(2x - 1) sec3(2x - 1)2 tg(2x - 1)2

d)

-12 sin(4x - 1) cos2(4x - 1)

q)

sec2 x

e)

- (1 - 3x)2 sin(1 - 3x)3 cos(1 - 3x)3

r)

sec5 x tg3 x

cos √ x

3x2 + 1 √ 

s)

x2 sin x

g)

x sin √ x  √ -4 sin 2x sin(cos 2x) cos(cos 2x)

t)

3 cos x cos 2x

h)

x sin x

u)

i)

3(sin x + 2x cos x) (cos x + 2x sin x)2

v)

j)

3 sec 3x tg 3x

w)

1 + sin x  √

k)

sec2 √ x x √

x)

4 cotg x cosec2 x

l)

-10 cotg 5x cosec2 5x

y)

sin2 x cos x (sin x cos x - 2x sin2 x + 3x cos2 x )

m)

2 sec3 2x tg 2x

z)

x2 (cos x + x sin x)2

10 e2 sin 5x cos 5x

d)

2 cosec 2x

b)

3 e3x sec(e3x) tg(e3x)

e)

-6 e3x tg(e3x)

c)

tg x

c)

x2(3 sin x + x cos x)

b)

- sin x

f)

2. a)

3. a) b)

4. a)

- (4 cos x + 1) sin x

-1 1 + sin x 4 sin x cos x (1 + sin2 x)2 1 - sin x

-16 cos 4x ou -16(cos2 2x - sin2 2x)

sin x

André Lévesque

6-33

cos x (1 - sin x)2


6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

5. a) b)

6. a) b)

sin x + x cos x y sin y - cos y

c)

cos y - cos(x + y) x sin y + cos(x + y)

2 sec2 2x - 3 sin 3y x sin3 x

2  1 + 3 cotg x - sec x tg x  x 1 + sec2 x  1 + sec2 x   √

(sin x)x [ln(sin x) + x cotg x]

André Lévesque

6-34


6.4 applications (fonctions trigonométriques)

6.4 Applications (fonctions trigonométriques) exemple 6.4.1 Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = 3x - 4 sin x + sin 2x sur l’intervalle [0, 2π]. ____________ a) dom ƒ = [0, 2π], la fonction est continue sur R

b) ƒ est continue sur [0, 2π], c) sans intérêt puisque l’étude porte seulement sur [0, 2π],

les asymptotes horizontales et obliques sont sans intérêt lorsque l’étude porte sur [0,2π]

d) asymptote verticale: aucune puisque la fonction ne possède pas de point de discontinuité sur [0, 2π], e) ƒ’(x) = (2 cos x - 1)

0 si x = π/3, 5π/3  =  ∃/ aucune valeur

2

⇒ n.c.: { π/3, 5π/3 } 0 si x = 0, π/3, π, 5π/3, 2π  =  ∃/ aucune valeur

ƒ’’(x) = 4 sin x (1 - 2 cos x) ⇒ n.t.: { 0, π/3, π, 5π/3, 2π } f) tableau de variation de la fonction. x

π/3 0 0

0

ƒ ’(x) ƒ ’’(x)

+ -

π + 0

+ +

5π/3 0 0

+ -

2π + +

ƒ(x) 0

PI: (0,54)

PI: (9,42)

PI: (18,31)

18,85

Graphique de la fonction y

(5π/3; 18,31)

18 16 14 12 10

(π; 9,42)

8 6 4 2

(π/3; 0,54) π/3

André Lévesque

2π/3

π

6-35

4π/3

5π/3

x


6.4 applications (fonctions trigonométriques)

exemple 6.4.2 Un triangle a deux côtés de 4 cm de longueur. a) Quelle doit être la mesure de l’angle θ déterminé par ces deux côtés pour que l’aire du triangle soit maximale? b) Quelle est l’aire maximale? ____________ • Représentation graphique et identification des variables.

4

Soit

cm

θ : l’angle (en radians) déterminé par les deux côtés de 4 cm, h: la hauteur du triangle (en cm)

h

θ

4 cm

• Quantité à optimiser. 4h Soit A l’aire du triangle: A = 2 = 2h. h Étant donné que sin θ = 4 alors

h = 4 sin θ

et par conséquent

A = 2(4 sin θ)

⇒ dans un triangle tout angle est compris entre 0° et 180°

A = 8 sin θ

• Domaine et étude de continuité. • dom A = ]0, π[ , • A est continue sur ]0, π[ (sin θ est continue sur R). • Extremums absolus.  0 si θ = π/2 A’ = 8 cos θ =   ∃/ aucune valeur θ

π/2

0

A’

⇒ n.c.: { π/2 }

+

0

π

-

MAX ABSOLU (8)

A 0

0

• Réponse du problème. L’aire maximale est 8 cm2 lorsque l’angle θ est 90°.

André Lévesque

6-36


6.4 applications (fonctions trigonométriques)

Exercices 6.4 1. Calculer la pente de la tangente à chacune des fonctions pour les valeurs suivantes: π x=0 ; x = 2 ; x = -π a) ƒ(x) = sin 3x b)

x g(x) = cos 2  

c)

h(x) = cos 3x - 3 sin x.

2. Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums relatifs de chacune des fonctions sur l’intervalle indiqué. a) ƒ(x) = - (sin x + cos x) sur ]0, 2π[ b) g(x) = sin2 x - cos x c) h(x) =

sin3 x + cos3 x 3

sur ]0, 2π[ sur ]0, π[ .

3. Pour chacune des fonctions, déterminer sur l’intervalle indiqué: • pour quelles valeurs la fonction est continue, • les asymptotes verticales de la fonction, • ƒ’(x) et les nombres critiques de la fonction, • ƒ’’(x) et les nombres de transition de la fonction, • le tableau de variation de la fonction, • le graphique de la fonction. x a) ƒ(x) = sin x - 2 sur [0, 2π] b) g(x) = x + cos x

sur [0, 2π]

c) h(x) = 4 sin2 x

sur [0, π]

(

4. L’équation s(t) = 10 sin 5t par rapport à un point fixe O. a) b) c) d) e)

π 4

)

décrit la position (en cm) d’une particule après t secondes

Représenter graphiquement ce mouvement sur une période. Déterminer la vitesse et l’accélération de la particule au temps t. Quelle est la position, la vitesse et l’accélération initiale de la particule. Est-ce que la particule se rapproche ou s’éloigne du point O au temps t = 0 ? La particule accélère-t-elle ou décélère-t-elle au temps t = 0 ?

André Lévesque

6-37


6.4 applications (fonctions trigonométriques)

5. Après t secondes, la hauteur atteinte par un objet en mouvement oscillatoire est donnée par l’équation y = a cos t + b sin t + 5 centimètres Si au temps t = 0 s, la hauteur de l’objet est y = 6 cm et sa vitesse est v = 3 cm/s alors trouver a) b)

a et b, l’accélération initiale de l’objet.

6. Un golfeur frappe une balle avec une vitesse initiale Vo = 30 m/s. En négligeant la résistance de l’air, la portée R en mètres de la balle frappée à un angle θ du plan horizontal est donnée par θ

V 2 sin 2θ R = o où g = 9,8 m/s2 g

R

a) Calculer la portée pour θ = 30° puis pour θ = 40°. b) Déterminer l’angle θ pour lequel la portée R sera maximale. c) Si la balle est frappée par le golfeur avec l’angle obtenu en b), calculer la distance horizontale R parcourue par celle-ci.

7. Soit un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 5 cm. a) Déterminer la valeur de l’angle θ qui maximise l’aire du triangle. b) Quelle est cette aire maximale?

8. Trouver la valeur de l’angle θ pour que l’aire du trapèze de la figure de droite soit maximale. Trouver cette aire maximale. aire du trapèze =

5

cm

θ

θ

θ

1m

1m

(grande base + petite base) hauteur 2

1m

y

9. Un poids suspendu à l’extrémité d’un ressort décrit un mouvement de va-et-vient de telle façon que sa position y (en cm) par rapport à un point fixe O après t secondes est représentée par le graphique cicontre.

2

Au temps t = 18 secondes, a) b) c) d)

2π 3 t

quelle est la position du poids ? quelle est la vitesse du poids ? quelle est l’accélération du poids ? le poids accélère ou décélère ?

André Lévesque

-2

6-38


6.4 applications (fonctions trigonométriques)

Réponses aux exercices 6.4 0

-3

1 2

a)

2.

a) croissante sur décroissante sur minimum relatif maximum relatif

]π/4, 5π/4[ ]0, π/4[ ∪ ]5π/4, 2π[ (π/4, -√ 2) (5π/4, √ 2)

b) croissante sur décroissante sur minimum relatif maximums relatifs

]0, 2π/3[ ∪ ]π, 4π/3[ ]2π/3, π[ ∪ ]4π/3, 2π[ (π, 1) (2π/3, 5/4) , (4π/3, 5/4)

3. a)

3

2 √

1.

b)

0

-

ƒ’(x) = cos x - 1/2 ; ƒ’’(x) = - sin x

4

b)

y

c)

-3

3

c) croissante sur décroissante sur minimum relatif maximum relatif

3 ]π/4, π/2[ ]0, π/4[ ∪ ]π/2, π[ (π/4, √ 2/6) (π/2, 1/3)

ƒ’(x) = 1 - sin x ; ƒ’’(x) = - cos x y

(π/3; 0,34)

(2π; 7,28)

7

π/3

π

5π/3

x 5

(3π/2; 4,71)

−1 (π; −1,57)

3

−2

(π/2; 1,57) −3

(2π, -π)

1

(5π/3; −3,48)

c)

π/2

ƒ’(x) = 8 sin x cos x ou 4 sin 2x ; ƒ’’(x) = 8(cos2 x - sin2 x) ou 8 cos 2x y (π/2; 4)

4 3

2

(π/4; 2)

(3π/4; 2)

1

π/4

André Lévesque

π/2

3π/4

(0; 1)

x

6-39

π

3π/2

x


6.4 applications (fonctions trigonométriques)

4

a)

10

π/20

π/4

9π/20

-10

b) c) d) e)

s(t) = 10 sin(5t - π/4) ; v(t) = 50 cos(5t - π/4) ; a(t) = -250 sin(5t - π/4) position initiale: -5√ 2 cm ; vitesse initiale: 25√ 2 cm/s ; accélération initiale: 125√ 2 cm/s2 se rapproche du point fixe O (car la position et la vitesse sont de signe contraire) accélère (car la vitesse et l’accélération initiale sont du même signe)

5.

a) b)

a = 1 et b = 3 -1 cm/s2 (à ce moment la vitesse diminue et la hauteur augmente)

6.

a) b) c)

Lorsque l’angle est de 30°, la portée est 79,5 m, lorsque l’angle est de 40°, la portée est 90,4 m, 45° 91,8 m

7.

a) b)

45° 6,25 cm2

8.

a) b)

60° 3√  3 m2 4

a) b) c) d)

1 cm -3√  3 cm/s -9 cm/s2 il accélère puisque v et a sont de même signe

9.

André Lévesque

6-40


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

6.5 Rappel (fonctions trigonométriques inverses) Il arrive souvent que l’on doive trouver la mesure d’un angle à partir d’une équation trigonométrique. Par exemple sin x = 1/2 possède plusieurs solutions.

l’ensemble des solutions de sin x = 1/2 correspond à

{

π/6 + 2πn 5π/6 + 2πn

sin x = 1/2

 x → (√  3/2, 1/2)   x → (-√ 3/2, 1/2)

x = π/6

x = 5π/6

Cette fonction étant périodique de période de 2π, les angles 13π/6, 17π/6, ... ou -7π/6, -11π/6, ... sont autant de solutions possibles. y

où n ∈ Z

1/2

−11π/6 −7π/6

π/6

5π/6

x

figure 6.5.1

En principe, ces fonctions ne peuvent pas avoir de réciproque qui soit fonctionnelle. En pratique toutefois on peut remédier à cet inconvénient en limitant leur domaine. Soit Sin la fonction définie par l’équation. -π/2 ≤ x ≤ π/2

y = sin x, la courbe en trait continu correspond au graphique de la fonction Sin tandis que la courbe en pointillés fait partie du graphique de la fonction sin

y

−π/2

π/2

x

figure 6.5.2 * une relation est biunivoque si tout élément du domaine est associé à un et un seul élément de l’image et réciproquement tout élément de l’image est associé à un et un seul élément du domaine

André Lévesque

Ainsi définie cette fonction est biunivoque* . Par conséquent elle possède une réciproque fonctionnelle que l’on appelle Arc Sin

ou

Sin-1

Pour éviter toute confusion avec (sin x)-1 (l’inverse multiplicatif de sin x), on utilisera la notation Arc Sin plutôt que Sin-1. Il en sera de même pour les autres fonctions trigonométriques. 6-41


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

définition 6.5.1 La fonction Arc Sin est définie par l’équation Arc Sin

pourquoi utilise-t-on le nom Arc Sin ?

 sin y = x y = arcsin x ⇔   -π/2 ≤ y ≤ π/2

Quand on cherche à évaluer arcsin 1/2, on cherche à trouver la longueur de l’arc d’un cercle de rayon unitaire dont le sinus vaut 1/2. Puisque par définition la réponse doit se situer dans l’intervalle [-π/2, π/2], on obtient arcsin 1/2 = π/6. La longueur de l’arc de cercle demandée est donc π/6 ou 0,52. On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis, les comparer avec les points du graphique de la fonction Arc Sin.

on retient que la fonction Arc Sin a pour domaine l’intervalle [-1, 1]

et pour image, l’intervalle [-π/2, π/2] (un angle de la région hachurée)

y

x

arc sin x

1 3/2 (0.87) 2/2 (0,71) 1/2 0 -1/2 - 2/2 (-0,71) - 3/2 (-0,87) -1

π/2

π/2

π/3 π/4

−1

π/6

0 -π/6 -π/4 -π/3 -π/2

1 −π/2

• dom Arc Sin = [-1, 1] • ima Arc Sin = [-π/2, π/2]

exemple 6.5.1 Évaluer a) sin(arcsin √  2/2), b) arcsin(sin (-π/3)). ____________ a) sin(arcsin √  2/2) = sin(π/4) = √ 2/2, b) arcsin(sin (-π/3)) = arcsin(-√  3/2) = -π/3.

D’une façon générale  sin(arcsin x) = x   arcsin(sin y) = y

André Lévesque

si

x ∈ [-1, 1]

si

y ∈ [-π/2, π/2]

6-42

x


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

En procédant de la même façon définissons maintenant la fonction Arc Cos. Restreignons d’abord le domaine de la fonction cosinus de façon à obtenir une fonction biunivoque. Soit Cos la fonction définie par l’équation y = cos x, 0 ≤ x ≤ π. y

π/2

π

x

figure 6.5.3

La fonction Cos possède une réciproque fonctionnelle que l’on appelle Arc Cos ou Cos-1 définition 6.5.2 La fonction Arc Cos est définie par l’équation Arc Cos

 cos y = x y = arccos x ⇔   0≤y≤π

On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis, les comparer avec les points du graphique de la fonction Arc Cos. on retient que la fonction Arc Cos a pour domaine l’intervalle [-1, 1]

et pour image, l’intervalle [0, π] (un angle de la région hachurée)

y

x

arccos x

1 3/2 (0.87) 2/2 (0,71) 1/2 0 -1/2 - 2/2 (-0,71) - 3/2 (-0,87) -1

0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

De plus on a

André Lévesque

π

π/2

−1

1

• dom Arc Cos = [-1, 1] • ima Arc Cos = [0, π]

 cos(arccos x) = x   arccos(cos y) = y

6-43

si

x ∈ [-1, 1]

si

y ∈ [0, π]

x


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

La fonction Arc Tg est la réciproque de la fonction Tangente définie par l’équation y = tg x, -π/2 < x < π/2 . y

−π/2

π/2

x

figure 6.5.4

La fonction Tg possède une réciproque fonctionnelle que l’on appelle Arc Tg ou Tg-1 définition 6.5.3 La fonction Arc Tg est définie par l’équation Arc Tg

 tg y = x y = arctg x ⇔   -π/2 < y < π/2 On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis, les comparer avec les points du graphique de la fonction Arc Tg.

on retient que la fonction Arc Tg a pour domaine R

et pour image, l’intervalle ]-π/2, π/2[ (un angle de la région hachurée)

y

x

arctg x

3 (1,73) 1 1/ 3 (0,57) 0 -1/ 3 (0,57) -1 - 3 (-1,73)

π/3

π/2

π/4 π/6

x

0 -π/6 -π/4 -π/3

−π/2

• dom Arc Tg = R • ima Arc Tg = ]-π/2, π/2[

De plus on a

 tg(arctg x) = x   arctg(tg y) = y

si

x∈R

si

y ∈ ]-π/2, π/2[

Les trois dernières fonctions trigonométriques inverses sont définies d’une façon analogue.

André Lévesque

6-44


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

définition 6.5.4 La fonction Arc Cotg est définie par l’équation Arc Cotg

 cotg y = x y = arccotg x ⇔   0<y<π y

on retient que la fonction Arc Cotg a pour domaine R

π

π/2

x

et pour image, l’intervalle ]0, π[ (un angle de la région hachurée)

• dom Arc Cotg = R • ima Arc Cotg = ]0, π[

De plus on a

 cotg(arccotg x) = x   arccotg(cotg y) = y

si

x∈R

si

y ∈ ]0, π[

définition 6.5.5 La fonction Arc Sec est définie par l’équation Arc Sec

sec y = x  y = arcsec x ⇔   -π ≤ y < -π/2 ou 0 ≤ y < π/2 y

on retient que la fonction Arc Sec a pour domaine ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

π/2

−1

1

x

−π/2 −π

et pour image, [-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[ (un angle de la région hachurée)

• dom Arc Sec = ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[ • ima Arc Sec = [-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[

De plus on a

André Lévesque

 sec(arcsec x) = x   arcsec(sec y) = y 6-45

si

x ∈ ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

si

y ∈ [-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

définition 6.5.6 La fonction Arc Cosec est définie par l’équation Arc Cosec

cosec y = x  y = arccosec x ⇔   -π < y ≤ -π/2 ou 0 < y ≤ π/2 y

on retient que la fonction Arc Cosec a pour domaine

π/2

]-∞, -1] ∪ [1, ∞[ −1

1

x

−π/2

−π

et pour image, l’intervalle ]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2] (un angle de la région hachurée)

• dom Arc Cosec = ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[ • ima Arc Cosec = ]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2]

De plus on a

 cosec(arccosec x) = x si x ∈ ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[   arccosec(cosec y) = y si y ∈ ]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2]

exemple 6.5.2 Évaluer (sans l’aide de votre calculatrice) a) arccotg 1, b) arccotg (-1), c) arcsec √ 2, d) arcsec (-√  2), e) arccosec 2, f) arccosec (-2), g) sin(arcsec (-1)), h) cotg(arccotg 3),

André Lévesque

6-46


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

L’évaluation des fonctions trigonométriques inverses s’effectue rapidement pour certaines valeurs de l’argument mais en général, on doit utiliser une calculatrice. Les calculatrices scientifiques permettent l’évaluation des fonctions Arcsin, Arccos et Arctg. Pour les trois dernières fonctions on utilise les identités suivantes.

l’identité 2 est de loin la plus utile

1)

π arccotg x = 2 - arctg x

2)

  

3)

arcsec x =

arccosec x =

( 1)

-arccos x

()

arccos 1x

  

∨ – x ∈ R, si x ≤ -1 si x ≥ 1

( 1) - π arcsin(1x) -arcsin x

si x ≤ -1 si x ≥ 1

exemple 6.5.3 À l’aide d’une calculatrice (en mode radians) vérifier les évaluations suivantes. a) arctg 3 = 1,25 b) arcsin 0,2 = 0,20 c) arcsec 1,5 = 0,84 d) arcsec (-4) = -1,82 e) Qu’arrive-t-il lorsqu’on tente d’évaluer arcsin 2 à l’aide d’une calculatrice? Pourquoi?

exemple 6.5.4 Résoudre les équations suivantes (utiliser une calculatrice) a) 5 arcsin x = π

André Lévesque

b) cos(3x - 1) = 0,25

(0 < 3x - 1 < π/2)

c) sin x - 2 cos x = 0

(0 < x < π/2)

6-47


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

exemple 6.5.5 Soit y ∈]0, π/2[ tel que y = arcsin(3/5), trouver sans l’aide d’une calculatrice a) sin y b) cos y c) tg y. ____________

_ proposition 6.5.1 Si lim ƒ(x) = b (a, b ∈ R) alors x→ a limite

[ [

] ]

(-1 < b < 1) a) lim arcsin ƒ(x) = arcsin lim ƒ(x) = arcsin b x→ a x→ a (-1 < b < 1) b) lim arccos ƒ(x) = arccos lim ƒ(x) = arccos b x→ a x→ a c) lim arctg ƒ(x) = arctg lim ƒ(x) = arctg b x→ a x→ a d) lim arccotg ƒ(x) = arccotg lim ƒ(x) = arccotg b x→ a x→ a (b < -1, b > 1) e) lim arcsec ƒ(x) = arcsec lim ƒ(x) = arcsec b x→ a x→ a f) lim arccosec ƒ(x) = arccosec lim ƒ(x) = arccosec b (b < -1, b > 1) x→ a x→ a

[

]

[

]

[

]

[

]

_ exemple 6.5.6 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R. ____________ prop. 6.5.1 b)

x = arccos 0 = π a) lim arccos x = arccosxlim 2 → 0   x→ 0 b) lim arctg(3x2 - 4) = x→ 1 arcsin(cos x) = c) lim x→ 2π/3 1 d) lim arccotg x =   x→ ∞ 3x2 + 4x - 4  e) lim arcsec 2  x + 8x + 12  x→ -2

André Lévesque

6-48


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

cas d’exception Si à la suite de l’évaluation d’une limite on obtient arcsin(±1), arccos(±1), arcsec(±1) ou arccosec(±1) on est alors confronté à un arcsin(±1), arccos(±1), arcsec(±1), arccosec(±1) nouveau cas d’exception. Chacune de ces limites peut exister et correspondre à son image lorsque la fonction est définie près de la valeur de l’argument. Autrement, elles n’existent pas.  arcsin 1+ ∃/ • arcsin 1 =   arcsin 1- = π/2

 arccos 1+ ∃/ • arccos 1 =   arccos 1- = 0

+  arcsec 1 = 0 • arcsec 1 =   arcsec 1- ∃/

+  arccosec 1 = π/2 • arccosec 1 =   arccosec 1 - ∃/

 arcsin -1+ = -π/2 • arcsin -1 =   arcsin -1- = ∃/

 arccos -1 + = π • arccos -1 =   arccos -1 - = ∃/

+  arcsec -1 ∃/ • arcsec -1 =   arcsec -1- = -π

+  arccosec -1 ∃/ • arccosec -1 =   arccosec -1- = -π/2

_ exemple 6.5.7 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R. ____________ sin x a) lim arccos(sin x) = arccosxlim → π/2   x→ π/2 (car sin x ≤ 1 ∨ – x) = arccos 1= arccos 1 = 0 (puisque -1 < 1-< 1) arcsin x b) lim 1-x = x→ 1 c) lim arccos(x2 - 1) = x→ 0 d) lim arcsec 2x = x→ -1

les formes À l’aide des graphiques des fonctions trigonométriques inverses on admet sans peine que arcsin(±∞), arccos(±∞),

arctg(±∞), arccotg(±∞), arcsec(±∞), arccosec(±∞)

André Lévesque

• arcsin ∞

∃/

• arccos ∞

∃/

• arctg ∞ = π/2

• arcsin(-∞ ) ∃/

• arccos(-∞)

• arccotg ∞ = 0 • arccotg(-∞ ) = π

• arcsec ∞ = π/2

• arccosec ∞ = 0

• arcsec(-∞) = -π/2

• arccosec(-∞ ) = -π

6-49

∃/

• arctg(-∞) = -π/2


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

_ exemple 6.5.8 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R. ____________ 1 = a) lim 3 x→ ∞ arcsec(1 - x ) arctg x b) lim arccotg x = x→ - ∞

proposition 6.5.2 Si g(x) est une fonction continue sur l’intervalle ouvert I alors continuité

a) ƒ(x) = arcsin g(x) et ƒ(x) = arccos g(x) sont continues sur I pourvu que -1 < g(x) < 1 ∨ – ∈ I, b) ƒ(x) = arctg g(x) et ƒ(x) = arccotg g(x) sont continues sur I, c) ƒ(x) = arcsec g(x) et ƒ(x) = arccosec g(x) sont continues sur I pourvu que g(x) > 1 ou g(x) < -1 ∨ – ∈ I.

exemple 6.5.9 Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R. ____________ a) ƒ(x) =

arccos x x

arctg x b) g(x) = arcsin x - arccos x

André Lévesque

6-50


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

Exercices 6.5 1. Évaluer sans l’aide d’une calculatrice. a)

arcsin 0

i)

arcsec(2√  3/3)

b)

arcsin(-1/2)

j)

arccosec(1/2)

c)

arccos √ 3

k)

arcsec(-2)

d)

arccos(- √  3/2)

l)

arccosec(-2√ 3/3)

e)

arctg(√  3/3)

m) cotg(arcsec(-1))

f)

arctg(-√  3)

n)

sec(arctg 1)

g)

arccos(- √  2/2)

o)

sin(arcsin 1 - arccos(√ 3/2))

h)

arccotg(-√ 3)

p)

arcsin(2 cos(2π/3))

2. Évaluer à l’aide d’une calculatrice. a)

arcsin(-0,6)

d)

arcsec(4/3)

b)

arctg 5

e)

arcsec(-π)

c)

arccos √ 2

f)

arccos(√  5/2)

π 3. Soit 0 < θ < 2 a)

Si θ = arcsin(1/3) alors trouver cos θ et tg θ.

b)

Si θ = arcsec(√  5/2) alors trouver sin θ et cotg θ.

c)

Si θ = arccos 3x alors trouver sin θ et tg θ.

d)

Si θ = arctg x2 alors trouver sec θ et sin θ. (compléter ce numéro sans l’aide d’une calculatrice)

4. Résoudre sans l’aide d’une calculatrice. a)

3 arcsin x = π/2

c)

2 sin(arcsin x) = 1/3

b)

arctg(x - 1) = π/3

d)

arctg(tg x2) = π/9

b)

3 tg x = √10

5. Résoudre à l’aide d’une calculatrice. a)

arccos 2x = 1/4

André Lévesque

6-51

(0 < x < π/2)


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

6. Une échelle de 8 mètres est appuyée contre un mur. Si le pied de l’échelle est à 5 mètres du mur, trouver l’angle θ (en degrés) que fait le pied de l’échelle avec le sol.

8 θ

5

7. Soit a et b des nombres positifs. Montrer que si arcsin a = arccos b alors a 2 + b2 = 1.

8. Trouver la valeur de l’angle α

9. Évaluer les expressions suivantes provenant du calcul d’une limite. a)

arctg ∞

d)

arctg (-1)

g)

arccos ∞

b) c)

arccos 1+ arcsin 0

e)

arccotg(- ∞)

f)

arcsec 1-

h) i)

1/arccos 1arctg(- ∞)

j)

arcsec 1+

_ 10. Évaluer chacune des limites si elles existent dans R arcsin(x/2) a) lim x→ √ 3

i)

b) lim x→ 0+

arcsin x ln x

j)

c) lim x→ 1-

arccos x 2

k)

d) lim x→ 2

arcsec x π

l)

lim

arcsin(1/x)

lim

arctg(ln x)

lim

arcsec(x - 1)

lim

x arcsin(x - 4)

x→ 1

x→ 1

x→ 2

x→ 3

e) lim arctg(1/x) x→ 0

1 m) lim arctg x x→ 0

arcsec x f) lim arctg x x→ ∞

n)

g) lim x arctg(x - 2) x→ 1

o)

h) lim earccotg x x→ - ∞

p)

André Lévesque

lim

x→ - √ 3/2

lim

x→ -1/2

arctg 2x

(arcsin x + arccos x)

x2 + 1 lim arccos 3   x  x→ ∞

6-52


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

11. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R. a) ƒ(x) = (arctg x)3 - 1 b) ƒ(x) = arcsin x - √ 2x - 1 1 c) ƒ(x) = arcsin x d) ƒ(x) = ln(arccotg x) arctg x e) ƒ(x) = 1 √- arccos x

André Lévesque

6-53


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

Réponses aux exercices 6.5 1.

2.

3.

4.

5. 6.

a)

0

i)

π/6

b)

-π/6

j)

∃/

c) d)

∃/ 5π/6

k) -2π/3 l) -2π/3

e)

π/6

/ m) ∃

f)

-π/3

n) √ 2

g) h)

3π/4 5π/6

o) √ 3/2 p) -π/2

a) b)

-0,64 1,37

d) 0,72 e) -1,89

c)

∃/

f)

a)

2 2 2 cos θ = √3 et tg θ = √ 4

b)

 5 et cotg θ = 2 sin θ = √ 5

c)

sin θ =

1 - 9x2  √

et tg θ =

d)

sec θ =

1 + x4 √

et sin θ =

a)

1 2

1 c) 6

b)

1+√ 3

π d) ± √ 3

a)

0,48

b) 0,81

∃/

1 - 9x2  √ 3x

x2 1 + x4  √

51,3°

7. 8.

42,22°

André Lévesque

6-54


6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

9.

10.

11.

∃/ ∃/

a)

π/2

f)

b) c) d) e)

∃/ 0 -π/4 π

g) h) i) j)

a) b)

π/3 0

i) j)

∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: π/2)

c)

0

k)

d)

1/3

l)

∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: 0) ∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: -3π/2)

e) f) g) h)

∃/ (à gauche: -π/2 ; à droite: π/2) 1 -π/4 eπ

m) n) o) p)

-∞ -π/3 π/2 π/2

a) b) c) d) e)

continue sur R continue sur ]1/2, 1[ continue sur ]-1, 1[ \ { 0 } continue sur R continue sur ]0, 1[ \ { 0,5403 }

André Lévesque

∞ -π/2 0

0

6-55


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

6.6 Dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses) proposition 6.6.1

démonstration

d dx arcsin x =

1 1 - x2 √ 

Par définition y = arcsin x ⇔ sin y = x

puisque sin 2 y + cos2 y = 1 alors cos y = ±  √ 1 - sin2 y mais cos y ≥ 0 lorsque y ∈ [-π/2, π/2], par conséquent  1 - sin2 y cos y = √

proposition 6.6.2

En dérivant implicitement l’équation de droite on obtient, d d dx sin y = dx x dy cos y dx = 1 1 dy = cos y (-π/2 ≤ y ≤ π/2) dx 1 = 1 - sin2 y  √ 1 = (car sin y = x) 1 - x2  √ d dx arccos x =

-1 1 - x2  √

démonstration

André Lévesque

(-π/2 ≤ y ≤ π/2)

6-56


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

proposition 6.6.3

d 1 dx arctg x = 1 + x2

démonstration

proposition 6.6.4

d -1 dx arccotg x = 1 + x2

démonstration

André Lévesque

6-57


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

proposition 6.6.5

d dx arcsec x =

1 x2 - 1 x√ 

démonstration

proposition 6.6.6

d dx arccosec x =

-1 x√ x2 - 1 

démonstration

André Lévesque

6-58


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

exemple 6.6.1

d arcsin x  Trouver dx   arccos x  ____________ d d arccos x dx arcsin x - arcsin x dx arccos x d  arcsin x  dx  arccos x  = (arccos x) 2 -1  1  - arcsin x  arccos x   √  2 1-x  1 - x2  √   = (arccos x)2 =

arccos x + arcsin x 1 - x2 (arccos x) 2  √

exemple 6.6.2 Trouver d x(arctg x)2 dx ____________

rép: arctg x

(arctg x +

2x 1 + x2

)

exemple 6.6.3 Trouver d arcsin 5x dx ____________

rép:

André Lévesque

6-59

5

 √ 1 - 25x2


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

Pour obtenir la dérivée de y = arcsin ƒ(x) on décompose la fonction de la façon suivante. y = arcsin u et u = ƒ(x) Puis par la règle de dérivation en chaîne on obtient dy dy . du dx = du dx =

=

1

.

1 - u2 √  1

1 - ƒ(x)2  √

d dx ƒ(x) d dx ƒ(x)

.

On obtient de la même façon les formules générales des autres fonctions trigonométriques inverses. règle 20

d dx arcsin ƒ(x) =

règle 21

d dx arccos ƒ(x) =

règle 22

d 1 . d dx arctg ƒ(x) = 1 + ƒ(x)2 dx ƒ(x)

règle 23

-1 d . d ƒ(x) arccotg ƒ(x) = 2 dx dx 1 + ƒ(x)

règle 24

d 1 . d dx arcsec ƒ(x) = ƒ(x) ƒ(x)2 - 1 dx ƒ(x)  √

règle 25

d dx arccosec ƒ(x) =

exemple 6.6.4 Trouver d arcsin √ x dx ____________ d x = dx arcsin √

André Lévesque

1

. d ƒ(x) dx

1 - ƒ(x)2  √ -1 1 - ƒ(x)2 √ 

-1 ƒ(x) √ ƒ(x)2 - 1 

1 1 - (√  x)2  √

=

1 1-x  √

=

1 2√ x(1 - x) 

6-60

. d ƒ(x) dx

.

1 2√ x

.

d x dx √

. d ƒ(x) dx


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

exemple 6.6.5 Trouver d arcsec(e2x) dx ____________

rép:

exemple 6.6.6 Trouver d arccos 1 3t dt ____________

()

2

 √ e4x - 1

(t < 0)

rép: -

1 t√  9t2 - 1

exemple 6.6.7 Trouver y’ si y = 2x(arccos 2x) -  1 - 4x2 √ ____________

rép: 2 arccos 2x

exemple 6.6.8 Calculer la pente de la droite tangente à la fonction ƒ(x) = (arcsin x)(arccos x) lorsque x = -1/2. ____________

rép:

André Lévesque

6-61

5 √ 3π 9


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

1 - x2 . √

exemple 6.6.9 Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = x(arcsin x) + ____________ a) dom ƒ = [-1, 1] b) ƒ est continue sur ]-1, 1[ c) ƒ(-x) = (-x)(arcsin(-x) +

= x(arcsin x) +  1 - x2 √ = ƒ(x) (ƒ est symétrique par rapport à l’axe des y)

arcsin(-x) = -arcsin x les asymptotes horizontales et obliques sont sans intérêt car le dom ƒ = [-1, 1]

1 - (-x)2 √

d) asymptote verticale: aucune car pour les deux points de discontinuité x = -1 et x = 1 on a π π lim x(arcsin x) + √ 1 - x2 = 2 ; lim x(arcsin x) + √ 1 - x2 = 2   + x→ 1 x → -1

e)

ƒ’(x) = arcsin x +

x

-

2x

2√ 1 - x2   0 si x = 0 = arcsin x =  ⇒ n.c.: { -1, 0, 1}  ∃/ si x ≥ 1 ou x ≤ -1

ƒ’’(x) =

1 - x2  √

 0 aucune valeur = 1 - x2  ∃/ x ≥ 1 ou x ≤ -1  √ 1

⇒ n.t.: { -1, 1 }

f) Tableau de variation de la fonction. seules les valeurs de x dans l’intervalle [0, 1] sont considérées dans le tableau de variation car la fonction est symétrique par rapport à l’axe des y

x 0 ƒ ’(x) ƒ ’’(x)

1 + +

ƒ(x) π/2

1

Graphique de la fonction y

(−1; π/2)

2

(1; π/2)

(0; 1)

−1

André Lévesque

1

6-62

x


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

exemple 6.6.10 Un ballon lâché au niveau d’un observateur s’élève à la vitesse de 5 m/s. Si l’observateur est placé à 50 m du ballon, trouver le taux de variation de l’angle d’élévation du ballon par rapport au temps lorsque celui-ci est à 30 m du sol. ____________

x

θ 50 m

rép: 4,2°/s

André Lévesque

6-63


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

Exercices 6.6 dy 1. Trouver dx

[

( )]

y = a arcsec xa

a)

y = arcsin 3x

l)

b)

y = 2(arcsin √ x)

m) y = arccotg(sin x)

c)

y = arccos x2

n)

arcsec 2x y = arccosec 2x

d)

y = arccos x

o)

y = arctg(tg x)

e)

y = arctg 3x2

p)

y = ln(arcsin 5x)2

f)

y = arctg 3x

()

q)

y = x2 arccos 2x

g)

y = arccosec √ x

r)

y = x(arccotg x) + ln 1 + x2 √

h)

y = arccotg 1 - x

s)

y = x√ 4 - x2 + 4 arcsin 2 

i)

y = (arcsec 2x)2

t)

y =

j)

y =

u)

1 y = ab arctg

k)

1 y = arccosec x

(2)

(1 + x)

4 1 - x) (arcsin √

v)

(a < 0)

()

(x < 0)

[

x2 - 4 √  x2

( x) ]

()

x + 21 arcsec 2

(b tga x) y = x[arccosec(1x)] + √ 1 - x2 

2. Trouver la pente de la droite tangente à chacune des fonctions au point indiqué. a)

ƒ(x) = arcsin x

;

x=0

b)

g(x) = (arctg x)2

;

x = -1

c)

h(x) = x(arccos x)

;

x = 1/2

dy 3. Trouver dx implicitement si ln(x2 + y2) = arctg xy .

()

André Lévesque

6-64

(x > 0)


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

4. Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums relatifs de chacune des fonctions. a)

ƒ(x) = arctg(x3 - 12x)

b)

g(x) = arccotg x2

5. Trouver x qui maximise θ si

( x)

(x)

θ = arctg 2 - arctg 1

(x > 0)

6. Soit ƒ(x) = x + 3 cos x. Trouver le maximum absolu et le minimum absolu de cette fonction sur [0, π/2]. (Utiliser une calculatrice pour résoudre ce problème.) θ

7. Le sommet d’une échelle de 15 m glisse vers le bas d’un mur à raison de 3 m/s. Calculer le taux de variation par rapport au temps de l’angle que fait l’échelle avec le mur lorsque celle-ci est à une hauteur de 9 m.

8. Un observateur regarde un oiseau à 8 m d’altitude. L’oiseau s’éloigne à une vitesse de 1 m/s. Quel est le taux de variation par rapport au temps de l’angle que fait le segment qui relie l’observateur à l’oiseau et le sol lorsque la distance qui sépare l’observateur à l’oiseau est de 10 m.

x 8m θ

9. Tracer le graphique de chacune des fonctions en indiquant • • • • • • •

pour quelles valeurs la fonction est continue, si la fonction est paire, impaire ou ni paire, ni impaire, les asymptotes verticales de la fonction, ƒ’(x) et les nombres critiques de la fonction, ƒ’’(x) et les nombres de transition de la fonction, le tableau de variation de la fonction, le graphique de la fonction.

a) ƒ(x) = arcsin x - 3(arccos x)

André Lévesque

b) g(x) = arctg x -

6-65

15 m

x

x 2


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

Réponses aux exercices 6.6

1.

a)

b) c) d) e) f) g) h) i)

j) k)

2.

a)

3

l)

1 - 9x2  √ 1 1-x x √ √  -2x

m) n)

1 - x4  √ -1

o)

4 - x2  √ 6x 1 + 9x4

p)

-3 x2 + 9 -1 2x√ x-1  -1 1 + x2 2(arcsec 2x) -2(arcsin√ 1 - x) 

x√ x2 - 1 (arccosec x)2 

1

-cos x 1 + sin2 x arccosec 2x + arcsec 2x 4x2 - 1 (arccosec 2x)2 x√  1 10 1 - 25x2 arcsin 5x  √ -2x

arccotg x

s)

2√ 4 - x2  8 x2 - 4 x3 √ 

u)

sec2 x 2 a + b2 tg2 x

v)

arccosec x

c)

π 1 π-√ 3 3 - √ 3 = 3

(1)

y - 2x 2y + x

André Lévesque

( )]

r)

π b) - 4

3.

[

+ 2x arccos 2x x2 - 4  √

3

1-x √ x √  1

x√ x2 - a2 

q)

t)

4x2 - 1 x√ 

-a2

6-66


6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

4.

a)

b)

croissante sur décroissante sur min. rel. au point: max. rel. au point: croissante sur décroissante sur min. rel. au point: max. rel. au point:

]-∞ , -2[ ∪ ]2, ∞[ ]-2, 2[ (2; arctg -16) (-2; arctg 16) ]-∞ , 0[ ]0, ∞[ aucun (0; π/2)

5.

2 √

6.

max. abs. au point: min. abs. au point:

7.

14,3°/s (l’angle augmente de 14,3° par seconde)

8.

-7,6°/s (l’angle diminue de 7,6° par seconde)

9. a)

ƒ’(x) =

4 1 - x2  √

(0,34; 3,17) (1,57; 1,57)

; ƒ’’(x) =

b)

4x (1 - x2)3  √

y

ƒ’(x) =

y

(1; π/2)

−1

1

(1 - x)(1 + x) -2x ; ƒ’’(x) = 2 2(1 + x ) (1 + x2)2

(1; (−2+π)/4)

x

−π (0; −3π/2)

(0; 0)

−2π

−3π

(−1; (2−π)/4)

(−1; −7π/2)

André Lévesque

6-67

x


6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)

Exercices de révision _ 1. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R. 1 - cos x x2

a)

lim cosec x x→ 0-

d)

lim x→ 0

b)

sec x lim 1 cos2 x x→ 0

e)

3x2 - 4x lim (sin x)(cos x) x→ 0

c)

lim x→ 0

f)

2x - sin x lim cos x - 3x x→ ∞

x + 2 sin x x

2. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur ]0, 2π[. a)

ƒ(x) = tg x - cotg x

b)

g(x) =

1 sin x + 2  √

3. Trouver la dérivée de chacune des fonctions. a)

sin x y = 2 + cos x

e)

y = x√ cotg x2 

b)

y = 2 cosec3 √ x

f)

y = ln3(sin2 x)

c)

y =

g)

y =

d)

y = sec3 2x - 3 sec 2x

h)

y = ex (sin 2x - 2 cos 2x)

sin5 x 2 sin3 x + sin x 5 3

4. Trouver

d2y dx2 si y = cosec 3x.

5. Trouver

dy  si y = tg3 2x dx x = π/6

6. Utiliser la dérivée logarithmique pour obtenir a)

y =

André Lévesque

1 + cos2 x sin x  √ tg3 x

tg2 3x ln(cos 3x) 6 + 3

dy dx b)

y = (sin x)sin x

6-68

(sin x > 0)


6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)

7. Trouver les extremums relatifs de y = 2 sin x - cos 2x

sur ]0, 2π[.

8. Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = 8 cos x - 2 cos 2x sur [0, 2π] si

ƒ’(x) = 8(sin x)(cos x - 1) ƒ’’(x) = 8(2 cos x + 1)(cos x - 1)

_ 9. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R . a) b)

arctg(cos x)  √

c)

(arcsin x - arccos x) lim x→ 1-

d)

lim

x→ 0

lim

x→ 1-

arcsin(1 + √ 1 - x2 ) 

arctg x lim arccotg x x→ - ∞

10. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R. arccos x a) ƒ(x) = arcsin x

b)

arctg x g(x) = 6 arccotg x - π

11. Trouver la dérivée de chacune des fonctions. a)

y = (arcsin x)(arccos x)

d)

y = arcsec√ x2 + 1 

b)

y = (arctg 2x)3

e)

y = earcsin 3x

c)

y = arcsin tt +- 11

f)

y = x(arccotg x) + ln 1 + x2 √

( )

(t > 0)

12. La base d’un triangle rectangle est de 20 cm. Si la hauteur du triangle augmente à raison de 5 cm par minute, à quelle vitesse augmente l’angle opposé à la hauteur lorsque le triangle est isocèle.

(x < 0)

θ

20 cm

13. Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = arccotg(sin x) sur [0, 2π] si

ƒ’(x) = ƒ’’(x) =

André Lévesque

-cos x 1 + sin2 x (sin x)(2 + cos2 x) (1 + sin2 x)2

6-69


6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)

Réponses aux exercices de révision 1. a) b) c)

-∞ ∞

2. a) b)

continue sur ]0, 2π[ \ { π/2, π, 3π/2 } continue sur ]0, 2π[

3. a)

2 cos x + 1 (2 + cos x)2

b)

d) e) f)

3

1/2 -4 -2/3

cotg x2 - x2(cosec2 x2)

e)

-3(cosec3 √ x )(cotg √ x ) x √

cotg x2 √ 

f)

6 cotg x ln2(sin2 x)

c)

cos5 x

g)

tg3 3x

d)

6(tg3 2x)(sec 2x)

h)

5 ex sin 2x

4.

9(cosec 3x)(cotg2 3x + cosec2 3x)

5.

72

6. a)

1 + cos2 x  sin x  (sin x)(cos x) 3 sec2 x  √ - tg x ctg x tg3 x   1 + cos2 x

b) 7.

(sin x)sin x cos x (ln(sin x) + 1) MIN REL: (7π/6, -3/2), (11π/6, -3/2) MAX REL:

8.

(π/2, 3), (3π/2, -1)

y

(2π; 6)

π

x

(2π/3; −3)

(4π/3; −3)

(π; −10)

André Lévesque

6-70


6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)

9. a) b)

√π  2 π 2

10. a) continue sur ]-1, 1[ sauf { 0 }

11. a)

arccos x - arcsin x 1 - x2 √ 

c)

∃/

d)

1 -2

b)

continue sur R sauf { √ 3 }

d)

-1 x2 + 1

b)

6(arctg 2x)2 1 + 4x2

e)

c)

1 (t + 1)√ t

f)

3 earcsin 3x 1 - 9x2  √ arccotg x

12. 7,16°/min (l’angle augmente de 7,16° par minute)

13.

y (3π/2; 3π/4)

3π/4 π/2

(0; π/2)

(π; π/2)

(2π; π/2)

π/4 (π/2; π/4) π/2

André Lévesque

π

3π/2

x

6-71


Trigonométrie  

rappel sur les fonctions trigonométriques

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