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Licdo. Elis LĂłpez 1 Sistemas de Ecuaciones lineales

Seguimos con Nuevos mĂŠtodos

Ahora veremos a continuaciĂłn dos nuevos mĂŠtodos para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados. El primero es la Regla de Cramer. Este mĂŠtodo utiliza los determinantes para resolver el sistema; por lo tanto nos vamos a dedicar a definir ÂżquĂŠ es un determinante? đ?‘Ž11 đ?‘Ž DefiniciĂłn 9: Sea đ??´ = 21 đ?‘Ž31 el escalar đ?‘Ž22 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = đ?‘Ž11 đ?‘Ž 32

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 đ?‘Ž32

đ?‘Ž13 đ?‘Ž23 . Entonces el determinante de A es đ?‘Ž33

đ?‘Ž23 đ?‘Ž21 − đ?‘Ž 12 đ?‘Ž33 đ?‘Ž31

đ?‘Ž23 đ?‘Ž21 + đ?‘Ž 13 đ?‘Ž33 đ?‘Ž31

đ?‘Ž22 đ?‘Ž32

Ahora bien, un determinante de orden dos se resuelve de la siguiente manera: đ?‘Ž11 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = đ?‘Ž 21

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 = đ?‘Ž11 ∙ đ?‘Ž22 − đ?‘Ž12 ∙ đ?‘Ž21

La definiciĂłn 9 es conocida como el teorema por extensiĂłn de Laplace o mĂŠtodo de los cofactores.


Licdo. Elis López 2 Sistemas de Ecuaciones lineales TambiÊn una forma de resolver un determinante de orden 3 es de la siguiente manera: – – – �11 �12 �13 �11 �12 �21 �22 �23 �21 �22 �31 �32 �33 �31 �32 +

+

+

EstĂŠ mĂŠtodo nos da đ?‘Ž11 đ?‘Ž22 đ?‘Ž33 + đ?‘Ž12 đ?‘Ž23 đ?‘Ž31 + đ?‘Ž13 đ?‘Ž21 đ?‘Ž32 − đ?‘Ž31 đ?‘Ž22 đ?‘Ž13 − đ?‘Ž32 đ?‘Ž23 đ?‘Ž11 − đ?‘Ž33 đ?‘Ž21 đ?‘Ž12

Bueno una vez que ya sabemos la fĂłrmula para calcular el determinante de orden dos y tres, entonces vamos a colocar el teorema de la regla de Cramer. Regla de Cramer Teorema 1: Regla de Cramer Sea A una matriz invertible de nxn y sea B un vector en â„?đ?‘› . Entonces, la Ăşnica soluciĂłn del sistema AX = B estĂĄ dada por: đ?‘Ľđ?‘– =

detâ Ąđ??´đ?‘– đ??ľ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘– = 1, ‌ , đ?‘›

Es aplicable si el sistema tiene igual nĂşmero de ecuaciones que de incĂłgnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de Cramer es, por definiciĂłn, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una soluciĂłn Ăşnica. El valor de cada incĂłgnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los tĂŠrminos independientes. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema compatible determinado: 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 2đ?‘§ = 1 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 3đ?‘§ = −1 đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘§ = −13 Lo primero es transformar el sistema de ecuaciones a un sistema matricial: đ?‘Ľ 1 3 −2 −2 đ?‘Ś = −1 2 1 3 ∙ đ?‘§ −13 1 −2 4 đ??´ đ?‘‹ đ??ľ


Licdo. Elis LĂłpez 3 Sistemas de Ecuaciones lineales Ahora vamos a calcular el determinante de la matriz A, la cual es la matriz de los coeficientes, si el determinante de esta matriz da como resultado cero (0), entonces el sistema serĂ­a incompatible y no admitirĂ­a soluciĂłn. 3 ∆đ??´ 2 1

−2 −2 1 3 −2 4 = 3 ∙ 1 ∙ 4 + −2 ∙ 3 ∙ 1 + −2 ∙ 2 ∙ −2 − 1 ∙ 1 ∙ −2 + −2 ∙ 3 ∙ 3 + 4 ∙ 2 ∙ −2

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = 12 + −6 + 8 − −2 + −18 + −16

= 50

Como el resultado obtenido fue de 50, significa que el sistema es compatible determinado. El siguiente paso es calcular el determinante de x, para ello se sustituyen los tĂŠrminos independiente, es decir el vector B en la columna de los valores de la variable x de la siguiente manera: 1 −2 −2 ∆đ?‘Ľ −1 1 3 −13 −2 4 = 1 ∙ 1 ∙ 4 + −2 ∙ 3 ∙ −13 + −2 ∙ (−1) ∙ −2 − −13 ∙ 1 ∙ −2 + −2 ∙ 3 ∙ 1 + 4 ∙ (−1) ∙ −2 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ľ = 4 + 78 + (−4) − 26 + −6 + 8 = 50 El valor de la variable X se obtiene utilizando la fĂłrmula del teorema đ?‘Ľ=

∆đ?‘Ľ ∆đ??´

=

50 50

=1

Ya estĂĄ el valor x

Utilizar đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ đ?‘œ ∆đ??´ es lo mismo, las dos simbologĂ­as se pueden utilizar para expresar el determinante. A continuaciĂłn vamos a calcular el determinante Y y el procedimiento es igual al anterior, solo que esta vez sustituiremos el vector B en la columna de los valores de la variable Y.


Licdo. Elis LĂłpez 4 Sistemas de Ecuaciones lineales 3 ∆đ?‘Ś 2 1

1 −2 −1 3 −13 4 = 3 ∙ −1 ∙ 4 + 1 ∙ 3 ∙ 1 + −2 ∙ 2 ∙ −13 − 1 ∙ −1 ∙ −2 + −13 ∙ 3 ∙ 3 + 4 ∙ 2 ∙ 1

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ľ = −12 + 3 + 52 − 2 + −117 + 8 = 150 El valor de la variable Y se obtiene utilizando la fĂłrmula del teorema ∆đ?‘Ś

đ?‘Ś=∆ = đ??´

150 50

=3

Ya estĂĄ el valor y

Por Ăşltimo, vamos a calcular el valor del determinante de Z siguiendo el procedimiento que ya se indico en los casos anteriores 3 −2 1 ∆đ?‘§ 2 1 −1 1 −2 −13 = 3 ∙ 1 ∙ −13 + −2 ∙ −1 ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ −2 − 1 ∙ 1 ∙ 1 + −2 ∙ −1 ∙ 3 + −13 ∙ 2 ∙ −2

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ?‘§ = −39 + 2 + −4 − 1 + 6 + 52 = −100 El valor de la variable Z se obtiene utilizando la fĂłrmula del teorema đ?‘Ś=

∆đ?‘§ −100 = = −2 ∆đ??´ 50

En conclusión, la solución del sistema es: X=1; Y=3; Z= – 2

Si hasta ahora tienes alguna duda, puedes entrar a “Mis herramientasâ€? y pedir ayuda a tus compaĂąeros o al tutor, siempre obtendrĂĄs respuestas a tan solo un clic.


Licdo. Elis LĂłpez 5 Sistemas de Ecuaciones lineales MĂŠtodo por la inversa de una matriz. Este mĂŠtodo es aplicable si el sistema tiene igual nĂşmero de ecuaciones que de incĂłgnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogĂŠneos). đ??´ ∙ đ?‘‹ = đ??ľ esta es la ecuaciĂłn matricial tal como aparece en el primer paso para usar la regla de Cramer. đ??´âˆ’1 ∙ đ??´ ∙ đ?‘‹ = đ??´âˆ’1 ∙ đ??ľ Para despejar el vector de la variabbles, se compone con đ??´âˆ’1 por la izquierda de ambos miembro de dicha ecuaciĂłn. đ??ź ∙ đ?‘‹ = đ??´âˆ’1 ∙ đ??ľ El producto đ??´âˆ’1 ∙ đ??´ = đ??ź y si se multiplica I por cualquier matriz, queda la matriz dada por lo tanto: đ?‘‹ = đ??´âˆ’1 ∙ đ??ľ Antes de aplicar este mĂŠtodo debemos tener en cuenta algunas definiciones previas como es el caso de la matriz inversa. DefiniciĂłn 10: Si A es una matriz de đ?‘› Ă— đ?‘›, una inversa de A es una matriz A’ de đ?‘› Ă— đ?‘› con la propiedad de que đ??´đ??´â€˛ = đ??ź

đ?‘Ś đ??´â€˛ đ??´ = đ??ź

Donde đ??ź = đ??źđ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§ đ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘› Ă— đ?‘›. đ?‘†đ?‘– đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ??´â€˛ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘  đ??´ đ?‘ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘’ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘’đ?‘  đ??˘đ??§đ??Żđ??žđ??Ťđ??­đ??˘đ??›đ??Ľđ??ž.

Ahora bien, podemos buscar la inversa por el mĂŠtodo de Gauss-Jordan o usando el mĂŠtodo de la matriz adjunta. En la guĂ­a anterior hicimos uso del mĂŠtodo de Gauss-Jordan para determinar la soluciĂłn de un sistema de ecuaciones, para buscar la inversa se hacen las mismas operaciones como se explicĂł en dicha guĂ­a, la diferencia es que aquĂ­ se le agrega a la matriz dada, su matriz identidad y se trata de hacer identidad la matriz del problema, al final la inversa serĂĄ la matriz que resulta donde antes se encontraba la identidad. En esta guĂ­a vamos a trabajar con la matriz adjunta, asĂ­ que daremos a continuaciĂłn las definiciones previas y luego explicaremos mediante un ejemplo. DefiniciĂłn 11:El cofactor de una matriz de đ?‘› Ă— đ?‘› es el menor de la matriz dada con su signo correspondiente a la posiciĂłn que ocupa dentro de dicha matriz. Para este fin, definimos el cofactor (i,j) de A como đ??śđ?‘–đ?‘— = −1 đ?‘–+đ?‘— đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´đ?‘–đ?‘— DefiniciĂłn 12:La matriz adjunta es la matriz que se obtiene haciendo traspuesta a la matriz de los cofactores de cualquier matriz de đ?‘› Ă— đ?‘›.


Licdo. Elis LĂłpez 6 Sistemas de Ecuaciones lineales DefiniciĂłn 13: Matriz traspuesta de A. Es la que se obtiene a partir de A, cambiando filas por columnas sin alterar su orden de colocaciĂłn. La denotaremos por At. Si A=(aij), At=(aji). Si A es de orden mxn, At serĂĄ de orden nxm. Teorema 2: propiedades de la traspuesta: Sean A y B matrices (cuyos tamaĂąos son de tal modo que las operaciones indicadas puedan ser realizadas) y sea ď Ą un escalar. Entonces: (At)t = A (A + B)t = At + Bt ( Îą ¡ A) t = ι¡ ( A t ) ( A ¡ B) t = B t ¡ A t ( A r ) t = ( A t ) r p a r a t o do s l o s e nt e r o s r n o n e g at i vo s El siguiente teorema es el que usaremos para encontrar la inversa de la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales. Teorema 3: Sea A una matriz invertible de đ?‘› Ă— đ?‘›. Entonces đ??´âˆ’1 =

Ahora a los ejemplos

1 đ?‘Žđ?‘‘đ?‘—đ??´ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´

Como ya hemos dado las definiciones previas necesarias para determinar la inversa de una matriz por el mĂŠtodo de la adjunta, ahora manos a la obra. Este serĂĄ un trabajo muy sencillo pero el cual se debe hacer con mucho cuidado ya que si nos equivocamos en algĂşn signo o nĂşmero nuestro trabajo resultarĂ­a errado. Vamos a trabajar con el mismo ejemplo que utilizamos con la regla de Cramer: đ?‘Ľ 1 3 −2 −2 đ?‘Ś ∙ = 2 1 3 −1 đ?‘§ −13 1 −2 4 đ??´ đ?‘‹ đ??ľ

De la matriz A buscaremos todos los cofactores segĂşn la fĂłrmula indicada anteriormente đ??ś11 = −1

1+1

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´11

Veamos cĂłmo se aplica la fĂłrmula para calcular el cofactor 11

đ??ś11 = −1

1+1

1 3 = 1 ∙ 1 ∙ 4 − 3 ∙ −2 −2 4

→ 4 + 6 = 10 Por lo tanto C11=10


Licdo. Elis LĂłpez 7 Sistemas de Ecuaciones lineales Este procedimiento lo haremos para cada cofactor, aquĂ­ lo colocarĂŠ de manera mĂĄs directa. đ??ś12 = −1

1+2

2 1

3 = −1 ∙ 8 − 3 = −5 4

đ??ś21 = −1

2+1

−2 −2 = −1 ∙ −8 − 4 = 12 −2 4

đ??ś23 = −1

2+3

3 1

−2 = −1 ∙ −6 + 2 = 4 đ??ś31 = −1 −2

đ??ś32 = −1

3+2

3 2

−2 = −1 ∙ 9 + 4 = −13 đ??ś33 = −1 3

đ??ś13 = −1

2 1

1+3

đ??ś22 = −1

1 = 1 ∙ −4 − 1 = −5 −2

2+2

3+1

3+3

3 −2 = 1 ∙ 12 + 2 = 14 1 4

−2 −2 = 1 ∙ −6 + 2 = −4 1 3 3 2

−2 =1∙ 3+4 =7 1

La matriz formada por los cofactores segĂşn su orden de posiciĂłn serĂĄ: 10 −5 −5 đ??śđ?‘–đ?‘— = 12 14 4 −4 −13 7 Ahora la matriz adjunta de A serĂĄ: 10 12 −4 đ?‘Žđ?‘‘đ?‘—đ??´ = −5 14 −13 −5 4 7 Para obtener la inversa debemos hacer uso del teorema 3 expuesto antes, pero para ello debemos calcular el determinante de la matriz A. Como esa es la misma matriz del ejemplo utilizado en la regla de Cramer, ya sabemos que su determinante tiene un valor de 50, es decir detA=50 1

đ??´âˆ’1 = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ đ?‘Žđ?‘‘đ?‘—đ??´ eso serĂĄ igual a

đ??´âˆ’1

1 6 2 − 5 25 25 1 10 12 −4 1 7 13 = −5 14 −13 = − − 50 10 25 50 −5 4 7 1 2 7 − 10 25 50

1 5

1

Hemos determinado que la inversa de A es − 10 −

1 10

6 25 7 25 2 25

2

− 25 13 50 7 50

−

Para calcular el valor de las incĂłgnitas tomamos la ecuaciĂłn inicial:


Licdo. Elis LĂłpez 8 Sistemas de Ecuaciones lineales đ?‘‹ = đ??´âˆ’1 ∙ đ??ľ 1 5

đ?‘Ľ 1 đ?‘Ś = − 10 đ?‘§ 1

− 10

6 25 7 25 2 25

2

− 25 13

1

1

−13

−2

− 50 ∙ −1 = 3 7 50

Como podemos darnos cuenta el resultado sigue siendo el mismo: X=1; Y=3; Z=−2 Pueden verificarlo.

Hemos trabajado hasta este momento, cuatro mĂŠtodos de resolver sistemas de ecuaciones lineales, ademĂĄs se nos han dado algunas definiciones previas y estamos adquiriendo un vocabulario muy rico para la comprensiĂłn de la asignatura. Todos debemos hablar un mismo lenguaje y es por eso que se considera necesario tener dominio de un vocabulario con el que podamos identificar la situaciĂłn problemĂĄtica de manera mĂĄs rĂĄpida.

Trabajo realizado

Te invito a participar en los foros, es probable que con tus compaĂąeros de estudio todo se te haga mĂĄs sencillo. ÂĄĂ nimo! Esta es una asignatura muy sencilla y entre todos podemos alcanzar la meta.

En el aula encontrarĂĄs algĂşn cuestionario referido a lo estudiado en estas dos entregas, prepĂĄrate bien y cuando estĂŠs listo, entra y haz el reto.

Sistema de Ecuaciones Lineales (book)  

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