Issuu on Google+

‫תנאי הכרחי‪:‬‬ ‫זהויות טריגונומטריות‬

‫שונות‬ ‫פונקציות‬

‫) ‪f ( −x ) = f ( x‬‬

‫פונקציה זוגית ‪-‬‬ ‫פונקציה אי‪-‬זוגית ‪-‬‬

‫לוגריתמים‬ ‫תחום הגדרה ‪: log a x -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪( a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab2 − b3‬‬

‫‪( a + b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b2 + 4ab + b‬‬

‫‪0 < a ≠1, x > 0‬‬

‫) ‪f ( −x ) = − f ( x‬‬

‫פונקציה יכולה להיות לא זוגית ולא אי –‬ ‫זוגית‪.‬‬ ‫אם פונקציה היא אי‪-‬זוגית אז כך גם ההופכית‪.‬‬ ‫הרכבה של פונקציה זוגית עם זוגית = זוגית‪.‬‬ ‫הרכבה של פונקציה זוגית עם אי‪-‬זוגית = זוגית‪.‬‬ ‫הרכבה של פונקציה איזוגית עם איזוגית = איזוגית‪.‬‬ ‫) ‪f ( x +T ) = f ( x‬‬ ‫פונקציה מחזורית ‪-‬‬ ‫‪ – T‬המחזור הראשי הקטן ביותר‪.‬‬ ‫ואז לכל ‪ k‬שלם‪:‬‬

‫) ‪f ( x + kT ) = f ( x‬‬

‫בפונקציה קבועה – אין מחזור ראשי‪.‬‬ ‫פונקציה חח"ע ‪ -‬אם‪:‬‬

‫) ‪x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x 2‬‬ ‫או‪f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x2 :‬‬

‫רציפות‬ ‫יש לזכור לבדוק את הגבול משני הצדדים‪.‬‬

‫) ‪lim f ( x) = lim− f ( x) = f ( x0‬‬ ‫‪x → x0‬‬

‫‪( a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3‬‬

‫‪x → x0 +‬‬

‫פונקציה גזירה היא בהכרח רציפה אך לא ההפך!‬

‫‪sin( −α ) = − sin α‬‬ ‫‪cos( −α ) = cos α‬‬ ‫‪tan( −α ) = − tan α‬‬

‫‪cot( −α ) = − cot α‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫חישובי‬ ‫גבולות‪( a − b)4 = a 4 − 4a 3b + 6a‬‬ ‫‪b − 4ab‬‬ ‫‪+ b4‬‬ ‫אם‪:‬משתנים‬ ‫החלפת‬ ‫‪. 1 log a x > log a y‬אם ורק‬ ‫‪sin(π / 2 − α ) = cos α‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫אינטגרלים‪( a + b) = ya −+15a b +1‬‬ ‫חישובי‪10a b + 10a‬‬ ‫‪b + 5ab‬‬ ‫אם ‪+ b–5 x>y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a>1‬‬ ‫= ‪cos(π /y2‬‬ ‫‪− αn) 1‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫אינטגרציה =‬ ‫‪5‬‬ ‫משתנים‬ ‫‪uxαdx‬‬ ‫מחליפים ‪=v‬‬ ‫⇒∫‪⋅u −‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫אם ‪>0‬‬ ‫‪(vu‬‬ ‫→‪a +'yb‬‬ ‫בחלקים ‪)51 =yan-5‬‬ ‫‪− 51a 4 b +n10‬‬ ‫‪a 3b2 − 10a 2 b3 +.5a<1‬‬ ‫‪ab4 −– bx<y‬‬ ‫‪∫v= '+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪tan(π / 2 − α ) = cot α‬‬ ‫החלפת משתנים ‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cot(π / 2 − αn) =1 tan‬‬ ‫‪α −1‬‬ ‫‪log xy = log a x + log a y‬‬ ‫‪+x‬‬ ‫‪lim x 3 )3 x 2 dx = =t = x 2 = ∫ cos(t )dt = sin( x 3 ) + ac‬‬ ‫(‪cos‬‬ ‫∫‬ ‫‪sin(π −xα‬‬ ‫‪→)0= sin α x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dt = 3x‬‬ ‫‪log a‬‬ ‫‪= log a x − log a y‬‬ ‫‪ -sin‬משתנה ישן הוא פונק' של משתנה חדש‪cos(π − α ) = − cos α‬‬ ‫החלפה ‪x /‬‬ ‫‪tan yx . 2‬‬ ‫הפוכה‬ ‫‪tan(π − α ) = − tan α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = 3 1 + x x 2 = ( y 3 − 1) 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1x+‬‬ ‫‪xdx‬‬ ‫‪= log‬‬ ‫‪cot(π −xsin‬‬ ‫= )‪α‬‬ ‫‪− cot‬‬ ‫‪α = x 3‬‬ ‫‪tan x‬‬ ‫‪arcsin‬‬ ‫‪x a x = − log a x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= = ‪dx‬‬ ‫‪3 ylim‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪lim= sin α / cos‬‬ ‫‪=αlim x = y =−lim‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪tanx α‬‬ ‫‪→0‬‬ ‫‪x →0 sin x‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫חישובי‪x log a‬‬ ‫‪x k = k log a x‬‬ ‫נגזרות‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪tan α=⋅ cot( αy =−‬‬ ‫‪1 1) y ⋅ 3 y dy...‬‬ ‫פונקציה חסומה כפול ‪0‬‬ ‫‪ . 1 . c‬כללי‬ ‫אינטגרלים מידיים‬ ‫אינטגרל‪(cos‬‬ ‫)לא משנה מה יש בתוך ה‪-‬‬ ‫קווי מעל שדה‬ ‫במכנה‪sin 2 α .‬‬ ‫וקוסינוס‪+ cos 2 α‬‬ ‫סינוס‪= 1 f‬‬ ‫בחקירה – להזהר לא לאבד‬ ‫של ‪( x0‬‬ ‫∆‪+‬‬ ‫‪x) −‬‬ ‫מעל‪f ( x0‬‬ ‫נפחˆ )‬ ‫אינטגרל( ‪f‬‬ ‫פיתרון‪x) −.‬‬ ‫תכונות‪f ( x‬‬ ‫שילוב‬ ‫יש‬ ‫כאשר‬ ‫בד"כ‬ ‫טריגונומטרית ‪-‬‬ ‫הצבה‬ ‫)‪0‬‬ ‫למשטח‬ ‫כפול ‪-‬‬ ‫מסוים‬ ‫אינטגרל‬ ‫=( ' ‪f‬‬ ‫‪xlim‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪log a x‬‬ ‫‪2 0 )f =, lim‬‬ ‫=‪f y ,2 αf1z ==0 f x iˆ + f y ˆj + f z k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫∇‪1‬‬ ‫‪+f1tan‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪1/‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪a− x0 = x.1‬‬ ‫‪log a a x = x‬‬ ‫‪xc‬‬ ‫‪→0‬‬ ‫‪x →x0‬‬ ‫‪dxxx=→ln0 fx(∆+x‬‬ ‫‪2u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∆‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫∫‬ ‫שדה ‪b‬‬ ‫‪x 2 , sin x 2=x‬‬ ‫‪=1tan‬‬ ‫= ‪, bcos x‬‬ ‫‪, dx‬‬ ‫=‬ ‫‪du‬‬ ‫אם‪:‬‬ ‫משמר‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ cot2‬‬ ‫‪DαII = 1/ sin α1 + u 2‬‬ ‫‪. 2 log x‬‬ ‫‪fD‬‬ ‫‪(IIx ) g ( 1‬‬ ‫‪x )+‬‬ ‫גזירות‪dxu‬‬ ‫=‬ ‫בבדיקת‪f ( c‬‬ ‫‪)∫g‬‬ ‫‪(0+‬‬ ‫שלבים) ‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫∫‬ ‫בלבד‬ ‫או‬ ‫של‬ ‫במצב‬ ‫∇‬ ‫= ‪= Fx‬‬ ‫‪Pdx‬‬ ‫‪0‬החשודה )נק' תפר ‪a‬בין‪+c Qdy‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x α‬ע"י‪−‬‬ ‫המקרים(‪+‬‬ ‫‪log a.1x = .4 b‬‬ ‫‪0 < b ≠1‬‬ ‫בדיקת∞‪a‬‬ ‫‪∫ lnf xdx‬‬ ‫גבול‬ ‫בנק'‬ ‫רציפות‬ ‫‪sin(2‬‬ ‫של== ) ‪α‬‬ ‫‪2 sin‬‬ ‫‪αx cos‬‬ ‫כפול‪:‬‬ ‫אינטגרל‬ ‫מציאת‬ ‫פונקציות‬ ‫חקירת‬

‫∫‬

‫)‬

‫∫∫‬

‫‪log b a‬‬

‫אז‪:‬‬ ‫הפונקציה המקורית‪.‬‬

‫∫‬

‫‪a‬‬

‫(‬ ‫∫∫‬

‫‪b‬‬

‫‪2‬‬ ‫הגדרה‪.‬‬ ‫סינוס כפול‪.1 .1‬‬ ‫‪f ( x )dx =−‬‬ ‫תחום( ‪f‬‬ ‫קוסינוס‪x‬‬ ‫תחום)‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪cos(2‬‬ ‫החשודה‪α −x +sinc 2 .‬‬ ‫‪α‬‬ ‫בנק'∫‬ ‫מסוג ‪∫I‬‬ ‫‪∫ sinαx )dx= =cos− cos‬‬ ‫הגדרת הנגזרת‬ ‫ע"י‬ ‫גזירות‬ ‫‪.2‬בדיקת‬

‫מקרים‪=,‬נק'‪P‬‬ ‫‪fx, Q‬‬ ‫)נק' ‪=2 f y ,‬‬ ‫בעייתיות‪Py‬‬ ‫‪f xy0523503603‬בנק'= ‪= Q x‬‬ ‫נוצר‪.2‬ע"י ג'ד‬ ‫חפיפה בין‬ ‫אסימפטוטות‪ :‬גבולות‬

‫‪Dcos‬‬ ‫לחוד‪=αX.‬‬ ‫מקרה‪( x2=,‬‬ ‫≤‪−c‬כל‪y)x|α+a‬‬ ‫באופן ≤ ‪x‬‬ ‫אלא‪b, f1‬‬ ‫הגדרה) ‪( x‬‬ ‫)לא ‪f‬לפי≤ ‪≤ y‬‬ ‫הפונקציה‪x‬‬ ‫‪)}m‬‬ ‫‪cos(2‬‬ ‫‪){dx‬‬ ‫=‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫רגיל( –‬ ‫‪3 M .2 a‬‬ ‫⇐( ‪2‬‬ ‫=אי‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪sin‬‬ ‫⇒‪(0x‬‬ ‫≤‪) .‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪⇒u ln‬‬ ‫לבדוק(=‪yf a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x≤sin‬‬ ‫גזירת‪=f‬‬ ‫את‬ ‫חשוב‬ ‫הגדרה(‪.‬‬ ‫ומשמאל‪∫ uIx! x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪xdx‬‬ ‫=‬ ‫‪= t dt‬‬ ‫מימין‪u ⇒ yu‬‬ ‫הגבול ‪u2x‬‬ ‫)‪x‬‬

‫חזקה בודדת‪:‬‬

‫∫‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫→ ‪x‬ב'‪.‬‬ ‫שלבים ‪0‬א'‪,‬‬ ‫‪.4‬חזרה על‬ ‫אסימפטוטות משופעות‪:‬‬ ‫‪.3cos‬‬ ‫= ‪dt‬‬ ‫‪xdx‬‬

‫‪∫b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪= 1 − 2 sin α‬‬

‫‪xcos(2‬‬ ‫) ‪→0 α‬‬

‫גאומטריה אנליטית‬ ‫= ‪1 R = ∫ F ( R( t ) ⋅ R2 '(t ) dt‬‬ ‫‪∫=c∫ Fd‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫‪ds‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫דו‪-‬מימד‬ ‫‪ylim‬‬ ‫‪kx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫(‬ ‫‪b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‬ ‫≤‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫≤‬ ‫‪M‬‬ ‫(‬ ‫‪b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‬ ‫משנה‪:‬‬ ‫איזוגי‪+‬לא‬ ‫‪tan(2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪/(1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪α‬‬ ‫)‬ ‫לוגריתמית = ‪ln2 xy = c0 ⇒ ln(lim y∫) = ln 1 ⇒ lim y‬‬ ‫‪=.13‬גזירה‪1 ⇒ lim x‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪xD‬‬ ‫‪→II0‬‬ ‫→ ‪ax3‬‬ ‫‪x→0 a‬‬ ‫‪→0 2‬‬ ‫‪ax0cos‬‬ ‫)‬ ‫‪a f13( x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪xdx‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(1 −xsin‬‬ ‫‪.1‬מרחק הנקודה ‪ x0 , y 0‬מהישר ‪ Ax + By + C = 0‬הוא‪x ) cos xdx :‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪b α‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪sin(3‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3sin‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪α‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪′‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪1y‬‬ ‫‪)′dx== − cot‬‬ ‫או‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫)‬ ‫‪lnu‬‬ ‫‪b‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫⋅‬ ‫‪b( ln‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=(∫ ‪k R‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫זוויתמסוג ‪II‬‬ ‫תחום‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪L '( t ),‬‬ ‫חזקות(‪3 ( t ) ⋅:‬‬ ‫→‪2‬‬ ‫להוריד‬ ‫כדי‬ ‫פעמיים‬ ‫כפולה‬ ‫בנוסחאות‬ ‫שימוש‬ ‫‪= sin‬‬ ‫‪F‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫('‬ ‫‪t‬‬ ‫))‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪cos(3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3cos‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪x‬‬ ‫זוגי‪+‬זוגי‪xx ) ≤ M g ( x ) d = Ax0 :‬‬ ‫‪+ By0 + C / A2 + B 2‬‬ ‫∫‬ ‫≤ ) ‪mx∫g ( x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪ln xd , g‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2(xy)} ′‬‬ ‫=‪D‬‬ ‫‪|)clim‬‬ ‫‪( ya=)/=lim‬‬ ‫‪xxβcos‬‬ ‫‪a x= { ( x , y‬‬ ‫(‪2cos‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪1x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫(‪sin‬‬ ‫≤‪ax‬‬ ‫‪/+k2yR‬‬ ‫‪β,sin‬‬ ‫‪−−‬‬ ‫=‪/‬‬ ‫‪2)g‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‪x−f=xyln(2)ax‬‬ ‫‪=m‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪e2≤ln‬‬ ‫‪dx =β‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪ce‬‬ ‫‪y sin‬‬ ‫=‬ ‫‪xα +xlim‬‬ ‫⇒‬ ‫‪ln‬‬ ‫=‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫≤‪x+x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪(ln‬‬ ‫≤‪x‬‬ ‫זוגית‪(ln‬‬ ‫חזקה‪x +‬‬ ‫)‪1) (1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪f+‬‬ ‫⇒‪(11x2‬‬ ‫=‪)a−yk:L‬‬ ‫של‪x x x‬‬ ‫)‪a/ 2‬‬ ‫סינוס‬ ‫‪R‬‬ ‫') ‪Ly‬‬ ‫) ‪y − y 0 = f ' ( x 0 )( x − x0‬‬ ‫‪∫ tan‬‬ ‫‪.2‬משוואת משיק ‪:‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫∞‬ ‫‪x →∞ d‬‬ ‫→‪xx‬‬ ‫‪g 2 ( yx )→ ∞x →−∞ 2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫)‪sin α − sin β = 2 sin( a / 2 − β / 2) cos( a / 2 + β / 2‬‬ ‫משופעת‪.‬‬ ‫אסימפטוטה‬ ‫‪ Q‬אין‬ ‫אם ‪ m‬או ‪k‬‬ ‫‪.3‬משוואת נורמל ‪x − x0 + f ' ( x0 )( y − y 0 ) = 0 :‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪c, ydy‬‬ ‫‪Ffdx (dx‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‪Px (+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪) dxb2+‬‬ ‫לא‪x,+yy‬‬ ‫‪) dy‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫מוחלט(‬ ‫ערך‬ ‫מקרים‪,‬‬ ‫=‪x=,β‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫קיימים –‪f‬‬ ‫‪(a(x1‬‬ ‫‪ . 4e . 5‬פונקציה לא ‪.4‬נק' ‪2 x‬‬ ‫‪∫c∫ cot‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫הנגזרת‪α.‬‬ ‫‪+ cos‬‬ ‫∫=‬ ‫הגדרה‪2‬‬ ‫(‪cos‬‬ ‫למשל‪/ 2 +‬‬ ‫‪β‬‬ ‫)לפי‪/ 2x,‬‬ ‫‪− cos‬‬ ‫‪β) dx‬‬ ‫אלמנטרית‪/‬‬ ‫קיצון)‪2‬‬ ‫של‬ ‫(‪+ (/02)=cos‬‬ ‫ראשונה‬ ‫)נגזרת‬ ‫תחום‪1 a‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪:‬‬ ‫קוסינוס‬ ‫של‬ ‫זוגית‬ ‫חזקה‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪c‬‬ ‫)גבולות(‪.‬‬ ‫בעייתית‬ ‫‪.1‬בודקים רציפות בנקודה‬ ‫תלת‪-‬מימד ‪ -‬מישור משיק למשטח‬ ‫‪x‬‬ ‫המקורית‪f ( x,‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫‪e) dx‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫תחום‪D‬‬ ‫≤ ‪c‬‬ ‫‪(f‬‬ ‫‪y )( x‬‬ ‫של‬ ‫בנק'‬ ‫ערך‬ ‫לבדוק‬ ‫קצה‪a‬‬ ‫‪II α‬‬ ‫אלא‪∫a=++‬‬ ‫)‪12‬‬ ‫)‪2/ 2‬‬ ‫בנקודות‪x‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪−lim‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪β1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‪2 sin‬‬ ‫הפונקציה ‪+‬‬ ‫אינו‪β g‬‬ ‫∫‪/‬‬ ‫(‪sin‬‬ ‫את‪/ 2‬‬ ‫גם‪− β‬‬ ‫תלוי‪y a=/ 2e‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫שדהיש ‪1‬‬ ‫רק‬ ‫‪y‬‬ ‫במסלול‬ ‫האינטגרל ‪a‬הקווי‬ ‫משמר‬ ‫זו‪.‬‬ ‫בנקודה‬ ‫הגדרה‬ ‫אם ע"פ‬ ‫‪.2‬גוזרים‬ ‫‪a‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ .1‬יהי משטח ‪z = F ( x, y ) -‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ההגדרה‪.‬‬ ‫‪∫ y→ln0 a‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫הקצה של התחום‪x :‬‬ ‫‪sinu‬‬ ‫‪α cos‬‬ ‫‪βu‬‬ ‫הגדרה‪)+.‬‬ ‫(‪sin‬‬ ‫‪α−‬‬ ‫=‪β‬‬ ‫‪)u) 1‬‬ ‫בנקודה‪:‬‬ ‫‪.1‬משוואת מישור משיק למשטח‬ ‫(‪u β = 1/ 2 ( sin‬‬ ‫‪u xa +sin‬‬ ‫ותחומי‬ ‫קיצון‬ ‫נק'‬ ‫טבלת‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫כפול‪:‬‬ ‫אינטגרל‬ ‫תכונת‬ ‫ב‪-‬‬ ‫ולהשתמש‬ ‫לקצר‬ ‫ניתן‬ ‫(‬ ‫‪3‬��� ‫)‬ ‫היא זוגית‪:‬‬ ‫הפונקציה ‪F‬‬ ‫כאשר‬ ‫סתומה‬ ‫פונקציה‬ ‫‪. 5 .4‬‬ ‫הגדרה‪1.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תחום‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫שניה‬ ‫)נגזרת‬ ‫קמירות‪/‬קעירות‪/‬פיתול‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪Fd‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‬ ‫∇‬ ‫‪fd‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪R‬‬ ‫(‬ ‫‪b‬‬ ‫))‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪R‬‬ ‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫))‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫‪F‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫()‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪arctan‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪m‬‬ ‫≤‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫≤‬ ‫‪M‬‬ ‫‪:‬‬ ‫אזי‬ ‫‪D‬‬ ‫בתחום‬ ‫אם‬ ‫ומציבים‪a .‬‬ ‫–‪a α +‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪1/‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫שני )‪− βe‬‬ ‫(‪− cos‬‬ ‫פונקציה שבה לא ניתן לבודד את ) )‪β y‬‬ ‫(‪( cos‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪y ( x 0 , y 0 )( y − y 0‬‬ ‫‪∫c∫f1α'+'sinx(lim‬‬ ‫גוזרים‬ ‫‪2 β =∫1‬‬ ‫‪+2 0‬‬ ‫צדדים ‪‬‬ ‫אופציה נוספת לזוגי‪+‬זוגי‪:‬‬ ‫> ‪x )‬‬ ‫‪è‬‬ ‫‪x →∞ c‬‬ ‫‪.2‬משוואת הנורמל )אנך למשיק בנק' השקה(‪:‬‬ ‫‪x) dx‬‬ ‫≤( ‪= 2)∫dsfα‬‬ ‫‪))dx‬‬ ‫(‪x((cos‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫≤‪1/1f2‬‬ ‫∫‪a‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪S (D‬‬ ‫‪) α=cos‬‬ ‫∫=‪mβ ‬‬ ‫‪ds = Mn −⋅1 S ( D‬‬ ‫ולפי ∫ )‬ ‫‪∫ds‬‬ ‫‪ ) .6‬‬ ‫‪1βM‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫(‪,f+xy(βx)),+ycos‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫מקרים‬ ‫פונקציה ‪x‬פרמטרית‬ ‫‪‬‬ ‫‪=∫f f'2 '(1(xbx2,∫dx‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪arctan‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪I‬‬ ‫=‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⋅‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪N‬‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‬ ‫‪I‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫‪y‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪D b sin α cos‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ואת ‪∞y‬‬ ‫‪a t α‬‬ ‫‪x n −0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪0 ), −1‬‬ ‫‪nD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫cos‬‬ ‫השניה‪sin(aα.‬‬ ‫הגדרה‪βa ‬‬ ‫ולא‪+a‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪β ±n‬‬ ‫לחלצם‪.‬‬ ‫ניתן‬ ‫של‬ ‫כפונקציה‬ ‫‪x±‬‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ ‫פונקציה שבה‬ ‫הנגזרת= ) ‪++ xβ‬‬ ‫כולל ‪a‬‬ ‫ורק ‪‬‬ ‫ותחומי‬ ‫נגזרת‬ ‫נק'‬ ‫טבלת‬ ‫‪.F‬‬ ‫במצב‪7‬‬ ‫אי‪-‬זוגית‪,0:‬‬ ‫עקומה⋅‬ ‫∞‬ ‫אינטרגלשל‬ ‫לופיטל ‪-‬‬ ‫היא‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪.6‬כאשר‬ ‫אם‪:‬‬ ‫שניה‪ ,,0‬אם‬ ‫סגורה =‬ ‫על‬ ‫‪±‬‬ ‫לקואורדינטות‪∞′ +‬‬ ‫גרף‪.‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫(‪sin‬‬ ‫‪−‬‬ ‫שימושים‪′‬‬ ‫רציונאלית‬ ‫פונקציה‬ ‫‪f (αt )P‬‬ ‫‪(t1),αP‬‬ ‫‪ycos‬‬ ‫⇒ ‪(ta))β+‬‬ ‫‪f α′ ( sin‬‬ ‫‪t0‬‬ ‫אינטגרלים‪=β‬‬ ‫‪gQ‬‬ ‫של‪g‬‬ ‫‪asin‬‬ ‫)פולינום‪/‬פולינום(‪)y‬‬ ‫מתקיים) ‪( t‬‬ ‫קוטביות‪:‬‬ ‫מעבר‬ ‫‪1−=yβ g)=(=xQ‬‬ ‫‪xKcos‬‬ ‫משמר )‪x x ( t-‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫=‬ ‫שדה‬ ‫=אין‪x , lnz‬‬ ‫‪xc, K‬‬ ‫חיתוך עם ‪z‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫שבאמת‬ ‫‪+‬‬ ‫אומר‬ ‫אינו‬ ‫הדבר‬ ‫מקבלים גבול‬ ‫לופיטל לא‬ ‫אם ע"י‬ ‫הצירים‪.‬‬ ‫תחומי‬ ‫‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫חיובית‪:‬‬ ‫דטרמיננטה‬ ‫‪b‬‬ ‫‪z=f‬‬ ‫)‪(x,y‬‬ ‫של‬ ‫ומינימום‬ ‫מקסימום‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫‬ ‫(‪cos‬‬ ‫‪αf−+(xxβ,) y‬‬ ‫‪= cos‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪βx−f0sin‬‬ ‫‪α, θ‬‬ ‫‪sin) β⋅ r ⋅ drdθ‬‬ ‫=‪fta((αxx‬‬ ‫ורציף‪(fr:‬‬ ‫פשוט‬ ‫תחום‬ ‫וגם‬ ‫קשר‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫לנסות‬ ‫צריך‬ ‫אלא‬ ‫גבול‪,‬‬ ‫∫(‪f a‬‬ ‫‪x, y ) = ∫g) ds‬‬ ‫ומקסימום‪(2‬‬ ‫‪,)dx‬‬ ‫∫‪ya‬‬ ‫= ‪))−‬‬ ‫⇒‬ ‫לגורמים(‪(xt)( x−:‬‬ ‫נקודות ‪,‬‬ ‫)) ‪y‬‬ ‫אחרת‪⋅.‬‬ ‫‪tdx‬‬ ‫מציאת‪,‬‬ ‫מתקיים‪f-:y‬‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫))‬ ‫⋅‬ ‫‪t‬‬ ‫יותר‬ ‫גדולה‬ ‫במכנה‬ ‫‪.3‬מעלה‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫מקומיים(‪:‬‬ ‫)מינימום‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫קיצון(‪x = fg‬‬ ‫)פרוק ‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪cos‬‬ ‫כולו) ‪−1 β‬‬ ‫‪=−f acos‬‬ ‫‪α cos‬‬ ‫‪α∫xsin‬‬ ‫בתוך‪R α‬‬ ‫‪R‬‬ ‫יעבור‬ ‫מהתחום‬ ‫נקודות‬ ‫בין ‪2β‬‬ ‫כשיר ‪ -‬קו‬ ‫שטחתחום‬ ‫‪.1 .D‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪f‬‬ ‫('‬ ‫)‬ ‫‪β x+ sin‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪a,b‬‬ ‫קריטיות‬ ‫נקודות‬ ‫מוצאים‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪=, arcsin‬‬ ‫התחום‪.‬‬ ‫‪fcos‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫‪=cθ−, tan‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪r sin‬‬ ‫=‪x∫ x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫≤‪0+‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫(‪tan‬‬ ‫‪α=2r+x2lim‬‬ ‫= ‪β()2t‬‬ ‫‪(tan‬‬ ‫‪α=+=xlim‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪βc)+/(1‬‬ ‫‪α tan‬‬ ‫‪β )2π‬‬ ‫≤ ‪2b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ax4‬‬ ‫→‬ ‫רק‪‬‬ ‫התחום‪ax.‬‬ ‫→‪−‬‬ ‫‪x0 +‬‬ ‫‪0a,b‬‬ ‫⇒‪f(x‬‬ ‫()(‬ ‫>=‪x2y)x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫מכילה‪(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בנק')‬ ‫שם‪.‬‬ ‫רציפות‬ ‫והן‬ ‫שניות‬ ‫נגזרות‬ ‫קיימות‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪h‬‬ ‫(‬ ‫‪g‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫('‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫⇒‬ ‫‪y‬‬ ‫('‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫בהם‬ ‫לקטעים‬ ‫לפרק‬ ‫יש‬ ‫‪:‬‬ ‫הערה‬ ‫של‬ ‫נקודות‬ ‫בתחום‬ ‫סגורה‬ ‫עקומה‬ ‫על‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x) dx‬‬ ‫להציב ‪t X‬‬ ‫תחום‬ ‫צריך‬ ‫אם רוציםקירוב‬ ‫הזוויות‪f‬‬ ‫חלקים(‬ ‫‪x )−dx‬‬ ‫לשנות( ‪f‬‬ ‫גם‪dxα‬‬ ‫‪+‬‬ ‫לינארי‪x‬‬ ‫(‪tan‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫את)∫‪β‬‬ ‫‪/(1‬‬ ‫‪+x )tan‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫ללא‪βf‬‬ ‫כסינוס‪)(,‬‬ ‫בהתאם‪=−1.‬‬ ‫יותר‪gβ,‬‬ ‫‪()t )=∫(tan‬‬ ‫בעל‬ ‫או‬ ‫=‪2‬‬ ‫מורכב‬ ‫לא‬ ‫חורים‪,‬‬ ‫‪.4‬מעלה∞במונה גדולה יותר‪.3:‬התחום‬ ‫מ‪b-‬‬ ‫והוא‪ yα‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫‪f x2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c= f‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪1 .7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫(‪ftan‬‬ ‫=‪(∫ x )α 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∆‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫≈‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪df‬‬ ‫=‬ ‫‪+ β ) − tan‬‬ ‫‪0 α −Ltan‬‬ ‫‪))tan‬‬ ‫מעבר‪α‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫שפה–‪β‬‬ ‫(‪=5 β∫ = 1tan‬‬ ‫לנפח‪+0αf +'(βx‬‬ ‫סגורה‪dx.‬‬ ‫הפוכה‬ ‫פונקציה‬ ‫‪ C‬של‬ ‫‪ . 7 D‬נגזרת‬ ‫עקומה ‪:‬‬ ‫אורך‬ ‫אינטגרל‪.X1‬‬ ‫משולש‬ ‫נתון‪4 x:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x ± a2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫של‬ ‫כפונקציה‬ ‫‪– a, b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מתוך שדה‬ ‫‪.f+‬‬ ‫הפוכה‬ ‫פונקציה‬ ‫אינטגרל היא‬ ‫‪g+‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מציאת‪+ x‬‬ ‫לא ‪+‬‬ ‫==‬ ‫הפוטנציאל‪ff+xxx‬‬ ‫‪ff+‬‬ ‫‪−xdv‬‬ ‫פונקציתשל ‪f‬‬ ‫נגדיר‪:‬‬ ‫‪/)2a(dv‬‬ ‫‪=ar‬‬ ‫‪fcsin‬‬ ‫‪( xα0 )++arccos‬‬ ‫‪xα, 0y=),⋅πlim‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪f⋅bV‬‬ ‫=‪(Dx0‬‬ ‫‪),2‬‬ ‫‪(E‬‬ ‫( '( ‪2f‬‬ ‫) ‪20‬‬ ‫‪yy'1‬‬ ‫אמיתי ‪0 )xy⋅ ( x −‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫הכולל‪I‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪,‬‬ ‫∫‪A‬‬ ‫נפח‪x :‬‬ ‫אינטגרל∫על ‪x + 4) P‬‬ ‫ביטוי‬ ‫‪.1x .2 1 3 + x 2 x + 4‬‬ ‫ומקבלים‪∫x‬‬ ‫של()‪∫(b3 + xx‬‬ ‫מבצעים∫ ∫‬ ‫‪x →2‬‬ ‫כפונקציה‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫∫‬

‫∫‬

‫∫‬

‫(‬

‫)‬

‫∫∫‬

‫∫∫‬

‫‪.1‬סוג ראשון‪:‬‬ ‫=‪dx =aA ln‬‬ ‫‪x −ea + C‬‬ ‫מקומי‬ ‫מקסימום‬ ‫‪∫ x − alim‬‬ ‫‪B‬‬ ‫='‬ ‫במכנה = )‬ ‫‪.fy)’g‬‬ ‫את‪)x‬‬ ‫חלקים‪yB‬פעם בחזקה ראשונה‪ b‬ופעם‬ ‫ל‪2' (-‬‬ ‫מחלקים‬ ‫בחזקה→ ‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪g‬‬ ‫'‬ ‫(‬ ‫‪y‬‬ ‫‪.5‬אם יש ריבוע )‬ ‫משולש‪:‬‬ ‫אינטגרל‬ ‫מציאת‬ ‫=‪f xx ( aA, b) <V0,f‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪>1)dx‬‬ ‫=‪0f 2‬‬ ‫גבוה‬ ‫מסדר‬ ‫נגזרת‬ ‫השניה‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫של‬ ‫כפונקציה‬ ‫‪P‬‬ ‫את‬ ‫גוזרים‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ציר‬ ‫סביב‬ ‫סיבוב‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫סנדוויץ‬ ‫‪.8‬‬ ‫בציר∫‪dx∫= A ⋅ :Z‬‬ ‫משטחים‪( xn−‬‬ ‫∫ ‪a) +‬‬ ‫תחום בין שני‪C‬‬ ‫מינימוםגוף‬ ‫‪.1‬גוף מסוג ‪- I‬‬ ‫∫‬ ‫מקומי‬ ‫∞‬

‫‪b‬‬

‫‪1− n‬‬ ‫∞→‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫ומחלצים ‪‬‬ ‫‪( x − fa )(n x)a≤ g( n(1)x−a)n ≤ .(hg(y‬‬ ‫) ‪(k‬‬ ‫‪(Q‬‬ ‫ל‪n −-‬‬ ‫‪.3‬משווים) ‪k‬‬ ‫‪(‬‬ ‫את)‪xn‬‬ ‫מיידיות‬ ‫‪ . 8‬נגזרות‬ ‫טור טיילור‬ ‫שלילית‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪f‬‬ ‫‪⋅g‬‬ ‫‪ kD‬‬ ‫‪,fϕ1b( x‬‬ ‫‪E If xx=((Ax‬‬ ‫∑‪{ax(,)xb+⋅,)Bgy>(,bx0,z)))D| (>xd=,0y‬‬ ‫)‬ ‫∈‬ ‫'‪, y) ≤sin‬‬ ‫=‪z ≤xϕ‬‬ ‫‪(cos‬‬ ‫לריבוע‪x:‬‬ ‫דטרמיננטהמכנה}‪, y)x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫השלמת‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪<=0 C‬‬ ‫‪fV‬‬ ‫ראשון‪(‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫סיבובי‪g‬‬ ‫‪).2= C2‬‬ ‫=( )‪f‬‬ ‫‪xlim‬‬ ‫‪) dx‬‬ ‫‪)4xq))lim‬‬ ‫קווי( ‪f‬‬ ‫(''‪fx‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫אינטגרל‪c‬‬ ‫אוכף‪) ( x‬‬ ‫)‪f (c‬‬ ‫מסוג‬ ‫=‪(ffap2'(2h(−c‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫=‪∫∞(dxfx‬‬ ‫⇒‪∫:(y)x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ציר‬ ‫‪∫ x 2 f+lim‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫סביב‪, y ) x‬‬ ‫→(‪x‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫'‪→a cos‬‬ ‫‪x )a+=dx‬‬ ‫יהיה‪(=c:‬‬ ‫∫‪)π+‬‬ ‫→(‬ ‫‪xdy‬‬ ‫∞‪−ϕ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪( xcx‬‬ ‫=‪c‬אם‪−‬‬ ‫‪) −‬‬ ‫‪+sin‬‬ ‫‪... +x‬‬ ‫) ‪( x − c )n + Rn ( x‬‬ ‫‪2ca‬‬ ‫‪px‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫לעקומה‬ ‫מתחת‬ ‫השטח‬ ‫אז‬ ‫חלק‬ ‫קו‬ ‫‪Dn< 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫!‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫!‪1‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫!‬ ‫‪ . 9‬הרכבה של‬ ‫פונקציות ‪2 f ( x, y ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪fx 2(b x‬‬ ‫‪,xy+‬‬ ‫עקומות(‪, z2:‬‬ ‫= ∫‪)dv‬‬ ‫‪dz=dv‬‬ ‫‪.2‬סוג‪x‬שני ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪cosh‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2)D=0‬‬ ‫‪ k1‬‬ ‫= ∫‪‬‬ ‫‪+ 7‬‬ ‫לא) ‪2z‬‬ ‫'‪1 sinh‬‬ ‫)בין‪2 1‬‬ ‫ציר ‪x/‬‬ ‫סביב‬ ‫חיסור‬ ‫‪Bg(−x‬‬ ‫‪Ap‬‬ ‫נפחים‪x-‬‬ ‫‪+/f4‬‬ ‫‪plim‬‬ ‫לדעת‬ ‫ניתן‬ ‫‪k‬‬ ‫!‬ ‫!)‬ ‫הפונק' ‪2‬‬ ‫‪2( n − klim‬‬ ‫חסומה‪.‬‬ ‫לא‬ ‫שבסביבתן‬ ‫נקודות‬ ‫) ‪a,bf (a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫(‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫))‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪aln‬‬ ‫רציפה (ב‪-‬‬ ‫‪(+t ),‬ו‪f-‬‬ ‫אם‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y ) ds‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫))‬ ‫‪D‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪y‬‬ ‫'‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‪=E I A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪px‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪arctan‬‬ ‫ומקסימום‪) xn0+1 k1‬‬ ‫חילוק )‪ n +1‬‬ ‫פולינמים‪.‬‬ ‫מינימום‪≥2f (1 xb) ‬‬ ‫'‪≥ g ( 1xcosh‬‬ ‫מציאת‪)x‬‬ ‫מוחלטים‪∫a b x −:‬‬ ‫ב‪ .‬או ביצוע ‪x‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫אם‬ ‫→‪2‬‬ ‫‪ x.03x. 2=(sinh‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מיידים(‪q − .‬‬ ‫מציאת ‪q −‬‬ ‫‪c‬‬ ‫אינטגרלים‬ ‫)ראה‬ ‫בנוסחאות‬ ‫או‬ ‫קריטיות‪4 p‬‬ ‫המתאימות‪4 p ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫בתחום‪.‬‬ ‫נקודות‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫ג‪n +.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫הצבה‪1)(x‬‬ ‫)))‬ ‫=⋅=‪dx‬‬ ‫∫ ‪lim‬‬ ‫‪f ( x )R‬‬ ‫לגורמים‪ ,‬לדוגמא‪dx(x ) =:‬‬ ‫‪Rlim‬‬ ‫‪≤(fg((x‬‬ ‫‪max‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪c‬‬ ‫)‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫פישוט‬ ‫‪ , c ≤ z ≤ x‬ד‪.‬‬ ‫בלבד(‬ ‫‪2‬‬ ‫)היטל‬ ‫‪:‬‬ ‫יהיה‬ ‫‪x‬‬ ‫לפי‬ ‫‪2‬‬ ‫קוי‬ ‫אינטגרל‬ ‫∫) ‪n (x‬‬ ‫[‬ ‫‪c‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫]‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫→‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪arcsin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫בשפה‪.‬‬ ‫ומינימלי‬ ‫מקסימלי‬ ‫ערך‬ ‫מציאת‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫בציר‬ ‫משטחים‬ ‫שני‬ ‫בין‬ ‫תחום‬ ‫גוף‬ ‫‬‫‪II‬‬ ‫מסוג‬ ‫גוף‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V =π‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫))‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫))‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪a +ε‬‬ ‫בסעיפים !)‪1‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪∫xdx‬‬ ‫הנ"ל‪0 a (n +.‬‬ ‫!)‪Bx.3+ C (n +11‬‬ ‫‪b‬‬ ‫בין‬ ‫‪−x2‬‬ ‫הערכים ‪dx‬‬ ‫השוואה‪A‬‬ ‫‪b −ε‬‬ ‫משתנים‬ ‫‪2‬‬ ‫של‬ ‫פונקציה‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫אילוץ‪E II =f∫{((xx3,a,yyb):‬‬ ‫‪, ds‬‬ ‫=| )‪z‬‬ ‫=(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)‬ ‫∈‬ ‫‪D‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)‬ ‫≤‬ ‫‪y‬‬ ‫≤‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)‬ ‫}‬ ‫לופיטל‬ ‫‪ . 10‬כלל‬ ‫תנאי‬ ‫מינימום‬ ‫מציאת‬ ‫‪.2a‬‬ ‫∫‪1y (t‬‬ ‫עם(‪f‬‬ ‫=‪(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ומקסימום‪2‬‬ ‫‪(lim‬‬ ‫‪t ),‬‬ ‫))‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪' ()tdx‬‬ ‫‪)xdt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫∫dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫‬ ‫ל‪:X .-‬‬ ‫חלקית‬ ‫הגדרת‪−‬נגזרת‬ ‫∫‪x +‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫≥‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫≥‬ ‫‪h‬‬ ‫אם‬ ‫‪4‬‬ ‫∫‬ ‫→‪f ( x ) a ∞  0ε‬‬ ‫)‬ ‫=‪x‬‬ ‫'‪)0ϕ+2 (ax , z ) f ' ( xarccos‬‬ ‫‪C z = lim‬‬ ‫=‪ff((bxx0 ,+ay∆) x, y‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נוסחא‪...‬‬ ‫ההמשך ‪2‬לפי‬ ‫‪lim n‬‬ ‫ישר‪0n 0 =:‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫פרמטריזציה( '‪‬‬ ‫‪ n dv‬‬ ‫‪ n  n −k k‬‬ ‫‪ n  n −1‬‬ ‫של‬ ‫‪lim xf→(xx‬‬ ‫קו‪nx →x‬‬ ‫‪−,‬‬ ‫‪1 z ) dy‬‬ ‫‪n −2‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0 ,‬‬ ‫( ‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2xny‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫∞‬ ‫‪0‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‬ ‫‪y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)‬ ‫‪dv‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ +‬‬ ‫‪a b + + ‬‬ ‫‪∆g‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪(0xπ‬‬ ‫‪, y∫) ‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)‬ ‫‪dx‬‬ ‫∆‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n −1‬‬ ‫הבינום של ניוטון ‪ab + b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪CE II: R(ta) = (1 −t ) R 0 +Dt R‬‬ ‫משתנים‪( x) (t),‬‬ ‫)) ‪y (t‬‬ ‫= ‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ( x , z‬‬ ‫‪: ϕ‬‬ ‫‪  ‬קירוב ‪2‬לינארי ‪‬‬ ‫'‪tan‬‬ ‫המערכת‬ ‫נפתור את‬ ‫של )‪.(4x2‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .11‬אסור‬ ‫‪n ‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫≤ ‪0f‬‬ ‫≤‪( x,t y‬‬ ‫קווים(‪) =1 f ( x0 +:‬‬ ‫)בין‪+‬שני‪∆x, y‬‬ ‫ה‪ .‬חיסור נפחים סביב ציר≈‪∆y )y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫= ) ‪∇ ( f − λb g‬‬ ‫‪0, λ ≠0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪sin x − x ≠ 0‬‬ ‫!) ‪k  k!(n − k‬‬ ‫'‪≈ f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 ) ∆x + f y ( x0 , y0 )∆ycot‬‬ ‫= ) ‪(x‬‬

‫הערה‪sin 2‬‬ ‫‪x . 12‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫ ∫∫‬

‫∫∫∫‬

‫∫ ∫∫‬

‫∫∫∫‬

‫‪x →0‬‬

‫‪x , y .5‬‬

‫‪0‬‬

‫∫ ‪V = 2πg‬‬ ‫‪xf ( x )dx‬‬ ‫‪∆y = y −(yx,, y∆) x==0 x − x‬‬ ‫‪a 0‬‬

‫הנ"ל שיתנו את הערך המקסימלי והמינימלי יהיו‬


asdfsdf