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4º de ESO

MATEMÁTICAS Colegio Teresiano del Pilar

BLOQUE DE ANÁLISIS A NÁLISIS

1. Indica las características generales de las siguientes funciones:

2. Estudia la simetría de las siguientes funciones: a) y = 3 x b) y = 3 x + 2 c) y = 5 x 2 + 3 3. Si f(x) = |x|, g(x) = 3x y h(x) = x2 + 4, Calcula las siguientes funciones: g (x ) a) 3 ⋅ f ( x ) b) f ( x ) + 2 ⋅ g ( x ) c) g ( x ) ⋅ h( x ) d) h( x ) 2 4. Dadas las funciones f ( x ) = 5 x + 3 y g ( x ) = x + 7 . Calcula las funciones ( g  f )( x ) y ( f  g )(x ) 5. Considera la función f ( x ) = 2 x + 2 . Halla la función recíproca de f (x) . Representa la función f (x) y su recíproca. ¿Cómo son respecto de la recta y = x? 6. Dada la función f ( x ) = 3 x 2 − 5 . Halla la función f 7. Representa las siguientes funciones. a) f ( x) = 2 x 2 − x + 2 b) f ( x) = 2 x 2 + x − 6 x 2  c) f ( x) =  x + 2 2 

si

x < −1

si si

−1 ≤ x ≤ 1 x >1

si 4  2 d) f ( x) =  x si 2 x − 3 si 

−1

(x ) . Calcula ( f −1  f )( x)

(

y f f

x < −2 −2 ≤ x < 4 x≥4

8. Estudia la continuidad de las funciones que aparecen en el ejercicio 7.c y 7.d. 9. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: 1 si x < 1  x 2 − 1 si x ≤ 0  x + 1 si x < 2  a. f ( x) =  b. f ( x) =  c. f ( x) =  x  2 x − 1 si x ≥ 2  2 x − 3 si x > 0  x + 1 si x ≥ 1  10. Calcula los siguientes límites. x3 − 2 x 2 − 6 x + 12 = x→2 x 2 + 3 x − 10 x4 + 2 x2 − 3 b. lim 2 = x →∞ x − 7 x + 5 x3 − 1 c. lim 3 = x →1 x + 2 x 2 − 3 x 6 x2 − 5 = d. lim 2 x →∞ 3 x − 5 x + 2

a. lim

x2 + x4 = x →0 x 6 − x 2 4 x3 − 5 f. lim 3 = x →∞ x + 2 x3 − 5 g. lim 2 = x →∞ − x − 4 1 h. lim − 2 = x →−∞ x

e. lim

5x = x→2 x − 3 x2 + 3 j. lim 2 = x→2 x − 5 x + 4 3x 2 − 5 k. lim = x →−∞ x − 4

i. lim

−1

)( x)


SOLUCIONES Ejecicio 1 a) D(f) = ( − ∞, ∞ ) Im (f) = [-1,3] Signo: f(x) > 0 si x ∈ (− ∞,1) ∪ (1, 2'5) ∪ (3'7, 7 ) ∪ (7, ∞ ) f(x) < 0 si x ∈ (2'5, 3,7 ) Monotonía: f(x) crece si x ∈ (− ∞,0) ∪ (1, 2) ∪ (3, 5) ∪ (7, ∞ ) f(x) decrece si x ∈ (0,1) ∪ (2, 3) ∪ (5, 7 ) Máximos: P1 (0, 2) ; P2 (2, 1); P3 (5, 3) Mínimos: P4 (1, 0) ; P5 (3, -1); P6 (7, 0) Puntos de corte con los ejes: Eje X: P4 (1, 0); P7 (2’5, 0); P8 (3’7, 0) Eje Y: P9 (0, 2) La función no es simétrica, no es periódica y es continua b) D(f) = ℜ Im (f) = [-1,2] Signo: f(x) > 0 si x ∈ (− ∞,−1) ∪ (1,∞ ) f(x) < 0 si x ∈ (− 1, 1) Monotonía: f(x) crece si x ∈ (− ∞,−2) ∪ (0, 2) f(x) decrece si x ∈ (− 2, 0) ∪ (2, ∞ ) Máximos: P1 (-2, 1) ; P2 (1, 2) Mínimos: P3 (0, -1) Puntos de corte con los ejes: Eje X: P4 (-1, 0); P5 (1, 0) Eje Y: P3 (0, -1) La función no es simétrica, no es periódica y es continua Ejercicio 2 a. Simetría impar. b. No tiene simetría c. Simetría par Ejercicio 3 a. 3 ⋅ x b. x + 6 ⋅ x c. 3 x 3 + 6 x

d.

3x x +4 2

Ejercicio 4 a. ( g  f )( x ) = 5 x 2 + 10 b. ( f  g )( x ) = 5 x 2 + 70 x + 248 Ejercicio 5 x−2 f −1 ( x ) = Las dos rectas son simétricas respecto de y = x. 2 Ejercicio 6


f

−1

(x ) =

x+5 3

Ejercicio 7 f ( x) = 2 x 2 − x + 2

c)

(f

−1

)

 f ( x) = x

(f

−1

)

 f ( x) = x

f ( x) = 2 x 2 + x − 6

d)

Ejercicio 8 c. La función es continua en x = -1 y discontinua inevitable de salto finito en x = 1 d. La función es discontinua inevitable de salto finito en x = -2 y x = 4 Ejercicio 9 a. La función es continua en x = 2 b. La función es discontinua en x = 0 c. La función es discontinua en x = 1 Ejercicio 10 a. -2/7 b. ∞ c. 3/4 d.2 e. -1 f. 4 g. - ∞ h. 0 i. -10 j.- 7/2 k. - ∞


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