toillustrateaproofstructurefoundthroughoutthisbook.Thereisnoneedtousethe formula n! k!(n k)! for n k Instead,weinterpret n k asthenumberof k-elementsubsets ofan n-elementset,ormorecolorfully,asthenumberofwaystoselectacommitteeof k studentsfromaclassof n students.
Question: Fromaclassof n students,howmanywayscanwecreateacommittee?
Answer1: Thenumberofcommitteeswith 0 studentsis n 0 .Thenumberofcommitteeswith 1 studentis n 1 .Ingeneral,thenumberofcommitteeswithexactly k studentsis n k .Hencethetotalnumberofcommitteesis n k=0 n k .
Answer2: Tocreateacommitteeofarbitrarysize,wedecide,studentbystudent whetherornottheywillbeonthecommittee.Sinceeachofthe n studentsiseither \on"or\off"thecommittee,thereare 2 possibilitiesforeachstudentandthus 2n waystocreateacommittee.
Answer2: Conditiononthelocationofthelastdomino.Thereare fk tilingswhere thelastdominocoverscells k +1 and k +2.Thisisbecausecells1through k can betiledin fk ways,cells k +1 and k +2 mustbecoveredbyadomino,andcells k +3 through n +2 mustbecoveredbysquares.Hencethetotalnumberoftilings withatleastonedominois f0 + f1 + f2 + ··· + fn (orequivalently n k=0 fk ).See Figure1.2.
Identity2 For n ≥ 0,f0 + f2 + f4 + ··· + f2n = f2n+1
ManyFibonacciidentitiesdependonthenotionofbreakabilityatagivencell.Wesay thatatilingofan n-boardis breakable atcell k,ifthetilingcanbedecomposedintotwo tilings,onecoveringcells 1 through k andtheothercoveringcells k +1 through n.Onthe otherhand,wecallatiling unbreakable atcell k ifadominooccupiescells k and k +1
An (m + n)-tilingthatisbreakableatcell m,iscreatedfroman m-tilingfollowed byan n-tiling.Thereare fmfn ofthese.
An (m + n)-tilingthatisunbreakableatcell m mustcontainadominocovering cells m and m +1.Sothetilingiscreatedfroman (m 1)-tilingfollowedbya dominofollowedbyan (n 1)-tiling.Thereare fm 1 fn 1 ofthese.
Sinceatilingiseitherbreakableorunbreakableatcell m,thereare fmfn + fm 1 fn 1 tilingsaltogether.SeeFigure1.5.
Definition The binomialcoefficient n k isthenumberofwaystoselect k elementsfrom an n-elementset.
Noticethat n k =0 whenever k>n, sothesumintheidentitybelowisfinite.
Identity4 For n ≥ 0,
Question: Howmanytilingsofan n-boardexist?
Answer1: Thereare fn n-tilings.
Answer2: Conditiononthenumberofdominoes.Howmany n-tilingsuseexactly i dominoes?Fortheanswertobenonzero,wemusthave 0 ≤ i ≤ n/2.Suchtilings necessarilyuse n 2i squaresandthereforeuseatotalof n i tiles.Forexample, Figure1.6isa 10-tilingthatusesexactlythreedominoesandfoursquares.The dominoesoccurasthefourth,fifth,andseventhtiles.Thenumberofwaystoselect i ofthese n i tilestobedominoesis n i i .Hencethereare i≥0 n i i n-tilings.
Answer2: Conditiononthenumberofdominoesoneachsideofthe median square. Anytilingofa (2n +1)-boardmustcontainanoddnumberofsquares.Thusone square,whichwecallthemediansquare,containsanequalnumberofsquaresto theleftandrightofit.Forexample,the 13-tilinginFigure1.7hasfivesquares.The mediansquare,thethirdsquare,islocatedincell 9. Howmanytilingscontainexactly i dominoestotheleftofthemediansquare andexactly j dominoestotherightofthemediansquare?Suchatilinghas (i + j) dominoesandtherefore (2n +1) 2(i + j) squares.Hencethemediansquarehas n i j squaresoneachsideofit.Sincetheleftsidehas (n i j)+ i = n j tiles,ofwhich i aredominoes,thereare n j i waystotiletotheleftofthemedian square.Similarly,thereare n i j waystotiletotherightofthemediansquare. Hencethereare n i j n j i tilingsaltogether.
As i and j vary,weobtainthetotalnumberof (2n +1)-tilingsas
i j n j i
≥0 j≥0
Figure1.7. The 13-tilingabovehasthreedominoesleftofthemediansquareandonedominoto therightofthemediansquare.Thenumberofsuchtilingsis `5 3
Identity6 For n ≥ 0,f2n 1 = n k=1 n k fk 1
Question: Howmany (2n 1)-tilingsexist?
Answer1: f2n 1
Answer2: Conditiononthenumberofsquaresthatappearamongthefirst n tiles. Observethata (2n 1)-tilingmustincludeatleast n tiles,ofwhichatleastoneis asquare.Ifthefirst n tilesconsistof k squaresand n k dominoes,thenthesetiles canbearranged n k waysandcovercells 1 through 2n k.Theremainingboard haslength k 1 andcanbetiled fk 1 ways.SeeFigure 1 8
Figure1.8. Thereare `n k´fk 1 tilingsofa (2n 1)-boardwherethefirst n tilescontain k squares and n k dominoes.
Correspondence: First,suppose n isodd.Thenthetopandbottomboardmusteach haveatleastonesquare.Noticethatasquareincell i ofeitherboardensuresthat afaultmustoccuratcell i orcell i 1.Swappingthetailsofthetwo n-tilings producesan (n +1)-tilingandan (n 1)-tilingwiththesamefaults.Thisproduces a 1-to-1 correspondencebetweenallpairsof n tilingsandalltilingpairsofsizes n +1 and n 1 thathavefaults.Isitpossibleforatilingpairofsizes n +1 and n 1 tobe\fault-free"?Yes,preciselywhenalldominoesarein\staggeredformation"as inFigure1.12.Thus,when n isodd, f 2 n = fn+1 fn 1 1
Similarly,when n iseven,tailswappingcreatesa 1-to-1 correspondencebetween faultytilingpairs.Theonlyfault-freetilingpairisthealldominotilingofFigure 1.13.Hencewhen n iseven, f2 n = fn+1 fn 1 +1.Consideringtheoddandeven casetogetherproducesouridentity.
Figure1.12. When n isodd,thereisonlyonefault-freetilingpair.
Figure1.13. When n iseven,thereisonlyonefault-freetilingpair.
Figure1.15. Thereare f2 k tilingswithlastfaultatcell k
shallconsideranytilingpairtohaveafaultat\cell0".Howmanytilingpairshave theirlastfaultatcell k,where 0 ≤ k ≤ n?Thereare f 2 k waystotilebothboards throughcell k.Toavoidfuturefaults,thereisexactlyonewaytofinishthetiling, asinFigure1.15.(Specifically,alltilesaftercell k willbedominoesexceptfora singlesquareplacedoncell k +1 intherowwhosetaillengthisodd.)Summing overallpossiblevaluesof k,givesus n k=0 f 2 k tilings.
Answer2: Foreachbinarysequence,weidentifyatiling.Ifasequencehasno consecutivezeros,weidentifyitwithauniquetilingoflength n or n 1 depending onwhetheritendedwith 1 or 0,respectively.Otherwise,thesequencecontainsa 00 whosefirstoccurrenceappearsincells k +1 and k +2 forsome k, 0 ≤ k ≤ n 2.For suchasequenceweassociatethe k-tilingdefinedbythefirst k termsofthebinary sequence(notethatif k> 0,thenthe kthdigitmustbe 1.)Forexample,thelength 11 binarysequence 01101001001 isidentifiedwiththe 5-tiling\domino-squaredomino",aswouldanybinarysequenceoftheform 0110100abcd where a,b,c,d
Figure1.17. The 5-tilingshownisgeneratedby16differentbinarysequencesoflength11,all beginningwith0110100.
caneachbe 0 or 1.SeeFigure 1 17.Ingeneral,for 0 ≤ k ≤ n 2, each k-tiling willbelisted 2n 2 k times.Inparticular,theemptytilingwillbelisted 2 n 2 times.
Thenextidentityisbasedonthefactthatforany t ≥ 0 atilingcanbebrokeninto segmentssothatallbutthelastsegmenthavelength t or t +1.
Identity11 For m,p,t ≥ 0,fm+(t+1)p = p i=0 p i f i t f p i t 1 fm+i
Question: Howmany (m +(t +1)p)-tilingsexist?
Answer1: fm+(t+1)p . Answer2: Foranytilingoflength m +(t +1)p,webreakitinto p +1 segmentsof length j1,j2, ..., jp+1 .For 1 ≤ i ≤ p, ji = t unlessthatwouldresultinbreaking adominoinhalf|inwhichcasewelet ji = t +1. Segment p +1 consistsofthe remainingtiles.Countthenumberoftilingsforwhich i ofthefirst p segmentshave length t andtheother p i segmentshavelength t +1. These p segmentshavetotal length it +(p i)(t +1)=(t +1)p i.Hence jp+1 = m + i.Sincesegmentsof length t canbecovered ft waysandsegmentsoflength t+1 mustendwithadomino andcanbecovered ft 1 ways,thereareexactly p i f i t f p i t 1 fm+i suchtilings.See Figure1.18. j3 = 5 j2 = 4 j1 = 5 remaining tiles
Figure1.18. When t =4 and p =3,thetilingaboveisbrokenintosegmentsoflength j1 =5, j2 =4, j3 =5,and j4 =6
Thenextidentityreadsbetterwhenstatedintermsofthetraditionaldefinitionof Fibonaccinumbers(where F0 =0 and F1 =1 andthus fn 1 = Fn forall n ≥ 0).
Theorem1 For m ≥ 1,n ≥ 0, if m|n,then Fm|Fn
Ourcombinatorialapproachallowsustoprovemore.
Theorem2 For m ≥ 1,n ≥ 0, if m divides n,then fm 1 divides fn 1.Infact,if n = qm,then fn 1 = fm 1 q j=1 f j 1 m 2 fn jm
Question: When n = qm,howmany (n 1)-tilingsexist?
Answer1: fn 1
Answer2: Conditiononthesmallest j forwhichthetilingisbreakableatcell jm 1.Sucha j existsandhasvalueatmost q sincethetilingisbreakableatcell n 1= qm 1.Given j,thereare j 1 dominoesendingatcells m, 2m,..., (j 1)m Thecellsprecedingthesedominoescanbetiledin f j 1 m 2 ways.Cells (j 1)m + 1, (j 1)m +2,..., (jm 1) canbetiled fm 1 ways.Therestoftheboardcan thenbetiled fn jm ways.SeeFigure1.19.
Figure1.19. Thereare fj 1 m 2fm 1fn jm waystotilean (n 1)-boardwhen j isthesmallest integerforwhichthetilingisbreakableat jm 1
4.For n ≥ 4,f 3 n +3f 3 n 3 + f 3 n 4 =3f 2 n 1 +6f 3 n 2.JayCordeshasshownus acombinatorialproofthatrequiresbreakingthetilingtriplesintooveradozen differentcases.Doessomethingsimplerexist?
Another random document with no related content on Scribd:
The Project Gutenberg eBook of Pikku Dorrit I
This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook.
Title: Pikku Dorrit I
Author: Charles Dickens
Translator: Helena Kesäniemi
Release date: July 9, 2024 [eBook #73994]
Language: Finnish
Original publication: Hämeenlinna: Arvi A. Karisto Oy, 1926
Credits: Juhani Kärkkäinen and Tapio Riikonen *** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK PIKKU DORRIT I
PIKKU DORRIT I
Kirj.
Charles Dickens
Englanninkielestä suomentanut
Helena Kesäniemi
Hämeenlinnassa, Arvi A. Karisto Osakeyhtiö, 1926.
SISÄLLYS:
Edellinen osa. Henkilöitä.
I. Valoa ja varjoa
II. Matkatoverit
III. Koti
IV. Mrs Flintwinch näkee unta
V. Perheasioita
VI. Marshalsean isä
VII. Marshalsean lapsi
VIII. Telkien takana
IX. Pikku äiti
X. Sisältää koko hallitsemistaidon
XI. Vapaa
XII. Bleeding Heart Yard
XIII. Patriarkallisuutta
XIV. Pikku Dorrit kutsuissa
XV. Mrs Flintwinch näkee taas unta
XVI. Ei kenenkään heikkous
XVII. Ei kenenkään kilpailija
XVIII. Pikku Dorritin ihailija
XIX. Marshalsean isä parissa kolmessa tilanteessa
XX. Seuraelämässä
XXI. Mr Merdlen tauti
XXII. Pulmallinen kysymys
XXIII. Koneet käynnissä
XXIV. Ennustuksia
XXV. Salajuonien punojia ja muita
XXVI. Ei kenenkään mielentila
XXVII. Viisikolmatta
XXVIII. Ei kenenkään häviäminen
XXIX. Mrs Flintwinch uneksii edelleen
XXX. Herrasmiehen sana
XXXI. Itsetuntoa
XXVII. Lisää ennustuksia
XXVIII. Mrs Merdlen valitus
XXXIV. Barnacleja iso liuta
HENKILÖITÄ.
Bangham, pesijätär ja mrs Dorritin hoitajatar Marshalsean velkavankilassa. Barnacle, Tite, ylhäinen virkamies verukevirastossa. — Clarence, »Barnacle nuorempi», hänen poikansa, virkamies verukevirastossa. — loordi Decimus Tite, ensinmainitun setä, myös verukevirastossa. — Ferdinand, loordin yksityissihteeri. Beadle, Harriet, perhepiirissä »Tattycoram», löytölasten kodista otettu tyttö, Minnie Meaglesin kamarineito. Bob, Pikku Dorritin kummi, Marshalsean vankilan vartija. Casby, Christopher, Bleading Heart Yardin alueen isäntä. Cavalletto, John Baptist, Rigaudin vankilatoveri Marseillesissa; myöhemmin Arthur Clennamin palveluksessa. Chivery, John, Marshalsean vartija, joka ei asu siellä. — mrs, hänen vaimonsa. — nuorempi, John, heidän poikansa. Clennam, mrs, leskirouva. — Arthur, edellisen oletettu poika, mutta todellisuudessa vain poikapuoli; nai Pikku Dorritin. Cripples, iltakoulun opettaja. Master, edellisen poika. Daives, hoitajatar. Dorrit, William, velkavanki Marshalseassa. — Amy, lisänimeltään »Pikku Dorrit», edellisen tytär; menee naimisiin Arthur Clennamin kanssa. — Edward, perhepiirin »Tip», Pikku Dorritin vanhempi veli. — Fanny, Pikku Dorritin vanhempi sisar; menee naimisiin Edmund Sparklerin kanssa. — Frederick, William Dorritin veli. Doyce, Daniel, koneseppä; ottaa liiketoverikseen Arthur Clennamin. Finching, Flora, varakas
leskirouva, Christopher Casbyn tytär. Flintwinch, Jeremiah, mrs Clennamin palvelija ja myöhemmin liiketoveri. — Affery, edellisen vaimo, mrs Clennamin palvelijatar. — Ephraim, ensinmainitun kaksoisveli. General, leskirouva, Dorritin tyttärien seuranainen. Gowan, Henry, taiteilija; nai Minnie Meaglesin. — mrs, hänen äitinsä. Haggage, lääkäri, velkavanki Marshalseassa. Jenkinson, verukeviraston lähetti. Maggy, Banghamin tyttärentytär, Pikku
Dorritin suojatti. Marvon, kapteeni, Edward Dorritin velkoja. Meagles, entinen pankkiiri. — mrs, hänen rouvansa. — Minnie, perhepiirissä »Pet», heidän tyttärensä, myöhemmin Henry Gowanin puoliso. Merdle, lontoolainen pankkiiri; menee vararikkoon ja surmaa itsensä. — mrs, hänen rouvansa, Fanny Dorritin anoppi. Mr F:n Iäti, Flora Finchingin huollettavaksi joutunut miesvainajan vanha sukulainen. Nandy, John Edward, mrs Plornishin isä. Pancks, Casbyn vuokrien kerääjä. Pet, kts. Meagles, Minnie. Plornish, rappari, Casbyn vuokralaisia. — mrs, hänen vaimonsa. Rigaud, muilta nimiltään Lagnier ja Blandois, roisto, joka kiristää rahoja mrs Clennainilta. Rugg, asioitsija, jonka luona Pancks asuu. — Anastasia, hänen tyttärensä. Sparkler, Edmund, mrs Merdlen poika ensimmäisestä avioliitosta; nai Fanny Dorritin. Sliltstalking, loordi Lancaster, verukeviraston virkamies, Englannin edustaja ulkomailla. Tattycoram, kts. Beadle, Harriet. Tickit, emännöitsijä Meaglesin perheessä. Tinkier, William Dorritin palvelija. Tip, kts. Dorrit, Edward. Wade, katkeroitunut neiti, joka houkuttelee Tattycoramin pois Meaglesin perheestä. Wobbler, kirjuri verukevirastossa.
Alkulause.
Pikku Dorrit ilmestyi ensin kahtenakymmenenä niteenä vuosina 1855—57; kuhunkin oli taiteilija-nimimerkki Phiz piirtänyt pari kuvaa. Alkuansa Dickens oli tällä kertaa suunnitellut vain suppeampaa kertomusta, jonka nimeksi tulisi »Nobody's Fault» (Ei kenenkään syy), mutta kun käsikirjoitusta oli valmistunut neljään niteeseen, hylkäsi hän mainitun nimen, sillä hän oli jo silloin kehittänyt mielessään kertomukseen sopivia uusia aatteita ja laajemman sarjan eri luonteita ja vaiheita.
Se aihepiiri, jonka hän oli ensin ottanut käsiteltäväkseen, olikin epäilemättä liian niukka kelvatakseen suurteoksen pohjaksi. Siinä näet oli päähenkilönä mies, joka oli syynä kaikkiin kertomuksessa esitettäviin onnettomuuksiin, mutta sysäsi ne sallimuksen niskoille ja huomautti jokaisen uuden kommelluksen tultua: »Onpa sentään hyvä, ettei tarvitse ketään syyttää!» Tällainen ura oli liian kaita, jotta hän olisi voinut sitä pitkin panna liikkeelle vilkkaan mielikuvituksensa monilukuiset ja toimeliaat olennot. Niinpä sitten kävikin, että kirjailijan piti levittää eteensä laajempi taulu kuvatakseen siinä melkoista vaihtelevien luonteiden ryhmää köyhyyden ja rikkauden vastakkaisissa oloissa.
Tämän romaanin kirjoittaminen ei aluksi sujunut Dickensiltä helposti. Ensimmäiset niteet tuottivat hänelle montakin levotonta, tuskastuttavaa hetkeä, sillä vaikka hänestä hyvällä syyllä voi sanoa, että hän usein ihaili omaa kykyään ja tyyliään lämpimästi ja vilpittömästi, saattoi hän taas toisinaan nousta itsensä perin vaateliaaksi arvostelijaksi. Teos oli aloitettu Tavistock Housessa toukokuussa 1855 (hänen kirjeissään on tosin mainittu lokakuu ja Pariisi käsikirjoituksen alun valmistumisajaksi ja -paikaksi), ja hän kirjoitti niinä päivinä Wilkie Collinsille m.m.: »En osaa kuvata sitä rauhatonta mielentilaa, jossa kävelen edestakaisin huoneessani
