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Instituto Superior Dr. Bernardo Housay Capilla del Monte - Córdoba Álgebra 1er Año Tecnicatura Superior en Análisis de Sistemas Profesor Ing. Edmundo Kinast

Unidad 5 Polinomios


Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast

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Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast

Introducción. Álgebra es la rama de la Matemática que estudia la cantidad del modo más general posible. En Aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. De este modo 150 solo representa el valor 150. En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por letras las cuales pueden representar todos los valores. Así a representa el valor que le asignemos que puede ser 150 o más o menos. Aunque conviene advertir que una vez asignado un valor en el mismo problema no podemos asignarle otro.

Símbolos. Los símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números son usados para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sea conocidas o desconocidas a,b,c,d,…. Las cantidades conocidas se expresan con las primeras letras del alfabeto. Las cantidades desconocidas se expresan usando las últimas letras del alfabeto u,v,w,x,y,z.

Fórmulas. La consecuencia de la generalización que implica la representación de cantidades por medio de letras son las fórmulas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o principio general. Así, la Geometría enseña que la superficie de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura; luego llamando A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula A bxh representará de un modo general el área de cualquier rectángulo, pues el área de un rectángulo dado se obtendrá con solo sustituir b y h en la fórmula anterior por sus valores en el caso dado. Así si la base de un rectángulo es 3m y su altura 2m, su área será: A bxh 3mx2m 6m2 La superficie de otro rectángulo cuya base fuera 8m y su altura 3m sería: A bxh 8mx3m 24m2

Signos del Álgebra Los signos empleados en Álgebra son de tres clases: Signos de Operación, Signos de Relación y signos de Agrupación.

Signos de Operación En Álgebra se usan los mismos signos de operación que en aritmética: Suma, Resta, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación.

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Coeficiente En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. Así en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumado 3 veces, o sea 3a = a + a + a. En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma sumando a veces el factor b, o sea ab = b + b + b + b + …

Signos de Relación Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: = que se lee igual a. Así, a = b se lee “a igual a b”. > que se lee mayor que. Así, x+y > m se lee “x+y mayor que m” < que se lee menor que. Así, a < b+c se lee “a menor que b+c”

Signos de Agrupación Los signos de agrupación son: el paréntesis ( ), el corchete [ ], las llaves { } y la barra horizontal ▬▬▬. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a b)c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; etc.

El Método Algebraico Vs. el Aritmético Veamos el siguiente ejemplo para notar la diferencia entre el método aritmético y el algebraico: Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 5 veces la de A, ¿qué edad tiene cada uno?

Método Aritmético Edad de A mas edad de B = 48 años. Como la edad de B es 5 veces la de A, tendremos: Edad de A mas 5 veces la edad de A = 48 años O sea, 6 veces la edad de A = 48 años Por lo tanto: Edad de A = 8 años Edad de B = 8 años x 5 = 40 años.

Método Algebraico Como la edad de A es desconocida la represento por x. Sea x = edad de A Entonces 5x = edad de B Como ambas edades suman 48 años, tendremos: x 5x 48años 6 x 48años O sea que si 6 veces x es igual a 48 años, x es la sexta parte de 48, es decir: x = 8 años, edad de A 5x = 8 años x 5 = 40 años, edad de B

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Nomenclatura Algebraica Expresión Algebraica Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Ejemplos a,5 x, 4a, (a b)c ,

(5 x 3 y )a x2

Término Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios 4a símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Así, a, 3b, 2xy, son 3x términos. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Por el signo, son términos positivos los que van precedidos por el signo + y negativos los precedidos por el signo -. Así, +a, +8x, +9ab son términos 3a positivos y –x, -5bc y son términos negativos. 2b El signo + suele omitirse delante de los términos positivos. Así, a equivale a +a, y 3ab equivale a +3ab. Por lo tanto cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo. El coeficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente el primero de los factores de término. La parte literal la constituyen las letras que haya en el término. Así, en 5xy la parte literal es xy . El Grado de un Término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra. Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así, el término 4a es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1; el término ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1 + 1 = 2; el término a 2b es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2 + 1 =3. El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así el término bx 3 es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x.

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Clases de Términos Término entero, es el que no tiene un denominador literal como 5a , 6a 4b2 , 2a 5 3a Término fraccionario, es el que tiene denominador literal como , b Término racional, es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e 3b irracional es el que tiene radical, como ab , 3 , 2a Términos homogéneos, son los que tienen el mismo grado absoluto. Así, 4x 4 y y 6x 2 y 3 porque ambos son de quito grado absoluto. Términos heterogéneos, son los de distinto grado absoluto como 5a , que es de primer grado, y 3a 2 que es de segundo grado.

Ejercicios: 1. ¿Qué clase de términos son los siguientes? atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: a. 5a 2 b. 4a 2b 2a c. 3 5b2 d. 6 e. a f.

3

5b2

a 6 4a 2b 3 h. 6a 2. Dígase el grado absoluto de los siguientes términos: a. 5a b. 6a 2b c. a 2b2 d. 5a 2b3c e. 8x 2 y 6 f. 4m2n3 g. xyz 5 3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales: a. a3b2 b. 5x 4 y 2 c. 6a 2bx 3 d. 4abcy 2 e. 10m2n3b4c5 g.

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4.

5. 6.

7.

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tres heterogéneos: a. 4a3b2 b. 6ab3 c. x5 d. 6x 4 y e. 2u3 x 4 f. ab5 g. 4abcx 2 h. 2ac Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: de tercer grado, de quinto grado, de undécimo grado, de décimo quinto grado, de vigésimo grado. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b.

Clasificación de las Expresiones Algebraicas Monomio Es una expresión algebraica que consta de un solo término como 3a , 5b , x2 y . 4a 2

Polinomio Es una expresión algebraica que consta de más de un término, como a b , a x y , x3 2 x 2 x 7 Binomio es un polinomio que consta de dos términos, como: a b , x y ,

a2 3

5mx 4 6b2

Trinomio es un polinomio que consta de tres términos, como: a b c , a2 2 3 2 x 5x 6 , 5 x 6 y 3

Grado de un Polinomio El grado de un polinomio puede ser absoluto o con relación a un a letra. El Grado Absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Así, en el polinomio x 4 5x3 x 2 3x , el primer término es de cuarto grado, el segundo de tercer grado, el tercero de segundo grado, y el último de primer grado; por lo tanto el grado absoluto del polinomio es de cuarto. El Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio a 6 a 4 x 2 a 2 x 4 es de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x. -7-

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Ejercicios: 1. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios: a. x 3 x 2 x b. 5a 3a 2 4a 4 6 c. a 3b a 2b2 ab3 b4 d. x 5 6 x 4 y 3 4a 2b x 2 y 4 3 y 6 2. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras: a. a3 a 2 ab3 b. x 4 4 x 3 6 x 2 y 4 4 xy 5 c. 6a 4b7 4a 2 x ab3 5a3b8 x5 d. m 4n 2 mn 6 mx 4 y 3 x 8 y15 m11

Clases de Polinomios Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador x2 x 1 2 literal como x 5x 6 , ; fraccionario cuando alguno de sus 2 3 5 a2 b 8 ; racional cuando no términos tiene letras en el denominador como b c contiene radicales, como en los ejemplos anteriores; irracional cuando b c abc ; homogéneo cuando todos sus contiene radicales como a términos son del mismo grado absoluto, como 4a 3 5a 2b 6ab2 b3 , y heterogéneo cunado sus términos no son del mismo grado, como x3 x 2 x 6 .

Polinomio completo con relación a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio x5 x 4 x3 x 2 3x es completo respecto de la x, porque contiene todos los exponentes sucesivos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1. Polinomio ordenado respecto de una letra es un polinomio en el cual todos los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo.

Término Independiente Término independiente de un polinomio con relación a una letra es el término que no tiene dicha letra. Así, en el polinomio a 3 a 2b 3ab2 b3 el término independiente con relación a la a es b3 , y el término independiente con relación a la b, es a 3 . El término independiente con relación a una letra puede considerarse que tiene a esa letra con exponente cero, porque toda cantidad elevada a cero es igual a 1. Así en el ejemplo anterior, 5 equivale a 5a 0 , y en el último ejemplo, b3 equivale a a0b3 .

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Ejercicios: 1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal, y a si tienen o no radical, dígase de que clase de polinomios son los siguientes: a. a 3 2a 2 3a a4 a3 a2 a b. 2 3 2 a b 2c d c. a 6b 4 2 Escribir un polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado absoluto; de octavo grado absoluto; de décimo quinto grado absoluto. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado respecto de la m. De los siguientes polinomios escoger dos que sean homogéneos y dos que sean heterogéneos: a. 3a 2b 4a3 5b3 b. a 4 a 3b a 2b2 ab3 c. x5 bx 4 abx3 ab3 x 2 d. 4a 5b 6c2 8d 3 6 e. y 5 ay 4 a 2 y 3 a 3 y 2 a 4 y y 5 f. 6a 3b4 5a 4b 8a 2b5 b7 De los siguientes polinomios dígase cuales son completos y respecto de que letras: a. a 4 a 2 a a 3 b. 5x 4 8x 2 x 6 c. x 4 y x 3 y 2 x 2 y 3 y 4 d. m5 m4 m3 m 5 e. y 5 by 4 b2 y 3 b3 y 2 b4 y Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en forma descendente: a. m2 6m m3 m4 b. 6ax 2 5a 3 2a 2 x x3 c. a 2b2 a 4b a 3b2 ab4 d. a 4 5a 6a3 9a 2 6 e. x 5 y 2 x10 3x 4 y 6 x 5 y 4 x 2 y 5

d. 4a

2. 3.

4.

5.

6.

f. 3m15n2 4m12n3 8m6n3 10m3n6 n7 7m6n4 m18n 7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en forma ascendente: a. a 2 5a 3 6a b. x 5a 3 6 x 2 9 x 4 c. 2 y 4 4 y 5 0 y 2 y 2 5 y 3 d. a 2b4 a 4b3 a 4b2 a8b b5 e. y12 x 5 y 4 x12 y 4 x 3 y10

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Términos Semejantes Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea cuando tienen las mismas letras afectadas de los mismos exponentes. Ejemplos:

2a y a; -2b y 8b; -5a2b2 y -8a3b2; xn+1 y 3xn+1

Los términos 4ab y -6a2b, no son semejantes porque aunque tienen iguales letras, estas no tienen los mismos exponentes. Así mismo los términos –bx4 y ab4 no son semejantes, pues aunque tienen los mismos exponentes no tienen las mismas letras.

Reducción de Términos Semejantes Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los siguientes tres casos: 1. Términos Semejantes del Mismo Signo. REGLA. Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que todos tienen y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplos: a. 3a 2a 5a b. 5b 7b 12b 2 2 c. a 9a 10a 2 x 2 x 2 d. 3a 5a 8a x 2 e. 4a m 1 7a m 1 11a m 1 1 2 7 ab ab ab f. 2 3 6 1 2 xy xy xy g. 3 3 h. 5x x 2 x 8 x i. m 6m 3m 5m 15m 1 2 1 2 1 2 7 2 x y x y x y x y j. 2 4 8 8

Ejercicios: Reducir a. b. c. d. e. f. g.

x 2x 8a 9a 11b 9b b 5b 8m m 9m 7m 4a x 5a x 1 1 xy xy h. 3 6 2. Términos Semejantes de Distinto Signo. REGLA. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplos: a. 2a 3a a - 10 -

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Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast b. 18 x 11x 11x c. 20ab 11ab 9ab x x x d. 8a 13a 5a De la regla anterior se deduce que dos términos semejantes de iguales coeficientes y de signo contrario se anulan. Así: 8ab 8ab 0

Ejercicios: Reducir a. b. c. d. e. f. g.

8a 6a 6a 8a 9ab 15ab 15ab 9ab 2a 2a 7b 7b 14 xy 32 xy h. 25 x 2 y 32 x 2 y 1 3 a a i. 2 4 5 2 5 2 ab ab j. 6 12 k. 4a x 2a x l. 7 x 2 y 7 x 2 y

3. Dos a más Términos Semejantes de Distinto Signo. REGLA. Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados se le aplica la regla del caso anterior. Ejemplos: a. 5a 8a a 6a 21a i. 5a a 21a 27a ii. 8a 6a 14a iii. 27a 14a 13a

Ejercicios: Reducir a. 9a 3a 5a b. 8x 9 x x c. 12mn 23mn 5mn d. x 19 x 18 x e. 19m 10m 6m f. 11ab 15ab 26ab g. 5a 3 9a 3 35a 3 h. 24a x 2 15a x 2 39a x 2 1 y y y i. 3 3

2

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Reducción de un Polinomio con Términos Semejantes de Diversas Clases Se reduce por separado cada clase. Ejemplo: 5a 6b 8c 9a 20c b. 5a 9a c. 6b b d. 8c 20c

b 6b c 14a 6b b c 13c

Ejercicios: Reducir a. 7a 9b 6a 4b b. a b c b c 2c a c. 5x 11y 9 20 x 1 y d. 6m 8n 5 m n 6m 11 e. a b 2b 2c 3a 2c 3b f. 81x 19 y 30z 6 y 80 x x 25 y

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Multiplicación de Polinomios Regla Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes. Ejemplo: Multiplicar a 4 por 3 a Aplicando la regla tenemos a 4 3 a

3a 12 a 2 4a , luego quedará

a 2 a 12

Ejercicios: 1.

a 3 a 1

4.

2.

a 3 a 1

5.

x 3

x 5

3.

x 5 x 4

6.

a 2

a 3

m 6 m 5

7. 8.

3x 2 y

y 2x

4 y 5x

3x 2 y

Ejercicios: 1.

x2

2.

a 2 b2 2ab a b

xy

y2

x y

3.

a 2 b2 2ab a b

6.

m4 m2 n 2 n 4 m2 n 2

4.

x3 3x 2 1 x 3

7.

3 y3 5 6 y

5.

a3 a a 2 a 1

y2 2

Productos Notables Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación.

Cuadrado de un Binomio Elevar al cuadrado a b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y 2 tendremos: a b a b a b , y al efectuar este producto tendremos

a2 ab ab b2 es decir a2 2ab b2 . Es decir entonces que el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el duplo del producto del primero y el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Ejemplo: Desarrollar x 4

2

Cuadrado del primero x 2 Duplo del producto del primero por el segundo 2 x4 8 x Cuadrado del segundo 42 16 Luego: x 4

2

x 2 8x 16

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Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast Estas operaciones se realizan mentalmente y el producto se escribe directamente.

Ejercicios: Escribir por simple inspección los resultados de: 2

1.

m 3

2.

5 x

3.

6a b

2 2

4.

9 4m

5.

7 x 11

6.

x

y

2

2

2

7.

1 3x 2

8.

2x 3 y

2

2

De la misma manera cuando hacemos el cuadrado de un binomio donde este 2 sea una diferencia obtendremos: a b a 2 2ab b2 . Es decir entonces que el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término, menos el duplo del producto del primero y el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Ejercicios: Escribir por simple inspección los resultados de: 1.

a 3

2.

x 7

3.

9 a

2

4.

2a 3b

2

5.

4ax 1

6.

a3 b2

2

2

7.

3a 4 5b 2

8.

x2 1

2

2

2

2

Producto de la Suma por la Diferencia de dos Cantidades Sea el producto de a b a b . Si resolvemos aplicando la propiedad distributiva tendremos a2 ab ab b2 es decir a 2 b2 .

Ejercicios: Escribir por simple inspección los resultados de: 1.

x y x y

2.

m n m n

3.

a x x a

4.

x2 a2

x2 a2

5.

2a 1 1 2a

6.

n 1 n 1

7.

1 3ax 3ax 1

8.

2m 9 2 m 9

Cubo de un Binomio Elevemos a b al cubo. Tendremos a b a b a b que es lo mismo que a b

2

a b , es decir a 2 2ab b2 a b . Resolviendo esta multiplicación 3

llegamos a: a b a3 3a 2b 3ab2 b3 . Lo que nos dice que el cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triplo del cuadrado del primero por el segundo, más el triplo del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. - 14 -

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Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast 3

Cuando en el binomio tenemos una diferencia es decir a b , tenemos que resolver el siguiente producto a b a b a b . Lo que equivale a a b a b

2

3

a b , es decir a 2 2ab b2 a b . Que resolviendo los productos 3

nos queda a b a3 3a 2b 3ab2 b3 . Lo que nos dice que el cubo de una diferencia es igual al cubo del primer término, menos el triplo del cuadrado del primero por el segundo, más el triplo del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

Ejercicios: Escribir por simple inspección los resultados de: 3

1.

a 2

2.

x 1

3.

m 3

3

3

3

4.

n 4

5.

2x 1

6.

1 3y

- 15 -

3

y2

7.

2x

8.

1 2n

3

3

3

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División de Polinomios La División es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. 6a 2 Así la operación de dividir 6a 2 por 3a , que se indica 6a 2 3a ó , consiste en 3a hallar la cantidad que multiplicada por 3a de 6a 2 . Esa cantidad (cociente) es 2a . 6a 2 2 3a , donde vemos que si el dividendo se divide Es evidente que 6a 2a 2a por el cociente, nos da de cociente lo que antes era divisor.

Ley de los Signos La ley de los signos es la misma que la de la multiplicación.

Ley de Exponentes Para dividir potencias de igual base, se deja la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el divisor. Sea el cociente a3 a 2 . Decimos que: a

3

a

a3 a2

2

a3

2

a

Ley de los Coeficientes El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo por el coeficiente del divisor. En efecto: 20a 2 5a 4a

Casos de División Estudiaremos dos casos: 1. División de monomios 2. División de un polinomio por un monomio

Regla Para Dividir dos Monomios Se divide el coeficiente del dividendo por el coeficiente del divisor y a continuación se ponen en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente iguala a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. El signo lo da la ley de signos.

Ejemplo: 4a 3b 2

2ab

4a 3b 2 2ab

- 16 -

2a 2b

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Ejercicios: Efectuar las siguientes divisiones: 1. 24 8 2. 63 7 3. 5a3 a 4. 14a3b4

6.

a 2b

ab

7. 54 x 2 y 2 z 3 8.

2ab2

6 xy 2 z 3

5m2 n m2n

a3b4c a3b4

5.

Regla Para Dividir un Polinomio por un Monomio Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. Esta es la Ley Distributiva de la División.

Ejemplo: (3a 3 6a 2b 9ab 2 ) 3a

(3a

3

2

2

6a b 9ab ) 3a

3a 3 6a 2b 9ab 2 3a

3a 3 3a

6a 2 b 3a

9ab 2 3a

a 2 2ab 3b 2

Ejercicios: 1.

a 2 ab

2.

3x 2 y 3 5a 2 x 4

3.

3a3 5ab2 6a 2b3

4.

x3 4 x 2

a

x

3x 2 2a

x

- 17 -

5.

4 x8 10 x6 5 x 4

2 x3

6.

6m3 8m2 n 20mn2

2m

7.

6a3b3 3a 6b5 a 2b3

3a 2b3

8.

x 4 5x3 10 x 2 15x

5x

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Polinomios  

Polinomios

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