Issuu on Google+

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι

α⋅ β = α ⋅ β

για κάθε α, β ∈ R μον 10

Α2. Πότε μια ακολουθία αν λέγεται γεωμετρική πρόοδος; μον 7 A3. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις (i)

Για συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α,Α΄ ισχύει Ρ(Α΄)=………….

(ii)

Αν α>β και β>γ τότε…………………

(iii)

α+β ≤...................

(iv)

Αν το τριώνυμο αχ2+βχ+γ α ≠ 0 έχει Δ<0 τότε το πρόσημο του είναι …………………………………… μον 8

ΘΕΜΑ Β Έστω τα σύνολα Ω = {ω ∈ Ν / ω : 1 ≤ ω ≤ 20} Β = {ω ∈ Ω / ω : διψήφιος }

Α = {ω ∈ Ω / ω : άρτιος }

Β1. Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο Ω μον 7 Β2. Επιλεγούμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω να βρείτε τις


πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), P(A∩B), Ρ(ΑUB), P(A΄)

μον 18


ΘΕΜΑ Γ Δίδεται η εξίσωση χ2-4χ+3=0 αν οι ρίζες της χ1,χ2 με χ1<χ2 είναι ο 1ος όρος (α1) και η διαφορά (ω) αριθμητικής προόδου αντίστοιχα τότε να βρείτε. Γ1. Τον νιοστό όρο (αν) της προόδου

μον 7

Γ2. Το άθροισμα α11+α12+α13+………+α100

μον 9

Γ3. Το άθροισμα α1+α3+α5+………+α21

μον 9

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση (λ-1)χ2+λχ+λ=0 (1), λ ∈ R Δ1. Για ποιες τιμές του λ είναι δευτέρου βαθμού

μον 6

Δ2. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες

μον 11

Δ3. Για ποιες τιμές του λ ισχύει χ1+χ2+ χ1χ2+3λ=2 όπου χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης (1) μον 8


ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ ΠEMΠTH 23 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος. (7 μον.) Α2.Να γράψετε τα κριτήρια που εξασφαλίζουν ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο; ( 8μον.)

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από τον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. ( 10 μον.) 1) Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ίσες μια προς μια και από μια γωνία ίση τότε είναι ίσα. 2) Oι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. 3) Kάθε τετράπλευρο που έχει ίσες διαγωνίους είναι παραλληλόγραμμο. 4) Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 5) Η επίκεντρη γωνία ισούται με το μισό κάθε εγγεγραμμένης που βαίνει στο ίδιο τόξο.


ΘΕΜΑ Β Δίδεται κύκλος με κέντρο Κ και διάμετρο ΔΒ=10cm και σημεία Α,Γ του ∩ ∩ ο ο κύκλου ώστε Α ∆=80 και Γ∆ = 60 . Β1.Να υπολογίσετε τις γωνιές του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου. ( 12 μον.) Β2.Να υπολογίσετε το μήκος τη χορδής ΔΓ

( 7 μον.)

Β3.Έστω χ΄χ η εφαπτομένη του κύκλου στο Β .Να υπολογίσετε τη γωνία ∧

( 6 μον.)

ΑΒΧ

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΓΔ=3ΑΒ.Εστω Μ,Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ ,ΒΓ αντίστοιχα και Κ,Λ τα μέσα των διαγωνίων του ΔΒ,ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Γ1. ΚΛ=ΑΒ

(10 μον.)

3

(8 μον.)

Γ2. ΚΝ= 2 ΑΒ Γ3. Το Λ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΚΓ

(7 μον.)


ΘΕΜΑ Δ Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Ε της πλευράς ΑΒ. Η ∧ διχοτόμος της γωνίας Ε∆Γ τέμνει την ΒΓ στο στο Ζ. Από το Α φέρνουμε κάθετη στην ΖΔ την οποία τέμνει την ΔΕ στο Θ και την ΔΓ στο Μ. Να αποδείξετε ότι: Δ1. Το τρίγωνο ΔΘΜ είναι ισοσκελές. Δ2. Τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΔΓΖ είναι ίσα. Δ3. Το τρίγωνο ΑΕΘ είναι ισοσκελές

(10 μον.) (4 μον.) (6 μον.)


ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι εφω σφω=1 για κάθε γωνία ω ≠ κπ/2, κ ∈ Ζ

μον 10

Α2. Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, λέγεται περιοδική; μον 7 A3. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις (v)

logαθ=x ⇔ . . . . . . 0<α ≠ 1, θ>0

(vi)

Το υπόλοιπο (υ) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με (x-ρ) είναι ίσο με . . . . . . . . .

(vii)

ημx=ημθ ⇔ . . . . . . ή . . . . . . . . . . . . . . . .

(viii) logαθκ= . . . . . . . . 0<α ≠ 1, θ>0

μον 8

ΘΕΜΑ Β Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3+kx2+12x+9 , k ∈ R με P(2)=5 Β1. Να αποδείξετε ότι κ=-11 Β2. Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

μον 7 μον 10


B3. Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x) βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x μον 8


ΘΕΜΑ Γ

Β1. Να αποδείξετε ότι: εφ2α-1+συν2α=εφ2α ημ2α Β2. Να λύσετε την εξίσωση: εφ2x-1+συν2x=0

μον15 μον10

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln[2(e2x-1)] Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

μον 6

Δ2. Να λύσετε την εξίσωση f(x)=x+ln3

μον 11

Δ3. Να λύσετε την ανίσωση f(x)<0

μον 8


ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ ΤΡΙΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΘΕΜΑ Α Α1. Να εγγράψετε σε κύκλο (Ο,R) ένα ισόπλευρο τρίγωνο και να αποδείξετε ότι η πλευρά του είναι λ3 = R 3 . Ποια η σχέση της ακτίνας R του κύκλου με το απόστημα α3 του εγγεγραμμένου τριγώνου μον 10 Α2. Να γράψετε τους τύπους που δίδουν το εμβαδόν ορθογωνίου, τραπεζίου, τετραγώνου και κύκλου μον 7 A3. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις μον 8 ∧

(ix)

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 0 ) ισχύει ΓΒ2=…………..

(x)

Σε κανονικό εξάγωνο ισχύει λ6=…….και α6=…… ............ ...

(xi)

Αν μα η διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ τότε µα2

(xii)

Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα μ μοιρών και ακτίνας R είναι……………………

=

ΘΕΜΑ Β Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β=5cm γ=3cm και μα=

19 2

cm

Να υπολογίσετε Β1. το μήκος της πλευράς α Β2. το μέτρο της γωνίας Α Β3. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Β4. το μήκος της προβολής της διαμέσου

μον 7 μον6 μον 6


μα στην πλευρά α

μον 6


ΘΕΜΑ Γ Ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,9cm). Προεκτείνουμε την ΔΓ κατά τμήμα ΓΡ=ΔΓ, αν η ΑΡ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ να υπολογιστούν. Γ1. η πλευρά του τετραγώνου

μον 5

Γ2. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΡΑ

μον 7

Γ3. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΡΜ

μον 7

Γ4 Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΡO

μον 6

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Έστω Κ,Λ,Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους ΑΚ, ΑΛ στο εξωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ. Στη συνέχεια ∩ κατασκευάζουμε τους κυκλικούς τομείς ΒΚΜ και ΓΛ∩Μμε κέντρα Β,Γ και ακτίνες

α 2

στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ.

Δ1.Να υπολογίσετε σε συνάρτηση του α το μήκος της «καρδιάς» που ∩ ∩ ∩ ορίζεται από τα τόξα Α∩Κ Α μον 12 Λ , ΚΜ , ΛΜ. Δ2. Να υπολογίσετε σε συνάρτηση του α το εμβαδόν της «καρδιάς» μον 13


ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ είναι C:(x-x0)2+(y-y0)2=ρ2 (μον 10) Α2.

Τι ονομάζεται έλλειψη με εστίες δύο σημεία Ε, Ε’ (μον 7)

Α3. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά , ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. (μον 8) α. Αν δύο ευθείες ε1,ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1,λ2 τότε ισχύει η ισοδυναμία ε 1 ⊥ ε 2 ⇔ . . . . . . β. Έστω η ευθεία ε:Αx+Βy+Γ=0 και το σημείο Μ(x0,y0). Η απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία ε δίνεται από τη σχέση: d ( M 0 , ε) =

.................

γ. Η εκκεντρότητα της έλλειψης C:

x2 y2 + =1 α2 β2

(α>β) είναι ε

=.... δ. Οι ασύμπτωτες της υπερβολής C: ε1:y= . . . . . και ε2:y= . . . . .

x2 y2 − =1 α2 β2

είναι οι:


ΘΕΜΑ Β Δίνονται η κορυφή Γ(5,3) και οι εξισώσεις δύο πλευρών ε1:y= x και ε2:y=1 ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Β1. Να βρείτε τις άλλες τρεις κορυφές του ΑΒΓΔ.

(9 μον)

Β2. Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του. (8 μον) Β3. Να υπολογίσετε το εμβαδό του ΑΒΓΔ.

(8 μον)

ΘΕΜΑ Γ Να αποδείξετε ότι 3ν>ν για κάθε θετικό ακέραιο ν

(μον 25) ΘΕΜΑ Δ Έστω η εξίσωση Cλ:x2+y2-2λx+2(λ+2)y+4λ+4=0, λ ∈ R Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ ≠ 0, η εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. (μον 9) Δ2. Για λ=-2 να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία στα οποία ο κύκλος C τέμνει τον άξονα y΄y και μήκος μικρού άξονα (2β) ίσο με τη διάμετρο του κύκλου. (μον 8) Δ3. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, εστίες στον άξονα y΄y , ασύμπτωτη 1 ε: y= 2 x και εστιακή απόσταση ίση με το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης. (μον 8)


ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Πέμπτη 30 Μαΐου 2013 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι

z1 + z 2 = z1 + z 2

όπου

z1

,

z2

∈ℂ

Μον. 10

Α2. Τι ονομάζεται μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z=x+yi Μον. 3 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Ισχύει ότι (ημx)’=-συνx β.

lim x →0

ηµx x

=0

Μον. 3 Μον. 3

γ. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο R Μον. 3 δ. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z= x0+y0i z −z =ρ , ρ>0 είναι κύκλος με κέντρο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ

με

0

ε. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα [α, β] παρουσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

Μον. 3


ΘΕΜΑ Β Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z −2 +2i =2 είναι ο κύκλος με εξίσωση (x-2)2+(y+2)2=4 μον. 8 Β2. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει w −(1 −i ) = w −(−1 +i) είναι η ευθεία ε: y=x μον. 8 Β3. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

μον. 9

z −w

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(4-x2)

α) Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της f

Μον. 5

β) Να δικαιολογήσετε γιατί η f είναι παραγωγίσιμη και να αποδείξετε ότι f΄(χ)=

− 2x 4 − x2

Μον. 6

γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f

Μον. 7

δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

Μον. 7

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(x)=αημx+5συνx+2γx+5 με γ>0 και α+γπ+5<0 Δ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (0,π) Μον. 15 Δ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0,π) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της f στο (ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ

Μον. 10


ΑΠΟ��ΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ\ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Πέμπτη 30 Μαΐου 2013 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι

z1 + z 2 = z1 + z 2

όπου

z1

,

z2

∈ℂ

Μον. 10

Α2. Τι ονομάζεται μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z=x+yi Μον. 3 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Ισχύει ότι (ημx)’=-συνx β.

lim x →0

ηµx x

=0

Μον. 3 Μον. 3

γ. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο R Μον. 3 δ. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z= x0+y0i z −z =ρ , ρ>0 είναι κύκλος με κέντρο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ

με

0

ε. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα [α, β] παρουσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

Μον. 3


ΘΕΜΑ Β Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z −2 +2i =2 είναι ο κύκλος με εξίσωση (x-2)2+(y+2)2=4 μον. 8 Β2. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει w −(1 −i ) = w −(−1 +i) είναι η ευθεία ε: y=x μον. 8 Β3. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

μον. 9

z −w

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(4-x2)

α) Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της f

Μον. 5

β) Να δικαιολογήσετε γιατί η f είναι παραγωγίσιμη και να αποδείξετε ότι f΄(χ)=

− 2x 4 − x2

Μον. 6

γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f

Μον. 7

δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

Μον. 7

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(x)=αημx+5συνx+2γx+5 με γ>0 και α+γπ+5<0 Δ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (0,π) Μον. 15 Δ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0,π) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της f στο (ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ

Μον. 10


ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Τετάρτη 5 Ιουνίου 2013 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά και στοιχεία Στατιστικής

ΘΕΜΑ Α Α1.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα

ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι Ρ(Α ∪ Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) μον. 10 Α2. Να διατυπώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας μον. 7 Α3. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις

α. Ισχύει ότι (ημx)΄= . . . .

μον. 2

β. Αν Α΄ το συμπληρωματικό ενδεχόμενο του Α (όπου Α ένα οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι Ρ(Α΄)= . . . . . . . . . μον. 2 γ. Η σχετική συχνότητα fi μιας τιμής xi με συχνότητα ν , ενός δείγματος μεγέθους ν είναι ίση με fi= . . . . . μον. 2 i

δ. Για τη μέση τιμή x ενός δείγματος ν παρατηρήσεων με τιμές t1,t2, . . . ,tν ισχύει ότι x = . . . . . . μον 2


ΘΕΜΑ Β Ο παρακάτω πίνακας περιέχει στοιχεία που αφορούν τον αριθμό ημερών που απουσίασαν οι μαθητές της Γ τάξης κατά τη διάρκεια της τελευταίας εβδομάδας του σχολικού έτους (xi: αριθμός ημερών , νi: αριθμός μαθητών) χi

νi

fi

0

5

0,1

1 2

Fi

0,2 35

3 Σύνολο

/////////// ///////////

Β1. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των μαθητών είναι ν= 50 μον. 5 Β2. Να συμπληρώσετε στην κόλλα σας τον παραπάνω πίνακα μον. 12 Β3. Πόσοι μαθητές έχουν τουλάχιστον 2 απουσίες; μον. 4 Β4. Πόσοι μαθητές έχουν το πολύ 2 απουσίες;

μον. 4


ΘΕΜΑ Γ 1

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 3 x3+x2-3x , x ∈ R Γ1. Να βρείτε την f΄(x)

μον 8

Γ2. Να λύσετε την εξίσωση f΄(x)=0

μον 5

Γ3. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f. μον 12

ΘΕΜΑ Δ

Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. με Ρ(Α-Β)=

1 2

, Ρ(Β-Α)=

1 5

και Ρ(Α)=2Ρ(Β) 6

3

Δ1. Να αποδείξετε ότι Ρ(Α)= 10 ,Ρ(Β)= 10 και Ρ(Α ∩ Β)=

1 10

μον 9 Δ2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(Α ∪ Β)

μον 6

Δ3. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β μον 5 Δ4. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β μον 5



Θέματα μαθηματικων 2013