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LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS


RAZONAR: ACTO DE PENSAMIENTO ORGANIZADO QUE PERMITE DISCERNIR DE UN HECHO. LÓGICA: ES UNA CIENCIA FORMAL QUE UTILIZA MÉTODOS Y SÍMBOLOS PARA ESTABLECER UN LENGUAJE ANALÍTICO.

PROPOSICION: ORACIÓN DECLARATIVA QUE ES VERDADERA O FALSA PERO NO AMBAS. TIPOS DE PROPOSICIONES: VIDEOS REFERENTES AL TEMA: ●HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=CNZ-W72E8JS&NOHTML5=FALSE ●HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=PWJK-4OP438&NOHTML5=FALSE ●PROPOSICIÓN ABIERTA: ES AQUELLA CONDICIONADA A COMPLETAR SU ESTRUCTURA. UNA PROPOSICIÓN ABIERTA (O FUNCIÓN PROPOSICIONAL) ES UNA EXPRESIÓN QUE CONTIENE UNA VARIABLE Y QUE AL SER SUSTITUIDA DICHA VARIABLE POR UN VALOR DETERMINADO, HACE QUE LA EXPRESIÓN SE CONVIERTA EN UNA PROPOSICIÓN. ((V) Ó (F)). P(X); P(X, Y, Z...). O LA PALABRA, “¡AUXILIO!” NO ES PROPOSICIÓN. O LA PALABRA, “SUBE” NO ES PROPOSICIÓN. O LA PALABRA “CORRE” NO TIENE PROPOSICIÓN. O LA PALABRA “PIENSA” NO TIENE PROPOSICIÓN O LA PALABRA “ESTUDIA” NO TIENE PROPOSICIÓN. O LA PALABRA “TRABAJA” NO TIENE PROPOSICIÓN. O LA PALABRA “MAÚLLA” NO TIENE PROPOSICIÓN.


●PROPOSICION SIMPLE (ATÓMICAS): ENUNCIADO QUE NO TIENE RELACIÓN CON OTROS ENUNCIADOS Y POR LO TANTO CARECE DE CONECTORES LÓGICOS. O LA BALLENA ES ROJA. O LA RAÍZ CUADRADA DE 16 ES 4. O GUSTAVO ES ALTO. O TERESA VA A LA ESCUELA. ●PROPOSICIÓN COMPUESTA (MOLECULARES): ENUNCIADOS UNIDOS A TRAVÉS DE CONECTORES LÓGICOS, PERMITEN MODIFICAR PROPOSICIONES, O ASOCIAR DOS O MÁS ENUNCIADOS SIMPLES, CONVIRTIÉNDOLOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS. O “EL FRIJOL ES AMARILLO O NEGRO” (EN ESTA ORACIÓN SE PUEDE COMPROBAR SI EL FRIJOL ES DE UN COLOR U OTRO ESTANDO DIVIDIDA ENTRE AMARILLO Y NEGRO Y DE ÉSTOS SE DESPRENDE LA VERDAD). O “SU TELÉFONO ES NEGRO O ROSA” (EN ESTA ORACIÓN, SE PUEDE COMPROBAR SI EL TELÉFONO ES DE UN COLOR U OTRO, TENIENDO SÓLO DOS POSIBILIDADES). O “ÉL ESTÁ COMPONIENDO COCHES O MOTOCICLETAS” (ESTA ORACIÓN TIENE LA DISCREPANCIA ENTRE EL TIPO DE COMPOSTURA QUE HACE). O “LA COMPUTADORA ES GRANDE O PEQUEÑA” (LA ORACIÓN SE DIVIDE POR EL TAMAÑO LO QUE NOS DARÁ LA CONCLUSIÓN CORRESPONDIENTE). O “LA COMPUTADORA ES NEGRA O BLANCA” (TIENE UNA DISCREPANCIA QUE PUEDE CARGAR LA VERACIDAD EN UN SENTIDO U OTRO).


NEGACIÓN: ES UN OPERADOR LÓGICO DE LA FORMA "NO ES EL CASO QUE" Y QUE TRANSFORMA UNA PROPOSICIÓN P EN OTRA CON VALOR DE VERDAD CONTRARIO. EJEMPLO: SI P ES LA PROPOSICIÓN "EL NÚMERO N ES IMPAR" LA NEGACIÓN DE P ES "NO ES EL CASO QUE EL NÚMERO N ES IMPAR" (ES DECIR, "EL NÚMERO N ES PAR"). LA NEGACIÓN DE P SE DENOTA CON ~P. LA NEGACIÓN DE P ES VERDADERA SI Y SÓLO SI P ES FALSA.


CONJUNCIÓN: SOLO ES VERDADERA SI AMBAS PROPOSICIONES SIMPLES SON VERDADERAS, DE LO CONTRARIO ES FALSA.

DISYUNCIÓN: SOLAMENTE ES FALSA SI LAS PROPOSICIONES ATÓMICAS SON FALSAS DE LO CONTRARIO SON VERDADERAS.

●DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: EXCLUYE VALORES IGUALES, ES FALSO CUANDO AMBAS PROPOSICIONES TIENEN EL MISMO VALOR DE VERDAD.


CONDICIONAL: SEA P, Q A P: ANTECEDENTE (HIPÓTESIS) Q: CONSECUENTE (TESIS O CONCLUSIÓN)

IMPLICACIÓN: CUANDO LA CONCLUSIÓN ES UNA CONSECUENCIA LÓGICA DE LA HIPÓTESIS P .Q P EN ESTE CASO SE DICE QUE P ES CONDICIÓN SUFICIENTE PARA Q O Q ES CONDICIÓN NECESARIA PARA P BICONDICIONAL: UN BICONDICIONAL ES VERDADERO SI AMBAS PROPOSICIONES TIENEN EL MISMO VALOR DE VERDAD, EN ÉSTE CASO CADA PROPOSICIÓN SIMPLE IMPLICA LA OTRA


LOS RESULTADOS DE LAS TABLAS DE VALORES: VIDEO REFERENTE AL TEMA: HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=LNLOBDJAG8E TAUTOLOGÍA: CUANDO TODO EL CONJUNTO PROPOSICIONAL DA VERDADERO. LA EXPRESIÓN ‘(P ^ Q) → (P V~ R)’ ES UNA TAUTOLOGÍA.

CONTRADICCIÓN: CUANDO TODO EL CONJUNTO PROPOSICIONAL DA FALSO. P ∧¬P (SE LEE: P Y NO P)

CONTINGENCIA: CUANDO EL CONJUNTO PROPOSICIONAL HAY AL MENOS UN FALSO Y UN VERDADERO. A^(BVC)


TAREA: 1) DETERMINE EL TIPO DE ESQUEMA PROPOSICIONAL. A)[(((PVQ)^(P

B)[˜[˜(P

R)) ^(Q

Q)V(˜R^S)]

S)) ^˜S]

P

˜P]

2.EL SIGUIENTE ESQUEMA PROPOSICIONAL ES FALSO. SI NO TOMAS ENSERIO LA UNIVERSIDAD, TENDRAS PROBLEMAS PARA INGRESAR O NO SERAS PROFESIONAL. QUE VALOR DE VERDAD ASUME LAS PROPOSICIONES SIMPLES. 3. UTILIZANDO REGLAS DE SIMPLIFICACIÓN (SIN TABLAS DE VERDAD), COMO SERIA EL SIGUIENTE ESQUEMA. ˜ (Q V ˜R)

(P V ˜P)

4. ESCRIBE EN FORMA SIMBOLICA: A)Q SI P B)P PERO Q C) COMO MINIMO P D) P NO OBSTANTE Q E) P NECESARIO PARA Q. F) P SIEMPRE QUE Q G) P A NO SER QUE Q

5. HALLAR EL RECIPROCO, EL CONTARIO, Y EL CONTRARECIPROCO EN FORMA SIMBOLICA Y GRAMATICAL DE : SI NO ES VERDAD QUE JUAN CORRE O CAMINA, ENTONCES ESTA SENTADO Y NO VE TV.


6) ANALIZA LA NECESIDAD O SUFICIENCIA DE: A) SI UN NUMERO DIVIDE POR 8, ES PAR B) SI ES SURAMERICANO ES COLOMBIANO. 7) NEGAR LOS SIGUIENTES CUANTIFICADORES EN FORMA SIMBOLICA Y GRAMATICAL. A) NO ES CIERTO QUE TODOS LOS HOMBRES SON PERROS. B)ALGUNOS DIAS LLEGO TEMPRANO.

C) TODOS LOS CUADRADOS SON ROMBOS. 8) CONSULTE LAS REGALAS DE INFERENCIA, ESCRIBE SU FORMA SIMBOLICA Y DE UN EJEMPLO GRAMATICAL.


EQUIVALENCIAS LÓGICAS:


LEYES DE INFERENCIA: LAS LEYES DE INFERENCIA QUE CORRESPONDEN A FORMAS DE RAZONAMIENTO ELEMENTALES CUYA VALIDEZ ES FÁCIL DE DEMOSTRAR 1. MODUS PONENDO PONENS (MPP): P → Q, P ├ Q EL CONDICIONAL O IMPLICACIÓN ES AQUELLA OPERACIÓN QUE ESTABLECE ENTRE DOS ENUNCIADOS UNA RELACIÓN DE CAUSA-EFECTO. LA REGLA ‘PONENDO PONENS’ SIGNIFICA, “AFIRMANDO AFIRMO” Y EN UN CONDICIONAL ESTABLECE, QUE SI EL ANTECEDENTE (PRIMER TÉRMINO, EN ESTE CASO P) SE AFIRMA, NECESARIAMENTE SE AFIRMA EL CONSECUENTE (SEGUNDO TÉRMINO, EN ESTE CASO Q). 2.MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT): P → Q, ¬Q ├ ¬P TOLLENDO TOLLENS” SIGNIFICA “NEGANDO, NIEGO”, Y SE REFIERE A UNA PROPIEDAD INVERSA DE LOS CONDICIONALES, A LOS QUE NOS REFERÍAMOS EN PRIMER LUGAR. 3.DOBLE NEGACIÓN (DN): ¬P ↔ P ¬C↔T ¬T↔C P SÍ SÓLO SÍ P EL ESQUEMA REPRESENTA, “P DOBLEMENTE NEGADA EQUIVALE A P”. SIGUIENDO EL ESQUEMA DE UNA INFERENCIA POR PASOS, LA REPRESENTARÍAMOS ASÍ: ¬¬ P “NO OCURRE QUE ANA NO ES UNA ESTUDIANTE” P “ANA ES UNA ESTUDIANTE” LA REGLA ‘DOBLE NEGACIÓN’, SIMPLEMENTE ESTABLECE QUE SI UN ENUNCIADO ESTÁ DOBLEMENTE NEGADO, EQUIVALDRÍA AL ENUNCIADO AFIRMADO.


4.- CONJUNCIÓN: P, Q ├ P Λ Q CONJUNCIÓN (C): SI DISPONEMOS DE DOS ENUNCIADOS AFIRMADOS COMO DOS PREMISAS SEPARADAS, MEDIANTE LA ADJUNCIÓN, PODEMOS UNIRLOS EN UNA SOLA PREMISA UTILIZANDO EL OPERADOR Λ (CONJUNCIÓN). P “JUAN ES COCINERO” Q “PEDRO ES POLICÍA” P Λ Q “JUAN ES COCINERO Y PEDRO ES POLICÍA” 5. - SIMPLIFICACIÓN (S): OBVIAMENTE, ES LA OPERACIÓN INVERSA. SI DISPONEMOS DE UN ENUNCIADO FORMADO POR DOS MIEMBROS UNIDOS POR UNA CONJUNCIÓN, PODEMOS HACER DE LOS DOS MIEMBROS DOS ENUNCIADOS AFIRMADOS POR SEPARADO. P Λ Q “TENGO UNA MANZANA Y TENGO UNA PERA” P “TENGO UNA MANZANA” Q “TENGO UNA PERA” 6.- MODUS TOLLENDO PONENS (TP): LA DISYUNCIÓN, QUE SE SIMBOLIZA CON EL OPERADOR V, REPRESENTA UNA ELECCIÓN ENTRE DOS ENUNCIADOS. AHORA BIEN, EN ESA ELECCIÓN, FORMA PARTE DE LAS POSIBILIDADES ESCOGER AMBOS ENUNCIADOS, ES DECIR, LA VERDAD DE AMBOS ENUNCIADOS NO ES INCOMPATIBLE, SI BIEN, AMBOS NO PUEDEN SER FALSOS. P V Q “HE IDO AL CINE O ME HE IDO DE COMPRAS” ¬Q “NO HE IDO DE COMPRAS P “POR TANTO, HE IDO AL CINE”


7. LEY DE LA ADICIÓN: DADO UN ENUNCIADO CUALQUIERA, ES POSIBLE EXPRESARLO COMO UNA ELECCIÓN (DISYUNCIÓN) ACOMPAÑADO POR CUALQUIER OTRO ENUNCIADO. P “HE COMPRADO MANZANAS” P V Q “HE COMPRADO MANZANAS O HE COMPRADO PERAS” 8.- SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH): DADOS DOS IMPLICACIONES, DE LAS CUALES, EL ANTECEDENTE DE LA UNA SEA EL CONSECUENTE DE LA OTRA (EL MISMO ENUNCIADO), PODEMOS CONSTRUIR UNA NUEVA IMPLICACIÓN CUYO ANTECEDENTE SEA EL DE AQUELLA IMPLICACIÓN CUYA CONSECUENCIA SEA EL ANTECEDENTE DE LA OTRA IMPLICACIÓN, Y CUYO CONSECUENTE SEA EL DE ÉSTA ÚLTIMA, CUYO ANTECEDENTE ERA CONSECUENCIA DEL PRIMERO. P ENTONCES Q “TODOS LOS GATOS SON VERTEBRADOS”. Q ENTONCES R “TODOS LOS VERTEBRADOS SON ANIMALES”. P ENTONCES R “TODOS LOS GATOS SON ANIMALES”.

9- SILOGISMO DISYUNTIVO (DS): DADAS TRES PREMISAS, DOS DE ELLAS IMPLICACIONES, Y LA TERCERA UNA DISYUNCIÓN CUYOS MIEMBROS SEAN LOS ANTECEDENTES DE LOS CONDICIONALES, PODEMOS CONCLUIR EN UNA NUEVA PREMISA EN FORMA DE DISYUNCIÓN, CUYOS MIEMBROS SERÍAN LOS CONSECUENTES DE LAS DOS IMPLICACIONES. P ENTONCES Q “SI LLUEVE, ENTONCES LAS CALLES SE MOJAN” R ENTONCES S “SI LA TIERRA TIEMBLA, LOS EDIFICIOS SE CAEN” P V R “LLUEVE O LA TIERRA TIEMBLA” Q V S “LAS CALLES SE MOJAN O LOS EDIFICIOS SE CAEN”


10.- SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD): SI DISPONEMOS DE DOS PREMISAS QUE CORRESPONDEN A DOS IMPLICACIONES CON EL MISMO CONSECUENTE, Y SUS ANTECEDENTES SE CORRESPONDEN CON LOS DOS MIEMBROS DE UNA DISYUNCIÓN, PODEMOS CONCLUIR CON EL CONSECUENTE DE AMBAS IMPLICACIONES. P V Q “HELADO DE FRESA O HELADO DE VAINILLA” P ENTONCES R “SI TOMAS HELADO DE FRESA ENTONCES REPITES” Q ENTONCES R “SI TOMAS HELADO DE VAINILLA ENTONCES REPITES” R LUEGO, REPITES 11- LEY CONMUTATIVA: ESTA LEY, NO ES VÁLIDA PARA LA IMPLICACIÓN, PERO SÍ PARA CONJUNCIÓN Y PARA LA DISYUNCIÓN. UNA CONJUNCIÓN ES AFIRMAR QUE SE DAN DOS COSAS A LA VEZ, DE MODO QUE EL ORDEN DE SUS ELEMENTOS NO CAMBIA ESTE HECHO. IGUALMENTE, UNA DISYUNCIÓN ES PRESENTAR UNA ELECCIÓN ENTRE DOS COSAS, SIN IMPORTAR EN QUÉ ORDEN SE PRESENTE ESTA ELECCIÓN. ASÍ PUES: P Λ Q SÍ Y SÓLO SÍ Q Λ P “«P Y Q» EQUIVALE A «Q Y P»” P V Q SÍ Y SÓLO SÍ Q V P “«P Ó Q» EQUIVALE A «Q Ó P»


12- LEYES DE MORGAN (DM): ESTA LEY PERMITE TRANSFORMAR UNA DISYUNCIÓN EN UNA CONJUNCIÓN, Y VICEVERSA, ES DECIR, UNA CONJUNCIÓN EN UNA DISYUNCIÓN. CUANDO SE PASA DE UNA A OTRA, SE CAMBIAN LOS VALORES DE AFIRMACIÓN Y NEGACIÓN DE LOS TÉRMINOS DE LA DISYUNCIÓN/CONJUNCIÓN ASÍ COMO DE LA PROPIA OPERACIÓN EN CONJUNTO, COMO PODEMOS OBSERVAR AQUÍ: PΛQPVQ ¬(¬P V ¬Q) ¬(¬P Λ ¬Q

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CUANTIFICADORES


NEGACIÓN: P(X)= LAS FRACCIONES SE PUEDEN REPRESENTAR POR MEDIO DE UN DECIMAL DE FINITAS CIFRAS X, P(X): F


REGLA DE INFERENCIA


S (SUBSTITUCIÓN) PODEMOS REEMPLAZAR CUALQUIER PARTE DE UNA PROPOSICIÓN COMPUESTA CON UNA PROPOSICIÓN EQUIVALENTEMENTE TAUTOLÓGICA. C (CONJUNCIÓN) SI A Y B SON LAS DOS LÍNEAS EN UNA PRUEBA, ENTONCES PODEMOS AÑADIR LA LÍNEA AB A LA PRUEBA. P (PREMISA) PODEMOS ESCRIBIR UNA PREMISA COMO UNA LÍNEA EN UNA PRUEBA. VIDEO REFERENTE AL TEMA: HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=U2F4GS-LZMC PARA TENER MÁS CLARIDAD ENLACE:HTTP://LGICAEPN.BLOGSPOT.COM.CO/2011/12/LOGICAMATEMATICA.HTML AQUÍ EN ESTE ENLACE PODRÁS EVALUAR TUS CONOCIMIENTOS HTTP://PROFEALEXZ.BLOGSPOT.COM.CO/2011/03/RAZONAMIENTO-LOGICO-MATEMATICO.HTML


EJERCICIOS:


TEORÍA DE CONJUNTOS:


UNIÓN LA UNIÓN DE DOS CONJUNTOS A Y B LA DENOTAREMOS POR A ∪ B Y ES EL CONJUNTO FORMADO POR LOS ELEMENTOS QUE PERTENECEN AL MENOS A UNO DE ELLOS Ó A LOS DOS. LO QUE SE DENOTA POR: A ∪ B = { X/X ∈ A ∨ X ∈ B } EJEMPLO: SEAN LOS CONJUNTOS A= { 1, 3, 5, 7, 9 } Y B={ 10, 11, 12 } A ∪ B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 } INTERSECCIÓN SEAN A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } Y B={ 2, 4, 8, 12 } LOS ELEMENTOS COMUNES A LOS DOS CONJUNTOS SON: { 2, 4, 8 }. A ESTE CONJUNTO SE LE LLAMA INTERSECCIÓN DE A Y B; Y SE DENOTA POR A Ç B, ALGEBRAICAMENTE SE ESCRIBE ASÍ: A ∩ B = { X/X ∈ A ∧ X ∈ B } Y SE LEE EL CONJUNTO DE ELEMENTOS X QUE ESTÁN EN A Y ESTÁN EN B. EJEMPLO: SEAN Q={ A, N, P, Y, Q, S, R, O, B, K } Y P={ L, U, A, O, S, R, B, V, Y, Z } Q ∩ P={ A, B, O, R, S, Y } SÍ LA INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS ES IGUAL AL CONJUNTO VACÍO, ENTONCES A ESTOS CONJUNTOS LES LLAMAREMOS CONJUNTOS DISJUNTOS.


DIAGRAMAS DE VENN: ESENCIALMENTE, SE CONOCE AL DIAGRAMA DE VENN COMO UNA FORMA DE MOSTRAR DE MANERA GRÁFICA, UNA AGRUPACIÓN DE ELEMENTOS SEGÚN LOS CONJUNTOS, SIENDO REPRESENTADO CADA CONJUNTO CON UNA CIRCUNFERENCIA. ESTA CLASE DE GRÁFICOS SE EMPLEAN EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS, DENTRO DE LAS MATEMÁTICAS MODERNAS Y NOS EXPLICA EL FUNCIONAMIENTO DE UN CONJUNTO DE ELEMENTOS AL REALIZAR ALGUNA OPERACIÓN CON ELLOS.


LA POSICIÓN EN QUE ESTÉN DISPUESTAS LAS CIRCUNFERENCIAS, NOS MOSTRARÁ EL VÍNCULO QUE EXISTE ENTRE LOS CONJUNTOS. EN LA IMAGEN QUE ENCUENTRAS A CONTINUACIÓN, VEMOS CÓMO LOS CÍRCULOS DEL GRUPO A Y EL B SE ENCUENTRAN SOLAPADOS, POSEYENDO UN ÁREA EN COMÚN QUE COMPARTEN AMBOS GRUPOS Y EN LA QUE SE ENCUENTRAN TODOS LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO A Y B.

EN LA IMAGEN SIGUIENTE, EL CÍRCULO DEL GRUPO A SE HAYA DENTRO DEL CÍRCULO B, DE MANERA QUE TODOS LOS COMPONENTES DE B TAMBIÉN SE ENCUENTRAN CONTENIDOS EN A.


EL NOMBRE DE ESTOS DIAGRAMAS FUE DESIGNADO EN HONOR A SU AUTOR, JOHN VENN, QUE ERA UN MATEMÁTICO Y FILÓSOFO BRITÁNICO. JOHN EXPUSO POR PRIMERA VEZ ESTE DIAGRAMA EN 1880, APARECIENDO EN EL ARTÍCULO “DE LA REPRESENTACIÓN MECÁNICA Y DIAGRAMÁTICA DE PROPOSICIONES Y RAZONAMIENTOS” E INSPIRÁNDOSE INICIALMENTE EN EL CÁLCULO DE CLASES DE BOOLE.

PROBLEMA: UN ALUMNO DE UN COLEGIO REALIZA UNA ENCUESTA A 100 ESTUDIANTES ACERCA DE SUS PREFERENCIAS EN HÁBITOS DE LECTURA Y LOS RESULTADOS FUERON: 40 LEEN HISTORIA 55 LEEN LITERATURA 55 LEEN ARTES 15 LEEN HISTORIA Y LITERATURA 20 LEEN HISTORIA Y ARTE 30 LEEN LITERATURA Y ARTE 10 LEEN LAS TRES 5 NO LEEN ¿LA ENCUESTA ES CORRECTA?


B) DE 300 ESTUDIANTES DE UN CLUB DEPORTIVO, 160 SE INSCRIBIERON EN NATACIÓN Y 135 EN GIMNASIA, SI 30 NO SE INSCRIBIERON EN NINGUNA DE LAS DOS ¿CUÁNTOS ESTUDIANTES SE INSCRIBIERON EN LAS DOS?


TAREA: 1) SOMBREAR: A) [(A ∩ C)U(B ∩C)]-(A ∩B ∩C) B) B- (AUC) C) [A ∩{(B ∩C)}^C]∆C 2)EN UN PASEO A GUATAPE CON PAPAS DE LA INMACULADA CONCEPCIÓN ,SE APUNTAN 150 Y VIAJAN 120.SE DETECTO EN EL VIAJE LO SIGUIENTE: 2/3 DE ELLOS NO BEBEN, 4/5 NO FUMAN Y 72 NI FUMAN NI BEBEN. DETERMINE CUANTOS PADRES FUMAN Y BEBEN O NO FUMAN Y BEBEN REALICE DIAGRAMA DE VEN Y PROCESO. 3)DE 100 ESTUDIANTES DE LA DE ANTIOQUIA ENCUESTADOS SOBRE LA APROBACIÓN EN TRES MATERIAS ,70 GANARON EL CURSO DE MATEMÁTICAS , 80 GANARON EL CURSO DE HILADO Y 78 GANARON NOTICIERO. SI 90 ESTUDIANTES APROBARON SOLAMENTE 2 CURSOS ,DETERMINE EL NUMERO DE ESTUDIANTES QUE APROBARON LOS TRES CURSOS.

4)DE UNA POBLACIÓN ENCUESTADA EL 50% TOMAN LECHE,40% COMEN CARNE. SI TODOS LOS QUE COMEN CARNE O TOMAN LECHE SON EL 54%,QUE PORCENTAJE NO COMEN CARNE NI LECHE?. 5)SE ENTREVISTARON 80 NIÑOS POR LOS GUSTOS EN LA TIENDA DE DON CARLOS ENTRE PANZEROTI, PALO Y ALMOJÁBANA. A 27 LE GUSTAN PANZEROTI PERO NO PALO. A 26 LES GUSTA EL PALO PERO NO ALMOJÁBANA . A 19 LE GUSTA ALMOJÁBANA PERO NO PANZEROTI A DOS LES GUSTA EL PALO, ALMOJÁBANA Y PANZEROTI. DETERMINE A CUANTOS NIÑOS NO LES GUSTA LA ALMOJÁBANA, EL PALO NI EL PANZEROTI


6)A LA ENTRADA DE LA INMACULADA SE ENCUESTARON 152 NIÑOS CON RESPECTO AL GUSTO POR SUS JUGUETES FAVORITOS Y ARROJO LO SIGUIENTE : -52 GUSTAN DE BALÓN,63 CARROS,87 VIDEOJUEGOS. -ALGUNOS DE ELLOS COINCIDEN QUE LE GUSTA MAS UN JUGUETE, 26 JUEGAN BALÓN Y CARROS, 37 CARROS Y VIDEOJUEGOS, 23 BALÓN Y VIDEOJUEGOS, 7 JUEGAN CON LOS TRES. A CUANTO LES GUSTA JUGAR SOLAMENTE CON VIDEOJUEGOS O BALÓN?.


COMPETENCIAS VARIACIONALES


CONCEPTOS FUNDAMENTALES EXPERIMENTO ALEATORIO: CONJUNTO DE PRUEBAS CUYOS RESULTADOS ESTÁN DETERMINADOS ÚNICAMENTE POR EL AZAR. ESPACIO MUESTRAL: CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO. PUNTO MUESTRAL O SUCESO ELEMENTAL: EL RESULTADO DE UNA SOLA PRUEBA NO UN EXPERIMENTO MUESTRAL. SUCESO O EVENTO: CUALQUIER SUBCONJUNTO DE PUNTOS MUÉSTRALES. SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: SUCESO O EVENTOS QUE NO PUEDEN OCURRIR SIMULTÁNEAMENTE SUCESOS COMPLEMENTARIOS: DOS SUCESOS O EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CUYA UNIÓN ES EL ESPACIO MUESTRAL. SUCESO INDEPENDIENTE: SUCESO O EVENTOS QUE NO TIENEN RELACIÓN ENTRE SÍ; LA OCURRENCIA DE UNO NO AFECTA AL OTRO. SUCESO DEPENDIENTE: SUCESO O EVENTO QUE SI TIENEN RELACIÓN ENTRE SÍ; LA OCURRENCIA DE UNO NO AFECTA AL OTRO.


EJEMPLO: SE LANZA UN DADO A) ENCONTRAR EL ESPACIO MUESTRAL: SOLUCIÓN: S= {1,2,3,4,5,6}

B) ENUMERAR LOS PUNTOS MUÉSTRALES: SOLUCIÓN: S= HAY SEIS PUNTOS MUÉSTRALES {1} {2} {3} {4} {5} {6} C) PONER DOS EJEMPLOS DE EVENTOS: SOLUCIÓN= EVENTO A=(RESULTADO IMPAR)= (1,3,5) EVENTO B= (RESULTADO ES MAYOR QUE 2)= (2,4,5,6) D) ¿SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES LOS SIGUIENTES EVENTOS? A= (RESULTADO MENOR O IGUAL A 1) SOLUCIÓN= {1, 2, 3,4} B= (RESULTADO ES PRIMO) SOLUCIÓN= {2, 3,5} SI TIENEN DOS PUNTOS EN COMÚN 2 Y 3 POR LO TANTO NO SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES E) ¿CUÁL SUCESO ES COMPLEMENTARIO A M=(2,6)? SOLUCIÓN: {1,3,4,5} F) ¿SON DEPENDIENTES O INDEPENDIENTES LOS SIGUIENTES EVENTOS? A= (OBTENER UN 2 EN EL PRIMER LANZAMIENTO) B= (OBTENER UN 4 EN EL SEGUNDO LANZAMIENTO) SOLUCIÓN: SON INDEPENDIENTES, PORQUE OBTENER O NO UN 2 EN EL PRIMER LANZAMIENTO NO AFECTA EL RESULTADO DEL SEGUNDO LANZAMIENTO G) UNA ESCUELA DE FÚTBOL ESTÁ CONFORMADA POR 67 INTEGRANTES DE LOS CUALES 40 JUEGAN EN LA CATEGORÍA INFANTIL Y 35 JUEGAN EN LA CATEGORÍA PRE JUVENIL. *LOS EVENTOS ¿JUGAR EN LA CATEGORÍA INFANTIL Y EN LA CATEGORÍA PRE JUVENIL SON EXCLUYENTES? NO PORQUE HAY 8 ESTUDIANTES QUE JUEGAN EN LAS 2


DIAGRAMA DE ÁRBOL: UN DIAGRAMA DE ÁRBOL ES UNA REPRESENTACIÓN GRÁFICA QUE MUESTRA LOS RESULTADOS POSIBLES DE UNA SERIE DE EXPERIMENTOS Y SUS RESPECTIVAS PROBABILIDADES; CONSTA DE R PASOS, DONDE CADA UNO DE LOS PASOS TIENE UN NÚMERO FINITO DE MANERAS DE SER LLEVADO A CABO. PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN DIAGRAMA EN ÁRBOL SE PARTIRÁ PONIENDO UNA RAMA PARA CADA UNA DE LAS POSIBILIDADES, ACOMPAÑADA DE SU PROBABILIDAD. EN EL FINAL DE CADA RAMA PARCIAL SE CONSTITUYE A SU VEZ, UN NUDO DEL CUAL PARTEN NUEVAS RAMAS, SEGÚN LAS POSIBILIDADES DEL SIGUIENTE PASO, SALVO SI EL NUDO REPRESENTA UN POSIBLE FINAL DEL EXPERIMENTO (NUDO FINAL). HAY QUE TENER EN CUENTA: QUE LA SUMA DE PROBABILIDADES DE LAS RAMAS DE CADA NUDO HA DE DAR 1. POR EJEMPLO: UNA CLASE CONSTA DE 6 NIÑAS Y 10 NIÑOS, SI SE ESCOGE UN COMITÉ DE TRES AL AZAR, REALICE DIAGRAMA DE ÁRBOL.


TÉCNICAS DE CONTEO.PERMUTACIONES Y COMBINACIONES. LAS TÉCNICAS DE CONTEO SON AQUELLAS QUE SON USADAS PARA ENUMERAR EVENTOS DIFÍCILES DE CUANTIFICAR. SI UN EVENTO A PUEDE OCURRIR DE N1 MANERAS Y UNA VEZ QUE ESTE HA OCURRIDO, OTRO EVENTO B PUEDE N2 MANERAS DIFERENTES ENTONCES, EL NÚMERO TOTAL DE FORMAS DIFERENTES EN QUE AMBOS EVENTOS PUEDEN OCURRIR EN EL ORDEN INDICADO, ES IGUAL A N1 X N2. ¿DE CUÁNTAS MANERAS PUEDEN REPARTIRSE 3 PREMIOS A UN CONJUNTO DE 10 PERSONAS, SUPONIENDO QUE CADA PERSONA NO PUEDE OBTENER MÁS DE UN PREMIO? APLICANDO EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO, TENEMOS 10 PERSONAS QUE PUEDEN RECIBIR EL PREMIO. UNA VEZ QUE ESTE HA SIDO ENTREGADO, RESTAN 9 PERSONAS PARA RECIBIR EL SEGUNDO, Y POSTERIORMENTE QUEDARÁN 8 PERSONAS PARA EL TERCER PREMIO. DE AHÍ QUE EL NÚMERO DE MANERAS DISTINTAS DE REPARTIR LOS TRES PREMIOS. N 10.9.8=720 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (Y) SI SE DESEA REALIZAR UNA ACTIVIDAD QUE CONSTA DE R PASOS, EN DONDE EL PRIMER PASO DE LA ACTIVIDAD A REALIZAR PUEDE SER LLEVADO A CABO DE N1 MANERAS O FORMAS, EL SEGUNDO PASO DE N2 MANERAS O FORMAS Y EL R-ÉSIMO PASO DE NR MANERAS O FORMAS, ENTONCES ESTA ACTIVIDAD PUEDE SER LLEVADA A EFECTO DEL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO, IMPLICA QUE CADA UNO DE LOS PASOS DE LA ACTIVIDAD DEBEN SER LLEVADOS A EFECTO, UNO TRAS OTRO. SI UN EVENTO E1 PUEDE SUCEDER DE N1 MANERAS DIFERENTES, EL EVENTO E2 PUEDE OCURRIR DE N2 MANERAS DIFERENTES, Y ASÍ SUCESIVAMENTE HASTA EL EVENTO EP EL CUAL PUEDE OCURRIR DE N MANERAS DIFERENTES, ENTONCES EL TOTAL DE MANERAS DISTINTAS EN QUE PUEDE SUCEDER EL EVENTO “OCURREN E1 Y E2…Y EP” ES IGUAL A PRODUCTO.


N1XN2…. X NR MANERAS O FORMAS. POR EJEMPLO: SE DISPONE DE 3 VÍAS PARA VIAJAR DE C1 Y DE C2 Y DE 4 VÍAS PARA VIAJAR DE C1 A C2 ¿CUÁNTAS FORMAS SE PUEDEN ORGANIZAR EL VIAJE DE IDA Y VUELTA DE C1 A C2? RESPUESTA: (3) (4)=12 PRINCIPIO DE ADICIÓN (O) SI UN EVENTO O SUCESO “A” OCURRE DE N MANERAS Y OTRO “B” OCURRE DE M MANERAS, LUEGO:Nº DE MANERAS EN QUE PUEDE OCURRIR EL EVENTO A O EL EVENTO B ES: N + M UN EVENTO O SUCESO OCURRE DE UNA FORMA O DE OTRA, MÁS NO DE AMBAS FORMAS A LA VEZ (NO SUCEDE EN SIMULTÁNEO) POR EJEMPLO: ERIKA PARA IR A DE SU CASA A LA UNIVERSIDAD LO HACE TOMANDO UN SOLO MICROBÚS. SI POR SU CASA PASAN 3 LÍNEAS DE TRANSPORTE QUE LA LLEVAN A LA UNIVERSIDAD, ¿DE CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES, SEGÚN EL MICROBÚS QUE TOME, LLEGARÁ ERIKA A LA UNIVERSIDAD? SE SABE QUE LA LÍNEA A TIENE 3 MICROBUSES, LA LÍNEA B TIENE 5 MICROBUSES Y LA LÍNEA C TIENE 8 MICROBUSES. PERMUTACIÓN SEA “N” EL NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO A Y “R” UN NÚMERO NATURAL DONDE 0 < R <N; LAS PERMUTACIONES SE DEFINEN COMO EL NÚMERO DE ORDENACIONES DIFERENTES QUE SE PUEDEN FORMAR CON LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO A, TOMANDO DOS GRUPOS DE “N” EN “N” O DE “R” EN “R” PUEDEN SER SIN REPETICIÓN O CON REPETICIÓN.

POR EJEMPLO: ¿CUÁNTOS NÚMEROS DE 5 CIFRAS DIFERENTES SE PUEDE FORMAR CON LOS DÍGITOS: 1, 2, 3, 4, 5? M=5 N=5


SÍ ENTRAN TODOS LOS ELEMENTOS. DE 5 DÍGITOS ENTRAN SÓLO 3. SÍ IMPORTA EL ORDEN. SON NÚMEROS DISTINTOS EL 123, 231, 321. NO SE REPITEN LOS ELEMENTOS. EL ENUNCIADO NOS PIDE QUE LAS CIFRAS SEAN DIFERENTES. P5=5!=5*4*3*2*1= 120 PERMUTACIÓN SIN REPETICIÓN: DE “N” ELEMENTOS DIFERENTES TOMADOS A LA VEZ: SI “N” ES EL NÚMERO DE ELEMENTOS TOMADOS DE UN CONJUNTO A; EL NÚMERO DE PERMUTACIONES QUE PUEDEN HACERSE CON TODOS LOS “N” ELEMENTOS SE OBTIENEN ASÍ: P(N, N)=N! POR EJEMPLO: ¿DE CUÁNTAS FORMAS DISTINTAS PUEDEN SENTARSE OCHO PERSONAS EN UNA FILA DE BUTACAS? SÍ ENTRAN TODOS LOS ELEMENTOS. TIENEN QUE SENTARSE LAS 8 PERSONAS. SÍ IMPORTA EL ORDEN. NO SE REPITEN LOS ELEMENTOS. UNA PERSONA NO SE PUEDE REPETIR. P8=8!=40320


PROBABILIDAD LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE 0 Y 1 QUE INDICA LAS POSIBILIDADES QUE TIENE DE VERIFICARSE CUANDO SE REALIZA UN EXPERIMENTO ALEATORIO. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD. UNO DE LOS MÉTODOS MÁS UTILIZADOS ES APLICANDO LA REGLA DE LAPLACE: DEFINE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO COMO EL COCIENTE ENTRE CASOS FAVORABLES Y CASOS POSIBLES. P (SUCESO) CASOS FAVORABLES (F) CASOS POSIBLES (N)

EJEMPLO: PROBABILIDAD DE QUE AL LANZAR UN DADO SALGA EL NUMERO 2: EL CASO FAVORABLE (F) ES TAN SOLO (QUE SALGA EL DOS), MIENTRAS QUE LOS CASOS POSIBLES (N) SON SEIS. POR TANTO: P=F/N = 1/6= 0.166 (16.6%) CONDICIONES IMPORTANTES. A) EL NÚMERO DE RESULTADOS POSIBLES (SUCESO O EVENTO) TIENE QUE SER INFINITO. SI HUBIERA INFINITOS RESULTADOS, AL APLICAR LA REGLA “CASOS FAVORABLES” DIVIDIDO POR “CASOS POSIBLES” EL COCIENTE SIEMPRE SERÁ CERO. PROBABILIDADES COMO CONJUNTOS. 1-E:ESPACIO MUESTRAL O CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES. 2-A∪B: AL MENOS UNO DE LOS EVENTOS A O B OCURRE. 3-A∩B: AMBOS EVENTOS OCURREN. 4-AC: EL EVENTO A NO OCURRE.


CONDICIONES IMPORTANTES PARA PODER APLICAR LA REGLA DE LAPLACE EL EXPERIMENTO ALEATORIO TIENE QUE CUMPLIR DOS REQUISITOS:

A) EL NÚMERO DE RESULTADOS POSIBLES (SUCESOS O EVENTOS) TIENE QUE SER FINITO. SI HUBIERA INFINITOS RESULTADOS, AL APLICAR LA REGLA "CASOS FAVORABLES DIVIDIDO POR CASOS POSIBLES" EL COCIENTE SIEMPRE SERÍA CERO. B) TODOS LOS SUCESOS O EVENTOS TIENEN QUE TENER LA MISMA PROBABILIDAD. SI AL LANZAR UN DADO, ALGUNAS CARAS TUVIERAN MAYOR PROBABILIDAD DE SALIR QUE OTRAS, NO PODRÍAMOS APLICAR ESTA REGLA. A LA REGLA DE LAPLACE TAMBIÉN SE LE DENOMINA "PROBABILIDAD A PRIORI", YA QUE PARA APLICARLA HAY QUE CONOCER ANTES DE REALIZAR EL EXPERIMENTO CUALES SON LOS POSIBLES RESULTADOS Y SABER QUE TODOS TIENEN LAS MISMAS PROBABILIDADES. CUANDO SE REALIZA UN EXPERIMENTO ALEATORIO UN NÚMERO MUY ELEVADO DE VECES, LAS PROBABILIDADES DE LOS DIVERSOS POSIBLES SUCESOS EMPIEZAN A CONVERGER HACIA VALORES DETERMINADOS, QUE SON SUS RESPECTIVAS PROBABILIDADES. EJEMPLO:SI LANZO UNA VEZ UNA MONEDA AL AIRE Y SALE "CARA", QUIERE DECIR QUE EL SUCESO "CARA" HA APARECIDO EL 100% DE LAS VECES Y EL SUCESO "CRUZ" EL 0%. SI LANZO DIEZ VECES LA MONEDA AL AIRE, ES POSIBLE QUE EL SUCESO "CARA" SALGA 7 VECES Y EL SUCESO "CRUZ" LAS 3 RESTANTES. EN ESTE CASO, LA PROBABILIDAD DEL SUCESO "CARA" YA NO SERÍA DEL 100%, SINO QUE SE HABRÍA REDUCIDO AL 70%. SI REPITO ESTE EXPERIMENTO UN NÚMERO ELEVADO DE VECES, LO NORMAL ES QUE LAS PROBABILIDADES DE LOS SUCESOS "CARA" Y "CRUZ" SE VAYAN APROXIMANDO AL 50% CADA UNA. ESTE 50% SERÁ LA PROBABILIDAD DE ESTOS SUCESOS SEGÚN EL MODELO FRECUENTISTA.


PROPIEDADES: ADEMÁS DE P (E)= 1, P(Q)= 0,0 < P(A)< 1, TENEMOS: 1. SI A∩B=∅ (AYB SE EXCLUYEN MUTUAMENTE) ENTONCES: P (A∅B)= P(A) + P (B) 2. P(A) + P(AC)=1 P (A) =1- P (AC) P (AC) = 1- P (A) 3. SI A∩B ≠ ∅ ENTONCES P (A∪B) = P (A) + P (B) – P(A∩B) 4. SI A Y B SON EVENTOS INDEPENDIENTES (LA OCURRENCIA DE A NO INFLUYE EN LA OCURRENCIA DE B), ENTONCES: P(A∩B) = P(A) * P (B) 5. SI A Y B SON EVENTOS DEPENDIENTES (LA OCURRENCIA DE A INFLUYEN LA OCURRENCIA DE B), ENTONCES: P(A∩B)= P(A)*P (B/A) P (B/A)= ES LA PROBABILIDAD DEL EVENTO B, SABIENDO QUE HA OCURRIDO A


TAREA: 1)SE EXTRAE UNA CARTA AL AZAR DE UNA BARAJA DE 52 CARTAS DE PÓKER. CUAL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN AZ,CUAL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN 10 O UN DIAMANTE ? 2)SE LANZAN DOS DADOS UNA VEZ , CUAL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER UNA SUMA IGUAL A 5?.REALIZE EL ESPACIO MUESTRAL Y DE LAS OTRAS SUMAS (O SEA (0,1,2,3,4,5…). LA PROBABILIDAD DE OBTENER AL MENOS UNA SUMA DE 9. 3) UN ENVIÓ DE 12 CAJAS CON DROGAS CONTIENE 3 CAJAS ALTERADAS. CUAL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER UNA CAJA ALTERADA AL TOMAR AL AZAR 7 CAJAS DE LAS 12? (AQUÍ ENTRA COMBINATORIA CON LAPLACE). 4)UNA URNA CONTIENE 4 BOLAS BLANCAS Y 2 AZULES SE EXTRAEN 2 BOLAS AL AZAR DE LA URNA (SIN REEMPLAZO Y CON REEMPLAZO ). CUAL ES LA PROBABILIDAD DE: AMBAS SEAN BLANCAS. PRIMERA AZUL Y SEGUNDA BLANCA . UNA SEA BLANCA Y LA OTRA AZUL. 5)EN UN LOTE DE 6 TRANSISTORES HAY DOS DEFECTUOSOS, SI SE CHEQUEAN 1 POR 1 , CUAL ES EL NUMERO MÍNIMO DE TRANSISTORES QUE HAY QUE CHEQUEAR PARA QUE LA PROBABILIDAD DE ENCONTRAR EL PRIMER DEFECTUOSO SEA DE 90%. CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL SEGUNDO DEFECTUOSO SEA CHEQUEADO DE 4 ?.

6) CON DIAGRAMA DE ÁRBOL , DE CUANTAS FORMAS PUEDEN ORDENARSE LAS LETRAS A; B; C SI NO SE PUEDEN REPETIR. SI SE PUEDEN REPETIR.


7)CUANTOS NÚMEROS 5 CIFRAS PUEDEN FORMARSE CON LOS NÚMEROS PARES 2, 4 , 6 ,8, 0. CUANTOS DE ESTOS NÚMEROS SON MAYORES DE 5000? 8)CUANTOS NÚMEROS DE 4 CIFRAS DIFERENTES PUEDEN FORMARSE CON LOS DÍGITOS DEL 1 AL 9? DEL 0 AL 9? 9)UNA CAJA CONTIENE 20 INTERRUPTORES, 5 DEFECTUOSOS. EN CUANTAS FORMAS PUEDE SELECCIONARSE 7 INTERRUPTORES ENTRE LOS CUALES HAY 3 DEFECTUOSOS? 10)UNA HELADERÍA VENDE CONOS DE 31 SABORES DIFERENTES. SI CADA CONO LLEVA TRES SABORES DIFERENTES , CUANTOS CONOS DIFERENTES PUEDEN ELEGIRSE.


ESTADISTICA DESCRIPTIVA


CONCEPTOS PRELIMINARES LA ESTADÍSTICA TARTA DEL RECUENTO, ORDENADO Y CLASIFICACIÓN DE LOS DATOS OBTENIDOS POR LAS OBSERVACIONES, PARA PODER HACER COMPARACIONES Y SACAR CONCLUSIONES. UN ESTUDIO ESTADÍSTICO CONSTA DE LAS SIGUIENTES FASES: -RECOGIDA DE DATOS -ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS -ANÁLISIS DE DATOS -OBTENCIÓN DE CONCLUSIONES -CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA POBLACIÓN: UNA POBLACIÓN ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS A LOS QUE SE SOMETE A UN ESTUDIO ESTADÍSTICO. INDIVIDUO: UN INDIVIDUO O UNIDAD ESTADÍSTICA ES CADA UNO DE LOS ELEMENTOS DE LA POBLACIÓN. MUESTRA: UNA MUESTRA ES UN CONJUNTO REPRESENTATIVO DE LA POBLACIÓN DE REFERENCIA, EL NÚMERO DE INDIVIDUOS DE UNA MUESTRA ES MENOR QUE EL DE LA POBLACIÓN. MUESTREO: EL MUESTREO ES LA REUNIÓN DE DATOS QUE SE DESEA ESTUDIAR, OBTENIDOS DE UNA PROPORCIÓN REDUCIDA Y REPRESENTATIVA DE LA POBLACIÓN.


VALOR: EL VALOR ES CADA UNO DE LOS DISTINTOS RESULTADOS QUE SE PUEDEN OBTENER EN UN ESTUDIO ESTADÍSTICO. SI LANZAMOS UNA MONEDA AL AIRE CINCO VECES OBTENEMOS DOS VALORES CARA Y CRUZ. DATO: UN DATO ES CADA UNO DE LOS VALORES QUE SE HA OBTENIDO AL REALIZAR UN ESTUDIO ESTADÍSTICO. SI LANZAMOS UNA MONEDA AL AIRE CINCO VECES OBTENEMOS CINCO DATOS: CARA, CARA, CRUZ, CARA, CRUZ. TIPO DE VARIABLE ESTADÍSTICA VARIABLE CUALITATIVA: LAS VARIABLES CUALITATIVAS SE REFIEREN A CARACTERÍSTICAS O CUALIDADES QUE NO PUEDEN SER MEDIDAS CON NÚMEROS. PODEMOS DISTINGUIR DOS TIPOS: VARIABLE CUALITATIVA NOMINAL: UNA VARIABLE CUALITATIVA NORMAL PRESENTA MODALIDADES QUE SE ADMITEN UN CRITERIO DE ORDEN. EJEMPLO: EL ESTADO CIVIL, CON LAS SIGUIENTES MODALIDADES: SOLTERO-CASADO-SEPARADO-DIVORCIADO-VIUDO. VARIABLE CUALITATIVA ORDINAL O VARIABLES CUASI CUANTITATIVAS: UNA VARIABLE CUALITATIVA ORDINAL PRESENTA MODALIDADES NO NUMÉRICAS, EN LAS QUE EXISTE UN ORDEN. EJEMPLO: LAS NOTA EN UN EXAMEN: SUSPENSO-APROBADO-NOTABLE-SOBRESALIENTE PUESTO CONSEGUIDO EN UNA PRUEBA DEPORTIVA: 1°-2°-3°… MEDIDAS DE UNA PRUEBA DEPORTIVA: ORO-PLATA-BRONCE VARIABLE CUANTITATIVA: UNA VARIABLE CUANTITATIVA ES LA QUE SE EXPRESA MEDIANTE UN NÚMERO, POR TANTO SE PUEDE REALIZAR OPERACIONES ARITMÉTICAS CON ELLA. PODEMOS DISTINGUIR DOS TIPOS: VARIABLE DISCRETA: UNA VARIABLE DISCRETA ES AQUELLA QUE SOLO PUEDE TOMAR UN NÚMERO FINITO DE VALORES CUALESQUIERA DE UNA CARACTERÍSTICA.


EJEMPLO: EL NÚMERO DE HERMANOS DE 5 AMIGOS: 2-1-0-1-3 VARIABLE CONTINUA: UNA VARIABLE CONTINUA ES AQUELLA QUE PUEDE TOMAR UN NÚMERO INFINITO DE VALORES ENTRE DOS VALORES CUALESQUIERA DE UNA CARACTERÍSTICA. EJEMPLO: LA ALTURA DE LOS AMIGOS: 1.73-1.82-1.77-1.66-1.75 VIDEO REFERENTES AL TEMA: HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=VSWXSIZTUK8


DISTRIBUCIÃ&#x201C;N DE FRECUENCIA


UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS O TABLA DE FRECUENCIAS ES UNA ORDENACIÓN EN FORMA DE TABLA DE LOS DATOS ESTADÍSTICOS, ASIGNANDO A CADA DATO SU FRECUENCIA CORRESPONDIENTE. FRECUENCIA ABSOLUTA LA FRECUENCIA ABSOLUTA ES EL NÚMERO DE VECES QUE APARECE UN DETERMINADO VALOR EN UN ESTUDIO ESTADÍSTICO. SE REPRESENTA POR FI. LA SUMA DE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS ES IGUAL AL NÚMERO TOTAL DE DATOS, QUE SE REPRESENTA POR N.


FRECUENCIA RELATIVA: LA FRECUENCIA RELATIVA ES EL COCIENTE ENTRE LA FRECUENCIA ABSOLUTA DE UN DETERMINADO VALOR Y EL NÚMERO DE DATOS TOTAL. SE PUEDE EXPONER EN TANTOS POR CIENTO Y SE REPRESENTA POR NI N1= F1/N RESUMEN DE LA TABLA DE FRECUENCIA: FRECUENCIA ACUMULADA: LA FRECUENCIA ACUMULADA ES LA SUMA DE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS DE TODOS LOS VALORES INFERIORES O IGUALES AL VALOR CONSIDERADO. SE REPRESENTA POR: F1 FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA: LA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ES EL COEFICIENTE ENTRE LA FRECUENCIA ACUMULADA DE UN DETERMINADO VALOR Y EL NÚMERO TOTAL DE DATOS. SE PUEDE EXPRESAR EN TANTOS POR CIENTO. EJEMPLO: DURANTE EL MES DE JULIO, EN UNA CIUDAD SE HAN REGISTRADO LAS SIGUIENTES TEMPERATURAS MÁXIMAS:


DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADAS: LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADAS O TABLA DE DATOS AGRUPADOS SE EMPLEA SI LAS VARIABLES TOMAN UN NÚMERO GRANDE DE VALORES O LA VARIEDAD ES CONTINUA. SE AGRUPAN LOS VALORES EN INTERVALOS QUE TENGAN LA MISMA AMPLITUD DENOMINADOS CLASES. A CADA CLASE SE LE ASIGNA SU FRECUENCIA CORRESPONDIENTE.


LÍMITES DE CLASE : CADA CLASE ESTÁ DELIMITADA POR EL LÍMITE INFERIOR DE LA CLASE Y EL LÍMITE SUPERIOR DE LA CLASE. AMPLITUD DE LA CLASE: LA AMPLITUD DE LA CLASES LA DIFERENCIA ENTRE EL LÍMITE SUPERIOR E INFERIOR DE LA CLASE. MARCA DE CLASE: LA MARCA DE CLASE ES EL PUNTO MEDIO DE CADA INTERVALO Y ES EL VALOR QUE REPRESENTA A TODO EL INTERVALO PARA EL CÁLCULO DE ALGUNOS PARÁMETROS. CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE DATOS AGRUPADOS


DIAGRAMA DE BARRAS. UN DIAGRAMA DE BARRAS SE UTILIZA PARA REPRESENTAR DATOS CUALITATIVOS O DATOS CUANTITATIVOS DE TIPO DISCRETO. SE REPRESENTAN SOBRE UNOS EJES DE COORDENADAS, EN EL EJE DE ABSCISAS SE COLOCAN LOS VALORES DE LA VARIABLE, Y SOBRE EL EJE DE ORDENADAS LA FRECUENCIA ABSOLUTA O RELATIVA O ACUMULAD. LOS DATOS SE REPRESENTAN MEDIANTE BARRAS DE UNA ALTURA PROPORCIONAL A LA FRECUENCIA. EJEMPLO: UN ESTUDIO HECHO AL CONJUNTO DE 20 ALUMNOS DE UNA CLASE PARA DETERMINAR SU GRUPO SANGUÍNEO HA DADO EL SIGUIENTE RESULTADO.


POLIGONO DE FRECUENCIAS UN POLÍGONO DE FRECUENCIA SE FORMA UNIENDO LOS EXTREMOS DE LA BARRA MEDIANTE SEGMENTOS.


DIAGRAMA DE SECTORES: UN DIAGRAMA DE SECTORES SE PUEDE UTILIZAR PARA TODO TIPO DE VARIABLES, PERO SE USA FRECUENTEMENTE PARA LAS VARIABLES CUALITATIVAS. LOS DATOS SE PRESENTAN EN UN CIRCULO, DE MODO QUE EL ANGULO DE CADA SECTOR ES PROPORCIONAL A LA FRECUENCIA ABSOLUTA CORRESPONDIENTE.


ESTADÍSTICA:


MEDIDAS ESTADÍSTICAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA, MEDIANA, MODA SUPÓNGASE QUE UN DETERMINADO ALUMNO OBTIENE 35 PUNTOS EN UNA PRUEBA DE MATEMÁTICA. ESTE PUNTAJE, POR SÍ MISMO TIENE MUY POCO SIGNIFICADO A MENOS QUE PODAMOS CONOCER EL TOTAL DE PUNTOS QUE OBTIENE UNA PERSONA PROMEDIO AL PARTICIPAR EN ESA PRUEBA, SABER CUÁL ES LA CALIFICACIÓN MENOR Y MAYOR QUE SE OBTIENE, Y CUÁN VARIADAS SON ESAS CALIFICACIONES.

EN OTRAS PALABRAS, PARA QUE UNA CALIFICACIÓN TENGA SIGNIFICADO HAY QUE CONTAR CON ELEMENTOS DE REFERENCIA GENERALMENTE RELACIONADOS CON CIERTOS CRITERIOS ESTADÍSTICOS. LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MÁS COMUNES SON: LA MEDIA ARITMÉTICA : COMÚNMENTE CONOCIDA COMO MEDIA O PROMEDIO . SE REPRESENTA POR MEDIO DE UNA LETRA M O POR UNA X CON UNA LÍNEA EN LA PARTE SUPERIOR. LA MEDIANA : LA CUAL ES EL PUNTAJE QUE SE UBICA EN EL CENTRO DE UNA DISTRIBUCIÓN. SE REPRESENTA COMO MD .

LA MODA : QUE ES EL PUNTAJE QUE SE PRESENTA CON MAYOR FRECUENCIA EN UNA DISTRIBUCIÓN. SE REPRESENTA MO .


MEDIANA (MED) PARA RECONOCER LA MEDIANA, ES NECESARIO TENER ORDENADOS LOS VALORES SEA DE MAYOR A MENOR O LO CONTRARIO. USTED DIVIDE EL TOTAL DE CASOS (N) ENTRE DOS, Y EL VALOR RESULTANTE CORRESPONDE AL NÚMERO DEL CASO QUE REPRESENTA LA MEDIANA DE LA DISTRIBUCIÓN. ES EL VALOR CENTRAL DE UN CONJUNTO DE VALORES ORDENADOS EN FORMA CRECIENTE O DECRECIENTE. DICHO EN OTRAS PALABRAS, LA MEDIANA CORRESPONDE AL VALOR QUE DEJA IGUAL NÚMERO DE VALORES ANTES Y DESPUÉS DE ÉL EN UN CONJUNTO DE DATOS AGRUPADOS. SEGÚN EL NÚMERO DE VALORES QUE SE TENGAN SE PUEDEN PRESENTAR DOS CASOS: SI EL NÚMERO DE VALORES ES IMPAR, LA MEDIANA CORRESPONDERÁ AL VALOR CENTRAL DE DICHO CONJUNTO DE DATOS. SI EL NÚMERO DE VALORES ES PAR, LA MEDIANA CORRESPONDERÁ AL PROMEDIO DE LOS DOS VALORES CENTRALES (LOS VALORES CENTRALES SE SUMAN Y SE DIVIDEN POR 2). EJEMPLO 1: SE TIENEN LOS SIGUIENTES DATOS: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2 AL ORDENARLOS EN FORMA CRECIENTE, ES DECIR DE MENOR A MAYOR, SE TIENE: 1, 2, 4, 5 , 8, 9, 10 EL 5 CORRESPONDE A LA MED, PORQUE ES EL VALOR CENTRAL EN ESTE CONJUNTO DE DATOS IMPARES.


DATOS AGRUPADOS AGRUPACIÓN DE DATOS POR INTERVALOS DE CLASE: INTERVALOS IGUALES EN LOS QUE SE DIVIDE EL NÚMERO TOTAL DE OBSERVACIONES. ES CONVENIENTE UTILIZAR LOS INTERVALOS DE CLASE CUANDO SE TIENE UN GRAN NÚMERO DE DATOS DE UNA VARIABLE CONTINUA. ¿CÓMO SABER CUÁNTOS INTERVALOS CONSIDERAR? ¿CÓMO DETERMINAR SU AMPLITUD? PRIMERO DEBEMOS DETERMINAR EL RANGO DE LOS DATOS, QUE ES LA DIFERENCIA ENTRE EL MAYOR Y EL MENOR DE LOS VALORES OBTENIDOS. Rango = xmáx – xmín

LUEGO DEBEMOS ESTABLECER EL NÚMERO DE INTERVALOS (N) Y DETERMINAR LA AMPLITUD (A) DE LOS MISMOS. A = RANGO / N (N TU LO ELIGES, PERO ES CONVENIENTE QUE NO SEA MUY PEQUEÑO) -SI QUEREMOS TRABAJAR CON 10 INTERVALOS, ¿CUÁL ES, PARA NUESTRO CASO, LA AMPLITUD DE CADA UNO DE ELLOS? DE SER NECESARIO, PODEMOS APROXIMAR EL VALOR HALLADO ...................................................................................................................................... SIENDO EL PRIMER INTERVALO [1,52 ; 1.55) COMPLETA LA TABLA CON TODOS LOS RESTANTES. OBSERVA QUE EL EXTREMO IZQUIERDO DEL INTERVALO SE USA UN CORCHETE “ [ “, LO QUE INDICA QUE TOMAMOS ESTE VALOR, EN CAMBIO EN EL DERECHO USAMOS “ ) “ QUE NOS INDICA QUE EL INTERVALO ES ABIERTO, O SEA, NO SE TOMA ESTE VALOR. LA MARCA DE CLASE ES EL PROMEDIO ARITMÉTICO DE LOS EXTREMOS DEL INTERVALO.


LOS GRÁFICOS CIRCULARES O GRÁFICOS DE TORTA SON ÚTILES PARA COMPARAR DATOS PUES, EN GENERAL, TRABAJAN CON PORCENTUALES. EL ÁREA DE CADA SECTOR REPRESENTA EL PORCENTAJE QUE CORRESPONDE A LA FRECUENCIA DE UN CIERTO VALOR DE LA VARIABLE. ESTA REPRESENTACIÓN ES CONVENIENTE CUANDO EL NÚMERO DE SECTORES ES PEQUEÑO Y SUS ÁREAS ESTÁN BIEN DIFERENCIADAS. EL HISTOGRAMA SE UTILIZA PARA REPRESENTAR UNA TABLA DE FRECUENCIAS DE INTERVALOS DE CLASE. SOBRE EL EJE HORIZONTAL SE REPRESENTAN LOS INTERVALOS DE CLASE Y SOBRE EL EJE VERTICAL, LAS FRECUENCIAS DE LOS INTERVALOS. EL GRÁFICO CONSISTE EN UN CONJUNTO DE RECTÁNGULOS ADYACENTES CUYA BASE REPRESENTA UN INTERVALO DE CLASE Y CUYA ALTURA REPRESENTA LA FRECUENCIA DEL INTERVALO. EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS SE CONSTRUYE UNIENDO LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS OPUESTOS DE LAS BASES DE CADA RECTÁNGULO. SI SE QUIERE CERRAR EL RECTÁNGULO, SE AGREGAN DOS INTERVALOS: UNO ANTERIOR Y OTRO POSTERIOR AL ÚLTIMO Y SE PROLONGA EL POLÍGONO HASTA LOS PUNTOS MEDIOS DE ESTOS INTERVALOS. LAS CURVAS SE UTILIZAN GENERALMENTE PARA REPRESENTAR LA VARIACIÓN DE UNA VARIABLE A TRAVÉS DEL TIEMPO (AÑOS, MESES, HORAS, ETC.). SOBRE EL EJE HORIZONTAL FIGURAN LOS PERÍODOS DE TIEMPO. ESTAS SON SÓLO ALGUNAS DE LAS FORMAS POSIBLES DE GRAFICACIÓN Y LAS QUE ENCONTRARÁS CON MÁS FRECUENCIA.


CALCULOS DE ESTADIGRAFOS EN DATOS TABULADOS SI LOS DATOS ESTÁN AGRUPADOS YA SEA EN TABLAS DE FRECUENCIAS SIMPLES O EN INTERVALOS DE CLASE, DEBEMOS UTILIZAR UN CRITERIO DIFERENTE PARA CALCULAR LOS DISTINTOS ESTADÍGRAFOS. ANALICEMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO: CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS QUE CORRESPONDEN A LOS PUNTAJES DE 50 ALUMNOS EN UNA PRUEBA.


PARA CALCULAR LA MEDIANA NECESITAMOS LA SIGUIENTE FÃ&#x201C;RMULA:


EJERCICIOS 1) LOS SIGUIENTES DATOS NUMÉRICOS CORRESPONDEN A LA CANTIDAD DE VECES QUE CADA ALUMNO DE UN GRUPO HA IDO A UN RECITAL O CONCIERTO. 2–4–3–2–1–1–6–3–0–3–2–4–6–9–3–2–1–6 CALCULA, SIN TABULAR, MEDIA, MODA, MEDIANA, DESVIACIÓN, N, RANGO. 2) EN UN DIAGNOSTICO DE EDUCACIÓN FÍSICA SE PIDIÓ A LOS ALUMNOS DE LOS CUARTOS MEDIOS QUE HICIERAN ABDOMINALES DURANTE 3 MINUTOS. SE OBTUVIERON LOS SIGUIENTES RESULTADOS: 4º A: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47 48 54 33 45 44 41 34 36 34 54 4º B: 43 45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45 28 42 49 40 37 34 44 41 43 ¿CUÁL DE LOS DOS CURSOS TIENE EL RENDIMIENTO MÁS PAREJO? ¿QUÉ DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICO PERMITE COMPARAR LA DISTRIBUCIÓN DE ESTE TIPO DE DATOS? 3) A CONTINUACIÓN SE PRESENTAN LOS RESULTADOS DE AMBOS CURSOS EN LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO DE SALTO LARGO.

4º A : 3.2 3.5 4.9 5.0 3.1 4.1 2.9 2.8 3.8 4.5 4.3 4.5 4.1 5.8 3.9 3.6 4.2 4.6 1.9 2.8 2.9 3.3 3.9 4.2 4.1 4.3 4.6 4.4 3.8 3.6


4º B : 3.5 2.9 1.3 1.7 3.6 5.6 2.8 5.2 5.3 4.1 4.1 4.4 1.6 5.1 4.3 5.0 5.3 3.2 2.8 2.6 5.5 5.4 4.8 4.9 4.3 2.9 3.9 5.4 5.3 4.2 A) CALCULA EL PROMEDIO DE AMBOS CURSOS. B) CONSTRUYE UNA TABLA DE FRECUENCIAS PARA CADA CURSO C) CUÁL DE LOS DOS CURSOS TUVO UN RENDIMIENTO MAS PAREJO? 4) SE HAN MEDIDO 75 ALUMNOS, EN CENTÍMETROS, OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES DATOS: 175 167 174 169

156 169 168 165

172 182 166 180

159 170 172 166

161 169 172 184

185 167 158 183

186 170 159 174

192 162 163 173

179 172 163 162

163 171 168 185

164 174 174 189

170 171 175 169

164 155 150 173

167 171 154 171

168 174 172 168 176 166 171 170 157 170 173 173 175 160 175 177 178 180 173

AGRUPA ESTOS RESULTADOS EN 8 INTERVALOS Y CONFECCIONA UNA TABLA DE FRECUENCIAS Y CALCULA LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN. ADEMÁS, GRAFICA ESTA TABLA. 5) A LOS MISMOS ALUMNOS ANTERIORES SE LES APLICO UNA PRUEBA DE INTELIGENCIA, ESTOS HAN SIDO: 87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82 141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101 118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91

AGRUPA LOS DATOS EN INTERVALOS DE AMPLITUD 8. Y HAZ LO MISMO QUE EN PROBLEMA ANTERIOR. ACTIVIDAD EN EXCEL. CONSULTA Y DISEÑA EN EXCEL.VER EJEMPLO


RECUERDEN ORGANIZAR LO ENTREGADO.FALTA LO DE CONJUNTOS NUMERICOS,DESIGUALDADES,INECUACIONES Y FUNCIONES DE VARIABLE REAL. LÍMITES

GRAN PARTE DEL CÁLCULO TRATA CON LA IDEA DE "INFINITO". POR EJEMPLO, A MENUDO ESCUCHARÁS A LA GENTE HABLAR DE ALGO "INFINITESIMALMENTE PEQUEÑO". LOS LÍMITES SON LA HERRAMIENTA DETRÁS DEL CÁLCULO, Y NOS PERMITEN HABLAR CORRECTAMENTE DEL INFINITO. EN PARTICULAR, NOS PROPORCIONAN EL LENGUAJE PARA DECIR QUE ESTAMOS "INFINITESIMALMENTE CERCA" DE ALGÚN NÚMERO AL DARNOS LA OPORTUNIDAD DE HABLAR DE LO QUE OCURRE CUANDO NOS ACERCAMOS A ESE NÚMERO. HTTPS://ES.KHANACADEMY.ORG/MATH/DIFFERENTIAL-CALCULUS/LIMITS-TOPIC


FUNCIÃ&#x201C;N DE VARIABLE REAL


SE LLAMA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL A TODA FUNCIÓN DEFINIDA DE UN SUBCONJUNTO D DE LOS NÚMEROS REALES, EN EL CONJUNTO R DE LOS NÚMEROS REALES, TAL QUE A CADA ELEMENTO X DE D LE CORRESPONDE UNO Y SÓLO UN ELEMENTO Y DE R:

PARA QUE UNA FUNCIÓN QUEDE CORRECTAMENTE DEFINIDA ES NECESARIO DETERMINAR: · EL CONJUNTO INICIAL O DOMINIO DE LA FUNCIÓN. · EL CONJUNTO FINAL O IMAGEN DE LA FUNCIÓN. · LA REGLA POR LA CUAL SE ASIGNA A CADA ELEMENTO DEL CONJUNTO ORIGEN UN SOLO ELEMENTO DEL CONJUNTO IMAGEN. ASÍ, POR EJEMPLO, LA FUNCIÓN DEFINIDA POR:


REPRESENTACIÓN GRÁFICA LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN ESTÁ FORMADA POR TODOS LOS PUNTOS (X,F(X), DONDE X PERTENECE AL DOMINIO DE F. EN LA FIGURA 1, PUEDE OBSERVARSE QUE X ES LA DISTANCIA DIRIGIDA DESDE EL EJE Y, Y F(X) ES LA DISTANCIA DIRIGIDA DESDE EL EJE X

EJEMPLO HALLAR EL CAMPO DE EXISTENCIA DE LA FUNCIÓN F DEFINIDA POR:


SOLUCIÓN · LA FUNCIÓN ANTERIOR ASIGNA A CADA NÚMERO X, EL VALOR

EL CAMPO DE EXISTENCIA ESTÁ FORMADO POR TODOS LOS NÚMEROS REALES X, PARA LOS QUE SU IMAGEN ESTÁ DEFINIDA MEDIANTE LA FUNCIÓN F. LA EXPRESIÓN ESTÁ DEFINIDA PARA TODOS LOS NÚMEROS REALES, SALVO PARA AQUELLOS QUE ANULEN EL DENOMINADOR, PUESTO QUE LA EXPRESIÓN 1/0 NO ES UN NÚMERO REAL. EL DENOMINADOR X - 2 SE ANULA CUANDO X = 2. POR TANTO, EL CAMPO DE EXISTENCIA DE LA FUNCIÓN ES R - {2}. SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE INTERVALOS ES C.E. = (-¥, 2) È (2, +¥)


IMPORTANTE: -DESPEJE DE VARIABLES. -PRODUCTOS NOTABLES. -FACTORIZACIÓN. -TEOREMA DE EL FACTOR -REGLA DE RUFFINI -FORMULA GENERAL -ECUACIONES CUADRÁTICAS -ECUACIONES RADICALES


INECUACIONES.


Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

<

menor que

<

menor o igual que

>

mayor que

>

mayor o igual que


La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación. Podemos expresar la solución de la inecuación mediante: 1. Una representación gráfica. 2. Un intervalo. Podemos encontrar inecuaciones:

*Lineales ej: 4x − 3 + 3 > 56 4x > 56 x > 56 /4 x > 14 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14. Gráficamente, esta solución la representamos así:


*CUADRÁTICA. EJ: X²+ 5X-3 ≤ 0 *RACIONALES: EJ: (3X+5)/(2X+1)-3≥7

RADICALES *. EJ: √ (2X 1)  3


EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1-RESOLVER LA INECUACIÓN:

2-RESUELVE: 4X2 − 4X + 1 ≤ 0

3-RESUELVE

ALGUNOS VIDEOS PARA LA SOLUCIÓN DE ESTAS INECUACIONES * HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=1CMEGRYDGLU •HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=WZV2ZKKHB7A •HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=LEPGW3ST6-S


INECUACIONES EQUIVALENTES SI A LOS DOS MIEMBROS DE UNA INECUACIÓN SE LES SUMA O SE LES RESTA UN MISMO NÚMERO, LA INECUACIÓN RESULTANTE ES EQUIVALENTE A LA DADA. SI A LOS DOS MIEMBROS DE UNA INECUACIÓN SE LES MULTIPLICA O DIVIDE POR UN MISMO NÚMERO POSITIVO, LA INECUACIÓN RESULTANTE ES EQUIVALENTE A LA DADA. SI A LOS DOS MIEMBROS DE UNA INECUACIÓN SE LES MULTIPLICA O DIVIDE POR UN MISMO NÚMERO NEGATIVO, LA INECUACIÓN RESULTANTE CAMBIA DE SENTIDO Y ES EQUIVALENTE A LA DADA. INECUACIONES RACIONALES SE RESUELVEN DE UN MODO SIMILAR A LAS DE SEGUNDO GRADO, PERO HAY QUE TENER PRESENTE QUE EL DENOMINADOR NO PUEDE SER CERO. 1º HALLAMOS LAS RAÍCES DEL NUMERADOR Y DEL DENOMINADOR. 2º REPRESENTAMOS ESTOS VALORES EN LA RECTA REAL, TENIENDO EN CUENTA QUE LAS RAÍCES DEL DENOMINADOR, INDEPENDIENTEMENTE DEL SIGNO DE LA DESIGUALDAD, TIENEN QUE SER ABIERTAS.


RESOLVER, Y SIMPLIFICAR SI ES DEL CASO 1. (125X^3 -150X^2+60X-8)/(5X-2)≥0 2. 4X^4<16 3. -X^4+2X^2+3X≥-2 4. |X-1|+|4-2X|=4 5. |X-1|<2|X-3| 6. (|X-1|-|2X+3|)/(3X-4)≥0


TEOREMA DEL FACTOR


El teorema del factor dice que, si f(a) = 0 en la que f(x) representa un polinomio de x, entonces (x - a) es uno de los factores de f(x). Por ejemplo, tenemos que f(x) = 2x2 - 8. Ya que f (2) = 2(2) 2 - 8 = 0, (x - 2) debe ser uno de sus factores. En realidad, f(x) = 2x2 - 8 = 2(x + 2) (x - 2). División sintética La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a.

Ejemplo , Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir

entre

.

Solución. , o sea que

. .

Por tanto, el cociente es, Un residuo es

.

.


FUNCIONES REALES CLASES FUNCIÓN CONSTANTE UNA FUNCIÓN DE LA FORMA F(X) = B, DONDE B ES UNA CONSTANTE, SE CONOCE COMO UNA FUNCIÓN CONSTANTE . POR EJEMPLO, F(X) = 3, (QUE CORRESPONDE AL VALOR DE Y) DONDE EL DOMINIO ES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Y EL RECORRIDO ES {3}, POR TANTO Y = 3. LA GRÁFICA DE ABAJO MUESTRA QUE ES UNA RECTA HORIZONTAL


FUNCIÓN LINEAL UNA FUNCIÓN DE LA FORMA F(X) = MX + B SE CONOCE COMO UNA FUNCIÓN LINEAL, DONDE M REPRESENTA LA PENDIENTE Y B REPRESENTA EL INTERCEPTO EN Y. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL ES UNA RECTA. LAS FUNCIONES LINEALES SON FUNCIONES POLINÓMICAS. EJEMPLO: F(X) = 2X – 1 ES UNA FUNCIÓN LINEAL CON PENDIENTE M = 2 E INTERCEPTO EN Y EN (0, -1). SU GRÁFICA ES UNA RECTA ASCENDENTE


CLASES DE FUNCIONES LA FUNCIÓN F ES INYECTIVA SI CADA ELEMENTO DEL CONJUNTO FINAL Y TIENE COMO MÁXIMO UN ELEMENTO DEL CONJUNTO INICIAL X AL QUE LE CORRESPONDE. ES DECIR, NO PUEDEN HABER MÁS DE UN VALOR DE X QUE TENGA LA MISMA IMAGEN Y LA FUNCIÓN F(X) = 2X+1 ES INYECTIVA.


FUNCIÓN BIYECTIVA: UNA FUNCIÓN F ES BIYECTIVA SI ES AL MISMO TIEMPO INYECTIVA Y SOBREYECTIVA. ES DECIR, SI TODO ELEMENTO DEL CONJUNTO FINAL Y TIENE UN ÚNICO ELEMENTO DEL CONJUNTO INICIAL X AL QUE LE CORRESPONDE (CONDICIÓN DE FUNCIÓN SOBREYECTIVA) Y TODOS LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO INICIAL X TIENE UNA ÚNICA IMAGEN EN EL CONJUNTO FINAL Y (CONDICIÓN DE FUNCIÓN INYECTIVA). LA FUNCIÓN F(X) = 2X DEFINIDA EN LOS NÚMEROS REALES ES BIYECTIVA.


FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTE: .UNA FUNCIÓN ES CRECIENTE EN UN INTERVALO [A,B] SI AL TOMAR DOS PUNTOS CUALESQUIERA DEL MISMO, X1 Y X2, CON LA CONDICIÓN X1 £ X2, SE VERIFICA QUE F(X1 ) < F( X2 ). SE DICE ESTRICTAMENTE CRECIENTE SI DE X1 < X2 SE DEDUCE QUE F(X1) < F(X2).

· UNA FUNCIÓN ES DECRECIENTE EN UN INTERVALO [A, B] SI PARA CUALESQUIERA PUNTOS DEL INTERVALO, X1 Y X2, QUE CUMPLAN X1 £ X2, ENTONCES F(X1) ³ F(X2). SIEMPRE QUE DE X1 < X2 SE DEDUZCA F(X1 ) > F(X2 ), LA FUNCIÓN SE DICE ESTRICTAMENTE DECRECIENTE.


TIPOS DE FUNCIONES PAR E IMPAR: UNA FUNCIÓN ES PAR SI CUMPLE QUE: F(-X) = F(X) UNA FUNCIÓN ES SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS SI ÉSTA ES UNA FUNCIÓN PAR.

EJEMPLO:


UNA FUNCIÓN ES IMPAR SI CUMPLE QUE: F(-X) = -F(X) UNA FUNCIÓN ES SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN SI ÉSTA ES UNA FUNCIÓN IMPAR.


FUNCIONES AFÍN: UNA FUNCIÓN AFÍN ES UNA FUNCIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO QUE NO PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS, O SEA, POR EL PUNTO (0,0). LAS FUNCIONES AFINES SON RECTAS DEFINIDAS POR LA SIGUIENTE FÓRMULA: LOS ESCALARES M Y N SON DIFERENTES DE 0.


LA M ES LA PENDIENTE DE LA RECTA. LA PENDIENTE ES LA INCLINACIÓN CON RESPECTO AL EJE DE ABSCISAS (EJE X). SI M ES POSITIVA (M>0), ENTONCES LA FUNCIÓN ES CRECIENTE. EN CAMBIO, SI LA M ES NEGATIVA (M<0), ENTONCES LA FUNCIÓN ES DECRECIENTE. LA PENDIENTE M SIGNIFICA QUE SI AUMENTAMOS LA X EN UNA UNIDAD, LA Y AUMENTA EN M UNIDADES. SI LA M ES POSITIVA, CONFORME AUMENTEMOS LA X LA Y TAMBIÉN IRÁ AUMENTANDO (FUNCIÓN CRECIENTE). EN CAMBIO, SI M ES NEGATIVA, CONFORME SE AUMENTA LA X LA Y DISMINUIRÁ (FUNCIÓN DECRECIENTE). LA ORDENADA EN EL ORIGEN ES LA N, ES DECIR, EL PUNTO DONDE LA RECTA CORTA EL EJE DE ORDENADAS. LAS COORDENADAS DE ESTE PUNTO SON (0,N).


LÍMITES DE FUNCIONES


BIBLIOGRAFÍAS : HTTP://WWW.SECTORMATEMATICA.CL/CONTENIDOS/FUNREAL.HTM HTTP://WWW.UNIVERSOFORMULAS.COM/MATEMATICAS/ANALISIS/FUNCION-AFIN/ HTTP://WWW.SECTORMATEMATICA.CL/CONTENIDOS/FUNCREYD.HTM HTTPS://SITES.GOOGLE.COM/SITE/ALDOPRECALCULO/FUNCIONES-CRECIENTES-Y-DECRECIENTES HTTP://WWW.DITUTOR.COM/FUNCIONES/FUNCION_PAR.HTML


CRÉDITOS: -LICENCIADO CARLOS MARIO OSORIO -KAREN ALEXANDRA URREA CORONADO (EDITORA PRINCIPAL) -ERICA TATIANA PARRA CADAVID (EDITORA SECUNDARIA) -SOFÍA ACEVEDO (CONTRIBUIDORA) -VERÓNICA LLANO(CONTRIBUIDORA)

Libro matematicas 11  

EL AULA EN TODAS PARTES

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