Page 1

Timo Järvenpää Heli Mentunen Kimmo Sivula - Heiskanen


TIEDUSTELUT Edukustannus www.edukustannus.fi info@edukustannus.fi Puh. +358 (0)9 6877 450

Taitto: Oy Graaf Ab / Jani Osolanus Toimitus: Markus Vainikka Ulkoasu ja kannen suunnittelu: Anna Makkonen Kuvat: Leena Ahveninen

TILAUKSET Kirjavälitys Oy Puh. 010 345 1520 kvtilaus@kirjavalitys.fi

1. painos © Timo Järvenpää, Heli Mentunen, Kimmo Sivula-Heiskanen, Lasten Keskus ja Kirjapaja Oy, 2017

KUSTANTAJA Edukustannus, Helsinki

KOPIOINTIEHDOT Tämä teos on oppikirja, joka on suojattu tekijänoikeuslailla (404/61). Tämän teoksen tai sen osan valokopiointi tai digitaalinen kopiointi tai käyttö on kielletty ilman oikeudenomistajan lupaa. Lisätietoa luvista antaa Kopiosto ry. ISBN 978-952-288-691-0 Painettu EU:ssa


Vinkkejä matematiikan opiskeluun – opiskele helppolukuinen teoria – tee tunnilla kappaleen tehtäviä – alussa perustehtäviä – lopussa haastavampia tehtäviä – harjoittele ongelmanratkaisua pulmilla – tutustu ohjelmointiin ohjelmointitehtävien avulla – haastavia tehtäviä löytyy Tehtäväkirjasta – tee tehtäviä myös kotona Toivotamme menestystä matematiikan lukuihin! Tekijät Timo Järvenpää Heli Mentunen Kimmo Sivula-Heiskanen


Sisällys LUKUJEN OMINAISUUKSIA 1. Lukujoukot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6. Luvun tekijät. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Vastaluku ja itseisarvo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. Lukujonot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Kokonaislukujen laskutoimitukset . . . . . . . . . . . . 15

Kertaus 1–7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Laskujärjestys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Vastaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Lukujen jaollisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

PERUSL ASKUTOIMITUKSET 1. Murtoluvut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8. Tuloksen pyöristäminen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. . . . . . . 46

9. Potenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3. Murtolukujen kertolasku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10. Suuret ja pienet luvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4. Murtolukujen jakolasku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

11. Neliöjuuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5. Desimaaliluvut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Kertaus 1–11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6. Desimaalilukujen laskutoimitukset. . . . . . . . . . . . 58

Vastaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.

Desimaalilukujen allekkainlasku. . . . . . . . . . . . . 61

GEOMETRIAN PERUSTEET 1. Piste tasossa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6. Kulmien luokittelu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2. Viivasta suoraan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7. Suoria ja kulmia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3. Suoria tasossa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8. Geometrinen piirtäminen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4. Jana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Kertaus 1–8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5. Kulma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Vastaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

SISÄLLYS

4

SISÄLLYS


s M U U T T U J I A J A Y H TÄ L Ö I TÄ 1. Muuttujalauseke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6. Yhtälön ratkaiseminen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2. Lausekkeen arvon laskeminen. . . . . . . . . . . . . . 134

7. Yhtälöt käytännössä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3. Muuttujat yhteen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Kertaus 1–7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4. Tasapainoilua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Vastaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5. Yhtälön alkeet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

TIL ASTOT 1. Tilastoaineisto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4. Tilastolliset tunnusluvut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

2. Kuvaajien tulkinta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Kertaus 1–4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3. Kuvaajien piirtäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Vastaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

OHJELMOINTI Excel-ohjelmointi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

SISÄLLYS

5


1


1

L UK U J E N OMINAISUUKSIA


1

LUKUJOUKOT Kaikki luvut kuuluvat johonkin lukujoukkoon.

−7,1582034… 32,45817605… −34,87 4

1

6

1

0

1,2

12

8

4

−2

9

3

3

−51

Luonnolliset luvut 

ESIMERKKI

1

Lukumäärä ilmaistaan luonnollisella luvulla. Luonnollisia lukuja ovat positiiviset kokonaisluvut eli 0, 1, 2, 3, …

8 −2 0 

12

1

 1,2 4 3 12 Yllä olevista luvuista luonnollisia lukuja ovat 8, 0 ja , koska ne ovat 4 positiivisia kokonaislukuja. 12 jaettuna 4:llä on 3.

Kokonaisluvut  Kokonaisluvussa ei ole desimaalipilkkua tai murto-osaa. Kokonaislukuja ovat kaikki luonnolliset luvut ja negatiiviset kokonaisluvut eli …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … negatiiviset luvut

–4

8

LUKUJOUKOT

–3

positiiviset luvut

–2

–1

0

1

2

3

4


2

12 Yllä olevista luvuista kokonaislukuja ovat 8, −2, 0 ja , koska niissä ei ole 4 desimaalipilkkua tai murto-osaa.

4

1

ESIMERKKI

12

8  −2  0 

3

  1,2

Rationaaliluvut

ESIMERKKI

3

Jos luku voidaan esittää murtolukuna, se on rationaaliluku. Kaikki kokonaisluvut ovat rationaalilukuja. 1    1,2 4 3 Yllä olevat luvut ovat rationaalilukuja, koska ne voidaan ilmoittaa 8 –2 0 12 1 12 murtolukuna. 8 = ,  −2 = ,  0 = ,  ,   ja 1,2 = . 1 1 1 4 3 10 8 −2 0 

12

Reaaliluvut

ESIMERKKI

4

Kaikki rationaaliluvut ovat reaalilukuja. Myös päättymättömät desimaaliluvut, joita ei voida esittää murtolukuna, ovat reaalilukuja. Luku 32,45817605… ei ole rationaaliluku vaan reaaliluku, koska se on päättymätön desimaaliluku eikä sitä voida ilmaista murtolukuna.

ESIMERKKI

5

Lukujen vertailussa käytetään seuraavia merkkejä: < pienempi kuin ≥ suurempi tai yhtäsuuri kuin > suurempi kuin ≠ erisuuri kuin ≤ pienempi tai yhtäsuuri kuin 3<7

Luku 3 on pienempi kuin luku 7, koska se on lukusuoralla luvun 7 vasemmalla puolella. 4>0 Luku 4 on suurempi kuin luku 0, koska se on lukusuoralla luvun 0 oikealla puolella. x ≤ −2 x on pienempi tai yhtäsuuri kuin luku −2. x on siis enintään −2. x voi olla esimerkiksi −3. x ≥ −6 x on suurempi tai yhtäsuuri kuin luku −6. x on siis vähintään −6. x voi olla esimerkiksi −6. 3,4 ≠ 3,41 Luku 3,4 on erisuuri kuin luku 3,41. LUKUJOUKOT

9


TEHTÄVÄT 1

Nimeä kolme lukua, jotka ovat

8

a) luonnollisia lukuja

d) Mainitse yksi luku, joka toteuttaa kaikki yllä olevat ehdot.

c) rationaalilukuja. Mitkä seuraavista luvuista

−4; 23; 5,67; 

27

; 

2

4 9 a) luonnollisia lukuja

;  −1,0 ovat

9

a) kokonaisluku 

Minkä luvun pitäisi olla x:n paikalla,

x

olisi

10

sopivat x:n paikalle, kun

11

a)  x ≤ 5  b)  x > 1 c)  x ≠ 3

merkit seuraavista <, >, ≤, ≥, = ja  ≠. −1

c)

5

d) −1,50 e)

10

0

−3 −1,05 −4

6

Piirrä lukusuora ja merkitse sille luvut

7

Mainitse kaksi lukua, jotka ovat

−5, 9, 0, −11, 2 ja 7.

lukusuoralla lukujen −3 ja −9 välissä.

LUKUJOUKOT

c) Rationaaliluku         luonnollinen luku.

6 −1

koskaan kuuluu viivalle, jotta lause on tosi?

b) Kokonaisluku         rationaaliluku.

Valitse kaikki lukujen väliin sopivat

b)

Mikä sanoista on aina / on joskus / ei ole

a) Luonnollinen luku         rationaaliluku.

d)  Mainitse yksi luku, joka toteuttaa kaikki yllä olevat ehdot.

□ □ □ □ □

ja suurimman yksinumeroisen luvun välissä, kun luvut ovat

c) rationaalilukuja?

Mainitse kolme luonnollista lukua, jotka

4

Kuinka monta lukua on pienimmän

b) kokonaislukuja

c) rationaaliluku?

a)

olisi

a) luonnollisia lukuja

b) kokonaisluku

5

5

c) reaaliluku?

3 a) luonnollinen luku

4

x

b) rationaaliluku

c) rationaalilukuja? jotta

Mainitse kolme lukua, jotka voivat olla

x:n paikalla, jotta

b) kokonaislukuja

3

sopivat x:n paikalle, kun

a)  x ≤ − 1  b)  x > 12  c)  x ≠ - 3

b) kokonaislukuja

2

Mainitse kolme kokonaislukua, jotka

12

Piirrä lukusuora ja merkitse sille

reaaliluvut, jotka täyttävät ehdon

a) x ≤ 3 b) –

1

2

≥x

c) –2 < x < 5 d) 1,5 ≤ x ≤ 1,9


Täytä ruudukko niin, että < ja > -mer-

kit ovat voimassa ja jokaiselle pystyja vaakariville tulee numerot 1–5. <

>

<

2 >

>

>

1

4

<

>

>

4 >

<

2

>

3

> >

4

5

1

□ kokonaisluku.

b)

Pienin luonnollinen luku on

pienin positiivinen kokonaisluku.

c)

Suurin negatiivinen rationaaliluku on

□ negatiivinen

d)

Pienin rationaaliluku on

□ kokonaisluku.

<

<

<

> <

< 4

suurin

kokonaisluku. pienin

Mainitse kaksi lukua, jotka kuuluvat

lukujoukkoon

a) 

c) N

b) R

d) .

Mainitse kaksi kokonaislukua, jotka

sopivat x:n paikalle, kun

d) Mitkä luonnolliset luvut toteuttavat kaikki yllä olevat kolme ehtoa? Mainitse kolme lukua, jotka voivat olla

x:n paikalla, jotta

a) kokonaisluku

>

c) x  = / 2.

17

<

pienin

b) x ≥ −5

2

2 < 3 >

>

< 5 >

Pienin luonnollinen luku on

a) x < 4

>

<

>

>

1

16

< >

5 >

15

>

<

<

a)

KOT ITE HTÄVÄT

<

>

>

>

<

1

5

>

3

<

>

Merkitse <, = tai > lauseitten väliin.

3 <

>

<

>

14

>

<

5

>

>

13

x

4

olisi

b) rationaaliluku 1

c) reaaliluku

> LUKUJOUKOT

11


18

Mihin lukujoukkoon luku kuuluu?

Mainitse kaikki mahdollisuudet.

a)

18

c)

3

b) −5

21 9

d) 0

19 Mainitse kaksi lukua, jotka käyvät x:n

paikalle, jotta

16

olisi x a) luonnollinen luku

b) kokonaisluku, mutta ei luonnollinen luku

K

opioi kuvio vihkoosi. Jokaisen luvun ympärille on erotettava luvun osoittaman määrän ruutuja sisältävä alue. Alueet saavat koskettaa toisiaan vain kulmista. 3

3 2

c) rationaaliluku, mutta ei kokonaisluku

1

d) reaaliluku, mutta ei rationaaliluku. 20

3

2 1

Selitä käsite

3

a) rationaaliluku

2 2

b) reaaliluku

3

c) luonnollinen luku. 21

Mainitse kaksi kokonaislukua, jotka

3

sopivat x:n paikalle.

3

a) 1 < x < 5  b) −1 ≤ x < 3 c) −7 < x ≤ −5

1 2

d) −4 ≤ x ≤ −3

4 10

12

LUKUJOUKOT

4 2


2

VASTALUKU JA ITSEISARVO Vastaluku

ESIMERKKI

1

Vastaluvut ovat kaksi lukua, jotka ovat yhtä kaukana nollasta lukusuoralla. Luvun ja sen vastaluvun summa on nolla. Vastaluku saadaan laittamalla luvun eteen – -merkki. Luvun 4 vastaluku on −4 ja luvun −1,7 vastaluku 1,7 , koska 4 ja −4 sekä −1,7 ja 1,7 ovat yhtä kaukana nollasta lukusuoralla. –4

–1,7

0

1,7

4

Itseisarvo

ESIMERKKI

2

Itseisarvo ilmoittaa, kuinka kaukana luku on nollasta. Itseisarvo ei voi koskaan olla negatiivinen. Luvun 7 itseisarvo merkitään | 7 | . Luvun −5 itseisarvo on |−5| = 5 ja luvun 6,21 itseisarvo on |6,21| = 6,21.

TEHTÄVÄT 22

Merkitse ja laske luvun vastaluku.

a) 3  b) −7  c) −0,5 23

Merkitse ja laske luvun itseisarvo.

a) 9  b) −2  c) −8,6 24

Millainen luvun on oltava, jotta sen

a) vastaluku on negatiivinen b) itseisarvo on positiivinen?

25

Mikä sanoista on aina / on joskus / ei ole

koskaan kuuluu viivalle, jotta lause on tosi?

a) Luvun vastaluku        yhtä suuri kuin luku itse. b) Luvun vastaluku        pienempi kuin luku itse. c) Luvun itseisarvo        yhtä suuri kuin luku itse. d) Luvun itseisarvo        suurempi tai yhtä suuri kuin luku itse.

VASTALUKU JA ITSEISARVO

13


26

Merkitse ja laske luvun

33

a) −|x + 3| = −2 c) |3 − x| + |3 + x| = 8

a) −4 itseisarvon vastaluku

b) |4 − x| = −3

b) −5 vastaluvun itseisarvo c) 8 vastaluvun vastaluku

34

d) 1 vastaluvun itseisarvon vastaluku. 27

28

29

30

31

32

Valitse lukujen väliin oikea merkki

|7|

b)

−|−9|

c)

−(−8)

d)

−|−2|

□ □ □ □

−(+7)

b)

|4 − x|

−8

c)

|−x + 2|

−|−4|

d)

−|x|

a) |−3| + |8|

c) |−3 + 8|

b) |−3| − |8|

d) |−3 − 8|

35

|x + 6| 0 |x + 2| |−x|

Merkitse ja laske luvun −6

a) itseisarvo b) vastaluku.

Laske

a) |−5| − |2|

c) −|−5 − (−2)|

b) |−5 − 2|

d) |−(−5) − |−2||

36

b) vastaluku = itseisarvo

sopivat x:n paikalle

a) 2 < x < 8

c) −4 < x ≤ −1

b) −3 ≤ x < 0

d) 1 < x ≤ 2

c) vastaluvun itseisarvo = itseisarvon vastaluku. 37

sopivat x:n paikalle.

c) −|x| = −9

b) −(x) ≥ −2

d) 2 < |x| ≤ 5

Mainitse kaksi luonnollista lukua,

jotka sopivat x:n paikalle.

d) |x + 4| + x ≤ 8

VASTALUKU JA ITSEISARVO

Mikä luku käy x:n paikalle?

a) |1 − x| = 5

Mainitse kaksi kokonaislukua, jotka

a) |x| ≤ 5 

Mainitse kaksi lukua, joiden

a) itseisarvo > vastaluku

Mainitse kaksi kokonaislukua, jotka

a) |x − 6| < 3  c) −|x + 1| < 7

14

□ □ □ □

KOT ITE HTÄVÄT

Laske.

b) |9 − x| > 2

kun x on kokonaisluku, mutta ei ole luonnollinen luku? |x − 6|

|−3|

d) |2 · x − 3| = 1

Kuuluuko lausekkeiden väliin < vai >,

a)

seuraavista <, >, ≤ tai ≥ .

a)

Mikä luku sopii x:n paikalle?

b) |1 − |x|| = 5 c) 1 − |1 − |x|| = −5 38

Merkitse ja laske lukujen −7 ja −2

a) itseisarvojen summa b) vastalukujen summa c) itseisarvojen erotus d) vastalukujen erotus.


3

KOKONAISLUKUJEN L ASKUTOIMITUKSET Yhteenlasku 4+3=7 yhteenlaskettavat summa

ESIMERKKI

1

Sulkeet voidaan sieventää +(+4) = +4 +(–4) = –4 a) Lukujen 4 ja 5 summa lasketaan 4 + (+5) = 4 + 5 = 9. b) Lukujen 6 ja −3 summa lasketaan 6 + (−3) = 6 − 3 = 3.

Vähennyslasku 4–3=1 vähenevä

vähentäjä

erotus

Sulkeet voidaan sieventää –(+4) = –4 –(–4) = +4

ESIMERKKI

2

Kun lukujen +4 ja –4 eteen laitetaan – -merkki, saadaan niiden vastaluvut –4 ja +4. a) Lukujen 4 ja 5 erotus lasketaan 4 − (+5) = 4 − 5 = −1. b) Lukujen 6 ja −3 erotus lasketaan 6 − (−3) = 6 + 3 = 9.

KOKONAISLUKUJEN L ASKUTOIMITUKSET

15


Kertolasku Yhteenlasku voidaan muuttaa kertolaskuksi ja kertolasku yhteenlaskuksi. 5+5+5+5=4·5 6 · (−7) = −7 + (−7) + (−7) + (−7) + (−7) + (−7) 4 · 3 = 12

tulon tulo tekijät Kertolaskun merkkisäännöt ovat: + · + → + – · – → +

+ · – → – – · + → –

ESIMERKKI

3

• Kun kaksi samanmerkkistä lukua kerrotaan keskenään, niiden tulo on positiivinen. Tulo on positiivinen, jos negatiivisia tulon tekijöitä on parillinen määrä. • Kahden erimerkkisen luvun tulo on negatiivinen. Tulo on negatiivinen, jos negatiivisia tulon tekijöitä on pariton määrä. • Mietitään ensin vastauksen merkki ja kerrotaan sen jälkeen pelkät luvut ilman etumerkkejä keskenään. a) Lukujen 4 ja 5 tulo lasketaan 4 · (+5) = +20 = 20. b) Lukujen 6 ja −3 tulo lasketaan 6 · (−3) = −18. c) Lukujen −2 ja −5 tulo lasketaan −2 · (−5) = +10 = 10. d) Lukujen −1, −3 ja −4 tulo lasketaan −1 · (−3) · (−4) = −12. e) Lukujen 2, −3 ja −5 tulo lasketaan 2 · (−3) · (−5) = +30 = 30.

16

KOKONAISLUKUJEN L ASKUTOIMITUKSET


Jakolasku 12 : 3 = 4 jaettava

jakaja osamäärä

Jakolaskun merkkisäännöt ovat:

+ + – –

→ + → +

+ – –

+

→–

→–

ESIMERKKI

5

ESIMERKKI

4

• Kun kaksi samanmerkkistä lukua jaetaan keskenään, osamäärä on positiivinen. • Kahden erimerkkisen luvun osamäärä on negatiivinen. • Mietitään ensin vastauksen merkki ja jaetaan sen jälkeen pelkät luvut ilman etumerkkejä keskenään. • Nolla ei voi koskaan olla jakajana. a) Lukujen 15 ja 5 osamäärä lasketaan 15 : (+5) = +3 = 3  tai 

15 5

= 3.

6 = −2. −3 −12 c) Lukujen −12 ja −4 osamäärä lasketaan −12 : (−4) = +3 = 3  tai  = 3. −4

b) Lukujen 6 ja −3 osamäärä lasketaan 6 : (−3) = −2 tai

Laske. a) 15 : 0 b) 0 : 2

a) 15 : 0 ei voida laskea, koska nollalla ei voi jakaa. b) 0 : 2 = 0

KOKONAISLUKUJEN L ASKUTOIMITUKSET

17


TEHTÄVÄT Laske.

39 a) 2 + (−3)

b) −4 + (+6)

40

a) 3 − (−4)

b) −2 − (+8)

49

c) −7 + (−5) c) −6 − (−5) d) 9 − (+7) c) −8 − (+6)

b) 4 + (−8)

d) 12 − (−2)

42

a) −7 − (−3)

b) 13 + (−8) 43

a) 5 − (−2)

b) −13 − (−9) 46

a) −0,5 + 2

b) 6 + (−0,5) 47

c) −16 − (+7) d) 10 + (−20) 51

d) 17 − (+20) d) −17 − (+1) c) 2 + (−1,5) d) −4 − (−4) c) −0,5 + (−0,5)

52

d) 0 − (−9)

a) 3 ja −6 summa c) −2 ja 8 summa d) 9 ja −3 erotus. 48

Mikä luku saadaan, kun

a) lukuun 5 lisätään −3 b) luvusta −9 vähennetään 4 c) lukuun −2 lisätään 8 d) luvusta 1 vähennetään −6?

Sijoita + tai − lukujen väliin, jotta lasku

on oikein.

a)

2

b)

−4

c)

−7

d)

−6

□ □ □ □

−5 = −2 −4 = −10

Merkitse ja laske lukujen 8 ja −4

53

54

a) 6 · 8

d) −9 · (−2)

a) 2 ∙ (−4)

c) −5 ∙ (−9)

b) −4 ∙ 7 55

c) 3 · (−4)

b) −5 · 7

a) −6 ∙ (−3)

b) 7 ∙ (−7) a) 12 ∙ (−4)

b) −5 ∙ (−11) KOKONAISLUKUJEN L ASKUTOIMITUKSET

1 = −5

Laske.

56

18

−3 = −1

a) summa b) erotus c) vastalukujen summa d) vastalukujen erotus.

Merkitse ja laske lukujen

b) −5 ja −7 erotus

Laske.

a) −3 + 6 − 8 b) −(−4) + (−1) − (+5) c) 7 − (+2) − (−9) d) −5 + (−1) + (+4)

a) −27 + (−10) c) −8 − 2

b) −15 − 15 45

50

a) −10 + (+20) c) 5 − (−9)

b) 14 + (+8) 44

a) 5 − x = −1 b) 7 + x = 4 c) −3 + x = −1 d) −6 − x = 0

d) 1 + (+8)

a) 5 − (−6)

41

Mikä luku sopii x:n paikalle?

d) −2 ∙ 8 c) −10 ∙ (−6) d) −7 ∙ 5 c) 2 ∙ 11 d) −11 ∙ (−11)


Laske. 57

a) −10 ∙ 100

d) −5 ∙ (−25)

b) 9 ∙ (−7)

e) 3 ∙ 5

c) −22 ∙ (−10)

f) −5 ∙ (−4)

58

a) −10 ∙ 0,5

b) 0 ∙ (−7) c) 22 ∙ (−20)

59

a) −10 ∙ 0

d) −8 ∙ (−25) f) −2 ∙ 33 d) −5 ∙ (−20) e) 250 ∙ (−3)

c) 23 ∙ (−1)

f) −15 ∙ (−3)

60

a) 16 : 4

c) 24 : (−8)

b) −12 : 6

61

62

63

64

a)

−4

d) −36 : (−4)

c)

b)

2 18

a)

42

−3

b)

−2 −36

a)

77

−12

d) c)

−10

d)

a)

b)

c)

3 250

d) e)

−50 −1000 −100

f)

5

1 63

−21

−110

66

−7 0

−5 −240 −30

0,5 250

a)

20

d)

e) f)

d)

0,1 −5 b) e) −5 0 c) f) −2

−61

0 −10

0,4 −0,6

−0,2 4

−16 0,15

0,3 −4,2 −10

a) 9 – 14

c) –3 · (–3)

b) –7 – (–12)

d) 15 : (–5)

67

68

a)  −3 · 2 · (−4)

b)  48 : (−2) : (−6)

c)  −1 · 1 · (−1) · (−1) · 1 · (−1) · 1 · 1 · (−1)

d)  5 · 0 · (−2)

e)  24 : (−4) · (−2)

f)  −4 · 2 · (−0,25) 69

Merkitse ja laske lukujen −9 ja 3

a) tulo b) osamäärä c) vastalukujen tulo

10 25 77

−1000

−0,25 −50 c) −100

11 −35

−2

a)

b)

−81 −9 25

d) −11 −55 b) e) −5 144 c) f) −12 −99

e) −8 ∙ 0,5

b) 90 ∙ (−7)

65

d) vastalukujen osamäärä. 70

Merkitse ja laske lukujen – 4 ja 8

a) summa b) vastalukujen erotus c) summan ja erotuksen tulo d) erotuksen ja summan osamäärä.

KOKONAISLUKUJEN L ASKUTOIMITUKSET

19


KOT ITE HTÄVÄT

Laske. 71

72

a) 4 − 9

c) −2 − (−6)

b) −3 + (−5)

d) 5 − (−8)

a) −7 − (−3)

c) −1 + (−3)

b) 12 + (−5) 73

a) 24 − (−5)

b) 1,5 + (−2) 74 a) 3 ∙ (−5)

b) −7 ∙ 3 75

a) −4 ∙ (−7)

c) −10 ∙ (−4) d) −7 ∙ 9

b) 18 : (−3)

d) −27 : 9

b)

−6

c)

−81

18

d)

125

2

−2

−3 5

Poista yksi tikku niin, että jäljelle jää 3 neliötä.

20

80

c) −4 ∙ (−10)

c) 8 · (−4)

KOKONAISLUKUJEN L ASKUTOIMITUKSET

42

c)

−10

−36

d)

42 −21

−21 −3

5

Mikä luku kuuluu x:n paikalle?

a) −5 + x = −7 b) 6 − x = 9 c) −7 · x = 42 d) x : (−6) = −8

d) 0,5 − 2,7

a) −3 · (−7)

77 a)

79

d) −6 − (−6) c) −4 + 9

a)

b)

d) −4 ∙ 6

b) 7 ∙ (−2) 76

78

81

Sijoita +, −, : tai · niin, että lasku on

oikein.

a)

5

b)

−4

c)

−7

d)

−8

□ □ □ □

−3 = 8 −2 = 8 −1 = −8 −1 = 8

Laske.

a) −6 + (−2) − (−5) + 3 b) −2 · 5 · (−1) · (−3) c) −40 : (−4) : (−1) : (−2) d) −1 − 1 − (−1) − (−1) − 1 − (−1) − 1 − 1 − (−1)


4

L ASKUJÄR JEST YS

ESIMERKKI

1

Seuraavaa laskujärjestystä on noudettava jotta laskuun saadaan oikea vastaus: 1. sulkeissa olevat laskutoimitukset 2. kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle 3. yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle. a) (4 + 6) · 2 = 10 · 2 = 20 b) 4 + 6 · 2 = 4 + 12 = 16 c) 120 : 12 − 8 = 10 − 8 = 2 d) 120 : (12 − 8) = 120 : 4 = 30 e) 60 · 10 : 4 = 600 : 4 = 150

TEHTÄVÄT 82

Laske.

a) 1 + (3 − 6)

b) 4 · (−7 + 2)

b) 1 + 3 · 6

c) −3 − 4 · 2

c) (−1 + 3) · 6 86

Korjaa vastaus, jos se on väärin.

Merkitse ja laske lukujen

a) −2 ja −6 summan ja erotuksen summa

a) 4 − 2 · 3 = 6

b) 5 ja −3 erotuksen ja summan erotus

b) −8 : (2 − 4) = −8

c) −12 ja 4 tulon ja osamäärän erotus.

c) 8 − 4 : 2 = 6 d) 3 · (−2) + 9 : (−3) = −1 84

Laske.

a) −3 + 6 · 5

d) (−5 − 3) : (−2) + 2 83

85

87

a) −8 − (2 · (−3) + 4)

Mikä luku sopii x:n paikalle?

b) −4 − 12 : (−4) + 5 · (−2)

a) 5 − 3 · x = 26 b) −4 · x − 2 = −46 c) −3 − x : 2 = −8 d) 12 : (−x) − x = −8

Laske.

c) 5 · (−7) − 2 · (−6 + 8 · (−3)) 88

Laske.

a) −1 · (8 − 5) : 3 b) −9 : (−3) + 4 · (−6) c) −3 − (−3) · (−3) + (−3) : (−3) L ASKUJÄR JEST YS

21


89

Sijoita +, −, · tai : niin, että lasku on

oikein.

a) b) c) 90

3 6 −4

□ □ □

b) c)

Sijoita tehtävään sulkeet niin,

että lasku on oikein.

2

= −2

a) −8 · 2 + 1 = −24

4

=2

b) −3 · 2 + 5 − 6 = −3 c) 72 : 8 − 5 · 3 − 4 = 4

−8 = −3

Sijoita lausekkeiden väliin < tai > .

a)

91

□ −12 □ −6 □ 4

95

96

a) lukujen −4 ja 7 summa kerrotaan kolmella

□ 2 · (−3 − 5) −4 + 6 · (−3) □ (−4 − 6) · (−3) −5 + 24 : (−3) − 1 □ −5 + 24 : (−3 − 1) 2 · (−3) + 5

b) luvusta 32 vähennetään lukujen 18 ja −6 osamäärä c) lukujen 3 ja −9 summan ja erotuksen summa

Milloin

a) yhteenlasku lasketaan ennen kertolaskua b) jakolasku lasketaan ennen vähennyslaskua c) vähennyslasku lasketaan ennen sulkeita?

Kirjoita lauseke ja laske.

97

Sijoita luku x:n paikalle niin, että lasku

on oikein.

a) −2 + 3 · x − 4 = 9 b) −7 · (−4) : (12 − x) = −4 c) −8 − x · 6 : (−9 + 5) = −4

KOT ITE HTÄVÄT O HJEL MO INT I TEHTÄVÄ 92 Laske.

a) −5 + 3 · 2 − 4 b) −5 · 3 + 2 · 4 c) −5 · (−3) − 2 · 4 93

Laske.

a) 4 + (−3) · (−4) : (−2) b) −9 + (−3 · (−2) − (−6)) : 3 c) 6 − (−7 · (2 − 4) + 5) 94

a) 18 : (−3) − (−5)

b) 2 · (−2) − 2

22

L ASKUJÄR JEST YS

c) 6 + (−12) : (−3) d) 6 · (−1) − 6 : (−1)

Tee kynällä ja paperilla ohjelma, joka kertoo miten lasku lasketaan a) 3 + 5 · 4 – 6 : 2 b) –2 · 3 + 4 ·(–6) c) –24:((–8) – 4) · (–8) d) mikä tahansa lasku


5

LUKUJEN JAOLLISUUS Luonnollinen luku on jaollinen toisella luonnollisella luvulla, jos niiden jako menee tasan. Jaollisuussäännöt auttavat tutkimaan lukujen jaollisuutta. Luku on jaollinen luvulla

ESIMERKKI

2

ESIMERKKI

1

2, jos se on parillinen eli päättyy numeroon 0, 2, 4, 6 tai 8 3, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella 5, jos se päättyy numeroon 0 tai 5 9, jos sen numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä 10, jos se päättyy numeroon 0.

Luku 12 on jaollinen luvulla 6, sillä 12 : 6 = 2. Luku 12 ei ole jaollinen luvulla 5, sillä 12 : 5 = 2,4. Tutki, ovatko luvut 24, 125 ja 567 jaollisia kahdella tai kolmella. Luku 24 on jaollinen kahdella, koska se on parillinen luku. Se on lisäksi jaollinen kolmella, koska luvun numeroiden 2 ja 4 summa 6 on jaollinen kolmella. Luku 125 ei ole jaollinen kahdella, koska se päättyy numeroon 5. Se ei ole myöskään jaollinen kolmella, koska luvun numeroiden 1, 2 ja 5 summa 8 ei ole jaollinen kolmella. Luku 567 ei ole jaollinen kahdella, koska se ei ole parillinen luku. Se on jaollinen kolmella, koska luvun numeroiden 5, 6 ja 7 summa 18 on jaollinen kolmella.

ESIMERKKI

3

Lukuja, jotka eivät ole jaollisia millään muilla luvuilla kuin itsellään ja luvulla 1 kutsutaan alkuluvuiksi. Alkulukuja ovat kaikki lukua 1 suuremmat luonnolliset luvut, jotka voi jakaa tasan vain luvulla 1 ja itsellään. Luku 5 on alkuluku, koska sen voi jakaa vain luvuilla 1 ja 5. Luku 4 ei ole alkuluku, koska sen voi jakaa luvulla 2.

LUKUJEN JAOLLISUUS

23


TEHTÄVÄT Mitkä luvuista 51, 96, 111, 27 215 ja

98

34 500 ovat jaollisia

a) kahdella b) kolmella c) viidellä d) kymmenellä? Ovatko luvut

99

Jos luku ei ole jaollinen kahdella, millä muilla luvuilla se ei myöskään ole jaollinen?

104

Kuinka monella eri tavalla 18 oppilaan

105

luokka voidaan jakaa ryhmiin, joissa kaikissa on yhtä monta oppilasta?

Muodosta numeroista 1, 4, 6 ja 9 annetut ehdot täyttävä luku. Jokaista numeroa saa käyttää vain kerran samassa luvussa.

106

a) 76, 144, 288, 408, 504 ja 1 638 jaollisia yhdeksällä

a) kaksinumeroinen luku, joka on jaollinen kolmella

b) 83, 105, 125, 192, 237 ja 1 542 jaollisia kolmella?

Mitkä numerot voidaan kirjoittaa viivalle, jotta luku 5  on

a) jaollinen kymmenellä b) jaollinen kahdella c) jaollinen kolmella d) alkuluku?

Karkausvuosia ovat ne vuodet, joiden vuosiluku on jaollinen neljällä. Täydet vuosisadat eivät kuitenkaan ole karkausvuosia, paitsi jos ne ovat jaollisia neljälläsadalla. Tutki, mitkä seuraavista vuosista ovat karkausvuosia.

107

joka täyttää annetut ehdot. Jokaista numeroa voi käyttää vain kerran samassa luvussa.

b) kolminumeroinen luku, joka on jaollinen kolmella c) nelinumeroinen luku, joka on jaollinen viidellä d) alkuluku

24

d) nelinumeroinen luku, joka on jaollinen viidellä

Muodosta numeroista 2, 3, 5 ja 7 luku,

a) parillinen kaksinumeroinen luku

103

c) kolminumeroinen luku, joka on jaollinen neljällä

luvuista 31, 54, 87, 105 ja 117 ovat alkulukuja.

101

102

b) kolminumeroinen alkuluku

Tutki jaollisuussääntöjen avulla, mitkä

100

Tutki, onko syntymävuotesi tai kuluvan

vuoden vuosiluku alkuluku.

LUKUJEN JAOLLISUUS

a) 2000

c) 2028

b) 2010

d) 2100

Mikä on ensimmäinen lukua 200

108

109

suurempi alkuluku?

Mitkä numerot voidaan kirjoittaa viivalle, jotta luku 46  on jaollinen

a) kolmella b) viidellä c) yhdeksällä d) kymmenellä?


110

111

Leipomossa leivotaan 792 leipää. Leipuri

väittää, että ne voidaan pakata tasan joko 6, 8, 9 tai 11 leivän laatikoihin. Onko hän oikeassa? Kuinka monta laatikkoa tarvittaisiin?

114

b) jaollinen kuudella c) jaollinen yhdeksällä d) alkuluku? 115

Tutki, onko lukujen 50 ja 60 välissä

116

Muodosta numeroista 2, 3 ja 7 luku, joka

KOT ITE HTÄVÄT 112 Ovatko luvut 15, 26, 47 ja 69 jaollisia

kahdella tai kolmella?

113 Tutki, onko luku

a) 186 jaollinen kolmella b) 458 jaollinen yhdeksällä

viivalle, jotta luku 12_ on

a) jaollinen viidellä

Opettaja jakaa oppilaansa 5 hengen

ryhmiin, jolloin yksi oppilas jää yli. Hän jakaa samat oppilaat 4 hengen ryhmiin, jolloin kaksi oppilasta jää yli. Kuinka monta oppilasta luokalla on?

Mitkä numeroista 0-9 voidaan kirjoittaa

yhtään alkulukua.

täyttää seuraavat ehdot:

a) kaksinumeroinen parillinen luku b) luku, joka on jaollinen kolmella. 117

Korttipakka voidaan jakaa tasan

kolmelle, neljälle ja kuudelle pelaajalle ja jokainen saa aina vähintään kolme korttia. Kuinka monta korttia pakassa on?

c) 59 alkuluku.

Sijoita telttoja ruudukkoon. Ruudukon reunoilla olevat numerot kertovat, kuinka monta telttaa kullakin rivillä tulee olla. Sijoita jokaisen puun viereen tai sen ylä- tai alapuolelle teltta. Kaksi telttaa ei saa olla toistensa vieressä edes kulmittain!

LUKUJEN JAOLLISUUS

25


KERTAUS 1–7 1 LUKUJOUKOT

Laske.

161

Mainitse kaikki lukujoukot, joihin luku kuuluu. 24 a) −6 c) 8 7 b) 2,5 d) 3 157 . Piirrä lukusuora ja merkitse sille luvut 2 4 4,1;   −6;   8;  0;  −2,1;   3 ja − . 5 7

156

158

Valitse lukujen väliin <, = tai >.

b)

□ 2,3 −8 □ −9

c)

6

a)

d) e) 159

2

Mainitse kolme lukua, joissa esiintyy numero 4 ja jotka kuuluvat lukujoukkoon

c) itseisarvojen erotus d) vastalukujen erotus. Mainitse kaksi lukua, jotka sopivat x:n

163

paikalle.

a) 2 < |x| < 4 b) −2 ≤ |x| < 2 c) −6 < −x ≤ −3 d) −8 ≤ −x ≤ −7

3 KOKONAISLUKUJEN LASKUTOIMITUKSET Laske.

164

a) −6 + (−5)

a) 

b) 4 − (−3)

b) c) 

160

a) luvun −2 vastaluku c) luvun −6,4 itseisarvo d) luvun 5,1 vastaluku.

a) −4 · (−7)

c) 8 · (−5)

b) −12 : 6

d) 42 : (−7)

167

a) tulo

c) osamäärä

b) erotus

d) summa.

Laske.

a) −8 + (−4) − (+3) − (−1) b) 2 · (−3) · (−5) · (−2) c) 240 : (−6) : (−5) : 4

32

KERTAUS 1–7

d) −7 − (+1)

Merkitse ja laske lukujen −12 ja −4

166

Merkitse ja laske

b) luvun 8 itseisarvo

c) 9 + (−2)

Laske.

165

d) .

2 VASTALUKU JA ITSEISARVO

d) |5 − 2|

b) vastalukujen summa

5

−8,003

b) |5| − |−2| a) itseisarvojen summa

15

□ −7 □ 7

−8,03

c) |5 + 2|

Merkitse ja laske lukujen −9 ja −6

162

2,4

a) |5| + |−2|


4 L ASKUJÄR JESTYS

kolmella

b) 78, 126, 192, 288 ja 396 jaollisia yhdeksällä?

Laske.

168

a) 4 + (−6) · (−5) b) 3 · (−7) + (−12) : (−4)

174

Tutki jaollisuussääntöjen avulla,

175

Mitkä numerot voidaan kirjoittaa

mitkä luvuista 15, 29, 38, 47 ja 73 ovat alkulukuja.

c) 24 : (−3) · 8 Laske.

169

a) 48 : (2 + 7 · (−2))

viivalle, jotta luku 6 

b) −3 · (−4) + 5

a) jaollinen kymmenellä

c) −7 + (−12) : 3

b) jaollinen kahdella c) jaollinen kolmella

Laske.

170

a) −8 · ((−6) + 4) : (−2)

d) alkuluku?

b) −8 · (−6) + 4 : (−2)

6 LUVUN TEKIJÄT

c) (−8 · (−6) + 4) : (−2) Kirjoita lauseke ja laske.

171

Luettele luvun kaikki tekijät.

176

a) lukujen 8 ja −5 erotus kerrotaan luvun neljä vastaluvulla 177

c) lukujen −6 ja −2 erotuksen ja tulon summa

178

Mitkä luvuista 16, 45, 120 ja 156 ovat jaollisia

a) kahdella

a) 18

c) 55

b) 32

d) 69

Jaa luvut 12, 28, 60 ja 110 alkutekijöihin.

b) luvusta 47 vähennetään lukujen −18 ja −3 osamäärä

5 LUKUJEN JAOLLISUUS 172

on

Voit käyttää puukaaviota apuna. Laske.

a) syt(12, 30)

c) syt(30, 105)

b) syt(24, 80)

d) syt(48, 120)

179 . Laske.

a) pyj(5, 12)

c) pyj(20, 45)

b) pyj(8, 14)

d) pyj(25, 70)

b) kolmella c) viidellä d) kymmenellä? 173

Ovatko luvut

a) 16, 38, 51, 125 ja 177 jaollisia KERTAUS 1–7

33


7 LUKUJONOT 180

Kirjoita jokin lukujono,

a) jossa on 5 jäsentä b) joka on päättymätön. 181

Kirjoita lukujonoksi

a) parittomat luvut b) kokonaisluvut c) viisi ensimmäistä alkulukua.

34

182

Kirjoita kolme aritmeettista lukujonoa.

183

Kirjoita kolme geometrista lukujonoa.

KERTAUS 1–7

ITSEARVIO INT I 1. Kuinka hyvin olen oppinut tämän osion asiat? 2. Kuinka aktiivinen olen ollut oppitunneilla? 3. Kuinka paljon käytin aikaa kotitehtävien tekemiseen? 4. Kuinka monta tehtävää tein tästä osiosta?


VASTAUKSET 1. LUKUJOUKOT 1

2. VASTALUKU JA ITSEISARVO

a) esim. 3, 11 ja 27

b) esim. −43, 0 ja 29 1 3 7 c) esim. , – ja 4 5 13

2

a) 23 ja

9

b) −4; 23;

c) kaikki

27 9

ja −1,0

a) positiivinen

a) <, ≤  ja ≠

d)  <, ≤ ja ≠ e)  >, ≥  ja ≠

b) >, ≥  ja ≠ c) >, ≥  ja ≠

6

7

esim. −5 ja −7,4

8

a) esim. −1, −2 ja −3 b) esim. 20, 21 ja 22

−5

0 2

7 9

27

a) 3

30

a) esim. 5 ja 6

c) mikä tahansa d) esim. 0 ja 1

a) −1 ja −5

c) 4 ja −4

a) on aina b) on aina c) on joskus

12

a)

b) c) d) 14

−3

−2

−1

0

−3 −2 −1 0

1

2

3

3

4

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

a) >

5

b) < c) > d) ei voi sanoa

b) esim. 2 ja 4 b) ei mikään

4

6

c) esim. −2 ja −1

a) esim. 5 ja 6

b) esim. 1 ja −5

11

2

d) 3

c) 9 ja −9 d) esim. −3 ja 4

33

1

c) -3

a) esim. −3 ja 2

31

c) äärettömästi

0

b) 7

d) ei ole kahta

a) 8

−1

b) −5 c) 5 d) 11

b) esim. −2 ja −1

10

−2

a) > tai ≥ c) > tai ≥

29

32

b) 17

c) −(−8) = 8

a) 11

b) esim. 0, 1 ja 2

c) esim. 0, 1 ja 2

a) −|−4| = − 4

28

a) esim. -5, 0 ja 5

b) on joskus

c) on joskus d) on aina

b) < tai ≤ d) < tai ≤

c) esim. 20, 21 ja 22 d) ei ole

9

a) on joskus

b) |−(−5)| = |5| = 5 d) −|−1| = −1

b) esim. 2, 3 ja 4 d) esim. 2

c) esim. 1, 2 ja 4

24

26

a) esim. 1, 2 ja 3

−11

a) | 9 | = 9 b) | −2 | = 2 c) | −8,6 | = 8,6

25

a) esim. 3 tai 9

5

23

b) kaikkien lukujen itseisarvo on positiivinen

b) esim. −9 tai 6 c) kaikki rationaaliluvut

4

a) −3 b) −(−7) = 7 c) −(−0,5) = 0,5

27

3

22

34

a) >

b) >

d) 1 ja 2 c) >

d) <

3. KOKONAISLUKUJEN L ASKUTOIMITUKSET 39

a) −1

b) 2

c) −12 d) 9

40

a) 7

b) −10 c) −1

41

a) 11

b) −4 c) −14 d) 14

d) 2

VASTAUKSET

35


42

a) − 4

b) 5

43

a) 10

b) 22 c) 14 d) −3

44

a) −37

b) −30 c) −10 d) −18

45

a) 7

b) −4 c) 0,5

d) 0

46

a) 1,5

b) 5,5 c) −1

d) 9

47

a) 3 + (−6) = −3

b) −5 − (−7) = 2

b) 11

64

b) −5

65

c) 10

e) 0

d) −11 f) 8

a) −2 000 c) 0,5

e) −25

b) −1 000 d) ei voi laskea

66

c) −2 + 8 = 6 d) 9 − (−3) = 12

a) −33

d) −10 f) −12,5

a) 200

c) 0 e) 0,5 d) −0,25 f) 0,42

b) 1

48

a) 2

b) −13 c) 6

d) 7

67

a) −5

b) 5

c) 9

49

a) 6

b) −3 c) 2

d) −6

68

a) 24

c) −1

e) 12

50

a) −5

b) −2

c) 14

d) −2

b) 4

d) 0

f) 2

51

a) +

b) −

c) −

d) +

52 a) 8 + (−4) = 4

b) 8 − (−4) = 12

c) −8 + 4 = −4 d)−8 − 4 = −12

53

a) 48

b) −35 c) −12 d) 18

54

a) −8

b) −28 c) 45

d) −16

55

a) 18

b) −49 c) 60

d) −35

56

a) −48

b) 55

d) 121

57

a) −1 000 c) 220 e) 15

58

59

a) −9 · 3 = −27 c) 9 · (−3) = −27

b) −9 : 3 = −3

70

a) −4 + 8 = 4

−48

d) 9 : (−3) = −3

c) (−4 + 8) · (−4 − 8) =

b) 4 − (−8) = 12 d) (−4 − 8) : (−4 + 8) = −3

4. L ASKUJÄR JESTYS

83

a) −2 b) 4

c) oikein d) −9

d) 125 f) 20

84

a) −7 b) 11

c) 10

a) −5

c) −440 e) −4

85

a) −2

b) 0

d) 200 f) −66

86

a) (−2 + (−6)) + (−2 − (−6)) = −4

a) 0

c) 22

d) 100 f) 45 b) −2 c) −3

d) 9

61 a) −2

b) −6 c) 9

d) 5

62 a) −21

b) 3

a) −7

VASTAUKSET

c) −10 d) −3

c) −12 e) −3,5

d) 6 d) 2 tai 6

b) 19 c) 12

b) (5 − (−3)) − (5 + (−3)) = 6 c) −12 · 4 − (−12) : 4 = −45

c) −23 e) −750

60 a) 4

63

69

d) −3

a) 27 b) −20 c) −11

b) −630

f) 3

82

b) −63

36

c) −23 d) −10

87

a) −6

b) −11 c) 25

88

a) −1

b) −21 c) −11

89

a) − ja · b) : ja + c) · ja :

90

a) >

b) <

c) <


91

a) kun yhteenlasku on sulkeissa

b) aina, jos ei ole sulkeita c) ei koskaan

e) 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66 f) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 42, 84 119

5. LUKUJEN JAOLLISUUS a) 96 ja 34 500

98

b) 51, 96, 111 ja 34 500 c) 27 215 ja 34 500 d) 34 500

a) Luvut 76 ja 408 eivät ole, muut ovat.

99

b) Luvut 83 ja 125 eivät ole, muut ovat.

a) neliöön luku 54, ympyröihin luvut 7 ja 6 b) ylös luku 5, alas luvut 8 ja 7

120

31

100

a) 0 c) 1, 4, 7 b) 0, 2, 4, 6 tai 8 d) 3 tai 9

101

102

a) 32, 52 tai 72

104

4, 6, 8 ja 10

105

2, 3, 6 tai 9 hengen ryhmiin

c) esim. 2 375 b) esim. 237 tai 357 d) esim. 23

106 a) 69 tai 96

b) esim. 149

a) on

107

b) ei

4 hengen ryhmiä

121 122

2

d) ei

a) 2, 5, 8

b) 0 tai 5 c) 8

d) 0

111

26 (tai 6 tai 46)

6. LUVUN TEKIJÄT 118

a) 1, 2, 4, 5, 10, 20

b) 1, 2, 4, 7, 14, 28 c) 1, 3, 5, 9, 15, 45 d) 1, 2, 4, 13, 26, 52

9

·

4

·

·

63

123

·

7 7

10

·

9 · 3 3

130

22

2  · 2

13

2  · 11 2  · 5

12 = 2 · 2 · 3

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 56 = 2 · 2 · 2 · 7

96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3

110 On. Laatikoita tarvittaisiin 132, 99, 88

tai 72.

28

4

c) esim. 416 d) ei ole mahdollista c) on

18 · · 3 3 2 2 88

211

108 109

a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 c) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 d) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 e) 1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130 f) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144

147 = 3 · 7 · 7 124

a) 4

b) 8

c) 13

d) 7

125

a) 24

b) 120 c) 196 d) 504

126

a) 8

b) 15 c) 8

d) 30

127

a) 40

b) 30 c) 72

d) 90

128

a) 24

b) 64

129

a) ylös luku 20, alas luvut 18 ja 24

c) 216 d) 1 350

b) ylös luku 25, alas luvut 15 ja 30

VASTAUKSET

37


a) 6

130

b) 12

c) 60

d) 150

120 tunnin kuluttua

131

Lukujoukot

8 cm x 8 cm tai 16 cm x 16 cm

132

7. LUKUJONOT a) 8

140

b) ääretön määrä

0, 2, 4, 6, 8,… b) 0, 1, 2, 3,… c) 2, 3, 5, 7, 11, 13, … , 97

141 a)

a) on b) ei ole

c) on d) on

143

a) ei ole

c) on d) on

142

b) on

a) aritmeettinen

144

b) ei kumpikaan

c) ei kumpikaan d) ei kumpikaan

3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

146

a) ääretön määrä

b) 17.

38

−6

158

a) >

−2,1 4 0 2 4,1 − 3 7 b) >

5 c) =

8 d) <

a) −14, −104 ja −540 b) 7,40965304…; 0,0000045435… ja 4,23134528… c) 24, 400 ja 348

149

a) kyllä

b) kyllä

c) kyllä

150

a) kyllä

b) kyllä

c) kyllä

kyllä, esim. 1, 1, 1, 1,…

d)

19

,

4

41 37

ja

408

976

Vastaluku ja itseisarvo a) −(−2) = 2 c) | − 6,4 | = 6,4

b) | 8 | = 8

esim. 1, 3, 5, 7,… ja 1, 2, 4, 8,…

VASTAUKSET

157

160

a) esim. 2, 4, 8, 16,… 1 1 1 1 , , , 2 4 8 16 1, 1, 1, 1,… b) esim. 1, 2, 3, 4,… 0, 7, 14, 21,… 107, 102, 97, 92,… 147

a) reaaliluku, rationaaliluku ja kokonaisluku b) reaaliluku ja rationaaliluku c) reaaliluku, rationaaliluku, kokonaisluku ja luonnollinen luku d) reaaliluku ja rationaaliluku 156

159

145

148

KERTAUS 1 – 7

d) −5,1

161

a) 7

b) 3

162

a) | −9 | + | − 6 | = 15

c) 7

b) −(−9) + (−(−6)) = 15

c) | −9 | − | − 6 | = 3

d) −(−9) − (−(−6)) = 3

163

a) −3 ja 3,4

b) −0,4 ja 1,3

d) 3

c) 5 ja 3,8 d) 7,25 ja 7,9

Kokonaislukujen laskutoimitukset 164

a) −11

b) 7

c) 7

d) −8

165

a) 28

b) −2 c) −40 d) −6

> e) <


a) −12 · (−4) = 48

166

b) −12 − (−4) = −8 c) −12 : (−4) = 3 d) −12 + (−4) = −16

a) −14

167

a) 6

b) 8

c) 15

a) 60

b) 56

c) 180 d) 350

178 179

d) 24

Lukujonot

b) −60 c) 2

180

Laskujärjestys

a) esim. 3, 5, 8, 9, 11 b) esim. 1, 11, 111, 1111, …

b) 17 c) −11

a) 1, 3, 5, 7, 9, … b) …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … c) 2, 3, 5, 7, 11

b) 46 c) −26

182

esim. 2, 4, 6, 8, …

183

esim. 4, 40, 400, 4000, …

168

a) 34

b) −18 c) −64

169

a) −4

170

a) −8

171

a) (8 − (−5)) · (−4) = −52

181

b) 47 − (−18 : (−3)) = 41 c) (−6 − (−2)) + (−6) · (−2) = 8

Lukujen jaollisuus a) 16, 120 ja 156

172

b) 45, 120 ja 156

c) 45 ja 120 d) 120

173

a) 51 ja 177 ovat b) 126, 288 ja 396 ovat

174

29, 47 ja 73

175

a) 0 b) 0, 2, 4, 6 tai 8

c) 0, 3, 6 ja 9 d) 1 tai 7

Luvun tekijät 176

a) 1, 2, 3, 6, 9, 18 c) 1, 5, 11, 55 b) 1, 2, 4, 8, 16, 32 d) 1, 3, 23, 69 12

177

4 2  · 2 10

· 2 5

·

28 3

2  · 2

110

·

4

11

6

· 2 3

·

7

60

·

10 2  · 5

VASTAUKSET

39


EXCELOH JEL MOINTI


EXCEL- OHJELMOINTI Tässä kirjassa opetetaan taulukkolaskentaohjelman avulla pienten ohjelmien tekemistä. Osio liittyy ohjelmointiin, mutta samalla se on myös mahdollisuus tehdä matematiikkaa hieman toisin, tietotekniikan avulla. Eri taulukkolaskentaohjelmia ovat esimerkiksi Microsoft Excel, Google Sheets ja LibreOffice. Tehtävät voi ratkaista millä tahansa taulukkolaskentaohjelmalla. Excel on Microsoftin ohjelma, joka kuuluu Microsoftin Office tuoteperheeseen ja löytyy useimmista tietokoneista.

TEHTÄVÄT 1

Tee Excel-ohjelmalla laskin, joka laskee

2

Tee Excel-ohjelmalla laskin, joka laskee

3

4

202

kahden luvun summan, erotuksen, tulon ja osamäärän. kahden tai useamman luvun potenssin.

Piirrä Excel-ohjelmalla kotitehtävien

819, 820, 821 ja 822 kaaviot.

Tee Excel-ohjelmalla laskin, joka laskee

kahden tai useamman luvun negatiivisen potenssin.

EXCEL- OHJEL MOINTI

5

Tee Excel-ohjelmalla tilasto

6

Tee Excelillä ohjelma, joka kertoo, onko

arvosanoistasi, josta lasketaan summa, keskiarvo ja suurin arvo funktioiden avulla. ratkaisu x = 5 oikein vai väärin, kun yhtälö on

a) 4x + 2 = 3x + 7 b) 6x - 9 = x + 6

c) 7x + 2 = 4x + 8

d) -x + 11 = 2x - 4

Profile for Edukustannus

Luku 7 näyteaukeamia  

Luku on oppimateriaalisarja yläkoulun matematiikkaan.

Luku 7 näyteaukeamia  

Luku on oppimateriaalisarja yläkoulun matematiikkaan.

Advertisement

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded