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Desarrollo de los problemas de la

VI ONEM OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA

Nivel 3 ICEM 2009

INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA


OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA  VI ONEM 2009  PRIMERA FASE – NIVEL 3 

SOLUCIONARIO                         Elaborado por un equipo de profesores de Matemática     José Corimanya Escobedo    Juan Mamani Cayani   Roberto Choquehuayta Guillén   José Choque Rivera (Responsable Nivel 3)    Críticas y sugerencias: educamatperu@gmail.com    Página Web: www.educamatperu.org  


2

EDUCAMAT ­ PERÚ  OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA  (ONEM 2009)    Primera Fase – Nivel 3   

26 de Junio de 2009   

SOLUCIONARIO   01. Halla el valor numérico de sen2 45º  cos60º  csc30º .

A) 2

B)

5 2

C) 3

D)

7 2

E) 2  3

RESOLUCIÓN:

Reemplazamos valores para los ángulos notables: 2

1 1  1  1 sen 45º  cos60º  csc30º =    2 2 = 2  2 2 = 3  2 2

Clave: C_     02. Halla el área de la región sombreada sabiendo que AO  3 , CO  2 , EO  1 y   mCD   mEF   60º mAB

A) 2

B)

7 3

C) 3

D)

7 2

E)

14 3

RESOLUCIÓN:

Usando la fórmula para el área de un sector circular: ÁreaSC 

ÁreaRS 

r 2 360º

(3)2 60º (2)2 60º (1)2 60º  2 2 1 7    3  2  1   360º 360º 360º 6 3

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Clave: B_    


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3

03. Si tan   0,8 , halla el valor de

A) 

5 6

B) 

5 3

5sen  3cos  . sen  2cos  C)

5 6

D)

5 3

E) – 2

RESOLUCIÓN:

5sen  3cos  dividimos numerador y denominador entre cos : sen  2cos  5sen  3cos  5sen  3 cos  cos  cos cos  o  sen  2cos  sen 2 cos   cos  cos  cos se n   tan  quedando así:  Usamos la identidad cos  5tan   3 o tan   2  Reemplazamos el valor de tan   0,8 : 5tan   3 5(0,8)  3 1 1 5     1,2  6 tan   2 0,8  2 6 5

 En la expresión:

Clave: A_ 

04. Simplifica

mn mn np n p pm pm

3

A) 1

. 3

.

B) 3

3

. D) 31

C) 3

E)

mnp

3

RESOLUCIÓN: 

Transformamos y efectuamos operaciones: mn mn np n p pm pm

3

3

. 3

.

3

p( mn)m( n p )n( pm) mnp

mn n p pm  3 mn .3 np .3 pm

3

3

mn n p pm   mn np pm

mp  np  mn  mp  np  mn mnp

 30  1 Clave: A_ 

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05. La suma de dos ángulos es 200 grados centesimales y la diferencia de sus suplementos es igual a 80 grados sexagesimales. Halla la medida del mayor de ellos en radianes.

A)

 9

B)

5 18

C)

13 18

D)

7 9

E)

65 81

RESOLUCIÓN: 

Sean “” y “” los dos ángulos mencionados, por dato del problema:     200 g  180º

  

Eso significa que los ángulos son suplementarios y por lo tanto uno es el suplemento del otro. Entonces por el otro dato del problema:     80º Resolvamos el sistema:     180º      80º 2  260º   130º

 rad  13 rad Convertimos a radianes: 130º    180º  18

Clave: C_         06. El producto de tres enteros positivos distintos es 72. ¿Cuál es la menor suma posible de dichos números?

A) 16

B) 15

C) 14

D) 13

E) 12

RESOLUCIÓN:  

Descomponemos 72 en sus factores primos: 72  2  2  2  3  3  23  32 Agrupamos convenientemente para conseguir que tres de sus factores tengan la menor suma posible: 72  (2  2)  (2  3)  3  4  6  3

Dicha suma sería: 4  6  3  13 Clave: D_    

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  88º y mCB   110º . Halla el valor de x. 07. En el gráfico se tiene que AB  BD , mAE

A) 55º B) 44º RESOLUCIÓN: 

C) 35º

D) 33º

E) 27º

 

De los datos del problema AB = BD entonces el ABD es isósceles y la mADB  mBAD  x Además la mABC  mBAD  mADB  x  x  2x   2mBAE  2x , y Luego por tener ángulos inscritos en la circunferencia: mBE   2mABC  2(2x )  4 x mAC

La suma de las medidas de los arcos que componen la circunferencia es igual a 360º

4 x  110º 2x  88º  360º 6 x  162º x  27º

Clave: E_     08. María y Vanesa compran 13 caramelos y se los reparten entre ellas. Vanesa le reclama a María diciendo: “Tú tienes más del doble de lo que yo tengo, por favor dame tu tercera parte” y María le responde diciendo: “Pero si te doy mi tercera parte vas a tener más caramelos que yo”. ¿Cuántos caramelos tiene María?

A) 6

B) 9

C) 4

D) 2

E) 12

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EDUCAMAT ­ PERÚ  RESOLUCIÓN:     Sean:

x: Número de caramelos de María y: Número de caramelos de Vanesa 

Si compran 13 caramelos entonces: x  y  13  y  13  x

Vanesa le dice a María: “Tú tienes más del doble de lo que yo tengo”, entonces: x  2y o Reemplazando “y” x  2(13  x ) x  26  2x 3x  26  x  8,6

María responde: “Pero si te doy mi tercera parte vas a tener más caramelos que yo”, entonces: x x x  y 3 3 x x x   y 3 3 x y 3 x 3y o Reemplazando “y” x  3(13  x ) x  39  3x 4 x  39 x  9,75  De ambas expresiones x  8,6 ; x  9,75 ; es claro que: x  9 Clave: B_    

09. Determina cuántos cm mide el radio de la rueda A si cuando ésta gira 120º, la rueda B gira 2 radianes y además O1O2  80cm .

A) 20 cm

B) 30 cm

C) 40 cm

D) 50 cm

E) 60 cm

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RESOLUCIÓN: 

Por estar conectadas ambas ruedas deben barrer la misma longitud de arco: LA  LB

Aplicaremos la fórmula para la longitud de un arco “L”: L  .R siendo “” el ángulo de giro en radianes y “R” el radio.  A .R A  B .RB

 rad  2 Para la rueda “A” el giro es de 120º que equivale a 120º    rad .  180º  3  2   3  R A   2  RB   RA  RB 3 Luego ya que el segmento O1O2  80 entonces: R A  RB  80 reemplazamos RB R R A  A  80 3 4.R A  240 R A  60

Clave: E_     10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que

valor de

A)

tan A  tanB . cot A

26 25

B) 25

C) 26

D)

13 9

senA  senB 3  . Calcula el senA  senB 2

E)

13 4

RESOLUCIÓN:

1er Método: 

Sean los lados del triángulo: AB  c , BC  a , AC  b

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EDUCAMAT ­ PERÚ  

Reemplazamos las razones trigonométricas en la condición dada: ab a b  3 ab 3 c c c 3     ab 2 a b 2 a b 2   c c c 2(a  b)  3(a  b) 2a  2b  3a  3b a  5b

Ahora trabajamos en la expresión pedida, reemplazando el valor de “a”: a b 5b  b 1 26 5  tan A  tanB b a b 5b 5  5  26    1 b 1 cot A b 5 a 5 5b 2do Método:   90º , se puede expresar todo en función del A , usando co-razones  Al ser A  B trigonométricas: senA  senB 3 senA  cos A 3 senA     5 o senA  senB 2 senA  cos A 2 cos A senA  Usando la identidad  tan A , obtenemos que: tan A  5 cos A  Trabajamos en la expresión pedida: tan A  tanB tan A  cot A tan A cot A    o cot A cot A cot A cot A 1  Usando la identidad cot A  y reemplazando el valor de tan A : tan A tan A o   1  (tan A)2  1  (5)2  1  26 1 tan A     Clave: C_    

11. Una niña observa la cabeza de su padre con un ángulo de elevación de º y sus pies con un ángulo de depresión de 30º. Si la distancia del ojo de la niña a la cabeza de su padre es 1,5 3 metros y tan   , halla la altura del padre, en metros. 4

A) 0,8  0,6 3

B) 0,9  0,4 3

C) 0,9  0,6 3

D) 1,2  0,4 3

E) 1,2  0,6 3

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RESOLUCIÓN: 

En el gráfico mostrado, según los datos:

Se observa que: h  m  n

Además en el triángulo A por dato: tan  

3 4 3 entonces: sen   y cos   4 5 5 En el mismo triángulo calculamos “m” y “p”: 3 m  1,5sen  1,5   0,9 5 4 p  1,5cos   1,5   1,2 5

Ahora en el triángulo B calculamos “n”:  3 n  p.tan30º  1,2    0,4 3 3   Finalmente se obtiene el valor de “h”: h  m  n  0,9  0,4 3 Clave: B_    

12. Se requiere programar una dieta con dos alimentos S y T. Cada unidad del alimento S contiene 100 calorías y 15 gramos de proteínas. La unidad del alimento T contiene 200 calorías y 10 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 90 gramos de proteínas. Si el precio de cada unidad del alimento S es 400 soles y de cada unidad del alimento T es de 300 soles, ¿cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo?

A) 10 de S  

B) 9 de T

C) 3 de S y 4 de T

D) 4 de S y 3 de T

E) 3 de S y 3 de T

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RESOLUCIÓN: 

Sea: o “x” la cantidad de unidades de S que debe contener la dieta. o “y” la cantidad de unidades de T que debe contener la dieta.

  

El costo: C  (400x  300 y ) Como se requiere como mínimo 1000 cal, entonces: 100x  200 y  1000 x  2 y  10

Como se requiere como mínimo 90 gr de proteínas, entonces: 15x  10 y  90 3x  2 y  18

Graficamos:

Los puntos que debemos analizar para minimizar el costo son:  0;9  ,  4;3 y 10;0  o Con el punto  0;9  el costo es: C  400(0)  300(9)  2700 o Con el punto  4;3 el costo es: C  400(4)  300(3)  2500 o Con el punto 10;0  el costo es: C  400(10)  300(0)  4000

Por lo tanto el costo mínimo es S/. 2500 con 4 unidades de S y 3 unidades de T.

Clave: D_    

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13. En el siguiente arreglo, por cada dos puntos se traza una recta. ¿Cuántas rectas distintas se pueden trazar?

A) 18

B) 21

C) 24

D) 25

E) 27

RESOLUCIÓN:

1er Método 

Cada par de puntos origina una recta, el número total de rectas se obtendría de las combinaciones de los 10 puntos tomados de 2 en 2:

C 

10 2

10! 10  9  8!  45  2! 8! 2  1  8!

Además hay rectas que se forman con pares de puntos distintos: 4! 4  3  2! 4  o Los lados del triángulo se forman con C 2   6 , hay que 2! 2! 2  1  2! descontar por tanto 3 6  1   15 rectas repetidas. o Las rectas que unen el punto central con puntos diferentes de los vértices, se forman con 3 pares distintos, se descuenta 33  1   6 rectas.

Por lo tanto quedan: 45  15  6  24 rectas.

2do Método 

Otra forma de realizar el conteo es considerar las rectas que contienen a 4 puntos:

3 rectas ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA


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Luego las que contienen a 3 puntos:

3 rectas Luego las que contienen a dos puntos estando uno de ellos en una esquina:

9 rectas Luego las que contienen a dos puntos sin estar en las esquinas:

9 rectas 

Finalmente sumamos estas cantidades: 3  3  9  9  24 rectas Clave: C_    

14. Sea ABC un triángulo y D la proyección del punto B sobre la bisectriz del ángulo ACB . Si el área del triángulo ABC es 12, determina el área del triángulo ADC.

C B) 12cos   2

A) 12

C C) 12sen   2

C D) 12tan   2

RESOLUCIÓN: 

Realizamos un gráfico según los datos del problema:

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E) 6


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13

Prolongaremos el segmento BD hasta llegar a la base en el punto E y nos damos cuenta que los triángulos BDC y EDC son congruentes:

Además se conoce por propiedad que en cualquier triángulo una mediana lo divide en dos triángulos equivalentes es decir de la misma área:

Aplicando dicha propiedad en nuestro gráfico:

Y ahora por dato del problema: Área ABC  12

2S1  2S2  12 S1  S 2  6 

Finalmente como nos piden el área del triángulo ADC: Área ADC  S1  S2 Área ADC  6

Clave: E_     15. ¿Cuál es el menor número de 6 dígitos distintos que es múltiplo de 8? Da como respuesta la suma de los dígitos de dicho número.

A) 19

B) 20

C) 21

D) 22

E) 23

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RESOLUCIÓN: 

Representemos el número como: abcdef siendo sus dígitos todos diferentes.

Para las tres primeras cifras abc ; el menor número de tres dígitos diferentes es el 102

Las otras tres cifras def deben formar un múltiplo de ocho, es decir: def  8 . o A la cifra “d” le toca el valor de 3. o Para las otras dos cifras vamos buscando múltiplos de 8:  344 es múltiplo de 8 pero el 4 se repite,  352 es el siguiente múltiplo de 8 pero ya usamos el 2,  360 es el siguiente pero ya usamos el cero,  368 cumple con los requisitos. El número pedido es 102368 y la suma de sus dígitos es 20.

o

Clave: B_     16. La siguiente suma tiene 101 filas, ¿cuál es el dígito central del resultado?

A) 0

B) 2

C) 3

D) 5

E) 7

RESOLUCIÓN:    La suma se puede expresar: S  2  22  222  2222  .....  222222...222    101cifras

Factorizando

2 : 9

 2 S   9  99  999  .....  99999...999   9 101cifras   Expresando como potencias de 10: 2 S  10  1   102  1  103  1  .....  10101  1   9  2 2 3 101  10 10 ..... 10 101 S  10        9    101tér min os  

 

Se observa que:  2  101 S  111111...110  9  101unos  ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA


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Luego:  2 S  1111.....111009   9  99unos 

Entonces:

99veces  2222.....222018 S 9 Al dividir entre 9 el resultado tendrá 101 cifras, ocupando la cifra central el lugar 51 99veces  99cifras  2cifras  2222.....222018  02 S  246913580246913580.....0  9 9cifras

Se observa que al dividir entre 9 hay un periodo de 9 cifras excepto las dos últimas cifras.

Finalmente ubicamos la cifra central tomando en cuenta que la cifra de lugar 45 es cero: 45 46 47 48 49 50 51

    

S  .......0246913580........ 

Por lo tanto la cifra central de la suma es 3.

Clave: C_    

17. En cada vértice de un rectángulo de lados 3 y 4 se dibuja un cuadrante de radio 1, como muestra la figura. Luego se elige un punto de cada cuadrante de tal modo que se forme un rectángulo ABCD con AB  2BC y lados paralelos a los del rectángulo mayor. Halla el área del rectángulo ABCD.

A)

72 25

B)

98 25

C)

128 49

D)

162 49

E)

49 8

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RESOLUCIÓN: 

Por dato del problema AB  2BC  2x y el área del rectángulo pedido sería 2x 2

Por ser una figura simétrica, la podemos cortar con una recta vertical por el centro.

Unimos el vértice del rectángulo mayor con el vértice del cuadrado dicho segmento por ser radio tendrá una longitud igual a 1, desde el vértice dejamos caer una perpendicular a la base formando un triángulo rectángulo.

  

Podemos observar que: RS  PQ por lo tanto: x  2sen  3 Además: PS  QR entonces: x  cos   2 En cada ecuación despejamos sen y cos : 3 x sen  ^ cos   2  x 2 Usamos la conocida identidad pitagórica: sen2  cos2   1 ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA


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17

Reemplazamos los valores obtenidos para sen y cos  , y despejamos “x”: 2

3 x  2  2   2  x   1   9  6x  x 2  4  4x  x 2  1 4 9  6x  x2   x2  4x  3 4 9  6 x  x 2  4 x 2  16 x  12

5x 2  22x  21  0 5x  7  x  3  0 x  

7 5

x 3

7 5 2 El área del rectángulo pedido era: ÁreaABCD  2x , reemplazando el valor de “x” Como “x” es menor que 3 nos quedamos con el valor

2

 7  98 ÁreaABCD  2   25 5

Clave: B_     18. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación sen6 x  cos8 x  1 en el intervalo 0,4 ?

A) 9

 

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

RESOLUCIÓN: 

Vamos a expresar la ecuación solo en función de cos x :

 sen2x   cos8 x  1 3 1  cos2 x   cos8 x  1 3

1  3cos2 x  3cos4 x  cos6 x  cos8 x  1 cos8 x  cos6 x  3cos4 x  3cos2 x  0

cos2 x cos6 x  cos4 x  3cos2 x  3  0 

 Por lo tanto: cos x  0 ; esto ocurre cuando x  (2n  1) , con n  , y los valores de “x” 2   3 5 7  que pertenecerían al intervalo señalado son  ; ; ;  2 2 2 2 

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18 

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Ahora trabajamos con el otro factor: cos6 x  cos4 x  3cos2 x  3  0

 

cos4 x cos2 x  1  3 cos2 x  1  0

cos2 x  1cos4 x  3  0  cos x  1 cos x  1  cos4 x  3  0 

De aquí: cos x  1  cos x  1 y esto ocurre para múltiplos de : entonces tendremos nuevos valores para “x” que son: 0; ;2;3;4

De la otra ecuación: cos4 x  3  0 no tiene soluciones ya que cos4 x  3 siempre

será mayor o igual a tres. 

5 7   3  Finalmente el número de soluciones es 9: 0; ; ; ;2; ;3; ;4  2 2 2  2  Clave: A_    

19. La suma de todos los divisores positivos de N es igual a 2801. ¿Cuántos números N cumplen con esta condición?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

RESOLUCIÓN: 

Consideremos la siguiente propiedad: Para cualquier número positivo N expresado como el producto de números primos N  a  b  c   ... La suma de sus divisores se obtiene multiplicando las sumatorias de las potencias de los respectivos números primos, así:

    

divisores N  1  a  a2  ...  a 1  b  b2  ...  b 1  c  c2  ...  c   ... Nos dan como dato que:  divisores N  2801

Pero 2801 es un número primo (esto lo afirmamos luego de dividir 2801 con cada primo menor que 2801  52,9 y obteniendo siempre un residuo mayor que cero) Así que sólo tenemos que buscar un número primo cuya suma de sus primeras potencias nos de 2801. Nos damos cuenta que: 1  7  72  73  74  2801 Por lo tanto sólo existe un número N cuya suma de sus divisores es 2801 dicho número es: N  74  2401 . Clave: B_     ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA


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19

20. Sean a, b, c números enteros (no necesariamente positivos) tales que a , a  b , a  b  c son números distintos del conjunto 1, 2, 3, . . ., 9 , halla el mayor valor de

 9a  5b  3c 5a  b  3c  y da como respuesta la suma de sus dígitos. A) 14

B) 11

C) 21

D) 23

E) 24

RESOLUCIÓN: 

Haremos el siguiente cambio de variables: x a y ab z abc

Entonces:

ax b yx cz y 

Reemplazamos estos valores en la expresión:

 9a  5b  3c 5a  b  3c   9 x   5 y  x   3 z  y  5 x    y  x   3 z  y  

Así nos queda:  4 x  3z  2 y  4 x  3z  2 y 

Que también se puede expresar como:  4 x  3z    2 y 

Ahora es fácil determinar que valores del conjunto 1, 2, 3, . . ., 9 maximizan dicha

2

2     expresión:  4 x  3 z    2 y    8  9  1

2

2

Luego reemplazando estos valores: 2 2  4 x  3z 2   2 y 2    4  9  3 8     21    3596   máximo

Como nos piden como respuesta la suma de las cifras: 3  5  9  6  23 Clave: D_   

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20

EDUCAMAT ­ PERÚ   

CLAVE DE RESPUESTAS  Nro  Clave 

Nro Clave 

1.

C

11.

B

2.

B

12.

D

3.

A

13.

C

4.

A

14.

E

5.

C

15.

B

6.

D

16.

C

7.

E

17.

B

8.

B

18.

A

9.

E

19.

B

10.

C

20.

D

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nivel_3  

ICEM 2009 OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA Desarrollo de los problemas de la INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA  Jos...

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