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MINISTERIO DE EDUCACION

SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004 Tercera fase – Nivel 2

05 de Noviembre de 2004

 

La prueba tiene una duración máxima de 2 horas. No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros. Ingresa tus respuestas en la computadora tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de recepción de las respuestas.

1. Sea x un número real mayor que 1 tal que:

xx

x

 x x

x

Hallar 60x. 2. Las figuras mostradas se construyen con palitos de fósforo,

Halla el número máximo de cuadrados que puede tener una figura como las del gráfico, construida utilizando a lo más 500 palitos de fósforo. 3. Los divisores propios de un entero positivo n son aquellos divisores de n que son menores que n. Por ejemplo, los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4, y 6. Así mismo, un entero positivo n se dice que es abundante si la suma de sus divisores propios es mayor que n. Por ejemplo, 12 es un número abundante pues 1 + 2 + 3 + 4 + 6 > 12. ¿Cuántos elementos del conjunto A  41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 son números abundantes?

4. Sea f una función definida en el conjunto de los números enteros que cumple: a) f f  x   f  x  2   3 , para todo x entero.

b) f 1  4

c) f  4   3 Halla f  5 

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5. ¿Cuál es el entero más cercano a 100 12  143 ?

6. Nueve puntos se encuentran distribuidos formando una rejilla cuadrada de 3  3 como la mostrada a continuación. ¿Cuántos triángulos no congruentes entre si pueden ser formados teniendo sus vértices en tres de estos puntos?

7. En un triángulo ABC el incentro y el circuncentro son simétricos con respecto al lado AB. Hallar, en grados, el mayor ángulo del triángulo ABC.

8. Para todo entero positivo n se define como:

f n 

4n  4n 2  1 2n  1  2n  1

Calcula f 1  f  2   f  3  f  4   ...  f  40  9. El polinomio P  x   x 3  ax 2  bx  c cumple las siguientes condiciones:

i) Tiene tres raíces enteras distintas ii) P  2002   2001

iii) P x 2  2 x  2002 no tiene raíces reales Hallar el valor de a. 10. Sea P  x  un polinomio tal que los polinomios:

P  2P  x 

y

2P  P  x     P  x  

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son idénticos. ¿Cuál es el mayor grado que puede tener P  x  ?

GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN

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