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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004  Tercera Fase – Nivel 1  05 de noviembr e de 2004  ­  ­  ­ 

La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.  No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.  Ingresa tus respuestas en la computadora tan pronto consideres que has terminado  con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de recepción de las  respuestas.

1. Hace 5 años Juana tenía un sexto de la edad que tenía su madre. Dentro de 15 años ella  tendrá la mitad de la edad que tendrá su madre. ¿Cuál es la edad actual de Juana?  Solución  Sea  x  la edad actual de Juana. Luego, la edad actual de su madre es:

6( x - 5 ) + 5 = 6 x - 25  Luego, se cumplirá la ecuación:

x + 15 =

1 ( ( 6 x - 25) + 15 )  2 

Al resolver la ecuación de primer grado se obtiene: 

x = 10 2.  Si  A ,  B  y  C  son enteros positivos tales que: 

24 = A + 5 

1

B +

1 C + 1 

¿Cuál es el valor de  A + 2 B + 3 C ?  Solución  Tenemos: 

24 4 =  4 + 5  5  24 1  =  4 + 5  5  4  24 1  = 4 + 1  5  1 + 4  24 1  = 4 + 1  5  1 + 3 + 1  De donde  A = 4, B = 1 , C  = 3 . Luego,  A + 2 B + 3 C  = 15 .  3.  La construcción de una carretera está asignada a cuadrillas de obreros, cada una de las  cuales está formada  por la misma cantidad de obreros y la misma capacidad  de trabajo.  Tres cuadrillas de obreros pavimentan 20 km de carretera en 10 días. ¿Cuántas cuadrillas  adicionales se requieren para pavimentar los siguientes 50 km de carretera en 15 días? 

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Solución Sea  x  la cantidad de cuadrillas adicionales que se requiere. Al plantear la regla de tres  compuesta se tiene:

æ

öæ ö è 20 km øè 15 días ø x + 3 = 5  x  =  2

(x + 3 ) = (3 cuad )çç 50 km ÷÷çç 10 días ÷÷

4. Se desea construir un cubo de 5 cm de arista usando un número mínimo de cubos de 1,  2, 3 ó 4 cm de arista. ¿Cuántos de tales cubos tienen arista de longitud 2?  Solución  El  volumen  del  cubo  original  es  5 3 = 125  y  este  volumen  será  igual  a  la  suma  de  los  volúmenes de los cubos pequeños.  No  puede  haber  dos  cubos  pequeños  cuya  suma  de  aristas  sea  mayor  que  5,  pues  no  podrían  ser  ambos  parte  del  cubo  de  arista  5.  Por  lo  tanto  a  lo  más  existe  un  cubo  pequeño de arista 4 y a lo más existe un cubo pequeño de arista 3.  La tabla siguiente muestra la cantidad mínima de cubos a utilizar si hay un cubo pequeño  de  arista  4,  si  hay  un  cubo  pequeño  de  arista  3  y  si  todos  los  cubos  pequeños  son  de  aristas 1 y 2.  Cubos  pequeños  de arista 4  1  0  0 

Cubos pequeños  de arista 3  0  1  0 

Cubos pequeños  de arista 2  0  7  8 

Cubos pequeños  de arista 1  61  42  61 

Total de  cubos  pequeños  62  50  69 

En el segundo caso se tiene la menor cantidad de cubos pequeños, y en este caso hay 7  cubos de arista 2. 

5. Se construye un triángulo escribiendo números enteros en una cuadricula como el que se  muestra  a  continuación,  pero  con los  números  desde  el  1 hasta el 11  en la  primera fila.  Observa  que  cada  número  en  el  triángulo,  excepto  los  de  la  primera  fila,  es  igual  a  la  suma  de  los  dos  números  ubicados  arriba  de  él  (en  la  fila  anterior).  ¿Qué  número  se  encontrará en el vértice inferior del triángulo?  1 

2 3 

3 5 

8

4 7 

12 20 

5 9 

16 28 

48

Solución Es  fácil  justificar  que,  como  la  primera  fila  es  una  progresión  aritmética,  en  cada  fila  se  formará  una  progresión  aritmética.  Luego,  como  cada  elemento,  a  partir  de  la  segunda  fila, se obtiene de sumar dos elementos de la fila anterior, la suma de los extremos en una  fila  será  el  doble  de  la  suma  de  los  extremos  de  la  fila  anterior.  Así,  la  suma  de  los  extremos de la fila 10 será  2 9  veces la suma de los elementos de la primera fila, es decir,

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29 ´ (1 + 11) = 6144 . Pero en la fila 10 solo hay dos números, por lo tanto el número escrito  en la fila 11 será 6144. 

6. En una pizarra se escriben todos los enteros positivos desde 1 hasta  N  :  1, 2, 3, 4, ...,  N  ,  donde  N  es un entero positivo de tres cifras. Si exactamente la mitad de estos números  tienen al menos un dígito 1, halla el mayor valor posible de N  .  Solución  Desde 1 hasta 99 hay 19 números que tienen al menos un 1. Desde 1 hasta 199 hay 19 +  100 = 119 números que tienen al menos un 1. Luego,  N  ³ 2 ´ 119 = 238 .  Desde  1  hasta  238  hay  119  +  13  =  132  números  que  tienen  al  menos  un  1.  Luego  N  ³ 2 ´ 132 = 264 .  Desde  1  hasta  264  hay  132  +  3  =  135  números  que  tienen  al  menos  un  1.  Luego  N  ³ 2 ´ 135 = 270 .  Desde 1 hasta 270 hay 135 números que tienen al menos un 1, donde 135 es la mitad de  270.  Pero  como  271  también  tiene  un  1  se  cumple  que  desde  1  hasta  272  hay  136  números que tienen al menos un 1.  Entre los números mayores que 272 más de la mitad de los números no tienen unos, por  lo que el máximo valor posible de  N  es 272. 

7. Si  a = 1 + 5 , calcula:

S = (4 - a )

(

2+a

)( a )( 3

6

)

3a + 4

Solución Reemplazando el valor de  a  en cada término del producto tenemos:

(

)

4 - a = 3 - 5

2 + a = 3 + 5 =

(

6 + 2 5 2 

=

(1 + 5 )  2 

)

3

a = 3 1 + 5 

6

3a + 4 = 6 7 + 3 5  =

6

14 + 6 5 = 6 2

3

14 + 2 45 3 3 + 5 3 6 + 2 5  = 6  = 6 3 2 2  2 6  2 

( )

2

3

=

(1 + 5 )  2

Reemplazando en  S :

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(

2

3

(1 + 5 ) 

(1 + 5 ) 2  (1 + 5 ) 1 + 5  S = (3 - 5 ) ( )  2  ( 3 - 5 )( 6 + 2 5 )  S=

S = 3- 5

)

(1 + 5 )

3

2

2 S = 3 - 5 3 + 5 = 4 

(

)(

)

8. Después que María escribe 5 números en la pizarra, Juan realiza el siguiente proceso:  Elige tres números  p ,  q  ,  r  de los cinco escritos en la pizarra y  reemplaza uno de los dos números no elegidos por  p + q - r .  Halla  el  número  mínimo  de  veces  que  Juan  realiza  dicho  proceso  para  obtener,  en  la  pizarra,  cinco  números  iguales,  a  partir  de  los  cinco  números  escritos  por  María,  cualesquiera que éstos sean.  Solución  Después de la primera operación no siempre será posible que haya dos números iguales.  Por  ejemplo,  si  los  números  escritos  por  María  son {1,10,100,1000,10000 }  se  puede  verificar que luego de un proceso Juan no tendrá dos números iguales.  Luego del segundo proceso, a lo más habrá dos números iguales, pues cada proceso solo  cambia un número en la pizarra.  También se puede verificar que luego del tercer proceso no siempre pueden aparecer tres  números iguales.  Además,  luego  del  cuarto  proceso  a  lo  más  existirán  tres  números  iguales;  luego  del  quinto proceso,  a  lo  más  existirán  cuatro números iguales  y, finalmente,  luego del  sexto  proceso a lo más existirán cinco números iguales.  Verificaremos  que  siempre es  posible  obtener  cinco números iguales  luego de a lo  más  seis procesos. Para ello consideremos los números escritos por María:

{a ; b; c; d ; e }  con  a ³ b ³ c ³ d ³ e .  Luego del primer proceso podemos obtener:

{a ; b; c; d ; m }  con  m = a + b - c . Luego del segundo proceso podemos obtener:

{a ; b; c; m; m }  En el tercer y cuarto proceso reemplazamos  b  y  c  por a + m - m de la siguiente manera: {a ; b; c; m; m }  à {a ; b; a ; m; m }  à {a ; a ; a ; m; m }  En el quinto y sexto proceso reemplazamos  m  por  a + a - a de la siguiente manera: {a ; a ; a ; m; m }  à {a ; a ; a ; a ; m }  à {a ; a ; a ; a ; a } 

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9. Encuentra la mayor cantidad de grupos que se pueden formar con los enteros  1, 2,3,..., 20  de tal manera que el producto de los números de cada grupo sea un cuadrado perfecto.  Considera que un grupo puede contener un solo número y en este caso se considera que  el “producto” es el mismo número. Cada número debe estar a lo más en un grupo y no es  necesario utilizar todos los números al formar los grupos.  Solución  Sea M  = {1, 2 , 3 ,..., 20 } .  Es  evidente  que  los  números  11,  13,  17  y  19  no  pueden  pertenecer  a  ninguno  de  los  grupos, pues  son  múltiplos  de  un  factor  primo  que  no  aparece  en  ninguno  de  los  otros  elementos de M.  De los 16 números que quedan solamente el 1, 4, 9 y 16 pueden formar grupos estando  solos, pues son cuadrados perfectos.  Con los otros 12 elementos de M se puede formar a lo más seis grupos (en caso que cada  uno de ellos tenga dos elementos). Pero como el 5, 10, 15 y 20 son los únicos múltiplos  de 5, si pertenecieran a grupos de 2 deberían formar los cuatro dos grupos de 2 (para que  su producto sea múltiplo de 25). Eso no es posible, pues 5 × 10 × 15 × 20 no es cuadrado  perfecto. Por esta razón los otros 12 elementos de M deben formar a lo más cinco grupos,  para tener un total de 9 grupos. Por ejemplo, tenemos la siguiente división en grupos:

{1 },  {4 },  {9 },  {16 },  {3 , 12 },  {5 , 20 },  {8 , 18 },  {2 , 7 , 14 },  {6 , 10 , 15 }  10. Encuentra el menor entero positivo  n  tal que  3 2001  es un divisor de :

( n + 1)( n + 2 )( n + 3) ... ( 3n - 1)( 3n )  Solución  Sea:

a n  = (n + 1)(n + 2 )(n + 3 )... (3 n - 1 )(3 n )  Verificaremos que la mayor potencia de 3 que divide a  a n  es  3 n  , es decir, que se cumple  que: 

a n  = 3 n b n  donde  b n  no es múltiplo de 3.  En primer lugar lo verificamos para  n = 1 , donde a 1 = (2 )(3 ) = 6  y la máxima potencia de 3  que divide a  a 1  es  3 1 .  Si  la  propiedad  se  cumple  para  cierto  entero  positivo  n  arbitrario,  es  decir,  a  n  = 3 n b n ,  veremos que también debe cumplirse para  n + 1 , pues:

a n +1  = (n + 2 )(n + 3 )(n + 4 )... (3 n + 2 )(3 n + 3 )  a n +1  = ((n + 2 )(n + 3 )(n + 4 )... (3 n - 1 )(3 n ))(3 n + 1 )(3 n + 2 )(3 n + 3 )  a n +1  = 3 ((n + 1 )(n + 2 )(n + 3 )(n + 4 )... (3 n - 1 )(3 n ))(3 n + 1 )(3 n + 2 )  a n +1  = 3 (a n )(3 n + 1 )(3 n + 2 )  a n +1  = 3 (3 n b n )(3 n + 1 )(3 n + 2 )  OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA ­  Tercera Fase – Nivel 1 

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a n +1  = 3 n +1 (b n )(3 n + 1 )(3 n + 2 )  donde  b n  no es múltiplo de 3. Pero tampoco  3n + 1  ni  3n + 2  son múltiplos de 3. Luego, si  hacemos b n + 1 = (b n )(3 n + 1 )(3 n + 2 ) , tenemos:  a n +1  = 3 n +1 b n +1  donde  b n +1  no es múltiplo de 3.  Regresando  al  problema,  el  menor  entero  n  que  cumple  la  condición  pedida  es  justamente 2001, pues  a 2001  = 3 2001 b 2001 . 

GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN

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2004f3n1sol  

24 + = Solución Tenemos: ­ La prueba tiene una duración máxima de 2 horas. ­ No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o...

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