3. Espacios vectoriales
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Ejemplo 3.10 En P3 , tenemos los polinomios P (x) = 3x2 + 2x − 1 y Q (x) = −8x2 + 1 H(x)
= = =
5P (x) − 2Q(x)
5(3x2 + 2x − 1) − 2(−8x2 + 1) 31 x2 + 10 x − 7
Luego, el polinomio H(x) es una combinaciĂłn lineal de los polinomios P (x) y Q(x) con Îą1 = 5 y Îą2 = −2
3.3.1. Conjunto generador de un subespacio vectorial .:DefiniciĂłn 3.5 Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea S = {v1 , v2 , . . . , vr } un subconjunto finito, no vacĂo de V . El subespacio H que consta de todas las combinaciones lineales de v1 , v2 , . . . , vr , es llamado subespacio generado por S y se denota por gen {S} o gen {v1 , v2 , . . . , vr }
1 0 y , pueden generar cualquier vector del plano, por lo 0 1 tanto generan al espacio vectorial R2 , por lo tanto el subespacio es: 1 0 gen , 0 1 Ejemplo 3.11 Los vectores
−8 Ď€
El vector se puede generar como una combinaciĂłn lineal de los vectores 0 , como se muestra a continuaciĂłn: 1
−8 Ď€
= (−8)
1 0
+Ď€
0 1
1 0
y
2 De igual manera, cualquier vector del plano R se puede expresar como una combinaciĂłn lineal 1 0 de los vectores y . 0 1
Ejemplo 3.12 Pn representa todo polinomio de grado menor o igual a n, se puede expresar cualquier polinomio como una combinaciĂłn lineal de los monomios 1, x, x2 , . . . , xn ; luego generan a Pn . por ejemplo, el polinomio 6x2 + 5x − 4 se puede expresar como combinaciĂłn lineal de los monomios 1, x, x2 , . . . , xn 6x2 + 5x − 4 = 0xn + 0xn−1 + ¡ ¡ ¡ + 6x2 + 5x − 4 a Ejemplo 3.13 M22 es el conjunto de matrices de tamaĂąo 2 Ă— 2, si M22 = c 1 0 0 1 0 0 se puede generar con el conjunto , , , 0 0 0 0 1 0
b , entonces, d 0 0 , por 0 1