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Marzo, 2010 Código: 1912 Ejercicios Física Calor Ondas

Departamento de Física © Ciencias básicas Universidad del Norte - Colombia

EJERCICIOS ONDAS MECÁNICAS José David Hernández jdhernandez@uninorte.edu.co Ingeniería Mecánica

Eduanis Salazar Rivera eduaniss@uninorte.edu.co Ingeniería Electrónica Eduardo Villa Borrero elvilla@uninorte.edu.co Ingeniería Mecánica

15.59. Una cuerda está estirada en el eje x. Se le desplaza en las direcciones y y z, de modo que el desplazamiento transversal de la cuerda está dado por

a) Dibuje la gráfica de z contra y para una partícula de la cuerda que está en x=0. La gráfica mostrará la trayectoria de la partícula vista por un observador que está en el eje +x y mira hasta x=0. Indique la posición de la partícula en . b) Obtenga el vector velocidad de una partícula que se mueve en un círculo de radio A con velocidad angular , y demuestre que la rapidez de una partícula es constante (es decir, la partícula está en movimiento circular uniforme). c) Obtenga el vector aceleración de la partícula del inciso b. Demuestre que la aceleración siempre está dirigida hacia el centro del círculo y que su magnitud es . Explique estos resultados en términos de un movimiento circular uniforme. Suponga ahora que el desplazamiento de la cuerda está dado por

Sol. a) Vemos que las ecuaciones (1) y (2) que definen el desplazamiento en y y z son las componentes de una ecuación que defina un círculo de radio A, siendo A la amplitud del movimiento. La ecuación que tendríamos sería:


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z

y

Fig. 15.59.1: Gráfica de la trayectoria de una partícula de la cuerda que se mueve conforme a las ec. (1) y (2).

b) Para obtener el vector velocidad debemos encontrar las derivadas parciales respecto al tiempo de las ecuaciones (1) y (2) y sumarlas para obtener una expresión que defina las componentes y y z del vector velocidad en términos de los vectores unitarios y .

Si se realiza la suma de ambas componentes encontramos que la norma del vector velocidad está dada por:

Esto nos hace decir que la velocidad de la partícula es constante.


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c) Para encontrar la magnitud de la aceleración (o sea la norma del vector aceleración) vector aceleración se debe derivar parcialmente vy y vz respecto a t.

Luego se hace el producto punto entre el vector posición y el vector aceleración de manera que se pueda identificar qué ángulo hay entre ellos y determinar hacia qué dirección es la aceleración.

Como r=A entonces

Eso quiere decir que el ángulo entre el radio y a es radianes (180°), lo que a su vez significa que la aceleración es antiparalela al radio (está dirigida hacia el centro del círculo). En el caso en que las ecuaciones que describan el movimiento sean:

El desplazamiento es el mismo, sólo que esta vez irá en sentido contrario al del movimiento descrito por las primeras ecuaciones. 15.61 Ondas de forma arbitraria. Explique por qué cualquier onda descrita por una función de la forma se mueve en la dirección con rapidez . Demuestre que satisface la ecuación de onda, sea cual fuere la onda funcional de . Para hacerlo, escriba , donde . Luego, para derivar parcialmente , use la regla de la cadena:


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Una pulsación de onda está descrita por constantes positivas. Calcule la rapidez de esta onda.

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, donde

son

si , entonces y a- un observador moviéndose deberá hacerlo en el mismo camino de la onda para que la onda que reciba tenga la misma forma, esta ocasión puede ser descrita por la ecuación con como constante de esta forma y la forma de la onda será la misma para el observador bc-

y puede

, entonces se escribir de la forma con y con esto se puede determinar que la velocidad es como la onda se mueve en el eje de los x positivos la velocidad de la onda es independiente de la constante D 15. 64 Energía en un pulso triangular. Un pulso ondulatorio triangular en una cuerda tensada viaja en la dirección con rapidez . La tensión en la cuerda es y la densidad lineal de masa de la cuerda es . En , la forma del pulso está dada por

Dibuje la pulsación en . Determine la función de onda en todos los instantes . Calcule la potencia instantánea de la onda. Demuestre que la potencia es cero excepto cuando – y que es constante en este intervalo. Determine el valor de esta potencia constante. a)

b)

La onda se mueve en la dirección + x con v velocidad, así que en la expresión para y (x, 0) reemplace la x con x-vt:


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c)

Por lo tanto la potencia instantánea es cero a excepción de donde tiene el valor constante .

,

15.81 Demuestre que, para una onda en una cuerda, la energía cinética por unidad de la cuerda es

Donde μ es la masa por unidad de longitud. Calcule para una onda senoidal dada por la ecuación . También hay energía potencial elástica en la cuerda asociada al trabajo requerido para deformar y estirar la cuerda. Considere un segmento corto de la cuerda en la posición cuya longitud no estirada es . Si despreciamos la (pequeña) curvatura del segmento, su pendiente es . Suponga que el desplazamiento de la cuerda con respecto al equilibrio es pequeño, así que tiene magnitud mucho menor que . Demuestre que la longitud estirada del segmento es aproximadamente

(Sugerencia: use la relación , válida para .) La energía potencial almacenada en el segmento es igual al trabajo efectuado por la tensión de la cuerda (que actúa a lo largo de la cuerda) para estirar el segmento de su longitud no estirada a la longitud calculada en el inciso . Calcule el trabajo, y demuestre que la energía potencial por unidad de longitud de la cuerda es


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Calcule para una onda senoidal dada por la ecuación . Demuestre que para todo y . Grafique en función de para ; use los mismo ejes para las tres curvas. Explique por qué y son máximos donde es cero y viceversa. Demuestre que la potencia instantánea en la onda, dada por , es igual a la energía total por unidad de longitud multiplicada por la rapidez de onda . Explique por que este resultado es lógico. a) b)

luego

c) la pieza tiene un ancho de

y un largo de

se puede calcular la longitud de la

pieza con d) e)

entonces

f) comparando los resultados de la parte (c)

demuestra que para

una una onda senoidal

Fig. 15.81.1

g) En el gráfico que se indica en la figura 15.81.1, uk y up coinciden, como se indica en el inciso (f). En y = 0, la cadena se estira más, y se mueve más rápido, por lo que uk y up se


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maximizan. En los extremos de y, la cadena está sin estirar y no se mueve, por lo que uk y up son a la vez a su mínimo de cero. h) 15. 84 Potencia instantánea en una onda estacionaria. La rapidez instantánea con que una onda transmite energía por una cuerda (potencia instantánea) es P(x,t)=-F ∂y(x,t)/∂x (∂y(x,t)/∂t) Donde F es la tensión. a) evalúe P(x,t) para una onda estacionaria de la forma dada por Y(x,t)=A_sw (senkx)(senωt). b) Demuestre que para todos los valores de x la potencia media P_medtransportada por la onda estacionaria es cero. c) Para una onda estacionaria dada por la ecuación Y(x,t)=A_sw (senkx)(senωt) dibuje una gráfica que muestre P(x,t) y el desplazamiento Y(x,t) en función de x para, t=0,t=π/4ω,t=π/2ω,t=3π/4ω . (Una P(x,t) positiva implica que la energía fluye en la dirección +x ; un valor ne3gativo de P(x,t) implica que la energía fluye en la dirección – x). d) la Energía cinética por unidad de longitud de la cuerda es máxima donde la cuerda tiene la rapidez transversal más alta, la energía potencial por unidad de longitud de la cuerda es máxima donde la cuerda tiene la pendiente más empinada (porque ahí es donde la cuerda está más empinada). Usando estas ideas analice el flujo de energía a lo largo de la cuerda.

a)

, y el poder instantáneo es:

b) El valor promedio de P es proporcional al valor medio del sen(2 promedio de la función seno es cero; Pav = 0.

), y el

c) La forma de onda es la línea continua, y el poder es la línea de puntos. En el tiempo t = /2W, y = 0 y P = 0 y los gráficos coinciden. d) Cuando la onda estacionaria en su desplazamiento máximo en todos los puntos, toda la energía es potencial, y se concentra en los lugares donde la pendiente es más pronunciada (los nodos). Cuando la onda estacionaria tiene desplazamiento cero, toda la energía cinética es, concentrado en el que las partículas se mueven más rápido (los antinodos). Por lo tanto, la energía debe ser transferida de los modos de los antinodos, y viceversa, dos veces en cada ciclo. Tenga en cuenta que (p) es mayor a medio camino entre los nodos y antinodos adyacentes, y que P se anula en los nodos y antinodos.


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