Page 1


JOVITA ARMENTA ROMERO LETICIA MORA BLACKALLER ALAN SANTIAGO CORTÉS GODÍNEZ

MATEMÁTICA Y CIENCIA II


Rectoría General Itzcóatl Tonatiuh Bravo Padilla Vicerrectoría Ejecutiva Miguel Ángel Navarro Navarro Secretaría General José Alfredo Peña Ramos Dirección General del Sistema de Educación Media Superior Javier Espinoza de los Monteros Cárdenas Secretaría Académica del Sistema de Educación Media Superior Ernesto Herrera Cárdenas Secretaría Administrativa del Sistema de Educación Media Superior Adriana Lorena Fierros Lara Coordinación del Corporativo de Empresas Universitarias José Antonio Ibarra Cervantes Dirección de la Editorial Universitaria Sayri Karp Mitastein

Primera edición corregida, 2017 Autores: Jovita Armenta Romero, Leticia Mora Blackaller, Alan Santiago Cortés Godínez Coordinación de la serie: Sofía Rodríguez Benítez Coordinación editorial: Sol Ortega Ruelas Diseño y diagramación: Paola E. Vázquez Murillo D.R. © 2017, Universidad de Guadalajara

Editorial Universitaria José Bonifacio Andrada 2679 Colonia Lomas de Guevara 44657 Guadalajara, Jalisco www.editorial.udg.mx 01 800 UDG LIBRO

Impreso y hecho en México Printed and made in Mexico

Se prohíbe la reproducción, el registro o la transmisión parcial o total de esta obra por cualquier sistema de recuperación de información, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, existente o por existir, sin el permiso por escrito del titular de los derechos correspondientes.


Índice Presentación 7 Conoce tu libro Propósitos formativos

8 10

Unidad de competencia 1. Probabilidad 12 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA 1

14

ACTIVIDAD PRELIMINAR 1

16

1.1

Eventos y espacio muestral

17

1.2

Probabilidad clásica

25

1.3

Probabilidad del complemento de un evento

28

1.4 Probabilidad de eventos independientes

31

1.5

Probabilidad condicional

37

ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

43

EVALUACIÓN 1

45

Unidad de competencia 2. Elementos de geometría analítica

2.1

48

ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA 2

50

ACTIVIDAD PRELIMINAR 2

52

Distancia entre dos puntos en el plano

53

2.2 División de un segmento en una razón dada y punto medio

61

2.3 Ángulo de inclinación y pendiente de una recta

66

2.4 Formas de la ecuación de la recta

71

2.5 Gráfica de una recta a partir de su ecuación

78

2.6 Rectas paralelas y perpendiculares

84

ACTIVIDAD INTEGRADORA 2

89

EVALUACIÓN 2

91


Unidad de competencia 3. Cónicas

3.1

94

ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA 3

96

ACTIVIDAD PRELIMINAR 3

98

Secciones cónicas

99

3.2 Ecuación de la circunferencia y aplicación

101

3.3 Ecuación de la parábola y aplicación

116

3.4 Ecuación de la elipse y aplicación

122

3.5 Ecuación de la hipérbola y aplicación

131

3.6 Uso de software para generar gráficas de cónicas

138

ACTIVIDAD INTEGRADORA 3

142

EVALUACIÓN 3

144

Glosario 146 Formulario 150 Bibliografía 154 Ejercicios extras

155

156

Ejercicios Planea

Ejercicios PISA 159


PRESENTACIÓN

En la perspectiva socioconstructivista de las competencias se reconoce la posibilidad de movilizar e integrar diversos saberes y recursos cognitivos cuando el aprendiz se enfrenta a una situación-problema inédito, ante lo cual requiere mostrar la capacidad de resolver problemas complejos y abiertos, en distintos escenarios y momentos. Es necesario que la persona, al enfrentar la situación y en el lugar mismo, reconstruya el conocimiento, proponga una solución o tome decisiones en torno a posibles cursos de acción, y lo haga de manera reflexiva, teniendo presente aquello que da sustento a su forma de actuar ante la problemática. La competencia es mostrada cuando el individuo identifica, selecciona, coordina y moviliza, de manera articulada e interrelacionada, un conjunto de saberes diversos en el marco de una situación educativa dentro de un contexto específico. Matemática y ciencia II busca promover en el estudiante habilidades de análisis, interpretación, elaboración, comunicación y resolución de situaciones que se presentan en lenguaje coloquial o formal, en ámbitos particulares o sociales. La utilización de la probabilidad permitirá al estudiante hacer interpretaciones para tomar decisiones en diversos ámbitos. El empleo de la ecuación de la cónica le ayudará a modelar y resolver situaciones como, por ejemplo, riegos por aspersión y diseño de antenas parabólicas, por mencionar algunas. Durante el desarrollo de este curso, el estudiante aplicará los aprendizajes del campo de la matemática a distintos entornos, vinculará los conceptos de diferentes áreas de matemáticas y modelará fenómenos diversos usando representaciones gráficas, analíticas o numéricas para su análisis, auxiliándose de las tecnologías de la información y la comunicación como instrumentos para el aprendizaje de las matemáticas, lo cual contribuirá a lograr el perfil de egreso que propone el Bachillerato General por Competencias de la Universidad de Guadalajara.


Conoce tu libro Matemática y ciencia II te permitirá aprender a resolver problemas, mejorar tu nivel de comprensión, análisis e interpretación de resultados, así como a determinar y analizar diversas posibilidades y aplicar técnicas de cálculo.

Presentación de la unidad de competencia

Secuencia didáctica

Introducción

Para empezar

Desarrollo

Conoce

Cierre

Resuelve

1

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA

Breve introducción a los contenidos de tu libro, así como las competencias genéricas y específicas que se abordad en este curso. 2

SECUENCIA DIDÁCTICA

Inicia con una breve introducción que te prepara para la exposición de los contenidos (con ejemplos para ampliar su comprensión) y cierra con problemas y ecuaciones que debes resolver. a

Objetivo

Muestra el propósito de aprendizaje de cada secuencia. b

Para empezar

Conoce los aspectos más relevantes del tema, a través de información o anécdotas que vinculan los contenidos con la vida diaria. c

Conoce

Aprende los conceptos fundamentales, su aplicación y las ecuaciones correspondientes. En esta sección también encontrarás suficientes ejemplos que te permitirán reforzar y profundizar en los contenidos. d

8

Resuelve

Es el momento de aplicar tus conocimientos, de resolver a través del razonamiento y el análisis, de ecuaciones y gráficas las situaciones planteadas.


3

ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA

Cada unidad de competencia te permite identificar cuáles son los conocimientos previos requeridos para dominar con mayor eficacia sus contenidos.

6

4

ACTIVIDAD PRELIMINAR

Un problema o situación de carácter general, relacionado con situaciones cotidianas que enfrentas todos los días, te preparará para el trabajo de la UC.

GLOSARIO Y FORMULARIO

ACTIVIDAD INTEGRADORA

Al final de la unidad de competencia podrás aplicar todos tus conocimientos en una situación de la vida real.

7

Listados de conceptos con sus definiciones y de fórmulas, respectivamente, que facilitan la comprensión de contenidos y la resolución de problemas y ecuaciones. 8

5

EJERCICIOS EXTRAS

Ejercicios de preparación para las pruebas Planea y PISA.

RECURSOS ADICIONALES Y ESE, ¿QUIÉN ES?

Datos relevantes de grandes matemáticos que, desde la antigüedad, se han ocupado de los temas abordados en este curso.

SE APLICA EN... Explicación sobre cómo los saberes abordados ayudan a resolver problemas reales.

RECUERDA Recursos adicionales que te permiten solucionar de manera más eficaz las situaciones planteadas.

¿SABÍAS QUE…? Detalles interesantes que complementan los contenidos.

9


PROPÓSITOS FORMATIVOS

OBJETIVO GENERAL El alumno modela y expresa fenómenos de la naturaleza y sociales mediante la geometría analítica, analiza un evento y calcula la probabilidad del mismo para tomar decisiones.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS • Resuelve problemas relacionados con la ciencia, empleando diferentes estrategias y recursos, que impliquen plantear ecuaciones de diversas cónicas, para su comprensión y análisis. • Interpreta resultados del cálculo de probabilidades, para determinar y analizar las diversas posibilidades de uno o varios eventos.

CONOCIMIENTOS • Elementos analíticos de puntos, líneas y cónicas: pendiente, ecuación de las rectas, circunferencia, parábola, elipse, etc. • Resolución de problemas relacionados con un lugar geométrico de manera analítica. • Probabilidad de ocurrencia de uno o varios eventos. • Aplicación de diversas técnicas del cálculo de probabilidades.

10


HABILIDADES (SABERES PRÁCTICOS O PROCEDIMENTALES) • Razona y resuelve los problemas en situaciones que impliquen la utilización de procedimientos. • Representa y aplica ideas y procesos de la matemática, para la interpretación de fenómenos naturales y sociales. • Reflexiona sobre conceptos matemáticos y su aplicación. • Determina las posibilidades de ocurrencia de un evento. • Construye conocimientos matemáticos a través de la resolución de problemas. • Organiza y comunica sus ideas a través del lenguaje de la matemática. • Organiza sus ideas mediante representaciones simbólicas: genera modelos algebraicos y geométricos a partir de conceptos y procedimientos matemáticos. • Realiza interpretaciones gráficas y analíticas de expresiones algebraicas.

ACTITUDES (DISPOSICIÓN) • • • • •

Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de los problemas. Confianza para enfrentarse y buscar estrategias de solución a los problemas matemáticos. Disposición al trabajo colaborativo. Responsabilidad, tolerancia y respeto a los demás. Actitud positiva ante el estudio y la aplicación de la matemática.

VALORES (SABERES FORMATIVOS) • Atención a las aportaciones de otros. • Responsabilidad.

• Honestidad. • Tolerancia.

11


1

UNIDAD DE COMPETENCIA

PROBABILIDAD COMPETENCIA ESPECรFICA Interpreta resultados del cรกlculo de probabilidades, para determinar y analizar las diversas posibilidades de uno o varios eventos.


OBJETIVOS DE APRENDIZAJE • Analizar un evento y calcular la probabilidad del mismo para tomar decisiones. • Relacionar los conceptos de espacio muestral, experimento, evento y probabilidad.

• Diseñar situaciones de su contexto real para identificar los diferentes tipos de probabilidad. • Interpretar y resolver diferentes tipos de probabilidad enfocados a situaciones reales. • Identificar los diferentes tipos de probabilidad para la solución de situaciones de su contexto.


Actividad diagnóstica 1 Para esta primera unidad hay conocimientos previos que debes recordar o repasar. Para ello, responde la siguiente actividad. Si tienes alguna duda investiga y ponte al corriente con los contenidos temáticos abordados. Resuelve cada ejercicio atendiendo las indicaciones de cada situación. No olvides escribir los procesos, y sobre todo aclarar las dudas que surjan, pues con estas bases podrás trabajar en la unidad I sin contratiempos. 1. Escribe tres fracciones propias, tres impropias y tres mixtas.

2.

Toma tres fracciones del ejercicio anterior y conviértelas a decimal. ¿Cómo lo has hecho?

3.

Las tres fracciones del ejercicio anterior conviértelas a porcentaje. ¿Cómo lo hiciste?

4.

¿Cuál es la regla para multiplicar dos o más fracciones? Cuando lo recuerdes multiplica las que aparecen a continuación. No olvides simplificar los resultados. 2 6

1 3

1 2

1 2

a) � �� � =

1 2

c) � �� �� � =

14

2 3

b) � � 2 =

3 5

1 3

d) � �(3)� � =


ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA 1

3 5

1 9

3 20

2 19

e) � �� � =

1 18

g) � �� �� � =

5.

7 4

1 2

f) (5)� �� � =

1 2

h) � �(3)(9) =

¿Cuál es la regla para dividir dos fracciones? Aplícala en los siguientes ejercicios. No olvides simplificar los resultados. 2 5

1 2

b) � � ÷ (2) =

1 3

2 3

d) (6) ÷ � � =

3 7

1 4

f) � � ÷ (3) =

a) � � ÷ � � =

c) � � ÷ � � =

e) � � ÷ � � =

9 5

1 2

9 8

1

g)

2 3 5

i)

1 1 2

k)

4

=

=

3 2 4

=

h)

3 1 6

j)

1 5 2

l)

=

=

8 3 1

=

15


Actividad preliminar 1 Los alumnos de cuarto semestre, para su graduación, contrataron los servicios de eventos Jalsin; para la cena les ofrecen los siguientes platillos: Entrada

Plato fuerte

Postre

Crema de champiñones

Pollo almendrado

Nieve

Ensalada mixta

Pierna mechada

Pastel

Volován relleno

Salmón a la mostaza

Cupcakes

1.

¿Cuántas combinaciones puedes realizar?

2. ¿Cómo obtuviste el resultado?

16


1.1

Eventos y espacio muestral

Para empezar Enlista 5 ejemplos de la vida cotidiana en los que se encuentra involucrada la probabilidad. 1.

Analizarás un evento y calcularás la probabilidad del mismo para tomar decisiones.

2. 3. 4. 5.

En esta unidad desarrollarás habilidades y destrezas mediante la interpretación de datos, para resolver situaciones de la vida diaria, pues es común encontrarnos en circunstancias que implican el uso de la probabilidad en el contexto real. Frecuentemente sin darnos cuenta utilizamos términos de probabilidad, por ejemplo cuando decimos: “es probable que llueva”, “es muy probable que pase el examen con 100”, “es probable que la selección mexicana de futbol gane el mundial”. Este lenguaje es muy común entre nosotros. La probabilidad es un proceso aleatorio, la proporción entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. La idea de probabilidad está íntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o el análisis de encuestas.

Y ESE, ¿QUIÉN ES?

Conoce Concepto de probabilidad

La probabilidad es uno de los métodos de las matemáticas de mayor aplicación en la vida real, pues desde que te levantas hasta que te acuestas haces suposiciones o apuestas, aunque no se trata de apuestas de dinero sino del probable efecto que tienen nuestras decisiones cotidianas ante cuestiones tan triviales como ¿qué ropa me pondré hoy?, ¿qué ruta de camión tomaré?, ¿cuánto tiempo tardaré en llegar a la escuela?, etc. Podemos predecir una probabilidad a partir de cierta información, por ejemplo: probabilidad de que llueva, de que pierda tu equipo favorito, de ir a los casinos y ganar, de pasar el semestre, entre otros.

Daniel Bernoulli En 1778 introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

Concepto de experimento y sus tipos

La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia las posibilidades de que pueda o no ocurrir cierto suceso o evento, y muchas veces se trabaja con datos experimentales, conteos o mediciones representativas, datos categóricos que se pueden clasificar bajo algún tipo de criterio.

17


1.1

EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL

En este tema utilizaremos el término experimento para describir algún proceso que nos proporcione datos o información. Este proceso se observa y se registra con el fin de establecer una relación entre condiciones en que se realizan y los resultados obtenidos. Los experimentos se clasifican en: a) Determinístico. Son aquellos que al realizarse en las mismas condiciones iniciales producen los mismos resultados. Ejemplo: una operación de adición. b) Aleatorio. Son aquellos que pueden producir resultados diferentes aun cuando se repitan siempre de la misma manera. Ejemplo: el lanzamiento de un dado.

2 1

1

Concepto de espacio muestral

Un espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento o experiencia aleatoria. Lo podemos representar con diferentes tipos de símbolos o letras, seguido de llaves: Por la letra griega Ω (omega): Ω = {…} Por la letra E: E = {…} Por la letra S: S = {…} Ejemplos

1. Espacio muestral de una moneda: E = {águila, sol}

2. Espacio muestral de un dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

También los espacios muestrales se clasifican en: a) Espacio muestral discreto. Todo espacio muestral cuyos elementos resultan de hacer conteos finitos o infinitos de elementos, siendo por lo general subconjuntos de los números enteros. Por ejemplo: espacio muestral discreto finito, lanzar un dado; espacio muestral discreto infinito, lanzar un dado hasta que caiga un 3.

18

SE APLICA EN... La probabilidad está inmersa en nuestra vida cotidiana, con ella podemos estimar o predecir eventos a partir de información o datos obtenidos y nos permite tomar decisiones más certeras en casos como, por ejemplo, los pronósticos climáticos.


1.1

EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL

b) Espacio muestral continuo. Es todo espacio muestral cuyos elementos resultan de hacer mediciones, siendo por lo general intervalos en el conjunto de los números reales. Por ejemplo: hacer mediciones aleatoriamente de la longitud que tienen los nuevos brotes de una plantación de caña; hacer mediciones del peso de las rocas extraídas de un banco de materiales.

Concepto de evento y sus tipos

En la probabilidad, un evento es un suceso aleatorio o subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio probabilístico. Los eventos normalmente se denotan con las letras mayúsculas A, B, C…, y tienen la característica de ser subconjuntos de E = {A, B, C…} Se clasifican en: a) Evento simple. Aquel que tiene un solo elemento. Ejemplos

1. Sacar un número 4 al lanzar un dado: B = {4} 2. Sacar sol en un lanzamiento de una moneda: C = {sol} 3. Que salgan tres soles al lanzar tres monedas: A = {S, S, S}

RECUERDA El símbolo ∩ significa intersección.

b) Evento compuesto. Aquel que tiene dos o más elementos. Ejemplos

1. El espacio muestral de la probabilidad de sacar un número par al lanzar un dado: E = {2, 4, 6}

¿SABÍAS QUE…?

2. El espacio muestral de la probabilidad de sacar sol en un lanzamiento de dos monedas:

Los eventos en un espacio muestral presentan propiedades: dados dos eventos A y B, entonces:

E = {sol, sol} 3. Que salgan al menos dos soles al lanzar tres monedas: B = {(S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S)}

El evento A ∩ B ocurre si A y B ocurren a la vez.

El evento A ∪ B ocurre si por lo menos ocurre A, B o ambos.

19


1.1

EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL

Resuelve Ejercicio I

Clasifica cada uno de los experimentos como determinístico o aleatorio. 1. Lanzar una piedra

2. Extraer una carta de una baraja

3. Calentar una barra de hierro

Ejercicio II

Analiza cada situación y resuelve. 1. Sandra es una alumna de cuarto semestre que no tiene novio; sus amigas le recomiendan una página de internet para ligar y conseguir chico. Ella tiene la posibilidad de ligar un chico guapo o uno feo. El día de hoy está charlando con 3 chicos. ¿Cuáles son las posibilidades que tiene de ligar con un muchacho guapo? Por ejemplo, pueden ser guapos los 3, o sea guapo-guapo-guapo. Analiza la situación y a partir de ella escribe todas las posibilidades.

2. Juan y su hermano mayor Chuy están jugando a lanzar sus monedas al aire para ver los posibles resultados. Juan tiene 2 monedas y Chuy 3; el más pequeño le dice al más grande: “Yo tengo 4 posibles resultados (AA, SS, AS, SA). ¿Cuántos posibles resultados tienes tú?” Escribe la respuesta que dio el hermano mayor al pequeño.

20


EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL

1.1

Ejercicio III

Clasifica y marca si el evento de cada espacio muestral es continuo o discreto.

Evento

Continuo

Discreto

Lanzar una pirinola

La estatura de tus compañeros

La cantidad de hijos en China Extraer una carta con la figura de un instrumento en la lotería Cantidad de selfies que te tomas al día

Ejercicio IV

Analiza detenidamente cada situación y resuelve. 1. Sandra ya se decidió por uno de los chicos e hizo una cita para conocerlo, pero tiene problemas para elegir la ropa que llevará (recuerden que la primera impresión es muy importante). Está indecisa entre jeans azules o pantalón de vestir negro, y tiene dos pares de zapatos posibles (de tacón o de piso). ¿Cuáles son las posibles combinaciones? Escríbelas.

21


1.1

EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL

2. Escribe el número que representa el espacio muestral de las fichas de un dominó.

3. Escribe el espacio muestral de los siguientes eventos para el dominó de arriba. a) Sea un evento A, extraer una ficha y que la suma de sus puntos sea un número par.

b) Sea un evento B, extraer una ficha cuya diferencia de sus puntos sea cero.

c) Sea un evento C, extraer una ficha cuya suma de sus puntos sea un número ≤ 5.

d) Sea un evento D, extraer una ficha cuya suma de sus puntos sea > 10.

22

RECUERDA Signos de desigualdad: < Menor que. > Mayor que. ≤ Menor o igual que. ≥ Mayor o igual que.


EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL

1.1

4. Al lanzar dos monedas al aire, ¿cuáles son los posibles resultados? Escribe el espacio muestral, así como el evento de caer dos águilas. Espacio muestral en número:

5.

Si lanzas un dado normal (hexaedro), ¿cuáles son los posibles resultados a obtener? Escribe el espacio muestral. Además: sea A el evento, obtener un número par; escríbelo. Sea B el evento, obtener un número primo; escríbelo. Espacio muestral en número:

6. Si lanzas una moneda y un dado normal (hexaedro) juntos, ¿cuáles son los posibles resultados? Escribe el espacio muestral. Espacio muestral en número:

7. ¿Cuáles son los posibles resultados al seleccionar un número par del siguiente intervalo: 1 ≤ x ≤ 20? Escribe el espacio muestral. Espacio muestral en número:

23


1.1

EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL

8. ¿Cuáles son los posibles resultados de una prueba de embarazo? Escríbelas.

9. ¿Cuáles son los posibles resultados de mi examen departamental de Matemática y ciencia II?

10. ¿Cuáles son las posibles respuestas de mi mamá al pedirle permiso para ir al cine?

11. El cubilete es un juego de 5 dados que se lanzan con un vasito. ¿Lo conoces? ¿Sabes jugarlo? ¿Cuáles son las posibles jugadas? Investiga el espacio muestral de un cubilete y escribe el número total. Además, escribe los siguientes eventos: Espacio muestral en número: a) Lanzar los dados y que caiga póquer.

b) Lanzar los dados y que caiga quintilla.

24


1.2

Probabilidad clásica

Para empezar Ahora vamos a analizar los juegos básicos (dominó, baraja, pirinola, cubilete, uno) para ayudar a un amigo a jugar. Desarrolla la competencia de reconocer y recordar el tema anterior y resuelve. Trabaja en equipo. 1. ¿Cuántas fichas tiene un dominó? ¿Conoces las mulas? ¿Qué son?

Relacionarás el concepto de espacio muestral, experimento, evento y probabilidad.

2. ¿Cuántas cartas tiene la baraja española? ¿Cuántas espadas son? ¿Cuántos ases hay?

Y ESE, ¿QUIÉN ES?

3. ¿Conoces la pirinola? ¿La has jugado?  ¿Cuáles son los posibles resultados al lanzarla?

Conoce La probabilidad clásica se explica de la siguiente manera: Si un experimento se repite muchas veces (� ) y si el suceso o evento (�) se observa, el hecho se puede representar con la expresión de la regla de Laplace. Probabilidad (�) =

Número de veces que el suceso ocurrió (�) Total de sucesos realizados (� )

Los casos favorables son todos aquellos que cumplen con una condición.

Pierre-Simon Laplace En 1774 realizó el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades.

25


1.2

PROBABILIDAD CLÁSICA

Ejemplos

1. La probabilidad de obtener una combinación de números pares al lanzar dos dados. Al tener un lanzamiento con dos dados, nuestro espacio muestral aumenta por lo siguiente:

Dado A

Dado B

1, 1

1, 2

1, 3

1, 4

1, 5

1, 6

2, 1

2, 2

2, 3

2, 4

2, 5

2, 6

3, 1

3, 2

3, 3

3, 4

3, 5

3, 6

4,1

4, 2

4, 3

4, 4

4, 5

4, 6

5, 1

5, 2

5, 3

5, 4

5, 5

5, 6

6, 1

6, 2

6, 3

6, 4

6, 5

6, 6

¿SABÍAS QUE…? El dado es un objeto de forma poliédrica preparado para mostrar un resultado aleatorio cuando es lanzado. En la antigua Roma se llamaba alea. Julio César decía Alea jacta est y significaba “el dado tirado está” o “la suerte está echada”.

Casos favorables (� ) : 9 Total de sucesos realizados (�): 36 �(�) = 9 = 0.25 = 25% 36

2. La probabilidad de sacar sol al lanzar una moneda al aire. Casos favorables (� ) : 1 Total de sucesos realizados (�): 2 �(�) = 1 = 0.5 = 50% 2

3. La probabilidad de sacar una carta al azar de la baraja inglesa de 52 cartas y resulte un as: Casos favorables (� ) : 4 Total de sucesos realizados (�): 52 �(�) = 4 = 0.076 = 7.6% 52

4. En un grupo de 32 infantes 12 son niñas, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar a una niña? Casos favorables (� ) : 12 Total de sucesos realizados (�): 32 �(�) = 12 = 0.37 = 37% 32

26

SE APLICA EN... La aplicación más común de la probabilidad clásica es en los sorteos, entre más boletos tengamos es más probable que ganemos el premio.


1.2

PROBABILIDAD CLÁSICA

Resuelve 1.

Para la entrega de los premios Óscar, Leonardo DiCaprio cuenta con los trajes, camisas y corbatas indicados en la tabla para usar en el evento. ¿Cuál es la probabilidad de que se vista con una camisa azul?

Traje

Camisa Corbata 

café

blanca

negra

gris

azul

gris

negro

rosa

tinta

¿SABÍAS QUE…?

2. ¿Qué probabilidad hay de que en un dominó salga una mula (mismo número de puntos)?

3. ¿Qué probabilidad hay de extraer un rey en una baraja inglesa (52 cartas)?

En la probabilidad también se utilizan los diagramas de árbol para representar de manera esquemática el espacio muestral.

4. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzar un dado caiga un número dos?

A

5.

S

¿Qué probabilidad hay de que al lanzar los dados del cubilete salgan cinco caras iguales en los dados?

6. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzar una pirinola salga “todos ponen”?

7.

¿Cuál es la probabilidad de ganar una rifa de 1 000 números si se compran tres centésimos de la cantidad total?

A S A S

Con dos monedas

A

A S A

S

S Con tres monedas

A S A S A S A S

27


1.3

Probabilidad del complemento de un evento

Para empezar ¿En qué piensa tu papá cuando va a impermeabilizar el techo de tu casa? ¡Que no llueva! ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva? Este tipo de razonamientos de los eventos nos lleva a determinar otro tipo de probabilidad.

Conoce Hasta este momento hemos visto la probabilidad de que ocurra un evento, pero también podemos calcular la probabilidad de que no ocurra un evento, y a esto se le llama complemento de un evento y para poderlo determinar se debe cumplir con lo siguiente: Si �(�) es la probabilidad de que ocurra un evento �, entonces la probabilidad de que no ocurra � es: �(�’) = 1 – �(�).

Ejemplo

13 52

28

=

Donde: (�’) = probabilidad de que no ocurra el evento �. (�) = probabilidad de que ocurra el evento �.

Diseñarás situaciones de tu contexto real para identificar los diferentes tipos de probabilidad.


1.3

PROBABILIDAD DEL COMPLEMENTO DE UN EVENTO

La probabilidad de no sacar un trébol al extraer una carta de una baraja de 52 naipes:

�(�) =

13 1 = 52 4

�(�) = probabilidad de no sacar un trébol

�(�’) = 1 –

1 4

=

3 4

= 0.75 = 75%

Resuelve 1.

¿SABÍAS QUE…? Naipes, barajas o cartas son estampas rectangulares decoradas con figuras en una de sus caras y con números y otras variables al reverso. Existen diferentes tipos: inglesa, francesa, tarot, española, etc. Fueron creadas en China en el sigo XII.

¿Qué probabilidad hay de que al lanzar una moneda al aire no caiga sol?

2. ¿Qué probabilidad hay de que en un dominó no salga una ficha mula (mismo número en las dos mitades de la ficha)?

SE APLICA EN...

3. ¿Qué probabilidad hay de no extraer un as en una baraja de 52 cartas?

4. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzar un dado no salga 2?

Nuestra vida cotidiana no es completamente predecible, por eso debemos estar preparados y conocer las probabilidades que tenemos de que un acontecimiento ocurra o no. Complemento de un evento es la probabilidad de que no ocurra un determinado evento, por ejemplo que un medicamento no esté funcionando como tratamiento de una determinada enfermedad, para en este caso tener opciones y un plan de acción alterno.

29


1.3 5.

PROBABILIDAD DEL COMPLEMENTO DE UN EVENTO

¿Qué probabilidad hay de que al lanzar un cubilete no salga una quintilla?

1

6. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzar una pirinola no salga “todos ponen”?

Po n

os n d e To on 2 p n Po

7.

¿Qué probabilidad hay de que al lanzar un dado no salga un número primo?

8. ¿Qué probabilidad hay de que al extraer una bola de una urna, esta no sea una bola roja, de un conjunto de 15 rojas, 2 negras, 4 azules y 20 amarillas?

30


1.4

Probabilidad de eventos independientes

Para empezar En un nuevo programa de concursos de televisión los participantes tienen que acertar a la respuesta de verdadero o falso a 5 preguntas para ganarse una tablet. ¿Qué probabilidad de ganar tendrías si participas? En este tipo de cuestionamientos cada evento es una posibilidad individual o independiente y a su vez determina otra ruta a seguir.

Interpretarás y resolverás diferentes tipos de probabilidad enfocados a situaciones reales.

Conoce A la probabilidad de eventos independientes también se le conoce como ley de la multiplicación. Está conformada por dos o más experimentos simples. Para determinar el conjunto de resultados posibles también se puede utilizar el diagrama de árbol, en este caso la probabilidad de una rama o camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas de dicho camino. Si se tienen dos eventos estadísticamente independientes, la ley de la multiplicación establece que la probabilidad de que suceda el evento A y de que suceda el evento B de manera simultánea es: �(� ∩ �) = �(�) ∙ �(�)

Donde: (� ∩ �) = probabilidad de la intersección del evento � con el evento �; es decir, la probabilidad de que ocurran el evento � y el evento � de forma simultánea.

Ejemplos

(�) = probabilidad de que ocurra el evento �. (�) = probabilidad de que ocurra el evento �.

1. En el caso del ejemplo del ejercicio del programa de televisión se puede determinar lo siguiente: 1 La probabilidad de contestar la pregunta 1 correctamente es La probabilidad de contestar la pregunta 2 correctamente es La probabilidad de contestar la pregunta 3 correctamente es La probabilidad de contestar la pregunta 4 correctamente es La probabilidad de contestar la pregunta 5 correctamente es Por lo tanto, la probabilidad de ganarme la tablet es

1 2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

·1·1·1·1= 1 2

2

2

2

32

¿SABÍAS QUE…? La pirinola es un trompo que contiene en sus contornos distintas frases; luego de girar y detenerse muestra una cara con la inscripción de la suerte, por lo que se utiliza en juegos y apuestas. Un mito indica que es de origen judío. Se sabe que lo jugaban los soldados del antiguo ejército romano.

31


1.4

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES

2. ¿Qué probabilidad hay de extraer dos ases en una baraja de 52 cartas? a) Sin devolución: cuando al obtener un resultado en el experimento no se devuelve la carta obtenida al mazo y por lo tanto queda una carta menos. 4 52

3 51

12 1 = 2652 221

4 52

4 52

16 1 = 2704 169

�(� ∩ �) = � � � · � � � =

b) Con devolución: cuando al obtener un resultado en el experimento sí se devuelve la carta obtenida al mazo y por lo tanto queda el mismo número de cartas. � (� ∩ �) = � � � · � � � =

3. La maestra de matemáticas elaboró una tabla del grupo de cuarto semestre para analizar los resultados obtenidos en el examen departamental en relación con las faltas de los alumnos, y los resultados obtenidos son los siguientes: Alumnos sin faltas

Alumnos con faltas

Total

Alumnos aprobados

41

1

42

Alumnos reprobados

1

7

8

Total de alumnos

42

8

50

La probabilidad de que un alumno esté aprobado: 42 = 0.84 = 84% 50

La probabilidad de que un alumno esté reprobado: 8 = 0.16 = 16% 50

La probabilidad de que un alumno esté aprobado y no tenga faltas: 41 = 0.82 = 82% 50

La probabilidad de que un alumno esté reprobado y tenga faltas: 7 = 0.14 = 14% 50

32

¿SABÍAS QUE…? A este tipo de experimentos compuestos también se les llama con reemplazamiento y sin reemplazamiento.


1.4

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES

Resuelve Analiza cada situación y resuelve aplicando la fórmula correspondiente. 1. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzar un dado y una moneda caiga águila y un número cinco, respectivamente?

2. ¿Qué probabilidad hay de extraer una A seguida de una M de las letras de la palabra MATEMÁTICAS (sin devolución)?

3. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzar dos dados la suma sea 11 en la primera tirada y 5 en la segunda?

4. En un paquete de 52 cartas, ¿qué probabilidad hay de sacar un rey de corazones rojos y una reina de corazones rojos (sin devolución)?

5.

Un laboratorio realizó un estudio a 100 bebés enfermos de gripa que presentaron fiebre superior a 38° C, clasificándolos en bebés con vacuna del neumococo y bebés sin vacuna. Los resultados son los siguientes: Bebés con vacuna Presentaron fiebre mayor a 38° C No presentaron fiebre Total

Bebés sin vacuna

Total

2

34

36

62

38

100

60

4

64

RECUERDA Las tablas son muy útiles para organizar y clasificar información.

33


1.4

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES

Encontrar la probabilidad de: a) Los bebés con gripa que presentaron fiebre mayor a 38° C.

b) Los bebés con gripa que no presentaron fiebre.

c) Los bebés con gripa que presentaron fiebre mayor a 38° C y que tienen vacuna.

d) Los bebés con gripa que no presentaron fiebre y que tienen vacuna.

e) Los bebés con gripa que presentaron fiebre mayor a 38° C y que no tienen vacuna.

f) Los bebés con gripa que no presentaron fiebre y no tienen vacuna.

6. Una universidad realizó una encuesta sobre los hábitos de lectura de sus alumnos y los resultados son los siguientes. Completa la tabla.

Le gusta leer No le gusta leer Total

34

Hombre

Mujer

62

73

63

52

Total

250


PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES

1.4

Encontrar la probabilidad de: a) Encuestar a una mujer.

b) Encuestar a un hombre.

c) Encuestar a una mujer que le guste leer.

d) Encuestar a un hombre que le guste leer.

e) Encuestar a un hombre que no le guste leer.

f) Encuestar a una mujer que no le guste leer.

7.

Al lanzar tres veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que en los tres lanzamientos haya salido sol?

35


1.4

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES

8. Si se lanzan consecutivamente dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea águila?

9. Si se lanzan al aire, uno tras otro, tres dados de seis caras cada uno, ¿cuál es la probabilidad de que el número de tres cifras que se forme empiece con cuatro?

10. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener en el primer lanzamiento un dos y en el segundo un número menor o igual a cuatro?

11. Al lanzar una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener águila y un número par?

12. Al lanzar tres dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par, un tres y un número mayor a uno?

13. Al lanzar una pirinola, un dado y una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener todos ponen, un número non y sol?

36

SE APLICA EN... En el estudio de probabilidades es muy común el planteamiento de situaciones en las que se analizan los resultados de múltiples experimentos, como cuando en una fábrica de autos se hacen numerosas pruebas a las bolsas de aire de los vehículos, en las mismas condiciones, para poder analizar su efectividad comparando los resultados.


1.5

Probabilidad condicional

Para empezar Cuando se realizan observaciones de varios sucesos puede que uno dependa del otro. Por ejemplo: los sucesos “estudiar” (�) y “aprobar” (�) son sucesos que se favorecen; cuando se estudia, aumenta la probabilidad de aprobar; entonces la probabilidad de que ocurra el suceso de aprobar (�) aumenta cuando está ocurriendo el suceso de estudiar (�) y lo puedo expresar como �(�/�) y se lee “la probabilidad de � condicionada por �”.

Conoce

Por lo tanto, la probabilidad condicional de un evento es aquella que está condicionada o determinada por la presencia de otro evento y se calcula con la siguiente fórmula: �(�/�) =

Identificarás los diferentes tipos de probabilidad para la solución de situaciones de su contexto.

RECUERDA La multiplicación de fracciones se resuelve en línea recta:

A C AC  = B D BD

(� ∩ �) (�)

�(�/�) = probabilidad condicional de que se presente el evento � dado que ocurra el evento �. (� ∩ �) = probabilidad de la intersección del evento � con el evento �; es decir, la probabilidad de que ocurran estos eventos de forma simultánea. (�) = probabilidad de que ocurra el evento �. Observa que el evento � es el que condiciona la probabilidad del evento �.

Ejemplos

1. Se lanza una moneda tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres águilas dado que salió por lo menos un águila? Espacio muestral de los lanzamientos o experimento:

S=

,

,

,

,

,

,

,

� = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss} = 8 � (� ∩ �) = probabilidad de que todo salga águila � (�) = probabilidad de que salga por lo menos un águila

37


1.5

PROBABILIDAD CONDICIONAL

� ∩ � = {aaa} =

�(�) = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa} =

(�/�) =

1 8

�(� ∩ �) �(�)

7 8

1 8

�(� /�) = � 7 � 8

Realizando la división:

�(� /�) =

8 56

�(� /�) =

1 7

Simplificando:

2. La maestra de matemáticas elaboró una tabla del grupo de cuarto semestre para analizar los resultados obtenidos en el examen departamental en relación con las faltas de los alumnos,y los resultados obtenidos son los siguientes: Alumnos sin faltas

Alumnos con faltas

Total

Alumnos aprobados

41

1

42

Alumnos reprobados

0

8

8

Total de alumnos

41

9

50

La probabilidad de que un alumno apruebe dado que no tiene faltas: 41 42

Probabilidad de alumnos con faltas: �(� ) =

9 50

Probabilidad de seleccionar un alumno con faltas que sea aprobado: �(� ∩ �) 1 = �(�) 9

3. En un acuario se realizó un estudio de mortandad de los peces con mayor índice, y los datos obtenidos son los siguientes:

38

Gobinos

Perca

Ángel emperador

Cirujano

Total

Hembra

7

0

13

3

23

Macho

5

15

21

1

42

Total

12

15

34

4

65


1.5

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad de seleccionar una hembra: �(�) =

23 65

�(�) =

42 65

SE APLICA EN...

Probabilidad de seleccionar un macho:

Probabilidad de seleccionar un perca macho: �(� ∩ �) =

15 65

Probabilidad de seleccionar un perca macho dado que es macho: (� ∩ �) 15 = �(�) 42

Probabilidad de seleccionar un cirujano hembra dado que es cirujano: � (� ∩ �) 3 = �(�) 4

La probabilidad condicional nos permite incorporar a una probabilidad clásica otra condición, con lo cual se logra un análisis más profundo de una situación dada. Por ejemplo, cuando se tiene el dato de la probabilidad de la condición de la calidad del aire en un día determinado, a esta probabilidad se le puede incorporar una condicionante como la lluvia, la cual podría modificar la medición puesto que la calidad del aire podría o no mejorar.

Resuelve Analiza cada situación y resuelve aplicando fórmulas. 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos, dado que es un número par, en un lanzamiento de un dado?

2. Consideremos una urna que contiene 4 bolas rojas y 5 blancas. De las 4 rojas, 2 son lisas y 2 rayadas, y de las 5 blancas, 4 son lisas y una sola es rayada. Supongamos que se extrae una bola y, sin que la hayamos mirado, alguien nos dice que es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea rayada?

3. Un canal de televisión realizó una encuesta de preferencia de películas con los siguientes resultados. Completa la tabla.

Mujeres Hombres Menores Total

Acción

Terror

Cómica

16

8

26

3

12

35

42

7

Total

1

150

39


1.5

PROBABILIDAD CONDICIONAL

a) Probabilidad de seleccionar a una mujer.

b) Probabilidad de seleccionar a una mujer a la que le gusten las películas de terror.

c) Probabilidad de seleccionar a una persona a la que le gusten las películas de terror.

d) Probabilidad de seleccionar a una persona a la que le gusten las películas de terror dado que es mujer.

e) Probabilidad de seleccionar a una persona a la que le gusten películas de acción dado que es menor.

4. Una persona cuida su jardín pero es bastante distraída y a veces se olvida de regarlo. La probabilidad de que se olvide de regar el jardín es de 1/3. El jardín no está en muy buenas condiciones, así que si se le riega tiene la misma probabilidad de progresar que de estropearse, pero la probabilidad de que progrese si no se le riega es de 0.25. Representa esta situación en un diagrama de árbol.

40


PROBABILIDAD CONDICIONAL

1.5

5. Se realizó un estudio de mercado para saber las preferencias en guitarras eléctricas; los resultados son los siguientes:

Ashton

B. C. Rich

Bad

Bohemian

Dean

Total

4

2

0

1

3

10

1

9

2

1

9

22

Negro Rojo

5

Blanco Total

4

9

3

16

8

5

Determina las siguientes probabilidades.

3

10

23

15

55

a) �(Negro) = b) �(Rojo ∩ Bohemian) = c) �(Rojo ∩ Bohemian) = Rojo

d) �(Blanca ∩ Ashton) = Ashton

e) �(Negra ∩ Dean) = Dean

6. Registro de fallas de maquinaria pesada. Completa la tabla.

Suspensión Tracción Motor Transmisión Total

Caterpillar

Case

Deere

Terex

JCB

Volvo

3

4

9

3

9

1

4

4

21

0

3

0

1 2

4

11

4

0

9

0

1

2

Total

0

0

41


1.5

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Determina las siguientes probabilidades. a) �(Caterpillar) = b) �(Terex) = c) �(Motor ∩ Terex) = d) �(Tracción ∩ Caterpillar) = e) �(Transmisión ∩ Deere) = Deere

f) �(JBC ∩ Tracción) = JBC

42


Actividad integradora 1 Se realizĂł una encuesta a los clientes de la zapaterĂ­a Montecarlo para determinar el grado de satisfacciĂłn de los clientes con respecto al trato que recibieron en su visita a una tienda. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Sucursal Centro Sur La Normal Patria Arboledas Total 1.

Bien

Regular

Mal

Total

32

45

3

80

30

5

3

38

50

6

2

58

15

45 172

9

3 68

1

1 10

25

49 250

Probabilidad de seleccionar a una persona que haya ido a la sucursal Arboledas.

2. Probabilidad de seleccionar a una persona que haya ido a la sucursal Centro.

3. Probabilidad de seleccionar a una persona que no haya ido a la sucursal Centro.

4. Probabilidad de seleccionar a una persona que no haya ido a la sucursal Patria.

5.

Probabilidad de seleccionar a una persona que haya ido a la sucursal Arboledas y recibido buen trato.

43


ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

6. Probabilidad de seleccionar a una persona que haya ido a la sucursal La Normal y recibido un mal trato.

7.

Probabilidad de seleccionar a una persona que haya ido a la sucursal Patria y recibido un trato regular dado que fue a la sucursal Patria.

8. Probabilidad de seleccionar a una persona que haya ido a la sucursal Sur y recibido buen trato dado que fue a la sucursal Sur.

9. Probabilidad de seleccionar a una persona que haya ido a la sucursal Centro y recibido buen trato dado que fue a la sucursal Centro.

10. Probabilidad de seleccionar a una persona que haya ido a la sucursal Arboledas y recibido un trato regular dado que fue a la sucursal Arboledas.

Aplica tus conocimientos Crea un ejercicio en el que pongas en práctica, en la vida cotidiana, los conocimientos que adquiriste al estudiar esta unidad de competencia. El ejercicio que generes debe contener los siguientes puntos: ▶ Planteamiento. ▶ Datos. ▶ Ejercicios (pregunta-solución). Este ejercicio se te evaluará de acuerdo con los siguientes criterios: ▶▶ Creatividad en la propuesta. ▶▶ Planteamiento relacionado con la vida cotidiana. ▶▶ Solución correcta de ejercicios.

44


Evaluación 1

Heteroevaluación Evaluación del desempeño del alumno, donde se analizarán los saberes adquiridos a lo largo de este segmento del curso.

Aspectos a evaluar

Casi siempre

Siempre

Ocasionalmente

Nunca

Identifica y resuelve problemas de productos notables. Analiza cada situación y determina el modelo para la solución. Resuelve efectivamente ejercicios de factorización. Sigue instrucciones y procedimientos para la solución de ejercicios de la vida real con productos notables y factorización. Observaciones

Coevaluación Evalúa el desempeño de uno de tus compañeros, tu profesor te indicará a quién, tomando en cuenta los aspectos que se proponen. Recuerda que deberás hacerlo de manera personal y consciente.

Nombre del compañero: Aspectos a evaluar

No

¿Por qué?

Durante el desarrollo hace sugerencias para mejorar los resultados del trabajo. Aporta información de fuentes confiables relacionada directamente con el tema del trabajo.

Comparte ideas y escucha con respeto las del resto del equipo.

Mantiene un ánimo positivo para la realización del trabajo.

45


EVALUACIÓN 1

Entrega sus aportaciones y materiales a tiempo en los términos acordados.

Estuvo presente y a tiempo en todas las clases.

Cuando existe algún desacuerdo escucha las opiniones y expone sus ideas con respeto.

Autoevaluación ▶ Reflexiona y valora tu desempeño dentro del aula y la interacción con otros compañeros. ▶ Registra de manera honesta tu propio avance.

Aspectos a evaluar

Participé en debates o discusiones constructivas con mis compañeros en clase. Escuché los puntos de vista y participé en la libre exposición de las ideas y opiniones. Participé activamente en clase, y aporté ideas y puntos de vista en actividades de retroalimentación, así como en plenarias. Resolví dudas sobre mis intervenciones en clase. Adquirí nuevos conocimientos mediante el trabajo individual y colaborativo. Cumplí oportunamente con tareas, trabajos y exámenes. Indagué, analicé y apliqué información de distintas fuentes bibliográficas impresas o digitales de los temas que se trataron en el curso. Respeté la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales entre mis compañeros y el profesor. Utilicé el diálogo como mecanismo para la solución de diferencias o discrepancias entre mis compañeros y con el profesor. Cumplí con las normas de trabajo y convivencia que se acordaron en clase. Mi desempeño en clase contribuyó a crear un mejor ambiente de aprendizaje.

46

No

¿Por qué?


EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL

1.1


2.1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

2 UNIDAD DE COMPETENCIA

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA COMPETENCIA ESPECÍFICA Resuelve problemas relacionados con la ciencia empleando diferentes estrategias y recursos que impliquen plantear ecuaciones de diversas cónicas, para comprenderlos y analizarlos.


OBJETIVOS DE APRENDIZAJE • Identificar y aplicar modelos matemáticos para la solución de problemas que abordan la pendiente de una recta y su grado de inclinación. • Resolver situaciones propuestas, para relacionar el concepto de distancia entre dos puntos y su aplicación en la vida real.

• Interpretar y graficar ecuaciones de la recta en sus diferentes formas. • Reconocer y crear líneas paralelas y perpendiculares a partir de su ecuación. • Diseñar situaciones para identificar el uso de la tecnología, así como para concretar las diferencias entre cada uno de los elementos de una gráfica. • Interpretar y analizar situaciones relacionados con razón dada y punto medio.


Actividad diagnóstica 2 Para esta segunda unidad hay conocimientos previos que debes recordar o repasar. Para ello, responde la siguiente actividad. Si tienes alguna duda investiga y ponte al corriente con los contenidos temáticos abordados. Resuelve cada ejercicio atendiendo las indicaciones de cada situación. No olvides escribir los procesos, y sobre todo aclarar las dudas que surjan, pues con estas bases podrás trabajar en la unidad II sin contratiempos.

Ejercicio I 1.

Aplica algunas reglas conocidas y resuelve. a) 5 – (–3) = b) c)

55 1 2 3 5

=

d) –10 + 4 = 2

e) –55 –3 = f)

2 3

+1

2

2

3 . 3

2.

50

=

Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano de la siguiente página y al final únelos. a) (–1, 4) b) (5, 3) c) (0, –3) d) (–4, –2)


8 7

ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA 2

6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5

¿Cómo crees que se pueda calcular el perímetro de la figura formada? –6 –7

3.

9

–8

¿Cuál es la distancia del segmento AB?8

–9

7 6 5 B

4 3 2 A

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

1

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2

4.

¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento AB? –3 9 8 7 6 5 4

–4 –5

B

–6 –7 –8 –9

3 A

2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1

5.

–2

¿Qué significan las líneas | |? ¿Qué representan? –3 –4 –5 –6 –7

51


Actividad preliminar 2 Don Carlos es el dueño de dos negocios localizados en su misma colonia, una papelería que se encuentra en las coordenadas (2, 3) y una tortillería en las coordenadas (5, 7). Sus negocios se ubican en línea recta, y su casa exactamente a la mitad de ambos. ¿Cuáles son las coordenadas de su casa? Si es necesario, diseña un plano como guía.

¿Cuántos kilómetros recorre a diario don Carlos de la papelería a la tortillería, ya que debe supervisar sus dos negocios (considerando cada punto de las coordenadas como un kilómetro)?

52


–12

Distancia entre dos puntos en el plano

2.1

Para empezar Es importante comprender la aplicación de estos conceptos, ya que se utilizan para diversas tareas de la vida cotidiana. Nos sirven para conocer la distancia entre mi casa y la escuela; las medidas de un lote en venta; la distancia que hay de una ciudad a otra; a las personas que les gusta practicar deportes extremos, les permite calcular las distancias que recorren al escalar montañas; en el espacio exterior, para conocer la distancia que hay de un planeta a otro, entre muchas otras situaciones. Resulta fundamental considerar los principios que estudiaremos para comprender cómo funcionan las cosas a nuestro alrededor y reconocer el papel de la geometría a lo largo de la vida y su valor como una ciencia indispensable para el ser humano.

Resolverás situaciones propuestas para relacionar el concepto de distancia entre dos puntos y su aplicación en la vida real.

Conoce La distancia entre dos puntos en el eje se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos. Para determinar la distancia entre esos dos puntos en el eje, dados los puntos A(�1, �1) y B(�2, �2), ya sea que estén ubicados de forma vertical u horizontal, se puede utilizar la siguiente expresión matemática: Horizontal � = |�2 – �1| Vertical � = |�2 – �1|

Ejemplo

¿SABÍAS QUE…? La geometría analítica se refiere al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y el álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Determinar la distancia entre los puntos M( –4) y N( 5). 2 1

M –11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

N –3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2

Distancia MN = |5 – (–4)| = |5 + 4| = 9 Distancia NM = |–4 – 5| = |–9| = 9

La distancia es un valor absoluto, es decir, no nos interesa el signo, solo la magnitud o longitud que existe entre un punto y otro, por lo que la distancia MN y NM es la misma.

RECUERDA (–)(–)=+ (–)+(–)=–

53


â&#x20AC;&#x201C;9

2.1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numĂŠricamente. Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, siendo los puntos A( ďż˝1, ďż˝1) y B( ďż˝2, ďż˝2), la distancia queda determinada por la siguiente fĂłrmula: ďż˝ = (ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1)2 + (ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1)2

Ejemplo

Calcular la distancia entre los puntos A( 3, 2) y ďż˝ ( 11, 5). a) Elaboramos su bosquejo grĂĄfico. 7 6

B

5 4

(đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś2 â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś1)2

3 2

A

(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1)2

1

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2

Por lo tanto: ďż˝ = (ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1)2 + (ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1)2

b) ďż˝ = (11 â&#x20AC;&#x201C; 3)2 + (5 â&#x20AC;&#x201C; 2)2 sustituimos los valores de las coordenadas.

RECUERDA Siempre la primera coordenada le corresponde al eje horizontal.

c) ďż˝ = (8)2 + (3)2 resolvemos las operaciones de los parĂŠntesis. d) ďż˝ = 64 + 9 elevamos al cuadrado. e) ďż˝ = 73 realizamos la suma.

f) ďż˝ = 8.54 calculamos la raĂ­z cuadrada. Llamamos ĂĄrea o superficie de un polĂ­gono a la regiĂłn interior del plano delimitada por sus lados. Se mide en unidades cuadradas, y se calcula de diferentes maneras. Ahora aprenderĂĄs a calcular el ĂĄrea de polĂ­gonos a partir de las coordenadas de sus vĂŠrtices.

54

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? La geometrĂ­a analĂ­tica permite representar figuras geomĂŠtricas mediante fĂłrmulas: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = 0


2.1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

Ejemplo

Y ESE, ¿QUIÉN ES?

Hallar el área del polígono cuyas coordenadas de los vértices son A( 3, 4), B( –3, 2), C( 2, –4) y D( 8, 2). a) Trazamos la figura en un plano. 5

A

4 3

B

2

D

1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4

C

–5

b) Escribimos las coordenadas en una matriz. Se multiplica en diagonal hacia abajo y esos valores se suman, y se restan las diagonales hacia arriba, sin olvidar repetir la primera fila. El área es la mitad del resultado de esas operaciones en la matriz.

=

�= �= �= �=

-

1 ��(3)(2) + (–3)(–4) + (2)(2) + (8)(4) – (3)(2) – (8)(–4) – (2)(2) – (–3)(4)�� = 2

Euclides El gran mérito de este geómetra reside en su labor de sistematización: partiendo de una serie de definiciones, postulados y axiomas, estableció por rigurosa deducción lógica todo el armonioso edificio de la geometría griega.

RECUERDA A cada punto en el plano le corresponde un par ordenado de números.

1 ��6 + 12 + 4 + 32 – 6 – (–32) – 4 – (–12)�� = 2 1 ��6 + 12 + 4 + 32 – 6 + 32 – 4 + 12�� = 2 1 ��88�� = 2

� = 44

¿SABÍAS QUE…? Para indicar la distancia entre dos puntos, se escriben los nombres de los puntos con una barra horizontal arriba. AB, BC, AD.

55


2.1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

Ejemplo

RECUERDA

Hallar el perímetro del polígono cuyos vértices son A( 5, 2), B( –3, 4), C( –5, –3) y D( 3, –2). a) Trazamos el bosquejo del polígono:

El símbolo ≈ significa aproximadamente.

5

B

4 3

¿SABÍAS QUE…?

A

2 1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–1 –2

10

La geometría analítica fue inventada por René Descartes y Pierre Fermat a11 principios del siglo XVII.

D

–3

C

b) Calculamos las distancias de cada segmento: AB = (�2 – �1)2 + (�2 – �1)2 = (–3 –5)2 + (4 –2)2 = (–8)2 + (2)2 =

64 + 4 = 68 ≈ 8.24

4 + 49 = 53 ≈ 7.28

64 + 1 = 65 ≈ 8.06

4 + 16 = 20 ≈ 4.47

BC = (�2 – �1)2 + (�2 – �1)2 = (–5 – –3)2 + (–3 –4)2 = (–2)2 + (–7)2 = CD = (�2 – �1)2 + (�2 – �1)2 = (3 – –5)2 + (–2 – –3)2 = (8)2 + (1)2 = DA = (�2 – �1)2 + (�2 – �1)2 = (5 –3)2 + (2 – –2)2 = (–2)2 + (–4)2 =

c) Como ya se cuenta con las dimensiones de los cuatro segmentos, se procede a sumar y obtenemos el perímetro del polígono: 8.24 + 7.28 + 8.06 + 4.47 = 28.05 unidades

Tipos de triángulos de acuerdo con la medida de sus lados Equilátero

56

Isósceles

Escaleno

Área Perímetro


11

2.1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

Resuelve

RECUERDA

Ejercicio I

Calcula la distancia de los segmentos que se presentan en el siguiente plano cartesiano. AB = RS = WN =

Vértice. Punto de intersección de dos líneas. Lado. Segmento de puntos que van continuamente. Polígono. Figura cerrada de n número de lados.

DF = TL = GJ =

¿SABÍAS QUE…?

7

W

6

Otra forma de calcular el área de un polígono a partir de las coordenadas de sus vértices es utilizando la fórmula de Herón.

5

G

4

R

S

3 2

Fórmula de Herón

B

A

1

T –10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

–1 –2

N

4

5

6

7

8

9

10

11

F

D

–3

L

–4

A = � (� – �)(� – �)(� – �)

Donde:

� = (� + � + �) semiperímetro del polígono

J

–5 –6

Ejercicio II

–7

Calcula la distancia de los segmentos AB, CD, EF, GH, IJ, KL, MN, ÑO, cuyos puntos extremos tienen las coordenadas que se indican. Realiza el bosquejo de la gráfica en una hoja milimétrica. a) A(3, 1), B(7, 2) b) C(3, –8), D(–5, –7) c) E(2, 3), F(–2, –1) d) G(–3, 4), H(–1, 7) e) I(3, 3), J(–3, –3) f) K(–3, 1), L(3, 9) g) M(1, 2), N(0,0) h) Ñ(–3, 3), O(3, –1)

57


2.1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

Ejercicio III

Casa

Aplica tus conocimientos a situaciones de la vida real y resuelve. No olvides escribir paso a paso los procesos. 1. En el plano se muestran las coordenadas y la distancia que hay de la casa de Luis a la escuela; la línea punteada representa el trayecto que recorre cuando se va en camión y la línea roja el trayecto de cuando su papá lo lleva en el coche. 8

E

7 6 5 4 3 2

Escuela

1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4

C

–5 –6

a) De acuerdo con el gráfico, ¿en qué trayecto se recorre una menor distancia?

b) ¿Cuál es la distancia que recorre en camión? SE APLICA EN...

c) ¿Cuál es la distancia que recorre en el coche de su papá?

58

A las personas que les gusta practicar deportes extremos como escalar montañas, les sería muy útil conocer la distancia que hay desde el inicio hasta el final del recorrido, para saber el tiempo que les llevaría hacerlo.


DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

2.1

2. Con la tercera línea del tren ligero de la ciudad de Guadalajara, se espera un recorrido como el que se muestra en el gráfico. El punto negro indica el trasbordo entre una línea y otra. L1, L2 y L3 representan las terminales de cada una de las líneas. 13

L2

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Trasbordo

1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3

L3

–4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11 –12

L1

–13

a) ¿Cuál es la distancia total que recorrerá el tren?

59


12

2.1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

b) Si Roberto va a la terminal de la línea 2 y se subió en la terminal de la línea 1, ¿qué distancia recorre?

c) Si se hiciera una cuarta línea que uniera a la terminal de la línea 3 con la terminal de la línea 1, ¿qué distancia se recorrería?

Ejercicio IV 1.

Calcula el perímetro de los siguientes triángulos a partir de sus vértices y clasifícalos según la longitud de sus lados. a) A(–2, 2), B(1, 6), C(6, –6) b) A(–5, –2), B(0, 6), C(5, –2) 2. Calcula el área de los siguientes polígonos a partir de las coordenadas de sus vértices. a) A(1, 5), B(–2, 5), C(–3, –3), D(4, –2) b) A(2, 6), B(–1, 3), C(–4, –4), D(3, –5) 9

Realiza los bosquejos de los ejercicios y calcula el área y el perímetro. 8 7 6 5 4 3 2 1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

60

–9

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


División de un segmento en una razón dada y punto medio

2.2

Para empezar Razón y punto medio, aunque te resulten poco familiares, son conceptos presentes en tu vida diaria. En geometría analítica, y en general en las matemáticas, son muy importantes. Ambos, aunque no te des cuenta, los empleas para establecer comparaciones y encontrar el equilibrio en cuestiones al parecer tan opuestas como las emociones, las relaciones y las ubicaciones. El cálculo de razones y puntos medios se lleva a cabo en labores que van desde el quehacer cotidiano hasta los más sofisticados sistemas tecnológicos. Por ejemplo, lo desarrolla una costurera al determinar el corte de una tela, midiendo la distancia entre dos puntos; en la construcción se emplea para conocer la altura de un edificio con respecto al nivel del suelo. Ambos conceptos se utilizan, de manera directa, en las ubicaciones por GPS.

Interpretarás y analizarás situaciones de su contexto relacionadas con razón dada y punto medio.

Conoce Existen muchas posibles divisiones en una línea recta, pero si requerimos conocer el punto medio (��) podemos utilizar la expresión �� = �

Ejemplo

�1 + �2 �1 + �2 , � 2 2

Hallar las coordenadas del punto medio de una recta si los extremos son A( 5, –2) y B( –4, 3). Pm = �

Pm = �

�1 + �2 �1 + �2 , � 2 2

5 + (–4) 3 + (–2) , � 2 2

1 1 2 2

Pm = � , �

1

1

Las coordenadas del Pm de la recta AB son y 2 2 Realizamos su bosquejo gráfico. 4

B

3 2 1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

Pm

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2

A

–3

61


2.2

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Y UN PUNTO MEDIO

Para calcular los puntos de división de un segmento se requieren dos razones, como se muestra en los ejemplos. a) Un segmento que se divide en tres secciones; para determinar la razón del punto B, se requiere hacer la siguiente relación: 1a sección

B

2a sección

A

B �� 1 = �� 2

C

por lo tanto, razón =

D 1 2

4 Razón

1 4

b) Un segmento que se divide en cuatro secciones; para determinar la razón del punto D, se requiere hacer la siguiente relación: 1a sección

A

2a sección

B

C �� 3 = �� 1

D

C

por lo tanto, razón = 3

De manera similar se pueden calcular los otros puntos que dividen la recta. Para determinar las coordenadas del punto que divide un segmento en una razón dada se utilizan las siguientes expresiones: Para la abscisa � =

�1 + ��2 1+�

Para la ordenada � =

�1 + ��2 1+�

�=

� – �1 �2 – �

�=

� – �1 �2 – �

Ejemplos

1. Determinar las coordenadas del punto P que divide el segmento que une al punto A( 3, 1) con B( 7, 7) en razón de � = 2. Buscamos la coordenada � (abscisa): �= �= �= �=

62

�1 + ��2 1+�

3 + 2(7) 1+2

3 + 14 3

17 = 5.6 3

1

E A


2.2

DIVISIĂ&#x201C;N DE UN SEGMENTO EN UNA RAZĂ&#x201C;N DADA Y UN PUNTO MEDIO

Ahora la coordenada ďż˝:

RECUERDA

ďż˝= ďż˝= ďż˝=

1 + 2(7) 1+2

Dividir un segmento AB en una razĂłn dada đ?&#x2018;&#x; es determinar un punto P de la recta que contiene al AB, de modo que las dos partes PA y PB estĂĄn en relaciĂłn đ?&#x2018;&#x;.

1 + 14 1+2

15 =5 3

Por lo tanto, las coordenadas del punto P son (5.6, 5) 8 7

B

6

P

5 4 3 2

â&#x20AC;&#x201C;11

â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;9

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

r=2

A

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

â&#x20AC;&#x201C;1

2. Determinar el valor de la razĂłn que divide al segmento A( â&#x20AC;&#x201C;2, 5) con B( 10, 1) y el punto P(7, 2). Donde el punto P es (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) El punto A es (đ?&#x2018;Ľ1, đ?&#x2018;Ś1) El punto B es (đ?&#x2018;Ľ2, đ?&#x2018;Ś2) Sustituimos en la fĂłrmula de la razĂłn: ďż˝= ďż˝=

ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1 ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝

7 â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;2) 10 â&#x20AC;&#x201C; 7

ďż˝ = 8

A

ďż˝=3

ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1 ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝

ďż˝=

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;1

ďż˝=

7+2 ďż˝= 10 â&#x20AC;&#x201C; 7 9 3

ďż˝=

2â&#x20AC;&#x201C;5 1â&#x20AC;&#x201C;2

ďż˝=3

7

SE APLICA EN...

6 5 4 3

r=3

2

P

1

â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;9

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

B 1

â&#x20AC;&#x201C;1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Imagina que irĂĄs a un safari en Ă frica y te das a la tarea de investigar los datos sobre distancias, aeropuertos y lugares a donde vas a ir. Entonces debes encontrar un punto medio para aprovechar al mĂĄximo el tiempo y gastar lo menos posible.

63


2.2

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Y UN PUNTO MEDIO

Resuelve

¿SABÍAS QUE…?

Ejercicio I

En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

Determinar el punto medio de las siguientes rectas cuyos extremos tienen las coordenadas que se indican y represéntalas gráficamente en el plano cartesiano. Utiliza diferentes colores para identificarlas. No olvides ubicar el punto medio. 1.

A(2, 5), B(–3, 6) Pm =

2. C(2, –4), D(–6, –2) Pm = 3. E(5, 4), F(–2, 4) Pm =

4. G(5, 0), H(–1, 5) Pm = 5.

I(–3, –3), J(3, 3) Pm =

9

6. K(–6, 5), L(5, –3) Pm =

8 7 6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

Ejercicio II

–9

Realiza el bosquejo de cada ejercicio en el plano. 1. Determina las coordenadas del punto P que divide el segmento que une al punto A(1, 1) con B(8, 5) en razón de � = 2. 2. Determina las coordenadas del punto � que divide el segmento que une al punto A(–4, 3) con B(1, 1) en razón de � = 2.

64

10

11


DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Y UN PUNTO MEDIO

2.2

3. Determina el valor de la razón que divide al segmento A(–4, 6) con B(8, –2) y el punto P(5, 0). 4. Determina el valor de la razón que divide al segmento A(3, 1) con B(–3, –5) y el punto P(1, –1). 5.

Determina las coordenadas del punto M que dividen un segmento de extremos A(–1, –3) y B(5, 6) en razón de 1 . 3

6. Determina las coordenadas del punto H que dividen un segmento de extremos A(3, 7) y B(–3, 5) en razón de 1 . 2

9

8 7 6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

65


2.3

Ángulo de inclinación y pendiente de una recta

Para empezar Cuando se desea construir una carretera donde hay algún desnivel del suelo y se requiere hacer una inclinación del camino, se utilizan las pendientes matemáticas. Otra aplicación muy común la encontramos en las rampas para las sillas de ruedas, en las que se debe cuidar el grado de inclinación para desplazarse con facilidad. Están presentes también en la construcción de los techos de casas, escuelas, templos, etc.

Identificarás y aplicarás modelos matemáticos para la solución de problemas que abordan la pendiente de una recta y su grado de inclinación.

Conoce La pendiente indica la inclinación de una recta con respecto al eje �. Se determina a partir de las coordenadas de dos puntos de la recta. �=

�2 – �1 �2 – �1

Ejemplos

1. Hallar la pendiente de la recta con los puntos A( –1, –3), B( 2, 1). Sustituimos valores en la fórmula. �=

�2 – �1 �2 – �1

�=

1 – (–3) 2 – (–1)

�=

4 3

�=

�2 – �1 �2 – �1

�=

1 +3 2 +1

2. Hallar la pendiente de la recta con los puntos C( –4, 1) y D( 2, –3). �=

–3 –1 –3 –1 –4 –2 = = = 2 – (–4) 2 + 4 6 3 2

�=– 3

Dependiendo del valor de la pendiente, se obtendrá un tipo de gráfico de línea recta.

66

RECUERDA Una recta es un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección.


â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;12â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;11â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;10

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

â&#x20AC;&#x201C;9 1 â&#x20AC;&#x201C;1

â&#x20AC;&#x201C;82

â&#x20AC;&#x201C;7 3

â&#x20AC;&#x201C;64

â&#x20AC;&#x201C;5 5

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;12 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;11â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;3 7

â&#x20AC;&#x201C;28

â&#x20AC;&#x201C;1 9

10 1 11 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;4 6

â&#x20AC;&#x201C;4 6

2

3

4

5

Si đ?&#x2019;&#x17D; = 0 la recta es horizontal (paralela al eje đ?&#x2018;Ľ). Si đ?&#x2019;&#x161; = 0, la recta es perpendicular al eje de las đ?&#x2018;Ľ. 6 7 8 9 10 11 Si đ?&#x2019;&#x192; = 0, la recta pasa por el origen (0, 0).

4

3

3

2

2

1

1

â&#x20AC;&#x201C;9 1 â&#x20AC;&#x201C;1

RECUERDA

La pendiente de una recta inclinada a la â&#x20AC;&#x201C;5 5 izquierda es negativa.

â&#x20AC;&#x201C;6 4

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;46

â&#x20AC;&#x201C;2

La pendiente de una recta inclinada a la â&#x20AC;&#x201C;5 5 derecha es positiva.

â&#x20AC;&#x201C;7

2.3

Ă NGULO DE INCLINACIĂ&#x201C;N Y PENDIENTE DE UNA RECTA 6

6

â&#x20AC;&#x201C;82

â&#x20AC;&#x201C;73

â&#x20AC;&#x201C;64

â&#x20AC;&#x201C;5 5

â&#x20AC;&#x201C;46

â&#x20AC;&#x201C;37

â&#x20AC;&#x201C;28

â&#x20AC;&#x201C;1 9

10 1 11 â&#x20AC;&#x201C;1

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;4

La pendiente de una recta horizontal es â&#x20AC;&#x201C;5 igual a cero.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

135° 85°

La pendiente no existe si la recta es â&#x20AC;&#x201C;5 vertical.

45°

Sea una recta no paralela al eje � y que la corta en un punto P, la dirección de la recta en relación con los ejes coordenados se puede determinar si se conoce el ångulo formado por una de las semirrectas cuyo origen es P y el eje �. Ese ångulo debe ser menor de 180°. El ångulo se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj. El ångulo de inclinación de la recta es el que se forma hacia la parte positiva de los ejes de las abscisas (eje �). La pendiente (�) de una recta es la razón entre el cateto vertical (�) y el cateto horizontal (�). Por tanto: �=

25°

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x2020;ďż˝ â&#x2C6;&#x2020;ďż˝

TambiĂŠn sabemos que la funciĂłn trigonomĂŠtrica que relaciona al cateto opuesto y al cateto adyacente es la tangente (tan), entonces tenemos que: ��� â&#x2C6;&#x2026; = ďż˝

67


2

2

2.3

ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

Recordemos que � =

�2 – �1 �2 – �1

∅ = ���–1 �

�2 – �1 �2 – �1

∅ = ���–1

Ejemplos

¿SABÍAS QUE…?

1. Hallar el grado de inclinación de una recta que pasa por los puntos A( 3, 1), B( 1, –2). ��� ∅ =

–2 –1 1–3

��� ∅ 5=

3 2

��� ∅ 6= 4

La función tan–1 se puede obtener en la calculadora científica con la segunda funcion de tan.

–3 –2

∅ = ���–1 1.5 3

∅ 2= 56.3° 1

56.3° –11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3

2. Hallar el grado de inclinación de una recta que pasa por los puntos A(–2, 2), –4 B( 1, –1). –5

��� ∅–6= ��� ∅ =

–1 –2 1 (–2) –3 3

��� ∅ = –1

∅ = ���–1 –1

∅ =6 –45°

Hallamos el suplemento del ángulo, 5pues es un ángulo mayor a 90°. 4

180° – 45° = 135° 3

2 1

135° –11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3

68

–4 –5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


2.3

ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

Resuelve

SE APLICA EN...

Ejercicio I

Los ingenieros proyectistas deben diseñar y determinar las pendientes de las curvas y rectas a lo largo de las carreteras para que sean más seguras.

Determina la pendiente de las rectas con las siguientes coordenadas. 1. A(–2, 3), B(–5, 3) 2. C(8, 5), D(9, –1) 3. E(–3, 2), F(4, 4) 4. G(–3, 4), H(2, 6) 5. I(–1, –4), J(0, 5) 6

Ejercicio II

5

Escribe si la pendiente es positiva, negativa, cero o no existe, para cada4ejercicio. 3

1

5

–11

–10

–9

–8

–7

–6 3 2

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

–1

–12

–11

–10

–9

–8

–2 –7

–6

–5

–4

–3

–2

–2

–1

1

2

3

4

5

6

9

1 –1

10

2

11

3

4

Las gráficas elaboradas en los ejercicios de esta 5 6 realizaron 7 8 en 9 unidad se Winplot: winplot.es

10

–2

–4 –3

8 1

–1

–3

1

–4

¿SABÍAS QUE…?

2

4

–1

7 –5

8

9

10

11

–2

–6

–4

–7

–5

–3

–6

Ejercicio III

Determina el ángulo de las rectas con las coordenadas que se indican. 1. A(–2, –3), B(3, 3) 2. C(–4, 7), D(–1, –1) 3. E(–3, 0), F(4, 5)

69

11


2.3

ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

4. G(–3, 1), H(2, 0) 5.

I(–1, 5), J(3, –4) Realiza el bosquejo de cada ejercicio en el plano. 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

70

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


â&#x20AC;&#x201C;12

Formas de la ecuaciĂłn de la recta

2.4

Para empezar

InterpretarĂĄs y graficarĂĄs ecuaciones de la recta en sus diferentes formas.

Muchas de las situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ecuaciones de la recta. Por ejemplo: la cantidad de leche que se compra en tu casa depende de la cantidad de personas que la consumirĂĄn; el costo del servicio de taxi depende de los kilĂłmetros recorridos; el ĂĄrea o superficie de tu recĂĄmara depende de las dimensiones de la misma.

Conoce Una lĂ­nea es una sucesiĂłn de puntos en una misma direcciĂłn, con la caracterĂ­stica de que tiene la misma pendiente aunque prolonguemos infinitamente los puntos. A partir de una ecuaciĂłn, se dice que una lĂ­nea recta es una funciĂłn de primer grado, es decir, el grado de la funciĂłn define el grĂĄfico que se obtiene al trazarla en un plano cartesiano. La ecuaciĂłn de una lĂ­nea recta se puede obtener desde diferentes puntos de partida, conociendo dos puntos, teniendo un punto y la pendiente, conociendo una ecuaciĂłn y buscando su paralela o perpendicular, conociendo una ecuaciĂłn y un punto de la otra recta, entre otros. TambiĂŠn es posible llegar al grĂĄfico teniendo directamente su ecuaciĂłn, interpretar la grĂĄfica y llegar a su fĂłrmula.

MILK

Ejemplo

Sea la funciĂłn ďż˝ = 3ďż˝ + 1, el grado de la funciĂłn es uno (primer grado), por lo tanto al graficarla su figura serĂĄ una lĂ­nea recta. Realizando su bosque6 jo grĂĄfico, comprobamos: 5 4 3 2 1

â&#x20AC;&#x201C;11

â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;9

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

EcuaciĂłn simplificada de la lĂ­nea recta 1

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Ordenada Pendiente al origen

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

Variable Variable dependiente independiente

â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;6

71


2.4

FORMAS DE LA ECUACIĂ&#x201C;N DE LA RECTA

La ecuaciĂłn de una lĂ­nea recta se puede obtener conociendo dos puntos, teniendo un punto y la pendiente, ademĂĄs a partir de su recta paralela o perpendicular. Para llegar a la ecuaciĂłn punto-pendiente de una lĂ­nea recta, es preciso conocer el valor de la pendiente o en todo caso conocer dos de los puntos que intersecan a la recta, y de ahĂ­ encontrar la pendiente, y despuĂŠs aplicar la fĂłrmula.

RECUERDA Las lĂ­neas y ciertas figuras geomĂŠtricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como lĂ­neas o figuras geomĂŠtricas.

ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1 = ďż˝ (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1)

Ejemplos

1. Hallar la ecuaciĂłn punto-pendiente de la recta cuya pendiente es ďż˝ = 3 y un punto de la recta es (â&#x20AC;&#x201C;1, 4). a) Aplicamos la fĂłrmula ecuaciĂłn punto-pendiente: ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1 = ďż˝ (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1)

b) Sustituimos valores, donde el punto de la recta representa (đ?&#x2018;Ľ1, đ?&#x2018;Ś1) y đ?&#x2018;&#x161; a la pendiente: ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 4 = 3 (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;1)) ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 4 = 3 (ďż˝ + 1)

c) Resolviendo parĂŠntesis se llega a la ecuaciĂłn 1 â&#x2013;ś EcuaciĂłn punto-pendiente ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 4 = 3 (ďż˝ + 1) seguimos resolviendo ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 4 = 3ďż˝ + 3 aplicamos la propiedad distributiva ďż˝ = 3ďż˝ + 3 + 4 despejamos đ?&#x2018;Ś ďż˝ = 3ďż˝ + 7 simplificando đ?&#x2018;Ś se llega a la ecuaciĂłn 2 (ďż˝ = �� + ďż˝) â&#x2013;ś EcuaciĂłn pendiente-ordenada al origen ďż˝ = 3ďż˝ + 7 d) Tabulamos y graficamos la funciĂłn: ďż˝

ďż˝ = 3ďż˝ + 7

9 8 7

ďż˝ = 3 (â&#x20AC;&#x201C;1) +7 = â&#x20AC;&#x201C;3 + 7 = 4

â&#x20AC;&#x201C;1

6 5

ďż˝ = 3 (0) + 7 = 0+7=7

0

4 3

ďż˝ = 3 (1) + 7 = 3 + 7 = 10

1 2

10

ďż˝ = 3 (â&#x20AC;&#x201C;2) + 7 = â&#x20AC;&#x201C;6 + 7 = 1

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;12

ďż˝ = 3 (2) + 7 = â&#x20AC;&#x201C;11 â&#x20AC;&#x201C;10 6 + â&#x20AC;&#x201C;9 7 = â&#x20AC;&#x201C;813 â&#x20AC;&#x201C;7

2 1

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3

72

Âż$?

â&#x20AC;&#x201C;4

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


2.4

FORMAS DE LA ECUACIĂ&#x201C;N DE LA RECTA

e) Por Ăşltimo podemos llegar a la ecuaciĂłn general de la recta:

RECUERDA Puedes utilizar cualquiera de los dos puntos para llegar a la ecuaciĂłn.

�� + �� + ďż˝ = 0 3ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝ + 7 = 0

â&#x2013;ś EcuaciĂłn general de la recta: 3ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝ + 7 = 0

2. Hallar la ecuaciĂłn de la recta que pasa por los puntos A(2, 3), B(â&#x20AC;&#x201C;1, 6). Tabula y grafica la funciĂłn. a) Primero calculamos la pendiente: ďż˝=

6 â&#x20AC;&#x201C;3 3 = = â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3

ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C;1

b) Sustituimos en la ecuaciĂłn punto-pendiente el valor de đ?&#x2018;&#x161; y uno de los puntos de la recta: ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 3 = â&#x20AC;&#x201C;1 (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 2) ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 3 = â&#x20AC;&#x201C;ďż˝ + 2

c) (Punto-pendiente); aplicamos la propiedad distributiva: ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C;ďż˝ + 2 + 3

d) Despejamos đ?&#x2018;Ś:

ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C;ďż˝ + 5

e) (Pendiente-ordenada al origen); simplificamos, tabulamos y graficamos la funciĂłn: 10

ďż˝

7 6

ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;1) + 5 = 1+5=6

â&#x20AC;&#x201C;1

5 4

ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C; (0) + 5 = 0+5=5

0

3

ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C; (1) + 5 = â&#x20AC;&#x201C;1 + 5 = 4

1 2

8

ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;2) + 5 = +2 + 5 = 7

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;12

9

ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C;ďż˝ + 5

â&#x20AC;&#x201C;11

ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C; (2) + 5 = + 5 â&#x20AC;&#x201C;7 =3 â&#x20AC;&#x201C;10 â&#x20AC;&#x201C;9 â&#x20AC;&#x201C;2â&#x20AC;&#x201C;8

2 1

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

â&#x2013;ś Reacomodando tĂŠrminos obtenemos: â&#x20AC;&#x201C; ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝ + 5 = 0 ecuaciĂłn general

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4

73


2.4

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Resuelve Ejercicio I

Completa la tabla escribiendo si se trata o no de una función lineal; bosqueja el gráfico que se obtiene, en caso de ser lineal. 9

Función

8

No

Bosquejo gráfico 7 6 5 4 3 2 1

� = 5� – 2

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 9 –6 8 –7 7 –8 6 –9 5 4 3 2 1

� = –3 + �

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

74

–9


2.4

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Función

No

9 Bosquejo gráfico 8 7 6 5 4 3 2 1

� = –�

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 9 –8 8 –9 7 6 5 4 3 2 1

� = –7� + 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

75


2.4

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Función

No

Bosquejo gráfico 9

8 7 6 5 4 3 2 1

� = 15� – 4

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

Ejercicio II

Realiza el bosquejo de cada ejercicio en el plano. 1. Determina los tres tipos de ecuación de la recta; además, traza la línea ubican1 do los puntos en el plano si pasa por el punto A(5, 5) y su pendiente es 3 . 2. Determina los tres tipos de ecuación de la recta; además, traza la línea ubican2 do los puntos en el plano si pasa por el punto A(–1, 4) y su pendiente es 5 . 3. Determina los tres tipos de la ecuación de la recta; además, traza la línea ubicando los puntos en el plano si pasa por el punto A(–3, –3) y su pendiente es –4. 4. Determina los tres tipos de la ecuación de la recta; además, traza la línea ubicando los puntos en el plano si la recta interseca a los ejes en (6, 3) y (–1, 0). 5. Determina los tres tipos de la ecuación de la recta; además, traza la línea ubicando los puntos en el plano si las coordenadas de dos puntos de la recta son A(9, 6), B(1, 2).

76

3

4

5

6

7

8

9

10

11


FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

2.4

9 8 7 6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

1.

2.

3.

4.

5.

77


2.5

GrĂĄfica de una recta a partir de su ecuaciĂłn

Para empezar Cuando, en una situaciĂłn cotidiana, encontramos una correlaciĂłn directa entre dos elementos (lo que comĂşnmente conocemos como regla de tres) es bastante sencillo verificar dicha relaciĂłn a travĂŠs de una ecuaciĂłn lineal. Por ejemplo, si nos interesa graficar la relaciĂłn entre los minutos de uso de tu telĂŠfono mĂłvil con los megabytes de internet utilizados, obtenemos una relaciĂłn de puntos minutos-megabytes que al unirlos formarĂĄn una lĂ­nea recta.

DiseĂąarĂĄs situaciones para identificar el uso de la tecnologĂ­a, asĂ­ como para concretar las diferencias entre cada uno de los elementos de una grĂĄfica.

Conoce La forma mĂĄs simple de graficar una funciĂłn es hallando la fĂłrmula de la ecuaciĂłn en su forma pendiente-ordenada al origen, es decir, escrita de manera explĂ­cita, en la que directamente se pueden sustituir los valores de la variable independiente (ďż˝) para obtener los valores de la variable dependiente (ďż˝) y ubicar cada una de las coordenadas y trazar el grĂĄfico. Ejemplo

Graficar la funciĂłn â&#x20AC;&#x201C;3ďż˝ + ďż˝ = 5 a) Despejamos para darle la forma pendiente-ordenada al origen: ďż˝ = 3ďż˝ + 5

b) Tabulamos y luego graficamos: ďż˝ â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 0 1 2

ďż˝ = 3ďż˝ + 5

ďż˝ = 3 (â&#x20AC;&#x201C;2) + 5 = â&#x20AC;&#x201C;6 + 5 = â&#x20AC;&#x201C;1 ďż˝ = 3 (â&#x20AC;&#x201C;1) + 5 = â&#x20AC;&#x201C;3 + 5 = 2 ďż˝ = 3 (0) + 5 = 0+5=5

ďż˝ = 3 (1) + 5 = 3+5=8

ďż˝ = 3 (2) + 5 = 6 + 5 = 11

A partir del grĂĄfico de una funciĂłn se puede llegar a su ecuaciĂłn; segĂşn la forma que tenga la funciĂłn, se desglosan los datos para encontrar la fĂłrmula.

78

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? Partiendo de la ecuaciĂłn general de la recta ďż˝đ?&#x2018;Ľ + ďż˝đ?&#x2018;Ś + ďż˝ = 0

se deduce que

đ?&#x2018;&#x161; = (â&#x20AC;&#x201C;ďż˝)/ďż˝ đ?&#x2018;? = (â&#x20AC;&#x201C;ďż˝)/ďż˝


â&#x20AC;&#x201C;12

GRĂ FICA DE UNA RECTA A PARTIR DE SU ECUACIĂ&#x201C;N

2.5

A partir de la ecuación de una recta se puede graficar, y a partir de una gråfica es posible determinar la ecuación. La ecuación pendiente-ordenada al origen o forma normal de la recta � = �� + � es la forma mås simple de graficar una función, pues los datos extraídos de ella se pueden encontrar directamente en la gråfica. Donde: � es la variable dependiente � significa la pendiente o inclinación � es la variable independiente (se le asignan valores arbitrarios) � es la intersección donde la línea cruza con el eje �. Ejemplos

7

1. Hallar la ecuaciĂłn de la recta que le corresponde al siguiente grĂĄfico. 6 5 4 3 2 1

â&#x20AC;&#x201C;11

â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;9

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;6

a) Ubicamos la ordenada al origen â&#x20AC;&#x201C;7 (ďż˝), es decir, el punto de intersecciĂłn de la grĂĄfica con el eje de las ďż˝. En este caso pasa por el cero, entonces ďż˝ = 0. b) Determinamos el signo que tendrĂĄ la pendiente (ďż˝); recordemos que el sentido de la recta nos dice el signo de la pendiente, que en este caso es positiva (+), entonces ďż˝ (+). c) Calculamos el valor de la pendiente; recordemos que la pendiente es la relaciĂłn que existe entre los valores que se mueven en đ?&#x2018;Ś con respecto a los que se mueven en ďż˝, o sea â&#x2C6;&#x2020;ďż˝ / â&#x2C6;&#x2020;ďż˝. En este caso 1 = 1, 2 = 1, 3 = 1, o sea que la pendiente equivale a 1 2 3 1, entonces ďż˝ = 1 . Por lo tanto, recordando la ecuaciĂłn en su forma pendiente-ordenada al origen, llegamos a la ecuaciĂłn de la recta: ďż˝ = �� + ďż˝

79


2

2.5

GRĂ FICA DE UNA RECTA A PARTIR DE SU ECUACIĂ&#x201C;N

Sustituimos los valores que se encontraron:

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś?

ďż˝ = 1ďż˝ + 0 ďż˝=ďż˝

Escrita en su forma general quedarĂ­a asĂ­: ďż˝â&#x20AC;&#x201C;ďż˝=0

2. Hallar la ecuaciĂłn que le corresponde al siguiente grĂĄfico. 9 8 7 6 5

m = 6/2 = 3

4

m = 3/1 = 3

3 2 1

â&#x20AC;&#x201C;11

â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;9

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

â&#x20AC;&#x201C;1

10

El plano cartesiano es un sistema de referencias que se encuentra conformado por dos rectas numĂŠricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado punto. A la horizontal se la llama eje de las abscisas o de las ďż˝ y al vertical eje de las ordenadas o de las ďż˝, en tanto, el punto en el cual se cortarĂĄn se denomina origen. La principal funciĂłn o finalidad de este plano serĂĄ describir la posiciĂłn de puntos, los cuales se encontrarĂĄn representados por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se formarĂĄn asociando un valor del eje ďż˝ y otro del eje ďż˝. 11

4

Segundo cuadrante (â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;, +đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;)

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;5

a) Ubicamos la ordenada al origenâ&#x20AC;&#x201C;6(ďż˝), es decir, el punto de intersecciĂłn de la grĂĄfica con el eje de las ďż˝. En este caso pasa por el 2: entonces ďż˝ = 2. b) Determinamos el signo que tendrĂĄ la pendiente (ďż˝); recordemos que el sentido de la recta nos indica el signo de la pendiente. En este caso es negativa (â&#x20AC;&#x201C;), entonces ďż˝(â&#x20AC;&#x201C;). c) Calculamos el valor de la pendiente; recordemos que la pendiente es la relaciĂłn que existe entre los valores que se mueven en đ?&#x2018;Ś con respecto a los que se mueven en ďż˝, o sea â&#x2C6;&#x2020;ďż˝/â&#x2C6;&#x2020;ďż˝. En este caso 6 = 3, 3 = 3, o sea que la pendiente equivale a 3: ďż˝ = â&#x20AC;&#x201C;3. 2 1 d) Por lo tanto, recordando la ecuaciĂłn en su forma pendiente-ordenada al origen, llegamos a la ecuaciĂłn de la recta: ďż˝ = �� + ďż˝

80

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

3

2 1

â&#x20AC;&#x201C;1

Tercer cuadrante (â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;, â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;)

Primer cuadrante (+đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;, +đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;) 1

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4

2

3

4

Cuarto cuadrante (+đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;, â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;)


2.5

GRÁFICA DE UNA RECTA A PARTIR DE SU ECUACIÓN

Sustituimos los valores que se encontraron: � = –3� + 2

Escrita en su forma general quedaría: –3� – � + 2 = 0

Resuelve Ejercicio I

Resuelve y realiza los bosquejos de los siguientes ejercicios en hojas milimétricas. 1. Grafica la ecuación 3� – � – 4 = 0. Una vez terminado el tabulador realiza la gráfica y determina su pendiente. �

�=

2

14 13

(�, �)

12 11 10 9

1

8 7

0

6 5

–1

4 3

–2

2 1

–12 –11 –10 realiza –9 –8 la –7 gráfica. –6 –5 2. Grafica la ecuación 4� – � – 5 = 0. Una vez terminado el tabulador

� 2 1 0

–1 –2

(�, �)

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11 –12 –13 –14

81

5

6


2.5

GRÁFICA DE UNA RECTA A PARTIR DE SU ECUACIÓN

3.

Grafica la ecuación 2� + 3� + 2 = 0. Una vez terminado el tabulador realiza la gráfica. �

(�, �)

3

Las gráficas se representan en planos divididos en cuadrantes que nos permiten tener la ubicación de los puntos; esto es muy útil para elaborar mapas y croquis.

2 1 0

–1 –2 –3

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11 –12

82

–13 –14

2

3

SE APLICA EN...

4

5

6

7

8

9

10

11


GRÁFICA DE UNA RECTA A PARTIR DE SU ECUACIÓN

2.5

Ejercicio II

A partir de cada uno de los gráficos escribe la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen y en su forma general. 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 9

–3

8

–4

7

–5

6

–6

5 4 3 2 1

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

–1 –2 –3 –4 –5 –6

83


2.6

Rectas paralelas y perpendiculares

Para empezar En nuestro andar diario nos encontramos con diferentes tipos de líneas. Si observas a tu alrededor descubrirás un sinfín de aplicaciones de las líneas paralelas y perpendiculares: ▶▶ Cruceros. ▶▶ Estructura de edificios. ▶▶ Ventanales. ▶▶ Cruces. ▶▶ Cables de un trolebús. ▶▶ Vías del ferrocarril. ▶▶ Calles. ▶▶ Pantallas. ▶▶ Memorias USB.

Reconocerás y crearás líneas paralelas y perpendiculares a partir de su ecuación.

Si consideras la lista anterior (a la que podríamos añadir un sinfín de elementos) vale la pena que te preguntes: ¿habías analizado las matemáticas desde esta perspectiva? ¿Utilizas en algún momento estos conceptos en tu vida diaria, sin darte cuenta?

Conoce

¿SABÍAS QUE…?

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas es constante, por lo tanto, por mucho que se prolonguen nunca se cruzan. En función de sus pendientes, dos rectas serán paralelas si sus pendientes son iguales. Por lo tanto:

Donde:

Condición de paralelismo: �1 = �2 �1 = pendiente de la primera recta �2 = pendiente de la segunda recta ¿SABÍAS QUE…?

Geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides: 1. Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los una. 2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son congruentes. 5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

84

Las rectas paralelas tienen las mismas pendientes. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.


2.6

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Ejemplo

Se trazan dos segmentos en un plano; determina si son paralelos sabiendo que sus puntos son [A(3, 4) y B(â&#x20AC;&#x201C;6, 5)] y [C(8, 2) y D(â&#x20AC;&#x201C;10, 4)]. a) Graficamos: 9

8 7 6

B

5

D

A

4 3

C

2 1

â&#x20AC;&#x201C;12

â&#x20AC;&#x201C;11

â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;9

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3

b) Obtenemos las pendientes de las rectas:â&#x20AC;&#x201C;4 ďż˝=

ďż˝=

ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1 5 â&#x20AC;&#x201C; 4 â&#x20AC;&#x201C;51 = = â&#x20AC;&#x201C;6 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;9 ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1 â&#x20AC;&#x201C;6

ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1 4â&#x20AC;&#x201C;2 2 1 = = = ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝1 â&#x20AC;&#x201C;10 â&#x20AC;&#x201C;8 â&#x20AC;&#x201C;18 â&#x20AC;&#x201C;9

Concluimos que �1 = �2 y que, por lo tanto, se trata de rectas paralelas.

Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman ĂĄngulos de 90o. En funciĂłn de sus pendientes, dos rectas serĂĄn perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual ďż˝ â&#x20AC;&#x201C;1, por lo tanto: CondiciĂłn de perpendicularidad ďż˝1 ¡ ďż˝2 = â&#x20AC;&#x201C;1 Donde:

�1 =

â&#x20AC;&#x201C;1 ďż˝2

�2 =

â&#x20AC;&#x201C;1 ďż˝1

�1 = pendiente de la primer recta �2 = pendiente de la segunda recta

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? SimetrĂ­a entre paralelas En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes (đ?&#x2018;Ľ o đ?&#x2018;Ś), por ejemplo la funciĂłn constante (todas las funciones constantes son paralelas). Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si estos son linealmente dependientes. TambiĂŠn se denomina asĂ­ a los pares de lĂ­neas que nunca se unen o cruzan.

85


2.6

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Ejemplo

RECUERDA

Determina si el segmento, cuyos puntos son A(1, 3) y B(5, 2) es perpendicular al segmento cuyas coordenadas son C(4, 4) y D(3, 0). a) Graficamos: 9

Relaciones entre rectas

8

r

7

s

6

Paralelas

5

C

4

r

A

3 2

s

B

1

D –10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Perpendiculares

11

–1 –2

r

s

–3 –4 –5 –6

b) Obtenemos las pendientes de las rectas: �=

�=

�2 – �1 2–3 –1 = = –5 –1 4 �2 – �1

�2 – �1 0–4 –4 = = =4 3–4 –1 �2 – �1

Concluimos que si multiplicamos las pendientes resulta –1, por lo tanto son perpendiculares. Es decir, las pendientes son recíprocas (inversas y de signo contrario).

Resuelve Ejercicio I 1.

86

Si se tienen varias rectas paralelas, ¿cuáles son sus elementos comunes?

Secantes


RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

2.6

2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2, 4) y es paralela a la recta cuya ecuación ordinaria es 2� – � – 4 = 0. Traza en un plano el par de paralelas.

3. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y es paralela a la recta cuya ecuación ordinaria es � = –3� + 2. Traza en un plano el par de paralelas.

4. La ecuación 2� = 4(� – 3) es paralela a la recta L2. ¿Cuál es la pendiente de la recta L2?

9 8 7 6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

87


2.6

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Ejercicio II 1.

Se tienen las ecuaciones de dos rectas perpendiculares. ¿Cómo son sus pendientes? Escribe un ejemplo.

2. Si la ecuación de la recta L1 es � = –3� + 4, ¿cuál es la ecuación de la recta L2 que es perpendicular a la recta L1 y su ordenada al origen es 4?

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2, 1) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es � = –5� + 1.

2

4. La ecuación 3� = 3 (� –1) es perpendicular a otra recta L3. ¿Cuál es la pendiente de la recta L3?

5.

88

5

Si la ecuación de una línea recta es � = 7 � +1, ¿cuánto debe medir la pendiente de otra función para que las rectas sean perpendiculares?


Actividad integradora 2 El sistema de transporte del tren eléctrico en Pueblo Paleta tiene la siguiente distribución: E1

B1

A1

D40

C1

9 8 7

F1

6 5 4

F39

3 2

G1

G30

1

-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5

-4 -3 -2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13 14 15 16

-2 -3 -4 -5

D1

-6 -7

A28

-8

B19

E23

C20

-9

Cuenta con 7 líneas, distribuidas en el plano cartesiano: ▶ Línea A, 28 estaciones ▶ Línea E, 23 estaciones ▶ Línea B, 19 estaciones ▶ Línea F, 39 estaciones ▶ Línea C, 20 estaciones ▶ Línea G, 30 estaciones ▶ Línea D, 40 estaciones en donde los ejes � e � son señalados por las líneas G y B, respectivamente.

1.

¿Cuántas líneas pasan por el cuadrante II?

2. ¿Cuál es la distancia total que recorre la línea E?

3. Si te encuentras en la estación D1(–10, –6) y te diriges a la estación D13(2, –6), ¿qué estación se encuentra a 3 de distancia de la estación D1? 4

89


ACTIVIDAD INTEGRADORA 2

4. De la respuesta a la pregunta anterior, ¿en qué cuadrante se encuentra la estación?

5.

¿Cuántas estaciones de la línea F pasan por el cuadrante I?

6. ¿Cuál es la pendiente que se forma en el tramo de la estación E13(–3, 2) y E16(7, –1)? 7.

¿Cuál es el ángulo de inclinación que se forma en el tramo de la estación F1(–16, 5) y F9(–8, 2)?

8. ¿Cuál es el valor del ángulo que se forma entre la línea F de las estaciones F33 (10, –4) y F35 (12, 2) y la línea G de las estaciones G24(9, 0) y G27(13, 0)?

Aplica tus conocimientos Con los saberes adquiridos en esta unidad, crea un ejercicio en donde pongas en práctica los contenidos de la unidad de competencia 2 y su aplicación en la vida cotidiana. El ejercicio que generes debe contener los siguientes puntos: ▶ Planteamiento. ▶ Datos. ▶ Ejercicios (pregunta-solución). Este ejercicio se te calificará de acuerdo con los siguientes criterios: ▶ Creatividad en la propuesta. ▶ Planteamiento relacionado con la vida cotidiana. ▶ Solución correcta de ejercicios.

90


Evaluación 2

Heteroevaluación Evaluación del desempeño del alumno, donde se analizarán los saberes adquiridos a lo largo de este segmento del curso.

Aspectos a evaluar

Casi siempre

Siempre

Ocasionalmente

Nunca

Identifica y resuelve problemas de productos notables. Analiza cada situación y determina el modelo para la solución. Resuelve efectivamente ejercicios de factorización. Sigue instrucciones y procedimientos para la solución de ejercicios de la vida real con productos notables y factorización. Observaciones

Coevaluación Evalúa el desempeño de uno de tus compañeros, tu profesor te indicará a quién, tomando en cuenta los aspectos que se proponen. Recuerda que deberás hacerlo de manera personal y consciente.

Nombre del compañero: Aspectos a evaluar

No

¿Por qué?

Durante el desarrollo hace sugerencias para mejorar los resultados del trabajo. Aporta información de fuentes confiables relacionada directamente con el tema del trabajo.

Comparte ideas y escucha con respeto las del resto del equipo.

Mantiene un ánimo positivo para la realización del trabajo.

91


EVALUACIÓN 2

Entrega sus aportaciones y materiales a tiempo en los términos acordados.

Estuvo presente y a tiempo en todas las clases.

Cuando existe algún desacuerdo escucha las opiniones y expone sus ideas con respeto.

Autoevaluación ▶ Reflexiona y valora tu desempeño dentro del aula y la interacción con otros compañeros. ▶ Registra de manera honesta tu propio avance.

Aspectos a evaluar

Participé en debates o discusiones constructivas con mis compañeros en clase. Escuché los puntos de vista y participé en la libre exposición de las ideas y opiniones. Participé activamente en clase, y aporté ideas y puntos de vista en actividades de retroalimentación, así como en plenarias. Resolví dudas sobre mis intervenciones en clase. Adquirí nuevos conocimientos mediante el trabajo individual y colaborativo. Cumplí oportunamente con tareas, trabajos y exámenes. Indagué, analicé y apliqué información de distintas fuentes bibliográficas impresas o digitales de los temas que se trataron en el curso. Respeté la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales entre mis compañeros y el profesor. Utilicé el diálogo como mecanismo para la solución de diferencias o discrepancias entre mis compañeros y con el profesor. Cumplí con las normas de trabajo y convivencia que se acordaron en clase. Mi desempeño en clase contribuyó a crear un mejor ambiente de aprendizaje.

92

No

¿Por qué?


3.1

SECCIONES CÓNICAS

3 UNIDAD DE COMPETENCIA

CÓNICAS COMPETENCIA ESPECÍFICA Resuelve problemas relacionados con la ciencia empleando diferentes estrategias y recursos que impliquen plantear ecuaciones de diversas cónicas, para comprenderlos y analizarlos.


SECCIONES CÓNICAS

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE • Argumentar la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos y analíticos, mediante el lenguaje verbal, el matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

• Identificar las diferentes secciones cónicas mediante imágenes y ejemplos. • Explicar e interpretar resultados a partir de un gráfico. • Utilizar las tecnologías de información para el desarrollo de gráficas.

3.1


Actividad diagnóstica 3 Ejercicio I 1.

¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia?

2.

¿Cuál es el valor numérico de π?

3.

¿Qué es el radio?

4.

¿Qué es el diámetro?

5.

¿Cuál es la fórmula del área?

6.

Determina el área de un círculo que tiene 10 m de diámetro.

Ejercicio II

Desarrolla los siguientes binomios. 1. (� + �)2 =

2.

(� + 1)2 =

3.

(� – 5)2 =

4.

(� + 90)2 =

96


ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA 3

3.1

Ejercicio III

Determina el valor del lado faltante.

𝑐𝑐 = ?

𝑎𝑎 = 4

�=

𝑎𝑎 = 10

𝑏𝑏 = ?

𝑐𝑐 = 9

𝑏𝑏 = 6

?

𝑎𝑎 = 10

𝑏𝑏 = ?

𝑐𝑐 = 9

�= 𝑎𝑎 = 4

�= 𝑎𝑎 = 10

9

𝑎𝑎 = 4

𝑎𝑎 = 4

𝑏𝑏 = 7

𝑐𝑐 = ?

𝑏𝑏 = 7

𝑐𝑐 = ?

𝑏𝑏 = 7

𝑐𝑐 = ?

97


Actividad preliminar 3 Ejercicio I

El CODE requiere la construcción de un nuevo velódromo con el fin de preparar a sus competidores para la olimpiada nacional. En el diseño se empleará un nuevo programa de computadora para que la pista tenga los requerimientos y medidas establecidos por el Comité Olímpico Internacional. El software solo recibe como datos las coordenadas para determinar la ecuación y desarrollar la plantilla del diseño. 1. ¿Qué forma tiene el velódromo?

2.

¿Cómo se representan los datos de coordenadas?

3.

¿Cómo se llama al plano donde ubicamos las coordenadas?

4.

¿Cómo podemos obtener la ecuación de la elipse?

Ejercicio II

Escribe cinco objetos con los que estés en contacto día a día y que tengan la figura de un círculo o una circunferencia. 1. 2. 3. 4. 5.

98


3.1

Secciones cónicas

Para empezar Desde los tiempos antiguos grandes matemáticos se han interesado por el círculo y sus propiedades, y han tratado de expresar a la circunferencia y su área en función del radio. Aunque vivimos rodeados de objetos que tienen forma de círculo, muy pocas veces reflexionamos sobre las características que poseen. En este módulo estudiaremos algunos aspectos relacionados con la circunferencia y el círculo, además de otras figuras inscritas en un cono, llamadas cónicas. El matemático griego Menecmo descubrió estas curvas, pero fue su colega y compatriota Apolonio (262-190 a. C.) de Pérgamo (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos, a las que dio el nombre de elipses, hipérbolas y parábolas. En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada geometría analítica. En la geometría analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables � y �.

Conoce

Identificarás las diferentes secciones cónicas mediante imágenes y ejemplos.

¿SABÍAS QUE…? El astrónomo alemán Johannes Kepler (15701630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses.

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.

Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

¿SABÍAS QUE…? Si cortas un cono en rodajas puedes crear una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola.

99


3.1

SECCIONES CÓNICAS

Resuelve Identifica el tipo de figura cónica que se utilizó para desarrollar los siguientes diseños. Y ESE, ¿QUIÉN ES?

Museo Marítimo de Osaka, Japón

Museo Soumaya, Ciudad de México, México Figura:

Figura:

Hulme Arch Bridge, Manchester, Inglaterra Figura:

100

El Parque de las Ciencias, Hong Kong, China Figura:

Menecmo Fue un matemático y geómetra griego. Era hermano de Dinóstrato y fue discípulo de Platón y Eudoxo, y tutor de Alejandro Magno, al igual que Aristóteles. Su estudio teórico de las secciones cónicas fue célebre en la antigüedad, por eso estas curvas tuvieron el nombre de curvas de Menecmo. Trató de resolver el problema de la duplicación del cubo, utilizando la parábola y la hipérbola.


3.2

Ecuación de la circunferencia y aplicación

Para empezar La unión del álgebra y la geometría se manifiesta en la posibilidad de representar con una ecuación (analíticamente) y con un dibujo en un plano cartesiano (gráficamente) a la circunferencia. Dicho de otro modo: las ecuaciones abstractas del álgebra pueden ser representadas por medio de figuras geométricas y, viceversa, las figuras geométricas pueden ser estudiadas por métodos algebraicos. Es así como surge la rama de las matemáticas que se conoce como geometría analítica. La geometría analítica estudia las ecuaciones que definen el lugar geométrico de las figuras, así como su representación gráfica.

Explicarás, interpretarás y resolverás ejercicios de circunferencia a partir de su gráfica y fórmula.

Diferencia entre círculo y circunferencia

Círculo Superficie

� = �2 π

Circunferencia Contorno

� = ��

Ejemplo Si el radio mide 5 el área es � = �2 π = 52π = 25π

Ejemplo Si el diámetro mide 7 el perímetro es � = �� = 7�

Completa la tabla. Escribe el área y el perímetro en función de π. Recuerda que � = �2π y � = �π Círculo y circunferencia

Área

Perímetro

Radio 10

144�

Y ESE, ¿QUIÉN ES?

14� 6

Diámetro

8

4

Eratóstenes Filósofo, astrónomo, matemático, geógrafo, fue uno de los grandes pensadores de la antigüedad. Sus contemporáneos lo apodaron Beta, porque afirmaban que era en todo el segundo mejor del mundo. Fue el primero en determinar la circunferencia de la tierra, y debido a que vivió en el siglo III a. C. sus herramientas solo fueron palos, ojos, pies y su cerebro.

101


3.2

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

Círculo y circunferencia

Área

225π

Perímetro

Radio

Diámetro

¿SABÍAS QUE…? El papiro egipcio de Rhind, que data del 1650 a. C., muestra que los egipcios utilizaban el valor 3.16, y en la Biblia figura el valor de 3.

10π

Conoce La circunferencia es la figura más conocida dentro de las secciones cónicas y es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado centro. Su ecuación en forma general es: �2 + �2 + �� + �� + � = 0

Enseguida aprenderás cuatro casos para desarrollar la ecuación de la circunferencia.

Caso I. Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

La ecuación más simple correspondiente a una circunferencia se llama ecuación ordinaria o ecuación canónica. En este caso estamos considerando que la circunferencia tiene su centro en el origen (0, 0) de un plano cartesiano. Fórmula:

Ejemplos

�2 + �2 = �2

RECUERDA En esta unidad encontrarás gráficas de los ejercicios elaboradas en un programa llamado GeoGebra.

1. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo radio es 5 y su centro está en el origen. Sustituimos el radio y la ecuación es �2 + �2 = 5 �2 + �2 = 25

2. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen y radio = 10 .

Ecuación general:

�2 + �2 = 102 �2 + �2 = 10

Debemos igualar a 0 pasando el 10 a la izquierda con su operación inversa. �2 + �2 – 10 = 0

102

¿SABÍAS QUE…? Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como un lugar geométrico.


ECUACIĂ&#x201C;N DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIĂ&#x201C;N

GrĂĄfica en GeoGebra

3.2

RECUERDA La ecuaciĂłn general es aquella que se encuentra igualada a 0 y la ordinaria no lo estĂĄ.

Caso II. EcuaciĂłn de la circunferencia con centro en (đ?&#x2019;&#x2030;, đ?&#x2019;&#x152;) y radio đ?&#x2019;&#x201C;

Considerando que el centro es C(ďż˝, ďż˝) y el radio es ďż˝, entonces ďż˝ irĂĄ acompaĂąada de ďż˝ e ďż˝ de ďż˝ (siempre restando). Sustituimos los datos y tendremos la siguiente fĂłrmula: Ejemplo

(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)2 + (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)2 = ďż˝2

Encontrar la ecuaciĂłn ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es C(â&#x20AC;&#x201C;5, 3) y el radio es 3. a) Sustituimos los valores del centro (ďż˝, ďż˝) y el radio en la ecuaciĂłn. (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;5))2 + (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 3)2 = 32

b) Eliminamos parĂŠntesis realizando la multiplicaciĂłn de signos y elevamos el radio al cuadrado. (ďż˝ + 5)2 + (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 3)2 = 9 ecuaciĂłn ordinaria de la circunferencia

c) Para llegar a la ecuación general, resolvemos los binomios. Nota: Recordemos la fórmula de un binomio al cuadrado: (� + �)2 = �2 + 2�� + �2

Del ejemplo:

(ďż˝ + 5)2 = ďż˝2 + 10ďż˝ + 25 (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 3)2 = ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; 6ďż˝ + 9

103


3.2

ECUACIĂ&#x201C;N DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIĂ&#x201C;N

Acomodamos los resultados de la ecuaciĂłn: ďż˝2 + 10ďż˝ + 25 + ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; 6ďż˝ + 9 = 9

d) Reacomodamos tĂŠrminos de mayor a menor exponente y unimos los tĂŠrminos independientes. ďż˝2 + ďż˝2 + 10ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 6ďż˝ + 25 + 9 â&#x20AC;&#x201C; 9 = 0

e) Resolviendo la suma de tĂŠrminos independientes, la ecuaciĂłn general queda: ďż˝2 + ďż˝2 + 10ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 6ďż˝ + 25 = 0 ecuaciĂłn general de la circunferencia

GrĂĄfica en GeoGebra

Caso III. EcuaciĂłn de la circunferencia con un punto (đ?&#x2019;&#x2122;, đ?&#x2019;&#x161;) y el centro (đ?&#x2019;&#x2030;, đ?&#x2019;&#x152;) Ejemplo

Encontrar la ecuaciĂłn ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro estĂĄ en C(1, â&#x20AC;&#x201C;7) y un punto de la circunferencia es (2, 5). Para este tipo de ejercicios tambiĂŠn utilizaremos la fĂłrmula (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)2 + (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)2 = ďż˝2

a) En primer lugar sustituimos el punto de la circunferencia (ďż˝, ďż˝) y el centro (ďż˝, ďż˝) para encontrar el valor del radio con la fĂłrmula de la distancia entre dos puntos. ďż˝ = (2 â&#x20AC;&#x201C; 1)2 + (5 â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;7))2

104

RECUERDA Binomio al cuadrado:

( + )2 = 2 + 2 + 2


ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

3.2

� = (2 – 1)2 + (5 + 7)2 � = (1)2 + (12)2 � = 1 + 144 � = 145

b) Seguimos el proceso, conociendo el radio y el centro. (� – 1)2 + (� – (–7))2 = 1452 (� – 1)2 + (� +7)2 = 1452 2 2 (� – 1) + (� +7) = 145 ecuación ordinaria de la circunferencia

c) Resolviendo los binomios e igualando a cero, tenemos la ecuación general: �2 – 2� + 1 + �2 + 14� + 49 = 145 � + �2 – 2� + 14� + 1 + 49 – 145 = 0 2 2 � + � – 2� + 14� – 95 = 0 ecuación general de la circunferencia 2

Gráfica en GeoGebra

¿SABÍAS QUE…? En las figuras cuyo centro se localiza fuera del origen o fuera de �(0, 0), se utilizan las variables � y �; � para el eje de las � y � para el de las �. En otras palabras, �(�, �). Estas letras también se utilizan para todas las figuras cónicas.

Caso IV. Ecuación general de la circunferencia

Si partimos de la ecuación ordinaria de la circunferencia (� – �)2 + (� – �)2 = �2 y desarrollamos cada binomio, obtenemos la expresión �2 – 2�� + �2 + �2 – 2�� + �2 = �2

Ordenamos los términos e igualamos a cero

�2 + �2 – 2�� – 2�� + (�2 + �2 – �2) = 0

105


3.2

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

Llamaremos � = –2�, � = –2� y � = (�2 + �2 – �2) Finalmente escribimos la ecuación general de la circunferencia de la siguiente forma: �2 + �2 + �� + �� + � = 0

Por lo tanto, si tenemos la ecuación general podemos encontrar los elementos de la circunferencia de forma directa, utilizando las fórmulas �= �

–2

�= �

–2

� = � 2 + �2 – �

Ejemplo

Sea la ecuación general de una circunferencia 2 + 2 +10 +  –  = 0, hallar el centro (�, �) y el radio. �= �

�= �

� = � 2 + �2 – �

� = –5

� = –4

� = 25 + 16 + 8

–2 � = 10 –2

–2 �= 8 –2

Gráfica en GeoGebra

Aplicación de la circunferencia

� = (–5)2 + (–4)2 – (–8)

� = 49 �=7

La aplicación de la circunferencia es muy amplia y está presente en nuestra vida diaria aun sin darnos cuenta. Desde los antiguos discos LP (long play, larga duración) de acetato hasta los CD (compact disc, discos compactos) actuales, los cuales consisten en una placa circular con un borde que no es sino una circunferencia. Al centro se observa un orificio redondo, el cual permite sujetar y ajustar el CD

106

RECUERDA Cuando sustituyas valores en una fórmula no olvides el signo del número.


ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

en el equipo de reproducción. Estas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento, por lo tanto para su fabricación se emplean las técnicas del radio y el diámetro. En las armas, para medir el tamaño del cilindro del cañón en las pistolas los calibres más conocidos son los de 6.35, 7.65, 9 mm, etc.; por tales cilindros salen los proyectiles (balas), y las medidas corresponden a su diámetro. En el transporte la circunferencia que nos resulta más familiar es la rueda. En la bicicleta, por ejemplo, la rueda se afirma desde el centro, del cual salen un montón de alambres delgados llamados rayos, los radios que mantienen su forma circunferencial. El diámetro corresponde al tamaño del aro; los más conocidos son los de rodado 24, 28, etc. En los deportes, además de los balones (esféricos), en las canchas o los lugares para practicarlos encontramos diferentes formas geométricas, incluida, claro, la circunferencia. Las circunferencias pueden ubicarse en el centro, dentro del origen (0, 0), o fuera del origen (�, �). Para reforzar estos conceptos, desarrollarás los ejercicios siguientes.

3.2

¿SABÍAS QUE…? Cuando en un ejercicio te den como dato el centro y un punto de la circunferencia, quiere decir que la distancia entre ese punto y el centro nos llevará a encontrar el valor del radio, y la fórmula de la distancia entre dos puntos nos dará el valor del radio.

Resuelve Caso I 1. Dibuja con un compás la circunferencia que corresponde a cada ecuación con centro en el origen C(0, 0). Determina el valor de su radio. 7

 + =9 2

RECUERDA

2

6

Fórmula de la distancia entre dos puntos:

5 4

 = (2 – 1)2 + (2 – 1 )2

3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6

�=

–7

107


3.2

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

7

2 + 2 = 16

¿SABÍAS QUE…?

6 5

Cuando grafiques puntos de una coordenada, cuida el signo de cada número para que coloques el punto en el lugar correcto.

4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4

SE APLICA EN...

–5 –6

�=

La circunferencia es la figura mas ulitizada en nuestra vida cotidiana, la observamos en objetos simples como un yoyo o una pelota, o en otros más sofisticados como un disco compacto y el recorrido de un acelerador de partículas.

–7

7

2 + 2 = 4

6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1

RECUERDA

–2 –3

En la fórmula � y � son negativos, por lo tanto cuidemos el valor de los signos al obtener sus valores en la ecuación ordinaria.

–4 –5 –6

�=

–7

2. Hallar la ecuación ordinaria y general de la circunferencia para cada caso. Fórmula: �2 + �2 = �2 a) Centro en el origen y radio de 7. Ecuación ordinaria:

108

Ecuación general:


ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

b) Centro en el origen y radio de 9.

Ecuación general:

c) Centro en el origen y radio de 4.

Ecuación general:

d) Centro en el origen y radio de 13.

Ecuación general:

e) Centro en el origen y radio de 27.

Ecuación general:

f) Centro en el origen y radio de 95.

Ecuación general:

Ecuación ordinaria:

Ecuación ordinaria:

Ecuación ordinaria:

Ecuación ordinaria:

Ecuación ordinaria:

3.2

g) Centro en el origen y un punto de la circunferencia (3, 4). Ecuación ordinaria:

Ecuación general:

h) Centro en el origen y un punto de la circunferencia (6, 10). Ecuación ordinaria:

Ecuación general:

i) Centro en el origen y un punto de la circunferencia (–5, –2). Ecuación ordinaria:

Ecuación general:

109


3.2

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

Caso II 1. Desarrolla los procesos para llegar a la ecuación ordinaria y general de la circunferencia para cada uno de los ejercicios. Traza su gráfica utilizando un compás.

Centro fuera del origen 7 a) Circunferencia cuyo centro es C(3, –1) y radio 2.

6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Ecuación ordinaria:

Ecuación general:

–7

7

b) Circunferencia cuyo centro es C(–1, 2) y radio 3.

6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

–1 –2 –3 –4 –5

Ecuación ordinaria:

110

–6

Ecuación general:

–7


ECUACIĂ&#x201C;N DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIĂ&#x201C;N

3.2

Centro fuera del origen 7

c)

Circunferencia cuyo centro es C(â&#x20AC;&#x201C;4, 2) y radio 2.

6 5 4 3 2 1

â&#x20AC;&#x201C;12

â&#x20AC;&#x201C;11

â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;9

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;6

EcuaciĂłn ordinaria:

EcuaciĂłn general:

â&#x20AC;&#x201C;7

2. Determina las coordenadas del centro (ďż˝, ďż˝) de la circunferencia y el valor

del radio đ?&#x2018;&#x; a partir de la ecuaciĂłn ordinaria. (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 2)2 + (ďż˝ + 4)2 = 25

ďż˝=

ďż˝=

ďż˝=

(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 5)2 + (ďż˝ + 6)2 = 100

ďż˝=

ďż˝=

ďż˝=

(ďż˝ + 1)2 + (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 3)2 = 49

ďż˝=

ďż˝=

ďż˝=

(ďż˝ + 2)2 + (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 4)2 = 10

ďż˝=

ďż˝=

ďż˝=

111


3.2

ECUACIĂ&#x201C;N DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIĂ&#x201C;N

Caso III Encontrar la medida del radio, la ecuaciĂłn ordinaria y general de la circunferencia. Traza su figura.

ÂżCuĂĄl es el radio?

RECUERDA

7

a) El centro estĂĄ en C(2, 1) y un punto de la ecuaciĂłn es (â&#x20AC;&#x201C;1, 2).

Ubica correctamente la coordenada del centro que estĂĄ fuera del origen ďż˝(â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) y determina el radio con la fĂłrmula de la distancia entre dos puntos con el punto de referencia alrededor de la circunferencia.

6 5

4 3 2 1

â&#x20AC;&#x201C;12

â&#x20AC;&#x201C;11

â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;9

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

7

8

9

10

11

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;6

EcuaciĂłn ordinaria:

EcuaciĂłn general:

â&#x20AC;&#x201C;7

b) El centro estĂĄ en C(â&#x20AC;&#x201C;1, 4) y un punto de la ecuaciĂłn es (â&#x20AC;&#x201C;2, 3). 7 6 5 4 3 2 1

â&#x20AC;&#x201C;12

â&#x20AC;&#x201C;11

â&#x20AC;&#x201C;10

â&#x20AC;&#x201C;9

â&#x20AC;&#x201C;8

â&#x20AC;&#x201C;7

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1

2

3

4

5

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;6

EcuaciĂłn ordinaria:

112

EcuaciĂłn general:

â&#x20AC;&#x201C;7

6


ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

3.2

¿Cuál es el radio? c)

7

El centro está en C(2, 3) y un punto de la ecuación es (4, 2). 6 5

4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4

RECUERDA

–5

No siempre aparecen las ecuaciones con todos los elementos, puede faltar alguno y el valor del faltante sería 0.

–6

Ecuación ordinaria:

Ecuación general:

–7

Caso IV 1. Determina las coordenadas del centro (�, �) de la circunferencia y el valor del radio a partir de la ecuación general de la circunferencia.

Forma general �2 + �2 + 6� + 10� – 100 = 0

�=

�=

�=

�2 + �2 – 6� + 3 = 0

�=

�=

�=

�2 + �2 + 10� + 14� + 49 = 0

�=

�=

�=

�2 + �2 – 2� + 6� – 6 = 0

�=

�=

�=

�2 + �2 – 12� + 4� – 9 = 0

�=

�=

�=

�2 + �2 – 2� + 2� + 1 = 0

�=

�=

�=

113


3.2

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

2. Encuentra el radio y el centro (�, �) de la circunferencia cuya ecuación general es la que se indica. Utiliza un compás para dibujar su gráfica.

Dibuja la circunferencia

RECUERDA

a) � + � – 2� – 2� – 8 = 0 2

�= �

2

Utiliza las fórmulas para determinar �, � y el radio.

–2

�= �

–2

7

2

2

�= � +� –�

6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6

b) � + � + 4� + 4� – 1 = 0 2

�=

2

–7

� –2

�= �

–2

7

2

2

�= � +� –�

6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

114


ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y APLICACIÓN

3.2

Dibuja la circunferencia c)

�2 + �2 – 4� – 2� – 9 = 0 �= �

–2

�= �

–2

� = �2 + �2 – �

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–14

–13

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –12 –13

115


3.3

EcuaciĂłn de la parĂĄbola y aplicaciĂłn

Para empezar La paråbola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma corresponde con las gråficas de las ecuaciones cuadråticas. Son paråbolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad, por ejemplo el movimiento parabólico de una pelota o la trayectoria balística de un proyectil, como una flecha.

ExplicarĂĄs, interpretarĂĄs y resolverĂĄs ejercicios de parĂĄbola a partir de su grĂĄfica y fĂłrmula.

Conoce La parĂĄbola es el lugar geomĂŠtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz). Esta figura tiene sus propias fĂłrmulas. Para utilizar la indicada es importante conocer la ubicaciĂłn de nuestra figura en el plano, si es horizontal o vertical y si el centro estĂĄ dentro (C (0, 0)) o fuera del origen (C (ďż˝, ďż˝)). Al igual que la circunferencia, la parĂĄbola tiene asociados diferentes elementos que reciben nombres particulares, los cuales se mencionan a continuaciĂłn. Los elementos de la parĂĄbola son: â&#x2013;śâ&#x2013;ś Foco = ďż˝ â&#x2013;śâ&#x2013;ś VĂŠrtice = ďż˝ â&#x2013;śâ&#x2013;ś Eje de la parĂĄbola o eje de simetrĂ­a â&#x2013;śâ&#x2013;ś Lado recto �� = ďż˝4�� â&#x2013;śâ&#x2013;ś Directriz â&#x2013;śâ&#x2013;ś Distancia focal = ďż˝ = ����

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

F Lado recto V

Directriz

Formas de la ecuaciĂłn de la parĂĄbola

La grĂĄfica de cualquier funciĂłn cuadrĂĄtica es una parĂĄbola. En un plano cartesiano la parĂĄbola puede tener su vĂŠrtice en el origen o fuera de ĂŠl. VĂŠrtice en el origen

VĂŠrtice fuera del origen

Horizontal (abre a la derecha) eje ďż˝.

�2 = 4��

(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)2 = 4ďż˝(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)

Vertical (abre hacia arriba) eje ďż˝.

ďż˝2 = â&#x20AC;&#x201C;4��

(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)2 = â&#x20AC;&#x201C;4ďż˝(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)

�2 = 4��

(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)2 = 4ďż˝(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)

ďż˝2 = â&#x20AC;&#x201C;4��

(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)2 = â&#x20AC;&#x201C;4ďż˝(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)

Horizontal (abre a la izquierda) eje ďż˝.

Vertical (abre hacia abajo) eje ďż˝.

116

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? El primero en usar el tĂŠrmino parĂĄbola fue Apolonio de PĂŠrgamo, en su tratado CĂłnicas, considerada obra cumbre sobre el tema en las matemĂĄticas griegas, donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cĂłnicas.

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ


3.3

ECUACIĂ&#x201C;N DE LA PARĂ BOLA Y APLICACIĂ&#x201C;N

Ejemplos

1. Hallar la ecuación ordinaria de la paråbola con vÊrtice en el origen, eje focal en �, � = 5. Como se indica eje focal en �, significa que es horizontal, como el centro se ubica en el origen y abre a la derecha, la fórmula es �2 = 4�. Por lo tanto, al sustituir el valor de � = 5 tenemos:

GrĂĄfica en GeoGebra

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? La distancia del vĂŠrtice al foco se representa con la literal ďż˝. Las parĂĄbolas abren del vĂŠrtice al foco.

�2 = 4(5)� �2 = 20�

2. Hallar la ecuaciĂłn general de la parĂĄbola con vĂŠrtice fuera origen, V(â&#x20AC;&#x201C;1, 1) y foco en F(â&#x20AC;&#x201C;1, â&#x20AC;&#x201C;1). Ubicamos los puntos en el plano cartesiano con centro fuera del origen y observamos que abre hacia abajo, del vĂŠrtice al foco, entonces corresponde al eje ďż˝. La fĂłrmula que necesitamos es la siguiente: 2

(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝) = â&#x20AC;&#x201C;4ďż˝(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)

V

F

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 2

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

Sustituimos los valores de (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) del centro y đ?&#x2018;?, que es la distancia del vĂŠrtice al foco y es 2. (ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;1))2 = â&#x20AC;&#x201C;4(2)(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 1) (ďż˝ + 1)2 = â&#x20AC;&#x201C;8(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 1)

Desarrollamos el binomio y las operaciones indicadas e igualamos a 0. ďż˝2 + 2ďż˝ + 1 = â&#x20AC;&#x201C;8ďż˝ + 8 ďż˝2 + 2ďż˝ + 1 + 8ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 8 = 0 ďż˝2 + 2ďż˝ + 8ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 7 = 0

RECUERDA Las parĂĄbolas horizontales tienen su eje focal en ďż˝, y las verticales en ďż˝.

117


3.3

ECUACIĂ&#x201C;N DE LA PARĂ BOLA Y APLICACIĂ&#x201C;N

GrĂĄfica en GeoGebra

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? La parĂĄbola tambiĂŠn fue estudiada por ArquĂ­medes, nuevamente en la bĂşsqueda de una soluciĂłn para un problema famoso: la cuadratura del cĂ­rculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parĂĄbola.

En los ejercicios de las parĂĄbolas podrĂĄs encontrar diferentes formas para desarrollarlos, algunas son: a) Te dan el valor de đ?&#x2018;?, que es la distancia del vĂŠrtice al foco y el eje. b) Te dan las coordenadas de vĂŠrtice y foco y tĂş deberĂĄs obtener el valor de đ?&#x2018;? con la fĂłrmula.

AplicaciĂłn de la parĂĄbola

Una aplicaciĂłn de la parĂĄbola con la que vivimos dĂ­a a dĂ­a la encontramos en el funcionamiento de las antenas parabĂłlicas como reflectoras de luz y ondas de radio. Los rayos originados en el foco de la parĂĄbola se reflejan hacia afuera, en lĂ­neas paralelas a su eje, las cuales se colocan en antenas de transmisiĂłn de microondas, para las telecomunicaciones. En construcciĂłn, los cables de algunos puentes colgantes tienen forma parabĂłlica. Los proyectiles, al ser lanzados, realizan un recorrido parabĂłlico. Los radares y los reflectores luminosos tienen forma parabĂłlica. Las parĂĄbolas pueden ubicarse con el vĂŠrtice dentro (0, 0) o fuera del origen (ďż˝, ďż˝). Te recomendamos encontrar y marcar los puntos en el plano cartesiano para saber hacia dĂłnde abre y si su centro estĂĄ dentro o fuera del origen, lo cual te permitirĂĄ seleccionar correctamente la fĂłrmula para obtener la ecuaciĂłn correspondiente. Para graficarla debemos conocer el valor de đ?&#x2018;? o la coordenada del foco; con este dato obtenemos el valor del lado recto que nos indicarĂĄ quĂŠ tanto abre nuestra parĂĄbola. En algunos ejercicios de parĂĄbolas te indicarĂĄn el eje y el valor de đ?&#x2018;? y en otros no, porque te darĂĄn las coordenadas de vĂŠrtice y foco, y con esos datos debes obtener el valor del lado recto con la fĂłrmula  = |4|.

118

RECUERDA La parĂĄbola abre del vĂŠrtice al foco; recuerda determinar el valor del lado recto para graficarla adecuadamente.


–12

12

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Y APLICACIÓN

3.3

Resuelve Ejercicio I

Encontrar la ecuación ordinaria y general y trazar la parábola.

Vértice en el7 origen 1.

Vértice en el origen V(0, 0), � = 2, eje6 �. 5

4 3 2 1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Ecuación ordinaria:

Ecuación general:

–7 7 6 2. Vértice en el origen V(0, 0), � = –3, eje �. 5

4 3 2 1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–1 –2 –3 –4 –5

Ecuación ordinaria:

–6

Ecuación general:

–7

119


3.3

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Y APLICACIÓN 7

3. Vértice en el origen V(0, 0), � = 3, eje6 �. 5

4 3 2 1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Ecuación ordinaria:

Ecuación general:

–7

Ejercicio II

Determinar la ecuación ordinaria y trazar la parábola.

Vértice fuera del origen 1.

7 Escribe la ecuación ordinaria de la parábola si su vértice está en V(2, 3) y su foco en F(4, 3). 6 5

4 3 2 1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3 –4 –5

Ecuación ordinaria:

120

–6 –7

2

3

4

5

6

7

8

9


–12

–12

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Y APLICACIÓN

3.3

SE APLICA EN...

2. Escribe la ecuación ordinaria de la parábola si su vértice está en V(4, 3) y 7 su foco en F(4, 1).

Una concha acústica se coloca en el vértice del espacio para optimizar el sonido de las ejecuciones instrumentales o vocales.

6 5 4 3 2 1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

Ecuación ordinaria:

3. Escribe la ecuación ordinaria de la parábola si su vértice está en V(–1, 0) y 7 su foco en F(–2, 0). 6 5 4 3 2 1

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Ecuación ordinaria:

–7

121


3.4

EcuaciĂłn de la elipse y aplicaciĂłn

Para empezar En Ăłptica y en la propagaciĂłn de ondas se utilizan lentes elĂ­pticas. Algunos sistemas de ubicaciĂłn y navegaciĂłn utilizan sistemas elĂ­pticos, como en el sistema de navegaciĂłn Loran. Algunos diseĂąos arquitectĂłnicos desde la antigĂźedad hasta la era moderna utilizan la elipse para sus creaciones.

ExplicarĂĄs, interpretarĂĄs y resolverĂĄs ejercicios de la elipse a partir de su grĂĄfica y fĂłrmula.

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? La elipse, como curva geomĂŠtrica, fue estudiada por Menecmo e investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de PĂŠrgamo.

Conoce Otra de las figuras cĂłnicas es la elipse. Tiene forma cerrada, como la circunferencia, y tambiĂŠn tiene un centro. Cuenta con 2 vĂŠrtices y 2 focos. Esta figura tiene sus propias fĂłrmulas y para utilizar la indicada es importante conocer la ubicaciĂłn de nuestra figura en el plano, si es horizontal o vertical y si el centro estĂĄ dentro (0, 0) o fuera del origen (ďż˝, ďż˝). Los elementos de la elipse son: â&#x2013;śâ&#x2013;ś Eje mayor o eje focal = 2ďż˝ â&#x2013;śâ&#x2013;ś Eje menor o eje transversal = 2ďż˝ â&#x2013;śâ&#x2013;ś Focos (ďż˝ ) y (ďż˝ â&#x20AC;&#x2122;) â&#x2013;śâ&#x2013;ś Semieje mayor = ďż˝ â&#x2013;śâ&#x2013;ś Semieje menor = đ?&#x2018;? â&#x2013;śâ&#x2013;ś VĂŠrtices (ďż˝ ) y (ďż˝ â&#x20AC;&#x2122;) â&#x2013;śâ&#x2013;ś Centro ďż˝ â&#x2013;śâ&#x2013;ś Distancia focal 2ďż˝ 2 22 â&#x2013;śâ&#x2013;ś Lado recto =  ==  2

122

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

B

V´

F´

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? B´

F đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

V

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?


ECUACIĂ&#x201C;N DE LA ELIPSE Y APLICACIĂ&#x201C;N

3.4

En el tema de la elipse encontrarĂĄs ejercicios en los cuales te indicarĂĄn las medidas de los ejes y la localizaciĂłn del eje focal, pero tambiĂŠn habrĂĄ ejercicios en los que solo te darĂĄn las coordenadas de vĂŠrtices y focos. La tabla muestra las ecuaciones de la elipse: Elipse

Centro en el origen

Horizontal

2 2 2 2

Vertical

+

2 2

=1

+

2 2

=1

Centro fuera del origen ( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2 ( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2

+ +

( â&#x20AC;&#x201C; )2 2 ( â&#x20AC;&#x201C; )2 2

=1 =1

La ecuaciĂłn general de la elipse se obtiene al desarrollar la ecuaciĂłn canĂłnica

Ejemplos

��2 + ��2 + �� + �� â&#x20AC;&#x201C; ďż˝ = 0

1. Hallar la ecuación ordinaria de la elipse cuyo eje mayor mide 14 y el menor 8, tiene centro en el origen y su eje focal estå en �. Si su eje focal se ubica en �, indica que es una elipse vertical, entonces: si 2� = 14, � = 7 si 2� = 8, � = 4 Ya determinados los valores de � y �, sustituimos en la fórmula indicada para este tipo de gråfica, pues sabemos que es vertical por estar su eje focal en � con centro en el origen. Fórmula: �2 �2 + 2 =1 �2 �

SustituciĂłn:

�2 �2 + 2 =1 42 7

�2 �2 + =1 16 49

ecuaciĂłn ordinaria

EcuaciĂłn general: multiplicar los denominadores para obtener un mĂşltiplo comĂşn y multiplicarlo en ambos lados, para despuĂŠs desarrollar las operaciones necesarias para simplificar e igualar a 0. 2 2 784ďż˝ ďż˝ + ďż˝ ďż˝ = 1(784)

16

2

49

49� + 16�2 = 784

49ďż˝2 + 16ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; 784 = 784 â&#x20AC;&#x201C; 784

49ďż˝2 + 16ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; 784 = 0 ecuaciĂłn general

123


3.4

ECUACIĂ&#x201C;N DE LA ELIPSE Y APLICACIĂ&#x201C;N

GrĂĄfica en GeoGebra

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś?

En algunos ejercicios de elipses el valor de đ?&#x2018;? lo determinarĂĄs a partir del teorema de PitĂĄgoras, el cual postula que el valor de la hipotenusa es la distancia del centro al vĂŠrtice (el mĂĄs largo). 2. Hallar la ecuaciĂłn ordinaria de la elipse cuyas coordenadas son las siguientes: C(â&#x20AC;&#x201C;1, 1) V(2, 1), F(1, 1) V â&#x20AC;&#x2122;(â&#x20AC;&#x201C;4, 1), F â&#x20AC;&#x2122;(â&#x20AC;&#x201C;3, 1)

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = ?

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; =3 centro a vĂŠrtice đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 2 centro a foco

Analizamos la grĂĄfica y observamos que el centro estĂĄ fuera del origen y determinamos el eje para utilizar la fĂłrmula adecuada. Debemos obtener el valor de ďż˝ y para eso utilizaremos el teorema de PitĂĄgoras.

124

El foco y la directriz de la secciĂłn cĂłnica de una elipse fueron estudiados por Pappus. En 1602, Kepler creĂ­a que la Ăłrbita de Marte era ovalada, aunque mĂĄs tarde descubriĂł que se trataba de una elipse con el sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra focus y publicĂł su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostrĂł que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una Ăłrbita elĂ­ptica alrededor del sol.


ECUACIĂ&#x201C;N DE LA ELIPSE Y APLICACIĂ&#x201C;N

3.4

Teorema de PitĂĄgoras Hipotenusa2 = cateto opuesto2 + cateto adyacente2

2 = 2 + 2 Se nos proporciona el valor de la hipotenusa y de uno de los catetos, por lo tanto despejamos el cateto faltante đ?&#x2018;?, y nos quedarĂ­a:

2 = 2 â&#x2C6;&#x2019; 2

Sustituimos:

 = 32 â&#x20AC;&#x201C; 22 = 5  = 2.2 Sustituimos los datos del centro đ?&#x2018;? y los valores de đ?&#x2018;&#x17D; y đ?&#x2018;? en la ecuaciĂłn de la elipse y nos queda: ( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2 ( â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; 1)2 32

( + 1)2 9

=

( â&#x20AC;&#x201C; )2

+

( â&#x20AC;&#x201C; 1)2

+

( â&#x20AC;&#x201C; 1)2

2

52

5

=1 =1 =1

EcuaciĂłn general: el procedimiento que recomendamos es la suma de fracciones de diferente denominador y simplificar e igualar a 0. 5( + 1)2 + 9( â&#x2C6;&#x2019; 1)2 45

45[

5( + 1)2 + 9( â&#x2C6;&#x2019; 1)2 45

=1

] = 1 (45)

5( + 1)2 + 9( â&#x20AC;&#x201C; 1)2 = 45

5(2 + 2 +1) + 9(2 â&#x20AC;&#x201C; 2 + 1) = 45

52 + 10 + 5 + 92 â&#x20AC;&#x201C; 18 + 9 = 45 52 + 92 + 10 â&#x20AC;&#x201C; 18 + 5 + 9 = 45 52 + 92 + 10 â&#x20AC;&#x201C; 18 + 14 = 45 52 + 92 + 10 â&#x20AC;&#x201C; 18 + 14 â&#x20AC;&#x201C; 45 = 45 â&#x20AC;&#x201C; 45 52 + 92 + 10 â&#x20AC;&#x201C; 18 â&#x20AC;&#x201C; 31 = 0

RECUERDA Para obtener la ecuaciĂłn general no olvides desarrollar los binomios al cuadrado.

125


3.4

ECUACIĂ&#x201C;N DE LA ELIPSE Y APLICACIĂ&#x201C;N

EcuaciĂłn general y grĂĄfica en GeoGebra

Sistema de navegaciĂłn Loran

Radiofaro 1

Radiofaro 2

3. Dada la ecuaciĂłn general 162 + 72 â&#x20AC;&#x201C; 64 â&#x20AC;&#x201C; 48 = 0, transforma en ecuaciĂłn ordinaria; una vez encontrada determina centro, vĂŠrtices y focos para graficarla. 162 + 72 â&#x20AC;&#x201C; 64 â&#x20AC;&#x201C; 48 = 0

Empezamos por agrupar los tĂŠrminos que contengan ďż˝ e ďż˝, y pasar del otro lado de la igualdad el tĂŠrmino independiente:

(162 â&#x20AC;&#x201C; 64) + (72) = 48 A continuaciĂłn, factorizamos los coeficientes de ďż˝ como sigue: 16 (2 â&#x20AC;&#x201C; 4) + (72) = 48

Se busca completar un trinomio al cuadrado: 16 (2 â&#x20AC;&#x201C; 4 + ____) + 7(2 + 0 + ____) = 48

Ahora completamos los trinomios cuadrados para las expresiones dentro de los parĂŠntesis: 16 (2 â&#x20AC;&#x201C; 4 + 4) + 7 (2 + 0 + 0) = 48 + (16  4) + (7  0)

Al sumar 4 a la expresiĂłn dentro de los primeros parĂŠntesis (de ďż˝) hemos sumado 64 (16 ⌠4) al lado izquierdo de la ecuaciĂłn y por tanto debemos compensar al sumar 64 al lado derecho. En el caso de la expresiĂłn dentro de los segundos parĂŠntesis (de ďż˝), la ecuaciĂłn suma con 0 (7 ⌠0) y en consecuencia debemos sumar 0 al lado derecho. La Ăşltima ecuaciĂłn se puede escribir: 16 (2 â&#x20AC;&#x201C; 4 + 4) + 7(2 + 0 + 0) = 48 + (64) + (0)

126

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? Una aplicaciĂłn de las elipses la encontramos en la astronomĂ­a. Los planetas, en su movimiento alrededor del sol, describen Ăłrbitas de forma elĂ­ptica, uno de cuyos focos es precisamente el sol (primera ley de Kepler, 1609). Desde tiempos remotos la arquitectura utiliza la elipse para el diseĂąo de diferentes construcciones.


ECUACIĂ&#x201C;N DE LA ELIPSE Y APLICACIĂ&#x201C;N

3.4

Se simplifican los tĂŠrminos independientes: 16 (2 â&#x20AC;&#x201C; 4 + 4) + 7(2 + 0 + 0) = 112

A continuaciĂłn, factorizamos cada trinomio cuadrado perfecto (el de

ďż˝ y el de ďż˝):

16 ( â&#x20AC;&#x201C; 2)2 + 7( + 0)2 = 112

Al dividir entre 112 en ambos lados de la igualdad para obtener 1 en el lado derecho, tendremos: 16( â&#x20AC;&#x201C; 2)2 112

+

7( â&#x20AC;&#x201C; 0)2 112

=

112 112

Obtenemos la ecuaciĂłn ordinaria: ( â&#x20AC;&#x201C; 2)2 7

+

( â&#x20AC;&#x201C; 0)2 16

=1

Dada la ecuaciĂłn ordinaria encontrada podemos determinar el centro que es C(ďż˝, ďż˝) y con los datos obtenidos C(2, 0). Ahora determinamos el eje, dado que 7 < 16 (los divisores de mi ecuaciĂłn ordinaria encontrada) en este caso ďż˝ < ďż˝, por lo tanto el eje mayor es ďż˝, entonces tenemos la fĂłrmula para esta elipse: ( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2

+

( â&#x20AC;&#x201C; )2 2

=1

Por lo tanto: ďż˝ = (2, 0)

 = 16,  = 7 Para determinar C utilizamos el teorema de PitĂĄgoras. Teorema de PitĂĄgoras

 = 16 â&#x20AC;&#x201C; 7 = 9 = 3 Con los datos de ďż˝, ďż˝ y C podemos graficar. Recuerda que la distancia del centro al vĂŠrtice es ďż˝, la distancia de centro al foco es C y lo ancho de la elipse es 2ďż˝.

(2, 4) ´(2, â&#x20AC;&#x201C;4) (2, 3) ´(2, â&#x20AC;&#x201C;3)

127


3.4

ECUACIÓN DE LA ELIPSE Y APLICACIÓN

Gráfica en GeoGebra

Resuelve Ejercicio I Aplicación de la elipse. Centro en el origen 1.

Encontrar la ecuación ordinaria de la elipse si la longitud de su eje mayor es 7 6 y la del menor es 4, su centro está en el origen y su eje focal es �. 6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3 –4 –5 –6

Ecuación ordinaria:

128

–7

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


ECUACIÓN DE LA ELIPSE Y APLICACIÓN

Aplicación de la elipse. Centro en el origen

SE APLICA EN...

2. Encontrar la ecuación ordinaria de la elipse si la longitud de su eje mayor es 7 12 y la del menor es 6, su centro está en el origen y su eje focal es �. 6 5

4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3.4

11

–1 –2 –3

En medicina existe un aparato para desintegrar cálculos renales mdiante ondas intraacústicas de choque. El aparato es un medio elipsoide lleno de agua, el cual se coloca pegado al cuerpo del paciente. En uno de los focos se coloca el generador de ondas y el otro se ubica donde están los cálculos, así, al reflejarse las ondas, todas convergerán en el cálculo y se desintegrará.

–4 –5 –6 –7

Ecuación ordinaria:

3. Encontrar la ecuación ordinaria de la elipse si la longitud de su eje mayor es 7 10 y la del menor es 4, su centro está en el origen y su eje focal es �. 6 5

4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Ecuación ordinaria:

–7

129


3.4

ECUACIÓN DE LA ELIPSE Y APLICACIÓN

Ejercicio II Aplicación de la elipse. Centro fuera del origen 1.

Hallar la ecuación ordinaria de la elipse cuyos focos tienen las coordenadas F ( 2, 3) y F’(4, 3) y sus vértices V( 0, 3)7 y V’(6, 3). 6 5 4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

Ecuación ordinaria:

2. Hallar la ecuación ordinaria de la elipse cuyo centro es (–1, 1), los focos tie7 nen las coordenadas F ( –1, 4) y F’(–1, –2) y sus vértices V( –1, 6) y V’(–1, –4). 6 5

4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

Ecuación ordinaria:

130

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


3.5

Ecuación de la hipérbola y aplicación

Para empezar Las propiedades ópticas de las hipérbolas se combinan con las de las parábolas en el diseño del telescopio reflector. Los reactores nucleares, dispositivos en los cuales se produce una reacción nuclear en cadena controlada, son diseñados con hipérbolas. Las siguientes imágenes ilustran ejemplos en arquitectura:

Explicarás, interpretarás y resolverás ejercicios de la hipérbola a partir de su gráfica y fórmula.

Aún las encontramos en los relojes de arena.

131


3.5

ECUACIĂ&#x201C;N DE LA HIPĂ&#x2030;RBOLA Y APLICACIĂ&#x201C;N

Conoce La hipĂŠrbola es una secciĂłn cĂłnica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetrĂ­a, y con ĂĄngulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revoluciĂłn. La hipĂŠrbola es el lugar geomĂŠtrico de los puntos del plano tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante de magnitud menor que la distancia entre sus focos. Los elementos de la hipĂŠrbola son: â&#x2013;śâ&#x2013;ś Eje transversal o eje focal = 2ďż˝ â&#x2013;śâ&#x2013;ś Eje conjugado = 2ďż˝ â&#x2013;śâ&#x2013;ś Focos (ďż˝ ) y (ďż˝ â&#x20AC;&#x2122;) â&#x2013;śâ&#x2013;ś VĂŠrtices (ďż˝ ) y (ďż˝ â&#x20AC;&#x2122;) â&#x2013;śâ&#x2013;ś Centro ďż˝ â&#x2013;śâ&#x2013;ś Distancia focal = 2ďż˝

ÂżSABĂ?AS QUĂ&#x2030;â&#x20AC;Ś? El primero en usar el tĂŠrmino hipĂŠrbola fue Apolonio de PĂŠrgamo en su tratado CĂłnicas.

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

F´ 0

V´

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

V

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

F

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

En la tabla se muestran las ecuaciones de la hipĂŠrbola: HipĂŠrbola

Horizontal Vertical

Centro en el origen 2

â&#x20AC;&#x201C;

2



2

2

â&#x20AC;&#x201C;

2

=1

2



2

2

=1

Centro fuera del origen ( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2

â&#x20AC;&#x201C;

( â&#x20AC;&#x201C; )2 2

( â&#x20AC;&#x201C; )2

â&#x20AC;&#x201C;

2

=1

( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2

=1

La ecuaciĂłn general de la hipĂŠrbola es: 2 + 2 +  +  +  = 0

En los ejercicios de hipĂŠrbolas encontrarĂĄs algunos casos en los que no te darĂĄn el valor de ďż˝ y lo determinarĂĄs a partir del teorema de PitĂĄgoras. A

132

RECUERDA Las hipĂŠrbolas siempre se dibujan en pares.


ECUACIĂ&#x201C;N DE LA HIPĂ&#x2030;RBOLA Y APLICACIĂ&#x201C;N

3.5

diferencia de la elipse, el valor de la hipotenusa (el mĂĄs largo) estĂĄ determinado por la recta formada por las coordenadas del centro y el foco. Ejemplos

1. Hallar la ecuaciĂłn ordinaria y general de la hipĂŠrbola cuyas coordenadas son: C (0, 0) V (1, 0), F (2, 0) Vâ&#x20AC;&#x2122;(â&#x20AC;&#x201C;1, 0), F â&#x20AC;&#x2122;(â&#x20AC;&#x201C;2, 0)

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = ?

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 2

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; =1

Analizamos la grĂĄfica y observamos que el centro estĂĄ en el origen y determinamos el eje para utilizar la fĂłrmula adecuada. Debemos obtener el valor de ďż˝ con el teorema de PitĂĄgoras.

Teorema de PitĂĄgoras Hipotenusa2 = cateto opuesto2 + cateto adyacente2

2 = 2 + 2 Se nos proporciona el valor de la hipotenusa y de uno de los catetos, por lo tanto despejamos el cateto faltante ďż˝, y nos quedarĂ­a:

2 = 2 â&#x20AC;&#x201C; 2

Sustituimos:

 = 22 â&#x20AC;&#x201C; 12 = 3  = 1.7 Sustituimos los valores de ďż˝ y ďż˝ en la ecuaciĂłn de la hipĂŠrbola y nos queda: 2 2 â&#x20AC;&#x201C; =1  2 2 2 1

2

2 1

â&#x20AC;&#x201C;

2

â&#x20AC;&#x201C;

2

3

3

2

=1 =1

133


3.5

ECUACIĂ&#x201C;N DE LA HIPĂ&#x2030;RBOLA Y APLICACIĂ&#x201C;N

EcuaciĂłn general: multiplicar los denominadores para obtener un mĂşltiplo comĂşn y multiplicarlo en ambos lados, para desarrollar las operaciones necesarias y simplificar e igualar a 0. 3[

2 1

â&#x2C6;&#x2019;

2 3

]= 1(3)

32 â&#x20AC;&#x201C; 2 = 3 32 â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x20AC;&#x201C; 3 = 3 â&#x20AC;&#x201C; 3 32 â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x20AC;&#x201C; 3 = 0

EcuaciĂłn general y grĂĄfica en GeoGebra

2. Hallar la ecuaciĂłn ordinaria y general de la hipĂŠrbola cuyas coordenadas son: C (â&#x20AC;&#x201C;2,â&#x20AC;&#x201C;2) V (â&#x20AC;&#x201C;2, â&#x20AC;&#x201C;1), F (â&#x20AC;&#x201C;2, 0) Vâ&#x20AC;&#x2122;(â&#x20AC;&#x201C;2, â&#x20AC;&#x201C;3), Fâ&#x20AC;&#x2122;(â&#x20AC;&#x201C;2, â&#x20AC;&#x201C;4) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; =1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = ?

Analizamos la grĂĄfica y observamos que el centro estĂĄ fuera del origen y determinamos el eje para utilizar la fĂłrmula adecuada. Debemos obtener el valor de ďż˝ con el teorema de PitĂĄgoras.

134


ECUACIÃ&#x201C;N DE LA HIPÃ&#x2030;RBOLA Y APLICACIÃ&#x201C;N

3.5

Se nos proporciona el valor de la hipotenusa y uno de los catetos, por lo tanto despejamos el cateto faltante �, y nos quedaría:

2 = 2 â&#x2C6;&#x2019; 2

Sustituimos:

 = 22 â&#x2C6;&#x2019; 12 = 3  = 1.7 Sustituimos los datos del valor del centro, de � y de � en la ecuación de la hipérbola y nos queda: (� â&#x20AC;&#x201C; �)2 â&#x20AC;&#x201C; (� â&#x20AC;&#x201C; �)2 = �2 �2

(� â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;2))2 â&#x20AC;&#x201C; (� â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;2))2 = 1 1 3

Ecuación general: el procedimiento que recomendamos es la resta de fracciones de diferente denominador y simplificar e igualar a 0. 3( + 2)2 â&#x20AC;&#x201C; 1( + 2)2 3

3[

3( + 2)2 â&#x2C6;&#x2019; 1( + 2)2 3

=1

] = 1 (3)

3( + 2)2 â&#x20AC;&#x201C; ( + 2)2 = 3 3(2 + 4 + 4) â&#x20AC;&#x201C; (2 4 + 4) = 3

32 + 12 + 12 â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x20AC;&#x201C; 4 â&#x20AC;&#x201C; 4 = 3 32 + 12 + 12 â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x20AC;&#x201C; 4 â&#x20AC;&#x201C; 4 = 3

â&#x20AC;&#x201C;2 + 32 â&#x20AC;&#x201C; 4 + 12 + 12 â&#x20AC;&#x201C; 4 â&#x20AC;&#x201C; 3 = 3 â&#x20AC;&#x201C; 3 â&#x20AC;&#x201C;2 + 32 â&#x20AC;&#x201C; 4 + 12 + 5 = 0 Gráfica en GeoGebra

135


3.5

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Y APLICACIÓN

Resuelve

SE APLICA EN...

Ejercicio I

El telescopio Cassegrain usa el principio de reflexión análoga de la hipérbola.

Aplicación de la hipérbola. Centro en el origen 1.

Determina la ecuación ordinaria de la hipérbola con centro en el origen sabiendo que sus vértices tienen coordenadas V(0, 3) y V ’(0, –3) y sus focos F (0, 5) y 7 F’(0, –5). Además, determina la longitud de su eje transverso 2�, eje conjugado 6 del plano cartesiano. 2� y la longitud de su lado recto. Auxíliate 5

4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Ecuación ordinaria:

–7

2. Determina la ecuación ordinaria de la hipérbola con centro en el origen, sabien7 do que sus vértices tienen coordenadas V(3, 0) y V’(–3, 0) y sus focos F(5, 0) y 6 F’(–5, 0). 5

4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3 –4 –5

Ecuación ordinaria:

136

–6 –7

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Y APLICACIÓN

3.5

Ejercicio II Aplicación de la hipérbola. Centro fuera del origen 1.

Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola cuyos focos tienen las coorde7 nadas (5, –1) y (–3, –1) y sus vértices (4, –1) y (–2, –1). 6 5

4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

Ecuación ordinaria:

2. Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola cuyo centro es (1, 1) y los focos tienen las coordenadas (1, 5) y (1, –37) y sus vértices (1, 3) y (1, –1). 6 5

4 3 2 1

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Ecuación ordinaria:

–7

137


3.6

Uso de software para generar gráficas de cónicas

Para empezar El avance científico y de las TIC nos ayuda de manera extraordinaria en el estudio y comprensión de las matemáticas. Software matemático es aquel programa o sistema que se utiliza para resolver o ilustrar problemas matemáticos. Entre este tipo de sistemas o aplicaciones encontramos los sistemas algebraicos computacionales  y graficadores de funciones, entre otros. Existen grupos y proyectos dedicados al estudio y difusión de software matemático libre para los cuales proporcionan productos que facilitan el trabajo con estas herramientas para el estudio de las matemáticas dentro y fuera del aula. Un paquete estadístico es un sistema diseñado para resolver problemas en el área de la estadística, así como algunos programas que, aunque no son especialmente estadísticos, permiten realizar algunos cálculos de estadística aplicada. Un software de análisis numérico es un programa que simula procesos matemáticos complejos aplicados a procesos del mundo real. Un sistema algebraico computacional (CAS, del inglés Computer Algebra System) es un programa que facilita el cálculo simbólico. La principal diferencia entre este y una calculadora es la habilidad para trabajar con ecuaciones y fórmulas simbólicamente, en lugar de numéricamente, lo cual nos ayuda en el uso del programa. Un programa interactivo de geometría o entorno de geometría dinámica permite crear y manipular construcciones geométricas, principalmente en geometría plana. Para el estudio y el desarrollo del pensamiento espacial y de sistemas geométricos existen muchos recursos informáticos o software, la mayor parte de ellos libres, y los podemos descargar de internet sin necesidad de desembolsar grandes cantidades de dinero. Algunos de los programas más conocidos son: ▶ Geometer’s Sketchpad. Herramienta muy útil para explorar en geometría. Se puede utilizar para elaborar construcciones geométricas con la ventaja, sobre las diseñadas con lápiz y papel, de que se pueden modificar interactivamente. ▶ GeoGebra. Permite realizar construcciones de geometría, álgebra y cálculo, tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas, como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente. Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Con GeoGebra es posible utilizar variables relacionadas con números, vectores y puntos; hallar derivadas e integrales de funciones y utilizar un repertorio de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos particulares de una función, como raíces o extremos. El entorno de trabajo es muy sencillo: ofrece dos ventanas, una algebraica y otra geométrica que

138

Utilizarás las tecnologías de la información para el desarrollo de gráficas.


USO DE SOFTWARE PARA GENERAR GRÁFICAS DE CÓNICAS

3.6

se corresponden la una a la otra. Esto es, una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa. Disponible para Windows, Mac OS X, Linux/Unix.

Conoce GeoGebra es un software libre y por esa razón daremos un breve recorrido por sus principales características y contenidos. ▶▶ GeoGebra en línea:

¿SABÍAS QUE…? Para descargas e información consulta esta página:

Este sistema es de fácil operación. Cuenta con una barra de menús que permite su manipulación sin grandes problemas, por su semejanza con los procesadores de texto más populares. Desde luego, en él podrás realizar ejercicios de cónicas.

139


3.6

USO DE SOFTWARE PARA GENERAR GRĂ FICAS DE CĂ&#x201C;NICAS

Barra de menĂş

Barra de herramientas

Barra de tareas

GrĂĄficos, plano đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

Entrada de comandos

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Lo que puedes crear:

140


USO DE SOFTWARE PARA GENERAR GRĂ FICAS DE CĂ&#x201C;NICAS

3.6

Resuelve En GeoGebra desarrolla las grĂĄficas de las siguientes ecuaciones y determina la figura que forman. 1.

2 + 22 â&#x20AC;&#x201C; 2 + 8 + 5 = 0

2 2 2. 3 +  â&#x20AC;&#x201C; 24 + 39 = 0 2 2 3.  +  â&#x20AC;&#x201C; 4 â&#x20AC;&#x201C; 6 â&#x20AC;&#x201C; 12 = 0

4. 2 â&#x20AC;&#x201C; 6 â&#x20AC;&#x201C; 8 + 17 = 0 5.

2 â&#x20AC;&#x201C; 22 â&#x20AC;&#x201C; 4 â&#x20AC;&#x201C; 4 = 0

2 2 6. 4 + 4 â&#x20AC;&#x201C; 4 â&#x20AC;&#x201C; 8 â&#x20AC;&#x201C; 11 = 0

7.

2 â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x20AC;&#x201C; 6 â&#x20AC;&#x201C; 5 = 0

141


1.2

Actividad TĂŠcnicas de integradora lectura eficaz 3

La antena de una compaùía telefĂłnica que se encuentra en la ciudad de Eternia manda una seĂąal en forma de elipse horizontal. Dicha seĂąal tiene la siguiente ecuaciĂłn general: 4ďż˝2 + 9ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; 16ďż˝ + 18ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 11 = 0. Transforma esta ecuaciĂłn general en ecuaciĂłn ordinaria, luego realiza lo siguiente: â&#x2013;ś Determina aritmĂŠticamente el origen de la seĂąal (centro de la elipse). â&#x2013;ś Determina aritmĂŠticamente los vĂŠrtices de la seĂąal. â&#x2013;ś Determina aritmĂŠticamente los focos de la seĂąal. â&#x2013;ś Dibuja la elipse en el plano cartesiano. â&#x2013;ś Mediante la observaciĂłn de la grĂĄfica y la ubicaciĂłn de los establecimientos determina cuĂĄles de ellos tienen alcance de esta seĂąal.

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

142

Aeropuerto

Restaurante

Taller mecĂĄnico

Supermercado

Bar

Hospital

EstĂŠtica

Cinema

CafeterĂ­a


ACTIVIDAD INTEGRADORA 3

Aplica tus conocimientos Con los conocimientos adquiridos, en binas o por equipo, crea un ejercicio en el que pongas en práctica la unidad de competencia 3 y su aplicación en la vida cotidiana. El ejercicio que generes debe contener los siguientes puntos: ▶ Planteamiento de una situación en donde involucres el tema de la hipérbola. ▶ Indica los datos necesarios. ▶ Plantea una serie de preguntas que se tendrán que resolver a partir del planteamiento y los datos (no olvides incluir un plano cartesiano). Este ejercicio se te calificará de acuerdo con los siguientes criterios: ▶ Creatividad en la propuesta. ▶ Planteamiento relacionado con la vida cotidiana. ▶ Resolución correcta de ejercicios.

143


Evaluación 3

Heteroevaluación Evaluación del desempeño del alumno, donde se analizarán los saberes adquiridos a lo largo de este segmento del curso.

Aspectos a evaluar

Casi siempre

Siempre

Ocasionalmente

Identifica y resuelve problemas de productos notables. Analiza cada situación y determina el modelo para la solución. Resuelve efectivamente ejercicios de factorización. Sigue instrucciones y procedimientos para la solución de ejercicios de la vida real con productos notables y factorización. Observaciones

Coevaluación Evalúa el desempeño de uno de tus compañeros, tu profesor te indicará a quién, tomando en cuenta los aspectos que se proponen. Recuerda que deberás hacerlo de manera personal y consciente.

Nombre del compañero: Aspectos a evaluar

No

¿Por qué?

Durante el desarrollo hace sugerencias para mejorar los resultados del trabajo. Aporta información de fuentes confiables relacionada directamente con el tema del trabajo.

Comparte ideas y escucha con respeto las del resto del equipo.

Mantiene un ánimo positivo para la realización del trabajo.

144

Nunca


EVALUACIÓN 3

Entrega sus aportaciones y materiales a tiempo en los términos acordados.

Estuvo presente y a tiempo en todas las clases.

Cuando existe algún desacuerdo escucha las opiniones y expone sus ideas con respeto.

Autoevaluación ▶ Reflexiona y valora tu desempeño dentro del aula y la interacción con otros compañeros. ▶ Registra de manera honesta tu propio avance.

Aspectos a evaluar

No

¿Por qué?

Participé en debates o discusiones constructivas con mis compañeros en clase. Escuché los puntos de vista y participé en la libre exposición de las ideas y opiniones. Participé activamente en clase, y aporté ideas y puntos de vista en actividades de retroalimentación, así como en plenarias. Resolví dudas sobre mis intervenciones en clase. Adquirí nuevos conocimientos mediante el trabajo individual y colaborativo. Cumplí oportunamente con tareas, trabajos y exámenes. Indagué, analicé y apliqué información de distintas fuentes bibliográficas impresas o digitales de los temas que se trataron en el curso. Respeté la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales entre mis compañeros y el profesor. Utilicé el diálogo como mecanismo para la solución de diferencias o discrepancias entre mis compañeros y con el profesor. Cumplí con las normas de trabajo y convivencia que se acordaron en clase. Mi desempeño en clase contribuyó a crear un mejor ambiente de aprendizaje.

145


GLOSARIO

Unidad 1 Complemento de un evento. La probabilidad de que no ocurra un evento. Espacio muestral. Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento o experiencia aleatoria. Espacio muestral continuo. Todo espacio muestral cuyos elementos resultan de hacer mediciones, siendo por lo general intervalos en el conjunto de los números reales. Espacio muestral discreto. Todo espacio muestral cuyos elementos resultan de hacer conteos finitos o infinitos de elementos, siendo por lo general subconjuntos de los números enteros. Evento. Suceso importante y programado; en probabilidad, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Evento compuesto. Aquel que tiene dos o más elementos. Evento simple. Aquel que tiene un solo elemento. Experimento. Un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Experimento aleatorio. Aquel que puede producir resultados diferentes, aun cuando se repita siempre de la misma manera. Experimento determinístico. Aquel que al ser realizado con las mismas condiciones iniciales produce los mismos resultados. Probabilidad. En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Probabilidad condicional. Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B.

146


GLOSARIO

Probabilidad de eventos independientes. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

Unidad 2 Ă ngulo de inclinaciĂłn de una recta. El ĂĄngulo que forma el segmento (o su prolongaciĂłn) con el eje đ?&#x2018;Ľ, medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj y considerando dicho eje como lado inicial. Distancia entre dos puntos. Valor numĂŠrico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilĂ­neo que une esos dos puntos. Pendiente de una recta. Tangente del ĂĄngulo que forma la recta con la direcciĂłn positiva del eje de abscisas. Plano cartesiano. Dos rectas numĂŠricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema. Su nombre se debe al filĂłsofo y matemĂĄtico francĂŠs RenĂŠ Descartes. PolĂ­gono. Figura plana compuesta por una secuencia limitada de segmentos rectos consecutivos que cierran una regiĂłn en el plano. Punto medio. Punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. RazĂłn dada. Dividir un segmento en una razĂłn dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se encuentren las coordenadas de un punto (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) que satisface la comparaciĂłn entre dos magnitudes. Recta paralela. En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes. Recta perpendicular. Las que al cortarse forman cuatro ĂĄngulos iguales. Segmento. Fragmento de recta que estĂĄ comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales. Valor absoluto. Es un valor numĂŠrico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (â&#x20AC;&#x201C;).

Unidad 3 Ă rea. Superficie acotada, que se distingue de lo que la rodea. CĂ­rculo. Figura geomĂŠtrica delimitada por una circunferencia.

147


GLOSARIO

Circunferencia. Curva cerrada cuyos puntos equidistan del centro. CĂłnica. Del cono o relacionado con este cuerpo geomĂŠtrico. CĂłnicas. Curvas planas obtenidas mediante la intersecciĂłn de un cono con un plano. Coordenada. Que sirve para determinar la posiciĂłn de un punto en un plano. DiĂĄmetro. LĂ­nea recta que une dos puntos de una circunferencia, de una curva cerrada o de la superficie de una esfera pasando por su centro. Directriz de la parĂĄbola. LĂ­nea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia ďż˝ del vĂŠrtice y fuera de las ramas de la parĂĄbola.

Distancia focal de la parĂĄbola. Magnitud de distancia del vĂŠrtice al foco.

EcuaciĂłn general. ExpresiĂłn que utiliza constantes literales (sin valores especĂ­ficos) y variables para definir un tipo de relaciĂłn. La forma general nos permite estudiar una serie de problemas una sola vez. Por ejemplo, la forma general de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica es đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = 0. EcuaciĂłn ordinaria. EcuaciĂłn diferencial que relaciona una funciĂłn desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Eje focal de la elipse. Recta que pasa por los focos. Eje focal de la hipĂŠrbola. El eje mayor es la recta de la hipĂŠrbola a la cual pertenecen los focos y los vĂŠrtices de la misma. Elipse. Figura geomĂŠtrica curva y cerrada, con dos ejes perpendiculares desiguales, que resulta de cortar la superficie de un cono por un plano no perpendicular a su eje, y que tiene la forma de un cĂ­rculo achatado. Excentricidad. Mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor. Foco de la elipse. Son dos puntos. Respecto de ellos la suma de las distancias a cualquier otro punto de la elipse es constante. Foco de la hipĂŠrbola. Son dos puntos. Respecto de ellos, permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto de dicha hipĂŠrbola. Foco de la parĂĄbola. Es un punto. Respecto del foco, cada punto de la parĂĄbola posee la misma distancia hasta una recta llamada directriz. HipĂŠrbola. Lugar geomĂŠtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

148


GLOSARIO

Lado recto de la parábola. Segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz. Parábola. Curva con dos brazos abiertos cada vez más, simétrica con respecto a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la directriz. Esta recta se llama eje de simetría y el punto donde esta recta intersecta a la parábola se llama vértice. Perímetro. Línea o conjunto de líneas que forman el contorno de una superficie o una figura. Radio. Línea recta que une el centro de un círculo con cualquier punto del borde de la circunferencia. Vértice de la elipse. Puntos donde la elipse corta a sus ejes. Vértice de la hipérbola. Los puntos donde esta corta a sus ejes. Vértice de la parábola. Punto donde la parábola cruza su eje de simetría. Vértice en el origen de la parábola. Punto de la parábola que coincide con el eje focal que se encuentra en la coordenada (0, 0). Vértice fuera del origen de la parábola. Punto de la parábola que coincide con el eje focal que se encuentra fuera de la coordenada (0, 0).

149


FORMULARIO

Unidad 1 Espacio muestral

E = {â&#x20AC;Ś} Probabilidad clĂĄsica

Probabilidad (A) =

NĂşmero de veces que el suceso ocurriĂł (E) Total de sucesos realizados (N)

Probabilidad del complemento de un evento

P (Aâ&#x20AC;&#x2122;) = 1 â&#x20AC;&#x201C; P (A) Probabilidad de eventos independientes

P (A â&#x2C6;Š B) = P (A) P (B) âŚ

Probabilidad condicional

P (A /B) = (A â&#x2C6;Š B) (B)

Unidad 2 Distancia entre dos puntos lineales

Horizontal đ?&#x2018;&#x2018; = |đ?&#x2018;Ľ2 â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ1| Vertical đ?&#x2018;&#x2018; = |đ?&#x2018;Ś2 â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ś1|

Distancia entre dos puntos en el plano

â&#x20AC;&#x201C;

+

â&#x20AC;&#x201C;

Punto medio de un segmento

=

150

+


FORMULARIO

RazĂłn dada de un segmento

Para la abscisa

=

+ +

=

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;

Para la ordenada

=

+ +

=

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;

Pendiente de una recta

=

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;

Ă ngulo de inclinaciĂłn de una recta

=

-

Formas de la ecuaciĂłn de la recta

Forma punto pendiente đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ś1 = đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ1) Forma pendiente-ordenada al origen đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;? Forma general Ađ?&#x2018;Ľ + Bđ?&#x2018;Ś +C = 0 Paralelismo

đ?&#x2018;&#x161;1 = đ?&#x2018;&#x161;2

Perpendicularidad

đ?&#x2018;&#x161; = â&#x20AC;&#x201C;1/đ?&#x2018;&#x161;2

FĂłrmula de HerĂłn

A = ďż˝(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝)(ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; ďż˝) Donde ďż˝ = (ďż˝ + ďż˝ + ďż˝)

Unidad 3 Ă rea del cĂ­rculo

A = ďż˝2 Ď&#x20AC;

PerĂ­metro del cĂ­rculo

P=DĎ&#x20AC;

EcuaciĂłn de la circunferencia con centro en el origen (caso uno) 2 2 2  +  = 

EcuaciĂłn de la circunferencia con centro fuera del origen (caso dos)

( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 + ( â&#x20AC;&#x201C; )2 = 2 C (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) â&#x201E;&#x17D; = coordenada đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; = coordenada đ?&#x2018;Ś

151


FORMULARIO

EcuaciĂłn de la circunferencia con centro fuera del origen (caso tres)

Radio =  = (2 â&#x20AC;&#x201C; 1)2 + (2 â&#x20AC;&#x201C; 1)2 EcuaciĂłn de la circunferencia con centro fuera del origen (caso cuatro)

( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 + ( â&#x20AC;&#x201C; )2 = 2 EcuaciĂłn general de la circunferencia 2 + 2 +  +  +   0

Coordenada h â&#x201E;&#x17D; = Coordenada k  =

â&#x201E;&#x17D;=

 â&#x20AC;&#x201C;2



 â&#x20AC;&#x201C;2  â&#x20AC;&#x201C;2

Radio = = â&#x201E;&#x17D; + â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;2 2

2

EcuaciĂłn de la parĂĄbola con centro en el origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ľ positiva (abre a la derecha)

2 = 4

EcuaciĂłn de la parĂĄbola con centro en el origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ľ negativa (abre a la izquierda)

2 = â&#x20AC;&#x201C;4

EcuaciĂłn de la parĂĄbola con centro en el origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ś positiva (abre hacia arriba)

2 = 4

EcuaciĂłn de la parĂĄbola con centro en el origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ś negativa (abre hacia abajo)

2 = â&#x20AC;&#x201C;4

EcuaciĂłn de la parĂĄbola con centro fuera del origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ľ positiva (abre a la derecha)

( â&#x20AC;&#x201C; )2 = 4( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)

EcuaciĂłn de la parĂĄbola con centro fuera del origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ľ negativa (abre a la izquierda)

( â&#x20AC;&#x201C; )2 = â&#x20AC;&#x201C;4( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)

EcuaciĂłn de la parĂĄbola con centro fuera del origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ś positiva (abre hacia arriba)

( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 = 4( â&#x20AC;&#x201C; )

EcuaciĂłn de la parĂĄbola con centro fuera del origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ś negativa (abre hacia abajo)

( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 = â&#x20AC;&#x201C;4( â&#x20AC;&#x201C; )

Lado recto =  = |4| Distancia focal =  = ||

152


FORMULARIO

EcuaciĂłn de la elipse con centro en el origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ľ (horizontal) 2 2

+

2 2

=1

EcuaciĂłn de la elipse con centro en el origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ś (vertical) 2 2

+

2 2

=1

EcuaciĂłn de la elipse con centro fuera del origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ľ ( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2

+

( â&#x20AC;&#x201C; )2 2

=1

EcuaciĂłn de la elipse con centro fuera del origen y eje de simetrĂ­a en đ?&#x2018;Ś ( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2

+

( â&#x20AC;&#x201C; )2 2

=1

Teorema de PitĂĄgoras

Hipotenusa2 = cateto opuesto2 + cateto adyacente2 Teorema de PitĂĄgoras aplicado a ejercicios de elipses

2 = 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 EcuaciĂłn de la hipĂŠrbola con centro en el origen y eje en đ?&#x2018;Ľ (horizontal) 2 2 â&#x20AC;&#x201C; =1  2 2

EcuaciĂłn de la hipĂŠrbola con centro en el origen y eje en đ?&#x2018;Ś (horizontal) 2 

2

â&#x20AC;&#x201C;

2

2

=1

EcuaciĂłn de la hipĂŠrbola con centro fuera del origen y eje en đ?&#x2018;Ľ (vertical) ( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2

â&#x20AC;&#x201C;

( â&#x20AC;&#x201C; )2 2

=1

EcuaciĂłn de la hipĂŠrbola con centro fuera del origen y eje en đ?&#x2018;Ś (vertical) ( â&#x20AC;&#x201C; )2 2

â&#x20AC;&#x201C;

( â&#x20AC;&#x201C; â&#x201E;&#x17D;)2 2

=1

Teorema de PitĂĄgoras aplicado a ejercicios de hipĂŠrbolas

 = 2 â&#x2C6;&#x2019; 2

153


BIBLIOGRAFÍA

Bello, I., Hopf, F. (2009). Álgebra intermedia, 3ª edición. México: McGraw-Hill. de Oteyza, E. et al. (2001). Geometría analítica y trigonometría. México: Prentice Hall. Gustafson, D., Frisk, P. (2006). Álgebra intermedia, 7ª edición. México: CengageLearning Editores. Kindle, J. (2001). Geometría analítica. México: McGraw-Hill. Lehmann, C. H. (2012). Geometría analítica. México: Limusa. Meyer, P. (1999). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. México: Addison-Wesley Iberoamericana. Real Academia Española. Diccionario de la lengua española, edición tricentenario. Consultado el 20 de junio de 2016. Recuperado de: http://dle.rae.es/?w=diccionario. Spiegel, M. (1976). Teoría y problemas de probabilidad y estadística. México: McGrawHill. Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: Cengage Learning. Wikipedia. Consultado el 25 de junio de 2016. Recuperado de: https://es.wikipedia. org/wiki/Wikipedia:Portada.

154


EJERCICIOS EXTRAS


Ejercicios Planea Señala la respuesta correcta. 1. ¿Qué fracción es equivalente a 1 ? 2 3 a) 12

b)

6 12

2. ¿Cuál es el resultado de a) 4

1 2

12

+

6

d)

9

c)

4

d)

67

8

6

1

– ?

24

5

15

b)

c)

67 240

5

30

3. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación matemática: (12)( 1 )? 3 2 c) 26 a) 5 b)

24

13

27

d) 24 5

40

4. Identifica el resultado de la siguiente operación: a) –29 c) 25 b) –11 d) 27 5.

¿Cuál es el resultado de a) 2

1



3

4 2

?

3

+1 5

c) 4

27

b)

10 – (2)(–1)

d) 6

1 6

6. ¿Cuál de los siguientes números no es un elemento del intervalo c) 0.42 a) 6

1 7

, 0.95 ?

16

b) 0.38

d) 18

7

7

19

7. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función �(�) = �2 + 30? 90 a)

-9

-8

-7

–12

156

–10

–8

–6

–4

–2

6

75

b)

5

90

40

75

30

50

20

25

10

-122 –15

-114

-106

-98

-810

-712

-67

–108

–89

–610

–411

–2

2 –10

–30

–20

–45

–30

–60

–40

–75

–5

-6

-6

4

6

8

10

6

7

8


2

2

c)

-9

-8

-7

-6

–10

–8

–6

–4

7

7

6

30

d)

5

25

70

20

50

15

30

10

10

5

-122

–2

-114

-106

-98

-810

-76

–127

–108

–89

–610

–411

EJERCICIOS PLANEA

–2

2

–10

–5

–20

–10

–50

–15

–70

–20

–5 16

–25

4

6

8

10

12

7

8

16

8. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la ecuación �2 + �2  = 16? 28

14

-6

-6

a)

24

b)

-7

20

–20

–18

–16

–28

–24

–20

–16

–12

–8

5

16

4

12

3

8

2

4

-11

6

-7

1

–4

4 –4

8

-12

12

16

-11

20

–20

24

–18

28

–8

16

–7

18

–6

20

–5

22

–4

12

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–1 –8

–2

–12

16

–3

–16

14

–4

–20 16

6 –5

–24 28

c)

d)

–28 24

–6 5

–16 20

–7 4

16

–16

3

12

2

8

1

4

-11

–20

–18

–16

–28

–24

–20

–16

–12

–8

–4 –4

4 -12

–8

8-11

12–2016

20 –18

24 –8

28 –7

16 –6 18

–520

22 –4

12–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

–1 –2

–12 –16 –20 –24 –28

–3 –4 –5 –6

–16

–7 –16

157

7

8


EJERCICIOS PLANEA 16 14

9. De las siguientes gráficas, ¿cuál representa la función �(�) = �3 + 1?

16

12

a)

14

b)

10

12

8

10

6

8

4

6

2

20

–18

–4

–3

–2

4

–1

1

2

3

4

9

10

11

2

12

–2

-12

–4

c)

-11

–20

–18

–4

–3

–2

–1

1

16 –6

16 –4

–8 14

14 –6

–10 12

12 –8

d)

–12 10 –14 8

–4

–3

–2

6 –14

4

4 –16

2

2

-12

-11 1

–20

–18 2

–4

3

-3

-12

-2

-11

-1-10

-9

10

11 –1

12

1

2

–4

–6

–6

7

–8

–8

7

6

–10

–10

6

–12

5

4

–14

3

–16

-8

-1 -2 -3 -4 -5

158

9 –2

–4

b)

1

-4

4

–2

2

-5

–3

–2

2

–12 10. Identifica la5 gráfica correspondiente a la7 ecuación

a)

1

-7

2 -6

-5

3

-4 -12-3

4

4

9

10 –10

6

–1

3

8 –12

–16

–18

2

–2

-11-2

5

-10-1

6

-9

16

6

7

+ 2 = 1

6

c)

5 4

4

3

3

2

2

1

1

-7 2 7 -8 1 -12 8 -1

-6 3

-119

-5 4

-10 10-4 5 -9-3 116

-2 7

-8

-1 8

-7

9

-1

d)

–14

5

3

4

9

4

–16

3 2 1

-6110

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7

211

-5

3

-4

4

-35

6

-2

7

-1

8

9

10

1

-1 -2 -3 -4 -5

-6

-6

-7

-7

11

2

3

4

5


Ejercicios PISA Resuelve las preguntas realizando los procesos necesarios. 1. En las gráficas siguientes se muestra información sobre la producción ganadera en Jalisco los últimos cinco años (en millones de pesos) y el tipo de ganado. Total de ventas (millones de pesos) 50 40 30 20

27.3

30.1

2012

2013

35.2

38.1

40.5

2015

2016

10 0

2014

Tasa por tipo de ganado

25%

8%

3%

Vacuno 33%

31%

Porcino Ovino Caprino Equino

a) ¿Cuál es el valor total (en millones de pesos ) de las exportaciones en Jalisco en 2015?

b) ¿Cuál fue el valor de la producción porcina en 2016?

c) ¿Cuál fue el valor de la producción equina en 2012?

2. José Luis viajará a Londres y en su viaje de regreso, antes de llegar a México, hará escala en Berlín. Para sus gastos cuenta con 45 000.00 pesos mexicanos. Este es el tipo de cambio de libras y euros: 20.3 pesos = 1 libra, 19.4 pesos = 1 euro. a) ¿Cuántas libras puede comprar con el 80% del dinero con el que cuenta?

b) Suponiendo que del dinero que cambió a libras sólo gastó 90% y el resto lo convirtió a euros, ¿cuántos euros llevará a Berlín?

159


EJERCICIOS PISA

3. El tiempo universal coordinado (UTC), también conocido como tiempo civil, es el tiempo de la zona horaria de referencia respecto a la cual se calculan todas las otras zonas del mundo. El 1 de enero de 1972 este sistema pasó a ser el sucesor del GMT (Greenwich Mean Time: ‘tiempo promedio del Observatorio de Greenwich’, en Londres), aunque todavía coloquialmente algunas veces se le denomina así.

Roma 04:53:25

Acapulco 21:52:35

a) Considerando la información que se encuentra en el gráfico, si quisiera llamar por teléfono de Acapulco a la ciudad de Roma a las 10 de la mañana, ¿qué hora sería en Roma?

b) ¿Qué hora será en Acapulco cuando en Roma son las 3 de la tarde?

4. Si 5 litros de pintura valen $1 500.00, ¿cuáles serían los precios proporcionales de las diferentes presentaciones de envases de pintura?

Cantidad 5 litros 10 litros

Precio $1 500.00

15 litros 1 litro 5.

Una cuadrilla de cuatro trabajadores tardan 17 días en hacer una barda perimetral. a) ¿Cuánto tardarían nueve trabajadores en hacerla?

b) ¿Cuántos trabajadores se deberán contratar para terminar en 3 días?

160


EJERCICIOS PLANEA


EJERCICIOS PLANEA


Matemática y ciencia II se terminó de imprimir en diciembre de 2017 en los talleres de Coloristas y Asociados S.A. de C.V. Calzada de los Héroes 315, Zona Centro, 37000 León, Guanajuato

Profile for Editorial Universitaria

Matemática y ciencia II  

Libro de texto apegado al programa del Bachillerato General por Competencias de la Universidad de Guadalajara

Matemática y ciencia II  

Libro de texto apegado al programa del Bachillerato General por Competencias de la Universidad de Guadalajara