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ANA BETTY VELÁZQUEZ ORTEGA JOVITA ARMENTA ROMERO MARÍA CRISTINA CASTAÑEDA CASTELLANOS ROGELIO GONZÁLEZ NAVARRO LETICIA MORA BLACKALLER

MATEMÁTICA


Rectoría General Itzcóatl Tonatiuh Bravo Padilla Vicerrectoría Ejecutiva Miguel Ángel Navarro Navarro Secretaría General José Alfredo Peña Ramos Dirección General del Sistema de Educación Media Superior Javier Espinoza de los Monteros Cárdenas Secretaría Académica del Sistema de Educación Media Superior Ernesto Herrera Cárdenas Secretaría Administrativa del Sistema de Educación Media Superior Adriana Lorena Fierros Lara Coordinación del Corporativo de Empresas Universitarias José Antonio Ibarra Cervantes Dirección de la Editorial Universitaria Sayri Karp Mitastein

Primera edición corregida, 2017 Autores Ana Betty Velázquez Ortega Jovita Armenta Romero María Cristina Castañeda Castellanos Rogelio González Navarro Leticia Mora Blackaller

Este libro fue sometido a una revisión técnica, realizada por el Dr. Ignacio Barradas y el Dr. Jorge Olivares, del Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. (CIMAT).

Coordinación de la serie: Sofía Rodríguez Benítez Coordinación editorial: Sol Ortega Ruelas Corrección: Juan Felipe Cobián Diseño y diagramación: Mónica Arreola, Paola Vázquez Murillo, Georgina Fernández, J. Daniel Zamorano Hernández D.R. © 2017, Universidad de Guadalajara

Editorial Universitaria José Bonifacio Andrada 2679 Colonia Lomas de Guevara 44657 Guadalajara, Jalisco www.editorial.udg.mx 01 800 UDG LIBRO Impreso y hecho en México Printed and made in Mexico

Se prohíbe la reproducción, el registro o la transmisión parcial o total de esta obra por cualquier sistema de recuperación de información, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, existente o por existir, sin el permiso por escrito del titular de los derechos correspondientes.


Ă?ndice

PresentaciĂłn 7 Conoce tu libro

8

PropĂłsitos formativos

10

Unidad de competencia 1. Pensamiento algebraico

12

1.1

SimplificaciĂłn de expresiones algebraicas

14

Leyes de los exponentes

14

Operaciones con monomios

18

Operaciones con polinomios

24

1.2 Ecuaciones

32

Lenguaje algebraico

33

Resolución de ecuaciones de primer grado �� + � = � 35

Ecuaciones lineales de primer grado (đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?) (đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?) (ďż˝đ?‘Ľ + ďż˝) = =ďż˝ y đ?‘? đ?‘?

ďż˝

39

GraficaciĂłn de ecuaciones lineales

41

1.3 Desigualdades

49

Desigualdades lineales

49

GraficaciĂłn de desigualdades lineales

50

1.4 Sistemas de ecuaciones

54

Sistemas de ecuaciones lineales

55

GraficaciĂłn de sistemas de ecuaciones 2 x 2

57

MĂŠtodos para resolver ecuaciones con dos incĂłgnitas

60

ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

68


Unidad de competencia 2. Forma, espacio y medida

72

2.1

Propiedades de los polígonos

74

Triángulos: clasificación y propiedades

75

Cuadriláteros: clasificación y propiedades

85

Polígonos en general: clasificación y propiedades

94

2.2 Congruencia y semejanza

99

Criterio de congruencia

100

Teorema de Tales y su aplicación

102

Escalas

106

Semejanza de polígonos

109

2.3 Teorema de pitágoras

112

2.4 Perímetro, áreas y volúmenes

116

Conversión de unidades de medición

117

Áreas y perímetros de polígonos irregulares

121

Volúmenes de prismas y paralelepípedos

125

Volúmenes de conos, esferas y pirámides

127

2.5 Imaginación espacial

131

Poliedros regulares

131

Sólidos compuestos

135

Transformaciones y perspectivas

137

Secciones de poliedros

144

Área superficial de sólidos y desarrollo plano

147

ACTIVIDAD INTEGRADORA 2

157

Bibliografía

160

Ejercicios extras

161

162

Ejercicios Planea

Ejercicios PISA 164


PRESENTACIÓN

En la perspectiva constructivista se pretende que el estudiante movilice una gran variedad de saberes, recursos y técnicas cognitivas para enfrentarse satisfactoriamente a problemas que se presenten en diferentes escenarios y momentos. Al hacerlo es necesario que la persona reconstruya el conocimiento y tome decisiones acertadas, usando su creatividad y su capacidad de reflexión. En este libro se pretende que el alumno perciba la matemática como parte esencial de su día a día. Así, en la unidad de competencia I, “Pensamiento algebraico”, aprenderá a utilizar sistemas lineales de ecuaciones, que tienen un sinfín de usos en la realidad, por ejemplo en el procesamiento digital de señales, en los análisis estructurales y en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. En la unidad de competencia II, “Forma, espacio y medida”, aplicará teoremas y fórmulas geométricas para obtener áreas y volúmenes, lo que resulta útil en ámbitos tan diversos como la reparación doméstica, la creación artística y el trabajo científico en infinidad de disciplinas (física, mecánica, arquitectura, topografía, cartografía, aeronáutica, etcétera). Las secuencias didácticas de Matemática y vida cotidiana II, alineadas a los más recientes programas del Bachillerato General por Competencias del Sistema de Educación Media Superior de la Universidad de Guadalajara, se basan en un enfoque dinámico, autogestivo, colaborativo, realista y transdisciplinar de los conocimientos matemáticos.

7


Conoce tu libro Matemática y vida cotidiana II está compuesto por dos unidades. En la primera de ellas, “Pensamiento algebraico”, aplicarás diferentes modelos algebraicos, mientras en la segunda, “Forma, espacio y medida”, adquirirás saberes geométricos vinculados con la vida real.

Presentación de la unidad de competencia

Secuencia didáctica

Introducción

Antes que nada Para empezar

Desarrollo

Conoce

Cierre

Resuelve

1

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA

Enuncia las competencias específicas que adquirirás y los objetivos de aprendizaje que lograrás al estudiar los contenidos de la unidad. 2

SECUENCIA DIDÁCTICA

Contiene una sección inicial de inmersión al tema, otra de exposición de los nuevos conocimientos que debes adquirir y una más de ejercicios para reafirmar tu aprendizaje.

a

Objetivo

Especifica el propósito de aprendizaje de la secuencia didáctica. b

Antes que nada...

Introduce a cada sección por medio de información general o de sencillos ejercicios. c

Para empezar

Expone información para presentar el tema o propone alguna actividad detonadora de conocimientos previos.

8


d

Conoce

e

Presenta información teóricoconceptual y procedimental referente a los temas que propone el plan de estudios.

3

ACTIVIDAD INTEGRADORA

4

Se ubica al final de cada unidad de competencia. Su objetivo es que al realizarla apliques de manera integral todos los conocimientos que obtuviste al estudiar los contenidos.

5

Resuelve

Se plantean ejercicios que deberás resolver para comprobar y reafirmar tu aprendizaje. Incluye tablas de coevaluación y autoevaluación.

EJERCICIOS EXTRAS

Actividades de preparación para las pruebas Planea y PISA.

RECURSOS ADICIONALES ¿SABÍAS QUE…?

UN VISTAZO Representación gráfica para reforzar los saberes teóricos.

Datos curiosos e interesantes acerca de los contenidos.

Y ESE, ¿QUIÉN ES?

IMPORTANTE Conceptos esenciales para comprender el tema.

Breve acercamiento a la vida de matemáticos notables.

SE APLICA EN... Explicación sobre cómo los saberes abordados ayudan a resolver problemas reales.

9


PROPÓSITOS FORMATIVOS

OBJETIVO GENERAL El estudiante integra sus conocimientos de aritmética, pensamiento algebraico y geometría como herramientas para la solución de problemas en diversos contextos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS • Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos y geométricos para la solución de problemas cotidianos con diferentes enfoques. • Argumenta la solución obtenida de un problema que involucre propiedades de los polígonos, congruencia y semejanza, teoremas, volúmenes e imaginación espacial, a través de métodos gráficos y analíticos así como de la utilización de las tecnologías de la información.

CONOCIMIENTOS • • • •

10

Planteamientos algebraicos. Propiedades de figuras geométricas. Teorema de Tales. Fórmulas para áreas y volúmenes.


HABILIDADES (SABERES PRÁCTICOS O PROCEDIMENTALES) • • • • •

Traduce de lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico. Plantea y resuelve problemas mediante la utilización de ecuaciones. Resuelve situaciones utilizando sistemas de ecuaciones. Aplica teoremas y fórmulas para la resolución de problemas geométricos. Utiliza la imaginación espacial en distintas perspectivas.

ACTITUDES (DISPOSICIÓN) • • • •

Colaboración y cooperación entre pares. Autogestión. Proactiva. Persistente en la búsqueda de estrategias para solucionar una situación.

VALORES (SABERES FORMATIVOS) • Respeto. • Honestidad. • Responsabilidad.

11


1

UNIDAD DE COMPETENCIA

PENSAMIENTO ALGEBRAICO COMPETENCIA ESPECÍFICA Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos y geométricos para la solución de problemas cotidianos con diferentes enfoques.


OBJETIVOS DE APRENDIZAJE • Emplear de manera adecuada el lenguaje algebraico para resolver problemas reales. • Resolver ecuaciones de primer grado, representarlas gráficamente y relacionarlas con situaciones cotidianas.

• Resolver y graficar desigualdades, vinculándolas con diferentes problemáticas. • Aplicar distintos métodos para resolver sistemas de ecuaciones.


1.1

Simplificación de expresiones algebraicas

Antes que nada… El álgebra resulta abstracta y complicada, lo que dificulta recurrir a ella como tema de conversación en reuniones, pues no preguntaríamos a un amigo: “¿Qué te parece la ecuación lineal? ¿Cómo te fue con los sistemas de ecuaciones?”. El álgebra es para soñar y explorar, por eso no es sólo para los matemáticos, ya que se encuentra en la música, en el arte, en la medicina, en la ingeniería, en el atletismo, en la historia, en la tecnología, entre otros. Los satélites requieren cálculos algebraicos para su ubicación y funcionamiento, en medicina se requiere de una regla de tres para la conversión de dosis de medicamentos. Las expresiones algebraicas también nos permiten hallar áreas, perímetros y volúmenes. El concepto de la cantidad en álgebra es mucho más amplio que en aritmética, donde las cantidades se representan por números y estos expresan cantidades determinadas, de modo que 15 expresa un solo valor, quince; entonces, para expresar un valor menor o mayor a este tendrá que escribirse otro valor. En álgebra, en cambio, para lograr una generalidad las cantidades se escriben con letras, que pueden representar todos los valores, sean estos positivos, negativos, enteros, fraccionarios, etcétera.

Leyes de los exponentes Para empezar Encuentra en la sopa de letras las palabras que se relacionan con las expresiones algebraicas. ▶ exponente ▶ algebraico ▶ resta ▶ operaciones

14

▶ división ▶ multiplicación ▶ literal ▶ binomio

▶ término semejante ▶ suma ▶ variable

▶ monomio ▶ polinomio ▶ coeficiente

Emplearás de manera adecuada el lenguaje algebraico para resolver problemas reales.


1.1

SIMPLIFICACIĂ“N DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

N

M

U

L

T

A

E

X

P

O

N

E

N

T

E

T

E

Ă‘

K

A

K

I

H

A

R

R

T

K

Z

L

L

K

J

E

D

E

D

O

V

H

Q

M

N

O

Z

U

M

S

L

O

C

I

A

R

B

E

G

L

A

C

Q

I

D

R

A

Z

M

U

E

S

T

R

U

M

U

T

P

L

R

O

O

L

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E

N

O

I

C

A

R

E

P

O

I

Ă‘

Q

V

B

I

E

O

O

P

X

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M

Y

Y

Y

I

K

N

P

N

N

O

M

I

A

F

I

S

U

M

I

U

L

L

O

U

O

N

P

O

O

A

L

P

B

I

M

A

A

P

C

L

I

D

A

M

S

U

A

M

R

E

O

A

L

C

O

T

T

O

T

T

N

Y

I

V

D

R

E

I

U

Q

I

I

E

I

N

A

D

L

E

I

B

O

U

V

D

E

C

A

I

R

M

T

T

E

I

R

C

R

F

P

U

P

U

Y

I

R

O

T

C

I

O

R

A

N

L

N

A

N

O

L

L

I

H

H

M

S

E

E

U

U

N

L

C

T

O

L

S

O

C

I

Y

K

E

B

U

E

I

E

R

R

I

U

K

E

P

M

U

L

T

I

P

L

I

C

A

C

I

O

N

C

B

A

U

O

O

M M

L

T

I

P

L

I

C

A

C

I

U

N

D

E

F

G

I

I

J

T

E

R

M

I

N

O

S

E

M

E

J

A

N

T

E

E

A

Conoce Las leyes de los exponentes se aplican en la vida cotidiana cuando realizas operaciones con números grandes o pequeùos, por ejemplo, una multiplicación de un billón (1000 000 000 000 = 1012) por cien millones (100 000 000 = 108) se puede representar así: 1012 ⌠108 = 1020. Los exponentes pueden ser números enteros positivos o negativos, y si son fraccionados se les denomina raíces. La base y el coeficiente pueden ser un número o una literal y tener signo positivo o negativo. Un número como el 45 000 se puede escribir de varias maneras:

IMPORTANTE Las leyes de los exponentes sĂłlo las puedes utilizar en las operaciones de multiplicaciĂłn, divisiĂłn y potenciaciĂłn.

4 500 ⌠10 = 450 ⌠100 = 45 ⌠1000 = 4.5 ⌠104

Y un nĂşmero como 0.000000758 se puede escribir asĂ­:

758 ⌠10–9 = 75.8 ⌠10-8 = 7.58 ⌠10-7

En otras palabras, es mås cómodo trabajar con potencias de forma simplificada pues representan cantidades muy grandes o muy pequeùas. A esta representación se le llama notación científica y se generaliza de la siguiente manera: �� ⌠10

Âąđ?‘›

Ejemplo

La distancia del Sol al planeta Marte es de 227 900 000 km. Si la luz que emite recorre 300 000 km por segundo, Âżen cuĂĄnto tiempo llega un rayo de luz desde el Sol hasta Marte?

¿SAB�AS QUE‌? Robert Recorde (15101558), matemåtico y mÊdico inglÊs, fue el creador del símbolo =. Para Êl no había dos cosas mås iguales que dos líneas rectas paralelas.

15


1.1

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Si cambiamos a notación científica ambas cantidades obtenemos:

227 900 000 = 2.279 ⦁ 108 km 300 000 = 3 ⦁ 105 km/s

Aplicando la fórmula del tiempo:

Fórmulas y algunos ejemplos de las leyes de los exponentes Las leyes de exponentes son una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente. Ley

Ejemplos

(

16

)(

)


SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1

Resuelve Efectúa las operaciones indicadas aplicando los leyes de los exponentes y la simplificación de cada término. 1.

=

2.

3.

=

4.

=

5. (–7)5 (–7)3 (–7)2 =

6.

=

7.

8.

=

9.

11.

13.

=

14.

=

16.

17.

=

18.

19.

=

20.

25.

27.

=

12.

=

=

23.

=

10.

15.

21.

=

= =

22.

24.

= =

= = = = = = =

26.

28.

= =

17


1.1

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Operaciones con monomios Para empezar Subraya la opción correcta. 1. Los lados de un triángulo son �, 2� y 3�. Entonces su perímetro es: c) 5�3 e) Falta información a) 5� b) 6� d) 6�3 2. Si � = 2, y � = –1, el valor de la expresión 2�2� – 3��2 + �� es: c) –16 e) –4 a) –26 b) –22 d) –12 3. El producto de (�2 + �3) (�2 – �3) es: a) �4 c) �4 – �9 4 6 b) 2� – 2� d) �4 – �6

4. El producto de (� + �)� es igual a: a) �� + � c) ��� b) � + �� d) �� + ��

e) 2�4 – 2�9

e) (� + �)�

5. La edad de una persona es � – 2. ¿Cuántos años tenía hace (10 – �) años? e) 8 – 2� c) 12 – 2� a) –12 b) 2� – 12 d) 2� – 8 6. Si � – � = 7 y � – � = 8, entonces � – � – 2� + 2� es: a) 23 c) –1 b) 15 d) –3 7. El área de un rectángulo de lados � y � + � es: a) 2� + � c) �2 + � b) 4� + 2� d) �2 + ��

e) 2� + ��

UN VISTAZO Lenguaje aritmético

8 cm

6 cm A = 24 cm2 Lenguaje algebraico

h

e) (4 + 4� + �2)

10. ¿Cuál será el resultado de la expresión 5� – 2� [3 + 2 (� – 7)] cuando sean eliminado los símbolos de agrupación? a) 4�2 + 27� c) –4�2 – 27� e) –4�2 + 27� b) –4�2 + 27 d) –4�2 – 17�

18

El buscador más famoso del mundo, Google, es una expresión algebraica o ecuación. Sí, es una ecuación que resuelve más de 500 millones de variables y más de 2 000 millones de términos.

e) –9

8. Este es el resultado �2 – 5� + 6 de haber realizado el producto de dos binomios. ¿Cuáles son esos binomios? c) (� + 3)(� – 2) e) (� + 1)(� – 6) a) (� – 3)(� + 2) b) (� – 3)(� – 2) d) (� – 1)(� + 6) 9. ¿Cuál esel área de un cuadrado si su lado es (2 – �)? a) (8 – 4�) c) (4 + �2) 2 b) (4 – 4� + � ) d) (4 – 2�)

SE APLICA EN...

b

A = bh 2


1.1

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Conoce El álgebra es la rama de la matemática que estudia una cantidad y es considerada del modo más general posible. Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades expresadas con letras y números unidos entre sí por operaciones como la suma, diferencia o productos. Ejemplos

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Un término algebraico es una expresión algebraica conformada por un número específico y una literal o más, unidas exclusivamente por productos y/o cocientes. Ejemplos

1.

2.

3.

4.

5.

6.

¿SABÍAS QUE…? Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por los signos de las operaciones. Los personajes que los incluyeron originalmente son: Michael Stifel, los de suma y resta; Robert Recorde, el de la igualdad; François Viète, el uso de las letras para designar las incógnitas y constantes; Tomas Harriot, los signos de mayor que y menor que; William Oughtred, los de multiplicación, división, adición, sustracción, igualdad, desigualdad y potenciación.

Un término algebraico está compuesto por diferentes elementos o partes y es importante conocer cada uno de ellos para operar correctamente.

Partes de un término algebraico Signo

Los términos que van antecedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los que van antecedidos del signo – se llaman términos negativos. Cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende que es positivo. Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad. Ejemplos

1. 5 El coeficiente es 5

2. 3� El coeficiente es 3

3. �� El coeficiente es 1

4.

5.

6.

El coeficiente es

El coeficiente es

El coeficiente es –9

19


1.1

SIMPLIFICACIĂ“N DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Base o parte literal

Puede ser formada por letras o por nĂşmeros que haya en el tĂŠrmino con sus respectivos exponentes. Ejemplos

1. 102 La base es 10 4. �2 La base es �

2. 23 La base es 2

5. �2�3 La base es � y �

3. -52 La base es -5 6. ďż˝ La base es ďż˝

IMPORTANTE No olvides lo que significa un número como coeficiente y como exponente en los siguientes tÊrminos: 5� = � + � + � +� + � �⠾= � ¡ � ¡ � ¡ � ¡ �

Exponente

Es el pequeĂąo nĂşmero que acompaĂąa a la base o literal en un tĂŠrmino e indica el nĂşmero de veces que se multiplica cada variable. Ejemplos

1. 102 El exponente es 2 4. �4 El exponente es 4

2. 2–3 El exponente es –3

5. �2�3 Los exponentes son 2y3

3. –51/2 El exponente es ½ 6. � El exponente es 1

Grado de un tĂŠrmino algebraico El grado de un monomio puede ser de dos formas: absoluto y relativo. El grado absoluto corresponde a la suma de los exponentes de la parte literal, mientras que el grado relativo o con relaciĂłn a una variable es el exponente de la variable. Ejemplo

1.

2. ďż˝

UN VISTAZO

El grado absoluto del tĂŠrmino es 6, que resulta de sumar los exponentes 2 + 1 + 3. El grado relativo es de segundo grado respecto a ďż˝, de primer grado respecto a ďż˝, de tercer grado respecto a ďż˝.

El grado del tĂŠrmino es 1, tambiĂŠn conocido como tĂŠrmino de primer grado. Tanto el absoluto como el relativo cumplen con esta caracterĂ­stica.

La simplificaciĂłn de expresiones algebraicas permite cambiar o reducir una expresiĂłn larga y compleja en una equivalente, pero mĂĄs simple o conveniente para resolver operaciones. Una de las reglas a cumplir para simplificar dos o mĂĄs expresiones algebraicas es que los tĂŠrminos sean semejantes.

20

Partes de un tĂŠrmino algebraico Signo

Exponente

–43��5

Coeficiente

Parte literal

Es importante conocer, ademĂĄs, el grado con que se define un tĂŠrmino.


1.1

SIMPLIFICACIĂ“N DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TĂŠrminos semejantes

Son aquellos tĂŠrminos algebraicos que poseen misma literal o variable, mismo exponente con igual o diferente coeficiente. Ejemplos

es semejante a es semejante a es semejante

no es semejante a no es semejante a no es semejante a

Por lo tanto si dos o mĂĄs expresiones cumplen con la semejanza de tĂŠrminos algebraicos, entonces se procede a escribirla reducida o simplificada.

UN VISTAZO Grado absoluto de monomios. Es la suma de los exponentes de todas las letras del monomio.

2+5+2=9

–10��2��5��2 Grado absoluto = 9

Ejemplo

ExpresiĂłn original

ExpresiĂłn reducida

Se pueden realizar las cuatro operaciones fundamentales con monomios: suma, resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn. AdiciĂłn o suma de monomios Para sumar dos o mĂĄs tĂŠrminos algebraicos estos deben ser tĂŠrminos semejantes. Se aplica la siguiente regla general:

Ejemplos

1. 2. 3. 4. Sumar tres manzanas mĂĄs dos manzanas son tĂŠrminos semejantes, entonces se puede representar asĂ­: Resta o diferencia de monomios La diferencia de dos monomios se obtiene al cambiar el signo de los elementos del sustraendo y despuĂŠs sumar algebraicamente todos los tĂŠrminos. Se aplica la siguiente regla general:

IMPORTANTE JerarquĂ­a de operaciones: 1. Resolver potencias. 2. Si hay llaves, corchetes o parĂŠntesis, trabajar de adentro hacia afuera. 3. Resolver multiplicaciĂłn o divisiĂłn conforme aparezcan de izquierda a derecha. 4. Resolver sumas o restas conforme aparezcan de izquierda a derecha.

21


1.1

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ejemplos

Sustraer: 1. de 2. de 3. de 4. de 5. de

Eliminación de paréntesis Podemos enfrentarnos dos situaciones: que al paréntesis lo anteceda un signo positivo o que lo anteceda un signo negativo. Si es positivo, no varían los términos al eliminar el paréntesis; si es negativo, los términos cambian al signo opuesto. Ejemplos

1. 2. 3.

Multiplicación o producto de monomios La multiplicación de monomios resulta de multiplicar los coeficientes; su parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tienen la misma base, aplicando leyes de los exponentes, es decir, los exponentes se suman. Su regla general es la siguiente:

Ejemplos

1. 2.

División o cociente de monomios Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo), y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). Es importante recordar que primero se divide el signo, luego los coeficientes y por último la parte literal, aplicando la ley de los exponentes para la división. Ejemplos

1.

2.

22

SE APLICA EN... ¿Aún crees que las matemáticas no sirven para nada? Entonces: ¿El salario medio es un buen indicador de la calidad de vida de un país? ¿Cómo se mide la desigualdad? Y el informe PISA, ¿cómo se realiza? ¿Hay una manera efectiva de ganar en un juego de azar? ¿Y en las quinielas?


SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1

IMPORTANTE Ley asociativa

Ley conmutativa Suma �+�=�+� 2+3=3+2

Multiplicación

Suma

Multiplicación

�� = �� 3⦁2=2⦁3

(� + �) + � = � + (� + �) (4 + 3) + 5 = 4 + (3 + 5) (7) + 5 = 4 + (8)

(��) � = � (��) [(4) (3)] 5 = 4 [(3) (5)] (12) 5 = 4 (15)

La sustracción y la división no son conmutables

8–3≠3–8

La sustracción y la división no son asociativas

12 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 12 4≠

5 ≠ –5

1 4

15 – (7 – 3) ≠ (15 – 7) – 3 18 ÷ (6÷3) ≠ (18 ÷ 6) ÷ 3 15 – (4) ≠ (8) – 3 18 ÷ (2) ≠ (3) ÷ 3 15 – 4 ≠ 8 – 3 9 ≠1

Ley distributiva Suma � (� + �) = �� + ��

4 (3 + 5) = (4) (3) + (4) (5) 4 (8) = 12 + 20

Resuelve Ejercicio I

Completa la siguiente tabla identificando los elementos de un término. Al final escribe una reflexión sobre el grado absoluto y el relativo de cada término.

Término

Signo

Coeficiente

Exponente

Base o literal

Reflexión

Ejercicio II

Desarrolla tus competencias simplificando las siguientes expresiones algebraicas. 1. 2. 3.

=

4.

=

5. =

6.

=

=

=

23


1.1

SIMPLIFICACIĂ“N DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

7. 8.

=

9. 10.

=

11.

15.

=

16.

=

17.

12. 13.

14.

=

=

=

=

18.

đ?‘‘đ?‘‘

đ?‘‘đ?‘‘

19.

=

=

=

đ?‘‘đ?‘‘ =

=

20.

=

Ejercicio III

Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones con monomios. 1.

6.

=

2.

=

3.

=

7.

=

9.

5.

=

10.

Para empezar Resuelve las siguientes operaciones. 1. 2� + 3� – 6, 2� – 3� – 1, 4� – 5 + 3

24

=

8.

4.

Operaciones con polinomios

=

= = =


SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1

2. �3 + 2�2 – 2� + 5, 2�2 –5�3 + 7� + 4, 8� – 5�2 – 6 – �3

3. 3�2 – 2[� – 3� (� – 4) + �2 – �]

4. (–�3�)(–5��3)(–�2�2)

5. 3(–��3)2 – 2�2 (��2)2

6. �(2�3 – 3�2 + 1) + �2 (2�2 + 3)

7. (6� + 7) (� – 3)

8. (4� – 9) (4� + 9)

9. (2� – 3�)2

25


1.1

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

10. (2� – 3) (4�2 + 6� + 9)

2 11. (4� – 6� + 9)

(2� + 3)

Conoce Un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto de constantes y variables con las que se hacen operaciones básicas. Es utilizado en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función sea o no derivable. Las ecuaciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta otras ciencias como la física, la química, la economía y las ciencias sociales. Las operaciones que se realizan con los monomios son igual que las de aritmética; en polinomios será igual de fácil. No pierdas de vista lo aprendido: qué es un término semejante y cuáles son las leyes de los exponentes. Es importante recordar los siguientes términos, muy utilizados dentro del álgebra: Binomio Polinomio que consta de dos términos:

Trinomio Polinomio que consta de tres términos:

Adición y diferencia de polinomios

En aritmética la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución ya que hay sumas algebraicas que equivalen a una resta aritmética. Para sumar dos o más polinomios se escriben unos seguidos de los otros y se simplifican los términos semejantes, si es que los hay.

26


1.1

SIMPLIFICACIĂ“N DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ejemplos

Sumar

IMPORTANTE

y

Leyes de los signos vĂĄlidas para multiplicaciĂłn y divisiĂłn:

Sumar

y

(+) (+) = + (–) (–) = + (+) (–) = –

(–) (+) = –

(+)

(+) (–)

(–)

(+) (–)

(–)

(+)

=+

=+ =–

=–

Ejemplos de operaciones con signos de agrupaciĂłn: 1. 2. 3.

đ?‘?đ?‘?

MultiplicaciĂłn de polinomios

Se multiplican los coeficientes y despuĂŠs las letras, escritas comĂşnmente en orden alfabĂŠtico, colocando como exponente la suma de los exponentes que hay en los factores. Ejemplos

1.

2. 3.

¿SAB�AS QUE‌? 2520 es el número mås pequeùo que puede ser dividido en forma exacta por los números del 1 al 10.

27


1.1

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4. Al multiplicar sión lineal.

por la fracción se convierte en una expre-

Los ingenieros en el área de la electrónica utilizan las ecuaciones lineales para resolver problemas básicos. Por ejemplo, mediante sistemas de ecuaciones lineales de dos o más incógnitas pueden determinar el valor de las corrientes.

5. Multiplicar 6. Multiplicar

SE APLICA EN...

por

7. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: División de polinomios

Si se tiene un polinomio entre un monomio, es decir, si se tiene un común denominador, se procede a separar término a término con el común denominador. Ejemplos

1. Dividir

IMPORTANTE Ley de los signos para la división: signos iguales es positivo, signos diferentes es negativo:

2. Dividir

28


SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1

3. Dividir

4. Dividir

Resuelve Ejercicio I

Elimina los símbolos de agrupación y reduce términos semejantes. 1.

=

2.

=

3.

=

4.

5.

6.

7.

= = = =

29


1.1

SIMPLIFICACIĂ“N DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

8.

=

9.

=

10.

=

11.

=

12.

=

13.

=

14.

=

Ejercicio II

Realiza las siguientes divisiones de polinomios. 1.

=

2.

=

4 6 4 3. 15�� �� – 10����

–5����2

4.

30

= =


SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

5.

6.

= =

7.

8.

9.

10.

1.1

= = = =

31


1.2

ECUACIONES

Ecuaciones

1.2

Antes que nada… El lenguaje algebraico nace en la civilización árabe gracias a Al-Khwarizmi, considerado el padre del álgebra. El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras del alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función del lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo, si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir � + �; donde la letra � indica que es un número cualquiera de la numeración que conocemos y �, de la misma forma, significa un número cualquiera. Resuelve el siguiente crucigrama, para lo cual deberás encontrar el valor de la variable en cada ecuación. 1

2

Resolverás ecuaciones de primer grado, las representarás gráficamente y las relacionarás con situaciones reales. Y ESE, ¿QUIÉN ES?

3

4 5 7

6 9

10

8 12

13

15

14 11

16

Verticales

Horizontales

1.

3.

2.

4.

3. 5. 8.

6. 7.

9.

11.

13. 15.

32

10. 12. 14. 16.

Al-Khwarizmi Matemático y astrónomo árabe. Su principal aportación fue introducir a los matemáticos europeos en los numerales indoarábigos y en los principios fundamentales del álgebra. Su obra Kitab aljabr wa al-muqabalah fue traducida al latín en el siglo XII dando origen al término álgebra. En ella se compilan una serie de reglas para obtener las soluciones aritméticas de las ecuaciones lineales y de las cuadráticas. Su método de resolución de las ecuaciones lineales no difiere en esencia del empleado en nuestros días.


1.2

ECUACIONES

Lenguaje algebraico Para empezar Ejercicio I

Daniel tiene que comprar una USB para su clase de Tecnologías de la información. Si sólo tiene 120 pesos, ¿cuánto cuesta la USB si le faltan 46 pesos? Planteando su expresión (costo de USB)

¿Qué operación te ayuda a encontrar el costo de la USB?

Ejercicio II

Subraya la opción correcta. 1. Es una ecuación de primer grado. c) � – 3� – 1 = 0 a) �2 + � – 1 = 0 b) �� – 1 = 0 d) 6�3

2. Es el valor de la pendiente de la función � = 3� – 1. c) 3 a) –1 b) 1 d) 0 3. En la ecuación � = 3� – 1 la variable dependiente es: c) 3 a) � b) � d) 1

e) �3 – 1 = 0 e) No tiene

e) � = 3� – 1

4. En la ecuación � = 3� – 1 la variable independiente es: c) 3 e) � = 3� – 1 a) � b) � d) 1

5. La recta 2� + � = 2 corta al eje � en el punto... c) 0 a) –2 b) –1 d) 1

e) 2

6. La ecuación que pasa por el origen del plano cartesiano es: c) 2� + 2� = –1 e) � = 3� – 1 a) � + � = 0 b) 2� + � = 1� d) � – 2� = 3

7. En la ecuación � + 4 = 10, el valor de � es: c) 6 a) –6 b) 2 d) 14

8. Es el primer miembro de la ecuación 3� + 2 = 2� + 3. c) 2� a) 3� + 2 b) 2� + 3 d) 3�

e) � e) 3

IMPORTANTE Recordemos las operaciones básicas de las matemáticas, que utilizan varios sinónimos y signos: • Suma o adición (+) = aumentado, incrementado, agregar… • Resta o diferencia (–)= sustraer, reducido, disminuido, quitar… • Multiplicación (x, ( ), [ ], { }, *, ·) = producto, por, doble, triple… • División (÷, /, _, : ) = cociente, entre, partir, fraccionar…

33


1.2

ECUACIONES

9. ¿Cuáles son las coordenadas que satisfacen a la función � = 2� + 1? c) (2, 5) e) (1, 1) a) (2, 1) b) (1, 6) d) (3, 9)

10. En la ecuación 3� = 12 el valor de � es: c) 6 a) 2 b) 4 d) 8

e) 10

Conoce

El lenguaje algebraico ayuda a mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana. Para manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente: 1 Se usan todas las letras del alfabeto.

2 Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes.

3 Por lo regular las letras �, �, � se utilizan como las incógnitas o variables.

Características del lenguaje algebraico

▶ El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: se expresan enunciados de una forma más breve. ▶ El lenguaje algebraico nos ayuda a expresar relaciones y propiedades numéricas de forma general. ▶ Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos. Ejemplos

▶ El doble de un número es doce, se expresa 2� = 12 ▶ El cuadrado de un número se expresa �² ▶ La semidiferencia del cuádruple de un número y la mitad de otro se expresa así:

Resuelve Ejercicio I

El fin de semana Georgina se fue de compras y adquirió los siguientes productos. Expresa en lenguaje algebraico cada situación.

Lenguaje común El doble de plumas La mitad de una caja de lápices

34

Lenguaje algebraico


ECUACIONES

Lenguaje comĂşn

1.2

Lenguaje algebraico

El cuadrado de un bote de pintura El cubo de cuaderno menos la cuarta parte de un paquete de hojas El doble de zapatos mĂĄs la mitad de pantalones La semidiferencia de un suĂŠter y de tres veces los lentes El semiproducto de la mitad de mallas y la tercera parte de una camisa La semisuma del doble de pantalones y la quinta parte de una chamarra La suma de un pantalĂłn y una blusa El producto de dos lentes y cuatro chamarras

ResoluciĂłn de ecuaciones de primer grado đ?’‚đ?’™ + đ?’ƒ = đ?’„ Para empezar

Analiza cada una de las situaciones y resuĂŠlvelas. Al final comenta con tus compaĂąeros tu proceso de soluciĂłn. Verifiquen que hayan llegado a la misma respuesta. 1. La suma de dos nĂşmeros es 572. Si el mayor excede al menor en 20, ÂżcuĂĄles son los nĂşmeros?

2. MĂ­riam tiene 3 aĂąos mĂĄs que Carmina. Si sus edades suman 41 aĂąos, ÂżquĂŠ edad tiene cada una?

35


1.2

ECUACIONES

3. El largo de un terreno rectangular es el triple que el ancho. Si su perímetro es de 320 m, ¿cuáles son sus dimensiones?

Conoce Una ecuación lineal (o de primer grado) es una igualdad en la que algunos de los miembros que la forman o ambos contienen términos con elementos desconocidos que se representan por literales, con exponente uno.

Una ecuación es una igualdad que se cumple para un determinado valor de la literal (llamada incógnita o variable). Este tipo de ecuaciones se llaman igualdades condicionales.

, es el valor de la variable Cuando la igualdad se cumple para cualquier número real recibe el nombre de identidad. Si

entonces

Si

entonces

Si

entonces

El conjunto de números que satisfacen una ecuación se llama conjunto solución, mientras los elementos del conjunto solución se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Al procedimiento de determinar el conjunto solución de una ecuación se le llama resolución de la ecuación. Ahora bien, para resolver una ecuación se reemplaza esta por ecuaciones más sencillas que tengan el mismo conjunto solución. A esas ecuaciones se les llama ecuaciones equivalentes. Recordemos que una ecuación consta de lado izquierdo (LI) y lado derecho (LD), es decir LI = LD.

36

LI = LD

SE APLICA EN... En estadística se denomina “depreciación lineal” al cálculo de la depreciación constante anual de un equipo, el cual se deduce de los valores de desecho al término de su vida útil estimada. Este cálculo se realiza mediante un sistema de ecuaciones.


ECUACIONES

1.2

Una ecuación lineal con una variable se puede escribir de la forma �� + � = 0 (donde � y � son números reales) y � ≠ 0. En las ecuaciones condicionales algunos valores de � satisfacen la ecuación y otros no la satisfacen. Una identidad es una ecuación a la que todo valor de � para el que están definidos ambos lados de la ecuación satisfacen. Entonces, resolver una ecuación lineal es encontrar el valor que hace que esa ecuación sea verdadera. Ejemplos

1. Resolver esta ecuación simple es muy fácil, pues se puede encontrar su solución lógicamente y es igual a ¿Cómo se hace? Para quitar el número tres que suma a la variable � se realiza la operación opuesta a la suma, que es la resta, en ambos lados de la igualdad, es decir, , y nos queda . 2. Resolver esta ecuación simple es muy fácil, sólo hay que encontrar el valor de � que haga verdadera la igualdad. A este proceso se le llama resolución de la ecuación y se puede realizar lógicamente, como puedes ver . Su comprobación resulta de colocar en el lugar de la � el valor encontrado: . ¿Cómo se hace? Para quitar el coeficiente de la � se realiza la operación opuesta a la multiplicación, que es la división, en ambos lados de la igualdad, es decir y nos queda . Para trabajar con paréntesis en las ecuaciones no te olvides de aplicar la ley distributiva y las leyes de los signos.

Resuelve Ejercicio I

Plantea la ecuación lineal que corresponda a cada situación. 1. Luis tiene el doble de la edad de Víctor. Si sus edades suman 69, ¿qué edad tiene cada uno?

2. Irving tiene el doble de la edad de Jacqueline. Si sus edades suman 54 años, ¿qué edad tiene cada uno?

37


1.2

ECUACIONES

3. Leobardo es 10 años mayor que Sol. Si sus edades suman 60 años, ¿qué expresión nos ayuda a conocer la edad de cada uno?

4. La suma de tres números pares consecutivos es 906. ¿Cuál es el primero de estos números?

5. Determina las dimensiones de un rectángulo cuya longitud es 5 m menor que el doble de su anchura y cuyo perímetro es 134 m.

6. La suma de tres números enteros consecutivos es 102. ¿Cuál es el mayor de ellos?

Ejercicio II

Forma una bina y resuelve las siguientes ecuaciones lineales con una incógnita. Una vez que las terminen, socialicen en grupo con la ayuda de tu profesor. No olviden anotar el proceso de solución de cada una. 1.

2.

= =

3.

4.

5.

6.

= = = =

7.

=

8.

=

38


1.2

ECUACIONES

9.

=

10.

11.

Ecuaciones lineales de primer grado (đ?’‚đ?’‚đ?’™đ?’™ + đ?’ƒđ?’ƒ) (đ?’…đ?’…đ?’™đ?’™ + đ?’†đ?’†) đ?’…đ?’… y (đ?’‚đ?’‚đ?’™đ?’™ + đ?’ƒđ?’ƒ) đ?’„đ?’„

Para empezar

đ?’„đ?’„

��

1. Lee con atenciĂłn el texto:

¿SAB�AS QUE‌?

Epitafio de Diofanto de AlejandrĂ­a

TranseĂşnte, esta es la tumba de Diofanto: los nĂşmeros pueden mostrar, ÂĄoh maravilla!, la duraciĂłn de su vida. Su niĂąez ocupĂł la sexta parte de su vida. DespuĂŠs, durante la doceava parte de su vida, de vello se cubrieron sus mejillas. PasĂł aĂşn una sĂŠptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco aĂąos despuĂŠs, tuvo un precioso niĂąo que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereciĂł de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorĂĄndole, durante cuatro aĂąos. De todo esto se deduce su edad.

2. En trabajo colaborativo encuentra la edad de Diofanto de AlejandrĂ­a al morir.

Diofanto de AlejandrĂ­a es el padre de la aritmĂŠtica y del ĂĄlgebra. OperĂł antes que nadie, es decir, calculĂł sin ninguna representaciĂłn geomĂŠtrica, manejando expresiones numĂŠricas de tipo general segĂşn las leyes formales determinadas de la suma, resta, multiplicaciĂłn, divisiĂłn, elevaciĂłn a potencias y extracciĂłn de raĂ­ces. Nacido en la ciudad de AlejandrĂ­a, poco se sabe sobre su vida, como la edad a la que falleciĂł. Esto, gracias a su epitafio redactado en forma de problema.

39


1.2

ECUACIONES

Conoce

IMPORTANTE

Una ecuación es fraccionaria si al menos uno de sus términos tiene denominador, es decir, que tenga aunque sea una incógnita dividida entre un número. Para resolver ecuaciones con fracciones sólo debes aplicar una serie de reglas básicas que te permitirán manejar las fracciones sin problemas, suprimiendo los denominadores para resolver ecuaciones con enteros. Para conseguirlo, deberás encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de todos los denominadores que tengas en tu ecuación, de la misma manera que se hace en aritmética. Ejemplo

El primer paso es escribir todos los términos de la ecuación en forma de fracción. Recordemos que si escribimos el uno en el denominador de cualquier número entero no lo alteramos y podemos verlo como fracción, por lo tanto:

El segundo paso es buscar el común denominador de todos los denominadores, en este caso es el 10, ya que se puede dividir exactamente entre 10, 2 y 1. Entonces, multiplicamos toda la ecuación por ese número.

Simplificada quedará así: Ahora tienes una ecuación con números enteros, y se resolverá con los pasos que ya conoces, por lo tanto:

Resuelve Ejercicio I

Demuestra tu aprendizaje resolviendo estas ecuaciones. 1.

40

=

El mcm de dos o más expresiones algebraicas es la que tenga el coeficiente numérico más pequeño y el exponente menor, que se puede dividir exactamente entre cada una de las expresiones dadas.


ECUACIONES

2.

1.2

=

3.

=

4.

=

5.

=

Ejercicio II

Aplicando a otras unidades de aprendizaje, despeja la variable que se indica. 1.

para

2.

para

= =

3.

para

=

4.

para

=

5.

para

6.

=

para =

Graficación de ecuaciones lineales Para empezar Ejercicio I

Carlos es un estudiante de segundo de bachillerato que tiene una cuenta de ahorros para sus estudios de la universidad. La abrió con un depósito de $200 000 cuando inició la preparatoria en un banco que le da a ganar un interés del 3% mensual.

41


1.2

ECUACIONES

1. ¿Cuánto dinero habrá acumulado cuando haya terminado la preparatoria (3 años)?

2. Plantea una expresión para encontrar el dinero que tendrá en 3, 6, 12 y 18 meses.

Ejercicio II

Para la siguiente actividad deberás asistir a la biblioteca de la escuela y realizar una consulta acerca de un gráfico o representación gráfica en matemáticas. Elabora una presentación en donde se explique su función, aplicación e interpretación y preséntala ante tus compañeros. Comenta con el grupo la importancia de graficar y cómo es que lo puedes encontrar o aplicar en la vida cotidiana. Escribe la conclusión a la que llegaron.

42

SE APLICA EN... Todos sabemos que el precio de un artículo aumenta o disminuye dependiendo de la relación entre oferta y demanda. Esta relación la podemos representar como la pendiente m.


ECUACIONES

1.2

Conoce Relación de la ecuación de primer grado con una función lineal Las funciones son casos particulares de relaciones matemåticas, en las cuales existe una variable que depende de otra y entre ambas existe una correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto, uno y solamente un elemento de otro conjunto. A la variable que depende se le denomina variable dependiente y se representa con una � gracias al matemåtico Euler que le dio la notación de �(�). A la otra variable se le denomina independiente y se representa por �, por lo tanto � = �(�). Una función definida por la ecuación �� + �� + � = 0 donde �, � y � son números reales, recibe el nombre de función lineal. Su representación en el plano cartesiano es una línea recta que se presenta en varios casos. Caso I

Si se tiene la ecuación �� + �� + � = 0 donde � = 0 y entonces se transforma en �� + � = 0 donde . Esta ecuación representa a una recta paralela al eje de las � en el plano cartesiano. ��

–

–��

��

–��

43


1.2

ECUACIONES

Caso II

Si se tiene la ecuación �� + �� + � = 0 donde � = 0 y entonces se transforma en �� + � = 0 donde . Esta ecuación representa a una recta paralela al eje de las � en el plano cartesiano. ��

–

–��

��

–��

Caso III

Si se tiene la ecuación �� + �� + � = 0 donde y entonces se transforma en donde esta ecuación representa a una función lineal y su grafica representa una línea recta en cualquier posición distinta de las anteriores en el plano cartesiano. Donde se llama pendiente de la recta e indica la inclinación. + �, la recta es

– �, la recta es

es la coordenada que corta al eje ďż˝

44


ECUACIONES

1.2

đ?’šđ?’š

–��

��

–��

Cuando la forma general de una ecuación lineal �� + �� + � = 0 se despeja para �, se obtiene la expresión que en geometría analítica se reconoce como la ecuación de una recta del tipo pendiente ordenada al origen. es la coordenada que corta al eje La gråfica de toda ecuación se elabora de la siguiente forma: 1 Se despeja la variable � en la ecuación, se le conoce como forma explícita.

2 Tabulando la ecuaciĂłn despejada, es decir, dĂĄndole valores arbitrarios a la variable independiente ďż˝, se obtienen los valores correspondientes de ďż˝.

3 Las parejas ordenadas obtenidas se grafican en el plano cartesiano. Se unen los puntos de la ecuaciĂłn.

Ejemplo

Graficar la ecuaciĂłn 1. Despejar ďż˝:

2. Tabular la expresiĂłn

con los valores para ďż˝ de

45


1.2

ECUACIONES

3. Trazar los puntos en el plano cartesiano de la ecuaciĂłn lineal y trazar la lĂ­nea recta. đ?’šđ?’š

��

–�� –��

Resuelve Ejercicio I

đ?’šđ?’š

Tabula y grafica las siguientes funciones en un mismo plano. 1. ďż˝

ďż˝

2. ďż˝ = ďż˝ + 1 ďż˝

ďż˝

–2

–1

0

1

2

–��

–2

–1

0

1

2

a) ÂżQuĂŠ observas en los grĂĄficos?

b) Escribe una reflexiĂłn sobre las lĂ­neas que obtuviste.

46

��

–��


1.2

ECUACIONES

Ejercicio II

đ?’šđ?’š

Dibuja la grĂĄfica de las dos ecuaciones en un plano. 1. ďż˝

ďż˝

–2

–1

0

1

2

–��

2. ďż˝

ďż˝

–6

–3

0

3

��

6

a) ÂżAl graficar las dos ecuaciones en el mismo plano obtuviste un par de lĂ­neas perpendiculares?

–��

b) ÂżA quĂŠ crees que se deba?

c) Si no obtuviste las lĂ­neas perpendiculares, regresa a la tabulaciĂłn y corrige. d) Escribe una pequeĂąa conclusiĂłn de tu proceso para llegar al resultado correcto.

Ejercicio III

Subraya la opción que consideres correcta. 1. Es una ecuación de primer grado: a) �2 + � – 1 = 0 c) � – 3� – 1 = 0 b) ��2 + �� – 1 = 0 d) 6�3

2. Es el valor de la pendiente de la función � = 3� – 1. a) –1 c) 3 b) 1 d) 0

3. En la ecuación � = 3� – 1 la variable dependiente es: a) � c) 3 b) � d) 1

e) �3 – 1 = 0 e) No tiene

e) � = 3� – 1

47


1.2

ECUACIONES

4. En la ecuación � = 3� – 1 la variable independiente es: a) � c) 3 e) � = 3� – 1 b) � d) 1 5. La recta 2� + � = 2 corta al eje � en el punto: a) –2 c) 0 b) –1 d) 1

e) 2

6. La ecuación que pasa por el origen del plano cartesiano es: a) � + � = 0 c) 2� + 2� = –1 e) � = 3� – 1 b) 2� + � = 1 d) � – 2� = 3 7. En la ecuación � + 4 = 10, el valor de � es: a) –6 c) 6 b) 2 d) 14

e) �

8. Es el primer miembro de la ecuación 3� + 2 = 2� + 3: a) 3� + 2 c) 2� b) 2� + 3 d) 3�

e) 3

10. En la ecuación 3� = 12, el valor de � es: a) 2 c) 6 b) 4 d) 8

e) 10

9. ¿Cuáles son las coordenadas que satisfacen a la función � = 2� + 1? a) (2, 1) c) (2, 5) e) (1, 1) b) (1, 6) d) (3, 9)

48


SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.3

1.1

Desigualdades

Antes que nada… Cuando hablamos de desigualdades normalmente nos referimos a límites, como “la velocidad límite es de 50 kilómetros por hora” o “tengo un límite de 50 mensajes de texto al mes”. Sin embargo, no tenemos que viajar exactamente a 50 kilómetros por hora en la autopista, ni mandar y recibir precisamente 50 mensajes de texto al mes —el límite sólo establece una frontera para lo que es permitido—. Pensar en estas situaciones como desigualdades proporciona una visión más amplia de lo que es posible. Situación

Resolverás y graficarás desigualdades, vinculándolas con diferentes problemáticas.

Desigualdad matemática

Límite de velocidad

Velocidad legal en la autopista ≤ 50 kilómetros por hora

Tarjeta de crédito

Pago mensual 1 ≥ 12% de tu balance en el ciclo de tu factura

Mensajes de texto

Número de mensajes permitido al mes ≤ 50

Tiempo de viaje

Tiempo necesario para caminar hasta la escuela 1 ≥ 25 minutos

Desigualdades lineales Para empezar Un camión se detiene sobre una balanza antes de pasar un puente. El peso límite permitido en el puente es de 70 000 kilogramos. La cabina del camión pesa 22 000 kilogramos, y la caja del camión pesa 10 000 kilogramos cuando está vacía. ¿Cuál es la carga que puede llevar el camión para que se le permita pasar el puente?

Conoce Una inecuación es el enunciado de una desigualdad que incluye alguna de las siguientes relaciones de orden: “mayor que” (>); “menor que” (<); “mayor o igual que” (≥), y “menor o igual que” (≤). En la desigualdad aparece al menos una incógnita o valor desconocido y se cumple para ciertos valores de ella. Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.

49


1.3

DESIGUALDADES

Ejemplo

Para resolver la desigualdad lineal 1. Hay que quitar el paréntesis:

:

2. Despejar a la variable :

Resuelve Resuelve las siguientes desigualdades lineales: 1.

2.

3.

= = =

4.

=

5.

=

6.

=

Graficación de desigualdades lineales Para empezar Representa en una recta numérica la siguiente desigualdad y resuelve las preguntas

1. ¿Qué valores toma la �?

50

�≥5


1.3

DESIGUALDADES

2. ¿La � puede valer 5?

¿SABÍAS QUE…?

3. ¿Hacia dónde tienden los valores de �? 4. Si indicas con una flecha la dirección de los valores de la variable, ¿hacia dónde queda?

Conoce

–4 –3 –2 —1 0

Existen dos métodos para graficar desigualdades o inecuaciones lineales: el método de la recta numérica y el del plano cartesiano. Ahora sólo se trabajará con el primero de ellos. Pasos para graficar una desigualdad lineal en una recta numérica 1

3

Al avanzar de izquierda a derecha en la recta numérica las coordenadas de los puntos son mayores. En una recta numérica si un punto está a la derecha de otro su coordenada es mayor, si un punto está a la izquierda de otro su coordenada es menor. 1

2

3

4

• 4 > –1 (4 es mayor que –1), porque 4 está a la derecha de – 1. • –3 < –2 (–3 es menor que –2), porque –3 está a la izquierda de – 2.

2 Dibuja todas las posibles soluciones para la variable.

Resuelve la desigualdad.

Dibuja un círculo en los puntos marcados. Si el signo de desigualdad es “menor que” (<) o “mayor que” (>), deberás dibujar un círculo vacío sobre las soluciones a la variable. Si el signo es “menor o igual que” (≤) o “mayor o igual que” (≥), deberás dibujar el círculo coloreado en su totalidad.

4 Usa flechas al final de la región sombreada para indicar que el intervalo continúa hasta el infinito. Por ejemplo, si el conjunto solución de una desigualdad es el intervalo , la gráfica son todos los números negativos hasta el seis sin incluirlo, como se puede apreciar. –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Intervalos Si � y � son números reales, entonces exactamente una de las expresiones siguientes es verdadera (ley de tricotomía). �=�

�<�

�>�

51


1.3

DESIGUALDADES

Propiedad transitiva Si ďż˝, ďż˝ y ďż˝ y son nĂşmeros reales, y: â&#x2013;ś ďż˝ < ďż˝ y ďż˝ < ďż˝ â&#x2C6;´ â&#x2013;ś ďż˝ > ďż˝ y ďż˝ > ďż˝ â&#x2C6;´ â&#x2013;ś ďż˝ < ďż˝ y ďż˝ > 0 â&#x2013;ś ďż˝ < ďż˝ y ďż˝ > 0 â&#x2013;ś ďż˝ < ďż˝ y ďż˝ < 0 â&#x2013;ś ďż˝ < ďż˝ y ďż˝ < 0 Una expresiĂłn del tipo ďż˝ < ďż˝ < ďż˝ se denomina desigualdad continua y quiere decir que ďż˝ > ďż˝ y ďż˝ < ďż˝, se dice que â&#x20AC;&#x153;ďż˝ estĂĄ entre ďż˝ y ďż˝â&#x20AC;?. Intervalo

NotaciĂłn

Desigualdad

Abierto

(ďż˝, ďż˝)

ďż˝<ďż˝<ďż˝

Cerrado

[ďż˝, ďż˝]

ďż˝â&#x2030;¤ďż˝â&#x2030;¤ďż˝

[ďż˝, ďż˝)

ďż˝â&#x2030;¤ďż˝<ďż˝

(ďż˝, ďż˝]

ďż˝<ďż˝â&#x2030;¤ďż˝

Semiabierto por la derecha

Semiabierto por la izquierda

GrĂĄfica

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

Las desigualdades como ďż˝ + 1 > ďż˝, que son vĂĄlidas para toda ďż˝, se llaman desigualdades absolutas. Las desigualdades como 3ďż˝ + 2 < 8, que son vĂĄlidas para ciertos nĂşmeros ďż˝, pero para otros no, se llaman desigualdades condicionales.

52


DESIGUALDADES

1.3

Resuelve Resuelve las siguientes desigualdades, grafĂ­calas y escribe su intervalo. 1.

2.

3.

4.

=

=

=

=

53


1.4

SISTEMAS DE ECUACIONES

1.4

Sistemas de ecuaciones

Antes que nada… Los sistemas de ecuaciones sirven para resolver problemas aplicados a la vida diaria. Por ejemplo, en un examen de 20 preguntas la nota de Carlos ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Carlos? ¿Cuántas ha fallado? Una vez entendido el enunciado del problema hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas del problema. Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Carlos. Llamemos entonces � al número de respuestas acertadas y � a las preguntas falladas. En un segundo momento hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones: El número total de preguntas es 20, luego: � + � = 20

La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: � – 2� = 8

Ya tenemos el sistema planteado, entonces pasamos a la tercera fase, es decir, la resolución del sistema. Para ello podemos utilizar cualquiera de los métodos que veremos en este tema. La solución del sistema es: � = 16 , � = 4

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas: Carlos ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta. Si ha acertado 16 preguntas, Carlos tendría en principio 16 puntos, pero al haber fallado 4 le restarán el doble de puntos, 8. Por tanto, 16 – 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Entonces se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida.

54

Aplicarás distintos métodos para resolver sistemas de ecuaciones.


SISTEMAS DE ECUACIONES

1.4

Sistemas de ecuaciones lineales Para empezar Hallar dos números que sumados resulten 20 y restados queden 6. Compara la respuesta con la de tus compañeros 1. ¿Cuáles son esos números?

2. ¿Hay respuestas diferentes?

3. ¿Resolviste por algún método algebraico? Si es así, explícalo.

4. ¿Comprobaste tus resultados?

Conoce Una ecuación de primer grado con dos incógnitas se escribe de la siguiente manera: �� + �� + � = 0

Se le denomina ecuación indeterminada, pues tiene un número infinito de soluciones. Ejemplo

Se tiene la siguiente ecuación indeterminada � + � = 15 que tiene varias soluciones:

� = 6 � = 10 � = 8 � = 20 � = 6

�=9 �=5 �=7 � = –5 �=9

Es decir, para cada valor de � hay un valor de � que satisface a la ecuación dando como resultado el valor de 15 . Las ecuaciones simultáneas son dos o más ecuaciones que se obtienen una a partir de otra y los valores de sus incógnitas satisfacen dichas ecuaciones.

55


1.4

SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejemplo 2� + � = 1 � – 2� = –7

Los valores que satisfacen al sistema de ecuaciones simultáneas son: � = –1 �=3

Sustituimos en la primera ecuación:

2 (– 1) + 3 = 1 –2 + 3 = 1 1=1

En cuanto a la segunda ecuación:

–1 – 2 (3) = –7 –1 – 6 = –7 –7 = –7

Una manera de representar un sistema es por el número de ecuaciones y el número de incógnitas. Ejemplos

Este es un sistema 2 × 2

Este es un sistema 3 × 3

Este es un sistema 2 × 3

Resuelve Analiza las situaciones y responde cada pregunta: 1. Don Enrique tiene 37 animales entre conejos y gallinas. Si en total hay 100 patas, ¿cuántas gallinas y cuántos conejos hay?

2. Si compras 4 plumas y 5 lápices que cuestan $52, y luego compras 10 plumas y 3 lápices y pagas $54, ¿cuánto cuesta cada pluma y cada lápiz?

56


SISTEMAS DE ECUACIONES

1.4

3. En la compra de tres paletas y dos helados pagué $72, pero si compro cuatro paletas y cinco helados debo desembolsar $138. ¿Cuánto cuesta cada producto?

4. ¿Cuántos adultos y niños ingresaron al cine si los boletos de los niños costaban $15 y los de adultos a $35? En total se vendieron 35 boletos y se recabaron $925.

5. Como es costumbre el domingo asistimos al mercado mi vecina y yo, para hacer las compras de la semana. Al llegar a un puesto de frutas y verduras, nos percatamos de las ofertas que había y compré un kilogramo de jitomate, 2 kilogramos de manzana y pague $17; Lorena, mi vecina, compró 4 kilogramos de jitomate, 3 kilogramos de manzana y pagó $43. ¿Cuánto costaba el kilogramo de cada producto en dicho puesto?

6. El fin de semana me fui de compras a una plaza y encontré en oferta los pantalones y las blusas, así que me llevé 3 pantalones y 2 blusas; pagué $1100 en total. Al día siguiente regresé a la misma tienda y los precios aún se mantenían, así que decidí comprar otros dos pantalones y dos blusas; desembolsé $860. ¿Cuánto me costó cada prenda?

Graficación de sistemas de ecuaciones 2 x 2 Para empezar Una compañía de teléfono te cobra 100 pesos mensuales por un servicio de uso de megabytes en redes sociales y 10 pesos por cada hora que se use el servicio para navegar en páginas no incluidas. A partir de esta situación, responde: 1. Escribe una expresión que nos ayude a saber el costo por el servicio si se usa 2, 5, 9 y 15 horas de páginas no incluidas durante el mes.

2. Elabora una tabla para representar el costo de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas de páginas no incluidas en la renta mensual. Además, representa los puntos en una recta numérica.

57


1.4

SISTEMAS DE ECUACIONES

Conoce El mĂŠtodo grĂĄfico consiste en: 1. Despejar la incĂłgnita ďż˝ en las dos ecuaciones. 2. Tabular cada una de las ecuaciones despejadas dĂĄndole valores arbitrarios a la variable independiente ďż˝ para asĂ­ obtener los valores de la variable dependiente ďż˝. 3. Localizar los pares ordenados obtenidos en la tabulaciĂłn en el plano cartesiano y dar una respuesta de la grĂĄfica que resulte, es decir, descubrir si el sistema es consistente o inconsistente.

UN VISTAZO GraficaciĂłn de sistemas de ecuaciones de 2 x 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema por el mĂŠtodo grĂĄfico: ďż˝+ďż˝=6 ďż˝â&#x20AC;&#x201C;ďż˝=2

Rectas que se cruzan, hay una soluciĂłn

1. Despejar a ďż˝ en ambas ecuaciones:

ďż˝=â&#x20AC;&#x201C;ďż˝ +6 ďż˝ = ďż˝ â&#x20AC;&#x201C;2

2. Tabular ambas ecuaciones: ďż˝ â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 0 1 2

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

ďż˝ â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 0 1 2

8 7 6 5 4

3. Graficar:

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;

â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 0

6

3 2 1

â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;5

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1

2

3

4

5

6

â&#x20AC;&#x201C;1

7

8

9

10

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;

El punto o coordenada donde se cruzan las rectas es la soluciĂłn del sistema de ecuaciones. â&#x20AC;&#x201C;8 â&#x20AC;&#x201C;9

ďż˝=4 ďż˝=2

Entonces, el sistema de ecuaciones es consistente.

58

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

Rectas paralelas, no hay soluciĂłn

4

â&#x20AC;&#x201C;7

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

7

5

â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

Rectas que coinciden, infinidad de soluciones


SISTEMAS DE ECUACIONES

1.4

Resuelve A partir de los aprendido resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando el mĂŠtodo grĂĄfico. 1. đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;

ďż˝

â&#x20AC;&#x201C;1 0 1 2 3 ďż˝

â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

â&#x20AC;&#x201C;1 0 1 2

2.

3

â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;

ďż˝

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 0 1 ďż˝

â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 0

â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;

59


1.4

SISTEMAS DE ECUACIONES

Métodos para resolver ecuaciones con dos incógnitas Para empezar 1. La suma de dos números es 15 y su diferencia es 1. ¿Cuáles son esos números?

2. ¿Cómo lo resolviste?

3. ¿Crees que exista otra forma de resolverlo?

4. ¿Cómo emplearías el álgebra en este tipo de situaciones?

Conoce Para resolver los sistemas de ecuaciones existen varios procedimientos, que se denominan métodos: ▶ De eliminación o suma y resta (método de reducción) ▶ De igualación ▶ De sustitución ▶ Gráfico ▶ Por determinantes o regla de Cramer

Método de eliminación El método de eliminación, suma y resta o reducción se aplica cuando al sumar o restar las ecuaciones del sistema una de las dos incógnitas se elimina. Este procedimiento se realiza cuando la variable tiene el mismo coeficiente, pero diferente signo; si no tiene el mismo coeficiente hay que multiplicar las ecuaciones para que esto suceda. Ejemplo

� – 2� = 5 � + 2� = 9

Como puedes observar la variable � tiene el mismo coeficiente (ecuación 1), pero igual signo (+), en cambio la variable � tiene el mismo coeficiente (ecuación 2), pero signo distinto y esta es la variable directa a eliminar:

60

� – 2� = 5 ecuación (1) � + 2� = 9 ecuación (2) 2� = 14


1.4

SISTEMAS DE ECUACIONES

De tener dos ecuaciones con dos incógnitas, el sistema se reduce a una ecuación de primer grado con una incógnita:

Una vez que se tiene el valor de una de las variables se sustituye en las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.

Como pudiste darte cuenta al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones el resultado es el mismo. Solución del sistema: �=7 �=1

Ejemplo

2� + 3� = 8 (ecuación 1) 3� – 2� = –1 (ecuación 2)

En este sistema los coeficientes de las variables son distintos y no se pueden eliminar directamente. Los signos de la variable � son distintos, entonces hay que multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 3.

Resulta:

(2� + 3� = 8 ) (2) (3� – 2� = –1) (3)

Ahora sí, la variable � se puede eliminar: Entonces:

13� = 13

SE APLICA EN... En el mundo de la mercadotecnia el precio por unidad de un artículo depende sólo de la cantidad de demanda y de la oferta. Siempre existe una tendencia al ajuste de precio de un artículo por sí mismo, de modo que la cantidad de demanda por los consumidores iguale la cantidad que los consumidores están dispuestos a ofrecer. Se dice que el punto de equilibrio del mercado ocurre en un precio cuando la cantidad demandada es igual a la ofrecida, y este fenómeno se analiza usando ecuaciones.

Para encontrar el valor de � se sustituye el valor � = 1 en la ecuación 1 o en la ecuación 2.

61


1.4

SISTEMAS DE ECUACIONES

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es: � = 1, � = 2

Método de igualación Este procedimiento consiste en despejar la misma variable de un sistema de ecuaciones. Una vez hechos los despejes de la misma variable estos se igualan y queda eliminada una variable, se resuelve la ecuación resultante y después se encuentra la otra variable sustituyendo en las ecuaciones originales. Ejemplo �– �=2 2� + � = 13

Se despeja la � en ambas ecuaciones:

Se igualan los despejes:

Se resuelve:

Se despeja: El resultado es:

62

� – 2 = 2� + 13


SISTEMAS DE ECUACIONES

Se sustituye

1.4

en la ecuación:

Solución:

y

Método de sustitución Este método consiste en despejar una variable del sistema y sustituirla en la otra ecuación. Ejemplo

� + 2� = 6 3� – � = –3

Primero numeramos las ecuaciones y elegimos la variable a despejar: � + 2� = 6 (ecuación 1) 3� – � = –3 (ecuación 2)

Se despeja la � de la ecuación 1:

Se sustituye � = –2� + 6 en la ecuación 2; en vez de escribir � se escribe su equivalencia:

Se elimina el paréntesis:

3� – � = –3 3 (–2 � + 6) – � = –3

Se simplifica:

63


1.4

SISTEMAS DE ECUACIONES

Se sustituye el valor de � = 3 en las ecuaciones originales para encontrar el valor de �:

Solución: � = 0, � = 3

Método por determinantes o regla de Cramer Este es un sistema 2 × 2:

Todo determinante representa a un valor que se obtiene restando al producto de la diagonal principal el producto de números de la diagonal secundaria .

Hay que acomodar los coeficientes de las ecuaciones en los determinantes, como se muestra a continuación:

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Cramer o determinantes: �+ �=3 � – � = –1

Se escribe la matriz a partir del sistema de ecuaciones. Para buscar el valor de � se sustituye la primera columna por los resultados de las ecuaciones en el numerador y después se hacen productos aplicando la fórmula:

Para buscar el valor de � se sustituye la segunda columna por los resultados de las ecuaciones en el numerador y después se hacen productos aplicando la fórmula:

64


SISTEMAS DE ECUACIONES

1.4

Resuelve Ejercicio I

Con base en lo aprendido resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones por el método de eliminación. 1. � + � = 1 �–�=7

2. 5� – 2� = 19 3� + 4� = 1

3. 4� + 9� = 8 2� – 6� = –3

Ejercicio II

Resuelve cada sistema de ecuaciones con dos incógnitas por el método de igualación. 1. � = � �+�=4

2. � = � + 2 � + 2� = 16

3. � – � = –4 3� – 2� = –5

65


1.4

SISTEMAS DE ECUACIONES

4. � – � = 2 2� + � = 13

5. � + 2� = 6 3� – � = –1

Ejercicio III

Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución. 1. � + 2� = 6 3� – � = –1

2. 2� – � = –21 4� + 5� = 7

3. 3� = –2� – 4 6� – 4� = –4

4. 8� = 4� + 10 4� – 2� = 5

66


SISTEMAS DE ECUACIONES

1.4

Ejercicio IV

Usando el método de Cramer, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. 1. 5� – 4� = 10 � – 7� = 2

2. � + 2� = –4 2� + � = –1

3. 2� – 3� = 16 –4� + � = –22

4. 3� + 4� = –12 9� – 2� = 6

67


Actividad integradora 1 Las Islas Palm son superficies artificiales actualmente en construcción ubicadas en la costa de la ciudad de Dubái, en los Emiratos Árabes Unidos, y se encuentran entre las más grandes del mundo en su tipo. Sobre ellas se construirá infraestructura de tipo comercial y residencial, pues se espera que se conviertan en un destino turístico. Estas islas deben su nombre a su forma, una palmera de dátil, y se componen de tres secciones principales: tronco, frondas y creciente. Las Palmeras Jumeirah y Jebel Ali en su construcción requieren 100 millones de metros cúbicos de roca y arena. La Palm Deira contará con un volumen de arena y roca diez veces mayor que el de las Palmas Jumeirah y Jebel Ali. La empresa mexicana ipidsa fue contratada para el acarreo de 8 000 000 de metros cúbicos de arena, y realizó 458 viajes para el acarreo de material al área de construcción. La empresa cuenta con 2 barcos, el primero con capacidad de 15 000 metros cúbicos y el segundo con capacidad de 20 000 metros cúbicos. La empresa necesita determinar la cantidad de viajes que realizó cada barco con el fin de realizar el mantenimiento adecuado a cada embarcación. Completa la siguiente tabla donde tendrás que representar en lenguaje algebraico los enunciados para determinar las ecuaciones que necesitarás utilizar. Resuélvelas utilizando el método que prefieras.

Enunciados Cantidad de viajes en el primer barco

Capacidad de carga en m³ del primer barco

Cantidad de viajes del segundo barco

Capacidad de carga en m³ del segundo barco Total de m³ arena acarreada del primer y segundo barco Total de viajes del primer y segundo barco

68

Lenguaje algebraico/ecuación


ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

Solución:

Debido a que el contrato fue terminado en tiempo y forma, los socios del proyecto decidieron contratar a IPIDSA para el acarreo de 17 000 000 de metros cúbicos más. Ahora determina las ecuaciones y estima la cantidad de viajes para acarreo de arena que tendrá que realizar cada barco.

69


ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

Coevaluación Evalúa a uno de tus compañeros, tu profesor te indicará a quién.

Aspectos a evaluar

No

¿Por qué?

Durante el desarrollo hace sugerencias para mejorar los resultados del trabajo.

Aporta información de fuentes confiables que está relacionada directamente con el tema del trabajo.

Comparte ideas y escucha con respeto las del resto del equipo.

Mantiene un ánimo positivo para la realización del trabajo.

Entrega sus aportaciones y materiales a tiempo y en los términos acordados.

Estuvo presente y a tiempo en todas las clases.

Cuando existe algún desacuerdo escucha las opiniones y expone sus ideas con tranquilidad.

Autoevaluación Reflexiona y valora tu desempeño dentro del aula. Contesta de manera honesta tu propio avance.

Aspectos a evaluar

Participé en debates y discusiones. Escuché los puntos de vista y participé en la libre exposición de las ideas y opiniones. Participé activamente en clase, y aporté ideas y puntos de vista en actividades de retroalimentación, así como en plenarias.

70

No

¿Por qué?


ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

Aspectos a evaluar

No

¿Por qué?

Resolví dudas sobre mis intervenciones en clase. Adquirí nuevos conocimientos mediante el trabajo individual y colaborativo. Cumplí oportunamente con tareas, trabajos y exámenes. Indagué, analicé y apliqué información de distintas fuentes bibliográficas impresas o digitales de los temas que se trataron en el curso. Respeté la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales entre mis compañeros y el profesor. Utilicé el diálogo como mecanismo para la solución de diferencias o discrepancias entre mis compañeros y con el profesor Mi desempeño en clase contribuyó a un mejor aprendizaje.

71


2 UNIDAD DE COMPETENCIA

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA COMPETENCIA ESPECÍFICA Argumenta la solución obtenida de un problema que involucre: propiedades de los polígonos, congruencia y semejanza, teoremas, volúmenes e imaginación espacial, a través de métodos gráficos y analíticos así como la utilización de las tecnologías de la información.


OBJETIVOS DE APRENDIZAJE • Resolver problemas vinculados con las propiedades de los polígonos. • Utilizar criterios de congruencia y semejanza para argumentar la solución a problemas relacionados con polígonos. • Aplicar a situaciones reales el teorema de Pitágoras.

• Calcular perímetros, áreas y volúmenes para resolver problemas diversos. • Construir propuestas creativas a diversas situaciones aplicando la imaginación espacial.


2.1

Propiedades de los polígonos

Antes que nada... Relaciona cada palabra con la figura que le corresponda:

polígono / triángulo / complejo / convexo / cuadrilátero / cóncavo / simple

Resolverás problemas vinculados con las propiedades de los polígonos.

Un poco de historia de la geometría La geometría es una disciplina compuesta de un cuerpo de conocimientos prácticos relacionados con longitudes, áreas y volúmenes. La civilización babilónica fue una de las primeras culturas en incorporar el estudio de la geometría. Asimismo, al inventar la rueda abrieron el camino al estudio de la circunferencia y posteriormente al descubrimiento del número π (pi). También desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año cuenta con 365 días, e implementaron una fórmula para calcular el área del trapecio rectángulo. En el antiguo Egipto la geometría no estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C., configuró la geometría en forma axiomática y constructiva, tratamiento que estableció una norma durante muchos siglos: la geometría descrita en Los elementos, llamada euclidiana en su honor. El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de ecuaciones y la geometría analítica, donde las figuras geométricas, por ejemplo las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, lo que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

74

¿SABÍAS QUE…? Lado Án gu lo

Lado

Vértice

La esquina de un ángulo se llama vértice, los lados rectos son rayos y el ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.


PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

2.1

Triángulos: clasificación y propiedades Para empezar 1. Contesta las siguientes preguntas: a) El polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices se llama...

b) El triángulo equilátero se caracteriza por...

c) El triángulo acutángulo se caracteriza por...

SE APLICA EN... El teorema de Pitágoras ha sido muy importante en la historia de la humanidad, ya que la construcción con ángulos rectos es una de las bases de muchas culturas.

d) La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a:

2. Observa las siguientes figuras y escribe su nombre sobre la línea:

¿SABÍAS QUE…? La geometría sirve para: • Conocer una rama de las matemáticas más estéticas. • Cultivar la inteligencia. • Desarrollar estrategias de pensamiento. • Descubrir las propias posibilidades creativas. • Aprender una materia interesante y útil. • Fomentar una sensibilidad hacia lo bello. • Trabajar las matemáticas experimentalmente. • Agudizar la visión del mundo que nos rodea. • Gozar de sus aplicaciones prácticas. • Armar un rompecabezas, dibujar o trazar un croquis.

75


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Conoce El triángulo es una de las figuras con la que estamos más familiarizados porque día con día la encontramos, por ejemplo en un juego escolar de geometría, en la decoración de interiores, en las señales de emergencia cuando un neumático se poncha y en estructuras de puentes y edificios.

Clasificación de los triángulos Como ya lo sabes, un triángulo es un polígono de tres lados. Se puede clasificar de distinta manera: Según sus lados

Triángulo equilátero

Triángulo isósceles

Triángulo escaleno

Dos lados iguales

Tres lados desiguales

60°

60°

60°

Tres lados iguales

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¿SABÍAS QUE…? Se cree que uno de los motivos que propició el desarrollo de la geometría fue la necesidad de medir la tierra. En el antiguo Egipto, cuando sucedían las crecidas veraniegas del río Nilo, las lindes de los terrenos se borraban y era necesario redefinir la separación entre terrenos. Un instrumento de medida utilizado por los agrimensores egipcios eran unas cuerdas anudadas que facilitaban la construcción de los ángulos rectos formados por las parcelas.


PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

2.1

Según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Triángulo rectángulo

Triángulo obtusángulo

La palabra triángulo proviene del latín triangulus, que significa “de tres ángulos”.

< 90°

< 90°

¿SABÍAS QUE…?

< 90°

Tres ángulos agudos (menores a 90°).

> 90°

90°

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa, los lados menores son los catetos.

Un ángulo obtuso (mayor a 90°).

Elementos del triángulo Vértices Primarios

Lados Ángulos interiores Ángulos exteriores Altura Bisectriz

Secundarios

Simetral Transversal de gravedad Mediana

Propiedades de los triángulos 1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

SE APLICA EN... El teorema de Pitágoras es la base para la localización satelital.

77


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. De lo anterior se deduce que en todo triángulo hay, al menos, dos ángulos agudos. A + B + C = 180° a

c

b

b

a c

a

b

a

c

b

3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α = A + B, por lo tanto α = 180° – C b

α a

c

4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo (si aumenta a aumenta A). b

a c

c

b

a

5. En un triángulo si dos lados son iguales sus ángulos opuestos también son iguales.

c

a

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a

c

¿SABÍAS QUE…? Si construimos un paralelogramo con tiras de cartón y alfileres, o bien creamos un polígono de más lados, obtenemos estructuras que se deforman al presionar. En cambio, si realizamos la misma operación con el triángulo no conseguiremos modificarlo. Gracias a su rigidez el triángulo es utilizado en multitud de estructuras de construcción.


PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

2.1

Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. En la figura se muestran los triángulos semejantes ∆ ABC y ∆ A ʹBʹ C ʹ. Para indicar que dos triángulos son semejantes se escribe: ~

b΄ β΄

b β a

α

θ

c

α΄

θ΄

El ángulo a es correspondiente con el ángulo aʹ y por lo tanto son iguales, es decir a = aʹ . El ángulo β es correspondiente con el ángulo βʹ , entonces b = b ʹ. Finalmente el ángulo q es correspondiente con el ángulo q ʹ, entonces q = q ʹ . Los lados correspondientes son los que están opuestos a los ángulos correspondientes, así tenemos que el lado AB es correspondiente con el lado AʹBʹ, el lado BC es correspondiente con el lado BʹCʹ y el lado AC es correspondiente con el lado AʹCʹ. Puesto que los lados correspondientes son proporcionales, cuando dos triángulos son semejantes se pueden establecer las siguientes relaciones:

Para establecer que dos triángulos son semejantes y poder así utilizar las ecuaciones que se derivan de la proporcionalidad de sus lados, se puede recurrir al postulado de los triángulos semejantes: Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, los triángulos son semejantes. En el siguiente cuadro se presentan algunos teoremas sobre semejanza, que pueden resultar de mucha utilidad en la solución de problemas. Estos teoremas se pueden demostrar utilizando el postulado de la semejanza de triángulos: Si dos triángulos son semejantes la razón de sus perímetros es igual a la razón de cualquier par de lados correspondientes. Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, la recta divide a los otros dos lados en segmentos que son proporcionales. Si dos triángulos son semejantes sus alturas correspondientes están en la misma razón que cualquier par de lados correspondientes. En un triángulo rectángulo la altura perpendicular a la hipotenusa forma dos triángulos que son semejantes entre sí y semejantes al triángulo dado.

SE APLICA EN... El teorema de Pitágoras nos ayuda a determinar distancias en un plano o la distancia entre dos puntos.

79


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLĂ?GONOS

Ejemplo

Dado el triĂĄngulo â&#x2C6;&#x2020; ABC, donde AB DE, AB = 20, DE = 14 y CE = 13 Encuentre la longitud del segmento BE.

Sustituyendo la informaciĂłn dada y despejando đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ:

Rectas notables de un triĂĄngulo

SE APLICA EN...

En todo triĂĄngulo existen segmentos, rayos o rectas que cumplen funciones especĂ­ficas y cuya intersecciĂłn da origen a los puntos notables. c

Las mediatrices son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados en sus puntos medios. El punto donde se cortan las tres mediatrices de un triĂĄngulo se denomina circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita.

o a

a

Las alturas de un triĂĄngulo son las rectas que van desde un vĂŠrtice al lado opuesto perpendicularmente. El punto donde se cortan las tres alturas de un triĂĄngulo se denomina ortocentro.

Las bisectrices de un triĂĄngulo son las rectas que dividen cada uno de sus ĂĄngulos en otros dos iguales. El punto donde se cortan las tres bisectrices de un triĂĄngulo se denomina incentro y es el centro de la circunferencia inscrita.

80

b

ha

b

b

hb

c

hc

c

a

a tb

tc I

b

btz β

ta

btz Îł

c

La vida cotidiana estĂĄ llena de elementos geomĂŠtricos, de ahĂ­ la importancia de estos, ya que forman parte de nuestro entorno tanto en la naturaleza como en las construcciones.


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Rectas notables de un triángulo

¿SABÍAS QUE…?

mtz AB

Las medianas de un triángulo son las tres rectas que van desde un vértice al punto medio del lado opuesto. El punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo se denomina baricentro.

a mtz AC mc

ma

mc mb

mc

b

ma

c

mtz BC

En cualquier triángulo, el circuncentro, el ortocentro y el baricentro están contenidos en una misma recta, llamada recta de Euler.

o

La geometría plana es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades y medidas de las figuras en el espacio o en el plano. En el plano se construyen figuras planas. Cuando en un plano se traza una recta, esta divide al plano en semiplanos; la intersección de semiplanos define a la región que se conoce como figura plana o polígono.

g c

Construcción de triángulos Ejemplos

Conocidos un lado y sus ángulos adyacentes

Construir un triángulo con un lado de 6 cm y ángulos adyacentes de 30° y 50°: dibujamos como base un segmento de 6 cm y sobre sus extremos, con la ayuda de un transportador de ángulos dibujamos los ángulos señalados. Prolongando los lados de los ángulos obtenemos el tercer vértice.

50°

30°

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido

Construir un triángulo de lados que midan 5 cm y 7 cm, con el ángulo comprendido de 40°: con el transportador dibujamos un ángulo de 40° y sobre los lados del ángulo señalamos sendos segmentos de 5 cm y 7 cm, respectivamente. Uniendo los extremos de los segmentos por un tercero obtenemos el triángulo.

40°

81


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Construir un triángulo con dos lados de 7 y 5 cm, y un ángulo de 30° opuesto al lado pequeño: sobre un extremo del lado mayor dibujamos un ángulo de 30°. Con un compás de radio 5 cm trazamos un arco desde el otro extremo que corta en dos puntos el lado del ángulo. Obtenemos de esta manera dos soluciones al problema: los triángulos ABC y ABD de la figura adjunta.

30°

Conocidos los tres lados

Construir un triángulo de lados 3, 5 y 6 cm: desde los extremos del lado mayor (hipotenusa) trazamos dos circunferencias de 3 cm y 5 cm. El punto de corte nos da el tercer vértice.

Resuelve Ejercicio I 1. Dibuja cuatro polígonos de tres lados con diferentes colores.

82


PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

2.1

2. Elabora un esquema de la clasificación de los triángulos por sus lados y ángulos.

3. Dibuja los tres tipos de triángulos (equilátero, isósceles y escaleno) y representa las mediatrices de sus lados.

4. Dibuja los tres tipos de triángulos (equilátero, isósceles y escaleno) y representa las bisectrices de sus ángulos.

83


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Ejercicio II

1. Construye un triángulo, con dos lados de 4 cm y 7 cm, y un ángulo de 40° opuesto a cualquiera de ellos.

2. Construye un triángulo con dos lados de 2 cm y 12 cm, y un ángulo de 30° opuesto al lado pequeño.

3. Construye un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 9 cm. SE APLICA EN...

Ejercicio III

Si el lado del triángulo equilátero más grande mide 8 cm y todos los triángulos inscritos son equiláteros, calcula la cantidad de triángulos semejantes.

84

La geometría representa a las matemáticas en el espacio y la forma, y siempre tendremos la necesidad de medir objetos por medio de recursos básicos, como son las figuras: cubos, rectángulos, prismas…


PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

2.1

Cuadriláteros: clasificación y propiedades Para empezar Dibuja un ejemplo de cada concepto, precisando las características señaladas en la definición.

Definición

Ejemplo

Sus lados opuestos son paralelos.

¿SABÍAS QUE…? Quadrilaterus, palabra latina, significa “de cuatro lados”.

Todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí, tiene una circunferencia inscrita y otra circunscrita. Todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus diagonales son distintas y perpendiculares entre sí, son bisectrices, tiene una circunferencia inscrita. Sus lados opuestos son iguales dos a dos, todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre sí y tiene una circunferencia circunscrita. Sus lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.

Conoce Además de los triángulos, los polígonos más sencillos y conocidos por todos son los cuadriláteros: cuadrados, rombos, rectángulos, entre otros. En nuestra vida diaria los encontramos de todas formas, por ejemplo en las ventanas de una casa, en la mesa del comedor, en los campos de futbol, en el ring de box y de algunas artes marciales, en el diseño de edificios, etcétera.

85


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Un cuadrilátero es una figura que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, además sus ángulos internos siempre suman 360°. Elementos de los cuadriláteros

▶▶ ▶▶ ▶▶ ▶▶ ▶▶

4 vértices. Puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero. 4 lados. Segmentos que unen los vértices contiguos. 2 diagonales. Segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos. 4 ángulos interiores. Determinados por dos lados contiguos. 4 ángulos exteriores. Determinados por la prolongación de uno de los lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice. Diagonal B

A

Lado

Vértice D

C Ángulo puede ser

C

B

¿SABÍAS QUE…?

B D

A

86

A Cuadrilátero convexo

D

Cuadrilátero no convexo

C

Un paralelogramo es un cuadrilátero convexo cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Clasificación de los cuadriláteros Según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores

▶▶ Paralelogramo. Sus lados opuestos son paralelos. Generalmente el lado mayor se llama base, y la perpendicular a la base, trazada desde el lado opuesto, se denomina altura. ▶▶ Cuadrado. Paralelogramo cuyos lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí, tiene una circunferencia inscrita y otra circunscrita. ▶▶ Rombo. Todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos (ángulos oblicuos), sus diagonales son distintas y perpendiculares entre sí, son bisectrices, tiene una circunferencia inscrita.

SE APLICA EN... En la búsqueda de optimizar los recursos, las personas siempre exploran formas de obtener los mejores resultados empleando la menor cantidad de materiales, dinero, etc. Por ejemplo, cuando a una empresa contratista le solicitan una cotización para pintar un edificio, debe medir con mucha precisión el área que se pintará, ya que un error le puede generar pérdidas.

▶▶ Rectángulo. Paralelogramo que tiene sus lados opuestos, son iguales dos a dos y paralelos, todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre sí y tiene una circunferencia circunscrita. ▶▶ Romboide. Es un paralelogramo cuyos lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí. ▶▶ Trapecio. Es el cuadrilátero que sólo tiene dos lados paralelos. Estos lados paralelos se llaman bases y la perpendicular trazada desde la base menor a la mayor se llama altura. En todo paralelogramo: Los lados opuestos son iguales:

Los ángulos opuestos son iguales:

Los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios:

Las diagonales se cortan en su punto medio.

87


2.1

Los ángulos opuestos iguales: PROPIEDADES DE LOSson POLÍGONOS

Los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios:

Las diagonales se cortan en su punto medio.

por ser ángulos alternos internos por ser ángulos alternos internos

Propiedades particulares

Los rectángulos, cuadrados y rombos son paralelogramos especiales que, además de tener propiedades generales de todos los paralelogramos, presentan otras particularidades. Las diagonales de un rectángulo son iguales.

El cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales, los cuatro ángulos iguales con medida de 90° y sus lados opuestos paralelos.

Fórmulas

suma de sus lados

Ejemplo

Se está diseñando una terraza de eventos y se desea calcular diferentes zonas de la terraza. Se debe determinar el área y el perímetro donde se construirá una alberca:

88


PROPIEDADES DE LOS POLĂ?GONOS

2.1

El rectĂĄngulo es un cuadrilĂĄtero que tiene sus lados opuestos iguales y paralelos y todos sus ĂĄngulos internos miden 90°. En la figura siguiente se muestra un rectĂĄngulo de base đ?&#x2018;? y altura ďż˝.

FĂłrmulas

suma de sus lados

Ejemplo

En la zona donde se ubica la alberca del ejercicio anterior se quiere construir una jardinera rectangular de 7 metros lineales y un ĂĄrea de 14 metros cuadrados.

Sabemos que la fĂłrmula del ĂĄrea es ďż˝ = ďż˝ ¡ ďż˝, por lo tanto sustituimos los datos conocidos Despejamos â&#x201E;&#x17D;: Ya con los datos de ďż˝ y ďż˝ obtenemos el perĂ­metro: El rombo es un cuadrilĂĄtero que tiene sus cuatro lados iguales y sus lados opuestos paralelos. En un rombo es usual referirse a sus diagonales ya que estas son perpendiculares entre sĂ­. La figura muestra un rombo de lados ďż˝ y diagonales ďż˝1 y ďż˝2. h FĂłrmulas

đ??ˇđ??ˇ

đ??ˇđ??ˇ

89


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLĂ?GONOS

Ejemplo

En la zona de la alberca se construirĂĄn dos terrazas para ubicar las mesas en forma de rombos y que tiene una diagonal de 5 m y la otra de 3 m aproximadamente. Se debe determinar el ĂĄrea de las dos terrazas. El ĂĄrea de una terraza es: 2.6 ďż˝ 1.5

1.95

El ĂĄrea total de las dos terrazas es:

l 3

1.95 ďż˝ 2 = 3.9

El trapecio es un cuadrilĂĄtero que tiene dos de sus lados opuestos paralelos y los otros lados opuestos no paralelos. A los lados paralelos usualmente se les llama base 1, đ?&#x2018;?1, y base 2, đ?&#x2018;?2. Si los lados no paralelos tienen la misma longitud al trapecio se le llama isĂłsceles. La altura â&#x201E;&#x17D; del trapecio es el segmento perpendicular a los lados paralelos. FĂłrmulas

perĂ­metro = suma de sus lados

De acuerdo a la congruencia de sus lados opuestos no paralelos los trapecios se clasifican asĂ­: 1. Trapecio escaleno. Es aquel que tiene sus 4 lados de diferente medida. b

c Îą â&#x2030; θ

Îą

θ

a

d

2. Trapecio isĂłsceles. Es aquel cuyos lados no paralelos son iguales. b

a

90

c

d


PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

2.1

3. Trapecio rectángulo. Es aquel que tiene uno de sus lados no paralelo perpendicular a las bases. b

c

a

d

Teorema La mediana de un trapecio es paralela a las bases y la longitud de la media es igual a la semisuma de las longitudes de las bases.

sea

Hipótesis

el trapecio la mediana

y

Tesis

Ejemplo

La zona del brincolín tendrá la forma de un trapecio. Es necesario calcular el área sabiendo que la base menor mide lo mismo que el largo de la alberca, la base mayor mide el largo de la jardinera y la altura mide el lado de una terraza.

3

5 7

91


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

El paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y sus lados opuestos iguales. En la figura siguiente se muestra un paralelogramo de lados � y �, y altura �.

a

Fórmulas

h

b

Teorema En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.

Hipótesis

sea el paralelogramo

Tesis

Demostración:

Teoremas ▶ Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. ▶ El segmento entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud. Ejemplos

1. El terreno total de la terraza para eventos está representado por la siguiente figura. Se tiene que determinar el perímetro para saber cuántos metros de malla se comprarán para hacer la cerca y el portón.

15

20

92

SE APLICA EN... El razonamiento espacial identifica o evalúa la capacidad del hombre para visualizar objetos en diferentes posiciones en la mente sin perder las características esenciales.


PROPIEDADES DE LOS POLĂ?GONOS

2.1

2. A partir de los teoremas de los paralelogramos, analizar la figura donde ABCD forman un cuadrilĂĄtero:

Entonces la longitud de đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x20AC;đ??żđ??ż es Se traza đ??śđ??śđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; : mediana relativa a la hipotenusa en el triĂĄngulo rectĂĄngulo đ??´đ??´đ??śđ??śđ??ˇđ??ˇ đ??´đ??´đ??ľđ??ľ ⍽ đ??śđ??śđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; entonces đ??´đ??´đ??ľđ??ľđ??śđ??śđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; es un trapecio. mediana, entonces

Resuelve 1. Un criador de perros dispone de 144 metros lineales de malla que debe utilizar para construir 6 jaulas rectangulares iguales en un terreno rectangular de 210 m² de årea, como se muestra en la figura. Determina las dimensiones de cada jaula.

2. Se inscribe un cuadrado dentro de otro cuadrado de 16 m de lado, como se muestra en la figura. Si los vĂŠrtices del cuadrado inscrito coinciden con los puntos medios de los lados del cuadrado circunscrito, calcula el ĂĄrea sombreada.

93


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

3. La figura muestra 3 cuadrados, uno inscrito dentro del otro, de manera que los vértices del cuadrado inscrito coinciden con el punto medio de los lados del cuadrado circunscrito. Si el lado del cuadrado mayor es 3 m, calcula el área sombreada.

Polígonos en general: clasificación y propiedades SE APLICA EN...

Para empezar Completa la siguiente tabla.

Figura

94

Número de lados

Nombre

Los profesionales en psicología y psiquiatría utilizan, entre otros recusos, diversos ejercicios de imaginación espacial para determinar capacidades o deficiencias de la mente humana.


PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Figura

Número de lados

2.1

Nombre

Conoce Un polígono es una figura plana cerrada, formada por la unión de segmentos que se unen únicamente por dos extremos, de tal manera que cada segmento toca exactamente otros dos.

Elementos de un polígono Lados. Segmentos que forman el polígono. Vértices. Intersección o los extremos de los lados. Diagonales. Segmentos determinados por cada dos vértices no consecutivos. Centro. Punto central equidistante de todos los vértices. Perímetro. Suma de la medida de su contorno. Radio. Segmento que une el centro con un vértice. Apotema. Segmento que une el cetro con el punto medio de un lado y es perpendicular al mismo. ▶▶ Ángulo central. Ángulo formado por dos radios consecutivos. ▶▶ Ángulo interior. Ángulo formado por dos ángulos consecutivos. ▶▶ Ángulo exterior. Ángulo formado por un lado y la prolongación de otro lado consecutivo al primero.

▶▶ ▶▶ ▶▶ ▶▶ ▶▶ ▶▶ ▶▶

Lado

Centro

Apotema

Central Diagonal Radio Interior Exterior

95


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLĂ?GONOS

ClasificaciĂłn de los polĂ­gonos SegĂşn el nĂşmero de lados

Si decimos que un polĂ­gono tiene đ?&#x2018;&#x203A; lados se llama n-ĂĄgono, por ejemplo: triĂĄngulo, cuadrilĂĄtero, pentĂĄgono... PolĂ­gono

Nombre

NĂşmero de lados

NĂşmero de ĂĄngulos

El polĂ­gono es...

TriĂĄngulo

3

3

regular

CuadrilĂĄtero

4

4

irregular

PentĂĄgono

5

5

regular

HexĂĄgono

6

6

irregular

OctĂĄgono

8

8

irregular

DecĂĄgono

10

10

irregular

SegĂşn su ĂĄngulos

â&#x2013;śâ&#x2013;ś CĂłncavo. AlgĂşn ĂĄngulo interior mide mĂĄs de 180°. â&#x2013;śâ&#x2013;ś Convexo. Todos los ĂĄngulos interiores tienen menos de 180°.

SegĂşn su complejidad

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Simple. NingĂşn lado o lĂ­nea intersecta con otro. â&#x2013;śâ&#x2013;ś Complejo. Al menos dos lados o lĂ­neas se cortan.

SegĂşn la medida de sus lados

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Regular. Todos sus lados tienen la misma medida. â&#x2013;śâ&#x2013;ś Irregular. Al menos un lado tiene diferente medida.

96


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLĂ?GONOS

Propiedades de los polĂ­gonos El nĂşmero de los lados, vĂŠrtices, ĂĄngulos interiores, ĂĄngulos exteriores y ĂĄngulos centrales dependen del nĂşmero de lados que tengan La suma de los ĂĄngulos interiores de un polĂ­gono es 180° (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x20AC;&#x201C; 2), donde đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; es el nĂşmero de lados. En un pentĂĄgono es 180° (5 â&#x20AC;&#x201C; 2) = 540° La medida del ĂĄngulo interior de un polĂ­gono regular es

. En un pentĂĄgono es

La suma de las medidas de los ångulos externos de un polígono convexo es de 360°. La medida de los ångulos exteriores de un polígono regular es

. En un pentĂĄgono es

A partir de un vĂŠrtice de un polĂ­gono se pueden trazar (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x20AC;&#x201C; 3) diagonales. En un pentĂĄgono es (5 â&#x20AC;&#x201C; 3) = 2 El nĂşmero total de diagonales que se pueden trazar en un polĂ­gono es de pentĂĄgono es

. En un

.

Al trazar diagonales desde un mismo vĂŠrtice en un polĂ­gono obtenemos (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x20AC;&#x201C; 2) triĂĄngulos. En un pentĂĄgono es (5 â&#x20AC;&#x201C; 2) = 5

Resuelve Utilizando regla y transportador dibuja un ejemplo cualquiera de triĂĄngulo, cuadrilĂĄtero, pentĂĄgono y hexĂĄgono. DespuĂŠs, encuentra los valores de los ĂĄngulos interiores y de la suma de ellos, y anĂłtalos en la columna respectiva.

PolĂ­gono

Dibujo

Suma de ĂĄngulos interiores

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? ClasificaciĂłn de polĂ­gonos segĂşn el nĂşmero de lados: â&#x20AC;˘ TriĂĄngulo, 3 â&#x20AC;˘ CuadrilĂĄtero, 4 â&#x20AC;˘ PentĂĄgono, 5 â&#x20AC;˘ HexĂĄgono, 6 â&#x20AC;˘ HeptĂĄgono, 7 â&#x20AC;˘ OctĂĄgono, 8 â&#x20AC;˘ EneĂĄgono, 9 â&#x20AC;˘ DecĂĄgono, 10 â&#x20AC;˘ EndecĂĄgono, 11 â&#x20AC;˘ DodecĂĄgono, 12 â&#x20AC;˘ TridecĂĄgono, 13 â&#x20AC;˘ TetradecĂĄgono, 14 â&#x20AC;˘ PentadecĂĄgono, 15 â&#x20AC;˘ HexadecĂĄgono, 16 â&#x20AC;˘ HeptadecĂĄgono, 17 â&#x20AC;˘ OctodecĂĄgono, 18 â&#x20AC;˘ EneadecĂĄgono, 19 â&#x20AC;˘ IsodecĂĄgono o icosĂĄgono, 20 â&#x20AC;˘ TriacontĂĄgono, 30 â&#x20AC;˘ TetracontĂĄgono, 40 â&#x20AC;˘ PentacontĂĄgono, 50 â&#x20AC;˘ HexacontĂĄgono, 60 â&#x20AC;˘ HeptacontĂĄgono, 70 â&#x20AC;˘ OctacontĂĄgono, 80 â&#x20AC;˘ EneacontĂĄgono, 90 â&#x20AC;˘ HectĂĄgono, 100 â&#x20AC;˘ ChiliĂĄgono, 1 000 â&#x20AC;˘ MiriĂĄgono, 10 000 â&#x20AC;˘ DecemiriĂĄgono, 100 000 â&#x20AC;˘ HecatomiriĂĄgono o megĂĄgono, 1 000 000

Comprueba con la fĂłrmula

TriĂĄngulo

97


2.1

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Polígono

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

98

Dibujo

Suma de ángulos interiores

Comprueba con la fórmula

¿SABÍAS QUE…? Los polígonos son regulares si todos sus lados y sus ángulos son iguales, e irregulares si tienen diferentes los lados o ángulos. El nombre que cada figura recibe depende de su número de lados.


2.2

Congruencia y semejanza

Antes que nada… Observa la siguiente imagen:

Utilizarás criterios de congruencia y semejanza para argumentar la solución a problemas relacionados con polígonos.

1. ¿Qué formas descubriste?

2. ¿Cuánto se parecen entre sí las construcciones que hay en ella y en qué radica su semejanza?

99


2.2

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Criterio de congruencia Para empezar Observa la siguiente imagen: 1. ¿Qué figuras son idénticas en forma y tamaño?

2. ¿Por qué?

Conoce

¿SABÍAS QUE…?

Las figuras geométricas son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño; puede existir una isometría que los relaciona, una transformación de traslación, rotación y/o reflexión. Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

a

c b

a1 c

c1 b1

Congruencia de traslación

a c

c1

b

d

e

b1

b

Congruencia de reflexión

d1

a1

e1

e1

a

d1

a1

e

p

d

e

1

c1

d1

b1

d

e

Congruencia proviene del latín cum gruere, “coincidir, convenir, encontrarse”.

Congruencia de rotación

Los ángulos opuestos son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro.

t y Son congruentes y opuestos al vértice.

100

Una recta que corta dos líneas paralelas genera ángulos congruentes.

En un paralelegramo los ángulos opuestos son congruentes.


CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Dos triĂĄngulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ĂĄngulos correspondientes tienen la misma medida. Esta es la notaciĂłn:

Criterios

đ??´đ??´đ??ľđ??ľđ??śđ??ś

đ??ˇđ??ˇđ??¸đ??¸đ??šđ??š

Las condiciones mĂ­nimas que deben cumplir dos triĂĄngulos para que sean congruentes se establecen a travĂŠs de los llamados teoremas de congruencia: â&#x2013;śâ&#x2013;ś Caso LAL. Dos triĂĄngulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ĂĄngulo comprendido entre ellos. â&#x2013;śâ&#x2013;ś Caso ALA. Dos triĂĄngulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ĂĄngulos respectivos y el lado entre ellos. â&#x2013;śâ&#x2013;ś Caso LLL. Dos triĂĄngulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.

Resuelve

2.2

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? En la geometrĂ­a euclidiana, la congruencia es fundamental; en la geometrĂ­a analĂ­tica, la congruencia ocurre cuando dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes, si y sĂłlo si para cualquier par de puntos en la primera figura la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda figura.

Ejercicio I

Observa las imĂĄgenes y contesta: 1. ÂżSon congruentes?

2. ÂżCuĂĄntas figuras congruentes a esta encuentras en la imagen?

3. ÂżCuĂĄntas figuras congruentes a esta encuentras en la imagen?

101


2.2

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Ejercicio II

En las siguientes figuras establece si hay congruencia y qué criterio o postulado se aplica. b

1. Determina si hay congruencia y por cuál criterio.

a

c d

6

6

7

a

b

4

4 6

2. Determina cuáles de los triángulos A, B, C y D son congruentes y con base en qué criterio.

4

d 7

7

b

a

4

7

c

6

c

3. ¿Qué criterio de congruencia se aplica en este par de triángulos?

d

Teorema de Tales y su aplicación Para empezar Esta anécdota es relatada por Plutarco: “Tales de Mileto en un viaje a Egipto visitó las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo con la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide

102


CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma. ”

2.2

Y ESE, ¿QUIÉN ES?

D b

a

c

Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.

1. ¿Qué opinas del método que utilizó Tales?

2. Menciona un ejemplo de cómo podrías aplicar esto en tu vida diaria.

Conoce El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí. Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto, quien vivió en el siglo VI a. C. Ejemplo

Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales. Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W. o

u v s

w

Tales de Mileto Fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego. Inició la escuela de Mileto, a la que pertenecieron también Anaximandro (su discípulo) y Anaxímenes (discípulo del anterior). En la antigüedad se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia. No se conserva ningún texto suyo y es probable que no dejara ningún escrito al morir. Desde el siglo V a. C. se le atribuyen importantes aportaciones en el terreno de la filosofía, la matemática, la astronomía y la física, entre otras. A menudo Tales es considerado el iniciador de la especulación científica y filosófica occidental, aunque su figura y aportaciones están rodeadas de grandes incertidumbres.

p q

t r

103


2.2

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

En la figura las medidas de los segmentos son las siguientes: OP = 2 cm, PQ = 2.5 cm, QR = 3 cm OU = 3 cm, UV = 3.75 cm, VW = 4.5 cm Al establecer proporciones con las medidas, se observa que: las medidas de los segmentos correspondientes son proporcionales.

Si una recta intersecta a dos lados de un triángulo, y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado. Como consecuencia del teorema de Tales, se puede enunciar el teorema fundamental de semejanza de triángulos. Toda paralela a uno de los lados de un triángulo divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero.

Obsérvese el triángulo PQR, al trazar la recta TS paralela al lado RP se puede demostrar que: r

t v p

s

q

por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos congruentes. RP // TS El ángulo Q es común a los dos triángulos: Por la propiedad reflexiva. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Los triángulos PQR y SQT tienen ángulos congruentes. Además:

104

¿SABÍAS QUE…? Los puntos cocíclicos (o concíclicos) son aquellos que pertenecen a una misma circunferencia.


CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

2.2

Por el teorema de Tales:

Para obtener la proporcionalidad entre los segmentos, se traza la recta VS, paralela a RQ. Pero en el paralelogramo STRV, RV = TS. Se puede sustituir:

AsĂ­ que los lados de los triĂĄngulos PQR y SQT son proporcionales. Por lo tanto:

Lo anterior, porque sus ĂĄngulos correspondientes son congruentes y sus lados homĂłlogos, proporcionales.

Resuelve Aplica el teorema de Tales de Mileto en los siguientes ejercicios. 1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 21 m si a la misma hora un poste de 4 m de altura proyecta una sombra de 3 m.

â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

4m

edificio

poste

21 m

12 m

5m a

2. Los catetos de un triĂĄngulo rectĂĄngulo miden 12 m y 5 m. ÂżCuĂĄnto medirĂĄn los catetos bâ&#x20AC;&#x2122; y câ&#x20AC;&#x2122; de un triĂĄngulo semejante cuya hipotenusa mide 26 m?

26 m

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x20AC;&#x2122;

13 m

3m

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x20AC;&#x2122; d

e

f

3. A partir del teorema de Tales determina si los segmentos son paralelos.

b c

g

105


2.2

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Escalas Para empezar Traza un dibujo de tu casa donde aparezcan todas la habitaciones, áreas de servicio, patios, etcétera.

Conoce La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando estos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos. Este problema lo resuelve la escala, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo. Se define la escala como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real: Escala ampliación

dimensión en la realidad dimensión en en el dibujo

Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador se trata de una escala de ampliación y será de reducción en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural). La escala es, entonces, la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un

106


CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

2.2

mapa. Es la relación de proporción que existe entre las medidas de un mapa con las originales.

Tipos de escalas Existen tres tipos de escalas: ▶ Escala natural. Es cuando el tamaño físico del objeto representado en el plano coincide con la realidad. Existen varios formatos normalizados de planos para procurar que la mayoría de piezas que se mecanizan estén dibujadas a escala natural, es decir, escala 1:1. ▶ Escala de reducción. Se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (E 1:2 o E 1:5), planos de viviendas (E 1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser escalas del orden de E 1:50.000 o E 1:100.000. Para conocer el valor real de una dimensión hay que multiplicar la medida del plano por el valor del denominador. ▶ Escala de ampliación. Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador, o sea que se deberá dividir por el numerador para conocer el valor real de la pieza. Ejemplos de escalas de ampliación son E 2:1 y E 10:1.

¿SABÍAS QUE…? Según la norma UNE EN ISO 5455:1996, “Dibujos técnicos. Escalas” se recomienda utilizar las siguientes escalas normalizadas (escalas de ampliación): 100:1, 50:1, 20:1, 10:1, 5:1, 2:1.

Escala gráfica, numérica y unidad por unidad ▶ La escala numérica representa la relación entre el valor de la representación (el número a la izquierda del símbolo :) y el valor de la realidad (el número a la derecha del símbolo :). Un ejemplo de ello sería 1:100.000, lo que indica que una unidad cualquiera en el plano representa cien mil de esas mismas unidades en la realidad. Dicho de otro modo, dos puntos que en el plano se encuentren a 1 cm estarán en la realidad a 100 000 cm; si están en el plano a 1 metro en la realidad estarán a 100 000 metros, y así con cualquier unidad que usemos. ▶ La escala unidad por unidad es la igualdad expresa de dos longitudes: la del mapa (a la izquierda del signo =) y la de la realidad (a la derecha del signo =). Un ejemplo de ello sería 1 cm = 4 km, 2 cm = 500 m, etcétera. ▶ La escala gráfica es la representación dibujada de la escala unidad por unidad, donde cada segmento muestra la relación entre la longitud de la representación y el de la realidad. Un ejemplo de ello sería: 1 cm_________10 km Fórmula más rápida: N = P / T 1 N: Escala P: Dimensiones en el papel (cm, m) T: Dimensiones en el terreno (cm, m); ambos deben estar en una misma unidad de medida. Se recomienda el uso de ciertos valores normalizados con objeto de facilitar la lectura de dimensiones mediante el uso de reglas o escalímetros. Estos valores son:

107


2.2

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Escalas de reducción Fabricación e instalaciones

Construcciones civiles

Topografía

Escalas de ampliación Urbanismo

1:2

1:5

1:100

1:500

2:1

1:5

1:10

1:200

1:2 000

5:1

1:10

1:20

1:500

1:2 500

10:1

1:20

1:50

1:1 00

1:5 000

20:1

1:50

1:100

1:2 000

1:25 000

50:1

1:100

1:200

1:5 000

1:50 000

1:200

1:500

1:10 000

1:1 000

1:25 000 1:50 000

Uso del escalímetro En la práctica habitual del dibujo a la hora de trabajar con escalas se utilizan los escalímetros. La forma más habitual del escalímetro es la de una regla de 30 cm de longitud, con sección estrellada de 6 facetas o caras. Cada una de estas facetas va graduada con escalas diferentes, que habitualmente son 1:100, 1:200, 1:250, 1:300, 1:400, 1:500. Estas escalas son válidas igualmente para valores que resulten de multiplicarlas o dividirlas entre 10, así, por ejemplo, la escala 1:300 es utilizable en planos a escala 1:30 o 1:3000. Otro modelo, menos habitual, es el escalímetro en abanico, compuesto por una serie de reglas en las que se han dibujado las diferentes escalas gráficas. Tipos de escalas Escala de ampliación

Escala natural

2 cm Escala de reducción

2 cm

2 cm

108

2 cm

2 cm

2 cm

Escala: 1:1

Escala: 2:1

Escala: 1:2


CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

2.2

Resuelve Realiza un dibujo a escala de un autobús de transporte público. Analiza y determina qué escala tendrías que utilizar para elaborarlo en el espacio de abajo o en media hoja tamaño carta.

Semejanza de polígonos Para empezar Observa cada imagen y responde las preguntas: 1. ¿Son semejantes las figuras?

2. ¿Por qué?

109


2.2

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

1. ¿Son semejantes las figuras?

2. ¿Por qué?

1. ¿Son semejantes las figuras?

2. ¿Por qué?

Conoce Las figuras semejantes son las que mediante el zoom (homotecias) y movimientos (giros, traslaciones y simetrías) pueden coincidir. Un polígono está determinado por sus lados y ángulos, por tanto para que dos polígonos sean semejantes basta con que los lados homólogos sean proporcionales (con el zoom se multiplican todos los lados por el mismo número) y sus ángulos iguales (las homotecias, los giros, las traslaciones y las simetrías no modifican los ángulos de las figuras).

α

b

c

b’

c’ Los ángulos iguales: ’ Los lados proporcionales: b’ /b = c’ /c

Semejantes, con un giro, una homotecia, una simetría y una traslación pueden coincidir.

Semejantes, ángulos iguales y lados proporcionales.

No semejantes, ángulos iguales pero lados no proporcionales.

No semejantes, lados iguales, proporcionales pero ángulos distintos.

110


CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

2.2

Resuelve 1. Dibuja 3 polígonos regulares semejantes.

2. Dibuja 3 polígonos irregulares semejantes.

111


2.3

Teorema de Pitágoras

Antes que nada… La triangulación es un método usado para señalar una ubicación cuando se conocen dos puntos de referencia. Cuando la triangulación se usa sobre un ángulo de 90 grados se usa el teorema de Pitágoras. Los celulares, por ejemplo, pueden rastrearse por triangulación y los sistemas de navegación de vehículos usan este método. Puede usarse también junto con una brújula para determinar una localización geográfica. La NASA también usa la triangulación para determinar la posición de las naves espaciales: se envía una señal a la nave y esta responde devolviendo la señal. La triangulación usa estos números para calcular la posición de la nave en el espacio. Los investigadores forenses usan el teorema de Pitágoras para determinar la trayectoria de una bala, lo que le permite a la policía saber la zona de la que provino el proyectil. Los investigadores pueden también saber qué tan cerca estaba el tirador de la víctima, lo que ayuda a determinar si se trató de un suicidio o un homicidio. Las salpicaduras de sangre y el rastro de sangre de una víctima después de un ataque también pueden analizarse con el teorema de Pitágoras. Los investigadores usan estos cálculos para determinar el ángulo del impacto y las posiciones tanto de la víctima como del asaltante durante la agresión. Asimismo, los arqueros usan el teorema de Pitágoras para determinar la trayectoria correcta necesaria para dar en el blanco. Si los cálculos son exactos, la flecha impactará el objetivo; si no, podría caer antes o errar la marca deseada. Los sistemas de misiles guiados usan un método similar para dar con exactitud sobre un objetivo. 1

b

ta

a 2

me

r

c 3

Conoce El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, entonces:

112

Aplicarás a situaciones reales el teorema de Pitágoras.


TEOREMA DE PITĂ GORAS

De la fórmula anterior se deducen fåcilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación pråctica:

Ejemplo

En la figura aparece un triĂĄngulo rectĂĄngulo. Sobre sus lados hemos construido sendos cuadrados y calculado sus ĂĄreas. Se observa que el ĂĄrea del cuadrado construido sobre la hipotenusa es la suma de las ĂĄreas de los cuadrados sobre los catetos, es decir, 52 = 32 + 42. El teorema de PitĂĄgoras afirma que esta propiedad se cumple en cualquier triĂĄngulo rectĂĄngulo. Ejemplos

La Torre de Pisa estĂĄ inclinada de tal modo que su pared lateral forma un triĂĄngulo rectĂĄngulo de catetos 5 metros y 60 metros. ÂżCuĂĄnto mide la pared lateral?

60 m

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

5m

2.3

ÂżSABĂ?AS QUEâ&#x20AC;Ś? El teorema de PitĂĄgoras tiene este nombre porque su demostraciĂłn es fruto del esfuerzo de la mĂ­stica escuela pitagĂłrica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocĂ­an ternas de valores que se correspondĂ­an con los lados de un triĂĄngulo rectĂĄngulo y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triĂĄngulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningĂşn documento que exponga teĂłricamente su relaciĂłn. La pirĂĄmide de KefrĂŠn, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirĂĄmide que se construyĂł basĂĄndose en el llamado triĂĄngulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

60 m

5m

Un compĂĄs de bigotera tiene separadas las puntas de sus patas 110 milĂ­metros, mientras que la vertical desde el eje hasta el papel alcanza una altura de 130 milĂ­metros. ÂżCuĂĄl es la medida, en milĂ­metros, de cada una de sus patas?

130 mm 110 mm

113


2.3

TEOREMA DE PITÁGORAS

Resuelve Ejercicio I

Completa la tabla aplicando el triángulo pitagórico:

Hipotenusa

Cateto

Cateto

3m

4m

10 cm

6 cm

2.5 m

2m

15 cm

50 pies

Perímetro

Área

120 pies

600 pies2

12 cm 40 pies

Ejercicio II

Analiza cada caso y resuelve aplicando el teorema de Pitágoras. 1. Una escalera de 6.5 metros se apoya en una pared vertical de modo que el pie de la escalera está a 2.5 metros de la pared. ¿Qué altura, en decímetros, alcanza la escalera?

h

6.5 m

2.5 m

2. Una escalera de 1.5 metros se apoya en una pared vertical, de modo que el pie de la escalera se encuentra a 0.9 metros de esa pared. Calcula la altura en metros que alcanza la escalera sobre la pared.

1.5 m

a

0.9 m

114

1.5 m 0.9 m

a


TEOREMA DE PITÁGORAS

2.3

3. La cara frontal de una tienda de campaña es un triángulo isósceles cuya base mide 2.6 metros y cada uno de los lados iguales mide 2.5 metros. Calcula la altura en centímetros de la tienda.

2.5 m 2.6 m

Ejercicio III

Analiza y resuelve. 1. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro es 20 m?

2. ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo cuyas medidas son 9 m de largo y 7 m de ancho?

3. ¿Cuáles son las medidas de un triángulo rectángulo si sus lados miden tres números pares consecutivos?

Y ESE, ¿QUIÉN ES?

Pitágoras de Samos Fue un pensador griego, considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa al avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas y aplicadas a los pesos, las medidas, la música y la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también por la medicina, la cosmología, la filosofía, la ética y la política, entre otras disciplinas.

115


Perímetro, áreas y volúmenes

2.4

Antes que nada… Las aplicaciones prácticas de la geometría son numerosas. Por ejemplo, digamos que necesitas instalar una nueva alfombra en tu dormitorio, ¿cuánta alfombra necesitas comprar? Mide la longitud y el ancho de tu habitación y luego multiplícalos entre sí para averiguar cuántos metros cuadrados de alfombra necesitas. Otro problema de área que puedes encontrar es determinar cuántas latas de pintura tendrás que comprar para cubrir tus paredes. Cuando desees vallar un jardín necesitarás calcular el perímetro. Por otra parte, debes calcular el volumen para averiguar la cantidad de mezcla de cemento que se requiere para verter en una banqueta o la cantidad de arena necesaria para llenar una caja de arena. Forma con compañeros un equipo de tres o cuatro integrantes para realizar la siguiente actividad, recordando algunas fórmulas para calcular áreas, perímetros y volumen.

Fórmula 1. 2.

Figura

Trapecio Cubo

3.

Rectángulo

4.

Circunferencia

5.

Heptágono

6.

Esfera

7.

Rombo

8.

Prisma

9.

Pirámide

10.

Triángulo

11.

Cuadrado

12. 13.

116

Pentágono Círculo

Calcularás perímetros, áreas y volúmenes para resolver problemas diversos.


PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

Algunas aplicaciones reales de calcular perímetro, área y volumen son: ▶ Conocer el número de tejas necesarias para cubrir una sección de 100 metros cuadrados. ▶ Determinar el número de latas de pintura necesarias para cubrir las paredes de las nuevas oficinas. ▶ Descubrir cuántas bolsas de fertilizantes se requieren para un jardín sabiendo que una bolsa puede cubrir 10 metros cuadrados.

2.4

¿SABÍAS QUE…? Magnitud. Es todo ente abstracto que puede ser medido. Unidad. Es un patrón arbitrario de medida que se acepta internacionalmente.

Conversión de unidades de medición Para empezar La mamá de Carla es costurera. Le pidieron un vestido de quince años, pero cuando fue a la tienda se le olvidó comprar el listón. Decidió mandar a su hija a la mercería para que adquiera 9.50 pies de listón morado. Si Carla sabe que 1 pie equivale a 0.305 metros, ¿cuántos centímetros pidió en la mercería?

Conoce En la vida diaria hay situaciones que requieren hacer conversiones entre diferentes unidades de medida. Convertir significa transformar una unidad de medida en otra equivalente de la misma naturaleza. Por ejemplo, un metro es igual a cien centímetros y un kilómetro es igual a mil metros. La medición consiste en determinar qué proporción existe entre una dimensión de algún objeto y una cierta unidad de medida. Para que esto sea posible el tamaño de lo medido y la unidad escogida tienen que compartir una misma magnitud. Existen diferentes sistemas de medición: el Sistema Internacional de Unidades utiliza el metro, mientras el Sistema Inglés se basa en el pie y el CGS se basa en el centímetro. El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, también denominado Sistema Internacional de Medidas, es el sistema de unidades más usado. Las siguientes tablas ayudan a convertir en múltiplos y submúltiplos las diferentes unidades de perímetro, área y volumen. ▶ Unidades de longitud o perímetro: Kilómetro

km

1 000 m

Hectómetro

hm

100 m

Decámetro

dm

10 m

Metro

m

1m

Decímetro

dm

0.1 m

Centímetro

cm

0.01 m

Milímetro

mm

0.001 m

117


2.4

PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

▶ Unidades de superficie o área: Kilómetro cuadrado

km2

1 000 000 m2

Hectómetro cuadrado

hm2

10 000 m2

Decámetro cuadrado

dm2

100 m2

Metro cuadrado

m2

1 m2

Decímetro cuadrado

dm2

0.01 m2

Centímetro cuadrado

cm2

0.0001 m2

Milímetro cuadrado

mm2

0.00001 m2

▶ Unidades de volumen: Kilómetro cúbico

km3

1000 000 000 m3

Hectómetro cúbico

hm3

1000 000 m3

Decámetro cúbico

dm3

1000 m3

Metro cúbico

m3

1 m3

Decímetro cúbico

dm3

0.001 m3

Centímetro cúbico

cm3

0.000001 m3

Milímetro cúbico

mm3

0.000000001 m3

▶ Unidades de capacidad: Kilolitro

kl

1000 l

Hectolitro

hl

100 l

Decalitro

dl

10 l

Litro

l

1l

Decilitro

dl

0.1 l

Centilitro

cl

0.01 l

Mililitro

ml

0.001 l

Ejemplo

Convertir 1.34 m a milímetros. Si observamos en la tabla: Por lo tanto:

Entonces:

118

1 m = 100 cm 1 cm = 10 mm

1.34 m (100 cm) = 134 cm 134 cm (10 mm) = 1 340 mm 1.34 m equivalen a 1 340 mm.

¿SABÍAS QUE…? Después de la Revolución Francesa los estudios para determinar un sistema de unidades único y universal concluyeron con el establecimiento del Sistema Métrico Decimal. La adopción universal de este sistema se hizo con el Tratado del Metro o la Convención del Metro, que se firmó en Francia el 20 de mayo de 1875. En él se establece la creación de una organización científica con una estructura permanente que permita a los países miembros tener una acción común sobre las unidades de medida y que asegure la unificación mundial de las mediciones físicas.


PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

2.4

¿SABÍAS QUE…?

UN VISTAZO

1 dm3 = 10 cm • 10 cm • 10 cm = 1 000 cm3

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo.

Longitud Métrico

Imperial

1 milímetro [mm]

0.03937 plg

1 centímetro [cm]

10 mm

0.3937 plg

1 metro [m]

100 cm

1.0936 yd

1 kilómetro [km]

1000 m

0.6214 milla

Imperial

Métrico

1 pulgada [plg]

2.54 cm

1 pie [pie]

12 plg

0.3048 m

1 yarda [yd]

3 pies

0.9144 m

1 milla

1 760 yd

1.6093 km

1 milla naútica

2 025.4 yd

1.853 km Área

Métrico

Imperial

1 cm cuadrado [cm2]

10 mm2

0.1550 plg2

1 m cuadrado [m2]

10 000 cm2

1.1960 yd2

1 hectárea [ha]

10 000 m2

2.4711 acres

1 km cuadrado [km2]

100 ha

0.3861 milla2

Imperial

Métrico

1 pulgada cuadrada [plg2]

6.4516 cm2

1 pie cuadrado [pie2]

144 plg2

0.0929 m2

1 yarda cuadrada [yd2]

9 pie2

0.8361 m2

1 acre

4840 yd2

4046.9 m2

1 milla cuadrada [milla2]

640 acres

2.59 km2

119


2.4

PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

Volumen/capacidad Métrico

1 cm cúbico [cm3]

Imperial

0.0610 plg3

1 decímetro cúbico [dm3]

1 000 cm3

0.0353 pie3

1 metro cúbico [m3]

1 000 dm3

1.3080 yd3

1 litro [l]

1 dm3

1.76 pie3

1 hectolitro [hl]

100 l

21.997 gal

Imperial

1 pulgada cúbica [plg3] 1 pie cúbico [pie3]

Métrico

16.387 cm3 1 728 plg3

1 onza líquida [oz]

0.0283 m3 28.413 ml

1 pinta [pt]

20 fl oz

0.5683 l

1 galón [gal]

8 pt

4.5461 l

Resuelve Ejercicio I

Realiza las siguientes conversiones: 1. 7.5 m2 a cm2 2. 45.1 km a dm 3. 60.7 cm a pulgadas (plg) 4. 3 mm a plg 5. 32.5 plg a cm 6. 3 km2 a milla cuadrada 7. 5 hectáreas a m2 8. 3.6 pie2 a m2 9. 10 dm3 a cm3 10. 8 litros a dm3

120


PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

2.4

Ejercicio II

Resuelve cada situación. 1. Una empresa lechera contrató el servicio de una pipa que tiene una capacidad para transportar 12 000 dm3 de leche. Si debe llenar un tanque de almacenamiento con una capacidad de 423 000 litros, ¿cuántos viajes deberá hacer la pipa para llenar el tanque de almacenamiento?

UN VISTAZO Un litro es la capacidad de un decímetro cúbico: 1 l = 1 dm3= 1 kg

2. Una gasolinera tiene 4 bombas de combustible. Si cada bomba tiene una capacidad de almacenamiento de 2320 dm3, ¿cuántos automóviles podrán llenar su tanque al 100%, si cada uno en promedio tiene una capacidad de 50 litros?

3. Las dimensiones de una celular son: largo, 13 cm; ancho, 7 cm; y alto, 0.5 cm. Si se desea construir un estuche para cubrirlo, ¿cuáles deben ser las dimensiones del estuche, si debe tener una extensión de 0.2 cm por cada arista para que el aparato quepa dentro de él?

Áreas y perímetros de polígonos irregulares Para empezar Cada lado de una alfombra cuadrada tiene 8 metros de largo. El dueño quiere la alfombra tratada con un proceso anti-mancha y el tratamiento cuesta $40 por metro cuadrado. ¿Cuánto cuesta tratar la alfombra?

Conoce El área de una figura es la superficie que cubre cada espacio del dibujo, es decir, si hablamos de un terreno que vamos a empastar serían los metros cuadrados de césped que tenemos que comprar para cubrirlo todo. Se calcula con una multiplicación y cada figura tiene una formula determinada para llegar al resultado de una manera más rápida, sin tener que dividir la figura en dibujos más pequeños y se mide en unidades cuadradas. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término área como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área). Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

IMPORTANTE Para multiplicar por 10, basta con recorrer el punto decimal una vez hacia la derecha. Para dividir entre 10, basta con recorrer el punto decimal una vez hacia la izquierda.

121


2.4

PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

Ejemplo

Calcular el área de la siguiente figura compuesta: medimos el área de cada una de las figuras que forman el lápiz y al final sumamos, para encontrar el área total. Área del rectángulo

base por altura (8 cm) (20 cm) = 160 cm2

Área del triángulo

(base por altura) / 2 (8 cm) (7 cm) / 2 = 56 / 2 = 28 cm2

Área del círculo

pi por radio al cuadrado (3.14) (4 cm)2 = (3.14) (16 cm2) = 50.24 cm2 / 2 (porque es medio círculo) = 25.12 cm2

Área total

160 cm2 + 28 cm2 + 25.12 cm2 = 213.12 cm2

7 cm

20 cm

8 cm

El perímetro de una figura es la longitud de su contorno, es decir, en el caso de un terreno son los metros lineales que se deberán comprar para cercarlo. Otro ejemplo es medir el contorno del marco de una ventana a la que debemos ponerle protección; se calcula sumando el contorno de cada figura, se mide en unidades lineales y se suma cada una de las medidas que se tengan en la figura. Ejemplo

La siguiente imagen es un anuncio luminoso para un negocio. Se desea colocar luces en todo el contorno y el dueño quiere saber cuánto debe invertir si el metro de luces se lo venden en $2 500. B

35 cm E F

50 cm

A

20 cm

C D G

I

H

J

30 cm

K L

Lo primero que debemos hacer es calcular los centímetros totales que cubren el contorno de la imagen. Entonces, sumando las medidas, tenemos: 50cm + 50cm + 35cm + 35 cm + 30 cm + 30 cm + 20 cm + 20 cm= 270 cm = 2.7 m Por lo tanto, como el anuncio mide 2.7 metros de contorno, multiplicamos por el valor de cada metro (2.7 m) (2500) = $6 750.

122

IMPORTANTE El perímetro de una circunferencia se calcula con la siguiente fórmula: P = Dπ, o lo que es lo mismo, P = 2rπ.


PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

2.4

Fórmulas para calcular el área de figuras básicas Figura

Cuadrado

Dibujo

Fórmula

¿SABÍAS QUE…? Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos, como el rectángulo, el rombo, el cuadrado y el romboide.

Rectángulo

Triángulo

Paralelogramo

Trapecio

SE APLICA EN...

Polígono regular

Círculo

La noción de imagen juega un papel importante en el desarrollo de la imaginación espacial ya que el razonamiento espacial muestra la habilidad de una persona para visualizar la forma y las superficies de un objeto terminado, antes de ser construido.

123


2.4

PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

Resuelve 1. Don Felipe tiene cuatro hijos a quienes quiere dar partes iguales de su terreno. La casa de Don Felipe será la cuarta parte del terreno total. ¿Qué área en metros cuadrados tendrá cada uno de los terrenos de los hijos?

100 m Terreno

100 m

2. El diámetro de una rueda de bicicleta mide aproximadamente 70 cm. Haz una estimación del número de vueltas que da la rueda en un recorrido de 5 km. 70 cm

70 cm

3. Se recubrirá el piso de un baño que mide 1.6 m por 2.5 m, utilizando azulejos de 20 cm por 20 cm; la caja de azulejo contiene 10 piezas. ¿Cuál será el costo total, si la caja cerrada se vende en 240 pesos?

1.6 m

2.5 m

20 cm

2.5 m 5m

8m

20 m

10 cm

5. ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra se deben comprar para tapizar el área sombreada de la siguiente pista de un teatro?

6. ¿Cuánto mide el cordón que sujeta la caja de regalo?

20 cm

25 cm 196 m2

124

4. Para cubrir de azulejo una alberca que tiene ocho metros de largo, cinco metros de ancho y una profundidad de dos y medio metros, ¿cuántos metros cuadrados de azulejo se necesitan?

7. Don Luis tiene un terreno de forma cuadrada con un área de 196 m2 que quiere emplear como gallinero. ¿Cuántos metros de tela de alambre tiene que comprar para cercar los cuatro lados?


PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

6m

2.4

8. Determina el área sombreada, si el triángulo es equilátero mide 6 metros por lado y sus vértices coinciden con los centros de los círculos.

9. Una mesa circular tiene un área de 5.027 m2. ¿Cuánto mide su radio? 5.027 m2

Volúmenes de prismas y paralelepípedos Para empezar

IMPORTANTE

Calcula la cantidad de pintura necesaria para llenar 10 botes de forma cilíndrica que miden 20 cm de diámetro y 15 cm de altura.

20 cm

El volumen como magnitud es entendido como el espacio que ocupa un cuerpo; posee tres dimensiones: alto, ancho y largo.

15 cm

Conoce El volumen es una magnitud derivada de la longitud, ya que se halla multiplicando la longitud, el ancho y la altura de un objeto. Desde un punto de vista físico, los cuerpos materiales ocupan un volumen por el hecho de ser extensos. Por ejemplo, el volumen de un prisma se calcula multiplicando el área de la base por la profundidad del mismo y se mide en unidades cúbicas. En cada prisma lo que cambia es la base, dependiendo de la figura. Un paralelepípedo es un prisma en el que todas sus caras son paralelogramos:

¿SABÍAS QUE…? El volumen es la cantidad de espacio contenida en un cuerpo. La unidad para medir tal magnitud siempre será cúbica.

125


2.4

PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

Otro prisma muy conocido es el cilindro, un sólido que tiene dos bases circulares iguales contenidas en planos paralelos. La superficie lateral o área lateral del cilindro está formada por todos los puntos que unen las dos bases del cilindro. El eje del cilindro circular es el segmento que une los dos centros de las bases. El radio r del cilindro es el radio de cualquiera de las bases iguales. El volumen se obtiene multiplicando el área de la base por la altura:

Resuelve 1. ¿Cuántos litros de agua se requieren para llenar una alberca, sabiendo que se llena hasta los 1.75 metros de altura y tiene un diámetro de 4.5 metros? 1.75 m 4.5 cm

4.5 cm 2.85 m

4.5 m

5.25 m

10 cm

5m 5m

126

2. Un depósito de gasolina en forma de prisma rectangular tiene 4.5 m de largo, 5.25 m de ancho y 2.85 m de altura. Sabiendo que sólo se llena al 80% de su capacidad, ¿cuántos litros puede contener?

2m

3. Si una caja en forma de hexaedro con arista de 10 cm la deseas llenar de chocolates, ¿cuántos serían necesarios, si cada uno ocupa un volumen de 1 cm3?

4. Al cubo vacío de la izquierda que tiene como medida de lado 5 metros se le introduce el cilindro sólido de la derecha, que tiene 2 metros de diámetro y 5 metros de altura. ¿Cuál es la capacidad que se tiene en el espacio restante?


PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

8m

2.4

5. Un contenedor de aceite en forma de cilindro tiene en la base un diámetro de 12 metros y una altura de 8 metros. ¿Cuál es la capacidad que tiene?

12 m

6. ¿Cuál es el volumen en cm3 del prisma?

12 cm 15 cm

22 cm

8 cm

Volúmenes de conos, esferas y pirámides Para empezar Calcula el volumen de una pirámide con base cuadrangular cuya área superficial es de 36 m2 y su altura, de 15 m.

Conoce Un cono es un sólido que se forma con una base en forma de círculo y un punto llamado vértice. El eje del cono es el segmento de recta que va del vértice al centro de la base circular. La altura h del cono es el segmento perpendicular a la base que une a esta con el vértice. Si el eje del cono es perpendicular a la base el cono se llama cono circular recto, mientras que si el eje no es perpendicular a la base el cono se llama cono oblicuo. En un cono circular recto se llama generatriz al segmento que va del vértice a un punto en la circunferencia de la base.

g

¿SABÍAS QUE…? Para calcular el volumen de un prisma multiplicamos el área de la base por la altura. La fórmula que se utilice depende de la forma que tenga la base: triangular, rectangular, cuadrada, circular, pentagonal, etcétera.

h

r

127


2.4

PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

La fórmula para calcular el volumen del cono es la siguiente:

Ejemplo

Calcular el volumen de un cono cuya altura es de 12 cm y el radio de su base es de 3 cm. Se sustituyen valores:

Una esfera es un sólido que está formado por todos los puntos en el espacio que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la esfera. Esta distancia se llama radio de la esfera. r

La fórmula para calcular su volumen es:

Ejemplo

Calcular el volumen de una pelota esférica cuyo diámetro es de 10 cm. Aplicando la fórmula, si el radio es de 5 cm y considerando el valor de π como 3.14:

128

SE APLICA EN... La imaginación espacial nos ayuda a desarrollar la capacidad de percibir de manera real el espacio, logrando la orientación mediante planos y mapas, y le permite al hombre crear figuras, construir estructuras en tres dimensiones (3D), y más.


PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

2.4

Una pirámide es un sólido que tiene como base un polígono y un punto fuera del plano que contiene a la base llamado vértice, de tal forma que cada vértice del polígono está unido al vértice de la pirámide por un segmento llamado arista. Dos aristas consecutivas junto con un lado de la base forman un triángulo llamado cara lateral. La altura de una pirámide es el segmento perpendicular que va desde el vértice al plano que contiene a la base. El apotema de una pirámide regular es la altura de cualquiera de los triángulos iguales que sirven de caras laterales.

Pirámide regular

Pirámide no regular

El volumen de una pirámide regular se obtiene multiplicando el área de la base por la altura y dividiendo entre tres:

Ejemplo

La arista lateral de una pirámide regular mide 6 cm. El área de la base hexagonal regular es de 24 cm2. Para encontrar el volumen de la pirámide sustituimos valores:

Resuelve 1. Halla la capacidad que tiene una pelota cuyo diámetro mide 10 cm.

129


2.4

PERÍMETRO, ÁREAS Y VOLÚMENES

2. Calcula el volumen de la pirámide de Chichen Itzá, que tiene una base cuadrada de 55.5 m y una altura de 24 m.

3. Calcula los litros de agua que contiene un depósito en forma de cono, si su altura es de 8 m y el radio de su base mide 2 m.

4. Determina el volumen de una lata de atún cilíndrica cuya base tiene un radio de 6 cm y su altura es de 3 cm.

5. En una fábrica se va a construir una lata cilíndrica de aluminio para colocar su producto. La altura del cilindro debe ser de 10 cm y el área superficial total igual a 112 π cm2. Determina el radio de la lata cilíndrica.

6. Se desea construir una tienda de campaña cónica utilizando una lona que tiene forma de semicírculo con radio de 3 m. Encuentra el volumen de la tienda de campaña.

7. Para fabricar municiones de escopeta de 0.30 cm de diámetro se funden cilindros de plomo de 24 cm de diámetro y 18 cm de longitud. ¿Cuántas municiones se obtienen de cada cilindro?

130


2.5

Imaginación espacial

Antes que nada… Hablar de imaginación espacial es referirnos a los cuerpos geométricos y a todo aquello relacionado con aspectos como formas, espacios, colores, figuras, líneas, y la correlación entre todos ellos; al hacerlo nos remitimos a la capacidad que tiene un individuo para visualizar información en dos, tres o cuatro dimensiones. Se puede presentar como opuesto al pensamiento abstracto o imaginación abstracta, que son las relaciones de números o lógica. En matemática se hace la diferenciación entre aritmética y geometría, de modo que a la primera podríamos entenderla como abstracta y a la segunda como espacial. Aunque en el fondo no hay diferencia, el procesamiento dentro del cerebro es diferente. Por ejemplo, cuando hablamos de un número al cuadrado o al cubo, abstractamente es aquel multiplicado por sí mismo (dos y tres veces), en cambio para la mentalidad espacial geométrica es un cuadrado lleno de cuadraditos o un cubo lleno de cubitos. En ambos casos la lógica coincide, pero el procesamiento de cada región del cerebro será distinto y esto dependerá de la complejidad de la relación.

Construirás propuestas creativas a diversas situaciones aplicando la imaginación espacial.

Poliedros regulares Para empezar En equipos dibujen la forma plana de cada uno de los siguientes poliedros.

Cubo

Tetraedro

Dodecaedro

131


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Conoce Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos. Diagonal

Cara

Ángulo poliédrico Ángulo diedro Vértice Arista

Elementos de un poliedro ▶ Caras. Son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro. ▶ Aristas. Son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común. ▶ Vértices. Son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice. ▶ Ángulos diedros. Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común. ▶ Ángulos poliédricos. Están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común. ▶ Diagonales. Son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Tipos de poliedros

Poliedro convexo

Una recta sólo puede cortar a su superficie en dos puntos.

Poliedro cóncavo

Una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

132

¿SABÍAS QUE…? Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los “elementos fundamentales”: tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.


IMAGINACIÓN ESPACIAL

Poliedros irregulares

Están definidos por polígonos que no son todos iguales.

Poliedros regulares

Tienen todos sus ángulos diedros, todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.

2.5

Sólo existen cinco poliedros regulares:

Tetraedro

Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales. Tiene cuatro vértices y cuatro aristas. Es una pirámide triangular regular.

Hexaedro o cubo

Su superficie está constituida por 6 cuadrados. Tiene 8 vértices y 12 aristas. Es un prisma cuadrangular regular.

Octaedro

Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros. Tiene 6 vértices y 12 aristas. Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.

Dodecaedro

Su superficie consta de 12 pentágonos regulares. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

133


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Icosaedro

Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros. Tiene 12 vértices y 30 aristas.

Resuelve Analiza cada situación, reflexiona y responde. 1. De los siguientes cuerpos geométricos, señala cuáles son poliedros y cuáles no lo son. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Indica cuáles de los siguientes poliedros son regulares. Justifica tus respuestas. a)

134

b)

c)

d)


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

3. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y explica por qué. a) Una esfera es un poliedro.

b) En cada vértice de un poliedro coinciden al menos tres caras.

c) Una pirámide de base trapezoidal es un poliedro.

d) Un poliedro tiene al menos ocho caras.

e) Una pirámide de base cuadrada es un poliedro regular.

Sólidos compuestos Para empezar Un monumento que se encuentra en un parque de una ciudad en Sinaloa está compuesto por una base cúbica y sobre ella se encuentra una pirámide de igual base y altura de 4 metros. Si la arista de la base tiene 3 metros de longitud, ¿qué volumen ocupa el monumento?

Conoce Con seguridad has notado que frecuentemente al caminar por las calles se observan en el entorno diferentes combinaciones de los cuerpos sólidos. Llamamos cuerpo compuesto al que presenta dos o más cuerpos en la misma pieza y pueden encontrarse uno dentro o encima del otro. Según esta combinación debemos adicionar o sustraer los volúmenes o las áreas. El espacio en el que vivimos es tridimensional y muchos de los objetos de uso común, como cajas, pelotas, ladrillos, latas, edificios, etcétera, son ejemplos de figuras sólidas. El poliedro es un sólido limitado por polígonos.

135


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Los poliedros tienen caras (polígonos que limitan al poliedro), aristas (segmentos que intersecan dos caras) y vértices (puntos que intersecan tres o más aristas). Los sólidos compuestos se conforman con la combinación de dos o más sólidos de cualquier tipo: primitivos, de revolución, extruidos, solevados y barridos.

Resuelve 1. Esta figura representa una pieza de fibra de vidrio que se tendrá que recubrir con pintura. Determina la superficie que se necesita pintar (las longitudes están representadas en metros).

7m

6m

5m

11 m

2. A una pieza con forma de cilindro circular recto se le ha hecho una perforación cónica de igual base y hasta la tercera parte de la longitud de su altura. Si el diámetro de la base tiene una longitud de 60 dm y la altura de la pieza cilíndrica es de 72 dm, dibuja la figura con sus medidas y calcula el volumen de la pieza resultante.

136

¿SABÍAS QUE…? Las palabras intersectan e intersecan se refieren a lo mismo.


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

3. Una bala está formada por un cilindro circular recto de aluminio que en uno de sus extremos tiene una pieza semiesférica también de aluminio. Si la parte cilíndrica tiene 20 mm de radio y 50 mm de altura, dibuja la figura de la bala y determina qué cantidad de superficie se necesita pintar en la bala.

Transformaciones y perspectivas Para empezar ¿Recuerdas la expresión “nada es lo que parece”? Observa las siguientes imágenes y descríbelas indicando cómo las ves, qué figuras las conforman, dónde inician, dónde terminan, las transformaciones que tienen, desde qué perspectiva las puedes ver mejor y en qué son iguales o diferentes.

¿SABÍAS QUE…? El caleidoscopio es un tubo que encierra dos o tres espejos inclinados y en un extremo dos láminas de vidrio, entre las cuales hay varios objetos de forma irregular, que se ven multiplicados simétricamente al ir volteando el tubo si se mira por el otro extremo.

137


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Conoce La perspectiva es la recreación de la profundidad y la posición relativa de los objetos comunes. En un dibujo la perspectiva simula la profundidad y los efectos de reducción. Es también la ilusión visual que percibe el observador que le ayuda a determinar la profundidad y situación de los objetos a distintas distancias. Por analogía, también se llama perspectiva al conjunto de circunstancias que rodean al observador y que influyen en su percepción o en su juicio.

Auxiliados por la geometría, podemos simular el efecto visual de la perspectiva proyectando los objetos tridimensionales sobre un plano (bidimensional) utilizando los métodos de la perspectiva cónica. Recibe este nombre por el hecho de que las líneas paralelas de proyección parten de un punto. Mediante este procedimiento se pueden obtener imágenes realistas, sin embargo la perspectiva cónica no puede imitar fielmente la visión estereoscópica del ser humano.

Transformación Transformación geométrica es cualquier operación que permite crear una nueva figura a partir de otra. Las transformaciones mantienen la forma esencial de la figura pero pueden disminuir el tamaño o la posición. Cuando a un objeto se le aplica una fuente luminosa este genera una sombra; entre el objeto y su sombra existe una relación biunívoca, de manera que a cada punto del objeto le corresponde otro en su sombra y viceversa, estableciendo una relación de transformación. Así, podemos afirmar lo siguiente: “Una transformación geométrica es una combinación de varias de ellas, en que se parte de una forma de una figura original para generar otra nueva estableciendo una relación biunívoca entre ellas”. Elementos de una transformación

▶ Característicos. Los que definen todas las correspondencias entre la figura original y la transformada. ▶ Dobles. Los que se transforman en sí mismos. ▶ Impropios. Son elementos en el infinito, por ejemplo la recta y los planos paralelos pasan a ser secantes, ya que se cortan en el infinito. • Punto impropio. Elemento común que tiene entre sí todas las rectas paralelas de un conjunto cuando tienden al infinito. Cualquier recta tiene un único punto impropio.

138


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

• Recta impropia. Elemento común que tienen entre sí todos los planos paralelos de un conjunto cuando tienden al infinito. Cualquier plano tiene una única recta impropia. • Plano impropio. Es el lugar geométrico constituido por todos los elementos impropios de la geometría euclideana. Existe un único plano impropio. Clasificación (en figuras homólogas)

1. Isométricas. Son aquellas que conservan las dimensiones y los ángulos entre la figura original y la transformada. ▶ Traslación. Movimiento de la figura, sin rotar ni voltearla. La figura sigue viéndose exactamente igual, sólo que en un lugar diferente. ▶ Rotación. Girar alrededor de un centro. La distancia del centro a cualquier punto de la figura es la misma. Cada punto sigue un círculo alrededor del centro. ▶ Simetría. Es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. En geometría conviene distinguir simetría como transformación geométrica y simetría como propiedad de la figura. La simetría central es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto que debe cumplir las siguientes condiciones. El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría; y su punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.​​ C΄ B΄ A΄ o

A B C

La simetría axial es una transformación respecto de un eje de simetría en la cual a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones: • La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría es la misma. • El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría. e A

B C

B΄ C΄

139


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

2. Isomórficas. Son aquellas transformaciones que conservan la forma, es decir, los ángulos de la figura original y la transformada son iguales, y las longitudes son proporcionales. ▶ Homotecia. Correspondencia entre dos figuras en la que se cumple que las parejas de puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia O y los segmentos homotéticos son paralelos. • Homotecia directa. Cuando los dos puntos homotéticos se encuentran al mismo lado respecto al centro la homotecia es directa. Las figuras homotéticas directas son semejantes y nunca son equivalentes. o

1

A

C

2 B

1΄΄

C΄΄ 2΄

A΄΄ 2΄΄ B΄΄

3΄΄

3

• Homotecia inversa. Cuando los puntos homotéticos se encuentran alineados con el centro pero en extremos opuestos de las radiaciones la homotecia es inversa. En este caso la figura no es semejante, es el producto de dos simetrías axiales cuyos ejes, uno vertical y otro horizontal, pasan por el centro de homotecia.

C΄ A΄ 1΄

3

140

D

2

C

E 4

5

B

A

1

• Factor de proporcionalidad en la homotecia. El factor de proporcionalidad o razón de semejanza entre figuras homotéticas directas es siempre positiva. Las figuras homotéticas inversas responden a un factor de proporcionalidad negativo, son equivalentes si el factor de proporcionalidad es –1.


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

2΄΄

1

3

3΄΄

2΄΄

1΄΄

o 2΄΄

2

2΄΄

1΄΄

3΄΄

3΄΄

3΄΄

1΄΄ 1΄΄

▶ Semejanza. tienen la misma forma (el mismo número de lados y ángulos iguales) y distinto tamaño (sus dimensiones son distintas). Los diversos elementos que en las figuras semejantes se corresponden son proporcionales entre sí, existiendo igualdad entre sus ángulos. Esta correspondencia se denomina razón de semejanza (K) y es la relación de proporcionalidad constante que existe entre los elementos de las dos figuras semejantes.

L L/2

K = 1/2

3. Anamórficas: Son aquellas en las que cambia la forma entre la original y la transformada. Existen varios tipos: ▶ Homología. La homología es una transformación que no es isomórfica ni isométrica, pues no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras. Transforma los puntos del plano A, B, C… en puntos del plano A’, B ’, C ’... de modo que: • Dos puntos homólogos A y A’ están alineados con un punto fijo O que es el centro de la homología. • Dos rectas homólogas r y r ’ se cortan en una recta llamada eje de homología.

141


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Centro de hemología

A B r C Eje de homología

C΄ r΄ B΄ A΄

▶ Afinidad. La afinidad es una homología con el centro en el infinito. Es una transformación que no es isomórfica ni isométrica, pues no mantiene la forma ni el tamaño de la figura que transforma. Transforma los puntos del plano A, B, C… en puntos del plano A’ B ’, C ’... de modo que: • Dos puntos homólogos A y A’ definen un segmento paralelo a la dirección de afinidad d. • Dos rectas homólogas r y r ’ se cortan en una recta llamada eje de afinidad.

d A B r C Eje de afinidad

C΄ B΄ A΄

142

SE APLICA EN... Los profesionales en el diseño, como arquitectos y pintores, antes de materializar sus proyectos desarrollan una idea principal, la cual trabajan y plasman. Para esto deben tener nociones de las formas, dimensiones, estructuras, giros, transformaciones…


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

▶ Inversión. La inversión es una transformación que hace corresponder a un punto A otro punto A’ cumpliendo las siguientes condiciones: • Ambos puntos están alineados con otro punto fijo O, llamado centro de inversión. • El producto de las distancias de ambos puntos al citado centro de inversión es un valor constante K llamado potencia de inversión, es decir, OA * OA’ = K. A΄ A

O

Resuelve Observa las siguientes figuras e identifica el tipo de transformación. C΄

o

o

A

A

B΄ B

C

C B

A

C

C΄ B΄

B

A

C

C΄ B΄

B

143


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Secciones de poliedros Para empezar Observa las siguientes figuras y realiza un dibujo de ellas, pero cortadas o seccionadas a la mitad.

A

B

C

D

Conoce Se llama sección plana de un poliedro al polígono cuyos lados son las intersecciones de las caras del poliedro con un plano secante. También podemos hablar de secciones planas de un cuerpo de revolución, en ese caso, generalmente obtenemos una figura plana curva (circunferencia, elipse, etcétera), todo depende del ángulo que forme el plano secante con el eje de revolución. La sección plana de un sólido convexo lo divide en dos cuerpos; cada uno de ellos recibe el nombre de sólido truncado. La sección es una figura plana y el borde de la sección son las intersecciones del plano con las caras del cuerpo.

144

E


IMAGINACIÓN ESPACIAL

Tronco de prisma

Tronco de cilindro

Tronco de pirámide

Para construir una sección plana de un poliedro debemos encontrar dos puntos del plano secante que se encuentren en la misma cara del poliedro, ya que el segmento que los une formará la parte de la sección y se encontrará en el plano secante. En caso de caras paralelas debemos tener en cuenta el teorema: “Si un plano es secante con dos planos paralelos, entonces los intersecta en dos rectas paralelas”. Si tuviéramos un solo punto de la sección, tendremos que encontrar otro que esté contenido en la misma cara; para esto debemos prolongar alguna de las aristas para construir una recta del plano que corte a alguna otra arista del poliedro. Ejemplos

Construir la sección de siguiente figura en el plano de los puntos marcados:

2.5

Tronco de cono

¿SABÍAS QUE…? Origami es el arte japonés del plegado de papel, también conocido como papiroflexia. Sin necesidad de tijeras, pegamento ni grapas, expertos y aficionados a esta práctica antiquísma pueden crear un sinfín de ingeniosas figuras.

Construir la sección de la siguiente figura cubo en el plano de los puntos marcados:

145


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Resuelve Realiza las secciones de los puntos señalados.

146


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

Área superficial de sólidos y desarrollo plano Para empezar Calcula la cantidad de hojalata necesaria para construir 10 botes de forma cilíndrica de 20 cm de diámetro y 15 cm de altura.

Conoce Área superficial de sólidos ▶ El área total de un poliedro es la suma de las áreas de las caras laterales y de sus bases. ▶ El área lateral de un poliedro es la suma de las áreas de las caras laterales. ▶ La altura de un prisma o de un tronco de pirámide es la distancia entre sus bases. ▶ La altura de una pirámide es la distancia entre la base y el vértice opuesto a ella. ▶ Se llama volumen de un cuerpo a la extensión de la porción de espacio que ocupa el poliedro. ▶ Medir el volumen de un cuerpo es compararlo con otro que se tome como unidad. La unidad de volumen es un cubo que tenga por arista un segmento igual a la unidad de longitud. ▶ El volumen de cualquier prisma se obtiene al multiplicar el área de la base por la longitud de la altura. ▶ El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del volumen del prisma que tiene la misma base y altura que la pirámide y la misma altura. 

¿SABÍAS QUE…? Se conoce como estereometría a la rama de la geometría que estudia la medida de los sólidos.

Desarrollo plano Una manera sencilla de calcular el área y el volumen de un cuerpo geométrico es visualizar previamente su desarrollo plano. Los cuerpos geométricos corresponden a una figura geométrica tridimensional, es decir, se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies.

147


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Si todas las superficies que lo limitan son llanas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuya superficie se compone de una cantidad finita de polígonos planos que encierran un volumen finito y no nulo. Se clasifican en dos tipos: regulares e irregulares. Ejemplos

Tetraedro

Cubo

Icosaedro

Octaedro

Dodecaedro

148


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

Poliedros irregulares Un poliedro irregular está formado por polígonos que no son todos iguales. Se clasifican en: ▶ Pirámides

Pirámide recta

Pirámide oblicua

Pirámide regular recta

Pirámide regular oblicua

Prisma oblicuo

Prisma regular recto

Prisma regular oblicuo

▶ Prismas

Prisma recto

▶ Cuerpos redondos. Son la esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. También se denominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje. El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. En el dibujo podemos distinguir los elementos de un cono recto:

149


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.

Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.

El cilindro es el cuerpo geométrico generado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados. El cilindro tiene dos caras basales planas, paralelas y congruentes, y una cara lateral que es curva y dos aristas basales. Puedes observar que en el desarrollo en el plano se nos forma un rectángulo para la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de la circunferencia que forma las bases y la altura o generatriz. La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

150


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

Área total del cono La superficie lateral o área lateral de un cono está formada por todos los puntos que se obtienen al unir el vértice con cualquier punto de la circunferencia en la base del cono. Su área lateral está dada por

Donde g es la generatriz que se puede calcular por el teorema de Pitágoras:

h

g r

Ejemplo

Calcular el área lateral y total de un cono cuya altura mide 8 u y el radio de la base es de 6 u.

g

8 6

Área total del cilindro El área lateral está dada por: r

h

g

El área total está dada por:

151


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Ejemplo

Calcular el área total de la siguiente figura.

30 u 15 u

Área total de la esfera Está dada por:

r

Ejemplo

Calcular el área total de la siguiente figura:

8

Área total del cubo El área lateral está dada por:

6

152


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

El área total está dada por:

Ejemplo

Calcular el área total de la siguiente figura:

D

a = 10

Área total del prisma El área lateral está dada por:

El área total está dada por:

Ejemplo

Calcular el área total de la siguiente figura.

12 u

4u 3u

153


2.5

IMAGINACIÓN ESPACIAL

Resuelve 1. Calcula el papel necesario para forrar una caja de regalo en forma de cubo que mide 10 cm de arista.

2. Se desea construir una alberca de 10 m de largo por 5 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿Cuánto azulejo es necesario para cubrirla?

3. Calcula el área total de un prisma recto de base cuadrada, si la longitud de la arista de la base es de 7 cm y su altura mide 10 cm.

4. Determina el área total de una pirámide recta de base rectangular, cuya base tiene dimensiones 15 cm y 11 cm respectivamente y la altura es de 90 cm.

154


IMAGINACIÓN ESPACIAL

2.5

5. Un cilindro circular recto tiene 20 cm de radio y 50 cm de altura. ¿Cuál será su área lateral?

6. Un cono circular recto tiene un radio de 12 dm y una generatriz de 20 dm, su área total es…

7. Una esfera tiene un volumen de 113.04 cm3. Calcula su área.

8. Desarrolla los planos para las siguientes figuras.

155


2.5

IMAGINACIÃ&#x201C;N ESPACIAL

156


ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

Actividad integradora 2 Aprovechando que cerca de la escuela hay una fábrica de ladrillos para piso, la maestra de Matemática y vida cotidiana II programó una visita con sus alumnos. Al estar ahí descubrieron que esos ladrillos se elaboran de forma artesanal y que cada uno se compone de tres capas llamadas color, fino y respaldo. Después de un proceso tan interesante como complejo, cada ladrillo se deja secar por 24 horas y al día siguiente se acomoda de tal modo que los ladrillos no rocen entre sí; posteriormente cada uno se sumerge en agua para que se limpie y se termine de compactar. Por último, se empacan en cajas que contienen ladrillos para cubrir un metro cuadrado. Deben estar unidos sólo por las caras de color con un papel intermedio. 1. ¿En cuáles tipos de polígonos regulares se pueden hacer ladrillos que unan perfectamente sus esquinas? ¿Por qué?

2. ¿Cuántos ladrillos debe contener una caja para cubrir un metro de piso si cada ladrillo es un cuadrado de 20 por 2 cm?

3. ¿Qué dimensiones debe tener la caja de empaque?

4. ¿Qué volumen se forma con las cajas necesarias para cubrir 45 metros cuadrados de piso?

5. Si un cliente quiere que le fabriquen ladrillos del mismo tipo en forma de triángulos equiláteros para una gran terraza y para la pared de la cocina, y si para el muro de la cocina cada uno medirá 8 cm de lado y los del piso de la terraza deben medir tres y media veces los de la cocina, ¿de qué tamaño deben hacerse?

Puedes acompañar tu actividad con ilustraciones.

157


ACTIVIDAD INTEGRADORA 2

Coevaluación Evalúa a uno de tus compañeros, tu profesor te indicará a quién.

Aspectos a evaluar

No

¿Por qué?

Durante el desarrollo hace sugerencias para mejorar los resultados del trabajo.

Aporta información de fuentes confiables que está relacionada directamente con el tema del trabajo.

Comparte ideas y escucha con respeto las del resto del equipo.

Mantiene un ánimo positivo para la realización del trabajo.

Entrega sus aportaciones y materiales a tiempo y en los términos acordados.

Estuvo presente y a tiempo en todas las clases.

Cuando existe algún desacuerdo escucha las opiniones y expone sus ideas con tranquilidad.

Autoevaluación Reflexiona y valora tu desempeño dentro del aula. Contesta de manera honesta tu propio avance.

Aspectos a evaluar

Participé en debates y discusiones. Escuché los puntos de vista y participé en la libre exposición de las ideas y opiniones. Participé activamente en clase, y aporté ideas y puntos de vista en actividades de retroalimentación, así como en plenarias.

158

No

¿Por qué?


ACTIVIDAD INTEGRADORA 2

Aspectos a evaluar

No

¿Por qué?

Resolví dudas sobre mis intervenciones en clase. Adquirí nuevos conocimientos mediante el trabajo individual y colaborativo. Cumplí oportunamente con tareas, trabajos y exámenes. Indagué, analicé y apliqué información de distintas fuentes bibliográficas impresas o digitales de los temas que se trataron en el curso. Respeté la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales entre mis compañeros y el profesor. Utilicé el diálogo como mecanismo para la solución de diferencias o discrepancias entre mis compañeros y con el profesor Mi desempeño en clase contribuyó a un mejor aprendizaje.

159


BIBLIOGRAFÍA

Allen, A. (2008). Álgebra intermedia (7ª. edición). México: Pearson Educación. Godino, Juan y Ruiz, F. (2002). Geometría y su didáctica para maestros. Granada: Universidad de Granada. Soto Apolinar, E. (2010). Matemáticas preuniversitarias. México (sin editorial). Swokowski, E. y Cole, J. Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12ª. edición). México: Cengage Learning.

Recursos electrónicos “Al-Khwarizmi”. http://www.biografiasyvidas.com/. Recuperado el 14 de julio de 2016. “Diofanto de Alejandría”. http://www.biografiasyvidas.com/. Recuperado el 14 de julio de 2016. “Expresiones algebraicas”. http://grupo5511087.blogspot.mx/. Recuperado el 14 de julio de 2016. “Tales de Mileto”. Disponible en http://www.biografiasyvidas.com/. Recuperado el 14 de julio de 2016.

160


EJERCICIOS EXTRAS


Ejercicios Planea Resuelve con los procesos necesarios y subraya la respuesta correcta. 1. La llave de agua de un jacuzzi vierte 5 litros cada minuto. ÂżCuĂĄl es la expresiĂłn algebraica que determina la cantidad de agua por minuto si posee 12 litros de agua? (ďż˝ = total de agua por minuto.) a) ďż˝ = 5ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 12 c) ďż˝ = 12 + 5ďż˝ e) ďż˝ = (12ďż˝) (5) b) ďż˝ = 5ďż˝ d) ďż˝ = (12) (5ďż˝) 2. La suma de 2�� y â&#x20AC;&#x201C;3�� + 6 es: a) â&#x20AC;&#x201C;5�� + 6 c) â&#x20AC;&#x201C;�� b) â&#x20AC;&#x201C;�� + 6 d) 5�� + 6 3. Si ďż˝ = 2 y ďż˝ = 3 entonces 3ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; 2ďż˝ es: a) 12 c) 9 b) 10 d) 8

e) ��

e) 6

4. ÂżCuĂĄl expresiĂłn algebraica corresponde al siguiente enunciado?: â&#x20AC;&#x153;El cociente del triple del cuadrado de un nĂşmero que se incrementa en una unidad, entre el mismo nĂşmero aumentado en dos.â&#x20AC;?

2 a) (3ďż˝) + 1

ďż˝+2

b) 3ďż˝

2

ďż˝+2

+1

3�2 �+2

c)

d) 3ďż˝ 3ďż˝ ďż˝ ďż˝+2

2 e) 3ďż˝ + 1

e) 2ďż˝4 â&#x20AC;&#x201C; 2ďż˝9

2

5. El producto de (ďż˝2 + ďż˝3) (ďż˝2 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝3) es: c) ďż˝4 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝9 a) ďż˝4 4 6 b) 2ďż˝ â&#x20AC;&#x201C; 2ďż˝ d) ďż˝4 â&#x20AC;&#x201C; ďż˝6 6.

ďż˝+2

ÂżCuĂĄl es el enunciado que describe a la siguiente expresiĂłn algebraica 3đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; (2đ?&#x2018;Ś)2? a) La diferencia del cubo de un nĂşmero y el doble del cuadrado de otro. b) La diferencia del triple de un nĂşmero y el cuadrado del doble de otro. c) El producto del triple de un nĂşmero y el cuadrado del doble de otro. d) El producto del cubo de un nĂşmero y el doble del cuadrado de otro. e) La diferencia del cubo de un nĂşmero y el doble del cuadrado de otro.

7. En un corral hay patos y vacas. Los animales juntos hacen un total de 80 cabezas y 180 patas. ÂżCuĂĄl es el planteamiento del problema? a) 2ďż˝ + 4ďż˝ = 180 c) 4ďż˝ + ďż˝ = 180 ďż˝ + ďż˝ = 80 ďż˝ + 2ďż˝ =80 b) 4ďż˝ + 2ďż˝ = 80 d) 2ďż˝ + 4ďż˝ = 80 ďż˝ + ďż˝ = 180 ďż˝ + 2ďż˝ = 180

162


EJERCICIOS PLANEA �

8. Si tomamos en cuenta que � = � , entonces � es igual a: � �

a)

b) ��

� �

c)

d) � – �

9. Se dice que los ángulos con la misma medida son: a) Suplementarios c) Obtusos b) Congruentes d) Agudos

e) � – �

e) Nulos

10. El área de un jardín rectangular cuyo perímetro es de 50 metros y su base mide 15 metros es: a) 125 m2 c) 150 m2 e) 180 m2 2 2 b) 145 m d) 165 m

163


Ejercicios PISA Resuelve con los procesos necesarios cada pregunta. 1. Juan tiene un patio de 4 metros de largo y 5 metros de ancho. Desea cubrirlo con un tipo de piso cuadrado de 25 centímetros por lado. ¿Cuántas piezas necesita?

2. Si se construye una escalera de 3.2 metros de altura con 16 peldaños, ¿cuánto mide de alto cada peldaño?

3. Un grupo de alumnos lleva a cabo una investigación sobre la contaminación, para lo cual realiza una encuesta en cuatro manzanas de la colonia con el fin de conocer la cantidad de basura que se genera en cada una. Estos son los registros:

Cantidad de bolsas jumbo

Manzana 1

3

Manzana 2

5

Manzana 3

6

Manzana 4

11

Con los datos, elabora una gráfica circular. ¿Cuánto deben medir los ángulos de representación en la gráfica?

164


EJERCICIOS PISA

4. Raúl tiene una bolsa con dulces: siete rojos, cuatro verdes, seis blancos, nueve rosas y doce morados. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un dulce rojo?

5. En una clase hay 10 alumnas de 1.20 metros de altura, 15 alumnas de 1.25 metros, 20 alumnas de 1.30 metros y 18 de 1.35 metros de altura. ¿En cuál de las siguientes medidas de tendencia central hay un error? a) Media: 1.30 b) Mediana: 1.20 c) Moda: 1.30 6. Resuelve para dar el resultado del sistema de ecuaciones: �+�=4 �–�=2

7. Cierta compañía de teléfonos cobra mensualmente a sus clientes una renta fija de 60 pesos y además 40 centavos por cada llamada. Se puede establecer la fórmula � = 0.40� + 60, donde � está en función de �.

Llamadas (n)

Costo (C)

0

60

5

62

10

64

15

66

20

68

a) ¿Cuál es la variable dependiente?

b) ¿Cuál es la variable independiente?

165


EJERCICIOS PISA

c) ÂżCon cuĂĄl variable de la funciĂłn se relaciona el eje de las abscisas?

d) ÂżCon cuĂĄl variable de la funciĂłn se relaciona el eje de las ordenadas?

e) ÂżCuĂĄnto se tendrĂ­a que pagar si se realizan 35 llamadas?

f) ÂżCuĂĄnto se pagarĂ­a si se hacen 50 llamadas?

g) ÂżA quĂŠ figura corresponde la fĂłrmula del ejercicio? GrafĂ­cala.

8. En el plano cartesiano grafica los puntos A(â&#x20AC;&#x201C;1, 5), B(1, 5) y C(â&#x20AC;&#x201C;1,â&#x20AC;&#x201C;5). ÂżQuĂŠ tipo de triĂĄngulo se obtiene? đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;

â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

166

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x161;


EJERCICIOS PISA

9. El señor Ramón tiene un terreno rectangular cuya área es de 600 m2. El largo es el doble de su ancho. ¿Cuál es el ancho del terreno?

10. Verónica compró un bote de pintura azul y dos de pintura negra, por los que pagó $500. Al siguiente día compró en la misma tienda tres botes de pintura azul y uno de pintura negra, y pagó $350. ¿Cuál es el precio del bote de pintura azul? Considera que el precio de pintura es el mismo en ambos días.

167


Matemática y vida cotidiana II se terminó de imprimir en diciembre de 2017 en los talleres de Coloristas y Asociados S.A. de C.V. Calzada de los Héroes 315, Zona Centro, 37000 León, Guanajuato

Matemática y vida cotidiana II  

Libro de texto apegado al programa del Bachillerato General por competencias de la Universidad de Guadalajara.

Matemática y vida cotidiana II  

Libro de texto apegado al programa del Bachillerato General por competencias de la Universidad de Guadalajara.

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