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MARIANA PARRA ATILANO RICARDO GARCÍA GARCÍA LUIS ALEJANDRO RODRÍGUEZ ACEVES NICOLÁS SANTANA JIMÉNEZ ALFREDO CAPUCHINO CABRERA


MATEMÁTICA AVANZADA


MARIANA PARRA ATILANO RICARDO GARCÍA GARCÍA LUIS ALEJANDRO RODRÍGUEZ ACEVES NICOLÁS SANTANA JIMÉNEZ ALFREDO CAPUCHINO CABRERA

MATEMÁTICA AVANZADA

MATEMÁTICA


Rectoría General Itzcóatl Tonatiuh Bravo Padilla Vicerrectoría Ejecutiva Miguel Ángel Navarro Navarro Secretaría General José Alfredo Peña Ramos Dirección General del Sistema de Educación Media Superior Javier Espinoza de los Monteros Cárdenas Secretaría Académica del Sistema de Educación Media Superior Ernesto Herrera Cárdenas Secretaría Administrativa del Sistema de Educación Media Superior Adriana Lorena Fierros Lara Coordinación del Corporativo de Empresas Universitarias José Antonio Ibarra Cervantes Dirección de la Editorial Universitaria Sayri Karp Mitastein Primera edición, 2016 Autores: Mariana Parra Atilano Ricardo García García Luis Alejandro Rodríguez Aceves Nicolás Santana Jiménez Alfredo Capuchino Cabrera Coordinación de la serie: Sofía Rodríguez Benítez Coordinación editorial: Sol Ortega Ruelas Corrección: Luis Rico Chávez Diseño y diagramación: J. Daniel Zamorano Hernández D.R. © 2016, Universidad de Guadalajara

Editorial Universitaria José Bonifacio Andrada 2679 Colonia Lomas de Guevara 44657 Guadalajara, Jalisco www.editorial.udg.mx 01 800 UDG LIBRO Impreso y hecho en México Printed and made in Mexico

Se prohíbe la reproducción, el registro o la transmisión parcial o total de esta obra por cualquier sistema de recuperación de información, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, existente o por existir, sin el permiso por escrito del titular de los derechos correspondientes.


Índice

Presentación 7 Propósitos formativos

10

Unidad de competencia 1. Límites

12

1.1

14

Concepto del límite de una función

1.2 Determinación del límite de una función a partir de su gráfica

18

1.3 Cálculo de límites por aproximación

28

1.4 Cálculo de límites por sustitución

34

1.5

Cálculo de límites indeterminados mediante procesos algebraicos

38

ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

43

AUTOEVALUACIÓN

47

Unidad de competencia 2. Derivadas

50

2.1 Interpretación geométrica y física de la derivada

52

2.2 Concepto de la derivada

58

2.3 Reglas y fórmulas para derivar

61

95

ACTIVIDAD INTEGRADORA 2

AUTOEVALUACIÓN

99


Unidad de competencia 3. Aplicación de la derivada

102

3.1 Cálculo de máximos y mínimos para la construcción gráfica de una función

104

3.2 Problemas de optimización en distintos contextos

115

3.3 Problemas que involucran razón de cambio

120

126

ACTIVIDAD INTEGRADORA 3

AUTOEVALUACIÓN

130

Anexo: procesos de factorización algebraica

132

Bibliografía 140


PRESENTACIÓN

Ahora te encuentras en el sexto y último ciclo del bachillerato, a punto de concluir tu preparación para iniciar una carrera profesional, la cual ejercerás a lo largo de tu vida. Por esta razón, durante este curso adquirirás los conocimientos suficientes para la resolución de problemas complejos en distintos contextos, y para enfrentar situaciones y tomar decisiones eligiendo un curso de acción de forma reflexiva y concreta. Este libro aborda los contenidos de la unidad de aprendizaje curricular Matemática avanzada del Bachillerato General por Competencias. Además de activar o despertar tu interés por la problemática que plantean los temas a desarrollar, intenta incentivar tu participación y la aplicación de los contenidos matemáticos a un contexto cotidiano. Reconocerás conceptos y procedimientos que regularmente trabajas pero no relacionas en la situación inmediata, así que los abordarás de manera específica para recuperar saberes previos, reconocer tus propias habilidades y destrezas, así como tus carencias y cómo subsanarlas guiado por tu profesor en la promoción del proceso metacognitivo y la retroalimentación que genera la evaluación. La estructura del libro consta de tres unidades de competencia: 1. Límites, 2. Derivadas, y 3. Aplicaciones de la derivada. En la primera unidad de competencia conocerás el concepto de límite de una función, que es la base del cálculo diferencial. A través de varios métodos se determina la solución del límite de la función cuando la variable independiente se aproxima a un valor determinado. En la segunda unidad se estudia el concepto de la derivada de una función a partir de su límite, del análisis de la interpretación de su gráfica, así como de su interpretación física, como la rapidez de cambio de un fenómeno natural. Aprenderás a calcular derivadas de funciones algebraicas y trascendentes por diferentes métodos y empleando diversas fórmulas. En la tercera unidad conocerás algunas de las aplicaciones de la derivada en procesos de optimización al analizar los puntos máximos y mínimos de una función y en procesos físicos donde interviene una razón de cambio. Al final de cada unidad de competencia encontrarás una actividad integradora que reforzará y consolidará los conocimientos que habrás adquirido.


Conoce tu libro Matemática avanzada te presenta las bases del cálculo diferencial. Al estudiar este curso desarrollarás tus capacidades de análisis e interpretación de fenómenos naturales y procesos físicos donde interviene una razón de cambio, aparte de otras diversas competencias, habilidades y valores útiles para mejorar tu desempeño como estudiante y ampliar tu comprensión del mundo.

Presentación de la unidad de competencia

Secuencia didáctica

1

Apertura

Objetivo Para empezar

Desarrollo

Conoce Ejercicios resueltos

Cierre

Resuelve

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA

Enuncia las competencias específicas que adquirirás y los objetivos de aprendizaje que lograrás al estudiar los contenidos de la unidad.

2

SECUENCIA DIDÁCTICA

Contiene una sección inicial de inmersión al tema, otra de exposición de los nuevos conocimientos teóricos y procedimentales que debes adquirir, una de ejercicios resueltos que modelan la resolución de ecuaciones, así como una más de ejercicios que realizarás para reafirmar tu aprendizaje.

ESTRUCTURA DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA 3

Objetivo

Especifica el propósito de aprendizaje de la secuencia didáctica. 4

Para empezar

Propone una actividad detonadora de conocimientos previos.

5

Conoce

Presenta información teórico-conceptual y procedimental referente a los temas que establece el plan de estudios.

8


6

Ejercicios resueltos

Secuencia de ejercicios que ejemplifican la aplicación de la teoría enunciada.

8

Resuelve

Se plantean ejercicios que deberás resolver para comprobar y reafirmar tu aprendizaje.

Actividad integradora

Se ubica al final de cada unidad de competencia. Su objetivo es que al realizarla apliques de manera integral todos los conocimientos que obtuviste al estudiar los contenidos. Incluye una coevaluación mediante la cual alguno de tus compañeros calificará tu desempeño al efectuar la actividad. 10

7

9

Autoevaluación

Instrumento con el que evaluarás las actitudes y valores, las habilidades y conocimientos que aplicaste o adquiriste durante el desarrollo de la unidad de aprendizaje.

RECURSOS ADICIONALES ¿QUIÉN ES?

Breves notas biográficas de científicos que sentaron las bases de la matemática actual.

PARA SABER MÁS

INVESTIGA Sugerencias de actividades que reforzarán tu comprensión de los temas y tu destreza para resolver algunos de los ejercicios matemáticos planteados.

Datos que puntualizan o amplían la información sobre alguno de los conceptos abordados.

9


PROPÓSITOS FORMATIVOS

OBJETIVO GENERAL El estudiante integra los conocimientos de álgebra y geometría, para el estudio del cálculo diferencial, como herramienta para la resolución de problemas en diversos contextos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS • Resuelve problemas de optimización y razón de cambio e interpreta la solución dentro del contexto argumentando los métodos empleados. • Modela matemáticamente problemas de optimización y razón de cambio usando herramientas de cálculo diferencial para su análisis. 


CONOCIMIENTOS • • • • • • •

10

Función constante. 
 Función identidad y potencia. 
 Constante por función. 
 Producto y cociente. 
 De la cadena. 
 Funciones trigonométricas. 
 Funciones exponencial y logarítmica. 



HABILIDADES (SABERES PRÁCTICOS O PROCEDIMENTALES) El estudiante es capaz de: • Determinar el límite de una función a partir de su gráfica, por aproximación, sustitución y mediante procesos algebraicos que le permitan evitar indeterminaciones. 
 • Aplicar las reglas de derivación para el cálculo de máximos y mínimos, para la construcción de la gráfica de una función y para resolver problemas que involucran razón de cambio y optimización. 
 • Modelar diversas situaciones que implican determinar la solución más óptima a través del empleo de las reglas de derivación. 


ACTITUDES (DISPOSICIÓN) • • • •

Colaboración y cooperación entre pares. 
 Autogestión. 
 Proactiva. 
 Persistente en la búsqueda de estrategias para solucionar una situación.

VALORES (SABERES FORMATIVOS) • Respeto. • Honestidad. • Responsabilidad. 


11


1

UNIDAD DE COMPETENCIA

LÍMITES COMPETENCIA ESPECÍFICA Resuelve problemas de optimización y razón de cambio e interpreta la solución dentro del contexto argumentando los métodos empleados.


OBJETIVOS DE APRENDIZAJE • Comprender el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites. • Interpretar el valor de un límite a partir de su gráfica. • Calcular el límite de una función a través de aproximaciones hacia un punto.

• Resolver ejercicios para encontrar el valor de un límite de acuerdo con métodos establecidos, e interpretar las soluciones obtenidas. • Determinar el valor de un límite en problemas concretos utilizando técnicas algebraicas, e interpretar las soluciones obtenidas.


Concepto del límite de una función

1.1

Para empezar La trayectoria de un automóvil en función del tiempo que recorre se refleja en la siguiente imagen.

5

Velocidad (Km/h)

Comprenderás el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites.

4

3

2

1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Tiempo (horas) -1

-2

De acuerdo con tu interpretación de la gráfica, contesta: 1. ¿Qué velocidad alcanza el automóvil en -3una hora? -4

2. ¿Qué velocidad alcanza el automóvil en -5cuatro horas?

3. Conforme al tiempo transcurrido, ¿a qué velocidad se desplaza el vehículo?

Conoce Concepto de límite Resulta interesante destacar que el término límite, que ahora vas a estudiar, está formado por la unión de dos vocablos que tienen su origen etimológico en lenguas antiguas. Límite procede de la palabra latina limes, genitivo de limitis, que

14

INVESTIGA Encuentra una definición de límite de una función y exprésala en términos de fácil compresión.


1.1

CONCEPTO DEL LĂ?MITE DE UNA FUNCIĂ“N

puede traducirse como borde o frontera de algo. AsĂ­, la divisiĂłn que marca una separaciĂłn entre dos regiones se conoce como lĂ­mite. Este tĂŠrmino tambiĂŠn se utiliza para nombrar una restricciĂłn o limitaciĂłn, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto fĂ­sico y al extremo al que llega un periodo temporal. Para la matemĂĄtica, un lĂ­mite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los tĂŠrminos de una secuencia infinita de magnitudes. La definiciĂłn formal del lĂ­mite matemĂĄtico fue desarrollada por diversos teĂłricos a lo largo de los aĂąos, con trabajos que constituyeron la base del cĂĄlculo infinitesimal.

Concepto del lĂ­mite de una funciĂłn Si f es una funciĂłn definida en el intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?], con la posible excepciĂłn de que đ?‘? pertenezca al intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?], decimos que L es el lĂ­mite de f cuando đ?‘Ľ tiende a đ?‘?, si dado un argumento đ?‘Ľ muy cercano a đ?‘? (tan prĂłximo como se desee) hallamos que su imagen estĂĄ tambiĂŠn muy cerca de L:

Se lee “el lĂ­mite de la funciĂłn f de đ?‘Ľ, cuando đ?‘Ľ tiende a đ?‘?, es Lâ€?. TambiĂŠn se puede representar como:

, si Se lee “la funciĂłn f en đ?‘Ľ tiende a L, cuando đ?‘Ľ tiende a đ?‘?â€?.

Informalmente hablando se dice que el lĂ­mite es el valor al que tiende una funciĂłn cuando la variable independiente tiende a un nĂşmero determinado, o al infinito. Infinitamente pequeĂąo. Cuando una variable adquiere valores cada vez mĂĄs y mĂĄs cercanos a cero, se dice que es un valor infinitamente pequeĂąo. TambiĂŠn puede afirmarse que un valor infinitamente pequeĂąo es toda variable que tiende a cero. Se puede expresar de la siguiente manera: Equis tiende o se aproxima a cero.

�→0

Se puede leer:

Equis es infinitamente pequeĂąa. Equis tiene por lĂ­mite cero.

Infinito Cuando una variable aumenta de valor constantemente y llega a ser mayor que cualquier constante por grande que esta sea, se dice que tiende al infinito. El sĂ­mbolo que se utiliza es ∞.

¿QUIÉN ES? Johannes Kepler Fue uno de los matemåticos

que contribuyeron a desarrollar tĂŠcnicas infinitesimales para calcular ĂĄreas y volĂşmenes. De un modo anecdĂłtico podemos decir que su interĂŠs por el cĂĄlculo de ĂĄreas y volĂşmenes surge a partir de un incidente que ocurriĂł cuando se casĂł por segunda vez. Kepler habĂ­a comprado un barril de vino para su boda y el procedimiento que empleĂł el mercader de vino para medir el volumen del barril enfadĂł a Kepler. A partir de este incidente, estudiĂł cĂłmo calcular ĂĄreas y volĂşmenes de diferentes cuerpos, especialmente cuerpos de revoluciĂłn, y escribiĂł un libro sobre el tema. Esta fue su principal contribuciĂłn al origen del cĂĄlculo integral.

PARA SABER MĂ S Infinito Muchos matemĂĄticos sostienen que al considerar el resultado de un lĂ­mite como ∞ equivale a describir la forma particular en que el lĂ­mite no existe.

15


1.1

CONCEPTO DEL LĂ?MITE DE UNA FUNCIĂ“N

Se puede expresar de la siguiente manera: Equis tiende o se aproxima a infinito.

đ?‘Ľâ†’∞

Se puede leer:

Equis es infinitamente grande. Equis tiene por lĂ­mite el infinito.

Al igual que otros conceptos matemĂĄticos, los lĂ­mites cumplen con diversas propiedades generales que ayudan a simplificar los cĂĄlculos.

Teoremas sobre lĂ­mites Si f(đ?‘Ľ) y ďż˝(đ?‘Ľ) son funciones, đ?‘? una constante y n nĂşmero real, entonces: El lĂ­mite de una constante es igual a la constante misma. El lĂ­mite de una variable es igual al valor de la constante a la que tiende la variable. El lĂ­mite de un producto entre constante y funciĂłn es igual a la multiplicaciĂłn entre la constante y el lĂ­mite de la funciĂłn. El lĂ­mite de una suma es igual a la suma de lĂ­mites de cada tĂŠrmino, siempre que estos lĂ­mites sean finitos. El lĂ­mite de un producto es igual a la multiplicaciĂłn de los lĂ­mites de cada tĂŠrmino, siempre que estos lĂ­mites sean finitos.

con

El lĂ­mite de un cociente es igual a la divisiĂłn de los lĂ­mites de cada tĂŠrmino, siempre que el denominador sea diferente de cero. El lĂ­mite de una funciĂłn elevada es igual al lĂ­mite de dicha funciĂłn elevada a su exponente.

16


CONCEPTO DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

1.1

Resuelve  

 

1

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Horizontal ▶ 1. Hace referencia a “piedra”. ▶ 2. Ciencia basada en los principios de la lógica. Significa “conocimiento”. ▶ 3. Rama de las matemáticas muy común en el cálculo de áreas y volúmenes. ▶ 4. Estudia el cambio, divide el cálculo en dos áreas. ▶ 5. Relación que asocia elementos entre conjuntos. ▶ 6. Aproximar, inclinar. ▶ 7. Proposición que afirma una verdad demostrable. ▶ 8. Valor que comúnmente se utiliza como desconocido. Vertical ▶ 3. Tan grande, tan grande que no tiene fin. ▶ 9. Borde o frontera de algo. ▶ 10. Acercar.

17


Determinación del límite de una función a partir de su gráfica

1.2

Para empezar Investiga un recurso tecnológico mediante el cual puedas representar las siguientes funciones, para posteriormente relacionarlas con su gráfica correspondiente. a)

b)

d)

e)

c) 8 7

5

6

4

5

3

4

2

3

1

2

-12

1 -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Interpretarás el valor de un límite a partir de su gráfica.

-1

1

2

3

-11

4

-10

5

-9

6

-8

7

-7

8

-6

9

-5

10

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

8

9

10

11

1

2

3

5

6

7

8

9

10

11

4

5

6

7

8

9

10

-2 11

-3

-2

-4 -5 5 4 3 2 1

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

-2 -3

-18 -16 -14 -12 -10

-8

-6

-4

-2

10

-4

5

8

-5

4

6

3

4

2

2

1

-2 -4

18

2

4

6

8

10 -1212 -1114 -1016 -918 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2

-6

-3

-8

-4

-10

-5

11


1.2

DETERMINACIĂ“N DEL LĂ?MITE DE UNA FUNCIĂ“N A PARTIR DE SU GRĂ FICA

Conoce

INVESTIGA

Este mĂŠtodo consiste en analizar una funciĂłn a travĂŠs de su forma de representaciĂłn grĂĄfica. La grĂĄfica se puede obtener por medio de calculadoras grĂĄficas, online o mediante su construcciĂłn, asignando valores a đ?‘Ľ y dibujando pares ordenados. MatemĂĄticamente, con un lĂ­mite pretendemos averiguar a quĂŠ valor se acerca una funciĂłn, es decir, hacia quĂŠ punto se dirige. Puedes verlo como el trayecto del salto que realizan dos jugadores de basquetbol en el centro de la cancha al inicio de un partido, cuando quieren alcanzar el balĂłn despuĂŠs de que el ĂĄrbitro lanza la pelota hacia arriba. Ambos se acercan al mismo punto: el balĂłn. En este caso el trayecto de ambos jugadores representa las funciones f(đ?‘Ľ), đ?‘Ľ representa el centro de la cancha; como es la mitad, entonces đ?‘Ľ = 0; đ?‘Ś representa la altura que alcanzan ambos jugadores, y finalmente el balĂłn determina el punto (lĂ­mite) hacia el cual se acercan las manos de los jugadores. đ?‘Śđ?‘Ś Ć’(đ?‘Ľđ?‘Ľ)

Ć’(đ?‘Ľđ?‘Ľ)

7

5

đ?‘Ľđ?‘Ľ

ÂżPara quĂŠ sirven los lĂ­mites? Entre sus principales usos, los lĂ­mites sirven para determinar trayectorias, posiciones, alturas, y conocer el tiempo aproximado para que un evento se realice. Los lĂ­mites tienen aplicaciones en la vida cotidiana, por ejemplo nos sirven para determinar: â–ś QuĂŠ sucederĂĄ con una poblaciĂłn de bacterias en determinado tiempo; si aumentarĂĄ en nĂşmero o se reducirĂĄ. â–ś La distancia necesaria para que un aviĂłn realice su aterrizaje, disminuyendo lo suficiente para hacerse cero y pisar tierra. â–ś La trayectoria de un balĂłn de basquetbol al ser lanzado hacia la canasta, de acuerdo con la posiciĂłn del jugador. â–ś El comportamiento de un terremoto, los grados detectados de acuerdo con el tiempo de duraciĂłn. ÂżQuĂŠ pudo suceder durante los primeros 4 segundos?

Busca y descarga algĂşn programa graficador como GeoGebra o Winplot. Ensaya a realizar grĂĄficas con el programa descargado.

¿QUIÉN ES? RenÊ Descartes Mejor conocido como el

gran filĂłsofo moderno. Fue fundador de la biologĂ­a moderna, fĂ­sico y matemĂĄtico. Debido a su delicada salud, a Descartes se le permitiĂł pasar las maĂąanas estudiando en cama, una prĂĄctica que encontrĂł tan Ăştil que la adoptĂł para el resto de su vida. Descartes buscĂł un mĂŠtodo general de pensamiento que diera coherencia al conocimiento y condujese las ciencias a la verdad. La investigaciĂłn lo inclinĂł hacia las matemĂĄticas, de las que concluyĂł que eran el medio para conocer la verdad en todos los campos. Su trabajo matemĂĄtico de mayor trascendencia lo realizĂł en lo que hoy conocemos como geometrĂ­a analĂ­tica. Sin ella no se hubiese dado el pleno desarrollo del cĂĄlculo.

Altura (đ?‘Śđ?‘Ś)

ÂżEn quĂŠ consiste el mĂŠtodo grĂĄfico?

Distancia (đ?‘Ľđ?‘Ľ)

19


1.2

DETERMINACIĂ“N DEL LĂ?MITE DE UNA FUNCIĂ“N A PARTIR DE SU GRĂ FICA

¿Cómo determinar el límite de acuerdo con su gråfica? Cuando busquemos obtener el valor de un límite podemos encontrar dos resultados: 1. Que el límite exista: en este caso nos resultarå un valor para el eje de las �. Debemos seùalar no solamente que el límite existe, sino en quÊ valor existe. Por ejemplo: existe en 4 o -½ o en 0. 2. Que el límite no exista: denotado por el símbolo = no existe. Significa que en ese punto del eje de las � la función se corta, desaparece o no se encuentra determinada. De acuerdo con:

PARA SABER MĂ S No hay lĂ­mite en un salto No importa quĂŠ nĂşmero pongamos para đ??ż, si đ?‘? difiere por izquierda y por derecha, el lĂ­mite no existe.

Donde la notaciĂłn đ?‘Ľ → đ?‘? se lee “đ?‘Ľ tiende a đ?‘?â€?; para decir que “đ?‘Ľ tiende a đ?‘? por la izquierdaâ€? se utiliza đ?‘Ľ → đ?‘?–, y para decir que “đ?‘Ľ tiende a đ?‘? por la derechaâ€? utilizamos đ?‘Ľ → đ?‘?+, de tal forma que: , entonces

Si

Es decir, para que un lĂ­mite exista necesita estar definido tanto por izquierda como por derecha. Los lĂ­mites laterales deberĂĄn acercarse al mismo valor L, y L serĂĄ el resultado del lĂ­mite. Por ejemplo: Si se tiene: Si al aproximarnos a 3 con valores cercanos pero menores que 3 (por la izquierda) y valores cercanos mayores que 3 (por la derecha), resulta que ambos se acercan al mismo nĂşmero 4. Entonces el lĂ­mite existe en 4, por lo que: 10

Ejercicios resueltos

9 8 7

Ejemplo 1

Determina el lĂ­mite de la siguiente grĂĄfica de acuerdo con la funciĂłn 6

.

5 4 3 2 1

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4

20

-5 -6

2

3

4

5

6

7

8

9

Para encontrar la soluciĂłn del lĂ­mite primero se buscarĂĄ por la derecha y por la izquierda de 1, ya que 11 tiende a ese valor. el10lĂ­mite


10

DETERMINACIĂ“N DEL LĂ?MITE DE UNA FUNCIĂ“N A PARTIR DE SU GRĂ FICA

1.2

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Por la izquierda -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Por la derecha 1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -2

Como podemos observar, ambos valores se aproximan a 2 en el eje 9 10 11 de las đ?‘Ś.

-3 -4

Como ambos valores se acercan a un mismo nĂşmero, el 2, entonces el -5 resultado del lĂ­mite para esta funciĂłn cuando đ?‘Ľ tiende a 1 es 2. -6 -7

Ejemplo 2

18

-8

16

-9

14

-10

ÂżA quĂŠ valor se aproxima f(đ?‘Ľ) si đ?‘Ľ se aproxima a 4 en la siguiente grĂĄfica? 12

Como podemos ver, en este caso existe un hueco

10

en đ?‘Ľ = 4, lo cual significa que en el punto 4 la grĂĄfica se indetermina. Sin embargo, los valores por izquierda o por derecha se aproximan a 8 en đ?‘Ś.

8 6 4 2

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2 -4

20Recordemos 22 que nos

interesa lo que sucede alrededor del punto.

-6 -8 -10 -12 -14

Aunque en đ?‘Ľ = 4 se indetermine, ambos valores se inclinan a 8, por lo tanto: -16 -18

21


2

18

1.2

DETERMINACIĂ“N DEL LĂ?MITE DE UNA FUNCIĂ“N A PARTIR DE SU GRĂ FICA 16 14

Ejemplo 3

12

Encuentra el valor del límite de la función f(�) cuando � tiende al valor de –2. 10 8 6 4 2

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2 -4

Si se toma un valor cercano a 2 por la derecha el lĂ­mite se acerca a 4 en el eje de las đ?‘Ś.

Si tomamos un valor cercano a 2 por la 22izquierda, el lĂ­mite tiende a 8 en el eje de las đ?‘Ś.

-6 -8

Podemos ver que independientemente de cuånto se aproxime la � a –2 -10 van a existir valores desiguales que darån f(�) = 8 y f(�) = 4. Por lo tanto, si � -12 se acerca a dos valores distintos decimos que el límite de la función no existe. Es decir:

-14

10

-16

9

-18

Ejemplo 4

8

Encontrar el lĂ­mite de f(đ?‘Ľ) cuando đ?‘Ľ se aproxima a 1, donde f se define como: 7

6 5 4

En este caso, cuando � toma un valor distinto de 1 se puede ver que el límite se aproxima a –1.

3 2 1

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -2 -3 -4

El hecho de que exista un corte en � = 1-5 y el valor que debería tomar la función si la curva fuera continua es –1, no influye en la existencia del lími-6 te; de hecho el resultado del límite existe y existe en –1, ya que como se ha -7 alrededor del punto y no en el mencionado antes, nos importa lo que sucede punto. Por lo tanto: -8 -9 -10

22

Sin embargo, cuando đ?‘Ľ es igual al valor de 1 existe una discontinuidad en la 9 10 funciĂłn y11hace un salto a 2.


8 7

DETERMINACIĂ“N DEL LĂ?MITE DE UNA FUNCIĂ“N A PARTIR DE SU GRĂ FICA

6

1.2

5

Ejemplo 5

y

4 3

x

2 1

b) -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

a) -5

-4

-3

-2

d)

-1

1

2

3

4

c) 5

6

7

8

9

-1

10

11

-2 -3 -4 -5 -6

Determina: a)

-7 -8 -9

En este caso podemos ver que en el límite de la función la � tiende a 0. Al -10 aproximar el valor de 0 por la derecha, el límite es –5 en el eje de las �; al aproximar 0 por la izquierda tambiÊn el límite es –5. Por lo tanto:

b) Cuando � tiende a –5 por la derecha, el límite se aproxima a –2, mientras que por izquierda el límite se aproxima a –3. Como se acercan a valores distintos entonces el límite no existe:

c) En este ejercicio, al aproximar a � = 7 tanto por izquierda como por derecha, se acerca en ambos casos a 2 en el eje de las �. Entonces el límite existe en 2: d) Por último, tenemos que cuando � = 5 por la derecha es 2 y cuando � = 5 por la izquierda es –2. Por tanto el límite no existe:

23


1.2

DETERMINACIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE SU GRÁFICA

Resuelve Ejercicio 1

Encuentra el límite de la función en el punto indicado en las siguientes gráficas. 10

a

9 8 7 6 5 4 3 2

¿Por qué?

1 -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-2 -3 -4 -5 -6

b

-7 10 -8 9 -9 8 -10 7 6 5 4

¿Por qué?

3 2 1 -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

-1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-2 -3 -4 -5 -6 -7

c

-8 10

-9

9

-10

8 7 6 5

¿Por qué?

4 3 2 1 -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

24

-8 -9 -10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15


DETERMINACIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE SU GRÁFICA

d

1.2

10 9 8 7 6 5 4 3

¿Por qué?

2 1 -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

e

-9 -10 10 9 8 7 6 5

¿Por qué?

4 3 2 1 -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-2 -3 -4 -5 -6 -7

f

-8 -9 10 -10 9 8 7 6 5

¿Por qué?

4 3 2 1 -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

25


1.2

DETERMINACIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE SU GRÁFICA

g 12 11 10 9 8 7

¿Por qué?

6 5 4 3 2 1 -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

15

-2 -3 12 -4 11 -5 10 -6 9 -7 8 -8 7 -9 6 -10 5 -11 4 -12 3

h

2 1 -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

¿Por qué?

-1

15

-2 -3 -4 -5 -6 -7

12

-8

11

-9

10

-10

i

9

-11

8

-12

7 6 5 4 3 2 1

-17

-16

-15

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

26

-11 -12

¿Por qué? 1

10

11

12

13

14

15


7

1.2

DETERMINACIĂ“N DEL LĂ?MITE DE UNA FUNCIĂ“N A PARTIR DE SU GRĂ FICA 12 12

11

Ejercicio 2

10

11

9

10

8

9

7

8

6

đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ)

7

��(��)

5 4

6 5 4

3

-16

-15

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

2

3

1

2

-1 -2 -3

1

2

3

4

5 -17

6 -16

7 -15

8 -14

9 -13

10 -12

11 -11

12 -10

13 -9

14 -8

1

15 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

-2

-4

-3

-5

-4

-6

-5

-7

-6

-8

-7

-9

-8

-10

-9

-11

-10

De acuerdo con las grĂĄficas-12anteriores Ć’( đ?‘Ľ) y đ?‘”( đ?‘Ľ), determina los siguientes-11valores. -12

a)

b)

c)

d)

e)

27

20

21


1.3

Cálculo de límites por aproximación

Para empezar Ejercicio 1

Relaciona las siguientes columnas colocando la letra que corresponda al entorno de la columna de la izquierda.

a)

(

)

–1, –0.7, –0.3, 0.1, 0.2

b) –1

(

)

0.1, 0.4, 0.5, 0.8, 0.9

c) √5

(

)

3.2, 2.9, 3.001, 3.15, 2.86

d) 4

(

)

0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.6

e) 0

(

)

–1.3, –1.1, –1, –0.8, –0.7

f) 3

(

)

1.9, 2, 2.1, 2.5, 2.6

g) 1

(

)

3.7, 3.8, 3.9, 4.01, 4.2

h)

(

)

0.8, 0.9, 0.99, 1.01, 1.1

Ejercicio 2

Responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué entiendes por entorno?

b) ¿Qué es un entorno reducido? Investiga.

28

Calcularás el límite de una función a través de aproximaciones hacia un punto. ¿QUIÉN ES? Blaise Pascal Filósofo, físico y matemático francés. Genio precoz y de clara inteligencia, su entusiasmo juvenil por la ciencia se materializó en importantes y precursoras aportaciones a la física y a las matemáticas. Comenzó Pascal a interesarse también por la física, en especial por la hidrostática, y emprendió sus primeras experiencias sobre el vacío. Se ocupó de las propiedades del triángulo aritmético, hoy llamado de Pascal, el cual da los coeficientes de los desarrollos de las sucesivas potencias de un binomio; el tratamiento de dicho triángulo en términos de una “geometría del azar” convirtió a Pascal en uno de los fundadores del cálculo matemático de probabilidades.


1.3

CĂ LCULO DE LĂ?MITES POR APROXIMACIĂ“N

Conoce AproximaciĂłn

INVESTIGA

Tal vez has estado en un estacionamiento en donde el conductor de un automĂłvil intenta aproximarse al vehĂ­culo de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo. La notaciĂłn de lĂ­mites tambiĂŠn indica que se estĂĄ cada vez mĂĄs cerca de algo, pero sin tocarlo. Esta idea es muy importante en matemĂĄticas e involucra el concepto de lĂ­mite, en el que descansa el fundamento del cĂĄlculo. BĂĄsicamente, haces que una variable se aproxime a un valor particular y examinas el efecto que tiene sobre los valores de la funciĂłn.

Realiza aproximaciones al valor del lĂ­mite de una funciĂłn utilizando la ecuaciĂłn de la funciĂłn como una fĂłrmula en una hoja de cĂĄlculo como Excel.

PARA SABER MĂ S

Ejemplo

Considera la funciĂłn:

Ascendentes

đ?‘Ľ

0.8

Usa tu calculadora Puedes utilizar esta herramienta para introducir funciones, siempre y cuando la emplees correctamente. Por ejemplo:

Descendentes

La funciĂłn

2.44

đ?‘Ľ

1.2

3.64

0.9

2.71

1.1

3.31

0.95

2.8525

1.05

3.1525

o

0.99

2.9701

1.01

3.0301

se ingresa9como:

0.995

2.985025

1.005

3.015025

0.999

2.997001

1.001

3.003001

f(đ?‘Ľ)

f(đ?‘Ľ)

Aunque esta funciĂłn no estĂĄ definida en đ?&#x2018;Ľ = 1, quizĂĄ desees conocer acerca del comportamiento de los valores de la funciĂłn cuando đ?&#x2018;Ľ se hace muy cercana a 1. La tabla anterior da algunos valores de đ?&#x2018;Ľ que son un poco menores y otros un poco mayores que 1, y sus correspondientes valores funcionales. Observa que cuando đ?&#x2018;Ľ toma valores mĂĄs prĂłximos a 1, sin importar si đ?&#x2018;Ľ se aproxima por la izquierda (đ?&#x2018;Ľ < 1) o por la derecha (đ?&#x2018;Ľ > 1), los valores correspondientes de f(đ?&#x2018;Ľ) se acercan cada vez mĂĄs a un solo nĂşmero, el 3. Entonces podemos decir que el lĂ­mite de la funciĂłn es 3. Esto tambiĂŠn es claro en la grĂĄfica de f en la figura de la derecha. Observa que aunque la funciĂłn no estĂĄ definida en đ?&#x2018;Ľ = 1 (como se indica por un pequeĂąo cĂ­rculo vacĂ­o), los valores de la funciĂłn se acercan cada vez mĂĄs a 3, conforme đ?&#x2018;Ľ se acerca mĂĄs a 1. Para expresarlo decimos que el lĂ­mite de f(đ?&#x2018;Ľ) â&#x20AC;&#x201C;17 â&#x20AC;&#x201C;16 â&#x20AC;&#x201C;15 â&#x20AC;&#x201C;14 â&#x20AC;&#x201C;13 â&#x20AC;&#x201C;12 â&#x20AC;&#x201C;11 â&#x20AC;&#x201C;10 â&#x20AC;&#x201C;9 â&#x20AC;&#x201C;8 â&#x20AC;&#x201C;7 â&#x20AC;&#x201C;6 â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 cuando đ?&#x2018;Ą se aproxima a 1 es 3 y lo escribimos:

se ingresa12como: 11

10

8

7 en cuenta que Debes tener el valor de đ?&#x2018;Ľ es el nĂşmero 6 que evalĂşas. 5

4

3

2

1

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

1

2

3

â&#x20AC;&#x201C;1

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;5

29

4


1.3

CĂ LCULO DE LĂ?MITES POR APROXIMACIĂ&#x201C;N

En general, para cualquier funciĂłn f, tenemos la siguiente definiciĂłn de lĂ­mite: El lĂ­mite de f(đ?&#x2018;Ľ), cuando đ?&#x2018;Ľ se acerca (o tiende) a đ?&#x2018;&#x17D;, es el nĂşmero L, escrito: Siempre que f(đ?&#x2018;Ľ) estĂŠ arbitrariamente cercana a L para toda đ?&#x2018;Ľ lo suficientemente cerca, pero diferente de ďż˝. Enfaticemos que cuando debemos encontrar un lĂ­mite no estamos interesados en lo que le pasa a f(đ?&#x2018;Ľ) cuando đ?&#x2018;Ľ es igual a ďż˝, sino solo en lo que le sucede a f(đ?&#x2018;Ľ) cuando đ?&#x2018;Ľ es cercana a ďż˝. AdemĂĄs, un lĂ­mite debe ser independiente de la manera en que đ?&#x2018;Ľ se aproxima a ďż˝. Esto es, el lĂ­mite debe ser el mismo si đ?&#x2018;Ľ se acerca a ďż˝ por la izquierda o por la derecha (para đ?&#x2018;Ľ < ďż˝ o đ?&#x2018;Ľ > ďż˝, respectivamente).

Ejemplos de aplicaciĂłn de las propiedades de los lĂ­mites

Para determinar lĂ­mites no siempre hace falta calcular los valores de la funciĂłn o hacer el esbozo de una grĂĄfica. TambiĂŠn puedes emplear las propiedades de los lĂ­mites de la siguiente manera: Propiedades

Ejemplos

Si f(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;? es una funciĂłn constante, entonces para cualquier entero positivo n

constante

30

, donde đ?&#x2018;? es una


CĂ LCULO DE LĂ?MITES POR APROXIMACIĂ&#x201C;N

Propiedades

1.3

Ejemplos

, si

Resuelve Determina los siguientes lĂ­mites por aproximaciĂłn. Utiliza la calculadora para completar las tablas y usa los resultados que obtengas para estimar el lĂ­mite en cada caso. 1.

Ascendente

đ?&#x2018;Ľ

0.9

0.99

Descendente

0.999

1.001

1.01

1.1

f(đ?&#x2018;Ľ) 2.

Descendente

đ?&#x2018;Ľ

â&#x20AC;&#x201C;2.1

â&#x20AC;&#x201C;2.01

Ascendente

â&#x20AC;&#x201C;2.001

â&#x20AC;&#x201C;1.999

â&#x20AC;&#x201C;1.99

â&#x20AC;&#x201C;1.9

f(đ?&#x2018;Ľ) 3.

Ascendente

đ?&#x2018;Ľ

â&#x20AC;&#x201C;0.1

â&#x20AC;&#x201C;0.01

Descendente

â&#x20AC;&#x201C;0.001

0.001

0.01

0.1

f(đ?&#x2018;Ľ)

31


1.3

CĂ LCULO DE LĂ?MITES POR APROXIMACIĂ&#x201C;N

4.

Ascendente

đ?&#x2018;Ľ

â&#x20AC;&#x201C;0.1

â&#x20AC;&#x201C;0.01

Descendente

â&#x20AC;&#x201C;0.001

0.001

0.01

0.1

f(đ?&#x2018;Ľ) 5.

Ascendente

đ?&#x2018;Ľ

â&#x20AC;&#x201C;0.1

â&#x20AC;&#x201C;0.01

Descendente

â&#x20AC;&#x201C;0.001

0.001

0.01

0.1

f(đ?&#x2018;Ľ) 6.

Descendente

đ?&#x2018;Ľ

â&#x20AC;&#x201C;3.2

â&#x20AC;&#x201C;3.01

Ascendente

â&#x20AC;&#x201C;3.001

â&#x20AC;&#x201C;2.99

â&#x20AC;&#x201C;2.9

â&#x20AC;&#x201C;2.8

f(đ?&#x2018;Ľ) 7.

Ascendente

đ?&#x2018;Ľ

1.5

1.8

Descendente

1.99

2.01

2.1

2.5

f(đ?&#x2018;Ľ) 8.

Descendente

đ?&#x2018;Ľ

f(đ?&#x2018;Ľ)

32

â&#x20AC;&#x201C;0.7

â&#x20AC;&#x201C;0.55

Ascendente

â&#x20AC;&#x201C;0.501

â&#x20AC;&#x201C;0.499

â&#x20AC;&#x201C;0.4

â&#x20AC;&#x201C;0.25


CĂ LCULO DE LĂ?MITES POR APROXIMACIĂ&#x201C;N

1.3

9.

Ascendente

đ?&#x2018;Ľ

2.1

2.01

Descendente

2.001

1.999

1.99

1.9

f(đ?&#x2018;Ľ) 10.

Ascendente

đ?&#x2018;Ľ

1.0

1.3

Descendente

1.332

1.34

1.35

1.4

f(đ?&#x2018;Ľ)

33


1.4

Cálculo de límites por sustitución

Para empezar Completa el cálculo de las siguientes expresiones de acuerdo con el valor dado.

1. Si

2. Si

3. Si

4. Si

5. Si

34

Resolverás ejercicios para encontrar el valor de un límite de acuerdo con métodos establecidos, e interpretarás las soluciones obtenidas.


1.4

CÁLCULO DE LÍMITES POR SUSTITUCIÓN

Conoce Sustitución Para calcular el límite de una función puedes sustituir en la función el valor al que tiende o se aproxima la 𝑥. Esto significa que basta con evaluar la función para el valor al que se acerca la 𝑥. Cuando al evaluar la función que está determinada, su valor es igual al límite de la misma función:

En caso de resultar una indeterminación, puedes recurrir a procesos que involucren la factorización algebraica, de lo cual hablaremos más adelante.

INVESTIGA Explora qué es una indeterminación y qué puedes hacer cuando al sustituir el valor al que se aproxima la 𝑥 te da un límite indeterminado.

Ejercicios resueltos Veamos algunos casos del cálculo de límites por sustitución: ▶▶

PARA SABER MÁS Evaluación de un límite por sustitución No todos los límites pueden evaluarse por sustitución. El teorema de sustitución no aplica, por ejemplo, cuando el denominador de una función es 0 pero el límite sí existe.

▶▶ ▶▶ ▶▶ ▶▶ Cabe aclarar que si dividimos cero por cualquier número diferente de cero el resultado da cero. Como en = 0, porque si repartimos cero objetos entre 5 personas, les toca exactamente cero objetos a cada una de las 5 personas. Una situación diferente ocurre si tuviéramos 5 objetos y cero personas; no podemos repartir los objetos porque no tenemos personas, entonces se dice que hay una indeterminación o que el resultado de la división no existe: = indeterminado En conclusión, todo número entre cero da una indeterminación. Aquí se incluye el caso de dividir cero entre cero, que también es indeterminado.

35


1.4

CÁLCULO DE LÍMITES POR SUSTITUCIÓN

Entonces, si tenemos el siguiente límite de una función: Cambio

indeterminado 3

O en este otro caso: indeterminado

Resuelve Determina los siguientes límites por sustitución.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

36


CÁLCULO DE LÍMITES POR SUSTITUCIÓN

1.4

7.

8.

9.

10.

37


1.5

Cálculo de límites indeterminados mediante procesos algebraicos

Para empezar De acuerdo con las instrucciones de tu profesor, ya sea en forma individual o colectiva, simplifica las siguientes expresiones completándolas, para después evaluar en el punto dado.

1. Si

Determinarás el valor de un límite en problemas concretos utilizando técnicas algebraicas, e interpretarás las soluciones obtenidas. ¿QUIÉN ES?

2. Si

3. Si

4. Si

5. Si

38

Isaac Newton Es el gran inventor del cálculo. Inglés que durante su niñez demostró pocas aptitudes académicas, le aburría la escuela y prefería construir artefactos como ruedas, relojes y papalotes. Posteriormente quedó bajo el cuidado de Isaac Barrow, un profesor de matemáticas, quien cedió su cátedra a Newton, quien conservó este puesto por 28 años. En la historia de la ciencia no hay un genio que se le compare. Entre sus aportaciones se encuentran el teorema del binomio, elementos de cálculo diferencial e integral, la teoría del color y la ley de la gravitación universal.


1.5

CĂ LCULO DE LĂ?MITES INDETERMINADOS MEDIANTE PROCESOS ALGEBRAICOS

Conoce Indeterminaciones Durante el proceso del cĂĄlculo de un lĂ­mite se presentan casos en los que una funciĂłn se indetermina. Una indeterminaciĂłn se refiere a todas aquellas expresiones matemĂĄticas en las que no es posible aplicar las propiedades de los lĂ­mites, significando entonces que no podemos asignar un valor al resultado de la operaciĂłn en las funciones que intervienen.

ÂżCĂłmo resolver lĂ­mites indeterminados? Para que puedas resolver lĂ­mites indeterminados es necesario recuperar algunos conocimientos adquiridos en ciclos anteriores de matemĂĄticas, como son los procesos de factorizaciĂłn algebraica (consulta el anexo al final del libro).

INVESTIGA Busca e imprime o transcribe un formulario de leyes de exponentes y radicales y otro de productos notables y procesos de factorizaciĂłn algebraica.

Ejercicios resueltos Encontrar el lĂ­mite de las siguientes expresiones:

PARA SABER MĂ S

1. Como puedes observar, no podemos utilizar el mĂŠtodo de sustituciĂłn porque el resultado serĂ­a una indeterminaciĂłn.

Pero si primero factorizas el numerador

para despuĂŠs sustituir el valor de đ?&#x2018;Ľ, lĂ­mite, que es 7:

L'HĂ´pital La regla de L'HĂ´pital permite resolver muchos casos de indeterminaciĂłn de lĂ­mites de funciones mediante el uso de derivadas. Una vez que sepas derivar podrĂĄs determinar mĂĄs fĂĄcilmente estos casos.

, asĂ­ encuentras el valor del

2.

Si utilizas el mĂŠtodo de sustituciĂłn el resultado es indeterminado, por esa razĂłn es necesario factorizar el numerador.

39


1.5

CĂ LCULO DE LĂ?MITES INDETERMINADOS MEDIANTE PROCESOS ALGEBRAICOS

Sustituimos el valor de đ?&#x2018;Ľ: Resultando el valor de 2:

3. En esta ocasiĂłn es necesario que factorices el denominador, para obtener el lĂ­mite:

Ahora, si sustituyes el valor de đ?&#x2018;Ľ: AsĂ­ encuentras el valor del lĂ­mite:

Resuelve Ejercicio 1

Calcula el valor del lĂ­mite de las siguientes expresiones (recuerda que debes factorizar).

a)

b)

c)

d)

40

1â&#x2C6;&#x17E;

0â&#x2C6;&#x17E; 00 Indeterminaciones

00 â&#x2C6;&#x17E;

0

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;


CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS MEDIANTE PROCESOS ALGEBRAICOS

1.5

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

41


1.5

CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS MEDIANTE PROCESOS ALGEBRAICOS

q)

r)

s)

t)

Ejercicio 2

De acuerdo con las instrucciones de tu profesor, ya sea en forma individual o colectiva, resuelve los siguientes problemas: a) Un ganadero del estado de Jalisco, que se dedica a la engorda de ganado vacuno, introduce en su rancho 50 animales entre vacas y toros. Se cree que el número de animales crecerá siguiendo el modelo

donde N es el número de animales y t es el tiempo en años. Calcula el número de animales que tendrá dentro de 5 y 10 años.

b) El precio por litro de gasolina magna a través del tiempo está dado por la función

donde P es el precio por litro de gasolina y t es el tiempo transcurrido en meses. Calcula el precio que tendrá la gasolina dentro de un mes y un año respectivamente.

42


Actividad integradora 1 1. Preguntas de argumentación. a) ¿Qué entiendes por límite?

b) ¿Cómo defines el límite de una función?

c) ¿Cómo determinas la solución del límite de una función?

2. Repaso de conceptos. a) De acuerdo con la definición formal del límite, si que

se encuentra cerca de

cerca (pero diferente) de b) Que el

significa que

cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 por la

c) Si

y

.

, significa

cuando 𝑥 está suficientemente se encuentra cerca de .

, entonces

.

43


ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

3. En los siguientes problemas, encuentra el límite indicado de acuerdo con el método de sustitución o utilizando álgebra.

a)

b)

c)

d)

e)

f) 10 9

g)

8 7

4. De acuerdo con la siguiente gráfica

6

, determina las respuestas de los ejercicios. 5

4 3 2 1

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5 -6

44

-7 -8

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

a)

b)

c)

d)

e)

5. Mediante herramientas tecnológicas de graficación bosqueja la siguiente función y determina el resultado de los límites de los ejercicios.

a)

b)

c)

d)

e)

45


ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

Coevaluación Autoevaluación Pídele a un(a) compañero(a) que evalúe tu desempeño al realizar la actividad integradora 1. Sigue las instrucciones de tu profesor(a).

Coevaluación Reflexiona y sé honesto(a) al calificar a tu compañero(a) Nombre completo del compañero(a)  Aspectos a evaluar

No

Durante el desarrollo sigue procedimientos adecuados.

 

 

Utilizó tecnologías para bosquejar gráficas.

 

 

Es claro y sigue un orden en sus procedimientos.

 

 

Mantiene un ánimo positivo para la realización del trabajo.

 

 

Entrega sus aportaciones y materiales a tiempo y en los términos acordados.

 

 

Busca comprobar sus resultados para cerciorarse de que sean correctos.

 

 

Comprende los conceptos principales: límite e indeterminación.

46


Autoevaluación Aspecto a evaluar

Excelente (5)

Bueno (4)

Regular (3)

Insuficiente (0)

Resultado

¿Cuál fue mi actitud? (Actitudes y valores)

Puntualidad

Limpieza

Orden

Disposición

Entregué en la fecha y hora programadas las actividades que realicé.

Entregué en la fecha programada.

Entregué después de la fecha programada.

No entregué.

Entregué limpios todos mis trabajos.

Entregué limpios la mayoría de mis trabajos.

Entregué limpios algunos de mis trabajos.

Entregué mis trabajos sin limpieza.

Mis trabajos presentaron coherencia y orden.

Mis trabajos presentaron coherencia y algo de orden.

Mis trabajos presentaron coherencia pero no mantenían un orden.

Mis trabajos no presentaron coherencia ni orden.

Mantuve buena disposición durante la realización de las actividades individuales y colectivas.

Mantuve buena disposición en la mayoría de las actividades individuales y colectivas.

Mantuve buena disposición solo en algunas actividades individuales y colectivas.

No tuve disposición para realizar las actividades.

¿Cómo lo realicé? (Habilidades)

Identificación

Resolución

Identifiqué el método adecuado para determinar la solución del límite.

Identifiqué la mayoría de los métodos para determinar la solución del límite.

Identifiqué algunos de los métodos para determinar la solución del límite.

No logré identificar ningún método para determinar la solución del límite.

Resolví los ejercicios planteados siguiendo un proceso adecuado.

Resolví la mayoría de los ejercicios planteados siguiendo un proceso adecuado.

Resolví algunos de los ejercicios planteados siguiendo un proceso adecuado.

No resolví los ejercicios planteados utilizando un proceso adecuado.

47


AUTOEVALUACIÓN

Aspecto a evaluar

Evaluación

Excelente (5)

Obtuve el resultado correcto en los ejercicios planteados.

Bueno (4)

Obtuve el resultado correcto en la mayoría de los ejercicios planteados.

Regular (3)

Obtuve el resultado correcto en algunos de los ejercicios planteados.

Insuficiente (0)

No resolví ningún ejercicio.

¿Qué aprendí? (Conocimientos)

Concepto de límite

Límites a partir de gráficas

Límites por aproximación, sustitución y métodos algebraicos

48

Comprendí con claridad el concepto del límite de una función.

Comprendí parcialmente el concepto del límite de una función.

Tuve nociones del concepto de límite de una función.

No comprendí el concepto del límite de una función.

Aprendí a interpretar la solución de un límite a partir de una gráfica.

Aprendí a interpretar la solución de un límite en la mayoría de las gráficas.

Aprendí a interpretar la solución de un límite en algunas de las gráficas.

No aprendí a interpretar la solución de un límite a partir de su gráfica.

Aprendí a utilizar el método indicado para encontrar el límite de una función.

Aprendí a utilizar la mayoría de los métodos para encontrar el límite de una función.

Aprendí a utilizar algunos de los métodos para encontrar el límite de una función.

No aprendí a utilizar los métodos para encontrar el límite de una función.

Resultado


49


2 UNIDAD DE COMPETENCIA

DERIVADAS COMPETENCIA ESPECÍFICA Modela matemáticamente problemas de optimización y razón de cambio usando herramientas de cálculo diferencial para su análisis.


OBJETIVOS DE APRENDIZAJE • Interpretar la derivada de una función como la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función y como tasa instantánea de cambio. • Comprender la definición formal de la derivada de una función en un punto.


• Usar fórmulas para encontrar las derivadas de funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. • Aplicar la regla de la cadena para el cálculo de la derivada de una variedad de funciones compuestas.


2.1

InterpretaciĂłn geomĂŠtrica y fĂ­sica de la derivada

Para empezar Recuerda que la pendiente de una recta (đ?&#x2018;&#x161;) es un valor relacionado con la inclinaciĂłn que esta tiene. EstĂĄ asociado al ĂĄngulo de inclinaciĂłn de la recta (Îą); es decir, al ĂĄngulo que la recta forma con el eje de las đ?&#x2018;Ľ o de las abscisas.

La pendiente de la recta (đ?&#x2018;&#x161;) es igual a la tangente del ĂĄngulo de inclinaciĂłn (Îą).

Entonces, la fĂłrmula para calcular la pendiente queda:

Por ejemplo, la pendiente de una recta con ĂĄngulo de inclinaciĂłn de 45° es đ?&#x2018;&#x161; = 1; si la pendiente es đ?&#x2018;&#x161; = 2, el ĂĄngulo de inclinaciĂłn es aproximadamente de 63°; y si el ĂĄngulo Îą es de 30°, la pendiente vale 0.5773, que es la tangente de 30°.

52

InterpretarĂĄs la derivada de una funciĂłn como la pendiente de la lĂ­nea tangente a la grĂĄfica de la funciĂłn y como tasa instantĂĄnea de cambio.


2.1

INTERPRETACIĂ&#x201C;N GEOMĂ&#x2030;TRICA Y FĂ?SICA DE LA DERIVADA

Investiga lo necesario y calcula lo siguiente.

1. El ĂĄngulo de inclinaciĂłn de una recta con una pendiente igual a 3.5.

2. El ĂĄngulo de inclinaciĂłn de una recta con una pendiente igual a â&#x20AC;&#x201C;1.

3. La pendiente de una recta con un ångulo de inclinación de 60°.

4. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (â&#x20AC;&#x201C;3, 2) y (5, 6).

Conoce Es importante que sepas evaluar o conocer el valor de una funciĂłn en cierto punto. TambiĂŠn es necesario que evalĂşes la variaciĂłn en el valor de la funciĂłn a medida que la entrada de la funciĂłn varĂ­a.

InterpretaciĂłn geomĂŠtrica de la derivada de una funciĂłn En su interpretaciĂłn geomĂŠtrica, la derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado. UsarĂĄs el sĂ­mbolo Î&#x201D; para indicar que hay un incremento (o un aumento) en el valor de una variable. Es la letra griega delta y equivale a la letra D (mayĂşscula) de nuestro abecedario. Si tomas a Î&#x201D;x como un incremento en el valor de la đ?&#x2018;Ľ, y a Î&#x201D;y como un incremento en el valor de đ?&#x2018;Ś, tienes que:

INVESTIGA Busca y lee en libros o en internet las interpretaciones geomĂŠtrica y fĂ­sica de la derivada y escribe en tu cuaderno lo que hayas entendido de cada una.

đ?&#x2018;Ľ2 = đ?&#x2018;Ľ1 + Î&#x201D;x , y despejando el incremento de đ?&#x2018;Ľ, queda: Î&#x201D;x = đ?&#x2018;Ľ2 â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ś2 = đ?&#x2018;Ś1 + Î&#x201D;y, y despejando el incremento de đ?&#x2018;Ś, queda: Î&#x201D;y = đ?&#x2018;Ś2 â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ś1

53


2.1

INTERPRETACIĂ&#x201C;N GEOMĂ&#x2030;TRICA Y FĂ?SICA DE LA DERIVADA

PARA SABER MĂ S Notaciones Las notaciones đ?&#x2018;ŚÎ&#x201E; y fÎ&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) para la derivada, fueron introducidas por Lagrange, mientras que las formas đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś/đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ o đ?&#x2018;&#x2018;f(đ?&#x2018;Ľ)/đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ se deben a Leibniz.

Sustituye lo anterior en la fĂłrmula para calcular la pendiente, obtienes:

Puedes usar esta fĂłrmula para calcular el valor de la pendiente de una recta que es secante a una curva; es decir, a una recta que corta o cruza en dos puntos a una curva en el plano cartesiano. Recuerda los conceptos de secante y tangente en geometrĂ­a: Secante es una recta que interseca o corta a una curva en dos puntos y tangente es una recta que toca a la curva en un solo punto. Estos conceptos los estudiaste relacionĂĄndolos con el cĂ­rculo: la secante toca en dos puntos a la circunferencia, mientras la tangente tan solo en un punto. Ahora lo aplicarĂĄs a otras curvas. Entonces, si tienes una recta secante a una curva en đ?&#x2018;Ľ + Î&#x201D;x, haces que el valor del incremento Î&#x201D;x disminuya y se haga muy pequeĂąo hasta que se aproxime a cero (tomando lĂ­mites); tambiĂŠn haces que el valor de la pendiente de la recta secante a la curva (ďż˝1) se aproxime al valor de la pendiente de la recta tangente a la curva (đ?&#x2018;&#x161;2). tangente secante 3 secante 2 secante 1

De esta manera puedes determinar en đ?&#x2018;Ľ el valor de la pendiente de una recta que es tangente a una curva. A la expresiĂłn que determina este valor se le llama â&#x20AC;&#x153;derivada de una funciĂłnâ&#x20AC;?; este es el lĂ­mite, cuando el incremento de đ?&#x2018;Ľ tiende a cero, del incremento de đ?&#x2018;Ś entre el incremento de đ?&#x2018;Ľ.

54


2.1

INTERPRETACIĂ&#x201C;N GEOMĂ&#x2030;TRICA Y FĂ?SICA DE LA DERIVADA

Sustituyendo Î&#x201D;y por f(đ?&#x2018;Ľ + Î&#x201D;x) â&#x20AC;&#x201C; f(đ?&#x2018;Ľ), queda:

fĂłrmula que define a la derivada de una funciĂłn. Considera lo siguiente: el problema de encontrar la recta tangente en un punto C de una curva se reduce a encontrar su pendiente. Y esta puede aproximarse mediante rectas que pasen por C y D, otro punto de la curva (como se muestra en la siguiente figura). A esas rectas las llamaremos rectas secantes. Secante viene del latĂ­n secare, cortar. Si (đ?&#x2018;?, f(ďż˝)) son las coordenadas del punto C, que es el punto de tangencia, (ďż˝ + Î&#x201D;đ?&#x2018;Ľ, f(ďż˝ + Î&#x201D;đ?&#x2018;Ľ)) es D, el otro punto de la grĂĄfica. 8

D

6 4 2

F

C

0 -2

0

2

4

6

8

10

La pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos es:

Esta fĂłrmula se llama cociente incremental. El denominador Î&#x201D;x se llama incremento (o cambio) en đ?&#x2018;Ľ, y el numerador incremento (o cambio) en đ?&#x2018;Ś.

55


2.1

INTERPRETACIĂ&#x201C;N GEOMĂ&#x2030;TRICA Y FĂ?SICA DE LA DERIVADA

Puedes utilizar

cambio en đ?&#x2018;Ś

para encontrar la pendiente de cualquier curva en un punto determinado. Si recorres el punto D poco a poco, como tratando de aproximarlo al punto C, es decir, que el incremento Î&#x201D;x tienda a cero, entonces la recta secante se convierte en la recta tangente en el punto C de la grĂĄfica. La siguiente figura muestra una disminuciĂłn del Î&#x201D;x. 6 D

4 2

C

F

0 -2

0

2

4

6

8

10

Ejemplo: la pendiente de una funciĂłn lineal

Encuentra la pendiente de f(đ?&#x2018;Ľ) = 5đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 6 en el punto (4, 2). Aplicando la fĂłrmula del cociente incremental:

Lo primero que debes tomar en cuenta es el punto (4, 2). Aunque en una lĂ­nea recta la pendiente es igual en cualquier punto, aquĂ­ lo importante es la coordenada đ?&#x2018;Ľ que es igual a 4; es decir, ďż˝ = 4. Al sustituir la ďż˝ quedarĂ­a de la siguiente manera:

Esto significa que tienes que hacer cuidadosamente lo siguiente: 1. Evaluar la funciĂłn para f(4 + Î&#x201D;x); debes reemplazar la đ?&#x2018;Ľ por (4 + Î&#x201D;x): 2. Restar f(4) significa en la funciĂłn reemplazar la đ?&#x2018;Ľ por el 4 y restar: 3. Ahora divides cada tĂŠrmino por Î&#x201D;x:

Entonces la pendiente es đ?&#x2018;&#x161; = 5.

56


2.1

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA DE LA DERIVADA

Esto significa que una línea recta tiene un valor constante como pendiente, mientras que para una curva la pendiente varía de acuerdo con el punto de la curva que se analice.

Interpretación física de la derivada de una función En física, la derivada de una función se interpreta como la razón de cambio de un determinado fenómeno natural. Por ejemplo, si la variable dependiente de la función es la temperatura (�), la derivada indica la velocidad o la rapidez con que la temperatura aumenta o disminuye. Si se trata del movimiento rectilíneo de un cuerpo y la distancia está en función del tiempo, la primera derivada determina la velocidad y la segunda la aceleración. La velocidad es la razón del incremento de la distancia y del tiempo:

La velocidad instantánea es el límite de la razón del incremento de la distancia y del tiempo, cuando el incremento del tiempo tiende a cero:

Resuelve Escribe con tus palabras qué entiendes por derivada de una función y cómo se relaciona con la geometría y con la física.

57


2.2

Concepto de la derivada

Para empezar Se tiene la funciĂłn cuadrĂĄtica en la que se desea obtener el . valor de la pendiente (đ?&#x2018;&#x161;) de la recta que es tangente a la curva en Recuerda que â&#x2013;ś Para aproximarte a ese valor, calcula la pendiente de la recta que es secante a la curva en los puntos siguientes. Los valores de y los puedes obtener sustituyendo y en la funciĂłn . original

58

1. Si

y

, la pendiente

2. Si

y

, la pendiente

3. Si

y

, la pendiente

4. Si

y

, la pendiente

5. Si

y

, la pendiente

ComprenderĂĄs la definiciĂłn formal de la derivada de una funciĂłn en un punto.â&#x20AC;¨


2.2

CONCEPTO DE LA DERIVADA

▶ ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en

?

▶ Elabora una gráfica de la función, las rectas secantes y la recta tangente en el punto indicado.

¿QUIÉN ES? Johann Bernoulli Fue el más famoso de una familia de matemáticos. Johann y su hermano Jacques fueron, después de Newton y Leibniz, los más importantes fundadores del cálculo. Los dos hermanos compitieron con vigor y a menudo amargamente por el reconocimiento. Los Bernoulli abordaron toda clase de problemas básicos del cálculo, incluyendo puntos de inflexión, longitud de curvas, series infinitas y técnicas de integración. Johann escribió el primer libro de cálculo entre 1691 y 1692. Fue instructor de l’HÔpital y Euler.

Conoce El aspecto fundamental del cálculo diferencial es determinar las velocidades a las que cambian las variables. El papel del cálculo diferencial consiste en obtener soluciones mediante el proceso de derivación (llamado también, a veces, diferenciación), que consiste en encontrar la derivada de una función. La derivada representa la velocidad de cambio. La derivada es la relación de dos diferenciales asociados entre sí, es decir:

INVESTIGA Encuentra una definición de derivada de una función y exprésala en términos de fácil comprensión.

Que se lee: “derivada de ye con respecto de equis”.

59


2.2

CONCEPTO DE LA DERIVADA

Donde:

Diferencial de ye. Diferencial de equis.

es llamado también cociente diferencial, porque es el cociente El símbolo de dos cantidades y , llamadas diferenciales. Definición: la derivada de una función es el límite de la razón (división) del incremento de la función y el incremento de la variable independiente, cuando este último tiende a cero. Concluimos: la derivada de una función en un punto dado de una gráfica es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Resuelve La fórmula que define a la derivada de una función es la siguiente:

Explica con tus palabras lo que entiendes de la fórmula anterior.

60

PARA SABER MÁS Límite y derivada El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea.


2.3

Reglas y fórmulas para derivar

Para empezar Calcula el valor de la pendiente (𝑚) a partir de la fórmula con incrementos. La fórmula dice que

Si

, debes hacer lo siguiente.

1. Sustituye la expresión en los lugares en donde encuentres la en la función y esta queda así:

Usarás fórmulas para encontrar las derivadas de funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También aplicarás la regla de la cadena para el cálculo de la derivada de una variedad de funciones compuestas.

2. Efectúa las operaciones indicadas.

3. Sustituye lo que quedó en

y

en la fórmula:

4. Simplifica términos semejantes y queda:

61


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

5. Divide cada tĂŠrmino del numerador por el

.

INVESTIGA Explora para quĂŠ te va a servir aprender a derivar una funciĂłn, quĂŠ aplicaciones puede tener la derivada.

6. El valor de la pendiente es:

Conoce En este curso revisarĂĄs los siguientes mĂŠtodos para derivar funciones: â&#x2013;ś DerivaciĂłn por la regla general o mĂŠtodo de los 4 pasos, tambiĂŠn llamada derivaciĂłn por incrementos. â&#x2013;ś DerivaciĂłn con fĂłrmulas.

DerivaciĂłn por incrementos Primera derivada de funciones algebraicas aplicando la regla general o mĂŠtodo de los 4 pasos. Para explicar este primer mĂŠtodo calcularĂĄs la primera derivada de funciones algebraicas. Para aplicar este mĂŠtodo procede de la siguiente manera: Deriva la funciĂłn por incrementos o el mĂŠtodo de los 4 pasos.

Paso 1. Se sustituye en el primer miembro đ?&#x2018;Ś por đ?&#x2018;Ś + Î&#x201D;đ?&#x2018;Ś y en el segundo miembro đ?&#x2018;Ľ por đ?&#x2018;Ľ + Î&#x201D;đ?&#x2018;Ľ y se realizan las operaciones indicadas.

62

PARA SABER MĂ S Incremento (â&#x2C6;&#x2020;) El incremento â&#x2C6;&#x2020; đ?&#x2018;Ľ de una variable đ?&#x2018;Ľ es el aumento o disminuciĂłn que experimenta, desde un valor đ?&#x2018;Ľ inicial a otro final de su campo de variaciĂłn.


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

Paso 2. A la expresiĂłn que resultĂł en el primer paso se le resta tĂŠrmino a tĂŠrmino la funciĂłn original.

Paso 3. Cada tĂŠrmino de la expresiĂłn que resultĂł en el paso 2 se divide por el incremento de equis Î&#x201D;đ?&#x2018;Ľ.

Paso 4. Se calcula el lĂ­mite de la expresiĂłn resultante en el paso 3 cuando Î&#x201D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; 0.

Resuelve Ejercicio 1

Calcula la primera derivada de cada funciĂłn por incrementos, es decir, aplicando el mĂŠtodo de los 4 pasos.

a) Deriva la funciĂłn

63


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

b) Deriva la función

c) Deriva la función

d) Deriva la función

e) Deriva la función

Ejercicio 2

▶ A continuación se presentan las funciones de la actividad anterior y los resultados de su derivada. Compáralos con los que obtuviste.

64


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

Función

Derivada

▶ Observa cómo se podrían obtener los resultados sin desarrollar todo el proceso de la derivación por incrementos, y contesta: a) Cuando la función es igual a una constante la derivada es igual a

b) Cuando la función es lineal o de primer grado la derivada es igual a

c) ¿Qué sucede en todos los casos con los términos independientes?

f) ¿Qué sucede con los términos lineales?

e) ¿Qué sucede con los términos al cuadrado?

f) ¿Qué sucede con los términos al cubo?

g) En todos los casos, ¿qué sucede con el exponente de cada término?

h) ¿Y qué sucede con los coeficientes de cada término?

65


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

▶ Veamos algunos casos más. Observa:

Función

▶ Deriva en forma directa las siguientes funciones.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

66

Derivada


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

g)

h)

â&#x2013;ś Considera que đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;? son valores constantes y a partir de los ejercicios anteriores intenta generalizar los siguientes casos de derivadas.

a)

b)

c)

d)

e)

Conoce DerivaciĂłn por fĂłrmulas Primera derivada de funciones algebraicas usando reglas o fĂłrmulas Aunque existe el mĂŠtodo de incrementos o de los 4 pasos para derivar funciones, debido a que es muy laborioso se recomienda utilizar una serie de fĂłrmulas ya establecidas con el fin de simplificar el trabajo. Considera en todos los casos que la variable independiente es đ?&#x2018;Ľ.

67


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

Fórmulas para derivar funciones algebraicas

Función dada

Derivada

variable número real ,

funciones o

derivada de Si la función tiene como modelo

68

Su primera derivada se obtiene así


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

FunciĂłn constante FĂłrmula: Ejemplo 1

ÂżCuĂĄl es la derivada de la funciĂłn â&#x20AC;&#x2030;? SoluciĂłn: La funciĂłn tiene un valor constante, ya que no depende de đ?&#x2018;Ľ. Entonces, de acuerdo con la regla (constante), la derivada es 0:

PARA SABER MĂ S Constante La constante se debe a que no hay un cambio en la funciĂłn (el valor de la funciĂłn siempre serĂĄ el del nĂşmero dado).

Otros ejemplos

FunciĂłn idĂŠntica FĂłrmula: Ejemplo 2

ÂżCuĂĄl es la derivada de la funciĂłn â&#x20AC;&#x2030;? SoluciĂłn: Aplicar la regla respectiva (identidad); al derivar a đ?&#x2018;Ľ tienes que:

Otros ejemplos

69


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

Constante por funciĂłn FĂłrmula: Ejemplo 3

ÂżCuĂĄl es la derivada de la funciĂłn â&#x20AC;&#x2030;? SoluciĂłn: Al aplicar la fĂłrmula respectiva (constante por funciĂłn), donde la constante es representada por 7 y la funciĂłn por đ?&#x2018;Ľ, tienes que la derivada de 7đ?&#x2018;Ľ es:

Otros ejemplos

Potencia FĂłrmula: Ejemplo 4

ÂżCuĂĄl es la derivada de la funciĂłn â&#x20AC;&#x2030;? SoluciĂłn: Al aplicar la fĂłrmula respectiva (potencia) puedes ver que, de acuerdo con la fĂłrmula, el exponente (ďż˝ = 7) multiplica al coeficiente, disminuyendo en un grado el exponente.

Otros ejemplos

70

PARA SABER MĂ S Potencia Si đ?&#x2018;Ľ no tiene exponente, la funciĂłn crece de manera constante, sin una tasa de cambio. Puedes tomar como ejemplo la ecuaciĂłn de la recta đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?.


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

Producto Fórmula: Ejemplo 5

¿Cuál es la derivada de la función  ? Solución: Al aplicar la fórmula respectiva, la función se expresa con un producto de y . Entonces, al derivar obtienes lo siguiente:

La derivada del segundo término,

es

La derivada de primer término,

es

Una vez que has derivado, realiza las multiplicaciones indicadas:

Simplifica:

Otro método es el siguiente:

Antes de derivar, obtén el producto de los polinomios:

Reduce los términos semejantes:

Por último, deriva:

71


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

Cociente Fórmula: Ejemplo 6

¿Cuál es la derivada de la función Solución: Tienes que obtienes lo siguiente:

? y

. Entonces al derivar

La derivada del numerador La derivada del numerador

es es

, queda:

Realiza las multiplicaciones del numerador:

El paso siguiente es cambiar los signos de los términos dentro del paréntesis al que precede un signo negativo:

Simplificando: Desarrolla el binomio al cuadrado que se encuentra en el denominador:

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios resueltos se presentan diferentes ejemplos con el fin de que observes el procedimiento empleado en el cálculo de la primera derivada de las funciones algebraicas.

72


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

1. Calcula la derivada de la función:

Aplica las fórmulas correspondientes.

2. Calcula la derivada de la función:

Aplica la fórmula correspondiente.

3. Calcula la derivada de la función:

Aplica las fórmulas correspondientes. 4. Calcula la derivada de la función:

Aplica las fórmulas correspondientes.

5. Calcula la derivada de la función:

Aplica las fórmulas correspondientes.

73


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

6. Calcula la derivada de la función:

Aplica las fórmulas correspondientes.

7. Calcula la derivada de la función:

Aplica las fórmulas correspondientes. Para este caso primero transforma la función, la cual queda de la siguiente forma:

Resuelve Ejercicio 1

Calcula la primera derivada de las siguientes funciones de acuerdo con la regla indicada.

Función constante e identidad

a)

b)

c)

74


2.3

REGLAS Y Fร“RMULAS PARA DERIVAR

Funciรณn constante e identidad

d)

e)

f)

g)

h)

Constante por funciรณn

a)

b)

c)

d)

75


2.3

REGLAS Y Fร“RMULAS PARA DERIVAR

Constante por funciรณn

e)

f)

g)

Potencia

a)

b)

c)

d)

e)

f)

76


2.3

REGLAS Y FÃ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

Potencia

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

77


2.3

REGLAS Y FÃ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

Potencia

q)

r)

s)

Producto

a)

b)

c)

d)

e)

f)

78


2.3

REGLAS Y Fร“RMULAS PARA DERIVAR

Cociente

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Ejercicio 2

Calcula la derivada de cada funciรณn aplicando la fรณrmula correspondiente.

a)

b)

79


2.3

REGLAS Y FÃ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

80


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

m)

n)

o)

p)

q)

r)

Conoce Derivadas sucesivas Habrás notado que cuando se deriva una función se obtiene otra función. En efecto, la derivada en un punto dado corresponde geométricamente a la pendiente de la recta tangente a la curva en tal punto. Existe así una regla de asociación entre la pendiente y la 𝑥, lo que equivale a una nueva función. Esta posee todas las propiedades inherentes al concepto y también se puede derivar. El proceso de derivar derivadas puede continuarse, lo que da lugar a establecer un orden y una notación: f(𝑥) es una función. La primera derivada es f I (𝑥); si derivas la derivada de una función, obtienes una nueva función que se llama segunda derivada, o sea f II (𝑥). Si vuelves a derivar, obtienes la tercera derivada, f III (𝑥). Si derivas otra vez, obtienes la cuarta derivada, f IV (𝑥), y así sucesivamente. Algunos autores utilizan la notación f 𝑛 (𝑥) para cuando te piden calcular las derivadas de orden mayor a tres.

PARA SABER MÁS Terminología

son expresiones equivalentes.

81


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

Ejercicios resueltos Ejemplo 1

Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de ▶ Primera derivada: ▶ Segunda derivada:

▶ Tercera derivada:

▶ Cuarta derivada:

Ejemplo 2

Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de ▶ Primera derivada:

b

b

▶ Segunda derivada:

▶ Tercera derivada: b

▶ Cuarta derivada:

82


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

Resuelve Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Calcula la primera y la segunda derivadas de

Primera derivada

Segunda derivada

2. Calcula la primera y la segunda derivadas de

Primera derivada

Segunda derivada

3. Calcula la primera y la segunda derivadas de

Primera derivada

Segunda derivada

83


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

4. Calcula la primera y la segunda derivadas de

Primera derivada

Segunda derivada

Conoce Regla de la cadena Al derivar la funciĂłn f(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ4 obtienes fÎ&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) = 4đ?&#x2018;Ľ3.â&#x20AC;&#x201E;ÂżPero quĂŠ sucederĂ­a si la funciĂłn fuera un poco mĂĄs complicada? Tal como f(đ?&#x2018;Ľ) = (2đ?&#x2018;Ľ2 â&#x20AC;&#x201C; 3đ?&#x2018;Ľ + 8)4. PodrĂ­as pensar que al derivarla te quedarĂ­a lo siguiente: fÎ&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) = 4(4đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 3)3. La respuesta ante este cuestionamiento es sencillamente no, ya que la funciĂłn principal es una expresiĂłn compuesta de dos funciones. La primera es una potencia cuarta, đ?&#x2018;Ľ4, mientras que la segunda es un polinomio: 2đ?&#x2018;Ľ2 â&#x20AC;&#x201C; 3đ?&#x2018;Ľ + 8. Para encontrar la soluciĂłn a este tipo de derivadas utilizarĂĄs la regla de la cadena. Las reglas que hasta el momento has utilizado se encuentran limitadas a derivar expresiones sencillas. La regla de la cadena es una fĂłrmula que se usa para encontrar la derivada de funciones compuestas, es decir, en casos donde tienes una derivada implĂ­cita en otra derivada. Es una de las reglas de diferenciaciĂłn mĂĄs importante. En el cĂĄlculo la palabra cadena se refiere a las funciones que se componen de otras funciones, como si fueran los eslabones de una cadena. Una funciĂłn de funciĂłn es la funciĂłn que se compone de otra funciĂłn. Si đ?&#x2018;Ś = f(đ?&#x2018;˘) y a su vez đ?&#x2018;˘ = f(đ?&#x2018;Ľ), entonces es đ?&#x2018;Ś funciĂłn de funciĂłn de đ?&#x2018;Ľ. Para explicar esta regla recordemos los diferentes sĂ­mbolos para referirnos a la primera derivada de una funciĂłn matemĂĄtica:

Se lee: Efe prima de equis

84

Ye prima

La derivada de ye respecto de equis

La derivada de ye respecto de equis

INVESTIGA Repasa quĂŠ es la composiciĂłn de funciones o una funciĂłn de funciĂłn. Busca un caso, por ejemplo, donde el valor de la đ?&#x2018;Ľ depende de đ?&#x2018;˘ y esta depende de đ?&#x2018;Ś, o donde la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C; depende de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201D; y esta depende de đ?&#x2018;Ľ.


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

Para calcular la derivada de una funciĂłn compuesta se aplica la siguiente fĂłrmula: đ?&#x2018;ŚÎ&#x201E; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A; â&#x20AC;&#x201C; 1 đ?&#x2018;˘Î&#x201E;. Si la funciĂłn compuesta es đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;

La derivada de đ?&#x2018;Ś serĂĄ đ?&#x2018;ŚÎ&#x201E; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A; â&#x20AC;&#x201C; 1 đ?&#x2018;˘Î&#x201E;

đ?&#x2018;&#x203A; = exponente

đ?&#x2018;&#x203A; = exponente

đ?&#x2018;˘ = funciĂłn compuesta

đ?&#x2018;ŚÎ&#x201E; = derivada de đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;˘Î&#x201E; = derivada de los tĂŠrminos de la funciĂłn compuesta o derivada de đ?&#x2018;˘

Ejercicios resueltos Ejemplo 1

PARA SABER MĂ S

â&#x2013;ś Derivar â&#x2013;ś Definir đ?&#x2018;˘ â&#x2013;ś Calcular el valor de đ?&#x2018;˘Î&#x201E; â&#x2013;ś SoluciĂłn: De acuerdo con el formato

calculamos:

De afuera hacia adentro Para encontrar una derivada es necesario que visualices la funciĂłn de afuera hacia adentro; es decir, primero deriva la funciĂłn externa y multiplica este resultado por la derivada de la funciĂłn interna. Para ello primero debes reconocer cuĂĄl es la forma en que estĂĄ compuesta la funciĂłn y desglosarla.

Ejemplo 2

â&#x2013;ś Derivar â&#x2013;ś Definir đ?&#x2018;˘ â&#x2013;ś Calcular el valor de đ?&#x2018;˘Î&#x201E;

85


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

▶ Solución: De acuerdo con el formato calculamos:

Resuelve Encuentra

1.

2.

3.

4.

5.

6.

86

de los siguientes problemas.


2.3

REGLAS Y FÃ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

87


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

Conoce Derivadas de funciones trascendentes La familia de las funciones trascendentes está formada por los siguientes grupos de funciones: ▶ Las funciones trigonométricas. ▶ Las funciones exponenciales. ▶ Las funciones logarítmicas.

Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Reglas o fórmulas para derivar funciones trigonométricas: Regla original

Regla generalizada (regla de cadena)

Revisa el procedimiento utilizado en los ejemplos resueltos para que trabajes en binas y resuelvas los ejercicios propuestos.

1. Considera

88


2.3

REGLAS Y Fร“RMULAS PARA DERIVAR

2.

Resuelve Calcula la derivada de cada funciรณn.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

89


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

Conoce Funciones exponenciales Una funciĂłn exponencial es una ecuaciĂłn cuyo modelo es de la forma f(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ, donde đ?&#x2018;&#x17D; representa un nĂşmero real positivo distinto de 1 y đ?&#x2018;Ľ (variable independiente) es un exponente.

Algunos ejemplos de funciones exponenciales son:

Ejercicios resueltos Revisa los procedimientos utilizados en la soluciĂłn de los siguientes ejercicios.

1.

FĂłrmula: Considera

2.

90

Considera

PARA SABER MĂ S Valor de đ?&#x2019;&#x2020; ďż˝ = 2.71828...


2.3

REGLAS Y FÃ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

3. Considera

Resuelve Calcula la derivada de las siguientes funciones exponenciales.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

91


2.3

REGLAS Y FĂ&#x201C;RMULAS PARA DERIVAR

Conoce Funciones logarĂ­tmicas Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarĂ­tmicas. La notaciĂłn f â&#x20AC;&#x201C;1 se utiliza para denotar una funciĂłn inversa, pero se utiliza otra notaciĂłn para este tipo de inversas. Si f(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?ďż˝, en lugar de usar la notaciĂłn f â&#x20AC;&#x201C;1(đ?&#x2018;Ľ), se escribe logďż˝(đ?&#x2018;Ľ) con đ?&#x2018;? > 0, para la inversa de la funciĂłn con base đ?&#x2018;?. Lees la notaciĂłn como el logďż˝(đ?&#x2018;Ľ), logaritmo de đ?&#x2018;Ľ con base đ?&#x2018;?, y llamas a la expresiĂłn logďż˝(đ?&#x2018;Ľ) un logaritmo. La notaciĂłn logďż˝ đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľ se lee: â&#x20AC;&#x153;el logaritmo de ye con base be es equisâ&#x20AC;?. El logaritmo es un exponente al que hay que elevar una base para obtener un determinado nĂşmero. Con sĂ­mbolos matemĂĄticos se expresa asĂ­: logďż˝ đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľ, solamente si se cumple que đ?&#x2018;?ďż˝ es đ?&#x2018;Ś.

Lo anterior se entiende mejor con unos ejemplos:

log10 1 000 = 3 solamente si 103 = 1 000 log2 32 = 5 solamente si 25 = 32 log3 81 = 4 solamente si 34 = 81

En este Ăşltimo ejemplo, 4 es el logaritmo base 3 de 81 porque 4 es el exponente al que hay que elevar el 3 para obtener 81. Para calcular la derivada de una funciĂłn logarĂ­tmica, ademĂĄs de aplicar la fĂłrmula correspondiente, es necesario que conozcas las leyes o reglas de los logaritmos, las cuales se presentan a continuaciĂłn. Logaritmos base 10 Regla 1

Regla 2

Regla 3

Regla 4

92

Logaritmos naturales


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

Ejercicios resueltos Analiza el procedimiento empleado para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones logarítmicas.

1.

Fórmula:

2. Aplicas la regla 3 y la expresión se transforma en

3.

Fórmula: Aplicas la regla 4 y la expresión se transforma en

4.

Al aplicar la fórmula para derivar tienes que

Fórmula: Aplicas la regla 3 y la expresión se transforma en

Al aplicar la fórmula para derivar tienes que

93


2.3

REGLAS Y FÓRMULAS PARA DERIVAR

Resuelve Calcula la derivada de las siguientes funciones logarítmicas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

94


1.2

Actividad Técnicas de integradora lectura eficaz 2

1. Aplica la regla general para calcular la derivada de la función

2. Calcula la derivada de la función

.

. Aplica la regla general o de los 4 pasos.

3. Escribe el resultado que se obtiene al derivar la función general o de los 4 pasos.

por la regla

95


ACTIVIDAD INTEGRADORA 2

4. Aplica las fรณrmulas correspondientes para calcular la derivada de la siguiente funciรณn:

5. Si la derivada de la funciรณn es escribe el procedimiento usando las fรณrmulas correspondientes para verificar que el resultado sea correcto.

6. Al realizar el procedimiento para calcular la derivada de la funciรณn se cometieron algunos errores. Localiza dichos errores y escribe el procedimiento en forma correcta.

96


ACTIVIDAD INTEGRADORA 2

7. Aplica la fórmula correspondiente y calcula la derivada de la función

.

8. Aplica la fórmula correspondiente y calcula la derivada de la función

.

9. Revisa el procedimiento aplicado para calcular la derivada de la función y menciona si el procedimiento es correcto o incorrecto.

10. Calcula la derivada de la función

.

97


ACTIVIDAD INTEGRADORA 2

Coevaluación Autoevaluación Pídele a un(a) compañero(a) que evalúe tu desempeño al realizar la actividad integradora 2. Sigue las instrucciones de tu profesor(a).

Coevaluación Reflexiona y sé honesto(a) al calificar a tu compañero(a) Nombre completo del compañero(a)  Aspectos a evaluar

No

Aplica las reglas adecuadas para derivar las funciones propuestas. Determina la derivada de una función aplicando la regla de los 4 pasos. Es claro y sigue un orden en sus procedimientos. Mantiene un ánimo positivo para la realización del trabajo.

 

 

Identifica los errores cometidos durante el proceso de derivación.

 

 

Comprende el concepto de una derivada.

98


Autoevaluación

Aspecto a evaluar

Excelente (5)

Bueno (4)

Regular (3)

Insuficiente (0)

Resultado

¿Cuál fue mi actitud? (Actitudes y valores)

Puntualidad

Limpieza

Orden

Disposición

Entregué en la fecha y hora programadas las actividades que realicé.

Entregué en la fecha programada.

Entregué después de la fecha programada.

No entregué.

Entregué limpios todos mis trabajos.

Entregué limpios la mayoría de mis trabajos.

Entregué limpios algunos de mis trabajos.

Entregué mis trabajos sin limpieza.

Mis trabajos presentaron coherencia y orden.

Mis trabajos presentaron coherencia y algo de orden.

Mis trabajos presentaron coherencia pero no mantenían un orden.

Mis trabajos no presentaron coherencia ni orden.

Mantuve buena disposición durante la realización de las actividades individuales y colectivas.

Mantuve buena disposición en la mayoría de las actividades individuales y colectivas.

Mantuve buena disposición solo en algunas actividades individuales y colectivas.

No tuve disposición para realizar las actividades.

¿Cómo lo realicé? (Habilidades)

Identificación

Identifiqué la fórmula adecuada para determinar la derivada de una función.

Identifiqué la mayoría de las fórmulas para determinar la derivada de una función.

Identifiqué algunas de las fórmulas para determinar la derivada de una función.

No logré identificar las fórmulas para determinar la derivada de una función.

99


AUTOEVALUACIÓN

Aspecto a evaluar

Resolución

Excelente (5)

Resolví los ejercicios planteados siguiendo un proceso adecuado.

Bueno (4)

Resolví la mayoría de los ejercicios planteados siguiendo un proceso adecuado.

Regular (3)

Resolví algunos de los ejercicios planteados siguiendo un proceso adecuado.

Insuficiente (0)

No resolví los ejercicios planteados utilizando un proceso adecuado.

¿Qué aprendí? (Conocimientos)

Interpretación geométrica y física de la derivada

Comprendí claramente la relación que existe entre la pendiente y la derivada de una función.

Comprendí parcialmente la relación que existe entre la pendiente y la derivada de una función.

Tuve nociones de la relación que existe entre la pendiente y la derivada de una función.

No comprendí la relación que existe entre la pendiente y la derivada de una función.

Concepto de derivada

Comprendí con claridad el concepto de la derivada de una función.

Comprendí parcialmente el concepto de la derivada de una función.

Tuve nociones del concepto de la derivada de una función.

No comprendí el concepto de la derivada de una función.

Empleé la fórmula adecuada para derivar las funciones propuestas.

Empleé la fórmula adecuada en la mayoría de los casos para derivar las funciones propuestas.

Empleé la fórmula adecuada en algunos casos para derivar las funciones propuestas.

No empleé la fórmula adecuada en los ejercicios propuestos.

Reglas y fórmulas para derivar

100

Resultado


101


3 UNIDAD DE COMPETENCIA

APLICACIÓN DE LA DERIVADA COMPETENCIA ESPECÍFICA

• Modela matemáticamente problemas de optimización y razón de cambio usando herramientas de cálculo diferencial para su análisis.


OBJETIVOS DE APRENDIZAJE • Calcular máximos y mínimos para la construcción gráfica de una función.
 • Resolver problemas de optimización en distintos contextos de la ciencia, la industria y la economía.
 • Resolver problemas que involucran razón de cambio en diversas situaciones
de las ciencias naturales.


Cálculo de máximos y mínimos para la construcción gráfica de una función

3.1

Para empezar En una fábrica de muebles de sala se encontró que la función que describe las ganancias de la empresa, en términos del número de muebles producidos está dada . por la siguiente función: ▶ Utiliza la función propuesta para calcular los valores que faltan para completar la siguiente tabla:

0 –1 200

10

20

31

40

49

0

60

70

80

0

▶ Con los datos de la tabla dibuja la gráfica correspondiente.

▶ Después de completar la tabla contesta las siguientes preguntas.

1. ¿Para qué valores de la producción de muebles de sala ? no tiene ganancias

la empresa

2. ¿Para qué valores de la producción de muebles de sala ? tiene pérdidas

la empresa

104

Calcularás máximos y mínimos para la construcción gráfica de una función.



CĂ LCULO DE MĂ XIMOS Y MĂ?NIMOS PARA LA CONSTRUCCIĂ&#x201C;N GRĂ FICA DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N

3.1

3. ÂżPara quĂŠ valores de la producciĂłn de muebles de sala (đ?&#x2018;Ľ) la empresa ? obtiene ganancias

4. ÂżPara quĂŠ valores de la producciĂłn de muebles de sala ? obtiene la mĂĄxima ganancia

la empresa

Conoce MĂĄximos y mĂ­nimos Las palabras mĂĄximo y mĂ­nimo pertenecen a un lenguaje habitual y las usamos generalmente cuando deseamos expresar lo mĂĄs grande o lo mĂĄs pequeĂąo en la comparaciĂłn de varias cantidades. El significado de ambos superlativos es similar en el cĂĄlculo, ya que para cada funciĂłn es posible establecer comparaciones entre sus imĂĄgenes en un intervalo dado y, de acuerdo con estas medidas, conocer cuĂĄl imagen es mayor o menor. Estos valores se denominan puntos extremos o, de manera mĂĄs especĂ­fica, mĂĄximos y mĂ­nimos de la funciĂłn. Una de las aplicaciones de la operaciĂłn matemĂĄtica conocida como derivada es obtener los puntos mĂĄximos y mĂ­nimos de una funciĂłn, lo cual a su vez tiene aplicaciones muy importantes en muchos campos del conocimiento, como se verĂĄ mĂĄs adelante.

SupĂłngase que la grĂĄfica de cualquier funciĂłn đ?&#x2018;Ś = f(đ?&#x2018;Ľ) es la curva mostrada en la figura de la derecha. En ella, los puntos A y E se llaman mĂĄximos; los puntos C y G se llaman mĂ­nimos; y los puntos B, D y F se llaman puntos de inflexiĂłn.

H

A

E B

D C

INVESTIGA Explora quĂŠ son los puntos crĂ­ticos, los puntos extremos (mĂĄximos y mĂ­nimos relativos o absolutos) y los puntos de inflexiĂłn en la grĂĄfica de una funciĂłn.

PARA SABER MĂ S TerminologĂ­a El tĂŠrmino imagen se refiere al conjunto de valores que puede tomar đ?&#x2018;Ś en una funciĂłn.

F G

No se puede definir un mĂĄximo como el punto mĂĄs alto de la curva, pues obsĂŠrvese en la figura anterior que el punto H estĂĄ mĂĄs alto que los puntos â&#x20AC;&#x153;mĂĄximosâ&#x20AC;? A y E. Por la misma razĂłn, no se puede definir un mĂ­nimo como el punto mĂĄs bajo de la curva, pues vĂŠase que el punto F estĂĄ mĂĄs abajo que el punto â&#x20AC;&#x153;mĂ­nimoâ&#x20AC;? C.

105


3.1

CĂ LCULO DE MĂ XIMOS Y MĂ?NIMOS PARA LA CONSTRUCCIĂ&#x201C;N GRĂ FICA DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N

En la figura, el punto mĂĄximo M tiene coordenadas (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś); a la abscisa đ?&#x2018;Ľ le corresponde la ordenada đ?&#x2018;Ś. Se tiene un mĂĄximo en dicho punto si a cualquier abscisa đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; alrededor de M le corresponde una ordenada đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x161; menor que la de M. En la figura, a la abscisa đ?&#x2018;Ľ1 le corresponde una ordenada đ?&#x2018;Ś1 que es menor que đ?&#x2018;Ś; y a la abscisa đ?&#x2018;Ľ2 le corresponde una ordenada đ?&#x2018;Ś2 tambiĂŠn menor que đ?&#x2018;Ś.

PARA SABER MĂ S

M

TerminologĂ­a Mientras que el mĂ­nimo o el mĂĄximo de una funciĂłn es un nĂşmero, un punto de inflexiĂłn siempre es una pareja ordenada (đ?&#x2018;?,đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?))

Dada una funciĂłn, sus mĂĄximos y mĂ­nimos se definen de la siguiente forma: â&#x2013;ś Una funciĂłn tiene un mĂĄximo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es mayor que todas las imĂĄgenes (alturas) de los puntos que estĂĄn alrededor. â&#x2013;ś Una funciĂłn tiene un mĂ­nimo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es menor que todas las imĂĄgenes (alturas) de los puntos que estĂĄn alrededor. â&#x2013;ś Un mĂĄximo se llamarĂĄ absoluto cuando su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la grĂĄfica (es el mĂĄs alto de todos) y no solo de los que estĂĄn alrededor. â&#x2013;ś Un mĂ­nimo se llamarĂĄ absoluto cuando su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la grĂĄfica (es el mĂĄs bajo de todos) y no solo de los que estĂĄn alrededor. 4 3

2

MĂĄximo relativo

1.5

MĂ­nimo relativo B

2

1 0.5

1 -2

-1.5

-1

-0.5

0.5 -0.5

1

-1 -1.5

1.5

2

2.5

3

MĂ­nimo -4 A absoluto

-2

-3

-2

-1

MĂ­nimo relativo

1

2

-1

-2

nte

MĂ­nimo

Crec ie

Crec ie

te

cien

re Dec

te cien

106

re Dec

nte

MĂĄximo

3


CĂ LCULO DE MĂ XIMOS Y MĂ?NIMOS PARA LA CONSTRUCCIĂ&#x201C;N GRĂ FICA DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N

3.1

Para calcular los mĂĄximos y los mĂ­nimos de una funciĂłn f(đ?&#x2018;Ľ) puedes hacer lo siguiente: â&#x2013;ś Derivas la funciĂłn đ?&#x2018;Ś = f(đ?&#x2018;Ľ) e igualas la derivada a cero. â&#x2013;ś Resuelves la ecuaciĂłn resultante. Las raĂ­ces encontradas se llaman valores crĂ­ticos y son los que, por tener recta tangente con pendiente cero (horizontal), pueden ser puntos mĂĄximos o mĂ­nimos. â&#x2013;ś Para investigar si cada valor crĂ­tico es mĂĄximo o mĂ­nimo: â&#x2013;ś Tomas un valor un poco menor a ese valor crĂ­tico y lo sustituyes en la derivada. Luego tomas un valor un poco mayor y lo sustituyes en la derivada. â&#x2013;ś Si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, el valor crĂ­tico en anĂĄlisis es un mĂĄximo; si cambia de negativo a positivo, es un mĂ­nimo. En el caso extremo de que no cambie de signo se trata de un punto de inflexiĂłn.

Ejercicios resueltos Ejemplo 1

Calcula analĂ­tica y grĂĄficamente los valores mĂĄximo y mĂ­nimo de la funciĂłn

utilizando el criterio de la primera derivada. SoluciĂłn: â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 1: Derivas la funciĂłn e igualas a cero la derivada:

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 2: Resuelves la ecuaciĂłn lineal: 2đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 4 = 0:

Se deduce que en đ?&#x2018;Ľ = 2 hay un mĂĄximo o un mĂ­nimo, pero no se sabe cuĂĄl de los dos. â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 3a: Das primero un valor un poco mĂĄs pequeĂąo que đ?&#x2018;Ľ = 2, por ejemplo, con đ?&#x2018;Ľ = 1, y lo sustituyes en la derivada. DespuĂŠs das un valor un poco mayor que đ?&#x2018;Ľ = 2, por ejemplo đ?&#x2018;Ľ = 3, y lo sustituyes en la primera derivada:

107


3.1

CĂ LCULO DE MĂ XIMOS Y MĂ?NIMOS PARA LA CONSTRUCCIĂ&#x201C;N GRĂ FICA DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 3b: Como la derivada cambiĂł de un valor con signo negativo (â&#x20AC;&#x201C;2) a positivo (+2) significa que existe un valor mĂ­nimo en el punto crĂ­tico que se analiza; es decir, hay un mĂ­nimo en đ?&#x2018;Ľ = 2. Calculas la coordenada del punto mĂ­nimo, sustituyendo el valor đ?&#x2018;Ľ = 2 en la primera derivada:

Por lo tanto, las coordenadas del punto mĂ­nimo son (2, 3). â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 4: Finalmente, puedes tabular y graficar la funciĂłn đ?&#x2018;Ľ2 â&#x20AC;&#x201C; 4đ?&#x2018;Ľ + 7:

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 13 14 15 16 17 18 19 20

-2

GrĂĄfica de la funciĂłn, con un punto mĂ­nimo

108

en (2, 3).


CĂ LCULO DE MĂ XIMOS Y MĂ?NIMOS PARA LA CONSTRUCCIĂ&#x201C;N GRĂ FICA DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N

3.1

Ejemplo 2

Calcula analĂ­tica y grĂĄficamente los valores mĂĄximo y mĂ­nimo de la funciĂłn

utilizando el criterio de la segunda derivada. SoluciĂłn: â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 1: Derivas la funciĂłn e igualas a cero la derivada.

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 2: Resuelves la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ2 + 2đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 3 = 0 por el mĂŠtodo de factorizaciĂłn. y Los valores encontrados đ?&#x2018;Ľ1 = â&#x20AC;&#x201C;3 y đ?&#x2018;Ľ2 = 1 son valores crĂ­ticos para un mĂĄximo o un mĂ­nimo. â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 3: Calculas la segunda derivada.

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 4: Determinas si hay un mĂĄximo o un mĂ­nimo en cada valor crĂ­tico aplicando el criterio de la segunda derivada. El primer valor crĂ­tico es đ?&#x2018;Ľ1 = â&#x20AC;&#x201C;3, usas este valor para sustituirlo en la segunda derivada:

donde el valor negativo te indica que hay un punto mĂĄximo. Para deducir las coordenadas del punto mĂĄximo sustituyes el valor crĂ­tico đ?&#x2018;Ľ1 = â&#x20AC;&#x201C;3 en la funciĂłn original:

Por lo tanto, las coordenadas del punto mĂĄximo son (â&#x20AC;&#x201C;3, 10). El segundo valor crĂ­tico es đ?&#x2018;Ľ2 = 1, usas este valor para sustituirlo en la segunda derivada:

109


3.1

CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA LA CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

donde el valor positivo te indica que hay un punto mínimo. Para deducir las coordenadas del punto mínimo sustituyes el valor crítico en la función original:

Por lo tanto, las coordenadas del punto mínimo son:

▶▶ Paso 5: Finalmente tabulamos y graficamos la función:

110


CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA LA CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

3.1

Gráfica de la función:

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 13 14 15 16 17 18 19 20

-2

con un punto máximo (–3, 10) y un punto mínimo

.

Resuelve Ejercicio 1

▶ Calcula analítica y gráficamente los valores máximo y mínimo de la función , utiliza el criterio de la primera derivada. Escribe el procedimiento en el siguiente espacio.

111


3.1

CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA LA CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

▶ Tabula.

▶ Dibuja la gráfica en una hoja milimétrica.

Ejercicio 2

▶ Calcula analítica y gráficamente los valores máximo y mínimo de la función:

utiliza el criterio de la segunda derivada.Escribe el procedimiento en el siguiente espacio.

112


CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA LA CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

3.1

▶ Tabula.

▶ Dibuja la gráfica en una hoja milimétrica.

Ejercicio 3

▶ Calcula analítica y gráficamente los valores máximo y mínimo de la función , utiliza el criterio de la primera derivada. Escribe el procedimiento en el siguiente espacio.

113


3.1

CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA LA CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

▶ Tabula.

▶ Dibuja la gráfica en una hoja milimétrica.

114


Problemas de optimizaciĂłn en distintos contextos

3.2

Para empezar Una caja rectangular se fabrica con una pieza de cartĂłn de 24 pulgadas de largo por 9 pulgadas de ancho, de la cual se cortan cuadrados idĂŠnticos a partir de las cuatro esquinas y se doblan los lados hacia arriba, como se muestra en la figura.

ResolverĂĄs problemas de optimizaciĂłn en distintos contextos de la ciencia, la industria y la economĂ­a.â&#x20AC;¨

â&#x2013;ś Plantea la expresiĂłn algebraica que permite calcular el volumen de una caja como la segunda figura.

â&#x2013;ś A partir de la expresiĂłn planteada sustituye cada valor de đ?&#x2018;Ľ en dicha funciĂłn y calcula los valores correspondientes para completar la siguiente tabla.

0

1

2

3

4

5

6

7

â&#x2013;ś Una vez que completaste la tabla contesta las siguientes preguntas. 1. ÂżQuĂŠ volumen resulta cuando sustituyes en la expresiĂłn el valor

8

?

2. ÂżCon cuĂĄl valor de se obtendrĂ­a el volumen mĂĄximo?

3. ÂżCuĂĄles son las dimensiones que deben medir los cuadritos para recortar en las esquinas y poder formar la caja que contenga el volumen mĂĄximo?

115


3.2

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIĂ&#x201C;N EN DISTINTOS CONTEXTOS

Conoce Un problema de optimizaciĂłn consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras, se trata de calcular o determinar el valor mĂ­nimo o mĂĄximo de una funciĂłn de una variable. Debes tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar se expresa como funciĂłn de otra de las variables relacionadas en el problema. En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que estas generan igualdades entre las variables que permiten la obtenciĂłn de la funciĂłn que se quiere minimizar o maximizar. Resolver problemas prĂĄcticos de mĂĄximos y mĂ­nimos puede significar, en la mayorĂ­a de los casos, la optimizaciĂłn de recursos y, por consiguiente, un ahorro econĂłmico.

INVESTIGA Indaga quĂŠ aplicaciones tienen en la ciencia, la tecnologĂ­a o la industria los procesos de optimizaciĂłn.

Ejercicios resueltos Ejemplo 1

Se quiere construir un recipiente de volumen mĂĄximo utilizando una pieza cuadrada de acero inoxidable de 30 cm de lado, como se muestra en la figura. ÂżDe quĂŠ medida deben cortarse los cuadrados en las esquinas para fabricar un recipiente que contenga el mĂĄximo volumen posible?

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 1: Planteas el problema. Sabes que el volumen de una figura tridimensional como la que se quiere construir se obtiene de la siguiente forma: (largo) (ancho) (alto) De acuerdo con la figura: largo = (30 â&#x20AC;&#x201C; 2đ?&#x2018;Ľ) ancho = (30 â&#x20AC;&#x201C; 2đ?&#x2018;Ľ) alto = đ?&#x2018;Ľ

Plantea la ecuaciĂłn que te permite calcular el volumen:

116

PARA SABER MĂ S Ă lgebra y geometrĂ­a Siempre que te sea posible, trata de ver el problema desde los dos puntos de vista, geomĂŠtrico y algebraico; este enfoque se presta para tener una idea mĂĄs clara del problema.


PROBLEMAS DE OPTIMIZACIĂ&#x201C;N EN DISTINTOS CONTEXTOS

3.2

Primero multiplicas largo (30 â&#x20AC;&#x201C; 2đ?&#x2018;Ľ) por ancho (30 â&#x20AC;&#x201C; 2đ?&#x2018;Ľ):

Simplificas los tĂŠrminos semejantes y obtienes:

Sustituyes este valor en la ecuaciĂłn del volumen:

Ahora multiplicas el resultado

por el valor de lo alto (đ?&#x2018;Ľ):

El resultado es La expresiĂłn que te permite calcular el volumen queda de la siguiente forma:

Si reordenas los tĂŠrminos, tienes â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 2: Calculas la primera derivada de la funciĂłn obtenida:

Obtienes la primera derivada, es la funciĂłn que vas a maximizar:

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 3: Igualas la primera derivada a cero.

Para simplificar los coeficientes, divides todos entre 12:

117


3.2

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIĂ&#x201C;N EN DISTINTOS CONTEXTOS

La ecuaciĂłn cuadrĂĄtica queda de la siguiente forma:

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 4: Resuelves la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. Para resolverla aplicas la fĂłrmula general:

Resuelves utilizando la fĂłrmula general, para lo cual defines los valores de đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;?: ,

Los valores

y

y

son los valores crĂ­ticos.

â&#x2013;śâ&#x2013;ś Paso 5: Sustituyes los valores crĂ­ticos en la ecuaciĂłn:

Primero sustituyes

:

Si recortas 15 centĂ­metros en las esquinas, el volumen del recipiente serĂ­a cero.

118


PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN DISTINTOS CONTEXTOS

Luego sustituyes

3.2

:

Concluyes diciendo que se debe recortar 5 cm en las esquinas de la lámina para formar un recipiente que contenga el máximo volumen posible, que en este caso es de 2 000 cm3.

Resuelve Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe su procedimiento. 1. Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular de 50 000 litros de capacidad. Encuentra las dimensiones adecuadas para que la cantidad de metal (área total) sea mínima, en el caso de que el recipiente esté cerrado.

2. Se quiere construir una cisterna con capacidad de 10 000 litros. Si la forma de la cisterna es de un paralelepípedo de base cuadrada y el costo del piso y de las paredes laterales es la mitad de lo que cuesta la tapa, encuentra qué medidas debe tener la cisterna para que su costo sea mínimo.

119


Problemas que involucran razĂłn de cambio

3.3

Para empezar Nuestro dĂ­a a dĂ­a nos enfrenta a diversas razones de cambio de situaciones sociales, econĂłmicas y naturales, entre otras, en las cuales deseamos saber cuĂĄl es el valor mĂĄs grande o el mĂĄs pequeĂąo (el mĂĄximo y el mĂ­nimo, respectivamente) y su crecimiento o su disminuciĂłn en un periodo de tiempo determinado. Se trata de problemas en los cuales estudiamos fenĂłmenos relacionados con la variaciĂłn de una magnitud que depende de otra, por lo cual son necesarias una descripciĂłn y una cuantificaciĂłn de dichos cambios por medio de grĂĄficas, tablas y modelos matemĂĄticos. En una investigaciĂłn que se realizĂł para determinar la cantidad de toneladas de atĂşn que pescan los miembros de una cooperativa se obtuvieron los datos que se muestran en la tabla siguiente.

L

M

M

J

V

S

D

DĂ­as (đ?&#x2018;Ľ)

0

1

2

3

4

5

6

7

Toneladas de atĂşn (đ?&#x2018;Ś)

0

0.3

1.2

2.7

4.8

7.5

10.8

14.7

1. ÂżCuĂĄl es la razĂłn de cambio promedio de atĂşn que se pesca entre lunes y martes?

Como puedes observar en el ejemplo, siempre que desees calcular la razĂłn de cambio promedio para cualquier pareja de puntos, tienes que formar el cociente:

2. ÂżCuĂĄl es la razĂłn de cambio promedio de atĂşn que se pesca entre martes y miĂŠrcoles?

120

ResolverĂĄs problemas que involucran razĂłn de cambio en diversas situacionesâ&#x20AC;¨de las ciencias naturales.


PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN RAZÓN DE CAMBIO

3.3

3. ¿Cuál es la razón de cambio promedio de atún que se pesca entre miércoles y jueves?

4. ¿Cuál es la razón de cambio promedio de atún que se pesca entre jueves y viernes?

5. ¿Cuál es la razón de cambio promedio de atún que se pesca entre viernes y sábado?

6. ¿Cuál es la razón de cambio promedio de atún que se pesca entre sábado y domingo?

Conoce Para el estudio de este último tema es muy importante que comprendas los conceptos de razón de cambio promedio y razón de cambio instantánea. Estos se refieren a los cambios de una magnitud con respecto a otra con la que, de alguna manera, está relacionada.

Razón de cambio

INVESTIGA Busca algún caso de la física donde se utilice la segunda derivada de una función.

En tu vida cotidiana puedes observar hechos o fenómenos donde se presentan razones de cambio en los diversos campos en los que se desempeña el ser humano. Se dan en el entorno económico, social, científico o natural. En muchas de estas situaciones resulta interesante conocer, en un momento dado, cuál será el valor más pequeño (el mínimo) o el valor más grande (el máximo), cómo y cuándo aumenta (crece) o cómo y cuándo disminuye (decrece) dicho valor en un intervalo de tiempo específico. Se trata de resolver problemas en los que puedas estudiar los fenómenos relativos a la variación de una o más cantidades que dependen de otra, por lo que resulta de vital importancia describir y cuantificar estos cambios por medio de modelos matemáticos (ecuaciones), gráficas y tablas de valores. Piensa por un momento en los siguientes hechos: ▶ Una persona sube a través de una colina empezando por su parte más baja. A medida que la persona sube se modifican, al mismo tiempo, la distancia ho-

121


3.3

PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN RAZĂ&#x201C;N DE CAMBIO

rizontal (eje de las đ?&#x2018;Ľ) y la distancia vertical (eje de las đ?&#x2018;Ś). Cada vez que avanza un paso, estas variables se modifican en cierta cantidad; es decir, hay una razĂłn de cambio entre ambas. â&#x2013;ś En una ciudad pequeĂąa la poblaciĂłn aumenta aĂąo tras aĂąo demandando mayores volĂşmenes de agua. Cada vez que aumenta la poblaciĂłn se eleva la demanda de agua; es decir, hay una razĂłn de cambio entre ambas variables. â&#x2013;ś Considera que a partir del primer dĂ­a del nacimiento de un niĂąo el pediatra lleva un registro mes con mes de su crecimiento. A medida que el tiempo pasa, la estatura del niĂąo se va modificando, de tal manera que hay una razĂłn de cambio en su estatura conforme pasa el tiempo. â&#x2013;ś En una reacciĂłn quĂ­mica y bajo ciertas condiciones, a medida que pasa el tiempo los reactivos se van convirtiendo en productos; es decir, a medida que el tiempo transcurre hay una razĂłn de cambio entre la cantidad de reactivos que disminuye y la cantidad de productos que se forman. Y asĂ­, podrĂ­as enumerar una gran cantidad de fenĂłmenos en los que se pueden encontrar razones de cambio.

RazĂłn de cambio promedio Se define matemĂĄticamente como

La razĂłn de cambio promedio de una funciĂłn f(đ?&#x2018;Ľ), con respecto a đ?&#x2018;Ľ, se puede escribir de la siguiente forma:

Como su nombre indica, la razĂłn de cambio promedio da una mediciĂłn de cuĂĄnto cambia la funciĂłn f cuando đ?&#x2018;Ľ cambia una cantidad Î&#x201D;đ?&#x2018;Ľ (delta đ?&#x2018;Ľ o incremento en đ?&#x2018;Ľ). Para calcular la razĂłn de cambio promedio de cualquier pareja de puntos necesitas efectuar el cociente indicado. Recuerda que en apartados anteriores se determinĂł que el cociente expresa la pendiente de una recta. Se puede concluir que cada vez que se realiza un cĂĄlculo para obtener la razĂłn de cambio promedio se estĂĄ calculando la pendiente de la recta secante que pasa por la pareja de puntos considerados.

RazĂłn de cambio instantĂĄnea Se define matemĂĄticamente como

Aunque esta expresiĂłn tambiĂŠn la puedes simbolizar de la siguiente forma:

122

PARA SABER MĂ S Con respecto al tiempo Preguntar quĂŠ tan rĂĄpido estĂĄ cambiando đ?&#x2018;˘ con respecto al tiempo despuĂŠs de dos horas es equivalente a preguntar el valor de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘/đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą.


PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN RAZÓN DE CAMBIO

3.3

Ejercicios resueltos Ejemplos de razón de cambio promedio Ejemplo 1

El precio de venta de un litro de pintura de cierta marca es de $100.00 y se venden 50 litros al mes. Cuando el vendedor decide aumentar el precio por litro a $110.00, se venden solo 20 litros. Con base en los datos anteriores, calcula la razón de cambio promedio de las ventas mensuales con respecto al precio. Datos del problema:

Ejemplo 2

Un biólogo estudia la velocidad de reproducción de cierto tipo de bacteria. A las 20 horas deposita en un frasco 4 000 bacterias, a las 23 horas revisa la población y encuentra que hay 7 200 bacterias. Calcula la razón de cambio promedio de la población con respecto al tiempo. Llama 𝑡 al tiempo en horas y 𝑝(𝑡) a la población de bacterias.

123


3.3

PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN RAZĂ&#x201C;N DE CAMBIO

Ejemplo 3

Cuando la longitud de un resorte es de 1 cm produce una fuerza de 4 newtons. Si su longitud es 3 cm produce una fuerza de 9 newtons. ÂżCuĂĄl es la razĂłn de cambio de la fuerza con respecto a la longitud del resorte? Sea đ?&#x2018;Ľ la longitud en centĂ­metros y f(đ?&#x2018;Ľ) la fuerza en newtons. Llama đ?&#x2018;Ľ a la longitud en centĂ­metros con el tiempo en horas y f(đ?&#x2018;Ľ) a la fuerza en newtons.

Ejemplo 4

Una compaùía armadora de automóviles solicita a un grupo de expertos someter el sistema de frenos a una prueba para determinar el tiempo total necesario que se requiere para detener el vehículo en caso de una emergencia. El fabricante del sistema de frenos asegura que solo se necesitan 0.55 segundos para detener el vehículo si este lleva una velocidad de 40 m/seg. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla. A partir de estos datos comprueba si la afirmación del fabricante es verdadera o falsa.

Velocidad (đ?&#x2018;Ł)

Distancia a la que la unidad se detiene (đ?&#x2018;&#x161;)

đ?&#x2018;Ľ

0

5

10

15

20

25

30

35

đ?&#x2018;Ś

0

0.6

1.6

2.7

4.1

6.2

8.8

11.9

Para calcular el valor del inciso a) de la siguiente tabla, el incremento de đ?&#x2018;Ľ se obtiene de restar 5 â&#x20AC;&#x201C; 0, y el incremento de đ?&#x2018;Ś se obtiene de restar 0.6 â&#x20AC;&#x201C; 0.

124


PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN RAZĂ&#x201C;N DE CAMBIO

3.3

Resuelve Completa los demĂĄs ejercicios.

1.

Si (đ?&#x2018;Ł) se incrementa de 0 a 5

2.

Si (đ?&#x2018;Ł) se incrementa de 5 a 10

3.

Si (đ?&#x2018;Ł) se incrementa de 10 a 15

.

4.

Si (đ?&#x2018;Ł) se incrementa de 15 a 20

.

5.

Si (đ?&#x2018;Ł) se incrementa de 20 a 25

.

6.

Si (đ?&#x2018;Ł) se incrementa de 25 a 30

.

7.

Si (đ?&#x2018;Ł) se incrementa de 30 a 35

.

.

.

125


1.2

Actividad Técnicas de integradora lectura eficaz 3

1. Encuentra las coordenadas del punto máximo o mínimo de las funciones dadas a continuación. Realiza el procedimiento completo incluyendo la tabulación y la gráfica para cada ejercicio. a)

b)

126


ACTIVIDAD INTEGRADORA 3

2. Se quiere construir una caja de volumen mĂĄximo utilizando una placa cuadrada de latĂłn de 10 cm por lado, cortando cuadros iguales en las esquinas y doblando las partes restantes. ÂżCuĂĄntos centĂ­metros deben cortarse para que, al formar la caja, pueda contener el volumen mĂĄximo?

3. Un grupo de ecologistas realiza una investigaciĂłn para determinar la cantidad de desechos contaminantes (en toneladas por semana) que vierte en un rĂ­o una empresa que fabrica productos quĂ­micos de uso agrĂ­cola. Los datos recabados se muestran en la siguiente tabla.

L

M

M

J

V

S

D

DĂ­as (đ?&#x2018;Ľ)

0

1

2

3

4

5

6

7

Toneladas de desperdicio (đ?&#x2018;Ś)

0

0.3

1.2

2.7

4.8

7.5

10.8

14.7

Calcula la razĂłn de cambio promedio para cada una de las parejas de dĂ­as que se muestran a continuaciĂłn y elabora la grĂĄfica correspondiente en Excel.

a) Lunes a martes

b) Martes a miĂŠrcoles

127


ACTIVIDAD INTEGRADORA 3

c) Miércoles a jueves

d) Jueves a viernes

e) Viernes a sábado

f) Sábado a domingo

4. Un grupo de científicos realiza estudios para proponer medidas que contribuyan a disminuir la contaminación atmosférica. El estudio está enfocado a una compañía que, durante un periodo de 18 horas, cada una de sus fábricas libera a la atmósfera cierta cantidad de toneladas de desechos químicos, cuyo valor exacto está determinado por la siguiente función:

Calcula las toneladas de contaminantes que se emiten a la atmósfera en los siguientes casos: a) Desde que empiezan las emisiones hasta 2 horas después.

b) En el instante en que han pasado 5 horas.

c) Entre 12 y 14 horas después.

128


ACTIVIDAD INTEGRADORA 3

Coevaluación Pídele a un(a) compañero(a) que evalúe tu desempeño al realizar la actividad integradora 3. Sigue las instrucciones de tu profesor(a).

Coevaluación Reflexiona y sé honesto(a) al calificar a tu(a) compañero(a) Nombre completo del compañero(a) Aspectos a evaluar

Encuentra las coordenadas del punto máximo de las funciones propuestas.

No

 

Encuentra la solución a los problemas propuestos.

 

 

Es claro y sigue un orden en sus procedimientos.

 

 

Mantiene un ánimo positivo para la realización del trabajo.

 

 

Comprueba los resultados que obtuvo.

 

 

129


Autoevaluación Aspecto a evaluar

Excelente (5)

Bueno (4)

Regular (3)

Insuficiente (0)

¿Cuál fue mi actitud? (Actitudes y valores)

Puntualidad

Limpieza

Orden

Disposición

Entregué en la fecha y hora programadas las actividades que realicé.

Entregué en la fecha programada.

Entregué después de la fecha programada.

No entregué.

Entregué limpios todos mis trabajos.

Entregué limpios la mayoría de mis trabajos.

Entregué limpios algunos de mis trabajos.

Entregué mis trabajos sin limpieza.

Mis trabajos presentaron coherencia y orden.

Mis trabajos presentaron coherencia con poco orden.

Mis trabajos presentaron coherencia pero no mantenían un orden.

Mis trabajos no presentaron coherencia ni orden.

Mantuve buena disposición durante la realización de las actividades individuales y colectivas.

Mantuve buena disposición en la mayoría de las actividades individuales y colectivas.

Mantuve buena disposición solo en algunas actividades individuales y colectivas.

No tuve disposición para realizar las actividades.

¿Cómo lo realicé? (Habilidades)

Interpretación

130

Interpreté el máximo y el mínimo de una función a parir de su gráfica.

Interpreté el máximo y el mínimo en la mayoría de las funciones a partir de su gráfica.

Interpreté el máximo y el mínimo en algunas de las funciones a partir de su gráfica.

No logré interpretar el máximo y el mínimo en la mayoría de las gráficas de las funciones.

Resultado


AUTOEVALUACIÓN

Aspecto a evaluar

Resolución

Excelente (5)

Resolví los ejercicios planteados siguiendo un proceso adecuado.

Bueno (4)

Resolví la mayoría de los ejercicios planteados siguiendo un proceso adecuado.

Regular (3)

Resolví algunos de los ejercicios planteados siguiendo un proceso adecuado.

Insuficiente (0)

Resultado

No resolví los ejercicios planteados utilizando un proceso adecuado.

¿Qué aprendí? (Conocimientos)

Cálculo de máximos y mínimos

Solución de problemas de optimización y razón de cambio

Determiné el valor máximo y el mínimo de una función con los resultados correctos.

Determiné el valor máximo y el mínimo de una función con la mayoría de los resultados correctos.

Determiné el valor máximo y el mínimo de una función con los resultados correctos.

No determiné el valor máximo y el mínimo de una función.

Resolví los problemas planteados siguiendo un proceso adecuado.

Resolví la mayoría de los problemas planteados siguiendo un proceso adecuado.

Resolví algunos de los problemas planteados siguiendo un proceso adecuado.

No resolví los problemas planteados utilizando un proceso adecuado.

131


Anexo: procesos de factorización algebraica I. Factor común Fórmula: Ejemplos

1. 2. 3.

Factoriza los siguientes ejercicios.

1

2

3

4

5

132


ANEXO: PROCESOS DE FACTORIZACIÓN ALGEBRAICA

A

II. Factor común como polinomio Fórmula: Ejemplos

1. 2. 3.

Factoriza los siguientes ejercicios.

1

2

3

4

5

III. Factor común por agrupación de términos Fórmula: Ejemplos

1. 2. 3.

133


A

ANEXO: PROCESOS DE FACTORIZACIร“N ALGEBRAICA

Factoriza los siguientes ejercicios.

1

2

3

4

5

IV. Diferencia de cuadrados Fรณrmula: Ejemplos

1. 2. 3.

Factoriza los siguientes ejercicios.

1

2

134


ANEXO: PROCESOS DE FACTORIZACIร“N ALGEBRAICA

A

3

4

5

V. Suma de cubos Fรณrmula: Ejemplos

1. 2. 3.

Factoriza los siguientes ejercicios.

1

2

3

4

5

135


A

ANEXO: PROCESOS DE FACTORIZACIĂ&#x201C;N ALGEBRAICA

VI. Diferencia de cubos FĂłrmula: Ejemplos

1. 2. 3.

Factoriza los siguientes ejercicios.

1

2

3

4

5

VII. Trinomio de la forma x2 + bx + c FĂłrmula:

,

,

Binomio con tĂŠrmino comĂşn. El producto de un binomio con tĂŠrmino comĂşn es un trinomio de la forma đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?, donde đ?&#x2018;Ľ es la variable, đ?&#x2018;? es el coeficiente del segundo tĂŠrmino, que tiene un determinado valor, y đ?&#x2018;? es el tercer tĂŠrmino, tambiĂŠn con un valor constante.

136


ANEXO: PROCESOS DE FACTORIZACIĂ&#x201C;N ALGEBRAICA

A

Ejemplo 1: Para factorizar el trinomio x2 + 9x + 20

a) Se abren dos parĂŠntesis, en donde el primer tĂŠrmino de cada parĂŠntesis es la variable đ?&#x2018;Ľ: b) El signo del primer parĂŠntesis es el signo del segundo tĂŠrmino del trinomio (+), el del segundo parĂŠntesis es el que resulta de la multiplicaciĂłn de los signos del segundo y el tercer tĂŠrmino del trinomio (+ por + = +):

c) Si los signos que quedaron en ambos parĂŠntesis son iguales, entonces buscamos dos nĂşmeros que sumados sean igual a đ?&#x2018;? (9) y multiplicados a đ?&#x2018;? (20). El mayor se pondrĂĄ en el primer parĂŠntesis, el menor en el segundo:

Es decir, estos son los factores del trinomio:

Ejemplo 2: Para factorizar el trinomio x2 + 2x â&#x20AC;&#x201C; 15

a) Se abren dos parĂŠntesis, en donde el primer tĂŠrmino de cada parĂŠntesis es la variable đ?&#x2018;Ľ: b) El signo del primer parĂŠntesis es el signo del segundo tĂŠrmino del trinomio (+), el del segundo parĂŠntesis es el que resulta de la multiplicaciĂłn de los signos del segundo y el tercer tĂŠrmino del trinomio (+ por â&#x20AC;&#x201C; = â&#x20AC;&#x201C;):

c) Si los signos que quedaron en ambos parĂŠntesis son diferentes, entonces buscamos dos nĂşmeros que restados sean igual a đ?&#x2018;? (2) y multiplicados a đ?&#x2018;? (15). El mayor se pondrĂĄ en el primer parĂŠntesis, el menor en el segundo:

Es decir, estos son los factores del trinomio:

137


A

ANEXO: PROCESOS DE FACTORIZACIÓN ALGEBRAICA

Factoriza los siguientes trinomios.

1

2

3

4

5

VIII. Trinomio de la forma ax2 + bx + c Ejemplo 1: Para factorizar el trinomio x2 + 2x – 15

a) b) c) Ejemplo 2: Para factorizar el trinomio 5x2 + 13x – 6

a) Se multiplica el coeficiente del término al cuadrado y el término independiente, incluyendo sus signos:

b) Se buscan dos números que multiplicados den ese producto (–30), y sumados o restados el coeficiente del término lineal (+13):

138


ANEXO: PROCESOS DE FACTORIZACIÓN ALGEBRAICA

A

4. c) Se separa el término lineal en estos dos sumados (+15 y –2):

d) Se resuelve factorizando por agrupación de términos:

Factoriza los siguientes ejercicios.

1

2

3

4

5

139


BIBLIOGRAFÍA

Apostol, T. (2001). Calculus I. 2a. edición. Barcelona: Reverté. Campos, F. (2011). Cálculo diferencial. México: Patria. Castillo, C. (2010). Cálculo diferencial e integral. México: McGraw-Hill. Conamat (2009). Matemáticas simplificadas. 2a. edición. México: Pearson. Conamat (2010). Cálculo diferencial. México: Pearson. Eslava, M. (2012). Cálculo diferencial, pensamiento complejo. México: Patria. Leithold, L. (1998). Matemáticas previas al cálculo. Bogotá: Harla. Leithold, L. (1998). El cálculo. 7a. edición. México: Oxford-Harla. Martínez, M. (1997). Cálculo diferencial. México: McGraw-Hill. Oteiza, E. (2013). Cálculo diferencial e integral. México: Pearson. Purcell, E. J. (2007). Cálculo diferencial e integral. 9a. edición. México: Pearson. Salazar, P. (2003). Matemáticas IV. México: Nueva Imagen. Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable. 7a. edición. México: Cengage. Swokowski, E. (1989). Cálculo con geometría analítica. México: Iberoamérica.

Recursos electrónicos "Tablas de derivadas". En: The World of Math online: http://www.math.com/tables/ derivatives/es-tableof.htm. Recuperado el 20 de novimebre de 2014 Zill, D. G. (2012). Precálculo con avances de cálculo. McGraw-Hill Interamericana. En: http://udg.libri.mx.wdg.biblio.udg.mx:2048/libro.php? libroId=333#. Recuperado el 20 de noviembre 2014.

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