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Anna Cerasoli

TODOS DE FIESTA con EL númerO pi

Ilustraciones: Federico Mariani Traducción: Teresa Clavel

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Anna Cerasoli

TODOS DE FIESTA con EL númerO pi

Ilustraciones: Federico Mariani Traducción: Teresa Clavel

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93 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 37867 91 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 06315 920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 94151 036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 188575 81 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 60943 76 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 75778 872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 21290 181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 16096 55 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 58753 17 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 18577 066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 533818 952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 45415 3 1 1 6 8 6 1 7 2 7 8 5 5 8 8 9 0«¡El 7 5 14 0 9de 8 3marzo, 8 1 7 5fiesta 4 6 3 7del 4 6número 4 9 3 9Pi, 3 1 es 9 2una 5 5 ocasión 0604009277 0167113900 98488 35 6370766010 4710 1 8 1 9 4 2 9 5 5 5 9 6 1 9 8 9 4 6 7 6 7 8 3 7 4 4 9 48255379 7747268471 04047 fantástica para hablar de matemáticas!» Con ese4espíritu 684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 25338 empecé a escribir Todos de fiesta con el número Pi. El libro 24 7496473263 9141992726 0426992279 6782354781 6360093417 2164121992 45863 4 5 5 5 7 0 6 7 4 9 8 3 8 5 0 va 5 4dirigido 9 4 5 8 8a 5estudiantes 8 6 9 2 6 9 9a5partir 6 9 0de 9 2quinto 7 2 1 0de 7 9primaria, 7 5 0 9 3pero 02955 3211653449 87202 también a lectores adultos interesados en descubrir belleza 6 6 5 4 9 9 1 1 9 8 8 1 8 3 4 7 9 7 7 5 3 5 6 6 3 6 9 8 0 7 4 2 6 5 4 2 5 2 7 8 6 2 5 5 1 8 1la8 4 1757 4672890977 77279 tiene 0 0 1 6 1 4 5 2 4 9 1 9 2 1 7 3y2utilidad 1 7 2 1 4de 7 la 7 2asignatura 3 5 0 1 4 1 4de 4 matemáticas. 1 9 7 3 5 6 8 5 4El8texto 1613 611573 5255213347 574184 2 3 9 0 7 3 9 4 1 4 3 3 3 4 5 4varios 7 7 6 2niveles 4 1 6 8de 6 2lectura; 5 1 8 9 8por 3 5 eso 6 9 4está 8 5 5dividido 6 2 0 9 en 9 2tres 1 9 2partes, 22184 2725502542 5688 53 4668049886 2723 2 7 9 1 7 8 6 0 8 5 7 8 4 3 8 3 8 2 7 9 6 7 9 7 6 6 8 1 4 5 4 1 0095 3883786360 95068 que se pueden leer de manera independiente. 1 1 7 3 9 2 9 8 4 8 9 6 0 8 4 1En 2 8la4parte 8 8 6 dedicada 2 6 9 4 5 6específicamente 0424 196528 5 0 2 2 2 1 0 6 6 1 1 a Pi, hablo sobre el 8 6 3 0 6 7 4 4 2 7 8 6 2 2 0 3 9 1 37 8696095636 4371917287 4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 78027 nacimiento de este número, el más famoso y fascinante 78 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077 2671947826 8482601476 9909 de9 las sobre 7 4 5 5 3 0 5 0 6 8 2 0 3 4 9 6de2 5la2historia 4517 4 3 9 matemáticas, 965143 142 9 8 0sus 9 1 9aplicaciones 0 6 5 9 2 5 0y9 3 7 2 2 1 6 9 6 4 6 1 5 1 5 7 0 9 8 Además 8 5 9 5 9 7 7 2 9 7 5 4 9 8 9 3secretos. 0161753 9 2 8 4de 6 8abordar 1 3 8 2 6el8aspecto 6 8 3 8 6matemático, 8 9 4 2 7 7 4recurro 155991 8559252459 53959 80 8459872736 4469 8 4 8 6 5 históricos 3 8 3 6 7 3y6mitológicos, 2 2 2 6 2 6 0anécdotas 9 9 1 2 4 6 y0también 805124388 4390451244 1365 a 5episodios 6 9 1 4 3 5 9 9 7 7 0 0 1 2 9 6cosas 1 6 0 8de 9 4la 4vida 1 6 9cotidiana. 486855 5848406353 4220722258 2848864815 84560 9 4 5 2 2 6 7 4 6 7 6 7 8 8 9 En 5 2 paralelo, 5 2 1 3 8 como 5 2 2 5una 4 9 9especie 5 4 6 6de 6 7hipertexto 2 7 8 2 3 9 en 8 6papel, 456596116 3548862305 77456 568 1743241125 1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867 22874 discurren dos tipos de recuadros, de diferente color, con 30 8617928680 9208747609 1782493858 9009714909 6759852613 6554978189 31297 relacionados 8 7 2 2 6 5 8 8 0 4 8 5 7 5 6 temas 40142 7 0 4 7 7 5 5con 5 1 3la2narración 3 7 9 6 4 1principal: 45152 3746234364 5428584447 95265 recuadros , en actividades 54 7357395231 1342 7 1 6 6 1 0 2azules 13596 9 5los 3 6que 2 3propongo 1442952 4 8493718711 0145765403 590279 sencillos, muy 7 3 1 0 5 7 8 5 3 9 0 6 2 1 9 8para 3 8 7organizar 4 4 7 8 0 8la4fiesta 7 8 4 8y 9juegos 68 33 214457 1 3 útiles 8 6 8 7para 519435 0643021845 31910 6 1 4 6 8 0 6 7 4 9 1 9 2 7 8 1 9consolidar 1 1 9 7 9 3 9los9 5 2 0 6 1 4 1 9 6 6 3 4 2 8 7 5 4 4 4 0 6 4 3 7 45123 7181921799 98391 conocimientos recién aprendidos, así como 7 5 1 4 2 6 9 1 2 3 9 7 4 8 9 4curiosidades 0 9 0 7 1 8 6inherentes 4 9 4 2 3 1 9a6los 1 5temas 6 7 9 4tratados; 52080 9514655022 5231603881 930142 9 5 6 6 3 8 9 3 7 7 8 7 0 8 3 0recuadros 3 9 0 6 9 7 9naranja 2 0 7 7 3, 4dirigidos 6 7 2 2 1a8los 2 5profesores 62599 66 5 0lectores 14215 0306803844 77345 y 1los 59 2520149744 2850732518 6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 05796 más motivados, en los que me detengo en los aspectos más 106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641 4011097120 6280439039 75951 en2ellos 0 3 3 7 8 6 9 9 3 6 0 0 7 2 3complejos, 0 5 5 8 7 6 3profundizo 1 763594 1 8 7 o3incorporo 1 2 5 1 4 7 1algún 2 0 5concepto 329281918 2618612586 73215 2 9 1 6 4 4 7 0 6 0 9 5 7 5 2 7interesante. 0 6 9 5 7 2 2Por 0 9ejemplo, 1 7 5 6 7 1muestro 1 6 7 2 2que 9 1 0algunos 9 8 1 6 9teoremas 091528017 3506712748 58322 5396 5725121083 579 1 3 6 9 8 8en 2 0apariencia 9 1 4 4 4 2 1áridos 0 0 6e7 insignificantes, 5 1 0 3 3 4 6 7 1 se 1031412 6711136990 865851 de1 5geometría, 0 1 6 5 1 5 1 1 6 8 5 1 7 1 4 3 7encuentran 6 5 7 6 1 8 3en 5 1la 5 5base 6 5 0de 8 8importantes 4 9 0 9 9 8 9descubrimientos 859 9823873 455 2833163550 764791 útiles 5 4 8 9 6 3 2 1 3 2 9 3 3 0 8para 9 8 5nuestra 7064 2 0 4 6Además, 7 5 2 5 9planteo 0 7 0 9 1algunos 5 4 8 1 4interrogantes 1 6549859461 6371802709 81994 vida. 71 2828905923 2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730 5836 matemáticos para los más voluntariosos. 03 8249037589 8524374417 0291327656 1809377344 4030707469 2112019130 20330 0 0 4 4 9 2 9 3 2 1 5 1 6 0 8 4 2 4 4 4 8 5 9 6 3 7 6 6 9 8 3 8 9 5 2 2 8 6 8 4 7 8 3Anna 1 2 3 5Cerasoli 52658 2131449576 85726

INSTRUCCIONES DE USO

968 6426243410 7732269780 2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 21116 925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056 4769312570 5863566201 85581 764 8611791045 3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560 84552 30 6143444318 5867697514 5661406800 7002378776 5913440171 2749470420 56223 07 1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830 6343285878 56983 657 5740679545 7163775254 2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 50979 547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011 2996148903 0463994713 296210 5 7 3 5 9 6 1 4Todos 5 8 de 9 0fiesta 1 9con3PI.indd 8 9 7 143 1 1 1 7 9 0 4 2 9 7 8 2 8 5 6 4 7 5 0 3 2 0 3 1 9 8 6 9 1 5 1 4 0 2 8 705/02/16 0 8 0 818:04 599 04801


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832..

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7564823 3786783165 5870066 0631558817 4146951 9415116094 956735 1885752724 7021798 6094370277 5771342 7577896091 1995611 2129021960 317328 1609631859 8752886 5875332083 5195778 1857780532 659361 5338182796 857242 4541506959 7113900 9848824012 268471 0404753464 0193511 2533824300 4121992 4586315030 1653449 8720275596 890977 7727938000 213347 5741849468 5502542 5688767179 3786360 9506800642 En la notación anglosajona, la fecha 427862 2039194945 133904 7802759009 2 6 0 1 4 7 6 9 9 0 9 0 2 6 4 0 1 del 14 de marzo presenta esta secuencia 9646151 5709858387 de números: 252459 5395943104 0451244 1365497627 314 8864815 8456028506 862305 7745649803 1 3 6 8 6 7 2 2 8 7 4 8 9 4 0 5 ¡Y esas son también las tres primeras cifras 4978189 3129784821 8 5 8 4 4 4 7 9 5 2 6 5 8 6 7de 8 2 la constante llamada número Pi, Π, el número 65403 5902799344 famoso de la historia de las matemáticas! 3 0 2 1 8 4 5 3 1 9 1 0 4 8 4 8más 1 1921799 9839101591 6 0 3 8 8 1 9 3 0 1 4 2 0 9 3 7 Es una ocasión fantástica para dedicarle 803844 7734549202 este día y descubrir lo presente que está 6514539 0579626856 4 3 9 0 3 9 7 5 9 5 1 5 6 7 7 1 esta asignatura en nuestra vida cotidiana... 8612586 7321579198 712748 5832228718 136990 8658516398 163550 7647918535 ¡QUE OS DIVIRTÁIS! 802709 8199430992 6366730 5836041428 2019130 2033038019 449576 8572624334 5265227 2111660396 3566201 8558100729 7185560 8455296541 470420 5622305389 3285878 5698305235 2164715 5097925923 994713 2962107340 con 5 8 0 8 5 9 9 0Todos 4 8 0de1fiesta 094 1 PI.indd 2

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46264


ROMA

CROTONA SIRACUSA C A RTAG O

MAR

LA CUNA DE PI

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ME


MAR

NEGRO

PÉ RG A M O

NA

AR

AT E N A S

TIRO

MEDIT E R R ÁNEO

A L E JANDRÍA

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TODOS DE FIESTA CON EL NÚMERO PI En toda fiesta que se precie, el momento más importante, el más

esperado, es la entrada en escena del agasajado: aplausos, felici­

taciones, buenos deseos... Pero, más vale decirlo cuanto antes: en nuestra fiesta es inútil esperar ese momento, no llegará, es imposible que llegue. ¿Y por qué?, os preguntaréis.

Se trata de un obstáculo insuperable, pues la aparición del pro­

tagonista en el escenario transformaría ese momento en la eter-

nidad. Y no puede ser de otro modo, porque el número al que queremos agasajar tiene principio, pero no tiene fin. Aparecería

así

y continuaría con más y más cifras, indefinidamente. Los parti­ cipantes en la fiesta envejecerían esperando verlo completo, se­

rían reemplazados por invitados más jóvenes, quienes, a su vez, podrían quedarse allí toda su vida sin asistir a su final, y así hasta el infinito.

Ese es el motivo por el que, al no poder ni escribirlo ni leerlo en­

tero, los matemáticos tuvieron que asignarle un nombre. Lo llamaron Pi, y en su lugar escriben este símbolo:

la letra griega que corresponde a nuestra P.

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¡POR LAS MATEMÁTICAS! Antes de comenzar el relato de esta aventura, ¿qué os parece si dedi­ camos las próximas páginas a las matemáticas? Recurriremos a la ayuda de las cifras del número Pi para dar ritmo a nuestra frase: cada cifra de la serie establecerá la longitud de la palabra correspondiente.

OÍR (3) A (1) UNOS (4) Y (1) OTROS (5) FILÓSOFOS (9) DA (2) MUCHOS (6) GOCES (5), CON (3) ESTAS (5), PERSONAS (8) SENSIBLES (9), LÚCIDAS (7) JUICIOSAS (9), VES (3) LA (2) LUZ (3) ILUMINAR (8) TODA (4) VERDAD (6). ¡Ahora os toca a vosotros! Intentadlo también en inglés, ¡esta fiesta es internacional!

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¿Por qué precisamente la P? Porque es la inicial de perímetro, la

longitud de la línea que delimita una figura geométrica, y, como veremos, nuestro Pi mide una figura muy especial.

Ya en la Antigüedad, conocían las fórmulas para calcular el perí­

metro del cuadrado, del rectángulo, del triángulo..., pero no sa­ bían cómo calcular el del círculo; es decir, la longitud de su circunferencia.

Los valientes pensadores, que se atrevían a enfrentarse a los pro­

blemas más difíciles armados únicamente con el intelecto, se empecinaron en afrontar el reto.

La pregunta era la siguiente: si fijo un cordel en un punto y, man­

teniéndolo tenso, doy una vuelta completa con el extremo opuesto al que he atado un punzón, ¿qué longitud tendrá la marca circular dejada por la punta del punzón?

No era una cuestión de poca importancia, si, por ejemplo, en el

lado interior de ese surco alguien quería construir una cabaña donde vivir con toda su familia.

Y si alargo el cordel, pongamos el doble, ¿cuánto se alargará la marca?

¡Pues será precisamente Pi quien nos lo diga! • 10 •

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LA FIESTA Aunque el agasajado tiene más de 2.000 años, la historia de su fiesta es reciente. La idea de dedicarle el 14 de marzo a Pi se le ocurrió a un físico esta­ dounidense, Larry Shaw, porque en la notación anglosajona esa fecha se escribe con las tres primeras cifras del número: 3 y 14. Fue en 1988, y en el Exploratorium de San Francisco, el mayor museo de ciencia de Estados Unidos, hubo música y juegos para agasajar a este número tan especial y fascinante. En 2009, el presidente Obama proclamó el 14 de marzo fecha oficial para festejar Π, una celebración que «anime a los jóvenes al estudio de las matemáticas». En la actualidad, la fiesta se ha extendido a todo el mundo y, gracias al lenguaje universal de esta ciencia, aúna a personas de todos los países, todos los colores y todas las lenguas.

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EL PADRE DE PI Hacía mucho que los hombres habían dejado de vivir en cavernas

o en tiendas. Ya habían aprendido a construir casas de piedra o de ladrillo, incluso habían levantado pirámides majestuosas, pero la

medida de esa línea circular seguía siendo un problemón. Hasta que llegó Arquímedes: un genio, tal vez el más grande de todos

los tiempos. Vivía en Siracusa, en Sicilia, cuando faltaban más de 200 años para el comienzo de la era cristiana, o sea, hace más de

2.200 años. Su padre era el astrónomo de la corte y le había ense­

ñado desde pequeño a jugar con los números, a reflexionar, a no amedrentarse frente a los problemas, a corregir los errores sin

desanimarse. Con estas enseñanzas, Arquímedes se había conver­ tido en un verdadero ingeniero, en el sentido de que usaba el in­ genio y el conocimiento. Incluso había inventado un sistema para

mandar el agua desde abajo hacia arriba, y los campesinos se lo agradecían de todo corazón cada vez que utilizaban su artilugio para regar los campos sacando el agua del río.

¡Y para los marinos había ideado un mecanismo que les permitía botar los barcos con una sola mano! Pero vayamos ahora con nuestro Pi, seguro que estáis impacientes por conocerlo. • 12 •

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ARQUÍMEDES DETECTIVE Este es el relato, realizado por el historiador Vitruvio, de cómo Arquí­ medes empleó su intuición para desenmarañar un buen enredo cuyo objetivo era engañar a Hierón, soberano de Siracusa. La cosa fue así: el orfebre de la corte, encargado de hacer una nueva co­ rona de oro macizo, había pensado aumentar sus ganancias utilizando un metal menos caro, la plata, y cubriéndolo con una fina capa de oro. Sin embargo, a Hierón le entraron algunas dudas sobre la honradez del orfebre y llamó a Arquímedes para que indagase. Ahora bien, ¿cómo se podía llegar a descubrir la verdadera naturaleza del metal sin romper la corona? Arquímedes no se desanimó: la idea se le ocurrió mientras se bañaba, y movido por la alegría de haber encontrado la solución, salió de la bañera gritando: «¡Eureka, Eureka!», que en griego, su lengua, significa: «¡Lo en­ contré, lo encontré!». Una bonita imagen que ha pervivido para simbolizar ese vivir en las nubes atribuido a los científicos. Arquímedes se había dado cuenta de que un cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje de abajo arriba equivalente al peso del volumen del líquido desalojado. Así que consiguió un lingote de oro del mismo peso que la corona, colgó esta última de uno de los brazos de una balanza y el lingote del otro, y lo sumergió todo en agua. ¿Qué ocurrió? El brazo del que colgaba la corona se elevó, revelando que el empuje recibido por esta era mayor que el recibido por el lingote: la corona había desa­lojado más agua que el otro objeto. Eso significaba que el volumen de la corona era mayor que el del lingote, aun cuando el peso fuera el mismo. Por lo tanto, lingote y corona no estaban hechos del mismo material: ¡si lo hubieran estado, el volumen de los dos objetos habría sido idéntico! Así fue como, además de la falta de honradez del orfebre, Arquímedes descubrió una gran ley de la física. ¡Desde sus nubes, lo había visto muy claro! • 13 •

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DOS NÚMEROS GUARDIANES Debido a sus éxitos, Arquímedes era tenido en gran considera­ ción, tanto por Hierón, el soberano de la ciudad, como por todos los demás habitantes de Siracusa.

Su vida transcurría entre descubrimientos, invenciones y de­­ mostraciones públicas. No obstante, aquel perímetro extraño que escapaba a todo conocimiento seguía atormentándolo. De modo que, en cuanto tenía un poco de tiempo, se ponía a dibujar

y a pensar. Se había hecho un bonito compás con el que trazaba circunferencias de diferentes longitudes.

Alrededor de una de ellas, dibujó un cuadrado.

diámetro

Y se dijo: «El perímetro de este cuadrado tiene una longitud igual a 4 veces su diámetro, eso lo ve hasta un niño... Por lo tanto, la

circunferencia que está en su interior debe tener forzosamente una longitud menor que el cuádruplo de su diámetro».

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¿CÓNCAVA O CONVEXA? ¿Estamos completamente seguros de que el perímetro de toda figura inscrita dentro de otra es menor que el de la figura que la contiene? En este caso no parece que sea así...

Esto sucede porque la figura interior no es convexa, sino cóncava, como las dos últimas de aquí abajo.

Las figuras cóncavas tienen esta característica: al menos dos de sus puntos se hallan unidos por un segmento que no está todo él dentro de la figura.

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No es mucho, ¡pero algo es!

«Vale –pensaréis–, si el diámetro mide 1 metro de largo, la circun­ ferencia medirá menos de 4 metros, pero ¿cuánto menos?»

Es verdad, una longitud menor de 4 metros podría ser de solo 1 metro, o menos aún.

Arquímedes pensó lo mis­mo,

así que dibujó una figura den­

tro de la circunferencia, y en esta ocasión eligió un hexágono. Evidentemente, la lon­

radio

gitud de la circunferencia no

podía ser menor que el perí­ metro del hexágono inscrito en ella, así que bastaba con averiguar ese valor.

Había elegido el hexágono porque sabía que la longitud de cada

uno de sus lados es la misma que el radio de la circunferencia y, por lo tanto, resulta fácil calcular su perímetro: ¡es 6 veces el ra­ dio, o sea, 3 veces el diámetro (véase p. 18)! Esto le permitió afirmar lo siguiente:

LA LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA ES MAYOR QUE 3 DIÁMETROS Y MENOR QUE 4 DIÁMETROS Aún no sabía cuál era esa longitud, es verdad, pero había encon­ trado dos «números guardianes» que la aprisionaban para que fuese menos huidiza.

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BARCOS, PECES Y GLOBOS ¿Qué tienen en común un barco –que, aunque sea de hierro, flota–, un globo suspendido en el aire y un pez que sube desde el fondo del mar hacia la superficie? ¡El principio de Arquímedes! Como vimos en la página 13, según este principio, un cuerpo parcial o totalmente sumer­ gido en un fluido recibe un empuje de abajo arriba igual al peso del fluido desalojado (el término «fluido» hace referencia a líquidos y ga­ ses). Esto significa que cualquier objeto que pese, por ejemplo, 1 kg, podrá flotar en el agua si, con su volumen, consigue desalojar 1 litro, que pesa exactamente 1 kg. El globo contiene en su interior un gas más ligero que el aire, como el helio, o bien aire caliente. De ese modo, recibe un empuje igual al peso del aire desalojado: permanecerá suspendido, sin caer, si el empuje iguala su peso. El barco, con sus cavidades, está construido de modo que el volu­ men del agua desalojada tenga un peso igual al peso de todo el barco. ¡Ahí tenéis de dónde llega el empuje que lo sostiene! Casi todos los peces (excepto el tiburón) poseen una vejiga inte­ rior que contiene aire. Dado que este aire es más ligero que el mismo volumen de agua cuyo espacio ocupa, el pez recibe un empuje hacia arriba. Si el pez quiere cambiar de posición res­ pecto al fondo, tendrá que modi­ ficar dicho empuje modificando el volumen de aire contenido en su vejiga natatoria.

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UN TEOREMA FUNDAMENTAL EN UN PLANO, LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE CUALQUIER TRIÁNGULO MIDE SIEMPRE 180º. Este es uno de los teoremas más importantes formulados por Euclides (deriva directamente del V postulado).

Precisamente este hecho es lo que nos garantiza que el lado del hexágono inscrito en una circunferencia tenga la misma longitud que su radio. ¿Por qué?

o

i rad

o

i rad

Pensemos en uno de los triangulitos que componen el hexágono (el mismo razonamiento vale para todos los demás): • la amplitud del ángulo en C es de 60° porque es 1/6 del ángulo completo, que mide 360°; • los dos lados AC y BC son iguales entre sí porque son radios; por lo tanto, es un triángulo isósceles; • en un triángulo isósceles, los ángulos de la base son iguales, lo cual, haciendo las debidas operaciones (180° – 60° = 120°: 2 = 60°), nos indica que los tres ángulos son iguales. • otro teorema nos dice que, si un triángulo tiene todos los ángulos iguales, tiene también todos los lados iguales; por lo tanto

AB = AC = BC • 18 •

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Conclusión: ¡el lado del hexágono es igual al radio! ¿Has visto lo importante que es saber que la suma de los ángulos internos de un triángulo mide 180°? Pero cuidado, si el triángulo se encuentra en una superficie esférica o elíptica (como una silla de montar), la suma de sus ángulos internos no mide 180°. 90°

90°

90°

60° 60°

60°

40°

40°

40°

Así que el castillo de los teoremas de Euclides se viene abajo, incluido el que acabamos de demostrar sobre la igualdad entre el lado del hexágono y el radio de la circunferencia dentro de la que se halla inscrito. Las geo­ metrías esféricas y elípticas reciben el nombre de geometrías no euclidianas precisamente porque en ellas el V postulado de Euclides no es válido.

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Acompañadas de divertidas ilustraciones, estas páginas nos cuentan la historia de Arquímedes y de sus alucinantes invenciones, que se entrec...

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Acompañadas de divertidas ilustraciones, estas páginas nos cuentan la historia de Arquímedes y de sus alucinantes invenciones, que se entrec...