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GUÍA AMENA DE MATEMÁTICAS

historia y aplicaciones del

álgebra

Desde el número de pétalos de una flor hasta el tipo de interés de una hipoteca A

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Explicaciones claras y concisas y breves biografías de las figuras más destacadas y sus descubrimientos Michael Willers


Título original: The Bedside Book of Algebra Traducción y documentación: Alfonso Rodríguez Arias Dr. Ingeniero Industrial

Coordinación de la edición en lengua española: Cristina Rodríguez Fischer Primera edición en lengua española 2012 © 2012 Art Blume, S. L. Avda. Mare de Déu de Lorda, 20 08034 Barcelona Tel. 93 205 40 00 Fax 93 205 14 41 e-mail: info@blume.net © 2010 Quid Publishing. Londres I.S.B.N.: 978-84-9801-599-7 Impreso en China Todos los derechos reservados. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sea por medios mecánicos o electrónicos, sin la debida autorización por escrito del editor. Las marcas registradas mencionadas en el presente libro son propiedad de los tenedores de sus derechos. Todas las referencias a fabricantes y sus productos tienen un carácter puramente informativo y no constituyen ninguna promoción ni afiliación con ellos. Este libro se ha impreso sobre papel manufacturado con materia prima procedente de bosques de gestión responsable. En la producción de nuestros libros procuramos, con el máximo empeño, cumplir con los requisitos medioambientales que promueven la conservación y el uso sostenible de los bosques, en especial de los bosques primarios. Asimismo, en nuestra preocupación por el planeta, intentamos emplear al máximo materiales reciclados, y solicitamos a nuestros proveedores que usen materiales de manufactura cuya fabricación esté libre de cloro elemental (ECF) o de metales pesados, entre otros.


CONTENIDO Introducción al álgebra 6 Las bases del álgebra 12 La antigua Grecia 40 Egipto, India y Persia 68 La conexión italiana 92 La Europa posrenacentista 114 Dinero y privacidad 150 Índice 174 Terminología y símbolos 176


I NTRODUCC IÓN AL ÁLGE BRA Las matemáticas significan muchas cosas para muchas personas. Así, para algunos representa toda la belleza del universo. Alfred North Whitehead (1861-1947), un matemático y filósofo inglés, describió las matemáticas puras como «la creación más original del espíritu humano». Sin embargo, para otros, las matemáticas son un tema desalentador, tanto si se presentan en forma de ecuaciones en una pizarra como en el hecho de que, como sucede con gran frecuencia, no nos cuadra la suma de las facturas a fin de mes. Estas dos percepciones divergentes son demasiado simplistas. Por una parte, incluso el más declarado enemigo de los números es difícil que pueda sustraerse a la belleza de algo tan sencillo como absorbente como la sucesión de Fibonacci cuando ésta se presenta en la naturaleza; por otra, hasta el más ferviente apasionado de las matemáticas tiene que admitir que muchas de las ideas matemáticas más bellas están envueltas en un halo de misterio impenetrable que las hace inaccesibles a la mayoría de los humanos. Este aire de alteridad puede ser la cosa más temible. De hecho, el teólogo del siglo iv san Agustín de Hipona llegó a afirmar: «Existe ya el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para oscurecer el espíritu y confinar al hombre en los abismos del infierno».

No hay duda de que numerosos estudiantes desconcertados y perplejos compartirán esta apreciación. Sin embargo, no tiene por qué ser así. De acuerdo: hay algunas ideas difíciles, aunque también mucha belleza que contemplar. Para estudiar la naturaleza de las matemáticas es necesario considerar lo que representan realmente, lo que las hace únicas, y cómo se han desarrollado. El presente libro pretende ayudarle en esta andadura. Por el camino, conoceremos numerosas ideas interesantes y que exigen esfuerzo, pero nuestro objetivo es ponerlas en relación con el mundo cotidiano; y donde esto no sea posible, descansar y maravillarnos con la belleza que desvelan los números.

¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS? «Las leyes de la naturaleza se escriben en el idioma de las matemáticas.» Galileo Galilei (1564–1642)

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Las matemáticas se han descrito de muchas maneras. Se las ha llamado la ciencia de los números y las magnitudes, la ciencia de los patrones y las relaciones, y el


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lenguaje de la ciencia. Galileo, el famoso científico italiano que vivió de 1564 a 1642, afirmaba que «las leyes de la naturaleza se escriben en el idioma de las matemáticas». De hecho, son todas estas cosas. Conforman un campo de investigación creativo y dinámico. La explosión de las matemáticas queda a menudo oculta a la gente en general, pero esto ha venido cambiando en los últimos años. Los descubrimientos científicos y los debates como, por ejemplo, el relativo al calentamiento global han despertado el interés por entender las estructuras matemáticas subyacentes. Los medios populares han desempeñado también su papel, y las matemáticas han sido el tema central de obras como la película ganadora del Oscar Una mente maravillosa (adaptación del libro homónimo nominado para el premio Pulitzer) y el éxito editorial de Dan Brown El código da Vinci, por citar tan solo dos ejemplos. Incluso los carteles de fractales en el dormitorio de un adolescente revelan un aprecio por la belleza matemática, aunque las personas no puedan ver los números tras las estructuras. A pesar de ello, algunos ven las matemáticas como una disciplina estática, aislada del mundo real. Esto se debe fundamentalmente a un fallo en el sistema educativo que dedica gran parte del tiempo al estudio de materias desarrolladas hace milenios. Esto no quiere decir que estos temas no sean importantes e interesantes, pero rara vez llegan a transmitir la fluidez de las matemáticas ni muestran cómo se han desarrollado a lo largo del tiempo. En efecto, tienen una historia muy rica y en estas páginas conoceremos a muchos de los fascinantes matemáticos que la conforman.

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• Los números de la sucesión de Fibonacci aparecen en muchos lugares de la naturaleza. En este caso, el número de pétalos de la margarirta es 21.

Y lo que es más: las matemáticas continúan avanzando gracias a individuos notables. Andrew Wiles, el matemático inglés que logró resolver el «último teorema de Fermat» en 1994, y la popularidad del subsiguiente libro de Simon Singh son dos muestras del continuo proceso de desarrollo y cambio de las matemáticas.

Una breve historia de las matemáticas Como lo atestigua el descubrimiento de un hueso de lobo de 30.000 años de antigüedad con muescas en series de cinco, la historia de las matemáticas es realmente antigua. La revelación de que las matemáticas no son un dominio exclusivo de los humanos (se ha demostrado, por ejemplo, que los cuervos pueden llegar a diferenciar entre conjuntos de hasta cuatro elementos) demuestra que los rudimentos del conteo están presentes en otras criaturas. Y aquí se plantea la pregunta de rigor: ¿qué fue primero, los humanos o las matemáticas? A la vista de la larga y pintoresca historia de las matemáticas no es sorprendente que

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las grandes aportaciones de los matemáticos no queden limitadas a este campo. Muchos de ellos eran polifacéticos de un modo u otro, o grandes científicos o sesudos filósofos. El estudio de la historia de las matemáticas es el de la historia de la civilización. Se puede afirmar que la revolución científica del Renacimiento tuvo lugar gracias a los avances matemáticos que la hicieron posible. Cuando Fibonacci (véanse páginas 94-95 y 98-99) introdujo en Europa la numeración hindú-arábiga en el siglo xiii, permitió que los matemáticos se liberaran de las limitaciones impuestas por la numeración romana. Hay que subrayar el hecho de que las matemáticas no progresaron a la misma velocidad en todas partes. Sus avances, en efecto, han tenido altibajos. Se descubrieron las ideas, se perdieron y se volvieron a encontrar. El flujo del conocimiento no ha discurrido siempre en la misma dirección, y las matemáticas modernas adoptan ideas muy diferentes procedentes de muy diversos lugares. Sin embargo, tenemos mucho que agradecer a los matemáticos árabes y persas. Situados

«No hay un camino real a la geometría.»

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entre Grecia e India, adoptaron lo mejor de ambos mundos antes de que sus conocimientos fueran reexportados a Europa, a la cuna del Renacimiento. Las matemáticas están omnipresentes en el mundo moderno. Está claro que han estado siempre en nuestro entorno de un modo u otro, pero en la actualidad tienen un papel mucho más importante en la vida cotidiana de la gente corriente de lo que lo era con anterioridad. El nivel de complejidad en un ordenador moderno significa que se ha invertido mucho más en esa compleja magia tecnológica, que implica unas matemáticas de increíble sofisticación. Sin embargo, no es necesario ser un genio de la informática o de las matemáticas para apreciar la belleza de los números. Cuanto más se sabe de las matemáticas en mayor medida se aprecia su influencia en el mundo que nos rodea, aunque no es necesario entender hasta la última ecuación. Incluso las ramas más sofisticadas de las matemáticas como, por ejemplo, la teoría del caos, se hacen visibles en imágenes tan habituales como las espirales del humo de un cigarrillo o los remolinos de la crema en el café. Como afirmara René Descartes, «conmigo todo se transforma en matemáticas».

• En términos generales, Euclides está considerado como el «padre de la geometría», siendo ésta la base de las matemáticas griegas.


La naturaleza de las matemáticas Las matemáticas poseen la característica única de poder ser, al mismo tiempo, tangibles y completamente abstractas. Por ejemplo, y al nivel más sencillo, la adición se puede demostrar con algo tan simple como un puñado de guijarros pero, al mismo tiempo, la suma 2 + 2 = 4 es una afirmación general que puede ser aplicada a cualquier otro objeto, tanto si son guijarros como peras, o puede ser una expresión abstracta que no tiene nada que ver con algo físico. El desarrollo histórico de esta ciencia es, en líneas generales, el paso de una disciplina concreta a una más abstracta. Para los antiguos griegos, las matemáticas eran un tema muy práctico, con una base geométrica. Una variable venía representada por una longitud, el cuadrado de dicha variable como un área y su cubo como un volumen. Sin embargo, este enfoque pragmático proporcionó verdaderos dolores de cabeza a los griegos a la hora de abordar ideas que estaban más allá de este paradigma, como, por ejemplo, los números negativos. En el transcurso de los siguientes milenios, las matemáticas se han hecho más abstractas en la forma y, en consecuencia, más flexibles. Sin embargo, esto no quiere decir que sus aplicaciones sean menos prácticas. Incluso cuando se persigue una idea sobre una base puramente teórica, puede llegar a tener una aplicación práctica de uso corriente. Un buen ejemplo de ello se encuentra en Joseph Fourier (1768-1830), un matemático francés que utilizó en sus trabajos las series infinitas de las funciones trigonométricas. Por aquel entonces, este

2x(3x – 4) = 6x2 – 8x

• El lenguaje de las matemáticas es muy bello, y va más allá de las fronteras de las naciones y de los continentes.

tema era de naturaleza puramente teórica, un rompecabezas matemático que, en apariencia, había que resolver solo por gusto. Sin embargo, muchos años más tarde las bases que él sentó constituyen la base de las conversiones analógico-digitales, la técnica utilizada para convertir las ondas sonoras analógicas en discos digitales compactos.

El lenguaje de las matemáticas Uno de los aspectos más fascinantes de las matemáticas es su lenguaje universal. En efecto, aunque en el planeta se hablan numerosas lenguas, hay una que es universal para las matemáticas. En mis clases tengo muchos estudiantes extranjeros, la mayoría procedentes de Europa y Asia. Cuando llegan con los libros de texto de sus países de origen no entiendo una palabra del texto escrito, pero comprendo los símbolos matemáticos.

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Como dijo David Hilbert (1862-1943), un gran matemático alemán, «las matemáticas no saben nada de razas ni fronteras, ya que, para ellas, el mundo cultural es un solo país». Aunque parezca imposible, las matemáticas pueden ser universales en el sentido más amplio de la palabra, y, por esta razón, la búsqueda de inteligencia extraterrestre utiliza representaciones binarias de p (véanse páginas 18-19) y números primos (véase página 16) para radiar nuestra presencia a cualquiera que pueda escucharnos. Resulta casi imposible que ese alguien entienda el saludo «¡hola!» en cualquier lengua. Sin embargo, es mucho más probable que tenga un concepto de π, desarrollado al trabajar con círculos, y aunque su sistema matemático principal pueda ser diferente al nuestro de base diez, es muy posible que entienda el concepto expresado en forma binaria (encendido/ apagado o día/noche). • Los cinco sólidos platónicos. Estas fascinantes formas tienen propiedades únicas (véanse páginas 52-53)

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La naturaleza de las matemáticas es tal que cuanto más se trabaja con ellas más se las estima. Cuanto más se sabe sobre ellas mas consciente se llega a ser de lo que nos rodea. Las matemáticas son bellas y dinámicas y su cualidad más poderosa es su omnipresencia.

¿ Q U É E S E L ÁLG E B R A? La palabra «álgebra» deriva de una obra de Al-Juarismi (véanse páginas 86-87) Hisab Al-Jabr w’Al-Muqabala, de la que «Al-Jabr» se convertiría en «álgebra». No en vano, algunos consideran a Al-Juarismi como el «padre del álgebra.» Cuando en estas páginas hablamos de álgebra nos referimos al álgebra elemental, que es la que se enseña a nivel de enseñanza secundaria en todo el mundo. Sin embargo, hay también otros tipos de álgebra, como la boleana (el álgebra de la lógica), que son bastante accesibles, si bien existen también otros de mucha mayor complejidad. Nuestro enfoque es sobre el álgebra que trata de las operaciones aritméticas de números y variables; dicho de otro modo, de cosas del tipo 3x + 5 = 9. Desde luego, el álgebra no nació totalmente formada; este tipo de notación es relativamente reciente y data del siglo xvii, en concreto de la obra de René Descartes (véanse páginas 116-117). La primera fase del desarrollo fue el álgebra retórica. Ésta tomó la forma de frases completas y fue la que dominó hasta el siglo iii. Hoy día, este estilo de álgebra continúa siendo la pesadilla de la mayoría de


«Las matemáticas no saben nada de razas S O B R E LA N OTAC IÓN La notación utilizada en este libro

ni fronteras, ya que, para ellas, el mundo cultural es un solo país.» David Hilbert (1862-1943)

es la estándar, pero cabe hacer notar que, para evitar confusiones, el uso de la x se reserva para las variables, y el signo • para denotar la multiplicación. Para ser más claros, se usan números y palabras del modo más apropiado. Asimismo, las unidades de medida son las métricas, ya que lo importante son los números.

los estudiantes ya que todo se reduce a problemas de palabras. Así, en lugar de resolver algo como 3x + 5 = 9, se tendría que resolver algo tan arcaico como «una cantidad incrementada tres veces ella misma e incrementada después en cinco más iguala al valor nueve». Vino después el álgebra sincopada, en la que se introdujeron símbolos y taquigrafía. La obra de Diofanto (véanse páginas 64-67) se considera sincopada, lo mismo que la de Brahmagupta (véanse páginas 78-79). Esto representó una mejora, pero todavía requería de mucho trabajo adicional comparado con lo que vendría después. El estadio final en el desarrollo del álgebra, por lo menos en lo que nos concierne aquí, fue el álgebra simbólica. Esta es la que conocemos y utilizamos hoy en día. Cuando escribimos 3x + 5 = 9, x es la incógnita y podemos resolver la

ecuacióncon utilizando el resto de información disponible. La cuestión es estrictamente teórica y no requiere de ejemplos prácticos. Esta notación cristalizó con René Descartes, aunque había alcanzado ya un cierto grado de desarrollo antes de él. Las obras de Descartes son las más antiguas que un estudiante actual podría leer sin dificultades para entender la notación. Al mismo tiempo, y como ya hemos visto, el álgebra fue pasando por distintas fases de abstracción creciente. En las eras babilónica, egipcia y griega, las matemáticas eran de naturaleza geométrica, lo que hacía absurdos el concepto del cero y de los números negativos. Incluso cuando el álgebra se volvió sincopada, se conservó la aversión a los números negativos. Incluso en el siglo xv, en Europa se veían todavía con recelo. El álgebra pasó después a una fase estática de resolución de ecuaciones, que es lo que se encontrará en las páginas que siguen. Así pues, sin más demora, iniciemos nuestro viaje. Por el camino conoceremos algunos personajes fascinantes y algunas ideas no menos apasionantes, y también encontraremos algunas páginas dedicadas a la resolución de problemas para mantenernos en forma. Empecemos pues con algunas de las bases del álgebra.

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El álgebra nos rodea. Tanto si nos damos cuenta como si no, está presente e influye en nuestro mundo de muy distintas maneras, desde el número de pétalos de una flor hasta el tipo de interés en la hipoteca. El lenguaje de las matemáticas puede mostrar una gran belleza por derecho propio. Este libro es un apasionante viaje por el desarrollo del álgebra y de las matemáticas. En el camino conocerá a personajes e ideas fascinantes de todo el mundo, y se le plantearán una serie de problemas que podrá resolver por sí mismo. Michael Willers es profesor de matemáticas de secundaria. Es ingeniero eléctrico y ha cursado un máster sobre la relación entre las matemáticas y otros temas tan diversos como el arte y la filosofía.

ISBN 978-84-9801-599-7 978-84-9801-599-7 ISBN

Preservamos el medio ambiente El papel de las páginas de este libro está manufacturado con materia prima procedente de bosques de gestión responsable.

9 788498 015997

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Comprender el álgebra así como todas las demás ramas de las matemáticas y la aritmética le abrirá un nuevo horizonte. Este libro es una cole...

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