__MAIN_TEXT__

Page 1

UNITAT

3

PROGRESSIONS

DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Progressions geomètriques al segle iii aC Euclides (segle iii aC) va ser el fundador de l’escola matemàtica d’Alexandria, on va escriure la seva monumental obra Elements. Aquesta obra es compon de 13 llibres, quatre dels quals estan dedicats a l’aritmètica. En un d’aquests llibres, el IX, va tractar les progressions geomètriques, tot i que la nomenclatura utilitzada en aquell temps era molt diferent de la que utilitzem avui dia. I les aritmètiques, al segle i Al segle i, Nicòmac va recopilar el que llavors se sabia d’aritmètica, gairebé tot conegut des de l’època d’Euclides. Es va dedicar, entre altres coses, a l’estudi de les progressions aritmètiques, que Euclides no havia tractat quatre-cents anys abans. Una successió recurrent del segle xiii Caldrà esperar fins al segle xiii perquè aparegui la successió més coneguda de la història, la de Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 … El seu autor, Leonardo de Pisa o Fibonacci (fill de Bonaccio), la va descriure en el seu Liber Abaci aplicada al context de la descendència dels conills. En l’actualitat, aquest tipus de successions les anomenem recurrents, perquè els termes es van calculant a partir dels anteriors. L’espiral de Fibonacci

En estudiar la successió de Fibonacci, es descobreixen connexions amb els camps més diversos: la biologia (reproducció dels conills), la geometria, la teoria de jocs, les ciències de la computació, etc. Observa, a l’esquerra, l’espiral que s’obté en 2 3 unir arcs de circumferència els radis dels quals 1 1 coincideixen amb els termes de la successió de Fibonacci. 8 5

64


La successió de Fibonacci Fibonacci va introduir la seva successió de la manera següent: «Quantes parelles de conills naixeran al llarg d’un any, començant per una sola parella, si cada mes qualsevol parella engendra una altra parella que, al seu torn, es reprodueix a partir del segon mes?». Observa:

1

1

2

3

5

8

RESOL

1. Observa la sínia de la dreta. Si C és la quantitat d’aigua que aporta la sínia en una volta i A és la quantitat d’aigua que tenia inicialment la bassa, quina quantitat d’aigua hi haurà a la bassa després que la sínia hagi fet n voltes?

2. Quin criteri cal seguir per obtenir més termes en la successió de Fibonacci? 3. Dibuixa les dues files que segueixen en l’esquema que mostra l’evolució de la descendència d’una parella de conills. Quantes parelles de conills hi hauria al sisè mes? I al setè?

4. Amplia en un full quadriculat l’espiral de Fibonacci que hi ha en la pàgina anterior amb dos arcs més.

65


UNITAT 3 » PROGRESSIONS

1. SUCCESSIONS Les successions són conjunts de nombres donats ordenadament. Per exemple: a) 1, 5, 9, 13, 17, …

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

c) 2, 4, 8, 16, 32, 64, …

d) 1, –3, 9, –27, 81, –243, …

e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

f ) 1, 2, 4, 7, 11, 16, …

g) 2, 6, 12, 20, 30, 42, …

h) 170, 120, 70, 20, –30, –80, …

i) 1, 3, 6, 8, 16, 18, 36, …

j) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

Cada una de les successions anteriors es construeix seguint un criteri determinat. Alguns són evidents: — Es passa d’un terme a l’altre sumant (o multiplicant per) la mateixa quantitat en tots els casos. — Cada terme és el quadrat del lloc que ocupa en la successió. D’altres són menys evidents: — Cada terme s’obté sumant els dos anteriors. — Alternativament, sumem o multipliquem per un mateix nombre. — Els termes són els nombres primers ordenats. Els elements de la successió s’anomenen termes. Podem referir-nos al primer terme, al segon terme, al tercer terme… d’una successió s, però és més còmode anomenar-los s1, s2, s3, … A quines de les successions del capdamunt de la pàgina corresponen aquests dibuixos?

Així, per exemple, per indicar que en la primera successió la diferència de cada terme amb l’anterior és 4, podem escriure: a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = 4 Anomenem successió el conjunt de nombres donats ordenadament de manera que es puguin numerar: primer, segon, tercer… Els elements de la successió s’anomenen termes i se solen designar mitjançant una lletra amb subíndex. El subíndex de cada element indica el lloc que ocupa en la successió: s1, s2, s3, s4, s5, s6, …

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 1. Esbrina el criteri amb què s’ha format cada una de les successions següents: a) 1/2, 2/3, 3/4…

b) 3, 4, 5, 6…

riors. En algun cas, inventa un criteri propi i original.

c) 1, 8, 27…

2. Esbrina el criteri amb què s’ha format cada una de les

successions del capdamunt de la pàgina i afegeix tres termes més a cada una.

66

3. Forma cinc successions amb criteris similars als antec2 c3 = = … entre cada dos c1 c2 termes consecutius de les successions c) i d) de dalt.

4. Indica quina és la relació


Terme general d’una successió De vegades, podem trobar una expressió que serveix per obtenir un terme qualsevol de la successió sabent tan sols el lloc que ocupa aquest terme. lloc que ocupa

1r 2n 3r … n-èsim

terme

a1 a2 a3 … an 1 5 9 … 4n – 3

exemple

Per exemple, per a la successió a) 1, 5, 9, 13, 17… de la pàgina anterior, trobem l’expressió an = 4n – 3, perquè donant a n els valors 1, 2, 3, 4…, obtenim els termes a1, a2, a3, a4 … an = 4n – 3 és el terme general d’aquesta successió. S’anomena terme general d’una successió s (i se simbolitza amb sn  ) l’expressió que representa un terme qualsevol d’aquesta successió. Hi ha successions el terme general de les quals pot expressar-se mitjançant una fórmula, sn = f   (n), en la qual, donant a n un cert valor, s’obté el terme corresponent. Les successions que habitualment farem servir en aquest curs estaran formades seguint algun criteri. Algunes vindran donades pel seu terme general, o serà fàcil obtenir-lo. Però, en d’altres, cada terme s’obtindrà operant amb els anteriors. Les successions els termes de les quals s’obtenen a partir dels anteriors es diu que estan donades en forma recurrent. Per exemple, en la successió e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, cada terme és la suma dels dos anteriors. La successió es pot definir d’aquesta manera: e1 = 1, e2 = 1, en = en – 1 + en – 2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 5. Comprova, per a les successions b), c), d) i h) de la pàgina anterior, que: bn = hn = 220 – 50n.

n  2;

cn =

2n;

dn =

(–3)n – 1;

6. Escriu els cinc primers termes d’aquestes successions: an = n  3

bn = n  2 – 3n + 7

cn = n – 3 n+4

7. Forma una successió recurrent amb aquestes dades: j1 = 2

j2 = 3

jn = jn – 1 + jn – 2

8. Inventa dues successions recurrents més amb dades di-

10. Descobreix la llei de recurrència i afegeix un nou terme a cada una de les successions següents:

a) 1, – 4, 5, –9, 14, –23, … (Diferència) b) 1, 2, 3, 6, 11, 20, … (Relació de cada element amb els tres anteriors) c) 1; 2; 1,5; 1,75; … (Semisuma) d) 1, 2, 2, 1, 1/2, 1/2, 1, … (Quocient)

11. Construeix una successió la llei de recurrència de la

ferents de les anteriors.

qual sigui an = an – 1 + n. (Dona al primer terme el valor que vulguis.)

9. Escriu els quatre primers termes de les successions que

12. a) Comprova

tenen, per terme general, els següents:

n –1

que el terme general de la successió –1, 1, –1, 1, –1, 1… és sn = (–1)n.

a) an = 3 + 5(n – 1)

b) bn = 3c 1 m 2

b) Troba el terme general d’aquestes successions:

c) cn = (n – 1)(n – 2)

d) dn = n  2 – n

bn → 1, –2, 3, – 4, 5, – 6, …

an → 1, –1, 1, –1, 1, –1, …

67


UNITAT 3 » PROGRESSIONS

2. PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES Observa les successions següents:

CALCULADORA

Amb la calculadora, generem les successions així: 2 =+ 3 ==== … Observa que, en prémer les tecles 2 =+ 3, apareix en la pantalla l’expressió Ans + 3, que significa que al que hi ha en la memòria n’hi sumarem 3. Per tant, cada cop que premem =, al resultat anterior n’hi sumem 3 (sumand constant).

Progressió aritmètica de primer terme a1 i diferència d a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a1 + 2d … an = a1 + (n – 1)d

a) 2, 5, 8, 11, 14, 17 … b) 120, 140, 160, 180, 200, 220 … c) 9, 7, 5, 3, 1, –1, –3, –5 … d) 5,83; 5,87; 5,91; 5,95; 5,99; 6,03 … Aquestes successions s’anomenen progressions aritmètiques. Afegeix quatre termes més a cada una. Si diem que en la successió a) la diferència és 3, quina serà la diferència en les altres? Una progressió aritmètica és una successió en la qual es passa de cada terme al següent sumant un mateix nombre (positiu o negatiu), que s’anomena diferència, d, de la progressió.

Obtenció del terme general Una progressió aritmètica queda perfectament determinada si coneixem el primer terme i la diferència. Per exemple, en la progressió a) de dalt, a1 = 2 i d = 3. Com trobaríem el terme 100? — Per passar de a1 a a100, hem de fer 99 passos. — Cada pas significa augmentar en 3 unitats el terme anterior. — Per tant, per passar de a1 a a100, augmentem 99 · 3 = 297 unitats. — És a dir, a100 = 2 + 297 = 299.

Observa Una progressió aritmètica el primer terme de la qual és a i la diferència de la qual, d, es pot definir de forma recurrent així: a1 = a, an = an – 1 + d

El terme general an d’una progressió aritmètica el primer terme de la qual és a1 i la diferència de la qual, d, és aquest: an = a1 + (n – 1) · d Per obtenir aquesta expressió, n’hi ha prou de tenir en compte que, per passar de a1 a an, fem n – 1 passos d’amplitud d.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 13. El primer terme d’una progressió aritmètica

s és s1 = 5 i la diferència és d = 2,5. Escriu-ne els deu primers termes.

15. Troba el terme general de les progressions b), c) i d).

Fes el mateix per a una altra progressió aritmètica t el primer terme de la qual sigui t1 = 20 i la diferència, d = –3.

16. a) Dos dels termes d’una progressió aritmètica s

14. Calcula, per a les progressions de dalt: b36

68

c31

d1.000

(Prova de fer-ho sense aplicar la fórmula; simplement raonant.) s1 = 6 i s3 = 9 Esbrina el valor de la diferència, d. b) Troba el terme general de la progressió, sn.

són:


Suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica Els nombres naturals formen una progressió aritmètica de diferència d = 1. Vegem com obtenim la suma 1 + 2 + 3 + … + 10:

10

+

S10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 S10 = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

2S10 = 11 + 11 + 11 + 11

+ 11 + 11

10 vegades

2S10 = 10 · 11 → S10 = 10 · 11 = 55 2 Aquesta manera simplificada de procedir es deu a la propietat següent: En una progressió aritmètica de n termes, la suma de dos termes equidistants dels extrems és sempre la mateixa. a1

S10 = 10 · 11 2

+d

a2

+d

a3

a2 = a1 + d 4 a2 + an – 1 = a1 + an ; an – 1 = an – d

an – 2

–d

an – 1

–d

an

a 3 = a 1 + 2d 4 a3 + an – 2 = a1 + an a n – 2 = a n – 2d

Basant-nos en aquesta propietat i utilitzant el mateix procediment, podem obtenir la fórmula general per sumar els n primers termes d’una progressió aritmètica: a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an. Suma → Sn =

a1

+ a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 +

an

Suma 3 → Sn = invertida

an

+ an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 +

a1

2Sn = (a1 + an) + ( ) + ( ) + … + ( ) + ( ) + (an + a1) Hi ha n parèntesis i el resultat corresponent a cada un és a1 + an   . Per tant: (a + a ) · n 2Sn = (a1 + an   ) · n → Sn = 1 n 2 La suma Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 1 + an dels n primers termes d’una progressió aritmètica és Sn =

(a 1 + a n) · n . 2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 17. Troba la suma de tots els nombres imparells més petits

19.

18. a) Si

20. Els primers termes d’una progressió aritmètica són

que 100.

a1 = 5 i d = 5, calcula S15.

b) Si b1 = 5 i b2 = 7, calcula b40 i S40. c) Si c1 = 5 i c2 = 12, calcula S32.

Si el primer terme d’una progressió aritmètica és c1 = 17 i el cinquè és c5 = 9, troba la suma S20. a1 = 4, a2 = 7. Troba aquesta suma: a10 + a11 + a12 + … + a19 + a20

69


UNITAT 3 » PROGRESSIONS

3. PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES CALCULADORA

Afegeix dos termes a cada una de les successions de la dreta. Troba novament, ara amb la calculadora, les cinc progressions geomètriques, com es fa en l’exemple: 3 =* 2 =  =  =  = … ↓ ↓ ↓ ↓ 6 12 24 48 Cada vegada que es prem la tecla =, el resultat anterior es multiplica per 2 (factor constant).

Observa les successions següents: a) 3, 6, 12, 24, 48, 96 … Cada terme s’obté multiplicant l’anterior per 2. Es tracta d’una progressió geomètrica de raó 2. b) 3, 30, 300, 3.000 … És una progressió geomètrica de raó 10. També són progressions geomètriques les tres successions següents: c) 80; 40; 20; 10; 5; 2,5 … La seva raó és 1 = 0,5. 2 d) 80; 8; 0,8; 0,08 … La seva raó és 1 = 0,1. 10 e) 3, – 6, 12, –24, 48, –96 … La seva raó és –2. Una progressió geomètrica és una successió en la qual es passa de cada terme al següent multiplicant per un nombre fix, r, anomenat raó.

Obtenció del terme general Progressió geomètrica de primer terme a1 i raó r a1 = a1 a2 = a1 . r a3 = a1 . r  2 … an = a1 . r  n – 1

Una progressió geomètrica queda completament definida si coneixem el primer terme i la raó. Per exemple, en la progressió a), el primer terme és a1 = 3 i la raó és r = 2. Com trobaríem el terme 25? — Per passar de a1 a a25, hem de fer 24 passos. — Cada pas representa multiplicar per 2. Per tant, per passar de a1 a a25 haurem de multiplicar vint-i-quatre vegades per 2; és a dir, per 224. — Així, a25 = 3 · 224 = 3 · 16 .777 .216 = 50.331.648. Les progressions geomètriques de raó més gran que 1 creixen de forma «sorprenent» i donen lloc a situacions curiosíssimes, com les que estudiem en l’apartat 4 d’aquesta unitat. El terme general an d’una progressió geomètrica el primer terme de la qual és a1 i la raó, r és aquest: an = a1 · r n – 1

Per obtenir aquesta expressió, n’hi ha prou de tenir en compte que, per passar de a1 a an , hem de fer n – 1 passos i que cada pas consisteix a multiplicar per r. EXERCICI RESOLT

1. Els

primers termes d’una progressió geomètrica són a1 = 250 i a2 = 300. Calcula r, a6 i an.

a2 = a1 · r → 300 = 250 · r → r = 300 = 1,2 250 6 – 1 5 a6 = a1 · r  = 250 · (1,2) = 622,08 Terme general: an = 250 · 1,2  n – 1

Amb la calculadora, els primers termes es troben d’aquesta manera: 250 =* 1,2 = = …

70


PROBLEMES RESOLTS

2. En una progressió geomètrica, a1 = 625 i a3 = 400. Troba’n els primers termes.

Primer es calcula la raó: a3 = a1 · r 2 → 400 = 625 · r 2 → → r 2 = 400/625 = 0,64 → r = ±0,8 Hi ha dues progressions geomètriques que compleixen les condicions imposades. Les seves raons són r = 0,8 i r´= – 0,8. • r = 0,8 → 625, 500, 400, 320, 256, … • r´= – 0,8 → 625, –500, 400, –320, 256, …

3. En una progressió geomètrica de termes

positius, a1 = 3 i a3 = 6. Troba an , a20 i a21.

a3 = a1 · r 2 → 6 = 3r 2 → r 2 = 6/3 = 2 → r = ± 2 Com que els termes són positius, la raó també ho és: r = 2 an = 3 · ( 2 )n – 1

a20 = 3 · ( 2 )19 = 3 · ( 2 )18 · 2 = 3 · 29 · 2 = 1.536 · 2

a21 = a20 · r = (1.536 · 2 ) · 2 = 1.536 · 2 = 3.072

4. Un centurió va demanar al cèsar que el

recompensés per la seva valentia. El cèsar li va mostrar una pila de monedes i li va dir: «Avui pots agafar un denari; demà, 2; l’endemà, 4; l’endemà passat, 8. Així, successivament, cada dia duplicaràs els denaris de l’anterior. Però el que agafis cada dia hauràs d’emportar-t’ho tu sol i en una sola vegada. Et permeto utilitzar un carro».

Denaris que hi ha en una tona → 1.000.000 : 20 = 50.000 Denaris que s’emporta cada dia → an = 1 · 2n – 1 = 2n – 1 Quin serà el valor més gran de n perquè 2n – 1 sigui més petit que 50.000? Utilitzant el factor constant amb la calculadora, obtenim que 215 = 32.768 i 216 = 65.536. Així, n – 1 = 15 → n = 16. Va aplegar monedes durant 16 dies i l’últim dia es va endur 32.768 denaris.

Suposant que un denari pesés 20 g i que el màxim que aconseguís portar en un carro fos una tona, durant quants dies va recollir monedes el centurió? Quin va ser el nombre de denaris de l’última carretada?

Observa Quan r és negatiu: — Si a1 és positiu, són negatius els termes parells. — Si a1 és negatiu, són negatius els termes senars.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 21. Construeix una progressió geomètrica el primer terme de la qual sigui 125 i la raó, 0,4.

22. D’una progressió geomètrica coneixem

a1 = 0,625 i a3 = 0,9. Troba’n la raó i els sis primers termes.

23.

En una progressió geomètrica de termes positius, a1 = 2 i a3 = 6. Troba an , a11 i a12.

24. En

una progressió geomètrica, el primer terme és a1 = 5 i la raó és r = 1,4. Esbrina, amb l’ajuda de la calculadora, quin és el terme més avançat el valor del qual és inferior a 1.000.000.

25. En una progressió geomètrica,

a1 = 1.000 i r = 0,8. Esbrina, amb la calculadora, quin és el terme més avançat el valor del qual és més gran que 1.

71


UNITAT 3 » PROGRESSIONS Suma dels n primers termes d’una progressió geomètrica La suma dels n primers termes d’una progressió geomètrica pot expressar-se mitjançant una senzilla fórmula en la qual només intervenen la raó i els termes extrems. Vegem com s’obté:

Aclariment Tingues en compte el següent: Sn · r = a1 · r + a2 · r + … + an – 1 · r + an · r = = a2 + a3 + … + an + an · r

Multipliquem per r els dos membres d’aquesta igualtat: Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 1 + an Del resultat en restem l’esmentada igualtat i obtenim que: Sn · r = a2 + a3 + a4 + … + an – 1 + an + an · r – Sn   = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an – 1 + an Sn · r – Sn = –a1

+ an · r

Sn · r – Sn = an · r – a1 → Sn · (r – 1) = an · r – a1 → Sn =

an · r – a1 r –1

La suma Sn = a1 + a2 + a3 + … + an dels n primers termes d’una progressió geomètrica de raó r és aquesta: Sn =

a n · r – a 1 a 1 · r n – a 1 a 1 · (r n – 1) = = , ja que an = a1 · r n – 1 r –1 r –1 r –1

PROBLEMA RESOLT

5. Si al començament de cada any

1r ANY

ingressem 1.000 € en un banc al 4 % anual, quants diners tindrem al final del cinquè any?

2n ANY

3r ANY

4t ANY

5è ANY 1.000 · 1,045

1.000

1.000 · 1,044

1.000

1.000 · 1,043

1.000

1.000 · 1,042

1.000 1.000

1.000 · 1,04 SUMA

El capital disponible al final del cinquè any és la suma de cinc termes que estan en progressió geomètrica de raó r = 1,04. a1 = 1.000 · 1,04; a2 = 1.000 · 1,042; …; a5 = 1.000 · 1,045 SUMA

=

a 5 · r – a 1 1.000 · 1, 04 6 – 1.000 · 1, 04 = = 5.632,98 € r –1 1, 04 – 1

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 26. Seguint el procediment utilitzat per trobar

Sn, calcula

28. Calcula la suma dels deu primers termes d’una pro-

27. Quants denaris es va emportar, en total, el centurió

29. Si al començament de cada any ingressem 6.000 € al

3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384.

del problema resolt 4 de la pàgina anterior?

72

gressió geomètrica amb a1 = 8,192 i r = 2,5.

5 % anual, quin capital tindrem al final del sisè any?


Suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica amb |r | < 1 Tot el que hem estudiat fins ara sobre progressions geomètriques és vàlid sigui quin sigui el valor de r. Tanmateix, si 0 < r < 1 (r positiu i més petit que 1), els termes de la progressió decreixen aproximant-se a zero. Això fa que aquestes progressions siguin especialment interessants; sobretot, la suma dels seus termes. En aquestes progressions geomètriques decreixents, com que an · r és més petit que a1, per tal que el numerador i el denominador siguin nombres positius, escriurem la fórmula de la suma de la manera següent: an · r – a1 a1 – an · r = r –1 1– r El terme an · r = a1 · r n es fa cada vegada més petit i arriba a ser insignificant si n és molt gran, per la qual cosa desapareix. Això s’expressa així: Sn =

S∞ =

a1 1–r

Aquesta fórmula també és vàlida quan la raó és negativa: –1 < r < 0. La suma de «tots» els termes d’una progressió geomètrica en què la raó verifica a que 0 < |r | < 1 s’expressa com a S∞ i s’obté així: S∞ = 1 . 1–r

EXERCICIS RESOLTS

6. Calcula la suma dels infinits

Atès que r = 2 és positiu i més petit que 1, podem aplicar la fórmula: 3 a 10 S∞ = 1 = = 10 = 30 1 – r 1 – (2/3) 1/3

7. Troba els set primers termes,

a1 = 16, a2 = – 8, a3 = 4, a4 = –2, a5 = 1, a6 = –   1 , a7 = 1 2 4 a · r – a 1 (1/4) · (–1/2) – 16 43 S7 = 16 – 8 + 4 – 2 + 1 – 1 + 1 = 7 = 10,75 = = 2 4 r –1 (–1/2) – 1 4 ! a 16 S∞ = 1 = = 16 = 32 = 10, 6 1 – r 1 – (–1/2) 3/2 3

termes d’una progressió geomètrica en què: a1 = 10 r= 2 3

la seva suma i la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica en què: a1 = 16 r = –  1 2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 30. En una progressió geomètrica,

a1 = 8 i r = 0,75. Calcula la suma dels seus infinits termes.

31. En una progressió geomètrica,

a1 = 30 i r = – 0,2. Calcula la suma de «tots» els seus termes.

32. En una progressió geomètrica, el quart terme és

a4 = 10 i el sisè és a6 = 0,4. Troba: la raó, r    ; el primer terme, a1; el vuitè terme, a8; la suma dels vuit primers termes, S8, i la suma dels seus infinits termes, S∞.

73


UNITAT 3 » PROGRESSIONS

4. PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES SORPRENENTS Dues progressions de llegenda Retribució a l’inventor dels escacs Una llegenda explica que un rei, meravellat amb el joc dels escacs, va oferir al seu inventor de concedir-li el que li demanés. Aquest, per donar-li una lliçó d’humilitat, li va contestar: «Només demano 1 gra de blat per la 1a casella del tauler, 2 per la 2a, 4 per la 3a, 8 per la 4a i, successivament, per cada casella el doble que per l’anterior fins a arribar a la 64a». Al rei li va semblar una minúcia (una excentricitat d’un savi extravagant) i va ordenar al seu administrador que fes comptes per pagar el deute… A quants grans de blat, però, correspon el deute que el rei va contreure amb l’inventor dels escacs? Calculem-ho. El nombre de grans de blat de les successives caselles és una progressió geomètrica amb a1 = 1, r = 2 i a64 = 263. La suma dels 64 primers termes és aquesta: a · r – a 1 2 63 · 2 – 1 S64 = 64 = 264 – 1 = r –1 2 –1 I quant és això? Quin espai ocupen 264 – 1 grans de blat? Estimem que en 1 cm3 caben 15 grans. Segons això, 264 – 1 grans són 1,23 · 1012 m3 o bé 1.230 km3. Amb aquest volum es podria omplir la ciutat de Nova York i s’arribaria a 1,5 km d’altura (naturalment, tots els seus gratacels restarien tapats). Comprova que els resultats de la dreta són correctes si la ciutat de Nova York té 786 km2 de superfície.

La torre de Hanoi La torre de Hanoi és un joc que consta de diversos discos de diferents mides i tres varetes verticals. Els discos se situen a la vareta de l’esquerra col·locats del més gran al més petit. L’objectiu és passar-los tots a la vareta de la dreta respectant la regla següent: en cada moviment es pot passar únicament un disc a un lloc buit o bé situar-lo sobre un altre disc més gran (no es pot situar mai un disc sobre un altre de més petit). Segons una llegenda, Déu va col·locar 64 discos a la vareta de l’esquerra d’un d’aquests jocs i va ordenar a la humanitat que els transportés, seguint la regla, a la vareta de la dreta. Quan s’hagi acabat el joc —va dir Déu— s’acabarà el món. La llegenda prossegueix afirmant que hi ha una comunitat de monjos que s’alternen a fer els moviments que calen per acabar el joc.

Busca a internet «torre de Hanoi» i podràs jugar amb el nombre de discos que vulguis.

74

nre. de discos

nre. de moviments

1 2 3 4 … n

1 3 7 15 … 2n – 1

El nombre de moviments necessaris per completar el joc, en funció del nombre de discos, n, és una successió de terme general an = 2n – 1 (similar a una progressió geomètrica).

Per completar el joc dels 64 discos, els monjos hauran de fer 264 – 1 moviments. Quant és això? Si tarden 1 s a fer cada moviment, vol dir que hi estaran 5,85 · 1011 anys (585.000 milions d’anys); és a dir, quaranta vegades i escaig l’edat estimada de l’univers. (L’edat de l’univers s’estima en menys de 14.000 milions d’anys.)


Fent doblecs en un full de paper Imagina’t que tens un full de paper de 0,14 mm de gruix. Cada vegada que el doblegues, el gruix es duplica. Quan has fet sis o set doblecs, ja no el pots doblegar més, però imagina que poguessis fer-ho deu, vint i, fins i tot, cinquanta vegades. Quin gruix creus que arribaria a assolir aquest full? El gruix del full després de fer un doblec és de 0,28 mm, i amb cada nou doblec es duplica. Per tant, es tracta d’una progressió geomètrica en què g1 = 0,28 i r = 2. El terme general d’aquesta successió és gn = 0,28 · 2n – 1, en què n és el nombre de doblecs i gn és el gruix en mil·límetres. Comprova que: • Amb 22 doblecs, el gruix supera l’altura de la Torre Eiffel (324 m). • Amb 26 doblecs supera l’altura de l’Everest (8.848 m). • Amb 50 doblecs, supera la distància de la Terra al Sol! (150 milions de quilòmetres.)

Aquil·les i la tortuga Zenó, filòsof grec del segle v aC, va descriure la paradoxa següent: Aquil·les corre per atrapar una tortuga que fuig d’ell. Quan arriba on era la tortuga, aquesta ja ha avançat un tros. Mentre Aquil·les recorre aquest tros, la tortuga n’avança un altre. I així successivament: quan Aquil·les arriba on era la tortuga, aquesta ja ha avançat un altre tros. Per tant, mai no l’atraparà. Tots sabem que acabarà atrapant-la. Però com podem rebatre l’argument de Zenó segons el qual la tortuga sempre li porta avantatge? Vegem-ho. Suposem que Aquil·les tarda 10 s a arribar a la posició inicial de la tortuga i que després tarda 1 s a assolir la 2a posició, i així successivament. Cada vegada tarda un temps igual a la desena part de l’anterior. La suma dels infinits temps és aquesta: 10 + 1 + 1 + 1 + … 10 100 Es tracta d’una progressió geomètrica de raó 1 . La suma és, per tant: 10 ! 10 = 10 = 100 = 11, 1 s S∞ = 1 – (1/10) 9/10 9 En poc més d’onze segons, Aquil·les atraparà la tortuga. (Ara sabem que, encara que una suma tingui infinits sumands, el resultat pot ser finit.)

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 33. El dia 1 d’un mes concret, un banquer va proposar a un altre el tracte següent: «Cada dia d’aquest mes jo et donaré 100.000 € amb la condició que tu dupliquis els diners que hi hagi en aquesta capsa en què ara hi ha un cèntim. Al final del mes tu et quedes amb el que t’he anat donant dia rere dia i jo em quedo amb el que finalment hi hagi a la capsa.»

El banquer a qui havien fet el tracte, després de pensar una estona i fer comptes amb la calculadora, va contestar rient: «Per què no em fas aquesta proposta d’aquí a un any exactament?». Aquesta conversa es va produir entre l’1 de març de 2008 i l’1 de setembre de 2015. Digues en quina data penses que va tenir lloc i justifica la teva resposta.

75


UNITAT 3 » PROGRESSIONS

» OBSERVA, RAONA I RESOL 1. NOMBRE DE TERMES D’UNA PROGRESSIÓ

Calcula el nombre de pisos d’un edifici en què la primera planta és a 3,5 m de terra, l’àtic a 36,5 m i l’altura de cada pis és de 2,75 m. Fes-ho tu Quants termes té una progressió aritmètica en què a2 = 2,5, d = –1,5 i l’últim terme és –9,5?

Les altures formen una progressió aritmètica de la qual coneixem que: a1 = 3,5; d = 2,75 i ak = 36,5 Hem d’esbrinar quin lloc, k, ocupa l’últim terme, l’àtic. Substituïm en el terme general de la progressió i resolem: ak = a1 + (k – 1)d 8 36,5 = 3,5 + (k – 1) ∙ 2,75 8 8 36,5 – 3,5 + 2,75 = 2,75k 8 35,75 = 2,75k 8 k = 13 pisos

2. INTERÈS COMPOST

Dipositem en un banc 2.000 al 2,5 % anual al començament d’un cert any. Calcula el capital disponible al final de cada any, durant 5 anys, si no retirem els diners.

En la unitat anterior vam veure que un capital C, posat a l’r  % anual durant n anys, es transforma en la quantitat següent:

Fes-ho tu Obrim un compte, al començament d’un cert any, amb 500 € a l’1,25 % trimestral i el mantenim durant 3 anys. Quants diners tindrem al final de cada any?

una progressió geomètrica de raó c1 + 2, 5 m els termes de la qual són aquests: 100 1 2 C1 = 2.000 ∙ c1 + 2, 5 m = 2.050 €  C2 = 2.000 ∙ c1 + 2, 5 m = 2.101,25 € 100 100 C3 = 2.153,78 €    C4 = 2.207,63 €    C5 = 2.262,82 €

CF = C ∙ b1 + r l 100 Els valors d’aquesta expressió amb r = 2,5 per a n = 1, n = 2, n = 3 … formen n

3. SUMA DELS N PRIMERS TERMES D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA

Una empresa cobra 100 pel primer metre perforat i, per als metres següents, el preu augmenta un 20 % cada vegada. Quant costarà obrir un pou amb una profunditat d’entre 8 i 10 m? Fes-ho tu Si una altra empresa cobra 120 € pel primer metre i un 15 % més per cada un dels metres següents, quina empresa és més rendible per perforar un pou de 10 m? 4. FRACCIÓ GENERATRIU

! Troba la fracció generatriu d’ 1, 32 utilitzant les progressions. Fes-ho tu Troba la fracció generatriu dels nombres decimals següents: ! ! 3, 54 a) 3, 7 b)

76

Els costos de cada metre perforat són 100; 120; 144; 172,8 …, que podem expressar com a 100; 100 · 1,2; 100 · 1,22; 100 · 1,23 … Formen una progressió geomètrica amb a1 = 100 i r = 1,2. Volem saber la suma dels 8 i dels 10 primers termes: a8 = 100 · 1,27 = 358,32 a10 = 100 · 1,29 = 515,98 a · r – a 1 358, 32 · 1, 2 – 100 S8 = 8 = = 1.649,92 € r –1 1, 2 – 1 a · r – a 1 515, 98 · 1, 2 – 100 S10 = 10 = = 2.595,88 € r –1 1, 2 – 1 El preu del pou estarà entre 1.650 € i 2.600 € aproximadament. ! 2 + …m 1, 32 = 1,3 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + … = 13 + c 2 + 2 + 10 100 1.000 10.000 Els sumands entre parèntesis formen una progressió geomètrica amb a1 = 2/100 i r = 1/10. Com que |r | < 1, podem trobar la suma de tots els seus termes: a S∞ = 1 = 2/100 = 2 1 – r 1 – 1/10 90 ! Per tant, la fracció que busquem és la següent: 1, 32 = 13 + 2 = 119 . 10 90 90


» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Practica

7. 

Successions

1. 

 Calcula els quatre primers termes i el que ocupa el lloc 25 de les successions següents: a) an = n – 5 b) bn = n – 1 n 2 n + n (–1)n c) cn = (–1)n + 1 d) dn = 2 2 n –1

f ) fn = c 1 m 2

2 e) en = n + n 2

2. 

· 2n

 Troba els cinc primers termes de les successions se-

güents, definides per recurrència: a) a1 = 1; an = 2an – 1 + 3

b) a1 = 2; a2 = 3; an = an – 1 : an – 2 c) a1 = 2; a2 = 3; an = an – 1 · an – 2

3. 

 Esbrina

el criteri amb què s’han format aquestes successions i escriu dos termes més en cada una: a) 1, 3/2, 2, 5/2, 3 … b) 1, –2, 4, –8, 16 … c) 1, 3, 6, 10, 15 …

d) 1, 4, 3, –1, –4 …

e) 0, 3, 8, 15, 24 …

f ) 1, 1/2, 1/3, 1/4 …

4.

Troba el terme general d’aquestes successions:

a) 12, 14, 16, 18 … b) 1 , 2 , 3 , 4 ,… 2 3 4 5 c) 1, 3, 9, 27 … d) 1 · 2; 2 · 3; 3 · 4; 4 · 5 …

5.

Busca una llei de recurrència per definir les successions següents: a) 8, 10, 2, –8, –10 … b) 4, 1, 3, –2, 5 … c) 1, 2, 2, 1, 1/2 …

d) 7, 9, 12, 16, 21 …

Progressions

6. 

 Escriu els quatre primers termes, el terme general i calcula la suma dels vint primers termes de les progressions aritmètiques següents: a) a1 = 1,5; d = 2 b) a1 = 32; d = –5

c) a1 = 5; d = 0,5

d) a1 = –3; d = – 4

 Troba el terme general i calcula la suma dels quinze primers termes en cada una de les progressions següents: a) 25, 18, 11, 4 … b) –13, –11, –9, –7 …

d) 3 , 1 , 1 , 0,… 4 2 4 8.   Escriu els quatre primers termes de les progressions geomètriques següents i el seu terme general: c) 1,4; 1,9; 2,4; 2,9 …

a) a1 = 0,3; r = 2 c) a1 = 200; r = – 0,1

9. 

b) a1 = –3; r = 1 2 d) a1 = 1 ; r = 3 81

 Troba el terme general de cada una de les progressions geomètriques següents: a) 20; 8; 3,2; 1,28 … b) 5; 6; 7,2; 8,64 …

d) 1 , – 1 , 3 , – 9 ,… 6 2 2 2 En quines pots sumar tots els seus termes? c) 0,7; 0,07; 0,007 …

10. 

 Calcula

la suma dels deu primers termes de les progressions geomètriques següents: a) 3, –6, 12, –24 … b) 0,7; 1,4; 2,8; 5,6 … c) 2 , 1, 3 , 9 ,… 3 2 4

11. 

d) 100; 20; 4; 0,8 …

 Troba

la suma dels infinits termes de les progressions geomètriques següents: a) 4, 4 , 4 , 4 ,… 3 9 27 b) 18; 16,2; 14,58; 13,122 …

12. 

 Identifica les progressions aritmètiques, les geo­ mè­tri­ques i les successions que no són progressions. Troba el terme general de cada una: a) 1, 9 , 5 , 11 ,… b) 1, 2, 3, 4,… 8 4 8 c) 0,2; 0,02; 0,002 … d) 2, 3 , 4 , 5 ,… 2 3 4 e) 22; –11; 5,5; –2,75 … f ) 18, 13, 8, 3 …

Resol problemes 13.   Troba la diferència d’una progressió aritmètica

en què a1 = 12 i a10 = –6. Calcula la suma dels 25 primers termes.

77


UNITAT 3 » PROGRESSIONS

14. 

 D’una

15. 

 Durant

progressió aritmètica, coneixem a20 = 92 i la suma dels seus 20 primers termes, que és 890. Calcula el primer terme i la diferència. les vacances, l’Alba es va gastar 75 € el primer dia, i cada un dels dies següents, 5 € menys que l’anterior. Si els diners li van durar 15 dies, quants diners es va gastar en total?

16. 

nadó ha anat guanyant aproximadament un 20 % de pes cada mes. Si, en néixer, pesava 2.850 g, quant pesarà al final del sisè mes?

17. 

 Un

s’entrena durant 10 dies per a una cursa. El primer dia corre 30 min i, cada un dels dies següents, 15 min més que el dia anterior. Explica a un amic que l’últim dia va córrer gairebé 3 h. És veritat? Quant temps va córrer durant tot l’entrenament?

18. 

 L’Eva

 El Bartomeu s’ha comprat un cotxe per 16.000 €.

Si els cotxes cada any perden aproximadament un 15 % del seu valor, quin serà el preu del cotxe al cap de 4 anys?

19. 

Joan diu que una progressió aritmètica de diferència 2,5 el primer i l’últim terme de la qual són 7 i 52, respectivament, té 19 termes. Si en Ramon diu que en té 20, qui té raó?

20. 

 En

 En un teatre, la segona fila és a 4,2 m de l’es­ce­na­

Calcula la suma de tots els múltiples de 5 que tenen dues xifres.

27.

Troba el primer terme i la raó d’una progressió geomètrica en què a4 = 3 6 i a2 = 6.

28.

Troba el terme general d’una progressió aritmètica de la qual es coneixen a3 = 13 i a7 = 31.

29.

La suma de 6 nombres imparells consecutius és 108. Quins són aquests nombres?

30.

Calcula la fracció generatriu dels següents nombres decimals utilitzant progressions: ! ! # ! a) 1, 8 b) 0, 36 c) 0,12 d) 4, 23

31.

Es deixa caure una pilota des d’una altura de 18 m i en cada rebot perd 2/5 de l’altura anterior. Quina altura assolirà després de tocar a terra per tercera vegada? Calcula la suma de l’espai recorregut fins que s’atura.

32.

A quina de les successions següents pertanyen els nombres 531, 27 i 1.201? a) 7, 13, 19, 25 … b) 4n + 3 c) n 2 + 2

33.

Coneixem dos termes d’una progressió aritmètica: a2 = –23 i a12 = 32. a) Calcula el terme general.

ri i la vuitena, a 8,7 m. A quina fila seu una persona si la seva distància a l’escenari és de 14,7 m?

b) Quin nombre correspon al terme 87è?

21. 

34.

una progressió geomètrica, el primer terme és 4. Quina ha de ser la raó perquè la suma dels seus infinits termes sigui 5?

 En

22.

La dosi d’un medicament és de 100 mg el primer dia i de 5 mg menys cada dia que passa. El tractament dura 12 dies. Quants mil·ligrams ha de prendre el malalt durant tot el tractament?

23.

En una progressió geomètrica es coneixen a1 = 64 i r = 0,75. a) Calcula el primer terme no enter. b) Amb l’ajuda de la calculadora, troba quin és el primer terme més petit que 1.

24.

La suma de deu múltiples de 3 consecutius és 255. Quins són el primer i l’últim dels múltiples sumats?

25.

Les edats de 4 germanes estan en progressió aritmètica i sumen 34 anys. La més gran té 13 anys. Quina és l’edat de cada una?

78

26.

c) Quin lloc ocupa el nombre 87? Una empresa ofereix a un empleat un sou mensual de 1.200 € i una pujada de 100 € mensuals cada any. Una altra li ofereix el mateix sou amb una pujada del 10 % anual. Comprova quina de les dues ofertes és millor comparant el sou d’aquí a 10 anys.

35.

Dipositem en un banc 6.000 €, al 5 % anual, al començament d’un any determinat. Esbrina el capital disponible al final de cada any, durant 6 anys.

36.

La població d’una ciutat augmenta de mitjana un 1,5 % anual. Si en l’actualitat hi ha 3 milions d’habitants, quants n’hi haurà d’aquí a 10 anys? Dona el resultat amb dues xifres significatives i estima l’error absolut comès.

37.

La maquinària d’una fàbrica perd cada any el 20 % del seu valor. Si en el moment de la seva compra valia 40.000 €, respon: a) Quant valdrà un any després de comprar-la? I dos anys després? b) En quant es valorarà 10 anys després d’haver-la adquirit?


Resol: una mica més difícil 38.

Al començament de cada any ingressem, en un compte d’estalvis, 2.000 € a un interès del 3,5 % anual i ho fem durant 8 anys. a) En quants diners es converteix el primer ingrés al cap de 8 anys? b) I el segon al cap de 7 anys? c) Si continues raonant així, obtindràs una progressió geomètrica la suma dels termes de la qual és el capital que tindràs al final del vuitè any. Calcula’l.

39.

42.

Els quadrats que hi ha en aquesta figura s’han obtingut unint els punts mitjans de dos costats contigus. Troba: 8 cm a) Les àrees dels sis primers quadrats d’aquesta successió. Quin serà el seu terme general? b) La suma de les àrees dels infinits quadrats generats d’aquesta manera. c) La successió formada per les longituds dels costats.

43.

Comprova que en qualsevol progressió aritmètica es verifica que an – 1 + an + 1 = 2an.

Dos termes consecutius d’una progressió geo­ mètrica són 3 i 2. Esbrina quin lloc ocupen si a1 = 81/8.

44.

40.

45.

Quants punts tindrà la desena figura d’aquesta sèrie? Esbrina quin és el seu terme general.

Demostra que la suma dels n primers nombres parells és n 2 + n. Demostra que, en qualsevol progressió geomètrica, es compleix que (an)2 = an – 1 ∙ an + 1.

Reflexiona 46.   Vertader o fals? Justifica les teves respostes. a) La diferència en les progressions aritmètiques és sempre un nombre negatiu. Quina posició ocuparà la figura amb 837 punts?

41.

Quants punts tindrà la figura següent? I la desena? Troba quants en tindrà la figura n-èsima.

b) No es pot trobar la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica creixent. c) La successió 3, 3, 3, 3… no és cap progressió. d) Si sumem terme a terme dues progressions aritmètiques, obtindrem una altra progressió aritmètica. e) En totes les progressions aritmètiques es verifica que a2 + a13 = a15. f ) Si en una progressió aritmètica a5 + a17 = 32, podem saber quant val a11.

a) Comprova que, sumant dos termes consecutius, sempre obtens un quadrat perfecte. b) Observa la tercera figura. Si amb aquests 6 punts volem formar un quadrat, ens falten 3 punts.

47.

Raona i tria la resposta correcta: a) Una successió és creixent quan: i) an > an + 1

ii) an < an + 1

iii) an > 0

b) Si una progressió aritmètica és creixent, la seva diferència és: i) –1< d < 1

ii) Més gran que 1

iii) Positiva

c) En una progressió geomètrica amb −1 < r < 0, quan es pot trobar la suma de tots els seus termes? i) Sempre Provem de fer-ho amb altres triangles i en trobem un al qual també falten 3 punts per formar un quadrat. Quants punts té aquest quadrat?

ii) Si a1 > 0

iii) Mai

d) El nombre de termes de la progressió 6, 11, 16, 21, …, 126, és aquest: i) 20

ii) 15

iii) 25

79


UNITAT 3 » PROGRESSIONS

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT L’AEROPORT DE JOSEP TARRADELLAS BARCELONA-EL PRAT: OBRES, FUTUR I PERILLS. Cal fer reformes a la terminal T2 de l’aeroport de Josep Tarradellas Barcelona-el Prat. En una de les zones d’embarcament, el terra ja està molt desgastat i la direcció de les instal·la­cions vol substituir una part del paviment. A més a més, un informe sobre el canvi climàtic ha alertat alguns directius sobre la incertesa del futur de les instal·lacions i de les inversions previstes. Per acabar-ho d’embolicar tot, hi ha hagut una alerta radioactiva en una nau propera a un dels hangars del Cargoparc. Pots ajudar els directius a valorar la magnitud de les amenaces que podrien afectar l’aeroport?

1.

Un nou paviment de marbre per a la zona d’embarcament.

S’ha decidit posar un paviment de marbre i s’ha contactat amb una pedrera del Garraf que subministrarà el marbre en lloses de 40 cm × 30 cm × 2 cm. a) La superfície que cal pavimentar és de 3.000 m2. Si en un dia s’enllosa el 2,5 % del terra, quants metres quadrats de terra s’hauran pavimentat el desè dia? I el vint-i-cinquè dia? b) De la pedrera s’han extret 1.000 m3 de marbre en un any. Es preveu que cada any se n’extregui un 10 % més que l’any anterior. Si la pedrera té unes reserves aproximades de 15.000 m3, en quants anys s’esgotarà la pedrera avançant a aquest ritme d’extracció?

80


2.

L’escalfament global i el nivell del mar

Una de les conseqüències més temudes de l’escalfament global i del canvi climàtic és la pujada del nivell del mar com a resultat de la fusió del gel de l’Àrtic. L’augment del nivell del mar s’està accelerant més del que es pensava, ja que, si fins a l’any 1990 era d’1,2 mm per any, el 2010 ja arribava a 3 mm anuals. Les previsions per al futur no són gens optimistes i l’aeroport es troba a 4 m per sobre del nivell del mar! Si aquest any s’ha enregistrat una pujada del nivell del mar de 4 mm i se suposa que a partir d’ara es produeixi un augment d’un 3 % anual, calcula els anys que tardaran a inundar-se els terrenys on es troba l’aeroport i, per tant, aquest deixarà de ser operatiu. Cal que els directius de l’aeroport estiguin preocupats per aquest fet? Pensa una altra pregunta relacionada amb el canvi climàtic per plantejar-la a un company o una companya de la classe. Primer l’has de resoldre tu per comprovar que està ben plantejada i per saber quina és la solució correcta.

3.

Alerta al Cargoparc!

Els serveis de seguretat han detectat uns bidons que contenen residus radioactius en una nau propera al Cargoparc. L’aspecte exterior d’un del bidons presentava uns quants cops i s’ha declarat una alerta per la proximitat de l’aeroport i d’altres instal·lacions. Els bidons contenien cesi-137, un dels isòtops del cesi utilitzat en la indústria, la medicina i la investigació. Aquest material és radioactiu; per això, els seus residus s’han d’emmagatzemar sota terra fins que, passat un temps, el seu nivell de radiació deixa de ser perillós. La taula conté la radiació emesa per una certa quantitat de cesi-137 al llarg de 5 anys: any

quantitat de radiació emesa en unitats de becquerel (bq)

1 2 3 4 5

3 2,9250 2,8518 2,7805 2,7110

a) Quin és el ritme de desintegració del cesi-137? b) Quina quantitat de radiació emetrà el setè, el novè i el divuitè any? c) Calcula la quantitat total de radiació que s’emetrà al llarg de 30 anys amb aquest ritme de desintegració del cesi-137.

81


UNITAT 3 » PROGRESSIONS

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » DESCOBREIX

» LLEGEIX I COMPRÈN

Fa poc més de dos segles, un mestre alemany que volia pau i tranquil·litat a la seva classe va proposar als seus alumnes de 5 anys que calculessin la suma dels nombres de l’1 al 100. A un nen que es deia Carl Friedrich Gauss se li va ocórrer el següent: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101 Evidentment, la suma era 50 · 101 = 5.050.

Les abelles mascles neixen d’ous no fertilitzats; és a dir, tenen mare però no pare.

Al pobre mestre li va durar poc la tranquil·litat.

Les abelles femelles neixen d’ous fertilitzats. L’esquema de sota ens permet observar el nombre d’avantpassats d’una abella mascle en les diferents generacions: • Quants antecessors té una abella mascle en la desena generació d’avantpassats? • Quina és la llei de formació de la successió obtinguda (1, 1, 2, 3, 5 …)? • Recordes com s’anomena aquesta successió? M

1

F

1 F

M F

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), juntament amb Newton i Arquimedes, forma el trio de matemàtics més rellevants de la història. La seva obra va tenir una influència permanent en el desenvolupament posterior de la ciència matemàtica.

M F

M

M

F

M

3

F

F

F

M F

F

5

F M

F

…………………………………………

» REFLEXIONA I DEDUEIX Les matemàtiques són pura lògica i sempre són exactes. Tanmateix, de vegades sembla que arriben a contradiccions. Observa, per exemple, aquesta suma d’infinits sumands: S=1–1+1–1+1–1+… Podem interpretar-la de dues maneres: S = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0 4 sorpresa! S = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + … = 1 I, per si et sembla poca cosa, encara podem embolicar més la troca: 1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = S És a dir, 1 – S = S. Per tant, S = 1 supersorpresa! 2 • On és la trampa? Pot ser que, en prendre infinits sumands, es perdi el camí de la lògica? Tu què n’opines?

82

2

8


» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES • Els participants en una desfilada poden agrupar-se de 3 en 3, de 5 en 5 o de 25 en 25, però no poden fer-ho ni de 4 en 4 ni de 9 en 9. Quin és el nombre de participants si sabem que està entre 1.000 i 1.250?

• Situa 12 soldadets sobre una taula de manera que hi hagi 6 files de 4 soldats. a)  Quantes d’aquestes monedes hem de desplaçar perquè les tres cares siguin a l’esquerra i les tres creus a la dreta?

b) Quantes d’aquestes copes hem d’agafar perquè en quedin tres de plenes a l’esquerra i tres de buides a la dreta?

» POSA’T A PROVA 1. Escriu el terme general de cada successió:

8. Per rodar un anunci s’ha contractat un gran nom-

3. Calcula la suma dels deu primers termes de les pro-

bre de persones que s’han de col·locar en 51 files. Cada fila té dues persones més que l’anterior i en la fila 26 hi ha d’haver 57 persones. Esbrina quantes persones hi ha en la primera fila, quantes n’hi ha en l’última fila i el nombre total de persones que intervenen en l’anunci.

a) 9; 6,5; 4; 1,5 … b) 2, – 4, 8, –16 …

terme és igual a 1.

a) 3; 0,6; 0,12; 0,024 …

b) 1,2; 2,3; 3,4; 4,5 …

2. Defineix per recurrència la successió 8, 14, 6, –8… i escriu els tres termes següents. gressions següents:

4. Coneixem

a5 = 22 i a9 = 38 d’una progressió aritmètica. Calcula a25 i el lloc que ocupa un terme el valor del qual és 58.

5. La suma dels 20 primers termes d’una progressió aritmètica és 200 i a1 = 0,5. Troba a20 i la diferència.

6. Un mòbil recorre 5 m en 1 s i augmenta la seva ve-

locitat de tal manera que cada segon avança 2 m més que en el segon anterior. Quina distància recorrerà en un minut?

7. Una empresa ofereix a un empleat un sou de 15.000 €

anuals i una pujada de 500 € cada any. Una altra empresa li ofereix el mateix sou amb una pujada del 5 % anual. Raona quina de les dues ofertes és millor comparant el sou d’aquí a 5 anys.

9. En una progressió geomètrica de raó 1/2, el quart a) Troba el primer terme. b) Calcula la suma dels infinits termes.

10. Vertader o fals? a) Si la diferència d’una progressió aritmètica és més petita que 0, la progressió és decreixent. b) No hi pot haver una progressió geomètrica que tingui tots els termes negatius. c) Si multipliquem, terme a terme, dues progressions aritmètiques, s’obté una progressió geomètrica. d) La raó d’una progressió geomètrica pot ser un nombre més petit que 0. e) Si una progressió geomètrica té raó negativa, a partir d’un determinat terme, els termes següents són tots negatius.

83

Profile for Editorial Barcanova

MATEMÀTIQUES. Mary Somerville. Unitat 3  

3r ESO Barcanova

MATEMÀTIQUES. Mary Somerville. Unitat 3  

3r ESO Barcanova