__MAIN_TEXT__

Page 1

UNITAT

10

COSSOS GEOMÈTRICS

DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Egipte i Babilònia Egipcis i babilonis van ser els primers a acumular amplis coneixements de geometria. Entre altres coses, van aconseguir aproximacions molt properes a les àrees i els volums d’alguns cossos.

Sòlids platònics Plató (427 aC-347 aC) va ser un filòsof atenès que es va interessar, sobretot, per la filosofia moral. Li agradaven les matemàtiques per les seves abstraccions idealitzades i la seva separació del que és purament material, i, encara que no van ser la seva especialitat, en va impulsar considerablement l’estudi. Va atribuir als poliedres regulars, els sòlids platònics, una estreta relació amb l’univers: el cel havia de reflectir la perfecció de la matemàtica abstracta en la seva forma més senzilla.

Sòlids arquimedians Arquimedes (287 aC-212 aC) va ser un enginyer, matemàtic i inventor grec. Al llarg de la seva vida va dissenyar i va construir multitud d’aparells mecànics. Gran calculista, va deduir les fórmules per a l’obtenció d’àrees i volums de figures geo­ mètriques i va estudiar els 13 cossos que porten el seu nom, els sòlids arquimedians. Encara que, possiblement, la seva manera d’enfocar les matemàtiques hauria horroritzat Plató, que concebia aquesta ciència com alguna cosa purament intel·lectual, allunyada de l’experimentació, Arquimedes va ser el matemàtic més gran de l’antiguitat.

228


Càlculs a l’estil d’Arquimedes Arquimedes es va valer de l’experimentació per descobrir propietats físiques o matemàtiques que, després, s’afanyava a provar amb rigor. Per exemple, per calcular àrees o volums, suposava la figura descomposta en trossos molt petits i raonava a partir d’aquests trossos.

h b1

b2

b3

b4

1 (b + b + b + b ) · h A=— 2 1 2 3 4

Superfície d’un cercle

r

• La suma de les àrees de diversos triangles amb la mateixa altura és aquesta:

O

A = 1 (suma de totes les bases) · Altura 2 • Com podem aplicar el resultat anterior al cercle? El descomponem en triangles amb el vèrtex en O i tan prims que podem suposar que les seves bases són segments rectilinis i l’altura de tots és r. L’àrea total serà aquesta:

r 2·π·r

A = 1 (suma de totes les bases) · Altura = π r 2 2 2 · π · r r

RESOL

1. Cerca informació sobre els sòlids arquimedians i respon: a) Quants triangles i quants quadrats formen la superfície d’un rombicuboctaedre? b) Escriu el nom d’uns altres tres sòlids arquimedians.

2. Calcula, a l’estil d’Arquimedes, la fórmula del volum

d’una esfera. Tingues en compte els ajuts següents: • La suma dels volums de diverses piràmides amb la mateixa altura és aquesta: V = 1 (suma de les superfícies de les bases) · Altura 3

O

r

• El volum de l’esfera es calcula aplicant la fórmula anterior a la suma de totes les piràmides, molt primes, de vèrtex O i altura r, en què es pot descompondre l’esfera. • L’àrea de la superfície esfèrica és 4π r 2.

229


UNITAT 10 COSSOS GEOMÈTRICS 1 »»FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

1. POLIEDRES REGULARS I SEMIREGULARS Poliedres regulars Els sòlids platònics Va ser una creença acceptada durant segles que el cosmos estava format per quatre elements: aire, aigua, terra i foc. Plató va associar un poliedre regular a cada un: aire → octaedre aigua → icosaedre terra → cub foc → tetraedre I el dodecaedre? Aquesta figura era la preferida de Plató i per això la va designar com a símbol de l’univers. Als poliedres regulars se’ls anomena sòlids platònics.

Un poliedre s’anomena regular quan compleix les dues condicions següents: 1. Les seves cares són polígons regulars idèntics. 2. En cada vèrtex del poliedre concorre el mateix nombre de cares. Només hi ha cinc poliedres regulars:

tetraedre

4 cares, triangles

cub o hexaedre 6 cares, quadrats

octaedre

8 cares, triangles

dodecaedre

12 cares, pentàgons

icosaedre

20 cares, triangles

Encara que les seves sis cares són triangles equilàters idèntics, aquest poliedre no és regular, perquè en uns vèrtexs concorren tres cares i en d’altres, quatre.

Dualitat en poliedres regulars En unir mitjançant segments els centres de cada dues cares contigües d’un cub, es forma un octaedre. Si féssim el mateix amb un octaedre, obtindríem un cub. Per això diem que l’octaedre i el cub són poliedres duals. El nombre de cares d’un poliedre coincideix amb el nombre de vèrtexs del seu dual. I tots dos tenen el mateix nombre d’arestes. cub

octaedre

cares

6

8

vèrtexs

8

6

arestes

12

12

El dodecaedre és dual de l’icosaedre. I el tetraedre és dual de si mateix.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 1. Completa en el teu quadern la taula de la dreta amb el

nombre de cares, vèrtexs i arestes dels tres poliedres regulars indicats. Comprova, així, que el dodecaedre i l’icosaedre són duals i que el tetraedre és dual de si mateix.

230

tetraedre cares vèrtexs arestes

dodecaedre

icosaedre


Poliedres semiregulars Interessant Un poliedre semiregular té, per força, totes les seves arestes iguals. No és difícil raonar per què. Intenta-ho.

Un poliedre s’anomena semiregular si les seves cares són polígons regulars de dos o més tipus i en tots els vèrtexs concorren els mateixos polígons. Per exemple, aquests dos poliedres són semiregulars:

El de l’esquerra és un prisma pentagonal regular amb cares laterals quadrades. El de la dreta s’anomena antiprisma. Aquest, en concret, és hexagonal regular i en cada vèrtex concorren un hexàgon i tres triangles equilàters.

Fórmula d’Euler Què hi farem! La fórmula c + v – a = 2, la va descobrir Descartes quan tenia vint-i-tres anys, gairebé un segle abans que naixés Euler. No obstant això, es coneix amb el nom d’aquest.

El nombre de cares (c), de vèrtexs (v) i d’arestes (a) d’un poliedre simple (que no té orificis) compleixen la relació següent: Fórmula d’Euler: c + v – a = 2 Tots els poliedres que fem servir habitualment són simples. Per això, tots compleixen la fórmula d’Euler. Per exemple, comprovem que aquesta piràmide pentagonal compleix la fórmula d’Euler: _ Nre. de cares: c = 6 b b Nre. Nre. d’arestes: d'aristes: a = 10 ` → 6 + 6 – 10 = 2 Nre. de vèrtexs: v = 6 b a

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 2. Hem vist que aquesta figura no és un poliedre regular. És semiregular?

5. Comprova que els dos poliedres semiregulars de dalt compleixen la fórmula d’Euler.

6. Comprova si aquests poliedres compleixen la fórmula d’Euler: a)

b)

c)

3.

Aquesta piràmide truncada, les bases de la qual són quadrats, és un poliedre semiregular? Per què?

7. Explica per què aquest po4. Explica per què les arestes d’un poliedre semiregular han de ser totes iguals.

liedre no és simple. Comprova que no compleix la fórmula d’Euler.

231


UNITAT 10 COSSOS GEOMÈTRICS 1 »»FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

2. TRUNCANT POLIEDRES REGULARS Truncar és suprimir, mitjançant un tall pla, un vèrtex d’un poliedre. És possible obtenir moltes figures noves a partir del truncament d’altres de conegudes.

Truncament fins a la meitat de l’aresta Analitzem la figura que s’obté en truncar tots els vèrtexs d’un cub mitjançant plans que passen pels punts mitjans de les arestes adjacents.

La figura resultant, anomenada cubooctaedre, té 6 cares quadrades (una per cada cara del cub) i 8 cares triangulars (una per cada vèrtex truncat). Com pots comprovar, és un poliedre semiregular. De manera semblant, si tallem els vèrtexs d’un dodecaedre regular mitjançant plans que passen pels punts mitjans de les arestes adjacents, obtenim un poliedre semiregular que anomenem icosidodecaedre.

Reflexiona L’activitat que tens a sota t’ajudarà a comprendre el perquè dels noms cubooctaedre i icosidodecaedre.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 8. Hem de truncar, fent talls que passin pels punts mitjans de les arestes adjacents, els altres poliedres regulars.

a) En truncar d’aquesta manera un tetraedre, s’obté una figura coneguda. Quina?

b) El resultat de truncar l’octaedre és el cubooctaedre que hem vist al principi de la pàgina. En truncar l’icosaedre, obtens l’icosidodecaedre, que hem vist també més amunt. Comprova-ho en els dibuixos.

c) Relaciona els resultats amb la dualitat de poliedres estudiada en l’epígraf anterior.

232


Truncament deixant part de l’aresta

Sòlids arquimedians

Si trunquem els vèrtexs d’un cub deixant part de les arestes, les cares esdevenen octàgons. Si fem els talls a les distàncies adequades, els octàgons seran regulars i, llavors, el cos obtingut, cub truncat, serà un poliedre semiregular.

Si es trunca un cub a distàncies adequades dels vèrtexs, s’obté un poliedre semiregular (anomenat cub truncat), en cada un dels vèrtexs del qual concorren dos octàgons i un triangle. Arquimedes va estudiar un tipus de poliedres semiregulars que es coneixen com a sòlids arquimedians. Són un total de 13: els 5 estudiats en aquesta pàgina, els 2 truncats de la pàgina de l’esquerra i uns altres 6 de més complicats.

Anàlogament, el tetraedre truncat, l’octaedre truncat, el dodecaedre truncat i l’icosaedre truncat són poliedres semiregulars. Vegem aquests dos últims:

dodecaedre truncat

icosaedre truncat

Observa que l’icosaedre truncat té la forma d’algunes pilotes de futbol abans d’inflar-les.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 9.

x

A quina distància del vèrtex hem de tallar els triangles petits perquè l’hexàgon resultant sigui regular?

11. Descriu l’octaedre truncat.

10. Descriu el tetraedre truncat. Quantes cares té? Quantes són de cada tipus? Quants vèrtexs té? Quantes arestes té? Quant mesura l’aresta del tetraedre truncat amb relació a la del tetraedre original?

Indica el nombre de cares, arestes i vèrtexs i comprova que és un poliedre semiregular i que compleix la fórmula d’Euler.

12. Repeteix l’exercici anterior per al dodecaedre truncat i per a l’icosaedre truncat dibuixats més amunt.

233


UNITAT 10 COSSOS GEOMÈTRICS 1 »»FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

3. PLANS DE SIMETRIA D’UNA FIGURA Un pla de simetria d’una figura és aquell que la divideix en dues parts, cada una de les quals és reflex de l’altra. Moltes figures geomètriques tenen un pla de simetria i algunes, més d’un.

Plans de simetria del cub

El cub té plans de simetria paral·lels a les seves cares. N’hi ha tres.

Atenció

Cada dues arestes oposades determi­ nen un pla de simetria. N’hi ha sis.

Plans de simetria de prismes i cilindres

Aquest no és un pla de simetria de l’ortoedre, ja que, encara que el divideixi en dues parts iguals, cada una d’aquestes parts no és reflex de l’altra.

El prisma pentagonal regular té plans de simetria que contenen els eixos de simetria de les bases i en són perpendiculars. A més, hi ha un pla de simetria paral·lel a les bases.

Qualsevol pla que contingui l’eix del cilindre és un pla de simetria d’aquest. N’hi ha, doncs, infinits. A més, hi ha un pla de simetria paral·lel a les bases.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 13. Quines condicions ha de complir un pla per ser pla de simetria del tetraedre?

14. Dibuixa un prisma hexagonal

com aquest en el teu quadern i traça un pla de simetria perpendicular a les bases i un altre de paral·lel.

234

15. Descriu alguns plans de simetria de l’octaedre, de la piràmide pentagonal regular i de l’esfera.


4. EIXOS DE GIR D’UNA FIGURA Algunes formes de la natura, com ara una rodanxa de carambola (un fruit tropical), tenen simetria radial. En nomenclatura matemàtica, direm que tenen un eix de gir d’ordre 5. Una recta e és eix de gir d’ordre n d’una figura si, en girar al voltant de e la figura, ocupa la mateixa posició n vegades (incloent-hi la posició inicial).

Eixos de gir del cub Carambola (Averrhoa carambola).

Els eixos de gir representats a la dreta són d’ordre 4, perquè, quan es fa girar al voltant seu el cub, aquest ocupa la mateixa posició quatre vegades en cada volta. N’hi ha tres.

Eix de gir d’ordre 2.

Eix de gir d’ordre 3.

N’hi ha sis.

N’hi ha quatre.

Eixos de gir del tetraedre

L’eix passa per un vèrtex i el punt mitjà (baricentre) de la cara oposada. És un eix de gir d’ordre 3.

Aquest eix és perpendicular a dues arestes oposades en els seus punts mitjans. És un eix de gir d’ordre 2.

N’hi ha 4 (tants com vèrtexs).

N’hi ha tres (un per cada dues arestes).

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 16. Indica l’ordre dels eixos de gir dibuixats.

17. Estudia els eixos de gir de l’octaedre. Pots basar-te en els del cub.

Té cap altre eix de gir el prisma? I la piràmide?

235


UNITAT 10 COSSOS GEOMÈTRICS 1 »»FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

5. SUPERFÍCIE DELS COSSOS GEOMÈTRICS r

Àrea d’un poliedre L’àrea d’un poliedre s’obté sumant l’àrea de totes les seves cares. El procés es facilita si es parteix del desenvolupament del poliedre.

h 2πr

Àrea d’un cilindre La superfície lateral d’un cilindre és un rectangle la base del r qual és igual al perímetre del cercle, 2πr, i l’altura del qual, h, és la del cilindre. h

r

A LATERAL = 2r r · h 4 → A total = 2πrh + 2πr 2 A BASE = r r 2 Àrea d’un con

a

Per construir el desenvolupament pla de la superfície lateral del con, cal trobar l’angle, a, del sector circular:

g

2r g a = 2r r → a = 360r g 360

r r

Per tant: 360r/g = r g 2 r = r rg Asector = rg 2 a = rg 2 g 360 360

2pr

2pr

Alateral = πrg EXERCICI RESOLT

1. Troba l’àrea total d’un con

10 cm

rectangle (altura = radi) el radi del qual fa 10 cm. Quin angle té el sector circular amb el qual es construeix? 14

,1

4

La generatriu fa g =

+ 10 2

= 14,14 cm.

Alateral = πrg = π · 10 · 14,14 = 444 cm2 Atotal = 444 + π · 102 = 758 cm2 Perímetre de la base = 2π · 10 = 62,83 cm

14,14 a

Trobem l’angle del sector com hem fet a dalt:

10 cm

α = 360r = 360 · 10 = 254, 60° = 254° 35' 48'' g 14, 14 amb calculadora:

62,

83 cm

62,83 * 360 / 88,84 = {“∞¢…\≠………} O{“∞¢o«\o∞…∞‘o} 14,14

236 a

cm

cm

10 cm

10 2

El radi del sector circular dibuixat fa 14,14 cm.

cm

14

Atotal = πrg + πr  2,14 10 cm

g

El desenvolupament lateral d’un con és un sector circular d’un cercle de radi g, que abasta un arc la longitud del qual coincideix amb la de la circumferència base del con (2πr).

cm


Àrea d’un tronc de con • Relació entre els radis, l’altura i la generatriu En un tronc de con, l’altura, h, la diferència dels radis, r1 – r2, i la generatriu, g, formen un triangle rectangle. Per tant:

r2

r1 g

g  2 = h2 + (r1 – r2)2

g

h

r2

2 πr 2

• Càlcul de l’àrea lateral La fórmula per calcular l’àrea lateral d’un tronc de con és similar a la d’un trapezi. Recorda que, en un trapezi, l’àrea és igual a la semisuma de les bases per l’altura. Si prenem el desenvolupament de l’àrea lateral com un trapezi les bases del qual mesuren 2πr1 i 2πr2 i l’altura del qual és g, obtenim que: Àrea =

2 πr 1 r1

2r r1 + 2r r2 · g = π(r1 + r2)g 2

Aquesta és l’àrea buscada.

ATENCIÓ! Això no és una demostració, sinó una regla mnemotècnica. La demostració la trobaràs en l’exercici 44 del final de la unitat. Atotal = π(r1 + r2)g + πr12 + πr22

Alateral = π(r1 + r2)g Àrees en l’esfera

L’àrea lateral del cilindre és igual a l’àrea de l’esfera inscrita. I l’àrea total del cilindre? 4πr  2 + πr  2 + πr  2 = 6πr  2 Atotal cilindre = 1,5 · Aesfera Com veurem en l’apartat següent, la mateixa relació es dona entre els volums d’aquestes dues figures: Vcilindre = 1,5 · Vesfera Aquestes relacions les va descobrir Arquimedes, i estava tan orgullós de la seva troballa que va demanar que a la làpida de la seva tomba es gravés una esfera inscrita en un cilindre.

L’àrea de la superfície esfèrica és igual a l’àrea lateral del cilindre que envolta l’esfera. I el mateix passa amb les superfícies de tots dos cossos compreses entre seccions planes paral·leles. r r 2r

Aesfera = 2πr · 2r = 4πr  2

r

Arquimedes. Esfera i cilindre

h

Acasquet esfèric = 2πr · h h'

Azona esfèrica = 2πr · h'

Aquestes relacions entre l’esfera i el cilindre són molt interessants. Però encara ho és més el fet següent: qualsevol figura que dibuixem en l’esfera, en projectar-la sobre el cilindre, dona lloc a una altra figura que pot ser molt diferent, però que té la mateixa superfície.

237


UNITAT 10 COSSOS GEOMÈTRICS 1 »»FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS EXERCICIS RESOLTS

2. Calcula l’àrea total d’una piràmide recta hexagonal regular, si l’aresta de la base fa 10 cm i l’aresta lateral, 13 cm.

13 cm

• Càlcul de l’apotema de la piràmide (m) i de l’apotema de la base (x): m = 13 2 – 5 2 = 12 cm

10 cm

m

• Càlcul de l’àrea: Alateral = 6 · 10 · m = 6 · 10 · 12 = 360 cm2 2 2

13

m

x = 10 2 – 5 2 ≈ 8,66 cm

5 10

10

10

Abase = 6 · 10 · x = 6 · 10 · 8, 66 = 259,8 cm2 2 2

x

Atotal = Alateral + Abase = 360 + 259,8 = 619,8 cm2

5

3. Calcula l’àrea total d’una piràmide recta de 15 cm d’altura, la base de la qual és un quadrat de 16 cm de costat. m

15

8

m = 15 2 + 8 2 = 17 Acara lateral = 16 · 17 = 136 cm2 2

Abase = 162 = 256 cm2

Atotal = 4 · Acara lateral + Abase = 4 · 136 + 256 = 800 cm2

16

4. Un con té 12 cm d’altura i una base de 9 cm de radi. Calcula l’àrea

lateral i l’àrea total del tronc de con que s’obté en tallar el con per un pla paral·lel a la base a 4 cm d’altura. • Primer cal conèixer la generatriu: g = 12 2 + 9 2 = 15 cm 8 x 4

4

• Necessitem calcular el radi de la base petita (x) i la generatriu del tronc (y). Recorrem a la semblança i al teorema de Pitàgores:

g

r=9

z

y

12 = 8 → x = 6 cm 9 x

z = 9 – x → z = 9 – 6 = 3 cm

y = 4 2 + z 2 = 4 2 + 3 2 = 5 cm • Càlcul de l’àrea: Alateral = π(r + x)y = 3,14 · (9 + 6) · 5 = 235,5 cm2 Abases = πr  2 + πx  2 = 3,14 · 92 + 3,14 · 62 = 367,38 cm2 Atotal = Alateral + Abases = 235,5 + 367,38 = 602,88 cm2

x y

16 R = 20

5. Tallem una esfera de 20 cm de radi i obtenim, en la secció, un cercle de 16 cm de radi. Quina és l’àrea del casquet esfèric que hem separat de l’esfera? • Calculem l’altura, x, del casquet: y = 20 2 – 16 2 = 12 cm

x = 20 – y = 20 – 12 = 8 cm

• Calculem l’àrea del casquet: A = 2πRx = 2 · 3,14 · 20 · 8 = 1.004,8 cm2

238


» APLICA EL QUE HAS APRÈS 18. Calcula l’àrea d’aquests poliedres obtinguts a partir d’un cub de 12 cm d’aresta: AA

21. Calcula l’àrea dels cossos següents:

BB

5 cm

BB

17 cm

17 c

m

12

10 cm

A

12

6

12 26 cm

6 12

12 C C

D D

22. Calcula l’àrea total del con, del cos que resulta de ta-

12 6

llar-lo per la meitat i del tronc de con obtingut en tallar-­ lo per una secció paral·lela a la base, a 5 cm d’aquesta.

6

6 12

6 6

12

6

19. Obtén la mesura de la superfície del prisma i de la pi-

B B

C

20 cm

A 12

13 cm

5 cm

8 cm

ràmide. La base de tots dos és un hexàgon regular. A

8 cm

23. En una esfera de 30 cm de diàmetre, calcula:

8 cm

BB

a) L’àrea d’una zona esfèrica de 6 cm d’altura. b) L’àrea d’un casquet esfèric la base del qual té un radi de 12 cm.

10 cm 12 cm

6 cm

aresta base → 8 cm

aresta base → 8 cm

altura prisma → 10 cm

aresta lateral → 12 cm

15 cm

20. Calcula l’àrea d’aquests cossos: 6 cm

BB 12 cm

AA

12 cm 6 cm

C

C 6 cm

12 cm

24. Troba l’àrea d’aquests cossos: a) Un prisma recte la base del qual és un rombe de diagonals 12 cm i 20 cm, si la seva aresta lateral fa 24 cm. b) Una piràmide recta amb la mateixa base i la mateixa aresta lateral que el prisma anterior. c) Un cuboctaedre de 10 cm d’aresta. d) Un dodecaedre truncat de 10 cm d’aresta.

239


UNITAT 10 COSSOS GEOMÈTRICS 1 »»FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

6. VOLUM DELS COSSOS GEOMÈTRICS Volum de prismes i cilindres El volum de qualsevol figura amb dues bases iguals i paral·leles entre si (figura prismàtica) s’obté multiplicant l’àrea de la base per l’altura. r

V = Abase · h =

h

h

V = Abase · h

= π · r  2 · h

r

Volum de piràmides i cons El volum d’una piràmide o d’un con és igual a un terç de l’àrea de la base per l’altura.

h

Observa que, com hem dit en l’apartat anterior: Vcilindre = 3 Vesfera 2

V = 1 Abase · h = 3 = 1 π · r  2 · h 3

h

V = 1 Abase · h 3

r

Volum de l’esfera El volum de l’esfera de radi R és aquest: 

V = 4 π · R  3 3

• Observa que el volum de l’esfera és igual a dos terços del volum del cilindre que l’envolta.

2R

Vesfera = 4 πR  3 = 2 (2πR  3) = 2 Vcilindre 3 3 3 • Fixa’t en aquesta relació interessant: R R

Vcilindre = πR  2 · 2R   = 2πR  3

=

R

Vsemiesfera + Vcon = Vcilindre

c2 VCILINDREm c1 VCILINDREm 3 3

Volum d’una zona esfèrica La relació anterior, entre els volums de la semiesfera, del con i del cilindre, es compleix també per a les corresponents porcions determinades per plans paral·lels.

No ho oblidis

R

La relació de la dreta permet calcular el volum d’una zona esfèrica restant al volum d’un cilindre el volum d’un tronc de con.

240

+

R

R

Vporció d’esfera = Vporció de cilindre – Vtronc de con

GeoGebra. Practica el càlcul d’àrees i de volums de prismes. Practica el càlcul d’àrees i de volums de piràmides. Practica el càlcul d’àrees i de volums de cilindres. Practica el càlcul d’àrees i de volums de cons.


EXERCICIS RESOLTS

6. Un con que té una base de 10 cm de radi i 30 cm d’altura es talla per 18

un pla paral·lel a la base a 12 cm d’aquesta. Calcula el volum del tronc de con obtingut.

18 30

x 12

Calculem Calculemelelradi radi 4 18 = 30 8 x = 18 · 10 = 6 cm • de delala base base menor petita (x): (x): x 10 30

x 12

• Calculem el volum:

10

Vtronc de con = Vcon gran – Vcon petit =

10

= 1 π · 102 · 30 – 1 π · 62 · 18 = 3.140 – 678,24 = 2.461,76 cm3 3 3

7. Una esfera de 20 cm de radi es talla per dos plans paral·lels que disten del centre 5 cm i 15 cm, respectivament. Calcula el volum de la porció d’esfera compresa entre tots dos plans. Vporció de cilindre = π · 202 · 10 = 4.000π cm3

20

5

Vtronc de con = 1 π · 152 · 15 – 1 π · 52 · 5 = 1.083,33π cm3 3 3

15

10

5

5

Vporció d’esfera = Vporció de cilindre – Vtronc de con = = 4.000π – 1.083,33π = 9.158,34 cm3

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 25. Calcula el volum d’aquests prismes, obtinguts tallant un cub de 12 cm d’aresta: AA

12

27. Calcula el volum del tronc de con i el del tronc de piràmide.

6

CC 6

A

BB 6 12

6 cm

6 cm

6 5 cm

12

6

12

6

6

12

12

quals són polígons regulars:

B B

5

5 cm 8 cm

8

8 cm

28. Es talla una esfera de 36 cm de diàmetre per dos plans

26. Calcula el volum d’aquestes piràmides les bases de les A

x

B B

paral·lels: un passa pel centre i l’altre dista 12 cm del centre. 36

8 cm 18

15 cm

18

12 18

15 cm 12 cm

Calcula el volum de cada una de les tres porcions en què ha quedat dividida l’esfera.

241


UNITAT 10 COSSOS GEOMÈTRICS 1 »»FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

7. COORDENADES GEOGRÀFIQUES L’esfera terrestre La Terra és una esfera que gira com una baldufa. En arrossegar-nos en el seu gir, ens permet contemplar tots els cossos celestes que ens envolten. D’aquests objectes, el més important és el Sol. El nostre ritme de vida està regit per les seves aparicions i desaparicions en l’horitzó: els dies i les nits.

El gir de la Terra es produeix al voltant d’un eix, línia imaginària que passa pel seu centre i la talla en dos punts: els pols.

Meridià

Els plans que contenen l’eix tallen la superfície de la Terra en uns cercles màxims anomenats meridians. Tots passen pels pols. Els plans perpendiculars a l’eix de la Terra la tallen en circumferències anomenades paral· lels. La circumferència el centre de la qual coincideix amb el de l’esfera es diu equador. És una circumferència màxima que divideix la superfície de la Terra en dues meitats: els hemisferis nord i sud.

Eix Paral·lel

Equador

Coordenades geogràfiques

Paral·lel 60o N 60° 37°

EQUADOR

Paral·lel 37o S

80º Oest

Meridià 80 º

Meridià 0º (de Greenwich)

Meridià 0º (de Greenwich)

37º Est Meridià 37º E

• L’equador. • Un cert meridià. Concretament el que passa per Greenwich, localitat pròxima a Londres on hi havia un important observatori astronòmic. Latitud La latitud d’un punt de la Terra és la mesura angular de l’arc de meridià que va d’aquest punt a l’equador. Cal afegir si es troba al nord (N) o al sud (S). Barcelona, per exemple, es troba a una latitud de 41º 24’ 7’’ N.

POL NORD Est (E)

Oest ( O

Nord (N)

)

IÀ DE GREENWICH

Equador: D’aequus, ‘igual’. L’equador és un pla «equitatiu» que deixa la mateixa quantitat d’esfera a dalt que a baix. Meridià: De meridies, ‘migdia’. Perquè el Sol passa pel meridià d’un lloc al migdia.

Per cada punt de la Terra passen un paral·lel i un meridià. Es designen per la posició que ocupen respecte de dos cercles màxims:

Barcelona EQUADOR Nova Zelanda

MERID

Etimologia

Sud (S)

POL SUD

Tots els punts d’un paral·lel tenen la mateixa latitud. Longitud La longitud d’un punt de la Terra és l’angle que forma el pla que determina el meridià del lloc amb el pla que determina el meridià de Greenwich. S’ha d’indicar si es troba a l’est (E) o a l’oest (O). Barcelona es troba a una longitud de 2º 10’ 17’’ E. Les coordenades geogràfiques d’un lloc són la seva longitud i la seva latitud. Les coordenades geogràfiques de Barcelona són 2º 10’ 17’’ E, 41º 24’ 7’’ N i les dels seus antípodes, 177º 49’ 43’’ O, 41º 24’ 7’’ S, que corresponen a un punt de l’oceà Pacífic a l’est de Nova Zelanda.

242


Fusos horaris

Tingues en compte

Quan el Sol passa pel meridià d’un lloc, es diu que és migdia, i quan passa pel seu antimeridià, mitjanit.

15° Meridià de Greenwich, 0°

E

7,5°

O

7,5° Equador

La superfície terrestre s’ha dividit en 24 fusos horaris de 15° cada un. El meridià d’un punt és l’antimeridià dels seus antípodes. Per això, en tot moment, difereixen 12 hores. Londres º 30' E 77°30'

0° 0º

Istanbul

º 30' O 7°30' 37°30' 7º 30' O 15° 15º O 22°30' 22º 30' O 30°   30º O 37

Segons això, a cada longitud serà migdia en un moment diferent i, per tant, si els rellotges s’ajustessin a aquest fet, llocs pròxims tindrien hores semblants, però no iguals, la qual cosa suposaria un caos horari. Per això s’estableixen salts que van d’hora en hora, de la manera següent: Centrat en el meridià 0°, es forma un fus esfèric de 15° (360° : 24 h = 15° cada hora). En aquest fus, seran les 12 h quan el Sol passi pel meridià 0°. A partir d’aquest fus es formen els altres 23 fusos. Una gran proporció de territoris no segueixen el fus horari que en teoria els correspon per la seva situació geogràfica. Sense anar més lluny, a l’Espanya peninsular li correspondria el fus centrat en el meridià 0°, però ha adoptat el primer fus a l’est (com la majoria dels països de la UE). Suposem que cada territori es regís pel seu corresponent fus horari. Per exemple, si a Londres (longitud 0°) són les 12 h, vegem quina hora serà a Istanbul (longitud 29° E). Observa l’esquema del marge. Com que Londres es troba en el fus horari zero, a Istanbul, que està dos fusos horaris a l’est, seran 2 h més, és a dir, les 14 h. Si es tractés d’una ciutat situada en un fus horari a l’oest, hi restaríem les hores corresponents.

EXERCICI RESOLT

8. Calcula quants quilòmetres fan

els paral·lels corresponents a les latituds següents: a) 60°

b) 30°

El radi de la Terra és d’uns 6.371 km.

Fes-ho tu Troba, en quilòmetres, la mesura del paral·lel 45°.

a) En l’esquema, veiem que el radi de la Terra, R, correspon al costat d’un triangle equilàter, per la qual cosa el radi del paral·lel 60°, r, fa R/2 = 6.371/2 = 3.185,5 km.

R/2 R/2R 30° R 30° 60° 60°

El paral·lel 60° fa L = 2 · π · 3.185,5 ≈ 20.015 km. b) En aquest altre esquema el radi, r, que busquem cor­ respon a l’altura d’un triangle equilàter. Apliquem el teorema de Pitàgores: 3 R  2 = (R/2)2 + r  2 → r = R → r ≈ 5.517 km 2 El paral·lel 30° mesura L = 2 · π · 5.517 ≈ 34.646 km.

r Rr 30° R r 30° r

R/2 R/2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 29. El metre, unitat de mesura de longitud, es definia

30. Un vaixell va d’un punt A, situat a les costes d’Àfrica, a

Segons això, calcula: a) El radi de la Terra en quilòmetres.

a) Quina distància ha recorregut?

antigament com la deumilionèsima part d’un quadrant de meridià terrestre. És a dir, un meridià terrestre té 40.000.000 de metres.

30° de latitud nord i 10° de longitud oest, a un altre punt B, amb la mateixa latitud i 80° de longitud oest, seguint el paral·lel comú.

b) La seva superfície en quilòmetres quadrats.

b) Quina distància recorreria si la diferència de longituds dels dos punts fos de 180°?

c) El seu volum en quilòmetres cúbics.

31. A Rio de Janeiro (43° O) són les 7 del matí. Quina

d) L’àrea d’un fus horari.

hora és a Hiroshima (132° E)?

243


UNITAT 10 COSSOS GEOMÈTRICS 1 »»FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

» OBSERVA, RAONA I RESOL 1. ESTACIÓ ESPACIAL INTERNACIONAL

a) A quina distància està el punt més allunyat de la Terra que es pot veure des de l’estació? b) Quina àrea de la superfície terrestre abasta la seva visió? c) Quin percentatge de la Terra pot veure’s des de l’estació? Radi de la Terra: 6.371 km

a) Segons l’esquema de la dreta, la distància buscada és un 400 km d catet d’un triangle rectangle. Si apliquem el teorema de 6.771 6.371 Pitàgores, trobarem aquesta distància: d = 6.771 2 – 6.371 2 = 2.293 km b) Hem de trobar l’àrea del casquet esfèric. Com que l’àrea d’un casquet esfèric coincideix amb l’àrea lateral corresponent del cilindre circumscrit, calculem la x del dibuix per trobar l’altura del cilindre corresponent:

6.771 x

6.371

6.771 = 6.371 8 x ≈ 5.995 km x 6.371 Així, l’altura del cilindre circumscrit corresponent és 6.371 – 5.995 = 376 km.

6.771

L’Estació Espacial Internacional (ISS en anglès) és un centre d’investigació que gira al voltant de la Terra a uns 400 km d’altura.

x 6.371 6.371

Per tant: Acasquet = 2π · 6.371 · 376 ≈ 15.000.000 km2 c) Calcularem l’àrea de la Terra per trobar, després, quin percentatge correspon al casquet: Aterra = 4π · 6.3712 ≈ 510.000.000 km2 Per tant, el percentatge corresponent al casquet és aquest: Percentatge =

A CASQUET = 15.000.000 = 15 = 0,0294 ≈ 3 % 510.000.000 510 A TERRA

Fes-ho tu Respon les mateixes preguntes referents a un dels satèl·lits Meteosat de segona generació que hi ha a una altura de 36.000 km. 2. ÀREA I VOLUM D’UN TRONC DE CON

Per trobar el volum, considerem el tronc de con com la diferència de dos cons:

x 18 cm 16 cm

Calcula l’àrea total i el volum d’un tronc de con de 16 cm d’altura els radis del qual fan 18 cm i 30 cm.

g 30 cm

x = x + 16 → 30x = 18x + 288 → 12x = 288 → x = 24 cm 18 30 Vtronc = Vcon gran – Vcon petit = Fes-ho tu Troba l’àrea total i el volum d’un tronc de con de 6 cm d’altura els radis del qual fan 6 cm i 4 cm.

244

= 1 π · 302 · 40 – 1 π · 182 · 24 ≈ 29.556,10 cm3 3 3 Per trobar l’àrea, necessitem la generatriu: g = 16 2 + 12 2 = 20 cm Atotal = π(18 + 30) · 20 + π · 182 + π · 302 ≈ 6.861,24 cm2


» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Practica

Poliedres regulars i semiregulars. Eixos i plans de simetria

7.

Dibuixa en el teu quadern el poliedre dual d’aquest prisma hexagonal regular:

1.

Indica quins dels poliedres següents són semiregulars i explica per què no ho són els altres: a) Són, el prisma o el seu dual, poliedres semiregulars? b) Indica els plans de simetria de cada un. c) Indica els eixos de gir de cada poliedre (el prisma i el seu dual) i digues de quin ordre és cada un.

8.

drat:

2.

Hem assenyalat en vermell els centres de les cares «frontals» d’aquests poliedres i en un color més clar els centres d’algunes cares «ocultes». Unint-los convenientment, s’obtenen els poliedres duals. Fes-ho en el teu quadern.

Dibuixa en el teu quadern aquest antiprisma qua-

a) Quants plans de simetria té? b) Indica’n els eixos de gir. De quin ordre són?

9.

Quins eixos de gir té un ortoedre amb les tres dimensions diferents? De quins ordres són?

10. 3.

Quins són els plans de simetria d’un ortoedre de base quadrada? I els eixos de gir? De quin ordre és cada un? Contesta les mateixes preguntes referents a un cub.

Sabem que un icosaedre regular té diversos plans de simetria. Per exemple, si et fixes en dues de les seves cares oposades, els tres plans que passen per les seves tres altures seran plans de simetria de l’icosaedre.

4.

A partir de les característiques d’un dodecaedre (cares, vèrtexs), descriu com serà el dodecaedre truncat.

5.

A partir de les característiques d’un icosaedre, descriu com serà l’icosaedre truncat.

6.

Recorda la relació de dualitat entre el cub i l’octaedre (cares-vèrtexs). Basant-te en els plans de simetria del cub, descriu tots els plans de simetria de l’octaedre.

a) També passen plans de simetria per les seves arestes oposades? Quants n’hi ha? b) Quants plans de simetria té en total? c) Sabem que l’eix de gir que passa per dos vèrtexs oposats de l’icosaedre és d’ordre 5. Quin ordre tenen els que passen pels centres de dues arestes oposades? I els que passen pels centres de dues cares oposades?

245


UNITAT 10 » COSSOS GEOMÈTRICS

Àrees i volums de cossos geomètrics

15.

11.

Calcula l’àrea i el volum dels cossos geomètrics següents: a) 3 cm 1

13

b)

cm

13

b) Un dodecaedre regular l’aresta del qual fa 10 cm. cm

15 cm

20 cm

Calcula la superfície dels cossos geomètrics que es descriuen a continuació: a) Un prisma recte pentagonal regular totes les arestes del qual fan 10 cm.

10

10 cm

cm

12.

Calcula l’àrea i el volum dels cossos geomètrics següents: a) Prisma d’altura 20 cm la base del qual és un rombe de diagonals 18 cm i 12 cm. b) Piràmide hexagonal regular d’aresta lateral 18 cm i aresta bàsica 6 cm. c) Octaedre regular de 10 cm d’aresta. d) Cilindre d’altura 27 cm la circumferència bàsica del qual mesura 44 cm de longitud. e) Con de radi 9 cm i generatriu 15 cm.

Recorda que l’apotema d’un pentàgon regular de costat c fa 0,6882 c.

16.

Calcula l’àrea total dels següents poliedres regulars i semiregulars. Considera que, en tots els casos, l’aresta fa 8 cm: AA

C C

BB

D D

f ) Semiesfera de 10 cm de radi. g) Esfera inscrita en un cilindre d’1 m d’altura. h) Casquet esfèric de 7 cm d’altura d’una esfera de radi 12 cm. trics:

b)

8 cm

6 cm

a)

4 cm

20 cm

c)

G G

Troba l’àrea i el volum d’aquests cossos geomè-

6 cm

13.

FF

EE

d)

6 cm

c) B + C = D 20 cm

10 cm

Sabem que la suma de les àrees de les figures A i F és igual al triple de l’àrea de la figura B. Diem, llavors que: A + F = 3B Comprova quines d’aquestes afirmacions són certes i quines no: a) 2 C + D = G b) B + 3C = G

30°

17.

gulars: a)

d) 2F + B + C = E

Troba les àrees i els volums d’aquests prismes reb)

14.

Fent girar un triangle rectangle al voltant de cada un dels catets, que fan 9 cm i 12 cm, s’obtenen dos cons. Dibuixa’ls i troba l’àrea i el volum de cada un.

246

En tots dos casos, l’aresta bàsica fa 10 cm i l’altura, 8 cm.


18.

Calcula les àrees i els volums dels cossos geomètrics següents: a)

b)

4m

Coordenades geogràfiques

24.

Si en el fus 0 són les 8 a. m., quina hora correspon al tercer fus a l’est? I al cinquè a l’oest?

25.

10 m 5m

15 m

Sabem que a Dublín (longitud 6° O) són les 9 del matí. A partir d’aquest esquema, indica quina hora teòrica correspon a Monterrey (100° O). Monterrey

Dublín

105° O 90° O 75° O 60° O 45° O 30° O 15° O

6m

26.

8m

c)

12 m

d) 2,5 m

15 m

8m

4m

19.

güent:

5m

Troba l’àrea i el volum del tetraedre regular seD

8c

m

B

A

D

h

H O

C

O

A

C

Per trobar l’altura H, recorda que AO = 2 h, en què h és 3 l’altura d’una cara.

20. La base d’un ortoedre mesura 240 cm × 44 cm. El seu volum fa 1.235,52 dm3. Calcula les diagonals de les seves cares i la diagonal principal. 21.

Calcula el volum del següent tronc de piràmide de bases quadrades:

6m 10 m

16 m

22.

Tallem una esfera de 24 cm de radi per dos plans paral·lels: un que passa pel centre i un altre a 16 cm d’aquest. Troba les superfícies i els volums de les tres porcions obtingudes.

23.

Roma es troba en el primer fus a l’est i Nova York, en el cinquè a l’oest. Si un avió surt de Roma a les 11 p. m., el vol dura 8 h i se segueixen les hores teòriques dels seus fusos corresponents, a quina hora local de Nova York arribarà?

27.

16 m

14 m

Es talla una esfera de 50 cm de diàmetre per dos plans paral·lels a 8 cm i 15 cm del centre, respectivament. Troba el volum de la porció d’esfera compresa entre tots dos plans.

Si a l’Havana (82° O) són les 8 p. m., assigna l’hora teòrica (segons els fusos horaris) a cada ciutat: Maputo (Moçambic) 2 p. m. Nursultan (Kazakhstan) 8 p. m. Natal (Brasil) 3 a. m. Temuco (Xile) 0 a. m. Honolulu (Hawaii) 11 a. m. Dakar (Senegal) 11 p. m. Katmandú (Nepal) 6 a. m. Melbourne (Austràlia) 7 a. m.

28.

Dues ciutats tenen la mateixa longitud, 15° E, i les seves latituds són 37° 25' N i 22° 35' S, respectivament. Quina és la distància entre totes dues?

29.

La «milla marina» és la distància entre dos punts de l’equador la diferència de longitud dels quals és 1'. Calcula la longitud d’una milla marina.

30.

Un avió ha d’anar de A a B, dos llocs diametralment oposats en el paral·lel 45°. Pot fer-ho seguint el paral·lel (APB) o seguint la ruta polar (ANB). Calcula la distància que recorrerà en cada trajecte.

N B A

P

S

31.

Alexandria, Nova Orleans i Houston tenen la mateixa latitud, 30° N. Les seves longituds són, respectivament, 30° E, 90° O i 95° O. Quina distància recorrerà un avió que va d’Alexandria a Nova Orleans pel paral·lel 30° N? I d’Alexandria a Houston?

247


UNITAT 10 » COSSOS GEOMÈTRICS

Resol problemes

37.

32.

Per construir l’estructura d’un fanal en forma d’octaedre regular, s’ha tallat i soldat una vareta de 3 m de longitud. Quina és l’altura AB del fanal?

A

B

33.

El desenvolupament de la superfície lateral d’un con és un sector circular de 120° d’amplitud l’àrea del qual fa 84,78 cm2. Troba el volum del cos que es forma.

34.

Un cilindre i un con tenen la mateixa superfície total, 96π cm2, i el mateix radi, 6 cm. Quin dels dos té més volum?

35.

Truncant un icosaedre regular de 30 cm d’aresta s’obté aquest poliedre semiregular (troncoicosaedre):

S’introdueixen tres pilotes de tenis en un tub cilíndric de 6,6 cm de diàmetre en el qual encaixen fins a la vora. Calcula el volum de la part buida.

38.

Volem construir un tub cilíndric soldant pels costats un rectangle de 28 cm de llarg i 20 cm d’ample. Com s’aconsegueix un volum més gran, soldant-lo pels costats de 28 cm o pels de 20 cm?

39.

S’introdueix una bola de pedra decorativa de 14 cm de diàmetre en un recipient cúbic de 14 cm d’aresta ple d’aigua i després es treu. Calcula: a) La quantitat d’aigua que ha vessat. b) L’altura que assoleix l’aigua en el recipient després de treure’n la bola.

40.

Un bol en forma de semiesfera és ple d’aigua. En introduir un recipient cúbic de 10 cm d’aresta, es vessa part de l’aigua i el cub queda cobert fins a la meitat. Quants litres d’aigua queden encara al bol?

41. a) Quants vèrtexs i quantes cares té l’icosaedre?

Una finca aconsegueix aigua de la bassa que veus en la figura, que ara és plena. Per regar, s’obre un desguàs que desallotja un cabal de 25 litres per segon. Es podrà mantenir el reg durant deu hores sense reposar les existències?

b) Quants pentàgons i quants hexàgons formen la superfície del poliedre obtingut després del truncament? c) Calcula la superfície d’aquest últim.

5m

36.

Tallem un cub per un pla que passa pels punts MNC'A' (M i N són els punts mitjans de les arestes AD i DC, respectivament). B A

C N

M D

C' D'

Calcula l’àrea total i el volum del poliedre més petit dels que es formen.

248

1,8 m

5m

10 m

42.

Un pagès té un pou cilíndric de 5 metres de diàmetre i amb una capacitat de 100 metres cúbics. Però no és ple; de fet, si s’allunya més de 2,25 metres de la vora, ja no veu l’aigua. Calcula la profunditat de l’aigua, si el pagès fa 1,80 m d’alçada. 5m

12 cm

A'

50 m

1,80 m 2,25 m


43.

En un cinema, les crispetes es venien fins ara en recipients del tipus A a un preu d’1,50 €. El gerent s’està plantejant oferir també un altre format, B, més gros. Quin creus que hauria de ser el preu del format B? Arrodoneix fins a les dècimes d’euro. 20 cm 20 cm 15 cm

A

20 cm 20 cm

B

10 cm

10 cm

10 cm

Resol: una mica més difícil 44.

Obtenció de l’àrea lateral d’un tronc de con:

a) g = g1 – g2

g2 r2

g1

r2 g

r1

r1 r2 — g1 = — g2

Reflexiona 46.

Vertader o fals? Justifica les teves respostes. a) Tots els meridians tenen la mateixa longitud. b) Tots els paral·lels mesuren el mateix. c) Dos punts que estan als antípodes tenen la mateixa latitud nord i la mateixa latitud sud. d) Dos punts que estan als antípodes tenen la mateixa longitud, una est i l’altra oest.

47.

Recorda tots els plans de simetria i els eixos de gir d’un cub. Quins plans de simetria té el cubooctaedre (poliedre que resulta de truncar el cub)? Estudia’n, també, els eixos de gir.

48.

Explica per què cada un dels poliedres següents no és regular. Són semiregulars? Comprova si compleixen el teorema d’Euler: a) b)

g r1

Explica què són r1, g1, r2, g2 i g. Justifica les dues igualtats anteriors. b)

49.

Si reduïm a la meitat el radi de la base d’un con i en mantenim l’altura, el volum es redueix a la meitat? I si en mantenim la base i en reduïm l’altura a la meitat?

50. A partir de la fórmula de l’àrea lateral d’un con, πrg, justifica que l’àrea buscada (en vermell) és A = πr1g1 – πr2g2. c) Observa aquesta cadena d’igualtats: A = πr1g1 – πr2g2 = π (r1g1 – r2g2) =* =* π (r1g1 – r1g2 + r2g1 – r2g2) = = π [r1(g1 – g2) + r2(g1 – g2)] = π [r1g + r2g] = = π (r1 + r2) g Repeteix la cadena d’igualtats justificant cada pas. En la igualtat *, observa que r1g2 = r2g1. Explica per què.

45.

Si un avió vola a 10.000 m d’altura, quina porció de superfície terrestre pot veure un passatger?

Consulta l’exercici resolt 1 de la pàg. 244.

Una piràmide de base quadrada es talla per un pla paral·lel a la base que passa pel punt mitjà de l’altura. Quina serà la relació entre els volums de la piràmide gran i la petita?

51.

Observa aquests poliedres: AA

B B

a) Comprova que el poliedre A compleix la fórmula d’Euler. b) Quantes cares, vèrtexs i arestes guanyem o perdem en passar de l’A al B? c) El poliedre B compleix la fórmula d’Euler?

249


UNITAT 10 » COSSOS GEOMÈTRICS

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT TUBS, CAPSES I LLAUNES En Marc és dissenyador gràfic i sempre està molt enfeinat. Ara mateix té tres encàrrecs sobre la taula. Ajudeu-lo a decidir com els farà.

1.   Tubs per a llaminadures El primer encàrrec d’en Marc procedeix d’una fàbrica de llaminadures i consisteix a dissenyar uns tubs cilíndrics per envasar llaminadures, caramels i xocolatines. Disposa de làmines de cartó i de plàstic de 30 cm × 40 cm per construir els tubs. La condició que han de complir els tubs és que han de contenir el màxim nombre possible de peces. En Marc ha pensat en tres possibilitats per al disseny dels tubs, segons els procediments descrits en les figures A, B i C.

40 cm rA

A

30 cm rB

B

30 cm

29 cm

40 cm

tallar

20 cm 30 cm

rC 20 cm

a) Calcula, en cada cas, el radi del cilindre que obtindria. b) Quin creus que és el cilindre que tindrà més volum? c) Calcula el volum de cada cilindre i comprova si la teva estimació ha estat encertada o no.

250

C


2.   Capses de bombons La mateixa empresa de les llaminadures vol canviar les capses en què ven els seus bombons de més qualitat i necessita un disseny innovador. La capsa, però, ha de complir dues condicions:

A

B

x

y 5 cm

5 cm

• El volum ha de ser de 1.000 cm3. • L’altura ha de ser de 5 cm.

C

D

z

Han optat per quatre possibles models de capsa: A → base quadrada; B → base hexagonal regular;

r 5 cm

5 cm

C → base triangular equilàtera; D → base circular El departament de logística de l’empresa escollirà el model que menys cost de producció representi; és a dir, el que requereixi menys quantitat de cartó per fabricar-lo. Quin model els proposarà en Marc per a la nova capsa de bombons? En grups, penseu en altres dissenys per a les capses de bombons. Baseu-vos en les diferents figures geomètriques que heu estudiat fins ara i en les mateixes condicions que ha hagut de complir en Marc. N’heu trobat cap de millor? Feu una presentació dels diferents models davant la resta de la classe.

3.   Llaunes de pebrots vermells Un amic d’en Marc es dedica al conreu de pebrots vermells i vol envasar-los ell mateix. Ha comprat una primera remesa de 500 llaunes de forma cilíndrica, d’11 cm d’altura i 8 cm de diàmetre. Les llaunes han de tenir un pes net de 400 g i un pes net escorregut de 260 g. L’amic d’en Marc li demana ajuda per resoldre les qüestions següents: a) Quina quantitat de paper adhesiu necessitarà per etiquetar el lot de 500 llaunes que ha adquirit? b) Els ingredients de cada llauna són pebrot, aigua i àcid cítric. Si la densitat de la barreja d’aigua i àcid cítric és d’1,22 g/cm3, quants litres de barreja necessitarà per omplir tot el lot? c) L’amic d’en Marc pensa en un altre model de llauna per envasar més pebrots. Vol que la llauna sigui cilíndrica, que l’altura sigui també d’11 cm i que el volum sigui exactament el doble que la del model anterior. Pregunta a en Marc si el diàmetre també haurà de ser el doble. Tu què creus? Quin serà el diàmetre de les noves llaunes?

Pensa una altra pregunta per plantejar-la a un company o companya del teu grup. Recorda que l’has de resoldre tu primer per comprovar que estigui ben plantejada i per saber quina és la solució correcta.

251


UNITAT 10 » COSSOS GEOMÈTRICS

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX, IMAGINA I COMPRÈN Algunes maneres d’omplir l’espai En les tasques d’embalatge, transport i distribució de mercaderies, cal tenir en compte l’aprofitament de l’espai, i això ens fa reflexionar sobre la forma dels recipients que, al magatzem, no han de deixar forats o espais buits.

queden buits

no queden buits

És evident que la capsa ideal és la que té forma d’ortoedre i, en concret, la més regular: el cub. Ara, a partir d’un apilament de cubs, descobrirem altres maneres d’omplir l’espai, amb poliedres regulars o semiregulars, poc pràctiques per a la indústria, però de gran bellesa i interès en geometria. • Suposa que tallem les cantonades d’un cub de manera que les sec­ cions siguin triangles equilàters i les cares es converteixin en octàgons regulars.

Observa que: — En apilar els cubs, en coincideixen vuit en cada vèrtex. — En tallar-los, les vuit cantonades que coincideixen en un vèrtex formen un octaedre regular.

Així, hem trobat una manera d’omplir l’espai amb cubs truncats i octaedres regulars. • Observa també:

Si s’engrandeixen les seccions fins que els octaedres es toquin pels vèrtexs, la resta de l’espai s’omple amb un poliedre semiregular que ja coneixes.

252


» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES • En naufragar el seu vaixell, dos mariners i la seva mona arriben a una illa deserta. Com que no tenen res per menjar, recullen plàtans i se’n van a dormir. A la nit, un mariner es desperta, dona dos plàtans a la mona i es menja la meitat dels restants. Després, es desperta l’altre mariner, que també dona dos plàtans a la mona, fa tres parts amb els que queden i es menja dues d’aquestes parts. Al matí, es reparteixen, entre tots tres, els plàtans que queden. En cap moment no ha calgut partir cap plàtan. Quin és el nombre mínim de plàtans que podrien haver recollit? Quants plàtans s’ha menjat cada un?

• Tens aquestes cinc monedes:

Quantes quantitats diferents de diners pots formar? • Calcula l’àrea d’un quadrat la diagonal del qual coincideix amb el costat d’un altre quadrat de 10 m2 de superfície.

10 m2

» POSA’T A PROVA

b) Un tronc de con en el qual els radis de les bases fan 9 m i 6 m i la generatriu fa 5 m.

4. En una esfera de 8 cm de radi es fan dos talls paral·lels

a diferents costats del centre, allunyats d’aquest 2 cm i 3 cm, respectivament. Calcula la superfície de la zona esfèrica compresa entre tots dos talls.

m

1

9m

cm 8 cm

8

8 cm

6 cm

3m

8 cm

4 cm

6. Amb aquest sector cir-

cular es construeix un con. Troba’n el radi de la base, l’altura i el volum.

cm

a) Una piràmide de base quadrada en la qual l’aresta lateral i l’aresta de la base són iguals i fan 10 cm.

C C

18

3. Calcula la superfície total d’aquests cossos:

BB

cm

metria de l’octaedre regular. Digues també quins són els eixos de gir i de quin ordre és cada un.

AA

2m

2. Descriu els plans de si-

5. Calcula el volum d’aquests cossos: 5

regular mitjançant plans que tallen les arestes a un terç de la seva longitud. Es tracta d’un poliedre semiregular? Explica per què.

7m

1. Descriu el poliedre que s’obté truncant un octaedre

7. Dues ciutats estan situades a l’equador i les seves

longituds es diferencien en 10°. Quina és la distància entre totes dues? (Radi de la Terra: 6.371 km)

8. Les coordenades geogràfiques de Sant Petersburg són 60° N 30° E i les d’Oslo, 60° N i 11° E.

Troba la longitud de l’arc del paral·lel que va de l’una a l’altra.

253

Profile for Editorial Barcanova

MATEMÀTIQUES. Mary Somerville. Unitat 10  

3r ESO Barcanova

MATEMÀTIQUES. Mary Somerville. Unitat 10  

3r ESO Barcanova