__MAIN_TEXT__

Page 1

UNITAT

8

RECTES I ANGLES

DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Fa més de 3.500 anys, a Egipte i Babilònia es van desenvolupar importants avenços en geometria. Els seus coneixements van ser transmesos posteriorment al poble grec. Cada any, a la primavera, el riu Nil es desbordava i inundava les terres de conreu. Els límits dels camps de cultiu s’esborraven i, quan les aigües tornaven al seu curs, havien de ser restaurats. Per això els agrimensors, funcionaris del faraó, s’encarregaven de tornar a delimitar les parcel·les, activitat que, repetida any rere any en infinitat de parcel·les, va afavorir grans avenços en la pràctica de la geometria.

Angles rectes a l’antiguitat • A l’antic Egipte feien servir aquest mètode per traçar angles rectes: Dividien una corda en dotze trams exactament iguals mitjançant nusos. Després, amb estaques, fixaven al terreny un triangle de costats 3, 4 i 5. L’angle format pels costats de longituds 3 i 4 és recte. • A l’antiga Índia feien una cosa similar: amb una corda de 30 trams construïen un triangle rectangle de costats 5, 12 i 13.

1. Prova de construir un triangle amb un angle recte fent servir suro, una corda i xinxetes.

També pots dibuixar en una quadrícula dos segments de longituds 3 i 4, fent un angle recte, i unir els extrems lliures per completar un triangle rectangle. Després, comprova que el tercer costat té una longitud de 5.

160


S’ha dit que mentre els egipcis es fixaven en la terra, els babilonis miraven el cel. Els babilonis eren uns astrònoms magnífics. A partir de l’observació del firmament, van assolir un gran domini en la mesura d’angles, imprescindible per controlar les estrelles i els seus moviments. I van ser ells els que van fixar com a unitat de mesura el grau. Creien que era el Sol el que girava al voltant de la Terra i que tardava un any a completar la volta. Van suposar que l’any tenia 360 dies i van anomenar grau l’angle que recorria el Sol durant un dia. 90° 0° 360°

180°

2. Segons els babilonis, quin angle girava, el Sol, al voltant de la Terra en mig any? Quant temps tardava a fer un quart de volta?

Tots aquests coneixements sobre els angles tenen múltiples aplicacions en enginyeria, arquitectura…, disciplines en les quals es continuen fent servir instruments inventats a l’antiguitat. Eines per aconseguir angles En el món de la construcció s’utilitzen el nivell i la plomada.

3. Amb aquests instruments, quin tipus d’angles s’aconsegueix a les parets?

En fusteria s’utilitza el serrabiaixos per tallar llistons amb angles de 90° o de 45°, segons convingui.

4. En el marc d’aquest tauler hi falten diversos llistons. Dibuixa’ls en el teu quadern. Pots fer servir l’escaire.

a c

b

d

161


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

1. ELEMENTS GEOMÈTRICS BÀSICS Pla, punts, rectes… Pla La superfície de l’aigua en calma (el mar, un llac, una piscina…), la superfície de la taula, un full… són imatges del pla perquè les imaginem estenent-se indefinidament en totes les direccions. Punt Una marca sobre el paper amb la punta del llapis o una punxada amb una agulla de cap són bones representacions de punts. Un punt no té dimensions. Els punts se solen indicar amb lletres majúscules: A, M, P… Recta Un fil tensat, la marca que deixa un plec en un full, la vora de la taula o del regle són representacions adequades de rectes. Una recta no té gruix i s’estén indefinidament en els dos sentits. Les rectes se solen designar mitjançant lletres minúscules: r, s, t… Semiplà Una recta r divideix el pla en dues parts. Cada una d’aquestes, juntament amb la mateixa recta, és un semiplà.

r

La recta s’anomena vora del semiplà. El compàs serveix per fer circumferències…

Semirecta Un punt, A, sobre una recta la divideix en dues parts. Cada una d’aquestes, juntament amb el mateix punt, és una semirecta. El punt A és l’origen.

A

Segment El tros de recta comprès entre dos dels seus punts, A i B, incloent-los, és un segment. …però també s’utilitza per prendre distàncies i transportar-les.

A

B

A i B són els extrems del segment. Aquest segment s’anomena AB. La longitud d’un segment és la distància entre els extrems. Es designa AB .

A

162

B

Diem que dos segments són iguals si tenen la mateixa longitud.

A

D B

C

AB = CD


Algunes propietats de les rectes Notació La recta que passa pels punts A i B s’ano­ mena recta AB.

• Propietat fonamental de la recta Per dos punts passa una recta i només una. És a dir, qualsevol recta que tracéssim per aquests dos punts, coincidiria amb l’anterior. A

B

• S’anomena distància d’un punt a una recta la longitud del segment perpendicular del punt a la recta. Si les rectes r i s són paral·leles, tots els punts de s estan a la mateixa distància de r. Aquesta és la distància entre les dues rectes. r d

La distància entre r i s és d.

d s

D’aquestes propietats, se’n deriven d’altres que pots descobrir resolent les qüestions que es plantegen a continuació.

» FIXA IDEES F1. Vertader o fals? Ajuda’t amb dibuixos. Considera totes les possibilitats: a) Si dos punts diferents A i B pertanyen a la recta r i a la recta s, llavors r i s són la mateixa recta. b) Dues rectes del mateix pla, o són secants o són paral·leles. c) Si dues rectes del mateix pla no tenen cap punt comú, són paral·leles. d) Dues rectes, si són secants, tenen almenys dos punts comuns. e) Dues rectes secants tenen un punt en comú i només un. f ) Per un punt exterior a una recta es pot traçar només una recta paral·lela. g) Dues semirectes del mateix pla tenen necessàriament un únic punt comú. h) Si dues semirectes tenen dos o més punts comuns, coincideixen. i) Si els punts P i Q estan a la mateixa distància de la recta r, la recta que passa per P i per Q necessàriament és paral·lela a r.

F2. Reflexiona i contesta les preguntes amb dibuixos que justifiquin les res-

postes: a) A, B i C són tres punts. Sabem que la recta AB coincideix amb la recta BC. Què pots dir de la recta AC ? b) Dos punts, A i B, pertanyen a la recta r. Què queda de r en treure la porció compresa entre A i B ? c) Dues semirectes poden tenir un segment en comú? d) Una recta, r, divideix un pla en dos semiplans. Una altra recta, s, del mateix pla és secant a r. Què té en comú s amb cada semiplà? e) Han de ser necessàriament paral·leles, dues rectes que no tenen cap punt comú? (Dibuixa un cub i les diagonals de dues cares oposades.)

A JUDA

secants r

A

s

paral·leles r s

P: punt exterior a la recta s P

r s

semirectes A

B

163


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

2. DUES RECTES IMPORTANTS Mediatriu d’un segment

P

La mediatriu d’un segment, AB, és la recta perpendicular al segment en el seu punt mitjà.

m

Propietat fonamental: Els punts de la mediatriu equidisten (estan a la mateixa distància) dels extrems del segment:

B

A

PA = PB

Q

QA = QB

Aquesta propietat confereix a aquesta recta una gran importància en l’estudi de figures geomètriques, triangles, simetries, etc. Observa com es construeix la mediatriu amb regle i compàs: m

A

M

A

B

Traçat de la mediatriu amb regle i escaire.

R

P S

B

A

M

B

La bisectriu d’un angle és una semirecta que divideix l’angle en dos angles iguals.

b

Els punts de la bisectriu equidisten (estan a la mateixa distància) dels costats de l’angle:

Q S'

A

Bisectriu d’un angle

r R'

B

PR = PS s

QR' = QS'

Observa com es traça la bisectriu amb regle i compàs:

P

b

P

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 1. Dibuixa dos segments conca-

tenats, AB i BC. Traça’n les mediatrius i anomena P el punt en què es tallen.  aona per què P està a la mateixa R distància (equidista) de A, de B i de C.

164

C P

B

A

2. Dibuixa en el teu quadern dos rs i W st com es veu a la figura. angles W — Traça’n les bisectrius, b i b’, que es tallen en un punt P. — Explica per què les distàncies del punt P a les rectes r, s i t coincideixen.

r b

P

A s

b' t

B


3. ANGLES Tipus d’angles agut

Un parell de semirectes amb origen comú delimiten dos angles: un de convex (en vermell) i un altre de còncau (en blau).

obtús

costat angle còncau

Les semirectes s’anomenen costats de l’angle i el punt comú, vèrtex. recte

pla

vèrtex

angle convex costat

• Dos angles (vermell i blau) s’anomenen consecutius quan tenen el mateix vèrtex i un costat comú, c2  . c2

L’angle els costats del qual són c1 i c3 és la suma dels dos anteriors.

c3 c1

• Dos angles són suplementaris si la suma és un angle pla. →

• Dos angles s’anomenen adjacents quan són consecutius i suplementaris. El seu nom, ad jacents, significa «que cada un jeu al costat de l’altre». • Dos angles són complementaris si la suma és un angle recte. → • Dos angles són oposats pel vèrtex quan els costats d’un són semirectes oposades als de l’altre. Dos angles oposats pel vèrtex són iguals.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 3. Observa la il·lustració i identifica-hi:

a) Parelles d’angles adjacents. b) Parelles d’angles oposats pel vèrtex.

4. Vertader o fals?

^ A

^ D ^ C

^ B

a) Si dos angles suplementaris són iguals, llavors ambdós són rectes. b) Dos angles complementaris no poden ser iguals. c) El suplementari d’un angle agut és un angle obtús.

GeoGebra. Practica trobant l’angle complementari o suplementari.

165


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

4. MESURA D’ANGLES Unitats de mesura d’angles Etimologia Minutus, en llatí, significa «menut, diminut», i així és com anomenem el petit angle d’1/60 de grau. Com que es va haver d’anomenar un angle encara més petit, es va fer servir l’expressió segon tros menut, és a dir, segona vegada petit, més petit encara. És el segon, 1/60 de minut = 1/3.600 de grau.

Recorda que un angle recte fa 90°. Per tant, els angles pla i complet fan 180° i 360°, respectivament. Angle recte

Angle pla

90°

Angle complet

180°

360°

El grau (1/90 d’angle recte) és la unitat de mesura dels angles. Per afinar en la mesura d’angles, s’utilitzen els submúltiples del grau: minut ⎯⎯→ 1' = 1 de grau. És a dir, 1° = 60'. 60 segon ⎯⎯→ 1" = 1 de minut. És a dir, 1' = 60". 60 A aquests graus se’ls anomena sexagesimals per la manera de dividir-se, de 60 en 60. El sistema de numeració sexagesimal, antiquíssim, s’origina, possiblement, en una manera de comptar basada en els cinc dits d’una mà i en les dotze falanges dels dits índex, del mig, anular i petit de l’altra mà (5 · 12 = 60).

Instruments de mesura d’angles Per mesurar angles dibuixats en un full, s’utilitza el transportador.

14

30

20

10

00

0 15

30 20

47°

10

136°

0 18

0 17

160

0

180 170 16 0

40 60 50

130 120 150 140 110 1

50

40

0

90

70

0

0

13

0 90 80 7 0 6 10 10 0 1 0 12

80

Teodolit: instrument per mesurar angles.

Per fer mesures angulars sobre el terreny, hi ha altres instruments molt més precisos, com ara el sextant, el goniòmetre i el teodolit.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 5. Quants minuts són 5°? I 7°? I 18°? 6. Passa a segons les expressions següents: a) 3'

b) 5'

c) 10'

8. Passa a graus les expressions següents: a) 60' d) 15'

7. Transforma a minuts aquestes quantitats: a) 120"

166

b) 180"

c) 1.200"

d) 3.600"

b) 180'

c) 240'

d) 120'

9. Amb l’ajuda del transportador, dibuixa en el teu quadern angles de 40°, 55°, 110° i 175°.

10. Calcula

l’angle suplementari dels angles que has dibuixat en l’activitat anterior. GeoGebra. Mesura angles amb el transportador.


De complex a incomplex graus × 60 → minuts minuts × 60 → segons graus × 3.600 → segons

D’incomplex a complex Segons s" Minuts m'

60

Passar de forma complexa a incomplexa, i viceversa La mesura d’un angle, igual que altres magnituds que has estudiat, es pot expressar fent servir diverses unitats (forma complexa) o una sola unitat (forma incomplexa). Per passar d’una forma a l’altra, tindrem en compte les equivalències entre les unitats del sistema sexagesimal: els graus, els minuts i els segons.

Minuts

× 60

× 60

GRAUS

60 g°

MINUTS : 60

Segons = g° m' s"

SEGONS : 60

Practica aquests canvis fent les activitats següents.

» FIXA IDEES F3. Quants segons són 45° 27' 53"?

A JUDA

— Multiplica 45 graus per 60 per transformar-los a minuts i una altra vegada per 60 per transformar-los a segons. — Multiplica 27 minuts per 60 per transformar-los a segons. — Suma les quantitats de segons obtingudes en transformar els graus i els minuts amb els 53 segons inicials de l’enunciat. Solució: 45° 27' 53" = …"

F4. Passa 163.673" a graus, minuts i segons. Copia i completa: — Divideix 163.673" entre 60 per passar-los a minuts. Queda un residu de … segons. — Divideix els minuts una altra vegada entre 60 per passar-los a graus. — Finalment, s’obtenen … graus i queda un residu de … minuts. Solució: 163.673" = …° …' …"

F3. Passem 45° 27' 53" a forma incom­ plexa: 45°

45 × 60 × 60 = …"

27'

27 × 60 = …"

53"

45° 27' 53"

…"

+ 53"

F4. Passem 163.673" a forma complexa: 1 6 3 6 7 3'' … … … …''

60 60 2 727' … …° …'

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 11. Copia i completa:

14. Passa a segons:

a) 25° · 60 = …

b) 8° · 3.600 = …

a) 53° 45' 13"

c) 180" : 60 = …

d) 7.200" : 3.600 = …

15. Passa a forma complexa:

12. Calcula mentalment i completa en el teu quadern: a) 1° 20' → …'

b) 2' 15" → …"

c) 65' → …° …'

d) 130" → …' …"

13. Passa a la unitat que s’indica: a) 0,1° → …'

b) 2,5° → …° …'

c) 4,2' → …' …"

a) 32.220"

b) 81° 37' b) 59.233"

c) 26° 11" c) 9.123"

16. Observa i, després, transforma a graus: 24' → 24 : 60 = 0,4°

37° 24' = 37,4°

a) 15'

b) 1° 15'

c) 27° 30'

d) 10° 45'

e) 16° 24'

f ) 20° 6'

167


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

5. OPERACIONS AMB MESURES ANGULARS Suma

Suma

20° 50' + 7° 13' 27° 63' → 28° 3' Observa que els 63' de la suma es transformen a 1° 3'.

Se sumen per separat els segons, els minuts i els graus. Després, si hi ha 60", o més, es passen a minuts, i si hi ha 60' o més, es passen a graus.

Resta

Resta

Es resten successivament els segons, els minuts i els graus. Si en algun cas no és possible perquè el minuend és més petit que el subtrahend s’agafa una unitat de l’ordre superior.

Exemple 20° 50' + 7° 13' = 27° 63' → 27° (60' + 3') → 28° 3' 1°

28° 3' 27° 63' – 7° 13' → – 7° 13' no es pot 20° 50' Observa que, per poder restar, es passa a minuts un dels 28° del minuend.

Exemple

27° + 60' + 3' 28° 3' – 7° 13' → 27° 63' – 7° 13' = 20° 50'

» FIXA IDEES F5. Copia, completa i resol les sumes: 16° 43' + 18° 32' 34° 75' +1

↓ ↓ 35° …'

A JUDA

79° 54' 28" + 36° 27' 45" 115° 81' 73"

↓ 115°+1 ↓ 116°

+1

82'

…"

…'

…"

F6. Copia, completa i resol les restes: 35° 15' – 16° 43' no es pot +60 34° 75' – 16° 43' 18° 32'

116° 22' 13" – 79° 14' 28" no es pot 116° 21' +60 …" – 79° 14' 28" …° …' …"

F5. En sumar: • Si s’obtenen més de 60 segons, es passen a minuts i segons: 73" = 60" + 13" = 1' 13" • Si s’obtenen més de 60 minuts, es passen a graus i minuts: 82' = 60' + 22' = 1° 22'

F6. • Per poder restar els segons, es passa

un minut a segons: 22' 13" = 21' 60" + 13" = 21' 73" • Per poder restar els minuts, es passa un grau a minuts: 22° 13' = 21° 60' + 13' = 21° 73'

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 17. Copia les operacions següents en el teu quadern i cal-

18. Resol, de la mateixa manera, aquestes operacions amb

b) 62° 46" + 25' 43" + 39° 58'

b) 1 h 59 min 50 s + 33 min 15 s

c) 82° 2' 7" – 39° 43' 27"

c) 5 h 18 min 30 s – 3 h 24 min 47 s

d) 56° 14' – 34° 42"

d) 4 h 50 s – 2 h 56 min 59 s

cula: a) 35° 27' 14" + 62° 48' 56"

168

mesures de temps: a) 2 h 20 min 46 s + 3 h 55 min 17 s


Multiplicació d’un angle per un nombre natural Es calculen, primer, els productes de segons, minuts i graus pel nombre enter. Després, es fan les conversions necessàries.

Multiplicació 10° 25' ×3

Exemple (10° 25') · 3

30° 75' → 31° 15'

Multipli Multipliquem grauuss → 88 1100° °$ $33==30 30° ° quemels elsgra 44(10 25')')$ $33==31 31° °15 15' ' (10° ° 25 → 25' '$ $33==75 75' '==11° °15 15' ' quemels Multipli Multipliquem elsminuts minuts 88 25

Divisió d’un angle entre un nombre natural Divisió

Es divideixen els graus, i el residu es passa a minuts, que s’afegeixen als que hi havia. Es fa el mateix amb els minuts, i el residu es passa a segons. Finalment, es divideixen els segons.

31° 15' 3 01° → + 60' 10° 25' 75' 0'

Exemple (31° 15') : 3 Dividim Dividimels grauuss → 31°°: : 33==10 10°°(res (residu idu11°°==60 60')') elsgra 88 31 44(31 15')'): : 33==10 10°° 25 25' ' (31°°15 → 15')'): : 33==75 75' ': : 33==25 25' ' 8 (60 Dividim Dividimels elsminuts minuts 8 (60' '++15

» FIXA IDEES F7. Copia, completa i resol les multiplicacions: 7° 13' ×5 35° 65'

+1

36°

A JUDA

42° 58' 26" ×3 126° 174' 78"

5'

+1

F7. En multiplicar: • Si s’obtenen més de 60 segons, es passen a minuts i segons. • Si s’obtenen més de 60 minuts, es passen a graus i minuts.

126° 175' 18" +…

↓ …°

…'

…"

F8. En dividir:

F8. Copia, completa i resol les divisions: 36° 5' 5 128° 55' 18" 3 1° → + 60' 7° …' 2° → + 120' + 60" 42° …' …" … … … … 1' 0

• El residu que queda en els graus, es passa a minuts i se suma. • El residu que queda en els minuts, es passa a segons i se suma.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 19. Troba el suplementari de l’angle de 108° 49' 1". 20. Calcula: a) 36° 51" + 2° 11'

b) 48° 26' – 13° 52'

c) 37' 11" · 13

d) (32° 37') : 6

22. Divideix 151° 6' 17" entre 7, de dues maneres: a) Com s’explica en aquest full. b) Passant a segons, dividint entre 7 i passant el resultat a graus, minuts i segons.

21. Donat l’angle A = 35° 46' 23", troba: ^

^

a) 2A

^

b) 5A

AT c) 4

23. Una d) 2 · A 3

^

aixeta omple 5/12 d’un dipòsit en una hora. Quant tarda a omplir 1/12 de dipòsit? I en omplir el dipòsit complet?

169


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

6. RELACIONS ANGULARS Angles de costats paral·lels Tingues en compte

Si dos angles tenen els costats paral·lels, o bé són iguals o bé són suplemen­ taris.

Hi ha relacions entre angles que són freqüents i, per tant, convé tenir assumides. És el que passa amb les que presentem en aquesta pàgina: angles amb els costats paral·lels i, sobretot, angles que es generen en tallar amb una recta dues rectes paral·leles entre si.

 ngles que es formen quan una recta talla A dues rectes paral·leles entre si Si una recta talla dues rectes paral·leles, es formen vuit angles, molts dels quals són iguals entre si, ja que els seus costats són paral·lels.

s

4 r1

7

^

^

^

5 =7

^

^

6 =8

4 r1

s

^

^

^

1

6

5 6

7

^

• 1 = 7 . Els angles 1 i 7 són al­ terns externs perquè es troben en costats diferents de la recta s (alterns) i en la zona exterior de les dues paral·leles (externs). ^ ^ També són alterns externs 4 i 6 .

s 2

3 8

r2

6

r1

7

^

2  = 4

5

4

r2

^

Per això mateix:

2

3 8

r2

^

• 1 = 3 estan oposats pel vèrtex.

1

s r1 8 r2

2

3 5

1

^

^

^

^

^

^

• 1 = 5 . Els angles 1 i 5 són cor­ responents perquè estan en la mateixa posició respecte de r1 i r2. També són corresponents ^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 i 6 , 3 i 7, 4 i 8 . ^

^

• 3 = 5 . Els angles 3 i 5 són al­ terns interns perquè es troben en costats diferents de la recta s i en la zona interior de les paral·leles. També són alterns ^ ^ interns 2 i 8 .

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 24. D’aquests angles, digues-ne dos que siguin iguals pel fet de ser:

^

^

B

C

^

A

F

^

^

D

^

^

H

a) Oposats pel vèrtex.

b) Corresponents.

c) Alterns interns.

d) Alterns externs.

170

pendiculars poden ser iguals, però també poden ser suplementaris.

G

^

E

25. Dos angles de costats per-

Justifica l’afirmació en el teu quadern amb un dibuix.

GeoGebra. Practica esbrinant quins angles es formen quan una secant talla dues rectes paral·leles.


7. ANGLES EN ELS POLÍGONS Suma dels angles d’un triangle Per trobar la suma dels angles d’un triangle, tracem per un dels seus vèrtexs la paral·lela amb el costat oposat (fixa’t en la figura de l’esquerra) i raonem així: b

a

• Els angles de color morat són iguals ja que són alterns interns, en tallar les paral·leles per la recta que sustenta el costat a.

b

• Passa el mateix amb els angles blaus i la recta b. • Entre els tres angles (morat + verd + blau) completen l’angle indicat en vermell, que és un angle pla (180°).

c

La suma dels tres angles de qualsevol triangle fa 180°.

Suma dels angles d’altres polígons Observa els polígons següents dividits en triangles mitjançant les diagonals que surten d’un dels vèrtexs:

Suma dels angles d’un quadrilàter • Mitjançant una diagonal, el quadrilàter es divideix en dos triangles. • La suma dels angles de cada triangle fa 180°. • La suma dels angles és aquesta: 2 . 180° = 360°

pentàgon

hexàgon

octàgon

B

• 5 costats → 3 triangles • 6 costats → 4 triangles • 8 costats → 6 triangles • Suma dels angles:

A

3 . 180° D

C

• Suma dels angles:

• Suma dels angles:

4 . 180°

6 . 180°

Un polígon de n costats es divideix en (n – 2) triangles i la suma dels seus angles és (n – 2) · 180°.

» FIXA IDEES F9. Dos dels angles d’un triangle mesuren 45° i 37°. Quina és la mesura del tercer angle? F10. És possible construir un quadrilàter que tingui tres angles rectes? Com serà el quart angle? Dibuixa’l.

A JUDA

F9.

B

F11. Esbrina quant sumen tots els angles d’un decàgon qualsevol i quant mesura cada angle

c

d’un decàgon regular.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 26. Tres dels quatre angles d’un quadrilàter mesuren 110°, 110° i 80°. Quant mesura el quart angle?

GeoGebra. Practica calculant angles en polígons.

A

b

a

C

27. Si un dels angles d’un rombe mesura 39°, quant mesuren els altres tres?

171


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

8. ANGLES EN LA CIRCUMFERÈNCIA Angle central i angle inscrit Relacionem mesures d’angles amb arcs de circumferència. AOB i \ DOC que veus en la figura de l’esquerra són angles centrals Els angles \ perquè %tenen &el seu vèrtex en el centre O de la circumferència. Comprenen els arcs AB i DC , respectivament.

A O

B

Un angle central és el que té el vèrtex en el centre d’una circumferència.

D C

Es pot associar una mesura angular a un arc de circumferència. La mesura angular d’un arc de circumferència és la de l’angle central corresponent: % % AB = AOB

M A B

A angle central

O

arc

B

Un angle inscrit en una circumferència és aquell que té el vèrtex sobre la circumferència i els seus costats la tallen. C

Els tres angles de la figura' de l’esquerra estan inscrits en la circumferència i comprenen el mateix arc MN .

N

Angles inscrits que comprenen el mateix arc Retalla tres circumferències idèntiques.

Assenyala en totes tres el mateix arc.

Retalla en cada una un angle que comprengui l’arc.

Solapa els tres angles i fes-ne coincidir els vèrtexs i un dels costats: comprovaràs que els tres angles són iguals. Dos o més angles inscrits en una mateixa circumferència i que comprenguin el mateix arc són iguals.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 28. Vertader o fals? ^

a) L’angle A és central.

B

^

b) L’angle B és central.

172

A

^

^

^

^

c) Els angles C i D són iguals. d) Els angles D i E són iguals.

C D E


Mesura d’un angle inscrit Observa els angles següents i reflexiona sobre les relacions que s’hi estableixen: M

M

A

60° O

120°

O A

N

A

180°

N N

\ MAN = 1 \ MON 2

\ MAN = 1 \ MON 2

\ MAN = 1 \ MON 2

Angle que comprèn una semicircumferència

90° 90°

20°

90° O

A

La mesura d’un angle inscrit és igual a la meitat de la mesura de l’arc que comprèn: ' \ MAN = 1 \ MON = 1 MN 2 2

N B

M

40°

O

MAN i \ MBN de la figura de l’esquerra estan inscrits en la cirEls angles \ cumferència i comprenen un arc de 180°. Tots dos mesuren, per tant, 90°.

180°

Qualsevol angle el vèrtex del qual estigui situat en una circumferència i els costats del qual passin pels extrems d’un diàmetre és recte.

M

» FIXA IDEES F12. Copia i completa en el teu quadern: ^

M= ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 75° 75° 75° 75° 80° 80° 80° 80° P P P P Q Q Q O Q O O ^ O ^ O240°240° O240° O O^ O^ O^ ^ O O240° O O O O ^ ^ N N N N ^ ^ ^ ^ R 240° R 240° R R 240°240° M M M M

^

N= ^

P= ^

Q=

:2= ×

: ×

2= = =

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 29. Digues el valor dels angles marcats en vermell, si cada arc assenyalat en la circumferència és de 60°: B A

C

F

D

30. Dibuixa una semicircumferència i retalla un vèrtex d’un full (angle recte). Comprova que, sempre que facis passar els costats de l’angle pels extrems del diàmetre, el vèrtex estarà situat sobre la semicircumfe­rència.

E

173


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

9. SIMETRIES EN LES FIGURES PLANES En la naturalesa, en la tecnologia, en l’art, en el món quotidià, estem envoltats de figures simètriques. És interessant estudiar-les.

Eix de simetria d’una figura Una figura plana és simètrica respecte d’un eix (una recta) si, en doblegar-la per la meitat, les dues meitats coincideixen.

Plega un full de paper i retalla un motiu qualsevol.

e A'

A

En una simetria respecte d’un eix o simetria axial: • La recta e s’anomena eix de simetria. • A i A' són simètrics respecte de e, perquè e és

la mediatriu del segment AA'. El mateix passa amb B i B'.

B'

B

• Cada punt de l’eix és simètric de si mateix:

C = C'.

C = C'

En desplegar-lo, obtindràs una figura simètrica.

La simetria de les figures planes s’aprecia a primer cop d’ull, i acostuma a ser fàcil identificar-ne l’eix de simetria. No obstant això, pot ser de gran ajuda fer servir un mirall per comprovar si una recta determinada és o no eix de simetria d’una figura. Les figures següents tenen dos, tres i cinc eixos de simetria, respectivament:

90° 36°

60°

Cada meitat és com la imatge de l’altra meitat en un mirall.

Si una figura té n eixos de simetria, aquests es tallen en un punt, i cada dos eixos contigus formen un angle de 180° . n

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 31. Digues quines de les figures següents són simètriques respecte d’algun eix. Dibuixa en el teu quadern cada eix de simetria i, si tens un mirall petit a mà, comprova que ho és. Si té més d’un eix de simetria, esbrina quin angle formen cada dos d’aquests eixos contigus. A

174

B

E C

D

F

G

H


» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Construccions geomètriques

10.

1.

Dibuixa un segment de 6 cm i traça-hi la mediatriu. Quina és la propietat dels punts que la formen?

a) (18° 12' 3") · 4

b) (13° 2' 35") · 5

c) (36° 39' 27") · 8

d) (84° 26") · 13

2.

11.

Dibuixa, amb ajuda del transportador, un angle de 68° i traça-hi amb regle i compàs la bisectriu. Comprova que obtens dos angles de 34°.

3.

Dibuixa: a) Dues semirectes que tinguin un segment en comú. b) Dues semirectes que estiguin sobre la mateixa recta i no tinguin cap punt en comú.

4.

Copia i fes les multiplicacions següents:

Copia i resol aquestes divisions:

a) (280° 40' 20") : 20

b) (121° 52' 33") : 11

c) (84° 37' 52") : 2

d) (190° 42') : 7

12.

Troba el complementari dels angles següents:

a) 24°

b) 86° 23' 39"

c) 52° 29"

d) 58' 24"

Dibuixa, amb ajuda del transportador, un triangle rectangle amb un angle de 72°.

13.

5.

a) 103°

b) 89° 28' 52"

c) 129° 31'

d) 76° 29"

Dibuixa un angle de 60° sense fer servir el transportador.

6.

Dibuixa amb regle i compàs un triangle els tres angles del qual facin 60°.

Operacions amb angles 7.

Copia i resol les sumes següents:

Troba, en cada cas, el suplementari dels angles següents:

Relacions angulars 14.

8.

Copia i resol aquestes restes:

a) 102° 54' 27" – 59° 25' 37" b) 35° 1' 46" – 32° 51' 49"

9.

a) 1° b) 4° c) 2° d) 3°

Copia i resol les operacions següents: 36" + 1° 10' 40" – 1° 27' 30" – 1° 22' 25' – 2° 45" + 1° 25'

37° 37°

^

^ BB ^ ^ C C

^

^ AA

a) 32° 18' 22"

+ 85° 31' 47" b) 26° 19' 15" + 2° 48' 36" c) 24° 16' 27" + 34' 13" 3° 9' 20"

Calcula el valor dels angles indicats: b) b) b)

a) a) a)

^

^ AA

37° 37°

15.

Calcula el valor dels angles desconeguts d’aquestes a) figures: b) ^ 120° 120° A a) b) b) a) a) b) ^ ^ A A

c) a)c) c) c)

71° 71°71°

^ ^ M

^

^ ^ C 26° N^ B A^ C^ ^ C ^ ^ 26°26° B B A A 132°

16.

^

fa C ?

d) b) d) d) d)

120°120° 120° 120° ^ ^ P N ^ ^ ^ ^ P P NN ^

N

^

M M M 35° 35°35° ^ N

^ M^ ^

^ ^^ N

PN P P ^ ^

^

Si en un triangle rectangle A fa 42° 20', quant A

B

C

175


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

17.

20.

Troba el valor dels angles indicats:

a) a) a) a) a) ^ ^

A^ A^ A A

b) b) b) b) b)

110° 110° 110° 110°

c) c) c) c) c)

d) d) d) d) d)

^ ^

C^ C^ C C

^ ^ D^ D^

DD

Copia en el teu quadern i completa la figura següent perquè tingui els dos eixos de simetria que s’indiquen:

^ ^

B^ B^ B B 50°50° 50°50°

63°63° 63°63°

^ ^

E^ E^ E E

e1

^ ^

D^ D^ DD

Simetries e2

18.

Copia i assenyala, quan n’hi hagi, tots els eixos de simetria d’aquestes figures. Si n’hi ha més d’un, troba l’angle que formen dos dels eixos contigus:

A

BB

C

D

EE

F

19.

e

21.

Imagina que poses un mirall damunt la línia blava de les figures següents: AA

BB

C

a) Dibuixa en el teu quadern el que creus que es veurà mirant per cada una de les dues cares. b) Com cal situar el mirall en cada figura perquè es vegi el mateix per les dues cares?

Observa les lletres de l’abecedari:

Resol problemes 22.

Per fer un ús eficient dels recursos hídrics, set agricultors han de repartir-se l’aigua que arriba d’una séquia regant per torns. Quant temps al dia pot regar cada un?

23.

Un rellotge es posa en hora a les 12 de la nit del 31 de març. A les 12 de la nit del 2 de juny el rellotge ha avançat 3 min 9 s. Quant avança cada dia? Digues quines no tenen eixos de simetria (n’hi ha 9), quines tenen un eix de simetria (n’hi ha 13), quines en tenen dos (n’hi ha 3) i quina té infinits eixos de simetria. Dibuixa cada lletra en el teu quadern i assenyala-hi els eixos que tingui. Representa les 10 xifres del nostre sistema de numeració i indica quines tenen eixos de simetria.

176

24.

a) Quin angle formen les busques d’un rellotge a les 2 en punt?

b) I a les 5 en punt? c) I a 1/4 de 6? Tingues en compte que la busca horària ha recorregut la quarta part de l’arc que va de 5 a 6. d) I a 3/4 de 7?


25. 

  PROBLEMA

29.

RESOLT

Un planeta, quan fa el moviment de rotació sobre el seu propi eix, gira un grau (1°) cada 31 segons. Quant tarda a fer una volta completa? • Una volta completa són 360°. En girar 360° tarda 360 · 31 = 11.160 segons. • Passem 11.160 s a forma complexa: 1 1 1 6 0 s 516 360 0 0 s

60 186 min 06 min

Calcula l’amplitud de cada un dels angles assenyalats amb lletres: a) a)

^

M

^

N

D

60 3h

27.

Un satèl·lit de comunicacions, per modificar la seva orientació, ha tardat 40 segons a fer un gir de deu graus (10°). Quant tardaria a girar un quart de volta?

31. a) a)a)

Troba el valor dels angles indicats: ^ ^

BB ^ ^

^ ^

CC

b) b)b)

^ ^

AA

^ ^

CC

160° 160°

^ ^

BB

40°40°

32.

a

El triangle I és equilàter i els triangles II són isòs­ celes. Troba la mesura dels an^ ^ ^ gles A , B i C .

I

a

a

II ^

PROBLEMA RESOLT

C

^

2

3 1

Els angles acolorits s’anomenen angles exteriors del triangle. Quant val la suma? II

4

^

^

B

1

I

^

A

C

I

II

III

(180° – A ) + (180° – B ) + (180° – C ) = …

• La suma dels angles d’un triangle fa 180°:

34.

2 = 3 = 108° : 2 = 54° • L’angle 4 fa el doble que l’angle 2 : 4

= 54° · 2 = 108°

Solució: 1 = 72°; 2 = 3 = 54°; 4 = 108°

^

B

33.

• El triangle és isòsceles. → 2 = 3

2 + 3 = 180° – 72° = 108°

a

a

1 = 360° : 5 = 72°

+ 2 + 3 = 180° = 72° + 2 + 3 = 180°

a

II

A

Explica, pas a pas, el que vas fent.

1

132°

C

Problemes «+»

Un planeta, quan fa el moviment de rotació sobre el seu propi eix, gira un grau (1°) cada 4 minuts i 11 segons. Quant tarda a fer una volta completa?

• Com que el pentàgon és regular, l’an­ gle 1 és la cinquena part de l’an­gle complet:

B

30.

26.

Quant mesura cada un dels quatre angles assenyalats en aquest pentàgon regular?

^

^

25° N^

132°

AA

^

M

A

^

Troba l’angle interior d’un heptàgon regular. Calcula també l’angle central.

11.160 s = 3 h 6 min Solució: El planeta tarda 3 hores i 6 minuts a fer una volta completa.

28. 

^

b)b)

^

^

III

^

La recta r representa una línia ferroviària i els punts A i B, la situació de dos pobles: B A r

Copia i resol gràficament: En quin punt de r cal col·locar una estació perquè estigui a la mateixa distància d’ambdues poblacions? (Recorda les propietats de la mediatriu d’un segment.)

177


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT CENTRE D’ALT RENDIMENT En Nil és un jove esportista d’alt nivell que es prepara per a diverses proves d’atletisme en un centre d’alt rendiment, on li proporcionen les millors condicions d’entrenament possibles i li permeten continuar els seus estudis acadèmics.

1.   Prova de 800 metres llisos Avui han fet una cursa de 800 metres llisos i en Nil ha quedat entre els quatre primers atletes. Aquests són els temps d’arribada a la meta: • Marc: 1 min 109 s

• Nil: 152 s

• Dani: 174 s

• Jordi: 1 min 89 s

a) Quin ha estat l’ordre d’arribada a la meta? b) Quina diferència de temps hi ha hagut entre el primer atleta i el tercer? c) I entre el segon i el quart? En Nil, com qualsevol atleta, aspira a superar-se contínuament. De tant en tant, compara les seves marques personals amb els rècords que fan els atletes d’elit en les competicions mundials i en les olímpiques, ja siguin homes o dones.

Fixa’t en la taula i contesta les preguntes: d) Quant li falta a en Nil per superar el rècord mundial en la categoria d’homes? e) Quant li falta a en Nil per superar el rècord olímpic en la categoria de dones? A partir de les dades d’aquesta activitat, i després d’haver resolt totes les preguntes, pensa una altra pregunta per plantejar-la a un company o companya de classe. Primer l’has de resoldre tu per comprovar que estigui ben plantejada i per saber quina és la resposta correcta.

178

rècord

Mundial Olímpic

categoria

marca

Homes

1 min 41 s

Dones

1 min 53 s

Homes

1 min 41 s

Dones

1 min 53 s


2.   Prova de llançament de pes A

En Nil també s’entrena llançant una bola sòlida d’acer al més lluny possible, des de l’àrea de llançament (B) fins a l’àrea de caiguda (A), que sol ser d’herba o cendra perquè el pes deixi l’empremta i es pugui mesurar després la longitud.

34,92°

àrea de caiguda

Si la bola cau fora d’aquesta zona, el llançament es considera nul. a) Mesura, amb el transportador, l’angle central del cercle. Coincideix amb la mesura de l’arc de la zona de caiguda? Per què? b) Busca l’angle suplementari i el complementari de l’angle central i explica què passa si la bola cau a les zones que comprenen aquests angles. c) Expressa tots aquests angles en graus, minuts i segons. B

àrea de llançament

3.   Prova de 400 metres tanques En Nil es prepara per córrer i saltar tanques, un esforç que li exigeix una coordinació perfecta. En aquesta prova s’inclou el pas de 10 tanques. La primera tanca es col·loca a 45 metres de la línia de sortida i l’última es col·loca a 40 metres de la línia de meta.

• A quina distància s’han de col·locar la resta de tanques perquè siguin equidistants? Ajuda’t d’aquest esquema i respon també gràficament la pregunta. 1a tanca 45 metres

Sortida

10a tanca 40 metres

Meta

179


UNITAT 8 » RECTES I ANGLES

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX Cintes que es cargolen Amb uns fulls, unes tisores i goma d’enganxar es poden fer activitats molt interessants. • Talla una tira de paper i enganxa’n els extrems. • La cinta, enganxada d’aquesta manera, té dues cares, una d’interior i una d’exterior. Una formiga que camini per una de les cares no podrà passar a l’altra llevat que faci equilibrisme a les vores.

• Talla una altra tira de paper i enganxa-la, però aquesta vegada, primer girala, com veus en la imatge. Comprova que aquesta cinta només té una cara. Una formiga s’hi podria passejar per damunt tranquil·lament. Aquesta cinta s’anomena de Möbius (es pronuncia Moebius).

» INVESTIGA • Construeix una cinta de Möbius i comprova que té una sola cara. Talla-la al llarg, com veus en la imatge. Abans de completar el tall, contesta: què creus que en sortirà? Quan hagis acabat de tallar-la, comprova quantes cares té la cinta que n’ha resultat. (És a dir, una formiga la podria recórrer completament?)

• Traça en una tira de paper dues línies traçades al llarg. Pinta de color taronja la banda central. Fes-ho per les dues cares.

Amb aquesta tira de paper, construeix una cinta de Möbius. Talla-la al llarg per una de les línies. Abans de completar el tall, contesta: què creus que en sortirà? Quan hagis acabat de tallar-la, comprova quantes cares té cada una de les dues cintes que has obtingut. Comprovaràs que una és de Möbius i l’altra no.

180


» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES Prova, tempteja, dedueix • En aquest rellotge analògic hi falten les busques. Pensa i respon les preguntes que se’t plantegen:

a) Quina hora és quan la busca de les hores és, exactament, en una de les divisions marcades en aquest rellotge i la de la minutera, en la següent? b) Quina hora és quan la busca de les hores és, exactament, en una de les divisions i la de la minutera, en l’anterior? c) Quina hora és si saps que la busca de les hores tardarà a arribar a la marca de les sis just el doble que la de la minutera?

» POSA’T A PROVA 1. Fes aquestes operacions amb angles:

5. Calcula el valor dels angles indicats:

a) 27° 30' 18" + 3° 42' 52"

b) 17° 21' 37" – 4° 48"

a)

c) (3° 27' 19") · 4

d) (12° 4' 11") : 5

42° 27'

^

a fer els càlculs. Expressa, després, el resultat en forma complexa.

A

^

D

^

E

^

C

60°

80°

^

^

F

J

L K

^

120° 150°

80°

60°

^

C

^

A

^

^

B

^

^

I

^

C

e)

H G ^

^

^

A

d)

^

B

^

c)

B

2. Passa a segons els angles de l’activitat anterior i torna 3. Observa aquests angles:

b)

^

M

N ^

P

^

O

78°

^

D

a) Identifica dos angles complementaris i dos de suplementaris.

6. Una roda ha girat 20° en 1 min i 22 s. A aquest ritme,

b) Indica dos angles oposats pel vèrtex, dos de corresponents, dos d’alterns externs i dos d’alterns interns.

7. Copia i marca els eixos de simetria de les figures se-

^

c) Si A = 25°, calcula la resta d’angles.

4. a) Dibuixa un segment AB de 10 cm i traça’n, amb regle i compàs, la mediatriu. Quina propietat compleixen tots els seus punts? b) Dibuixa un angle de 60°. Traça, amb regle i compàs, la bisectriu de l’angle. Quant ha de mesurar cada un dels angles generats? Comprova-ho.

quant tarda a fer un quart de volta?

güents. Calcula, quan hi hagi més d’un eix de simetria, el valor de l’angle format per dos eixos contigus. E C D A B

181

Profile for Editorial Barcanova

MATEMÀTIQUES. Mary Somerville. Unitat 8  

1r ESO Barcanova

MATEMÀTIQUES. Mary Somerville. Unitat 8  

1r ESO Barcanova