__MAIN_TEXT__

Page 1

UNITAT

2

DIVISIBILITAT

DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Alexandria, fundada per Alexandre el Gran al segle iv aC, va esdevenir el centre cultural (científic i artístic) de la civilització grega. Euclides, savi grec del segle iii aC, va viure a Alexandria, on va fundar una gran escola de matemàtiques. Va recollir-hi i va sistematitzar-hi tot el coneixement matemàtic de la seva època. Però no es va limitar a això: va ser, a més, un gran matemàtic que va aportar importants descobriments. Va plasmar la seva obra en una col·lecció de tretze llibres anomenats Elements. La major part d’aquests llibres estan dedicats a la geometria i només quatre, a l’arit­mè­ ti­ca. En aquests quatre va desenvolupar la teoria de la divisibilitat, que descobreix algunes relacions que hi ha entre els nombres (múltiples, divisors, nombres primers o compostos…). Les activitats següents t’inicien en aquests conceptes.

Divisors de 30 En una quadrícula, es poden construir quatre rectangles diferents que ocupin una superfície de 30 quadradets: 1 × 30 2 × 15

3 × 10

5×6

Els parells de nombres que coincideixen amb les dimensions dels costats, 1-30, 2-15, 3-10 i 5-6, tenen unes relacions amb el nombre 30 que treballaràs en aquesta unitat.

1. Dibuixa en una quadrícula tots els rectangles que ocupen 36 quadradets. 2. Quants rectangles de 40 quadradets podries construir? I de 41? 36


Múltiples de 7 Prem aquesta seqüència de tecles en una calculadora de quatre operacions:

7++====…

Aniràs obtenint la «sèrie del 7»:

7

14

21

28

35

7 · 1 7 · 2 7 · 3 7 · 4 7·5 Les sèries d’aquest tipus estan relacionades amb el que estudiaràs en aquesta unitat.

3. Construeix de la mateixa manera la «sèrie de l’11» i anota’n els cinc primers termes.

4. Experimenta, amb el mateix procediment, la formació de sèries d’altres nombres.

Euclides, en els seus estudis sobre divisibilitat, va trobar dos tipus de nombres: els que resulten de multiplicar-ne altres de més petits (per exemple, 35, que és el resultat de multiplicar 5 × 7) i els que no (per exemple, 13). Als primers els va anomenar «compostos» i als segons, «primers». Nombres fora de les taules • El nombre 4, el 12, el 28 o el 40 els trobem en les taules de multiplicar: 4 = 2 · 2 12 = 3 · 4 28 = 4 · 7 40 = 5 · 8 • N’hi ha altres que són en taules que no has memoritzat, com el 22, el 33 o el 44, que són de la taula de l’11: 22 = 2 · 11  33 = 3 · 11    44 = 4 · 11 • Però n’hi ha alguns que no els trobaràs en cap taula, a part de la taula pròpia o la taula de l’1. Això els passa, per exemple, al 5, al 19 o al 23: 5 = 1 · 5    19 = 1 · 19    23 = 1 · 23

5. Busca alguns nombres més de cada un dels grups anteriors. 37


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

1. LA RELACIÓ DE DIVISIBILITAT Dos nombres compleixen la relació de divisibilitat quan un cap en l’altre una quantitat exacta de vegades; és a dir, quan el seu quocient és exacte.

Exemples • Un llistó de 60 cm es pot partir, exactament, en trossos de 15 cm. 60 15

60 00

15

15

15

15 → La divisió és exacta. → 60 és divisible per 15. 4

• Però un llistó de 60 cm no es pot partir, exactament, en trossos de 25 cm. 60 25

60 10

Relació de divisibilitat

25 → La divisió no és exacta. → 60 no és divisible per 25. 2

Ser múltiple de…, ser divisor de… Quan dos nombres compleixen la relació de divisibilitat: • el més gran és múltiple del més petit.

a b 0 c

• el més petit és divisor del més gran.

↓ divisió exacta

Exemple

a és divisible per b. a és múltiple de b.

25

b és divisor de a.

40 8 → 40 = 8 · 5 → 0 5 La divisió és exacta.

40 és múltiple de 8. 8 és divisor de 40.

• a és múltiple de b o, dit d’una altra manera,

si la divisió a : b és exacta.

• b és divisor de a 40 8

8

8

8

8

5·8 5 5 5 5 5 5 5 5 8·5

38

Els divisors van per parelles Cada divisor d’un nombre en té un altre de relacionat. 40 8 0 5 8 és divisor de 40.

40 5 0 8 5 és divisor de 40.

10


» FIXA IDEES F1. Fixa’t en aquestes divisions, copia en el teu quadern i completa:

AJUDA

5 7

b) 86 12 02 7

35 és divisible per …

86 … divisible per …

117 … divisible per …

35 és múltiple de …

86 … múltiple de …

117 … múltiple de …

560 40   És exacta. 160 14 0

5 és divisor de …

12 … divisor de …

13 … divisor de …

560 és divisible per 40.

a) 35 0

c) 117 13 0 9

F1 i F2. Observa els exemples:

F2. Comprova si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibilitat.

560 és múltiple de 40.

a) 63 i 9 63 … divisible per …

b) 78 i 13 78 … divisible per …

c) 106 i 6 106 … divisible per …

47 5

63 és … de …

78 … múltiple de …

106 … múltiple de …

47 no és divisible per 7.

9 és … de …

13 … divisor de …

6 … divisor de …

47 no és múltiple de 7.

Després, copia i completa:

40 és divisor de 560. 7 6

F3.

7 no és divisor de 47.

a) Quants autobusos necessita? Aniran tots plens?

són exactes:

Una escola contracta autobusos de 45 places per portar 294 alumnes d’excursió.

F3. Comprova si les divisions següents 294 : 45

b) I si els autobusos fossin de 42 places?

294 : 42

c) 45 és divisor de 294? I 42? d) 294 és múltiple de 45? I de 42?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 1. Pensa i contesta de manera raonada:

d) 54 és divisible per 8.

a) Es pot dividir una classe de 30 alumnes en grups de 7, sense que en sobri cap?

e) 13 està contingut un nombre exacte de vegades en 65.

b) La Marta fa passos de 60 cm. Pot recórrer 100 metres en un nombre exacte de passos?

tat exacta de vegades en 24.

c) Pot buidar-se una tina d’oli, de 1.500 litres, en un nombre exacte de garrafes de 5 litres? d) Algun mes té un nombre exacte de setmanes?

2. Digues si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibilitat:

4. Busca tots els nombres que estan continguts una quanti5. Copia i encercla de color vermell els divisors de 90 i de color blau els múltiples de 3: 5

10

15

20

30

35

45

60

75

90

6. Respon de manera raonada:

a) 224 i 16

b) 420 i 35

c) 613 i 13

a) Per què 522 és múltiple de 29?

d) 513 i 19

e) 688 i 44

f ) 2.070 i 46

b) Per què 17 és divisor de 544?

3. Digues si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

7. Copia i encercla de color vermell els múltiples de 4 i de

a) 15 està contingut exactament 4 vegades en 60.

color blau els múltiples de 10:

b) 75 està contingut exactament 3 vegades en 225.

8

10

20

24

30

45

60

75

95

120

c) 42 és divisible per 7. GeoGebra. Troba els múltiples i els divisors d’un nombre.

39


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

2. ELS MÚLTIPLES I ELS DIVISORS D’UN NOMBRE Càlcul dels múltiples d’un nombre Observa els primers múltiples de 20:

Notació Quan ens referim a un múltiple d’un nombre, el podem escriure amb un punt a sobre:

20

20 20

20 20 20

20 20 20 20

7 → múltiple de 7 a → múltiple de a •

18 = 3 → 18 és múltiple de 3.

Els nombres 20, 40, 60, 80… són divisibles per 20; és a dir, són múltiples de 20. Cada un d’aquests nombres s’obté multiplicant 20 per un nombre natural. I la sèrie pot continuar indefinidament. 20 · 1 20 · 2 20 · 3 … 20 · 6 … 20 · 10 … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 20 40 60 … 120 … 200 … • Els múltiples d’un nombre natural, a, s’obtenen en multiplicar a per qualsevol altre nombre natural k. a · k → múltiple de a • Qualsevol nombre natural, a, és múltiple d’ell mateix i de la unitat. → a · 1 = a • Un nombre diferent de zero té una quantitat infinita de múltiples.

Càlcul dels divisors d’un nombre Divisors de 18 Busquem tots els divisors de 18: : 1 = 18 → SÍ

18

Observa, ara, com calculem els divisors de 20: 20 20 11 20 000 20

20 20 22 10 000 10

20 20 44 000 55

20 20 20 20 000 11

20 20 10 10 000 22

20 20 55 000 44

: 2 = 9 → SÍ

: 3 = 6 → SÍ

: 4 → NO

: 5 → NO

: 6 = 3 → SÍ

Els nombres 1, 2, 4, 5, 10 i 20 són els divisors de 20; és a dir, són totes les quantitats entre les quals es pot dividir el 20 de forma exacta.

: 9 = 2 → SÍ

Observa, també, que formen parelles el producte de les quals és 20:

: 18 = 1 → SÍ

Els divisors de 18 són aquests: 1 2 3

18 9 6

1 ∙ 20 = 20

2 ∙ 10 = 20

• Per obtenir tots els divisors d’un nombre, a, busquem les divisions exactes: a:b=c → a = b · c → Per tant, b i c són divisors de a. a:c=b • Qualsevol nombre és divisor d’ell mateix. → a : a = 1 • L’1 és divisor de qualsevol nombre. → a : 1 = a

40

4 ∙ 5 = 20


Criteris de divisibilitat Els criteris de divisibilitat són regles pràctiques que serveixen per descobrir si un nombre és divisible per 2, 3, 5 o altres nombres senzills. Divisibilitat per 2

Exemples • 516 → xifra parell 516 és múltiple de 2. • 371 → xifra senar 371 no és múltiple de 2.

Els múltiples de 2 són els nombres parells: 2, 4, 6, 8, 10, …, 68, 70, …

Exemples

Divisibilitat per 5 i per 10

I perquè un nombre sigui parell, n’hi ha prou que ho sigui la seva última xifra. Un nombre és divisible per 2 (és múltiple de 2) si acaba en una xifra parell: 0-2-4-6-8

• 325 → és múltiple de 5. • 560 → és múltiple de 5 i de 10. • 703 → no és múltiple ni de 5 ni de 10.

Observa les sèries dels múltiples de 5 i de 10: •

5 → 5, 10, 15, 20, 25, …, 125, 130, …, 200, 205, … •

10 → 10, 20, 30, 40, …, 120, 130, …, 200, 210, … Els múltiples de 5 acaben en 0 o 5 i els de 10, en 0. • Un nombre és divisible per 5 (és múltiple de 5) si acaba en 0 o en 5. • Un nombre és divisible per 10 (és múltiple de 10) si acaba en 0. Divisibilitat per 3 i per 9

Exemples • 411 → 4 + 1 + 1 = 6

• 432 → 4 + 3 + 2 = 9

3 • 9 411 és múltiple de 3, però no de 9. 3 • 9 432 és múltiple de 3 i de 9.

• 473 → 4 + 7 + 3 = 14

3 • 9 473 no és múltiple ni de 3 ni de 9.

Agafa qualsevol múltiple de 3 i suma’n les xifres. Obtindràs un múltiple de 3. •

3 ∙ 16 = 48 → 4 + 8 = 12 → 3

3 ∙ 47 = 141 → 1 + 4 + 1 = 6 → 3

Comprova, també, que això només els passa als múltiples de 3. Agafa qualsevol múltiple de 9 i suma’n les xifres. Obtindràs un múltiple de 9. •

9 ∙ 21 = 189 → 1 + 8 + 9 = 18 → 9

9 ∙ 68 = 612 → 6 + 1 + 2 = 9 → 9

Comprova, també, que això només els passa als múltiples de 9. • Un nombre és divisible per 3 (és múltiple de 3) si la suma de les seves xifres és múltiple de 3. • Un nombre és divisible per 9 (és múltiple de 9) si la suma de les seves xifres és múltiple de 9.

Exemples • 418 → (4 + 8) – (1) = 11 418 és múltiple d’11. • 1.543 → (5 + 3) – (1 + 4) = 3 1.543 no és múltiple d’11. • 7.458 → (4 + 8) – (7 + 5) = 0 7.458 és múltiple d’11.

Divisibilitat per 11 Agafa alguns múltiples d’11, per exemple, 11 · 34 = 374 i 11 · 158 = 1.738. Ara, observa:

3+4=7

3 7 4 7–7=0 7

7 + 8 = 15

1 7 3 8 15 – 4 = 11 1+3=4

Si, en cada un, sumes, d’una banda, les xifres de les caselles vermelles i de l’altra, les de les caselles verdes i restes els resultats, obtens 0 o 11. Comprova, també, que només passa amb els múltiples d’11. Un nombre és divisible per 11 si la suma de les xifres de lloc parell menys la suma de les xifres de lloc senar és 0 o un múltiple d’11.

41


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» FIXA IDEES F4. Escriu:

A JUDA

a) Tres múltiples de 5.

b) Tres múltiples de 12.

c) Tres múltiples de 19.

d) Tres múltiples de 30.

F4. Múltiples de 13: 13 · 3 = 39

F5. Escriu els deu primers múltiples de 25. F6. a) Quin és el primer múltiple de 8 més gran que 100?

13 · 5 = 65 13 · 11 = 143

b) Quin és l’últim múltiple de 8 abans de 1.000?

13 · … = …

F7. Busca tots els múltiples de 7 compresos entre 300 i 360. F8. Troba, mentalment, els divisors de cada un d’aquests nombres:

més gran que 150?

a) 8

b) 12

c) 15

d) 20

F6. Quin és el primer múltiple de 13 150 13 020 11 07

e) 28

1

2

3

4

6

8

12

8

F9. Quin és el nombre els divisors del qual són els següents? 24

13 · 11 = 143 < 150 13 · 12 = 156 > 150

F10. Observa i contesta les preguntes que trobaràs a continuació: 44 0

1 44 44 4

44 0 5 8

2 22 44 2

44 2 6 7

3 14

44 0 44 2

4 11

7 6

a) Escriu sis divisors de 44. b) El nombre 44 té altres divisors, a més dels anteriors?

F11. Quins d’aquests nombres són parells? I divisibles per 2? 21 - 28 - 45 - 59 - 80 - 88 - 146 - 255 - 270 - 299

F12. Copia aquests nombres i subratlla els que siguin múltiples de 5: 60 - 72 - 80 - 85 - 100 - 103 - 130 - 155 - 210 Quins dels nombres que has subratllat són també múltiples de 10?

F13. Quins d’aquests nombres són divisibles per 3? I per 9? 19 - 45 - 63 - 83 - 105 - 145 - 209 - 513 - 666 - 909 Què observes?

F14. Recorda el criteri de divisibilitat per 11 i identifica quins dels nombres següents són múltiples d’11: a

b

c 8 a + c – b = 0 o 11

110 - 111 - 155 - 187 - 209 - 398 - 759 - 606

42

F8 i F9. Divisors de 14: 1

2

7

14

F10. Si divideixes 44 entre nombres

més grans (8, 9, 10…), obtindràs quocients més petits. Les úniques divisions exactes seran les següents, en què hem intercanviat el divisor i el quocient de les divisions exactes de l’activitat: 44 0

11 4

44 0

22 2

44 0

44 1

F11. 516 → Acaba en xifra parell. És múltiple de 2.

F12. 325 → Acaba en 5. És múltiple de 5, però no de 10.

560 → Acaba en 0. És múltiple de 5 i de 10.

F13. 411 → 4 + 1 + 1 = 6 → És múltiple de 3 però no de 9.

990 → 9 + 9 + 0 = 18 → És múltiple de 3 i de 9.


3. NOMBRES PRIMERS I NOMBRES COMPOSTOS Els divisors d’un nombre permeten expressar-lo en forma de producte.

Exemple Descomposicions de 18 → 18 = 2 · 9 → 18 = 3 · 6 → 18 = 2 · 3 · 3

Z ]]18 = 2 · 9 DIVISORS n→ 18 → "d " [18 = 3 · 6 1 - 2 - 3 - 6 - 9 - 18 ]18 = 2 · 3 · 3 \ Els nombres que, com el 18, es poden descompondre en factors més senzills s’anomenen nombres compostos. Hi ha nombres, en canvi, que només tenen dos divisors (el mateix nombre i la unitat), de manera que no és possible fer-ne la descomposició.

Exemple El 13 no es pot descompondre 13 = 13 · 1

13 → "d

n→ " 13 = 13 · 1

DIVISORS

1 - 13

Els nombres que, com el 13, no es poden descompondre en factors més senzills s’anomenen nombres primers. Un nombre primer només té dos divisors: ell mateix i la unitat. Fixa’t en els nombres que s’han marcat en la taula: — Els múltiples de 2 (•) excepte el 2. — Els múltiples de 3 (•) excepte el 3.

1 7

— Els múltiples de 5 (•) excepte el 5.

13

— …i així, successivament, amb els múltiples de 7 (⊕); d’11 (*); de 13 (▲); …

19

25 •

2

3

8 9 • • 14 15 •⊕ •• 20 21⊕ •• • 26 27 •▲ •

4 • 10 •• 16 • 22 •* 28⊕ •

5

6 ••

12 •• 17 18 •• 23 24 •• 29 30 ••• 11

Els nombres que han quedat sense marcar i que hem encerclat són els nombres primers més petits que 30. Comprova que cap no es pot descompondre en factors.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

El nombre 1, com que només té un divisor, no es considera primer. Qualsevol altre nombre o bé és primer o bé és compost.

8. Classifica en nombres primers i nombres compostos: 5 8 11 15 21 28 31 33 45 49

9. Entre aquests nombres, busca els dos que són primers i expressa els compostos com un producte de dos factors. 47 57 67 77 87

10. Busca tots els nombres primers més petits que 60. Són disset en total. GeoGebra. Classifica en nombres primers i compostos.

11. Vertader o fals? a) El nombre 1 no és ni primer ni compost. b) Un nombre, si és senar, és primer. c) Tots els nombres primers, excepte el 2, són senars.

12. Descompon el nombre 100: a) En dos factors. b) En tres factors. c) En tants factors com sigui possible.

43


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

4. DESCOMPOSICIÓ D’UN NOMBRE EN FACTORS PRIMERS

Un nombre, si no és primer, es pot descompondre en factors, i aquests, al seu torn, en altres factors, fins que tots siguin primers. Vegem dues maneres d’aconseguir aquesta factorització: • Si el nombre és petit, pots fer servir el càlcul mental.

Exemple Descomposició de 36 en factors primers. 36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32 • Si els nombres són més grans, cal actuar amb mètode, tenint en compte els criteris de divisibilitat.

Exemple Descomposicions de 792

Descomposició de 792 en factors primers.

quocients factors parcials primers 792 2 792 : 2   → 396 2 396 : 2   → 198 2 198 : 2   →  99 3   99 : 3   →  33 3   33 : 3   →  11 11   11 : 11  →   1 792 = 23 · 32 · 11

792 és divisible per 2 →  792 =

2 · 396

396 és divisible per 2 →  792 =

2 · 2 · 198

198 és divisible per 2 →  792 =

2 · 2 · 2 · 99

99 és divisible per 3 →  792 =

2 · 2 · 2 · 3 · 33

33 és divisible per 3 →  792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11

Com que l’últim factor (11) és un nombre primer, hem acabat la descomposició: 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11 = 23 · 32 · 11 Tot el procés se sol abreujar com s’indica al marge. Per descompondre un nombre en factors primers (factoritzar), el dividim entre els seus factors primers: primer, entre 2 tantes vegades com sigui possible; després, entre 3, entre 5…, i així, successivament, fins a obtenir 1 en el quocient.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

13. Calcula mentalment i completa en el teu quadern la descomposició en factors d’aquests nombres:

80

8 × 10

×

×

×

4 2 7 42 = …

100 25 × ×

×

×

×

14. Descompon com en l’exemple: • 24 = 6 · 4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 23 · 3 a) 18 b) 20 c) 40 d) 72

16. Copia, completa i descompon en factors primers: 9 0 3 1 90 = …

1 2 6 2 1 1 126 = …

17. Descompon en factors primers: e) 150

f ) 240

a) 45

b) 60

c) 76

d) 81

e) 88

15. A quins nombres corresponen aquestes descomposi-

18. Escriu com a producte de nombres primers: a) 170

b) 350

c) 580

a) 22 · 32 · 5

d) 888

e) 1.024

f ) 1.296

cions factorials?

44

b) 2 · 5 · 13

c) 2 · 52 · 7

f ) 98


Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus múltiples? Una altra manera d’obtenir els divisors d’un nombre

Compara els divisors primers de 40 amb els d’alguns dels seus múltiples: 40 =

2·2·2·5

40 · 3 = 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5

Amb el nombre descompost en factors, busquem tots els productes possibles entre si. Per exemple, calculem els divisors de 40: 40 = 1 · 2 · 2 · 2 · 5 1=1 2=2 5=5 2·2=4 2 · 5 = 10 2·2·2=8 2 · 2 · 5 = 20 2 · 2 · 2 · 5 = 40

40 · 5 = 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 40 · 6 = 240 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5

Un múltiple de 40 conté tots els factors primers de 40.

En la descomposició de qualsevol dels múltiples d’un nombre apareixen tots els factors primers del nombre (i, generalment, alguns més).

Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus divisors? Compara, ara, els factors primers de 40 amb els d’alguns dels seus divisors: 40 = 40 = 8 · 5 = 40 = 4 · 10 = 40 = 2 · 20 =

2·2·2·5 2·2·2 · 5 2·2 · 2·5 2 · 2·2·5

Un divisor de 40 conté alguns dels factors primers de 40.

En la descomposició de qualsevol dels divisors d’un nombre apareixen alguns factors primers del nombre (generalment, no tots) i no apareix cap factor més.

» FIXA IDEES F15. Contesta, sense fer cap operació, i raona les respostes: a) 8 = 2 · 2 · 2 b) 15 = 3 · 5 36 = 2 · 2 · 3 · 3 90 = 2 · 3 · 3 · 5 8 és divisor de 36? 15 és divisor de 90? c) 84 = 2 · 2 · 3 · 7 d) 104 = 2 · 2 · 2 · 13 6 = 2 · 3 12 = 2 · 2 · 3 84 és múltiple de 6? 104 és múltiple de 12?

F16. Tenint en compte la descomposició en factors de 126, esbrina, a simple vista, quins dels nombres que apareixen a continuació són divisors de 126, quins són múltiples de 126 i quins no són ni divisors ni múltiples: 126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32 · 7 a) 4 = 22

b) 14 = 2 · 7

c) 18 = 2 · 32

d) 21 = 3 · 7

e) 28 = 22 · 7

f ) 42 = 2 · 3 · 7

g) 252 = 22 · 32 · 7

h) 180 = 22 · 32 · 5

i) 882 = 2 · 32 · 72

F17. Escriu factoritzats, sense fer operacions: a) Tres divisors de 72 = 23 · 32.

b) Tres múltiples de 45 = 32 · 5.

GeoGebra. Descompon factorialment un nombre.

A JUDA

F15 i F16. • 18 és divisor de 90, perquè

tots els factors primers de 18 apareixen en 90. 18 = 2 · 3 · 3 90 = 2 · 3 · 3 · 5

• 210 és múltiple de 15 perquè conté tots els factors primers de 15. 210 = 2 · 3 · 5 · 7 15 = 3 · 5

F17. • Dos múltiples de 28 = 2· 2·2·7 56

2·2·7

3· 2·2·7 84

• Dos divisors de 84 = 2 · 2 · 3 · 7 2·2 ·3·7 4

2· 2·3 ·7 6

45


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE La resolució d’alguns problemes exigeix la utilització dels múltiples comuns de diferents nombres.

Exemple TAXI

En una companyia de taxis, renten els cotxes cada 4 dies i revisen el nivell de l’oli cada 6 dies. Cada quants dies coincideixen en un cotxe les dues tasques de manteniment?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Les dues tasques coincideixen els dies que són múltiples comuns de 4 i 6 i es repeteixen cada 12 dies. 12 24 36 48 … +12

+12

+12

+12

  

El més petit d’aquests múltiples comuns és 12 i rep el nom de mínim comú múltiple de 4 i 6.

Càlcul del MCM (4, 6) múltiples → 4 8 12 16 20 24 de 4 múltiples → 6 12 18 24 30 36 de 6 múltiples4 → 12, 24, 36, 48… comuns MCM (4, 6) = 12

El més petit dels múltiples comuns de dos o més nombres, a, b, c… s’anomena mínim comú múltiple i s’expressa així: MCM (a, b, c…)

Càlcul del mínim comú múltiple (mètode artesanal) Per obtenir el mínim comú múltiple de dos nombres: • Escrivim els múltiples de cada un. • Agafem els nombres comuns. • Ens quedem amb el més petit.

» FIXA IDEES F18. Copia, observa i completa a primer cop d’ull: a) Múltiples de 6 → 6 12 18 24 30 36 42 48 54 … Múltiples de 8 → 8 16 24 32 40 48 56 … MCM (6, 8) = … b) Múltiples de 9 → 9 18 27 36 45 54 63 72 … Múltiples de 12 → 12 24 36 48 60 72 84 … MCM (9, 12) = …

F19. Calcula com en l’activitat anterior: a) MCM (5, 8)

46

b) MCM (12, 15)

c) MCM (30, 40)

EXEMPLE

Càlcul del mínim comú múltiple de 10 i de 15. •

10 → 10 20 30 40 50 60 70 … • 15 → 15 30 45 60 75 90 105 … Múltiples comuns → 30, 60, 90… El més petit dels múltiples comuns de 10 i 15 és 30. MCM (10, 15) = 30


Càlcul del mínim comú múltiple (mètode òptim) El mètode anterior resulta apropiat per a nombres senzills, però es complica massa amb nombres grans. Observa una altra manera de calcular el mínim comú múltiple amb els nombres descompostos en factors primers.

Exemple Mètode artesanal

Càlcul del MCM (20, 30). • Primer pas: descompondre en factors primers.

múltiples → 20 40 60 80 … de 20 múltiples → 30 60 90 120 … de 30 MCM (20, 30) = 60

Tingues en compte Quan un dels nombres és múltiple de l’altre, el MCM és el més gran. Exemple: MCM (15, 30) = 30 Comprova-ho. 15 = 3 · 5 30 = 2 · 3 · 5 15 3·5 MCM (15, 30) = 2 · 3 · 5 = 30 2·3·5 30

2 1

0 0 5 1

2 2 5

3 1 20 = 22 · 5

0 5 5 1

2 3 5

30 = 2 · 3 · 5

• Segon pas: escollir els factors primers del MCM. Com que el MCM ha de ser el múltiple més petit possible de 20 i de 30, has d’agafar: 20 — Tots els factors primers de 20. 2·2·5 — Tots els factors primers de 30. MCM (20, 30) = 2·2·3·5 —E  l mínim nombre de factors que sigui possible. 2·3·5 30 Comprova que tots els factors escollits són imprescindibles, ja que, si en suprimim algun, deixa de ser múltiple d’algun dels nombres. • Tercer pas: calcular, finalment, el MCM. MCM (20, 30) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60 Per calcular el mínim comú múltiple de diferents nombres: 1. Es descomponen els nombres en factors primers. 2. Se n’agafen tots els factors primers (comuns i no comuns) elevats a l’ex­po­ nent més gran. 3. Es multipliquen els factors escollits. PROBLEMA RESOLT

Càlcul del MCM (45, 40) 4 1

5 5 5 1

3 3 5

4 2 1

0 0 0 5 1

2 2 2 5

MCM (45, 40) = 23 · 32 · 5 = 360

Un distribuïdor d’electrodomèstics ha de carregar dos palets, un amb rentaplats de 45 kg i un altre amb frigorífics de 40 kg, de manera que tots dos pesin el mateix i el menys possible. Quant pesarà cada palet? La càrrega d’un palet serà el múltiple comú més petit possible de 45 kg i de 40 kg, és a dir, el seu mínim comú múltiple. 360 : 45 = 8 rentavaixelles MCM (45, 40) = 360 kg * 360 : 40 = 9 frigorífics Solució: C  ada palet pesarà 360 kg, un amb 8 rentaplats i l’altre amb 9 frigorífics.

GeoGebra. Calcula el MCM de dos nombres.

47


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» FIXA IDEES F20. Copia i completa:

EXEMPLE

18 = 2 $ 3 2 4 MCM (18, 24) = 2 · 3 = … 24 = 2 3 $ 3

30 =

·

·

Càlcul del mínim comú múltiple de 28 i 42. 28 2·2·7 28 = 2 $ 2 $ 7 3 2·2·3·7 42 = 2 $ 3 $ 7 2·3·7 42

45 =

·

MCM (28, 42) = 22 · 3 · 7 = 84

49 = 7 2 4 MCM (49, 63) = 3 · 7 = … 63 = 3 2 $ 7

F21. Copia i completa per calcular el mínim comú múltiple de 30 i 45: 3 0

4 5

MCM (30, 45) = …

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 19. Copia, observa i completa a primer cop d’ull: •

a) a = 4 b = 8

15 → 15 30 45 60 75 90 105 … •

25 → 25 50 75 100 125 150 …

20. Calcula com en l’activitat anterior: a) MCM (20, 25)

b) MCM (12, 24)

c) MCM (50, 75)

d) MCM (200, 300)

21. Calcula mentalment: a) MCM (6, 9)

b) MCM (6, 12)

c) MCM (5, 10)

d) MCM (15, 20)

22. Observa, completa en el teu quadern i calcula: 0 5 5 1

2 3 5

4 0 2 0 1

_ 30 = 2 · 3 · 5 b b MCM (30, 40) = … 40 = … ` b MCM (40, 54) = … 54 = … a

5 4 1

23. Calcula el MCM (a, b) en cada cas: a) a = 2 . 5 . 11 b = 3 . 5 . 11

48

b) a = 24 . 5 b = 22 . 52

b) a = 5 b = 10

c) a = 4 b = 12

d) a = 6 b = 18

25. Calcula:

MCM (15, 25) = …

3 1

24. Calcula el MCM (a, b) en cada cas. Què observes?

c) a = 24 . 32 b = 22 . 3 . 5

a) MCM (28, 35)

b) MCM (35, 40)

c) MCM (36, 54)

d) MCM (42, 63)

e) MCM (72, 108)

f ) MCM (99, 165)

26. Una fàbrica envia mercaderia a Castelló cada 6 dies i a Eivissa cada 8 dies. Avui han coincidit tots dos enviaments. Quan tornaran a coincidir?

27. S’han construït dues columnes de la mateixa alçària: la

primera apilant cubs de 40 cm d’aresta i la segona apilant cubs de 30 cm d’aresta. Quina alçària assoliran sabent que superen els 2 metres, però no arriben a 3?

28. L’autobús de la línia vermella passa per la parada, da-

vant de casa meva, cada 20 minuts i el de la línia verda, cada 30 minuts. Si tots dos passen a les dues de la tarda, a quina hora tornaran a coincidir?

29. En Juli compta de 4 en 4, l’Anna de 6 en 6 i la Sofia de

10 en 10. Quins són els tres primers nombres en els quals coincideixen?


6. MÀXIM COMÚ DIVISOR També trobaràs problemes que exigeixen la utilització dels divisors comuns de diferents nombres. Vegem-ne un exemple:

Exemple S’han de col·locar suports per a testos, a intervals iguals, a les cantonades i les vores d’un pati de 8 × 12 metres. A quina distància s’ha de col·locar un suport del següent suport? Temptejant, es troben tres possibles solucions:

A 1 metre de distància.

Càlcul del MCD (8, 12) divisors →1 2 4 8 de 8

A 4 metres de distància.

Les solucions coincideixen amb els divisors comuns de 8 i 12: 1-2-4 El més gran d’aquests divisors comuns és 4 i rep el nom de màxim comú divisor de 8 i 12. El més gran dels divisors comuns de dos o més nombres (a, b, c…) s’anomena màxim comú divisor i s’expressa així:

divisors → 1 2 3 4 6 12 de 12 divisors 4→ 1 - 2 - 4 comuns

A 2 metres de distància.

MCD (a, b, c…)

Càlcul del màxim comú divisor (mètode artesanal) Per obtenir el màxim comú divisor de dos nombres: • Escrivim els divisors de cada nombre. • Agafem els nombres comuns. • Ens quedem amb el més gran.

MCD (8, 12) = 4

» FIXA IDEES

F22. Copia, observa i completa a primer cop d’ull: a) Divisors de 12 → 1 2 3 4 6 12 Divisors de 16 → 1 2 4 8 16 MCD (12, 16) = … b) Divisors de 15 → 1 3 5 15 Divisors de 20 → 1 2 4 5 10 20 MCD (15, 20) = …

F23. Calcula com en l’activitat anterior: a) MCD (6, 8)

b) MCD (8, 20)

c) MCD (10, 15)

d) MCD (12, 24)

EXEMPLE

Càlcul del màxim comú divisor de 20 i 30. Divisors de 20 1

2

4

5

10

1

2

3

5

6

20 10

15

30

Divisors de 30 Divisors comuns → 1 - 2 - 5 - 10 El més gran dels divisors comuns és 10. MCD (20, 30) = 10

49


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT Càlcul del màxim comú divisor (mètode òptim) El mètode que has après en la pàgina anterior resulta adequat per a nombres senzills. En casos més complicats, resulta molt més còmode utilitzar la descomposició en factors, com es mostra a continuació:

Exemple Càlcul del MCD (40, 60).

Mètode artesanal

• Primer pas: descompondre en factors primers.

Divisors de 40 1 2 4 5 8 10 20 40 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 Divisors de 60

MCD (40, 60) = 20

4 2 1

0 0 0 5 1

2 2 2 5

6 3 40 = 23 · 5 1

0 0 5 5 1

2 2 3 5

60 = 22 · 3 · 5

• Segon pas: escollir els factors primers del MCD. Com que el MCD ha de ser el divisor més gran possible de 40 i de 60, has d’agafar: 40 = 2 · 2 · 2 · 5 — Els factors comuns de 40 i 60. 60 = 2 · 2 · 3 · 5 — No has d’agafar cap factor no comú. — Tants factors com sigui possible. MCD: (40, 60) = 2 · 2 · 5

Tingues en compte Quan un dels nombres és múltiple de l’altre, el MCD és el més petit. Exemple: MCD (15, 30) = 15 Comprova-ho. 15 =   3 · 5 30 = 2 · 3 · 5 MCD (15, 30) = 3 · 5 = 15

Càlcul del MCD (200, 260) 2 1

0 0 5 2

0 0 0 5 5 1

2 2 2 5 5

2 1

6 3 6 1

MCD (40, 60) = 2 · 2 · 5 = 20 Per calcular el màxim comú divisor de diferents nombres: 1. Es descomponen els nombres en factors primers. 2. S’agafen només els factors primers comuns, elevats a l’exponent més petit. 3. Es multipliquen els factors escollits.

PROBLEMA RESOLT 0 0 5 3 1

MCD (200, 260) = 22 · 5 = 20

50

• Tercer pas: calcular, finalment, el MCD.

2 2 5 13

En un magatzem volen envasar, per a la seva distribució, 200 kg de pomes i 260 kg de taronges en caixes del mateix pes i de la càrrega més gran possible. Quants quilos han de posar en cada caixa? El pes d’una caixa ha de ser el divisor comú més gran possible de 200 i 260, i a més el més gran possible, és a dir, el seu màxim comú divisor. 200 : 20 = 10 caixes de pomes MCD (200, 260) = 20 kg * 260 : 20 = 13 caixes de taronges Solució: Cada caixa pesarà 20 kg i ompliran 10 caixes de pomes i 13 de taronges. GeoGebra. Calcula el MCD de dos nombres.


» FIXA IDEES F24. Copia i completa:

EXEMPLE

40 = 2 $ 2 $ 2 $ 5 3 MCD (40, 50) = 50 = 2 $ 5 $ 5

·

Càlcul del màxim comú divisor de 60 i 72:

=…

60 = 2 · 2 · 3 · 5 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

54 = 2 $ 3 3 4 MCD (54, 90) = 2 · 3 = … 90 = 2 $ 3 2 $ 5

60 = 2 2 $ 3 $ 5 72 = 2 3 $ 3 2

F25. Copia i completa per calcular el màxim comú divisor de 90 i 315:

9 0 1

3 1 5 1

2

3

  ·

90 = 2 ·

315 = 3 ·

MCD (60, 72) = 22 · 3 = 12 ·

MCD (90, 315) = …

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 30. Observa i completa a primer cop d’ull:

35. Calcula:

Div. de 24 →    1   2    3 4 6 8 12 24 Div. de 30 →    1   2    3 5 6 10 15 30

a) MCD (20, 24)

b) MCD (24, 36)

c) MCD (54, 60)

d) MCD (56, 70)

MCD (24, 30) = …

e) MCD (120, 144)

f ) MCD (140, 180)

31. Calcula seguint el criteri de l’activitat anterior:

36. Calcula el MCD (a, b) en cada cas. Què observes?

a) MCD (10, 15)

b) MCD (12, 18)

c) MCD (16, 24)

d) MCD (30, 45)

a) a = 4 b = 8

b) MCD (6, 9)

c) MCD (30, 40)

d) MCD (50, 75) 1 0 0 5 0 1

38. La propietària d’un restaurant compra un bidó de 80 li2

34. Calcula el MCD (a, b) en cada cas: a) a = 3 · 5 · 11 b = 2 · 5 · 11

d) a = 6 b = 18

buixar-hi una quadrícula tan gran com sigui possible en la qual no hi hagi quadrats fraccionats. Quina ha de ser la mida dels quadrats?

33. Completa en el teu quadern i calcula: 6 0 2 9 0 2 3 0 4 5 1 1 _ 60 = 2 ·…b MCD (60, 90) = … b 90 = 2 ·…` MCD (60, 100) = … 100 = 2 ·…b MCD (90, 100) = … a

c) a = 4 b = 12

37. Suposa que tens un full de 30 cm × 21 cm i vols di-

32. Calcula mentalment: a) MCD (3, 9)

b) a = 5 b = 10

b) a = 23 · 52 c) a = 22 · 7 · 13 b = 22 · 52 · 7 b = 2 · 32 · 13

tres d’oli d’oliva i un altre de 60 litres d’oli de gira-sol i vol envasar-los en garrafes iguals, tan grosses com sigui possible, i sense barrejar-los. Quina serà la capacitat de les garrafes?

39. Un fuster té dos llistons de 180 cm i 240 cm, respectiva-

ment, i vol tallar-los en trossos iguals, tan llargs com sigui possible, sense desaprofitar fusta. Quina ha de ser la mida de cada tros?

51


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Múltiples i divisors

Nombres primers i compostos

1.

10.

Escriu:

a) Els múltiples de 20 compresos entre 150 i 210. b) Un múltiple de 13 comprès entre 190 i 200.

14

17

28

29

47

53

c) Tots els parells de nombres el producte dels quals és 80.

57

63

71

79

91

99

2.

Busca tots els divisors dels nombres següents:

a) 10

b) 18

c) 20

d) 24

e) 28

f ) 30

g) 39

h) 45

i) 50

De quantes maneres diferents es poden envasar 60 bombons en capses amb el mateix nombre d’unitats en cada una sense que en sobri cap?

4.

Busca totes les formes possibles de fer grups iguals amb 72 terrossos de sucre.

El nombre 899 només té quatre divisors; un és el nombre 31. Expressa el nombre 899 com a producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat. Descompon en factors primers aquests nombres:

a) 54

b) 140

c) 200

d) 380

13.

Busca el primer nombre, més gran que 160, que no es pugui expressar com el producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.

14.

Esbrina si el nombre 203 és primer o compost. Justifica la teva resposta.

15.

Per saber si el nombre 223 és primer, n’hi ha prou de comprovar que no és divisible per cap dels nombres primers fins al 17. Per què?

Criteris de divisibilitat 5.

11. 12.

3.

Escriu:

a) Un nombre de tres xifres que sigui divisible per 3. b) Un nombre de quatre xifres que sigui divisible per 5.

Mínim comú múltiple i màxim comú divisor

c) Un nombre de cinc xifres que sigui divisible per 9.

16.

6.

Substitueix cada lletra per una xifra, perquè el nombre resultant sigui divisible per 3: A51

2B8

32C

52D

1E8

7.

Busca, en cada cas, tots els valors possibles de a per tal que el nombre resultant sigui, al mateix temps, múltiple de 2 i de 3. 4

8.

a

3

2

a

2

4

a

Investiga i descriu:

a) Les condicions que ha de complir un nombre per ser múltiple de 6. b) El criteri de divisibilitat per 100.

9.

Un any és de traspàs si és múltiple de quatre, però no de 100. Quins són els tres pròxims anys de traspàs?

52

Copia els nombres i indica quins són primers i quins són compostos:

da cas:

Obtén mentalment tres múltiples comuns en ca-

a) 4 i 5

b) 10 i 12

c) 15 i 25

d) 20 i 40

e) 100 i 150

f ) 20, 25 i 30

17.

El mínim comú múltiple de dos nombres és 15. Quins poden ser aquests nombres?

18.

Calcula el MCM i el MCD:

a) 25 i 75

b) 42 i 76

c) 81 i 99

d) 132 i 176

e) 12, 18 i 24

f ) 30, 45 i 75

Resol problemes 19.

El producte de dos nombres diferents de la unitat és 77. Quina és la seva diferència?

20.

El producte de tres nombres diferents de la unitat és 75. Quina és la seva suma?


21.

Busca el nombre més petit que en dividir-lo entre 10 i entre 12 té un residu de 5.

22.

Avui és 15 de març i dilluns. Quin dia de la setmana serà el 15 de maig?

23.

26.

Els assistents a la reunió setmanal d’un club so­ cial es poden agrupar per parelles per ballar, en trios per fer manualitats i de quatre en quatre per jugar al mus. En cap d’aquests casos no queda ningú desagrupat. Quantes persones són si gairebé arriben a 25?

En una fruiteria envasen sucs de taronja i de poma en caixes amb el mateix nombre d’ampolles. Quantes ampolles hi ha en cada caixa si un client ha rebut 15 ampolles de suc de taronja i 12 de suc de poma?

27.

24. 

28.

  PROBLEMA

RESOLT

Estudia els casos possibles i comprova quins compleixen les condicions del problema.

Una fornada de magdalenes s’envasa en bosses de 6 unitats i una altra d’igual, en bosses de 10 unitats, sense que en sobri cap en tots dos casos. Quantes magdalenes surten en cada fornada si s’han omplert gairebé 50 bosses?

Volem tallar una cartolina de 48 cm × 60 cm en targetes quadrades que tinguin entre 5 i 10 cm de costat. Quina ha de ser la mida de les targetes per no desaprofitar la cartolina? Els trens a Vall de Dalt surten cada 18 min i els de Vall de Baix, cada 24 min. Si són les 15 h 45 min i surten alhora, quan tornaran a coincidir?

29.

La caixa d’un supermercat té, en el moment d’obrir, uns quants cartutxos de deu monedes d’1 €. El caixer fa comptes i calcula que es podrien empaquetar, també, en cartutxos de quinze. Quantes monedes hi ha si són més de 100 però menys de 150?

30. El nombre de magdalenes de cada fornada és un múltiple co­ mú de 6 i de 10 i, per tant, del seu mínim comú múltiple: MCM (6, 10) = 30 Els múltiples comuns de 6 i 10 són: 30 - 60 - 90 - 120 - 150 - … Copia la taula següent en el teu quadern i acaba el problema: nombre de magdalenes per fornada

nombre de bosses de 6 unitats

nombre de bosses de 10 unitats

nombre total de bosses

30

5

3

8

60

10

6

16

90

15

9

24

120

150

180

25.

L’Anna ha tret del forn dues safates: una amb 36 brioixos i una altra amb 48 palmeres. Vol repartir els brioi­xos, d’una banda, i les palmeres, de l’altra, en bosses, totes amb el mateix nombre de peces i amb un mínim de 5  peces per bossa. Quantes peces ha de posar en cada bossa? Indica’n totes les possibilitats.

En Joan envasa 60 bombons en capses iguals i 60 més en capses més petites, amb 5 bombons menys en cada una. Quantes capses ha omplert si de les petites n’hi ha una més que de les grosses?

31.

Un comerciant de roba rep una partida de camises a 24 € la unitat. Una amiga seva, que té una botiga en un altre barri, rep una partida de pantalons a 45 €. Es posen en contacte i decideixen intercanviar part de les seves mercaderies per millorar l’oferta dels seus negocis. En quines condicions faran l’intercanvi?

Problemes «+» 32.

En una escola de bàsquet hi havia 20 equips. A causa d’una retallada de pressupost, s’han suprimit quatre equips i s’han distribuït els jugadors entre els altres. Així, cada equip ha augmentat en dos jugadors. Quants jugadors i jugadores hi ha en total?

33.

Una grangera, després de recollir en una cistella gairebé 100 ous de les seves gallines, pensa: Si els envaso en dotzenes, me’n sobren 3, però si en tingués un més, podria envasar-los exactament en oueres de 10. Quants ous té?

53


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT REFORMES EN UN RESTAURANT La Marta és una professional que es dedica a decorar interiors i ha estat contractada per reformar un restaurant de la ciutat. L’amo de l’establiment li ha encarregat un disseny estètic i, al mateix temps, funcional.

1.   Esbós del projecte La Marta visita el restaurant per fer l’esbós del projecte. El restaurant obre puntualment, de dotze a quatre i de dos quarts de cinc a onze de la nit. Per desplaçar-se ha fet servir el transport públic. Hi ha dues línies d’autobús que tenen el seu origen al costat del restaurant i surten a les vuit del matí i funcionen, ininterrompudament, fins a les deu del vespre: la línia vermella, cada 15 minuts, i la verda, cada 25. El restaurant té una terrassa que, des de mitjan abril fins a mitjan setembre, col·loca una dotzena de taules sota una dotzena i mitja de para-sols. a) Si és la una i dotze minuts, quant fa que ha obert el restaurant? b) Quantes vegades, al llarg del dia, para l’autobús de la línia vermella? c) Si els autobusos de les dues línies coincideixen a la parada d’origen a les vuit del matí, a quina hora tornaran a coincidir? d) L’amo del restaurant també vol renovar els para-sols de la terrassa. Si la Marta ha fet un pressupost de 1.692 euros, quant costa cada para-sol? e) Durant quants dies està instal·lada la terrassa del restaurant cada any?

2.   Empaperar la recepció La Marta aconsella a l’amo empaperar la recepció del restaurant amb un paper decoratiu, perquè li surti més econòmic. Ha encarregat un rotllo de paper continu d’1 metre d’ample i de diferents longituds: 14 i 18 metres. Per tal que ni sobri ni falti paper, el pintor ha tallat els rotllos de paper a trossos iguals. a) El pintor ha decidit fer-ne trossos de la mida més gran possible. Quina és aquesta mida? b) Quants trossos de paper li sortiran de cada rotllo?

54


3.   Endreçar el magatzem Un altre encàrrec que rep la Marta és organitzar i endreçar el magatzem del restaurant, ple de condiments i productes que fan servir els cuiners per preparar els plats. Al magatzem també hi ha molts pots de llegums i verdures: 136 kg de cigrons, 208 kg de llenties i 148 kg de mongetes. La Marta ha demanat al mosso de magatzem que desi els pots en capses iguals, que continguin el mateix pes i el màxim nombre possible de quilos d’un sol producte.

a) Quants quilos podrà desar en cada capsa? b) Quantes capses prepararà que continguin cigrons? c) I quantes en prepararà amb llenties? d) I amb mongetes? A partir de les dades d’aquesta activitat, pensa una altra pregunta per plantejar-la a un company o companya de classe. Primer l’has de resoldre tu per comprovar que estigui ben plantejada i per saber quina és la resposta correcta. Al magatzem falten unes quantes prestatgeries per col·locarhi els ingredients que fan servir els cuiners i la Marta decideix encarregar-les a un fuster. El fuster, per construir una prestatgeria, necessita el material següent: • 2 taulons llargs • 24 claus grossos • 6 taulons curts • 4 escaires El fuster té, al seu taller, el material següent: • 13 taulons llargs • 145 claus grossos • 41 taulons curts • 27 escaires e) Quantes prestatgeries podrà fer? Primer de tot, determina quants elements necessita el fuster per fer una prestatgeria i fes una taula amb tot el material que necessita per fer més d’una prestatgeria.

55


UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX Els primers valen diners

El 101 és el protagonista

Els nombres primers s’utilitzen per a la construcció de les claus que protegeixen els comptes bancaris, els ordinadors, els telèfons mòbils, la informació que circula per internet, etc.

• Què li passa a un nombre de dues xifres si el multipliquem per 101? Comprova-ho.

De fet, per elaborar una clau, es necessiten dos nombres primers secrets.

Fixa’t en altres casos i verifica que sempre passa el mateix.

Per això, el que descobreix nous nombres primers descobreix un tresor cobejat per empreses informàtiques i de comunicacions, disposades a comprar-los a preus elevats.

• Què tenen en comú tots els nombres de quatre xifres que es formen repetint alternativament dues xifres?

29 × 101 = ?

Però els fàcils ja s’han descobert i els nous són molt difícils de trobar. • Busca el primer nombre primer més gran que 1.000.

4 5 4 5

8 7 8 7

1 3 1 3

4 3 4 3

» INVESTIGA Divisibilitat i geometria Ja has vist en altres ocasions com les característiques i les propietats dels nombres es reflecteixen en relacions i propietats geomètriques. Observa ara com la descomposició factorial d’un nombre, per exemple el 24, està relacionada amb les possibilitats de construir prismes amb un conjunt de 24 daus (cubs unitaris): 1 × 24 2×2×6 2 × 12

24 = 2 · 2 · 2 · 3

2×2×2

3×8 2×3×4 4×6 2×2×2×3

• Quants prismes diferents es poden construir amb 12 daus unitaris? • I amb un conjunt de 60 daus?

56


» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES Fes comptes, fes proves • En un restaurant s’inverteixen 300 € en la compra de plats i la mateixa quantitat en la compra de tasses. Si una tassa costa un euro més que un plat i ha comprat 15 plats més que tasses, quants plats i quantes tasses s’han adquirit? • A la via morta, M, hi cap un vagó, A o B, però no la locomotora, L. Com ho faries per canviar entre si les posicions dels vagons?

Utilitza un esquema com el següent per explicar els moviments necessaris: M

M

M

A L

LA

B

A

B

B

L

» POSA’T A PROVA 1. Busca, entre els nombres següents, quatre parells de nombres que compleixin la relació de divisibilitat: 6

15

35

80

90

240

2. Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

a) 60 és divisible per 15. b) 7 és múltiple de 21. c) 12 és divisor de 120. d) 162 és múltiple de 8.

3. Escriu: a) Els múltiples de 12 compresos entre 50 i 100. b) Tots els divisors de 90.

4. Troba aquests nombres: a) El primer múltiple de 13, després de 1.000. b) L’últim múltiple d’11, abans de 1.000.

5. Completa en el teu quadern: a) Un nombre és múltiple de 3 quan… b) Un nombre és divisible per 5 quan… c) Un nombre és múltiple de 9 quan…

6. Escriu, ordenats, tots els nombres primers més petits que 50.

7. Esbrina si els nombres següents són primers o compostos: a) 101

b) 147

c) 247

8. Descompon en factors primers: a) 36

b) 48

c) 396

9. Calcula: a) MCM (36, 48)

b) MCD (36, 48)

c) MCM (10, 15, 25)

d) MCD (10, 15, 25)

10. De quantes maneres diferents es pot dividir una classe de 28 alumnes, en equips amb el mateix nombre de membres, sense que en sobri cap?

11. Quin és el costat del quadrat més petit que es pot formar si unim rajoles rectangulars de 15 cm de llargada per 6 cm d’amplada?

12.

Un grup de 48 nens i nenes, acompanyats de 36 adults, van a un campament de muntanya. Per dormir, acorden ocupar cada cabana amb el mateix nombre de persones. A més, com menys cabanes ocupin, menys pagaran. D’altra banda, ni els adults no volen dormir amb nens ni els nens no volen dormir amb adults. Quantes persones hi haurà en cada cabana? Quantes cabanes ocuparan?

57

Profile for Editorial Barcanova

MATEMÀTIQUES. Mary Somerville. Unitat 2  

1r ESO

MATEMÀTIQUES. Mary Somerville. Unitat 2  

1r ESO