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Fundamentos de

EletroacĂşstica Friedrich Alexander Fischer

SĂŁo Carlos Editora Scienza 2016


Copyright © 2016 – Todos os direitos da tradução reservados ao autor. Todos os direitos reservados – A reprodução total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio deste livro só é autorizada pelo autor. A violação dos direitos do autor (Lei nº 9.610/98) é crime estabelecido pelo artigo 184 do Código Penal. Versão original Grundzüge der Elektroakustik – Fachverlag Schiele C Schön, Berlin Friedrich Alexander Fischer Tradução Nilson Evilásio de Souza Filho Professor da Engenharia Acústica, Universidade Federal de Santa Maria Revisão Gustavo Sanguino Dias Professor do Departamento de Física, Universidade Estadual de Maringá Fischer, Friedrich Alexander Grundzüge der Elektroakustik – Fachverlag Schiele C Schön, Berlin / Friedrich Alexander Fischer – Fundamentos de eletroacústica, traduzido por Nilson Evilásio de Souza Filho; São Carlos, 2016. 230p. ISBN 978-85-5953-006-3 1. Osciladores. 2. Transdutores. 3. Radiação Sonora. I. Friedrich Alexander Fischer. II. Nilson Evilásio de Souza Filho. III. Título CDD 630

Revisão, editoração, padronização e impressão:

Rua Juca Sabino, 21 – CEP 13575-080 – São Carlos – SP (16) 3364-3346 | (16) 9 9285-3689 | (16) 9 9767-9918 www.editorascienza.com.br gustavo@editorascienza.com


Apresentação do Autor

D

urante os muitos anos em que dirigi laboratórios de eletroacústica na indústria e no serviço do governo alemão, fui muitas vezes confrontado com o problema de apresentar a teoria fundamental da eletroacústica para colegas mais jovens, tanto físicos quanto engenheiros. O material tinha de ser apresentado em uma forma que permitiria que esses jovens trabalhassem neste campo, mais ou menos de forma independente o mais rápido possível. Este livro texto é o resultado de palestras acumuladas. Ele foi escrito para aqueles que pretendem se envolver exaustivamente na solução dos problemas eletro-acústicos de forma completa, e é o objetivo deste texto apresentar a teoria fundamental necessária de forma fechada. O conhecimento pressuposto necessário para o sucesso do estudo tem sido reduzido a um mínimo. Assume-se que o leitor tenha familiariedade com as regras mais simples de cálculo diferencial e integral e uma compreensão fundamental da teoria geral das oscilações e correntes alternadas, incluindo a representação da variação de quantidades senoidais por números complexos (fasores). Conceitos menos conhecidos, como, por exemplo, reciprocidade de resistência, são explicados em detalhes. Nenhum conhecimento especial em acústica, além do material apresentado em todo curso de física experimental, é presuposto, já que, na opinião do autor, a acústica não é ensinada em todas as faculdades ou institutos técnicos ao nível necessário para o tratamento do assunto deste texto. O assunto neste texto, é tratado de forma auto-suficiente, de modo que a referência à literatura não seja necessária. As referências são dadas meramente a título de listagem de artigos originais ou de artigos mais avançados além do âmbito deste texto. O leitor, depois de ter adquirido o conhecimento básico fundamental necessário, pode ser estimulado a estudar as referências dadas neste texto. Este livro não foi desenvolvido da noite para o dia. Ele cresceu lentamente ao longo dos anos e mudou sua forma mais de uma vez. Desde que num dado momento foi atingido um estado definitivo de seu desenvolvimento, aceitei o convite do editor. Eu não gostaria de apresentar este texto ao público, sem expressar meus agradecimentos ao velho mestre de eletroacústica, o Dr. Heinrich Hecht, pelas muitas discussões frutíferas, durante os últimos vinte anos, quando muitos problemas foram esclarecidos, 3


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Fundamentos de Eletroacústica

muitas vezes depois de uma discussão acalorada. Espero que ele não me leve a mal por eu ter dado à muitas de suas idéias, o meu próprio estilo ou opinião diferente da sua. Sou grato aos meus colegas de muitos anos, o Dr. Werner Guettner e o Dr. Ulrich John, pela leitura crítica do manuscrito e muitas sugestões úteis. Meu sócio, o Dr. Werner Endres, que me aliviou da maior parte do trabalho detalhado, inevitável na escrita de um livro, e a quem devo agradecer mais uma vez. Friedrich Alexander Fischer

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Sumário Introdução...................................................................................................... 9 Capítulo I Osciladores elétricos e mecânicos.................................................................... 11 1. Armazenamento de energia elétrica e elementos dissipativos.............. 11 2. Armazenamento de energia mecânica e elementos dissipativos.......... 12 3. As duas analogias eletromecânicas..................................................... 14 4. Osciladores elétricos fundamentais.................................................... 15 5. Osciladores mecânicos fundamentais................................................ 20 6. Tonpilz e Tonraum............................................................................. 24 7. Osciladores elétricos acoplados.......................................................... 32 8. Osciladores mecânicos acoplados...................................................... 52 9. Oscilações mecânicas acopladas e analogias eletromecânicas.............. 60 Capítulo II Forças exercidas na matéria por campos elétricos e magnéticos ...................... 67 A. Efeito da força de campos elétricos................................................... 68 1. O estresse eletrostático de cargas superficiais ........................... 69 2. O estresse Faraday-Maxwell .................................................... 71 3. Estresse eletroestritivo ............................................................. 78 4. Estresse piezoelétrico .............................................................. 80 B. Efeitos de força de campos magnéticos............................................. 82 1. O efeito da força pseudo-magnetostática................................. 82 2. O efeito da força eletrodinâmica ............................................. 83 3. Estresse eletromagnético ......................................................... 84 4. Estresse magnetoestritivo ........................................................ 87


Capítulo III Conversão de energia eletroacústica princípios e leis básicas ........................... 89 A. Transdutores com campos elétricos................................................... 91 1. O transdutor piezoelétrico .......................................................... 92 2. Transdutores com campo elétrico polarizador .............................. 99 (a) O transdutor elétrico.............................................................. 99 (b) O transdutor ∇k E ............................................................... 101 (c) O transdutor eletroestritivo ................................................. 104 B. Transdutores com campos magnéticos............................................ 106 1. O transdutor eletrodinâmico...................................................... 106 2. Transdutores com campo magnético polarizador ....................... 107 (a) O transdutor dinamométrico............................................... 108 (b) O transdutor eletromagnético.............................................. 110 (c) O transdutor magnetoestritivo............................................. 113 Capítulo IV Apresentação sistemática de transdutores eletroacústicos .............................. 117 Capítulo V As equações diferenciais dos transdutores eletroacústicos ............................. 123 1. As equações diferenciais de transdutores como fontes de som ......... 124 2. As equações diferenciais de transdutores como receptores de som ... 126 Capítulo VI Impedância elétrica e acústica de transdutores ............................................. 129 1. Transdutores Classe I ..................................................................... 129 2. Transdutores Classe II .................................................................... 133 3. Transdutores Classe III.................................................................... 136 4. Transdutores Classe IV ................................................................... 139 6


Capítulo VII A radiação de som ....................................................................................... 145 1. As duas equações fundamentais ...................................................... 146 2. Propagação de ondas esféricas ........................................................ 150 3. A radiação de onda esférica de uma esfera de raio pequeno, comparado com o comprimento de onda ............................................................. 156 4. Radiação em meio semi-infinito ..................................................... 158 5. Radiação direcional ........................................................................ 160 6. Resistência acústica e massa acústica ............................................... 167 Capítulo VIII A eficiência de um transdutor como fonte sonora ........................................ 171 1. Perdas mecânicas e eficiência mecanoacústica ................................. 172 2. Perdas elétricas e eficiência eletromecânica ..................................... 175 3. A medida da eficiência.................................................................... 181 Capítulo IX A sensibilidade de um transdutor como receptor sonoro............................... 183 1. A área de captura de um receptor.................................................... 183 2. Fator de casamento e eficiência do receptor .................................... 192 3. Sensibilidade do receptor de carga fixa e disponibilidade de sensibilidade do receptor..................................................................... 194 Capítulo X Transdutores de banda larga ........................................................................ 199 1. Fontes sonoras de banda larga ........................................................ 199 2. Receptores sonoros de banda larga ................................................. 200

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Capítulo XI Acoplamento eletromecânico ....................................................................... 203 Capítulo XII Transdutores que empregam resistências elétricas ......................................... 211 1. O microfone de contato como um receptor ativo ........................... 211 2. Conversão indireta de energia por meio de calor ............................ 212 Lista de Símbolos, Termos e Unidades....................................................... 215 Bibliografia................................................................................................. 225 Índice remissivo.......................................................................................... 227

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Introdução

A

eletroacústica é o ramo da teoria aplicada à vibração que trata a conversão da energia oscilatória elétrica em energia sonora e vice-versa. Como o nome indica, eletroacústica combina dois campos distintos: tica. Portanto, o engenharia elétrica (engenharia de comunicação) e acús­ assunto pode ter a abordagem de qualquer um dos dois campos principais. É um fato surpreendente que hoje em dia a maioria dos engenheiros estão mais familiarizados com os princípios de oscilações elétricas do que com os de vibrações mecâ­nicas. Enquanto que apenas uma geração atrás, fenômenos elétricos foram explicados em termos de modelos mecânicos, hoje tornou-se comum a prática de visualizar fenômenos mecânicos complicados ou mesmo eletromecânicos em termos de um circuito elétrico equi­valente. Sem tentar encontrar razões psicológicas, devemos seguir a abordagem popular atual para a eletroacústica por meio da engenharia elétrica e não devemos presumir muita familiaridade com o campo da acústica. A eletroacústica não será considerada diretamente no Capítulo I. Em vez disso, osciladores puramente elétricos e puramente mecânicos serão tratados separadamente. As duas analogias eletromecânicas serão desenvolvidas e sua importância discutida. O fato de que existe uma certa dualidade dentro da eletricidade e da mecânica, que ficou conhecida na engenharia elétrica como reciprocidade de resistência, servirá como chave para a compreensão da possível utilidade destas duas analogias e as leis dos circuitos mais complicados. Esta é a base para o nosso assunto. O Capítulo II introduz as leis fundamentais da física da eletroacústica, ao mostrar como os campos elétricos ou magnéticos podem produzir forças mecânicas. Cada arranjo possível leva, como será visto no Capítulo III, a um princípio independente de conversão de energia elétrica para mecânica e, finalmente, para energia oscilatória acústica, ou vice-versa. Depois que as leis fundamentais de cada princípio de conversão de energia forem obtidas, um levantamento sistemático de todos os princípios possíveis de transdutores será apresentado no Capítulo IV. Os Capítulos V e VI tratam da teoria de transdutores eletroacústicos. Expressões para a impedância elétrica de transdutores como projetores e a impedância mecânica de transdutores como receptores, são obtidas a partir de equações diferenciais. Essas expressões da impedância produzem 9


circuitos equivalentes puramente elétricos, uma para a fonte sonora e duas para o receptor de som, sendo as duas últimas resultantes das duas analogias eletromecânicas. Para cada transdutor, um do último par de circuitos pode ser combinado com o circuito equivalente da fonte sonora para resultar num circuito universal equivalente, que contém a teoria completa de transdutores de forma resumida. O Capítulo VII é uma excursão dentro da acústica pura com a obtenção de relações fundamentais para a radiação do som a partir de uma superfície vibratória. Em particular, o caso da radiação num meio semi-infinito que é importante para aplicações de ordem prática, é considerado, e a dependência da resistência acústica e da massa acústica, que caracterizam a reação do meio sob o sistema motriz nas características direcionais da superfície de radiação do som, são investigadas. A fundamentação teórica é concluída do Capítulo VIII ao X, com a discussão da eficiência de uma fonte sonora, a sensibilidade de um receptor de som, e as condições em que um transdutor pode transmitir uma larga faixa de frequências sem distorção. Após as leis de acoplamento de um circuito elétrico e um circuito mecânico oscilatório serem obtidas no Capítulo XI, para os diferentes tipos de transdutores, o último capítulo encerra com uma discussão sobre a conversão de energia por meio de resistências elétricas. É demonstrado que uma conversão direta de energia elétrica em som, não é possível com um dissipador de energia. O microfone de contato é um exemplo de um dispositivo que não converte a energia sonora em energia elétrica, mas no qual a energia acústica incidente modula a energia elétrica. Por outro lado, por meios indiretos de geração de calor, a conversão é possível em ambas as direções.

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Capítulo I

Osciladores elétricos e mecânicos 1. Armazenamento de energia elétrica e elementos dissipativos

N

a teoria das oscilações elétricas existem três elementos básicos de circuitos. A capacitância armazena energia elétrica, a indutância armazena energia magnética e a resistência ôhmica dissipa energia. A energia por unidade de tempo que é recebida por um elemento de armazenamento ou transformada em calor por um elemento resistivo é a potência elétrica instantânea. O seu valor é o produto da tensão final com a corrente de entrada i. Qualquer um destes dois elementos pode ser considerado a causa do outro, de acordo com o interesse dos elementos do circuito. Se a corrente é dada, a tensão pode ser calculada a partir das equações

(a) e = L

di , dt

(b) e = ∫

i dt, CE

(c) e = RE i,

(1)

enquanto que, dadas as tensões, as correntes são obtidas a partir de equações recíprocas:

(a) i = CE

de , dt

(b) i =

e

∫ L dt,

(c) i =

e . RE

(2)

11


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Osciladores elétricos e mecânicos

A comparação entre as equações (1) e (2) torna as seguintes relações complementares aparentes: Uma indutância comporta-se em relação a uma corrente exatamente como uma capacitância em relação a uma tensão, as equações: di de = e L= e i CE dt dt correspondem uma a outra. Além disso, uma indutância se comporta em relação a uma tensão como uma capacitância em relação a uma corrente, a qual, segue as equações = e

i

e

dt e i ∫ dt. ∫= C L E

Finalmente, uma resistência se comporta em relação a uma corrente, como uma resistência recíproca ou condutância em relação a uma tensão, como mostram as seguintes equações e R= e i = Ei

e . RE

Desde que uma resistência corresponda a uma resistência recíproca, o comportamento apresentado no grupo das relações anteriores foi nomeado reciprocidade de resistência. Podemos, portanto, resumir que os elementos L, CE, RE são resistências recíprocas para os elementos CE, L, 1/RE.

2. Armazenamento de energia mecânica e elementos dissipativos Nas oscilações mecânicas também existem dois elementos de armazenamento e um elemento dissipativo. Eles são a massa m que armazena energia cinética, a compliância CM de uma mola que armazena energia potencial, e a resistência mecânica (atrito) RM. Aqui, também, a potência instantânea é o produto de duas quantidades, nomeadamente, a força F e a velocidade v, e é irrelevante qual dos dois fatores é considerado a causa do outro.


Armazenamento de energia mecânica e elementos dissipativos

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Na mecânica, geralmente a velocidade é dada e as forças que causam a velocidade são procuradas. Estas forças são encontradas a partir das seguintes equações

 dv dx 2  (a) = F m = m ,  2  dt dt   v x   F ∫= dt , = (b) C C M M   (c) F = RM v.     

(3)

A primeira equação é a lei de força de Newton e é válida sem reservas. A segunda é a lei de Hooke e é válida somente sob a suposição de que a força F e o deslocamento x são proporcionais. Na prática, é uma aproximação que é melhor satisfeita para pequenos deslocamentos. A terceira lei também representa uma aproximação linear que é melhor satisfeita quanto menor for a velocidade. Ao longo deste texto, vamos supor que essas aproximações sejam adequadamente satisfeitas, isto é, vamos limitar-nos a uma teoria linear. Ao aplicar os resultados desta teoria para exemplos práticos deve-se sempre ter em mente que esta teoria representa apenas uma aproximação de primeira ordem e é preciso verificar em cada caso particular se as premissas básicas são satisfeitas para a oscilação em particular sob investigação. Naturalmente, esta mesma observação aplica-se para os elementos elétricos das equações (1) e (2). Estas equações também são válidas somente sob determinadas considerações que serão assumidas em todas as investigações teóricas. Se a força é dada, as velocidades resultantes são calculadas a partir das equações inversas (3). Com a sequência das duas primeiras equações trocadas, elas são

dF = (a) v CM= , (b) v dt

F

dt, (c) v ∫= m

F . RM

(4)

Ao comparar os sistemas de equações (3) e (4) da mesma forma como foi feito na seção anterior com as equações (1) e (2), observa-se que a reciprocidade de resistência também é mantida na mecânica. Aqui os elementos m, CM e RM são resistências recíprocas aos elementos CM, m e 1/RM.


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Osciladores elétricos e mecânicos

3. As duas analogias eletromecânicas A comparação das equações elétricas (1) e (2) e as equações mecânicas (3) e (4) sugere novas comparações entre as equações elétricas e mecânicas. Existem duas possibilidades: ou se compara a equação (1) com a equação (3) e a equação (2) com a equação (4), ou a equação (1) com a equação (4) e a equação (2) com a equação (3). A primeira comparação produz a analogia eletromecânica de primeiro tipo, ou a analogia de força-tensão. As quantidades correspondentes são Força – Tensão; Velocidade – Corrente; Massa – Indutância; Compliância – Capacitância; Resistência Mecânica – Resistência Elétrica. A segunda comparação produz a analogia eletromecânica de segundo tipo ou a analogia força-corrente. Aqui as quantidades correspondentes são Força – Corrente; Velocidade – Tensão; Massa – Capacitância; Compliância – Indutância; Resistência Mecânica – Condutância. Ambas as analogias são completamente equivalentes do ponto de vista formal. Qual das duas é preferível depende, como será visto, inteiramente de cada caso particular. Enquanto a analogia de primeiro tipo foi utilizada durante algum tempo1, a analogia de segundo tipo surgiu posteriormente2. 1

W. Haehnle, Die Darstellung elektromechanischer Vorgänge durch rein elektrische Schaltbilder (‘A representação dos processos eletromecânicos por diagramas puramente elétricos’), Wiss. Veröf. Siemens-Konzern, pp. 1-23 (1932). F. A. Firestone, A new analogy between mechanical and electrical systems (‘Uma nova analogia entre sistemas mecânicos e elétricos’), J. Acoust. Soc. Amer. 4, 249-67 (1933).

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Nota do tradutor: A analogia de primeiro tipo é conhecida como analogia de impedância, e a analogia de segundo tipo é conhecida como analogia de mobilidade.


Osciladores elétricos fundamentais

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4. Osciladores elétricos fundamentais Os osciladores elétricos mais simples, consistem em cada um dos três tipos de elementos de circuito em série ou em paralelo. Obtém-se então o circuito em série (Figura 1), ou o circuito em paralelo (Figura 2).

CE

L

i

RE

e Figura 1: Circuito elétrico em série.

L'

e'

R'E

C'E

Figura 2: Circuito elétrico em paralelo.

No caso do circuito em série, a mesma corrente flui através de todos os elementos, no caso do circuito em paralelo, a mesma tensão atravessa todos os elementos. Portanto, a equação diferencial para o circuito em série é

e= L

di i + RE i + ∫ dt, dt CE

(5)

e para o circuito em paralelo

= i´ C´E

de´ e´ e´ + + ∫ dt. dt R´E L´

(6)


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osciladores elétricos e mecânicos

Se a magnitude dos elementos for escolhida de tal modo que 1 = C´E L, = RE , = e L´ CE , R´E

ao fazer com que os elementos do circuito em série e em paralelo sejam resistências recíprocas, as equações diferenciais (5) e (6) tornam-se idênticas se i´ for identificado com e e e´ com i. Em seguida, a cada instante, para dois circuitos escolhidos desta maneira, a corrente depende da tensão nos circuitos em série, exatamente da mesma maneira como a tensão depende da corrente nos circuitos em paralelo, isto é, −1

e i´  e´  = =   . i e´  i´ 

Para quantidades que variam sinusoidalmente, usaremos a representação complexa e= ℜe ( e ) = ℜe ( Ee jwt ) ,

= i Re = ( i ) Re ( Ie jwt ) ,

a relação entre a tensão fasorial E e a corrente fasorial I, define a impedância ZE. Portanto, a relação ZE =

1 Z´E

(7)

é válida para as impedâncias dos dois circuitos. Os dois circuitos apresentados na Figura 3 são chamados resistência recíproca ou dual um ao outro.

Figura 3: Resistência recíproca de circuitos elétricos.


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