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MANUAL DO PROFESSOR

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Benigno Barreto • Claudio Xavier

Mecânica

Física aula por aula

Física aula por aula

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Mecânica

ENSINO MÉDIO COMPONENTE CURRICULAR FÍSICA MANUAL DO PROFESSOR

Benigno Barreto • Claudio Xavier

ISBN 978-85-96-00315-5

ENSINO MÉDIO 9

788596 003155

FIS – FAPA_EM_V1_G18_MP.indd All Pages

COMPONENTE CURRICULAR FÍSICA

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Física aula por aula 1 Mecânica

ENSINO MÉDIO COMPONENTE CURRICULAR

FÍSICA

Benigno Barreto Filho Mestre em Educação na área de Ensino, Avaliação e Formação de professores pela Universidade Estadual de Campinas. Especialização na área de Educação em Física pela Universidade Estadual de Campinas. Licenciado na área de Ciências e Física pelo Instituto Superior de Educação Santa Cecília. Assessor de Física e Matemática em escolas públicas e particulares. Professor de Física e Matemática das redes estadual e particular de São Paulo.

Claudio Xavier da Silva Especialização em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Montes Claros. Licenciado na área de Ciências e Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras das Faculdades Associadas do Ipiranga. Assessor de Física e Matemática em escolas públicas e particulares. Atuou como professor e coordenador pedagógico na rede particular de ensino em São Paulo. Professor universitário na rede particular de Minas Gerais.

3a edição São Paulo – 2016

MANUAL DO PROFESSOR

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4/28/16 8:31 PM


Copyright © Benigno Barreto Filho, Claudio Xavier da Silva, 2016 Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Flávia Renata P. A. Fugita Editora Cibeli de Oliveira Chibante Bueno Editores assistentes Valéria Rosa Martins, Sandra Del Carlo, Eduardo Oliveira Guaitoli, Yara Valeri Navas Assessoria Davi José dos Santos Guimarães, João de Paiva, Paula Feijó de Medeiros Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenador de produção editorial Marcelo Henrique Ferreira Fontes Coordenadora de arte Daniela Máximo Projeto gráfico Casa Paulistana Projeto de capa Bruno Attili Foto de capa Thais Falcão/Olho do Falcão Modelos da capa: Andrei Lopes, Angélica Souza, Beatriz Raielle, Bruna Soares, Bruno Guedes, Caio Freitas, Denis Wiltemburg, Eloá Souza, Jardo Gomes, Karina Farias, Karoline Vicente, Letícia Silva, Lilith Moreira, Maria Eduarda Ferreira, Rafael Souza, Tarik Abdo, Thaís Souza Supervisora de arte Isabel Cristina Corandin Marques Diagramação Adriana M. Nery de Souza, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Laura Alexandra Pereira, Sara Slovac Savero Tratamento de imagens Eziquiel Racheti Coordenadora de ilustrações e cartografia Marcia Berne Ilustrações Alberto de Stefano, Alex Argozino, Antonio Robson, Eunice Toyota, Grace Arruda, Luis Moura, Mariana Coan, Marcos Aurelio, Mario Pita, Paulo César Pereira, Paulo Nilson, Rafael Herrera, Rigo Rosario Jr., Studio Caparroz, Tarumã, Walter Caldeira Cartografia Allmaps Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Supervisora de preparação e revisão Izabel Cristina Rodrigues Revisão Carolina Manley, Célia Regina Camargo, Cristiane Casseb, Desirée Araújo, Dilma Dias Ratto, Iara R. S. Mletchol, Juliana Rochetto, Jussara Gomes, Lilian Vismari, Pedro Fandi, Renato Colombo Jr., Regina Barrozo, Solange Guerra Coordenador de iconografia e licenciamento de textos Expedito Arantes Supervisora de licenciamento de textos Elaine Bueno Iconografia Marcia Trindade Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Barreto Filho, Benigno Física aula por aula : mecânica, 1o ano / Benigno Barreto Filho, Claudio Xavier da Silva. — 3. ed. — São Paulo : FTD, 2016. (Coleção física aula por aula) Componente curricular: Física. ISBN 978-85-96-00314-8 (aluno) ISBN 978-85-96-00315-5 (professor) 1. Física (Ensino médio) I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Título. III. Série. 16-02665 CDD-530.07 Índices para catálogo sistemático: 1. Fisica : Ensino médio 530.07

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

EDITORA FTD S.A. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (0-XX-11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: central.atendimento@ftd.com.br

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Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD S.A. CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

5/11/16 6:27 PM


Apresentação Caro aluno, Este é o início do estudo de uma parte do conhecimento construído pelos seres humanos: a Física. Existem evidências de que, desde os primeiros momentos da história da humanidade, o ser humano observava o céu à procura de ordem e repetições e, por meio delas, elaborava compreensões dos diversos fenômenos da natureza. Na época, prever os ciclos do céu, como as fases da Lua ou o ocaso das constelações, era vital para a sobrevivência, pois eram relacionados com os ciclos terrestres, como as chuvas, as cheias dos rios e as épocas de plantação e de floração. Desde esse tempo, o conhecimento sempre foi muito importante para a sobrevivência dos seres humanos. Sempre existiram seres curiosos, posteriormente chamados de cientistas, que se dedicaram a descobrir o funcionamento do universo a sua volta. O estereótipo do cientista de jaleco branco trancado em um laboratório e meio excêntrico não pode mais ser considerado verdadeiro. Como carreira profissional, os cientistas trabalham em colaboração com outros para elaborar interpretações sobre a natureza. Se em algumas investigações, os cientistas lançam mão de novos conceitos e podem obter elegantes explicações, em outras, e na grande maioria, percebem que a explicação não está adequada e acabam por buscar outras mais satisfatórias. Assim é a viagem pela Ciência, a cada nova etapa há formas diferentes de recortar o mundo, que são capazes de levar nossa mente para perguntas que nem percebíamos que existiam. Isso faz da Ciência uma construção de conhecimento vivo, dinâmico e cheio de novos enigmas. Esta obra conta com a mediação do seu professor, para que, juntos, possamos participar desse admirável exercício do raciocínio: do fazer e refazer, do perguntar e responder, de momentos de infelicidade e de grandes alegrias, do errar e do acertar na busca de soluções ou simplesmente na busca de novas perguntas capazes de satisfazer a nossa humanidade. Esperamos, com isso, contribuir para que você desenvolva seus estudos de forma criativa, agradável e estimulante.

Os autores

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Conheça o seu livro

Exercício resolvido NASA Images

combate às queimadas durante a temporada de seca e o período proibitivo de queimadas. Segundo a Secretaria do Meio Ambiente de Mato Grosso (Sema), os aviões devem ser usados para apagar incêndios de grandes proporções em áreas de floresta do estado. Juntas, as duas aeronaves são capazes de armazenar 6 mil litros de água. [...] Segundo a Sema, em áreas rurais, é considerado crime utilizar fogo para limpeza e manejo de pastos ou áreas de florestas. O responsável pela propriedade pode pegar de 6 meses a 4 anos de prisão, além de ser multado em até R$ 7 mil ou R$ 1 mil por hectare.

Cinemática vetorial

• Faça uma pesquisa sobre os tipos de aplicações dos satélites geoestacionários, destacando suas vantagens e desvantagens. Apresente sua pesquisa para a turma.

Representação artística do satélite ICESat da Nasa, que está em órbita terrestre desde 2003.

Unidade 3

Capítulo 6

Grandezas escalares e vetoriais

75

B

Studio Caparroz

F2  10 N

Rafael Sanzio (detalhe). 1510-11. Museus do Vaticano, Cidade do Vaticano

Pense além *As estrelas deveriam ser visíveis durante o dia por emitirem luz própria. No entanto, como o Sol está mais próximo da Terra do que qualquer outra estrela, o seu brilho intenso acaba ofuscando o brilho das demais.

E conversamos toda a noite, enquanto A Via Láctea, como um pálio aberto, Cintila. E, ao vir do sol, saudoso e em pranto, Inda as procuro pelo céu deserto.

Atividade

Escreva no caderno

1. Você já observou estrelas durante o dia? Caso negativo faça uma pesquisa para descobrir por que essa é uma tarefa difícil. *

Direis agora: “Tresloucado amigo! Que conversas com elas? Que sentido Tem o que dizem, quando estão contigo?” E eu vos direi: “Amai para entendê-las! Pois só quem ama pode ter ouvido Capaz de ouvir e de entender estrelas.” [...]

BILAC, Olavo. Obra reunida. Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1996.

NASA/JPL-Caltech/UCLA

[...] XIII “Ora (direis) ouvir estrelas! Certo Perdeste o senso!” E eu vos direi, no entanto, Que, para ouvi-las, muita vez desperto E abro as janelas, pálido de espanto...

As nebulosas são nuvens de gás que podem formar estrelas ou ser resquícios do final da evolução estelar.

158

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

C

5m

30 cm

A 2,5 m

F2

14. Com o objetivo de arrancar o prego, foi usado o mesmo pé de cabra, em três condições diferentes, conforme ilustra o esquema. Em qual das tentativas foi atingido o objetivo? Justifique sua conclusão, sabendo que apenas em uma das tentativas se obteve sucesso.

Note que nesse caso temos um binário, ou seja, as duas forças têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos, e as linhas de ação das forças estão separadas por certa distância. Determine o momento do binário, sabendo que a distância do ponto de aplicação de F1 ao ponto O é 0,02 m e de F2 ao ponto O é 0,02 m. 0,32 N  m 12. (UFRJ) Um jovem e sua namorada passeiam de carro por uma estrada e são surpreendidos por um furo num dos pneus.

Unidade 6

F F F

1a condição

0,40 m

0,30 m

0,20 m

2a condição

3a condição

Na 3ª condição, pois, em relação ao prego, o momento obtido é maior.

15. Em determinadas situações, para soltar um parafuso ou uma porca, fazemos uso de ferramentas semelhantes à representada na figura abaixo. Calcule o momento das forças que agem na barra em relação ao ponto O, considerando que uma das mãos esteja posicionada a 30 cm do ponto O e a outra a 40 cm desse ponto.

A namorada do jovem, que pesa 51 kgf, encaixa a mesma chave, mas na horizontal, em outro parafuso, e pisa a extremidade da chave, exercendo sobre ela uma força igual a seu peso, como mostra a figura 2. Supondo que esse segundo parafuso esteja tão apertado quanto o primeiro, e levando em conta as distâncias indicadas nas figuras, verifique se a moça

244

B

1000 N

MA  1 000 Nm; MB  0; MC  5 000 Nm

O

40 cm

30 cm

O Força 1: 48 Nm (sentido horário) Força 2: 30 Nm (sentido horário)

F2  100 N

F1  120 N

Estática e Hidrostática

vx

v  56,5 m/s vy

v

Lançamento de projetéis

93

4/15/16 2:52 PM

Os Exercícios propostos vêm logo após os Exercícios resolvidos. É importante tentar resolver todos, pois eles auxiliam a sistematização do conhecimento e servem para avaliar se você compreendeu o conteúdo. Pense além

As ciclovias e a mobilidade urbana

1. Breve história sobre os modelos de mundo

Via Láctea

510 N

30 cm

13. Para montar e fixar as peças que compõem o suporte representado na figura, o serralheiro precisa saber quais são os momentos da força de 1 000 N, em relação aos pontos A, B e C. Determine esses valores.

As leis da Gravitação

No alto e no centro, Platão (esq.) e Aristóteles (dir.) conversam, na representação da escola de Atenas.

Figura 2

30 cm

CAPÍTULO 11

Os poetas e os astrônomos não são os únicos a ficar extasiados diante do céu. As pessoas em geral sentem-se atraídas pela beleza e pelo movimento de corpos celestes, como o Sol, as estrelas, os planetas e a Lua. A necessidade de compreender o Universo não é somente do ser humano contemporâneo. Há indícios de que em 4000 a.C. os habitantes da Mesopotâmia desenvolveram calendários rudimentares, com base nos movimentos dos astros, com o objetivo de atender às suas necessidades agrícolas. Na Grécia antiga vários filósofos buscaram explicações para os movimentos dos corpos celestes. No modelo geocêntrico proposto por Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.), a Terra fica em uma posição estacionária e central, enquanto os outros astros descrevem trajetórias circulares ao seu redor (geo, em grego, Terra; geocêntrico, centrado na Terra). Por volta de 260 a.C., Aristarco de Samos (320 a.C.-250 a.C.) apresentou uma teoria em que o Sol ocupa a posição central do sistema, antecipando o modelo heliocêntrico (hélios, em grego, Sol; heliocêntrico, centrado no Sol) proposto por Copérnico (1473-1543), 15 séculos depois.

750 N

Figura 1

A

O jovem, que pesa 75 kgf, pisa a extremidade de uma chave de roda, inclinada em relação à horizontal, como mostra a figura 1, mas só consegue soltar o parafuso quando exerce sobre a chave uma força igual a seu peso.

A seção Você sabia? apresenta textos atualizados e ilustrados que abordam a aplicação do conhecimento físico na tecnologia e na sociedade. Esses textos abordam algumas questões diversas e de maneira integrada com outras disciplinas.

v2  vx2  vy2

Escreva no caderno

1m

Cinemática vetorial

Da equação 3 , temos: vy  10  4 ä vy  40 m/s

seu peso é maior que o momento do peso de seu namorado.

F3  10 N

11. Ao fechar uma torneira, uma pessoa aplica com os dedos duas forças de mesma intensidade, F1 F1 8 N e F2  8 N, conforme representação feita na figura ao lado.

vx  40 m/s (constante)

O vetor resultante (v) é dado pela soma dos vetores vx e vy. Já sua intensidade é obtida por meio do Teorema de Pitágoras:

consegue soltar esse segundo parafuso. Justifique sua resposta. A moça consegue soltar o 2o parafuso porque o momento de

Zero; não gira.

C

c) A velocidade do pacote, a cada instante, pode ser determinada pela soma vetorial das suas componentes horizontal, vx, e vertical, vy.

Os Exercícios resolvidos ilustram a aplicação dos conceitos vistos.

10. Na placa retangular da figura abaixo estão aplicadas três forças. Essas forças pertencem ao plano da placa. Determine o momento resultante dessas forças em relação ao ponto C. Em que sentido esta placa gira?

60 cm

A distância horizontal percorrida pelo pacote foi 160 m.

Portanto, no instante em que ela che ga ao solo, temos:

CS-FIS-EM-3030-V1-U03-C07-091-097-LA.indd 93

20 cm

F1  5 N

x  40t ä x  40  4 ä x  160 m

Capítulo 8

Studio Caparroz

Sugestão de consulta: No site do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) <http://tub.im/nzpfwt> você encontrará animações e vários textos que podem ajudá-lo a entender, por exemplo, como são desenvolvidos os métodos de levantamento de informações, o que é o sensoriamento remoto, de que forma se estruturam as imagens orbitais e as projeções cartográficas.

C

b) Sabendo que t  4 s e considerando a equação 1 , temos:

v  (40)2  (40)2

Resolução Desprezando a interferência do ar e considerando que o movimento ocorre nas proximidades da Terra, adotamos g  10 m/s2.

maior do polo de rotação.

2. O texto relata que os primeiros satélites usados para estruturar os sistemas de navegação tinham objetivos militares. Analise e argumente sobre esse e outros instrumentos, frutos de pesquisas científicas, que foram desenvolvidos com finalidades bélicas. Reflita a respeito dos aspectos éticos e sobre interesses financeiros e políticos que motivaram e motivam determinadas pesquisas científicas. Resposta pessoal.

Unidade 3

c) a velocidade com que o kit chega ao solo.

Paulo Cesar

1. Faça uma pesquisa com o objetivo de entender, com mais detalhes, como o posicionamento de um corpo na superfície da Terra pode ser acompanhado pelo GPS. Resposta pessoal.

80

a) o tempo decorrido para que o kit atinja o solo;

9. Se o objetivo de um operário é fazer girar um parafuso utilizando a menor força possível, em qual ponto da chave (A, B, C ou D) ele deve aplicar a força? No ponto A, pois a linha de ação da força fica a uma distância Justifique.

D

3

0  80  5t2 ä t2  16 Æ t  4 s O pacote atinge o solo 4 s após o lançamento.

b) a distância percorrida pelo kit, medida horizontal­ mente, entre os instantes de lançamento e de impacto no solo;

Alberto de Stefano

Escreva no caderno

vy  viy  gt ä vy  10t

a) No instante em que o pacote atinge o solo (y  0), temos, na equação 2 :

Considere que um desses aviões carregados com água está sobrevoando uma região com velocidade de 40 m/s e a 80 m de altura em relação ao solo, em uma trajetória retilínea e horizontal. Juntamente com a água, o avião solta um kit de pri­ meiros socorros que deve auxiliar as equipes de bom­ beiros em terra. Considerando o kit de primeiros so­ corros, determine:

Exercícios propostos

Paulo Cesar

Mario Pita

Os primeiros satélites NAVSTAR-GPS (ou simplesmente GPS do inglês Global Positioning System – Sistema de posicionamento global) que estruturaram o sistema de navegação entraram em funcionamento em 1978 e foram desenvolvidos pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos para uso militar. Em meados dos anos 1980, esse sistema foi aberto para uso civil, inclusive para outros países. Com essa medida, foi possível ampliar o uso O GPS é um recurso utilizado por dessa tecnologia para outras áreas, como a navegação marítima, o monito- motoristas, para obter a rota de um ramento de veículos, levantamentos geodésicos e topográficos, entre outros. deslocamento. Na imagem, o traçado Embora inicialmente o uso tecnológico tenha sofrido algumas limitações em destaque na cor verde é o que deve ser seguido pelo motorista. de precisão — a margem de erro abaixo de 100 metros somente era corrigida com precisão máxima para fins militares —, após o ano 2000 essas limitações foram desfeitas. É importante destacar que o GPS não é o único sistema de navegação. Além dele, há o sistema russo GLONASS, o chinês COMPASS e o europeu GALILEO, sendo que os dois últimos estão em fase de conclusão. Vale destacar que o sistema europeu GALILEO foi desenvolvido para uso civil, enquanto os outros foram desenvolvidos para usos militares. Para entender o funcionamento do GPS, precisamos considerar que ele é um sistema de posicionamento que depende de sinais enviados por uma rede de satélites, sob o controle do Departamento de Defesa dos EUA. Os satélites levam 12 horas para completar uma volta em torno da Terra e encontram-se a Representação do cruzamento dos cerca de 20 000 km de altitude. No início, a rede era formada por 24 satélites, sinais emitidos por satélites em um sistema GPS para determinar a porém a partir de 2008 passou a contar com 32. O projeto foi estruturado de tal forma que pelo menos quatro satélites te- localização de um navio. nham seus sinais captados a partir de qualquer ponto da Terra. Assim, os satélites transmitem um sinal de alta frequência (com “pacotes” de informação) que indicam a hora precisa na qual cada um foi transmitido. Enquanto isso, os receptores em Terra captam o sinal e determinam a posição, comparando a diferença de tempo entre a transmissão e a recepção do sinal. Dessa forma, calculam a distância de cada satélite. À medida que o objeto se desloca, a distância em relação aos satélites também muda e provoca pequena diferença no tempo do percurso, que serve para atualizar a localização. Para calcular a posição chamada 2D, em latitude e longitude o receptor utiliza os sinais de três satélites e para fornecer a posição chamada 3D, em latitude, longitude e altitude, ele necessita dos sinais de quatro satélites. O receptor determina a distância até cada um dos satélites. Cruzando os dados de pelo menos três satélites, é possível o receptor determinar sua localização na superfície terrestre. Caso ocorra o processamento contínuo da posição, o receptor poderá determinar o deslocamento e a velocidade.

Movimento segundo o eixo vertical: ti  0, yi  80 m, ay  g  10 m/ss, viy  0 g 2 t ä y  80  5t2 2 2

Cinemática vetorial

Editoria de arte

Como funciona o GPS?

x (m)

distância horizontal

Movimento segundo o eixo horizontal: ti  0, xi  0, vx  vi  40 m/s (constante) x  xi  vx t ä x  40t 1

y  yi  viyt 

Incêndio na Chapada dos Guimarães, Mato Grosso (2013).

Rafael Hupsel/Folhapress

Você sabia?

Atividades

As Unidades são apresentadas com uma ou mais questões sobre a matéria a ser estudada. Você deverá refletir e anotar sua resposta no caderno.

Walter Alves Padilha, publicada em matéria da Revista eletrônica ICMBio em foco, edição 260, ano 6 de 30/08/2013

• Você sabe o que significa geoestacionário? Caso não conheça, pesquise o termo e responda quais condições são necessárias para que um satélite artificial seja considerado geoestacionário.

Aviões vão combater incêndios de grandes proporções em Mato Grosso. G1, 6 ago. 2015. Disponível em: <http:// g1.globo.com/mato-grosso/noticia/2015/08/avioes-seraousados-para-combater-incendios-de-grandes-proporcoes. html>. Acesso em: 3 dez. 2015.

vx yi

80 m

Alberto de Stefano

Os satélites artificais são colocados em órbita terrestre com diferentes objetivos, alguns deles parecem estar imóveis em relação a um ponto da superfície terrestre. Esses satélites são chamados de geoestacionários.

y (m)

Editoria de arte

3

Unidade

Veja o esquema que nos auxilia a visualizar a situa­ ção em que ocorre o movimento do kit de primeiros socorros (representado pela bolinha amarela):

Editoria de arte

1 Em Mato Grosso, duas aeronaves irão reforçar o

Em cada Capítulo a teoria é desenvolvida de forma clara e com linguagem simples, procurando partir dos conhecimentos que você já possui.

Atualmente muitos reconhecem a importância das ciclovias para a mobilidade urbana e a qualidade de vida das pessoas nos grandes centros urbanos. Muitos países já reconhecem o uso da bicicleta como um meio alternativo de transporte, como agente redutor da poluição ambiental, como incentivador da atividade física em qualquer idade e como um veículo que atende ao princípio da igualdade, ou seja, o custo de aquisição e manutenção é acessível a quase todas as camadas sociais. Rogerio Reis/Tyba A ideia que se tem sobre ciclovia como espaço destinado estritamente à circulação de bicicletas apareceu pela primeira vez em Paris, em 1862, quando as bicicletas não podiam circular entre charretes e carroças. Contudo, a popularização das ciclovias ocorreu somente em 1930, na Alemanha. Nos projetos mais modernos, a ciclovia é planejada com base na ideia de incentivar o uso deste meio de transporte para fins de trabalho, lazer e turismo, como ocorre, por exemplo, no famoso EuroVelo (um projeto de cicloturismo formado por uma rede europeia de ciclovias que cruzam o continente europeu). Em diversas cidades brasileiras há iniciativas ao uso de bicicletas como veículo de transporte. A cidade do Rio de Janeiro (RJ) lidera em quilômetros Ciclofaixa na Avenida Boa Viajem, em Recife, Pernambuco (imagem de 2013). de ciclovias. Conforme regulamentação da Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) existem definições específicas dos espaços cicloviários: a ciclovia é uma pista própria, separada do tráfego comum, destinada à circulação de bicicletas; a ciclofaixa é um trecho da pista de rolamento ou da calçada, destinada ao uso de bicicletas (que pode funcionar em dias específicos, como domingos e feriados); já a calçada partilhada é uma ciclofaixa criada a partir de parte do passeio público (calçada) ou do canteiro central. Para que a viabilização do uso da bicicleta como um meio de transporte urbano ocorra em uma escala maior, depende-se de aspectos como o respeito às leis de trânsito, aos limites e direitos dos outros e à convivência harmoniosa entre pedestres e condutores de veículos.

Atividades

Escreva no caderno

Respostas pessoais.

1. Que meio de transporte você utiliza no trajeto entre sua casa e a escola? Qual o custo ambiental e social dele? 2. No mesmo trajeto, quais os meios de transporte mais comuns utilizados pelas pessoas? Cite algumas possibilidades para diminuir o impacto ambiental e social deles. 3. Se você fosse projetar uma ciclovia em sua cidade, qual seria o trajeto dela? Onde seriam os pontos de partida e chegada e onde você colocaria estações de aluguel ou empréstimo de bicicletas? Para fazer o planejamento dessa ciclovia consiga o mapa de sua cidade e dados sobre a ocupação de cada região. Uma visita à prefeitura ou pesquisa no site serão etapas importantes.

Capítulo 8

Movimento circular

109

As situações propostas no

Pense além abordam o conceito físico de maneira lúdica, descontraída e bem-humorada, ou promovem reflexões sobre a sua realidade local.

4/15/16 5:24 PM


Mariana Coan

Meteoro: o futuro está em jogo

Física no cinema

Este filme é resultado de uma minissérie feita nos EUA, em 2009, e disponibilizada em DVD, em 2011. A história começa em um isolado observatório, onde o Dr. Lehman descobre, por meio de cálculos e observações, um meteoro, batizado de Kassandra, em rota de colisão com a Terra. O filme conta com várias histórias paralelas, explosões, tiros, acidentes e chuvas de meteoritos que começam a atingir e destruir grandes cidades. Assista ao filme com seu grupo e respondam às questões a seguir.

De volta ao começo A primeira pergunta da abertura da Unidade, sobre o que levou as pessoas a se organizarem e construírem Stonehenge e a Estação Espacial Internacional, talvez não tenha resposta, ou, pelo menos, não uma única resposta. Alguns atribuem a busca de conhecimento a uma necessidade intrínseca do ser humano de prover explicações sobre o mundo. Se as primeiras respostas evocavam entidades míticas, com o passar do tempo foi se desenhando um “modo de pensar e agir” que, consagrado por obter bons resultados, foi considerado como um método a ser seguido por todos os cientistas. Esse ficou conhecido como método científico. A sequência de ações descritas a seguir resume, em linhas gerais, um método que possibilita a organização, o desenvolvimento e a aplicação de novos conhecimentos:

• farinha

NASA Images

Vista aérea da região de extração de minérios na cidade de Mariana (MG), antes (acima) e depois do acidente de 2015.

• Una os dois cabos de vassoura com fita adesiva, de tal forma que eles formem um canalete para a bolinha poder rolar (como ilustrado ao lado). • Apoie o canalete sobre a mesa, de forma que fique na horizontal e paralelo ao chão. • Espalhe um pouco de farinha no chão, para identificar o local onde a bola, que será lançada do canalete, vai cair. • Coloque a bola sobre determinado ponto do canalete e dê um impulso na Representação do aparato experimental e bolinha de maneira que ela percorra o canalete e caia sobre o local onde a desenvolvimento do experimento. farinha está espalhada. • No chão, meça a distância x entre a mesa e o ponto em que a bolinha toca o solo. Meça também a altura h da mesa. • Com o auxílio de um cronômetro, meça também o tempo de queda.

Responda

Escreva no caderno

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

1 1. Calcule o tempo que a bolinha demorou para tocar o chão. Lembre-se de que y 5 gt² e considere g 5 9,8 m/s². 2 2. Compare o tempo de queda obtido na atividade anterior com o valor do cronômetro. Eles são iguais? Justifique. 3. Determine a velocidade (componente horizontal) com a qual a bolinha abandona a beira da mesa. Lembre-se de que x 5 vxt. • Repita esse procedimento dando um impulso mais forte na bolinha colocada sobre o canalete no mesmo ponto que no lançamento anterior. Meça o novo alcance da bolinha e o tempo de queda. 4. Determine a velocidade (componente horizontal) com a qual a bolinha abandona a beira da mesa neste caso. 5. Em qual situação a bolinha atingiu o chão na posição mais distante da mesa? Compare os alcances e justifique. 6. O tempo de queda foi maior em qual situação? Esse resultado era esperado?

Capítulo 7

Lançamento de projéteis

95

Título: Meteoro: o futuro está em jogo Título original: Meteor Gênero: Ficção Tempo de duração: 109 minutos Ano de lançamento (EUA): 2009 Direção: Ernie Barbarash

5. No filme, qual a importância da posição do meteoro para os militares? 6. Quais são as atitudes tomadas pelo exército para deter o meteoro? 7. Pesquise a diferença entre meteoroide, meteoro e meteorito.

8. Você com certeza já ouviu a respeito de grandes extinções no planeta Terra. Escreva sobre alguma que tenha sido provocada pela queda de um meteorito, contando sobre a época em que isso ocorreu e quais foram os principais eventos gerados por essa queda. Pesquise sobre os efeitos de uma grande colisão. 9. Busque informações sobre as recentes pesquisas feitas pela Nasa sobre asteroides. Investigue se há asteroides que vão passar próximo da Terra e traga pelo menos um exemplo de quando esse fenômeno já ocorreu e o que ele ocasionou.

70

Unidade 2

Cinemática escalar

Capítulo 5

Queda livre e lançamento vertical

71

A seção Física no cinema promove uma discussão de conteúdos de Física presentes em filmes. Nela os conhecimentos podem ser testados e aplicados em outros contextos.

Os caminhos da Física

Escreva no caderno

1. Um objeto está sujeito a um sistema de três forças, F1, F2 e F3, concorrentes em um ponto. Sabendo que F1 = 5 N e F2 = 20 N, com relação à intensidade de F3, expresse por meio de uma desigualdade a condição para que haja equilíbrio. 15 N < |F3| < 25 N 2. No Brasil, é obrigatório o uso do cinto de segurança. Numa freada brusca, a tendência do corpo do motorista ou dos passageiros é permanecer em movimento por: a) ressonância. X b) inércia. c) ação e reação. d) atrito. e) gravitação.

experimentos simples, que podem ser realizados em sala de aula ou em casa. Representa a parte experimental da Física e é uma ferramenta importante na compreensão da matéria estudada.

3. Na figura está representado o gráfico velocidade  tempo de um objeto de 8,0 kg de massa, que se movimenta em linha reta. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre o corpo no intervalo de 2,0 a 6,0 s. zero

Analisando a situação, podemos afirmar que: I. A inversão do sentido do movimento da bola, após bater no rosto, ocorre porque a força aplicada pelo rosto na bola age por um tempo maior do que a força aplicada pela bola no rosto. II. A força aplicada pelo rosto na bola é maior do que a força aplicada pela bola no rosto porque, no momento do choque, a bola sofre deformação maior do que o rosto. III. A força aplicada pela bola no rosto e a força aplicada pelo rosto na bola não se anulam. IV. A força aplicada pela bola no rosto e a força aplicada pelo rosto na bola têm a mesma direção, mesma intensidade e sentidos contrários.

v (m/s)

complementares

é um momento de avaliação. Presente em cada final de cada Unidade estudada, nela você encontra uma seleção de questões diversas, além de questões de vestibulares e do Enem.

As afirmações III e IV estão corretas.

6. Uma balança de braços é usada para determinar a massa de um pacote, num local onde a aceleração da gravidade é 10 m/s2. Para isso, foram usadas pequenas peças de peso 1 N, cada uma. Em um dos pratos da balança foi colocado o pacote e no outro, 32 peças para atingir o equilíbrio.

20 10

0

A seção Exercícios

Jiang Hongyan/Shutterstock.com

• mesa • fita métrica

4. O que é a chuva de meteoros do filme? Por que ela acontece? Pesquise para ver se os astrônomos têm o mesmo conceito.

Tarumã

• cronômetro • fita adesiva

3. Copie em seu caderno a trajetória do meteoro cruzando a da Terra. Lembre-se da definição de trajetória e dê um exemplo de encontro de dois corpos já estudados por você.

Em Experimente a Física no dia a dia temos

Studio Caparroz

• dois cabos de vassoura • bolinha de vidro

Como vimos, a busca por um método fundamentou-se no racionalismo e na experimentação e teve como principais colaboradores o filósofo inglês Francis Bacon e o físico italiano Galileu Galilei. Reconhecidamente, esse método tem papel fundamental nos avanços da Ciência, porém, não se pode negar que alguns desses avanços ocorreram sem que essa sequência de ações tenha sido seguida. Veremos, em estudos posteriores deste curso, que os métodos também são questionados e por isso são objeto de estudos de vários pesquisadores. Além do método utilizado, a credibilidade do avanço científico também está relacionada às ações do cientista (observação, investigação e experimentação), amparadas na sensatez de lidar com os possíveis erros e acertos. O desenvolvimento espacial é um dos resultados da evolução dos conhecimentos científicos. Diversos nomes contribuíram para a conquista espacial, como Isaac Newton (1642-1727), pela sistematização do conhecimento teórico; Konstantin Tsiolkovsky (1857-1935), cientista russo pioneiro no estudo dos foguetes; e o engenheiro alemão Wernher von Braun (1912-1977), um dos mais proeminentes cientistas na área de desenvolvimento de foguetes; entre outros. As viagens espaciais trouxeram grandes resultados para a sociedade, por exemplo, as telecomunicações de longa distância, o monitoramento de queimadas e desmatamentos, as previsões climáticas e o GPS. Na busca pela manutenção da vida no espaço, descobrimos alimentos enriquecidos, filtros de água, produção de imagens médicas, como a tomografia, e até as câmeras digitais, como as do telescópio Hubble.

Exercícios complementares

Materiais

Passo a passo

2. No começo do filme o cientista comenta sobre o tamanho do meteoro. De posse desse valor, calcule seu volume e sua massa, utilizando como referência a densidade de aproximadamente 3 g/cm3. Você consideraria o meteoro como um ponto material ou como um corpo extenso?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

t(s)

4. Duas forças perpendiculares são aplicadas em uma caixa de massa 20 kg. Se F1 5 60 N e F2 5 80 N, determine: a) a força resultante aplicada na caixa; 100 N b) a aceleração adquirida por ela; 5,0 m/s2 c) a velocidade da caixa após 10 s aplicando a força. 50 m/s

5. Em uma partida de beisebol, após errar a tacada, o jogador sentiu a bola bater violentamente no seu rosto. Mark Duncan/AP Photo/Glow Images

O mundo registrou nas últimas décadas um grande crescimento do consumo de minérios. A necessidade de atender às inovações tecnológicas e a busca por novos padrões de vida têm acelerado o processo de extração mineral no mundo e despertado a preocupação com os prejuízos ambientais que isso vem causando. Infelizmente um exemplo de prejuízo ambiental incalculável foi o desastre da mineradora na cidade de Mariana (MG), em 2015. A vida dos animais e da população de diversas cidades foram seriamente depreciados. No entanto, também há a preocupação com aspectos sociais, isso porque as grandes mineradoras são responsáveis pela oferta de muitos empregos e pela formação de mão de obra especializada. Em uma mineradora, muitas vezes, o minério é transportado por meio de uma esteira, cuja velocidade de funcionamento precisa ser corretamente calculada para que o produto caia no local desejado. Para melhor compreendermos a situação da esteira rolante e a posição na qual o minério deve ser deixado, podemos fazer uma atividade experimental simples.

Unidade 1

Professor, as respostas e os comentários das questões encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

1. Como o cientista descobre o meteoro?

• Verificar por meio de testes se as hipóteses feitas se confirmam.

Os astronautas Scott Kelly (esquerda) e Terry Virts (direita) realizando experimentos à bordo da Estação Espacial Internacional, em 2015.

28

Escreva no caderno

• Fazer previsões de possíveis ocorrências, caso a hipótese esteja certa. • Formular uma lei com base na hipótese, nas previsões sobre as possíveis ocorrências e nos resultados obtidos com os testes.

Imagens GlobalGeo Geotecnologias/DigitalGlobe

Atenção Faça o experimento somente na presença do professor.

Atividades

• Elaborar uma suposta resolução para esse problema (hipótese).

Imagens GlobalGeo Geotecnologias/DigitalGlobe

Experimente a Física no dia a dia Lançando coisas

• Identificar uma situação que indique um problema.

Filme de Ernie Barbarash. Meteoro. EUA. 2009

Após o desenvolvimento do conteúdo, você pode rever a questão da abertura da Unidade, reformular sua resposta e conferir a resolução na seção De volta ao começo.

Jogador de beisebol.

Balança de pratos.

a) Determine a massa de cada peça. 0,1 kg b) Qual a massa do pacote? 3,2 kg c) Determine o peso do pacote na Terra. 32 N d) Se o pacote for levado para a Lua, quantas peças serão necessárias para equilibrar a balança? 32 7. Cláudio resolveu testar, no elevador do prédio em que mora, as leis físicas que aprendeu na aula. Para isso, pegou uma balança digital, em sua casa, e colocou-a no piso do elevador. Considere a massa de Cláudio 60 kg, a aceleração da gravidade no local 10 m/s2 e que ele começou o experimento no térreo. Ao subir na balança, quais valores Cláudio observou nos seguintes casos: a) o elevador parado; 600 N b) o elevador subindo em movimento uniforme; 600 N c) o elevador descendo em movimento retardado, cujo módulo da aceleração é 2,0 m/s2; 720 N d) o elevador descendo em movimento acelerado, com aceleração de 2 m/s2. 480 N Capítulo 11

As leis da Gravitação

179

Lendo a Física

livro O contador de areia, Arquimedes menciona o modelo cósmico de Aristarco, cuja distinção principal era ter o Sol no centro e todos os planetas girando à sua volta. Na época, o modelo “geocêntrico”, com a Terra fixa no centro, dominava completamente a filosofia. Aristarco foi levado ao seu modelo revolucionário após calcular os diâmetros

Título: Copérnico: pioneiro da revolução astronômica Autor: Ronaldo Rogério de Freitas Mourão Editora: Odysseus

aproximados do Sol e da Lua. Como mostrou que o Sol era muito maior que a Terra, parecia-lhe muito mais óbvio que o Sol deveria estar no centro, e não a Terra. Portanto, Aristarco, e não Copérnico, foi o primeiro a sugerir o arranjo planetário “heliocêntrico”, com o Sol no centro. E isto em torno de 300 anos antes de Cristo.

A resposta pode ser uma combinação de todos esses fatores. Ninguém sabe ao certo. Porém, ele dedicou seu livro ao Papa Paulo III, escrevendo que a bíblia não deveria ser usada para interpretar o arranjo dos céus. Isso demonstra grande coragem, talvez porque soubesse que não viveria muito mais tempo. A maior crítica religiosa ao trabalho de Copérnico não veio da Igreja Católica, mas dos Luteranos. O próprio Martinho Lutero parece ter zombado de Copérnico e do seu modelo heliocêntrico. E a história não termina aí. Copérnico, já velho, incumbe seu aluno a supervisionar a publicação de sua obra. Mas o jovem é forçado a se mudar, e deixa a responsabilidade nas mãos de Andreas Osiander, um importante teólogo luterano. Osiander, sem a permissão de Copérnico, adiciona um prefácio ao livro, que atribui a Copérnico, onde afirma que a proposição do Sol no centro do cosmo não deve ser levada a sério, sendo só um modelo matemático para calcular as posições planetárias, e não o verdadeiro arranjo cósmico!

Atividades

Escreva no caderno

Professor, as respostas e os comentários das questões encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

após 1610. O efeito que mostra definitivamente que a Terra gira em torno do Sol, chamado paralaxe, só será medido em 1838!). Segundo, porque na época, e por mais dois mil anos, o modelo de Aristóteles dominava a Filosofia. Segundo ele, o cosmo se dividia em duas partes: o mundo sublunar, da Lua para baixo, onde mudanças eram possíveis; e o mundo supralunar, incluindo a Lua, todos os planetas, o Sol e as estrelas, onde o único movimento possível era o circular, com todos os objetos celestes girando em torno da Terra. Para que as ideias de Aristarco fossem aceitas, elas teriam que derrubar o poderoso modelo aristotélico. E isso, sem provas conclusivas, era impossível. Resumindo: o modelo de Aristarco foi esquecido. [...] O problema é que na época de Copérnico, em torno de 1500, a Astronomia de Ptolomeu era a mais aceita. E ele não tinha nada de elegante. É bem verdade que o objetivo principal de Ptolomeu não era a elegância, mas um modelo do cosmo que fosse capaz de reproduzir os movimentos dos planetas, Lua e Sol observados aqui da Terra. E isso ele fazia com bastante precisão. Essa precisão era necessária para que os astrólogos pudessem fazer os seus mapas e projeções, que dependiam das posições futuras dos planetas.

162

Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

• v tem direção variável: Fc  0

Fc  mac  m

A história de Copérnico foi de extrema importância na Astronomia e aborda dilemas científicos e pessoais. 1. A primeira proposição de um modelo heliocêntrico foi de Aristarco por volta de 300 a.C. Que argumentos ele usou para propor tal modelo? 2. Por que o modelo geocêntrico de Ptolomeu se manteve como a principal ideia sobre a estrutura do Universo por mais de 1 500 anos? 3. Pesquise o que é paralaxe, e como esse fenômeno poderia negar ou corroborar o modelo heliocêntrico. 4. A elaboração ou a aceitação de um novo modelo são dadas sobre crenças e estética. Destaque no texto dois exemplos que comprovam essa afirmação. 5. Se você estivesse na posição de Copérnico, com uma compreensão sobre a “realidade” que, diferente do pensamento da maioria das pessoas, poderia causar a ira e a perda de poder de algumas delas e pôr em risco a sua vida, o que faria?

Ciclista em trecho de declive.

Um ciclista desce por um declive que termina em uma depressão aproximadamente circular. Qual a composição de forças que levará a uma resultante centrípeta? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

6. Em sua opinião, qual foi a motivação de Osiander para alterar o prefácio do livro de Copérnico?

Capítulo 11

As leis da Gravitação

163

154

Unidade 4

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Motociclista realizando acrobacias dentro de um globo da morte.

Trecho de montanha-russa em que os carrinhos realizam um looping.

Em cada caso, é preciso conhecer o sistema de forças que age sobre o corpo para determinar quais forças compõem a resultante centrípeta. Por exemplo, para o corpo ligado a um cordão que gira no plano vertical, no ponto mais alto da trajetória a resultante centrípeta é dada pela soma da força peso e de tração, enquanto no ponto mais baixo é dada pela diferença entre a força de tração e a força peso. Nessa situação, se o corpo girar com velocidade constante, a resultante centrípeta se manterá constante e a força de tração vai variar em cada ponto da trajetória.

Força e as leis de movimento da Dinâmica

CS1-FIS-EM-3030-V1-U04-C10-150-157-LA.indd 154

A seção Lendo a Física consta de atividades que partem da leitura de textos sobre a história da Física, muitas vezes de textos de cientistas. Nela é possível ver a origem de conceitos ou princípios.

v2 r

A ocorrência do movimento circular em um plano vertical pode ser observada em diversas situações, por exemplo, no trajeto de um motociclista dentro do globo da morte ou em um looping realizado por um carrinho de montanha-russa.

Pare e pense

GLEISER, Marcelo. In: MOURÃO, Ronaldo Rogério de Freitas. Copérnico: pioneiro da revolução astronômica. São Paulo: Odysseus, 2003. p. 9-14.

Mas, se isso é verdade, por que então ninguém fala de Aristarco? Por dois motivos: primeiro, nin-

algo que é simplesmente impossível a olho nu. (Lembre-se que o telescópio só será usado em Astronomia

• | v |  0, constante: Ft  0 • resultante: R  Fc

Copérnico só foi ver um exemplar pronto do seu livro no dia de sua morte, 24 de maio de 1543.

guém conseguiu provar que as ideias de Aristarco estavam corretas. Para tal, era necessário medir uma mudança mínima na posição das estrelas mais próximas da Terra durante um intervalo de seis meses,

T  Fc

Jane Hobson/London News

Copérnico educou-se na Polônia e na Itália, onde foi exposto às ideias dos grandes filósofos gregos Platão e Aristóteles, assim como à ciência de Arquimedes, Aristarco de Samos e Erastóstenes. Em seu

C

Para ampliar nossos conhecimentos sobre as causas e os efeitos dos movimentos curvilíneos, vamos analisar algumas situações em que esses movimentos ocorrem no plano horizontal e no plano vertical. Vamos supor que uma esfera atrelada a um fio descreva uma trajetória circular sobre o plano horizontal de uma mesa, N para estudar quais forças atuam sobre ela. Como o movimento da esfera ocorre em um plano horizontal, a direção da força resultante é horizontal e a componente P vertical da força resultante é nula. Nesse caso, a força peso tem a mesma intensidade da força normal: P  N. Portanto, nesse caso, a força de tração (T) no fio representa a resultante centrípeta que age na esfera: R  Fc  T. Em outros movimentos circulares uniformes, ocorre que a componente tangencial Ft da força resultante R é nula e o movimento tem as seguintes características:

Corel Stock Photo

[...] Em 1510, ele [Copérnico] escreveu um pequeno manuscrito propondo o seu modelo heliocêntrico. Em vez de publicado, como já faziam outros estudiosos, ele distribuiu algumas cópias para filósofos e conhecidos, aguardando pelos seus comentários. Sua obra-prima, Sobre as revoluções das órbitas celestes, só apareceria em 1543, o ano de sua morte. Será que ele tinha medo dos comentários negativos de outros astrônomos? Ou talvez da perseguição religiosa da Igreja? Afinal, centenas de pessoas eram queimadas por ano acusadas de heresia e bruxaria. Será que ele era inseguro?

2. Movimento circular nos planos horizontal e vertical

Editoria de Arte

Nesta atividade, vamos trabalhar um trecho do livro Copérnico: pioneiro da revolução astronômica, que relata a vida e a obra de Nicolau Copérnico. Copérnico era um astrônomo e matemático polonês, mas também era cônego católico, que propunha um modelo de Universo que rompia tanto com a crença científica vigente quanto com os dogmas do cristianismo.

Para Copérnico, o modelo de Ptolomeu era monstruoso, um corcunda cósmico. Não só o Sol (e nem a Terra, deslocada do centro) não era o centro do cosmo, como os planetas giravam em velocidades irregulares em torno do centro. Esse movimento irregular contrariava uma regra de Platão, que dizia que os astrônomos deveriam ser capazes de descrever os movimentos celestes usando apenas círculo e velocidades regulares, sempre as mesmas em qualquer posição. A missão a que se propôs Copérnico foi criar um modelo que não só tivesse o Sol no centro, sendo mais elegante e natural, como também respeitasse a regra de Platão e fosse tão preciso quanto o Ptolomeu.

Kevin Kozicki/Glow Images

Odysseus Editora

Copérnico e as controvérsias humanas e científicas do modelo heliocêntrico

Capítulo 10

4/22/16 14:18

A seção Pare e pense apresenta questões e situações-problema que ajudam na reflexão inicial de cada conceito.

4/22/16 14:27

Dinâmica nas trajetória


Sumário UNIDADE 1 – Os caminhos da Física   Capítulo 1: Física: Ciência e tecnologia

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1. Invenções e sociedade

9

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10

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10

Física e curiosidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 12

2. Ciência e representações

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

12

Linguagens da Ciência � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 13

3. Ciência e interpretação

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14

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

15

4. Ciência e método

Uma história sobre o método da Ciência � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 16 Alguns dos métodos da Física: indução e dedução � � � � � � � � � � � � 18

5. Áreas de estudo da Física

19

6. Medições em Ciências: o Sistema Internacional de Unidades

20

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

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3. Movimento com aceleração escalar constante

� � � � � � � � � � � � � �

Função e gráfico da velocidade em relação ao tempo� � � � � � � � � 54 Função e gráfico da posição em relação ao tempo � � � � � � � � � � � 57

4. Equação de Torricelli

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60

Experimente a Física no dia a dia – Descrevendo o movimento uniformemente variado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 62

  Capítulo 5: Queda livre e lançamento vertical

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63

1. Movimentos em uma dimensão sob ação da gravidade

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

63

2. Queda livre

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64

3. Lançamento vertical

Você sabia? – Conhecendo um físico brasileiro –

53

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Física no cinema – Meteoro: o futuro está em jogo

� � � � � � � � � � � � � �

67 70

Experimente a Física no dia a dia –

José Leite Lopes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 22

Tempo de reação� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 72

Pense além – Física e Arte

Exercícios complementares

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23

Lendo a Física – Aristóteles: explicações para a

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De volta ao começo

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

73 74

matéria e o Universo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 24

Experimente a Física no dia a dia – Um modelo explicativo para o arco-íris � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 26

Exercícios complementares

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27

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28

De volta ao começo

UNIDADE 3 – Cinemática vetorial   Capítulo 6: Grandezas escalares e vetoriais

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76

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76

1. Grandezas vetoriais

Você sabia? – Como funciona o GPS?

UNIDADE 2 – Cinemática escalar   Capítulo 2: Introdução ao estudo do movimento

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2. Posição e deslocamento vetorial

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3. Velocidade vetorial

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1. Conceitos básicos

29

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30

Pense além – Nesta história, quem tem razão?

30

4. Aceleração vetorial

Você sabia? – Qual é a origem da milha marítima e da milha terrestre? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 32

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33

Deslocamento escalar e intervalo de tempo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 34 Deslocamento escalar e distância percorrida � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 35 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

37

Você sabia? – A medida de tempo e a Física Moderna

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  Capítulo 3: Movimento uniforme

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1. Movimento com velocidade escalar constante 2. Função da posição em relação ao tempo

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3. Gráfico da posição em relação ao tempo

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40 41 41

85

5. Composição de movimentos

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Você sabia? – Referencial e a Física Moderna

  Capítulo 7: Lançamento de projéteis

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

88 90 91

1. Movimento em duas dimensões sob ação da gravidade

91

2. Lançamento horizontal

92

Experimente a Física no dia a dia – Lançando coisas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 95

3. Lançamento oblíquo

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  Capítulo 8: Movimento circular

96

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98

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

98

42

1. Deslocamento angular

45

2. Velocidade angular

Pense além – Transporte público eficiente

81

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� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Velocidade escalar instantânea � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38

81

84

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3. Velocidade escalar média

80

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2. Trajetória, deslocamento escalar e intervalo de tempo

75

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

100

Relação entre as grandezas angulares e lineares � � � � � � � � � � � � � 101

e acessível: solução para os problemas do trânsito nas grandes cidades? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 47

3. Movimento circular uniforme

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

103

Experimente a Física no dia a dia –

4. Período e frequência

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104

Descrevendo o movimento uniforme� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 48

Pense além – Conversa de jornalista

  Capítulo 4: Movimento uniformemente variado

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1. Movimento variado

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

2. Aceleração escalar média

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Você sabia? – Como se mede a velocidade da luz?

CS-FIS-EM-3030-V1-INICIAS-001-008-LA.indd 6

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49

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106

5. Transmissão do movimento circular uniforme

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107

Pense além – As ciclovias e a mobilidade urbana

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109

Experimente a Física no dia a dia –

49

Experimente os recursos da bicicleta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 110

50

Exercícios complementares

52

De volta ao começo

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� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

111 112

4/15/16 5:24 PM


UNIDADE 4 – Força e as leis de movimento da Dinâmica 113   Capítulo 9: As leis de Newton e suas aplicações 114 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

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1. Dinâmica: as causas do movimento 2. Noção de força

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114

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114

Força resultante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 115

3. As leis de Newton

118

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Princípio da inércia (1a lei de Newton) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 119

Pense além – O que é o airbag e como ele pode salvar vidas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 120

4. Campo gravitacional

171

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Intensidade do campo gravitacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 171

5. Corpos em órbitas circulares

173

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Corpos em órbita � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 173 Velocidade de escape � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 174

Pense além – A Lua e as técnicas agrícolas Física no cinema – 2001: uma odisseia no

175

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espaço � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 176

Você sabia? – A teoria da gravitação e a Física Moderna � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 178

Exercícios complementares De volta ao começo

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179

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

182

Princípio fundamental da Dinâmica (2a lei de Newton)121 Princípio da ação e reação (3a lei de Newton) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 123

Você sabia? – Velocidade e a Física Moderna 4. Interações entre corpos

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126

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127

Força peso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 128

Pense além – Peso ou massa? Qual é a diferença?

130

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Você sabia? – Como as plantas crescem com baixa gravidade?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 131 Força normal� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 132 Força de tração� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 132 Força elástica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 139

UNIDADE 5 – Energia e as leis de conservação da Dinâmica   Capítulo 12: Energia e trabalho

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1. Conceito de energia

184

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184

2. Conceito de trabalho Você sabia? – O que é energia eólica?

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186

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188

3. Trabalho de uma força constante Você sabia? – Como aproveitar a energia solar?

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190

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

193

Trabalho da força peso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 195

Plano inclinado� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 142

Você sabia? – Como aproveitar a energia hídrica?

Força de atrito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 145

4. Trabalho de uma força variável

Pense além – Conversa de arquibancada

147

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198

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200

Trabalho da força elástica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 200

Lendo a Física – Aristóteles e Buridan: explicações

5. Teorema da energia cinética

sobre o movimento� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 148

Pense além – Energia em movimento 6. Energia potencial

  Capítulo 10: Dinâmica nas trajetórias

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203

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205

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206

Energia potencial gravitacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 206

curvas

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150

Energia potencial elástica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 208

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150

7. Energia mecânica

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

153

8. Potência

1. Componentes da força resultante Você sabia? – O que é força centrífuga?

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

209

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212

Rendimento� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 214

2. Movimento circular nos planos horizontal e vertical Pense além – Lavando a roupa suja Experimente a Física no dia a dia –

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154

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156

No balanço do vai e vem� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 157

  Capítulo 11: As leis da Gravitação

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158

  Capítulo 13: Impulso e conservação da quantidade de movimento 1. Quantidade de movimento

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216 219

Teorema do impulso� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 220

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158

Pense além – Defendeu!

158

3. Conservação da quantidade de movimento Pense além – Afinal, quem empurra quem? Você sabia? – Conservação da quantidade de

Ptolomeu e a teoria geocêntrica� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 159 Copérnico e a teoria heliocêntrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 159

216

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

2. Impulso de uma força

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1. Breve história sobre os modelos de mundo Pense além – Via Láctea

183

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

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221

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

222

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224

Você sabia? – Como Galileu foi condenado e preso por defender suas convicções científicas����������������������������������������������������������������������������� 160

movimento e a Física Moderna � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 224

Lendo a Física – Copérnico e as controvérsias

Um modelo de canhão� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 225

humanas e científicas do modelo heliocêntrico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 162

2. As leis de Kepler

Experimente a Física no dia a dia – 4. Colisões

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

226

164

Coeficiente de restituição � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 226

Lei das órbitas (1a lei de Kepler)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 164

Colisão elástica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 226

Lei das áreas (2a lei de Kepler) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 165

Colisão parcialmente elástica� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 227

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Lei dos períodos (3a lei de Kepler) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 165

Você sabia? – Como os antigos calculavam a distância até a Lua? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 167

3. Lei da Gravitação Universal Experimente a Física no dia a dia –

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168

Simulando as fases da Lua � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 170

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Colisão inelástica� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 227

Lendo a Física – A medida do movimento e sua conservação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 229

Física no cinema – A última hora Exercícios complementares De volta ao começo

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230

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232

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

234

4/15/16 5:24 PM


Sumário UNIDADE 6 – Estática e Hidrostática 235 Capítulo 14: Estática de um ponto material 236 e de um corpo extenso ......................

..............................................................

1. O equilíbrio e a engenharia

..........................................................

2. Condição de equilíbrio de um ponto material

.............

236 237

Método das projeções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Método da linha poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

2. Densidade e massa específica Experimente a Física no dia a dia – Flutua ou afunda?

....................................................

259

.................................................................................

261

3. Teorema de Stevin

................................................................................

Vasos comunicantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Pense além – Variação da pressão em função do tempo

........

266

..............................................................................

267

Pense além – Atividade física, um benefício para a saúde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

4. Princípio de Pascal

Você sabia? – Arquitetura, engenharia civil e aspectos socioculturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

5. Empuxo

3. Momento de uma força

Pense além – Futebol a grandes altitudes Você sabia? – Em que outras situações podemos

...................................................................

242

Momento do binário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4. Condições de equilíbrio de um corpo extenso

............

245

Teorema das três forças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5. Alavancas Pense além – O que as atividades de surfista,

.....................................................................................................

248

..............................................

251

Corpo apoiado sobre uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Capítulo 15: Hidrostática

Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 .........................................................................................................

...................................

273

observar o empuxo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Lendo a Física – Arquimedes e a coroa do rei Experimente a Física no dia a dia –

..........................

275

Quem faz a força? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Hidrodinâmica na circulação do sangue?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Exercícios complementares

254

...........................................................................................................

254

....................

256

278 279

...........................................................................................................

280

Lista de siglas

...................................................................................................

Sugestões para pesquisa e leitura Respostas

....................................

.................................................................................................................

280 281 282

Fabrice Coffrini/AFP

Pressão atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

................................................................

....................................................................................

De volta ao começo

Referências ................................................................

1. Pressão Pense além – Calçados apropriados para a neve

269

Teorema de Arquimedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Você sabia? – Como podemos aplicar a

ginasta e patinador têm em comum?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6. Tipos de equilíbrio de um corpo

262

O teorema de Stevin aplicado aos gases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

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1

Unidade

Os caminhos da Física

• O que levou as pessoas a se organizarem e construírem tais obras? • Você considera que um monumento como o Stonehenge está relacionado ao desenvolvimento científico? O que você entende por desenvolvimento científico?

Nesta imagem de 2015, podemos observar o Stonehenge, uma construção muito antiga (mais de 2500 anos a.C.), localizada ao sul da Inglaterra.

A Estação Espacial Internacional é um laboratório que está em órbita desde 1998 (ano de início de construção, finalizada em 2011, ano desta imagem).

NASA/Getty Images

Há vários tipos de registros que evidenciam a curiosidade da humanidade em entender como o mundo e seus elementos funcionam, desde monumentos muito antigos, como o Stonehenge, até construções atuais, como a Estação Espacial Internacional.

• Para a construção da Estação Espacial Internacional, foi necessário o esforço (também financeiro), de diversos países. Atualmente, muitos grupos desenvolvem pesquisas nessa Estação, inclusive o Brasil. Você considera que, apesar de existirem tantos problemas sociais e ambientais em diversas regiões do planeta, vale a pena investir em Ciência e Tecnologia? Por quê?

Capítulo 1

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CAPÍTULO 1

Física: Ciência e tecnologia 1. Invenções e sociedade Professor, os comentários das questões da abertura de Unidade encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Se procurarmos o significado de invenção em dicionários, encontraremos definições como descoberta, criação, entre outras. A inventividade humana é rica e diversa, tanto que pouco podemos prever sobre os próximos 30 ou 40 anos – como iremos nos comunicar, nos locomover ou estudar. Devemos lembrar que cada invenção ou desenvolvimento tecnológico é resultado de diversas pesquisas, isto é, de investigações sobre determinada questão ou problema que o ser humano desejava responder ou solucionar. Veja algumas invenções da humanidade. O domínio do fogo

McCarthy's PhotoWorks/Shutterstock.com

Se imaginarmos os hominídeos muito primitivos, que ainda não dominavam o fogo, perceberemos que eles estavam sujeitos ao frio ao longo das estações do ano, ao escuro das noites e à alimentação sem qualquer tipo de cozimento. Até que um dia – e talvez só possamos imaginar esse dia – um homem ou uma mulher, mais curioso(a) e ousado(a) que os outros, se atreve a pegar um galho em chamas. Esse hominídeo leva essa tocha para a sua tribo e percebe que pode mantê-la acesa por um tempo indefinido. O hominídeo sente o calor do fogo, e sua sensação de frio diminui; vê sua luz, e seu medo da escuridão da noite é abrandada pela primeira vez; aquece um alimento muito próximo ao fogo e assim descobre que há diferença de sabor entre o alimento cru e o cozido; surge também, com os primeiros cozinheiros, a possibilidade de novos alimentos. Imagine a transformação que essa descoberta trouxe para o hominídeo do Paleolítico (2,5 milhões – 10 mil anos a.C.), que se abrigava em cavernas e que podia finalmente ver, nas noites que se tornaram mais claras e mais quentes por causa das chamas, a tranquilidade no olhar de seus companheiros. Posteriormente, o fogo proporcionou o trabalho com outros materiais, como a cerâmica (argila) e os metais (bronze, ferro, aço etc.).

Ferreiro utilizando fogo para moldar suas peças.

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Unidade 1

Os caminhos da Física

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Tente imaginar sua vida sem a existência da roda. Certamente várias atividades que você realizou hoje ou que ainda vai realizar dependem desse instrumento. Ela foi considerada a mais importante das invenções e, de fato, podemos encontrá-la em vários lugares e equipamentos em nosso cotidiano. A roda está presente em veículos de transporte, pois reduz o atrito ao diminuir a área de contato com o chão e ao girar em torno de um eixo, e também no interior de equipamentos, como engrenagens. Os instrumentos de orientação e navegação

A roda também foi utilizada para moagem de grãos. (Na imagem, uma roda utilizada provavelmente para a moagem de grãos, do século XVII ou XVIII, localizada na França).

Séc. XV. Museu da Marinha, Lisboa

Os instrumentos de orientação que os navegadores usavam na época das Grandes Navegações, por volta da primeira metade do século XVI, eram diferentes dos atuais. A balestilha, por exemplo, servia para fazer observações e determinar a altura do Sol em relação ao horizonte. Dependendo do horário em que era feita uma medição, o valor era importante para determinar a latitude do navio.

De Agostini/W. Buss/Bridgeman Images/Keystone

A roda

Balestilha, instrumento de observação utilizado nas antigas navegações. (Gravura do século XV, localizada no Museu da Marinha em Lisboa, Portugal).

Já imaginou um mundo sem o registro de imagens? As câmeras digitais, tão comuns nos dias de hoje, permitem obter uma quantidade enorme de fotografias e conhecer o resultado instantaneamente. Mas nem sempre foi assim. Duas frentes das Ciências colaboraram para a invenção da fotografia: a Física Óptica (com a câmara escura) e a Química (com os materiais fotossensíveis – que reagem na presença da luz). A primeira fotografia, isto é, imagem registrada permanentemente, foi obtida pelo francês Joseph Niépce, em 1826. Apesar de termos enumerado somente quatro invenções, já é possível notar que todas tiveram algum impacto ou influência na sociedade, isto é, no modo de vida das pessoas, para melhorar a alimentação, o transporte, o bem-estar ou mesmo o lazer.

J. N. Niepce/SPL/Latinstock

A fotografia

De 1826, este é considerado o primeiro registro fotográfico, feito por Niépce em parceria com Louis Jacques Daguerre. Na imagem, é possível distinguir, embora de forma pouco nítida, a vista de uma janela. Capítulo 1

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Física e curiosidade O ser humano sempre teve curiosidade e interesse pelos fenômenos naturais. Toda cultura construiu um conjunto de conhecimentos para encontrar explicações para o que acontece no Universo. A busca de um cientista pelo conhecimento pode ser comparada à de uma criança: quando somos crianças, passamos por uma fase em que fazemos muitas perguntas, queremos saber o porquê de tudo e até elaboramos algumas respostas. A quantidade de perguntas está relacionada com o desejo de aprender sobre a vida, a cultura e a natureza. Todas essas perguntas fizeram parte do imaginário do ser humano desde ou talvez mesmo antes da Antiguidade. Chineses, gregos, árabes, romanos, maias, hindus, todos os povos indígenas, já pensaram sobre várias delas. Parte dessas perguntas, as que se referem à natureza, deu origem ao que atualmente entendemos como Ciência, principalmente quando a busca de respostas passou a seguir a razão e a lógica.

2. Ciência e representações

Pierre Colombel/Corbis/Latinstock

A pintura rupestre de seres humanos caçando um leão (c. 4000 a.C.) encontra-se em uma caverna no sítio arqueológico de Tassili n’Ajjer, na Argélia.

Representações gráficas sempre fizeram parte da nossa vida: em um pedaço de papel, na tela de um quadro, no grafite de um muro na arte de rua, na tela de um computador, por exemplo. Começamos desde crianças a fazer representações do nosso imaginário. Se deixarmos um lápis e uma folha de papel em branco perto de crianças, em poucos segundos veremos que elas farão rabiscos ou desenhos. Desde as primeiras representações do cotidiano, até atualmente, a Ciência e a Arte, ambas manifestações culturais, muitas vezes caminharam lado a lado. Pensemos nas pinturas rupestres, em uma ilustração da atividade de caça reproduzida a seguir. Nessas pinturas estão representadas a natureza e a cultura humana daquela época.

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Unidade 1

Os caminhos da Física

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1581. Guache sobre papel. Biblioteca da Universidade, Istambul

Royal Astronomical Society/SPL/Latinstock

900-800 a.C. Madeira. Museu do Louvre, Paris. Foto: The Granger Collection, New York/Otherimages

Essa relação entre Arte e Ciência é tão próxima que cientistas e seu cotidiano de descobertas foram por diversas vezes retratados em desenhos, pinturas, fotografias, esculturas, entre outros. Por exemplo, a atividade astronômica é encontrada em representações muito antigas. Nas imagens a seguir, podemos ver, por exemplo, cenas que retratam formas astronômicas no Egito antigo, cerca de 3000 a.C., e nos séculos XIII e XVI, respectivamente.

Representação, datada de 900-800 a.C, do deus Ra-Horakhty, com cabeça de falcão e coroa solar usada para abençoar seus súditos. (Em exposição no Museu do Louvre, Paris).

Representacão de um observatório astronômico de Istambul. Nele, podemos observar astrônomos e geógrafos. (Gravura de 1581 localizada na Biblioteca da Universidade em Istambul, Turquia).

Diagrama (de 1230), de um modelo aritmético dos eclipses do Sol e da Lua.

Samir Hussein/Getty Images

Rembrandt, 1632. Óleo sobre tela. Royal Picture Gallery Mauritshuis, Haia

Leonardo da Vinci. 1492. Desenho. Galeria da Academia de Veneza. Foto: Corel Stock Photo

Para ilustrar outras formas de representação da Ciência na Arte, particularmente da Medicina, podemos analisar as próximas três imagens. A primeira traz o famoso Homem Vitruviano, que serviu como um índice das proporções humanas por meio da representação de Leonardo da Vinci (século XV); a segunda, é o quadro A lição de anatomia do Dr. Tulp (século XVII), no qual o pintor Rembrandt retrata uma aula de dissecação. Na última imagem, temos as “quase” esculturas de Gunther von Hagens, que são forjadas com o próprio corpo humano por meio da técnica da plastinação.

Representação da anatomia de um corpo humano feita por Rembrandt (1632). Representação das proporções do corpo humano feita por Da Vinci (1492). Plastinação do corpo humano feita por Von Hagens (2008).

Linguagens da Ciência Ao longo do tempo a comunidade científica estabeleceu uma forma de fazer e comunicar Ciência. Atualmente, um relatório de pesquisa ou artigo de pesquisa em Física lança mão de equações, tabelas, gráficos, esquemas, fotografias e simulações de computador. O próprio relatório ou artigo é um gênero clássico da Ciência e a Matemática possui um papel fundamental no desenvolvimento das Ciências Naturais.

Capítulo 1

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3. Ciência e interpretação

Representação do mito caiapó para o nascimento das estrelas e do mundo.

Você sabe como as estrelas surgiram? Para essa pergunta, podemos elaborar e encontrar diferentes respostas. Uma delas, dada pela Ciência, conta que as estrelas se formam por meio da condensação de uma nuvem composta principalmente de hidrogênio e hélio. Quando bem comprimida e densa, a região central dessa nuvem pode ter temperatura suficiente para ocorrerem reações nucleares, e a estrela brilhar. Mas essa é uma resposta dada pela Ciência. Outras culturas explicaram o mesmo fenômeno com base em outros referenciais. Veja a representação acima, de um mito caiapó, grupo indígena que habita a região Amazônica. Olhando para a gravura, como você acha que eles explicaram as estrelas e o surgimento do mundo? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

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Unidade 1

Quando criança, somos levados a acreditar na existência de um personagem muito típico, um senhor de barba branca e risonho que voa em um trenó puxado por renas: o Papai Noel. Com sua roupa vermelha e detalhes em algodão, as histórias contam que ele desce pelas chaminés das casas com um saco de presentes e os distribui de acordo com o nosso comportamento. Tudo isso para justificar a tradição de troca de presentes de final de ano. Quando pequenos, geralmente acreditamos nessa história sem nos questionar sobre a veracidade ou mesmo sem procurar por outras explicações, apesar de a maioria das casas não ter chaminé, bem como nunca termos visto um trenó voador. Acabamos por nos sentir acalentados por essas crenças, pois elas nos auxiliam a entender o mundo. A cultura humana sempre foi permeada por histórias desse tipo, que acabam por preencher a nossa curiosidade sobre uma série de fenômenos que nos cercam. O mundo dessas histórias está cheio de seres poderosos, temperamentais e que nunca são vistos, como o coelho da Páscoa, o saci, a mula sem cabeça, o curupira, as fadas, as bruxas, os magos, os gnomos e muitas entidades que justificam o que acontece ao redor dos personagens e com eles. E antes que se pense que as crianças são bobas, podemos dar uma olhada a nossa volta, ou quem sabe na História, e perceber que essa forma de tratar o mundo é um comportamento humano. Desde onde temos registros, os seres humanos tentaram justificar e entender os fenômenos da natureza, como terremotos, eclipses, grandes secas ou tempestades, pelo temperamento de deuses que deveriam ser apaziguados; hoje essas respostas são estudadas pela Ciência. Os exemplos mais conhecidos vêm da mitologia greco-romana, na qual havia uma infinidade de deuses que eram responsáveis pelo movimento do Sol, dos ventos e do mar. Contudo, não nos esqueçamos de que todas as civilizações tiveram seus mitos e suas explicações da natureza. Por exemplo, os indígenas do Brasil possuem mitos para explicar a criação do mundo, como lendas para as constelações da Ema e da Jararaca, animais de seu cotidiano. O que será que diferencia a Ciência dessas histórias míticas? Giacomo della Porta. Século 16. Escultura. Praça Navona. Roma, Itália. Fotografia: De Agostini/Getty Images

Mundo Novo, de Waldemar de Andrade e Silva. Lendas e Mitos dos índios brasileiros, São Paulo, Editora FTD, 1999, página 13.

Pare e pense

Existem diversas representações dos deuses greco-romanos. Esta estátua de Netuno é do século XVI e está localizada na Praça de Navona, em Roma, Itália.

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4. Ciência e método

Rafael Sanzio (detalhe), 1509-1510. Afresco. Museus Vaticanos, Cidade do Vaticano

Detalhe do afresco Escola de Atenas.Nele é possível observar Platão (à esquerda) e Aristóteles (à direita).

Rafael Sanzio, 1509-1510. Afresco. Museus Vaticanos, Cidade do Vaticano

Imagine que você e um colega estejam se preparando para um passeio de bicicleta no parque e, ao olhar o céu com ar de dúvida, seu amigo pergunta: “Será que vai chover?”. Você olha pela janela, avalia as nuvens e com todo o seu saber responde: "Eu acho que não!”. Nesse raciocínio e nessa resposta, por mais incrível que isso possa parecer, você acaba de usar um conceito chamado de lógica, criado pelo filósofo grego Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.). Apesar de termos falado explicitamente somente de Aristóteles, na maioria das vezes que citamos um pensador, leve em consideração que esse indivíduo simboliza a síntese de um conjunto de ideias de outros que refletiram ou trabalharam sobre o mesmo tema, pois o conhecimento nunca surge de forma isolada. Aristóteles é considerado por muitos o primeiro naturalista, pois classificou os seres vivos de acordo com o princípio vital e a alma de cada um, separando a natureza nos reinos mineral, vegetal e animal e o ser humano. Também estudou os movimentos dos corpos, classificando-os em naturais e violentos. Utilizou-se da ideia de Empédocles dos quatro elementos (terra, água, fogo e ar) para explicar a constituição dos corpos existentes no mundo sublunar (Terra), e de um quinto elemento, definido por Platão, chamado de éter, que seria o componente dos corpos celestes (supralunar). Aristóteles também estabeleceu regras para arbitrar sobre a verdade que poderia ser demonstrada e recebeu o nome de lógica aristotélica. A lógica seria um instrumento que nos daria a possibilidade de pensar e conferir a precisão desse pensar sem nos basear na opinião de outra pessoa. Esse conjunto de hipóteses e testes norteou todo o desenvolvimento científico até o estabelecimento das bases da Ciência moderna, associada aos trabalhos de Galileu Galilei (1564-1642).

Afresco Escola de Atenas, de Rafael Sanzio, 1509-1510. (Localizado no Museu do Vaticano, no Vaticano, Itália). Capítulo 1

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Uma história sobre o método da Ciência Acompanhe o desenrolar da situação a seguir, em que três garotos pensam sobre a flutuação de um grão de pipoca.

Rafael Herrera

Um dia frio. Você em casa resolve chamar os amigos para assistir a um filme e conversar. No meio do filme, alguém fala em fazer pipoca. Pipoca feita, sucos preparados e alguém deixa cair pipoca dentro do copo com suco. Muitas risadas até que você pergunta: – Por que a pipoca flutua?

Seu amigo da esquerda rapidamente responde: – Porque é leve! Seu amigo da direita argumenta: – Um navio também flutua e ele não é leve. Vocês se entreolham cheios de dúvidas, pensando em como podem chegar a uma conclusão. – Vamos jogar tudo o que encontrarmos dentro de um balde com água, daí conseguiremos decidir o que afunda e o que flutua! – diz seu amigo da esquerda. – Não! Basta pensar, que a gente chega a uma resposta! – diz seu amigo da direita, e você arremata: – Não! É melhor juntar as ideias! Ou seja, primeiro vamos pensar, separar os objetos em grupos e depois jogar tudo na água. Somente assim poderemos separar as coisas que flutuam das que afundam!. Nesse momento, sua irmã mais velha, que faz faculdade de Filosofia e que tinha ouvido toda a conversa, aparece e fala: – Olha só! Esta discussão se parece bastante com a aula que eu tive ontem no meu curso de Filosofia! Vocês não haviam percebido a chegada de sua irmã Odete e se entreolharam espantados. Antes que pudessem reagir, ela continuou sua explicação: – Jogar tudo dentro da água sem pensar pode recriar, em parte, o chamado método empírico (do grego, empeirikós,“que se guia pela experiência”) que leva em conta somente a experiência dos sentidos.

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Unidade 1

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Francis Bacon, gravura do século XVIII.

Frans Hals. 1649. Óleo sobre tela. Museu do Louvre, Paris

Justus Sustermans. c.1639. Óleo sobre tela. National Maritime Museum, Greenwich, Londres

Jacobus Houbraken, séc. XVIII. Gravura. Smithsonian Libraries, Washington

O método de se buscar as respostas para as perguntas sobre a natureza, com base somente nas construções do pensamento ou nos sentidos, era a técnica usada pela tradição grega e pelos seguidores de Platão e Aristóteles. Uma mudança nessa perspectiva começou a se manifestar por volta do ano 1000. Enquanto a Europa entrava em um período em que a Ciência estava ligada à Igreja, no mundo islâmico vários pensadores conseguiram estruturar um pouco melhor a forma de se pensar a Ciência. Podemos citar, por exemplo, o árabe Ibn al-Haytham (965-1040), que conduziu suas pesquisas de forma semelhante ao que chamamos hoje de método científico. Segundo ele, era necessário realizar observações e experimentações sistemáticas e controladas para se conseguir descrever um problema. Deveria ser possível testar as ideias sobre ele, interpretar os dados obtidos e, por meio deles, tentar obter uma possível conclusão. Outro árabe, Abu al-Biruni (973-1048), aperfeiçoou o procedimento compreendendo que os observadores podem inserir erros na tomada de dados e que isso poderia ser corrigido pelas repetições dos testes. Já Ishaq al-Rahwi (854-931) propôs a revisão coletiva dos trabalhos e experimentos, e Abu Jabir Hayyan (721-815) introduziu a noção de experimentação controlada. Na Europa, esse mesmo movimento no tratamento científico começou com Roger Bacon (1214-1294). Segundo ele, deveriam ser levantadas hipóteses sobre a razão da ocorrência de determinado fenômeno, que depois deveriam ser testadas. Os outros três pensadores que sintetizaram um método para a Ciência foram o inglês Francis Bacon (1561-1626), o italiano Galileu Galilei (1564-1642) e o francês René Descartes (1596-1650). Francis Bacon formulou as bases do método científico moderno, estabelecendo a utilização do método da indução para que o cientista conseguisse prever a causa dos fenômenos naturais. Esse método parte de fatos observáveis e amplamente catalogados para se chegar a uma conclusão capaz de explicar fenômenos mais gerais. Mas foi com Galileu que uma formulação para um método chegou a uma versão mais objetiva. Por exemplo, ele lança mão da união da observação dos fenômenos com a dedução de hipóteses e a elaboração de experimentações controladas capazes de confirmar ou descartar as hipóteses. Com ele os experimentos passaram a ter medição dos resultados e a Matemática passou a ser utilizada como forma de comparar grandezas. Em diversos estudos, obteve leis gerais que podiam determinar o comportamento do fenômeno. Descartes é considerado o primeiro filósofo moderno, com trabalhos em diversas áreas, como Física, Matemática e, principalmente, Filosofia. Contribuiu para um campo que recebe o nome de epistemologia, isto é, a maneira como conhecemos e compreendemos algo. Prova disso, é o tema de sua principal obra, Discurso sobre o método, em que propõe um modelo matemático para descrever o pensamento humano. Apesar de citarmos somente alguns dos pensadores, temos de ter em mente que não existe o mais correto ou o mais errado, pois para um suposto método científico o mais importante é analisar como o pensamento é produzido e como pode ser repensado.

Galileu Galilei, quadro de 1639.

René Descartes, quadro de 1649. Capítulo 1

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Alguns dos métodos da Física: indução e dedução

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Editoria de arte

Ao observarmos esta imagem, podemos afirmar que amanhã o Sol nascerá novamente?

B a2 5 b2 1 c2 a c

A

C

b Esta fórmula vale sempre?

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Unidade 1

Os caminhos da Física

Observando esta fotografia, podemos afirmar que choveu?

Concluir que o Sol sempre vai nascer, dia após dia, é obter uma conclusão por indução, visto que o fato sempre foi observado em todos os dias anteriores. Outro exemplo menos frequente é o asfalto molhado de um bairro após a chuva; por meio dessa observação pode-se concluir, por indução, que o bairro está molhado porque choveu. Note que nesses exemplos não podemos demonstrar que o Sol voltará a nascer ou que choveu. A indução necessita de informações sobre os fatos e está sujeita a um novo acontecimento ou fenômeno. Filósofos advertem que o problema do raciocínio indutivo é ser relativo ao indivíduo, pois crenças e experiências podem induzir a uma observação equivocada. O dedutivismo é outra perspectiva que foi muito difundida na Ciência medieval e garantia rigor às conclusões. Esse método afirma que as teorias não são verdades absolutas, mas sim verdades relativas. A Matemática usa predominantemente processos dedutivos para desenvolver suas teorias. A dedução, ao contrário da indução, parte do geral – leis, teorias, axiomas, proposições – e chega ao particular – à explicação dos fatos. Um exemplo foi o desenvolvimento do teorema de Pitágoras: “O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Esse teorema foi demonstrado e pode ser verificado para todos os triângulos retângulos. Caso não se aplique a um deles, não é o teorema que é inválido, mas o elemento geométrico que não constitui um triângulo retângulo. Com relação à afirmação “Quando chove, todo o bairro fica molhado”, se estiver chovendo, podemos deduzir que o bairro ficará molhado. Essa afirmação sempre é válida. O raciocínio contrário, isto é, induzir, pela observação do bairro molhado, que choveu, pode não ser válido, pois pode ter acontecido algo inesperado ou surpreendente que molhou o bairro sem ter sido a chuva.

Marcos Moraes/Pacific Press/Zumaspress.com/Glow Images

Rubens Chaves/Pulsar

O indutivismo, desenvolvido pelo filósofo inglês Francis Bacon, é uma corrente filosófica apoiada na indução. Segundo essa perspectiva, a investigação científica se processa por meio de algumas etapas, como a observação, a generalização – indução –, a formulação e a confirmação das leis. A indução ou inferência é um raciocínio que parte do particular – fatos isolados – e segue em direção ao geral – formulação de leis e teorias. Para entender melhor, analise as imagens a seguir:


5. Áreas de estudo da Física

Culture Club/Getty Images

Os estudos sobre Física desenvolvidos desde a Antiguidade estavam agregados à área do conhecimento denominada Filosofia Natural, cujo objetivo era estudar a natureza em todos os seus aspectos. A revolução científica que acabamos de descrever, nos séculos XVI e XVII, deu início à Física como um ramo independente da Filosofia e que passou a se restringir ao estudo dos fenômenos naturais. Os conhecimentos que se estruturaram até o final do século XIX foram organizados e atualmente fazem parte do que denominamos Física Clássica. Nela teremos algumas divisões para que, por razões didáticas, possamos organizar melhor os estudos, mas lembre-se de que a natureza não faz essa distinção e que, portanto, um mesmo fenômeno pode ser estudado por diferentes linhas. No final do século XIX, a Física Clássica havia chegado a uma sofisticação muito grande, pois foi possível determinar dimensões da ordem de grandeza de moléculas até corpos celestes. Foi possível calcular grandezas com uma precisão nunca imaginada, e a nossa capacidade de prever fenômenos havia atingido um patamar tão bom que se achava que nada mais poderia ser descoberto e restavam poucos detalhes teóricos a serem compreendidos. As perguntas que os conhecimentos da Física Clássica não esclareceram foram motivadoras de pesquisas e de novas teorias que marcaram, no início do século XX, o surgimento da Física Moderna. A Teoria da Relatividade nos lançou no mundo de velocidades próximas à da luz, em fenômenos em que o tempo e o espaço correm de uma maneira diferente para cada observador. A Física Quântica descreve o universo “do muito pequeno” e tem proposições indicando que as grandezas não são contínuas, mas podem assumir somente determinados valores. Os conhecimentos da Física Moderna favoreceram invenções que revolucionaram a eletrônica e possibilitaram a criação de novos caminhos para que os computadores fossem difundidos e, de certa forma, passassem a interferir em hábitos sociais e a modificá-los. Os avanços tecnológicos produzidos pela Física, ao lado de todos os benefícios, trouxeram também muitos problemas para o nosso planeta. O mau uso dos equipamentos que foram desenvolvidos tem criado desequilíbrios ambientais, como o excesso de poluentes na atmosfera e a devastação da cobertura do solo. O avanço da Ciência não é imparcial. Desenvolvida por humanos, ela está a serviço de seus interesses e demandas.

Na imagem de 1925, Marie Curie e sua filha Irene. Curie foi uma das pioneiras no estudo da radioatividade. Capítulo 1

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6. Medições em Ciências: o Sistema Internacional de Unidades

Em Tumba de Mennah. Séc. XVI-XIV a.C. Vale dos Nobres, Tebas. Foto: Erich Lessing/Album/Latinstock

A necessidade de medir é muito antiga e fundamental no estudo da Física. Provavelmente, foi uma das primeiras atividades matemáticas do ser humano. Além disso, a vida em sociedade favoreceu o desenvolvimento da linguagem e da organização para o trabalho coletivo. Por alguma necessidade, provavelmente de controle de produção e troca de excedente, as civilizações da Antiguidade criaram o seu sistema de medidas. No Egito antigo, cerca de 5 mil anos antes de Cristo, por exemplo, as medições eram consideradas fundamentais para garantir os recursos financeiros do Estado. Isso porque, naquela época, os cobradores de impostos e escribas controlavam o uso adequado das medidas e dos registros dos produtos agrícolas, a base da economia egípcia.

A imagem retrata um agrimensor delimitando terra. Detalhe no túmulo de Mennah, escriba e inspetor do campo do faraó Tutmés IV (séculos XVI-XIV a.C.).

Ainda nesse período, merece destaque o fato de as partes do corpo humano terem servido de referência para os primeiros padrões de medidas usados pelos egípcios. Essa iniciativa foi apropriada por outros povos, como os romanos, que também fizeram uso das medidas do corpo humano como padrões. Na Roma antiga, as unidades de medidas oficiais formavam um sistema no qual eram utilizadas unidades como polegada e pé, para medida de comprimento, ou libra e onça, para medida de massa, entre muitas outras. Por vários séculos, o controle dos padrões de medida trazia consigo poder. Por exemplo, na Idade Média, os senhores feudais mantinham seus próprios padrões de medida, e, com os mercadores da época, usavam um tipo de padrão para a venda das mercadorias e outro para a compra de produtos agrícolas. Durante a Idade Moderna o uso de diferentes padrões de medidas continuou sendo praticado, tanto dentro de uma mesma nação ou país, quanto entre eles. A estrutura política não permitia que acordos entre nações se consolidassem, como uma mesma padronização das medidas. Porém, a variedade de padrões acarretava imprecisões que prejudicavam as relações de comércio e a própria administração do Estado. Somente com os movimentos sociais que desencadearam a Revolução Francesa, em 1789, foi possível criar um modelo de unidades universal, exato e prático. No final do século XVIII, foi criado o Sistema Métrico Decimal pela Academia de Ciência da França, com base em unidades não arbitrárias. Inicialmente, as três unidades básicas para as grandezas comprimento, volume e massa eram, respectivamente, o metro, o litro e o quilograma.

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Essas unidades foram definidas do seguinte modo: • Metro: Dentro do Sistema Métrico Decimal, a unidade de medir a grandeza comprimento foi denominada metro e definida como “a décima milionésima parte da quarta parte do meridiano terrestre” (dividiu-se o comprimento do meridiano por 40 000 000). Para materializar o metro, construiu-se uma barra de platina de secção retangular, com 25,3 mm de espessura e com 1 m de comprimento de lado a lado. Essa medida materializada, datada de 1799, conhecida como o “metro do arquivo” não é mais utilizada como padrão internacional desde a nova definição do metro feita em 1983 pela 17a Conferência Geral de Pesos e Medidas. • Litro: A unidade de medir a grandeza volume, no Sistema Métrico Decimal, foi chamada de litro e definida como “o volume de um decímetro cúbico”. O litro permanece como uma das unidades em uso com o SI [Sistema Internacional], entretanto recomenda-se a utilização da nova unidade de volume definida como metro cúbico. •  Quilograma: Definido para medir a grandeza massa, o quilograma passou a ser a “massa de um decímetro cúbico de água na temperatura de maior massa específica, ou seja, a 4,44 °C”. Para materializá-lo foi construído um cilindro de platina iridiada, com diâmetro e altura iguais a 39 milímetros.

Bureau Of Standards/National Geographic

National Physical Laboratory/SPL/Latinstock

Fonte: INSTITUTO DE PESOS E MEDIDAS DO ESTADO DE SÃO PAULO. Sistema Internacional de Unidades – SI. São Paulo, 2015. Disponível em: <www.ipem.sp.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=346&Itemid=260>. Acesso em: 4 fev. 2016.

Acima, dois padrões diferentes de metro padrão, o primeiro, criado na França e o segundo, no Reino Unido.

Na Convenção do Metro, realizada em 1875, muitos países, inclusive o Brasil, aderiram a esse sistema. Mas a necessidade de um sistema mais preciso e diversificado fez que ele fosse substituído pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), implantado em 1960 e adotado pelo Brasil em 1962. O SI estabelece uma única unidade de medida para cada grandeza, seja ela fundamental, seja derivada. Entende-se por grandeza fundamental ou de base uma grandeza funcionalmente independente de outra. Uma grandeza derivada é definida com base em uma grandeza fundamental.

O protótipo do quilograma padrão é constituído de platina e irídio e foi adotado no século XIX como modelo padrão para o quilograma.

Observe as unidades de base do SI e seus símbolos para cada uma das grandezas fundamentais:

Algumas grandezas derivadas do SI, com suas unidades de medida e seus símbolos:

Grandezas de base do SI

Grandezas derivadas do SI

Grandeza

Unidade

Símbolo

Grandeza

Unidade

Símbolo

comprimento

metro

m

área

metro quadrado

m2

massa

quilograma

kg

densidade

quilograma por metro cúbico

kg/m3

tempo

segundo

s

velocidade

metro por segundo

m/s

temperatura

kelvin

K

força

newton (kg · m · s22)

N

corrente elétrica

ampere

A

pressão

pascal (kg · m21 · s22)

Pa

potência

watt (kg · m · s )

W

resistência elétrica

ohm (kg21 · m2 · s23 · A22)

quantidade de matéria

mol

mol

intensidade luminosa

candela

cd

2

23

Fonte: INMETRO. Sistema Internacional de Unidades. 8. ed. Rio de Janeiro, 2003. p. 26. Capítulo 1

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Física: Ciência e tecnologia

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Você sabia? Pernambucano, nascido em 1918 no Recife, José Leite Lopes foi um dos físicos de destaque no Brasil, com pesquisas na área de partículas elementares e estudos ligados às interações fundamentais da natureza. Sendo de família com poucos recursos, Lopes conseguiu realizar seus estudos, em diferentes níveis, com o auxílio de bolsas de estudo obtidas dentro e fora do Brasil. Em 1939, no Recife, concluiu o curso de Química Industrial na Escola de Engenharia de Pernambuco. Incentivado por um dos seus professores, mudou-se para o Rio de Janeiro e ingressou no curso de Física da Faculdade Nacional de Filosofia (FNFi), da Universidade do Brasil — atualmente UFRJ —, onde, em 1942, se formou. Nessa época, a Universidade de São Paulo (USP) contava com pesquisadores na área de Física sob a liderança do físico italiano Gleb Wataghin (1899-1986). A pós-graduação iniciada na USP foi concluída nos Estados Unidos, na Universidade de Princeton, época em que participou de seminários com o célebre Albert Einstein (1879-1955), entre outros. Leite Lopes concluiu seu doutorado dois anos depois, contando com a orientação de Wolfgang Pauli (1900-1958), físico austríaco que se destacou na área da Física Quântica. Lopes retornou ao Brasil e assumiu a cadeira de professor de Física Teórica na FNFi, no Rio de Janeiro. Em 1949, com César Lattes (1924-2005) e outros físicos, fundou o Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF) e, em 1951, criou o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). Nos anos seguintes, sua produção científica foi muito vasta, com a publicação de trabalhos de grande importância. Em 1967, após ter passado três anos na França, retornou ao Brasil no intuito de colaborar com o Instituto de Física da UFRJ. Infelizmente, após dois anos de trabalho, foi cassado pelo regime militar e aposentado compulsoriamente pelo AI-5. Esse fato o obrigou a se exilar nos Estados Unidos, retornando depois à França, onde permaneceu como professor. Só voltou ao Brasil, definitivamente, em 1986, convidado para dirigir o CBPF. A morte de Lopes, em junho de 2006, determinou a interrupção de uma das carreiras mais significativas na área da Física no Brasil. Leite Lopes buscou, em diferentes momentos de sua vida, outras fontes de saber e de expressão. Aqueles que conviveram com ele ressaltam a sua paixão e a sua fluência ao enveredar pelos caminhos não apenas da Ciência, mas da Educação e da Arte. Quando residiu no Rio de Janeiro, conviveu com pintores, como o húngaro Arpad Szenes (1897-1985) e o brasileiro Carlos Scliar (1920-2001), e escritores modernistas, como Cecília Meireles (1901-1964) e Manuel Bandeira (1886-1968). Esses e outros nomes ligados à Arte tiveram influência marcante no despertar da vocação artística de Lopes, especialmente na pintura, que o levou a ser admirado também como artista plástico. José Leite Lopes (esquerda) e César Lattes, em 1987. Escreva no caderno

Atividade

Luiz Carlos Murauskas/Folhapress

Conhecendo um físico brasileiro – José Leite Lopes

Professor, organize a turma para que o trabalho seja feito em grupos de poucos alunos. Cada grupo deve divulgar as informações para os demais alunos da turma e a divulgação pode ser feita por meio de um seminário expositivo ou da construção de um jornal de divulgação. Comente sobre a necessidade de aprender a expor suas ideias de forma clara e organizada, seja de forma oral, seja por meio de um texto. Este pode ser um bom momento para trabalhar de forma conjunta com o professor de Língua Portuguesa.

1. Nesta coleção, aprenderemos bastante sobre diversos filósofos, cientistas e físicos que contribuíram com o desenvolvimento da Ciência. Apesar de a maioria deles não ser brasileira, o país tem pesquisadores que também deram sua contribuição. Entre em sites de universidades brasileiras e encontre o contato de algum físico. Faça uma entrevista, pode ser pelo correio eletrônico, telefone ou pessoalmente, para saber sobre seu trabalho de pesquisa ou sobre seu trajeto acadêmico.

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Unidade 1

Os caminhos da Física

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 1. (Enem/MEC) Analise os documentos a seguir.

X

c) religiosa no primeiro e científica no segundo. d) religiosa no primeiro e econômica no segundo.

Documento I

e) matemática no primeiro e algébrica no segundo. 2. No dia a dia, às vezes as palavras hipótese e teoria são usadas indevidamente, deixando-nos a falsa ideia de terem o mesmo significado. Para os pesquisadores, hipótese é uma suposição que necessita ser avaliada e comprovada, enquanto teoria científica é a representação formal de informações, inclusive hipóteses, já avaliadas e comprovadas. Para adquirirem caráter científico, as hipóteses precisam ser testadas de tal forma que seja possível considerá-las verdadeiras ou não.

Documento II Avalia-se em cerca de quatro e meio bilhões de anos a idade da Terra, pela comparação entre a abundância relativa de diferentes isótopos de urânio com suas diferentes meias-vidas radiativas.

De acordo com esse texto, avalie se as hipóteses seguintes são científicas ou não. Justifique sua resposta. A hipótese I não pode ser testada; logo, não é científica.

As hipóteses II e III podem ser testadas e comprovadas; logo, são científicas.

   I. O maior cientista do século XVII foi Isaac Newton.

Considerando os dois documentos, podemos afirmar que a natureza do pensamento que permite a datação da Terra é de natureza:

  II. Segundo o biólogo Charles Darwin, as manifestações de vida na Terra foram se estruturando, ao longo dos tempos, das formas mais rudimentares para as mais complexas. III. A matéria é constituída por átomos; porém, estes não são as menores partículas que a constituem.

a) científica no primeiro e mágica no segundo. b) social no primeiro e política no segundo.

Pense além Física e Arte A Física e a Arte são construções históricas e sociais da cultura humana. Em geral, essas duas manifestações são apresentadas de maneira muito distante uma da outra: a Física, com seu caráter lógico, racional e objetivo; e a Arte, abstrata e subjetiva.

Responda

Escreva no caderno

Não colocamos títulos nas imagens para não direcionar a leitura do aluno. Sabendo que não existe um animal mamífero de oito patas, é possível que o autor da pintura estivesse tentando representar o bisão em movimento. Pode-se comparar a pintura rupestre com as imagens sequenciais do fotógrafo inglês Eadweard Muybridge (1830-1904), que ajudaram a entender o movimento das pernas do bisão. Os artistas tentavam representar o movimento.

Pintura rupestre de um animal, localizada na caverna de Chaveret, no sul da França.

Eadweard J. Muybridge/George Eastman House/Getty Images

Slide no 14 (French Ministry of Culture and Communication, Regional Direction for Cultural Affairs - Rhône-Alpes region Regional department of archaeology)

1. A  nalise obras artísticas, como a pintura e a fotografia representadas abaixo, sob a perspectiva da Física. Para cada uma das sequências a seguir, descreva a sua interpretação da obra fazendo referência ao fenômeno físico que ela pode retratar.

Fotografias consecutivas de um animal feitas pelo fotógrafo inglês Eadweard Muybridge entre os anos de 1884 e 1887.

Capítulo 1

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Lendo a Física

Aristóteles: explicações para a matéria e o Universo Jorge Zahar Editor

Nesta atividade, você e seus colegas terão a oportunidade de conhecer uma das primeiras teorias sobre a constituição dos corpos e a estrutura do Universo. O texto do livro Breve história da Ciência Moderna aborda as ideias de Aristóteles, filósofo grego que conhecemos neste capítulo. Após a leitura do texto, reúna-se com seus colegas para discutirem e responderem às questões a seguir.

Uma teoria da matéria Para explicar a constituição dos corpos existentes na Terra, Aristóteles utilizou-se em parte da teoria dos quatro elementos primordiais, terra, água, ar e fogo, criados pelo pré-socrático Empédocles no século V a.C. Esses quatro elementos formariam todos os seres do chamado mundo sublunar, ou seja, o mundo terrestre. Um outro elemento, o éter, a quinta-essência, comporia os corpos do mundo celeste. Os quatro elementos primordiais eram aspectos de uma substância única, a matéria primeira que possuía diferentes formas em função das qualidades que a afetavam. A matéria estava, portanto, submetida à ação de um princípio que se encontrava fora dela, mas sem estar dela separado.

Título: Breve história da ciência moderna Vol. 1: Convergência de saberes (Idade Média) Autores: Marco Braga, Andreia Guerra e José Claudio Reis Editora: Jorge Zahar

Para Aristóteles, os seres se constituíam porque a matéria pura, ao receber as formas, organizava-se nas quatro qualidades do sensível (seco, úmido, frio e quente), nos aspectos da forma do espaço (alto, baixo, longe, perto, pesado, leve etc.) e nos quatro aspectos da forma do tempo (novo, velho, agora, depois). Essa matéria qualificada foi chamada de matéria segunda, ou seja, o princípio de identificação dos seres. A forma era geral e universal, o diferencial era a matéria na qual ela se inseria. Com essa concepção sobre os seres, Aristóteles negou a existência de uma matéria pura sem qualquer forma a ela vinculada, assim como defendeu que a forma pura só poderia estar relacionada ao Primeiro Motor Imóvel, Deus. As quatro qualidades, seco, úmido, frio e quente, apareceriam sempre nos elementos primordiais em dupla, sendo que os pares seco-úmido e frio-quente estavam excluídos, simplesmente porque qualidades contrárias não podem se agregar. Dentro dessa lógica, Aristóteles argumentou que, quando a matéria era afetada pela dupla frio-seco, ela se tornava a terra. A água surgia a partir da dupla frio-úmido; o ar, do par quente-úmido; e o fogo, do quente-seco. Esses quatro elementos – que por diferentes combinações originavam todos os corpos existentes no mundo sublunar – poderiam se transformar, desde que as duas qualidades formadoras do par original não desaparecessem simultaneamente. Para além dessa condição, todas as transformações eram possíveis. Assim, do par calor-úmido podiam-se obter apenas os pares calor-seco e frio-úmido.

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Unidade 1

Os caminhos da Física

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A imagem [de 1653] ilustra o Universo formado por esferas concêntricas, tal como concebido por Aristóteles. A Terra ocupava, imóvel, o centro do cosmos, e os corpos celestes estavam no mundo supralunar, separados e totalmente incomunicáveis em relação aos corpos terrenos, uma vez que não estavam sujeitos a transformações.

1653. Ilustração. Coleção particular. Foto: SPL/Latinstock

O cosmos aristotélico era composto de várias esferas concêntricas. A Terra, considerada imóvel, ocupava o centro desse conjunto. Ao redor da Terra encontravam-se os quatro elementos, cada qual em seu lugar natural. Nesse conjunto, o mundo sublunar, tudo possuía princípio, meio e fim. Além dessa região, no mundo supralunar se encontravam os corpos celestes formados pela quinta-essência totalmente incorruptível, ou seja, não sujeita a transformações. Nesse ambiente todos os corpos celestes estavam presos a esferas cristalinas. A primeira era a da Lua, e a última, a das estrelas fixas. O Universo dessa forma concebido era finito, limitado e eterno, sem uma origem. Além do limite das estrelas fixas não havia nada, nem mesmo lugar, visto que, para Aristóteles, um lugar não poderia se apresentar separado de um corpo.

Fonte: BRAGA, Marco; GUERRA, Andreia; REIS, José Claudio. Breve história da ciência moderna. Vol. 1: Convergência de saberes (Idade Média). Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 2003. p. 21-24.

Atividades

Escreva no caderno

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Como você deve ter percebido pelo texto, as ideias de Aristóteles sobre a composição da matéria e da estrutura do Universo são bem diferentes das teorias que atualmente são aceitas pelos cientistas. As explicações dos fenômenos, teorias e conceitos não são prontas e definitivas, mas, ao contrário, são dinâmicas e se desenvolvem pelo trabalho de vários pesquisadores. Sobre as ideias de Aristóteles e seu próprio conhecimento sobre os mesmos temas, responda às questões a seguir. 1. O que você sabe sobre a composição da matéria e a organização do Universo? Escreva livremente sobre sua própria compreensão, tentando se lembrar como aprendeu sobre elas ou faça uma pesquisa para conhecer as teorias mais aceitas pelos cientistas nos dias de hoje. 2. Qual a compreensão de Aristóteles sobre a composição da matéria e sobre a estrutura do Universo? 3. Qual a sua opinião sobre o modelo de Aristóteles: ele pode ser considerado plausível, isto é, aceitável, admissível? Você consegue elaborar um argumento que aponte alguma incoerência nele? 4. Em grupo, elaborem uma argumentação que discuta a seguinte afirmação: “De certa maneira, a ideia dos quatro elementos é utilizada até hoje”.

Capítulo 1

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Física: Ciência e tecnologia

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Experimente a Física no dia a dia Um modelo explicativo para o arco-íris

Atenção Faça o experimento somente na presença do professor.

Ao longo dos séculos os seres humanos desenvolveram formas de "pensar" para explicar suas observações. Dentre essas formas, um suposto método foi consagrado por ser rigoroso no teste das explicações e por obter bons resultados. O arco-íris, por exemplo, é um fenômeno luminoso que sempre apareceu (e aparece!) ocasionalmente no céu; porém, a explicação científica para o fenômeno data de 1637, elaborada por Descartes. Você também pode propor explicações para esse fenômeno. Nesta atividade, propomos que você elabore uma explicação para a ocorrência do arco-íris, apontando as variáveis relevantes e como estas se relacionam para a formação dos arcos coloridos. Durante a elaboração de sua explicação, procure meios para testá-la e anote as etapas e os resultados que conseguir.

Passo a passo

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

• Observação do fenômeno Lembre-se de quando viu um arco-íris e descreva em quais circunstâncias isso aconteceu. Tente recordar aspectos do clima naquele dia. • Registro e organização dos dados obtidos durante a observação Reúna-se em grupo e verifiquem as semelhanças e diferenças entre os dados que cada integrante apontou sobre a formação do arco-íris. Por exemplo, o Sol estava visível na hora em que o arco-íris se formou? Suas cores tinham uma ordem? Discutam a melhor forma para o grupo organizar os dados obtidos. Por exemplo, pode ser por meio de esquema, tabela, gráfico, lista, entre outros. • Análise e identificação dos aspectos que representam as regularidades do fenômeno Verifique, com base nos dados obtidos, quais foram

Atividades

os principais fatores para a formação do arco-íris, isto é, os fatores que estão presentes em todos os relatos. • Elaboração das hipóteses que explicam as regularidades Esse passo é importante para comprovar a conclusão do grupo a respeito da formação do arco-íris. Quais são as variáveis relevantes e como estas se relacionam? • Verificação das hipóteses por meio de experimentos Para averiguar a adequação de sua explicação, é importante testar, simular, as condições que provocam o aparecimento do arco-íris. Experimente reproduzir essas condições com o auxílio de uma mangueira. Faça isso no jardim ou de tal forma que a água possa ser reaproveitada.

Escreva no caderno

1. Primeira tentativa: Use uma mangueira com esguicho para que a água se esparrame em gotas. Dirija o jato de água de frente para o Sol e para cima. 2. Segunda tentativa: Inverta a posição do jato de água, ou seja, agora dirija-o ao contrário do Sol, mas ainda para cima. Verifique em qual das situações você conseguiu reproduzir o arco-íris. Compare as condições necessárias para a formação do arco-íris na natureza e na simulação, e verifique se a hipótese formulada por você na etapa anterior pode ser considerada válida.

Mauricio Simonetti/Pulsar

Cataratas do Iguaçu (PR), 2014.

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Escreva no caderno

Exercícios complementares 1. Algumas lendas gregas buscavam explicação para os fenômenos da natureza, como a origem do Universo e, segundo elas, as causas desses fenômenos estavam relacionadas aos deuses. Isso não impediu que várias palavras utilizadas hoje pela Ciência tenham as suas origens ligadas aos deuses gregos. Veja o caso do deus grego Cronos, considerado a divindade do tempo, que deu origem à expressão cronômetro, usada para identificar o instrumento que serve para medir o tempo.

o sentido, desprezarei os seus ataques: as verdades

a) Procure resgatar uma lenda de antigas culturas que esteja relacionada à explicação de algum fenômeno da natureza. Use como fonte de pesquisa a internet, revistas, enciclopédias ou livros de mitos e lendas.

que se as experiências produzem os mesmos efeitos.

Resposta pessoal.

b) É comum às pessoas mais velhas o relato de lendas, geralmente passadas de geração para geração, para explicar fenômenos naturais como os raios, os trovões, a chuva. Transcreva uma delas de memória ou entreviste uma pessoa que conheça alguma dessas lendas. Resposta pessoal. 2. Em uma estante há seis livros de Física. Cada livro aborda apenas um dos seguintes assuntos: Mecânica, Termodinâmica, Óptica, Ondulatória, Eletromagnetismo e Física Moderna. Para cada pergunta abaixo, em qual dos livros você poderia encontrar uma resposta (se achar necessário, faça uma pesquisa para responder)? a) Como funciona um ferro elétrico? Eletromagnetismo. b) Como funciona um termômetro? Termodinâmica. c) Como as lentes corrigem a miopia? Óptica. d) Por que os corpos caem? Mecânica. e) Como funciona a luz do laser? Física Moderna. f) Como se forma o eco? Ondulatória. 3. (Enem/MEC)

Depois de longas investigações, convenci-me por fim de que o Sol é uma estrela fixa rodeada de planetas que giram em volta dela e de que ela é o centro e a chama. Que, além dos planetas principais, há outros de segunda ordem que circulam primeiro como satélites em redor dos planetas principais e com estes em redor do Sol. Não duvido de que os matemáticos sejam da minha opinião, se quiserem dar-se ao trabalho de tomar conhecimento, não superficialmente mas duma maneira aprofundada, das demonstrações que darei nesta obra. Se alguns homens ligeiros e ignorantes quiserem cometer contra mim o abuso de invocar alguns passos da escritura (sagrada), a que torçam

matemáticas não devem ser julgadas senão por matemáticos. (COPÉRNICO, N. De Revolutionibus orbium caelestium)

Aqueles que se entregam à prática sem ciência

são como o navegador que embarca em um navio sem leme nem bússola. Sempre a prática deve fundamentar-se em boa teoria. Antes de fazer de um caso uma regra geral, experimente-o duas ou três vezes e verifiNenhuma investigação humana pode se considerar verdadeira ciência se não passa por demonstrações matemáticas. (VINCI, Leonardo da. Carnets.)

O aspecto a ser ressaltado em ambos os textos para exemplificar o racionalismo moderno é: a) a fé como guia das descobertas. b) o senso crítico para se chegar a Deus. c) a limitação da ciência pelos princípios bíblicos. X d) a importância da experiência e da observação.

e) o princípio da autoridade e da tradição. 4. (Enem/MEC) Se compararmos a idade do planeta Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5 3 109 anos), com a de uma pessoa de 45 anos, então, quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos de um minuto percebeu o ruído das máquinas e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta! Na teoria do Big Bang, o Universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e expansão de uma densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do Universo há cerca de a) 100 anos. X b) 150 anos.

c) 1 000 anos. d) 1 500 anos. e) 2 000 anos. Capítulo 1

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Física: Ciência e tecnologia

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De volta ao começo A primeira pergunta da abertura da Unidade, sobre o que levou as pessoas a se organizarem e construírem Stonehenge e a Estação Espacial Internacional, talvez não tenha resposta, ou, pelo menos, não uma única resposta. Alguns atribuem a busca de conhecimento a uma necessidade intrínseca do ser humano de prover explicações sobre o mundo. Se as primeiras respostas evocavam entidades míticas, com o passar do tempo foi se desenhando um “modo de pensar e agir” que, consagrado por obter bons resultados, foi considerado como um método a ser seguido por todos os cientistas. Esse ficou conhecido como método científico. A sequência de ações descritas a seguir resume, em linhas gerais, um método que possibilita a organização, o desenvolvimento e a aplicação de novos conhecimentos: • Identificar uma situação que indique um problema. • Elaborar uma suposta resolução para esse problema (hipótese). • Fazer previsões de possíveis ocorrências, caso a hipótese esteja certa. • Verificar por meio de testes se as hipóteses feitas se confirmam.

NASA Images

• Formular uma lei com base na hipótese, nas previsões sobre as possíveis ocorrências e nos resultados obtidos com os testes. Como vimos, a busca por um método fundamentou-se no racionalismo e na experimentação e teve como principais colaboradores o filósofo inglês Francis Bacon e o físico italiano Galileu Galilei. Reconhecidamente, esse método tem papel fundamental nos avanços da Ciência, porém, não se pode negar que alguns desses avanços ocorreram sem que essa sequência de ações tenha sido seguida. Veremos, em estudos posteriores deste curso, que os métodos também são questionados e por isso são objeto de estudos de vários pesquisadores. Além do método utilizado, a credibilidade do avanço científico também está relacionada às ações do cientista (observação, investigação e experimentação), amparadas na sensatez de lidar com os possíveis erros e acertos. O desenvolvimento espacial é um dos resultados da evolução dos conhecimentos científicos. Diversos nomes contribuíram para a conquista espacial, como Isaac Newton (1642-1727), pela sistematização do conhecimento teórico; Konstantin Tsiolkovsky (1857-1935), cientista russo pioneiro no estudo dos foguetes; e o engenheiro alemão Wernher von Braun (1912-1977), um dos mais proeminentes cientistas na área de desenvolvimento de foguetes; entre outros. As viagens espaciais trouxeram grandes resultados para a sociedade, por exemplo, as telecomunicações de longa distância, o monitoramento de queimadas e desmatamentos, as previsões climáticas e o GPS. Na busca pela manutenção da vida no espaço, descobrimos alimentos enriquecidos, filtros de água, produção de imagens médicas, como a tomografia, e até as câmeras digitais, como as do telescópio Hubble.

Os astronautas Scott Kelly (esquerda) e Terry Virts (direita) realizando experimentos à bordo da Estação Espacial Internacional, em 2015.

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Unidade 1

Os caminhos da Física

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ssuaphotos/Shutterstock.com

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Unidade

Cinemática escalar

Analisar a queda de um objeto pode ser um estímulo à nossa imaginação. • Você saberia avaliar como varia a velocidade de uma bola de basquete imediatamente após ela passar pelo aro? • O que você acha que acontece com a velocidade da bola em cada segundo: aumenta, diminui ou permanece com o mesmo valor?

Fotografia estroboscópica de uma bola de basquete imediatamente após ela passar pelo aro.

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CAPÍTULO 2

Introdução ao estudo do movimento 1. Conceitos básicos

Quando podemos dizer que um corpo está em repouso ou em movimento? Acompanhe e analise a situação a seguir. Uma mulher está sentada no banco de um trem em movimento, olhando apenas para o banco ao seu lado. Do lado de fo­ra, parado em uma estação, um homem observa esse trem passar va­ga­ro­sa­mente.

Fernando Favoretto/Criar Imagem

Alex Argozino

Pare e pense

Professor, os comentários das questões da abertura de Unidade encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Menino em skate. É importante usar todos os equipamentos de segurança na prática deste esporte.

Quem está em movimento: o menino, o skate ou ambos? O que é movimento? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume. Aproveite a oportunidade para comentar com alunos que a prática de esportes deve ser feita em lugares apropriados, por exemplo, andar de skate em ruas e avenidas é muito perigoso. De acordo com o artigo 59 do Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA), a União deve facilitar recursos aos municípios para a criação de espaços destinados à programações culturais, esportivas e de lazer, voltadas principalmente às crianças e aos jovens.

Na sua opinião, o banco está em repouso ou em movimento? Que condições determinam o estado de movimento ou de repouso? Se considerarmos que “o banco está em movimento”, o ponto de referência adotado será o homem. Portanto, o banco está se movimentando em relação a ele. Dentro do vagão, a mulher vê o banco em repouso, pois sua posição permanece a mesma com o passar do tempo. Assim, determinado corpo pode estar, ao mesmo tempo, em repouso em relação a um observador e em movimento em relação a outro. No exemplo descrito, a mulher no trem e o homem na estação são pontos de referência representando referenciais. Só é possível definir o estado de movimento ou de repouso de um corpo estabelecendo um referencial. Um corpo está em repouso quando, em determinado intervalo de tempo, sua posição não varia em relação a determinado referencial, e está em movimento quando sua posição varia em relação a esse referencial.

Quando estudamos os movimentos, mencionamos sempre um corpo genérico – que pode ser uma bicicleta deslocando-se em uma estrada, um meteorito aproximando-se da Terra, uma pedra caindo de um prédio – sem especificar detalhes sobre o tamanho desse corpo ou seja, o consideramos um ponto material. A expressão ponto material é utilizada quando as dimensões do corpo são muito pequenas se comparadas às dimensões em que ocorre o fenômeno analisado. Nesse caso, o corpo representa um ponto material e suas dimensões são desprezadas sem, contudo, desconsiderarmos a sua massa.

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Unidade 2

Cinemática escalar

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Alexandre Tokitaka/Pulsar

Rubens Chaves/Pulsar

Pense neste exemplo: um carro de 4 metros de comprimento é considerado um ponto material quando se movimenta percorrendo uma estrada de mais de 300 quilômetros de comprimento. Mas esse mesmo carro deverá ter suas dimensões consideradas quando passar por um viaduto de 32 metros de comprimento, pois nesse caso seu comprimento é significativo em relação ao viaduto. Por isso, chamamos o carro de corpo extenso.

3030-FIS-V1-C02-LA-F005 FOTO NOVA

Um carro trafegando em uma ampla estrada pode ser considerado um ponto material.

Um carro percorrendo um pequeno trecho de um viaduto pode ser considerado um corpo extenso.

Considerar um corpo como ponto material ou extenso é uma simplificação da realidade e corresponde a um método muito utilizado na Física para simplificar um problema. Sempre que não for especificado, consideraremos como referencial um ponto fixo na Terra.

Exercícios resolvidos 1 É possível dizer que o Sol está em repouso ou em movimento? Resolução

O

Ilustrações: Grace Arruda

Se considerarmos o ponto de referência O na Terra, o Sol estará em movimento. Se o ponto de referência for o próprio Sol, ele estará em repouso, pois todo referencial está em repouso em relação a si mesmo.

O

Representação das posições da Terra e do Sol (imagens sem escala, sem proporção e em cores-fantasia).

2 Um caminhão medindo 12 m de comprimento será transportado por um navio de 80 m de comprimento do porto de Santos (SP) até o porto de Vitória (ES). Considere a distância aproximada entre os dois portos de 600 milhas marítimas (aproximadamente 965,6 km) e analise se o caminhão pode ser considerado um ponto material ou um corpo extenso.

Resolução Se compararmos as dimensões do caminhão com as do navio, não poderemos considerá-lo ponto material, mas sim um corpo externo; se compararmos as dimensões do caminhão com a distância entre os dois portos, ele será considerado um ponto material, pois suas dimensões são desprezíveis em relação ao trajeto. Capítulo 2

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Introdução ao estudo do movimento

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 1. A expressão ponto material geralmente é utilizada   em quais condições? Quando as dimensões do corpo em estudo são

muito pequenas se comparadas às dimensões em que ocorre o fenômeno estudado.

2. Um estudante está dentro de um ônibus, que encontra-se parado em frente a sua escola, e ao lado há outro ônibus escolar também parado. Em um dado momento, o estudante tem a impressão de estar em movimento. Podemos afirmar que o ônibus onde o estudante se encontra está se deslocando em relação pode acontecer de o outro ônibus estar em movimento em ao solo? Não, relação ao solo. O estudante vê o deslocamento em relação ao seu ônibus, ficando com a impressão de que ele se move.

Corel Stock Photo

3. Um velejador, ao contornar uma ilha com seu barco, percebe a presença de um farol.

4. Um poste sobre a calçada está em repouso ou em movimento em relação: a) à calçada? Em repouso. b) a um carro que passa pela rua? Em movimento. c) ao Sol? Em movimento. 5. Um viajante A trafega em seu automóvel, por uma estrada retilínea, quando é ultrapassado por outro automóvel, que trafega na mesma direção e sentido, ocupado por um viajante B. Nesse instante, ambos são observados por um guarda rodoviário parado em um acostamento na rodovia. Reflita sobre o conceito de referencial e, se necessário, corrija as frases abaixo, tornando-as verdadeiras.

Velejador observando farol do barco.

É possível dizer que o farol se movimenta em relação ao barco? Justifique. Sim, basta considerar o barco como referencial.

a) Para o viajante A, o guarda rodoviário está em repouso. Não, está em movimento. b) O viajante B observa que seu automóvel está em movimento em relação ao automóvel do viajante A.

Verdadeira.

c) Para o guarda rodoviário, o viajante A está em repouso em relação ao viajante B. Para o guarda rodoviário, ambos estão em movimento.

Você sabia? A milha marítima foi obtida com base em critérios científicos, considerando o formato da Terra aproximadamente esférico. Se a linha circular que representa qualquer trajetória contornando a Terra tem 360°, e se o comprimento aproximado da linha do equador é 40 000 quilômetros, então: perímetro 40 000 km   111,111 km2 360° 360° Um grau equivale a 60 minutos; portanto, o comprimento correspondente a um arco de 1 minuto é aproximadamente 1,852 km (111,111 4 60). Esse valor corresponde a uma milha marítima: 1 852 metros  1 milha marítima. A milha terrestre foi obtida com base nos passos dos soldados do exército romano. Naquela época, eram utilizados como me­dida 1 000 passos largos de um centurião, Brasil – Político que correspondem a 1 609,34 metros. 50° O

RR

Escreva no caderno

Responda

1. Se um automóvel percorresse uma estrada hipotética, em linha reta, da cidade de Chuí (RS) a Belém (PA), qual seria a distância percorrida em milhas terrestres? 2 300,2 milhas terrestres 2. Se um barco percorresse uma rota imaginária, em linha reta, de Floria­nópolis (SC) ao Rio de Janeiro (RJ), qual seria a distância em milhas marítimas? 408,1 milhas marítimas Fonte: ATLAS geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.

Unidade 2

Belém

Observe o mapa ao lado. Ele apresenta uma escala de 1 : 700, isto é, cada segmento de reta de 1 cm medido no mapa corresponde a uma distância real de 700 km.

32

AP

Equador

Allmaps

Qual é a origem da milha marítima e da milha terrestre?

PA

AM

MA

CE

AC TO

RO

RN PB PE AL

PI

SE BA

MT DF

OCEANO ATLÂNTICO

GO MG

Trópico

ES

MS

OCEANO PACÍFICO

SP

rnio de Capricó

RJ

Rio de Janeiro

PR SC

Florianópolis

RS

0

700 Chuí

Cinemática escalar

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27/04/16 13:18


2. Trajetória, deslocamento escalar e intervalo de tempo Quando caminhamos na areia ou sobre um solo encharcado onde se forma lama, deixamos nossas pegadas ou rastros demarcando o caminho que fizemos. Esse percurso é chamado de trajetória, que representa a linha do percurso descrito por um móvel quando consideramos todas as posições sucessivas ocupadas por ele, em determinado intervalo de tempo. Suponha a seguinte situação: uma pessoa planando em uma asa-delta mantém-se por segundos voando horizontalmente com velocidade constante, quando seu relógio desprende-se do pulso e cai. Vamos traçar a trajetória do relógio após ele se desprender do pulso. Para analisar a trajetória do relógio, vamos adotar dois referenciais: um no solo (S) e outro na asa-delta (A).

Stock

Photo

Pessoa planando em asa-delta.

Referencial na asa-delta (A) Editoria de arte

Referencial no solo (S)

Corel

Para um observador parado no solo, a trajetória descrita pelo relógio (na imagem, dado pelo ponto vermelho) é praticamente um arco de parábola.

Para a pessoa na asa-delta, a trajetória descrita pelo relógio é praticamente retilínea e vertical.

30 km origem 20 km

10 km

0

20 km

Editoria de arte

Para localizar um móvel em sua trajetória (como um carro), devemos em primeiro lugar orientá-la. Em seguida, escolher um de seus pontos como origem, geralmente representada por O, que é o referencial em relação ao qual estabelecemos a posição do móvel. Essa posição s é determinada por um valor algébrico, cujo módulo representa a distância entre a posição ocupada pelo móvel e a origem.

10 km

30 km Nesta representação, a posição do carro é dada pelo valor algébrico sobre a trajetória orientada que representa a distância entre ele e a origem, no caso, s  10 km.

Note que a posição não indica a distância percorrida pelo carro, mas apenas sua localização em relação à origem. É comum o uso da palavra “espaço” no lugar de “posição”. Capítulo 2

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Introdução ao estudo do movimento

33

4/28/16 7:16 PM


Deslocamento escalar e intervalo de tempo Para chegarmos ao conceito de deslocamento escalar, vamos tomar como base uma situação prática. Uma atleta, em fase de treinamento, repete vários testes em uma pista retilínea. Nesse caso, as placas colocadas à margem da pista representam uma escala numérica com origem no zero. O sentido crescente dessa escala representa o sentido da trajetória. No primeiro teste, ao ser disparado o cronômetro, no instante inicial ti  0, a atleta está junto à placa que registra 1 000 m. Nesse instante, a posição escalar inicial da atleta é si  1 000 m. Ao travar o cronômetro no instante final t  1 800 s, a atleta está passando pela placa que registra 7 000 m. Nesse instante, a posição escalar final da atleta é s  7 000 m. 1º teste 7 000 m

si = 1 000 m ti = 0 s

s = 7 000 m t = 1 800 s

Ilustrações: Studio Caparroz

Na ilustração, as distâncias consideradas estão fora de escala.

sentido adotado para a trajetória

1 000 m

A ideia de variação da posição ou deslocamento escalar, simbolizada por s, representa a diferença entre as posições escalares ocupadas pela atleta nos instantes final e inicial: Ds  s  si  7 000  1 000 Æ Ds  6 000 m Nesse primeiro teste, a atleta se movimenta no mesmo sentido daquele adotado para a trajetória. Quando isso ocorre, dizemos que o movimento é progressivo. Observe que nessa situação o sinal do deslocamento é positivo (Ds  0). A ideia de intervalo de tempo, simbolizada por t, representa a diferença entre os instantes final e inicial, registrados pelo cronômetro: Dt  t  ti  1 800  0 Æ Dt  1 800 s O instante inicial registra o momento em que se iniciou a medição do tempo, e o instante final é aquele em que se interrompeu a medição do tempo, e não necessariamente quando o movimento é interrompido. Isso nos possibilita limitar o estudo do movimento a um intervalo de tempo determinado. Após um descanso, a atleta faz outro teste, dessa vez correndo no sentido contrário ao adotado para a trajetória. No segundo teste, ao ser acionado o cronômetro (ti  0), a atleta está diante da placa que registra 5 000 m. Nesse instante, sua posição escalar inicial é si  5 000 m. Quando o cronômetro é travado, no instante final t  900 s, ela está diante da placa que registra 2 000 m. Nesse instante, a posição escalar final é s  2 000 m. 2º teste 2 000 m

Na ilustração, as distâncias consideradas estão fora de escala.

5 000 m

sentido adotado para a trajetória

si = 5 000 m ti = 0 s

s = 2 000 m t = 900 s

Portanto, seu deslocamento escalar é: Ds  s  si  2 000  5 000 Æ Ds  3 000 m Esse deslocamento ocorre no intervalo de tempo: Dt  t  ti Æ Dt  900  0  900 s Nesse segundo teste, a atleta movimenta-se no sentido contrário àquele adotado para a trajetória. Quando isso ocorre, dizemos que o movimento é retrógrado. Nesse caso, o sinal do deslocamento é negativo (Ds  0).

34

Unidade 2

Cinemática escalar

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4/6/16 2:45 PM


Deslocamento escalar e distância percorrida Em ambos os testes, a trajetória é retilínea e não houve mudança de sentido do movimento durante o intervalo de tempo estudado. Portanto, podemos considerar que o deslocamento escalar e a distância percorrida coincidem em módulo. O deslocamento escalar depende somente das posições escalares (inicial e final) ocupadas pelo móvel, e a distância percorrida depende do comprimento da trajetória descrita por ele. Em um terceiro teste, a atleta corre uma parte do percurso no mesmo sentido adotado para a trajetória, e a outra parte no sentido contrário, sem interromper a corrida. Nesse caso, ao ser acionado o cronômetro (ti  0), a atleta está diante da placa que registra 3 000 m. Em seguida, ela corre, no mesmo sentido da trajetória, até a placa que registra 6 000 m. Sem interromper a corrida, retorna sobre a mesma trajetória, correndo no sentido contrário ao adotado até a placa que marca 4 000 m. Nesse instante, o cronômetro é travado e marca t  1 600 s. Portanto, o deslocamento escalar é: Ds  s  si  4 000  3 000 Æ Ds  1 000 m sentido adotado para a trajetória 3º teste 6 000 m

4 000 0m

3 000 m

Ilustrações: Studio Caparroz

deslocamento escalar distância distâânci di ânci percorrida Na ilustração, as distâncias consideradas estão fora de escala.

si = 3 000 m ti = 0 s

s = 4 000 m t = 1 600 s

A distância percorrida d pela atleta depende do comprimento da trajetória descrita por ela. Para determiná-la, devemos considerar todos os deslocamentos escalares de sentido único, em valores absolutos, realizados pela atleta.

000mm 63000

3 000 m

sentido da trajetória

deslocamento

4 000 m

6 000 m

000m m 64000

deslocamento

∆s1

∆s1

Deslocamento escalar Ds1: Ds1  6 000  3 000 Æ Ds1  3 000 m O sinal positivo indica que o deslocamento e o sentido da trajetória coincidem.

deslocamento

6 000 m

sentido da trajetória

sentido da trajetória da trajetória

deslocamento

∆s2

∆s2

Deslocamento escalar Ds2: Ds2  4 000  6 000 Æ Ds2  2 000 m O sinal negativo indica que o deslocamento e o sentido da trajetória não coincidem.

Logo, a distância percorrida é: d  3 000  2 000 Æ d  5 000 m Repare que nesse teste os valores obtidos para o deslocamento escalar e para a distância percorrida são distintos. Capítulo 2

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Introdução ao estudo do movimento

35

4/6/16 2:45 PM


Exercícios resolvidos 3 Quatro cidades, localizadas ao longo de uma rodovia, estão representadas por A, B, C e D na figura. Para o sentido positivo indicado, determine as posições de A, B, C e D, considerando como origem da trajetória a cidade B. C

B

80 km

D

4 Observe as informações referentes ao movimento de um caminhão em uma rodovia. t (h)

12

13

14

15

16

17

18

s (km)

120

170

200

170

150

100

0

40 km

60 km

Determine o deslocamento escalar e a distância percorrida desse caminhão entre t1  12 h e t2  15 h. Suponha que, em cada intervalo de 1 h, ele se desloca sempre no mesmo sentido.

A

Resolução Como a distância de A à origem (cidade B) é 60 km e A vem antes de B no sentido positivo da trajetória, temos: sA  60 km A cidade B é a própria origem, logo: sB  0 Como a distância de C à origem (cidade B) é 80 km e C vem depois de B no sentido positivo da trajetória, temos: sC  80 km A distância de D à origem é: 80 km  40 km  120 km Observando que D vem depois de B no sentido positivo da trajetória: sD  120 km

Resolução Deslocamento escalar: t1  12 h Æ s1  120 km t2  15 h Æ s2  170 km Ds  s2  s1  170  120 Æ Ds  50 km Distância percorrida: d  |50| 1 |30| 1 |230|  110 km

Escreva no caderno

Exercícios propostos

D

C 3m

O 2m

Encontre:

A 5m

B

xA 5 5 m; xB 5 9 m; xC5 2 m; xD= 5 m

c) o deslocamento de um móvel que parte do ponto A e chega ao ponto D. 10 m d) o tipo de movimento do móvel que parte do ponto C e chega ao ponto B, se a duração foi de 22 segundos. Movimento progressivo e) o tipo de movimento do móvel que parte do ponto A e chega ao ponto D, se gastou 5 segundos para percorrer o trecho. Movimento retrógrado 7. Explique a influência do referencial na trajetória desA trajetória de um corpo depende do referencial crita por um corpo. adotado, ou seja, será descrita de forma diferente se for observada de referenciais distintos.

Unidade 2

60 km

P  40 km

N

4m

a) as posições dos pontos A, B, C e D.

36

O

M

x (m)

b) o deslocamento de um móvel que parte do ponto C e chega ao ponto B. 11 m

8. Sobre a trajetória orientada na figura abaixo, estão representados os pontos M, N, O e P.

80 km

Ilustrações: Editoria de arte

6. Na figura abaixo estão representados os pontos A, B, C e D sobre o eixo orientado x, sendo ponto O, origem do movimento.

Determine as posições correspondentes a esses pontos, considerando como origem dessa traje­tória: a) o ponto M;

sM  0; sN  60 km; sO  140 km; sP  180 km

b) o ponto médio de OP.

sM  160 km; sN  100 km; sO  20 km; sP  20 km

9. Jonas encontra-se na praia às 6 horas e 30 minutos, observando o Sol que surge na linha do horizonte. Ele e o amigo Alexandre, às 12 horas, resolvem discutir o percurso do Sol no horizonte. e a) Há quanto tempo os amigos estão na praia?530horas minutos

b) Qual a trajetória descrita pelo Sol em relação a Jonas e Alexandre? Um quarto de circunferência.

c) Qual a distância percorrida pelo Sol no intervalo de tempo do enunciado? C = 2πR 4

d) Essa distância foi efetivamente percorrida pelo Sol? Não, o deslocamento é aparente.

Cinemática escalar

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10. Durante uma partida de futebol, ao perceber que seria impossível alcançar uma bola vinda da cobrança de um pênalti, o goleiro (com muita sorte) permaneceu estático no centro do gol. Após ter sido chutada, a bola seguiu em linha reta, bateu no travessão logo acima da cabeça do goleiro, sofreu um desvio, e continuou em linha reta até cair nas mãos dele.

III. Se a distância entre o goleiro e a bola permanecer constante, podemos concluir que um está em repouso em relação ao outro. IV. Podemos dizer que o goleiro encontra-se em movimento com relação à bola. As afirmações II e IV estão corretas.

I. O deslocamento escalar e a distância percorrida pela bola coincidem em módulo.

11. Uma moça vai fazer uma viagem de 80 km até a cidade onde será comemorado o aniversário de sua mãe. Ao ligar o carro, ela nota que o combustível está na reserva. Para chegar ao posto de gasolina mais próximo, ela precisa percorrer 15 km no sentido contrário ao de sua viagem.

II. A distância percorrida pela bola depende do comprimento da trajetória descrita por ela, ou seja, a soma da distância percorrida pela bola até bater no travessão com a distância até seguir para as mãos do goleiro.

Se, depois de abastecer o carro, a moça seguir em linha reta até a cidade de sua mãe, qual será o deslocamento escalar e a distância percorrida desde sua casa? 80 km; 110 km

Analise essa situação e avalie quais são as afirmações corretas:

3. Velocidade escalar média Já estudamos as variações ocorridas com a posição escalar. Falta saber com que rapidez ocorrem essas variações. Observe que, entre os registros da posição escalar inicial si e da posição escalar final s, decorreu um intervalo de tempo Dt  t  ti.

Pare e pense

vm 

L Lenz/Age Fotostock/Easypix

Se dividirmos a variação da posição do móvel s pelo intervalo de tempo t decorrido, teremos a velocidade escalar média vm. Ds s  si  Dt t  ti

Portanto, quantitativamente, a velocidade escalar média de um móvel pode ser de­ter­minada pelo quociente da variação da sua posição escalar s pelo intervalo de tempo t considerado. Como decorrência da equação anterior, podemos deduzir que a unidade de medida da velocidade corresponde à razão entre a unidade de medida da posição e a unidade de medida do tempo. Uma unidade muito comum para a medida da velocidade é o km/h, usada nos velocímetros dos automóveis.

Cavalo e cachorro correndo.

Quem é mais rápido: o cavalo ou o cachorro? Como se mede a rapidez de um movimento? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

No SI, a posição é medida em metros (m) e o tempo, em segundos (s): unidade de medida de velocidade é m/s Há situações nas quais precisamos adequar as unidades de medida de km/h para m/s ou vice-versa. Se 1 km  1 000 m e 1 h  3 600 s, então: 1 km/h 

1 000 1 m/s   ou   1 km/h  3,6 m/s 3 600

Exemplos: 27 km/h  27 

1  7,5 m/s 3,6

40 m/s  40  3,6 km/h  144 km/h Capítulo 2

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Introdução ao estudo do movimento

37

4/6/16 2:45 PM


Velocidade escalar instantânea

vm  v 

s t

(para valores de t infinitivamente pequenos)

Fabrice Coffrini/AFP

Considere um ciclista que percorreu um trecho de uma estrada com velocidade escalar mÊdia de 60 km/h; isso significa que em 1 hora ele se deslocou 60 quilômetros. Entretanto, essa afirmação não garante que a velocidade tenha permanecido a mesma em todos os instantes. Para mais detalhes sobre a velocidade, seria necessårio reduzir, o måximo possível, o intervalo de tempo t. Esse raciocínio nos leva à determinação da velocidade escalar em cada instante, ou seja, à velocidade escalar instantânea (v). Quando consideramos a variação da posição escalar em um intervalo de tempo que tende a um valor muito pequeno, o valor da velocidade escalar mÊdia se aproxima do valor da velocidade escalar instantânea.

Ciclistas percorrendo uma das etapas do torneio mundial na Suíça em 2015.

Exercício resolvido 5 Dois automóveis A e B partem ao mesmo tempo de Guarujå para São Sebastião, ambas cidades litorâneas de São

Paulo, distantes aproximadamente 120 km uma da outra. Nos 80 km iniciais da estrada, a velocidade escalar mÊdia de A foi vIA  100 km/h. Nos 40 km finais, por ser um trecho de serra e com muitas curvas, A desenvolveu velocidade escalar mÊdia vIIA  25 km/h. O automóvel B desenvolveu, durante todo o trajeto, velocidade escalar mÊdia vB  60 km/h. a) Determine qual deles chegou primeiro e com quantos minutos de diferença. b) Qual a velocidade escalar mÊdia do automóvel A durante todo o percurso?

Resolução a) Calculando os intervalos de tempo em cada trecho do movimento do automĂłvel A: sI 80 A Ă&#x2020; 100  Ă&#x2020; tI  0,8 h vI  A A tI tI A

vII  A

sII

A

tII

A

A

40 Ă&#x2020; 25  Ă&#x2020; tII  1,6 h A tII A

Calculando o tempo total de movimento do automĂłvel A: tA  tI  tII Ă&#x2020; tA  0,8  1,6 Ă&#x2020; tA  2,4 h  144 min A

A

Calculando o tempo gasto pelo automĂłvel em B: s 120 B Ă&#x2020; 60  Ă&#x2020; tB  2 h  120 min vB  t tB B Como tB  tA, o automĂłvel B chegou antes, e a diferença de tempo T ĂŠ: T  tA  tB Ă&#x2020; T  144  120 Ă&#x2020; T = 24 min b) O automĂłvel A teve um deslocamento total sA  120 km em um intervalo de tempo tBtA  2,4 h. Logo, sua velocidade mĂŠdia vA, em todo o percurso, ĂŠ: sA 120 Ă&#x2020; vA  50 km/h Ă&#x2020; vA  vA  tA 2,4

38

Unidade 2

CinemĂĄtica escalar

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4/15/16 7:54 AM


Escreva no caderno

Exercícios propostos A ideia de velocidade está relacionada à rapidez com que ocorrem as variações das

12. Explique o significado de velocidade e dê um exemplo. posições escalares de um corpo. Por exemplo, a velocidade de um nadador depende do tempo gasto por ele para ir da posição inicial até a posição final.

13. Durante uma corrida de carros de Fórmula 1, o piloto da escuderia ganhadora percorreu a primeira volta da pista com velocidade média de 310 km/h. O que podemos dizer sobre as velocidades máxima e mínima desse carro? Provavelmente a máxima é superior a 310 km/h e a mínima é inferior a essa velocidade.

14. Qual é a velocidade escalar média, em km/h, de uma pessoa que percorre, a pé, 1 200 m em 20 min? 3,6 km/h

15. Um carro em movimento em uma estrada passa pelo marco quilométrico 218 às 10h15 e pelo marco 236 às 10h30. Determine a velocidade escalar média em km/h no decorrer desse trecho. 72 km/h 16. (Enem/MEC) Uma empresa de transportes precisa efetuar a entrega de uma encomenda o mais breve possível. Para tanto, a equipe de logística analisa o trajeto desde a empresa até o local da entrega. Ela verifica que o trajeto apresenta dois trechos de distâncias diferentes e velocidades máximas permitidas diferentes. No primeiro trecho, a velocidade máxima permitida é de 80 km/h e a distância a ser percorrida é de 80 km. No segundo trecho, cujo comprimento vale 60 km, a velocidade máxima permitida é 120 km/h. Supondo que as condições de trânsito sejam favoráveis para que o veículo da empresa ande continuamente na velocidade máxima permitida, qual será o tempo necessário, em horas, para a realização da entrega? a) 0,7

X c) 1,5

b) 1,4

d) 2,0

e) 3,0

17. Em terreno montanhoso, um ciclista tenta manter a velocidade escalar média de vsub.  6 km/h, na subida, e de vdesc.  24 km/h, na descida. Sabendo que o percurso de subida e o de descida têm a mesma extensão e que, após a subida, o retorno é imediato, determine a velocidade média do ciclista em todo o percurso, considerando que as trajetórias de subida e descida sejam distintas. 9,6 km/h

20. A prática de exercícios físicos traz benefícios que se manifestam em vários aspectos do organismo. Favorece os músculos, fortalece ossos e articulações, por exemplo. Com a sequência dessas atividades também são observados perda de peso e da porcentagem de gordura corporal, diminuição do colesterol total e aumento do HDL colesterol (o dito “colesterol bom”) e, ainda, a redução da pressão arterial. No caso das crianças e jovens, a atividade física favorece o melhor convívio social, o desempenho escolar e o desenvolvimento intelectual. A escolha da atividade física adequada deve levar em conta que a pessoa sinta prazer em realizá-la e passe a praticá-la com regularidade. Analisando essas informações, um estudante resolveu mudar seus hábitos e passou a caminhar de sua casa até a escola, todos os dias. Considere que o passo do jovem tem comprimento médio de 0,5 m e que ele dá um passo a cada segundo. Responda às questões: a) Qual a velocidade com que esse jovem caminha?

0,5 m/s

b) Qual a distância entre a casa e a escola do jovem, se o tempo gasto no percurso é 40 minutos? 1 200 m 21. Sob estado de emergência desde sexta-feira (16) devido às cheias do rio Acre e de seus afluentes, a capital Rio Branco teve até agora prejuízo de R$ 12,4 milhões na produção agrária [...], 12 440 pessoas estão desalojadas, 100 mil casas foram inundadas e 100 equipes de auxílio prestam assistência nas áreas críticas. Segundo medição registrada nesta terça, o Rio Acre alcançou o nível de 17,38 metros, mais de três metros acima do ponto de transbordamento. [...] O governo federal enviou ao estado equipes do Samu, Corpo de Bombeiros e da Força Nacional. [...] Fonte: G1. Disponível em: <http://g1.globo.com/brasil/noticia/2012/02/ rio-branco-estima-prejuizo-de-r-12-milhoes-por-causa-de-cheias.html>. Acesso em: 25 nov. 2015.

Considere que uma “ambulancha” do Samu, ao prestar socorro a uma cidade ribeirinha, percorreu metade da trajetória com velocidade escalar média de 30 km/h e a outra metade com velocidade escalar média de 70 km/h. Calcule, para toda a trajetória, a velocidade escalar média. 42 km/h

19. Um caramujo desloca-se em linha reta no plano horizontal de um piso a uma velocidade média de 1,5 mm/s, enquanto um bicho-preguiça se desloca em linha reta subindo em uma árvore a uma velocidade média de 2 m/min. Qual desses animais é mais lento? Caramujo.

Ministério da Saúde/Arquivo

18. (UFPE) Um caminhão se desloca com velocidade constante de 144 km/h. Suponha que o motorista cochile durante 1,0 s. Qual o espaço, em metros, percorrido pelo caminhão nesse intervalo de tempo se ele não colidir com algum obstáculo? 40 m

Ambulancha, embarcação de resgate e assistência do Samu. Capítulo 2

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Introdução ao estudo do movimento

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4/6/16 2:45 PM


Você sabia? A medida de tempo e a Física Moderna

Rex Features/Rex Features/Zumapress.com/Glow Images

No mundo físico, grandezas como dimensões, distâncias ou medidas do tempo sempre desafiaram o ser humano. Os registros históricos indicam que as formas de medir foram evoluindo de acordo com as necessidades sociais de cada época. Resgatando alguns desses registros é possível observar que, na impossibilidade de contar com os relógios mecânicos, o ser humano buscava nos recursos naturais (Sol, água, areia), alternativas para medi-lo. São exemplos desses usos, o relógio de Sol – denominado pelos gregos de gnômon; o de água – denominado clepsidra; e o de areia – denominado ampulheta. Todos esses antecederam o advento dos relógios mecânico, como o de quartzo, e os mais precisos, como o atômico.

3030-FIS-V1-C03-LA-F011 Imagem interna do acelerador de partículas do LHC. NOVO

Imagem interna do maior acelerador de partículas do mundo, o LHC (Large Hadron Collider – Grande Colisor de Hádrons), construído a mais de 100 m de profundidade entre as fronteiras da França e da Suíça (imagem de 2012). O formato do acelerador é semelhante a um anel de 27 km de comprimento. Nele, partículas são aceleradas de modo a colidirem com velocidade muito próxima à da luz.

Atualmente, contando com todos esses recursos técnicos, é possível afirmar que o tempo medido por duas pessoas, para um determinado evento, sempre será o mesmo? Será possível que duas ou mais pessoas medindo o mesmo evento obtenham resultados distintos? Se quisermos responder às questões anteriores com base nos conhecimentos desenvolvidos pela Física Clássica, diremos que o tempo é considerado absoluto, ou seja, duas ou mais pessoas, ao medirem o intervalo de tempo citado, obterão os mesmos valores. Isso equivale dizer que o transcorrer do tempo é uniforme e que ele não depende das condições em que a medida foi realizada. No início do século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Relatividade (que você estudará no Volume 3 desta coleção), essas perguntas passam a receber novas respostas, que não estão de acordo com o proposto pela Física Clássica. Segundo a Teoria da Relatividade, duas ou mais pessoas, ao medirem o intervalo de tempo de um determinado evento, poderão obter valores diferentes. O transcorrer do tempo dependerá das condições em que estão as pessoas que fazem a medição, mais especificamente da situação em que está o referencial onde a pessoa que faz a medição se encontra, parado ou em movimento. Caso essa pessoa esteja em um referencial em alta velocidade, o tempo registrado transcorrerá mais lentamente se comparado com o registrado por um relógio que esteja em um referencial em repouso. Contudo, essa ideia se aplica a velocidades próximas da velocidade da luz, como ocorre com as partículas atômicas em condições experimentais nos aceleradores de partículas. Portanto, se considerarmos as situações que presenciamos no nosso cotidiano, veremos que as velocidades desenvolvidas são muito inferiores à velocidade da luz. Escreva no caderno

Responda

1. P  or que, nas situações do nosso cotidiano, não conseguimos perceber tais efeitos na medição do tempo? Para responder a essa pergunta, pesquise a velocidade das naves espaciais e compare-a com a velocidade da luz no vácuo. A nave Voyage 1 é a mais rápida já construída pelo homem e pode chegar a 16,9 km/s, muito inferior à velocidade da luz no vácuo, que é de 3  108 m/s.

40

Unidade 2

Cinemática escalar

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4/6/16 2:45 PM


CAPÍTULO 3

Movimento uniforme 1. Movimento com velocidade escalar constante Pare e pense

Rafael Herrera

Gallo Images/Getty Images

A partir de agora daremos início ao estudo dos movimentos, e uma das primeiras tarefas será analisá-los e classificá-los, o que permite aprender sobre eles, porque damos atenção aos seus detalhes, e compreender as características que os definem. Olhando para um trecho plano e retilíneo de uma rodovia como a da fotografia abaixo, podemos ver a linha tracejada, que é feita de forma que cada tracejado tenha o mesmo tamanho, com a mesma distância entre eles. Como esses traços são marcados no asfalto? Qual seria o procedimento para obter essa regularidade?

Na figura podemos ver pelo menos dois movimentos. O movimento da bola sendo lançada para cima, e, se prestarmos atenção, o movimento dos ponteiros do relógio de pulso do jogador. Quais são as semelhanças e diferenças entre esses dois movimentos? Marcações em uma estrada em Calama, Chile (2013).

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Após o recapeamento asfáltico da rodovia, o veículo encarregado de pintar as faixas, em um trecho retilíneo da estrada, percorreu distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Nesse caso, a velocidade escalar permaneceu sempre com o mesmo valor, ou seja, constante, sem aumentar ou diminuir. A esse tipo de movimento nomeamos movimento uniforme (MU). Outro exemplo são as extremidades dos ponteiros de um relógio: elas descrevem uma trajetória curvilínea com movimento uniforme.

Mon t

ice llo

/Sh

u

oc rst tte

om k.c

No movimento uniforme, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Em razão disso, a velocidade escalar instantânea é constante, não nula e igual à velocidade escalar média em qualquer intervalo de tempo. v  vm (constante e não nula)

No relógio analógico os ponteiros possuem velocidade constante. Capítulo 3

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Movimento uniforme

41

4/6/16 2:23 PM


Professor, optamos por desenvolver o estudo sobre a variação da posição em função do tempo por meio do gráfico da velocidade. Mostre e discuta com os alunos que, pelo fato de a velocidade ser constante no movimento uniforme, o gráfico da velocidade pelo tempo é uma reta paralela ao eixo horizontal, ou seja, com o passar do tempo, a velocidade não se altera.

Rubens Chaves/Pulsar

2. Função da posição em relação ao tempo

Em uma pista automobilística o circuito é composto de trechos curvos e retilíneos. Considere um trecho retilíneo da pista no qual um carro percorreu distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Podemos dizer que, nesse trecho da trajetória, a velocidade escalar permaneceu constante no intervalo de tempo estudado. Nesse caso, é possível representar a velocidade em função do tempo [v  f(t)] em um gráfico:

Editoria de arte

v (m/s) 50 v  vm

0

1

2

3

4

5

t (s)

Dt

Vista aérea do Autódromo José Carlos Pace (mais conhecido como Autódromo de Interlagos, São Paulo, imagem de 2009). Na imagem é possível observar o trecho retilíneo.

A área definida entre a curva e o eixo do tempo será: área  50  5

1

Note que, ao efetuar esse cálculo, representamos matematicamente um conceito físico que já conhecemos: v

Ds Æ Ds  v  Dt Dt

2

Comparando as equações 1 e 2 , concluímos que:

área  50  5 Æ Ds  250 m Ds  v  Dt Portanto, no movimento uniforme, a área compreendida entre o segmento de reta que representa o gráfico da velocidade em função do tempo e o eixo horizontal é numericamente igual ao deslocamento escalar, no intervalo de tempo considerado. Resumindo: N

área  Ds N

A notação  significa numericamente igual. Para obter a equação que representa a posição de um móvel em função do tempo no MU, lembramos que: Ds  v  Dt. Daí vem:  s  si  v(t  ti) Æ   Æ s  si  v(t  ti) Considerando o instante inicial ti  0, temos: Função do 1o grau: chama-se função polinomial do 1o grau f: R ∫ R, sendo f(x)  ax  b, com a, b  R e a  0.

42

Unidade 2

s  si  vt

Assim, a posição de um móvel em relação ao tempo pode ser representada por uma função do 1o grau, s  f(t).

Cinemática escalar

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Exercícios resolvidos Delfim Martins/Pulsar

1 Em algumas cidades brasileiras, implementou-se a construção de ciclovias para disciplinar o trânsito, diminuir a poluição, aumentar a segurança e estimular a prática do ciclismo. Em uma delas, técnicos passaram a estudar a velocidade com a qual os ciclistas se deslocam. Vamos considerar as anotações feitas aleatoriamente e utilizá-las como exemplos.

Em um trecho retilíneo da ciclovia, no instante t  0 s, dois ciclistas (um homem H e uma mulher M) passaram pela mesma posição, com velocidades constantes vM  8 m/s e vH  6 m/s. Considerando que ambos se deslocam na mesma direção e no mesmo sentido, determine a distância que os separa após 8 s. As ciclovias são iniciativas públicas que facilitam e diversificam a mobilidade urbana. Na imagem, a ciclovia da Avenida Marechal Castelo Branco em Teresina, Piauí (2015).

Resolução

Considerando que ambos se deslocam em MU, após 8 s, temos:

 

DsM  vM Dt Para a mulher DsM  8  8 Æ DsM  64 m DsH  vH Dt Para o homem DsH  6  8 Æ DsH  48 m A distância que os separa é: d  64 m  48 m  16 m

2 Considere a mesma situação do exercício anterior. Em outro trecho retilíneo da ciclovia, as posições ocupadas por outro casal de ciclistas foram representadas pelas equações horárias sM  40  8t (mulher) e sH  50  4t (homem), descritas em relação à mesma origem e ao mesmo instante inicial. Sabendo que a unidade de medida das posições é o metro e a do tempo é o segundo, responda: a) Qual a posição ocupada pelo homem e pela mulher no instante t  0 e qual a distância entre eles nesse instante? b) É possível ocorrer o encontro deles? Caso seja possível, em que instante isso ocorre?

Sabendo que a trajetória é retilínea e o movimento é uniforme, temos:

sM 5 40 m

Studio Caparroz

Resolução sH 5 50 m

a) No instante t  0 a posição da mulher (sM) e a do homem (sH) serão: sM  40  8t Æ sM  40  8  0 Æ sM  40 m sH  50  4t Æ sH  50  4  0 Æ sH  50 m A distância entre o homem e a mulher é 50  40  10 m b) Se a mulher parte da posição inicial siM  40 m e o homem, siH  50 m, e ambos se deslocam no Representação da trajetória realizada pelo ciclistas. mesmo sentido e direção, o encontro é possível, pois a mulher, mesmo estando atrás, tem velocidade maior que a do homem. Então, o encontro se dará quando eles ocuparem a mesma posição, ou seja: sM  sH Æ 40  8t  50  4t Æ 4t  10 Æ t  2,5 s Portanto, o encontro se dará 2,5 s após o início da contagem do tempo. Capítulo 3

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Movimento uniforme

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4/15/16 3:54 PM


Escreva no caderno

Exercícios propostos EXERCÍCIOS PROPOSTOS

6. Dois cachorros, T e R, deslocam-se em sentidos opostos. Observe a figura e responda.

T (sT = 2 + 1t)

b) o deslocamento do ponto material entre os instantes 2 s e 6 s; 8 m

R (sR= s0 + vt)

v=?

Alex Argozino

a) a posição do ponto material no instante 5 s; 10 m

v = 1 m/s

c) o instante em que o ponto material passa pela origem das posições. 10 s s0 = ?

Selma Caparroz

2. Uma gota de água cai verticalmente no interior de um béquer que contém óleo, conforme representação a seguir. Analisando a tabela que relaciona os espaços e os correspondentes instantes desse movimento, escreva a função horária dos espaços para o movimento da gota. s  2t s (cm)

t (s)

0

0

2

1

4

2

6

3

3. (UFMG) Dois carros, A e B, movem-se numa estrada retilínea com velocidade constante, vA  20 m/s e vB  18 m/s, respectivamente. O carro A está, inicialmente, 500 m atrás do carro B. Quanto tempo o carro A levará para alcançar o carro B? 250 s 4. (UFRN) Um trem parte de Natal com destino a Recife às 6 horas, com velocidade constante de 60 km/h. Uma hora depois, parte de Natal, numa linha paralela, um segundo trem, mantendo a velocidade constante de 75 km/h. Sabendo que a distância Natal-Recife é 300 km, podemos afirmar que: a) o 2o trem ultrapassará o 1o a 70 km do Recife. b) o 2o trem ultrapassará o 1o a 80 km do Recife. c) o 2o trem ultrapassará o 1o a 100 km do Recife. d) o 2o trem ultrapassará o 1o a 120 km do Recife. X e) os dois trens chegarão a Recife ao mesmo tempo.

5. Uma pessoa exercita-se em uma esteira rolante horizontal manual. Ela andou 20 minutos com velocidade constante de 5,4 km/h e consumiu 200 quilocalorias.

44

s (m)

5

1 m/s; 2 m

b) Classifique o movimento dos cachorros (progressivo ou retrógrado). T progressivo; R retrógrado. sR  5  1t

c) Escreva a equação horária dos espaços para R. d) Sabendo que os cachorros se encontrarão na posição 3,5 m, calcule o instante de encontro. 1,5 s 7. (Fuvest-SP) Em um prédio de 20 andares (além do térreo), o elevador leva 36 s para ir do térreo ao 20o andar. Uma pessoa do andar X chama o elevador, que está inicialmente no térreo, e 39,6 s após a chamada a pessoa atinge o andar térreo. Se não houvesse parada intermediária, e o tempo de abertura da porta do elevador e o de entrada e saída do passageiro fossem desprezíveis, poderíamos dizer que o andar X é o: X

a) 9

d) 18

b) 11

e) 19

c) 16 8. Durante um teste para avaliar o consumo de combustível, são usados dois veículos, A e B, que se deslocam sobre a mesma estrada retilínea com velocidades constantes vA e vB, respectivamente. No instante em que o cronômetro é acionado, o veículo A passa pelo ponto M dessa estrada, enquanto o veículo B passa pelo ponto N, distante 20 km do ponto M. Nessas condições, determine a quantidade de combustível consumida pelos veículos para chegarem, juntos, ao ponto P. Considere vA  3vB e saiba que cada veículo consome, em média, um litro de combustível para veículo A consome 3,75 litros. percorrer 8 km. OO veículo B consome 1,25 litro. A M

b) Qual seu deslocamento em relação ao solo?

0

Unidade 2

4

a) Qual a velocidade de T ? E sua posição inicial?

a) Qual a distância percorrida por essa pessoa se estivesse correndo na rua? 1 800 m 0

3

B 20 km

N

P

Tarumã

1. Um ponto material se movimenta sobre uma trajetória retilínea, e as diferentes posições ocupadas por ele sobre essa trajetória são dadas pela equação: s  20  2t (SI). De acordo com essa informação, determine:

Cinemática escalar

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3. Gráfico da posição em relação ao tempo Anteriormente, identificamos a função que dá a posição de um móvel em função do tempo no movimento uniforme. Trata-se de uma equação s  f(t) do 1o grau em t. Graficamente a representação de uma função polinomial do 1o grau é feita por uma reta. Se o móvel se desloca no mesmo sentido adotado para a trajetória, temos o gráfico 1. Note que podemos aplicar a relação trigonométrica da tangente no triângulo do gráfico ao lado. N Ds Dessa forma: tg   . Dt Nesse caso, a tangente do ângulo  equivale à razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo, que, como vimos, é a definição de velocidade. N

tg  

s v t

s (m)

v0 s  si  vt

s

Ds 

si

t

0 Dt

Gráfico 1

s (m)

Se o móvel se desloca no sentido contrário àquele adotado para a trajetória, temos o gráfico 2. N Ds com s  0. Nesse caso, tg   tg   Dt Portanto, numericamente, temos:

v0

si tg   tg  Ds 

 0

N

tg   tg   

t (s)

t (s)

t

s  2v t

s  si  vt

Dt Gráfico 2

Exercício resolvido ções estão representadas no eixo vertical e o tempo está representado no eixo horizontal. Com base no gráfico, avalie as afirmações:

a) A velocidade média do pedestre, no intervalo de 0 s a 7 s, foi nula, portanto ele permaneceu em repouso. b) A velocidade do pedestre aumentou no intervalo de 0 s a 3 s. c) A velocidade do pedestre diminuiu no intervalo de tempo 6 s a 7 s.

Resolução

s (m) 20

Ilustrações: Editoria de arte

3 Um pedestre teve seu movimento registrado no gráfico. Suas posi-

15 10 5

0

1

2

3

4

5

6

7

t (s)

a) A velocidade escalar média, no intervalo de tempo 0 s a 7 s, é dada por: vm 

00 s  si Ds   7  0 Æ vm  0 m/s t  t Dt i

A velocidade escalar média nesse intervalo de tempo é, realmente, nula. No entanto, isso não significa que o corredor permaneceu em repouso. Nesse caso, o valor obtido é zero porque o corredor ocupava as mesmas posições nos instantes inicial e final. Portanto, a afirmação é falsa. b) De 0 s a 3 s, o gráfico é uma função crescente do 1o grau, indicando um movimento progressivo, de velocidade escalar constante e posições crescentes. Portanto, a afirmação é falsa. c) De 6 s a 7 s, o gráfico é uma função decrescente do 1o grau, indicando um movimento retrógrado, de velocidade escalar constante e posições decrescentes. Portanto, a afirmação é falsa. Capítulo 3

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Movimento uniforme

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

t (s)

0

1

2

3

4

5

6

s (m)

15

10

5

0

5

10

15

Com base nessas anotações: a) Construa o gráfico da posição em função do tempo. Resposta no final do livro. b) Construa o gráfico da velocidade escalar em função do tempo. Resposta no final do livro. c) Descreva a equação que representa a posição em função do tempo. s  215  5t (SI) d) Determine o instante em que o atleta passa pela origem do referencial e o tipo de movimento que ele s; movimento descreve (progressivo ou retrógrado). 3progressivo. e) Responda: é possível dizer que a reta obtida no gráfico do item a representa a trajetória do móvel? a forma do gráfico apresenta apenas a dependência entre as Justifique.Não, grandezas s e t. 10. O gráfico representa a s (km) posição em função do 20 tempo dos móveis A e B, deslocando-se numa 10 trajetória retilínea. Qual dos móveis tem maior velocidade? Ambos possuem a mesma velocidade.

Os dois móveis que deverão se encontrar em um tempo futuro (t > 0) são: a) A e C c) B e C x

e) C e D

b) A e D d) B e D

13. Muitas vezes, preocupados com as provas e as atividades escolares, deixamos de lado as atividades físicas. Porém, precisamos nos lembrar da importância delas para a manutenção da saúde. A simples caminhada pode nos ajudar a evitar o sedentarismo e reduzir ou eliminar alguns fatores de risco de doenças cardiovasculares, obesidade e diabetes. A figura a seguir representa o gráfico da posição em função do tempo de uma pessoa que, durante uma caminhada, se desloca com movimento uniforme. s (m) Ilustrações: Editoria de arte

9. No trecho mais longo e retilíneo de uma ma­ra­tona, um atleta, estrategicamente, procura manter sua velocidade constante. O treinador faz anotações sobre as posições ocupadas pelo atleta, em diferentes instantes:

15 10 5

A 0 B

0

2

4

6

8

10

t (s)

Após um minuto, quantos metros ela caminhou e qual a sua posição em relação à origem? 60 m; 65 m

1

t (h)

11. Um preparador físico, com objetivo de observar o desempenho de uma atleta durante uma corrida, registrou suas posições num determinado intervalo de tempo. Após avaliar os dados coletados, representou o desempenho da atleta no gráfico abaixo.

14. (UFSM-RS) Dois carros A e B têm seus movimentos representados esquematicamente no gráfico s  t a seguir. s (km)

Carro B Carro A

s

s 15

0

t

t (h)

Pode-se afirmar, baseando-se na função que repre0

5

t

Caso o preparador quisesse descrever esse movimento por meio de uma função horária, como seria essa representação? Considere que as unidades de medida utilizadas foram o metro e o segundo. s = 15 – 3t

12. (FMTM-MG) São dadas as funções horárias dos espaços de quatro móveis, A, B, C e D, definidas sobre a mesma trajetória retilínea, com valores medidos no SI.

46

SA = 25 + 2t

SC = 5t

SB = 27 2 3t

SD = 21 2 t

Unidade 2

senta o movimento de cada carro, que: a) as velocidades iniciais (t = 0) dos carros A e B são zero. x b) a velocidade média do carro B é igual à velocidade média do carro A no intervalo de tempo de 0 a t. c) as velocidades iniciais dos carros A e B são diferentes de zero. d) a aceleração do carro A é igual à aceleração do carro B. e) o carro B percorrerá uma distância maior até encontrar o carro A.

Cinemática escalar

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Transporte público eficiente e acessível: solução para os problemas do trânsito nas grandes cidades?

Luciana Whitaker/Pulsar

Pense além

Nos últimos anos, a facilidade de acesso ao crediário possibilitou um aumento da compra de automóveis. Esse fato elevou consideravelmente a frota de veículos no Brasil, com muitas famílias passando a usufruir dessa modalidade de transporte. Mas o crescimento do número de veículos também trouxe consequências desfavoráveis, sendo a mais visível delas o aumento dos congestionamentos. Uma das propostas para solucionar esse problema é tornar o transporte público mais eficiente. Para isso, alguns fatores devem ser levados em consideração: • aumentar a quantidade de linhas e a interligação do maior número de pontos possível; • planejar o percurso, determinando os horários de partida e de chegada e o tempo de viagem. Esses horários devem ser pontuais, para aumentar a confiabilidade e a fidelidade dos usuários ao sistema; • manter a manutenção dos veículos para que os usuários se sintam confortáveis durante o trajeto de viagem; • manter uma frota acessível a todos, o que pode ser obtido com a capacitação de funcionários, a manutenção de veículos com equipamentos adequados, a manutenção de terminais de embarque e desembarque que facilitem o acesso e a frequência adequada para a prestação do serviço.

Cadeirante embarcando em ônibus adaptado, Niterói, RJ (2015).

Para atingir a meta de transformar o transporte coletivo no principal meio de mobilidade urbana, é necessário convencer empresários e governantes a torná-lo acessível, eficiente, seguro, com percursos racionais e tarifa justa. Para isso, a participação e a cobrança dos usuários são de grande importância.

Atividades

Escreva no caderno

1. Faça um levantamento (em campo) das condições do transporte público que atende seu bairro. Obtenha informações sobre os horários e os percursos dos ônibus, a quantidade e a conservação da frota e a quantidade de linhas disponíveis. Qual é a porcentagem de veículos adaptados em sua cidade? Veículos adaptados são aqueles que possuem acesso para cadeirantes e local destinado para pessoa com deficiência visual (que pode estar acompanhada de cão-guia). Com que frequência esses ônibus passam? 2. Organize as informações coletadas, discuta com os seus colegas de grupo os principais problemas encontrados e faça um relatório com sugestões para a melhoria do sistema de transporte do seu bairro. Respostas pessoais.

Capítulo 3

Movimento uniforme

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Experimente a Física no dia a dia

Atenção Faça o experimento somente na presença do professor.

Descrevendo o movimento uniforme

Tetra Images/Getty Images

O instrumento chamado nível de bolha é muito utilizado, principalmente por pedreiros e mestres de obras, para verificar se as paredes estão sendo erguidas de acordo com a vertical. Trata-se de um pequeno cilindro fechado cheio de óleo em que uma pequena bolha de ar pode se mover livremente quando o cilindro é movimentado. Neste experimento, utilizaremos a ideia desse instrumento para estudar o movimento descrito por uma bolha que se desloca no interior de uma mangueira. Desenvolva o experimento com a colaboração de outros colegas e, em seguida, discuta com eles os resultados obtidos. Identifica-se que o nivelamento está correto quando a bolinha de ar está exatamente no meio (como a da imagem).

Materiais

• água • 40 cm de mangueira plástica transparente

• fita adesiva • fita métrica • sarrafo de madeira

• um livro grosso • duas rolhas • cronômetro

Passo a passo • Com a fita adesiva, fixe uma fita métrica e uma mangueira plástica transparente a um sarrafo de madeira. • Coloque uma rolha em uma das extremidades da mangueira. • Encha a mangueira com água e tampe a outra extremidade com outra rolha, cuidando para que entre a rolha e a superfície da água exista um pouco de ar. • Alternando algumas vezes a posição das extremidades da mangueira presa ao sarrafo (de cima para baixo), é fácil perceber que a bolha se desloca rapidamente. Portanto, para que o deslocamento seja lento, procure colocar uma das extremidades sobre um livro, enquanto a outra extremidade permanece apoiada na mesa como está representado a seguir. rolha

mangueira

bolha se deslocando

fita métrica sarrafo de madeira livro usado como apoio

rolha

Mario Pita

mesa

Representação do aparato experimental.

• Assim, quando a bolha começar a se deslocar, registre as posições ocupadas por ela a cada dois segundos. Caso haja alguma dúvida, repita o procedimento. • Organize, no seu caderno, os valores obtidos em uma tabela como a represetada ao lado. Escreva no caderno

Responda

t (s)

s (m)

0 2 4

1. As distâncias percorridas pela bolha, a cada intervalo de dois segundos, foram iguais? Professor, 2. Desenhe o gráfico da posição da bolha em função do tempo.

os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

3. Qual o tipo de movimento descrito pela bolha em função do tempo? 4. Qual a velocidade média da bolha durante o movimento?

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Unidade 2

Cinemática escalar

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27/04/16 14:33


CAPÍTULO 4

Movimento uniformemente variado 1. Movimento variado

Ilustrações: Alex Argozino

Fotos: Sérgio Dotta Jr/The Next

Em nosso cotidiano, percebemos que os movimentos uniformes não são muito frequentes. Na maior parte deles, a velocidade não se mantém constante e varia de alguma maneira. Acompanhe algumas situações. Quando acionamos o freio de um carro em movimento, o ponteiro do velocímetro mostra que a velocidade escalar instantânea varia, diminuindo de valor em determinado intervalo de tempo.

Quando lançamos uma bola verticalmente para cima, percebemos que sua velocidade escalar instantânea varia, diminui, até se anular no ponto em que ela atinge a altura máxima. Se, em valor absoluto, a velocidade escalar instantânea de um móvel decresce em determinado intervalo de tempo, o movimento é denominado retardado.

Foto estroboscópica de uma bola lançada para cima.

| vfinal |  | vinicial |

Quando acionamos o acelerador de um carro, o ponteiro do velocímetro mostra que a velocidade escalar instantânea varia, aumentando de valor em determinado intervalo de tempo.

Quando abandonamos um objeto, um copo, por exemplo, próximo à superfície da Terra, percebemos que sua velocidade escalar instantânea varia, aumenta, em determinado intervalo de tempo. Se, em valor absoluto, a velocidade escalar instantânea de um móvel aumenta em determinado intervalo de tempo, o movimento é denominado acelerado.

Foto estroboscópica de um copo em queda livre.

| vfinal |  | vinicial |

Capítulo 4

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Movimento uniformemente variado

49

4/6/16 2:53 PM


2. Aceleração escalar média As situações abordadas na página anterior evidenciam as variações ocorridas com a velocidade escalar instantânea. Falta apenas saber como essa variação ocorre. Para isso, precisamos conhecer a aceleração escalar média que descreve a rapidez com que a velocidade de um móvel varia. Quantitativamente, a aceleração escalar média am de um móvel é obtida pelo quociente entre a variação da sua velocidade escalar instantânea v e o intervalo de tempo t correspondente. am 

Pare e pense

v  vi v  t  ti t

Photodisc/Getty Images

Como decorrência da definição, é possível deduzir que a unidade de medida de aceleração corresponde à razão entre a unidade de medida de velocidade e a unidade de medida do tempo. m/s No SI, a unidade de medida de aceleração é:  m/s2 s

Esquiadores.

Em que condições o movimento do esquiador é considerado variado?

Podem ser usadas outras unidades de medida, como: m/(h  s), km/(h  s), km/h2 etc. A aceleração escalar instantânea também é uma grandeza física que mede a rapidez com a qual a velocidade escalar de um móvel varia. No entanto, o intervalo de tempo t em que ocorre essa variação tende a valores muito pequenos. Nesse caso, a aceleração escalar média am tenderá à aceleração escalar instantânea a.

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume. Dotta2

Exercício resolvido 1 De acordo com o Código Brasileiro de Trânsito, ultrapassar o sinal vermelho corresponde a uma infração gravíssima, punida com multa e registro de 7 pontos na carteira de habilitação. Sabendo disso, um motorista que dirige o carro com velocidade escalar de 30 m/s, ao avistar o sinal vermelho, aciona o freio durante 3 s até parar. Nesse intervalo de tempo, determine: a) a aceleração escalar; b) o tipo de movimento descrito (acelerado ou retardado). Justifique. Carro parcialmente parado sobre a faixa de pedestres. Esse ato é considerado uma infração no Código de Trânsito Brasileiro.

Resolução a) vi  30 m/s v  0 (até parar)

am 5

t  3 s

v 2 vi Dt

5

0 2 30 3

Æ am 5 210 m/s2

Observe que, em valor absoluto, a aceleração escalar é 10 m/s2 e o sinal negativo não indica, necessariamente, que o movimento seja retardado. b) Se v  vi, em valor absoluto, a velocidade escalar do veículo decresceu no intervalo de tempo determinado. Assim, podemos dizer que o movimento descrito por ele é retardado.

50

Unidade 2

Cinemática escalar

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4/6/16 2:53 PM


Escreva no caderno

Exercícios propostos propostos Exercícios 1. Explique o significado da expressão “movimento vaideia de movimento variado está relacionada à variação da riado”. Avelocidade escalar instantânea de um móvel. 2. Cite um exemplo de um móvel que apresente movimento variado acelerado e outro com movimento variado retardado. Resposta pessoal. 3. Um navegador percebeu que, durante determinado intervalo de tempo, seu barco manteve aceleração escalar nula. Podemos concluir que o barco esteve pois aceleração escalar nula significa que a veloparado? Justifique. Não, cidade escalar é constante, podendo ser nula ou não. 4. O movimento uniformemente acelerado é aquele que, partindo do repouso, adquire, em tempos iguais, variações iguais de velocidade. Analisando a afirmação acima, explique o que significa o valor 20 (km/h)/s. A cada segundo sua velocidade varia 20 km/h. 5. (Unesp-SP) Um automóvel de competição é acelerado de tal forma que sua velocidade (v) em função do tempo (t) é dada pela tabela: t (s)

v (m/s)

5

20

10

50

15

60

A aceleração média, em m/s2, no intervalo de 5 s a 15 s é: a) 4,5 b) 4,33 c) 5,0

d) 4,73 X e) 4,0

6. O velocímetro de um ônibus que trafega por uma estrada registra 90 km/h. Ao ver um obstáculo, o motorista aciona o freio durante 10 s, reduzindo a velocidade a 18 km/h. Determi­ne a aceleração escalar média do ônibus, em m/s2, nesse intervalo de tempo, e classifique, justificando, o tipo do movimento (acelerado ou retardado). 2 m/s2. O movimento é retardado, pois o valor absoluto da velocidade diminui ao longo do intervalo de tempo considerado.

7. Em um jogo de futebol, um atacante chuta a bola ao gol do time adversário. O goleiro pega a bola que está com a velocidade de 20 m/s e consegue imobilizá-la em 0,1 s, com um movimento de recuo dos braços. Determine a aceleração média da bola durante a ação do goleiro. 2200 m/s2 8. Uma vendedora de automóveis divulga na propaganda que o carro A consegue partir do repouso e atingir a velocidade vA 5 97,2 km/h, em 11 segundos. Também, partindo do repouso, o carro B consegue atingir a velocidade vB 5 90 km/h, em 10 s. Qual deles apresenta a maior aceleração? O carro B consegue a maior aceleração.

9. Para avaliar o deslocamento de quatro móveis, foram registradas as velocidades escalares em função do tempo dos móveis A, B, C e D, conforme apresentado nas tabelas a seguir. Sabendo que eles se deslocam com movimento uniformemente variado, determine a aceleração escalar dos móveis e avalie o tipo de movimento de cada um deles. Móvel A

t (s)

0

1

2

3

4

v (m/s)

2

4

6

8

10

a 5 2 m/s2. O movimento é progressivo e acelerado.

Móvel B

t (s)

0

1

2

3

4

v (m/s)

22

26

210

214

218

a 5 4 m/s2. O movimento é retrógrado e acelerado.

Móvel C

t (s)

0

1

2

3

4

v (m/s)

25

20

15

10

5

a 5 25 m/s2. O movimento é progressivo e retardado.

Móvel D

t (s)

0

1

2

3

4

v (m/s)

221

218

215

212

29

a 5 2 m/s2. O movimento é retrógrado e retardado.

10. O porta-aviões é um navio cuja função principal é

servir de base aérea móvel, possibilitando que as forças naval e aérea possam operar militarmente a grandes distâncias, sem depender de aeroportos (fixos). Nele, a decolagem e a aterragem são realizadas em pista cujo comprimento é de 100 m, aproximadamente, exigindo operações difíceis e equipamentos que não são necessários em um aeroporto (localizado em terra). No caso da decolagem, os aviões, além de usarem toda a potência dos seus motores, contam com a ajuda de catapultas que, em dois segundos, conseguem fazer a velocidade do avião atingir 265 km/h, condição mínima para que ele possa decolar. Na situação de aterragem, o avião chega com velocidade de aproximadamente 240 km/s e precisa do auxílio dos ganchos de retenção (presos à cauda) que se encaixam nos cabos estirados ao longo do deque, o que possibilita reduzir a velocidade até zero, em 1,9 s. Considere as informações do texto e determine: a) a aceleração escalar média e o tipo de movimento efetuado pelo avião durante a decolagem; b) o tipo de movimento efetuado pelo avião durante a aterragem e a aceleração escalar média para que sua velocidade seja reduzida a zero, em 1,9 s. a) a 5 36,8 m/s2 (acelerado) Capítulo 4

CS-FIS-EM-3030-V1-U02-C04-049-062-LA.indd 51

b) a  235,1 m/s2 (retardado)

Movimento uniformemente variado

51

19/04/16 13:47


Você sabia?

Um método para a medida da velocidade da luz

espelho

O experimento da roda dentada realizado por Fizeau foi muito enroda dentada genhoso. No topo de uma colina, foi colocada uma roda dentada com cerca de 720 dentes, tendo um espelho por trás e um outro posicionado 10 km a uma distância de 8 km. A velocidade da roda dentada era ajustada de tal maneira que um feixe de luz emitido por uma fonte, após se refletir lâmina de vidro no espelho, voltava para a roda, passando pelo intervalo (dente) seguinte da roda. De posse das dimensões da roda, de sua velocidade angular origem da luz e da distância entre os espelhos, era possível encontrar um valor para a Representação simplificada do aparato velocidade da luz. experimental desenvolvido por Fizeau. Foucault, por sua vez, substituiu a roda dentada por um espelho giratório. Michelson mediu a velocidade da luz no ar e no vácuo com extraordinária precisão utilizando um aparato que contava com um espelho rotativo e outro fixo. De grande precisão, as medidas modernas da velocidade da luz utilizam métodos de laboratório.

Luís Moura

Atualmente, sabemos que a luz é uma forma de energia radiante (onda eletromagnética) e sua velocidade de propagação, medida no vácuo, é, aproximadamente, c  3,00  105 km/s ou 3,00  108 m/s, praticamente a mesma que a velocidade da luz no ar. Muitos estudos foram feitos até que se chegasse a esse valor. No último quarto do século XVII, o astrônomo dinamarquês Olaf Roemer (1644-1710), com o auxílio do telescópio, observou os eclipses das luas de Júpiter e identificou, por meio de cálculos comparativos, que ocorria um atraso de aproximadamente 22 minutos para que a luz dos satélites chegasse até a Terra. Com esse raciocínio, avaliou que a velocidade tinha um valor aproximado de 225000 km/s. Se considerarmos os recursos tecnológicos da época, verificaremos que esse valor não está tão distante daquele aceito atualmente. Desde Roemer, experimentos cada vez mais sofisticados foram realizados para a determinação da velocidade da luz a partir de diferentes métodos. Os primeiros físicos que conseguiram medidas da velocidade da luz em laboratório foram Armand Hyppolyte Louis Fizeau (1819-1896) e Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868), utilizando aparelhos construídos por eles próprios. Com o experimento da roda dentada, Fizeau obteve, em 1849, o valor de 313 300 km/s, e Foucault, com o espelho rotativo, em 1850 obteve 299 000 km/s. Baseando-se nesses conhecimentos, Albert Abraham Michelson (1852-1931) realizou seu primeiro experimento de medida da velocidade da luz em 1877, utilizando um equipamento semelhante ao de Foucault, no qual havia feito modificações importantes. Os resultados experimentais obtidos com esse aparelho foram publicados em 1878 e forneceram o valor de 299 796 km/s (com incerteza de mais ou menos 4 km/s) para a velocidade da luz. Atualmente o valor obtido para a velocidade da luz no Albert Michelson, físico estadunidense, em seu vácuo é de 299 792 km/s, ou 299 792 458 m/s exatos. laboratório, em 1915.

Boyer/Roger Viollet/Getty Images

Como se mede a velocidade da luz?

Escreva no caderno

Responda

1. A luz emitida pelo Sol percorre 150 milhões de quilômetros, a uma velocidade de 300 mil quilômetros por segundo. Portanto, a luz emitida pelo Sol neste instante chegará à Terra daqui a quantos minutos? 8 min e 20 s 2. Ano-luz é a distância percorrida pela luz no vácuo em um ano. Então, o que significa dizer que determinada estrela está a 4 anos-luz da Terra? Significa que a luz emitida por ela demora 4 anos para chegar à Terra.

52

Unidade 2

Cinemática escalar

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4/6/16 2:53 PM


3. Movimento com aceleração escalar constante Como já estudamos, a ideia de aceleração está relacionada à rapidez com que a velocidade varia. Para continuar o estudo e a classificação dos movimentos, vamos analisar duas situações simuladas sobre a aceleração de uma motocicleta. Na primeira situação, um motoqueiro observou o velocímetro da sua moto a cada segundo nos primeiros momentos após a partida. Posteriormente, registrou-os assim: 2o registro

3o registro

4o registro

v0

v  10 km/h

v  20 km/h

v  30 km/h

Ilustrações: Studio Caparroz

1o registro

1 s após o 1o

am 

1 s após o 2o

10  0  10 km/h s 1

am 

1 s após o 3o

20  10  10 km/h s 1

am 

30  20  10 km/h s 1

Observando os registros, podemos concluir que: • a cada intervalo de 1 s, a velocidade escalar instantânea variou, aumentou de 10 km/h, uniformemente, ou seja, de maneira constante; • a aceleração escalar média é constante e diferente de zero; • o movimento é uniformemente acelerado. Na segunda situação, o mesmo motoqueiro fez os seguintes registros:

v  30 km/h

2o registro

3o registro

v  20 km/h

v  10 km/h

1 s após o 1o

am 

20  30   10 km/h s 1

1 s após o 2o

am 

10  20   10 km/h s 1

Observando esses registros, podemos concluir que: • a cada intervalo de 1 s, a velocidade escalar instantânea variou, decresceu de 10 km/h, uniformemente; • a aceleração escalar média é constante e diferente de zero; • o movimento é uniformemente retardado. Nesses dois exemplos, a velocidade escalar instantânea variou (aumentou ou diminuiu em valores absolutos) de maneira uniforme. Como consequência, verificamos que a aceleração escalar média permaneceu constante e diferente de zero em todos os intervalos de tempo estudados. Essas situações representam um caso particular dos movimentos variados, que passaremos a denominar movimento uniformemente variado (MUV).

4o registro

v0 1 s após o 3o

am 

0  10   10 km/h s 1

Pare e pense

Photodisc/Getty Images

1o registro

Paraquedistas durante salto.

Nos primeiros segundos após o salto, ainda com o paraquedas fechado, o que ocorre com a velocidade de um paraquedista?

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume. Capítulo 4 Movimento uniformemente variado 53

CS-FIS-EM-3030-V1-U02-C04-049-062-LA.indd 53

4/15/16 3:56 PM


 unção e gráfico da velocidade em relação F ao tempo No movimento uniformemente variado, a aceleração escalar constante implica o aumento ou a diminuição linear da velocidade escalar. Isso significa que para intervalos de tempo iguais as variações da velocidade escalar também serão iguais. Para estabelecer a velocidade escalar v do móvel em MUV, no instante t, temos: a 5 am a5

v 2 vi ä v 2 vi 5 a(t 2 ti) t 2 ti

Considerando o instante inicial ti 5 0, como adotado na maioria dos estudos cinemáticos, chegamos a uma relação entre v e t conhecida como função horária da velocidade [v  f(t)] no MUV. v  vi  at

A equação da velocidade em função do tempo, no MUV, é do 1o grau, em que: • vi é a velocidade escalar no instante ti, ao se iniciar a contagem do tempo. • v é a velocidade escalar, em um instante t qualquer. Podemos usar um gráfico para representar o movimento uniformemente variado de um móvel. Como exemplo, vamos considerar as anotações feitas por um treinador ao avaliar duas situações vividas por um ciclista, que se move com aceleração escalar constante. Na primeira situação, no instante inicial ti  0, a velocidade escalar do ciclista é vi  10 m/s. Decorridos 5 segundos, ou seja, para t  5 s, a velocidade escalar é v  25 m/s. Calculando a aceleração escalar do ciclista nesse intervalo de tempo, temos: a v (m/s)

Se representarmos os valores do tempo no eixo horizontal e os valores da velocidade no eixo vertical, obteremos o gráfico ao lado. Calculando a tangente do ângulo , formado pelo eixo horizontal e a reta que representa o gráfico da velocidade em função do tempo, temos:

v  25

Editoria de arte

∆v vi  10

25 2 10 15 ∆v v  vi    ä a  3 m/s2 5 0 2 ∆t 5 t  ti

tg  



15  13 5

Comparando os cálculos, vemos que numericamente os valores obtidos são iguais, ou seja: t5

ti  0 ∆t

t (s)

N a tg   13

Sendo v  vi, a aceleração é positiva e, no referido trecho, o movimento é acelerado. Na segunda situação, novamente o cronômetro foi disparado e iniciou-se a medição de tempo, ti  0; nesse instante a velocidade é vi  30 m/s e, após 10 s, a velocidade é v  10 m/s. Calculando a aceleração escalar do ciclista nesse intervalo de tempo, temos: a

54

Unidade 2

v  vi 10 2 30 20 ä a  2 m/s2 ∆v    10 2 0 ∆t t  ti 10

Cinemática escalar

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4/6/16 2:53 PM


v (m/s) vi  30 tg   tg 

∆v

 

v  10

numericamente iguais.

Editoria de arte

Representando os valores do tempo no eixo horizontal e os da velocidade no eixo vertical, obtemos o gráfico ao lado. Calculando a tangente do ângulo , formado pelo eixo horizontal e a reta que representa o gráfico da velocidade em função do tempo, temos: 20 tg g  tg    2 10 Comparando os cálculos, concluímos que os valores obtidos são N a tg   2

Sendo v  vi, a aceleração é negativa e, no referido trecho, o movimento é retardado. A aceleração escalar no movimento uniformemente variado é numericamente igual à tangente do ângulo  formado entre o eixo horizontal e a reta que representa o gráfico da velocidade em função do tempo.

t (s)

t  10

ti  0 ∆t

N

a  tg 

Exercícios resolvidos 2 Um ciclista desloca-se com movimento uniformemente variado, representado pela equação v  6  8t. Considerando a unidade de medida do tempo em segundo e a de comprimento em metro, determine: a) a velocidade escalar no instante em que foi disparado o cronômetro; b) a aceleração escalar;

c) a velocidade escalar no instante t  3 s; d) se o movimento é acelerado ou retardado entre os instantes 0 e 3 s.

Resolução c) Quando t  3 s, a velocidade é: v683 v  30 m/s

b) Comparando as equações v  vi  at e v  6  8t, temos a aceleração escalar: a  8 m/s2.

d) Entre os instantes 0 s e 3 s, a velocidade escalar instantânea aumenta em módulo; portanto, o movimento é acelerado.

3 Durante um teste realizado em uma pista reta, os movimentos de um ciclista fo-

v (m/s)

ram registrados e representados no gráfico ao lado. Considere que no instante 20 s o ciclista acionou o freio até parar com aceleração escalar (em módulo) de 1 m/s2. Analise o gráfico e determine:

30

a) a aceleração média e o tipo de movimento realizado pelo ciclista nos seguintes intervalos de tempo: (de 0 s a 10 s) e (de 10 s a 20 s).

10

b) o tempo gasto e o espaço percorrido pela bicicleta entre o instante em que os freios foram acionados e a parada.

0

Tarumã

a) Quando é acionado o cronômetro, temos t  0: v  6  8t v  6  8  0 ä v  6 m/s

20

10

20

t

f

t (s)

Resolução v (m/s) (v 2 vi) 30 2 0 ä am = ä am = 3 m/s2. Dt 10 2 0 30 (v 2 vi) 30 2 30 No intervalo de 10 s a 20 s: am = ä am = ä am = 0 m/s2. Dt 20 2 10 20 30 b) Sabemos que, em módulo, a = |tg 2| ä a = |2tg 1| ä 1 = ä tf = 50 s 10 tf 2 20

Após acionar os freios, a bicicleta demorou: Dt = 50220 ä Dt = 30 s 1 Já vimos que, numericamente, Ds = Área ä Ds = ? 30 ? 30 ä Ds = 450 m 2 Capítulo 4

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0

Tarumã

a) No intervalo de 0 s a 10 s: am =

Área 1 10

2 tf

20

t (s)

tf – 20

Movimento uniformemente variado

55

4/6/16 2:53 PM


Escreva no caderno

Exercícios propostos 11. Um carro percorre um trecho retilíneo de uma estrada e sua velocidade varia com o tempo, de acordo com a tabela. t (s)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18 20

v (m/s) 14 18 22 22 22 22 22 20 18 15 11

a) Em quais intervalos de tempo a aceleração é positiva? E negativa? 0 s a 4 s; 12 s a 20 s

15. Alguns acidentes causados por jet skis têm provocado discussões a respeito do uso dessas embarcações em praias e represas. O desrespeito às normas de condução de embarcações e falhas humanas têm sido as principais causas desse tipo de acidente. Durante alguns instantes, um jet ski descreve uma trajetória linear com a variação de velocidade representada no gráfico da figura abaixo. v (m/s)

4 s  a 12 s

b) Em que intervalo de tempo a aceleração é nula?

30

c) Em que intervalo de tempo o movimento do carro é uniformemente variado? 0 s  a 4 s e 12 s a 20 s

18

12. (Unicamp-SP) A tabela mostra os valores da velocidade de um atleta da São Silvestre em função do tempo, nos segundos iniciais da corrida.

0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

v (m/s)

0,0

1,8

3,6

5,4

7,2

9,0

a) Esboce o gráfico da velocidade do atleta em função do tempo. Resposta no final do livro. b) Calcule a aceleração do atleta nos primeiros 5 s da corrida. 1,8 m/s2 13. Uma bola de boliche é lançada sobre uma superfície com velocidade escalar inicial vi  15 m/s. Em decorrência das forças de atrito que agem sobre a bola, a intensidade da velocidade escalar instantânea vai decrescendo. Sabendo que a aceleração escalar é constante e igual a 2 m/s2, determine: a) a equação que representa a velocidade escalar em função do tempo; v  15  2t (SI) b) o instante em que a velocidade escalar da bola se anula. 7,5 s 14. Um dos passageiros de um ônibus registrou em três instantes distintos a intensidade da velocidade escalar do ônibus no qual viajava. Esses registros foram: Tempo (s)

0

2

4

Velocidade (m/s)

20

23

26

5,0

t (s)

Determine a aceleração escalar e a velocidade inicial do jet ski. 4,0 m/s2; 10 m/s 16. Uma fábrica de bicicletas fez vários testes com um novo sistema de freios. Em um desses testes, durante alguns segundos, foi anotada a variação da velocidade de uma bicicleta. Com os dados obtidos, foi construído o gráfico da velocidade escalar em função do tempo, conforme a figura abaixo. v (m/s) 20

6,0 t (s)

5,0

4,0

De acordo com o gráfico, qual a aceleração escalar da bicicleta, sabendo que a trajetória é retilínea. Determine o instante em que a velocidade escalar é 4 m/s. −4,0 m/s2; 4 s 17. Em uma avenida de tráfego intenso, um observador registra a variação da velocidade de um carro, após o sinal verde acender. Na figura seguinte está o gráfico construído com os dados obtidos durante a observação. v (m/s) Ilustrações: Editoria de arte

t (s)

2,0

0,8 0,6

Admitindo aceleração constante, determine:

0,4

a) a equação que representa a velocidade escalar em função do tempo; v 5 20 1 1,5t (SI)

0,2

b) a velocidade escalar no instante t = 3 s; 24,5 m/s c) se o movimento é acelerado ou retardado entre os instantes t 5 0 e t 5 6 s. Acelerado.

56

Unidade 2

0

1

2

3

4

t (s)

Determine a velocidade do carro e sua aceleração 3 s após o sinal verde acender. 0,6 m/s; 0,2 m/s2

Cinemática escalar

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Função e gráfico da posição em relação ao tempo Para obter a equação que representa a posição de um móvel em função do tempo, no MUV, vamos nos valer de uma situação simulada em que uma bolinha de vidro (gude) é colocada em movimento sobre um plano inclinado. A bola desce o plano inclinado com aceleração constante, isto é, sua velocidade é incrementada com valores constantes para o mesmo intervalo de tempo. Como podemos descrever sua posição no plano em função do tempo? Se considerarmos que, no instante inicial t i, a velocidade escalar inicial é vi , em um instante posterior t, a velocidade escalar v será maior. Se, a partir de ti , registrarmos a velocidade da bola para cada instante de tempo, obteremos o gráfico da velocidade escalar em função do tempo, cujo esboço é mostrado ao lado. Assim como no MU, no MUV a área A compreendida entre a curva que determina o gráfico e o eixo horizontal é numericamente igual ao deslocamento Ds da esfera no intervalo de tempo Dt  t  ti. Uma forma para obter a área do trapézio é adicionar a área do triângulo à área do retângulo.

ti Paulo Nilson

vi

tf

vf

Editoria de arte

v (m/s) v vi A t

ti  0

t (s)

Editoria de arte

Área 

(t

0)

(v

vi )

2

a 2 a 2  t A  Área  Área   t  vit 2 2 N

Área  (t  0)  (vi  0)  vit Se Ds  A, teremos: Ds  s  si  vit 

s  si  vit 

Assim, a posição de um móvel em função do tempo, no MUV, será:

a 2  t 2

a 2  t 2

em que: si é a posição inicial e vi é a velocidade escalar inicial; s é a posição em um instante de tempo t qualquer; a é a aceleração escalar. A função da posição do móvel em função do tempo, no MUV, é uma função polinomial do 2o grau e sua representação gráfica no sistema cartesiano s 3 t é uma pa­rábola. Analisando as características dos movimentos percebemos que: Quando a  0, temos:

Quando a  0, temos:

• Para 0  t  t, a função s  f(t) é decrescente, a velocidade escalar é negativa e o movimento é retardado.

• Para 0  t  t, a função s  f(t) é crescente, a velocidade escalar é positiva e o movimento é retardado.

• Para t  t, a função s  f(t) é crescente, a velocidade escalar é positiva e o movimento é acelerado.

• Para t  t, a função s  f(t) é decrescente, a velocidade escalar é negativa e o movimento é acelerado.

• Para t 5 t, ocorre a inversão no sentido do movimento, e a velocidade fica nula.

• Para t 5 t, ocorre a inversão no sentido do movimento, e a velocidade fica nula. s

s aumenta v positiva

s decresce v negativa

vértice

s’ s aumenta v positiva

s’

vértice t’

t

t’

Capítulo 4

CS-FIS-EM-3030-V1-U02-C04-049-062-LA.indd 57

s decresce v negativa

Editoria de arte

s

t

Movimento uniformemente variado

57

4/6/16 2:53 PM


Exercícios resolvidos 4 Um veículo se desloca em uma trajetória retilínea e obedece à equação horária s  6  3t  t2 (SI). a) Determine a aceleração escalar do móvel. b) Escreva a equação horária da velocidade para esse movimento. c) Determine a posição do veículo para t  8 s. d) Construa os gráficos da posição, da velocidade escalar e da aceleração em relação ao tempo.

Resolução a 2 a t e s  6  3t  t2, temos:  1 ä a  2 m/s2 2 2 b) Da equação horária, temos: vi  3 m/s a) Comparando as equações s  si  vit  A equação da velocidade é v  vi  at Substituindo vi e a, resulta: v  3  2t (SI) c) Substituindo t por 8 na equação dada, temos: s  6  3  8  82  6  24  64 d)

v (m/s)

s (m)

Ilustrações: Editoria de arte

s  46 m a (m/s2)

3

6

2

4

1

2

0 1

a  constante

2,0 1,5 1

2

3

t (s)

0

t (s)

2 0

1

2

3 t (s)

3

5 A posição escalar s de uma partícula varia com o tempo t de acordo com o gráfico ao lado. Determine as funções horárias do espaço [s 5 f(t)] e da velocidade [v 5 f(t)] para o movimento da partícula.

s (m) 11

10

(arco de parábola)

Resolução Do gráfico, temos que, quando t 5 0 s, s 5 10 m. Logo, si 5 10 m. No instante t  1 s ocorre a inversão de sentido do movimento (v 5 0). Logo:

0

1

t (s)

v 5 vi 1 at ä 0 5 vi 1 a ? 1 ä a 5 2vi 1 Também no instante t 5 1 s, temos s 5 11 m. s 5 si 1 vi t 1

a 2 a a  t ä 11 5 10 1 vi ? 1 1 ? 12 ä vi 1 5 1 2 2 2 2

Substituindo a equação 1 na equação 2 , temos: v vi 2 i 5 1 ä vi 5 2 m/s 2 Substituindo vi 5 2 m/s na equação 1 , temos: a 5 vi ä a 5 22 m/s2 Construindo as funções horárias s 5 f(t) e v 5 f(t): a s 5 s i 1 vi t 1 t2 ä s 5 10 1 2t 2 t2 2 v 5 vi 1 at ä v 5 2 2 2t

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Unidade 2

Cinemática escalar

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 18. Pode-se afirmar que os espaços percorridos por partículas animadas de MU variam da mesma forma que os espaços percorridos por partículas animadas de MUV? Explique sua resposta. Resposta no final do livro. 19. As posições ocupadas por um veículo que se desloca com MUV são dadas pela equação s  4  2t  3t2 (SI). Nesse caso, determine:

a) Em que intervalo de tempo o movimento é acelerado? 5 s a 10 s b) Em que intervalo de tempo o movimento é retardado? 0 s a 5 s c) Em que instante o ciclista muda o sentido do movimento? 5 s d) Qual o valor da velocidade escalar no instante em que ele inverte o sentido do mo­vimento? 0

20 m

c) a posição ocupada pelo veículo no instante t  2 s. 20. Se a equação s  8  6t  t2 (SI) representa a posição de um móvel, determine o instante em que esse móvel inverte o sentido de deslocamento. 3 s 21. (UFPR) A posição inicial para o móvel, que descreve o movimento retilíneo cujo gráfico velocidade  tempo é o representado, vale 5 m. Qual é a função horária do espaço para o movimento considerado?

e) Em que instantes ele passa pela origem das posições? 0 s e 10 s 24. (UFRJ) Duas partículas se deslocam ao longo de uma trajetória. A figura a seguir representa, em gráfico cartesiano, como as duas velocidades variam em função do tempo. v (m/s) 4

v (m/s) 20 10

0

0

2

d) s  5  10t  5t2

b) s  10t  5t

e) s  5  10t  10t

X c) s  5  10t  2,5t

t (s)

Suponha que no instante em que se iniciaram as observações (t  0) elas se encontravam na mesma posição.

t (s)

a) s  10t  10t2 2

2

Ilustrações: Editoria de arte

a) a velocidade escalar inicial do veículo; 2 m/s b) a aceleração escalar; 6 m/s2

Com base no gráfico, responda:

2

2

22. Em um trecho de estrada retilíneo e horizontal, um carro mantém velocidade constante de 72 km/h, embora a placa de sinalização indique a velocidade máxima de 60 km/h. Em razão da infração de trânsito, no instante em que o carro passa diante de um posto policial, um guarda rodoviário, que estava parado, parte com uma moto mantendo aceleração constante de 2,5 m/s2. Nessa perseguição, quantos segundos serão necessários para que a moto alcance o carro? 16 s 23. Um ciclista se desloca com MUV em u­ma trajetória retilí­nea. O gráfico represen­ta a posição do ciclista em função do tempo. s (m)

a) Determine o instante em que elas voltam a se encontrar. 4 s b) Calcule a maior distância entre elas, desde o instante em que se iniciaram as observações até o instante em que voltam a se encontrar. 4 m 25. Na figura abaixo está representado o gráfico da variação da velocidade em função do tempo de um veículo que trafega por uma rua retilínea e horizontal. v (m/s) 6 3 0

2

8 10 12

t (s)

a) Determine o deslocamento entre os instantes t 5 0 e t 5 12 s. 57 m

12,5

b) Em quais intervalos de tempo o movimento é variado? Entre 0 s e 2 s e entre 8 s e 10 s.

0

c) Qual a distância, em metros, que o veículo deixou de percorrer entre os instantes t 5 8 s e t 5 12 s, em virtude da redução de velocidade de 6 m/s para 3 m/s. 9 m

5

10

t (s)

Capítulo 4

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Movimento uniformemente variado

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4. Equação de Torricelli

e com um simples procedimento algébrico, Evangelista Torricelli (1608-1647), um dos discípulos de Galileu, conseguiu eliminar a variável tempo. Desse modo, obteve uma equação que permite calcular v em função de vi, a e s. Observe como ele fez: v  vi  at

1

De 1 : t 

v 2 vi a

s  si  vit 

Substituindo em 2 : s  si  vi

(

a 2 t 2

v 2 vi a

)

a 2

Avião pousando.

Quais características devem ser levadas em consideração para determinar o comprimento da pista de um aeroporto?

2

Pare e pense

Ismar Ingber/Pulsar

Até agora, estudamos equações que nos permitem saber a posição ou a velocidade de um móvel em função do tempo. Podemos também obter uma equação que forneça a velocidade em função da posição do móvel, no MUV, sem considerar o tempo decorrido. Partindo das equações da velocidade e da posição: a 2 t, v  vi  at e s  si  vit  2

(

v 2 vi a

)

2

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Eliminando os parênteses e reduzindo ao mesmo denominador, obtemos: v2  vi2  2a(s 2 si) ou

v2  vi2  2a s

Exercício resolvido 6 A maratona de Boston (EUA), uma das mais famosas e antigas do mundo, é disputada anualmente desde 1897 em um percurso de 42,195 km. Embora as maratonas tenham se tornado um esporte de massa, os organizadores dessa maratona utilizam alguns critérios para selecionar seus participantes. Nessa, como em qualquer outra maratona, os corredores precisam se preparar adequadamente, respeitando os limites do seu corpo, para que a atividade física possa trazer benefícios a sua saúde. Avalie a situação de uma pessoa que resolveu participar de uma maratona e, nos seus primeiros treinos, passou a cumprir a seguinte rotina diária: correr a distância de 800 m com velocidade de 3 m/s, em seguida caminhar durante 3 minutos, com velocidade de 2 m/s. Essa sequência deve ser repetida 10 vezes. a) Ao terminar o treino diário, qual a distância total percorrida por essa pessoa? b) Partindo do repouso, com aceleração constante, essa pessoa percorre 3 m até atingir a velocidade de 3 m/s. Determine, em módulo, a aceleração desenvolvida nesse trecho.

Resolução a) A distância percorrida, s, no treino diário, é determinada por: s  n  scorrida  scaminhada Sendo: n  10 repetições scorrida = 800 m scaminhada  Vcaminhada  tcaminhada ä scaminhada  2  3(60) ä scaminhada  360 m Teremos: s  10  (800  360) ä s  11 600 m b) v0  0; v  3 m/s e s  3 m (v)2  (v0)2  2  a  s ä 32  0  2  a  3 ä a = 1,5 m/s2

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Unidade 2

Cinemática escalar

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 26. Um trem desloca-se com velocidade es­c a­lar de 54 km/h. Em certo instante, o maquinista vê um animal sobre os trilhos e aciona imediatamente o freio até parar. Considerando apenas o intervalo de tempo durante o qual o freio foi acionado, calcule a aceleração escalar do trem, sabendo que a distância percorrida por ele nesse intervalo de tempo foi 450 m. 0,25 m/s2

27. Um ciclista deve percorrer 100 m de um trecho retilíneo e plano da pista. Seu objetivo é iniciar esse trecho com velocidade vi e chegar ao final da corrida com velocidade v  20 m/s. Caso ele mantenha a aceleração escalar constante de 2 m/s2, qual será o valor de vi? 0 28. Um automóvel entra em um túnel com velocidade de 10 m/s e sai dele com velocidade de 30 m/s. A aceleração durante o movimento no interior do túnel é constante e vale 4 m/s2. Qual é o comprimento do túnel? 100 m

29. (UFRGS-RS) Uma grande aeronave para transporte de passageiros precisa atingir a velocidade de 360 km/h para poder decolar. Supondo que essa aeronave desenvolva na pista uma aceleração constante de 2,5 m/s2, qual é a distância mínima que ela necessita percorrer sobre a pista antes de decolar? a) 10 000 m b) 5 000 m c) 4 000 m X

d) 2 000 m e) 1 000 m

30. Durante uma viagem ao exterior, um turista brasileiro alugou um carro e recebeu orientações sobre algumas normas de segurança. Em uma dessas orientações havia a recomendação para que os motoristas, ao trafegar em determinadas estradas, mantivessem seus veículos separados por uma “distância” equivalente a 3 segundos. a) No caso de um motorista que mantém o veículo com velocidade constante de 108 km/h, em um trecho de estrada retilíneo, qual é essa distância de segurança, expressa adequadamente em metros? Dssegurança = 90 m

b) Considere que dois motoristas que trafegam em um trecho retilíneo da estrada estejam respeitando essa recomendação de segurança, e um deles resolva usar os freios bruscamente, até parar, com aceleração constante de módulo a = 4 m/s2. O motorista que vem atrás demorou 0,5 s para reagir e usar os freios.

Para que não ocorra colisão, qual deve ser a aceleração mínima do veículo que vem atrás? | a | 5 3,5 m/s2 31. Avalie a situação de um trem de carga, de 150 m, que está parado num cruzamento da avenida portuária, em Santos. Assim que o fluxo de caminhões permitiu, ele iniciou o movimento, com o objetivo de ultrapassar, totalmente, esse cruzamento cuja extensão é 250 m e está sinalizado entre duas faixas brancas. Considere que no início do movimento a frente do trem está sobre uma das faixas que limitam o cruzamento e a sua aceleração escalar e constante é de 0,5 m/s2. Determine: a) a velocidade escalar do trem, quando ele consegue ultrapassar completamente o cruzamento. v = 20 m/s b) qual o tempo necessário para que o trem conclua totalmente a ultrapassagem. t = 40 s 32. Um motorista parou o ônibus no acostamento de uma estrada retilínea para pegar um passageiro. No local, há uma placa de trânsito, indicando que 300 m à frente existe um deslizamento de terra sobre a pista. Assim que o passageiro entrou, o ônibus partiu com aceleração escalar constante de 1,0 m/s2. Após ter percorrido 200 m, o motorista acionou os freios imprimindo ao veículo aceleração escalar constante de 2,5 m/s2 até parar. Quantos metros o ônibus percorreu até parar? Ele irá colidir com o deslizamento? Conseguiu parar à distância de 20 m da terra. 33. Basicamente, radares e semáforos são instrumentos que devem contribuir com a função educativa de disciplinar e melhorar as diferentes relações entre pedestres e condutores de veículos. Avalie a situação, descrita a seguir, ocorrida diante de um semáforo: Um carro e um caminhão, parados diante de um semáforo, iniciam seus movimentos com aceleração constantes, na mesma direção e sentido, imediatamente após sinalizar o verde. A velocidade do caminhão varia 0,5 m/s, em cada segundo, até atingir 35 m/s, quando passa a descrever movimento retilíneo uniforme. No caso do carro, a velocidade varia 1,0 m/s, em cada segundo, até atingir 25 m/s, quando passa a descrever movimento retilíneo uniforme. Diante dessa situação, determine: a) o tempo e o deslocamento que o caminhão e o carro levam até atingirem suas velocidades máximas; Caminhão (Dt 5 70 s e Ds 5 1225 m); carro (Dt 5 25 s e Ds 5 312,5 m).

b) a distância que separa os veículos, 70 s após o instante t 5 70 s o carro está início dos movimentos; No 212,5 m à frente do caminhão. c) em que instante o carro é ultrapassado pelo caminhão. No instante t  91,25 s. Capítulo 4

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Movimento uniformemente variado

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Atenção

Experimente a Física no dia a dia

Faça o experimento somente na presença do professor.

Descrevendo o movimento uniformemente variado Neste experimento vamos observar o movimento de bolha que se desloca em um líquido, semelhante ao que fizemos no experimento de movimento uniforme.

Materiais Você vai utilizar os mesmos materiais usados no experimento Descrevendo o movimento uniforme e mais alguns: • seringa • óleo de cozinha • elásticos • suporte horizontal

Fotos: Sérgio Dotta Jr

Passo a passo • Monte o mesmo aparato utilizado no experimento Descrevendo o movimento uniforme. • Acople o aparato ao suporte, com o auxílio dos elásticos. • Preencha a mangueira com o óleo de cozinha deixando cerca de 5 cm para completá-la. O aparato deve ficar semelhante ao da imagem ao lado. • Com a seringa, separe um pouco de água. • Coloque algumas gotas de água no óleo. Tente fazê-las de diferentes tamanhos.

Arranjo experimental.

Detalhe de uma gota de água sendo colocada no tubo.

• Monitore uma gota grande e uma pequena. Anote a posição de cada gota em intervalos de tempo iguais, por exemplo, a cada 2 segundos, como indicado ao lado.

t (s)

s (m)

0 2 4

Escreva no caderno

Responda

1. Houve diferença no movimento das gotas? Elas percorreram a mesma distância, a cada intervalo de dois segundos? Se houve diferença, formule hipóteses para justificá-la. 2. Com dados obtidos, desenhe o gráfico de cada uma das bolhas em função do tempo. Se você ainda estava em dúvida com a resposta do item anterior, tente responder com o auxílio dos gráficos. 3. Determine o tipo de movimento realizado pelas gotas.

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Unidade 2

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Cinemática escalar

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CAPÍTULO 5

Queda livre e lançamento vertical

Mario Pita

45º

Capítulo 5

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Pare e pense

30°

Sciencephotos/ Alamy/ Latinstock

Muitas pessoas já passaram por uma situação semelhante à da fotografia, mas por que todos os corpos próximos da Terra são puxados para baixo? Várias teorias foram elaboradas para tentar explicar esse movimento. O estudo da queda dos corpos foi tema de pesquisa tanto de pensadores da Antiguidade como dos primeiros físicos modernos. Para Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.), se abandonássemos dois corpos de massas diferentes da mesma altura e no mesmo instante, aquele com maior massa chegaria primeiro ao solo. Essa ideia perdurou durante séculos, até que, no início do século XVII, Galileu Galilei (1564-1642) passou a questioná-la sistematicamente. Galileu pes- Copo em queda livre. Observe quisou, criou instrumentos e realizou expe- que ao cair os objetos são atraídos pela Terra. rimentos ao estudar a queda dos corpos. Para diminuir a influência da aceleração da gravidade durante a queda, ele analisou o movimento de descida de esferas em um plano inclinado. Dos seus estudos, Galileu concluiu que, mesmo com diferentes massas, os corpos chegavam quase exatamente no mesmo instante ao solo. A pouca diferença entre os tempos de queda foi atribuída por Galileu à resistência oferecida pelo ar, que atuaria diferentemente nos corpos testados. Com essa ressalva, afirmou que todos os corpos chegavam ao solo sempre ao mesmo tempo quando abandonados da mesma altura, não importando a massa de cada um. Alguns anos mais tarde, o inglês Robert Boyle (1627-1691) conseguiu vedar um tubo de vidro com ar rarefeito, em cujo interior introduziu uma moeda e uma pena. Mostrou experimentalmente que, livres da resistência do ar, os corpos caíam com a Reprodução do experimento de Boyle. mesma aceleração.

Sérgio Dotta Jr/The Next

1. Movimentos em uma dimensão sob ação da gravidade

Em qual das situações a velocidade e a aceleração da bola são constantes? Em qual delas a aceleração é maior? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Queda livre e lançamento vertical

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Sérgio Dotta Jr/The Next

Rigo Rosário Jr.

2. Queda livre Δs1 Δs2  3Δs1

Δs3  5Δs1

Δs4  7Δs1

Δs5  9Δs1

Análise da distância percorrida por uma carambola ao realizar o movimento de queda livre.

Os estudos e experimentos citados anteriormente levaram à conclusão de que dois corpos abandonados simultaneamente da mesma altura, no vácuo ou livres dos efeitos da resistência do ar, chegam ao solo no mesmo instante. Esse movimento, conhecido como queda livre, isto é, livre da resistência do ar, ocorre em uma trajetória retilínea e vertical. A variação da velocidade de um corpo em queda livre, próximo da superfície da Terra, é diretamente proporcional ao intervalo de tempo, ou seja, quanto maior o tempo de queda, maior a velocidade do objeto. Nesse caso a aceleração é constante. Para um corpo em queda livre, a aceleração considerada constante é a aceleração da gravidade, representada pela letra g. Seu valor sofre ligeiras variações, dependendo da altitude e da latitude em que é feita essa medição. Considerando um corpo ao nível do mar e em uma latitude de 45°, seu valor aproximado será g  9,80665 m/s2. Ao registrar o movimento de uma carambola em queda livre, com fotografias feitas em intervalos de tempo iguais, é possível perceber que o espaço percorrido em cada intervalo de tempo se torna maior, ou seja, sua velocidade será crescente, com aumento no valor de aproximadamente 9,8 m/s em cada segundo. Pode-se verificar também que, em intervalos de tempo iguais, há relação entre os espaços percorridos pelos corpos em queda livre e a sequência de números ímpares: 1, 3, 5... Como o movimento de um corpo em queda livre apresenta aceleração constante, ele é uniformemente variado. Por isso, aplicaremos as equações usadas no MUV. Nesse caso, o módulo da aceleração escalar é constante e igual à aceleração da gravidade (g). Quando estudamos a queda livre vertical, o sentido da trajetória define o sinal da aceleração escalar.

• Aceleração: a aceleração da gravidade é negativa, pois sua orientação é contrária à orientação adotada para a trajetória:

• Aceleração: a aceleração da gravidade é positiva, pois sua orientação coincide com a orientação adotada para a trajetória:

a  g

sentido da trajetória g

• Função da velocidade: v  vi  at

a s  si  vit  2 t2

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Unidade 2

g

• Função da velocidade:

sentido da trajetória

v  vi  gt

• Função da posição:

s  si  vit 

a  g

v  vi  at

v  vi  gt

Grace Arruda

Sentido da trajetória de cima para baixo

Grace Arruda

Sentido da trajetória de baixo para cima

g 2 t 2

• Equação de Torricelli: v2  v2i 1 2aDs v2  vi2 2 2gDs

• Função da posição: a s  si  vit  t2 2 s  si  vit 

g 2 t 2

• Equação de Torricelli: v2  v2i 1 2aDs v2  vi2  2gDs

Cinemática escalar

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1 Uma atleta salta da plataforma de uma piscina, descrevendo um movimento em queda livre. Sabendo que a distância da plataforma até a água é 5 m, e desprezando a resistência do ar, determine: (Adote g  10 m/s2.) a) a velocidade escalar da atleta ao atingir a água; b) o tempo gasto por ela até atingir a água; c) a distância a que a atleta estava da água, após

1 segundo de queda. 2

Joe McBride/Corbis/Glow Images

Exercícios resolvidos

Resolução

Editoria de arte

a) Adotando o sentido da trajetória de cima para baixo, temos: si  0; s  5 m; a  g; vi  0 si  0

vi  0

nível da plataforma

Usando a equação de Torricelli, temos: v2  v2i  2gDs

a  g  10 m/s2

v2  02  2  10  5 v   100  ±10

nível da água

s5m s

Como v  0, resulta: v  10 m/s

A atleta se deslocou no mesmo sentido adotado para a trajetória; desse modo, a velocidade escalar ao atingir a água foi 10 m/s ou 36 km/h. b) Utilizando a equação da velocidade, temos: v  vi  gt 10  0  10t Æ t  1 s A atleta atingiu a água 1 s após ter saltado. c) Utilizando a equação da posição, temos: s  si  vit  Após

1 10 1 g 2 t Æ s00   2 2 2 2

2

Æ s  1,25 m

1 s de queda, a atleta percorreu 1,25 m. Portanto, estava a uma distância 2

de 5 m  1,25 m  3,75 m da água.

um corpo (v) em queda livre, em função do tempo (t), em unidades do SI. Analisando o gráfico, classifique as afirmações quanto a sua veracidade. I. A velocidade do corpo enquanto ele está em queda tende a se anular.

Atleta durante salto de plataforma. v v lim

Editoria de arte

2 O gráfico representado ao lado mostra a velocidade de

II. A velocidade do corpo durante a queda no ar tende a ser assíntota para um determinado valor denominado velocidade limite.

t

III. Um corpo em queda no ar possui velocidade limite no instante em que a resistência do ar se torna igual ao peso do corpo.

Resolução I. Falsa, um corpo, enquanto permanecer em queda no ar, atingirá a velocidade limite diferente de zero. II. Verdadeira, um corpo em queda no ar tende a velocidade limite e assíntota. III. Verdadeira, um corpo em queda no ar atingirá a velocidade limite no instante em que a resistência do ar for igual ao peso do corpo. Capítulo 5

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Queda livre e lançamento vertical

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 1. O que significa dizer que um corpo está em queda livre? Significa que o movimento do corpo ocorre em trajetória retilínea, vertical e livre dos efeitos da resistência do ar.

2. Explique por que, ao abandonarmos uma folha de papel e uma moeda ao mesmo tempo e da mesma altura, a moeda chega ao solo em um intervalo de tempo os efeitos da resistência do ar são mais influentes na folha de menor. Como papel do que na moeda, esta chega primeiro ao solo. No vácuo isso não ocorre.

7. Um grupo de alunos encontrou-se na quadra de esportes da escola, que fica no último andar do prédio. Um deles resolve realizar um experimento e, garantindo que ninguém passaria pelo entorno do prédio, solta uma borracha e marca o tempo que ela levou para atingir o solo. Resolve então desafiar os colegas a determinarem a velocidade com que a borracha chegou ao solo e a altura do prédio da escola. Determine essa velocidade e essa altura, sabendo que o tempo de queda da borracha foi de 3 segundos e que a aceleração da gravidade no local é de aproximadamente 10 m/s2. v = 30 m/s e H = 45 m

4. Em 1971, o astronauta ame­ri­cano David Scott realizou, na superfície da Lua, o experimento de queda livre de corpos no vácuo, anteriormente proposto por Galileu. Deixou cair ali uma pena e um martelo, simultaneamente, a partir da mesma posição. A pena e o martelo atingiram o solo simultaneamente.

a) O que ele observou ao final da queda? b) Supondo que ambos os objetos tenham sido soltos de uma altura de 1,6 m em relação à superfície, depois de quanto tempo o martelo alcançaria o solo? (Dado: aceleração da gravidade na Lua 1,6 m/s2.) 1,4 s

5. Uma esfera de aço cai, a partir do repouso, em queda livre, de uma altura de 80 m acima do solo. Despreze a resistência do ar e adote g  10 m/s2. Calcule o módulo da velocidade de chegada da esfera ao solo. 40 m/s

8. (PUCCamp-SP) Um móvel é abandonado em queda livre percorrendo, a partir do repouso, uma distância durante o primeiro segundo de movimento. Durante o terceiro segundo de movimento, esse móvel percorre uma distância: a) ( 3 )d  b) 3d  c) 5d  d) 7d  e) 9d X 9. Um objeto é solto do 9o andar de um prédio e após 1 s de queda livre passa pela janela do 8o andar. Quanto tempo, após ser solto, o objeto passará pela janela do 5o andar? 2 s Ilustrações: Studio Caparroz

3. Um corpo em queda livre apresenta que tipo de movimento? Justifique. MUV, pois apresenta aceleração constante.

6. Um barco navega com velocidade de 10 m/s, em linha reta, na direção de uma ponte. Sobre a ponte, a 20 m de altura da água, encontram-se alguns amigos que desejam entregar um pequeno pacote, com lembranças, para o navegador. No momento em que o pacote é solto e inicia sua queda livre, qual deve ser a distância do barco até esse ponto sob a ponte para que o pacote caia na proa? Considere a aceleração da gravidade no local, aproximadamente, 10 m/s2. 20 m

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Unidade 2

Cinemática escalar

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3. Lançamento vertical Sérgio Dotta Jr/The Next

O lançamento vertical pode ser facilmente experimentado por você. Por exemplo, pegue um objeto leve e sem pontas e arremesse-o em uma trajetória retilínea e ver­tical, de baixo para cima, de tal forma que ele volte às suas mãos. Observe de­ta­lha­da­men­te o movimento do corpo, na subida e na descida. Se achar necessário, faça o lançamento várias vezes. Mesmo sem a utilização de nenhum instrumento, repare o que ocorre com a velocidade do corpo durante a subida, no ponto mais alto atingido por ele e durante a descida. Um corpo lançado verticalmente para cima nas proximidades da superfície terrestre, supondo a resistência do ar desprezível, descreve um movimento uniformemente variado. Ao longo desse percurso a velocidade escalar apresenta diferentes comportamentos: • Durante a subida, a velocidade diminui 9,8 m/s a cada 1 s. • A velocidade é nula no ponto mais alto da trajetória (inversão de sentido). • Durante a descida, a velocidade aumenta 9,8 m/s a cada 1 s. Já a aceleração escalar é constante e diferente de zero (a  g), dependendo do sentido que se adote para a trajetória. No ponto mais alto da trajetória, o corpo tem velocidade nula, mas a aceleração nunca se anula nesse movimento.

Lançamento de uma moeda.

Exercício resolvido 3 Um jovem tenista consegue, com o auxílio da raquete, jogar a bolinha verticalmente de baixo para cima. Considerando que a velocidade inicial da bolinha é 20 m/s e g  10 m/s2, pede-se: a) a altura máxima atingida pela bolinha, em relação à origem do lançamento; b) o tempo decorrido até a bolinha atingir a altura máxima; c) o tempo decorrido durante a descida da bolinha, do ponto de altura máxima até a origem de lançamento; d) a velocidade com que a bolinha chega à origem do lançamento, na descida; e) o gráfico que mostra a posição da bolinha em função do tempo; f) o gráfico da velocidade escalar em função do tempo.

Resolução Adotemos o sentido da trajetória de baixo para cima, na direção vertical. A aceleração escalar é a  g  10 m/s2. Nesse caso, a aceleração escalar assume valor negativo, porque o sentido da v0 trajetória que está sendo adotado é de baixo para cima. a) Na posição mais alta atingida pela bolinha, temos v  0. Utilizando a equação de Torri­celli, obtemos a altura máxima (smáx) atingida por ela.

sentido da trajetória smáx  20 m

vi  20 m/s

si  0

0  202  2  10  Ds Æ Ds  Sendo Ds  smáx  si: 20  smáx  0

400  20 20

origem

Studio Caparroz

v2  v2i  2aDs

smáx  20 m

Capítulo 5

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Queda livre e lançamento vertical

67

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sentido da trajetória vi  0

b) Usando a equação da velocidade, temos:

si  smáx  20 m

v  vi  at

c) Se considerarmos apenas o trajeto de descida da bolinha, teremos: a 2  t 2 10 2 0  20  0 td   t 2 d

s  si  vit 

Ilustrações: Studio Caparroz

0  20  10t Æ t  2 s s0

origem

t2d  4 Æ td  ±2 td  2 (não convém) td  2 s sentido da trajetória

Ou seja, o tempo de descida é igual ao de subida.

d) Se o tempo total é 4 s e vi  20 m/s, temos: v  vi  at  20  10  4 Æ v  20 m/s

vi  20 m/s v?

Note que a velocidade escalar assume valor negativo porque, ao atingir novamente o ponto de lançamento, a bolinha está se deslocando no sentido contrário àquele adotado para a trajetória, ou seja: vdescida  vsubida  20 m/s

f) No caso do lançamento vertical, a equação da velocidade escalar cor­respon­de à de uma função po­li­no­mial do 1o grau. Graficamente é representada por um segmento de reta.

s (m)

v (m/s)

smáx 20

20

0

0

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Unidade 2

2

4

t (s)

2

4

t (s)

Ilustrações: Editoria de arte

e) O movimento da bolinha é uniformemente variado e a equação da sua posição corresponde à de uma função polinomial do 2o grau. Graficamente é representada por uma parábola, nesse caso com a concavidade voltada para baixo.

origem

20

Cinemática escalar

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

a) ele apresenta um movimento acelerado. b) ele apresenta um movimento acelerado durante a subida e retardado durante a descida. X c) ele apresenta aceleração no ponto mais alto de sua

trajetória. d) no ponto mais alto de sua trajetória, a velocidade e a aceleração do corpo são nulas. e) ao atingir a mesma posição de lançamento, ele apresenta a mesma velocidade. 11. Se você arremessar uma moeda perpendicularmente à superfície de uma mesa, de baixo para cima, e registrar que ela demorou 6 s para retornar ao ponto do arremesso, que valor terá a velocidade inicial dessa moeda? Adote g  10 m/s2 e desconsidere as resistências impostas pelo ar. 30 m/s 12. (UFRJ) Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima e 4,0 s após re­tor­na ao ponto de lançamento. Considere a resistência do ar desprezível e g  10 m/s2. Calcule a altura máxima atingida pela pedra. 20 m 13. Uma pedra é atirada para cima, em uma trajetória vertical, partindo do solo, com velocidade inicial de 20 m/s. Considere a aceleração da gravidade no local 10 m/s2 e despreze a resistência do ar. Se a origem dos espaços é no solo, determine:

15. (UFBA) Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade vi. Ao atingir sua altitude máxima igual a 100 m, um segundo corpo é lançado do mesmo local e com velocidade inicial igual à do primeiro. Determine a altura em que os corpos se encontram. Considere g  10 m/s2 e despreze a resistência do ar. 75 m 16. Do topo de um edifício, a 20 m do solo, atira-se um objeto verticalmente para cima com velocidade inicial de 10 m/s. Considere a resistência do ar nula e a aceleração da gravidade no local 10 m/s2 e determine: a) o tempo de subida do corpo; 1 s

5,24 s

b) o tempo de chegada ao solo desde o lançamento; c) a altura máxima atingida pelo objeto. 25 m 17. (OBF) Dois estudantes decidiram medir a velocidade das águas de um rio usando apenas uma trena e conhecendo o valor da aceleração gravitacional. Após algumas tentativas perceberam que, abandonando simultaneamente uma pedra do alto da ponte e um barquinho de papel nas águas do rio, a pedra atingia o barquinho quando ele era colocado na água a 3 m do ponto de impacto e a pedra caía em queda livre por 5 m. De posse desses resultados, eles chegaram à conclusão correta de que a velocidade média da correnteza do rio tinha um valor, em m/s, próximo de: Studio Caparroz

10. Ao lançar um corpo verticalmente para cima, com velocidade inicial de 10 m/s, pode-se observar e afirmar que:

a) as funções do espaço e da velocidade desse movimento; s 5 20t 25t2 ; v  20 210t b) o tempo de subida da pedra; 2 s c) a altura máxima atingida por ela; 20 m d) o espaço e o sentido do movimento no instante 3 s;

5m

15 m, sentido para baixo.

e) o instante e a velocidade escalar quando o projétil atinge o solo; 4 s; 220 m/s f) o gráfico que mostra as posições da pedra em função do tempo. Resposta no final do livro. 14. Um jogador chuta uma bola verticalmente para cima com velocidade inicial de 12 m/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e a resistência do ar nula, determine:

3m

a) o instante em que a bola passa pelo ponto a 7,2 m acima do ponto de lançamento; 1,2 s. b) a velocidade no mesmo instante; v = 0

a) 5

d) 2

c) a velocidade no instante t = 1 s; v 5 2 m/s

b) 4

e) 1

d) o gráfico da velocidade escalar em função do tempo até o instante 2 s. Resposta no final do livro.

X

c) 3 Dado: g = 10 m/s2. Capítulo 5

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Física no cinema

Meteoro: o futuro está em jogo

Este filme é resultado de uma minissérie feita nos EUA, em 2009, e disponibilizada em DVD, em 2011. A história começa em um isolado observatório, onde o Dr. Lehman descobre, por meio de cálculos e observações, um meteoro, batizado de Kassandra, em rota de colisão com a Terra. O filme conta com várias histórias paralelas, explosões, tiros, acidentes e chuvas de meteoritos que começam a atingir e destruir grandes cidades. Assista ao filme com seu grupo e respondam às questões a seguir.

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Unidade 2

Cinemática escalar

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Mariana Coan

Atividades

Escreva no caderno

Professor, as respostas e os comentários das questões encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Filme de Ernie Barbarash. Meteoro. EUA. 2009

1. Como o cientista descobre o meteoro? 2. No começo do filme o cientista comenta sobre o tamanho do meteoro. De posse desse valor, calcule seu volume e sua massa, utilizando como referência a densidade de aproximadamente 3 g/cm3. Você consideraria o meteoro como um ponto material ou como um corpo extenso? 3. Copie em seu caderno a trajetória do meteoro cruzando a da Terra. Lembre-se da definição de trajetória e dê um exemplo de encontro de dois corpos já estudados por você. 4. O que é a chuva de meteoros do filme? Por que ela acontece? Pesquise para ver se os astrônomos têm o mesmo conceito. 5. No filme, qual a importância da posição do meteoro para os militares? 6. Quais são as atitudes tomadas pelo exército para deter o meteoro? 7. Pesquise a diferença entre meteoroide, meteoro e meteorito.

Título: Meteoro: o futuro está em jogo Título original: Meteor Gênero: Ficção Tempo de duração: 109 minutos Ano de lançamento (EUA): 2009 Direção: Ernie Barbarash

8. Você com certeza já ouviu a respeito de grandes extinções no planeta Terra. Escreva sobre alguma que tenha sido provocada pela queda de um meteorito, contando sobre a época em que isso ocorreu e quais foram os principais eventos gerados por essa queda. Pesquise sobre os efeitos de uma grande colisão. 9. Busque informações sobre as recentes pesquisas feitas pela Nasa sobre asteroides. Investigue se há asteroides que vão passar próximo da Terra e traga pelo menos um exemplo de quando esse fenômeno já ocorreu e o que ele ocasionou. Capítulo 5

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Experimente a Física no dia a dia Tempo de reação Os esportes olímpicos sempre nos trazem exemplos de superação. Contudo, para que esses momentos ocorram são necessários muitos estudos de várias áreas do conhecimento humano, especialmente de Física. Você é capaz de imaginar quantas vezes um atleta olímpico treinou e repetiu determinado salto e quantas vezes a equipe de treinadores usou um cronômetro e uma trena para registrar dados, calcular o tempo, a distância e a velocidade do atleta? Ao assistirmos a uma olimpíada dificilmente nos preocupamos com esses detalhes, mas eles estão presentes e antecedem cada recorde obtido. Stefan Schurr/Shutterstock.com

Para iniciar qualquer ação, o ser humano necessita de determinado tempo. Esse tempo é fundamental em várias atividades. Imagine, por exemplo, a importância do tempo de reação de um motorista ao observar um obstáculo e acionar o freio ou de um velocista ao ouvir o disparo da largada da prova. A seguir vamos realizar uma atividade que envolve algumas curiosidades sobre o reflexo humano e que nos possibilitará fazer uso dos conhecimentos que já desenvolvemos sobre Cinemática. Você pode avaliar o tempo de reação de um colega. Quando estamos medindo o tempo de queda de um corpo, lembre que entre o instante real em que um corpo é abandonado e o instante em que o observador aperta o botão de um cronômetro decorre um intervalo de tempo. Esse intervalo de tempo é denominado tempo de reação.

Velocistas no momento da largada em uma corrida.

Material • régua

• Mantenha uma régua suspensa verticalmente, segurando-a pela extremidade superior. • Peça a um colega que coloque os dedos da mão, em forma de pinça, próximos do zero da régua, sem tocá-la. • Ele deve ficar atento e pronto para segurar a régua assim que perceber que você a abandonou. • Sem aviso prévio, solte a régua. • Seu colega deve procurar segurá-la o mais rápido possível. Observando a posição onde ele conseguiu segurar a régua, vocês podem determinar o tempo de reação.

Responda

Alex Argozino

Passo a passo

Representação do experimento.

Escreva no caderno

1. Como o experimento pode ser feito?

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

2. Qual o valor do tempo de reação de vocês? Compare-o com o tempo dos outros colegas.

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Unidade 2

Cinemática escalar


Exercícios complementares

Escreva no caderno

1. Uma criança, andando de bicicleta, passa por cima de uma faixa pintada no chão, com a tinta ainda fresca, e fica com uma mancha no pneu. A trajetória descrita por essa mancha vista por um observador na calçada é uma curva chamada cicloide.

elevam valores de multas. Uma dessas alterações visa inibir infrações referentes às ultrapassagens irregulares. Nesse sentido, um aspecto importante a ser observado pelo motorista é o comprimento do veículo que está a sua frente e precisa ser ultrapassado.

a) Qual a forma da trajetória dessa mancha, vista pela criança, ao desviar a cabeça lateralmente e observar a roda? Circunferência. b) Qual é a forma da trajetória de um ponto no eixo da roda, vista por um observador na calçada? E pelo ciclista? Pelo observador na calçada é uma reta e para o ciclista um ponto que

Avalie, nesta questão, o tempo de ultrapassagem dos veículos A e B que se deslocam em um trecho de estrada retilínea, com movimento uniforme e com velocidades escalares vA 5 14 m/s e vB 5 10 m/s, respectivamente. Considere que o veículo A tem 12 m de comprimento e o veículo B tem 16 m e determine o tempo de ultrapassagem:

Julia Chequer/Folhapress

a) quando se deslocam no mesmo sentido; t 5 7 s b) quando se deslocam em sentidos opostos. t  1,2 s 4. Nascido na Etiópia, Gebrselassie conquistou em 2008 a marca de 2h3min59s na Maratona de Berlim, tornando-se o primeiro atleta a correr os 42 km em menos de 2h4min. Duas garotas, Amanda (A) e Beatriz (B), em uma aula de Educação Física obtiveram o gráfico abaixo para a caminhada que realizaram na pista de corrida da escola. x (m) A

B

4 Editoria de arte

não descreve uma trajetória.

2. A cobertura do Serviço de Atendimento Móvel de Urgência (Samu) está presente em todos os estados brasileiros. Esse projeto do governo federal, em parceria com os governos estaduais e municipais, realiza atendimento de urgência e emergência com auxílio de seus veículos de salvamento (ambulâncias, motolâncias, ambulanchas e helicópteros) e principalmente com equipes de profissionais preparados para esse tipo de ação. Esse atendimento é feito com eficiência, embora o congestionamento de trânsito, em alguns casos, seja um fator que impede o melhor desempenho.

2

Em caso de acidente em que a vítima não esteja presa nas ferragens, ligue para o número 192.

Nós, agindo como cidadãos solidários, devemos facilitar a passagem desses veículos, pois a vida de pessoas pode depender da presença dessas equipes. Ao sair do hospital, o motorista de uma ambulância foi avisado de que precisaria percorrer 40 km para chegar ao local do atendimento. Inicialmente, pretendia fazer esse percurso com velocidade média de 80 km/h. Porém, durante os primeiros 15 minutos, só conseguiu manter a velocidade média de 40 km/h. Nesse caso, se ele quiser chegar ao local no mesmo intervalo de tempo, que velocidade média deverá manter no restante do percurso? 120 km/h 3. Por meio da Lei no 12.971, publicada em 9 de maio de 2014, onze artigos do Código de Trânsito Brasileiro foram alterados, tornando a legislação mais rígida. Começou a vigorar em 1o de novembro de 2014 e os condutores de veículos passaram a ter penalidades mais severas para algumas infrações de trânsito. Essas mudanças aumentam o risco de prisão e

0

4

t (s)

Compare, aproximadamente, as velocidades médias de Amanda e de Beatriz com a velocidade média de Gebrselassie na maratona. vA  5,65 vg vB  11,3 vg

5. (UFMT) Dois projéteis iguais são atirados da mesma posição (40 m acima do solo), verticalmente, em sentidos opostos e com a mesma velocidade. Em 2 s o primeiro projétil atinge o solo. Depois de quanto tempo da chegada do primeiro o segundo atingirá o solo? (Despreze qualquer atrito e considere g = 10 m/s2.) a) 1 s  b) 2 s   c) 3 s   d) 4 s   e) 5 s X 6. O piloto de um avião precisa partir do repouso e atingir a velocidade de 360 km/h, com aceleração escalar média de 4 m/s2, antes de decolar. Nessas condições, determine: a) quantos segundos serão necessários para atingir seu objetivo; ∆t 5 25 s b) o tipo de movimento (acelerado ou retardado) descrito pelo avião nesse intervalo de tempo. Justifique a resposta. Movimento acelerado (v  vi ). Capítulo 5

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2

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Analisar o movimento de queda de um objeto é um desafio à nossa imaginação porque a variação de sua velocidade é muito rápida para ser percebida pelos nossos sentidos. Perceber que existe um aumento constante na velocidade da bola de basquete logo após passar pelo aro da cesta requer instrumentos de medida e perspicácia. O primeiro cientista a estudar movimentos como esse de maneira quantitativa foi Galileu Galilei. Ele obteve uma lei do movimento afirmando que, se um objeto se move partindo do repouso em movimento uniformemente acelerado, a razão entre duas distâncias percorridas em qualquer intervalo de tempo é proporcional ao quadrado dos mesmos tempos. Galileu conseguiu obter medidas desse movimento utilizando um plano inclinado e possivelmente uma clepsidra, relógio de água, para o registro do tempo. O plano inclinado era dotado de sinos ao longo de seu percurso, e Galileu recolhia e comparava os volumes de água a cada “batida” de cada sino. Por meio de vários testes experimentais, v Galileu também verificou que, em intervalos de tempo iguais, existe uma relação entre as distânv cias percorridas pelos corpos em queda livre (ver v página 64) que independe da massa do corpo. Atualmente, sabemos que as variações de velocidade sofridas pela bola de basquete ocorv rem por causa da atração gravitacional da Terra, v que depende apenas de sua massa e de seu raio. g g Nesses movimentos, a velocidade sempre varia em valores iguais, cerca de 10 m/s a cada segundo. Para a bola de basquete em v queda – movimento acelerado –, o módulo da velocidade sempre aumenta.

Luís Moura

De volta ao começo

v

v

Photoaisa/Keystone

Representação esquemática das posições e das velocidades de dois corpos em movimento sob influência da gravidade, um em queda livre e outro lançado verticalmente para cima.

Plano inclinado utilizado por Galileu em seus experimentos sobre o movimento por volta de 1630-1640.

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Unidade 2

Cinemática escalar

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NASA Images

3

Unidade

Cinemática vetorial

Os satélites artificais são colocados em órbita terrestre com diferentes objetivos, alguns deles parecem estar imóveis em relação a um ponto da superfície terrestre. Esses satélites são chamados de geoestacionários. • Você sabe o que significa geoestacionário? Caso não conheça, pesquise o termo e responda quais condições são necessárias para que um satélite artificial seja considerado geoestacionário. • Faça uma pesquisa sobre os tipos de aplicações dos satélites geoestacionários, destacando suas vantagens e desvantagens. Apresente sua pesquisa para a turma.

Representação artística do satélite ICESat da Nasa, que está em órbita terrestre desde 2003.

Capítulo 6

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Grandezas escalares e vetoriais

75

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CAPÍTULO 6

Grandezas escalares e vetoriais 1. Grandezas vetoriais Mapa rodoviário do Sul do Brasil Allmaps

50º O

SANTA CATARINA

BR 101

Florianópolis

Palhoça Parque Estadual da Serra de Tabuleiro

OCEANO ATLÂNTICO

Parque Nacional de São Joaquim →

d

Criciúma

RIO GRANDE DO SUL

Laguna Tubarão

28º S

Araranguá Sombrio

Torres 0

40

Fonte: ATLAS geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.

A distância em linha reta entre as cidades de Torres (RS) e Florianópolis (SC) pode ser indicada no mapa por um vetor deslocamento dado pelo segmento orientado na cor azul.

Professor, os comentários das questões da abertura de Unidade encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Nos estudos sobre Cinemática escalar, até o momento, trabalhamos com grandezas, como o comprimento e o tempo, definidas apenas por um valor numérico seguido de uma unidade de medida. Essas grandezas e outras, como temperatura, volume, massa e densidade, são chamadas grandezas escalares. Há grandezas, porém, como o deslocamento, que precisam de informações complementares. Veja esta situação: um helicóptero se desloca em linha reta de Torres (RS) até Florianópolis (SC), cidades distantes 226 km. Observe que, além do valor numérico (226) e da unidade de medida (km), o deslocamento se caracteriza por uma direção (definida pela reta que contém as cidades) e por um sentido (de Torres para Florianópolis). Grandezas que se definem dessa forma são chamadas grandezas vetoriais. Além do deslocamento, são exemplos de grandezas vetoriais a velocidade, a aceleração e a força. As informações que definem uma grandeza vetorial determinam uma entidade matemática denominada vetor. Vamos considerar um segmento de reta orientado AB para definir vetor, com origem em A e extremidade em B, ambos sobre a reta r. Com isso é possível identificar três características: • módulo: comprimento do segmento orientado AB que representa o valor numérico da grandeza estudada. • direção: a mesma da reta r à qual ele pertence. • sentido: de A para B. B

Pare e pense

d D

A

Cesar Diniz/Pulsar

Carros trafegando em uma rodovia.

Observe os dois carros da fotografia acima. Se ambos estiverem trafegando a 50 km/h, podemos dizer que eles possuem a mesma velocidade? Por quê?

C

F

d

d A

Editoria de arte

B

r

E

Observando os segmentos orientados AB, CD e EF, notamos que eles têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Graficamente, cada um desses segmentos orientados representa o mesmo vetor, identificado por d, e o seu módulo será identificado por | d | ou apenas a letra d. Em síntese, vetor é uma entidade matemática abstrata, caracterizada por um número (não negativo), uma direção e um sentido.

Nos exercícios resolvidos a seguir você estudará alguns procedimentos que envolvem operações com vetores.

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

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Unidade 3

Cinemática vetorial

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Exercícios resolvidos 1 De segunda-feira a quinta-feira, Joana caminha em um parque, percorrendo cada dia duas trilhas diferentes e retilíneas, representadas pelos vetores r 1 e r 2. Qual será o módulo do vetor resultante R, obtido a cada dia do percurso realizado pela Joana, sabendo-se que ela percorre na: c) quarta-feira

a) segunda-feira r1  4 km

r1  7 km

rr22 

r2  3 km   60°

r11

rr22

r2  3 km

rr11

d) quinta-feira

b) terça-feira r1  8 km

rr22

r2  6 km   90°

rr11

r1  9 km

r2  2 km

r← r22

r1

Resolução Para obter o vetor resultante, conhecido também como vetor soma, podemos aplicar alguns dos métodos de soma vetorial, que significa determinar um vetor que expressa o efeito dos vetores componentes. Nesse caso, utilizamos um método chamado regra do paralelogramo, aplicado apenas à soma de dois vetores. Se considerarmos dois vetores r1 e r2 , cujas direções determinam o ângulo , e representarmos estes vetores com origem no ponto O, podemos traçar retas paralelas r e s a cada um desses vetores, como mostram as figuras a seguir. r

r s r2

s

r2

r2

O

r1

O

R 180° – 

 B

r1

A

O

r1

 B

O vetor resultante R é a diagonal do paralelogramo formado, com origem no ponto O e extremidade no ponto A, encontro das retas r e s. Esse método de soma permite calcular o módulo do vetor R pela aplicação da lei dos cossenos no triângulo OAB. R2  r21  r22 − 2r1r2 cos (180° − ) Como cos (180° − ) = −cos , temos:

R2  r21  r22  2r1r2 cos 

a) Pela regra do paralelogramo: ←

R2  r21  r22  2r1r2 cos 

RR

rr22 

rr11

b) Como r 1 e r 2 são perpendiculares entre si (  90°):

R

rr22

R r r 2

2 1 2

2 2 2

R2  8  6 Æ R  100 R  10 km

r← r11 ←

r11

c) Como r 1 e r 2 têm a mesma direção e o mesmo sentido (  0°): R  r1  r2

rr22

R

R  7  3 Æ R  10 km

r11

d) Como r 1 e r 2 têm a mesma direção e sentidos opostos (  180°): R  r1  r2

R R

R  9  2 Æ R  7 km Capítulo 6

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Ilustrações: Editoria de arte

1 R2  42  32  2  4  3  Æ R  37 2 R  6,08 km

rr22

Grandezas escalares e vetoriais

77

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2 Um bairro residencial foi projetado de tal forma que o traçado das ruas paralelas divide os quar­teirões em medidas iguais, conforme o esquema abaixo.

1 km

Leda mora em C e fez duas caminhadas esta semana. Na primeira, ela andou 6 quarteirões para leste, 4 quarteirões para norte e 6 quarteirões para oeste. Na segunda, ela andou 4 quarteirões para oeste, 4 para norte e 1 para leste. Represente cada trecho do percurso por um vetor e calcule o módulo do vetor resultante em cada um dos percursos.

1 km

N

C

O

L S

Resolução Neste exercício, utilizaremos a regra da poligonal para obter o vetor resultante R , referente à soma de vários vetores. Segundo esse método, representamos o primeiro vetor a partir da origem arbitrária O, a origem do segundo coincidindo com a extremidade final do primeiro, a origem do terceiro coincidindo com a extremidade final do segundo, e assim sucessivamente. A ordem de encadeamento dos vetores não altera as características do vetor resultante R, cuja origem deverá coincidir com a origem do primeiro vetor e a extremidade coincidir com a extremidade do último vetor. Esse processo de adição é chamado de regra da poligonal, pois os vetores somados se encadeiam determinando uma linha poligonal. Veja como essa regra se aplica a este exercício: O vetor resultante R tem a mesma origem do primeiro vetor e sua extremidade coincide com a do último vetor. No primeiro trecho:

No segundo trecho:

R  4 km

R2  32  42 Æ R  25 F

R  5 km

t3

t3

t2

R

C

R

t2

t1

t1

C

3 Sabendo que os vetores r 1 e r 2 formam entre si um ângulo de 60°, conforme a figura, represente e determine: 1 ; r  4; r2  2. 2 1 a) a intensidade do vetor diferença d 1  r 1  r 2; Dados: cos 60° 

r1

O 60°

b) a intensidade do vetor diferença d 2  r 2  r 1.

r2

a) r 2 é o vetor oposto a r 2. Aplicando a lei dos cossenos, temos: d12  r12  r22  2r1r2 cos 60° 1 d12  42  22  2  4  2  2

d1

r2 60°

O

Ilustrações: Editoria de arte

Resolução

r1

d1  12 unidades

O

b) r 1 é o vetor oposto a r 1. Aplicando a lei dos cossenos, temos:

d2

r2

d  r  r  2r1r2 cos 60° 2 2

2 1

2 2

d2  12 unidades

78

Unidade 3

60° r1

Cinemática vetorial

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

dulo (e sua unidade de medida), direção e sentido.

2. (FGV-SP) São grandezas escalares:

7. Represente, no caderno, o vetor resultante R nas figuras: Resposta no final do livro. a)    b) 

a) tempo, deslocamento e força.

v

z

z

b) força, velocidade e aceleração.

v

X c) tempo, temperatura e volume.

e) tempo, temperatura e deslocamento. 3. Defina soma vetorial e cite um exemplo.

Resposta no final do livro.

4. O módulo da soma vetorial de dois vetores pode ser igual a zero? Explique. Sim, quando os vetores são opostos.

8. Uma equipe de salvamento marítimo recebe em seu posto um sinal de um navegante em alto-mar fornecendo as seguintes coordenadas a partir do posto de salvamento: • 16 km na direção oeste-leste e sentido para o leste. • 12 km na direção sul-norte e sentido para o norte.

5. Observe os automóveis trafegando pelas ruas de um bairro representado no esquema a seguir:

4 km Tarumã

d) temperatura, velocidade e volume.

Alberto de Stefano

4 km

navegante

vA

N

vD

A

posto de salvamento

vC B

L S

a) Reproduza o esquema no caderno e localize a posição do navegante. C

vA 5 vC 5 10 km/h

O

vB 5 20 km/h

D

vD 5 15 km/h

a) Quais automóveis possuem a mesma direção de movimento? A e B, C e D b) Quais possuem o mesmo sentido de movimento? CeD

b) Calcule a menor distância para a equipe de salvamento chegar ao navegante. 20 km c) Discuta a respeito da soma de vetores nesse exercício. Ela representa a menor distância para a equipe de salvamento chegar ao local.

9. Na figura representada a seguir, são dados os vetores a, w e v. Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, determine o módulo do vetor g  a  w  v. 2u

c) Quais possuem o mesmo módulo de velocidade? AeC

d) Pode-se afirmar que a velocidade dos automóveis A e C são iguais? Justifique sua resposta. Não, porque suas direções são diferentes.

Editoria de arte

6. (UEL-PR) Na figura a seguir estão desenhados dois vetores X e Y. Esses vetores representam deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é o módulo do vetor igual a X + Y ?

Y X

w

a

u

10. Sabemos que os vetores r1 e r2 formam entre si um ângulo   60°, conforme a figura. Determine o módulo do vetor soma R, conhecendo: 7 m

1 cm

|r2|  5 m cos 60° 

1 2

Editoria de arte

|r1|  3 m 1 cm

r1 

a) 4 cm

X b) 5 cm

r2

c) 8 cm d) 13 cm e) 25 cm Capítulo 6

CS-FIS-EM-3030-V1-U03-C06-075-090-LA.indd 79

v

Editoria de arte

vB

Editoria de arte

1. Qual é a diferença entre grandezas escalares e granAs escalares são definidas por um valor numérico e pela dezas vetoriais? unidade de medida. As vetoriais são identificadas por mó-

Grandezas escalares e vetoriais

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Como funciona o GPS?

Rafael Hupsel/Folhapress

Você sabia?

Mario Pita

Os primeiros satélites NAVSTAR-GPS (ou simplesmente GPS do inglês Global Positioning System – Sistema de posicionamento global) que estruturaram o sistema de navegação entraram em funcionamento em 1978 e foram desenvolvidos pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos para uso militar. Em meados dos anos 1980, esse sistema foi aberto para uso civil, inclusive para outros países. Com essa medida, foi possível ampliar o uso GPS é um recurso utilizado por dessa tecnologia para outras áreas, como a navegação marítima, o monito- O motoristas, para obter a rota de um ramento de veículos, levantamentos geodésicos e topográficos, entre outros. deslocamento. Na imagem, o traçado Embora inicialmente o uso tecnológico tenha sofrido algumas limitações em destaque na cor verde é o que deve ser seguido pelo motorista. de precisão — a margem de erro abaixo de 100 metros somente era corrigida com precisão máxima para fins militares —, após o ano 2000 essas limitações foram desfeitas. É importante destacar que o GPS não é o único sistema de navegação. Além dele, há o sistema russo GLONASS, o chinês COMPASS e o europeu GALILEO, sendo que os dois últimos estão em fase de conclusão. Vale destacar que o sistema europeu GALILEO foi desenvolvido para uso civil, enquanto os outros foram desenvolvidos para usos militares. Para entender o funcionamento do GPS, precisamos considerar que ele é um sistema de posicionamento que depende de sinais enviados por uma rede de satélites, sob o controle do Departamento de Defesa dos EUA. Os satélites levam 12 horas para completar uma volta em torno da Terra e encontram-se a Representação do cruzamento dos cerca de 20 000 km de altitude. No início, a rede era formada por 24 satélites, sinais emitidos por satélites em um sistema GPS para determinar a porém a partir de 2008 passou a contar com 32. O projeto foi estruturado de tal forma que pelo menos quatro satélites te- localização de um navio. nham seus sinais captados a partir de qualquer ponto da Terra. Assim, os satélites transmitem um sinal de alta frequência (com “pacotes” de informação) que indicam a hora precisa na qual cada um foi transmitido. Enquanto isso, os receptores em Terra captam o sinal e determinam a posição, comparando a diferença de tempo entre a transmissão e a recepção do sinal. Dessa forma, calculam a distância de cada satélite. À medida que o objeto se desloca, a distância em relação aos satélites também muda e provoca pequena diferença no tempo do percurso, que serve para atualizar a localização. Para calcular a posição chamada 2D, em latitude e longitude o receptor utiliza os sinais de três satélites e para fornecer a posição chamada 3D, em latitude, longitude e altitude, ele necessita dos sinais de quatro satélites. O receptor determina a distância até cada um dos satélites. Cruzando os dados de pelo menos três satélites, é possível o receptor determinar sua localização na superfície terrestre. Caso ocorra o processamento contínuo da posição, o receptor poderá determinar o deslocamento e a velocidade. Escreva no caderno

Atividades

1. Faça uma pesquisa com o objetivo de entender, com mais detalhes, como o posicionamento de um corpo na superfície da Terra pode ser acompanhado pelo GPS. Resposta pessoal. 2. O texto relata que os primeiros satélites usados para estruturar os sistemas de navegação tinham objetivos militares. Analise e argumente sobre esse e outros instrumentos, frutos de pesquisas científicas, que foram desenvolvidos com finalidades bélicas. Reflita a respeito dos aspectos éticos e sobre interesses financeiros e políticos que motivaram e motivam determinadas pesquisas científicas. Resposta pessoal. Sugestão de consulta: No site do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) <http://tub.im/nzpfwt> você encontrará animações e vários textos que podem ajudá-lo a entender, por exemplo, como são desenvolvidos os métodos de levantamento de informações, o que é o sensoriamento remoto, de que forma se estruturam as imagens orbitais e as projeções cartográficas.

80

Unidade 3

Cinemática vetorial

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4/15/16 8:07 AM


2. Posição e deslocamento vetorial Considere uma partícula em movimento ao longo da trajetória pontilhada, passando pelo ponto A em determinado instante. O ponto O é a origem de um sistema referencial xOy. y

y

A

A

Nesse instante,pdenominamos vetor posição da partícula em relai ção ao ponto O o vetor p , de origem em O e extremidade no ponto A.

p

B

p x

O

x

O

Agora, considere que a partícula se desloca do ponto A ao ponto B sobre a trajetória pontilhada. Os vetores posição p i e p representam, ve­to­rial­men­te, as posições da partícula nos instantes ti e t, respectivamente, em relação ao ponto O. y

A

pi

O vetor ∆p, representado pela diferença entre o vetor posição final p e o vetor posição inicial p i, é chamado deslocamento vetorial entre os pontos A e B.

p B

∆p  p 2 pi

p x

O

Entre os pontos A e B, ∆p é o deslocamento vetorial e ∆s, o deslocamento escalar sofrido pela partícula. Observe que ∆p , ∆s, pois a trajetória é curvilínea. Se a partícula estivesse em trajetória retilínea, então ∆p 5 ∆s. De modo geral, ∆p < ∆s.

s p

pi

B p

Ilustrações: Editoria de arte

A

O

3. Velocidade vetorial Uma partícula se move ao longo da trajetória representada a seguir passando pelo ponto A no instante t1 e, posteriormente, pelo ponto B no instante t2. Considere o ponto O como a origem do sistema de referência. A velocidade vetorial média vm da partícula, nesse intervalo de tempo, corresponde à razão entre o vetor deslocamento ∆p, A t1 Dp t2 entre A e B, e o intervalo de tempo ∆t de t1 a t2. Pi

O

B

p

trajetória

vm5

Dp Dt

O vetor vm sempre terá direção e sentido iguais aos do vetor ∆p, uma vez que o intervalo de tempo ∆t é sempre positivo. A velocidade vetorial instantânea v corresponde ao limite da velocidade vetorial média para um intervalo de v tangente tempo que tende a zero, ou seja, um intervalo de tempo muito pequeno. Quando o intervalo de tempo tende a zero, o vetor ∆p tende à direção tangente da trajetória, e seu módulo tende ao módulo do deslocamento escalar. Em consequência disso, a velocidade vetorial instantânea:

movimento trajetória

• é tangente à trajetória, e seu sentido é igual ao do movimento; • tem módulo igual ao da velocidade escalar instantânea (| v | 5 | v |). Capítulo 6

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Grandezas escalares e vetoriais

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Exercício resolvido 4 Em um campo de futebol de um clube, um funcionário refez a pintura da marcação da circunferência central de

Eunice Toyota

raio 6 m. Ao passar pela posição si, o cronômetro marcou ti  10 s e, por s, t  190 s. Considere apenas o trecho da trajetória de si até s e use   3.

s

si

a) Represente o vetor deslocamento e determine sua intensidade, sua direção e seu sentido. b) Calcule a intensidade da velocidade escalar média. c) Explicite as características do vetor velocidade média.

Resolução a) Sendo ∆p o vetor deslocamento, temos: ∆p  6 2 Características de ∆p:

s Ds R

módulo: ∆p  6 2 m direção: a mesma da reta r

Dp

R

sentido: da posição si para s

si

R

r

R

Ilustrações: Editoria de arte

∆p2  R2  R2  62  62  72

b) A variação das posições ∆s é numericamente igual a um quarto do comprimento da circunferência de raio 6 m. 1 1 ∆s   2pR   2  3  6 Æ ∆s  9 m 4 4 ∆s 9 9   ∆t 190  10 180

vm  vm 

1   m/s 20

s s R si R

c) O vetor velocidade média vm é caracterizado por: módulo: |vm| 

|vm| 

|Δp | Δt

6 2 180

2 m/s 30

s vm Dp si

direção: a mesma do vetor deslocamento ∆p sentido: da posição si para s Os vetores ∆p e vm têm sempre a mesma direção e o mesmo sentido.

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Unidade 3

Cinemática vetorial

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

Sim. O deslocamento escalar fica caracterizado por número e unidade.

a) o deslocamento escalar? Justifique.

Não. Para caracterizar o deslocamento vetorial, além da intensidade (30 m), precisamos conhecer sua direção e seu sentido.

b) o deslocamento vetorial? Justifique.

12. Em um treino de futebol, três jogadores fazem a bola rolar no gramado. Com apenas um chute, cada jogador faz a bola percorrer uma das três distâncias distintas: de A para B, de B para C e de C para A.

Classifique em verdadeira ou falsa as afirmações a seguir e justifique-as. Eunice Toyota

a) dAB  dBC  dCA Falsa.    b) dAB  dBC  dCA Falsa.

A

B

C

15. (Enem/MEC) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos do globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6 400 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: a) 16 horas b) 20 horas X c) 25 horas

16. O radar é um aparelho de localização que funciona de acordo com o sistema polar, localizando corpos a certa distância r do radar, e um ângulo a, tomado em relação a uma linha de referência. Observe na figura a seguir um modelo de radar usado em aeroportos que utiliza o sistema polar. O funcionamento de um aeroporto é como um relógio indicando a posição dos aviões em relação ao centro do aeroporto, onde se encontra a pista de aterrissagem ou decolagem.

13. Um avião desloca-se 30 km na direção norte-sul, sentido de norte para sul; em seguida, percorre 40 km, na direção leste-oeste, sentido de leste para oeste.

3 2

a) Faça a representação desses vetores des­lo­ca­mento.

5

radar

12

6

C 11

v3

Eunice Toyota

4

1

Resposta no final do livro.

b) Determine a intensidade do vetor deslocamento resultante. 50 km 14. Observe o esquema, que representa parte de um mapa de um bairro em que as ruas se cruzam, formando ângulos de 90°.

d) 32 horas e) 36 horas

Editoria de arte

11. Sobre uma esteira rolante é colocada uma peça de automóvel que sofre um deslocamento de 30 m. Essa afirmação nos permite caracterizar:

A

B

7

8

10 9

Representação de tela de radar de aeroporto.

Com base no texto e na figura, responda: v1

v2

v4

Considere que os vetores v1, v2, v3 e v4 representam as velocidades dos veículos 1, 2, 3 e 4 que se movimentam nessas ruas. De acordo com as informações dadas, examine a veracidade das afirmações: a) Os vetores v1 e v2 têm mesma direção e sentido. V b) Os vetores v4 e v1 têm mesma direção e sentido. F c) Os vetores v4 e v3 têm direções diferentes. V d) Os vetores v2 e v4 têm direções diferentes e mesmo sentido. F

A se aproxima na posição 8 horas; B se aproxima na posição 10 horas; C se afasta na posição 12 horas.

a) Qual a posição dos aviões A, B e C?

b) Os aviões estão aterrissando ou decolando? A e B aterrissam e C decola.

17. Um peregrino inicia uma caminhada sobre um terreno plano. Caminhou 4 km para o leste e fez a 1a parada. Tomou água, caminhou mais 5 km para o leste e fez a 2a parada. Descansou, caminhou mais 3 km para o oeste e fez a 3a parada. Comeu uma fruta, caminhou mais 2 km para o sul e fez a 4a parada. Determine o vetor deslocamento do início da caminhada até a: Respostas no final do livro. a) 2a parada;   b) 3a parada;   c) 4a parada. Capítulo 6

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Grandezas escalares e vetoriais

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Photodisc/Getty Images

19. Uma marca pontual M é feita na extremi­dade de uma das pás da hélice de um ventilador que gira em sentido horário. O ponto O representa o centro da hélice. B Eunice Toyota

400 m 300 m

Alberto de Stefano

18. Amélia caminha diariamente percorrendo os quarteirões próximos de sua casa, como mostra a figura.

A

O

C M

B

D A•

a) Calcule a distância percorrida por Amélia entre os pontos A e B. 2 100 m b) Calcule o deslocamento de Amélia entre os pontos A e B. 500 m c) Discuta a diferença entre a distância percorrida e o deslocamento entre os pontos A e B. Resposta no final do livro.

No esquema, os pontos A, B, C e D são posições ocupadas pela marca M durante o movimento da hélice.

Ventilador.

a) Represente no caderno o vetor velocidade da marca M nessas quatro posições. b) Se a marca percorrer a trajetória de A até B em 2 s, qual será o seu vetor velocidade média nesse intervalo de tempo? Respostas no final do livro.

Pense além Parados em uma estação de trem, dois estudantes observaram um grupo de ciclistas que passaram a sua frente, conforme a cena vista nesta fotografia. Observando os dois ciclistas de camiseta amarela, que trafegam praticamente lado a lado, um estudante disse: – Os dois ciclistas estão com a mesma velocidade. O outro estudante respondeu: – Você está errado. Como é possível dizer que eles tenham a mesma velocidade se não têm velocímetro? Então o primeiro retrucou: – Pois é, mas eles estão pedalando lado a lado, passando pelos mesmos pontos simultaneamente. Se houvesse um velocímetro nas bicicletas e eles passassem por uma lombada eletrônica, ela provavelmente marcaria o mesmo valor. Ciclistas na ciclovia da Marginal Pinheiros em São Paulo, 2013. O outro insistiu: – Supondo que isso seja verdade e também que as duas bicicletas percorram distâncias iguais em intervalos de tempos iguais, sobre a pista plana e horizontal, ainda assim você não pode afirmar que as duas bicicletas têm a mesma velocidade. Admirado com a veemência da fala do seu colega, o primeiro estudante disse: – Na minha forma de entender, quando os velocímetros de dois veículos registram o mesmo valor é porque eles têm a mesma velocidade. Porém, se você não concorda com isso, então me explique de qual velocidade você está falando. Escreva no caderno

Responda

Cesar Diniz

Nesta história, quem tem razão?

Se considerarmos apenas o módulo da velocidade das bicicletas, o primeiro estudante está certo. Porém, se pensarmos na velocidade vetorial, além do módulo, é necessário determinar também a direção e o sentido da velocidade. Nesse caso, o segundo estudante tem razão, pois os dois ciclistas apresentam diferentes sentidos em suas velocidades vetoriais.

1. Analise a fala dos dois estudantes e responda se apenas um está certo ou se os dois estão certos.

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Unidade 3

Cinemática vetorial

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Na Cinemática escalar, medimos a variação da velocidade escalar em relação ao tempo utilizando a aceleração escalar ∆v média, representada pela fórmula am  . Na Cinemática ∆t vetorial, a variação da velocidade vetorial em relação ao tempo

Ilustrações: Editoria de arte

4. Aceleração vetorial vi ti

t A

é chamada aceleração vetorial média am. A figura ao lado representa a trajetória descrita por um ponto material entre as posições A e B. No instante inicial ti, o ponto material passa pela posição A com velocidade vi e, em um instante posterior t, passa pela posição B com velocidade v. A aceleração vetorial média am, nesse intervalo de tempo, é:

B v

t  ti

vi am

v

v  vi v  am  t  ti t

v

A aceleração vetorial instantânea ar, ou simplesmente aceleração vetorial, mede a varia­ção da velocidade vetorial em um intervalo de tempo infinitamente pequeno. Em qualquer movimento a velocidade v é tangente à trajetória, descrita pelo corpo. No caso do movimento retilíneo variado, o vetor aceleração ar tem a mesma direção da trajetória, e seu sentido depende do tipo de movimento. v

ar

v ar No movimento retilíneo acelerado, a aceleração ar tem o mesmo sentido da velocidade v.

No movimento retilíneo retardado, a aceleração ar tem sentido contrário ao da velocidade v.

No caso do movimento curvilíneo, o vetor aceleração ar tem a direção voltada para a parte interna da curva. v

v ar

Movimento curvilíneo acelerado.

ou ar

Movimento curvilíneo retardado. at

Sabendo que a velocidade vetorial v varia em módulo e direção, vamos utilizar a representação da aceleração vetorial ar em duas componentes vetoriais: aceleração tangencial at e aceleração centrípeta ac.

v Vetor aceleração tangencial para o movimento acelerado.

A aceleração tangencial at está relacionada à variação da velocidade escalar e apresenta as seguintes características: • O módulo é igual ao apresentado pela aceleração escalar: at  | a |. No MU, at  0; no MUV, at  a (constante).

v

• A direção é a mesma da reta tangente à trajetória em cada posição ocupada pelo ponto material. • O sentido será o mesmo do vetor velocidade v se o movimento for acelerado, e contrário a ele se o movimento for retardado. Capítulo 6

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at

Vetor aceleração tangencial para o movimento retardado.

Grandezas escalares e vetoriais

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4/15/16 8:09 AM


v ac

O R

ac 

• O módulo é determinado por:

Ilustrações: Editoria de arte

A aceleração centrípeta ac indica a variação da direção do vetor velocidade v. Para o ponto material que descreve uma trajetória circular, com raio de curvatura R e com velocidade escalar v, a aceleração centrípeta apresenta as seguintes características:

v2 R

• A direção é perpendicular à direção da velocidade v. Se o movimento for retilíneo, a direção da velocidade v não variará, portanto ac  0. • O sentido é orientado para o centro de curvatura da trajetória. O vetor aceleração ar é representado pela adição das componentes at e ac. v at ar ac

Observando que os vetores at e ac são ortogonais, é possível obter o módulo de ar aplicando o teorema de Pitágoras: ar 5 at 1 ac a2 5 a2 1 a2 r t c 2 2 ar 5 a t a c

Exercícios resolvidos 5 Determine o módulo da aceleração ar de um ponto material que descreve MCU com ve­lo­cidade de 4 m/s. Sabe-se que o raio de curvatura da trajetória é R  2 m.

Resolução No movimento circular e uniforme, temos at  0, portanto ar  ac; logo: 42 v2  ä ar  8 m/s2 ar  ac  R 2

6 Determine o módulo da aceleração padrão ar de um ponto material 4 s após o início da contagem do tempo. Sabemos que ele parte do repouso com movimento uniformemente varia­do e descreve trajetória circular, de raio R  16 m, com aceleração escalar de 2 m/s2.

No MUV, a velocidade escalar v varia em função do tempo: v  vi  at vi  0; a  2 m/s2 v  0  2  4 Æ v  8 m/s Portanto, no instante t  4 s, teremos:

Resolução Temos duas componentes da aceleração ar, uma tangencial, dada por at  2 m/s2, e outra centrípeta, que depende da velocidade.

86

Unidade 3

ac 

v2 82  Æ ac  4 m/s2 R 16

O módulo de ar é dado por: ar2  at2  ac2 ä ar  2 2  4 2 Æ ar  20 m/s2

Cinemática vetorial

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

24. Um carro desloca-se em uma estrada e o motorista vê uma placa de sinalização que indica: “Curva acentuada para direita. Velocidade máxima 40 km/h”. O motorista desacelera até atingir a velocidade indicada na placa e a mantém constante enquanto faz a curva. Sabendo que o raio da curva é de 10 m, determine a intensidade, direção e sentido da aceleração vetorial (ar ) do veículo. Faça um esquema no caderno representando os vetores da velocidade e aceleração.

Editoria de arte

at v ac

Analisando a figura, podemos concluir:

O carro acelera, no sentido do centro da curva, 10 m/s em cada segundo.

a) O módulo da velocidade está aumentando.

25. Um ponto material com velocidade inicial vi  0 descreve uma trajetória circular de raio R  9 m e movimento uniformemente variado, com aceleração escalar a  3 m/s2.

X b) O módulo da velocidade está diminuindo.

c) O movimento é uniforme. d) O movimento é necessariamente circular.

Para o instante t  2 s, determine:

e) O movimento é retilíneo.

a) a velocidade escalar;

21. A trajetória circular descrita por um ponto material tem raio de curvatura R  2,5 m. Sabendo que ele se desloca com movimento uniforme e velocidade v  5 m/s, determine: a) o módulo das componentes vetoriais da ace­leração; | at |  0 m/s2 e | ac |  10 m/s2

b) o módulo de ar . 10 m/s2

Marcus Cappellano

Editoria de arte

22. Observe a ilustração do relógio de pêndulo. Analise o movimento desse pêndulo no esquema abaixo, na posição A, descendente, e na B, ascendente.

6 m/s

c) o módulo da aceleração ar .

5 m/s2

26. Um avião sai de Roma com destino a San Marino, e logo atinge a velocidade de 500 km/h. Ao mesmo tempo sofre a ação de um vento forte, de leste para oeste, que o afasta da rota. Para chegar ao seu destino como o piloto deve proceder? Faça um esquema no caderno, com vetores, para indicar a velocidade do avião em relação à Terra, a velocidade de arrastamento do vento e a velocidade resultante. Se a velocidade de arrastamento do vento for de 300 km/h, calcule a velocidade resultante do avião em relação à Terra. 400 km/h

Mapa da Itália 10° L

A

| at |  3 m/s2 e | ac |  4 m/s2

b) o módulo das componentes vetoriais da aceleração ar ;

ÁUSTRIA

SUÍÇA

B

Allmaps

20. (Fatec-SP) Na figura representa-se um corpo em movimento a sobre uma trajetória curva, com os vetores velocidade v, aceleração a e suas componentes, tan­gen­cial at e centrípeta ac .

HUNGRIA ESLOVÊNIA

Milão

a) Represente, no seu caderno, para as posições A e B, os vetores v , ac , at e ar . Resposta no final do livro. b) Classifique o movimento do pêndulo nas posições A e B. A: curvilíneo acelerado e B: curvilíneo retardado.

FRANÇA

c) leste X d) oeste

San Marino

Mar Lígure

Mar Adriático Córsega Roma Napoli

No momento em que ele passa pela posição P, a aceleração do carro é dirigida para o:

40° N

v O N O

L S

Sardenha Mar Tirreno

P Editoria de arte

b) sul

Palermo

Mar Jônico

Sicília 0

130 km

Mar Mediterrâneo

Fonte: ATLAS geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2007. Capítulo 6

CS-FIS-EM-3030-V1-U03-C06-075-090-LA.indd 87

CROÁCIA

Veneza

23. (UECE) Um carro percorre uma pista circular, no sentido indicado, com velocidade tangencial de módulo constante, conforme indica a figura.

a) norte

Verona

Grandezas escalares e vetoriais

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4/6/16 4:36 PM


5. Composição de movimentos Em Cinemática escalar, definimos os estados de movimento ou repouso de um corpo em relação a determinado referencial. Essa ideia é o ponto de partida para o entendimento da composição de movimentos. Acompanhe a situação: Uma esteira rolante foi desativada para manutenção. O operário encarregado do serviço desloca-se sobre a esteira com velocidade de 3 m/s em relação a um ponto E, marcado sobre a esteira. O vetor que representa essa velocidade será chamado vO/E e indica a velocidade do operário em relação ao ponto E, com módulo vO/E  3 m/s.

vO/E

C

E

Em um instante posterior, a esteira volta a funcionar com velocidade vE/C, de módulo 2 m/s. O vetor vE/C representa a velocidade da esteira, em relação à mesa de operação do chefe de manutenção (C). Nessa situação, vamos considerar duas possibilidades:

Pare e pense

1a) Se o operário estiver se movimentando na mesma direção e sentido da esteira, o módulo do vetor vO/C (velocidade do operário em relação ao chefe de manutenção) será determinado por: vO/C  3 1 2  5 m/s

vO/E

ymgerman/Shutterstock.com

E

vE/C

C

vE/C

Ilustrações: Alex Argozino

vO/C

2a) Se o operário estiver se movimentando na mesma direção e em sentido contrário ao da esteira, o módulo do vetor vO/C (velocidade do operário em relação ao chefe de manutenção) será determinado por: Pessoas em escadas rolantes.

Observe a movimentação dos usuários nas escadas rolantes e compare a velocidade de pelo menos uma delas para cada sentido de movimento da escada. Professor, os comentários desta seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

vO/C  3 2 2  1 m/s vO/C vO/E E

vE/C

C

vE/C

Nas duas situações, o movimento do operário em relação ao chefe vO/C é a composição entre o movimento do operário em relação à esteira vO/E e o movimento da esteira em relação ao chefe vE/C. Logo: vO/C  vO/E  vE/C

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Unidade 3

Cinemática vetorial

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4/15/16 8:09 AM


Exercício resolvido 7 Uma lancha desenvolve velocidade vl/a  20 km/h em relação às águas de um rio, que se movimentam com veloci-

dade va/m  15 km/h em relação às margens do rio. Determine a velocidade da lancha em relação às margens nas seguintes situações: a) a lancha se movimenta na mesma direção e no mesmo sentido das águas; b) a lancha se movimenta na mesma direção e em sentido contrário ao das águas; c) a lancha se movimenta na direção perpendicular às margens; d) a lancha se movimenta numa direção oblí­qua às margens, de tal forma que sua trajetória é perpendicular às margens.

Resolução Em qualquer dos casos, a velocidade da lancha em relação às margens (vl/m) é a composição entre a velocidade da lancha em relação às águas (vl/a) e a velocidade das águas em relação às margens (va/m). a) vl/m 5 vv/a 1 va/m

vl/a

va/m

vl/m 5 20 1 15 ä vl/m5 35 km/h

d) A trajetória é perpendicular à margem, então: vl/m  vl/a  va/m

vl/m

vl2/m  (20)2  (15)2 b) vl/m  vl/a  va/m

vl/m  175 ä vl/m  13,2 km/h

vl/a vl/m

va/m

c) vl/m  vl/a  va/m

vl/a

vl/m va/m

Nesse caso, temos: v 2l /m  202  152

vl/m

vl/a

va/m

vl/m  625 ä vl/m5 25 km/h va/m

vl/a

vl/m

Escreva no caderno

Exercícios propostos 27. Suponha que um barco, quando desce determinado rio, tem velocidade de 40 km/h e, ao subir o mesmo rio, velocidade de 30 km/h. Determine: 5 km/h

a) a velocidade da correnteza em relação à margem; b) a velocidade do barco em relação à água. 35 km/h 28. Uma roda de bicicleta se move, sem deslizar, com velocidade constante. Considerando o movimento de rotação e translação da roda, como você representaria o vetor velocidade do ponto ilustrado na figura. Ilustrações: Editoria de arte

Ilustrações: Editoria de arte

vl/m  20  15 ä vl/m5 5 km/h

a) b) c) X

d) e) vetor nulo

29. Um trem e um automóvel se movem na mesma direção em um trecho retilíneo de estrada. Seus movimentos são uniformes e o módulo da velo­cidade do automóvel é o dobro do módulo da velocidade do trem. Desprezando o comprimento do automóvel e tendo o trem 100 m de comprimento, determine o espaço percorrido pelo automóvel desde o instante em que alcança o trem até o instante em que o ultrapassa. 200 m (mesmo sentido); ∑ 67 m (sentidos contrários).

30. Sob a chuva que cai verticalmente, uma pessoa caminha com velocidade horizontal de 1 m/s em relação ao solo, inclinando o guarda-chuva 30° (em relação à vertical) para ficar mais protegida. Qual o módulo da velocidade da chuva em relação ao solo? Considere tg 60° 5 1,7. 1,7 m/s Capítulo 6

Grandezas escalares e vetoriais

89


31. Um avião desloca-se para leste com velocidade constante de 240 km/h. Ao chegar em certa região, é atingido por um vento muito forte, de velocidade constante de 100 km/h, que sopra perpendicularmente à direção de deslocamento do avião. Supondo que esse vento continue por 2 horas, determine: a) a intensidade da velocidade resultante. 260 km/h b) a distância que o separa da rota original após 2 horas. 200 km

32. (UFS-SE) Um rio, de margens paralelas, possui largura de 400 m e suas águas, em relação às margens, possuem velocidade de 3,0 m/s. Um barco a motor que se move nesse rio possui velocidade de módulo constante e igual a 4,0 m/s, em relação à água. Analise as afirmações que seguem. I. O barco poderá cruzar o rio num tempo mínimo de 1,0 minuto e 20 segundos. II. Se o barco gasta 5,0 minutos para se deslocar de A a B, rio abaixo, na volta deverá gastar 35 minutos. III. Se o barco se movimenta mantendo o seu eixo numa direção perpendicular à margem ele atinge a outra margem num ponto a 300 m rio abaixo, em relação ao ponto de partida. IV. Devido à baixa potência do motor, o barco não conseguirá cruzar o rio perpendicularmente às suas margens.

V. Dois barcos idênticos ao citado, cujos comprimentos são de 20 m, movendo-se em sentidos opostos paralelamente às margens do rio, demoram 5,0 s para se cruzarem. As afirmações II e III estão corretas. 33. Para prover um acampamento isolado, sem água nem alimentos por causa de um desastre natural, um avião em voo horizontal a uma altitude de 2 km abandona uma carga de mantimentos quando sua distância horizontal até o alvo é de 1 km. a) Qual a velocidade do avião? 50 m/s = 180 km/h b) Se no momento do lançamento houver um vento horizontal, no sentido contrário ao movimento do avião, qual deve ser a atitude do piloto? Resposta no final do livro. 34. (Fuvest-SP) Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com velocidades constantes vA  100 km/h e vB  80 km/h, respectivamente. a) Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A? 20 km/h b) Em dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A. Quanto tempo, em horas, decorre até que A alcance B? 0,03 h

Você sabia? Referencial e a Física Moderna É provável que você já tenha ouvido falar ou que já tenha lido a seguinte afirmação: “A velocidade da luz é sempre a mesma independentemente do referencial em que estamos realizando a medição, estar em movimento ou em repouso”. De acordo com os conceitos de Física Clássica, quando dizemos que a velocidade de um veículo é 60 km/h, estamos afirmando que essa medida de velocidade é feita em relação a um referencial em repouso, como a placa de sinalização de uma estrada. Entretanto, diante dessa afirmação, podemos nos questionar se de fato é correto considerar a placa de sinalização um referencial em repouso, ou considerar a Terra como um referencial em repouso em relação ao Sol, ou ainda, considerar o Sol como um referencial em repouso em relação à Via Láctea. A necessidade de um referencial a partir do qual todas as medições e previsões da Física são realizadas é uma ideia da Física Clássica. Com os estudos realizados por Hendrik Lorentz (1853-1928), Albert Einstein (1879-1955) e outros, no desenvolvimento da Teoria da Relatividade, verificou-se que o referencial de medição não é importante na determinação da velocidade da luz. Para entender melhor esse conceito, considere que, durante uma viagem de carro, uma moça acenda os faróis de seu carro em uma estrada pouco iluminada. Imagine também que uma pessoa colocada próxima à rodovia que a moça está trafegando observe essa situação. De acordo com a Teoria da Relatividade, tanto a moça do carro quanto a pessoa na estrada deverão medir a mesma velocidade do feixe de luz emitido pelos faróis. Portanto, o valor da velocidade da luz independe do referencial em que a medição está sendo feita. Com isso retomamos a ideia inicial de que a velocidade da luz é sempre a mesma independente do referencial. Esse é conhecido como primeiro postulado da Teoria da Relatividade especial, que você estudará no Volume 3 desta coleção. Escreva no caderno

Atividades

1. Escreva sobre o conceito de referencial absoluto, tanto para a Física Clássica como para a Física Moderna. Resposta pessoal.

2. Em um trecho retilíneo de estrada, o motorista de um veículo que se desloca com velocidade de 90 km/h, percebe que outro veículo se desloca na mesma estrada, na mesma direção e em sentido contrário ao dele. Para esse motorista, com que velocidade o outro veículo se aproxima dele? Com que velocidade a luz emitida pelo farol do outro veículo chega até ele? 300 000 km/s

90

Unidade 3

Cinemática vetorial

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4/6/16 4:36 PM


Capítulo 7

Lançamento de projéteis 1. Movimento em duas dimensões sob ação da gravidade

Da mesma altura, uma menina solta uma bola enquanto, ao mesmo tempo, um menino chuta outra bola. Observe, na ilustração, as trajetórias desenvolvidas pelas duas bolas.

Salomon Cytrynowicz/Pulsar

Pare e pense

Pescador lançando rede de pesca.

Como o pescador deve lançar sua rede para alcançar a maior distância possível? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Sérgio Dotta Jr/The Next

Studio Caparroz

Você, provavelmente, já deve ter observado ou realizado o lançamento de algum objeto. Nos esportes, situações como o levantamento de uma bola em uma partida de vôlei ou uma cobrança de falta feita por um jogador de futebol são exemplos que ilustram o lançamento de um objeto. A expressão “lançamento de projéteis” está associada ao movimento não vertical de corpos nas proximidades da superfície terrestre. Na Unidade anterior, estudamos a queda livre e o lançamento vertical, desprezando a resistência do ar, o que, nesses movimentos, torna a aceleração constante e igual à aceleração da gravidade. Agora, vamos estudar o movimento de projéteis como a composição de dois movimentos simultâneos e independentes: um na horizontal e outro na vertical. Uma observação muito interessante pode ser feita a partir de um experimento simples. Se abandonarmos um corpo a determinada altura do solo e, simultaneamente, lançarmos na horizontal um segundo corpo, a partir da mesma altura, ambos chegam ao solo no mesmo instante. Esse fato foi observado por Galileu e descrito em seu livro Diálogo sobre os dois principais sistemas do mundo, em 1632, ao analisar a queda de uma bala de canhão do alto do mastro de um navio em movimento. O fato de os corpos chegarem ao solo ao mesmo tempo demonstra que a componente horizontal da velocidade inicial (vh ou vx) não interfere no movimento vertical. Esse fato é conhecido como princípio da independência dos movimentos e diz que se um corpo rea­liza um movimento composto, cada um dos movimentos componentes ocorre independentemente, como se os outros não existissem.

Nessa fotografia estroboscópica, é possível observar o movimento de uma bola abandonada em queda livre (azul) e outra lançada horizontalmente (amarela) ao mesmo tempo.

vx ou vh

vh vy ou vv

vv

v

Para o nosso estudo, consideraremos que a componente horizontal do movimento tem velocidade constante e sem a interferência do ar, caracterizando um movimento uniforme. Já a componente vertical do movimento possui aceleração, no nosso caso a aceleração da gravidade g, caracterizando um movimento uniformemente variado. Sendo o movimento em duas direções, x e y, dizemos que ele ocorre em duas dimensões. Vamos analisar o lançamento de projéteis em duas situações: quando ele é feito na direção horizontal e quando ocorre na direção oblíqua. Capítulo 7

Lançamento de projéteis

91


2. Lançamento horizontal Vladimir Nenezic/Shutterstock.com

Há muitos exemplos de lançamento horizontal em nosso cotidiano. Observe a fotografia ao lado. Cada pedaço de minério pode ser considerado uma partícula lan­ça­da horizontalmente de determinada altura, com velocidade inicial vi. Nesse caso, o movimento de cada pedaço de minério pode ser descrito como a soma de dois movimentos distintos e simultâneos: um na direção horizontal e outro na direção vertical. O fato de considerarmos o lançamento feito nas pro­ximi­dades da Terra e com corpos não leves garante que a aceleração da gravidade se mantenha constante na direção vertical do movimento. Na direção horizontal, desprezamos os efeitos da resistência do ar para garantir que o movimento nessa direção não tenha Maquinário utilizado no transporte de minério. aceleração, isto é, seja uniforme. Para fazermos a representação do lançamento horizontal do minério da situação descrita, por meio de equações, utilizaremos como sistema de referência um plano com um par de eixos cartesianos ortogonais. A velocidade v pode ser determinada, a cada instante, pela soma vetorial da componente horizontal vx com a componente vertical vy. No instante inicial, temos vi  vx e viy  0 para a componente vertical (pois o lançamento ocorre na horizontal). O movimento, segundo a componente horizontal, terá a veloy cidade constante, caracterizando o movimento uniforme. Portanv  vx yi i vx to, observando que xi  0, temos: vy

Editoria de arte

v1

1

y

vx

vy

x  xi  vxt

v2

2

Æ

x  vxt

vx vy

3

xi  0

x

v3

x

O movimento, segundo a componente vertical, terá a presença da aceleração da gravidade g, caracterizando o movimento uniformemente variado. Note que a descrição desse movimento é análoga àquela feita no movimento em queda livre. Portanto, observando que ay  g (quando o eixo y está orientado de baixo para cima), temos: vy  viy  gt Æ

vy  gt

v2y  v2iy  2(g)Δy Æ

v2y  2gΔy

y  yi  viyt 

92

Unidade 3

g 2  t Æ 2

y  yi 

g 2  t 2

Cinemática vetorial

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4/6/16 4:54 PM


Exercício resolvido combate às queimadas durante a temporada de seca e o período proibitivo de queimadas. Segundo a Secretaria do Meio Ambiente de Mato Grosso (Sema), os aviões devem ser usados para apagar incêndios de grandes proporções em áreas de floresta do estado. Juntas, as duas aeronaves são capazes de armazenar 6 mil litros de água. [...] Segundo a Sema, em áreas rurais, é considerado crime utilizar fogo para limpeza e manejo de pastos ou áreas de florestas. O responsável pela propriedade pode pegar de 6 meses a 4 anos de prisão, além de ser multado em até R$ 7 mil ou R$ 1 mil por hectare.

Walter Alves Padilha, publicada em matéria da Revista eletrônica ICMBio em foco, edição 260, ano 6 de 30/08/2013

Aviões vão combater incêndios de grandes proporções em Mato Grosso. G1, 6 ago. 2015. Disponível em: <http:// g1.globo.com/mato-grosso/noticia/2015/08/avioes-seraousados-para-combater-incendios-de-grandes-proporcoes. html>. Acesso em: 3 dez. 2015.

Veja o esquema que nos auxilia a visualizar a situa­ ção em que ocorre o movimento do kit de primeiros socorros (representado pela bolinha amarela): y (m) vx

Editoria de arte

1 Em Mato Grosso, duas aeronaves irão reforçar o

yi

80 m

x (m)

distância horizontal

Movimento segundo o eixo horizontal: ti  0, xi  0, vx  vi  40 m/s (constante) x  xi  vx t ä  x  40t  1 Movimento segundo o eixo vertical: ti  0, yi  80 m, ay  g  10 m/ss, viy  0 g y  yi  viyt   t2 ä y  80  5t2  2 2 vy  viy  gt ä vy  10t  3 a) No instante em que o pacote atinge o solo (y  0), temos, na equação 2 : 0  80  5t2 ä t2  16 Æ t  4 s O pacote atinge o solo 4 s após o lançamento.

Considere que um desses aviões carregados com água está sobrevoando uma região com velocidade de 40 m/s e a 80 m de altura em relação ao solo, em uma trajetória retilínea e horizontal. Juntamente com a água, o avião solta um kit de pri­ meiros socorros que deve auxiliar as equipes de bom­ beiros em terra. Considerando o kit de primeiros so­ corros, determine: a) o tempo decorrido para que o kit atinja o solo; b) a distância percorrida pelo kit, medida horizontal­ mente, entre os instantes de lançamento e de impacto no solo; c) a velocidade com que o kit chega ao solo.

Resolução Desprezando a interferência do ar e considerando que o movimento ocorre nas proximidades da Terra, adotamos g  10 m/s2.

x  40t ä x  40  4 ä x  160 m A distância horizontal percorrida pelo pacote foi 160 m. c) A velocidade do pacote, a cada instante, pode ser determinada pela soma vetorial das suas com­ponentes horizontal, vx, e vertical, vy.  ortanto, no instante em que ela che­ga ao solo, P temos: vx  40 m/s (constante) Da equação 3 , temos: vy  10  4 ä vy  40 m/s O vetor resultante (v) é dado pela soma dos vetores vx e vy. Já sua intensidade é obtida por meio do Teorema de Pitágoras: v2  vx2  vy2 2

vx 2

v  (40)  (40) v  56,5 m/s

vy

Capítulo 7

CS1-FIS-EM-3030-V1-U03-C07-091-097-LA.indd 93

v

Editoria de arte

Incêndio na Chapada dos Guimarães, Mato Grosso (2013).

b) Sabendo que t  4 s e considerando a equação 1 , temos:

Lançamento de projetéis

93

5/10/16 6:06 PM


Escreva no caderno

Exercícios propostos 1. O apresentador de uma gincana cultural fez uma demonstração com duas esferas de ferro, de mesmo diâmetro, sendo uma oca e a outra maciça. Após mantê-las à mesma altura do chão, em uma região onde se fez vácuo, lançou horizontalmente a esfera oca e, ao mesmo tempo, abandonou a esfera maciça. Antes de fazer essa demonstração, perguntou aos quatro jovens participantes: “o que ocorrerá com as esferas?”. Avalie se algum dos participantes fez uma afirmação correta. I. Durante o movimento, o módulo da aceleração da esfera maciça é menor do que o da esfera oca. II. Ao atingir o chão, o módulo da velocidade da esfera oca é menor do que o da esfera maciça.

Determine: a) o tempo gasto para que as sementes caiam nas covas; 1 s b) qual deverá ser a velocidade de lançamento das sementes (v0), em relação ao solo, para que elas m/s (em relação à plantadeira). caiam nas covas; 1,2 0,2 m/s (em relação ao solo).

c) o módulo do vetor velocidade das sementes imediatamente antes de cair nas covas. 10 m/s

4. Uma esfera rola sobre o tampo horizontal de uma mesa e a abandona com velocidade escalar vi, tocando o solo depois de 1 s. Sabendo que a distância horizontal percorrida pela esfera é igual à altura da mesa, calcule a velocidade vi. Adote g  10 m/s2. 5 m/s vi

III. As esferas atingem o chão ao mesmo tempo. IV. Ao atingirem o chão, os módulos das velocidades o participante III fez uma afirmação das esferas são iguais. Apenas correta.

a) o tempo gasto para que a bola de tênis atinja o solo; 0,4 s b) a altura da mesa em relação ao solo; 0,80 m c) o módulo da velocidade da bola ao tocar o solo.

5 m/s

3. (UFU-MG) Sementes são lançadas perio­dicamente do bico de uma plantadeira, na horizontal, para trás, de uma altura h,­alinhadas com as covas que estão equi­ dis­tantes d  0,2 m uma (cova) da outra. As sementes são lançadas no instante em que o bico da plantadeira está alinhado verticalmente com uma das covas (eixo y). As sementes deverão cair nas covas imediatamente atrás. A plantadeira anda com uma velocidade constante vp em relação ao solo. Despreze a resistência do ar. Dados: h  5 m; d  0,2 m; g  10 m/s2; e vp  1 m/s.

5. Um grupo de pessoas resolve fazer um passeio em uma ilha e, ao final do dia, percebem que, devido à subida da maré, o barco havia se soltado da costa. Ilhados, um deles utiliza o celular para pedir socorro. Para o salvamento dessas pessoas foi designado um avião que, voando horizontalmente com velocidade constante de 360 km/h, a uma altura de 1 280 m em relação a esse grupo de pessoas, lançou um pacote com mantimentos, para que eles passassem a noite. Sabendo que o grupo estava em um local a 1 850 metros, em uma direção horizontal do avião, determine se o pacote caiu antes ou depois desse local. Considere g 5 10 m/s² e despreze a resistência do ar. O pacote caiu 250 m antes do local. Ilustrações: Studio Caparroz

2. Uma bola de tênis rola sobre uma mesa horizontal com velocidade constante de 3 m/s. Após sair da mesa, cai e atinge o solo a 1,20 m de distância dos pés da mesa. Desprezando a interferência do ar e adotando g 510 m/s², calcule:

y vp

bico

v0

h

d

covas

0,2 m 0,2 m 0,2 m 0,2 m 0,2 m

94

Unidade 3

Cinemática vetorial

x

Representação (sem escala e sem proporção) da trajetória que deveria ser realizada pelo pacote de mantimentos.


Lançando coisas

O mundo registrou nas últimas décadas um grande crescimento do consumo de minérios. A necessidade de atender às inovações tecnológicas e a busca por novos padrões de vida têm acelerado o processo de extração mineral no mundo e despertado a preocupação com os prejuízos ambientais que isso vem causando. Infelizmente um exemplo de prejuízo ambiental incalculável foi o desastre da mineradora na cidade de Mariana (MG), em 2015. A vida dos animais e da população de diversas cidades foram seriamente depreciados. No entanto, também há a preocupação com aspectos sociais, isso porque as grandes mineradoras são responsáveis pela oferta de muitos empregos e pela formação de mão de obra especializada. Em uma mineradora, muitas vezes, o minério é transportado por meio de uma esteira, cuja velocidade de funcionamento precisa ser corretamente calculada para que o produto caia no local desejado. Para melhor compreendermos a situação da esteira rolante e a posição na qual o minério deve ser deixado, podemos fazer uma atividade experimental simples.

Imagens GlobalGeo Geotecnologias/DigitalGlobe

Atenção Faça o experimento somente na presença do professor.

Imagens GlobalGeo Geotecnologias/DigitalGlobe

Experimente a Física no dia a dia

Materiais • cronômetro • fita adesiva

• mesa • fita métrica

• farinha

Vista aérea da região de extração de minérios na cidade de Mariana (MG), antes (acima) e depois do acidente de 2015.

Passo a passo

• Una os dois cabos de vassoura com fita adesiva, de tal forma que eles formem um canalete para a bolinha poder rolar (como ilustrado ao lado). • Apoie o canalete sobre a mesa, de forma que fique na horizontal e paralelo ao chão. • Espalhe um pouco de farinha no chão, para identificar o local onde a bola, que será lançada do canalete, vai cair. • Coloque a bola sobre determinado ponto do canalete e dê um impulso na Representação do aparato experimental e bolinha de maneira que ela percorra o canalete e caia sobre o local onde a desenvolvimento do experimento. farinha está espalhada. • No chão, meça a distância x entre a mesa e o ponto em que a bolinha toca o solo. Meça também a altura h da mesa.

Studio Caparroz

• dois cabos de vassoura • bolinha de vidro

• Com o auxílio de um cronômetro, meça também o tempo de queda.

Responda

Escreva no caderno

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

1 gt² e considere g 5 9,8 m/s². 2 2. Compare o tempo de queda obtido na atividade anterior com o valor do cronômetro. Eles são iguais? Justifique. 1. Calcule o tempo que a bolinha demorou para tocar o chão. Lembre-se de que y 5

3. Determine a velocidade (componente horizontal) com a qual a bolinha abandona a beira da mesa. Lembre-se de que x 5 vxt. • Repita esse procedimento dando um impulso mais forte na bolinha colocada sobre o canalete no mesmo ponto que no lançamento anterior. Meça o novo alcance da bolinha e o tempo de queda. 4. Determine a velocidade (componente horizontal) com a qual a bolinha abandona a beira da mesa neste caso. 5. Em qual situação a bolinha atingiu o chão na posição mais distante da mesa? Compare os alcances e justifique. 6. O tempo de queda foi maior em qual situação? Esse resultado era esperado?

Capítulo 7

CS1-FIS-EM-3030-V1-U03-C07-091-097-LA.indd 95

Lançamento de projéteis

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4/28/16 4:08 PM


Fabio Colombini

3. Lançamento oblíquo

Fonte do Parque do Ibirapuera, São Paulo (2015).

De forma análoga àquela feita no lançamento horizontal, vamos considerar cada gota de água da fotografia como uma partícula sendo lançada obliquamente com velocidade inicial vi. Chamamos um lançamento de oblíquo quando a direção do vetor velocidade inicial apresenta um ângulo 0º  90º com relação ao plano horizontal. Também nes­se caso, o movimento pode ser descrito como a soma de dois movimentos distintos e simultâ­neos, um na horizontal e outro na vertical. Considerando que o fenômeno ocorre nas proximidades da superfície da Terra e desprezando a interferência do ar, representaremos o lançamento de uma gota por meio das mesmas equações que deduzimos anteriormente, havendo pequenas modificações para a velocidade inicial. Adotaremos como sistema de referência um par de eixos cartesianos ortogonais com origem na posição inicial da gota. No lançamento oblíquo, as sucessivas posições ocupadas pela gota determinam uma trajetória parabólica. Como a velocidade inicial de lançamento vi forma um ângulo de inclinação  em relação ao eixo horizontal, podemos decompor o vetor vi em suas componentes na direção x e y:

Ilustrações: Editoria de arte

y

vy

v vx

MUV vx

vy

v

x MU

vi

viy

sen   Æ

 vix

cos  

vi

y

vi vi

ä

x

viy  vi  sen  vix  vi  cos 

vi

Na direção horizontal, temos movimento uniforme. Portanto, se xi  0: x  xi  vixt Æ x  xi  vi (cos ) t Æ

x  vi (cos ) t

Na direção vertical, temos movimento uniformemente variado, caracterizando-se como um lançamento vertical. Portanto, observando que ay  g (quando o eixo y está orientado de baixo para cima):

vy  viy  ayt ä

v2y  v2iy  2ay∆y Æ

y  yi  viyt 1

96

Unidade 3

ay 2

t2 Æ

vy  vi sen   gt

v2y  (vi sen )2  2gy

y  yi  vi (sen ) t 

g 2 t 2

Cinemática vetorial

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4/15/16 8:13 AM


Exercício resolvido 2 Durante uma brincadeira, dois irmãos divergem so­ bre a melhor posição para colocar um arco e lançar uma flecha com velocidade inicial vi, formando um ângulo a com a horizontal, de modo a obter o maior alcance horizontal. Para ela, o ideal é que o lança­ mento ocorra com um ângulo maior de 45 em re­ lação a horizontal. Para ele, o maior alcance ocorre para um ângulo inferior a 45.

Avalie as suposições dos irmãos e determine qual de­ les está correto.

Resolução A velocidade de lançamento da flecha na componen­ te vertical é dada por: vy 5 vi sen  2 gt 

1

Mas a flecha chega ao eixo horizontal com: vy 5 2vi sen . Em valor absoluto, a velocidade com que a flecha chega ao eixo horizontal é igual à velocidade de lançamento.

Portanto, substituindo vy na equação 1 , temos: 2v i sen  2vi sen  5 vi sen  2 gt Æ t  g Conhecendo o valor de t, é possível substituí-lo na equação que fornece a distância horizontal: 2v i sen  g 2 2 v v x 5 i (2 ? cos a ? sen a) Æ x 5 i sen 2a g g x 5 vi cos a ? t Æ x 5 vi cos ta?

Analisando essa equação, é possível deduzir que o valor máximo que x pode alcançar ocorre para sen 2a 5 1. O ângulo cujo seno vale 1 é 90°; portanto: 90° 2 a 5 90° Æ a 5 5 45° 2 Dessa forma, a maior distância horizontal alcançada pela flecha ocorre para a 5 45° e a distância máxima horizontal será xmáx 5

vi2 g

.

Conclusão: nem a menina nem o menino estavam certos. Escreva no caderno

Exercícios propostos

Editoria de arte

6. Após sofrer uma falta, um jogador de futebol de praia fica encarregado de chutar a bola a gol. Para encobrir a bar­ reira, tenta fazer com que a bola descreva uma trajetória parabólica. Após o chute, a bola é lançada obliquamen­ te, conforme a figura, com velocidade inicial vi  30 m/s. vi   45° solo horizontal

Despreze a interferência do ar e considere a bola uma partícula lan­çada obliquamente em relação ao solo, 2 2 , cos 45°  e 2 . 1,4. 2 2 Nessas condições, determine: a) as componentes horizontal vix e vertical viy da velo­ cidade inicial; vi  21 m/s; vi  21 m/s b) as equações horárias das posições segundo os eixos horizontal e vertical; x 5 21t; y 5 21t  5t2 c) o tempo utilizado pela bola desde o lançamento até atingir a altura máxima; 2,1 s d) a altura máxima que a bola consegue atingir; 22,1 m e) o tempo necessário para a bola chegar ao solo, após o lançamento; 4,2 s f) a relação entre os valores obtidos nos itens c e e; O tempo total é o dobro do tempo de subida. g) a distância entre o ponto de lançamento e o ponto onde a bola atinge o solo; 88,2 m com   45°, sen 45° 

x

y

h) a velocidade da bola ao chegar ao solo. 30 m/s 7. (UFPE) Um gafanhoto adulto pode saltar até 0,80 m, com um ângulo de lançamento de 45°. Desprezando a resistência do ar e a força da sustentação aerodi­ nâmica sobre o gafanhoto, calcule quantos décimos de segundo ele permanecerá em voo. 0,8 s 8. Nas Paraolimpíadas de Londres, em 2012, o Brasil fi­ cou em sétimo lugar no quadro geral de medalhas. Esse resultado representa belos exemplos da capaci­ dade de superação humana. Um deles é confirmado pela história de superação da para-atleta pernam­ bucana Rosinha (Roseane Ferreira dos Santos), que teve a perna amputada, em 1990, após um caminhão dirigido por um motorista embriagado invadir a cal­ çada e atropelar a então jovem de 18 anos. Ela come­ çou a praticar atletismo no ano de 1998, conquistou medalhas e quebrou recordes de arremesso de peso e lançamento de disco. Suponha que, em dada competição, um atleta arre­ messa um disco com velocidade de 20 m/s. O ângulo de lançamento é 45 e no momento do lançamento, a mão do atleta está a 1,50 m do solo. Se a resistência do ar não for considerada, a que distância do lança­ mento o disco tocará o chão e quanto tempo será ne­ cessário para que isso ocorra? Considere sen 45 = cos 45 = 0,70 e g = 10 m/s2. 40,6 m; 2,9 s

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Capítulo 7

Lançamento de projéteis

97

4/6/16 4:54 PM


Capítulo 8

Movimento circular

Juliane Jacobs/YAY Micro/Easypix

Pare e pense

Roda-gigante em movimento.

Imagine a roda-gigante girando. Qual das cabines tem a maior velocidade (em módulo): as mais próximas ou as mais afastadas do centro da roda? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Para finalizar o nosso estudo dos movimentos vamos estudar os movimentos circulares. É provável que você já tenha observado situações em que o movimento circular estava presente, tais como o andar de uma bicicleta, o movimento dos ponteiros de um relógio ou de uma roda-gigante. Quando a forma da trajetória de um corpo é uma circunferência (como a bicicleta, o relógio ou a roda-gigante) ou parte de uma, dizemos que esse corpo descreve um movimento circular. Observe na fotografia ao lado uma roda-gigante que exemplifica o movimento circular. Podemos representar as cabines da roda-giB gante e o movimento circular no esquema ao t lado. Nele uma das cabines se desloca entre os R pontos A e B da trajetória circular de raio R. O No instante ti a cabine está na posição A e, no  s instante t, ela está em B. O deslocamento realizaR do pela cabine no intervalo de tempo Dt 5 t – ti ti pode ser descrito de duas formas: por meio do A comprimento Ds (deslocamento escalar) ou, então, do ângulo central Dϕ (deslocamento angular). No caso do deslocamento escalar, é sempre útil lembrarmos do comprimento da circunferência. Assim, a cada volta, a cabine percorre uma distância proporcional ao raio de sua trajetória, dada por Ds 5 C 5 2πR. As unidades de medida de ângulo mais frequentes são o grau e o radiano.

Grau

Radiano

Dividindo o arco total de uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma delas de­termina um ângulo central chamado grau (°). Observe na representação:

O radiano (rad) corresponde à medida do ângulo central cujo arco tem a mesma medida que o raio da circunferência:

1 da circunferência 360 1°

1 rad Representação, sem proporção, de 1º de circunferência.

O ângulo total de uma circunferência mede 360º.

R

R Representação, sem proporção, de 1 rad de circunferência.

O ângulo total de uma circunferência mede 2π rad.

Medido em radianos, o deslocamento angular se relaciona com o deslocamento escalar por: Dϕ 5

98

Unidade 3

Cinemática vetorial

Ds R

Ilustrações: Editoria de arte

1. Deslocamento angular


Exercícios resolvidos 1 Duas crianças brincam em uma área de lazer e estão sobre o mesmo brinquedo em movimento. Re­presentando

Editoria de arte

Photodisc/Getty Images

essas crianças por dois pontos materiais, A e B, e considerando que os pontos A, B e O pertencem à reta r, determine:



r O

B

A

Crianças em um brinquedo de girar.

a) os deslocamentos angulares dos pontos A e B, em radianos, quando eles girarem um ângulo ∆ϕ  60°; b) as distâncias percorridas pelos pontos A e B, em metros, quando eles girarem um ângulo ∆ϕ  60°, sabendo que OA  3 m e OB  2 m.

Resolução a) Vamos considerar o movimento no sentido anti-horário e ∆ϕ  60°. Todos os pontos pertencentes ao segmento de reta OA, exceto o ponto O, têm o mesmo deslocamento angular ∆ϕ  60°, ou ainda: x rad ——— 60°

x5

2p  60 p p Æx5 Æx5 rad 360 3 3

b) As distâncias percorridas pelos pontos A e B são, respectivamente, ∆sA e ∆sB: ∆sA  RA ∆ϕ  3 

p 3  (3,14)  3 3

RA

sB

r O

∆sA  3,14 m ∆sB  RB ∆ϕ  2 

sA

RB

B

A

Editoria de arte

2p rad ——— 360°

p 2  (3,14)  3 3 Jeremy Swinborne/Shutterstock.com

∆sB  2,09 m

2 No relógio da fotografia, o ponteiro dos minutos tem comprimento de 0,15 m. Para um intervalo de tempo de 15 minutos, determine: a) o deslocamento angular ∆j do ponteiro dos minutos; b) o deslocamento escalar da extremidade do ponteiro dos minutos. Relógio.

Resolução a) O intervalo de tempo de 15 min equivale, para esse ponteiro, a

1 2p rad p de volta. Logo, Dϕ 5 5 rad 4 4 2

b) O deslocamento escalar da extremidade do ponteiro dos minutos é dada por: p  0,23 Æ DsA 5 0,23 m DsA 5 RADϕ 5 0,15 ? 2

Capítulo 8

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Movimento circular

99

4/6/16 5:48 PM


Escreva no caderno

Exercícios propostos 1. Considere o movimento de rotação de um ponto A sobre a linha do equador durante 6 horas. Sabendo que a medida do raio da Terra é aproximadamente R T 5 6 370 km, determine: a) o deslocamento angular do ponto A;

π rad 2

Studio Caparroz

2. Dois corredores, vestidos com camisetas de números 1 e 2, após saírem de um trecho retilíneo da pista, atingem um trecho circular de centro O. A trajetória circular descrita pelos corredores tem raios R 1 5 10 m e R2 5 15 m, respectivamente.

∆s1

∆ϕ

∆s2

1

2

a) os deslocamentos angulares, em radianos, de cada um dos corredores; Dϕ1 5 Dϕ2 5 π rad b) as distâncias percorridas pelos corredores. Ds1  31,4 m e Ds2  47,1 m

b) a distância percorrida pelo ponto A. 10 000 km

O

Determine, para Dϕ 5 180°:

3. O hodômetro de um automóvel mede a distância percorrida por ele. Em síntese, mede o número de voltas efetuadas pela roda, de tal forma que, conhecendo o diâmetro dessa roda, teremos a distância percorrida. Um automóvel tem rodas de diâmetro 0,5 m e percorre 15 km viajando da cidade A até a cidade B. (Considere π = 3.) Calcule quantas voltas realiza cada roda do automóvel no percurso entre as cidades A e B. 104 voltas. 4. (Unicamp-SP) No verão brasileiro, andorinhas migram do hemisfério norte para o hemisfério sul. Admitamos que elas voem, ao longo de um meridiano, uma distância total de 9 000 km em 30 dias. a) Se as andorinhas voam 12 horas por dia, qual é a sua velocidade média enquanto estão voando? 25 km/h b) Considerando-se a Terra uma esfera de raio igual a 6 400 km, qual é o ângulo descrito pelas andorinhas na migração? 1,41 rad

2. Velocidade angular C’ vC

B’ vB

Editoria de arte

A’ Dϕ

vA

O

A

B

C

Vamos imaginar outra posição para as cabines da roda-gigante da página 98: três cabines dispostas sobre o mesmo segmento de reta OC nos pontos A, B e C. A roda, ao girar, fará a cabine que está sobre o ponto A descrever um arco de circunferência AA’ menor que o arco BB’ descrito pelo ponto B, que, por sua vez, será menor que o arco CC’ descrito pela cabine colocada sobre o ponto C. Quando o segmento de reta OC da roda sofre um deslocamento angular Dϕ, os pontos A, B e C descrevem respectivamente os arcos )AA’, ) BB’ e )CC’ no mesmo intervalo de tempo ∆t. O módulo da velocidade do ponto A é menor que o módulo da velocidade do ponto B, que, por sua vez, é menor que o módulo da velocidade do ponto C: vA  vB  vC Entretanto, nesse mesmo intervalo de tempo, os pontos A, B e C sofrem o mesmo deslocamento angular. Por conta disso, a velocidade angular média m, definida pela razão entre o deslocamento angular Dϕ e o intervalo de tempo Dt, é a mesma para os pontos A, B e C: ωm 5

Dϕ Dt

Note que todos os pontos do segmento de reta OC, exceto o ponto O, apresentam a mesma velocidade angular média.

100

Unidade 3

Cinemática vetorial

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É o que ocorre, por exemplo, com os ponteiros de um relógio: qualquer um deles apresenta a mesma velocidade angular média, exceto a extremidade ligada ao eixo de rotação. Se o ângulo Dϕ é medido em radianos e o tempo Dt em segundos, a unidade de medida da velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s). Quando definimos velocidade escalar instantânea, usamos o conceito matemático de limite. Analogamente, para definir velocidade angular instantânea, usaremos o mesmo recurso: em um intervalo de tempo que tende a um valor infinitamente pequeno, a velocidade angular média ωm tende à velocidade angular instantânea .

Relação entre as grandezas angulares e lineares Consideremos um ponto descrevendo movimento circular com velocidade escalar v e velocidade angular . Vejamos a relação entre essas velocidades. Ds Dϕ Já sabemos que: v    1  e ω    2 Dt Dt RDϕ Como ∆s  R∆ϕ, da equação 1 resulta: v  e substituindo 2 em 1 , obtém-se: Dt v 5 ωR ou ω 5

v R

Exercícios resolvidos 3 Os atletas A e B correm em uma pista descrevendo trajetórias aproximadamente circulares e concêntricas de tal forma que o raio da trajetória descrita pelo atleta A é RA e o do atleta B é RB  3RA. Sabendo que vA  vB e suas velocidades angulares são, respectivamente, ωA e ωB, determine a relação entre ωA e ωB. Editoria de arte

Resolução vA  ωARA O



vB  ωBRB

vA

RA

vB

RA RA

vA  vB  v ωARA  ωBRB Æ ωARA  ωB ? 3RA Æ

ωA ωB

3

4 Um ciclista descreve uma trajetória circular em uma ciclovia cujo raio de curvatura mede 600 m. Quanto tempo é necessário para que esse ciclista percorra um arco de circunferência de ângulo central 30°? Sabe-se que durante todo o percurso a velocidade foi constante e igual a 10 m/s. Considere p 5 3.

Resolução Considerando o deslocamento angular Dϕ, temos: 2p rad ——— 360° Dj ——— 30° Dj 5

2p ? 30° 360°

rad Æ  Dϕ 5

Temos: v 5 ω ? R e ω 5

p rad 6

Dϕ Dϕ   Æ  v 5 ?R Dt Dt

p 6 ? 600 Æ Dt 5 30 s 10 5 Dt

Capítulo 8

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Movimento circular

101

4/6/16 5:48 PM


Escreva no caderno

Exercícios propostos

6. Considere um disco que gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro O. Sabendo que a velocidade do disco é 3,5 rad/s, calcule a velocidade escalar dos pontos X e Y assinalados na figura a seguir. 14 cm/s; 28 cm/s

8. Obedecendo às condições de segurança, um motociclista percorre a curva de uma estrada, mantendo o ponteiro do velocímetro em 30 km/h, de forma constante, durante 72 s. Sabendo que essa curva foi construída com raio igual a 2,0 km, determine a medida do ângulo central correspondente ao arco percorrido pelo veículo, nesse período de 72 s. ∆  0,30 rad roibu/Shutterstock.com

5. Um ciclista percorre parte de uma pista com o formato de uma circunferência. Sabendo que ele descreveu uma trajetória de ângulo central 3,0 rad em 6 s, calcule a velocidade angular média nesse intervalo de tempo. 0,5 rad/s

O vx vy

X

4 cm

Y

4 cm

Rigo Rosário Jr.

rotação

Marcos Issa/Argosfoto

7. A ideia de preservação ambiental de forma sustentável tem provocado algumas ações de iniciativas governamentais e privada, com objetivo de dar apoio ao reflorestamento, à conservação e à recuperação florestal de áreas degradadas ou convertidas, e ao uso sustentável de áreas nativas na forma de manejo florestal. Em uma dessas áreas, com autorização legal para fazer o corte de eucaliptos, o agricultor escolheu um tronco vertical e cortou rente ao solo. Sabendo que o terreno é plano e horizontal, a base do tronco não escorregou e a queda da árvore demorou 6 s, determine:

Motociclista percorrendo curva.

9. Sobre o asfalto de uma pista circular foram marcadas, com tinta branca, duas circunferências concêntricas, de tal forma que o raio da circunferência externa (Re) é o triplo do raio da circunferência interna (Ri). Considere dois móveis se deslocando sobre essas circunferências, com velocidades escalares iguais (V), e que suas velocidades angulares são we e wi, respectivamente, para o móvel que se desloca sobre a circunferência externa e interna. Nesse caso, determine a relação entre as velocidades angulares dos móveis. i 5 3 e

10. (Fuvest-SP) Um automóvel percorre uma pista circular de 1 km de raio com velocidade de 36 km/h. Em quanto tempo o automóvel percorre um arco de circunferência de 30°? 52,3 s

Florestamento para a indústria de celulose, São Paulo (2006).

a) a velocidade angular média do tronco durante a p rad/s queda; m 5 12 b) a velocidade escalar média de um ponto de marcação, feito no tronco, a 12 metros da base. vm 5 p m/s

102

Unidade 3

Cinemática vetorial

11. Uma pessoa encontra-se sentada na cadeirinha de uma roda-gigante que gira com velocidade constante. A distância da cadeirinha ao centro da roda-gigante é de 10 m e a roda realiza meia volta em 5 minutos. Determine a velocidade angular e a velocidade linear da pessoa sentada na cadeirinha. Considere p  3. 0,01 m/s


3. Movimento circular uniforme vrjo y

ne r/S

h o rst te ut

Em Cinemática escalar, mostramos que, se o movimento de um ponto material é uniforme, ele percorrerá distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, ou seja, a velocidade escalar será constante e diferente de zero.

com ck.

Resgatando a ideia de movimento uniforme, podemos adequá-la à trajetória circular. Assim, o movimento circular de um ponto material será uniforme quando ele descrever ângulos iguais em intervalos de tempo iguais, ou seja, com velocidade angular constante e diferente de zero.

ω v

O movimento descrito pela extremidade do ponteiro dos segundos de um relógio exemplifica um movimento circular uniforme. O movimento circular uniforme (MCU) apresenta algumas características importantes: • A velocidade angular instantânea  tem o mesmo valor da velocidade angular média m em qualquer intervalo de tempo (ω  ωm).

O ponteiro dos segundos descreve um movimento circular com velocidade angular , e a extremidade desse ponteiro descreve uma circunferência com velocidade escalar v.

• A velocidade vetorial tem intensidade v constante, e sua direção e seu sentido variam para cada ponto da trajetória. Considere o movimento uniforme de uma partícula, entre as posições A e B, sobre uma trajetória circular. No instante ti, a partícula se encontra na posição A e tem posição angular inicial, em relação ao eixo x de referência, definida pelo ângulo ji. No instante t, o móvel se encontra no ponto B e sua posição angular, em relação ao eixo x, é j. sentido do movimento B

ti

t

A Editoria de arte

 

i x

Observando que a velocidade angular instantânea é constante e igual à velocidade angular média, teremos: ω  ωm 

ϕ 2 ϕi Dϕ äω Dt Dt 2 ti

j  ji  ω(t  ti) Se ti  0, então: j 5 ji 1 t

(equação horária angular do MCU)

Capítulo 8

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Movimento circular

103

4/6/16 5:49 PM


4. Período e frequência y

sentido do movimento A

Paulo Nilson

R

v

O

x

Em relação ao referencial fixo adotado, o ponto A completa, em 60 s, um ciclo, aqui representado por uma circunferência de comprimento 2πR.

Retomando o exemplo do ponteiro do relógio que registra os segundos, veremos que o ponto A, situado na extremidade do ponteiro, descreve a mesma trajetória, repetidamente, a cada intervalo de tempo de 60 s. A repetição em intervalos de tempo iguais define o movimento circular uniforme como periódico. Se adotarmos um referencial fixo O no centro da circunferência, o ponto A descreverá uma volta completa, a cada 60 s, chamada ciclo. Em um movimento periódico é importante destacar duas grandezas: o período e a frequência. • Período T é o intervalo de tempo gasto para que o ponto material descreva um ciclo (no exemplo, o ponto A). A unidade do período, no SI, é o segundo (s). • Frequência f é o número de ciclos realizados na unidade de tempo. A unidade de frequência no SI é ciclos por segundo (ciclos/s) ou hertz (Hz), que homenageia o físico alemão Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894). Também é usual a unidade rpm (rotações por minuto). Para estabelecer a relação entre Hz e rpm, faremos: 1 rpm 5

1 ciclo 1 ciclo 1 5 5 Hz min 60 s 60

Para relacionarmos o período e a frequência de um movimento circular, podemos fazer uma regra de três, lembrando que um ponto material executa 1 ciclo no intervalo de tempo de 1 período (1 ciclo — 1 T). Entretanto, pela definição de frequência, quando o ponto material descreve um número de ciclos equivalente à frequência, o tempo gasto será igual à unidade (f ciclos — 1). 1 ciclo — 1 T f ciclos — 1

Æ

T5

1 f

Dessa forma, o período é o inverso da frequência. É possível ainda relacionar a velocidade angular  e a velocidade escalar v com o período e a frequência do movimento circular uniforme. Se retomarmos o ponteiro do relógio e considerarmos que o ponto A percorre a circunferência de raio R e descreve uma volta completa, cujo ângulo é Dϕ 5 2π rad, em um intervalo de tempo igual ao período (Dt 5 T), teremos: ω5

Dϕ Dt

Æ

ω5

2π T

ou

ω 5 2πf

Seguindo o mesmo raciocínio, consideremos agora a distância percorrida pelo ponto A ao descrever a mesma volta completa. No intervalo de tempo igual ao período (Dt 5 T), o ponto A percorre uma distância igual ao perímetro da circunferência, ou seja, 2πR: v5

104

Unidade 3

Ds Dt

Æ

v5

2πR T

ou

v 5 2πRf

Cinemática vetorial

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Exercício resolvido 5 A pedra de um esmeril de 0,10 m de raio descreve movimento de rotação uniforme com uma frequência de 1 800 rpm. Determine: a) a frequência;

c) a velocidade angular;

b) o período;

d) a velocidade escalar da borda da pedra do esmeril.

Resolução a) Para determinar a frequência, temos uma regra de três simples: 1 Hz  ———  60 rpm x Hz  ———  1 800 rpm x

1 800  30 60

Portanto, f  30 Hz b) Se T 

1 1 , então T  s f 30

c) Sabendo que   ∆j  2p, temos:

Dϕ e considerando ∆t  T e Dt

2p  2pf Æ w  2p  30 ⇒ w  60p rad/s T Ds d) Sabendo que v  e considerando Dt  T e Dt Ds  2pR, temos: w

v

2pR ou v  2pRf T

Logo, v  2p  0,10  30 Æ v  6p m/s

Escreva no caderno

Exercícios propostos 12. As velocidades angulares dos ponteiros são iguais para os dois relógios, enquanto a velocidade escalar da extremidade do ponteiro do relógio maior é maior do que a do ponteiro do relógio de pulso.

13. Uma moto percorre em MU uma pista circular, completando 30 voltas em 1h30. De­termine: a) o tempo utilizado pela moto para completar uma volta; 3 min  180 s 1 Hz b) a frequência do movimento em hertz. 180

14. (UERJ) Uma das atrações típicas do circo é o equilibrista sobre monociclo. O raio da roda do monociclo utilizado é igual a 20 cm, e o movimento do equilibrista é retilíneo. O equilibrista percorre, no início de sua apresentação, uma distância de 24 m.

Determine o número de pedaladas, por segundo, necessárias para que ele percorra essa distância em 30 s, considerando o movimento uniforme. 0,6 pedalada por segundo. 15. A polia de um motor descreve movimento de rotação uniforme, com frequência de 3 600 rpm. A distância entre um ponto P, marcado na periferia da polia, e o centro dessa polia é 0,15 m. Nessas condições, determine: a) a frequência com a qual a polia descreve o movimento de rotação uniforme, em hertz; 60 Hz b) o período em segundos;

1 s 60

c) a velocidade angular em rad/s; 120p rad/s d) a velocidade escalar v, desenvolvida pelo ponto P.

56,52 m/s

Capítulo 8

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Paulo Cesar

Fayez Photo/AFP

12. Durante uma visita à cidade de Meca (Arábia Saudita), um físico ficou admirado com o tamanho do relógio, considerado o maior do mundo, e começou a fazer algumas observações. Comparou a enorme diferença entre o comprimento dos ponteiros daquele relógio e o dos ponteiros do relógio que trazia no pulso. Comparou também as velocidades angulares dos ponteiros dos minutos e as velocidades escalares das extremidades desses ponteiros. Supondo o funcionamento adequado do relógio, o que é possível afirmar a respeito da comparação das velocidades angulares e A torre Abraj Al-Bait mede 601 m escalares de ambos e está localizada em Meca, Arábia Saudita (2011). os relógios?

Movimento circular

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16. Durante o treinamento, duas atletas correm na mesma pista circular mantendo-se lado a lado com velocidade constante, em módulo. Sabendo que a atleta mais alta percorre a raia externa e a atleta mais baixa, a raia interna, responda e justifique estas questões: a) Durante a corrida, as atletas apresentam aceleração?

Sim, a velocidade das atletas varia em direção e sentido.

b) Compare a frequência dos movimentos circulares descritos pelas atletas. Os movimentos descritos pelas duas atletas têm a mesma frequência.

c) Compare as velocidades escalares das atletas.

A atleta mais alta descreve uma circunferência de raio maior, portanto sua velocidade escalar é maior.

17. Há diversos tipos de satélites artificiais enviados ao espaço. No caso das telecomunicações, são utilizados satélites geoestacionários, que conseguem manter, em relação à superfície da Terra, uma posição praticamente sem variações. Considere um satélite a 36 000 km de altura e o raio da Terra 6 400 km, aproximadamente. Nessas condições, determine: a) o período de rotação ao redor da Terra, descrito pelo satélite; 24 horas v  1,1 ? 104 km/h b) o módulo da velocidade linear do satélite; c) a velocidade angular do satélite.

p rad/h 12

Karlheinz Weichert/Tyba

Pense além Conversa de jornalista Três jovens jornalistas redigiram suas matérias e as enviaram à central de informações do jornal onde trabalham. A primeira jornalista está na Islândia, pesquisando sobre o Sol da meia-noite; a segunda está no Brasil, próxima à linha imaginária do equador, registrando o que ocorre com a luz solar (nos equinócios) ao passar pela abertura do Marco Zero, em Macapá; a terceira está na cidade de Maringá (PR) sobre a linha imaginária do Trópico de Capricórnio.

Arnold Drapkin/Zumapress.com/Glow Images

Ricardo Azoury/Pulsar

Complexo turístico-cultural em Macapá, Brasil, onde se destaca o Marco Zero, um obelisco de 30 metros de altura que tem uma abertura no alto. Nos equinócios (março e setembro) a luz do Sol que passa pela abertura projeta um feixe de luz sobre a linha do equador (imagem de 2013).

A linha imaginária do Trópico de Capricórnio atravessa o centro da cidade de Maringá (PR), passando pela bela catedral Basílica Menor Nossa Senhora da Glória (imagem de 2014). Com forma cônica, possui 124 metros de altura. O Sol da meia-noite, observado de Vesturland (uma das regiões da Islândia), é um fenômeno natural que acontece nos meses de verão ao norte do Círculo Polar Ártico e ao sul do Círculo Polar Antártico. Nesse fenômeno o Sol permanece visível praticamente 24 horas por dia (imagem de 2015).

Ao receber as notícias, a redatora chefe começou a pensar nos três locais de onde as jornalistas haviam enviado os textos e, naquele instante, concluiu que as jornalistas giram ao redor do eixo da Terra descrevendo movimentos circulares e uniformes e formulou quatro frases afirmando que as três localidades apresentam: A: A mesma velocidade angular e frequência, porém aquela que está próxima ao Círculo Polar tem a maior velocidade tangencial. B: A mesma velocidade angular e frequência, porém aquela que está próxima ao Trópico de Capricórnio tem a maior velocidade tangencial. C: A mesma velocidade angular, a mesma frequência e a mesma velocidade tangencial. D: A mesma velocidade angular e frequência, porém aquela que está próxima à linha do equador tem a maior velocidade tangencial. Escreva no caderno

Responda

1. Considere que das afirmações feitas pela redatora chefe somente uma pode ser publicada como verdadeira. Qual é? Somente a afirmação D é correta.

106

Unidade 3

Cinemática vetorial

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4/6/16 5:49 PM


5. Transmissão do movimento circular uniforme lassedesignen/Shutterstock.com

A transmissão do movimento circular está presente em muitas máquinas, como relógios, bicicletas e em muitos outros dispositivos mecânicos. O movimento circular é produzido no eixo do motor e transferido por meio de polias, rodas e engrenagens. Entre duas rodas, o movimento pode ser transmitido por meio do acoplamento periférico ou coaxial. O acoplamento periférico é feito pelo contato direto ou por meio de correia ou corrente entre duas rodas. Nesse caso, quando não há escorregamento e a correia (ou corrente) é inextensível, a velocidade escalar periférica das rodas é igual.

A

B

B

vB

vB

vA

vA vC

vA 5 vB 5 vC

Os mecanismos presentes na bicicleta permitem seu funcionamento.

vA 5 vB B

A

No acoplamento coaxial as rodas têm eixo de rotação comum, o que lhes confere velocidade angular igual.

Ilustrações: Paulo Cesar

A

 5 A 5 B  A

B

Exercício resolvido 6 A figura mostra um sistema formado por três engrenagens, A, B e

b) o sentido e a frequência de rotação da engrenagem B;

C

Alex Argozino

C, onde os dentes estão acoplados. Sabendo que os raios das engrenagens são: RA 5 10 cm, RB 5 20 cm e RC 5 15 cm e que a engrenagem A gira com frequência de 30 rpm, determine: a) o módulo da velocidade linear em um ponto da engrenagem C;

B

A

c) o sentido de rotação e o período de rotação da engrenagem C. Considere p 5 3.

Engrenagens acopladas.

Resolução São dados: RA 5 10 cm 5 0,10 m RB 5 20 cm 5 0,20 m RC 5 15 cm 5 0,15 m fA 5 30 rpm 5 0,5 Hz a) vA 5 vB 5 vC ωA ? RA 5 ωB ? RB 5 ωC ? RC 2p ? fA ? RA 5 2p ? fB ? RB 5 2p ? fC ? RC Então: fA ? RA 5 fC ? RC

1 0,5 ? 0,1 5 fC ? 0,15 ä fC 5 Hz 3 vC 5 ωC ? RC

1 1 ? 0,15 5 2 ? 3 ? ? 0,15 5 3 Æ 3 3 Æ vC 5 3 m/s vC 5 2p ?

b) fB ? RB 5 fC ? RC 1 ? 0,15 Æ fB 5 0,25 Hz 3 Sentido anti-horário.

fB ? 0,20 5

1 1 5 3 Æ TC 5 3 s 5 1 fC 3 Sentido horário. c) TC 5

Capítulo 8

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Movimento circular

107

4/22/16 14:18


Escreva no caderno

Exercícios propostos 18. A figura a seguir representa o mecanismo básico de uma bicicleta. Sabendo que os pedais giram num período igual a 2 s e que o raio da coroa é oito vezes maior que o raio da catraca, determine: Considere o raio da coroa igual a 10 cm e adote p = 3. pedal

pedal

a) o período de rotação da coroa; 2 s b) a frequência da catraca; 4 Hz c) a velocidade linear dos pontos da corrente. 30 cm/s Peter38/Shutterstock/Glow Images

19. A betoneira, mostrada ao lado, é um equipamento muito utilizado na construção civil para misturar materiais como areia, pedra, cimento e água, ingredientes usados na produção de concreto para preencher vigas e colunas que dão estrutura, por Betoneira. exemplo, a uma casa. Considere que, para misturar determinada quantidade de concreto, um operário utiliza uma betoneira que tem as seguintes características: ao redor do tambor do misturador existe uma grande cremalheira fixa, com formato de anel, de 120 cm de diâmetro. Acoplada a essa cremalheira há uma engrenagem, também em forma de anel, com diâmetro de 8 cm. O centro dessa engrenagem está preso ao eixo de um motor. Quando o motor é ligado, o seu eixo gira com frequência de 3 Hz, fazendo girar a engrenagem e, consequentemente, o tambor do misturador. Nesse caso, quanto tempo é necessário para o tambor completar uma volta? 5 s 20. (Enem/MEC) Para serrar ossos e carnes congeladas, um açougueiro utiliza uma serra de fita que possui três polias e um motor. O equipamento pode ser montado de duas formas diferentes, P e Q. Por questão de segurança, é necessário que a serra possua menor velocidade linear.

Alex Argozino

correia polia 1

e) Q, pois as polias 2 e 3 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor frequência. 21. Nas bicicletas com marchas é possível encontrar sistemas de tração com várias catracas de diferentes raios e também mais de uma coroa. Dessa forma, possibilitam ao ciclista utilizar o tamanho das engreEngrenagens de uma bicicleta. nagens de acordo com as condições do percurso percorrido. Baseado nos seus conhecimentos sobre Física, responda: a) Para obter uma velocidade maior, em relação ao solo, o ciclista deverá combinar as engrenagens de tal forma que a coroa seja maior que a catraca ou a catraca seja maior que a coroa? A coroa deve ser maior que a catraca. b) O que ocorre se o raio da coroa (Rco) for quatro vezes maior que o raio da catraca (Rca)? c) Para subir, confortavelmente, um trajeto inclinado, uma bicicleta com apenas uma coroa deve fazer uso da catraca maior ou menor? Deve usar a catraca maior. 22. A figura abaixo mostra duas polias ligadas perifericamente por uma correia inextensível. Sabendo que a polia B tem raio 4 vezes maior que a polia A e esta efetua 40 rpm, qual a frequência da polia B? 10 rpm PA

correia

Cinemática vetorial

CS-FIS-EM-3030-V1-U03-C08-098-112-LA.indd 108

polia 1 correia Montagem Q.

ωB PB

ωA polia 2

Montagem P. Unidade 3

d) P, pois as polias 1 e 2 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que tiver menor raio terá maior frequência.

polia 2

motor

motor

108

serra polia de fita 3

c) P, pois as polias 2 e 3 giram com frequências diferentes e a que tiver maior raio terá menor velocidade linear em um ponto periférico.

Grandpa/Shutterstock.com

coroa

polia 3

pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor frequência. b) Q, pois as polias 1 e 3 giram com frequências iguais e a que tiver maior raio terá menor velocidade linear em um ponto periférico.

catraca

serra de fita

X a) Q,

Paulo Cesar

Paulo Cesar

corrente

Por qual montagem o açougueiro deve optar e qual a justificativa desta opção?

A B

21. b) Se o raio da coroa (Rco) for quatro vezes maior que o raio da catraca (Rca), então Rco 5 4 Rca, ou seja, enquanto a coroa dá uma volta a catraca dá 4 voltas e a roda, por estar acoplada à catraca, também dará 4 voltas.

4/6/16 5:49 PM


Pense além As ciclovias e a mobilidade urbana Atualmente muitos reconhecem a importância das ciclovias para a mobilidade urbana e a qualidade de vida das pessoas nos grandes centros urbanos. Muitos países já reconhecem o uso da bicicleta como um meio alternativo de transporte, como agente redutor da poluição ambiental, como incentivador da atividade física em qualquer idade e como um veículo que atende ao princípio da igualdade, ou seja, o custo de aquisição e manutenção é acessível a quase todas as camadas sociais. Rogerio Reis/Tyba A ideia que se tem sobre ciclovia como espaço destinado estritamente à circulação de bicicletas apareceu pela primeira vez em Paris, em 1862, quando as bicicletas não podiam circular entre charretes e carroças. Contudo, a popularização das ciclovias ocorreu somente em 1930, na Alemanha. Nos projetos mais modernos, a ciclovia é planejada com base na ideia de incentivar o uso deste meio de transporte para fins de trabalho, lazer e turismo, como ocorre, por exemplo, no famoso EuroVelo (um projeto de cicloturismo formado por uma rede europeia de ciclovias que cruzam o continente europeu). Em diversas cidades brasileiras há iniciativas ao uso de bicicletas como veículo de transporte. A cidade do Rio de Janeiro (RJ) lidera em quilômetros Ciclofaixa na Avenida Boa Viajem, em Recife, Pernambuco (imagem de 2013). de ciclovias. Conforme regulamentação da Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) existem definições específicas dos espaços cicloviários: a ciclovia é uma pista própria, separada do tráfego comum, destinada à circulação de bicicletas; a ciclofaixa é um trecho da pista de rolamento ou da calçada, destinada ao uso de bicicletas (que pode funcionar em dias específicos, como domingos e feriados); já a calçada partilhada é uma ciclofaixa criada a partir de parte do passeio público (calçada) ou do canteiro central. Para que a viabilização do uso da bicicleta como um meio de transporte urbano ocorra em uma escala maior, depende-se de aspectos como o respeito às leis de trânsito, aos limites e direitos dos outros e à convivência harmoniosa entre pedestres e condutores de veículos.

Atividades

Escreva no caderno

Respostas pessoais.

1. Que meio de transporte você utiliza no trajeto entre sua casa e a escola? Qual o custo ambiental e social dele? 2. No mesmo trajeto, quais os meios de transporte mais comuns utilizados pelas pessoas? Cite algumas possibilidades para diminuir o impacto ambiental e social deles. 3. Se você fosse projetar uma ciclovia em sua cidade, qual seria o trajeto dela? Onde seriam os pontos de partida e chegada e onde você colocaria estações de aluguel ou empréstimo de bicicletas? Para fazer o planejamento dessa ciclovia consiga o mapa de sua cidade e dados sobre a ocupação de cada região. Uma visita à prefeitura ou pesquisa no site serão etapas importantes.

Capítulo 8

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Movimento circular

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4/6/16 5:49 PM


Experimente a Física no dia a dia

3030-FIS-V1-C09-LA-F015 NOVA

Ciclovia em Amsterdã (Holanda). A cidade é considerada a capital das bicicletas do mundo.

Amsterdã, na Holanda, considerada cidade das bicicletas, abriga 800 mil habitantes e 880 mil bicicletas. Segundo estimativas do governo local, o número de bicicletas é quatro vezes maior do que o número de carros. Em diversas partes do mundo, a busca por alternativas que amenizem os congestionamentos no trânsito urbano e a poluição ambiental têm estimulado a adoção de medidas que facilitem o uso da bicicleta. Nesse sentido é possível destacar algumas cidades como Copenhagen, na Dinamarca; Montreal, no Canadá; Portland, nos Estados Unidos; Barcelona, na Espanha; Tóquio, no Japão; e, inclusive, cidades brasileiras como Sorocaba, Curitiba, Santos, Aracaju e Rio de Janeiro, que têm se destacado por essas iniciativas.

Alex Argozino

A Física e o funcionamento da bicicleta roda

coroa

catraca

Provavelmente, você já andou várias vezes de bicicleta e não teve a preocupação de observar os diversos conhecimentos, desenvolvidos pela Física, que são utilizados no funcionamento desse veículo tão popular. É o caso do sistema de tração, que, em uma bicicleta simples, é composto pela coroa (a engrenagem dianteira, movimentada pelos pedais) ligada por uma corrente à catraca (engrenagem traseira que está acoplada à roda traseira). Para entender, detalhadamente, o funcionamento desse sistema de tração e as grandezas físicas relacionadas ao movimento curvilíneo uniforme que estão envolvidas neste caso, vamos desenvolver a atividade experimental seguinte. Atividade experimental Os grupos de estudo podem ser formados por três ou quatro estudantes que deverão se organizar para interagir durante a realização das ações indicadas a seguir:

110

Atenção

Materiais • lápis e papel • uma bicicleta • um relógio que marque os segundos • uma fita métrica • fita adesiva

Faça o experimento somente na presença do professor.

Passo a passo • Construa no caderno uma tabela para registrar os dados obtidos. • Mantenha uma bicicleta com as rodas para cima enquanto o guidão e o selim permanecem apoiados no chão. Dotta2

Nongnut /Shutterstock.com

Experimente os recursos da bicicleta

Detalhe do arranjo experimental.

• Com um pedaço de fita adesiva, marque um ponto A no aro da roda, junto ao pneu. • Meça o comprimento do raio da roda, isto é, a distância do eixo da roda até o ponto A. Esse valor (RA) corresponde ao raio da trajetória do ponto A. • Com outro pedaço de fita adesiva, marque no raio da roda um ponto B. Essa marcação deve ser feita de tal forma que a distância do ponto B ao eixo da roda corresponda à metade da distância do ponto A ao eixo, ou seja, RA 5 2 ? RB. • Impulsione a roda para que ela gire rapidamente. Cuidado para que não tombe. • Meça o intervalo de tempo, para que os pontos A e B deem dez voltas.

Responda

Escreva no caderno

1. Organize os dados coletados e determine o período, a frequência, a velocidade angular média e a velocidade escalar média para os pontos A e B. 2. Compare os valores obtidos para os pontos A e B, de tal forma que seja possível afirmar se todas essas grandezas permanecem constantes ou se sofrem variação. 3. Caso a marcação sobre o raio da roda, para o ponto B, seja feita de tal forma que RA 5 4 ? RB, quais serão os valores obtidos para essas grandezas físicas?

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume. Unidade 3

Cinemática vetorial

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4/15/16 8:21 AM


Escreva no caderno

Exercícios complementares 1. (Unesp-SP) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelos vetores deslocamento d1e d2 ilustrados na figura.

d2 5 6 km

30º

Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e, para a segunda entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra do ponto de partida é: X c) 2

b) 8 km

19 km

e) 16 km

d) 8 3 km

2. Em uma trajetória circular de raio 10 m, move-se um corpo C, com velocidade escalar constante. No instante t 51,0 s o módulo da aceleração vetorial instantânea aR é igual a 32 m/s2, como mostra a figura ao lado. 3 4 Dados: sen  = e cos  5 . 5 5 Nesse instante, encontre: a) a velocidade escalar; 16 m/s

Ilustrações: Editoria de arte

a) 4 km

a) O mesmo ângulo de lançamento e a mesma altura. b) O mesmo ângulo e altura diferente. X c) Um ângulo menor e a mesma altura. d) Um ângulo maior e a mesma altura. e) Um ângulo diferente e altura diferente. 6. O objetivo de um ciclista é percorrer um trajeto, mantendo a velocidade escalar constante e um ritmo constante de pedaladas para que a sua velocidade angular seja de 4 rad/s. Caso ele consiga seu objetivo e sabendo que a roda da bicicleta tem diâmetro 0,8 m, determine a velocidade escalar desse ciclista. Considere o raio da catraca (R) quatro vezes menor do que o raio da coroa. v 5 6,4 m/s

C 

ar

b) a aceleração tangente. 19,2 m/s2 3. O piloto de um avião de salvamento lança uma mala com alimentos a 1  000 m de altura em relação ao solo. Sabendo que o avião des­creve uma trajetória retilínea e horizontal e que desenvolve velocidade v  100 m/s, determine: a) a que distância horizontal do avião, relativa ao instante do lançamento, caiu a mala; 1 414 m b) com que velocidade a mala chegará ao solo. ∑173 m/s 4. Um jogador de golfe dá uma tacada na bolinha imprimindo a ela uma velocidade de 20 m/s sob um ângulo de 30° com a horizontal. Considerando que seu objetivo é acertar um buraco que está a 40 m de distância de seu ponto, a que distância desse buraco a bolinha tocará o solo? Despreze a resistência do ar e considere sen 30° 5 0,50, cos 30° 5 0,87 e g 5 10 m/s². 5,4 m do buraco.

5. (OBF) Um projétil é lançado por um canhão localizado sobre um trem que está com velocidade horizontal constante v0 em relação ao solo. Para um passageiro do trem, o canhão aponta para a frente formando um ângulo  com a horizontal, e o projétil é lançado com velocidade de módulo igual a v1. Para esse passageiro a altura máxima, atingida pelo projétil, em relação ao solo, é h. Para um observador localizado no solo, qual

7. Com o olhar voltado apenas para a estética, o proprietário de um carro resolveu substituir o conjunto de rodas/pneus por outros, com raio menor do que o anterior. Nesse caso, as indicações fornecidas pelo velocímetro serão maiores ou menores do que seriam se não ocorresse a substituição? Considere que, geralmente, as indicações dadas pelo velocímetro de um veículo se baseiam no número de voltas efetuadas pela roda. A indicação do velocímetro será maior do que a real. 8. (Unicamp-SP) As máquinas cortadeiras e colheitadeiras de cana-de-açúcar podem R = 60 cm substituir dezenas de traba- P lhadores rurais, o que pode alterar de forma significativa a relação de trabalho nas lavouras de cana-de-açúcar. A pá cortadeira da máquina ilustrada na figura acima gira em movimento circular uniforme a uma frequência de 300 rpm. A velocidade de um ponto extremo P da pá vale: (Considere p ∑ 3.) a) 9 m/s X c) 18 m/s b) 15 m/s d) 60 m/s

Walter Caldeira

d1 5 10 km

será o ângulo de lançamento do projétil e a altura máxima, em relação ao solo, alcançada pelo projétil?

9. (Enem/MEC) Nos X Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. X d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas. Capítulo 8

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Movimento circular

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4/6/16 5:49 PM


Mais de dois séculos separam o conhecimento registrado por Newton sobre a colocação de um satélite em órbita ao redor da Terra e a realização desse feito. Com o auxílio de foguetes, os satélites são colocados em órbita de forma que a distância que os separa da Terra (altura) é estrategicamente calculada. A cada altura em relação à superfície terrestre corresponde uma velocidade específica do satélite. No caso em que o satélite é colocado a uma distância de aproximadamente 35 786 km da superfície da Representação de dois satélites geoestacionários orbitando a Terra Terra, em um ponto situado no plano (imagem sem escala, sem proporção e em cores-fantasia). do equador, ele terá tal velocidade (cerca de 11 000 km/h) que gastará cerca de 24 horas para completar sua órbita. Ou seja, gastará o mesmo tempo que a Terra leva para realizar uma rotação completa ao redor do seu eixo. Portanto, o satélite estará sempre sobre o mesmo ponto da superfície do planeta e, para um observador nesse ponto, parecerá que ele não se desloca. Nessas condições, embora o satélite esteja girando com uma velocidade de aproximadamente 11  000 km/h em relação ao eixo (ou centro) da Terra, ele estará em repouso (velocidade nula) para um ponto na superfície do planeta, pois ambos estarão com a mesma velocidade angular. Falamos “em repouso”, pois, se considerarmos como referencial um ponto da superfície do planeta, a posição do satélite não se alterará com o tempo. Entretanto, existem inúmeros tipos de órbitas. Na chamada órbita polar, o satélite passa pelos polos da Terra a cada revolução. A vantagem desse tipo de órbita é que, enquanto a Terra faz seu movimento de rotação, o satélite mantém sua órbita fixa, tendo, assim, uma vasta cobertura da superfície do planeta. Isso permite que o satélite em órbita polar seja utilizado para mapeamentos geográficos. Satélites em órbitas “baixas”, como a polar, por exemplo, com cerca de 1 000 km de altitude, passam diversas vezes sobre um ponto na superfície da Terra. Nesses casos, a velocidade orbital é elevada, da ordem de 30 000 km/h. Segundo estimativas recentes da Agência Espacial Europeia, cerca de 6 000 satélites já foram colocados em órbita terrestre, sendo que somente 800 deles ainda estariam em funcionamento. Além dos satélites, há muito lixo espacial em órbita, constituído basicamente de fragmentos de restos de foguetes e satélites que se quebraram, explodiram em colisões ou foram simplesmente desativados.

Ilustrações: Luís Moura

De volta ao começo

Representação de satélites e lixo espacial em órbita da Terra. A grande concentração de objetos próximos à Terra está em órbitas de “baixa” altitude. O cinturão de objetos mais afastados da Terra está em órbita equatorial geoestacionária (imagem sem escala, sem proporção e em cores-fantasia).

112

Unidade 3

Cinemática vetorial

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4/6/16 5:49 PM


Unidade

Delfim Martins/Pulsar

4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

Campeonato interaldeias do Alto Xingu (MT) em 2012.

Clive Rose/FIFA/Getty Images

Em diversos momentos do nosso cotidiano, como quando ligamos nosso computador para trabalhar ou estudar, quando utilizamos um meio de transporte ou nossos próprios pés para chegar até a escola, até nos momentos mais relaxantes, como no final do dia, quando temos um tempo livre para praticar um exercício ao ar livre, ou simplesmente observamos pessoas praticando exercícios físicos. Em todas essas situações, a Física se faz presente. • Em um jogo de futebol, você consegue relacionar algumas das jogadas com aspectos da Física? Quais? • É comum o uso de termos de Física durante a narração de alguns esportes. Você conhece algum exemplo? Caso não conheça, faça uma pesquisa e investigue os usos das palavras força e impulso, muito utilizadas por comentaristas e narradores de partidas de futebol.

Jogo entre Brasil e Austrália durante a Copa Mundial de Futebol Feminino no Canadá, em 2015.

Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

113

4/15/16 8:28 AM


CAPÍTULO 9

As leis de Newton e suas aplicações 1. D  inâmica: as causas do movimento

Steve Byland/Shutterstock/Glow Images

• Por que os pássaros conseguem voar?

• Por que a Lua se movimenta ao redor da Terra?

Germanskydiver/Shutterstock/Glow Images

Nas Unidades anteriores estudamos alguns conhecimentos de Cinemática que explicam algumas características do movimento, como velocidade e aceleração. Mas podemos também questionar: É necessário agir sobre esse corpo para alterar sua velocidade? E para mantê-la? NASA Images

Professor, os comentários das questões da abertura de Unidade encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

• P or que o paraquedista cai quando salta do avião?

Essas perguntas tratam das relações entre as causas do movimento e seus efeitos, objetivo desta Unidade. A Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda os movimentos, suas causas e seus efeitos. Observar o movimento dos corpos, buscar as causas e relacioná-las com suas consequências não é preocupação recente. Os registros mais significativos dessas pesquisas foram deixados por Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.), Galileu Galilei (1564-1642), Isaac Newton (1642-1727) e Albert Einstein (1879-1955), como veremos mais adiante. Em nosso estudo sobre as causas e os efeitos do movimento de um corpo, vamos desconsiderar suas dimensões, ou seja, considerá-lo como um ponto material.

2. Noção de força

ti

Paulo Nilson

vi

114

tf

Unidade 4

vf

Vamos retornar o exemplo do movimento de queda de uma esfera em plano inclinado, que estudamos na Unidade de Cinemática escalar. Notamos que esse movimento é acelerado, isto é, a cada instante da descida, a esfera adquire maior velocidade. Nessa situação, podemos nos perguntar: Por que a esfera se move? O que faz sua velocidade aumentar? Assim como na queda livre, na proximidade da superfície da Terra, podemos explicar o fato de os corpos caírem em direção ao seu centro, ou descerem um plano inclinado, pela ação da gravidade, uma interação entre o corpo em movimento e nosso planeta.

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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4/7/16 9:15 AM


Pare e pense

Photodisc/Getty Images

De maneira geral, a interação entre quaisquer corpos pode ser descrita por meio da noção de força. Nessa interação, os corpos atuam um no outro, provocando o surgimento de pares de forças, de tal forma que cada força age em um corpo. A força é o agente causador de alterações no estado de repouso ou de movimento dos corpos. A mesma intensidade de força, quando aplicada em direções e sentidos diferentes, pode produzir efeitos também diferentes, o que nos leva a considerá-la uma grandeza vetorial.

Ela me deu uma força ao emprestar este guarda-chuva.

Força resultante

1o caso: as forças F1 e F2 agem sobre A.

2o caso: as forças F1, F2 e F3 agem sobre A.

F2

F1

A

F3

Editoria de arte

F2 A

F1

A força resultante é dada por:

A força resultante é dada por:

R  F1  F2

R  F1  F2  F3

Daniel Cardenas/LatinContent/GettyImages

Em muitas situações, é possível que o mesmo corpo esteja sujeito à ação de várias forças. Nesse caso, representamos essas forças por apenas uma, chamada força resultante. Devemos entender a força resultante apenas como uma força representativa, que age no corpo causando o mesmo efeito que o conjunto de todas as forças. Para obtermos a força resultante R, precisamos fazer a soma vetorial das várias forças que atuam no corpo. Exemplificando, vamos considerar o ponto material A nos dois casos a seguir: Na Paraolimpíada predominam a força de vontade e a superação.

Os usos da palavra força no nosso dia a dia estão de acordo com o conceito físico? É possível definir força como uma grandeza física? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Generalizando, dizemos que sobre o ponto material A agem n forças, F1, F2, ..., Fn: F  40 N na parede Antonio Robson

F  40 N

R  F1  F2  ...  Fn

Os métodos de adição vetorial, já vistos, se aplicam a esse caso. Para medir a intensidade de uma força, podemos usar um aparelho chamado dinamômetro, constituído basicamente de uma mola e uma escala. O maior ou menor alongamento da mola determinará a maior ou menor intensidade da força. No SI, a unidade de força é o newton (N). Outra unidade utilizada, que não faz parte do SI, é o quilograma-força (kgf). A relação entre essas duas unidades é: 1 kgf  9,8 N

F  40 N

A unidade de força do SI faz homenagem ao físico inglês Isaac Newton. Mas é preciso observar que a unidade deve ser escrita com letra minúscula (newton), e seu símbolo, com letra maiúscula (N). Capítulo 9

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Escala do dinamômetro graduada em newtons. As leis de Newton e suas aplicações

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4/7/16 9:15 AM


Exercícios resolvidos 1 Considere FA  3 N e FB  4 N e determine a intensidade da força resultante nos seguintes casos:

b) FA e FB têm direção horizontal e mesmo sentido.

FA

c) FA e FB formam um ângulo de 90° entre si.

FB

FA

FA

Ilustrações: Grace Arruda

a) FA e FB têm direção horizontal e sentidos opostos.

FB

FB

Resolução a) Considerando os sentidos de FA e FB opostos, temos: R  FB  FA e, em intensidade, R  FB  FA. R  4 2 3  1 Æ R  1 N (para a direita) b) Considerando FA e FB no mesmo sentido, temos: R  FB  FA e, em intensidade, R  FB  FA. R  4 1 3  7 Æ R  7 N (para a direita)

FA

c) Considerando o ângulo de 90° formado entre FA e FB, temos: R  FB  FA, em intensidade, R2  F B2  FA2  42  32 Æ R2  25

R

R  25 Æ R  5 N

FB

F1

F2

Alex argozino

2 A figura abaixo representa um carro, de massa 1000 kg, sendo puxado por duas pessoas.

Sabendo que F1  20 N e F2  30 N e desprezando os atritos, determine: a) a aceleração do carro; b) a velocidade do carro após 20 s de movimento, sabendo que ele partiu do repouso.

Resolução a) R  20  30  50 N

b) v 5 v0  a ? t

R5m?a

v 5 0  0,05 ? 20 Æ v 5 1 m/s

50 Æ a 5 0,05 m/s2 50 5 1 000 ? a Æ a 5 1 000

3 Considerando-se duas forças de intensidade 30 N e 45 N, encontre as resultantes de intensidades máxima e mínima dessas forças.

Resolução

Rmáx 5 30 1 45 5 75 N Rmín 5 45 2 30 5 15 N

116

Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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4/15/16 8:29 AM


Escreva no caderno

Exercícios propostos 1. É uma grandeza capaz de modificar o movimento de um corpo (direção, sentido ou variação de sua velocidade) ou deformá-lo.

2. Reescreva as afirmações a seguir no caderno tornando-as verdadeiras.

Na figura, estão representadas as direções e os sentidos das forças que agem no barco (o barco está representado pelo ponto material P): F1

a) Quando um jogador de futebol chuta uma bola em direção ao gol, a bola sai de seu pé com força.

F3

b) Um garoto observa uma bola que rola sozinha em uma quadra até parar. Diante desse fato, ele considera a ausência de forças aplicadas na bola. c) Um corpo está em equilíbrio quando a soma das forças atuantes é diferente de zero. Respostas no final do livro. 3. O que é força resultante?

É uma força representativa que, ao agir no corpo, causa o mesmo efeito que o conjunto de todas as forças.

4. Na Física, assim como em outras disciplinas, é necessário organizar os estudos que buscam soluções para as nossas indagações. Por exemplo, na Mecânica concentramos os estudos relativos à ideia de movimento, que, por sua vez, podem ter objetivos ligados à Cinemática ou à Dinâmica. Descreva uma situação que justifique a diferença entre os objetivos da Cinemática e os da Dinâmica, ao analisar o movimento de estuda os movimentos sem consideum ponto material. ArarCinemática suas causas, já na Dinâmica as causas dos movi-

mentos são fundamentais para realizar seu estudo.

5. Uma força de módulo 10 N e outra de módulo 12 N são aplicadas simultaneamente a um corpo. Qual das opções abaixo apresenta uma possível intensidade resultante dessas forças? a) 0

P

F2

Ilustrações: Editoria de arte

1. Explique o que é a grandeza física força.

Sabendo que dessa forma o barco se mantém em repouso, determine (em newton) o módulo da força F3, aplicada pela água no barco. 50 N Este enunciado é referente aos exercícios 8 e 9. Sobre a bancada de um laboratório, um corpo é submetido à ação de duas forças, F1 5 50 N e F2 5 20 N. A direção e o sentido dessas forças sofrem variações, durante um teste para que se saiba em que situações ocorrem a maior ou menor intensidade da força resultante R. 8. Encontre a intensidade da força resultante que age no corpo quando o ângulo formado entre as duas forças é: a) 608, sabendo que cos 608 = 0,5;  62,4 N F1 60w F2

b) 308, sabendo que cos 308  0,87.  68,1 N

b) 1 N

F1

X c) 15 N

d) 24 N

30w

e) 120 N 6. Em um trecho de estrada, sem calçamento, um veículo está atolado na lama. Para tirá-lo daí, um guincho aplica no veículo, com um cabo de aço, uma força F 5 950 N. Com base no texto, analise as afirmações a seguir: I. A informação contida nessa igualdade (F 5 950 N) está equivocada. Correta. II. A partir do instante em que o veículo começa a ser deslocado, a força aplicada pelo cabo de aço é a única força que age no veículo. Incorreta. 7. Por causa da correnteza das águas de um rio, um barco está amarrado por duas cordas que aplicam nele as forças F1 = 40 N e F2 = 30 N.

F2

9. Qual a intensidade máxima e a mínima da força resultante? 70 N; 30 N 10. Um ponto material está sob ação de duas forças de mesmo módulo 50 N, formando entre si um ângulo de 120. Para equilibrar o ponto é necessário aplicar uma força de módulo: e) 120 N a) 100 N c) 50 2 N b) 75 N X d) 50 N 11. Duas pessoas puxam uma caixa aplicando forças de mesma intensidade. Se o ângulo entre as forças for de 60°, determine: a) a intensidade da força resultante. R = F 3 N b) a força resultante quando o ângulo entre elas for de 180°. 0 Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

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3. As leis de Newton Vamos rever algumas ideias sobre o movimento. Acompanhe as seguintes situações: Ilustrações: Paulo Nilson

Situação 1 Se você empurrar um bloco de gelo sobre uma superfície áspera, o bloco permanecerá em movimento, na maior parte do tempo, enquanto sua mão estiver aplicando uma força sobre ele.

movimento F0

Esse tipo de associação, de que para haver movimento é necessária a ação de um agente motor – uma força –, foi uma tese aceita desde Aristóteles (IV a.C.) até o século XVI. Pessoa empurrando um bloco de gelo em uma superfície áspera. movimento F0

Pessoa empurrando um bloco de gelo em uma superfície lisa.

Agora, pense nessa mesma situação, mas com o bloco de gelo sobre uma superfície bem lisa, como uma pedra de mármore polida. Nesse caso, após a retirada da mão que o empurra, o bloco permanecerá em movimento, deslizando por alguns segundos. Essas duas situações que acabamos de analisar permitem pensarmos sobre o movimento. No segundo caso, a pedra de gelo continua seu movimento por vários segundos, mesmo que a mão não a empurre mais. O italiano Galileu Galilei, após realizar muitos experimentos, chegou à conclusão de que entre as superfícies de contato dos corpos havia uma força que se opunha ao movimento (força de atrito). Para ele, se não houvesse atrito, o corpo continuaria em movimento, mesmo que a força agente sobre ele deixasse de existir.

Situação 2

Ilustrações: Paulo César Pereira

Quando duas pessoas estão andando em uma moto e ocorre uma partida brusca, o corpo do passageiro, que está em repouso, é jogado para trás (Figura 1). Nesse caso, a moto sofre a ação de uma força e se desloca, enquanto o corpo do passageiro tende a permanecer em repouso. Com a moto em movimento, em uma freada brusca, o corpo do passageiro, que também está em movimento, em relação à estrada, tende a permanecer em movimento (Figura 2). Nesse caso, ao sofrer a ação de uma força, a moto para, enquanto o corpo do passageiro continua o movimento para a frente. Nessas duas situações chegamos a uma interpretação semelhante àquela obtida por Galileu. Segundo ele, um corpo em repouso tende a permanecer em repouso, e um corpo em movimento tende a permanecer em movimento. Alguns anos depois, o inglês Isaac Newton também estudou esses fenômenos e elaborou as leis do movimento apresentadas no livro Princípios matemáticos da Filosofia Natural, em 1687. Vamos estudar esses princípios que são conhecidos como princípios da Dinâmica.

Figura 1: partida brusca de uma moto.

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Unidade 4

Figura 2: freada brusca de uma moto.

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Princípio da inércia (1a lei de Newton) O conceito de inércia, enunciado formalmente por Isaac Newton, diz que: Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forças que atuem sobre ele.

É sempre bom lembrar que a tendência de um corpo de permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme só é válida quando a resultante das forças que atuam sobre ele é nula. Se um ponto material está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a velocidade vetorial é constante. Podemos representar esse conceito utilizando símbolos:

R 5 0 ≤ v é constante

em repouso ( v 5 0) em MRU (v 5 constante)

Usualmente, o estado de repouso é denominado equilíbrio estático e o estado de movimento retilíneo uniforme é denominado equilíbrio dinâmico. Esses conceitos serão abordados na Unidade 6, no capítulo Estática de um ponto material e de um corpo extenso.

Exercícios resolvidos 4 Durante uma aula de Física, quatro alunos foram convidados a escrever uma frase sobre o princípio da inércia. Qual delas é coerente com a proposta? Aluno A: Se nenhuma força age sobre um cor­­po, ele obrigatoriamente está em repouso. Aluno B: Se um corpo está em repouso, certamente não está sujeito à ação de nenhuma força. Aluno C: Se um corpo está em movimento, ele obrigatoriamente está sujeito à ação de uma força. Aluno D: Se um corpo apresenta movimento retilíneo uniforme, a resultante das forças que agem sobre ele é nula.

Resolução Aluno A: Incorreta, pois, quando não há forças agindo sobre o corpo, ele pode estar em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Aluno B: Incorreta, pois um corpo em repouso pode sofrer a ação de forças, desde que a resultante seja nula, condição de equilíbrio estático. Aluno C: Incorreta, pois um corpo permanece em movimento retilíneo uniforme quando não há forças externas agindo sobre ele ou quando a resultante dessas forças é nula. Aluno D: Correta, pois, quando o movimento do corpo é retilíneo uniforme, necessariamente a resultante das forças que agem sobre ele é nula. Essa é a condição de equilíbrio dinâmico. 5 Em nosso cotidiano, podemos observar o princípio da inércia em varias situações. Uma delas é quando andamos de ônibus ou trem. Pensando nessa situação, responda: a) Por que quando o ônibus breca os passageiros vão para a frente? b) Quando o trem entra em movimento acelerado e uma pessoa, em seu interior, inclina o corpo para trás, é porque existe uma força puxando essa pessoa?

Resolução a) Os passageiros estão em movimento com a mesma velocidade do ônibus. Quando ele breca, os passageiros continuam o movimento, em linha reta, por causa da inércia. b) Não, a pessoa estava em repouso e a tendência é continuar parada, é o trem que se move.

Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 12. Você empurra um carrinho e ele se move. Soltando-o você nota que em poucos segundos ele para. Esse fato contradiz a 1a lei de Newton? Justifique sua pois existe uma força contrária ao seu movimento, que diminui resposta. Não, a velocidade do carrinho até ele parar. 13. O princípio da inércia é válido quando se aplica a um corpo uma única força? Não, ele é válido sempre que a força resultante é nula.

14. Uma criança empurra uma caixa sobre uma superfície horizontal, com uma força de 30 N, movendo-a com velocidade constante. Quanto vale a força oposta (atrito) ao movimento? 30 N 15. Indique no caderno V (verdadeiro) ou F (falso) para as afirmações a seguir, de acordo com o princípio da inércia.

I. O lápis que está em repouso sobre a mesa do professor permanecerá nesse estado enquanto a resultante das forças que agem sobre ele não se alterar. V II. Quando um objeto está em repouso e permanece assim, a resultante das forças que agem sobre ele é nula. V III. Um corpo se movimenta para o sul, em trajetória retilínea, com velocidade constante v 5 10 m/s. Se a resultante das forças que agem sobre ele permanecer nula, ele continuará se movimentando para o sul em trajetória retilínea, com velocidade constante v 5 10 m/s. V IV. Uma bicicleta está estacionada numa rua. Permanece em repouso porque a resultante das forças que agem sobre ela é nula. Portanto, a bicicleta está em equilíbrio estático. V

Pense além De acordo com a legislação brasileira atual, todos os carros de passeio produzidos no Brasil (a partir de 2014) devem sair da fábrica com o dispositivo de segurança conhecido como airbag. Mas o que é um airbag?

3030-FIS-V1-C10-LA-F013

É uma bolsa inflável, com gás nitrogênio (inofensivo para Carro de teste com o ser humano), possui dupla capa de nylon emborrachada e destaque para os airbags traseiros e dianteiros kevlar, que automaticamente se enche de gás no momento NOVO do impacto. Sistema de proteção passiva em veículos automotores que melhora a proteção dos condutores e passageiros, instalado no compartimento de direção, no painel acima do porta-luvas e atrás dos bancos dianteiros. Para as colisões laterais existe o airbag lateral, instalado junto às portas. Teste para verificar a funcionalidade dos airbags de um carro. [...] O dispositivo consiste num sistema eletrônico de sensores instalados no veículo, que registram a desaceleração se no momento do impacto severo, emitindo um sinal e em menos de 50 mseg a(s) almofada(s) infla(m) [...] ou seja, a força do impacto não é propagada para o corpo humano, principalmente tórax, pescoço e cabeça nos traumas frontais. Depois de cheia, em 2 segundos ocorre a desinsuflação do sistema, melhorando o amortecimento e não causando a asfixia. Todo este processo ocorre por volta de um décimo de segundo que contribui também para a visão frontal e lateral do condutor e não causar o enforcamento. [...]

picture-alliance/dp/Glow Images

O que é o airbag e como ele pode salvar vidas

Educação para o trânsito. Airbag. Curitiba, 2006. Disponível em: <http://www.educacaotransito.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=173>. Acesso em: 14 dez. 2015. Escreva no caderno

Responda

1. Explique o funcionamento do airbag de acordo com a 1a lei de Newton. Resposta pessoal. 2. Como decorrência do acrescimento dos itens de segurança como o airbag, houve um aumento nos custos de produResposta pessoal. O custo de produção dos veículos que possuem o airbag é maior e é geção de veículos? Por quê? O que você acha sobre isso? ralmente repassado ao consumidor. Ao mesmo tempo, o gasto em pagamentos de segu-

ros decorrentes de acidentes tende a ser menor com o uso desse dispositivo de segurança.

 3. Assim como o airbag, existem outros equipamentos de segurança em veículos (carros, motocicletas, ônibus etc.). Pesquise sobre outros dispositivos de segurança e analise se a legislação brasileira recomenda ou torna obrigatórios todos esses itens. Alguns exemplos, além do airbag, são: o cinto de segurança e os freios ABS (para carros) e o capacete (para motociclistas).

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Princípio fundamental da Dinâmica (2a lei de Newton) De acordo com o princípio da inércia, quando a resultante de forças externas que agem em um ponto material é nula, a velocidade vetorial será constante. Considerando a possibilidade de a resultante de forças externas que agem sobre o ponto material não ser nula, a velocidade vetorial deixará de ser constante, e o ponto material passará a apresentar aceleração. Acompanhe duas situações em que representamos uma criança sentada em um skate. a1

Ilustrações: Studio Caparroz

R1

a2 R2

m

m

Situação 1

Situação 2

Juntos, a criança e o skate têm massa m que permanece constante nas situações 1 e 2. Mantidas as mesmas condições nas duas situações, para uma intensidade de R2 maior que a de R1, a intensidade de a2 será maior que a de a1. Veja também que a direção e o sentido da aceleração a1 e a2 são os mesmos de R1 e R2, respectivamente. Observe outras duas situações, em que a resultante R (não nula) das forças que agem sobre o carro é a mesma, diferindo somente a massa m: na situação 1 o carro está vazio (m1) e, na situação 2, o carro está com passageiros e bagagens (m2). a1 m1

a2

m2

R

R

Situação 1

Situação 2

Quanto maior a massa, maior será a resistência à variação de velocidade, isto é, para a mesma força resultante R, se a massa aumentar, a intensidade de a diminuirá e vice-versa. Quando um ponto material de massa m é submetido à ação da resultante R de forças, ele adquire uma aceleração a, cuja direção e sentido são os mesmos de R, e a intensidade é propor­cional ao produto m ? a. R 5 ma

Fisicamente, a massa representa a maior ou menor resistência que um corpo apresenta à variação da velocidade, ou seja, é uma medida da sua inércia. No SI utilizamos as seguintes unidades: quilograma (kg), para massa; metro por segundo ao quadrado (m/s2), para aceleração; newton (N), para força. Considerando o princípio fundamental da Dinâmica, R  ma, temos: 1 newton é a intensidade de uma força que, ao agir em um objeto de massa 1 kg, manifesta nele uma aceleração de 1 m/s2, na sua direção e no seu sentido. 1 N  1 kg  1 m/s2 Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

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Exercício resolvido 6 Um vagonete, de massa m  100 kg, está em repouso sobre trilhos re­ti­lí­neos horizontais. A partir de determinado instante, a resultante R das forças que passaram a agir nele, na direção paralela aos trilhos e para a direita, tem intensidade constante de 50 N. Considere que a ação de R ocorreu durante 20 s, despreze os possíveis atritos e determine: a) a aceleração que o vagonete adquire; b) a velocidade do vagonete 20 s após a ação de R ter iniciado; c) o que ocorre com a velocidade do va­go­nete após 20 s, se con­siderarmos que, a partir desse instante, R deixa de agir sobre ele.

Resolução a) Como R é a força resultante, o va­go­ne­te passa a descrever movimento retilíneo acelerado na mesma direção e no mesmo sentido de R. R  ma Æ 50  100a Æ a  0,5 Assim, a  0,5 m/s2, horizontal, para a direita. b) Sendo a aceleração escalar constante e não nula, o movimento é retilíneo e uniformemente variado. Dessa forma, temos: v  vi  at Æ v  0  0,5  20 Æ v  10 Logo, v  10 m/s, horizontal, para a direita. c) Considerando o princípio da inércia, após 20 s o vagonete continua em movimento retilíneo e com velocidade constante v  10 m/s, horizontal, para a direita.

Escreva no caderno

Exercícios propostos 16. A resolução não está correta, pois as forças estão em sentidos opostos e a resultante é a diferença entre elas: R = ma Æ 2 = m · 2 ä m = 1 kg.

19. Um trenzinho de massa 1,2 ?103 kg parte do repouso e depois de 10 s atinge a velocidade de 36 km/h. Determine: 1,0 m/s2 a) a aceleração média para esse intervalo de tempo. b) o valor médio da força resultante que estabeleceu essa aceleração ao veículo. 1,2 ? 103 N

18. Suponha um carro em movimento com velocidade 16,7 m/s e massa 1 512 kg. Em um dado momento, o motorista aciona os freios e o carro para em 1,2 m. Calcule a força aplicada ao carro, em newtons, até atingir o repouso. ∑1,8  105 N

21. Um caixote é empurrado sobre uma super­fície plana e lisa e adquire uma aceleração. Sobre o mesmo caixote aplica-se outra força resultante, que é o quádruplo da anterior. Nessas condições, qual o crescimento da aceleração adquirida? Quatro vezes.

Editoria de arte

17. (Vunesp-SP) A figura F1 representa, em escala, as forças F1 e F2 que atum am sobre um objeto de massa m  1,0 kg. 1N F2 Determine: 1N a) o módulo da força resultante que atua sobre o objeto. 3 N b) o módulo da aceleração que a força resultante imprime ao objeto. 3 m/s2

20. Sabendo que um caminhão está sem bateria, oito pessoas empurram-no na tentativa de fazer o motor funcionar. Considere duas p o s s i b i l i d a d e s : Pessoas empurrando um caminhão. caminhão carregado e caminhão descarregado. Se a resultante das forças que agem nele for a mesma, em qual das situações as pessoas terão maior dificuldade para provocar a variação de velocidade no caminhão? Justifique sua resposta com base no princípio fundamental No caminhão carregado, pois quanto maior a massa do da Dinâmica. 20. caminhão, menor será a aceleração adquirida por ele.

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Unidade 4

Heritage Imagestate/Glow Images

16. Ao conferir a resolução de uma questão feita por um colega de classe, Pedro avaliou que ela não estava correta. Leia o enunciado da questão e a resolução apresentada pelo colega de Pedro e verifique quem está correto. Caso a resolução esteja errada, qual é a resposta correta? Questão: Determine a massa de um corpo (em kg) que após sofrer a ação de duas forças com módulos 10 N e 12 N, com mesma direção e sentidos opostos, adquire aceleração de 2 m/s2. Resolução: R = ma Æ 22 = m · 2 Æ m = 11 kg

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Princípio da ação e reação (3a lei de Newton)

PhotoStock10/Shutterstock.com

Agora, vamos abordar o princípio enunciado por Newton que trata das forças que agem nos corpos quando há interação entre eles. Para exemplificar, vamos analisar as forças que agem em duas situações muito comuns nos esportes, como o tênis e o remo. Situação 1: Um jogador de tênis bate com a raquete na bolinha. movimento da raquete

Fbola/raquete Grace Arruda

Fraquete/bola

Quando a raquete atinge a bolinha, existe uma força que atua na raquete e uma que atua na bolinha.

Jogador de tênis.

A força da raquete sobre a bolinha Fraquete/bola e a força da bolinha sobre a raquete Fbola/raquete têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos.

Pare e pense

Jogador cabeceando a bola.

to

Fremo/água

Ao cabecear a bola, o jogador age aplicando uma força sobre ela. Nesse instante, a bola também aplica uma força na cabeça do jogador? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Fágua/remo

mo

vim

en

Jonne Roriz/Estadão Conteúdo

Rena Schild/Shutterstock.com

Situação 2: Um remo é movimentado dentro da água. A força do remo sobre a água Fremo/água e a força da água sobre o remo Fágua/remo têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos. Essas situações nos ajudam a entender que as forças de ação e reação agem simultaneamente e aos pares, sem necessidade de identificar qual delas é ação e qual é reação, e têm resultante não nula porque agem em corpos distintos.

O deslocamento do barco é resultado da interação entre o remo e a água.

Segundo Newton, a ação das forças presentes durante a interação entre os corpos pode ser analisada pelo princípio da ação e reação: Quando um corpo A imprime determinada força num corpo B (FA, B), então o corpo B imprimirá no corpo A outra força (FB, A). Essas forças agem com a mesma intensidade, na mesma direção e em sentidos opostos.

Capítulo 9

As leis de Newton e suas aplicações

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Exercícios resolvidos 7 Descreva o que ocorre com os corpos que interagem nas situações a seguir, de acordo com o princípio da ação e reação. c) Um garoto solta uma bexiga cheia de ar, aberta, e percebe que ela descreve um movimento enquanto expele o ar: Por que ocorre esse movimento? Dotta2

Artens/Shutterstock/ Glow Images

a) Pessoas caminhando na rua: O que ocorre quando o pé está em contato com o chão?

Bexiga desinflando.

clipes de um ímã.

d) Um pescador aciona o motor de seu barco e consegue movimentá-lo: Por que o barco se move? Corel Stock Photo

b) Um menino, ao aproximar um ímã de clipes de metal e alfinetes, percebe que eles descrevem um movimento em direção ao ímã: Por que ocorre esse movimento? Menino aproximando

Mike Kemp/Rubberball/Latinstock

Pessoas caminhando.

Barco em movimento.

Resolução c) As partes elásticas da bexiga agem no ar empurrando-o para trás, enquanto o ar reage na bexiga empurrando-a no sentido oposto.

Fbexiga/ar

Alberto de Stefano

Studio Caparroz

a) Quando uma pessoa inicia uma caminhada sobre uma superfície não polida, o pé age empurrando o chão para trás. Nesse mesmo instante, o chão age no pé, no sentido oposto.

Far/bexiga

reação ação

Grace Arruda

Falfinete/ímã

d) Ao ser acionado, o motor ativa a hélice, que age na água empurrando-a para trás, e a água reage na hélice empurrando o barco no sentido oposto. Fhélice/água

Fímã/alfinete Fágua/hélice

Grace Arruda

b) O ímã age sobre os clipes e os alfinetes por meio de uma força de atração. Já os clipes e os alfinetes, ao reagirem a essa ação, interagem com o ímã também por meio de outra força atrativa.

8 As quatro situações do exercício resolvido acima podem ser analisadas e compreendidas tomando-se como base teórica o princípio da ação e reação. Nesses casos, as forças têm mesma intensidade e direção, mas sentidos opostos. Portanto, essas forças se equilibram, provocando uma resultante nula. Você concorda com esse enunciado? Justifique.

Resolução No enunciado ocorre um equívoco ao afirmar que as forças de ação e reação se equilibram. É possível pensar em equilíbrio de duas forças quando elas agem em um mesmo corpo. Não é o que ocorre aqui, pois as forças de ação e reação citadas nos exemplos agem em corpos distintos.

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica


Escreva no caderno

Exercícios propostos 23. b) Falso. João conseguirá mover o carro, pois o par de forças ação e reação está aplicado em corpos distintos.

a) No instante em que o jogador chuta a bola, o que ocorre na interação do pé com a bola? b) Durante o deslocamento do avião, o que ocorre na interação das paredes da aeronave com os gases produzidos por ela? c) O que ocorre na interação da Terra com a Lua?

27. (Enem/MEC) Em um dia sem vento, ao saltar de um avião, um paraquedista cai verticalmente até atingir a velocidade limite. No instante em que o paraquedas é aberto (instante TA), ocorre a diminuição de sua velocidade de queda. Algum tempo após a abertura do paraquedas, ele passa a ter velocidade de queda constante, que possibilita sua aterrissagem em segurança. Que gráfico representa a força resultante sobre o paraquedista, durante o seu movimento de queda? a) Força

d) Ao acionar o motor de um avião à hélice, o piloto percebe que ele começa a se movimentar. O que ocorre na interação da hélice, com o ar? Respostas no final do livro.

d) Força

resultante

23. Em um dia muito frio e chuvoso, João tentou ligar seu carro e percebeu que a bateria não funcionava. Para tentar resolver o problema, permaneceu sentado confortavelmente e empurrou o painel de controle Não, porque o par de forças produzidas estava no interior do para a frente. sistema. Para acelerar o carro, deveria haver uma interação

resultante

TA

0

TA

0

Tempo

Tempo

Ilustrações: Editoria de arte

22. Utilize como base teórica o princípio da ação e reação e descreva o que ocorre com os corpos que interagem nas situações a seguir:

entre o carro e um agente externo.

a) O carro se movimentou? Justifique. b) João solta o freio de mão, desce do carro e começa a empurrá-lo. Ele o empurra com as mãos, o carro empurra João de volta com uma força de mesma intensidade e assim não adquire aceleração, permanecendo no mesmo lugar. Verdadeiro ou falso? Justifique.

X

b)

TA

0

24. Pense e responda: O número total de forças no Universo é par ou ímpar? Justifique.

e)

Força resultante

Tempo

Força resultante

0

TA

Tempo

Par, porque toda força de ação possui uma correspondente força de reação.

z B

Alex Argozino

26. Um astronauta de dimensões desprezíveis está em repouso no ponto A da Figura I, em uma região do espaço livre de ações gravitacionais significativas, em que 0xyz é um referencial inercial. Com a ajuda de uma mochila espacial, dotada dos jatos 1, 2 e 3 de mesma potência e que expelem combustível queimado nos sentidos indicados na Figura II, o astronauta consegue mover-se em relação a 0xyz. 3

C

2 0 x

y 1

A Figura I Figura II

Para percorrer a trajetória A ∫ B ∫ C, o astronauta deverá acionar, durante o mesmo intervalo de tempo, os jatos em qual sequência? 1, 3 e 2.

c)

Força resultante

0

TA

Tempo

28. Sentado à beira do mar, um turista observa, a distância, um esportista praticante de parasail, esporte em que o praticante é preso a um paraquedas puxado por uma lancha, por meio de uma corda. Nesse instante, ele observa que não há interferência do vento e fica com a impressão de que tanto a lancha quanto o esportista estão se deslocando com velocidade vetorial e altura constantes. Se as observações do turista estiverem corretas, que forças atuam sobre o esportista e quais as relações entre elas? Pessoas praticando parasail.

Goran Bogicevic/Shutterstock/Glow Images

25. Por que as forças de ação e reação não podem ser somadas? Porque estão aplicadas em corpos diferentes.

28. Força da gravidade, força da corda e força de resistência do ar (atrito). A resultante das três forças é nula: R  Fgrav  Fresist  Fcorda  0 Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

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4/15/16 8:33 AM


Você sabia? Velocidade e a Física Moderna De acordo com as leis de Newton, a massa de um corpo representa a medida da sua inércia, ou seja, mede o quanto o corpo é mais ou menos resistente à variação de velocidade. Ainda, de acordo com essas leis, a força e a aceleração são duas grandezas físicas diretamente proporcionais. Portanto, se aumentarmos a força resultante que age em um corpo, a aceleração também terá aumento. Contudo, se analisarmos especificamente o princípio fundamental da Dinâmica, chegaremos à conclusão de que, se a força aumentar continuamente, a variação da velocidade também terá aumento contínuo. Isso pode nos levar a acreditar que a velocidade pode ser ilimitada, ou seja, que é possível uma velocidade infinita. No entanto, a ideia de velocidade infinita não é compatível com a Teoria da Relatividade proposta por Einstein. Segundo Einstein, nenhum corpo pode atingir velocidade superior à velocidade da luz, que é de 300 mil quilômetros por segundo. Além disso, ele concluiu que quanto mais a velocidade de um corpo se aproxima da velocidade da luz, mais difícil se torna a variação da sua velocidade. Você deve estar se perguntando: Afinal, quem está certo, Newton ou Einstein? Antes de responder, perceba que a velocidade da luz é citada como fator fundamental para a construção desse conhecimento. Assim, se tivermos situações que envolvam baixas velocidades, a variação da massa do corpo é inexpressível, portanto não é considerada e, nestes casos, as leis de Newton são adequadas. Por outro lado, se tivermos situações que envolvam velocidades próximas à da velocidade da luz, a massa aumenta e é preciso considerar a Teoria da Relatividade. Em aceleradores de partículas, as colisões entre elas podem atingir velocidades muito próximas da luz. No Brasil, um dos aceleradores de partículas que é referência é o do Laboratório Nacional de Luz Síncrotron, localizado em Campinas, SP. Um novo acelerador será inaugurado neste laboratório em 2018, e assim que entrar em funcionamento, esse acelerador de partículas representará um grande avanço para a Ciência brasileira, pois será um laboratório com estudos e aplicações em diversas áreas como nanotecnologia, biotecnologia, paleontologia e farmácia. Esse assunto será objeto de estudo mais detalhado na Unidade Física Moderna, no Volume 3 desta coleção.

Responda

Escreva no caderno

2. Existem outras situações onde é possível chegar a velocidades próximas da velocidade da luz? Em quais? Se achar necessário, faça uma pesquisa sobre o assunto. Apenas partículas subatômicas podem chegar a altas velocidades.

Folhapress/Folhapress

1. A conclusão de que a velocidade pode aumentar ilimitadamente tem fundamentação na Física Clássica ou Moderna? Justifique. Física Clássica.

Laboratório Nacional de Luz Síncrotron, imagem de 2010.

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4. Interações entre corpos Pare e pense

Força magnética Sérgio Dotta Jr/The Next

Photodisc/Getty Images

Força gravitacional

Chuck Pefley/Alamy/ Latinstock

A interação entre corpos ocorre, basicamente, de duas formas: interação a distância e interação por contato. No caso da interação a distância, os corpos interagem por meio de campos sem que haja contato entre eles. Como exemplo de forças de campo, temos, além da força gravitacional (que estudaremos no capítulo 11), as interações magnéticas e as elétricas, que estudaremos mais adiante (no Volume 3).

O astronauta que está próximo à superfície da Terra é atraído por ela, e vice-versa, por causa da força gravitacional. (Imagem de 1994 do astronauta Bruce McCandless).

Alexandre Dotta/The Next

Garçom carregando bandeja.

Repulsão entre tubos de PVC.

O prego é atraído pelo ímã mesmo ele não estando em contato direto. Isso ocorre por conta da força magnética.

Nos dois exemplos acima, um corpo interage com outro (atraindo-o ou repelindo-o) sem a necessidade de um contato físico direto. Segundo o princípio da ação e reação, em ambos os corpos atua uma força de mesma natureza, intensidade e direção, porém de sentido contrário. Particularmente no caso do astronauta, a Terra age sobre ele atraindo-o por meio da força peso (P) e o astronauta atrai a Terra com uma força (P) de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto à primeira força. No caso da interação por contato, as forças ocorrem durante o contato direto entre os corpos envolvidos. São exemplos a força normal, a de tração e a de atrito.

As superfícies de contato dos corpos se comprimem (mãos da atleta e trave de equilíbrio). Essa força é perpendicular às superfícies e chamada normal.

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Força de atrito Daniel Augusto Jr/Pulsar

Força de tração Richard Price/Getty Images

Corel Stock Photo

Força normal

Na primeira foto há contato entre as mãos do garçom e a bandeja. Na segunda, há uma repulsão entre os tubos de PVC. Qual a principal diferença entre essas interações?

A interação entre a escaladora e a montanha é feita pela força de tração sempre que a corda estiver esticada, além da força normal entre os pés e a rocha.

A aspereza das superfícies de contato e a interação entre os pés da jogadora e o chão são responsáveis pela força de atrito.

Como ilustrado nas figuras acima, as forças de contato podem ser tanto perpendiculares à superfície (no caso da ginasta) como oblíquas a ela (no caso das atletas jogando basquete). Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

127

25/04/16 18:43


F

N

Studio Caparroz

Editoria de arte

Na figura a seguir, quando o pé firma-se sobre uma superfície, há a ação do pé sobre o chão, comprimindo-o com força de contato F, enquanto o chão, por sua vez, imprime ao pé uma força F, de mesma intensidade e direção, mas com sentido oposto.

N

F

Fat

Fat 2Fat

2F

2N

Nesse caso, a força F pode ser decomposta na componente normal (perpendicular à superfície – força normal N) e na componente tangencial (paralela à superfície – força de atrito Fat), conforme as figuras acima. F  N  Fat

, ou, em intensidade

F2  N2  Fat2

Essas forças serão estudadas ainda nesta Unidade, mas vale lembrar que a força de atrito é uma força de contato que atua sempre na direção paralela às superfícies. Em um corpo extenso, é importante determinar o ponto de aplicação das forças. Por enquanto, vamos considerar os corpos como ponto material, e as forças que nele agem serão representadas no seu centro. Trata-se de uma simplificação, pois compreendemos que a força é aplicada em uma região onde consideramos que está concentrada toda a massa dos corpos.

Força peso Pare e pense

O dia a dia nos fornece muitos exemplos de corpos caindo ao serem abandonados nas proximidades da Terra. Qual de nós nunca deixou escapar da mão um objeto? A queda dos corpos ocorre por causa do campo de forças existente nas proximidades da Terra, chamado campo gravitacional. A força de atração que age sobre o corpo, quando ele é aban­do­nado no campo gravitacional da Terra, chama-se for­ça peso P e é responsável pela acele­ração adquirida por ele durante a queda, denominada aceleração da gravidade (g).

Photodisc/Getty Images

Em outras palavras, podemos dizer que o peso de um corpo é a força gravitacional com a qual a Terra o atrai. A definição de força peso também pode ser aplicada para outros corpos celestes. Abandonando um corpo de massa m próximo da su­perfície terrestre e desconsiderando a resistência do ar, a única força resultante so­bre ele é a força peso P. Árvores perdendo folhas e flores.

O fim do outono é prenúncio do desfolhar das plantas. O que provoca a queda das folhas após elas se desprenderem dos galhos?

Sendo a aceleração resultante a igual à aceleração da gravidade (a  g), e a força resultante R igual à força peso (R  P), pelo princípio fundamental da Dinâmica, temos: R  ma Daí, vem: P  mg

 , ou, em intensidade,

P  mg

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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A massa do corpo não se altera com a mudança do local, mas a intensidade do peso sofre alte­ração, pois a força de atração exercida no corpo varia de um local para outro. PB

• O valor de g varia com a latitude, sendo maior nos polos que no equador. • O valor de g varia com a altitude, sendo maior ao nível do mar. A força peso P tem a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração da gravidade g. Veja ao lado representação da força peso do corpo A (PA), corpo B (PB) e do corpo C (PC). Embora não faça parte do SI, costumamos encontrar o kgf (quilograma-força) como unidade de força, principalmente da força peso. Um corpo de massa 1 kg tem peso equivalente a 1 kgf quando imerso em campo gravitacional. Portanto: P  mg

Grace Arruda

B

Considerando a superfície terrestre, temos:

gB gA A

gC

PA PC

C

Terra Nessa representação, três corpos (A, B e C) são atraídos pela Terra. O valor da atração (intensidade) varia com a distância do corpo ao centro da Terra. (Imagem sem escala, sem proporção e em cores-fantasia).

P  1 kg  9,8 m/s2  Logo, 1 kgf  9,8 N. P  9,8 N Na maioria das vezes, admitimos g  10 m/s2, daí, 1 kgf  10 N. Essa relação entre as unidades pode nos ajudar a compreender alguns equívocos da linguagem cotidiana, como: “Meu peso é 70 kg”, quando o correto seria dizer: “Meu peso é 70 kgf” ou “Minha massa é 70 kg”. Esse equívoco ocorre porque, na superfície terrestre, onde g  9,8 m/s2, um corpo de massa 1 kg, por exemplo, tem peso 1 kgf. Generalizando, um corpo de massa x kg tem peso x kgf.

Exercícios resolvidos 9 Em uma viagem espacial, leva-se um conjunto de equipamentos cujo peso é 900 N, medido em um local da Terra, onde g  10 m/s2. Com base nesses dados, responda: a) Qual é a massa desse conjunto de equipamentos aqui na Terra?

10 Um corpo de massa 30 kg repousa sobre uma superfície horizontal. Em um certo instante passa a agir sobre o corpo uma força F de intensidade 210 N, como ilustra a figura. Supondo que não haja atrito entre o corpo e a superfície, e sendo de 10 m/s2 a aceleração da gravidade local, determine:

b) Que valor terá a massa desse equipamento se for medido na Lua?

F Tarumã

c) Qual a intensidade da força peso desse conjunto na Lua. Considere gL  1,6 m/s2?

Resolução Considerando o SI, temos: a) P  mg Æ 900  m  10 Æ m  90 kg b) A massa de um corpo não sofrerá alteração com a mudança de local. Portanto, na Lua, a massa do conjunto de equipamentos será a mesma, ou seja, m  90 kg.

a) o peso do corpo; b) a aceleração que o corpo adquire; c) a velocidade do corpo 5 s após a aplicação da força; d) o deslocamento nos 10 s iniciais a partir do repouso.

Resolução

c) Sendo gL  1,6 m/s2, temos:

a) P 5 m ? g 5 30 ? 10 5 300 Æ P 5 300 N

P  mg  90  1,6 Æ P  144 N

b) R 5 m ? a Æ F 5 m ? a Æ 210 5 3 ? a Æ a 5 7 m/s2

Note que, embora a massa do conjunto seja a mesma, a intensidade do peso é menor na Lua do que na Terra.

c) v 5 v0 1 a ? t 5 0 1 7 ? 5 Æ v 5 35 m/s a 2 7 d) ∆s v t t 0 10 2 Æ s 350 m 0 2 2 Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

a) a massa desse material (em kg), em Júpiter, sabendo que lá o peso do material é 125 N; 5,4 kg b) a massa desse material (em kg), medido na superfície terrestre, onde g  10 m/s2; 5,4 kg em qualquer lugar. c) o peso desse material (em N), medido na superfície terrestre, onde g  10 m/s2. 54 N 30. (UFV-MG) Desprezada a resistência do ar, a opção que representa corretamente a(s) força(s) que atua(m) sobre uma bola de futebol após ter sido chutada é:

b) e) X

P em N, m em kg, g em m/s2

32. Para atender pessoas que estão em uma região isolada, uma equipe de socorro abandona, de um avião, uma caixa de mantimentos amarrada a um paraquedas. Juntos, paraquedas e caixa têm massa 100 kg e descem com velocidade constante de 4 m/s. Considere que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s2 e determine a força de resistência oferecida pelo ar. 33. (UFRJ) Um método de medir a resistência oferecida por um fluido é mostrado na figura ao lado.

1 000 N

Uma bolinha de massa m desce ver­ticalmente ao longo de um tubo de vidro graduado chido com totalmente preen­ glicerina. Com a ajuda das graduações do tubo percebe-se que, a partir de determinado instante, a bolinha percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Nessas condições, sendo g a aceleração da gravidade:

Alberto de Stefano

a) d)

b) No SI, quais as unidades utilizadas para medir as grandezas que constituem essa expressão?

Editoria de arte

29. Partindo da hipótese de que é possível coletar material na superfície do planeta Júpiter, onde g  23 m/s2, determine:

c)

a) calcule a resultante das forças que atuam sobre a bolinha. 0 b) calcule a força resultante que o fluido exerce sobre a bolinha. Rlíq  P  mg

3 1. Considere um corpo de massa m abandonado em queda livre nas proximidades da superfície da Terra. a) Com base na 2a lei de Newton, qual a expressão matemática que permite calcular a intensidade da força resultante que age no corpo? P 5 mg

34. Suponha que a massa de um astronauta na Terra seja M e seu peso P. Sabendo que a aceleração da gravidade na Lua é um sexto da verificada na Terra, determine: a) a massa do astronauta na Lua; M b) o peso do astronauta na Lua. 1,6 P

Pense além Peso ou massa? Qual é a diferença? Durante uma consulta médica um paciente ouviu do médico a seguinte frase: “De acordo com a sua condição física atual, você precisa perder peso e adquirir hábitos alimentares saudáveis, além da prática de exercício físico”. O paciente saiu do consultório pensando em como atender a recomendação médica, lembrou-se das aulas de Física e passou a analisar a recomendação do médico. Escreva no caderno

Responda

1. O paciente deverá perder peso ou massa? Massa. 2. C  onsiderando a possibilidade de que um dia o paciente passe a morar em um planeta cuja gravidade é menor que a da Terra, ele conseguiria atingir seu objetivo? Não, pois somente o seu peso será alterado, pois ele depende da gravidade local.

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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NASA Images

Você sabia?

NASA/Bill Ingalls

Como as plantas crescem com baixa gravidade? A busca por locais fora da Terra onde as formas de vida que conhecemos tenham condições adequadas para viver e se desenvolver é um ramo de pesquisa e também tema explorado em filmes de ficção científica. No filme Serenity, a luta pelo amanhã, por causa da superpopulação e do esgotamento dos recursos naturais na Terra, a civilização humana é obrigada a migrar para um sistema estelar cujos planetas foram terraformados. As condições para o desenvolvimento dos seres vivos em outros planetas são diferentes das oferecidas pela Terra. Estudos feitos pela Nasa, agência espacial norte-americana, vêm demonstrando que a diminuição da gravidade, ou a sua ausência, altera o comportamento dos seres vivos. As plantas em particular podem deixar de apresentar o crescimento das raízes dirigidas para o centro do planeta, ou seja, perdem o geotropismo, e elas passam a crescer em direções anárquicas. Astronauta Shannon Walker no laboratório da Estação Esse estudo é um importante fator para a compreensão da Espacial Internacional (imagem de 2010). terraformação, criação artificial das condições ambientais da Terra em outros locais, possibilitando um habitat humano em outro planeta ou em uma estação espacial. Em março de 2006, o astronauta brasileiro Marcos Cesar Pontes participou do voo espacial da nave Soyuz, com mais dois astronautas: o russo Pavel Vinogradov e o norte-americano Jeffrey Williams. O brasileiro permaneceu oito dias na ISS, sigla em inglês para Estação Espacial Internacional. Pontes levou na bagagem oito experimentos científicos, entre eles a germinação de sementes de feijão, para ser testada em ambiente de microgravidade. Com os conhecimentos que temos atualmente, é possível dizer que nem todos os planetas podem ser terraformados, particularmente os gasosos, os que apresentam órbitas instáveis, aqueles extremamente quentes ou frios ou com atividade geológica intensa. O processo de terraformação de um planeta, além de enfrentar o desafio técnico-científico, depende de altíssimos investimentos financeiros. Todos esses fatores são acompanhados de debates sobre questões éticas que envolvem a relação humana com a natureza. Por No topo da fotografia, o austronauta Jeffrey N. Williams. No centro, o astronauta exemplo, em que medida o ser humano tem direito a extinguir uma brasileiro Marcos Pontes. Abaixo o astronauta espécie para adequar as condições do planeta hospedeiro ao seu Pavel Vinogradov, na partida da tripulação, em 2006, para realização de experimentos na próprio bem-estar? Estação Espacial Internacional

Escreva no caderno

Responda

A resposta depende das condições iniciais do planeta, mas a composição e a pressão da atmosfera e a temperatura seriam as condições básicas teoricamente passíveis de alteração. A gravidade e os períodos de iluminação natural são de difícil adaptação.

1. Quais características de outros planetas precisam ser alteradas para comportar a vida humana com qualidade? 2. Pesquise sobre as contribuições de outras áreas para o desenvolvimento de uma técnica para a terraformação de outro planeta? Essa área de pesquisa é altamente interdisciplinar: a Geografia pode contribuir com conhecimentos sobre geologia; a Química, com as reações entre elementos; a Biologia, com o desenvolvimento da vida; e a Sociologia, com a organização da nova sociedade.

3. Experimentos científicos semelhantes ao realizado por Marcos Pontes ajudam a compreender a terraformação?

Sim, conhecer os efeitos da imponderabilidade (sensação de ausência de peso) sobre os seres vivos é importante para a viagem e para o novo ambiente gravitacional.

4. Considerando as recentes descobertas de água líquida em Marte e refletindo sobre os obstáculos de viagens desta natureza enfrentados por seres humanos, pesquise sobre os projetos de visita a esse planeta. Pense sobre os aspectos éticos e econômicos que envolvem esse projeto. Resposta pessoal.

Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

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Força normal

Thales Trigo

Corel Stock Photo

Neoimagem

Chamamos de força normal ou reação normal qualquer força de contato nas superfícies de dois ou mais corpos quando encostados uns nos outros. Assim, só há sentido em descrever a força normal se as superfícies de contato se comprimirem mutuamente. Observe nas fotografias a seguir a representação das superfícies e das forças normais perpendiculares a elas.

N N N N

N

N Ao girar a maçaneta, a mão age perpendicularmente sobre ela, que reage sobre a mão da pessoa.

O pé do pássaro age sobre o chão, comprimindo-o, e o chão reage sobre ele.

A caixa age sobre a superfície, comprimindo-a, e a superfície reage sobre a caixa.

Analisando as representações, vemos que as forças de ação e reação desse contato entre os corpos agem sobre corpos diferentes. Podemos dizer que no corpo que comprime atua a força N e no comprimido a força N. A força normal apresenta as seguintes características: • A intensidade depende da compressão entre as superfícies. • A direção é perpendicular à superfície, no ponto onde se dá o contato. • O sentido é contrário ao ponto onde se dá o contato.

Força de tração

Luís Moura

Os fios e os cabos têm a função de transmitir as forças que agem neles de uma extremidade a outra. A força de tração, como é chamada a força em fios, cabos e cordas, é um outro tipo de força de contato muito presente em nosso cotidiano. Veja o seguinte exemplo: Para visualizarmos melhor as forças nas extremidades do fio que prende um lustre ao teto, isolamos o fio (imagem da direita). teto

T T

interação entre fio e teto T lustre

Tfio interação entre lustre e fio

Tteto

Tlustre

T

Tlustre: força com que o fio traciona o lustre. Tfio: força de tração que o lustre aplica no fio. Tteto: força com que o fio traciona o teto. Tfio: força de tração que o teto aplica no fio.

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

Tfio

O esquema representa as forças que agem em um fio que segura um lustre.


A força de tração apresenta as seguintes características: • A intensidade depende da força que traciona o fio. • A direção é a mesma da direção do fio. • O sentido é o que se traciona (ou “puxa”) o fio. No estudo sobre forças, consideraremos os fios e os cabos como ideais, ou seja, como inextensíveis e de massa desprezível em relação aos outros corpos envolvidos no estudo. Neste modelo, o fio ou o cabo ideal são capazes de transmitir integralmente a força aplicada em um dos seus extremos.

Polias

Sérgio Dotta Jr/The Next

Em algumas situações necessitamos modificar a direção do fio sem alterar a intensidade das forças. Para atingir esse objetivo, são usadas polias ou roldanas consideradas ideais, nas quais não são levados em conta a massa e os possíveis atritos entre a polia e seu eixo.

Homem puxando corda presa a uma caixa, com o auxílio de uma roldana.

Studio Caparroz

Ao longo do tempo, as pessoas buscaram obter uma maior e melhor produção com o menor gasto de energia. As polias, embora sejam instrumentos simples, foram, e continuam sendo, utilizadas para atingir esse objetivo. Na prática a associação de polias tem como objetivo principal movimentar corpos pesados com o menor esforço possível. Note, na figura abaixo, que cada polia móvel associada ao sistema provoca uma redução da força aplicada pelo rapaz. Nesse tipo de associação de polias, denominada talha exponencial, é possível prever que, caso sejam associadas n polias móveis ao sistema, a força T aplicada pelo rapaz para movimentar a mesma carga será:

P T5 8

P 8

P 8

P 4

P 4

T5

P 2n

P 2

P 2

v constante

C

P Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

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Exercícios resolvidos 11 Analise estas três situações distintas: b) Na maleta é aplicada uma força F vertical para comprimi-la contra a escrivaninha.

c) Na maleta é aplicada uma força F vertical para cima.

F

F

Ilustrações: Studio Caparroz

a) A maleta está apoiada sobre a superfície da escrivaninha.

Represente, para cada item, as forças que agem na maleta e na superfície da escrivaninha.

Resolução Vamos considerar a superfície da escrivaninha como horizontal e lisa (com isso desprezamos o atrito). Lembre-se de que as forças de ação e reação agem em corpos distintos. a) Na maleta: N

• a força peso P aplicada pela Terra na maleta. • a força normal N aplicada pela superfície da escrivaninha na maleta. Na superfície da escrivaninha: • a  força normal à superfície de contato (N), que representa a compressão sofrida pela superfície da escrivaninha.

P

2N

 intensidade da força de reação N, exercida pela superfície de apoio sobre a maleta, A é igual à intensidade da força peso P. NP

  

b) Na maleta: • a força peso P aplicada pela Terra na maleta. N

• a força F vertical para comprimir a maleta contra a superfície. • a força normal N aplicada pela superfície da escrivaninha na maleta.

P

F

2N

Na superfície da escrivaninha: • a força normal à superfície de contato (N), que representa a compressão sofrida pela superfície da escrivaninha. A intensidade da força de reação N, exercida pela superfície de apoio sobre a maleta, é maior que a intensidade da força peso P. NPF

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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c) Na maleta:

F N

• a força peso P aplicada pela Terra na maleta. • a força F vertical para afastar a maleta da superfície.

P

2N

• a força normal N aplicada pela superfície da escrivaninha na maleta. Na superfície da escrivaninha: • a força normal à superfície de contato (N), que representa a compressão sofrida pela superfície da escrivaninha.  intensidade da força de reação N, exercida pela superfície de apoio sobre a maleta, é menor A que a intensidade da força peso P.

NF2P

Ilustrações: Studio Caparroz

12 Dois móveis, uma cômoda e um guarda-roupa, têm massas respectivamente iguais a mc  40 kg e mg  60 kg. Eles estão apoiados sobre uma superfície horizontal H e encostados um no outro. Na tentativa de mudá-los de lugar, uma pessoa aplica à cômoda uma força F horizontal e constante de intensidade 40 N. Despreze os possíveis atritos e considere g  10 m/s2 nos itens a seguir:

F

a) Represente as forças que agem em cada móvel.

H

b) Calcule a aceleração adquirida pelos móveis. c) Determine a intensidade da força f de in­te­ra­ção entre os móveis. Ng

Resolução

Nc

Cômoda:

a) Guarda-roupa:

• a  força peso Pc exercida pela Terra.

• a  força peso Pg exercida pela Terra.

f

• a força normal Nc exercida pela superfície H.

• a força normal Ng exercida pela superfície H.

• a força F aplicada pela pessoa.

• a força f aplicada pela cômoda.

• a  força f aplicada pelo guarda-roupa.

Pg

F

2f

Pc

Note que o guarda-roupa aplica na cômoda uma força f, horizontal, para a direita e de intensidade f. Considerando o princípio da ação e reação, a cômoda aplica no guarda-roupa uma força f, horizontal, para a esquerda e de intensidade f. b) O movimento dos móveis se dá em trajetória retilínea e horizontal; portanto, a direção da velocidade é constante, e a direção da aceleração é a mesma do movimento para os dois. Se a aceleração de cada móvel não se dá na direção perpendicular à superfície H, então as intensidades das forças que agem nessa direção, em cada um deles, se equilibram. Cômoda: Nc  Pc Æ Nc  mcg  40  10 Æ Nc  400 N Guarda-roupa: Ng  Pg Æ Ng  mgg  60  10 Æ Ng  600 N Aplicando o princípio fundamental da Dinâmica a cada móvel e considerando que o movimento é re­ti­líneo e acelerado, teremos a seguinte intensidade da força resultante tangencial: Cômoda: Rc  mca Æ F  f  mca Guarda-roupa: Rg  mga Æ f  mga

1

2 Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

135

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Para obter a intensidade da acele­ração adquirida pelos móveis, vamos resolver o sistema formado pelas equações: F   f  mca 1  f  mga 2  ––––––––––––––– 1  2 F  (mc mg)a 40  (40  60)a ä a  0,4 m/s2 Studio Caparroz

c) Para determinar a intensidade da força de interação entre os móveis, podemos substituir a  0,4 m/s2 em uma das equações, 1 ou 2 . Em 1 , temos:

F  f  mca ä 40  f  40  0,4 Æ f  24 Æ f  24 N

Em 2 , temos:

f  mga Æ f  60  0,4 Æ f  24 Æ f  24 N

F

Nota: analisando a expressão matemática F  (mc  mg)a, é possível enten­der que a intensidade da aceleração dos móveis poderia ter sido obtida considerando-os como um móvel úni­co de massa (mc  mg) sobre o qual age a força externa F, representando a força resultante.

mA

Editoria de arte

13 Sobre a superfície horizontal e lisa de uma mesa, é colocado um corpo A de massa mA  3 kg. Um fio ideal une o cor­po A ao B de massa mB  2 kg. O fio passa por uma polia também ideal. Considere g  10 m/s2 e despreze os possíveis atritos. Nessas condições: a) represente as forças que agem em cada corpo;

mB

b) determine a intensidade da aceleração adquirida pelos corpos; c) determine a intensidade da força de tração transmitida pelo fio.

Resolução

Corpo A: • a força peso PA exercida pela Terra. • a força normal NA exercida pela superfície da mesa.

NA

TA PA

Corpo B:

TB

• a força peso PB exercida pela Terra. • a força de tração TB exercida pelo fio.

PB

Ilustrações: Editoria de arte

a) Sem considerar os atritos, é possível representar as forças que agem em cada corpo nos esquemas a seguir.

• a força de tração TA exercida pelo fio. Como os corpos estão interligados por um fio ideal que passa por uma polia também ideal, podemos dizer que a intensidade da força exercida pelo fio no corpo B (TB) é igual à intensidade da força exercida pelo fio no corpo A (TA). Daí, podemos escrever: TB  TA b) Os corpos descrevem movimentos retilíneos, a direção da velocidade de cada corpo é constante e a direção da aceleração é a mesma dos movimentos para cada corpo. Corpo B:

Corpo A:

Na direção do movimento (vertical).

Na direção perpendicular ao movimento.

PB  TB  mBa

NA  PA

Fazendo TB  TA  T, temos: PB  T  mBa

1 Na direção do movimento (horizontal). TA  mAa ä T  mAa

136

Unidade 4

2

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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4/7/16 9:16 AM


Sendo o fio ideal, as acelerações dos corpos têm a mesma intensidade, e para determiná-la resolvemos o sistema: PB  T  mBa 1  2

1

T  mA a 2 ––––––––––––––––– PB  (mA mB)a a

20 Æ a  4 m/s2 5

c) Substituindo o valor de a = 4 m/s2 na equação 1 ou 2 , obtemos a intensidade da força de tração transmitida pelo fio. Em 1 , temos: 20  T  2 ? 4 Æ T  12 N.

Em 2 , temos: T  3 ? 4 Æ T  12 N.

Considerando os atritos desprezíveis, podemos concluir que o corpo A terá movimento acelerado para a direita, mesmo que a massa do corpo B seja muito pequena.

Escreva no caderno

Exercícios propostos 35. Uma peça de metal M está em repouso e apoiada sobre uma superfície horizontal H. Sabe-se que seu peso é P e a força aplicada pela superfície na peça é F, conforme ilustra o esquema.

I. A mesa exerce, na estátua, uma força de 7 N, para cima. II. A força exercida, para cima, pela mesa na estátua é a de reação do peso da estátua.

F

III. A Terra exerce sobre a estátua uma força de 7 N, para baixo. Todas as afirmações estão corretas.

H P

Com base nesses dados, identifique no caderno como verdadeiras ou falsas as afirmações a seguir. a) P e F podem ser consideradas como um par de forças de ação-reação. F

37. Sobre uma superfície horizontal, plana e lisa foram colocados os blocos 1 e 2 , cujas massas são m1 = 2,0 kg e m2 = 3,0 kg, respectivamente. Se o bloco 1 receber a ação de uma força F = 5 N, conforme mostra a figura, qual será a intensidade da força de contato entre os blocos? 3,0 N

b) Somente se a superfície H for perfeitamente lisa será possível considerar P e F como um par de forças de ação-reação. F

d) Se a peça está em repouso, as forças P e F se anulam.

Vênus de Milo (deusa do amor e da beleza) é uma estátua da Grécia antiga pertencente ao acervo do Museu do Louvre, situado em Paris, França.

V

Museu do Louvre; Paris. Foto: Corel Stock Photo

36. Uma cópia miniaturizada da Vênus de Milo, de 700 g de massa, foi exposta em uma mostra de miniaturas de obras de arte. Essa miniatura estava em equilíbrio, apoiada sobre uma mesa.

m1

38. (Fuvest-SP) Um homem tenta levantar uma caixa de 5 kg, que está sobre uma mesa, aplicando uma força vertical de 10 N. Nessa situação o valor da força que a mesa aplica na caixa é: (Adote: g  10 m/s2.)

a) 0 N

c) 10 N

b) 5 N

X d) 40 N Capítulo 9

CS-FIS-EM-3030-V1-U04-C09-113-149-LA.indd 137

m2

Alberto de Stefano

c) P e F não podem ser consideradas um par de forças de ação-reação. Nesse caso específico, as forças que agem na peça M são: a força peso, exercida pela Terra, e a normal, exercida pela superfície. V

F

Ilustrações: Editoria de arte

M

Considerando que nesse local a aceleração da gravidade é 10 m/s2, quais afirmações a seguir estão corretas?

e) 50 N

As leis de Newton e suas aplicações

137

4/7/16 9:16 AM


C

B

A

b) as intensidades das forças de tração T1 e T2 nos fios que unem, respectivamente, AB e BC. T1 5 100 N e T2 5 60 N 40. (UFRJ) Na figura, o bloco B está apoia­do sobre o solo e o fio 1 está preso ao te­to. Os dois fios e a rol­dana são ideais e a aceleração da gra­vidade é 10 m/s2. Nesse caso, qual é o valor da força que o solo exerce sobre o bloco B? 40 N

solo

fio 2

d) 25 e 5,0 e) 25 e 25

43. (Fuvest-SP) Um sistema mecânico é formado por duas polias ideais que suportam três corpos A, B e C de mesma massa m, suspensos por fios ideais, como representado na figura. O corpo B está suspenso simultaneamente por dois fios, um ligado a A e outro, a C.

g

6,0 kg

B

c) 5,0 e 25

Editoria de arte

2,0 kg A

b) 2,5 e 0,50 X

a) a aceleração do sistema; 4 m/s2

fio 1

a) 0,50 e 2,5

F

Supondo desprezíveis as massas dos fios e os atritos, determine:

teto

As trações nos fios 1 e 2, em newtons, são, respectivamente:

Editoria de arte

Editoria de arte

39. A figura abaixo ilustra três corpos A, B e C unidos por fios inextensíveis. As massas são, respectivamente, iguais a 5 kg, 10 kg e 15 kg, e a intensidade da força que atua sobre o corpo A é F 5 120 N.

m

m

m

A

B

C

Podemos afirmar que a aceleração do corpo B será:

41. Em uma embalagem de cabos e fios, o fabricante registra que eles suportam cargas com massa de até 100 kg, no máximo. Para valores superiores há risco de ruptura. Diante disso: a) represente as forças que agem em um corpo em repouso, suspenso por esse fio na Terra; Resposta no final do livro. b) calcule a força máxima suportada por esse fio na Terra; Considere: gTerra 5 10 m/s2. 1 000 N c) calcule a força máxima suportada por esse fio na Lua; Considere: gLua 5 1,5 m/s2. 1 000 N

a) zero b) X c)

g para baixo 3 g para cima 3

d)

2g para baixo 3

e)

2g para cima 3

44. Três blocos, de massa m1 5 2 kg, m2 5 5 kg e m3 5 3 kg, encontram-se em um arranjo como o representado na figura. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e despreze eventuais forças de atrito.

d) calcule a maior massa suportada por esse fio na Lua. ∑667 kg

Paulo Nilson

teto

m3

fio 1

y mx  5,0 kg

m1

my  2,0 kg m2

x

g  10 m/s2

fio 2 solo

138

Studio Caparroz

42. (UEL-PR) No arranjo representado no esquema, considere as polias e os fios ideais. Considere também os valores indicados no esquema.

Unidade 4

Qual é a intensidade da força de tração na corda entre os corpos m1 e m2? 30 N

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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A borracha apresenta elevado coeficiente de restituição elástica, o que faz ela voltar ao seu formato inicial quando cessa a força de compressão. interação entre a mão e a mola F

F

F

F interação entre a mola e a parede

A mola se mantém distendida pela ação das mãos em uma das extremidades e pela ação da parede na outra extremidade.

A mola se mantém comprimida pela ação das mãos em uma das extremidades e pela ação da parede na outra extremidade.

Ilustrações: Paulo Nilson

Outro tipo de força é a que se deve à elasticidade e à deformação dos corpos. Essa propriedade tem origem nas forças de atração e repulsão elétrica das moléculas e dos átomos que constituem os corpos. Por exemplo, quando apertamos uma bola de borracha, a força que aplicamos faz que ela se deforme. Quando deixamos de aplicar a força, a bola volta ao seu formato inicial. As molas também são exemplos de corpos elásticos. Quando comprimimos ou distendemos uma mola, ela diminui ou aumenta de comprimento enquanto há a ação de determinada força. Se a mola não for deformada, isto é, não perder sua capacidade elástica, ela retorna ao seu comprimento inicial quando a força deixar de ser aplicada. Analise as situações a seguir, em que molas helicoidais são usadas como exemplo de corpo elástico e sofrem deformações proporcionais às forças que agem nas suas extremidades.

David Ewing/Insadco Photography RF/Easypix

Força elástica

Mola distendida.

As mãos agem em uma das extremidades da mola aplicando-lhe uma força de intensidade F, e a mola, por sua vez, aplica nas mãos outra força de mesma intensidade e de sentido contrário. Para que haja distensão ou compressão da mola, é necessário que as duas extremidades estejam submetidas à ação de forças. Desse modo, na outra extremidade a mola age na parede, aplicando uma força de intensidade F’, e a parede aplica na mola outra força de mesma intensidade e de sentido contrário. Se considerarmos a mola como ideal (a massa da mola é desprezível quando comparada com o sistema em estudo), teremos F  F. Experimentalmente constatou-se que, duplicando a força aplicada em uma mola, a deformação duplica; triplicando o valor da força, a deformação triplica e assim sucessivamente, isto é, a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação:

em que: Fel: intensidade da força elástica; k: constante elástica da mola; x: deformação (alongamento ou encurtamento) sofrido pela mola. A constante k é uma característica da mola e depende do material de que é feita e das dimensões. Sua unidade no SI é N/m. Essa equação é chamada Lei de Hooke. A partir dessa análise, podemos compreender o funcionamento de um dinamômetro, que, basicamente, é constituído por uma mola acoplada a uma escala graduada. Para que possamos fazer a leitura direta da intensidade da força, a escala é graduada em determinada unidade de força (kgf ou N). No dinamômetro ideal são aplicadas duas forças de mesma intensidade, uma em cada extremidade. Além de identificar a intensidade da força aplicada, o dinamômetro “transmite” essa força para o outro corpo com o qual interage – nesse caso, a parede. Capítulo 9

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Thales Trigo

Fel  k · x

Dinamômetro. As leis de Newton e suas aplicações

139

5/10/16 6:09 PM


wavebreakmedia/Shutterstock.com

No dia a dia é comum o uso de balanças, em banheiros ou em farmá­cias, que utilizam a compressão de molas para medir a intensidade das forças. O que pode nos causar estranheza é o fato de elas nos fornecerem essas medidas em quilogramas. A utilização dessa unidade se justifica porque o fabricante, inicialmente, faz medições com essa mola em newtons, depois considera a aceleração da gravidade local e determina os valores da massa corresponp dente, por meio da expressão m  . Assim, elabora g uma escala em quilogramas, com a qual obterá os valores de massa.

Exemplo de balança de compressão de molas.

Exercício resolvido

Ilustrações: Paulo Nilson

14 Dois baldes, A e B, possuem pesos cujas inten­sidades são PA  PB  100 N e estão pre­sos por um fio ideal a um dinamômetro também ideal, conforme a figura.

A

B

Considerando que as polias são ideais: a) represente as forças agentes nos baldes e no dinamômetro; b) determine a indicação obtida no di­na­mô­metro.

Resolução a)

TA

Balde A: • a força peso PA, proveniente da in­te­ra­ção do balde A com a Terra. • a força de tração TA, proveniente da in­te­ra­ção do balde A com o fio.

TB

TA

TB

A

Balde B: • a força peso PB, proveniente da interação do balde B com a Terra. • a força de tração TB, proveniente da interação do balde B com o fio.

B

PA

PB

b) Sabendo que os pesos dos baldes são iguais, o sistema está em equilíbrio. Dessa forma, temos: Balde A: Balde B: TA  PA  100 N

1

TB  PB  100 N

2

De 1 e 2 concluímos: TA  TB  T  100 N O dinamômetro ideal interage com os baldes, sem interferir na força de tração transmitida pelo fio. Assim, o dinamômetro indicará uma força de 100 N.

140

Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica


Escreva no caderno

Exercícios propostos

Analise a situação e responda aos itens:

50. Na figura representada ao lado, temos um dinamômetro cuja massa pode ser considerada nula, ligado a dois blocos A e B (por fios ideais), sendo a força de intensidade F 5 500 N, as massas mA 5 25 kg e mB 5 15 kg .

a) Qual o valor da força elástica? P D

A

b) Qual o valor da força que a mola aplica ao teto? P

B

F

Tarumã

Editoria de arte

45. A mola, representada na figura, está presa ao teto e, durante um teste, sustenta um corpo de peso P e apresenta determinado alongamento.

c) Quais forças são responsáveis por distender a mola? A força peso do bloco e a força de reação do teto.

46. (Vunesp-SP) Dinamômetros são instrumentos destinados a medir forças. O tipo mais usual é constituído por uma mola cuja deformação varia com a intensi­dade da força que a produz (lei de Hooke). Dois dinamômetros estão montados sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa, conforme mostra a figura abaixo.

b) Qual a massa do corpo suspenso?

b) 311,5 N X c) 312,5 N d) 314,5 N

Quando um corpo de massa m é suspenso por um fio de massa desprezível, preso à extremidade do dinamômetro 1, a força que este indica é 5 N. (Considere: g  10 m/s2 e despreze qualquer atrito.) a) Que força indicará o dinamômetro 2?

a) 310,5 N

e) 315,5 N 51. (Fuvest-SP) Uma bolinha pendurada na extremidade de uma mola vertical executa um movimento oscilatório. Na situação da figura, a mola encontra-se comprimida e a bolinha está subindo com velocidade v. Indicando por F a força da mola e P a força peso aplicadas na bolinha, o único esquema que pode representar tais forças na situação descrita é: Editoria de Arte

Dinamômetro 2 ?N

Antonio Robson

Dinamômetro 1 5N

Desconsiderando qualquer forma de atrito, o dinamômetro irá indicar o valor de:

5N

0,5 kg

47. Considere uma mola, de 6 cm de comprimento, com uma de suas extremidades presa ao teto. Ao prender um corpo de massa 1 kg na outra extremidade, a mola passa a ter 10 cm. Qual será o comprimento da mola se trocarmos o corpo de 1 kg por outro de 3 kg?

g

v

18 cm

48. Um elevador possui preso em seu teto um dinamômetro, o qual suspende um pacote de 8 kg. Determine a marcação desse dinamômetro quando o elevador está descendo e freando a uma aceleração constante de 4 m/s2. Considere g 5 10 m/s2. T 5 112 N 49. Dois blocos A e B, de massas mA  3 kg e mB  2 kg, estão sobre uma superfície horizontal, presos entre si por uma mola ideal de constante elástica 4 N/m. Os blocos entram em movimento quando sobre A é aplicada uma força de intensidade 60 N, paralela à superfície, afastando A de B. Supondo que não haja atrito entre a superfície e os blocos, determine a distensão sofrida pela mola. 6 cm

X a)

d) P

F P

b)

e)

F

P P

c)

F P Capítulo 9

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F

As leis de Newton e suas aplicações

141

4/15/16 8:35 AM


Plano inclinado Já tivemos a oportunidade de analisar situações semelhantes às representadas nas figuras ao lado, nas quais ocorre a interação por contato. A força normal não corresponde à reação da força peso. Apesar de existirem situações em que elas podem ser confundidas com o par ação e reação.

N Ilustrações: Editoria de arte

N

P P

N

A reação da força peso 2P aplicada pela Terra sobre o bloco está no centro da Terra. No caso da força normal, o bloco comprime a mesa com uma força 2N e a mesa reage a essa compressão aplicando no bloco a força normal N.

P centro da Terra plano inclinado

Há casos em que a força peso e a normal não apresentam a mesma direção.

N

A situação representada ao lado ajuda-nos a entender melhor esse equívoco. Nela, o plano de apoio é colocado em uma posição inclinada em relação ao plano horizontal. Note que, nesse caso, a direção da força peso continua vertical, e a direção da força normal é perpendicular ao plano de apoio. A cena em um parque infantil, onde crianças deslizam sobre um escorregador, é um bom exemplo para representar um corpo deslocando-se sobre um plano inclinado. Se não considerarmos o atrito, ao analisar o movimento de um corpo que desliza sobre um plano inclinado, veremos que agem no corpo a força peso e a força normal. Para obter a força resultante que age no corpo na direção do movimento, vamos usar a reta t (na direção do movimento) e a reta n (perpendicular ao movimento). Dessa forma, podemos decompor a força peso nas seguintes componentes:

P plano horizontal



Alessandro Canova/Keystone

As formas P e N têm direções diferentes.

Pt: na direção da reta t e paralela ao plano inclinado; Crianças brincando em um escorregador.

Pn: na direção da reta n e perpendicular ao plano inclinado. N

Pt  Pn

t P

plano horizontal

n

Para determinar Pt e Pn, necessitamos das razões trigonométricas no triângulo retângulo.



Observando o triângulo ao lado, podemos escrever:

Pn P

Pt

142

Unidade 4



sen ™ 

Pt Æ P

Pt  P sen ™

cos ™ 

Pn Æ P

Pn  P cos ™

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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4/7/16 9:16 AM


Feita a decomposição da força peso nas suas componentes, passamos a considerar os vetores representados na figura abaixo. N

Pt Pn t n



Note que na direção das forças N e Pn não ocorre movimento. Logo: N  Pn  P cos ™ Porém, na direção da reta t (direção do movimento) a força resultante é Pt . Portanto: Pt  ma P sen ™  ma mg sen ™  ma a  g sen ™

Analisando a relação que acabamos de obter, percebemos que a aceleração de um corpo de massa m, que desliza sobre um plano inclinado sem atrito, submetido à ação das forças peso e normal, não dependerá da sua massa.

Ilustrações: Editoria de arte

Exercício resolvido 15 A figura representa dois corpos A e B amarrados nas extremidades de uma corda que passa por uma polia. Ambas (corda e polia) são ideais. O atrito não é considerado, a massa do corpo B é 1,0 kg e no local g  10 m/s2. Nessas condições:

A B

a) represente na figura as forças que agem nos corpos A e B; b) determine a intensidade da força peso que age no corpo B, de modo que o sistema permaneça em repouso.

  30

Resolução a) O esquema de forças que agem nos corpos A e B.

b) Para o sistema se manter em repouso, para o corpo A, temos: • as forças que agem na direção tangencial ao plano inclinado (T  PA sen ). • as forças que agem na direção perpendicular ao plano inclinado (N  PA cos ).

N A

T

T

Pt  30°

PA

Pn

B

Sendo nula a resultante das forças, para o corpo B, temos: T  PB Æ PA sen   PB

PB

(como PB 5 mBg 5 1 ? 10 5 10 N) PA sen 30°  10 Æ PA ? 0,5  10 Æ Æ PA 

10 Æ PA  20 N 0,5

Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

143

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

a) sen ™ b) cos ™ c) sen © d) cos ©

 10

4 5 3 5 3 5 4 5

8

 6

m

53. Um avião decola segundo um ângulo de 30°. Pergunta-se: a) Qual será a altura atingida após voar 3 000 m com essa inclinação? 1 Dado: sen 30°  . 1 500 m 2 b) Qual será a distância percorrida pelo avião ao atingir 1 000 m de altura? 2 000 m 54. Preocupadas com as condições ambientais, algumas pessoas resolveram instalar painéis solares em suas casas para fazer uso dessa fonte de energia limpa e renovável. Um dos painéis foi instalado sobre um suporte hidráulico possibilitando, de acordo com a posição do Sol, o ajuste automático do painel, de tal forma que ele permaneça perpendicular à direção dos raios solares que nele incidem.

3m p





Determine: a) o valor de y em função de ™; y  3 sen ™ y3

3 2

55. Um estudante, ao tentar resolver um exercício de corpo deslizando sobre um plano inclinado, disse o seguinte: “Não foi informado o valor da massa do corpo, portanto não é possível obter a resposta.” A afirmação feita por ele está correta? De que variáveis depende a aceleração do corpo ao descer o plano inclinado? Resposta no final do livro. Unidade 4

58. Um corpo de massa 25 kg desloca-se, com aceleração constante, sobre um plano inclinado, sem atrito, conforme o desenho abaixo. O seno do ângulo formado entre o plano e a horizontal é 0,6. Determine a força transmitida ao corpo, para que a aceleração permaneça igual a 2 m/s2. Dado: g  10 m/s2. 200 N

F

59. No esquema abaixo, o corpo B, ao ser abandonado, começa a se deslocar e, por meio da corda, faz o corpo A se mover sobre o plano inclinado, sem atrito. Considerando que a polia e a corda são ideais, determine:

3 . 2

b) o valor de y, sendo ™  60°.

57. No esquema do exercício anterior, sabendo que m  20 kg, g  10 m/s2 e ™  30°, determine o módulo da aceleração do corpo. 5 m/s2

y



Dado: sen 60° 





l

e ain

144

56. O desenho representa um corpo de massa m, deslizando, sem atrito, sobre um plano inclinado. Determine a aceleração desse corpo, sabendo que nesse local o módulo da aceleração da gravidade é g. g sen ™ Ilustrações: Editoria de Arte

52. Considere o triângulo retângulo representado ao lado e determine:

o od o tid ent n se cam slo de

A

B

  30°

a) a aceleração do conjunto; 2,5 m/s2 b) a intensidade da força de tração na corda. 30 N Dados: sen 30°  0,5; g  10 m/s2 e mA  mB  4 kg.

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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4/7/16 9:16 AM


Força de atrito

Menino tocando violino.

Pessoa conduzindo o gado para arar um terreno.

Sérgio Dotta Jr/The Next

Pare e pense

Delfim Martins/Pulsar

Photodisc/Getty Images

Podemos destacar muitas situações em que a força de atrito está presente. Basta observarmos o arco de um violino friccionando suas cordas, por exemplo. Em geral, quando falamos em atrito, a primeira característica que vem à mente é que ele desfavorece o movimento e deve ser reduzido o máximo possível. Por exemplo, se o atrito entre o arado e o solo diminuir, os trabalhadores e os animais não vão precisar fazer tanta força. Mas existem casos em que o atrito é necessário. Por exemplo, só conseguimos caminhar porque existe atrito entre o solo e o pé ou calçado, caso contrário poderíamos escorregar e não sair do lugar.

Pessoa desenhando.

A ação do atrito é fundamental para realizarmos determinadas tarefas. Você saberia descrever algumas delas? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Analisando qualitativamente a força de atrito, é possível constatar, de forma experimental, que ela se manifesta quando os corpos em contato se comprimem mutuamente e há arrastamento ou tendência de arrastamento entre eles. Para detalharmos o estudo da força de atrito, vamos diferenciar atrito estático e atrito cinético. Na figura ao lado, a pessoa aplica uma força F na caixa que repousa apoiada sobre a superfície horizontal e rugosa. A caixa se mantém em repouso pela ação da força de atrito Fat, que se manifesta quando há uma força solicitante F.

N

Experimentalmente, constatamos que a intensidade da força de atrito varia conforme a intensidade da força solicitante.

F

Quando a caixa estiver na iminência de escorregar, em relação à superfície, teremos a máxima intensidade da força de atrito: Fat (máx)  F.

Paulo Nilson

Fat

À medida que a intensidade da força F aumenta, também aumenta a intensidade da força de atrito, fazendo a caixa permanecer em repouso: Fat  F.

P Pessoa tentando puxar uma caixa que está apoiada em uma superfície rugosa.

A caixa começará a escorregar quando os valores da força solicitante forem superiores aos da força de atrito máximo. A intensidade máxima da força de atrito Fat é diretamente proporcional à (máx) intensidade da força N, normal às superfícies de contato dos corpos: Fat

(máx)

 µe N

em que o coeficiente de atrito estático µe é um número adimensional (não possui unidade). • O coeficiente de atrito estático µe depende da natureza das superfícies de contato, da sua aspereza e de uma eventual lubrificação. • De modo geral, o coeficiente de atrito estático não depende da área da superfície de contato. Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

145

27/04/16 13:39


O atrito cinético se caracteriza a partir do momento em que a intensidade da força solicitante F atinge valor superior a Fat (máx). Com o movimento do corpo, a força de atrito assume intensidade praticamente constante e ligeiramente menor que a Fat (máx). Dessa forma, passamos a considerar a força de atrito cinético Fat c tangente às superfícies de contato dos corpos e de intensidade diretamente proporcional à intensidade da força N: Fat  cN c

em que o coeficiente de atrito cinético c é um número adimensional. • O coeficiente de atrito cinético c depende da natureza das superfícies de contato, da sua aspereza e de uma eventual lubrificação. • De modo geral, o coeficiente de atrito cinético não depende da área da superfície de contato. • Podemos dizer que o coeficiente de atrito cinético não depende da velocidade dos corpos em contato.

Exercício resolvido poita

Antonio Robson

F  fio ideal

16 Para ancorar pequenas embarcações no mar, muitos barqueiros usam blocos de concreto, como poitas, presos a uma boia de sinalização. O desenho ao lado representa a tentativa de arrastar uma poita, de massa 20 kg, ao fundo do mar. O barco aplica uma força F na poita, por intermédio de um fio ideal. Para analisar a situação, vamos considerar que a areia está bem compactada e que os coe­ficientes de atrito entre a poita e a areia têm valores aproximados (e  0,9, c  0,8 e g  10 m/s2). a) Represente as forças que agem na poita. b) Determine a intensidade máxima que F pode atingir para que a poita fique na iminência de deslizamento. c) Determine a intensidade da aceleração adquirida pela poita, para F com intensidade 190 N.

a)

Paulo Nilson

Resolução N

F

• força peso P.

Fat

P

• força F, aplicada pela corda à poita. • forças de contato, representadas pelas duas componentes: normal N e força de atrito Fat. b) Nas condições de repouso impostas neste item, temos: N  P  mg  20  10 Æ N  200 N Sabemos que a máxima intensidade da força de atrito é:  e N  0,9  200 Æ Fat  180 N Fat (máx)

146

Unidade 4

(máx)

A intensidade máxima que F pode assumir é 180 N. Para valores maiores, a poita inicia o des­ lizamento. c) Como o movimento é re­ti­líneo, as forças que agem na direção perpendicular ao movimento se equilibram. Logo, P  N. Aplicando a 2a lei de Newton (R  ma ) e sabendo que na direção do deslocamento o movimento é retilíneo e acelerado, temos a resultante tangencial de intensidade: R  ma Æ F 2 Fat  ma c

Em movimento, Fat  c N. c

a

190 2 (0,8  200) Æ a  1,5 m/s2 20

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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4/7/16 9:16 AM


Escreva no caderno

Exercícios propostos 60. Como o atrito pode acarretar uma desaceleração em um objeto? Reduzindo a força resultante e, consequentemente, a aceleração.

61. Tentando aumentar a intensidade de uma força ao empurrar um corpo, o atrito sobre o corpo também aumenta. Uma vez em movimento, com que intensidade de força F deve-se empurrar o corpo para mantê-lo em movimento com velocidade constante? Com a mesma intensidade da força de atrito (cinético).

62. O que é mais fácil na hora de fazer uma mudança: empurrar a máquina de lavar ou puxá-la? Para ajudar, pense na direção em que estão posicionados os braços de quem aplica a força, caso eles estiverem aplicando uma força cuja direção não seja a horizontal.

Puxá-la.

Ilustrações: Editoria de Arte

63. Represente as forças que agem em um bloco de granito de massa m, em um local em que a aceleração da gravidade é g, nas seguintes condições: a) O bloco apoiado sobre uma superfície horizontal e rugosa é puxado por uma força F. granito

F superfície

b) O bloco apoiado sobre uma superfície horizontal e rugosa é puxado por uma força F, cuja direção é a de uma reta que forma um ângulo de 60° com a horizontal. Respostas no final do livro.

granito

F 60°

64. (PUC-RS) Um bloco de 20 kg de massa é arrastado sobre um plano horizontal por uma força de 100 N, também na horizontal, movendo-se com uma aceleração de 1 m/s2. Supondo a aceleração da gravidade g  10 m/s2, o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é: a) 0,5 c) 0,3 e) 0,1 d) 0,2 X b) 0,4

65. Para que uma pessoa caminhe, é necessária a existência de força de atrito entre os pés da pessoa e o solo. Considerando isso, é correto afirmar que as forças de atrito que o pé exerce no solo e que o solo exerce no pé são, respectivamente: a) vertical para baixo e vertical para cima. b) vertical para cima e vertical para baixo. X c) horizontal para trás e horizontal para a frente. d) horizontal para a frente e horizontal para trás. e) vertical para cima e horizontal para trás. 66. (UFRN) Um caminhão de entrega de mercadorias saiu para entregar uma caixa. O caminhão está se movendo, em uma rua plana, com velocidade de 20 m/s, quando o motorista avista o endereço em que deve entregar a mercadoria. Ele freia uniformemente e para em 4 s. O mínimo coeficiente de atrito entre a caixa e o piso do caminhão, para que a caixa não deslize, é: a) 0,3 b) 0,4

X c) 0,5

e) 0,7

d) 0,6

67. (Enem/MEC) Uma pessoa necessita da força de atrito em seus pés para se deslocar sobre uma superfície. Logo, uma pessoa que sobe uma rampa em linha reta será auxiliada pela força de atrito exercida pelo chão em seus pés. Em relação ao movimento dessa pessoa, quais são a direção e o sentido da força de atrito mencionada no texto? a) Perpendicular ao plano e no mesmo sentido do movimento. X b) Paralelo ao plano e no sentido contrário ao movimento. c) Paralelo ao plano e no mesmo sentido do movimento. d) Horizontal e no mesmo sentido do movimento. e) Vertical e sentido para cima.

Pense além Conversa de arquibancada Dois admiradores de corridas automobilísticas discutem em uma arquibancada sobre o tipo de pneu que deveria ser usado para melhorar a frenagem. O primeiro defende o uso de pneus lisos e de largura normal, enquanto o segundo defende o uso de pneus lisos e largos. (Pneus sem frisos, completamente lisos, são denominados slicks.)

Responda

Escreva no caderno

A ação da força de atrito nos pneus independe da área da superfície de contato com a pista, logo, tanto o pneu liso e largo quanto o pneu liso e normal têm a mesma eficácia. Porém, caso haja derrapagem, o pneu com maior superfície aquece menos, com menor possibilidade de derreter e, com a fusão, reduzir o coeficiente de atrito. Assim, caso haja derrapagem, a defesa do segundo admirador está certa; caso isso não ocorra (pouco provável), as duas estão certas.

1. Qual dos admiradores fez a defesa certa? Justifique sua escolha.

Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

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Lendo a Física Professor, antes de trabalhar este texto sobre o modelo de Aristóteles para o movimento, é importante retomar a atividade do Capítulo 1 sobre a concepção de matéria e Universo do filósofo grego.

Nesta atividade, vamos trabalhar com textos que apresentam duas teorias, elaboradas em diferentes épocas, que buscavam explicar as causas do movimento. O primeiro texto está no livro Breve história da ciência moderna, em que os autores fazem uma síntese do pensamento de Aristóteles, que viveu na Antiguidade grega.

Jorge Zahar Editor

Aristóteles e Buridan: explicações sobre o movimento

O movimento como transformação O estudo do movimento recebeu atenção especial de Aristóteles. Os movimentos foram divididos em dois tipos: natural e violento. O primeiro ocorria tanto no mundo sublunar quanto no supralunar. No caso do mundo supralunar, o movimento seria natural e eterno. Já no mundo sublunar, seria retilíneo e vertical, podendo o corpo ir ao encontro do centro da terra ou dele se afastar. O movimento natural dos corpos no mundo sublunar seria decorrente de suas diferentes composições. Apesar de defender que todas as substâncias encontradas no mundo sublunar eram formadas pelos quatro elementos bá- Título: Breve história da ciência moderna. Vol. 1: Convergência de saberes (Idade sicos [fogo, ar, terra e água], Aristóteles reconhecia que cada Média) uma delas possuía um elemento predominante específico que, Autores: Marco Braga, Andreia Guerra e José Claudio Reis buscando encontrar seu lugar natural, provocava no corpo em Editora: Jorge Zahar questão um movimento ascendente ou descendente em relação à Terra. Assim, os corpos que tivessem maior quantidade de terra em sua constituição apresentariam naturalmente movimento retilíneo para baixo, quando largados. Já aqueles em que predominasse o elemento fogo se afastariam do centro da Terra. A explicação dos movimentos não se resumia, contudo, a essa diferenciação. Aristóteles afirmava ainda que todo movimento requisitava um motor. Este era distinto da coisa em movimento, embora não estivesse dela física ou espacialmente separado. No caso dos corpos celestes, o motor seria o espírito divino. Nos homens era a alma. Dentro de sua lógica Aristóteles precisou também atribuir um motor aos corpos em queda para o lugar natural. A causa primária do movimento natural foi relacionada a um agente particular, que teria sido o responsável pela produção da substância analisada. Por exemplo, o fogo produz fogo e, ao fazê-lo, confere ao novo fogo todas as suas propriedades, inclusive aquela referente ao seu movimento natural, ou seja, a de se afastar da Terra quando livre da ação de qualquer outro corpo, ou seja, abandonado. Apesar desses argumentos, quando analisou o movimento natural de queda dos corpos sublunares, Aristóteles defendeu que o “peso” era a causa imediata daquele movimento, de forma tal que a velocidade de queda do corpo seria proporcional ao seu “peso” e inversamente proporcional à resistência do meio. [...] Na análise dos movimentos violentos, ou seja, daqueles que necessitam de um agente externo ao corpo para ocorrer, Aristóteles dedicou atenção especial às situações em que esse corpo continuava se movimentando, mesmo após ter sido abandonado pelo motor, como acontece nos lançamentos de flechas por arcos. Para ele, uma flecha, após abandonar o arco lançador, não poderia continuar em movimento sem que uma força estivesse em contato com ela. Assim, para resolver o problema, tomou o ar – o meio em que a flecha se movimenta – como um motor. O ar seria então o responsável pela força que mantinha o corpo em movimento após lançado. Porém, como rejeitava um movimento sem resistência, ele atribuiu ao ar um outro papel, o da resistência. BRAGA, Marco et al. Breve história da ciência moderna. Rio de Janeiro: Jorge Zahar. v. 1: Convergência de saberes (Idade Média). p. 24-26.

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Editora Átomo

O segundo texto que vamos estudar foi retirado do livro Para gostar de ler a história da Física. Ele apresenta uma teoria do movimento, elaborada de maneira mais sistemática pelo filósofo francês Jean Buridan, na Idade Média.

O conceito impetus na história da Física

A primeira tentativa de explicar o movimento ocorreu por volta de 520 d.C., quando o filósofo grego Philoponos (c. 475-c. 565) afirmou que o movimento de um corpo lançado no ar não se devia ao empurrão exercido pelo ar sobre o corpo, como afirmavam os aristotélicos, e sim a uma “espécie de inércia” – impetus, impetus impressa, virtus motiva, virtus impressa –, a qual o mantinha em movimento. Afirmou ainda que a velocidade desse mesmo corpo era proporcional ao excesso da força de resistência. Em vista dessas ideias, escreveu que: “Para dois corpos de pesos diferentes caindo da mesma altura, a relação entre os tempos gastos na queda não dependia da relação de seus pesos, já que a diferença entre tais tempos era muito pequena”. Esse conceito de impetus foi elaborado um pouco mais tarde pelo fiTítulo: Para gostar de ler a lósofo francês Jean Buridan (c.1300-1358), ao discutir as seguintes queshistória da Física. tões: “Por que razão o ar, no caso do movimento de um projétil, teria ele Autores: Robson de Farias e José Maria Bassalo sozinho a faculdade de continuar a mover-se, para, por sua vez, mover o Editora: Átomo projétil? Por que o projétil não possuiria essa mesma faculdade?”. Ao responder a essas questões, Buridan desenvolveu a sua “teoria do impetus”, segundo a qual, o impulsor cede ao impulsionado uma potência proporcional à velocidade e ao peso deste último, necessária a mantê-lo em movimento. E mais ainda, que o ar progressivamente reduz a impulsão, e que o peso pode aumentar ou diminuir a velocidade. Assim, usando esse conceito de impulsão, Buridan então afirmava que, durante a queda de um corpo, este é movido pela ação conjunta da gravidade e do ímpeto adquirido, ação essa que resulta em ser o movimento do corpo mais rápido a cada instante. Buridan também chegou a usar essa doutrina do ímpeto para explicar os movimentos perenes dos planetas observados no céu, ao admitir que Deus tivesse, originalmente, saturado os planetas com ímpeto. Ele ainda fez o estudo geométrico das configurações dos crescimentos e decrescimentos das qualidades cinemáticas do movimento. FARIAS, Robson Fernandes de; BASSALO, José Maria Filardo. Para gostar de ler a história da física. Campinas: Átomo, 2010. p. 105-106.

Atividades

Escreva no caderno

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Nos textos apresentados, é possível notar que as duas teorias têm formas diferentes de descrever e explicar o movimento. Discuta as questões com seus colegas. 1. Como você resumiria as teorias sobre o movimento de Aristóteles e de Buridan? 2. Para você, qual é a principal característica de cada uma dessas teorias? 3. Na teoria de Aristóteles, você pode destacar algum raciocínio ou construção lógica contraditória? 4. Qual a influência do meio externo no movimento dos corpos? Você concorda com a descrição feita por Aristóteles e Buridan? Por quê? 5. No texto sobre a teoria de Buridan, vimos que o conceito central – impetus – recebeu diferentes denominações: impetus impressa, virtus motiva, virtus impressa. a) Qual o significado da palavra ímpeto e por que os pensadores a usaram para descrever suas ideias? Pesquise o termo se achar necessário. b) O que pode indicar o fato de haver diferentes termos para designar um conceito? c) Que conceito atual teve origem na ideia do impetus?

Capítulo 9

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As leis de Newton e suas aplicações

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Capítulo 10

Dinâmica nas trajetórias curvas 1. Componentes da força resultante

David Acosta Allely/Shutterstock.com

Alex Argozino

Em Cinemática vetorial, estudamos algumas características dos movimentos curvilíneos, como a velocidade angular, a aceleração centrípeta, o período e a frequência. Agora, estudaremos suas causas e seus efeitos. Para entender a noção de força aplicada ao movimento curvilíneo, pense na seguinte situação: Uma esfera atrelada a um fio ideal descreve uma trajetória circular em torno de um ponto fixo c, sobre um plano horizontal, conforme a representação a seguir. Desconsidere o atrito.

Pare e pense

c Motociclista Marc Marquez realizando uma curva no MotoGP, etapa da Espanha, em 2011.

Quais são as forças envolvidas para que um motociclista faça uma curva como a da fotografia?

Ilustrações: Editoria de arte

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Que condições mantêm a esfera em movimento circular? O que ocorreria sem elas? Para responder a essas perguntas, precisamos lembrar que a aceleração a de um ponto material pode ser representada por duas componentes: aceleração centrípeta ac e aceleração tangencial at. • A aceleração centrípeta ac mede a variação da direção do vetor velocidade v.

reta normal

at v

• A aceleração tangencial at mede a variação do módulo do vetor velocidade v. a

a 5 ac 1 at ac

reta tangente

Vimos também, no segundo princípio da Dinâmica, que um ponto material de massa m, quando submetido à ação da força resultante R, adquire uma aceleração a, com mesma direção e sentido de R. Relacionando a força resultante com as acelerações, temos: R  ma Æ R  m(ac  at) Æ R  ma c  ma t Æ

reta normal

Ft v

reta tangente

150

Unidade 4

R

Fc

R  Fc  Ft

Essa análise permite representar a força resultante R que age no ponto material de massa m por duas componentes: • A força centrípeta Fc causa a variação da direção do vetor velocidade v.

Æ

Fc  mac

• A força tangencial Ft causa a variação do módulo do vetor velocidade v.

Æ

Ft  mat

Força e as leis de movimento da Dinâmica


ac

Fc

Ilustrações: Grace Arruda

No exemplo da esfera atrelada a um fio, podemos dizer que ela descreve um movimento circular porque o fio aplica sobre ela uma força dirigida para o centro da trajetória. Caso essa força deixe de agir, o movimento da esfera será, por inércia, retilíneo e uniforme. Observe os esquemas:

v

A esfera se mantém em movimento circular.

Quando o fio arrebentar, o movimento da esfera será na direção tangente à trajetória.

Exercícios resolvidos 1 Suponha que um satélite artificial descreva movimento circular e uniforme em torno da Terra. Analise as afirmativas e indique se são corretas ou incorretas. a) A força resultante que age no satélite aponta para o centro da Terra. b) A Terra é o agente responsável pela força aplicada no satélite. c) O satélite pode realizar esse movimento, independentemente da ação da Terra sobre ele.

Resolução a) A força resultante é a centrípeta, ou seja, aponta para o centro da trajetória circular, que é o centro da Terra. Portanto, a afirmativa é correta. b) A atração gravitacional da Terra é a causadora da força centrípeta que age no satélite. Portanto, a afirmativa é correta. c) Se a força gravitacional não agisse no satélite, o seu movimento seria, por inércia, retilíneo e uniforme. Portanto, a afirmativa é incorreta.

2 Em um centro de diversões, no momento em que o carrinho rea-

Alex Argozino

liza um looping sob uma montanha férrea, como mostra a figura, podemos considerar que a força centrípeta atuante corresponde à expressão: a) Fc 5 P d) Fc 5 P 1 N b) Fc 5 N e) Fc 5 0 c) Fc 5 P 2 N

Resolução

P

Fc = P + N

Alex Argozino

No momento em que o carrinho realiza um looping, a força resultante é a força centrípeta, que é a força peso somada à força normal, como mostra a figura abaixo.

N

Capítulo 10

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Dinâmica nas trajetórias curvas

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4/6/16 6:36 PM


Escreva no caderno

Exercícios propostos

a) A resultante é centrífuga e tem intensidade variável. b) A resultante é nula porque não há aceleração. X

c) A resultante é centrípeta e tem intensidade constante. d) A resultante é nula porque a força centrípeta se iguala à força centrífuga.

4. O fio de prumo é constituído por um fio de náilon e por um peso de chumbo, suspenso na sua extremidade inferior. Ele é usado na construção civil para verificar a verticalidade de um elemento construído. Suponha que um pedreiro suspenda seu fio de prumo sobre uma mesa plana e horizontal. Desprezando a resistência do ar, quais forças atuam sobre o corpo? a)

d)

Ilustrações: Tarumã

1. Após analisarem o movimento circular e uniforme de uma partícula, quatro estudantes chegaram a diferentes conclusões sobre a força resultante que age na partícula. Identifique a conclusão correta.

e) A resultante é tangencial. 2. Um ciclista se desloca com movimento uniforme em uma pista circular, plana e horizontal, conforme a representação abaixo:

Alex Argozino

A

D

b)

X

e)

B

c)

C

b) Verifique se a direção e o módulo do vetor velocidade variam de uma posição para outra. c) Utilize o esquema do item a e represente a aceleração e a força centrípetas nas posições A, B, C e D ocupadas pelo ciclista. Respostas no final do livro.

Selma Caparroz

3. (ITA-SP) Uma mosca em movimento uniforme descreve a trajetória indicada abaixo.

Quanto à intensidade de força resultante da mosca, podemos afirmar que: a) é nula, pois o movimento é uniforme. b) é constante, pois o módulo da velocidade é constante. c) está diminuindo. X d) está aumentando.

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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5. Classifique as sentenças abaixo descritas em falsa ou verdadeira: I. Um automóvel faz uma curva em uma estrada plana e horizontal; no caso, a força centrípeta é a força tangencial que a pista aplica sobre os pneus. F II. Os satélites giram em torno dos planetas em função da ação da força centrípeta, que nessa situação é a força de atração gravitacional. V III. Um corpo gira, preso na extremidade de um fio; no caso, a força centrípeta pode ser considerada a própria força T de tração no fio. V 6. Por que a Lua não colide com a Terra? Pense, discuta com os colegas e depois escreva, no caderno, suas conclusões. v 5 velocidade

Alex Argozino

a) Represente, em um esquema, o vetor velocidade nas posições A, B, C e D ocupadas pelo ciclista.

FG Lua

v

FG 5 força gravitacional

A força gravitacional exercida pela Terra atua perpendicularmente à direção do movimento da Lua, o que é suficiente apenas para alterar a direção da velocidade lunar, obrigando-a ao movimento orbital.

7. Analise as condições de um satélite artificial que descreve órbita circular ao redor do centro da Terra. Qual é a força centrípeta e qual a sua função? A força gravitacional (peso) é a força centrípeta que altera a direção da velocidade do satélite.

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Você sabia? O que é força centrífuga?

Ilustrações: Alex Argozino

Um motorista dirige seu carro em uma estrada. Ao fazer uma curva, ele tem a sensação de estar sendo “empurrado” para fora da curva. Para explicar o fenômeno, atribuímos essa sensação à ação de uma força centrífuga FCF, ou seja, uma força que atua puxando seu corpo em sentido oposto ao do centro da curva.

Representação de um carro realizando uma curva. O motorista tem a sensação de estar sendo "empurrado" para fora da curva.

Para um observador parado à beira da estrada, a interpretação é outra: por inércia, o ocupante do carro tende a manter seu movimento retilíneo enquanto o carro o empurra em sentido ao centro da curva por ação de uma força centrípeta FCP.

FCP

Representação de um carro realizando uma curva. Para o observador que está parado à beira da estrada, o motorista tende a seguir em movimento retilíneo ao realizar a curva.

Afinal de contas, o passageiro está sendo puxado para dentro ou para fora da curva? A questão é de referencial. O observador na beira da estrada constitui um referencial inercial para o qual a força centrípeta é a única responsável pela alteração do estado de inércia experimentada pelo passageiro durante a curva. Para um observador no interior do carro, que é um referencial não inercial (acelerado), a força centrífuga atua sobre o passageiro, puxando-o para fora da curva.

Responda

Escreva no caderno

Na montagem de um parque de diversões, dois funcionários testam os equipamentos. Uma base circular que serve de apoio para os brinquedos foi colocada para girar. Sobre ela havia uma esfera de aço, relativamente pesada, soldada a uma das extremidades de uma mola, enquanto a outra extremidade estava presa ao eixo central da plataforma.

3030-FIS-V1-C11-LA-I003 A

NOVA

B

1. Como o funcionário A (colocado no sistema de referência da base giratória) descreve a cena, relacionada à bola e à mola?

O observador A diz que a esfera é puxada do centro para fora da base por uma força centrífuga que distende a mola.

2. Como o funcionário B (colocado no sistema de referência em repouso, no solo) descreve a cena, relacionada à bola observador B diz que a esfera descreve uma trajetória circular, junto à base giratória, graças à ação da força centrípeta exercida, pela mola distendida, na esfera. e à mola? OAlém disso, ele também poderia dizer que a reação da força centrípeta é exercida pela bola sobre a mola e provoca a sua distensão. Capítulo 10

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Dinâmica nas trajetórias curvas

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Editoria de Arte

2. Movimento circular nos planos horizontal e vertical

C

T  Fc

Para ampliar nossos conhecimentos sobre as causas e os efeitos dos movimentos curvilíneos, vamos analisar algumas situações em que esses movimentos ocorrem no plano horizontal e no plano vertical. Vamos supor que uma esfera atrelada a um fio descreva uma trajetória circular sobre o plano horizontal de uma mesa, N para estudar quais forças atuam sobre ela. Como o movimento da esfera ocorre em um plano horizontal, a direção da força resultante é horizontal e a componente P vertical da força resultante é nula. Nesse caso, a força peso tem a mesma intensidade da força normal: P  N. Portanto, nesse caso, a força de tração (T) no fio representa a resultante centrípeta que age na esfera: R  Fc  T. Em outros movimentos circulares uniformes, ocorre que a componente tangencial Ft da força resultante R é nula e o movimento tem as seguintes características: • | v |  0, constante: Ft  0 • v tem direção variável: Fc  0 • resultante: R  Fc v2 Fc  mac  m  r

Kevin Kozicki/Glow Images

Jane Hobson/London News

Corel Stock Photo

A ocorrência do movimento circular em um plano vertical pode ser observada em diversas situações, por exemplo, no trajeto de um motociclista dentro do globo da morte ou em um looping realizado por um carrinho de montanha-russa.

Pare e pense

Ciclista em trecho de declive.

Um ciclista desce por um declive que termina em uma depressão aproximadamente circular. Qual a composição de forças que levará a uma resultante centrípeta? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

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Unidade 4

Motociclista realizando acrobacias dentro de um globo da morte.

Trecho de montanha-russa em que os carrinhos realizam um looping.

Em cada caso, é preciso conhecer o sistema de forças que age sobre o corpo para determinar quais forças compõem a resultante centrípeta. Por exemplo, para o corpo ligado a um cordão que gira no plano vertical, no ponto mais alto da trajetória a resultante centrípeta é dada pela soma da força peso e de tração, enquanto no ponto mais baixo é dada pela diferença entre a força de tração e a força peso. Nessa situação, se o corpo girar com velocidade constante, a resultante centrípeta se manterá constante e a força de tração vai variar em cada ponto da trajetória.

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Exercícios resolvidos percorrida por um carro de massa m, com movimento uniforme. Sabemos que o coeficiente de atrito eståtico entre os pneus e a pista Ê e. Com base nessas informaçþes e no esquema abaixo, determine: a) as forças que agem no carro; b) a força resultante que age no carro; c) a velocidade måxima com a qual o carro pode percorrer a pista sem derrapar. Dados: e  0,60, g  10 m/s2 e r  150 m.

a) Represente as forças que agem na pedra quando ela passa pelas posiçþes A, B, C e D. b) Determine a tração do fio quando a pedra passa pela posição D. c) Determine a tração do fio quando a pedra passa por B.

Resolução a) posição A: Fc  T

posição C: Fc  T direção do movimento

T

A

a) Considerando que o carro faz a curva sem inclinação, temos as forças peso, normal e de atrito agindo nele.

Ilustraçþes: Alex Argozino

N

P

direção do movimento

Fat

posição D: Fc  T  P direção do D movimento

T T

b) Como a força resultante age na direção da reta paralela ao plano horizontal, a componente vertical da força resultante ĂŠ nula. Portanto, P  N. Nesse caso, a força de atrito Fat representa a resultante centrĂ­peta que age no carro. R  Fc  Fat c) Se a resultante centrĂ­peta ĂŠ Fc  Fat, entĂŁo: v2 Fc  Fat  mg Ă&#x2020; m  e mg Ă&#x2020; v  Âľe rg r Caso o carro esteja na iminĂŞncia de derrapar, teremos a intensidade mĂĄxima da força de atrito estĂĄtico Fat(mĂĄx) , e a velocidade mĂĄxima (vmĂĄx) serĂĄ: Âľe rg

P

posição B: Fc  T  P

P

vmĂĄx 

T

C

Resolução

0, 60 150 10

vmĂĄx  30 m/s

4 Um menino amarra uma pedra de massa 0,10 kg na extremidade de um barbante de 25 cm de comprimento e faz com que ela fique girando em um plano vertical com velocidade constante v  2 m/s em um movimento circular. Considere g  10 m/s2.

direção do movimento

P

B P

b) A posição D representa o ponto mais alto da trajetória descrita pela pedra. Nesse ponto, a força resultante é dada pela força centrípeta, cuja intensidade é: Fc  P  T v2 Fc  P  T ä m  mg  T r v2 T  m [  g] r Se r  25 cm  0,25 m, v  2 m/s, g  10 m/s2 e m  0,10 kg, então: 22 T  0,10 [  10] ä T  0,60 N 0,25 c) A posição B representa o ponto mais baixo da trajetória descrita pela pedra. Nesse ponto, a força resultante é dada pela centrípeta, cuja intensidade é: Fc  T  P v2 v2 m  T  mg ä T  m [  g] r r 2 2 T  0,10 [  10] ä T  2,6 N 0,25 Note que a intensidade da força de tração exercida pelo fio é maior na posição B do que na posição D, embora a força centrípeta seja a mesma.

CapĂ­tulo 10

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Ilustraçþes: Editoria de Arte

3 Uma pista plana, horizontal e circular de raio r ĂŠ

Dinâmica nas trajetórias curvas

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

Editoria de Arte

8. Sobre uma superfície plana e horizontal, uma esfera de massa m  4,0 kg está presa à extremidade de um fio ideal e descreve um movimento circular e uniforme em torno de um ponto fixo, no qual está amarrada a outra extremidade do fio.

C

r

m

Se o atrito é desprezível, o fio mede 0,50 m e a velocidade angular da esfera é 2,0 rad/s, determine: a) o módulo da velocidade da esfera; 1,0 m/s b) o módulo da aceleração centrípeta; 2,0 m/s2 c) a intensidade da força resultante que age na esfera. 8,0 N

9. Para brincar com uma lançadeira, Pedro utilizou um pedaço de madeira de massa m = 5 g, amarrado a um pedaço de barbante de comprimento L = 0,5 m. Sabemos que esse barbante suporta a tensão máxima de 25 N. Caso a lançadeira seja colocada em movimento de forma segura e tendo a mão de Pedro como o centro fixo da trajetória circular descrita pela madeira, qual a velocidade máxima atingida pela madeira em relação à mão de Pedro? 50 m/s

12. Uma esfera de massa 0,5 kg, presa em uma das extremidades de um fio e apoiada sobre um plano horizontal, tem de descrever uma pista circular de 2 m de raio com velocidade constante e igual a 1 m/s. O centro da circunferência descrita é a outra extremidade, fixa, do fio. Determine a intensidade da força tensora no fio. 0,25 N 13. (UnB-DF) Certo trecho de uma montanha-russa é aproximadamente um arco de circunferência de raio R. Os ocupantes de um carrinho, ao passar por esse trecho, têm uma sensação de aumento de peso. Avaliam que, no máximo, seu peso foi triplicado. Desprezando os efeitos de atrito, os ocupantes concluirão que a velocidade máxima atingida foi: c) 2 gR

a) 3gR b) 3 gR

X d)

2gR

14. Um automóvel faz uma curva horizontal e plana em uma estrada de raio 100 m. Sabe-se que o módulo de sua velocidade é constante e que a resistência do ar pode ser desprezada. Força peso, força de atrito, força normal. a) Descreva as forças que atuam sobre o automóvel. b) Sabendo que o automóvel realiza 2 voltas a cada 1 minuto, determine sua aceleração centrípeta. 4 m/s2 c) Suponha um valor razoável para a massa do automóvel e utilize-a para calcular a força de atrito necessária para mantê-lo na trajetória. 4 000 N supergenijalac/Shutterstock.com

10. Uma esfera de 2,0 kg gira em um plano horizontal em torno de um ponto fixo, presa à extremidade de um fio de 3,0 m de comprimento, cuja resistência à ruptura é de 20 N. Qual a velocidade angular que fará partir o fio? 1,8 rad/s

11. Um piloto de automóvel vai percorrer uma pista circular de raio r  50 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é e  0,80 e g  10 m/s2. Antes de entrar na pista, ele fez alguns cálculos para determinar o valor da velocidade máxima para o seu carro não derrapar. Se o movimento do carro for uniforme, qual será o valor dessa velocidade? 20 m/s

Automóvel fazendo uma curva.

Lavando a roupa suja A ideia de força centrípeta é fundamental para o desenvolvimento tecnológico das centrifugadoras. Analise, por exemplo, a máquina de lavar roupas em funcionamento, com água e peças de roupa no interior do tambor cilíndrico.

Responda 1. Observe a imagem e comente sobre as forças que agem nas roupas. Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

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Unidade 4

© WB-Images/Westend61/Corbis/Latinstock

Pense além

Roupas dentro da máquina de lavar.

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Experimente a Física no dia a dia Sérgio Dotta Jr/The Next

No balanço do vai e vem Sobre dois balanços estão um menino e sua mãe, de massas 20 kg e 70 kg, respectivamente. Considere que ambos abandonaram o balanço ao mesmo tempo e da mesma altura e que não houve esforço para alterar o movimento dos brinquedos. Como relacionar as frequências dos movimentos de vai e vem do balanço com a massa das duas pessoas? É o que vamos estudar no experimento a seguir. Mãe e criança brincando em um balanço.

• 3 latas de alumínio vazias

Faça o experimento somente na presença do professor.

barbante

cabo de vassoura

cadeira

cadeira

• 90 cm de barbante

30 cm

• 2 cadeiras de mesmo tamanho

18 cm

• 1 litro de água

Paulo Nilson

Materiais

24 cm

Atenção

• 1 cabo de vassoura

Passo a passo

latas

Etapa 1

Representação do aparato experimental.

• Apoie o cabo de vassoura sobre o espaldar das cadeiras. • Corte três fios de barbante com as medidas indicadas na figura. Prenda uma das extremidades do barbante ao cabo de vassoura e a outra extremidade na lata de refrigerante. Coloque a mesma quantidade de água nas três latas. • Eleve as três latas à mesma altura e solte-as ao mesmo tempo. Observe o que acontece e responda às questões 1 e 2.

Etapa 2 • Repita o procedimento anterior. Observe o que aconteceu e responda às questões 3 e 4.

Etapa 3 • Substitua os fios de barbante usados na etapa anterior por outros de comprimentos iguais. Coloque quantidades diferentes de água nas três latas. Eleve mais uma vez as três latas à mesma altura e solte-as ao mesmo tempo. Observe e responda às questões 5 e 6.

Responda

Escreva no caderno

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

1. O que produziu esse movimento das latas?

2. Qual princípio da Dinâmica explica o fato de as latas permanecerem assim apenas por algum tempo?

3. A frequência com que as latas de refrigerante descrevem esse movimento é a mesma? 4. É possível relacionar o comprimento do barbante com as frequências? Descreva essa relação. 5. O movimento das latas tem a mesma frequência? 6. É possível relacionar essa frequência com a massa das latas? Justifique.

Capítulo 10

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Dinâmica nas trajetórias curvas

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CAPÍTULO 11

As leis da Gravitação

Rafael Sanzio (detalhe). 1510-11. Museus do Vaticano, Cidade do Vaticano

1. Breve história sobre os modelos de mundo

No alto e no centro, Platão (esq.) e Aristóteles (dir.) conversam, na representação da escola de Atenas.

Os poetas e os astrônomos não são os únicos a ficar extasiados diante do céu. As pessoas em geral sentem-se atraídas pela beleza e pelo movimento de corpos celestes, como o Sol, as estrelas, os planetas e a Lua. A necessidade de compreender o Universo não é somente do ser humano contemporâneo. Há indícios de que em 4000 a.C. os habitantes da Me­so­po­tâ­mia desenvolveram calendários rudimentares, com base nos movimentos dos astros, com o objetivo de atender às suas necessidades agrícolas. Na Grécia antiga vários filósofos buscaram expli­cações para os movimentos dos corpos celestes. No modelo geocêntrico proposto por Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.), a Terra fica em uma posição estacionária e central, enquanto os outros astros descrevem trajetórias circulares ao seu redor (geo, em grego, Terra; geocêntrico, centrado na Terra). Por volta de 260 a.C., Aristarco de Samos (320 a.C.-250 a.C.) apresentou uma teoria em que o Sol ocupa a posição central do sistema, antecipando o modelo heliocêntrico (hélios, em grego, Sol; heliocêntrico, centrado no Sol) proposto por Copérnico (1473-1543), 15 séculos depois.

Pense além *As estrelas deveriam ser visíveis durante o dia por emitirem luz própria. No entanto, como o Sol está mais próximo da Terra do que qualquer outra estrela, o seu brilho intenso acaba ofuscando o brilho das demais.

[...] XIII “Ora (direis) ouvir estrelas! Certo Perdeste o senso!” E eu vos direi, no entanto, Que, para ouvi-las, muita vez desperto E abro as janelas, pálido de espanto... E conversamos toda a noite, enquanto A Via Láctea, como um pálio aberto, Cintila. E, ao vir do sol, saudoso e em pranto, Inda as procuro pelo céu deserto. Escreva no caderno

Atividade

Direis agora: “Tresloucado amigo! Que conversas com elas? Que sentido Tem o que dizem, quando estão contigo?” E eu vos direi: “Amai para entendê-las! Pois só quem ama pode ter ouvido Capaz de ouvir e de entender estrelas.” [...]

BILAC, Olavo. Obra reunida. Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1996.

NASA/JPL-Caltech/UCLA

Via Láctea

1. Você já observou estrelas durante o dia? Caso negativo faça uma pesquisa para descobrir por que essa é uma tarefa difícil. *

As nebulosas são nuvens de gás que podem formar estrelas ou ser resquícios do final da evolução estelar.

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Aproximadamente 400 anos após Aristarco, o astrônomo Cláudio Ptolomeu­(c. 100-170), em seu Almagesto, aperfeiçoou o modelo geocêntrico de Aristóteles. Segundo Ptolomeu, a Terra ocupa, em repouso, a posição central. O Sol e a Lua giram ao redor da Terra em órbitas circulares. Cada planeta gira em torno de um ponto, formando um epiciclo, e cada ponto gira em torno da Terra em órbitas (trajetória) circulares. Mais além, as estrelas estão fixas em uma esfera de cristal que também gira ao redor da Terra em órbita cir­cular. A utilização contínua das tabelas astronômicas do Almagesto pelos grandes navegadores e os interesses religiosos fizeram com que esse modelo se mantivesse por 1 500 anos.

Copérnico e a teoria heliocêntrica Embora o modelo proposto por Ptolomeu explicasse o movimento aparente dos corpos celestes, é importante lembrar que as observações desse período eram feitas a olho nu. O polonês Nicolau Copérnico (1473-1543) destacou-se como astrônomo e matemático. No seu livro Sobre as revoluções das órbitas celestes, ele expôs a teoria heliocêntrica, na qual o Sol repousa na posição central do sistema e os planetas giram ao seu redor em órbitas circulares. O sistema proposto por Copérnico simplificava o movimento dos outros planetas, eliminando os epiciclos, e introduzia um movimento para a Terra, contrariando o senso comum da época. Mais tarde essa teoria recebeu outras contribuições e foi aperfeiçoada, principalmente com os estudos de Galileu Galilei (15641642), Tycho Brahe (1546-1601) e Johannes Kepler (1571-1630).

Júpiter Lua Terra

epiciclo

Marte

Ilustrações: Grace Arruda

Ptolomeu e a teoria geocêntrica

Vênus

Mercúrio

Sol Saturno

Representação do modelo geocêntrico. (Imagem sem escala, sem proporção e em cores-fantasia.)

Almagesto: É o tratado matemático e astronômico escrito, no século II, por Ptolomeu.

Epiciclo: Círculo cujo centro se desloca ao longo de outro, de diâmetro maior.

Sol Vênus Mercúrio Marte

Terra Saturno

Júpiter

Representação do modelo heliocêntrico proposto por Copérnico. (Imagem sem escala, sem proporção e em cores-fantasia.) Capítulo 11

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As leis da Gravitação

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Exercício resolvido 1 Após ter estudado as teorias geocêntrica (proposta por Ptolomeu) e heliocêntrica (proposta por Copérnico), um estudante chegou à conclusão de que o sistema proposto por Ptolomeu deveria ser desprezado, basicamente porque nele o Sol gira ao redor da Terra, que se encontra parada. Do ponto de vista da Física, é correta a conclusão do estudante?

Resolução Não, porque as duas descrições são fisicamente possíveis, usando diferentes referenciais. No caso do modelo geocêntrico, se o referencial usado for a Terra e o observador estiver em repouso em relação a ela, então, para ele, o Sol estará em movimento e a Terra, parada. No modelo heliocêntrico, se o referencial usado for o Sol e o observador estiver pa­rado em relação a ele, então, para esse observador, a Terra estará em movimento.

Escreva no caderno

Exercícios propostos 1. Que razões justificaram a aceitação, na época, do modelo de Ptolomeu?

A aceitação desse modelo se deve, especialmente, à utilização contínua das tabelas astronômicas do Almagesto, escrito por Ptolomeu, e a interesses religiosos.

2. Quais elementos contribuíram para que o modelo copernicano fosse considerado mais adequado que o modelo ptolomaico? Nesse modelo, verifica-se a simplificação do movimento dos planetas, eliminando os epiciclos e introduzindo o movimento da Terra (contrariando o modelo ptolomaico).

3. O sistema proposto por Ptolomeu ficou limitado a quais planetas? Por quê? Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno, planetas vistos a olho nu. Não havia telescópio.

4. Você acha correto o procedimento de alguns navegadores dos dias atuais que se orientam pelo movimento das estrelas, de forma semelhante aos navegadores antigos, que acreditavam que a Terra permanecia em repouso no centro do Universo? Resposta pessoal.

Você sabia?

O físico italiano Galileu Galilei é considerado, para muitos, um símbolo de resistência por ter sido coagido a negar suas teorias, em troca da preservação da sua vida, pelo tribunal da Santa Inquisição da Igreja Católica. No tribunal, em 1633, ele foi julgado e condenado à prisão domiciliar até o fim de sua vida, nove anos depois. Foi somente em 1983, portanto mais de três séculos depois da sua morte, que houve um pedido de perdão feito pelo papa João Paulo II, em nome da Igreja Católica. Nesse lamentável acontecimento, podemos perceber que ideias e teorias criadas ao longo da história estão sujeitas a mudanças e não podem ser consideradas infalíveis.

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Unidade 4

Banti Cristiano. 1857. Óleo sobre tela. Coleção particular. Foto: Iberfoto/Archivi Alinari/Glow Images

Como Galileu foi condenado e preso por defender suas convicções científicas

Obra de Banti Cristiano (1857) representando o julgamento de Galileu Galilei.

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Atividades

Escreva no caderno

Della Bella. 1632. Gravura. Coleção particular. Foto: World History Archive/Otherimages

No século XVI, quando Copérnico apontou que um sistema heliocêntrico poderia ser admitido e utilizado para explicar as observações astronômicas, essa ideia foi considerada inaceitável tanto por seus colegas, pensadores e intelectuais, como pela Igreja. A Terra não poderia se mover. As razões para que essa teoria não fosse aceita foi por não explicar por que alguns fenômenos não ocorriam. Por exemplo, se a Terra de fato girasse em torno de seu eixo de rotação, deveria provocar a expulsão dos corpos ou ventos fortíssimos em sua superfície. Apenas no século XVII é que foram desenvolvidos os conhecimentos teóricos necessários para fundamentar a teoria heliocêntrica. Embora Galileu tenha contribuído, com seus estudos, para a aceitação do sistema heliocêntrico, suas concepções representavam, ainda, etapas intermediárias entre as ideias antigas de Aristóteles e as bases da teoria que Isaac Newton formularia anos mais tarde. No livro Diálogo sobre os dois principais sistemas do mundo, Galileu buscou explicar o motivo pelo qual o movimento de rotação da Terra não causa os ventos fortes ou a expulsão dos corpos da superfície. Nesse texto, ele ainda discutiu o que hoje chamamos de princípio da relatividade e a sua teoria sobre as marés. Galileu sabia, por exemplo, que devido à inércia, os corpos tendem a se manter em movimento. Assim, argumentou que a atmosfera do planeta deveria girar com todo o planeta, não fazendo sentir os ventos previstos pelos opositores do movimento da Terra. Ele tinha certa noção sobre a atração dos corpos pela Terra, porém qualitativamente a sua visão era equivocada, pois, para ele, a gravidade seria constante e independente da massa do corpo. Embora parte do livro seja dedicada a construir argumentos que justifiquem o movimento da Terra, merece destaque o princípio da relatividade, em que afirma que os efeitos do movimento de um sistema não são perceptíveis quando os experimentos são realizados dentro do próprio sistema. Na parte final do Diálogo Galileu argumenta sobre o fenômeno das marés, que, segundo ele, é fundamental para fortalecer o sistema heliocêntrico. Para ele, esse fenômeno não se explicaria caso a Terra estivesse em repouso; portanto, o fenômeno das marés decorre do movimento da Terra. Os estudos de Galileu sobre a Astronomia e título da obra de Galileu, Diálogo sobre os dois também geraram argumentos para suporte ao Frontispício principais sistemas do mundo (1632). Na gravura estão ilustrados sistema heliocêntrico. Em outro livro, Mensageiro Aristóteles, Ptolomeu e Copérnico. das estrelas, ele descreve descobertas feitas com a luneta que contrariavam algumas das bases do modelo de Aristóteles, geocêntrico, aceito e validado pela Igreja. Por exemplo, mostrou que a Lua não é uma esfera lisa e perfeita, mas possui crateras, e que havia corpos que giravam em torno de outros que não a Terra, como os satélites de Júpiter. Os estudos e as conclusões de Galileu eram opostos ao paradigma vigente e vinham de encontro aos dogmas da Igreja. Isso se comprova pelo fato de ele ter sido condenado, ante o tribunal da Santa Inquisição Romana, e ter de abdicar de suas crenças. 1. Sim, os opositores tinham motivos para contestar a ideia do heliocentrismo, pois naquela época esse modelo não explicava, por exemplo, o motivo de os corpos, situados na superfície da Terra, não serem expulsos pelo movimento de rotação.

1. Os opositores da teoria proposta por Copérnico tinham motivo para não aceitá-la? Em caso afirmativo, cite pelo menos um fenômeno que o modelo heliocêntrico não conseguia explicar na época. 2. Galileu se deteve em formular explicações para o fenômeno das marés. Que motivo justifica essa preocupação? 3. Junto com seus colegas, organize uma forma de expor para sua classe um trabalho desenvolvido em um grupo de estudo. Nesse tipo de trabalho, cada integrante fica responsável por pesquisar, selecionar, redigir e ilustrar uma parte do conteúdo. O trabalho deve tratar do momento histórico e político-religioso na época de Galileu e da interferência da Inquisição na produção de conhecimentos científicos. Resposta pessoal. 2. Para Galileu, era importante fortalecer o sistema de Copérnico e, segundo ele, o fenômeno das marés decorre do movimento da Terra, ou seja, tal fenômeno não se explicaria caso a Terra estivesse em repouso.

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Capítulo 11

As leis da Gravitação

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Lendo a Física

Odysseus Editora

Copérnico e as controvérsias humanas e científicas do modelo heliocêntrico Nesta atividade, vamos trabalhar um trecho do livro Copérnico: pioneiro da revolução astronômica, que relata a vida e a obra de Nicolau Copérnico. Copérnico era um astrônomo e matemático polonês, mas também era cônego católico, que propunha um modelo de Universo que rompia tanto com a crença científica vigente quanto com os dogmas do cristianismo. Copérnico educou-se na Polônia e na Itália, onde foi exposto às ideias dos grandes filósofos gregos Platão e Aristóteles, assim como à ciência de Arquimedes, Aristarco de Samos e Erastóstenes. Em seu livro O contador de areia, Arquimedes menciona o modelo cósmico de Aristarco, cuja distinção principal era ter o Sol no centro e todos os planetas girando à sua volta. Na época, o modelo “geocêntrico”, com a Terra fixa no centro, dominava completamente a filosofia. Aristarco foi levado ao seu modelo revolucionário após calcular os diâmetros

Título: Copérnico: pioneiro da revolução astronômica Autor: Ronaldo Rogério de Freitas Mourão Editora: Odysseus

aproximados do Sol e da Lua. Como mostrou que o Sol era muito maior que a Terra, parecia-lhe muito mais óbvio que o Sol deveria estar no centro, e não a Terra. Portanto, Aristarco, e não Copérnico, foi o primeiro a sugerir o arranjo planetário “heliocêntrico”, com o Sol no centro. E isto em torno de 300 anos antes de Cristo. Mas, se isso é verdade, por que então ninguém fala de Aristarco? Por dois motivos: primeiro, ninguém conseguiu provar que as ideias de Aristarco estavam corretas. Para tal, era necessário medir uma mudança mínima na posição das estrelas mais próximas da Terra durante um intervalo de seis meses, algo que é simplesmente impossível a olho nu. (Lembre-se que o telescópio só será usado em Astronomia após 1610. O efeito que mostra definitivamente que a Terra gira em torno do Sol, chamado paralaxe, só será medido em 1838!). Segundo, porque na época, e por mais dois mil anos, o modelo de Aristóteles dominava a Filosofia. Segundo ele, o cosmo se dividia em duas partes: o mundo sublunar, da Lua para baixo, onde mudanças eram possíveis; e o mundo supralunar, incluindo a Lua, todos os planetas, o Sol e as estrelas, onde o único movimento possível era o circular, com todos os objetos celestes girando em torno da Terra. Para que as ideias de Aristarco fossem aceitas, elas teriam que derrubar o poderoso modelo aristotélico. E isso, sem provas conclusivas, era impossível. Resumindo: o modelo de Aristarco foi esquecido. [...] O problema é que na época de Copérnico, em torno de 1500, a Astronomia de Ptolomeu era a mais aceita. E ele não tinha nada de elegante. É bem verdade que o objetivo principal de Ptolomeu não era a elegância, mas um modelo do cosmo que fosse capaz de reproduzir os movimentos dos planetas, Lua e Sol observados aqui da Terra. E isso ele fazia com bastante precisão. Essa precisão era necessária para que os astrólogos pudessem fazer os seus mapas e projeções, que dependiam das posições futuras dos planetas.

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Unidade 4

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Para Copérnico, o modelo de Ptolomeu era monstruoso, um corcunda cósmico. Não só o Sol (e nem a Terra, deslocada do centro) não era o centro do cosmo, como os planetas giravam em velocidades irregulares em torno do centro. Esse movimento irregular contrariava uma regra de Platão, que dizia que os astrônomos deveriam ser capazes de descrever os movimentos celestes usando apenas círculo e velocidades regulares, sempre as mesmas em qualquer posição. A missão a que se propôs Copérnico foi criar um modelo que não só tivesse o Sol no centro, sendo mais elegante e natural, como também respeitasse a regra de Platão e fosse tão preciso quanto o Ptolomeu. [...] Em 1510, ele [Copérnico] escreveu um pequeno manuscrito propondo o seu modelo heliocêntrico. Em vez de publicado, como já faziam outros estudiosos, ele distribuiu algumas cópias para filósofos e conhecidos, aguardando pelos seus comentários. Sua obra-prima, Sobre as revoluções das órbitas celestes, só apareceria em 1543, o ano de sua morte. Será que ele tinha medo dos comentários negativos de outros astrônomos? Ou talvez da perseguição religiosa da Igreja? Afinal, centenas de pessoas eram queimadas por ano acusadas de heresia e bruxaria. Será que ele era inseguro? A resposta pode ser uma combinação de todos esses fatores. Ninguém sabe ao certo. Porém, ele dedicou seu livro ao Papa Paulo III, escrevendo que a bíblia não deveria ser usada para interpretar o arranjo dos céus. Isso demonstra grande coragem, talvez porque soubesse que não viveria muito mais tempo. A maior crítica religiosa ao trabalho de Copérnico não veio da Igreja Católica, mas dos Luteranos. O próprio Martinho Lutero parece ter zombado de Copérnico e do seu modelo heliocêntrico. E a história não termina aí. Copérnico, já velho, incumbe seu aluno a supervisionar a publicação de sua obra. Mas o jovem é forçado a se mudar, e deixa a responsabilidade nas mãos de Andreas Osiander, um importante teólogo luterano. Osiander, sem a permissão de Copérnico, adiciona um prefácio ao livro, que atribui a Copérnico, onde afirma que a proposição do Sol no centro do cosmo não deve ser levada a sério, sendo só um modelo matemático para calcular as posições planetárias, e não o verdadeiro arranjo cósmico! Copérnico só foi ver um exemplar pronto do seu livro no dia de sua morte, 24 de maio de 1543. GLEISER, Marcelo. In: MOURÃO, Ronaldo Rogério de Freitas. Copérnico: pioneiro da revolução astronômica. São Paulo: Odysseus, 2003. p. 9-14.

Atividades

Escreva no caderno

Professor, as respostas e os comentários das questões encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

A história de Copérnico foi de extrema importância na Astronomia e aborda dilemas científicos e pessoais. 1. A primeira proposição de um modelo heliocêntrico foi de Aristarco por volta de 300 a.C. Que argumentos ele usou para propor tal modelo? 2. Por que o modelo geocêntrico de Ptolomeu se manteve como a principal ideia sobre a estrutura do Universo por mais de 1 500 anos? 3. Pesquise o que é paralaxe, e como esse fenômeno poderia negar ou corroborar o modelo heliocêntrico. 4. A elaboração ou a aceitação de um novo modelo são dadas sobre crenças e estética. Destaque no texto dois exemplos que comprovam essa afirmação. 5. Se você estivesse na posição de Copérnico, com uma compreensão sobre a “realidade” que, diferente do pensamento da maioria das pessoas, poderia causar a ira e a perda de poder de algumas delas e pôr em risco a sua vida, o que faria? 6. Em sua opinião, qual foi a motivação de Osiander para alterar o prefácio do livro de Copérnico?

Capítulo 11

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As leis da Gravitação

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2. As leis de Kepler Nascido na Dinamarca, Tycho Brahe realizou a olho nu observações meticulosas sobre os movimentos planetários. Após sua morte, seu assistente, o alemão Johannes Kepler, continuou seus estudos. Kepler, que era um excelente matemático, refez vários cálculos e estabeleceu três leis que regem o movimento dos planetas em torno do Sol. Kepler estudou o movimento do planeta Marte por quase 10 anos, seguindo sua trajetória pelo céu e tentando descrever para ele uma órbita em torno do Sol. É importante lembrar que as leis de Kepler são válidas para um referencial fixo em relação ao Sol. Por isso, tais leis podem parecer absurdas se considerarmos a Terra como referencial. As leis de Kepler fizeram o modelo heliocêntrico ser fortemente aceito pela comunidade científica da época, pois resolveram algumas incompatibilidades dos movimentos planetários quando interpretados pela teoria geocêntrica.

Delfim Martins/Pulsar

Pare e pense

Pôr do Sol sobre o rio São Francisco, Petrolina (2015).

Considerando que o Sol ocupa um dos focos da trajetória elíptica descrita pela Terra, por que, à medida que nos aproximamos ou nos afastamos dele, não o vemos maior ou menor?

Lei das órbitas (1a lei de Kepler) A 1a lei do movimento planetário de Kepler refere-se à forma elíptica da trajetória descrita por um planeta em torno do Sol. Cada planeta movimenta-se ao redor do Sol descrevendo uma órbita elíptica, com o Sol posicionado em um dos focos da elipse.

Elementos da elipse Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que sua definição se dá a partir de dois pontos, que chamamos de focos da elipse, F1 e F2. A soma das distâncias de um ponto P qualquer da elipse aos focos F1 e F2 é constante.

A figura a seguir representa um esquema do Sistema Solar composto pelo Sol e seus oito planetas: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. Plutão, que passou à categoria de planeta-anão na conferência anual da União Astronômica Internacional (UAI) de 2006, também aparece no esquema.

Vênus Marte

Saturno

Terra

Júpiter

Netuno Cinturão de asteroides

d2

Grace Arruda

d1 F1

F2

Editoria de arte

B2

A1

b

semieixo menor

c

F1

F2

a

A2

Embora as órbitas elípticas tenham sido desenhadas, propositadamente, com excentricidades bem acentuadas, na realidade elas se aproximam da forma circular (observe na tabela da página 166 os valores de excentricidade das órbitas dos planetas). A excentricidade e de uma elipse caracteriza seu grau de “achatamento” e pode ser obtida por: e5

semieixo maior

B1

Representação dos elementos geométricos da elipse.

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Unidade 4

Plutão

Representação do Sistema Solar. Na imagem, as cores não são reais e o esquema não está representado em escala de proporção ou tamanho. Os planetas Urano e Netuno só foram incluídos nesse modelo após a evolução de equipamentos de observação e da teoria da gravitação. (No modelo ainda está representado o planeta-anão Plutão.)

Ilustração produzida com base em: SEEDS, M. A. Horizons: exploring the universe. 5. ed. Belmont: Wadsworth, 1998. p. 304, 306-307.



distância focal

Mercúrio

Urano

d1  d2  constante

P

Sol

Grace Arruda

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

c a

Quanto maior a excentricidade, mais “achatada” é a elipse. Quando uma elipse apresenta excentricidade nula, seus focos são coincidentes e ela é a própria circunferência.

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Lei das áreas (2a lei de Kepler) A 2 a lei do movimento planetário de Kepler estabelece relações entre a velocidade orbital do planeta e o ponto de sua órbita. O segmento de reta imaginário que liga o Sol a determinado planeta descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Para uma área descrita A em um intervalo de tempo t, algebricamente, temos:

Sol

A 5 constante Dt

t1

ou seja:

A1

A2

t2

Ilustrações: Eunice Toyota

B

C planeta

A1 A 5 2 Dt1 Dt 2

Nesse esquema cada região pintada representa uma área descrita pelo planeta para ir de um ponto até outro ponto percorrendo sua órbita.

Assim, podemos concluir que a velocidade de translação do planeta ao redor do Sol sofre variação, ou seja, aumenta à medida que se aproxima do periélio (ponto mais próximo do Sol) e diminui à medida que se aproxima do afélio (ponB to mais afastado do Sol). Se a área A1 é igual à área A2, os intervalos de tempo ) C e ) DE também para cumprir os arcos B serão iguais.

Como o comprimento do arco BC é maior do que o comprimento do arco DE, a velocidade do planeta será maior no ) C do que no trecho ) DE. trecho B

v aumenta

E vmín.

Sol periélio

afélio

A2

A1

vmáx.

D C planeta v diminui

Lei dos períodos (3a lei de Kepler) A 3a lei do movimento de Kepler relaciona o período de revolução de um planeta, tempo necessário para esse planeta descrever uma volta completa ao redor do Sol, e a distância média R, do semieixo maior da elipse, do planeta ao centro da elipse. Para os planetas que orbitam o Sol, o quociente entre o quadrado do período (T2) e o cubo do raio médio da órbita (R3) é sempre constante.

Sol R distância média

T2 5 k (constante) R3 planeta

Representação da trajetória elíptica descrita pelo planeta ao redor do Sol.

Nessa equação, você poderá perceber que, quanto maior o valor de R, maior será o período T, ou seja, maior será o tempo que o planeta levará para dar uma volta em torno do Sol. Capítulo 11

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As leis da Gravitação

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Veja, a seguir, alguns dados referentes ao Sistema Solar. Alguns parâmetros orbitais dos planetas do Sistema Solar Mercúrio

Vênus

Terra

Marte

Júpiter

Saturno

Urano

Netuno

Período de translação (T) em anos terrestres

0,241

0,615

1,000

1,08

11,86

29,47

83,76

163,7

Distância média ao Sol (R) 109 m

57,9

108,2

149,6

227,9

778,3

1 429

2 870

4 504

Velocidade orbital média 103 m/s

47,9

35

29,8

24,1

13,1

9,6

6,8

5,4

Número de satélites naturais

0

0

1

2

67

62

27

14

Excentricidade (e) da órbita

0,206

0,007

0,016

0,093

0,048

0,054

0,047

0,0086

Fonte: NASA. Solar System Exploration. Disponível em: <http://solarsystem.nasa.gov/planets/index.cfm>. Acesso em: 18 dez. 2015.

Exercícios resolvidos 2 De acordo com a 1a lei de Kepler, o Sol está posicionado em um dos focos da elipse descrita pelo planeta que se movimenta ao seu redor. Como a trajetória é elíptica, deveríamos ver o Sol maior ou menor à medida que a Terra está mais próxima ou mais afastada dele, o que não acontece. Explique essa aparente incoerência.

Resolução

RP  40R e TT  1 ano (Tp)2 (40 ? R)

3

5

(1)2 (R)3

(TP)2  403 TP  40 40 ä T  253 anos

4 No esquema abaixo está representada a órbita descrita pela Terra ao redor do Sol (sem escala, sem proporção e em cores-fantasia). Determine, em meses, o tempo necessário para que a Terra percorra a traje1 tória ) BCD. Considere a área pintada como da área 4 total da elipse. B Sol Tarumnã

Se a excentricidade da órbita elíptica descrita pela Terra fosse bastante acentuada, seria compreensível que o tamanho do Sol nos parecesse maior ou menor em diferentes épocas do ano. Como a excentricidade é baixa (0,016), a órbita elíptica se aproxima da circular, o que nos dá a sensação de que o Sol tem o mesmo tamanho durante o ano todo. Lembre-se de que essa medição é feita com instrumentos pois não devemos olhar diretamente para o Sol.

C

3 A 3a lei de Kepler relaciona os períodos dos movimentos dos planetas em torno do Sol com a distância média dos planetas e outros astros ao centro do Sistema Solar. Comparando-se com a Terra, cujo período é de 1 ano e cuja distância ao Sol é R, qual será, aproximadamente, o período do planeta-anão Plutão, em anos terrestres, se sua distância média ao Sol é de aproximadamente 40R?

Resolução Em relação à Terra:

(TT)2 (R T)3

Em relação a Plutão:

166

Unidade 4

5k

(Tp)2 (R p)3

5k

D

Resolução A 5 área total da elipse Dt 5 12 meses (tempo para completar uma volta) 1 A9 5  A 5 área amarela 4 Dt9 5 tempo para percorrer ) BCD De acordo com a 2a lei de Kepler, temos: 1  A A 4 Æ 5 Dt9 5 3 meses Dt9 12

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

6. Observando a 2a lei de Kepler, os planetas possuem maior velocidade no periélio ou no afélio? Justifique suas respostas. Respostas no final do livro. 7. Considere que o período de revolução da Lua em torno da Terra é de 27 dias e que o raio de sua órbita valha 60R, sendo R o raio da Terra. Um satélite geoestacionário, de telecomunicações, orbita a Terra. Em relação ao satélite, responda: a) Qual o período de revolução? 24 h b) Qual o raio de órbita? 6,7R

8. O esquema representa a trajetória elíptica de um planeta ao redor do Sol. Determine e justifique em qual dos pontos, A, B, C ou D, a velocidade desse planeta é máxima e em qual é mínima. A velocidade é mínima em A C

B

(afélio da órbita) e máxima em B (periélio da órbita).

A Sol

Editoria de arte

5. O que Johannes Kepler descobriu a respeito da distância dos planetas em relação ao Sol? E de suas velocidades em relação ao Sol? Respostas no final do livro.

planeta D

9. O raio médio da órbita de Saturno em torno do Sol é cerca de 9,6 vezes maior do que o raio médio da órbita da Terra. Determine, em anos terrestres, o período de revolução de Saturno. Aproximadamente 29,7 anos terrestres.

Você sabia?

Aristarco de Samos viveu em uma época (c. 310 a.C.-230 a.C.) em que o modelo geo­cên­trico era predominante. Qualquer tentativa contrária às propostas aris­to­té­licas (Terra na posição central do Universo) estava fadada ao insucesso. Mesmo nesse contexto social adverso, Aristarco desenvolveu cálculos sobre o tamanho dos planetas e as distâncias que os separam, tomando como referência o Sol na posição central do sistema. Um desses cálculos se refere à distância da Terra ao Sol. Considerando a falta de recursos instrumentais da época, a forma como esse cálculo foi realizado revela grande engenhosidade. Observando simultaneamente a Lua em quarto crescente e o pôr do sol, Aristarco mediu o ângulo entre essas linhas e obteve o valor de 87°. A partir desse ângulo, e usando a distância entre a Terra e a Lua como referência, calculou a distância entre a Terra e o Sol, obtendo aproximadamente 19 vezes a distância Terra-Lua. Lua θ = 3° Essa distância só foi estimada por Hiparco (190 a.C.quarto crescente 120 a.C.) posteriormente. Esse valor está muito abaixo do real (380 vezes a distância Terra-Lua) por causa da d 87° imprecisão na medida do ângulo (89,86°). Sol Considerando o esquema ao lado, temos: d: distância da Terra à Lua D: distância da Terra ao Sol d Æ d cos 87°  0,052  D D D  19d

Responda

Escreva no caderno

Grace Arruda

Como os antigos calculavam a distância até a Lua?

D

Terra

Representação das medições (distâncias) realizadas por Hiparco. O esquema está sem escala, sem proporção e em cores-fantasia. As duas teorias adotavam órbitas circulares para os astros e consideravam a existência de um astro no centro do Universo (para Ptolomeu, a Terra, e para Copérnico, o Sol). Os resultados seriam os mesmos, porque Terra, Sol e Lua possuem velocidade constante.

1. Compare as teorias defendidas por Ptolomeu e por Copérnico e identifique se existem aspectos concordantes. Esses modelos modificariam os resultados encontrados por Aristarco?

Capítulo 11

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As leis da Gravitação

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3. Lei da Gravitação Universal As leis elaboradas por Kepler foram muito importantes para a descrição do movimento planetário. Porém, faltava entender que tipo de força agia sobre os planetas, para que eles se deslocassem ao redor do Sol de forma compatível com essas leis. Em sua obra Philosophiae naturalis principia Mathematica, publicada em 1687, o inglês Isaac Newton (1642-1727) apresentou a lei da gravitação universal. Para estabelecer essa lei, Newton buscou entender o movimento da Lua com base nos princípios fundamentais da Dinâmica. Pesquisou também o movimento dos planetas fundamentado nas leis de Kepler e concluiu:

Gerson Gerloff/Pulsar

Pare e pense

• Dois corpos materiais quaisquer exercem uma força de atração mútua, denominada força gravitacional.

O que mantém a Lua orbitando ao redor da Terra? Por que os corpos próximos à superfície da Terra são atraídos por ela?

• A intensidade da força gravitacional depende das massas desses corpos, sendo diretamente proporcional ao produto delas. • A intensidade da força gravitacional depende da distância entre os corpos, sendo inversamente proporcional ao quadrado dessa distância. m1

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

m2

F

F

d

Editoria de arte

Lua sendo observada no céu de Santa Maria, RS (2014).

Representação esquemática da lei da Gravitação Universal.

A representação matemática da lei da gravitação universal é: Fg  G

m1m2 d2

A constante de proporcionalidade G é denominada constante de gravitação universal, cujo valor numérico depende apenas do sistema de unidades utilizado. No Sl, seu valor é: G  6,67  1011 N  m2/kg2

Exercício resolvido Corbis/Latinstock

5 Considere que a Terra e a Lua são corpos esféricos e homogêneos, cujas massas são respectivamente iguais a mT  6  1024 kg e mL  7,4  1022 kg. Se a distância aproximada entre os seus centros é 380 000 km, determine o valor da intensidade da força de atração entre a Terra e a Lua.

Dado: G  6,7  1011 N  m2/kg2. Resolução Fg  G

m1m2 d2

e d  380 000 km  3,8  108 m

Fg  6,7  1011 

168

Unidade 4

6 ? 1024 ? 7,4 ? 1022 Æ Fg  2  1020 N (3,8 ? 108)2

Imagem da Terra sendo vista da Lua. A imagem foi registrada em 1968, na missão Apolo 8.

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

Três dessas fotografias estão reproduzidas abaixo.

Eunice Toyota

10. Isaac Newton explicou que a Lua “cai em volta” da Terra devido a sua velocidade tangencial. Pensando nesse fenômeno, se a velocidade tangencial da Lua fosse reduzida a zero, qual seria o destino desse satélite natural?  A Lua se moveria diretamente contra a superfície da Terra. 11. De acordo com a lei da gravitação universal, o que ocorre com a força gravitacional quando a distância entre os corpos é duplicada? A força de atração entre os corpos se reduz e, nesse caso, passa a um quarto do valor inicial.

12. Determine a força de atração gravitacional entre: a) duas pessoas, A e B, de massas 80 kg e 70 kg, que distam 2 m entre si. 8,4  1028 N b) a Terra (MT 5 6 ? 1024 kg e R 5 6 ? 106 m) e uma pessoa de 80 kg na superfície da Terra Dado: G 5 6 ? 10211 N ? m2/kg2. 800 N 13. Considere dois satélites, A e B, em órbita ao redor da Terra, sendo que A realiza uma trajetória elíptica (situação 1) e B uma trajetória circular (situação 2). Em qual das duas situações o trabalho da força gravitacional é maior? Justifique sua resposta.

Resposta no final do livro.

14. (UFRJ) Em certo sistema planetário, ali­nham-se, em dado momento, um planeta, um aste­roide e um satélite. P Editoria de arte

R

S

A

9R

3R

Sabe-se que: • a massa do planeta é 1 000 vezes a do satélite; • o raio do satélite é muito menor que o do planeta. Determine a razão entre as intensidades das forças gravitacionais exer­ci­das pelo planeta e pelo satélite sobre o asteroide. 90

Eunice Toyota

15. (Enem/MEC) A figura abaixo mostra um eclipse solar no instante em que é fotografado em cinco diferentes pontos do planeta. Sol

As fotos poderiam corresponder, respectivamente, aos pontos: X a) III, V e II.

b) II, III e V. c) II, IV e III. d) I, II e III. e) I, II e V. 16. (Enem/MEC) O ônibus espacial Atlantis foi lançado ao espaço com cinco astronautas a bordo e uma câmera nova, que iria substituir uma outra danificada por um curto-circuito no telescópio Hubble. Depois de entrarem em órbita a 560 km de altura, os astronautas se aproximaram do Hubble. Dois astronautas saíram da Atlantis e se dirigiram ao telescópio. Ao abrir a porta de acesso, um deles exclamou: “Esse telescópio tem a massa grande, mas o peso é pequeno”. Considerando o texto e as leis de Kepler, pode-se afirmar que a frase dita pelo astronauta a) se justifica porque o tamanho do telescópio determina a sua massa, enquanto seu pequeno peso decorre da falta de ação da aceleração da gravidade. b) se justifica ao verificar que a inércia do telescópio é grande comparada à dele próprio, e que o peso do telescópio é pequeno porque a atração gravitacional criada por sua massa era pequena. c) não se justifica, porque a avaliação da massa e do peso de objetos em órbita tem por base as leis de Kepler, que não se aplicam a satélites artificiais.

I

se justifica, porque a força peso é a força exercida pela gravidade terrestre, nesse caso, sobre o telescópio, e é a responsável por manter o próprio telescópio em órbita.

IV

e) não se justifica, pois a ação da força peso implica a ação de uma força de reação contrária, que não existe naquele ambiente. A massa do telescópio poderia ser avaliada simplesmente pelo seu volume.

II III V

X d) não

Capítulo 11

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As leis da Gravitação

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Experimente a Física no dia a dia NASA/Bill Ingalls

Simulando as fases da Lua Dizem que a Lua influencia os poetas, as marés, os partos, o humor, e até mesmo quanto crescerão seus cabelos dependendo da fase em que o corte for realizado. Dos itens citados, a Física estuda apenas as influências sobre as marés, que variam conforme a posição da Lua e do Sol, em relacão à Terra.

Fotografia da Lua tirada pela Estação Espacial Internacional em 2015.

Nesse experimento vamos estudar as fases da Lua, um fenômeno que podemos mensalmente observar no céu.

Materiais • 2 mesas • 1 lanterna

• 4 cadeiras • 1 copo

• •

1 bola branca (15 cm) alguns livros

• Deixe a bola apoiada sobre o copo, em uma das mesas, no centro da sala.

3030-FIS-V1-C12-LA-I003

• Apoie a lanterna sobre os livros em outra mesa, como mostra a figura ao lado. • Nessa simulação, a lanterna, a bola e os alunos representam, respectivamente, o Sol, a Lua e os observadores na Terra.

Ilustrações: Alex Argozino

Passo a passo

NOVA

Esquema de como devem ficar os objetos envolvidos no experimento.

• Observe a localização dos objetos na figura. Os alunos devem ficar sentados em uma posição em que seja possível manter os olhos à mesma altura em que está a bola, a cerca de 1 metro dela (Figura 1).

aluno B aluno C

• Escreva e desenhe o que você está vendo e registre as posições do Sol, da Lua e da Terra. Troque informações com os outros três colegas sobre as imagens que cada um está vendo.

aluno A

• Agora, cada aluno deve trocar de posição no sentido horário, colocando-se na cadeira adjacente (Figura 2). Faça esse Figura 1. movimento até chegar à posição inicial. Após cada troca, desenhe e escreva o que você está vendo e registre as posições do Sol, da Lua e da Terra. Se necessário, faça ajustes para modificar a altura da bola e a da lanterna com outros objetos disponíveis na sala. Solicite a intervenção do professor em caso de divergências.

aluno D

aluno C

aluno D

aluno B

Responda

Escreva no caderno

1. Como você explica a mudança na aparência da Lua?

aluno A Figura 2.

2. Existe uma limitação nesse modelo que acabamos de construir. Discuta essa limitação com base no desenho do sistema Sol-Terra-Lua como você conhece. Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

170

Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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5/10/16 6:11 PM


Na tentativa de compreender as forças de interação a distância, desenvolveu-se o conceito de campo gravitacional. A ideia de campo de força gravitacional parte do seguinte princípio: todo corpo de massa m1 origina no espaço ao seu redor um campo de força, de tal forma que qualquer outro corpo de massa m2 colocado nesse espaço sofrerá ação de m1. Considere que um corpo de massa m1 atribui um potencial gravitacional a todo ponto do espaço ao seu redor. O campo m1 gravitacional g é um campo vetorial que se manifesta por meio da ação da força gravitacional Fg nos corpos aí colocados. Portanto, para um corpo de massa m2, a intensidade de Fg será: Fg  G

Fg m2

d

Ilustrações: Editoria de arte

4. Campo gravitacional

m1m2 d2

Se considerarmos esse raciocínio para a Terra, teremos no espaço à sua volta o campo gravitacional terrestre. Para cada ponto desse campo é possível associar um vetor g (vetor campo gravitacional), cuja direção é radial e cujo sentido é para o centro da Terra. Terra Note que no ponto onde está o corpo de massa m existe um vetor campo gravitacional com mesma direção e sentido de Fg e Fg intensidade g  . m

m

Fg g

Intensidade do campo gravitacional No esquema abaixo, temos a representação da Terra, de massa M, e uma partícula de massa m a uma distância h da superfície da Terra. M

F

m

R h R

d

R: raio da Terra h: distância da partícula à superfície da Terra d  R 1 h: distância da partícula ao centro da Terra

Nesse caso, a intensidade da força de atração gravitacional, Fg, que age na partícula, é: Mm Mm Fg  G  2 Æ Fg  G  d (R 1 h)2 Se desconsiderarmos o movimento de rotação da Terra e desprezarmos a ação do Sol e de outros corpos celestes, teremos Fg  P  mg (a força de atração gra­vi­ta­cio­nal é o próprio peso do corpo): Mm mg  G  (R 1 h)2 gG

M (R 1 h)2

Capítulo 11

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As leis da Gravitação

171

4/15/16 8:47 AM


Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Nessa relação matemática, a intensidade do campo gravitacional, ou seja, da aceleração da gravidade, depende da distância h da partícula à superfície da Terra, do raio R e da massa M da Terra. Desprezado o movimento de rotação da Terra, podemos considerar, para os pontos muito próximos da superfície, que o campo gravitacional tem valor constante g0 dado por:

NASA Images

Pare e pense

Astronauta Luca Parmitano a bordo da Estação Espacial Internacional (2013).

O que acontece com o campo e a força gravitacional que atuam sobre um astronauta e os objetos que estão no interior da Estação Espacial Internacional?

g0  G

M R2

A rotação terrestre influencia o campo gravitacional da superfície de modo que, à mesma longitude, seu valor é mínimo no equador (latitude 0°) e máximo nos polos (latitude 90°). Veja, a seguir, os valores do campo gravitacional da superfície em função da latitude:

Variação da aceleração da gravidade com a latitude do lugar na superfície da Terra Latitude

10°

20°

30°

40°

45°

50°

60°

70°

80°

90°

g (m/s )

9,7803

9,7819

9,7864

9,7932

9,8017

9,8066

9,8107

9,8191

9,8260

9,8305

9,8321

2

Fonte: RESNICK, Robert; HALLIDAY, David. Física 1: Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 1973.

Essas variações, embora pequenas, ocorrem basicamente devido ao fato de a Terra apresentar diferentes raios (pois ela não é perfeitamente esférica), quando consideramos o eixo de rotação.

Exercícios resolvidos 6 Vamos admitir que a Terra seja um corpo esférico e homogêneo (densidade constante em todos os seus pontos), com raio R  6,37  106  m e massa M   5,98  1024  kg. Diante dessas condições, desprezando os efeitos da rotação da Terra e com G   6,67  1011 N  m2/kg2, determine: a) a aceleração da gravidade em um ponto P localizado nas proximidades da superfície terrestre; b) a aceleração da gravidade em um ponto P localizado a 120 km da superfície terrestre.

Resolução a) Se o ponto P está na proximidade da superfície terrestre, h  0. g0  G

M R2

g0  6,67  1011  g0 

5,98 ? 1024 (6,37 ? 106)2

6,67 ? 5,98  1011  1024  1012 (6,37)2

g0  9,83 m/s2 b) Se o ponto P está a 120 km da superfície terrestre, então:

172

Unidade 4

h  120 km  0,12  106 m gG

Mm Æ (R 1 h)2

Æ g  6,67  1011 

5,98 ? 1024 Æ [(6,37 1 0,12) ? 106]2

Æ g  9,47 m/s2

7 Considere que a aceleração da gravidade próximo

da superfície da Terra é g  9,81 m/s2, sua massa é M e o raio médio, R. Determine a aceleração da gravidade na superfície de um planeta P, sabendo que a massa de P é 3M e o seu raio médio é 3R.

Resolução Próximo da superfície do planeta P a aceleração da gravidade é gP. gP  G

3M 1 M 5  G  2 2 (3R) 3 R

A aceleração da gravidade próximo da superfície da M Terra é G 2 . R 1 1 gP  g   9,81 3 3 gP  3,27 m/s2

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 17. O que é um campo gravitacional e como o percebemos? Resposta no final do livro.

18. O campo gravitacional é maior no equador ou nos polos? Se a Terra não girasse mais em torno de seu eixo, o campo gravitacional aumentaria ou diminuiria? Resposta no final do livro.

19. Determine a aceleração da gravidade próximo da superfície lunar. Considere a Lua como uma esfera homogênea de raio R  1,74  106 m e massa M  7,3  1022 kg. Dado: G  6,67  1011 N  m2/kg2. 1,61 m/s2

20. A que distância h da superfície da Terra a aceleração da gravidade vale um terço do valor que ela tem próximo da superfície terrestre? Considere o raio da Terra 6 400 km, despreze os efeitos da rotação e admita que ela é um corpo homogêneo e esférico. 4 685 km

21. Calcule a força gravitacional entre a Terra e o Sol. Dados: massa da Terra 5 6 ? 1024 kg, massa do Sol 5 5 2 ? 1030 kg, distância da Terra ao Sol 5 1,5 ? 1011 m, constante de gravitação 5 6 ? 1011 N ? m2/kg2. 3,2 ? 1022 N

5. Corpos em órbitas circulares

Corpos em órbita

Fg  G

d Fg

m

Fg

v

M

Mm Æ Mm Æ v2 Mm M ma  G m  G 2 Æ v2  G Æ cp d2 d2 d d d

Satélite artificial orbitando a Terra.

Como seria a vida da maioria da humanidade sem o uso dos satélites artificiais? Editoria de arte

No esquema ao lado, temos dois corpos, de massa M e m, com M muito maior que m. O corpo m gira em órbita circular ao redor do corpo M e as forças de interação estão representadas por Fg e Fg. Sendo Fg uma força centrípeta, podemos determinar sua intensidade partindo da lei da gravitação universal.

Pare e pense

Corel Stock Photo

A vida humana atualmente está direta ou indiretamente ligada aos satélites artificiais. Considere, por exemplo, o ato de ligar uma televisão, receber notícias sobre as condições climáticas, acessar a internet etc. O lançamento dos satélites em órbita ao redor da Terra é uma conquista recente, mas o fundamento teórico de seu movimento já havia sido estudado por Newton. Os foguetes espaciais são projetados para levar esses satélites a uma distância superior a 200 km, para que os efeitos da atmosfera não interfiram no seu movimento.

v5

G

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

M d

Analisando a relação matemática obtida, percebemos que a velocidade do corpo que está em órbita circular não depende de sua massa m, e sim da massa M e do raio da órbita d. Falar dos corpos em órbita em torno da Terra nos faz lembrar das imagens de astronautas “flutuando” dentro de naves espaciais. O que acontece no caso do astronauta, por exemplo, é que ele, a nave e os objetos em seu interior “caem” em órbita em torno da Terra. Para colocar o corpo em órbita, é preciso calcular a velocidade tangencial correta para determinada altura. Nesse caso, a força da gravidade muda somente a direção dessa velocidade de tal forma que a nave adquire um movimento circular uniforme. Se a nave baixa sua altitude, os astronautas corrigem a órbita ejetando os motores para ganhar mais velocidade. Capítulo 11

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As leis da Gravitação

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Velocidade de escape Para que um corpo, lançado da superfície terrestre, se livre da atração da Terra, é necessária uma velocidade mínima de lançamento. Essa velocidade, também chamada de velocidade de escape ve ou de fuga, é a velocidade mínima na superfície da Terra para que o corpo alcance o infinito com velocidade nula. Assim, desprezada a resistência do ar, enquanto o corpo se move na atmosfera, podemos aplicar a conservação da energia mecânica. Esse tema será trabalhado na próxima Unidade. No momento do lançamento, o sistema planeta-corpo apresenta:

Editoria de arte

M

(infinito)

m

C

ve

v=0

M 5 massa do planeta m 5 massa do corpo

d

A energia mecânica do corpo de massa m é dada pela soma da energia responsável pelo movimento do corpo (energia cinética) com a energia adquirida pelo seu afastamento em relação ao centro da Terra (energia potencial): 1 mv2e • Energia cinética: Ec  2 Mm • Energia potencial: Ep  G d mv2e GMm • Energia mecânica: Em(lançamento)   2 d Em um ponto bastante afastado do planeta (infinito), o corpo para, mas não retorna. Adotando esse local como ponto de referência, as energias serão: Ec  0 e Ep  0 (pois o valor de d é muito grande) Æ Em(infinito)  0 Para o sistema planeta-corpo conservativo, teremos: Em(lançamento)  Em(infinito) mv2e 2

GMm 2GM Æ  0 Æ ve2  d d

ve 5

2GM d

Note que, pela expressão obtida, o valor da velocidade de escape não depende da massa do corpo a ser lançado.

Exercício resolvido 8 Considere que a Lua descreve órbita circular ao redor da Terra e que G  6,7  1011 N  m2/kg2. Determine a velocidade média da Lua, sabendo que d  3,8  108 m é o raio médio dessa órbita e M  6,0  1024 kg é a massa aproximada da Terra.

Resolução v G

M 6,0 ? 1024 6,7 ? 6,0  6,7 ? 1011 ?  ? 1011 ? 1024 ? 108 8 d 3,8 3,8 ? 10

v  1 000 m/s  3 600 km/h

174

Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 22. Criada em 1989 no município de Alcântara, a 408 km de São Luís, capital do Maranhão, a segunda base de lançamentos de foguetes da Força Aérea Brasileira foi denominada de Centro de Lançamento de Alcântara (CLA). O local escolhido para instalar a base é próximo da linha do equador. Esse fato é importante porque a velocidade de rotação da Terra, na altura da linha do equador, auxilia o impulso dos lançadores, favorecendo a economia do combustível propelente utilizado nos foguetes. Além disso, a península de Alcântara possibilita lançamentos em todos os tipos de órbita. Seus principais propósitos, atualmente, estão relacionados à realização de lançamentos de satélites e a sediar os testes do Veículo Lançador de Satélites (VLS).

23. Durante um treinamento, um astronauta é colocado no interior de uma “cabine” que simula as condições de uma nave espacial em órbita ao redor da Terra. Para esse astronauta, os objetos que estão lá dentro parecem flutuar. Como você explica esse fenômeno? A nave, os objetos e o astronauta estão, todos, em “queda” com a

O primeiro lançamento feito nessa base ocorreu em 1989 e certamente os responsáveis pelo projeto de lançamento tinham conhecimento de que a velocidade orbital de um satélite, girando ao redor da Terra, depende apenas das grandezas:

25. Um satélite de telecomunicações permanece em uma órbita circular ao redor da Terra e a altura H = 3 622 km da sua superfície. Considere, em valores aproximados, que a constante de gravitação universal é G = 6,0  10211 N ? m2/kg2, o raio e a massa da Terra, respectivamente, R = 6 378 km e M = 6  1024 kg. Calcule: a) v 5 6 ?103 m/s   b) t  104 s

a) raio da órbita e massa do Sol. X b) raio da órbita e massa da Terra.

c) raio da órbita e massa do satélite. d) massa do satélite e massa da Terra. e) massa da Terra, somente.

mesma aceleração.

24. O projeto para lançar um satélite, destinado ao serviço de telecomunicações, prevê a sua permanência em órbita circular ao redor da Terra, a altura H da sua superfície. Nesse caso, sendo G a constante de gravitação universal, R e M, respectivamente, o raio e a massa da Terra, determine a velocidade orbital e o período do movimento do satélite.

a) a velocidade do satélite; b) o tempo (em segundos) necessário para o satélite completar uma volta em sua órbita. (Considere p = 3.)

Pense além GM R H

período 5 2π

(R H)

3

GM

Há milhares de anos, a observação de corpos celestes fascina o ser humano. Desde a Antiguidade os povos observam o céu e relacionam seus movimentos com os eventos terrestres. Naquele tempo, além de contemplação, o céu teve função de calendário, passando a indicar, entre outras coisas, a melhor época de plantio e colheita da lavoura. Entre os corpos celestes, um dos que mais chamam a atenção é a Lua, um astro do qual conseguimos ver alguns detalhes, mesmo a olho nu. Ela tem influência direta sobre a Terra, seja por efeito gravitacional, seja pela iluminação da noite (já que é capaz de refletir a luz do Sol). Hoje sabemos Fases da Lua. que ao longo de um mês, mais ou menos, a Lua viaja ao redor da Terra e passa por um ciclo de fases: lua nova, quarto crescente, lua cheia e quarto minguante. A Lua é também envolta por uma mística esotérica e pelo conhecimento popular. Por exemplo, ela sempre é associada ao tema da solidão, à beleza e aos ciclos de nascimento e morte. Existe um conhecimento passado de pais para filhos que ensina a época de plantio ou de colheita com relação às fases da Lua.

Atividade

Larry Landolfi/Latinstock

A Lua e as técnicas agrícolas

24. velocidade orbital 5

Escreva no caderno

1. Faça uma coleta de dados sobre a influência da Lua na lavoura por meio de pesquisa e entrevistas com pessoas próximas a você. Em seguida, escreva um texto em que você deve expressar a sua opinião sobre esse assunto com O objetivo da atividade não é contrapor o conhecimento científico ao popular, mas apontar que o científico requer hipóteses, base nos dados coletados. testes e argumentos. Incentive os alunos a fazer um trabalho de campo em que eles mesmos testem a germinação de sementes em dias diferentes.

Capítulo 11

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2001: uma odisseia no espaço

Física no cinema Filme de Stanley Kubrick. 2001: uma odisseia no espaço. 1968. EUA/Inglaterra

Este clássico de ficção científica é considerado uma das principais obras cinematográficas produzidas no século XX. Arthur Clarke (roteiro e autor de livro homônimo) e Stanley Kubrick (diretor) fazem uso da imaginação e nos possibilitam “viajar”, com os recursos do cinema, desde a pré-história, quando supostamente um monólito negro emitiria, de maneira misteriosa, sinais de outra civilização, o que causaria influências no planeta Terra. No século XXI (passados 4 milhões de anos), com o propósito de investigar o monólito, uma equipe de astronautas é enviada a Júpiter, na nave Discovery, cujo controle é totalmente realizado pelo computador HAL 9000. Durante a viagem ocorre algo imprevisível com HAL e ele tenta eliminar os tripulantes, na tentativa de assumir o controle da nave.

Título original: 2001: A Space Odissey Gênero: ficção científica Duração: 149 minutos Ano de lançamento (EUA): 1968

Mariana Coan

Direção: Stanley Kubrick

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Atividades

Escreva no caderno

Professor, as respostas dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Embora o filme seja fruto de ficção, é possível explorarmos nele algumas situações interessantes nas quais podemos identificar conhecimentos desenvolvidos pela Física, utilizados na criação de determinadas cenas. Após ter assistido ao filme com seus colegas, voltem aos minutos iniciais da projeção e observem atentamente as cenas citadas a seguir. 1. Entre os minutos 21 e 22, vemos a caneta flutuar. Por que isso ocorre? 2. Entre os minutos 22 e 23, uma tripulante (de branco) caminha de forma estranha. Observem os sapatos usados por ela. Há algo escrito neles? Teriam eles alguma função? Essa função estaria relacionada à gravidade? 3. Entre os minutos 22 e 24, observem os dois momentos descritos a seguir e identifiquem o referencial considerado para produzi-los. • no primeiro, o movimento de aproximação da estação e do ônibus espacial; • no segundo, o movimento da estação e o céu estrelado. 4. Entre os minutos 24 e 25, observamos pessoas de cabeça para baixo. É possível explicar isso? 5. Entre os minutos 33 e 34, reparem se os motores da nave estão ligados e deem uma explicação para isso. 6. Façam uma pesquisa e ampliem seus conhecimentos sobre as características e a utilização dos seguintes instrumentos espaciais: estação, satélite, foguete, nave e ônibus. 7. Individualmente, reflita sobre o texto a seguir e comente-o. No ano 1969, o ser humano finalmente pôs os pés na Lua, enchendo de esperanças a imaginação humana com relação às conquistas espaciais. Este filme, produzido há quase 50 anos, projetava para o início do século XXI (2001) um progresso tecnológico que possibilitaria conquistas espaciais incríveis. Mas o ano 2001 já passou e as conquistas do ser humano nessa área do conhecimento não atingiram as metas traçadas pela ficção. Porém, são inegáveis os avanços tecnológicos e as conquistas que têm sido obtidos na exploração de outros planetas, especialmente por meio das sondas modernas. E o ser humano, chegará a outros planetas? Você arriscaria uma previsão? Exercite sua imaginação e escreva um texto que exponha a sua opinião sobre esse tema. Capítulo 11

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As leis da Gravitação

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Você sabia?

Mark Garlick/SPL/Latinstock

Embora a teoria da gravitação elaborada por Albert Einstein (1879-1955) exija uma análise mais sofisticada, podemos, neste momento, fazer algumas considerações sobre ela por meio de analogias com a teoria da gravitação desenvolvida por Newton. Aproximadamente dois séculos separam o contexto histórico e o desenvolvimento do conhecimento científico vivido por Newton e Einstein. Portanto, é importante considerar a relevância dos trabalhos desenvolvidos por eles nos seus respectivos momentos históricos. Para Newton, a origem da gravitação é uma força fundamental da Natureza que age atraindo massas. Caso um corpo mude de posição em relação a outro, a força gravitacional entre eles passa a ter outro valor, instantaneamente. Admitir essa ideia significa dizer que tal fato ocorre com uma velocidade infinita. Essa conclusão é incoerente com um dos postulados da Teoria da Relatividade, que afirma que existe um limite para a velocidade de interação entre corpos (definido pelo valor da velocidade da luz, cerca de 300 000 km/s no vácuo). Para entender a concepção de gravitação proposta por Einstein, apresentada na Teoria da Relatividade geral, precisamos compreender uma nova maneira de “olhar” o espaço. Segundo Einstein, as grandezas espaço e tempo deixam de ser consideradas independentes, e a gravitação é entendida como uma propriedade geométrica do espaço-tempo. Nesse modelo geométrico de gravitação, qualquer corpo com massa causa uma deformação na região do espaço ao seu redor, provocando o surgimento de “caminhos curvos”, por onde os corpos menores seguiriam em direção ao corpo maior. Para ilustrar essa ideia, considere que quatro pessoas segurem firmemente as pontas de um lençol, mantendo-o bem esticado. Se colocarmos uma bola no meio desse lençol, ela deformará o lençol causando uma espécie de depressão ou vale. Quanto maior for a massa da bola, maior será a deformação que ela causa no lençol. Se utilizarmos uma bolinha (pequena, se comparada com a bola deformadora) e fizermos que ela role em direção à bola maior, veremos que a bolinha descreve um movimen- Representação da distorção do espaço (lençol) causado pela to retilíneo. Mas assim que ela se aproxima da depressão presença de massa (bolas de isopor). passa a descrever uma trajetória curva. Essa analogia representa o movimento de um planeta em torno de uma estrela, por exemplo. Podemos fazer uma leitura dessa cena de duas maneiras. Segundo Newton, diríamos que a bolinha descreve trajetória curva por ser atraída pela bola de maior massa. Pela concepção de Einstein, diríamos que a bolinha descreve trajetória curva porque a superfície sobre a qual ela se desloca é curva. A Teoria da Relatividade Geral implicou outros desdobramentos e estudos, mas, segundo ela, as trajetórias gravitação pode ser descrita como uma alteração na dos corpos passariam a acompanhar a deformação do A geometria do espaço-tempo pela presença de um corpo com espaço-tempo produzida pelas massas que nele existem. massa, a Terra, por exemplo. Outro corpo em órbita, como Retomaremos esse assunto com mais detalhes ao estu- a Lua, descreve uma trajetória curva sobre o espaço-tempo. Representação da Terra, da Lua e do espaço. A imagem está darmos alguns tópicos da Física Moderna, no volume 3. sem escala, sem proporção e em cores-fantasia.

Sérgio Dotta Jr/The Next

A teoria da gravitação e a Física Moderna

Escreva no caderno

Responda

1. Caracterize as teorias de Newton e de Einstein e redija um texto apresentando os principais pontos de cada uma Segundo Newton, a origem da gravitação é uma força fundamental da Natureza que age atraindo massas e, caso a posição de um corpo em relação a outro se delas. altere, a força gravitacional entre eles também se altera instantaneamente. Segundo Einstein, a gravitação é entendida como uma propriedade geométrica do espaço-tempo, e essas grandezas (espaço e tempo) não são consideradas independentes. Nesse modelo, qualquer corpo com massa causa deformação na região ao seu redor e, por isso, os corpos menores vão em direção aos maiores.

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Unidade 4

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Exercícios complementares

Escreva no caderno

1. Um objeto está sujeito a um sistema de três forças, F1, F2 e F3, concorrentes em um ponto. Sabendo que F1 = 5 N e F2 = 20 N, com relação à intensidade de F3, expresse por meio de uma desigualdade a condição para que haja equilíbrio. 15 N < |F3| < 25 N 2. No Brasil, é obrigatório o uso do cinto de segurança. Numa freada brusca, a tendência do corpo do motorista ou dos passageiros é permanecer em movimento por: a) ressonância. X b) inércia. c) ação e reação. d) atrito. e) gravitação.

I. A inversão do sentido do movimento da bola, após bater no rosto, ocorre porque a força aplicada pelo rosto na bola age por um tempo maior do que a força aplicada pela bola no rosto. II. A força aplicada pelo rosto na bola é maior do que a força aplicada pela bola no rosto porque, no momento do choque, a bola sofre deformação maior do que o rosto. III. A força aplicada pela bola no rosto e a força aplicada pelo rosto na bola não se anulam. IV. A força aplicada pela bola no rosto e a força aplicada pelo rosto na bola têm a mesma direção, mesma intensidade e sentidos contrários.

As afirmações III e IV estão corretas.

6. Uma balança de braços é usada para determinar a massa de um pacote, num local onde a aceleração da gravidade é 10 m/s2. Para isso, foram usadas pequenas peças de peso 1 N, cada uma. Em um dos pratos da balança foi colocado o pacote e no outro, 32 peças para atingir o equilíbrio.

v (m/s)

Jiang Hongyan/Shutterstock.com

Tarumã

3. Na figura está representado o gráfico velocidade  tempo de um objeto de 8,0 kg de massa, que se movimenta em linha reta. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre o corpo no intervalo de 2,0 a 6,0 s. zero

Analisando a situação, podemos afirmar que:

20 10

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

t(s)

4. Duas forças perpendiculares são aplicadas em uma caixa de massa 20 kg. Se F1 5 60 N e F2 5 80 N, determine: a) a força resultante aplicada na caixa; 100 N b) a aceleração adquirida por ela; 5,0 m/s2 c) a velocidade da caixa após 10 s aplicando a força. 50 m/s

Mark Duncan/AP Photo/Glow Images

5. Em uma partida de beisebol, após errar a tacada, o jogador sentiu a bola bater violentamente no seu rosto.

Jogador de beisebol.

Balança de pratos.

a) Determine a massa de cada peça. 0,1 kg b) Qual a massa do pacote? 3,2 kg c) Determine o peso do pacote na Terra. 32 N d) Se o pacote for levado para a Lua, quantas peças serão necessárias para equilibrar a balança? 32 7. Cláudio resolveu testar, no elevador do prédio em que mora, as leis físicas que aprendeu na aula. Para isso, pegou uma balança digital, em sua casa, e colocou-a no piso do elevador. Considere a massa de Cláudio 60 kg, a aceleração da gravidade no local 10 m/s2 e que ele começou o experimento no térreo. Ao subir na balança, quais valores Cláudio observou nos seguintes casos: a) o elevador parado; 600 N b) o elevador subindo em movimento uniforme; 600 N c) o elevador descendo em movimento retardado, cujo módulo da aceleração é 2,0 m/s2; 720 N d) o elevador descendo em movimento acelerado, com aceleração de 2 m/s2. 480 N Capítulo 11

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Escreva no caderno

Exercícios complementares

Studio Caparroz

8. No esquema a seguir, a polia, o dinamômetro e o fio que interliga os corpos A e B são considerados ideais.

II. Em um corpo em queda livre, próximo da Terra, a intensidade da resistência do ar aumentará à medida que a velocidade aumenta. V III. Um objeto caiu de uma aeronave durante um voo na direção vertical ao chão. Assim, nesse objeto agem exclusivamente a força peso e a força normal. F

B

Sabendo que A e B têm pesos PA 5 40 N e PB 5 40 N, a) represente as forças que agem nos corpos A e B e no dinamômetro. Resposta no final do livro. b) determine a indicação obtida no dinamômetro.

30˚

40 N

9. Nas condições do exercício anterior, com A e B pesando PA 5 4 N e PB 5 16 N, considere que os corpos são abandonados num local onde g 5 10 m/s2. Qual será a indicação obtida no dinamômetro durante o movimento dos corpos? 6,4 N

Studio Caparroz

10. (FEI-SP) Um dinamômetro possui duas extremidades presas a duas cordas. Duas pessoas puxam as cordas na mesma direção e sentidos opostos, com forças de mesma intensidade F  100 N.

Se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é me 5 0,70, a força de atrito atuante no bloco em módulo será: d) 20 N

X a) menor que 14 N

e) 12 N

b) 7,0 N c) 14 N

13. O bloco da figura abaixo repousa sobre uma superfície horizontal e plana e está sujeito à ação de duas forças: F, de módulo 12 N, e da força de atrito Fat. Ao aplicar outra força F9, de módulo 4 N e sentido contrário à força F, a força resultante sobre o bloco será: F

F9

Editoria de arte

A

Tarumã

12. (UEL-PR) Um bloco de peso 20 N está em repouso sobre um plano inclinado de 30.

X d) nula

a) 12 N

e) 16 N

b) 4 N c) 8 N a) 200 N b) 0 N

14. Considere um bloco de massa 2 kg em repouso sobre um plano inclinado de 30°, como mostra a figura abaixo.

X c) 100 N

d) 50 N m

e) 400 N

Editoria de arte

Quanto marcará o dinamômetro?

11. Considere as seguintes afirmações citadas a seguir e julgue-as quanto a sua veracidade. I. Em um corpo em queda livre, próximo da Terra, a intensidade da resistência do ar diminui à medida que a velocidade aumenta. F

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Unidade 4

Força e as leis de movimento da Dinâmica

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Se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é 0,70, determine a força normal nessas condições. 14 N

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15. Um veículo desloca-se com velocidade de 10 m/s em uma curva circular de raio 100 m. Determine a tangente de inclinação do plano da pista com a horizontal, para que o veículo possa efetuar a curva independentemente da força de atrito. Considere g 5 10 m/s2. tg q 5 0,1 16. (Fatec-SP) A velocidade máxima de um carro na depressão é v  4gR , em que R é o raio da curvatura e g, a ace­leração local da gravidade. A aceleração centrípeta do carro no ponto mais baixo é: a) g b) 2g

X

d) 4g e) 5g

c) 3g 17. O período de translação de Júpiter corresponde a 12 anos terrestres, aproximadamente. Admita que o raio médio de órbita de Júpiter seja um quarto do raio médio de órbita de Urano. Calcule em anos terrestres, aproximadamente, o período de translação de Urano.  Aproximadamente 96 anos terrestres.

Ano Internacional da Astronomia. A celebração da Astronomia em 2009 coincidiu com o 400o aniversário dos feitos realizados por dois grandes pesquisadores: Galileu, por ter iniciado as observações astronômicas feitas com uma luneta construída por ele mesmo, e Kepler, por ter formulado, em 1609, a lei das órbitas e a lei das áreas e, algum tempo depois, a lei dos períodos. Verifique se as afirmações (I) e (II) estão corretas. I. Com base nas leis de Kepler, podemos afirmar que o segmento de reta que une cada planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos diferentes. II. A Astronomia é a ciência que estuda os corpos celestes, seus fenômenos, movimentos, evolução e constituição. De acordo com a mecânica de Newton, os movimentos dos corpos celestes são explicados e calculados pela Lei da Gravitação Universal. A respeito dela, podemos afirmar que a unidade de medida da constante G, no Sistema Internacional, é m/s2.

As duas afirmações são incorretas.

20. Sabendo que a distância da Terra à Lua é 380  103 km e a massa da Lua é 81 vezes menor que a massa da Terra, determine a que distância do centro da Terra está situado o ponto no qual o campo gravitacional é nulo.

A. Simon-Miller (Goddard Space Flight Center), I. de Pater, M. Wong (UC Berkeley)/ESA/Nasa

342  103 km

Júpiter.

18. Um satélite A está a uma distância R do centro de massa de um planeta e seu período de rotação é de 1 mês. Um outro satélite B está a uma distância 4R do centro de massa do mesmo planeta. O período de rotação do satélite B é: a) 1 mês b) 2 meses

X d) 8 meses

e) 16 meses

c) 4 meses 19. A Organização das Nações Unidas (ONU), na 62a Assembleia Geral, declarou o ano de 2009 como o

21. Atualmente, a importância dos satélites artificiais, em diferentes áreas da atividade humana, é indiscutível. A área de telecomunicações, por exemplo, é uma das que se beneficiam da tecnologia desenvolvida para utilização de satélites. Auxiliados por foguetes, os satélites são colocados em órbitas geoestacionárias, de tal forma que a distância (altura) que os separa da Terra é estrategicamente calculada, permanecendo sobre o mesmo ponto da superfície terrestre. Se considerarmos o caso de dois satélites colocados em órbitas geoestacionárias, eles necessariamente deverão: a) permanecer num plano onde esteja contido o círculo do equador terrestre. Além disso, permanecer na mesma distância da superfície da Terra, com aproximadamente a mesma massa. b) ter os períodos com aproximadamente 24 horas, mantendo a mesma massa. X c) permanecer num plano onde esteja contido o círculo do equador terrestre. Além disso, permanecer na mesma distância da superfície da Terra, mantendo o mesmo período com aproximadamente 24 horas. d) permanecer na mesma distância da superfície da Terra, com a mesma massa, mas com períodos independentes. e) permancer de acordo com as alternativas a e d. Capítulo 11

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De volta ao começo

UPI Photo/eyevine/Glow Images

Os conceitos de Física se aplicam em muitas situações de nossas atividades diárias como, por exemplo, ao pisarmos nos freios de um carro; ao andarmos a pé ou de bicicleta; na cozinha, ao regularmos a temperatura do forno; ao ouvirmos música. Vamos considerar as três leis de Newton aplicadas em uma partida de futebol. De acordo com a primeira lei de Newton, a força é o agente físico necessário para que um corpo altere a sua condição de movimento ou repouso (desde que a resultante das forças seja não nula). Nas situações em que o goleiro arremessa a bola ou quando um jogador a chuta, uma força deve estar envolvida para que a bola entre em movimento. Outra força que é um personagem comum é a força da gravidade, que atrai a bola e os jogadores para o centro da Terra. A segunda lei de Newton permite que o jogador calcule intuitivamente qual a força que ele deve aplicar para obter um determinado resultado: caso seja desejado um lançamento de uma lateral para outra do campo é preciso um chute mais forte. Já para realizar um passe para outro jogador bem próximo, o chute deve ser feito de forma bem suave, apenas um leve toque na bola. A terceira lei de Newton aparece em diversos momentos de um jogo de futebol, como por exemplo, quando um jogador faz força contra o solo para saltar ou cabeceá-la, o solo empurra-o para cima.

Final da Copa do Mundo de Futebol masculino de 2014, no estádio do Maracanã (RJ). Em uma partida de futebol podemos observar a aplicação das três leis de Newton.

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Unidade 4

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Juca Martins/Pulsar

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Unidade

Energia e as leis de conservação da Dinâmica A partir dos estudos desenvolvidos nesta Unidade teremos a oportunidade de analisar e entender vários fenômenos e situações que nos desafiam no dia a dia. Analise, por exemplo, o caso de uma balsa rudimentar que está encostada à margem de um rio, sem estar presa a nada. Um carro sobre essa balsa começa a se locomover para sair dela. • Nessas condições, será que a balsa permanecerá encostada à margem?

Balsa rudimentar aproximando-se da margem de um rio.

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Capítulo 12

Energia e trabalho Professor, os comentários da questão da abertura de Unidade encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

1. Conceito de energia A necessidade de sobrevivência, o poder de transformação e a capacidade de realização do ser humano levaram-no a desenvolver tecnologias para explorar, de diferentes maneiras, os vários tipos de energia. A palavra energia é muito usada em nosso cotidiano, mas não é fácil defini-la como uma grandeza física. E talvez seja o conceito mais importante da Física, sendo aplicado em diversas áreas. Edson Grandisoli/Pulsar

StockPhotos/Glow Images

Pare e pense

Pinguins nas geleiras do Polo Sul, Antártida, se preparando para saltar na água (fotografia de 2012).

A energia cinética está relacionada à velocidade, enquanto a energia potencial está relacionada à altura. O que podemos dizer sobre a energia cinética e potencial do pinguim que está saltando? Instalação residencial de um painel solar (também chamado de coletor solar) para aquecimento de água.

Observe a fotografia ao lado, em que se vê uma mulher praticando canyoning (rapel em cachoeira). Considere duas situações: Situação 1: Ela está parada a uma altura h em relação ao solo. Portanto, há uma energia associada à sua posição, conhecida como energia potencial gravitacional. Situação 2: Ela está descendo com velocidade v, em relação ao solo. Como está em movimento, associamos a ela uma energia de movimento, denominada energia cinética. Prática de rapel na cachoeira do Jacaré em Brotas (SP).

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Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

Edson Grandisoli /Pulsar

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.


A energia cinética de um corpo depende de sua massa m e de sua velocidade v. Analisando essas grandezas, temos que, quanto maior for sua massa ou quanto maior for sua velocidade, maior será a energia cinética. Diferentemente da energia cinética, ligada ao movimento de um corpo, a energia potencial é uma forma de energia armazenada. Por exemplo, no caso da praticante de rapel que se encontra em repouso a uma altura h do solo, a energia potencial gravitacional armazenada pode ser transformada em cinética, bastando para isso que a mulher suba ou desça, usando a corda de segurança. Para um corpo nas proximidades da Terra, a energia potencial gravitacional depende também de três grandezas: da massa m, do campo gravitacional g do corpo e de sua altura h em relação ao solo. A energia potencial gravitacional é diretamente proporcional a essas grandezas: se elas aumentarem ou diminuírem, a energia do corpo sofrerá uma variação proporcional. Existe ainda outra forma de energia potencial ligada à deformação de alguns corpos, principalmente em elásticos ou molas, chamada energia potencial elástica. Nesse caso, a energia depende da configuração do sistema massa-mola, descrito pela constante elástica k da mola e pela deformação x que ela venha a sofrer. Experimentalmente, podemos demonstrar que, quanto maior a deformação da mola, maior será a energia potencial elástica a que o corpo está associado. Vamos considerar uma mola presa, por uma extremidade, a uma parede e, pela outra, a um bloco de massa m. Três situações merecem nossa atenção: Situação 1: A mola é mantida com o seu comprimento normal. • O corpo não possui energia cinética, pois não está em movimento. • O corpo não possui energia potencial gravitacional, pois está no mesmo nível do referencial. • O corpo não possui energia potencial elástica, pois a mola mantém o seu comprimento normal. Ilustrações: Walter Caldeira

Situação 2: A mola é distendida (deformada) e se mantém nessa posição. • O corpo não possui energia cinética, pois não está em movimento. • O corpo não possui energia potencial gravitacional, pois está no mesmo nível do referencial. • O corpo possui energia potencial elástica, pois pode vir a se movimentar graças à energia acumulada pela mola. Situação 3: O sistema é abandonado e o corpo entra em movimento. • O corpo possui energia cinética, pois está em movimento. • O corpo não possui energia potencial gravitacional, pois está no mesmo nível do referencial. • O corpo possui energia potencial elástica até a mola voltar ao seu comprimento normal. Capítulo 12

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Energia e trabalho

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2. Conceito de trabalho

Editoria de arte

Na Unidade anterior, analisamos fenômenos que envolvem o movimento e suas causas, utilizando os princípios da Dinâmica. Há situações, porém, em que esses princípios não são os mais indicados. O esquema abaixo representa o trecho de uma montanha-russa. Imagine se tivéssemos de determinar a velocidade do carrinho de massa m, ao atingir o ponto D, sabendo que ele foi abandonado no ponto C. N C R N P N

R

hC

D

P R P

hC  hD

hD

No esquema, não consideramos a força de atrito, mas mesmo assim é possível perceber a dificuldade em utilizar a 2a lei de Newton, pois, em cada ponto ocupado pelo carrinho, a intensidade e a direção da força resultante passam por variações. Isso exige outra forma de equacionar o movimento. Para casos como esse, em que os corpos em movimento sofrem a ação de forças cuja resultante vetorial varia a cada ponto, recorreremos aos conceitos de energia e trabalho. Já estudamos que a energia associada aos corpos pode variar. Essa variação está associada à ideia de transferir ou transformar energia. Para medir essa transformação ou transferência de energia, definiremos a grandeza trabalho de uma força, que será representada por $.

Alex Argozino

Exercícios resolvidos 1 Analise a veracidade das afirmações: a) Um menino caminha em uma calçada com velocidade constante; portanto, há energia cinética associada a ele. b) Quando precisou atravessar a rua, ele aumentou sua velocidade; portanto, sua energia cinética também aumentou. c) Quando chegou ao outro lado da rua, ele estava cansado e parou. Nesse instante, sua energia cinética foi nula. d) Após o descanso, ele voltou a caminhar com velocidade constante em uma ladeira em aclive desde o ponto A. Ao chegar ao ponto B, conforme a imagem, podemos dizer que a energia cinética associada ao menino aumentou e a energia potencial gravitacional, em relação ao nível da rua, também.

B

pa ra m

rua

186

Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

A


Resolução a) A energia cinética está associada ao movimento. Verdadeira. b) Quanto maior a intensidade da velocidade, maior a energia cinética. Verdadeira. c) Se não há movimento, não há energia cinética. Verdadeira. d) Se a velocidade é constante, a energia cinética permanecerá constante. Porém, se a altura do menino em relação ao nível inicial da rua aumentou, a energia potencial gravitacional também aumentou. Falsa. Alex Argozino

2 Durante uma brincadeira, um garoto tenta derrubar uma lata com uma pedra arremessada com o estilingue. Analise as afirmações feitas a seguir e verifique se são verdadeiras ou falsas. a) Quando o sistema está em equilíbrio, isto é, quando a borracha do estilingue está com o seu comprimento normal, a energia potencial elástica e a energia cinética associadas à pedra são nulas. b) Quando a borracha do estilingue está distendida, a energia potencial elástica e a energia cinética associadas à pedra são nulas.

Resolução a) Considerando que a pedra está em repouso em relação ao solo, a energia cinética é nula. Se a borracha do estilingue permanece no seu estado normal, então a energia potencial elástica é nula. Portanto, a afirmação é verdadeira. b) Como a pedra está em repouso em relação ao solo, a energia cinética é nula. Se a borracha permanece distendida, então a energia potencial não é nula. Portanto, a afirmação é falsa.

Escreva no caderno

Exercícios propostos 3. A energia cinética aumentará (Ec  9  Eco), e a energia potencial continuará zero em relação ao solo.

2. Duas esferas são erguidas, simultaneamente, a uma mesma altura em relação ao solo. Se uma das esferas tem massa quatro vezes maior que a outra, qual a relação entre suas energias potenciais? 4 3. Um ciclista move-se com energia cinética. Se ele pedalar mais rápido, aumentando sua aceleração e sua velocidade, o que ocorrerá com sua energia cinética? E com sua energia potencial? 4. (Uniube-MG) Um corpo colocado a certa altura em relação ao solo possui energia potencial gravitacional. Se o soltarmos, seu próprio peso coloca-o em movimento e, à medida que o corpo vai caindo, a: X

a) energia cinética aumenta. b) energia cinética diminui. c) energia cinética permanece constante. d) energia potencial gravitacional aumenta. e) energia potencial gravitacional permanece constante.

5. Roberto está na plataforma de uma estação de metrô, despedindo-se de seu amigo João, sentado dentro de um vagão que está partindo. Dias depois, os amigos

CS-FIS-EM-3030-V1-U05-C12-183-215-LA.indd 187

conversam e Roberto diz que João adquiriu energia cinética com o movimento do metrô. João, no entanto, afirma que não houve variação em sua energia cinética. Qual dos amigos está correto? Ambos, pois cada um se encontrava em um ponto de referência distinto.

6. Uma mergulhadora sobe por uma escada com velocidade constante até atingir um trampolim, no topo, e para. Faz alguns exercícios de respiração e deixa o seu corpo cair até atingir a água.

Paulo Cesar

1. Um jogador de basquete ergue sua bola a 1 m de altura em relação ao solo. Se o jogador erguesse essa bola a uma altura de 2 m em relação ao solo, por quanto a energia potencial da bola seria multiplicada? 2

nível da água

De acordo com o esquema e tomando como referência o nível da água, responda às perguntas: a) Durante a subida, as energias cinética e potencial associadas à mergulhadora aumentam ou diminuem? A energia cinética é constante e a potencial aumenta.

b) Ao atingir o topo, que tipo de energia podemos associar à mergulhadora? Potencial gravitacional. c) Enquanto o corpo cai, o que ocorre com as energias potencial e cinética associadas à mergulhadora?

A energia potencial diminui e a cinética aumenta.

7. O arco e a flecha podem ser usados como exemplos para a análise da energia potencial elástica. Descreva uma situação com esses instrumentos, em que se possa observar o conceito de energia potencial elástica. A energia é potencial elástica quando o fio está distendido e poderá se transformar em energia cinética da flecha caso o fio seja liberado. Capítulo 12 Energia e trabalho

187

4/7/16 10:20 AM


O que é energia eólica? A necessidade de buscar alternativas energéticas menos poluentes, renováveis e que causem o menor impacto ambiental possível está diretamente relacionada com a preservação das condições de vida no planeta Terra. O uso da energia do vento não é novidade. O ser humano já se beneficia dela há muito tempo ao usar velas para movimentar embarcações, e cata-ventos para movimentar moinhos e acionar bombas hidráulicas, por exemplo. Atualmente, essa fonte de energia tem recebido mais atenção e investimentos para sua exploração em larga escala, principalmente em função da escassez de fontes de energia não renováveis e do alto custo da implantação de usinas hidrelétricas.

Ernesto Reghran/Pulsar

Você sabia?

Complexo eólico São Bento em São Bento do Norte, RN (2015).

A energia do Sol é responsável pelo movimento das águas e dos ventos na natureza. O Sol aquece algumas regiões do nosso planeta, enquanto outras esfriam, causando o deslocamento de ar que dá origem aos ventos. O movimento dos ventos transporta calor e vapor de água, influenciando o clima. A transformação da energia eólica em energia elétrica pode ser obtida por meio de aerogeradores. Um aerogerador é, basicamente, um gerador elétrico integrado ao eixo de um cata-vento que pode ser instalado em terra ou mar. Há hélice gerador aerogeradores de baixa e de alta tensão. Os de baixa tensão apresentam tamanho e peso reduzidos se comparados aos de alta tensão. Com aproximadamente 100 kg, o equipatorre mento menor pode ser considerado um aeroAPROVEITAMENTO gerador doméstico, pois a instalação pode ser armazenamento DIRETO adaptada a habitações, microindústrias ou, painel de painel de de forma isolada, para abastecer localidades controle controle distantes das redes de transmissão de energia banco de baterias energia para energia para consumo consumo elétrica. Os de alta tensão têm sua aplicabilidade voltada para os parques eólicos cuja Representação de um sistema de geração, consumo e armazenamento de instalação depende de estudos sobre a viabili- energia eólica. Ilustração produzida com base em: Atlas de energia elétrica do Brasil. Brasília: ANEEL dade econômica e de impacto ambiental. (Agência Nacional de Energia Elétrica), 2002. p. 67. As hélices do cata-vento, em movimento, giram um eixo ligado a uma caixa de mudança. A velocidade do eixo é aumentada por meio de engrenagens, e esse eixo é ligado a um gerador, que transforma a energia mecânica em elétrica. Dependendo do tipo de gerador, a energia pode ser armazenada em baterias (gerador de corrente alternada) ou pode ser usada diretamente (gerador de corrente contínua).

Projeções e uso da energia eólica Nos últimos anos, houve um crescimento marcante da geração de energia elétrica por meio do aproveitamento da energia dos ventos. A Associação Mundial de Energia Eólica (WWINDEA, na sigla em inglês) publicou que a capacidade eólica mundial atingiu 392 927 MW, até junho de 2015. Dessa quantidade gerada, é relevante o fato de 21 678 MW terem sido adicionados nos primeiros seis meses de 2015. Este aumento é significativamente mais elevado do que o verificado no primeiro semestre de 2014 que chegou a 17,6 GW. Segundo a WWINDEA, se for considerada a capacidade de geração das turbinas eólicas instaladas no mundo, até meados de 2015, é possível gerar 4% da demanda mundial de eletricidade. A Associação Mundial também destaca que, de acordo com estes dados, os mercados mais dinâmicos, no setor ligado à energia eólica, estão distribuídos em todos os continentes, como se verifica com países como a China, Índia, Alemanha, Brasil, EUA, Canadá, Austrália, Reino Unido, Suécia e Polônia.

188

Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

Paulo Cesar

Como a energia eólica se transforma em energia elétrica?


Atividades

Editoria de arte

Atualmente, o Brasil é um dos 10 Capacidade total instalada 2011-2015 (MW) países com as maiores potências instaladas de fonte eólica, em todo o 428 000* 392 927 mundo. Possui um potencial eólico na 371 374 336 327 costa superior a 300 GW devido, prin318 488 9,0% 296 255 cipalmente, ao fato de poder contar 5,8% 282 266 10,4% 041 254 5,6% com ventos constantes e unidirecio236 733 7,5% 4,9% nais. Essas características possibilitam 11,1% 7,3% e garantem, a partir desta fonte, uma Fim 2011 Meio 2012 Fim 2012 Meio 2013 Fim 2013 Meio 2014 Fim 2014 Meio 2015 Fim 2015 eficiente geração de energia elétrica. *Estimado Cerca de 80% da matriz elétrica braCapacidade total instalada: inclui toda a capacidade eólica instalada, conectada ou sileira é formada por energias renová- não à rede. veis. Esse índice é bem superior à mé- WWEA. Total Installed Capacity 2011-2015 [MW]. 2015. dia internacional, de 20%, e de países Disponível em: <www.wwindea.org/wp-content/uploads/2015/09/total.jpg>. Acesso em: nov. 2015. europeus, de 18%. Apesar do seu crescimento, nos últimos anos, a energia eólica produzida no Brasil representa apenas 3% da energia produzida no país, enquanto as hidrelétricas são responsáveis por 80% dessa produção. Os principais estados brasileiros produtores de energia, com utilização dos ventos, são: Rio Grande do Norte, Ceará, Rio Grande do Sul e Bahia. Os parques eólicos brasileiros, além de ampliar a participação da energia limpa renovável e competitiva, na matriz energética brasileira, trazem, ainda, efeitos econômicos e sociais positivos, gerando empregos e aumentando a demanda por serviços e produtos nas cidades. Representa, também, uma nova fonte de renda para os pequenos proprietários em razão da possibilidade de arrendamento das terras, contribuindo dessa forma para a fixação das famílias no campo e o consequente aumento da renda familiar. Embora o uso da energia eólica contribua para a redução de emissões de gases de efeito estufa, ainda há necessidade de investir em novas tecnologias capazes de diminuir impactos ambientais causados pelos parques eólicos, particularmente aqueles relacionados à avifauna e aos ruídos. Escreva no caderno

1. Segundo o texto, o aproveitamento da energia eólica representa uma alternativa que pode favorecer a preservação ambiental e beneficiar locais onde as redes de energia elétrica convencionais ainda não chegaram. Consulte os sites citados no texto e outras fontes de pesquisa (como as das sugestões abaixo) e responda: Quais as principais regiões brasileiras que apresentam potencial para o aproveitamento desse tipo de energia e os benefícios que isso representa para essas regiões? Sugestão de resposta: Região Nordeste e Sul. São regiões com boa velocidade de vento, uniformidade e baixa turbulência. Os benefícios são: energia renovável e limpa, não gera resíduo na sua operação e não contribui para o aumento do efeito estufa.

2. Você sabia que se instalar um aerogerador doméstico na sua casa, você poderá receber descontos na conta de luz e também de ICMS? Pesquise sobre a instalação de um aerogerador em residências. Existem benefícios que justificam 3. Não, considerando que parte da energia cinética do vento, ao interagir com as pás, é transferida os investimentos? Resposta pessoal. para o cata-vento. Assim, a rapidez com que o vento se desloca é menor na parte de trás.

3. A rapidez com que o vento se desloca é a mesma na frente e atrás do cata-vento? 4. Como você organizaria os cata-ventos de uma fazenda eólica com 30 dispositivos? Resposta pessoal. Não podem ser enfileirados. Sugestões de consulta: • O site da Associação Mundial de Energia Eólica (WWEA, na sigla em inglês) <http://tub.im/afxeds> contém relatórios com dados da instalação, produção e do consumo da energia eólica distribuídos pelo mundo. (Acesso em: nov. 2015). • O site do Instituto para o Desenvolvimento de Energias Alternativas na América Latina (Ideal), <http://tub.im/ reo3b8>, oferece várias informações sobre energia eólica no Brasil e no mundo, inclusive uma cartilha produzida pelo Instituto, cujo título é “Como faço para ter energia eólica em minha casa?”. (Acesso em: nov. 2015). • O site da Associação Brasileira de Energia Eólica (ABEEólica), <http://tub.im/yru4um>, disponibiliza dados atuais sobre a instalação de parques eólicos e a utilização da energia eólica no país. (Acesso em: nov. 2015). • O site da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL), <http://tub.im/cmmqcx>, tem diversos materiais de pesquisa sobre o potencial, a produção e a distribuição de energia elétrica a partir de diversas fontes. (Acesso em: nov. 2015).

Capítulo 12

Energia e trabalho

189


3. Trabalho de uma força constante Estudamos que a energia associada aos corpos pode sofrer variações e que estas estão relacionadas à ideia de transferir ou transformar tal energia. Para medir essas variações, vamos definir a grandeza trabalho $. A seguir, analisaremos o trabalho de uma força constante. Na figura abaixo, é aplicada uma força constante F a um corpo que se desloca da posição C a D, descrevendo uma trajetória retilínea.

Corel Stock Photo

Alex Argozino

Pare e pense

F

Juca Martins/Pulsar

p

C

Empilhadeira de contêiner e tambores.

Durante os instantes em que as empilhadeiras permanecem paradas, qual delas realiza o maior trabalho, a que sustenta o contêiner ou a que sustenta os tambores vazios?

D

Sendo ∆p o des­lo­ca­men­to vetorial, e  o ângulo for­ma­do entre os vetores F e ∆p , definimos o trabalho $ da força F como: $  F p cos 

No SI, a unidade de trabalho usada é o joule (J), nome dado em homenagem ao físico inglês James P. Joule (1818-1889). Podemos definir o joule como: trabalho realizado por uma força constante de 1 newton que desloca seu ponto de aplicação de 1 metro na sua direção.

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

1J1Nm

F

FN

$  F cos   p Ft

Editoria de arte

Outra maneira de compreendermos a dependência do ângulo  na definição é que somente a componente Ft da força na direção do movimento, ou seja, na direção tangencial, é relevante para o cálculo do trabalho.

Ft

Editoria de arte

Por meio do gráfico cartesiano do módulo da componente tangencial Ft (componente da força F na direção do movimento) em função do deslocamento, também é possível calcular o trabalho da força. A área do retângulo amarelo é numericamente igual ao trabalho. Ft  F cos  Ft

0

190

Unidade 5

N

área  $

área p1

p2

p

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

CS-FIS-EM-3030-V1-U05-C12-183-215-LA.indd 190

4/15/16 9:03 AM


Analisando o ângulo , é possível fazer as seguintes considerações: Trabalho motor (0°    90°) O trabalho da força F é positivo quando a força F age na direção que favorece o movimento, ou seja, quando  é nulo ou agudo, recebendo o nome de trabalho motor.

Ilustrações: Alex argozino

F

p

0° <   90° ä ä 0  cos   1 $  F p cos   0

Trabalho resistente (90°    180°) O trabalho da força F é negativo quando a força F age na di­re­ção que resiste ao movimento, ou seja, quando  é raso ou obtuso. Nesse caso, recebe o nome de trabalho resistente.

F p

90°   < 180° ä ä 1  cos   0 $  F p cos   0

Trabalho nulo (  90°)

F

O trabalho da força F é nulo quando F age na direção perpendicular à direção do vetor deslocamento, ou seja, quando  é reto.

p

  90° ä cos 90°  0 $  F p ? 0  0

Exercício resolvido 3 Considere as duas situações re­pre­sen­ta­das, nas quais as trajetórias são retilíneas e o menino no skate se desloca de A para B. Na situação 1, a força constante F age no corpo e for­ma, com o vetor deslocamento, um ângulo   0°. Na situação 2, ela forma um ângulo   60°. Determine o tra­balho de F nas duas situações, sabendo que a sua in­ten­si­ dade é F  12 N. Situação 1

Situação 2

F

Ilustrações: Studio Caparroz

F β

A

∆p  6 m

B

A

∆p  6 m

B

Resolução Sendo F constante e a trajetória retilínea, temos: Situação 1: $  F ∆p  cos  $  12  6  cos 0° $  12  6  1 Æ $  72 J

Situação 2: $  F ∆p  cos  $  12  6  cos 60° 1 $  12  6  Æ $  36 J 2 Capítulo 12

CS-FIS-EM-3030-V1-U05-C12-183-215-LA.indd 191

Energia e trabalho

191

4/15/16 3:57 PM


Escreva no caderno

Exercícios propostos 8. Um corpo é deslocado sob a ação de duas forças, F e R, ambas na mesma direção do movimento. Quanto ao trabalho realizado por essas forças, responda se é motor, resistente ou nulo. $F: motor; $R: resistente.

F

12. Analise as afirmações e identifique as verdadeiras.

9. Um objeto maciço em forma de um paralelepípedo é arrastado num plano horizontal por uma força F constante de 10 N. Essa força forma um ângulo de 55° com o deslocamento do corpo, que é de 60 cm. Dado: cos 55° = 0,57. Resposta no final do livro. a) Esboce uma figura representando a situação. b) Determine o trabalho da força F.  3,4 J 10. O bloco da figura está sob a ação de quatro forças, F1, F2, F3 e F4, deslocando-se na direção horizontal por 2 m. Dados sen 60° 5 0,85 e cos 60° 5 0,5, F1 5 10 N, F2 5 20 N, F3 5 10 N e F4 5 20 N.

60°

movimento

Editoria de arte

F2

X

a) Trabalho é transferência de energia de um corpo para outro por meio de uma força. b) Só é possível a realização de trabalho se a força aplicada a um corpo for constante.

X

c) Para a realização de trabalho é necessária, mas não suficiente, a existência de energia envolvida.

X

d) Para uma força realizar trabalho é necessário que o corpo tenha um deslocamento.

13. Das figuras abaixo, identifique aquela em que o trabalho realizado é maior. Figura II Dados: F1 5 F2 5 F3 5 5 N d52m

F4

F1

c) A energia transferida para o carro pelo motorista é maior na situação I. d) A energia transferida para o carro pelo motorista é menor na situação I. e) O trabalho realizado pelo motorista é maior na situação I e é menor do que a energia por ele transferida para o carro na situação II.

d 5 10 m F

Figura I

Calcule o trabalho realizado pela força: a) F1

Zero.

c) F3

Zero.

b) F2

240 J

d) F4

20 J

e) FR

220 J

11. (UFF-RJ) Um motorista empurra um carro sem combustível até o posto mais próximo. Na primeira metade do trajeto, o motorista empurra o carro por trás (situação I) e na segunda metade do trajeto ele o empurra pelo lado (situação II). Paulo Cesar

F

u F

Situação I

F

Figura II

F 30° Figura III

14. A expressão s 5 15 1 5t 1 t2 (s medido em metros e t, em segundos) representa o deslocamento de uma caixa de 40 kg numa trajetória plana e retilínea. Encontre: a) a lei que representa a função da velocidade da caixa no instante k. v  5 + 2t b) o trabalho realizado pela força resultante que atua sobre a caixa durante um deslocamento de 30 m. 2 400 J

15. Na montagem de um navio, um guindaste mantém uma peça suspensa e em repouso por 10 minutos a 30 m de altura em relação ao chão do navio. Para isso, aplicou uma força F de intensidade 1 000 N. Em qual etapa da operação o trabalho da força aplicada pelo guindaste foi maior: quando a peça estava suspensa e em repouso, ou quando a peça estava em movimento? Photodisc/Getty Images

F3

d 5 10 m

Situação II

Nas figuras está também representada a força F, que o motorista faz sobre o carro, em cada caso. Sabendo que a intensidade dessa força é constante e a mesma nas duas situações, é correto afirmar: a) O trabalho realizado pelo motorista é maior na situação II. b) O trabalho realizado pelo motorista é o mesmo nas duas situações.

192

Guindaste de navio. Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

CS-FIS-EM-3030-V1-U05-C12-183-215-LA.indd 192

Editoria de arte

R

Editoria de arte

movimento

X

Quando a peça estava em movimento, pois somente nesse momento ocorreu o deslocamento.

4/15/16 9:04 AM


Você sabia? Os 10 países líderes na geração de energia solar 1,4%

1,4%

(Usinas acima de 10 MWP) O Sol é uma fonte de energia abunChina dante e quase inesgotável, podendo ser 9,4% 3,6% Estados Unidos aproveitada sem causar danos ambien3,8% Alemanha 21% tais. Atualmente representa uma alter4,3% Índia nativa energética promissora, diante de Espanha nossas imensas necessidades. Mundial7,9% Itália mente, há preocupação com os impactos 19% Canadá 8,2% ambientais causados pelo uso de fontes França de energia não renováveis e poluidoras. 20% Ucrânia Assim, alguns países têm liderado a busca crescente por fontes de energia consideTailândia radas limpas. Atualmente, a China lidera Outros países o ranking dos países com maior poten- Fonte: WIKI-SOLAR. The authority on utility-scale solar power. 2014. Disponível em: <www.wiki-solar.org>. Acesso em: 14 mar. 2016. cial instalado no mundo. Nos últimos anos o crescimento do uso da energia solar tem sido impulsionado pelo aperfeiçoamento tecnológico, acompanhado da redução dos preços das estruturas solares, que vêm apresentando queda desde 2010. Além disso, países como os Estados Unidos têm incentivado as empresas a construir usinas próprias, a vender o excedente energético e a receber por ele o mesmo valor pago pela energia que consomem na rede. Essas empresas também recebem 30% de desconto sobre os impostos. Mesmo com esses estímulos o uso dessa fonte de energia representa apenas 0,8% da matriz elétrica mundial, contudo a utilização da energia solar tem sido a que mais cresce, atualmente. O Brasil é uma região do planeta beneficiada pela insolação durante o ano todo, o que favorece o seu aproveitamento, tanto como fonte de calor quanto de luz. Outro fator importante é a disponibilidade de áreas inabitadas, com alta incidência solar e com possibilidade de produzir eletricidade em quantidade suficiente para atender parte da demanda energética do país. Mesmo contando com esses fatores favoráveis, o número de usinas solares instaladas no Brasil ainda é pequeno. Nos últimos anos, alterações na legislação, algumas iniciativas do governo e investimentos privados têm criado condições para que, em futuro próximo, o número de usinas instaladas aumente. Tecnologicamente, é possível utilizar essa fonte de energia de várias formas, contudo vamos destacar apenas duas: fototérmica, que visa gerar energia térmica, e fotovoltaica, que objetiva gerar energia elétrica.

Editoria de arte

Como aproveitar a energia solar?

Caio Marcelo/Ag.RBS/Folhapress

Ethan Miller/Getty Images

A maior usina solar do mundo está situada na Califórnia (EUA) e tem capacidade geradora de 550 megawatts; sua construção teve início em 2011 e conclusão em 2015 (imagem de 2014).

Usina solar brasileira instalada na cidade de Tubarão, no sul de Santa Catarina. Com 19 424 painéis cobrindo uma área de 10 hectares, fica às margens da BR-101. (imagem de 2014).

Capítulo 12

CS1-FIS-EM-3030-V1-U05-C12-183-215-LA.indd 193

Energia e trabalho

193

4/22/16 14:41


Juca Martins/Olhar Imagem

boiler

coletores Esquema de um sistema solar de aquecimento de água.

Instalação residencial de coletores solares para aquecimento de água.

controlador de carga

eletrodomésticos

Ilustrações produzidas com base em: Atlas de energia elétrica do Brasil. Brasília: ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica), 2002. p. 10-11.

Energia solar fotovoltaica

caixa-d’água

Antonio Robson

A energia solar fototérmica está relacionada à quantidade de energia que um corpo consegue absorver na forma de calor, quando submetido à incidência dos raios solares. Para utilizar essa forma de energia, é necessário criar estruturas para captá -la e armazená-la. Os coletores solares são usados, basicamente, no aquecimento de fluidos (líquidos ou gasosos), mantidos em reservatórios revestidos por isolamento térmico (boileres), até a sua utilização. Esse sistema fornece água quente para uso doméstico, ar quente para secagem de grãos etc.

Antonio Robson

Energia solar fototérmica

A energia solar fotovoltaica consiste na conversão da televisão luz diretamente em eletricidade, por meio do efeito fotoelétrico. Esse efeito ocorre quando uma estrutura de geladeira inversor materiais semicondutores apresenta uma diferença de potencial entre seus extremos, devido à absorção da luz. lâmpada Para realizar o processo de conversão da luz em eletricidade, são utilizadas as células fotovoltaicas, consideradas computador a unidade fundamental desse processo. Essas células são presas a um painel e este poderá ser usado de forma Esquema de um sistema de geração fotovoltaica de energia elétrica. isolada ou conectado à rede distribuidora de eletricidade. • Isolados: Quando são instalados em locais onde não há acesso à rede elétrica ou este acesso é difícil. Neste caso, há necessidade de um meio de armazenamento, por exemplo, baterias. Esses sistemas podem gerar energia apenas para uma residência ou uma pequena comunidade. • Conectados à rede distribuidora de eletricidade: Quando os painéis são instalados em locais onde é possível acessar a rede elétrica. Neste caso é preciso usar um aparelho denominado inversor que transforma a corrente contínua (CC) em corrente alternada (CA). Esta corrente (CA) é enviada para o quadro de luz e daí distribuída para atender as necessidades da casa. Caso a energia produzida pelos painéis não seja totalmente consumida, o excedente será desviado para a rede distribuidora de eletricidade. As usinas solares também estão conectadas à rede elétrica, porém a produção de energia elétrica é muito maior e a instalação dos painéis solares requer a ocupação de espaços com grandes áreas.

Atividades

Escreva no caderno

3. Proponha aos alunos que se posicionem e reflitam sobre o consumo descontrolado de energia elétrica e os possíveis prejuízos ambientais causados pela necessidade da sua geração. Estimule também a reflexão sobre a economia e a preservação ambiental que a exploração de fontes renováveis de energia pode representar.

1. Pesquise o valor médio do consumo de energia elétrica de um chuveiro em relação ao consumo geral de uma casa. 2. Na sua casa há coletor solar para aquecer a água? Observe os telhados das casas do seu bairro e verifique se há coletores desse tipo na maioria delas. Resposta pessoal. 3. Como essa economia de energia elétrica se refletiria na preservação do ambiente? 4. O que poderia acontecer com o Brasil se painéis solares fossem instalados nos telhados de todas as casas e prédios do país? Quais seriam os benefícios relacionados ao custo pago pela energia elétrica? E os benefícios ambientais? Resposta pessoal. Sugestões de consulta: • O site do Instituto para o Desenvolvimento de Energias Alternativas na América Latina (Ideal), <http://tub.im/ reo3b8>, oferece várias informações sobre energia solar no Brasil e no mundo, inclusive um simulador e uma cartilha produzida pelo Instituto, cujo título é “Como faço para ter eletricidade solar em minha casa?”. (Acesso em: nov. 2015). • O site da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL), <http://tub.im/cmmqcx>, tem diversos materiais de pesquisa sobre o potencial, a produção e a distribuição de energia elétrica a partir de diversas fontes de energia. O capítulo 5 do Atlas da ANEEL aborda algumas fontes renováveis, como a energia solar: <http://tub. im/3a9k5g>. (Acesso em: nov. 2015).

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1. Professor, sugira aos alunos a leitura de uma conta de energia elétrica. A partir dos valores do consumo mensal e das informações do manual do chuveiro e do número de horas mensais de funcionamento do chuveiro, calcule um valor aproximado. Unidade 5 Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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27/04/16 13:42


Trabalho da força peso C 

P

Editoria de arte

Próximo da superfície da Terra, na qual a aceleração da gravidade pode ser considerada constante, um ponto material de massa m se desloca da posição C a D, conforme representação ao lado. Nessas condições, a força peso pode ser considerada constante, e o seu trabalho é calculado pela relação:

p h

P

$  P ∆p cos  D

E

Do triângulo CDE, temos: cos  

h Æ h  ∆p cos  ∆p

P

Substituindo na equação que determina o trabalho da força peso, temos:

Pare e pense Alex Argozino

$  ± Ph

Pela expressão, o trabalho da força peso independe da trajetória percorrida pelo corpo, mas depende de h, que representa o desnível entre as posições ocupadas pelo ponto material. O trabalho da força peso pode ser positivo ou negativo, dependendo da direção e do sentido do movimento, em relação à direção e ao sentido da força peso. Caso o movimento e a força peso tenham o mesmo sentido e direção (ambos vertical para baixo, nas proximidades da superfície da Terra,   0º Æ cos 0º  1), o trabalho da força peso é positivo. Se o movimento e a força peso tiverem sentidos contrários (isso ocorre quando o movimento vertical é para cima e a força peso vertical é para baixo,   180º Æ cos 0º  1), o trabalho da força peso será negativo. Em resumo, o sinal do trabalho depende da orientação do movimento (deslocamento), em relação à força peso, ou seja:

3030-FIS-V1-C13LA-I010 NOVO

• positivo, quando o ponto material estiver descendo; • negativo, quando o ponto material estiver subindo; • nulo, quando o ponto material se desloca entre pontos do mesmo plano horizontal (  90º e cos 90º  0).

O trabalho da força peso é maior quando a pessoa desce pela escada ou pelo elevador? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Exercícios resolvidos

4 Um corpo de peso 400 N é levantado até a altura de 0,9 m por uma força constante F = 300 N. Calcule o trabalho realizado: a) pela força F;

b) pelo peso P.

Resolução a) O sentido da força F é o sentido do deslocamento do corpo, assim:

b) O sentido da força peso é oposto ao deslocamento, assim:

$  F  ∆d  cos 0  300  0,9  (11)

$  P  ∆d  cos 180  400  0,9  (1)

$  270 J

$  360 J Capítulo 12

CS-FIS-EM-3030-V1-U05-C12-183-215-LA.indd 195

Energia e trabalho

195

4/7/16 10:20 AM


Studio Caparroz

5 Um carregador utiliza uma rampa para subir uma caixa de massa m  120 kg até a carro­ce­ria de um caminhão (veja o esquema). Sabe-se que, nesse local, g  10 m/s2, o coeficiente de atrito entre a caixa e a rampa é   0,3 e a força F aplicada tem intensidade 1 500 N. Nessas condições, determine:

F

a) o trabalho da força F;

N

M

β

1,5 m

b) o trabalho da força peso; c) o trabalho da força normal na superfície da rampa; d) o trabalho da força de atrito; e) a intensidade da força resultante; f) o trabalho da força resultante.

2m

chão

Resolução Vamos representar as forças que agem na caixa:

b) Intensidade da força peso: P  mg  120  10 ä P  1 200 N

N

N

Editoria de arte

F 

P sen  1,5 m

P cos 

Fat

P

$P Ph  1 200  1,5 ä $P 5 1 800 J c) Intensidade da força normal ao pla­no inclinado: N  P  cos   1 200  0,8 ä N  960 N Trabalho da força normal:

M

Trabalho da força P:

$N  Nd cos 90° ä $N  0

2m

d) Intensidade da força de atrito: No triângulo retângulo utilizando a ideia do Teorema de Pitágoras, calculamos a distância de MN que vale 2,5 m, assim:

 d  2,5 m

1,5 m

Editoria de arte

N

2m

$Fat  Fatd cos 180°  288  2,5  (1) ä $F  720 J e) A força resultante está na direção do movimento (paralela ao plano inclinado), e a resultante perpendicular a este é nula (N  P  cos ). Por­tan­to, a intensidade da força re­sul­tante é: R  F  P  sen   Fat R  492 N

sen   cos  

1,5 = 0,6 2,5

f) Trabalho da força resultante:

cos   sen  

2 = 0,8 2,5

$R  492  2,5  1 ä $R 1 230 J

Neste problema chamaremos o deslocamento vetorial p de d (distância percorrida no plano inclinado). a) A força F age na mesma direção e sen­tido do deslocamento do ponto M até N: $F  Fd cos 0° $F  1 500  2,5  1 ä $F  3 750 J

196

Trabalho da força de atrito:

R  1 500  120  0,6  288

M

Fat  Nm  960  0,3 ä Fat  288 N

Unidade 5

$R  Rd  cos 0° Também podemos determinar o trabalho da força resultante pela adição dos valores obtidos nos itens a, b, c e d: $R  $F  $F  $F  $F $R  3 750  1 800  0  720 ä $R 1 230 J O trabalho da força resultante é igual à soma algébrica dos trabalhos das forças agentes.

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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4/15/16 3:58 PM


Escreva no caderno

Exercícios propostos

Paulo Nilson

16. Quando um corpo é deslocado verticalmente para cima, o trabalho da força peso é motor, resistente ou igual a zero? Trabalho resistente. 17. Qual é o trabalho realizado pela força peso de um carro, de massa 2 000 kg, que é levantado à altura de 4 m para ser lavado? Dado g = 10 m/s2. – 80 000 J

Tarumã

18. Uma bolinha metálica de massa m = 1 kg está ligada à extremidade de um fio de comprimento 1,5 m. Calcule o trabalho realizado pelo peso da esfera no deslocamento de A para B. Dado g = 10 m/s2. 7,5 J

1,5 m

F

P prancha 1

prancha 2

Despreze os possíveis atritos e considere a corda ideal, a força aplicada pelo encanador paralela à prancha e o movimento da caixa uniforme. Analise e responda: a) Que prancha o encanador deve usar, se ele deseja fazer menos força? (Sugestão: compare o componente da força peso, paralela à rampa, nas duas situações.)

60 A

Prancha 1.

b) Que prancha o encanador deve usar, se ele deseja que o trabalho da força aplicada seja o menor possível? O trabalho é o mesmo nos dois casos.

19. Um objeto é lançado de baixo para cima, a partir da base de um plano inclinado de 10 m de comprimento que forma um ângulo de 30 com a horizontal. O objeto, ao chegar ao topo, estaciona e, em seguida, retorna à base. Calcule o trabalho da força peso do objeto subindo e descendo o plano. Dados: massa do objeto é de 4 kg; g  10 m/s2.

Tarumã

B

23. A figura abaixo representa um bloco de massa 25 kg sendo puxado por uma força de 350 N paralela à superfície do plano inclinado. O seno do ângulo formado entre o plano e a horizontal é 0,6. Determine a força de atrito que age entre o bloco e o plano, quando a aceleração for de 2 m/s2. 150 N F

40 m

21. Determine o trabalho realizado pela força peso de um corpo, de massa 15 kg, que é levantado verticalmente, com velocidade constante, do solo a uma altura de 5,0 m. Dado: g 5 10 m/s2. –750 J 22. Um encanador dispõe de duas pranchas de madeira para deslocar uma caixa-d’água de peso P do chão até a laje de uma casa. Observe que a prancha 1 é mais comprida do que a 2, conforme o esquema.



24. (Unirio-RJ) Três corpos idênticos de massa M deslocam-se entre dois níveis, como mostra a figura: A caindo livremente, B deslizando ao longo de um tobogã e C descendo uma rampa, sendo, em todos os movimentos, desprezíveis as forças dissipativas. C

A

B

Com relação ao trabalho ($) realizado pela força peso dos corpos, pode-se afirmar que: X a) $C  $B  $A d) $  $C  $A B b) $C  $B  $A e) $C  $B  $A c) $C  $B  $A Capítulo 12

CS-FIS-EM-3030-V1-U05-C12-183-215-LA.indd 197

Alberto De Steffano

B

Tarumã

Subindo: 200 J, descendo: 200 J.

20. Um bloco de massa 10 kg é transferido de um ponto A para um ponto B, separados por 60 m na horizontal e 40 m na vertical marcadas a partir ∆ d do ponto A. Determine o módulo do trabalho realizado pela força A 60 m peso. Dado: g 5 10 m/s2. 4 000 J

Energia e trabalho

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4/7/16 10:20 AM


Você sabia? Como aproveitar a energia hídrica? A energia elétrica pode ser gerada por meio de fontes renováveis de energia, como o Sol, a água, o vento ou a biomassa, ou por meio das não renováveis (como os combustíveis fósseis e nucleares). No Brasil, a grande quantidade de rios favorece a utilização da energia das águas para a geração de energia elétrica.

Aproveitando as águas de rios e represas

Luís Moura

As hidrelétricas transformam a energia potencial, representada pela posição da queda-d’água, em energia cinética, que movimenta as turbinas. O deslocamento da água provoca o movimento da turbina, ligada por um eixo mecânico a um gerador, que produz energia elétrica e a conduz, por meio de linha de transmissão, à rede de distribuição.

barragem

reservatório

casa de força

linha de transmissão

gerador elétrico comporta

turbina

saída de água (controle de fluxo)

Os geradores de uma usina hidrelétrica são acionados por turbinas. A abertura ou o fechamento das comportas permitem o controle do fluxo de água e a geração de energia elétrica.

A potência de uma usina está associada à altura da queda e à vazão do rio, ou seja, à quantidade de água disponível e em movimento em determinado intervalo de tempo. Seu potencial de aproveitamento para gerar energia elétrica será tanto maior quanto maior for a altura da queda-d’água e a vazão do rio. A utilização de energia hidrelétrica no Brasil começou em 1889, com a instalação da usina de Marmelos-Zero, no rio Paraibuna, próximo a Juiz de Fora, em Minas Gerais. Atualmente, segundo o relatório do Ministério de Minas e Energia, divulgado em 2015, a matriz elétrica do país revela que mais de 60% do total da eletricidade gerada é proveniente da energia hídrica.

Renata Mello/Pulsar

E as águas do mar? Os oceanos representam um grande potencial energético renovável e podem gerar até 10 terawatts de energia. A exploração desse potencial pode ser feita com baixo custo operacional, com reduzido impacto ambiental e com a possibilidade de adaptação da produção de energia à necessidade de cada localidade. Apesar das vantagens, a viabilização do aproveitamento da energia das ondas ainda é incipiente.

Protótipos dos conversores de energia em teste no laboratório da Usina de Ondas mantido pela UFRJ, instalada a 3 km da praia em São Gonçalo do Amarante, no Ceará (2012). Os flutuadores estão presos a “braços” metálicos com aproximadamente 22 metros de comprimento.

198

Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

CS1-FIS-EM-3030-V1-U05-C12-183-215-LA.indd 198

4/22/16 15:01


Escreva no caderno

Atividades

Marcos Aurélio

No Brasil, o litoral do Ceará se destaca pela boa regularidade das ondas ao longo do ano. Um protótipo com duas unidades de bombeagerador mento foi instalado no porto do Pecém, a 60 km de Fortaleza. O projeto experimental pode gerar turbina câmara hiperbárica até 100 kW, o suficiente para suprir o consumo de 100 famílias, aproximadamente. O projeto brasileiro apresenta uma inovação em relação a outros países: o uso da câmara hiperbárica, um recipiente de aço usado para armaflutuador zenar água comprimida e simular as condições de pressão que existem no fundo do mar. Ela foi idealizada para funcionar de forma semelhante à de uma hidrelétrica. Os flutuadores se movimentam para cima e para baixo com o movimento das ondas, funcionando como uma bomba Esquema de aproveitamento energético as ondas do mar. produzidas com base em: COPPE. UFRJ. Usina de Ondas. <http://www. que, por meio de um tubo, impulsiona a água ar- Ilustrações coppe.ufrj.br/pt-br/a-coppe-produtos/usina-de-ondas>. Acesso em: 25 jun. 2015. mazenada em um recipiente até a câmara hiperbáAlex Argozino rica. A câmara, por sua vez, provoca uma pressão semelhante à da queda-d’água, movimentando as turbinas para gerar energia elétrica, assim como 3030-FIS-V1-C13-LA-I011 em uma usina hidrelétrica. Outros países operam comercialmente com NOVA instalações no mar, embora usem métodos diferentes. São diversas as técnicas para se gerar eletricidade a partir da energia dos oceanos. Pesquisas nessa área vêm aperfeiçoando e adequando essas técnicas de exploração às condições ambientais de cada região. Atualmente, um Esquema das turbinas (semelhantes às eólicas) posicionadas nos oceanos para produzir energia a partir das correntes marítimas. dos métodos bem aceitos é o aproveitamento das correntes oceânicas. Esse método é simples e basicamente funciona como uma turbina eólica ao ser movida pela força dos ventos. Nesse caso, a turbina é submersa nos oceanos e pode ser alimentada continuamente pela força das correntes marítimas. Uma dessas iniciativas é a usina MeyGen, com potencial de 400 MW, que terá 269 turbinas – sendo que 60 delas entram em funcionamento em 2016 e o restante em 2020. Essa usina está sendo construída no litoral da Escócia e será a maior usina de marés do mundo. 1. Resposta pessoal. Alguns dos motivos principais seriam: 1) a tecnologia disponível – no mundo todo a utilização de energia de rios é mais desenvolvida que a das águas marítimas; 2) a relação custo-benefício – a relação entre o investimento e a produção de energia é mais vantajosa nas usinas que exploram as águas dos rios.

1. O Brasil se beneficia do grande potencial hídrico que possui para gerar energia elétrica. No caso do aproveitamento da energia das águas dos rios, o Brasil tem desenvolvido tecnologia e ampliado as hidrelétricas em várias regiões do país. Com relação ao aproveitamento energético das águas do mar, as pesquisas ainda precisam ser ampliadas. Que motivos você acredita que levam o Brasil a investir mais na energia dos rios que na energia das ondas do mar? 2. Nas usinas hidrelétricas, ocorrem transformações de um tipo de energia em outro. Descreva essas transformações. Devido à posição inicial da água e à queda, ocorre a transformação de energia potencial em cinética, provocando o movimento das turbinas. O movimento rotacional da turbina ligada ao gerador faz este transformar energia mecânica em elétrica.

Sugestões de consulta: • O site da Empresa de Pesquisa Energética (EPE), vinculada ao Ministério de Minas e Energia (MME), elabora e publica, anualmente, o Balanço Energético Nacional (BEN). Disponível em: <http://tub.im/xnc5vz/>. (Acesso em: nov. 2015). • O site da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) tem diversos materiais de pesquisa sobre o potencial, a produção e a distribuição de energia elétrica a partir de diversas fontes. O capítulo 3 do Atlas da ANEEL aborda algumas fontes renováveis, como a energia hidráulica. Disponível em: <http://tub.im/v6pbxj>. (Acesso em: nov. 2015).

Capítulo 12

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Energia e trabalho

199

4/15/16 9:20 AM


4. Trabalho de uma força variável

Ft1

Fn2

p1 Ft2 movimento

p2

F3 p3

Ft

Ft3

Ft3

Ilustrações: Editoria de arte

F1

Fn1

Considere a ação de uma força variável sobre um ponto material que se desloca em uma trajetória orientada no sentido do movimento. A força que atua sobre o ponto em cada instante pode ser decomposta em duas direções, uma paralela e outra perpendicular ao deslocamento. Como a componente normal não realiza trabalho, podemos considerar somente a parte tangencial para o cálculo do trabalho da força. Pelo fato de a força ser variável, o gráfico cartesiano do módulo da força tangencial em função do deslocamento é uma curva. Para obter o trabalho dessa força, sabendo que a área do gráfico é numericamente igual ao módulo do trabalho, pode-se dividir a F2 área total em parcelas menores e aproximá-las por retângulos. A soma das áreas, que são os trabalhos, em cada um dos pequenos Fn3 deslocamentos, equivale ao trabalho total.

N

$F  A1 t

1

N

$F  A2 t

2

N

$F  A3 t

N

$F 5 $F  A1 1 A2 1 A3 t

Ft2

A3

Ft1

A2

A1

N

$ A

3

s

Trabalho da força elástica Antes de definirmos o que é trabalho da força elástica, vamos tentar resgatar um experimento semelhante àquele realizado pelo físico Robert Hooke (16351703). Nele, uma das extremidades da mola, de comprimento i­, está fixa ao suporte M, e a outra recebe a ação de forças de diferentes intensidades pela fixação de blocos de diferentes massas. M

M

M

i 1 2 x1  1  i x2  2  i

F1

F2

Com esse procedimento foi possível constatar que há proporcionalidade entre a intensidade da força aplicada e a deformação sofrida pela mola.

200

Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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4/7/16 10:20 AM


Chamando a deformação elástica sofrida pela mola de x, isto é, o comprimento em que foi comprimida ou distendida, constata-se a seguinte relação com a força F que comprime ou distende a mola: F1 F F  k (constante)  2  ...  x1 x2 x O valor de k é característico de cada mola e denominado constante elástica da mola. No SI, a unidade de medida dessa constante é o N/m (newton por metro). À medida que a extremidade da mola é deslocada para baixo, pela ação da força peso dos blocos, estes também sofrem a ação da força elástica Fel, dirigida verticalmente para cima. Genericamente, temos: Fel  kx

Editoria de arte

Essa relação, conhecida como lei de Hooke, é válida para pequenas deformações da mola. Para determinar o trabalho da força elástica, representaremos graficamente a lei de Hooke. Como a equação Fel  kx é do primeiro grau em x, o gráfico de Fel em Fel (N) função de x será retilíneo. kx Nesse caso, a área amarela é numericamente igual ao trabalho da força elástica. kx2 1 Área do triângulo: A  x  kx  2 2 kx2 Portanto, o trabalho da força elástica é: $Fel    2

área x

x (m)

O trabalho da força elástica pode ser positivo ou negativo, dependendo da direção e do sentido da força elástica em relação ao sentido da deformação sofrida pela mola. Quando a mola é comprimida ou distendida, isto é, se distancia do ponto de equilíbrio, o trabalho da força elástica é negativo; quando a mola retorna à posição de equilíbrio, o trabalho é positivo. Em resumo, o sinal do trabalho depende da orientação do movimento (deslocamento) em relação à força elástica que age sempre no sentido de fazer a mola retornar à sua posição de equilíbrio: • negativo, quando a mola é alongada ou comprimida; • positivo, quando a mola retorna à posição de equilíbrio.

Exercícios resolvidos 6 Durante um experimento foram usadas duas molas, m e n, de constantes elásticas km e kn. Ambas foram comprimidas pela mesma força F de intensidade 12 N e sofreram as deformações xm e xn. a) Determine o valor de km e kn, saben­do que xm  0,4 m e xn  0,2 m. b) Estabeleça uma relação entre as cons­tantes elásticas das molas e a maior ou menor resistência à deformação so­frida por elas.

Resolução a) Da lei de Hooke, temos: Fel  kx

Portanto, para a mola m, o valor de km é: km 

F 12 Æ km  30 N/m  xm 0,4

Para a mola n, o valor de kn é: kn 

F 12 Æ kn  60 N/m  xn 0,2

b) A mola n, de constante elás­ti­ca maior, apre­sen­tou menor deformação, ou seja, ofe­receu maior resistência à de­for­ma­ção. Portanto, para obter a mesma deformação nas duas mo­las, teríamos de aplicar uma força de maior intensidade na mola n. Capítulo 12

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Energia e trabalho

201

4/7/16 10:20 AM


i  0,6 m, com uma das ex­tre­mi­da­des presa a um suporte e outra livre. Poste­ rior­mente, age sobre a mola uma força F de intensidade 60 N, fazendo com que seu comprimento passe a ser   0,8 m.

i

Nessas condições, determine: a) a constante elástica da mola;

b) o trabalho da força elástica durante essa deformação;

Ilustrações: Editoria de arte

7 O esquema ao lado representa, ini­cial­men­te, uma mola de comprimento

x

c) o trabalho da força elástica se a força deixar de agir sobre a mola e ela voltar à posição inicial.

F

Resolução a) Segundo a lei de Hooke, Fel  kx F 60 Æ k  x 0,8 2 0,6

mola deformada sentido do movimento

Æ k  300 N/m

c) Quando a mola volta à po­sição inicial, o tra­ba­lho da for­ça elás­tica é mo­tor. Como o sentido da for­ça elástica é o mes­mo do des­lo­ca­men­to: 300 ? (0,2)2 kx2 $  ä$6J 2 x

b) Durante a de­for­ma­ção, Fel como a for­ça elás­ti­ca possui sen­ti­do F contrário ao do deslocamento: 300 ? (0,2)2 kx2 $  ä $  6 J 2 x

mola retornando à posição inicial Fel

Escreva no caderno

Exercícios propostos

0,08 J

26. No laboratório de Física, um aluno realiza o seguinte experimento: aplica uma força de 2 N em uma mola e observa uma deformação correspondente a 10 cm. Se o aluno aplicar uma força de 4 N: a) quanto a mola vai deformar?

20 cm

b) qual será o trabalho realizado pela força de 4 N? 0,4 J

27. Um estudante coletou da- F (N) dos de um expe­rimento e 30 construiu o gráfico que re20 presenta a intensidade da força F aplicada em uma 10 mola em função da defor0 mação sofrida por ela.

Editoria de arte

c) qual será o trabalho realizado pela força elástica no deslocamento de 10 cm até 20 cm? 0,1 J

0,05 0,1 0,15 x (m)

De acordo com o gráfico, determine: a) a cons­tan­te elás­tica da mola; 200 N/m b) o trabalho da força F para de­for­má-la em 0,15 m. 2,25 J

202

Unidade 5

Editoria de arte

29. Um menino em- F (N) purra um caixote 20 cheio de brinque10 dos com uma força F que atua na 0 10 20 s (m) mesma direção e no mesmo sentido em que ocorre o deslocamento F do caixote. O gráfico da intensidade da força F, 0 10 m 20 m s em função do espaço s está representado acima. Determine o trabalho da força F quando o caixote sofre um deslocamento de s 5 0 para s 5 10 m e de s 5 10 m para s 5 20 m.

Tarumã

8 N

b) o trabalho da força F para deformá-la.

28. (Mack-SP) A mola da figura varia seu 10 cm com­primento de 22 cm 10 cm para 22 cm quando penduramos em sua extremidade um corpo 4N de 4 N. Determine o comprimento total dessa mola quando penduramos nela um corpo de 6 N. 28 cm

Studio Caparroz

25. Ao sofrer a ação de uma força F, uma mo­la apresenta uma deformação de 0,02 m, alon­gan­do-se. Se a constante elástica dessa mola é 400 N/m, determine: a) a intensidade da força F;

sentido do movimento

100 J e 150 J

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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19/04/16 13:53


5. Teorema da energia cinética Pare e pense Fabrice Coffrini/AFP

Quando um corpo se movimenta com velocidade v em relação a determinado referencial, podemos associar a ele uma energia de movimento, denominada energia cinética. A seguir, vamos avaliar numericamente como é possível determinar a energia cinética. Considere uma partícula de massa m que se move, em relação a um referencial, com velocidade escalar instantânea v. v

m

Esquiador.

Chamamos de energia cinética da partícula Ec , em relação ao referencial, o produto da massa pelo quadrado de sua velocidade dividido por 2. Ec 5

O que precisa ocorrer para a energia cinética do esquiador aumentar? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

mv2 2

a F

m

a F

vi

A

v

m B

∆p

Ilustrações: Editoria de arte

Para ampliar o conceito físico de energia cinética, suponha o movimento de um corpo de massa m que se desloca entre as posições A e B, com aceleração constante a, sob a ação da força resultante F. As velocidades escalares da partícula nas posições A e B são, respectivamente, vi e v.

De acordo com a 2a lei de Newton: R 5 ma Æ F 5 ma Æ a 5

F F , em módulo: a 5 m m

1

Conforme a equação de Torricelli para o movimento uniformemente variado: v2 5 v2i 1 2a∆p Æ v2 5 v2i 1 2a∆p

2

Substituímos a equação 1 na equação 2 : v2 5 v2i 1 2 ?

mv2i F mv2 ? ∆p Æ F∆p 5 2 m 2 2

Observe que o produto F ? ∆p representa o trabalho realizado pela força resultante F, no deslocamento de A a B, e que esse trabalho é dado pela diferença entre as energias cinéticas final e inicial. Esse é o teorema da energia cinética (TEC). $F 5 EcB 2 EcA 5 DEc →

A dedução deste teorema foi feita para o movimento uniformemente variado devido à facilidade no desenvolvimento matemático, mas o teorema é válido para qualquer movimento. Capítulo 12

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Energia e trabalho

203

4/7/16 10:20 AM


Exercícios resolvidos ra. Durante o descanso, uma das jacas desprendeu-se do galho e caiu em linha reta até atingir o chão. O jovem aproveitou o imprevisto, mediu a altura desde a ponta do galho até o chão (h  1,5 m) e verificou o pe­so da jaca (P  30 N). Pergunta-se:

Studio Caparroz

A

8 Após uma caminhada, um jovem resolveu parar sob uma ja­quei­

1,5 m

a) Qual o trabalho da força peso durante o percurso de queda? b) Qual a energia cinética transferida para a jaca até o instante ime­dia­ta­mente ante­rior ao choque dela com o chão?

B

Resolução a) $  Ph $  30  6 $  45 J b) Desprezando os possíveis atritos, o trabalho da força peso que age na jaca é igual à variação de energia cinética sofrida por ela. Como inicialmente a jaca estava em repouso (A), então: EcA  0

$  EcB  EcA

Ec  45 J Como o trabalho da força peso é motor (positivo), o va­lor da energia cinética será crescente. Studio Caparroz

9 Durante um jogo de malha, um jogador lança a peça de massa 0,2 kg. Ela atinge o chão com velocidade de 12 m/s e desliza em uma trajetória retilínea e horizontal até parar. Determine: a) o trabalho da força de atrito sobre o corpo, desde o momento em que a peça toca o chão (A) até parar (B). b) o tempo necessário para que a peça fique em repouso, sabendo que o coeficiente de atrito cinético é 0,10 e a ace­le­ra­ ção da gravidade é 10 m/s2.

A

Resolução

a vi  12 m/s

Fat

A P

v0 B

Editoria de arte

N

a) O movimento do corpo ocorre na ho­ri­zontal, logo N  P. Nesse caso, a força re­sultante que age no corpo é re­pre­sen­tada por Fat, cujo trabalho é re­sis­tente e dado pela variação da energia cinética. $  EcB  EcA Æ $ 

B

mv2 mv2i 0,2 (02  122) Æ$   14,4 Æ $  14,4 J 2 2 2

b) Sendo a intensidade da força de atrito Fat  N, então: Fat  0,10  0,2  10 Æ Fat  0,20 Æ Fat  0,20 N Aplicando o princípio fundamental da Dinâmica, temos: R  ma Æ Fat  ma O sentido da força de atrito é contrário ao do deslocamento da peça: Fat  ma Æ 0,2  (0,2a) Æ a  1 m/s2 Portanto, o tempo necessário para a peça ficar em repouso é: v  vi  at Æ 0  12  1t Æ t  12 s

204

Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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4/7/16 10:20 AM


Escreva no caderno

Exercícios propostos 31. Transforma-se em calor (energia térmica) devido à presença da força de atrito, que se opõe ao movimento.

30. Quando a energia cinética de um veículo aumenta, o que ocorre com o trabalho das forças sobre ele? Se a energia cinética do veículo duplicar, o que acontece com o trabalho realizado por ele?

32. Quando o pneu de um carro derrapa, a força de atrito aplicada entre a pista e o pneu é a mesma, qualquer que seja a velocidade do carro. Portanto, o atrito não depende da velocidade. Escreva no caderno a variá­vel envolvida para o carro parar. Distância percorrida.

c) o coeficiente de atrito cinético (). 0,1 36. Um objeto de 8,0 kg está sujeito à força resultante F, aplicada na mesma direção e no mesmo sentido do movimento. O módulo da força F, variável em função da posição x, está representado no gráfico. F (N)

F9

33. Em uma estrada de alta rodagem, o veículo A trafega a uma velocidade de 120 km/h e o veículo B trafega a uma velocidade de 60 km/h. Se ambos frearem até parar, qual a relação entre as distâncias percorridas pelos veículos? Justifique sua resposta. 34. Um bloco de madeira, de massa 2 kg, sofre a ação de uma força resultante de intensidade 1 N ao deslocar-se sobre uma superfície lisa e horizontal. Se a velocidade inicial do bloco é 4 m/s e a sua trajetória é retilínea, determine: a) a sua energia cinética inicial; 16 J b) o trabalho da força resultante, caso ela seja constante, na mesma direção e sentido da velocidade inicial, e atue em um deslocamento de 48 m; 48 J c) a sua energia cinética final; 64 J d) a velocidade final do bloco. v  8 m/s 35. Após ter sido lançado sobre uma superfície áspera e horizontal, um corpo de massa 8 kg desliza em uma trajetória re­ti­lí­nea percorrendo 4 m até parar. Se a energia cinética inicial transmitida ao corpo é 32 J, determine: Eci  32 J

Ilustrações: Editoria de arte

Aumenta o trabalho sobre o veículo. O trabalho é duplicado.

31. Quando apenas parte do trabalho realizado pela força resultante é utilizada para variar a energia cinética, o que acontece com o restante da energia?

a) o trabalho da força de atrito. 32 J b) a intensidade da força de atrito. 8 N

4,0

0

40

x (m)

Sabe-se ainda que o trabalho realizado pela força F é de 300 J no deslocamento de 40 m, indicado no gráfico, e que a velocidade do objeto é de 10 m/s quando x 5 40 m. Determine: a) a velocidade do objeto quando x 5 0. 5,0 m/s b) o módulo da força F9 incógnita no gráfico. 11 N 37. Um corpo move-se sobre uma superfície horizontal. O que ocorre com a energia cinética desse corpo se uma força em sentido oposto ao seu movimento agira sobre ele? diminui 38. (Unicamp-SP) Sob a ação de uma força constante, um corpo de massa de 4,0 kg adquire, a partir do repouso, a velocidade de 10 m/s. a) Qual é o trabalho realizado por essa força? 200 J

v

b) Se o corpo se deslocou 25 m, qual o valor da força aplicada? 8 N

33. O veículo A possui o dobro da velocidade de B, portanto uma energia cinética quatro vezes maior. Considerando o atrito igual nos dois casos (mesma rodovia), o trabalho realizado pela força de atrito no veículo A será quatro vezes o de B; logo, deve percorrer quatro vezes a distância percorrida por B.

Pense além Energia em movimento A Organização Mundial da Saúde (OMS) aconselha que uma pessoa tenha oito horas diárias de sono, em média. Estudos mostram que dormir bem ajuda a evitar vários problemas, como: infecções por baixa resistência, baixo vigor físico, envelhecimento precoce, depressão, obesidade e, inclusive, acidentes. Considere que uma pessoa repousa em sono profundo. A energia cinética depende do referencial, logo, em relação ao Sol ou a um carro em movimento na rua, a pessoa

Responda

Escreva no caderno

tem energia cinética.

1. Nessa situação, você saberia dizer se ela tem energia cinética?

Capítulo 12

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Energia e trabalho

205

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6. Energia potencial

Corel Stock Photo

Pare e pense

Chamamos de energia potencial a energia que está armazenada no sistema “esperando” para ser convertida em energia cinética ou trabalho. A esse tipo de energia potencial é associada uma força que chamamos de conservativa. A característica desse tipo de força é que o trabalho realizado por ela, em dado deslocamento, não depende da trajetória. O termo conservativa é justificado porque, durante o movimento de um corpo sujeito a esse tipo de força, não existe perda de energia total.

Energia potencial gravitacional

Um arco utilizado na prática esportiva arco e flecha pode ser considerado um sistema composto do arco mais o elástico. Considere o homem da imagem acima praticando tiro com arco e flecha. De onde vem a energia armazenada no sistema arco-elástico? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

No esquema abaixo está representado o deslocamento vertical d de uma partícula de massa m, da posição A, localizada a uma altura hA do solo, à posição B, localizada a uma altura hB do solo. A

m d

g

B hA

Editoria de arte

Homem tensionando o fio de um arco e flecha antes de efetuar o lançamento.

hB solo

O trabalho realizado pela força peso independe da trajetória, e esse deslocamento pode ser expresso por: $P 5 Pd cos 0º Æ $P 5 mg (hA 2 hB) ? 1 $P 5 mghA 2 mghB

1

O produto mgh representa uma forma de energia associada à posição da partícula em relação a um plano de referência (solo), denominado energia potencial gravitacional Ep. Ep 5 mgh

Retornando à equação 1 , podemos concluir que o trabalho realizado pela força peso entre as posições A e B é igual à diferença entre a energia potencial gravitacional da partícula na posição A e a energia potencial gravitacional da partícula na posição B, ambas em relação ao solo (plano de referência). Chamamos de teorema da energia potencial a relação entre o trabalho realizado por uma força conservativa, no caso a força peso, e a diferença entre as energias potenciais em cada posição no sistema. $P 5 EPA 2 EPB

O teorema da energia potencial tem validade para qualquer força conservativa, como é o caso também da força elástica. $F 5 Ep 2 Ep el

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Unidade 5

A

B

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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27/04/16 13:44


Exercícios resolvidos Studio Caparroz

10 Uma menina

hA 5 4 m

solta um brinA quedo de 5 kg, inicialmente na posição A, do alto de um B solo tobogã. Tome como base o perfil da superfície do tobogã, representado no es­quema acima, e considere g  10 m/s2. Nessas condições, determine: a) a energia potencial do brinquedo asso­ciada à posição A; b) a energia potencial do brinquedo asso­cia­da à posição B; c) o trabalho da força peso para deslocá-lo da posição A até a posição B.

Resolução

Ep  mghB  5  10  0  0 B

c) $  Ep  Ep  200  0  200 Æ $  200 J A

B

11 Considere dois postes homogêneos (massa distri­ buída uniformemente ao longo do corpo), um cônico e outro cilíndrico, de mesma massa, 150 kg, e de mesmo comprimento, 6 m. Calcule a energia potencial gravitacional quando posicionados verticalmente em relação ao solo. Admita g 5 10 m/s2 e o centro de 1 de sua altura. massa do poste cônico localizado a 3

Resolução Sendo corpos homogêneos, o peso está aplicado em seus centros de massa. Assim: Cilindro: Ep  mghcilindro  1 500 ? 3 5 4 500 Æ

Nas condições propostas, temos:

Æ Ep  4 500 J

a) Na posição A: Ep  mghA  5  10  4  200 Æ Ep  200 J

Cone: Ep  mghcone  1 500 ? 2 5 3 000 Æ Ep  3 000 J

A

Escreva no caderno

Exercícios propostos

Studio Caparroz

39. Em uma academia de ginástica, um atleta ergue um haltere de massa 40 kg em duas etapas: do solo até a cintura (hC  1 m) e da cin­tura até o ponto mais alto que seus braços al­can­çam (h  2,5 m).

hC 5 1 m

C

h 5 2,5 m

A

41. Ainda em relação ao exercício 39, se o atleta abandonar o haltere na posição A, qual será a energia poten­cial gravitacional do haltere ao atin­gir o solo? Zero.

42. Um nadador de massa 60 kg é filmado no momento do salto a partir de um trampolim. No salto, a altura máxima obtida por ele é de 2 m (em relação ao trampolim). A distância, na vertical, do trampolim em relação ao nível da água da piscina é de 10 m. Qual a energia potencial armazenada pelo atleta quando ele estiver, em relação ao trampolim, no ponto mais alto e na superfície da água da piscina? 1 200 J e 26 000 J

solo

Se nesse local a aceleração da gravidade é 10 m/s2, determine a energia potencial gravitacional do corpo asso­cia­da à posição: a) S (solo); Zero. b) C (cintura); 400 J c) A (ponto mais alto). 1 000 J 40. Nas condições do exercício anterior, determine o traba­l ho da força aplicada pelo atleta para deslocar o haltere da posição C para A. 600 J

Homem realizando um salto de trampolim.

43. Um corpo pesa 80 N em um local onde a aceleração da gravidade é de 8 m/s2. Encontre, em relação ao solo, a energia potencial desse corpo, quando ele se encontra a 10 m do solo, em outro local onde a aceleração da gravidade é de 10 m/s2. 1 000 J Capítulo 12

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Zero Creatives/Culture/Glow Images

A

b) Na posição B:

Energia e trabalho

207

4/7/16 10:20 AM


Energia potencial elástica A energia potencial elástica está associada às deformações elásticas sofridas por determinados corpos quando submetidos à ação de forças para comprimi-los ou distendê-los.

Monkey Business Images/Shutterstock.com

Pare e pense

Considere uma mola ideal, de constante elástica k, sob a ação de uma força F que a deforme (alongando ou comprimindo), produzindo o deslocamento da sua extremidade livre desde a posição A até a B. Partindo do conceito de energia potencial, vamos adequá-lo aos corpos de comportamento elástico. O trabalho da força elástica que pode ser realizado para fazer a mola voltar à posição A (livre) corresponde à medida da energia potencial elástica.

Pessoas pulando em cama elástica.

Que tipo de energia a cama elástica acumula ao ser deformada pelo corpo da pessoa? O que ocorre com essa energia acumulada?

Ep  $F  A

el

kx2 2

Æ

EP 5 A

kx2 2

Segundo o teorema da energia potencial, em relação ao ponto de referência A, a energia potencial elástica é nula, uma vez que a mola não está deformada. Se a mola estiver em qualquer outra posição, a energia potencial elástica será igual ao trabalho da força elástica que age para ela voltar à posição de referência.

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

$F 5 Ep 2 Ep el

Paulo Nilson

i

A

B

i

A  posição de referência

A

A

x  i 2  B



F

Ep  energia potencial A associada à posição A

x   2 i

Ep  energia potencial B associada à posição B

B Fel 

Fel

F

Exercício resolvido 12 Durante um teste, prendeu-se uma das ex­tre­mi­da­des de uma mola a um suporte. Paulo Nilson

Na ou­tra, pendurou-se um cor­po de mas­sa 2 kg, o que cau­sou uma de­forma­ção de 0,05 m na mo­la. Sabendo-se que g  10 m/s2, de­ter­mi­ne: a) o valor da cons­tante elás­tica da mola; b) a energia potencial elástica do sistema mola-corpo associada à posição A.

Resolução

x  0,05 m

a) Considerando o corpo em repouso, temos: Fel  kx

P

P  kx Æ k 

208

20 P Æ k  400 N/m  0,05 x

b) EP 

400 ? (0,05)2 kx2 5 Æ EP  0,5 J 2 2 el

Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

el

A

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25/04/16 18:51


Escreva no caderno

Exercícios propostos

49. O gráfico ao lado mostra a deformação sofrida por uma mola quando se varia a força aplicada para esticá-la.

50 N/m

b) a energia potencial elástica da mola; 0,25 J c) qual deve ser o alongamento sofrido pela mola para que a energia potencial adquirida por ela seja 1,0 J. 0,2 m

45. Determine, em joules, a energia armazenada por uma mola, de constante elástica k = 80 N/m, que apresenta deformação de 0,10 m. 0,4 J 46. Encontre o valor da energia adquirida por uma mola que deformou-se de x = 0,4 m, após receber uma força de 300 N. 60 J 47. Uma bola metálica de massa 10 kg é lançada sobre uma superfície horizontal lisa, entrando em contato com uma mola comprimindo-a. Encontre a máxima deformação sofrida pela mola, sabendo que a velocidade da bola ao chocar-se com a mola é de 2 m/s. Considere a constante elástica da mola 100 N/m.  0,63 m

Paulo Nilson

48. O esquema ao lado representa uma mo­ la ideal pen­du­ra­da por uma das ex­ tre­ mi­ dades, de com­­­­pri­­­men­to i  0,15 m. Na outra ex­tre­mi­da­de é co­­locado

i

Deformação (cm) 10

Determine: a) a constante elástica da mola, em N/m. 5 000 N/m b) a energia potencial elástica armazenada na mola quando esta estiver deformada de 4,0 m.

40 000 J

0

500

Força (N)

F (N) 100 80 60

40 50. (Fuvest-SP) Uma mola pendurada 20 num suporte apresenta comprimento 10 20 30 40 50 x (cm) 0 igual a 20 cm. Na sua extremidade livre pendura-se um balde vazio, cuja massa é 0,50 kg. Em seguida, coloca-se água no balde até que o comprimento da mola atinja 40 cm.

O gráfico ilustra a força que a mola exer­ce sobre o bal­de, em fun­ção do seu com­pri­men­to. Determine:

9,5 kg

a) a massa de água colocada no balde.

b) a energia po­tencial elás­tica acumulada na mola no final do processo. 10 J P

(Adote g  10 m/s2.)

7. Energia mecânica

A

Considere um objeto de mas­sa m, que ini­cial­men­te estava em repouso em re­la­ção ao chão e depois, ao ser aban­­do­na­do, descreve uma tra­jetória re­ti­lí­nea, conforme o esquema ao lado. Na posição A o corpo está em re­pou­so; portanto, a energia cinética é nula; e a energia potencial gravitacional é máxima, pois a altura é máxima. A partir do instante em que o corpo inicia a queda, a velocidade cresce e o valor da energia cinética aumenta. Simultaneamente, a altura ocupada pelo corpo diminui, fazendo com que o valor da energia potencial gravitacional diminua. No instante imediatamente antes de o corpo atingir o chão, a velocidade é máxima. Portanto, a energia cinética é máxima e a energia potencial gravitacional é nula, pois a altura é nula.

B

C chão Capítulo 12

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Editoria de arte

a) o valor da constante elástica da mola;

a) a constante elástica da mola; 400 N/m b) a energia potencial elástica do sis­­te­ma mola-corpo associada à nova po­sição. 0,5 J

Editoria de arte

F

um corpo de mas­sa 2 kg, alongando a mo­la, que passa a ter com­primento   0,20 m. Se nesse local g  10 m/s2, determine:

Studio Caparroz

Paulo Nilson

44. No esquema abaixo está representada uma mola com uma das extremidades presa a um suporte, enquanto a outra extremidade é submetida à ação de uma força F 5 5 N, provocando na referida mola um alongamento de 0,10 m. Utilize essas informações e determine:

Energia e trabalho

209

19/04/16 13:56


De acordo com o esquema apresentado, vamos considerar duas situações distintas: Situação 1 Se desprezarmos a resistência do ar durante o movimento do corpo, a energia potencial vai se transformando em energia cinética, de forma que o valor perdido por uma corresponde ao valor ganho pela outra. Assim, a soma desses valores permanece constante. A energia mecânica do sistema é representada pela soma das energias potencial e cinética. Genericamente, temos: Emecânica  Ecinética  Epotencial e

Em 5 Ec 1 Ep

Em 5 Em 5 Em A

B

C

Nesse caso, a energia mecânica se manteve constante, isto é, ela se conservou. Isso ocorre quando apenas forças conservativas realizam trabalho ao longo do deslocamento. Essas forças, como o peso, a força elástica ou a força elétrica, têm o seu trabalho associado à energia potencial. Situação 2 Se não desprezarmos a resistência do ar que age no corpo durante o movimento, verificaremos que a energia mecânica não se conserva. Nesse caso, durante o movimento de queda do corpo, o valor da diminuição da energia potencial não corresponde ao valor do aumento da energia cinética. Então, o que ocorre com parte da energia? Devido ao atrito do corpo com o ar, parte da energia se transforma em calor (energia térmica), aumentando a temperatura do corpo e do ar à sua volta. Essas constatações nos conduzem ao princípio geral da conservação de energia: A energia total do Universo permanece constante: não pode ser criada nem destruída, apenas uma forma de energia se transforma em outra.

Quando apenas forças conservativas realizam trabalho, a energia mecânica se conserva. No exemplo do objeto solto do alto do prédio, a força de resistência do ar, que é força não conservativa, realiza trabalho resistente diminuindo a energia mecânica do sistema. Geralmente as forças de atrito têm seu trabalho transformado em energia térmica. Generalizando, a resultante R do sistema de forças que age no corpo é constituída de forças conservativas F cons e forças não conservativas F não cons. R  F cons  F não cons

$R  $F

cons

como

 $F

não cons

$R  Ec  Ec f

$F

cons

i

 Epot  Epot i

f

Ec  Ec  Epot  Epot  $F f

i

i

f

não cons

Æ

Ec  Epot  Epot  Ec  $F f

f

Em f

i

i

$F

não cons

5 Em 2 Em f

i

não cons

 Em  $F i

não cons

A expressão final, chamada de teorema da energia mecânica, representa a diferença entre as energias mecânicas nas posições final e inicial ocupadas pelo corpo ou sistema de corpos, que é igual ao trabalho das forças não conservativas que agem no corpo ou no sistema de corpos.

210

Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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4/7/16 10:20 AM


Exercício resolvido com velocidade 2 m/s. Nesse local a aceleração da gravidade é 10 m/s2 e os possíveis atritos devem ser desprezados.

Studio Caparroz

13 Um vagonete de 30 kg é lançado sobre trilhos da posição A vA 5 2m/s

Nessas condições, e de acordo com os dados do esquema, determine:

A

a) a energia cinética do vagonete na posição B; hA 5 10 m

b) a intensidade da velocidade do va­go­ne­te na posição B; c) a energia cinética do vagonete na posição C.

c hc 5 6 m

Resolução

B

plano de referência

a) Se não considerarmos as forças dissipativas (de resistência do ar e de atrito), o sistema será con­ser­va­tivo: Em  Em A

B

Ec  Epot  Ec  Epot A

A

B

B

2 mvA2  mgh  E  0 Æ 30 ? 2  30  10  10  E Æ E  3 060 J A cB cB cB 2 2 2 2 mvB 30 ? vB b) Ec  Æ 3 060  Æ vB  14,3 m/s B 2 2 2 mvA 30 ? 22  mghA  Ec  mghC Æ  30  10  10  Ec  30  10  6 Æ Ec  3 060  1 800 Æ Ec  1 260 J c) Em  Em Æ B C C C C C 2 2

Escreva no caderno

Exercícios propostos

a) um coletor solar;

d) uma usina nuclear;

b) um escorregador;

e) uma usina hidrelétrica.

c) um sistema de arco e flecha; 52. A figura mostra o perfil de uma montanha-russa onde um carrinho desliza sem resistências ao seu movimento. Copie e complete a tabela a seguir, substituindo as letras pelos valores de energia pedidos.

54. Um carrinho de massa 40 kg parte do ponto A, inicialmente em repouso, e roda livremente. A

ponto III

ponto IV B

5m ponto II

D

4m

Studio Caparroz

ponto I Studio Caparroz

53. Calcule a energia mecânica do bloco, de massa m 5 1 kg, no instante considerado na figura, sabendo que a mola v0  0 está deformada em 0,10 m e sua constante elástica é 200 N/m. 1 J

Editoria de arte

51. Sabendo que a energia não desaparece, que apenas há transformação de uma forma de energia em outra, explique em termos energéticos o funcionamento de:

4,2 m C

Ecinética Emecânica 5 Ep 1 Ec (J)

Ponto

Altura (m)

Epotencial (J)

I

10

800

II

0

A0

III

5

B 400

E 1 300

I 1 700

IV

2,5

C 200

F 1  500

J 1 700

D 900 1 700

G 1 700 H 1 700

Supondo a aceleração da gravidade local de 10 m/s2, a energia potencial nula no ponto C e sem dissipação, 54. b) B(Ep 5 1 600 J e Ec 5 400 J); C(Ep 5 0 J e Ec 5 2 000 J); determine: D(E 5 1 680 J e Ec 5 320 J) p a) a energia mecânica do carrinho; 2 000 J b) a energia potencial e cinética nos pontos B, C e D; c) a velocidade do carrinho ao passar pelo ponto C; 10 m/s d) a velocidade do carrinho ao atingir o ponto D.

51. a) Conversão da energia proveniente das radiações solares em energia térmica. b) Conversão de energia potencial gravitacional em energia cinética. 4 m/s c) Conversão de energia potencial elástica em energia cinética. d) Energia liberada pela fissão dos núcleos atômicos em energia elétrica. e) Conversão de Capítulo 12 Energia e trabalho 211 energia potencial gravitacional em energia elétrica.

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4/7/16 10:20 AM


8. Potência Já conhecemos diferentes formas de energia e sabemos que elas podem se transformar de um tipo para outro. Agora, vamos estudar como essas transformações ocorrem, ou seja, analisar a forma como a energia é transferida de um sistema de corpos para outro. Paulo Nilson

A

ΔtA  30 s

carga

Acompanhe esta situação: dois elevadores precisam transportar a mesma carga do térreo ao sétimo andar de um prédio. Um deles está equipado com o motor A e realiza esse trabalho em 30 s; o outro, equipado com o motor B, realiza esse trabalho em 50 s. Nessas condições, podemos dizer que o motor A é mais eficiente que o B, pois realiza o mesmo trabalho em um intervalo de tempo menor. Definimos potência como a rapidez com que ocorrem as transformações ou transferências de energia. Formalizando matematicamente, a potência média Pm é o quociente da energia transferida ΔE pelo intervalo de tempo Δt em que essa transferência ocorreu.

B

carga

ΔtB  50 s

Pm 

EvrenKalinbacak/Shutterstock.com

Pare e pense

O trabalho de uma força está associado à transformação ou transferência de energia; portanto, a potência média de uma força representa a relação do trabalho da força $F nesse intervalo de tempo. Pm 

Carro de Fórmula 1.

$F Δt

No SI, a unidade de potência é o Watt (W), denominação dada em homenagem ao engenheiro escocês James Watt (1736-1819), cujo trabalho mais conhecido foi o aperfeiçoamento da máquina a vapor. Pm 

Luciano Galvão

ΔE Δt

$F J ΔE  watt   Δt s Δt

Duas unidades muito utilizadas, que não pertencem ao SI, são: • horse-power (HP), da Inglaterra: 1 HP  746 W Carro com motor 1.0

Sabemos que um carro de Fórmula 1 é muito mais potente que um carro convencional. O que significam os termos potente e potência?

• cheval-vapeur (cavalo-vapor, cv), da França: 1 cv  735 W A potência média também pode ser associada a uma força. Considerando uma força paralela ao deslocamento:

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

212

Unidade 5

Pm 

$F Fd  Δt Δt

Como vm 

d , temos: Δt

Pm  F  vm

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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4/22/16 15:12


Exercícios resolvidos 14 Um motor de 500 W de potência precisou de 100 s para arrastar um corpo entre duas posições, com movimento retilíneo e uniforme. Nessas condições, determine, em joules, o trabalho motor.

Resolução P

$F ä $  P∆t  500  100 ä $  5  104 J ∆t

15 Um atleta sobe uma rampa em 40 s e chega ao topo, a uma altura de 20 m em relação ao ponto de partida. Determine: a) a variação da energia potencial do atleta; b) a potência média desenvolvida por ele. Dados: o ponto de partida está no nível de referência, a massa do atleta é 80 kg e a aceleração da gravidade é 10 m/s2.

Resolução a) ∆E  Ep  Ep Æ ∆E  mghB  mghA Æ ∆E  80  10  20  80  10  0 Æ ∆E  1,6  104 J B

B

∆E 1,6 ? 104 ä Pm  4  102 Æ P  4  102 W b) Pm   ∆t 40

Escreva no caderno

Exercícios propostos

56. Duas máquinas desempenham a mesma tarefa no mesmo local: erguer um corpo de 80 kg, do chão até uma altura de 20 m, com MRU. Sabendo que a máquina A utiliza 20 s e a máquina B utiliza 25 s para realizar a operação, determine: Dado: g  10 m/s2.

59. Localizado na cidade de Salvador (BA), o elevador Lacerda teve sua construção iniciada em 1869 e foi concluída em 1873. Com 72 metros de altura e duas torres, liga a cidade baixa à cidade alta. Atualmente, funciona com quatro cabines eletrificadas com capacidade para transportar 32 passageiros cada uma, em um tempo de permanência de 22 segundos. Marcio Jose Bastos Silva/Shutterstock.com

55. O motor de um guindaste eleva um bloco de 120 kg do solo até uma altura de 20 m, com movimento retilíneo e uniforme. Determine a potência do motor, sabendo que o tempo usado nessa operação foi 30 s. Dado: g  10 m/s2. 800 W

a) o trabalho da força aplicada pelas má­qui­nas A e B aos corpo. 16 000 J e 16 000 J b) a potência das máquinas A e B.

800 W e 640 W

57. Suponha que durante a manutenção de um elevador com 1 000 kg de massa total, ele tenha conseguido se deslocar nos primeiros 60 m em 30 s. Nessa situação, determine: a) a velocidade média do elevador; 2 m/s b) a potência média desenvolvida pelo motor elétrico do elevador. 20 kW 58. Dois sacos de cereais, A (mA 5 25 kg) e B (mB 5 50 kg), são erguidos ao mesmo tempo a uma altura de 1 m e 0,5 m, respectivamente. Compare as potências desenvolvidas em cada caso. Elas são iguais.

Elevador Lacerda, Salvador, Bahia (2015).

Qual a potência média necessária para fazer a elevação de uma massa total de 700 kg? 25 200 W 60. Em determinado trecho de uma estrada, a pista apresenta inclinação de 30° em relação ao plano horizontal. Nesse trecho, um veículo de massa 10 000 kg mantém, durante a subida, a velocidade constante de 9 km/h. Determine a potência necessária para o motor do veículo. Dado g = 10 m/s2. 1,25 · 105 W Capítulo 12

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Energia e trabalho

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61. (ITA-SP) Uma queda de água escoa 120 m3 de água por minuto e tem 10,0 m de altura. A massa específica da água é 103 kg/m3 e a aceleração da gravidade é 9,81 m/s2. A potência mecânica da queda de água é: a) 2,00 W b) 235 ? 105 W X c) 196 kW

tre os segundos e de um local onde haja uma escada entre dois pavimentos. Inicialmente, meça a altura do pavimento que você irá subir. Em seguida, suba a escada e marque o tempo utilizado para chegar ao topo. Procure manter a velocidade de subida constante. Utilizando os valores da massa, do tempo e da altura, determine:

d) 3,13 ? 103 W e) 1,96 ? 102 W 62. Para desenvolver esta atividade, você vai precisar do valor da massa de seu corpo, de um relógio que regis-

a) o trabalho realizado para deslocar-se do chão até o topo da escada; b) a potência utilizada nessa tarefa.

Respostas pessoais.

Rendimento Podemos definir rendimento como a eficiência no desempenho de uma tarefa. Desse modo, um motor com rendimento ideal seria aquele que utilizasse toda a energia fornecida pelo combustível para gerar movimento. Mas isso não ocorre porque parte dessa energia é transformada em energia térmica e em energia sonora, o que podemos facilmente constatar pelo aquecimento e pelo barulho do motor. A eficiência de qualquer dispositivo que transforma ou transfere energia pode ser obtida pela razão entre a energia útil, energia que é aproveitada para determinada finalidade após ser transformada pelo dispositivo, e a energia total, energia que originalmente é fornecida ao dispositivo. Por exemplo, no caso dos motores projetados para produzir movimento, podemos dizer que a energia total é a energia recebida pelo motor; aquela transformada em energia cinética é a energia útil; e a que se transforma em outros tipos de energia que não é aproveitada para o movimento é chamada de energia dissipada. Considerando as transformações de energia por unidade de tempo, em síntese, a potência fornecida ao dispositivo é chamada de potência total Pt; a que é realmente utilizada para realizar a tarefa é chamada de potência útil Pu; a que não é empregada na tarefa é chamada de potência dissipada Pd.

Pt  Pu  Pd

Pt

Pu “dispositivo” que transfere ou transforma energia

Pd

Aplicado o princípio de conservação da energia, a soma das potências útil e dissipada corresponde à potência total.

Assim, o rendimento  do “dispositivo” é definido pela relação entre potência útil e potência total, representado por: 5

Pu Pt

Sendo Pu  Pt, temos: 0    1 ou 0%    100%. É frequente expressarmos o rendimento de um sistema em porcentagem. Para um mesmo intervalo de tempo, é possível relacionar o rendimento ao trabalho: 5

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Unidade 5

$u $t

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Exercício resolvido 16 Um motor de combustão interna, se­me­lhan­te ao de um carro, requer 2 000 J de energia química para funcionar durante 20 s e produzir 400 J de energia útil de movimento. Nessas condições: a) faça um esquema do funcionamento do motor, representando as energias útil, dissipada e total; b) determine as potências útil, dissipada e total; c) determine o rendimento do motor.

Resolução a) Et  Eu  Ed Æ 2 000  400  Ed Æ Ed  1 600 J 400 ä Pu  20 W 20

b) Pu  Pd 

1 600 ä Pd  80 W 20

Pt 

2 000 ä Pt  100 W 20

c)  

Eu  400 J Et  2 000 J

motor Ed  1 600 J

Pu 20 ä   0,2 ou 20%  100 Pt

Escreva no caderno

Exercícios propostos 63. Toda máquina possui um rendimento, que pode ser expresso pelo quociente entre potência útil e potênP cia total  5 u . Assim o rendimento é um número Pt que pertence ao intervalo:

65. Em um degrau da escada rolante de um supermercado foi colocado um pacote com 100 kg. Em 50 s o pacote foi levado, com velocidade constante, do térreo ao primeiro andar, a 6 m de altura. Sabendo que nesse local g  10 m/s2, determine:

a)     0,8 ou em porcentagem 0%    80%. b)   0,5 ou em porcentagem   50%. X c) 0    1 ou em porcentagem 0%    100%. d)   1 ou em porcentagem   100%. e) 0,5    1 ou em porcentagem 50%    100%.

a) nesse intervalo de tempo, o trabalho da força peso do pacote. 6 000  J

64. Considere as seguintes afirmações e julgue-as em falsa (F) ou verdadeira (V), de acordo com sua veracidade ou não. V

I) Um automóvel na queima de seu combustível possui uma potência de 150 HP (horse-power, 1 HP = 746 W), mas somente 50 HP são aproveitados de forma útil. Assim o rendimento do motor é de aproximadamente 33%.

V II)

Uma lâmpada consome potência de 50 W e a converte em luz 15 W da potência consumida. Portanto, o rendimento dessa lâmpada é de 30%.

V III) Em

um liquidificador, parte da potência que entra através da rede elétrica é convertida em energia mecânica e parte é convertida em calor, assim toda máquina possui um rendimento.

b) o rendimento do motor que aciona a escada rolante, sabendo que a potência total é 800 W. 15% 66. Após perfurar um poço de 10 m de profundidade, um agricultor instalou um motor de 2 HP de potência e com ele consegue bombear 7,46 L/s de água. Considere g  10 m/s2, 1 HP  746 W e 1 L de água equivalente a 1 kg. Nessas condições, determine: a) a potência útil do sistema; 1 HP b) o rendimento do motor. 50% 67. Um guindaste eleva uma carga de 210 kg a uma altura de 20 m em 40 s. Sabendo-se que o guindaste funciona com uma potência de acionamento de 2 000 W, encontre o valor do rendimento do motor. 53% 68. Na construção de um edifício comercial, determinada máquina consome potência de 4 800 watts e, para a função que ela foi designada, dissipa uma potência de 1 200 watts. Determine o rendimento dessa máquina. 0,75 ou 75% Capítulo 12

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CAPÍTULO 13

Impulso e conservação da quantidade de movimento 1. Quantidade de movimento Recordando os estudos anteriores, você deve ter chegado à conclusão de que o princípio da conservação da energia mecânica é um conceito físico importante para a descrição do movimento dos corpos e de suas interações. Com o objetivo de obter outro recurso que possibilite caracterizar o estado de movimento dos corpos, vamos estudar o conceito da grandeza quantidade de movimento. Acompanhe as situações a seguir. Um veículo com carga, que desenvolve velocidade v1 e tem massa m1, bate em um obstáculo. A mesma situação se repete, dessa vez com o veículo sem carga, com a mesma velocidade (v2 5 v1) e massa m2. Situação 1:

(m1 5 massa do sistema caminhão-carga)

Situação 2:

(m2 5 massa do caminhão) v2

Ilustrações: Paulo Nilson

v1

A massa do sistema caminhão-carga na situação 1 é maior que a massa do caminhão na situação 2, o que causa um efeito maior na colisão. Isso nos leva a concluir que a massa do corpo interfere no fenômeno. Vamos considerar agora a mesma colisão em mais duas situações diferentes: o caminhão com carga terá a mesma massa, porém velocidades diferentes (v3 . v4). Situação 3:

(v3 5 velocidade do caminhão)

v3

Situação 4:

(v4 5 velocidade do caminhão) v4

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Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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Se a velocidade v3, na situação 3, é maior que a velocidade v4, o efeito da colisão também o será, visto que em ambas as situações a massa permaneceu constante. Isso nos leva a concluir que a velocidade também é uma grandeza que interfere no fenômeno. Situações que envolvem a massa e a velocidade de um ponto material, semelhantes aos exemplos citados, servem para definir a grandeza vetorial quantidade de movimento ou momento linear, que passaremos a representar por Q. No caso de um ponto material de massa m que se movimenta com velocidade v, podemos expressar a quantidade de movimento Q desse ponto material como:

Editoria de Arte

v Q

m

Q 5 mv

A quantidade de movimento é uma grandeza vetorial com a mesma direção e o mesmo sentido do vetor velocidade. Considerando um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, ..., mn, que em determinado instante apresentam velocidades respectivas v1, v2, ..., vn, conseguiremos representar a quantidade de movimento do sistema assim: Q 5 Q1 1 Q2 … 1 Qn Q 5 m1v1 1 m2v2 1 … 1 mnvn

No SI, a unidade de medida da quantidade de movimento é o produto entre quilograma e metro por segundo: kg  m/s. Nota: Lembre-se de orientar a trajetória para adotar os sinais da velocidade e da quantidade de movimento.

Exercício resolvido 1 Uma caminhonete de massa m1  6 000 kg descreve uma trajetória retilínea e horizontal com velocidade v  20 m/s. Determine a quantidade de movimento: a) da caminhonete; b) da caminhonete carregada com uma carga de massa m2  2 000 kg.

Resolução a) O módulo da quantidade de movimento é: Q1  m1v Æ Q1  6  000  20 Æ Q  120 000 kg  m/s

(na direção horizontal)

b) Nesse caso, a velocidade da caminhonete e a da carga têm o mesmo sentido e direção. caminhonete: Q1  m1v carga: Q2  m2v Q  Q1  Q2 Æ Q  (m1  m2)v Æ Q  (6 000  2 000)  20 Æ Q  160 000 kg  m/s

(na direção horizontal)

Capítulo 13

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Impulso e conservação da quantidade de movimento

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

2. Se um corpo em movimento duplicar sua velocidade, qual quantidade de movimento irá adquirir? E de A quantidade de movimento duplicará (diretamente proporcional à energia? velocidade), e a energia cinética quadruplicará (diretamente proporcional ao quadrado da velocidade).

3. Um satélite artificial A descreve movimento circular e uniforme ao redor da Terra conforme representação a seguir.

8. Um ciclista experiente, de 80 kg, pedala ao lado de sua aprendiz, de 60 kg. Para melhorar o preparo físico da jovem, o ciclista determinou que os dois mantivessem a mesma quantidade de movimento. Sabendo que vc  1,5 m/s é a velocidade do ciclista experiente, determine a velocidade que precisa ser desenvolvida pela aprendiz (va), para que essa meta seja atingida. 2 m/s Warren Goldswain/Shutterstock.com

1. As quantidades de movimento podem se anular? E as energias? Justifique sua resposta. Resposta no final do livro.

Grace Arruda

A

Representação de um satélite em movimento circular ao redor da Terra (Imagem sem proporção e em cores-fantasia).

Analise as afirmativas a seguir e responda se são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: a) A quantidade de movimento do satélite é variável.

Verdadeira, pois há variação na direção do vetor quantidade de movimento.

b) O módulo da quantidade de movimento do satélite Falsa, pois no movimento uniforme a velocidade escalar é é variável. constante; portanto, o módulo da quantidade de movimento também é constante.

c) A energia cinética do satélite é constante. Verdadeira, pois a massa e a velocidade escalar são constantes.

4. Um ciclista de massa 70 kg conseguiu percorrer 30 m em 10 s com velocidade constante. Se a bicicleta tem 3,0 kg, qual a intensidade da quantidade de movimento do conjunto? 219 kg · m/s v 5. Determine a relação A entre os módulos das velocivB dades das partículas A e B, sabendo que suas massas são M e 2M, respectivamente, e que num dado instante a quantidade de movimento tem módulos iguais. 2 6. Uma partícula de 0,2 kg e velocidade escalar v = 1,5 m/s descreve movimento circular uniforme. Avalie se a quantidade de movimento da partícula é Como o movimento é constante e determine o seu módulo. circular, a velocidade varia em direção; logo a Q também varia. O módulo é constante e igual a 0,3 kg ? m/s.

7. Com o propósito de promover a integração dos jovens de um bairro, os pais dos alunos resolveram promover encontros esportivos nos fins de semana. Durante uma competição de lançamento de pesos, uma aluna conseguiu lançar um peso de massa 3,0 kg a uma velocidade inicial de 5,0 m/s. Considere o SI e determine a energia cinética e a quantidade de movimento impressas ao disco. 37,5 J; 15,0 kg · m/s

218

Unidade 5

Ciclistas. A prática de esportes, com acompanhamento médico, pode melhorar a qualidade de vida das pessoas.

9. Calcule a quantidade de movimento, em kg ? m/s, ao fim de 8 s, de um corpo de massa 0,5 kg que está se deslocando ao longo de uma trajetória retilínea com aceleração constante de 0,3 m/s2, partindo do repouso. 1,2 kg ? m/s 10. Uma bola com massa 20 kg foi lançada com velocidade de 10 m/s, na direção horizontal e sentido da direita para esquerda. Determine, nesse instante, o módulo, a direção e o sentido da quantidade de movimento da bola. 200 kg ? m/s, direção horizontal e sentido da direita para a esquerda.

11. Um corpo de massa 0,5 kg realiza um movimento retilíneo uniformemente variado obedecendo a função horária s  5  2t  3t2, em que s é medido em metros e t em segundos. Determine: a) a equação da velocidade desse corpo; v  2  6t b) o módulo da quantidade de movimento desse corpo no instante 2 s. 7 kg ? m/s 12. Um caminhão, quando não transporta carga, tem quantidade de movimento de 25 000 kg ? m/s ao atingir a velocidade de 90 km/h. Seu condutor deseja transportar uma carga de 2 000 kg mantendo a mesma quantidade de movimento. Determine: a) a massa do caminhão sem a carga; 1 000 kg b) a velocidade, em km/h, que o caminhão com a carga atinge, mantendo a mesma quantidade de movimento.  30 km/h

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2. Impulso de uma força Vamos explorar uma situação bastante conhecida para desenvolver a ideia de impulso: uma jogada em um jogo de futebol.

Chuck Franklin/Alamy/Otherimages

muzsy/Shutterstock.com

Pare e pense

Trapezistas.

Se o trapezista cair e no lugar da rede for colocada uma prancha de madeira, ele se machucará. Por que isso não acontece com a utilização da rede? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Jogadora e goleira no momento do chute realizado pela atacante.

Ao chutar a bola, a jogadora está aplicando sobre ela determinada força, durante um intervalo de tempo. Dizemos, então, que a jogadora exerce na bola um impulso. Portanto, a ideia de impulso está vinculada a duas grandezas físicas: força e tempo. Se considerarmos uma força constante F agindo em um ponto material durante um intervalo de tempo ∆t  t2  t1, teremos que o impulso I da força F é definido por:

I 5 F∆t

Editoria de arte

O vetor impulso tem a mesma direção e o mesmo sentido da força, e sua intensidade é determinada por I  F∆t, sendo F a intensidade da força e ∆t o intervalo de tempo em que essa força atua. Podemos dizer que a intensidade do impulso I será tanto maior quanto maior for a intensidade da força F e quanto maior for o intervalo de tempo ∆t no qual ela age. F No SI, a unidade de medida de impulso é newton 3 segundo (N  s). No gráfico F 3 t, a área amarela é numericamente igual à intensidade do impulso da força F no intervalo de tempo considerado. A

N

Área (A)  F∆t Æ A  I Mesmo que a intensidade da força varie com o tempo (mantendo a mesma N direção), vale a pro­priedade anterior, ou seja, A  I. Capítulo 13

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0

t1

t2

t

t

Impulso e conservação da quantidade de movimento

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27/04/16 13:44


Teorema do impulso A quantidade de movimento e o impulso de uma força são grandezas relacionadas. Retomemos o exemplo da jogadora que aplica a força F, durante o intervalo de tempo ∆t, sobre a bola de massa m que se movimenta com velocidade inicial v1. A ação dessa força causa na bola uma aceleração a, alterando a velocidade para v2. Com isso, podemos dizer que a força F foi responsável pela alteração da quantidade de movimento da bola de Q1  mv1 para Q2  mv2. Q2  mv2 v1

v2

m

m

Eunice Toyota

Q1  mv1

Se admitirmos que um ponto material de massa m descreve movimento retilíneo uniformemente variado, causado pela ação de força resultante F, teremos: ∆v F  ma ä F  m ä ∆t ä F∆t  m∆v ä F∆t  mv2  mv1 1 Sendo o termo F∆t igual ao impulso I da força resultante e os termos mv1 e mv2 iguais à quantidade de movimento inicial e final, podemos reescrever a equação 1 da seguinte maneira: I 5 Q2  Q1 5 ∆Q

Esse desenvolvimento matemático nos diz que a ação da resultante das forças que agem em um ponto material, durante um intervalo de tempo ∆t, imprime a esse ponto material um impulso I, que corresponde à variação da quantidade de movimento nesse intervalo de tempo. Essa expressão, conhecida como teorema do impulso, é válida para referenciais inerciais. Embora esse teorema tenha sido demonstrado para o MUV, também é válido para outros movimentos em qualquer trajetória.

Exercício resolvido 2 Um corpo de massa 0,3 kg se desloca com movimento

retilíneo sob a ação da força resultante que se mantém constante. Sabendo que a velocidade inicial é 4 m/s, e que após 4 segundos ela atinge o valor de 6 m/s, determine:

a) a quantidade inicial de movimento do corpo; b) a quantidade de movimento do corpo, após 4 segundos; c) o impulso da força resultante impressa ao corpo; d) a intensidade da força resultante que age no corpo.

resolução a) Inicialmente, temos: Qi  mvi  0,3  4 Æ Qi  1,2 kg ? m/s

220

Unidade 5

b) Após 4 segundos, temos: Q  mv  0,3  6 Æ Q  1,8 kg ? m/s c) Considerando os vetores Qi e Q com a mesma direção e o mesmo sentido, e sabendo que I  Q 2 Qi, então: I  Q 2 Qi  1,8 – 1,2 Æ I  0,6 N ? s d) Sendo I  F  ∆t, temos: F

I 0,6  ∆t 4

F  0,15 N

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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4/15/16 9:23 AM


Escreva no caderno

Exercícios propostos 13. Analise a situação de um corpo que se desloca com movimento retilíneo e uniforme. Responda aos itens e justifique. a) A quantidade de movimento desse corpo varia? Não. b) Como você avalia o impulso da força resultante que age no corpo? O impulso é zero. A resultante é nula. 14. Durante um filme de ficção o narrador descreve uma cena em que uma bola de massa 0,30 kg se desloca com velocidade de 10 m/s. Mantendo a mesma direção e sentido, essa bola tem a sua velocidade aumentada para 30 m/s. Considere o SI e determine o módulo do impulso resultante sofrido pela bola. 6,0 N ? s 15. (Vunesp-SP) A intensidade (módulo) da resultante das forças que atuam num corpo, ini­cialmente em repouso, varia como mostra o gráfico. Durante todo o intervalo de tempo con­siderado, o sentido e a direção dessa resultante permanecem inalterados. Nessas condições, a quantidade de movimen­to, em kg  m/s (ou N  s), adquirida pelo corpo é: F (N) Editoria de Arte

2 1

0 X a) 8

2

b) 15

6

c) 16

8

t (s)

d) 20

e) 24

16. Identifique a alternativa correta. a) O impulso que uma partícula recebe, ao longo de uma trajetória, em movimento circular e uniforme é igual a zero. X b) A energia cinética de uma partícula em movimento curvilíneo e uniforme não varia ao longo da trajetória. c) A quantidade de movimento de uma partícula em movimento curvilíneo e uniforme permanece constante ao longo da trajetória. d) Duas esferas, com massas distintas, caem em queda livre do último andar de um edifício. Segundos antes de atingirem o solo, elas apresentam a mesma quantidade de movimento. e) No SI, as gran­dezas físicas impulso (N ? s) e quantidade de movimento (kg ? m/s) apresentam unidades diferentes. 17. Em uma partida de vôlei, uma bola mal arremessada atingiu a cabeça de um torcedor que estava parado próximo à lateral da quadra. A velocidade da bola era 6,0 m/s e, após bater nesse torcedor, retorna na mesma direção com velocidade 5,0 m/s. Considere a massa da bola, m = 300 g, e determine o impulso da força que a cabeça aplica na bola. 3,3 N · s 18. Cientistas usam um simulador para fazer testes com um objeto espacial, de massa 10 kg. Nessa simulação, o objeto se movimenta com velocidade constante de 2,0 m/s, em relação a um referencial inercial, e está livre da ação de forças. Quando resolveram parar o objeto, fizeram agir nele uma força de 2 N, na mesma direção e sentido contrário ao do movimento. Durante quanto tempo essa força precisa agir? 10 s

Pense além Defendeu!

Responda

Kieran Doherty/Reuters/Latinstock

Depois de assistir a uma partida de futebol, cuja decisão foi para os pênaltis, um torcedor afirmou que o impulso da força aplicada pelo atacante na bola é positivo e que o impulso da força aplicada pelo goleiro, com objetivo de parar a bola, é negativo. Escreva no caderno

1. V  ocê considera que a afirmação do torcedor está correta? Se o goleiro conseguisse realizar a defesa agarrando a bola, o que poderíamos dizer sobre a intensidade do impulso impresso pelo atacante e pelo goleiro?

Goleiro defendendo pênalti chutado pelo jogador.

O impulso é uma grandeza vetorial e, portanto, não admite sinal. Podemos dizer que os módulos dos impulsos são iguais. Capítulo 13

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Impulso e conservação da quantidade de movimento

221

4/22/16 15:26


3. Conservação da quantidade de movimento Já exploramos várias situações práticas em que o conceito de quantidade de movimento foi fundamental para o entendimenvB to dos fenômenos físicos envolvidos. Agora, vamos estudar o vA conceito de quantidade de movimento nos casos de interações de curta duração entre corpos que constituem um sistema isoQantes  mAvA  mBvB lado, ou seja, em que a resultante de forças externas é nula. As colisões e as explosões podem ser citadas como exemplos. Se analisarmos o sistema de corpos formado por duas esferas, Após a colisão mB como mostra a ilustração ao lado, teremos, durante a colisão de v9B ambas, uma troca de forças em um intervalo de tempo muito pequeno. Como essas forças são trocadas entre os corpos que pertencem ao sistema, chamamos de forças internas. Se utilizarmos Qapós  mAv9A  mBv9B o princípio da ação e reação, é possível dizer que a ação dessas forças causa variações das quantidades de movimentos de mesma intensidade e de sentidos opostos, sem alterar a quantidade de movimento total do sistema. Caso haja variação de Q, devemos atribuir esse fato a um agente externo ao sistema, que passaremos a chamar de força externa. Se observarmos o caso das esferas aqui mencionadas, podemos citar como exemplos de forças externas as forças peso, normal ou atrito. Assim, chamaremos de sistema isolado aquele cujas forças externas são nulas, ou possuem intensidade muito menor quando comparadas às forças internas ou se a resultante das forças externas é nula. Enunciando o princípio da quantidade de movimento, podemos dizer que:

Editoria de Arte

Antes da colisão

mA

v 9A

mA

mB

A quantidade de movimento total, Q, de um sistema se conserva se a resultante das forças externas que agem no sistema é nula.

Ou algebricamente: Qinicial 5 Qfinal

Exercício resolvido 3 Um patinador (A) e uma patinadora (B), de massas 80 kg e 60 kg, respectivamente, estão em repouso sobre uma pista de gelo plana e horizontal. Eles se empurram e se deslocam na mesma direção e em sentidos opostos: o patinador para a esquerda, com velocidade 3 m/s, e a patinadora para a direita. Determine a intensidade da velocidade da patinadora. vB Studio Caparroz

vA

Patinadores inicialmente em repouso.

222

Unidade 5

Após terem se empurrado.

Resolução No início, o sistema patinador-patinadora está em repouso e a resultante das forças externas (peso e normal) é zero. Então, a quantidade de movimento do sistema: • antes de se empurrarem: Qinício  0 • após se empurrarem: Qapós  QA  QB Havendo conservação da quantidade de movimento, temos: Qinício 5 Qapós ä 0  QA  QB Em módulo: 0 5 mA ? vA 1 mB ? vB 80 ? 3 vB 5 2 5 2 4 m/s 60 A intensidade da velocidade da patinadora é 24 m/s. O sinal negativo significa que o patinador e a patinadora se deslocam em sentidos opostos.

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

20. Produzido para cinema, televisão, teatro ou rádio, o esquete é uma peça, geralmente, de caráter cômico e de curta duração. Aproximadamente, em 10 minutos, os atores ou comediantes exibem a grande capacidade de improvisar e criar sobre variados temas. Durante a gravação de esquete de novela, o artista de 90 kg está distraído e parado sobre um skate. Desgovernada, sobre outro skate, uma moça, de 60 kg, vem ao encontro do artista, com velocidade 0,5 m/s. Após o choque e a interação, os dois deslizam juntos. Determine a velocidade do casal, caso o atrito com o piso não seja considerado. 0,2 m/s

a) a velocidade do carrinho A; 1,5 m/s b) a energia potencial da mola, no instante em que o sistema é abandonado. 3,75 J 23. Um canhão de artilharia encontra-se na horizontal e dispara uma bala, que sai de seu interior com velocidade de 200 m/s. Considerando que a massa do canhão é de 800 kg e da bala 4 kg, determine a velocidade de recuo do canhão logo após o disparo. 1,0 m/s 24. (UFC-CE) Um vagão A, de massa 100 kg, move-se sobre trilhos horizontais com velocidade 10 m/s (figura A). Em determinado instante, um bloco B de massa 25 kg cai verticalmente sobre o vagão, ficando aderido a ele (figura B).

A

A 10 m/s

v5?

B

Eunice Toyota

19. Um condutor de canoa estava prestes a atracar na margem de uma lagoa para descarregar a mercadoria que transportava quando perdeu o remo. A canoa, o condutor e as várias caixas transportadas tinham juntos massa de 300 kg e pararam a 5 m da margem sem a possibilidade de continuar o movimento. O condutor se viu obrigado a jogar para trás (no sentido oposto ao do deslocamento) uma das caixas de 50 kg. Supondo que a caixa saiu das mãos do condutor com velocidade 15 m/s em relação à margem, determine a velocidade da canoa depois desse gesto do condutor. 3 m/s

Figura A Figura B

Desprezando o atrito entre o vagão e os trilhos, a velocidade do conjunto vagão-bloco passa a ser: c) 6,0 m/s

a) 2,0  m/s b) 4,0  m/s

X

e) 10 m/s

d) 8,0  m/s

25. Durante uma aula de Física, o professor, ao fazer uma demonstração, afirmou que a resultante das forças externas que agem num determinado corpo é nula. Após essa afirmação, os alunos poderão concluir sempre que para o corpo em questão: a) a energia cinética total é constante. b) a energia potencial total é constante. c) a energia mecânica total é constante. X d) a quantidade de movimento total é constante.

22. Para realizar uma experiência, os alunos comprimiram uma mola com dois carrinhos A e B de massas 2,0 kg e 3,0 kg, respectivamente. Assim que o sistema é abandonado, os carrinhos se deslocam em sentidos opostos e a mola cai. Sabendo que o carrinho B adquire velocidade 1,0 m/s, determine:

26. Numa pista de patinação, um casal de bailarinos aguarda parado o toque musical para iniciar a apresentação. Assim que começa a música, o bailarino empurra a bailarina para que possam começar a apresentação. Se considerarmos uma pista perfeitamente lisa, em que a interferência do atrito pode ser desconsiderada, é correto afirmar: X a) O bailarino e a bailarina movem-se em sentidos opostos. b) O bailarino e a bailarina continuam juntos, pela lei da ação e reação. c) A bailarina entra em movimento e o bailarino permanece em repouso. d) O bailarino e a bailarina movem-se juntos no mesmo sentido da força exercida pelo bailarino.

Studio Caparroz

21. Uma balsa que tem 60 m de comprimento e 80 toneladas de massa transportou um caminhão com 2 000 kg de massa. Por causa de problemas nos motores, a balsa ficou parada e à deriva. O motorista resolveu agir e deslocou o caminhão, de uma extremidade da balsa à outra, com velocidade de 10 km/h. Com essa atitude, o motorista conseguiu provocar o deslocamento da balsa? Em caso afirmativo, qual a velocidade da balsa? Sim, com velocidade em módulo 0,25 km/h.

A

B

Capítulo 13

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Impulso e conservação da quantidade de movimento

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Pense além Photodisc/Getty Images

Afinal, quem empurra quem? Imagine uma pessoa saltando, por exemplo ao pular corda. Considerando como sistema apenas a Terra e a pessoa e que, inicialmente, a atleta está em repouso em relação à Terra, então Qinicial 5 0. Durante o processo de interação física (contato) entre a Terra e a pessoa, para que se verifique a conservação da quantidade de movimento do sistema, temos que, necessariamente, Qfinal 5 0. Para isso ser possível, é necessário que a Terra apresente um recuo. Escreva no caderno

Responda

1. C  omo não conseguimos perceber tal fato, sugerimos a você que encontre uma forma de comprovar se o princípio da conservação da quantidade de movimento se verifica neste caso ou não. O aluno pode aplicar a conservação da quantidade de movimento e determinar a

Mulher pulando corda.

velocidade de recuo da Terra. Supondo mpessoa = 90 kg; vpessoa = 1,5 m/s e sabendo

que mTerra = 6,0 ? 2024 kg, obtém-se que a velocidade de recuo da Terra é de vTerra = 2,25 ? 10−23 m/s. Esse valor é muito pequeno e justifica o fato de não conseguirmos perceber o recuo da Terra, porém não se pode negar a aplicabilidade do princípio da conservação da quantidade de movimento.

Você sabia?

O princípio da quantidade de movimento diz que: “A quantidade de movimento total de um sistema se conserva se a resultante das forças externas que agem no sistema é nula.” A importância desse princípio não está restrita aos estudos da Física Clássica, ele também é um recurso fundamental na análise e previsão de diversos fenômenos estudados pela Física Moderna. Exemplos dessa aplicabilidade estão presentes nas experiências desenvolvidas nos aceleradores de partículas, nos quais feixes de partículas são acelerados e colidem à velocidade próxima à da luz. Levando em consideração a conservação da quantidade de movimento, os dados obtidos antes e após essas colisões fornecem informações a respeito dessas partículas e sobre as forças envolvidas no fenômeno. Com o auxílio do acelerador de partículas, vários elementos que antes eram desconhecidos puderam ser sintetizados em laboratório. Esses equipamentos complexos são usados para aumentar a velocidade de partículas carregadas, tais como os prótons, a fim de que possam bombardear núcleos atômicos estáveis. No caso específico do LHC, o maior acelerador de partículas do mundo, os cientistas tentam recriar, considerando temperatura e densidade extremas, condições Trabalho de manutenção feito em um dos detectores do acelerador semelhantes àquelas que existiam após o Big Bang. LHC (2013).

Responda

Fabrice Coffrini/AFP

Conservação da quantidade de movimento e a Física Moderna

Escreva no caderno

1. O  s conhecimentos sobre o princípio da conservação da quantidade de movimento e o uso da alta tecnologia que constitui um acelerador de partículas possibilitam aos cientistas investigar as propriedades relacionadas às partícucomente com os alunos que esses conceitos são utilizados para deterlas fundamentais da matéria. De que forma isso acontece? Professor, minar algumas informações sobre as partículas, tais como as forças envolvidas durante a colisão.

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Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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Experimente a Física no dia a dia

Atenção Faça o experimento somente na presença do professor.

Um modelo de canhão

Materiais

Rogério Reis/Pulsar

Em filmes com temáticas históricas ou em documentários, podemos ver o funcionamento de canhões antigos. Geralmente, eles estão fixos em fortes, para defender a região de ataques, ou em navios, para batalhas em mar. Apesar de terem uma massa elevada, os canhões devem estar bem fixos no solo ou na embarcação. Nesse experimento, vamos simular o princípio do funcionamento dos canhões e por que eles precisam ser bem fixos e estáveis. Canhão na Baía de Parati, Rio de Janeiro (2010).

• 3 pregos pequenos ou tachinhas

• 1 elástico

• 10 cm de linha ou barbante

• borracha escolar (projétil)

• 10 a 15 lápis cilíndricos

• tesoura

• 1 tábua de 15 cm 3 10 cm

• 1 lixa de madeira

Passo a passo • Pegue a tábua e a deixe bem plana e lisa, lixando-a cuidadosamente. • Fixe dois pregos em um dos lados da tábua, um em cada canto. Um terceiro prego deve ser fixado no centro do lado oposto. • Passe um elástico pelos pregos que estão nos cantos da tábua. • No centro do elástico, amarre um pedaço de barbante e estique-o na direção do prego que está no centro do lado oposto. Enrole o barbante nesse prego para que o elástico fique preso e esticado. Tome cuidado para o elástico não encostar no prego. • No “V” formado pelo elástico esticado, coloque um objeto que servirá como projétil. Podem ser duas borrachas amarradas. • Coloque diversos lápis cilíndricos sob a tábua, um paralelo ao outro, assim formará um tipo de esteira.

prego

prego

Paulo Nilson

linha (ou barbante)

elástico prego lápis

• Com uma tesoura, corte o barbante. Observe atentamente o que acontece.

Responda

Escreva no caderno

Representação do aparato experimental.

Professor, os comentários dessa seção estão no Caderno de orientações no final deste volume.

1. Após o corte do barbante, o que acontece com o sistema? 2. O que se pode observar com relação à velocidade do projétil e à velocidade da tábua? 3. A massa de cada objeto exerce alguma influência sobre suas respectivas velocidades? Explique. 4. Compare e descreva o funcionamento desse aparato que você construiu com o canhão da fotografia apresentada no início da atividade.

Capítulo 13

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Impulso e conservação da quantidade de movimento

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Em nosso estudo sobre colisões, vamos considerar que as partículas que constituem o sistema não sofrem variação de massa. Vejamos o exemplo de um veículo colidindo com a traseira de outro veículo estacionado. Na primeira etapa da colisão, conhecida como fase de deformação, os corpos se encontram e se deformam, e a energia cinética do sistema se converte em outras formas de energia, como energia sonora, representada pelo barulho que ouvimos; energia térmica, representada pelo aquecimento das peças do veículo; energia potencial, representada pela energia armazenada pelo sistema. A etapa final da colisão, chamada fase de restituição, inicia-se após a fase de deformação e pode terminar com os corpos unidos ou separados, conforme a natureza dos corpos envolvidos.

Almeida Rocha/Folhapress

4. Colisões

Exemplo de colisão traseira.

Coeficiente de restituição Para caracterizar as propriedades elásticas dos corpos que interagem na colisão, vamos definir a grandeza coeficiente de restituição, representada por e. Considere uma colisão direta entre duas esferas, A e P, com velocidades vA e vP, antes do choque, e vA e vP, após ele. Nesse caso, o coefi­ciente de restituição é determinado pelo quociente entre o módulo da velocidade relativa de afastamento vaf e o módulo da velocidade relativa de aproximação vap. e

vaf , com 0  e  1, adimensional vap

Quando as velocidades têm sentidos opostos: antes vA

colisão

após v9A

vP

v9P

e

v9A 1 v9P vA 1 vP

Quando as velocidades têm o mesmo sentido: antes

colisão

vA

após

vP

v9A

(vA . vP)

v9P

e

v9P 2 v9A vA 2 vP

(v9A , v9P)

Nesses cálculos utilizamos os módulos das velocidades dos corpos.

Colisão elástica Considere a colisão de duas esferas, em que não ocorre deformação permanente dos corpos. Nesse caso, além da conservação da quantidade de movimento há a conservação da energia cinética total dos corpos envolvidos na colisão, e o coeficiente de restituição é unitário: e 5 1.

vA

colisão vP

após v9A

v9P

Ilusrtrações: Editoria de Arte

antes

A energia cinética do sistema se conserva: Ec antes  Ec após .

O conceito de colisão totalmente elástica não se verifica na prática, pois sempre há alguma dissipação de energia.

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Unidade 5

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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Colisão parcialmente elástica Na colisão parcialmente elástica, a energia cinética dos corpos envolvidos se dissipa em outras formas de energia. Portanto, não há conservação da energia cinética, embora haja conservação da quantidade de movimento. Para esse tipo de colisão, o coeficiente de restituição pertence ao intervalo: 0 , e , 1. antes

vA

colisão

após

vP

vA

vP

A energia cinética do sistema diminui: Ec antes . Ec após .

Colisão inelástica antes

vA

colisão

após

vP

vA 5 vP

Ilusrtrações: Editoria de Arte

Na colisão inelástica, os corpos não se separam, passando a ter a mesma velocidade. Nesse caso, o coeficiente de restituição é nulo: e 5 0.

A energia cinética do sistema diminui: Ec antes . Ec após .

4 Um motorista abandona seu carro em uma rua pla-

Alberto de Stefano

na, sem acionar o freio de mão. Outro veículo, com velocidade 20 m/s, colide com a traseira desse carro, e, imediatamente após o choque, os dois passam a se movimentar juntos. vA  20 m/s

vP  0

antes

v

após

Considere a massa do carro parado 600 kg e a do outro 1 000 kg. Determine: a) a velocidade dos carros imediatamente após a colisão; b) o tipo da colisão.

resolução a) Como há conservação da quantidade de movimento, em módulo temos: Qantes  Qapós Æ mAvA  mPvP  (mA  mP) v Æ Æ 1 000  20  600  0  (1 000  600) v Æ Æ v  12,5 m/s b) Após a colisão, os cor­pos continuam juntos; portanto, não há afastamento. Logo, o coeficiente de restituição é zero e a colisão é ine­lás­tica.

5 Sobre uma superfície horizontal e perfeitamente po-

lida, duas esferas, A e P, movimentam-se em sentidos contrários e, ambas com velocidade 3 m/s, até colidirem frontalmente. Sabe-se que as massas das esferas são mA  2 kg e mP  4 kg e que, após a colisão, a esfera A retorna com velocidade vA  4 m/s.

antes vA

após vP

vA

vP

Diante dessa situação, determine: a) a velocidade da esfera P, após a colisão; b) o tipo de colisão ocorrida; c) a energia cinética dissipada, caso isso ocorra.

resolução a) Sabemos que a quantidade de movimento se conserva. Logo, considerando a orientação positiva da trajetória para a direita, temos: Qantes  Qapós Æ mAvA 2 mPvP  mPvP 2 mAvA Æ Æ 2  3 2 4  3  4vP 2 2  4 Æ vP  0,5 m/s b) Podemos identificar o tipo de colisão determinando o coeficiente de restituição: v9A 1 v9P v 4 1 0,5 e  af    0,75 vap vA 1 vP 314 Como 0  e  1, a colisão é parcialmente elástica. c) Ec antes 

m v2 mAvA2 2 ? 32 4 ? 32 ä  P A   2 2 2 2

Æ Ec antes  27 J m v92 mAv9A2 2 ? 42 4 ? 0,52  Æ  P P  2 2 2 2 Æ Ec após  16,5 J

Ec após 

∆Ec  27 2 16,5 ä ∆Ec  10,5 J A energia cinética dissipada na colisão foi 10,5  J.

Capítulo 13

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Editoria de arte

Exercícios resolvidos

Impulso e conservação da quantidade de movimento

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 27. Considere um corpo A de massa igual a 0,2 kg, deslocando-se com velocidade 20 m/s, até colidir com outro corpo de massa 0,05 kg, em repouso. Determine a velocidade dos corpos imediatamente após a colisão, sabendo que a colisão é inelástica. 16 m/s

são, respectivamente, as massas da caminhonete e do carro, determine:

28. Ao analisar a colisão frontal de duas bolas de bilhar, A e P, um estudante considerou que as bolas têm massas iguais (mA  mP) e identificou que as velocidades antes da colisão eram vA  8 m/s e vP  6 m/s. Qual a velocidade das bolas após a colisão? vA  6 m/s e vP  8 m/s

32. (UFRJ) A figura representa o gráfico velocidade escalar  tempo para uma colisão unidimensional entre dois carrinhos, A e B.

30. Sobre uma mesa com a superfície perfeitamente lisa, em que a interferência do atrito pode ser desconsiderada, uma esfera de massa m e cor amarela permanece parada. Outra esfera igual à anterior, mas de cor verde, desloca-se com velocidade constante vverde sobre a mesma mesa. Em determinado instante ocorre uma colisão, frontal e perfeitamente elástica, entre as duas esferas. a) Após a colisão, qual a velocidade adquirida pela esfera verde? Zero. b) Qual a velocidade final da esfera amarela?

É igual à velocidade da bola verde.

Rogério Reis/Pusar

31. Em outubro de 2014, entraram em vigor novas medidas para inibir os abusos praticados por motoristas imprudentes. Entre elas, a legislação brasileira de trânsito aumentou significativamente o valor das multas para aqueles que fizerem a ultrapassagem em lugar proibido ou pelo acostamento. De acordo com essa legislação, o acostamento não deve ser usado como faixa para trafegar, mas pode ser usado durante uma parada emergencial.

v (m/s)

6,7 m/s

A

10,0 8,0

t (s)

0 3,0 5,0

Editoria de arte

B

A B

Calcule: a) a razão entre as massas mA e mB dos car­rinhos. 1,0 b) o coeficiente de restituição nessa colisão. 0,73 33. Quando um corpo esférico, de massa m e velocidade v, colide com outro corpo, de massa M, sendo M muito maior do que m, podemos dizer que a velocidade do corpo, de massa muito maior, não se altera, de tal forma que podemos considerá-lo “obstáculo imóvel”. Um exemplo prático dessa situação ocorre se abandonarmos esse corpo a uma altura H do solo. Após o choque do corpo com o chão, ele retorna com velocidade v atingindo uma altura h, sendo h menor do que H. Observe a figura que representa a situação e determine: antes da colisão após a colisão H h

v

v

a) o coeficiente de restituição relacionado às velocidades v e v; e 5 v9v Motorista trafegando pelo acostamento.

Suponha que o motorista de um carro, viajando com velocidade 72 km/h, ao tentar fazer uma ultrapassagem pelo acostamento, foi surpreendido por uma caminhonete carregada, parada nesse local e, sem condição de escape, viu seu carro bater na traseira da caminhonete. Sabendo que 1,8 ? 103 kg e 0,9 ? 103 kg

228

b) a energia cinética perdida na colisão. 120 000 J

Tarumnã

29. Durante um treinamento de futebol de salão, a bola de massa m = 500 g é chutada com velocidade v = 20 m/s e se choca frontal e elasticamente contra a trave do gol. Determine, em módulo, a variação da quantidade de movimento da bola. 20 kg · m/s

a) a velocidade dos dois carros juntos, após a colisão, admitindo que o choque é perfeitamente inelástico;

Unidade 5

b) o coeficiente de restituição relacionado às alturas H e h. e 5 h H

34. Um objeto esférico que enfeitava a parte superior de um carro alegórico descolou e caiu de uma altura H = 9 m, até atingir o chão. Após o primeiro encontro com o solo, ele sobe a h= 4,0 m de altura. Considere g = 10 m/s2 e a massa do objeto m = 3,0 kg. Nessa 2 situação, determine: e5 3

a) o tipo de choque e seu coeficiente de restituição; b) a perda de energia cinética no choque. perda 5 150 J

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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Lendo a Física

A medida do movimento e sua conservação Durante algum tempo, no século XVII, uma polêmica discordância relacionada à medida do efeito de uma força sobre um corpo estimulou o trabalho e a reflexão de importantes pensadores. O texto, extraído do livro Origens e evolução das ideias da Física (da Editora da Universidade Federal da Bahia – EDUFBA), traz os pontos de vista do filósofo e matemático francês René Descartes e do também filósofo e matemático alemão Gottfried Leibniz. O filósofo francês Descartes acreditava também na existência de leis fundamentais da natureza, criadas juntamente com a matéria, e que assim foram formuladas: Cada coisa permanece no mesmo estado o tempo que puder e não muda este estado senão pela ação das outras e cada parte da matéria jamais continua a mover-se segundo linhas curvas, mas sim segundo linhas retas. Se um corpo que se move encontra outro mais forte que ele, não perde nada de seu movimento, e se encontra outro mais fraco, a quem possa mover, perde de seu movimento aquilo que transmite ao outro. A primeira lei é uma espécie de princípio de inércia, que Newton formularia com mais precisão nos Principia [...], enquanto a segunda é uma lei geral dos choques, na qual Descartes postula que a quantidade de movimento criada por Deus, no início, se conserva. [...]. Estava assim estabelecida a lei geral de conservação do movimento, que, para Descartes, tinha a sua verdadeira medida como o produto da massa pelo módulo da velocidade do corpo [...] Em 1683, Leibniz, em sua obra Discurso de Metafísica, estuda mais profundamente a Física dos choques, reformulando os conceitos cartesianos, os quais passa abertamente a criticar: Frequentemente nossos novos filósofos se servem da famosa regra em que Deus conserva sempre a mesma quantidade de movimento do universo. De fato isto é muito plausível e antes eu próprio a tinha como indubitável. Porém há algum tempo reconheci em que consiste o seu erro. O Senhor Descartes e muitos hábeis matemáticos têm acreditado que a quantidade de movimento, isto é, a velocidade multiplicada pela magnitude (massa) do móvel é exatamente a força motriz ou, para falar matematicamente, que as forças estão na razão direta das velocidades e das magnitudes [...] A seguir, Leibniz nos demonstra que a massa vezes a velocidade não deve ser a verdadeira medida de uma “força” e, sim, a massa pelo quadrado da velocidade. Seu argumento básico é o de que um corpo A de massa igual à de um corpo B, porém caindo de altura quatro vezes maior, ao colidir com o solo deve ter uma força quatro vezes maior. Galileu e Torricelli já haviam descoberto que as velocidades finais de um corpo em queda livre eram proporcionais à raiz quadrada da altura, e assim o corpo A, quando tocasse o solo, teria uma velocidade apenas duas vezes maior que a do corpo B, o mesmo acontecendo com sua quantidade de movimento. No entanto, a razão entre as velocidades deveria ser de quatro para um, e assim, Leibniz prova que a grandeza que mede o movimento e, portanto, a verdadeira medida da força, é a massa vezes o quadrado da velocidade, isto é, mv2, e não mv, como acreditavam os seguidores de Descartes (os novos filósofos a quem Leibniz refere-se). A grandeza mv2 que Leibniz nomeou de vis viva, e a quantidade de movimento de Descartes, mv, passaram a disputar entre si o status de “verdadeira medida do movimento e da força de um corpo”. A questão foi, em sua época, motivo para grande discussão entre os cartesianos e os leibnizianos, e tomou conta de todo o círculo científico da época. [...]. PONCZEK, Roberto Leon. Da Bíblia a Newton: uma visão humanística da Mecânica. In: ROCHA, J. F. (Org.). Origens e evolução das ideias da Física. Salvador: EDUFBA, 2002. p. 93-96.

Atividades

Escreva no caderno

Professor, as respostas e os comentários das questões encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

1. Para Descartes, qual grandeza física se mantinha constante nas colisões? 2. Para Leibniz, qual grandeza física se mantinha constante no movimento? 3. De acordo com o texto, o que é possível concluir a respeito do desenvolvimento das teorias científicas? 4. Qual foi a conclusão da polêmica? A quem se deu razão, a Descartes ou a Leibniz?

Capítulo 13

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Impulso e conservação da quantidade de movimento

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Física no cinema

A última hora

Responda

Escreva no caderno

Filme de Leila Conners Petersen e Nadia Conners. A última hora. 2007. EUA

Produzido e narrado por Leonardo DiCaprio, este documentário aborda a relação entre a sociedade humana e a natureza. O filme causa impacto ao usar imagens que retratam as ações do ser humano e de que forma o planeta e a própria humanidade são afetados por essas ações (emissão de gases poluentes, contaminação das águas, desmatamento, extinção de espécies, degelo, maremotos, contaminação de alimentos, epidemias). Embora as imagens representem uma realidade preocupante, o filme não projeta um futuro catastrófico nem a descrença na possibilidade de reverter tais situações. Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Assista ao filme com seus colegas e, posteriormente, organizem um debate para discutir os seguintes aspectos enfatizados pelo documentário. 1. O ser humano faz uso do conhecimento científico para produzir o avanço de novas tecnologias e, consequentemente, beneficiar-se delas. Em alguns casos, esses benefícios justificam os prejuízos causados ao ambiente? Cite exemplos e argumente. 2. De acordo com o filme, podemos entender que os ambientalistas propõem o abandono das conquistas tecnológicas desenvolvidas ao longo dos anos e sugerem que retomemos formas de sobrevivência mais primitivas? Fundamente sua resposta.

Título original: The 11th Hour Gênero: documentário Tempo de duração: 95 minutos Ano de lançamento (EUA): 2007 Direção: Nadia Conners e Leila Conners Petersen

3. C  aso a questão 2 não corresponda à verdade, quais as possibilidades de se reverterem as situações mais preocupantes e que ações são sugeridas para isso? 4. Sob o aspecto da utilização das fontes de energia, como é possível projetar o futuro do planeta em melhores condições ambientais?

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Mariana Coan

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Escreva no caderno

F F

Editoria de arte

1. Um corpo desloca-se de A para B, em um plano horizontal, seguindo a trajetória indicada na figura. A força indicada e constante de mó­dulo 4 N é uma das forças atuantes no movimento do corpo. Determine o trabalho realizado por essa força ao longo da trajetória AB. 16 J F F A

B

1m 1m

2. Uma criança, sentada no alto de um escorregador de altura h  1,8 m, tem nas mãos uma bola de massa m  0,2 kg.

3. (Fuvest-SP) A propaganda de um automóvel apregoa que ele consegue atingir a velocidade de 108 km/h em um percurso horizontal de apenas 150 m, partindo do repouso. a) Supondo o movimento uniformemente acelerado, calcule a aceleração do carro. 3 m/s2 b) Sendo 1 200 kg a massa do carro, determine a potência média que ele desenvolve. 54 kW 4. (UFV-MG) Um bate-esta­ca sustenta um bloco de 200 kg à altura de 16 m do solo, sobre uma estaca situada 14 m abaixo. Desprezando as forças dis­si­pa­­ti­vas e sendo g  10 m/s2, determine: a) a energia potencial do bloco em relação ao solo; 32 000 J

1a situação

b) após sua liberação, a energia cinética do bloco, ao atingir a estaca. 28 000 J

A

B

Ilustrações: Studio Caparroz

Na 1a situação, ela abandona a bola, que cai ver­ ticalmente, e na 2a, ela abandona a bola sobre a rampa inclinada do escorregador.

C

2a situação A

Grace Arruda

Exercícios complementares

14 m

16 m

solo

5. Uma mola apresenta comprimento natural de , 0 5 12 cm e sofre uma deformação x com a rea­ lização de um trabalho de 20 J. Determine o comprimento , da mola nessa deformação. Dado: constante elástica da mola é 10 N/cm. 32 cm 6. Para manter determinada mola comprimida de 0,06 m foi necessário um trabalho de 3,6 J. Determine: a) a constante elástica da mola.

2 000 N/m

B

C

a) Considerando nesse local g  10 m/s2, determine o trabalho da força peso nas duas situações. Nas duas situações é igual a 3,6 J.

b) Se a criança suspendesse a bola por meio de um fio imaginário e em movimento uniforme, desde o chão até o ponto A, considerando duas possibilidades, com e sem a rampa, qual seria o trabalho da força aplicada pela criança? (Despreze os atritos.) 3,6 J c) De acordo com o enunciado do item b, em qual das duas possibilidades a criança faria a menor for­ça? a

Na 2 situação, com a rampa inclinada.

232

Unidade 5

7. (Unesa-RJ) Uma pequena esfera de peso P 5 3,0 N, presa a um fio de comprimento , 5 1,0 m, é solta do ponto A. Quanto aos trabalhos realizados pela força de tração T, exercida pelo fio, e pelo peso P, do ponto A ao ponto B, podemos afirmar que valem, respectivamente:  5 1,0 m A

a) 22,0 J e 12,0 J b) 23,0 J e zero

Editoria de arte

b) a intensidade da força exercida pela mola, enquanto ela esteve comprimida de 0,06 m. 120 N

T

X c) zero e 3,0 J

d) 3,0 J e 3,0 J e) 3,0 J e zero

B

P

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

CS-FIS-EM-3030-V1-U05-C13-216-234-LA.indd 232

4/7/16 10:43 AM


11. A energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética, que, por sua vez, se desmembra em energias elástica, térmica e sonora.

8. (Unifor-CE) Uma força Ft é aplicada num corpo tangencialmente à trajetória seguida por ele. No deslocamento de 0 a 4 m, o trabalho de Ft vale, em joules: Ilustrações: Editoria de arte

13. Uma esfera de massa m é abandonada (v0 5 0) a uma altura H do solo, caindo em queda livre sob a ação da aceleração da gravidade g. Após a colisão com o solo, ela volta a subir e atinge uma altura máxima h.

10

0

2,0

a) 30

c) 50

b) 40

d) 60

4,0

s (m) X e) 70

9. (Fuvest-SP) O gráfico representa a variação da intensidade da força resultante F, que atua sobre um corpo de 2 kg de massa, em função do deslocamento x. Sabendo que a força F tem a mesma direção e o mesmo sentido do deslocamento, determine: F (N)

4

0

1

2

3

a) Demonstre que o coeficiente de restituição é expresso por e 5 h . Resposta pessoal. H b) Sendo H 5 2,25 m e h 5 0,81 m, calcule o valor do coeficiente de restituição e classifique o choque mecânico. 0,6, choque parcialmente elástico. c) Calcule as energias cinéticas momentos antes do choque e imediatamente após o choque, e compare -as confirmando o resultado do item b. EC0  0,81 m  g e EC  2,25 m  g. Como a EC < EC , o choque é parcialmente elástico (0 < e < 1). 0

14. (Unicamp-SP) As histórias de super-heróis estão sempre repletas de feitos incríveis. Um desses feitos é o salvamento, no último segundo, da mocinha que cai de uma grande altura. Considere a situação em que a desafortunada caia, a partir do repouso, de uma altura de 81,0 m e que nosso super-herói a intercepte 1,0 m antes de ela chegar ao solo, demorando 0,05 s para detê-la, isto é, para anular sua velocidade vertical. Considere que a massa da mocinha é 50 kg. Despreze a resistência do ar e considere g 5 10 m/s2. a) Calcule a força média aplicada pelo super-herói sobre a mocinha para detê-la. –40 kN b) Uma aceleração 8 vezes maior que a gravidade (8 g) é letal para um ser humano. Determine quantas vezes a aceleração à qual a mocinha foi submetida é maior que a aceleração letal. 8 vezes.

x (m)

a) A aceleração máxima adquirida pelo corpo.

a) a velocidade média do elevador. 2 m/s b) a potência média desenvolvida pelo motor elétrico do elevador. 20 kW

Ft (N)

20

tenha conseguido se deslocar nos primeiros 60 m em 30 s. Nessa situação, determine:

2 m/s2

b) O trabalho total realizado pela força F entre as posições x  0 e x  3 m. 6 J 10. Qual é a variação de energia potencial que ocorre quando uma pessoa de massa 50 kg sobe uma escada, com 20 degraus? Considere que cada degrau tem 15 cm de altura e g 5 10 m/s2. 1500 J 11. Ao observar a queda de um abacate maduro que se solta do galho, quais transformações de energia acontecem desde o instante em que o abacate se solta até o momento em que ele se espatifa no chão? 12. Suponha que durante a manutenção do elevador Lacerda, neste caso com 1 000 kg de massa total, ele

15. (Cesgranrio-RJ) Observa-se uma colisão elástica e unidimensional de uma partícula de massa m e velocidade de módulo 0,60 m/s com outra partícula m de massa , inicialmente em repouso. 4 Quais são os valores dos módulos das velocidades das partículas, após a colisão? 0,96 m/s e 0,36 m/s. 16. (UFG-GO) Um rapaz encontra-se em repouso no centro de uma pista de patinação. Uma moça vem patinando ao seu encontro e, após a interação, deslizam juntos. Sabendo-se que o atrito com a pista é desprezível, que a velocidade da moça era 0,5 m/s e que a massa do rapaz e da moça são, respectivamente, 75 kg e 50 kg, calcule a velocidade com que sai o par. 0,2 m/s Capítulo 13

CS-FIS-EM-3030-V1-U05-C13-216-234-LA.indd 233

Impulso e conservação da quantidade de movimento

233

4/15/16 9:26 AM


De volta ao começo Para responder à pergunta da abertura da Unidade, devemos lançar mão da conservação da quantidade de movimento. Um exemplo de conservação da quantidade de movimento é o recuo de alguns centímetros sofrido por ele ao disparar uma bala. após

antes B

A

vB

vA

Paulo Nilson

Paulo Nilson



Outro exemplo interessante é quando dois patinadores em repouso se empurram. Vimos que ambos se deslocam em sentidos opostos.

Após terem se empurrado.

Na situação apresentada na abertura da unidade, enquanto o buggy se desloca para a frente, esperando conseguir sair da balsa, a balsa se desloca no sentido contrário, indo para trás. Desconsiderando a resistência da água, é possível consiantes derar o sistema (balsa e buggy) isolado, ou seja, sujeito somenv te a forças internas a ele. Assim, enquanto o buggy vai em sentiv do à margem, a balsa se afasta dela, com a mesma quantidade de movimento do buggy. Pela lei da conservação da quantidade de movimento, a após quantidade de movimento final de um sistema deve ser igual à sua quantidade de movimento v inicial, neste caso, zero. Como o v buggy vai para a direita, a balsa vai obrigatoriamente para a esquerda, com velocidade que depende da velocidade do buggy e da razão entre as massas (balsa e buggy).

234

Unidade 5

Ilustrações: Alex Argozino

Patinadores inicialmente em repouso.

Studio Caparroz

v patinadora

Studio Caparroz

v patinador

Energia e as leis de conservação da Dinâmica

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4/15/16 9:28 AM


Photodisc/Getty Images

6

Unidade

Estática e Hidrostática

Os estudos sobre alavancas, desenvolvidos pela Física, também se aplicam a determinadas partes do corpo humano, cujo funcionamento ocorre como o de verdadeiras alavancas. • Para sustentar um haltere, por exemplo, o da fotografia, de 4 kg, o bíceps de um atleta aplica uma força no rádio. A força aplicada pelo bíceps para manter o equilíbrio deve ser maior, menor ou equivalente ao peso do haltere? • O movimento correto para se exercitar ou efetuar tarefas simples habituais ajuda a não desgastar ou lesionar os músculos. Cite alguns exemplos em que estes movimentos de alavanca podem causar danos ou, quando bem executados, ajudar em nosso dia a dia.

Paulo Cesar

Esquema do braço funcionando como alavanca interpotente (que você estudará nesta Unidade).

músculo

C

4 cm Capítulo 14

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B

A

30 cm

Estática de um ponto material e de um corpo extenso

235

27/04/16 13:46


CAPÍTULO 14

Estática de um ponto material e de um corpo extenso 1. O equilíbrio e a engenharia

Pedro Vinícius

Nas Unidades anteriores, estudamos o movimento dos corpos e as causas desse movimento. Mas há situações em que o interesse maior é manter os corpos em equilíbrio. O dia a dia nos oferece muitos exemplos em que é fundamental estudar as condições de equilíbrio de corpos ou estruturas rígidas, como na arquitetura e na enge­nharia. Um exemplo que sempre chama a atenção é o de longos cabos que sustentam as chamadas pontes estaiadas. A estrutura de uma ponte representa um desafio para a engenharia, que estuda os melhores pontos de apoio para a sustentação do peso. No caso da ponte Rio-Antirio, na Grécia, foi preciso desenvolver um projeto próprio para enfrentar os terremotos constantes da região, o solo lodoso do fundo do mar e os fortes ventos do Golfo. Quando não impressionam pelo tamanho, alguns projetos arquitetônicos chamam nossa atenção pela forma inusitada. Este é o caso do museu do Amanhã no Rio de Janeiro, projetado pelo arquiteto e engenheiro espanhol Santiago Calatrava (1951-), considerado um dos mais ativos estruturalistas do nosso tempo. Suas obras, inspiradas primordialmente nos seres da natureza, podem ser admiradas em vários países, inclusive no Brasil. Caso os projetos das edificações apresentem algum erro de cálculo na estrutura, não levarão em conta as características físicas do local da obra ou os empreiteiros utilizarem materiais de baixa qualidade; acidentes podem acontecer. Em regiões Situada na Grécia, perto da cidade de Patras, a ponte arenosas, como as praias, se a fundação não é bem-feita, casas Rio-Antirio uma das mais longas pontes estaiadas no e prédios podem perder a estabilidade e desabar. mundo (imagem de 2007).

Luiz Souza/Nurphoto/AFP

Aurora Photos/Alamy/Otherimages

Professor, os comentários das questões da abertura de Unidade encontram-se no Caderno de orientações no fim deste volume.

Museu do Amanhã, Rio de Janeiro, RJ (2015).

236

Unidade 6

Falhas estruturais comprometeram o equilíbrio desse prédio em Ubatuba, litoral de São Paulo (imagem de 2003).

Estática e Hidrostática

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4/22/16 15:32


2. Condição de equilíbrio de um ponto material Para iniciarmos o estudo do equilíbrio dos corpos, vamos considerar o corpo cujas dimensões são consideradas desprezíveis em relação às condições do fenômeno em estudo. Podemos afirmar que um ponto material está em equilíbrio quando ele se encontra em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (MRU). • Se o corpo estiver em repouso ( v  0), ocorrerá o equilíbrio estático. • Se o corpo estiver em MRU ( v  constante  0), ocorrerá o equilíbrio dinâmico. Note que, em ambos os casos, a velocidade vetorial é constante e a aceleração vetorial é nula. Isso significa que a resultante das forças que agem no ponto material em equilíbrio é nula. Para um corpo sujeito a um sistema de forças F1, F2, ..., F , o equilíbrio ocorn rerá quando F  F  ...  F  0. 2

Alan Bailey/Shutterstock/Glow Images

1

Pare e pense

n

R50

Para determinar a intensidade das forças em situações de equilíbrio de ponto material, é comum utilizarmos o método das projeções das forças ou o método do polígono fechado, que estudaremos a seguir.

Coreografia artística com dois dançarinos em equilíbrio.

Na coreografia criada para essa apresentação artística, a tentativa de buscar o equilíbrio dos corpos é um fator fundamental. Qual a grandeza física responsável pelo equilíbrio?

Método das projeções Vamos supor o cenário de uma peça de teatro onde há um relógio que se mantém em equilíbrio graças à ação de três fios ideais, conforme mostra a figura abaixo. Sabendo que o peso do objeto é 100 N, vamos determinar a intensidade das forças T e F que agem no ponto O. Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que agem no ponto O é zero. O método da projeção consiste em escolher dois eixos, arbitrariamente, e projetar nesses eixos as forças agentes. Em seguida, impor a condição de que a soma algébrica das projeções dessas forças, em cada eixo, seja nula. Ilustrações: Paulo Cesar

30° T 30°

O

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

F

Forças atuantes no ponto O:

T  P

Forças atuantes no ponto O decompostas: y

y T F

x

O P

Ty  T sen 30°

T

x

O T

Capítulo 14

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Tx  T cos 30°

F

30°

Estática de um ponto material e de um corpo extenso

Ilustrações: Editoria de arte

Forças atuantes no relógio:

237

4/15/16 9:32 AM


Tx  F (eixo x)

Ty  T (eixo y)

Condições de equilíbrio:

Desenvolvendo o sistema de equações, temos: T cos 30°  F

Æ

T sen 30°  P

  T   3   F   2  T   1   100   2

De 2 : T  200 N, aplicando em 1 : 200 

1 2 3  F Æ F  100 3 N 2

Método da linha poligonal

Editoria de arte

Ainda usando a situação do relógio podemos também determinar a tração (T) e a força (F) pelo método da linha poligonal. Para tanto, devemos dispor as forças para que a extremidade de uma coincida com a origem da seguinte e formem uma linha poligonal fechada (R 5 0). T

T T  P  100 N

T   T

cos 30° 

F   T

Do triângulo:

30° F

De 1 :

sen 30° 

1 2

1 100  Æ T  200 N 2 T 3 F  Æ F  100 3 N 2 200

De 2 :

11 (Fuvest-SP) Para vencer o atrito e deslocar um grande contêiner C, na direção indicada, é necessária uma força F 5 500 N. Na tentativa de movê-lo, blocos de massa m 5 15 kg são pendurados em um fio, que é esticado entre o contêiner e o ponto P na parede, como na figura.

P

C

Eunice Toyota

Exercício resolvido

45°

Para movimentar o contêiner, é preciso pendurar no fio, no mínimo: Dados: sen 45° 5 cos 45° . 0,7 e tg 45° 5 1. a) 1 bloco. c) 3 blocos. e) 5 blocos. b) 2 blocos.

M

d) 4 blocos.

Editoria de arte

Resolução Na situação de iminência de movimento, a força de tração no fio horizontal deve ter a mesma intensidade da força F 5 500 N. Portanto, em tal condição: Tx 5 500 (eixo x) 1 y Condições de equilíbrio: Ty 5 P 5 n ? 150 (eixo y) 2 Como tg 45° 5 1, vem: Ty

45°

F  500 N

T

Tx

tg 45° 5 x

P  n  150 (n  n° de blocos)

Ty Tx

Æ Ty 5 500 N 3

Substituindo 3 em 2 , temos: 500 5 n ? 150 Æ n 5

500  3,34 . 3 150

Portanto, o número mínimo de blocos que devem ser pendurados para que ocorra o movimento do contêiner é 4.

238

Unidade 6

Estática e Hidrostática

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4/7/16 10:53 AM


Escreva no caderno

Exercícios propostos

Paulo Nilson

Durante um teste de Pessoa praticando tirolesa. manutenção em que foi usado um boneco, ocorA B reu uma falha dos equi45 45 pamentos que obrigou a paralisação de todo F2 F1 o sistema. No instante P da parada, a posição de equilíbrio do sistema formado pelo boneco e pelos cabos de aço que o sustentavam está representada na figura acima. Determine a intensidade da força do peso P do boneco, sabendo que em cada corda a tração é 2 2 N. 4 N

d) A tração na corda do arranjo 4 é a maior de todas as trações. tração suportada pela corda no arranjo 2 é maior que a tração na corda nos arranjos 1, 3 e 4.

3m 3m B 4. A luminária de um A galpão está presa no teto mediante fios (AC 4m e BC) leves, como mostra a figura ao lado. C Considerando que o peso da luminária é de 300 N, qual a intensidade da força de tração em cada fio? T = 187,5 N

5. Para orientar os motoristas, o dono de um estacionamento mantém uma placa informativa que está suspensa por três fios, como mostra a figura. Ela encontra-se em equilíbrio e seu peso é de 200 N. Qual a intensidade de força nos fios AB e AC ?

2. Suponha que na situação descrita, no exercício anterior, o boneco de teste tivesse sido substituído por um esportista e que no momento da parada ele estivesse num local equidistante das extremidades (A) e (B) do cabo, conforme representação da figura. T Determine a razão entre as intensidades da forP ça de tração T e a intensidade da força peso, P, do esportista.

T 1 P

arranjo 1

arranjo 2

arranjo 3

arranjo 4

TAB  400 N e TAC  200 √3 N

B 30

C A

6. As aplicações dos conhecimentos físicos e matemáticos em outras áreas do saber são vastas. Na ortopedia, um dos ramos da medicina, para avaliar e tratar dos pacientes é fundamental conhecer a ação das forças. Veja o caso de uma pessoa que, durante um tratamento de recuperação, tem a perna submetida à ação de uma força de tração cuja intensidade varia de acordo com o ângulo , conforme a representação na figura. Paulo Nilson

Editoria de arte

3. Um sino de massa M é pendurado em uma corda que tem suas extremidades fixas. A figura mostra quatro arranjos realizados em um experimento.

Alex Argozino

X e) A

Paulo Nilson

Bob Chamberlin/Los Angeles Times/ Getty Images

1. Originária da Áustria, região do Tirol, a tirolesa é um esporte para quem gosta de aventura. Possibilita aos praticantes sobrevoar rios, lagos, enfim, terrenos difíceis de serem transpostos.

A partir das informações observadas nos arranjos, pode-se concluir:

a) A tração suportada pela corda no arranjo 4 é maior que a tração na corda no arranjo 2.

RR

b) A tração suportada pela corda no arranjo 3 é maior que a tração na corda no arranjo 1. c) A tração suportada pela corda no arranjo 1 é maior que a tração na corda no arranjo 2.

P

Capítulo 14

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Estática de um ponto material e de um corpo extenso

239

4/7/16 10:53 AM


Quando o referido ângulo varia, ocorre o deslocamento horizontal da roldana R. Considerando que a força peso não varia, determine a intensidade da força de tração aplicada na perna quando:

8. Um decorador manteve um lustre de peso 200 N amarrado em condições de equilíbrio, conforme o esquema.

a)  = 60°. F = P b)  = 45°. F = √2 P 30

60

Eunice Toyota

O

X a)

b)

A B C

A B C

c)  A B C

A d) 

B

e) 

A B C

Eunice Toyota

7. (PUC-PR) Duas esferas rígidas, 1 e 2, de mesmo diâmetro, estão em equilíbrio dentro de uma caixa, como mostra a figura a seguir. Considerando nulo o atrito entre todas as 1 superfícies, assinale o diagrama que repre2 A senta corretamente as forças de contato que B C agem sobre a esfera 2 nos pontos A, B e C.

As três cordas que o sus­tentam são ideais. a) Represente as forças que agem no lustre e no ponto O. Resposta no final do livro. b) Determine a intensidade das forças de tração que agem nas cordas. T1 5 100 N T2 5 100 √3 N

C

Pense além Atividade física, um benefício para a saúde

Atividade

Escreva no caderno

1. A proposta desta atividade é fazer uma análise da sua realidade e uma intervenção nela. Com seu grupo, planeje uma saída de campo pelo seu bairro para entrevistar pessoas e procurar locais onde elas fazem alguma atividade física. Você pode levantar as seguintes informações: – Hábitos das pessoas: tipo de atividade, frequência, idade, peso, alimentação, necessidade de orientação; – Locais: espaços públicos já existentes ou disponíveis para implementação de equipamentos, tipos de equipamento, manutenção, secretaria de esporte e lazer. No final do estudo, seu grupo pode elaborar um relatório com a análise dos dados e fazer proposições aos administradores do município. Resposta pessoal.

João Prudente/Pulsar

A Organização Mundial de Saúde (OMS) descreve a atividade física como um fator muito importante para que as pessoas melhorem sua condição de saúde, tornando o organismo menos vulnerável a doenças como osteoporose, diabetes, doenças cardiovasculares e alguns tipos de câncer. Atualmente, como consequência das mudanças nas condições de trabalho e de vida, poucas pessoas praticam regularmente algum tipo de atividade física. Além disso, elas ficam sentadas durante grande parte do tempo, seja nos deslocamentos de casa para o local do trabalho, em casa ou no trabalho, dependendo do tipo de atividade que realizam. Provavelmente a caminhada seja a forma mais simples de atividade física; simples, eficaz e sem custo financeiro de manter a saúde. Algumas pessoas preferem se exercitar em academias, com o auxílio de aparelhos e orientação de um professor de Educação Física. Na maioria dos aparelhos são utilizadas associações de polias que ajudam a realizar diferentes tipos de exercícios de musculação. Nas cidades onde os administradores perceberam que investir em lazer é investir em saúde, e consequentemente em qualidade de vida, é possível encontrar espaços públicos, como praças e parques, com as chamadas academias ao ar livre. Os equipamentos das academias ao ar livre não têm peso e dependem apenas da força do corpo para exercícios de musculação e alongamento. O sistema se adapta às condições de cada usuário, criando resistência a partir do próprio peso do corpo da pessoa. Esses equipamentos são indicados para maiores de 12 anos e principalmente para os idosos, que perdem naturalmente um pouco da força muscular com o passar dos anos.

Idoso praticando atividade física ao ar livre na Praça Oswaldo

Professor, comente com os alunos sobre a necessidade de criar espaços esportivos destinados prioritariamente para os idosos Cruz, Curitiba, PR (2015). (com equipamentos que exigem menos da força muscular). De acordo com o Estatuto do idoso e o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA), é importante o incentivo à construção de espaços públicos e/ou privados, destinados ao esporte, ao lazer e a cultura, especialmente para crianças, jovens e idosos. Além disso, comente que as prefeituras também são responsáveis por criar esses espaços para a população em geral. Consulte mais sobre a necessidade de prática esportivas na terceira idade nos seguintes artigos: Atividade Unidade 6 Estática e Hidrostática física e bem-estar na velhice. Disponível em: <http://tub.im/s3e6d2> (acesso em: 29 abr. 2016) e Atividade física na terceira idade. Disponível em: <http://tub.im/m3v7uo>. (acesso em: 29 abr. 2016).

240

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4/29/16 11:22 AM


Você sabia?

Os conhecimentos desenvolvidos pela Física, particularmente aqueles relacionados ao equilíbrio dos corpos, são fundamentais para o surgimento de novas tecnologias utilizadas pela arquitetura e pela engenharia. Essas áreas têm papel decisivo para melhorar a qualidade de vida das pessoas, ao construir habitações mais adequadas às necessidades atuais. Atualmente, as preocupações dos arquitetos vão além dos aspectos artísticos, eles desenvolvem projetos adaptáveis às características específicas de cada região promovendo o uso adequado dos recursos naturais. Um exemplo dessa tendência é um projeto de condomínio, desenvolvido pelo arquiteto e urbanista Jaques Suchodolski, em Florianópolis, Santa Catarina. Nos telhados das residências desse condomínio, são utilizadas turbinas eólicas e painéis solares que permitem gerar energia sem uso de nenhum combustível fóssil. Também foi adotado um sistema de tratamento da água já utilizada, que possibilita o seu reaproveitamento para uso nos jardins, áreas comuns e o uso inteligente dos sanitários. Com esses recursos há uma redução de 50% do consumo de água. Condomínio desenvolvido pelo arquiteto e Além desse, há outros condomínios urbanista Jaques Suchodolski, em Florianópolis, SC (imagem de 2012). sustentáveis cujos projetos desenham outra forma de se relacionar com o ambiente. Por exemplo, existem soluções como a captação de água da chuva, para lavar pisos e irrigar jardins, coleta seletiva e reciclagem de lixo, pavimentação com paralelepípedos à base de areia para facilitar a drenagem da água da chuva e impedir alagamentos. Apesar da inovação na relação com o ambiente, alguns pesquisadores apontam problemas nesse tipo de empreendimento. Por exemplo, o processo de replantio para compensar a vegetação que foi derrubada precisa levar em conta a vegeMedindo 1,20 m de diâmetro e tação preexistente do local, sob o risco de reduzir a biodiver6 m de altura, o modelo de turbisidade do meio. Com relação aos aspectos humanos, há uma na eólica com eixo vertical agrega redução e seleção no espaço de socialização, pois, em vez de os atrativos de uma inovação altabuscar soluções amplas para tornar o espaço sustentável para mente funcional, com a beleza da todos, a melhoria da qualidade de vida é seleta para aqueles estrutura de suas formas. Proporque podem pagar pela residência. Atividades

Fotos: Philippe Arruda

Arquitetura, engenharia civil e aspectos socioculturais

cionando redução de 50% da conta de energia dos moradores, cada turbina tem a capacidade de gerar 5 kW de maneira silenciosa e segura, utilizando uma forma de energia limpa e sustentável.

Escreva no caderno

1. Quais são os aspectos positivos a respeito das casas e dos condomínios sustentáveis? Pesquise outras três alternativas que melhoram o uso da água, luz e energia. Relacionar aspectos ambientais como a economia de água, luz, drenagem, coleta e reciclagem do lixo.

2. Redija uma dissertação em que você responda a esta questão: “Estes condomínios podem ser considerados ilhas de sustentabilidade?”. No final, escreva se você gostaria de morar em um condomínio como esses e justifique com argumentos da Geografia e da Sociologia. Resposta pessoal.

Capítulo 14

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Estática de um ponto material e de um corpo extenso

241

27/04/16 13:47


3. Momento de uma força Para explicarmos a ideia da grandeza física “momento de uma força”, vamos recorrer a algumas situações práticas do cotidiano. Observe o pé de cabra da ilustração abaixo usado para arrancar um prego cravado no ponto O.

Ilustrações: Paulo Cesar

A ferramenta tende a descrever um movimento de rotação em torno do ponto O.

Note que nessa representação as distâncias entre o ponto O e os pontos A, B e C são diferentes.

F •

A

FA

B

• FB

C

FC

O

• Para executar a mesma tarefa, mas aplicando menor esforço, é preferível ter uma ferramenta de comprimento maior ou menor?

O

• Para executar a mesma tarefa com o menor esforço, em qual ponto (A, B ou C ) devemos aplicar a força de menor intensidade?

Nessas situações práticas, ao aplicarmos uma força F sobre um corpo rígido, ele tenderá a descrever um movimento de rotação em relação a um ponto fixo O, chamado de polo. A grandeza física que representa essa tendência de rotação é denominada momento (MF) . O momento MF de uma força F, em relação ao polo O, é uma grandeza vetorial, e sua intensidade é determinada pelo produto da intensidade da força F pela distância perpendicular d entre o polo e a linha de ação da força aplicada. MF 5  Fd

Por convenção trigonométrica, vamos adotar o sinal positivo quando a tendência do movimento for no sentido anti-horário e o negativo no sentido horário. M.O

linha de sentido sentido ação de F anti-horário anti-horário F O

MO F linha de ação

Unidade 6

sentido horário

sentido horário

linha de ação de F

linha de ação de F

F

F

O

d

d

O

MO

F O

O

d

242

linha de ação de F

MO

Ilustrações: Editoria de arte

M.O

d

No SI, a unidade de intensidade do momento de uma força é N  m (newton  metro). Se a linha de ação da força aplicada for na direção do polo O como ilustra a situação ao lado, o momento dessa força será nulo.

Estática e Hidrostática

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4/7/16 10:53 AM


Momento do binário

polo do momento D F2

O

d2

F2

Paulo Nilson

Para analisarmos o momento de uma força, recorremos a uma situação prática: o uso do pé de cabra. Agora, vamos estudar situações nas quais temos a ação de duas forças, por exemplo, quando vamos abrir ou fechar uma torneira. Observe que as duas forças que agem em cada corpo apresentam a mesma direção, os sentidos opostos, a mesma intensidade e as linhas de ação não coincidentes. Esse sistema de forças é denominado binário. F1 d1

O

F1

F 5 F1 5 F2

Esquema de representação de um binário.

D 5 d1 1 d2

Usando a ideia de binário e analisando o esquema que o representa, é possível notar que a ação de um binário sobre o corpo produz o movimento de rotação, mas não causa aceleração de translação, já que a soma vetorial das forças do binário é nula. Com base no esquema anterior, podemos escrever:

MF  F1d1 1

MF  F2d2

d1  d2  d e F1 5 F2 5 F

2

Portanto: Mbinário  2Fd

ou

Mbinário 5 Fd

Qualquer que seja o polo escolhido, a intensidade do momento do binário é dada pelo produto da intensidade de uma das forças F pela distância entre as linhas de ação dessas forças ou braço do binário, considerando o sinal relativo ao sentido de rotação.

Exercício resolvido 2 Uma força de intensidade F  80 N age em uma barra metálica homogênea, em situações distintas. Determine a intensidade do momento da força F em relação ao ponto O, nestas situações: a) b) c) F

O

d  0,75 m

d  1,5 m

O

O

F

Resolução

Paulo César Pereira

F

a) M  Fd

b) M  2Fd

c) M  0

M  80  1,5  120 N  m

M  80  0,75  60 N  m

Tende a girar no sentido anti-horário.

Tende a girar no sentido horário.

A linha de ação da força passa pelo ponto O e a barra não tende a girar.

Capítulo 14

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Estática de um ponto material e de um corpo extenso

243

4/7/16 10:53 AM


Escreva no caderno

Exercícios propostos 9. Se o objetivo de um operário é fazer girar um parafuso utilizando a menor força possível, em qual ponto da chave (A, B, C ou D) ele deve aplicar a força? No ponto A, pois a linha de ação da força fica a uma distância Justifique.

consegue soltar esse segundo parafuso. Justifique sua resposta. A moça consegue soltar o 2o parafuso porque o momento de seu peso é maior que o momento do peso de seu namorado.

B

510 N

A 30 cm

20 cm

10. Na placa retangular da figura abaixo estão aplicadas três forças. Essas forças pertencem ao plano da placa. Determine o momento resultante dessas forças em relação ao ponto C. Em que sentido esta placa gira?

13. Para montar e fixar as peças que compõem o suporte representado na figura, o serralheiro precisa saber quais são os momentos da força de 1 000 N, em relação aos pontos A, B e C. Determine esses valores.

F1  5 N

60 cm C

Studio Caparroz

Editoria de arte

Zero; não gira.

F2  10 N

C

5m

30 cm 1m

A

F3  10 N

2,5 m MA  1 000 Nm; MB  0; MC  5 000 Nm

F2

Note que nesse caso temos um binário, ou seja, as duas forças têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos, e as linhas de ação das forças estão separadas por certa distância. Determine o momento do binário, sabendo que a distância do ponto de aplicação de F1 ao ponto O é 0,02 m e de F2 ao ponto O é 0,02 m. 0,32 N  m 12. (UFRJ) Um jovem e sua namorada passeiam de carro por uma estrada e são surpreendidos por um furo num dos pneus. O jovem, que pesa 75 kgf, pisa a extremidade de uma chave de roda, inclinada em relação à horizontal, como mostra a figura 1, mas só consegue soltar o parafuso quando exerce sobre a chave uma força igual a seu peso. A namorada do jovem, que pesa 51 kgf, encaixa a mesma chave, mas na horizontal, em outro parafuso, e pisa a extremidade da chave, exercendo sobre ela uma força igual a seu peso, como mostra a figura 2. Supondo que esse segundo parafuso esteja tão apertado quanto o primeiro, e levando em conta as distâncias indicadas nas figuras, verifique se a moça Unidade 6

14. Com o objetivo de arrancar o prego, foi usado o mesmo pé de cabra, em três condições diferentes, conforme ilustra o esquema. Em qual das tentativas foi atingido o objetivo? Justifique sua conclusão, sabendo que apenas em uma das tentativas se obteve sucesso. Alberto de Stefano

O

Paulo Cesar

11. Ao fechar uma torneira, uma pessoa aplica com os dedos duas forças de mesma intensidade, F1 F1 8 N e F2  8 N, conforme representação feita na figura ao lado.

244

B

1000 N

F F F

1a condição

0,40 m

0,30 m

0,20 m

2a condição

3a condição

Na 3ª condição, pois, em relação ao prego, o momento obtido é maior.

15. Em determinadas situações, para soltar um parafuso ou uma porca, fazemos uso de ferramentas semelhantes à representada na figura abaixo. Calcule o momento das forças que agem na barra em relação ao ponto O, considerando que uma das mãos esteja posicionada a 30 cm do ponto O e a outra a 40 cm desse ponto. 40 cm

30 cm

Studio Caparroz

Paulo Cesar

C

Figura 2

m 30 c

Alberto de Stefano

Figura 1

maior do polo de rotação.

D

750 N

O Força 1: 48 Nm (sentido horário) Força 2: 30 Nm (sentido horário)

F2  100 N

F1  120 N

Estática e Hidrostática

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4/15/16 9:40 AM


Ilustrações: Editoria de arte

Até agora, desprezamos as dimensões dos corpos envolvidos no fenômeno, ou seja, cada corpo foi considerado um ponto material. No entanto, além da preocupação com as condições de equilíbrio do corpo, consideraremos as suas di­men­sões, ou seja, passaremos a considerá-lo um corpo extenso. Os conceitos que analisaremos a seguir levarão em conta que a ação das forças aplicadas nos corpos poderá modificar o seu estado de movimento ou repouso sem causar deformação. Assim, o corpo será considerado extenso e rígido. Para o equilíbrio de um corpo extenso, não basta que a resultante das forças que agem sobre ele seja nula. Essa condição é necessária, mas não é suficiente. Para estudar o equilíbrio de corpos extensos, precisamos definir uma grandeza, o centro de massa (CM). O centro de massa deve ser entendido como o ponto em que podemos considerar aplicada toda a massa do corpo em estudo. Perceba que ao aplicarmos forças em um corpo extenso, ele poderá iniciar um movimenF to de rotação, mesmo que seu centro de massa permaneça em equilíbrio. CM Se um corpo homogêneo apresentar um F elemento de simetria (eixo ou plano), seu centro de massa pertencerá a esse elemento. Veja os exemplos:

CM

O encontro das diagonais de uma placa retangular homogênea determina o CM.

O centro de uma esfera homogênea coincide com o CM.

Prédio com forma assimétrica em Hanover, Alemanha (2012).

CM

O CM pode estar fora do corpo, como é o caso de um anel homogêneo, cujo centro do aro corresponde ao CM.

Quando um corpo extenso se encontra em campo gravitacional uniforme, seu centro de massa coincide com o centro de gravidade (CG). O centro de gravidade de um corpo extenso corresponde ao ponto de aplicação da força peso. Um corpo extenso está em equilíbrio quando o seu estado de repouso ou de movimento não se modifica. No caso do corpo extenso, as condições de equilíbrio são:

Pare e pense

SuperStock/Glow Images

CM

U. Baumgarten/Getty Images

4. Condições de equilíbrio de um corpo extenso

1a condição: A soma vetorial das forças que agem simultaneamente no corpo extenso deve ser nula. R 5 F 5 0 (não há movimento de translação com aceleração)

2a condição: A soma algébrica das intensidades dos momentos das forças que agem simultaneamente no corpo extenso, em relação a um ponto O qualquer, deve ser nula. M  0 (não há movimento de rotação)

Capítulo 14

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Pedra em equilíbrio no Parque estadual Mushroom Rock, no Kansas, Estados Unidos (imagem de 2013).

Que condições são necessárias para se considerar um corpo em equilíbrio?

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume. Estática de um ponto material e de um corpo extenso 245

4/15/16 9:43 AM


Teorema das três forças

F1

F3 Esquema 1

F2 F1

O

O: ponto de concorrência

F3

Considere um corpo sujeito à ação de três forças. Se um corpo estiver em equilíbrio, e somente três forças atuarem sobre ele, essas forças devem ser coplanares e suas linhas de ação, paralelas (Esquema 1), ou elas devem concorrer em um único ponto (Esquema 2). A aplicação desse teorema pode simplificar a resolução de muitos problemas sobre o equilíbrio dos corpos extensos. Suponha uma barra horizontal, de extremo articulado, suspensa por um fio ideal. As linhas de ação do peso P e da tração T concorrem no ponto O. Logo, a reação da articulação está na direção OA e seu sentido é tal que NA  P  T  0. Editoria de arte

F2

C

Esquema 2

O

NA T

NA

P

A

B

T

articulação NA  P  T  0

P

Exercício resolvido 3 Uma barra metálica homogênea é articulada no ponto O. Para que ela se mantenha em equilíbrio na horizontal, amarra-se um fio ideal da extremidade B ao ponto O, conforme representação do esquema.

O

Considere o peso da barra P  50 N, o comprimento OB  1,50 m e despreze o atrito entre a barra e a articulação.

1,50 m 0,75 m

Represente as forças que agem na barra, determine a intensidade da força de tração exercida pelo fio e a intensidade da força exercida pela articulação.

B

Para representar as forças, é importante lembrar que o peso da barra está aplicado no seu centro de gravidade. A força aplicada pela articulação tem, em geral, os componentes horizontal Fh e vertical Fv, e a força aplicada pelo fio no ponto B é T. Nesse caso, como não há tendência de movimento na direção horizontal, a força aplicada pela articulação Fh nessa direção é nula.

CG

Fv

T CG

O

B P

Ilustrações: Editoria de arte

O

Resolução

Para não haver rotação, a soma algébrica dos momentos das forças em relação ao ponto O deve ser nula. MP  MT  MF  0 Æ P  0,75  T  1,50  Fv ? 0  0 Æ 50  0,75  T  1,50  0 Æ T  25 N v

Para não haver movimento de translação, a soma vetorial das forças que agem na barra deve ser nula. Na horizontal, a resultante dessas forças é nula (Fh  0). Na vertical, teremos: Fv  T  P  0 Æ Fv  25  50  0 Æ Fv  25 N

246

Unidade 6

Estática e Hidrostática

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4/7/16 10:54 AM


Escreva no caderno

Exercícios propostos

centro de gravidade

0,9 m P

Para se manter parado nessa posição, qual deve ser a intensidade da força aplicada pelo solo nas suas mãos? Considere g = 10 m/s2. 420 N 20. (Unicamp-SP) Uma escada homogênea de 40 kg apoia-se sobre uma parede, no ponto P, e sobre o chão, no ponto C. (Adote: g  10 m/s2.)

P1

P

4m

Despreze o peso da régua e determine a intensidade da força peso P1 desse objeto. 4 N 3m

17. Considere as condições do exercício 16 e imagine que a criança encontre um objeto cuja intensidade do peso é 5 N. Nesse caso, em que posição ela deveria colocar esse novo objeto sobre a régua para mantê-la, horizontalmente, em equilíbrio?

C

a) Desenhe as setas representativas das forças peso, normal e de atrito em seus pontos de aplicação. Resposta no final do livro.

b) É possível manter a escada estacionária não havendo atrito em P? Nesse caso, quais os valores das forças normal e de atrito em C? Sim; NC  400 N; Fatc  150 N

0,24 m do apoio.

18. O esquema representa uma gangorra homogênea que tem 10 m de comprimento e está apoiada em C, distante 4 m de A. Na extremidade A está uma garota de peso 600 N. Qual o peso de um garoto que está em B para que a gangorra fique em equilíbrio horizontal?

Texto para os exercícios 21 e 22: Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível para pesagem é uma balança de dois pratos, sem os pesos metálicos.

Selma Caparroz

PB  400 N

C A

B

19. Entre 27 de julho e 12 de agosto de 2012, ocorreram os Jogos Olímpicos em Londres, no Reino Unido. O Brasil completou sua 21a participação nas Olimpíadas com uma comitiva de 259 atletas, sendo 136 homens e 123 mulheres, em 32 modalidades esportivas.

21. (Enem/MEC) Realizando uma única pesagem, é possível montar pacotes de: a) 3 kg.

c) 6 kg.

b) 4 kg.

d) 8 kg.

X e) 12 kg.

22. (Enem/MEC) Realizando exatamente duas pesagens, é possível montar pacotes de:

X

a) 3 kg ou 6 kg.

d) 4 kg ou 8 kg.

b) 3 kg, 6 kg ou 12 kg.

e) 4 kg, 6 kg ou 8 kg.

c) 6 kg, 12 kg ou 18 kg.

Capítulo 14

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Editoria de arte

apoio

0,6 m

Paulo Cesar

Editoria de arte

Ela pegou uma régua medindo 0,5 m de comprimento e a colocou sobre um apoio, de tal forma que a extremidade esquerda ficou a 0,20 m do apoio. Nessa extremidade, foi fixado um cubo de madeira cujo peso é 6 N. Para tentar manter a régua equilibrada, horizontalmente, precisou colocar, na extremidade direita, outro objeto cujo peso fosse ideal para manter o equilíbrio.

P

Studio Caparroz

Durante o aquecimento anterior a um treinamento, um atleta de massa 70 kg faz flexões com os braços conforme a figura.

Paulo Nilson

16. Admirada com o funcionamento de um guindaste de construção e com os materiais erguidos por ele, uma criança tentou reproduzir algo parecido com um Guindaste de construção. brinquedo.

Estática de um ponto material e de um corpo extenso

247

4/7/16 10:54 AM


5. Alavancas

Aula de pilates.

Observando os movimentos que executamos com o nosso corpo, é possível dizer que os ossos e os músculos exercem o papel de alavancas?

O que é uma alavanca? Junte a essa pergunta uma frase atribuída a Arquimedes (287 a.C.212 a.C.): “Se me derem uma alavanca e um ponto de apoio, deslocarei o mundo”, e teremos o incentivo para novas buscas. Na prática diária, provavelmente você já fez uso da alavanca em diversas situações. As alavancas são consideradas máquinas simples, de apenas um componente, que facilitam o trabalho humano ao multiplicar a força que este aplica em determinada ação. Veja alguns tipos de alavanca, classificados de acordo com as posições das forças que agem sobre ela e do ponto de apoio.

 lavanca interfixa: quando A o ponto de apoio está localizado entre a força potente e a força resistente.

Studio Caparroz

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

Studio Caparroz

Marcelo Barabani/Folhapress

Pare e pense

ponto de apoio

força potente força resistente

 lavanca inter-resistente: quando a força resistente está situada A entre o ponto de apoio e a força potente.

força potente

força potente

Paulo Cesar

força resistente ponto de apoio

Alavanca interpotente: quando a força potente está situada entre o ponto de apoio e a força resistente. ponto de apoio

4 Na figura ao lado existem duas montagens para levantar uma pedra de 20 kg. Qual a intensidade da força F para que seja possível equilibrar a pedra? Qual a montagem mais eficiente? Dado: g = 10 m/s2.

força resistente

Paulo Cesar

Exercício resolvido F 1,20 m

0,30 m F

0,30 m

E

E

1,20 m

Resolução Para resolver situações em que há o uso de alavancas para ampliar a força, podemos igualar os momentos das forças potente F e resistente P, igual a 200 N.

248

1a montagem:

2a montagem:

MF = MP

MF = MP

F · d1 = P · d2

F · d1 = P · d2

F · 1,20 = 200 · 0,30

F · 0,30 = 200 · 1,20

F = 50 N

F = 800 N

Unidade 6

Assim, a 1a montagem é mais eficiente para levantar a pedra, pois com uma força de 50 N é possível levantar uma pedra cujo peso é 200 N.

Estática e Hidrostática

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25/04/16 16:59


Escreva no caderno

Exercícios propostos

• Quando a cabeça é inclinada para a frente ou para trás, o peso da cabeça é a força resistente, enquanto os músculos do pescoço exerFP A cem a força potente. Nesse caso, o ponto de apoio A é a articuFR lação da coluna vertebral com a cabeça.

a) tesoura;

Interfixa.

b) pedal do acelerador do carro; c) pinça;

Interpotente.

Interpotente.

d) abridor de garrafa;

Inter-resistente.

e) capô de automóvel.

Inter-resistente.

25. Liste alguns objetos do seu dia a dia que possam servir de exemplos de alavanca. Descreva o tipo de alavanca que cada um representa. Resposta pessoal. 26. Durante uma sessão de fisioterapia, um paciente é orientado a manter a perna em equilíbrio por determinado tempo na posição A, e, posteriormente, repetir a ação na posição B. No pé do paciente, foi amarrado um objeto de 3,0 kgf, conforme indica a figura.

Paulo Nilson

• O músculo exerce a força potente e o peso do objeto, apoiado na mão, é a força resistente. Nesse caso, o ponto de apoio A é o cotovelo.

24. Os objetos descritos a seguir, quando em uso, desempenham a função de alavanca. Determine o tipo de alavanca que cada um representa:

Paulo Nilson

Paulo Nilson

23. No corpo humano, podemos encontrar alguns movimentos, executados por estruturas ósseas e musculares, que se assemelham aos movimentos das alavancas. Nas figuras seguintes, temos três representações:

músculo

FP

A O

A

FR

• Ao ficar na ponta do pé, para erguer o corpo, o peso do corpo é a força resistente, enquanto a força potente é exercida pelos músculos. Nesse caso, o ponto de apoio A é a ponta do pé. Que tipos de alavanca estão representados nesses casos? A cabeça representa uma alavanca interfixa, o antebraço uma alamúsculos

tíbia fíbula

Calcule, para as duas posições, os momentos das forças em relação à articulação, representada pelo ponto O. 2,70 kgf · m; 1,35 kgf · m 27. Define-se vantagem mecânica (VM) em alavancas como sendo a razão entre o braço da força potente b pelo braço da força resistente a, dada pela expressão: VM 

b . a

Sendo F a força potente e R a força resistente, determine o tipo de alavanca, a vantagem mecânica e o valor da força potente em cada um dos itens dados.

FP

a)

a R

FR

F

a  0,5 m b  1,0 m R  100 N Interfixa; VM = 2 e F = 50 N.

A

Capítulo 14

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b

Estática de um ponto material e de um corpo extenso

Alberto de Stefano

Paulo Nilson

vanca interpotente e o pé, uma alavanca inter-resistente.

B

249

4/22/16 15:50


F R

a 5 0,4 m b 5 1,2 m R 5 240 N

Editoria de arte

a

b)

A

Inter-resistente; VM = 3 e F = 80 N

c)

a R

F

b

Ilustrações: Alberto de Stefano

b

d)

b

B

1 Interpotente; VM = 3 e F = 150 N

Caso um garoto se dependure no portão pela extremidade livre, e supondo que as reações máximas suportadas pelas dobradiças sejam iguais:

a 5 10,0 cm b 5 5,0 cm R 5 2,5 N

R F

a 5 1,2 m b 5 0,4 m R 5 50 N

é X a)

mais provável que a dobradiça A arrebente primeiro que a B.

Interfixa; VM = 0,5 e F = 5 N

a

28. (Enem/MEC) Um portão está fixo em um muro por duas dobradiças A e B, conforme mostra a figura, sendo P o peso do portão.

b) é mais provável que a dobradiça B arrebente primeiro que a A. c) seguramente as dobradiças A e B arrebentarão simultaneamente. d) nenhuma delas sofrerá qualquer esforço. e) o portão quebraria ao meio, ou nada sofreria.

Pense além

Surfista.

Ginasta em trave.

Photodisc/Getty Images

Corel Stock Photo

Jiang Dao Hua/Shutterstock.com

O que as atividades de surfista, ginasta e patinador têm em comum?

Patinador.

Provavelmente, após refletir sobre a pergunta, você perceberá que a resposta requer vários conhecimentos sobre a beleza dos movimentos, a coreografia, a coragem de lidar com os desafios e o imprevisível, enfim, muitos detalhes que podem ser tratados de forma diferente em cada atividade. Porém, não há dúvida sobre a importância da condição de equilíbrio dos corpos para obter sucesso no desempenho das três atividades citadas. Escreva no caderno

Responda

Mesmo que eles não estejam pensando no conhecimento físico utilizado nessas atividades, intuitivamente esses atletas buscam posições que favoreçam a distribuição da massa do corpo, de tal forma que o centro de massa e o centro de gravidade se mantenham próximos à base ou à região de apoio.

1. Diante dessas fotografias e com base no conhecimento sobre equilíbrio dos corpos, o que você considera necessário para que o corpo desses atletas mantenha a condição de equilíbrio?

250

Unidade 6

Estática e Hidrostática

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4/7/16 10:54 AM


6. Tipos de equilíbrio de um corpo

Pare e pense Bruno Arnold/AFP/Getty Images

Ao observarmos uma equilibrista que se mantém sobre um fio com o auxílio de uma vara longa, temos a impressão de que ela está na iminência de se desequilibrar e cair. Se olharmos mais atentamente os corpos que estão ao nosso redor, identificaremos várias situações que demonstram o equilíbrio dos corpos. A seguir, faremos a análise de duas situações que consideramos bastante comuns. Inicialmente, aquela em que o corpo está apoiado e, depois, a situação em que o corpo está suspenso.

Corpo apoiado sobre uma superfície Quando o corpo está apoiado sobre uma superfície podem ocorrer três tipos de equílibrio. • Estável: quando o corpo, ao ser ligeiramente afastado da posição de equilíbrio, tende a voltar a essa posição. Experimente localizar a posição de equilíbrio que uma esfera ocupa sobre uma superfície côncava. Afaste-a dessa posição e observe a tendência do movimento da esfera. F

Qual a função da vara longa que a equilibrista usa para atravessar uma corda bamba? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

F Pt Ilustrações: Editoria de arte

Equilibrista em corda bamba.

Pn P superfície côncava

A esfera tende a voltar à posição de equilíbrio graças à ação do componente tangencial da força peso.

P tendência do movimento

• Instável: quando o corpo, ao ser ligeiramente afastado da posição de equilíbrio, tende a afastar-se dessa posição.

tendência do movimento F

F superfície convexa

Experimente localizar a posição de equilíbrio que uma esfera ocupa sobre uma superfície convexa. Afaste-a dessa posição e observe a tendência de seu movimento.

Pt

P Pn P

A esfera se afasta da posição de equilíbrio em razão da ação do componente tangencial da força peso. F

superfície plana e horizontal

P

• Indiferente: quando o corpo, ao ser ligeiramente afastado da posição de equilíbrio, tende a permanecer em equilíbrio na nova posição em que foi abandonado.

F

Experimente localizar a posição de equilíbrio de uma esfera colocada sobre uma superfície plana e horizontal. Depois, experimente afastá-la dessa posição e observe se ela se movimenta.

P nova posição de equilíbrio

A esfera permanece em equilíbrio ao ser abandonada em outra posição. Capítulo 14

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Estática de um ponto material e de um corpo extenso

251

4/7/16 10:54 AM


1

P

2

3

4

CG CG P

CG CG

P P

Quanto mais baixo o CG estiver, maior será a estabilidade.

1 2

CG

3

P

CG

4 P

CG

Quanto maior for a área de apoio, maior será a estabilidade.

P

CG P

Outro exemplo de corpo apoiado em equilíbrio é quando colocamos quatro corpos de bases iguais e alturas diferentes sobre uma rampa, com atrito suficiente entre as superfícies de contato para impedir o escorregamento (veja figura ao lado). Nessa situação, apenas o corpo 4 tombou. Observe que nos corpos 1 , 2 e 3 a reta vertical que passa pelo centro de gravidade encontra a base. No corpo 4 , a reta vertical que passa pelo CG não encontra a base, e o corpo tomba. Também podemos dizer que o corpo 3 está na iminência de tombar. Se repetirmos o experimento com corpos de bases diferentes, mantendo as condições de atrito para impedir o escorregamento, perceberemos que apenas o corpo 4 tombará. Nos corpos 1 , 2 e 3 , a reta vertical, que passa pelo centro de gravidade, encontra a base do corpo. Isso não ocorre com o corpo 4 , e ele tomba. Note que o corpo 3 está na iminência de tombar. Quanto mais baixo estiver o CG e quanto maior for a área de apoio, maior será a estabilidade do corpo.

5 Sobre a carroceria de um caminhão há três blocos cilíndricos de bases iguais e raio 0,60 m. Por causa do atrito existente entre as superfícies de contato, os blocos não escorregam. Em determinado trecho da estrada há uma subida, e o motorista receia que os blocos possam tombar. Sabendo que o ângulo de inclinação da ladeira em relação à horizontal é , responda:

blocos cilíndricos

A

B

C

Ilustrações: Editoria de arte

Exercício resolvido

a) O motorista precisa se preocupar ou não com a possibilidade de os blocos tombarem? Em caso positivo, qual bloco pode tombar? b) Qual a altura máxima que o bloco poderá ter para não tombar?



Considere: tg   0,60. Resolução a) Nos corpos A e B , a reta vertical que passa pelo centro de gravidade encontra a base dos cilindros. Logo, esses blocos não tombarão.

A

B

C

CG CG

CG

No corpo C , a reta vertical que passa pelo CG não encontra a base do cilindro. Nesse caso, o bloco tombará. Portanto, a preocupação do motorista é válida. b) Repare que o bloco B está na iminência de tombar. Assim, a altura máxima possível corresponde à altura do bloco B . diâmetro da base: d  2  R  1,20 m altura do cilindro: h

h



tg   0,60

CG

Segundo a representação, temos: 1,20 1,20 Æh2m Æh 0,60 h Para não tombar, os blocos deverão ter no máximo 2 m de altura.

tg  

252

Unidade 6

P

1,2 0 

Estática e Hidrostática

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4/7/16 10:54 AM


Escreva no caderno

Exercícios propostos

C

Nessas condições é possível afirmar. a) Afastado ligeiramente da posição de equilíbrio, o corpo B volta a essa posição.

b) O veículo A apresenta mais estabilidade que o veículo B. c) O veículo B apresenta CG mais alto; portanto tem mais estabilidade. d) O veículo A apresenta CG mais baixo; portanto tem menos estabilidade.

32. Durante uma atividade experimental, o pro­fes­sor utilizou uma vassoura suspensa pelo centro de gravidade, mantendo-a na posição horizontal, conforme mostrado na figura. Em seguida, pediu aos alunos que serrassem o cabo no ponto de suspensão, aferissem o peso das duas partes e emitissem suas conclusões. Paulo Cesar

B Editoria de arte

A

X

b) Afastado ligeiramente da posição de equilíbrio, o corpo A se afasta dessa posição.

X

d) Se afastado da posição de equilíbrio, o corpo C permanecerá na posição em que for abandonado.

Paulo Cesar

30. Nesta figura de uma cadeira de balanço, temos a representação de um corpo apoiado sobre uma superfície. Podemos dizer que o corpo está em equilíbrio estável, pois, se o afastarmos ligeiramente da posição de equilíbrio, ele tenderá a voltar para a mesma posição.

a) Identifique uma situação na qual o corpo esteja em equilíbrio instável sobre uma superfície. Represente esse corpo em uma figura e justifique sua escolha. Resposta pessoal.

b) Repita o procedimento do item a para uma situação que exemplifique o equilíbrio indiferente. Resposta pessoal. 31. Os veículos A e B representados a seguir estão submetidos às mesmas condições de inclinação do piso.

A

CG

Paulo Cesar

B

CG

Assim, se avaliarmos apenas a relação entre o centro de gravidade e o apoio, e não considerarmos outros fatores que interferem no equilíbrio de um veí­culo, será possível afirmar: a) Os veículos A e B apresentam a mesma estabilidade.

A

As alternativas seguintes representam a conclusão de quatro alunos que se manifestaram diferentemente. Qual deles está certo? a) A parte B é mais pesada que a A. b) As duas partes têm o mesmo peso. c) A parte A pode ser menos pesada que a outra, dependendo da gravidade local. X d) A parte A é mais pesada que a B. 33. (UFRJ) Um robô equipado com braços mecânicos é empregado para deslocar 60 cm cargas uniformemente distribuídas em caixas cúbicas de lado 60 cm. Suponha que o robô possa ser considera80 cm do como um paralelepípedo retangular de base quadrada de lado 80 cm e massa 240 kg, também uniformemente distribuída. Suponha também que os braços mecânicos tenham massa desprezível e que a carga permaneça junto do robô. Calcule o maior valor possível da massa da carga que o robô pode sustentar sem tombar. 320 kg 34. (PUC-MG) A figura representa uma régua ho­mo­gê­ nea com vários furos equidistantes entre si, suspensa por um eixo que passa pelo ponto central 0. Colocam-se cinco ganchos idênticos, de peso P cada um, nos furos G, H e J na seguinte ordem: 1 em G, 1 em H e 3 em J. Para equilibrar a régua colocando outros cinco ganchos, idênticos aos já usados num único furo, qual dos furos usaremos? A

a) A Capítulo 14

CS-FIS-EM-3030-V1-U06-C14-235-253-LA.indd 253

B

Paulo Cesar

c) Se afastarmos os três corpos da posição de equilíbrio, somente A e C retornarão a essa posição.

B

X b) B

C

D

E

0

c) C

F

G

H

I

d) D

J

Editoria de arte

29. Três corpos iguais são colocados sobre três superfícies distintas: o corpo A sobre uma superfície côncava, o B sobre uma superfície convexa e o corpo C sobre uma superfície plana e horizontal.

e) E

Estática de um ponto material e de um corpo extenso

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CAPÍTULO 15

Hidrostática 1. Pressão Os líquidos e os gases, denominados genericamente fluidos, são substâncias que fluem com facilidade, isto é, que podem escoar. O termo fluido, em discussões mais recentes, pode envolver também outros estados (ou subestados) da matéria, como o plasma e os sólidos amorfos. Os fluidos são materiais que não resistem permanentemente às mudanças de sua forma quando submetidos à ação de forças. A Hidrostática (ou Fluidostática) refere-se aos fluidos em repouso, e, para nosso estudo, precisamos antes conhecer duas grandezas: a pressão e a densidade. Acompanhe as situações: 2a situação Dois tijolos iguais, colocados em posições diferentes (1 e 2), exercem sobre a superfície horizontal da mesa uma força de mesma intensidade. Em relação à pressão exercida pelo tijolo sobre a mesa, ela se mantém igual nas duas posições? Paulo Nilson

Studio Caparroz

1a situação Carlos tem dois tipos de estaca para construir uma cerca. Qual formato de estaca poderá facilitar seu trabalho?

Posição 1 Formato 1

Posição 2

Formato 2

A estaca com ponta (Formato 2) penetra o solo mais facilmente. Isso porque a pressão que essa estaca exerce na terra é maior devido à sua menor área.

A pressão será maior quanto menor for a área de contato. Portanto, na posição 2 a pressão é maior que na 1.

Nesses exemplos podemos observar que: A pressão exercida pela força que age sobre uma superfície é diretamente proporcional à sua intensidade e inversamente proporcional à área da superfície de contato.

Portanto, em uma superfície de área A, em que estão aplicadas forças de resultante perpendicular F, a pressão sobre essa superfície pode ser definida por: Editoria de arte

F

A

p5

254

Unidade 6

F A

Estática e Hidrostática

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No SI, a unidade de medida de pressão é o newton por metro quadrado (N/m2), também denominada pascal (Pa), em homenagem ao filósofo, físico e matemático francês Blaise Pascal (1623-1662). 1 N (unidade de intensidade de força) 5 1 Pa (unidade de pressão) 1 m2 (unidade de área) Há outras unidades de pressão que não pertencem ao SI, como o kgf/cm2, usado nos manômetros de postos de combustível, e a unidade de origem inglesa lbf/pol2, libra-força por polegada quadrada.

Exercícios resolvidos 1 Uma olaria produz um tipo de tijolo com formato de

b) Considerando a base menor, temos: área 5 8 ? 15 5 120 cm2 5 120 ? 1024 m2 F 45 p5 5 A 120 ? 1024

a) ele for assentado sobre a base maior;

p 5 3 750 N/m2

b) ele for assentado sobre a base menor.

Resolução a) Considerando a base maior, temos:

Editoria de arte

área 5 15 ? 30 5 450 cm2 5 450 ? 1024 m2 F 45 p5 Æ p 5 1 000 N/m2 5 A 450 ? 1024

2 Uma bailarina, de peso 480 N, equilibra-se na ponta de um dos pés, sendo a área de contato com o solo de 3,0 cm2. Considerando a pressão atmosférica equivalente a 10 N/m2, qual é a pressão, em atmosfera, relativa à bailarina, no ponto de contato com o solo?

Ayakovlevcom/ Shutterstock.com

paralelepípedo, de medidas 8 cm, 15 cm e 30 cm, e peso 45 N. Determine, no SI, a pressão exercida por esse tijolo sobre um alicerce se:

Resolução 8 cm

p5 30 cm 15 cm

F 480 5 5 160 N/cm2 A 3

1 atm Æ 10 N/cm2 p Æ 160 N/cm2

Bailarina.

Æ 16 atm

Assim, a pressão é de 16 atm.

Exercícios propostos

Escreva no caderno

1. Um pintor saiu de uma loja segurando dois galões de tinta idênticos, um em cada mão. Após ter caminhado alguns metros, percebeu que a alça dos galões era feita de arame muito fino e estava cortando sua mão. Pegou um pedaço de pano e enrolou várias vezes a alça de um dos galões. Continuou caminhando e percebeu que a mão direita, que sustentava o galão cuja alça estava envolvida pelo pano, sentia menos dor do que a mão esquerda, que sustentava a alça sem pano. Você atribui essa diferença ao fato de: a) o peso sustentado pela mão esquerda ser maior do que o da direita. X

b) a alça enrolada no pano ter uma área de contato maior; logo a pressão exercida pelo galão sobre a mão direita é menor. c) os pesos serem iguais; portanto as pressões sobre as duas mãos também são iguais. d) a alça que não está enrolada no pano ter uma área de contato menor; logo a pressão exercida pelo galão sobre a mão esquerda é menor. e) embora os pesos serem diferentes, as pressões sobre as duas mãos serem iguais. Capítulo 15

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Hidrostática

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3. b) Distribuir sobre o solo a força aplicada pelos trilhos que suportam uma composição ferroviária.

2. Um carpinteiro, ao manusear um prego, coloca-o entre os dedos polegar e indicador, de tal forma que a “cabeça” do prego fica presa ao indicador e a ponta ao polegar. Responda às perguntas: a) A força que o polegar exerce sobre o prego é igual à força exercida pelo indicador?

do você mergulha, maior torna-se a pressão. Podemos justificar a origem dessa pressão:

Podemos justificar a origem dessa

a) somente pelo peso da água. pressão por meio do peso dos fluidos que estão acima da pessoa que merb) somente pelo peso do ar. gulha (água + ar), que consequentemente comprimem o mergulhador. c) pelo nível de profundidade em que a pessoa mergulha. X d) pelo peso dos fluidos que estão diretamente acima da pessoa, água mais ar, e que a comprimem.

Sim, as forças têm a mesma intensidade, pois o prego está em equilíbrio.

b) A pressão exercida nos dois dedos é igual? Em qual deles o carpinteiro sentirá mais dor? A pressão é maior sobre o polegar onde o carpinteiro sentirá mais dor.

3. É comum o uso das expressões “pressão” e “peso” como sinônimos. Esse emprego é equivocado, pois forças de pequena intensidade podem exercer grandes pressões e vice-versa, dependendo da área da superfície em que essas forças atuam. Com base nesse conceito, responda: a) qual o principal objetivo do cálculo da estrutura de um alicerce? Produzir um alicerce que distribua a força que será aplicada pela construção e suportada pelo solo.

b) qual a principal função dos dormentes utilizados para apoiar os trilhos de uma estrada de ferro? 4. Ao nadar sob a água, você pode sentir a pressão dela sobre os tímpanos de suas orelhas. Quanto mais fun-

5. Em uma fábrica de móveis, foi necessário que uma pessoa de peso 750 N se sentasse sobre uma banqueta de quatro pernas, cujo peso é 50 N, para testá-la. Considere que a banqueta está em equilíbrio sobre uma superfície horizontal e determine a pressão (em N/m2) que cada perna exerce sobre essa superfície, sabendo que cada perna tem seção reta de área 4 cm2. 5,0 · 105 N/m2 6. (UFRGS-RS) No dia a dia, é comum utilizarmos ferramentas de “corte”, por exemplo, a faca. A maior ou menor facilidade que encontramos para cortar pão, carne ou outro alimento está diretamente ligada ao fato de essa faca estar mais ou menos “afiada”. Faça uso do conceito de pressão e justifique esse fato.

Quanto mais afiada estiver a faca, menor será a área de contato durante o corte e, consequentemente, maior será a pressão, o que facilita o corte.

Pense além Calçados apropriados para a neve

Photodisc/Getty Images

Frank Herholdt/Image Source/Folhapress

Esportistas de ambientes gélidos como os polos ou grandes cadeias montanhosas utilizam-se de equipamentos especiais para sua locomoção. Abaixo, vemos uma bota com cravos aplicados ao solado e uma pessoa utilizando esquis.

Bota usada por alpinista no gelo.

Responda

Escreva no caderno

Pessoa usando esquis para se deslocar. No caso dos cravos na bota, o intuito é aumentar o atrito com o gelo, por isso devem ser finos para penetrá-lo. Os esquis são utilizados para facilitar o movimento no gelo, pois ampliam a área de contato, o que mantém o esquiador sobre a neve.

1. Justifique o uso desses equipamentos e explique em que situações são mais eficazes.

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Unidade 6

Estática e Hidrostática

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Pressão atmosférica A Terra está imersa em uma enorme camada de ar denominada atmosfera, que possui massa e está sujeita à ação do campo gravitacional terrestre. Portanto, o ar tem peso e exerce pressão sobre os corpos nele imersos, denominada pressão atmosférica. Para medir a pressão atmosférica, o físico e matemático italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) utilizou um tubo de vidro, de 1 m de comprimento, totalmente cheio de mercúrio e uma cuba parcialmente cheia de mercúrio (Figura 1). Ele tampou com um dos dedos a extremidade aberta do tubo, inverteu-o e o introduziu na cuba com mercúrio (Figura 2). Torricelli destampou a extremidade imersa na cuba e percebeu que o nível de mercúrio do tubo desceu, permanecendo em equilíbrio na altura de 76 cm em relação à superfície do líquido da cuba (Figura 3).

patmpatm

pp atm

atm

76 76cmcm

m 11 m

h tubo tubo

H.h

h

H

Ilustrações: Studio Caparroz

vácuo vácuo

cuba cuba Figura 3

Figura 2

Figura 1

Altitude (m)

0 (nível do mar)

500

1   000

2    000

3    000

4    000

5    000

6   000

patm (cmHg)

76

72

67

60

53

47

41

36

A montagem experimental elaborada por Torricelli foi uma versão rudimentar do barômetro, instrumento usado para medir a pressão atmosférica. Em condições ideais, definimos uma atmosfera como a unidade de medida de pressão equivalente a uma coluna de mercúrio de 76 cm de altura sobre a sua base. 1 atm 5 76 cmHg

Photodisc/Getty Images

Analisando o experimento, ele deduziu que o equilíbrio da coluna de mercúrio era mantido pela pressão atmosférica, que agia na superfície do mercúrio da cuba. Assim, concluiu que a pressão atmosférica patm equivale à pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 76 cm de altura. Torricelli realizou esse experimento ao nível do mar. Mais tarde, Pascal o repetiu em um local de maior altitude, constatando que a coluna de mercúrio se estabilizava a uma altura menor que 76 cm. Após inúmeras repetições, em diferentes altitudes, concluiu que a pressão atmosférica diminuía com o aumento da altitude. Veja os valores aproximados da pressão atmosférica em relação à altitude.

Fora do SI, temos: • 1 atm . 1,013 ? 105 N/m2  Essa unidade é mais utilizada nos casos em que a pressão assume valores elevados; por exemplo, no interior de uma caldeira a vapor de locomotivas ou O esfigmomanômetro mede a nas profundezas do mar. pressão sanguínea em mmHg. • 1 mmHg Pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 1 mm de altura sobre a sua base. Essa unidade também é denominada torricelli (torr). 1 torr 5 1 mmHg 5 0,1 cmHg

Tanto o cmHg como o mmHg são unidades usadas para medir pressões mais baixas, como a pressão sanguínea. Capítulo 15

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Hidrostática

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Exercícios resolvidos 3 Se o experimento de Torricelli fosse realizado na Lua, em condições tais que o mercúrio não se solidificasse, toda a coluna líquida desceria para o recipiente. Explique essa afirmativa, supondo desprezível a variação da massa específica do mercúrio de acordo com a gravidade e com a temperatura.

Editoria de arte

patm 5 0

Resolução

Studio Caparroz

Como na Lua não há atmosfera (patm = 0), as condições do ambiente são semelhantes às do vácuo. Portanto, as condições de pressão serão as mesmas, dentro e fora do tubo, fazendo que a altura da coluna se iguale ao nível da superfície do mercúrio no recipiente.

4 Um menino toma um copo de suco, com o auxílio de um canudinho. Como se explica a subida do suco no interior do canudo?

Resolução Quando o ar do canudo é sugado, a pressão no seu interior torna-se menor que a pressão atmosférica que age na superfície do suco. Dessa forma, a pressão atmosférica provoca a subida do suco no interior do canudo.

Escreva no caderno

Exercícios propostos 7. Ao virar a lata, o óleo sai por um dos furos e o ar entra pelo outro, igualando a pressão interna com a externa.

7. Ao abrir uma lata de azeite, é recomendado fazer dois furos opostos na face superior da lata. Explique por que tal procedimento é bem-sucedido. 8. Em um laboratório, um estudante observa que as bolhas de ar que se formam no fundo de um recipiente se deslocam para a superfície do líquido, que está em repouso e enche totalmente esse recipiente. Durante o deslocamento, o que se pode afirmar sobre o volume de uma das bolhas? a) Em todas as posições do deslocamento, o volume é constante porque a pressão também não varia. b) Próximo à superfície, o volume é menor porque a pressão também é menor. c) Próximo ao fundo do recipiente, o volume é menor porque a pressão também é menor.

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Estática e Hidrostática

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d) O menor volume apresentado por uma bolha ocorre na metade do deslocamento, pois a menor pressão ocorre nessa altura do recipiente. X

e) Próximo à superfície o volume é maior porque a pressão é menor.

9. A pressão atmosférica normal é medida à temperatura de 0 C ao nível do mar, onde g 5 9,8 m/s2 e corresponde a 76 cmHg ou 1 atm. Se um barômetro registrar 3 atm, qual será o valor dessa pressão em: a) cmHg? b) mmHg? c) N/m2? 3,039 ? 105 N/m2 2 280 mmHg 228 cmHg 10. Um astronauta necessita de uma roupa especial para fazer a manutenção de equipamentos fora da nave espacial. Explique o que poderia acontecer, caso ocorresse um pequeno furo na roupa, durante a manutenção, e ele conseguisse ficar um bom tempo sem precisar respirar. O indivíduo explodiria, pois a diferença de pressão entre o interior do corpo e o vácuo empurraria todas as moléculas para fora. Esse é um dos motivos por que os astronautas utilizam roupas especiais.

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2. Densidade e massa específica

d5

Paulo Nilson

Observe os blocos maciços de chumbo e de cortiça sobre as balanças da figura ao lado. Eles têm a mesma massa, mas volumes diferentes. A grandeza física que relaciona a massa m de um corpo e seu volume V é a densidade d, representada por: m V

Nesse exemplo, podemos concluir que a densidade do bloco de chumbo é maior que a do bloco de cortiça, visto que concentra a mesma massa da cortiça em um volume menor. A ideia de densidade de um corpo pode ser adequada a uma substância. A densidade absoluta ou massa específica m de uma substância homogênea é determinada pela relação entre a massa m de uma amostra dessa substância e o seu respectivo volume V, a uma temperatura fixa: m5

m V

De acordo com as definições dadas, poderíamos concluir que a densidade absoluta de uma substância coincide com a densidade de um corpo formado por essa mesma substância, mas isso só será verdade se o corpo for maciço e homogêneo. Para os líquidos homogêneos, não há distinção entre densidade e densidade absoluta. A unidade de densidade, no SI, é o quilograma por metro cúbico (kg/m3). Acompanhe algumas relações dessa unidade com outras: 1g 1023 kg 5 Æ 1 g/cm3 5 103 kg/m3 3 1 cm 1026 m3 1g 1023 kg 5 Æ 1 g/cm3 5 1 kg/L 3 1 cm 1023 L

Exercício resolvido 5 Um recipiente de vidro, de massa 300 g, quando completamente cheio de água, tem massa 700 g. Esse recipiente completamente cheio de um líquido A tem massa 800 g. Qual a massa específica de A? Demonstre. Dado: mágua 5 1 g/cm3.

Resolução Para obter a massa da água, temos: mágua 5 mrec. cheio 2 mrec. vazio mágua 5 700 2 300 Æ Æ mágua 5 400 g

Vágua 5 VA 5 400 cm3 m 800 2 300 Æ m 5 1,25 g/cm3 líquido A: mA 5 A 5 VA 400

cheio água

300 g

vazio

cheio líquido A

700 g 300 g

800 g

Capítulo 15

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Ilustrações: Editoria de arte

vazio

Considerando que os volumes da água e do líquido A são iguais, temos: m 400 água: m 5 Æ15 Æ Vágua 5 400 cm3 V V

Hidrostática

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Escreva no caderno

Exercícios propostos 11. Durante uma atividade experimental, três cubos de mesmo tamanho (volume), maciços e homogêneos, são colocados sobre uma bancada com a seguinte informação: “As massas dos cubos A, B e C são respectivamente 4 g, 3 g e 2 g”. Identifique qual dos cubos tem maior massa específica e qual deles tem a menor. O cubo A tem a maior massa específica e o cubo B tem a menor.

maiores produtores de ouro do mundo, segundo a Metal Focus (2014), são a China, a Austrália e a Rússia, com a produção anual, em toneladas, de 462, 272 e 266, respectivamente. O Brasil, com produção de 90 toneladas de ouro por ano, é o 10o produtor mundial. A maior mina de ouro do Brasil é a de Paracatu, em Minas Gerais, a 450 km de Belo Horizonte, e sua exploração é feita por meio de uma concessão à empresa canadense Kinross.

17. Os

Leo Drumond/Agência Nitro

12. Quando jogado na pia ou no ralo, o óleo de cozinha compromete as redes de esgoto, afetando a qualidade das águas de rios e represas. Várias empresas, preocupadas com a preservação ambiental, fazem a coleta do óleo que posteriormente é reciclado e utilizado para a produção de diversos produtos, entre eles o biodiesel. Determine a massa contida em 5 litros de óleo, considerando que a densidade do óleo armazenado é 0,90 g/cm3. 4,5 kg 13. (UFPA) Numa proveta graduada em cm3, contendo água até o nível 1 300 cm3, colocou-se uma esfera metálica de 88 g. Com a introdução dessa esfera, o nível da água subiu a 1 308 cm3. A massa específica do metal, em g/cm3, é: a) 0,1

Morro do Ouro no município de Paracatu, MG (2012).

O ouro, por ser um elemento supercondutor e inoxidável, está presente na produção industrial e no setor joalheiro. Para confeccionar uma peça maciça, de massa 10 · 103 g e volume 625 cm3, foram utilizados dois materiais, ouro e prata. Determine a massa de ouro utilizada na confecção da peça, sabendo que a densidade do ouro e a da prata são, respectivamente: dAu 5 20 g/cm3 e dAg 5 10 g/cm3. 7,5 · 103 g

b) 8,0 X

c) 11,0 d) 14,8 e) 704,0

14. Durante um experimento, foram utilizados dois líquidos, A e B, de massas específicas mA 5 0,50 g/cm3 e mB 5 0,90 g/cm3. Sabendo que os volumes dos líquidos são iguais, VA 5 VB, qual é a massa específica da mistura? 0,70 g/cm3 15. Uma metalúrgica precisa montar dois cubos ocos, A e B, de modo que a aresta do cubo B seja o dobro da aresta do cubo A. O material usado nas faces dos cubos será uma chapa de metal homogênea e fina (com espessura constante). Determine a densidade d do cubo maior, sabendo que a do menor é d. 2

16. Em nosso estudo afirmamos que a densidade absoluta de uma substância coincide com a densidade de um corpo constituído por ela, se o corpo for maciço e homogêneo. Justifique essa afirmação, argumentando em relação a uma esfera oca de alumínio. Considere a densidade do alumínio 2,7 g/cm2, a massa de alumínio da esfera 1 kg, o raio da esfera 4 10 cm e o seu volume R3. Nessas condições, ex3 plique por que a esfera não pode ser maciça.

18. Durante o processo de formação de rochas e relevos, por meio da ação dos vulcões, é importante lembrar que parte do magma originado dos vulcões resfria no interior da Terra e do solo, dando origem às rochas intrusivas. A outra parte escorre sobre a superfície terrestre, originando as rochas extrusivas. O granito é uma rocha magmática intrusiva, e a sua extração é muito importante para atividades como a construção civil. Contudo, a extração do granito e de vários tipos de minérios é responsável por significativo impacto ambiental, causando desequilíbrio na água, no ar, no solo, no subsolo e na paisagem. Considere um bloco em forma de paralelepípedo retangular, cuja área da base é 2 000 cm2 e a altura, 60 cm. Sendo g = 10 m/s2 e granito = 2,5 · 103 kg/m3, determine: a) a massa do bloco. 300 kg b) em N/m2, a pressão exercida pelo bloco sobre a superfície, considerada plana e horizontal. 1,5 · 104 N/m2

A esfera não pode ser maciça porque sua densidade (0,24 g/cm3) é menor que a do alumínio.

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Unidade 6

Estática e Hidrostática

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Experimente a Física no dia a dia

Atenção

Flutua ou afunda?

Shaiith/Shutterstock/Glow Images

Faça o experimento somente na presença do professor.

Devido à sua propriedade combustível, a parafina é matéria-prima essencial na fabricação de velas. Sua utilização também é ampla na indústria alimentícia, de cosméticos, de tintas, entre outras. É um produto derivado do petróleo e apresenta odor reduzido e alto brilho. Na atividade proposta a seguir, serão estudadas algumas características da parafina que garantem a sua flutuabilidade.

Materiais • 2 pedaços de vela (parafina) • 2 recipientes • álcool • água

A vela (exceto o pavio) é composta de parafina.

Passo a passo Etapa 1

A

parafina

• Coloque água e um pedaço de parafina em um recipiente A. (A parafina pode ser retirada de uma vela.) Observe o que acontece. • Coloque a mesma quantidade de álcool em um recipiente B e outro pedaço de parafina, de tamanho semelhante ao daquele do recipiente A. Observe o que acontece.

água

B

parafina álcool

Etapa 2 • Retire o pedaço de parafina do recipiente A e adicione lentamente a água no recipiente B, que contém álcool e um pedaço de parafina.

B água álcool + água

parafina

Responda

Ilustrações: Editoria de arte

A

Escreva no caderno

1. O que aconteceu com a parafina em cada uma das situações da etapa 1?

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

2. Como você explica o que ocorre com a parafina na etapa 2? 3. Que relação você pode fazer entre a densidade dos líquidos? Substância Água

Densidade (g/cm3) 1

Densidade (kg/m3) 1 000

Parafina

0,90

900

Álcool

0,80

800

4. Misturando determinadas quantidades de água e álcool, o que podemos dizer sobre a densidade final da mistura?

Capítulo 15

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Hidrostática

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3. Teorema de Stevin

A

Os corpos imersos em um líquido ficam sujeitos à pressão exercida por esse líquido em todas as direções. Para calcular essa pressão, usamos o teo­rema de Stevin. Considere a situação a seguir para um líquido homogêneo e em equilíbrio. Observando que o líquido se encontra em equi­líbrio, a força de contato trocada com o fundo do recipiente tem a mesma intensidade que o peso do líquido (F 5 P). O recipiente cilíndrico de altura h e área da base A tem volume V 5 Ah. Se ele estiver totalmente cheio de líquido, o volume desse líquido também será V 5 Ah. A pressão p exercida pelo líquido no fundo do recipiente será:

P F

Ilustrações: Editoria de arte

F

p5

h

Corel Stock Photo

Pare e pense

Photodisc/Getty Images

Mergulhador.

Alpinista.

Ao estudar a pressão dos fluidos, nota-se que a variação de pressão nas águas do mar é proporcional à profundidade, mas, quando se sobem montanhas elevadas, a variação da pressão atmosférica não é exatamente proporcional à altitude. A que fenômeno podemos atribuir essa diferença? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

F A

sendo F 5 P 5 peso do líquido 5 mg. Como a quantidade de massa depende do volume do recipiente, podemos relacionar a massa m do líquido com o volume V do recipiente: m d 5 Æ m 5 dV V mg dVg 5 Resulta: p5 A A Como V 5 Ah, então: p 5

dAhg Æ A

p 5 dgh

Pela equação, percebemos que a pressão de um líquido sobre um corpo imerso nele não depende das características do corpo. Voltando ao recipiente cilíndrico totalmente cheio, devemos considerar que a pressão atmosférica patm age sobre a superfície livre do líquido em equilíbrio. Portanto, nesse caso, a pressão p exercida em um ponto qualquer da base do recipiente é determinada pela soma da pressão atmosférica com a pressão da coluna de líquido: p 5 patm 1 dgh

Agora podemos calcular a variação de pressão entre dois pontos, M e N, situados no interior de um líquido homogêneo em equilíbrio. Se a diferença de profundidade entre esses pontos é Dh, então é possível deduzir que a diferença de pressão Dp entre esses pontos será determinada por Dp 5 dgDh. Dp 5 pN 2 pM Æ hN

hM M N

Æ Dp 5 patm 1 dghN 2 (patm 1 dghM) Æ Dh 5 hN 2 hM

Æ Dp 5 dg(hN 2 hM) Æ

∆p 5 dg∆h

No caso de os pontos M e N pertencerem ao mesmo plano horizontal, teremos: Dh  0 Æ Dp  0 Æ pM  pN Portanto, não há diferença de pressão entre dois pontos imersos em um líquido homogêneo e em equilíbrio que estejam no mesmo plano horizontal.

262

Unidade 6

Estática e Hidrostática

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O teorema de Stevin aplicado aos gases O teorema de Stevin, analisado anteriormente, aplica-se aos fluidos que são praticamente incompressíveis, ou seja, cujo volume não diminui quando submetido à pressão. Nos casos em que a variação de pressão não causa variação de volume, a densidade se mantém uniforme em todos os pontos do fluido. Isso costuma acontecer nos líquidos, mas não nos gases. Tomemos como exemplo a Terra e a sua atmosfera. A densidade do ar próxima à superfície da Terra possui um valor de 1,29 kg/m3, que vai diminuindo à medida que alcançamos altitudes maiores. Isso ocorre porque os gases são facilmente compressíveis, provocando variações de densidade à medida que atingem altitudes maiores. Nas regiões próximas à superfície, em altitudes inferiores a 10 m, a variação da densidade do ar é pouco significativa, justificando a aplicação aproximada do teorema de Stevin. Nessas condições, podemos supor que a pressão diminui linearmente com a altura. Quando a altura ou o desnível dos pontos avaliados for relativamente grande, o teorema não poderá ser aplicado. Adiantando que a pressão exercida por um gás é consequência dos constantes choques das suas partículas (que você estudará no Volume 2 desta coleção), podemos estabelecer que: Todos os pontos de um gás fechado em um recipiente de dimensões menores que 10 m têm a mesma pressão.

De fato, como a densidade d dos gases é pequena em relação à dos líquidos e o valor da altura h é menor que 10 m, o valor do produto dhg também será pequeno.

Exercício resolvido 6 (FCMSC-SP) Os três aparelhos a seguir estão situados no interior da mesma sala.

vácuo 70 cm M

N 20 cm

Hg

Hg

Ilustrações: Editoria de arte

vácuo

Hg

           Figura 1            Figura 2            Figura 3

As pressões dos gases contidos em M e N são respectivamente iguais, em cmHg, a: a) 20 e 20

b) 20 e 50

c) 90 e 50

d) 90 e 20

e) 50 e 90

Resolução Observando a figura 3, notamos que a atmosfera equilibra uma coluna de 70 cm de mercúrio; logo: pA  pC  patm  70 cmHg

vácuo (pB 5 0)

Na figura 1, o gás em M equilibra uma coluna de 20 cm de mercúrio (o tubo está aberto) mais a atmosfera (70 cmHg):

B

pM  20 cmHg  70 cmHg Æ pM  90 cmHg

70 cm patm

Na figura 2, o gás em N equilibra (o tubo está fechado a vácuo) apenas a coluna de 20 cm de mercúrio: pN  20 cmHg

A

C

Hg

Capítulo 15

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Hidrostática

263

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Escreva no caderno

Exercícios propostos r = 40 cm

r = 30 cm

1

2

Tarumã

19. Suponha uma lata cilíndrica, submersa na água de um lago, em equilíbrio. Podemos afirmar que a pressão exercida pela água na superfície externa da lata é: a) igual nas bases superior e inferior. c) menor na base inferior. X d) menor na base superior.

e) menor na superfície lateral. 20. (UFV-MG) As represas normalmente são construídas de maneira que a largura da base da barragem, B, seja maior que a largura da parte superior, A, como ilustrado na figura.

Editoria de arte

A

B

Essa diferença de largura justifica-se, principalmente, pelo(a): a) aumento, com a profundidade, do empuxo exercido pela água. b) diminuição, com a profundidade, da pressão da água sobre a barragem.

a) Qual dos dois recipientes apresenta menor pressão no fundo? O recipiente de maior diâmetro está submetido a menor pressão. b) Sendo dóleo 5 8 ? 102 kg/m3, calcule a pressão exercida pelo óleo no fundo dos dois recipientes. Dado:   3. p1 5 3 360 N/m2; p2 5 5 920 N/m2 24. Os navios afundados sempre foram alvo de “caçadores de tesouros”. Esses tesouros eram transportados por embarcações antigas, particularmente na época em que o ouro era levado do Brasil e de outras colônias da América para a Europa. As primeiras tentativas de resgate feitas por mergulhadores foram precárias, mas com a evolução dos recursos tecnológicos foi possível aprimorar essas buscas. Durante um mergulho, um desses recursos, o sino de mergulho, foi usado e posicionado a uma profundidade de 50 m. Para preservar a saúde do mergulhador, a pressão interna foi mantida com o mesmo valor da pressão atmosférica ao nível do mar (1,0 · 105 Pa). Determine, em N/m2, a diferença entre as pressões exercidas, dentro e fora, junto às paredes do sino. 5,0 · 105 N/m2 James Steidl/Shutterstock/Glow Images

b) igual em qualquer ponto dessa superfície.

X c) aumento, com a profundidade, da pressão da água

sobre a barragem. d) diminuição, com a profundidade, do empuxo exercido pela água. e) diminuição, com a profundidade, da viscosidade da água. 21. Qual será a diferença de pressão exer­cida sobre dois pontos no interior de um líquido em equilíbrio, se a diferença de pro­fundidade entre eles for 60 cm? Dados: d, 5 103 kg/m3 e g  10 m/s2. 6 · 103 N/m2 22. Sabe-se que a pressão máxima que um mergulhador pode suportar é equivalente a 10 vezes o valor da pressão atmosférica. Qual a profundidade máxima que um mergulhador pode descer abaixo da superfície de um rio cuja densidade da água é 1g/cm³? Dados: patm 5 1,0 ? 105 N/m2 e g 5 10 m /s2. h = 90 m 23. Na figura a seguir temos dois recipientes cilíndricos, um com raio 40 cm e o outro com raio 30 cm. Ambos apresentam altura suficiente para armazenar 200 litros de óleo.

264

Unidade 6

Sino de mergulho profundo.

uma aula de mergulho, o instrutor mergulha carregando um balão de borracha. Descreva o que ocorre com o volume do balão e com a pressão hidrostática exercida nele, à medida que o mergulhador atinge profundidades maiores. O volume do balão diminui

25. Durante

porque a pressão hidrostática se eleva com o aumento da profundidade.

26. Ao medir a pressão sanguínea de uma pessoa deitada no solo, o valor encontrado foi 11 por 7, isto é, pressão máxima 110 mmHg (14 000 N/m2) e pressão mínima 70 mmHg (9 210 N/m2). Qual a altura mínima a que deverá estar uma bolsa de soro para vencer a pressão arterial máxima da pessoa? Considere densidade do soro igual a 103 kg/m3 e gravidade no local 10 m/s2. 1,4 m

Estática e Hidrostática

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Neoimagem

Vasos comunicantes Chamamos de vasos comunicantes a ligação de dois ou mais recipientes por dutos fechados. Um recipiente formado por ramos ligados entre si ou um simples tubo em forma de U podem ser considerados sistemas de vasos comunicantes. Neles é possível observar que a superfície livre de um líquido atinge sempre a mesma altura nos frascos abertos que se comunicam. O teorema de Stevin nos ajuda a compreen­der esse comportamento dos líquidos homogêneos e em equilíbrio. De acordo com o teorema de Stevin, todos os pontos da superfície de um líquido homogêneo, em repouso, se mantêm no mesmo plano horizontal porque estão submetidos à mesma pressão atmosférica, independentemente da forma como os recipientes se comunicam.

Exemplo de vasos comunicantes.

Exercício resolvido 3 h . Determi4 B ne a razão entre as densidades dA e dB desses líquidos.

7 Um tubo em U contém dois líquidos A e B, homogê­

A relação entre as alturas hA e hB é hA 5

Tarumã

neos e não miscíveis entre si, que estão em equilíbrio.

Resolução Adotando como referência o ponto mais baixo da coluna de líquido amarelo, temos:

hB

hA

dA ? hA 5 dB ? hB dA h 4 5 B 5 3 dB hA

Escreva no caderno

Exercícios propostos

Marcos Aurélio

)dentro( 1 27. Uma garrafa térmica, representada pela figura, possui uma peque4 na sanfona de borracha (fole) que, ao ser pres2 sionada suavemente, empurra o ar contido 3 em seu interior, sem impedimentos, para den­ tro do bulbo de vidro. Um tubo vertical liga o fundo do recipiente à base da tampa, permitindo a retirada do líquido contido na garrafa. Considere que o fole está pressionado em uma posição fixa e o líquido está estacionado no interior do tubo vertical próximo à saída. Pode-se dizer que,

nessas condições, as pressões nos pontos 1, 2, 3 e 4 relacionam-se a:

X

a) p1  p2  p3  p4

d) p1  p2  p3  p4

b) p1  p4  p2  p3

e) p1  p4  p3  p2

c) p1  p2  p3  p4

28. Coloca-se em um sistema de vasos comunicantes água e óleo cujas densidades são, respectivamente, 1 g/cm3 e 0,8 g/cm3. A altura da coluna de óleo é de 30 cm. a) Faça no caderno um desenho para representar essa situação. Resposta no final do livro. b) Qual a altura da coluna de água medida acima do nível de separação entre esses líquidos? 24 cm Capítulo 15

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Hidrostática

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aproveitamento das vias navegáveis depende da construção de eclusas, pequenas obras de dragagem e de portos. O funcionamento das eclusas tem por base a ideia dos vasos comunicantes. Observe o esquema e explique o funcionamento de uma eclusa, com base nas informações da figura. Luís Moura

29. Dois tubos cilíndricos, de seções 25 cm2 e 10 cm2, têm seus fundos em um mesmo plano horizontal e comunicam-se por um conduto de volume desprezível, colocado ao nível dos fundos e com uma torneira adaptada. O maior contém óleo de densidade 0,80 g/cm3, que se eleva a 25 cm acima do fundo; o outro contém água, que se eleva a 50 cm do fundo. Abre-se a torneira. A que altura se elevará a água nos dois ramos? 8,6 cm no tubo maior e 28,5 cm no tubo menor.

30. (Unicamp-SP) Suponha que o sangue tenha a mesma densidade que a água e que o coração seja uma bomba capaz de bombeá-lo a uma pressão de 150 mm de mercúrio acima da pressão atmosférica. Considere uma pessoa cujo cérebro esteja 50 cm acima do coração e adote, para simplificar, 1 atm  750 mmHg. a) Até que altura o coração consegue bombear o sangue? 2,0 m b) Suponha que essa pessoa esteja em outro planeta. A que aceleração gravitacional máxima ela pode estar sujeita para que ainda receba sangue no cérebro? 4,0gTerra

31. O snorkeling é uma prática esportiva em que se mergulha próximo da superfície da água. Nesse esporte, usa-se o snorkel para respirar e a máscara para observar a beleza da vida aquática. Imagine que uma mergulhadora resolva utilizar um tubo que desempenhe a mesma função do snorkel, ou seja, que a ajude a respirar debaixo da superfície da água. Qual será a profundidade máxima que ela poderá atingir para que não tenha problemas respiratórios, considerando que, na média, o pulmão humano con1 segue suportar variações de pressão até atm? 20 50 cm 32. O Brasil possui grande quantidade de rios, mas nossa navegação fluvial é ainda muito tímida. O pleno 32. Resposta pessoal. Resposta esperada: Com a válvula de enchimento aberta, a água escorrerá do compartimento 1 para o 2 até que não exista mais diferença de pressão. Esse processo se repetirá quando a válvula de enchimento for fechada e a válvula de dreno for aberta, ou seja, a água escoará do compartimento 2 para o 3 até que não exista mais diferença de pressão entre os níveis de água nos dois compartimentos.

Pense além

Imagine que um aluno, por curiosidade, estivesse interessado em calcular o tempo para encher um recipiente e assim saber a vazão da torneira de sua casa. Durante essa atividade, ele começou a pensar como estaria variando a pressão de um ponto no fundo do recipiente. Ele sabe, por exemplo, que, conforme o recipiente vai enchendo, a pressão no fundo dele aumenta, afinal, quanto maior a altura da água, maior a pressão.

Responda

Escreva no caderno

Alberto de Stefano

Variação da pressão em função do tempo

pressão

tempo

1. Como você acha que esse aluno esboçou o gráfico da variação da pressão em função do tempo?

266

Unidade 6

Estática e Hidrostática

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5/10/16 6:19 PM


4. Princípio de Pascal De acordo com o teorema de Stevin, os pontos de um líquido homogêneo em equilíbrio, pertencentes ao mesmo plano horizontal, estão sob a mesma pressão. E quando os pontos de um líquido estão submetidos a uma variação de pressão? Observe as figuras que representam duas situações de um mesmo balão de vidro, com êmbolo móvel e água em seu interior. F A A água

água

Figura 1

Figura 2

Na Figura 1, vemos que o nível do líquido é igual em todos os tubos. Na Figura 2, o êmbolo é pressionado para baixo, submetendo a água a uma variação de pressão transmitida a todos os pontos do líquido. Como consequência, o novo nível da água permanece igual em todos os tubos. Isso ocorre porque a água é um líquido incompressível, ou seja, sua densidade não se altera com a variação de pressão. Pascal, em 1650, com base em vários experimentos práticos, elaborou o seguinte princípio:

Se um ponto qualquer de um líquido homogêneo e incompressível, em equilíbrio, sofre uma variação de pressão Dp, todos os pontos desse líquido serão submetidos a essa mesma variação.

Prensa hidráulica

êmbolo 2

êmbolo 1 A1

A2

F1

F2

Ilustrações: Editoria de arte

Várias são as aplicações do princípio de Pascal em nosso cotidiano. Por exemplo, quando um médico aplica uma injeção com uma seringa, ou simplesmente quando apertamos o tubo da pasta de dentes, está sendo utilizado o princípio de Pascal. Entretanto, uma das aplicações mais interessantes desse princípio ocorre em sistemas hidráulicos, como em prensas, elevadores, pontes levadiças ou freios automotivos. Alguns desses sistemas possuem a característica de multiplicar a força que é aplicada a um de seus êmbolos. Vamos analisar o funcionamento de uma prensa hidráulica, com êmbolos de áreas trans­versais A1 e A2, que contém um líquido incompressível em equilíbrio. Se aplicarmos uma força de intensidade F1, perpendicularmente ao êmbolo 1, obteremos, perpendicularmente ao êmbolo 2, uma força de intensidade F2, transmitida pelo líquido.

líquido

De acordo com o princípio de Pascal, os acréscimos de pressão sob os êmbolos são iguais: ∆p1  ∆p2. Portanto: F1 A1

5

F2 A2

Analisando a relação acima, se A2  A1 Æ F2  F1. A variação (aumento ou diminuição) da intensidade da força F2 dependerá da relação entre as áreas dos êmbolos 1 e 2. Capítulo 15

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Hidrostática

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Luís Moura

compressor de ar

válvula chão pistão ar óleo

reservatório A

Quando aplicado nos elevadores hidráulicos, muito usados em postos de combustíveis, o princípio de Pascal garante que uma força intensa o suficiente para elevar um veículo seja aplicada no êmbolo maior pela pressão do ar comprimido no êmbolo menor. A abertura da válvula do compressor de ar provoca um aumento de pressão sobre a superfície do óleo no reservatório A, que é transmitido ao reservatório B, elevando o pistão.

reservatório B

Exercício resolvido 8 Analise o caso de uma prensa hidráulica que necessita manter em equilíbrio uma carga de 200 N sobre um pistão de área maior. Saiba que os pistões dessa prensa têm áreas 1,0 cm2 e 10 cm2. Nessas condições, qual deve ser a intensidade da força aplicada, perpendicularmente, ao pistão de área menor?

Resolução Considerando o princípio de Pascal para um líquido em equilíbrio, temos:

carga

F1 pistão 1

pistão 2 A1

A1 e A2 são as áreas das superfícies dos pistões 1 e 2, respectivamente. A 1,0 F1  F2  1 Æ F1  200  Æ F1  20 N 10 A2

A2

F2 Paulo Nilson

F1 F  2 A1 A2

A força necessária para manter a carga em equilíbrio deve ser 20 N.

Escreva no caderno

Exercícios propostos 33. O princípio de Pascal fundamenta o funcionamento da prensa hidráulica. O que você diria a respeito desse dispositivo se alguém afirmasse que o funcionamento da prensa hidráulica é uma maneira de multiplicar energia? Falso, pois tal dispositivo multiplica forças, não energia. 34. Um motorista observa que o radiador de seu carro furou. Nota que quando o motor do carro está quente a água vaza mais facilmente do que quando o motor está frio (água fria). Explique tal fenômeno com base no princípio de Pascal.

268

A B A1

A2

Paulo Nilson

35. A prensa hidráulica representada na figura está em equilíbrio. Calcule o módulo do peso da carga A que está apoiada sobre o

êmbolo de área 0,80 m2. Sabe-se que o peso de B é de 40 N e que o êmbolo em que está apoiado tem área de 50 cm2. 6 400 N 36. Em uma prensa hidráulica, os êmbolos são formados por dois cilindros cujos raios medem 20 cm e 400 cm. Para equilibrar um corpo de 5 000 kg de massa colocado no êmbolo maior, qual o valor da força, em newtons, que deve ser aplicada no êmbolo menor? Dado: g = 10 m/s2. F1  125 N 37. O projeto de uma prensa hidráulica prevê, para seu equilíbrio, que a aplicação de uma força de 5,0  103 N sobre o êmbolo maior necessita de uma força de 5,0  10 N sobre o êmbolo menor. Sabendo-se que a área do êmbolo maior é 2,0  103 cm2, qual será a área do êmbolo menor? 2,0  10 cm2

34. A água aquecida vaza mais facilmente através de pequenos furos no radiador por causa da pressão exercida por ela. De acordo com o princípio de Pascal, essa pressão é transmitida integralmente por todo o fluido. Unidade 6 Estática e Hidrostática

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5. Empuxo

Studio Caparroz

Você provavelmente deve ter notado que quando entramos na água – em um rio, lago, mar ou em uma piscina – experimentamos uma sensação de leveza. E, ao tentarmos permanecer abaixo do nível da água, sentimos uma força nos “empurrando” para cima. É essa força que mantém os balões de ar quente estáveis durante o voo e permite que as bexigas de festa de aniversário subam verticalmente quando cheias de gás hélio. Qual a relação entre esses dois últimos exemplos e quando entramos em uma piscina? Em ambos os casos os corpos estão imersos em um fluido, o ar ou a água. As duas situações representadas a seguir nos ajudarão a elaborar a ideia de empuxo.

Se você mantiver um objeto suspenso fora e dentro da água, vai verificar que dentro da água ele parece mais leve.

Se mergulharmos uma bola em um líquido, perceberemos que ele oferece resistência de baixo para cima.

E

Eunice Toyota

Sempre que um corpo está mergulhado em um fluido (líquido ou gás), ele sofre a ação de uma força na direção vertical, de baixo para cima, que passaremos a denominar de empuxo E. No esquema abaixo, temos a representação das forças exercidas pelo líquido que agem sobre a superfície do corpo. Note que essas forças atuam em todas as direções e que elas não se anulam, visto que possuem componentes verticais de intensidades diferentes. Esse fato pode ser mais bem compreendido se lembrarmos do teorema de Stevin. Como a pressão aumenta com a profundidade, a força aplicada pelo líquido na superfície do corpo também aumenta nesse sentido. Isso faz com que a soma de todas essas forças resulte em uma força vertical orientada de baixo para cima.

Assim, podemos dizer que a origem do empuxo está na diferença de pressão sobre um corpo imerso em um fluido. A intensidade do empuxo que atua em um corpo é tanto maior quanto maior for a parte do corpo que estiver submersa. Quando o corpo está totalmente submerso, a intensidade do empuxo independe da profundidade. Capítulo 15

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Hidrostática

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Teorema de Arquimedes Para determinar a intensidade do empuxo, acompanhe esta situação: em um experimento, mergulhamos um corpo, preso a um dinamômetro, em um recipiente com líquido. Ao lado dele, há uma balança calibrada em newtons com um recipiente que recolhe o líquido extravasado.

indicação: 6 N

indicação: 4 N

Marco Aurelio

corpo

líquido

indicação: 0

indicação: 2 N

Observe que, antes de ser mergulhado, o registro no dinamômetro indica que o corpo pesa 6 N. Após ficar totalmente submerso, o dinamômetro passa a marcar 4 N para o peso do corpo, e a balança indica 2 N para o peso do líquido extravasado. Naturalmente, o corpo não perdeu massa nesse processo, e a alteração na marcação do dinamômetro ocorre pela força de empuxo que passou a atuar no corpo no momento em que este foi submerso. Essa diferença entre as indicações no dinamômetro (6 N  4 N  2 N) corresponde justamente ao valor do empuxo. Note que a balança indica o mesmo valor de 2 N para o peso do líquido extravasado. Coube ao filósofo grego Arquimedes (287 a. C.–212 a. C.), após vários experimentos, concluir que a intensidade do empuxo é igual à intensidade do peso do volume do líquido deslocado quando um corpo qualquer é colocado em um fluido. O chamado teorema de Arquimedes pode ser enunciado da seguinte forma: Em um corpo em contato com um fluido em equilíbrio, o empuxo é uma força vertical orientada de baixo para cima, cuja intensidade é igual à do peso do volume de fluido deslocado.

Considere que o líquido do nosso experimento possui densidade dL e que o volume do líquido deslocado é VD. Para o corpo imerso nesse líquido, de acordo com o teorema de Arquimedes, temos: E 5 PD em que E representa o valor do empuxo e PD, o valor do peso do líquido deslocado. m Como dL 5 D e PD 5 mDg, temos: VD E 5 PD Æ E 5 mDg Æ

E 5 dLVDg

Pela equação do empuxo, vemos que seu valor será tanto maior quanto maior a densidade do líquido e quanto maior o volume do líquido deslocado, ou seja, quanto maior a parte do corpo que se encontrar submersa.

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Unidade 6

Estática e Hidrostática

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Ilustrações: Alberto de Stefano

Vamos analisar o que acontece quando um corpo de densidade dC é imerso totalmente em um líquido de densidade dL e, em seguida, é abandonado.

E

• O empuxo é igual ao peso do corpo: E  PC. Nesse caso, o corpo permanece equilibrado em qualquer posição, pois a resultante dessas forças é nula. Deduzimos que dL  dC. • O empuxo é menor que o peso do corpo: E  PC. Nesse caso, o corpo irá para o fundo do recipiente, pois a resultante dessas forças tem sentido para baixo. Deduzimos que dL  dC. Ao chegar ao fundo do recipiente, a força de reação normal passará também a atuar sobre o corpo e ele ficará em equilíbrio. • O empuxo é maior que o peso do corpo: E  PC. Nesse caso, o corpo se dirigirá para a superfície, pois a resultante dessas forças tem sentido para cima. Deduzimos que dL  dC. À medida que o corpo for emergindo na superfície, o volume de líquido deslocado torna-se menor, visto que se reduz o volume do corpo submerso. Isso faz com que o empuxo também diminua até igualar-se com a força peso. Nesse momento o corpo passa a flutuar em equilíbrio.

PC

E

PC

E

PC

Exercícios resolvidos 9 Uma esfera, de volume 3,0  104 m3, é totalmente imersa em um líquido de densidade 9,0  102 kg/m3. Sabendo que nesse local g  10 m/s2, determine: a) a intensidade do empuxo que age na esfera; b) a intensidade do peso da esfera para que ela se desloque para cima ou para baixo.

Resolução a) Como a esfera está totalmente imersa (VD 5 Vesfera), temos: E  dLVDg Æ E  9,0  10  3,0  10 2

4

E

 10 Æ E  2,7 N

b) Se Pesfera  2,7 N, ela se deslocará para baixo.

P

Se Pesfera  2,7 N, ela se deslocará para cima.

10 Durante um experimento, um cubo de madeira de aresta 1,0 m é colocado em um recipiente contendo água. Notou-se que o cubo flutuou com 60% do seu volume submerso. Considere g  10 m/s2 e a densidade da água 1,0  103 kg/m3. Determine: a) a intensidade do empuxo exercido pela água sobre o bloco de madeira; b) a intensidade da força vertical F, que deve agir sobre o bloco, para que ele permaneça totalmente imerso.

Resolução a) Pelos dados: Vcubo  (1,0)3 5 1,0 m3; Vlíquido deslocado  VD  0,60  1,0  0,60 m3; dL  dágua  1,0  103 kg/m3 A intensidade do empuxo que age no bloco é: E  dLVDg Æ E  1,0  103  0,60  10 Æ E  6,0  103 N

E

b) A intensidade da força F, a ser aplicada no bloco, deverá fazer imergir os 40% do cubo que estavam fora da água. Portanto: F  E9 Æ F  dLVDg VD  0,40  1,0  0,40 m3

E

P

P

F

F  1,0  103  0,40  10 Æ F  4,0  103 N

Capítulo 15

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Hidrostática

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Escreva no caderno

Exercícios propostos

All Canada Photos/Alamy/Glow Images

38. Fabricado na costa sudoeste da Finlândia, o maior navio de cruzeiro do mundo até 2015 fez a viagem inaugural pelo Mar Báltico, em 2010. Com capacidade para 6  360 passageiros, o navio tem 72 m de altura, acima da linha do mar, 361 m de comprimento e 66 m de largura, contando com chaminés retráteis para passar sob pontes.

terior. Ao ser colocada em um líquido, verifica-se que ela permanece parcialmente submersa. Caso o ar que está em seu interior seja retirado, a esfera afundará, permanecerá no mesmo nível ou diminuirá sua parte Diminuirá sua parte submersa. submersa? 41. Ao ser indagado pelo avô sobre o peso do bloco que ele colocou submerso na água, um jovem respondeu: “O peso do bloco é 3 N”. O avô, paciente, respondeu: “As aparências enganam, pois eu verifiquei que fora da água o peso dele é 5 N”. Considerando essa conversa, o valor de g = 10 m/s2 e a densidade da água 1 g/cm2, determine: a) o empuxo que age no bloco; 2 N

Considere que esse navio permanece em equilíbrio e flutuando sob a ação de apenas duas forças, a do empuxo e a do próprio peso. Nesse caso, quais das afirmações a seguir estão corretas? I. A intensidade do empuxo exercida sobre o navio precisa ser bem maior do que a intensidade do seu peso. Isso impedirá um possível afundamento, no caso de haver um acréscimo de carga. II. Se ele permanece flutuando, é porque a densidade da água é maior do que a densidade média do navio, ainda que na sua construção tenham sido usadas chapas de metal. III. Caso o navio sofra um rompimento no casco, e a água consiga enchê-lo totalmente, a densidade média do navio será maior que a densidade da água, e ele afundará. IV. A intensidade do empuxo exercida sobre o navio é igual à intensidade do seu peso. As afirmações II, III e IV estão corretas.

39. Sentados à beira da piscina do navio descrito no exercício anterior, três passageiros observam um corpo totalmente submerso em um copo com água. Cada um dos passageiros fez uma afirmação: Passageiro A: A intensidade do empuxo que age nesse corpo é igual ao peso da água deslocada pelo corpo. Passageiro B: A intensidade do empuxo que age nesse corpo independe do volume desse corpo. Passageiro C: O empuxo que age nesse corpo existe porque a pressão no topo do corpo é menor do que a pressão na base dele.

b) o volume do bloco; 2 · 10–4 m3 c) a densidade do bloco. 2,5 · 103 kg/m3 42. Uma bola de futebol, cujo volume é 4,0 litros e cuja massa é 0,30 kg, é mantida totalmente submersa na água, presa ao fundo de uma piscina por um fio inex­ ten­ sível, de massa e volume desprezíveis, como mostra a figura ao lado.

Studio Caparroz

Maior navio de cruzeiro do mundo até 2015 (imagem de 2007).

Dados: g  10 m/s2 e dH2O  1  103 kg/m3. A tração no fio é: a) 40 N

c) 4,3 N

b) 3,7 N

d) 43 N

X e) 37 N

43. (Enem/MEC) Durante uma obra em um clube, um grupo de trabalhadores teve de remover uma escultura de ferro maciço colocada no fundo de uma piscina vazia. Cinco trabalhadores amarraram cordas à escultura e tentaram puxá-la para cima, sem sucesso. Se a piscina for preenchida com água, ficará mais fácil para os trabalhadores removerem a escultura, pois a a) escultura flutuará. Dessa forma, os homens não precisarão fazer força para remover a escultura do fundo. b) escultura ficará com peso menor. Dessa forma, a intensidade da força necessária para elevar a escultura será menor.

os passageiros Qual(is) deles está(ão) correto(s)? Somente A e C estão certos.

c) água exercerá uma força na escultura proporcional a sua massa, e para cima. Esta força se somará à força que os trabalhadores fazem para anular a ação da força-peso da escultura.

40. Uma esfera metálica oca, uma “casca”, é fechada hermeticamente, mantendo um pouco de ar em seu in-

d) água exercerá uma força na escultura para baixo, e esta passará a receber uma força ascendente do piso

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X e)

água exercerá uma força na escultura proporcional ao seu volume, e para cima. Esta força se somará à força que os trabalhadores fazem, podendo resultar em uma força ascendente maior que o peso da escultura.

44. Durante uma pescaria, um pescador percebeu que era mais fácil puxar a âncora do seu barco quando ela estava totalmente submersa do que quando ela estava fora da água. Sobre essa observação, ele elaborou quatro explicações. Qual delas é correta? a) O empuxo produzido pela água e o peso da âncora se anulam. b) O empuxo produzido pela água é maior que o peso da âncora. c) Enquanto permanece submersa, o peso da âncora é menor. X d) Enquanto

permanece submersa, a intensidade da força para puxar a âncora é menor que a intensidade do peso da âncora.

45. (UFV-MG) Um bloco cúbico de aresta igual a 4,0 cm é colocado em equilíbrio, imerso inicialmente em um líquido A de densidade igual a 0,90 g  cm3. Em seguida, o mesmo bloco é imerso em um líquido B, ficando em equilíbrio conforme a ilustração abaixo.

Editoria de arte

da piscina. Esta força ajudará a anular a ação da força-peso na escultura.

2,0 cm

líquido A

3,0 cm líquido B

A densidade do líquido B, em g  cm3, é de: a) 0,40 b) 1,2

X c) 0,60

e) 0,80

d) 1,0

46. Ao ser mergulhado num reservatório de água, um objeto desloca um volume de água equivalente a 6 · 10 – 4 m3. Determine a intensidade do empuxo que a água exerce no objeto, sabendo que nesse local g = 10 m/s2 e a densidade da água é 1 · 103 kg/m3. 6 N

Pense além Em competições que envolvem confrontos com times ou seleções de países da América do Sul, algumas vezes os jogos ocorrem em estádios localizados em altitudes elevadas onde os atletas têm maior dificuldade de adaptação. Como exemplo, podemos citar o estádio Hernando Siles, em La Paz, capital da Bolívia, situado a 3 600 m de altitude. Em locais como esse, a quantidade de ar é aproximadamente 35% menor que ao nível do mar e a pressão atmosférica também sofre uma redução considerável. A dificuldade para desenvolver uma atividade física em altitudes elevadas é causada pela redução da quantidade de Fotografia de 2007 do estádio Hernando Siles em La Paz, moléculas de oxigênio disponível para respiração. Por causa na Bolívia. desse problema, ocorre a polêmica sobre a não realização desse tipo de confronto a fim de não privilegiar uma equipe ou outra.

Atividades

Aizar Raldes/AFP

Futebol a grandes altitudes

Escreva no caderno

1. Converse com pessoas que tenham viajado para locais de grandes altitudes, perguntando a elas sobre as sensações que tiveram. Se isso não for possível, procure em revistas, jornais ou internet o depoimento de atletas que participaram de atividades esportivas nesses locais. Compare os depoimentos e veja se os sintomas descritos por eles coincidem. A diminuição na quantidade de gás oxigênio pode causar leve euforia seguida de cansaço, dor de cabeça e diminuição da coordenação motora. 2. Em seguida, com seus colegas de grupo, peça orientação a seus professores de Biologia e Educação Física, com o objetivo de entender os sintomas descritos pelos entrevistados. Conclua esta atividade produzindo uma redação com o tema: “Os efeitos causados pela altitude nos esportistas durante competições”, em que você se posicione criticamente sobre a legitimidade de competir a altas altitudes. Resposta pessoal.

Capítulo 15

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Você sabia?

Robert Pickett/Visuals Unlimited/ Corbis/Latinstock

Os meios de comunicação têm noticiado as mudanças no clima mundial e a ocorrência de catástrofes com efeitos devastadores devido a essas mudanças. Entre os efeitos das mudanças climáticas podemos destacar a invasão das regiões litorâneas pelo mar, o aumento da ocorrência e da intensidade dos ciclones e furacões, as ondas de calor e o derretimento acentuado das calotas polares. Mas o que estaria ocasionando essas mudanças? Atualmente, sabemos que o lançamento de gases na atmosfera – como os derivados de combustíveis fósseis pela combustão – é responsável pela formação da camada de poluentes de difícil dispersão, cuja consequência é acentuar o efeito estufa. Parte do aumento da temperatura média do planeta é causado pela intensificação do efeito estufa. Nesse efeito, parte dos raios solares que atingem a superfície da Terra irradia calor na atmosfera. Esse calor não pode ser disperso para fora do planeta de maneira satisfatória devido à camada de Iceberg. poluentes presentes na atmosfera. Em virtude da intensificação do derretimento, grandes blocos de gelo se desprendem das geleiras e flutuam na água, formando um maior número de icebergs. Os icebergs são grandes massas de água no estado sólido que se deslocam seguindo as correntes marítimas nos oceanos. Em geral, a parte do iceberg visível acima da água corresponde a menos de 10% do volume total dele. A flutuação do iceberg ocorre pelo fato de o gelo apresentar densidade ligeiramente menor que a da água líquida. Sabemos que a intensidade do empuxo sobre um corpo imerso em um fluido é numericamente igual ao peso do fluido que o corpo desloca. Assim, é possível compreender como determinados corpos – icebergs, navios, entre outros – flutuam. Da relação entre as forças peso e empuxo podemos entender como, curiosamente, um pedaço de gelo flutua em uma vasilha com água e afunda quando colocado na mesma vasilha com álcool. Isso ocorre porque diferentes líquidos que agem sobre um mesmo corpo produzem empuxos de diferentes intensidades. Um objeto oco tem mais facilidade de flutuar. Um navio só flutua porque não é todo de ferro. As partes ocas ou vazias do navio reduzem sua densidade em relação à do ferro maciço. Um navio é tão oco que a sua densidade média é bem menor do que a densidade da água. Alguns animais, e até seres humanos, têm facilidade para boiar na água. Isso demonstra que a densidade média desses seres vivos é inferior à denA rã é um exemplo de animal que sidade da água.

Dimitri Vervitsiotis/Photographer’s Choice/Getty Images

Em que outras situações podemos observar o empuxo?

possui facilidade para boiar na água.

1. Com base no texto, analise as situações a seguir e escreva suas conclusões. a) Inicialmente uma tigela flutua sobre a água. O que ocorreria se quebrássemos a tigela?

Ilustrações: Luis Moura

Escreva no caderno

Atividades

1. a) Professor, faça um levantamento da opinião dos alunos com relação às ilustrações abaixo. Se o material da tigela for mais denso que a água, ao ser quebrada, suas partes afundam. b) Com os pulmões cheios de ar, pois, quanto maior o volume do nosso corpo (por isso é bom mantê-lo esticado com os braços e as pernas abertos), menor é a densidade e maior a flutuabilidade.

b) Quando uma pessoa está de barriga para cima boiando na água, seu corpo flutua com mais facilidade com os pulmões vazios ou cheios de ar? Por quê? 2. Discuta com seus colegas de grupo o assunto abordado nesse texto e, posteriormente, faça uma redação com o seguinte tema: “As ações humanas que têm contribuído para as recentes mudanças climáticas e catástrofes mundiais”. Resposta pessoal.

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Lendo a Física

Arquimedes e a coroa do rei Nesta atividade vamos trabalhar com uma história muito difundida no ensino da Física: a da descoberta da falsificação da coroa de um rei por causa da água derramada de um recipiente. O resgate dessa história se deu por meio de um texto de Marcus Vitruvius (c. 80 a.C.-c. 15 d.C.), arquiteto romano, que descreve um suposto procedimento utilizado por Arquimedes. Quanto a Arquimedes, ele certamente fez descobertas admiráveis em muitos domínios, mas aquela que vou expor testemunha, entre muitas outras, um engenho extremo. Hieron de Siracusa, tendo chegado ao poder real, decidiu colocar em um templo, por causa de seus sucessos, uma coroa de ouro que havia prometido aos deuses imortais. Ofereceu assim um prêmio pela execução do trabalho e forneceu ao vencedor a quantidade de ouro necessária, devidamente pesada. Este, depois do tempo previsto, submeteu seu trabalho, finalmente manufaturado, à aprovação do rei e, com uma balança, fez uma prova do peso da coroa. Quando Hieron soube, através de uma denúncia, que certa quantidade de ouro havia sido retirada e substituída pelo equivalente em prata, incorporada ao objeto votivo, furioso por haver sido enganado, mas não encontrando nenhum modo de evidenciar a fraude, pediu a Arquimedes que refletisse sobre isso. E o acaso fez com que ele fosse se banhar com essa preocupação em mente e ao descer à banheira, notou que, à medida que lá entrava, escorria para fora uma quantidade de água igual ao volume de seu corpo. [...]. Assim encaminhado para sua descoberta, diz-se que ele fabricou dois blocos de mesmo peso, igual ao da coroa, sendo um de ouro e o outro de prata. Feito isso, encheu de água até a borda um grande vaso, no qual mergulhou o bloco de prata. Escoou-se uma quantidade de água igual ao volume imerso no vaso. Assim, depois de retirado o corpo, ele colocou de volta a água que faltava, medindo-a com um sextarius, de tal modo que o nível voltou à borda, como inicialmente. Ele encontrou assim o peso de prata correspondente a uma quantidade determinada de água. Feita essa experiência, ele mergulhou, então, da mesma forma o corpo de ouro no

Sextarius medida romana de volume (0,547 litro, em valores atuais).

vaso cheio, e depois de retirá-lo fez então sua medida seguindo um método semelhante: partindo da quantidade de água necessária, que não era igual e sim menor, encontrou em que proporção o corpo de ouro era menos volumoso do que o de prata, quando tinham pesos iguais. Em seguida, depois de ter enchido o vaso e mergulhado desta vez a coroa na mesma água, descobriu que havia escoado mais água para a coroa do que para o bloco de ouro de mesmo peso, e assim, partindo do fato de que fluía mais água no caso da coroa do que no do bloco, inferiu por seu raciocínio a mistura de prata ao ouro e tornou manifesto o furto do artesão [...]. MARTINS, R. A. Arquimedes e a coroa do rei. Revista brasileira de ensino de Física, Florianópolis: UFSC, v. 17, n. 2, 2000. Disponível em: <www.periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/6769/6238>. Acesso em: 2 jan. 2016.

Responda

Escreva no caderno

Para auxiliar nas respostas, especialmente da questão 3, você pode construir com os alunos sua própria balança utilizando uma vareta que se equilibre por um fio com um gancho em cada uma de suas extremidades. Para regular o equilíbrio utilize duas latinhas de refrigerante. Depois de equilibradas coloque somente as latinhas dentro da água e veja se ocorre alguma mudança. Professor, as respostas e os comentários das questões encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

1. Quais são os dois metais com que a coroa foi confeccionada? Pesquise a densidade de cada um deles e determine a diferença de volume encontrada para duas coroas que tenham a mesma massa de 1 kg. 2. Em sua opinião, o método utilizado por Arquimedes descrito no texto é plausível? Tente estimar qual seria a diferença no volume de água deslocado pelas diferentes coroas. 3. Junte seu grupo e faça uma pesquisa sobre o que é uma balança hidrostática. Em seguida, determine de que modo esse mecanismo pode ter auxiliado na conclusão de Arquimedes sobre a veracidade da coroa.

Capítulo 15

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Experimente a Física no dia a dia

Atenção Faça o experimento somente na presença do professor.

A atmosfera terrestre é dividida em algumas camadas segundo características específicas. Nós vivemos na troposfera, a camada mais próxima da superfície da Terra, e que comporta cerca de 80% da massa atmosférica. É interessante perceber que, apesar de compor a maior parte da massa atmosférica, a troposfera tem entre 10 km e 20 km de altura. Isso ocorre porque há uma grande variação da concentração da mistura dos gases com relação à altitude, no sentido de a mistura se tornar mais rarefeita. Assim, não há como definir um limite evidente para o fim da atmosfera, e admite-se o início da exosfera, a última camada, a 1 000 km da superfície. Além delas, temos a estratosfera, a mesosfera e a termosfera. Alguns dizem que vivemos em um verdadeiro "oceano" de ar. Nas atividades a seguir, tente explicar a situação apresentada com base na ação das forças que atuam no sistema.

NASA/NOAA/GSFC/Suomi NPP/VIIRS/Norman Kuring

Quem faz a força?

Fotografia espacial da borda do planeta Terra, onde é possível identificar a coluna de ar da atmosfera terrestre.

Materiais • 1 pedaço de cartolina • 1 garrafa PET

• gelo • 1 copo

• água fria e quente • 1 bacia ou balde

Passo a passo Etapa 1 • • • • •

Encha inteiramente um copo com água. Em seguida, recorte um pedaço de cartolina maior que o tamanho da boca do copo. Tampe a boca do copo com a cartolina. Em seguida vire o copo de “boca para baixo”, lentamente, segurando a cartolina; depois solte-a com cuidado. Observe e responda a questão 1.

Etapa 2 • Coloque um pouco de água quente em uma garrafa PET (500 mL ou 600 mL), agite um pouco, descarte-a de modo que possa ser reaproveitada e tampe a garrafa novamente. Tenha cuidado com a água quente. • Em seguida, coloque a garrafa em um recipiente (bacia ou balde) com água fria. Você pode colocar bastante gelo na água do recipiente. • Observe e responda às questões 2 e 3. Escreva no caderno

Responda

Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.

1. Na realização da primeira etapa do experimento, o que aconteceu com a cartolina? 2. Na realização da segunda etapa do experimento, o que aconteceu com a garrafa? 3. Como as observações feitas na Etapa 1 podem ser aplicadas na Etapa 2?

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Você sabia?

Como podemos aplicar a Hidrodinâmica na circulação do sangue? A Hidrostática estuda os fluidos em repouso. A Hidrodinâmica é uma área da Física que estuda os fluidos em movimento mas que não será tratada nesta coleção. (No entanto, um exemplo muito comum de Hidrodinâmica é o movimento do sangue no corpo humano.) O sangue é um tecido conjuntivo que circula pelo corpo e tem, entre suas funções, a manutenção da vida do organismo. É composto de uma parte líquida, chamada plasma, formada de água, sais, vitaminas etc., e outra parte sólida, formada de hemácias, leucócitos e plaquetas. Em um adulto circulam cerca de 5 L de sangue, que completam toda a circulação em 1 minuto. Os conhecimentos sobre o sangue e o sistema circulatório não eram tão abrangentes no século XVIII, quando o estudante de Medicina e matemático Daniel Bernoulli demonstrou interesse em desenvolver uma maneira de medir a pressão de líquidos em movimento. Provavelmente, foi a sua formação em Medicina que despertou nele a necessidade de entender o que ocorre no fluxo sanguíneo. Assim, esse interesse o levou a descobrir que há uma relação entre a pressão exercida por um fluido em movimento e sua respectiva velocidade. Bernoulli obteve então uma equação para a descrição dos fluidos em movimento que leva o seu nome. início de aterosclerose

aterosclerose severa

Ilustrações: Luís Moura

artéria normal

O acúmulo de gordura provoca o estreitamento das artérias e dificulta o fluxo sanguíneo.

Atualmente, uma das doenças mais comuns do sistema cardiovascular é a aterosclerose, que corresponde ao processo de estreitamento e endurecimento das artérias médias e grandes. O acúmulo de material gorduroso no interior de determinados vasos sanguíneos torna-os mais estreitos, favorecendo a formação de placas ou ateromas (daí o nome de aterosclerose). O acúmulo de gordura nas artérias provoca protuberâncias que, além de dificultarem a passagem do sangue, fazem que o escoamento passe a ser turbulento. Sobre as possíveis causas da aterosclerose, podemos destacar hereditariedade, alimentação rica em gorduras, tabagismo, pressão alta, diabetes, infecções por vírus, obesidade, vida sedentária e esO escoamento do sangue tresse. Esses fatores provocam a má irrigação sanguínea, o que facipassa a ser turbulento onde há acúmulo de gordura. lita a ocorrência de embolias, tromboses e infartos.

Atividade

Escreva no caderno

Professor, ajude a turma nesta atividade. Se possível, organize uma palestra para a comunidade e convide os professores de Biologia e Educação Física para discorrer sobre o tema.

1. Pesquise hábitos saudáveis para evitar a aterosclerose. Faça um painel em grupo com as principais informações e divulgue-as para a comunidade e demais estudantes de outas séries. Capítulo 15

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Escreva no caderno

Exercícios complementares

60°

Resposta no final do livro.

b) Qual é a força que a superfície exerce sobre o rolete? 10 N

4. Um tubo contendo mercúrio tem uma de suas extremidades ligada ao registro fechado de um botijão de gás (Figura 1). A outra extremidade do tubo é livre, permitindo que o mercúrio esteja em contato com o ar. Ao abrir-se o registro do gás, o mercúrio é empurrado no tubo e passa a equilibrar-se em uma outra posição (Figura 2).

Paulo Nilson

2

1

a) Indique as forças externas que atuam sobre a barra.

3

5 cm

Eunice Toyota

30°

3. (Fuvest-SP) Uma barra rígiF da e homogênea de 2,0 kg está ligada numa das extremidades a um suporte, por N P uma mola de constante elástica k 5 200 N/m. Na outra extremidade, articula-se a um rolete que pode girar livremente. Nessa situação, a mola está deformada 5,0 cm. (Dado: g 5 10 N/kg.)

Paulo Cesar

1. Os registros sobre o primeiro semáforo, direcionado a orientar o fluxo de veículos, relatam que ele começou a operar em Londres, em 1868. Possuía dois braços que, quando estendidos horizontalmente, indicavam “Pare” e, quando inclinados a 45 graus, indicavam “Siga com cuidado”. Posteriormente, outros tipos de semáforos foram criados; contudo, o primeiro que se aproxima dos formatos atuais, do tipo verde-amarelo-vermelho, com quatro faces, foi instalado em Detroit, EUA, em 1920. Atualmente, é difícil imaginar a organização do trânsito, nas grandes cidades, sem esse instrumento. Analise a instalação do semáforo representado a seguir, que apresenta massa de 20 kg e está pendurado por três cabos. Os cabos 1 e 2 fazem um ângulo 30° e 60° com a horizontal, respectivamente.

10 cm

Studio Caparroz

2. Atualmente, há estudos que comprovam a importância das atividades físicas para a manutenção das boas condições de saúde. Alguns aparelhos têm sido estruturados com objetivo de favorecer essas atividades. Um dos aparelhos mais utilizados nas academias é a cadeira extensora. Ele é usado principalmente para fortalecer os músculos anteriores da coxa. A ilustração abaixo mostra uma pessoa realizando um exercício nesse tipo de cadeira. Sabendo que o peso utilizado para realizar esse tipo de exercício foi de 60 N e que a distância entre o centro de gravidade do apoio do aparelho e o centro articular do joelho é 0,3 metros, determine a quantidade de torque gerado nos joelhos nas posições 1 e 2. Posição 1: M 5 0 ; Posição 2: M 5 18 Nm

d

Figura 1

Figura 2

Sabendo que todo o procedimento descrito ocorre em um local ao nível do mar, a pressão do gás contido no botijão é, em cmHg, igual a: a) 91

d) 71

X b) 86

e) 66

c) 81 5. (Ufla-MG) Um tubo na forma de U contém água, conforme mostra a figura 1. Em seguida é colocada uma quantidade de óleo no ramo esquerdo do tubo. A figura 2 mostra a água e o óleo ao longo do tubo após ser atingido o equilíbrio. Editoria de arte

Qual a intensidade das forças de tração nos cabos 1, 2 e 3? T1 5 100 N; T2 5 100√3 N; T3 5 200 N

óleo E

P

d

F

água

água

2 A 1

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Unidade 6

Figura 1

B Figura 2

Estática e Hidrostática

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Tarumã

Considerando a densidade da água 1 g/cm3 e a do óleo 0,8 g/cm3, pode-se afirmar sobre as pressões nos pontos A e B e E e F que: a) PA 5 PB e PE , PF b) PA . PB e PE . PF X c) PA 5 PB e PE . PF

d) PA , PB e PE , PF e) PA , PB e PE 5 PF

6. O funcionamento de um elevador hidráulico de carros consiste em um cilindro, de 15 cm de raio, que comprime o óleo do reservatório, transmitindo essa pressão a outro cilindro de 0,75 cm de raio. Qual a força mínima que deveria ser aplicada ao cilindro menor para erguer um veículo de 2,0 ? 103 kg? Dado: g 5 10 m/s2. 50 N 7. Usando-se um manômetro, que consiste em um tubo em forma de “U” contendo mercúrio, podemos medir a pressão de um gás. Observando a figura representada a seguir, calcule a pressão p, sabendo que a aceleração da gravidade local é 10 m/s2 e a pressão atmosférica, 1,0 ? 10 N/m2. Dado: dHg 5 13,6 ? 103 kg/m3

p

1,1 ? 105 N/m2

0,25 m

Hg

0,15 m

8. Imagine que um aluno estivesse interessado em medir o tempo para encher um recipiente e assim saber a vazão da torneira de sua casa. Durante essa atividade, ele começou a pensar como estaria variando a pressão de um ponto no fundo do recipiente. Ele sabe, por exemplo, que, conforme o recipiente vai enchendo, a pressão no fundo dele aumenta; afinal, quanto maior a altura da água, maior a pressão. Como você acha que esse aluno esboçou o gráfico da variação da pressão em função do tempo? Uma reta inclinada com coeficiente angular positivo.

9. Os peixes afundam e flutuam em rios, lagos e oceanos porque conseguem variar rapidamente sua densidade. Explique a afirmativa com base na força de empuxo. Os peixes variam a densidade variando o volume da bexiga natatória.

De volta ao começo O braço humano tem estrutura semelhante a uma alavanca interpotente. A mão que segura algum peso exerce o papel da força resistente, a força aplicada pelo músculo em um osso do antebraço é a força potente, e a junção no cotovelo é o ponto de apoio. Fisicamente, a distância entre o ponto de apoio do objeto (A) e o ponto de articulação (C) é 34 cm, e o músculo age em um ponto (B) distante 4 cm do ponto de articulação. Para que o corpo se mantenha em equilíbrio, a soma algébrica dos momentos das forças deve ser nula. Em relação ao ponto de articulação C, temos: MP  MF  0 40  0,34  F  0,04  0 Æ F  340 N músculo

C

C

A

A

B

B F

4 cm

30 cm

dCB  4 cm  0,04 m dBA  30 cm  0,30 m

P

Editoria de arte

Paulo Cesar

F

P  peso do objeto F  força exercida pelo bíceps F  força exercida pela articulação

Esse diagrama mecânico representa as forças que agem no antebraço, sem considerarmos o peso do conjunto (mão-braço). Portanto, o músculo exerce uma força de intensidade maior que a força peso do objeto.

Capítulo 15

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Lista de siglas Cesgranrio-RJ — Centro de Seleção de Candidatos ao Ensino Superior do Grande Rio Enem/MEC — Exame Nacional do Ensino Médio Fatec-SP — Faculdade de Tecnologia FCMSC-SP — Faculdade de Ciências Médicas da Santa Casa de São Paulo FEI-SP — Faculdade de Engenharia Industrial FGV-SP — Fundação Getúlio Vargas FMTM-MG — Faculdade de Medicina do Triângulo Mineiro FNFi — Faculdade Nacional de Filosofia Fuvest-SP — Fundação Universitária para o Vestibular ITA-SP — Instituto Tecnológico de Aeronáutica Mack-SP — Universidade Presbiteriana Mackenzie OBF — Olimpíada Brasileira de Física PUCCamp-SP — Pontifícia Universidade Católica de Campinas PUC-MG — Pontíficia Universidade Católica de Minas Gerais PUC-PR — Pontifícia Universidade Católica do Paraná PUC-RS —Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul UECE — Universidade Estadual do Ceará UEL-PR — Universidade Estadual de Londrina UERJ — Universidade do Estado do Rio de Janeiro UFBA — Universidade Federal da Bahia UFC-CE — Universidade Federal do Ceará UFF-RJ — Universidade Federal Fluminense UFG-GO — Universidade Federal de Goiás UFLA-MG — Universidade Federal de Lavras UFMG — Universidade Federal de Minas Gerais UFMT — Universidade Federal do Mato Grosso UFPA — Universidade Federal do Pará UFPE — Universidade Federal de Pernambuco UFPR — Universidade Federal do Paraná UFRGS-RS — U  niversidade Federal do Rio Grande do Sul UFRJ — Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRN — Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFS-SE — Universidade Federal de Sergipe UFSM-RS — Universidade Federal de Santa Maria UFU-MG — Universidade Federal de Uberlândia UFV-MG — Universidade Federal de Viçosa UnB-DF — Universidade de Brasília Unesa-RJ — Universidade Estácio de Sá Unesp-SP — Universidade Estadual Paulista Unicamp-SP — Universidade Estadual de Campinas Unifor-CE — Universidade de Fortaleza Unirio-RJ — Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro Vunesp-SP — Fundação para o Vestibular da Universidade Estadual Paulista

Referências e Lista de siglas

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Sugestões para pesquisa e leitura O livro didático é uma das fontes de informações que você pode usar para aprimorar seus conhecimentos, mas não deve ser a única. Por isso, sugerimos algumas alternativas que podem ampliar seus conhecimentos. Procuramos relacionar livros com temas interessantes para que sua leitura seja agradável e lúdica, sem perder o rigor dos conhecimentos sobre Física. As revistas indicadas nem sempre são encontradas em bancas, mas todas possuem versões para a internet, com textos que podem ser acessados gratuitamente.

Livros BRANCO, Samuel Murgel. Energia e meio ambiente. São Paulo: Moderna, 1991. BRECHT, Bertold. Vida de Galileu. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1991. CHALMERS, Alan F. Que é ciência afinal? São Paulo: Brasiliense, 1997. EINSTEIN, Albert; INFELD, Leopold. A evolução da Física. Rio de Janeiro: Zahar, 2008. FIOLHAIS, Carlos. Física divertida. Brasília: Editora da UnB, 2000. FREIRE, Helena da Silva. Usos de energia: sistemas, fontes e alternativas; do fogo aos gradientes de temperatura oceânicos. São Paulo: Atual, 1991. GONICK, Larry; HUFFMAN, Art. Introdução ilustrada à Física. Trad. Luis Carlos de Meneses. São Paulo: Harbra, 1994. HAMBURGUER, Hernest W. O que é Física? São Paulo: Brasiliense, 1992. HEWITT, Paul G. Física conceitual. Porto Alegre: Artmed, 2002. LEVY-LEBLOND, Jean-Marc. A mecânica em perguntas. Lisboa: Gradiva, 1991. MONTANARI, Valdir. Energia nossa de cada dia. São Paulo: Moderna, 2003.

WAKER, Jearl. O grande circo da Física. Lisboa: Gradiva, 1990.

WESTFALL, Richard S. A vida de Isaac Newton. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1995.

Revistas CIÊNCIA HOJE. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência (SBPC). DESAFIOS DO DESENVOLVIMENTO. Brasília: Instituto de Pesquisa Econômica e Aplicada (IPEA). GALILEU. Rio de Janeiro: Globo. PESQUISA FAPERJ. Rio de Janeiro: Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro. PESQUISA FAPESP. São Paulo: Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo. SCIENTIFIC AMERICAN BRASIL. São Paulo: Ediouro.

Sites1 CIÊNCIA HOJE. Rio de Janeiro.

Disponível em: <http://www.ciencia.org.br>. CNEN: COMISSÃO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEAR.

PARKER, Steve. Galileu e o Universo. São Paulo: Scipione, 1996.

Disponível em: <http://www.cnen.gov.br>.

PARKER, Steve. Newton e a gravitação. São Paulo: Scipione, 1996.

Disponível em: <http://www.eletronuclear.gov.br>.

POSKITT, Kjartan. Isaac Newton e sua maçã. São Paulo: Companhia das Letras, 2002.

Disponível em: <http://www.eciencia.usp.br>.

ROCHA, Romeu F. Grandezas e unidades de medidas. São Paulo: Ática, 1988.

Disponível em: <www.greenpeace.org.br>.

SPEYER, Edward. Seis caminhos a partir de Newton: as grandes descobertas da Física. Rio de Janeiro: Campus, 1995.

ELETROBRAS ELETRONUCLEAR. ESTAÇÃO CIÊNCIA. Universidade de São Paulo. GREENPEACE. MCTI: MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO.

Disponível em: <http://www.mct.gov.br>. PETROBRAS.

STRATHERN, Paul. Arquimedes e a alavanca. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 1997.

Disponível em: <http://www.petrobras.com.br>.

TUNDISI, Helena da Silva F. Usos de energia: sistemas, fontes e alternativas. São Paulo: Atual, 1991. (Meio ambiente).

Disponível em: <http://www.revistapesquisa.fapesp.br>.

VALADARES, Eduardo de Campos. Física mais que di­vertida. Belo Horizonte: Editora da UFMG, 2002.

REVISTA PESQUISA FAPESP. São Paulo. SCIENTIFIC AMERICAN BRASIL. São Paulo.

Disponível em: <http://www.sciam.com.br>. 1 Sites acessados em 17 de março de 2016. Sugestões para pesquisa e leitura

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Unidade 1 Capítulo 1 Exercícios propostos 1. c 2. A hipótese I não pode ser testada; logo, não é científica.

7. A trajetória de um corpo depende do re­ ferencial adotado, ou seja, será descrita de forma diferente se for observada de referenciais distintos. 8. a) sM  0; sN  60 km; sO  140 km; sP  180 km b) sM  160 km; sN  100 km; sO  20 km; sP  20 km b) Um quarto de circunferência. 2pR c) C  4

Exercícios complementares

d) Não, o deslocamento é aparente.

1. a) Resposta pessoal.

10. As afirmações II e IV estão corretas.

b) Resposta pessoal.

11. 80 km; 110 km

2. a) Eletromagnetismo.

12. A ideia de velocidade está relaciona­ da à rapidez com que ocorrem as va­ riações das posições escalares de um corpo. Por exemplo, a velocidade de um nadador depende do tempo gasto por ele para ir da posição inicial até a posição final.

c) Óptica. d) Mecânica. e) Física Moderna. f) Ondulatória. 3. d 4. b

Unidade 2 Capítulo 2 Exercícios propostos 1. Quando as dimensões do corpo em estudo são muito pequenas se compa­ radas às dimensões em que ocorre o fenômeno estudado. 2. Não, pode acontecer de o outro ônibus estar em movimento em relação ao solo. O estudante vê o deslocamento em relação ao seu ônibus, ficando com a impressão de que ele se move.

15 10 5 0 5

13. Provavelmente a máxima é superior a 310 km/h e a mínima é inferior a essa velocidade. 14. 3,6 km/h 15. 72 km/h

1

2

3

4

5

6

t (s)

10 15

9. a) 5 horas e 30 minutos

As hipóteses II e III podem ser testadas e comprovadas; logo, são científicas.

b) Termodinâmica.

9. a) s (m)

b) v (m/s) 5

0

6

t (s)

c) s  15 5t (SI) d) 3 s; movimento progressivo. e) Não, a forma do gráfico apresenta apenas a dependência entre as grande­ zas s e t. 10. Ambos possuem a mesma velocidade. 11. s  15  3t 12. b 13. 60 m; 65 m 14. b

Capítulo 4

16. c

Exercícios propostos

17. 9,6 km/h

1. Movimento variado está relacionado à variação da velocidade escalar instan­ tânea de um móvel.

18. 40 m 19. O caramujo é mais lento que o bicho­ ‑preguiça. 20. a) 0,5 m/s b) 1 200 m 21. 42 km/h

Capítulo 3

2. Resposta pessoal. 3. Não, pois aceleração escalar nula signi­ fica que a velocidade escalar é constan­ te, podendo ser nula ou não. 4. A cada segundo sua velocidade varia 20 km/h. 5. e

Exercícios propostos

6. 2 m/s2. O movimento é retardado.

3. Sim, basta considerar o barco como referencial.

1. a) 10 m

7. 200 m/s2

b) 28 m

8. O carro B consegue a maior aceleração.

4. a) Em repouso.

c) 10 s

b) Em movimento.

2. s  2t

c) Em movimento.

3. 250 s

5. a) Não, está em movimento.

4. e

9. a  2 m/s2. O movimento é progressivo e acelerado. a  4 m/s2 . O movimento é retrógrado e acelerado. a  25 m/s2. O movimento é progres­ sivo e retardado. a  2 m/s2 . O movimento é retrógrado e retardado.

b) Verdadeira. c) Para o guarda rodoviário, ambos estão em movimento. 6. a) xA  5m; xB  9 m; xC  2m; xD  5m b) 11 m c) 10 m d) Movimento progressivo. e) Movimento retrógrado.

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5. a) 1 800 m b) 0 6. a) 1 m/s; 2 m b) T progressivo; R retrógrado c) sR  5  1t d) 1,5 s 7. b 8. Consumo de A é 3,75 litros e de B, 1,25 litro.

Ilustrações: Editoria de arte

Respostas

10. a) 36,8 m/s2 (acelerado) b) a  35,1 m/s2 (retardado) 11. a) 0 s a 4 s; 12 s a 20 s b) 4 s a 12 s c) 0 s a 4 s e 12 s a 20 s

Respostas

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4/15/16 9:59 AM


9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

t (s)

b) 1,8 m/s 13. a) v  15 22t (SI) b) 7,5 s 14. a) v  20 1,5t (SI) b) 24,5 m/s c) Acelerado. 15. 4,0 m/s2; 10 m/s 16. 24,0 m/s2; 4 s 17. 0,6 m/s; 0,2 m/s2 18. Não, no MU as partículas percorrem espaços iguais em tempos iguais e no MUV os espaços percorridos em intervalos de tempos iguais serão cada vez maiores, quando o movimento for acelerado, e cada vez menores no movimento retardado. 19. a) 2 m/s c) 20 m b) 6 m/s2 20. 3 s 21. c 22. 16 s 23. a) 5 s a 10 s d) 0 b) 0 s a 5 s e) 0 s e 10 s c) 5 s 24. a) 4 s b) 4 m 25. a) 57 m b) Entre 0 s e 2 s e entre 8 s e 10 s. c) 9 m 26. 0,25 m/s2 27. 0 28. 100 m 29. d 30. a) 90 m b) 3,5 m/s2 31. v  20 m/s; t  40 s 32. Conseguiu parar à distância de 20 m da terra. 33. a) Caminhão: 70 s e 1 225 m; carro: 25 s e 312,5 m. b) 212,5 m c) 91,25 s 2

Capítulo 5 Exercícios propostos

4. a) A pena e o martelo atingiram o solo simultaneamente. b) ∑1,4 s 5. 40 m/s 6. 20 m 7. v 5 30 m/s e H 5 45 m 8. c 9. 2s 10. c 11. 30 m/s 12. 20 m 13. a) s  20t 25t2; v  20 210t b) 2 s c) 20 m d) 15 m, sentido para baixo. e) 4 s; 220 m/s f) s (m)

Capítulo 6 Exercícios propostos 1. As escalares são definidas por um valor numérico e pela unidade de medida. As vetoriais são identificadas por módulo (e sua unidade de medida), direção e sentido. 2. c 3. A soma vetorial está relacionada à ideia de obter um único vetor que representa a soma de dois ou mais vetores. 4. Sim, quando os vetores são opostos. 5. a) A e B; C e D b) C e D c) A e C d) Não, porque suas direções são diferentes. 6. b  7. a) 

20

z

v

v R

2

t (s)

4

b)

 v

14. a) 1,2 s b) 0 c) 2 m/s d)

z

R 

v (m/s)

4 km

8. a)

12

4 km 8

navegante 4

N

1

1,2

2

L S

b) 20 km c) Ela representa a menor distância para a equipe de salvamento chegar ao local. 9. 2u 10. 7 m

–4 –8

15. 75 m 16. a) 1 s b) 5,24 s 17. c

O

PS

t (s)

c) 25 m

Exercícios complementares 1. a) Circunferência. b) Pelo observador na calçada é uma reta e para o ciclista um ponto que não descreve uma trajetória. 2. 120 km/h

1. Significa que o movimento do corpo ocorre em trajetória retilínea, vertical e livre dos efeitos da resistência do ar.

3. a) t  7 s

2. Devido aos efeitos da resistência do ar.

5. b 6. a) 25 s b) Movimento acelerado (v  vi).

3. MUV, pois apresenta aceleração constante.

Unidade 3

b) t  1,2 s 4. vA  5,65 vG; vB  11,3vG

11. a) Sim. O deslocamento escalar fica caracterizado por número e unidade. b) Não. Para caracterizar o deslocamento vetorial, além da intensidade (30 m), precisamos conhecer sua direção e seu sentido. 12. Ambas as afirmações são falsas. 13. a)

30 km 40 km

b) 50 km 14. a) Verdadeira. b) Falsa. c) Verdadeira. d) Falsa.

Respostas

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Ilustrações: Editoria de arte

12. a) v (m/s)

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15. c 16. a) Como não há escala, não podemos determinar a distância entre o avião e o radar, mas é possível indicar a direção e o sentido. O avião A se aproxima na po‑ sição 8 h; B se aproxima na posição 10 h e C se afasta na posição 12 h. b) A e B aterrissam e C decola. 17. a) d 5 9 km; direção: leste­‑oeste; sen‑ tido: para o leste. b) d 5 6 km; direção: leste­ ‑oeste; sentido: para o leste. c) d 5 2 10 km 18. a) 2 100 m b) 500 m c) A distância percorrida são todos os trechos percorridos e o deslocamento e a reta entre os pontos iniciais e finais. 19. a) O vetor velocidade é sempre tan‑ gente à trajetória.  OM  2 b) |Vvmm| 5 2 20. b 21. a) at  0 m/s2 e ac  10 m/s2 b) ar  10 m/s2

Editoria de arte

ac ar

A

v

ar

at

Exercícios propostos 1. Apenas o participante III fez uma afir‑ mação correta. 2. a) 0,4 s b) 0,80 m c) 5 m/s 3. a) 1 s b) 1,2 m/s (em relação à plataforma). 0,2 m/s (em relação ao solo). c) 10 m/s 4. 5 m/s 5. 250 m antes do local. 6. a) 21 m/s; 21 m/s b) x 21t; y  21t  5t2 c) 2,1 s d) 22,1 m e) 4,2 s f) tT  2tS g) 88,2 m h) 30 m/s 7. 0,8 s 8. 40,6 m; 2,9 s

Capítulo 8

22. a)

ac

Capítulo 7

B at

v

b) A: curvilíneo acelerado e B: curvi­ líneo retardado. 23. d 24. O carro acelera, no sentido do centro da curva, 10 m/s a cada segundo. 25. a) 6 m/s b) at  3 m/s2 e ac  4 m/s2 c) 5 m/s2

Exercícios propostos  1. a) rad 2 b) 10 000 km 2. a) p rad b) s1  31,4 m s2  47,1 m 3. 10 000 voltas. 4. a) 25 km/h b) 1,41 rad 5. 0,5 rad/s 6. vA  14 cm/s; vB  28 cm/s  7. a) rad/s 12 b)  m/s

16. a) Sim. b) Os movimentos têm a mesma fre‑ quência. c) A atleta mais alta descreve uma circunferência de raio maior, portanto sua velocidade escalar é maior. 17. a) 24 h b) 1,1  104 km/h  c) rad/h 12 18. a) 2s b) 4 Hz c) 30 cm/s 19. 5 s 20. a 21. a) A coroa deve ser maior que a catraca. b) Enquanto a cora dá uma volta, a ca‑ traca dá 4 voltas. c) Deve usar a catraca maior. 22. 10 rpm Exercícios complementares 1. c 2. a) 16 m/s b) 19,2 m/s2 3. a) 1 414 m b) 173 m/s 4. 5,4 m do buraco. 5. c 6. 6,4 m/s 7. As indicações do velocímetro serão maiores do que a real. 8. c 9. d

Unidade 4 Capítulo 9 Exercícios propostos 1. É uma grandeza capaz de modificar o movimento de um corpo ou deformá­‑lo.

27. a) 5 km/h b) 35 km/h

8. 0,30 rad  9. i  3 e

2. a) Quando um jogador de futebol chu‑ ta uma bola em direção ao gol, a bola sai de seu pé com velocidade.

10. 52,3 s

28. d

11. 0,01 m/s

29. 200 m (mesmo sentido); 67 m (sentidos contrários).

12. As velocidades angulares dos ponteiros são iguais para os dois relógios, enquan‑ to a velocidade escalar da extremidade do ponteiro do relógio maior é maior do que a do ponteiro do relógio de pulso.

b) Um garoto observa uma bola que rola sozinha em uma quadra até pa‑ rar. Diante desse fato, ele considera a existência de forças aplicadas na bola.

26. 400 km/h

30. 1,7 m/s 31. a) 260 km/h b) 200 km 32. II e III estão corretas. 33. a) 180 km/h b) O piloto pode acelerar o avião para compensar o arrasto do vento ou lan‑ çar a carga quando estiver mais próxi‑ mo do acampamento. 34. a) 20 km/h b) 0,03 h

284

13. a) 3 min 5 180 s 1 b) Hz 180 14. 0,6 pedalada por segundo. 15. a) 60 Hz 1 b) s 60 c) 120 p rad/s d) 56,52 m/s

c) Um corpo está em equilíbrio quando a soma das forças atuantes é igual a zero. 3. É uma força representativa que, ao agir no corpo, causa o mesmo efeito que o conjunto de todas as forças. 4. A Cinemática estuda os movimentos sem considerar suas causas, já na Di‑ nâmica as causas dos movimentos são fundamentais para realizar seu estudo. 5. c 6. I. Correta; II. Incorreta 7. 50 N

Respostas

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35. a) Falsa. b) Falsa. c) Verdadeira. d) Verdadeira. 36. Todas as afirmações estão corretas. 37. 3,0 N 38. d 39. a) 4 m/s2 b) T1  100 N e T2  60 N 40. 40 N 41. a)

62. Na hora de fazer mudança, é mais fácil puxar a máquina de lavar do que empurrá­‑la. 63. a)

Ilustrações: Editoria de arte

8. a) 62,4 N b) 68,1 N 9. 70 N; 30 N 10. d – 11. a) R 5 F√3 N b) 0 12. Não, pois existe uma força contrária ao seu movimento, que diminui a veloci­ dade do carrinho até ele parar. 13. Não, ele é válido sempre que a força resultante é nula. 14. 30 N 15. V, V, V, V 16. As forças têm sentidos opostos, por­ tanto: 12  10  m  2 Æ m  1 kg 17. a) 3 N b) 3 m/s2 18. 1,8  105 N 19. a) 1,0 m/s2 b) 1,2  103 N 20. No caminhão carregado, pois, quanto maior a massa do caminhão, menor será a aceleração adquirida por ele. 21. Quatro vezes. 22. a) A força do pé do jogador na bola aumenta a velocidade da bola; a força da bola no pé do jogador diminui a ve­ locidade do pé. b) As forças dos gases nas paredes do avião aceleram a aeronave para a fren­ te; as forças das paredes nos gases ace­ leram os gases para trás. c) A força da Terra sobre a Lua a man­ tém em sua órbita; a força da Lua sobre a Terra provoca as marés. d) As forças da hélice no ar empurram o ar para trás; as forças do ar na hélice empurram a hélice para a frente. 23. a) Não, porque o par de forças produ­ zidas estava no interior do sistema. b) Falso. João conseguirá mover o carro, pois o par de forças ação e rea­ ção está aplicado em corpos distintos. 24. Par, porque toda força de ação possui uma correspondente força de reação. 25. Porque estão aplicadas em corpos di­ ferentes. 26. 1, 3 e 2 27. b 28. Nula 29. a) 5,4 kg b) 5,4 kg em qualquer lugar. c) 54 N 30. e 31. a) P 5 mg b) P em N, m em kg e g em m/s2. 32. 1 000 N 33. a) 0 b) mg 34. a) M b) 1,6 P

N F Fat

b)

P

N F

T Fat

P

64. b P

b) 1 000 N c) 1 000 N d) 667 kg 42. d 43. c 44. 30 N 45. a) P b) P c) A força peso do bloco e a força de reação do teto. 46. a) 5 N b) 0,5 kg 47. 18 cm 48. 112 N 49. 6 cm 50. c 51. a 52. a)

4 5

65. c 66. c 67. b

Capítulo 10 Exercícios propostos 1. c 2. a)

v A

v D

B

b) No MU, o módulo da velocidade não varia, somente direção e sentido. c)

ac

3 b) 5 c)

3 5

d)

4 5

FC ac FC

FC

FC ac

ac

3 . d 4. e

53. a) 1 500 m b) 2 000 m 54. a) y  3 sen b) y  3

v

C v

3 2

55. Não. A aceleração de um corpo aban­ donado sobre um plano inclinado de­ pende da inclinação desse plano e da gravidade no local. 56. g  sen  57. 5 m/s2 58. 200 N 59. a) 2,5 m/s2 b) 30 N 60. Reduzindo a força resultante e, conse­ quentemente, a aceleração. 61. Com a mesma intensidade da força de atrito (cinético).

5. F, V, V 6. Resposta pessoal. 7. A força gravitacional (peso) é a força centrípeta que altera a direção da velo­ cidade do satélite. 8. a) 1,0 m/s b) 2,0 m/s2 c) 8,0 N 9. 50 m/s 10. 1,8 rad/s 11. 20 m/s 12. 0,25 N 13. d 14. a) Peso, força de atrito e força normal. b) 4 m/s2 c) 4 000 N Respostas

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1. A aceitação desse modelo se deve, especialmente, à utilização contínua das tabelas astronômicas do Almagesto, escrito por Ptolomeu, e a interesses religiosos. 2. Nesse modelo, verifica­‑se a simplificação do movimento dos planetas, eliminando os epiciclos e introduzindo o movimento da Terra (contrariando o modelo ptolomaico). 3. Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno, planetas vistos a olho nu. Não havia telescópio. 4. Resposta pessoal. 5. A distância é variável e os planetas serão mais velozes quanto mais perto estiverem do Sol. 6. No periélio, a velocidade é maior. No afélio, a velocidade é menor. 7. a) 24 h

período  2π

9. Aproximadamente 29,7 anos terrestres. 10. A Lua se moveria diretamente contra a superfície da Terra. 11. A força de atração entre os corpos se reduz e, nesse caso, passa a um quarto do valor inicial. 12. a) 8,4  108 N b) 800 N 13. Na situação 1, pois existe uma componente da força ao longo da direção do movimento do satélite A, variando sua velocidade, e a componente perpendicular alterando a direção da velocidade.

(R  H)3 GM

25. a) 6  103 m/s b) 104 s

9. a)

1. 15 N  |F3|  25 N 2. b 3. zero 4. a) 100 N b) 5,0 m/s2 c) 50 m/s 5. III e IV estão corretas. 6. a) 0,1 kg b) 3,2 kg c) 32 N d) 32 7. a) 600 N b) 600 N c) 720 N d) 480 N 8. a) T T A PA

55º

d = 60 cm

b) 3,4 J 10. a) 0 b) 240 J c) 0 d) 20 J e) 220 J 11. c 12. Somente a alternativa b é falsa. 13. II

T

B PB

T

b) 40 N 9. 6,4 N 10. c 11. F – V – F 12. a 13. d 14. 14 N 15. 0,1 16. d 17. Aproximadamente 96 anos terrestres. 18. d 19. As duas afirmações são incorretas. 20. 342  103 km 21. c

14. 90 15. a 16. d 17. É a influência que um corpo dotado de massa exerce sobre outro corpo massivo. Percebe­‑se essa influência graças à ação da força atrativa entre os corpos. 18. A aceleração gravitacional da superfície terrestre varia com seu movimento de rotação, sendo que no equador seu valor é mínimo e nos polos é máximo. O campo gravitacional aumentaria. 19. 1,61 m/s2 20. 4 685 km 21. 3,2  1022 N 22. b 23. A nave, os objetos no seu interior e o astronauta estão em “queda” com a mesma aceleração.

286

F

Exercícios complementares

b) 6,7 R. 8. A velocidade máxima ocorrerá em B e a mínima, em A.

7. A energia é potencial elástica quando o fio está distendido e poderá se transformar em energia cinética da flecha caso o fio seja liberado. 8. $F: motor; $R: resistente.

GM R H

Tarumã

Exercícios propostos

24. Velocidade orbital 

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Capítulo 11

UNIDADE 5 Capítulo 12 Exercícios propostos 1. 2 2. 4 3. A energia cinética aumentará (Ec  9  ECO), e a energia potencial continuará zero em relação ao solo. 4. a 5. Ambos, pois cada um se encontrava em um ponto de referência distinto. 6. a) A energia cinética é constante e a potencial aumenta. b) Potencial gravitacional. c) A energia potencial diminui e a cinética aumenta.

14. a) v  5  2t b) 2 400 J 15. Quando a peça estava em movimento, pois somente nesse momento ocorreu o deslocamento. 16. Trabalho resistente. 17. 280 000 J 18. 7,5 J 19. Subindo: 2200 J, descendo: 200 J. 20. 24 000 J 21. 2750 J 22. a) Prancha 1. b) O trabalho é o mesmo nos dois casos. 23. 150 N 24. d 25. a) 8 N b) 0,08 J 26. a) 20 cm b) 0,4 J c) 0,1 J 27. a) 200 N/m b) 2,25 J 28. 28 cm 29. 100 J e 150 J 30. Aumenta o trabalho sobre o veículo. O trabalho é duplicado. 31. Transforma­‑se em calor devido à presença da força de atrito, que se opõem ao movimento. 32. A distância percorrida por ele até parar. 33. O veículo A possui o dobro da velocidade de B, portanto uma energia cinética quatro vezes maior. Logo, A deve percorrer quatro vezes a distância per­ corrida por B. 34. a) 16 J b) 48 J c) 64 J d) 8 m/s

Respostas

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4/7/16 11:24 AM


52. I. 900; 1 700 II. 0; 1 700 III. 400; 1 300; 1 700 IV. 200; 1 500; 1 700 53. 1 J 54. a) 2000 J b) B(EP  1 600 J e EC  400 J); C(EP  0 J e EC  2 000 J); D(EP  1 680 J e EC  320 J) c) 10 m/s d) 4 m/s 55. 800 W 56. a) 16 000 J e 16 000 J b) 800 W e 640 W 57. a) 2 m/s b) 20 kW 58. PA  PB 59. 25 200 W 60. 1,25  105 W 61. c 62. Respostas pessoais. 63. c 64. I) Verdadeiro; II) Verdadeiro; III) Verdadeiro.

65. a) 6 000 J b) 15% 66. a) 1 HP b) 50% 67. 53% 68. 75%

h H

b) e  34. a) e 

2 3

b) 150 J Exercícios complementares

Capítulo 13 Exercícios propostos 1. As quantidades de movimento podem se anular, pois são grandezas vetoriais. As energias não se anulam, pois são grandezas escalares. 2. A quantidade de movimento duplicará e a energia cinética quadruplicará. 3. a) Verdadeira. b) Falsa. c) Verdadeira. 4. 219 kg  m/s 5. 2 6. O módulo é constante e igual a 0,3 kg  m/s. 7. 37,5 J; 15,0 kg  m/s 8. 2 m/s 9. 1,2 kg  m/s 10. 200 kg  m/s, direção horizontal e sentido da direita para a esquerda. 11. a) v  2  6t b) 7 kg  m/s 12. a) 1 000 kg b)  30 km/h 13. a) Não. b) O impulso é zero e a força resultante é nula. 14. 6,0 N  s 15. a 16. b 17. 3,3 N  s 18. 10 s 19. 3 m/s 20. 0,2 m/s 21. Sim, com velocidade em módulo 0,25 km/h. 22. a) 21,5 m/s b) 3,75 J 23. 21,0 m/s 24. d 25. d 26. a 27. 16 m/s 28. vA  6 m/s e vP  8 m/s 29. 20 kg  m/s 30. a) Zero. b) É igual à velocidade da bola verde. 31. a) 6,7 m/s b) 120 000 32. a) 1,0 b) 0,73 v 33. a) e  v

1. 16 J 2. a) Nas duas situações é igual a 3,6 J. b) 3,6 J c) Na 2a situação, com a rampa inclinada. 3. a) 3 m/s² b) 54 kW 4. a) 32 000 J b) 28 000J 5. 32 cm 6. a) 2 000 N/m b) 120 N 7. c 8. e 9. a) 2 m/s² b) 6 J 10. 1 500 J 11. A energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética, que, por sua vez, se desmembra em energias elástica, térmica e sonora. 12. a) 2 m/s b) 20 kW 13. a) Resposta pessoal. b) 0,6, choque parcialmente elástico. c) EC 5 0,81 m  g e EC 5 2,25 m  g. 0

Como EC , EC , o choque é parcialmente 0 elástico. 14. a) 240 kN b) 8 vezes 15. 0,96 m/s e 0, 36 m/s. 16. 0,2 m/s

Unidade 6 Capítulo 14 Exercícios propostos 1. 4N 2. 1 3. e 4. 187,5 N 5. TAB  400 N; TAC  200 3 N 6. a) F  P b) F  2 P 7. a 8. a) 30°

T2

60° T2 T1

30°

O T3  200 N

60° T3  200 N T1

b) T1  100 N; T2  100 3 N Respostas

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35. a) 232 J b) 8 N c) 0,1 36. a) 5,0 m/s b) 11 N 37. Diminui. 38. a) 200 J b) 8 N 39. a) 0 b) 400 J c) 1 000 J 40. 600 J 41. 0 42. 1 200 J e 2 6 000 J 43. 1 000 J 44. a) 50 N/m b) 0,25 J c) 0,2 m 45. 0,4 J 46. 60 J 47. 0,63 m 48. a) 400 N/m b) 0,5 J 49. a) 5 000 N/m b) 40 000 J 50. a) 9,5 kg b) 10 J 51. a) Conversão da energia proveniente das radiações solares em energia térmica. b) Conversão de energia potencial gravitacional em energia cinética. c) Conversão de energia potencial elástica em energia cinética. d) Energia liberada pela fissão dos núcleos atômicos em energia elétrica. e) Conversão de energia potencial gravitacional em energia elétrica.

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4/15/16 10:01 AM


atp

P

Nc Fatc

b) Sim; NC  400 N; Fat  150 N. c 21. e 22. c 23. A cabeça representa uma alavanca interfixa, o antebraço uma alavanca interpotente e o pé uma alavanca inter­ ‑resistente. 24. a) Interfixa. b) Interpotente. c) Interpotente. d) Inter­‑resistente. e) Inter­‑resistente. 25. Resposta pessoal. 26. 2,70 kgf  m; 1,35 kgf ? m 27. a) Interfixa; F 5 50 N e VM 5 2. b) Inter­‑resistente; F 5 80 N e VM 5 3. c) Interpotente; F 5 150 N e 1  . 3 d) Interfixa; F 5 5 N e VM 5 0,5. 28. a 29. d 30. Respostas pessoais. 31. b 32. d 33. 320 kg 34. b VM 

Capítulo 15

polegar, onde a área do prego em concarpinteiro sente mais dor. 3. a) Produzir um alicerce que distribua a força que será aplicada pela construção e suportada pelo solo. b) Distribuir sobre o solo a força aplicada pelos trilhos que suportam uma composição ferroviária. 4. d

b) 24 cm 29. 8,6 cm no tubo maior e 28,5 cm no tubo menor. 30. a) 2,0 m b) 4,0 gTerra 31. 50 cm

5. 5,0  105 N/m2

32. Resposta pessoal.

6. Quanto mais afiada estiver a faca,

33. Falso.

maior será a pressão, o que facilita o corte. 7. Ao virar a lata, o óleo sai por um dos furos e o ar entra pelo outro, pressionando o óleo no interior da lata. 8. e

34. A água aquecida vaza mais facilmente através de pequenos furos no radiador por causa da pressão exercida por ela. De acordo com o princípio de Pascal, essa pressão é transmitida integralmente por todo fluido. 35. 6 400 N

9. a) 228 cmHg

36. 125 N

b) 2 280 mmHg

37. 2,0  10 cm2

c) 3,039  105 N/m2

38. II, III e IV.

10. O indivíduo explodiria. 11. O cubo A possui a maior massa específica e o cubo C a menor.

39. A e C estão corretas. 40. Diminuirá sua parte submersa.

13. c

41. a) 2 N b) 2  104 m3 c) 2,5  103 kg/m3

14. 0,70 g/cm3

42. e

15. d 2

43. e

12. 4,5 kg

44. d

16. A esfera não pode ser maciça porque sua densidade (0,24 g/cm ) é menor 3

do que a do alumínio. 17. 7,5  103 g 18. a) 300 kg b) 1,5 ? 104 N/m2 19. d

45. c 46. 6 N Exercícios complementares 1. T1  100 N; T2  100  3 N; T3  200 N 2. Posição 1: M 5 0 Posição 2: M 5 18 N  m 3. a)

F

20. c 21. 6  103 N/m3 22. 90 m

N

23. a) O recipiente de maior diâmetro está submetido à menor pressão.

P

b) 10 N

b) p1  3 360 N/m2

4. b

p2  5 920 N/m2

5. c

24. 5,0 ? 105 N/m2

6. 50 N

25. O volume do balão diminui porque a

7. 1,1 ? 105 N/m2

pressão hidrostática se eleva com o au-

1. b

mento da profundidade.

288

30 cm

h

tato com o dedo é menor. Nesse dedo o

Exercícios propostos 2. a) Sim, as forças têm a mesma intensidade, pois o prego está em equilíbrio.

28. a)

mesma força, a pressão é maior sobre o

Tarumã

b) Como ambos os dedos exercem a

26. 1,4 m 27. c

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Np

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9. No ponto A, pois a linha de ação da força fica a uma distância maior do polo de rotação. 10. Zero; não gira. 11. 0,32 N  m 12. Mj  15 000 N  cm; Mn  15 300 N  cm Portanto, a namorada consegue soltar o parafuso. 13. MA  1 000 N  m MB  0 MC  5 000 N  m 14. 3a condição. 15. Força 1: 248 N  m (sentido horário) Força 2: 230 N  m (sentido horário) 16. 4 N 17. 0,24 m do apoio 18. PB  400 N 19. 420 N 20. a) F

8. Uma reta inclinada com coeficiente angular positivo. 9. Os peixes conseguem variar a densidade variando o volume da bexiga natatória.

Respostas

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Fisica 1  
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