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MANUEL DE L’ÉLÈVE VOLUME 1

MANUEL DE L’ÉLÈVE VOLUME 2

VV

la collection Point de vue mathématique facilite la mise en œuvre du nouveau programme d’études secondaires. Ce matériel propose une approche qui favorise le développement graduel des compétences des élèves.

C O D E P RO D U I T 3 5 79 ISBN 978-2-7655-0097-1 Éditions Grand Duc

1re année

Manuel de l’élève

Volume 1

SYLVIO GUAY • MARTIN DUCHARME • ANABEL VAN MOORHEM SYLVIE AMIDENEAU • FRANÇOIS DIONNE • ADRIENNE FRÈVE • DANIEL GAGNON MARC LE NABEC • NADINE MARTIN • JEAN PICHETTE

Conçue par des auteurs d’expérience,

Groupe Éducalivres inc. InfoService : 1 800 567-3671

2e cycle du secondaire

LE NABEC • MARTIN • PICHETTE

AMIDENEAU • DIONNE • FRÈVE • GAGNON

1RE ANNÉE

MATHÉMATIQUE 2e cycle du secondaire 1re année Manuel de l’élève Volume 1

2E CYCLE DU SECONDAIRE

GUAY • DUCHARME • VAN MOORHEM

MATHÉMATIQUE

Éditions Grand Duc


3579_00_Limin(01-17)_PAP_Layout 1 18-01-19 14:36 PageI

MATHÉMATIQUE

2e cycle du secondaire

1re année

Manuel de l’élève

Volume 1

SYLVIO GUAY • MARTIN DUCHARME • ANABEL VAN MOORHEM SYLVIE AMIDENEAU • FRANÇOIS DIONNE • ADRIENNE FRÈVE • DANIEL GAGNON MARC LE NABEC • NADINE MARTIN • JEAN PICHETTE Avec la collaboration de Gilbert Labelle

Éditions Grand Duc


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REMERCIEMENTS Pour son travail de vérification scientifique de la didactique et du contenu mathématique, l’Éditeur témoigne sa gratitude à M. Richard Pallascio, Ph. D., professeur au Département de mathématiques de l’Université du Québec à Montréal. Pour son travail de vérification scientifique de la didactique et du contenu historique, l’Éditeur souligne la collaboration de M. Louis Charbonneau, professeur au Département de mathématiques de l’Université du Québec à Montréal. Pour leur participation et leur soutien de tous les instants, l’Éditeur tient à remercier M. Gilbert Labelle, Ph. D., professeur au Département de mathématiques de l’Université du Québec à Montréal, et M. Pierre Mathieu, conseiller pédagogique en mathématiques. Pour leur précieuse collaboration, l’Éditeur tient à remercier Mme Magalie Pagé, étudiante au doctorat au Département de mathématiques de l’Université du Québec à Montréal, et M. Paul Patenaude, conseiller pédagogique en mathématiques. Pour les suggestions et les judicieux commentaires qu’ils ont apportés en expérimentant le matériel en cours de production, l’Éditeur exprime ses remerciements à M. Jean Pichette, Ph. D., ainsi qu’à ses élèves du Collège Saint-Louis, C.s. Marguerite-Bourgeoys. L’Éditeur tient aussi à remercier les consultantes et consultants suivants : de l’École secondaire Anjou, C. s. de la Pointe-de-l’Île, M. Daniel Barré ; du Collège Saint-Louis, C. s. Marguerite-Bourgeoys, Mme Isabelle Couture ; de l’École polyvalente de Saint-Jérôme, C. s. de la Rivière-du-Nord, Mme Chantal Dion et M. Danick Valiquette ; de l’École Lucien-Pagé, C. s. de Montréal, M. Pierre Lapalme ; de l’École d’éducation internationale de Laval, C. s. de Laval, Mme Nadia Rivest ; de l’École Compagnons-de-Cartier, C. s. des Découvreurs, Mme Marie Audet ; du Collège Regina Assumpta, Mme Karine Saint-Georges et M. Sébastien Lamer ; de l’École de L’Aubier, C. s. des Navigateurs, M. Jean-Claude Bégin ; de l’École Fadette, C. s. de Saint-Hyacinthe, M. Guy Charbonneau ; de l’École des Grandes-Marées, C. s. des Découvreurs, Mme Martine Côté ; de l’École Cité étudiante Polyno, C. s. du Lac-Abitibi, Mme Manon Morin ; de l’École Pointe-Lévy, C. s. des Navigateurs, Mmes Lucie Morasse et Caroline Trudeau et M. Éric Fillion ; de l’École Cardinal-Roy, C. s. de la Capitale, Mme Nathalie Routhier.

© 2007, Éditions Grand Duc, une division du Groupe Éducalivres inc. 1699, boulevard Le Corbusier, bureau 350, Laval (Québec) H7S 1Z3 Téléphone : 514 334-8466 ■ Télécopie : 514 334-8387 www.grandduc.com Tous droits réservés CONCEPTION GRAPHIQUE : Catapulte ILLUSTRATIONS : Flexidée, Martin Gagnon, Bertrand Lachance, Volta Création

Il est illégal de reproduire cet ouvrage, en tout ou en partie, sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit, électronique, mécanique, photographique, sonore, magnétique ou autre, sans avoir obtenu, au préalable, l’autorisation écrite de l’Éditeur. Le respect de cette recommandation encouragera les auteurs et auteures à poursuivre leur œuvre. CODE PRODUIT 3579 ISBN 978-2-7655-0097-1 Dépôt légal Bibliothèque et Archives nationales du Québec, 2007 Bibliothèque et Archives Canada, 2007

Imprimé au Canada 34567890F654321098


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TABLE DES

CHAPITRE

MATIÈRES

1

L’art de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

D’un infini à l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

SÉQUENCE EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE : La notation scientifique et autres formes d’écriture . . . .

6

Activité 1 : L’ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Écritures équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : La notation scientifique et autres formes d’écriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7

SITUATION-PROBLÈME 1

8 9

LABORATOIRE DE PERCEPTION SPATIALE : La représentation de solides et le calcul de l’aire . . . . . . . . 16 Atelier 1 : Le développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : La représentation d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en géométrie : La représentation de solides et le calcul de l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SITUATION-PROBLÈME 2

Profession : « tendeur de corde »

16 17 18 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

SÉQUENCE EN GÉOMÉTRIE : La relation de Pythagore et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Activité 1 : La relation de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Mesurer des angles sans rapporteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en géométrie : La relation de Pythagore et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 29 30 31

LABORATOIRE DE PERCEPTION SPATIALE : L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables . . 41 Atelier 1 : De la pyramide au cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : L’aire de la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 3 : L’aire de solides décomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en géométrie : L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RÉALISATION PERSONNELLE : La

mesure du temps

DÉVELOPPEMENT DE STRATÉGIES : Carrières

41 42 43 44 46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

et stratégies mathématiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Banque de problèmes à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


3579_00_Limin(01-17)_PAP_Layout 1 18-01-19 14:37 PageIV

CHAPITRE

2

Les nombres : au cœur de la vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 SITUATION-PROBLÈME 1

Controverse chez les disciples de Pythagore…

. . . . . . . . . . . . . . . 62

SÉQUENCE EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE : L’ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Activité 1 : D’une forme à l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Des nombres à part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : L’ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 65 66 67

LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES : Les propriétés des exposants et les exposants fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Atelier 1 : Les propriétés des exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : Les exposants fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : Les propriétés des exposants et les exposants fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SITUATION-PROBLÈME 2

L’affaire est ketchup !

74 75 76 77

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

SÉQUENCE EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE : Les relations linéaires entre deux variables . . . . . . . . . . . 88 Activité 1 : La relation entre deux grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Les modes de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 : Les propriétés d’une relation entre deux grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : Les relations linéaires entre deux variables . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 89 90 91 94

LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES : Les relations linéaires dans des contextes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Atelier 1 : Les représentations et la règle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : L’analyse de relations à l’aide de modes de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : Les relations linéaires dans des contextes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RÉALISATION PERSONNELLE : Nombres

et algorithmes de calculs

DÉVELOPPEMENT DE STRATÉGIES : Erreurs

104 105 106 107

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

et stratégies mathématiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Banque de problèmes à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Retour sur les chapitres 1 et 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

RETOUR SUR LES APPRENTISSAGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 RETOUR SUR LES COMPÉTENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

IV

TA B L E D E S M AT I È R E S


3579_00_Limin(01-17)_PAP_Layout 1 18-01-19 14:37 PageV

CHAPITRE

3

Qu’est-ce qu’il y a dans ton sac ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 SITUATION-PROBLÈME 1

Pourquoi pas un porte-crayons ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

SÉQUENCE EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE : La résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Activité 1 : De l’équation à l’inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : La résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 : L’expression de l’ensemble-solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : La résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138 139 140 141 142

LABORATOIRE DE PERCEPTION SPATIALE : Le volume d’un prisme et d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Atelier 1 : Un monde à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : La représentation axonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 3 : Les unités de volume et de capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en géométrie : Le volume d’un prisme et d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SITUATION-PROBLÈME 2

Mes habitudes…

149 150 151 152 154

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

SÉQUENCE EN PROBABILITÉ ET STATISTIQUE : Les mesures statistiques et les diagrammes de quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Activité 1 : La moyenne arithmétique, le mode et la médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Les diagrammes de quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en probabilité et statistique : Les mesures statistiques et les diagrammes de quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164 165 166 169

LABORATOIRE DE PERCEPTION SPATIALE : Le volume des pyramides, des cônes et de la boule . . . . . . . 178 Atelier 1 : Le volume des pyramides et des cônes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : Le volume de la boule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en géométrie : Le volume des pyramides, des cônes et de la boule . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RÉALISATION PERSONNELLE :

Mon étui

178 179 180 181

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

DÉVELOPPEMENT DE STRATÉGIES : Humour

et stratégies mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Banque de problèmes à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

TA B L E D E S M AT I È R E S

V


3579_00_Limin(01-17)_PAP_Layout 1 18-01-19 14:37 PageVI

CHAPITRE

4

L’ordinateur : un outil indispensable ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 SITUATION-PROBLÈME 1

Les jeux sur ordinateur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

SÉQUENCE EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE : Polynômes et opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . 202 Activité 1 : Nombres et polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Somme et différence de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 : Multiplication de polynômes et division d’un polynôme par un monôme . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : Polynômes et opérations sur les polynômes . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202 203 204 205 208

LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES : Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Atelier 1 : Le concept de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : La règle de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SITUATION-PROBLÈME 2

L’ordinateur et l’utilisation d’Internet

218 219 220 221

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

SÉQUENCE EN PROBABILITÉ ET STATISTIQUE : Les histogrammes et les mesures de tendance centrale de données groupées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Activité 1 : La représentation de données statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Les données groupées en classes et l’histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 : La comparaison de distributions de données groupées en classes . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en probabilité et statistique : Les histogrammes et les mesures de tendance centrale de données groupées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232 233 234 235 237

LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES : Les fonctions (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Atelier 1 : Le domaine et l’image d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : Des situations représentées par une ligne brisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : Les fonctions (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RÉALISATION PERSONNELLE : L’ordinateur,

246 247 248 249

la nouvelle boule de cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

DÉVELOPPEMENT DE STRATÉGIES : Messages et stratégies mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Banque de problèmes à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Retour sur les chapitres 3 et 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

RETOUR SUR LES APPRENTISSAGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 RETOUR SUR LES COMPÉTENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 MA MÉMOIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 MES OUTILS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 CORRIGÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 GLOSSAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 RÉFÉRENCES ICONOGRAPHIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

VI

TA B L E D E S M AT I È R E S


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TABLEAU DE LA PROGRESSION DES APPRENTISSAGES AU COURS DE LA 1re ANNÉE DU 2e CYCLE ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE NOTION TRAVAILLÉE

Notation scientifique et autres formes d’écriture • Utilisation de la notation scientifique dans des situations appropriées • Expressions équivalentes • Ordre de grandeur, préfixes et unités de mesure

Ensembles de nombres • Nombres réels : rationnels et irrationnels • Notation des ensembles de nombres • Notation décimale

Propriétés des exposants • Calcul en contexte avec des exposants entiers (base rationnelle) et des exposants fractionnaires • Lois des exposants entiers • Interprétation des exposants fractionnaires • Utilisation de la technologie

Introduction aux relations linéaires • Détermination d’une variable dépendante et d’une variable indépendante d’après le contexte • Représentation d’une relation (verbalement, algébriquement, graphiquement et à l’aide d’une table de valeurs) • Équation d’une droite • Recherche d’une valeur • Croissance ou décroissance d’une relation représentée par une droite

Relations linéaires (contexte géométrique) • Observation de régularités • Utilisation de la technologie

Inéquations • Relation d’inégalité • Résolution d’équations et d’inéquations du premier degré à une variable • Expression de l’ensemble-solution • Validation et interprétation de la solution

Polynômes • Polynômes (expressions algébriques, définitions) • Développement et factorisation : – addition et soustraction de polynômes – multiplication de polynômes de degré 0, 1 ou 2 – division de polynômes (par une constante, par un monôme) – mise en évidence simple

VOLUME 1

CHAPITRE 1 – La notation scientifique et autres formes d’écriture (p. 6 à 15)

CHAPITRE 2 – L’ensemble des nombres réels (p. 64 à 73)

CHAPITRE 2 – Les propriétés des exposants et les exposants fractionnaires (p. 74 à 85)

CHAPITRE 2 – Les relations linéaires entre deux variables (p. 88 à 103)

CHAPITRE 2 – Les relations linéaires dans des contextes géométriques (p. 104 à 115)

CHAPITRE 3 – La résolution d’inéquations (p. 138 à 148)

CHAPITRE 4 – Les opérations sur les polynômes (p. 202 à 217)


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ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE (suite) NOTION TRAVAILLÉE

VOLUME 1

Initiation à la notion de fonction • • • •

CHAPITRE 4 – Les fonctions (p. 218 à 229)

Notion de fonction Règle de correspondance Type de fonction constante, affine, linéaire Utilisation de la technologie

Propriétés d’une fonction. Variation par parties.

CHAPITRE 4 – Les fonctions (suite) (p. 246 à 255)

• Description des propriétés d’une fonction en contexte : domaine et image • Relations linéaires par parties • Utilisation de la technologie

NOTION TRAVAILLÉE

Fonction rationnelle de la forme ƒ(x) ⫽ k , où k 僆 x

VOLUME 2 +

CHAPITRE 5

• Représentation d’une relation inversement proportionnelle entre deux grandeurs • Propriétés d’une relation inversement proportionnelle

Représentation d’une expérimentation à l’aide d’un nuage de points

CHAPITRE 5

• Analyse et interprétation (relations linéaires et inversement proportionnelles) • Interpolation et extrapolation

Système de deux équations du premier degré à deux variables

CHAPITRE 6

• Résolution à l’aide de tables de valeurs, graphiquement ou algébriquement (par comparaison)

Comparaison de situations et résolution de systèmes d’équations

CHAPITRE 6

• Utilisation d’outils technologiques pour la résolution de système d’équations (deux droites, une droite et une inverse)

Révision

VIII

CHAPITRE 8

TA B L E A U D E L A P R O G R E S S I O N D E S A P P R E N T I S S A G E S A U C O U R S D E L A 1 r e A N N É E D U 2 e C Y C L E


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PROBABILITÉ ET STATISTIQUE NOTION TRAVAILLÉE

Mesures statistiques et diagrammes de quartiles

VOLUME 1

CHAPITRE 3 – Les mesures statistiques et les diagrammes de quartiles (p. 164 à 177)

• Mode, médiane et moyenne de données non groupées • Diagrammes de quartiles, lecture et construction • Mesure de dispersion : étendue des quarts (étendue interquartile) • Comparaison de distributions

Histogrammes et mesures de tendance centrale de données groupées

CHAPITRE 4 – Les histogrammes et les mesures de tendance centrale de données groupées (p. 232 à 245)

• Des données brutes au tableau de compilation (notation d’intervalles) • Histogrammes, lecture et construction • Mesures de tendance centrale de données groupées • Comparaison de distributions

NOTION TRAVAILLÉE

Méthodes d’échantillonnage et biais

VOLUME 2

CHAPITRE 5

• Population • Échantillonnage • Méthodes d’échantillonnage : stratifié, par grappes

Utilisation d’outils technologiques pour réaliser une étude statistique

CHAPITRE 5

• Diagramme pour données qualitatives • Diagramme pour données quantitatives • Critique d’une collecte de données, de la représentation utilisée ou des résultats obtenus • Utilisation de la technologie

Variable aléatoire discrète

CHAPITRE 7

• Retour sur le dénombrement (représentation d’événements à l’aide de tableaux, d’arbres, de diagrammes) • Événement et connecteurs logiques (et/ou/sans)

Simulation de phénomènes aléatoires

CHAPITRE 7

• Simulations à l’aide de l’ordinateur ou d’autre matériel • Remplacement d’un matériel (inaccessible) par un autre afin d’établir une probabilité fréquentielle

Variable aléatoire continue

CHAPITRE 7

• Rapports de longueurs, d’aires et de volumes • Propriétés géométriques • Interprétation et prise de décisions concernant des données probabilistes

Résolution de problèmes à l’aide de probabilités géométriques

CHAPITRE 7

• Représentation d’événements à l’aide de tableaux, d’arbres, de diagrammes ou de figures géométriques • Utilisation de la technologie

Révision

CHAPITRE 8

TA B L E A U D E L A P R O G R E S S I O N D E S A P P R E N T I S S A G E S A U C O U R S D E L A 1 r e A N N É E D U 2 e C Y C L E

IX


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GÉOMÉTRIE NOTION TRAVAILLÉE

Représentation de solides et calcul de l’aire

VOLUME 1

CHAPITRE 1 – La représentation de solides et le calcul de l’aire (p. 16 à 25)

• Représentation dans le plan de figures à trois dimensions (développements et perspective cavalière) • Identification de segments sur des figures planes et des solides • Identification de figures planes composant certains solides • Distinction des représentations qui sont des développements de solides de celles qui n’en sont pas • Calcul de l’aire latérale et de l’aire totale de solides

Relation de Pythagore

CHAPITRE 1 – La relation de Pythagore et sa réciproque (p. 28 à 40)

• Côtés d’un triangle rectangle (relation de Pythagore) • Recherche de mesures manquantes • Utilisation des mesures des côtés d’un triangle pour déterminer s’il est rectangle (réciproque de la relation de Pythagore)

Aire de solides • • • •

Volume de prismes et de cylindres • • • •

CHAPITRE 1 – L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables (p. 41 à 53)

Aire latérale ou totale de cônes droits Aire de la sphère Projections orthogonales Aire latérale ou totale de solides décomposables

CHAPITRE 3 – Le volume d’un prisme et d’un cylindre (p. 149 à 161)

Perspective axonométrique Volume d’un prisme et d’un cylindre Unités de mesure de volume Relations entre les unités de volume du système international, y compris les mesures de capacité

Volume des pyramides, des cônes et de la boule

CHAPITRE 3 – Le volume des pyramides, des cônes et de la boule (p. 178 à 191)

• Volume des pyramides, des cônes et de la boule • Volume de solides décomposables • Choix approprié d’une unité de mesure

NOTION TRAVAILLÉE

Similitude de solides

VOLUME 2

CHAPITRE 6

• Homothétie en 3D • Solides issus d’une similitude • Recherche de mesures manquantes (longueurs, aires et volumes)

Représentation de solides à l’aide de points de fuite

CHAPITRE 6

• Un point de fuite (retour sur l’homothétie) • Deux points de fuite • Propriétés géométriques

Révision

X

CHAPITRE 8

TA B L E A U D E L A P R O G R E S S I O N D E S A P P R E N T I S S A G E S A U C O U R S D E L A 1 r e A N N É E D U 2 e C Y C L E


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À la découverte de

Ton manuel de l’élève, volume 1, comprend les chapitres 1 à 4. Chaque chapitre est composé de quatre blocs d’apprentissage, soit deux séquences d’apprentissage et deux laboratoires. Après deux chapitres, tu pourras faire le point à l’aide des sections Retour. Toutes les sections de ton manuel favorisent le développement de tes compétences transversales et disciplinaires en mathématiques. À la fin de ton manuel se trouvent les éléments suivants : • la section Ma mémoire, qui résume les connaissances mathématiques acquises au cours des années précédentes ; • la section Mes outils, qui résume les connaissances à l’étude dans l’année en cours ; • le corrigé des rubriques Mise en pratique et Autoévaluation ainsi que le corrigé des activités numérotées en rouge dans les sections Exercices ; • un glossaire reprenant les définitions des termes mathématiques du manuel ; • un index.


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Une situation

d’apprentissage type Les situations d’apprentissage et d’évaluation proposées dans Point de vue mathématique s’articulent autour des chapitres. Dans la préparation, tu prendras connaissance d’une problématique. Les apprentissages se feront dans quatre blocs comprenant deux séquences introduites par des situations-problèmes et deux laboratoires. Les apprentissages seront ensuite intégrés et réinvestis dans une tâche finale appelée Réalisation personnelle. Chaque séquence d’apprentissage type comprend une situation-problème de départ et une séquence d’activités de développement de concepts ou de processus mathématiques. Les laboratoires présentent une séquence d’ateliers qui t’aideront à développer des concepts et des processus mathématiques. Voici en détail les trois temps d’une situation d’apprentissage et d’évaluation type.

1er TEMPS : LA PRÉPARATION DES APPRENTISSAGES Les pages de présentation du chapitre LA

THÉMATIQUE DU CHAPITRE

La première page de chaque chapitre présente la thématique qui servira de ligne directrice à l’ensemble du chapitre et te permettra d’établir des liens entre tes apprentissages scolaires, des situations de la vie quotidienne et des phénomènes sociaux actuels.

LA

PRÉPARATION

Des exercices de révision te prépareront aux nouvelles notions à explorer dans le chapitre. À la fin de la préparation, tu découvriras le but ultime du chapitre, soit la réalisation personnelle. Tous les apprentissages faits au fil du chapitre t’aideront à planifier et à préparer graduellement le travail que tu devras accomplir à la fin du chapitre.

XII

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE


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2e TEMPS : LA RÉALISATION DES APPRENTISSAGES La réalisation des apprentissages se présente sous deux formes : Séquence en… ou Laboratoire. Les deux sections se ressemblent.

Séquence en... (arithmétique et algèbre, probabilité et statistique, géométrie) Une séquence d’apprentissage est toujours constituée des éléments suivants. UNE

SITUATION-PROBLÈME DE DÉPART

La situation-problème constitue le cœur de ton travail. Ton enseignant ou ton enseignante te fournira des pistes supplémentaires pour soutenir le développement de ta compétence à résoudre une situation-problème (C1), en lien avec les situations d’apprentissage de ton manuel. Il s’agit d’une situation plus ou moins complexe liée à la thématique du chapitre, qui présente un obstacle que tu tenteras de surmonter. Pour trouver une solution complète, tu devras essayer différentes stratégies et faire de nouveaux apprentissages. Tu pourras aussi faire appel aux ressources proposées dans la séquence d’activités qui suit la situation-problème. En effet, c’est dans cette séquence que tu approfondiras la ou les notions visées par la situation-problème.

UNE

SÉQUENCE D’ACTIVITÉS

La séquence d’activités t’amènera à découvrir les concepts et les processus liés à la situation-problème de départ. La manipulation et différents modes de travail (individuel, en équipe ou en groupe classe) y sont encouragés. Quand tu auras terminé les activités, les exercices et les applications, tu devras revenir à la situation-problème du début pour en compléter la résolution. La rubrique Mise en pratique, au bas de chaque page d’activités, te permettra d’appliquer immédiatement tes nouvelles connaissances. Après avoir répondu aux questions ou effectué les tâches demandées, tu pourras consulter le corrigé à la fin de ton manuel. En procédant ainsi à une autoévaluation, tu vérifieras si tu as bien compris. Comme le corrigé donne seulement les réponses, tu devras revoir ta démarche, s’il y a lieu.

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE

XIII


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MES

OUTILS, EXERCICES, APPLICATIONS ET PROBLÈMES

Après les activités d’une séquence, la rubrique Mes outils résume le contenu mathématique des pages précédentes. Le vocabulaire mathématique employé est précis et conforme au programme. Les exercices qui suivent te permettront de mettre en pratique à nouveau tes apprentissages si tu as éprouvé des difficultés dans les rubriques Mise en pratique. Des applications te seront ensuite proposées afin que tu puisses raffiner ta compréhension des contenus mathématiques et consolider tes nouveaux apprentissages. Les applications contribueront au développement de ta compétence disciplinaire à déployer un raisonnement mathématique (C2) et te donneront aussi de nombreuses occasions de développer ta compétence disciplinaire à communiquer à l’aide du langage mathématique (C3). Les problèmes proposés à la suite des applications sont des défis qui te permettront d’aller encore plus loin dans le développement de tes compétences. Ton enseignant ou ton enseignante te fournira des pistes supplémentaires en ce sens. À la fin de la Séquence en… , une section Autoévaluation te permettra encore une fois de vérifier tes apprentissages. 1

Numéros obligatoires (beige plein)

1

Numéros facultatifs (contour beige)

1

Numéros d’autoévaluation (rouge)

Laboratoire de perception spatiale ou d’outils technologiques Les laboratoires sont constitués des éléments suivants. DES

ATELIERS

• Les ateliers de perception spatiale te permettront de développer tes connaissances sur les objets à trois dimensions en dessinant et en manipulant des objets. • Les ateliers d’outils technologiques t’amèneront à utiliser différents outils (calculatrice à affichage graphique, logiciels sur ordinateur, etc.) qui te permettront d’approfondir tes connaissances. La rubrique Mise en pratique, au bas de chaque page d’atelier, te permettra d’appliquer immédiatement tes nouvelles connaissances et de vérifier ainsi ta compréhension.

XIV

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE


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MES

OUTILS, EXERCICES, APPLICATIONS

ET PROBLÈMES

Après les ateliers du laboratoire, une rubrique Mes outils résume le contenu mathématique des pages précédentes. Les exercices qui suivent te permettront de mettre en pratique à nouveau tes apprentissages si tu as éprouvé des difficultés dans les rubriques Mise en pratique. Les situations d’application proposées ensuite contribueront au développement de ta compétence disciplinaire à déployer un raisonnement mathématique (C2) et te donneront aussi de nombreuses occasions de développer ta compétence disciplinaire à communiquer à l’aide du langage mathématique (C3). Quant aux problèmes qui suivent, ils constituent des défis qui te permettront d’aller plus loin dans le développement de tes compétences. Ton enseignant ou ton enseignante te fournira des pistes supplémentaires en ce sens. À la fin du laboratoire, une section Autoévaluation te permettra de vérifier tes apprentissages. 1

Numéros obligatoires (beige plein)

1

Numéros facultatifs (contour beige)

1

Numéros d’autoévaluation (rouge)

3e TEMPS : L’INTÉGRATION ET LE RÉINVESTISSEMENT DES APPRENTISSAGES Réalisation personnelle La réalisation personnelle favorisera le réinvestissement des apprentissages faits dans un chapitre. Tu devras en outre faire preuve de créativité et de débrouillardise. Ce sera le moment de faire appel à toutes tes compétences.

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE

XV


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Développement de stratégies et banque de problèmes à résoudre La section Développement de stratégies vise essentiellement le développement de la première compétence disciplinaire : Résoudre une situation-problème (C1). Cette partie t’amènera à prendre conscience des attitudes et des habiletés à acquérir pour développer cette compétence. Finalement, la banque de problèmes à résoudre te fournira l’occasion de développer des stratégies et de réinvestir tes nouvelles connaissances.

APRÈS DEUX CHAPITRES… RETOUR SUR LES APPRENTISSAGES ET LES COMPÉTENCES Retour sur les apprentissages Après deux chapitres, neuf pages d’applications te permettront de faire un retour sur les concepts et les processus mathématiques étudiés dans ces deux chapitres. C’est l’occasion pour toi de faire le point sur tes apprentissages, sur le développement de ta compétence à déployer un raisonnement mathématique (C2) et à communiquer à l’aide du langage mathématique (C3).

Retour sur les compétences Trois pages te proposeront une situation d’apprentissage et d’évaluation particulière. Ce retour est constitué d’une tâche intégratrice à caractère authentique et signifiant qui te permettra de témoigner de ton développement de diverses compétences transversales et disciplinaires.

XVI

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE


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Les encadrés et les pictogrammes de Point de vue mathématique Repères culturels

Métacognition de type retour

Ces encadrés présentent de l’information pour enrichir ta culture personnelle ou préciser le sens de la situation.

Tu devras profiter de ces encadrés pour te questionner sur ta façon d’apprendre.

Savais-tu que, dans la Grèce antique, Ératosthène a échafaudé un raisonnement mathématique qui lui a permis d’obtenir une très bonne estimation de la circonférence de la Terre ? Tu peux trouver dans Internet des explications très claires sur son raisonnement…

Les aires que tu as trouvées sont-elles des mesures exactes ?

Métacognition de type cible Les conseils donnés dans ces encadrés ciblent l’appropriation d’une situation-problème, l’élaboration de la solution, la communication ou la validation de la résolution d’un problème. Ils contribueront à augmenter tes chances de réussite.

Ératosthène (v.⫺284 – v.⫺192)

À l’aide d’une ficelle marquée avec un feutre, tu peux créer une représentation de la corde et la manipuler afin de mieux t’approprier la situation.

Contenu mathématique Ces encadrés te proposeront un contenu mathématique ou un conseil lié à l’activité ou à la tâche à réaliser. Tu as déjà appris des méthodes de dénombrement qui pourraient t’aider. Consulte la section Ma mémoire, p. 303.

Les pictogrammes Tu peux avoir recours à l’ordinateur. Tu peux te servir de la feuille reproductible offerte. Tu peux utiliser la calculatrice.

Tu dois réaliser cette tâche sans utiliser la calculatrice. Tu peux te servir de tes instruments de géométrie.

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE

XVII


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CHAPITRE

1

Très rapidement, dans le développement de l’humanité, le besoin de mesurer s’est imposé. Dans le cas de la mesure de longueurs, les premières unités utilisées étaient des longueurs prises sur le corps. C’était pratique, puisqu’on avait toujours un instrument sur soi…

?

Selon toi, pour quelles raisons le besoin de mesurer s’est-il imposé rapidement ?

?

Quels inconvénients l’utilisation d’une unité de longueur telle que la coudée, illustrée ci-contre, présente-t-elle ?

Savais-tu que, dans la Grèce antique, Ératosthène a échafaudé un raisonnement mathématique qui lui a permis d’obtenir une très bonne estimation de la circonférence de la Terre ? Tu peux trouver dans Internet des explications très claires sur son raisonnement…

La coudée était une unité de mesure utilisée en Égypte 2000 ans avant notre ère. Elle correspondait à la longueur entre le coude et le bout du majeur.

Selon la grandeur à mesurer (longueur, surface, espace, temps, etc.), un instrument de mesure peut s’avérer très complexe, voire impossible, à créer. Il faut parfois procéder par déductions et calculs.

?

Comment parvient-on à calculer la mesure d’un cercle ?

Des questions comme celle ci-dessus ont, entre autres, permis aux mathématiques de se développer en favorisant la construction de raisonnements astucieux.

Ératosthène (v.284 – v.192)

La création d’instruments de mesure, notamment pour mesurer le temps, a également contribué au développement des mathématiques.

? ?

Connais-tu le nom de quelques instruments de mesure du temps ? Quel a été l’apport des mathématiques dans l’élaboration de ces instruments ? Et, inversement, en quoi la conception de ces instruments a-t-elle contribué au développement des mathématiques ?

En consultant Internet, tu trouveras une multitude de renseignements fascinants sur les instruments de mesure du temps, ainsi que sur leur évolution.


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PRÉPARATION

Avant d’entreprendre ton exploration du premier chapitre, remémoretoi quelques notions mathématiques que tu as apprises antérieurement. 1

Puissance, exposant et ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . (Ma mémoire, p. 276) a) Quelle est la 8e puissance de 5 ? b) À quelle puissance de 4 le nombre 16 384 correspond-il ? c) Quel est l’ordre de grandeur de la circonférence de la Terre en kilomètres ?

2

La recherche de mesures manquantes . . . . . . . . . . . . . . . . . (Ma mémoire, p. 324) a) Quelle est la hauteur d’un triangle équilatéral dont l’aire est d’environ 35 cm2 et le périmètre est de 27 cm ? b) Quelle est la mesure de la hauteur d’un parallélogramme dont l’aire est de 93 cm2 si sa base correspond au double de sa hauteur ? c) Quelle est l’aire d’un octogone régulier de 4 cm de côté et dont l’apothème mesure environ 5 cm ? d) Quel est le diamètre d’un disque dont l’aire est d’environ 78,54 cm2 ? e) Quelle est l’aire d’un disque dont la circonférence est de 31,42 cm ?

3

Les triangles rectangles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Ma mémoire, p. 317) a) Quelle particularité un triangle rectangle comporte-t-il ? b) Dans le triangle ABC, m ∠ A = 37° et m ∠ B = 53°. 1)

Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse.

2)

Identifie le plus long et le plus petit côté du triangle ABC.

c) Chacun des côtés isométriques d’un triangle rectangle isocèle mesure 8 cm. Quelle est l’aire de ce triangle ?

CONTENU DE FORMATION Voici un aperçu des nouvelles connaissances que tu devras acquérir pour résoudre les situations-problèmes de ce chapitre. Ces nouvelles connaissances te seront utiles dans la réalisation personnelle qui t’est proposée ensuite. Arithmétique et algèbre La notation scientifique et autres formes d’écriture.

En explorant ce chapitre, tu t’approprieras des connaissances mathématiques qui t’aideront à réaliser la représentation d’un sablier. Celui-ci pourra prendre la forme de ton choix. Prends le temps d’y penser afin de concevoir une création originale.

Géométrie • La représentation de solides et le calcul de l’aire. • La relation de Pythagore et sa réciproque. • L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables.


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SITUATION-PROBLÈME

1

On doit parfois évaluer des grandeurs gigantesques ou microscopiques. C’est le cas en astronomie et en microbiologie, par exemple. Dans de tels domaines, il faut non seulement imaginer des façons ingénieuses pour évaluer ces grandeurs, mais aussi trouver une façon de les communiquer.

La passion de Thomas Depuis qu’il est tout jeune, Thomas se passionne pour l’astronomie. Il est d’ailleurs abonné à une revue mensuelle. Dans le dernier numéro, il a lu l’information reproduite ci-contre au sujet de Pluton.

Tout comme Thomas, l’astrophysicien d’origine québécoise Hubert Reeves a toujours été passionné d’astronomie. Il est maintenant reconnu mondialement.

PLUTON PERD SON STATUT DE PLANÈTE Découverte en 1930, Pluton fut alors désignée neuvième planète du système solaire. Très éloigné du Soleil, cet astre en fait le tour en 249 années terrestres. Le 24 août 2006, des astronomes réunis en congrès ont décrété que Pluton ne peut plus être considérée comme une planète.

Pour pouvoir établir de pareilles conclusions, les astronomes ainsi que les astrophysiciens et astrophysiciennes doivent interpréter des nombres en notation scientifique afin d’analyser différents phénomènes que recèle l’Univers. Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de tels nombres concernant Pluton et la Terre. CARACTÉRISTIQUE Distance moyenne du Soleil Masse Vitesse moyenne autour du Soleil

PLUTON

TERRE

6  109 km

1,5  108 km

1,314  1022 kg

5,9736  1024 kg

4,74 km/s

2,9783  104 m/s

a) Lequel des deux astres se déplace le plus rapidement autour du Soleil ? De combien de m/s est-il plus rapide que l’autre ? b) Lequel a la masse la plus élevée ? Explique ta réponse. c) Lorsque les deux astres sont alignés du même côté du Soleil, quelle est la distance entre la Terre et Pluton ?

4

L’ART DE LA MESURE


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La passion de Laure Lorsqu’elle était enfant, Laure a reçu un microscope. Depuis, elle ne cesse d’analyser toutes sortes d’éléments sous sa lentille. Elle est fascinée par tout le monde invisible à l’œil nu qui nous entoure. En consultant une encyclopédie, Laure a été surprise par des renseignements sur les scorpions, rapportés ci-contre. Elle aimerait bien observer du venin à l’aide de son microscope… d) Lequel des organes mentionnés dans l’encadré contenait le plus de poison ? Explique ta réponse. e) Combien de grammes d’anti-venin faut-il injecter à une personne dont la masse est de 70 kg ? f) Quelle est la masse (kg) d’un enfant qui recevrait une dose de 1,2 g d’anti-venin ?

Un scorpion pique pour tuer une proie ou pour se protéger. En analysant des tissus infectés d’une proie, une microbiologiste a noté les quantités suivantes de poison dans différents organes : • 104 dix-millièmes de gramme dans le foie ; • 8,7  104 grammes dans l’estomac ; • 1,9 milligramme dans les poumons. ANTIPOISON

La Québécoise Christiane Ayotte est une chimiste reconnue mondialement dans la lutte contre le dopage sportif. Comme Laure, elle a été attirée toute jeune par les sciences, en réalisant chez elle des expériences avec un microscope.

Lorsqu’un humain est piqué par un scorpion, il faut lui injecter rapidement une dose d’anti-venin correspondant à 40 milligrammes pour chaque kilogramme de masse.

La Séquence en arithmétique et algèbre qui suit, aux pages 6 à 14, traite de la notation scientifique et pourra t’aider à résoudre entièrement cette situation.

Situation-problème 1

5


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SÉQUENCE EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

La notation scientifique et autres formes d’écriture ACTIVITÉ 1

Un octet permet de mémoriser un caractère quelconque, comme une lettre, un chiffre ou tout autre symbole.

L’ordre de grandeur

Lis la conversation entre les deux personnages ci-dessous, de même que la page de revue représentée. Ce DVD a une capacité maximale de 4,7 gigaoctets.

Regarde ! On annonce que les DVD auront bientôt une capacité maximale de 1,6 téraoctets.

Ils l’ont fait ! GADGETS L’image ci-contre montre une « nanovoiture ». Il s’agit d’une petite voiture de 3,5 nanomètres de longueur se déplaçant sur une surface d’or. VIE PRIVÉE Une lentille de 10 micromètres de diamètre a été fabriquée. Des caméras numériques miniaturisées pourront éventuellement être équipées de cette lentille.

a) Écris le nombre d’octets ou de mètres dont il est question dans chacun des cas ci-dessus (sans utiliser de préfixes). b) Écris en mots l’ordre de grandeur de chacun des nombres que tu as écrits en a). RAPPEL On communique l’ordre de grandeur à l’aide d’une puissance de 10. Exemple : le diamètre d’une pièce de monnaie est de l’ordre du centième de mètre (ou du centimètre), soit 102 m.

c) Quels préfixes permettent de décrire les puissances de 10 suivantes ?

PUISSANCE

PRÉFIXE ET SYMBOLE

1012

téra (T)

109

giga (G)

106

méga (M)

106

micro (μ)

1) 1000

4) 0,1

109

nano (n)

2) 100

5) 0,01

1012

pico (p)

3) 10

6) 0,001

1 Combien de fois les mesures ci-dessous sont-elles plus grandes ou plus petites que un mètre ? a) Un décimètre

d) Un téramètre

g) Un centimètre

b) Un kilomètre

e) Un nanomètre

h) Un picomètre

c) Un millimètre

f) Un micromètre

i) Un mégamètre

Corrigé, p. 358

6

L’ART DE LA MESURE


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ACTIVITÉ 2

Écritures équivalentes

Moi, dans ce cas-là, je plie plusieurs fois en deux une feuille de papier, puis je place le bloc de papier obtenu sous la patte trop courte.

Imagine-toi en présence d’une chaise ou d’une table bancale. Que fais-tu pour remédier à la situation ?

Sachant qu’une feuille de papier a une épaisseur de un dixième de millimètre (0,1 mm), réponds aux questions suivantes.

Connais-tu une façon efficace de mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?

a) Estime combien de fois il faudrait plier la feuille en deux afin de combler une longueur d’environ un centimètre.

b) Vérifie ton estimation en calculant l’épaisseur du bloc de papier obtenu en pliant la feuille le nombre de fois que tu as estimé. Ton estimation était-elle bonne ? Lorsqu’on plie une feuille en deux, on augmente son épaisseur, mais l’on diminue sa surface apparente. En raison de ce phénomène, il devient rapidement difficile de plier la feuille en deux. Mais imaginons que ce soit possible de continuer de la plier sans difficulté… c) Estime combien de fois il faudrait plier une feuille en deux pour obtenir une épaisseur correspondant à une distance de 1 km, puis à la distance de la Terre à la Lune, soit 380 000 km. d) Vérifie tes estimations à l’aide de calculs. Utilise au besoin une table de valeurs comme celle ci-contre. Le résultat de tes calculs, c’est-à-dire le nombre de fois qu’il faudrait plier la feuille afin d’« atteindre » la Lune, te surprend-il ? Explique pourquoi.

1

NOMBRE DE FOIS QUE LA FEUILLE EST PLIÉE EN DEUX

ÉPAISSEUR OBTENUE (mm)

1

0,2

2

0,4

3

0,8

4

1,6

n

0,1  2n

Trouve une écriture équivalente à chacune des expressions suivantes. 6

a) 4,5  1012

d) 6,9  10

b) 34 765 234 000

e) 4,713 612  108

c) 0,000 000 085

f)

7,91

g)

9

 10

0,000

000 072 4

h) 4,9 gigatonnes i) 15 nanosecondes

Corrigé, p. 358 La notation scientifique et autres formes d’écriture

7


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MES OUTILS

EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

La notation scientifique et autres formes d’écriture Il y a différentes façons d’exprimer de très grands ou de très petits nombres afin de faciliter la communication des informations.

En utilisant des mots Exemples : 1) 3,25 milliards de dollars ($) se lit plus facilement que 3 250 000 000 $. 2) 2,7 millionièmes de centimètre (cm) se lit plus facilement que 0,000 002 7 cm.

En utilisant des préfixes de puissances de 10 avec des unités de mesure Voici différents préfixes de puissances de 10. PUISSANCE

PRÉFIXE ET SYMBOLE

PUISSANCE

PRÉFIXE ET SYMBOLE

1012

téra (T)

101

déci (d)

109

giga (G)

102

centi (c)

106

méga (M)

103

milli (m)

103

kilo (k)

106

micro (μ)

9

102

hecto (h)

10

nano (n)

10

déca (da)

1012

pico (p)

Exemples : 1) 30 mégawatts (MW) d’électricité signifie 30 000 000 watts. 2) 1,2 nanomètre (nm) de longueur signifie 0,000 000 001 2 m de longueur.

En utilisant la notation scientifique En science, on doit parfois étudier de très grandes ou de très petites grandeurs. Afin de faciliter la communication des données, une notation composée de deux informations est utilisée : Un nombre supérieur ou égal à 1 et inférieur à 10

et

l’ordre de grandeur du phénomène observé.

a  10 n

Exemple : La distance entre la Terre et le Soleil est de 1,5  108 km. On obtient des écritures équivalentes en passant d’une forme d’écriture à une autre.

Exemples : 1) Entre Pluton et le Soleil, il y a environ 5,915  109 km, soit 5,915 téramètres ou 5 915 000 000 km.  2) Dans le vide, la lumière met 3,336  10 9 seconde à parcourir un mètre, soit 3,336 nanosecondes ou 0,000 000 003 336 seconde.

8

L’ART DE LA MESURE


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EXERCICES

1

2

Écris en notation scientifique les nombres suivants. a) un milliard

d) un billion

g) un dix-millième

b) cent millions

e) un millionième

h) un dixième

c) dix mille

f) un centième

i) mille milliards

Estime l’ordre de grandeur de chacune des grandeurs décrites ci-dessous. Exprime ta réponse à l’aide de la forme d’écriture de ton choix. a) Le nombre de secondes dans un siècle. L’ordre de grandeur s’exprime à l’aide d’une puissance de 10.

b) Le diamètre (m) d’un cheveu. c) La superficie (km2) du lac Saint-Jean. d) L’altitude (m) du mont Everest.

3

4

5

Écris en notation scientifique les nombres suivants. 1 1 a) d) 1 000 000 000 000 10

g) 0,000 006

1 1 000 000

b) 0,000 000 1

e)

h)

c) 1 000 000

f) 5 000 000 000 000

1 8000

Les nombres suivants ont-ils été écrits en respectant la notation scientifique ? Si ce n’est pas le cas, modifie-les afin qu’ils la respectent. 3

a) 38,35  102

c) 641  10

e) 2,5  107

b) 5,2  100

d) 0,3  1035

f) 10  1099

Savais-tu que le nombre formé de 1 suivi de 100 zéros porte le nom de googol ?

Voici différents formats d’affichage de nombres écrits en notation scientifique sur des écrans de calculatrices. 1)

3)

4,59

E 12

1,32

108

2)

2,34  1009 4)

6,321

7

a) Écris les quatre nombres en notation décimale. b) Comment ces nombres sont-ils affichés sur ta calculatrice ?

La notation scientifique et autres formes d’écriture

9


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6

Écris en notation décimale les grandeurs suivantes. a) 7,8521  102 km 1

b) 1,245  10

7

8

6

c) 3,141  104 octets 3

d) 8,9  10

L

e) 2,1  10

s

f) 5  107 personnes

g

Écris en notation scientifique les mesures suivantes, en arrondissant au centième. a) 2 567 000 kg

c) 0,000 123 s

e) 569 000 000 000 s

b) 0,000 000 1 g

d) 62 357 451,46 $

f) 0,003 501 cm

Transcris les grandeurs suivantes en notation scientifique avec l’unité de base. a) 355 millisecondes

d) 615 millilitres

b) 40 000 kilomètres

e) 22 picooctets

c) 4326 gigawatts

f) 579 nanosecondes

Le système international d’unités (SI) est fondé sur les sept unités suivantes, appelées unités de base : ampère (A), candela (cd), kelvin (K), kilogramme (kg), mètre (m), mole (mol), seconde (s). Connais-tu l’usage de ces unités ? • Dérivés du SI, le hertz (Hz) et le watt (W)

9

sont des unités utilisées en électricité.

Transcris les grandeurs suivantes en notation scientifique en enlevant les préfixes. a) 355 millilitres

d) 4326 décilitres

b) 8 gigaoctets

e) 3 gigahertz

c) 570 mégaoctets

f) 1000 gigawatts

• L’octet s’utilise en électronique pour

mesurer la capacité de mémorisation. Un octet correspond à la mémorisation d’un caractère (lettre, chiffre, etc.).

10 Transcris les grandeurs suivantes en utilisant les préfixes de puissances de 10. 6

gramme

c) 4  109 octets

e) 9  105 watts

3

litre

d) 8,3  1010 secondes

f) 1,3  107 grammes

a) 4,2  10 b) 5,9  10

11 Écris les mesures suivantes en mètres en respectant la notation scientifique, puis place-les par ordre croissant. A 26 000 

10

B 105

C 6

m 450  10

L’ART DE LA MESURE

cm

606  10 m

D

E 4

0,011  10

m

1,9 

106

F km

0,017  107 m


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12 Écris en notation scientifique les grandeurs suivantes en utilisant l’unité de base. a) Cent téramètres. b) Dix mégasecondes. c) Huit cents nanogrammes. d) Deux mille kilolitres. e) Soixante microsecondes. f) Cinq et deux dixièmes de gigamètres. g) Trois et quatre centièmes de picogrammes. h) Quatre millièmes de millimètres.

13 Dans chaque cas ci-dessous, donne la réponse en notation scientifique, puis arrondis à l’unité. a) Un podomètre sert à calculer le nombre de pas effectués par une personne. Le podomètre de Marie l’informe qu’elle a fait 5760 pas dans une journée. Dans 50 ans, combien de pas Marie aura-t-elle faits si elle conserve le même rythme chaque jour ?

Des spécialistes ont évalué qu’il faut faire en moyenne 10 000 pas par jour pour garder la forme.

b) À quelle fraction d’une année une seconde correspond-elle ? c) Combien de secondes auras-tu vécu lorsque tu atteindras l’âge de 82 ans ? d) La distance de la Terre à la Lune est d’environ 3,8  108 mètres. Combien de jours mettrais-tu pour atteindre la Lune si tu te déplaçais à 100 km/h ? e) En 1957, la petite chienne russe Laïka fut le premier être vivant envoyé en orbite autour de la Terre. Elle fit 132 fois le tour du globe. Sachant que le diamètre de la Terre est de 12 758 km et que Laïka se trouvait à 1600 km de la surface, détermine la distance qu’elle a parcourue.

Spoutnik 2, à bord duquel se trouvait Laïka

La notation scientifique et autres formes d’écriture

11


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APPLICATIONS

14 On peut estimer à 300 millions la population des États-Unis. Si une personne s’ajoute toutes les 11 secondes, combien de personnes y aura-t-il de plus dans un an ? Quelle sera alors la population du pays ?

15 La centrale hydroélectrique La Grande-2, à la Baie-James, produit en moyenne 5,4 gigawatts d’électricité. Combien d’ampoules de 60 watts peut-elle alimenter en même temps ?

16 La vitesse de la lumière est d’environ 300 000 km/s. a) Combien de temps faut-il à la lumière de l’étoile Alpha du Centaure pour atteindre la Terre si la distance à parcourir est de 4  1016 km ?

Savais-tu que l’étoile Alpha du Centaure est l’étoile la plus « près » de la Terre après le Soleil ?

b) Une année-lumière (al) est la distance parcourue dans le vide par la lumière en une année terrestre (365,25 jours). À combien d’années-lumière de nous l’étoile Alpha du Centaure se trouve-t-elle ? c) Si l’étoile Alpha du Centaure s’était éteinte en janvier 2007, serait-elle encore visible aujourd’hui ?

17 La sonde spatiale Voyager 1, lancée le 5 septembre 1977, est l’objet fabriqué par l’être humain qui est le plus éloigné de la Terre. Elle se déplace à 60 000 km/h et se trouve maintenant à environ 1,35  1010 km de notre planète. Pendant le temps que tu mettras à lire ce texte, elle aura parcouru l’équivalent de la distance entre Montréal et Québec, soit environ 250 km. À quelle distance de la Terre se trouvera-t-elle alors ? Écris ta réponse en notation scientifique.

L’ADDITION ET LA SOUSTRACTION DE NOMBRES EXPRIMÉS EN NOTATION SCIENTIFIQUE Lorsqu’on additionne ou soustrait des nombres exprimés en notation scientifique, il faut tenir compte de l’ordre de grandeur de chaque nombre. En effet, si l’on additionne une nanoseconde à une année, par exemple, cela ne change pas de façon significative le temps correspondant à une année.

18 Effectue les additions et les soustractions suivantes. Note tes réponses en notation scientifique, en arrondissant au centième. a) 3,56  109  4,85  109 7

 4,02  10

6

9

 2,99  10

7

g) 8,05  10

c) 8,42  1012  3,82  10

4

h) 5,4  107  4,32  105  7,01  106

d) 5,21  108  4,87  107

i) 6,43  108  1,02  10

e) 1,83  106  3,45  102

j) 1,09  10

b) 9,02  10

12

5

f) 3,22  10

 2,14  10

L’ART DE LA MESURE

10

3

4

 5,27  107

5

 3,87  10

 2,34  106


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19 Sophie s’amuse à composer des mélodies sur son xylophone, qui peut produire 14 sons différents. Combien de mélodies de 14 sons différents peut-elle créer sans répéter le même son ? Écris ta réponse en notation scientifique, en arrondissant au centième.

Tu as déjà appris des méthodes de dénombrement qui pourraient t’aider. Consulte la section Ma mémoire, p. 303.



20 Si la montre au quartz d’Alexandre retarde de 7  10 7 seconde à chaque seconde, dans combien de jours sera-t-elle en retard d’une seconde ?

21 Sachant qu’une horloge atomique retarde d’une seconde tous les 30 millions d’années, exprime à l’aide d’une puissance de 10 la précision avec laquelle elle mesure une seconde.

22 Les poupées en caoutchouc ont fait leur entrée sur le marché dans les années 1950. La plus illustre, la poupée Barbie, est apparue en 1959 et, aujourd’hui, il s’en vend deux à la seconde. La fabrication d’une poupée nécessite 48 g de caoutchouc, dont 70 % est synthétique. Quelle quantité (en kilogrammes) de caoutchouc d’origine naturelle faut-il pour confectionner les poupées Barbie vendues dans une année ?

BARBIE : UN MODÈLE À SUIVRE ? Si une femme pesant 55 kg avait les mêmes proportions que Barbie, elle mesurerait 2,15 m !

Exprime ta réponse en notation scientifique.

23 Nous avons en moyenne 5  1012 globules rouges par litre de sang. Leur rôle est de distribuer l’oxygène à toutes les cellules de notre corps. Chaque globule rouge contient environ 250 millions de molécules d’hémoglobine, et chaque molécule d’hémoglobine transporte quatre atomes d’oxygène. a) Combien d’atomes d’oxygène un globule rouge peut-il transporter ? b) Environ combien d’atomes d’oxygène un litre de sang contiendrait-il ? c) L’épaisseur d’un globule rouge est de 2 micromètres. Si l’on pouvait empiler les uns sur les autres tous les globules rouges d’un litre de sang, quelle serait la hauteur de la pile ?

La notation scientifique et autres formes d’écriture

13


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PROBLÈMES

24 Une microbiologiste place une seule bactérie dans une boîte de Pétri. Ce type de bactérie se reproduit toutes les cinq minutes en se divisant en deux. On compte ainsi 2 bactéries après 5 minutes, 4 bactéries après 10 minutes, 8 bactéries après 15 minutes, 16 bactéries après 20 minutes, etc.

Pour étudier les bactéries, les microbiologistes utilisent un récipient circulaire en plastique nommé boîte de Pétri.

a) Combien de bactéries y aura-t-il après trois heures ? Écris ta réponse en notation scientifique, en arrondissant au centième. b) Après combien de temps y aurait-il plus d’un milliard de bactéries ?

25 La molécule de carbone 60 possède des propriétés chimiques remarquables. Elle est constituée de 60 atomes de carbone disposés dans l’espace de façon hautement symétrique rappelant la forme d’un ballon de soccer, mais en beaucoup plus petit. Le ballon de soccer, d’une circonférence de 94 cm, est formé de pentagones et d’hexagones ayant tous des côtés isométriques, disposés selon le développement illustré ci-dessous.

Molécule de C60 et ballon de soccer

0,85 cm 0,69 cm 0,87 cm

Le Laboratoire de perception spatiale qui suit, aux pages 16 à 26, traite de la représentation de solides et du calcul de leur aire, et pourra t’aider à résoudre entièrement cette situation.

14

L’ART DE LA MESURE

La molécule de C60 est aussi appelée Buckminsterfullerène, en l’honneur de Buckminster Fuller, l’architecte américain qui a conçu le dôme géodésique de la biosphère à l’île Sainte-Hélène, ou Buckyball, qui vient de la forme d’un ballon de soccer.

Détermine la distance minimale approximative entre deux atomes de carbone dans une molécule de carbone 60, sachant que le diamètre d’une telle molécule est de 0,7 nanomètre.


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1

La mémoire du nouveau lecteur de fichiers MP3 d’Antoine a une capacité de 3 gigaoctets. Si une chanson occupe en moyenne 1,5 mégaoctet d’espace mémoire, combien Antoine peut-il en télécharger dans son lecteur ?

2

3

Effectue l’opération demandée, puis donne ta réponse en notation scientifique, en arrondissant au centième. a) (5,4  106)  (2,3  109)

f) (4,2  106)  (9,1  105)

b) (8,05  106)  (2,15  105)

g) (2,84  100)  (2,15  10 5)







c) (6  10 2)  (8  10 3)

h) (8,25  105)  (1,5  103)

d) (5,42  1010)  (2,1  105)

i) (7,33  10 2)  (3,1  102)

11

e) (1  10

4

Le corps humain compte environ 6  1013 cellules. Chaque cellule contient un filament d’ADN qui, une fois déplié, peut mesurer environ 2 m. Si l’on formait une longue chaîne avec tous les filaments d’ADN des cellules du corps humain, combien de fois cette chaîne ferait-elle le tour de la Terre (la circonférence de la Terre étant d’environ 40 000 km) ?



)  (2  10 4)





j) (3,33  108)  (5,78  10 3)

La bactérie illustrée ci-contre mesure environ 0,7 micromètre de long. a) Exprime en notation scientifique sa longueur en mètres. b) Combien de fois une cellule de 0,1 mm de long est-elle plus grosse que la bactérie ?

Es-tu maintenant capable de résoudre entièrement la situation-problème D’un infini à l’autre, aux pages 4 et 5 ?

Corrigé, p. 358

La notation scientifique et autres formes d’écriture

15


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LABORATOIRE DE PERCEPTION SPATIALE

La représentation de solides et le calcul de l’aire ATELIER 1

Le développement

Les représentations ci-contre sont celles d’un prisme à base triangulaire et d’une pyramide à base rectangulaire. Forme une dyade avec un ou une camarade, puis choisissez chacun un solide différent. RAPPEL

a) Trace un développement possible du solide que tu as choisi.

Le développement d’un solide est une représentation sur un plan de toutes les faces du solide. Les faces du développement sont reliées entre elles de manière que l’on puisse s’imaginer une reconstitution du solide.

b) Indique sur ton développement les mesures nécessaires pour arriver à calculer l’aire totale du solide. Valide ta réponse avec ton ou ta camarade pour t’assurer d’avoir indiqué le nombre minimal de mesures à considérer.

Observe ci-contre, par exemple, un développement possible d’un prisme à base rectangulaire. Le développement d’un solide est une représentation que l’on peut obtenir en visualisant la mise à plat de ce solide. Inversement, à partir d’un développement, on peut imaginer la reconstitution du solide.

c) Représente les mesures ciblées sur ton développement par des variables. Quelle expression algébrique réduite représente le calcul de l’aire totale du solide ? Valide ta réponse en la présentant à ton ou ta camarade.

1

Reprends les tâches a), b) et c) en utilisant les solides représentés ci-dessous. Compare ensuite tes réponses avec celles de ton ou ta camarade. 1)

Un prisme dont les bases sont des hexagones réguliers.

3)

Un cube.

2)

Un cylindre.

4)

Un tétraèdre régulier.

Corrigé, p. 358

16

L’ART DE LA MESURE


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ATELIER 2

La représentation d’un solide

Lorsqu’un objet à trois dimensions est représenté sur une feuille, il faut faire preuve d’imagination pour bien se le représenter et l’analyser sous toutes ses facettes. La technique de dessin appelée « perspective cavalière » permet de représenter sur une feuille un objet à trois dimensions, comme les solides utilisés à l’atelier 1 de la page précédente. Voici comment représenter un prisme à base rectangulaire en utilisant la technique de la perspective cavalière. • On trace d’abord l’une des faces du solide. • On trace ensuite les arêtes issues des sommets de la figure initialement tracée. Afin de donner un effet de profondeur, il faut tracer ces arêtes (appelées arêtes fuyantes) à un angle se situant entre 30° et 45° par rapport à l’horizontale. Les arêtes qui ne sont pas visibles dans la réalité doivent être tracées en pointillé.

ATTENTION ! Les arêtes qui sont parallèles et isométriques dans la réalité doivent également l’être sur la représentation.

de 30º à 45º

Les arêtes fuyantes sont réduites par rapport à ce qu’elles nous apparaissent dans la réalité.

• Enfin, on relie les arêtes fuyantes pour ainsi tracer les arêtes manquantes, en n’oubliant pas d’utiliser un pointillé pour celles qui ne sont pas visibles dans la réalité.

La lettre A ci-contre est représentée en perspective cavalière. Dans ce cas-ci, les arêtes invisibles n’ont pas été tracées. Une telle représentation est dite « opaque ». Utilise ce type de représentation pour écrire ton nom à l’aide de lettres tracées en perspective cavalière.

1

Représente en perspective cavalière les solides associés aux développements suivants. 1)

2)

3)

Corrigé, p. 358

La représentation de solides et le calcul de l’aire

17


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MES OUTILS

EN GÉOMÉTRIE

La représentation d’un solide et le calcul de son aire Pour représenter un solide sur une surface plane, on peut utiliser différentes techniques.

La perspective cavalière

De 30° à 45°

L’illustration ci-contre est une représentation en perspective cavalière d’un prisme à base rectangulaire. Pour donner un effet de profondeur, on trace les arêtes fuyantes à un angle de 30° à 45° par rapport à l’horizontale. Les arêtes qui ne sont pas visibles dans la réalité sont en pointillé. De plus, les arêtes qui sont isométriques et parallèles dans la réalité le demeurent sur la représentation.

Arêtes fuyantes Les arêtes fuyantes sont réduites par rapport à ce qu’elles nous apparaissent dans la réalité.

Exemple : Voici la représentation d’une boîte de carton en perspective cavalière. Les arêtes isométriques et parallèles dans la réalité le sont également sur la représentation.

Les arêtes qui ne sont pas visibles dans la réalité sont en pointillé.

Le développement de solides Le développement d’un solide est une représentation de toutes les faces du solide. Les faces du développement sont reliées entre elles de manière que l’on puisse s’imaginer une reconstitution du solide. Le développement d’un solide est une représentation que l’on peut obtenir en visualisant la mise à plat de ce solide. Inversement, à partir d’un développement, on peut imaginer la reconstitution du solide.

18

L’ART DE LA MESURE

Développement possible d’un prisme à base rectangulaire


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Le calcul de l’aire d’un solide Pour s’approprier une situation exigeant le calcul de l’aire d’un solide, on peut représenter le solide en perspective cavalière ou à l’aide de son développement. Sur la représentation, on note ensuite des mesures associées à différentes longueurs prises sur le solide. En calculant l’aire de chaque face du solide, puis en additionnant tous les résultats, on obtient son aire totale (At).

Exemple :

At  2  (8  5)  2  (8  4)  2  (5  4)  80  64  40  184 At  184 cm2

Dans la section Ma mémoire (p. 315, 316 et 322), tu trouveras des formules te permettant de calculer l’aire d’une figure plane selon certaines mesures.

EXERCICES

1

Représente en perspective cavalière les objets des photographies ci-dessous, ainsi que l’un de leurs développements possibles. a)

c)

e)

b)

d)

f)

La représentation de solides et le calcul de l’aire

19


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2

Le rectangle à la base d’un prisme à base rectangulaire a une largeur de 3 cm et une longueur de 5 cm. La hauteur du prisme est de 2 cm. a) Représente ce prisme à l’aide de l’un de ses développements possibles et en perspective cavalière. Sur chacune des représentations, inscris les mesures données aux endroits appropriés. b) Quelle est l’aire totale de ce prisme ?

3

Observe les développements de solides ci-dessous. 1)

2)

3)

4)

6)

5)

Le mathématicien Leonhard Euler (1707–1783) a découvert la relation ci-dessous, qui s’applique à tous les polyèdres convexes. SFA2 Dans cette formule, S correspond au nombre de sommets, F au nombre de faces et A au nombre d’arêtes. Tu as peut-être déjà exploré cette relation. Elle pourrait s’avérer utile pour trouver les réponses demandées en b).

a) Donne le nom de chaque solide et représente chacun en perspective cavalière. b) Dans le cas de chacun des solides, précise le nombre de faces, d’arêtes et de sommets qui le composent. Vérifie tes réponses en utilisant la relation découverte par Euler.

20

L’ART DE LA MESURE


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4

Reproduis et complète le tableau ci-dessous en te référant au besoin à la représentation du prisme. a

6 dm

40 cm

b

3 dm

70 cm

h

4 dm

8m

5 cm 4m

Aire d’une base

40 m2

Aire latérale Aire totale

5

5 cm

130 cm2 12 200 cm2

Le développement d’un prisme à base rectangulaire est illustré ci-contre. a) À l’aide des variables a, b et h, trouve une expression algébrique réduite représentant l’aire latérale du prisme. b) Si a  5 unités, b  2 unités et h  10 unités, représente ce prisme en perspective cavalière en indiquant les mesures aux endroits appropriés. c) Quelle est l’aire latérale du prisme que tu as représenté ? d) Quelle est l’aire totale du prisme que tu as représenté ? e) Quelle est l’aire totale du prisme rouge représenté ci-contre ? f) Détermine la hauteur (h) du prisme jaune représenté ci-contre si son aire latérale est de 98 cm2.

6

La représentation ci-contre est celle d’une pyramide droite dont la base est un pentagone régulier. a) Représente un développement possible de cette pyramide et inscris les mesures données aux endroits appropriés. b) Quelle est l’aire latérale de cette pyramide ? c) Quelle est son aire totale ?

La représentation de solides et le calcul de l’aire

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7

Reproduis et complète le tableau suivant en y inscrivant les mesures manquantes. Dans chaque cas, les données décrivent une pyramide droite dont la base est un polygone régulier. POLYGONE À LA BASE

CARRÉ

Mesure d’un côté de la base

5 cm

CARRÉ

HEXAGONE

4m

16 cm

Apothème de la base Apothème de la pyramide

N’hésite pas à faire une représentation de la pyramide afin de mieux t’approprier la situation.

6 cm

PENTAGONE

HEXAGONE 5 dm

14 cm

14 mm

20 cm

30 mm

4,3 dm

Périmètre de la base 1500 mm2

Aire latérale

75 dm2

Aire de la base 30 m2

Aire totale

8

Un développement possible d’un cylindre droit est illustré ci-contre. a) Représente ce cylindre en perspective cavalière et inscris les mesures données aux endroits appropriés. b) Quelle est l’aire latérale de ce cylindre ? c) Quelle est son aire totale ?

9

Imagine que l’on découpe le rectangle illustré ci-contre dans du carton, puis qu’on le fasse tourner très rapidement autour d’un axe passant par le côté AB. a) Représente le solide que la rotation du rectangle autour de l’axe permettrait d’apercevoir. b) Quelle serait l’aire totale de ce solide ?

22

L’ART DE LA MESURE


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APPLICATIONS

10 Une tente a la forme d’un prisme dont les bases sont des triangles équilatéraux de 2 m de côté et dont la hauteur mesure environ 1,7 m. La profondeur de la tente est de 3 m. a) Dessine un développement possible de ce prisme, ainsi que sa représentation en perspective cavalière. Sur chaque représentation, inscris les mesures données aux endroits appropriés. b) Combien coûte le tissu nécessaire à la fabrication de la tente si un mètre carré se vend 6 $ ? c) Quelle serait la profondeur d’une tente similaire (ayant les mêmes bases), mais dont le tissu nécessaire à sa fabrication coûterait 106,80 $ ?

11 Un développement d’une pyramide régulière à base carrée est illustré ci-contre.

a c

a) Exprime, à l’aide des variables a et c, l’aire totale de la pyramide. b) Quelle expression algébrique réduite correspond au périmètre de la base de cette pyramide ? c) Calcule l’aire latérale et l’aire totale de la pyramide rouge représentée ci-contre. d) Quelle est la mesure de l’apothème d’un tétraèdre régulier si son aire totale est de 85 cm2 et que chaque arête mesure 7 cm ?

Un tétraèdre régulier est une pyramide à base triangulaire dont chaque face est un triangle équilatéral.

12 On déplace un pentagone régulier dans l’espace en suivant le mouvement de translation décrit par la flèche dans l’illustration. a) Représente en perspective cavalière le solide engendré par cette translation et inscris les mesures données aux endroits appropriés. De quel type de solide s’agit-il ?

13 cm a 5 5,5 cm

b) Calcule son aire totale.

8 cm

La représentation de solides et le calcul de l’aire

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13 Platon (427 – 348) a observé qu’il n’existait que cinq polyèdres réguliers convexes. C’est pour cette raison qu’on les nomme les polyèdres de Platon. Observe les développements de ces solides. En sachant que chacun des polyèdres a une aire totale de 600 cm2, trouve la mesure d’une arête sur chacun d’eux. 3,8 cm

3,7 cm

5,4 cm 2,4 cm

14 Un immeuble a la forme d’un prisme à base rectangulaire. L’aire latérale de l’immeuble est de 7560 m2 et la base mesure 40 m sur 20 m. Chaque étage mesure 3 m de haut. Représente cet immeuble en perspective cavalière, en inscrivant ses trois dimensions aux endroits appropriés.

PROBLÈME

15 Un modèle de « boule-miroir » pour discothèque a la forme d’un polyèdre convexe formé de petits miroirs qui sont des polygones réguliers soudés les uns aux autres. Mme Payette veut produire ce modèle, représenté par le développement ci-dessous. Elle doit tenir compte des données suivantes. •

Chaque triangle coûte 10 ¢.

Chaque carré coûte 15 ¢.

Chaque polygone mesure 2 cm de côté.

La soudure coûte 3 ¢ par centimètre.

a) Avec un budget de 770 $, combien de boules Mme Payette peut-elle produire ? b) Combien de sommets ce modèle de boule compte-t-il ? c) Trace le développement d’un autre modèle de boule qui pourrait être fabriqué avec des triangles équilatéraux et des carrés.

24

L’ART DE LA MESURE


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1

Voici trois développements possibles d’un cube.

a) Sur une feuille quadrillée, représente trois autres développements possibles d’un cube. b) Combien de développements différents d’un cube y a-t-il ?

Comment peux-tu t’assurer qu’il n’y a pas d’autres possibilités en b) ?

c) Imagine que l’on forme une tour avec tous les cubes construits à partir des développements dénombrés en b). Quelle serait l’aire totale de cette tour si tous les cubes avaient des arêtes de 5 cm ? d) Imagine qu’avec ces cubes l’on forme plutôt deux tours (l’une comptant un cube de plus que l’autre). Représente ces tours en perspective cavalière. e) La somme des aires totales des deux tours serait-elle équivalente à l’aire totale de la grande tour imaginée en c) ? Explique ta réponse. 2

Dans une fromagerie, on aimerait bien calculer rapidement la quantité minimale de papier nécessaire pour recouvrir un fromage selon certaines mesures. Tous les fromages qui y sont fabriqués ont la forme d’un cylindre dont le rayon des bases est le double de la hauteur du cylindre. a) Représente un fromage, en sachant que la mesure de la hauteur est représentée par x. Inscris sur ta représentation les mesures de la hauteur et d’un rayon d’une des bases. b) Quelle expression algébrique réduite représente l’aire totale de ce fromage ? c) Quelle est la quantité minimale de papier nécessaire au recouvrement d’un fromage dont la hauteur est de 2 cm ? d) On a déterminé qu’il faudrait au minimum 942 cm2 de papier pour recouvrir un fromage. Quelle est la mesure du rayon de ce fromage ?

Corrigé, p. 359

La représentation de solides et le calcul de l’aire

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SITUATION-PROBLÈME

2

La civilisation de l’Égypte ancienne devait sa prospérité aux fortes crues du Nil qui inondaient les terres chaque année. L’inconvénient, c’est que l’eau effaçait les limites entre les champs ! Le peuple égyptien de l’Antiquité a dû développer des techniques de mesure pour remédier à la situation, ce qui a donné un essor de la géométrie.

Le mot géométrie signifie « mesure de la terre ».

Cette image détaillée montre le barrage d’Assouan qui retient maintenant les eaux du lac Nasser, stabilisant ainsi le niveau d’eau du Nil.

L’une de ces techniques pour délimiter les champs consistait à utiliser une corde comportant des nœuds. Ceux-ci marquaient 12 intervalles de même mesure servant à déterminer des angles droits afin de s’assurer que les champs soient bien perpendiculaires au Nil. Chaque intervalle correspondait à la longueur d’une coudée.

Une coudée

26

L’ART DE LA MESURE


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Aujourd’hui, à Guédelon, en France, il existe un chantier de construction pas comme les autres. Une équipe construit un château fortifié avec les méthodes et les outils du 13e siècle. En particulier, on se sert de la technique de la corde égyptienne qui, au Moyen Âge, était encore utilisée pour s’assurer que tout était bien droit. a) Imagine que tu participes à ce projet extraordinaire. Comment utiliserais-tu la corde à 12 intervalles de même mesure pour t’assurer de former un angle droit ? Observe les deux utilisations illustrées ci-dessous.

1 Former un quadrilatère dont les quatre côtés mesurent 3 unités chacun et utiliser l’un des angles comme gabarit.

Tu peux trouver beaucoup d’information sur ce chantier dans Internet.

2 Former un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités, puis utiliser l’angle opposé au plus long côté comme gabarit. À l’aide d’une ficelle marquée avec un feutre, tu peux créer une représentation de la corde et la manipuler afin de mieux t’approprier la situation.

b) Peut-on dans chaque cas être certain qu’un angle intérieur de la figure formée est bel et bien droit ? Dans les deux cas, justifie ta réponse à l’aide de définitions ou de propriétés géométriques.

La Séquence en géométrie qui suit, aux pages 28 à 39, traite de la relation de Pythagore et pourra t’aider à résoudre entièrement cette situation.

Situation-problème 2

27


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SÉQUENCE EN GÉOMÉTRIE

La relation de Pythagore et sa réciproque ACTIVITÉ 1

La relation de Pythagore

Pythagore (v. 580 – v. 490) était un mathématicien, philosophe et astronome de la Grèce antique. Encore aujourd’hui, il est célèbre parce qu’on l’associe à une relation établissant un lien entre les mesures des trois côtés de tout triangle rectangle. On a cependant trouvé des écrits montrant que cette relation était également connue en Chine et en Inde à la même époque que Pythagore. Si cette relation est associée à Pythagore, c’est qu’il semble être le premier à avoir démontré qu’elle s’applique à tous les triangles rectangles.

On a trouvé des traces de cette relation remontant bien avant l’existence de Pythagore.

Égypte antique 2000 ans

Tablette d’argile, Babylonie 1700 ans

COMPOSANTES D’UN TRIANGLE RECTANGLE Stonehenge, en Angleterre 2500 ans

a) Pour chacun des triangles rectangles ci-contre, nomme 1)

l’angle droit ;

2)

l’hypoténuse ;

3)

les deux cathètes.

b) Avec un ou une camarade, suis les étapes de construction décrites sur la feuille que l’on vous remet. c) D’après la construction que vous avez réalisée, formulez par écrit la relation de Pythagore. Comparez ensuite votre énoncé avec celui des autres dyades.

1

Trouve la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les cathètes mesurent a) 12 et 16 unités ;

2

Trouve la mesure d’une cathète du triangle rectangle dont l’autre cathète mesure 7 unités et l’hypoténuse, 25 unités.

Corrigé, p. 359

28

b) 8,4 et 11,2 unités.

L’ART DE LA MESURE


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ACTIVITÉ 2

Mesurer des angles sans rapporteur

Tu sais mesurer des angles à l’aide d’un rapporteur. Cet outil est pratique lorsque les angles se trouvent sur des figures relativement petites. Dans le domaine de la construction ou de l’arpentage, les angles droits sont très utiles. Imagine que tu doives mesurer des angles sur des bâtiments ou des terrains. Le recours au rapporteur ne s’avère alors pas très pratique.

J

I

a) En te servant uniquement d’une règle graduée en millimètres, trouve une stratégie efficace pour déterminer les angles qui sont droits autant à l’intérieur qu’à l’extérieur du polygone ci-contre. Pour plus de précision, tu peux utiliser la feuille que l’on te remet.

A

G

H D

F B C

E

b) Compare ta façon de procéder avec celle d’un ou une camarade. c) En groupe classe, rassemblez toutes les façons différentes de procéder et validez-les.

1

RAPPEL Un triangle est acutangle si ses angles intérieurs sont aigus et un triangle est obtusangle si l’un de ses angles intérieurs est obtus.

Les triangles décrits ci-dessous sont-ils des triangles rectangles ? Si ce n’est pas le cas, détermine s’ils sont acutangles ou obtusangles. a) Un triangle ABC dont les côtés mesurent 63,3 cm, 84,4 cm et 105,5 cm.

Triangle acutangle

b) Un triangle CDE dont les côtés mesurent 50 m, 75 m et 100 m. c) Un triangle DFG dont les côtés mesurent 6 cm, 2 cm et 5,8 cm.

Triangle obtusangle

Corrigé, p. 359

La relation de Pythagore et sa réciproque

29


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MES OUTILS

EN GÉOMÉTRIE

La relation de Pythagore et sa réciproque Le côté opposé à l’angle droit d’un triangle rectangle est toujours le côté le plus long. Il s’appelle l’hypoténuse. Les côtés adjacents à l’angle droit sont les cathètes du triangle rectangle.

Cathète

Cathète

Hypoténuse

La relation de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des autres côtés (les cathètes).

( m AB )2 = ( m AC )2 + Ä ( m BC )2 Rechercher des mesures manquantes Dans un triangle rectangle, la relation de Pythagore permet de trouver la mesure d’un côté lorsqu’on connaît celle des deux autres côtés.

Exemples : 1)

Trouver la mesure h de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les autres côtés mesurent 6 et 8 unités.

2)

Déduire la valeur de x dans le triangle rectangle ci-dessous. 142  122  x2

h2  82  62 h2  64  36

196  144  x2 196  144  x2

h2  100 h 

100

h  10 L’hypoténuse mesure 10 unités.

52  x2 52  x 7,21  x La valeur exacte de x est 52 unités et sa valeur approximative, 7,21 unités.

La réciproque de la relation de Pythagore Si un triangle est tel que le carré de la mesure d’un côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Exemple 1 : Les côtés d’un triangle mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

L’hypoténuse est le côté le plus long.

Puisque dans un triangle rectangle l’hypoténuse est le côté le plus long, il sera rectangle si l’égalité suivante est vraie : 52  42  32. Puisque 25  16  9, ce triangle est un triangle rectangle.

30

L’ART DE LA MESURE


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Exemple 2 : Les côtés d’un triangle mesurent 5,2 cm, 8,4 cm et 4,6 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

L’hypoténuse est le côté le plus long.

Il sera rectangle si l’égalité suivante est vraie : 8,42  5,22  4,62. Puisque 70,56



27,04 + 21,16 , ce triangle n’est pas un triangle rectangle.

De plus, puisque 70,56 > 48,20, soit le carré de la mesure attendue de l’hypoténuse, alors ce triangle est obtusangle.

8,4 cm 4,6 cm

Mesure attendue de l’hypoténuse

5,2 cm

Exemple 3 : Les côtés d’un triangle mesurent 10,4 cm, 9,2 cm et 12,5 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

L’hypoténuse est le côté le plus long.

Il sera rectangle si l’égalité suivante est vraie : 12,52  10,42  9,22. Puisque 156,25 rectangle.



108,16  84,64 , ce triangle n’est pas un triangle 12,5 cm

De plus, puisque 156,25 < 192,80, soit le carré de la mesure attendue de l’hypoténuse, alors ce triangle est acutangle.

Mesure attendue de l’hypoténuse

9,2 cm

10,4 cm

EXERCICES

1

2

Trouve la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les cathètes mesurent a) 5 et 12 unités ;

d) 14 et 20 unités ;

b) 3 et 5 unités ;

e) 28 et 45 unités ;

c) 4,5 et 6 unités ;

f) 18,5 et 21,5 unités.

Trouve la mesure manquante de l’un des côtés du triangle rectangle dont l’une des cathètes et l’hypoténuse mesurent a) 18 et 82 unités ;

d) 23 et 72 unités ;

b) 13 et 48 unités ;

e) 99 et 165 unités ;

c) 11,5 et 55 unités ;

f) 48 et 73 unités.

La relation de Pythagore et sa réciproque

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3

Pour chacun des triangles rectangles suivants, déduis la mesure manquante du côté ciblé. a)

4

b)

c)

Calcule la mesure d’une des cathètes d’un triangle rectangle, sachant que l’hypoténuse mesure 70 m et que l’autre cathète mesure 42 m. Pour mieux t’approprier les numéros 4 à 10, n’hésite pas à faire une représentation à l’aide d’un dessin en inscrivant les données aux endroits appropriés.

5

Quelle est la mesure de la longueur d’un rectangle si l’une des diagonales mesure 34 cm et que la largeur mesure 12 cm ?

6

Quelle est la mesure de l’une des diagonales d’un carré de 12 cm de côté ?

7

Quelle est la mesure de la hauteur d’un triangle équilatéral de 15 cm de côté ?

8

Quelle est la mesure de la hauteur d’un triangle équilatéral dont le périmètre est de 81 cm ?

9

Les diagonales d’un losange mesurent 90 cm et 56 cm. Quel est le périmètre de ce losange ?

10 Identifie l’angle droit dans les triangles rectangles décrits ci-dessous. a) Le triangle ABC, dont les côtés AB, BC et CA mesurent respectivement 36 cm, 15 cm et 39 cm. b) Le triangle CDE, dont les côtés CD, DE et EC mesurent respectivement 25 cm, 14 cm et 429 cm.

32

L’ART DE LA MESURE


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11 Les mesures suivantes ont été prises sur les côtés de triangles. Détermine quels triangles sont rectangles. a) 1,2 cm, 1,6 cm et 2 cm.

e) 0,28 mm, 0,96 mm et 1 mm.

b) 2,3 m, 2,7 m et 4,1 m.

f) 4,2 km, 7,5 km et 8,6 km.

c) 5,2 cm, 8,5 cm et 11,2 cm.

g) 23 µm, 32 µm et 44 µm.

d) 1 m, 2,4 m et 2,6 m.

h) 1,73 km, 1,73 km et 3 km.

12 En te référant au triangle rectangle représenté ci-contre, détermine la mesure manquante (les mesures sont exprimées en centimètres). a) Si p  26,4 et q  35,2, quelle est la valeur de r ? b) Si p  22 et r  43, quelle est la valeur de q ? c) Si r  33 et q  25,5, quelle est la valeur de p ?

13 Les triangles suivants sont-ils rectangles ? Dans le cas de ceux qui ne le sont pas, détermine s’ils sont acutangles ou obtusangles. a) m AB  1 dm, m BC  1 dm et m AC 

2 dm.

b) m XY  2,4 cm, m YZ  3,2 cm et m XZ  4 cm. c) m DE  8 mm, m EF  8 mm et m DF  10 mm. d) m RS  1,5 m, m ST  2 m et m RT  2,5 m.

RAPPELS Un angle aigu est plus petit qu’un angle droit (90º) et un angle obtus est compris entre un angle droit (90º) et un angle plat (180º). Un triangle acutangle comporte trois angles aigus et un triangle obtusangle compte un angle obtus.

e) m HI  22 mm, m IJ  25,5 mm et m HJ  36 mm.

14 Pour chacun des triangles suivants, précise si la mesure du segment en pointillé est exacte, sachant que ce segment est une hauteur du triangle. Justifie ta réponse. a)

c)

b)

d) 10 mm

390 mm

La relation de Pythagore et sa réciproque

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15 Trouve la valeur de x dans chacune des figures ci-dessous (les mesures sont en centimètres). a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

16 Deux bateaux quittent ensemble le même port et naviguent l’un vers l’ouest, l’autre vers le sud. Lorsque le premier a parcouru 275 km et le second, 368 km, à quelle distance approximative se trouvent-ils l’un de l’autre ?

17 Une charpentière érige deux murs extérieurs adjacents d’une maison qui aura une forme rectangulaire. La maison a une largeur de 7,75 m et une longueur de 10,20 m. Quelle doit être la distance entre les deux extrémités libres des murs si la charpentière veut s’assurer que les murs sont disposés à un angle droit ?

34

L’ART DE LA MESURE


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APPLICATIONS

18 Un arbre de 8 m de hauteur a été frappé par la foudre à 2,2 m du sol. La partie au-dessus du point d’impact est tombée de telle manière que la cime touche le sol et que l’autre extrémité est restée attachée au tronc. À quelle distance du pied de l’arbre la cime touche-t-elle le sol ?

19 Sur une feuille d’acier rectangulaire de 36 cm sur 96 cm, à quelle distance de chaque coin le centre de la feuille se trouve-t-il ?

20 Détermine si le triangle ABC est rectangle. Justifie ta réponse.

21 Détermine la mesure du segment AB dans chacune des figures suivantes. a)

d)

b)

e)

c)

f)

Apothème de cet hexagone régulier

La relation de Pythagore et sa réciproque

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22 Un campeur solidifie sa tente (qui a la forme d’un prisme à base triangulaire) à l’aide d’une corde afin qu’elle résiste au vent. La représentation ci-contre montre comment il installe cette corde. Quelle est la longueur minimale de la corde ?

8,2 dm

18,4 dm

7,8 dm

23 Le cerf-volant d’Anne-Sophie est pris au sommet d’un arbre. Lorsque la jeune fille se tient à 15 m de l’arbre, la ficelle du cerf-volant est tendue. Si la ficelle mesure 20 m et qu’Anne-Sophie en maintient l’extrémité libre au sol, quelle est la hauteur de l’arbre ?

24 Éléonore installe perpendiculairement à un mur une tablette de 60 cm de long sur 20 cm de large, représentée ci-contre. Pour plus de solidité, elle doit ajouter sous la tablette deux supports de 25 cm, comme dans l’illustration. À quelle distance sous la tablette Éléonore doit-elle visser chacun des supports ?

25 Un triplet de Pythagore est un ensemble de trois nombres naturels (a, b, c) qui satisfont à la règle a2  b2  c2. Le plus connu est le triplet (3, 4, 5). a) Les triplets suivants sont-ils des triplets de Pythagore ? 1)

(6, 8, 10)

3)

(12, 18, 24)

5)

(119, 120, 169)

2)

(8, 15, 17)

4)

(9, 40, 41)

6)

(220, 340, 680)

G

b) Louisa a tracé la figure ci-contre à partir d’un triangle rectangle (le triangle AOB) dont les mesures des côtés correspondent au triplet de Pythagore (3, 4, 5). Quelles sont les mesures des côtés des autres triangles rectangles composant la figure de Louisa ?

E C A

O

B

D

F

H

c) Si l’on multiplie chaque nombre d’un triplet de Pythagore par 2, 3 ou 4, les triplets obtenus sont-ils aussi pythagoriciens ? Est-ce vrai pour n’importe quel facteur correspondant à un nombre naturel ? Justifie ta réponse.

36

L’ART DE LA MESURE


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26 La base de la pyramide de Khéops est de forme carrée et mesure 227 m de côté. Sa hauteur est de 139 m. Quelle est la mesure d’une arête latérale de cette pyramide.

27 Sur une carte routière, les routes sont représentées à vol d’oiseau, sans tenir compte des côtes qu’elles peuvent descendre ou monter. Ainsi, les distances représentées sur une carte sont souvent plus petites que les distances réellement parcourues par les véhicules. a) Sur une route, on suit un trajet de 300 m en ligne droite pour dévaler une côte. La carte routière indique une distance de 230 m pour cette partie de la route. Quelle est la différence d’altitude entre le haut et le bas de la côte ? b) Dans la signalisation routière, on indique les pentes abruptes par un rapport, exprimé en pourcentage, entre la différence d’altitude et la longueur de route à parcourir. Si descendre une pente de 10 % nous fait perdre 150 mètres d’altitude, quelle serait la distance parcourue à vol d’oiseau, selon la carte routière ?

28 Voici le plan d’un mur de corridor d’un hôtel. Un entrepreneur doit acheter des moulures (en brun sur le plan) pour ensuite les installer selon les indications. Sachant que tous les losanges sont isométriques, estime la longueur minimale de moulure (en mètres) que l’entrepreneur doit acheter.

20 m

72 cm

36 cm

La relation de Pythagore et sa réciproque

37


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29 Imagine que, pour faire une surprise à ta famille, tu as acheté un magnifique sapin de Noël. La famille décide de l’installer au sol devant la maison. Pour qu’il reste bien droit, quatre câbles d’une longueur de 3,5 m chacun seront utilisés, placés selon la représentation ci-contre. L’endroit où les câbles sont fixés sur le sapin se trouve à 3 m du sol. a) À quelle distance du tronc faudra-t-il fixer l’autre extrémité des câbles pour que le sapin se tienne droit ? b) Estime la distance au sol séparant deux câbles consécutifs. Explique ton estimation. Fenêtre

Édifice

Échelle

30 Une entrepreneure en construction a une échelle de 4 m. Elle doit la mettre à une distance de 2,25 m du mur, car un obstacle l’empêche de se placer plus près. Pourra-t-elle atteindre une fenêtre située à une hauteur de 3,6 m ? Justifie ta réponse.

31 La famille de Rafidul habite un duplex à Montréal. L’illustration ci-contre montre la cour arrière du duplex. Cet espace peut être délimité par E un prisme à base rectangulaire. Rafidul voudrait prendre les mesures nécessaires pour acheter une corde à linge qui joindrait les deux poulies représentées par les sommets D et E du prisme. a) En tenant compte des obstacles dans la cour et du fait que Rafidul utilisera seulement un ruban à mesurer, propose une façon de procéder pour qu’il parvienne à obtenir la mesure dont il a besoin, sans commettre d’imprudences. Justifie les étapes à suivre.

H

A

D

G

F

b) Quelle est la longueur minimale de corde que Rafidul devra acheter ? B

38

L’ART DE LA MESURE

C


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PROBLÈMES

32 Lors de son dernier déménagement, Julien a dû faire face à un problème de taille. Sa bibliothèque de bois massif, qu’il adore, n’allait pas pouvoir passer par la porte de sa nouvelle maison. Il suffisait de regarder la bibliothèque, illustrée ci-dessous, pour constater que cela semblait en effet impossible ! Elle était plus haute et plus large que la porte. Heureusement, sa copine Charlotte, très ingénieuse, a trouvé une façon de la faire entrer. Étant donné que la porte mesure 2 m de haut et 160 cm de large, comment Charlotte s’y est-elle prise ? Explique comment la bibliothèque peut passer par la porte. Profondeur: 30 cm

Hauteur: 225 cm

:

Largeur: 2,75 m

33 Le satellite météorologique M216 photographie constamment la Terre en suivant une orbite circulaire autour de l’équateur à une hauteur égale au quart du rayon terrestre. La zone pâle autour de l’équateur dans les figures montre la région visible à partir du satellite (c’est-à-dire les points de la Terre que le satellite peut photographier).

Satellite

Satellite

a) Sachant que le rayon de la Terre est de 6375 km, détermine la hauteur du cylindre qui contient cette zone (illustré en jaune). b) Donne une estimation (en kilomètres carrés) de l’aire de la région visible à partir du satellite.

Satellite

Le Laboratoire de perception spatiale qui suit, aux pages 41 à 51, traite de l’aire du cône et de la sphère, et pourra t’aider à résoudre entièrement cette situation.

La relation de Pythagore et sa réciproque

39


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1

On veut solidifier une tour de télécommunication à l’aide de câbles d’acier. Les câbles seront fixés sur la tour à une hauteur de 5,2 m et tendus au sol à 2,8 m de la tour. Quelle doit être la longueur minimale de chaque câble ?

2

Au baseball, lorsque le frappeur attend la balle près du marbre, il se trouve à 38,89 m du deuxième coussin (celui qui lui fait face). Sachant que les trois coussins et le marbre correspondent aux sommets d’un carré, détermine la longueur minimale parcourue par un joueur qui fait le tour des coussins.

3

Deuxième coussin Toisième coussin

Premier coussin Marbre

Sara veut installer une clôture au fond de sa cour arrière. La vue aérienne ci-dessous montre sa propriété et celles de ses voisins. Les clôtures de chaque côté de sa cour mesurent respectivement 8,5 m et 14 m de long. Sa maison a 10 m de largeur. Quelle est la longueur de la clôture à installer ? Propriété de Sara

?

4

Laure a représenté sa maison par un prisme à base rectangulaire surmonté d’un prisme dont les bases sont des triangles isocèles. Sur la représentation, elle a noté quelques mesures. Quelle est la hauteur du pignon de sa maison ?

Es-tu maintenant capable de résoudre entièrement la situation-problème Profession : « tendeur de corde », aux pages 26 et 27 ?

Corrigé, p. 360

40

L’ART DE LA MESURE


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LABORATOIRE DE PERCEPTION SPATIALE

L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables ATELIER 1

De la pyramide au cône

Observe les pyramides droites, qui ont toutes la même hauteur et un apothème mesurant 5 cm, et dont la base est un polygone régulier. 5 cm 5 cm

5 cm 3 cm

3 cm

3 cm 5 cm

6 cm

5 cm 3 cm

4,36 cm

b) À l’aide des données relatives à chacune des pyramides ci-dessus, remplis le tableau sur la feuille qu’on te remet. c) Si le rayon de la base d’un cône est représenté par r et que l’apothème de ce cône est représenté par a, donne une expression algébrique représentant l’aire totale de ce cône. d) Compare ton expression avec celle d’un ou une autre élève de la classe. Vos expressions sont-elles équivalentes ?

Quelle est l’aire latérale du cône dont le développement est donné ci-contre ?

2

Quelle est, au centième près, l’aire totale d’un cône dont l’apothème mesure 8 cm, si l’aire de sa base est d’environ 50,26 cm2 ?

3

Quelle est l’aire totale du cône ci-contre, si son apothème mesure 25 cm ?

1,94 cm

2,49 cm

a) Imagine que l’on continue de construire des pyramides régulières de manière qu’elles aient toutes le même apothème et la même hauteur. À quel solide ressemblerait celle qui compterait le plus de côtés à sa base ?

1

3 cm

3,46 cm

RAPPEL L’apothème d’une pyramide droite régulière est un segment joignant l’apex au milieu de l'un des côtés du polygone lui servant de base. L’apothème d’un cône droit est un segment qui joint l’apex à l’un des points du cercle délimitant sa base. Dans les deux cas, la grandeur d’un tel segment est aussi appelée apothème. L’apex d’une pyramide ou d’un cône correspond au sommet opposé à la base.

Les aires que tu as trouvées sont-elles des mesures exactes ?

Corrigé, p. 360

L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables

41


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ATELIER 2

L’aire de la sphère

Parmi tous les solides comportant une surface courbe que tu connais, certains peuvent être représentés par un développement. a) Peux-tu en nommer deux ? b) Qu’en est-il de la sphère ? Crois-tu qu’il soit possible de la représenter par un développement ? Explique ton point de vue. La sphère ne peut être mise à plat, mais certaines stratégies permettent de pallier ce problème. En géographie par exemple, pour représenter la surface de la Terre, on imagine une feuille de papier enroulée autour comme un cylindre, sur laquelle on trace les continents. La mappemonde obtenue est une projection cylindrique. Selon le type de projection utilisée, l’image des continents peut être plus ou moins déformée par rapport à ce que montrent les vues de la Terre prises de l’espace.

LA PROJECTION DE PETERS La projection de Peters en est une qui présente de grandes déformations. Son intérêt est lié au fait que les aires sont invariantes par cette projection. En effet, chaque petit rectangle sur la carte a la même aire que la région correspondante sur le globe.

c) L’illustration ci-dessus montre une projection de Peters. Par rapport au globe qu’elle entoure, quelles sont la longueur et la largeur de la carte ? d) Selon toi, quelle propriété de cette projection s’avère utile au calcul de l’aire de la sphère ? Dans un document de l’Égypte ancienne (rédigé vers 1850) connu sous le nom de papyrus de Moscou, on trouve une explication sur la relation entre l’aire d’une sphère et celle d’un cylindre. On y précise que, si l’on place une sphère dans un cylindre dont le diamètre des disques des bases et la hauteur correspondent au diamètre de la sphère, l’aire de cette sphère correspondra à l’aire latérale du cylindre. e) À partir de cette information, trouve une expression algébrique représentant l’aire d’une sphère dont le rayon est représenté par r.

1

Le diamètre d’une balle de caoutchouc est de 2,5 cm. Quelle est l’aire de cette balle ?

2

Quel est le rayon d’une sphère dont l’aire est de 484π unités carrées ?

Corrigé, p. 360

42

L’ART DE LA MESURE


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ATELIER 3

L’aire de solides décomposables

Certains objets sont composés de plusieurs solides. Lorsqu’on veut calculer l’aire totale de ces objets, certaines régions des solides qui les composent ne doivent pas être considérées. Observe le solide décomposable ci-contre : a) Décris les solides qui composent cet objet. b) Imagine que l’on plonge cet objet dans de la peinture. Décris les régions qui ne seront pas recouvertes de peinture. Les régions peintes correspondront-elles aux régions qu’il faut considérer dans le calcul de l’aire totale de ce solide décomposable ? c) Sur la feuille que l’on te remet est présentée une stratégie pouvant être utilisée pour calculer l’aire totale de certains solides décomposables. Réponds aux questions posées sur cette feuille.

Parfois, la projection orthogonale de certaines faces de solides décomposables peut nous aider à déterminer des mesures pertinentes dans le calcul de l’aire totale des solides.

8 6

Observe les illustrations ci-contre (les mesures sont en centimètres).

4

d) Quels solides composent ce solide décomposable ?

12

e) Que représente le point au centre de la vue de dessus ?

3

10 14

f) Joins-toi à un ou une autre élève et, ensemble, calculez l’aire totale de ce solide décomposable en laissant les traces de votre solution.

Vue de dessus

g) Comparez votre solution avec celle d’une autre dyade. Avez-vous procédé de la même façon ?

1 Détermine quels solides composent les objets illustrés ci-dessous, puis calcule l’aire totale de ces deux objets. 4,7 cm

a)

2 cm

7 cm

b)

3 cm 7 cm 5 cm

5 cm

3 cm

10 cm Corrigé, p. 360

L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables

43


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EN GÉOMÉTRIE

MES OUTILS

L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables L’aire totale du cône L’aire totale du cône correspond à la somme des aires de toutes ses faces, soit son aire latérale et l’aire de sa base. Atotale  Alatérale  Abase At 

2πr × a  πr2 2

At  πra  πr2

Exemple : L’aire totale du cône ci-contre est : Atotale  πra  πr2 At  (π)(2)(8)  π(2)2 At  16π  4π At  20π

Valeur exacte de l’aire totale de ce cône (cm2)

At  20(3,1416) At  62,83 cm2

Valeur approximative de l’aire totale de ce cône en considérant que π  3,1416

L’aire de la sphère A  4πr2

Exemple : L’aire d’une sphère dont le diamètre est de 10 cm est : A  4πr2

Le rayon est la moitié du diamètre. 2

A  4π(5)

A  4π(25) A  100π

Valeur exacte de l’aire de cette sphère (cm2)

A  100(3,1416) A  314,16 cm2

44

Valeur approximative de l’aire de cette sphère en considérant que π  3,1416

L’ART DE LA MESURE


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L’aire de solides décomposables Pour calculer l’aire totale d’un solide décomposable, il faut considérer l’aire de toutes les régions visibles si l’on observe les différentes vues possibles de ce solide.

Exemple 1 :

Vue de dessus ou plan

Quelle est l’aire totale du solide ci-dessous (les mesures sont en centimètres) ? 4 3 3 6 3

4

Dans certains cas, on peut utiliser des projections orthogonales pour guider notre calcul.

6

6

Vue de face ou élévation

Vue de face : A1  (6  6)  (2  3) = 30

Vue de droite ou profil

Vue de dessus

Vue de dessus : A2  6  6  36 Vue de droite : A3  6  6  36 Vue de face Vue de droite

Aire totale : At  2  A1  2  A2  2  A3 At  (2  30)  (2  36)  (2  36)  204 At  204 cm2

Exemple 2 : Quelle est l’aire du solide décomposable ci-contre (les mesures sont en centimètres) ?

4 12 10

Ce solide est composé d’une demi-sphère, d’un cylindre et d’un cône. Aire totale  Aire d’une demi-sphère  Aire latérale du cylindre  Aire latérale du cône 2 At  4 πr 2πrh  πra 2 At 

4 π( 4)2  2π(4)(10)  π(4)(12) 2

At  32π  80π  48π At  160π At  502,66 cm2

Valeur exacte de l’aire de ce solide (cm2) Valeur approximative de l’aire de ce solide en considérant que π  3,1416

L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables

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EXERCICES

1

Quelle est l’aire des sphères de centre O ci-dessous (les mesures sont en centimètres). a)

d) O O

8

e) b)

O

c)

f)

O 17

O

2

Quelles sont l’aire latérale et l’aire totale des cônes ci-dessous (les mesures sont en centimètres) ? a)

c)

e) 15

8

b)

46

L’ART DE LA MESURE

d)

f)


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3

Reproduis et complète le tableau suivant en y ajoutant les mesures pertinentes. FIGURE

APOTHÈME

RAYON

18 cm

7 cm

AIRE LATÉRALE

7,8 unités

AIRE DE LA BASE

AIRE TOTALE

25π unités carrées

17,8 cm

 58 cm2

4

Représente par un dessin les cônes décrits ci-dessous en notant les mesures données aux endroits appropriés. Calcule ensuite l’aire totale de chaque cône. a) Le rayon du disque formant la base du cône est de 7 cm et son apothème mesure environ 18,5 cm. b) Le diamètre du disque formant la base du cône est de 58,7 cm et son apothème est trois fois plus long. c) La hauteur du cône est de 16,54 dm et le rayon du disque de sa base mesure 7,7 dm.

Ta représentation doit respecter approximativement les proportions entre les mesures.

d) Le diamètre du disque de la base et l’apothème du cône mesurent chacun 2x unités.

L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables

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5

Quelle est l’aire des sphères correspondant aux données suivantes ? a) Le rayon mesure 13,5 mm. b) La circonférence est de 7π unités. c) Le diamètre est de 10x unités. (Exprime ta réponse à l’aide d’une expression réduite.)

6

Exprime la mesure du rayon des solides suivants. a) Un cône de 8x unités de hauteur et dont l’apothème est de 10x unités. b) Un cône dont l’aire latérale est de 16π unités carrées et l’apothème est de 2 unités. c) Une sphère dont l’aire est de 400π unités carrées.

7

Quelle est la mesure de l’apothème des cônes droits correspondant aux données suivantes ? a) L’aire latérale est environ de 109,96 dm2 et le diamètre de la base mesure 7 dm. b) La hauteur du cône et le rayon du disque de sa base mesurent 6 cm.

8

Reproduis et complète le tableau suivant en te référant au cône illustré. r

a

5 cm

AIRE TOTALE

188,5 cm2

301,6 cm2

15 cm

29 cm 8 cm

9

AIRE LATÉRALE

12 cm 17 cm

20 cm

h

Voici la représentation d’un cylindre droit. a) Représente les solides décomposables obtenus si l’on ajoute sur l’un des disques de ses bases (de façon centrée) les solides décrits ci-dessous. Sur tes représentations, inscris les mesures aux endroits appropriés. 1)

Une demi-sphère ayant le même diamètre que le cylindre.

2)

Un cône de 8 cm de haut dont le disque de la base mesure 3 cm de diamètre.

3)

Un autre cylindre de 5 cm de haut et dont les bases ont un rayon de 4 cm.

b) Calcule l’aire totale de chacun des solides décomposables que tu as représentés.

48

L’ART DE LA MESURE


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10 L’aire latérale d’un cône et l’aire d’une sphère sont de 5284 cm2 chacune. Quelle est la mesure de l’apothème du cône si le rayon du disque de sa base correspond au double du rayon de la sphère ?

11 À chacune des extrémités d’un cylindre de 60 cm de diamètre et de 60 cm de hauteur, on colle un cône de 40 cm de hauteur, dont la base correspond au disque de la base du cylindre. Quelle est, au centimètre carré près, l’aire totale du solide ainsi obtenu ?

12 Trace la vue de dessus, de face et de droite de chacun des solides suivants et indique les mesures aux endroits appropriés (en a) et en c), les solides ont été obtenus en empilant des cubes). Calcule ensuite l’aire totale de chaque solide. a)

6m

b)

5,6 cm

7,8 cm

c)

2,8 cm 9,5 cm

18 cm 12 m

18,4 cm 18 cm 10 cm

14 cm 15 m

18 cm

13,5 cm 26,6 cm

13 Trouve l’aire totale des solides suivants. a) Le solide ci-contre, où le cube rouge a 6 cm d’arête et où le diamètre des disques formant les bases du cylindre est de 6 cm.

5 cm

b) Un cylindre de 15 cm de haut dont le diamètre des bases est de 30 cm. Chacune de ses bases est entièrement recouverte par une demi-sphère. c) Un solide composé d’un cône de 10 cm de haut et de 14 cm de diamètre centré sur un des disques de 5 cm de rayon appartenant à un cylindre de 8 cm de haut.

3 cm 8 cm 12 cm

14 Un contenant de teinture permet de couvrir environ 4 m2. Avec un contenant, pourrait-on teindre un cône droit de 4 dm de rayon et une pyramide à base carrée mesurant 4 dm de côté, si tous deux ont un apothème de 12,5 dm ? Explique ta réponse.

L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables

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APPLICATIONS

15 Avec l’intention de construire un cône de 10 cm de hauteur, Leonardo découpe d’abord dans un carton un disque de 50 cm2 qui servira de base au cône. Quelle est la quantité minimale de carton nécessaire à la réalisation de la face latérale ?

16 Mélina construit un mobile en bois qui comprendra cinq sphères de 2 cm de rayon et cinq demi-sphères de 4 cm de rayon. Elle veut peindre les sphères en bleu et les demisphères en rouge. Elle croit qu’elle utilisera autant de peinture rouge que de bleu pour les recouvrir. A-t-elle raison ? Justifie ta réponse.

17 Les responsables d’un petit centre de ski veulent installer des écrans en plexiglas sur les remontées mécaniques afin de protéger les skieurs et skieuses du vent. Chaque écran a la forme d’un quart d’une sphère de 1,5 m de rayon. Quelle est la quantité de plexiglas requise pour fabriquer des écrans pour 75 télésièges à deux places ?

18 La compagnie À la belle étoile propose deux modèles de tente de 2 m de hauteur. La première tente a la forme d’une pyramide avec une base carrée de 2,1 m de côté. La seconde est conique et le disque de sa base mesure 1,25 m de rayon. Quelle tente exige le plus de tissu pour sa fabrication ?

19 Un immense cornet orne l’entrée de la crémerie Le Roi du cornet. En forme de cône, il a un apothème de 2 m et il est surmonté d’une demi-sphère de 0,6 m de rayon. Lequel de ces deux solides requerra le plus de peinture pour être recouvert ?

50

L’ART DE LA MESURE


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0,6 m

20 Quelle est la grandeur de la surface disponible pour exposer des objets sur le présentoir illustré ci-contre, où l’on utilise que les surfaces horizontales ? Explique ton raisonnement.

1m

1,25 m

1m 1,2 m 1,5 m

21 Deux projets sont à l’étude pour décorer un parc. Le projet A propose un obélisque formé d’un prisme à base carrée de 3,5 m de côté et de 10 m de haut, surmonté d’une pyramide à base carrée de 3,2 m d’apothème. Le projet B propose une colonne cylindrique de 10 m de haut et de 3 m de diamètre, surmontée d’un cône de 3,2 m d’apothème. Quel monument présenterait la plus petite surface à couvrir ?

22 Le tableau ci-contre donne le diamètre des quatre planètes les plus près du Soleil. La superficie totale de ces planètes est-elle plus grande ou plus petite que la superficie de Jupiter, dont le diamètre est de 142 984 km ?

PLANÈTE

DIAMÈTRE

Mercure

4878 km

Vénus

12 102 km

Terre

12 756 km

Mars

6794 km

23 Clara a lu dans une revue scientifique qu’environ 70 % de la surface de la Terre est recouverte d’eau. Afin d’estimer l’aire que cela représente, elle utilise son globe terrestre. À la hauteur de l’équateur, elle l’entoure d’une corde, qui mesure environ 110 cm. L’échelle du globe terrestre est 1 : 41 849 600. Combien de kilomètres carrés sont recouverts d’eau sur la Terre ?

L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables

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24 Dans un atelier où l’on fabrique des boules de bois, le format le plus populaire a une aire d’environ 4071,50 cm2. M. Beaudry commande 150 de ces boules. Il demande que l’on coupe les deux tiers des boules en deux parties isométriques et que l’on peigne le tout en rouge. Combien faudra-t-il débourser pour la peinture si un contenant coûte 19,65 $ (taxes incluses) et couvre environ 44,4 m2 ?

25 Le cône de bois représenté ci-contre, que l’on compte peindre, a une hauteur de 8 cm et le rayon du disque de sa base est de 6 cm. Avant de le peindre, on décide de le couper parallèlement à sa base, obtenant ainsi deux morceaux. Le cône correspondant au morceau supérieur a une hauteur de 5 cm. a) De combien de centimètres carrés a-t-on augmenté la surface à peindre ? b) Quelle est l’aire totale de la partie inférieure ?

PROBLÈME

26 Un groupe de recherche en océanographie possède trois laboratoires aménagés sur les plateformes A, B et C, dans l’océan Pacifique. Les recherches effectuées se limitent à la portion de l’océan comprise dans le triangle sphérique ABC.

C

A

B

On sait que m ∠ CAB  90°, m ∠ ABC  45°, m ∠ BCA  60° et que le rayon de la Terre mesure 6375 km. Comment pourrais-tu calculer l’aire totale du triangle sphérique ABC ? Voici quelques pistes qui pourront t’aider. a) Calcule d’abord l’aire d’un croissant délimité par deux grands cercles passant par un point, connaissant l’angle entre les deux grands cercles. b) Applique la méthode décrite en a) aux trois points A, B, C, pour finalement déduire l’aire du triangle sphérique ABC. Croissant ayant un angle de 45°

Contrairement à ce que tu as appris pour les triangles plans, dans un triangle sphérique la somme des angles n’est pas égale à 180 degrés. Elle peut varier, en étant toujours supérieure à 180 degrés, comme l’illustre la figure ci-contre où les sommets A et B du triangle se situent à l’équateur et le sommet C, au pôle Nord. Les trois angles sont de 90 degrés chacun et leur somme est de 270 degrés.

52

L’ART DE LA MESURE

C o

90

A

o

90

o

90

B


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1 Représente par un dessin un cône et une sphère en respectant les deux conditions suivantes. • L’aire de la sphère doit être égale à l’aire latérale du cône. • Le rayon de la sphère doit avoir la même mesure que celui du disque à la base du cône. Sur tes représentations, indique les mesures (en centimètres) aux endroits appropriés et donne l’aire totale de chaque solide.

2

Une municipalité veut démonter le réservoir illustré ci-contre afin de récupérer le métal avec lequel il a été construit. Une compagnie de récupération des métaux offre 1,25 $/m2 pour le métal. Le réservoir a un diamètre de 14 m et une hauteur totale de 25 m. Il est composé d’un cône, d’un cylindre et d’une demi-sphère. La hauteur du cône est la moitié de celle du cylindre. Combien d’argent la municipalité obtiendra-t-elle ?

3

Le diamètre d’une boîte cylindrique est de 85 cm et sa hauteur, de 1,18 m. Dans cette boîte, on place d’abord le plus grand cône possible, en s’assurant de pouvoir fermer le couvercle. Puis, après avoir retiré le cône, on y place la plus grande sphère possible. Lequel de ces deux solides, le cône ou la sphère, a la plus grande aire totale ? Justifie ta réponse.

Corrigé, p. 360

L’aire du cône, de la sphère et de solides décomposables

53


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RÉALISATION PERSONNELLE

Dans l’histoire de l’humanité, le Soleil et la Lune ont constitué les premiers instruments de mesure du temps. Cependant, ces deux astres n’étaient pas toujours disponibles. Après le cadran solaire, la clepsydre fut créée pour répondre aux besoins liés à la mesure du temps.

La clepsydre est un instrument servant à mesurer des périodes de temps. Cet instrument fonctionne sur le principe de l’écoulement de l’eau entre deux récipients.

Après un certain nombre d’utilisations, on se rendit compte que les clepsydres manquaient de précision, car l’écoulement de l’eau n’était pas régulier (à cause de la pression). On améliora alors les clepsydres et l’on créa d’autres types d’instruments de mesure du temps.

Le sablier Ce n’est qu’au 14e siècle que le sablier fit son apparition. Le sablier a l’avantage d’offrir une régularité dans son débit. Utilisé à l’origine pour la cuisine, c’est surtout dans la navigation qu’il fut très apprécié (il est léger et résiste à toutes sortes de températures, et les oscillations du bateau n’ont pas d’effet sur lui).

La plus ancienne clepsydre qui ait été trouvée est celle découverte à Karnak, en Égypte (environ 1500).

CURIOSITÉ... Les marins utilisaient un sablier de 30 secondes pour mesurer la vitesse du bateau en « nœuds ». Ils laissaient tomber hors du bateau une bouée attachée à une corde ayant des nœuds à intervalles réguliers. Une fois la bouée dans l’eau, ils retournaient le sablier. La vitesse du bateau correspondait au nombre de nœuds qui défilaient en 30 secondes. Cet instrument de mesure s’appelle un loch. Dans l’illustration ci-contre, tirée des écrits de Samuel de Champlain (fondateur de la ville de Québec), on remarque une représentation d’un loch et d’un sablier.

54

L’ART DE LA MESURE


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Aujourd’hui, les sabliers sont des instruments décoratifs qui peuvent parfois être très originaux. Imagine que tu doives en construire un. Quelle forme lui donnerais-tu ?

1er TEMPS

Le plan de ton sablier

Réalise une représentation de ton sablier en respectant les contraintes ci-dessous. • Chacune des ampoules du sablier doit être constituée d’un solide décomposable formé à partir de solides parmi les suivants.

– Prisme à base rectangulaire – Prisme dont les bases sont des triangles équilatéraux

Tu peux aussi utiliser une partie de l’un de ces solides.

– Pyramide dont la base est un triangle équilatéral – Pyramide dont la base est un hexagone régulier

– Prisme dont les bases sont des hexagones réguliers

– Cône

– Cylindre

– Sphère

– Pyramide à base rectangulaire

• Sur ta représentation, indique toutes les mesures nécessaires au calcul de l’aire totale des ampoules du sablier. N’oublie pas de tenir compte du passage entre les deux ampoules (voir le 2e temps ci-dessous). • Détermine la quantité de matériel nécessaire (en centimètres carrés) pour la construction des ampoules, en laissant les traces de tes calculs.

2e TEMPS

Le temps mesuré par ton sablier Pour que l’orifice qui laisse passer le sable d’une ampoule à l’autre dans un sablier ne s’obstrue pas, son diamètre doit correspondre à la largeur d’au moins 10 grains de sable. Quant à la masse d’un grain de sable, on l’estime à environ 80 microgrammes. • Choisis une période de temps que pourrait mesurer ton sablier. • Estime la largeur d’un grain de sable ainsi que le débit d’écoulement du sable (en grains/seconde) dans ton sablier.

Lorsque tu fais une estimation, explique le raisonnement qui a mené au résultat ou indique quelles sources t’ont permis d’obtenir cette estimation.

• Calcule la masse totale du sable que devrait contenir ton sablier.

Réalisation personnelle

55


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DÉVELOPPEMENT DE STRATÉGIES

Carrières et stratégies mathématiques Examine les trois situations présentées dans cette page. On y associe la relation de Pythagore, que tu as explorée dans ce chapitre, à diverses professions. Quelle situation te semble la plus intéressante ? Explique les raisons de ton choix.

Étant arpenteur, j’ai souvent la responsabilité de planifier les nouvelles rues dans un quartier. Aujourd’hui, on me demande de tracer le plan d’un sentier dans un parc qui profitera à toute la communauté. Avez-vous remarqué que, pour traverser une surface rectangulaire, il est toujours plus rapide de le faire en diagonale ? Je propose donc, pour le parc, un sentier qui réduira le temps requis pour se rendre d’une extrémité à l’autre.

Quelle est la mesure de la distance épargnée par un piéton qui utiliserait le sentier d’un parc mesurant 50 mètres sur 25 mètres ?

À titre d’entrepreneur, j’ai aujourd’hui la tâche de fabriquer un support pour sauver la maison de la famille Boucher. Cette maison, dangereusement inclinée, semble avoir un important problème de structure. Sans mon aide, elle va certainement s’écrouler. Une tige de métal placée au bon endroit apportera le support requis en attendant une solution plus permanente. Avez-vous remarqué comment les triangles procurent énormément de stabilité dans une construction ?

Quelle longueur de tige faut-il pour soutenir la maison des Boucher si le haut de la tige est placé à 10 mètres du sol (distance mesurée à la verticale) ? 6m

Comme chimiste, je m’intéresse à l’infiniment petit. Les recherches sur les cellules humaines sont essentielles pour pouvoir un jour éliminer les maladies. Avec un microscope électronique, je peux mesurer diverses longueurs ciblées avec un pointeur. À l’aide des mesures obtenues, je peux en déduire d’autres qui me sont inaccessibles.

Double hélice d’ADN

Base

2 nm 2,05 nm

56

L’ART DE LA MESURE

Comme le montre l’illustration ci-contre, chaque « base » d’ADN mesure 2 nm. Quelle est la distance séparant deux bases d’ADN si la longueur entre deux extrémités opposées de ces bases est de 2,05 nm ?


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Choisis un problème dans la banque des pages 58 et 59 qui suit selon tes goûts personnels, comme tu l’as fait à la page précédente, et essaie de le résoudre. Réponds ensuite aux questions ci-dessous. • Qu’as-tu aimé de ce problème ? Explique ton choix. • Tu as certainement rencontré des obstacles dans la résolution du problème.

Quels moyens as-tu utilisés pour surmonter tes difficultés ? • Serais-tu capable de transmettre des instructions pertinentes à quelqu’un pour qu’il puisse

à son tour résoudre le problème ? • Es-tu en mesure de cerner tes faiblesses en mathématiques ? Dresses-en une liste en faisant

preuve du plus de précision possible. • À ton avis, est-il plus important d’obtenir la réponse exacte à un problème ou de construire

un raisonnement approprié ? Explique ton point de vue. • Quelles sont tes craintes et tes frustrations par rapport aux mathématiques ?

Qu’est-ce que tu aimes faire en mathématiques ? Décris des situations mathématiques que tu as du plaisir à résoudre.

UN TEST POUR MIEUX TE CONNAÎTRE En répondant au test ci-dessous, tu t’interrogeras sur ta façon de percevoir les mathématiques. Il n’y a pas de bonnes ni de mauvaises réponses. Réponds le plus honnêtement possible et peut-être en apprendras-tu davantage sur toi-même...

1

Lorsque je fais de la géométrie, j’aime mesurer et manipuler des objets. A Parfois.

2

B Souvent.

C Rarement.

Pour moi, les sondages ne relèvent pas vraiment des mathématiques, puisqu’on en fait dans les cours d’histoire ou de géographie. A Je suis d’accord, mais j’aime ce type de maths. B Les sondages m’indiffèrent. C Je suis d’accord, il ne s’agit pas de maths.

3

J’aime beaucoup plus les maths vues dans le cours de science et technologie que les maths étudiées dans le cours de mathématiques. A La science, c’est du concret.

4

C Les maths, c’est des maths.

J’éprouve une sensation de satisfaction profonde lorsque je parviens à faire la preuve de quelque chose. A Très rarement.

5

B Je suis d’accord.

B Rarement.

C Parfois.

Lorsque je fais de l’algèbre, j’applique des principes, mais, dans certaines circonstances, ça ne fonctionne pas. A Ça m’arrive assez souvent.

B Ça m’arrive rarement.

C Ça ne m’arrive jamais.

Carrières et stratégies mathématiques

57


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BANQUE DE PROBLÈMES À RÉSOUDRE

1

Jean veut créer une boîte originale pour offrir des biscuits aux gens qu’il aime. Cette boîte aura la forme d’un prisme dont les bases sont des triangles rectangles isocèles. Pour évaluer la quantité de carton nécessaire à la fabrication d’une boîte, Jean place trois biscuits comme dans l’illustration et prend la mesure qui y est indiquée. Chaque biscuit a la forme d’un cylindre de 6 cm de diamètre et de 1 cm d’épaisseur. La boîte doit pouvoir contenir quatre étages de biscuits. Quelle est la quantité minimale de carton nécessaire à la fabrication d’une boîte ?

78 mm

2

3

On effectue l’aménagement d’un parc qui a la forme d’un trapèze isocèle dont la grande base est trois fois plus longue que la petite base et la partie centrale est carrée. Il faut placer des lampadaires autour du parc à tous les 10 mètres environ. Sachant que la distance correspondant à la petite base du trapèze mesure 70 m, détermine combien de lampadaires il faudra installer.

La tour de Pise, d’un diamètre de 15,5 m, est dangereusement inclinée. Une solution temporaire consisterait à placer un câble d’acier pour la retenir, comme dans l’illustration. Pour faciliter l’estimation de la longueur du câble, la tour peut être comparée à un cylindre incliné dont les disques des bases sont horizontaux. Si le câble est fixé au sol à 10 m de la base de la tour, estime la longueur minimale de câble nécessaire.

Câble

54,5 m

4,5 m

58

L’ART DE LA MESURE


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4

5

6

Léa prétend que l’on peut déterminer l’aire et le périmètre d’un triangle équilatéral en connaissant seulement sa hauteur. Selon toi, Léa a-t-elle raison ? Si oui, explique comment déterminer l’aire. Sinon, explique pourquoi elle a tort.

Pour simuler le travail d’un contrôleur aérien, on a placé trois points dans un plan cartésien représentant l’emplacement de trois avions volant à la même altitude vers un aéroport. Détermine la longueur des segments AC, CB et AB, qui correspondent à la distance entre ces avions. Considère qu’une unité sur le plan cartésien correspond à un kilomètre.

B (4, 5) A (−2, 3)

C (1,−3)

Lorsqu’on mélange du trioxyde de soufre (SO3) à de l’eau, on obtient de l’acide sulfurique (un acide très puissant). L’illustration ci-contre représente une molécule de trioxyde de soufre. La molécule a la forme d’une pyramide à base triangulaire dont les faces latérales sont des triangles isocèles isométriques et dont l’apex correspond à l’atome de soufre (en jaune). Supposons que, comparée à la distance entre deux atomes d’oxygène (en rouge), la distance entre l’atome de soufre et un atome d’oxygène correspond au rapport 2 : 3. Si la distance entre l’atome de soufre et un atome d’oxygène est représentée par la variable x, exprime algébriquement la longueur de l’apothème de cette pyramide à l’aide de cette variable.

As-tu aimé résoudre le problème que tu as choisi ? Une fois ton travail de résolution terminé, n’oublie pas de répondre aux questions de la page 57. Un autre des six problèmes t’a-t-il semblé intéressant ? Lequel ? Dans ce problème, qu’est-ce qui a exercé un attrait sur toiž? La situation ? Le sujet mathématique ? Peux-tu résoudre cet autre problème ?

Carrières et stratégies mathématiques

59


PT DE VUE_CVcomplet_vol_1_Layout 1 18-01-19 14:33 Page1

MANUEL DE L’ÉLÈVE VOLUME 1

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VV

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Éditions Grand Duc


3641_00_Limin(01-17)_PAP_Layout 1 18-01-23 13:29 PageII

REMERCIEMENTS Pour son travail de vérification scientifique de la didactique et du contenu mathématique, l’Éditeur témoigne sa gratitude à M. Richard Pallascio, Ph. D., professeur au Département de mathématiques de l’Université du Québec à Montréal. Pour son travail de vérification scientifique de la didactique et du contenu historique, l’Éditeur souligne la collaboration de M. Louis Charbonneau, professeur au Département de mathématiques de l’Université du Québec à Montréal. Pour leur participation et leur soutien de tous les instants, l’Éditeur tient à remercier M. Gilbert Labelle, Ph. D., professeur au Département de mathématiques de l’Université du Québec à Montréal, et M. Pierre Mathieu, conseiller pédagogique en mathématiques. Pour leur précieuse collaboration, l’Éditeur tient à remercier Mme Magalie Pagé, étudiante au doctorat au Département de mathématiques de l’Université du Québec à Montréal, et M. Paul Patenaude, conseiller pédagogique en mathématiques. Pour les suggestions et les judicieux commentaires qu’ils ont apportés en expérimentant le matériel en cours de production, l’Éditeur exprime ses remerciements à M. Jean Pichette, Ph. D., ainsi qu’à ses élèves du Collège Saint-Louis, C. s. Marguerite-Bourgeoys. L’Éditeur tient aussi à remercier les consultantes et consultants suivants : de l’École secondaire Anjou, C. s. de la Pointe-de-l’Île, M. Daniel Barré ; du Collège Saint-Louis, C. s. Marguerite-Bourgeoys, Mme Isabelle Couture ; de l’École polyvalente de Saint-Jérôme, C. s. de la Rivière-du-Nord, Mme Chantal Dion et M. Danick Valiquette ; de l’École Lucien-Pagé, C. s. de Montréal, M. Pierre Lapalme ; de l’École d’éducation internationale de Laval, C. s. de Laval, Mme Nadia Rivest ; de l’École Compagnons-de-Cartier, C. s. des Découvreurs, Mme Marie Audet ; du Collège Regina Assumpta, Mme Karine Saint-Georges et M. Sébastien Lamer ; de l’École de L’Aubier, C. s. des Navigateurs, M. Jean-Claude Bégin ; de l’École Fadette, C. s. de Saint-Hyacinthe, M. Guy Charbonneau ; de l’École des Grandes-Marées, C. s. des Découvreurs, Mme Martine Côté ; de l’École Cité étudiante Polyno, C. s. du Lac-Abitibi, Mme Manon Morin ; de l’École Pointe-Lévy, C. s. des Navigateurs, Mmes Lucie Morasse et Caroline Trudeau et M. Éric Fillion ; de l’École Cardinal-Roy, C. s. de la Capitale, Mme Nathalie Routhier.

© 2007, Éditions Grand Duc, une division du Groupe Éducalivres inc. 1699, boulevard Le Corbusier, bureau 350, Laval (Québec) H7S 1Z3 Téléphone : 514 334-8466 ■ Télécopie : 514 334-8387 www.grandduc.com Tous droits réservés. CONCEPTION GRAPHIQUE : Catapulte ILLUSTRATIONS : Flexidée, Bertrand Lachance, Volta Création

Il est illégal de reproduire cet ouvrage, en tout ou en partie, sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit, électronique, mécanique, photographique, sonore, magnétique ou autre, sans avoir obtenu, au préalable, l’autorisation écrite de l’Éditeur. Le respect de cette recommandation encouragera les auteurs et auteures à poursuivre leur œuvre. CODE PRODUIT 3641 ISBN 978-2-7655-0153-4 Dépôt légal Bibliothèque et Archives nationales du Québec, 2007 Bibliothèque et Archives Canada, 2007

Imprimé au Canada 234567890 F 654321098


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TABLE DES

CHAPITRE

MATIÈRES

5

Préjugés ou réalités ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 SITUATION-PROBLÈME 1

Magasinage virtuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

k k k x x x SÉQUENCE EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE : Les fonctions rationnelles de la forme f(x)  (où x  0 et k 僆 ⴙ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 Activité 1 : Les variations inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : La représentation graphique des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . k. . k . . . k. . x x x Mes outils en arithmétique et algèbre : Les fonctions rationnelles de la forme f(x)  (où x  0 et k 僆 ⴙ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

390 391 392 393

LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES : Nuage de points et relation entre deux grandeurs . . . . . . 401 Atelier 1 : Avez-vous des grands pieds ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : Les bandes de papier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : Nuage de points et relation entre deux grandeurs . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SITUATION-PROBLÈME 2

401 402 403 404

Moyens de communication des élèves du secondaire . . . . . . . . . 412

SÉQUENCE EN PROBABILITÉ ET STATISTIQUE : Le choix d’un échantillon représentatif . . . . . . . . . . . . . 414 Activité 1 : L’échantillon et sa taille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Les méthodes d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en probabilité et statistique : Le choix d’un échantillon représentatif . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

414 415 416 418

LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES : Les diagrammes statistiques et les outils technologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 Atelier 1 : Diagrammes à bandes, circulaire et à ligne brisée, et tableur électronique . . . . . . . . Atelier 2 : Histogramme et diagramme de quartiles, et calculatrice à affichage graphique . . . . Atelier 3 : Nuage de points et tableur électronique ou calculatrice à affichage graphique . . . . Mes outils en probabilité et statistique : Les diagrammes statistiques et les outils technologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RÉALISATION PERSONNELLE : Un

temps pour chaque chose

DÉVELOPPEMENT DE STRATÉGIES : Justifications

426 427 428 429 431

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

et stratégies mathématiques

. . . . . . . . . . . . 442

Banque de problèmes à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444


3641_00_Limin(01-17)_PAP_Layout 1 18-01-23 13:29 PageIV

CHAPITRE

6

La folie des grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 SITUATION-PROBLÈME 1

Petit train va loin…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

SÉQUENCE EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE : Les systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 Activité 1 : Les modes de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Les modes de représentation (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 : Résolution d’un système d’équations par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : Les systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

450 451 452 453 455

LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES : Les systèmes d’équations et les outils technologiques . . . 465 Atelier 1 : La représentation graphique d’un système d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : La représentation d’un système d’équations par une table de valeurs . . . . . . . . . . . Mes outils en arithmétique et algèbre : Les systèmes d’équations et les outils technologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SITUATION-PROBLÈME 2

Dubaï : la ville aux projets extravagants

465 466 467 469

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

SÉQUENCE EN GÉOMÉTRIE : Les solides semblables et le rapport de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 Activité 1 : Homothétie et solides semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Rapports de similitude, d’aires et de volumes de solides semblables . . . . . . . . . . . . Mes outils en géométrie : Les solides semblables et le rapport de similitude . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

480 481 482 485

LABORATOIRE DE PERCEPTION SPATIALE : La projection centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 Atelier 1 : Représentation de la réalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : La projection centrale à un ou deux points de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 3 : Une représentation vaut mille mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en géométrie : La projection centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RÉALISATION PERSONNELLE : Une

494 496 497 498 499

classe, une ville… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

DÉVELOPPEMENT DE STRATÉGIES : Concepts

et stratégies mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

Banque de problèmes à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

Retour sur les chapitres 5 et 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

RETOUR SUR LES APPRENTISSAGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 RETOUR SUR LES COMPÉTENCES : Tout

IV

TA B L E D E S M AT I È R E S

un cinéma !

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523


3641_00_Limin(01-17)_PAP_Layout 1 18-01-23 13:29 PageV

CHAPITRE

7

Le jeu des médias SITUATION-PROBLÈME 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

Marchand de rêves…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

SÉQUENCE EN PROBABILITÉ ET STATISTIQUE : Les probabilités théoriques et fréquentielles . . . . . . . . . 530 Activité 1 : Le calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Une simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en probabilité et statistique : Les probabilités théoriques et fréquentielles . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

530 532 534 536

LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES : Les probabilités fréquentielles et les outils technologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 Atelier 1 : Un jeu de devinette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : Expérience aléatoire et technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en probabilité et statistique : Les probabilités fréquentielles et les outils technologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SITUATION-PROBLÈME 2

Silence sur le plateau…

544 545 546 547

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

SÉQUENCE EN PROBABILITÉ ET STATISTIQUE : Les probabilités dans un contexte géométrique . . . . . . . 556 Activité 1 : En ondes ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 : Les probabilités et la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en probabilité et statistique : Les probabilités dans un contexte géométrique . . . . . Exercices • Applications • Problèmes • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

556 557 558 559

LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES : Les probabilités géométriques et fréquentielles . . . . . . . . 569 Atelier 1 : As-tu le compas dans l’œil ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier 2 : Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mes outils en probabilité et statistique : Les probabilités géométriques et fréquentielles . . . . . Exercices • Applications • Problème • Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RÉALISATION PERSONNELLE : Au-delà

de l’intuition

DÉVELOPPEMENT DE STRATÉGIES : Ressources

569 570 571 572

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

et stratégies mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . 582

Banque de problèmes à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

TA B L E D E S M AT I È R E S

V


3641_00_Limin(01-17)_PAP_Layout 1 18-01-23 13:29 PageVI

CHAPITRE

8

Mathématiques et métiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 EXERCICES DE RÉVISION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

Exercices en arithmétique et algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices en statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

588 591 592 595

APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

Applications, type réaliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications, type investigateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications, type artistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications, type social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications, type entreprenant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications, type conventionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

598 604 610 615 620 625

SITUATIONS-PROBLÈMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630

Situation-problème 1, type réaliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situation-problème 2, type investigateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situation-problème 3, type artistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situation-problème 4, type social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situation-problème 5, type entreprenant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situation-problème 6, type conventionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

630 631 632 633 634 635

MA MÉMOIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 MES OUTILS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 CORRIGÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 GLOSSAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 UNITÉS DE MESURE CONVENTIONNELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 RÉFÉRENCES ICONOGRAPHIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774

VI

TA B L E D E S M AT I È R E S


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TABLEAU DE LA PROGRESSION DES APPRENTISSAGES AU COURS DE LA 1re ANNÉE DU 2e CYCLE ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE NOTION TRAVAILLÉE

Notation scientifique et autres formes d’écriture • Utilisation de la notation scientifique dans des situations appropriées • Expressions équivalentes • Ordre de grandeur, préfixes et unités de mesure

Ensembles de nombres • Nombres réels : rationnels et irrationnels • Notation des ensembles de nombres • Notation décimale

Propriétés des exposants • Calcul en contexte avec des exposants entiers (base rationnelle) et des exposants fractionnaires • Lois des exposants entiers • Interprétation des exposants fractionnaires • Utilisation de la technologie

Introduction aux relations linéaires • Détermination d’une variable dépendante et d’une variable indépendante d’après le contexte • Représentation d’une relation (verbalement, algébriquement, graphiquement et à l’aide d’une table de valeurs) • Équation d’une droite • Recherche d’une valeur • Croissance ou décroissance d’une relation représentée par une droite

Relations linéaires (contexte géométrique) • Observation de régularités • Utilisation de la technologie

Inéquations • Relation d’inégalité • Résolution d’équations et d’inéquations du premier degré à une variable • Expression de l’ensemble-solution • Validation et interprétation de la solution

Polynômes • Polynômes (expressions algébriques, définitions) • Développement et factorisation : – addition et soustraction de polynômes – multiplication de polynômes de degré 0, 1 ou 2 – division de polynômes (par une constante, par un monôme) – mise en évidence simple

VOLUME 1

CHAPITRE 1 – La notation scientifique et autres formes d’écriture (p. 6 à 15)

CHAPITRE 2 – L’ensemble des nombres réels (p. 64 à 73)

CHAPITRE 2 – Les propriétés des exposants et les exposants fractionnaires (p. 74 à 85)

CHAPITRE 2 – Les relations linéaires entre deux variables (p. 88 à 103)

CHAPITRE 2 – Les relations linéaires dans des contextes géométriques (p. 104 à 115)

CHAPITRE 3 – La résolution d’inéquations (p. 138 à 148)

CHAPITRE 4 – Polynômes et opérations sur les polynômes (p. 202 à 217)


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ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE (suite) NOTION TRAVAILLÉE

VOLUME 1

Initiation à la notion de fonction • • • •

CHAPITRE 4 – Les fonctions

Notion de fonction Règle de correspondance Type de fonction : constante, affine, linéaire Utilisation de la technologie

(p. 218 à 229)

Propriétés d’une fonction. Variation par parties.

CHAPITRE 4 – Les fonctions (suite)

• Description des propriétés d’une fonction en contexte : domaine et image • Relations linéaires par parties • Utilisation de la technologie

(p. 246 à 255)

NOTION TRAVAILLÉE

Fonction rationnelle de la forme ƒ(x)  k , où x  0 et k 僆 x

VOLUME 2 +

CHAPITRE 5 – Les fonctions rationnelles k de la forme f(x)  x , où x  0 et k 僆 + (p. 390 à 400)

• Représentation d’une relation inversement proportionnelle entre deux grandeurs • Propriétés d’une relation inversement proportionnelle

Représentation d’une expérimentation à l’aide d’un nuage de points

CHAPITRE 5 – Nuage de points et relation entre deux grandeurs (p. 401 à 411)

• Analyse et interprétation (relations linéaires et inversement proportionnelles) • Interpolation et extrapolation

Système de deux équations du premier degré à deux variables

CHAPITRE 6 – Les systèmes d’équations linéaires (p. 450 à 464)

• Concept de solution d’un système d’équations • Analyse de situation et modes de représentation • Résolution à l’aide de tables de valeurs, graphiquement ou algébriquement (par comparaison)

Comparaison de situations et résolution de systèmes d’équations

CHAPITRE 6 – Les systèmes d’équations linéaires et les outils technologiques (p. 465 à 477)

• Utilisation d’outils technologiques pour la résolution de systèmes d’équations à l’aide de tables de valeurs ou graphiquement (deux droites, une droite et une inverse)

Révision

VIII

CHAPITRE 8

TA B L E A U D E L A P R O G R E S S I O N D E S A P P R E N T I S S A G E S A U C O U R S D E L A 1 r e A N N É E D U 2 e C Y C L E


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PROBABILITÉ ET STATISTIQUE NOTION TRAVAILLÉE

Mesures statistiques et diagrammes de quartiles

VOLUME 1

CHAPITRE 3 – Les mesures statistiques

• Mode, médiane et moyenne de données non groupées • Diagrammes de quartiles, lecture et construction • Mesure de dispersion : étendue des quarts (étendue interquartile) • Comparaison de distributions

Histogrammes et mesures de tendance centrale de données groupées

et les diagrammes de quartiles (p. 164 à 177)

CHAPITRE 4 – Les histogrammes et les mesures de tendance centrale de données groupées (p. 232 à 245)

• Des données brutes au tableau de compilation (notation d’intervalles) • Histogrammes, lecture et construction • Mesures de tendance centrale de données groupées • Comparaison de distributions

NOTION TRAVAILLÉE

Méthodes d’échantillonnage et biais

VOLUME 2

CHAPITRE 5 – Le choix d’un échantillon

• Population • Échantillonnage • Méthodes d’échantillonnage : stratifié, par grappes

Utilisation d’outils technologiques pour réaliser une étude statistique

représentatif (p. 414 à 425)

CHAPITRE 5 – Les diagrammes statistiques et les outils technologiques (p. 426 à 439)

• Diagramme pour données qualitatives • Diagramme pour données quantitatives • Critique d’une collecte de données, de la représentation utilisée ou des résultats obtenus • Utilisation de la technologie

Variable aléatoire discrète

CHAPITRE 7 – Les probabilités théoriques

• Retour sur le dénombrement (représentation d’événements à l’aide de tableaux, d’arbres, de diagrammes) • Événement et connecteurs logiques (et/ou/sans)

Simulation de phénomènes aléatoires

et fréquentielles (p. 530 à 543)

CHAPITRE 7 – Les probabilités

• Simulations à l’aide de l’ordinateur ou d’autre matériel • Remplacement d’un matériel (inaccessible) par un autre afin d’établir une probabilité fréquentielle

Variable aléatoire continue • Rapports de longueurs, d’aires et de volumes • Propriétés géométriques • Interprétation et prise de décisions concernant des données probabilistes

Résolution de problèmes à l’aide de probabilités géométriques • Représentation d’événements à l’aide de tableaux, d’arbres, de diagrammes ou de figures géométriques • Utilisation de la technologie

Révision

fréquentielles et les outils technologiques (p. 544 à 553)

CHAPITRE 7 – Les probabilités dans un contexte géométrique (p. 556 à 568)

CHAPITRE 7 – Les probabilités géométriques et fréquentielles (p. 569 à 579)

CHAPITRE 8

TA B L E A U D E L A P R O G R E S S I O N D E S A P P R E N T I S S A G E S A U C O U R S D E L A 1 r e A N N É E D U 2 e C Y C L E

IX


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GÉOMÉTRIE NOTION TRAVAILLÉE

Représentation de solides et calcul de l’aire

VOLUME 1

CHAPITRE 1 – La représentation de

• Représentation dans le plan de figures à trois dimensions (développements et perspective cavalière) • Identification de segments sur des figures planes et des solides • Identification de figures planes composant certains solides • Distinction des représentations qui sont des développements de solides de celles qui n’en sont pas • Calcul de l’aire latérale et de l’aire totale de solides

Relation de Pythagore

solides et le calcul de l’aire (p. 16 à 25)

CHAPITRE 1 – La relation de Pythagore

• Côtés d’un triangle rectangle (relation de Pythagore) • Recherche de mesures manquantes • Utilisation des mesures des côtés d’un triangle pour déterminer s’il est rectangle (réciproque de la relation de Pythagore)

Aire de solides • • • •

CHAPITRE 1 – L’aire du cône, de

Aire latérale ou totale de cônes droits Aire de la sphère Projections orthogonales Aire latérale ou totale de solides décomposables

Volume de prismes et de cylindres • • • •

et sa réciproque (p. 28 à 40)

la sphère et de solides décomposables (p. 41 à 53)

CHAPITRE 3 – Le volume d’un prisme

Perspective axonométrique Volume d’un prisme et d’un cylindre Unités de mesure de volume Relations entre les unités de volume du système international, y compris les mesures de capacité

Volume des pyramides, des cônes et de la boule

et d’un cylindre (p. 149 à 161)

CHAPITRE 3 – Le volume des pyramides,

• Volume des pyramides, des cônes et de la boule • Volume de solides décomposables • Choix approprié d’une unité de mesure

NOTION TRAVAILLÉE

Similitude de solides

des cônes et de la boule (p. 178 à 191)

VOLUME 2

CHAPITRE 6 – Les solides semblables

• Homothétie en 3D • Solides issus d’une similitude • Recherche de mesures manquantes (longueurs, aires et volumes)

Représentation de solides à l’aide de points de fuite

et le rapport de similitude (p. 480 à 493)

CHAPITRE 6 – La projection centrale

• Un point de fuite (retour sur l’homothétie) • Deux points de fuite • Propriétés géométriques

Révision

X

(p. 494 à 507)

CHAPITRE 8

TA B L E A U D E L A P R O G R E S S I O N D E S A P P R E N T I S S A G E S A U C O U R S D E L A 1 r e A N N É E D U 2 e C Y C L E


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À la découverte de

Ton manuel de l’élève, volume 2, comprend les chapitres 5 à 8. Chaque chapitre (sauf le chapitre 8) est composé de quatre blocs d’apprentissage, soit deux séquences d’apprentissage et deux laboratoires. Après les chapitres 5 et 6, tu pourras faire le point à l’aide des sections Retour. Toutes les sections de ton manuel favorisent le développement de tes compétences transversales et disciplinaires en mathématiques. À la fin de ton manuel se trouvent les éléments suivants : • la section Ma mémoire, qui résume les connaissances mathématiques acquises au cours des années précédentes ; • la section Mes outils, qui résume les connaissances à l’étude dans l’année en cours ; • le corrigé des rubriques Mise en pratique et Autoévaluation ainsi que le corrigé des activités numérotées en rouge dans les sections Exercices ; • un glossaire reprenant les définitions des termes mathématiques du manuel ; • une liste des unités de mesure conventionnelles ; • un index.


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Une situation

d’apprentissage type Les situations d’apprentissage et d’évaluation proposées dans Point de vue mathématique s’articulent autour des chapitres. Dans la préparation, tu prendras connaissance d’une problématique. Les apprentissages se feront dans quatre blocs comprenant deux séquences introduites par des situations-problèmes et deux laboratoires. Les apprentissages seront ensuite intégrés et réinvestis dans une tâche finale appelée Réalisation personnelle. Chaque séquence d’apprentissage type comprend une situation-problème de départ et une séquence d’activités de développement de concepts ou de processus mathématiques. Les laboratoires présentent une séquence d’ateliers qui t’aideront à développer des concepts et des processus mathématiques. Voici en détail les trois temps d’une situation d’apprentissage et d’évaluation type.

1er TEMPS : LA PRÉPARATION DES APPRENTISSAGES Les pages de présentation du chapitre LA

THÉMATIQUE DU CHAPITRE

La première page des chapitres 5, 6 et 7 présente la thématique qui servira de ligne directrice à l’ensemble du chapitre et te permettra d’établir des liens entre tes apprentissages scolaires, des situations de la vie quotidienne et des phénomènes sociaux actuels.

LA

PRÉPARATION

Des exercices de révision te prépareront aux nouvelles notions à explorer dans le chapitre. À la fin de la préparation, tu découvriras le but ultime du chapitre, soit la réalisation personnelle. Tous les apprentissages faits au fil du chapitre t’aideront à planifier et à préparer graduellement le travail que tu devras accomplir à la fin du chapitre.

XII

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE


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2e TEMPS : LA RÉALISATION DES APPRENTISSAGES La réalisation des apprentissages se présente sous deux formes : Séquence en… ou Laboratoire. Les deux sections se ressemblent.

Séquence en... (arithmétique et algèbre, probabilité et statistique, géométrie) Une séquence d’apprentissage est toujours constituée des éléments suivants. UNE

SITUATION-PROBLÈME DE DÉPART

La situation-problème constitue le cœur de ton travail. Il s’agit d’une situation plus ou moins complexe liée à la thématique du chapitre, qui présente un obstacle que tu tenteras de surmonter. Ton enseignant ou enseignante te fournira des pistes supplémentaires pour soutenir le développement de ta compétence à résoudre une situation-problème (C1), en lien avec les situations d’apprentissage de ton manuel. Pour trouver une solution complète, tu devras essayer différentes stratégies et faire de nouveaux apprentissages. Tu pourras aussi faire appel aux ressources proposées dans la séquence d’activités qui suit la situation-problème. En effet, c’est dans cette séquence que tu approfondiras la ou les notions visées par la situation-problème. UNE

SÉQUENCE D’ACTIVITÉS

La séquence d’activités t’amènera à découvrir les concepts et les processus liés à la situation-problème de départ. La manipulation et différents modes de travail (individuel, en équipe ou en groupe classe) y sont encouragés. Quand tu auras terminé les activités, les exercices et les applications, tu devras revenir à la situation-problème du début pour en compléter la résolution. La rubrique Mise en pratique, au bas de chaque page d’activités, te permettra d’appliquer immédiatement tes nouvelles connaissances. Après avoir répondu aux questions ou effectué les tâches demandées, tu pourras consulter le corrigé à la fin de ton manuel. En procédant ainsi à une autoévaluation, tu vérifieras si tu as bien compris. Comme le corrigé donne seulement les réponses, tu devras revoir ta démarche, s’il y a lieu.

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE

XIII


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MES

OUTILS, EXERCICES, APPLICATIONS ET PROBLÈMES

Après les activités d’une séquence, la rubrique Mes outils résume le contenu mathématique des pages précédentes. Le vocabulaire mathématique employé est précis et conforme au programme. Les exercices qui suivent te permettront de mettre en pratique à nouveau tes apprentissages si tu as éprouvé des difficultés dans les rubriques Mise en pratique. Des applications te seront ensuite proposées afin que tu puisses raffiner ta compréhension des contenus mathématiques et consolider tes nouveaux apprentissages. Les applications contribueront au développement de ta compétence disciplinaire à déployer un raisonnement mathématique (C2) et te donneront aussi de nombreuses occasions de développer ta compétence disciplinaire à communiquer à l’aide du langage mathématique (C3). Les problèmes proposés représentent des défis qui te permettront d’aller plus loin dans le développement de tes compétences. Ton enseignant ou enseignante te fournira des pistes supplémentaires dans ce sens. À la fin de la Séquence en… , une section Autoévaluation te donnera encore une fois l’occasion de vérifier tes apprentissages. 1

Numéros obligatoires (beige plein)

1

Numéros facultatifs (contour beige)

1

Numéros d’autoévaluation (rouge)

Laboratoire de perception spatiale ou d’outils technologiques Les laboratoires sont constitués des éléments suivants. DES

ATELIERS

• Les ateliers de perception spatiale te permettront de développer tes connaissances sur les objets à trois dimensions en dessinant et en manipulant des objets. • Les ateliers d’outils technologiques t’amèneront à utiliser différents outils (calculatrice à affichage graphique, logiciels sur ordinateur, etc.) qui t’aideront à approfondir tes connaissances. La rubrique Mise en pratique, au bas de chaque page d’atelier, te permettra d’appliquer immédiatement tes nouvelles connaissances et de vérifier ainsi ta compréhension.

XIV

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE


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MES

OUTILS, EXERCICES, APPLICATIONS

ET PROBLÈMES

Après les ateliers du laboratoire, une rubrique Mes outils résume le contenu mathématique des pages précédentes. Les exercices qui suivent te permettront de mettre en pratique à nouveau tes apprentissages si tu as éprouvé des difficultés dans les rubriques Mise en pratique. Les situations d’application proposées ensuite contribueront au développement de ta compétence disciplinaire à déployer un raisonnement mathématique (C2) et te donneront aussi de nombreuses occasions de développer ta compétence disciplinaire à communiquer à l’aide du langage mathématique (C3). Quant aux problèmes qui suivent, ils constituent des défis qui te permettront d’aller plus loin dans le développement de tes compétences. Ton enseignant ou enseignante te fournira des pistes supplémentaires dans ce sens. À la fin du laboratoire, une section Autoévaluation te permettra de vérifier tes apprentissages. 1

Numéros obligatoires (beige plein)

1

Numéros facultatifs (contour beige)

1

Numéros d’autoévaluation (rouge)

3e TEMPS : L’INTÉGRATION ET LE RÉINVESTISSEMENT DES APPRENTISSAGES Réalisation personnelle La réalisation personnelle favorisera le réinvestissement des apprentissages faits dans un chapitre. Tu devras en outre faire preuve de créativité et de débrouillardise. Ce sera le moment de faire appel à toutes tes compétences.

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE

XV


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Développement de stratégies et banque de problèmes à résoudre La section Développement de stratégies vise essentiellement le développement de la première compétence disciplinaire : Résoudre une situation-problème (C1). Cette partie t’amènera à prendre conscience des attitudes et des habiletés à acquérir pour développer cette compétence. Finalement, la banque de problèmes à résoudre te fournira l’occasion de développer des stratégies et de réinvestir tes nouvelles connaissances.

APRÈS LES CHAPITRES 5 ET 6… RETOUR SUR LES APPRENTISSAGES ET LES COMPÉTENCES Retour sur les apprentissages Après les chapitres 5 et 6, neuf pages d’applications te permettront de faire un retour sur les concepts et les processus mathématiques étudiés dans ces deux chapitres. C’est l’occasion pour toi de faire le point sur tes apprentissages, sur le développement de ta compétence à déployer un raisonnement mathématique (C2) et à communiquer à l’aide du langage mathématique (C3).

Retour sur les compétences Trois pages te proposeront une situation d’apprentissage et d’évaluation particulière. Ce retour est constitué d’une tâche intégratrice à caractère authentique et signifiant qui te permettra de témoigner de ton développement de diverses compétences transversales et disciplinaires.

Le chapitre 8 : Mathématiques et métiers Le chapitre 8, qui en est un de révision, a une structure différente. Il est constitué d’exercices, d’applications et de situationsproblèmes qui t’amèneront à réviser et à appliquer les différents concepts et processus explorés au cours de l’année.

XVI

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE


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Les encadrés et les pictogrammes de Point de vue mathématique Repères culturels

Métacognition de type retour

Ces encadrés présentent de l’information pour enrichir ta culture personnelle ou préciser le sens de la situation.

Tu devras profiter de ces encadrés pour te questionner sur ta façon d’apprendre.

Pour te remémorer certaines notions relatives aux sondages et aux sources de biais, as-tu consulté la section Ma mémoire, p. 671 et 672 ?

Une grande partie du matériel que l’on trouve dans Internet est soumis aux lois sur le droit d’auteur. Bien que la plupart des sites en tiennent compte et versent leur dû aux artistes, il y a encore beaucoup de téléchargements illégaux. La prochaine fois que tu téléchargeras un fichier musical, assure-toi que la procédure respecte le droit d’auteur.

Métacognition de type cible Les conseils donnés dans ces encadrés ciblent l’appropriation d’une situation-problème, l’élaboration de la solution, la communication ou la validation de la résolution d’un problème. Ils contribueront à augmenter tes chances de réussite.

Contenu mathématique Ces encadrés te proposeront un contenu mathématique ou un conseil lié à l’activité ou à la tâche à réaliser. Un nuage de points est une représentation graphique d’une distribution de données à caractère quantitatif. L’allure générale du nuage renseigne sur le lien possible entre les variables mises en relation.

Décrivez une situation qui pourrait être représentée par la fonction g.

Les pictogrammes Tu peux avoir recours à l’ordinateur. Tu peux te servir de la feuille reproductible offerte. Tu peux utiliser la calculatrice.

Tu dois réaliser cette tâche sans utiliser la calculatrice. Tu peux te servir de tes instruments de géométrie.

À LA DÉCOUVERTE DE POINT DE VUE MATHÉMATIQUE

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CHAPITRE

11/22/07

11:21 AM

Page 386

5 Vous savez, j’adore venir à l’école. C’est un milieu très stimulant et j’aime les contacts que j’ai avec les autres élèves et les membres du personnel. C’est étrange, mais parfois, quand j’exprime ce sentiment, j’ai l’impression qu’on me regarde comme si je venais d’une autre planète. Pourtant, plusieurs de mes amis et amies partagent ce sentiment !

Observe les situations illustrées dans cette page. Hier, à une émission à la télé, une personne interviewée a affirmé que les adolescents sont irresponsables. Pourtant, plusieurs de mes amis et moi gardons des enfants et les parents sont très satisfaits de nos services.

Pour ma part, monsieur, je trouve que les jeunes ne font pas assez de sport et qu’ils ne mangent pas très bien.

L’adolescence est une période de transition qui est vécue différemment d’un individu à l’autre. Cela ne se reflète pas toujours dans les médias. Ceux-ci exercent pourtant une influence sur la société, car c’est par eux que l’information se propage.

?

Décris l’image de l’adolescence qui est en général véhiculée par les médias. À ton avis, pourquoi est-ce cette image qui est transmise ?

?

Crois-tu que cette image correspond à la réalité de la majorité des adolescents et adolescentes qui t’entourent ?

?

Comment pourrait-on procéder pour obtenir un portrait assez fidèle de ce que vivent les adolescents et adolescentes du Québec ?

?

Comment faudrait-il réagir par rapport aux résultats des sondages et des enquêtes diffusés dans les médias ? Quelle attitude suggères-tu que l’on adopte relativement à ce type d’information ?

Tu sais, papa, à mon avis ce commentaire ne s’applique pas seulement aux jeunes, mais à l’ensemble de la société…

À la fin de ce chapitre, tu devras réaliser ta propre étude statistique en lien avec le temps libre d’un adolescent ou d’une adolescente. Bien sûr, ton étude comportera différents biais dont tu devras tenir compte dans la présentation de tes résultats.


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PRÉPARATION

Avant d’entreprendre l’exploration de ce chapitre, il serait bon de te remémorer quelques notions mathématiques que tu as apprises antérieurement. 1

Les fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(Mes outils, p. 703-704)

Trouve l’équation des fonctions représentées par les graphiques suivants. b)

Évolution de la température Température (°C)

Salaire de Maude lorsqu’elle garde des enfants Salaire ($)

a)

120 100 80 60 40 20 0

12 10 8 6 4 2 0

2 4 6 8 10 12 14

2 4 6 8 10 12 14

Temps (h)

Temps (h)

Les diagrammes statistiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Ma mémoire, p. 669-670, Mes outils, p. 720-722)

Donne le nom des différents diagrammes statistiques ci-dessous, en précisant pour chacun le caractère (qualitatif ou quantitatif et discret ou continu) des données qui y sont représentées. c)

Répartition de l’âge des lecteurs et lectrices d’un magazine Nombre de lecteurs et lectrices

a)

15 10 5 0

10

20

30

40

50

60

Âge (ans)

d)

Évolution de la température d’une journée de mai 30 25 20 15 10 5 0

Saison des anniversaires des élèves de la classe, selon le sexe Nombre d’élèves

b)

Température (°C)

2

4

8

12

16

8 6 4 2

Filles Garçons

0 Printemps Été Automne Hiver

Saison

20

Temps (h)

CONTENU DE FORMATION Voici un aperçu des nouvelles connaissances que tu devras acquérir pour résoudre les situations-problèmes du présent chapitre. Ces nouvelles connaissances te seront utiles dans la réalisation personnelle qui t’est proposée ensuite. Arithmétique et algèbre • Les fonctions rationnelles. • Nuage de points et relation entre deux grandeurs.

Probabilité et statistique • Le choix d’un échantillon représentatif. • Les diagrammes statistiques et les outils technologiques.


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SITUATION-PROBLÈME

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1

Aujourd’hui, il est possible d’effectuer de nombreux achats dans Internet. Parmi tous les biens de consommation offerts, la musique constitue sans conteste l’un de ceux qui intéressent le plus les adolescents et adolescentes. Comme les fichiers musicaux prennent de plus en plus d’espace mémoire, il faut une vitesse de téléchargement de plus en plus grande pour que la durée du téléchargement ne soit pas trop longue. Marie-Ève achète l’album d’un groupe qu’elle aime bien sur le site Internet d’un magasin Ma musique. Lorsque arrive le moment de le télécharger, différentes options de vitesse de téléchargement lui sont proposées. Voici la fenêtre qui s’affiche alors à l’écran.

388

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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Page 389

Marie-Ève se demande quelle serait la durée du téléchargement dans le cas de chaque option. a) Quelles sont les variables dépendante et indépendante dans cette situation ? b) Cette situation correspond-elle à une situation fonctionnelle ? Explique ta réponse. c) La relation entre les deux variables correspond-elle à une relation linéaire ? Explique ta réponse. d) Si x représente la variable indépendante et f(x), la variable dépendante, représente la situation par une équation et un graphique.

Marie-Ève choisit l’une des options proposées. e) Si le téléchargement s’effectue en 1 min 5,85 s, quelle option a-t-elle choisie ? f) Suppose que Marie-Ève aurait pu choisir une vitesse de téléchargement cinq fois plus rapide que celle de la première option. Quel aurait alors été le temps de téléchargement de son fichier musical ? Explique ta réponse.

Une grande partie du matériel que l’on trouve dans Internet est soumis aux lois sur le droit d’auteur. Bien que la plupart des sites en tiennent compte et versent leur dû aux artistes, il y a encore beaucoup de téléchargements illégaux. La prochaine fois que tu téléchargeras un fichier musical, assure-toi que la procédure respecte le droit d’auteur.

La Séquence en arithmétique et algèbre qui suit, aux pages 390 à 400, traite des fonctions rationnelles et pourra t’aider à résoudre entièrement cette situation.

Situation-problème 1

389


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SÉQUENCE EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

Les fonctions rationnelles de la forme f(x)  xk (où x  0 et k  ) D

ACTIVITÉ 1

Les variations inverses

Observe le rectangle ABCD ci-contre.

30 mm

Sur une feuille, trace quatre autres rectangles ayant la même aire, mais dont la base et la hauteur ont des mesures différentes de celles du rectangle ABCD. Sur chaque rectangle, note les mesures de la base et de la hauteur. Lorsque deux figures ont la même aire, on dit que ce sont des figures équivalentes.

C

A

42 mm

B

Sur une autre feuille, construis une table de valeurs mettant en relation la mesure de la base des quatre rectangles tracés et la mesure de leurs hauteurs. Analysons la relation exprimée par cette table de valeurs. De quelle façon la hauteur et la base des rectangles sont-elles liées ?

a) Qu’arrive-t-il à la mesure des hauteurs lorsque celle des bases augmente ? b) Qu’arrive-t-il à la mesure des bases lorsque celle des hauteurs augmente ? c) Est-ce qu’une droite pourrait représenter graphiquement cette situation ? Justifie ta réponse. d) Près de la table de valeurs, reproduis les axes ci-contre et trace globalement (sans graduer les axes) le graphique représentant la relation entre la mesure de la base et celle de la hauteur de différents rectangles équivalents.

Mesure de la hauteur

e) Compare ton graphique avec celui d’un ou une camarade. Si les graphiques diffèrent, entendez-vous sur une représentation qui corresponde le plus fidèlement possible à la relation. f) Connaissez-vous d’autres situations où deux quantités sont liées de cette manière ? Décrivez-en une en donnant des exemples numériques.

Conserve tes feuilles de travail pour la prochaine activité.

1 Considère la situation d’une personne qui achète toujours 40 $ d’essence quand elle va à la pompe. Analyse la relation entre la quantité d’essence, en litres, qu’elle achète et le prix de l’essence au litre en créant une table de valeurs (comprenant au moins cinq couples) et une représentation graphique (sans axes gradués). Corrigé, p. 742

390

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

Mesure de la base


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ACTIVITÉ 2

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La représentation graphique des fonctions rationnelles

Joins-toi à un ou une camarade. Utilisez vos feuilles de travail de l’activité 1. Découpez vos rectangles et disposez-les de manière à ce que toutes les bases soient alignées horizontalement et par ordre croissant de mesure. Observez les longueurs des hauteurs des rectangles au fur et à mesure que les longueurs de leur base croissent. a) Pourquoi cette situation peut-elle être une situation fonctionnelle ? Représentez par une équation la règle de correspondance de la fonction, sachant que x représente la mesure de la base et f(x), la mesure de la hauteur des rectangles. b) Quel est le domaine et l’image de cette fonction ? Y a-t-il une valeur pour laquelle la fonction f ne peut être définie ? Si oui, comment expliquez-vous cette situation dans le contexte ? c) Sur la feuille que l’on vous remet, remplissez la table de valeurs et tracez le graphique de la fonction de façon plus précise. d) Le graphique tracé en c) correspond-il à celui que vous avez tracé de façon globale à l’activité 1 ? Y a-t-il un lien entre l’alignement des rectangles réalisé en début d’activité et le graphique que vous venez de tracer ? Expliquez votre réponse. e) La fonction f est-elle croissante ou décroissante ? Expliquez votre réponse.

Attention ! Vous avez vu à l’activité 1 que cette relation n’est pas linéaire.

g(x)

f) Le graphique ci-contre représente la fonction g. Quelles ressemblances et différences existe-t-il entre cette fonction et celle représentée précédemment ?

Décrivez une situation qui pourrait être représentée par la fonction g.

Validez vos réponses aux questions ci-dessus avec les autres dyades de la classe.

1 Trace le graphique correspondant à la table de valeurs ci-dessous et exprime sa règle de correspondance à l’aide d’une équation. x

1

2

3

4

5

6

10

12

15

f(x)

60

30

20

15

12

10

6

5

4

2 Trace le graphique correspondant à l’équation g(x) 

72 . x

Corrigé, p. 742

Les fonctions rationnelles de la forme f(x) 

k x

(où x  0 et k 

)

391


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MES OUTILS

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EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

Les fonctions rationnelles de la forme f(x)  (où x  0 et k  )

k x

Représentations d’une fonction rationnelle Dans des situations comportant une relation inversement proportionnelle entre deux grandeurs, la relation correspond à une fonction rationnelle.

Exemple : Le temps pour parcourir un trajet de 45 kilomètres dépend de la vitesse à laquelle on se déplace. Si l’on marche à une vitesse de 5 km/h, la durée du parcours sera de 9 heures. Si l’on se déplace trois fois plus vite, en bicyclette, à une vitesse de 15 km/h, la distance sera parcourue en trois fois moins de temps, soit 3 heures. On peut représenter une relation inversement proportionnelle entre deux grandeurs, correspondant à une fonction rationnelle, à l’aide du contexte, d’une table de valeurs, d’un graphique ou d’une équation.

(suite de l’exemple) La relation entre le temps de parcours et la vitesse peut être représentée des trois façons suivantes.

3

x

f(x)

Vitesse (km/h)

Temps (h)

2

22,5

5

9

15

3

45

1

90

0,5

2

GRAPHIQUE

Vitesse (km/h)

TABLE DE VALEURS

ÉQUATION

40

f(x)  45 , x où x  0

30 3

20

2

10

0

20

40

60

80

100

Temps (h)

Dans une fonction rationnelle k de la forme f(x) = x , k est une constante et x doit être différent de 0, car la division par 0 n’est pas définie dans l’ensemble des nombres réels.

392

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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11:21 AM

Page 393

Quelques propriétés d’une relation inversement proportionnelle • Une relation inversement proportionnelle est représentée par une courbe puisque les taux de variation ne sont pas constants.

(suite de l’exemple) On constate que

9  22,5  3  9  1  3 , etc. 15  5 45 15 52

k

• Le produit des deux variables mises en relation est toujours constant (xy  k).

(suite de l’exemple) On constate que la constante est 45, soit 2  22,5  5  9  15  3 45  1  90  0,5, etc. • La relation est décroissante puisque les taux de variation sont négatifs.

(suite de l’exemple) On constate que

9 − 22, 5  0, 3 − 9  0, 1 − 3  0, etc. 15 − 5 45 − 15 5−2

La fonction f(x)  x a une longue histoire, qui remonte à la Grèce antique. Selon la légende, lorsque la peste se mit à ravager la population d’Athènes, les gens demandèrent à une prêtresse, la Pythie d’Apollon, à Delphes, ce qu’ils devaient faire pour se débarrasser de ce fléau. La Pythie leur demanda de construire pour Apollon un autel cubique de volume deux fois plus grand que l’autel existant, aussi cubique. Cela impliquait de déterminer le côté du cube en utilisant uniquement la règle et le compas. Les géomètres grecs cherchèrent avec ardeur, sans succès. Toutefois, ils trouvèrent d’autres solutions à leur problème, dont la plus célèbre implique, curieusement, des courbes obtenues en coupant un cône par un plan. L’une de ces courbes, l’hyperbole, correspond au graphique de la fonction étudiée ici. Ce n’est qu’en 1837 que Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848) a démontré que le problème de la duplication du cube est impossible à résoudre à l’aide seulement de la règle et du compas.

EXERCICES

1

Écris les équations suivantes sous la forme y  k et construis une table de valeurs comprenant x au moins cinq couples de valeurs représentant la relation. 36 1 7 a) xy  12 b) x  c) xy  d) x  e) xy  0,75  0 y 2 y

2

Écris les équations suivantes sous la forme y  k . x a) xy  25

3

b) xy  1 13

c) x 

100 y

d)

x 1 11y

e) 3xy  1  0

Sur une feuille quadrillée, pour chacune des relations ci-dessous, écris l’équation sous la forme y  k , construis une table de valeurs comprenant au moins cinq couples x de valeurs représentant la relation et trace le graphique correspondant. a) xy  24

b) x 

64 y

c) xy  1

6 e) x  y

d) xy  1  0 24

Les fonctions rationnelles de la forme f(x) 

k x

(où x  0 et k 

)

393


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4

x

f(x)

1

x

f(x)

80

2

2

40

4

20

Page 394

b)

x

f(x)

50

1

3

2

3

33 1 3

2

3 2

3

4

25

3

1

4

3 10 1 5 1 8

8

c)

5

16

5

20

10

8

10

6

15

16

5

8

16 2 3 12 1 2

24

x

d)

10 15

x

e)

f(x) 1 8 1 12 1 16 1 32 1 40 1 60

f(x) 1 3 1 6 1 9 1 12 1 15 1 18

1 2 3 4 5 6

Dans le cas de chaque graphique ci-dessous, exprime la fonction rationnelle représentée à l’aide d’une équation et donne cinq couples de valeurs appartenant à cette fonction. a)

c)

f(x)

f(x)

16

8

14

7

12

6

10

5

8

4

6

3

4

2

2

1

0

2

4

6

8

0

10 12 14 16

f(x)

b)

2

28

1,75

24

1,5

20

1,25

16

1

12

0,75

8

0,5

4

0,25 4

8

12 16 20 24 28 32

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

1

2

3

4

5

6

7

8

f(x)

d)

32

0

394

11:21 AM

Les tables de valeurs ci-dessous représentent des fonctions rationnelles. Dans chaque cas, trouve l’équation représentant la fonction décrite et trace le graphique sur une feuille quadrillée. a)

5

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0

0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2


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6

11/22/07

11:21 AM

Reproduis les tables de valeurs ci-dessous et réfère-toi aux équations pour les compléter. De plus, trace le graphique de la relation sur une feuille quadrillée. 1 a) f(x)  x

54 x

b) f(x)  x

f(x)

c) f(x)  x

f(x)

1

12

x 1 3 2 3

f(x)

f(x)

1 9

0,75

1

6

d) f(x)  6 x

3 4

4

1, 5 x

0,25

0,6

18

1,25

2

5

6

Parmi les tables de valeurs ci-dessous, identifie celles qui correspondent à des fonctions rationnelles. a)

b)

8

2 x

0,75

2

7

Page 395

c)

x

f(x)

2

4

1

1

8

1

e)

g)

x

f(x)

x

f(x)

10

10

20

0

0

2

8

5

10

1

1

8

3

6

1

2

2

4

2

4

5

2

3

6

3

9

4

2

10

8

7

14

4

16

8

1

12

12

10

20

5

25

x

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

d)

x

f(x)

f)

h)

x

f(x)

0,05

8

4

10

0,1

4

4

8

5

0,2

0

4

4

6

2

0,5

2

4

9

8

3

1

1

10

4

11

12

2

0,25

4

12

4

2

1

1

24

20

1

3

2

12

0

5

3

1

7

2 3

Parmi les tables de valeurs du numéro 7, laquelle ou lesquelles sont associées à des fonctions a) décroissantes ? Exprime la règle de correspondance associée à chacune. b) affines ? Exprime la règle de correspondance associée à chacune. c) qui passent par l’origine du plan cartésien lorsqu’elles sont représentées graphiquement ? d) croissantes ?

Les fonctions rationnelles de la forme f(x) 

k x

(où x  0 et k 

)

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Exprime par une équation la règle de correspondance des fonctions rationnelles représentées ci-dessous. a) f(x)

f(x)

b)

2

4

3

1

2

1

0

1

2

0

1

2

3

4

10 Parmi les situations suivantes, identifie celles qui correspondent à une fonction rationnelle. a) Chaque jour, un laboratoire doit compléter l’analyse de 30 échantillons de terre. On se demande, selon différents nombres de techniciens et techniciennes, combien d’échantillons chaque personne doit analyser. b) Dans un centre d’appel, chaque personne doit effectuer 50 appels par jour. On observe le nombre d’appels effectués selon le nombre de jours. c) Jérémy dispose tous les jours de 6 $ pour acheter son dîner au comptoir à salades. Les salades diffèrent d’un jour à l’autre, de même que leur prix par gramme. Chaque jour, il se demande quelle masse de salade il peut acheter selon le prix du jour. d) À l’aide d’une pompe ayant un débit de 10 litres par minute, on vide un bassin. On observe le nombre de litres qu’il reste à vider selon le temps. e) Alexandre observe le temps qu’il met à parcourir en voiture les 155 kilomètres séparant Montréal et Sherbrooke selon la vitesse à laquelle il se déplace.

APPLICATIONS

11 Maude prend l’autoroute pour se rendre à un endroit se trouvant à 500 kilomètres de distance. a) Si elle roule à 100 km/h, en combien de temps peut-elle estimer arriver à destination ? b) Si elle parcourait plutôt la distance à pied, à une vitesse de 5 km/h, combien d’heures de marche lui faudrait-il pour atteindre sa destination ? c) Exprime par une équation la relation qui lie la vitesse (x) au temps (y) dans cette situation.

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PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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12 Le kilowattheure (kWh) est une unité de mesure d’énergie. Elle se détermine en effectuant le produit de la puissance (en kilowatts) par le temps (en heures). Par exemple, un sèche-cheveux de 750 watts fonctionnant durant une heure consomme 0,750 kWh (soit 0,750 kW  1 h). a) En combien de temps un chauffe-eau de 3000 watts consommera-t-il la même quantité d’énergie que le sèche-cheveux, soit 0,750 kWh ? b) En combien de temps une ampoule à incandescence de 75 watts utilisera-t-elle la même quantité d’énergie ? c) Durant combien de temps une ampoule « éconoénergétique » de 15 watts brillera-t-elle pour la même quantité d’énergie ? d) Exprime par une équation la fonction qui correspond à cette situation en identifiant bien les variables mises en relation.

13 Des amis des parents de Cynthia lui ont proposé un contrat de peinture, soit 900 $ pour repeindre six pièces. Cynthia envisage de demander l’aide de quelques amis et amies, mais elle hésite sur la façon de leur donner une part de la somme. Elle pourrait diviser l’argent en parts égales entre toutes les personnes qui auront participé ; ou elle pourrait donner 75 $ à ceux et celles qui viendront l’aider, et garder le reste pour elle. a) En utilisant y pour représenter la part de Cynthia et x pour représenter le nombre de personnes qui exécuteront le contrat (incluant Cynthia), décris chacune des options par une équation. b) Sur le même système d’axes, trace les graphiques qui correspondent aux deux options. c) Pour chaque option, décris la part que Cynthia recevra si elle est aidée par peu de personnes et si elle est aidée par beaucoup de personnes. d) Cynthia évalue que, pour respecter les délais, il faut deux personnes par pièce. Dans ce cas, quelle est l’option la plus avantageuse pour elle ? Justifie ta réponse.

14 Chaque semaine, Gabriel alloue 60 $ de son budget pour acheter de l’essence. Comme le prix à la pompe varie d’une semaine à l’autre, la quantité d’essence qu’il obtient est différente chaque semaine. Il s’intéresse à la quantité d’essence achetée selon le prix au litre. a) Cette relation est-elle représentée par une droite ? Explique ta réponse. b) Cette relation est-elle croissante ou décroissante ? Exprime ce que cela signifie dans cette situation. c) Ayant remarqué qu’il ne consomme jamais plus de 50 litres d’essence par semaine, Gabriel décide donc d’acheter cette quantité chaque semaine. 1)

S’il dispose toujours de 60 $, exprime algébriquement la quantité d’argent qu’il lui reste après avoir acheté 50 litres d’essence selon le prix (x) à la pompe.

2)

Cette relation est-elle représentée par une droite ? Explique ta réponse.

3)

Cette relation est-elle croissante ou décroissante ? Exprime ce que cela signifie dans cette situation.

Les fonctions rationnelles de la forme f(x) 

k x

(où x  0 et k 

)

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15 Marianne veut acheter des pommes pour faire des tartes. Elle dispose de 7 $. À l’épicerie, différentes variétés de pommes sont offertes à différents prix. Par exemple, cette semaine les pommes McIntosh coûtent 2,50 $ le kilogramme. a) Représente à l’aide d’une équation l’argent qu’il lui resterait selon la masse de pommes achetée si elle achète des McIntosh. b) Reproduis et complète la table de valeurs ci-dessous. MASSE DE POMMES MCINTOSH ACHETÉE (kg)

ARGENT RESTANT APRÈS L’ACHAT ($) 7 2 0,75 0

c) Représente graphiquement l’argent qu’il lui resterait selon la masse de pommes McIntosh achetée. 1)

Cette relation est-elle représentée par une droite ? Explique ta réponse.

2)

Quel serait l’effet sur l’argent restant après l’achat si Marianne achetait une même masse de pommes d’une variété moins chère ?

3)

Si le prix d’un kilogramme de pommes McIntosh était réduit de moitié, quelle somme resterait-il à Marianne après avoir acheté 2 kg ?

d) Marianne aimerait acheter au moins 4 kg de pommes pour préparer ses tartes. Pour pouvoir se procurer cette masse de pommes avec l’argent dont elle dispose, quel devrait être le prix maximal de la variété de pommes qu’elle choisira ? 1)

Représente à l’aide d’une équation, puis graphiquement, la relation entre le prix d’un kilogramme de pommes et la masse de pommes que Marianne peut acheter avec sa somme de 7 $.

2)

Cette relation est-elle représentée par une droite ? Explique ta réponse.

3)

Si le prix d’un kilogramme de pommes était réduit de moitié, comment la masse de pommes que Marianne peut se procurer serait-elle affectée ?

e) Qu’ont en commun les graphiques que tu as tracés en c) et en d) ? Qu’ont-ils de différent ? Explique tes réponses.

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PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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16 Marco fait une expérience avec un circuit électrique constitué d’une pile de 9 volts et d’une composante dont il peut régler la résistance. Avec un ampèremètre, il mesure l’intensité du courant pour différentes résistances et obtient le tableau suivant. RÉSISTANCE (en ohms)

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

INTENSITÉ DU COURANT (en ampères)

30

15

10

7,5

6

5

a) Trace le graphique qui correspond à cette relation. k b) Trouve l’équation exprimant la relation sous la forme y  . Quelle hypothèse peux-tu x avancer concernant la valeur de la constante k ? Explique ta réponse. c) Quelle sera l’intensité du courant si Marco règle la résistance à 4,5 ohms ? d) La composante du montage permettant de varier la résistance se brise. Elle reste bloquée à une valeur de résistance inconnue. Explique comment Marco peut trouver cette valeur de la résistance. e) Pour vérifier l’hypothèse émise en b), Marco reprend son expérience avec une pile lui fournissant 12 volts. Quelle intensité doit-il mesurer pour la résistance trouvée en c) afin de vérifier l’hypothèse ? PROBLÈME

17 Une expérience a donné les trois points suivants placés dans un plan cartésien, comme l’illustre la figure ci-dessous. P1 : (x1, y1)  (0,6, 3,6)

P2 : (x2, y2)  (1,6, 1,6)

P3 : (x3, y3)  (3,6, 0,6) y

Étant donné la disposition symétrique des points, la personne ayant effectué l’expérience se demande quel graphique représenterait le mieux ces trois points.

4

3

A) Une droite d’équation x  y  c. B) Une fonction rationnelle d’équation xy  k.

2

Pour tenter de trancher, elle a décidé de prendre les valeurs suivantes pour c et k. 1

( x + y ) + ( x2 + y2 ) + ( x3 + y3 ) c 1 1 3 k

( x1 y1 ) + ( x2 y2 ) + ( x3 y3 ) 3

0

Reproduis avec précision les points dans un système d’axes, puis effectue les tâches demandées ci-dessous. a) Trace la droite et la courbe correspondant aux valeurs de c et de k.

1

2

3

4

Le Laboratoire d’outils technologiques qui suit, aux pages 401 à 411, traite du nuage de points et de la relation entre deux grandeurs, et pourra t’aider à résoudre entièrement cette situation.

b) Laquelle des deux candidates te semble la mieux appropriée pour représenter la relation exprimée par les trois points ? Explique ton point de vue.

Les fonctions rationnelles de la forme f(x) 

k x

(où x  0 et k 

)

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Un ingénieur étudie la relation entre la charge qu’une poutre peut supporter sans se déformer, notée C(x), et la distance entre deux points d’appui, notée x. Il a obtenu les résultats ci-contre. a) Trace le graphique qui correspond à cette fonction. b) Exprime la règle de correspondance de cette fonction à l’aide d’une équation. c) Dans cette situation, peut-on dire que plus les points d’appui sont près l’un de l’autre, plus la poutre peut supporter une lourde charge ? Explique ta réponse. d) Si l’ingénieur veut que la poutre puisse supporter une charge maximale de 1000 kilos, à quelle distance l’un de l’autre devra-t-il placer les points d’appui ? e) Si l’ingénieur place les points d’appui à 250 cm l’un de l’autre, quelle charge maximale la poutre pourra-t-elle supporter ?

2

x

C(x)

(m)

(kg)

2

465

3

310

4

232,5

5

186

6

155

10

93

12

77,5

15

62

M. Mathieu participe à une loterie dont le gros lot est de 20 millions de dollars. Si, à la suite du tirage, plusieurs personnes ont la combinaison gagnante, le gros lot sera partagé également entre elles. M. Mathieu détermine la somme d’argent qu’il obtiendrait, s’il était l’un des gagnants, selon le nombre de personnes qui auraient choisi la même combinaison que lui. a) Par quel type de fonction cette situation peut-elle se représenter ? Précise alors les variables indépendante et dépendante dans cette situation. b) Représente graphiquement cette fonction sur une feuille quadrillée et indique les coordonnées de cinq points sur ta représentation. c) Cette fonction est-elle croissante ou décroissante ? Explique ce que cela signifie dans la situation. d) D’après le graphique, pourrait-il y avoir tellement de personnes gagnantes qui se partagent le gros lot que M. Mathieu n’obtiendrait rien ? Explique ta réponse.

Corrigé, p. 744

400

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

Es-tu maintenant capable de résoudre entièrement la situation-problème Magasinage virtuel, aux pages 388 et 389 ?


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LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES

Nuage de points et relation entre deux grandeurs ATELIER 1

Avez-vous des grands pieds ?

Pour réaliser cette activité, il faut un ruban à mesurer gradué en millimètres. 1er TEMPS

La mesure du pied La personne place son pied sur une feuille. Son ou sa camarade trace une marque à l’arrière du pied et au bout du pied, puis mesure la distance entre les deux marques.

En groupe classe, discutez des questions suivantes. • La grandeur des pieds d’une personne est-elle en lien avec sa taille ? • Comment pourrait-on vérifier la réponse avancée ? 2e TEMPS

Formez des équipes de deux pour prendre sur chaque élève les mesures décrites ci-contre, avec le plus de précision possible. Avec les deux mesures obtenues, chaque élève forme un couple de nombres (mesure du pied, taille) et va l’écrire au tableau.

La taille La personne se place debout dos au mur. À l’aide du ruban à mesurer, son ou sa camarade prend la mesure de sa taille en prenant soin de bien projeter au mur le point supérieur de la tête.

3e TEMPS

Toujours en dyade, effectuez les tâches suivantes portant sur les couples de nombres au tableau. a) Individuellement, tracez tous ces poin ts dans un système d’axes sur du papier millimétrique, pour former ainsi un nuage de points. b) En observant le nuage de points, pouvez-vous déterminer comment reconnaître les points représentant des individus qui ont des grands pieds ou des petits pieds ? Qu’en est-il pour ceux qui semblent avoir une grandeur de pieds « harmonieuse » par rapport à leur taille ? Décrivez l’allure générale du nuage de points.

Un nuage de points est une représentation graphique d’une distribution de données à caractère quantitatif. L’allure générale du nuage renseigne sur le lien possible entre les variables mises en relation.

c) Selon vous, serait-il possible de tracer une droite représentative de l’ensemble des données ? Ensemble, cherchez une façon de procéder pour tracer cette droite. Puis, en groupe classe, comparez votre façon de procéder avec celle des autres dyades. Essayez ensuite de trouver l’équation de la droite et de prédire la taille d’une personne dont les pieds mesurent 30 cm.

1 Sur la feuille que l’on te remet, trace le nuage de points représentant les données présentées. Trace ensuite la droite la plus représentative de la relation entre les grandeurs et trouve son équation. Corrigé, p. 745 Nuage de points et relation entre deux grandeurs

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ATELIER 2

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Les bandes de papier

Découpe les bandes sur la feuille que l’on te remet pour réaliser l’activité suivante.

1er TEMPS

Il s’agit de plier les bandes de papier de manière à former des polygones réguliers, comme dans l’illustration ci-contre. Sans te servir d’une règle, tu dois plier une bande en 3 parties isométriques, une autre en 4 parties isométriques, une autre en 5 parties, et ainsi de suite, pour obtenir 10 polygones réguliers de 3 à 12 côtés. Trouve des façons ingénieuses pour plier les bandes selon le nombre de côtés afin d’obtenir des longueurs de côtés le plus isométriques possible.

2e TEMPS

Joins-toi à un ou une camarade. Ensemble, dressez une liste de 20 couples de nombres (nombre de côtés du polygone, mesure d’un côté en millimètres). Puis, pour former un nuage de points, tracez tous les points correspondant à ces coordonnées dans un système d’axes sur du papier millimétrique.

3e TEMPS

Répondez aux questions suivantes en groupe classe. a) Décrivez l’allure générale du nuage de points. D’après vous, qu’est-ce qui représenterait le mieux le nuage de points : une droite ou une courbe ? Expliquez votre point de vue. b) À partir des données recueillies, trouvez une façon de procéder pour tracer le graphique qui représente le mieux le nuage de points. Comment qualifieriez-vous la relation entre les variables étudiées ? Trouvez un modèle d’équation qui est associé à ce type de relation, puis, en vous en inspirant, établissez l’équation du graphique représentant votre nuage de points. c) Quand une équation aura été déterminée, tracez le graphique représentant votre nuage de points. Prédisez ensuite, à l’aide du graphique, la longueur d’un côté d’un polygone régulier de 24 côtés obtenu par pliage d’une bande de papier.

1 Trace le nuage de points représentant les données sur la feuille que l’on te remet. Trouve ensuite l’équation de la fonction qui les représente le mieux et trace le graphique de cette fonction. Corrigé, p. 745

402

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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MES OUTILS

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EN ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

Nuage de points et relation entre deux grandeurs Dans certaines situations, après une prise de données numériques, on peut chercher à établir une relation entre deux variables. Pour ce faire, on forme des couples de coordonnées en associant les données recueillies et on représente les points par un nuage de points. Celui-ci peut nous aider à vérifier s’il existe un lien entre les deux variables. Lorsque la situation n’offre pas suffisamment d’indices pour en établir l’équation, on peut déterminer une approximation en utilisant l’une des méthodes décrites ci-dessous. RELATION LINÉAIRE (fonction affine)

RELATION INVERSEMENT PROPORTIONNELLE (fonction rationnelle)

Pour trouver l’équation d’une droite qui pourrait représenter un nuage de points reflétant une relation linéaire entre les variables, on procède de la façon suivante.

Pour trouver l’équation d’une courbe qui pourrait représenter un nuage de points reflétant une relation inversement proportionnelle entre les variables, on procède de la façon suivante.

Exemple :

Exemple :

Données x 1 2 3 4 5 6 7 8

y 18,6 21,2 22,8 24,1 26,3 29,7 32 36,4

Nuage de points y 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

• On ordonne les points dans l’ordre de leurs abscisses. Puis on trouve la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées de la première moitié. Ces deux valeurs déterminent les coordonnées d’un point.

(suite de l’exemple) 1 2 3 4 4

18,6  21,2  22,8  24,1 4

Données x 1 2 3 4 5 6 7 8

y 22,8 13,5 8,1 5,9 5,1 4,4 3,7 2,8

Nuage de points y 25 20 15 10 5 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

• On trouve le produit des coordonnées de chaque point, puis on calcule la moyenne des produits obtenus.

(suite de l’exemple) x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 22,8 13,5 8,1 5,9 5,1 4,4 3,7 2,8 xy 22,8 27 24,3 23,6 25,5 26,4 25,9 22,4

La moyenne des produits est d’environ 24,7.

(2,5, 21,7) • On détermine ainsi l’équation. • On trouve un autre point en procédant de la même façon avec la seconde moitié.

L’équation est : xy  24,7 ou y 

24,7 . x

On obtient le second point : (6,5, 31,1). • À partir de ces deux points, on peut établir l’équation de la droite. L’équation est : y  2,35x  15,825. Pour te rappeler comment trouver l’équation d’une droite à partir de deux points, consulte la section Mes outils, p. 696.

Jusqu’à maintenant, tu as exploré principalement deux types de relations fonctionnelles (ou modèles mathématiques) qui peuvent correspondre à certaines situations. Tu en exploreras plusieurs autres plus tard…

Nuage de points et relation entre deux grandeurs

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1

Observe le nuage de points ci-contre. a) Par quel type de relation ce nuage de points peut-il être décrit : une relation linéaire ou une relation inversement proportionnelle ? b) Construis une table de valeurs et, à l’aide de la méthode expliquée dans la section Mes outils, trouve une équation qui pourrait représenter cette relation.

2

60 50 40 30 20 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

Temps (min)

a) Représente chacun des tableaux de données ci-dessous par un nuage de points. 1)

TAILLE EN FONCTION DE LA MASSE

2)

DISTANCE PARCOURUE EN FONCTION DU TEMPS

Taille (cm)

Masse (kg)

Distance (km)

Temps (min)

160

62

45

30

162

68

60

35

168

63

80

45

172

70

80

50

175

76

95

45

176

69

100

50

176

78

150

70

179

78

150

75

182

80

165

90

183

81

190

95

205

115

210

120

b) Dans chaque cas, la situation peut-elle être décrite par une relation linéaire ou par une relation inversement proportionnelle ? Si oui, trouve l’équation d’une droite ou d’une courbe qui pourrait la représenter, puis trace la droite ou la courbe. Sinon, explique pourquoi.

404

Distance (m)

EXERCICES

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

Dans un tableau issu d’observations ou de mesures, les données sont nécessairement entachées d’erreurs. À l’époque de la Révolution française, à la fin du 18e siècle, les instruments de mesures astronomiques avaient atteint un haut niveau de précision. Toutefois, les erreurs pouvaient provenir d’autres circonstances : par exemple, il pouvait s’agir d’erreurs de lecture ou d’erreurs dues aux conditions climatiques au moment de l’observation. Aussi les astronomes cherchèrent-ils à ajuster le mieux possible à un nuage de points une courbe d’équation connue. Le nom du grand Carl Friedrich Gauss (1777-1855), souvent appelé le « prince des mathématiciens », est intimement lié à ces travaux. Aujourd’hui, on a très souvent recours à l’association d’une relation avec un nuage de points.


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a) Représente les données ci-dessous par un nuage de points. Selon ce nuage de points, y a-t-il un lien entre les deux variables ? Explique ta réponse. MOYENNE EN MATHÉMATIQUES EN 1re ANNÉE DU 2e CYCLE DU SECONDAIRE ET TEMPS HEBDOMADAIRE CONSACRÉ AUX SPORTS Résultat (%)

Temps (h)

Résultat (%)

Temps (h)

Josiane

Nom

66

3

Mathieu

Nom

72

14

Jessica

68

5

Francis

66

9

Magy

92

7

Patrick

69

10

Mylène

96

8

Sylvain

87

6

Cynthia

94

10

Marc-André

54

7

Anick

85

3

Maxime

89

8

Émilie

86

4

Hugo

93

8

Catherine

78

5

Guillaume

51

11

Mélanie

95

11

Olivier

49

12

Sylvie-Anne

52

2

Frédéric

61

3

b) Représente par un nuage de points les données liées aux filles (colonne de gauche), puis dans un autre système d’axes, celles qui concernent les garçons (colonne de droite). Compare les deux nuages de points et relève les ressemblances et les différences.

4

Détermine si les nuages de points ci-dessous peuvent être décrits par une relation linéaire ou une relation inversement proportionnelle entre les variables. Si c’est le cas, sur la feuille que l’on te remet, trace une droite ou une courbe qui pourrait représenter le mieux possible cette relation, puis donne son équation. y

y

a) 60

c)

50

100 80

40 60 30 20

40

10

20

0

b)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

0

d)

y

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

y

40

25

30

20

20 15 10 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 5 0

2

4

6

8

10

12

14

Nuage de points et relation entre deux grandeurs

16

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Pour chaque tableau ci-dessous, construis le nuage de points sur du papier millimétrique. Détermine ensuite s’il existe une relation linéaire ou une relation inversement proportionnelle qui peut représenter ce nuage. Dans l’affirmative, trouve une équation et trace une droite ou une courbe qui pourrait représenter la relation. Sinon, explique pourquoi. a)

b)

c)

x Temps

y Distance

(min)

(km)

(h)

y Nombre de litres

4

60

0,25

10

69

16

x Temps

e)

x Prix

y Masse

($/kg)

(kg)

65

0,25

18

1,0

60

0,3

15

87

1,5

59,5

0,4

12,5

18

89

2

53,5

0,5

9,5

25

95

3

44

0,75

6,25

31

113

4

39,5

1

5,7

35

120

4,75

32

1,25

3,6

41

125

5,25

25,5

1,5

3,5

45

140

6,5

18

2

2,4

51

150

7,25

11,5

2,5

1,8

8

5

3

1,7

8,5

1,5

3,5

1,2

x Nombre de filles

y Nombre de garçons

x Distance

y Température

x Temps (min)

y Nombre de pages

d)

f)

(°C)

2

2

5

25

0

19,5

4

3

8

42

25

18,5

8

5

11

18

60

15

12

8

15

22

80

11,8

15

13

18

39

120

8,4

18

15

22

20

175

1,5

23

17

25

46

240

5

26

21

28

32

260

5,5

28

22

30

65

305

10

30

23

32

29

330

13,5

35

40

360

15

As-tu utilisé un outil technologique pour trouver l’équation d’une droite qui pourrait représenter un nuage de points ? Lorsqu’il y a un nombre impair de points, l’outil technologique suggère d’inclure le point milieu dans le second groupe, afin de faciliter la prévision pour des valeurs plus grandes de x.

406

(km)

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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4:56 PM

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APPLICATIONS

6

Une compagnie forestière a fait mesurer la taille d’un échantillon d’arbres d’une forêt, soit le diamètre à la base et la hauteur. Les résultats sont présentés dans le graphique ci-contre.

Taille des arbres par rapport à leur diamètre de base Taille (m) 10 9 8 7

a) Quelle est l’équation de la droite qui pourrait représenter cette situation ? Laisse les traces de ta démarche.

6 5 4 3

b) Quelle pourrait être la taille d’un arbre dont le diamètre à la base est de 25 cm ?

2 1 0

5

10

15

20

c) Quel serait le diamètre d’un arbre mesurant 12 m ? Et 30 m ?

7

25

Diamètre (cm)

Voici des données tirées du site de Statistique Canada. Taille moyenne des garçons, selon l’âge

ÂGE (ans)

TAILLE (cm)

8

134,80

9

137,81

10

143,24

20

11

148,90

Âge (ans)

12

155,17

13

162,95

14

168,88

15

172,33

16

175,12

17

176,02

18

176,58

19

177,95

Taille 200 (cm) 180 160 140 120 100 0

SOURCE : RECENSEMENT

5

À L’ÉCOLE

10

15

– CANADA, 2005-2006, STATISTIQUE CANADA.

Dans le nuage de points, on peut distinguer deux groupes de points pouvant être représentés par une relation linéaire différente. a) Détermine l’intervalle des âges qui pourrait déterminer chacun de ces groupes de points. b) Pour chacun des groupes déterminés en a), trouve l’équation d’une droite pouvant le représenter.

SOURCE : RECENSEMENT

À L’ÉCOLE

– CANADA, 2005-2006,

STATISTIQUE CANADA.

c) En utilisant l’équation appropriée, détermine la taille d’une personne de ton âge. Combien de millimètres de différence y a-t-il avec ta taille réelle ?

Nuage de points et relation entre deux grandeurs

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8

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Le graphique ci-contre représente le nombre de neutrons par rapport au nombre atomique de certains éléments.

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Nombre de neutrons selon le nombre atomique Nombre de 30 neutrons (N)

Combien de neutrons un élément dont le nombre atomique est 25 peut-il comporter ? Laisse les traces de ta démarche.

25 20 15 10 5 0

5

10

15

20

25

Nombre atomique (Z)

9

Pour ce numéro, la classe doit d’abord mettre en commun des données relatives à chaque élève. Établis les deux couples de nombres décrits ci-dessous et écris-les au tableau. (Mesure de ta grandeur, mesure de la largeur de ta main) (Âge, mesure de la largeur de ta main) Pour la suite de l’application, prends note de l’ensemble des couples de données pour chacune des situations. a) Construis les nuages de points des deux situations.

La mesure de la largeur de ta main doit être prise à la base des doigts, au niveau des jointures, en excluant le pouce.

b) Dans chaque cas, trouve l’équation d’une droite qui représenterait le nuage de points. c) Selon toi, laquelle des deux situations correspondrait le mieux à une relation linéaire entre les variables ? Explique ton choix. d) Estime la largeur de la main d’un individu mesurant 190 cm et d’un autre mesurant 130 cm. e) Estime la largeur de la main d’un enfant de deux ans et demi, puis d’une personne de 95 ans. Interprète tes résultats.

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PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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10 Léonard de Vinci considérait que les proportions d’une personne sont idéales si le rapport entre la taille de cette personne et la distance de ses pieds à son nombril est parfait, c’est-à-dire égal au nombre d’or(ϕ). Est-ce réaliste ? Fais ta propre étude sur la question à partir de la taille des élèves de ta classe et de la mesure de la hauteur de leur nombril.

11 Matéo fait une expérience sur la résistance des bâtons de hockey. Il couche son bâton sur deux briques et, au milieu, il dépose un grand récipient qu’il remplit d’eau jusqu’à ce que le bâton commence à plier. En faisant varier la distance entre les briques, il a obtenu les résultats suivants. DISTANCE ENTRE LES BRIQUES (cm) QUANTITÉ D’EAU DANS LE RÉCIPIENT QUAND LE BÂTON COMMENCE À PLIER (mL)

30

40

50

60

70

80

90

1620

1160

920

740

660

560

460

a) Trace le nuage de points correspondant à cette situation. b) Si les briques sont à une distance de 45 cm l’une de l’autre, quelle quantité d’eau Matéo devrait-il verser dans le récipient pour faire plier le bâton ? Et si un mètre les séparait ? Explique ta démarche.

12 Julie a suivi des cours de lecture rapide. Pour en vérifier l’efficacité, elle a noté des données prises avant les cours (en bleu) et après les cours (en rouge). Ses résultats sont représentés par le graphique ci-contre. a) Détermine la vitesse approximative de lecture (nombre de mots lus par minute) correspondant à chacune des séries de données (bleu et rouge). b) Selon toi, y a-t-il eu une réelle amélioration de la rapidité de lecture de Julie ? Explique ta réponse.

Nombre de mots lus 12 000

Résultat de tests de lecture rapide

10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0

20 40 60 80 100 120 140

Temps de lecture (min)

Nuage de points et relation entre deux grandeurs

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Nombre de carreaux nécessaires selon la surface de plancher

13 Le nuage de points ci-contre illustre les quantités de carreaux de céramique, de forme carrée, utilisés pour recouvrir différentes superficies de plancher (pertes incluses).

Nombre de carreaux 900 800 700 600

Détermine approximativement la longueur du côté d’un carreau. Laisse les traces de ta démarche.

500 400 300 200 100 0

20

40

60

80

100

120

Surface de plancher (m2)

PROBLÈME

14 Il peut arriver qu’un nuage de données ait la forme approximative d’un cercle (voir la figure ci-contre). C’est le cas, par exemple, lorsqu’on met en relation le nombre de prédateurs et de proies dans certaines situations.

Nombre de proies 100

a) En te référant au contexte et au nuage de points, décris la relation entre les prédateurs et les proies. Qu’est-ce que ce nuage nous apprend sur l’évolution d’une population de prédateurs et de proies dans une région donnée ? b) Décris dans tes mots une méthode pour trouver le centre et le rayon d’un cercle qui représenterait un tel nuage, à partir de quelques coordonnées de points du nuage.

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Nombre de prédateurs

c) Applique ta méthode au cas du petit nuage formé des points suivants. (57, 26), (35, 23), (73, 66), (40, 85), (11, 53) Trace le cercle que tu as trouvé sur du papier millimétrique. Compare ta méthode et ton cercle avec les résultats obtenus par un ou une camarade.

410

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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1

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Le graphique ci-contre présente une évaluation des quantités de déchets non recyclés au Québec.

Pourcentage des déchets non recyclés Déchets 100 non recyclés (%)

a) Estime quelle sera la quantité de déchets non recyclés en 2010.

80 60

b) Si la tendance se maintient, en quelle année tous les déchets seront-ils recyclés ? Explique ta réponse.

40 20

0

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

Année

2

Lorsqu’un gaz est sous pression dans un contenant, on remarque que plus on augmente la pression exercée sur le gaz, plus le volume diminue. Le graphique ci-contre illustre cette situation.

Relation entre la pression et le volume d’un gaz Volume 70 (L) 60 50 40 30

Selon toi, ce phénomène pourrait-il être associé à une relation inversement proportionnelle entre les variables ? Si oui, donne l’équation de cette relation. Sinon, explique pourquoi.

3

20 10 0

5

10

15

20

25

30

Pression (mmHg)

Le tableau ci-dessous donne une série de données expérimentales reliant la pression et la température d’un gaz. PRESSION (mm de mercure)

750

761

774

781

794

800

812

824

830

TEMPÉRATURE (ºC)

22

20

15

12

8

5

2

1

4

a) Détermine l’équation de la relation qui décrit le mieux cette situation. Laisse les traces de ta démarche. b) On appelle zéro absolu la température à laquelle un gaz n’exerce plus de pression. Estime cette température en degrés Celsius. Laisse les traces de ta démarche.

Corrigé, p. 746

Nuage de points et relation entre deux grandeurs

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SITUATION-PROBLÈME 2

Au cours de l’année scolaire 2005-2006, Statistique Canada a réalisé un sondage auprès d’élèves du secondaire au Canada concernant les moyens de communication utilisés par les adolescents et adolescentes pour contacter leurs camarades. Voici les résultats de ce sondage.

SOURCE : DONNÉES

PROVENANT D’ÉLÈVES DU SECONDAIRE AYANT PARTICIPÉ AU PROGRAMME

RECENSEMENT

À L’ÉCOLE

– CANADA, 2005-2006, STATISTIQUE CANADA.

• Quelles sont tes impressions à la lecture des résultats de ce sondage ? • Parmi les moyens de communication énumérés, lequel utilises-tu le plus souvent pour communiquer avec tes amis et amies ? • Selon toi, ta situation correspond-elle à celle de l’ensemble des jeunes de ton entourage ?

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PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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a) Représente les résultats du sondage à l’aide d’un diagramme statistique de ton choix. Explique ton choix de diagramme. Imagine que l’on souhaite mettre en évidence le fait que, parmi les jeunes interrogés, il y en a plus qui communiquent entre eux par clavardage qu’en personne.

La prochaine fois que tu verras des résultats de sondage présentés à l’aide d’un diagramme (dans une revue, un journal ou Internet, ou encore à la télévision), observe bien la façon dont le diagramme a été réalisé afin de déceler s’il ne comporte pas des biais qui favorisent certains résultats plutôt que d’autres.

b) Modifie le diagramme que tu as réalisé en a) afin de faire ressortir ce fait. Explique comment ton nouveau diagramme met en évidence ce fait par rapport au premier. c) Crois-tu que les résultats du sondage représentent la situation dans ton école au sujet des moyens de communication utilisés par les élèves pour communiquer avec d’autres jeunes de leur âge ? Explique ta réponse.

d) La réalisation d’un sondage comprend les étapes suivantes. • Formuler la question. • Choisir un échantillon. • Choisir une méthode de collecte de données et réaliser la collecte.

Pour te remémorer certaines notions relatives aux sondages et aux sources de biais, as-tu consulté la section Ma mémoire, p. 671 et 672 ?

• Compiler les données. • Représenter les résultats. Si tu devais réaliser un sondage auprès des élèves de ton école afin de vérifier ta réponse en c), explique comment tu procéderais. Décris la façon dont tu accomplirais les différentes étapes énumérées ci-dessus afin d’éviter le plus possible les biais. Si, selon toi, certains biais sont inévitables, précise-les et indique une façon de les minimiser.

Pourquoi ne pas former des équipes et effectuer le sondage ? Vous pourriez par la suite comparer vos conclusions…

La Séquence en probabilité et statistique qui suit, aux pages 414 à 425, traite du choix d’un échantillon représentatif et pourra t’aider à résoudre entièrement cette situation.

Situation-problème 2

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SÉQUENCE EN PROBABILITÉ ET STATISTIQUE

Le choix d’un échantillon représentatif ACTIVITÉ 1

L’échantillon et sa taille

Fais équipe avec un ou une camarade pour répondre aux questions ci-dessous. a) Pour quelles raisons, selon vous, réalise-t-on des sondages ? b) Lorsqu’on effectue un sondage, on s’adresse à un échantillon de la population visée. Décrivez une situation où les éléments de l’échantillon ne sont pas des personnes.

Souviens-toi qu’en statistique le mot population n’a pas la même signification que dans la vie courante. Il ne désigne pas nécessairement un groupe de personnes.

c) Qu’est-ce que l’expression « échantillon représentatif » signifie pour vous ? Comment, selon vous, peut-on constituer un échantillon qui est représentatif d’une population ? d) Observez l’illustration ci-contre. D’après vous, pour qu’un échantillon soit représentatif de la population visée, sa taille constitue-t-elle un élément important ? Expliquez votre réponse. NOMBRE D’INDIVIDUS À CONSIDÉRER DANS UN ÉCHANTILLON POUR UNE MARGE D’ERREUR DE  2,5 % Taille de la population

Taille de l’échantillon

25 000 000

1536

1 000 000

1535

100 000

1514

10 000

1332

1 000

606

100

94

SOURCE : CLAUDE ANGERS, LES STATISTIQUES, ÉDITIONS AGENCE D’ARC, 1991, p. 110.

OUI MAIS…,

Cote pour le film

Super Héros 3 critiques

★★★★★★★★★★ 9/10

e) Le tableau ci-contre indique les différentes tailles d’échantillons à considérer pour réaliser un sondage. Peut-on affirmer que la taille d’un échantillon est proportionnelle à la taille de la population visée ? Expliquez votre réponse. Décrivez les variations de l’une des variables par rapport à celles de l’autre. f) À votre avis, que signifie la marge d’erreur d’un sondage ? Donnez un exemple numérique. En groupe classe, partagez vos réponses aux questions ci-dessus.

MONTRÉAL,

1 Pour chacun des cas ci-dessous, explique si l’échantillon pourrait être représentatif ou pas. a) Pour connaître la vitesse moyenne de lecture des élèves d’une école, on choisit des élèves au hasard à la sortie de la bibliothèque. b) Pour connaître les habitudes alimentaires de la population d’un village, on choisit des clients et clientes au hasard dans un des restaurants du lieu. c) Pour connaître le taux de satisfaction des élèves par rapport au conseil étudiant, on remet un questionnaire à cinq personnes choisies au hasard dans chaque classe d’une école secondaire. Corrigé, p. 746

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ACTIVITÉ 2

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Les méthodes d’échantillonnage

Pour qu’un sondage soit fiable, il faut, entre autres choses, qu’il ait été réalisé auprès d’un échantillon représentatif de la population. Pour former un tel échantillon, il existe plusieurs méthodes d’échantillonnage.

La méthode d’échantillonnage est la façon dont les éléments ou individus de l’échantillon sont choisis parmi la population visée.

Sur la feuille que l’on te remet est représenté un échantillon de 10 billes tirées d’un grand contenant de billes. La méthode d’échantillonnage avec laquelle les 10 billes ont été choisies y est également décrite. PARTIE 1

Approprie-toi cette méthode d’échantillonnage afin d’être capable de l’expliquer à quelqu’un d’autre. Pour t’assurer de l’avoir bien comprise, décris, sur la feuille, comment tu procéderais pour choisir un échantillon d’élèves de ton école en utilisant cette méthode. PARTIE 2

Quatre méthodes d’échantillonnage sont décrites sur les feuilles distribuées. La méthode d’échantillonnage aléatoire

La méthode d’échantillonnage stratifié

La méthode d’échantillonnage systématique

La méthode d’échantillonnage par grappes

Joins-toi à trois camarades ayant analysé une méthode différente de la tienne. À tour de rôle, expliquez votre méthode d’échantillonnage aux autres membres du quatuor. Assurez-vous que tout le monde comprenne bien la façon de procéder avant de poursuivre. PARTIE 3

Chaque quatuor doit se mettre d’accord sur la méthode d’échantillonnage qui serait la plus intéressante pour choisir un échantillon représentatif d’élèves à l’école. Donnez les raisons de votre choix et celles qui vous ont fait juger les autres méthodes d’échantillonnage moins intéressantes.

1 Pour chacun des cas suivants, décris une façon de procéder pour choisir un échantillon représentatif de la population selon l’objet de l’étude. a) Une compagnie vient de lancer une nouvelle boisson et souhaite connaître le degré de satisfaction des gens. b) Dans une usine de bicyclettes, on veut contrôler la qualité des produits. c) La direction d’une école secondaire veut connaître l’opinion des élèves sur la mixité dans les cours d’éducation physique. Corrigé, p. 746 Le choix d’un échantillon représentatif

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MES OUTILS

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EN PROBABILITÉ ET STATISTIQUE

Le choix d’un échantillon représentatif Pour réaliser une étude statistique sur une population, on choisit un échantillon. Cet échantillon doit être représentatif de la population, c’est-à-dire qu’il doit posséder autant que possible les mêmes caractéristiques que la population elle-même. Pour déterminer si un échantillon est représentatif, il faut donc connaître les caractéristiques de la population visée ainsi que l’objet de l’étude. Lorsqu’un échantillon n’est pas représentatif, on dit qu’il est biaisé. La représentativité de l’échantillon d’une population est influencée notamment par la taille de l’échantillon et la méthode d’échantillonnage.

La taille de l’échantillon La taille d’un échantillon est le nombre d’éléments qu’il contient. La taille de l’échantillon a une grande influence sur sa représentativité. Dans de nombreuses études statistiques, l’analyse d’un échantillon suffit pour obtenir des résultats très fiables. Si l’on sonde tous les éléments d’une population, on effectue alors un recensement, plutôt qu’un sondage.

Le calcul exact de la taille minimale d’un échantillon selon la taille de la population, comme les tailles données dans l’encadré de la page 414, s’effectue à l’aide de mesures statistiques que tu exploreras dans des études mathématiques ultérieures.

Les méthodes d’échantillonnage L’échantillonnage aléatoire Avec cette méthode, chaque individu ou élément de l’échantillon est choisi au hasard et il a la même probabilité que les autres d’être choisi. On utilise souvent cette méthode quand la population est homogène (c’est-à-dire que tous les individus ou éléments ont les mêmes caractéristiques).

Exemple : Dans une école, pour composer un échantillon, on tire au hasard des noms d’élèves d’une même année scolaire. L’échantillonnage systématique Avec cette méthode, on dresse la liste de tous les individus ou éléments de la population, puis on choisit chaque élément de l’échantillon à intervalle régulier, selon le rapport suivant. Nombre d’éléments ou d’individus de la popullation Nombre d’éléments de l’échantillon

Exemple : Dans une école, on dresse la liste des élèves. Ensuite, pour composer l’échantillon, on choisit les élèves dont les noms se trouvent au 10e rang, au 20e rang, au 30e, au 40e, et ainsi de suite.

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L’échantillonnage stratifié Avec cette méthode, on analyse d’abord la population en déterminant des sous-groupes formés d’éléments qui ont les mêmes caractéristiques (ces sous-groupes sont appelés strates). On établit le pourcentage d’éléments dans la population qui possèdent ces caractéristiques. Puis, dans chacun de ces sous-groupes, on sélectionne au hasard des éléments de la population afin de former un échantillon comportant les caractéristiques de la population selon les pourcentages préalablement établis.

Exemple : Dans une école, 75 % des élèves sont d’origine québécoise, 15 %, d’origine haïtienne et 10 %, d’origine asiatique. On formera un échantillon dont 75 % des individus seront d’origine québécoise, 15 %, d’origine haïtienne et 10 %, d’origine asiatique. L’échantillonnage par grappes Avec cette méthode, on utilise les sous-groupes (appelés grappes) qui existent déjà dans la population que l’on veut étudier. On sélectionne au hasard un certain nombre de grappes et l’on constitue l’échantillon avec tous les individus qu’elles contiennent.

Exemple : Pour effectuer une étude statistique auprès des élèves d’une école, on choisit quatre classes dont les élèves composeront l’échantillon.

Lorsqu’on veut savoir combien de personnes parmi la population d’une ville ont les yeux bleus, combien ont les yeux bruns, etc., on peut procéder globalement de deux façons. On peut demander à chaque personne de la ville la couleur de ses yeux. On peut aussi prendre un groupe réduit de personnes (qu’on appelle un échantillon), déterminer la couleur de leurs yeux et, par la suite, généraliser le résultat à l’ensemble de la population. Au 19e siècle, on avait plutôt tendance à utiliser la première méthode, en procédant à des recensements, par exemple. Mais, dans le premier quart du 20e siècle, des problèmes dépassant ceux de la connaissance d’une population humaine provoquèrent un regain d’intérêt pour la seconde méthode. Ronald A. Fisher (1890-1962) et William S. Gosset (1876-1937), notamment, s’y intéressèrent. Le premier étudiait l’efficacité des engrais dans un centre agronomique et le second devait veiller à la qualité de la bière produite par une brasserie. Dans les deux cas, ces hommes ne pouvaient utiliser qu’un nombre réduit de données. Ils se sont donc vus dans l’obligation de préciser le lien qui existait entre les caractéristiques d’un échantillon et ce qu’on pouvait en déduire pour toute une « population ». Ce faisant, ils ont ouvert un tout nouveau champ d’études statistiques.

Le choix d’un échantillon représentatif

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EXERCICES

1

Que suis-je ? a) L’ensemble de personnes, d’objets ou d’éléments à propos desquels on veut obtenir un ou plusieurs renseignements. b) Une étude statistique réalisée sur une partie de la population visée. c) Le nombre d’éléments que contient un échantillon. d) Les sous-groupes d’une population constitués d’individus partageant les mêmes caractéristiques. e) La méthode d’échantillonnage consistant à dresser la liste des individus de la population puis à choisir à intervalle régulier les éléments de la liste qui constitueront l’échantillon. f) Un petit groupe d’individus ou d’éléments choisis de manière à représenter le plus fidèlement possible la population visée par l’étude. g) Une étude statistique réalisée sur tous les individus de la population visée.

2

a) Cite deux sources possibles de biais dans une étude statistique. b) Nomme quatre méthodes d’échantillonnage. Pour chacune, donne un exemple de son utilisation dans le choix d’un échantillon en vue de réaliser un contrôle de la qualité dans une usine où l’on fabrique des tablettes de chocolat.

3

Nomme la méthode d’échantillonnage décrite dans les énoncés suivants. a) On subdivise la population en sous-groupes, puis l’on choisit au hasard certains de ces sous-groupes. b) Après avoir établi la liste des individus, on calcule le rapport suivant. Nombre d’individus de la population Taille dee l’échantillon Ce rapport permet ensuite de choisir à intervalle régulier les éléments de la liste pour former l’échantillon. c) On subdivise la population en sous-groupes ayant les mêmes caractéristiques, puis l’on choisit au hasard et proportionnellement des éléments dans chaque sous-groupe.

4

Jessie possède une boutique de vêtements pour hommes et femmes depuis cinq ans, dont le quart de la clientèle est constitué d’hommes. Elle souhaite mesurer le degré de satisfaction de sa clientèle. Décris comment elle pourrait procéder pour obtenir un échantillon en ayant recours à la méthode d’échantillonnage a) aléatoire ;

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b) systématique ;

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

c) stratifié ;

d) par grappes.


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On cherche à connaître les goûts musicaux des jeunes de 12 à 15 ans au Québec. a) Dans le cas de chaque situation ci-dessous, décris deux sources de biais. b) Propose une façon d’y remédier. 1)

On interroge 100 personnes à la sortie d’une bouche de métro.

2)

On pose la question de l’encadré ci-contre à des jeunes de 12 à 15 ans fréquentant une école secondaire de la région de Saguenay.

3)

6

Quel genre de musique préfères-tu ? Le rock.

Au cours de l’émission Rock et blues, on demande à l’auditoire (majoritairement composé de jeunes de 12 à 15 ans) de signifier son style de musique préféré en composant un numéro qui y correspond (moyennant des frais de 1 $). La participation au sondage donne la chance de gagner deux billets pour assister au prochain spectacle rock présenté dans deux semaines au stade municipal.

Le folk. La musique classique. Le rap.

Complète les énoncés suivants. a) La taille de l’échantillon exerce une influence sur la

de l’échantillon.

b) Dans une étude statistique, le choix de l’échantillon, le questionnaire, la façon de collecter les données, le traitement des données et l’analyse des résultats sont des sources possibles de ou d’erreur. c) Pour qu’un échantillon soit représentatif d’une population, il doit posséder les mêmes que la population elle-même. d) Une bonne façon de former un échantillon lorsque la population est homogène consiste à laisser le hasard déterminer quels individus ou éléments en feront partie. e) La représentativité de l’échantillon d’une population est influencée notamment par la de l’échantillon et la d’échantillonnage. f) Dans l’échantillonnage

, on détermine d’abord le rapport suivant. Nombre d’individus de la population Taille dee l’échantillon

g) Dans l’échantillonnage

, les sous-groupes ont les mêmes caractéristiques.

h) Dans l’échantillonnage dans la population.

, on sélectionne certains sous-groupes existant

i) Les résultats obtenus à la suite d’un sondage représentent un portrait fiable de la si un échantillon a été utilisé. j) La méthode d’échantillonnage est utilisée dans le cas d’une c’est-à-dire formée d’individus ayant les mêmes caractères. k) Le nombre d’éléments que contient un échantillon représente sa l) La méthode d’échantillonnage consiste à choisir au puis à toujours utiliser le même procédé pour choisir les autres.

homogène, . un point de départ,

Le choix d’un échantillon représentatif

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8

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Ariane fréquente une polyvalente comptant 1000 élèves. Elle veut savoir combien de jeunes de son école connaissent les recommandations du Guide alimentaire canadien au sujet du nombre de portions de légumes et fruits à consommer quotidiennement. Quelle taille son échantillon doit-il avoir pour que la marge d’erreur soit de 2,5 % ? Si Ariane veut effectuer la même étude statistique auprès des 100 membres du personnel, quelle doit être la taille de l’échantillon ?

Dans chaque cas ci-dessous, nomme la méthode d’échantillonnage décrite. a) La direction d’un magasin souhaite connaître le degré de satisfaction des personnes qui ont acheté un appareil d’exercice. En se servant d’une liste de clients et clientes, on retient tous les douzièmes noms. b) Pour tester la qualité de la production d’une manufacture, on choisit au hasard 250 articles. c) Une grande chaîne de supermarchés veut effectuer un sondage auprès de son personnel. Après avoir choisi 20 magasins de la chaîne, on remet un questionnaire à tous les employés et employées de ces magasins. d) La direction d’une université veut sélectionner 1000 étudiants et étudiantes pour savoir quelles activités ils et elles pratiquent dans leurs temps libres. Pour ce faire, on détermine le pourcentage de la population étudiante appartenant aux différentes ethnies fréquentant l’université, puis on choisit au hasard des individus dans chaque programme selon les pourcentages déterminés. e) Le ministère de la Santé et des Services sociaux choisit 12 hôpitaux de la province pour étudier la composition des menus proposés dans les cafétérias d’hôpitaux du Québec.

9

Dans chaque cas ci-dessous, précise s’il est préférable d’effectuer un sondage ou un recensement. a) Un groupe de recherche en économie souhaite établir des statistiques mensuelles sur le taux de chômage.

Quelle est la différence entre un sondage et un recensement ? Comment fais-tu pour te le remémorer ?

b) La Fédération de volley-ball du Québec doit relever l’âge au 30 juin de l’ensemble des athlètes présents au camp de sélection pour les Jeux du Québec. c) Un fabricant de vélos veut tester la solidité d’un type de vélo auprès des adolescents et adolescentes. d) Le gérant d’un magasin de jouets doit faire l’inventaire de tous les jouets chaque année. e) Un manufacturier veut tenir des statistiques sur le nombre d’ampoules défectueuses sur une chaîne de production. f) Un publicitaire veut tester l’efficacité de ses slogans sur son public cible. g) Le gouvernement doit déterminer le nombre d’individus de plus de 65 ans afin d’établir le budget des prestations de vieillesse. h) Une chaîne de télévision veut savoir combien de Québécois et Québécoises ont regardé son émission spéciale du jour de l’An.

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PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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10 Ayant l’intention d’améliorer les installations sportives municipales, la mairesse d’une ville de 10 000 habitants et habitantes veut d’abord savoir quels sports la population pratique le plus.

ÂGE (ans)

a) Pour obtenir une marge d’erreur de 2,5 %, quelle doit être la taille de l’échantillon ? b) Si la mairesse veut tenir compte des différents groupes d’âge de la population, dont la répartition est donnée dans le tableau ci-contre, combien de personnes faut-il choisir dans chaque groupe d’âge ?

POPULATION (%)

[0, 10[

9

[10, 18[

9

[18, 30[

11

[30, 50[

28

[50, 75[

30

75 ans et plus

13

APPLICATIONS

11 Par une belle journée d’été, on interroge des gens dans la rue principale de toutes les villes du Québec. On demande ainsi à 2500 personnes âgées de 10 ans ou plus de décrire la position de l’alignement des astres impliqués dans une éclipse lunaire. a) Imagine que tu es une des personnes interrogées. Quelle serait ta réponse ? b) Consulte le tableau des résultats. Dans quelle catégorie ta réponse se situe-t-elle ? POSITION DE L’ALIGNEMENT

NOMBRE DE RÉPONSES

Soleil-Terre-Lune

2012

Terre-Lune-Soleil

458

Ne sait pas ou autres réponses

30

c) Cette étude statistique est-elle un recensement ? Pourquoi ? d) Est-elle un sondage ? Explique ta réponse. e) Quelle est la population visée par cette étude ? f) La taille de l’échantillon est-elle suffisante ? Explique ta réponse. g) Selon toi, la méthode d’échantillonnage comporte-t-elle des biais ? Explique ta réponse. h) Quel pourcentage de l’échantillon ne sait pas que l’alignement Soleil-Terre-Lune produit une éclipse lunaire ?

Le choix d’un échantillon représentatif

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12 On décide d’effectuer un sondage pour connaître l’opinion de la population canadienne sur la qualité des services gouvernementaux. Différents types d’échantillon, énumérés ci-dessous, sont envisagés. Dans le cas de chacun, décris un avantage et un désavantage. a) Un échantillon de fonctionnaires (soit le personnel des services gouvernementaux). b) Un échantillon composé des personnes qui sortent du bureau des plaintes du gouvernement. c) Un échantillon d’élèves à la sortie d’une école secondaire. d) Un échantillon de personnes ayant eu recours à au moins un service gouvernemental au cours des deux derniers mois. e) Un échantillon de gens présents dans la salle d’attente d’un bureau des passeports.

13 Observe bien les diagrammes ci-dessous. La présentation des résultats engendre-t-elle un biais d’interprétation ? Si oui, explique pourquoi et propose une façon de corriger la situation. a) Taille de la population au cours des siècles.

b) Crise dans un centre de ski : le nombre d’accidents graves a doublé en cinq ans !

Taille moyenne de la population au cours des siècles Taille 190 (cm)

Taux d’accidents graves Pourcentage

250

180

200

170

150

160

100

150

50 0

10e

15e

0

20e

2000

2005

Année

Siècle

c) Après répartition des indécis (en bourgogne) : 51 % des personnes interrogées ont l’intention de voter pour le parti bleu.

Intention de vote aux prochaines élections

Intention de vote (%) 60 50

CHOIX DE RÉPONSES

INTENTION DE VOTE

Parti vert

12 %

Parti bleu

18 %

Parti jaune

5%

Indécis

65 %

40 30 20 10 0

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Parti vert

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

Parti bleu

Parti jaune


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14 Magali anime une émission à la radio étudiante de son école. Pour obtenir un budget pour l’achat de nouveaux disques, elle doit présenter de bons arguments à la direction. Elle décide donc d’effectuer un sondage pour savoir le plus précisément et le plus rapidement possible si les élèves sont satisfaits de la programmation musicale de la radio étudiante. a) Rédige trois questions que Magali pourrait poser. b) Décris une façon de procéder pour récolter les données. c) Quel type d’échantillonnage Magali doit-elle privilégier ? Décris comment elle pourrait choisir son échantillon.

15 Observe les résultats ci-dessous provenant d’un sondage. FRÉQUENCE DU PERÇAGE CORPOREL OU DU TATOUAGE (%) Total Garçons Filles 12-13 14-15 16-17 18-19 C.-B.

Réponse (Nombre de personnes)

(1208) (620)

Pr.

Ont.

Qc

Atl.

(588)

(296)

(310)

(302)

(300)

(157)

(201)

(449)

(300)

(101)

Oui, ont un perçage.

23

14

32

18

22

24

26

26

26

26

15

20

Oui, ont un tatouage.

8

6

9

3

5

7

15

7

8

7

8

6

Oui, souhaitent se faire percer.

20

13

29

22

21

18

21

24

19

23

16

19

Oui, souhaitent se faire tatouer.

21

20

22

13

21

23

27

22

27

21

17

21

Non, n’ont et ne souhaitent pas en avoir.

48

60

35

58

48

47

39

44

44

46

55

50

SOURCE : AGENCE

DE LA SANTÉ PUBLIQUE DU

CANADA, 2007.

a) Quelle était la population visée dans ce sondage ? b) Selon ce sondage, quel est le pourcentage d’adolescents et adolescentes ayant un tatouage ? c) Sur le plan de la taille, l’échantillon est-il représentatif si, en l’an 2000, les adolescents et adolescentes formaient 18 % de la population canadienne, établie alors à 30 millions ? d) Pour ce sondage, on a eu recours à la méthode d’échantillonnage aléatoire. Comment aurait-on pu effectuer un échantillonnage systématique ? e) Quel pourcentage des jeunes de l’échantillon résidaient 1)

au Québec ?

2)

en Ontario ?

f) Le fait que moins de filles ont été interrogées que de garçons entraîne-t-il un biais ? Explique ta réponse.

Afin de connaître l’attitude des jeunes relativement au perçage et au tatouage, une enquête nationale a été menée auprès de 1208 garçons et filles au moyen d’appels téléphoniques aléatoires effectués entre le 24 septembre et le 7 novembre 2000. Les personnes participant au sondage devaient être des adolescents ou adolescentes de nationalité canadienne âgés de 12 à 19 ans. L’ordre des questions était constamment modifié afin d’éviter tout biais lié à leur place dans le questionnaire. La marge d’erreur est de  2,8 %, 19 fois sur 20.

Le choix d’un échantillon représentatif

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16 Dans les émissions de téléréalité, on demande souvent aux téléspectateurs et téléspectatrices de voter par téléphone pour le participant ou la participante qu’ils préfèrent. Dans ce cas, les gens doivent payer des frais pour chacun de leurs appels. L’illustration ci-dessous présente le résultat des votes exprimés à la fin d’une telle émission et qui ont entraîné l’élimination du chauve musclé.

Le grand frise

a) Selon un expert en sondage, la méthode utilisée est inadéquate. Donne deux raisons pouvant justifier cette affirmation.

Le chauve muscle

b) Pour faire connaître le résultat, l’animatrice annonce pompeusement : « Le Québec a choisi de garder le grand frisé ! » Qu’y a-t-il d’erroné dans cette déclaration ?

27 %

73 % PROBLÈME

17 La pression artérielle (aussi appelée tension artérielle) est la pression qu’exerce le sang sur les parois des artères. Cette pression est mesurée en millimètres de mercure (mmHg). Pour tenir compte de l’effet des battements du cœur, la tension artérielle se mesure à l’aide de deux nombres, s et d. s désigne la pression maximale, lorsque le cœur se « contracte » (pression systolique). d désigne la pression minimale, lorsque le cœur se « relâche » (pression diastolique). Les mesures de s et d doivent être prises lorsque la personne est en position assise ou allongée, après 5 à 10 minutes de repos. Si s  140 mmHg ou d  90 mmHg, on dit que le sujet souffre d’hypertension. Normalement, chez une personne en bonne santé, s vaut environ 120 mmHg et d, environ 80 mmHg. Le tableau ci-dessous présente les valeurs des pressions s et d d’un individu mesurées chaque jour pendant 10 jours consécutifs, à une heure choisie au hasard. JOUR

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

s

138

135

125

130

142

138

146

124

135

127

d

85

98

73

80

85

85

93

70

92

75

a) Représente, sur un même graphique, les diagrammes à ligne brisée de s et de d. Trace ensuite des droites horizontales délimitant les régions d’hypertension. b) Sur un autre graphique, représente par un nuage de points la relation entre les valeurs de s et de d. Trace les droites horizontale et verticale délimitant les régions d’hypertension. c) Compare les qualités et les défauts respectifs des graphiques tracés en a) et b) pour représenter les mesures de tension de l’individu. Selon toi, cette personne a-t-elle tendance à faire de l’hypertension ? Explique ta réponse.

424

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

Le Laboratoire d’outils technologiques qui suit, aux pages 426 à 439, traite des diagrammes statistiques et pourra t’aider à résoudre entièrement cette situation.


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François, qui adore jouer à des jeux de société, se demande combien d’élèves de son école ont la même passion. Il envoie donc un courriel aux 53 élèves figurant dans son carnet d’adresses électroniques pour leur poser la question suivante : Aimes-tu jouer à des jeux de société ? a) L’échantillon de François est-il représentatif de la population visée ? Explique ta réponse. b) Nomme deux éléments importants à considérer dans le choix d’un échantillon. c) Décris une façon de procéder pour choisir un échantillon représentatif selon l’objet de l’étude et la population visée.

Observe bien les diagrammes ci-dessous. La présentation des résultats engendre-t-elle un biais d’interprétation ? Si oui, explique pourquoi et propose une façon de corriger la situation. a) Augmentation de la richesse du pays.

b) Crise dans le monde de la construction : le taux de chômage a doublé entre mai et novembre !

Richesse en millions de dollars

Richesse du pays

Taux de chômage chez les travailleurs et travailleuses de la construction

250 200 150 100 50 0

1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015

Taux de chômage (%)

2

Année

30 25 20 15 10 5 0

3

Mai

Novembre

Les exemples ci-dessous présentent des questions de sondage ou des choix de réponses biaisés. Décris un biais dans chaque cas. a) Quelle est votre appréciation de ce nouveau yogourt ? J’aime beaucoup. J’aime.

J’aime un peu.

b) État matrimonial. Marié ou mariée.

Divorcé ou divorcée.

Séparé ou séparée.

c) Ne pensez-vous pas que le nucléaire n’est pas une solution efficace aux besoins énergétiques nationaux dans le contexte néo-énergétique nord-américain ? d) Combien de fois mentez-vous par jour ? Jamais. 1 à 5 fois. Plus de 5 fois.

Es-tu maintenant capable de résoudre entièrement la situation-problème Moyens de communication des élèves du secondaire, aux pages 412 et 413 ?

Corrigé, p. 747 Le choix d’un échantillon représentatif

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LABORATOIRE D’OUTILS TECHNOLOGIQUES

Les diagrammes statistiques et les outils technologiques ATELIER 1

Diagrammes à bandes, circulaire et à ligne brisée, et tableur électronique

Les tableaux ci-dessous présentent les résultats associés à quelques questions d’un sondage réalisé auprès de jeunes dans des écoles du Canada au cours de l’année scolaire 2005-2006. MATIÈRE PRÉFÉRÉE Ensemble des élèves

Matière

APPAREILS UTILISÉS À LA MAISON Secondaire Filles Garçons

Appareil

Éducation physique

33,23 %

Calculatrice

95,11 %

92,23 %

Arts

14,85 %

Téléphone cellulaire

48,71 %

42,6 %

Mathématiques

14,03 %

Ordinateur

93,03 %

92,92 %

Sciences

6,22 %

Téléavertisseur

10,57 %

12,67 %

Informatique

5,9 %

Modem (Internet)

89,02 %

89,67 %

Musique

5,41 %

Lecteur MP3

72,59 %

74,59 %

Anglais

5,13 %

Français

2,54 %

Histoire

2,38 %

Études sociales

1,87 %

SOURCE : RECENSEMENT

À L’ÉCOLE

– CANADA, 2005-2006, STATISTIQUE CANADA.

a) Dans chaque cas, détermine quel type de diagramme représenterait le mieux les données.

b) Compare tes choix avec ceux d’un ou une Géographie 1,07 % camarade. Avez-vous choisi les mêmes Autre matière 7,37 % diagrammes ? Qu’est-ce qui a guidé vos choix ? Entendez-vous sur le diagramme Note : Les matières préférées sont placées par ordre d’importance pour l’ensemble des élèves. le plus approprié dans chaque cas. S :R ’ –C , 2005-2006, OURCE

ECENSEMENT À L ÉCOLE

ANADA

STATISTIQUE CANADA.

c) En utilisant un logiciel approprié, illustrez maintenant les données de chacun des tableaux à l’aide du diagramme choisi. d) Certains résultats vous étonnent-ils ? Croyez-vous qu’un sondage identique donnerait les mêmes résultats dans votre école ? Comment réagissez-vous lorsque les résultats d’un sondage ne correspondent pas à votre opinion ?

DIMENSION MOYENNE DE LA MAIN, SELON L’ÂGE Âge

Filles

Garçons

(ans)

(cm)

(cm)

8

14,45

15

9

15,55

15,8

10

16,05

16,2

11

17,09

17,11

12

17,93

17,68

13

18,04

18,4

14

18,25

18,85

15

17,68

19,04

16

17,75

19,04

17

17,84

18,99

18

18,19

19,36

19

17,67

19,2

Note : La dimension de la main correspond à la distance entre l’os du poignet et l’extrémité du majeur. SOURCE : RECENSEMENT STATISTIQUE CANADA.

À L’ÉCOLE

– CANADA, 2005-2006,

Au besoin, consulte la section Ma mémoire, p. 669 et 670, au sujet des diagrammes que tu as déjà vus.

Vous pouvez personnaliser vos diagrammes, les rendre originaux, mais attention aux biais possibles liés à une présentation trop farfelue.

1 Quel type de diagramme convient-il de privilégier si l’on veut représenter a) le nombre d’élèves d’une école par groupe d’âge ? b) le pourcentage de livres empruntés à la bibliothèque de l’école selon le type d’ouvrage ? c) la hauteur maximale atteinte au saut à la perche à chaque entraînement pendant un mois ? Corrigé, p. 747

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PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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ATELIER 2

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5:13 PM

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Histogramme et diagramme de quartiles, et calculatrice à affichage graphique

Les données ci-dessous proviennent d’un sondage mené auprès de garçons âgés de 14 à 16 ans. Chaque colonne présente les données correspondant à un même adolescent. Ainsi, le premier passe environ quatre heures par semaine à jouer à des jeux vidéo et une heure à pratiquer des sports. JEUX VIDÉO (en heures par semaine)

4

35

3

3

4

50

5,5

0

7

1,5

SPORTS (en heures par semaine)

1

0

2

19

6

0

0

2,5

2

10

3

9,5

10

28

2

6

0

7,5

4

4

15

1

8,5

7

1

2

0,5

9

15

35

4

1

4

5

3

3

4

12,5

3

5

8

4

4

3,5

2

4

3

3

20

13

40

0

4

35

2

6

1

4

12

0

7

50

10

3

3

1

2

12

0

25

0

2,5

10

7

22

6

20

1,5

8

0

1

3,5

7

3

12

1

4

8

9

7

20

20

10

0

1

0

1

14

5

0,5

6

5

16

2,5

1

5

0

0

2

17

30

0

30

38

12,5

6

5

10

12

17

4

2

10

7

5

3

13

0,5

SOURCE : RECENSEMENT

À L’ÉCOLE

14,5 10,5

– CANADA, 2005-2006, STATISTIQUE CANADA.

a) Utilise une calculatrice à affichage graphique ou un logiciel approprié pour construire un histogramme et un diagramme de quartiles illustrant les données relatives aux jeux vidéo, puis les données relatives aux sports. À l’aide de ces diagrammes, commente la répartition des données liées aux jeux vidéo et de celles liées aux sports. b) On se pose la question suivante : « Parmi les garçons interrogés, ceux qui passent le plus de temps à jouer à des jeux vidéo consacrent-ils moins de temps à faire du sport ? » L’un ou l’autre des diagrammes réalisés en a) peut-il être utile pour analyser cette question ? Si oui, explique comment. Sinon, quel autre diagramme statistique que tu connais pourrait s’avérer utile ? Explique ta réponse.

1 Quel type de diagramme convient-il d’utiliser si l’on veut illustrer a) différents salaires versés par une compagnie ? b) le temps que les élèves de ta classe passent à clavarder par semaine ? c) le nombre de portions de légumes et fruits consommés quotidiennement par les élèves du 2e cycle du secondaire ? Corrigé, p. 747 Les diagrammes statistiques et les outils technologiques

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ATELIER 3

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12:24 PM

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Nuage de points et tableur électronique ou calculatrice à affichage graphique

« L’homme de Vitruve » est le nom donné au croquis Étude de proportions du corps humain selon Vitruve réalisé par Léonard de Vinci vers 1492 et reproduit ci-contre. Léonard de Vinci supposait que, chez une personne parfaitement proportionnée, l’étendue des bras est égale à sa taille. Selon ce critère, as-tu un corps parfaitement proportionné ? a) Sur la feuille que l’on te remet, tu trouveras des données concernant la mesure de l’étendue des bras et la taille d’un échantillon d’élèves du Québec. À l’aide d’un outil technologique, fais un nuage de points mettant en relation ces deux séries de mesures. b) Explique ce que représentent, dans ce contexte, les points qui sont éloignés des autres. c) Estime où, dans ce nuage de points, se situerait le point représentant ton cas. d) Trouve l’équation d’une droite qui pourrait représenter les points de ce nuage de points, puis trace-la sur le graphique. e) Décris la taille et l’envergure des bras d’une personne dont le point la représentant se trouve sur cette droite. f) Selon toi, la théorie de Léonard de Vinci illustrée par son « homme de Vitruve » s’applique-t-elle aux personnes interrogées dans le sondage ? Explique ta réponse.

1 Le tableau ci-dessous porte sur des personnes admises aux urgences d’un hôpital parce qu’elles éprouvaient des difficultés respiratoires et la température extérieure au moment de leur admission. TEMPÉRATURE EXTÉRIEURE (ºC)

2

6

0

8

12

22

25

18

5

1

3

2

0

4

NOMBRE DE PERSONNES

1

0

2

7

8

12

15

10

2

1

0

3

1

2

a) Fais un nuage de points mettant en relation ces deux séries de données. b) Trouve l’équation d’une droite qui pourrait représenter les points de ce nuage de points, puis trace-la sur le graphique. c) Le fait d’avoir trouvé une droite suffit-il pour conclure qu’il y a un lien entre les deux séries de données ? Explique ta réponse. Corrigé, p. 748

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PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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MES OUTILS

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4:45 PM

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EN PROBABILITÉ ET STATISTIQUE

Les diagrammes statistiques et les outils technologiques Les diagrammes statistiques et les outils technologiques Lorsqu’on fait l’étude statistique d’un phénomène, il est souvent très utile d’utiliser des outils technologiques pour réaliser des représentations plutôt que de les tracer à la main. De cette façon, les représentations sont plus précises et maniables. De plus, on peut consacrer plus de temps à effectuer une analyse plus détaillée de la situation.

Diagrammes pour données qualitatives Le diagramme à bandes Un diagramme à bandes peut avoir des bandes verticales ou horizontales. De plus, celles-ci peuvent être simples ou multiples.

Exemple :

Nombre d’élèves

Quelle langue parlez-vous à la maison? 60 50 40 Filles Garçons

30 20 10 0

i s is ois lai j ab ça ng h in nd an r A e C F P

e ol en nd ais ais ab gn m i u g m a lon t A r a p a e r o l n s t P E P o A l V ie

e n lie gu an Ita l e u tr ea n Langue U

Il est particulièrement intéressant d’avoir recours à deux bandes si l’on veut comparer les filles et les garçons dans différentes catégories.

Le diagramme circulaire Dans un diagramme circulaire, chaque secteur représente une modalité (ou choix de réponses) de la distribution concernée. Un tel diagramme s’emploie souvent pour comparer des données par rapport à un tout.

Exemple : Es-tu droitier ou droitière, gaucher ou gauchère, ou ambidextre? 10 % Droitiers et droitières Gauchers et gauchères Ambidextres

7%

83 %

SOURCE : RECENSEMENT À L’ÉCOLE – CANADA, 2005-2006, STATISTIQUE CANADA. UN ÉCHANTILLON ALÉATOIRE DE 200 ÉLÈVES.

Les diagrammes statistiques et les outils technologiques

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5:15 PM

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La présentation des diagrammes Il est important de s’attarder au choix du graphique si l’on veut que les informations soient bien interprétées. De plus, il faut s’assurer que la représentation ne comporte pas de biais. Une présentation sobre est préférable, car un diagramme trop original peut être biaisé. Il faut montrer les résultats sans accentuer certains éléments. Puis, lorsqu’on interprète un diagramme très attrayant visuellement, il faut avoir l’esprit critique.

Diagrammes pour données quantitatives Le diagramme à ligne brisée

Le nuage de points

On utilise un diagramme à ligne brisée pour illustrer des données chronologiques, c’est-à-dire des données qui évoluent dans le temps.

On a recours au nuage de points pour établir si deux aspects d’une population ont un lien entre eux. Chaque point du nuage représente un élément de l’échantillon.

Exemple : Exemple :

Nombre de buts par rapport au nombre de tirs au but pour les 30 meilleurs joueurs de hockey de la LNH

180 170 160

Nombre de buts

Taille (cm)

Taille moyenne, selon l’âge

150 140 130 120

30 25 20 15 10 5

0

8

10 12 14 16 18 20

Âge (ans) Filles

430

Garçons

0

50 70 90 110 130 150 170 190 210 230 250

Nombre de tirs au but

L’histogramme

Le diagramme de quartiles

On se sert de l’histogramme pour illustrer une distribution de données continues (ou de très nombreuses données discrètes) qui doivent alors être regroupées en classes. Ce type de diagramme permet notamment d’avoir un aperçu Exemple : de la répartition des données.

Le diagramme de quartiles fournit un aperçu de la dispersion des données. Celles-ci sont partagées en quatre groupes contenant à peu près le même nombre de données. Cela permet de constater si les données se répartissent Exemple : de façon symétrique autour de la médiane et s’il y a des données très éloignées des autres (données aberrantes).

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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EXERCICES

a)

e)

Musique préférée de mes amis et amies 8%

7% 45 % Pop et rock Jazz et blues Country Symphonique populaire Autre

17 %

Tempétaure (°C)

Dans chaque cas ci-dessous, nomme le type de diagramme utilisé, ainsi que ses diverses composantes. Température de la semaine 35 30 25 20 15 10 5 23 %

0

i nd Lu

i i rd red c Ma r Me

i i di he ed ud nc me dr Je a n S ma i Ve D

Jour de la semaine

b) Parties perdues

Résultats de l’équipe des Blancs 45 40 35 30 25 20 15 10 5

f)

0

10

20

30

40

Voyages culturels Participants et participantes

1

50

300 250 200 150 100

Parties gagnées 50 0

Nombre de personnes

c)

to ron To

Âge des personnes interrogées à la sortie du film Pour tous les amateurs d’émotions

ec éb Qu

w Ne

rk Yo

er ton uv ing co h n s Va Wa

Destination

40 30 20 10 0

10

20

30

40

50

60

Âge (ans)

d)

Âge des personnes rencontrées à leur sortie du métro

0

12

24

36

48

60

Âge (ans)

Les diagrammes statistiques et les outils technologiques

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Quel type de diagramme convient-il de privilégier si l’on veut a) représenter l’ensemble des élèves d’une école selon le nombre de provinces canadiennes qu’ils ont visitées ? b) illustrer les fluctuations de la température extérieure au cours des 15 premiers jours du mois ? c) faire ressortir les valeurs extrêmes ainsi que la médiane d’une distribution ? d) étudier le lien entre le nombre d’heures consacrées à un travail rémunéré et le nombre d’heures consacrées aux loisirs dans un groupe de jeunes de 15 ans ? e) vérifier si la distribution comporte des données aberrantes ? f) vérifier s’il existe un lien entre le rang des enfants dans une famille et leurs résultats en mathématiques ? g) représenter le nombre d’heures que Julie consacre à l’étude de chacune de ses matières scolaires avant l’examen final ? h) représenter le nombre d’abonnés et abonnées d’une bibliothèque en fonction de leur groupe d’âge ? i) qualifier le lien entre le nombre d’heures d’études avant un examen final et le résultat obtenu à cet examen ? j) établir un lien entre le nombre de parties gagnées et de parties perdues par l’équipe de volleyball de l’école au cours des 20 dernières années ? k) illustrer le nombre de parties gagnées par une équipe de basketball au cours des 10 dernières années ? l) représenter les notes de mathématiques des élèves de la 1re année du 2e cycle du secondaire pour le second semestre en regroupant les résultats par tranches de 10 ?

3

Pour chaque ensemble de données décrit ci-dessous, donne un type de diagramme qui serait approprié pour représenter les résultats et précise si les données sont de caractère qualitatif ou quantitatif. a) Les résultats d’un sondage ayant pour but de connaître le moyen de transport utilisé par des élèves pour se rendre à l’école. b) La répartition des notes sur 100, à la suite d’un examen, dans un groupe de 30 élèves. c) Les différentes sommes reçues hebdomadairement, pour un travail rémunéré, par un ou une élève pendant une année.

432

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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4

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Le diagramme suivant représente, pour un groupe de 30 élèves, la répartition des notes obtenues à l’examen final de géographie. Répartition des notes obtenues à l’examen 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10

20 30 40 50 60

70 80 90 100

a) De quel type de diagramme s’agit-il ? b) Comment nommerais-tu l’axe horizontal ? L’axe vertical ? c) Le caractère étudié est-il qualitatif ou quantitatif ? d) Quelle est la classe modale ?

5

On a demandé aux 30 mêmes élèves du numéro 4 quelle était leur couleur préférée. Le diagramme ci-dessous représente les résultats. a) De quel type de diagramme s’agit-il ? b) Donne un titre pour le diagramme. c) Le caractère étudié est-il qualitatif ou quantitatif ? 4,94 % 2,47 % 6,17 %

Bleu Rouge

30,86 %

Vert 18,52 %

Mauve Jaune Noir Orangé

12,35 % 24,69 %

Les diagrammes statistiques et les outils technologiques

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6

80 70

Le diagramme ci-contre représente l’argent que Marco a pu épargner au cours des mois de l’année écoulée.

60

a) De quel type de diagramme s’agit-il ? Pourquoi a-t-on choisi de représenter les données avec ce type de diagramme ?

50 40 30 20

b) Donne un titre au diagramme et nomme les axes horizontal et vertical.

10 0

ier ier rs ril ai in let ût re re re re nv évr Ma Av M Ju Juil Ao emb ctob emb emb a J F pt O Nov Déc Se

Le diagramme ci-dessous représente les données recueillies dans un sondage visant à connaître les sports d’hiver pratiqués par les jeunes de 12 à 16 ans. a) De quel type de diagramme s’agit-il ? b) Donne un titre au diagramme et nomme l’axe horizontal. c) Le caractère étudié est-il qualitatif ou quantitatif ?

Fréquence (%)

7

c) Le caractère étudié est-il qualitatif ou quantitatif ?

35 30 25 20 15 10 5 0

d on ef d i Sk

434

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

n tte ige lpi ue ne ia q à k a S R he nc Pla

ey ck Ho

e ag tin a P


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APPLICATIONS

8

On effectue un sondage dans une classe de 30 élèves, afin de déterminer quelle langue est principalement utilisée à la maison. Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau suivant. LANGUE

FRÉQUENCE

Français

15

Anglais

8

Chinois

3

Arabe

2

Espagnol

1

Allemand

1

a) Quel diagramme serait le plus approprié pour représenter ces résultats ? b) Construis ce diagramme. c) On pose ensuite les trois questions suivantes aux mêmes élèves. 1)

Quelle est ta taille en centimètres ?

2)

Quelle est ta couleur préférée ?

3)

Combien d’heures par semaine en moyenne navigues-tu dans Internet ?

Pour quelle question pourras-tu utiliser le même type de diagramme que celui que tu as construit pour illustrer les résultats du sondage ? Explique pourquoi.

9

Les données ci-dessous sont les notes (sur 10) obtenues dans un groupe de 25 élèves à la suite d’un examen. Les notes sont présentées par ordre croissant. 4,

5,

5,

6,

6,

6,

6, 7,

8,

8,

8,

8,

8,

9,

9,

7,

7,

7,

7,

8,

9, 10, 10, 10, 10.

a) Quel diagramme serait le plus approprié pour représenter ces résultats ? b) Construis ce diagramme. c) Parmi les mesures de tendance centrale, laquelle peut-on rapidement trouver à l’aide du diagramme que tu viens de construire ? De quelle façon la trouve-t-on ?

Les diagrammes statistiques et les outils technologiques

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SEXE

TAILLE DE L’ÉLÈVE

TAILLE DE SA MÈRE

TAILLE DE SON PÈRE

Olivier

M

120

152

165

Patricia

F

125

144

167

Thomas

M

130

149

174

Louis

M

139

149

178

Alexis

M

145

154

154

Joanne

F

146

143

164

Amandine

F

147

163

176

Alex

M

148

154

177

Isabelle

F

150

176

156

Jonathan

M

154

165

169

Vincent

M

154

139

186

Maxime

M

165

149

181

Vanessa

F

169

172

201

e) Quelle est la valeur moyenne de la taille pour les mères ?

Pierre

M

171

163

186

Blondie

F

176

162

154

f) Quelle est la valeur moyenne de la taille pour les pères ?

Mireille

F

176

161

173

Laurence

F

181

181

207

Sophie

F

182

176

167

Émile

M

185

154

191

Valérie

F

190

187

172

Janick

F

190

176

186

Matthieu

M

193

179

182

10 Mireille a demandé aux élèves de sa classe de lui donner leur taille. Elle leur a également réclamé la taille de leurs parents. Le tableau ci-contre expose les résultats individuels. a) Construis un histogramme représentant seulement la taille des filles de la classe, puis un autre représentant seulement la taille des garçons. b) Réalise maintenant un histogramme représentant la taille des mères, puis celle des pères. c) Compare les différents histogrammes que tu as construits. Quelles sont les ressemblances ? Quelles sont les différences ? d) Quelle est la valeur moyenne de la taille pour tous les élèves ? Pour les filles ? Pour les garçons ? Que remarques-tu ?

g) Interprète ces moyennes en sachant qu’un récent sondage canadien indique que les adolescentes de ton âge mesure en moyenne 161 cm et que la moyenne des tailles des adolescents de ton âge est de 170 cm.

PRÉNOM DE L’ÉLÈVE

Les adolescents et adolescentes d’aujourd’hui sont plus grands que leurs parents ou leurs grands-parents au même âge. Divers facteurs de la vie actuelle peuvent expliquer ce fait, par exemple une meilleure alimentation (nourriture plus variée et plus fraîche), la vaccination de tous les enfants, des maisons mieux chauffées (l’énergie tirée de la nourriture servant alors à la croissance et non à conserver sa température corporelle à 37 °C dans une maison froide), l’amélioration des traitements médicaux et la disparition de durs labeurs nuisant à la croissance (transport de charges lourdes à la ferme ou en forêt).

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PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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4:46 PM

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11 Le tableau ci-dessous présente les salaires des joueurs du Canadien de Montréal pour la saison 2006-2007. a) Transpose les dollars américains en dollars canadiens en utilisant un taux de change de 1,17 dollar canadien pour un dollar américain.

NOM DU JOUEUR

SALAIRE (USD)

Saku Koivu

4 750 000

Alexei Kovalev

4 500 000

Sergei Samsonov

3 525 000

Cristobal Huet

2 875 000

Craig Rivet

2 565 000

c) Quelle est la moyenne salariale de l’équipe ?

Janne Niinimaa

2 508 000

d) Quelle est la valeur médiane des salaires ?

Radek Bonk

2 394 000

Sheldon Souray

2 280 000

Michael Ryder

2 200 000

David Aebischer

1 900 000

Francis Bouillon

1 875 000

Mike Johnson

1 786 000

Andrei Markov

1 750 000

Mathieu Dandenault

1 725 000

h) Réalise un diagramme de quartiles à partir des données.

Steve Begin

1 000 000

Mike Komisarek

946 900

i) Détermine l’étendue des données de la distribution.

Guillaume Latendresse

850 000

Christopher Higgins

673 000

Alexander Perezhogin

627 000

Mark Streit

600 000

Garth Murray

575 000

Aaron Downey

475 000

Tomas Plekanec

450 000

Patrick Traverse

450 000

Pour la suite de ce numéro, donne tes réponses en dollars canadiens. b) À combien s’élève la masse salariale totale de l’équipe ?

e) Quel est le premier joueur dont le salaire est immédiatement supérieur à la médiane calculée ? f) Quel pourcentage de la masse salariale les joueurs dont le salaire se situe au-dessus de la médiane accaparent-ils ? Et ceux dont le salaire se situe au-dessous de la médiane ? g) Explique la grande différence entre les deux pourcentages trouvés en f).

SOURCE : CHFANS, LE

SITE DES VRAIS FANS DU

CH, [EN

LIGNE].

j) Quelle est l’étendue interquartile ? Que signifie-t-elle dans le contexte ? k) Dans quel quartile le salaire de Cristobal Huet se situe-t-il ? l) Explique pourquoi il y a une telle différence entre la valeur médiane et la moyenne des salaires.

Les diagrammes statistiques et les outils technologiques

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11:22 AM

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PROBLÈME

12 Un panneau lumineux installé sur le bord d’une autoroute affiche des messages qui changent constamment. Chacun des caractères utilisés pour composer les messages, soit les lettres majuscules de A à Z et l’espace, est décrit par 25 ampoules. L’illustration ci-dessous montre toutes les possibilités d’allumage.

Une étude statistique des divers messages possibles a établi la fréquence d’apparition des caractères (incluant l’espace) dans une plaquette typique du panneau lumineux, comme on peut le voir dans le tableau suivant. CARACTÈRE

FRÉQUENCE (%)

CARACTÈRE

FRÉQUENCE (%)

CARACTÈRE

FRÉQUENCE (%)

A

5,77

J

0,18

S

7,42

B

0,48

K

0,89

T

6,31

C

3,22

L

4,94

U

4,52

D

3,30

M

2,26

V

1,19

E

15,60

N

6,22

W

0,89

F

0,90

O

4,64

X

0,49

G

1,05

P

2,57

Y

0,20

H

0,65

Q

0,94

Z

0,18

I

6,42

R

5,75

Espace

13,02

Le service d’entretien des panneaux lumineux a besoin des informations suivantes afin de planifier le remplacement des ampoules. a) Le nombre moyen d’ampoules allumées dans une plaquette du panneau lumineux. b) Le pourcentage de temps moyen durant lequel chacune des 25 ampoules de cette plaquette est allumée. c) La position de l’ampoule la plus souvent allumée et la position de l’ampoule la moins souvent allumée dans cette plaquette. La feuille que l’on te remet contient les données relevées pour résoudre ce problème. Tu y trouveras, pour chaque caractère, sa fréquence en pourcentage, ainsi que la description des ampoules allumées ou éteintes qui permettent de le former (1 équivaut à une ampoule allumée et 0, à une ampoule éteinte). À l’aide de ces données et en te servant d’un outil technologique, réponds aux demandes du service d’entretien.

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PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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1

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4:48 PM

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On effectue un sondage auprès d’un groupe de 32 élèves pour connaître la somme moyenne qu’ils et elles dépensent chaque semaine à la cafétéria de l’école. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous. ARGENT DÉPENSÉ À LA CAFÉTÉRIA PAR SEMAINE ($)

EFFECTIF

[0, 5[

FRÉQUENCE (%)

2

[5, 10[

18,75

[10, 15[

11

[15, 20[

8

[20, 25[

5

34,38

15,63

a) Reproduis et complète le tableau. b) Construis un diagramme approprié pour représenter les résultats. c) Construis le diagramme de quartiles associé à ces données. Quelles mesures de tendance centrale te permet-il de voir ? d) Explique pourquoi ces deux diagrammes sont complémentaires lorsqu’on veut interpréter les résultats.

2

La table de valeurs ci-dessous présente les données recueillies auprès de 15 adolescents quant à leur taille et à la longueur de leurs pieds. TAILLE (cm)

132 133 133 134 137 142 143 143 149 155 159 160 161 161 162

LONGUEUR DES PIEDS (cm)

20

20,2 20,1 20,4 20,5 20,6 20,8

21

21,4 21,9 22,2 22,4 22,5 22,6

23

a) Construis un nuage de points à partir de ces données. b) Trouve l’équation d’une droite qui pourrait représenter ces données. Laisse les traces de ta démarche. c) Quelle est, approximativement, la longueur des pieds d’un adolescent mesurant 150 cm ? d) Quelle est la taille d’un adolescent qui a des pieds de 23,2 cm ?

Corrigé, p. 748

Les diagrammes statistiques et les outils technologiques

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RÉALISATION PERSONNELLE

Mon petit frère est chanceux, il dort au moins 12 heures par nuit… Je dors beaucoup moins qu’avant, à peine 4 heures par nuit.

Le temps est une denrée rare, aujourd’hui. Les gens auraient souvent besoin de plus de 24 heures dans une journée ou d’un jour de plus par semaine. Mais comment utilisons-nous les 168 heures dont nous disposons chaque semaine ?

PARTIE 1

Le temps de sommeil

Observe les commentaires ci-contre, puis joins-toi à deux camarades pour trouver une réponse à la question suivante. La relation entre le temps hebdomadaire de sommeil et l’âge d’une personne peut-elle être représentée par une fonction rationnelle ?

Vérifiez votre conjecture en réalisant la tâche ci-dessous. • Répondez individuellement à la première question sur la feuille que l’on vous remet. • Partagez les données que vous avez recueillies. • Complétez le graphique et vérifiez votre conjecture. • Remettez à votre enseignant ou enseignante une des feuilles remplies ainsi qu’une autre feuille présentant les justifications qui confirment ou invalident votre conjecture.

440

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?


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PARTIE 2

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Le temps libre d’un adolescent ou d’une adolescente

La tâche à réaliser maintenant consiste en une étude statistique relative à la perception des gens sur ce que font les adolescents et adolescentes de leur temps libre. Voici les étapes à suivre. • En groupe classe

– Déterminer le nombre d’heures moyen de temps libre dont dispose chaque élève de la classe par semaine, en soustrayant de 168 heures le temps passé à l’école et celui consacré aux repas et au sommeil. – À partir de ce nombre d’heures, élaborer un diagramme statistique représentant les différentes façons d’occuper ce temps libre et qui reflète le mieux la situation dans la classe.

Utilisez les données de la partie 1 pour déterminer le temps moyen de sommeil d’un adolescent ou d’une adolescente.

• En triade

– Effectuer une étude statistique pour connaître la perception des gens sur la façon dont les adolescents et adolescentes occupent leur temps libre, puis illustrer les résultats à l’aide d’un diagramme. – Accompagner le diagramme d’une description de l’étude statistique (question posée, méthode d’échantillonnage et diagramme statistique choisis, etc.). – Cerner les biais que comporte l’étude statistique. • Individuellement

– Comparer le diagramme établi en groupe classe, représentant les diverses façons dont les élèves de la classe occupent réellement leur temps libre, et celui, obtenu en triade, qui illustre la perception des gens sur ce sujet.

En préparant votre étude statistique, tenez compte de vos connaissances en statistique afin qu’elle contienne le moins de biais possible.

– Tirer des conclusions de la comparaison des diagrammes, en les justifiant. Chaque triade doit constituer un dossier à remettre à l’enseignant ou enseignante, comprenant : •

une feuille présentant les deux diagrammes statistiques ;

la description de la façon dont l’étude statistique a été réalisée ;

les conclusions individuelles sur la comparaison des diagrammes.

Réalisation personnelle

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DÉVELOPPEMENT DE STRATÉGIES

Justifications et stratégies mathématiques Dans la vie de tous les jours, on utilise parfois une justification mathématique pour appuyer une affirmation afin de convaincre des gens. En effet, un raisonnement mathématique peut s’avérer impressionnant pour bon nombre de personnes et ainsi donner confiance quant à la validité d’une affirmation. Cependant, même si le raisonnement présenté ne comporte pas d’erreur, il peut comporter des biais ou être basé sur des hypothèses fausses. Ainsi, devant un raisonnement mathématique, il faut bien sûr s’assurer de sa validité, mais aussi vérifier s’il est approprié d’avoir recours à un tel raisonnement dans la situation donnée. • Joins-toi à un ou une camarade pour analyser les situations ci-dessous. Ensemble, relevez ce qui est inapproprié dans l’utilisation des raisonnements présentés. • Discutez de vos observations avec les autres élèves en groupe classe.

Comme le montre notre étude, vous avez tout intérêt à embaucher des gens ayant des grands pieds…

Années de scolarité en fonction de la longueur des pieds Nombre d’années de scolarité 25 20 15 10 5 0

10

15

20

25

30

35

40

Longueur des pieds (cm)

Trois amies ont payé 30 $ pour une chambre dans un gîte. Le propriétaire décide ensuite de leur accorder un rabais de 5 $. Puisqu’elles sont trois, elles conviennent de récupérer chacune 1 $ et de donner les 2 $ restants à la femme de chambre. Ainsi, chaque personne a payé 9 $, soit 10  1. Cela fait donc 27 $, soit 3  9. En considérant les 2 $ donnés à la femme de chambre, on obtient un total de 29 $, soit 27  2. Mais… il manque 1 $ ! Comment cela se fait-il ?

442

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

Profits Croissance (%) 0,8 0,6 0,4 0,2 0

1

2

3

4

5

6

7

Temps (ans)

Le diagramme montre une grande croissance des revenus annuels de la compagnie depuis quelques années.


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Choisis un problème dans la banque des pages 444 et 445 et essaie de le résoudre. Puis suis les consignes ci-dessous, en répondant aux questions. • Échange ta solution contre celle d’un ou une camarade. • Lis le problème associé à cette solution. • Selon toi, la solution comporte-t-elle des erreurs mathématiques ?

Si oui, discute de ces erreurs avec la personne qui a élaborée la solution et, ensemble, tentez de les rectifier. • Une fois que ta solution aura été vérifiée et rectifiée quant

aux erreurs mathématiques qu’elle pourrait contenir, soumets-la à un ou une autre élève. • Analyse la solution que tu as reçue. Selon toi, les raisonnements

mathématiques utilisés sont-ils appropriés ? Ces raisonnements se réfèrent-ils à des données exactes ? Sont-ils basés sur des hypothèses plausibles ou, au contraire, erronées ? Remets la solution que tu as analysée à son ou sa propriétaire. Partagez vos constatations en rapport avec les dernières questions et, s’il y a lieu, améliorez vos solutions.

STRATÉGIES DE VALIDATION Lorsque tu as résolu un problème et que ta solution ne semble contenir aucune erreur mathématique, assure-toi que les raisonnements mathématiques utilisés s’appuient sur des données exactes ou des hypothèses justes. De plus, assure-toi que la solution ne comporte pas de biais qui pourraient camoufler certaines lacunes. Les questions ci-dessous constituent quelques pistes qui pourraient t’aider à valider une solution. • D’où proviennent les données utilisées dans ta solution ? As-tu correctement retranscrit ces données ? • Sur quelles hypothèses ou quels faits ton ou tes raisonnements s’appuient-ils ? Ces hypothèses ou faits sont-ils justes ? • Ta solution comporte-t-elle des biais ou camoufle-t-elle certaines informations au profit d’autres ?

Ta solution met-elle en évidence des résultats afin de favoriser un argument que tu veux privilégier ? Lorsque tu entreprendras la résolution des problèmes des pages suivantes, mets en pratique une ou plusieurs des stratégies de validation suggérées par les questions ci-dessus.

Justifications et stratégies mathématiques

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Page 444

BANQUE DE PROBLÈMES À RÉSOUDRE

1

Une association d’automobilistes comptant près de 100 000 membres au Québec a procédé à un sondage sur l’utilisation qu’ils et elles font de leur voiture. Pour former l’échantillon, on a groupé les membres selon les trois premiers chiffres de leur numéro de téléphone (sans tenir compte du code régional). Ensuite, parmi les groupes comptant Utilisation annuelle de la voiture par les membres de l’association plus de 400 personnes, on en a choisi Proportion

4 au hasard. À chaque membre des membres (%) appartenant à ces groupes, on a posé la question suivante : « Combien de kilomètres avez-vous parcourus l’année dernière ? » Le diagramme ci-contre illustre les résultats du sondage. Une fois les résultats publiés, on se rend compte que la moyenne ne semble pas réaliste. Que s’est-il produit ? Pourquoi ?

2

40 31

27

30

21

20 10

10

9 2

0

10

Matis, un passionné de vélo, aimerait bien comprendre comment fonctionnent les 24 vitesses de sa bicyclette. Il la renverse donc de manière à ce que les roues ne touchent pas le sol. Son amie Natacha fait faire 20 tours au pédalier afin qu’il puisse compter le nombre de tours complets qu’effectue le réflecteur de la roue arrière, et ce, pour chacun des pignons de cette roue. Matis a noté les résultats ci-contre. a) Trouve l’équation de la fonction mettant en relation le nombre de tours de roue selon le nombre de dents du pignon.

20

30

40

444

0 60

NOMBRE DE DENTS DU PIGNON

NOMBRE DE TOURS DE ROUE

11

58

14

45

16

40

18

35

20

32

22

29

24

26 23

Dans une usine, on assemble des voitures de luxe à la main, à raison de 40 par jour. La direction de l’entreprise a demandé qu’on effectue un contrôle de la qualité sur la 1re voiture produite, la 41e, la 81e, et ainsi de suite. Avec les résultats obtenus, on a établi que seulement 1 % des voitures étaient susceptibles d’avoir un problème mécanique au cours de l’année. Un an après le début de la production, les statistiques montrent qu’en réalité 5 % des voitures ont dû être amenées au garage pour corriger un défaut de fabrication. Qu’est-ce qui peut expliquer cette différence entre les pourcentages ?

PRÉJUGÉS OU RÉALITÉS ?

70

Kilométrage annuel (en milliers de kilomètres)

27 b) Sachant que le plateau du pédalier a 32 dents, trouve l’équation de la fonction représentant cette situation en considérant cette nouvelle donnée. Comment expliques-tu la différence entre les deux équations trouvées ?

3

50


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4

11/22/07

12:38 PM

Page 445

1 Considère une fonction rationnelle de la forme f ( x)  , où a est un nombre réel xa et (x  a)  0. a) Quel est le graphique de la fonction si a  3 ? Quel est le domaine ? b) Quel est le graphique de la fonction si a  3 ? Quel est le domaine ? c) À partir de a) et b), quel lien peux-tu établir entre le domaine de la fonction et la valeur de a ? Considère maintenant un circuit constitué d’une pile dont la tension est de 12 volts. L’équation de l’intensité du courant, notée f(x), en fonction de la résistance variable, 12 notée x, est f ( x)  , où a représente la valeur de la résistance interne de la pile. xa L’unité de mesure de l’intensité du courant est l’ampère et celle des résistances, l’ohm. d) Si l’on mesure une intensité de 2,4 ampères lorsque la résistance variable est ajustée à 3 ohms, quelle est la valeur de la résistance interne de la pile ?

5

En observant régulièrement des tournesols, Éléonor a distingué, en leur centre, deux spirales imbriquées l’une dans l’autre. Elle compte le nombre d’alignements de fleurons qui composent chacune des spirales des 40 tournesols de son jardin.

55

34

Le tableau ci-dessous présente les résultats de ses observations. 21, 34 21, 34 34, 55 89, 144 233, 377

89, 144 34, 55 89, 144 233, 377 21, 34

34, 55 34, 55 55, 89 55, 89 144, 233

233, 377 21, 34 89, 144 21, 34 21, 34

55, 89 55, 89 55, 89 55, 89 89, 144

89, 144 34, 55 144, 233 34, 55 21, 34

55, 89 21, 34 89, 144 55, 89 89, 144

144, 233 144, 233 21, 34 34, 55 34, 55

a) Décris algébriquement la relation entre le nombre d’alignements de fleurons formant une spirale et celui formant l’autre spirale au centre des tournesols. b) Ayant remarqué une régularité dans les données qu’elle a relevées, Éléonor note la suite de nombres suivante : 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377. Puis elle se dit : « Je connais cette suite de nombres ! » En observant bien la suite, essaie de trouver la régularité qui la caractérise, puis détermine les trois prochains nombres. Cette suite de nombres est célèbre : peux-tu l’identifier ?

Afin de valider et d’améliorer ta solution au problème que tu as choisi, suis les consignes de la page 443.

Justifications et stratégies mathématiques

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3641_PT DE VUE_CVcomplet_vol2_Layout 1 18-01-23 13:22 Page1

MANUEL DE L’ÉLÈVE VOLUME 1

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