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CARRIÈRE

MATHÉMATIQUE

3e année

2e cycle du secondaire

3e année

Cahier d’exercices

2e cycle du secondaire

Un cahier entièrement rédigé selon les nouveaux contenus mathématiques du programme de formation issu de la réforme scolaire. Un cahier stimulant qui favorise l’autonomie des élèves et qui augmente leurs chances de réussite. Le cahier comprend :

Respecter l’adversaire. À bicyclette, moi, je ne roule pas sur le trottoir. 1 800 567-7902

CODE ISBN

PRODUIT 3942 978-2-7655-0421-4

www.grandducenligne.com Éditions Grand Duc

6

20728 39420

Groupe Éducalivres inc. InfoService : 1 800 567-3671

7

Objectif : MATHÉMATIQUE SN

MATHÉMATIQUE

• des rappels théoriques nombreux et ponctuels ; • des exercices variés et gradués ; • des exercices de révision.

FRANCINE CARRIÈRE

Éditions Grand Duc

2e cycle du secondaire

3e année

Cahier d’exercices


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MATHÉMATIQUE

2e cycle du secondaire

FRANCINE CARRIÈRE

Éditions Grand Duc

3e année

Cahier d’exercices


3942-43_ObjMath_SN_liminaires_Layout 1 18-02-09 11:05 PageII

REMERCIEMENTS Pour son travail de vérification scientifique, l’Éditeur souligne la collaboration de Mme Marie-Claude Vachon, enseignante à l’École secondaire du Triolet, Commission scolaire de la Région-de-Sherbrooke. Pour son travail de consultation, l’Éditeur souligne la collaboration de Monsieur Yves Allard, enseignant à l’École secondaire Paul-Arseneau, Commission scolaire des Affluents.

© 2010, Éditions Grand Duc, une division du Groupe Éducalivres inc. 1699, boulevard Le Corbusier, bureau 350, Laval (Québec) H7S 1Z3 Téléphone : 514 334-8466 ■ Télécopie : 514 334-8387 www.grandducenligne.com Tous droits réservés. CONCEPTION GRAPHIQUE : Catapulte CONCEPTION GRAPHIQUE (couverture) : Pige communication

Il est illégal de reproduire cet ouvrage, en tout ou en partie, sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit, électronique, mécanique, photographique, sonore, magnétique ou autre, sans avoir obtenu, au préalable, l’autorisation écrite de l’Éditeur. Le respect de cette recommandation encouragera les auteurs et auteures à poursuivre leur œuvre. CODE PRODUIT 3942 ISBN 978-2-7655-0421-4 Dépôt légal Bibliothèque et Archives nationales du Québec, 2010 Bibliothèque et Archives Canada, 2010

Imprimé au Canada 4567890 F 9876


3942-43_ObjMath_SN_liminaires_Layout 1 18-02-09 11:06 PageIII

S E R È I T A M S E D TABLE CHAPITRE

1 OPTIMISATION

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Traduire une situation par une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Traduire une situation par un système d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Représenter un système d’inéquations du 1er degré à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Traduire par des inéquations les contraintes d’une situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Tracer un polygone de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Optimiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

RÉVISION

.............................................................................

14

CHAPITRE

2 FONCTION VALEUR ABSOLUE 16

Étude de la fonction : graphique et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Recherche de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

CHAPITRE

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 FONCTION RACINE CARRÉE

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Étude de la fonction : graphique et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Recherche de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Résolution d’équations et d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40


CHAPITRE

3942-43_ObjMath_SN_liminaires_Layout 1 18-02-09 11:06 PageIV

4 FONCTION RATIONNELLE 41

Étude de la fonction : graphique et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Recherche de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Résolution d’équations et d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

CHAPITRE

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS

(VALEUR ABSOLUE, RACINE CARRÉE ET RATIONNELLE) 51

Opérations sur les expressions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Opérations sur les fonctions (⫹, ⫺, ⫻, ⫼, composée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

CHAPITRE

Opérations sur les radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 RÉVISION DES FONCTIONS VALEUR ABSOLUE, RACINE CARRÉE ET RATIONNELLE

CHAPITRE

...........................................................

7 FONCTION EXPONENTIELLE

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Étude de la fonction : graphique et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Recherche de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

CHAPITRE

IV

61

8 FONCTION LOGARITHMIQUE

Définition d’un logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Étude de la fonction : graphique et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Propriétés des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Recherche de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

TABLE DES MATIÈRES

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Opérations sur les fonctions exponentielles et logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

CHAPITRE

87

9 RÉVISION DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES

CHAPITRE

Résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 FONCTION SINUSOÏDALE

.......

91

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

Coordonnées de points trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Étude de la fonction : graphique et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

Recherche de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 111

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

CHAPITRE

Résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 FONCTION TANGENTE 113

Étude de la fonction : graphique et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

Recherche de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

Résolution d’équations et d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

CHAPITRE

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 TRIGONOMÉTRIE

(LONGUEURS D’ARCS ET IDENTITÉS)

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

Longueur d’un arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

Identités trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

Valeur d’une fonction trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

Formules d’une somme ou d’une différence de deux nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

Réduction de fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

Résolution d’équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

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TABLE DES MATIÈRES

V


CHAPITRE

13 RÉVISION DE LA TRIGONOMÉTRIE

CHAPITRE

3942-43_ObjMath_SN_liminaires_Layout 1 18-02-09 11:06 PageVI

14 VECTEURS

.......................................

136

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

Opérations sur les vecteurs (addition et multiplication par un scalaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Opérations sur les vecteurs (produit scalaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 152

Combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

RÉVISION

157

CHAPITRE

Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.............................................................................

15 CONIQUES

Préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Cercle centré à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

Ellipse centrée à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Parabole ayant son sommet à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

Hyperbole centrée à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

Résolution de problèmes (coniques centrées à l’origine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

Parabole de sommet (h, k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

Résolution de systèmes d’équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

RÉVISION

VI

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

TABLE DES MATIÈRES

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GROUPE

DATE

CHAPITRE

NOM

1 OPTIMISATION

Préalables 1. Résolvez les inéquations suivantes. a) 15  5x  3x  27

c) 9(x  7)  15x  6

e) 18(x  3)  10(x  7)

b) 14 x 16  5 x  7 3 6

d) x  5  x  13 2 4 8

f) x  7  3x  6 4 2

2. Représentez les systèmes d’équations suivants dans un plan cartésien et, dans chaque cas, trouvez les coordonnées du point de rencontre par une méthode algébrique. a) 3x  y  9 y  2x

b) 2x  5 4x  5y  15

y

y

x

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x

OPTIMISATION

1


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NOM

GROUPE

DATE

3. Résolvez les systèmes d’équations suivants. a) x  2y  14 4x  y  11

b) 6x  3y  9 3y  2  4x

c) 3x  4y  12 4y  10x  9

4. La droite délimitant le demi-plan étant tracée, hachurez la région qui contient les couples-solutions de chaque inéquation. a) 2x  y  3

c) y  x 3

b) x  2

y



4





y

4

4

4

2

2

2

0

2



y

x 2



4

4



0

2

2



4



x 2



4

4



0

2

2



2

4



4

x 2

4

5. Représentez les inéquations suivantes dans un plan cartésien. a) 2x  y  0 y

y

x

2

CHAPITRE 1

c) y  5

b) 3x  2y  6

y

x

x

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NOM

GROUPE

DATE

Traduire une situation par une inéquation

rappel Il faut définir clairement les variables utilisées.

6. Traduisez chacune des situations suivantes par une inéquation à deux variables. a) L’âge de Monique est au moins deux fois plus élevé que celui de Stéphanie.

b) Jean-René occupe deux emplois pendant l’été : arbitre au soccer et plongeur dans un restaurant. Il consacre au moins trois heures de plus par semaine à son emploi au restaurant qu’à son emploi d’arbitre.

c) Natacha occupe aussi deux emplois pendant l’été : gardienne d’enfants et préposée à l’entretien des pelouses. Le nombre d’heures consacrées à l’entretien des pelouses est, au plus, égal au double du temps passé à garder les enfants.

d) Le nombre de filles dans la classe est au moins égal à deux de plus que le nombre de garçons.

e) La largeur d’un rectangle égale, au plus, le tiers de sa longueur.

f) Au cours d’une partie de hockey entre les Éclairs et les Génies, les Génies ont gagné par au moins deux buts.

g) À la ferme d’un producteur de céréales, la surface consacrée à la culture du soya dépasse de plus de 25 hectares celle consacrée à la culture du maïs.

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Traduire une situation par un système d’inéquations 7. Traduisez chacune des situations suivantes par un système de deux inéquations. a) L’équipe de natation comprend au plus 15 athlètes. Le nombre de nageuses dépasse le nombre de nageurs d’au moins trois.

b) Le comité de la bague a choisi deux modèles de bagues pour finissants et finissantes. On prévoit vendre un maximum de 75 bagues. Il se vend au moins trois fois plus de bagues plaquées argent que de bagues plaquées or.

c) Dans le potager de sa grand-mère, Charles estime que le nombre de plants de tomates est au plus égal à la moitié du nombre de plants de haricots. Il n’y a pas plus que 18 plants de ces variétés.

d) Au cours d’une journée d’activités à l’école, le nombre d’élèves inscrits aux quilles ou au soccer égale, au plus, 250. Le double du nombre d’inscriptions aux quilles est inférieur d’au moins 75 au triple du nombre d’inscriptions au soccer.

e) Un commerçant d’articles de sport prépare sa commande de planches à neige et de skis alpins pour la prochaine saison. D’après les études de marché consultées, le nombre de planches à neige qu’il croit vendre sera au moins égal à la moitié du nombre de paires de skis ; de plus, il ne croit pas vendre plus de 300 de ces articles.

f) En 10 ans, le prix d’une raquette de tennis a plus que doublé. La différence de prix dépasse certainement 30 $.

g) Geneviève et Laurence aiment bien naviguer dans Internet. Chaque semaine, Geneviève consacre au moins cinq heures de plus que Laurence à cette activité. Laurence s’y adonne au moins quatre heures par semaine.

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CHAPITRE 1

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Représenter un système d’inéquations du 1er degré à deux variables

rappel • Un couple (x, y) est une solution d’un système d’inéquations s’il est une solution de chacune des inéquations. • L’ensemble-solution du système est l’ensemble des couples-solutions de ce système.

8. Représentez graphiquement les systèmes d’inéquations suivants (choisissez l’échelle appropriée) puis indiquez, dans chaque cas, si les couples donnés sont des solutions du système. a) 2y  x  4 x c) y  x  1 2  3y  6 y  x 3 2

1) (0,

2) (10, 3) (3,

1) (4,

2) 3)

1)

2) (0,

0)

3) (4,

1)

d) 10x  20y  100 3x  2y  30

b) x  y  0 3x  y  30

1) (0,

0)

1) (10, 2) (0,

2)

1)

(10, 15)

0)

20)

3) (50,

60)

3) (25, 25)

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GROUPE

DATE

9. Représentez graphiquement l’ensemble-solution des systèmes d’inéquations suivants puis, dans chaque cas, donnez trois couples-solutions. a) 4x  3y  12 yx1

b) x  y  20 x  2y  0

c) 3x  y  60 x  y  40

6

CHAPITRE 1

d) 5x  2y  30 xy

e) y  3x  6 y  3x  0

f) x  100 x  3y  75

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Traduire par des inéquations les contraintes d’une situation

rappel • Les contraintes de positivité (x  0 et y  0) se confirment dans la plupart des situations. • La fonction économique, notée Z, est une fonction qui permet de calculer, selon le cas, un profit ou un coût.

10. Dans chaque cas, trouvez un système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation ainsi que la fonction économique. Indiquez si cette fonction doit être maximisée ou minimisée. (Il faut toujours définir les variables utilisées.) a) Marie-Josée aime bien le jardinage. Elle cultive des fines herbes et décide de les faire sécher pour ensuite en vendre. Elle a choisi de cultiver du persil et du basilic. Elle ne peut planter plus de 12 de ces plants. Elle estime qu’un plant de persil peut lui rapporter 15 $ et qu’un plant de basilic peut lui rapporter 20 $. Compte tenu de la demande, elle doit planter au moins deux fois plus de persil que de basilic. Marie-Josée veut connaître le nombre de plants de chaque sorte qu’elle doit cultiver pour obtenir le meilleur revenu possible.

b) Une journée d’activités est prévue à l’école. La plupart des activités se déroulent au centre Boisclair. Pour le transport des élèves, le directeur doit réserver deux types d’autobus : un autobus du premier type coûte 200 $ et peut transporter 48 passagers, et un autobus du second type coûte 140 $ et peut transporter 32 personnes. Toutefois, le directeur devra louer au moins deux autobus de chaque type pour profiter de ces prix. La compagnie dispose d’un maximum de six autobus du premier type pour cette journée. Le directeur prévoit que le nombre d’élèves qui s’inscriront aux activités du centre Boisclair sera d’au moins 480. Il se demande combien d’autobus de chaque type il faudra réserver pour transporter les élèves au meilleur coût possible.

c) Un joaillier présente aux membres du comité de la bague de l’école Le Bougainvillier deux modèles de bagues pour les finissants et les finissantes ; l’un, plaqué or, coûte 60 $ et l’autre, plaqué argent, 40 $. Le joaillier accepte la commande à la condition d’en fabriquer au total au moins 40, et minimalement 10 de chaque modèle. On s’attend à ce qu’il y ait au plus 75 élèves qui commandent une bague. Toutefois, on sait qu’au moins deux fois plus d’élèves se procureront le modèle en argent plutôt que celui en or. Les dépenses effectuées pour fabriquer le modèle plaqué or s’élèvent à 45 $ et celles pour fabriquer le modèle plaqué argent, à 30 $. Ce joaillier veut connaître le nombre de bagues qu’il devra fabriquer pour obtenir le meilleur gain.

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Tracer un polygone de contraintes

rappel Pour trouver les coordonnées des sommets d’un polygone de contraintes, on peut utiliser une méthode algébrique si la lecture sur le graphique est imprécise.

11. Dans chaque cas, représentez le polygone de contraintes et déterminez les coordonnées des sommets. a) x  0 y0 x  y  10 y  2x  2 x  2y  8

y

B

(2) C

A D

0

(1)

(3)

1

x 1

b) x  0 y0 x  y  24 3x  2y  108 x  3y  42 x  30 2y  x  36

c) x  0 y0 x  2y x  y  18 2y  x  33

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CHAPITRE 1

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Optimiser

rappel Pour optimiser une fonction, on doit : • tracer le polygone de contraintes ; • trouver les coordonnées des sommets de ce polygone ; • évaluer la fonction économique en chacun de ces sommets ; • trouver les valeurs des variables qui optimisent la fonction.

12. Soit les contraintes suivantes : x0 y5 2x  5y  60 y  2x. Quel couple (x, y) maximise la fonction Z  4x  6y et quelle est la valeur de cette fonction à ce point ?

13. Une situation se traduit par les contraintes suivantes : x  0 et y  0 3x  2y  120 x  2y  0 y  x  35 y  50. La fonction économique est Z  140x  90y. Quel couple (x, y) minimise cette fonction et quelle est la valeur de la fonction à ce point ?

14. Soit les contraintes données par les inéquations suivantes : x  0 et y  0 2y  x  50 x  y  100 y  3x x  6y  950. La fonction économique est donnée par Z  5x  2y  100. Quelle est la valeur minimale de Z et pour quel couple (x, y) ?

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GROUPE

DATE

15. Marie-Pierre consacre un maximum de 16 heures par mois à la construction de cabanes d’oiseaux. Elle évalue qu’elle prend une heure, en moyenne, pour construire une cabane et une heure pour la peindre. Elle vend au moins deux fois plus de cabanes non peintes que de cabanes peintes. Elle adore peindre ; c’est pourquoi elle tient à peindre au moins deux cabanes chaque mois. Étant donné que le profit est de 12 $ pour une cabane non peinte et de 18 $ pour une cabane peinte, déterminez le nombre de cabanes de chaque sorte que Marie-Pierre devra construire pour obtenir un profit maximal, en supposant qu’elle réussisse à toutes les vendre. Quel sera son profit ?

16. Jean-François s’adonne à l’ébénisterie. Pour se faire un peu d’argent, il fabrique un modèle de table console et une petite étagère à bibelots. Pour fabriquer une table, il prend trois heures et pour une étagère, deux heures. Il ne peut consacrer plus de 24 heures par semaine à la fabrication de ces meubles. Il réalise un profit de 40 $ par table et de 30 $ par étagère. Il réussit à vendre toute sa production à la condition de fabriquer au moins deux fois plus de tables que d’étagères. Combien de tables et d’étagères devra-t-il fabriquer pour réaliser un profit maximal ? Quel sera son profit ?

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CHAPITRE 1

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17. Martin s’est engagé, au cours de l’été, à tondre les pelouses de quelques voisins ; il demande 8 $ l’heure. Cet emploi l’occupe au moins cinq heures par semaine. Il s’est aussi trouvé un emploi dans un atelier de réparation et d’entretien de bicyclettes. Il y consacre au moins le double d’heures qu’il consacre à la tonte des pelouses ; il gagne alors 9,50 $ l’heure. Cependant, son employeur ne peut lui garantir plus de 22 heures de travail par semaine. Martin veut travailler un maximum de 30 heures par semaine. Il se demande combien d’heures il devra consacrer à chacun de ces emplois pour gagner le plus d’argent possible. Quel sera alors son revenu ?

18. Dans un centre de villégiature situé sur les rives d’un lac, on loue des embarcations. On doit renouveler une partie de l’équipement. Ainsi, on fera l’acquisition de canots et de kayaks. Le responsable des achats propose un canot d’une longueur de 4,2 mètres qui se manie bien seul ou en tandem. Quant au kayak, le modèle proposé, d’une longueur de 3,7 mètres, comporte un hublot et deux personnes peuvent y prendre place. Le canot se vend 1900 $ et le kayak, 950 $. Une réduction de 10 % est accordée pour toute commande d’au moins huit embarcations. On décide donc d’en acheter un minimum de 8, mais pas plus de 15. On veut se procurer au moins deux kayaks de plus que de canots et au moins quatre embarcations de chaque type. Le responsable des achats se demande combien de canots et de kayaks il devra commander pour respecter toutes les contraintes, et ce, au meilleur prix possible. Quel sera alors le montant de la facture, avant les taxes ?

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DATE

19. Annie fabrique des coussins à l’aide de morceaux de tissu. Elle en confectionne deux modèles qu’elle vend respectivement 18 $ et 15 $, l’un de forme ovale et l’autre de forme carrée. Elle estime que les dépenses effectuées pour la confection d’un coussin s’élèvent à 3,50 $ par coussin, peu importe le modèle. Annie fabrique au moins cinq coussins par semaine. Sur une base hebdomadaire, elle ne peut consacrer plus de 12 heures à cette activité. Le modèle de forme ovale lui prend environ une heure et demie à confectionner et l’autre, une heure. Chaque semaine, elle confectionne au moins deux coussins de chaque modèle. Le nombre de coussins de forme carrée fabriqués par Annie dépasse d’au plus deux le nombre de coussins de forme ovale qu’elle confectionne. Pour obtenir le meilleur revenu possible, combien de coussins de chaque modèle devra-t-elle confectionner chaque semaine, sachant qu’elle les vend tous ? Quel sera son revenu ?

4) B(6,7, 2) C(3, 2)

(3)

(2)

(4)

20. Un marchand d’articles de sport doit commander des skis alpins et des planches à neige pour la prochaine saison. Il décide de commander, au total, un minimum de 420 articles. Le rapport entre 2 . Les dernières études le nombre de planches à neige et le nombre de paires de skis est d’au moins 5 de marché lui indiquent que le nombre de planches à neige sera inférieur d’au moins 100 au septième du nombre de paires de skis. Pour l’achat d’une paire de skis, le marchand paie en moyenne 250 $ et, pour une planche à neige, il paie 200 $. Déterminez le nombre de paires de skis et de planches à neige que ce marchand devra commander pour respecter ces contraintes, et ce, au plus bas prix possible. Quel sera le montant de sa facture ?

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rappel L’aire latérale d’un cône est donnée par ra, où r correspond au rayon du cône et a, à son apothème.

r 2h Le volume d’un cône est , où h désigne sa hauteur. 3

21. Un cône a une hauteur et un rayon qui mesurent, minimalement, 10 cm. La mesure de la hauteur ne dépasse pas le triple de celle du rayon. La somme de ces deux mesures est d’au plus 100 cm. a) Pour que l’aire latérale de ce cône soit maximale, quelles devraient être les dimensions de ce cône ?

b) Ces dimensions permettraient-elles d’avoir un volume maximal ?

22. Soit un triangle isocèle dont les côtés congrus mesurent x cm et la base, y cm. Son périmètre mesure au moins 40 cm. La mesure de la base est au moins égale à la moitié de la mesure d’un côté congru. On sait aussi que la mesure d’un côté congru dépasse de plus de 5 cm celle de la base. Quelles mesures les côtés de ce triangle doivent-ils avoir pour que son aire soit maximale ?

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RÉVISION 23. Vincent et Dominique sont inscrits au programme sport-études de leur école. Chaque semaine, Vincent s’entraîne 25 heures, au maximum, ce qui dépasse d’au plus 3 heures le temps que Dominique consacre à son entraînement. Celle-ci consacre au moins 15 heures à son entraînement, hebdomadairement. Traduisez cette situation par des inéquations.

24. La grande tente érigée par un cirque ne peut pas accueillir plus de 300 personnes. Le coût d’un billet pour enfant est de 40 $ et celui d’un billet pour adulte, 60 $. On estime qu’on doit recueillir au moins 10 000 $ pour ne pas subir de pertes. On s’attend à ce qu’un minimum de 100 enfants assistent à chaque représentation. Quel système d’inéquations permettrait de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui doivent assister à chaque représentation pour que les conditions énoncées soient respectées ?

25. Représentez graphiquement l’ensemble-solution des systèmes d’inéquations suivants et donnez les coordonnées du point d’intersection des droites délimitant les demi-plans. a) x  y  0 y3 x 7

b) 3y  2x  36 2x  y  18

26. Représentez par un polygone de contraintes les inéquations suivantes et déterminez les sommets de ce polygone. x0 y0 y  x2 y  12  3x x  y  36 2y  x  24

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27. Les sommets d’un polygone de contraintes sont les points de coordonnées A(1, 2), B(2, 8), C(6, 7) et D(8, 4). Quels couples maximisent la fonction économique Z  6x  4y  5 ?

DATE

y

x

28. Construisez le polygone de contraintes à l’aide des inéquations données et trouvez les coordonnées des sommets de ce polygone. Quel couple (x, y) maximise la fonction Z  35x  48y ? x5 y0 3x  2y  30 5x  6y  150 x  3y  15  0

29. La longueur d’un rectangle dépasse sa largeur d’au moins 15 cm. Le périmètre du rectangle mesure au plus 300 cm. La valeur minimale de la largeur est de 20 cm. Quelles sont les dimensions d’un rectangle dont l’aire est maximale ? Et quelle est cette aire maximale ?

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3942_MathS5_CV_Cahier-F_3942_MathS5_CV_Cahier 18-02-09 11:46 Page1

CARRIÈRE

MATHÉMATIQUE

3e année

2e cycle du secondaire

3e année

Cahier d’exercices

2e cycle du secondaire

Un cahier entièrement rédigé selon les nouveaux contenus mathématiques du programme de formation issu de la réforme scolaire. Un cahier stimulant qui favorise l’autonomie des élèves et qui augmente leurs chances de réussite. Le cahier comprend :

Respecter l’adversaire. À bicyclette, moi, je ne roule pas sur le trottoir. 1 800 567-7902

CODE ISBN

PRODUIT 3942 978-2-7655-0421-4

www.grandducenligne.com Éditions Grand Duc

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20728 39420

Groupe Éducalivres inc. InfoService : 1 800 567-3671

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Objectif : MATHÉMATIQUE SN

MATHÉMATIQUE

• des rappels théoriques nombreux et ponctuels ; • des exercices variés et gradués ; • des exercices de révision.

FRANCINE CARRIÈRE

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3e année

Cahier d’exercices

Objectifmath 5sn feuilleteur  
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