DÉMONSTRATION
Puisque déterminer l’intégrale d’une fonction consiste à faire l’opération réciproque de la dérivée, il suffit d’utiliser les formules de dérivation de base que nous avons placées devant chacune des formules d’intégration des fonctions de base pour démontrer les formules 1 à 15. Démontrons les formules 3, 4 et 6. r +1 x + C est une primitive de Formule 3 : Démontrons que F (x ) = r +1 r f (x ) = x . r +1 dF d x = ⋅ +C dx dx r + 1 (r + 1) ⋅ x
=
= xr
r +1−1
r +1
2
(car r ≠ -1)
= f (x )
r +1
x + C , ∀r ∈ \ {-1}. r +1 ax Formule 4 : Démontrons que F (x ) = + C est une primitive de ln(a) x f (x ) = a .
∫
D’où x r dx =
dF d ax + C = dx dx ln(a)
=
1 d x a ⋅ ln(a) dx
=
1 ⋅ a x ⋅ ln(a) (car a ≠ 1) ln(a)
= ax
ax + C. ln(a) Formule 6 : Démontrons que F (x ) = ln x + C est une primitive de 1 f (x ) = . Puisqu’il y a une valeur absolue dans F(x), x récrivons cette fonction sous la forme d’une fonction définie par parties. ln(-x ) + C , si x < 0 F (x ) = ln x + C = ln(x ) + C , si x > 0 -1 dF d 1 = = = f ( x ). • Si x < 0 , ln(-x ) + C = -x dx dx x dF d 1 = • Si x > 0 , ln(x ) + C = . dx dx x 1 Ainsi, dx = ln | x | + C. x
D’où
∫
a x dx =
∫
Calcul INTÉGRAL
2.1 L’intégrale indéfinie d’une fonction 55