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STRUCTURE D’UN GUIDE D’ENSEIGNEMENT En plus de tout le contenu proposé aux élèves dans chacun des cahiers d’apprentissage, les enseignants disposent, à leur usage exclusif, des éléments suivants : • Plus de 50 fiches reproductibles et leur corrigé (une banque de situations d’apprentissage et un test supplémentaire par chapitre, en plus d’un bilan, de deux SÉ et d’un examen préparatoire à celui du MEESR) ; • Les corrigés des tests, des SÉ et de l’examen formatif présents dans le cahier d’apprentissage.

VERSIONS NUMÉRIQUES Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet :

• La version numérique du cahier permet à l’élève :

– de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ;

– de feuilleter et d’annoter chaque page ;

– d’accéder à tout le matériel reproductible ;

– d’écrire ses réponses dans son cahier ;

– de partager des notes et des documents avec vos élèves ;

– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ;

– de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

– de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

François Pomerleau Vincent Roy

Inter va ll e

• Une ou deux rubriques Garder le cap où figurent des exercices et problèmes en contexte ; • Une Révision (10 pages) ; • Une Banque de SA (10 pages) ; • Deux situations d’évaluation (SÉ) ; • Un examen formatif comportant deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ; • Un glossaire ; • Des annexes ; • Le corrigé du cahier.

Cahier d’apprentissage

• Un Test diagnostique ; • Deux ou trois chapitres comprenant chacun : – un Rappel (8 pages), – deux ou trois sections divisées en sous-sections comportant chacune un encadré théorique, des rubriques En pratique, des exercices et problèmes en contexte, chaque section se terminant par une Consolidation portant sur l’ensemble de la section, – une Synthèse (8 pages), – une Banque de SA (6 pages), – une situation d’évaluation et d’apprentissage (SAÉ), – un test divisé en deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ;

2e année du 2e cycle du secondaire

Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul

STRUCTURE D’UN CAHIER

MAT-4151- 1

De plus, la collection Intervalle innove en offrant, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au cahier numérique aux utilisateurs élèves et, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au guide d’enseignement aux utilisateurs enseignants.

Mathématique 2e  cycle du secondaire

Les cahiers d’apprentissage de la collection Intervalle couvrent les éléments prescrits par le Programme de la formation de base diversifiée (FBD) pour chacun des trois cours des séquences Sciences naturelles (SN) et Culture, société et technique (CST) de 4e secondaire.

Mathématique Séquence Culture, société et technique

MAT-4151-1

Modélisation algébrique et graphique en contexte général

Cahier d’apprentissage Notions • Exercices • Problèmes • SAÉ-SÉ • Tests et examen formatif •

Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy CONFORME AU PROGRAMME DE LA FORMATION DE BASE DIVERSIFIÉE


PRÉSENTATION DU CAHIER ....................................................................................................... V TEST DIAGNOSTIQUE ....................................................................................................................... 1

CHAPITRE 1 RELATIONS ET FONCTIONS........................................................................................................ 5 RAPPEL 1 Introduction aux relations et aux fonctions et lois des exposants ............................................................. 7 SECTION 1.1 Fonction en escalier ...................................................................................................................................... 17 1.1.1 Description et représentation de la fonction en escalier ........................................................................ 17 1.1.2 Propriétés de la fonction en escalier ...................................................................................................... 22 Consolidation 1.1 ............................................................................................................................................ 27 SECTION 1.2 Fonction périodique ...................................................................................................................................... 31 1.2.1 Description et représentation de la fonction périodique ........................................................................ 31 1.2.2 Propriétés de la fonction périodique ...................................................................................................... 36 Consolidation 1.2 ............................................................................................................................................ 41 SECTION 1.3 Fonction polynomiale du second degré ...................................................................................................... 45 1.3.1 Description et représentation de la fonction polynomiale du second degré .......................................... 45 1.3.2 Propriétés de la fonction polynomiale du second degré ........................................................................ 54 Consolidation 1.3 ............................................................................................................................................ 59 SECTION 1.4 Fonction exponentielle.................................................................................................................................. 64 1.4.1 Description et représentation de la fonction exponentielle .................................................................... 64 1.4.2 Propriétés de la fonction exponentielle .................................................................................................. 73 Consolidation 1.4 ............................................................................................................................................ 77 SECTION 1.5 Fonction définie par parties ......................................................................................................................... 83 1.5.1 Description et représentation de la fonction définie par parties ............................................................ 83 1.5.2 Propriétés de la fonction définie par parties .......................................................................................... 88 Consolidation 1.5 ............................................................................................................................................ 93 SYNTHÈSE 1 .................................................................................................................................................. 97 BANQUE DE SA 1 ........................................................................................................................................ 105 SAÉ 1 : Le marché automobile.................................................................................................................... 111 TEST 1 .......................................................................................................................................................... 114 © 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

TABLE DES MATIÈRES

III


CHAPITRE 2 DROITES ET SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ........................................................................ 121 RAPPEL 2 Recherche de la règle d’une fonction polynomiale du premier degré ................................................... 123 SECTION 2.1 Droites ......................................................................................................................................................... 129 2.1.1 Équation d’une droite ........................................................................................................................... 129 2.1.2 Position relative de deux droites .......................................................................................................... 136 Consolidation 2.1 .......................................................................................................................................... 142 SECTION 2.2 Systèmes d’équations ................................................................................................................................. 147 2.2.1 Résolution de systèmes d’équations à l’aide d’une table de valeurs .................................................. 147 2.2.2 Résolution de systèmes d’équations à l’aide d’une méthode graphique ............................................ 151 2.2.3 Résolution de systèmes d’équations à l’aide d’une méthode algébrique ........................................... 155 Consolidation 2.2 .......................................................................................................................................... 164 SYNTHÈSE 2 ................................................................................................................................................ 170 BANQUE DE SA 2 ........................................................................................................................................ 179 SAÉ 2 : L’aménagement du territoire ......................................................................................................... 185 TEST 2 .......................................................................................................................................................... 188

GARDER LE CAP - CHAPITRES 1 ET 2 .......................................................................... 195 RÉVISION ............................................................................................................................................ 199 BANQUE DE SA ............................................................................................................................. 209 SÉ 1 : Le zoo ...................................................................................................................................... 219 SÉ 2 : L’auto-école ..................................................................................................................... 222 EXAMEN FORMATIF ................................................................................................................... 225 GLOSSAIRE ...................................................................................................................................... 235 ANNEXES .......................................................................................................................................... 239 CORRIGÉ ........................................................................................................................................... 241

IV

TABLE DES MATIÈRES

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Le cahier Intervalle, MAT-4151-1 : Modélisation algébrique et graphique en contexte général s’adresse aux élèves de la 2e année du 2e cycle du secondaire en mathématique de la Formation de base diversifiée (FBD), séquence Culture, société et technique (CST). Il comporte un Test diagnostique suivi de deux chapitres. À la fin du cahier, on trouve, dans l’ordre, une rubrique Garder le cap, une rubrique Révision, une rubrique Banque de SA, deux situations d’évaluation (SÉ ), un Examen formatif, un glossaire, des annexes et un corrigé du cahier.

TEST DIAGNOSTIQUE

Le Test diagnostique vous permet de vérifier la maîtrise des connaissances préalables à la poursuite de votre parcours en 2e année du 2e cycle du secondaire pour le cours MAT-4151-1. Il comprend quatre pages comportant des questions à choix multiple et des questions à réponse courte.

CHAPITRES

Chacun des deux chapitres du cahier débute par une page d’introduction où figure une mise en situation qui met en rapport les savoirs à acquérir et leur utilité dans la vie de tous les jours. Une rubrique Programme d’études présente ensuite la liste des énoncés du programme qui sont à l’étude dans le chapitre. Enfin, un sommaire du chapitre est présenté pour faciliter le repérage. Au verso de la page d’introduction se trouve une table des matières détaillée du chapitre. Chaque chapitre commence par une rubrique Rappel de six ou dix pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre. On y trouve un ou des encadrés théoriques suivis de quelques exercices et problèmes.

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PRÉSENTATION DU CAHIER

V


Chaque chapitre est divisé en deux ou cinq sections, chacune étant subdivisée en sous-sections de quatre à neuf pages présentant la ou les notions à l’étude, étape par étape. Chaque sous-section est composée d’un encadré théorique ou plus comportant cette ou ces notions accompagnées d’un exemple et d’une démarche, s’il y a lieu. Lorsque nécessaire, on trouve également une rubrique En pratique qui permet de modéliser un exercice à effectuer ou un problème à résoudre. Chaque encadré théorique est suivi d’exercices destinés à l’application des nouvelles notions. Dans le texte courant, le gras est utilisé pour mettre en évidence les termes importants. Les mots en bleu et en gras sont définis dans le glossaire situé à la fin du cahier. Le pictogramme indique la présence de contenu enrichi ou facultatif. Des exercices et des problèmes vous permettent ensuite de vérifier et de consolider votre compréhension des notions fraîchement acquises. Chaque section se termine par une rubrique Consolidation de quatre à six pages qui propose des exercices et des problèmes en contexte visant à réinvestir l’ensemble des notions traitées dans les sous-sections. Une récapitulation en huit ou neuf pages, appelée Synthèse, vient à la suite de la dernière section d’un chapitre. On y trouve des exercices et des problèmes en contexte portant sur l’ensemble des notions présentées dans le chapitre. À la suite de la Synthèse se trouve la Banque de SA. Il s’agit d’une rubrique de six pages qui comporte de courtes situations d’apprentissage (SA) permettant d’intégrer l’ensemble des connaissances acquises au cours du chapitre. Vient ensuite une situation d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ ) sur trois pages dans laquelle vous devez effectuer trois tâches en lien avec le thème de la SAÉ. Un pictogramme indique le numéro de page où se trouve le corrigé.

VI

PRÉSENTATION DU CAHIER

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Finalement, un Test de sept pages clôt le chapitre. Celui-ci est divisé en deux parties : la partie Évaluation explicite des connaissances, sur un total de 20 points, et la partie Évaluation des compétences, sur un total de 80 points. Ce test, en tout point conforme à celui qui sanctionne le cours MAT-4151-1, vous permet d’avoir une rétroaction rapide sur l’état de vos apprentissages et du développement de vos compétences. Le corrigé des tests n’est pas disponible dans le corrigé du cahier.

GARDER LE CAP

Une rubrique Garder le cap vous permet de garder à jour les connaissances acquises tout au long de votre parcours. On y trouve notamment des exercices et des problèmes en contexte qui portent sur les notions étudiées dans le chapitre que vous venez de terminer et sur celles du chapitre précédent.

RÉVISION

La rubrique Garder le cap est suivie d’une rubrique Révision de dix pages qui permet de survoler l’ensemble des notions vues dans le cours MAT-4151-1. Cette rubrique propose des questions à choix multiple, des questions à réponse courte et des questions à développement, et se veut un retour sur l’ensemble des connaissances, dites explicites, acquises dans le cadre du cours.

BANQUE DE SA

À la suite de la rubrique Révision est proposée une rubrique Banque de SA, comme celles qu’on trouve à la fin de chacun des chapitres. Présentée sur dix pages, elle propose de courtes situations d’apprentissage (SA) en lien avec l’ensemble des notions du cahier.

SITUATIONS D’ÉVALUATION (SÉ)

Deux situations d’évaluation (SÉ ) sont offertes, chacune comportant trois tâches réparties sur trois pages. Les SÉ vous permettent d’évaluer l’état du développement des compétences à acquérir dans le cadre du cours MAT-4151-1 en plus de vous préparer à la partie Évaluation des compétences telle qu’on la trouve dans l’épreuve édictée pour ce cours. Contrairement aux SAÉ de fin de chapitre, les corrigés des SÉ ne sont pas disponibles dans le corrigé du cahier.

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PRÉSENTATION DU CAHIER

VII


EXAMEN FORMATIF

Un Examen formatif de dix pages, en tout point conforme à celui qui sanctionne le cours MAT-4151-1, est offert à la fin du cahier. Il comporte deux parties distinctes. La partie Évaluation explicite des connaissances comprend cinq questions de connaissances et représente 20 % de la note de l’examen. La partie Évaluation des compétences comporte trois tâches, la dernière demandant de confirmer ou de réfuter une affirmation. Cette partie représente 80 % de la note de l’examen. Ici aussi, le corrigé de l’examen formatif n’est pas disponible dans le corrigé du cahier. GLOSSAIRE

Un glossaire de six pages se trouve à la suite de l’examen formatif. Chaque mot en bleu et en gras dans le texte courant du cahier y est défini. ANNEXES

À la suite du glossaire sont proposées deux pages d’annexes, des fiches utiles dans votre apprentissage des mathématique. CORRIGÉ

Le corrigé des exercices, des problèmes, des SA et des SAÉ est présenté à la fin du cahier, à la suite des annexes. On y trouve les réponses ainsi que les principaux calculs et démarches permettant de résoudre les problèmes en contexte, les SA et les SAÉ. VERSION NUMÉRIQUE

Un code à gratter donnant accès à la version numérique du cahier est disponible au tout début du cahier. Accessible à partir du site MaZoneCEC, cette version vous permet : • de feuilleter et d’annoter chaque page ; • d’écrire vos réponses dans votre cahier ; • de travailler dans votre cahier sans connexion Internet ; • d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic.

VIII

PRÉSENTATION DU CAHIER

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p. 241

Questions Ă choix multiple

1

Parmi les expressions algÊbriques ci-dessous, laquelle correspond au dÊveloppement du produit de 4x  3 par 5x  2 ? a) 20x  6

b) 9x  1

c) 20x2  7x  6

d) 20x2  6

2 Quel est le plus grand facteur commun des expressions algĂŠbriques 18a8 et 216a2 ? a) 2a

b) 18a2

c) 6a2

d) 2a2

3 Sachant que x  R, dÊterminez la reprÊsentation graphique qui correspond à l’ensemble-solution de l’inÊquation 4x  5  17. b)

a)  

5

 

5

 

c)  

4 53 42 31 2 0 1 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4

5

4 53 42 31 2 0 1 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4

5

 

5

 

4 53 42 31 2 0 1 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4

5

 

5

 

4 53 42 31 2 0 1 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4

5

d)

4 Parmi les couples ci-dessous, lequel reprÊsente la solution du système d’Êquations a) (2, 22)

b) (3, 7)

c) (2, 12)

5 Laquelle des ĂŠgalitĂŠs suivantes est vraie ? a)

3

b)

b  b3 

1

1  b4 b4

c)

y   5x  22

?

d) (3, 5)

()

b5 b  c c5

y  3x  2

5

d) (b5 )2  b25

6 Parmi les nombres ci-dessous, lequel correspond au nombre 0,000 657 8 ĂŠcrit en notation scientifique ? a) 65,78  10 5 

b) 6578  10 7 

c) 6,578  104

d) 6,578  10 4 

7 Parmi les systèmes d’Êquations suivants, lequel n’admet comme solution que l’ensemble vide ? y  6x  2 y  5x  2

a)

b)

y  8x  11 y  8x  23

y  4x  7 y  4x  7

c)

d)

y  3x  9 y  2x  9

8 Quelle expression algĂŠbrique correspond au quotient de 32m8n6  16m5n2  12m2n3 par 4m2n2 ? a)



c)



8m6n4  16m5n2  12m2n3

b)



8m10n8  4m4n4  3m4n5

d)



7m13n9 8m6n4  4m3  3n

9 Quelle expression algĂŠbrique correspond au dĂŠveloppement de (a  b)2 ? a) a2  2ab  b2

b) a2  2ab  b2

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c) a2  b2

d) a2  b2 TEST DIAGNOSTIQUE

1


p. 241

16 Pour chacune des fonctions suivantes, indiquez : 1) le domaine ;

2) le codomaine ;

3) la valeur initiale ;

4) les zéros ;

5) la variation ;

6) le signe.

y

a)

y

b)

10 8 6 4 2

50 40 30 20 10

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10



5040302010 0 10 20 30 40 50

2 4 6 8 10 x



1)

1)

2)

2)

3)

3)

4)

4)

5)

5)

6)

6)

10 20 30 40 50 x

17 Déterminez la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous. b)

a) f (x )

y

28

10 8

24

6

20

4 2

16

10 8



12



6



4

2 0 2





8



4 0

2 4 6

8 10 x

4 6

8 10



4

8

12

16

20

24

28

x



48 x

4

TEST DIAGNOSTIQUE

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Relations et fonctions Dans ce chapitre, vous étudierez les fonctions et apprendrez à les utiliser afin de modéliser une grande variété de situations liées à des contextes économiques, sociaux ou techniques, comme l’évolution de la valeur d’un placement, la tarification par tranches d’heures dans un stationnement, la hauteur des marées ou un for­fait téléphonique. Vous apprendrez à reconnaître les caractéristiques propres à chaque situation afin de déterminer la fonction la plus adéquate pour la représenter et pouvant servir de modèle : la fonction en escalier, la fonction périodique, la fonction polynomiale du second degré, la fonction exponentielle ou la fonction définie par parties.

Programme d’études RELATION, FONCTION ET RÉCIPROQUE • Expérimentation, observation, interprétation, description et représentation (table de valeurs, règle algébrique et graphique) de fonctions réelles (fonction en escalier, fonction périodique, fonction polynomiale du second degré, fonction exponentielle et fonction définie par parties) • Description et interprétation des propriétés des fonctions réelles (domaine, codomaine, croissance, décroissance, extremums, signe et coordonnées à l’origine) à l’aide d’une représentation graphique

RAPPEL 1 Introduction aux relations et aux fonctions et lois des exposants................ 7 SECTION 1.1 Fonction en escalier................ 17

SECTION 1.2 Fonction périodique................ 31

SECTION 1.3 Fonction polynomiale du second degré..................... 45

SECTION 1.4 Fonction exponentielle............ 64

SECTION 1.5 Fonction définie par parties..... 83

SYNTHÈSE 1.............. 97 BANQUE DE SA 1...105 SAÉ 1.............................111 TEST 1..........................114


CHAPITRE 1 RELATIONS ET FONCTIONS.................................................................................................................... 5

RAPPEL 1 Introduction aux relations et aux fonctions et lois des exposants .......................................

7

SECTION 1.1 Fonction en escalier .................................................................................................................. 1.1.1 Description et représentation de la fonction en escalier .................................................... 1.1.2 Propriétés de la fonction en escalier .................................................................................. Consolidation 1.1 ........................................................................................................................

17 17 22 27

SECTION 1.2 Fonction périodique .................................................................................................................. 1.2.1 Description et représentation de la fonction périodique .................................................... 1.2.2 Propriétés de la fonction périodique .................................................................................. Consolidation 1.2 ........................................................................................................................

31 31 36 41

SECTION 1.3 Fonction polynomiale du second degré .................................................................................. 1.3.1 Description et représentation de la fonction polynomiale du second degré ...................... 1.3.2 Propriétés de la fonction polynomiale du second degré .................................................... Consolidation 1.3 ........................................................................................................................

45 45 54 59

SECTION 1.4 Fonction exponentielle.............................................................................................................. 1.4.1 Description et représentation de la fonction exponentielle ................................................ 1.4.2 Propriétés de la fonction exponentielle .............................................................................. Consolidation 1.4 ........................................................................................................................

64 64 73 77

SECTION 1.5 Fonction définie par parties ..................................................................................................... 83 1.5.1 Description et représentation de la fonction définie par parties ........................................ 83 1.5.2 Propriétés de la fonction définie par parties ...................................................................... 88 Consolidation 1.5 ........................................................................................................................ 93 SYNTHÈSE 1 .............................................................................................................................. 97 BANQUE DE SA 1 ...................................................................................................................... 105 SAÉ 1 : Le marché automobile.................................................................................................. 111 TEST 1 ........................................................................................................................................ 114 Évaluation explicite des connaissances ...................................................................................... 114 Évaluation des compétences ...................................................................................................... 118

6

CHAPITRE 1

TABLE DES MATIÈRES

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Introduction aux relations et aux fonctions et lois des exposants RELATION, VARIABLE INDÉPENDANTE ET VARIABLE DÉPENDANTE • Un lien entre deux variables est appelé relation. Généralement, dans une relation entre deux variables : – celle dont la variation entraîne la variation de l’autre est appelée variable indépendante ; – celle dont la variation réagit à la variation de l’autre est appelée variable dépendante. Exemple : La quantité de peinture utilisée pour recouvrir un plancher dépend de sa superficie. La superficie du plancher correspond à la variable indépendante et la quantité de peinture, à la variable dépendante. RÉCIPROQUE ET FONCTION • Une réciproque s’obtient en intervertissant les valeurs de chacun des couples d’une relation entre deux variables. • Une fonction est une relation entre deux variables selon laquelle à chaque valeur de la variable indépendante correspond au plus une valeur de la variable dépendante. Exemples : 1) Soit les relations A et B ci-dessous. Relation A

y

Relation B

y

(8, 9) (9, 8) (4, 7) (4, 6)

(1, 2) (3, 2)

1 0

(2, 3)

(6, 4)

1

(2, 1)

1 x

0

(7, 4)

x

1

La relation B est la réciproque de la relation A et vice versa. Les coordonnées du point (1, 2) sont devenues (2, 1), celles du point (3, 2), (2, 3), celles du point (9, 8), (8, 9), et ainsi de suite. La relation A est une fonction. La relation B n’est pas une fonction car, par exemple, pour x  2, on a plusieurs valeurs possibles de y . 2) Déterminer la réciproque de la fonction y  2x  4. x  2y  4 x  4  2y x 2 y 2

La règle de la réciproque est y 

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x  2y  4 x  4  2y x 2. y 2 2

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

7


p. 241

• Dans la représentation graphique d’une fonction, on associe la variable indépendante à l’axe des abscisses et la variable dépendante à l’axe des ordonnées. • Dans la table de valeurs d’une fonction, on associe généralement la variable indépendante à la première rangée ou colonne de la table de valeurs selon que celle-ci est représentée à l’horizontale ou à la verticale. • La règle d’une fonction f, où x est la variable indépendante et y, la variable dépendante, peut s’écrire : y  (une expression algébrique en x) ou f(x)  (une expression algébrique en x). Exemple : La mise en page d’un document coûte 20 $. Pour imprimer le document, on demande 0,25 $ par feuille imprimée. En désignant la quantité de feuilles imprimées par q et le coût de production (en $) par c ou f(q), la règle peut s’exprimer ainsi : c  0,25q  20 ou f(q)  0,25q  20

1

Dans chaque cas, indiquez si la relation donnée est une fonction. a)

b)

y

0

x

d) y

e)

0

x 3 8 11 19 22

y 4 7 4 9 3

c)

x 5 6 8 5 12

y 7 14 6 3 12

f)

y

0

x

y

0

x

x

2 Pour chaque paire de variables donnée, indiquez celle qui correspond logiquement à : 1) la variable indépendante ;

2) la variable dépendante.

a) Le nombre d’articles vendus et le profit. 1)

1)

2)

2)

c) La quantité d’essence utilisée et la distance parcourue.

8

b) Le coût d’un appel interurbain et la durée de l’appel.

d) Le temps écoulé et le nombre de bactéries observées dans une boîte de Pétri.

1)

1)

2)

2)

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

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p. 242

LOIS DES EXPOSANTS Les lois des exposants permettent d’effectuer des opÊrations qui font intervenir des expressions Êcrites sous la forme exponentielle.

Exemple

Loi Produit de puissances

54  53  54  3  57  78 125

Pour a  0 : a m  a n  a m  n Quotient de puissances Pour a  0 :

96  96  2  94  6561 92

am  am  n an

Puissance d’un produit (3  8)2  32  82  9  64  576

Pour a  0 et b  0 : (ab) m  a mbm Puissance d’une puissance

(43)2  43  2  46  4096

Pour a  0 : (a m) n  a mn Puissance d’un quotient

()

a Pour a  0 et b  0 : b

m

( 65 )  65 4

am  m b

4 4



625 , soit  0,482. 1296

15 RÊcrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la base donnÊe. a) 139  132

411 d)  43 

2

b) (123)5

c) 54  57

3 5 e) 6 12 6

f)

Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

6

( 34  33 )2 ( 35 ) 2

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

15


p. 242

16 RÊcrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la plus petite base possible. a) 1252

b) 216  364

d) 163  82  49

2 e)  815 

3

 9 

c) 162  43

4 f)  49 2 

3

343

17 RĂŠduisez chacune des expressions suivantes Ă sa plus simple expression. b) ( y8)2 c) z5  z a) x4x3

16

d)

( )

e) (a4b3)2

f) e3  e9

g)

( )

h) (m3m6)3

i) (k  k5)2

x3 y

b2 b5

4

3

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

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Fonction polynomiale du second degré 1.3.1

Description et représentation de la fonction polynomiale du second degré

La fonction polynomiale du second degré se nomme aussi fonction quadratique. FONCTION POLYNOMIALE DU SECOND DEGRÉ DE BASE • La règle de cette fonction est de la forme : f(x)  x2 • Sa représentation graphique est une parabole ouverte vers le haut ayant son sommet à l’origine du plan cartésien. Règle de la fonction

Table de valeurs

Graphique f(x)

f(x)  x2

x

f(x)

2

4

1

1

0

0

1

1

2

4

1 0 1

x

FONCTION POLYNOMIALE DU SECOND DEGRÉ TRANSFORMÉE • La règle de cette fonction est de la forme : f(x)  ax2, où a  0. • Le paramètre a modifie le graphique de la fonction de base de la façon suivante : – étirement vertical si |a| 1 ; – contraction verticale si 0  |a|  1 ; – réflexion par rapport à l’axe des abscisses si a  0. Exemples : 1)

2)

Étirement vertical : a  2

Contraction verticale : a

y

1 3

3)

Réflexion par rapport à l’axe des abscisses : a  1

y

y

g(x)  2x 2 f(x)  x 2

f(x)  x 2 g(x) 

f(x)  x 2 1

1

0

0

1

x

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x2 3

1 0

x

1 g(x)  x 2

1

x

CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degré

45


p. 247

• Il est possible de reconnaÎtre une fonction polynomiale du second degrÊ à partir d’une table de valeurs. • On remarque que pour une même variation des valeurs de la variable indÊpendante, les variations des valeurs de la variable dÊpendante associÊes forment une suite arithmÊtique, c’est-à-dire que leur diffÊrence est constante et non nulle. Exemple : Soit la fonction f(x) = 1,5x2.

La variation des valeurs de la variable indĂŠpendante est la mĂŞme, soit  1.

1

1 1 1 1

x

f(x)

0

0

1

1,5

2

6

3

13,5

4

24

 1,5

3

 4,5

3

 7,5

3

 10,5

Les variations des valeurs de la variable dĂŠpendante forment une suite arithmĂŠtique dont la raison (variation constante) est 3.

Pour chaque table de valeurs, dÊterminez s’il s’agit ou non d’une fonction polynomiale du second degrÊ. a)

x

b)

f(x)

x

c)

g(x)

x

h(x)

0

0

0

0

0

1

2

9,6

1

3,75

1

2

4

38,4

2

7,5

2

4

6

86,4

3

11,25

3

8

8

153,6

4

15

4

16

2 Parmi les courbes ci-dessous, laquelle reprÊsente la fonction polynomiale transformÊe dont la valeur du paramètre a est :

5

a) 5 ?

y 10

b) 2 ?

3

8

c) 0,2 ?

1 y  x2

6 4

6

2

10



8



6



4



0

2



2



2

4

4

6

8

10

x

2

4



6



8



10



46

CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degrĂŠ

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p. 247

3 Représentez chaque fonction. b) g(x)  2x2

a) f(x)  2x2 f (x )

c) h(x)  0,25x2 h(x)

g(x)

0

x

0

d) i(x)  50x2

0

x

e) j(x)  100x2

f ) k(x)  10x2 k (x )

j (x )

i (x )

0

0

x

x

0

x

x

4 Remplissez les tables de valeurs à l’aide des règles suivantes. b) f(x)  2x2

a) f(x)  5x2 x

f(x)

c) f(x)  8x2

x

2



1



f(x)

2



x 

1



10



5

0

0

0

1

1

5

2

2

10

d) f(x)  20x2

e) f(x)  2,5x2

x

f(x)

x

f ) f(x)  3x2 f(x)

x

0

0

0

1

1

1,5

3

4

2,9

6

7

3,8

10

15

5

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f(x)

CHAPITRE 1

f(x)

Fonction polynomiale du second degré

47


RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION DU SECOND DEGRÉ Il est possible de déterminer la règle d’une fonction du second degré si l’on connaît les coordonnées d’un point (autre que le sommet) associé à cette fonction. Exemple : Déterminez la règle d’une fonction du second degré dont les coordonnées d’un point sont (3, 45).

Méthode Substituer les coordonnées du point connu dans la règle f(x)  ax2.

1.

2. Déterminer la valeur du paramètre a. 3. Écrire la règle sous la forme f(x)  ax2.

f(x)  ax2 45  a(3)2



45  9a a  5



f(x)  5x2

RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ À DEUX VARIABLES • Il est possible de résoudre une équation du second degré de la forme y  ax2 en déterminant la ou les valeurs de x qui vérifient l’équation. • Une équation du second degré peut admettre 0, 1 ou 2 solutions. • Diverses stratégies permettent de résoudre ce type d’équation. En voici une. Méthode Substituer la valeur donnée de y dans l’équation.

1.

Exemple : Pour l’équation y  6x2, déterminez les valeurs de x pour lesquelles y  150. y  6x2 150  6x2

2. Isoler le terme x2.

x2  25

3. Extraire la racine carrée.

x   25 x  5 x1  5, x2  5

Exemple : Le graphique ci-dessous représente l’altitude A(t) (en m) d’un ballon d’hélium selon le temps écoulé t (en s) depuis son lancement. • Il est possible de déterminer la règle associée à cette situation :

Altitude d’un ballon d’hélium

Altitude (m) 10

A(t)  at2 9  a(6)2

8

9  36a a  0,25

6

La règle est A(t)  0,25t2. • Il est possible de déterminer le moment où le ballon se trouve à une hauteur de 25 m : A(t)  0,25t2 25  0,25t2

(6, 9)

4 2

2

0

100  t

2



4

6

8

10 Temps (s)

100  t t  10, mais la valeur 10 est à rejeter étant donné le contexte.

Le ballon se trouve à 25 m de hauteur 10 s après son lancement.

48

CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degré

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Voici un problème à résoudre.

Il est possible de calculer le coût d’installation de carreaux sur un plancher carré à l’aide de la règle C(m) = 8m2, où C(m) correspond au coût (en $) et m, à la mesure (en m) d’un côté du plancher. a) Déterminez le coût d’installation de carreaux sur un plancher carré mesurant 20 m de côté. b) Déterminez les dimensions d’un plancher carré pour lequel l’installation de carreaux a coûté 128 $. Voici un exemple de démarche possible. Représentez la situation dans un graphique. On calcule quelques valeurs de C(m) en remplaçant, par exemple, m par 1, 2, 3, etc. : C(1)  8  12  8  1  8 C(2)  8  22  8  4  32 C(3)  8  32  8  9  72

Cout ($)

Installation de carreaux 80 64 48 32 16 0

a) Déterminez le coût d’installation de carreaux sur un plancher carré mesurant 20 m de côté. On déduit que m = 20 et on calcule la valeur de C(m) en remplaçant m par 20.

b) Déterminez les dimensions d’un plancher carré pour lequel l’installation de carreaux a coûté 128 $. On déduit que C(m)  128 et on calcule la valeur de m pour laquelle C(m)  128.

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1

2

3

4

5 Mesure d’un coté (m)

C(20) = 8 x 202 = 8 x 400 = 3200 $ Pour recouvrir un plancher carré de 20 m de côté, il en coûte 3200 $. 128 = 8 x m2 16 = m2 ± 16 = m m = ±4 Selon le contexte, une valeur de -4 est impossible. On rejette cette valeur. Les dimensions du plancher sont de 4 m sur 4 m, puisque le plancher est carré.

CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degré

49


p. 247

5 Déterminez la règle de chaque fonction. a)

b)

f(x) 50



4



d)





4

50

2



CHAPITRE 1

12

4

16

2

20



x

e) 4



6



4



2 2

4



2

4

h)

0

x



4



0

2

20



10

40



20

60



30



80



40

100



50

i)

m(x) 250

200

0,8

200

160

0,6

150

120

0,4

100

80

0,2

50

40

2

4

x

Fonction polynomiale du second degré



40

20



0

20

40

x

4

x

2

4

x

400

800

x

n (x)

1

0

2

k (x)



x

2

f) 0

2



8

0

4



j(x) 

l (x)



6



2

g)

8

10 4

10

x





2

4

8

20

0

2

h(x)

4

30

10

4

0

2





i(x)



4

40

2

c)

g(x)



800



400

0

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p. 248

6 Dans chaque cas, à partir des coordonnées du point donné, écrivez la règle de la fonction du second degré. a) (6, 216)

b) (4, 128)

c) (7, 490)

d) (0,5, 8)

e) (4,5, 40,5)

f) (8, 16)

h) (9, 275,4)

i) (10, 48)

g)

(8, 21)

7 Écrivez la règle de chaque fonction quadratique à l’aide de la table de valeurs. a)

f(x)

1

7

0

0

0

1

7

2

2

28

4

x

i (x)

0



d)

b)

x

x 5



e)



375



x

h(x)

8

8



2

0,5

60

2

0,5

240

8

8

x

k (x)

0 

x

j (x)

0

0

0

10

380

4

15

855

8



30

3420

12



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c)

g(x)



f)

5



800



3200



7200





CHAPITRE 1



100

4



64

3



36

2



16

Fonction polynomiale du second degré

51


p. 248

8 Voici les règles de certaines fonctions du second degré : f(x)  6x2

g(x)  6x2

i(x)  7,8x2

h(x)  0,5x2

a) Calculez : 1) f(5)

2) g(5)

3) h(100)

4) i(2,5)

3) h(x)  8

4) i(x)  100

b) Calculez la valeur de x lorsque : 1) f(x)  384

2) g(x)  1200

9 Le graphique ci-contre représente l’altitude (en m) d’une fusée en fonction du temps écoulé (en s) depuis le lancement. a) Déterminez la règle associée à cette situation.

Lancement de la fusée

Altitude (m) 500 400 300 200 100

Réponse :

0

2

4

6

b) Déterminez l’altitude de la fusée : 1) 8 s après le lancement ;

2) 17,5 s après le lancement.

8

10 Temps écoulé (s)

Réponse :

Réponse :

c) Déterminez le moment où la fusée atteint une altitude de : 1) 400 m

2) 1000 m

Réponse :

Réponse :

52

CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degré

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p. 248

10 La table de valeurs ci-contre représente

Coût d’un plancher de céramique

le coût (en $) d’un plancher de céramique de forme carrée.

Mesure d’un côté du plancher (m)

0

2

5

12

a) Écrivez la règle associée à cette situation, sachant qu’elle correspond à une fonction quadratique.

Coût ($)

0

26

162,50

936

Réponse : b) Déterminez le coût du plancher de céramique pour une pièce carrée mesurant 7 m de côté.

c) Déterminez la mesure d’un côté d’une pièce carrée, si le coût est de 416 $.

Réponse :

Réponse :

11 Voici des informations concernant la distance de freinage d’une automobile dans différentes conditions selon sa vitesse. La fonction polynomiale du second degré permet de modéliser ces situations.

Freinage sur une chaussée sèche

Distance de freinage (m) 100 80

Freinage sur une chaussée mouillée Vitesse (km/h)

0

20

60

90

Distance de freinage (m)

0

6

54

121,5

Déterminez la différence entre la distance nécessaire pour freiner à 80 km/h sur une chaussée mouillée par rapport à celle nécessaire sur une chaussée sèche.

60 40 20

(50, 25) 0

20

40

60

80

100 Vitesse (km/h)

Réponse :

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CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degré

53


1.3.2

PropriĂŠtĂŠs de la fonction polynomiale du second degrĂŠ

Les propriĂŠtĂŠs de la fonction du second degrĂŠ de la forme f(x)  ax2, oĂš a  0, sont les suivantes. Domaine

R

Signe

Si a  0, positif sur R ; nĂŠgatif en 0. Si a  0, positif en 0 ; nĂŠgatif sur R.

Codomaine

Si a  0, [0, [. Si a  0, ], 0].

Variation

Si a  0, dÊcroissante sur ], 0] ; croissante sur [0, [. Si a  0, croissante sur ], 0] ; dÊcroissante : [0, [.

Abscisse à l’origine

0

OrdonnÊe à l’origine

0

Extremum

Si a  0, minimum : 0. Si a  0, maximum : 0.

Exemples : 1) Soit le graphique d’une fonction polynomiale du second degrÊ f. f (x )

Les propriÊtÊs de cette fonction sont : • Dom f : R ;

40

• Codom f : [0, ∞[ ; • Abscisse Ă l’origine : 0 ;

30

• OrdonnÊe à l’origine : 0 ; 20

• Signe : positif sur R et nĂŠgatif en 0 ; • Variation : dĂŠcroissante sur ]∞, 0] et croissante sur [0, ∞] ;

10

• Extremum : minimum : 0. 4





0

2

2

x

4

2) Le graphique ci-dessous reprÊsente la tempÊrature interne d’une pièce de viande que l’on cuit au four jusqu’à sa cuisson complète. Dans le contexte : • le domaine est [0, 90] min, car la pièce de viande cuit durant 90 min ; • le codomaine est [0, 80] °C ;

TempÊrature interne (°C) 100

Cuisson d’une pièce de viande

80

• l’abscisse à l’origine est 0 min ; • l’ordonnÊe à l’origine est 0 °C, soit la tempÊrature interne de la viande au moment de la mettre au four ;

60

• la fonction est positive sur [0, 80] min ;

40

• la fonction est croissante sur [0, 80] min, car la tempÊrature interne de la pièce de viande augmente tout le temps qu’elle est au four ; • la tempÊrature interne minimale est de 0 °C.

54

CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degrĂŠ

20

0

20

40

60

80

100 Temps (min)

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Voici un exercice à effectuer. Faites l’étude de la fonction du second degré f dont la table de valeurs est la suivante. x f (x )

1

0

3

0

2



12







1 3



2 12



Voici un exemple de démarche possible. Représentez la situation dans un graphique en y reportant les points.

f (x)

-

4

-

2

2 -

-

-

4

x

4 8

12 18

-

Déterminez le domaine de la fonction f en analysant le graphique. Ici, la fonction f peut prendre toutes les valeurs de x dans R.

Dom f : IR

Déterminez le codomaine de la fonction f en analysant le graphique. Ici, la fonction f peut prendre toutes les valeurs de y sur l’intervalle ], 0].

Codom f : ]-∞, 0]

Déterminez l’abscisse à l’origine en analysant le graphique. Ici, l’abscisse du point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses est 0.

Abscisse à l’origine : 0

Déterminez l’ordonnée à l’origine en analysant le graphique. Ici, l’ordonnée du point d’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées est 0.

Ordonnée à l’origine : 0

Déterminez le signe de la fonction f en utilisant les valeurs des abscisses à l’origine. La fonction est négative lorsque la courbe est située sur ou au-dessous de l’axe des x, et positive lorsqu’elle est située sur ou au-dessus de l’axe des x.

La fonction est positive à x = 0. La fonction est négative sur IR .

Déterminez la variation (croissance, décroissance) de la fonction f en analysant le graphique. La fonction est croissante lorsque pour des valeurs de x croissantes, celles de f(x) croissent ou sont constantes. La fonction est décroissante lorsque pour des valeurs de x croissantes, celles de f(x) décroissent ou sont constantes.

La fonction est croissante sur ] -∞, 0]. La fonction est décroissante sur [0, +∞[.

Déterminez les extremums, s’il y en a.

Le maximum de la fonction est 0.

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CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degré

55


p. 248-249

1

Le graphique ci-contre représente une fonction du second degré. Pour cette fonction, déterminez :

f(x ) 10

a) le domaine ;

8

b) le codomaine ; 6

c) l’abscisse à l’origine ; d) l’ordonnée à l’origine ;

4

e) le signe ;

2

f) la variation ; 4

2



g) l’extremum.

0



2 a) Représentez la réciproque de la fonction du second

2

4

x

2

4

x

y

degré de base dans le graphique ci-contre. 4

b) La réciproque est-elle une fonction ? Expliquez votre réponse.

2

4

0

2





2



4



3 La table de valeurs ci-dessous correspond à la mesure du niveau d’eau dans une citerne en fonction de la température extérieure lorsque celle-ci varie entre 5 °C et 5 °C. Niveau d’eau dans une citerne Température extérieur (°C) Niveau d’eau (cm)

5



100

3



36

1

0

1

3

5

100

4

0

4

36

100

80



a) Représentez graphiquement cette fonction.

60

b) Pour cette fonction, déterminez, selon le contexte :

40

1) le domaine et sa signification ;

20

4



2



0

2

4

2) le codomaine et sa signification ;

3) la variation et sa signification ;

56

CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degré

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p. 249

4 Faites l’étude de la fonction du second degré

f (x )

dont la règle est f(x)  500x . 2

a) Représentez graphiquement cette fonction.

0

x

b) Pour cette fonction, déterminez : 1) le domaine ;: 2) le codomaine ; 3) l’abscisse à l’origine ; 4) l’ordonnée à l’origine ; 5) le signe ;

6) la variation ;

7) l’extremum.

5 Le graphique ci-contre représente la quantité d’eau (en L) dans un chauffe-eau selon le temps écoulé (en min) depuis le début du remplissage.

Quantité d’eau (L) 100

a) 1) Déterminez le domaine de cette fonction.

Quantité d’eau dans un chauffe-eau

80

2) Selon ce contexte, à quoi correspond le domaine ?

60 40 20

b) 1) Déterminez le codomaine de cette fonction. 0

2

4

6

8

2) Selon ce contexte, à quoi correspond le codomaine ?

10 Temps (min)

c) 1) Déterminez l’abscisse à l’origine de cette fonction. 2) Selon ce contexte, à quoi correspond l’abscisse à l’origine ?

d) 1) Déterminez l’ordonnée à l’origine de cette fonction. 2) Selon ce contexte, à quoi correspond l’ordonnée à l’origine ?

e) 1) Déterminez la variation de cette fonction. 2) Selon ce contexte, à quoi correspond la variation ?

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CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degré

57


p. 249

6 On observe la hauteur de la neige accumulée sur le bord d’une fenêtre au cours d’une tempête hivernale d’une durée de 3 h 30. Il est possible de calculer la hauteur H(t) de la neige accumulée (en cm) en fonction du temps écoulé t (en h) depuis le début de la tempête à l’aide de la règle H(t)  1,65t2. a) Déterminez le domaine de la fonction associée à cette situation et ce qu’il représente dans ce contexte.

b) Déterminez le codomaine de la fonction et ce qu’il représente dans ce contexte.

Réponse :

c) Déterminez la variation de la fonction et ce qu’elle représente dans ce contexte.

7 Le plongeon d’un dauphin dans un bassin naturel de 200 m de profondeur est modélisé par la fonction f(x)  2x2 et est représenté dans le graphique ci-contre. Pour cette fonction, déterminez : a) le domaine ;

Profondeur (m)

Plongeon d’un dauphin 0 2

4

6

8

40



10 Temps (s)

80



b) le codomaine ;



120



160



200

c) l’abscisse à l’origine ; d) l’ordonnée à l’origine ; e) le signe et sa signification dans le contexte ;

(10, 200)

f) la variation et sa signification dans le contexte ;

g) les extremums.

58

CHAPITRE 1

Fonction polynomiale du second degré

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p. 249

1

Remplissez les tables de valeurs à l’aide des règles suivantes. b) f(x)  8x2

a) f(x)  10x2 x

f(x)

c) f(x)  0,5x2

x

2



1



f(x)

x

2





1



f(x)

10



5

0

0

0

1

1

5

2

2

10

d) f(x)  6x2

e) f(x)  1,4x2

x

f(x)

f ) f(x)  7x2

x

f(x)

x

f(x)

0

0

0

1

1

1,5

4

3

2

8

5

2,5

16

7

10

2 Représentez chacune de ces fonctions. b) g(x)  x2

a) f(x)  5x2

c) h(x)  0,5x2

g (x)

f(x)

0

x

h(x)

0

0

x

x

3 Déterminez la règle de chacune de ces fonctions. a)

b)

f(x) 4

(4, 3,2)

40



2



4

2



0

(35, 49 000) 2

4

x

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

c)

f(x)

20



0

20

40

f(x) 800

x

400

40 000



80 000





CHAPITRE 1

8

4



0

(4, 400) 4

8

CONSOLIDATION 1.3

x

59


p. 250

4 Le graphique ci-dessous représente la quantité de carburant (en L) dans le réservoir d’un camion selon le temps écoulé (en min) depuis le début du remplissage. a) Déterminez la règle associée à cette situation.

Quantité de carburant (L) 100

Réservoir de carburant d’un camion

80 60 40

b) Pour cette fonction, déterminez, dans ce contexte : 20

1) le domaine et sa signification ;

0

2

4

6

8

10 Temps (min)

2) le codomaine et sa signification ;

3) l’abscisse à l’origine et sa signification ;

4) l’ordonnée à l’origine et sa signification ;

5) la variation et sa signification.

5 Voici les règles de quelques fonctions polynomiales du second degré : f(x)  15x2 a) Calculez : 1) f(3)

g(x)  3x2

2) g(8)

b) Calculez la valeur de x si : 1) f(x)  93,75 2) g(x)  300

60

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.3

h(x)  0,1x2

i(x)  3,5x2

3) h(1000)

4) i(0,5)

3) h(x)  20

4) i(x)  25

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite


p. 250

6 La table de valeurs ci-dessous est celle d’une fonction

f (x )

du second degré. x f (x )

5





125

3



45



2

0

20

0





2 20



3 45



40

5 

125 20

a) Représentez graphiquement cette fonction. b) Déterminez la règle de la fonction associée à cette table de valeurs.

4



0

2



2

4

x

20



40



c) Pour cette fonction, déterminez : 1) le domaine ;

2) le codomaine ;

3) l’abscisse à l’origine ;

4) l’ordonnée à l’origine ;

5) le signe ; 6) la variation ; 7) l’extremum.

7 On mesure la différence de température d’une pièce métallique au cours d’une opération de soudage par rapport à sa température initiale. Il est possible de déterminer cette différence à l’aide de la règle T(x) = 2,5x2, où T correspond à la différence de température (en °C) et x, au temps écoulé (en s) depuis le début de l’opération de soudage. Le soudage de la pièce dure 15 s. a) Déterminez le codomaine de la fonction associée à cette situation.

Réponse : b) 1) Déterminez la variation de la fonction associée à cette situation.

2) Expliquez ce que représente cette variation dans ce contexte.

c) Déterminez le moment où la différence de température est de 160 °C.

Réponse :

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.3

61


p. 250

8 Le graphique ci-contre représente le volume (en ml) d’un prisme à base carrée en fonction de la mesure d’un côté de sa base (en cm.)

Volume (ml) 100

Volume d’un prisme

80

a) Déterminez la règle associée à cette situation.

60 40 20 0

2

4

6

8 10 Mesure d’un côté de la base (cm)

Réponse : b) Selon ce contexte, à quoi correspond la valeur du paramètre a ? Réponse : c) Déterminez la mesure d’un côté de la base si le volume du prisme est de 1 L.

Réponse :

9 La table de valeurs ci-dessous représente la quantité d’eau (en ml) dans un contenant en fonction du temps écoulé (en s) depuis le début du remplissage. Remplissage d’un contenant Temps écoulé (s)

0

2

5

7

8

Quantité d’eau (ml)

0

12

75

147

192

a) Sachant que la quantité d’eau évolue selon une fonction quadratique, déterminez la règle associée à cette situation.

Réponse : b) Déterminez la quantité d’eau après : 1) 4 s

2) 10 s

Réponse :

Réponse :

3) 11,5 s

Réponse :

c) Déterminez le moment où, dans le contenant, la quantité d’eau sera de : 1) 243 ml

2) 468,75 ml

Réponse :

Réponse :

62

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.3

3) 675 ml

Réponse : © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite


p. 257

1

Déterminez la règle de chaque fonction. f(x)

a)



4

h(x)

c)

60

50

50

48

40

40

36

30

30

24

20

20

12

10

10

0

2



d)

g(x)

b)

2

4

x



4

0

2



e)

i(x) 50 000

2

4

4

x



f)

j(x) 40



0

20



20

40

8

30

30 000



12



10 000



4

x

4

x

50

x

40



2

k(x)

4

40 000

20 000

0

2



20

(2, 18)

16

10 (0, 2)

20



40



0

20



g)

20

40

x



h)

l(x) 5000

0 2 4 (0, 20) 200

4000

32

600



48



800



64

1000



80

(2, 320)



0

4

8

x

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

0

2







4



4



16

(4, 1600)

1000 8

x



2000



4

2

n(x)



400

3000

2

0

2

i)

m(x) 

4



CHAPITRE 1

2

4

SYNTHÈSE 1

x

97


p. 257-258

2 Voici les règles de quelques fonctions : f(x)  8x2

g(x)  3(9)x

i(x)  6(1,5)x

h(x)  15x2

a) Calculez : 1) f(4)

2) g(3)

3) h(10)

4) i(1)

3) h(x)  60

4) i(x)  13,5

b) Calculez la valeur de x lorsque : 1) f(x)  1152

2) g(x)  19 683

3 Représentez graphiquement chacune des fonctions suivantes. b) g(x)  0,25x

a) f(x)  3x2

c) h(x) 

g (x )

f (x )

x

0

0

e) j(x) 

d) i(x)  0,5(3)x i (x )



98

0 CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

x

2 2 x 5 j (x ) 0

3 2 x 4 h (x )

0

x

f) k(x)  100(4)x k (x ) x

0

x

x © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite


p. 258

4 Dans chaque cas, déterminez le type de fonction représenté. a)

b)

y

y

10 4

8 2

6 0 4

4

8

12

16

20

x

2



2 4



0

c)

x 0 2 4 6 8 10

200

400

600

800

1000

x

f (x ) 5 0 5 0 5 0

5 Le graphique ci-contre représente la hauteur d’un manège en fonction du temps écoulé depuis sa mise en marche. Pour cette fonction, déterminez, selon le contexte : a) le domaine et sa signification ;

d)

x [0, 200[ [200, 500[ [500, 1000[ [1000, 2000[

f (x ) 50 100 200 400

Tour de manège

Hauteur (m) 60 50 40 30

b) le codomaine et sa signification ;

20 10 0

10

20

30

40

50

60 Temps (s)

c) la variation et sa signification ;

d) les extremums leur signification.

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CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

99


p. 258

6 Les descriptions suivantes font référence à une fonction quadratique ou à une fonction exponentielle. Dans chaque cas, déterminez : 1) le type de fonction associé à la description ;

a) La courbe passe par les points (0, 0) et (5, 100).

2) la règle de la fonction.

b) La courbe passe par les points (0, 12) et (2, 768).

c) La courbe passe par les points (0, 200) et (3, 25).

1)

1)

1)

2)

2)

2)

d) La courbe passe par les points (0, 0) et (3, 720).

e) La courbe passe par les points (0, 0) et (8, 19,2).

f) La courbe passe par les points (0, 0,2) et (2, 20).

1)

1)

1)

2)

2)

2)

7 Pour favoriser l’activité physique chez les jeunes d’une municipalité, on planifie l’aménagement de deux types de terrains de soccer : certains pour les adolescents et d’autres pour les enfants. Voici les spécifications nécessaires à l’aménagement de chaque type de terrain.

Nombre de terrains

Terrains pour enfants

Nombre de terrains pour adolescents

4

4

2

2

80

40

00

(1500, 0)

00

0

Répartition des terrains

Superficie (m2)

0

4

8

Nombre de terrains pour enfants

Sachant que les terrains pour enfants peuvent chevaucher les terrains pour adolescents et qu’on prévoit acheter une superficie de 23 000 m2 pour aménager ces terrains, déterminez le nombre de terrains de chaque type qui pourront être aménagés.

Réponse :

100

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite


p. 259

1

L’attribution des permis Dans une certaine région, on chasse le chevreuil. Les graphiques ci-dessous indiquent le mode d’attribution des permis. Nombre de chevreuils

Population de chevreuils

Attribution des permis

Nombre de permis 40

800 700 600

30

500 400

20

300 200

10

100

La population varie selon une fonction périodique.

0

32 20

28 20

24 20

20

20

(175, 0) 0

Temps (années)

100

200

300

400 Nombre de chevreuils

Les permis sont attribués selon une fonction en escalier.

Déterminez le nombre de permis qui seront attribués en 2052, 2055, 2062 et 2071.

Réponse :

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CHAPITRE 1

BANQUE DE SA 1

105


p. 260

2

L’entraînement Pour se préparer à une course, un athlète doit respecter un entraînement rigoureux afin d’être au sommet de sa forme au moment de la course. Les informations ci-dessous indiquent des programmes d’entraînements pour la course. Programme d’entraînement A Temps écoulé depuis le début du programme l’entraînement (jours)

Durée d’un entraînement (min)

]0, 5]

10

]5, 10]

12

]10, 15]

14

]15, 20]

16

]20, 25]

18

Programme d’entraînement B Durée d’un entraînement 20 (min) 16 12

(10, 10)

8 4 0

8

16 24 32 40 Temps écoulé depuis le début du programme d’entraînement (jours)

Programme d’entraînement C 1) Pour les 6 premiers jours, il s’entraîne 10 min. 5) Pour les 6 jours suivants, il s’entraîne 20 min. 2) Pour les 6 jours suivants, il s’entraîne 20 min.

6) Pour les 12 jours suivants, il s’entraîne 40 min.

3) Pour les 12 jours suivants, il s’entraîne 40 min. 7) Et ainsi de suite. 4) Pour les 6 jours suivants, il s’entraîne 10 min.

Pour être au sommet de sa forme, l’athlète essaie de faire correspondre son temps d’entraînement maximal à la date de la course. Sachant que la course aura lieu dans 64 jours, déterminez le programme d’entraînement le plus adapté.

106

CHAPITRE 1

BANQUE DE SA 1

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p. 261

La bonne connaissance du marché automobile est un facteur clé d’une carrière florissante dans la vente de voitures. Connaître les habitudes de consommation des acheteurs, la valeur de dépréciation d’un véhicule et ses performances sur la route permet au vendeur de proposer à son client potentiel un produit qui pourra satisfaire ses besoins. Dans cette situation d’apprentissage et d’évaluation, vous réaliserez différentes tâches relatives au marché automobile.

TÂCHE 1 :

La gestion des stocks

Afin de répondre adéquatement aux besoins des consommateurs, on doit prévoir un nombre suffisant de véhicules disponibles pour la vente. Comme le montrent les graphiques ci-dessous, le nombre de clients potentiels peut varier selon le temps et l’on doit tenir compte de cette variation pour répondre à la demande. Nombre de clients potentiels

Nombre de clients potentiels 60

Nombre d’automobiles en stock 50

Nombre d’automobiles en stock

40 30

40

20 20

0

10

4

8

12

0 Temps (semaines)

L’évolution du nombre de clients potentiels est une fonction périodique.

8

16

24

32

40 Nombre de clients potentiels

Le nombre d’automobiles en stock est une fonction en escalier qui augmente constamment en fonction du nombre de clients potentiels.

Déterminez le nombre d’automobiles qu’il faudra avoir en stock à la 31e semaine pour répondre à la demande.

Réponse : © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE 1

SAÉ 1

111


p. 261

TÂCHE 2 :

La dépréciation

La dépréciation d’une automobile est l’un des facteurs qui guident le choix de nombreux acheteurs. Le client potentiel ne sera pas tenté d’acheter une voiture qui n’a pas une bonne valeur de revente quelques années après l’achat. La dépréciation de la valeur d’une automobile est représentée ci-contre par une fonction exponentielle.

Valeur de revente d’une automobile

Valeur de revente ($)

(0, 25 000)

(2, 14 062,5)

À quel moment la valeur de revente de cette automobile sera d’environ 2500 $ ?

0 Temps écoulé depuis l’achat (années)

Réponse :

112

CHAPITRE 1

SAÉ 1

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite


p. 261

TÂCHE 3 :

La performance routière

Le client potentiel peut vouloir acheter une voiture qui répond à des normes de sécurité élevées. Voici des informations sur les distances de freinage de deux modèles d’automobile en fonction de la vitesse du véhicule. Modèle A Lorsque l’on roule à 80 km/h et qu’on applique les freins, l’automobile parcourt une distance de 40 m avant de s’immobiliser complètement.

Modèle B Lorsque l’on roule à 50 km/h et qu’on applique les freins, l’automobile parcourt une distance de 25 m avant de s’immobiliser complètement.

Sachant que la distance de freinage varie selon une fonction du second degré, déterminez lequel de ces modèles freine sur la distance la plus courte à une vitesse de 100 km/h.

Réponse :

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE 1

SAÉ 1

113


QUESTION 1

/5

Le graphique ci-dessous montre la hauteur d’un avion en fonction du temps écoulé depuis son décollage. Avion en vol Hauteur (m) 2000

1600

1200

800

400

0

20

40

60

80

100 Temps (min)

Pour cette fonction, déterminez : a) le domaine ; b) le codomaine (l’image) ; c) le maximum ; d) les zéros ; e) la variation.

114

CHAPITRE 1

TEST 1

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QUESTION 2

/4

Déterminez la règle de chacune de ces fonctions. a)

f(x)

(7, 269,5)

x

0

Réponse : b)

f(x) 0

x

(0, 200)

(3, 12 800)

Réponse : © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE 1

TEST 1

115


La direction des ressources humaines Dans une entreprise, les responsabilités du directeur ou de la directrice des ressources humaines sont variées. Cette personne s’occupe, entre autres, d’établir les échelles salariales, d’embaucher ou de licencier du personnel et de négocier les conventions collectives. Elle peut s’occuper des normes de sécurité et santé au travail ainsi que de la formation des employés. Dans cette section, vous réaliserez différentes tâches concernant les responsabilités associées à la direction des ressources humaines dans une entreprise.

TÂCHE 1 :

La sécurité et la santé au travail

/20

Dans le cadre de son travail, la personne responsable des ressources humaines doit s’assurer que les employés travaillent dans un milieu sécuritaire. Afin de diminuer le nombre d’accidents du travail, la direction des ressources humaines d’une entreprise propose un plan de redressement et prévoit que la situation devrait s’améliorer progressivement selon la règle N(t)  40(0,76)t, où N(t) correspond au nombre d’accidents et t, au temps écoulé (en mois) depuis le début du plan de redressement. À l’aide de ces informations, déterminez le moment où le nombre d’accidents du travail devrait être d’environ 10 dans cette entreprise.

Réponse :

118

CHAPITRE 1

TEST 1

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Droites et systèmes d’équations Dans ce chapitre, vous manipulerez le concept de droite. Vous apprendrez à écrire l’équation d’une droite sous différentes formes et analyserez la position d’une droite par rapport à une autre. Vous utiliserez ces concepts pour représenter divers éléments, comme des routes, des structures ou les limites d’un terrain, dans le plan cartésien. Vous y étudierez aussi les systèmes d’équations. L’apprentissage de la résolution de systèmes d’équations vous permettra de comprendre la puissance des mathématiques dans la recherche de solutions communes à un ensemble d’équations dans des domaines aussi variés que le graphisme, le tourisme, les affaires ou les sciences humaines. La résolution de systèmes d’équations vous permettra de comparer des forfaits de téléphonie cellulaire ou des coûts de location de voitures, par exemple.

Programme d’études MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES • Représentation d’une situation à l’aide de droites • Résolution de systèmes d’équations du 1er degré à deux variables

RAPPEL 2 Recherche de la règle d’une fonction polynomiale du premier degré....................123 SECTION 2.1 Droites....................................129

SECTION 2.2 Systèmes d’équations............147

SYNTHÈSE 2............170 BANQUE DE SA 2...179 SAÉ 2............................185 TEST 2.........................188


CHAPITRE 2 DROITES ET SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ......................................................................................... 121

RAPPEL 2 Recherche de la règle d’une fonction polynomiale du premier degré ................................. 123 SECTION 2.1 Droites ........................................................................................................................................ 129 2.1.1 Équation d’une droite ......................................................................................................... 129 2.1.2 Position relative de deux droites ........................................................................................ 136 Consolidation 2.1 ........................................................................................................................ 142 SECTION 2.2 Systèmes d’équations ............................................................................................................... 147 2.2.1 Résolution de systèmes d’équations à l’aide d’une table de valeurs ................................ 147 2.2.2 Résolution de systèmes d’équations à l’aide d’une méthode graphique .......................... 151 2.2.3 Résolution de systèmes d’équations à l’aide d’une méthode algébrique ......................... 155 Consolidation 2.2 ........................................................................................................................ 164 SYNTHÈSE 2 .............................................................................................................................. 170 BANQUE DE SA 2 ...................................................................................................................... 179 SAÉ 2 : L’aménagement du territoire ....................................................................................... 185 TEST 2 ........................................................................................................................................ 188 Évaluation explicite des connaissances ...................................................................................... 188 Évaluation des compétences ...................................................................................................... 192

122

CHAPITRE 2

TABLE DES MATIÈRES

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p. 275

1

Dans chaque cas, déterminez la pente de la droite qui passe par les points A et B. a) A(4, 3) et B(9, 22)

b) A(26, 28) et B(214, 212)

c) A(0,75, 20,9) et B(0,4, 1,2)

2 Résolvez chacun des systèmes d’équations suivants. a)

y 5 0,75x 1 4 y 5 20,25x 1 1

b)

y 5 5x 1 2 y 5 27x 2 3

c)

x 18 3 x y 5 25 1 1

y5

3 Pour chaque équation, déterminez la valeur de la variable inconnue à partir de la valeur donnée de l’autre variable. a) y 5 3,4x 2 7,1 et x 5 0,5

b) y 5 5x 1 12 et y 5 24

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c) y 5 0,2(2x 1 31,6) et y 5 2

GARDER LE CAP

Chapitres 1 et 2

195


p. 275

4 Dans chaque cas : 1) représentez graphiquement le système d’équations ; 2) déterminez les coordonnées du point d’intersection.

a)

b)

y 5 2x 2 1 y 5 2x 1 4

y

1)

y5x13 y 5 23x 1 1 y

1)

x

x

2)  

2)  

5 Résolvez chacun des systèmes d’équations ci-dessous. a)

b)

5x 1 2y 2 12 5 0 2x 5 6y 2 10

2

2x 2 5y 1 9 5 0 x 1 3y 1 21 5 0

6 Dans chaque cas, déterminez la période de la fonction. a)

y

c) y

4

4

8

2

2

6

0

196

b)

y

4

8

12

16

20

x

0

2

4

6

8

10

x

4



2



2

2



4



4

0

GARDER LE CAP

Chapitres 1 et 2

30

60

90

120 150 x

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p. 276

Questions à choix multiple

1

On a tracé ci-contre une fonction périodique sur l’intervalle [8, 8].

f (x ) 8

a) Quel est l’intervalle de décroissance de cette fonction ? 1) [8, 4]  [0, 4]

2) ]8, 8[

3) [6, 2]  [2, 6]

4) [5, 5]

b) Quel est l’intervalle de positivité de cette fonction ?

6 4 2



8

6





4

0

2



6

8

x

2 4

2) ]8, 8[



3) [6, 2]  [2, 6]

4) [5, 5]



6 8



c) Quel est le codomaine de cette fonction ? 2) ]8, 8[

4



1) [8, 4]  [0, 4]

1) [8, 4]  [0, 4]

2

3) [6, 2]  [2, 6]

4) [5, 5]

d) Quelle est l’ordonnée à l’origine de cette fonction ? 1)

6

2)



4



3) 0

4) 5

2 À laquelle des équations suivantes correspond une droite perpendiculaire à la droite d’équation y  4x  2 ? a) y  4x  2

b) y 

x 2 4

x 4

c) y    2

d) y  4x  2

3 Lequel des systèmes d’équations ci-dessous n’admet que l’ensemble vide comme solution ? a)

y  3x  4 y  3x  4

b)

y  7x  12 y  7x  22

c)

y  5x  11 y

x  23 5

d)

y

x 5 6

y  6x  19

4 Laquelle des affirmations suivantes est vraie ? a) La fonction exponentielle est une fonction périodique. b) Un zéro d’une fonction correspond graphiquement à une abscisse à l’origine. c) Une fonction polynomiale du second degré est toujours croissante sur tout son domaine. d) Toutes les fonctions exponentielles sont croissantes.

5 Quelle est la forme canonique de l’équation 3x  4y  8  0 ? a) y   3 x  2 4

b) y  3 x  2 4

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c) y   3 x  2 4

d) y  3 x  2 4

RÉVISION

199


p. 276

Questions à réponse courte

16 Résolvez chacun des systèmes d’équations suivants à l’aide de la méthode de réduction. a)

4x  5y  23 2x  2y  20

b)

6x  5y  5 4x  2, 5y  13

c)

7x  12y  9 6x  4y  8

d)

2x  y  3 2x 10x  3y  11

17 Faites l’étude complète de la fonction représentée

y

ci-contre.

60

a) Domaine :

48

b) Codomaine :

36

c) Abscisses à l’origine :

24

d) Ordonnée à l’origine :

12

e) Signe : f ) Variation :



50



40



30

20





10 0 12 

24



36

g) Extremums : 



202

RÉVISION

10

20

30

40

50

48

60

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x


p. 277

Questions à développement

24 Au cours des 16 premières heures d’une journée, le niveau d’eau h (en m) d’un bassin hydroélectrique varie selon la règle h(t)  0,05t  1,6, où t représente le temps écoulé (en h). Pendant les quatre heures suivantes, le niveau du bassin reste stable. a) Représentez graphiquement cette situation. b) À la 20e heure, les responsables de la sécurité publique ouvrent les vannes du barrage afin  de diminuer le niveau d’eau du bassin à raison de 0,03 m/h. Déterminez le temps écoulé entre  le début de la journée et le moment où le niveau d’eau du bassin est de 1,5 m.

Hauteur (m) 5

Niveau d’eau d’un bassin hydroélectrique

4 3 2 1 0

4

8

12

16

20 Temps (h)

Réponse :

25 Voici des renseignements concernant le tarif de deux entreprises de taxi. Entreprise A • 3,50 $ à l’embarquement • 2 $ pour chaque tranche de deux kilomètres parcourus en totalité ou non

Entreprise B • 2 $ à l’embarquement • 3 $ pour chaque tranche de deux kilomètres parcourus en totalité ou non

Laquelle de ces deux entreprises offre le tarif le plus avantageux ? Coût d’un transport en taxi

Coût ($)

0

Distance (km)

Réponse :

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RÉVISION

205


p. 278

30 En raison du déclin de ses ventes en magasin, un commerçant décide de mettre en place une promotion afin d’augmenter celles-ci. Le graphique A ci-dessous montre les prévisions des ventes depuis le début de l’année sans la promotion. Le graphique B montre les prévisions des ventes depuis la mise en place de la promotion. Graphique A Prévisions des des ventes d’und’un commerçant Prévisions ventes commerçant (sans la promotion) (sans la promotion)

Nombre d’articles Nombre d’articles vendus vendus 200 200 P1(0, P192) 1(0, 192) 180 180

Graphique B Prévisions des des ventes d’und’un commerçant Prévisions ventes commerçant (depuis le début de ladepromotion) (depuis le début la promotion)

Nombre d’articles Nombre d’articles vendus vendus 200 200 180 180

160 160

160 160

140 140

140 140

120 120

120 120

100 100

100 100

80 80

80 80

60 60

60 60

40 40

40 40

20 20 0

04

P2(32,P20) (32, 0)

P4(2, P48) 4(2, 48)

20 20 P3(0, P12) 3(0, 12) 0

84 12 8 16 12 20 16 24 20 28 24 32 28 36 32 40 36 40 Temps écoulé Temps écoulé (semaines) (semaines)

01

21

32

43

54

65

76

87

98 10 9 10 Temps écoulé Temps écoulé (semaines) (semaines)

a) Quel était le nombre d’articles vendus au début de l’année ?

b) À quel moment les ventes sont-elles de 12 articles ? Soit f(x), le nombre d’articles vendus et x, le temps écoulé (en semaines).

Réponse : c) Sachant que le commerçant commence la promotion lorsque les ventes sont de 12 articles, déterminez le moment depuis le début de la promotion où les ventes sont égales à celles effectuées au début de l’année. Soit g(x), le nombre d'articles vendus et x, le temps écoulé (en semaines).

Réponse :

208

RÉVISION

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p. 278

1

La suite de rectangles La table de valeurs suivante fournit des renseignements sur une suite de rectangles semblables. Suite de rectangles semblables Hauteur du rectangle (cm) Aire du rectangle (cm ) 2

2

3

4

5

6

8,8

19,8

35,2

55

79,2

a) Quelle est l’aire d’un rectangle semblable à ceux décrits ci-dessus et dont la hauteur est de 10,4 cm ?

Réponse : b) Quelles sont les dimensions d’un rectangle semblable à ceux décrits ci-dessus et dont l’aire est de 1724,8 cm2 ?

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BANQUE DE SA

209


p. 279

7

Le cinéma Martine et Benoît quittent en voiture leur domicile, situé respectivement aux points M(5, 10) et B(5, 2), pour se rendre au cinéma. Déterminez les coordonnées du point C correspondant au cinéma. Plan de la ville

y

P(11, 12,5)

Rue de

la Tou

r

M(5, 10)

Cinéma

du

Fle

uve

E(13, 8)

Rue

Rue du Musée

C

B(5, 2) 0

x

Réponse :

214

BANQUE DE SA

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p. 280

10

Le salaire d’un joueur de hockey Un joueur de hockey négocie une prolongation de son contrat d’un an. Il demande aux dirigeants de l’équipe un salaire de 50 000 $ par point marqué. Voici des renseignements concernant sa production de points prévue pour la prochaine saison. Production prévue par le joueur • Le nombre N de points marqués devrait varier selon une fonction polynomiale du premier degré dont la règle est de la forme N  a j  b, où j représente le nombre de parties jouées. • Cette fonction est représentée graphiquement par une droite qui passe par les points A(50, 60) et B(30, 36). Production prévue par les dirigeants de l’équipe • Le nombre N de points marqués devrait varier selon une fonction polynomiale du premier degré dont la règle est de la forme N  20  0,5 j, où j représente le nombre de parties jouées. Quelle est la différence entre le salaire demandé par le joueur et celui offert par les dirigeants de l’équipe pour une saison de 82 parties ?

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BANQUE DE SA

217


Au QuÊbec, depuis 2010, la rÊussite d’un cours de conduite est obligatoire pour l’obtention d’un permis de conduire. Le Programme d’Êducation à la sÊcuritÊ routière prescrit un certain nombre d’heures de cours thÊoriques et un certain nombre d’heures de sorties sur la route. Durant ces sorties, les futurs conducteurs sont sensibilisÊs aux dangers liÊs à la vitesse excessive et apprennent notamment à conserver une distance de freinage sÊcuritaire. Dans cette situation d’Êvaluation, vous rÊaliserez diffÊrentes tâches en lien avec l’apprentissage de la conduite.

TĂ‚CHE 1 :

Deux ĂŠcoles, deux tarifications

Le système d’Êquations suivant fournit des renseignements sur le nombre d’heures de cours thÊoriques et celui de sorties sur la route pour deux auto-Êcoles. Dans chaque Êquation, x correspond au nombre d’heures de cours thÊoriques et y, au nombre d’heures de sorties sur la route. Auto-Êcole A

3x  2y  102

Auto-ĂŠcole B

4x  6y  186

Voici d’autres renseignements à ce sujet : • Les coordonnÊes du point d’intersection des deux droites associÊes à ce système correspondent au nombre d’heures de cours thÊoriques et au nombre d’heures de sorties sur la route prescrits par le programme. • Il en coÝte 12 $/h pour les cours thÊoriques et 15 $/h pour les sorties sur la route. Quelle somme devra dÊbourser une personne pour suivre ce cours ?

RĂŠponse :

222

SÉ 2

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QUESTION 1 On a représenté ci-contre les deux droites associées à un système d’équations formé de deux équations du premier degré à deux variables. Déterminez les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

/3

y

(4, 8)

(0, 3)

0

x

(0, 4)

(3, 9)

Réponse : © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

EXAMEN FORMATIF

225


Les matériaux composites Une planche à neige, une raquette de tennis et un cadre de vélo sont des objets qui sont fabriqués à partir de matériaux de haute technologie appelés matériaux composites. Leur appellation provient du fait qu’ils sont constitués d’au moins deux matériaux différents, c’est-à-dire de fibres à haute résistance et d’un liant. La laine de verre, le kevlar, la fibre de carbone et le composite dentaire en sont des exemples. Dans cette section, vous réaliserez différentes tâches en lien avec des objets ou des procédés de la vie courante où les matériaux composites sont utilisés.

TÂCHE 1 :

La laine de verre

/30

De nos jours, la fibre de verre occupe une place de choix dans les domaines tels que la construction, les transports, l’électricité, l’électronique et les sports et loisirs. Elle est ainsi utilisée comme isolant dans la fabrication de la laine de verre. La table de valeurs suivante indique la résistance thermique d’un certain type de laine de verre selon son épaisseur. Résistance thermique de la laine de verre

230

EXAMEN FORMATIF

Épaisseur (mm)

Résistance thermique (W/m  K)

0

0

10

0,04

20

0,16

30

0,36

40

0,64

50

1

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abscisse

degrÊ d’une fonction polynomiale

Nombre correspondant à la première coordonnÊe d’un point dans le plan cartÊsien. y

Exposant le plus ÊlevÊ des termes de la règle d’une fonction polynomiale à une variable.

Exemple : L’abscisse du point P( 2, 3) est 2.

1) Le degrÊ de la fonction f dont la règle est f (x )  x 3  7x 2  4x  12 est 3, car 3 est l’exposant le plus ÊlevÊ des termes du polynôme associÊ à la règle.



Exemples :

P( 2, 3) 

1 0 1

x

2) Le degrÊ de la fonction g dont la règle est g (x )  5 est 0. axe des abscisses

Droite graduÊe horizontale permettant de dÊterminer l’abscisse d’un point dans le plan cartÊsien. L’axe des abscisses est aussi appelÊ axe des x ou axe horizontal. Axe des abscisses

dilatation

Extension, allongement ou agrandissement d’un objet. La multiplication des abscisses du plan cartĂŠsien par une constante a telle que a  1 provoque une dilatation horizontale alors que la multiplication des ordonnĂŠes du plan cartĂŠsien par une constante b telle que b  1 provoque une dilatation verticale. Exemple :

axe des ordonnĂŠes

Droite graduÊe verticale permettant de dÊterminer l’ordonnÊe d’un point dans le plan cartÊsien. L’axe des ordonnÊes est aussi appelÊ axe des y ou axe vertical.

y  x2

y

y  6x 2

1 0 1

Axe des ordonnĂŠes

x

droite contraction

RÊduction d’une figure par un changement d’Êchelle, soit horizontal (contraction horizontale), soit vertical (contraction verticale). Exemple : Contraction verticale : 0  |a|  1 f (x )  x 2

y

g(x )  1 0 1

x2 2

x

coordonnĂŠe

Paramètre numÊrique permettant de localiser un point dans un système de rÊfÊrence donnÊ, comme une droite, un plan ou l’espace.

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Objet gÊomÊtrique dans le plan cartÊsien dont l’Êquation est Ax  By  C. Si B  0, on peut lui donner la forme y  ax  b, oÚ le coefficient a est appelÊ taux de variation (ou pente), et le terme b, ordonnÊe à l’origine (ou valeur initiale). y

Exemple : La droite y  2x  2 est reprĂŠsentĂŠe dans le plan cartĂŠsien ci-contre.

y  2x  2 1 0 1

x

droites parallèles [ // ]

Droites coplanaires n’ayant aucun point commun. d1 Exemple : d1 // d2

d2

GLOSSAIRE

235


droites sécantes

fonction

Paire de droites ayant un point en commun. Elles sont distinctes et ne peuvent se couper qu’en un seul point. Des droites sécantes ont des pentes différentes.

Relation entre deux variables selon laquelle à chaque valeur de la variable indépendante correspond une et une seule valeur de la variable dépendante.

Exemple : Les droites y  2x  3 et y  3x  1 sont sécantes.

y

Exemples : y  2x  3

1 0 1

x y  3x  1

ensemble vide [  ]

Ensemble ne contenant aucun élément. équation

Égalité mathématique comportant une ou plusieurs inconnues pour lesquelles on cherchera éventuellement à en déterminer la ou les valeurs la rendant vraie. Exemples : 1) 2x  6  4 est une équation. 2) 5  2  3 est une égalité, mais pas une équation puisqu’elle ne comporte aucune inconnue. étirement

Voir dilatation. exposant

Nombre affecté à une base et indiquant le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même.

1) La relation représentée par le graphique ci-contre est une fonction. La variable indépendante est x et la variable dépendante est y.

y

2) La relation suivante n’est pas une fonction puisqu’il existe plus d’une valeur possible de la variable dépendante, y, pour la plupart des valeurs de la variable indépendante, x. Ici, pour x  0, on a y  3 et y  3.

y

1 0 1

x

1 0 1

x

fonction de variation directe

Fonction traduisant une situation de proportionnalité et dont des variations constantes et non nulles de la variable indépendante entraînent des variations constantes et non nulles de la variable dépendante. La règle de cette fonction s’écrit f(x)  ax, où a est un nombre réel non nul. Sa représentation graphique est une droite oblique passant par l’origine du plan cartésien. y

Exemple : La fonction f (x )  0,5x est une fonction de variation directe.

1 0 1

Exemple : Dans 36, la base est 3 et l’exposant est 6. L’exposant 6 veut donc dire de multiplier 6 fois la base 3 par elle-même.

x

36  3  3  3  3  3  3  729 6 fois expression algébrique

Formule ou expression composée de constantes et de variables reliées entre elles par des symboles d’opérations mathématiques. Une expression algébrique ne comprend pas de signe d’égalité ni de signe d’inégalité. 3 Exemple : 2x + 5x est une expression algébrique.

x + 4

fonction de variation nulle

Fonction dont des variations de la variable indépendante n’entraînent aucune variation de la variable dépendante. La règle de cette fonction s’écrit f(x)  a, où a est un nombre réel. La fonction de variation nulle est aussi appelée fonction constante. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses. Exemple : La fonction f (x )  3 est une fonction de variation nulle.

y

1 0 1

x

3



236

GLOSSAIRE

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NOTATIONS ET SYMBOLES MATHÉMATIQUES

Notation et symbole

Notation et symbole

Signification

Signification

N

Ensemble des nombres naturels



‌ est supÊrieur ou Êgal à ‌

z

Ensemble des nombres entiers



‌ est infÊrieur ou Êgal à ‌

q

Ensemble des nombres rationnels

[a, b]

Intervalle incluant a et b

q'

Ensemble des nombres irrationnels

[a, b[

Intervalle incluant a et excluant b

r

Ensemble de nombres rĂŠels

]a, b]

Intervalle excluant a et incluant b

Union ou rÊunion d’ensembles

]a, b[

âˆŞ  ou { }

Ensemble vide



‌ est Êgal à ‌

Intervalle excluant a et b



Infini

a

OpposĂŠ de a

1 a ou a

Inverse de a





‌ n’est pas Êgal à ‌ ou ‌ est diffÊrent de‌



‌ est approximativement Êgal à ‌ ou ‌ est à peu près Êgal à‌

x

Variation ou accroissement en x



‌ est supÊrieur à ‌

y

Variation ou accroissement en y



‌ est infÊrieur à ‌

1

FORMULES D’AIRE DES FIGURES PLANES ET CIRCONFÉRENCE D’UN CERCLE

Principales figures planes Aire d’un carrÊ

Aire d’un losange

Aire d’un parallÊlogramme d

c

b

D

A  c2

A

Aire d’un rectangle

h

Dd 2

Aire d’un trapèze

Abh Aire d’un triangle

b h

h

h B

b

Abh

(B  b )  h A 2

Aire d’un polygone rÊgulier à n côtÊs

Aire d’un disque r

a

b

A

bh 2

CirconfÊrence d’un cercle r

c

PÊrimètre  a n  c  a  A 2 2

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A    rayon2  r 2

C  2    rayon  2r ou C    diamètre  d

ANNEXES

239


RELATION DE PYTHAGORE Dans un triangle rectangle, le carrÊ de la mesure de l’hypotÊnuse est Êgal à la somme des carrÊs des mesures des cathètes. Cette relation est appelÊe relation de Pythagore.

A

a Cathète C

b Cathète

c2  a2  b2 B

Exemple : Dans le triangle rectangle ci-contre, on a : 32,5 mm

32,52  12,52  302 1056,25  156,25  900 1056,25  1056,25

B

HypotĂŠnuse c

A

12,5 mm C

30 mm

NOTATION EXPONENTIELLE

Exemple

Notation et signification Pour une base a et un exposant entier m  1 : L’exposant m indique le nombre de fois que la base a apparaÎt comme facteur dans un produit.

am  a  a  a  ‌  a

64  6  6  6  6  1296

m fois

Pour une base a et l’exposant 1 :

a1  a

121  12

Pour une base a  0 et l’exposant 0 :

a0  1

740  1

a m 

Pour une base a  0 et l’exposant entier m  0 :

1 am

4 5 

1

1

1 2

Pour une base a  0 et l’exposant :

362  36  6

a2  a

1

1

1 3

Pour une base a et l’exposant :

a3  a

Pour une base a  0 et les exposants entiers m et n  0 :

a n  am

m

1 1  45 1024

3

3

1253  125  5

n

83  82  64  4

2 3

3

LOIS DES EXPOSANTS

Exemple

Loi Produit de puissances Pour a  0 : Quotient de puissances Pour a  0 : Puissance d’un produit Pour a  0 et b  0 :

240

am  an  am  n am an

 am

n

54  53  54  3  57  78 125 96  96  2  94  6561 92

(ab ) m  a mb m

(3  8)2  32  82  9  64  576

Puissance d’une puissance Pour a  0 :

(a m ) n  a m n

(43)2  43  2  46  4096

Puissance d’un quotient Pour a  0 et b  0 :

 ab 

ANNEXES

m



am b

m

( 56 )  56 4

4 4



625 1296

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TEST DIAGNOSTIQUE p. 1

1. c)

2. b)

3. d)

4. b)

6. d)

7. b)

8. d)

9. a)

5. c)

p. 2

10. b)

11. d)

12. a)

b)

3 2  37 3 3  7 3 

3

58

5  (54  56 )2  511

c) 251

5) Croissante sur [6, 3] ∪ [3, [ ; décroissante sur [10, 6] ∪ [3, 3].



6) Positif sur [10, 8] ∪ [4, 0] ∪ [4, [ ; négatif sur [8, 4] ∪ [0, 4].



y

14.

16. a) 1) [10, [ 2) [4, [ 3) 0 4) 8, 4, 0 et 4.

 5 2  (510)2  5 2  520  518

10

10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 0 2 4 6



b) 1) ], 30[

2 4 6

8 10

x

17. a) 2  24  48

d) Oui.

4) 45 et 20.

b) g(x)  0,5x  5

4  12  48 48 f(x)  x

RELATIONS ET FONCTIONS Introduction aux relations et aux fonctions et lois des exposants

p. 8

1. a) Oui.

3) 30

6) Positif sur [45, 20] ; négatif sur ], 45] ∪ [20, 30[.

(2, 1)

8 10

RAPPEL 1

2) ], 40]

5) Croissante sur ], 25] ∪ [15, 0] ; décroissante sur [25, 15] ∪ [0, 30[.



CHAPITRE 1

c) 

p. 4

p. 3

13. a) 34  37

15. a) 3x  8  4x  9 b) 5x  30  14x  12 x  17 9x  18 y  3  17  8 x2  59 y  5  2  30  40 (17, 59) (2, 40)

4. a) 1) b) Oui.

c) Non.

e) Non.

f ) Non.

8 6 4

2. a) 1) Le nombre d’articles vendus.

2

2) Le profit. b) 1) La durée de l’appel. 2) Le coût d’un appel interurbain.

0

b) 1)

c) 1) La distance parcourue.

8

10

x

2) La réciproque n’est pas une fonction.

10

2 0

5. c)

2

4

6

8

10

x

p. 11

6. a) Taux de variation : f(x)  3x  b 132b b  5 b) f(x)  12x

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6

4

2) Le nombre de bactéries observées.

b) Oui.

4

6

d) 1) Le temps écoulé.

3. a) Non. Plusieurs réponses possibles. Exemple : La réciproque du couple (4, 14) est (14, 4) et non pas (14, 4).

2

y

8

2) La quantité d’essence utilisée.

p. 9

2) La réciproque est une fonction.

y 10

71 3 42

Ordonnée à l’origine : 5 f(x)  3x  5 2 3

c) f(x)   x  4 CORRIGÉ

241


STRUCTURE D’UN GUIDE D’ENSEIGNEMENT En plus de tout le contenu proposé aux élèves dans chacun des cahiers d’apprentissage, les enseignants disposent, à leur usage exclusif, des éléments suivants : • Plus de 50 fiches reproductibles et leur corrigé (une banque de situations d’apprentissage et un test supplémentaire par chapitre, en plus d’un bilan, de deux SÉ et d’un examen préparatoire à celui du MEESR) ; • Les corrigés des tests, des SÉ et de l’examen formatif présents dans le cahier d’apprentissage.

VERSIONS NUMÉRIQUES Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet :

• La version numérique du cahier permet à l’élève :

– de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ;

– de feuilleter et d’annoter chaque page ;

– d’accéder à tout le matériel reproductible ;

– d’écrire ses réponses dans son cahier ;

– de partager des notes et des documents avec vos élèves ;

– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ;

– de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

– de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

François Pomerleau Vincent Roy

Inter va ll e

• Une ou deux rubriques Garder le cap où figurent des exercices et problèmes en contexte ; • Une Révision (10 pages) ; • Une Banque de SA (10 pages) ; • Deux situations d’évaluation (SÉ) ; • Un examen formatif comportant deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ; • Un glossaire ; • Des annexes ; • Le corrigé du cahier.

Cahier d’apprentissage

• Un Test diagnostique ; • Deux ou trois chapitres comprenant chacun : – un Rappel (8 pages), – deux ou trois sections divisées en sous-sections comportant chacune un encadré théorique, des rubriques En pratique, des exercices et problèmes en contexte, chaque section se terminant par une Consolidation portant sur l’ensemble de la section, – une Synthèse (8 pages), – une Banque de SA (6 pages), – une situation d’évaluation et d’apprentissage (SAÉ), – un test divisé en deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ;

2e année du 2e cycle du secondaire

Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul

STRUCTURE D’UN CAHIER

MAT-4151- 1

De plus, la collection Intervalle innove en offrant, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au cahier numérique aux utilisateurs élèves et, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au guide d’enseignement aux utilisateurs enseignants.

Mathématique 2e  cycle du secondaire

Les cahiers d’apprentissage de la collection Intervalle couvrent les éléments prescrits par le Programme de la formation de base diversifiée (FBD) pour chacun des trois cours des séquences Sciences naturelles (SN) et Culture, société et technique (CST) de 4e secondaire.

Mathématique Séquence Culture, société et technique

MAT-4151-1

Modélisation algébrique et graphique en contexte général

Cahier d’apprentissage Notions • Exercices • Problèmes • SAÉ-SÉ • Tests et examen formatif •

Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy CONFORME AU PROGRAMME DE LA FORMATION DE BASE DIVERSIFIÉE

Intervalle FBD CST-MAT-4151-1  
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