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Sommaire

EN

Tu trouveras dans ce livret le cours lié aux objectifs de ton manuel de cycle 4.

Thème A. Nombres et calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Thème B. Expressions littérales – Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Thème C. Proportionnalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Thème D. Statistiques et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

IM

acheveFSC-Myriade4e.pdf 1 22/03/16 14:51

Thème E. Géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Thème F. Géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Algorithmique et programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

SP EC

Mémo.

Direction éditoriale : Julien Barret Édition : Béatrice Jovial-Vernet et Nicole Rêve Assistante éditoriale : Régine Becker Couverture : Jean-François Saada Conception graphique : ADN Illustrations : Jean-Gabriel Jauze et Éléonore Della-malva

Recherche iconographique : Lorena Martini Fabrication : Jean-Philippe Dore Coordination artistique : Pierre Taillemite Réalisation et schémas : Soft Office Relecture : Catherine Lainé Traduction : Fui Lee Luk

À la mémoire de Marcel-André BOULLIS, professeur de mathématiques.

Scratch est un projet du groupe Lifelong Kindergarten du Media Lab de l’Institut de technologie du Massachusetts (MIT) situé à Boston aux États-Unis (http://scratch.mit.edu) Les éditions Bordas tiennent à remercier particulièrement les sociétés Casio et Texas Instruments pour leur aide et leur collaboration à l’élaboration de ce manuel.

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N° de projet : 10220348 N° projet : 10219475 Dépôt Dépôt légal légal :: mai avril 2016 2016 Imprimé en Italie Imprimé en Italie par Niiag par Stige

15/04/2016 17:42


COLLECTION

EN

maths

SP EC

IM

Livret de cours CYCLE 4

programme

2016

04733344_001.indd 1

Sous la direction de

Marc Boullis Marc Boullis

Maxime Cambon Yannick Danard Virginie Gallien Élodie Herrmann Isabelle Meyer Yvan Monka Stéphane Percot

14/04/2016 17:14


Thème A • Nombres et calculs Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Représenter l’espace

Thème B • Expressions littérales – Fonctions Utiliser le calcul littéral Comprendre et utiliser la notion de fonction

Thème C • Proportionnalité Attendus de fin de cycle

EN

Attendus de fin de cycle

IM

Résoudre des problèmes de proportionnalité Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

SP EC

Thème D • Statistiques et probabilités Attendus de fin de cycle

Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Thème E • Géométrie plane Attendus de fin de cycle

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer Représenter l’espace Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Thème F • Géométrie dans l’espace Attendus de fin de cycle Représenter l’espace Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

2

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15/04/2016 16:35


1 Expressions sans parenthèses 2 Expressions avec parenthèses 3 Vocabulaire 4 Quotient et fraction

EN

5 Écritures fractionnaires égales 6 Égalité des produits en croix 7 Nombres relatifs

IM

8 Repérer et comparer des nombres relatifs 9 Somme et différence de nombres relatifs

SP EC

10 Opérations sur les nombres relatifs 11 Enchainements d’opérations

12 Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire 13 Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire dans le cas général

14 Multiplier et diviser des nombres en écriture fractionnaire 15 Puissances entières d’un nombre relatif

16 Puissances de 10

17 Notation scientifique d’un nombre 18 Multiples, diviseurs et nombres premiers 19 Décomposition et fractions irréductibles

3

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14/04/2016 17:24


1

Expressions sans parenthèses Dans une expression sans parenthèses, les multiplications et les divisions doivent être effectuées avant les additions et les soustractions.

PROPRIÉTÉ

On dit que la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

Calcul de B = 12 – 6 : 2 B = 12 – 6 : 2 On effectue d’abord la division B = 12 − 3 B=9

IM EN

Exemples Calcul de A = 3 + 4 × 5 A=3+4×5 On effectue d’abord la multiplication A = 3 + 20 A = 23

1

OBJECTIF

Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite (on dit aussi « dans le sens de lecture »).

PROPRIÉTÉ

Exemple Calcul de A = 10 – 6 + 3 A = 10 – 6 + 3 A= 4+3=7

Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite (on dit aussi « dans le sens de lecture »).

EC

PROPRIÉTÉ

Exemple Calcul de B = 30 : 5 × 2 B = 30 : 5 × 2 B = 6 × 2 = 12

Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des additions, on peut effectuer les calculs dans l’ordre que l’on veut.

SP

PROPRIÉTÉ

On dit que l’addition est commutative.

Exemple Il y a trois façons de calculer l’expression A = 12 + 3 + 8 qui conduisent toutes au même résultat final. Première façon Deuxième façon Troisième façon A = 12 + 3 + 88 A = 12 + 3 + 8 A = 12 ++ 88++33 A = 15 + 8 = 23 A = 12 + 11 = 23 A = 20 12 ++ 38=+23 3

Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des multiplications, on peut effectuer les calculs dans l’ordre que l’on veut.

PROPRIÉTÉ

On dit que la multiplication est commutative.

Exemple Il y a trois façons de calculer l’expression B = 10 × 3 × 8 qui conduisent toutes au même résultat final. Première façon Deuxième façon Troisième façon 10 ×+ 38 ×+83 A = 10 12 ×+ 38×+83 A = 12 A = 10 12 ×+ 88×+33 A = 30 12 ×+ 88=+240 3 A = 10 × 24 = 240 A = 80 12 ×+ 38=+240 3 4

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2

Expressions avec parenthèses

OBJECTIF

2

Dans une expression contenant des parenthèses, on effectue en premier les calculs contenus dans les parenthèses.

PROPRIÉTÉ

Exemple Calcul de A = 8 + 3 × (10 – 2 × 3)

2 3 = (2 : 3) : 4 4

3

Dans une expression contenant des écritures fractionnaires, il faut considérer que le numérateur et le dénominateur sont entre parenthèses.

EC

2 = 2 : (3 : 4) 3 4

Dans l’expression entre parenthèses, c’est la multiplication qui est prioritaire. On calcule donc 2 × 3 . Pour finir le calcul entre parenthèses, on calcule 10 − 6 . On termine le calcul de A en respectant les priorités des opérations.

IM EN

A = 8 + 3 × (10 – 2 × 3) A = 8 + 3 × (10 – 6) A=8+3×4 A = 8 + 12 A = 20 Calcul de B = 7 + 4 × 2 + 10 5+3 B = (7 + 4 × 2) : (5 + 3) + 10 B = 7 + 8 + 10 = 15 + 10 8 10 B = 1,875 + 10 = 11,875

Vocabulaire

OBJECTIF

3

DÉFINITIONS

SP

– Le résultat d’une addition s’appelle une somme et les nombres utilisés s’appellent les termes. – Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence et les nombres utilisés s’appellent les termes. – Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit et les nombres utilisés s’appellent les facteurs. – Le résultat d’une division s’appelle un quotient.

Exemples L’expression 3 + 4 × 5 est une somme car la dernière opération effectuée est une addition. L’expression (5 + 2) × 6 est un produit car la dernière opération effectuée est un produit. 18 + 13 × 9 est la somme de 18 et du produit de 13 par 9. 8 − 4 est le quotient de la différence entre 8 et 4 par le produit de 12 et de 3. 12 × 3 Selon la dernière opération effectuée, on dit que cette expression est une somme, un produit, une différence ou un quotient. Thème A • Nombres et calculs

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5

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4

Quotient et fraction

OBJECTIF

4

Soit deux nombres n et d (avec d ≠ 0). Le quotient de n par d est le nombre qui, multiplié par d, donne n. On peut écrire ce nombre en écriture fractionnaire : n . d

DÉFINITION

IM EN

Exemples Par quel nombre faut-il multiplier 4 pour obtenir 21 ? 4 × … = 21 ? – C’est le quotient 21. En effet, 4 × 21 = 21. 4 4 21 = 21 : 4 = 5,25. – Ce quotient a aussi 21 une écriture décimale : 21 4 22 22 4 4 Par quel nombre 3 faut-il multiplier33 pour obtenir 22 ? 3 × … = 22 ? 22 – C’est le quotient 22 . En effet, 3 × 22 = 22. 3 3 3 – En revanche, ce quotient n’a pas d’écriture décimale exacte, car la division de 22 par 3 ne se termine pas : 22 : 3 ≈ 7,333333…

Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.

DÉFINITION

Exemple 7,4 et  et 88  ,  seule 8  est une fraction. Parmi les écritures fractionnaires 2,5  , 8  , 7,4  et  4,8 77 7 3 5,2 4,8

EC

Fractions et proportions

Exemple Dans le collège d’Arthur, 2   des élèves sont demi-pensionnaires ; dans celui de Yaëlle, 5 1  des élèves sont demi-pensionnaires. Dans quel collège y a-t-il le plus d’élèves demi3 pensionnaires sachant que les deux collèges ont le même nombre d’élèves ?

SP

Pour comparer des fractions (et donc des proportions), on peut revenir à leur écriture décimale ou les placer sur une droite graduée : • Collège d’Arthur 2 5

0

1

• Collège de Yaëlle 0

5

1 3

2 . 1 : la proportion d’élèves demi-pensionnaires 5 3 est plus grande dans le collège d’Arthur.

1

Écritures fractionnaires égales

OBJECTIF

5

a × k   (ou divise) son numérateur a =multiplie Un quotient ne change pas quand on b b et son dénominateur par un même nombre non nul. × k 3,2 a == a3,2 × ×k  10 ou = 32a = a k   1,5 1,5 × 15b 10 b k b b×k a = a k  Exemples b b12 k 3 4 12 « simplifiée » ÷3 = 4 3,2 = 3,2 × 10 = 32 12 a été par 3. = = , la fraction 1 2 = 27 27 ÷ 3 9 27 27 3 9 1,5 × 10 1,5 15 PROPRIÉTÉ

6

12 = 12 3 = 4 27 27 3 9 04733344_006-007_Theme-A.indd 6

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Un nombre a est divisible par un nombre b lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0.

DÉFINITION

« a est divisible par b » signifie : « a est dans la table de b ».

Il existe des moyens simples pour savoir si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division euclidienne : ce sont les critères de divisibilité.

Critères de divisibilité Critère de divisibilité par 2 : un nombre est divisible par 2 s’il est pair, ce qui signifie que son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

IM EN

Exemple 514 est divisible par 2 alors que 267 ne l’est pas.

Critère de divisibilité par 3 : un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. Exemples 1 467 est divisible par 3, car 1 + 4 + 6 + 7 = 18 et 18 est divisible par 3. 2 368 n’est pas divisible par 3, car 2 + 3 + 6 + 8 = 19 et 19 n’est pas divisible par 3.

Critère de divisibilité par 5 : un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

EC

Exemples 2 705 est divisible par 5, car le chiffre des unités est 5. 14 780 est divisible par 5, car le chiffre des unités est 0. 25 557 n’est pas divisible par 5, car le chiffre des unités n’est ni 0 ni 5, mais 7. Un nombre divisible par 2 se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5.

Égalité des produits en croix

SP

6

Soit quatre nombres relatifs a, b, c et d (avec b ≠ 0 et d ≠ 0). Dire que a = c  signifie que a × d = c × b . b d

PROPRIÉTÉ

OBJECTIF

Ceci revient à dire que le tableau a

c

b

d

est un tableau de proportionnalité.

Exemples Les fractions 34 et 2 sont-elles égales ? Oui, car 34 × 3 = 2 × 51 = 102. 3 51 207. Compléter l’égalité  23 = 207 × 23 15 ?? Compléter cette égalité revient à compléter 23 × … = 207 × 15 = 3 105, ce qui revient à compléter … 23 × … = 3 105. 23 207 Or, 3 105 = 13 5, donc . = 23 15 135 : 23 Thème A • Nombres et calculs

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6

3 105

7

12/04/2016 16:52


7

Nombres relatifs

OBJECTIF

7

Un nombre relatif est formé d’un signe + ou – et d’un nombre appelé distance à zéro.

DÉFINITION

Exemples (+ 7) est un nombre relatif : son signe est + ; sa distance à zéro est 7.

(– 4) est un nombre relatif : son signe est – ; sa distance à zéro est 4.

7

4 –4

+7

DÉFINITIONS

0

IM EN

0

Les nombres comportant un signe – sont appelés les nombres négatifs. Les nombres comportant un signe + sont appelés les nombres positifs.

Remarque

Par convention, on ne met pas de signe devant le nombre 0. 0 est à la fois un nombre négatif et positif.

8

Repérer et comparer des nombres relatifs

OBJECTIF

8

Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif. On dit que ce nombre est l’abscisse de ce point.

EC

DÉFINITION

Exemples

La flèche indique le sens croissant des nombres.

E

D

C

O

–5,5

–4

–2

0

+1

A

B

+3

+5

SP

L’abscisse de A est (+ 3). On note A (+ 3). De même, on note B (+ 5), C (– 2), D (– 4) et E (– 5,5).

Un repère orthogonal du plan est composé de deux droites graduées perpendiculaires et de même origine. L’une est appelée axe des abscisses et l’autre axe des ordonnées.

DÉFINITION

Exemple Dans un repère du plan, la position d’un point est donnée par un couple de nombres relatifs. + 3 est l’abscisse du point A et + 1 est son ordonnée. On dit que le point A a pour coordonnées (+ 3 ; + 1) et on note A (+ 3 ; + 1).

+5 +4 +3 +2

E (–2 ; +1)

+1

Axe des ordonnées F (0 ; +3) A (+3 ; +1)

Axe des abscisses

B (+5 ; 0)

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

C (+2 ; –3)

D (–2 ; – 4)

8

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PROPRIÉTÉS

• De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro. • De deux nombres de signes contraires, le plus grand est le nombre positif. • De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. Exemples (+ 2) , (+ 4)

9

(– 12) , (+ 2)

(– 5) , (– 3)

Somme et différence de nombres relatifs

9

OBJECTIF

A Somme de deux nombres relatifs Exemples (+ 7) + (+ 3) = (+ 10)

IM EN

Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme a ce même signe et a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres.

PROPRIÉTÉ

(– 8) + (– 4) = (– 12)

Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur somme : – a le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; – a pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres.

PROPRIÉTÉ

Exemples (– 3) + (+ 7) = (+ 4) car : 7 . 3 donc la somme de (+ 7) et (– 3) a le signe de (+ 7) et 7 – 3 = 4.

(+ 2) + (– 8) = (– 6) car : 8 . 2 donc la somme de (+ 2) et (– 8) a le signe de (– 8) et 8 – 2 = 6.

Dire que deux nombres relatifs sont opposés signifie que leur somme est égale à zéro.

EC

DÉFINITION

Deux nombres opposés ont la même distance à zéro, mais sont de signes contraires. Exemple (– 7) + (+ 7) = 0 donc (– 7) et (+ 7) sont opposés.

SP

B Différence de deux nombres relatifs PROPRIÉTÉ

Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.

Exemple (+ 3) – (– 8) = (+ 3) + (+ 8) = (+ 11) car l’opposé de (– 8) est (+ 8). Soustraire (– 8) revient donc à ajouter (+ 8).

C Convention d’écriture Dans une suite d’additions de nombres relatifs, on peut : – supprimer les signes d’addition et les parenthèses autour des nombres ; – supprimer le signe « + » devant un nombre s’il se trouve en début de ligne.

CONVENTION

Exemple Soit l’expression A = (+ 6) + (– 7) + (– 3,5) + (+ 9,2). A = (+ 6) + (– 7) + (– 3,5) + (+ 9,2) On supprime les signes d’addition et les parenthèses. A = + 6 – 7 – 3,5 + 9,2 On supprime le signe « + » en début de ligne. A = 6 – 7 – 3,5 + 9,2 Les signes qui apparaissent dans l’expression finale sont donc les signes des nombres. Thème A • Nombres et calculs

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9

12/04/2016 16:52


10

Opérations sur les nombres relatifs

OBJECTIF

10

A Rappels sur l’addition et la soustraction Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme : – a ce même signe ; – a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres.

PROPRIÉTÉ

Exemples ( + 13) + ( + 8) = + 2 1

IM EN

( − 12) + ( − 5) = − 17

Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur somme : – a le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; – a pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres.

PROPRIÉTÉ

Exemples (−7) + (+19) = +12 PROPRIÉTÉ

(+5) + (−13) = −8

Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.

EC

Exemple (+5) ( 9) = (+5) + (+9) = +14

B Multiplication

Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur produit : – est positif ; – a pour distance à zéro le produit des distances à zéro des deux nombres.

PROPRIÉTÉ

SP

Exemples (+5) × (+7) = +35

( − 3) × ( − 4) = + 12

Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur produit : – est négatif ; – a pour distance à zéro le produit des distances à zéro des deux nombres.

PROPRIÉTÉ

Exemples ( + 6) × ( − 2) = ( − 12)

( − 3) × ( + 8) = ( − 24)

Dans un produit de plusieurs nombres relatifs différents de zéro : – Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif ; – Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.

PROPRIÉTÉ

Exemples ( − 1) × ( − 2) × ( + 3) × ( − 4) × ( − 5) = + 120 Il y a quatre facteurs négatifs dans ce produit, il est donc positif.

( − 1) × ( + 2) × ( − 3) × ( − 4) × ( + 5) = − 120 Il y a trois facteurs négatifs dans ce produit, il est donc négatif.

10

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C Division Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur quotient : – est positif ; – a pour distance à zéro le quotient des distances à zéro des deux nombres.

PROPRIÉTÉ

+ 21 = +3 +7

Exemples

− 20 = +5 −4

Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur quotient : – est négatif ; – a pour distance à zéro le quotient des distances à zéro des deux nombres.

PROPRIÉTÉ

− 18 = −4,5 +4

IM EN

+ 12 = −2,4 −5

Exemples

D Valeurs approchées d’un quotient

À un rang donné : – la troncature d’un nombre est sa valeur approchée par défaut ; – l’arrondi d’un nombre est, de sa valeur approchée par défaut ou par excès, celle qui est le plus proche du nombre.

DÉFINITIONS

Exemples

En effectuant 25 sur une calculatrice, elle affiche : 7

Encadrement par les valeurs approchées par défaut et par excès

Rang

Troncature

Arrondi

3

4

3,5

3,6

3,57

3,57

3,571

3,571

3 , 25 , 4 7 25 , 3,6 3,5 , 7 3,57 , 25 , 3,58 7 25 3,571 , , 3,572 7

EC

À l’unité

Au dixième

Au centième Au millième

SP

17 = 2,125. Par convention, l’arrondi au centième de 17 est 2,13. 8 8

11

Enchainements d’opérations

OBJECTIF

11

Pour calculer une expression, on effectue : – les carrés, les cubes, etc., – les calculs entre parenthèses, – les multiplications et les divisions, – et enfin les additions et les soustractions. Quand des opérations ont le même niveau de priorité, on les effectue de gauche à droite.

PROPRIÉTÉ

Exemples

A A A A A

= = = = =

13 + 5 (3 11) 7 13 + 5 ( 8) 7 13 + ( 40) 7 27 7 34

B B B B B

= = = = =

7 7 7

3 42 + 1 1 3 16 + 1 1 48 + 11 41 + 11 30 Thème A • Nombres et calculs

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11

12/04/2016 16:53


12

Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire

OBJECTIF

12

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur : – on additionne (ou soustrait) leurs numérateurs ; – on garde leur dénominateur. a, b et c étant trois nombres relatifs (avec c ≠ 0) : a + b = a + b et a − b = a − b c c c c c c

PROPRIÉTÉ

IM EN

Exemples −4 −4 ++ 33 == −4 −4 ++ 33 == −−11             55 55 55 55              99 − − 66 = 99 −− ((−6 −6)) = 99 ++ 66 = 15 = 7 = 15 77 − −77 = 77 77 7

( )

Exemple Pour calculer 2 + 7 , on remarque que 15 est un multiple de 5. 5 15 On peut mettre les deux fractions au dénominateur 15 :

EC

2 + 7 = 2 × 3 + 7 = 6 + 7 = 6 + 7 = 13 5 15 5 × 3 15 15 15 15 15

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire n’ayant pas le même dénominateur, on commence par les mettre au même dénominateur.

Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire dans le cas général

SP

13

OBJECTIF

13

Exemples

Pour calculer 3 − 1 , il faut écrire Pour calculer 1 7 + − 5 , il faut écrire ces deux 7 8 9 12 fractions avec le même dénominateur. ces deux fractions avec le même dénominateur : 17 − 5 = 17 × 4 + − 5 × 3 = 68 + −15 = 68 + (–15) = 53 3 − 1 = 3 × 8 − 1 × 7 = 24 − 7 = 24 −97 += 12 17 36 36 36 9×4 12 × 3 36 7 8 7 × 8 8 × 717 56−5 5617 × 456 −5 ×56 68 + (–15) 68 15 − 3 53 + = + = + = = 3 − 1 = 3 × 8 − 1 × 7 = 24 − 7 = 249 − 712 12 × 3 36 36 36 36 = 17 9 × 4 7 8 7× 8 × 7 17 56 56 56 68 56 68 + (–15) 53 178 + −5 × 4 −5 × 3 −15 = + = + = = 9 12 9×4 12 × 3 36 36 36 36 Le produit des dénominateurs est toujours un dénominateur commun possible.

Dans cet exemple, on pourrait prendre comme dénominateur commun le résultat de 9 × 12, mais on préfère prendre un dénominateur plus petit en choisissant 36.

12

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14

Multiplier et diviser des nombres en écriture fractionnaire

OBJECTIF

14

A Multiplication Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire : – on multiplie leurs numérateurs entre eux ; – on multiplie leurs dénominateurs entre eux. a, b, c et d étant quatre nombres relatifs (avec b ≠ 0 et d ≠ 0) : a × c = a×c b d b×d

Exemple  5 × 9 = 5 × 9 = 45 8 4 8×4 32

IM EN

PROPRIÉTÉ

B Inverse d’un nombre DÉFINITION

est égal à 1.

Dire que deux nombres sont inverses l’un de l’autre signifie que leur produit

Exemples 2 × 0,5 = 1. Les nombres 2 et 0,5 ou 1 sont inverses l’un de l’autre. 2 1 7 × 1 = 1. Les nombres 7 et sont inverses l’un de l’autre. 7 7 3 × 4 = 1 . Les nombres 3 et 4 sont inverses l’un de l’autre. 4 3 3 4

EC

( )

a et b étant deux nombres relatifs non nuls, l’inverse de a est 1 et l’inverse a de a est b . b a

PROPRIÉTÉ

SP

Exemples L’inverse de 9 est 1 . En effet, 9 × 1 = 9 = 1. 9 9 9 L’inverse de 1 est 6. En effet, 1 × 6 = 6 = 1. 6 6 6 L’inverse de 7 est 6 . En effet, 7 × 6 = 42 = 1. 7 6 7 42 6

C Division

Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par son inverse. a, b, c et d étant quatre nombres relatifs (avec b, c et d non nuls) : a = a : b = a × 1 et a : c = a × d b b b d b c

PROPRIÉTÉ

Exemples 2 : 7 = 2 × 9 = 2 × 9 = 18 5 9 5 7 5 × 7 35 12 : 4 = 12 11 = 12 11 = 3 4 11 = 33 17 11 17 4 17 4 17 4 17 Thème A • Nombres et calculs

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13

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15

Puissances entières d’un nombre relatif

OBJECTIF

15

A Puissances positives

a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul.

CONVENTIONS

an désigne le produit de n facteurs tous égaux à a : an  =  a × a × … …. × a × a n facteurs Vocabulaire

– Pour tout nombre a non nul, a0 = 1. – Pour tout nombre a, a1 = a.

Exemples 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 Cas particuliers Si n = 1, a1 = a.

an se lit « a puissance n » ou « a exposant n ».

IM EN

DÉFINITION

(– 3)4 = (– 3) × (– 3) × (– 3) × (– 3) = + 81 Exemple

51 = 5

Si n = 2, a2 se lit « a au carré ».

Exemple

52 = 5 × 5 = 25

Si n = 3, a3 se lit « a au cube ».

Exemple

(– 5)3 = (– 5) × (– 5) × (– 5) = –125

B Puissances négatives

a–n désigne l’inverse de an. a–n =  a1n , où a est un nombre relatif différent de zéro.

EC

DÉFINITION

Exemples 1 = 1 2–3 =  13 = 2×2×2 8 2

(–3)–2 = 

1 = 1 = 1 (−3) × (−3) 9 ( − 3)2

Cas particulier : Si n = 1, a– 1 =  1 est l’inverse de a.

SP

a

16

Puissances de 10

OBJECTIF

16

n désigne un entier positif non nul.

A Calcul d’une puissance de 10 PROPRIÉTÉ

10n désigne le produit de n facteurs tous égaux à 10 : 10n = 10 × 10 × … × 10 × 10 = 1 000 … 000 n facteurs n zéros

PROPRIÉTÉ

10–n désigne l’inverse de 10n. 1 10–n = 10n = 0,000 … 001 n zéros

Exemples 106 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 000 000

10–3 =  13 = 1 = 0,001 1000 10

14

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B Calculs avec les puissances de 10 PROPRIÉTÉ

m et p désignent des entiers relatifs : 10m 10m × 10p = 10m + p = 10m – p 10p

Exemples 107 × 104 = 107 + 4 = 1011 106  = 106 – 2 = 104 102 3 (104)  = 104 × 3 = 1012

p

(10m) = 10m × p

105 × 10–8 = 105 + (– 8) = 10–3 105 = 105 – (– 4) = 109 1 0−4 2 (10–3) = 10–3 × 2 = 10–6

C Préfixes scientifiques Préfixe

IM EN

Les deux tableaux ci-dessous permettent d’indiquer, à l’aide des puissances de 10, par quel facteur est multipliée une unité pour obtenir des multiples ou sous-multiples de cette unité. giga

Symbole

G

Signification

109

méga

kilo

milli

micro

nano

M

k

m

µ

n

106

103

10–3

10–6

10–9

Exemples Un gigaoctet, noté Go, correspond à une quantité de données numériques de 109 octets, soit un milliard d’octets. Un microgramme, noté µg, correspond à une masse de 10–6 grammes, soit un millionième de gramme.

Notation scientifique d’un nombre

OBJECTIF

EC

17

17

A Écriture d’un nombre en notation scientifique La notation scientifique d’un nombre décimal positif est la seule écriture de la forme a × 10n dans laquelle le nombre a est compris entre 1 et 10 exclu (1 < a , 10) et n est un entier relatif.

SP

DÉFINITION

Exemples La distance de la Terre au Soleil est d’environ 150 000 000 km, soit 1,5 × 108 km en notation scientifique. La taille du virus de la grippe est d’environ 0,000 000 09 m, soit 9 × 10–8 m en notation scientifique.

B Utilisations de la notation scientifique La notation scientifique est utile pour donner un ordre de grandeur ou un encadrement du résultat d’un calcul et pour comparer des nombres. Exemple Soit A = 32 657 000 et B = 0,000 486. Nombre

Notation scientifique

Encadrement

Ordre de grandeur

A = 32 657 000

3,2657 × 107

107 , A , 108

A ≈ 3 × 107

B = 0,000 486

4,86 ×

10–4

10–4

,B,

10–3

B ≈ 5 × 10–3

Ordre de grandeur du produit A × B ≈ 15 × 104. Thème A • Nombres et calculs

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15

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18

Multiples, diviseurs et nombres premiers

OBJECTIF

18

A Multiples et diviseurs DÉFINITION

Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul.

Exemple 0, 1, 2 et 3 sont des entiers naturels.

Dire que l’entier naturel a est multiple de l’entier naturel b signifie qu’il existe un entier k tel que a = b × k. On dit aussi : « b est un diviseur de a » ou « a est divisible par b ».

IM EN

DÉFINITION

Exemple 15 = 3 × 5 donc 15 est un multiple de 5. Autrement dit, 5 est un diviseur de 15. Exemple 12 × 1 = 12

Remarque

Tout nombre est multiple de 1. En effet, quel que soit le nombre entier naturel n, on a : n × 1 = n, donc 1 est diviseur de tout nombre entier.

Remarque

Tout nombre est multiple de lui-même, donc tout nombre est divisible par lui-même.

Exemple 27 = 27 × 1

B Nombres premiers

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.

EC

DÉFINITION

Exemple Début de la liste des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31… Mais le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur.

SP

C Critères de divisibilité

Un nombre est divisible par 2 s’il est pair, donc s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemple 276 est divisible par 2, mais 375 ne l’est pas.

Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

Exemple 395 est divisible par 5, mais 921 ne l’est pas.

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Exemple 564 est divisible par 3, car 5 + 6 + 4 = 15 qui est un multiple de 3.

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Exemple 765 est divisible par 9, car 7 + 6 + 5 = 18 qui est un multiple de 9. 16

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D Diviseurs communs à deux nombres entiers Dire qu’un nombre d est un diviseur commun de deux nombres entiers a et b signifie que a et b sont divisibles par d.

DÉFINITION

Exemple 1, 2, 3 et 6 sont les diviseurs communs à 12 et 18.

Dire que deux nombres entiers sont premiers entre eux signifie que leur seul diviseur commun est 1.

DÉFINITION

19

IM EN

Exemple Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Les diviseurs de 35 sont : 1, 5, 7 et 35. Le seul diviseur commun de 12 et 35 est 1. Donc 12 et 35 sont premiers entre eux.

Décomposition et fractions irréductibles

OBJECTIF

19

On peut toujours décomposer un nombre non premier en produit de plusieurs facteurs premiers.

PROPRIÉTÉ

Exemple On peut décomposer 588 en produit de facteurs premiers :

EC

588 = 2 × 294

2 × 147

3 × 49 7×7

Ainsi, 588 = 2 × 2 × 3 × 7 × 7 = 22 × 3 × 72

Soit a et b deux entiers. On dit que la fraction a est irréductible lorsque b a et b sont premiers entre eux.

SP

DÉFINITION

Exemple 5 est un fraction irréductible car 5 et 7 sont premiers entre eux. 7 Remarque

On peut simplifier facilement une fraction et la rendre irréductible en décomposant son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers.

Exemple On veut simplifier la fraction 120 . 84 120 = 23 × 3 × 5 2 84 = 2 × 3 × 7 120 = 23 × 3 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2 × 5 = 10 84 2×2×3×7 7 7 22 × 3 × 7 10 est une fraction irréductible. 7 Thème A • Nombres et calculs

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17

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Thème A • Nombres et calculs Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Représenter l’espace

Thème B • Expressions littérales – Fonctions Utiliser le calcul littéral Comprendre et utiliser la notion de fonction

Thème C • Proportionnalité Attendus de fin de cycle

EN

Attendus de fin de cycle

IM

Résoudre des problèmes de proportionnalité Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

SP EC

Thème D • Statistiques et probabilités Attendus de fin de cycle

Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Thème E • Géométrie plane Attendus de fin de cycle

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer Représenter l’espace Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Thème F • Géométrie dans l’espace Attendus de fin de cycle Représenter l’espace Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

18

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1 Expressions littérales 2 Calculer la valeur d’une expression littérale 3 Tester une égalité 4 Expressions littérales (2)

EN

5 Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction 6 Égalité de deux expressions littérales 7 Mettre un problème en équation

IM

8 Résoudre un problème

9 Expressions littérales (3)

10 Double distributivité et identités remarquables

SP EC

11 Utiliser le calcul littéral pour démontrer une propriété

12 Équations du 1er degré à une inconnue 13 Équations-produit nul

14 Inégalités

15 Inéquations

16 Vers la notion de fonction 17 Image d’un nombre par une fonction

18 Antécédent d’un nombre par une fonction 19 Fonctions linéaires

20 Fonctions affines 21 Accroissements

19

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1

Expressions littérales

OBJECTIF

1

Une expression littérale est un calcul contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.

DÉFINITION

IM EN

Une expression littérale peut servir à décrire une méthode de calcul. On en utilise, par exemple, pour calculer des aires et des volumes, convertir des unités de température, calculer des vitesses… Exemples Aire d’un disque : π × r × r. Dans ce calcul, la lettre r représente le rayon du disque. La lettre π représente un nombre qui ne change pas et qui vaut environ 3,14. Volume d’un cube : c × c × c . Dans ce calcul, la lettre c représente la longueur du côté du cube.

Conventions d’écriture

Il est possible de ne pas écrire le signe × devant une lettre ou une parenthèse. Remarque

x × 4 ne s’écrit pas x4 mais plutôt 4x.

2

EC

x × x s’écrit x2 et se lit « x au carré ». x × x × x s’écrit x3 et se lit « x au cube ». Exemples La formule donnant l’aire d’un disque π × r × r peut donc s’écrire πr2. La formule donnant le volume d’un cube c × c × c peut donc s’écrire c3 .

Calculer la valeur d’une expression littérale

OBJECTIF

2

Calculer la valeur d’une expression littérale, c’est attribuer un nombre à chaque lettre afin d’effectuer le calcul.

SP

DÉFINITION

Exemple Calculer 5x2 + 3(x − 1) + 4y3 lorsque x = 4 et y = 10. 5 × x × x + 3 × (x – 1) + 4 × y × y × y

On écrit les signes × sous-entendus.

= 5 × 4 × 4 + 3 × (4 – 1) + 4 × 10 × 10 × 10

On remplace les « x » par 4 et les « y » par 10.

= 80 + 3 × 3 + 4 000

On effectue les calculs en respectant les priorités opératoires.

= 4 089..

Remarques • Si une même lettre est présente plusieurs fois dans l’expression littérale, alors elle désigne toujours le même nombre. • Lorsque l’on multiplie deux nombres, le signe × doit être écrit. Il est donc nécessaire d’écrire tous les signes × qui seraient sous-entendus dans l’expression littérale quand on veut la calculer. 20

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3

Tester une égalité DÉFINITION

OBJECTIF

3

Une égalité est constituée de deux membres séparés par le signe =.

Une égalité est vraie si les deux membres représentent le même nombre, sinon elle est fausse.

PROPRIÉTÉ

Exemples 4 × 10 = 100 – 60 est une égalité vraie car 4 × 10 = 40 et 100 – 60 = 40. 4 × 10 = 40 + 3 est une égalité fausse car 4 × 10 = 40 et 40 + 3 = 43.

IM EN

Deux expressions littérales sont égales si elles sont toujours égales, c’est-à-dire si elles sont égales quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres.

DÉFINITION

Exemple On veut tester l’égalité 2 + 4x + 3 = 1,5 × x × 2 + x + 5. Pour cela, on transforme chacun de ses membres. Membre de gauche Membre de droite 2 + 4x + 3 = 2 + 3 + 4x = 5 + 4x 1,5 × x × 2 + 5 + x = 1,5 × 2 × x + 5 + x = 3x + x + 5 Dans une suite d’addition, on peut changer l’ordre des termes.

3x + x = (x + x + x) + x = 4x, donc 1,5 × x × 2 + 5 + x = 4x + 5.

EC

Donc 2 + 4x + 3 = 4x + 5.

Dans une suite de multiplications, on peut changer l’ordre des facteurs.

Les expressions des membres de gauche et de droite sont toujours égales, donc l’égalité 2 + 4 x + 3 = 1,5 × x × 2 + x + 5 est toujours vraie.

Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel deux expressions littérales donnent des résultats différents pour prouver que ces expressions littérales ne sont pas égales.

SP

PROPRIÉTÉ

Exemple 2 + 3 × x = 5 × x est une égalité qui est fausse. L’égalité est fausse lorsque x = 4, on a alors 2 + 3 × 4 = 14 et 5 × 4 = 20 . Comme l’égalité n’est pas toujours vraie, 2 + 3 × x n’est pas égal à 5 × x .

Remarque Cela ne veut pas dire que les deux expressions ne sont jamais égales. En effet, si x = 1, on a 2 + 3 × x = 2 + 3 × 1 = 5 et 5 × 1 = 5. Plusieurs exemples ne suffisent pas à prouver que deux expressions sont égales puisqu’un seul suffit à prouver qu’elles ne le sont pas !

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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21

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4

Expressions littérales

OBJECTIF

4

Calculer la valeur d’une expression littérale, c’est attribuer un nombre à chaque lettre de l’expression afin d’effectuer le calcul.

DÉFINITION

Exemple Calculer A = − x2 + 3(x + 6) + 4y lorsque x = − 4 et y = − 8. A = − x2 + 3 × (x + 6) + 4 × y On écrit les signes × sous−entendus. A = − (− 4)2 + 3 × ((− 4) + 6) + 4 × (− 8)

5

IM EN

A = − 42

On remplace x par − 4 et y par − 8 en ajoutant si besoin des parenthèses. On effectue les calculs en respectant les priorités.

Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction

OBJECTIF

5

La multiplication est distributive par rapport à l’addition et la soustraction, ce qui signifie que, quels que soient les nombres k, a et b, on a : k × (a + b) = k × a + k × b ou encore k × (a − b) = k × a − k × b

EC

POPRIÉTÉ

SP

Produit de deux facteurs dont l’un est une somme.

Somme de deux termes. Chaque terme est un produit et chaque produit a un facteur commun. Pour savoir si une expression est une somme ou un produit, on regarde la dernière opération à effectuer pour la calculer.

Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en somme ou différence.

DÉFINITION

Exemples

A = 7 × (x + 1)

Produit de 7 et de (x + 1) qui est une somme

A=7×x+7×1

Expression obtenue en utilisant la distributivité

A = 7x + 7

Somme de 7x et de 7

B = (8x – 4) × 2x

Produit de (8x – 4) et de 2x

B = 8x × 2x + (– 4) × 2x

Expression obtenue en utilisant la distributivité

B = 16x2 – 8x

Somme de 16x2 et de (– 8x)

22

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Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme ou une différence en produit.

DÉFINITION

Exemple A = 4,2 × x − 1,3 × x

Différence de deux produits 4,2 × x et 1,3 × x ayant x comme facteur commun Expression obtenue en utilisant la distributivité

A = x × (4,2 − 1,3) A = x × 2,9 A = 2,9x

Produit de 2,9 et de x

Réduire une expression littérale, c’est l’écrire sous la forme d’une somme algébrique ayant le moins de termes possible.

DÉFINITION

IM EN

Pour cela : 1. on effectue toutes les multiplications qu’il est possible de faire ; 2. on regroupe les termes semblables en factorisant.

Les termes semblables sont ceux qui ont la même partie littérale : 2x2 et 7x2 sont des termes semblables, en revanche, 2x2 et 7x ne le sont pas.

Exemples Réduire A = 5x2 + 4 + 2x − 3x2 − 9 + 11x. A = 5 × x2 − 3 × x2 + 11 × x + 2 × x + 4 − 9 A = (5 − 3) × x2 + (11 + 2) × x + 4 − 9 A = 2x2 + 13x − 5 Remarque

Réduire B = 3 + 2x × 7 − 4x. B=3+2×7×x−4×x B = 3 + 14x − 4x B = 3 + 10x

Remarque

6

EC

On ne peut pas réduire 2x2 + 13x car la factorisation par x ne permet pas de faire de nouveaux calculs. En effet : 2x2 + 13x = 2 × x × x + 13 × x = x × (2x + 13) et on ne peut pas réduire 2x + 13.

On ne peut pas réduire 3 + 10x car : − on ne peut pas factoriser par x ; − on doit effectuer les multiplications avant les additions.

Égalité de deux expressions littérales

OBJECTIF

6

Deux expressions littérales sont égales si elles sont toujours égales, c’est-àdire si elles sont égales quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres.

SP

PROPRIÉTÉ

Remarque

Pour prouver que deux expressions sont égales, on peut les développer et les réduire.

Exemple Prouver que 4x − (5x − 6) = 14 − 2 × (4 − x) − 3x. 4x − (5x − 6) = 4x − 1 × (5x − 6) 14 − 2 × (4 − x) − 3x = 14 − 2 × 4 − 2 × (− x) − 3x = 4x − 1 × 5x − 1 × (− 6) = 14 − 8 + 2x − 3x = −x + 6 = 4x − 5x + 6 = −x + 6 Donc les deux expressions sont égales.

Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel deux expressions donnent des résultats différents pour prouver que ces expressions ne sont pas égales.

PROPRIÉTÉ

Exemple Prouver que 4 + 3x ≠ 7x. Pour x = 5 : 4 + 3 × 5 = 19 et 7 × 5 = 35. C’est un contre-exemple, donc 4 + 3x ≠ 7x. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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7

Mettre un problème en équation

7

OBJECTIF

A Équations Une équation est une égalité comportant un ou plusieurs nombres inconnus désignés par des lettres (que l’on nomme les inconnues de l’équation).

DÉFINITION

Membre de gauche

=

6×x–1

est une équation d’inconnue x.

Membre de droite

IM EN

Exemple 3×x+5

Dans une équation, les valeurs des inconnues pour lesquelles l’égalité est vraie sont les solutions de l’équation.

DÉFINITION

Exemple On considère l’équation 3 × x + 5 = 6 × x – 1 d’inconnue x. 2 est une solution de cette équation, car si x = 2 : 3 × 2 + 5 = 11 et 6 × 2 − 1 = 11 donc l’égalité est vraie pour x = 2. En revanche, 7 n’est pas une solution de cette équation, car si x = 7 : 3 × 7 + 5 = 26 et 6 × 7 − 1 = 41 donc l’égalité est fausse pour x = 7.

B Mettre un problème en équation

SP

EC

Pour mettre un problème en équation, on repère dans un premier temps l’inconnue et on la nomme par une lettre. On écrit ensuite une égalité entre deux quantités faisant intervenir cette inconnue. Exemple Voici un problème : Je suis un nombre dont le double augmenté de 5 est égal au triple diminué de 4. Qui suis-je ? On appelle x le nombre cherché. On écrit le double de ce nombre.

2x

On écrit le triple de ce nombre.

3x

On augmente de 5 ce résultat.

2x + 5

On diminue de 4 ce résultat.

3x – 4

Ces deux expressions doivent être égales ; on cherche donc un nombre qui soit solution de l’équation 2x + 5 = 3x – 4. On peut remarquer que 9 est une solution de cette équation et donc du problème posé, car : 2 × 9 + 5 = 23 et 3 × 9 – 4 = 23.

Mettre en équation un problème est très utile. Cela permet de résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Tu trouveras des exemples à la page suivante.

24

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8

Résoudre un problème

OBJECTIF

8

On peut résoudre un problème à l’aide d’équations. Pour cela, il faut : choisir une inconnue et la nommer avec une lettre, mettre le problème en équation, trouver une solution de l’équation, répondre en interprétant la solution de l’équation en fonction du problème initial. Exemple 2 Jade, Akim et Ilan collectionnent les canettes de soda. Ils en parlent à un quatrième ami. Akim dit : « J’ai deux fois plus de canettes que Jade. » Ilan dit : « J’ai 23 canettes de plus que Jade. » Jade dit : « À nous trois, nous avons exactement 100 canettes. » Indiquer, si possible, combien chaque enfant possède de cannettes.

IM EN

Exemple 1 Emma doit acheter des melons avec le billet que lui a donné sa mère. Si elle achète 5 melons, il lui restera 1 € mais il lui manque 80 centimes pour acheter 6 melons. Combien coute un melon ? 1. On nomme l’inconnue avec une lettre. Soit x le prix d’un melon. 2. On met le problème en équation.

5 melons coutent 5 × x . Donc 5 × x + 1 représente la valeur du billet.

EC

6 melons coutent 6 × x . Donc 6 × x − 0,80 représente la valeur du billet. On a donc l’équation : 6 × x − 0,80 = 5 × x + 1

3. On trouve une solution de l’équation.

SP

et Donc 1,8 est une solution de cette équation.

4. On interprète la solution pour le problème. Un melon coute donc 1,80 €.

Retiens bien les différentes étapes. ➊ Nomme une inconnue avec une lettre. ➋ Mets le problème en équation. ➌ Trouve une solution de cette équation. ➍ Rédige la solution du problème.

1. On nomme l’inconnue avec une lettre. Soit x le nombre de canettes de Jade. 2. On met le problème en équation. Jade a x canettes. Akim a 2 × x canettes. Ilan a x + 23 canettes.

On a donc l’équation : x + 2 × x + x + 23 = 100 Ou encore : 4x + 23 = 100 3. On trouve une solution de l’équation. x

19,25

×4

:4

4x

77

+ 23

− 23

4x + 23

=

100

4. On interprète la solution pour le problème. 19,25 ne peut pas correspondre à un nombre de canettes. Bien que l’équation ait une solution, le problème n’a en revanche pas de solution. Au moins un des enfants a dû se tromper dans son affirmation. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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25

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9

Expressions littérales

OBJECTIF

9

Calculer la valeur d’une expression littérale, c’est attribuer un nombre à chaque lettre de l’expression afin d’effectuer le calcul.

DÉFINITION

Exemple Calculer A = 2x3 − y2 + 8(x − 1) lorsque x = − 2 et y = − 5. On écrit les signes × sous-entendus.

A = 2 × (− 2)3 − (− 5)2 + (− 2 − 1)

On remplace x par − 2 et y par − 5 en mettant des parenthèses. On effectue les calculs en respectant les priorités.

A = − 16 − 25 − 24 A = − 65 Remarque

IM EN

A = 2 × x3 − y2 + 8 × (x − 1)

On peut aussi écrire les multiplications sous-entendues dans x3 en l’écrivant x × x × x, et dans y2 en l’écrivant y × y.

Double distributivité et identités remarquables

EC

10

PROPRIÉTÉ

OBJECTIF

10

Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a : = a×c+a×d+b×c+b×d (a + b) × (c + d)

Produit de deux facteurs

Somme de quatre termes

Remarque

SP

Cette propriété est une conséquence de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction. En effet : (a + b) × (c + d) = a × (c + d) + b × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d.

Exemple Développer B = (− 3 + 2x) × (7 − 4x). B = (( − 3) + 2x) × (7 + (− 4x)) B = (− 3) × 7 + (− 3) × (− 4x) + 2x × 7 + 2x (− 4x) B = − 21 + 12x + 14x − 8x2 B = − 8x2 + 26x − 21

Quels que soient les nombres a et b, on a : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2  (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Ces égalités s’appellent les identités remarquables.

Pour éviter les erreurs, il est conseillé d’effectuer mentalement ces étapes.

PROPRIÉTÉS

 (a + b)(a − b) = a2 − b2

Remarque Ces propriétés servent à développer plus rapidement certaines expressions, mais elles servent surtout à factoriser des expressions.

26

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11

Utiliser le calcul littéral pour démontrer une propriété

OBJECTIF

11

Deux expressions littérales sont égales si elles sont toujours égales, c’est-à-dire si elles sont égales pour n’importe quelles valeurs attribuées aux lettres de l’expression.

DÉFINITION

On peut utiliser une expression littérale pour écrire certaines propriétés des nombres entiers.

PROPRIÉTÉ

IM EN

Exemples Un nombre n étant choisi : • n + 1 représente le nombre suivant ; • n − 1 représente le nombre précédent.

Un nombre pair s’écrit toujours sous la forme 2n.

Un nombre impair s’écrit toujours sous la forme 2n + 1 ou 2n − 1. Un multiple de 3 s’écrit 3n et un multiple de 7 s’écrit 7n.

Un nombre de trois chiffres peut s’écrire a × 100 + b × 10 + c. chiffre des centaines

chiffre des dizaines

chiffre des unités

Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel deux expressions donnent des résultats différents pour prouver que celles-ci ne sont pas égales.

EC

PROPRIÉTÉ

Vocabulaire

Cet exemple s’appelle alors un contre-exemple.

Exemples Benjamin affirme : « Pour tous les nombres a et b, on a (a + b)2 = a2 + b2. » A-t-il raison ?

SP

Contre-exemple Avec a = 2 et b = 3, on a (a + b)2 = (2 + 3)2 = 25, alors que a2 + b2 = 22 + 32 = 13. C’est un contre-exemple, l’affirmation de Benjamin est donc fausse. Prouver que pour tout nombre x, on a (2x + 3)(5 − x) + 10 = 47 + x (7 − 2x) − 22. Pour prouver que deux expressions sont égales, on peut les développer et les réduire.

– On développe et on réduit le premier membre de l’égalité (2x + 3)(5 − x) + 10 : (2x + 3)(5 − x) + 10 = 10x − 2x2 + 15 − 3x + 10 = − 2x2 + 7x + 25 – On développe et on réduit le deuxième membre de l’égalité 47 + x (7 − 2x) − 22 : 47 + x (7 − 2x) − 22 = 47 + 7x − 2x2 − 22 = − 2x2 + 7x + 25 Les deux expressions obtenues sont égales, donc l’égalité : (2x + 3)(5 − x) + 10 = 47 + x(7 − 2x) − 22 est vraie pour toutes les valeurs de x. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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27

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12

Équations du 1er degré à une inconnue

OBJECTIF

12

On ne change pas les solutions d’une équation si : – on développe, on réduit, on factorise chacun des deux membres de l’équation ; – on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l’équation ; – on multiplie ou on divise les deux membres de l’équation par un même nombre non nul.

PROPRIÉTÉS

6x + 5 = (3 − x) × 4 6x + 5 = 12 − 4x

IM EN

Exemple Résoudre l’équation 6x + 5 = (3 − x) × 4. Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés précédentes pour isoler l’inconnue dans un membre de l’équation. On développe et on réduit les deux membres de l’équation.

6x + 5 + 4x = 12 − 4x + 4x 10x + 5 = 12

On ajoute 4x aux deux membres de l’équation, puis on réduit chacun de ces membres.

10x + 5 − 5 = 12 − 5 10x = 7 10x 7 = 10 10 x = 0,7

On soustrait 5 aux deux membres de l’équation, puis on réduit chacun de ces membres. On divise les deux membres par 10.

L’équation n’a qu’une seule solution.

13

EC

Cette équation est du 1er degré parce qu’il n’y a pas de termes en x2, en x3, etc.

Équations-produit nul

13

Dire qu’un produit est nul signifie que l’un de ses facteurs est nul.

SP

PROPRIÉTÉ

OBJECTIF

Remarque

On utilise cette propriété et la distributivité (notamment les identités remarquables) pour résoudre des équations dont le degré est supérieur ou égal à 2.

Une équation est de degré 2 si elle comporte des termes en x2.

Exemple Résoudre (5x + 1) (3 − 2x) = 0. Grâce à la propriété ci-dessus, on peut dire que si (5x + 1) (3 − 2x) = 0, alors soit 5x + 1 = 0, soit 3 − 2x = 0. Cette équation a donc deux solutions. • Première solution • Deuxième solution 5x + 1 = 0 3 − 2x = 0 5x = − 1 3 = 2x x = − 0,2 1,5 = x L’équation (5x + 1)(3 − 2x) = 0 a deux solutions : –0,2 et 1,5. 28

04733344_028-029_Theme-B.indd 28

12/04/2016 16:46


14

Inégalités

OBJECTIF

14

A Notations et définition a , b signifie que a est strictement inférieur à b. a < b signifie que a est inférieur ou égal à b. DÉFINITION

Quels que soient les nombres a et b, on dit que a , b si b − a est positif.

B Inégalités et opérations Quels que soient les nombres a, b et c (c ≠ 0), si a , b, alors :  a + c , b + c  si c . 0, alors ac , bc et a , b c c a  a − c , b − c  si c , 0, alors ac . bc et . b c c

IM EN

PROPRIÉTÉ

Exemples 7 , 15, donc 7 + 10 , 15 + 10. 7 , 15, donc 7 − 10 , 15 − 10.

15

Inéquations

5 < 6, donc 5 × 2 < 6 × 2. 6 6 , 21, donc . 21 . −3 −3

Remarque

L’inégalité change de sens car –3 , 0.

OBJECTIF

15

Une inéquation est une inégalité dans laquelle figurent des nombres inconnus désignés par des lettres. Les solutions d’une inéquation sont les valeurs que l’on peut attribuer aux lettres pour que l’inégalité soit vraie. Résoudre une inéquation, c’est en trouver toutes les solutions.

EC

DÉFINITION

On ne change pas les solutions d’une inéquation si : – on développe, on réduit ou on factorise chacun des deux membres de l’inéquation ; – on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l’inéquation ; – on multiplie ou on divise les deux membres de l’inéquation par un même nombre positif non nul ; – on multiplie ou on divise les deux membres de l’inéquation par un même nombre négatif non nul à condition de changer le sens du signe de l’inéquation.

SP

PROPRIÉTÉ

Exemple Résoudre l’inéquation 8 × (x + 2) ˘ 9 + 10x. 8 × (x + 2) ˘ 9 + 10x 8x + 16 ˘ 9 + 10x 8x + 16 − 10x ˘ 9 + 10x − 10x − 2x + 16 ˘ 9 − 2x + 16 − 16 ˘ 9 − 16 − 2x ˘ − 7 − 2x − 7 < −2 −2

On développe et on réduit les deux membres de l’inéquation. On soustrait 10x aux deux membres de l’inéquation, puis on réduit chaque membre. On soustrait 16 aux deux membres de l’inéquation, puis on réduit chaque membre. On divise les deux membres par –2. Comme c’est un nombre négatif, on change le sens de l’inéquation.

x < 3,5 L’inéquation a une infinité de solutions : tous les nombres inférieurs ou égaux à 3,5 sont des solutions. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

04733344_028-029_Theme-B.indd 29

29

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16

Vers la notion de fonction

OBJECTIF

16

Le processus qui, à un nombre, fait correspondre un autre nombre unique s’appelle une fonction.

DÉFINITION

Nombre de départ

Nombre correspondant

Fonction

A Exemple et notations

Nombre de départ Nombre correspondant

IM EN

Exemple On définit la fonction, appelée f, par le programme de calcul suivant : « Élever au carré le nombre choisi, puis ajouter 1. » – Au nombre 4 correspond le nombre 17 ; en effet : 42 + 1 = 16 + 1 = 17. – Au nombre 6 correspond le nombre 37 ; en effet : 62 + 1 = 36 + 1 = 37. Les correspondances effectuées par la fonction f peuvent être résumées dans un tableau : 4

6

7

8

17

37

50

65

De façon générale : par la fonction f, à un nombre x, on fait correspondre le nombre x2 + 1.

EC

x s’appelle la variable. On peut faire varier ce nombre !

Notations On note :

f : x ! x2 + 1

f(x) = x2 + 1.

ou

se lit : « f de x égal x2 + 1 ».

se lit : « la fonction f qui à x fait correspondre x2 + 1 ».

Remarque

SP

Il ne faut pas confondre f et f (x). f est une fonction (un processus de calcul) alors que f (x) est un nombre.

B Représentation graphique Dans un repère, on considère les points M de coordonnées (a ; b) où f est une fonction, a est un nombre et b = f (a). L’ensemble de tous ces points forme une courbe # appelée la représentation graphique de la fonction f. 3

# 2

M

b 1

−1

0

1

a

2

3

30

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17

Image d’un nombre par une fonction

OBJECTIF

17

Par la fonction f, à un nombre a correspond un nombre b. Le nombre b s’appelle l’image du nombre a par la fonction f.

DÉFINITION

Exemples

x g (x)

–1 –3

0 –5

1 –3

2 3

M1(1 ; h(1))

2

#

M2(–0,5 ; h(–0,5))

1

0,8

a pour image

– L’image de 0 par la fonction g est – 5. – L’image de 2 par la fonction g est 3.

−0,5

0

1

On lit graphiquement que l’image de 1 par la fonction h est 2 et que l’image de – 0,5 est 0,8.

Antécédent d’un nombre par une fonction

EC

18

On considère la fonction h représentée par la courbe # ci-dessous :

IM EN

Soit la fonction f définie par f : x a 1 . x L’image de 2 par la fonction f est 0,5 ; en effet : f(2) = 1 = 0,5. 2 On peut noter f : 2 ∞ 0,5. La fonction g est donnée par le tableau de valeurs suivant :

OBJECTIF

18

Par la fonction f, à un nombre a correspond un nombre b. Le nombre a s’appelle un antécédent du nombre b par la fonction f.

DÉFINITION

SP

Exemples Soit la fonction f définie par f : x ∞ x2. Un antécédent de 9 par la fonction f est 3. En effet, f (3) = 32 = 9. On peut noter f : 3 ∞ 9. La fonction g est donnée par le tableau de valeurs suivant : x g (x)

–5 4

–3 2

0 1

5 2

On considère la fonction h déterminée par la courbe # ci-dessous :

M2(−2 ; h(−2))

M1(2 ; h(2))

5 4

a pour antécédent

3 2

– Un antécédent de 4 par la fonction g est – 5. – Des antécédents de 2 par la fonction g sont – 3 et 5.

#

1 −2

–1

0

1

2

On lit graphiquement que des antécédents de 5 par la fonction h sont – 2 et 2. En effet, h (– 2) = 5 et h (2) = 5. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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31

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19

Fonctions linéaires

OBJECTIF

19

A Définition et notation Une fonction linéaire est une fonction qui, à un nombre x, fait correspondre le nombre a × x, où a est un nombre donné. On la note f : x ∞ ax ou f (x) = ax.

DÉFINITION

IM EN

Exemple La fonction qui, à un nombre, associe son double est une fonction linéaire. On la note f : x ∞ 2x ou f (x) = 2x. Lorsque l’on applique une fonction linéaire f : x ∞ a x, cela revient à choisir un nombre, puis à le « multiplier par a ».

B Tableau de valeurs d’une fonction linéaire

Un tableau dont les nombres de la deuxième ligne sont les images des nombres de la première ligne par une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

PROPRIÉTÉ

EC

Exemple La fonction f : x  ∞ 5x est une fonction linéaire. Un tableau de valeurs associé à la fonction f est un tableau de proportionnalité. x f (x)

–2 – 10

0 0

2 10

4 20

×5

En effet, les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant par 5 les nombres de la première ligne.

SP

C Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ∞ ax est une droite qui passe par l’origine du repère.

PROPRIÉTÉ

Remarque a est appelé le coefficient directeur de cette droite. La droite représentative de la fonction f de coefficient directeur a passe par le point de coordonnées (1 ; a).

Exemple La représentation graphique de la fonction f : x  ∞ 2x est la droite passant par l’origine du repère et le point A (3 ; 6). En effet, f (3) = 2 × 3 = 6. Cette droite passe par le point de coordonnées C (1 ; 2). En effet, f (1) = 2 × 1 = 2.

A(3 ; 6)

6 5 4 3 a=2

C(1 ; 2)

1 0

1

2

3

4

32

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12/04/2016 16:50


20

Fonctions affines

OBJECTIF

20

A Définition et notation Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, fait correspondre le nombre a × x + b, où a et b sont deux nombres donnés. On la note f : x ∞ ax + b ou f (x) = ax + b.

DÉFINITION

Exemple La fonction qui, à un nombre, associe la somme de son triple et de 4 est une fonction affine. On la note f : x  ∞ 3x + 4 ou f (x) =  3x + 4.

B Cas particuliers

IM EN

 Une fonction affine f : x ∞ ax + b est une fonction linéaire si b  = 0. En effet, dans ce cas f : x ∞ ax.

 Une fonction affine f : x ∞ ax + b est une fonction constante si a = 0. En effet, dans ce cas f : x ∞ b.

C Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine f : x  ∞ ax + b est une droite.

PROPRIÉTÉ

Remarque

EC

a est appelé le coefficient directeur de la droite et b est appelé l’ordonnée à l’origine. La droite représentative d’une fonction d’ordonnée à l’origine b passe par le point de coordonnées (0 ; b).

SP

Exemple La représentation graphique de la fonction f : x ∞ – 2x + 1 est la droite passant par les points A (– 1 ; 3) et B (2 ; – 3). En effet, f (– 1) = – 2 × (– 1) + 1 = 3 et f (2) = – 2 × 2 + 1 = – 3. La droite passe aussi par le point de coordonnées C (0 ; 1) car f (0) = – 2 × 0 + 1 = 1.

21

Accroissements

A(–1 ; 3)

3

2

b=1

C(0 ; 1) –2

–1 0 –1

1

2

3

–2

B(2 ; –3)

–3

OBJECTIF

21

f est une fonction affine de la forme f : x ∞ ax + b. Si x1 et x2 sont deux nombres tels que x1 ≠ x2, alors : f ( x2 ) − f ( x1 ) a= x2 − x1

PROPRIÉTÉ

Remarque Cette propriété signifie que les accroissements de f (x) et de x sont proportionnels. Le coefficient de proportionnalité est a. a est aussi le coefficient directeur de la droite représentant f. Le coefficient directeur permet de définir la direction de la droite.

Exemple On considère la fonction affine f telle que f (2) = 4 et f (5) = 10. Le coefficient directeur de la droite représentative de f est égal à : f(5) − f(2) = 10 − 4 = 2. 5−2 5−2 Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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33

12/04/2016 16:50


Thème A • Nombres et calculs Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Représenter l’espace

Thème B • Expressions littérales – Fonctions Utiliser le calcul littéral Comprendre et utiliser la notion de fonction

Thème C • Proportionnalité Attendus de fin de cycle

EN

Attendus de fin de cycle

IM

Résoudre des problèmes de proportionnalité Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

SP EC

Thème D • Statistiques et probabilités Attendus de fin de cycle

Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Thème E • Géométrie plane Attendus de fin de cycle

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer Représenter l’espace Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Thème F • Géométrie dans l’espace Attendus de fin de cycle Représenter l’espace Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

34

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15/04/2016 16:35


1 Reconnaitre un tableau de proportionnalité 2 Compléter un tableau de proportionnalité 3 Utiliser la proportionnalité 4 Utiliser et déterminer des pourcentages

EN

5 Déterminer une quatrième proportionnelle

6 Caractériser graphiquement la proportionnalité

7 Utiliser la proportionnalité pour calculer des grandeurs

IM

8 Manipuler des pourcentages pour résoudre des problèmes 9 Situations de proportionnalité 10 Pourcentages

SP EC

11 Grandeurs composées

35

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14/04/2016 17:22


1

Reconnaitre un tableau de proportionnalité

1

OBJECTIF

Il y a proportionnalité dans un tableau de nombres à deux lignes lorsque les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la première par un même nombre que l’on appelle coefficient de proportionnalité.

DÉFINITION

2

× 2,70

IM EN

Exemple Le prix de cerises vendues 2,70 € le kilogramme est proportionnel à leur masse. Le tableau donne le prix Masse de cerises (en kg) 0,5 1 2 5 à payer selon la masse 1,35 2,70 5,40 13,50 Prix (en €) de cerises achetées. Les quotients 1,35  ; 2,70 ; 5,40  ; 13,50 sont tous égaux à 2,70. 0,5 1 2 5

Compléter un tableau de proportionnalité

OBJECTIF

Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, si l’on connait trois valeurs, alors on peut calculer la valeur manquante, appelée la quatrième proportionnelle.

DÉFINITION

a

b

c

?

2

EC

Exemple Temps (en h) 4 6 10 Un robinet fuit et la quantité d’eau perdue est Quantité d’eau (en L) 10 proportionnelle au temps qui passe. On peut compléter ce tableau par différentes méthodes. 1. Par passage à l’unité 2. En utilisant le coefficient de proportionnalité En 4 heures, on perd 10 L. 4 6 Donc en 1 heure, on perd 4 fois moins : × 2,5 × 2,5 10 15 10 : 4 = 2,5 L. En 6 heures, on perd 6 fois plus que 2,5 L : 6 × 2,5 = 15 6 × 2,5 = 15 L. = 3. En utilisant les propriétés de la proportionnalité

SP

× 1,5

4

6

10

15

× 1,5

3

10 × 1,5 = 15

Utiliser la proportionnalité

+

4 10

6

10

15

25

+ =

10 + 15 = 25 OBJECTIF

3

A Calculer des grandeurs

Dans une situation de proportionnalité, on peut utiliser un tableau pour organiser et calculer des grandeurs. Exemple Léa marche toujours à la même vitesse. Elle parcourt 3 km en 15 min. On peut calculer combien de temps il lui faudrait pour parcourir 10 km. 15 : 3 = 5 donc Léa parcourt 1 km en 5 min. Distance (en km) 3 10 10 × 5 = 50 donc il faut 50 minutes à Léa pour Temps (en min) 15 parcourir 10 km.

×?

36

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12/04/2016 17:01


B Utiliser une échelle Sur un plan dit « à l’échelle », les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. Le coefficient de proportionnalité obtenu en divisant les longueurs sur la carte par les longueurs réelles, toutes exprimées dans la même unité, s’appelle l’échelle du plan.

DÉFINITION

IM EN

Exemple La carte ci-contre est à l’échelle 1/1 500 000, ce qui signifie que les dimensions sont 1 500 000 fois plus grandes dans la réalité que sur le plan. Autrement dit, 1 cm sur le plan représente 1 500 000 cm (soit 15 km) dans la réalité. Sur cette carte, si la distance entre deux villes est de 8,4 cm, dans la réalité, cette distance est de 8,4 × 15 = 126 km. On peut aussi écrire 1 l’échelle : . 1 500 000

15 km

Carte : Bordeaux © Geoatlas

Utiliser et déterminer des pourcentages

OBJECTIF

EC

4

4

Un pourcentage de t % traduit une situation de proportionnalité de coefficient t . Donc appliquer un taux de t % revient à multiplier par t . 100 100

DÉFINITION

SP

Exemple Dans une classe de 30 élèves, 60 % des élèves pratiquent un sport. Le nombre de sportifs dans cette classe se calcule de la façon suivante : 30 × 60 = 30 × 0,6 = 18. Il y a donc 18 sportifs dans la classe. 100

Déterminer un pourcentage, c’est déterminer une proportion écrite sous forme d’une écriture fractionnaire de dénominateur 100.

DÉFINITION

Exemple Parmi les 500 élèves d’un collège, 120 étudient l’allemand. Le pourcentage d’élèves du collège qui apprennent l’allemand s’obtient en écrivant la proportion suivante : 120 = 24 = 24 %. Ainsi, 24 % des élèves de ce collège étudient l’allemand. 500 100 Pour calculer ce pourcentage, on peut aussi utiliser un tableau de proportionnalité. Nombre d’élèves étudiant l’allemand Nombre total d’élèves

120

x

500

100 Thème C • Proportionnalité

04733344_036-037_Theme-C.indd 37

37

12/04/2016 17:01


5

Déterminer une quatrième proportionnelle

OBJECTIF

5

A Rappel sur les tableaux de proportionnalité Un tableau de proportionnalité est un tableau dans lequel on obtient les nombres d’une ligne en multipliant ceux de l’autre ligne par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

DÉFINITION

Exemple 0,5

2

5

24

Énergie consommée (en Wattheure)

30

120

300

1 440

× 60

IM EN

Durée d’utilisation (en heure)

Le coefficient de proportionnalité est 60. Ce nombre donne l’énergie consommée en 1 heure.

B Quatrième proportionnelle et produit en croix

a c Si le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité, b d alors on a l’égalité des produits en croix : a × d = b × c. L’égalité des produits en croix permet de calculer une quatrième proportionnelle sans utiliser le coefficient de proportionnalité lorsqu’on connait les trois autres valeurs.

PROPRIÉTÉ

6

EC

Exemple Dans le tableau de proportionnalité ci-contre, on a : 250 × x = 150 × 400. Donc x = 150 × 400 , d’où x = 240. 250

250 150

400

x

Quatrième proportionnelle

Caractériser graphiquement la proportionnalité

OBJECTIF

6

– Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère. –  Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère, alors c’est une situation de proportionnalité.

SP

PROPRIÉTÉS

Exemples

90 80 70 60 50 40 30 20 10

0

1

1 2 3 4 5 6 7

Le graphique ➀ représente une situation de proportionnalité car les points sont alignés avec l’origine du repère.

90 80 70 60 50 40 30 20 10

0

2

1 2 3 4 5 6 7

Le graphique ➁ ne représente pas une situation de proportionnalité car les points ne sont pas alignés avec l’origine du repère.

90 80 70 60 50 40 30 20 10

0

3

1 2 3 4 5 6 7

Le graphique ➂ ne représente pas une situation de proportionnalité car les points ne sont pas alignés.

38

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7

Utiliser la proportionnalité pour calculer des grandeurs

OBJECTIF

7

A Calculer avec des vitesses La vitesse moyenne d’un objet mobile sur un trajet est la vitesse que cet objet aurait en parcourant la même distance pendant la même durée à vitesse constante.

DÉFINITION

Distance (en km) Durée (en min)

150 ? 60 210

IM EN

Exemple Un train roule 3 h 30 min à la vitesse moyenne de 150 km/h. 3 h 30 min = 210 min et 150 km/h correspond à un trajet de 150 km en 60 minutes. 210 × 150 = 525. Le train a parcouru 525 km. 60

B Calculer avec des échelles

Sur un plan dit « à l’échelle », les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. Le coefficient obtenu en divisant les longueurs de la carte par les longueurs réelles, toutes exprimées dans la même unité, s’appelle échelle du plan.

DÉFINITION

Exemple Le dessin ci-contre est à l’échelle 3. Cela signifie que les dimensions de la coccinelle sont 3 fois plus petites dans la réalité que sur le dessin où elle mesure 2,1 cm. Longueur réelle (en cm)

1

?

Longueur sur le dessin (en cm)

3

2,1

8

EC

2,1 : 3 = 0,7 cm = 7 mm. Dans la réalité, la coccinelle mesure 7 mm.

Manipuler des pourcentages pour résoudre des problèmes

OBJECTIF

8

A Appliquer un pourcentage

Un pourcentage de t % traduit une situation de proportionnalité de coeffit cient . Donc appliquer un taux de t % revient à multiplier par t . 100 100

SP

PROPRIÉTÉ

Exemple Dans une classe de 30 élèves, 60 % des élèves pratiquent un sport. On calcule 30 × 60 = 18. Il y a donc 18 élèves sportifs dans la classe. 100

B Déterminer un pourcentage Déterminer un pourcentage, c’est déterminer une proportion écrite sous forme d’une écriture fractionnaire de dénominateur 100.

DÉFINITION

Exemple Sur 550 élèves, 231 sont externes. Nombre d’externes 231 x D’après l’égalité des produits en croix, Nombre total d’élèves 550 100 on a 550 × x = 231 × 100. Donc x = 231 × 100 = 42. Il y a donc 42 % d’externes dans ce collège. 550 Thème C • Proportionnalité

04733344_038-039_Theme-C.indd 39

39

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9

Situations de proportionnalité

OBJECTIF

9

A Tableau et coefficient de proportionnalité Un tableau de proportionnalité est un tableau dans lequel on obtient les nombres d’une ligne en multipliant ceux de l’autre ligne par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. Exemple Durée du film (en s) Nombre d’images

10 240

20 480

30 720

120 2 880

× 24

IM EN

Le coefficient de proportionnalité est 24. C’est le nombre d’images par seconde d’un film.

B Représentation graphique

Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère. Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère, alors c’est une situation de proportionnalité.

PROPRIÉTÉ

Exemple

Énergie (en kwh) 90 80 70 60

EC

50

40

30 20

10

SP

0

40

20

60

80

100

120

Temps (en heures)

C Calcul en situation de proportionnalité

Sur le plan d’une course d’orientation, 5 cm représentent 150 m dans la réalité. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la distance réelle représentée par 12 cm. Distance sur la carte (en cm) Distance réelle (en m)

5

12

150

d

1. Passage par l’unité 5 cm représentent 150 m, donc 1 cm représente 5 fois moins, c’est-à-dire 30 m. 12 cm représentent donc 30 × 12 = 360 m. 2. Utilisation du coefficient de proportionnalité Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1 50, donc la distance est de 12 × 1 50 = 360 m. 5 5 3. Multiplication d’une donnée 12 = 5 ×  12 , donc la distance est de 150 ×  12  = 360 m. 5 5 4. Utilisation de l’égalité des produits en croix 5 × d = 150 × 12, donc d = 150 ×  12  = 360 m. 5

40

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10

Pourcentages

OBJECTIF

A Appliquer un pourcentage Un pourcentage de t % traduit une situation de proportionnalité de coefficient Exemple  60 % des 30 élèves d’une classe de 3e pratiquent un sport. Le nombre de sportifs dans cette classe est : 30 × 60 , soit 18 élèves. 100

Nombre de sportifs Nombre total d’élèves

10

t . 100 60 100

x 30

B Augmenter ou diminuer d’un pourcentage

IM EN

Augmenter un nombre de t % revient à le multiplier par 1 + t . 100 Diminuer un nombre de t % revient à le multiplier par 1 − t . 100

PROPRIÉTÉ

Exemples 1. Augmentation Les tarifs d’une compagnie d’énergie augmentent de 9 %. a. La famille Martin payait une facture annuelle de 570,00 €. Le nouveau tarif est donc égal à 570,00 ×  1 +  9  = 570,00 × 1,09 = 621,30 €. 100 b. Un abonnement actuel est facturé 59,95 €. Son ancien tarif était de 59,95 :  1 +  9  = 59,95 : 1,09 = 55,00 €. 100

(

(

)

)

EC

2. Réduction Dans un magasin, lors des soldes, on diminue tous les prix de 35 %. a. Le prix d’un pantalon était de 55,00 €. Son nouveau prix est donc de 55,00 ×  1 –  35  = 55,00 × 0,65 = 35,75 €. 100 b. Un blouson coute maintenant 44,20 €. Son prix initial était égal à 44,20 : 1 –  35  = 44,20 : 0,65 = 68,00 €. 100

(

(

SP

11

Grandeurs composées

)

)

OBJECTIF

11

Une grandeur quotient est une grandeur obtenue en effectuant le quotient de deux grandeurs.

DÉFINITION

Exemple  La vitesse moyenne d’un mobile est la distance parcourue pendant une unité de temps. Elle s’exprime en km/h par le quotient de deux grandeurs : la longueur du parcours (en km) et la durée de ce parcours (en h). Un véhicule roulant à une vitesse constante égale à 120 km/h parcourt ainsi 120 km en une heure.

Une grandeur produit est une grandeur obtenue en effectuant le produit de deux grandeurs.

DÉFINITION

Exemple  L’énergie (en Wh) s’exprime par le produit de deux grandeurs  : la puissance de l’appareil (en W) et la durée d’utilisation de cet appareil (en h). Un appareil de puissance 100 W utilisé pendant 3 h consomme ainsi une énergie égale à 300 Wh. Thème C • Proportionnalité

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41

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Thème A • Nombres et calculs Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Représenter l’espace

Thème B • Expressions littérales – Fonctions Utiliser le calcul littéral Comprendre et utiliser la notion de fonction

Thème C • Proportionnalité Attendus de fin de cycle

EN

Attendus de fin de cycle

IM

Résoudre des problèmes de proportionnalité Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

SP EC

Thème D • Statistiques et probabilités Attendus de fin de cycle

Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Thème E • Géométrie plane Attendus de fin de cycle

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer Représenter l’espace Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Thème F • Géométrie dans l’espace Attendus de fin de cycle Représenter l’espace Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

42

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1 Effectifs et fréquences 2 Caractéristiques de position d’une série de données 3 Tableaux et diagrammes 4 Situations liées au hasard

EN

5 Caractéristiques d’une série statistique 6 Utilisation d’une feuille de calcul

7 Calcul de probabilité dans des situations simples

IM

8 Lien entre la fréquence des issues et la probabilité 9 Caractéristiques d’une série statistique

SP EC

10 Probabilités

43

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1

Effectifs et fréquences

OBJECTIF

1

A Vocabulaire

B Définitions

IM EN

En statistique, on étudie sur une population un caractère qui peut prendre plusieurs valeurs. Exemple : on a interrogé les 25 élèves d'une classe de 5e au sujet de leur sport préféré. Les réponses suivantes ont été obtenues : football – basket – danse – handball – football – danse – basket – handball – football – football – basket – tennis – danse – danse – football – basket – football – tennis – football – basket – danse – danse – football – basket – tennis. Dans cette enquête, la population étudiée est une classe de 5e. Le caractère étudié est le sport préféré des élèves. Les valeurs possibles de ce caractère sont : football, basket, tennis, handball et danse.

L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparait. L’effectif total est le nombre total d’individus de la population étudiée.

DÉFINITION

Exemple : pour cette classe de 5e, l’effectif de la valeur « football » est 8 et l’effectif total est 25 car il y a 25 élèves dans cette classe.

La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total. Cette fréquence peut s’écrire sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.

DÉFINITION

EC

8 Exemple : la fréquence de la valeur « football » est de  25 = 0,32 = 32 %.

La fréquence d’une valeur est un nombre compris entre 0 et 1. La somme de toutes les fréquences est égale à 1.

PROPRIÉTÉS

Caractéristiques de position d’une série de données

SP

2

OBJECTIF

2

La moyenne d’une série de données statistiques est égale à la somme de toutes les données divisée par l’effectif total de la série.

DÉFINITION

Exemple : on a pesé sept sachets de sel et obtenu : 114 g ; 122 g ; 126 g ; 111 g ; 115 g ; 116 g ; 122 g. On calcule la moyenne de cette série en effectuant : 114 + 122 + 126 + 111 + 115 + 116 + 122 = 118 g. 7

La moyenne n’est pas forcément égale à l’une des valeurs de la série : aucun sachet ne pèse 118 g !

Une médiane d’une série de données est une valeur telle qu’il y a : – au moins la moitié des valeurs inférieures ou égales à cette médiane ; – au moins la moitié des valeurs supérieures ou égales à cette médiane.

DÉFINITION

Exemple : en classant dans l’ordre les masses des sept sachets de sel, on prend la valeur du « milieu » de la série, c’est à dire la 4e. 111 114 115 116 122 122 126 La médiane de la série est 116 44

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12/04/2016 17:09


3

Tableaux et diagrammes

OBJECTIF

3

A Lire et interpréter des informations

On rassemble souvent les résultats d’une enquête dans un tableau montrant les valeurs, les effectifs et les fréquences des réponses. Exemple : les résultats de l'enquête sur les élèves de 5e peuvent être rassemblés dans le tableau ci-dessous. Valeurs

Football

Basket

Handball

Tennis

Danse

Total

Effectifs

8

6

2

3

6

25

Fréquences (en fraction)

8 25

6 25

2 25

3 25

6 25

1

0,32

0,24

0,08

0,12

0,24

1

Fréquences (en pourcentage)

32 %

24 %

8%

12 %

24 %

100 %

IM EN

Fréquences (en nombre décimal)

B Représenter graphiquement

On peut présenter les résultats d’une étude statistique sous forme graphique : diagramme en bâtons (ou à barres), diagramme circulaire, diagramme à bandes… Exemple : l’enquête sur les élèves de 5e peut être illustrée par différents diagrammes.

a. Diagramme en bâtons (ou à barres) Nombre d’élèves 8 Football

Basket

6

b. Diagramme circulaire

Danse

EC

4

Football Basket Handball Tennis Danse

Tennis

Handball

2

0

La hauteur des barres est proportionnelle aux effectifs de chaque catégorie.

c. Diagramme à bandes

SP

Football

3,2 cm

4

Basket

2,4 cm

Handball Tennis

0,8 cm

1,2 cm

Danse

2,4 cm

Si l’on prend une bande de 10 cm, la longueur de la bande « football » est : 8 25 × 10 = 3,2 cm.

Situations liées au hasard

OBJECTIF

4

Une expérience est dite « aléatoire » lorsqu’elle vérifie trois conditions : – on connait tous les résultats possibles ; – le résultat n’est pas prévisible ; – on peut reproduire plusieurs fois l’expérience dans les mêmes conditions.

DÉFINITION

Exemple : on lance une pièce de monnaie en la faisant tournoyer en l’air et on regarde la face visible lorsqu’elle retombe sur le sol. – Il y a 2 résultats possibles : pile ou face. – On ne peut pas prévoir le résultat. – On peut refaire plusieurs fois l’expérience. Thème D • Statistiques et probabilités

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45

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5

Caractéristiques d’une série statistique

OBJECTIF

5

A Caractéristiques de position La moyenne d’une série de données est égale à la somme des données de la série divisée par l’effectif total de la série.

DÉFINITION

Exemple : Léon a conservé les prix de ses repas : 12,50 € ; 14,00 € ; 11,80 ; 15,50 € ; 13,00 €. Le prix moyen du repas est : (12,50 + 14,00 + 11,80 + 15,50 + 13,00) = 13,36 €. 5

IM EN

Une médiane d’une série de données est une valeur telle qu’il y a : – au moins la moitié des valeurs inférieures ou égales à cette médiane ; – au moins la moitié des valeurs supérieures ou égales à cette médiane.

DÉFINITION

Exemple : La valeur médiane de la série : 12,50 € ; 14,00 € ; 11,80 € ; 15,50 € ; 13,00 € est 13,00 €, car il y a trois prix inférieurs ou égaux à 13,00 € et trois prix supérieurs ou égaux à 13,00 €.

B Caractéristique de dispersion

L’étendue d’une série de données est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série.

DÉFINITION

6

EC

Exemple : L’étendue de la série précédente est égale à 15,50 − 11,80 = 3,70 €.

Utilisation d’une feuille de calcul

OBJECTIF

6

A Formules et fonctions

SP

Dans une feuille de calcul, on peut utiliser des formules. Pour cela, il faut commencer par le signe « = » et saisir le calcul à l’aide de références des cellules. Exemple En B9 et en B11 des formules permettent de calculer la distance totale et la distance moyenne par jour.

B Représentation graphique

Dans une feuille de calcul, on peut aussi construire des diagrammes. On sélectionne les données à représenter graphiquement et on suit les étapes de l’assistant graphique. Tableur 4 Exemple Le diagramme ci-contre permet de comparer les distances parcourues par Alexis.

Distance en km

46

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7

Calcul de probabilité dans des situations simples

7

OBJECTIF

A Notion de probabilité La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime « la chance qu’a un évènement de se produire ».

DÉFINITION

Exemple Dire que la probabilité d’un évènement est de 0,8 signifie que cet évènement à 8 chances sur 10 ou 80 % de chance de se produire. Notation : on désigne souvent par des lettres (A, B, C…) les évènements et on note P(A) la probabilité de l’évènement A.

DÉFINITION

impossible. DÉFINITION

IM EN

Exemple Lors d’un lancer de pièce, on a 1 chance sur 2 d’obtenir « face ». Si on note F l’évènement « obtenir face », on dit que la probabilité de l’évènement F est 1/2 ou 0,5 et on note p(F) = 0,5.

Un évènement dont la probabilité est égale à 0 est un évènement

Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certain.

B Équiprobabilité

Lorsque chaque évènement élémentaire a la même chance de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.

EC

DÉFINITION

Exemple Lors du lancer d’un dé à six faces, par symétrie de l’objet qu’on lance, il y a autant de chance d’obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Autrement dit, la probabilité d’obtenir chacune des faces est de 1/6. Il s’agit donc d’une situation d’équiprobabilité.

Dans une expérience aléatoire où il y a équiprobabilité, la probabilité d’un évènement est égale au quotient suivant : Nombre de résultats favorables à l’évènement Nombre de résultats possibles

SP

PROPRIÉTÉ

Exemple Sur cette roue, il y a 8 secteurs colorés dont 3 sont jaunes. Si on tourne cette roue, chaque secteur à la même probabilité de sortir. La probabilité de l’évènement « obtenir jaune » est égale à 3/8.

8

Lien entre la fréquence des issues et la probabilité

OBJECTIF

8

Si on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un évènement est « proche » de la probabilité de cet évènement.

PROPRIÉTÉ

Exemple Camille a lancé 1 000 fois une pièce. Elle a obtenu 512 fois « pile ». La fréquence de l’évènement « on obtient pile » est de 51,2 %. La fréquence de l’évènement « on obtient pile » est proche de 50 %, qui est la probabilité de cet évènement. Thème D • Statistiques et probabilités

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47

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9

Caractéristiques d’une série statistique

OBJECTIFS

9 et 10

Exemple On étudie les notes de deux élèves d’une classe de 3e : – notes d’Alan : 9  ; 11  ; 18  ; 7  ; 17  ; 11  ; 12 ; 18 ; – notes de Barbara : 13  ; 13  ; 12  ; 10  ; 8  ; 14  ; 12  ; 10 ; 11. Cet exemple sera utilisé dans tout le cours.

A Caractéristiques de position

IM EN

La moyenne d’une série de données est le nombre égal à la somme des données de la série divisée par l’effectif total de la série.

DÉFINITION

Exemples Pour Alan : (9 + 11 + 18 + 7 + 17 + 11 + 12 + 18) : 8 ≈ 12,9. La moyenne d’Alan est d’environ 12,9.

Pour Barbara : (13 + 13 + 12 + 10 + 8 + 14 + 12 + 10 + 11) : 9 = 11,4. La moyenne de Barbara est d’environ 11,4.

Une médiane d’une série de données est une valeur telle qu’il y a : – au moins la moitié des valeurs inférieures ou égales à cette médiane ; – au moins la moitié des valeurs supérieures ou égales à cette médiane.

DÉFINITION

Remarque

EC

Pour trouver une médiane d’une série de données, on peut ordonner la série dans l’ordre croissant.

Exemples Les données sont rangées dans l’ordre croissant. Pour Alan, le nombre de notes (données) Pour Barbara, le nombre de notes est pair, il en a 8. (données) est impair, elle en a 9.

SP

7 9 11 11 12 17 18 18

4 données 4 données médiane La note médiane d’Alan est la moyenne des deux valeurs centrales, 11 et 12 : 11 + 12 = 11,5. 2

8 10 10 11 4 données

12 médiane

12 13 13 14 4 données

La note médiane de Barbara est la 5e note : 12.

B Caractéristiques de dispersion L’étendue d’une série de données est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série.

DÉFINITION

Exemples La note maximale d’Alan est 18. Sa note minimale est 7. L’étendue de sa série de notes est : 18 – 7 = 11. De même pour Barbara, l’étendue de la série est : 14 – 8 = 6. Les notes de Barbara sont moins dispersées que celles d’Alan. 48

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12/04/2016 17:11


10

Probabilités

OBJECTIFS

11 et 12

Une expérience est dite « aléatoire » lorsqu’elle vérifie trois conditions : – on connait toutes les issues possibles ; – le résultat n’est pas prévisible ; – l’expérience est reproductible dans les mêmes conditions.

DÉFINITION

Un évènement est un ensemble d’issues que l’on peut obtenir lors d’une expérience aléatoire. Il est constitué par une ou plusieurs issues de l’expérience. Un évènement constitué d’une seule issue est appelé « évènement élémentaire ».

DÉFINITION

IM EN

Exemples On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. Il y a six issues : 1  ; 2  ; 3  ; 4  ; 5  ; 6. On peut considérer : – l’évènement « obtenir un nombre impair » (qui est réalisé pour les issues 1, 3 et 5) ; – l’évènement « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » (qui est réalisé pour les issues 5 et 6).

Dans une expérience aléatoire où toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser, la probabilité d’un évènement est égale au quotient suivant : Nombre d’issues favorables à l’évènement Nombre d’issues possibles

PROPRIÉTÉ

EC

Exemples Sur cette roue, il y a 8 secteurs de taille identique colorés dont 3 sont jaunes. Si on fait tourner cette roue, la probabilité de l’évènement « obtenir jaune » est de 3 . 8

La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1.

SP

PROPRIÉTÉ

Si on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un évènement est proche de la probabilité de cet évènement.

PROPRIÉTÉ

Exemples On a lancé un dé 50 000 fois, voici les résultats obtenus. Faces

Effectifs Fréquences

1

2

3

4

5

6

Total

8 281

8 387

8 299

8 338

8 397

8 298

50 000

16,56 %

16,77 %

16,60 %

16,68 %

16,79 %

16,60 %

100 %

Les fréquences d’apparition de chaque face sont toutes proches de la probabilité d’obtenir une face donnée, qui est de 1 ≈ 0,167 . 6 Remarque Des logiciels peuvent être utilisés pour simuler une expérience aléatoire. Par exemple, on peut simuler dans un tableur un lancer de dé à 6 faces avec la fonction : « ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) » qui renvoie un nombre entier choisi au hasard entre 1 et 6.

Thème D • Statistiques et probabilités

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49

12/04/2016 17:11


Thème A • Nombres et calculs Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Représenter l’espace

Thème B • Expressions littérales – Fonctions Utiliser le calcul littéral Comprendre et utiliser la notion de fonction

Thème C • Proportionnalité Attendus de fin de cycle

EN

Attendus de fin de cycle

IM

Résoudre des problèmes de proportionnalité Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

SP EC

Thème D • Statistiques et probabilités Attendus de fin de cycle

Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Thème E • Géométrie plane Attendus de fin de cycle

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer Représenter l’espace Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Thème F • Géométrie dans l’espace Attendus de fin de cycle Représenter l’espace Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

50

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15/04/2016 12:23


1 Symétrie par rapport à une droite 2 Symétrie par rapport à un point 3 Axe de symétrie et centre de symétrie d’une figure 4 Constructions de triangles 5 Inégalité triangulaire

EN

6 Droites remarquables d’un triangle 7 Somme des angles d’un triangle 8 Le parallélogramme

9 Parallélogrammes particuliers 10 Périmètre d’une figure

IM

11 Aire d’une figure

12 Transformer un point ou une figure par translation 13 Transformer un point ou une figure par rotation

SP EC

14 L’égalité de Pythagore

15 Calculer une longueur d’un coté d’un triangle rectangle

16 Démontrer qu’un triangle est rectangle ou non 17 Angles et parallélisme

18 Triangles semblables

19 Transformer un point ou une figure par symétries, translation, rotation

20 Transformer un point ou une figure par homothétie 21 Propriété de Thalès dans le triangle

22 Calculer une longueur avec le théorème de Thalès 23 Prouver que des droites sont ou ne sont pas parallèles

24 Cosinus, sinus et tangente 25 Calculer un côté d’un triangle rectangle 26 Déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle

51

04733344_050-051_Theme-E.indd 51

14/04/2016 15:30


1

SymĂŠtrie par rapport Ă  une droite

OBJECTIF

1

Dire que deux figures sont symĂŠtriques par rapport Ă  une droite signifie que, en effectuant un pliage le long de la droite, les figures se superposent.

DĂ&#x2030;FINITION

2

Figure đ?&#x2019;&#x17E;

(d)

Figure đ?&#x2019;&#x17E;â&#x20AC;&#x2122;

IM EN

Exemple La droite (d) est appelĂŠe lâ&#x20AC;&#x2122;axe de symĂŠtrie. Le symĂŠtrique de la figure # par rapport Ă  la droite (d) est la figure #â&#x20AC;&#x2122;. Les figures # et #â&#x20AC;&#x2122; sont symĂŠtriques par la symĂŠtrie axiale dâ&#x20AC;&#x2122;axe la droite (d).

SymĂŠtrie par rapport Ă  un point

A DĂŠfinition

OBJECTIF

2

Dire que deux figures sont symĂŠtriques par rapport Ă  un point signifie que, en effectuant un demi-tour autour de ce point, les figures se superposent.

DĂ&#x2030;FINITION

EC

Exemple

Figure â&#x201E;ąâ&#x20AC;&#x2122;

O

Figure â&#x201E;ą

SP

Le point O est appelĂŠ le centre de symĂŠtrie. Le symĂŠtrique de la figure ^ par rapport Ă  O est la figure ^ â&#x20AC;&#x2122;. Les figures ^ et ^ â&#x20AC;&#x2122; sont symĂŠtriques par la symĂŠtrie centrale de centre O.

B Figures symĂŠtriques Dire que deux points M et Mâ&#x20AC;&#x2122; sont symĂŠtriques par rapport Ă  un point O signifie que le point O est le milieu du segment [MMâ&#x20AC;&#x2122;].

DĂ&#x2030;FINITION

Exemple

Mâ&#x20AC;&#x2DC;

O

M

Pour construire le symĂŠtrique dâ&#x20AC;&#x2122;un point sur papier blanc, on reporte au compas la longueur OM sur la demi-droite [MO). M

O

52

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12/04/2016 17:14


C Propriétés de la symétrie centrale Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques par rapport à un point sont aussi alignés.

PROPRIÉTÉ

Exemple C

B

A

(d)

O

(d’)

Si deux segments sont symétriques par rapport à un point, alors ils sont parallèles et de même longueur.

Exemple B

A

IM EN

PROPRIÉTÉ

A’

B’

C’

O

B’

Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure.

PROPRIÉTÉ

A’

Exemple

A

O

B

Si deux figures sont symétriques par rapport à un point, alors elles ont le même périmètre et la même aire.

3

EC

PROPRIÉTÉ

Axe de symétrie et centre de symétrie d’une figure

OBJECTIF

3

Dire qu’une droite est un axe de symétrie d’une figure signifie que la figure et son symétrique par rapport à cette droite sont confondus.

SP

DÉFINITION

Exemples

(d) (d)

Dire qu’un point est un centre de symétrie d’une figure signifie que la figure et son symétrique par rapport à ce point sont confondus.

DÉFINITION

Exemples

Thème E • Géométrie plane

04733344_052-053_Theme-E.indd 53

53

12/04/2016 17:14


4

Constructions de triangles

OBJECTIF

4

On peut construire un triangle dans les trois cas suivants.

Cas 1. On connait la longueur des trois côtés. Exemple

Cas 2. On connait la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle délimité par ces côtés. Exemple

C

5

C

4,5 cm

3c

m

IM EN

A

cm

Exemple

C m 3c

4

Cas 3. On connait la longueur d’un côté et la mesure des angles adjacents à ce côté.

50°

B A

30°

B A

4 cm

B

5 cm

Inégalité triangulaire

A Cas général

80°

OBJECTIF

5

EC

Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Tout autre chemin passant par un troisième point est plus long ou de même longueur. En conséquence, on peut énoncer la propriété suivante. PROPRIÉTÉ

M

Si A, B et M sont trois points quelconques, alors : AB < AM + MB.

Dans le triangle ABM, on a également : AM < AB + BM et MB < MA + AB.

B

A

SP

B Cas d’égalité PROPRIÉTÉ

Si un point M appartient à un segment [AB], alors AB = AM + MB. A

M

B

Si trois points A, B et M sont tels que AB = AM + MB, alors le point M appartient au segment [AB].

PROPRIÉTÉ

C Application aux triangles Pour construire un triangle ayant pour côtés trois longueurs données, il faut que chaque longueur soit inférieure à la somme des deux autres. Exemple Dans le triangle ABC ci-contre, on a : c a,b+c b,a+c B c,a+b

A

a

b

C

54

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12/04/2016 17:17


6

Droites remarquables d’un triangle La médiatrice d’un côté d’un triangle est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu.

Une hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un sommet de ce triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

DÉFINITION

Exemple

DÉFINITION

Exemple

A

I

C

A

Hauteur Issue de A

B

C H est le pied de la hauteur relative au côté [BC].

IM EN

B

H

Médiatrice du côté [BC]

Rappels de propriétés vues en cycle 3  Si un point se trouve sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point se trouve à égale distance de deux points, alors il appartient à la médiatrice du segment d’extrémités ces deux points.

M

Somme des angles d’un triangle

7

OBJECTIF

A

La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.

PROPRIÉTÉ

Exemple µ+B µ + C = 180°. µ Dans le triangle ABC, A

SP

B

A

EC

7

6

OBJECTIF

B C

Rappel et conséquences sur les angles des triangles particuliers – Dans un triangle équilatéral, chacun des angles mesure 60°. Exemple

– Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est égale à 90°. Exemple

– Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. Exemple

PROPRIÉTÉS

C

Vocabulaire

D H

60°

A

60°

60°

µ µ µ A = B = C = 60°

B

E

F

µ µ E = F

Un angle aigu mesure entre 0 et 90°.

J

I

µ + µI = 90° H Thème E • Géométrie plane

04733344_054-055_Theme-E.indd 55

55

12/04/2016 17:17


8

Le parallélogramme

OBJECTIF

8

A Définition du parallélogramme DÉFINITION

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Exemple Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, car (AB) // (CD) et (AD) // (BC).

B

A

C

D

IM EN

B Propriétés du parallélogramme

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il possède un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.

PROPRIÉTÉ

Exemple Soit ABCD un parallélogramme. On note O son centre de symétrie. On dit que ABCD est un parallélogramme de centre O.

Les côtés PROPRIÉTÉ

parallèles.

A

D

B

O

C

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.

EC

PROPRIÉTÉ

Les diagonales et les angles

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

SP

PROPRIÉTÉ

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés sont égaux et la somme de deux angles consécutifs est égale à 180°.

PROPRIÉTÉ

C Du quadrilatère au parallélogramme Avec les côtés

PROPRIÉTÉS

– Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.

– Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

– Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

Avec les diagonales Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.

PROPRIÉTÉ

56

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12/04/2016 17:19


9

Parallélogrammes particuliers

OBJECTIF

9

A Rappels de la classe de 6e DÉFINITIONS

– Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de la même longueur.

IM EN

– Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

– Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur.

– Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur.

PROPRIÉTÉS

– Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.

– Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur.

Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers. En effet, ces quadrilatères ont des côtés opposés parallèles.

EC

B Du parallélogramme aux parallélogrammes particuliers Avec les côtés

Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs perpendiculaires, alors c’est un rectangle.

SP

DÉFINITION

Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.

DÉFINITION

Avec les diagonales

Si un parallélogramme possède des diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.

DÉFINITION

Si un parallélogramme possède des diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.

DÉFINITION

Le cas du carré PROPRIÉTÉ

Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors c’est un carré. Thème E • Géométrie plane

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57

12/04/2016 17:19


10

Périmètre d’une figure

10

OBJECTIF

A Périmètre d’un polygone Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

Exemple Il suffit d’ajouter les longueurs des côtés d’un polygone, données dans la même unité, pour trouver son périmètre : 3,2 + 3,8 + 4 + 4,6 + 7,6 = 23,2. Le périmètre du polygone ABCDE est égal à 23,2 cm.

A 3,2 c

cm

IM EN

m

7,6 E

4,6 cm

B

D

m

3,8 c

4c

m

DÉFINITION

C

B Longueur d’un cercle

La longueur d’un cercle est égale au double du produit du nombre pi (noté π) par le rayon de ce cercle. En notant L la longueur du cercle et r son rayon, on a : L = 2 × π × r.

PROPRIÉTÉ

EC

Exemple

7,5 cm

La longueur d’un cercle de rayon 7,5 cm est égale à : 2 × π × 7,5 = 15 × π ≈ 47 cm.

SP

O

Remarque

La longueur d’un cercle s’appelle aussi la circonférence d’un cercle.

C Unités de longueur

décamètre

mètre

décimètre

centimètre

millimètre

Notation

hectomètre

Unité

kilomètre

On peut exprimer un périmètre dans différentes unités de longueur et, en particulier, utiliser un tableau de conversion pour trouver l’unité la plus adaptée. Par exemple, on peut convertir la longueur du cercle de l’exemple précédent. La longueur d’un cercle de rayon 7,5 cm est environ égale à 0,47 m.

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

0

4

7

58

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12/04/2016 17:21


11

Aire d’une figure

OBJECTIF

11

A Aire de figures usuelles

Voici un rappel des formules donnant l’aire de quelques figures planes connues. Rectangle

Carré

a

Disque

c

r

b

IM EN

Aire du rectangle : a×b

Aire du carré : c × c = c2

Triangle rectangle

Triangle quelconque

Aire du triangle rectangle : a×b

a

Aire du triangle : b×h

h

2

b

Aire du disque :

π × r × r = π × r2

2

b

B Aire d’un parallélogramme

L’aire d’un parallélogramme est égale au produit d’un de ses côtés par la hauteur relative à ce côté, tous deux exprimés dans la même unité. ! est l’aire du parallélogramme ; où c est la longueur d’un des côtés du parallélogramme ; !=c×h h est la hauteur relative à ce côté.

EC

PROPRIÉTÉ

c = 12

h = 17

m

h = 30 cm

SP

Exemples

m

c = 50 cm

L’aire de ce parallélogramme est égale à : 50 × 30 = 1 500 cm2.

L’aire de ce parallélogramme est égale à : 12 × 17 = 204 m2.

C Unités d’aire

On peut exprimer une aire dans différentes unités et, en particulier, utiliser un tableau de conversion pour trouver l’unité la plus adaptée. En utilisant un tableau de conversion d’unités d’aire, on peut ainsi écrire que le premier parallélogramme ci-dessus a une aire de 0,15 m2 et que le second a une aire de 2,04 dam2. km2

hm2

dam2

m2 0

2

0

dm2 1

5

cm2 0

0

4 Thème E • Géométrie plane

04733344_058-059_Theme-E.indd 59

mm2

59

12/04/2016 17:21


12

Transformer un point ou une figure par translation

OBJECTIF

12

A Définition Transformer un point ou une figure par translation, c’est faire glisser ce point ou cette figure selon une direction, un sens et une longueur donnés.

La Figure 2 est l’image de la Figure 1 par la translation qui transforme A en B.

IM EN

Exemples Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la translation qui transforme le point D en E.

Remarque Un tel glissement n’entraine ni déformation de la forme, ni changement d’orientation.

Figure 1

A’

A

A

A’ B

C

C’ B

B’

C

C’ D

E

B’

E

A

D

B Notation

La translation est symbolisée par une flèche qui donne la direction, le sens et la longueur de ce déplacement.

EC

SP

C Construction

Pour construire M’, l’image du point M par la translation qui transforme A en A’ : M

A

B N Figure 2

Figure 1 M

➋ avec un compas, on reporte la distance AA’ dans le sens de A vers A’ à partir du point M. On obtient le point M’. A M

A’

➊ on trace la droite parallèle à (AA’) passant par M ;

B

Télécabines

Exemple La Figure 2 est l’image de la Figure 1 par la translation qui transforme A en B, mais aussi M en N.

A

Figure 2

A’ M’

Le point M’ est l’image du point M par la translation qui transforme A en A’.

D Propriétés Une translation conserve l’alignement, les longueurs, les angles et les aires. Exemple La figure bleue est l’image de la figure noire par translation. Les deux figures sont superposables. 60

04733344_060-061_Theme-E.indd 60

12/04/2016 17:23


13

Transformer un point ou une figure par rotation

OBJECTIF

13

A Définition Transformer un point ou une figure par rotation, c’est faire tourner ce point ou cette figure par rapport à un centre de rotation et un angle. Exemples Le point M’ est l’image du point M par la rotation de centre O et d’angle 45° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. M

C

IM EN

M’

Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la rotation de centre O et d’angle 60° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. B

45°

A

O

60° B’

O

C’

A’

B Notation

Exemple La Figure 2 est l’image de la Figure 1 par la rotation de centre O et d’angle 110° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

Figure 1

Figure 2

110°

EC

O

C Construction

Pour construire M’, l’image du point M par une rotation de centre O et d’angle α, dans le sens de la flèche : O

M

SP

➊ avec un compas, on trace un arc de cercle de centre O passant par M ;

O

➋ avec un rapporteur et une règle non graduée, on trace une demi-droite [Ox) telle · que MOx = α dans le sens de la flèche ;  ➌ on appelle M’, l’intersection de l’arc de Œ et de la demi-droite [Ox). cercle MM’ Le point M’ est l’image du point M par la rotation de centre O et d’angle α avec les deux conditions réunies : · = α et OM = OM’. MOM’ M’

M O

α M

D Propriétés – L’image de O par une rotation de centre O est le point O : on dit que O est invariant. – La rotation de centre O et d’angle 180° est la symétrie de centre O. Exemple Le point M’ est l’image du point M : – par la rotation de centre O et d’angle 180° ; – par la symétrie centrale de centre O.

180° M

O Thème E • Géométrie plane

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M’

61

12/04/2016 17:23


14

L’égalité de Pythagore

OBJECTIF

14

Un triangle rectangle est un triangle dont le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

PROPRIÉTÉ

Carré de la longueur du plus grand côté (l’hypoténuse) : a2

Vocabulaire

a

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus grand côté du triangle.

IM EN

c b

Ici, a2 = b2 + c2.

15

Somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : b2 + c2

Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle

OBJECTIF

15

Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

PROPRIÉTÉ

EC

A

… alors BC2 = AB2 + AC2.

Si le triangle ABC est rectangle en A, …

B

C

5 cm

SP

Exemple Le triangle ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 12 cm et AC = 5 cm. On va calculer la longueur du troisième côté [BC]. On peut écrire l’égalité de Pythagore pour ce triangle : BC2 = AB2 + AC2 C BC2 = 122 + 52 BC2 = 144 + 25 BC2 = 169 Pour connaitre BC, il faut donc chercher un nombre positif A 12 cm dont le carré est égal à 169. Ce nombre est 13. En effet 132 = 169. Le troisième côté [BC] mesure donc 13 cm.

B

Soit a un nombre positif. On appelle « racine carrée de a » le nombre positif dont le carré est égal à a. On le note a .

DÉFINITION

Exemples Dans l’exemple précédent, BC2 = 169 donc BC = 169 qui est égal à 13. Carrés parfaits entre 1 et 144 1 = 1 4=2 9=3 16 = 4 25 = 5 49 = 7 121 = 11 10 0 = 10 64 = 8 81= 9

36 = 6 144 = 12

62

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12/04/2016 17:26


16

Démontrer qu’un triangle est rectangle ou non

OBJECTIF

16

A Prouver qu’un triangle est rectangle Réciproque du théorème de Pythagore  Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

PROPRIÉTÉ

A

Si dans un triangle ABC, on a BC2 = AB2 + AC2 …

C

IM EN

B

… alors le triangle ABC est rectangle en A.

Exemple Soit le triangle ABC tel que BC = 17 cm, AB = 15 cm et AC = 8 cm. A

cm

m

B

8c

15

C

17 cm

EC

On veut vérifier si ce triangle est rectangle. D’une part : D’autre part : 2 2 B2 + AC2 = 152 + 82 A BC = 17 = 225 + 64 = 289 = 289 Donc BC2 = AB2 + AC2. L’égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle ABC est rectangle en A.

B Prouver qu’un triangle n’est pas rectangle Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.

SP

PROPRIÉTÉ

Si dans un triangle ABC tel que [BC] est le plus grand côté, on a BC2 ≠ AB2 + AC2 …

A

… alors le triangle ABC n’est pas rectangle. B

C

Exemple Soit le triangle ABC tel que BC = 6 cm, AB = 5 cm et AC = 3 cm. On veut vérifier si ce triangle est rectangle. D’une part : D’autre part : AB2 + AC2 = 52 + 32 BC2 = 62 = 25 + 9 = 36 = 34 Donc BC2 ≠ AB2 + AC2. L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, donc le triangle ABC n’est pas rectangle. Thème E • Géométrie plane

04733344_062-063_Theme-E.indd 63

63

12/04/2016 17:26


17

Angles et parallélisme

OBJECTIF

17

A Angles alternes-internes Soit deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante. Dire que deux angles formés par ces trois droites sont alternes-internes signifie : – qu’ils n’ont pas le même sommet ; – qu’ils sont de part et d’autre de la sécante ; – qu’ils sont à l’intérieur de la bande délimitée par les droites (d) et (d’).

DÉFINITION

IM EN

Exemple Les angles vert et jaune formés par les droites (d) et (d’) coupées par la sécante (MN) sont alternes-internes.

(d)

M

(d’)

N

B Angles alternes-internes et droites parallèles

Si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, alors ces deux angles sont égaux.

PROPRIÉTÉ

EC

Exemple Les deux droites vertes sont parallèles donc les deux angles alternes-internes (bleu et rouge) sont égaux.

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternesinternes égaux, alors ces droites sont parallèles.

SP

PROPRIÉTÉ

Exemple Les deux angles alternes-internes sont égaux donc les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.

18

Triangles semblables

OBJECTIF

18

A Triangles semblables Dire que deux triangles sont semblables signifie que leurs angles sont égaux deux à deux. On dit aussi que ces triangles sont de même forme.

DÉFINITION

64

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12/04/2016 17:28


Exemple µ = E$ , C$ = D $ et B$ = F$ . Les triangles ABC et DEF sont semblables : A F

B

109°

33° 38°

D

109°

A

33°

38°

E

D

Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables.

IM EN

PROPRIÉTÉ

Le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180° permet de prouver cette propriété.

Exemple ! = 180 − (BAC ! + ACB ! ) = 180 − (35 + 25) = 120° ; ABC · = 180 − (NMP · + NPM · ) = 180 − (35 + 25) = 120°. MNP

! = NMP !  ; ACB ! = NPM ! et ABC ! = MN !P, donc que les triangles ABC On en déduit que BAC et MNP sont semblables. A

N

B

35°

25°

P

EC

35°

M

25°

C

SP

B Caractérisation des triangles semblables Si deux triangles sont de même forme, alors les côtés opposés aux angles égaux ont leurs longueurs proportionnelles.

PROPRIÉTÉ

Exemple Dans l’exemple ci-dessus, ABC et MNP sont deux triangles semblables avec : – [AB] et [MN], [BC] et [NP], [AC] et [MP] les côtés homologues ; – MN = MP = NP = k . AB AC BC

Vocabulaire Dans deux triangles semblables, les côtés opposés à des angles égaux sont appelés « côtés homologues ».

Vocabulaire Le rapport k est appelé coefficient d’agrandissement ou de réduction.

La réciproque de cette propriété est aussi vraie.

Si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés proportionnelles, alors ils sont de même forme.

PROPRIÉTÉ

Thème E • Géométrie plane

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65

12/04/2016 17:28


19

Transformer un point ou une figure par symétries, translation, rotation

OBJECTIF

19

A Symétrie axiale Transformer une figure par symétrie axiale, c’est créer l’image de cette figure par rapport à un axe.

DÉFINITION

Exemples Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la symétrie d’axe (d). (d)

B Symétrie centrale

Transformer une figure par symétrie centrale, c’est créer l’image de cette figure par rapport à un centre de symétrie.

DÉFINITION

(d)

C

A’

A

IM EN

Action Les deux figures symétriques doivent se superposer parfaitement après le pliage le long de l’axe de symétrie.

Les deux oiseaux sont symétriques par rapport à la droite (d).

C’

B

B’

Exemples Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O.

Action Une symétrie centrale fait tourner une figure de 180° autour du centre de symétrie.

C

A

B’

A’

O

O

C’

EC

B

Les deux oiseaux sont symétriques par rapport au point O.

C Translation

Transformer une figure par translation, c’est créer l’image de cette figure par rapport à deux points donnés.

SP

DÉFINITION

Action Une translation fait glisser une forme dans une direction, un sens et une longueur donnés.

Exemples Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la translation qui transforme E en F.

La figure ➋ est l’image de la figure ➊ par la translation qui transforme E en F.

C E

A

B F

C’

E 1

A’

B’

F

2

D Rotation

Transformer une figure par rotation, c’est créer l’image de cette figure par rapport à : – un centre de rotation ; – un angle ; – un sens de rotation.

DÉFINITION

Action Une rotation fait tourner une forme autour d’un point.

Exemples Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la rotation de centre O et d’angle 90° (dans le sens anti-horaire ). O C C’

B’ A’

A

La figure ➋ est l’image de la figure ➊ par la rotation de centre O et d’angle 90° (sens anti-horaire ). O

1 2

B

66

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12/04/2016 17:30


20

Transformer un point ou une figure par homothétie Transformer une figure par homothétie, c’est créer l’image de cette figure par rapport à : – un centre O (un point) ; – un rapport k (un nombre).

DÉFINITION

Exemples Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport k = 0,5. C

A Action

B’ C

A’

O C’

B’ A

B

B

IM EN

A

20

Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport k = – 0,5.

O

C’ A’

OBJECTIF

Si k . 1 (ou k  ,  –1), l’homothétie correspond à un agrandissement. Si 0 , k , 1 (ou –1 , k , 0), l’homothétie correspond à une réduction.

Exemples La figure ➋ est un agrandissement de la figure ➊ par l’homothétie de centre O et de rapport k = 2.

La figure ➋ est une réduction de la figure ➊ par l’homothétie de centre O et de rapport k = 0,25.

O

2

O

1

1

2

B Construction

Exemples Avec k = 3 M’ est du même côté que M par rapport à O. OM’ = 3 × OM

SP

EC

Pour construire l’image M’ d’un point M par rapport à l’homothétie de centre O et de rapport k, il faut : – tracer la droite (OM) : si k . 0, M’ est du même côté que M par rapport à O, sinon, M’ est du côté opposé à M par rapport à O ; – reporter les longueurs : OM’ = k × OM si k . 0, et OM’ = –k × OM si k , 0.

M’

Avec k = – 1,5 M’ est du côté opposé à M par rapport à O. OM’ = 1,5 × OM M O

M

M’

O

C Propriétés

Un point, son image par une homothétie et le centre de l’homothétie sont alignés.

PROPRIÉTÉ 1

Exemple Si M’ est M l’image de M par M’ une homothétie O de centre O, alors les points O, M et M’ sont alignés.

Une homothétie de rapport 1 n’effectue aucune transformation.

Une homothétie de rapport – 1 est une symétrie centrale.

PROPRIÉTÉ 2

PROPRIÉTÉ 3

Exemple Si M’ est l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport 1, alors M = M’.

Exemple Si M’ est M l ’ i m a g e O de M par M’ l’homothétie de centre O et de rapport – 1, alors M’ est le symétrique de M par rapport à O.

M M’

O

Thème E • Géométrie plane

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67

12/04/2016 17:30


21

Propriété de Thalès dans le triangle

OBJECTIF

21

Si, dans un triangle, une droite coupe deux côtés parallèlement au troisième côté, alors les deux triangles ainsi formés ont des côtés deux à deux proportionnels.

PROPRIÉTÉ

A C’

IM EN

B’

B

C

En effet, les triangles AB’C’ et ABC ont des côtés deux à deux proportionnels, donc les rapports entre ces côtés sont égaux. Les triangles AB’C’ et ABC sont des triangles semblables.

22

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

OBJECTIF

22

Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.

EC

PROPRIÉTÉ

A

C’ B’

B’

A

SP

C’

B

C

B C

En effet, les triangles AB’C’ et ABC ont des côtés respectivement proportionnels, donc les rapports (qui expriment les coefficients d’agrandissement ou de réduction) entre ces côtés sont égaux. Les triangles AB’C’ et ABC sont des triangles semblables. 68

04733344_068-069_Theme-E.indd 68

12/04/2016 17:33


Exemple Dans la figure ci-contre, les droites (BC) et (AD) sont parallèles. On peut alors calculer la longueur BC en appliquant le théorème de Thalès. On a alors : EA = ED = AD . EB EC BC Soit EA = 4 = 3,5 et, en utilisant l’égalité des produits en BC EB 5 5 × 3,5 = 4,375 cm. croix, BC = 4

3,5 cm

D

4c

m

A

5c

m

E

C

B

?

23

Prouver que des droites sont ou ne sont pas parallèles

OBJECTIF

23

IM EN

Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et si deux des rapports AM , AB AN et MN ne sont pas égaux, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. AC BC

Exemple BA = 6 = 3 BD 8 4 BC = 7 , donc BA ≠ BC . BE 9 BD BE D’après la propriété précédente, les droites (AC) et (DE) ne sont pas parallèles.

E

D

9c

8

m

cm

PROPRIÉTÉ

cm

B

6

7c m

EC

A

C

Réciproque du théorème de Thalès Si, d’une part, les points A, B et M et, d’autre part, les points A, C et N sont alignés dans le même ordre sur deux droites sécantes en A et si AM = AN , alors les droites (MN) AB AC et (BC) sont parallèles.

N

A B

C

A cm

F

E

B

C

Thème E • Géométrie plane

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6

cm

5,

4

Exemple AE = 5 AC 7 AF = 4 = 40 = 5 , donc AE = AF . AB 5,6 56 7 AC AB De plus, A, E, C et A, F, B sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

m

C

5c

N

B

La réciproque du théorème de Thalès sert uniquement à prouver que des droites sont parallèles.

m

M

Remarque

M

A

7c

SP

PROPRIÉTÉ

69

12/04/2016 17:33


24

Cosinus, sinus et tangente

OBJECTIF

24

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, on définit trois rapports de longueurs. Côté opposé à cet angle aigu . Le sinus de cet angle est égal au quotient : Hypoténuse Côté adjacent à cet angle aigu . Le cosinus de cet angle est égal au quotient : Hypoténuse Côté opposé à cet angle aigu . La tangente de cet angle est égale au quotient : Côté adjacent à cet angle aigu

DÉFINITIONS

Calculatrice 12

B

IM EN

Exemple Dans un triangle ABC rectangle en A, on a donc : · = AB · = AC · = AB cos ACB tan ACB sin ACB BC BC AC Les calculatrices donnent de très bonnes valeurs approchées de ces rapports. Il faut simplement vérifier qu’elles sont bien configurées en « Degrés ».

Côté opposé

Hypoténuse

à ACB

A

Côté adjacent

C

à ACB

Par exemple, pour le cosinus de 68° :

Dans un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.

EC

PROPRIÉTÉ

En effet, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus grand côté donc le rapport entre l’un des deux autres côtés et l’hypoténuse est toujours compris entre 0 et 1.

Dans un triangle rectangle, pour tout angle aigu de mesure x : tan x = sin x (sin x)2 + (cos x)2 = 1 cos x

SP

PROPRIÉTÉ

En effet, en écrivant le sinus et le cosinus d'un angle aigu à l'aide des côtés, on arrive à prouver la seconde égalité. En utilisant en plus l'égalité de Pythagore dans ce même triangle, on arrive à prouver que (sin x)2 + (cos x)2 = 1. Ces propriétés sont démontrées dans les exercices N° 12 et N° 13 p. 341 de ton manuel de cycle.

70

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15/04/2016 15:24


25

Calculer un côté d’un triangle rectangle

OBJECTIF

25

Pour calculer un côté d’un triangle rectangle dont on connait un angle aigu et la longueur d’un côté, il faut : – faire un schéma du triangle en précisant quels côtés sont l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle connu et le côté adjacent à l’angle connu ; – se demander ensuite quel est le côté cherché et quel est le côté connu ; – écrire une égalité avec le rapport qui fait intervenir ces deux côtés ; – on a ainsi une équation à une seule inconnue (le côté cherché) qu’il suffit de résoudre.

IM EN

Exemple Calculer AC dans le triangle ABC rectangle en A. C’est le sinus qui fait intervenir à la fois l’hypoténuse et le côté opposé à l’angle B$ . On peut donc écrire : d’où sin29° = AC . sinB$ = AC BC 6 Hypoténuse C 6 cm Donc AC = 6 × sin29° La calculatrice connait une valeur approchée de sin29°. Calculatrice 12

26

29°

Côté adjacent à l’angle µ B

Côté opposé à l’angle µ B

A

EC

Donc AC ≈ 2,9 cm.

B

Déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle

OBJECTIF

26

SP

Pour déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle dont on connait les longueurs de deux côtés, il faut : – faire un schéma du triangle en précisant quels côtés sont l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle cherché et le côté adjacent à l’angle cherché ; – se demander ensuite quels sont les deux côté connus ; – écrire une égalité avec le rapport qui fait intervenir ces deux côtés ; – on a ainsi une équation à une seule inconnue (l’angle cherché) dont on pourra trouver une valeur approchée grâce à la calculatrice. Exemple Calculer la mesure de l’angle B! dans le triangle ABC rectangle en A. Hypoténuse C’est le cosinus qui fait intervenir à la fois 15 cm l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle. On peut donc écrire : B ? AB 11 . d’où cos B$ = cos B$ = BC 15 11 cm La calculatrice sait alors retrouver une valeur Calculatrice 13 approchée de B! .

Côté adjacent à l’angle µ B

C Côté opposé à l’angle µ B A

Donc B! ≈ 43°. Thème E • Géométrie plane

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71

14/04/2016 15:31


Thème A • Nombres et calculs Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Représenter l’espace

Thème B • Expressions littérales – Fonctions Utiliser le calcul littéral Comprendre et utiliser la notion de fonction

Thème C • Proportionnalité Attendus de fin de cycle

EN

Attendus de fin de cycle

IM

Résoudre des problèmes de proportionnalité Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

SP EC

Thème D • Statistiques et probabilités Attendus de fin de cycle

Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Thème E • Géométrie plane Attendus de fin de cycle

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer Représenter l’espace Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Thème F • Géométrie dans l’espace Attendus de fin de cycle Représenter l’espace Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

72

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1 Construire et représenter un prisme droit 2 Construire et représenter un cylindre de révolution 3 Calculer le volume d’un cylindre dans différentes unités 4 Pyramides et cônes de révolution

6 Sphère et boule

EN

5 Volume d’une pyramide et d’un cône de révolution

7 Repérage dans l’espace

SP EC

IM

8 Sections planes de solides

73

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14/04/2016 15:33


1

Construire et représenter un prisme droit

OBJECTIF

1

A Description Un prisme droit est un solide qui a : – deux faces parallèles et superposables qui sont des polygones, appelées bases ; – des faces rectangulaires perpendiculaires aux bases, appelées faces latérales. Remarque

Représentation en perspective cavalière Les arêtes en pointillés sont les arêtes cachées. Arête

Base

IM EN

DÉFINITION

Hauteur

Les cubes et les parallélépipèdes rectangles sont des prismes droits particuliers.

Arête latérale Face latérale

Base

Construire et représenter un cylindre de révolution

SP

2

EC

B Représentation (patron d’un prisme droit)

A Description

Un cylindre droit, ou cylindre de révolution, est un solide qui a : – deux disques superposables, appelés les bases ; – une surface « entourant » les bases, dont le patron est un rectangle, appelée surface latérale.

DÉFINITION

Remarques • On obtient un cylindre de révolution en faisant tourner un rectangle autour d’un de ses côtés. • Le rayon d’un cylindre est le rayon de ses bases.

Axe

OBJECTIF

2

Représentation en perspective cavalière En perspective cavalière, les bases sont représentées par un ovale. Axe

Bases superposables

h

Surface latérale

74

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B Représentation (patron d’un cylindre de révolution)

Hauteur

Rayon d’une base

Le périmètre P d’un cercle de rayon r est égal à 2πr.

3

IM EN

La longueur du rectangle est égale au périmètre du cercle de la base.

Calculer le volume d’un cylindre dans différentes unités

A Unités de volume

OBJECTIF

3

L’unité de volume usuelle est le mètre cube (notée m3) : c’est le volume d’un cube de 1 m d’arête.

DÉFINITION

Tableau de conversion de mesures de volumes et de capacités km3

hm3

dam3

m3

dm3

kL hL daL L

EC

4

Exemples  4,7 dm3 = 4 700 cm3 = 4,7 L

0

0

7

cm3

dL cL mL 7

0

0

5

4

 75 L = 75 dm3 = 0,075 m3

mm3

3

0

0

 4,3 cm3 = 4 300 mm3 = 4,3 mL

B Volume d’un cylindre

SP

Le volume V d’un cylindre de révolution est égal au produit de l’aire de sa base B par sa hauteur h : V=B×h

FORMULE

Exemple Calculer le volume d’un cylindre de diamètre 7 cm et de hauteur 8 cm :

8 cm

7 cm

– La base est un cercle de diamètre 7 cm, donc de rayon 3,5 cm. Aire de la base : B = πr2 = π × 3,52, donc B ≈ 38,465 cm2. – Volume du cylindre de hauteur 8 cm : V = B × h = πr2h = π × 3,5² × 8, donc V ≈ 308 cm3. Thème F • Géométrie dans l’espace

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75

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4

Pyramides et cônes de révolution

OBJECTIF

4

A Pyramides – Une pyramide est un solide qui a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles qui ont un sommet commun. – La distance entre le sommet de la pyramide et sa base est appelée la hauteur de la pyramide.

DÉFINITIONS

S

Le sommet de la pyramide

IM EN

Une arête latérale

La hauteur de la pyramide

Une face latérale : un triangle

La base : un polygone

Une pyramide régulière est une pyramide dont toutes les faces sont des triangles isocèles superposables.

DÉFINITION

S

EC

D

A

O

B

Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle.

SP

DÉFINITION

C

La base : un triangle

Le mot « tétraèdre » vient du grec : tetra (« quatre ») et edros (« base »).

Remarque Les quatre faces du tétraèdre peuvent être considérées chacune à leur tour comme la base du tétraèdre.

Il existe plusieurs façons de déplier un solide, donc un même solide possède plusieurs patrons différents. Exemple Voici un patron d’une pyramide :

76

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12/04/2016 17:41


B Cônes de révolution Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un des côtés de son angle droit.

DÉFINITION

Le sommet du cône

S

La hauteur du cône

IM EN

Une génératrice

Le disque de base

Vocabulaire

Les génératrices d’un cône sont des segments qui ont pour extrémités le sommet du cône et un point du cercle délimitant le disque de base.

5

Volume d’une pyramide et d’un cône de révolution

5

OBJECTIF

Le volume V d’une pyramide ou d’un cône est égal au tiers du produit de l’aire de la base B du solide par la hauteur de ce solide H : V = B × H , avec B l’aire de la base du solide et H la hauteur du solide. 3

EC

PROPRIÉTÉ

SP

Exemples Le volume d’un cône est égal au tiers du volume du cylindre ayant même base et même hauteur. Pour le cône ci-dessous, l’aire de la base est égale à 30 cm2 et sa hauteur est égale à 6 cm, donc son volume est égal à 30 × 6 = 60 cm3 . 3 Le volume du cône est égal au tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur. 6 cm

30 cm2

Le volume d’une pyramide de hauteur 8 cm dont l’aire de la base est égale à 36 cm2 vaut 36 × 8 = 96 cm3 . 3 Thème F • Géométrie dans l’espace

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77

12/04/2016 17:41


6

Sphère et boule

OBJECTIF

6

– Une sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM = r. – Une boule de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM < r.

DÉFINITIONS

C O

A

D

IM EN

On peut représenter une sphère en perspective. Pour représenter un point qui appartient à la sphère, comme le point D par exemple, on le place sur un cercle de centre O et de même rayon que la sphère. On appelle les cercles de centre O et de rayon r des grands cercles de la sphère. Dans cette sphère : OA = OB = OC = OD.

B

Grands cercles

– Une sphère de rayon r a pour aire : 4πr2. – Une boule de rayon r a pour volume : 4 πr3 . 3

PROPRIÉTÉS

Exemples L’aire d’une sphère de rayon 5,3 cm est égale à 4 × π × 5,32 ≈ 353 cm2 . Le volume d’une boule de rayon 2,7 m est égal à 4 × π × 2,73 ≈ 82m3 . 3

Repérage dans l’espace

OBJECTIF

EC

7

7

A Repérage dans un parallélépipède rectangle

SP

On peut se repérer dans un parallélépipède rectangle en prenant un des sommets comme origine et en notant l’abscisse et l’ordonnée sur la base du pavé droit et l’altitude sur le troisième côté (hauteur). H 4E Exemple K G Dans ce pavé droit, le point C est repéré par le triplet (5 ; 7 ; 0) F 1 et le point G est repéré par le triplet (5 ; 7 ; 4). A0 D Le point K, milieu de [FG], est repéré par le triplet (5 ; 3,5 ; 4). 1

B Repérage sur une sphère

B

7

1

5

C

On peut se repérer sur une sphère à l’aide de grands cercles. Sur notre planète, que l’on assimile à une sphère, ces grands cercles sont des méridiens. Le méridien de Greenwich est le premier d’entre eux.

– La latitude exprime la position Nord-Sud par rapport à l’équateur. – La longitude exprime la position Est-Ouest par rapport au méridien de Greenwich.

DÉFINITIONS

Exemple Le point du globe de latitude 40° Sud (ou – 40°) et de longitude 20°Est (ou + 20°) se trouve en plein océan Indien, sous l’Afrique du Sud. 78

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8

Sections planes de solides

OBJECTIF

8

A Sections de différents solides DÉFINITION

ce plan.

On appelle section d’un solide par un plan l’intersection de ce solide avec

Cube et parallélépipède rectangle – La section d’un cube par un plan parallèle à l’une de ses faces est un carré de même dimension que cette face.

PROPRIÉTÉS

Cylindre

IM EN

– La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à l’une de ses faces est un rectangle identique à cette face.

La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque identique au disque de base.

PROPRIÉTÉ

La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à sa base est un rectangle.

PROPRIÉTÉ

Cône et pyramide

La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque (qui est une réduction du disque de base).

EC

PROPRIÉTÉ

La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone (qui est une réduction du polygone de base).

PROPRIÉTÉ

SP

Sphère

PROPRIÉTÉ

La section d’une sphère par un plan est un cercle.

B Agrandissements et réductions – Réduire les dimensions d’une figure ou d’un solide, c’est multiplier ses dimensions par un nombre compris entre 0 et 1. – Agrandir les dimensions d’une figure ou d’un solide, c’est multiplier ses dimensions par un nombre supérieur à 1.

DÉFINITIONS

Quand on multiplie les dimensions d’une figure ou d’un solide par un nombre k, son aire est multipliée par k2.

PROPRIÉTÉ

Quand on multiplie les dimensions d’un solide par un nombre k, son volume est multiplié par k3.

PROPRIÉTÉ

Thème F • Géométrie dans l’espace

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79

12/04/2016 17:43


On peut programmer les algorithmes avec un logiciel dédié comme le logiciel Scratch. Ce logiciel, avec lequel nous allons apprendre à travailler toute l’année, est téléchargeable et utilisable gratuitement : http://scratch.mit.edu/ Exemple Ce programme permet de faire tracer au lutin la figure ci-dessous  . à chaque fois que l’utilisateur appuie sur Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

• Avec le logiciel Scratch, on peut créer les variables à partir du menu . On commence par choisir le nom de ces variables.

IM EN

Il est pratique de choisir un nom ayant une signification

• Dès que la variable est créée, plusieurs actions se découvrent : Exemple : Ce programme permet de faire dire au lutin où il se trouve chaque fois que l’utilisateur appuie sur

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

EC

Algorithme et programmation

Mémo

Les différents types de boucles de Scratch sont dans le menu

  .

• On peut indiquer le nombre de répétitions souhaitées : ce nombre peut être une variable.

SP

• La répétition est ici effectuée jusqu’à ce qu’un test soit validé. . On a, par exemple : , Ces tests sont dans le menu ou encore  .

• Cette boucle est souvent utilisée quand on attend une réponse au clavier. Cela nécessitera généralement l’usage d’une instruction conditionnelle. Exemple Ce programme permet de faire tracer au lutin la figure ci-dessous à chaque fois que l’utilisateur appuie sur

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

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15/04/2016 16:44


.

Les différents types d’instructions conditionnelles de Scratch sont dans le menu  et

comme

 ,

Exemple : Ce programme donne la nature d’un nombre saisi par l’utilisateur.

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

Lorsque l’on crée un bloc, on doit le nommer et on peut aussi choisir des options : Exemples Ici, le bloc Carré a été créé avec un Ici, le bloc Carré a été créé avec deux paramètre : côté. paramètres : côté et taille. Avec Avec , on trace un carré de côté , on trace un carré de 100. côté 100 avec un stylo de taille 5.

.

Algorithme et programmation

Les conditions sont à construire à partir des éléments du menu ou .

Exemple : Ce programme permet, à l’aide du bloc vague, d’obtenir un joli dessin.

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

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Pages 2, 18, 34, 42, 50, 72, 80 (de haut en bas) : Luciano Mortula/FOTOLIA Philippe Turpin/PHOTONONSTOP SNCF Médiathèque – RFF- ALSTOM – SNCF FABBRO-LACHAUD-LEVEQUE-RECOURA Bonatts/FOTOLIA Tuniz/FOTOLIA Novapix

15/04/2016 16:44


Myriade Cycle 4 - Livret de cours