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le 4 ycle Cy Cyc

Cycle 3

MANUEL DE

CYCLE 4

5

Poids du cartable

Manuel de cycle 4 et son livret de cours en petit format

L’offre numérique Myriade (voir rabats) OFFERT

Le manuel numérique enseignant et ses ressources

L’intégralité du manuel de cycle 4 à projeter en classe avec une très grande richesse de ressources multimedia, utilisable sur tous supports et personnalisable

La classe interactive

Le manuel de cycle 4 avec toutes ses ressources numériques + un parcours de 4 000 exercices interactifs autocorrectifs et différenciés

Également disponibles en version élève

Pour découvrir et tester : www.editions-bordas.fr/reforme-maths

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Manuels de 6e, 5e, 4e et 3e en grand et petit format.

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2016

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2016

COLLECTION

La collection Myriade, les manuels qui font vivre les maths!

MANUEL DE

programme

CYCLE 4

Nouveau

SPECIMEN ENSEIGNANT

Un manuel de cycle et un site Internet complet

ISBN 978-2-04-733297-9

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LA solution pour alléger le cartable de vos élèves (voir rabats et p. 13-14) www.editions-bordas.fr

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18/04/2016 11:34


le site compagnon www.bordas-myriade.fr 101 vidéos

Vidéos des objectifs

Accès à toutes ces ressources es en se connectant à fr www.bordas-myriade.fr

Les thèmes du manuel sont découpés en objectifs dans lesquels la rubrique « Je comprends » explique étape par étape une méthode. À chaque objectif, une vidéo sur le site compagnon explique cette méthode sur d’autres exemples pour mieux assimiler la notion étudiée.

Ces vidéos permettent de revoir à son rythme ce qui est appris en classe !

Les problèmes DUDU

Le manuel Myriade et son site, une offre complète accessible simplement

Les ressources supplémentaires Cherchons ensemble

Le cours

Avec un logiciel

Des activités courtes et attrayantes pour découvrir à chaque objectif la nouvelle notion étudiée.

Un cours pour chaque objectif.

Des activités adaptées pour faire des mathématiques en utilisant un logiciel.

Le livret de cours Myriade cycle 4 est aussi disponible en librairie.

Je travaille seul(e)

66 parcours interactifs et 663 exercices

Des exercices interactifs autocorrectifs pour : – revoir certaines notions utiles avant d’aborder les objectifs des thèmes ; – faire le point sur ces objectifs. Pour chaque objectif, une banque d’exercices corrigés pour apprendre à travailler seul(e) ou en accompagnement personnalisé.

16 vidéos

Les problèmes DUDU sont une web série mettant en scène des problèmes mathématiques sur une situation de la vie courante.

Ces vidéos permettent de voir les maths autrement. Eh oui, les maths c’est utile !

Les créateurs des problèmes DUDU, Arnaud et Julien Durand, ont obtenu le “Grand prix du public” au 8e forum des enseignants innovants.

04733297_000_GD-SPE.indd Toutes les pages

des contenus gratuits pour le cycle 4

Ces exercices permettent de travailler en autonomie.

Le site compagnon www.bordas-myriade.fr enseignant donne aussi accès à: – le livre du professeur à télécharger; – tous les fichiers textes modifiables des activités «Cherchons ensemble»; – tous les fichiers logiciels associés au manuel et leurs versions corrigées (GeoGebra, tableur et Scratch); – l’émulateur interactif de la calculatrice TI-Collège Plus Solaire. Ces contenus sont protégés par des mots de passe et non accessibles aux élèves.

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Vidéos des objectifs

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Avec un logiciel

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EN IM EC SP 04733291_287-288_M5e_Lex.indd 288

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COLLECTION

EN

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Manuel de CYCLE 

SP

EC

Sous la direction de

programme



04733297_001-013.indd 1

Marc Boullis Marc Boullis

Maxime Cambon Yannick Danard Virginie Gallien Élodie Herrmann Isabelle Meyer Yvan Monka Stéphane Percot

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EN

L’enseignement au cycle 4 est désormais curriculaire, nous avons donc élaboré un manuel de cycle permettant aux enseignants d’avoir à disposition tous les éléments nécessaires à la construction de leurs cours. Ainsi, nous avons réuni dans un manuel de cycle tous les exercices et méthodes et proposons en téléchargement gratuit les autres ressources (activités de recherche, cours, exercices corrigés, travaux pratiques avec un logiciel). Cette solution permet à chacun de disposer de toutes les ressources nécessaires sans avoir à transporter un manuel trop lourd au quotidien. Pour structurer cet ouvrage, nous nous sommes appuyés sur les repères de progressivité du programme, les six compétences de l’activité mathémamathématique et les cinq domaines du socle. Chaque thème de cet ouvrage est structuré par objectif d’apprentissage, ce qui offre un large panel d’exercices faisant appel, de façon graduée, aux différentes compétences de l’activité mathématique (chercher ((chercher, chercher,, modéliser modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer). communiquer). Cela permettra, entre autres, aux enseignants de pouvoir travailler de façon différenciée sur un même objectif d’apprentissage. Tous les 2 à 4 objectifs, les élèves peuvent travailler sur des exercices qui font appel à plusieurs objectifs et aller ainsi vers une meilleure maitrise des cinq domaines du socle.

IM

avant-propos

Cet ouvrage a été écrit par une équipe de huit enseignants animés par la passion commune de l’enseignement des mathématiques. Nous avons été guidés par l’envie de faire vivre la réforme du collège en donnant du sens aux mathématiques à travers les exercices proposés.

EC

Les programmes du cycle 4 encouragent à travailler de façon interdisciplinaire et ancrée dans la réalité des élèves. Vous trouverez ainsi un grand nombre de problèmes qui montrent le rôle que jouent les mathématiques dans les autres disciplines et dans la vie quotidienne.

SP

Enfin, nous avons porté une attention toute particulière au nouveau thème Algorithmique et programmation programmation. Le livret qui se trouve dans ce manuel permet de travailler aussi bien l’algorithmique débranchée, sur papier, que l’algorithmique déjà tournée vers la programmation. Les élèves pourront ainsi travailler sur des exercices rapides de programmation, mais aussi sur des projets plus vastes dans lesquels ils seront guidés, étape par étape. Nous espérons très sincèrement que cet ouvrage vous aidera dans la conception de vos cours et permettra à vos élèves de progresser, chacun à son rythme, dans l’apprentissage des mathématiques. Les auteurs

Conformément aux directives des nouveaux programmes de français des cycles 3 et 4, ce manuel applique les rectifications orthographiques proposées par le Conseil supérieur de la langue française, approuvées par l’Académie française et publiées au Journal officiel de la République française le 6 décembre 1990. http://academie-francaise.fr/sites/academie-francaise.fr/files/rectifications.pdf BO spécial n° 11 du 26 novembre 2015 (enseignement du français – extrait) « L’enseignement de l’orthographe a pour référence les rectifications orthographiques publiées au Journal officiel de la République française le 6 décembre 1990. »

© BORDAS/SEJER, 2016 • ISBN 978-2-04-733297-9 2

04733297_001-013.indd 2

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COLLECTION

Gérer l’hétérogénéité des classes Pour chaque objectif, la possibilité de différencier avec : – une partie explicative « Je comprends » ; – des exercices d’application directe « Je m’entraine » ; – des problèmes faisant intervenir la notion étudiée « Je résous des problèmes simples ».

EN

Je résous des problèmes » problèmes » permet de Tous les 2 à 4 objectifs, une partie « Je travailler tous les objectifs récemment étudiés.

Donner du sens aux mathématiques

Des exercices « Les maths autour de moi »  » dans chaque objectif. Des exercices interdisciplinaires.

IM

Des idées d’EPI (Enseignement Pratique Interdisciplinaire) à mener avec les enseignants d’autres disciplines.

Aider les élèves à acquérir le socle commun Des exercices différenciés selon les six compétences de l’activité mathématique.

EC

Des tâches complexes, dont certaines en vidéo avec les problèmes DUDU, et des problèmes de synthèse mêlant les connaissances de plusieurs objectifs.

Intégrer de façon naturelle et raisonnée les outils numériques Explorer une situation à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel de géométrie dynamique à l’aide des fiches méthode logiciel.

SP

Programmer un algorithme avec le logiciel Scratch. Résoudre des problèmes à partir de vidéos avec les problèmes DUDU.

Favoriser l’autonomie des élèves Des exercices corrigés (à télécharger sur le site www.bordas-myriade.fr) pour chaque objectif dans la partie « Je travaille seul(e) » que les élèves pourront travailler chez eux ou en « Aide personnalisée ». Des aides en vidéo, claires et précises, où un professeur explique des méthodes pour chaque objectif d’apprentissage.

Prendre plaisir à faire des mathématiques Des jeux mathématiques, des défis et des énigmes. Des jeux à programmer avec le logiciel Scratch. 3

04733297_001-013.indd 3

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sommaire LIVRET

Algorithmique et programmation Séquence 1 : Instructions et algorithme

...........................................................................................................

20

Séquence 2 : Utilisation des variables ................................................................................................................. 22 Séquence 3 : Utilisation des boucles .................................................................................................................... 24 .......................................................................

EN

Séquence 4 : Utilisation des instructions conditionnelles

26

Séquence 5 : Utilisation d’un bloc d’instructions ............................................................................................ 28 Projet 1 : Le crabe aux pinces magiques

...........................................................................................................

30

Projet 2 : Le nombre mystère ................................................................................................................................... 32

IM

Projet 3 : Jeu de Nim ...................................................................................................................................................... 34 Projet 4 : Promenade aléatoire

................................................................................................................................

36

Projet 5 : Le mage et la grenouille .......................................................................................................................... 38

THÈME A

EC

Projet 6 : Le chiffre de César...................................................................................................................................... 40

Nombres et calculs

Objectif 1: 1 : Calculer une expression sans parenthèses ............................................................................. 44 Objectif 2: 2 : Calculer une expression avec parenthèses

............................................................................. ...........................................................

48

SP

Objectif 3: 3 : Utiliser le vocabulaire pour décrire une expression

46

Objectif 4 : Utiliser des fractions en tant que quotients ou proportions ........................................... 54 Objectif 5: 5 : Utiliser plusieurs écritures d’une fraction ................................................................................. 56 Objectif 6 : Connaitre et utiliser l’égalité des produits en croix .............................................................. 58 Objectif 7 : Utiliser les nombres relatifs ............................................................................................................. 64 Objectif 8 : Repérer des nombres relatifs sur une droite graduée et les comparer .................. 66 Objectif 9 : Effectuer la somme et la différence de nombres relatifs ................................................ 68 Objectif 10 : Calculer avec des nombres relatifs

...........................................................................................

Objectif 11 : Effectuer des calculs, à la main ou à la calculatrice

........................................................

74 76

Objectif 12 : Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire simple ............ 82 Objectif 13 : Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire dans le cas général ......................................................................................................................................................... 84 4

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Objectif 14 : Multiplier et diviser des nombres en écriture fractionnaire ......................................... 86 Objectif 15 : Connaitre et utiliser la notation puissance ............................................................................. 92 Objectif 16 : Calculer avec des puissances de 10 .......................................................................................... 94 Objectif 17 : Utiliser la notation scientifique

96

.....................................................................................................

Objectif 18 : Utiliser des diviseurs, des multiples et des nombres premiers

................................

102

THÈME B

Expressions littérales – Fonctions

EN

Objectif 19 : Décomposer en produit de facteurs premiers et rendre une fraction irréductible ........................................................................................................................................................................... 104

Objectif 1 : Produire une expression littérale

112

..................................................................................................

IM

Objectif 2 : Utiliser une expression littérale ...................................................................................................... 114 Objectif 3 : Tester une égalité

116

...................................................................................................................................

Objectif 4 : Produire et utiliser une expression littérale

............................................................................

Objectif 5 : Connaitre la distributivité ; développer, factoriser et réduire une expression

EC

Objectif 6 : Prouver ou réfuter une égalité entre deux expressions algébriques

122

......

124

........................

126

Objectif 7 : Mettre un problème en équation .................................................................................................... 132 Objectif 8: 8 : Résoudre un problème ........................................................................................................................ 134 Objectif 9: 9 : Produire et utiliser une expression littérale

............................................................................

140

SP

Objectif 10: 10 : Connaitre et utiliser la double distributivité et les identités remarquables ......... 142 Objectif 11: 11 : Prouver ou réfuter un résultat général .................................................................................... 144 Objectif 12: 12 : Résoudre une équation ..................................................................................................................... 150 Objectif 13 : Résoudre des problèmes se ramenant au 1er degré

.......................................................

152

Objectif 14 : Propriétés des inégalités ................................................................................................................. 154 Objectif 15 : Résoudre une inéquation ................................................................................................................. 156 Objectif 16 : Utiliser la notion de fonction

..........................................................................................................

Objectif 17 : Déterminer l’image d’un nombre par une fonction

...........................................................

162 164

Objectif 18 : Déterminer un antécédent d’un nombre par une fonction ............................................ 166 Objectif 19 : Utiliser et représenter une fonction linéaire ......................................................................... 172 Objectif 20 : Utiliser et représenter une fonction affine ............................................................................. 174 Objectif 21 : Déterminer une fonction affine

....................................................................................................

176

5

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sommaire THÈME C

Proportionnalité Objectif 1 : Reconnaitre la proportionnalité

......................................................................................................

184

Objectif 2 : Compléter un tableau de proportionnalité ................................................................................ 186 Objectif 3 : Utiliser la proportionnalité ................................................................................................................. 188 Objectif 4 : Utiliser et déterminer un pourcentage ........................................................................................ 190 Objectif 5 : Déterminer une quatrième proportionnelle ............................................................................. 196 ..................................................................

EN

Objectif 6 : Caractériser graphiquement la proportionnalité

Objectif 7 : Utiliser la proportionnalité pour calculer des grandeurs

................................................

198 200

Objectif 8 : Manipuler des pourcentages pour résoudre des problèmes ......................................... 202 Objectif 9 : Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes .............................................. 208 Objectif 10 : Manipuler des variations exprimées en pourcentage

.....................................................

IM

Objectif 11 : Manipuler des grandeurs produits et des grandeurs quotients THÈME D

................................

210 212

Statistiques et probabilités

EC

Objectif 1 : Calculer des effectifs et des fréquences ................................................................................... 220 Objectif 2 : Étudier les caractéristiques de position d’une série de données ................................. 222 Objectif 3 : Étudier des données sous forme de tableaux ou de graphiques ................................. 224 Objectif 4: 4 : Aborder des situations simples liées au hasard ................................................................... 226 Objectif 5: 5 : Étudier les caractéristiques d’une série de données .......................................................... 232

SP

Objectif 6: 6 : Étudier des données à l’aide d’un tableur .................................................................................. 234 Objectif 7 : Calculer des probabilités dans des situations simples ..................................................... 236 Objectif 8: 8 : Faire le lien entre la fréquence des issues et la probabilité

...........................................

238

Objectif 9: 9 : Étudier une liste de données ............................................................................................................ 244 Objectif 10 : Étudier un tableau ou un graphique de données ................................................................ 246 Objectif 11 : Calculer des probabilités dans des contextes divers ....................................................... 248 Objectif 12 : Simuler une expérience aléatoire à l’aide d’un logiciel

...................................................

250

THÈME E

Géométrie plane Objectif 1 : Construire le symétrique d’un point par symétrie axiale ................................................. 258 Objectif 2 : Construire le symétrique d’un point par symétrie centrale

............................................

260

Objectif 3 : Déterminer les axes et le centre de symétrie d’une figure

.............................................

262

6

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sommaire Objectif 4 : Construire des triangles connaissant des longueurs et/ou des angles

...................

268

Objectif 5 : Utiliser l’inégalité triangulaire .......................................................................................................... 270 Objectif 6 : Connaitre et utiliser les médiatrices et hauteurs d’un triangle ...................................... 272 Objectif 7 : Utiliser la propriété sur la somme des angles d’un triangle Objectif 8 : Reconnaitre et construire un parallélogramme

..........................................

274

....................................................................

280

Objectif 9 : Reconnaitre et construire un parallélogramme particulier

............................................

Objectif 10 : Calculer le périmètre d’une figure dans différentes unités

..........................................

282 288

Objectif 11 : Calculer l’aire d’une figure dans différentes unités ........................................................... 290

EN

Objectif 12 : Transformer un point ou une figure par translation ......................................................... 296 Objectif 13 : Transformer un point ou une figure par rotation ................................................................ 298 Objectif 14 : Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore ..................................... . .................................... 304 Objectif 15 : Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle ................................................ 306 Objectif 16 : Démontrer qu’un triangle est rectangle ou n’est pas rectangle ................................. 308

IM

Objectif 17 : Caractériser le parallélisme avec les angles........................................................................ 314 Objectif 18 : Cas d’égalité des triangles – Triangles semblables .......................................................... 316 Objectif 19 : Transformer un point ou une figure par symétries, translation, rotation.............. 322 Objectif 20 : Transformer un point ou une figure par homothétie ........................................................ 324

EC

Objectif 21 : Calculer une longueur avec le théorème de Thalès dans un triangle

....................

330

Objectif 22 : Calculer une longueur avec le théorème de Thalès ......................................................... 332 Objectif 23 : Démontrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles ...................................... 334 Objectif 24: 24 : Connaitre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu

......................................

340

Objectif 25: 25 : Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle .................................................... 342

SP

Objectif 26: 26 : Déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle .................................. 344

THÈME F

Géométrie dans l’espace

Objectif 1 : Construire et représenter un prisme droit

..............................................................................

352

Objectif 2 : Construire et représenter un cylindre de révolution ........................................................... 354 Objectif 3 : Calculer le volume d’un cylindre dans différentes unités ................................................. 356 Objectif 4 : Observer et manipuler les pyramides et les cônes de révolution ............................... 362 Objectif 5 : Calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de révolution ..................................... 364 Objectif 6 : Calculer l’aire d’une sphère et le volume d’une boule

........................................................

370

Objectif 7 : Se repérer dans l’espace .................................................................................................................... 372 Objectif 8 : Calculer dans des sections de solides

........................................................................................

374

.........................................................................................................

380

........................................................................................................................................................

407

Tâches complexes et Problèmes DUDU Le BREVET des collèges

7

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Programme du cycle 4 • Mathématiques Extraits du BO spécial n° 11 du 26 novembre 2015 La correspondance entre le programme et le manuel est indiquée par 

Chercher Extraire d’un document les informations utiles, les reformuler, les organiser, les confronter à ses connaissances. S’engager dans une démarche scientifique, observer, questionner, manipuler, expérimenter (sur une feuille de papier, avec des objets, à l’aide de logiciels), émettre des hypothèses, chercher des exemples ou des contre-exemples, simplifier ou particulariser une situation, émettre une conjecture. Tester, essayer plusieurs pistes de résolution. Décomposer un problème en sous-problèmes. Domaines du socle : 2, 4

Domaines du socle : 2, 3, 4

Calculer Calculer avec des nombres rationnels, de manière exacte ou approchée, en combinant de façon appropriée le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté (calculatrice ou logiciel). Contrôler la vraisemblance de ses résultats, notamment en estimant des ordres de grandeur ou en utilisant des enca encadrements. Calculer en utilisant le langage algébrique (lettres, symsym boles, etc.).

IM

Modéliser Reconnaitre des situations de proportionnalité et résoudre les problèmes correspondants. Traduire en langage mathématique une situation réelle (par exemple, à l’aide d’équations, de fonctions, de configuconfigurations géométriques, d’outils statistiques). Comprendre et utiliser une simulation numérique ou géogéométrique. Valider ou invalider un modèle, comparer une situation à un modèle connu (par exemple, un modèle aléatoire).

Démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion. Fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maitrise de l’argumentation.

EN

Compétences travaillées

THÈME

Domaine du socle : 4

EC

Communiquer Faire le lien entre le langage naturel et le langage algébrique. Distinguer des spécificités du langage mathé mathématique par rapport à la langue française. Expliquer à l’oral ou à l’écrit (sa démarche, son raisonnement, un calcul, un protocole de construction géométrique, un algorithme), comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange. Vérifier la validité d’une information et distinguer ce qui est objectif et ce qui est subjectif ; lire, interpréter, commenter, produire des tableaux, des graphiques, des diagrammes.

Domaines du socle : 1, 2, 4

SP

Représenter Choisir et mettre en relation des cadres (numérique, algébrique, géométrique) adaptés pour traiter un problème ou pour étudier un objet mathématique. Produire et utiliser plusieurs représentations des nombres. Représenter des données sous forme d’une série statisstatis tique. Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides (par exemple, perspective ou vue de dessus/ de dessous) et de situations spatiales (schémas, croquis, maquettes, patrons, figures géométriques, photographies, plans, cartes, courbes de niveau). Domaines du socle : 1, 5

Raisonner Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées (géométriques, physiques, économiques)  : mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs, mettre à l’essai plusieurs solutions. Mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui.

Domaines du socle : 1, 3

Nombres et calculs Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Utiliser le calcul littéral Connaissances et compétences associées Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes THÈME A Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique,

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EN

Au cycle 3, les élèves ont rencontré des fractions simples sans leur donner le statut de nombre. Dès le début du cycle 4, les élèves construisent et mobilisent la fraction comme nombre qui rend toutes les divisions possibles. En 5e, les élèves calculent et comparent proportions et fréquences, justifient par un raisonnement l’égalité de deux quotients, reconnaissent un nombre rationnel. À partir de la 4e, ils sont conduits à additionner, soustraire, multiplier et diviser des quotients, à passer d’une représentation à une autre d’un nombre, à justifier qu’un nombre est ou non l’inverse d’un autre. Ils n’abordent la notion de fraction irréductible qu’en 3e. La notion de racine carrée est introduite en lien avec le théorème de Pythagore ou l’agrandissement des surfaces. Les élèves connaissent quelques carrés parfaits, les utilisent pour encadrer des racines par des entiers, et utilisent la cal calculatrice pour donner une valeur exacte ou approch��e de la racine carrée d’un nombre positif. maniLes puissances de 10 d’exposant entier positif sont mani pulées dès la 4e, en lien avec les problèmes scientifiques ou technologiques. Les exposants négatifs sont introduits pro progressivement. Les puissances positives de base quelconque sont envisagées comme raccourci d’un produit. Dès le début du cycle 4, les élèves comprennent l’intérêt d’uti d’utiliser une écriture littérale. Ils apprennent à tester une égalité en attribuant des valeurs numériques au nombre désigné par une lettre qui y figure. À partir de la 4e, ils rencontrent les notions de variables et d’inconnues, la factorisation, le développement et la réduction d’expressions algébriques. Ils commencent à résoudre, de façon exacte ou approchée, des problèmes du 1er degré à une inconnue, et apprennent à modéliser une situation à l’aide d’une formule, d’une équa équation ou d’une inéquation. En 3e, ils résolvent algébriquement équations et inéquations du 1er degré, et mobilisent le calcul littéral pour démontrer. Ils font le lien entre forme algébrique et représentation graphique.

IM

repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre. Nombres décimaux. Nombres rationnels (positifs ou négatifs), notion d’opposé. Fractions, fractions irréductibles, cas particulier des fractions décimales. Définition de la racine carrée ; les carrés parfaits entre 1 et 144. Les préfixes de nano à giga. Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels. Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée. Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire. Égalité de fractions. Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté. Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimaux (somme, différence, produit, quotient). Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique. Définition des puissances d’un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs).

EC

Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers THÈME A Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier. Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Division euclidienne (quotient, reste). Multiples et diviseurs. Notion de nombres premiers.

SP

Utiliser le calcul littéral THÈME B Mettre un problème en équation en vue de sa résolution. Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples. Résoudre des équations ou des inéquations du premier degré. Notions de variable, d’inconnue. Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.

Repères de progressivité La maitrise des techniques opératoires et l’acquisition du sens des nombres et des opérations appréhendés au cycle 3 sont consolidées tout au long du cycle 4. Les élèves rencontrent dès le début du cycle 4 le nombre relatif qui rend possible toutes les soustractions. Ils généralisent l’addition et la soustraction dans ce nouveau cadre et rencontrent la notion d’opposé. Puis ils passent au produit et au quotient, et, quand ces notions ont été bien installées, ils font le lien avec le calcul littéral.

Organisation et gestion de données, fonctions Attendus de fin de cycle Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités Résoudre des problèmes de proportionnalité Comprendre et utiliser la notion de fonction Connaissances et compétences associées Interpréter, représenter et traiter des données THÈME D Recueillir des données, les organiser. Lire des données sous forme de données brutes, de tableau, de graphique. Calculer des effectifs, des fréquences. Tableaux, représentations graphiques (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires, histogrammes). 9

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Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités THÈME D Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples. Calculer des probabilités dans des cas simples. Notion de probabilité. Quelques propriétés : la probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1 ; probabilité d’événements certains, impossibles, incompatibles, contraires. Résoudre des problèmes de proportionnalité THÈME C Reconnaitre une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité. Résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle. Résoudre des problèmes de pourcentage. Coefficient de proportionnalité.

Grandeurs et mesures Attendus de fin de cycle

Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Connaissances et compétences associées Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

IM

Comprendre et utiliser la notion de fonction THÈME B Modéliser des phénomènes continus par une fonction. Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions (équations, inéquations). Dépendance d’une grandeur mesurable en fonction d’une autre. Notion de variable mathématique. Notion de fonction, d’antécédent et d’image. Notations f (x) et x ↦ f (x). Cas particulier d’une fonction linéaire, d’une fonction affine.

bilités (expérience aléatoire, issue, probabilité). Les élèves calculent des probabilités en s’appuyant sur des conditions de symétrie ou de régularité qui fondent le modèle équiprobable. Une fois ce vocabulaire consolidé, le lien avec les statistiques est mis en œuvre en simulant une expérience aléatoire, par exemple sur un tableur. À partir de la 4e, l’interprétation fréquentiste permet d’approcher une probabilité inconnue et de dépasser ainsi le modèle d’équiprobabilité mis en œuvre en 5e.

EN

Calculer et interpréter des caractéristiques de position ou de dispersion d’une série statistique. Indicateurs : moyenne, médiane, étendue.

EC

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités THÈMES A, B, C, D, E et F .

SP

Repères de progressivité Les caractéristiques de position d’une série statistique sont introduites dès le début du cycle. Les élèves rencontrent des caractéristiques de dispersion à partir de la 4e. Les activités autour de la proportionnalité prolongent celles du cycle 3. Au fur et à mesure de l’avancement du cycle, les élèves diversifient les points de vue en utilisant les représen représentations graphiques et le calcul littéral. En 3e, les élèves sont en mesure de faire le lien entre proportionnalité, fonctions linéaires, théorème de Thalès et homothéties, et peuvent choisir le mode de représentation le mieux adapté à la réso résolution d’un problème. En 5e, la rencontre de relations de dépendance entre grandeurs mesurables, ainsi que leurs représentations graphiques, permet d’introduire la notion de fonction qui est stabilisée en 3e, avec le vocabulaire et les notations correspondantes. Dès le début et tout au long du cycle 4 sont abordées des questions relatives au hasard, afin d’interroger les représentations initiales des élèves, en partant de situations issues de la vie quotidienne (jeux, achats, structures familiales, informations apportées par les médias, etc.), en suscitant des débats. On introduit et consolide ainsi petit à petit le vocabulaire lié aux notions élémentaires de proba-

Vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités THÈMES A, B, C, D, E et F . Notion de grandeur produit et de grandeur quotient THÈME C . Formule donnant le volume d’une pyramide, d’un cylindre, d’un cône ou d’une boule THÈME F .

Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Comprendre l’effet d’un déplacement, d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les aires, les volumes ou les angles THÈME E . Notion de dimension et rapport avec les unités de mesure (m, m2, m3) THÈME E et F .

Repères de progressivité Le travail sur les grandeurs mesurables et les unités de mesure, déjà entamé au cycle 3, est poursuivi tout au long du cycle 4, en prenant appui sur des contextes issus d’autres disciplines ou de la vie quotidienne. Les grandeurs produits et les grandeurs quotients sont introduites dès la 4e. L’effet d’un déplacement, d’un agrandissement ou d’une réduction sur les grandeurs géométriques est travaillé en 3e, en lien avec la proportionnalité, les fonctions linéaires et le théorème de Thalès.

10

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Attendus de fin de cycle Représenter l’espace Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer Connaissances et compétences associées Représenter l’espace (Se) repérer sur une droite graduée, dans le plan muni d’un repère orthogonal THÈME A , dans un parallélépipède rectangle ou sur une sphère THÈME F . Abscisse, ordonnée, altitude. Latitude, longitude. Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides et de situations spatiales THÈME F . Développer sa vision de l’espace THÈME F .

Le théorème de Pythagore est introduit dès la 4e, et est réinvesti tout au long du cycle dans des situations variées du plan et de l’espace. Le théorème de Thalès est introduit en 3e, en liaison étroite avec la proportionnalité et l’homothétie, mais aussi les agrandissements et réductions. La symétrie axiale a été introduite au cycle 3. La symétrie centrale est travaillée dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme. Les translations, puis les rotations sont introduites en milieu de cycle, en liaison avec l’analyse ou la construction des frises, pavages et rosaces, mais sans défini définition formalisée en tant qu’applications ponctuelles. Une fois ces notions consolidées, les homothéties sont amenées en proportion3e, en lien avec les configurations de Thalès, la proportion nalité, les fonctions linéaires, les rapports d’agrandissement ou de réduction des grandeurs géométriques.

Algorithmique et programmation

IM

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer THÈME E Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d’une figure géométrique. Coder une figure. Comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure. Résoudre des problèmes de géométrie plane, prouver un résultat général, valider ou réfuter une conjecture. Position relative de deux droites dans le plan. Caractérisation angulaire du parallélisme, angles alternes / internes. Médiatrice d’un segment. Triangle : somme des angles, inégalité triangulaire, cas d’égalité des triangles, triangles semblables, hauteurs, rapports trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente). Parallélogramme : propriétés relatives aux côtés et aux diagonales. Théorème de Thalès et réciproque. Théorème de Pythagore et réciproque.

tout au long du cycle 4, permettant aux élèves de s’entrainer au raisonnement et de s’initier petit à petit à la démonstration.

EN

Espace et géométrie

Attendu de fin de cycle Écrire, mettre au point et exécuter un programme simple LIVRET ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION

SP

EC

Connaissances et compétences associées Décomposer un problème en sous-problèmes afin de structurer un programme ; reconnaitre des schémas. Écrire, mettre au point (tester, corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné. Écrire un programme dans lequel des actions sont déclenchées par des événements extérieurs. Programmer des scripts se déroulant en parallèle. Notions d’algorithme et de programme. Notion de variable informatique. Déclenchement d’une action par un événement, séquences d’instructions, boucles, instructions conditionnelles.

Repères de progressivité Les problèmes de construction constituent un champ privi privilégié de l’activité géométrique tout au long du cycle 4. Ces problèmes, diversifiés dans leur nature et la connexion qu’ils entretiennent avec différents champs mathématiques, scien scientifiques, technologiques ou artistiques, sont abordés avec les instruments de tracé et de mesure. Dans la continuité du cycle 3, les élèves se familiarisent avec les fonctionnalités d’un logiciel de géométrie dynamique ou de programmation pour construire des figures. La pratique des figures usuelles et de leurs propriétés, entamée au cycle 3, est poursuivie et enrichie dès le début et

Repères de progressivité En 5e, les élèves s’initient à la programmation événementielle. Progressivement, ils développent de nouvelles compétences, en programmant des actions en parallèle, en utilisant la notion de variable informatique, en découvrant les boucles et les instructions conditionnelles qui complètent les structures de contrôle liées aux évènements.

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pour utiliser le manuel de cycle Ouverture d’un thème Les attendus de fin de cycle

Le programme est découpé en 6 thèmes. La liste des objectifs traités dans ce thème. Des objectifs proposés par niveau en fonction des repères de progressivité du programme.

Thème A • Nombres et calculs

Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Représenter l’espace

OBJECTIFS 5e

Proposition de progression 5e 4e 3e

1. Calculer une expression sans parenthèses

5e

2. Calculer une expression avec parenthèses

5e

3. Utiliser le vocabulaire pour décrire une expression

5e

4. Utiliser des fractions en tant que quotients ou proportions

5

e

5e 5e 5e 5e

5. Utiliser plusieurs écritures d’une fraction 6. Connaitre et utiliser l’égalité des produits en croix 7. Utiliser les nombres relatifs 8. Repérer des nombres relatifs sur une droite graduée et les comparer 9. Effectuer la somme et la différence de nombres relatifs

4e 10. Calculer avec des nombres relatifs 4

e

11. Effectuer des calculs, à la main ou à la calculatrice

4e 12. Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire simple 4e 13. Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire

dans le cas général 4e 14. Multiplier et diviser des nombres en écriture fractionnaire 4e 15. Connaitre et utiliser la notation puissance 4e 16. Calculer avec des puissances de 10

Combien, y-a-t’il d’immeubles sur cette photo, de fenêtres éclairées ? Quelle est la hauteur de la statue de la Liberté ? À quelle distance se trouve-t-elle de la rive ? Combien a-t-elle couté ? Tant de questions auxquelles il serait impossible de répondre sans les nombres. Le monde qui nous entoure utilise en permanence les nombres : les nombres entiers pour compter, les nombres décimaux pour les échanges monétaires, les nombres rationnels pour les partages et d’autres nombres pour des calculs techniques plus précis. L’étude de ce thème te permettra de mieux maitriser les nombres et les calculs.

4e 17. Utiliser la notation scientifique 3 18. Utiliser des diviseurs, des multiples et des nombres premiers e

3e 19. Décomposer en produit de facteurs premiers et rendre

une fraction irréductible

Des ressources supplémentaires à télécharger Pour chaque objectif de ce thème, les ressources suivantes sont téléchargeables gratuitement sur le site www.bordas-myriade.fr : Cherchons ensemble Des activités pour découvrir les nouvelles notions propres à chaque objectif Le cours Pour connaitre les notions mathématiques liées à l’objectif Je travaille seul(e) Des exercices corrigés pour apprendre à travailler en autonomie ou en accompagnement personnalisé

Acti

1

Découvrir les priorités des opérations

OBJECTIF

Expressions sans parenthèses

OBJECTIF

Dans une expression sans parenthèses, les multiplications et les divisions doivent être effectuées avant les additions et les soustractions.

PROPRIÉTÉ

1

Tom et Alice ont calculé 8 + 2 × 3 sans calculatrice. 

Exemples Calcul de A = 3 + 4 × 5 A=3+4×5 On effectue d’abord la multiplication A = 3 + 20 A = 23

Moi, j’ai trouvé 14. J’ai trouvé 30.

1

Je fais le point sur mon cours 40 3 + 4 × 10 est égal à :

3 Effectuer mentalement les calculs suivants : A=4×5+2

42

B =10 + 1 × 3

C= =7 7+3×5

de 5 par 4 ?

D =30 – 4 × 2

E= =30 30 – 25 : 5

F =12 =12 + 8 : 4

G =100 : 10 + 10

H =15 =15 – 5 × 2 + 4

I =200 =200 : 10 – 8

J =27 =27 – 8 + 2

K =143 =143 – 5 – 2

L =20 : 10 × 2

Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des additions, on peut effectuer les calculs dans l’ordre que l’on veut.

donnée par la calculatrice.

PROPRIÉTÉ

5 Expliquer comment on semble devoir calculer une expression contenant plusieurs opérations.

Acti

2

Effectuer un calcul contenant des parenthèses

OBJECTIF

Calculer une expression sans parenthèses 45 Calculer les expressions suivantes en détaillant les étapes de chaque calcul : b. 140 : 10 − 6 a. 140 − 10 × 6 c. 140 + 10 × 6 d. 140 × 10 + 6 e. 140 − 10 + 6 f. 140 − 10 − 6

On dit que l’addition est commutative.

2

Règle du jeu des Quatre : en utilisant quatre fois le chiffre 4, des opérations ( + ; − ; × ; : )

Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des multiplications, on peut effectuer les calculs dans l’ordre que l’on veut.

PROPRIÉTÉ

Exemples de calculs autorisés : 444 + 4 = 448, mais aussi, (4 + 4) × (4 + 4) = 64.

1 Voici quatre défis à relever l’un après l’autre :

2 Expliquer comment calculer une expression contenant des parenthèses. 38

8 6

La facture EDF Utiliser un tableur pour automatiser un calcul dans un contexte de vie quotidienne. Difficulté mathématique

40’

84 une somme

2

Calculer une expression avec parenthèses par des opérations, sans utiliser de parenthèses, pour trouver le plus de nombres entiers pos- 50 Calculer les expressions suivantes en détaillant sible. les étapes du calcul : a. 18 − (6 − 4) b. (30 × 6) : 2 47 1. Calculer : d. 4 × (15 − (8 + 3)) c. (18 − 6) − 4 a. 1 + 8 × 1 ; b. 3 + 8 × 123  ; e. 30 × (6 : 2) f. (10 + 4) : (2 × 5) d. 4 + 8 × 1 234 . c. 2 + 8 × 12 ; 2. Sans effectuer les calculs, prévoir les résul- 51 Réécrire chacun des calculs ci-dessous à l’aide d’écritures fractionnaires : tats de : b. 2 + 4 : 10 a. (2 + 4) : 10 a. 5 + 8 × 12 345 c. 2 : (4 : 10) d. (2 : 4) : 10 b. 6 + 8 × 123 456

14/04/2016 14:56

On dit que la multiplication est commutative.

Exemple Il y a trois façons de calculer l’expression B = 10 × 3 × 8 qui conduisent toutes au même résultat final. Première façon Deuxième façon Troisième façon 10 ×+ 38 ×+83 A = 10 12 ×+ 38×+83 A = 12 A = 10 12 ×+ 88×+33 A = 30 12 ×+ 88=+240 3 A = 10 × 24 = 240 A = 80 12 ×+ 38=+240 3

a. trouver 8 ; b. trouver tous les nombres entiers de 0 à 9 inclus ; c. obtenir 0 comme résultat du plus grand nombre de façons possible ; d. trouver le plus de nombres entiers différents possibles inférieurs à 100.

1

C 70

8 × (5 + 4)

68

3. Vérifier en effectuant les calculs. qu’elles soient vraies : a. … + … × … = 40 b. … : … − … = 40

40

lisant le signe : et éventuellement des parenc’est nécessaire : b. 18 + 7 c. 18 + 7 d. 18 5 7 5 5 thèses si a. 18 + 7 5

48

2

15/03/2016 20:19

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15/03/2016 20:19

Heures pleines

1 022 kWh

1 037 kWh

Du 05/12/2015 au 01/06/2016

1 759 kWh

2 400 kWh

04733291_037-056_M5e_C01.indd 48

15/03/2016 20:19

2 a. À l’aide des informations de l’énoncé, compléter les cellules C2, C3, C4, C5, B2 et B3. b. Dans les cellules B4 et B5, saisir une formule permettant d’afficher la consommation totale de la famille (HP et HC). Tableur 1 c. Dans la cellule D2, saisir une formule permettant de calculer le montant de la consommation en heures pleines. Compléter de même les cellules D3, D4 et D5. d. Dans la cellule D6, saisir une formule permettant d’obtenir le prix total à payer. Tableur 1 e. Combien la famille a-t-elle payé d’électricité entre le 2 juin 2015 et le 1er juin 2016 ? f. Avec 100 € par mois, combien d’électricité peut-on avoir au maximum ? au minimum ?

43

14/04/2016 14:56

Les poules et les lapins

Utiliser le tableur pour faciliter une recherche par tâtonnement. Difficulté mathématique

30’

04733291_037-056_M5e_C01.indd 38

Heures creuses

Du 02/06/2015 au 04/12/2015

1 Ouvrir une feuille de calcul et réaliser le tableau ci-dessous.

04733297_042-043_Theme-A.indd 43

52 Réécrire chacun des calculs ci-dessous en uti-

48 Recopier et compléter les égalités suivantes pour

Difficulté technique

Le prix de l’électricité dépend de la puissance choisie par le client. Pour un abonnement à 9kVA, voici les tarifs proposés par EDF : – abonnement fixe de 8,57 € par mois ; – tarif heure pleine (HP) à 0,1206 €/kWh ; – tarif heure creuse (HC) plus avantageux à 0,0738 €/kWh ; – taxe sur la consommation finale d’électricité de 0,011448 €/kWh (HP et HC) ; – contribution au service public d’électricité de 0,021732 €/kWh (HP et HC). Voici la consommation d’une famille de trois personnes :

Corrigés page 279

d’arrosage goutte à goutte dans son jardin potager. Il doit prévoir différentes longueurs de tuyau : • 5 longueurs de 4,8 m pour les salades ; • 3 longueurs de 2,5 m pour les tomates ; • 8 longueurs de 3 m pour les haricots verts. 1. Quelle longueur totale de tuyau doit-il acheter ? 2. Écrire le calcul en une seule expression.

46 Recopier, puis compléter l’expression 100 … 20 … 4

Exemple Il y a trois façons de calculer l’expression A = 12 + 3 + 8 qui conduisent toutes au même résultat final. Première façon Deuxième façon Troisième façon A = 12 + 3 + 88 A = 12 + 3 + 8 A = 12 ++ 88++33 A = 15 + 8 = 23 A = 12 + 11 = 23 A = 20 12 ++ 38=+23 3

04733297_042-043_Theme-A.indd et des parenthèses,42 on doit trouver des nombres entiers.

(8 + 5) × 4

un quotient

92

49 Grand-père Henri souhaite installer un système

1

Exemple Calcul de B = 30 : 5 × 2 B = 30 : 5 × 2 B = 6 × 2 = 12

4 Refaire les calculs précédents à l’aide de la calculatrice. En cas d’erreur, expliquer la réponse

8 +1 5

8+5×4

un produit

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

Je fais le point sur mes objectifs

Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite (on dit aussi « dans le sens de lecture »).

PROPRIÉTÉ

é vit

Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr. B 430

43 8 5 +1

41 8 : 5 + 1 est égal à : 42 Quelle est la somme de 8 et du produit 43 100 – (20 – (8 – 4)) est égal à : 44 L’expression 48 ×+ 32 + 18 × 5  est :

Exemple Calcul de A = 10 – 6 + 3 A = 10 – 6 + 3 A= 4+3=7

2 Utiliser une calculatrice scientifique pour savoir qui a effectué le calcul correctement.

Corrigés page 279

A

On dit que la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

Calcul de B = 12 – 6 : 2 B = 12 – 6 : 2 On effectue d’abord la division B = 12 − 3 B=9

Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite (on dit aussi « dans le sens de lecture »).

PROPRIÉTÉ

1 Expliquer comment Tom et Alice ont obtenu leurs résultats respectifs.

EN

1

Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

é vit

Avec un logiciel Des activités adaptées à l’usage du numérique en classe à télécharger sur le site www.bordas-myriade.fr

Difficulté technique

Dans leur basse-cour, Stephan et Karine élèvent des poules et des lapins. Ils ont compté en tout 335 têtes et 828 pattes. Combien ont-ils de poules ? Combien ont-ils de lapins ?

A. Sur une feuille ou dans un cahier

1 Est-il possible qu’il y ait 100 poules et 235 lapins ? Expliquer.

2 Écrire un calcul qui permet de connaitre le nombre de pattes pour 100 poules et 235 lapins.

B. Avec un tableur

3 a. Ouvrir une feuille de calcul puis la compléter comme ci-contre. b. Saisir un nombre de têtes de poules dans la cellule B1. Tableur 1 c. Dans la cellule B2, saisir une formule qui calcule le nombre de lapins en fonction du nombre saisi dans la cellule A2. Tableur 1 d. Dans la cellule B3, saisir une formule donnant le nombre total de têtes. Tableur 1 e. Dans la cellule B4, saisir une formule donnant le nombre total de pattes. Tableur 1 f. Résoudre le problème posé en changeant le nombre saisi dans la cellule B1.

Des ressources supplémentaires à télécharger gratuitement sur www.bordas-myriade.fr 54

04733291_037-056_M5e_C01.indd 54

1

Activ

és de ces activit r. iade.f modifiables bordas-myr chiers texte Tous les fi ibles sur le site www. sont dispon

OBJECTIF

s des opération les priorités Découvrir atrice. 

ité

1

Tom et Alice

ont calculé

8 + 2 × 3 sans

calcul

J’ai trouvé

Le cours

Moi, j’ai trouvé

A=4×5+ D =30 – 4

14.

30.

2

×2

G =100 : 10

+ 10

30 – 25 =30 E=

12 + 8 =12 F=

:5

2+4 =15 – 5 × H =15

–8

L =20 : 10

×2

PROPRIÉTÉ

2 se =143 – 5 – K =143 uer la répon 2 d’erreur, expliq =27 – 8 + J =27 atrice. En cas de la calcul opérations. dents à l’aide ant plusieurs calculs précé ssion conten er une expre e devoir calcul donnée ent on sembl comm Expliquer

PROPR

2

Activ

= e : en utilisa des nombres entier 4) × (4 + 4) des Quatr er aussi, (4 + Règle du jeuthèses, on doit trouv 448, mais 444 + 4 = et des paren calculs autorisés : de Exemples l’autre : r l’un après défis à releve ; 1 Voici quatre 0 à 9 inclus possible ; 8; entiers de de façons a. trouver res re 100. à nomb nomb tous les inférieurs plus grand b. trouver possibles résultat du s différents 0 comme thèses. c. obtenir des paren nombres entier contenant le plus de expression d. trouver calculer une comment 2 Expliquer

40

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6 20:19

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M5e_C01

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40’

8 × (5 + 4) 84 e une somm

myriade.fr. www.bordas-

279

en détaillant suivantes expressions Calculer les chaque calcul : 6 de 140 : 10 − les étapes +6 ×6 d. 140 × 10 a. 140 − 10 ×6 −6 c. 140 + 10 f. 140 − 10 +6 e. 140 − 10 4 100 … 20 … l’expression éter thèses, puis compl r de paren 46 Recopier,opérations, sans utilise res entiers posnomb par des de r le plus pour trouve sible.

système

r différe salades ; ger. Il doit prévoide 4,8 m pour les es ; eurs pour les tomatts verts. • 5 longu eurs de 2,5 m pour les harico • 3 longu acheter ? eurs de 3 m • 8 longu tuyau doit-il ur totale de 1. Quelle longue en une seule expression. calcul 2. Écrire le

b. (30 × − (8 + 3)) d. 4 × (15 : (2 × 5) f. (10 + 4)

.indd 40

Le livret de cours Myriade cycle 4 est aussi disponible en librairie. 15/03/201

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sous à l’aide calculs ci-des chacun des 51 Réécrire fractionnaires : : 10 d’écritures b. 2 + 4 : 10 10 a. (2 + 4) d. (2 : 4) : 10) c. 2 : (4 : en utitats de : s ci-dessous paren12 345 des calcul a. 5 + 8 × ire chacun éventuellement des 56 Réécr 123 4 52 : et b. 6 + 8 × les calculs. lisant le signe nécessaire : 18 en effectuant 3. Vérifier 7 c. 18 + 7 d. 7 thèses si c’est pour s suivantes 5 + 7 b. 18 + 5 5 éter les égalité a. 18 5 ier et compl Recop : 48 vraies qu’elles soient= 40 … a. … + … × … = 40 b. … : … −  ; : b. 3 + 8 × 123 . 234 a. 1 + 8 d. 4 + 8 × 1 les résulc. 2 + 8 × 12 ; s, prévoir uer les calcul 2. Sans effect

er 47 1. Calcul× 1 ;

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• Des activités adaptées à l’usage du numérique en classe. • Des fiches GeoGebra et Tableur à télécharger pour travailler en autonomie. • Une activité utilisant le logiciel Scratch pour pratiquer l’algorithmique et la programmation.

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Je comprends explique étape par étape une méthode aux élèves. À chaque objectif, une vidéo où l’un des auteurs explique cette méthode sur d’autres exemples.

Je compre nds

1

VOIR LA VIDÉO

1. Calculer A = 13 + 20 × 5. 2. Calculer B = 7 × 6 10 –3×5+ 9. 1. Calculer A = 13 + 20 10 × 5 . Remarque

13 + 20 × 5 peut s’écrire 10 aussi

ÉTAPE 1

13 + 20 : 10

× 5.

On comm ence par la – la multi plication division car : et la divisi taires sur on l’addi en premier ; tion, il faut donc sont prioriles effec – ces deux tuer opérations de priorité, étant du gauche à on doit effectuer même niveau droite. les calcu ls de A = 13 + 20 10 × 55 A = 13 + 2×5 ÉTAPE 2

On effectue ensuite est prior itaire sur la multiplication car elle l’addition : A = 13 + 2 A = 13 + × 5 10

Je m’entra ine

1

Activités rapides

Calcul ment a. 20 + 10 al :2 c. 3 + 4 ×5 e. 4,8 × 2 + 0,4 g. 4,8 × 2 + 0,4 − 9

yriade.fr

riade.fr

ÉTAPE 3

On termi ne le calcu l en effec tuant l’addi A = 13 13 ++ 10 10 tion : A = 23 23 2. Calculer B = 7×6 −3×5+ 9. ÉTAPE 1 On effectue en ritaires sur premier les multi plications, les soust prioractions et BB==77×××6 les additions : 66−–−333×××5 5++99 BB == 42 42 42−–−15 15++99

3_Theme

-A.indd

ÉTAPE 3

On termine

le calcul en effectua B = 27 nt l’addition : 7 ×+69− 3 ×5+9 B = 36 42 − 15 + 9

CALCULER

4 Effectuer les

(+ 20 p.) :

– 4

MODÉLISER

s 11 Les math

CALCULER

COMMUNIQUER

moi autour de

urs quatre meille Anna et ses nt au cinéma amis se rende des plaLa guerre pour voir Expérience Unique nètes en 3D. lieu de calcuTarif 8, € Elle dit : « Au de 9,5 par 5, je it + 1, € ler le produ produit somme du calcule la 1,5 par 5. » de et décrit par 5 de 8 par é le calcul par une égalit 1. Traduire une

sensorielle

00

50

ans) 13 € – moins de Ad. 23 € 3 ans gratuit – Enf. 10 € 50

2,10 €

5,80 €

3€

1. Éloïse

a payé

avec un en une seule expression billet de 50 €. Écrire de savoir le calcu combien la caissière l permettant 2. Effectuer doit lui rendr ce calcul. e.

07/04/20

0473329

5

10

(lunettes 3D)

sans parent hèses

Il y aura 4 groupe de accompagnateur s moins et 25 enfants (dont adultes et un 9 16 cout total sont plus de 10 anont 10 ans ou de calcul à effec cette animation s). Calculer le , puis écrire tuer en une le seule expre ssion.

44

16 11:31

es simples des problèm

6 20:19

ine Je m’entra

ÉTAPE 2

On effectue ensuite la En effet, soustractio l’addi n. même nivea tion et la soust raction sont calculs de u de priorité donc du on effectue gauche à droite : les B = 7 B× = 6 42 −7 3 ×–× 615 5− + 39 ×5+9 B = 42 B −= 15 27 42 +− 915 + 9

calculs suiva les étape b. 20 : 10 nts en détail s du calcu +2 lant toute A a. l: = 4,5 + 1,5 d. 3 × 4 s ×4 +5 C = B b. c. 36 − 18 = 2,3 × 7 f. 4,8 × +3×5 :9 2 + 0,4 + 5 D d. h. 4,8 × = 40 − 20 2 + 3,4 5 Effectuer : 10 × 5 2 Effectuer les les calculs calculs suiva les étape suivants en les étape s du calcu nts en détail détaillant s du calcu A a. l: = 30 : 5 toutes lant toute l: A a. = 57 − 24 × 2 B b. s + 16 = 30 : 5 12 C c. − 2 C c. D d. = 57 + 24 B b. = = 57 = 30 − 5 − 24 − 16 − 16 4 + 10 :2 E e. = 12 + 10 D d. = 57 + 24 F =f. 12 : + 16 6 Trouver 4 3 Effectuer différ 4 10 les calculs sions suiva entes façons de les étape suivants en calculer les s du calcu ntes, puis détaillant A a. = 13,5 + expresl: A a. toutes = 10 × 3 4 + 6 + 1,5 effectuer chaque +2 calcul : B b. C c. = 2×6× B b. = 10 × 3 = 10 + 3 5 ×2 7 Calculer ×2 de D d. = 10 + 3 les expre la façon la plus astuc 44 +2 ssions suiva ieuse possi A a. = 3,8 + 7 ntes  ble : + 4,2 + 13 B b. = 4×7× 25

7_044-05

Je résous

.indd 54

× : bordas-m VOIR LA VIDÉO à effectuer 1 opération 2. ÉTAPE Résultat de la desla dernière par une On identifie e par le premier mot re opées par les n suivante l’expressio s représenté elle est donné un quotient, la derniè 1. Décrire 4 × 7 . c’est expression division. + cription. Ici, Écrire les 11 un calcul :  phrase : 5 uée sera une 14 b b. suivante par de 8 par b. 7 ration effect arbres a et la phrase et 14 11 2. Traduire de la somme de 13 × 7 a. × nt . ÉTAPE 2 Anna. le « Le quotie 4 par 2. » le numérateur la phrase qui suit de raison ? + On repère + le produit 2. A-t-elle au début de 13 et de 8 ». × Il correspond , ici : « somme de ient » 1 à effectuer. + 8. Résultat mot « quot 1. ÉTAPE opération est donc 13 la dernière la multiplication est Résultat Le numérateur Aide e On repère 4 × 7, comm uer l’addition en dercôtés. 3 deux Dans 5 + des r. e. ÉTAPE sert effect : Ici, 14 somm on doit le dénominateude la phrase, ici  est donc une prioritaire, On repère expression à la suite spond nier. Cette corre Il nt à chade 4 par 2 ». corresponda « produit donc 4 × 2. ÉTAPE 2 termes. l’arbre à calcul inateur est tes : chacun des 5 et 4 × 7. Le dénom 8 Dessiner expressions suivan On décrit termes : nt à la cune des (12 − 5) 4 par 7. Ici, il y a deux corresponda ÉTAPE 4 + (3 + 6) × produit de − 9) a. A = 7 t. L’expression 4 × 7 est le 6 − 2 × (13 o On conclu 13 + 8 . ( − 1) × bler les domiTOP Chron Je résous b. B = (10 3 ou fausse ? 12 puis assem qui se phrase est : 4 × 2 découper des problèm ÉTAPE est-elle vraie produit de deux cases res. Recopier , n suivante réunit le tout. e de 5 et du Onsim re à ce que s nomb es 9 L’affirmatio est la somm 8 1. Donn nos de maniè sentent les même 5 + 4 × 7ples uer. er mentalem s Expliq MODÉLISER touchent repré résultat des ent es est toujour 4 par 7. CALCULER 10 + 8 expression un ordre de grand de deux nombrleur produit. 8 A a. 3+ = 36,7 La somme 9 eur du Somme de COMMUNIQUER s suivantes  7 − 2,54 ou égale à 12 Recopier et du produit + 48,68 : inférieure B b. = 45,56 et compléter de 6 par 4 56 − 3,01 le tableau × 9,99 a b C c. = 5,1 : 2,3 t : suiva c nt : suivan + 3 × 0,8 a+b×c se le tour 15 8 par D d. =1 1,8 × 36 ien propo 7 4 × 20) 10 ci-dessous a–b–c 100 − (6 + +1 Produit de 50 13 10 Un magic COMMUNIQUER expressions la par la somme e. 1 000 7 chacune des 0 − 32 × nombre. Calculez de 4 et 2 73 25 Choisissez un 29 4 Décrire e : 14 et de 8. Calculez 9)  2. Effectuer ce nombre b. 4 × (7 + par 3. une phras somme de résultat obtenu 9  fier la cohér ces calculs à la calcu 13 rapides le produit du a. 4 × 7 + 9  du résultat d. 4 + 7 × 3,2 ActivitésAli est agriculteulles des différence (6 − 2))) × les ordre ence entre les résul latric × 9  1 e et vériCalculez la (14 − (8 − le quotient cots tes sont-e r. Il produit 7 s de grand 4×7+4 (2,46 suivan 24. Calculez tats obten Double de  €/kg), des et vendc.des eur donn obtenu et de le triple du expre 3. Classer un calcul. et ssionsetprodu its ? pêche Les us des necta és à la quest obtenu par ces résul e phrase à 5) × 6 s jaunes (2,06 abridu résultat ou des 3 me dites rien, + (4 + blanc ion  es ion 1 chaqu 6 Ne × tats dans Il a utilis b.rines 7 . somm  €/kg départ. e 5 Relier ) × 6 (2,18 €/kg 4 hes é un table final ! l’ordre crois + 5 × 6 nombre de 9 Recopier la somme le résultat it de la somm d. 4 × 5ur+ ). ment 4 Quotient de 50 et du a.sant. re et je vais deviner − 6) le total à payer pour calculer plusLe produ 6 par 3 du quotient de 100 et par 10 × (7extra t un nomb les égalit compléter les cases Différence 2 et du 3 par ses client c. (4 + 5) produit de és soient choisissan (7 + 6) × 3 7 et -de it avec les de 20 par vides pour dire s. En defacile 20 par 4 du vraies. calculs en form quotient de que ci-des voici un e de 7 et ulessous, 1. Faire les qu’il d’un 2 res. a saisies : La somm expressions différence, 3 + nomb . des par 3 6 ne × 3 onque autres 6 de 7+ quelc ou six × produit × Pour chacu somme, d’une r avec cinq du produit = 2 s’il + expression ×2 17 s’agit d’une quotient : 2. Recommence La somme de 3 2×3×5 en une seule + × 5 100 − 5 et it ou d’un es Écris les calculs aller plus vite ! produ × b. 7 : 4 × 19 de 7 par 6 – = les phras pour 201 2 ×3 = ? = expression 12 − 10 : 150 a. (5 + 4) 1. Calculer lesd.nomb annoncer  par une = + 3) le ×8 ien va-t-il (7 +qui 12 4. 6 Traduire ur dansf. les 15 : res seron =c. 50 − 4 table × at le magic de 5 et de cellules B3, t affichés par suivantes. × (7 – 2) la somme 3. Quel résult = 10 Placer et calculs C3 dire e. (3 + 5)2. Quelle formule 3 et de 13. it de 7 par les signe • Nombres D3. doit ci-dessous, et a. Le produ Thème A Expliquer. nt de 27 par s +, –, 3. Pourdes pour que saisie end’un expressionsêtre e du quotie et de 5 par 8. ne simp les égalit × ou : dans les cases différence, E3 ? lifier nce de 20 d’une b. La somm terait suppsomm e, la feuille de és soient Pour chacu du différe et 3 vides 8 la de de calcul, Ali vraies. d’une rimer la ligne 51 e de 10 et Le quotient rentr nt : s’il s’agit er enquotie de la somm 2 2 + 3 × 9souhai-c. E2 pour obten 3. Quell it ou d’un c. e formu le doit-il d. La différence 4. 13 produpayer 4 ir direc 8+7 par leb.client = teme 25 7 3 2nt le total à produit de 3 par 5 ? a. 8 + 5 f. 5 × 3 19 = 7 e. 8 + 7 = 7 = 5 50 .indd 49 17 d. + 5 _Theme-A = _044-053 8 04733297 38 = 6 11:31 07/04/201 14 Écrire = un énoncé 75 48 de problème 11 Les math est donn ée par le calcu dont la solut s autour de moi l suivant : ion Christian 12,6 × 8 trava + 6,4 × 5 Agde. Il organ ille dans un camp . .indd 48 _Theme-A de vacances 04733297 ise des sortie 15 _044-053 TOP Chro 8-12 ans à s pour le et leur propo no group e se l’anim Pour la rentr ation suiva des Sardinade au Fort Brescou nte : – cinq cahie ée des classes, du Cap d’Agde SOIRÉE GRILLAD Éloïse a achet ES ET SARDINA Escale sur – trois grandrs à 2,10 € l’unit é : la plage du DE SUR LA é ; fort Brescou, PLAGE DU De 19 h à baignade, FORT BRESCOU – une boite s classeurs à 3 € 22 h 30 coucher de soleil, musique… Adulte 26 l’unit de peinture € Tarif groupes– Enfant (3 à 10 à 5,80 €. é ; ▲

0473329

sion une expres pour décrire ci-contre e à calcul ’arbre 7 LL’arbr l’expression représente 4.. 4  (10 − 5) ×

nds Je compre

Calculer une expres sion

: www.bordas-my

e vocabulair Utiliser le

3

M5e_C01

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Méthode et exercices par objectif Plusieurs doubles pages d’objectifs contenant chacune trois parties distinctes.

EDF

Difficulté mathém

2

thèses 2 avec paren expression en détaillant Calculer une suivantes les expressions 50 Calculer s du calcul : 6) : 2 les étape − 4) a. 18 − (6 −4 c. (18 − 6) 2) e. 30 × (6 :

La facture

Utiliser un tableur pour automatiser un calcul dans atique un contexte de vie quotid Difficulté techniqu Le prix de ienne. e l’électr Pour un abonn icité dépend de la – abonnement ement à 9kVA, voici puissance choisie par les tarifs propos le client. – tarif heure fixe de 8,57 € par 2 a. À l’aide és par EDF mois ; des inform : – tarif heure pleine (HP) à 0,1206 ations de l’énoncé, complé  €/kW – taxe sur creuse (HC) plus avanta h ; ter les cellule C2, C3, C4, la consom s geux à 0,0738 C5, B2 et B3. mation finale (HP et HC) ;  €/kWh ; b. Dans les d’électricité cellules – contribution de 0,011448 €/k saisir au service une formu B4 et B5, Wh (HP et HC). public d’élect le perme tant d’affich ricité de 0,0217 er la consom tVoici la consom tion totale 32 €/kWh de la famille mamation d’une HC). (HP et famille de Tableur 1 trois person nes : c. Dans la cellule Du 02/06/ Heures creuse 2015 au 04/12/ D2, une formul s Heures e permettant saisir 2015 Du 05/12/ pleines 1 022 kWh culer le montan de cal2015 au 01/06/ t de la consom 1 037 kWh 2016 mation en 1 759 kWh 1 Ouvrir une heures pleine feuille de calcul 2 400 kWh Compléter s. de et réaliser le tableau lules D3, D4 même les celci-dessous. et D5. d. Dans la cellule formule perme D6, saisir une ttant d’obten prix total à ir le payer. Tableur 1 e. Combien la payé d’élect famille a-t-elle ricité 2015 et le er entre le 2 juin 1 juin 2016 ? f. Avec 100 € par mois, combien d’élect Les poules ricité au maximum ? peut-on avoir et les lapin au minimum ? s Utiliser le tableur pour faciliter une 30’ recherche Difficulté mathém par tâtonn atique ement. Difficulté techniqu Dans leur e basse-cour, têtes et 828 Stephan et Karine élèven pattes. Combi t des poules en ont-ils A. Sur une de poules et des lapins. feuille ? Combi Ils ou dans un en ont-ils 1 Est-il possib de lapins ? ont compté en tout cahier le qu’il y ait 335 100 poules 2 Écrire un et 235 lapins calcul qui ? Expliquer. perme 100 poules et 235 lapins. t de connaitre le nombr e de pattes B. Avec un pour tableur 3 a. Ouvrir une feuille de calcul puis b. Saisir un la compléter nombre de comme têtes de poules c. Dans la cellule B2, dans la cellule ci-contre. saisir une dans la cellule B1. Tableur formule qui A2. Tableur 1 calcule le d. Dans la 1 nombre de cellule B3, lapins en fonctio saisir une e. Dans la formule donnan n du nombr cellule B4, saisir une e saisi f. Résoudre formule donnan t le nombre total de le problème têtes. t le nombr posé en change e total de pattes Tableur 1 ant le nombr . Tableur e saisi dans 1 la cellule B1.

8 6

Un QCM pour faire le point sur le cours et des exercices corrigés par objectif pour travailler seul(e) ou en aide personnalisée.

M5e_C01

SP

04733291

_037-056_

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38

t un quotien

un produit

Corrigés page

Un cours pour objectif. chaque objectif.

nthèses ) ( + ; − ; × ; : nant des pare des opérations un calcul conte le chiffre 4, Effectuer nt quatre fois 64. s.

est :

tif sur le site QCM interac

Pour faire ces activit és, télécharge GeoGebra et Tableur les fiches sur le site www.borda logiciel s-myriade.f r.

1

C

un objectifs ite installer potaHenri souha t sur mes son jardin 49 Grand-pèregoutte à goutte dans urs de tuyau : Je fais le poin ntes longue d’arrosage

EC OBJECTIF

Des 2 activités courtes et attrayantes pour découvrir à chaque objectif la nouvelle notion. ité

5  18 × 5

autre Retrouve un

Avec un logiciel

70

1

IÉTÉ qui ne contieDans une expression sans tuer les calculnt que des additions, parenthèses on peut s dans l’ordre que l’on veut. effecOn dit que Exemple l’addition est commu Il y a trois tative. façons de calculer l’expr résultat final. ession A = 12 + 3 + Première 8 qui condu façon isent toutes A = 12 + 3 au même Deuxième +8 façon A = 15 + 8 A = 12 + = 23 3 ++ 88 Troisième façon A = 12 + 11 = 23 PROPRIÉTÉ A = 12 ++ 88 ++33 qui ne contieDans une expression A = 20 12 ++ 38=+23 sans paren nt 3 que des multip thèses effectuer les licatio calculs dans l’ordre que ns, on peut On dit que Exemple l’on veut. la multiplication Il y a trois est commu tative. façons de calculer l’expr résultat final. ession B = 10 × 3 × 8 Première qui conduisent façon toutes au A = 10 12 ×+ 38×+83 Deuxième même façon A = 30 12 ×+ 88=+240 A = 12 10 ×+ 38 ×+8 3 Troisième façon A = 10 × 24 3 A = 10 = 240 12 ×+ 88×+33 A = 80 12 ×+ 38=+240 3

les 4 Refaire par la calculatrice.

5

OBJECTIF

tions et des Dans une expression sans paren sens de lecturdivisions, on effectue thèses qui ne les calculs e »). de gauche contient que des multip à droite (on Exemple licadit aussi « dans le Calcul de B = 30 : 5 × 2 B = 30 : 5 ×2 B=6×2= 12

:4

=200 : 10 I =200

Dans une

expres les multiplicat ions et les sion sans parenthèses effectuées divisions doive , avant les additi On dit que ons et les soustr nt être la multiplication Exemples la division sont actions. et prioritaires Calcul de A l’addition et sur = la soustraction. A=3+4× 3+4×5 5 On effectue Calcul de B d’abor = 12 – 6 : 2 la multiplicatio d B = 12 – 6 A = 3 + 20 n :2 On effectue A = 23 d’abord la division B = 12 − 3 PROPRIÉTÉ B=9 des soustr Dans une expression actions, on sans paren effectue les de lecture thèses qui »). ne calculs de gauche à droitecontient que des additi Exemple ons et (on dit aussi « dans le sens Calcul de A = 10 – 6 + 3 A = 10 – 6 +3 A= 4+3 =7

ats respectifs. tement. leurs résult ont obtenu le calcul correc Tom et Alice a effectué comment savoir qui ifique pour 1 Expliquer atrice scient une calcul s suivants : 7+3×5 2 Utiliser =7 C= t les calcul ×3 mentalemen B =10 + 1 Effectuer

3

Expressio ns sans pare nthèses PROPRIÉTÉ

1

Je travaille seul(e)

IM

Cherchons ensemble

15/03/2016 20:19

7_044-05

3_Theme

-A.indd

45

Thème A

• Nombres

et calculs

45

07/04/20

16 11:31

Je m’entraine propose des exercices d’application directe.

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6 11:31

07/04/201

Je résous des problèmes simples pour utiliser ses connaissances sur des problèmes et des exercices contextualisés : Les maths autour de moi.

12

04733297_001-013.indd 12

15/04/2016 18:18


Je résous des problèmes Tous les 2 à 4 objectifs deux doubles pages comportant : Dans les autres ma tières

Des problèmes faisant appel à tous les objectifs précédemment étudiés et mobilisant les six compétences de l’activité mathématique : CHERCHER , MODÉLISER , REPRÉSENTER , RAISONNER , CALCULER , COMMUNIQUER . Des problèmes en relation avec les cinq domaines du socle.

11 Le bon RAISONNER dosage La

COMMUNIQUER

REPRÉSENTER

MODÉLISER

CHERCHER

CALCULER

des informations

10 cm

pénicillin 8 Utiliser e est DOMAINE 3 DU SOCLE un antib iotiqueune consommation d’eau La station spaEstimer qui se déco 6 mpo Crossnumb consomme13en tiale er Mir est resse pro- chaque habitant En France, grandeurs gressivem Complete orbite sont 3 Calculer avec des tée ent aprè 150 L d’eau par jour : the sur s, ABCD et EFGC crossnum injec tionmoyenne s 3 15  ans 60 à 80 L ; Dans la figure ci-dessou ber puzz Acropendant Objectifs 1 2 ss clues quandleil se douche : le : – dans corps. Pour mathématiques des rectangles : 80 cm B bain : 150 à 200 L ; A. Productet a fait à peu leril prend un quand L ; la quantité– calcu of 86 500 fois Down clues A elle : 10 à 30 B. d’élève 7 Sum of près6 and péni- il utilise le lave-vaiss G cilline enco–dequand 15 A. 30 and 1 Analyser une copie matin pour M. Matheu le prof L ; 60  : F C. 4 de la Quotient of 2 Puissance le tour 2× active il utilise le lave-linge du une heur re 440 Pas de chance ce 4 des opéra 2 × 15) : 6 à 12D.L.Eigh (30 +Terre en retard et l’énoncé pendant la divided by 5 e – squand Maté tions une chasse d’eau injection, t hundred à la mai entre la aprè il utilise de maths ! Il est arrivé aux 5e D a été déchiré C. 122 × Il faut prév riel : le jeu se joue – quand son vol il quatre quan de suffit son de and donner 10 − 4 thirty-twodurée famille de faire par group d’une À l’hôpital, tité prés il avait ation devoir qu’il voulait E. Doub le produit – trois dés oir : consomm 18 Location es de 2 ou en débu Voici la ente F. (14 + le the sumdans l’espace euse. Heureusement, 3. à t d’heu e C, qui avait semaine : de pénic Célia reçoit une 48) ×spatial. une séjour dans la photocopi long 5 durant of – re de Dans un de DVD plus (18 des jeton six faces ; 100 du et élève illine personnes 0,6. + injec E Florian, and Le record 25) G. magasin tion de 300 C s de coule 91a vécu 438 jours qui calculs gardé le cahier de 28 1. Construir à 8 h 30. leur par Poliakov tion annu de locat Arevient à Valeri Four urs diffé mg square la veille et dont les D 27 cm joueur) ; ion de DVD, elle des e unNombre de douches rentes (une déjà fait cet exercice table tité calculer – abonnés location B de une Mir. de sur au permet 0 grille carré pénicilline n qui qui prés d’affilée coudes DVD coute 10 € la cotisaétaient justes : cosmonaute a-t-il le corps 1. Écrire une expressio les nom C est moin e activ heur nés que bains ente la quan de fois environ ce bres entie de 6 cases sur de CéliaNombreede s élevé pour. Le prix de pour les - lle e par heur 3 D 1.ECombien du rectangle EFGC. . l’aire nonle rs 6 48,80 ? conte table = de 2. calculer Règl abon Terre lave-vaisse e On estim × 5,60 1 à 36. du dans au ci-de nant e du jeu : nés, comm les abonn qui permet de fait le tour de la 2 × 10,40 + 5 Nombre d’utilisation n. ssous : e l’indique le taux est e que la 2. Écrire une expressio EFGC. 2 pénicilline Prix de en une seule expressioPISA. Combiner les lancer les trois 51,20 lave-linge desc locat a dispadu D’après 100 – 48,80 = dés. 2. Écrire les calculs trois résu d’utilisation G tions et le périmètre du rectangle Nombre ru lorsq en dess pour les ion d’un DVD rectangle Au bout de combendu ltats F des 84 ue non-abonn et le périmètre du de 0,5 m ien de tempde ous plus de de la grille parenthèses pourobtenus, des opér d’eaug. Prix de és 14 La conso 3. Calculer l’aire chasses pénicilline Nombre location s Célia dans la photoco3,20 € a. obten déchirés mma SOCLE DU 4 n’aur d’un ir – dans le DOMAINE Si le résu un nombre familletion électrique sur les nombres DVD pour les EFGC. a-t-e d’eau de Une Voici les morceaux à reconstituer son énoncé. cettecons corps ? abonnés ation lle ommation 9 Raisonner de sa coule ltat est juste, le Calculer la consomm une seule expressio pieuse. Aider M. Matheu DOMAINE 2 DU SOCLE 1. Eva n’est kilowatthen. 2,50 € joueur place d’éleun 12 Sauvo ur sur le défi à réaliser : en expressions ctric D’aprè ure (kWh Voici la grille nombre s PISA. Combien pas abonnée et 4 Raisonner sur des les expressions ci-dessous : Pour ns les arbres ! et écrire les calculs mation, v.fr/ , puis de 100 €. ). Pour calcuité se meser correspon un jeton nombre 18 en somme– ureleen eveloppement-durable.gou va-t-elle on vient de décompos fabriquer Si le résu donne les dés Elle paie avec un billet dant dans D’après http://www.d Pour compléter cette consnombres plie la puiss multi- • Étape 1 : ler louer 3 DVD. payer ? nombres entiers entiers. les 2. au ltat 9 L’ann choix tonn joueu il au du omfaut es de pâte son tour. calcul est ée r suivant. environ pro– on peut utiliser à 5,60 € le kg. l’appareil ance de de deux ou plusieurs faux, le joueu dépensé dernière, Tony à papier 10,5 1 kW = 1 le score en calculant le Le de cahie utilisé (en • Étape 2 : calculer va-t-on lui rendre ? 000 W recyc 77,50 € , seule 1 DU SOCLE r pèse envirtonnes de papieDOMAINE de 1 à 6 (inclus) ; r passe décom- vainqueur kW) par carrés lé, Combien (abonnem qui est abonné, un nombre qu’une Écrire est le prem obtenus lors de la r. Une page des sa 7onModéliser gner quat aurait-il 3 g. une ent comp a – on ne peut utiliser s, on fabrique duit des nombres Pour laver durée d’utilisatio Combien ier nombre dépensé ris). expression. nombre expression perm Avec des allumette 2 kg de moules n en heur ment ou re jetons (horizonta des joueurs à de DVD fois dans une même position. ettant de – un lave- son linge, Anat avec de cahiers s’il n’ava pour louer le mêm en alilement, 3. Écrire ole utilis18 =e.2 + 10 + 6 , usagcomme ceux-ci : chaque expressionsaires pour calculer it pas été Exemple : diagonale). verticaleles calcu e – un sèch linge (3 500 W)Exemple : le achète deux fabriquer és de 192 page 1. Recopier et compléter en respectant lesrecyc abonné ? e expressio pendant 2: × 10 × 6 = 120 . ls précéden e-linge (3 peut faire si on obtient 1, 27 tonnes s nécesAu marché, Caroline choix lé. n. on calcule 1h 1 kWh coute 3 et des nombres au 000 W) ts en une de pâte (3 + 4) × expressions. pendant 30 min ; ition qui donne le plus s 4. Quel à papier puis calculer ces environ 1 = 7 ou 4 avec les dés, seule est le nom et 5 kg de palourde règles ci-dessus, 0,101. on la2hdécompos 1. Calcu encore 30 min. est 05Trouver battre à 16 Défi ! abonné €. ler le cout 14 − 3 = à 10,40 € le kg Enseignem … l’instant, le record doit louer bre minimum Pour de 11. •A=…+…× score. l’élec ent Prati 2. grand Écrire les tion ? Expl tricité pour afin de renta de DVD qu’un … que Interd calculs iquer. cette lessi •B=…×…− Langues isciplinaire biliser sa s en une120. et cultu cotisaseule expr ncer leve.travail en décomposant le C = (… + …) × … client deux 2 Utiliser des information • res même un à de l’Antiquit 2. Recommeession. … Compter J’ai choisi 1. Hier, Jean a envoyé g et 90 g. é de trouver une méthode • D = (… − …) × s la somme comme 19 Vendeurs deux D’après respectivement 15 nombre 6 et essayer d’allumettes nécessaire obtenu en effectuantL’histoire PISA. les May courriers pesant r s’il est Leur somm nombres entier grand score. ment. des nom 2. Calculer le total Deux journ de journaux Florian Pour postaux, détermine ascompter le nombre Mathémat pour obtenir le plus obtenus précédem produit vaut e vaut 66 et leur s. carré de côté donné, bres et de D’après les tarifs Voici, par courriers iques & des quatre résultats ils ont publaux recrutent des à la fabrication d’un 1 008. Es-tu pourexem d’expédier les deux : Histoire-G de retrou ple, un systèla façon de une envois vend ié des offre meilleur marché choisir les nombres rent du technique infaillible  les écrir éographieDOMAINE 1 DU SOCLE ver ces deux capable unique ou de deux a trouvé 3. Comment doit-on nôtre. Il e est s d’emploiseurs, pour cela me er riche en , on fait le produit 10 nombres inve compter les allumettes total possible ? sous forme d’un envoi des figures. est basé Les Communiqu Un emp  : ? 19 symb rebondiss par les May « Pour nté trouver le plus grand sur les des carrés pour faire ilem oles maya ements. Jules empile séparés. symb s nombres : ici 1 377 : ent de ces symb de19 trois oles ci-co as (Mex ique) très le côté du 0 1 oles perm es qu’il y a sur ntre. Tarifs lettre diffé2 DOMAINE 3 DU SOCLE d’allumett et d’écr 3 si 17 + 8 × – le nombre 4 5 Débattre ire les nom s ci-dessous, dire Poids 20 + verte 2016 5 affirmation des 6 3 × 20 2 = bres a sur le côté du 7 17 Énigme Pour chacune carré ; 8 1 377 y rs comm puis justifier la réponse. 9 es qu’ilentie 10 11 e 0,70 € elle est vraie ou fausse, – le nombre d’allumett 1 ; 4 12 13 Projet On dispos Jusqu’à 20 g 3 e des chiffre 214 une expression niveaux carré auquel on rajoute 15 16 1 rations Lorsque l’on calculeRéaliser niveaux . Chaque chiffre s de 1 à 9 et des il faut 1,40 € 17 18niveaux ns, une niveau quatre opépour 20 à 100 g – le nombre 2. » 19 expo carrés de être qui contient des multiplicatio de vie et utilisés qu’uneet chaque opération empilerront premier. sition sur par Florian avec en les a. 1.. Frédéric 1 effectuer ne pourles • On choisit seule fois. 1. Combien devra-t-il grandes les calculs proposés commencer par les Notio 1. sTester 2,80 € calculs en trois chiffre présenta lignes de Maya ns math Beauland vend 350 exem 100 à 250 g avec 5 ; 7 ci-dessus. Écrire les s et une opérat obtenir 7 niveaux ? carrés nt leurs ématique leurles quatre plaires du ; 2 et × chaque un ench histo niveaux? ×,, on peut ion : pour• 10 s : Princ le ire. expression.connaissa Combien sem par 6, ent On recommence Journal faire 75 un nombreainem ipes une 4,20 € nces scien un gagne-t-il aine. 2. Combien en faudra-t-il du le de laseule Quand on multiplie tant qu’il reste × 2 = 150. 6. d’opérations 250 à 500 g de1 calculer il reste numérati tifiques, es pour faire chaque 2. Chris qui permet supérieur ou égal à d’allumett ; 3;4;6;8 des chiffre toujours méthode on leurs est semaine  une b. faudrait-il tine décimale résultat Écrire 3. lieux ; 9 et s : n’importe 2. Combien On 52 pourfaire es peut ? 5,60 € Une sema vend Le Journal • Écrire de côté ? : 49 + 8 = 57 + ; – ; : . de cubes nécessair• On additio 500 à 3 kg en une ine, des news carré de 80 allumettes et 36 : 1 = seule expr nombre naux a-t-e elle a gagné l’on puisse nne que neuves. 36. niveaux. les de carré nombr 42, es. 74 grand essio lle vend quel nnombre nombre par es obtenu courriers 3. Quel est le plus  ? us cette €.. Combien de jourPour multiplier un s : 51+ 57 3. Écrire doit lui envoyer huit par 7. Quel et calculs 150 de 240 allumettes semaine+ 36 = 243. 2. Aujourd’hui, il en une 047332 multiplier par 6, puis le 97_044 Combien va-t-il Thème A • Nombresest le plus grand faire avec une boite on peut c. 600 g. là ? de effec seul -053_Th colis nombr obteni trois e tués aux n. eme-A.i e entier q r comme résulta de 25 g et ndd 52 que qu ue questions expression les e ll’l’on en une seule expressio ’o on np puisse pu t final ? uiisssse 4. Est-ce e calculs précéden payer ? Écrire le calcul D’après PISA. que Fréd tes. éric ou Chris plus d’arg 07/04/2016 11:31 ent d’exempla s’ils avaient vend tine auraient gagn ires de l’autr é u le 50 e journal ? même nombre 51 53_Theme-A.indd 11:31 04733297_044-0 43 cm

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D’après PISA.

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IM

Des idées d’EPI.

Tâches complexes

Livret Algorithmique Algorithmique et programmation

Le parcours de santé

ceU (problème . DUD Fran enes itélèm tour de magie prob s lesctric r dans leur n d’éle ur dan une erreu erreuctio Uneprod La is. Il y aurait sont surpr

Le parcours de santé

Dans le cahier cahier (algorithmique débranchée) débranchée)

1

Instructions et algorithme

Une séquence d’instructions est une suite d’actions à exécuter dans un ordre donné. Exemple : Marc joue à un célèbre jeu de football sur console. Il communique des instructions aux joueurs à l’aide d’une manette. Voici la séquence d’instructions qui permet de célébrer un but en faisant des saltos arrière : – Maintenir la touche R2 . . – Appuyer deux fois brièvement sur la touche

24

riade.fr

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DUDU 2)

d, e (problème r la reven er. Ce dernie mouvementé règle à calcul à l'autre sa DUDU vend les aider ? tu vidéo, un des Dans cette te, puis la revend. Peuxpuis la rachè

Une semaine

VOIR LA VIDÉO

25

riade.fr

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Le tour de

lème magie (prob

DUDU 3)

sent un tour DUDU propo vidéo, les Dans cette coups ? à tous les il marche

de magie.

uoi montrer pourq Sauras-tu

On peut programmer les algorithmes avec un logiciel dédié comme le logiciel Scratch. Ce logiciel, avec lequel nous allons apprendre à travailler toute l’année, est téléchargeable et utilisable gratuitement : http://scratch.mit.edu/ Exemple Ce programme permet de faire tracer au lutin un carré de côté 100 à chaque fois que l’utilisateur appuie sur

Projet 1 Le cr abe au x

Un algorithme est une suite finie d’instructions permettant de résoudre un problème. Exemple : Une recette de cuisine est un algorithme. En effet, on dispose d’ingrédients au départ, on applique les instructions données par la recette et on obtient le plat désiré à la fin.

1 À la cantine

Écris un algorithme de ton passage à la cantine en remettant dans l’ordre ces instructions.

Choisir un fruit

Choisir une entrée

Choisir un plat principal

Prendre un plateau

flèc

Niveau 2

Les deux amies

26

•  Dominique se gare au Parking 1 et Élodie au Parking 2. •  Dominique court 10 km en 50 minutes et Élodie 10 km en une heure. Tâches complexes

pense que

riade.fr : www.bordas-my

Étape 2

ess DUDU problème Les problèm

par 5 Les signes opératoires

6

SP Des tâches complexes liées à une situation du quotidien à partir de documents.

Les problèmes DUDU : des tâches complexes à partir d’une vidéo.

et

Étape 2. Programmer un algorithme permettant de dessiner un signe de multiplication, 3 Pro puisgra enregistrer ce programme.

403

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le du

on peut utiliser l’instruction

Niveau 3

20

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si à réd ballon uire besoin. Pour que le lutin démarre toujours ausimême endroit, Aide

Écris un algorithme qui te permet d’aller de ton lit au collège le matin.

16:26

Étape 5

Faire – Fai appa re en raitre de n’im sorte que le ba llon n’i et +20 porte que le ballon 0. lle abs pui mport cisse sse surgir e où entre –200 C’est l’occas ion d’u tiliser l’élémen t

Niveau 2

1. Programmer un algorithme permettant de dessiner le signe d’addition ci-contre, Pense ce programme. puis enregistrer aus

403

12/04/201

et

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3.

2.

1.

3 Le chemin du collège

14/04/2016 15:45

Utiliser les instructions

sition Ajoute 4. –Améliorer le programme ne en traçant chaque côté du rectangle d’une couleur différente.

Dans chacun des cas ci-dessous, écrire l’algorithme permettant à Julie de retrouver ▲ ▲ le skate park à l’aide des quatre instructions : ▲

e DUDU 4)

lème oblèm (prob fière ! (pr tgolfière

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VOIR LA VIDÉO VOIR

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d’eux en mon olfière. L’un tour de montg nent d’un DUDU revien assez long. vidéo, les n’a pas été Dans cette montgolfière le tour de aider ? Peux-tu les

partent Les DUDU

20

12/04/2016

– Mo mmer difi lorsqu er3.leAméliorer les act progra les deux programmes précédents pour que les quatre branches mme ions celui-c e le cra pou de couleurs dube signe soient différentes. point i réappa touche le r que de dép raisse bal – Pré Algorithmique et programmation en hau lon, art. voi t à son départ r aussi un scène, si le bal retour au lon arr point sans ive de êtr en e tou 09:54 04733297_016-041_Algo.indd 21 bas ché par de le cra la be.

Algorithmique débranchée : plusieurs séquences à réaliser dans le cahier.

21

30

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Étape 6

Cré

– Ter er un min e fin suivan er le jeu pour le jeu avec • lors tes : les ind que ication la vite09:54le compte s que la sse de dép ur atteint vitesse lacem 5, aug • lors mente de des ent du que cente crabe ain r encore le compte des si ur la vite • lor sse de atteint 10, ballons ; squ descen augme au cra e le com te nte des bal be : « G pteur atte r lons ; agné int 20, ! » et arrête faire dire r le jeu . 12/04/2016

0473

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Ajoute

– Ajo r un ute décor combier un compte et un n de fois ur per – Ajo compte me le cra uter ur aussi be a touttant de sav un arr oir ché le ière-pl ballon an ada . pté. Un dou ble-clic sur permet d’obte nir cet afficha . résultat On obtient ge le en droit et en faisant un même cho menu isissant danclic déroula s le nt.

Progra mmat ion av ec Sc ratch

3

• Sur le parcours, des bornes ont été placées tous les kilomètres. • Un tronçon de 2 km est commun au petit tour et au grand tour.

DOC

Étape 4

pour voir le lutin tracer chaque segment.

Pense à réd du cra uire la tail be si le

Aide

Les bornes

VOIR LA VIDÉO

2

lacem

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Aide Utiliser l’instruction

besoin. 3. Améliorer le programme en masquant le chat une fois que le rectangle est tracé.

Ici, pour que Julie la skateuse retrouve le skate park, elle doit suivre ▲ la séquence d’instructions suivante :

DOC

et dro

hes du ite) faisant ent 2. Modifier le programme auizo chat : « Je clavieen du crabedirehor ntal r. avant à l’aine commence. vais tracer un rectangle… » qu’il de

Choisir un laitage

Passer la carte de cantine

2 Julie la skateuse

pinces magiq ues

Dans Heure un univers n’atte usement, maritime Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin ignent ses , l’an leur bu pinces ma detrevérifier d’u qu’il produit bien le résultat attendu. giques n crabe t ! Étape lui per est att 1 Po mette aqué par sition Niveau 1 – Pre nt de 4 Construire des rectangles ndre ner et détrui des ballon com re mettre une s ! dépla 1. Programmerpos unitio algorithme permettant de tracer Tu peux icices nner me luti ballon cer le n un – Prode longueur un rectangle 100 et decra largeur 80, puis crabe gramm en bas temporisation : s avant be de et l’écran qu’ils er le le enregistrer(ga ceuch programme. dép . e

Niveau 1

Prendre du pain

Programmation avec Scratch

VOIR LA VIDEO

DOC

Instructions et algorithme

DUDU vidéo, les Dans cette corriger ? aider à le Peux-tu les

EC

23 00

Programmation avec Scratch : plusieurs projets pour créer des jeux et des applications avec un logiciel.

Séquence 1

DUDU 1)

Dominique et Élodie ont l’habitude de courir ensemble. Elles ont décidé de découvrir un nouveau parcours de santé et se donnent rendez-vous à 17 h pour un footing de 16 km. Elles arrivent toutes les deux à l’heure prévue mais elles ne savaient pas qu’il y avait deux parkings et, pas de chance, elles ne se garent pas sur le même ! Après avoir attendu 15 minutes, chacune décide de commencer à courir, Dominique choisit de courir sur le petit tour du parcours et Élodie sur le grand. Toutes les deux partent dans le sens des aiguilles d’une montre. Vont-elles finir par se retrouver ?

Des jeux mathématiques pour explorer le côté ludique des mathématiques. Des devoirs à faire en temps non limité. en

EN

07/04/2016

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1

Des problèmes interdisciplinaires interdisciplinaires.

ÉVOLU – Fai TIONS PO re var ier la SSIBLES – Rem couleu placer r des – Fai ballon re var les ballon s, s par ier les des ima le bleu val fonds ant plu en fon ges de s ction de l’av coquillage de points que les s. ancée dans autres le jeu . .

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31

Algorit hmique

et pro gramm ation

31

12/04

/2016

09:55

En fin d’ouvrage un livret « En route vers le BREVET »

Les pictos du manuel Utilisation de la calculatrice Utilisation d’un logiciel Téléchargement d’un fichier texte

Vidéo « Je comprends » sur le site www.bordas-myriade.fr Vidéo des problèmes DUDU sur le site www.bordas-myriade.fr

Téléchargement d’une fiche logiciel

13

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Attendu de fin de cycle

EC

IM

EN

Écrire, mettre au point et exécuter un programme simple

SP

Actuellement, nous passons un certain temps à jouer à des jeux sur nos ordinateurs, tablettes ou Smartphones. Tous les jours, apparaissent de nouveaux jeux, de nouvelles applications, des programmeurs en sont à l’origine. Comprendre comment programmer un ordinateur ou une machine, c’est comprendre le monde dans lequel on évolue. Avec ce livret, tu vas comprendre les principaux concepts de programmation et tu pourras ensuite facilement créer tes applications et tes jeux.

Des ressources supplémentaires à télécharger

Les ressources suivantes sont téléchargeables gratuitement sur le site www.bordas-myriade.fr : 6 Projets 3 Jeux sérieux

Projet 1

Projet 2 Conjuguer un verbe du premier groupe

Le perroquet volant

Voici un jeu où un chat devra atteindre une souris en suivant un parcours simple. Mais la souris est rusée, à la première approche du chat, elle s’enfuit ! Le chat devra faire preuve de ténacité !

Saurais-tu conjuguer un verbe du 1er groupe ? D’abord dans le cas général, puis dans certaines situations présentant des irrégularités : manger, affirmer… Au chat de déterminer dans quel cas on se trouve, et de conjuguer ensuite comme il convient !

Ce perroquet volant doit éviter les avions et les chauves-souris ! Pour cela, à toi de bien programmer ses déplacements… Le perroquet ne fera pas le poids face à ses adversaires s’il les percute !

Étape 1 Constuire un chemin

– Choisir le perroquet de Scratch ci-contre. Ce perroquet a deux costumes. – En utilisant « Répéter indéfiniment », faire voler le perroquet en changeant de costume, avec une temporisation de 0,05 seconde.

– Choisir six lutins, en plus du chat. Chaque lutin représentera une personne : 1e personne du singulier 2e personne du singulier … 3e personne du pluriel

– Créer un fond vert avec l’outil – Tracer un chemin de couleur différente avec le pinceau en choisissant bien la taille Choisis pour commencer un chemin avec des morceaux uniquement horizontaux et verticaux.

L’instruction

Chaque personne conjuguera le v erbe à la personne lui correspondant à la réception d’un message.

sera bien utile ici.

Étape 2 Programmation du chat

Étape 2 Positionner le chat et la souris – En allant dans la banque de lutins

 ,

insérer le chat « cat2 »

.

, puis la souris « mouse1»

Étape 1 Choisir et faire voler le perroquet

Étape 1 Choix des lutins

– Cliquer sur le crayon de nouvel arrière-plan

14

Projet 4

Le chat et la souris

– Déplacer le chat au début du parcours : sa position apparait en haut à droite de l’écran et permet de compléter ce petit programme qui permet également d’adapter sa taille :

Étape 2 Déplacement du perroquet dans le ciel

Le chat demande le v erbe du 1er groupe choisi et le stocke dans une v ariable.

– Trouver une photo d’un ciel légèrement nuageux et le mettre en arrière-plan. – Programmer le déplacement vertical du perroquet lorsque l’on appuie sur la flèche haut ou sur la flèche bas.

Pour le moment, les cas particulier tels que les verbes en –ger ou –ler ne sont pas pris en compte.

– Créer une v ariable« RADICAL » qui contiendra le radical du v erbe, c’est-à-dire tout le v erbe sauf la fin « er ». On pourra utiliser pour cela des boucles et les instructions :

– Faire de même pour la souris.

Aide

Aide On pourra créer une boucle qui permettra de construire le radical lettre par lettre.

Étape 3 Faire se déplacer le chat à l’aide du clavier

Étape 3 Construction de la table de conjuguaison

– Pour programmer les déplacements du chat à l’aide du clavier, il y a plusieurs méthodes. On va ici utiliser : • l’orientation du lutin :

– Créer une v ariable par personne : 1e personne du singulier 2e personne du singulier … 3e personne du pluriel

Étape 3 Ajout de l’avion

– Terminer la construction de chaque v ariable

– L’orienter en sens inverse de celui d’origine.

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– Choisir comme nouveau lutin l’avion :

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Livret • Algorithmique et programmation

SÉQUENCES 1. Instructions et algorithme 3. Utilisation des boucles

EN

2. Utilisation des variables 4. Utilisation des instructions conditionnelles 5. Utilisation d’un bloc d’instructions

IM

PROJETS

1. Le crabe aux pinces magiques 2. Le nombre mystère 3. Jeu de Nim

4. Promenade aléatoire

EC

5. Le mage et la grenouille

SP

6. Le chiffre de César

Projet 5 Un jeu sérieux : le plus grand produit

es chauves-souris ! cements… Le perroquet ne fera pas le

On peut apprendre tout en s’amusant ! Programme un jeu qui permettra de mieux comprendre les règles de multiplication des nombres relatifs !

Une consigne donnée au départ.

16 cases contenant des nombres entiers choisis au hasard entre -5 et +5 et qui changent à chaque fois.

15 On comptabilise les Victoires et les Défaites.

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Trois essais pour trouver lequel des 20 chemins possibles permet d’aller de la case d’en haut à gauche à celle d’en bas à droite en faisant en sorte que le produit des nombres parcourus soit le plus grand possible.

Programme dans Scratch un jeu

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EN IM EC SP 16

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EN IM EC

Dans ces menus se trouvent les instructions à faire glisser dans la zone de script. Il y a une couleur de blocs par menu.

SP

La scène permet d’exécuter le programme.

Zone de gestion et de création des lutins et/ou arrière-plans.

C’est dans la zone de script que l’on assemble les instructions du programme. Algorithmique et programmation

04733297_016-041_Algo.indd 17

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Principales instructions dans Scratch Mouvement Ce menu sert principalement à déplacer les lutins dans la scène et à leur donner des directions de déplacement.

Apparence

Sons Ce menu permet de faire jouer des sons courts ou une musique de fond et de gérer ces sons.

Stylos

Données

IM

Ce menu sert à laisser une trace, ou non, lors des déplacements des lutins ce qui permet par exemple de tracer des figures.

EN

Ce menu permet de changer l’apparence des lutins et surtout de leur faire dire des choses ce qui permet de communiquer les résultats d’un calcul par exemple.

EC

Ce menu permet de définir des variables et ensuite d’opérer sur celles-ci en ajoutant ou affectant des valeurs.

Événements

SP

Ce menu permet de définir l’événement qui déclenchera le programme  : un appui sur le drapeau vert ou sur une touche du clavier par exemple.

Contrôle

C’est dans ce menu que se trouvent les différentes boucles et les instructions conditionnelles.

Capteurs

Par ce menu, on aura la possibilité de faire poser une question aux lutins et de mémoriser temporairement la réponse. On trouvera également différents tests à insérer dans les boucles ou instructions conditionnelles.

Opérateurs Ce menu permet d’effectuer des calculs, de regrouper des chaines de caractères et de créer des tests à insérer dans les boucles ou instructions conditionnelles.

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Trucs et astuces Le lutin (sprite en anglais) prend beaucoup de place à l’écran. On peut réduire sa taille :

Le stylo – Il est nécessaire de demander d’effacer ce qui a été tracé, ce n’est pas fait automatiquement d’une utilisation à l’autre.

EN

– Le crayon doit être mis en position d’écriture si on souhaite écrire. – Et bien sûr, il ne faut pas oublier de le relever quand on veut déplacer un lutin sans qu’il ne laisse de traces.

Les événements

IM

– Cet élément permet de démarrer les actions pour chaque programme. – Il suffit ensuite de cliquer sur le drapeau vert en haut à droite de la zone d’affichage pour lancer le programme et sur le bouton rouge pour le stopper.

EC

– Il y a d’autres façons de démarrer un programme, en appuyant sur une touche par exemple.

SP

Les mouvements

– Cet élément permet de démarrer à l’endroit que l’on souhaite dans la zone d’affichage. Ici, on débute au centre de la zone qui va de –240 à + 240 pour x et de –180 à + 180 pour y. – On peut orienter les déplacements du lutin. Dans cette situation, il démarre verticalement tourné vers la droite.

Un programme amme pr pratique pour réinitialiser l’affichage Cet algorithme peut démarrer aussi avec :

On remet le lutin en situation initiale dès que l’on appuie sur le drapeau.

Algorithmique et programmation

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19

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Séquence 1

Une séquence d’instructions est une suite d’actions à exécuter dans un ordre donné. Exemple : Marc joue à un célèbre jeu de football sur console. Il communique des instructions aux joueurs à l’aide d’une manette. Voici la séquence d’instructions qui permet de célébrer un but en faisant des saltos arrière : – Maintenir la touche R2 . . – Appuyer deux fois brièvement sur la touche

Niveau 1

Prendre du pain

Choisir un fruit

IM

1 À la cantine

EN

Un algorithme est une suite finie d’instructions permettant de résoudre un problème. Exemple : Une recette de cuisine est un algorithme. En effet, on dispose d’ingrédients au départ, on applique les instructions données par la recette et on obtient le plat désiré à la fin.

Choisir une entrée

Choisir un plat principal Prendre un plateau

Écris un algorithme de ton passage à la cantine en remettant dans l’ordre ces instructions.

Choisir un laitage

EC

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Instructions et algorithme

Passer la carte de cantine

2 Julie la skateuse

Niveau 2

SP

Ici, pour que Julie la skateuse retrouve le skate park, elle doit suivre ▲ la séquence d’instructions suivante :

1.

3.

2.

3 Le chemin du collège

Dans chacun des cas ci-dessous, écrire l’algorithme permettant à Julie de retrouver ▲ ▲ le skate park à l’aide des quatre instructions :

Niveau 3

Écris un algorithme qui te permet d’aller de ton lit au collège le matin. 20

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Instructions et algorithme

EN

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

Niveau 1

IM

4 Construire des rectangles

Tu peux ici mettre une temporisation :

2. Modifier le programme en faisant dire au chat : « Je vais tracer un rectangle… » avant qu’il ne commence.

pour voir le lutin tracer chaque segment.

Aide Utiliser l’instruction

EC

1. Programmer un algorithme permettant de tracer un rectangle de longueur 100 et de largeur 80, puis enregistrer ce programme.

Programmation avec Scratch

On peut programmer les algorithmes avec un logiciel dédié comme le logiciel Scratch. Ce logiciel, avec lequel nous allons apprendre à travailler toute l’année, est téléchargeable et utilisable gratuitement : http://scratch.mit.edu/ Exemple Ce programme permet de faire tracer au lutin un carré de côté 100 à chaque fois que l’utilisateur appuie sur

3. Améliorer le programme en masquant le chat une fois que le rectangle est tracé. Aide

et

SP

Utiliser les instructions

4. Améliorer le programme en traçant chaque côté du rectangle d’une couleur différente. Aide

Utiliser l’instruction

5 Les signes opératoires

ou

Niveau 2

1. Programmer un algorithme permettant de dessiner le signe d’addition ci-contre, puis enregistrer ce programme. Aide Pour que le lutin démarre toujours au même endroit, on peut utiliser l’instruction

et

2. Programmer un algorithme permettant de dessiner un signe de multiplication, puis enregistrer ce programme. 3. Améliorer les deux programmes précédents pour que les quatre branches du signe soient de couleurs différentes. Algorithmique et programmation

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Séquence 2

Une variable est une boite dans laquelle on stocke une information pour l’utiliser plus tard. On désigne une variable par un nom. Exemple : Le score d’un joueur est une variable qui pourra évoluer tout au long du jeu, une nouvelle valeur efface la précédente.

Le jeu des pièces d’or

Ce jeu se joue à deux joueurs ou plus.

Niveau 1

EN

1

IM

Matériel : un dé à six faces numérotées de 1 à 6. Règle du jeu : : Au début d’une partie, chaque joueur reçoit 50 pièces d’or. Tout au long du jeu, ce nombre de pièces va évoluer et les joueurs vont devoir gérer le nombre de pièces qu’ils possèdent. Pour cela, chaque joueur prend une feuille blanche pour noter son nouveau nombre de pièces en barrant l’ancien à chaque fois. Le joueur qui débute la partie doit aussi comptabiliser, à un endroit de sa feuille, le nombre de tours effectués. À tour de rôle, en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre, chaque joueur lance le dé et exécute l’action correspondant au résultat du dé :

EC

Échange tes pièces avec un des joueurs qui en a le plus. Ton nombre de pièces augmente de 10. Échange tes pièces avec le joueur de ton choix. Ton nombre de pièces diminue de 10.

SP

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Utilisation des variables

Donne 10 pièces au joueur qui joue juste après toi Ton nombre de pièces est multiplié par 2.

La partie se joue en 10 tours, le joueur qui a le plus de pièces à la fin de ces 10 tours gagne.

Faire une ou plusieurs parties avec des camarades de la classe en se plaçant par groupe autour d’une table. Une fois la partie terminée, répondre aux questions ci-dessous. 1. Dans ce jeu, il y a plusieurs variables : – une variable qui contient le nombre de tours effectués. On peut l’appeler « TOURS » ; – des variables qui contiennent les nombres de pièces de chaque joueur, on leur donnera comme nom le « prénom » de chaque joueur. Combien de variables ont été utilisées dans cette partie ? 2. Si l’un des joueurs se nomme Victor, à quel résultat du dé correspond cette action programmée dans le logiciel Scratch : ? 22

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Utilisation des variables Il est pratique de choisir un nom ayant une signification

Exemple Ce programme va demander un nombre et donner son double à chaque fois que l’utilisateur appuiera sur

EN

• Dès que la variable est créée, plusieurs actions se découvrent.

2 On compte

IM

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

Niveau 1

Programmation avec Scratch

• Avec le logiciel Scratch, on peut créer des variables à partir du . menu On commence par choisir le nom de ces variables.

EC

1. Créer une variable « COMPTEUR » et écrire un programme qui fasse augmenter de 1 cette variable à chaque clic sur le drapeau vert. Enregistrer ce programme. 2. Améliorer le programme en faisant dire au chat  : «  Le compteur est arrivé à … »

SP

3 Le périmètre d’un rectangle 1. Programmer un algorithme demandant la longueur du côté d’un carré avant de le tracer. Enregistrer ce programme.

Aide Utiliser l’opérateur

Niveau 2

Aide

Utiliser l’instruction

.

On attribue alors la réponse à la variable créée

2. Modifier ce programme en demandant une longueur et une largeur avant de tracer un rectangle aux dimensions saisies. 3. Faire évoluer ce programme en créant une variable « PERIMETRE » et en faisant dire au chat à la fin du tracé  : «  Le périmètre de ce Aide rectangle est égal à … » Utiliser l’opérateur

4 Qui es-tu ?

et/ou l’opérateur

Niveau 3

Programme un algorithme demandant ton prénom, puis ton âge et enregistre ce programme. Fais alors dire au chat : Bonjour ton prénom, puis Tu as ton âge ans. Algorithmique et programmation

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Séquence 3

jusqu’à “Le Le skate park est atteint” atteint” »

EN

On utilise la boucle « Répéter jusqu’à » quand on ne sait pas combien de fois on doit répéter les instructions mais quand on sait à quel moment on doit s’arrêter.

IM

Niveau 1

« Répéter

1 Les boucles de Julie

On utilise la boucle « Répéter x fois » quand on sait déjà combien de fois on doit faire répéter les instructions.

On peut aussi utiliser des boucles : « Répéter 4 fois  »

Dans un algorithme, une boucle consiste à faire répéter un certain nombre de fois (connu à l’avance ou non) une même séquence d’instructions. Il existe principalement deux types de boucles : la boucle « Répéter x fois » et la boucle « Répéter jusqu’à ». Exemple : Pour aider Julie à rejoindre le skate park, on peut donner comme instructions . ▲

EC

Dans chacun des cas ci-dessous, écrire un algorithme permettant à Julie d’atteindre le ▲ ▲ skate park à l’aide des quatre instructions : et un autre algorithme utilisant une boucle. 1. 2. 3. ▲

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Utilisation des boucles

2 À rebours

Niveau 2

SP

Un jeu consiste à démarrer du nombre 40 000 et à enlever à ce nombre 1, puis 3, puis 5 et ainsi de suite en enlevant successivement le nombre impair suivant. 1. Écrire un algorithme permettant d’effectuer ces calculs et de s’arrêter quand 0 est dépassé. Aide

On pourra utiliser une variable initialisée au nombre de départ et une autre variable pour les nombres impairs enlevés.

2. Améliorer cet algorithme en faisant compter le nombre de soustractions effectuées. 3. De quel nombre faudrait-il partir pour tomber exactement sur 0 après 15 soustractions ?

3 Compétition de natation

Niveau 3

Dans chaque cas, en utilisant une boucle «  Répéter x fois  » et l’instruction « Traverser le bassin », écrire un algorithme décrivant le parcours d’une nageuse effectuant en grand bassin (50 m de longueur) : a. un 100 m nage libre ; b. un 800 m nage libre. 24

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Utilisation des boucles .

• On peut indiquer le nombre de répétitions souhaitées : ce nombre peut être une variable. • La répétition est ici effectuée jusqu’à ce qu’un test soit validé. . On a, par exemple : , Ces tests sont dans le menu ou encore .

IM

Exemple Ce programme va permettre de faire tracer un carré de côté 100 à chaque fois que l’utilisateur . appuie sur

EN

• Cette boucle est utilisée par exemple quand on attend une réponse au clavier. Cela nécessitera généralement l’usage d’une instruction conditionnelle : elle sera placée dans ce bloc.

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

4 Construire des polygones

Programmation avec Scratch

Les différents types de boucles de Scratch sont dans le menu

Niveau 1

EC

1. Simplifier le programme ci-contre à l’aide d’une boucle pour construire un pentagone (polygone à 5 côtés), puis enregistrer ce programme. 2. Faire évoluer ce programme afin d’obtenir un hexagone. 3. Faire évoluer ce programme afin d’obtenir un triangle équilatéral.

Niveau 2

SP

5 Les décompteurs

Aide

1. Programmer un compteur qui va de Utiliser l’instruction pour voir le décompte défiler. 1 jusqu’à 20 et s’arrête dès que la valeur 20 est atteinte. 2. Améliorer le programme en faisant compter le chat au fur et à mesure. 3. Modifier le programme en faisant un décompte de 20 jusqu’à 0. 4. Programmer un décompte de 7 en 7 à partir de 343 qui s’arrête quand 0 est atteint.

6 Le marquage au sol

Niveau 3

Programmer un algorithme qui reproduit le dessin ci-contre. Chaque segment mesure 20 et chaque espace mesure 20 également.

7 Un arc-en-ciel

Niveau 4

En faisant évoluer la valeur de la couleur de 0 à 200, réaliser ce nuancier : Aide On peut réduire la taille du chat et choisir une taille de stylo élevée.

Algorithmique et programmation

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Séquence 4

Une instruction conditionnelle est de la forme : Si « Condition »

ou Si « Condition » Alors « Instruction(s) »

Exemple Si le soleil brille cet après-midi, alors j’irai à la piscine.

1 Les instructions de Julie

Niveau 1

EN

Dans ce cas, si la « Condition » est réalisée, alors les « Instruction(s) » seront effectuées.

Alors « Instruction(s) 1 » Sinon « Instruction(s) 2 » Dans ce cas, si la « Condition » est réalisée, alors les « Instruction(s) 1» seront effectuées, sinon ce sont les « Instruction(s) 2 » qui seront effectuées. Exemple Si le soleil brille cet après-midi, alors j’irai à la piscine, sinon jj’irai ’irai au cinéma cinéma.

IM

Il s’agit ici d’écrire des algorithmes permettant à Julie d’atteindre le skate park utilisant les instructions avancer d’une case , tourner à droite , des boucles et des instructions conditionnelles avec la condition Pas de case devant .

EC

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Utilisation des instructions conditionnelles

1. Écrire un algorithme en utilisant une instruction conditionnelle de type « Si «  … Alors … . »

SP

2. Écrire un algorithme en utilisant une instruction conditionnelle de type «  Si … Alors … Sinon … . » … S …  Sinon  inon … . » … . »

2 Les tir tirs s au but

Niveau 2

1. Durant la Coupe du monde de football, à la fin du temps réglementaire d’un match, quand les équipes sont à égalité, le match continue durant une période que l’on appelle prolongations. Écrire un algorithme utilisant une instruction conditionnelle « Si … Alors … » pour décrire cette situation.

2. À la fin des prolongations, si les équipes n’ont pas réussi à se départager, elles entament une séance de tirs aux but. Chaque équipe tire cinq fois. Si à la fin de cette séance, les équipes sont toujours à égalité, vient la « mort subite ». Chaque équipe tire au but une fois jusqu’à ce que l’une marque et l’autre non. Écrire un algorithme utilisant une instruction conditionnelle « Si … Alors … Sinon … . » pour décrire la phase de « mort subite ». 26

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Utilisation des instructions conditionnelles .

et

comme

,

EN

Les conditions sont à construire à partir des éléments du menu ou . Exemple Ce programme va permettre de dire si un nombre est ou n’est pas un multiple de 11.

Aide

EC

IM

L’opérateur

3 Un carré pas trop grand

donne le reste dans la division euclidienne du premier nombre par le second.

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

Programmation avec Scratch

Les différents types d’instructions conditionnelles de Scratch sont dans le menu

Niveau 1

SP

1. Programmer un algorithme demandant un nombre entre 0 et 200. Si le nombre entré est inférieur à 200, le chat doit dire : « Merci ! » Enregistrer le programme. 2. Modifier ce programme pour qu’il demande la longueur du côté d’un carré et qu’il le trace uniquement si le côté est plus petit que 200. 3. Améliorer le programme pour que dans le cas où il ne trace pas le carré, le chat dise : « Désolé ce nombre est trop grand ! »

4 Un nombre au hasard

Niveau 2

1. Programmer un algorithme qui met dans une variable une valeur aléatoire de 1 à 3, puis qui cache cette variable à l’écran. 2. Compléter le programme pour qu’il demande ensuite à l’utilisateur de choisir un nombre entre 1 et 3, puis faire dire au chat si les deux nombres sont identiques ou non.

5 La balade du chat

Niveau 3

Programmer un algorithme faisant déplacer le chat vers la droite ou vers la gauche à l’aide des flèches du clavier.

Aide Utiliser l’instruction ainsi que la boucle

.

Algorithmique et programmation

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Séquence 5

1 Travaux ménagers

EN

Un bloc d’instructions peut parfois être remplacé par un seul intitulé. Exemple L’envoi d’un courriel par messagerie est constitué de plusieurs actions simples, intégrées dans un même bloc nommé « Envoi d’un courriel ».

Niveau 1

Mettre un verre

IM

En utilisant les instructions suivantes, écris deux groupements : l’un correspondant à « mettre la table pour une personne » et l’autre correspondant à « préparer une lessive ».

Mettre le linge dans le tambour

EC

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Utilisation d’un bloc d’instructions

Mettre les couverts

Mettre la lessive

Mettre un adoucisseur si besoin

2 Le repas du lapin

Préparer un pichet d’eau Poser une assiette sur la table

Choisir le programme de lavage

Niveau 2

SP

Dans chacun des cas ci-dessous, écrire le groupement d’instructions (GI) permettant au ▲ ▲ lapin de retrouver sa carotte à l’aide des quatre instructions 1.

2.

3.

Répéter 4 fois Groupement d’instructions GI1 Fin

Répéter 2 fois Groupement d’instructions GI2 Fin

Répéter 2 fois Groupement d’instructions GI3 Fin

Utiliser un bloc d’instructions ici permet d’éviter d’avoir à mettre une boucle dans une boucle. 28

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Utilisation d’un bloc d’instructions

EN

IM

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

3 Géométries d’une enveloppe

Niveau 1

Programmation avec Scratch

Un bloc permet de mémoriser un petit algorithme intervenant dans un algorithme plus élaboré, éventuellement plusieurs fois, ce qui facilite également la compréhension de l’algorithme principal. . On peut créer des blocs à partir du menu Lorsqu’il est créé, le bloc est utilisable comme les autres éléments. Exemple Le bloc permet de tracer, à chaque fois qu’il est appelé, un carré de côté 100 à l’endroit où se trouve le lutin.

EC

1. Écrire un algorithme définissant un bloc rectangle de 80 sur 150 et un bloc triangle équilatéral de côté 80. 2. Utiliser alors ces blocs de façon à obtenir les figures ci-dessous : a.

b.

Niveau 2

SP

4 Quel cirque ! Maximus !

Écrire un algorithme faisant appel à un bloc « triangle équilatéral » pour construire un hexagone.

5 Silence ! On tourne !

Aide Utiliser l’instruction

Niveau 3

1. Créer un bloc « CARRÉ » qui trace un carré de côté 100 à partir de l’endroit où se trouve le lutin. 2. Programmer un algorithme qui efface tout, va au centre de l’écran (0 ; 0), pose le stylo et répète 36 fois la même séquence : 3. Améliorer le programme pour que la couleur du stylo change à chaque carré. Aide On pourra par exemple utiliser :

La couleur dans Scratch correspond à des nombres entiers compris entre 0 et 200. Pour changer la couleur, il suffit de changer la valeur. Algorithmique et programmation

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Projet 1 Le crabe aux pinces magiques Dans un univers maritime, l’antre d’un crabe est attaqué par des ballons ! Heureusement, ses pinces magiques lui permettent de détruire ces ballons avant qu’ils n’atteignent leur but !

– Prendre comme lutin un crabe et le positionner en bas de l’écran. – Programmer le déplacement horizontal (gauche et droite) du crabe à l’aide des flèches du clavier.

IM

Pense à réduire la taille du crabe si besoin.

EN

Étape 1 Positionner et déplacer le crabe

Étape 2 Positionner et déplacer un ballon

EC

– Ajouter un ballon qui descend automatiquement en démarrant toujours de la même abscisse –170. Cette abscisse sera modifiée par la suite.

SP

Pense aussi à réduire la taille du ballon si besoin.

Étape 3 Programmer les actions – Modifier le programme pour que lorsque le crabe touche le ballon, celui-ci réapparaisse en haut à son point de départ. – Prévoir aussi un retour au point de départ si le ballon arrive en bas de la scène, sans être touché par le crabe.

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– Ajouter un compteur permettant de savoir combien de fois le crabe a touché le ballon. – Ajouter aussi un arrière-plan adapté.

permet d’obtenir cet affichage . On obtient le même résultat en faisant un clic droit et en choisissant dans le menu déroulant.

EN

Un double-clic sur

Étape 5 Faire apparaitre le ballon n’importe où

IM

– Faire en sorte que le ballon puisse surgir de n’importe quelle abscisse entre –200 et +200.

EC

C’est l’occasion d’utiliser l’élément

Programmation avec Scratch

Étape 4 Ajouter un décor et un compteur

Étape 6 Créer une fin pour le jeu

SP

– Terminer le jeu avec les indications suivantes : • lorsque le compteur atteint 5, augmenter la vitesse de déplacement du crabe ainsi que la vitesse de descente des ballons ; • lorsque le compteur atteint 10, augmenter encore la vitesse de descente des ballons ; • lorsque le compteur atteint 20, faire dire au crabe : « Gagné ! » et arrêter le jeu.

ÉVOLUTIONS POSSIBLES – Faire varier la couleur des ballons, le bleu valant plus de points que les autres. – Remplacer les ballons par des images de coquillages. – Faire varier les fonds en fonction de l’avancée dans le jeu. Algorithmique et programmation

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Projet 2 Le nombre mystère Es-tu capable de trouver un nombre mystère choisi par le chat ? Tu devras réussir avec le moins d’essais possibles… Une bonne stratégie te permettra de gagner systématiquement en 10 ou 11 coups maximum.

Étape 1 Programmer la base du jeu

EN

– Écrire un algorithme dans lequel une variable cachée prend une valeur aléatoire entre 1 et 1000 qu’il faudra retrouver. – Demander à l’utilisateur de proposer un nombre.

IM

Pour chaque proposition, le chat indique si la valeur cherchée est plus grande ou plus petite que la valeur proposée.

EC

Étape 2 Comptabiliser le nombre nombre d’essais

– Compléter l’algorithme en indiquant le nombre d’essais effectués pour identifier le nombre mystère.

SP

– Lorsque le nombre cherché a été trouvé, faire dire au chat en combien de coups cela a été réussi.

Étape 3 Ajouter un chronomètre – Ajouter un chronomètre sur lequel le temps de jeu défile en permanence jusqu’à ce que la valeur soit trouvée.

– Lorsque la valeur exacte est trouvée, le chronomètre n’apparait plus à l’affichage et le chat doit indiquer le nombre de coups et le temps qu’il a fallu pour trouver le nombre. 32

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Étape 4 Établir un système de calcul de points

pour que le score soit un nombre entier.

Étape 5 Faire apparaitre une jauge

EN

Le score peut n’être calculé qu’à la fin ou bien être affiché et diminuer au fur et à mesure. Pense à utiliser

– Masquer le chronomètre et à la place, créer une jauge qui diminue au fur et à mesure pendant une durée d’environ 60 secondes.

IM

Aide

EC

Pour la jauge : créer un lutin à partir de rectangles de couleur. Un autre lutin blanc de même forme permettra de le cacher peu à peu.

Programmation avec Scratch

– Calculer un score et le faire dire au chat à la fin de la partie. Par exemple, le score peut être de 1 000 points auquel on enlève 50 points à chaque essai et 10 points par seconde passée.

– Si le nombre mystère n’est pas trouvé dans ce délai, un message disant : « Pas assez rapide ! » apparait. – Un deuxième message : « Il fallait trouver … » apparait ensuite. – Le jeu s’arrête alors.

SP

Étape 6 Encadrer le nombre cherché

– Faire apparaitre à l’écran un encadrement du nombre cherché en fonction des propositions faites. – Pour faire cet encadrement, il faut stocker dans une variable la plus grande des propositions inférieures au nombre cherché, et stocker dans une autre la plus petite des propositions supérieures au nombre cherché.

ÉVOLUTIONS POSSIBLES – Créer un arrière-plan. – Faire demander au début du jeu entre quels nombres doit se trouver le nombre mystère (donc pas forcément entre 1 et 1000). – Créer un autre lutin qui fera des propositions pour retrouver le nombre et le programmer de manière à ce qu’il soit le plus performant possible. Algorithmique et programmation

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Projet 3 Jeu de Nim Ce jeu très classique peut être programmé… Il peut même être programmé pour que l’ordinateur gagne à chaque fois ! Joli défi ! Il s’agit de retirer un, deux ou trois crayons à chaque tour. Le vainqueur est celui qui retire le dernier crayon !

Étape 1 Choix du premier crayon – Choisir un crayon comme lutin. Le nommer crayon1.

IM

EN

L’objectif est de programmer au maximum l’algorithme de ce crayon, pour le dupliquer ensuite et en avoir au total 16. Il restera alors juste quelques modifications à apporter crayon par crayon.

Étape 2 Programmation du premier crayon

EC

– Lorsque le drapeau vert est pressé, montrer le crayon au bon emplacement. Par exemple, à ces coordonnées : – Programmer le crayon pour qu’à la réception du message crayon1, il se déplace verticalement vers le bas, puis se cache.

SP

On pourra ainsi déclencher ultérieurement cette action par l’instruction :

Tu peux d’ailleurs tester qu’un clic sur cette instruction déclenche bien cette action.

Étape 3 Création des autres crayons – Dupliquer 15 fois le crayon1 et renommer à chaque fois le nouveau crayon obtenu : crayon2, crayon3, etc. – Modifier l’endroit de départ où doivent apparaitre ces crayons pour qu’ils soient côte-à-côte et régulièrement espacés comme ci-contre. – Pour chaque crayon, changer le nom du message qui le fera se déplacer et se cacher : crayon2, crayon3, etc. 34

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EN

– Lorsque le drapeau vert est pressé, programmer le chat pour qu’il demande le prénom du joueur 1, puis celui du joueur 2 et qu’il les stocke dans des variables « JOUEUR1 » et « JOUEUR2 ». – Une variable « COMPTEUR » est créée et initialisée afin de déterminer le nombre de crayons déjà enlevés et donc le crayon auquel on est arrivé. – Le chat doit demander indéfiniment et à tour de rôle à chaque joueur combien de crayons il désire enlever. Ce nombre doit être 1, 2 ou 3, sinon le chat doit reposer la question. Stocker à chaque fois ce nombre dans une variable.

Étape 5 Traitement du nombre de crayons à enlever

EC

IM

– Créer un bloc dans lequel la variable « COMPTEUR » augmente de 1 autant de fois que l’utilisateur a choisi d’enlever des crayons. Le bloc doit envoyer à tous le message crayon1 si le compteur est égal à 1, le message crayon2 si le compteur est égal à 2, etc. Ainsi les crayons disparaitront l’un après l’autre.

Programmation avec Scratch

Étape 4 Programmation du chat

Ce bloc sera appelé chaque fois qu’un des deux joueurs aura donné un nombre de crayons à enlever.

SP

Étape 6 Fin du jeu

– Modifier le bloc pour qu’il teste à chaque fois si un des joueurs a gagné en fonction de la valeur de la variable COMPTEUR » COMPTEUR  ».. Le joueur qui prend le dernier crayon « COMPTEUR ». a gagné. – Faire afficher le prénom du joueur qui a gagné et stopper tous les scripts. Un script est un ensemble d’instructions.

ÉVOLUTIONS POSSIBLES – Modifier le jeu pour que le gagnant soit celui qui ne prend pas le dernier crayon. – Faire évoluer le jeu pour qu’un joueur joue contre l’ordinateur. – Imaginer un arrière-plan évoluant tout au long de la partie. Algorithmique et programmation

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Projet 4 Promenade aléatoire Imagine… Tu te promènes au hasard sur une grande feuille et tu donnes un coup de crayon de couleur à chaque pas… Quel type de figure obtiendrais-tu au final ?

Étape 1 Choix et postionnement du lutin – Choisir un crayon comme lutin. – Le placer au centre de la scène avec l’élément .

Aide

IM

On peut choisir la mine du crayon comme centre du costume en allant dans l’onglet costume : et en cliquant sur .

EN

– Choisir une taille réduite du lutin avec l’instruction

Étape 2 Programmation du déplacement

EC

– Créer une variable « TEST » qui prendra une valeur aléatoire entre 1 et 4. Avec le stylo en position d’écriture, faire un déplacement de longueur 3 dans la direction donnée par la valeur de la variable «  « TEST TEST »  » comme le montre « TEST » le tableau ci-dessous :

SP

Test Déplacement du stylo 1 Vers la droite 2 Vers le haut 3 Vers la gauche Vers le bas 4 – Faire répéter ces actions 500 fois.

Étape 3 Choix de la longueur de déplacement – Demander à l’utilisateur de définir la longueur d’un déplacement. Cette valeur est mémorisée dans une variable « PAS ». – Indiquer qu’elle peut prendre une valeur entre 1 et 5 et ne pas accepter la réponse si elle est inférieure à 1 ou supérieure à 5. Aide On peut reposer la question jusqu’à ce que la réponse soit dans la fourchette souhaitée.

Attribuer ce « pas » au déplacement du crayon. 36

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EN

– Modifier le nombre de répétitions en passant de 500 à 5 000. – À chaque trait tracé, modifier la couleur en la choisissant de façon aléatoire. On pourra utiliser . Les couleurs correspondent à des nombres entiers compris entre 0 et 200. La valeur 130, par exemple correspond au bleu

Étape 5 Variations du motif

IM

– Demander que la taille du stylo soit un nombre prenant une valeur aléatoire entre 1 et 5. – Modifier la répétition pour passer de 5 000 à 2 000.

EC

Sur l’image, la taille du stylo est 5. On peut demander de cacher le crayon à la fin.

Programmation avec Scratch

Étape 4 Génération du motif coloré

Étape 6 Motif avec plusieurs crayons

SP

– Dupliquer une première fois le crayon. Ce deuxième crayon devra démarrer avec le premier dès que le pas aura été choisi. Pour cela, dès que le pas a été choisi, envoyer un message qui fera démarrer le tracé sur chaque crayon.

– Dupliquer deux fois ce nouveau lutin pour obtenir au total quatre crayons. – Modifier les algorithmes de chaque crayon pour que les déplacements soient indépendants en renommant les variables « TEST » de chaque crayon. – Faire démarrer chaque lutin d’un endroit différent de la scène. Profite bien de tes œuvres d’art !

ÉVOLUTION POSSIBLE – Comptabiliser le nombre de pixels tracés et arrêter automatiquement le programme lorsque 75% de remplissage de la scène est atteint. Algorithmique et programmation

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37

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Projet 5

Un mage doit viser une grenouille avec sa baguette magique. Lorsque la grenouille a reçu assez de magie, elle se transforme en prince ou en princesse…

Étape 1 Préparer la grenouille

EN

– Choisir comme lutin la grenouille de Scratch et aller dans l’onglet costumes. – Dupliquer la grenouille. – Avec l’outil Gomme, supprimer la langue sur le costume 1.

IM

Pour plus de précision dans l’usage de la gomme, on peut utiliser l’outil loupe en bas à droite de l’écran.

Étape 2 Le mage et sa magie

EC

– Écrire un algorithme de déplacement de la grenouille dans les quatre directions. On pourra utiliser –

Ajouter le lutin Wizard (le nommer mage) mage) et créer un lutin magie de ce style :

– Créer une variable

et une variable

.

– Attribuer à

une valeur aléatoire entre –210

et 60 et à

une valeur aléatoire entre –120

SP

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Le mage et la grenouille

et 120. – Créer une variable qui pourra prendre une valeur aléatoire entre –30 et +30. Faire tourner le mage de cette valeur.

Étape 3 Introduction du hasard dans le jeu – Créer une variable , lui attribuer une valeur aléatoire entre 1 et 10. Si la valeur de est inférieure à 8, le mage envoie de la magie par sa baguette : à cet effet, un message est envoyé au lutin magie. Prévoir ensuite une temporisation d’une seconde environ. Sinon, on refait bouger le mage et on relance le dé. À la réception de ce message, magie se positionne par rapport à la baguette du mage en prenant la même orientation. Magie avance alors jusqu’à toucher le bord : il est désormais caché.

38

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EC

On peut désormais cacher le compteur. À partir de la 11e fois où la grenouille a été touchée : – si le dé donne 1, la grenouille se transforme en prince (autre lutin), et le jeu s’arrête ; – si le dé donne 2, la grenouille se transforme en princesse (autre lutin) et le jeu s’arrête ; – dans les autre cas, le jeu continue.

IM

Étape 5 Traitement de la fin de partie

Programmation avec Scratch

– Dès que la grenouille est touchée par magie, elle tremble en tirant et rentrant la langue. L’objectif est d’être touché le plus souvent possible par magie. Un doit donc mémoriser le nombre de fois où la grenouille est touchée .

EN

Étape 4 Traitement de l’événement victorieux

Étape 6 Comptabilisation des points

SP

– Choisir un arrière-plan. – Terminer le jeu en créant une variable « POINTS ». • Au démarrage, on a 1 000 points.

• À chaque fois que la grenouille tremble, on ajoute 200 points. • À chaque fois que la grenouille n’est pas touchée, on perd 100 points. • Lorsque le compteur dépasse les 10, on a 20 points à chaque tir jusqu’à la transformation.

ÉVOLUTIONS POSSIBLES – Faire varier la taille de la grenouille en fonction de la magie reçue. – Commander le mage et sa magie à l’aide de touches du clavier. – Imaginer un niveau 2 dans lequel deux mages combattent. Algorithmique et programmation

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39

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Projet 6 Le chiffre de César Crypter… décrypter… voilà ce à quoi s’attaque le chiffre de César ! Cette forme simple de cryptage était déjà utilisée dans l’Antiquité. À ton tour de chiffrer un message comme les Romains !

Étape 1 Création et stockage de l’alphabet

EN t u vw rs

IM lm

nop q

EC

k

t u vw rs

gh i j e f

nop q

y z a b cd

y z a b cd

lm

x

x

gh i j e f

Si on décale de 2, on voit que le « a » devient « c » ou encore que le « y » devient « a ».

– Créer une variable contenant les 26 lettres de l’alphabet dans l’ordre. Il s’agira de reconstituer le principe du cercle de lettres ci-dessous à partir des 26 lettres de l’alphabet dans l’ordre mises dans la variable.

k

– Le chiffre de César est un procédé qui consiste à décaler les lettres de l’alphabet vers la droite ou vers la gauche d’un nombre de crans déterminés. On choisit ici de décaler vers la droite.

Étape 2 Saisie du décalage et du message à coder

SP

– Demander le nombre correspondant au souhaité. – Demander le à coder. Attention ! Ce message sera tout d’abord un mot simple, c’est-à-dire sans trait d’union, sans apostrophe, etc. On dispose désormais du message (mot) à coder et du décalage souhaité : il faudra, à l’étape suivante, créer le message codé.

Étape 3 Création des variables nécessaires au codage – Créer une variable qui sera initialisée par du vide. – Créer ensuite une variable qui prendra successivement comme valeur chacune des lettres du mot à coder. qui permettra de – Créer une variable compter les lettres codées et que l’on initialisera à 1.

40

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– On affecte à la variable la lettre à coder. – On appelle un bloc qui va : • déterminer la position de cette lettre dans l’alphabet et la stocker dans une variable , en utilisant

• ajouter le à la variable pour trouver la position de la lettre codée ; • affecter à la variable sa nouvelle valeur.

• • • • •

EN

;

éventuellement l’instruction

Par exemple avec la lettre b et un décalage de 3, on aura comme valeur successives des variables :

+ dépasse 26, il faut trouver un moyen Attention ! Dans le cas où la somme de redémarrer au début de l’alphabet (27 correspond à 1, 28 à 2, etc.) Pour cela, utiliser l’instruction qui donne le reste d’une division euclidienne.

IM

Étape 5 Création et affichage du message codé

EC

– Créer une boucle qui va, pour chacune des lettres du message initial, trouver celle qui doit la remplacer à l’aide du et l’ajouter à la suite du bloc message codé. On pourra utiliser pour la boucle :

Programmation avec Scratch

Étape 4 Création du bloc permettant le codage

et

et pour construire le message codé :

SP

Vérifier que le codage fonctionne bien, par exemple en tapant l’alphabet entier comme message avec un décalage de 3 pour observer si chaque lettre se code bien.

Étape 6 Amélioration du programme pour coder des phrases entières – Modifier le bloc pour prendre en compte les espaces, les apostrophes ou les traits d’union dans une phrase. Si le programme ne trouve pas la lettre à coder dans l’alphabet lors de la recherche de position, il doit conserver la lettre d’origine. Un espace sera donc codé par un espace, une apostrophe par une apostrophe, etc. On pourra pour cela utiliser boucle.

dans la

ÉVOLUTIONS POSSIBLES – Intégrer un codage spécifique pour les lettres accentuées. – Construire le programme de décryptage. – Améliorer le cryptage à partir d’une fonction affine (modulo 26). Algorithmique et programmation

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41

15/04/2016 14:28


Attendus de fin de cycle

EC

IM

EN

Utiliser le calcul littéral Comprendre et utiliser la notion de fonction

SP

Les premiers pas dans la vie d’adulte coïncident souvent avec les premiers gros achats comme celui d’une voiture ou d’un appartement. Contracter un crédit doit se faire de façon responsable, pour cela on peut souvent trouver des conseils et des formules de calculs pour comparer les offres et faire le meilleur choix par rapport à sa propre situation. Il est donc important de pouvoir étudier des phénomènes de manière génale en désignant des nombres par des lettres pour faire des calculs permettant de comparer ou représenter ces phénomènes. L’étude du thème B te permettra d’être mieux armé pour l’avenir, tu pourras mieux comprendre les situations-clés de ton quotidien, actuel ou à venir.

Des ressour rressources essources ces supplémentair supplémentaires à télécharger

Pour chaque objectif de ce thème, les ressources suivantes sont téléchargeables gratuitement sur le site www.bordas-myriade.fr : Cherchons ensemble Des activités pour découvrir les nouvelles notions propres à chaque objectif Le cours Pour connaitre les notions mathématiques liées à l’objectif Je travaille seul(e) Des exercices corrigés pour apprendre à travailler en autonomie ou en accompagnement personnalisé

Acti

é vit

1

1

Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

Produire une expression littérale

OBJECTIF

1

avait utilisé 8 carreaux pour le côté de la piscine ? b. Et si on avait utilisé 15 carreaux gris pour le côté de la piscine ? c. Même question pour 543 carreaux gris.

Volume d’un cube : c × c × c . Dans ce calcul, la lettre c représente la longueur du côté du cube.

2 Expliquer comment trouver le nombre total de carreaux gris à utiliser en fonction du nombre de carreaux utilisés pour le côté de la piscine.

Corrigés page 279

A

B

C

10

25

52

20 + 3x

20 – 3x

3 (20 – x)

est 5x

est 6x

ne peut pas êtr simplifiée

est 5x

est 6x

ne peut pas êtr simplifiée

est toujours vraie

est parfois vraie, parfois fausse

n’est jamais vraie

41 Si a = 5 alors, a2 est égal à : 42 La longueur AB est égale à : A

B

x

x

x

20

43 L’écriture simplifiée de 3x × 2 :

45 L’égalité 5x – 2x = 3x :

Il est possible de ne pas écrire le signe × devant une lettre ou une parenthèse.

Est-ce possible ? Expliquer.

Je fais le point sur mon cours

44 L’écriture simplifiée de 3x + 2 :

Conventions d’écriture

3 Julien affirme : « Sur ma figure, j’ai colorié 316 carreaux en gris. »

Remarque

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

x × 4 ne s’écrit pas x4 mais plutôt 4x.

é vit

Acti

1

Une expression littérale peut servir à décrire une méthode de calcul. On en utilise, par exemple, pour calculer des aires et des volumes, convertir des unités de température, calculer des vitesses… Exemples Aire d’un disque : π × r × r. Dans ce calcul, la lettre r représente le rayon du disque. La lettre π représente un nombre qui ne change pas et qui vaut environ 3,14.

1 a. Combien y aurait-il eu de carreaux gris dans toute la piscine si on

110

OBJECTIF

Une expression littérale est un calcul contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.

DÉFINITION

Pour décorer des piscines carrées, on fabrique des motifs à l’aide de carreaux de faïence. Les carreaux du bord et d’une des diagonales sont gris, les autres sont bleus. Une petite piscine carrée de 6 carreaux de côté est représentée ci-contre.

2

Expressions littérales

Utiliser une expression littérale

OBJECTIF

1 Calculer, pour chaque type de voie

de circulation (sèche ou mouillée), la distance d’arrêt d’un véhicule roulant à la vitesse maximale autorisée.

2 a. Pierre dit  : «  En roulant à

130  km/h sur une route sèche, il faut à peu près la longueur d’un terrain de foot pour s’arrêter. » Vrai ou faux ?

04733297_110-111_Theme-B.indd 110

x × x s’écrit x2 et se lit « x au carré ». x × x × x s’écrit x3 et se lit « x au cube ». Exemples La formule donnant l’aire d’un disque π × r × r peut donc s’écrire πr2. La formule donnant le volume d’un cube c × c × c peut donc s’écrire c3 .

2

De nombreuses formules permettent de calculer approximativement la distance d’arrêt d’un véhicule en fonction de sa vitesse et de l’état de la route (sèche ou mouillée). En voici une : Da = (v : 10) × 3 + (v : 10) × (v : 10) × k Dans cette formule : • Da est la distance (en mètre) nécessaire à la voiture pour s’arrêter ; • v est la vitesse de la voiture en km/h ; • k est un coefficient qui vaut 0,5 si la route est sèche, et 0,75 si elle est mouillée. Limitation de vitesse selon le type de voie utilisée Voie de circulation

Par Par temps temps sec de pluie

Autoroute

130 km/h 110 km/h

Route à deux chaussées séparées 110 km/h 100 km/h par un terreplein central Route

90 km/h

80 km/h

Agglomération

50 km/h

50 km/h

D‘après http://vosdroits.service-public.fr

2

Je fais le point sur mes objectifs

Corrigés page 279

48

1

Produire une expression littérale 46 Voici un programme de calcul :

Calculer la valeur d’une expression littérale

OBJECTIF

2

Calculer la valeur d’une expression littérale, c’est attribuer un nombre à chaque lettre afin d’effectuer le calcul.

DÉFINITION

Exemple Calculer 5x2 + 3(x − 1) + 4y3 lorsque x = 4 et y = 10. 5 × x × x + 3 × (x – 1) + 4 × y × y × y

On écrit les signes × sous-entendus.

= 5 × 4 × 4 + 3 × (4 – 1) + 4 × 10 × 10 × 10

On remplace les « x » par 4 et les « y » par 10.

= 80 + 3 × 3 + 4 000

On effectue les calculs en respectant

Choisir un nombre, le multiplier par 5, ajouter 3 et prendre la moitié du résultat. 1. Tester ce programme de calcul pour les nombres suivants : 2 ; 0 ; 4 et 1,2.  2. a. Karim, Cendrine et Julien ont essayé d’écrire une expression correspondant à ce programme de calcul. Voici leurs résultats : 5(x + 3) 5x + 3 5x + 3 2 2 2 Laquelle de ces expressions parait correcte  ? Comment peut-on le vérifier ? b. Écrire un programme de calcul correspondant

servira des deux côtés.

1. casiers accolés ? 2.

15/04/2016 12:08


Thème B • Expressions littérales – Fonctions OBJECTIFS

Proposition de progression 5e 4e 3e

5e

1. Produire une expression littérale

5

2. Utiliser une expression littérale

5

3. Tester une égalité

4

e

4. Produire et utiliser une expression littérale

4

e

5. Connaitre la distributivité ; développer, factoriser et réduire une expression

e e

6. Prouver ou réfuter une égalité entre deux expressions algébriques

4e

7. Mettre un problème en équation

4e

8. Résoudre un problème

3

9. Produire et utiliser une expression littérale

EN

4e

e

10. Connaitre et utiliser la double distributivité et les identités remarquables

3

11. Prouver ou réfuter un résultat général

3

12. Résoudre une équation

3

13. Résoudre des problèmes se ramenant au 1er degré

e e e

IM

3

e

3e 14. Propriétés des inégalités

3e 15. Résoudre une inéquation

3e 16. Utiliser la notion de fonction

EC

3e 17. Déterminer l’image d’un nombre par une fonction 3e 18. Déterminer un antécédent d’un nombre par une fonction 3e 19. Utiliser et représenter une fonction linéaire 3e 20. Utiliser et représenter une fonction affine

SP

3e 21. Déterminer une fonction affine

Avec un logiciel Des activités adaptées à l’usage du numérique en classe à télécharger sur le site www.bordas-myriade.fr

Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr. B

C

25

52

3x

20 – 3x

3 (20 – x)

x

est 6x

ne peut pas être simplifiée

x

est 6x

ne peut pas être simplifiée

est parfois vraie, parfois fausse

n’est jamais vraie

1

Les chocolats Utiliser un tableur pour résoudre un problème par tâtonnement.

30’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

Trois groupes d’enfants se partagent 163 chocolats. Le groupe 2 en reçoit 4 fois plus que le groupe 1. Le groupe 3 reçoit 10 chocolats de plus que le groupe 2. 1 a. Recopier le tableau ci-dessous dans une feuille de calcul d’un tableur :

ww.bordas-myriade.fr.

Corrigés page 279

b. Dans la cellule A2, saisir un nombre quelconque, puis programmer les cellules B2 et C2 pour que le nombre de chocolats reçus par chaque groupe respecte les consignes de l’énoncé. Tableur 1 c. Dans la cellule D2, saisir une formule qui calcule le nombre total de chocolats reçus par les trois Tableur 1 groupes, puis résoudre le problème posé.

111

2 Dans les mêmes conditions de partage, les trois groupes peuvent-ils se partager 516 chocolats ? Expliquer. 3 Les enfants peuvent-ils se partager 910 chocolats ? Expliquer.

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1 Je comprends

Produire

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

• Choisir un nombre • Ajouter 4 • Multiplier par 7 • Soustraire le nombre de départ

ÉTAPE 2

1

CALCULER

MODÉLISER MO M ODDÉL ÉLIISER SER

COMMUNIQUER CCO O

4 Les calculs suivants ont été obtenus en utilisant

la même formule. Dans chaque cas, retrouver cette formule. 1. Avec la Formule 1 :

EC

Activités rapides

Sans les parenthèses de (N + 4), on effectuerait (N le calcul 4 × 7, ce qui nnee correspond pas aux instructions du programme de calcul.

IM

On suit le programme de calcul en faisant attention aux parenthèses et aux priorités des opérations.

On conclut. L’expression littérale correspondant à ce programme est donc ( donc (N donc  (N N + 4) × 7 − N.

EN

ÉTAPE 1

On choisit une lettre pour désigner le nombre qui varie. Ici, N représentera le nombre choisi.

(N + 4 ) × 7 – N

ÉTAPE 3

Écrire une expression littérale correspondant à ce programme.

Je m’entraine

N N+4 (N + 4 ) × 7

• Choisir un nombre : • Ajouter 4 : • Multiplier par 7 : • Soustraire le nombre de départ :

Voici un programme de calcul :

Traduire par une expression littérale : a. le double de x  b. la moitié de x  c. le produit de 3 par la somme de 7 et x  x d. le quart de la somme de x et de 3

SP

nommer N 2 Pour chacun des programmes de calcul, nommer 

Programme 2 • Choisir un nombre • Ajouter 4 • Multiplier par 5

Programme 3 • Choisir un nombre • Soustraire 7 • Doubler le résultat

Programme 4 • Choisir un nombre • Calculer son triple • Soustraire 7

3 Dans chaque cas, retrouver le programme de

calcul correspondant aux expressions littérales données avec x le nombre choisi au départ : b. 5 + x × 3 a. 5 × x + 3 c. (5 + x) × 3 d. 5 + x + 3

7+3×5

7 + 3 × 6,2

7 + 3 × 14

2. Avec la Formule 2 :

le nombre choisi, puis écrire une expression littérale correspondant au programme : Programme 1 • Choisir un nombre • Multiplier par 5 • Ajouter 4

7+3×1

(8 + 3) × 8

(2 + 3) × 2

(15 + 3) × 15

(0,3 + 3) × 0,3

3. Avec la Formule 3 : (5 × 4 − 3) × 2

(5 × 2 − 3) × 2

(5 × 5 − 3) × 2

(5 × 0 − 3) × 2

5 Écrire la longueur AB en fonction de x. a. b. c. d.

A

B

8

x x

B

A 13

B

A x A 13

B

x

112

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une expression littérale Je résous des problèmes simples de points :

Étape 1

Étape 2

Étape 3

Écrire une formule qui permet de calculer le nombre de points correspondant à n’importe quelle étape. 2. Même question avec les figures suivantes. Étape 1

Étape 2

Étape 3

MODÉLISER

COMMUNIQUER

9 Pour chacun des modèles ci-dessous, trouver

une expression littérale qui permettra de calculer le nombre de carreaux verts utilisés en fonction du nombre de carreaux sur le côté du carré.

10 Les maths autour de moi À la plage, Léo fabrique des châteaux en forme de triangles à l’aide de pâtés de sable.

Château de deux étages

Château de trois étages

1. Dessiner un château de quatre étages. Combien faut-il de pâtés pour le faire ? 2. Si Léo fait un château de huit étages, combien lui faudra-t-il de pâtés ? 3. Trouver une formule qui donne le nombre de pâtés à faire en fonction du nombre d’étages du château.

IM

7 Lors d’un spectacle de

REPRÉSENTER

EN

6 1. Les figures ci-dessous sont construites à l’aide

CHERCHER

SP

EC

théâtre, les places pour les enfants sont vendues 5 € et celles pour les adultes 11,50 €. Il y a aussi un tarif préférentiel à 8 € pour les étudiants. 1. Si l’on désigne par x le nombre d’enfants présents au spectacle, que permet de calculer l’ex ? pression x × 5 ? 2. Dans l’expression 11,50 × y + z × 8, que peuvent représenter y et z ? z ? Que permet de calculer cette expression ? 3. Proposer une expression littérale permettant de calculer la recette de ce spectacle en fonction du nombre de spectateurs de chaque catégorie.

8 Quelle formule

doit-on rentrer dans la cellule B2 pour obtenir le résultat souhaité ? a. b.

c.

d.

11 TOP Chrono Une boulangerie vend des réglisses et des maxi-bonbons à la fraise.

1. Combien Zoé et Ali ont-ils dépensé aujourd’hui ? Écrire chaque calcul en une seule expression : a. Zoé achète 12 maxi-bonbons et 8 réglisses ; b. Ali achète 47 réglisses et 19 maxi-bonbons. 2. Exprimer, en fonction du nombre de maxi-bonbons m et du nombre de réglisses n, le prix à payer. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

04733297_112-121_Theme-B.indd 113

113

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2 Je comprends

Utiliser

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Calculer 4 + 7x2 + 2x lorsque x = 3 . ÉTAPE 1

ÉTAPE 3

Si cela est nécessaire, on écrit tous les signes × qui sont sous-entendus. 4 + 7x2 + 2x = 4 + 7 × x × x + 2 × x .

On calcule l’expression en respectant les priorités des opérations. 4 + 7 × 3 × 3 + 2 × 3 = 4 + 63 + 6 = 73 .

ÉTAPE 2

Je m’entraine

9 En prenant les mesures néces-

Activités rapides

IM

1

CALCULER

Calculer les expressions suivantes pour x = 3. d. 5(x − 1) b. x2 c. 5x − 1 a. 2x

2 Calculer l’expression 5 + 3 × x  :

b. pour x = 4

2) : 3 Calculer l’expression 3 × (n + 2)  a. pour n = 3

b. pour n = 9

4 Choisir dix valeurs de x comprises entre 3 et 7

SP

et calculer, pour chacune d’elles, l’expression 4 × (23 − x).

5 Calculer l’expression 3 × x + 5 × x + 4  :

a. pour x = 2 b. pour x = 17 c. pour x = 2,6

6 Calculer l’expression 8 × a − 5 × b + 6 : a. pour a = 7 et b = 5

b. pour a = 10 et b = 0

7 Calculer les expressions suivantes lorsque x = 7 et y = 3 : a. x2 + y2 x+y c. xy

saires sur la figure : a. calculer le périmètre de ce A cercle en utilisant la formule 2 × π × r, r, où r représente le rayon du cercle ; b. calculer l’aire de ce disque en utilisant la formule π × r × r, où r représente le rayon du disque.

EC

a. pour x = 1

ÉTAPE 4

On conclut. 7 x2 + 2x 2 x = 73 lorsque x = 3 . On a donc 4 + 7x

EN

On remplace la lettre par sa valeur : ici, x = 3. 4 + 7 × x × x + 2 × x = 4 + 7 × 3 × 3 + 2 × 3.

b. 4xy + x + y d. (3x + 1)(12 − 2y)

8 En utilisant la calculatrice, calculer les expressions A et B lorsque x = 2,8 et y = 4 . 3 2 • A = 7 × (5 × x + y) + x × ( y + 3) x+y +y • B= x2

10 La taille à l’âge

adulte d’un enfant en bonne santé dépend essentiellement de facteurs génétiques. La «  taille cible  » donne une estimation grossière de la taille qu’un enfant peut atteindre. Pour la calculer, on utilise les formules suivantes dans lesquelles P et M représentent la taille du père et de la mère de l’enfant en centimètre : – pour les garçons : P + M + 13  ; 2 + M − 13 . P – pour les filles : 2 1.

Calcule ta taille cible.

2. Calculer la taille cible de Léa (4 ans) et celle de son frère Enzo (7 ans) sachant que leur père mesure 1,77 m et leur mère 1,60 m.

114

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une expression littérale Je résous des problèmes simples

RAISONNER

MODÉLISER

CALCULER

REPRÉSENTER

11 La règle d’Appert permet de calculer la ration 13 Voici un extrait de tableur :

Âge

Poids

Clément

3 mois

4,72 kg

Benoît

1 mois

3,54 kg

Aminata

4 mois

7,25 kg

14 Les maths autour de moi Pour estimer l’aridité d’une région, on peut uti=  P . liser l’indice suivant : I = T + 10 Dans cette formule, T est la température moyenne annuelle (en °C) et P est la hauteur de précipitation (en mm). La valeur de I permet de répartir les régions en cinq catégories : • 0 < I , 5 : régions hyperarides ; • 5 < I , 20 : régions arides ; • 10 < I , 20 : régions semi-arides ; • 20 < I , 30 : régions demi-humides ; • I > 30 : régions humides.

IM

12 Les maths autour de moi

Calculer le nombre qui s’affichera dans la case B2 quand on aura validé la formule.

EN

journalière (RJ) de lait, en gramme, nécessaire à un bébé en fonction de son poids (poids inférieur à 6 kg) : RJ = M + 250, où M est la masse 10 en gramme du bébé. Calculer les rations journalières de lait de Clément, Benoit et Aminata :

SP

EC

La formule de Deurenberg sert à calculer l’Indice de masse graisseuse (IMG) d’un adulte : IMG = 1,2 × M2 + 0,23 × A –− 10,8 10,8 ×× SS –−5,4. 5,4 T Dans cette formule, M est la masse en kilogramme, T la taille en mètre, A l’âge en année et S un coefficient qui vaut 0 pour les femmes et 1 pour les hommes. 1. Calculer l’IMG des personnes suivantes : a. Claire, née le 13/10/1995, 60 kg pour 1,65 m ; b. Jean-Michel, 51 ans, 83 kg pour 182 cm ; c. Lilou, 3 ans, 13 kg pour 90 cm. 2. À l’aide des tableaux ci-dessous, interpréter les résultats obtenus. Pour les hommes Valeur de l’IMG

Interprétation

Inférieur à 15 %

Trop maigre

Entre 15 % et 20 %

Pourcentage normal

Supérieur à 20 %

Trop de graisse

Pour les femmes Valeur de l’IMG

Interprétation

Inférieur à 25 %

Trop maigre

Entre 25 % et 30 %

Pourcentage normal

Supérieur à 30 %

Trop de graisse

Indiquer à quelle catégorie appartient chacune des régions suivantes : a. Bretagne : 1 130 mm de pluie par an et 14 °C de moyenne ; b. Corse : 659 mm de pluie par an et 20 °C de moyenne ; c. Bardenas (Espagne) : 410 mm de pluie par an et 15 °C de moyenne.

15 TOP Chrono La formule  4 × π × r × r × r 3 sert à calculer le volume d’une boule en fonction de son rayon r. Quel est le volume d’un ballon de handball ayant un rayon de 8,8 cm ? Source : www.ff-handball.org

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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115

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3 Je comprends

Tester

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. Les expressions A = 5 + 3 × x et B = 8 × x sont-elles égales ? 2. Les expressions C = 5 + x + x + 1 et D = 2 + 2 × x + 4 sont-elles égales ?

ÉTAPE 2

On compare les résultats obtenus. Comme 17 ≠ 32, les deux expressions ne sont pas toujours égales. Un seul exemple suffit pour pouvoir affirmer que les deux expressions ne sont pas toujours égales.

2. ÉTAPE 1 On choisit une valeur pour x et on calcule les expressions C et D. Par exemple, pour x = 7 : 20 ; ; • C = 5 + 7 + 7 + 1 = 20 20.. • D = 2 + 2 × 7 + 4 = 20 Les deux expressions donnent le même résultat lorsque x = 7. 7. Est-ce toujours le cas ?

EN

1. ÉTAPE 1 On choisit une valeur pour x et on calcule les expressions A et B. Par exemple, pour x = 4 : • A = 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17 ; • B = 8 × 4 = 32.

Des exemples (même nombreux) ne suffisent pas à prouver que l’égalité sera toujours vraie.

ÉTAPE 2

EC

IM

On prouve l’égalité de façon générale. • C = 5 + x + x + 1 = 5 + 1+ x + x = 6 + 2 × x C = 5 + x + x + 1 = 5 + 1 + x + x = 6 + 2 × x. • D = 2+2× x +4 = 2+4+2× x = 6+2× x D = 2 + 2 × x + 4 = 2 + 4 + 2 × x = 6 + 2 × x. Donc C = D pour n’importe quelle valeur de x.

Je m’entraine 1

CALCULER

5 Voici deux expressions :

Activités rapides

SP

1. Les égalités suivantes sont-elles vraies ? 5xx = 7x b. 2 + 5 a. 14 + 21 = 7 × 5 2 2x × 3 5xx 3x = 6x2 c. 2x + 3x = 5 d. 2x 2. Trouver le nombre manquant pour que chaque égalité soit vraie : a. 8 × 10 − 4 = 100 − … b. 5x = 3x + …

2 Tester si l’égalité 31 − x = 20 + x est vraie : a. pour x = 1

b. pour x = 2

RAISONNER

c. pour x = 3

A = 2 × x + 1 + x + x et B = 2 + x × x + 2. a. Calculer les expressions A et B lorsque x = 1. b. Calculer les expressions A et B lorsque x = 3. c.

2×x+1+x+x=2+x×x×x+2

Vrai ou faux ? Justifier la réponse.

6 Voici l’énoncé d’un exercice et la solution proposée par Paul :

3 Tester les égalités suivantes lorsque x = 3 et y = 5 : a. 5 × x + 4 × y = 40 − y  b. 6 × x × y − 2 × y = (5 × x + 1) × y  c. x + y = ( y − x) × 4 

4 Prouver que les égalités suivantes ne sont pas toujours vraies : a. 6 × x − 6 = 0  b. 4 × (x + 1) = 4 × x + 1  c. 2 × x + 3 × x = 6 × x × x

Eléa s’est acheté 4 cahiers à 3,50 € chacun et une boite de crayons à 2 €. Sa mère lui a donné 50 €. Quelle somme d’argent Eléa doit-elle rendre à sa mère ? Solution : 4 × 3,5 = 14 + 2 = 50 – 16 = 34.

Dans la solution écrite par Paul, quelles sont les égalités vraies et les égalités fausses ?

116

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une égalité Je résous des problèmes simples

COMMUNIQUER RAISONNER

MODÉLISER CALCULER

CHERCHER MODÉLISER

7 Parmi les expressions suivantes, une seule est 12 Les égalités suivantes sont-elles vraies ? toujours égale à (x + 3) × (x − 2). Retrouver cette expression et justifier la réponse. x × x + 3 × x − 2 

2 × x + 1  x×x+x−6

x × x − 6 

a. (a + b)2 = a2 + b2

c. 5 + 3x = 8x e. 3x × 2x = 6x2

2x + 3

2. Est-ce le cas pour n’importe quelle valeur de x ?

9 Éric et Angélique choisissent ensemble un même ×

8

1

=

5

alors qu’Angélique appuie sur les touches : ×

4

+

6

=

EC

À la fin de leurs calculs, Éric et Angélique obtiennent le même résultat. 1. En nommant N le nombre choisi au départ, traduire les calculs d’Éric et d’Angélique par des expressions littérales, puis écrire l’égalité correspondante. 2. Cette égalité est-elle toujours vraie ? 3. Le nombre qu’ils ont choisi est compris entre 4 et 7, le retrouver.

SP

D’après Banque de problèmes pour le collège.

10 Parmi les expressions littérales suivantes, retrouver celles qui sont égales, puis donner une preuve de cette égalité : • A = 4x + 2 •B=6 6x2 2xx • C = 6x • D = 2x × 4x • E = 7x – x • F = 4 + 2x •H=x+x+x+x+x+x • G = 8x2 • I = 8x • J = 4 × 2x

11 Voici deux programmes de calcul : Programme 1 • Choisir un nombre • Ajouter 13 et ajouter le nombre choisi

Le professeur Mathétic demande à ses élèves de trouver une formule permettant de calculer le nombre de places assises en fonction du nombre de tables (noté T). Joshua propose la formule suivante : 3+T −2+3+T −2 Lors de la correction en classe, le professeur propose une autre formule : 2 × T + 2. 1. La formule de Joshua est-elle égale à celle du professeur ? 2. La réponse de Joshua est-elle correcte ? 3. Trouver une autre formule égale à celle du professeur.

IM

nombre. Éric appuie sur les touches :

Dans une salle de classe, on dispose des tables carrées comme ci-dessous :

EN

3x + 1

d. 3x + x = 4x f. 2y2 = (2y)2

13 Les maths autour de moi

8 1. Prouver que si x = 2, alors ce rectangle est un carré.

b. x2 = 2x

Programme 2 • Choisir un nombre • Le multiplier par 2 • Ajouter 7 et ajouter 6

Les deux programmes donnent-ils toujours le même résultat final ?

14 TOP Chrono Dans les figures ci-dessous, ADCB est un rectangle et les triangles CED et FHG sont équilatéraux : H A

6

D

x B

E C

F

x+4

1. Faire les figures pour x = 2. 2. Écrire deux expressions littérales permettant de calculer le périmètre du pentagone ADECB et celui du triangle FHG. 3. Ces deux expressions sont-elles toujours égales ?

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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G

117

14/04/2016 16:25


1 Tester une conjecture

2

3 Débattre

3

DOMAINE 3 DU SOCLE

Programme 1  • Choisir un nombre • Multiplier par 0,4 • Ajouter 1,4 • Multiplier par 5 • Soustraire le double du nombre choisi Programme 2 • Choisir un nombre • Calculer son carré • Ajouter 11 • Soustraire 6 fois le nombre choisi • Multiplier par le nombre choisi • Ajouter 1

2 Organiser les informations

4 Tester une conjecture

DOMAINE 3 DU SOCLE

1. Si N × N = N, combien vaut N + N  ? • Réponse ➊ : 0 • Réponse ➋ : 0 ou 1 Réponse ➌ : 0 ou 2 • • Réponse ➍ : 1 ou 2 2. Si N est un nombre entier, quelle expression ne donne que des nombres impairs ? 2N + 3 ➋ : 2N • Réponse ➊ : N + 3 • Réponse ➋ : ➌ : 3N 3N ➍ N+1 • Réponse ➌ : • Réponse ➍ :

5 Mettre en relation la géométrie et le numérique DOMAINE 1 DU SOCLE

On s’intéresse aux triangles ABC tels que : – AC mesure 1 cm de plus que AB ; – BC mesure 2 cm de plus que AB. 1.Tracer 1. Tracer en vraie grandeur trois triangles différents de cette famille, puis calculer leurs périmètres. 2. En nommant L la longueur du côté [AB], écrire une formule qui donne le périmètre du triangle en fonction de L. 3. En nommant x la longueur du côté [AC], écrire une formule qui donne le périmètre du triangle en fonction de x.

IM

Julie affirme : « J’ai testé ces deux programmes avec 1 et 2 et j‘ai obtenu 7. Avec ces deux programmes, ça fera toujours 7. » 1. Vérifier les calculs de Julie, puis tester les deux programmes avec le nombre 3. 2. L’affirmation de Julie est-elle vraie ou fausse ?

DOMAINE 3 DU SOCLE

«  Si on remplace x par un nombre entier, x2 + 120 est toujours un nombre entier. » x Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

EN

Objectifs 1

DOMAINE 4 DU SOCLE

SP

EC

Lisa est infirmière, elle doit calculer le débit D d’une perfusion en gouttes par minute. Elle utilise la formule : D = dv , 60n où d est le facteur d’écoulement en gouttes par millilitre (mL) ; v le volume en millilitre de la perfusion et n le nombre d’heures que doit durer la perfusion. 1. Lisa veut doubler la durée d’une perfusion. Décrire avec précision la façon dont D évolue si n est doublé et si d et v ne changent pas. volume  de la per2. Lisa doit aussi calculer le volume v fusion en fonction du débit de perfusion D. Une perfusion d’un débit de 50 gouttes par minute doit être administrée à un patient pendant 3 heures. Pour cette perfusion, le facteur d’écoulement est de 25 gouttes par millilitre. Quel doit être le volume en mL de cette perfusion ?

D’après PISA.

Utilise une calculatrice ou un tableur pour tester différentes valeurs du volume.

6 Conjecturer

1. Voici un programme de calcul écrit sous la forme d’un algorithme : Départ Choisir deux nombres

Multiplier le second par 4

Multiplier le premier par 2

Ajouter les deux résultats Fin

Écrire une expression littérale correspondant à ce programme de calcul. 2. Si on choisit comme second nombre le double du premier, quelle conjecture peut-on faire sur le résultat final ? 3. Écrire les expressions suivantes sous la forme d’un algorithme : a. 3 × x + 2 × y b. x × ( y + 12)

118

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RAISONNER

REPRÉSENTER

7 Tester, faire des essais

COMMUNIQUER

DOMAINE 2 DU SOCLE

1. Voici un programme de calcul écrit sous la forme d’un algorithme :

9 Traduire en langage mathématique

DOMAINE 5 DU SOCLE

Charlotte fabrique des maisons avec des allumettes. Elle fait deux maisons :

C

C

F

Multiplier par 3 B

D

D

B

G

Soustraire 2

Multiplier les deux résultats Résultat final

E

A

H

1. Combien lui faudra-t-il d’allumettes pour construire 5 maisons ? 2. Combien lui faudra-t-il d’allumettes pour construire 10 maisons ? 15 maisons ? 3. Combien lui faudra-t-il d’allumettes pour construire 1 345 maisons ainsi collées les unes aux autres ? 4. Écrire une formule qui permet de calculer le nombre d’allumettes nécessaires pour construire un nombre donné de maisons. 5. Combien peut-on faire de maisons avec 560 allumettes ?

IM

Écrire une expression littérale correspondant à ce programme de calcul. 2. Johan a choisi un nombre entier et a obtenu 576 comme résultat final. Retrouver le nombre de départ. 3. Écrire les expressions suivantes sous la forme d’un algorithme : b. 2 + x × 5 a. 2 × x + 5 c. (2 + x) × 5 d.2 × x + 5 × x

E

A

EN

Multiplier par 4

MODÉLISER

CHERCHER

Elle fait une maison :

Choisir un nombre Ajouter 3

CALCULER

10 Calculer en utilisant le langage algébrique

EC

8 Sélectionner les informations utiles

SP

Le métabolisme de base (MB en kcal) correspond aux besoins énergétiques indispensables de l’organisme. Pour le calculer, on peut utiliser les formules de Harris et Benedict où P est la masse en kilogramme, T la taille en mètre et A l’âge en année : – pour les femmes : MB = 9,74 × P + 172,9 × T − 4,737 × A + 667,051 ; – pour les hommes : MB = 13,707 × P + 492,3 × T − 6,673 × A + 77,607. 1.

DOMAINE 4 DU SOCLE

Voici une formule proposée par le professeur de mathématiques d’Azadeh : 2 2 13 + 23 + 33 + … + n3 = n (n + 1) 4 1. Tester cette égalité en prenant cinq valeurs différentes pour n. 2. Ces cinq essais suffisent-ils à prouver que cette égalité est toujours vraie ?

11 Modéliser

DOMAINE 1 DU SOCLE

1. Écrire en fonction de a, b et c l’aire du rectangle EBCF. A

a

E

B

c

À l’aide de ces formules, calcule ton métabolisme de base.

D

2. Calculer le métabolisme de base d’un homme de 35 ans qui mesure 192 cm et pèse 85 kg. 3. Si on grossit de 15 kg, le métabolisme de base va-t-il augmenter ou diminuer ? et si on vieillit de 10 ans ?

b

F

C

2. Écrire en fonction de a, b et c l’aire du rectangle AEFD. 3. Écrire en fonction de a, b et c l’aire du rectangle ABCD. Trouver plusieurs expressions différentes. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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119

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Dans les autres matières

5,2 cm

4,8 cm

4,4 cm

Pour étudier un ressort, Adrien a réalisé les mesures suivantes :

5g 10 g

15g

13 Préparation physique

Un sportif de haut niveau doit bien connaitre son corps pour améliorer sa préparation physique. Pour cela, il s’intéresse à sa fréquence cardiaque maximale (FCM). Voici la formule permettant de la calculer : FCM = 191,5 − 0,007 × A2 , où A est l’âge du sportif. 1. Calculer la fréquence cardiaque maximale d’une personne de 18 ans, puis celle d’une personne de 60 ans. 2. Pierre, 18 ans, dit : « Lorsque j’aurai 60 ans, j’aurai perdu plus de 10 % de FMC. » A-t-il raison ? Justifier la réponse.

EN

12 Allongement d’un ressort

EC

IM

1. La longueur du ressort est-elle proportionnelle à la masse de l’objet suspendu ? 2. Quelle sera la longueur du ressort si Adrien suspend une masse de 20 g ? 14 The terms For each of the sequences, find the next two 3. Le ressort peut se tendre sans se casser terms, the term-to-term rule, the 50th term and jusqu’à une longueur de 10 cm. Quelle est la the nth term. plus grande masse qu’Adrien puisse suspendre ? 4, 7, 10, 13, 16 b. 6, 11, 16, 21, 26... a. 4, 7, 10, 13, 16... 4. Écrire une formule permettant de calculer la 2, 4, 6, 8, 10... 4, 6, 8, 10 d. 7, 14, 21, 28, 35... c. 2, longueur du ressort en fonction de la masse de l’objet suspendu. e. 4, 9, 16, 25, 36... f. 100, 95, 90, 85, 80…

Enseignement Pratique Interdisciplinaire

Sciences, technologie et société

Mathématiques & Physique & Histoire-Géographie

L’Europe au service de l’écologie

SP

Depuis leur invention à la fin du xixe siècle, les ampoules à incandescence ont eu un indéniable succès. Pourtant, ces ampoules ne sont pas sans défauts, elles sont notamment très gourmandes en énergie car 95 % de l’énergie qu’elles utilisent sont transformés en chaleur alors que 5 % seulement servent à l’éclairage. Il existe d’autres ampoules dont deux sont particulièrement intéressantes au niveau consommation d’énergie : les ampoules fluocompactes et les LED. Le 31 décembre 2012, toutes les ampoules à incandescence ont été interdites à la vente dans l’Union européenne pour des raisons écologiques.

Ampoule LED Ampoule fluocompacte

Projet

Après avoir étudié le fonctionnement des institutions européennes, étudier l’impact de la loi du 31 décembre 2012 sur la consommation d’électricité d’un ménage. Les consommateurs sont-ils perdants ou gagants ? Notion mathématique : Utiliser une formule reliant deux grandeurs 120

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ues

mathématiq

à la maison

216 − N3

15 + 2N

(N + 3(N − 1) + N

N2 + 5N − 6

16 Défi !

Dans la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle et EGHD est un carré : A

E

x

D x

G B

F

H 3 C

1. Le professeur de Pierre lui a demandé de trouver les expressions permettant de calculer certaines longueurs ou certaines aires de la figure. Voici les résultats que Pierre a obtenus : •A=3 3xx • B = (x + x + x + 3) × 2 • C = x × ((xx + 3) • D = 4x •F=3+x+3+x •E=x+3 • G = x + x + 3 + x + x + 3 • H = x2 •J=x+x+x+3+x+x+x+3 Malheureusement, Pierre ne se rappelle plus à quoi ils correspondent. Dire ce que chaque expression permet de calculer. 2. Simplifier le plus possible chacune des formules obtenues par Pierre.

N(N + 4) − 5

EC

3)2

18 Des longueurs et des aires

IM

Matériel : le jeu peut se jouer à 2 joueurs ou plus. Il faut prévoir un dé à six faces par groupe de joueurs. Règle du jeu : un premier joueur lance le dé. Le résultat de ce lancer donne le numéro de la formule qu’il faudra utiliser (voir tableau ci-dessous). Le même joueur relance le dé. Le résultat de ce lancer donne la valeur qu’il faut donner à N dans la formule. Le joueur marque le nombre de points obtenus en effectuant le calcul, puis c’est au tour du deuxième joueur… Toute erreur de calcul fait perdre trois points. Les joueurs qui n’ont pas lancé le dé peuvent utiliser la calculatrice pour contrôler le résultat. Le vainqueur est le joueur qui a le plus grand nombre de points après cinq tours de jeu. Les formules

EN

15 Le loto des formules

SP

1. a. Place trois points sur un cercle. Combien de cordes du cercle peux-tu tracer  à l’aide de ces trois points uniquement ? b. Place quatre points sur un cercle. Combien de cordes du cercle peux-tu tracer à l’aide de ces quatre points ? 2. Imagine que tu places

19 Les châteaux de cartes Simon réalise des châteaux de cartes :

300 points sur un cercle. Combien de cordes pourrais-tu tracer ?

17 Énigme

1. Combien de cartes lui faut-il pour réaliser un château de 3 étages ? 2. a. Combien de cartes lui faut-il pour réaliser un château de 6 étages ? b. Le nombre de cartes nécessaires est-il proportionnel au nombre d’étages ? 3. Avec un jeu de 54 cartes, combien d’étages Simon pourra-t-il faire au maximum ? lui restera-t-il des cartes non utilisées ? Si oui, combien ?

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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121

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4 Je comprends

Produire et utiliser

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

ÉTAPE 2

1. Traduire ce programme de calcul par une expression littérale.

On écrit le programme de calcul en faisant attention aux parenthèses et aux priorités des opérations : (− 5N2 + 13) × 2 2. On écrit les signes × sous-entendus : (− 5N2 + 13) × 2 = ((− − 5 × N × N + 13) × 2 (− 2) On remplace N par sa valeur (− 2) : : (− 5 × (− − 2) × ((− − 2) + 13) × 2= 2= − 14 En choisissant – 2 au départ, on obtient − 14 à la fin.

2. Calculer le résultat obtenu si on choisit – 2 comme nombre de départ. 1.

Remarque

ÉTAPE 1

On peut aussi faire le calcul en conservant − 2)2 + 13) × 2 = − 14. les puissances : (− (− 5 × ((−

IM

On choisit une lettre pour désigner le nombre qui varie : N représentera le nombre choisi.

Je m’entraine 1

EN

• Choisir un nombre • Élever au carré • Multiplier par − 5 • Ajouter 13 • Multiplier par 2

CALCULER

Activités rapides

MODÉLISER

6 Calculer l’expression ((a − b)2 − a2 + 2ab lorsque : a. a = 6 et b = − 4

EC

Calculer les expressions suivantes pour xx = –2 : = –2 : a. 2x b. 7 + 5x c. x2 d. − x2 e. x3 f. 4 − x

7 Écrire au moins deux expressions différentes qui

permettent de calculer l’aire du rectangle ADCB :

2 La figure ci-dessous est composée du carré ABCF

A

et du rectangle BEDC : N

B

5

SP

A

F

C

E

5

D

y

D

3 Calculer l’expression 4(10 − x) lorsque : b. x = − 3

x

E

En utilisant la figure, préciser quelle longueur, quel périmètre ou quelle aire chacune des expressions ci-dessous permet de calculer : a. 4N b. N N(N c. N + 5 N( (N N + 5) d. N × 5 e. N + 5 + N + 5 f. N2 + 5N g. 2 (N + 5) + 2N a. x = 4,5

b. a = − 2,4 et b = 1,5

c. x =

2 3

4 Calculer l’expression − x2 − x lorsque : 2 a. x = 6 b. x = − 10 c. x = 7 3 5 Calculer l’expression 5x − (x − 3x + y) lorsque : a. x = 3 et y = 7 b. x = − 3 et y = − 8

B

C

F

8 Associer chacun des programmes de calcul à l’expression littérale qui lui correspond : • Choisir un nombre • Ajouter 8 • Multiplier par 2

2x + 8

• Choisir un nombre • Multiplier par 2 • Ajouter 8

x+8×2

2(x + 8)

• Choisir un nombre • Lui ajouter le produit de 8 par 2

122

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14/04/2016 16:26


une expression littérale Je résous des problèmes simples CALCULER

COMMUNIQUER

MODÉLISER

11 1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

Les maths autour de moi Le coefficient de marée, très utile aux marins, permet de prévoir la hauteur de l’eau suivant les marées. Il se calcule à l‘aide de la formule suivante : H C= 2U C est le coefficient de marée, H est la hauteur des vagues (en centimètre) par rapport au niveau moyen de la mer et U est égal à 5,67.

x

0

−5

12

4,8

− x2 − x + 1

2. Est-ce un tableau de proportionnalité ?

12 Les égalités suivantes sont-elles toujours vraies ?

Dans chaque cas, donner une preuve de la réponse donnée. b. a2 × b2 = ((a × b)2 a. a2 + b2 = (a + b)2 c. 3x + 5 − x = x + 4 + x + 1 d. 2 + 8x 8x + x = 10x2

EN

9

RAISONNER

13 Les maths autour de moi

IM

Pour connaitre sa pointure de chaussures, il faut mesurer la longueur de son pied en centimètre, ajouter 1 et multiplier le résultat par 1,5.

EC

1. Quel est le coefficient de marée lorsque la hauteur des vagues est de 0,8 mètre ? 2. Lydie affirme que lorsque le coefficient de marée est de 100, les vagues sont à plus de 11 mètres par rapport au niveau moyen de la mer. A-t-elle raison ?

10 On fabrique des carrés de mosaïque de diffé-

SP

rentes tailles avec des petits carreaux en suivant ce modèle :

1. a. Le  Le carré de mosaïque ci-dessus fait 7 carreaux de côté. Combien de petits carreaux ont été utilisés ? b. Combien de carreaux seraient nécessaires pour faire un carré de mosaïque de 5 carreaux de côté ? 2. Proposer une façon de calculer le nombre de carreaux nécessaires pour construire un carré de mosaïque de côté donné. 3. Écrire une expression littérale correspondant à cette façon de calculer.

1. Vérifier que cette méthode fonctionne sur soi. 2. Écrire une expression littérale correspondant à cette méthode de calcul de la pointure. 3. Que doit-on entrer dans la cellule B2 pour programmer le calcul sur un tableur ?

14 TOP Chrono Le volume de cet aquarium sphérique peut se calculer à l’aide de la formule : πh2 V = 3 (3r − h), où r est le rayon de l’aquarium et h sa hauteur. 1. Calculer le volume de l’aquarium sachant que celui-ci a une hauteur de 20 cm et un rayon de 12 cm. 2. Peut-on mettre 10 litres d’eau dans cet aquarium ?

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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123

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5 Je comprends

Connaitre la distributivité ;

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

On effectue les multiplications  pour simplifier l’expression : − 4 × 2 × x + (− 4) × 6 = − 8x − 24 On a donc : A = 7 − 4 × (2x + 6) + 5x = 7 − 8x − 24 + 5x

Développer et réduire : A = 7 − 4 × (2x + 6) + 5x. ÉTAPE 1

1

Activités rapides

6 Développer et réduire les expressions suivantes si possible : a. 4n a. 4 a.  4n n + (3n (3n + 1) c. 13k c. 13 c.  13kk − (2k (2k + 4) × 10 e. ( e.  (− − 2t 2t + 1) − t e. (−

b. 96 × 5 + 4 × 5 d. 5,4 × 7 + 5,4 × 3 f. 8 × 19 + 2 × 19 h. 13 × 103 − 3 × 13

EC

Calcul mental a. 101 × 17 c. 99 × 13 e. 1 002 × 14 g. 98 × 22

CALCULER

IM

Je m’entraine

ÉTAPE 2

On réduit l’expression en regroupant les termes semblables en factorisant : A = 7 − 8x − 24 + 5 5xx = − 8 8xx + 5 5xx − 24 + 7 = (− (− 8 + 5) × x − 24 + 7 = −3 3xx − 24 + 7 = −3 3xx − 17 Donc A = – 3x 3x – 17.

EN

On commence par développer les produits, ici − 4 × (2x + 6). Cette expression est le produit de − 4 et de (2x + 6) qui est une somme. En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, on obtient l’égalité suivante : − 4 × (2x + 6) = − 4 × 2x + (− 4) × 6

Pour les exercices 21 à 23 , réduire si possible les expressions en détaillant chaque étape du calcul. Si c’est impossible, expliquer pourquoi.

2 Calculer sans calculatrice et de deux façons dif-

SP

férentes les expressions suivantes : b. 4 × 3 + 5 × 3 a. 4 × (7 + 5) b. 4 c. (8 + 5) × 2 d. 10 d.  10 × 7 − 7 × 2 e. 5 × (8 − 2) f. 34 f. 34 × 20 − 14 × 20

3 Lorsque c’est possible, utiliser la distributi-

vité pour développer les expressions suivantes. Si c’est impossible, expliquer pourquoi. (2xx + 3) b. 5 b. 5 + (2 a. 5 × (2 (2xx + 3) c. (5 + 2x) × 3 d. 4 × (5x − 2) e. (5x × 2) f. 4 × (3 × x + 2) e. 4  4 × (5

4 Calcul mental

Factoriser les expressions suivantes pour pouvoir effectuer les calculs mentalement : a. 127 × 57 + 127 × 43 b. 14 × 3,5 + 6,5 × 14 c. 13 × 2,6 − 13 × 0,6 d. 29 × 201 − 29

5 Lorsque c’est possible, utiliser la distributivité pour factoriser les expressions suivantes. Si c’est impossible, expliquer pourquoi. a. 3 × x + 3 × 7 b. y × 9 + y × y c. 2,5x2 − 0,3x2 d. 9 − 3 × 4 × N e. 3 × x × 4 × x f. x − x2

b. 17 − 2 × (− 5 − x) d. 8m + 4 + (− 2m − 5) f. 8(5x + 2) + 3

7 a. 3x × 5

d. 3x + 5x2 g. 3x2 + 5x2

b. 3 + 5x e. 3x × 5x2 h. − 3x + 5x

8 a. 2,4x × 0,2

b. 2,4 + 0,2x d. 2,4x + 0,2x2 f. 2,4 + x + 0,2 + x2

c. 2,4x − 0,2x e. 2,4x × 0,2x2

9

2 x + 5x 3 4 2 5 d. x2 + x 3 4 a.

c. 3x − 5x f. 3 + x + 5 + x2 i. − 3 × 5x

2x × 5x 3 4 2 5 e. x2 × x 3 4

b.

2 3

5 4

f. 2 x

2

c. x − x

(3 )

10 Développer et réduire les expressions suivantes : a. 13 + (x − 6) b. − 5 − (4 − 2x) c. 10 − (x + 3) + (− 3x + 6) d. (5 + 2x) − (− 7 − 7x) e. x − 8 − (2 + 4x − (9 − 5x))

124

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développer, factoriser et réduire une expression Je résous des problèmes simples 11 Étienne a développé et simplifié une expression

littérale. Il a obtenu : B = 4x2 − 12x3 Retrouver l’expression de départ sachant que le professeur d’Étienne a jugé sa réponse correcte. Il y a plusieurs possibilités, en trouver au moins cinq différentes.

REPRÉSENTER

pression (x + 3) × 7 :

Pour la kermesse de l’école, chacune des 5 classes doit présenter un chant de 3 minutes et enchainer avec une petite pièce de théâtre de 16 minutes. Il est prévu un temps de 2  minutes entre chaque classe. Combien de temps le spectacle durera-t-il si les contraintes prévues sont respectées ? 1. Résoudre ce problème de plusieurs façons différentes. 2. Écrire chaque solution à l’aide d’une seule expression.

3

17 Les maths autour de moi

7

Pour sa maison de campagne, Jean-Claude souhaite acheter cinq fenêtres de rénovation et trois panneaux solaires. Un artisan lui fait le devis suivant : − fenêtre de rénovation : 168  € hors taxes par unité ; − panneau solaire petit format : 1 200 € 1 200  hors taxes par unité.

IM

x

COMMUNIQUER

EN

13 L’arbre à calcul ci-dessous correspond à l’ex-

RAISONNER

16 Les maths autour de moi

12 Calculer à la main en écrivant les calculs intermédiaires si nécessaire : a. 6 × (x + 3) + 4x − 18 lorsque x = 12,384 ; b. 4,5x + 22,3x + 73,2x + 1 lorsque x = − 4,7.

CALCULER

+ × Résultat

EC

1. Réaliser un arbre pour chacune des expressions suivantes : a. 5x + 9 b. 5(x + 9) d. (x − 1)2 c. x2 − 1 2. Chacune des expressions ci-dessus est-elle une somme ou un produit ?

SP

14 Les expressions suivantes sont-elles des sommes ou des produits ? a. 5x + 9 b. 5(x + 9) c. (x + 9)2 d. 3 × x + x × x

Regarde la dernière opération à effectuer !

15 Parmi les expressions suivantes, retrouver celles

1. Calculer le prix toutes taxes comprises que paiera Jean-Claude avec une TVA à 20 %. 2. Trouver au moins deux façons de calculer ce prix.

qui sont égales. Donner une preuve. 6x + 12

7x + 5 − (x − 7) 2(2 + 3x)

x + 5(x + 2) + 2 6x + 4 3(2x + 4)

5x + 7 6(x + 2)

18 TOP Chrono Développer et réduire les expressions suivantes : a. 4 + (x − 3) × 5 b. 2x(x + 1) − x c. − (4 − x) × 2 d. 3 × (5x × 2) + 4 e. 3 × x + x × 2x + 3 × 4 + 2x × 4 Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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125

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6 Je comprends

Prouver ou réfuter

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

• Membre de droite − 12 + 5(x + 1) − 2x = − 12 + 5x + 5 − 2x = − 12 + 5 + 5x − 2x = − 7 + 3x

Prouver que : 3(x + 2) − 13 = − 12 + 5(x + 1) − 2x. ÉTAPE 1

Je m’entraine 1

CALCULER

ÉTAPE 2

On compare les résultats obtenus pour les deux membres de l’égalité. Comme 3x − 7 = − 7 + 3 3x, xx,, les deux expressions sont toujours égales.

EN

On développe et on réduit chacun des deux membres de l’égalité. • Membre de gauche 3(x + 2) − 13 = 3x + 6 − 13 = 3x + 6 − 13 = 3x − 7

MODÉLISER

COMMUNIQUER

6 Le professeur Mathétic donne ce programme de

Activités rapides

calcul à ses élèves :

IM

Les égalités suivantes sont-elles vraies ? a. x + x = x2 b. 2x + 3x2 = 5x3 c. x × x × x = 3x d. x + 2x = 4x − 1 e. 20x = 5x × 4 f. 2x × x2 = 2x3

• Choisir un nombre • Soustraire 6 • Multiplier par le nombre choisi • Ajouter 11 • Multiplier par le nombre choisi • Ajouter 1

2 Des élèves de 4e doivent réduire l’expression

EC

suivante : − x + 3) A = (2x − 3) − (4x − 5) − ((− Voici les réponses obtenues : Liam : A = 3x — 5

Joseph : A = — —x x — 1

Annah : A = —x x—5

—5x 5x — 1 Jade : A = —

SP

Parmi ces propositions, une seule est correcte. Laquelle ?

3 Antoine et Lili ont cherché à résoudre le même

problème. – Antoine : « Il faut utiliser la formule (8 (8x − 4) × x. » – Lili : « Moi, j’ai trouvé 4(2 4(2x2 − x). » Les expressions (8 (8x − 4) × x et 4(2x2 − x) sontelles égales ?

4 Vrai ou faux ?

Éva affirme : « Pour multiplier un nombre N par 11, on multiplie N par 10 et on ajoute 1 au résultat. » Donner une preuve.

5 Vrai ou faux ?

Théo affirme : « Pour multiplier un nombre N par 9, on multiplie ce nombre par 10 et on soustrait N au résultat. » Donner une preuve.

Sorana dit : « J’ai pris au départ 1, puis 2, puis 3 et j’ai toujours obtenu 7 à la fin. » 1. Vérifier que Sorana a raison. 2. Le résultat final sera-t-il toujours 7 quel que soit le nombre le nombre du départ ? Donner une preuve.

7 Le professeur Mathétic donne maintenant ce programme de calcul à ses élèves :

• Choisir un nombre • Multiplier par 0,4 • Ajouter 1,8 • Multiplier par 5 • Soustraire le double du nombre choisi Jayan dit : « J’ai pris 1, puis 2, puis 3 au départ et j’ai toujours obtenu 9 à la fin. » 1. Vérifier que Jayan a raison. 2. Le résultat final sera-t-il toujours 9 quel que soit le nombre de départ ? Donner une preuve.

8 Parmi ces quatre formules, quelles sont celles qui sont toujours égales ? •A=4×n−4 • B = n + 2 × (n − 1) + (n − 2) • C = 4 × (n − 1) • D = 2 × n + 2 × (n − 2)

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une égalité entre deux expressions algébriques Je résous des problèmes simples

REPRÉSENTER

MODÉLISER

RAISONNER

COMMUNIQUER

9 Léa a programmé un tableur pour comparer deux 12 1. Recopier et compléter la pyramide en comprogrammes de calcul :

mençant par mettre un nombre au choix dans la case rouge : a+b

a

A2^2 signifie A2².

a

b

Dans cette 8 pyramide, une case se remplit en additionnant le contenu des4 deux cases sur lesquelles elle est posée. 5

IM

13 Les maths autour de moi

Une casserole a la forme d’un cylindre. On peut calculer son volume à l’aide de la formule : V = πR2H où R est le rayon de la casserole et H sa hauteur.

Nombre de départ ×5 +5

EC

Nombre de départ ×4

4

2. Juliette affirme : « Quel que soit le nombre que je place dans la case rouge, je trouve toujours 33 dans la case la plus haute. » Vrai ou faux ? Donner une preuve.

10 1. En prenant le même nombre de départ, faire fonctionner ces deux algorithmes :

5

EN

a+b

1. Faire les calculs avec le nombre 2 pour vérifier que les deux programmes donnent bien 180. 2. Écrire l’expression littérale correspondant à chacun des deux programmes de calcul. 3. Léa dit : « Les deux programmes de calcul donneront toujours la même réponse. » Vrai ou faux ? Donner une preuve.

8

b

+2

–3

×2

×2

×2

Nombre final

A

B

Nombre final = A – B

SP

2. Prouver que les deux algorithmes donnent toujours le même résultat final si on choisit le même nombre de départ. 3. Écrire crire un algorithme plus court qui donnerait le même résultat que les précédents.

11 Vrai ou faux ?

Programme n° 1 • Choisir un nombre • Multiplier par 2 • Ajouter 4 • Ajouter 5 fois le nombre choisi

Programme n° 2 • Choisir un nombre • Multiplier par 7 • Soustraire 11 • Ajouter 15

Les deux programmes donnent toujours la même réponse si on choisit le même nombre de départ.

Chacune de ces deux affirmations est-elle vraie ou fausse ? Donner une preuve.

14 TOP Chrono 3x + 21

x2 + 7x 3

x

Voici deux propositions : P1 « Les deux rectangles auront toujours la même aire. » P2 « Les deux rectangles auront toujours le même périmètre. » Pour chacune de ces deux propositions, dire en le prouvant si elle est vraie ou fausse.

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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127

15/04/2016 14:31


Objectifs 4

5

1 Prouver ou réfuter une conjecture

5 Débattre

6 DOMAINE 3 DU SOCLE

Le volume d’une chambre à air peut se calculer à l’aide de la formule suivante : 2π2 × r2 × R R

r

DOMAINE 3 DU SOCLE

1. Peut-on obtenir 15 en additionnant trois nombres entiers consécutifs ? Peut-on obtenir 13 ? 2. Si on ajoute trois nombres entiers consécutifs, on obtient toujours un multiple de 3.

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

6 Exprimer une grandeur en fonction d’une autre DOMAINE 1 DU SOCLE

b

EN

200

150

IM

40

300

8

5

50

d.

a 100

4

SP

1. Comment doit-on placer les nombres 24 ; 7 ; 53 et 19 à la base de cette pyramide pour obtenir le plus grand résultat possible au sommet ? Donner une preuve. 2. Quels nombres peut-on placer à la base pour obtenir 250 au sommet ?

3 Analyser une copie d’élève

Kévin a fait cet exercice : « Développer et réduire l’expression suivante : A = 5 × (2x × 4). » Voici sa réponse :

s s 100

7 Raisonner

D’après Petit x.

DOMAINE 2 DU SOCLE

1. Dans la figure ci-dessous, quelle est la lon» » puis CB gueur la plus courte : l’arc de cercle AC » (les deux petits) ou l’arc de cercle AB (le grand) ?

5 × (2x × 4) = 5 × 2x × 5 × 4 = 200x

Est-elle correcte ? Si oui, justifier chaque étape du calcul effectué ; si non, le prouver puis résoudre l’exercice.

4 Calculer

a

b

c.

EC

a

b.

400

DOMAINE 3 DU SOCLE

Voici une pyramide additive.

a+b

x

a.

50

2 Prouver ou réfuter une conjecture

Dans chacun des cas, écrire une expression littérale qui donne l’aire de la partie colorée à l’aide des dimensions données :

300

1. Calculer le volume d’une chambre à air pour laquelle R = 80 cm et r = 15 cm. 2. Si on double le rayon de la chambre (R), que se passe-t-il pour le volume ? Donner une preuve. 3. Si on double l’ « épaisseur » (r), que se passet-il pour le volume ? Donner une preuve.

DOMAINE 4 DU SOCLE

Sachant que 8x − 8y = 80, calculer 5 × (x − y). Justifier la réponse en détaillant les calculs effectués.

A

C 3 cm

B 5 cm

Cette figure est le tricercle de Mohr, du nom du mathématicien danois du XVIIe siècle.

2. Si on change les longueurs AC et CB, quelle sera la longueur la plus courte : l’arc de cercle » (les deux petits) ou l’arc de cercle » puis CB AC » (le grand) ? AB Faire une conjecture, puis donner une preuve.

128

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REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

8 Traduire un algorithme en langage mathématique Voici un algorithme réalisé avec Scratch :

9 Modéliser

DOMAINE 5 DU SOCLE

12 Rechercher

DOMAINE 2 DU SOCLE

En jouant avec des petits cubes, Louis fabrique des grands cubes comme ci-dessous :

Écrire crire une formule qui donne le nombre de petits cubes nécessaires à la fabrication d’un grand cube en fonction du nombre de petits cubes sur le côté.

13 Calculer en utilisant le langage algébrique

Dans un carré magique, la somme des nombres en ligne, en colonne et en diagonale est la même. Recopier et compléter ce carré pour qu’il soit magique pour n’importe quelle valeur de a et de b : a

SP

EC

Le prix normal de vente des articles MP3 inclut une marge de bénéfice de 37,5 %. Le prix sans cette marge est appelé « prix de gros ». Les formules ci-dessous présentent-elles une relation correcte entre le prix de gros (noté G) G) et le prix de vente (noté V) ? Justifier la réponse. • Formule n° 1 : V = G + 0,375 • Formule n° 2 : G = V − 0,375 0,375V V 1,375G • Formule n° 3 : V = 1,375G • Formule n° 4 : G = 0,625 0,625V V

Trouver le plus d’expressions différentes permettant de calculer l’aire du rectangle ACHE : x

B

3

b − 4 a + 10 a + 4 a+1 D’après Petit x.

14 Débattre

DOMAINE 3 DU SOCLE

Dans cette figure, les cercles sont tangents. Deux cercles sont tangents s’ils ont un seul point commun.

C

G

2 E

11 Calculer

a+3

a+5 a+6 a+8

x

D

b

D’après PISA.

10 Résoudre un problème ouvert A

MODÉLISER

CHERCHER

IM

1. Aloé a choisi 10 comme nombre initial. Quel sera le résultat final ? 2. Traduire cet algorithme par une expression littérale. 3. Réduire cette expression et proposer une modification de l’algorithme pour qu’il soit plus rapide.

CALCULER

EN

RAISONNER

F

H

DOMAINE 4 DU SOCLE

On donne P = b − (2c + 10) ; Q = 2c − a et R  =  a  − (b  − 10) où a, b et c sont des nombres non fixés. Montrer que P + Q + R est toujours égal au même nombre.

1. Vadim dit : « Le périmètre du grand cercle est le double du périmètre du petit cercle. » Vrai ou faux ? Donner une preuve. 2. Sonia dit : « L’aire du grand disque est quatre fois plus grande que celle du petit disque. » Vrai ou faux ? Donner une preuve. Aide • Périmètre du cercle de rayon r : 2 π r . • Aire d’un disque de rayon r : π r 2.

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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129

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Dans les autres matières 15 Éolien et nucléaire

16 Surprise!

La puissance électrique fournie (en watt) par une éolienne est donnée par la formule : P = 0,14D2V3 où D est le diamètre du rotor en m et V est la vitesse du vent en m/s. 1. L’Haliade 150 est une éolienne géante dont le rotor a un diamètre de 150 m et qui fournit sa puissance maximale pour un vent de 12 m/s. Calculer cette puissance maximale. 2. Les 58 réacteurs nucléaires français fournissent ensemble une puissance de 62  400 MW (1 MW = 1  000  000 W). Combien faudrait-il d’éoliennes fonctionnant à pleine puissance pour remplacer ces réacteurs nucléaires ?

• Think of a number • Multiply it by 0,25 • Add 5 • Multiply by 4 • Substract 10 • Substract the initial number

Try this with a different initial number. Why does this happen? Will this always be the case?

EN

17 Ça monte !

EC

IM

La performance d’un cycliste dépend pour beaucoup de la puissance qu’il a. À chaque tour de pédale, le vélo avance d’une certaine distance que l’on appelle développement. Plus le développement est grand, plus le cycliste doit être fort dans ses jambes. Le développement est obtenu π d N , où d est le diamètre par la formule : D = πd n de la roue, N le nombre de dents du plateau et n le n  le nombre de dents du pignon. Vincent a un vélo de route qui possède trois plateaux différents de 30, 39 et 50 dents et à l’arrière dix pignons de 14, 17, 20, 23 et 28 dents. Son vélo a des roues de diamètre 29  pouces (1 pouce = 0,0254 m). Calculer tous les développements que Vincent peut avoir avec son vélo.

Enseignement Pratique Pratique Interdisciplinair Inter Interdisciplinaire disciplinair

Mathématiques & Enseignement artistique & Histoire

SP

Culture et créations artistiques

Les carrés magiques : croyances et œuvres d’art L’histoire des carrés magiques commence en Chine bien avant J.-C. et la croyance dans les vertus magiques de ces carrés se répand ensuite dans les pays limitrophes. Les armées arabes découvrent ces carrés magiques lors de leur conquête de l’Inde et les ramènent en Occident où ils inspireront bon nombre d’artistes. Albrecht Dürer (1471–1528) est un peintre, graveur et mathématicien allemand. Il a gravé sur du cuivre le carré magique ci-contre dans une gravure intitulée La mélancolie (1514). La mélancolie (détail), Albrecht Dürer.

Projet

En étudiant le carré magique de la gravure d’Albrecht Dürer, se demander comment trouver des carrés magiques de différentes tailles, s’interroger sur leurs propriétés, sur l’évolution de la somme des cases… On pourra aussi étudier les croyances mystiques liées à ces carrés pour différencier le raisonnement scientifique des croyances personnelles. Notion mathématique : Utilisation du calcul littéral pour démontrer une propriété 130

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ues

mathématiq

à la maison 21 Ça dépasse !

Règle du jeu : Ce jeu est pour deux joueurs. Chaque joueur prend six dominos, les autres sont posés face cachée et constituent la pioche. Un domino est retourné pour commencer la partie. Déroulement d’une partie : Le premier joueur cherche dans son jeu un domino ayant une expression égale à celle du domino déjà retournée. S’il possède un domino qui convient, il doit le placer de façon à ce que les deux expressions égales soient accolées. S’il ne peut pas, il pioche un domino et passe son tour. Le vainqueur est celui qui n’a plus de dominos. Matériel : Recopier et découper ces 20 dominos : 12 − 8x

7(4x + 1)

2x + 2

6x + 12

5(2x + 1)

7x −42

28x + 7

3(x − 5)

14x − 7

5 − 5x

3(2x + 4)

6 − 9x

10x + 5

4(3 − 2x)

12x + 16

2(xx + 1) 2(

10x + 30

7(3x + 1)

8x 8x + 2

8(xx − 3) 8(

8x − 24

5(2x + 6)

4xx − 2 4

5(1 − xx))

21x + 7

4(3x x − 2)

9xx + 27 9

2(2x 2(2x −1)

IM

3(2 − 3x)

B On a superposé un carré A FGCE sur un carré ABCD. Le F G carré ABCD et le carré FGCE ont des côtés qui mesurent un nombre entier de centimètres tels que le côté du C carré ABCD mesure une unité D E de plus que le côté du carré FGCE. 1. a. Calculer l’aire comprise entre les deux carrés (ADEFGB) dans le cas où le côté de FGCE mesure 5 cm et celui de ABCD 6 cm. b. Calculer cette même aire lorsque le côté de FGCE mesure 18 cm. 2. a. Écrire une expression littérale qui permet de calculer l’aire de ADEFGB en fonction du côté du carré FGCE. b. Utiliser la formule pour calculer l’aire de ADEFGB lorsque le côté du carré FGCE mesure 40 cm.

EN

18 Domino des expressions

2(4x + 1) 4(3x + 4)

22 Fruits et légumes

SP

EC

7(xx − 6) 7(

3x − 15

8(3x 8(3x −1)

20 −15x −15x

3(3x + 9)

24x x−8

7(2x 7(2x −1)

12x − 8 12x

5(4 − 3x)

19 Défi !

Peux-tu calculer la somme : 1 + 2 + 3 + 4 + … + 1 000 ?

20 Énigme

plir une cuve de Pierre a utilisé 57 bidons pour rem enance de dix 346 litres. Certains bidons ont une cont litres et les autres de trois litres. trois litres ? Combien Pierre a-t-il de bidons de

Au marché, on peut comparer le prix des fruits. – Un kilogramme de poires coute 2  € de plus qu’un kilogramme de pommes. – Un kilogramme de cerises coute 3 € de plus qu’un kilogramme de poires.

1. Marie achète 1 kg de pommes et 5 kg de poires. Maxime achète 4 kg de pommes et 2 kg de cerises. Montrer que Marie et Maxime ont dépensé la même somme. 2. Nassim achète 3 kg de poires et 2 kg de cerises. Noémie achète 1 kg de pommes et 4 kg de cerises. Qui a payé le plus cher ? Justifier la réponse. 3. Arthur achète 3 kg de cerises et 4 kg de poires. Alicia achète 7 kg de poires et 1 kg de pommes. Peut-on savoir qui a payé le plus cher ? Justifier la réponse. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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131

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7 Je comprends

Mettre un problème

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Voici un problème : « Dylan et son père ont 26 ans d’écart. Dans 4 années, la somme de leurs âges sera égale à 100. Quel est l’âge de Dylan aujourd’hui ? » ÉTAPE 1

ÉTAPE 3

ÉTAPE 2

On écrit, en fonction de x, l’âge de Dylan et de son père dans 4 années. Aujourd’hui Dans 4 années

Dylan

Le père de Dylan

x x+4

x + 26 x + 26 + 4

ÉTAPE 4

On peut ainsi vérifier si des nombres sont solutions de l’équation. On peut vérifier ici que 33 est bien une solution de l’équation : 33 + 4 + 33 + 30 = 100. Par conséquent, Dylan a aujourd’hui 33 ans.

IM

Aujourd’hui, Dylan a x ans. Dans 4 années il aura donc x + 4 ans. Aujourd’hui, son père a 26 ans de plus que lui. Son père a donc x + 26 ans.. Dans 4 années il aura donc x + 30 ans.

On écrit une équation traduisant le problème posé. Si, dans 4 années, la somme de leurs âges est égale à 100, on peut écrire : x + 4 + x + 30 = 100 .

EN

Pour mettre ce problème en équation, on choisit une inconnue et on la nomme avec une lettre. On nomme x l’âge qu’a Dylan aujourd’hui.

EC

Tu peux faire des essais avec ta calculatrice !

Je m’entraine 1

MODÉLISER MO M ODDÉL ÉLIISER SER

Activités rapides

SP

Soit n un nombre entier. Exprimer en fonction de n : a. le double de n n ; ; b. le b.  le triple de n ; c. la moitié de n d. le n ; ; d. le quart de n ; e. le quadruple de n n ; ; f. le f. le dixième de n ; g. le quintuple de n  n ;; h. le h. le tiers de n.

2 Louisa a une certaine somme d’argent dans sa

CALCULER CCA A

4 1 342 personnes sont allées au cinéma KGF ce

soir. La place adulte coute 9 € et la place enfant 5 €. On note a le nombre d’adultes et b le nombre d’enfants qui sont allés dans ce cinéma ce soir. Préciser à quoi correspond chacune des expressions suivantes. a. 9 × a b. 5 × b c. a + b d. 9 × a + 5 × b

5 Dans chaque cas, exprimer la longueur AB en fonction de x.

tirelire. On note x cette somme. Elle donne 5 € à son frère. Quelle expression correspond à la somme d’argent qu’elle possède maintenant ? b. x + 5 c. x − 5 d. x e. x a. x × 5 5

a. A

3 Dans la cour de récréation, il y a m enfants. Parmi

A

eux, il y a 123 filles. Le nombre de garçons est donné par l’expression : a. m + 123 b. 123 − m c. m − 123 m f. 123 . e. m × 123 d. 123 m

A

x x

c. A

A e. A

C C

B B

x x

6 6

B B

C C

x x

B B 3 3

b. A

B B

A

d. A

x x

5 5

B B

A

f.

x A x A

B B 7 7

C C

x x

C C

132

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en équation Je résous des problèmes simples 6 Soit p un nombre. Écrire en fonction de p : a. la somme de p et de 2 ; b. la différence de p et de 6 ; c. le produit de p par 7 ; d. le quotient de 3 par p.

MODÉLISER

CALCULER CALCULER

COMMUNIQUER

10 Les maths autour de moi Dans 3 ans, l’âge de Peter sera égal au double de l’âge qu’il avait il y a 5 ans.

de k : a. l’entier qui suit k ; b. l’entier qui précède k ; c. les trois entiers qui suivent k ; d. les trois entiers qui précèdent k.

8 Recopier et relier chaque expression à la quan-

tité qu’elle représente dans la figure ci-dessous. 7

B

x D

C

2 • x 2

L’aire du • rectangle ABCD

EC

Le périmètre du • rectangle ABCD

x × ( x + 7) 2

• x +7

4xx + 14 • 4

SP

L’aire du triangle • rectangle AED La longueur AB • L’aire du triangle • rectangle BCD La longueur BC •

9 Voici un problème :

1. Si Peter avait 10 ans aujourd’hui, écrire le calcul permettant de trouver : a. l’âge de Peter dans 3 ans ; b. l’âge de Peter il y a 5 ans ; c. le double de l’âge de Peter il y a 5 ans. 2. En effectuant les calculs précédents, préciser si Peter a 10 ans aujourd’hui. 3. On note x l’âge, en années, que Peter a aujourd’hui. Exprimer en fonction de x : a. l’âge de Peter dans 3 ans ; b. l’âge de Peter il y a 5 ans ; c. le double de l’âge de Peter il y a 5 ans. 4. En utilisant les expressions écrites en 3., proposer une mise en équation du problème. 5. Vérifier que 13 est bien une solution de cette équation. 6. Quel âge Peter peut-il avoir aujourd’hui ?

IM

E

A

EN

7 Soit k un nombre entier positif. Écrire en fonction

• x

• x × ( x + 7)

« La somme de deux nombres entiers consécutifs est égale à 173. Quels sont ces deux nombres ? » On appelle n le plus petit de ces deux nombres entiers. 1. Exprimer l’autre nombre en fonction de n. 2. Écrire une équation traduisant le fait que la somme de ces deux nombres est égale à 173. 3. Vérifier que 86 est bien une solution de cette équation. 4. En déduire les deux nombres cherchés.

11 TOP Chrono Léo a acheté 4 stylos, une règle qui coutait le prix de 2 stylos et un compas qui coutait le prix de 5 stylos. Il a dépensé en tout 13,75 €. 1. On note x le prix d’un stylo. a. Écrire, en fonction de x, le prix de 4 stylos. b. Écrire, en fonction de x, le prix d’une règle. c. Écrire, en fonction de x, le prix d’un compas. 2. Écrire une équation traduisant le fait que tous ces achats ont couté 13,75 €. 3. Vérifier que 1,25 est bien une solution de cette équation. 4. En déduire un prix possible pour un stylo.

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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8 Je comprends

Résoudre

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Voici un problème : « Aujourd’hui, Iliana a 8 ans et sa mère a 40 ans. Dans combien d’années la mère aura-t-elle le double de l’âge d’Iliana ? » ÉTAPE 1

ÉTAPE 3

On choisit une inconnue et on la nomme avec une lettre. On appelle x le nombre d’années cherché.

Aujourd’hui Dans x années

Iliana

La mère d’Iliana

8 8+x

40 40 + x

ÉTAPE 4

On pourra ensuite trouver une solution de cette équation en faisant des essais, en utilisant un tableur ou encore un solveur. 24 est la solution de cette équation. ÉTAPE 5

IM

Aujourd’hui, Iliana a 8 ans. Dans x années, elle aura donc 8 + x ans. Aujourd’hui, sa mère a 40 ans. Dans x années, elle aura donc 40 + x ans

EN

ÉTAPE 2

On écrit, en fonction de x, l’âge d’Iliana et de sa mère dans x années.

On écrit une équation traduisant le problème. Si, dans x années, la mère a le double de l’âge d’Iliana, leurs âges vérifieront : x) . 40 + x = 2 × (8 + x)

EC

On interprète la solution trouvée pour le problème : dans 24 ans, la mère d’Iliana aura le double de l’âge d’Iliana.

Je m’entraine 1

CALCULER CCA ALLCCUL ULEERR

Activités rapides

SP

a. Robin et Louisa ont le même âge. La somme de leurs âges est égale à 18. Quel âge ont-ils ? b. Mon père a 26 ans de plus que moi. Quel âge aurai-je quand il aura le double de mon âge ? c. Sam a des poules et des lapins. Il a trois fois plus de lapins que de poules et en tout 48 animaux. Combien a-t-il de poules ? de lapins ?

2 La somme d’un nombre entier x et de son double est égale à 2 016. Quel est ce nombre ?

3 La somme d’un nombre entier x et de son triple est égale à 2 016. Quel est ce nombre ?

4 J’ai 20 €. J’achète 6 tickets aller-retour de tramway. Il me reste 0,80 €. Combien coute un ticket aller-retour de tramway ?

MODÉLISER MO M ODDÉL ÉLIISER SER

6 Dans les figures ci-dessous : a. quelle est la valeur de x ? b. quelle est la valeur de y ? 52° x

y 36°

7 Trouver les mesures des

50°

angles du triangle ci-contre.

a

4a

8 Existe-t-il un nombre positif tel que son double

augmenté de 5 est égal à son quadruple augmenté de 2 ?

9 Existe-t-il un nombre entier tel que son quadruple diminué de 3 est égal à son quintuple augmenté de 4 ?

5 Trouver un nombre tel que son double diminué 10 Existe-t-il deux nombres entiers consécutifs dont de 3 soit égal à 16.

la somme est égale à 2 016 ? et à 2 017 ?

134

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un problème Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

REPRÉSENTER

11 Soumia a eu trois notes sur 20 points en 15 L’unité de la figure

2b + 4

12 Trouver la valeur de b

pour laquelle le quadrilatère ci-contre est un parallélogramme.

2

2 5b − 8

13 Le dessin ci-dessous n’est pas à l’échelle. L’unité

IM

est le centimètre.

x

3 15

c i - c o n t re e s t l e centimètre. 5 1. Le nombre x désigne une longueur. Quelle 3 est la plus petite valeur que peut prendre x ? et x 6 la plus grande ? 2. a. Exprimer, en fonction de x, le périmètre du rectangle jaune et celui du rectangle vert. b. Pour quelle valeur de x le rectangle vert et le rectangle jaune ont-ils le même périmètre ? 3. a. Exprimer, en fonction de x, l’aire du rectangle vert et l’aire du rectangle jaune. b. Pour quelle valeur de x le rectangle vert et le rectangle jaune ont-ils la même aire ?

EN

mathématiques durant ce trimestre : 11 ; 7 et 12. 1. Quelle note doit-elle avoir au dernier devoir de mathématiques du trimestre pour avoir exactement 12 de moyenne à la fin du trimestre ? 2. Est-il possible qu’elle ait exactement 13 de moyenne à la fin du trimestre ? Expliquer.

SP

EC

1. a. Exprimer, en fonction de x, la longueur d’un côté du carré jaune. b. Exprimer, en fonction de x, x, la longueur d’un côté du carré bleu. c. En déduire une condition que doit vérifier le nombre x pour que la figure soit réalisable. 2. En déduire la valeur de xx.. 3. Construire la figure en vraie grandeur.

16 Les maths autour de moi Luc et son père sont nés le même jour. Aujourd’hui, Luc a 14 ans et son père en a 50. 1. Dans combien d’années le père de Luc aurat-il le triple de l’âge de son fils ? 2. Dans combien d’années Luc aura-t-il la moitié de l’âge de son père ?

14 Une tirelire contient des billets de 5 € et des

billets de 10 € €.. Il y a en tout 37 billets pour un total de 255 €. €. 1. On appelle n le nombre de billets de 5 €. Écrire en fonction de n : a. le nombre de billets de 10 € ; b. la somme d’argent représentée par les billets de 5 € ; c. la somme d’argent représentée par les billets de 10 € ; d. la somme d’argent totale contenue dans la tirelire. 2. Déduire de ce qui précède la valeur de n et en déduire le nombre de billets de 5 € et le nombre de billets de 10 € contenus dans la tirelire.

17 TOP Chrono Un quadrilatère ABCD est tel que BC est égal au double de AB, CD est égal au triple de AB et DA est égal au quadruple de AB. Le périmètre de ce quadrilatère est égal à 20 cm. 1. Quelle est la longueur du côté [AB] ? 2. Donner la longueur des côtés [BC], [CD] et [DA]. 3. Dessiner un quadrilatère vérifiant ces conditions. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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Objectifs 7

4 Réfléchir à un problème ouvert

8

1 Résoudre un problème géométrique

On a tracé un segment de longueur 10 cm. On veut trouver où placer un point sur ce segment pour que le carré et le triangle équilatéral ainsi construits aient le même périmètre.

Tracer un carré et un cercle ayant le même centre et des périmètres les plus proches possibles. Expliquer votre démarche.

5 Résoudre un problème d’aires

Un agriculteur veut donner une partie de son potager à ses deux fils. Il a schématisé la situation ci-dessous. Toutes les mesures sont en mètres. A

E

B

M 10 cm

DOMAINE 4 DU SOCLE

F

H

D

G

21

C

L’ainé recevra la partie violette et son frère cadet la partie rose. Où doit-on placer le point E sur le segment [AB] pour que le rectangle violet ait une aire égale au double de celle du rectangle rose ?

6 Sélectionner les informations

DOMAINE 3 DU SOCLE

Voici les tarifs des taxis dans l’Hérault. Prise en charge km A km B km C km D 1,80  1,80 € 0,80 € 1,20 € 1,60 € 2,40 €

EC

2 Prendre des initiatives

4

IM

1. On appelle c le côté du carré, exprimer alors le côté du triangle équilatéral en fonction de c. 2. a. Exprimer le périmètre du carré en fonction de c. b. Exprimer le périmètre du triangle équilatéral en fonction de c. 3. Pour quelle valeur de c le périmètre du carré est-il égal au périmètre du triangle équilatéral ? 4. Faire un dessin le plus précis possible du carré et du triangle équilatéral de la question 3 3..

EN

5

Une pelouse rectangulaire de 10 m sur 17 m est bordée d’un chemin. Quelle doit être la largeur du chemin pour que le périmètre de la pelouse soit égal à la moitié du périmètre extérieur du chemin ?

SP

17

10

3 Exploiter des informations orales

DOMAINE 1 DU SOCLE

1. Quelle somme d’argent possédait ce philanthrope ce matin ? 2. Combien a-t-il donné à Sophie ? à Stéphane ?

km A : tarif pour 1 km, applicable pour une course aller et retour en journée du lundi au samedi inclus. km B : tarif pour 1 km, applicable pour une course aller et retour de nuit du lundi au samedi inclus ou de jour et de nuit les dimanches et jours fériés. km C : tarif pour 1 km, applicable pour une course aller simple en journée du lundi au samedi inclus. km D : tarif pour 1 km, applicable pour une course aller simple de nuit du lundi au samedi inclus, ou de jour et de nuit les dimanches et jours fériés. Le prix d’une course se calcule en ajoutant la prise en charge au prix à payer pour les kilomètres parcourus. 1. Danielle est arrivée à l’aéroport de Montpellier mardi à 11 h. Elle s’est rendue chez sa nièce en taxi et a payé 38,60 € pour cette course. À quelle distance de l’aéroport sa nièce habite-t-elle ? 2. Michel a pris un taxi à l’aéroport de Montpellier en pleine journée pour se rendre chez sa fille. Il a payé le même prix qu’Annie qui a pris un taxi en pleine nuit depuis l’aéroport pour aller chez son fils. Sachant que le fils d’Annie habite 10 km plus près de l’aéroport que la fille de Michel, quelle distance sépare chacun d’eux de l’aéroport ?

136

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RAISONNER

7

REPRÉSENTER

CALCULER

COMMUNIQUER

Raisonner sur des aires

CHERCHER

MODÉLISER

10 Travailler sur des durées

Dans une boite carrée, on a commencé à ranger des jetons circulaires de même diamètre. 1. Quelles sont les dimensions de la boite ? 2. Quand on aura recouvert toute la boite avec les jetons, quel pourcentage de l’aire de la boite sera réellement recouvert par des jetons ? 2,8 cm

DOMAINE 1 DU SOCLE

Une voiture part de Paris à 8 h du matin et roule vers Montpellier à la vitesse moyenne de 120 km/h. Au même moment, une voiture part de Montpellier en direction de Paris et roule à la vitesse moyenne de 90 km/h. La distance qui sépare Paris de Montpellier est d’environ 760 km. On note x la durée, en heures, du trajet effectué. 1. Exprimer, en fonction de x, la distance parcourue par la voiture qui est partie de Paris.

8 Raisonner dans l’espace

L

A K

D

B

C

11 Raisonner pour mettre en équation Didier dit : « Il y a 5 ans, mon cartable avait la moitié de l’âge qu’il aura dans 5 ans. » Quel est l’âge du cartable de Didier ?

EC

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AD = 5 cm, AB = 8 cm et AE = 12 cm. JGKDIFLA est un prisme droit tel que JGKD est un parallélogramme et JG = x cm.

3. a. Écrire une équation permettant de trouver au bout de combien de temps ces voitures vont se croiser sur l’autoroute. b. En déduire l’heure à laquelle ces voitures se croiseront. c. À quelle distance de Montpellier ces voitures se croiseront-elles ?

IM

13,9 cm

EN

2. Exprimer, en fonction de x, la distance parcourue par la voiture qui est partie de Montpellier.

I

E

H

J

x

F

G

SP

Pour quelle valeur de x le prisme droit JGKDIFLA a-t-il un volume égal aux quatre cinquièmes du volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH ?

9 Raisonner sur les volumes

DOMAINE 2 DU SOCLE

1. Un cône de révolution dont le rayon du disque de base est égal à 6 cm a un volume à peu près égal à 893 cm3. Sachant que sa hauteur mesure un nombre entier de millimètres, déterminer la mesure exacte de cette hauteur. 2. Un cône de révolution dont la hauteur est de 41,7 cm a un volume à peu près égal à 1 845 cm3. Sachant que le diamètre de son disque de base mesure un nombre entier de centimètres, déterminer la mesure exacte du rayon de son disque de base. Le volume d’un cône est égal à Aire de la base × Hauteur . 3

Aide Il sera utile de faire un tableau ou un schéma afin de mettre le problème en équation.

12 Réfléchir avant de répondre

DOMAINE 4 DU SOCLE

Un téléphone portable avec sa housse pèse 110 g. On sait que le téléphone pèse 100 grammes de plus que la housse. Combien pèse le téléphone ? Combien pèse la housse ?

13 Choisir la bonne inconnue

Combien y a-t-il de filles et de garçons dans la famille de Mike et Émilie ? Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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137

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Dans les autres matières 16 How old is Mike?

La loi d’Ohm précise que la tension U (en volts) aux bornes d’un dipôle ohmique de résistance R (en ohms) est proportionnelle à l’intensité du courant électrique I (en ampères) qui la traverse. Ceci se traduit par la formule : U = R × I. Si, dans un circuit électrique, on dispose d’un interrupteur, d’un générateur qui délivre une tension de 220 volts et d’une résistance de 1  000  ohms, quelle est l’intensité du courant qui circule dans ce circuit lorsque l’interrupteur est fermé ?

15 Degré Celsius ou degré Fahrenheit ?

17 La vitesse maximale aérobie

Pour les athlètes, la VMA (Vitesse Maximale Aérobie) est une donnée importante qu’il faut connaitre et travailler. La VMA est la vitesse de course sur piste à partir de laquelle une personne consomme le maximum d’oxygène. Pour connaitre sa VMA, il existe plusieurs procédés, mais l’un des plus simples est le test VMA de Astrand. Pour cela, il faut courir à allure continue durant 3 minutes et calculer la vitesse moyenne à laquelle on aurait couru la même distance en 3 min 30 s. 1. Alex a couru 1 000 mètres en 3 minutes. Quelle est sa VMA ? 2. Stéphanie a une VMA de 15 km/h. Quelle distance a-t-elle parcourue en 3 minutes ?

EC

IM

En Grande-Bretagne, les températures sont exprimées en degré Fahrenheit alors qu’en France elles sont exprimées en degré Celsius. On dispose des formules de conversion suivantes pour passer d’une unité à une autre : TCelsius = 5 × (TFahrenheit − 32) 9 et aussi TFahrenheit = 9 × TCelsius + 32 . 5 Existe-t-il une température qui s’exprime avec le même nombre en degré Celsius et en degré Fahrenheit ?

Mike is x years old. His mother is 4 times his age. His sister is 6 years younger than him. 1. Write two expressions to describe the age of Mike’s mother and of his sister. 2. The sum of all three ages is 48. Write an equation to show this. 3. a. How old is Mike? b. How old was Mike’s mother when Mike was born?

EN

14 La loi d’Ohm

Enseignement Pratique Pratique Interdisciplinair Inter Interdisciplinaire disciplinair

SP

Sciences, technologie et société

La sécurité routièr rroutière outière e

Mathématiques & Sciences physiques & Enseignement moral et civique

L’État tat a établi un ensemble de règles et de lois afin de rendre les routes plus sures en France. Ainsi, on peut croiser sur les routes le type de panneaux ci-contre. Cependant, peu de personnes savent réellement pourquoi les deux traits assurent une certaine sécurité. Il existe bien d’autres règles encore…

Projet

Étudier la raison de ces règles et surtout sur quoi elles s’appuient scientifiquement. Ainsi, les élèves seront amenés à trouver des solutions de certaines équations venues de la physique, comme les distances de freinage, d’arrêt et de réaction. Ce mode de pensée sera alors transposé sur d’autres règles du Code de la route. Notions mathématiques : Résolution de problèmes et d’équations 138

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ues

mathématiq

à la maison 21 Et un, et deux et trois euros !

Le nombre contenu dans un cercle est égal à la somme des deux nombres contenus dans les deux cercles sur lesquels il repose. Trouver, dans chaque cas, la valeur du nombre x. 7x − 5

9

x

3

3x

2x

1

x−5

IM

19 Défi !

À l’entrainement, un gardien de but de football dit à un coéquipier qu’il lui donnera 5 € pour chaque pénalty qu’il réussira à marquer mais qu’il lui prendra 7 € pour chaque pénalty arrêté. Après 24 pénaltys tirés, chacun a donné autant qu’il a reçu. Combien de pénaltys ont été marqués lors de cet entrainement ?

EN

18 Les pyramides

20 Énigme

22 L’aire des triangles et du carré ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 6 cm AB = AB  = 6 cm  6 cm et AC = 9 cm. D est un point du segment [AB] situé à une distance inconnue du point A. On note x la longueur du segment [AD], donc AD = x. On place ensuite les points E et F tels que ADEF soit un carré.

EC

Dans l’enclos d’un zoo, il y a des autruches et des zèbres. Noé a compté 101 têtes et 318 pattes. Saurais-tu dire combien il y a d’animaux de chaque sorte dans cet enclos ?

SP

mathématicien Voici ce qui était écrit sur la tombe du e Diophante (mort au III siècle).

À quel âge Diophante est-il mort ?

B

6 cm

D

E

A

F

x C 9 cm

1. Calculer l’aire du triangle ABC. 2. Exprimer en fonction de x : a. l’aire du triangle BDE ; b. l’aire du carré ADEF ; c. l’aire du triangle FEC. 3. Déduire de la question précédente que l’aire du quadrilatère ABEC est égale à 15x . 2 4. a. Pour quelle valeur de x l’aire du triangle BEC est-elle égale à la moitié de l’aire du triangle ABC ? b. Faire une figure illustrant le cas trouvé en a. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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9 Je comprends

Produire et utiliser une

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

– Si AB = 6 cm, alors l’aire vaut 6 × 7 = 42 cm2. – Si AB = 13 cm, alors l’aire vaut : 13 × 14 = 182 cm2. – Si AB = 1 cm, alors l’aire vaut 1 × 2 = 2 cm2. – Si AB = 1,8 cm, alors l’aire vaut : 1,8 × 2,8 = 5,04 cm2.

On construit des rectangles dont la longueur mesure 1 cm de plus que la largeur comme ci-dessous : A

7

D

6

ÉTAPE 2 C

Trouver une formule qui donne l’aire de ces rectangles en fonction du côté le plus petit. ÉTAPE 1

On fait quelques calculs en leur cherchant des points communs.

1

IM

Je m’entraine

On généralise les calculs effectués à l’aide d’une expression littérale. Si on note C la mesure du côté le plus petit, le côté le plus grand vaudra 1  cm de plus, soit C + 1. L’aire du rectangle sera donnée par la formule : C × ((C C + 1).

EN

B

CALCULER

MODÉLISER

4 1. Voici un extrait de tableur :

Activités rapides

EC

On nomme n un nombre entier. Écrire en fonction de n : a. le nombre qui suit n ; b. le nombre qui précède n ; ; c. le double de n ; d. la moitié de n.

SP

2 Soit A = − x2 + 4 (5 − xx).). Calculer A pour : a. x = 3

b. x = − 4

c. x = − 2,8

3 On fabrique des figures en accolant deux carrés dont les côtés ont un centimètre d’écart :

5 1. n est un nombre entier.

2,5

2

1

a. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B2, puis coller dans les cellules de la colonne B pour obtenir les nombres suivant ceux affichés dans la colonne A ? b. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C2, puis coller dans les cellules de la colonne C pour obtenir les nombres précédant ceux affichés dans la colonne A ? 2. M est un nombre entier. Écrire, en fonction de M, le nombre entier qui le suit et le nombre entier qui le précède.

1,5

1. Construire deux autres figures sur ce modèle. 2. Calculer l’aire et le périmètre de chacune des quatre figures. 3. Écrire une formule donnant l’aire d’une figure de ce type en fonction du côté du petit carré. 4. Faire de même pour le périmètre.

a. Calculer 2n pour différentes valeurs de n. b. Guilhem dit qu’il obtient toujours un nombre pair comme résultat. Vrai ou faux ? Expliquer. 2. Écrire, à l’aide d’une expression littérale, un nombre qui soit multiple de 5.

6 1. Écrire, à l’aide d’une expression littérale, un nombre impair. 2. Écrire le nombre impair suivant. 3. Écrire le nombre impair précédent.

140

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expression littérale Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

RAISONNER

COMMUNIQUER

7 Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle, 10 On construit une frise avec des allumettes comme (EF) est perpendiculaire à (AB) et (GH) perpendiculaire à (BC). E b

a

B

c H d

G D

F

C

Écrire en fonction de a, b, c et d l’aire du rectangle ABCD. Trouver le plus d’expressions différentes possibles.

8 1. Calculer :

11 Les maths autour de moi

ALGO

Voici un algorithme réalisé avec Scratch :

SP

9

EC

IM

a. 2 + 3 × 4 + 2 b. 3 + 4 × 5 + 2 c. 5 + 6 × 7 + 2 d. 8 + 9 × 10 + 2 2. a. En effectuant les calculs mentalement, conjecturer le résultat de 198 + 199 × 200 + 2. Expliquer de façon détaillée la stratégie employée. b. Faire de même pour l’expression : 38 + 39 × 40 + 2. 3. Écrire crire une expression littérale correspondant à un calcul sur ce même modèle.

1. Combien faut-il d’allumettes pour faire 3 triangles ? 2. Combien faut-il d’allumettes pour faire 12 triangles ? 3. Combien faut-il d’allumettes pour faire 1 000 triangles ? 4. Écrire crire une expression qui donne le nombre d’allumettes nécessaires pour faire n triangles.

EN

A

dans le modèle ci-dessous :

1. Joshua a choisi 3 comme nombre. a. Quel sera le résultat final obtenu ? b. Écrire les calculs en une seule expression. 2. Traduire cet algorithme par une expression littérale. 3. Carla a choisi un nombre entre 10 et 20, elle a obtenu 5 184. Quel nombre avait-elle choisi ?

Ce soir, Léa et Hamid se promènent sur la plage et la Lune est magnifique. – Hamid dit : « Ma chérie, je t’aime tellement que je pourrais t’offrir la Lune. » – Léa lui répond : « C’est très gentil mon amour, mais est-elle si grosse que ça ? » Calculer le volume de la Lune sachant que son diamètre est de 3 474 km environ. Aide

Le volume d’une boule se calcule grâce à la formule V = 4 πr 3 , 3 où r est le rayon de la boule.

12 TOP Chrono 1. Trouver le nombre qui est au milieu des nombres 6 et 10, c’est-à-dire celui qui est aussi proche de 6 que de 10. 2. Trouver le nombre qui est au milieu des nombres 2,5 et 18. 3. Écrire une expression qui donne le nombre qui est au milieu des nombres a et b. 4. Utiliser cette expression pour trouver le nombre qui est au milieu de 3,8 et 16 . 3

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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141

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10 Je comprends

Connaitre et utiliser la double

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. Développer et réduire (3x − 4)(− 6 + 2x).

2. Factoriser l’expression 9 − 4x2.

Je m’entraine 1

CALCULER

2. Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit. 9 − 4x2 est une différence. En écrivant 9 − 4x2 sous la forme 32 − (2x)2, on reconnait l’identité remarquable : a2 − b2 = (a  (aa + b  ( b)( b)(a )(aa − b b),), avec a = 3 et b = 2 2x. 2x x..  4xx2 = (3 + 2x)(3 − 2x).  4 On a donc 9 − 4x 2xx)(3  )(3 − − 2  2xx).).

EN

1. Développer une expression, c’est transformer les produits de l’expression en somme. L’expression (3x − 4)(− 6 + 2x) est un produit de deux facteurs, (3x − 4) et (− 6 + 2x) (3x − 4)(− 6 + 2x) = 3x × (− 6) + 3x × 2x + (− 4) × (− 6) + (− 4) × 2x = − 18x + 6x2 + 24x − 8x = 6x2 − 26x + 24.

6 Calcul mental

Effectuer les calculs suivants sans calculatrice et en effectuant toutes les étapes intermédiaires mentalement. 1. Calculer 422 en développant (40 + 2)2. 2. Calculer de la même façon : b. 312 c. 242 a. 103 a.  1032

IM

Activités rapides

EC

Utiliser les identités remarquables pour calculer mentalement. a. 252 − 152 b. 26 × 34 d. 102 × 98 c. 2012 − 1992 2 2 f. 33 × 27 e. 48  − 47 h. 2,8 × 3,2 g. 3,52 − 0,52

2 1. Recopier et compléter le tableau suivant : × 5x +4

9xx

−3

SP

2. Donner l’expression développée réduite de : (9xx − (9 − 3)(5  3)(5xx + 4) + 4) (9x − 3)(5x + 4)

3 Développer et réduire les expressions suivantes : a. (x − 1)(2x + 5)  1)(2xx + 5)  1)(2 + 5)  1)(xx −  1)( − 1)  1) c. (− x + 1)(x − 1)

b. b. (4  b. (4 − 2x)(5x − 9)  (4  d. d. (− 3 − 2x)(− 6 − 3x)

4 Développer et réduire les expressions suivantes : a. 4 − 2x(3x + 5) c. (3x + 9)2

5 Calcul mental

b. (− 4 × 3x)(x × 9) d. (7x − 8)(4x − 6) + 10

Effectuer les calculs suivants sans calculatrice et en effectuant toutes les étapes intermédiaires mentalement. 1. Calculer 392 en développant (40 − 1)2. 2. Calculer de la même façon : a. 992 b. 292 c. 1952

7 Recopier et compléter les égalités suivantes : a. (x + …)2 = … + … + 16 b. (… − 5)2 = 100x2 − … + … c. (2x + …)2 = … + 12x + … d. (x − …)(x + …) = … − 16 e. (… + 1)(… − 1) = 49x2 − …

8 Développer les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables : b. (x − 5)2 a. (x + 4)2 c. (1 + 3x)(1 − 3x) d. (5 + 2x)(− 2x + 5)

9 Développer les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables : b. (x − 3)2 a. (x + 6)2 c. (4 + 8x)2 d. (6 − 2x)2 e. (5 + 9x)(5 − 9x) f. (7 + 4x)(− 4x + 7)

10 Factoriser les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables : b. x2 + 2x + 1 a. 25 − x2 d. 4x2 − 12x + 9 c. 49x2 − 100 2 f. 64 − 48x + 9x2 e. 16x  − 16

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distributivité et les identités remarquables Je résous des problèmes simples

COMMUNIQUER

CALCULER

MODÉLISER

11 Associer chaque expression développée à l’ex- 15 Recopier et compléter le tableau suivant. S’il y a pression factorisée qui lui est égale. 3x2 − 11x + 10 • • (3x + 5)(x + 2) 2 3x  − 13x − 10 • • (x − 5)(3x + 2) 2 • (x + 5)(3x − 2) 3x  + 13x − 10 • 3x2 + 11x + 10 • • (3x − 5)(x − 2)

plusieurs possibilités, les donner. ×

− 24x − 40

12x2

16 Ces deux solides ont le même rayon pour leur • Choisir un nombre • Soustraire 2 • Multiplier le résultat par la somme du nombre choisi et de 3 • Ajouter 6 au résultat • Soustraire le carré du nombre choisi

R

h

h

R

R

Quel solide a le plus grand volume ?

IM

1. Selon Élie, on retrouve toujours le nombre de départ à la fin du programme. Faire le test en choisissant – 6 comme nombre de départ, puis refaire les calculs en prenant 4 7 comme nombre de départ. 2. Prouver que l’affirmation d’Élie est vraie.

EN

disque de base et la même hauteur.

12 Voici un programme de calcul :

17 Les maths autour de moi

EC

13 Calcul mental

Soit :  3 000 215 −  3 000 215  − 3 000 213 × 3 000 216. − 3 000 213  × 3 000 216. A = 3 000 214 × 3 000 215 − 3 000 213 × 3 000 216.

1. Étienne n’a pas de calculatrice pour calculer A et il n’a pas vraiment envie de le faire à la main… Pour simplifier ce calcul, il a nommé N le nombre 3 000 215 et écrit l’égalité suivante : A = (N − 1) × N − (N − 2) × (N + 1) = ( =  (N N− − 1)   1) × × N − (  (N N− − 2)   2) × × (  ( Justifier cette égalité.

SP

ble

2. Développer et réduire cette expression littérale, puis donner le résultat du calcul.

3. a. Élodie a aussi utilisé une expression littérale pour simplifier le calcul, mais c’est 3 000 214 qu’elle a nommé x. Écrire l’expression littérale correspondant au calcul d’Élodie. b. Trouvera-t-elle le même résultat qu’Étienne ?

14 Voici le cahier de Samy : (2x + 5) × (

) = 6x2 + 33x + 45

Retrouver l’expression sous la tache.

L’énergie liée à la vitesse L’énergie est appelée « énergie cinétique ». Quand une voiture en percute une autre, l’énergie cinétique accumulée va contribuer aux dégâts en déformant la voiture. On peut calculer cette énergie E à l’aide de la formule : E = 1 mv2 2 avec E l’énergie cinétique exprimée en joule, m la masse en kilogramme et v la vitesse en mètre par seconde. 1. De combien augmente cette énergie si on double la vitesse ? 2. Exprimer, en fonction de m et de v, l’augmentation de l’énergie si on augmente la vitesse de 20 m/s.

18 TOP Chrono Vrai ou faux ? • Proposition 1 : « Pour tous les nombres a et b, on a l’égalité (a − b)(a + b)(a + b) = a3 − b3. » • Proposition 2 : « Pour tous les nombres a et b, on a l’égalité a2 = 4 + (a + 2)(a − 2). »

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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143

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11 Je comprends

Prouver ou réfuter

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Prouver que la somme de deux nombres entiers consécutifs est un nombre impair. ÉTAPE 1

ÉTAPE 2

1

Activités rapides

MODÉLISER

RAISONNER

6 Voici un programme de calcul : • Choisir un nombre à deux chiffres • Inverser les deux chiffres et faire la somme de ces deux nombres

EC

Vrai ou faux ? a. 8 + 4x = 12x b. 16x2 − 25 = (8x + 5)(8x − 5) c. (2x − 1)2 = 1 − 4x + 4x2 d. 9x2 + 4 + 12x = (3x + 2)2

CALCULER

IM

Je m’entraine

On transforme cette écriture pour montrer qu’il s’agit d’un nombre impair : n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1 n + 1  + 1  2n est un nombre pair, car c’est un multiple de 2. 2n + 1  1 est le nombre entier suivant, c’est donc un nombre impair.

EN

On traduit l’énoncé en nommant n le premier nombre entier. Le nombre entier suivant n s’écrit donc n + 1. La somme des deux nombres entiers consécutifs s’écrit : n + (n + 1)

2

La somme de deux multiples de 3 est toujours un multiple de 3.

SP

Mais non, la somme de deux multiples de 3 est toujours un multiple de 9 !

Dire si chacune de ces deux affirmations est vraie ou fausse. Donner une preuve.

3 La somme de deux nombres pairs est-elle tou-

jours paire  ? toujours impaire  ? parfois paire, parfois impaire ? Donner une preuve.

4 La somme de deux nombres impairs est-elle

toujours paire ? toujours impaire ? parfois paire, parfois impaire ? Donner une preuve.

5 Démontrer que les égalités suivantes sont vraies pour n’importe quelles valeurs de a et b : a. (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) b. 4ab = (a + b)2 − (a − b)2 c. (a + b)(a − b) + b2 = ab + a(a − b)

Le résultat est toujours un multiple de 11.

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Donner une preuve. Aide Un nombre à deux chiffres peut s’écrire a × 10 + b.

7 1. Prouver que, si on multiplie le côté d’un carré par 10, son aire sera 100 fois plus grande. 2. De combien augmentera l’aire d’un carré si on ajoute 10 cm à chacun de ses côtés ? Aide Exprimer cette augmentation en fonction de la longueur du côté du carré initial.

8 Pour chacune des égalités suivantes, dire si elle

est toujours vraie. Justifier la réponse en donnant une preuve. a. x2 = x b. (x + 3)2 + x2 = 2x2 + 6x + 9 c. (x − 1)(x − 2)(x − 4) = x3 − 5x2 + 8x − 4 d. 2x2 − 8x + 15 = 2(x − 2)2 + 7 e. (x + 5)(x − 3) = (x + 1)2 − 16

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un résultat général Je résous des problèmes simples 2

3

MODÉLISER

13 1. Calculer : Pour soustraire deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur.

2. Faire de même avec 1 − 1 , puis avec 1 − 1 . 3 4 6 7 3. Écrire cinq autres calculs du même type et les effectuer. 4. Trouver une technique qui permet d’obtenir facilement le résultat de 1 − 1 sans avoir à 10 11 faire tous les calculs. 5. Prouver que cette technique fonctionne quels que soient les nombres consécutifs choisis. En faisant la somme de trois nombres entiers consécutifs, j’ai obtenu 33.

a. 2 × 2 − 1 × 3 b. 3 × 3 − 2 × 4 c. 4 × 4 − 3 × 5 d. 8 × 8 − 7 × 9 2. Proposer trois autres calculs du même type, puis les effectuer. Quelle conjecture peut-on faire ? 3. Prouver cette conjecture.

14 Les maths autour de moi

C’est les soldes ! Avec sa carte de fidélité de Décasport, Max bénéficie d’une remise supplémentaire de 20 % par rapport au prix affiché en magasin. Il craque pour un skate soldé à 30 %. – Il dit  : «  Super, ça me fera une réduction de 50 % ! » – Sa mère lui répond : « Tu te trompes ! Fais les calculs et tu verras que tu n’auras que 44 % de réduction. » Qui a raison ? Donner une preuve.

IM

10 1.

RAISONNER

EN

9 1. Calculer 1 − 1 .

COMMUNIQUER

Est-ce possible  ? Si oui, retrouver les trois nombres ; si non, expliquer. 2.

EC

En faisant la somme de trois nombres entiers consécutifs, j’ai obtenu 37.

Est-ce possible  ? Si oui, retrouver les trois nombres ; si non, expliquer. 3. Quels sont les nombres que l’on peut obtenir en faisant la somme de trois nombres entiers consécutifs ? Donner une preuve.

SP

11 Dire si chacune de ces deux propositions est vraie ou fausse, puis donner une preuve. • Proposition 1 : « La somme de quatre nombres entiers consécutifs est un multiple de 4. » • Proposition 2 : « La somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5. »

15 Papi Henri dispose d’un terrain carré de 15 m de côté pour faire son jardin potager. La mairie lui propose l’échange suivant : on raccourcit le côté [AD] du terrain d’une certaine longueur et on rallonge le côté [AB] de la même longueur, comme fait dans le dessin ci-dessous. Terrain initial A

Après transformation B

B

AB = 3x + 6 BC = 4x + 8 AC = 5x + 10 C

1. a. Faire la figure lorsque x = 0. b. Le triangle est-il rectangle ? Donner une preuve. 2. Le triangle ABC est-il toujours rectangle quelle que soit la valeur de x choisie ?

B

E

12 Soit le triangle ABC ci-dessous : A

A

D

C

D

F C

L’échange est-il équitable ?

16 TOP Chrono Les expressions : A  =  (2x  –  3)2 – 25 et B  =  (2x  +  2)(2x  –  8) sont-elles toujours égales ?

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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G

145

14/04/2016 16:28


4 Prouver des résultats généraux

Objectifs 9 10 11

On liste les nombres entiers en partant de 1 :

1 Analyser une copie d’élève

Pour développer et réduire (3x + 5)2, Michael et Nicolas ont procédé de deux façons différentes. (3x + 5)2 = 3x2 + 2 × 3x × 5 + 52

Michael

= 3x2 + 30x + 25

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 …

= 3x × 3x + 3x × 5 + 5 × 3x + 5 × 5 = 9x2 + 15x + 15x + 25

= 9x2 + 30x + 25

5 Justifier des affirmations

IM

1. Les réponses de Michael et de Nicolas sontelles correctes ? Si oui, expliquer la stratégie utilisée. Si non, donner une preuve puis relever les erreurs éventuelles sur chacune des deux copies. 2. Si on ne fait pas d’erreurs de calcul, quelle est la stratégie la plus rapide ?

Sur cette liste, on déplace un cadre carré qui permet d’entourer neuf nombres. Puis on les additionne et on enlève 126 au résultat obtenu. Dans l’exemple ci-dessus, on a : 19 + 20 + 21 + 32 + 33 + 34 + 45 + 46 + 47 = 297, et 297 − 126 = 171. Prouver que l’on obtient toujours un multiple de 9 quels que soient les neuf nombres entourés.

EN

Nicolas

(3x + 5)2 = (3x + 5) × (3x + 5)

2 Mobiliser le calcul littéral pour démontrer

Antoine propose ce jeu à sa sœur Zoé :

SP

EC

Pense à un nombre à deux chiffres. Multiplie ce nombre par 25. Au résultat, ajoute 426. Multiplie le total par 4. À ce résultat, ajoute le nombre entier formé par les trois premiers chiffres du nombre π. Puis retranche ton année de naissance. Tu trouves un nombre à quatre chiffres. Les deux premiers donnent le nombre que tu as choisi et les deux derniers donnent ton âge en 2018.

1. Trouver deux nombres entiers x et y tels que x + y = x × y. 2. Vérifier que les nombres suivants vérifient cette propriété : a. x = 11 et y = 11 b. x = 12 et y = 12 7 4 3 9 c. x = 7 et y = 7 d. x = 8 et y = 8 4 3 3 5 3. Trouver cinq ou six couples de fractions qui ont la même propriété. 4. Expliquer comment faire pour en trouver davantage, puis apporter une preuve.

Faire le test, puis expliquer pourquoi ce programme de calcul donne toujours le résultat attendu.

3 S’engager dans une démarche scientifique 1.

2.

J’ai choisi deux nombres qui ont pour somme 250. Si j’augmente chacun des deux nombres de 6, de combien augmentera leur produit ? Expliquer.

J’ai choisi deux nombres qui ont pour somme 120. Si j’augmente chacun des deux nombres de 3, de combien augmentera leur produit ? Expliquer.

3. Inventer un problème du même type et proposer une solution.

6 Établir une conjecture

DOMAINE 2 DU SOCLE

1. Calculer : a. 4 × 3 − 2 × 1 b. 6 × 5 − 4 × 3 c. 7 × 6 − 5 × 4 2. Écrire d’autres égalités du même type et effectuer les calculs. 3. Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.

7 Raisonner

DOMAINE 3 DU SOCLE

Un palindrome est un nombre qui se lit de la même façon à l’endroit et à l’envers. Exemple : 343 ou 123 321 sont des palindromes. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Les palindromes à quatre chiffres sont tous divisibles par 11.

146

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RAISONNER

REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

8 Mobiliser le calcul littéral pour démontrer 1. Vérifier les égalités suivantes : a. 12 + 1 = 22 − 2 b. 22 + 2 = 32 − 3 c. 72 + 7 = 82 − 8 2. Écrire une égalité du même type avec les nombres 42 et 43. 3. Établir une conjecture et la démontrer.

CALCULER

MODÉLISER

CHERCHER

11 Chercher des exemples ou des contre-exemples

Trouver une valeur de x pour laquelle l’expression 9x2 − 30x + 25 donne un résultat négatif. Si c’est impossible, donner une preuve.

12 Réfléchir sur un problème ouvert

9 Modéliser et prouver

R

c. 352 g. 852

d. 552 h. 952

Aide

Un nombre qui se termine par 5 peut s’écrire 10 × x + 5.

13 Décomposer un problème en sous-problèmes

Retrouvons les tables de multiplication de 6, 7, 8 et 9 avec les doigts. Exemple : pour le produit 6 × 8, on enlève 5 à chacun des deux facteurs, puis on lève les doigts comme ci-dessous :

EC

10 Comprendre un texte scientifique

Un cylindre et un cône ont le même rayon pour le disque de base mais ils n’ont pas forcément la même hauteur. Comment doit-on choisir la hauteur du cône et la hauteur du cylindre pour qu’ils aient le même volume ?

IM

2. Victor fait la proposition suivante : « Pour calculer mentalement le carré d’un nombre se terminant par 5, je fais le produit du nombre de dizaines par le nombre suivant ce nombre pour trouver le nombre de centaines et après j’ajoute 25.  » Vrai ou faux ? Donner une preuve.

R

EN

1. Calculer : b. 252 a. 152 2 e. 65 f. 752

Sur la notice d’un médicament, on peut lire :

SP

Chez les enfants (12 mois à 17 ans), la posologie doit être établie en fonction de la surface corporelle du patient [voir formule de Mosteller].  […]  Une dose de charge unique de 70  mg par mètre carré (sans dépasser 70  mg par jour) devra être administrée.

Pour calculer la surface corporelle S en m², on utilise la formule de Mosteller : S =

Taille (en cm) × Masse (en kg) 3 600

Âge

Taille (en m)

Masse (en kg)

Dose administrée

Lou

5 ans

1,05

17,5

50 mg

Joey

15 ans

1,5

50

100 mg

Agathe

3 ans

0,9

14

Patient

1. La posologie a-t-elle été respectée pour Lou et pour Joey ? Justifier la réponse. 2. Quelle dose doit être administrée à Agathe ?

6 − 5 = 1, donc on lève un doigt de la main gauche. 8 − 5 = 3, donc on lève trois doigts de la main droite. – On lit les dizaines en faisant la somme des doigts levés : 1 + 3 = 4 dizaines. – On lit les unités en faisant le produit des doigts baissés : 2 × 4 = 8 unités. On obtient donc 6 × 8 = 48. 1. Tester cette technique avec 7 × 9, puis 6 × 7. 2. Nommer x et y les deux nombres multipliés. a. Écrire, en fonction de x, le nombre de doigts levés de la main gauche et le nombre de doigts baissés. b. Écrire, en fonction de y, le nombre de doigts levés de la main droite et le nombre de doigts baissés. 3. Prouver que cette technique fonctionnera toujours. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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147

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Dans les autres matières Les mers et les océans recouvrent 71 % de la surface de la Terre. Pour calculer la surface d’une sphère, on utilise la formule : S = 4πr2, avec r le rayon de la sphère. 1. Calculer la surface de la Terre. 2. Calculer la surface occupée par les mers et les océans. 3. La France a une superficie de 640 679 km2. La superficie des mers et des océans est combien de fois plus grande que celle de la France ?

15 Triangular numbers

1

3

6

Dans le jardin des grands-parents de Yoan, il y a un vieux puits. Yoan y jette une pierre et, en écoutant le bruit que fait la pierre en touchant le fond, il constate que le puits est vide. Il voudrait connaitre sa profondeur, pour cela il lance une autre pierre et chronomètre la durée de sa chute. Il trouve environ 1,2  s. 1. À l’aide de la formule suivante : H = 1 × 9,8t2 , 2 où H est la hauteur en mètre et t le temps en seconde, calculer la hauteur du puits. 2. Combien de temps la pierre aurait-elle mis pour tomber dans un puits de 12 m de profondeur ?

IM

1. What are the next five numbers in this sequence of triangular numbers ?

16 Le lancer de cailloux

EN

14 La belle bleue

EC

2. Write down the term-to-term rule that describes the triangular number sequence. 3. Draw the next two diagrams in this sequence.

Enseignement Pratique Interdisciplinaire

SP

Transition ansition écologique et développement veloppement veloppement durable durable

Mathématiques & Physique & Technologie

Choisir un site pour un parc éolien Pour choisir l’emplacement d’un parc éolien, on estime la vitesse moyenne du vent à un endroit donné, son orientation, sa régularité... Puis, en fonction des contraintes naturelles, il est nécessaire d’adapter le type d’éolienne choisi, notamment la dimension des pales. Enfin, il faut estimer la capacité de production de l’éolienne pour s’assurer de la viabilité économique du projet.

Projet

À partir de mesures de la vitesse du vent effectuées sur le terrain ou de relevés de Météo France, trouver le lieu le plus pertinent pour placer une éolienne construite au collège. Notions mathématiques : Utilisation d’une expression littérale • Moyenne • Conversion d’unités de vitesse 148

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ues

mathématiq

Le jeu se joue à 3 joueurs, toutes les cartes sont distribuées en début de partie. Règle du jeu : le joueur dont c’est le tour pioche une carte de son choix dans le jeu du joueur précédent. Puis, s’il peut associer deux cartes qui présentent des expressions égales, il les pose. Le vainqueur est celui qui a posé toutes ses cartes. Matériel : recopier, puis découper ces cartes. (x + 3)2

(x + 4)2

(x − 3)2

(x − 4)2

(2x + 1)2

(2x − 1)2

(x + 3)(x − 3)

(x + 4)(x − 4)

(2x + 1)(2x − 1)

x2 + 6x + 9

x2 + 8x + 16

x2 − 6x + 9

− 8x + 16

4x2

+ 4x + 1

x2 − 9

x2 − 16

(2x + 3)2

(2x − 3)2

4x2 − 12x + 9

4x2 − 8x + 6

− 4x + 1

4x2 − 1

4x2 + 12 12xx + 9

21 Un grand pas pour l’Homme…

Contrairement à une idée répandue, le poids ne s’exprime pas en kilogramme mais en newton et il représente la force qu’exerce la planète sur le corps. La masse ((m) et le poids (P) sont liés par la relation suivante : P = mg, où P est le poids en newton, m la masse en kilogramme de ce corps et g l’accélération de la pesanteur.

Place les nombres de 1 à 6 dans les cercles ou les carrés de façon à ce qu’en additionnant les nombres situés dans deux cercles consécutifs, on obtienne le nombre placé dans le carré entre les cercles.

SP

18 Défi !

4x2

1. Effectuer les calculs ci-dessous en détaillant toutes les étapes : a. 1232 − 1222 − 1212 + 1202 b. 122 − 112 − 102 + 92 c. 452 − 442 − 432 + 422 2. Écrire trois calculs sur le même modèle et les effectuer. 3. Quelle conjecture peut-on faire ? 4. Écrire une expression littérale correspondant à ce type de calcul. 5. Développer et réduire cette expression pour démontrer la conjecture proposée.

IM

x2

20 Curiosité

EN

Le mistigri

EC

17

à la maison

19 Énigme a2 – b2 = 1 475 et a – b = 25. Trouver les nombres a et b.

1. Sachant que P = mg, quelles sont les égalités qui sont vraies ? g b. g = m c. m = a. m = P g P P P d. m = Pg f. g = Pm e. g = m 2. a. Sur la Terre, l’accélération de la pesanteur vaut environ 9,8. Calculer le poids sur Terre d’un homme ayant une masse de 70 kg. b. Sur la Lune, l’accélération de la pesanteur vaut 1,7. Calculer le poids sur la Lune de cet homme. 3. Est-il vrai que l’on pèse environ 5,5 fois moins sur la Lune que sur Terre ? Donner une preuve. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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149

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12 Je comprends

Résoudre

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

ÉTAPE 3

Résoudre l’équation 17 − 5x = 22 + 4x.

On isole l’inconnue. On divise chacun des membres par − 9. −9 × x 5 = −9 −9 On réduit les membres : x = − 5 . 9

ÉTAPE 1

On fait disparaitre dans un des deux membres le terme contenant l’inconnue. Pour cela, on soustrait 4x à chacun des membres : 17 − 5x − 4x = 22 + 4x − 4x. On réduit les membres obtenus : 17 − 9x = 22.

1

CALCULER ULEERR UL

5 On veut résoudre l’équation 55x − 3 = 2x + 6.

EC

Activités rapides

IM

Je m’entraine

EN

ÉTAPE 2

On isole le terme qui contient l’inconnue. On soustrait 17 à chacun des membres : 17 − 9x − 17 = 22 − 17. On réduit les membres : − 9x = 5.

ÉTAPE 4

On conclut. L’équation obtenue est facile à résoudre, sa solution est − 5 . 9 5x = 22 + 4x La solution de l’équation 17 − 5 5 est − . 9

SP

a. Résoudre mentalement 2xx + 5 = 13. b. Résoudre mentalement 3x 3x − 7 = 11. c. 5x + 2 = 3x + 11 a les mêmes solutions que 2x = … . d. Compléter l’équation 3x 3x + 7 = 5x 5x − … pour que le nombre 6 en soit solution.

2 Résoudre mentalement les équations d’inconnue x suivantes : a. x + 5 = 12 c. x − 7 = 5

b. x + 8 = 3 d. x − 2 = − 9

3 Résoudre mentalement les équations d’inconnue y suivantes : a. 5y = 35 c. − 3y = 36

b. 4y = 32 d. − 7y = − 63

4 On veut résoudre l’équation 3x + 2 = 11.

1. Écrire une équation de la forme « 3x = … » qui a les mêmes solutions que l’équation 3x + 2 = 11. Expliquer l’action effectuée. 2. En déduire la solution de l’équation 3x + 2 = 11 sous la forme «  x = …  ». Expliquer l’action effectuée.

1. Écrire une équation dont un seul des membres contient l’inconnue x et qui a les mêmes solutions que l’équation 5x − 3 = 2x + 6. Expliquer l’action effectuée. 2. En déduire la solution de l’équation 5x − 3 = 2x + 6 sous la forme « x = … ». Expliquer les actions effectuées.

6 Résoudre les équations d’inconnue x suivantes : a. 7x + 17 = 9x + 29 c. 8x + 26 = 5x + 14

b. 4x + 15 = 7x + 24 d. 23x + 31 = 16x +17

7 Résoudre les équations d’inconnue x suivantes : a. − 2x + 7 = − x + 9 c. − 7x − 12 = 8x + 3

b. 4x − 21 = 7x − 9 d. 7x + 13 = − 3x − 7

8 Résoudre les équations d’inconnue a suivantes : a. 7a − 8 = 3a + 7 c. 3a − 4 = − 5a − 8

b. − 2a + 3 = 14a − 1 d. 7a − 6 = 9a − 11

9 Résoudre les équations d’inconnue b suivantes : a. 17b − 6 = 9b − 11 c. 2b − 1 = − 13b + 5

b. − 3b + 4 = − 7b + 11 d. − 9b + 13 = 15b − 5

150

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une équation Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

REPRÉSENTER

10 Antoine a résolu une équation sur son cahier, mais 15 Les maths autour de moi son professeur pense qu’il a commis une erreur. Aider Antoine à trouver son erreur.

Rémy, Lassana et Thomas ont acheté des jeux vidéos d’occasion qui coutent tous le même prix. Rémy en a acheté cinq, Lassana en a acheté trois de plus que Rémy et Thomas en a acheté pour 203 €. À eux trois, ils ont dépensé 580 € en jeux vidéos dans ce magasin. Quel est le prix d’un jeu ? 1. Mettre ce problème en équation. 2. Résoudre cette équation. 3. Mathieu a dépensé 87 € en jeux vidéos dans ce magasin. Combien en a-t-il acheté ?

Je résous l'équation d'inconnue x : 4x + 3 = − 5 4x + 3 − 3 = − 5

EN

4x = − 5 4x − 5 = 4 4 x = − 1,25

11 Vrai ou faux ?

IM

Les équations 8x + 7 = 3x + 22 et 9x − 4 = 2x + 17 ont les mêmes solutions.

Justifier la réponse.

12 Voici quatre équations : 3x − 7 = 5

2x + 17 = 5x + 2 9x − 3 = 7xx + 5

pour largeur x m x m et pour longueur (2 (2x + 5) m.

x

1. Exprimer son périmètre, en mètre, en fonction de x. 2. Quelles sont les dimensions de ce rectangle quand son périmètre est égal à 31 m ?

EC

9 = 7x − 19 Quel est l’intrus ?

2x + 5

16 Le rectangle ci-contre a

13 Karen veut acheter des DVD qui coutent tous le

SP

même prix. Elle remarque que si elle en achète trois, il lui restera 25 €, €,, mais il lui manque 11 € € 11 € 17 Sachant que, dans chaque bulle, il ne peut y pour en acheter cinq. avoir qu’un seul nombre, recopier et complé1. On désigne par x le prix d’un DVD. Quelle équater ce schéma. tion correspond au problème ? ×5 +3 • 3x − 25 = 5 5xx + 11 •3 3xx + 25 = 5x − 11 • 3x 3x + 25 = 5x + 11 • 3x − 5xx = 25 − 11 2. Trouver le prix d’un DVD.

14 Mélanie possède une

−7

2,4 cm

16,1 cm

boite carrée où elle range du matériel pour fabriquer des colliers. Elle aimerait construire, à l’intérieur de cette boite, 14 cases carrées identiques pour ranger des perles par couleurs. Elle aimerait aussi que sa boite respecte les dimensions indiquées sur le schéma ci-dessus. Quelle est la longueur du côté d’une case carrée ? D’après IREM Poitiers.

×2

18 TOP Chrono Emma part en ville acheter des cartes Majik pour sa collection. Si elle achète 17 cartes, il lui restera 0,15 €. En revanche, il lui manquera 0,45 € pour acheter 18 cartes. 1. Quel est le prix d’une carte ? 2. Avec quelle somme d’argent Emma est-elle partie ?

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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13 Je comprends

Résoudre des problèmes

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

2. Cette équation est de degré 2 et n’est pas une équation-produit.

1. Résoudre l'équation (4x + 2)(3 − x) = 0 . 2. Résoudre l'équation 4x2 + 6 = 106 + 3x2.

ÉTAPE 1

On la transforme pour avoir 0 dans l’un des deux membres. 4x2 + 6 = 106 + 3x2 2 4x + 6 − 3x2 − 106 = 106 + 3x 3 x2 − 3x2 − 106 2 x − 100 = 0 ÉTAPE 2

ÉTAPE 2

On résout ces deux équations. 4x − 2 = 0 3− x = 0 4x = 2 x =3 x = 0,5 ÉTAPE 3

On factorise le membre de gauche pour faire apparaitre un produit. Ici, on reconnait l’identité remarquable : a2 − b2 = ((a + b)(a − b). On a donc : x2 − 100 = 0 ((xx + 10)( 10)(xx − 10) = 0. ÉTAPE 3

IM

On conclut. Il y a deux solutions : x = 3 et x = 0,5.

On résout l’équation-produit nul. Il y a deux solutions : x = 10 et x = −10.

CALCULER

EC

Je m’entraine

EN

1. ÉTAPE 1 On reconnait une équation-produit nul. Un produit est nul quand l’un de ses facteurs est nul. Il y a donc deux possibilités ici : 4x − 2 = 0  ou 3 − x = 0

1

Activités rapides

SP

Factoriser mentalement les expressions suivantes : 4xx2 a. x2 − 100 b. 25 − 4 2 c. 9x − 49 d. 64 − x2

2 Résoudre les équations-produits suivantes : (2xx − 9)(− x − 2) = 0 1)(4xx − 1) = 0 b. (2 a. (2x + 1)(4 2xx)) = 0 d. (10 − 4x) × 7 = 0 2 c. (3x − 5)(8 − 2x)

3 Résoudre les équations suivantes :

a. (x + 3) + (x − 4) = 0 b. 2x2 − 5x = 0 c. (x + 1)(x − 5) = 0 d. 4x2 − 5 = 2x(3 + 2x) e. (x + 1)(x + 2) = 2 f. (3x − 5)2 = 0

4 Résoudre les équations suivantes : a. 4(2 − x) + 5 = −3(2x + 3) − 12 b. 3x + 1 = 5x − 2 4 5 x 5 1 c. + = −x 3 6 2 d. x − (x + 1) = (x + 3) − (x − 3)

5 1. Imaginer un problème dont la solution serait donnée par l’équation 5x + 6 = 7x − 3. 2. Résoudre ce problème.

6 Dans chacun des cas suivants, factoriser le membre de gauche à l’aide d’une identité remarquable, puis résoudre l’équation obtenue. b. 1 + 8x + 16x2 = 0 a. x2 + 6x + 9 = 0

c. x2 − 2x + 1 = 0 e. 25x2 − 9 = 0

d. x2 − 16 = 0 f. 9x2 − 100 = 0

7 Résoudre les équations suivantes : a. (3x + 1) − (4x − 2) = 0 c. (4x + 3)(2 − 3x) = 6

b. 3x2 − 4x = 0 d. 4 + x = 2x − 9 8 3

8 1. Écrire trois équations du premier degré à une

inconnue qui ont 10 comme solution. 2. Écrire une équation à deux inconnues, x et y, qui a comme solution x = 8 et y = 12 . Vocabulaire 3. Écrire une équation du Une équation du second degré second degré à une incond’inconnue x contient un terme en x2. nue qui a 1 comme solution.

152

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se ramenant au 1er degré Je résous des problèmes simples a+b

chaque nombre est obtenu en faisant la somme des deux nombres a b situés en dessous de lui. Pour chacune des pyramides suivantes, trouver les nombres manquants. a.

b.

c.

129

22

21 5

4

11 21

12

1

4

3

D’après Petit x.

J’ai dessiné un carré ABCD, je l’ai transformé en rectangle en ajoutant 27 cm aux côtés [AB] et [CD], et en enlevant 15 cm aux côtés [AD] et [BC]. J’ai obtenu un rectangle qui a la même aire que le carré de départ. C H

A

B 27 F

14 1.

Trouve a tel que a + b + c = 80 et a = b + c.

2.

3.

SP

de 216 lorsque l’on diminue chacun des nombres de trois unités. Quels sont ces nombres ?

12 Hier soir, le Kawa Théâtre était plein à craquer

pour la représentation de la pièce 12 hommes en colère.. 87 entrées ont été vendues pour une 639 €. recette totale de 639 

Trouve a et b tels que a = 5b et a + b = 42.

Trouve a et b tels que b + 8 = a et 5a = 30.

Quelle est la mesure du côté du carré de départ ?

11 Le produit de deux nombres consécutifs diminue

REPRÉSENTER

à avoir été impératrice de Chine, elle l’a été de 690 à 705. Pour s’entourer des meilleurs conseillers, la légende dit qu’elle avait pour habitude de choisir celui qui résoudrait le premier un problème de son choix. En voici un :

EC

D 15 G

MODÉLISER

13 Wu Zetian est la seule femme

IM

10

CHERCHER

EN

9 Dans les pyramides ci-dessous,

RAISONNER

15 Les maths autour de moi Pendant les soldes, j’ai acheté un casque MP3 soldé à 30 %. Je l’ai payé 28 €. Combien valait le casque avant la réduction ?

16 TOP Chrono

Combien d’entrées à tarif réduit ont été vendues ?

Une délégation européenne va être envoyée à une conférence sur le climat. Elle sera composée de 75 personnes, parmi lesquelles il y aura 2 fois plus d’Italiens que d’Allemands, et 3 Allemands de moins que de Français. Calculer le nombre de représentants de chaque pays.

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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153

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14 Je comprends

Propriétés

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Sachant que −5 , x ¯ 3, encadrer le plus précisément possible −2x + 1. ÉTAPE 1

ÉTAPE 3

Il est difficile de traiter les deux inégalités à la fois, il faut donc les séparer. −5 , x ¯ 3 signifie que −5 , x et que x ¯ 3.

On traite l’autre inégalité x ¯ 3 pour faire apparaitre −2x + 1. x × (−2) ˘ 3 × ((−2) −2x ˘ − −6 6 −2x + 1 ˘ − −6 6 +1 −2x 2xx + 1 ˘ − 2 −5 5

Comme on multiplie par un nombre négatif, il faut changer le sens de l’inégalité.

Je m’entraine 1

ÉTAPE 5

On conclut. On a donc − −5 5 ¯ 2x 2 + 1 , 11.

CALCULER

REPRÉSENTER

4 Associer les inégalités équivalentes :

EC

Activités rapides

ÉTAPE 4

On fait une synthèse des deux inégalités. −2x + 1 1  doit être supérieur ou égal à – 5 et strictement inférieur à 11.

IM

10 . − 2x 10 + 1. − 2x + 1 11. − 2x + 1

EN

ÉTAPE 2

On traite l’inégalité −5 , x pour faire apparaitre −2x + 1. −5 × (−2) . x × (−2)

Vrai ou faux ? a. Si x , 27, alors x ¯ 29. 29. b. Si x ˘ 8 , alors x . 8. 8.. c. Si x . 8, alors x ˘ 8

SP

d. Si x . 9, alors − −2x −2 2xx . − 18.

2 Dans chacun des cas suivants, trouver cinq nombres qui vérifient les conditions attendues : a. x , − −7  −7 7 8 b. 0 , x , 8  c. x .12  d. 10 ˘ x .6  e. 3,1 ¯ x ¯ 3,2

3 Comparer les nombres suivants : a. −7,48 et − 38 5 b. 84,823 et 27π c. π et 104 348 33 215 13 860 33 461 d. et 33 461 80 782

n − 5 , 8

n,3

n , 13

n + 8 , 5

n + 5 , 8

n , –3

n − 5 , –8

n − 8 , 5

5 Associer les inégalités équivalentes : –5n , 20

n,4

n , 25

5n , 20

5n , –20

–5n , –20

n . –4

n.4

n . 25

n , –4

6 Sachant que −4 , a ¯ 5, proposer l’encadrement le plus précis possible pour : a. a + 3 b. a − 7 c. 6a

d. −2a

7 Représenter chacune des inégalités suivantes sur un axe gradué, comme dans l’exemple ci-dessous : 0

1

2

3

4

5

On prendra 1 cm pour 1 unité. a. x , −3 b. x ˘ 2,6 c. −4,5 , x , 2 d. 3 ˘ x ˘ 0,25

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des inégalités

8 Aux Jeux olympiques, les boxeurs

COMMUNIQUER CHERCHER

MODÉLISER CALCULER

COMMUNIQUER MODÉLISER

12 Les acrobates du cirque Panda réalisent des tours

extraordinaires. Voici trois dessins de Pierre, Julie, Igor et Florence sur une balançoire :

1. Qui est le plus léger ? Qui est le plus lourd ? 2. Si possible, classer les quatre acrobates du plus léger au plus lourd. Si c’est impossible, donner une preuve.

13 Les maths autour de moi

Les parents d’Hugo élèvent des canards dans le Gers. Il leur faut chaque jour entre 21 et 26 kg de nourriture pour 100 canards. Donner un encadrement de la quantité de nourriture nécessaire à l’élevage de 3 000 canards pendant 10 semaines.

IM

concourent par catégories : • moins de 48 kg : poids mi-mouches ; • entre 48 et 51 kg : poids mouches ; • entre 51 et 54 kg : poids coqs ; • entre 54 et 57 kg : poids plumes ; • entre 57 et 60 kg : poids légers ; • entre 60 et 64 kg : poids superlégers ; • entre 64 et 69 kg : poids welters ; • entre 69 et 75 kg : poids moyens ; • entre 75 et 81 kg : poids mi-lourds ; • entre 81 et 91 kg : poids lourds ; • plus de 91 kg : poids superlourds. Traduire ces catégories à l’aide des signes ˘ , <, . et , en notant M la masse du boxeur.

RAISONNER

EN

Je résous des problèmes simples

9 Dans chaque cas, trouver tous les entiers relatifs notés x qui vérifient les deux conditions suivantes : a. x ˘ 19 et x , 52 32 ; b. −7 , x , 5 et −3 ¯ x ¯ 8.

EC

10 Pour chacune des propositions suivantes, dire

SP

si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. a. « Quel que soit le nombre x que je choisisse, si x ˘ 19 , alors x ˘ 21 ». b. « Quel que soit le nombre x que je choisisse, si x .7 , alors x ˘ 7 ». c. « Si x , −11,, alors − −2x −2 2xx + 3 , − −19 19. »

11 Dans ce tableau se trouvent des nombres entiers. Sous chaque est caché un chiffre. Recopier et compléter le tableau en cochant les bonnes cases et en justifiant chaque réponse. L'inégalité L'inégalité est toujours est parfois vraie vraie

24 < 12 < 19 < 2 2 < 98 <

L'inégalité n’est jamais vraie

14 TOP Chrono Pour mettre une clôture autour d’une piscine, on a mesuré son périmètre avec une ficelle. Celle-ci mesure entre 97 cm et 1,03 m suivant qu’elle est relâchée ou tendue. Pour faire tout le tour, on a reporté 24 fois la ficelle, il restait alors un morceau d’environ 15 cm. Donner l’encadrement le plus précis possible du périmètre de cette piscine.

3 1 4 2 Aide

L’inégalité 27 < 3 est toujours vraie car quel que soit le , on aura toujours 27 < 3 . chiffre qui se cache sous

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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155

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10:49


15 Je comprends

Résoudre

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Résoudre l'équation −2(3x − 1) ˘ 15 − (x − 6) . ÉTAPE 1

ÉTAPE 3

ÉTAPE 2

Je m’entraine 1

CALCULER

REPRÉSENTER

c.

−4 −3 −2 −1 0

1

2

3

4

5

6

−4 −3 −2 −1 0

1

2

3

4

5

6

−4 −3 −2 −1 0

1

2

3

4

5

6

−4 −3 −2 −1 0

1

2

3

4

5

6

SP

d.

les mêmes solutions que l’inéquation n . 10. 2. a. Reprendre la question précédente avec l’inéquation x , −5 . b. De même avec l’inéquation 2y − 8 ˘ y + 1.

EC

Préciser à l’aide d’inégalités les nombres représentés sur chacun des axes gradués ci-dessous : b.

ÉTAPE 4

On conclut. Tous les nombres inférieurs ou égaux à 3,8 sont des solutions de cette inéquation.

5 1. Écrire cinq inéquations différentes qui auraient

Activités rapides

a.

Comme on divise par un nombre négatif, il faut changer le sens de l’inéquation

IM

On utilise des opérations pour regrouper l’inconnue dans un seul membre de l’inéquation. −6x + 2 ˘ 21 − x −6x + 2 + x ˘ 21 − x + x −5x + 2 > 21

On isole l’inconnue. −5x + 2 − 2 > 21 − 2 −5x ˘ 19 −5x ¯ 19 −5 −5 5 x¯− −3,8 3,8

EN

On développe et on réduit les deux membres de l’inéquation. −2(3x − 1) ˘ 15 − (x − 6) −2 × 3x + (−2) × (−1) ˘ 15 − x + 6 −6x + 2 ˘ 21 − x

2 Pour chacune des inéquations ci-dessous, dire

si le nombre − 7 est une solution ou non en justifiant la réponse. a. x ¯ 0 b. 10 − x ¯ −2x 0 c. 3(x + 7) .0 d. 3x2 + 1.4x + 6

3 Pour chacune des inéquations suivantes, trouver cinq solutions distinctes : a. 2x + 9 , 50 b. 4 − x ˘ 3x c. 32 , 5x − 3 d. 10x + 5 ¯ x + 4

4 Résoudre mentalement les inéquations suivantes : a. 2x .8 c. 10.5x e. x − 6 ˘ 0 g. 8 ˘ x + 10

b. d. f. h.

4 , −2x −5x , −15 9− x ¯6 −20 ¯ x + 10

6 1. Imaginer un problème que l’inéquation 8x + 6 , 50 permettrait de résoudre. 2. Résoudre le problème posé.

7 Résoudre les inéquations suivantes en justifiant chaque étape de calcul par la propriété utilisée : b. −4x ˘ 12 a. 9 , x + 3,2 d. 3x .15 c. x − 13 , 17 e. 3x + 4 , 16 f. − 5x , 9 7

8 Résoudre les inéquations suivantes : a. 6x + 5 ˘ 4x − 1 c. 5x + 1 ¯ 7x − 9

b. −5x − 6 , − x + 4 d. −8x + 1. 5x − 3

9 Résoudre les inéquations suivantes : a. 4x − 5 ˘ 3x + 1 c. 7x + 3 ¯ 4x + 5

b. −7x − 1 , − x + 2 d. −3x + 6 . 4x − 9

10 Résoudre les inéquations suivantes : a. 4(x − 1) , 5 c. − x + 2 ˘ 13 + 2x

b. 8 − 2x . − (2x + 6) d. 3 + 2(4 − x) ¯ 5x

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une inéquation Je résous des problèmes simples

RAISONNER

CHERCHER

MODÉLISER

11 À Barsac, en Gironde, la commune a proposé à 15 Quelle doit être la mesure du côté du triangle ses habitants d’utiliser des poules pour réduire la quantité de déchets. La famille de Marion se porte volontaire pour cette expérience. Ils ont 30 m de grillage pour réaliser une clôture rectangulaire contre un mur de leur maison.

pour que son périmètre soit supérieur à celui du carré ?

EN

20 cm

16 Les maths autour de moi

Le collège de Julien a obtenu une subvention de 980  € pour la sortie de fin d’année des 3e. Les professeurs envisagent d’amener les élèves qui le souhaitent voir un spectacle de théâtre équestre.

IM

Le mur de la maison mesure 4,85 m. Trouver toutes les dimensions possibles pour l’autre côté de cette clôture.

12 Combien doit mesurer [AE] pour que le périmètre du rectangle EDCF ci-dessous soit au moins le double du périmètre du rectangle AEFB ? E

D 18 cm

EC

A

F

B

24 cm

C

13 Avec la carte « Le Pass »,

SP

on paie 262,80 € 262,80 € et 30 € 30 € de frais de dossier pour pouvoir aller au cinéma autant de fois que l’on veut pendant un an. 11,50 € pour une séance. Le tarif normal est de 11,50  À partir de combien de séances par an cette carte devient-elle rentable ?

14 Quels nombres doit-on choisir pour que le résul-

tat du Programme n° 1 soit strictement supérieur à celui du Programme n° 2 ? Programme n° 1 • Choisir un nombre • Ajouter 6 • Multiplier par 5

Programme n° 2 • Choisir un nombre • Multiplier par − 3 • Ajouter 68

L’entrée du spectacle est de 18 € par élève, les accompagnants ne paient rien. Il faut prévoir également 350  € pour la location d’un bus de 55 places. Combien d’élèves pourront aller à ce spectacle ?

17 TOP Chrono Une entreprise fabrique des pièces de plomberie en quantité importante. Son gérant doit renouveler une de ses machines. Voici les propositions commerciales qui lui ont été faites : • machine A : cout d’achat 360 000 €, chaque pièce produite reviendra à 0,70 € ; • machine B : cout d’achat 480 000 €, chaque pièce produite reviendra à 0,50 €. Quelle est la machine la moins chère ? Étudier toutes les situations envisageables en fonction du nombre de pièces produites.

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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1 Réfléchir sur un problème ouvert

Une canette de soda en aluminium a la forme d’un cylindre de diamètre 6 cm. Quelle doit être la hauteur de la canette pour qu’elle contienne 33 cl de soda ?

2 Modéliser

DOMAINE 1 DU SOCLE

Voici les tarifs de différentes agences de location de voiture : Auto pas cher

Auto Sécurit-auto Classe-auto Discount

0,90 € 130 € kilométrage par illimité kilomètre

Forfait 45 € et 0,40 € par kilomètre

Forfait 80 € et 0,20 € par kilomètre

3 Vérifier une affirmation

DOMAINE 3 DU SOCLE

Deux à trois tonnes de bois sont nécessaires pour fabriquer une tonne de papier. On estime d’autre part qu’un hectare de forêt peut produire environ 9 m3 de bois par an et que 1 m3 de bois pèse entre 800 kg et 1 050 kg suivant l’espèce. En France, chaque année, la consommation de papier s’élève à 10 900 000 000 kg. 1. Donner un encadrement de la superficie de forêt nécessaire pour produire une tonne de papier. 2. Donner un encadrement de la superficie de forêt nécessaire pour produire le papier consommé en France chaque année.

6 Traduire dans un langage mathématique DOMAINE 1 DU SOCLE

Un éditeur vient de publier un nouveau roman. Les frais d’impression s’élèvent à 60  60 € pour chacun des 450 premiers exemplaires et 5  5 € pour chacun des suivants. Le prix de vente du roman est fixé à 28,50 €. 28,50  Combien faut-il vendre d’exemplaires au minimum avant de réaliser des bénéfices ?

7 Mettre en relation la géométrie et le numérique

SP

EC

La piscine extérieure d’une commune est rectangulaire et fait 25 m de long. Comme elle est en mauvais état, le maire envisage de la refaire. Pour qu’elle soit un peu originale, l’architecte propose de faire une piscine ronde et de l’entourer d’une bande de pelouse synthétique de 1,5 m de large et d’aire 120 m2.

1. Étienne n’est pas content : « La nouvelle piscine sera moins longue que l’ancienne. » A-t-il raison ? 2. Quel sera le rayon de la nouvelle piscine ?

4 Débattre

DOMAINE 3 DU SOCLE

Il existe des nombres dont le double est strictement supérieur au triple.

Vrai ou faux ? Donner une preuve.

DOMAINE 5 DU SOCLE

IM

Quelle est l’agence la moins chère ? Étudier toutes les situations possibles en fonction du nombre de kilomètres parcourus.

5 Utiliser des informations

EN

Objectifs 12 13 14 15

DOMAINE 1 DU SOCLE

ACGF et EFBD sont des rectangles. Le point F est un point du segment [AB]. C

G

5

E

A

F

D 3 B 17

1. Où doit-on placer F sur [AB] pour que les rectangles ACGF et EFBD aient la même aire ? 2. Où doit-on placer F sur [AB] pour que les rectangles ACGF et EFBD aient le même périmètre ?

8 Raisonner

DOMAINE 3 DU SOCLE

Une cartouche d’encre noire pour imprimante achetée en magasin coute 17,90 euros. Sur le site Internet Info+, la même cartouche coute 16,50 euros mais il y a des frais de port d’un montant de 4,90 euros quel que soit le nombre de cartouches achetées. À partir de combien de cartouches acheter sur Internet est-il plus économique qu’acheter en magasin ?

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REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

CALCULER

9 Étudier un problème qui se ramène au 1er degré

Un patron fait trois propositions de rémunération à un commercial : – il reçoit 10 % du montant de ses ventes ; – il touche un salaire fixe de 800  € et 5  % du montant de ses ventes ; – il touche un salaire fixe de 1 500 € et 1 % du montant de ses ventes. 1. Quelle est la situation la plus avantageuse pour le commercial ? Étudier toutes les possibilités en fonction du montant des ventes réalisées. 2. Donner un argument en faveur de chacune des formules proposées.

10 Prouver avec un calcul littéral 1. Sur les figures ci-dessous, BCD et FGH sont des triangles équilatéraux et ABDE est un rectangle. G

B

x E

C F

D

6

x+4

H

12 Extraire les informations utiles

6

F

3

G

4x + 5 4x

2x + 1

C

D

A

E

DOMAINE 4 DU SOCLE

EDF propose deux formules d’abonnement : • option de base : 117,20 € par an d’abonnement et 0,1467 € par kWh consommés ; • option heures creuses/heures pleines : 126,52  € par an d’abonnement, 0,1114  € en heures creuses et 0,16 € en heures pleines.

1. Combien coute une année d’électricité pour cette famille avec l’« option de base » ? 2. Combien paierait cette famille si elle prenait l’option «  heures creuses  » et que l’intégralité de sa consommation se fasse au tarif « heures creuses/heures pleines » ? 3. En pratique, le tarif « heures creuses » n’existe que 8 h par jour. Combien de kWh au minimum faut-il consommer à ce tarif pour que cet abonnement soit rentable pour cette famille ?

EC

Est-il possible que ces deux figures aient le même périmètre ? Si oui, préciser tous les cas possibles ; si non, donner une preuve. 2. ABCD et EFGH sont deux rectangles : B

MODÉLISER

IM

A

CHERCHER

EN

RAISONNER

H

13 Argumenter une réponse

DOMAINE 1 DU SOCLE

Fatou et Jérôme sont vendeurs dans un magasin de surf. Fatou perçoit comme salaire 15 % du montant des ventes effectuées dans un mois et Jérôme perçoit un fixe mensuel de 700 € et 8 % du montant des ventes effectuées dans le mois.

SP

Est-il possible que ces deux figures aient la même aire? Si oui, préciser tous les cas possibles ; si non, donner une preuve.

D’après IREM d’Aquitaine.

11 Modéliser

DOMAINE 1 DU SOCLE

Pendant la période estivale, un marchand de glaces dépense 75 € environ pour fabriquer 150 glaces. Sachant qu’une glace est vendue 2,80 €, combien doit-il vendre de glaces par jour en moyenne pour pouvoir faire un bénéfice supérieur à 2  000 € par mois ?

En fonction du montant des ventes, dire qui de Fatou ou de Jérôme est le mieux payé.

14 Mettre en équation un problème

Rémi part à pied de chez lui à 10 h 40 pour faire une grande et belle promenade. Il marche à la vitesse moyenne de 6 km/h. À 12 h 30, son frère Gauthier part avec son vélo pour le rattraper. Il roule à la vitesse moyenne de 42 km/h. À quelle heure Gauthier rejoindra-t-il Rémi ? Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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Dans les autres matières 15 Cocktail !

16 The calculators

EN

Andrew and Fiona enter the same number on their calculators. Andrew adds 4, then multiplies the result by 3. Fiona multiplies it by 5, then subtracts 2. 1. What numbers must they choose for Fiona's result to be higher than Andrew's? 2. What should the starting number be if their final results are the same?

17 Muscle ou cerveau ?

Le débit cardiaque est le volume de sang fourni par le cœur (en L/min), il dépend de l’effort physique réalisé. Des De D es sd dé débits éb bit its ss san sanguins ang gu uiins ns var variables Repos Rep Re po p oss o Effort Cerveau Ce C errv veau eau 14 % 14

IM

1. Si on mélange 1  L de Tropi et 5  L de Quita, quelle sera la proportion de jus d’orange dans les 6 L obtenus ? 2. Guilhem souhaite mélanger du Tropi à du Quita pour obtenir un mélange contenant au moins 80 % de jus d’orange. Quelle quantité de Quita doit-il ajouter à 1 L de Tropi ? 3. Quelle quantité de Quita doit-il ajouter à 1 L de Tropi pour obtenir un mélange contenant 72 % de jus d’orange ? Aide

Muscles Mu M usc scll 20 % 20

Muscles 84 %

Res Reste Re stte e du d corps 3 mL/min 3 300

Reste du corps 3 100 mL/min

1. Calculer le débit cardiaque (en L/min) au repos. 2. Calculer le débit cardiaque pendant l’effort.

EC

Il est possible d’utiliser un tableur.

Cerveau 3,6 %

Enseignement Pratique Interdisciplinaire

Sciences, technologies et sociétés

Mathématiques & Histoire

Les sciences arabes : un trait d’union entre l’Asie et l’Europe

SP

Vers 600 après J.-C., l’influence arabe sur les sciences commence à se faire sentir. À cette époque, les Arabes ont conquis de nombreuses régions et s’intéressent aux connaissances qui s’y sont développées ce qui leur permet, après une phase d’assimilation, de diffuser, à partir du e siècle, une production originale. À partir du e siècle, les savants arabes et occidentaux se pressent à Bagdad qui devient alors un pôle culturel et scientifique de premier plan. Quelques ouvrages mathématiques arabes sont traduits en latin et en hébreu, favorisant ainsi la diffusion en Europe de la pratique du calcul avec le système décimal (les chiffres arabes), de l’algèbre avec ses équations et de la trigonométrie.

Projets

Étudier des textes anciens pour comprendre l’importance de l’apport des sciences arabes. Relier cet apport à leurs origines pour étudier le monde islamique au Moyen Âge. Notions mathématiques : Résolution d’équations • Algèbre élémentaire 160

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ues

mathématiq

à la maison 21 Essence ou diésel ?

Loto des équations Ce jeu se joue à trois, quatre ou cinq joueurs. Matériel : • cinq cartes-solutions numérotées de 1 à 5 : 1 2 3 4 • 20 cartes-équations ci-dessous :

• Une Citrogeot 1.4 HDI 90 ch (diésel) consomme en moyenne 5,1 L pour 100 km et coute 18 000 € à l’achat.

5

7x − 2 = 2x + 3

x +1= x + 3 2

2x + 3 = 1 x+4

3x − 2 = x + 4

7x − 5 = 2x + 10

x +1= x + 9 3

2x + 4 = 1 3x + 1

3x − 2 = x + 8

7x − 7 = 2x + 18

x + 1 = x + 19 4

5x + 1 = 1 3x + 11

3x − 2 = x × x

7x − 4 = x + 8

x +1= x + 4 2

5x + 1 = 1 3x + 5

3x − 2 = 2x + 2

7x − 10 = 3x 3x + 6

x + 1 = 4x − 1 3

x×x+6 =1 5x + 2

• Une Citrogeot 1.475 ch (essence) consomme en moyenne 6,7 L pour 100 km et coute 14 500  14 500 € à l’achat. 1,099  • Un litre de diésel coute 1,099 €. • Un litre de SP95 coûte 1,288 €. 1,288  1. Pour quelqu’un qui roulerait 50 000 km, quelle est la voiture la plus économique ? 2. Pour quelqu’un qui roulerait 250 000 km, quelle est la voiture la plus économique ? 3. Quelle distance faut-il parcourir pour que la Citrogeot diésel soit le choix le plus économique ? 4.

EC

IM

3x − 2 = x

EN

18

SP

Règle du jeu : on distribue une carte-solution à chaque joueur et les cartes-équations forment la pioche face cachée. • Un joueur retourne une carte-équation et la montre. Le joueur qui a la carte-solution de l’équation gagne la carte. Si aucun joueur n’a la solution, la carte est remise dans la pioche. • Le premier joueur qui a quatre cartes-équations dit « Quine » et remporte la partie.

Quels choix ferais-tu ? Argumente ta décision.

22 Le beurre Le lait a une masse volumique moyenne de 1 030 g/L.

:3

19 Défi !

Trouve tous les nombres de la chaine.

−6

×4

×3

− 14 :2

20 Énigme

apprend que Hector, âgé de 50 ans aujourd’hui, actuellement est l’espérance de vie dans son pays ue année. chaq mois 2 de ente de 78 ans et qu’elle augm année lle que en vait, rsui pou se Si cette évolution de ce vie dans l’âge d’Hector serait-il égal à l’espéran son pays ? tières. fron D’après Rallye Mathématiques sans

Pour fabriquer du beurre, Julie a acheté 50 L de lait qui pèsent 51,29 kg. Elle soupçonne le vendeur d'avoir mis de l’eau dans son lait… 1. Julie a-t-elle raison ? 2. Quelle quantité d’eau y a-t-il dans le lait qu’elle a acheté ? Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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16 Je comprends

Utiliser

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

2. a. On choisit x quelconque au départ. • On enlève 2 et on obtient : x – 2. • On prend le double du résultat précédent et on obtient : 2 × (x – 2). • On ajoute 4 et on obtient le nombre N = 2 × (x – 2) + 4. b.  En appliquant la distributivité, on peut simplifier : N = 2 × (x – 2) + 4 = 2x – 4 + 4 = 2x.

On donne le programme de calcul suivant :

1. Appliquer ce programme au nombre 3 choisi au départ. 2. a. Exprimer le nombre N obtenu à l’issue du programme de calcul en fonction du nombre x choisi au départ. b. Simplifier l’expression obtenue. 3. En utilisant l’expression simplifiée, compléter rapidement ce tableau : 5

7

12,5

N peut se noter N((x) x) car le nombre obtenu à la fin du programme de calcul dépend du nombre x choisi au départ, N est une fonction.

On note ainsi : N(x) N(( = 2x. N 3. Pour compléter le tableau en utilisant l’expression simplifiée, il suffit de multiplier le nombre de départ par 2 car N(x) = 2x.

IM

Nombre de départ x Nombre obtenu N(x)

EN

• Choisir un nombre x • Enlever 2 • Prendre le double du résultat précédent • Ajouter 4

EC

1. On choisit x = 3 au départ. • On enlève 2 et on obtient : 3 – 2 = 1. • On prend le double du résultat précédent et on obtient : 2 × 1 = 2. • On ajoute 4 et on obtient : 2 + 4 = 6. On obtient 6 en prenant 3 au départ.

Je m’entraine 1

Nombre de départ x Nombre obtenu N(x)

5 10

7 14

12,5 25

CALCULER CCA ALLCCUL ULEERR

Activités rapides

SP

a. A est égal au produit d’un nombre x par 7. Exprimer A en fonction de x. x. b. B est égal à la somme du carré d’un nombre x et de 5. Exprimer B en fonction de x. c. C est égal au quotient d’un nombre x par la somme de 4 et de x. x. Exprimer C en fonction de x.

2 On donne le programme de calcul suivant : • Choisir un nombre x • Prendre son carré • Diviser par 2 • Ajouter le nombre de départ

Exprimer le nombre N obtenu à l’issue du programme de calcul en fonction du nombre x choisi au départ.

3 On donne le programme de calcul suivant : • Choisir un nombre x • Prendre son carré • Multiplier par 3 • Ajouter 5

Exprimer le nombre N obtenu à l’issue du programme de calcul en fonction du nombre x choisi au départ.

4 À toute longueur x, on fait correspondre l’aire d’un carré de côté x. Écrire une expression de la fonction f ainsi définie.

5 À toute longueur x, on fait correspondre le volume

d’une pyramide de base 5 cm2 et de hauteur x. Écrire une expression de la fonction f ainsi définie.

6 À toute longueur x, on fait correspondre la lon-

gueur du cercle en fonction du rayon x. Écrire une expression de la fonction f ainsi définie.

162

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la notion de fonction Je résous des problèmes simples 7 Une balle est lancée depuis une hauteur de

7  mètres, puis rebondit. Ce graphique représente la hauteur de la balle en fonction du temps :

COMMUNIQUER

Les maths autour de moi

9

Comme tous les dimanches matin, Élise fait son footing le long du canal. À l’aide d’une application GPS, elle peut afficher un graphique représentant la distance à son domicile en fonction du temps :

Hauteur (en mètre) 7 6 5 4 2

EN

Distance (en kilomètre)

3

5

1 0

CALCULER

MODÉLISER

4

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

Temps (en seconde)

2 1

0

10

EC

IM

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 1. Quelle est la hauteur approximative de la balle après 0,2 seconde ? après 1 seconde ? 2. Combien de fois la balle se trouve-t-elle à une hauteur de 2 mètres ? 3. Quelle est la hauteur maximale de la balle après le premier rebond ? après deux rebonds ? 4. Après le deuxième rebond, combien de temps faut-il approximativement à la balle pour retoucher le sol ?

3

8 Ce graphique représente l’évolution du pourcentage de population atteinte par une épidémie de gastro-entérite en fonction du temps :

SP

Pourcentage de la population

8 6 4 2

0

2

4

6

8

20

30

40

Temps (en minute)

La maison d’Élise se situe le long du canal qui est rectiligne. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 1. Quelle est la durée du footing d’Élise ? 2. Quelle distance Élise a-t-elle parcourue ? 3. Que se passe-t-il après 20 minutes de footing ? 4. Durant quelle période Élise est-elle la plus rapide ?

10 Écrire une expression de la

fonction f qui, à x, fait correspondre l’aire de la couronne mauve ci-contre. Aide

L’aire d’un disque de rayon r est égale à πr2.

Temps (en jour)

11 TOP Chrono On donne le programme de calcul suivant : • Choisir un nombre x • Enlever 5 • Prendre le carré du résultat précédent

Quel nombre faut-il choisir au départ pour trouver 1 à la fin ? Expliquer.

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

163

m

10 12 14 16 18 20

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 1. Après combien de jours le pourcentage de la population atteinte par la maladie dépasse-t-il 5 % ? 2. Après combien de jours l’épidémie a-t-elle atteint son seuil maximal ? 3. Durant quelle période le pourcentage de la population atteinte est-il supérieur à 7 % ?

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x 6c

163

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17 Je comprends

Déterminer l’image

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

b.  Par lecture directe du tableau, on voit que l’image de 3 par la fonction g est égale à 2.

Pour chaque fonction f, g et h, déterminer l’image de 3. Les fonctions f, g et h sont données par : a. l’expression de la fonction f : f(x) = 4  ; 5− x b. le tableau de valeurs de la fonction g : 3 2

4 4

1 1

a.  ÉTAPE 1 On remplace x par 3. ÉTAPE 2

4

4 4

c. On c. On cherche le point de la courbe dont l’abscisse est égale à 3. On trouve A (3 ; – 2). L’image de 3 par la fonc1 3 tion h tion  h est égale à – 2. 0

= 2. 5 3 L’image de 3 par la fonction f est égale à 2.

–2

EC

On calcule f (3) =

Je m’entraine 1

5 6

Avec la calculatrice, il est possible d’obtenir un tableau de valeurs d’une fonction dont on connait Calculatrice 14 l’expression.

IM

0

3 2

Remarque

5 6

c. la courbe représentative de la fonction h :

2 8

EN

2 8

x g (x)

x g (x)

1

A

CALCULER CCA ALLCCUL ULEERR

Activités rapides

SP

Traduire chacune des phrases suivantes par l’expression d’une fonction de la forme x ! … a. L’image de x est égale à la somme du double de x et de 4. b. L’image de x est égale à l’inverse du carré de x. c. L’image de x est égale à la différence de x et du carré de x.

2 On considère la fonction f qui, à un nombre, asso-

cie son double. Calculer les images de 2 et – 3 par la fonction f.

3 On considère la fonction g qui, à un nombre,

associe son carré. Calculer les images de 3 et – 7 par la fonction g.

4 Soit f une fonction. Par cette fonction, on donne : • – 2 ∞ 5 • – 1 ∞ 6 • 3 ∞ 2 • 5 ∞ – 1 • f (7) = –3 • f (10) = 0 • f (12) = 5 • f (15) = 6 1. Quelle est l’image de –1 par la fonction f ? 2. Quelle est l’image de 5 par la fonction f ? 3. Quel nombre a pour image 0 par la fonction f ? 4. Quels nombres ont pour image 6 par la fonction f ?

5 On a représenté graphiquement la fonction f : 1 0

1

Lire graphiquement les images de 1 et – 2 par la fonction f.

164

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d’un nombre par une fonction Je résous des problèmes simples 6 On donne le tableau de valeurs d’une fonction g : –3 –5

x g (x)

–2 6

–1 0

0 –1

1. Donner les images de – 2 et – 1 par la fonction g. 2. Recopier et compléter : g (– 3) = … et g (…) = – 1.

MODÉLISER

tableau suivant :

L’image de 1 par la fonction f est 2. L’image de 3 par la fonction f est –1.

f (– 1) = 5 ff : 6 ∞ – 6

12 Les maths autour de moi

La courbe ci-dessous représente la fonction f qui exprime le taux d’équipement en pourcentage des ménages de France métropolitaine en téléphone portable en fonction des années : 80

70

60

40

9 Soit trois fonctions f, g et h définies par : x f (x)

20

EC

• un tableau : –4

–2

1

2

3

4

5

5

–2

5

–2

–4

1

1

SP

3xx − 4 ; • une formule : g(x) = 3 • la courbe #h ci contre. Dans chaque cas, pré#h ciser de quelle fonc1 tion il s’agit : a. l’image de 3 par 0 1 cette fonction est –4 ; – 4 ; b. l’image de 4 par cette fonction est 8 ; 2 par cette fonction est 2. c. l’image de – –2

mensuel dans une entreprise en fonction de l’âge x des salariés : 20

25

30

35

40

45

50

55

0 2004 2006 2008 2010 2012

Source : Insee

Vrai ou faux ? 1. f (2004) = 60. 2. f (2009) = 80. 3. L’image de 85 par f est environ 2 010. 4. 90 est l’image de 2013.

13 TOP Chrono

10 Soit f une fonction exprimant le salaire moyen x

f : 1 ∞ 2

IM

f (x) = 5x exprime en km la distance parcourue en 5 h à la vitesse de x km/h. 2. Quelle distance parcourt-on en 5 h si on roule à 50 km/h ? à 70 km/h ? à 115 km/h ?

f (1) = 2

EN

8 1. Expliquer pourquoi la fonction f définie par

COMMUNIQUER

11 Soit f une fonction. Recopier, puis compléter le

7 On considère la fonction f définie par f(x) = 0,6x

exprimant le prix à payer après une réduction pour un article coutant au départ x euros. 1. Quel est le taux de réduction accordé en pourcentage ? 2. Combien va-t-on payer pour des articles affichés respectivement à 50 € et 60 € ?

CALCULER

60

f (x) 1 500 1 700 1 900 2 100 2 250 2 400 2 550 2 650 2 750

1. Quel est le salaire moyen à l’âge de 30 ans ? à l’âge de 50 ans ? 2. Recopier et compléter : f (35) = … et f : 25 ∞ …

Soit g une fonction définie par la # courbe  #. Répondre aux questions sui1 vantes par lecture graphique. 0 1 1. Quelle est l’image par la fonction g de – 1 ? 2. Quels nombres ont pour image 3 par la fonction g ? 3. Peut-on affirmer qu’au moins trois nombres ont pour image 0 par la fonction g ? Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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18 Je comprends

Déterminer un antécédent

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

On constate que la valeur 0 convient, donc 0 est un antécédent de 2 par la fonction f. b.

Pour chaque fonction f, g et h, déterminer des antécédents de 2. Les fonctions f, g et h sont données par : a. l’expression de la fonction f : f(x) = x2 + 2 ; b. le tableau de valeurs de la fonction g : 3 1

5 –1

7 2

c. la courbe représentative de la fonction h : #

1

3 1

1

A

Je m’entraine

B

2

C

1 −2 −1 0

1

2

EC

4 On considère la fonction f définie par la courbe #

Activités rapides

SP

2 Soit h une fonction dont voici un tableau de valeurs : x

– 10 – 6

–2

h (x)

4,6

0,5 – 3,6 – 6

1

3

CALCULER AALLCCUL ULEERR

On considère les trois fonctions suivantes : •f(x) = 4x – 5  • g(x) = 9 – x2 • h h(x) h( (xx)) = x + 2 x –2 Compléter les phrases suivantes. a. 3 est un antécédent de 0 par la fonction … b. 3 est l’image de 2 par la fonction … c. 6 est un antécédent de 2 par la fonction … d. 0 a pour image – 1 par la fonction …

2

7 2

4

#

a. On effectue quelques tests : f(1) = 12 + 2 = 3, f(0) = 02 + 2 = 2.

1

5

–1

7 est un antécédent de 2 par la fonction g. c.  On cherche des points de la courbe dont l’ordonnée est égale à 2 2.. On trouve A(– – 1 ; 1 ; 2), 2), B(1 ; B(1 ; ; 2) B(1 2) et C(2 ; C(2 ; ; 2). C(2 2). Des antécédents de 2 par la fonction h sont : – 1 ; 1 et 2. 2.

IM

0

1 3

EN

1 3

x g (x)

x g (x)

3

5

7

9

–2

0,5

5

1. Donner un antécédent de – 3,6 par la fonction h. 2. Donner un antécédent de – 6 par la fonction h. 3. Quelle est l’image de – 2 par la fonction h ?

3 On considère la fonction f définie par f (x) = 3x – 1. 1. Déterminer un antécédent de 2 par la fonction f. 2. Déterminer un antécédent de 14 par la fonction f.

ci-dessous :

4 3

#

2 1

–2

–1

0

1

2

3

4

Recopier et compléter : a. un antécédent de 4 par la fonction f est le nombre ... ; b. le nombre 4 est un antécédent de … par la fonction f ; c. le nombre 0 est un antécédent de … par la fonction f.

5 Soit f une fonction. Par cette fonction, on donne :

• – 6 ∞ 5 • – 4 ∞ 7 • – 2 ∞ 11 • 0 ∞ 9 • f (2) = 7 • f (4) = 2 • f (6) = – 4 • f (8) = – 6 1. Donner un antécédent de 2 par la fonction f. 2. Donner un antécédent de – 4 par la fonction f. 3. Quel nombre a pour antécédent – 6 par la fonction f ?

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d’un nombre par une fonction Je résous des problèmes simples

CALCULER

MODÉLISER

COMMUNIQUER

9 Soit f une fonction. Recopier, puis compléter le

6 Dans la petite entreprise

tableau suivant :

Rouletaboule, le bénéfice réalisé par la vente de x jouets est donné, en euros, par la fonction f représentée ci-dessous.

2 est un 3 est l’image antécédent de 3 de 2 par f (2) = 3 par la fonction f. la fonction f. f (3) = 5

f : 2 ∞ 3

f (– 3) = 7 400

10 On a représenté ci-dessous les courbes de deux

200

fonctions f et g g : :

100 0

EN

f : 1 ∞ – 5

300

#f

10

20

30

40

50

60

1

0

IM

1. Quel est le bénéfice réalisé pour 20  jouets fabriqués ? 2. Combien de jouets faut-il fabriquer pour avoir un bénéfice égal à 100 euros ? à 300 euros ?

#g

7 On considère la fonction f définie par f (x) = 3xx2 + 1.

8

Recopier et compléter les phrases suivantes par « f » « f «  ff »  » ou « g ». «  1. L’image de – 2 par la fonction … est 3. 2. Un antécédent de – 1 par la fonction … est – 3. 3. Un antécédent de – 2 par la fonction … est 3.

EC

1. Quelle affirmation est exacte ? a. 28 est un antécédent de 3 par la fonction f. f. b. 3 est un antécédent de 28 par la fonction f. f. 2. Parmi les nombres suivants, quels sont les antécédents de 4 : – 1 ? 0 ? 1 ? 2 ?

Les maths autour de moi

SP

Sur route sèche, lorsque l’on conduit un véhicule et que l’on décide de s’arrêter, la distance d’arrêt D en mètre s’exprime en fonction de la vitesse du véhicule x en km/h. 2 D(x) D( (xx)) = x + x . On donne D 3,6 155 Sur sa mobylette, Charlotte roule à 30 km/h. Elle voit un chien qui traverse la route à 50 m et commence à freiner. Pourra-t-elle s’arrêter à temps ? On donnera une distance d’arrêt arrondie au mètre près.

1

11 TOP Chrono Soit f une fonction représentée graphiquement par la courbe # : 2

#

1 0 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

–2

Lire graphiquement : a. une valeur approchée d’un antécédent de 1 par la fonction f ; b. l’image de 1 par la fonction f ; c. un antécédent de 2 par la fonction f ; d. une valeur approchée de l’image de 2 par la fonction f ; e. une valeur approchée de l’image de 8 par la fraction f. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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4 Faire des lectures graphiques

Objectifs 16 17 18

1 Calculer une aire 1. Exprimer, en fonction de x, le périmètre P de la figure ci-dessous. x

A

DOMAINE 1 DU SOCLE

Roberto le roi de la pétanque lance sa boule pour tenter de la plomber juste à côté du cochonnet. Ce graphique représente la hauteur de sa boule de pétanque en fonction du temps.

B

Hauteur (en m) 6

2

D

C

4 2

E

2 Faire des lectures graphiques

Soit g une fonction représentée graphiquement par la courbe # : #

1,2

1,6

2,0

Temps (en s)

Plomber une boule, c’est faire en sorte qu’elle ne roule pas après avoir touché le sol.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique en donnant éventuellement une valeur approchée. 1. À quelle hauteur la boule se trouve-t-elle après une demi-seconde ? après une seconde et demie ? 2. Durant combien de temps la boule se trouvet-elle à plus de 5 mètres du sol ? 3. Quelle hauteur maximale la boule atteint-elle ? Combien de temps met-elle pour atteindre cette hauteur ? 4. Au bout de combien de temps, la boule de pétanque retombe-t-elle au sol ?

EC

0,2

0,8

IM

2. Calculer ce périmètre pour x = 4, puis pour x = 5,5. 3. Exprimer, en fonction de x, l’aire A de la figure. 4. Calculer cette aire pour x = 6, puis pour x = 7. 3

0,4

EN

0

F

0

0,2

SP

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 1. Quelle est l’image de 0 par la fonction g ? g ? Quelle est l’image de 0,6 par la fonction g ? g ? 2. Quels nombres ont pour image 0 par la fonction g ? 3. Peut-on affirmer qu’au moins trois nombres ont pour image – 0,1 par la fonction g ? 4. Pour – 0,8 , x , – 0,2, donner une valeur approchée de la plus grande image par g.

3 Tracer une courbe point par point à la calculatrice

1. À l’aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau de valeurs : x

– 1,2 – 1 – 0,8 – 0,6

f (x) =

x2

1,8 2

– 3x

Calculatrice 14

2. Représenter graphiquement les données du tableau dans un repère. On prendra 1 cm en abscisse pour 0,2 unité et 1 cm en ordonnée pour 0,5 unité.

5 Appliquer des programmes de calcul DOMAINE 4 DU SOCLE

On donne les programmes de calculs suivants : Programme n° 1 • Choisir un nombre • Prendre son carré • Ajouter 5

Programme n° 2  • Choisir un nombre • Ajouter 5 • Prendre son carré

1. Appliquer les deux programmes en choisissant le nombre 3 au départ. 2. On considère les deux fonctions f et g définies par f (x) = (x + 5)2 et g (x) = x2 + 5. Associer chacune des fonctions f et g à l’un des programmes de calcul ci-dessus. 3. On considère la fonction h définie par : h (x) = (x + 3)2 Écrire un programme de calcul correspondant à la fonction h.

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MODÉLISER

REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

6 Utiliser le théorème de Thalès

C

On considère un triangle ABC E rectangle en B tel que AB = 5 cm et BC = 3 cm. x D B D est un point A quelconque du segment [AB]. La droite perpendiculaire à [AB] et passant par D coupe le segment [AC] en E. On pose AD = x. 1. En appliquant la formule de Thalès, exprimer la longueur ED en fonction de AD. 2. Soit f la fonction qui, à x, fait correspondre la longueur ED. Vérifier que f(x) = 3 x . 5 3. Recopier et compléter le tableau de valeurs : x

0

1

2

3

4

4. Quelle est l’image de 2,5 par f ? Donner une interprétation géométrique de ce résultat.

7 Résoudre une équation

2. À l’aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau de valeurs : x

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

SP

f (x)

10 Résoudre graphiquement une équation DOMAINE 3 DU SOCLE

Soit f et g deux fonctions. On a représenté cidessous la courbe représentative #1 de f et la courbe représentative #2 de g :

EC

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer toutes les valeurs entières comprises entre 1 et 6 prises par la fonction f : x ∞ x2 + 1,8 1,8xx – 16. Calculatrice 14

Mejda dispose d’un petit plat à tajine qui a la forme d’un cône de révolution de hauteur 6 cm. On pose x le rayon de sa base. 1. Démontrer que la fonction V qui donne le volume du plat en fonction de x est définie par : V(x)) = 2 2πx 2π πx2 πx 2. Le volume du plat est-il proportionnel au rayon de la base ? 3. Calculer l’image par V des nombres 5, 10 et 12. On donnera les valeurs exactes et les valeurs arrondies de ces images à 10 –2 près. 4. Trouver un antécédent de 128π 128 et représenter dans ce cas une vue de face du plat.

IM

f (x)

5

9 Résoudre un problème de volume

EN

CALCULER

Calculatrice 14

3. En déduire une solution de l’équation : 1,8xx – 16 = 0 x2 + 1,8 4. Faire de même pour trouver une solution de 3,5x + 3 = 0. l’équation x2 – 3,5x

8 Utiliser la courbe d’une fonction

DOMAINE 2 DU SOCLE

On considère la fonction g définie par : g(x) = x − 6 5− x 1. Quelle est l’image de 6 par la fonction g  ? En déduire que le point A(6 ; 0) appartient à la courbe représentative # de la fonction g. 2. Montrer que le point B(4 ; – 2) appartient à #. 3. Le point K(10 ; – 1) appartient-il à # ? 4. Expliquer pourquoi il n’existe pas de point d’abscisse 5 qui appartient à la courbe #.

#1 #2 1

0

1

1. En s’aidant des graphiques, associer chacune des expressions suivantes aux fonctions f et g : x ! x + 1 et x ∞ x2. 2 2. Peut-on affirmer que l’image de 1 par la fonction f est égale à l’image de 1 par la fonction g ? Expliquer. 3. Existe-t-il au moins un nombre dont son image par la fonction f est égale à son image par la fonction g ? 4. En déduire deux valeurs approchées de x pour lesquelles x + 1 = x2 . 2

11 Résoudre un problème ouvert

À l’aide d’une représentation graphique, déterminer une valeur approchée du rayon d’un cercle dont l’aire est égale à celle d’un carré de côté 5 cm. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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Dans les autres matières 12 Population mondiale

Les tableaux ci-dessous présentent l’évolution de la population mondiale en millions d’habitants. Années 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Millions 250 200 200 225 250 400 375 575 950 d’hab.

13 Distance de freinage

La distance de freinage f d’un véhicule (en m) est fonction de sa vitesse v (en km/h). Sur route sèche, elle est donnée par la formule : 2 f(v) vv)) = v 155 1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

EN

Années 1900 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Millions 1650 2525 3025 3700 4450 5275 6100 6850 d’hab.

2. Commenter l’allure de la courbe à partir de 1900 et en donner une interprétation démographique. 3. La peste noire a ravagé une partie de l’Europe. À l’aide du graphique, retrouver l’époque où elle a sévi.

v

20

40

60

80

100 120 140 160

f(v)

IM

2. Représenter graphiquement les données du tableau dans un repère. On prendra : • 1 cm en abscisse pour 10 km/h ; • 1 cm en ordonnée pour 10 m. On reliera les points à main levée. 3. Peut-on affirmer que la distance de freinage d’un véhicule est proportionnelle à sa vitesse ?

EC

1. Sur papier millimétré, représenter les données des tableaux par une courbe correspondant au nombre d’habitants en fonction des années. On prendra : • 1 cm en abscisse pour 100 ans ; • 1 cm en ordonnée pour 250 millions d’habitants.

Enseignement Pratique Pratique Interdisciplinair Inter Interdisciplinaire disciplinair

Mathématiques & Physique-chimie

SP

Sciences, technologie et société

Des courbes vertigineuses vertigineuses

Le Kingda Ka du parc de loisirs, Six Flags Great Adventure aux États-Unis est la plus haute montagne russe du monde. Les courbes de ce grand huit, qui culminent à 139 m, emmènent le train dans une chute vertigineuse qui lui permet d’atteindre la vitesse de 206 km/h. Les forces centrifuges exercées sur les armatures sont considérables. Pour cette raison, lors de la conception d’un grand huit, l’étude des courbes est confiée à des mathématiciens.

Projet

Rechercher des courbes mathématiques remarquables qui trouvent leurs applications dans de nombreux domaines de la physique, les représenter point par point et effectuer des lectures graphiques pour comprendre à quoi elles correspondent dans la réalité. Notions mathématiques : Fonctions • Représentation graphique 170

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ues

mathématiq

à la maison 18 Courbe point par point

Demander à un(e) camarade de choisir un nombre entier compris entre 1 et 10, puis, lui dicter les calculs suivants : – multiplier par 3 l’entier qui suit le nombre choisi ; – enlever 3 au résultat ; – soustraire le nombre de départ. Pour retrouver le nombre choisi par le ou la camarade, il suffit de prendre la moitié du résultat qu’il ou elle donnera après calculs. Pourquoi ?

1. Recopier et compléter le tableau suivant : x

x2

x2 2

x2 + 5 2

3x

2 f (x) = x + 5 – 3x 2

0 1 2 3

EN

Mathémagie

14

4

16

8

13

12

1

5

15 Les récipients

6 7

8

IM

Les quatre récipients ci-dessous ont le même volume et la même hauteur. On les remplit à ras bord avec un même robinet dont le débit est constant.

9

2

1

10

4

3

2. Pourquoi le point de coordonnées (4 ; 1) appartient-il à la courbe représentative de la fonction  fonction f ? 3. Dans un repère, placer les points de la courbe de la fonction f correspondants aux différentes valeurs de x du tableau. Relier ces points à main levée.

EC

Les courbes représentant la hauteur d’eau en fonction du temps de remplissage sont tracées ci-dessous. Associer chaque récipient à sa courbe : Courbe 1

Courbe 4

SP

Courbe 3

Courbe 2

16 Défi !

La fonction inverse est définie par f : x ! 1 . x Elle renvoie l’inverse d’un nombre. Saurais-tu calculer f (f (f (2))) ?

17 Énigme

 : Voici trois fonctions f, g et h telles que 2 +5 (x) h = (x) g et f (x) = g (x) est l’image lle que 4, à le éga est h par Si l’image de 0 de 0 par f ?

19 Images et antécédents On considère trois fonctions f, g et h définies par : • f(x) = 2x − 7 • g(x) = x2 • h(x) = 1 x−3 1. Calculer f (1), g (1) et h (1). 2. Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant : f(0), g(0) et h(0). 3. Ranger les nombres suivants dans l’ordre décroissant : f(2), g(2) et h(2). 4. Comparer les images de –1 par la fonction g et par la fonction h. 5. a. Résoudre les équations f(x) = 1 et h(x) = 1. b. Peut-on en déduire que des antécédents de 1 par les fonctions f et h sont égaux ? Expliquer. 6. Expliquer pourquoi 3 ne possède pas d’antécédent par h. 7. Expliquer pourquoi f ne possède pas d’antécédent de nombre négatif. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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171

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19 Je comprends

Utiliser et représenter

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

cela permet d’avoir un moyen de contrôler son travail. En effet, les trois points construits doivent être alignés.

Représenter graphiquement la fonction f telle que f (x) = 0,5x. La fonction f est une fonction linéaire (f (x) = ax avec a = 0,5) donc sa représentation graphique est une droite passant par l’origine.

ÉTAPE 2

IM

Je m’entraine 1

EN

ÉTAPE 1

Pour tracer une droite, il suffit d’en connaitre deux points. On en connait déjà un : l’origine du repère. On établit donc un x 0 1 6 tableau de valeurs 0 0,5 3 f (x) en choisissant trois valeurs pour x, c’est plus que le nombre de points nécessaires pour tracer la droite mais

REPRÉSENTER

CALCULER

Activités rapides

EC

On considère la fonction f telle que f ((x) = – xx)  ) = = –  – 5x 5 5x. x.. Calculer les images par la fonction f des nombres suivants : −3 − 3 a. 6 b. – 1 c. – 3 d.  6 d. e. 7 25

2 Associer à chaque fonction linéaire un pro-

SP

gramme de calcul du type : « Je multiplie … par … » b. g ((x x)  ) = = –  – 5x 5 a. f (x) = 6xx (x) = – 2 k(x) k( = x c. h (x) = 3,5x d. k( ) = )  = 3,5  3,5xx 3

3 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires ? a. f (x) = 4x b. g (x) = 5 + x c. h (x) = 3x – 5 d.  k(x) = 3 x 7

vantes, laquelle est celle d’une fonction linéaire ? Expliquer. ➊ ➋ 3 3 2

2

1

1

172

1

2

3

–3 –2 –1 0 –1

–2

–2

–3

–3

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1

2

3

3

3

2

2

1 0

1

–3 –2 –1 –1

1

2

–3 –2 –1 0 –1

3

–2

–2

–3

–3

1

2

3

5 1. Recopier et compléter le tableau suivant de façon à ce que les nombres de la première ligne aient pour images les nombres de la deuxième par la fonction f : x ∞ 3x. x f (x)

4 Parmi les représentations graphiques sui-

–3 –2 –1 0 –1

C(6 ; 3)

3 On place les 2 points obte1 nus dans le B(1 ; 0,5) A(0 ; 0) repère. 0 1 2 3 4 5 6 Les points A (0 ; 0), B (1 ; 0,5) et C (6 ; 3) appartiennent à la droite représentative de f.f. – Si ces points ne sont pas alignés, on vérifie les calculs, puis éventuellement le placement des points. – S’ils sont alignés, on trace la droite qui passe par ces trois points.

4

7

9 33

2. S’agit-il d'un tableau de proportionnalité  ? Expliquer.

6 1. Représenter les fonctions linéaires suivantes dans un même repère : a. f : x ∞ 3x b. g : x ∞ –x c. h : x ∞ 1,5x d. k : x ∞  − 2 x 3 2. Lire graphiquement les images de 1 par chacune de ces fractions.

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une fonction linéaire Je résous des problèmes simples 1. Écrire une expression algébrique d’une fonction donnant le périmètre du carré en fonction de x. Cette fonction est-elle linéaire ? 2. a. Écrire une expression algébrique d’une fonction donnant l’aire du carré en fonction de x. b. Cette fonction est-elle linéaire ?

8

Les maths autour de moi

Nombre de places

4

12

Prix avec l’option 1

COMMUNIQUER

10 On a représenté ci-contre la

fonction f dans un repère. 1. La fonction f est-elle linéaire ? Justifier. 2. Lire graphiquement l’image de – 1 par la fonction f. 3. En déduire une expression algébrique de la fonction ff..

4 3 2 1 –1 0 –1

1

11 On a représenté

2 ci-contre la fonction g dans 1 un repère. –1 0 1 2 3 4 5 1. Lire graphi–1 quement : a. l’image de 4 par la fonction g ; g ; b. un antécédent de 1 par la fonction g. 2. Donner une expression algébrique de la fonction g, puis calculer g (9).

IM

Le cinéma Capitol propose deux options à ses clients : – option 1 : chaque place de cinéma coute 7 € ; – option 2  : le client paye un abonnement annuel de 25 € et la place de cinéma coute 4 €. 1. Recopier et compléter le tableau :

CALCULER

EN

7 On considère un carré de côtés de longueur x.

MODÉLISER

24

12 On considère la fonction linéaire

SP

EC

2. S’agit-il d’un tableau de proportionnalité ? 3. Déterminer la fonction f exprimant le prix à payer en choisissant l’option 1 en fonction du nombre de places de cinéma achetées. Cette fonction est-elle linéaire ? 4. Pour l’option 2, réaliser un tableau du même type que celui de la question 1 1. 5. Déterminer la fonction g exprimant le prix à payer en choisissant l’option 2 en fonction du nombre de places de cinéma achetées. Cette fonction est-elle linéaire ?

9 Associer à chaque fonction linéaire f, g et h la droite représentative correspondante : • f : x ∞ 2x (d1) 4 • g : x ∞ 0,5x 3 • h : x ∞ – 4x 2

(d2)

1

(d3)

–1

0 –1

1

2

f : x ∞ 2,5x qui représente le prix de vente en euros de x kg de cacao. 1. Quelle est la nature de la représentation graphique de f ? 2. a. Quel est le prix de 3 kg de cacao ? 4 kg ? 10 kg ? b. En déduire les coordonnées de trois points appartenant à la représentation graphique de f. 3. Représenter la fonction f dans un repère. 4. Le prix au kilogramme de cacao est passé à 3,50 €. Représenter dans le repère précédent la fonction linéaire associée.

13 TOP Chrono 1. Recopier et compléter ce tableau de façon à ce que les nombres de la première ligne aient pour images les nombres de la deuxième par la fonction f : x ∞ – 6x. x f (x)

–1

0

7 54

2. Représenter la fonction f dans un repère. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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173

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20 Je comprends

Utiliser et représenter

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

– Si ces points ne sont pas alignés, on vérifie les calculs et éventuellement le placement des points. – S’ils sont alignés, on trace la droite passant par ces trois points.

Représenter graphiquement la fonction f telle que f (x) = 2x – 1. La fonction f, de la forme f (x) = a x + b, est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite.

7

+2

6

ÉTAPE 1

C(2 ; 3)

3 2 1

B(1 ; 1)

–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 A(0 ; –1) La droite représentative de f coupe l’axe des ordonnées au point A de –2 coordonnées (0 ; –1). En effet, l’ordonnée à l’origine de la droite est –1.

On place les points du tableau dans un repère. Les points A (0 ; – 1), B (1 ; 1) et C (2 ; 3) appartiennent à la droite représentative de f.f.

EC

Je m’entraine 1

CALCULER

Activités rapides

REPRÉSENTER

SP

2 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont b. g (x) = – 4x2 d. k(x) = x − 5 2

c. h (x) =  − 1 x + 5 2

6 Représenter dans un repère la fonction affine dont la droite représentative a pour coefficient directeur – 3 et pour ordonnée à l’origine – 2.

7 Donner le coefficient directeur et l’ordonnée à

l’origine de chacune des droites (d1), (d2), (d3) et (d4) représentant respectivement les fonctions f, g, h et k. (d1)

Pour les exercices 3 à 5 , représenter graphiquement la fonction dans chaque cas.

3 a. f (x) = 3x – 2 c. h (x) = – x + 1

4 a. f (x) = 0,5x + 4 c. h (x) = – 2x – 6

b. g (x) =  1 x− 3 4 4 − d. k (x) =  1 x 3

5 a. f (x) = 4

On considère la fonction f telle que  que ff (x) = – (xx) ) = = – =  – 4x– 7. 4xx– 7. – 7. Calculer les images par la fonction f des nombres suivants : e.  − 1 a. 8 b. – c. – d.  3  – 4 c. – 2 3 2

des fonctions affines ? a. f (x) = 6x – 3  – 3 1 c. h(x) = + 7 x

Le coefficient directeur de la droite est 2 donc, lorsque x augmente de 1, (x) ff((x x)) augmente de 2.

+1

4

IM

ÉTAPE 2

EN

5

Pour tracer une droite, x 0 1 2 il suffit d’en connaitre –1 1 3 f (x) deux points. On établit donc un tableau de valeurs en choisissant trois valeurs pour x afin de pouvoir contrôler ensuite le travail effectué.

b. g (x) = – 2x + 4 d. k (x) = – 3x b. g (x) =  3 x – 1 2 d. k (x) =  x + 1 4

(d4) 5 4 3 2

(d3) –3 –2 –1

(d2)

1 0 –1

1

2

3

4

174

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une fonction affine Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

8 Parmi les représentations graphiques suivantes, 12 On considère les fonctions affines suivantes : quelles sont celles d’une fonction affine ? Quelles sont celles d’une fonction linéaire ? (#2)

2 1 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

(#4)

–2

• h (x) = − 41 x + 49

• k (x) = 3x – 14

Quelle semble être la nature du quadrilatère délimité par les droites représentatives de ces quatre fonctions ?

(#3)

(#1)

• g (x) = 3x – 1

–3

9 Pour chacune des fonctions affines suivantes,

5 cm, 4 cm et x cm  cm . La hauteur relative au côté de longueur x mesure 6 cm. 1. Donner une expression algébrique d’une fonction donnant, en centimètre, le périmètre du triangle en fonction de x. x. Cette fonction est-elle affine ? Est-elle linéaire ? 2. Donner une expression algébrique d’une fonction donnant, en centimètre carré, l’aire du triangle en fonction de x. Cette fonction est-elle affine ? Est-elle linéaire ?

IM

donner le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de leur représentation graphique. a. f (x) = 4x + 5 b. g (x) = – 2x – 5 c. h (x) = 6 d. k (x) = 7 – 5x

13 On considère un triangle dont les côtés mesurent

EN

3

• f (x) = − 41 x  + 5,5

10 1. Recopier et compléter le tableau par lecture graphique.

14 Les maths autour de moi

EC

Droite Coefficient directeur Ordonnée à l’origine (d2) (d1)

4

0,5

4

(d1)

SP

5

3 2 1

–2

–1 0 –1

(d4)

(d3)

(d2) 1

2

3

4

5

6

2. Donner une expression des fonctions affines représentées par les droites (d1), (d2), (d3) et (d4).

11 On considère les fonctions affines suivantes :

Voici l’offre d’un opérateur de téléphonie mobile : TELTEL+ 2 € par mois pour 180 minutes de communication + 0,05 € par minute de dépassement. 1. Chaque mois, Tom consomme plus que les 180 minutes comprises dans son forfait. Écrire une expression algébrique d’une fonction donnant le prix qu’il devra payer en fonction du temps total de communication en minutes en cas de dépassement de forfait. 2. Cette fonction est-elle affine ? linéaire ? 3. Au mois d’octobre, Tom a téléphoné durant 6 h 42 min. Combien a-t-il dû payer ?

• f (x) = x + 3 • g (x) = 2x – 1 • h (x) = – x + 5 Trouve la solution de cette énigme : « Je suis un point à coordonnées entières compris entre les droites qui représentent les trois fonctions f, g et h. Quelles sont mes coordonnées ? »

15 TOP Chrono On considère la fonction affine f : x ∞ – 5x + 4. Calculer les images de 0, 1 et 2 par la fonction f, pour représenter la fonction f dans un repère.

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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175

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21 Je comprends

Déterminer

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

ÉTAPE 2

f est une fonction affine telle que f (1) = – 1 et f (3) = 5. Donner une expression algébrique de la fonction f.

On calcule l’ordonnée à l’origine b. On vient de prouver que f s’écrit sous la forme f (x) = 3x + b.

f est une fonction affine, elle s’écrit donc sous la forme f (x) = ax + b.

D’après l’énoncé, f (1) = –  – 1 donc 3 × 1 + b = – 1. On résout cette équation d’inconnue b : 3 + b = – 1 b = – 1 – 3 b = – 4, donc f (x) = 3x – 4. = 3 =  3xx – 4. x – 4.

On calcule le coefficient directeur a. On applique la formule du cours (paragraphe 2).

Je m’entraine 1

Activités rapides

ÉTAPE 3

On conclut. L’expression algébrique de la fonction f est donc f (x) = 3x – 4. (xx)  ) = = 3  3xx – 4. x – 4.

IM

a = f(3) − f(1) = 5 − (−1) = 6 = 3 , 2 3−1 3−1 donc le coefficient directeur est égal à 3.

EN

ÉTAPE 1

CALCULER

(5) = – g (5)  (5) = = –  – 4. Donner une expression algébrique de la fonction g.

EC

Dans chaque cas, déterminer l’expression algébrique de la fonction passant par les points A et B : a. A (0 ; 0) et B (1 ; 1) b. A (0 ; 3) et B (4 ; 3) c. A (– 5 ; – 3) et B (3 ; – 3) d. A (0 ; 0) et B (8 ; 0) e. A (0 ; 0) et B (2 ; 6) f. A (0 ; 1) et B (1 ; 2)

5 g est une fonction affine telle que g (4) = – 1 et

SP

2 f est une fonction affine de la forme f (x) = ax + b telle que ff (1) = 1 (1) = = 1  1 et f (2) = 3. (2) = = 3.  3. 1. Calculer a. a. b. 2. Calculer b. 3. En déduire une expression algébrique de la fonction f.

3 g est une fonction affine de la forme g (x) = ax + b telle que g (– 1) = 3 et g (3) = 1. 1. Calculer a. 2. Calculer b. 3. En déduire une expression algébrique de la fonction g.

4 f est une fonction affine telle que  f (4)  =  1 et

f (7) = 2. Donner une expression algébrique de la fonction f.

6 h est une fonction affine telle que  h (2)  =  0 et

h (8) = – 3. Donner une expression algébrique de la fonction h.

7 f est une fonction affine telle que f (– 2) = – 1 et f (6) = 3. 1. Donner une expression algébrique de la fonction f. 2. Préciser la nature de la fonction f.

8 g est une fonction affine telle que g (5) = – 6 et

g (6) = – 6. 1. Donner une expression algébrique de la fonction g. 2. Préciser la nature de la fonction g.

9 Vu au brevet (QCM)

La fonction affine f vérifie f (0) = 1 et f (1) = 2. f est définie par : A : f (x) = x – 1 B : f (x) = x + 1 C : f (x) = 3x – 1 D : f (x) = 3 – x

176

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une fonction affine Je résous des problèmes simples A

4

ci-contre la fonction f 3 B dans un repère. 2 1 1. À l’aide des points A et B, donner deux –1 0 1 2 3 nombres et leurs images par la fonction f. 2. En déduire une expression algébrique de la fonction f.

11 On a représenté

COMMUNIQUER

14 On a représenté

5 ci-contre la fonc4 tion affine f dans un 3 repère. 2 1. Le point M (3 ; 3,5) 1 semble-t-il appartenir à la droite repré0 1 2 3 4 5 6 sentative de f ? 2. a. En En utilisant les nœuds du quadrillage, donner deux points qui appartiennent à la droite représentative de ff.. b. En déduire une expression algébrique de la fonction f. f. 3. Vérifier par le calcul le résultat de la question 1. question 

IM

2 ci-contre la foncB 1 tion f dans un 0 repère. – 2 –1 1 2 3 4 5 –1 1. À l’aide des A –2 points A et B, donner deux nombres et leurs images par la fonction f. 2. En déduire une expression algébrique de la fonction f.

CALCULER

EN

10 On a représenté

MODÉLISER

12 On

Joe le taxi a déjà fait deux courses ce matin : 59 € et une course une course de 20 km pour 59  de 45 km pour 114  114 €. Le prix de chaque course est composé d’un montant fixe que l’on appelle la prise en charge et d’un prix au kilomètre. Un nouveau client lui demande le prix d’un trajet de 57 km. Aider Joe à répondre en calculant ce prix.

SP

EC

a représenté 2 ci-contre dans un repère 1 la fonction affine f. 1. Le point M (2  ; 0,8) 0 1 2 3 4 5 semble-t-il appartenir à la droite représentative de f ? f ? 2. a. En En utilisant les nœuds du quadrillage, donner deux points qui appartiennent à la droite représentative de ff.. b. En déduire une expression algébrique de la fonction f. f. 3. Vérifier par le calcul le résultat de la question 1. question 

15 Les maths autour de moi

13 Le professeur Myriadus a demandé de déter-

miner une expression algébrique de la fonction linéaire f telle que f (5) = 1. Que peut-on penser de la solution rédigée par Julie ? f est une fonction linéaire donc elle s'écrit sous la forme f (x) = ax. On sait que f (5) = 1 donc 5 × x = 1 et donc x = 1 . 5 On en déduit que f (x) = 1 a . 5

16 1.TOP Chrono g est une fonction affine de la forme g : x ∞ ax + b telle que g (2) = – 10 et g (4) = – 22. 1. Calculer a. 2. Calculer b. 3. En déduire une expression algébrique de la fonction g.

Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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177

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3 Résoudre graphiquement un problème

Objectifs 19 20 21

1 Déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine

On a représenté dans un repère les droites (a), (b), (c), (d), (e) et (f) : (e)

6

(a)

D

F

C

Salle à manger

Cuisine

(f)

5

(d)

Norbert Balaize, cuisinier de profession, vient d’acheter un local qu’il va aménager en restaurant. Le local peut être assimilé au trapèze schématisé ci-dessous :

4 3

A

(b)

1

–3 –2 –1 0 –1

(c)

1

2

3

4

5

6

7

–2 –3

B

On donne AB = 19 m, 19 m, CD = 12 m CD = 12 m et AD = 8,4 m. AD = Norbert veut faire construire un mur EF perpendiculaire aux bases du trapèze pour séparer la cuisine et la salle à manger de façon à ce que les deux pièces aient la même surface.

IM

–4

E

EN

2

1. Dans le cas où AE = 4 m, 1. AE calculer l’aire de la cuisine et celle de la salle à manger. Cette situation conviendra-t-elle à Norbert ? 2. On note x la longueur AE. a. Exprimer, en fonction de x, l’aire f (x) de la cuisine, puis l’aire g (x) de la salle à manger.

EC

Quelle droite possède : a. le plus grand coefficient directeur ? b. le plus petit coefficient directeur ? c. le plus petit coefficient directeur positif ? d. la plus grande ordonnée à l’origine ? e. la plus petite ordonnée à l’origine ?

2 Utiliser les fonctions

SP

Un site propose de télécharger des chansons. Si l’internaute paie un abonnement forfaitaire annuel, il pourra télécharger autant de chansons qu'il le souhaite à un tarif unitaire intéressant. 1. Démontrer que le prix à payer en fonction du nombre de chansons téléchargées s’exprime par une fonction affine. 2.

Sur ce site, j’ai téléchargé cette année 142 chansons et j’ai payé (abonnement compris) 98,20 €.

Sur le même site, j’ai téléchargé cette année 123 chansons pour 86,80 € (abonnement compris).

Donner une expression algébrique de la fonction affine de la question 1. 3. En déduire le prix de l’abonnement et le prix d’une chanson. 4. Combien paiera Mathys, un abonné du site, pour télécharger 267 chansons ?

Pour calculer l’aire d’un trapèze, tu peux le partager en deux triangles.

b. Quelle est la nature des fonctions f et g ? 3. Représenter graphiquement dans un même repère les fonctions f et g. 4. Déterminer par lecture graphique une valeur approchée de la solution au problème de Norbert. 5. Résoudre l’équation f (x) = g (x), puis en déduire la valeur exacte de la solution au problème de Norbert.

4 Chercher les coordonnées de points

On considère la fonction linéaire h telle que : h(x) = 2 x 5 Les points A (– 5 ; m) et B (n ; – 4) appartiennent à la représentation graphique de h. Calculer m et n.

178

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REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

5 Déterminer une fonction

CALCULER

MODÉLISER

CHERCHER

9 Résoudre un problème

1. Représenter dans un repère la fonction linéaire f dont la droite représentative (d) a pour coefficient directeur – 2. 2. Tracer la droite (d’) perpendiculaire à (d) passant par l’origine du repère. 3. a. Quel semble être le coefficient directeur de (d’) ? b. En déduire une expression algébrique de la fonction g dont la représentation graphique est (d’).

6 Interpréter le coefficient directeur

DOMAINE 3 DU SOCLE

10 Compléter un tableau de valeurs x x)) f (x) (x

29

11 Aller plus loin

–2 19

11

– 16

15 – 66

DOMAINE 1 DU SOCLE

On a représenté 3 ci-contre la fonction affine définie 2 par f ((x) = 2x xx)  )  – 1. 1 On dit qu’une fonction est crois–1 0 1 2 3 4 sante si, pour des –1 valeurs de x choisies croissantes, leurs images restent dans le même ordre. 1. La fonction f est-elle croissante ? Justifier. 2. Dans un repère, tracer une autre fonction affine également croissante. 3. Comment pourrait-on définir une fonction décroissante ? 4. La fonction affine g définie par g (x) = – 3x + 4 est-elle décroissante ? Justifier. 5. Dans le repère précédent, tracer une autre fonction affine décroissante. 6. Comment peut-on déterminer si une fonction affine est croissante ou décroissante à l’aide de son coefficient directeur ?

EC

7 Démontrer la proportionnalité des accroissements

DOMAINE 2 DU SOCLE

f est une fonction affine. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

IM

On considère les fonctions linéaires f, g et h dont les droites représentatives (d), (d’) et (d’’) ont pour coefficients directeurs respectifs 2, 5 et 8. 1. Sur quelle droite le point d’abscisse 1 a-t-il l’ordonnée la plus grande ? 2. Sur quelle droite le point d’abscisse – 4 a-t-il l’ordonnée la plus grande ? 3. Sur quelle droite le point d’ordonnée 2 a-t-il l’abscisse la plus petite ?

Paulo l’escargot est le plus lent de tous les escargots du monde. Il avance à la vitesse de 12 cm par minute. 1. Soit f la fonction qui exprime la distance parcourue par Paulo en centimètre en fonction du temps en minute x. Donner une expression algébrique de la fonction f. 2. Ce matin, Paulo a repéré une feuille de salade qui se trouve à 4 m de lui. Combien de temps lui faudra-t-il pour la rejoindre ? Donner le résultat en minute et seconde.

EN

RAISONNER

DOMAINE 4 DU SOCLE

SP

f est une fonction affine de la forme f ((x) = ax + b. xx)) = = a  axx + b b.. On donne deux nombres x1 et x2 tels que x1 ≠ x ≠ x2. ) – ff ((xx2)) = ax = a =  axx1 –   – ax  – a axx2. 1. Démontrer que f (x1) –  2. Factoriser le second membre de cette égalité. f(x ff( (xx2 ) − f(x ff((xx1) . 3. En déduire que a = x2 – x1 4. Que vient-on de démontrer ?

8 Résoudre un problème

DOMAINE 5 DU SOCLE

Deux personnes quittent Strasbourg au même moment pour se rendre à Paris. L’une emprunte le TGV et fera le trajet Strasbourg-Paris d’une longueur de 506 km en 2 h 20 min ; l’autre utilise la voiture et fera le trajet Strasbourg-Paris d’une longueur de 490 km en 4 h 10 min. On suppose que les véhicules roulent à vitesse constante (leur mouvement est alors dit «  uniforme »). À quelle distance de Paris se trouve le conducteur de la voiture au moment où le TGV arrive à la gare de l’Est à Paris ?

Étudier les variations d’une fonction affine, c’est savoir si elle est croissante ou décroissante.

D’après activité Tice – Académie de Strasbourg. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

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179

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Dans les autres matières 12 Les téléviseurs

On souhaite comparer l’énergie consommée par deux téléviseurs. L’énergie, donnée en wattheure, se calcule comme le produit de la puissance de l’appareil, en watt, par la durée d’utilisation, en heure. Modèle 1 Vision LCD Modèle 2 Pulse LED

Puissance 145 W 105 W

13 Ca souffle…

Le nœud est une unité de mesure de vitesse utilisée dans l’aviation et la marine. 1. Tina la guerrière prétend que son petit horsbord est plus rapide qu’une voiture. Sa vitesse maximum est de 45 nœuds. A-t-elle raison ? 2. Avec son planeur, Tina vole à une vitesse environ égale à 70 km/h. Son ami lui avait conseillé de ne pas dépasser 50 nœuds. A-t-elle suivi son conseil ?

EC

IM

EN

1. a. Exprimer, à l’aide d’une fonction f, l’énerDonnées gie consommée par le Modèle 1 en fonction de • 1 nœud = 1 nœud  nœud = = 1  1 mille/h • 1 mille ≈ 1 852 m. ≈ 1 852 m. la durée d’utilisation. b. Exprimer, à l’aide d’une fonction g, l’énergie consommée par le Modèle 2 en fonction de la 14 Instructions for computations durée d’utilisation. 1. Harry chooses a number, then multiplies it 2. Pour chacun des deux téléviseurs, calcuby 5 and adds 7 to the result. ler l’énergie consommée, en wattheure, durant Check to see if Harry chooses 4 as starting num3 heures d’utilisation. ber, then the final number is 27. 3. Pour une utilisation moyenne de 3 heures par 2. If we call x the starting number, write the forjour, calculer l’économie réalisée au bout d’un mula of a function f which gives the final numan en choisissant le téléviseur consommant le ber in function of x. Is this an affine function? moins d’énergie. Données 3. Which starting number must Harry choose if • Prix du kWh : 0,15 € • 1 000 W = 1 kW. 1 000 W = 1 kW. 1 000 W =  1 kW. he wants the final number to be 19 ? Enseignement Pratique Pratique Interdisciplinair Inter Interdisciplinaire disciplinaire e

Sciences, technologie et société

L’écho

Mathématiques & Sciences physiques & SVT

SP

En montagne, lorsque l’on crie face aux parois d’une falaise, ce cri nous revient après un certain temps. Le déplacement du son est alors fonction du temps. Le son est une onde qui se propage dans l’air à la vitesse de 340 m/s. Les ondes sonores du cri émis se réfléchissent sur les parois de la falaise pour nous renvoyer le son émis. Sur le même principe, la chauvesouris utilise la réflexion des ultrasons pour se diriger ou se nourrir. À la manière d’un écho, le cri de la chauvesouris se réfléchit sur sa proie pour lui permettre de la localiser et de la capturer. Les phénomènes d’écho sont nombreux. On en trouve même en astronomie.

Projet

Étudier le phénomène de l’écho en effectuant quelques expériences en plein air, puis effectuer les calculs liés aux données collectées, en faire des représentations géométriques, etc. On pourra calculer, par exemple, la distance nous séparant d’un orage. Notions mathématiques : Fonction linéaire • Proportionnalité 180

04733297_172-181_Theme-B.indd 180

14/04/2016 16:29


ues

mathématiq

à la maison

On donne le programme de calcul suivant : • Choisir un nombre  • Ajouter 2  • L’élever au carré  • Enlever 4  • Enlever le carré du nombre de départ

EC

Tu pourras piéger tes camarades en leur faisant appliquer ce programme de calcul et en retrouvant rapidement le nombre qu’ils auront choisi.

Le centre de loisirs aquatiques Nautiplouf propose deux tarifs : – tarif Miniplouf : 6 € l’entrée ; – tarif Megaplouf  : achat d’une carte de 25  € donnant droit à un tarif réduit de 3,50  3,50 € l’entrée. 1. Quel est le tarif le plus intéressant pour 7 entrées ? pour 15 entrées ? 2. On note x le nombre d’entrées. a. Exprimer, en fonction de x, x, le prix f ((x) payé avec le tarif Miniplouf, puis le prix g ((x (x) x) payé avec le tarif Megaplouf. b. Quelle est la nature des fonctions f et g ? 3. Représenter graphiquement dans un même repère les fonctions f et g g. On prendra en abscisse 1 cm pour 1 entrée et en ordonnée 1 cm pour 10 10 €. 4. Déterminer graphiquement le tarif le plus intéressant en fonction du nombre d’entrées x. 5. Retrouver le résultat précédent par le calcul.

IM

1. Vérifier qu’en prenant le nombre 5 au départ, on trouve 20 à la fin. 2. Si l’on choisit x au départ, écrire une expression algébrique d’une fonction f exprimant le nombre obtenu à la fin en fonction de x. 3. Prouver que la fonction f est linéaire. 4. a. Quel nombre a-t-on choisi au début si l’on trouve 36 à la fin ? b. Comment peut-on facilement retrouver le nombre choisi au début en connaissant celui obtenu à la fin ?

18 Problème de tarifs

EN

15 Maths et magie

SP

16 Défi !

Sauras-tu calculer f (100) ?

19 Fonctions affines par morceaux

17 Énigme

ts. Tous les angles de la figure sont droi ? nés alig -ils sont F et E C, Les points E

5

C

D 8 A

8

B

13

F

1. Dans un même repère, représenter graphiquement les fonctions suivantes : a. f (x) = 2x + 5 b. g (x) = – 2x + 5 c. h (x) = 3 d. k (x) =  3 x e. m (x) = − 3 x 4 4 2. Repasser en vert sur : a. le morceau de la droite représentative de la fonction f telle que – 4 < x < 0 ; b. le morceau de la droite représentative de la fonction g telle que 0 < x < 4 ; c. le morceau des droites représentatives des fonctions h, k et m telles que – 4 < x < 4. Thème B • Expressions littérales – Fonctions

04733297_172-181_Theme-B.indd 181

181

14/04/2016 16:29


Attendus de fin de cycle

EC

IM

EN

Résoudre des problèmes de proportionnalité Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

SP

Combien de temps mettra ce train pour relier sa gare de départ à celle d’arrivée ? Sa vitesse moyenne nous aidera à répondre à cette question en utilisant la proportionnalité. Certains phénomènes sont proportionnels, d’autres non. Il est important de savoir les reconnaitre et les traiter correctement pour mieux comprendre le monde qui nous entoure. L’étude de ce thème te permettra de comprendre et d’effectuer facilement des actions du quotidien.

Des ressources supplémentaires à télécharger

Pour chaque objectif de ce thème, les ressources suivantes sont téléchargeables gratuitement sur le site www.bordas-myriade.fr : Cherchons ensemble Des activités pour découvrir les nouvelles notions propres à chaque objectif Le cours Pour connaitre les notions mathématiques liées à l’objectif Je travaille seul(e) Des exercices corrigés pour apprendre à travailler en autonomie ou en accompagnement personnalisé

1

Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

Acti

é vit

1

OBJECTIF

A. Situation 1

Élouan adore faire du vélo. Le tableau ci-contre donne le temps et la distance parcourue à bicyclette par Élouan pendant ses trois jours de vacances.

Lundi

Mardi

Mercredi

Temps (en h)

2

3

5

Distance parcourue (en km)

42

63

105

d’heures.

2 Les grandeurs « distance » et « temps » de ce tableau sont-elles proportionnelles ? Expliquer.

B. Situation 2

Exemple Le prix de cerises vendues 2,70 € le kilogramme est proportionnel à leur masse. Le tableau donne le prix Masse de cerises (en kg) 0,5 1 2 5 à payer selon la masse 1,35 2,70 5,40 13,50 Prix (en €) de cerises achetées. Les quotients 1,35  ; 2,70 ; 5,40  ; 13,50 sont tous égaux à 2,70. 0,5 1 2 5

2

3 Compter le nombre de côtés et de diagonales de chaque polygone ci-dessous : Quadrilatère

Pentagone

5 Y a-t-il proportionnalité entre le nombre de diagonales et le nombre de côtés d’un polygone ? 6 D’après ces deux situations, comment reconnait-on un tableau de proportionnalité ?

é vit

Compléter un tableau de proportionnalité

OBJECTIF

2

Confiture de framboises

Compote de pommes

×…

Masse de fruits (en g)

300

=

600

Masse de 800 fruits (en g) Masse de 400 250 sucre (en g)

×…

Masse de 400 1 000 1 400 fruits (en g) Masse de 96 240 sucre (en g)

4

6

10

15 × 1,5

+

Masse de 04733297_182-183_Theme-C.indd 140 182 sucre (en g)

Nombre de jours de location

× 2,70

3

10 × 1,5 = 15

Utiliser la proportionnalité

A Calculer des grandeurs

4

6

10

10

15

25

+ =

Corrigés page 279

Agence de location Tiloc Car

2

5

10

14,00

35,00

70,00

Nombre de jours de location Prix (en €)

61 Les tarifs de l’agence Tiloc Car sont-ils

proportionnels au nombre de jours de location ?

62 Les tarifs de l’agence Speed Auto sont

2

proportionnels au nombre de jours de location. Le tarif pour 7 jours est donc de …

63 Dans cette agence, avec un budget de 105,00 €, je peux louer une voiture pour …

a

b

c

?

64 Hier, un polo coutait 14 €. Aujourd’hui, son prix

a augmenté de 50 %. Quel est son nouveau prix ?

+

× 1,5

1 Voici trois tableaux de proportionnalité pour trois recettes de dessert.

Je fais le point sur mon cours Agence de location Speed Auto

Exemple Temps (en h) 4 6 10 Un robinet fuit et la quantité d’eau perdue est Quantité d’eau (en L) 10 proportionnelle au temps qui passe. On peut compléter ce tableau par différentes méthodes. 1. Par passage à l’unité 2. En utilisant le coefficient de proportionnalité En 4 heures, on perd 10 L. 4 6 Donc en 1 heure, on perd 4 fois moins : × 2,5 × 2,5 10 15 10 : 4 = 2,5 L. En 6 heures, on perd 6 fois plus que 2,5 L : 6 × 2,5 = 15 6 × 2,5 = 15 L. = 3. En utilisant les propriétés de la proportionnalité

4 Pour chaque polygone, calculer le quotient du nombre de diagonales par le nombre de côtés.

Acti

1

Prix (en €)

OBJECTIF

Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, si l’on connait trois valeurs, alors on peut calculer la valeur manquante, appelée la quatrième proportionnelle.

Quadrilatère Pentagone Hexagone

Coulis de fraises

Compléter un tableau de proportionnalité DÉFINITION

Hexagone Nombre de côtés Nombre de diagonales

2

OBJECTIF

Il y a proportionnalité dans un tableau de nombres à deux lignes lorsque les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la première par un même nombre que l’on appelle coefficient de proportionnalité.

1

1 Pour chaque jour, calculer le quotient du nombre de kilomètres parcourus par le nombre

182

Reconnaitre un tableau de proportionnalité DÉFINITION

Reconnaitre la proportionnalité

OBJECTIF

3

5

10

25,00

45,00

A

B

C

Oui

Non

On ne peut pas savoir

35,00 €

49,00 €

98,00 €

9 jours

12 jours

15 jours

14,50 €

21,00 €

28,00 €

1,3 km

6,5 km

13 km

65 Sur une carte à l’échelle 1/50 000, la distance

entre deux villages est de 13 cm. Quelle est la distance réelle entre ces deux villages ?

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

Je fais le point sur mes objectifs 68

1

Reconnaitre la proportionnalité 66 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou

10 + 15 = 25

2 15,00

fausses ? Justifier chaque réponse. a. La taille de Zoé est proportionnelle à son âge. b. Le prix du carburant à la pompe est proportionnel au nombre de litres achetés. c. La température extérieure est proportionnelle au nombre d’heures d’ensoleillement.

6

9

15

b.

3

6

10

10

20

30

69 portionnel au nombre de SMS envoyés. Taïs

15/04/2016 14:43

67 Davina ouvre une salle de sport. Elle propose des abonnements pour ses adhérents.

Corrigés page 279

proportionnalité ? a. 2 3 5

Nombre de

260

136

142

120


OBJECTIFS

EN

Thème C • Proportionnalité

Proposition de progression 5e 4e 3e

5e

1. Reconnaitre la proportionnalité

5e

2. Compléter un tableau de proportionnalité

5

3. Utiliser la proportionnalité

5

4. Utiliser et déterminer un pourcentage

4

e

5. Déterminer une quatrième proportionnelle

4

e

6. Caractériser graphiquement la proportionnalité

4

e

7. Utiliser la proportionnalité pour calculer des grandeurs

4

e

8. Manipuler des pourcentages pour résoudre des problèmes

e

IM

e

9. Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes

EC

3

e

3

10. Manipuler des variations exprimées en pourcentage

3

11. Manipuler des grandeurs produits et des grandeurs quotients

e

SP

e

Avec un logiciel Des activités adaptées à l’usage du numérique en classe à télécharger sur le site www.bordas-myriade.fr

Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

Agence de location Tiloc Car Nombre de jours de location Prix (en €) A

2

5

10

15,00

25,00

45,00

B

C

Oui

Non

On ne peut pas savoir

35,00 €

49,00 €

98,00 €

9 jours

12 jours

15 jours

14,50 €

21,00 €

28,00 €

1,3 km

6,5 km

13 km

3

5

6

9

15

260

b.

3

6

10

10

20

30

136

04733297_182-183_Theme-C.indd 183 142

45’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

A. La distance de réaction

La distance de réaction est la distance parcourue par un véhicule pendant le temps de réaction du conducteur (temps qui lui est nécessaire pour réagir et commencer à freiner). Cette distance est proportionnelle au temps de réaction. Dans l’activité, on prendra un temps de réaction de 1 seconde.

Perception

120

Action

Réaction

1 Pour commencer : à faire sur ton cahier a. Qu’est-ce qui peut influencer le temps de réaction d’un conducteur ? b. Combien y a-t-il de secondes dans une heure ? 2 a. Ouvrir une feuille de calcul d’un tableur et reproduire le tableau suivant. Ce tableau présente les distances de réaction en fonction de la vitesse du véhicule. Ces deux grandeurs sont proportionnelles. b. Saisir la formule correspondante pour calculer la distance de réaction d’un véhicule roulant à 5 km/h. Tableur 1 c. Compléter le tableau en utilisant judicieusement la formule précédente.

Corrigés page 279

2

Sécurité routière et ASSR Utiliser le tableur pour faire des calculs de proportionnalité.

B. La distance de freinage La

183

Tableur 2

15/04/2016 14:43


1 Je comprends

Reconnaitre

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Les tableaux ci-dessous sont-ils des tableaux de proportionnalité ? 1. Âge (en année) 2. Masse de 2 5 Taille (en cm)

90

pommes (en kg)

110

Prix (en €)

2

4

5

2,40

4,80

6,00

2.

1. ÉTAPE 1

ÉTAPE 1

ÉTAPE 2

Pour chaque colonne, on calcule les quotients entre les nombres de la seconde et de la première ligne. 2,40 = 1,20 ; 4,80 = 1,20 et 6,00 = 1,20. 2 4 5

EN

Pour chaque colonne, on calcule les quotients entre les nombres de la seconde et de la première ligne. 90 = 45 et 110 = 22. 2 5

ÉTAPE 2

On compare ces quotients. On constate qu’ils sont tous égaux, donc le prix est proportionnel à la masse : le tableau  tableau 2. est un tableau de proportionnalité.

IM

On compare ces quotients. On constate qu’ils sont différents, donc la taille n’est pas proportionnelle à l’âge : le tableau 1. 1. n’est pas un tableau de proportionnalité.

EC

Je m’entraine 1

MODÉLISER

4 Les offres publicitaires suivantes traduisent-elles

Activités rapides

SP

Vrai ou faux ? a. Si j’arrose deux fois plus ma plante verte, elle va pousser deux fois plus vite. b. Je marche toujours au même rythme. Si je marche 30 minutes, je vais parcourir le double qu’en 15 minutes.

des situations de proportionnalité ? a.

b.

c.

2 Les situations suivantes sont-elles des situations de proportionnalité ? a. À 6 ans, Arthur chaussait du 30. Aujourd’hui, à 12 ans, il chausse du 37. b. Hier, Léon a acheté 3 salades pour 4,50 €. Aujourd’hui, il a acheté 2 salades pour 3,00 €. c. Léa mesure 1,40 m et pèse 40 kg. Hugo mesure 1,60 m et pèse 60 kg.

3 Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? a. 1

2

3

4

8

12

b.

1

2

3

3

4

5

5 Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? a. c.

10

20

30

5

10

15

3

5

10

3,3

5,5 10,10

b. d.

10

20

30

5

15

25

3

5

10

7,5

12,5

25

184

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184

12/04/2016

11:10


la proportionnalité Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

6 Voici les conseils de cuisson du grand chef Harry 11 Y a-t-il proportionnalité entre le nombre de Masse du poulet (en kg) Temps de cuisson (en min)

1

1,5

2

2,5

80

100

120

140

Le temps de cuisson du poulet est-il proportionnel à sa masse ? Justifier la réponse.

7

marches montées et le nombre de calories dépensées ? 2,93 calories alories 2,45 calories 2,02 calories alories 1,64 ccalorie alorie

EN

Cover pour réussir un poulet rôti.

0,79 ccalorie alorie

Les maths autour de moi Simon note le temps qu’il met pour télécharger des fichiers sur son ordinateur en fonction de leur taille. 2

Temps de téléchargement (en seconde)

18

4

10

Les Le es s ma m maths atth hs s autour autto au ou urr de de moi 12 L

IM

Taille du fichier (en Mo)

0,33 ccalorie alorie

36

90

EC

Le temps de téléchargement est-il proportionnel à la taille du fichier ? Justifier la réponse.

8 Chez le marchand de fruits, on voit le tableau suivant.

Masse de pommes (en kg) Prix (en €)

2

4

5

5,00

9,00

10,00

Jérémy pratique l’athlétisme. Il note le temps qu’il met sur différents parcours : 200 m en 32 s. 400 m en 75 s. 1000 m en 205 s. 1. Présenter ces données dans un tableau. 2. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifier la réponse.

SP

Le prix des pommes est-il proportionnel à la masse achetée ? Justifier la réponse.

9 L’album de la star américaine Henri Yanna com-

porte 72 minutes de musique et coute 12 euros. L’album du DJ David Guatté comporte 75 minutes de musique et coute 13 euros. 1. Présenter ces données dans un tableau. 2. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifier la réponse.

10 Lundi, Sarah achète 500 g de fraises pour 4 € et le lendemain, elle achète 600 g de fraises pour 4,80 €. 1. Présenter ces données dans un tableau. 2. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifier la réponse.

13 TOP Chrono Pour aller de Paris à Lyon, Malik a parcouru 500 km en consommant 36 litres de carburant. Pour aller ensuite de Lyon à Marseille, il a parcouru 350  km en consommant 26  litres de carburant. 1. Présenter ces données dans un tableau. 2. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifier la réponse.

Thème C • Proportionnalité

04733297_184-195_Theme-C.indd

185

185

12/04/2016

11:10


2 Je comprends

Compléter un tableau

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Iliana fait du baby sitting pour gagner un peu d’argent. Son salaire est proportionnel au temps de travail. Cette semaine, elle a gagné 90 € en travaillant 12 h. 1. Combien gagnera-t-elle si elle travaille 15 h ? 2. Combien de temps doit-elle travailler si elle souhaite gagner 270 € ? 2. ÉTAPE 1 Pour calculer le temps nécessaire pour gagner 270 €,, on peut utiliser ce coefficient ou remarquer que 270 = 90 × 3. On calcule 12 × 3 = 36 h. h.

Temps de travail (en h)

12

15

?

Salaire (en €)

90

?

270

ÉTAPE 2

Pour compléter ce tableau, on peut calculer le coefficient de proportionnalité en divisant 90 par 12. 90 = 7,5 donc Iliana gagne 7,50 € par heure. 12 15

12

36

90

270

ÉTAPE 2

×3

On conclut. Iliana doit travailler 36 heures si elle veut gagner 270 € 270 €. 270  €..

IM

12

EN

ÉTAPE 1 1. On représente cette situation à l’aide d’un tableau de proportionnalité.

× 7,5 On calcule : 90 112,50 15 × 7,5 = 112,50. On conclut : Iliana gagnera 112,50  € si elle travaille 15 heures.

EC

On aurait pu aussi calculer 270 : 7,5 = 36.

Je m’entraine 1

CALCULER

4 Les deux tableaux suivants sont des tableaux de

Activités rapides

SP

a. 4  kg de fraises coutent 12  € €.. Combien coutent 8 kg de fraises ? b. 4 kg de poires coutent 6 € 6  6 €. €.. Combien coutent 6 kg de poires ? c. 4  kg de pommes coutent 5  €. Combien coutent 5 kg de pommes ?

2 Ces tableaux sont des tableaux de proportionnalité. Pour chacun d’eux, déterminer le coefficient de proportionnalité puis compléter le tableau. a. b. 2

7

10

×…

6

5

7

12

25

×…

3 Ces tableaux sont des tableaux de proportionnalité. Pour chacun d’eux, déterminer le coefficient de proportionnalité puis compléter le tableau. a. b. 9

11 17

×…

81

10 12 23

25

×…

proportionnalité. Compléter chacun d’eux sans chercher le coefficient de proportionnalité. a. 3 b. 5 12 15 15 20 2

6

5 Les deux tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. Compléter chacun d’eux sans chercher le coefficient de proportionnalité. a. 4 b. 6 12 16 9 15 7

8

6 Reproduire et compléter les tableaux de proportionnalité suivants en utilisant, pour chacun d’eux, la méthode la plus adaptée. a. 2 b. 4 20 8 5

5

c.

4 7,2

12

d.

2 5

8

186

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186

12/04/2016

11:10


de proportionnalité Je résous des problèmes simples 7 Un marchand de fruits vend des pêches à un prix proportionnel à la masse achetée. Masse de pêches (en kg)

2

pocket moon achetées Prix (en €)

sa chambre par des longueurs proportionnelles aux dimensions réelles. 150 3

Manon a laissé le robinet de sa salle de bains légèrement ouvert. L’eau coule avec un débit régulier. Le tableau ci-dessous montre la quantité d’eau perdue en fonction du temps qui passe. 5

Quantité d’eau perdue (en L)

6

12 15 24

30

×…

SP

1. Déterminer le coefficient de proportionnalité de ce tableau. 2. Que représente ce nombre ? 3. Reproduire et compléter le tableau à l’aide de ce coefficient.

10 Traduire l’énoncé par un tableau, le compléter, puis répondre aux questions posées. Léa achète 3 kg de poires pour 8,10 €. 1. Quel est le prix de 5 kg de poires ? 2. Quelle masse de poire aurait-elle pu acheter avec 18,90 € ?

3 11 (en heure) Distance parcourue (en km) 2 565 4 275

le compléter, puis répondre aux questions posées. Chez le fleuriste, 6 roses noires sont vendues 21 € 21 €. 21  €.. 1. Quel est le prix d’un bouquet de 9 roses noires ? 2. Combien de roses noires peut-on acheter avec 59,50 € 59,50  €?

13 Traduire l’énoncé par un tableau, le compléter, puis répondre aux questions posées. Akim marche toujours à la même vitesse. Il parcourt 2 km en 15 min. 1. Quelle distance va-t-il parcourir en 2 h ? 2. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir 5 km ?

14 TOP Chrono Rémy fait les courses régulièrement. Aujourd’hui, il a acheté de la nourriture pour 4 jours et a payé 19,28 €.

1. Rémy décide d’acheter les mêmes aliments, dans les mêmes proportions, mais pour 5 jours. Refaire le ticket de caisse de Rémy. 2. Refaire le ticket de caisse si Rémy fait des courses pour une semaine.

Thème C • Proportionnalité

04733297_184-195_Theme-C.indd

187

6

2. Temps de vol de l’avion

EC

Temps (en h)

2

IM

Les maths autour de moi

12

12 Traduire l’énoncé par un tableau, 7

Quelle est la longueur réelle d’un mur représenté par un segment de 7 cm de longueur sur le plan ?

9

5

EN

8 Éva a représenté sur un plan les dimensions de

Dimensions sur le plan (en cm)

COMMUNIQUER

11 Les deux tableaux suivants sont des tableaux de

Quel est le prix de 5 kg de pêches ?

Dimensions réelles (en cm)

RAISONNER

proportionnalité. Les reproduire et les compléter. 1. Nombre de cartes

5

6,40

Prix (en €)

CALCULER

187

12/04/2016

11:10


3 Je comprends

Utiliser

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

L’image ci-contre est extraite d’une carte de France à l’échelle 1/200 000. En mesurant sur la carte, trouver la distance réelle, à vol d’oiseau, entre le Mont-Saint-Michel et le centre de Pleine-Fougères. ÉTAPE 1

ÉTAPE 2

Distance sur la carte (en cm)

×

1

Je m’entraine 1

Carte : Mont-Saint-Michel © Geoatlas

ÉTAPE 3

200 000 ?

1 200 000

6

EC

× 200 000

Distance réelle (en cm)

IM

On reporte les renseignements dans un tableau de proportionnalité. Une échelle de 1/200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente en réalité une distance de 200 000 cm (soit 2 km).

EN

On repère les deux villes concernées sur la carte. On mesure ensuite sur la carte, à l’aide d’une règle graduée, la distance entre elles. On trouve 6 cm entre le Mont-Saint-Michel et le centre de Pleine-Fougères.

On calcule la quatrième proportionnelle du tableau ci-contre. La distance réelle entre le Mont-Saint-Michel et le centre de Pleine-Fougères est donc de 6 × 200 000 = 1 200 000 cm, soit 12 km.

CALCULER

SP

Activités rapides

Vrai ou faux ? a. Sur une carte à l’échelle 1/100 000, les distances réelles sont 100 000 fois plus grandes que sur la carte. b. Sur un schéma à l’échelle 3, les longueurs réelles sont 3 fois plus grandes que sur le schéma.

2 Des croissants sont vendus à l’unité. Si 3 croissants coutent 2,10 €, combien coutent 7 croissants ?

3 Je marche toujours à la même vitesse. Pour aller

à pied de ma maison au collège, j’ai parcouru 2 km en 24 min. 1. Combien de temps dois-je prévoir pour me rendre à la piscine située à 3 km du collège ? 2. Quelle distance puis-je parcourir en une heure ?

4 J’ai mis 20 minutes à bicyclette pour aller de chez moi au stade distant de 5 km. 1. Combien de temps me faudra-t-il pour parcourir 4 km si je roule à la même vitesse ? 2. Quelle distance puis-je parcourir en 45 minutes ?

5 Un carré de 3 cm de côté a une aire de 9 cm2. Je construis un carré dont le côté est deux fois plus grand. Quelle sera son aire ?

6 Calculer les distances réelles correspondant aux

distances suivantes mesurées sur une carte à l’échelle 1/25 000. a. 2 cm b. 6 cm c. 12,3 cm d. 24,5 cm

7 Sur une carte à l’échelle 1/400 000, quelle distance sépare deux points éloignés en réalité de : a. 50 km ? b. 200 km ? c. 260 km ? d. 372 km ?

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la proportionnalité Je résous des problèmes simples

RAISONNER

COMMUNIQUER

12 Une publicité annonce la

Les maths autour de moi Safina achète un nouvel ordinateur avec une imprimante et s’abonne à Internet.

13 Le dessin ci-

contre est un agrandissement à l’échelle 8 d’une fourmi. Cela signifie que les dimensions réelles de la fourmi sont 8 fois plus petites que celles de cette illustration. 1. Quelle est la longueur réelle du corps (tête, thorax et abdomen) de cette fourmi ? 2. Quelle est la taille réelle d’une antenne de fourmi ?

14 Réaliser un plan de ce terrain de football à l’échelle 1/1 000.

105

2,44

10 Un robinet fuit et laisse s’écouler 14 L d’eau en

2 heures. 1. Quel volume d’eau s’échappe du robinet en 6 h 30 min ? 2. Quelle serait la perte d’eau en une semaine ? en un an ?

16,50

7,32

11 9,15

9,15

5,50

18,32

SP

Richard adore faire de longues balades à vélo. Ce matin, il a parcouru 12,8 km en 30 minutes. On suppose que Richard roule toujours à la même vitesse. 1. Quelle distance va-t-il parcourir s’il roule : a. pendant 2 h ? b. pendant 3 h 45 min ? 2. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir 64 km ?

70

Les maths autour de moi

40,32

9

EC

IM

1. Elle achète des morceaux de musique sur Internet et télécharge le fichier d’une chanson de 5 Mo en 4 secondes. a. Combien de temps lui faudra-il pour télécharger un album de 60 Mo ? b. Combien de Mo peut-elle télécharger en une minute ? 2. Sa nouvelle imprimante lui permet d’imprimer 16 pages en 2 minutes. a. Combien de temps lui faudra-t-il pour imprimer son rapport de stage de 68 pages ? b. Combien de pages peut-elle imprimer en une heure ?

consommation de carburant d’une nouvelle voiture. 1. Quelle sera la consommation de cette voiture pour aller de Nantes à Bordeaux sachant que 350 km séparent les deux villes ? 2. Quelle distance peut-on parcourir avec un plein de 63 litres ?

EN

8

CALCULER

Dimensions en m

15 TOP Chrono Chaque matin, Léonie prend 50 g de céréales et du lait. Quelle boite doit-elle acheter pour avoir un prix de revient le moins cher possible ?

11 Olivier a construit une maquette d’Airbus A400 M à l’échelle 1/60. Sa maquette mesure 75 cm. Quelle est la longueur réelle de cet avion ?

Thème C • Proportionnalité

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4 Je comprends

Utiliser et déterminer

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

480 élèves sont scolarisés au collège Saint-Exupéry. 15 % des élèves sont internes et 312 sont demi-pensionnaires. 1. Combien d’élèves sont internes ? 2. Quel est le pourcentage de demi-pensionnaires ? ÉTAPE 2

EN

Ce tableau est un tableau de proportionnalité, on calcule son coefficient de proportionnalité : 312 = 0,65. 480 ÉTAPE 3

On calcule la quatrième proportionnelle en effectuant : 100 × 312 = 65. 480 Si le collège avait 100 élèves, il y aurait 65 demi-pensionnaires. Donc, dans le collège, il y a 65 % de demipensionnaires pensionnaires.

IM

1. On calcule 15 % de 480. Cela revient à multiplier 480 par 15 donc on calcule : 100 15 × 480 = 0,15 × 480 = 72. 100 Il y a donc 72 élèves internes. 2. ÉTAPE 1 Pour calculer un pourcentage, on peut utiliser un tableau et organiser les données de l’énoncé. On se demande combien il y aurait de demi-pensionnaires s’il n’y avait que 100 élèves au total. 312

?

Nombre total d’élèves

480

100

EC

Nombre de demi-pensionnaires

Je m’entraine 1

CALCULER

Activités rapides

SP

Vrai ou faux ? a. Prendre 50 % d’une quantité, c’est en prendre la moitié. b. Prendre 20 % d’une quantité, c’est en prendre un quart. c. Prendre le double d’une quantité, c’est en prendre 200 %.

2 Dans la ferme de Maylis, il y a 75 poules. 60 %

d’entre elles sont des poules rousses. Combien y a-t-il de poules rousses dans cette ferme ?

3 Dans la ferme de Maxime, il y a 45 vaches dont 36 sont noires. Quel est le pourcentage de vaches noires dans cette ferme ?

4 Dans le club de sport de Louis, il y a 225 licenciés

dont 36 % de filles. Quel est le nombre de filles dans ce club ?

5 Dans le club de sport de Yassin, il y a 320 licenciés dont 144 filles. Quel est le pourcentage de filles dans ce club ?

6 Dans la recette de pâte à gauffre de Carine, il y a

15 % de sucre. Elle en a préparé 800 grammes. Quelle masse de sucre a-t-elle utilisée ?

7 Pour préparer 750 g de pâte à crêpes, Gamze

utilise 90 g de sucre. Quel est le pourcentage de sucre dans sa recette ?

8 Le 20 juin 2014, 62 000 personnes ont assisté

au concert du groupe One Direction au Stade de France. 18 000 spectateurs se trouvaient debout sur la pelouse. 45 % des spectateurs avaient pris place dans une tribune latérale. Les autres étaient dans une tribune centrale. 1. Combien de spectateurs étaient dans une tribune latérale ? 2. Quel était le pourcentage de spectateurs debout sur la pelouse ?

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un pourcentage Je résous des problèmes simples 9 Calcul mental

CALCULER

RAISONNER

COMMUNIQUER

16 Les maths autour de moi

a. Combien font 20 % de 80 Mo ? b. Combien font 30 % de 200 km ? c. Combien font 70 % de 50 L ? d. Combien font 200 % de 70 € ?

Pour préparer son cocktail de fruits, Romane mélange 14  cL de jus d’ananas, 8 cL de jus de citron et 38 cL de jus d’orange. Calculer le pourcentage de chacun des jus de fruits contenus dans ce cocktail.

tion des délégués de classe. Claire a obtenu 15 voix, Martin 8 voix et Léo seulement 5 voix. Calculer le pourcentage de votes obtenu pour chaque candidat.

EN

10 Vingt-huit élèves de la 5e B ont voté lors de l’élec-

11 Leila dirige un magasin de chaussures. Elle ven- 17 Kim, Lucie et Simon veulent acheter une voiture.

– Kim choisit une Ferraro 3000 vendue 18 000  18 000 €. Il négocie une remise de 8 %. – Lucie voudrait acheter une Purche cabriolet vendue 20 000 € 000 €. 000  €.. Elle obtient une remise de 2 200  200 €. – Simon décide d’acheter une Pigeot sport vendue 25 000 € 000 €. 000  €.. Il obtient une remise de 2 400 €. 400  1. Calculer le prix d’achat des trois véhicules. 2. Calculer le pourcentage de remise obtenue par Lucie et Simon. 3. Qui a obtenu la plus forte remise en euros ? en pourcentage ?

IM

dait, depuis plusieurs mois, le fameux modèle Adisport 3000 au prix de 58 € la paire. Elle décide d’augmenter le prix de vente de ces chaussures de 7,25 €. Quel pourcentage d’augmentation du prix représente cette hausse ?

12 Marc veut changer son VTT. Le vendeur lui pro-

EC

pose le modèle Country XL4 à 340 €.. Marc négocie une remise de 60 €. Quel pourcentage de baisse du prix de vente cette remise représente-t-elle ? (Arrondir le résultat à l’unité.)

13 Les maths autour de moi

SP

Fanta achète des bagues 8 € 8 € 12 €. pièce. Elle les revend 12 € 12  € 1. Quel bénéfice réaliset-elle sur chaque article vendu ? 2. Quel pourcentage de son prix d’achat ce bénéfice représente-t-il ?

14 Dans le village de Jérémy, il y a 650 habitants

dont 286 ont les cheveux blonds. Dans le village de Marie, il y a 814 habitants dont 350 ont les cheveux blonds. Dans quel village le pourcentage d’habitants aux cheveux blonds est-il le plus grand ?

15 Les joueurs de basket Bobby Criant et Stevy Dash

font un concours de lancers francs. Bobby réussit 17 paniers sur 20. Stevy réussit 21 paniers sur 25. Quel sportif a le pourcentage de réussite le plus élevé ?

18 TOP Chrono 1. La directrice d’une petite entreprise de menuiserie décide d’augmenter tous les salaires de 5 %. Calculer les nouveaux salaires des trois employés suivants. Employé

Fonction

Gérard

Chef d’équipe

Salaire mensuel avant augmentation 1 850,00 €

Tom

Apprenti

  800,00 €

Djamila

Secrétaire

1 350,00 €

2. Le directeur d’une librairie augmente tous les salaires de 60 €. Calculer le pourcentage d’augmentation de chaque employé. Employé

Fonction

Lucie

Caissière Spécialiste « romans » Livreur

Lisa Marc

Salaire mensuel avant augmentation 1 200,00 € 1 620,00 € 1 350,00 €

Thème C • Proportionnalité

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2

3

4

1 Utiliser un coefficient ou un tableau DOMAINE 1 DU SOCLE de proportionnalité

La mère de Léo veut acheter des petits gâteaux pour le gouter. Elle hésite entre deux paquets. Sur le paquet de petits palets bretons, l’étiquette indique :

Valeur énergétique Protéines Glucides dont sucre Lipides dont acides gras saturés

Pour 100 g 2 146 kJ 6g 61 g 24 g 27 g 17 g

Pour un palet de 15 g … … … … … …

Sur le paquet des gâteaux au chocolat, l’étiquette indique :

Denis prépare des boissons à base de sirop de fraise. Dans un premier verre, il verse 3 cL de sirop et 12 cL d’eau. Dans un second verre, il verse 4 cL de sirop et 20 cL d’eau. 1. Quelle est la boisson la plus colorée ? Justifier la réponse. 2. Denis veut préparer 3 litres de chaque type de boisson. Donner les quantités de sirop et d’eau nécessaires pour chaque préparation.

4 Utiliser l’échelle d’une carte

DOMAINE 4 DU SOCLE

La carte ci-dessous est à l’échelle 1/200 000.

IM

Pour un gâteau de 20 g 366 kJ 1,2 g 13,1 g 6g 3,2 g 1,8 g

DOMAINE 3 DU SOCLE

LLes es S Sa Sablesabbblllesesdd’ d’Olonne ’O Ollonn onnee

EC

Valeur énergétique Protéines Glucides dont sucre Lipides dont acides gras saturés

Pour 100 g … … … … … …

3 Anticiper un résultat

EN

Objectifs 1

1. Dans quel paquet la proportion de sucre estelle la plus grande ? 2. Reproduire et compléter les tableaux ci-dessus.

2 Utiliser un tableur-grapheur

Déterminer la distance réelle, à vol d’oiseau, qui sépare Les Sables-d’Olonne et Port-Bourgenay.

DOMAINE 2 DU SOCLE

SP

Une compagnie de transports en commun propose deux formules. Formule A : un billet pour un voyage coute 2  2 €. Formule B : un billet pour un voyage coute 1  1 € si l’on prend la carte d’abonnement de 20 €. 1. En utilisant une feuille de calcul d’un tableur, reproduire et compléter ce tableau.

2. Y a-t-il proportionnalité entre le prix de la formule A et le nombre de voyages ? entre le prix de la formule B et le nombre de voyages ? Justifier chaque réponse. 3. Quelle est la formule la plus économique pour 15 voyages ? pour 28 voyages ?

5 Étudier les relations entre deux grandeurs

Le son se déplace à vitesse constante. Dans l’air, à la température de 20°C, sa vitesse est de 340 m/s (mètre par seconde). 1. Quelle distance peut parcourir un son en 5 secondes ? en une minute ? 2. Le grand-père de Lisa lui dit : « Les jours d’orage, lorsque tu vois un éclair dans le ciel, tu peux savoir à quelle distance de toi est tombée la foudre : – dès que tu vois l’éclair, tu comptes le nombre de secondes que met le bruit du tonnerre pour arriver jusqu’à toi ; – tu divises ce nombre de secondes par 3 ; – tu obtiens la distance en kilomètres qui te sépare du point d’impact de la foudre. » Que penser de la méthode du grand-père de Lisa ?

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REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

6 Utiliser un pourcentage

CALCULER

MODÉLISER

CHERCHER

8 Appliquer un pourcentage

DOMAINE 5 DU SOCLE

Une voiture perd 17,5 % de sa valeur chaque année. Le 1er janvier 2016, Olivier achète une Ferraro Sport Z3 au prix de 25 000 €. 1. Quelle sera la valeur de la voiture au 1er janvier 2017 ? au 1er janvier 2018 ? 2. Au bout de combien de temps la valeur de la voiture sera-t-elle inférieure à la moitié de son prix d’achat ?

9 Réfléchir à un problème ouvert

Pour leur buffet de mariage, Roméo et Juliette ont fait appel au grand chef cuisinier Gustavo Gousto. Pour les 120 invités du mariage, Gustavo a prévu : – 16 bouteilles de champagne ; – 36 litres de jus de fruits de la passion ; – 120 toasts de caviar ; – 180 toasts au saumon citronné ; – 20 toasts à la citrouille ; – 1 800 g de cacahouètes grillées ; – 6 kg d’olives ; – 450 petits gâteaux au chocolat. Au dernier moment, Roméo et Juliette invitent 90  convives supplémentaires. Quelle quantité de chaque produit Gustavo doit-il rajouter pour conserver les mêmes proportions dans son buffet ?

IM

On appelle « pente » d’une montée par exemple, un pourcentage exprimant la distance « verticale » par rapport à la distance « horizontale ». Ici, on « avance » de 10 m horizontalement pour « descendre » de 2 m verticalement. 20 = 20 %. Donc la pente est de 2 = 100 10 1. Sur une route qui monte à 15 %, Fatou avance de 1 200 m (horizontalement). De combien de mètres est-elle montée (verticalement) ? 2. Sur une piste de ski qui descend à 60 %, Romain passe de l’altitude 2 650 m à l’altitude 1 300 m. De combien de mètres a-t-il avancé horizontalement ?

EN

RAISONNER

EC

7 Comprendre une représentation à l’échelle

Les plus hauts gratte-ciel du monde sont situés en Asie et en Amérique. Anna et Louis étudient six d’entre eux. 900 800

Hauteur (en m) 818 m

700 600

492 m

527 m

SP

508 m

500

450 m

443 m

400

200 100

Empire State Building (New York)

Willis Tower (Chicago)

Petronas Twin Towers (Kuala Lumpur)

Shanghai World Financial Center (Shanghai )

0

Taipei 101 (Taipei )

Sur les routes de France, les panneaux routiers indiquent des distances en km et des vitesses en km/h. Sur les routes d’Angleterre, on mesure les distances en « miles » et les vitesses en « mph : miles per hour ». Le tableau ci-dessous donne les limitations de vitesse à respecter sur les différentes routes. Type Limitation en Limitation en de route France (en km/h) Angleterre (en mph)

300

Burj Dubaï (Dubaï)

10 Étudier des relations entre deux unités

1. Anna choisit de les reproduire à l’échelle 1/500. Quelle sera la hauteur de ses six reproductions ? 2. Louis a construit une reproduction des Petronas Twin Towers de 60 cm de haut. a. Quelle est l’échelle de sa reproduction ? b. En conservant cette échelle, quelle sera la hauteur de ses cinq autres reproductions ?

Route de ville

50

Route nationale

90

Autoroute

130

SPEED LIMIT

30

SPEED LIMIT

60

SPEED LIMIT

70

50 miles correspondent à environ 80 km, déterminer, pour chaque type de route, dans quel pays la limitation de vitesse est la plus stricte. Thème C • Proportionnalité

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Dans les autres matières 1. Le document a. représente une cellule appelée globule blanc qui est grossie 2 000 fois à l’aide d’un microscope électronique. En mesurant sur l’image la cellule, déterminer la taille réelle de ce globule blanc. 2. Le document b. représente un agrandissement d’une autre cellule, appelée globule rouge. Dans la réalité, le diamètre d’un globule rouge est d’environ 8 microUn micromètre mètres (µm). (1 µm) est égal En mesurant sur le à 0,000 001 m. document la cellule, déterminer l’échelle de cet agrandissement. Doc a. Doc b.

12 The same proportion

Out of the 28 pupils in Class 5A, 20 are going on a school trip to London. Class 5B has 24 pupils. How many pupils in 5B are going to London if the same proportion of pupils in both classes goes on the trip?

13 Arts Plastiques

EN

11 Les cellules du sang

IM

Guernica (1937) (1937), Pablo Picasso (1881-1973).

EC

8 µm

Guernica est une grande peinture réalisée par Pablo Picasso en 1937. Ses dimensions réelles sont de 7,77 m de long sur 3,49 m de large. Quelle est l’échelle de la reproduction présentée ici ?

Enseignement Pratique Pratique Interdisciplinair Inter Interdisciplinaire disciplinair

Langues et cultures étrangères/régionales

Mathématiques & Anglais

SP

Les unités anglo-saxonnes

Le « système impérial d’unités » date de 1824. Il était destiné à l’usage de l’ensemble de l’Empire britannique. Aujourd’hui encore, de nombreux pays utilisent les unités de mesure anglo-saxonnes, comme par exemple le pouce ((inch), le pied (foot), le yard et le mile pour les distances, la pinte et le galon pour les volumes, la livre pour les masses et le degré Fahrenheit pour la température. Cadran indiquant la vitesse en km/h et en mph d’une voiture.

Projet

De nombreuses activités utilisant les outils mathématiques de proportionnalité peuvent être menées en lien avec les calculs de volumes, de distances, de vitesses, de températures, de masses. Ces calculs peuvent donner lieu à une ouverture vers les unités, la culture anglo-saxonne et des conversions intéressantes. Notions mathématiques : Grandeurs et mesures • Conversion d’unités • Utilisation de la proportionnalité 194

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ues

mathématiq

à la maison A B C D 1 2 3 4

Chaque mois, Picsou gagne 2 160 € et il dépense : • 590 € pour son logement ; • 404 € pour sa nourriture ; • 316 € pour ses déplacements ; • 250 € pour ses vêtements. Il place le reste de son argent dans son coffre-fort. 1. Calculer le pourcentage des gains correspondant à chaque dépense. 2. Quelle somme Picsou met-il dans son coffrefort chaque mois ? 3. Représenter ces cinq catégories (dépenses + économies) par un graphique judicieusement choisi.

19 L’ile de la Réunion

IM

Horizontalement 1. 30 % de 750. 2. 133 sur 350 en pourcentage. 3. 525 L sont perdus en 3 min. Combien de litres vont être perdus en 10 min ? 4. Les 3/4 de 300 €. Verticalement A. 87 $ augmenté de 200 %. B. Pourcentage correspondant à 396 voix sur 550. C. 4 460 habitants augmenté de 20 %. D. 230 g de farine pour 2 personnes. Combien faut-il de farine pour 7 personnes ?

18 Picsou fait ses comptes

EN

14 Nombres croisés

15 Les amis

Voici une image satellite de l’ile de la Réunion.

EC

Dans un groupe d’amis réunis pour fêter un anniversaire, on compte plus de 41 % de garçons et plus de 51 % de filles. Combien sont-ils, au minimum ? D’après Championnat International de Jeux mathématiques.

16 Défi !

Charly est un artiste. Il réalise des mélanges de couleurs. Es-tu capable d’associer la couleur du mélange au pot de peinture correspondant ?

SP

• Mélange  A  : 5 pots de peinture

rouge et 1 pot de peinture jaune. Mélange  B  : 4 pots de peinture rouge et 2 pots de peinture jaune. • Mélange  C  : 3 pots de peinture rouge et 3 pots de peinture jaune. • Mélange  D  : 2 pots de peinture rouge et 4 pots de peinture jaune. • Mélange E : 1 pot de peinture rouge et 5 pots de peinture jaune.

17 Énigme

enfants mangent Lors de la soirée d’Halloween, 7 35 bonbons en 30 minutes. s la même proCombien de bonbons mangeront, dan ? portion, 15 enfants en 2 heures

Sachant que la distance réelle entre les deux points rouges est de 70 km, quelle est l’échelle correspondant à cette photographie ?

20 Vive le sport Rechercher sur Internet ou dans une encyclopédie les dimensions réelles d’un court de tennis (y compris les lignes intérieures). Dessiner le plan d’un terrain de tennis à l’échelle 1/200 comportant toutes les lignes du jeu. Thème C • Proportionnalité

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5 Je comprends

Déterminer

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

ÉTAPE 2

Thomas a confectionné un gâteau de 400 g pour lequel il a utilisé 150 g de farine. Quelle quantité de farine lui faudrait-il pour faire un même gâteau de 300 g ? 

C’est un tableau de proportionnalité, donc les produits en croix sont égaux. D’où 150 × 300 = 400 × m.

ÉTAPE 1

ÉTAPE 3

On traduit les données par un tableau de proportionnalité. 150

m

Masse du gâteau obtenu (en g)

400

300

Je m’entraine

La masse de farine nécessaire à la réalisation d’un gâteau de 300 g est donc de 112,5 g.

IM

1

CALCULER

EN

Masse de farine (en g)

On calcule m = 150 × 300 = 112,5. 400

5 Reproduire et compléter les tableaux de propor-

Activités rapides

tionnalité suivants en utilisant l’égalité des produits en croix. a. 300 b. 8 22

EC

a. 4 dictionnaires identiques pèsent 6 kg. Combien pèsent 12 de ces dictionnaires ? b. 5 livres identiques pèsent 2 kg. Combien pèsent 11 de ces livres ? c. 60 boulons identiques pèsent 350 g. Combien pèsent 12 de ces boulons ?

2 En calculant les produits en croix, dire si

SP

les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. a. b. 6 9 3 12 c.

8

12

7 5

13 11

d.

5

20

13 5

39 15

3 En calculant les produits en croix, dire si

les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. a. 8,2 b. 6,20 15,60 9,6 6,4

c.

12,2 17,8

7,2 97,8 142,2

d.

8,06

20,28

24 28,8

26 31,2

4 Calculer la valeur des nombres inconnus dans les égalités ci-dessous. a. a = 8 4 5

b. 7 = 2 b 3

c. 11 = c 6 15

c.

500

900

45 17

51

14

d.

5 18

7

6 Reproduire et compléter les tableaux de pro-

portionnalité suivants en utilisant la méthode la plus adaptée. a. 200 b. 12 80 60 500

c. 7,8

15

d.

5 15

11 16

8

7 Dans les tableaux de proportionnalité suivants, calculer le nombre inconnu. a. b. a 2 c.

13

5

3,2 6

c 2,4

d.

6 b

4 7

7,2 3,2

36 d

8 Dans le tableau de proportionnalité suivant, calculer les nombres inconnus. 12

x

5,6

z

15

40

y

3,6

196

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une quatrième proportionnelle Je résous des problèmes simples

CALCULER

RAISONNER

COMMUNIQUER

9 Dans un pot de 125 g de yaourt, il y a 150 mg de 15 Pour faire sa confiture, Mamie Vona a mélangé

10 Sur une carte routière de la Bretagne, 4 cm repré-

sentent une distance réelle de 80 km. 1. Quelle est, sur cette carte, la distance qui sépare les villes de Nantes et de Rennes éloignées en réalité de 110 km ? 2. Quelle est la distance réelle entre Brest et Saint-Malo séparées sur cette carte de 9,2 cm ?

11 Les maths autour de moi En marchant, Jim met 24  min pour aller chez Chloé, qui habite à 2,5  km de chez lui. En marchant à la même vitesse, combien de temps mettrait-il pour aller chez son oncle Charly, qui habite à 5,2 km ?

2,500 kg de fraises et 1,500 kg de sucre. Elle n’utilise pas d’autre ingrédient. 1. Mamie Vona a cueilli 7 kg de fraises. Quelle masse de sucre doit-elle prévoir pour cette quantité de fruits ? 2. Quelle masse de sucre y a-t-il dans 1 000 g de cette confiture de fraises ?

EN

calcium. Quelle est la masse de calcium contenue dans 200 g de yaourt ?

16 La fonte est un alliage de fer et de carbone. Dans

une fonderie, on fabrique de la fonte selon la proportion suivante : 2 kg de fonte contiennent 112 g de carbone. Quelle est la quantité de carbone nécessaire pour fabriquer 3,7 tonnes de fonte ?

IM

17 Alexia veut préparer un cocktail original. Sur un livre, elle trouve la recette suivante.

EC

12 Chez Carrouf Market, le prix des pommes est proportionnel à la masse achetée. Reproduire et compléter le tableau suivant. Masse de pommes (en kg) 2,500 4,500 Prix (en €)

5,25

21,00

SP

13 Les maths autour de moi

En supposant que, sur une autoroute, le prix du péage est proportionnel à la longueur du trajet, reproduire et compléter le tableau suivant. Distance parcourue (en km) €)) Prix du péage (en €

14 Dans un verre de

55

70 5,60 9,60

125 mL de jus 1 L = 1 000 mL d’orange, il y a 40 mg de vitamine C. 1. Quelle quantité de vitamine C y a-t-il dans 1 litre de ce même jus d’orange ? 2. Quelle quantité de jus d’orange faut-il boire pour avoir la dose quotidienne de vitamine C conseillée qui est de 60 mg par jour.

Alexia veut préparer 2 litres de cocktail. Quelle quantité de chaque ingrédient doit-elle prévoir ?

18 TOP Chrono L’eau est une denrée précieuse. Il ne faut pas la gaspiller. 1. Une simple fuite de robinet peut entrainer des pertes importantes. Par exemple, un robinet qui goutte laisse s’écouler 18 L en 4 h. Quel volume d’eau peut-on perdre en une journée ? en un mois ? en un an ? 2. En France, le prix de l’eau est variable selon les régions, mais il était en moyenne de 4,15 € par m3 en 2015. Quel est le cout de la fuite de ce robinet pendant un mois  ? pendant un an ?

Thème C • Proportionnalité

04733297_196-207_Theme-C.indd 197

197

14/04/2016 16:51


6 Je comprends

Caractériser graphiquement

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Thomas dirige l’agence de location Locasol. Le tableau suivant donne les tarifs de location pour deux véhicules différents. Nombre de jours de location

1

2

5

7

10

Prix pour un monospace (en €)

30

60

150

210

300

Prix pour un cabriolet (en €)

40

70

140

180

220

1. ÉTAPE 1 On construit un repère en respectant les unités et les échelles demandées.

300

EN

1. Représenter graphiquement les tarifs proposés dans un repère (en prenant 1 carreau par jour pour l’axe des abscisses et 1 carreau pour 20 € pour l’axe des ordonnées). 2. Les tarifs proposés sont-ils proportionnels au nombre de jours de location ? Expliquer. Prix (en €)

Location d’un monospace Location d’un cabriolet

Pour chaque véhicule, on place un point par nombre de jours de location possible : 1 jour de location à 30  € est traduit par un point de coordonnées (1 ; 30).

En revanche, pour le cabriolet, les points ne sont pas alignés, donc les tarifs de location ne sont pas proportionnels au nombre de jours de location.

EC

100

IM

200

ÉTAPE 2

Nombre de jours

0

Je m’entraine 1

2. On constate que, pour le monospace, les points sont sur une droite passant par l’origine du repère, donc les tarifs de location du monospace sont proportionnels au nombre de jours de location.

2

4

6

8

10

REPRÉSENTER

SP

Activités rapides

Sur le graphique suivant, quelles courbes traduisent une situation de proportionnalité ?

2 Pour chaque graphique, dire s’il traduit une situa-

tion de proportionnalité en justifiant la réponse. a. b. 5

5

4

4

8

3

3

7

2

2

6

1

1

5

0

4

2

3

2 1 1

2

3

4

5

6

0

4

c.

3

0

1

1

2

3

4

1

2

3

4

d. 5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

0

198

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la proportionnalité Je résous des problèmes simples 3 1. Représenter graphiquement la situation décrite

par le tableau ci-dessous. Les valeurs de x sont placées en abscisse et celles de y en ordonnée. x y

1 2

2 4

4,5 7

REPRÉSENTER

Le pétrole est une énergie fossile utilisée pour fabriquer les carburants des véhicules motorisés. Le graphique ci-dessous représente le prix à payer en fonction de la quantité d’essence achetée dans une station-service.

5,5 11

3 6,75

5 11,25

EN

1 2,25

6 13,50

90 80 70 60 50 40 30 20 10

4 En géométrie, on étudie plusieurs carrés. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant. 1

2

3

4

4,5

0

SP

EC

2. Représenter dans un repère le périmètre du carré en fonction de la longueur du côté. (Prendre 2 carreaux pour 1 cm en abscisse et 1 carreau pour 2 cm en ordonnée.) 3. Représenter dans un autre repère l’aire du carré en fonction de la longueur du côté. (Prendre 2 carreaux pour 1 cm en abscisse et 1 carreau pour 2 cm2 en ordonnée.) 4. Le périmètre et l’aire d’un carré sont-ils proportionnels à la longueur du côté ?

5 Les maths autour de moi

Mehdi veut acheter du pop corn, mais les tarifs sont donnés sous une forme étonnante. Prix (en n€ €))

5 4 3 2 1

0

100

200

Prix (en €)

IM

Longueur du côté (en cm) Périmètre (en cm) Aire (en cm2)

300

Contenance du pot (en cL)

Y a-t-il proportionnalité entre le prix et la contenance du pot ?

COMMUNIQUER

Les maths autour de moi

6

2. Ces deux séries de données sont-elles proportionnelles ? Donner un argument graphique et un argument de calcul. 3. Reprendre les questions 1. et 2. avec les valeurs du tableau ci-dessous. x y

RAISONNER

7

10

20

30

40

50

60

Volume (en L)

1. Quel est le prix approximatif pour un plein d’essence de 54 L ? 2. Le prix est-il proportionnel à la quantité d’essence achetée ? Expliquer.

TOP Chrono Tiphaine est commerciale en téléphonie mobile chez Jaune Télécom. Plus elle vend de téléphones portables, plus son salaire est élevé. Le tableau suivant, réalisé par sa directrice, lui permet de connaitre son salaire en fonction de ses ventes. Montant des 4 000 6 000 10 000 15 000 ventes (en €) Salaire de 1 470 1 790 1 950 2 350 Tiphaine (en €)

1. Représenter graphiquement le salaire de Tiphaine en fonction des ventes réalisées (prendre 1 carreau pour 1  000  € de ventes en abscisse et 1 carreau pour 200 € de salaire en ordonnée). 2. En regardant le graphique, dire si le salaire de Tiphaine est proportionnel au montant de ses ventes.

Thème C • Proportionnalité

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199

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7 Je comprends

Utiliser la proportionnalité

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

ÉTAPE 2

Avec son vélo, Camille roule à la vitesse moyenne de 20 km/h. Pour aller chez son ami Ralph, elle doit parcourir 45 km. Combien de temps ce trajet va-t-il durer ? 

On calcule la quatrième proportionnelle : 20 × t = 1 × 45 donc t = 1 × 45 : 20 = 2,25. ÉTAPE 3

ÉTAPE 1

On conclut en exprimant cette donnée en heures et en minutes : 2,25 h = 2 h + 0,25 h = 2 h + 0,25 × 60 min = 2 h + 15 min. La durée du trajet de Camille sera de 2 h 15 min.

Je m’entraine 1

Activités rapides

1 20

t 45

CALCULER

IM

Temps (en h) Distance (en km)

EN

On sait que rouler à la vitesse moyenne de 20 km/h signifie qu’on parcourt 20 km en 1 h. On peut donc construire un tableau de proportionnalité avec les données.

à 100 km/h sur une distance de 900 km. Combien de temps son vol dure-t-il ?

6 Pour son entrainement au marathon, Samir a mis 3 h pour parcourir 42 km. Quelle a été sa vitesse moyenne sur ce parcours ?

EC

1. Quelle distance vais-je parcourir si je cours à 12 km/h pendant : a. 2 h ? b. 3 h 30 min ? c. 4 h 45 min ? 2. Combien de temps vais-je mettre si je cours à 10 km/h sur : a. 5 km ? b. 20 km ? c. 25 km ? 3. Avec un robinet dont le débit est de 15 L/min, quel volume d’eau puis-je avoir en : a. 2 min ? b. 10 min ? c. 1 h ?

5 Lors de sa migration, une hirondelle peut voler

2 Le satellite de télécommunications ASTRA se

SP

déplace à la vitesse de 11 000 km/h. Quelle distance parcourt-il en 24 heures ?

3 Mélia a roulé à vélo pendant 1  h  45 min à la

vitesse moyenne de 20 km/h. 1. Exprimer la durée de ce parcours en un nombre décimal d’heures. On peut utiliser un tableau de proportionnalité entre les heures et les minutes.

2. Calculer la distance parcourue par Mélia lors de cette balade.

4 En 1875, Matthew Webb effectue la première

traversée de la Manche à la nage en parcourant 31,5 km à la vitesse moyenne de 1,5 km/h. Combien de temps son trajet a-t-il duré ?

7 Jessica achète une carte du Sud-Est de la France

à l’échelle 1/200 000. 1. Sur cette carte, Marseille et Lyon sont distantes de 135 cm. Quelle est la distance réelle entre ces deux villes ? 2. Dans la réalité, il y a 124 km entre Marseille et Montpellier. Quelle est la distance sur la carte entre ces deux villes ?

8 Sur une carte routière de France Megacart, les

distances représentées sont proportionnelles aux distances réelles. 1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Paris- Paris- Paris- ParisParisLille Brest Toulouse Marseille Strasbourg Distances réelles 220 (en km) Distances sur la 44 carte (en cm)

560

800

128

91

2. Quelle est l’échelle de cette carte routière ?

200

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14/04/2016 16:51


pour calculer des grandeurs Je résous des problèmes simples

CALCULER

RAISONNER

COMMUNIQUER

9 En France, la vitesse est limitée à 90 km/h sur 12

10 Les maths autour de moi

13 L’eau de mer contient du sel. L’océan Atlantique

N137

D178

Carquefou

Orvault N165

Ligné E60 D723

Vertou D178 D937

A83

D723

E60

D323

D952

Lo ire Bouchemaine

D761

D763

D757

Beaupréau

Vallet

D763

Clisson D137

D723

Ancenis Champtoceaux

Nantes

N844

A11

EC

E3

Loire

Béconnais

D923

D164

Nord a un taux de salinité de 30 g/L, mais certaines mers en contiennent plus. Ainsi, la mer Morte a un taux de salinité de 330 g/L. 1. a. Quelle a. Quelle masse de sel y a-t-il dans 1 m3 d’eau de l’océan Atlantique Nord ? b. Quelle b.  Quelle masse de sel y a-t-il dans 1 m3 d’eau de la mer Morte ? 2. Dans les marais salants, on récolte du sel contenu dans l’eau de mer en faisant évaporer l’eau. Quel volume d’eau faut-il faire évaporer si on souhaite récolter 1 tonne de sel dans l’océan Atlantique Nord ?

IM

Les villes de Nantes, Angers et Cholet sont situées à proximité de la Loire. En utilisant l’échelle graphique de cette carte, estimer la distance à vol d’oiseau entre ces villes. D963 NortAngers D323 Riaillé sur-Erdre D31 le LourouxHéric

Sachant que le réservoir contient 63 L, déterminer la consommation moyenne de cette voiture, c’est-à-dire le nombre de litres consommés pour 100 km parcourus.

EN

route nationale et à 130 km/h sur autoroute. 1. Sur route nationale, à la vitesse moyenne de 90 km/h, combien de temps Pierre met-il pour parcourir 50 km ? 2. Sur autoroute, à la vitesse moyenne de 130  km/h, combien de temps Adèle met-elle pour parcourir 100 km ? 3. Si Pierre et Adèle roulent à 10 km/h au-dessus de la limite autorisée, combien de temps gagnentils sur leur trajet ?

D763

N249

E62

D753

D20

10 km

14 TOP Chrono

SP

11

Le fleuve Amazone rejette, chaque seconde, 209 000 m3 d’eau dans l’océan. 1. Quel volume d’eau rejette l’Amazone en une journée ? 2. Une piscine olympique peut être assimilée à un pavé droit de 50 m de long, 25 m de large et 3 m de profondeur. Combien de piscines olympiques pourraient être remplies par l’Amazone chaque seconde ?

Pierre travaille à domicile. Il utilise Internet pour échanger des fichiers avec ses clients et a donc besoin d’un bon débit. 1. Il possède une connexion ADSL qui lui permet de recevoir 2 Mo de données numériques par seconde. a. Quelle quantité de données reçoit-il en une minute ? en une heure ? b. Combien de temps mettrait-il pour télécharger 100 Mo de données ? 2. Un fournisseur d’accès lui propose de prendre un abonnement à la fibre qui permet de recevoir 5 Mo de données par seconde. a. Quelle quantité de données Pierre pourrait-il recevoir en une minute ? en une heure ? b. Combien de temps lui faudrait-il pour télécharger 100 Mo de données ?

Thème C • Proportionnalité

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201

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8 Je comprends

Manipuler des pourcentages

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

ÉTAPE 1

On calcule 70 % de 380 : 380 × 70 = 266, 100 donc 266 hommes ont terminé la course.

ÉTAPE 2

On calcule 86 % de 250 : 250 × 86 = 215, 100 donc 215 femmes ont terminé la course. ÉTAPE 3

On ajoute les effectifs : 380 + 250 = 630. Il y a 630 participants au total. 266 + 215 = 481. Donc 481 personnes ont terminé la course.

EN

380 hommes et 250 femmes participent à un marathon. 70 % des hommes et 86 % des femmes ont terminé cette course de 42 km. Calculer le pourcentage de participants ayant terminé la course.

ÉTAPE 4

On calcule le pourcentage 481 × 100 = 76,3. 630 76,3 % des participants ont terminé la course. Remarque

CALCULER

RAISONNER

EC

Je m’entraine

IM

Ce pourcentage n’est pas égal à la moyenne des deux (70 + 86) : 2 car il n’y a pas le pourcentages donnés au départ (70  même nombre d’hommes et de femmes dans cette course.

1

Activités rapides

SP

a. Calculer 30 % de 30 Mo. b. Calculer 40 % de 250 km. c. Calculer 70 % de 60 L. d. Calculer 150 % de 80 €. €.

2 Dans le garage automobile Stop Auto 3 000, il

y a 30 voitures en réparation. 60 % de ces voitures sont blanches. Combien y a-t-il de voitures blanches dans ce garage ?

3 Lors d’une vente promotionnelle, le magasin Cash-max annonce « 15 % de réduction sur tous les articles ». Reproduire et compléter le tableau suivant. Prix initial (en €) Prix après réduction (en €)

100,00 20,00 42,00 57,00

4 Hugo a lancé 400 fois deux dés à six faces. Le

« double 6 » est sorti 37 fois. Quel est le pourcentage de « double 6 » dans les lancers de Hugo ?

5 À Reunville-sur-Mer, il y a 8 235 habitants. 2 617

d’entre eux sont licenciés dans un club de sport. Quel est le pourcentage d’habitants licenciés dans un club de sport ?

6 1. Max a passé 10 % de sa journée à jouer à la

console. Combien de temps a-t-il joué ? 2. Émilie passe en moyenne 1 h 30 min par jour devant la télévision. Quel pourcentage de son temps Émilie passe-t-elle devant la télévision ?

7 Une meule d’emmental pèse 55 kg et contient 30 %

de protéines, 28 % de matières grasses mais aussi 530 g de calcium et 333 g de phosphore. 1. Calculer la masse de protéines et de matières grasses contenues dans une meule d’emmental. 2. Calculer le pourcentage de calcium et de phosphore contenu dans l’emmental.

8 Dans le collège de Marion, il y a 250 filles et

310 garçons. 70 % des filles et 90 % des garçons sont demi-pensionnaires. Quel est le pourcentage d’élèves demipensionnaires ?

202

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14/04/2016 16:51


pour résoudre des problèmes Je résous des problèmes simples

CALCULER

RAISONNER

COMMUNIQUER

9 Le TGV Est permet de relier Paris à Strasbourg 13 Le lundi, à l’ouverture du magasin, un article de

10 Les maths autour de moi

Le club de natation de Ploufville rassemble 600  licenciés : 240 femmes et 360 hommes. 40 % des femmes et 60 % des hommes font de la compétition. 1. Combien de femmes font de la compétition ? 2. Combien d’hommes font de la compétition ? 3. Quel est le pourcentage de licenciés qui font de la compétition ?

IM

Au concert de la star Henry Yanna, la salle de 3  500 places est remplie. 64  % des spectateurs sont des adolescents. Parmi eux, 80 % sont des filles. Combien y a-t-il d’adolescentes à ce concert ?

sport est vendu 60 €. Le mardi, son prix baisse de 30 %. Le mercredi, il remonte de 40 %. 1. Quel est le prix de l’article ? 2. Que peut-on donc dire d’une baisse de 30 % suivie d’une hausse de 40 % ?

EN

en 2 h 20. En entrant dans une des voitures de ce train, le contrôleur compte 75 personnes. 60 % d’entre elles sont des adultes et parmi les enfants, il y a 40 % de garçons. 1. Combien y a-t-il d’adultes ? Combien y a-t-il d’enfants ? 2. Combien y a-t-il de garçons ? Combien y a-t-il 14 de filles ?

15 Dans sa bibliothèque, Lucien possède

EC

140  ouvrages  : 80 livres et 60 bandes dessinées. Lucien donne 30 % de ses livres et 70 % de ces BD à l’école de sa ville. Quel pourcentage de sa bibliothèque Lucien a-t-il donné ?

16 Dans la classe de Nina, il y a 12 filles et 13 gar-

SP

11 Dans un massif composé de 250 fleurs, 60 % des fleurs sont des roses. 45 % des roses du massif sont rouges. 1. Combien y a-t-il de roses rouges dans le massif ? 2. Quel pourcentage des fleurs du massif les roses rouges représentent-elles ?

12 En France, le prix du gaz est lié au cours du pétrole. En mars, le prix du gaz naturel était de 0,04306 €/kWh (euro par kilowattheure). Le 1er avril, ce tarif a augmenté de 9,7 %, puis il a encore augmenté de 4,7 % le 1er juillet. 1. Calculer le prix du gaz naturel après ces deux augmentations. 2. Quel est le pourcentage global d’augmentation du prix du gaz entre mars et juillet ?

çons. Dans la classe de Ly Ahn, il y a 14 filles et 6 garçons. 1. Quel est le pourcentage de filles dans la classe de Nina ? 2. Quel est le pourcentage de filles dans la classe de Ly Ahn ? 3. On réunit les deux classes pour une séance de cinéma. Quel est le pourcentage de filles dans la salle ?

17 TOP Chrono Tous les ans, la ville de Parthenay organise un festival dédié aux jeux  : le FLIP (festival ludique international de Parthenay). Cette année 2 600 adultes et 4 150 enfants ont visité le stand des jeux de société. 72 % des adultes et 40 % des enfants ont joué à un jeu de lettres appelé « Point Final ». Quel pourcentage des visiteurs du festival a joué à ce jeu ?

Thème C • Proportionnalité

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203

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6

1 Utiliser un langage scientifique

7

8

DOMAINE 1 DU SOCLE

Une ampoule basse consommation (BC) d’une puissance de 20 W éclaire autant qu’une ampoule à incandescence (INC) de 75 W, mais elle consomme moins d’électricité. Le prix de l’électricité consommée par une ampoule est proportionnel à son temps de fonctionnement. 1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous permettant de connaitre le cout de fonctionnement pour 2 ampoules différentes.

DOMAINE 2 DU SOCLE

Les deux graphiques ci-dessous représentent respectivement la distance de réaction et la distance de freinage sur route sèche d’un véhicule en fonction de sa vitesse. Distance de réaction (en m) 40 30 20 10 0

20

40

60

80

100

120

Vitesse du véhicule (en km/h) Vocabulaire

La distance de réaction est la distance parcourue par un véhicule pendant le temps de réaction du conducteur (temps qui lui est nécessaire pour réagir et commencer à freiner).

Distance de freinage (en m)

IM

Durée d’utilisation (en h) 24 1000 3000 Prix de l’électricité pour une 0,0540 ampoule BC de 20 W (en €) Prix de l’électricité pour une 0,2025 ampoule INC de 75 W (en €)

3 Utiliser un graphique

EN

Objectifs 5

100 80 60 40 20

EC

2. Marc remplace une ampoule à incandescence de 75 W par une ampoule basse consommation de 20 W. Quel sera le montant de l’économie réalisée pour 3 000 h de fonctionnement ? 3. Dans le magasin d’Éloïse, il y a 8 ampoules à incandescence de 75 W. Elle décide de les remplacer par 8 ampoules basse consommation de 20 W. Son magasin est ouvert et éclairé 10 h par jour, 5 jours par semaine. Quel sera le montant de l’économie réalisée en 2 ans ?

2 Repérer une situation de proportionnalité

SP

DOMAINE 3 DU SOCLE

La vitesse de la lumière est de 300 000 km/s. La vitesse du son est de 340 m/s. 1. Pendant un orage, la foudre tombe à 12 km de l’endroit où l’on se trouve. a. Va-t-on d’abord voir l’éclair ou entendre le tonnerre ? Pourquoi ? b. Pourquoi peut-on dire que l’on voit l’éclair pratiquement au moment où il se produit ? c. Combien de temps le son du tonnerre met-il à parvenir jusqu’à nous ? 2. a. Plus généralement, lorsqu’on voit un éclair, combien de temps le son du tonnerre met-il pour parcourir un kilomètre ? b. Comment peut-on donc calculer rapidement la distance qui nous sépare de l’endroit où est tombée la foudre ?

0

20

40

60

80

100

120

140

Vitesse du véhicule (en km/h) Vocabulaire

La distance de freinage est la distance parcourue entre le début du freinage et l’arrêt du véhicule.

1. a. Quelle est la distance de réaction lorsque le conducteur roule à 90 km/h ? b. La distance de réaction est-elle proportionnelle à la vitesse du véhicule ? Justifier la réponse. 2. a. Quelle est la distance de freinage sur route sèche lorsque le conducteur roule à 90 km/h ? b. La distance de freinage est-elle proportionnelle à la vitesse du véhicule ? Justifier la réponse. Vocabulaire 3. a. Quelle est la distance d’arrêt sur route La distance d’arrêt d’un véhicule sèche d’un véhicule est la distance parcourue entre l’instant où el ocnducteur prend roulant à 90 km/h ? conscience du danger et celui b. En utilisant les don- oùle véhicule s’arrête. Elle s’obtient en ajoutant la distance nées des deux gra- de réaction et la distance de phiques, construire un freinage. graphique représentant la distance d’arrêt (sur route sèche) d’un véhicule en fonction de sa vitesse.

204

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14/04/2016 16:51


RAISONNER

REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

4 Utiliser une échelle de carte

DOMAINE 4 DU SOCLE

Le samedi 20 mars 2010, le volcan islandais Eyjafjöll, situé dans le sud de l’ile, à seulement 160 km au sud-est de la capitale Reykjavik, est entré en éruption. Le 14 avril, l’éruption est devenue plus forte et un énorme nuage de cendres s’est propagé sur l’Europe du Nord. Ligne de faille

Aujourd'hui 6 h 00 (prévision)

I S L AN DE Reykjavik

Hofsjokull

12

Vatnajokull

10

2

8

4

Vik

Mer de Norvège

Glacier Eyjafjallajokull L'éruption est survenue sous le glacier

12 2

8

Un nuage qui en deux jours a touché tout le nord de l'Europe

4 6

NUAGE DE CENDRES

Mercredi 14 avril 2010 18 h 30 Mer de Norvège

12 10

2

8

4 6

FINLANDE FINLANDE*

SUÈDE

3

x

x

2

3

7

10

IM

NORVÈGE

x

4. L’aire de ce rectangle est-elle proportionnelle à la largeur x ? x ? 5. Construire un graphique représentant l’aire d’un tel rectangle en fonction sa largeur.

ISLANDE

Eyjafjallajokull

On veut étudier le rectangle ci-dessous.

x (en cm) Aire (en cm2)

Jeudi 15 avril 12 h 00 10

6 Justifier une propriété

EN

6

OCÉAN ATLANTIQUE

MODÉLISER

CHERCHER

1. Construire un rectangle correspondant à ces conditions avec x = 4 cm. 2. Exprimer, en fonction de x, x, la largeur, la longueur puis l’aire de ce rectangle. 3. Reproduire et compléter le tableau suivant.

Plaque nord-américaine Plaque eurasiatique

OCÉAN ARCTIQUE

CALCULER

RUSSIE

Mer Baltique

ROYAUME-UNI

DANEMARK

OCÉAN ATLANTIQUE

RÉP. TCHÈQUE

BELGIQUE

Trafic aérien interrompu

SUISSE

SLOVAQUIE

AUTRICHE HONGRIE SLOVENIE CROATIE

CITE DU VATICAN

BOSNIEHERZ

SERBIE

Mer Noire

MACEDOINE

PORTUGAL ESPAGNE

ITALIE

MAROC

ALGÉRIE

TUNISIE

ALBANIE

GRECE

Mer Méditerranée

* Partiellement fermé

MALTE

1. En utilisant l’échelle de cette carte, estimer la distance entre le volcan et la côte française la plus proche.

Source : metoffice.gov.uk/aviation/vaac/vaacuk_vag.html

Certains avions peuvent voler à une vitesse supérieure à celle du son (340 m/s). On dit qu’ils sont « supersoniques ». 1. a. Un Airbus A380 vole à la vitesse de 900 km/h. Est-ce un avion supersonique ? b. Le Rafale, un avion militaire français, peut voler à 2 200 km/h. Est-ce un avion supersonique ? Les pilotes d’avion utilisent une autre unité de vitesse que le km/h ou le m/s. Ils utilisent le mach. Mach 1 correspond à la vitesse du son. Mach 2 correspond à 2 fois la vitesse du son. Mach 3,5 correspond à 3,5 fois la vitesse du son, etc. 2. Exprimer, en km/h, les vitesses suivantes : a. Mach 1 b. Mach 2 c. Mach 3,5 3. a. Exprimer, en Mach, la vitesse de l’Airbus A380. b. Exprimer, en Mach, la vitesse du Rafale.

EC

FRANCE*

Hauteur moyenne : 6 km Hauteur maximum : 11 km

BIÉLORUSSIE

ALLEMAGNE

PAYS-BAS

NUAGE DE CENDRES

7 Travailler avec différentes unités

LITUANIE

POLOGNE

IRLANDE

ESTONIE

LETTONIE

Mer du Nord

SP

2. Le nuage a touché la France 36 h environ après sa formation au-dessus du volcan. Calculer la vitesse moyenne de son déplacement.

5 Réfléchir à un problème ouvert

Le prix de revient d’une chemise se décompose de la façon suivante : • 60  % pour la maind’œuvre ; • 40 % pour le tissu et les boutons. Le prix de la main-d’œuvre augmente de 10 %. Ceux du tissu et des boutons augmentent de 30 %. Quel est le pourcentage d’augmentation du prix de revient de la chemise ?

Thème C • Proportionnalité

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205

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Dans les autres matières Le mont Fuji est un célèbre volcan japonais.

In France, a car’s fuel consumption is measured in terms of litres per 100 kilometres (L/100 km). In the United States, a car’s fuel consumption is measured in terms of miles per US gallon (MPG). We know that 1 mile is equal to about 1.609 kilometres and that 1 US gallon is equal to about 3.785 litres. Marc lives in Dijon. His car consumes 4.5 litres per 100 kilometres. The car of his cousin John in Dallas travels 50 miles per gallon. Which car consumes less fuel?

10 La voile

Dans la marine, on exprime les vitesses en « nœud ». 1 nœud correspond à 1 mille marin par heure. 1 mille marin est égal à 1,852 kilomètre. 1. Convertir les vitesses suivantes en km/h. a. 12 nœuds b. 18 nœuds c. 25 nœuds 2. Convertir les vitesses suivantes en nœud. a. 20 km/h b. 30 km/h c. 50 km/h

IM

Il n’est accessible au public que du 1er juillet au 27 aout et, chaque année, 200 000 personnes environ en font l’ascension. 1. Combien de personnes font l’ascension du mont Fuji chaque jour ouvert ? 2. Le chemin qui mène au sommet fait 9 km. En marchant à 1,5 km/h, combien de temps met Toshi pour faire l’aller-retour ?

9 Filling up

EN

8 Le mont Fuji

EC

Enseignement Pratique Interdisciplinaire

Corps, santé, bien-être et sécurité

Mathématiques & SVT & Géographie

Séisme et tsunami

SP

Un séisme est une secousse du sol qui découle de la brusque libération d’énergie accumulée par les déplacements des plaques tectoniques de la Terre. Si un séisme a lieu en mer, celle-ci se met en mouvement et peut créer une élévation du niveau de la mer que l’on appelle un tsunami. Les scientifiques essayent de prévoir les séismes et d’étudier leur propagation sur des cartes, comme ici en 2011 dans l’océan Pacifique. Temps de parcours estimé de l’onde du tsunami induit par le séisme de Sendai du 11 mars 2011.

Projet

Travailler sur les cartes des principales zones sismiques du monde, montrer comment calculer des distances et retrouver l’épicentre d’un séisme. Étudier les vitesses de propagation des tsunamis. Notions mathématiques : Utilisation de la proportionnalité • Calcul de vitesse, de distance, de temps • Utilisation d’échelle de carte 206

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ues

mathématiq

à la maison

11 Les 3 chats

Si 3 chats attrapent 3 souris en 3 minutes, combien faut-il de chats pour attraper 15 souris en 15 minutes ?

12 Les cercles

1

3

13 Défi !

IM

7

2

Léo et Léa prennent chacun leur voiture pour aller de Brest à Bordeaux. Léo part de Brest à 9 h 00 et roule à la vitesse moyenne de 80 km/h en direction de Bordeaux. Léa part de Brest à 11 h 00 et roule jusqu’à Bordeaux. 1. Sachant que Bordeaux est situé à 640 km de Brest, à quelle vitesse moyenne Léa doit-elle rouler pour arriver à la même heure que Léo à Bordeaux ? 2. Refaire l’exercice en considérant que les deux amis veulent aller de Brest à Caen (chercher sur Internet ou sur une carte la distance entre ces deux villes). La vitesse de Léa est-elle possible ?

EN

Placer les jetons 4, 5, 6, 8 et 9 tels que la somme des jetons sur chacun des cinq cercles soit égale à 22.

15 Voyage de Brest à Bordeaux

EC

Arthur et Blaise doivent aller de la ville de Mathville à Geomcity qui sont distantes de 40 km. Ils disposent d’un seul vélo pour deux, mais ils ne peuvent monter à deux sur ce vélo. Arthur marche à une vitesse de 4 km/h et fait du vélo à une vitesse de 30 km/h. Blaise marche à une vitesse de 6 km/h et fait du vélo à une vitesse de 20 km/h.

SP

S’ils partent tous les deux à 8 heures de Mathville, à quelle heure seront-ils au plus tôt à Geomcity ?

Note : le vélo est muni d’un antivol dont chacun des deux amis possède une clé.

14 Énigme

D’après FFJM.

de trois robinets. Pour remplir un bassin, on dispose in se remplit bass le • Si on ouvre les robinets 1 et 2, en 20 minutes. bassin se remplit • Si on ouvre les robinets 1 et 3, le en 30 minutes. bassin se remplit • Si on ouvre les robinets 2 et 3, le en 18 minutes. même temps, au Si on ouvre les trois robinets en sera-t-il rempli ? in bass le ps tem de bout de combien

16 Voyage d’Évreux aux Sables-d’Olonne Ludo, qui habite près d’Évreux, est allé en vacances aux Sables-d’Olonne. La courbe rouge du graphique ci-dessous représente son trajet (distance parcourue en fonction du temps). Distance (en km) Les Sables-d’Olonne

400 300 200 100

Évreux

0 8:00

9:00

10:00

11:00

12:00

Temps (en h)

1. À quelle heure Ludo est-il arrivé ? 2. Quelle est la distance entre Évreux et Les Sables-d’Olonne ? 3. À quelle heure Ludo a-t-il fait une pause  ? De combien de temps ? 4. Quelle était sa vitesse moyenne avant sa pause ? après sa pause ? sur l’ensemble du trajet ? Thème C • Proportionnalité

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207

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9 Je comprends

Utiliser la proportionnalité

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1.

ÉTAPE 1

Je m’entraine 1

Masse de sucre (en g)

10,8

x

Quantité de boisson (en mL)

100

330

ÉTAPE 3

Pour déterminer x,, on peut utiliser l’égalité des produits en croix : 100 × 100 × x = 10,8 × 330, 100  ×x= = 10,8   10,8  10,8 × 330 donc x = = 35,64 . 100 Il y a donc 35,64 g de sucre dans la canette. 2. On calcule le nombre de morceaux de sucre équivalents : 35,64 : 6 = 35,64 : 6  = 35,64 : 6 = 5,94. Une canette de ce soda contient l’équivalent d’environ 6 morceaux de sucre.

IM

On convertit une donnée : 33 cL = 330 mL, pour utiliser une seule unité par grandeur.

ÉTAPE 2

On remplit un tableau de proportionnalité :

EN

Margot aime bien les sodas. Mais ses parents lui conseillent de ne pas trop en boire, car ils contiennent beaucoup de sucre. Sur l’étiquette, Margot lit : « Teneur en sucre : 10,8 g pour 100 mL de boisson. » 1. Quelle quantité de sucre y a-t-il dans une canette de 33 cL de ce soda ? 2. À combien de morceaux de sucre de 6 g chacun cela correspond-il ?

CALCULER

Activités rapides

tisme mesure exactement 400 m. Un coureur de fond fait un tour en exactement 1 minute. 1. Quelle distance pourrait-il parcourir en 15 min ? 2. Combien de temps mettra-t-il pour parcourir 5 000 m ?

EC

Calculer mentalement : a. 5 × 210 L b. 5 × 250 $  250 $ 2,5  × 120 L  120 L c. 5 × 340 m d. 2,5 × 2,5 × 120 L e. 2,5 × 140 $ 2,5 × 160 m f. 2,5  2,5 × × 160 m  160 m

3 Le tour de piste d’un stade olympique d’athlé-

2 Sur l’emballage de ses casse-croutes au cho-

SP

colat, Dylan lit :

valeur nutritionnelle pour 100 grammes 435 kcal Energie Protéines 5,8 g Glucides 46,8 g dont sucres 28,1 g Lipides 24,9 g dont acides gras saturés 9,5 g

1. Chaque jour en rentrant de l’école, Dylan mange quatre casse-croutes pesant chacun 20 g. a. Quelle quantité de lipides (graisses) Dylan mange-t-il à son gouter ? b. Quelle quantité de glucides mange-t-il ? 2. Le médecin conseille à Dylan une alimentation correspondant à 2 700 kcal par jour. Combien de casse-croutes peut-il consommer s’il souhaite que son gouter lui apporte au maximum 10 % de cet apport ?

4 Sur une bande vidéo d’un film destinée à un

projecteur de cinéma, une image rectangulaire mesure 70 mm de long et 52,5 mm de large. On appelle « format de l’image » le rapport : longueur de l’image . largeur de l’image Montrer que l’image sur la bande est au format 4/3.

5 Une voiture met 2 h 30 min pour faire 200 km.

1. Calculer sa vitesse moyenne en km/h. 2. Calculer la distance parcourue en a. 3 h 15 ; b. 42 min ; c. 3 h 36 min. 3. Calculer le temps mis pour parcourir 540 km.

1 . 500 000 1. Quelle distance réelle un segment de 20 cm représente-t-il sur cette carte ? 2. Quelle distance sépare sur la carte deux villes distantes de 258 km en réalité ?

6 Karim utilise une carte à l’échelle

208

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pour résoudre des problèmes Je résous des problèmes simples 7

CALCULER

RAISONNER

COMMUNIQUER

10 Les maths autour de moi

Les maths autour de moi

Bruno passe deux jours à Cauterets, dans les Pyrénées, pour faire de la randonnée.

Pour partir en vacances, Mélina fait du covoiturage. Elle participe aux frais de route en payant un prix proportionnel à la distance parcourue. Voici quelques exemples de tarifs.

Distance parcourue (en km)

400

480

325

Prix (en €)

24,00

28,80

19,50

IM

1. Vérifier que le prix à payer est proportionnel à la distance parcourue. 2. Calculer les tarifs pour la suite des vacances de Mélina : a. Jeudi : Marseille-Montpellier : 170 km. Vendredi : Montpellier-Barcelone : 350 km. b. Vendredi : c. Samedi : Barcelone-Toulouse : 390 km. d. Dimanche : Dimanche : Toulouse-Nantes : 590 km.

EN

Lundi Mardi Mercredi Nantes- ParisLyonParis Lyon Marseille

SP

EC

1,3 km

8 Dans l’air, le son se déplace environ à la vitesse

de 340 m/s. Quelle distance un son parcourt-il en 1 min ? 1. Quelle 2. Combien Combien de temps une explosion met-elle pour être entendue à une distance de 2 km ?

9 La vitesse de la lumière est proche de

300 000 km/s. La distance Terre-Soleil est d’environ 150 000 000 km. 1. Combien de temps la lumière du Soleil metelle pour venir jusqu’à la Terre ? 2.  Quelle distance la lumière parcourt-elle en une année ? (Exprimer cette distance en écriture scientifique.)

1. Lundi 1. Lundi a. Bruno a.  Bruno part de Cauterets à 8 h 00 et marche 7,5  km pour rejoindre Pont d’Espagne, où il arrive à 10 h 45. Quelle est sa vitesse moyenne sur ce premier trajet ? b. En marchant au même rythme, il arrive au lac de Gaube à 11 h 10. Quelle est la longueur de cette deuxième partie ? c. Il repart à 14 h 00 pour descendre à Cauterets en marchant à 4 km/h. À quelle heure arrivera-t-il ? 2. Mardi Bruno gare sa voiture à 9 h 00 au parking de la Raillère et souhaite monter jusqu’au refuge d’Estom. En utilisant l’échelle de la carte pour estimer la longueur de ce trajet, et en considérant que Bruno va monter à 3 km/h de moyenne, calculer l’heure à laquelle il arrivera au refuge.

11 TOP Chrono La maison rectangulaire d’Arthur mesure 15 m de long et 9 m de large. Un architecte a dessiné un plan de cette maison avec un rectangle de 30 cm de long et 18 cm de large. Quelle est l’échelle de ce plan ? Thème C • Proportionnalité

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209

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10 Je comprends

Manipuler des variations

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

« Chez Dédé, tout est soldé ! » 1. Calculer le nouveau prix du casque de moto. 2. Calculer l’ancien prix des bottes de motard.

)

Je m’entraine 1

Activités rapides

4 Recopier et compléter le tableau suivant.

EC

SP a. 20 % de 30 €. €.. € c. 80 % de 30 g. e. 75 % de 80 L.

3 Calcul mental

b. 25 % de 30 L. d. 10 % de 65 €. f. 150 % de 50 g.

a. 50 m augmentés de 50 %. b. 50 kg augmentés de 30 %. c. 50 € augmentés de 150 %. d. 50 $ diminués de 50 %. e. 50 Mo diminués de 30 %. f. 50 L diminués de 100 %.

)

CALCULER

1. Augmenter une quantité de 30 %, c'est la multiplier par : a. 0,3 b. 1,03 c. 1,3 2. Diminuer une quantité de 5 %, c'est la multiplier par : a. 0,05 b. 0,95 c. 1,05 3. Multiplier par 1,6 revient à augmenter une quantité de : a. 6 % b. 16 % c. 60% 4. Multiplier par 0,85 revient à diminuer une quantité de : a. 15 % b. 25 % c. 85 %

2 Calcul mental

(

IM

(

2. On cherche à calculer le prix x des bottes avant réduction. Diminuer un nombre de 40  % revient à le multiplier par 1 –  40 c’est-à-dire par 0,60. 100 Donc 0,6x 0,6x = 111 et 0,6 x= = 111 et  111 et x =  x = 111  = 185. = 185.  185. 0,6 0,6 L’ancien prix des bottes était donc de 185 €.

EN

1. 240 € est le prix de départ du casque. Ce prix est diminué de 35 %. Diminuer un nombre de 35  % revient à le multiplier par 1 –  35 , c’est-à-dire par 0,65. 100 240 × 0,65 = 156 €. Le nouveau prix du casque est donc de 156 €.

Ancien prix

Baisse de …

40,00 €

30 %

260,00 €

20 %

89,50 €

10 %

11,20 €

5 %

Multiplier Nouveau l’ancien prix prix par … 0,7

5 Recopier et compléter le tableau suivant. Ancien prix

Augmentation de …

Multiplier l’ancien prix par …

70,00 €

30 %

1,3

310,00 €

20 %

99,50 €

10 %

13,40 €

5 %

Nouveau prix

6 Recopier et compléter le tableau suivant. Ancien prix

Variation de …

17,00 €

Augmentation de 42 % Augmentation de 23 %

80,00 €

Nouveau prix 553,50 €

Baisse de 35 % Baisse de 26 %

12,95 €

210

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exprimées en pourcentage Je résous des problèmes simples 7

CALCULER

CHERCHER

COMMUNIQUER

Les maths autour de moi

13 Tafani a trouvé une jolie paire de lunettes de

Les soldes sont lancées. Le magasin de vêtements Troclass accorde une remise de 15 % sur tous les articles. Calculer les nouveaux prix des articles ci-dessous.

14 Les maths autour de moi

soleil soldée 18,20 €. L’ancien prix était de 28 €. Quel est le pourcentage de réduction ?

8 Mohamed s’est offert un nouvel ordinateur dont

IM

la capacité du disque dur est 60 % supérieure à celle de son ancien ordinateur. Sachant que son nouvel ordinateur a une capacité de 800 Go, calculer la capacité de l’ancien.

EN

Voici le rapport d’une entreprise. « Sur le premier semestre 2016, nos ventes de tablettes tactiles ont diminué de 20 %. Sur le second semestre, elles ont augmenté de 20  %, ce qui correspond à une baisse sur l’année de … %. » Chercher le pourcentage manquant.

9 Le professeur principal des 3e B félicite ses

15 Recopier et compléter cette facture de garagiste.

EC

élèves. Entre le premier et le deuxième trimestre, la moyenne générale de la classe a augmenté de 12 %. Au premier trimestre, cette moyenne était de 12,5. Calculer la moyenne du deuxième trimestre.

10 Un patron annonce à ses employés : « Je pré-

SP

vois d’augmenter toutes vos primes de 15 % en janvier et de 20 % en février. » Montrer que cela revient à effectuer une augmentation de 38 %.

11 Chloé promet à ses parents d’améliorer ses

résultats au deuxième trimestre : « Je vais augmenter ma moyenne de maths de 15 %. » « Mais tu n’as que 5/20 actuellement », affirme son père. « Eh bien, 5 et 15 font 20 », répond Chloé. Calculer la moyenne réellement promise par Chloé au deuxième trimestre.

12 En 2015, la boulangerie-pâtisserie Aux délices a augmenté ses ventes de 10 %. En 2016, elle a de nouveau augmenté ses ventes de 10 %. Au total, de quel pourcentage ont augmenté les ventes sur les deux années ?

Temps (en h) ou quantité 2,5 0,4 3 1 4

Pièces Prix unitaire Montant ou travail hors taxes hors taxes effectué (en €) (en €) Forfait 28,40 révision Pose des 17,30 bougies Joints 0,80 Filtre 15,80 Bougies 1,51 TOTAL hors taxes TOTAL TTC*

* Le prix TTC (toutes taxes comprises) est égal au prix hors taxes augmenté de 20 %.

16 TOP Chrono Victor a touché son premier salaire d’apprenti, soit 341,25 €. Il dépose cette somme sur un compte qui lui rapportera 2 % par an. 1. Quelle somme possèdera-t-il après un an ? 2. Quelle somme possèdera-t-il après deux ans ? après cinq ans ?

Thème C • Proportionnalité

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211

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11 Je comprends

Manipuler des grandeurs

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1.

ÉTAPE 1

Temps (en min)

1

25

4

80

EC

Nombre de pages imprimées

ÉTAPE 3

b. On On obtient le nombre de pages imprimées en 4 minutes en multipliant 4 par 25. 4  ×  25  =   100. Jean imprime 100  pages en 4 minutes. 2. Avec l’imprimante SuperJet, Mike imprime 80 pages en 100 secondes. En divisant ces deux grandeurs, on obtient une vitesse de 80  = 0,8 page = 0,8 page =  0,8 page par seconde. 100 Comme il y a 60  secondes par minute, on multiplie 0,8 par 60 pour obtenir la vitesse en page par minute. 0,8 × 0,8  × 60  × 60  0,8 × 60 = 48 pages par minute. La vitesse d’impression de l’imprimante SuperJet de Mike est de 48 pages par minute.

IM

On sait qu’une vitesse d’impression de 25 pages par minute traduit une situation de proportionnalité de coefficient 25 et on peut réaliser le tableau suivant.

ÉTAPE 2

a. On obtient le temps nécessaire pour imprimer 80 pages en divisant 80 par 25. 80 : 25 = 3,2. Il faut donc 3,2 minutes c’est-àdire 3 minutes et 12 secondes (0,2 × 60 = 12).

EN

L’imprimante SpiderLaser de Jean imprime en moyenne 25 pages par minute. 1. a. Jean doit imprimer son rapport de stage qui fait 80 pages. En combien de temps, en secondes, pourra-t-il le faire. b. Combien de pages pourrait-il imprimer en 4 minutes ? 2. Son ami Mike affirme qu’avec son imprimante SuperJet, il ne faudrait que 100 secondes pour imprimer le rapport de Jean. Trouver la vitesse d’impression, en page par minute, de l’imprimante de Mike.

Je m’entraine 1

CALCULER CCA ALLCCUL ULEERR

Activités rapides

SP

Classer ces vitesses de la moins rapide à la plus rapide. b. 500 m/min b.  500 m/min c. 20 km/h a. 10 m/s c. 20 km/h

2 Lorsque Alice transfère des données de son ordi-

nateur vers son disque dur externe, la vitesse de transfert est de 75 Mo/min. 1. Combien de temps lui faudra-t-il pour copier un dossier de 450 Mo ? un dossier de 2 Go (1 Go = 1 000 Mo) ? 2. Quelle quantité d’informations peut-elle transférer en une heure ?

3 À la fin de son voyage, Christian lit les informations suivantes sur son GPS : – vitesse moyenne : 89 km/h ; – distance parcourue : 234 km. Combien de temps le voyage de Christian a-t-il duré ? Arrondir à la minute près.

4

Le nœud est une unité de mesure de vitesse utilisée dans l’aviation et la marine. On donne 1 nœud = 1 mille/h et 1 mille = 1 852 m. 1. Joé prétend que son hors-bord, qui peut foncer à 80 nœuds, est plus rapide qu’une voiture. A-t-il raison ? 2. Mais aujourd’hui, Joé reste au port, car le vent souffle à 70 km/h en mer. Quelle est la vitesse du vent en nœuds ?

5 Bill l’escargot avance à la vitesse de 1,5 mm/s.

Combien de temps met-il pour traverser un jardin de 36 m de long ?

6 La sonde Helios 2 lancée en 1976 en direction

du Soleil est l'objet le plus rapide réalisé par l'Homme. Son record de vitesse est de 70,2 km/s. 1. Convertir cette vitesse en km/h. 2. À cette vitesse, combien de temps faudrait-il pour parcourir la distance Terre-Soleil d'environ 150 millions de km ?

212

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produits et des grandeurs quotients Je résous des problèmes simples de la France et de ses pays voisins en 2015. Population (nombre d’habitants) France 66 663 766 Espagne 48 146 134 Italie 61 855 120 Suisse 8 121 830 Allemagne 80 854 405 Belgique 11 323 973 Luxembourg 570 252 Royaume-Uni 64 088 222 Pays

Superficie (en km2) 547 782 504 782 301 230 41 290 357 021 30 528 2 586 244 520

1. Calculer la densité de population, exprimée en habitant par km2 (hab/km2), pour chaque pays.

COMMUNIQUER

9 En électricité, l’énergie E (en Wh ou kWh) produite

par un appareil de puissance P (en W ou kW) pendant une durée d (en h) est calculée par E = P × d. Louis a un congélateur d’une puissance de 90  watts qui fonctionne en permanence et un ordinateur de puissance 350  W qui fonctionne 4 heures par jour. 1. Quelle est l’énergie, en kWh, utilisée par chaque appareil en un jour ? 2. Le fournisseur d’électricité facture 0,145  € le kWh. Calculer le prix de revient de l’énergie consommée par chaque appareil en un an.

10 Les maths autour de moi

Un passionné d’aviron rame à une cadence moyenne de 35 coups de rame par minute. 1. Calculer sa cadence en nombre de coups de rame par heure. 2. En combien de temps fait-il 1 000 coups de rame ? Arrondir le résultat à la seconde près. 3. À chaque coup de rame, son aviron avance de 3  m. Quelle distance va-t-il parcourir en 15 minutes ?

EC

IM

2. Quel pays a la plus forte densité ? Quel pays a la plus faible densité ? 3. La densité de l’Europe (46  pays) est de 102  hab/km2. La superficie totale de l’Europe est de 5,9 millions de km2. Calculer le nombre d’habitants en Europe en 2015.

RAISONNER

EN

7 Ce tableau présente la population et la superficie

CALCULER

8 Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner a effectué

un saut d’une altitude de 38 969,3 mètres. La première partie du saut s’est faite en chute libre (parachute fermé), la seconde partie s’est faite le parachute ouvert. Son objectif était d’être le premier homme à « dépasser le mur du son » (340 m/s).

SP

Altitude du saut

Distance parcourue en chute libre Durée totale du saut

Durée de la chute libre

Vitesse maximale en chute libre

38 969,3 m

36 529 m 9 min 3 s 4 min 19 s

1 357,6 km/h

1. A-t-il atteint son objectif ? Justifier la réponse. 2. Calculer sa vitesse moyenne de chute libre.

11 TOP Chrono Sur le chantier de sa future maison, M. Dubois croise un maçon qui semble avoir des difficultés à porter une tige d’acier pleine, de forme cylindrique. Cette tige mesure 3,5 m de long et 3 cm de diamètre. 1. Calculer le volume de cette tige, arrondi au cm3 près. 2. L’acier a une masse volumique de 7,85 g/cm3. Calculer la masse de cette tige, arrondie au kg le plus proche.

Thème C • Proportionnalité

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3 Repérer une situation de proportionnalité DOMAINE 3 DU SOCLE pour anticiper un résultat

2 Utiliser un graphique

DOMAINE 2 DU SOCLE

* Une seule couche de peinture suffit.

Papo Papou Pap ou u Gorfou Gor G orffo ou u Magellan Mag Ma ge elllla an n

SP

0,8

A

9m

D

9m

B

E

7,5 m

A

7,5 7 ,5 m

E

4 Réfléchir à un problème ouvert

DOMAINE 5 DU SOCLE

Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l’acheteur ?

Nombre moyen de poussin par couple

1,0

D

C

1. Quel est le montant minimum à prévoir pour l’achat des pots de peinture ? 2. Agnès achète la peinture et l’ensemble du matériel dont elle a besoin pour ses travaux. Le 343,50 €. montant total de la facture est de 343,50  Le magasin lui propose de régler 2 de la facture 5 aujourd’hui et le reste en trois mensualités identiques. Quel sera le montant de chaque mensualité ?

EC

Jean-Baptiste cherche sur Internet combien de poussins un couple de manchots peut-il élever en moyenne. Il trouve le diagramme suivant pour trois types de manchots : le manchot papou, le manchot gorfou et le manchot de Magellan. 1,2

B

IM

Jupiter est une grosse planète. Son diamètre est d’environ 1,4 × 105 m. Des vents violents soufflent à la surface de Jupiter et une énorme tempête anticyclonique, appelée « la tache rouge », est toujours visible au sud de l’équateur. 1. En utilisant la photographie ci-dessus, déterminer la taille réelle de cette tache. 2. Comparer la taille de cette tache avec la taille de la planète Terre.

Agnès envisage de peindre la façade de son C à peindre. hangar. La zone colorée est la surface

6m

DOMAINE 4 DU SOCLE

6m

1 Déterminer une longueur par proportionnalité

EN

Objectifs 9 10 11

0,6

0,4

0,2 0,0

5 Corriger une erreur

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2008 2009

Année

D'après le diagramme ci-dessus, les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. En 2000, le nombre moyen de poussins élevés par couple de manchots était supérieur à 0,6. 2. En 2006, en moyenne, moins de 80  % des couples de manchots ont élevé un poussin. 3. En 2015, ces trois types de manchots auront disparu.

Thibaut calcule l’augmentation d’un prix de 20 % suivie d’une augmentation de 30 %. Quelle erreur a-t-il commise ? 20 % + 30 % = 50 % Alors, si par exemple un article qui coute 8 € augmente de 20 %, puis augmente ensuite de 30 %, son nouveau prix sera de : 8 × 1,5 = 12 €

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RAISONNER

CHERCHER

6 Comparer des trajets

REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

8 Appliquer un pourcentage

1. À l’achat de deux articles ou plus, le magasin offre une remise de 20 % sur la facture. Jérôme peut dépenser 200 zeds. Que peut-il se permettre d’acheter ?  a. Le lecteur MP3 et le casque audio. b. Le lecteur MP3 et les haut-parleurs. c. Les trois articles : le lecteur MP3, le casque audio et les haut-parleurs. 2. Le prix de vente des articles MP3 inclut une marge de bénéfice de 37,5 %. Le prix sans cette marge est appelé « prix de gros ». La marge de bénéfice est calculée en pourcentage du prix de gros. Parmi les formules ci-dessous, laquelle exprime la relation entre le prix de gros g et le prix de vente v ?  v ?  a. v = g v = g + 0,375 b. g = v – 0,375 v c. v = 1,375 g d. g = 0,625 v v

EC

IM

Pour aller de La Roche-sur-Yon à Angers, Marie prend sa voiture. Elle programme son GPS qui lui conseille la route bleue, par l’autoroute A87, pour un trajet de 131 km. 1. En utilisant les indications de temps données sur la carte, calculer la vitesse moyenne de Marie sur ce trajet. 2. En mesurant sur la carte et en utilisant l’échelle indiquée, déterminer quelle est la distance à vol d’oiseau entre les points de départ et d’arrivée de Marie. 3. Le pigeon voyageur peut se déplacer à la vitesse de pointe de 85 km/h. En considérant qu’il peut maintenir cette vitesse sur tout le trajet, et qu’il part en même temps que Marie, qui arrivera en premier ?

EN

CALCULER

1 h 21 min

SP

15 km

ésenter ésen ter l’infiniment ll’in ’infinimen finimentt pe petit tit 7 Représenter

L’atome d’hydrogène est le plus petit des atomes. Il est constitué d’un noyau de rayon 1  1 × 10– 15 m, autour duquel gravite un seul électron à une distance de 5,3 × 5,3 × 10 5,3  × 10  10–11 m.

Jade réalise une maquette en respectant les proportions de cet atome. Elle choisit une pièce de 10 centimes pour représenter le noyau. À quelle distance de cette pièce doit-elle placer l’électron ?

9 Résoudre un problème complexe

Peio, un jeune Basque, décide de vendre des glaces du 1er juin au 31 aout inclus à Hendaye. Pour vendre ses glaces, il hésite entre deux emplacements : une paillote sur la plage ou une boutique en centre-ville. En utilisant les informations ci-dessous, aider Peio à choisir l’emplacement le plus rentable. Information 1 Loyers des deux emplacements proposés : • la paillote sur la plage : 2 500 € par mois. • la boutique en centre-ville : 60 € par jour. Information 2 Météo à Hendaye du 1er juin au 31 août inclus : • le soleil brille 75 % du temps ; • le reste du temps, c’est nuageux ou pluvieux. Information 3 Prévisions des ventes par jour selon la météo. Soleil

Nuageux-pluvieux

La paillote

500 €

50 €

La boutique

350 €

300 €

Thème C • Proportionnalité