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pour travailler en classe et à la maison

CYCLE

3

6

e

els Tous vos manulication ! app dans une seule

SE CONSULTE PARTOUT

Retrouvez l’intégralité du manuel papier enrichi de ressources multimédia vidéos • exercices interactifs • fichiers audios

maths

ÇON UNE FA E LUDIQU ER S I DE RÉV

Multisupports : tablettes + PC/Mac + smartphones

Pour plus de renseignements

www.manuelnumerique.com

programme

2016

maths

Le manuel numérique élève

COLLECTION

e

6

ISBN 978-2-04-733289-4

9:HSMAOH=XXW]^Y: 04733289_000_CV-ELE.indd Toutes les pages

21/03/2016 11:38


EN IM SP EC 04733291_287-288_M5e_Lex.indd 288

15/03/2016 18:26


COLLECTION

maths

6

EN

IM

CYCLE 3

e

SP EC

Sous la direction de

Marc Boullis

Fedele Annicchiarico

programmes

2016

04733289_001-009_MalleAvant.indd 1

Marc Boullis Élodie Herrmann Martine Lafon Yvan Monka Stéphane Percot

22/03/16 18:50


pour dĂŠcouvrir le manuel Ouverture

Une situation de la vie quotidienne pour introduire le chapitre.

11

cer‌ Avant de commen

de dÊbut de ‌ je revois mes acquis ci-contre pour rÊpondre On considère la figure page. questions de cette à l’ensemble des

C

đ?’ž D

B

(d1)

O (d2)

(d3)

et longueur Alignement, milieu d’un segment

A

? sont les points alignÊs c. B, A et E. b. B, a. C, D et E. E-A-B-C est : 2 La ligne brisÊe la ligne brisÊe A-E-D-C. a. aussi longue que la ligne brisÊe A-E-D-C. b. plus longue que A-E-D-C. la ligne brisÊe c. plus courte que : 3 Le point D est segment [BD]. a. une extrÊmitÊ du de B et C. b. situÊ à Êgale distance de B et E. c. situÊ à Êgale distance semble : 4 Le triangle ABC . a. isocèle et rectangle nt. b. rectangle uniqueme nt. c. isocèle uniqueme triangle CAE est : 5 Une hauteur du b. le segment [AE]. a. le segment [OA]. c. le segment [OD].

Cherchons ensemble

E (d4)

quels 1 Dans la figure, O et E.

Cercle celui qui appartien centre O ? a. Le point O. b. Le point E. c. Le point A.

cercle 9 Un diamètre du O est : a. le segment [OB]. b. le segment [AC]. c. le segment [AD].

r le tableau à l’aide

PÊrimètre et aire

suivants,

quel est le rayon a. Le segment [OB]. b. Le segment [AB]. c. Le segment [BD].

⑤ ⑌

• Comparer, estimer, mesurer des grandeurs gÊomÊtriques avec des

OBJECTIFS

nombres entiers et des nombres dÊcimaux : longueur (pÊrimètre), aire, volume, angle

• Utiliser le lexique, les unitÊs, les instruments de mesure spÊcifiques

droites semblent

physiques, ĂŠconomiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres dĂŠcimaux

Triangle

1

Calculer le pÊrimètre de polygones et la longueur de cercles

2

Calculer l’aire d’un rectangle, d’un triangle et d’un disque

3

Maitriser les unitÊs de longueurs et d’aires

de ces grandeurs

• RÊsoudre des problèmes impliquant des grandeurs (gÊomÊtriques,

Acti

et fractionnaire des

OBJECTIF

nombres

: 0, 1, 2, 3, utilise dix chiffres Le système dÊcimal les nombres. peut Êcrire tous . six chiffres diffÊrents 5 239,67 s’Êcrit avec

Remarque dans un nombre La position d’un chiffre dÊtermine sa signification.

dizaines

unitĂŠs

dixièmes

centièmes

1 000

100

10

1

1 10 ou 0,1

1 100 ou 0,01

2

3

9

6

7

5

La partie entière

5 239,67 = (5 Ă— 1

000)

est 5 239.

La

dixmillièmes

unitĂŠs de mille

100 000 10 000

centaines

dizaines de mille

= 5 239 + 0,67

millièmes

SP EC Exemple : 5 239,67

1 1 000 ou 0,001

1 10 000 ou 0,0001

0,67. partie dĂŠcimale est

Place de la virgule

10) + (9 Ă— 1) + + (2 Ă— 100) + (3 Ă—

(6 Ă— 0,1) + (7 Ă— 0,01)

sept centièmes six dixièmes neuf unitÊs

cinq milliers deux centaines trois dizaines

s B Les grands nombre

on regroupe les chiffres t les grands nombres, de la virgule. pouvoir lire facilemen vers la gauche Ă  partir CONVENTION Pour en ĂŠcrivant de la droite par paquets de trois lit : e.. e-mille. te-mille ante-mill 17 823 750 000 se -cinquant t-cinquan ent-cinqu -sept-cent -sept-cen ns-sept-c Exemple : Le nombre s-millions ois-millio vingt-troi t-vingt-tr huit-cent-huit-cen milliards dix-sept-

l s d’un nombre dÊcima

de ses Êcritures C DiffÊrentes Êcriture le nombre 234,59. 9.. Voici quelques-unes 4 + 59 4,,5 34 23 2 0,09 + 0,09 0,5 + + 4 + 0,5 +

:

30 + 30 = 200 + 9 = 200 59  0,5 + + 0, 4 + 0,59 34 23 2 = 234 Exemples : On considère 9= 59 4,,5 34  0,01) 234,59 23 × 0,01) 9×  (9 + (9 + (  0,1) + × 0,1) 5×  (5 dÊcomposÊe : 2 + (5 + (  1 + × 1 4× + 4  10) + × 10) 3×  (3 + (3 + (  100) + • Écriture dÊcimale × 100) 2×  (2 = (2 = (  0,01) = × 0,01) 9× 59  (5 + (59 + ( 4+ 34 3 ou 234,59 = 234 9 59 459 45 34 23 2 ire : 100 9 5 • Écriture fractionna +  9 59 5 +  + +4+ 30 + 4 + 30 200 + = = 200 10 100 +  4+ 34 23 =2 9 = 234 59 4,,5 34 2 234,59 23 sÊe : 100 • Écriture dÊcompo

Des exemples pour illustrer les propriĂŠtĂŠs et les dĂŠfinitions.

Avec ses questions, Une10bonne ce rÊponse QCM est = notÊ sur 10 ! un point ! ComptePour 1 point par bonne t’Êvaluer, rÊponse vÊrifiantpage regarde les en rÊponses les corrigÊs XXX.p. 250 !

1 RĂŠaliser la figure dĂŠcrite par le programm e de construction. 2 Quelle est la nature du triangle

B

e de construction

186

40

1 315,00 â‚Ź

805,00 â‚Ź

2 120,00 â‚Ź

1 217,00 â‚Ź

1 107,00 â‚Ź

410,00 â‚Ź

497,00 â‚Ź

620,00 â‚Ź

entre la classe affaire et la première classe ?

805,00 â‚Ź

2 Exploiter ou construire un graphique reprĂŠsentant des donnĂŠes

27

5

Zootopie TOTAL

4

14

8

2

0

3

13

25

25

1

24

4

24

98

1. Combien d’Êlèves ont participÊ à ces votes ? 2. Combien de 6e B ont votÊ pour Le Petit Prince ? 3. Quel est le nombre de votes pour Star Wars 7 ? 4. Donner le classement rÊsultant de ces votes.

29 Ce tableau donne les saisons de certains fruits.

Abricot

F

Des activitĂŠs courtes et attrayantes pour dĂŠcouvrir les nouvelles notions propres Ă  chaque objectif.

1

Je comprends

ReprĂŠsenter des partages

2. Reproduire le carrĂŠ quadrillĂŠ ci-dessous 3 et colorier les de la figure. 4

1. ÉTAPE 1 Je commence par compter en combien de parties Êgales le disque est partagÊ : en six morceaux Êgaux. Chaque morceau reprÊsente donc un sixième de la figure. Cinq morceaux ont ÊtÊ colorÊs. La figure est ainsi partagÊe en quatre morceaux Êgaux.

ÉTAPE 2

2. ÉTAPE 1 3 On me demande de colorier les de la figure : 4 il faut donc que je partage la figure en quarts.

Je m’entraine

a.

b.

d.

B

C

Cerise

1 1 1

Fraise

1 1 1

Avril

Septembre

Framboise

1 1 1 1 1

24 Quel mois a connu le plus de prĂŠcipitations Ă 

Janvier

Juillet

DĂŠcembre

MĂťre

Kiwi

San Francisco ?

Orange

25 Lors de quel mois la tempĂŠrature moyenne

Janvier

Juin

Septembre

26 Quelle est la tempĂŠrature moyenne la plus

Environ 9 °C

Environ 17 °C

Environ 20 °C

la plus ĂŠlevĂŠe a-t-elle ĂŠtĂŠ enregistrĂŠe ? ĂŠlevĂŠe enregistrĂŠe ?

27 Quel est le total annuel des prĂŠcipitations ?

118 mm

90 mm

Il faut revoir ton cours‌

500 mm BRAVO !

1

2

3

1

2

0

1

2

0

1

2

10 1. Reproduire la demi-droite graduĂŠe ci-dessous et y placer les nombres suivants : 2 5 7 3 ; ; et . 6 3 6 2 1

0

2

11 Les maths autour de moi

7 Quand cela est possible, indiquer quelle fraction de figure est colorĂŠe.

quadrillĂŠ ci-contre. Sur chaque carrĂŠ, colorier en vert une des fractions de carrĂŠ suivantes :

a.

b.

c. d.

A

b. 0

B

C

1 A

D 2

B 1

Pour son anniversaire, LÊo reçoit trois amis. Sa maman a prÊparÊ un gâteau qu’elle coupe en huit parts Êgales. LÊo prend une part. Anna et Armand prennent deux parts chacun. Oscar, très gourmand, prend 3 parts. Reste-t-il du gâteau pour la maman de LÊo ? On pourra expliquer la rÊponse à l’aide d’un schÊma reprÊsentant le gâteau.

12 TOP Chrono

ĂŠcriture fractionnaire, les abscisses des points A, B, C et D. a.

d.

0

2. Classer ces fractions dans l’ordre croissant.

4 Dans chacun des cas ci-dessous, donner, en

b.

c.

C

8 1. Reproduire la demi-droite graduĂŠe ci-dessous et y placer les nombres suivants : 3 5 3 ; ; et 2,25. 4 4 2

0 D

1

Dans chaque cas, indiquer quelle fraction de figure est colorĂŠe. a.

b.

2

2. En dĂŠduire le nombre le plus grand et le nombre le plus petit.

c.

d.

2

74

Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

75

Je rÊsous des problèmes simples pour utiliser ses connaissances sur des problèmes et des exercices contextualisÊs : Les maths autour de moi.

4

5

6

7

8

9

10

Continue à te tester avec d’autres QCM interactifs sur www.bordas-myriade.fr

Tu peux continuer à t’entrainer page suivante.

BlĂŠ 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 Production (en tonnes)

1. Quelle cĂŠrĂŠale Raymond a-t-il le plus produit ? 2. Quelle est environ sa production totale, en tonnes ?

1 1 1 1

Des exercices proposĂŠs par objectif.

31 Le document ci-dessous montre l’Êvolution de

la proportion de bacheliers dans une gÊnÊration arrivant à l’âge du baccalaurÊat. 2011-2014 : rÊforme Nombre de bacheliers (en %) de la voie professionnelle 100

50

2009 : crÊation de l’Êpreuve de rattrapage au bac professionnel 23,6 Professionnel

professionnel

16,0

Technologique

40

1 1 1 1 1 1 1

30 1 1

20 10

Poire

1 1 1

1 1 1 1 1 1

Pomme

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

Raisin

MaĂŻs

70 1986 : crĂŠation 60 du baccalaurĂŠat

1 1 1

Pruneau

Production annuelle de cĂŠrĂŠales Colz a

80

A FĂŠvrier

0

tion de confectionner pour NoĂŤl des petits biscuits appelĂŠs Bredeles. Lorsque le partage le permet, reproduire les diffĂŠrentes formes de bis2 cuits ci-dessous et en colorier les avec une 3 couleur chocolat.

5 3 3 7 ; ; et . 16 4 8 32

2 Dans chaque cas, indiquer quelle fraction de

COMMUNIQUER

CALCULER

ner, dans chaque cas, la fraction la plus grande. 3 4 13 9 7 5 b. et . c. et . a. et . 5 6 6 4 5 4

ÉTAPE 2

3 Reproduire quatre fois le carrĂŠ

c.

MODÉLISER

9 Utiliser les droites graduĂŠes ci-dessous pour don-

reprÊsentÊ les rÊsultats des Êlections de dÊlÊguÊs de classe. Les parts vertes correspondent aux votes attribuÊs à Laurent, celles en bleu à Marion et celles en orange à Salim. Donner les proportions des voix de chacun à l’aide de fractions.

Je colorie trois de ces morceaux sur quatre.

CALCULER

ActivitĂŠs rapides Dans chaque cas, indiquer quelle fraction du carrĂŠ est colorĂŠe.

5 Sur le diagramme ci-contre, on a

6 En Alsace, il est de tradi-

J’en dÊduis que la partie colorÊe reprÊsente 5 les cinq sixièmes du disque, ce que je note . 6

1

à l’aide de fractions Je rÊsous des problèmes simples

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. Quelle fraction de la figure est colorĂŠe ?

0

Tournesol

90

1 1

23 Pour quel mois le total des prĂŠcipitations est-il entre 30 et 40 mm ?

118

21

8

DĂŠcembre

1 315,00 â‚Ź

1 812,00 â‚Ź

COURAGE !

figure.

4 cm

quatre types de cĂŠrĂŠales.

Votes Total 6e D

Novembre

5

1 812,00 â‚Ź

ĂŠco. Quel sera le prix total de leur voyage ?

23

4

9

Mai

C

3

21 LÊa, 11 ans, voyage avec sa mère en classe

classe ?

5

8

9

Juin

B

2

20 Quel est le tarif pour un enfant en première

classe ?

3

5

1

Le Petit Prince

A

19 Quel est le tarif pour un adulte en première

22 Quelle est la diffĂŠrence de tarif pour un adulte

Votes 6e C

8

4

Vice-versa

Aout

le vol Paris-San Francisco ?

Votes 6e B

7

Forest Gump

Octobre

18 Combien y a-t-il de tarifs diffĂŠrents pour

Votes 6e A Star Wars 7

Septembre

0

1 Exploiter ou construire un tableau reprĂŠsentant des donnĂŠes

Avril

Un QCM pour faire le point sur le cours, comportant une seule rĂŠponse exacte.

20

J F M A M J J A S O N D

FĂŠvrier

10

D

permettant de rĂŠaliser cette

2 Exploiter ou construire un graphique reprĂŠsentant des donnĂŠes

votÊ pour choisir le film projetÊ lors de la soirÊe de fin d’annÊe.

Janvier

20

E

ABC ?

Écrire un program me de construction

1 Quelle est la nature du triangle DEF ci-contre ? 2 Écrire un programm

28 Les Êlèves de 6e du collège Albert Uderzo ont 30 Dans sa ferme, Raymond a produit cette annÊe

Mars

60

Juillet

80

1

Accompagnement personnalisĂŠ

un tableau pour prĂŠsenter des donnĂŠes

100

Climat de San Francisco

OBJECTIF

Je fais le point EXERCICES 1 Exploiter ou construire

PrĂŠcipitations (mm)

30

0

Cettepage pageest estfaite faite Cette pour t’entrainer tout(e) seul(e). pour t’entrainer tout seul. corrigÊs se trouvent LesLes corrigÊs se trouvent page page XXX250 ! !

Pour chaque question, trouver la seule bonne rĂŠponse parmi les trois propositions.

40

⑧

ABC.

a.

Je travaille seul(e)

50

â‘Ś

Suivre un program me de construction

Je m’entraine propose des exercices d’application directe.

TempÊratures (°C)

â‘Ľ

Construire un triangle particulier

figure est colorĂŠe.

14

Je fais le point QCM

⑤

• Tracer un segment [AB] de longueur 5 • Tracer un arc de cm. cercle de centre A et de rayon 6 cm. • Tracer un arc de cercle de centre B et de • Les deux arcs de cercle se coupent au rayon 5 cm. point C. • Tracer le triangle

Les objectifs qui annoncent le dĂŠcoupage du chapitre.

Je comprends explique Êtape par Êtape une mÊthode aux Êlèves. À chaque objectif, une vidÊo oÚ un des auteurs explique cette mÊthode sur d’autres exemples.

4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Avec ces chiffres, on

s’Êcrit comme la somme Un nombre dÊcimal . et de sa partie dÊcimale de sa partie entière

â‘Ł

MĂŠthode et exercices par objectif

1

Exemple : Le nombre DÉFINITION

③

isocèles ? les triangles b. Pour chaque type rectangles ? les de triangle, Ênoncer c. Pour chaque type une propriÊtÊ concerna triangles ÊquilatÊraux ? de triangle, Ênoncer une propriÊtÊ concerna nt les côtÊs. nt les angles.

2

IM

Cours A Écriture et position

â‘Ą

2 a. Quels sont les triangles

A

Écriture dÊcimale

â‘ 

Nature Longueur des cĂ´tĂŠs Mesure des angles

203

Les attendus de fin de cycle.

Utilise ce tableau pour rÊpondre aux questions 2 b. et 2 c. ! c. !

â‘Ľ

Attendus de fin de cycle

Des exercices interactifs autocorrectifs, sur le site compagnon, pour faire le point sur certaines connaissances avant d’aborder le chapitre.

centaines de mille

Tous les fichiers texte des activitĂŠs, tĂŠlĂŠchargeables sur le site.

③

⑧ Retrouve des QCM interactifs pour continuer à rÊviser sur r www.bordas-myriade.f

vitĂŠ

04733289_001-009_MalleAvant.indd 2

1

â‘Ł

126

2

OBJECTIF

des figures ci-dessou s.

â‘Ą â‘ 

perpendiculaires et (d3). a. Les droites (EC) et (d3). b. Les droites (d1) et (EC). c. Les droites (d2)

VOCABULAIRE

Reconnaitre des triangle s particuliers

1 Recopier et complĂŠte

EN

quelles 7 Dans la figure, ?

Un cours structurĂŠ selon les objectifs du chapitre.

www.bordas-myriade.f r

1

droites semblent

parallèles ? a. (AD) et (AE). b. (d1) et (d2). c. (d1) et (d3).

1

Tous les ĂŠnoncĂŠs modifiables de ces activitĂŠs sont Ă  tĂŠlĂŠcharger sur

vitĂŠ

đ?’ž de centre

10 Parmi les segments du cercle đ?’ž ?

Droites parallèles es ou perpendiculair quelles 6 Dans la figure,

quel est

suivants, 8 Parmi les points t au cercle đ?’ž de

Acti

Des exercices pour revoir les acquis de dĂŠbut de cycle 3.

En vacances en Andalousie, Manolo est ÊmerveillÊ par la beautÊ de l’Alhambra ! Il aimerait connaitre un ordre de grandeur du pÊrimètre et de la superficie de ce vaste ensemble composÊ du palais, des murailles, des jardins‌ Tu verras, page 218, comment des indications, moyennant des calculs de pÊrimètres et d’aires, l’aideront dans ses recherches.

cycle 3

1 1 1 1

1 Fruit de saison

1. Quels mois peut-on manger des cerises ? 2. Que peut-on manger en fĂŠvrier ? 3. Quel(s) mois peut-on manger des mures et des oranges ? des pommes, mais pas des poires ? 4. Quel(s) mois peut-on manger le plus de fruits ?

0 1980

GĂŠnĂŠral

1986

1992

1998

37,7

2004

2010 Sessions

1. Quelle Êtait la proportion (en %) de bacheliers dans une gÊnÊration en 1980 ? en 1990 ? en 2000 ? en 2010 ? 2. En quelle annÊe le baccalaurÊat professionnel a-t-il ÊtÊ crÊÊ ? 3. Quelle proportion d’une gÊnÊration a obtenu un baccalaurÊat gÊnÊral en 2014 ? Chapitre 6 • Organisation et reprÊsentation de donnÊes

119

Des exercices corrigĂŠs Ă  la fin du livre pour apprendre Ă  travailler seul(e) ou en accompagnement personnalisĂŠ.

22/03/16 18:50


6

e

oblèmes

Je résous des pr DOMAINE 4 DU SOCLE vers e a été construit Le théâtre grec d’Épidaurplans de l’architecte les circu330 av. J.-C. selon L’orchestra (la scène Polyclète le Jeune. de 20,28 m. laire) a un diamètre

objets qui nous entourent 79 Caractériser des

DOMAINE 1 DU SOCLE urs, les les écrans d’ordinate Que ce soit pour nes et autres tablettes, portables, les smartphofréquemment exprimée est la taille de l’écran taille est ≈ 2,54 cm). Cette l’écran. en pouces (1 pouce de la diagonale de donnée par la mesure On arronle tableau suivant. s. Recopier et compléter diagonale des mesures dira au mm près les

Des problèmes faisant appel à tous les objectifs du chapitre et aux six compétences de l’activité mathématique.

Diagonale (en cm)

Diagonale (en pouces) 4

5

12,7

Largeur × hauteur (en cm)

7

8

20,3

… 99,2

15,5 × 8,7 17,7 × 10

176,4

est située photographie où Repérer sur la er une valeur approl’orchestra, puis détermin à l’unité près. par excès chée de son aire,

d’informations 86 Raisonner à partir exclut le

et des aires en lien 84 Calculer des périmètresdurable DOMAINE 5 DU SOCLE avec le développement

en cm Un conseil : convertisen pouces. les diagonales données

L’agriculture biologique chimiques recours aux produits France est de synthèse. La européen le troisième pays devenue en 2014 cultivable bio derrière concernant sa surface partir des informations À l’Espagne et l’Italie. t l’évolution de l’agriculci-dessous, présentan 1998 à 2014, répondre de ture bio en France, aux questions posées.

la toiture décide de recouvrir Le père de Josua panneaux sa maison avec des corexposée au sud de s. La partie qu’il recouvre et solaires thermique de 24 m de longueur respond à un rectangle 4 m de largeur. d à un rectangle correspon Un panneau solaire et de 0,80 m de largeur. de 1,20 m de longueur

80 Raisonner pour convertir ste est d’un timbre-po

La taille 21 mm sur 26 mm. ce timbre en Quelle est l’aire de ? millimètres carrés 2 en cm de Calculer cette aire s. deux manières différente DU SOCLE

DOMAINE 3 problème ouvert rec81 Raisonner sur un et le périmètre d’un

Que deviennent l’aire la largeur et la longueur tangle si on augmente ? de 2 cm chacune

l’univers des informations dans 82 Apprendre à chercher DOMAINE 2 DU SOCLE du numérique » l’ensemble formé

Maghreb On appelle « Petit la Tunisie. Maroc, l’Algérie et en kilopar trois pays : le donne la superficie Le tableau suivant chacun de ces pays. mètres carrés de Maroc 710 850

163 610

»? du « Petit Maghreb en 1. Quelle est la superficie place se situe l’Algérie monde. 2. Rechercher à quelle parmi les pays du termes de superficie

Année

Surface cultivée (en ha)

Année

Surface cultivée (en ha)

1998

218 790

2007

1999

315 917

557 133 583 799

2000

370 742

2001

419 750

2002

517 965

2008

de la rose a un diamètre 1. Le cercle extérieur cercle. la longueur de ce de 8,7 m. Calculer s. Le de 105 médaillon s est 2. La rose se compose médaillons circulaire diamètre des grands cm. et 66 compris entre 58 encadrevaleurs, donner un s. En utilisant ces deux de ces grands médaillon s ment de la longueur médaillons circulaire petits des s. 3. Le diamètre l’aire de ces médaillon est de 33 cm. Calculer

d’une 89 Raisonner à partir

677 513 845 440

2009 2010

975 111

2011

1 032 941 1 060 756

2012 550 990 2003 2013 534 037 2004 1 118 342 2014 560 838 2005 552 824 2006 s carrés. surface en kilomètre 1. Convertir chaque ? évolution cette de 2. Que penser

la partie de et le périmètre de 1. Calculer l’aire la toiture à recouvrir. panneau et le périmètre d’un 2. Calculer l’aire

Tunisie

Algérie 2 381 741

Des problèmes en relation avec les cinq domaines du socle.

cathédral La rose de la ap. J.-C. en œuvre vers 1205 tation Lausanne fut mise d’insérer une représenfigures L’intention était fleuves…) dans des du monde (saisons, géométriques.

et l’aire d’un tel carré. 1. Calculer le périmètre Millevaches est de de 2. L’aire du plateau plus judi2 pense qu’il serait 3 300 km . Déborah de 60 km ce plateau à un carré cieux d’assimiler ? de côté. A-t-elle raison

11,1 × 6,2 13,3 × 7,5

ns

figures géométriques SOCLE 88 Calculer l’aire de DOMAINE 5 DU de représentatives du monde e Notre-Dame

Surface de l’écran 2 (en cm )

8,9 × 5

6

MODÉLISER MODÉLISER

CHERCHER CHERCHER

CALCULER CALCULER

er des informatio iles de en 87 Sélectionn de Marseille, les sont en vacances Malik et Déborah Au cœur de la rade forment u, If et Tiboulen la randonnée sur Corrèze. Ils font de es. Un habitant 200 ha. Pomègues, Ratonnea d’une superficie de le plateau de Millevach assimiler ce l’archipel du Frioul, de 30 km. dit qu’on peut Sa côte est longue de la région leur de l’archipel du Frioul de 50 km de côté. 1. Quelle est la superficie plateau à un carré s carrés ? en ares ? en kilomètre archipel ? cet de 2. Quel est le périmètre

de solaire. solaires le père 3. Combien de panneaux recouvrir cette partie pour Josua doit-il utiliser de toiture ?

image

beignet très Le donut est un États-Unis. populaire aux en forme Cette pâtisserie est 7 cm de d’une couronne de au centre diamètre évidée de diad’un disque de 1 cm mètre. couReprésenter cette de deux ronne à l’aide et extécercles (intérieur de la rieur). Calculer l’aire couronne.

EN

3 Objectifs 1 2

85

une aire

COMMUNIQUER COMMUNIQUER

REPRÉSENTER REPRÉSENTER

RAISONNER RAISONNER

et calculer 83 Observer le réel

Chapitre 11 • Périmètre

216

217

et aire

atières

Dans les autres m Des problèmes interdisciplinaires.

res Dans les autres matiè Aide

56

Sous le ciel de Paris

58 Problème ouvert

Une info utile : la superficie

, moyenne de la France métropolitaine 2 . e! km En France, la hauteur Aujourd’hui, l’hydrogèn qui est d’environ 550 000 ions est de annuelle des précipitat 2 de sol. Ces Dans un futur proche, fonc. Par de 890 mm par m nombreux véhicules inégalement réparties à des précipitations sont 650 mm. tionneront grâce on ne mesure que liquide. exemple, à Paris, piles à hydrogène en m3 la France reçoit-elle 1. Quel volume d’eau De tels véhicules pourront chaque année? avec km moyenne 500 en d’environ parcourir la ville de Paris est liquide. reçoit2. La superficie de 5,5 kg d’hydrogène de précipitations un véhi10 540 ha. Quel volume ans ? 1. Quelle distance , tous les même elle, en moyenne cule à essence, de ant puissance et consomm L aux A cubic inch ns are 57 en moyenne 6,5 and its dimensio il avec A rectangular prism 100 km, parcourtde carshown below. la même quantité 3 inches burant ? kg parcourues avec 1 2. Comparer les distances catégories de véhi9 inches ces deux de carburant par ? -t-on cules. Que remarque d’un 15 inches avoir le réservoir the rec3. Quel volume devraitliquide pour que celui-ci in cubic inches, of e What is the volume, véhicule à hydrogèn km sans distance de 1 000 tangular prism? puisse parcourir une ravitaillement ?

61 La partie cachée

On dispose de trois 8 cm, 6 cm et 4 cm.

es cubes d’arêtes respectiv

droit poudu plus petit pavé ? Quel est le volume e de ces trois cubes vant contenir l’ensembl

D H Le solide ABCDFEG cube C A ci-contre est un H est B dont le sommet en caché. On a colorié mauve les triangles Dans G E ABC, ABF et FBC. du cachée partie la F EHG, cube, les triangles été ont DHG DHE et de ce cube Ainsi, chaque face reccoloriés en rouge. deux triangles isocèles est soit formée de triangles blanc, soit de deux tangles mauve et blanc. et rouge s isocèles rectangle H en predu cube ABCDFEG Construire un patron d’arête de 4 cm. nant une longueur

IM

55

Retour sur la page

59 Défi !

62 Un vide à combler

est un colorées en vert Le récipient aux arêtesns pavé droit de dimensio le volume propose de calculer par h = 4,5 cm. On se qui n’est pas occupé de l’espace intérieur les pavés bleus.

plus court Peux-tu trouver le la coccinelle d’un chemin qui conduit face du cube point A situé sur uneface opposée, la vers un point B de peut se déplacer sachant qu’elle ne du cube ? qu’à la surface

5,5 cm

4 cm

223

B

A

DOC

2

Le goutteur à 4 vitesses 1

istiques du dispositif

DOC

1

de goutte-à-goutte

Vitesse 1

2

3

4

2

3

4

Pour remplir ce parallélépipède, tu peux utiliser de des cubes entiers 1 cm3, des demi-cubes ou encore des quarts de cube.

Débit

transvase A dans la boude B , puis on la bouteille remue le liquidebouteille B dans la bouteille B . On la dans la mélange de jus d’orange un verre du B ? alors plus de bouteille teille A . Y a-t-il jus de raisin dans la A ou de bouteille

1 goutte en 10 secondes 1 goutte en 6 secondes

1 goutte en 3 secondes 1 goutte en 1 secondes

3. En déduire le volume vide du récipient.

de la partie

ède rectangle – Volume Chapitre 12 • Parallélépip

SP EC

Caractér à 4 vitesses lui délivrant doté d’un goutteur • Chaque plant est par jour en continu. entre 0,7 et 0,8 L d’eau d’une cuve, remplie à son départ, ayant l’eau • Le dispositif reçoit s: droit de dimension la forme d’un pavé et h = 1,5 m. ℓ = 75 cm, L = 80 cm

Des devoirs à faire en temps non limité pour travailler les notions du chapitre.

4,5 cm

de goutteà l’aide d’un dispositif de tomates bios irrigués en vacances pendant 21 jours. serre de 60 plants souhaite partir Tom possède une durant au mois de juillet. Tom plants de tomates à-goutte. Nous sommes correctement ses en mesure d’irriguer Son dispositif sera-t-il son absence ?

Une tâche complexe en lien avec l’ouverture du chapitre.

Des jeux mathématiques mathématiques pour explorer le côté ludique des mathématiques.

à la maison

tiques

mathéma

d’un solide

237

236

Des fiches GeoGebra et Tableur à télécharger sur le site pour travailler en autonomie.

Avec un logiciel 2

Pour faire ces activités, télécharger les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur www.bordas-myriade.fr

1

Réaliser sur ordinateur une construction originale.

40’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

1 La route 1. Tracer un segment [AB] « horizontal » de longueur 4 et un point C « au-dessus » de ce segment. GeoGebra 5 2. Tracer les demi-droites [CA) et [CB). GeoGebra 5 3. Tracer la parallèle à [AB] passant par C sur laquelle on place un point D « à gauche » de C et un point E « à GeoGebra 9 droite de C ».  Sur  et BCE. 4. Tracer les bissectrices des angles DCA la première, placer un point F et sur la deuxième, GeoGebra 11 placer un point G. Vocabulaire

La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

 et BCG.  5. Tracer les bissectrices des angles FCA

4. Tracer le cercle de centre K passant par J. GeoGebra 12

5. Tracer le segment [HJ]. GeoGebra 5 6. De la même manière, tracer un cercle et un segment en partant de I.

3 La perspective finale 1. Cacher tous les segments, droites et demi-droites sauf [CA), [CB), [HJ] et [LI]. Cacher également tous les points, sauf H et C. GeoGebra 21 2. Mettre en vert les deux disques et en brun les deux segments. 3. Activer la trace des disques et des segments.

des polygones

Nombre maximal d’angles obtus observés

4 Que peut-on penser

3

Triangle (3 côtés)

pour les polygones

Un cercle avec des

Quadrilatère (4 côtés)

ayant plus de 6 côtés

Pentagone (5 côtés)

Hexagone (6 côtés)

? Expliquer.

angles

Approcher la figure du cercle GeoGebra 11

2 Les arbres 1. Placer un point H sur [CA). 2. Tracer la parallèle à [AB] passant par H. GeoGebra 9 Elle coupe [CB) en I. 3. Tracer la perpendiculaire à (HI) passant par H. Elle coupe en K la droite (CF) et en J la bissectrice  de l’angle FCA. GeoGebra 3 et 8

Des activités adaptées à l’usage du numérique en classe. classe.

Angles dans un polygon e

Conjecturer des propriétés

Difficulté mathématique Difficulté technique 1 a. Construire un triangle b. Déplacer les sommets quelconque. GeoGebra 7 pour que ce triangle c. Peut-on avoir deux ait un angle obtus. angles obtus dans GeoGebra 1 ce triangle ? Essayer 2 a Construire un d’expliquer pourquoi quadrilatère quelconqu par écrit. e. b. Combien d’angles GeoGebra 7 obtus un quadrilatè re semble-t-il posséder 3 Recopier et compléter au maximum ? le tableau suivant.

20’

La route infinie

à l’aide de polygones

Difficulté mathématique Difficulté technique 1 Recopier et exécuter le programme ci-contre logiciel Scratch. dans le Quel résultat peut-on observer ? 2 En observant le programme, justifier par un calcul que le chat fait un tour complet de 360°. 3 Pour obtenir un cercle plus précis, modifier la dernière instruction en :

20’

4 Combien de fois doit-on répéter cette que le chat retourne instruction pour dans sa position initiale ? 5 Modifier le programm e en conséquence cercle. pour tracer le 6 Essayer d’améliore r encore le tracé du cercle. Aide Il faudra réduire la longueur pour que le chat ne sorte pas

de l’écran.

GeoGebra 20

4. Déplacer très rapidement le point H… et bonne route ! GeoGebra 1

162

Dico des maths A Abscisse, p. 15 : Nombre permettant de repérer un point sur une demi-droite graduée. Aire, p. 206 : Mesure d’une surface. Angle aigu, p. 150 : Angle dont la mesure est comprise entre 0° et 90°. Angle droit, p. 150 : Angle dont la mesure est égale à 90°. Angle nul, p. 150 : Angle dont la mesure est égale à 0°. Angle obtus, p. 150 : Angle dont la mesure est comprise entre 90° et 180°. Angle plat, p. 150 : Angle dont la mesure est égale à 180°. Are, p. 207 : Unité d’aire égale à un décamètre carré (1 a = 1 dam2). Arête, p. 224 : Côté commun à deux faces polygonales d’un même polyèdre. Axe de symétrie, p. 169 : Droite par rapport à laquelle tout point d’une figure a pour symétrique un point de cette même figure.

B-C Bissectrice, p. 161 : Droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. Carré, p. 189 : Quadrilatère possédant quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Cercle, p. 131 : Ensemble de points situés à égale distance d’un même point appelé « centre du cercle ». Coefficient de proportionnalité, p. 92 : Nombre qui permet, en multipliant, de passer de la première à la deuxième ligne d’un tableau de proportionnalité. Comparer, p. 15 : Dire si deux nombres sont égaux ou si l’un est plus petit ou plus grand que l’autre. Corde, p. 131 : Segment reliant deux points d’un cercle. Cube, p. 226 : Pavé droit dont toutes les arêtes ont la même longueur.

D Degré, p. 151 : Unité de mesure d’un angle. Demi-droite graduée, p. 15 : Demi-droite possédant une origine et des graduations régulièrement espacées. Dénominateur, p. 72 : Nombre écrit sous la barre de fraction. Diagramme circulaire, p. 113 : Représentation graphique sous forme d’un disque illustrant la répartition de plusieurs données.

Diagramme en bâtons, p. 113 : Représentation graphique sous forme de barres illustrant ou comparant des données. Diamètre, p. 131 : Segment reliant deux points d’un cercle et dont le milieu est le centre du cercle. Différence, p. 32 : Résultat d’une soustraction. Disque, p. 131 : Ensemble de tous les points situés à une distance inférieure ou égale à une distance donnée d’un point donné. Distance, p. 131 : Longueur du plus petit segment reliant deux points ou un point et une droite. Dividende, p. 54 : Nombre que l’on divise dans une division euclidienne. Diviseur, p. 54 : Nombre qui divise dans une division euclidienne.

E Écriture fractionnaire, p. 72 : Nombre écrit à l’aide d’une barre de fraction. Encadrer, p. 15 : Trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand qu’un nombre donné. Équidistant, p. 168 : Situé à une même distance.

F-G Facteur, p. 32 : Nombre utilisé dans une multiplication. Fraction, p. 72 : Quotient de deux entiers. Grandeurs proportionnelles, p. 92 : Grandeurs dont les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un nombre constant. Graphique cartésien, p. 113 : Représentation graphique sous forme d’une courbe montrant l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre.

H-I-L Hectare, p. 207 : Unité d’aire égale à un hectomètre carré (1 ha = 1 hm2). Hypoténuse, p. 188 : Plus grand côté d’un triangle rectangle. Intercaler, p. 15 : Trouver un nombre compris entre deux autres. Longueur d’un cercle, p. 206 : Longueur du pourtour de ce cercle. Losange, p. 189 : Quadrilatère possédant quatre côtés de même longueur.

M Médiatrice, p. 168 : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.

Mètre cube, p. 227 : Unité de mesure officielle des volumes. C’est le volume d’un cube de 1 m de côté. Symbole : m3. Multiple, p. 54 : Un multiple d’un nombre N est un nombre qui contient N un certain nombre de fois exactement.

P-Q

R Ranger, p. 18 : Classer des nombres du plus petit au plus grand (ordre croissant) ou du plus grand au plus petit (ordre décroissant). Rapporteur, p. 151 : Instrument pour mesurer un angle. Rayon, p. 130 : Segment reliant un point du cercle au centre de celui-ci.

- Angles

163

Les pictos du manuel Utilisation de la calculatrice

O-N Numérateur, p. 72 : Nombre écrit au-dessus de la barre de fraction. Ordre de grandeur, p. 32 : Valeur approchée simple d’un nombre qui permet de calculer plus rapidement.

Parallèle, p. 130 : Deux droites parallèles sont deux droites qui ne se coupent en aucun point. Elles ne se coupent jamais. Parallélépipède rectangle, p. 226 : Solide ayant six faces rectangulaires, appelé aussi « pavé droit ». Patron, p. 226 : Dessin qui permet, après découpage, pliage et collage, de construire un solide de l’espace. Pavé droit, p. 226 : Solide ayant six faces rectangulaires, appelé aussi « parallélépipède rectangle ». Périmètre, p. 206 : Longueur du pourtour d’une figure. Perpendiculaire, p. 130 : Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant quatre angles droits. Perspective cavalière, p. 226 : Mode de représentation sur une feuille des solides de l’espace. Point d’intersection, p. 130 : Point commun à deux droites ou à deux cercles qui se coupent. Polyèdre, p. 224 : Solide dont la surface n’est composée que de polygones partageant deux à deux une arête en commun. Pourcentage, p. 93 : Proportion d’une quantité par rapport à une autre. Produit, p. 32 : Résultat d’une multiplication. Quotient, p. 54 : Résultat d’une division.

Chapitre 8 • Rapporteur

Rectangle, p. 189 : Quadrilatère possédant quatre angles droits. Rectiligne, p. 219 : Selon la direction d’une droite. Reste, p. 54 : Dividende – Diviseur × Quotient = Reste

S Sécante, p. 130 : Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point. Somme, p. 32 : Résultat d’une addition. Symétrie axiale, p. 169 : Transformation qui fait correspondre à une figure une autre figure par pliage le long d’un axe. Symétrique, p. 168 : Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage selon cette droite.

T Tableau de proportionnalité, p. 92 : Tableau dans lequel on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par un même nombre. Tableau de données, p. 112 : Tableau permettant de présenter des renseignements chiffrés. Terme, p. 32 : Nombre utilisé dans une addition ou une soustraction. Triangle équilatéral, p. 188 : Triangle possédant trois côtés de la même longueur. Triangle isocèle, p. 188 : Triangle possédant deux côtés de la même longueur. Triangle rectangle, p. 188 : Triangle possédant un angle droit.

V Valeur approchée, p. 55 : Valeur proche de celle du nombre calculé. Valeur exacte, p. 55 : Valeur du nombre calculé.

Utilisation d’un logiciel Téléchargement d’un fichier texte Téléchargement d’une fiche logiciel Vidéo « Je comprends » sur le site www.bordas-myriade.fr Vidéo des problèmes DUDU sur le site www.bordas-myriade.fr

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sommaire Programmes Cycle 3 (extrait) ...........................................

CHAPITRE 4

8

Écritures fractionnaires CHAPITRE 1

Nombres entiers et décimaux

CHAPITRE 2

16 18 20 22 26

EN

10 12 14

IM

Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Comprendre et utiliser les différentes écritures d’un nombre décimal ............................. 2. Repérer, comparer, classer et encadrer des nombres décimaux ............................................. Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Représenter des partages à l’aide de fractions...................................................... 2. Modifier l’écriture fractionnaire d’un quotient 3. Prendre une fraction d’une quantité ................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

68 70 72

74 76 78 80 82 86

CHAPITRE 5

Proportionnalité

Addition – Soustraction - Multiplication

28 30 32

SP EC

Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Additionner et soustraire avec des nombres entiers et des nombres décimaux........................ 2. Multiplier avec des nombres entiers et des nombres décimaux ............................................. 3. Connaitre les priorités des opérations .............. 4. Calculer avec des durées ......................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

34

36 38 40 42 44 48

CHAPITRE 3

Division

Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Poser une division euclidienne .............................. 2. Poser une division décimale ................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

50 52 54

56 8 60 62 66

Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Reconnaitre la proportionnalité ............................ 2. Utiliser la proportionnalité ...................................... 3. Appliquer un taux de pourcentage....................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

88 90 92 94 96 98 100 102 106

CHAPITRE 6

Organisation et représentation de données Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Exploiter ou construire un tableau représentant des données....................................... 2. Exploiter ou construire un graphique représentant des données....................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

108 110 112

114 116 118 120 124

© BORDAS/SEJER, Paris 2016 ISBN : 9782047332894 4

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CHAPITRE 7

CHAPITRE 10

Règles - Équerre - Compas

Figures usuelles Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Reconnaitre et construire un triangle particulier......................................................................... 2. Reconnaitre et construire un quadrilatère particulier......................................................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

126 128 130

132 134 136 138 140 144

EN

Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point donné..................................... 2. Tracer la parallèle à une droite passant par un point donné ....................................................... 3. Connaitre et utiliser la définition du cercle...... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

184 186 188

190 192 194 196 200

CHAPITRE 11

CHAPITRE 8

Périmètre et aire

Rapporteur - Angles 146 148 150

Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Calculer le périmètre de polygones et la longueur de cercles .......................................... 2. Calculer l’aire d’un rectangle, d’un triangle et d’un disque.................................................................. 3. Maitriser les unités de longueurs et d’aires.... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

IM

Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Reconnaitre et mesurer un angle......................... 2. Construire un angle de mesure donnée............ Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

152 154

SP EC

156 158 162

CHAPITRE 9

Symétrie axiale

Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Connaitre et utiliser les propriétés de la médiatrice d’un segment .......................................... 2. Tracer le symétrique d’une figure par rapport à une droite............................................ 3. Construire ou compléter une figure à partir de ses axes de symétrie ........................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

164 166 168

170 172 174

176 178 182

202 204 206

208 210 212 214 216 220

CHAPITRE 12

Parallélépipède rectangle - Volume Avant de commencer… ................................................... Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Reconnaitre ou construire le patron d’un solide .................................................................................. 2. Déterminer le volume d’un parallélépipède rectangle........................................................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel .................................................................

Choisir la bonne opération .......................................................................................................................................................................... Les étapes pour résoudre un problème............................................................................................................................................... Problèmes de synthèse................................................................................................................................................................................ Tâches complexes........................................................................................................................................................................................... Corrigés des pages (Je fais le point sur…) ........................................................................................................................................... Dico des maths .................................................................................................................................................................................................

222 224 226

228 230 232 234 238

240 241 242 244 250 255

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Programmes Cycle 3 • Mathématiques Extraits du BO spécial n° 11 du 26 novembre 2015 La correspondance entre le programme et le manuel est indiquée par dans les Repères de progressivité.

Chercher

CHERCHER Domaines du socle : 2, 4 Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc. S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle. Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

Modéliser

Domaines du socle : 1, 2, 4 Utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne. Reconnaitre et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité. Reconnaitre des situations réelles pouvant être modélisées par des relations géométriques (alignement, parallélisme, perpendicularité, symétrie). Utiliser des propriétés géométriques pour reconnaitre des objets.

Représenter

COMMUNIQUER Domaines du socle : 1, 3 Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une situation, exposer une argumentation. Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange.

Nombres et calculs Attendus de fin de cycle

Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fracfrac tions simples, les nombres décimaux Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

Connaissances et compétences associées Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux

IM

MODÉLISER

Communiquer

EN

Compétences travaillées

CHAPITRE

SP EC

REPRÉSENTER Domaines du socle : 1, 5 Utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthéparenthésages… Produire et utiliser diverses représentations des fractions simples et des nombres décimaux. Analyser une figure plane sous différents aspects (surface, contour de celle-ci, lignes et points). Reconnaitre et utiliser des premiers éléments de codages d’une figure plane ou d’un solide. Utiliser et produire des représentations de solides et de situa situations spatiales.

Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utiuti lisant des regroupements par milliers. Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et leurs relations. Comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres (jusqu’à 12 chiffres). Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée. Comprendre et utiliser la notion de fractions simples Écritures fractionnaires. Diverses désignations des fractions (orales, écrites et décompositions). Repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée adaptée. Une première extension de la relation d’ordre. Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs. Établir des égalités entre des fractions simples. Comprendre et utiliser la notion de nombre décimal. Spécificités des nombres décimaux. Associer diverses désignations d’un nombre décimal (fractions décimales, écritures à virgule et décompositions). Règles et fonctionnement des systèmes de numération dans le champ des nombres décimaux, relations entre unités de numération (point de vue décimal), valeurs des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture à virgule d’un nombre décimal (point de vue positionnel). Repérer et placer des décimaux sur une demi-droite graduée adaptée. Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres décimaux. Ordre sur les nombres décimaux.

Raisonner

RAISONNER Domaines du socle : 2, 3, 4 Résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de don données multiples ou la construction d’une démarche qui com combine des étapes de raisonnement. En géométrie, passer progressivement de la perception au contrôle par les instruments pour amorcer des raisonnements s’appuyant uniquement sur des propriétés des figures et sur des relations entre objets. Progresser collectivement dans une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui. Justifier ses affirmations et rechercher la validité des informations dont on dispose.

Calculer

CALCULER Domaine du socle : 4 Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne, ou en posant les opérations). Contrôler la vraisemblance de ses résultats. Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.

Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux Mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul.

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Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

Grandeurs et mesures

IM

Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations. Sens des opérations. Problèmes relevant : des structures additives ; des structures multiplicatives. Organisation et gestion de données. Prélever des données numériques à partir de supports variés. Produire des tableaux, diagrammes et graphiques organisant des données numériques. Exploiter et communiquer des résultats de mesures. Représentations usuelles : • tableaux (en deux ou plusieurs colonnes, à double entrée) ; • diagrammes en bâtons, circulaires ou semi-circulaires ; • graphiques cartésiens CHAPITRE 6 . Proportionnalité Reconnaitre et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée CHAPITRE 5 .

multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier au CM2, de deux nombres décimaux en 6e CHAPITRE 2 ; division euclidienne dès le début de cycle, division de deux nombres entiers avec quotient décimal, division d’un nombre décimal par un nombre entier à partir du CM2. CHAPITRE 3 La résolution de problème : la progressivité sur la résolution de problèmes, outre la structure mathématique du problème, repose notamment sur : les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux ; le nombre d’étapes de calcul et la détermination ou non de ces étapes par les élèves selon les cas, à tous les niveaux du cycle 3, on passe de problèmes dont la solution engage une démarche à une ou plusieurs étapes indiquées dans l’énoncé à des problèmes, en 6e nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche ; les supports envisagés pour la prise d’informations : la collecte des informations utiles peut se faire à partir d’un support unique en CM1 (texte ou tableau ou représentation graphique) puis à partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs supports en 6e. La communication de la démarche et des résultats prend différentes formes et s’enrichit au cours du cycle. Dès le début du cycle, les problèmes proposés relèvent des quatre opérations, l’objectif est d’automatiser la reconnaissance de l’opération en fin de cycle 3.

EN

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit. Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Addition, soustraction, multiplication, division. Propriétés des opérations : 2 + 9 = 9 + 2 ; 3 × 5 × 2 = 3 × 10 ; 5 × 12 = 5 × 10 + 5 × 2. Faits et procédures numériques additifs et multiplicatifs. Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant. Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10). Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur. Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples. Règles d’usage des parenthèses. Calcul pose : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication, la division. Techniques opératoires de calcul (dans le cas de la division, on se limite à diviser par un entier). Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat. Fonctions de base d’une calculatrice.

Attendus de fin de cycle

SP EC

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle. Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs. Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux.

Repères de progressivité

Il est possible, lors de la résolution de problèmes, d’aller au-delà des repères de progressivité identifiés pour chaque niveau. En début du cycle, les nombres sont abordés jusqu’à 1 000 000 puis progressivement jusqu’au milliard. Ce travail devra être entretenu tout au long du cycle 3 CHAPITRE 1 . Fractions et décimaux : les fractions sont à la fois objet d’étude et support pour l’introduction et l’apprentissage des nombres décimaux. Pour cette raison, on commence dès le CM1 l’étude des frac2 1 5 tions simples (comme ; ; ) et des fractions décimales. Du CM1 3 4 2 à la 6e, on aborde différentes conceptions possibles de la fraction, du partage de grandeurs jusqu’au quotient de deux nombres entiers, qui sera étudié en 6e. Pour les nombres décimaux, les activités peuvent se limiter aux centièmes en début de cycle pour s’étendre aux dix-millièmes en 6e. CHAPITRES 1, 4 Le calcul : la pratique du calcul mental s’étend progressivement des nombres entiers aux nombres décimaux, et les procédures à mobiliser se complexifient. Les différentes techniques opératoires portent sur des nombres entiers et/ou des nombres décimaux : addition et soustraction pour les nombres décimaux dès le CM1 ;

Connaissances et compétences associées Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle. Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs.

Comparer des périmètres avec ou sans recours à la mesure. Mesurer des périmètres en reportant des unités et des fractions d’unités, ou en utilisant une formule. Notion de longueur : cas particulier du périmètre. Formule du périmètre d’un carré, d’un rectangle. Formule de la longueur d’un cercle. Unités relatives aux longueurs : relations entre les unités de longueur et les unités de numération (grands nombres, nombres décimaux). Comparer, classer et ranger des surfaces selon leurs aires sans avoir recours à la mesure. Différencier aire et périmètre d’une surface. Déterminer la mesure de l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple ou en utilisant une formule. Estimer la mesure d’une aire par différentes procédures. Unités usuelles d’aire : multiples et sous-multiples du m2 et leurs relations, are et hectare. Formules de l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle, d’un disque.

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IM

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux

prendre la définition du cercle (comme ensemble des points à égale distance du centre). La construction et l’utilisation des formules du périmètre du carré et du rectangle interviennent progressivement au cours du cycle. La formule donnant la longueur d’un cercle est utilisée en 6e. CHAPITRE 11 Les durées : Un travail de consolidation de la lecture de l’heure, de l’utilisation des unités de mesure des durées et de leurs relations ainsi que des instruments de mesure des durées est mené en CM1 et en CM2. Tout au long du cycle, la résolution de problèmes s’articule autour de deux types de taches : calculer une durée à partir de la donnée de l’instant initial et de l’instant final, déterminer un instant à partir de la connaissance d’un instant et d’une durée. La maitrise des unités de mesure de durées et de leurs relations permet d’organiser la progressivité de ces problèmes. CHAPITRE 2 Les aires : Tout au long du cycle, il convient de choisir la procéprocé dure adaptée pour comparer les aires de deux surfaces, pour déter déterminer la mesure d’une aire avec ou sans recours aux formules. Dès le CM1, on compare et on classe des surfaces selon leur aire. La surmesure ou l’estimation de l’aire d’une surface à l’aide d’une sur face de référence ou d’un réseau quadrillé est ensuite abordée. Une fois ces notions stabilisées, on découvre et on utilise les unités d’aire usuelle et leurs relations. On peut alors construire et utiliser les formules pour calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, puis en 6e, calculer l’aire d’un triangle rectangle, d’un triangle quelconque dont une hauteur est connue, d’un disque. CHAPITRE 11 Contenance et volume : En continuité avec le cycle 2, la notion de volume sera vue d’abord comme une contenance. Au primaire, on compare des contenances sans les mesurer et on mesure la conte contenance d’un récipient par un dénombrement d’unités, en particu particulier en utilisant les unités usuelles (L, dL, cL, mL) et leurs relations. Au collège, ce travail est poursuivi en déterminant le volume d’un pavé droit. On relie alors les unités de volume et de contenance (1 L = 1 dm3 ; 1 000 L = 1 m3). CHAPITRE 12 Les angles : Au primaire, il s’agit d’estimer et de vérifier, en utilisant l’équerre si nécessaire, qu’un angle est droit, aigu ou obtus, de comparer les angles d’une figure puis de reproduire un angle, en utilisant un gabarit. Ce travail est poursuivi au collège, où l’on introduira une unité de mesure des angles et l’utilisation d’un outil de mesure (le rapporteur). CHAPITRE 8

EN

Relier les unités de volume et de contenance. Estimer la mesure d’un volume par différentes procédures. Unités usuelles de contenance (multiples et sous-multiples du litre). Unités usuelles de volume (cm3, dm3, m3), relations entre les unités. Déterminer le volume d’un pavé droit en se rapportant à un dénombrement d’unités ou en utilisant une formule. Formule du volume d’un cube, d’un pavé droit. Identifier des angles dans une figure géométrique. Comparer des angles. Reproduire un angle donne en utilisant un gabarit. Reconnaitre qu’un angle est droit, aigu ou obtus. Estimer la mesure d’un angle. Estimer et vérifier qu’un angle est droit, aigu ou obtus. Utiliser un instrument de mesure (le rapporteur) et une unité de mesure (le degré) pour : – déterminer la mesure en degré d’un angle ; – construire un angle de mesure donnée en degrés. Notion d’angle. Lexique associé aux angles : angle droit, aigu, obtus. Mesure en degré d’un angle.

SP EC

Résoudre des problèmes de comparaison avec et sans recours à la mesure. Résoudre des problèmes dont la résolution mobilise simulsimultanément des unités différentes de mesure et/ou des converconversions. Calculer des périmètres, des aires ou des volumes, en mobimobilisant ou non, selon les cas, des formules. Formules donnant le périmètre d’un carré, d’un rectangle ; la longueur d’un cercle ; l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle, d’un disque ; le volume d’un cube, d’un pavé droit. Calculer la durée écoulée entre deux instants donnés. Déterminer un instant à partir de la connaissance d’un ins instant et d’une durée. Unités de mesures usuelles : jour, semaine, heure, minute, seconde, dixième de seconde, mois, année, siècle, millénaire.

Proportionnalité

Identifier une situation de proportionnalité entre deux grangran deurs. Graphiques représentants des variations entre deux gran grandeurs.

Repères de progressivité

Il est possible, lors de la résolution de problèmes, d’aller avec cer certains élèves ou avec toute la classe au-delà des repères de pro progressivité identifiés pour chaque niveau. L’étude d’une grandeur nécessite des activités ayant pour but de définir la grandeur (comparaison directe ou indirecte, ou recours à la mesure), d’explorer les unités du système international d’unités correspondant, de faire usage des instruments de mesure de cette grandeur, de calculer des mesures avec ou sans formule. Toutefois, selon la grandeur ou selon la fréquentation de celle-ci au cours du cycle précédent, les comparaisons directes ou indirectes de grandeurs (longueur, masse et durée) ne seront pas reprises systématiquement. Les longueurs : En 6e, le travail sur les longueurs permet en particulier de consolider la notion de périmètre, et d’établir la notion de distance entre deux points, entre un point et une droite. L’usage du compas permet de comparer et reporter des longueurs, de com-

Espace et géométrie

Attendus de fin de cycle

(Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations. Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures et solides usuels. Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques (notions d’alignement, d’appartenance, de perpendicularité, de parallélisme, d’égalité de longueurs, d’égalité d’angle, de distance entre deux points, de symétrie, d’agrandissement et de réduction).

Connaissances et compétences associées (Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations Se repérer, décrire ou exécuter des déplacements, sur un plan ou sur une carte. Accomplir, décrire, coder des déplacements dans des espaces familiers. Programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran. Vocabulaire permettant de définir des positions et des déplacements. Divers modes de représentation de l’espace.

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CHAPITRE 10

• cercle (comme ensemble des points situés à une distance

SP EC

IM

donnée d’un point donné). Vocabulaire approprié pour nommer les solides : pavé droit, cube, prisme droit, pyramide régulière, cylindre, cône, boule. Reproduire, représenter, construire : des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) ; des solides simples ou des assemblages de solides simples sous forme de maquettes ou de dessins ou à partir d’un patron (donné, dans le cas d’un prisme ou d’une pyramide, ou à construire dans le cas d’un pavé droit). Réaliser, compléter et rédiger un programme de construction. Réaliser une figure simple ou une figure composée de figures simples à l’aide d’un logiciel. Effectuer des tracés correspondant à des relations de perpendicularité ou de parallélisme de droites et de segments. Déterminer le plus court chemin entre deux points (en lien avec la notion d’alignement). Déterminer le plus court chemin entre un point et une droite ou entre deux droites parallèles (en lien avec la perpendicularité). Alignement, appartenance. Perpendicularité, parallélisme (construction de droites parallèles, lien avec la propriété reliant droites parallèles et perpendiculaires). CHAPITRE 7 Égalité de longueurs. Égalité d’angles. Distance entre deux points, entre un point et une droite. Compléter une figure par symétrie axiale. Construire la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe donné que l’axe de symétrie coupe ou non la figure, construire le symétrique d’une droite, d’un segment, d’un point par rapport à un axe donné. Figure symétrique, axe de symétrie d’une figure, figures symétriques par rapport à un axe. Propriétés de conservation de la symétrie axiale. Médiatrice d’un segment. CHAPITRE 9 Proportionnalité Reproduire une figure en respectant une échelle. Agrandissement ou réduction d’une figure.

notamment l’occasion d’un retour sur la notion de parallélisme. Le choix des objets considérés et des relations et propriétés à prendre en compte, les contraintes sur les instruments à utiliser, les gestes à réaliser, les justifications et moyens de validation acceptés permettent d’organiser la progressivité des apprentissages et d’enrichir les procédures de résolution des élèves. Ainsi, ce ne sont pas seulement les tâches qui évoluent d’un niveau à l’autre mais les procédures pour réaliser ces tâches. La progressivité s’organise en prenant en compte : les gestes de géométrie : certaines compétences de construction, comme tracer un segment d’une longueur donnée ou reporter la longueur d’un segment (CM1-CM2) ou encore reproduire un angle (6e) sont menées conjointement avec les apprentissages du domaine GRANDEURS ET MESURES ; l’évolution des procédures et de la qualité des connaissances mobilisées : ainsi, l’élève doit tout d’abord savoir reconnaitre un carré en prenant en compte la perpendicularité et l’égalité des mesures des côtés (CM1-CM2) puis progressivement de montrer qu’il s’agit d’un carré à partir des propriétés de ses diagonales ou de ses axes de symétrie (6e) ; les objets géométriques fréquentés ; la maitrise de nouvelles techniques de tracé (par rapport au cycle 2). Le raisonnement : À partir du CM2, on amène les élèves à dépasser la dimension perceptive et instrumentée pour raisonner uniquement sur les propriétés et les relations. Par exemple, l’usage de la règle et du compas pour tracer un triangle, connaissant la longueur de ses côtés, mobilise la connaissance des propriétés du triangle et de la définition du cercle. Il s’agit de conduire sans formalisme des raisonnements simples utilisant les propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale. Un vocabulaire spécifique est employé dès le début du cycle pour désigner des objets, des relations et des propriétés. Vocabulaire et notations : Au primaire, lorsque les points seront désignés par des lettres, les professeurs veilleront à toujours préciser explicitement l’objet dont il parle : « le point A », « le segment [AB] », « le triangle ABC », etc. Aucune maitrise n’est attendue des élèves pour ce qui est des codages usuels (parenthèses ou crochets) avant la dernière année du cycle. Le vocabulaire et les nota sont introduits au fur tions nouvelles (∊, [AB], (AB), [AB), AB, AOB) et à mesure de leur utilité, et non au départ d’un apprentissage. Les instruments : Au primaire, les élèves auront recours à différentes règles (graduées ou non, de diverses tailles), à des gabarits, à l’équerre, au compas. Ils commenceront à utiliser le rapporteur au collège. Symétrie axiale : Un travail préalable sur les figures permet d’illustrer l’aspect global de la symétrie plutôt que de procéder de façon détaillée (par le point, le segment, la droite). Pour construire ou compléter des figures planes par symétrie, différentes procédures seront abordées au cours du cycle. Elles évoluent et s’enrichissent par un jeu sur les figures, sur les instruments à disposition et par l’emploi de supports variés.

EN

Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire : – des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) ; – des solides simples ou des assemblages de solides simples à partir de certaines de leurs propriétés. Figures planes et solides, premières caractérisations : • triangles dont les triangles particuliers (triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral) ; • quadrilatères dont les quadrilatères particuliers (carré, rectangle, losange, première approche du parallélogramme) ;

Repères de progressivité Les apprentissages spatiaux : Dans la continuité du cycle 2 et tout au long du cycle, les apprentissages spatiaux se réalisent à partir de problèmes de repérage de déplacement d’objets, d’élaboration de représentation dans des espaces réels, matérialisés (plans, cartes…) ou numériques. Les apprentissages géométriques : Ces apprentissages développent la connaissance de figures planes, de solides mais aussi de relations entre objets et de propriétés des objets. Le parallélogramme ne fait l’objet que d’une première fréquentation en 6e et est

Initiation à la programmation :

Une initiation à la programmation est faite à l’occasion notamment d’activités de repérage ou de déplacement (programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran), ou d’activités géométriques (construction de figures simples ou de figures composées de figures simples). Au CM1, on réserve l’usage de logiciels de géométrie dynamique à des fins d’apprentissage manipulatoires (à travers la visualisation de constructions instrumentées) et de validation des constructions de figures planes. À partir du CM2, leur usage progressif pour effectuer des constructions, familiarise les élèves avec les représentations en perspective cavalière et avec la notion de conservation des propriétés lors de certaines transformations.

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Avant de commencer… … je revois mes acquis de début de cycle 3 Les grands nombres 1 Au 1er janvier 2015, la France comptait soixante-six-millions-huit-

cent-soixante-dix-mille-quatre-cent-quatre-vingt-dix-sept habitants. Ce nombre s’écrit : a. 66 860 497 b. 66 870 497 c. 660 870 497

Ce nombre se lit : a. sept-millions

EN

2 Depuis 2011, la population mondiale a dépassé 7 000 000 000 d’habitants ! b. sept-cent-millions

3 Dans le nombre 924 317 :

c. sept-milliards

IM

a. quel est le chiffre des unités ? b. quel est le chiffre des dizaines ? c. quel est le chiffre des centaines ? d. quel est le chiffre des dizaines de milliers ?

SP EC

Partie entière et partie décimale d’un nombre

4 La partie entière de 897,45 est : a. 7

b. 897

c. 89 745

5 La partie décimale de 897,45 est : a. 0,4

b. 89 745

Comparaison et rangement de nombres

8 Dans la figure ci-dessous, la flèche verte désigne le nombre : a. 1,9 b. 1,99 c. 1,09

c. 0,45

6 Dans chacun des cas suivants, recopier

et placer une virgule au bon endroit afin que : a. 3 soit le chiffre des unités ; 2587634 b. 2 soit le chiffre des dizaines ; 2587634 c. 7 soit le chiffre des dixièmes ; 2587634 d. 3 soit le chiffre des centièmes. 2587634

7 Mattéo a 42 cartes du jeu Yu-Gi-Oh ! Il les

0

1

2

9 Parmi les cinq nombres suivants, quel est le plus grand ?

4,2 ; 4,07 ; 4,19 ; 4,099 et 4,105.

Retrouve des QCM interactifs pour continuer à réviser sur www.bordas-myriade.fr

range dans son classeur ; chaque feuille de classeur peut contenir 10 cartes. Combien de feuilles de classeur sontelles pleines ?

10

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1

SP EC

IM

EN

En bord de mer, les coups de vent sont parfois violents. L’échelle de Beaufort sert à classer les vents selon leur force. En page 24, tu pourras l’utiliser pour résoudre un problème lié à la météo marine.

Nombres entiers et décimaux

Attendus de fin de cycle

• Utiliser et représenter les grands nombres entiers,

OBJECTIFS

les fractions simples, les nombres décimaux

1

Comprendre et utiliser les différentes écritures d’un nombre décimal

2

Repérer, comparer, classer et encadrer des nombres décimaux

11

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Tous les énoncés modifiables de ces activités sont à télécharger sur www.bordas-myriade.fr

Acti

é vit

1

Comprendre le système décimal

OBJECTIF

1

Alan, Chloé, Hakim et Jade jouent aux fléchettes sur la cible ci-dessous. Le but du jeu est de faire le plus grand score possible avec un nombre limité, ou non, de lancers.

A

Première manche

0,01

Les quatre amis lancent chacun 6 fléchettes sur la cible.

0,1

• 1 fléchette dans le rouge ; • 2 fléchettes dans le noir.

Quel est son score ?

EN

1 Alan a lancé : • 3 fléchettes dans le jaune ;

1000

2 Chloé a lancé : • 2 fléchettes dans le rouge ; Quel est son score ?

IM

• 2 fléchettes dans le vert ; • 2 fléchettes dans le bleu.

1

10 100

3 Hakim a marqué 1 111,11 points et Jade a marqué 301,02 points. Dans quelles zones leurs fléchettes se sont-elles plantées ?

4 Qui a gagné cette première manche ?

Deuxième manche

SP EC

B

Cette fois, Alan, Chloé, Hakim et Jade peuvent lancer autant de fléchettes qu’ils veulent.

1 Alan voudrait marquer 1 000 points en visant uniquement la zone rouge.

S’il atteint cette zone à chaque fois, de combien de fléchettes aura-t-il besoin ?

2 Chloé voudrait marquer 10 points en visant uniquement la zone blanche.

De combien de fléchettes aura-t-elle besoin si elle réussit tous ses lancers ?

3 Hakim annonce qu’il va marquer 0,1 point. Quelles sont les deux façons d’obtenir ce score ?

Acti

é vit

2

Manipuler des nombres dans différentes écritures

OBJECTIF

1

Ce matin, Lilou apprend que la célèbre chanteuse Justine Bébert sort un nouveau disque ! Elle s’empresse de téléphoner à ses meilleures amies pour leur annoncer cette bonne nouvelle, en essayant d’être la plus rapide possible pour ne pas bloquer son forfait. Voici le temps passé par Lilou avec chacune de ses amies : Appel à… Temps (en s)

Léa 19,98

Chloé 20 s

3 100

Djamila

Sarah

Marine

29,690

19,893 19 s

Sophiane

Cindy

18 91 956 20 s 19 s 1 000 100 100

Charlotte 19,935

1 Avec qui Lilou a-t-elle passé le plus de temps ? le moins de temps ? 2 Classer les appels téléphoniques du plus court au plus long. 12

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Acti

é vit

3

Comparer et classer des nombres décimaux

OBJECTIF

2

EN

Le facteur doit livrer huit colis. Leur masse est inscrite sur chacun d’eux :

1 Quel est le colis le plus lourd ? le plus léger ?

IM

2 Aider le facteur à ranger ces paquets du plus léger au plus lourd.

Acti

é vit

4

Placer des nombres sur une demi-droite graduée

OBJECTIF

2

SP EC

Avant les grandes vacances, des rencontres sportives interclasses ont été organisées dans le collège Molière. Le tableau suivant présente les résultats de huit jeunes athlètes pour l’épreuve du lancer de javelot. Prénom du sportif

Longueur du meilleur lancer (en m)

Louis

43,10

Elsa

35,20

Karim

38,30

Chloé

41,50

Nathan

39,00

Julien

37,70

Hugo

44,60

Alice

40,50

1 Sur une demi-droite graduée de 30,00 m à 45,00 m,

placer les performances des huit sportifs en écrivant la première lettre de chaque prénom.

Tu peux prendre 1 cm sur la demi-droite pour représenter 1 m dans la réalité !

2 À l’aide de la demi-droite, donner le classement des

filles, celui des garçons ainsi que le classement global de cette épreuve.

3 Donner une longueur de lancer qui aurait permis à Karim de terminer deuxième.

Chapitre 1 • Nombres entiers et décimaux

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1

Écriture décimale et fractionnaire des nombres

OBJECTIF

1

A Écriture et position Le système décimal utilise dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Avec ces chiffres, on peut écrire tous les nombres.

VOCABULAIRE

Exemple : Le nombre 5 239,67 s’écrit avec six chiffres différents.

Un nombre décimal s’écrit comme la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.

DÉFINITION

EN

10

1

5

2

3

9

6

SP EC

La partie entière est 5 239.

dixmillièmes

100

millièmes

1 000

1 10 ou 0,1

centièmes

dixièmes

IM

dizaines

centaines

unités de mille

dizaines de mille

centaines de mille

unités

La position d’un chiffre dans un nombre détermine sa signification.

Exemple : 5 239,67 = 5 239 + 0,67

100 000 10 000

Remarque

1 100 ou 0,01

1 1 000 ou 0,001

1 10 000 ou 0,0001

7

La partie décimale est 0,67. Place de la virgule

5 239,67 = (5 × 1 000) + ((2 2 × 100) + ((3 3 × 10) + (9 × 1) + (6 × 0,1) + (7 × 0,01) cinq milliers deux centaines trois dizaines

sept centièmes six dixièmes neuf unités

B Les grands nombres

Pour pouvoir lire facilement les grands nombres, on regroupe les chiffres par paquets de trois en écrivant de la droite vers la gauche à partir de la virgule.

CONVENTION

Exemple : Le nombre 17 823 750 000 se lit : dix-sept-milliards-huit-cent-vingt-trois-millions-sept-cent-cinquante-mille.

C Différentes écritures d’un nombre décimal Exemples : On considère le nombre 234,59. Voici quelques-unes de ses écritures : • Écriture décimale décomposée : 234,59 = 234 + 0,59 = 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,09 ou 234,59 = 234 + (59 × 0,01) = (2 × 100) + (3 × 10) + 4 × 1 + (5 × 0,1) + (9 × 0,01) 23 459 • Écriture fractionnaire : 100 59 5 9 • Écriture décomposée : 234,59 = 234 + 100 = 200 + 30 + 4 + 10 + 100 14

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2

Repérer, comparer, classer et encadrer des nombres décimaux

OBJECTIF

2

A Repère sur une demi-droite graduée Chaque point d’une demi-droite graduée peut être repéré par un nombre qui s’appelle l’abscisse de ce point.

DÉFINITION

O

A

C

B

Exemple : 2

1

0

3

4

5

EN

Le point O de la demi-droite graduée ci-dessus a pour abscisse 0 : on dit que O est l’origine de la demi-droite. Remarque • Le point A a pour abscisse 2 : on écrit A (2). Pour graduer une demi-droite, on choisit une unité de longueur que l’on reporte • Le point B a pour abscisse 3,5 : on écrit B (3,5). de façon régulière à partir de l’origine. Le point C a pour abscisse 2,7 : on écrit C (2,7). •

B Comparaison de nombres décimaux

Comparer deux nombres, c’est dire s’ils sont égaux, ou si l’un est plus petit ou plus grand que l’autre.

IM

DÉFINITION

Exemples : • 2,7 < 15,03 se lit : « 2,7 est inférieur à 15,03 » ou « 2,7 est plus petit que 15,03 ». • 3,1 > 3,067 se lit : « 3,1 est supérieur à 3,067 » ou « 3,1 est plus grand que 3,067 ».

SP EC

C Classement des nombres décimaux DÉFINITIONS

Classer des nombres dans l’ordre croissant, croissant c’est les ranger du plus petit au plus grand. Classer des nombres dans l’ordre décroissant, décroissant c’est les ranger du plus grand au plus petit.

Exemples : • 0,7 < 0,89 < 2,47 < 25,2 : les nombres sont rangés dans l’ordre croissant. • 124,7 > 78 > 32,3 > 11,7 : les nombres sont rangés dans l’ordre décroissant.

D Encadrement

Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand que ce nombre.

DÉFINITION

Exemple : Le tableau ci-dessous présente quatre encadrements du nombre 26,748.

(

Au centième près à

)

(

)

1 1 près Au dixième près à près 100 10

26,74 < 26,748 < 26,75

26,7 < 26,748 < 26,8

À l’unité près (à 1 près)

26 < 26,748 < 27 20 < 26,748 < 30

Intercaler un nombre entre deux autres, c’est trouver un nombre compris entre deux autres nombres.

DÉFINITION

Exemple : Entre 2,4 et 2,7 on peut intercaler 2,5 ou 2,6 mais aussi 2,41 ou encore 2,518. On peut toujours intercaler un nombre entre deux nombres décimaux.

À la dizaine près (à 10 près)

Le dico des

maths

• Abscisse • Comparer • Demi-droite graduée • Encadrer • Intercaler Voir p. 255

Chapitre 1 • Nombres entiers et décimaux

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1 Je comprends

Comprendre et utiliser

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. Donner une écriture fractionnaire du nombre 39,45. 8 167 2. Donner une écriture décimale du nombre . 1 000 2.

1. ÉTAPE 1 Je repère que le dernier chiffre de 39,45 est le chiffre des centièmes.

8 167 de la façon suivante : 1 000 « huit-mille-cent-soixante-sept millièmes ». Je peux lire

ÉTAPE 2

2 chiffres après la virgule

3945 100 2 zéros

Je m’entraine 1

Activités rapides

3 zéros

3 chiffres après la virgule

IM

39,45 =

ÉTAPE 2 Je sais que le chiffre des millièmes est le troisième chiffre après la virgule, donc 7 sera au troisième rang après la virgule. 8 167 167 Je peux donc écrire : = 8,167. 1 000 000

EN

Je peux donc lire 39,45 de deux façons : « trente-neuf unités et quarante-cinq centièmes » ou : « trois-mille-neuf-cent-quarante-cinq centièmes », puis écrire :

ÉTAPE 1

MODÉLISER

ci-dessous selon le modèle suivant : 562,708 = 562 + 0,708 = 500 + 60 + 2 + 0,7 + 0,008 a. 12,56 b. 57,089 c. 458,87 d. 123,496 e. 102,058 f. 147,225

SP EC

a. Dans le nombre 412,5, le chiffre des dizaines est … et le nombre de dizaines est … ….. b. Dans le nombre 4 723,8 le chiffre des centaines est … et le nombre de centaines est …. …. c. J’ai 53 livres de poche rangés dans des cartons contenant chacun 10 livres. Combien ai-je de cartons pleins ?

4 Écrire une décomposition de chaque nombre

2 On considère le nombre 1 423,687.

Recopier et compléter les phrases suivantes. 1. Le chiffre des dizaines est … . 2. 4 est le chiffre des … . 3. 8 est le chiffre des … . 4. Le chiffre des dixièmes est … . 5. 3 est le chiffre des … .

3 On considère le nombre 7 425,395.

Recopier et compléter les phrases suivantes. 1. La partie entière est … . 2. La partie décimale est … . 3. Le chiffre des dizaines est le … . 4. Le chiffre des centaines est le … . 5. Le nombre de dizaines est … . 6. Le nombre de centaines est … .

5 Écrire une décomposition de chaque nombre ci-dessous selon le modèle suivant : 54,41 = (5 × 10) + (4 × 1) + (4 × 0,1) + (1 × 0,01) a. 78,32 b. 57,089 c. 458,87 d. 147,057 e. 78,984 f. 102,684

6 Écrire une décomposition de chaque nombre ci-dessous selon le modèle suivant : 45 4 5 = 80 + 6 + + 86,45 = 86 + 100 10 100

a. 57,089 d. 80,095

b. 458,87 e. 120,808

c. 79,541 f. 21,981

7 Donner l’écriture décimale de chacun des nombres suivants. a. Dix-sept-milliards-cinq-cent-millions b. Deux-mille-trois-cent-vingt-cinq c. Quatre-cent-cinq unités trente-sept centièmes d. Vingt-mille-cinq-cent-huit unités cent-trentetrois millièmes

16

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les différentes écritures d’un nombre décimal Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

8 Avec les chiffres 3, 5 et 7, écrire tous les nombres 13 Je suis un nombre décimal avec un chiffre après entiers possibles sans utiliser plus d’une fois le même chiffre.

9 Je suis un nombre entier à quatre chiffres. Mon chiffre des unités est 7. Mon nombre des dizaines est 145. Qui suis-je ?

la virgule. Mon nombre d’unités est 245 et mon chiffre des dixièmes est le même que celui des dizaines. Qui suis-je ?

14 Les maths autour de moi Voici un texte évoquant la population à travers les continents. Le réécrire avec des nombres entiers ne comportant pas de zéros inutiles. « L’Asie est le continent le plus peuplé avec environ 004 385 000 000,000 habitants ! L’Afrique abrite 1 166 millions de personnes, soit 175 100 000 de plus que l’Amérique. 743,123 000 millions de personnes habitent en Europe et 39 359 000,000 en Océanie. »

11 Les maths autour de moi

IM

Vrac réalisée en 2012 par le sculpteur français Fernando Costa. Quel est le plus grand nombre qu’elle peut observer sur cette œuvre ?

EN

10 Au collège, Lou étudie l’œuvre d’art Chiffres en

SP EC

Nils aime l’astronomie. Il a rédigé un petit article pour le journal de son collège, mais n’a pas écrit les nombres par paquet de trois chiffres. Réécrire cet article en mettant des espaces aux bons endroits entre les paquets de trois chiffres de façon à rendre la lecture plus facile. Notre planète, la Terre, a un rayon de 6370 km. Elle est située à environ 150000000 km du Soleil dont le rayon est de 696300 km. Il existe 7 autres planètes dans notre système dont la plus éloignée du Soleil est Neptune, située à environ 4498500000 km de notre étoile.

12 Léa a saisi des chiffres dans les cellules A1, B1, C1 et D1 d’une feuille de calcul d’un tableur. La copie d’écran ci-dessous montre la formule qu’elle a saisie dans la cellule A2. Que va afficher la cellule A2 lorsque Léa va valider sa formule ?

15 TOP Chrono Un fabricant de crayons de couleur vend sur internet ses produits conditionnés ainsi : – des cartons de 1 000 pour les magasins ; – des boites de 100 pour les écoles ; – des paquets de 10 pour les particuliers. Aujourd’hui, 13 954 crayons ont été fabriqués. 1. Combien peut-on remplir de cartons de 1 000 ? 2. Combien peut-on remplir de boites de 100 ? 3. Combien peut-on remplir de paquets de 10 ? 4. Avec ces 13 954 crayons, le responsable des ventes décide de remplir le maximum de cartons de 1 000, puis le maximum de boites de 100 avec les crayons qui restent, et enfin le maximum de paquets de 10 avec le nouveau reste. Combien va-t-il remplir de cartons, de boites, puis de paquets ?

Chapitre 1 • Nombres entiers et décimaux

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2 Je comprends

Repérer, comparer, classer

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Ranger dans l’ordre croissant les nombres : 23,9 ; 21,8 ; 23,5 ; 23,15 et 25,09. Je peux ranger les cinq nombres de l’énoncé dans l’ordre croissant : 21,8 < 23,15 < 23,5 < 23,9 < 25,09

ÉTAPE 1 Je commence par regarder les

parties entières des cinq nombres. 23 (pour 23,9) ; 21 (pour 21,8) ; 23 (pour 23,5) ; 23 (pour 23,15) et 25 (pour 25,09). Donc 21,8 est le plus petit des cinq nombres et 25,09 est le plus grand.

EN 23,5

21

22

23

IM

ÉTAPE 2 Je regarde ensuite les parties décimales des nombres qui possèdent la même partie entière : 23,9 ; 23,5 et 23,15. • 23,9 est plus grand que 23,5 car 9 est plus grand que 5. • 23,5 est plus grand que 23,15 car 5, chiffre des dixièmes de 23,5, est plus grand que 1, chiffre des dixièmes de 23,15.

Remarques • On peut écrire tous les nombres avec le même nombre de chiffres en ajoutant des zéros inutiles : 23,5 = 23,50 ; 23,9 = 23,90. La comparaison avec 23,15 devient plus facile. • Pour comparer des nombres, on peut aussi les placer sur une demi-droite graduée :

21,8

16

a. Donner deux nombres compris entre 8,5 et 8,51. b. Donner deux nombres compris entre 7,2 et 7,3.

17 Comparer les nombres suivants.

b. 19 et 21. d. 26,58 et 26,64. f. 54,78 et 54,708.

18 Recopier et compléter avec le symbole qui convient (<, > ou =). a. 18 … 81 c. 8,705 … 8,507 e. 7,2 … 7,20

23,15 23,9

26

25,09

21 Reproduire les demi-droites graduées ci-des-

Activités rapides

a. 22 et 35. c. 16 et 14,9. e. 37,5 et 37,467.

25

MODÉLISER

SP EC

Je m’entraine

24

b. 0,086 … 0,0806 d. 5,11 … 5,102 f. 0,56 … 0,65

19 Ranger ces nombres dans l’ordre croissant : 34 ; 33,8 ; 34,2 ; 34,15 ; 35,1 ; 33,68.

20 Ranger ces nombres dans l’ordre décroissant : 11,8 ; 11,804 ; 110,8 ; 10,99 ; 1,75 ; 10,909.

sous et compléter leurs graduations. a. 0

10

20

b. c.

25

26

30

4,1

4,4

22 Voici une demi-droite graduée d’origine O et d’unité 1 cm. O 0

1

A

B

2

3

D 4

5

C 6

7

8

Quelles sont les abscisses des points A, B, C et D ?

23 Recopier et encadrer chaque nombre décimal par deux entiers consécutifs. a. … < 10,48 < … b. … < 0,35 < … d. … < 17,18 < … c. … < 99,528 < …

24 Encadrer chaque nombre ci-dessous au dixième près. a. … < 5,39 < … c. … < 9,638 < …

b. … < 0,47 < … d. … < 13,14 < …

18

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et encadrer des nombres décimaux Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

25 Malgré les chiffres cachés, recopier et complé- 30 1. Construire une demi-droite graduée d’origine ter avec le symbole qui convient (<, > ou =). b. 0,0■6 … 0,102 a. 19,8 … 2■ ,1 d. 5,101 … 5,1■2 c. 8,7■4 … 8,70 f. ■ ,56 … 0,5 e. 17,2 … 17,1■

26 Classer ces animaux du plus lourd au plus léger (1 t = 1 000 kg).

O et d’unité 1 cm. 2. Placer les points I, J, K et L d’abscisses respectives 2,5 ; 6 ; 4,7 et 8,3.

31 Sur la demi-droite graduée ci-dessous, lire les abscisses des points M, N, P et Q.

235,6 kg

1,5 t

SP EC

Ranger ces objets du plus court au plus long.

110 mm

12,47 cm

28 Voici une demi-droite graduée sur laquelle sont placés les points E et F :

0

10

20

F

30

40

50

6

7

8

9

10

1. Recopier et compléter les phrases suivantes avec l’année écrite en chiffres, puis en lettres. a. Neil Armstrong est le premier homme à marcher sur la Lune. C’était en … . b. Le général de Gaulle lance son appel de Londres le 18 juin … . c. La Première Guerre mondiale a débuté en … . d. L’équipe de France de football a gagné la coupe du monde en … . e. Charles Lindbergh a réalisé la première traversée de l’Atlantique en avion en mai … .

IM

27 Les maths autour de moi

E

Q

32 Les maths autour de moi

229,8 kg

17 cm

P

EN 5

300 kg

12,5 cm

N

M

60

70

80

90

1. Reproduire cette demi-droite. 2. Quelles sont les abscisses des points E et F ? 3. Placer les points G et H d’abscisses respectives 36 et 62.

29 1. Construire une demi-droite graduée d’origine

O et d’unité 1 carreau. 2. Placer les points E, R, U, S et P d’abscisses respectives 6 ; 8 ; 2 ; 1 et 3,5. 3. Quel mot apparait en lisant les cinq lettres dans l’ordre où elles sont placées ?

2. Placer ces faits sur une droite graduée.

33 TOP Chrono Classer ces pays du plus peuplé au moins peuplé. Brésil : 206 780 725 habitants. Chine : 1 374 587 932 habitants. États-Unis : 325 054 733 habitants. France : 66 870 633 habitants. Inde : 1 296 314 936 habitants. Indonésie : 256 485 214 habitants. Royaume-Uni : 64 879 887 habitants. Russie : 146 327 158 habitants. Allemagne : 79 830 324 habitants.

Chapitre 1 • Nombres entiers et décimaux

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Avec ses questions, Une10bonne ce réponse QCM est = noté sur 10 ! un point ! ComptePour 1 point par bonne t’évaluer, réponse vérifiantpage regarde les en réponses les corrigés XXX.p. 250 !

Pour chaque question, trouver la seule bonne réponse parmi les trois propositions.

Je fais le point QCM

1 Comprendre et utiliser les différentes écritures

d’un nombre décimal

34 « Sept-cent-mille-sept-cent-sept » s’écrit :

35 Le nombre 07 250,060 peut s’écrire :

B

C

707 007

700 707

7 000 707

725,6

7 250,6

7 250,06

EN

36 Dans le nombre 2 485,79, le chiffre

A

des dizaines est :

37 Le nombre 47,85 est égal à : 38 3 152 est égal à :

8

48

4 785 10

4 785 100

4 785 1 000

0,3152

3,152

31,52

IM

1 000

7

2 Repérer, comparer, classer et encadrer des nombres décimaux

39 Parmi ces 4 nombres :

A

B

C

8,3

8,03

8,23

7 < 7,63 < 8

7,6 < 7,63 < 7,7

7,62 < 7,63 < 7,64

6

6,3

6,12

SP EC

8,3 ; 8,03 ; 8,23 et 8,09 quel est le plus grand ?

40 Un encadrement de 7,63 à l’unité est : 41 Entre 6,2 et 6,4 on peut intercaler :

Pour les questions 42 et 43, 43, on considère la figure ci-dessous. O 0

A

1

C

B

3

2

5

4

B

C

2

2,2

4

le point D

le point B

le point C

Il faut revoir ton cours… COURAGE !

6

A

42 L’abscisse du point A est :

43 Le point d’abscisse 3,8 est :

D

BRAVO ! 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tu peux continuer à t’entrainer page suivante.

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Cettepage pageest estfaite faite Cette pour t’entrainer tout(e) seul(e). pour t’entrainer tout seul. corrigés se trouvent LesLes corrigés se trouvent page page XXX250 ! !

Accompagnement personnalisé

Je fais le point EXERCICES 1

Comprendre et utiliser les différentes écritures d’un nombre décimal

49 Après la finale du 100 m du championnat du monde d’athlétisme 2015, un journaliste écrit : La course est remport��e par le Jamaïcain Usain Bolt en 9 secondes 79 centièmes, devant l’Américain Justin Gatlin en 9 secondes 8/10, le Canadien Andre De Grasse en 9 secondes 92/100 et Trayvon Bromell en 9 secondes 992/1 000.

Recopier et compléter les phrases suivantes. 1. Le chiffre des dizaines est … . 2. Le chiffre des dixièmes est … . 3. 5 est le chiffre des … . 4. 6 est le chiffre des … .

45 Dans chacun des cas suivants, recopier le nombre

Exprimer les temps en écriture décimale.

2

Repérer, comparer, classer et encadrer des nombres décimaux

50 Comparer les nombres suivants. a. 54 et 45. c. 17,8 et 17,64.

b. 19 et 18,9. d. 47,65 et 47,605.

IM

proposé en plaçant une virgule au bon endroit pour que l’affirmation suivante devienne vraie : « Dans ce nombre, 6 est le chiffre des centièmes. » a. 1572068 b. 120121026 c. 1262165

EN

44 On considère le nombre 589,326.

46 À partir des chiffres 2, 4 et 6, écrire tous les nombres entiers possédant trois chiffres différents ou non.

47 Reproduire et compléter le tableau suivant en

a. 13 … 31 c. 6,32 … 6,302

SP EC

s’inspirant de l’exemple de la première ligne.

51 Compléter avec le symbole <, > ou =.

15 +

15,42

9,048

4 2 + 10 100

8+

3 1 5 + + 10 100 1 000

15 +

42 100

1 542 1 000

25 81+ 1 000

3 853 10

48 Le clip de la chanson Gangnam Style du chanteur coréen Psy a été mis en ligne sur YouTube le 15 juillet 2012. Trois ans plus tard, il a été vu environ 2 460 481 950 fois, ce qui est un record ! Écrire ce nombre en toutes lettres ?

b. 78,59 … 59,78 d. 33,33 … 33,330

52 Voici une demi-droite graduée d’origine O sur laquelle sont placés les points G, I et L.

0

G 10

I 20

30

40

L 50

60

70

80

90

1. Reproduire cette demi-droite. 2. Quelles sont les abscisses des points G, I et L ? 3. Placer les points A, N et E d’abscisses 52, 32 et 26.

53 1. Construire une demi-droite graduée d’origine

O et d’unité 2 cm. 2. Placer les points B, N, I et E d’abscisses respectives 1,6 ; 4,3 ; 2,5 et 3,8. 3. Quel mot apparait en lisant les quatre lettres dans l’ordre où elles sont placées ?

54 Classer ces lapins du plus léger au plus lourd. 8 350 g

8 030 g

8 290 g

8,3 kg Chapitre 1 • Nombres entiers et décimaux

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58 Ranger dans l’ordre décroissant

55 Étudier une nouvelle numération

DOMAINE 1 DU SOCLE

Les Romains de l’Antiquité se servaient d’un système de numération employé en Europe jusqu’à la fin du Moyen Âge. Contrairement à notre système décimal (à 10 chiffres), leur numération comptait 7 lettres, regroupées dans ce tableau. Symbole Valeur

I

V

X

un cinq dix

L

C

D

M

cincinq cent mille quante cents

Les chiffres romains sont écrits de la plus grande valeur à la plus petite.

5 892 m 6 193 m 6 959 m 4 897 m 8 848 m 4 807 m 5 642 m 4 884 m Mc Kinley Amérique du Nord Kilimandjaro Afrique

Vinson Antarctique

Aconcagua Amérique du Sud

Mont-Blanc Europe occidentale

Everest Asie

Carstensz Océanie

Elbrouz Europe orientale

Les reclasser par ordre décroissant de hauteur.

Par exemple, MDLXII se lit 1 562 et 2 373 s’écrit MMCCCLXXIII.

59 Calculer avec un outil

DOMAINE 5 DU SOCLE

Un boulier chinois est composé d’axes verticaux sur lesquels coulissent des billes en bois.

IM

1. Lire les nombres XVII, MCXXV et MMMLXXXVI. 2. Écrire en chiffres romains : 324 ; 985 et 2 016.

56 Manipuler différentes unités

DOMAINE 4 DU SOCLE

Voici les plus hauts sommets montagneux pour chaque continent classés par ordre alphabétique.

EN

Objectifs 1 2

DOMAINE 2 DU SOCLE

SP EC

Le Vendée Globe est une course à la voile autour du monde, en solitaire et sans escale. Voici les quatre skippeurs les plus rapides de l’histoire de cette course. – Armel le Cléac’h : 6 759 232 s – Michel Desjoyaux : 121 149 min. – François Gabart : 1874 h 16 min 40 s. – Alex Thomson : 80 j 19 h 23 min 43 s Classer ces quatre skippeurs du plus rapide au moins rapide.

57 Classer des nombres

DOMAINE 3 DU SOCLE

Nils est un jeune astronome amateur. Il connait par cœur le rayon de chacune des planètes du système solaire. Aider Nils à classer ces planètes de la plus petite à la plus grande. Mercure 2 439 km

Vénus 6 051 km

Terre 6 378 km

Mars 3 393 km

Jupiter 71 492 km

Saturne 60 268 km

Uranus 25 559 km

Neptune 24 764 km

Deux règles permettent de comprendre son fonctionnement : – chaque axe représente un chiffre. De droite à gauche, le premier axe donne le chiffre des unités, le deuxième axe donne le chiffre des dizaines, le troisième donne le chiffre de centaines, et ainsi de suite ; – chacune des cinq billes de la partie inférieure vaut 1. Chacune des deux billes de la partie supérieure vaut 5. 1. Vérifier que le boulier suivant symbolise le nombre 8 017.

2. Dessiner un boulier qui présente le nombre 15 379.

22

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REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

60 Manipuler une numération

63 Travail en groupe

Les anciens Égyptiens utilisaient des hiéroglyphes pour écrire leurs nombres. Ce système est assez proche de notre système de numération décimale : chaque symbole possédait une valeur (1, 10, 100, 1 000…) et pouvait être écrit jusqu’à neuf fois. 1. En étudiant les trois exemples ci-dessous, retrouver la valeur des sept hiéroglyphes.

Ces symboles permettaient d’écrire tous les nombres de 0 à 19, comme le montre le tableau ci-dessous.

10

= 10 047

1

et

3

3. Écrire en hiéroglyphes les nombres suivants : 426 ; 527 ; 12 315 et 1 234 000.

•••

••••

11

12

13

14

5

6

7

8

9

••

•••

••••

••

•••

••••

15

16

17

18

19

••

•••

••••

Pour les nombres plus grands que 19, les Mayas écrivaient les nombres sur plusieurs étages (de bas en haut), en utilisant les puissances de 20. Par exemple, pour écrire le nombre 974 :

3e étage (chaque • vaut 20 × 20) • • → 2 × (20 × 20) = 800 2e étage (chaque • vaut 20) ••• → 8 × 20 = 160 1er étage  (chaque • vaut 1) ••• → 14 × 1 = 14

SP EC La ville de Marnoix-sur-Yon inaugure une nouvelle salle de spectacle de 1 175 places assises. Les fauteuils, numérotés de 1 à 1 175, ont été disposés en 25 rangées de 47 places. Le no 48 est derrière le no 1, le 49 derrière le no 2, et ainsi de suite… Le soir du premier spectacle, le directeur de la salle s’aperçoit cependant que cette numérotation n’est pas pratique : une personne s’était présentée avec la place no 393 et il s’est avéré difficile de lui trouver la bonne rangée. Le directeur décide donc de changer la numérotation avec le code suivant : toutes les places comporteront une lettre (A pour le premier rang, B pour le deuxième…) et un nombre de 1 à 47. 1. Expliquer pourquoi le fauteuil no 100 devient le fauteuil C6. 2. Trouver le code de la place no 393. 3. Expliquer pourquoi la famille qui a acheté les quatre places nos 610, 611, 612 et 613 n’est pas groupée.

4

••

IM

2. Lire les nombres suivants :

2

= 2 311 021

61 Résoudre un problème ouvert

La civilisation Maya (Amérique centrale, de 300 av. J.-C. à 1 600 ap. J.-C.) avait adopté un système de numération utilisant uniquement 3 symboles : • (un) (cinq) (zéro)

0

= 1 302

;

MODÉLISER

CHERCHER

CALCULER

EN

RAISONNER

800 + 160 + 14 = 974

1. Lire les trois nombres suivants : •• ••• • ••• ••• ; et . 2. Écrire avec le système maya les trois nombres : 37 ; 312 et 2 045.

62 Résoudre un problème ouvert Tino est un pianiste confirmé. Il affirme que l’année dernière, il a joué du piano pendant 8 000 heures. Est-ce possible ? Chapitre 1 • Nombres entiers et décimaux

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23

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Dans les autres matières 66 Moneymaking

L’illustration ci-dessous indique le temps nécessaire à la décomposition naturelle de plusieurs objets.

Pelure de fruits 3 mois à 2 ans

Bouteille en plastique 100 à 1 000 ans Mégot de cigarette 5 ans

Papier 3 mois à 1 an

Pneu en caoutchouc Emballage plus de 100 ans en polystyrène 1 000 ans

Canette en aluminium 200 à 500 ans

Bouteille en verre 4 000 ans

Pile « bouton » au mercure : Acier d'emballage : 50 à 100 ans Chewing-gum Mercure : durée de vie éternelle 5 ans

67 Frise chronologique

1. Construire une demi-droite graduée de 1900 à 2020 (unité : 1 cm = 10 ans). 2. Y placer les évènements suivants : B : chute du mur de Berlin (1989) G : mort du général de Gaulle (1970) E : fondation de la Communauté économique européenne (CEE, 1957) L : première traversée de l’Atlantique en avion par Charles Lindbergh (1927) T : premier et dernier voyage du Titanic (1912) N : ta naissance.

IM

Classer ces objets en fonction de leur durée de vie dans la nature.

In England the currency is made up of pounds (£) and pence (p), and there are eight coins in circulation : 1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p) and £2 (200p). It is possible to make £2 in the following way : 1 × £1 + 1 × 50p + 2 × 20p + 1 × 5p + 1 × 2p + 3 × 1p. Find ten different ways to make £2 using any number of coins.

EN

64 Pollution

65 Éolienne

SP EC

Les éoliennes utilisent la force du vent pour produire de l’énergie. Une éolienne peut fournir de l’électricité pour 1 000 personnes en moyenne. Combien faudrait-il d’éoliennes pour alimenter en électricité une ville comme Lyon (496 343 habitants environ) ?

Retour sur la page 11

Lili habite Brest. Elle se demande quelle sera la vitesse du vent sur sa ville le lendemain. Donner une estimation de la vitesse du vent sur la pointe de la Bretagne.

DOC

1

DOC

2

L’échelle de Beaufort

L’échelle de Beaufort mesure la vitesse moyenne du vent. Comportant 13 degrés (de 0 à 12), elle est utilisée dans les milieux maritimes.

Degré

Terme générique

1 2 3 4 5 6 7

Très légère brise Légère brise Petite brise Jolie brise Bonne brise Vent frais Grand frais

Vitesse du vent (km/h) 1à5 6 à 11 12 à 19 20 à 28 29 à 38 39 à 49 50 à 61

Carte de prévision des vents pour demain (Météo France)

Symboles de Beaufort

24

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ues

mathématiq

à la maison

68 Nombres croisés

74 Les fleuves

Dans la grille ci-dessous, placer les nombres suivants écrits en chiffres.

Voici huit fleuves parmi les plus longs d’Europe classés par ordre alphabétique. 1. Les reclasser par ordre décroissant de longueur.

Son premier chiffre est 7. soixante-quinze ; mille-trois-cent-quatorze ; A B C D E quatre-cent-vingt-huit ; 1 trente-huit ; quatre-vingt-neuf ; 2 cinq-cent quatre-vingt-seize ; 3 dix-huit ; mille-neuf-cent-soixante4 seize; cinq-cent-vingt-et-un ; 5 cinq-cent-soixante-huit ; sept-cent-quatre-vingt-treize ; C’est le plus grand quinze. des douze nombres.

Fleuve Danube

2 850

Dniepr

2 850

Elbe

1 100

Loire

1 020

Rhin

1 320

Tage

1 120

Vistule

1 047

Volga

3 690

EN

69 Blackjack

IM

Une année « blackjack » est une année dont la somme des 4 chiffres est égale à 21. Combien y a-t-il eu d’années « blackjack » depuis 1900 ?

70 Le chiffre 7

Longueur (en km)

2. Pour chaque fleuve, chercher les principaux pays qu’ils traversent.

Sarah écrit en chiffres tous les nombres entiers de 0 à 100. Combien de fois va-t-elle écrire le chiffre 7 ?

75 Numération à bâtons

SP EC

La numération à bâtons (utilisée en Chine) est très proche de notre système décimal : 10 symboles sont utilisés. On trouve de droite à gauche les unités, les dizaines, les centaines… Les 10 symboles sont les suivants.

71 C’est en forgeant…

Un forgeron dispose de 5 morceaux de chaine constitués chacun de deux maillons assemblés. Il lui faut un quart d’heure pour ouvrir un maillon et un quart d’heure pour souder un maillon. Combien de temps lui faudra-t-il, au minimum, pour réaliser un seul morceau de chaine de 10 maillons fermés ?

Valeur

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Symbole

Malheureusement, des confusions peuvent intervenir. Par exemple, il est difficile de voir si le nombre désigne 3, 12 ou 21. Ainsi, on utilise les symboles précédents uniquement pour les rangs impairs (1er chiffre, 3e chiffre, 5e chiffre…) et des symboles légèrement différents pour les rangs pairs (2e chiffre, 4e chiffre, 6e chiffre… voir tableau ci-dessous).

72 Défi !

Peux-tu écrire six nombres entiers positifs consécutifs dans les cases de telle sorte que chaque nombre écrit dans un carré soit la somme des deux nombres qui l’encadrent ? Tu placeras ces nombres de façon que a < b < c.

0

a

Valeur

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Symbole

73

Énigme

b

adrée avec des On souhaite compléter la phrase enc façon qu’elle soit nombres écrits en toutes lettres de mple, comptevraie. Attention ! Vingt-deux, par exe pour trois mots ! rait pour deux mots et trente-et-une lettres. Cette phrase contient …… mots et ……

c

Ainsi, 214 s’écrit

et 1 733

1. Lire les nombres :

;

. et

.

2. Écrire en bâtons les nombres : 36 ; 1 111 ; 9 641 et 134 574. Chapitre 1 • Nombres entiers et décimaux

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25

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Pour faire ces activités, télécharger les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur www.bordas-myriade.fr

1 20’

Une table romaine Découvrir le tableur (premières formules) en construisant une table de conversion des chiffres romains Difficulté mathématique

Difficulté technique

IM

EN

Dans une feuille de calcul d’un tableur, on souhaite construire une table de conversion des nombres entiers, compris entre 1 et 100, en chiffres romains, sans écrire tous ces nombres à la main. Voici un extrait d’une table de ce type :

Première étape : découverte d’une formule du tableur Dans un tableur, on peut utiliser des fonctions. fonctions. Parmi elles, la fonction ROMAIN permet de convertir en chiffres romains un nombre entier écrit en chiffres arabes. 1 Ouvrir une feuille de calcul d’un tableur, puis écrire dans la cellule A1 le nombre entier de son choix. A2,, écrire la formule =ROMAIN(A1) . 2 Dans la cellule A2 Observer le résultat obtenu. Tableur 1

SP EC

Deuxième étape : construction de la première ligne de la table de conversion 1 Ouvrir une nouvelle feuille de calcul dans le tableur et saisir sur la ligne 1 les nombres entiers de 1 à 10 (de la cellule A1 à la cellule J1). A2,, utiliser la fonction romain pour convertir le nombre de la cellule A1 (nombre du 2 Dans la cellule A2 dessus) en chiffres romains. Tableur 1 3 Recopier cette formule dans toutes cellules B2 à J2. Tableur 2 On obtient ce résultat : ■

Troisième étape : construction de la table de conversion complète Sur la ligne 4, on écrit tous les nombres entiers de 11 à 20. Pour cela, on peut soit les saisir au cla1 vier, mais c’est un peu long, soit utiliser une formule qui ajoute 10 aux cellules de la ligne 1 : en D4 on peut écrire =A1+10 et recopier cette formule sur toute la ligne 4. Tableur 2 2 Recopier la formule de la cellule A2 ( =ROMAIN(A1) ) dans toutes les cellules de A5 à J5 pour convertir en chiffres romains les nombres entiers de 11 à 20. Tableur 2 ■

3 Recommencer les deux dernières manipulations (questions 1 et 2 ) pour les autres dizaines. 26

Tableur 2

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2 15’

Le tableur et les nombres décimaux Découvrir et utiliser le tableur (premières formules) et consolider la maitrise des nombres décimaux (rang et sens des chiffres) Difficulté mathématique

Difficulté technique

EN

Dans une feuille de calcul d’un tableur, on a saisi un nombre décimal sur plusieurs colonnes.

On souhaite utiliser le tableur pour réécrire ce nombre dans une seule cellule de façon automatisée (c’est-à-dire que si l’on modifie le nombre écrit sur plusieurs colonnes, le nombre écrit dans la cellule seule se modifie également de façon automatique).

Première étape : préparation de l’activité (à faire sur papier) 1 Dans 3 478,17, que représente le chiffre 3 ; le chiffre 4 ; le premier chiffre 7 (en partant de la gauche) ? 2 Utiliser la question précédente pour compléter la décomposition suivante : 3 478,17 = (3 × 1 000) + (4 × 100) + … 3 Choisir un autre nombre décimal et écrire sa décomposition.

IM

Deuxième étape : utilisation du tableur 1 Ouvrir une feuille de tableur et saisir sur plusieurs Ci-dessus, pour 3 478,17 colonnes le nombre décimal choisi à la question on a saisi le chiffre 3 précédente). dans la cellule B1, 2 a. Sélectionner une cellule vide (par exemple K1). 4 en C1, 7 en D1, 8 en E1, la virgule (,) en F1, b. À l’aide de la décomposition du nombre décimal 1 en G1 et 7 en H1. choisi, écrire une formule de tableur permettant d’obtenir ce nombre dans une seule cellule. Tableur 1 c. Pour vérifier la formule, changer un ou plusieurs chiffres du nombre de départ et vérifier si le nombre écrit dans la cellule vide (en K1 par exemple) est correct.

SP EC

3

Le nombre mystérieux

Utiliser les formules du tableur pour rechercher un nombre inconnu

15’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

Noémie ouvre une feuille de calcul d’un tableur. Dans la cellule A1, elle écrit un nombre. À l’aide de formules, elle calcule le double de ce nombre dans la cellule A2, son triple dans la cellule A3 et sa moitié dans la cellule A4. Elle calcule enfin dans la cellule A5 la somme des quatre nombres écrits dans les cellules A1 à A4. Quel nombre doit-elle saisir en A1 pour obtenir en A5 le nombre 52 ? le nombre 110,5 ? le nombre 209,3 ? le nombre 296,01 ? Chapitre 1 • Nombres entiers et décimaux

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27

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Avant de commencer… … je revois mes acquis de début de cycle 3 Addition

Soustraction 5 Poser et effectuer la soustraction :

1 Poser et effectuer l’addition : 1 125,7 + 589,31.

3 498 – 167,9.

2 Calcul mental :

6 Calcul mental :

1 789 + 11.

3 Poser et effectuer l’addition : 2 015 + 732.

7 Poser et effectuer la soustraction : 6 837 – 973.

8 Calcul mental :

4 Calcul mental :

13,9 – 6,4.

IM

7,5 + 2,5 + 4.

Multiplication

EN

576 – 23.

9 Poser et effectuer la multiplication : 243 × 75,4.

SP EC

10 Calcul mental : 74 × 100 ; 3 × 8; 7 × 8 ; 9 × 7 ; 5 × 8 ; 6 × 7 ; 4 × 80 ; 564 × 1 ; 2 016 × 0. 11 Poser et effectuer la multiplication : 431 × 16. 12 Calcul mental : 1,6 × 3 ; 123 × 0,1.

13 Quel est le double de 15 ? de 25 ? de 50 ? de 99 ? de 250 ? 14 Quel est le triple de 70 ? de 133 ? de 600 ? de 4 000 ? 15 Lucie a 9 ans. Sa grand-mère est 7 fois plus âgée qu’elle. Quel âge a-t-elle ?

Calcul avec des durées

16 Fabio réalise le trajet Narbonne-

Valence en train. Il part de la gare de Narbonne à 11 h 27. La durée de son trajet est de 2 h 11 min. À quelle heure arrive-t-il en gare de Valence ?

Retrouve des QCM interactifs pour continuer à réviser sur www.bordas-myriade.fr

17 Calcul mental : combien y a-t-il de minutes dans trois heures ?

28

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2

SP EC

IM

EN

Vivant à Valence, Manolo veut passer ses vacances dans l’hacienda de son oncle, non loin de Grenade. Il existe de nombreuses façons de s’y rendre. Page 46, nous l’aiderons à choisir le mode de déplacement le plus court et le moins cher possible.

FRANCE Valence

ESPAGNE

Grenade

Addition - Soustraction Multiplication

Attendus de fin de cycle

• Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux • Résoudre des problèmes en utilisant les nombres décimaux et le calcul

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OBJECTIFS 1

Additionner et soustraire avec des nombres entiers et des nombres décimaux

2

Multiplier avec des nombres entiers et des nombres décimaux

3 4

Connaitre les priorités des opérations Calculer avec des durées

29

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Tous les énoncés modifiables de ces activités sont à télécharger sur www.bordas-myriade.fr

Acti

é vit

1

Additionner avec des nombres entiers et des nombres décimaux

OBJECTIF

1

1 Effectuer le calcul suivant : A = 7 + 2,5 + 3 + 4,5. 2 Effectuer le calcul suivant : B = 7 + 3 + 2,5 + 4,5. 3 Comparer A et B. Que constate-t-on ?

EN

4 Entre A et B,, quel est le calcul le plus simple à effectuer ? Que peut-on conclure ?

Acti

é vit

2

Donner un ordre de grandeur à une somme de nombres entiers et décimaux

OBJECTIF

1

SP EC

IM

À la fin de l’été, Tony et sa famille déménagent. Son père fait la liste des objets lourds qu’il souhaite absolument emporter dans leur nouvelle maison : – le téléviseur : 2 600 g ; – le réfrigérateur: 161 kg ; – la machine à laver le linge : 84 kg ; – le canapé du salon : 59,35 kg ; – et, enfin, la table à manger en chêne massif : 88,5 kg.

1 Donner un ordre de grandeur du poids total à transporter.

2 Quel est ce poids exact du chargement ?

Poser l’opération. On donnera le résultat en kilogrammes.

3

Vérifier le résultat à la calculatrice.

4 L’oncle de Tony leur prête sa fourgonnette pour déménager tous ces objets. Ce véhicule peut transporter 0,6 t. Quelle charge, en kilogrammes, le père de Tony peut-il encore ajouter ?

Acti

é vit

3

Additionner et soustraire avec des nombres entiers

OBJECTIF

1

Pendant les vacances d’été, Emma, Élodie, Marco et Samuel ont beaucoup voyagé à travers la France. Emma a parcouru 1 726 km. Élodie a fait 163 km de moins qu’Emma et 271 km de plus que Marco. Quant à Samuel, il a effectué 410 km de plus que Marco. Calculer le nombre de kilomètres parcourus par chacun. 30

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Acti

é vit

4

Multiplier avec des nombres entiers et décimaux

OBJECTIF

2

Lors d’une interrogation surprise, le professeur de mathématiques d’une classe de 6e demande à ses élèves de poser et d’effectuer le produit suivant : 4,86 × 14.

1 Donner un ordre de grandeur de ce produit.

Malik 68,04

2 Voici les réponses proposées par trois élèves :

5

Multiplier par 10 ; 100 ; 1 000 ou 0,1 ; 0,01 ; 0,001 1 Calculer : a. 2,015 × 10

b. 2,015 × 100

2 Calculer : a. 56 × 10

b. 25 × 100

3 Calculer : a. 25 × 0,1

b. 3,5 × 0,01

OBJECTIF

2

c. 2,015 × 1 000

c. 350 × 1 000

c. 450 × 0,001

IM

Acti

é vit

David 6,804

EN

Qui a raison ? Expliquer.

Nina 6 804

4 Comment peut-on procéder pour effectuer rapidement toutes les multiplications ?

6

Connaitre la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction

SP EC

Acti

é vit

1 Calcul mental :

a. A = 8 + 5 × 3 e. E = 12 – 2 × 4

b. B = (8 + 5) × 3 f. F = (12 – 2) × 4

c. C = 2 + 3 × 5 g. G = 11 – 2 × 4

OBJECTIF

3

d. D = (2 + 3) × 5 h. H = (11 – 2) × 4

2 a. À l’aide de la calculatrice, effectuer les calculs de la question

1. b. Obtient-on les mêmes résultats pour a. et b. ? c. et d. ? e. et f. ? g. et h. ? ? Expliquer pourquoi.

3 Énoncer alors une (ou plusieurs) règle(s) de priorité concernant les opérations.

Acti

é vit

7

Calculer avec des durées

OBJECTIF

4

Alizée habite Marseille et veut rejoindre Manolo à Grenade. Elle souhaite voyager en avion. Dans la feuille de route ci-contre, figurent les horaires de son vol Marseille (MRS) - Grenade (GRX). Le vol n’est pas direct : il y a une escale à Barcelone (BCN).

1 Quelle est la durée du vol Marseille-Barcelone ? 2 Quelle est la durée du vol Barcelone-Grenade ? 3 Combien de temps mettra Alizée pour se rendre de Marseille à Grenade ? 4 En déduire la durée de l’escale faite à Barcelone. 5 Une fois arrivée à Grenade, Alizée prend un bus pour retrouver son ami. Le chauffeur du bus lui indique que le trajet dure 1 h 47. À quelle heure retrouvera-t-elle Manolo ?

Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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31

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1

Additionner et soustraire avec des nombres entiers et des nombres décimaux

OBJECTIF

1

DÉFINITIONS

• On appelle somme le résultat d’une addition et différence le résultat d’une soustraction. • Dans une addition (ou dans une soustraction), les nombres que l’on additionne (ou que l’on soustrait) s’appellent des termes. Exemples • Dans une addition 35,8 + 17,2 = 53

16,4 – 7,3 = 9,1

EN

Termes

• Dans une soustraction

Somme

Termes

PROPRIÉTÉS

Différence

• Dans une addition, on peut changer l’ordre des termes sans changer le résultat. • Dans une addition, on peut regrouper les termes de différentes Attention ! façons sans changer le résultat. Les propriétés vues ci-contre sont valables pour l’addition, mais pas

SP EC

IM

Exemples pour la soustraction. • Regroupement des termes • Changement d’ordre On cherche à effectuer le calcul suivant : 2,5 + 3 + 0,5 + 6. des termes Pour faciliter le calcul, on peut regrouper 2,5 et 0,5 puis L’addition 8 + 5 + 4 = 17 3 et 6 : 2,5 + 3 + 0,5 + 6 = 2,5 + 0,5 + 3 + 6 peut s’écrire 8 + 4 + 5 = 17 mais aussi 5 + 8 + 4 = 17 etc. = 3 + 9 = 12

Pour se faire rapidement une idée d’une somme ou d’une différence, on peut d’abord chercher un ordre de grandeur grandeur.

ORDRE DE GRANDEUR

Exemple Un ordre de grandeur de la somme 47,67 + 101,75 est 50 + 100, soit 150. On peut alors dire que cette somme est voisine de 150 ou encore que 150 est un ordre de grandeur de cette somme.

2

Multiplier avec des nombres entiers et des nombres décimaux

OBJECTIF

2

DÉFINITIONS

• On appelle produit le résultat d’une multiplication. • Dans une multiplication, les nombres que l’on multiplie s’appellent des facteurs.

Exemple Dans une multiplication

4 × 503 = 2 012 Facteurs

Produit

PROPRIÉTÉS

• Multiplier un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc. revient à décaler la virgule d’un, deux ou trois rangs vers la droite. • Multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; etc. revient à décaler la virgule d’un, deux ou trois rangs vers la gauche. Exemples Lorsqu’un nombre est entier, on peut l’écrire sous forme décimale et les propriétés s’appliquent alors comme indiqué ci-dessus (voir page suivante). 32

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22/03/16 14:56


Remarque

• 45 = 45,0 donc 45 × 10 = 45,0 × 10 = 450. • 15,7 × 1 000 = 15,700 × 1 000 = 15 700 :

Comme pour une somme ou une différence, pour se faire rapidement une idée d’un produit, on peut chercher un ordre de grandeur.

la virgule se décale de trois rangs vers la droite. • 178 × 0,1 = 178,0 × 0,1 = 17,8 : la virgule se déplace d’un rang vers la gauche. PROPRIÉTÉS

• On peut changer l’ordre des facteurs dans une multiplication sans modifier le produit. • De même, on peut regrouper des termes pour simplifier le calcul d’un produit. Exemple On peut écrire l’opération suivante : 4 × 2 × 5 = 8 × 5 = 40 ou : 4 × 2 × 5 = 4 × 10 = 40 ou encore : 4 × 2 × 5 = 4 × 5 × 2 = 20 × 2 = 40.

Connaitre la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction

EN

3

OBJECTIF

3

A Calcul d’une expression sans parenthèses

Dans une expression numérique sans parenthèses, la multiplication est prioritaire sur l’addition et la soustraction.

IM

PROPRIÉTÉ

Exemple Calculer l’expression A = 4 + 3 × 2. Puisque la multiplication est prioritaire sur l’addition, on commence par calculer le produit 3 × 2 :

B Calcul d’une expression avec parenthèses

A=4+3×2 A=4+ 6 A = 10

Dans une expression numérique avec parenthèses, on commence par effectuer les calculs entre parenthèses. parenthèses.

SP EC

PROPRIÉTÉ

Exemple Calculer l’expression B = (4 + 3) × 2. Puisque les opérations entre parenthèses sont prioritaires, on commence par calculer 4 + 3 :

4

B = (4 + 3) × 2 B= 7 ×2 B = 14

Calculer avec des durées

OBJECTIF Remarque

LIENS ENTRE JOUR, HEURE, MINUTE ET SECONDE

• 1 jour = 24 h • 1 h = 60 min

• 1 min = 60 s • 1 h = 3 600 s

4

Pour les mesures de durée, on utilise les abréviations : • h pour heure • min pour minute • s pour seconde

Exemples • 1 h 51 min On a ajouté les minutes avec les minutes, puis les heures avec les heures. + 2 h 26 min Or : 77 min = 60 min + 17 min = 1 h + 17 min 3 h 77 min Le Donc la durée totale est égale à 4 h 17 min. des

4 h 15 min – 2 h 50 min

Attention ! On ne peut pas retirer 50 min à 15 min. Il faut donc convertir 4 h 15 min en 3 h et 75 min, puis on réécrit l’opération : 3 h 75 min – 2 h 50 min 1 h 25 min

dico maths

• Différence • Facteur • Ordre de grandeur • Produit • Somme • Terme

Voir p. 255

Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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33

22/03/16 14:56


1 Je comprends

Additionner et soustraire

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Poser et effectuer les opérations suivantes : a. 25,7 + 1,89

1

5+1=6

ÉTAPE 4 J’écris le résultat sous forme d’une égalité : 25,70 + 1,89 = 27,59.

Je m’entraine

1

26,40 – 16,12 1

1+1=2

10,28 ÉTAPE 4 J’exprime le résultat en l’écrivant

sous forme d’une égalité : 26,4 – 16,12 = 10,28.

4 Calcul mental :

a. Calcul mental : 67,2 + 9 et 39,25 – 19. b. Donner un ordre de grandeur de : 4,98 + 7,01 – 1,02. c. Quel nombre doit-on ajouter à 1 231 pour obtenir 2 000 ? d. Quel nombre doit-on retrancher à 2 016 pour obtenir 18 ?

2 Poser et effectuer les opérations suivantes. b. 89,6 + 45,4 d. 151,25 + 78,75

3 Poser et effectuer les opérations suivantes. a. 102,3 – 89,1 c. 456 – 25,2

8

CALCULER

Activités rapides

a. 789 + 65 c. 254 + 12,07

1

ÉTAPE 3 Je fais de même avec les colonnes

suivantes :

SP EC

25,70 + 01,89 27,59

ÉTAPE 2 Pour la soustraction, je soustrais les nombres de la colonne la plus à droite : 0 – 2 est impossible. Je calcule donc 1 10 0 – 2 = 8 et je retiens 1 en le mettant au pied de la colonne suivante : 26,40 – 16,12

IM

ÉTAPE 2 J’additionne les chiffres de la colonne la plus à droite : 0 + 9 = 9. 25,70 + 01,89 9 ÉTAPE 3 Je fais de même avec les colonnes suivantes : 7 + 8 = 15 ; j’écris 5 et je retiens 1 au-dessus de la colonne suivante.

b. Soustraction de nombre décimaux ÉTAPE 1 J’écris les deux termes l’un en dessous de l’autre, en prenant soin d’aligner les chiffres des unités. Je complète les nombres avec des zéros inutiles ((0) pour qu’ils aient le même nombre de chiffres. 26,40 26,4 0 – 16,12

EN

a. Addition de nombre décimaux ÉTAPE 1 J’écris les deux termes l’un en dessous de l’autre, en prenant soin d’aligner les chiffres des unités. Je complète ces nombres avec des zéros inutiles (0) pour qu’ils aient le même nombre de chiffres. 25,70 + 01,89

b. 26,4 – 16,12

b. 26 – 8,45 d. 125,4 – 41

a. 0,5 + 0,2 c. 18,1 – 9

b. 0,75 + 0,25 d. 153 – 21

5 Écrire le nombre 25 à l’aide d’une somme de deux termes.

6 Calculer astucieusement, en regroupant des termes. a. 8,5 + 43 + 6,5 + 57 b. 17 + 5,35 + 53 +14,65 c. 7,25 + 6,1 + 5,75 + 3,9

Pense à regrouper les termes dont la somme est un nombre sans virgule !

7 Donner un ordre de grandeur de :

1. la somme : 496,89 + 1 001,25 + 199,67. 2. la différence 2 003,589 – 998,74 – 49,85.

34

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avec des nombres entiers et des nombres décimaux Je résous des problèmes simples

RAISONNER

CALCULER

COMMUNIQUER

8 Déborah a 25,60 €. Sa grand-mère lui donne 16 Les maths autour de moi 45,40 €. Combien Déborah a-t-elle d’argent ?

Lisa part faire du vélo. Au départ, son compteur indique 5 231 km. À l’arrivée, il indique 5 302 km. Quelle distance Lisa a-t-elle parcouru ?

9 Le père d’Agathe a 37 années de plus que sa fille et, aujourd’hui, il fête ses 49 ans. Quel est l’âge d’Agathe ? est né en 2004. Quelle est l’année de naissance de son grand-père ?

11 Laure part faire de la randonnée en Haute-

17 Les maths autour de moi Voici un tableau qui regroupe les achats de Mia au supermarché Atout-prix Atout-prix.. Quel est le montant total dépensé pour ses courses ?

IM

Savoie, dans le massif des Bauges. Son altitude de départ est de 928 m. Elle atteint le plus haut sommet, l’Arcalod, après Vocabulaire avoir gravi un dénivelé de Un dénivelé est une différence 1 289 m. Quelle est l’altientre deux altitudes. tude de l’Arcalod ?

EN

10 Saïd et son grand-père ont 64 ans d’écart. Saïd

Article A rticle

Courgettes Tomates Tomme de chèvre Pack d’eau Thon Farine

Prix (en €) 1,60 2,40 10,25 5,75 4 1,25

12 Christophe fait du trekking dans les Pyrénées.

18 TOP Chrono

SP EC

Il part du village de Vernet-les-Bains, à 654 m d’altitude et arrive au sommet du Canigou, à 2 784 m d’altitude. Quel est le dénivelé de sa randonnée ?

13 Imaginer un énoncé où l’opération à effectuer est : 25,5 + 64,25 + 11,75 pour chaque cas. 1. L’énoncé se rapporte à des euros. 2. L’énoncé se rapporte à des litres. 3. L’énoncé se rapporte à des kilomètres.

14 La Loire et l’Aude sont deux fleuves français. Ils ont pour longueur respective : 1 012 km et 224 km. Quelle est la différence de longueur entre la Loire et l’Aude ?

15 L’Algérie a 6 343 km de frontières terrestres :

1 559 km partagés avec le Maroc, 1 376 km avec le Mali, 982 km avec la Libye, 965 km avec la Tunisie, 956 km avec le Niger, 463 km avec la Mauritanie et le reste avec le Sahara Occidental. Combien de kilomètres de frontières séparent l’Algérie et le Sahara occidental ?

Suisse alémanique

Suisse romande

Suisse italienne

Fabien habite en Suisse roNombre mande, région francophone Canton d’habitants (en vert sur la carte) découBe 105 378 pée en 7 cantons : Berne Fr 213 636 (Be), Fribourg (Fr), Genève Ge 481 868 (Ge), Jura (Ju), Neuchâtel Ju 72 597 (Ne), Valais (Va) et Vaud (Vd). Le tableau ci-contre préNe 178 059 sente le nombre d’habiVa 242 463 tants de chaque canton en Vd 767 294 2012. 1. Donner un ordre de grandeur du nombre d’habitants de l’ensemble de la Suisse romande. 2. Calculer le nombre exact d’habitants de cette région en 2012. 3. Vérifier les résultats avec la calculatrice.

Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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35

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2 Je comprends

Multiplier avec des

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Poser et effectuer l’opération : 3,74 × 30,8. ÉTAPE 1 J’écris les deux nombres l’un sous

3,74 × 30,8 2 992 000 11 220 115,192

l’autre ; leur alignement n’a pas d’importance. 3,74 × 30,8 Remarque

ÉTAPE 2 J’effectue la multiplication sans tenir compte des virgules.

Je m’entraine 19

CALCULER

a. 23 × 52 b. 15 × 42 c. 124 × 32 d. 17 × 25

21 Poser et effectuer les multiplications suivantes.

23 Calcul mental : a. 35 × 10 c. 87 × 1 000

24 Calcul mental : a. 1,5 × 10 c. 1,005 × 100

25 Calcul mental :

a. 14 × 0,1 c. 1 789 × 0,001

Il y a donc trois chiffres dans la partie décimale du résultat.

IM

20 Poser et effectuer les multiplications suivantes.

a. 8 × 7 d. 4 × 12

Produit de 0 par 3, 33,74 ,74 74 33,74 Produit de 3 par 3, ,74 74

ÉTAPE 3 J’exprime le résultat : 3,74 × 30,8 = 115,192.

a. 0,2 × 25,75 × 50 c. 2 × 8 × 5 × 3

b. 45,6 × 2,54 d. 1,74 × 15

b. 9 × 6 e. 5 × 11

c. 9 × 9 f. 3 × 19

b. 456 × 100 d. 47 × 10 000 b. 0,4 × 100 d. 4,3 × 1 000

b. 25 × 6 × 4 d. 5 × 4,2 × 5 × 4

27 1. Donner un ordre de grandeur de chacun des produits suivants. a. 997,8 × 99 c. 24,59 × 4,01

SP EC

a. Quel est le double de 58 ? b. Qu’est-ce qu’un facteur pour la multiplication ? c. Par combien faut-il multiplier 2,5 pour obtenir un produit égal à 250 ? d. Donner un ordre de grandeur de 9,92 × 0,1.

22 Calcul mental :

Produit de 8 par 3,74

26 Calculer astucieusement les opérations suivantes.

Activités rapides

a. 23,4 × 2,7 c. 65,75 × 2,8

Il y a un chiffre dans la partie décimale.

EN

La partie décimale est à droite de la virgule.

Il y a deux chiffres dans la partie décimale.

b. 1 997 × 2 001 d. 0,99 × 1,01

2. À l’aide de la calculatrice, vérifier que les résultats sont proches des ordres de grandeur obtenus à la question 1.

28 Après avoir recopié les données ci-dessous, associer par un trait chaque produit à un ordre de grandeur qui lui correspond. 498 × 3,01 99,2 × 101,3 1,09 × 0,92 3,99 × 25,02

❒ ❒ ❒ ❒

❒ ❒ ❒ ❒

1 1 500 10 000 100

29 Sans crayon ni calculatrice, calculer astucieusement les produits suivants. a. 5 × 13 × 2 b. 25 × 57 × 4 c. 173 × 0,2 × 5 d. 0,01 × 34 × 100 e. 100 × 6 × 0,07 f. 0,005 × 20 × 10

30 Recopier et compléter les égalités suivantes. b. 56 × 0,01 d. 1,5 × 0,1

a. 5 × … = 45 b. 4 × … = 3,6 c. … × 7 = 0,49 d. … × 5,4 = 54 e. 75 × … = 7 500

36

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nombres entiers et des nombres décimaux Je résous des problèmes simples

RAISONNER

CALCULER

COMMUNIQUER

31 Pour un pique-nique avec des amis, Tony achète 43 Les maths autour de moi cinq baguettes et demie à 85 centimes d’euro la baguette. Quel montant devra-t-il payer ?

32 Malik achète trois tartelettes au citron à 1,80 €

l’unité et cinq tartelettes aux framboises à 2,20 € la pièce. Quel est le montant total de ses achats ? kilogramme. Elle en prend 300 grammes. Quel prix devra-t-elle payer ?

34 Un loyer mensuel pour un appartement est de 545 €. Quel est le loyer annuel ?

35 Le côté d’un carré mesure 4,7 cm. Quel est le

Dans la classe de Fanny, il y a 4 rangées de tables. Par rangée, il y a 5 tables. Par table, il y a 2 chaises. Combien y a-t-il de chaises dans cette salle de classe ?

44 Les maths autour de moi

IM

périmètre de ce carré ?

EN

33 Aude achète un fromage de Savoie à 9,95 € le

36 Un professeur de mathématiques demande à

Sur un marché de producteurs, Salomé achète deux pots de miel de châtaignier à 6,80 € le pot et 3 pots de miel de rhododendron à 7,50 € le pot. Quel est le montant total de ses achats ?

ses élèves de calculer la somme de 25,6 et du produit de 8,7 par 10. Quelle est la réponse à cette question ?

37 Titouan va à la piscine avec 5 copains. Sachant

SP EC

que l’entrée est à 6,50 €, quel montant total cette bande d’amis devra-t-elle payer ?

38 Combien y a-t-il de litres d’eau dans 35 bouteilles de 1,5 L ?

39 Manolo aime boire du jus de

grenade car c’est bon pour la santé. Un litre coute 6,50 €. Il en achète 4,5 L. Combien devra-t-il payer ?

40 Rédiger l’énoncé d’un problème où la recherche de la solution conduit à effectuer une addition et deux multiplications.

41 Problème ouvert Écrire un énoncé sur une situation concrète où la recherche de la solution amène à effectuer l’opération suivante : (4,50 × 2) + 51,25 + (6,75 × 4).

42 1. Combien de mètres y a-t-il dans 10,5 km ? 2. Combien de grammes y a-t-il dans 1,25 kg ? 3. Combien de grammes y a-t-il dans deux tonnes ?

45 TOP Chrono 1. Karim pense à un nombre. Il le multiplie par 100, puis par 0,01. Que va-t-il constater ? 2. Avec sa calculatrice, Karim a trouvé : 2 016 × 17 = 34 272. En déduire les produits suivants. a. 20,16 × 1 700 = … b. 2,016 × 17 = … c. 2 016 × 1 700 = … d. 2 016 × 1,7 = … 3. Poser et effectuer l’opération : 2 016 × 17. À l’aide de la question 2, vérifier le résultat.

Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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37

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3 Je comprends

Connaitre les

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Calculer l’opération : 12 + (9 – 2) × 3. ÉTAPE 1 J’effectue d’abord le calcul entre

ÉTAPE 3 Je termine le calcul en effectuant

parenthèses : 9 – 2 = 7. Il me reste maintenant à calculer : 12 + 7 × 3.

l’addition : 12 + 21 = 33. 12 + (9 – 2) × 3 = 33

Observe bien l’opération pour repérer ce qu’il faut calculer en priorité.

ÉTAPE 2 J’effectue ainsi la multiplication :

Je m’entraine 46

CALCULER

Activités rapides

Dans les exercices 52 et 53 53,, recopier et placer des parenthèses pour que les égalités soient correctes.

52 a. 6 × 8 – 5 = 18

b. 34 – 12 + 22 = 0 d. 1 + 4 × 6 = 30

IM

a. Calcul mental : 3 + 2 × 6. b. Calcul mental : (3 + 2) × 6. c. Calcul mental : (7 – 5) × 2. d. Calcul mental : (3 + 2) × (9 – 5).

EN

7 × 3 = 21.

c. 5 + 2 × 3 = 21

47 Calculer mentalement en respectant les règles 53 a. 8 + 3 – 4 × 4 = 28 b. 3 × (5 + 4) d. 3 × (5 – 2)

54 1. Recopier et compléter le tableau suivant.

SP EC

de priorité. a. 12 + 5 × 6 c. 100 – 4 × 5

b. 4 + 5 × 6 + 3 = 81 c. 17 – 4 × 4 = 2 × 17 + 9 d. 3 × 4 + 5 = 5 × 6 – 3

48 Effectuer le calcul suivant : 10 × (5 + 2) + 5 × 2.

49 Calculer mentalement en respectant l’usage des parenthèses et les règles de priorité. a. (9 + 3) × 15 b. (9 + 6) × (4 + 3) c. (9 – 6) × (10 + 7) d. 4 + 6 × 3 + 6,25 × 4

a

b

c

a×b+c

a × (b + c)

2

3

3

4

1,2

3

10

2

5 6 6,5 7

… … … …

… … … …

2. Que remarque-t-on ?

50 Sans calculatrice, calculer en respectant l’usage 55 Allan doit calculer la somme du produit de des parenthèses et les règles de priorité. a. 2 × 5,5 + 3 × 6,4 b. 3,5 × (9 + 4,5 + 2,3) c. (25 + 15) × 8 d. 36 – 6 × (17 – 12)

12 par 8 avec la différence de 14 et de 9. Écrire ce calcul en ligne avec des parenthèses lorsque c’est utile, puis l’effectuer.

56 Trois élèves doivent calculer 3 × (4 + 3) – 2 × 4.

51

Voici leurs réponses : Maëlys

13

Gaëlle

7

Gino

52

1. Effectuer mentalement ce calcul. 2. Quel élève a raison ? 3. Expliquer les autres erreurs commises. 1. Qui a raison ? Pourquoi ? 2. Effectuer ce calcul.

57 Soit l’opération suivante : A = 15 – 4 × 3. Kévin commence par 15 – 4. Lola préfère calculer d’abord 4 × 3. Qui a raison ? Pourquoi ?

38

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priorités des opérations Je résous des problèmes simples 58 Léo calcule de tête : 2 + 5 × 4 et trouve 22.

Fred fait ce calcul avec son téléphone portable et trouve 28. Qui a raison ? Pourquoi ?

RAISONNER

Pour se constituer une paire de rollers quads, Gabin a acheté une paire de baskets à 45 €, deux platines de fixation à 20,10 € pièce et huit roues avec roulements à billes étanche à 6,50 € pièce.

par une phrase. a. 5 × (2 + 6) b. 5 × 2 + 6 2. Quel est le rôle des parenthèses dans la première expression ?

1. Trois de ses amis écrivent le calcul en ligne du montant de ses achats.

IM

61 Dans l’atlas sur la flore alpine qu’utilise

EN

60 1. Exprimer chacune des opérations suivantes

COMMUNIQUER

65 Les maths autour de moi

59 Élina veut calculer mentalement : 3 + 6 × (8 – 3). 1. Quel calcul doit-elle faire : a. en premier ? Pourquoi ? b. en deuxième ? Pourquoi ? c. en dernier ? 2. Quel est le résultat final ?

CALCULER

Bastien : 8 × 6,50 + 2 × 20,10 + 45

Charlotte, il y a 12 chapitres. Sept chapitres ont 20 pages, les autres en ont 18. 1. Écrire en ligne le calcul donnant le nombre total de pages du livre. 2. Quel est le nombre total de pages de ce livre ?

Emma : (8 × 6,50) + (2 × 20,10) + 45

SP EC

Bilel : (8 × 6,50 + 2 × 20,10) + 45

62 Voici la consigne d’un professeur de mathématiques à ses élèves de 6e : « Choisissez un nombre, ajoutez 7, puis multipliez le résultat par 2. » 1. Appliquer cette consigne. Qu’obtient-on comme résultat ? 2. Écrire le calcul effectué en ligne. 3. Pourquoi l’usage des parenthèses est-il justifié dans ce cas ?

63 Imaginer un énoncé où la recherche de la solution amènerait à effectuer le calcul ci-dessous : 11,25 + 3 × 5,50 + 4 × 2,25.

64 Les maths autour de moi

Dans une papèterie, Lily achète 3 stylos à 2,25 € l’unité et un petit carnet à 1,15 €. Elle donne un billet de 10 € au caissier. 1. Écrire en ligne le calcul exprimant le montant rendu à Lily. 2. Justifier l’utilisation des parenthèses. 3. Combien le caissier rend-il à Lily ?

Qui a raison ? Pourquoi ? 2. Effectuer le calcul.

66 TOP Chrono Timéo aime beaucoup nager. Du lundi au vendredi, il parcourt quotidiennement 350 m le matin et 500 m le soir. Puis, chaque jour du weekend, il nage 450 m le matin et 600 m l’après-midi. 1. Écrire en ligne le calcul permettant d’évaluer la distance parcourue à la nage par Timéo du lundi au vendredi. 2. Calculer cette distance. 3. Écrire en ligne le calcul permettant d’évaluer la distance parcourue par Timéo le weekend. 4. Calculer cette distance. 5. Avec les réponses aux questions 1 et 3, écrire en ligne un calcul permettant d’évaluer la distance parcourue par Timéo sur toute la semaine. 6. En utilisant les réponses aux questions 2 et 4, calculer cette distance.

Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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4 Je comprends

Calculer

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. Guilhem vit à Lyon et doit se rendre en train aujourd’hui à Chambéry. Il part de chez lui à 6 h 35 car il a 45 minutes de bus jusqu’à la gare de Lyon-Part-Dieu. À quelle heure arrivera-t-il à la gare ? 2. Son train part de la gare de Lyon-Part-Dieu à 7 h 50 et arrive à Chambéry à 9 h 21. Quelle est la durée de son trajet en train ? 1. ÉTAPE 1 J’additionne 6 h 35 min et 45 min. 6 h 35 min + 45 min 6 h 80 min

2.

EN

9 h 21 min – 7 h 50 min

ÉTAPE 2

ÉTAPE 2

SP EC

J’écris la conclusion : Guilhem arrivera à la gare à 7 h 20.

Je m’entraine

67

Je remarque que 50 > 21  : je ne peux pas soustraire. Il faut donc réécrire les durées : • 9 h = 8 h + 1 h = 8 h + 60 min • 60 min + 21 min = 81 min. Je peux donc reposer et effectuer la soustraction : 9 h 21 min 8 h 81 min – 7 h 50 min 1 h 31 min Le trajet en train dure donc 1 h 31 min.

IM

Je convertis 80 minutes en heure et en minutes : 80 min = 60 min + 20 min = 1 h + 20 min Soit 6 h 80 min = 7 h 20 min. ÉTAPE 3

ÉTAPE 1 Je pose la soustraction :

CALCULER

Activités rapides

a. Combien y a-t-il de secondes dans 11 minutes ? b. Combien y a-t-il d’heures dans 1,5 jour ? c. Combien de minutes faut-il ajouter à 14 h 50 min pour arriver à 16 h ? d. Il est 10 h 29 min. Dans combien de temps sera-t-il midi ?

Pour les exercices 68 à 72, recopier et compléter les propositions suivantes.

68 1. Dans une journée, il y a … heures. 2. Dans une heure, il y a … minutes. 3. Dans une heure, il y a … secondes. 4. Dans une journée, il y a … secondes.

69 a. 3 600 secondes représentent … minutes. b. 120 minutes représentent … heures. c. 240 secondes représentent … minutes.

70 a. 111 min = 1 h … min b. 131 min = … h … min 71 a. 67 s = … min … s

b. 123 s = … min … s

72 a. 3,5 h = … h … min

b. 2,5 min = … min …s

73 Combien y a-t-il d’heures dans 2,5 jours ? 74 Recopier et compléter les propositions suivantes. a. 4 h 04 min = 3 h … min b. 5 h 67 min = 6 h … min

75 Poser et effectuer l’addition suivante : 13 h 14 min + 1 h 23 min.

76 Poser et effectuer l’addition suivante : 13 h 55 min + 1 h 10 min.

77 Poser et effectuer la soustraction suivante : 14 h 45 min – 12 h 12 min.

40

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avec des durées Je résous des problèmes simples

RAISONNER

CALCULER

COMMUNIQUER

78 Chaque jour de la semaine, Carla passe en 86 Karine se promène sur la colline de Fourvière à moyenne une heure et quinze minutes en ligne sur les réseaux sociaux. Combien de temps en moyenne y passe-t-elle par an ?

Lyon pendant deux heures et quatorze minutes. Elle est partie à 13 h 50. À quelle heure finira-t-elle sa promenade ?

79 Cécile court en moyenne chaque jour pendant 87 Anna part randonner à Vallorbe, dans le Jura

80 Châtaigne, le chat de Josua,

suisse. Elle arrive au sommet du Mont-d’Or 2 h 41 min plus tard. Sa montre indique 11 h 21. À quelle heure est-elle partie ?

EN

trois quarts d’heure. Combien de temps a-t-elle couru durant le mois d’octobre ?

88 Les maths autour de moi

passe en moyenne 11 h 30 min par jour dehors. En une semaine, combien d’heures a-t-il passé dehors ?

81 Aujourd’hui, Djamila a fait beaucoup de sport.

Ce matin, Léa prend le train à Ambérieu-en-Bugey à 8 h 38. La durée de son trajet est de 23 minutes. À quelle heure arrivera-t-elle en gare de Lyon-Part-Dieu ?

SP EC

IM

Elle a couru pendant 1 h 23 min. Ensuite, elle a nagé pendant 27 minutes. Enfin, elle a fait du renforcement musculaire pendant 1 h 45 min. 89 Les maths autour de moi Pendant combien de temps a-t-elle fait du sport ? Marine traverse le lac Léman en bateau. Elle part de Lausanne (en Suisse) à 17 h 30 et arrive 82 Andréa s’est endormie à 21 h 50. Elle a dormi à Thonon-les-Bains (en France) à 18 h 20. pendant 10 heures et 16 minutes. Combien de temps a pris la traversée ? À quelle heure s’est-elle réveillée ?

83 Flora a préparé un repas italien pour l’anniver-

saire de son grand-père milanais. Elle a commencé à 14 h 27 et cuisiné pendant trois heures et quarante-huit minutes. À quelle heure a-t-elle terminé la préparation du festin ?

84 Passant quelques jours à Lille, Bastien effectue

une visite guidée de la ville. La visite a débuté à 13 h 45 et dure deux heures et dix-sept minutes. À quelle heure s’est-elle terminée ?

85 En janvier, Eddy est parti retrouver ses cou-

sins sur l’île de la Réunion. Le décalage horaire est de + 3 heures par rapport à Paris. Son frère Timothée, resté à Paris, discute avec lui sur Skype. 1. Il est 19 h 12 à Paris. Quelle heure est-il pour Eddy ? 2. Il est 9 h 33 du matin à la Réunion. Quelle heure est-il à Paris ? 3. Il est 7 h 30 du matin à la Réunion et Eddy souhaite appeler Timothée. Doit-il patienter afin de ne pas le réveiller ?

90 TOP Chrono Christelle prend l’avion à l’aéroport de Marseille pour se rendre à Marrakech, au Maroc. Son avion décolle à 11 h 45 et arrive à l’aéroport de Marrakech à 13 h 45 (heure locale). 1. Quelle heure est-il à Marseille quand l’avion atterrit à Marrakech ? Rappel : la France est en avance d’une heure sur le Maroc. 2. Quelle est la durée du vol de Christelle ? 3. Si l’avion avait eu 35 minutes de retard, à quelle heure serait-elle arrivée à Marrakech ? 4. Si l’avion avait eu 35 minutes d’avance, à quelle heure serait-elle arrivée à Marrakech ?

Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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Avec ses questions, Une10bonne ce réponse QCM est = noté sur 10 ! un point ! ComptePour 1 point par bonne t’évaluer, réponse vérifiantpage regarde les en réponses les corrigés XXX.p. 250 !

Pour chaque question, trouver la seule bonne réponse parmi les trois propositions.

Je fais le point QCM

1 Additionner et soustraire avec des nombres entiers

et des nombres décimaux

91 Dans la somme 25 + 74, les nombres 25 et 74 sont :

A

B

C

des termes

des facteurs

des thermes

81 et 61

61 et 81

40 et 21

92 Calcul mental :

EN

20 est la différence entre :

93 25 + 8 + 75 – 3 est égal à : 94 100 est un ordre de grandeur de :

108

105

103

1 000 – 10

840 – 650

203,1 – 99,8

2 Multiplier avec des nombres entiers et des nombres décimaux B

C

4,56

45,6

456

20,001

20,01

2,01

6

4

6,12

A

B

C

13

25

17

A

B

C

120 minutes

3 600 secondes

6 200 secondes

16 h 12

15 h 42

17 h 02

IM

A

95 45,6 × 10 est égal à : 96 201 × 0,01 est égal à :

SP EC

97 48 est le produit de 12 par :

3 Connaitre les priorités des opérations

98 3 + 2 × 5 est égal à :

4 Calculer avec des durées

99 Calcul mental :

Dans deux heures, il y a :

100 Il est 15 h 10. Dans 1 h 52 min, il sera :

Il faut revoir ton cours… COURAGE !

BRAVO ! 0

1

2

3

4

5

6

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8

9

10

Tu peux continuer à t’entrainer page suivante.

Continue à te tester avec d’autres QCM interactifs sur www.bordas-myriade.fr

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Cettepage pageest estfaite faite Cette pour t’entrainer tout(e) seul(e). pour t’entrainer tout seul. corrigés se trouvent LesLes corrigés se trouvent page page XXX250 ! !

Accompagnement personnalisé

Je fais le point EXERCICES 1

3

Additionner et soustraire avec des nombres entiers et des nombres décimaux

Connaitre les priorités des opérations 107 1. Imaginer un énoncé qui conduit au calcul suivant :

achètent un fraisier à 25 €, du jus de goyave pour 12,50 € et des bougies pour 11,85 €. Combien ont-ils dépensé ?

102 Samuel participe à un trail (course en pleine nature) en Auvergne. Il part de Clermont-Ferrand (à 358 m d’altitude) et arrive au sommet du Puyde-Dôme (à 1 465 m d’altitude) sur un parcours tout en montée. Quel dénivelé a fait Samuel ? Palourdes Coques Moules Praires Huitres

Masse

voici : 4 + 2 × 5 – 1 × 2 = 22. Où faut-il les placer pour que l’égalité soit correcte ?

109 Saïd doit calculer l’opération : 3 + 4 × 6.

Hélas, il a oublié les règles de priorité dans les calculs… Il prend son téléphone portable pour calculer et trouve : 42. Pourtant, avec sa calculatrice, il obtient : 27. 1. Quel résultat Saïd doit-il choisir ? 2. Pourquoi les deux résultats sont-ils différents ?

1,5 kg 0,2 kg 0,875 kg 520 g 0,6 kg

4

Calculer avec des durées

SP EC

coquillages ramassées par Loïc à marée basse. Quelle quantité Loïc a-t-il pêché (en kg) ?

Coquillages

108 Léa a oublié des parenthèses dans le calcul que

IM

103 Voici les quantités de

3,25 × 6 + (2 + 5) × 1,75. 2. Dès que le contexte est trouvé, puis validé, effectuer ce calcul.

EN

101 Pour le gouter d’anniversaire de Mona, ses amis

2

Multiplier avec des nombres entiers et des nombres décimaux

110 Vinciane est bavarde ! Elle appelle sa meilleure amie à 17 h 23 et reste en ligne durant 57 minutes. À quelle heure raccroche-t-elle ?

104 Gwen est étourdie : elle a oublié de mettre les 111 Fabio part faire un footing à 7 h 10. Il est de virgules aux résultats de ses opérations ! Placer la virgule au bon endroit. a. 25,6 × 32 = 8 192 b. 2 017 × 0,21 = 42 357

105 Jordan achète une revue mensuelle sur le basketball à 7,50 € le numéro. 1. Quelle est sa dépense par trimestre ? 2. Combien dépensera-t-il d’argent par an pour cette revue ? et au bout de deux ans ?

106 Killian est un bon mar-

cheur : il grimpe un dénivelé de 400 m en une heure. Mais le chamois est encore plus sportif que l’être humain ! Cet animal de montagne est capable de monter un dénivelé 10 fois plus important en soixante minutes. Quel est ce dénivelé ?

retour à 8 h 04. Combien de temps a-t-il couru ?

112 Zoé prend le train pour aller à Lyon. L’arrivée

était prévue à 21 h 05, mais le train a 2 h 56 min de retard ! À quelle heure arrivera-t-elle à Lyon ?

113 Guilhem est dans un train, en Suisse. Il a sous les yeux ce panneau numérique d’affichage. Quelle est la durée du trajet Le Day-Palézieux ?

S2

Vallorbe

Départ à 11:43

11:46

Le Day

11:53

Bretonnières

11:55

Croy-Romainmôtier

12:00

Arnex

12:52

Palézieux

Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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118 Réfléchir à l’aide d’un schéma

Objectifs 1 2 3 4

114 Additionner pour résoudre DOMAINE 1 DU SOCLE un problème Rémi part faire de la randonnée en montagne et souhaite atteindre le plus haut sommet du Jura français : le Crêt de la neige. Avant de partir, il a préparé son itinéraire : ▲ Départ de Lélex à 898 m d’altitude. ▲ Franchir le col du Crozet encore 297 m plus haut. ▲ Enfin, suivre le GR Balcon du Léman et, après avoir

grimpé 235 m, arriver au sommet ! Un GR est un sentier de grande randonnée !

119 Se repérer dans le temps

Invention

115 Analyser une multiplication

DOMAINE 3 DU SOCLE

SP EC

Minh doit calculer le produit suivant : 5 × 6 × 4,35 × 15,2 × 17 × 0 × 11. Il donne la réponse exacte en à peine une seconde. Comment est-ce possible ?

116 Chercher des informations

DOMAINE 2 DU SOCLE

Voici la fiche horaire des marées du 17 aout 2015 pour l’agglomération Côte basque-Adour (Bayonne, Anglet et Biarritz).

Basse mer Pleine mer Basse mer Pleine mer

00 h 49 06 h 59 12 h 55 19 h 10

1. À 11 h 15, ce jour-là, Marianne décide d’aller pêcher à marée basse. Combien de temps doitelle attendre ? 2. Calculer la durée entre la pleine mer et la basse mer du matin. 3. Cette durée est-elle la même l’après-midi ?

117 Problème ouvert Châtaigne, le mignon chaton, a mangé 100 croquettes sur une période de cinq jours. Chaque jour, il a mangé six croquettes de plus que le jour précédent. Combien de croquettes a-t-il mangées le premier jour ?

DOMAINE 5 DU SOCLE

À l’aide du tableau ci-dessous, dire pour chaque invention depuis combien d’années elle existe.

IM

1. Quel est le dénivelé total qui attend Rémi ? 2. En déduire l’altitude du plus haut sommet du Jura français.

1. Dans combien de jours l’anniversaire de Marc aura-t-il lieu ? 2. Quelle est la date de l’anniversaire d’Agathe, sa petite sœur ?

EN

▲ Montée au chalet Armion 290 m plus haut.

Année (ap. J.-C.)

Boussole

100

Calculatrice

1642

Téléphone

1876

Télévision

1949

Internet

1974

120 Justifier une propriété Hélène s’amuse à calculer les produits suivants : 1 × 1 ; 11 × 11 ; 111 × 111 ; 1 111 × 1 111. Que va-t-elle constater ? Expliquer ce résultat.

121 Travailler en groupe Patxi a 58 billets de banque. Au total, ils représentent la somme de 395 €. Sachant que Patxi n’a que des billets de 5 et 10 €, déterminer le nombre de billets de chaque sorte qu’il possède.

122 Exploiter des informations

DOMAINE 4 DU SOCLE

Chaque année, en France, un habitant produit 354 kg de déchets. 1. Au 1er janvier 2015, la France compte 66 317 994 habitants. Quelle est la quantité totale de déchets produits en France pour l’année 2015 ? 2. En utilisant le résultat de la question 1, peut-on expliquer le slogan : « Trier, recycler, d’accord ! Mais réduisons d’abord ! »

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REPRÉSENTER REPRÉSENTER

COMMUNIQUER COMMUNIQUER

123 Sélectionner des informations

16 jours

=

=

de fonctionnement sur la base de

8 h par jour Une canette de boisson

CHERCHER CHERCHER

MODÉLISER MODÉLISER

126 Argumenter

En consultant un site Internet relatif à la consommation d’électricité, Max a trouvé les informations suivantes.

1,50 €

CALCULER CALCULER

+

+

Au bout de combien de jours de fonctionnement de son ordinateur, avec l’imprimante et la box, Max a-t-il dépensé l’équivalent de six canettes de soda ?

124 Raisonner sur des durées

Si je multiplie un nombre par 1, j’obtiens toujours ce nombre !

127 Problème ouvert Valentin prend le train à Belfort pour se rendre au Pouliguen. La ligne n’étant pas directe, il y a une correspondance à Paris. Son trajet est donc composé de la manière suivante : • Belfort-Paris • Paris-Le Pouliguen

La longueur totale du parcours (somme des longueurs des deux trajets) est de 924 km. La différence de longueur entre le deuxième trajet et le premier est de 40 km. Indiquer à Valentin la longueur de chacun des deux trajets.

128 Repérer des informations

IM

Voici, dans le document ci-après, les horaires d’ouverture d’une piscine à Narbonne.

Vrai ou faux ? Justifier la réponse.

EN

RAISONNER RAISONNER

Du lundi au vendredi

10 h - 20 h

Weekend

10 h - 19 h

SP EC

Sur une semaine, calculer la durée d’ouverture (en heures) de cette piscine.

Pour les vacances de printemps, deux frères, Jamil et Sabri, vont au Maroc, mais dans deux villes différentes : • Jamil part de l’aéroport de Toulouse à 15 h et arrive à Agadir à 16 h 50 (heure locale) ; • Sabri part de l’aéroport de Toulouse à 17 h 20 et arrive à Casablanca à 18 h 40 (heure locale). La France est en avance d’une heure sur le Maroc. Qui a le temps de vol le plus court ? Expliquer.

129 Utiliser des informations

125 Débattre après réflexion

Dans une salle de cinéma, le prix d’une séance le matin est de 5,80 €. L’après-midi et le soir, la séance est à 9 €. Le cinéma propose également une carte « 5 places » d’une valeur de 35 €. 1. Coralie va toujours aux séances avant midi. A-t-elle intérêt à acheter cette carte ? Justifier. 2. Mathieu ne va au cinéma qu’en soirée. Pour lui, cela vaut-il la peine de choisir la carte « 5 places » ? Pourquoi ? 3. Clara va au cinéma parfois le matin, parfois l’après-midi. A-t-elle intérêt à acheter cette carte ? Expliquer.

Dans un garage, le cout d’une heure de travail est de 22,50 €. Le père de Laurent doit changer les deux pneus avant de sa voiture (prix d’un pneu : 31,80 €). Le garagiste estime à 20 minutes son temps de travail. Quel montant le père de Laurent va-t-il payer ? Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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Dans les autres matières 131 Magic square

En maths aussi, on maitrise la langue française !

9

5

7

8

132 Des baies bénéfiques pour la santé De tous les fruits connus, les baies de Goji sont réputées pour être les plus riches en vitamines et en minéraux, et les plus antioxydantes au monde. Ces propriétés peuvent justifier leur prix relativement élevé. Lucie achète 100 g de baies de Goji bio pour 5,36 €. Quel est le prix pour 1 kg ?

IM

En cours de mathématiques, Malik a écrit : « … les thermes de l’addition. » Thomas lui dit que « thermes » ne s’écrit pas ainsi. Malik lui répond qu’il l’a vu écrit de cette façon dans son livre d’histoire. 1. Qui a raison ? Pourquoi ? 2. Que signifie le mot « terme » d’un point de vue mathématique ? 3. Dans l’Antiquité romaine, qu’appelait-on les « thermes » ? Qui était le dieu Terme ? 4. Que signifie en français : « notre voyage arrive à son terme » ?

In this magic square all the rows, columns and diagonals add up to the same value: 15. Complete this magic square.

EN

130 Un mot peut en cacher un autre…

Retour sur la page 29

SP EC

Manolo décide finalement de faire le voyage Valence-Grenade (aller simple) en combinant le train et l’avion. Il hésite entre deux trajets : • Valence-Toulouse en train, puis Toulouse-Grenade en avion. • Valence-Marseille en train, puis Marseille-Grenade en avion. En utilisant les documents ci-dessous, aider Manolo à faire son choix. Il faut tenir compte du prix du voyage (le moins cher possible) et de sa durée (la plus courte possible). Expliquer.

DOC

1

Prix (en €) Trajet

ESPAGNE

Grenade

Bordeaux

Lyon

Marseille

Toulouse

235

274

215

156

Marseille-Barcelone Barcelone-Grenade

Horaire

2

Valence

Tarifs aller/retour et horaires pour Grenade par avion

Au départ de…

DOC

FRANCE

11 h 45 – 12 h 45

17 h 05 – 18 h 30

Toulouse-Barcelone Barcelone-Grenade 16 h 20 – 17 h 15

20 h 30 – 21 h 55

Tarifs et durées du trajet par train

Tarifs aller simple Valence-Marseille : 37,50 € ; Valence-Toulouse : 49 € ; Valence-Lyon : 18 € 60. Horaires Valence-Marseille : 1 h 02 min ; Valence-Toulouse : 3 h 31min ; Valence-Lyon : 1 h 06 min ; Valence-Nantes : 5 h 57 min. 46

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ues

mathématiq

à la maison 136 Course en montagne

134 Défi !

IM

Penser au numéro de son département de naissance et suivre sur son cahier les consignes suivantes : • Multiplier ce numéro par 2, puis ajouter 5. • Multiplier le nombre trouvé par 50 et ajouter son âge. • Soustraire 615, puis ajouter 365. On obtient ainsi côte à côte le numéro de son département et son âge. Pour connaitre l’âge de quelqu’un, lui faire faire ce calcul et lui demander le résultat obtenu !

Myriam a participé à une course en montagne dans les Pyrénées. Elle a parcouru 28 km en 5 h 06 min 09 s. 1. Le gagnant de cette épreuve a couru cette distance en 3 h 51 min 09 s. Quelle durée sépare Myriam de cette personne ? 2. Marie est arrivée 56 minutes après Myriam. Quelle est donc la durée de sa course ? 3. Karine est arrivée 17 minutes avant Myriam. En combien de temps Karine a-t-elle effectué cette course ? 4. La dernière personne de cette catégorie a franchi la ligne d’arrivée au bout de 6 h 37 min 10 s. Combien de temps sépare la première personne de la dernière ?

EN

133 Deviner l’âge de quelqu’un…

137 La population d’Ambérieu-en-Bugey Ambérieu-en-Bugey est une commune française située dans le département de l’Ain (01).

SP EC

Josua prend dans ses bras son petit chat, Châtaigne, et monte sur sa balance.

Le tableau ci-dessous donne le nombre d’habitants de cette commune suivant les années.

Le poids affiché est 41,5 kg. La différence de poids entre Josua et Châtaigne est de 39,5 kg. Josua te lance le défi suivant : « Combien pèse Châtaigne ? » Josua espère que « tu ne donneras pas ta langue au chat »… Châtaigne aussi !

135

Énigme

ments français. Notre ami connait bien deux départe Alors, quels Il donne deux indices : sont ces deux • Leur somme est 19. • Leur produit est 88. départements ? . Déterminer quels sont leurs numéros

Année

1982

1990

2006

2011

Nombre 9 737 10 455 12 709 13 839 14 233 d’habitants

1. Quelle a été l’augmentation de la population entre 1982 et 1990 ? 2. Quelle a été l’augmentation de la population entre 1982 et 2012 ? 3. En quelle année l’augmentation de la population a-t-elle été la plus forte ? 4. Y a-t-il une année où la population a diminué ? 5. Par combien la population a-t-elle été multipliée entre 1982 et 2012 ? Justifier. Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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2012

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Pour faire ces activités, télécharger les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur www.bordas-myriade.fr

1 30’

Somme de nombres entiers consécutifs Trouver une formule pour afficher un entier consécutif. Recopier cette formule un nombre de fois demandé. Faire apparaitre la somme de ces entiers. Difficulté mathématique

Difficulté technique

SP EC

IM

EN

1 Ouvrir une nouvelle feuille de calcul d’un tableur. 2 Écrire 1 dans la cellule A1. 3 On veut faire apparaitre la liste des dix premiers entiers consécutifs à partir de 1 dans la colonne A. Pour cela : a. saisir dans la cellule A2 une formule permettant d’afficher l’entier consécutif à celui qui se trouve dans la cellule A1 ; Tableur 1 b. recopier cette formule dans les cellules suivantes jusqu’à la cellule A10. Tableur 2 4 Dans la cellule A11,, saisir une formule permettant de calculer la somme des cellules A1 jusqu’à A10. Tableur 1 5 Combien cette somme vaut-elle ? 6 De la même manière, calculer la somme des entiers de 1 à 100, puis la somme des entiers de 1 à 1 000.

2

Multiplier successivement par un même nombre Utiliser le tableur pour multiplier à chaque fois un résultat par un même nombre.

30’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

Tableur 1 1 Écrire le nombre 25 dans la cellule A1. A2,, écrire une formule permettant d’afficher le produit 2 Dans la cellule A2 du nombre contenu dans la cellule A1 par 2. Tableur 1 3 Recopier cette formule dans les cellules suivantes jusqu’à la cellule A12.

Tableur 2

4 Quelle valeur obtient-on dans la cellule A12 ? 5 Quelle valeur obtient-on dans la cellule A12 si l’on saisit le nombre 4 dans la cellule A1 ? 6 Quel nombre faut-il saisir dans la cellule A1 pour obtenir le nombre 34 816 dans la cellule A12 ? 48

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3

Résoudre un exercice avec des multiplications successives Utiliser le tableur pour résoudre un exercice à l’aide de multiplications successives

45’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

SP EC

IM

EN

1 Simon est passionné par le Maroc. Il a reçu en cadeau un magnifique livre de 218 pages sur la vie des Berbères. Il lit chaque jour deux fois plus de pages qu’il n’en a lues le jour précédent. Au bout de combien de jours aura-t-il lu tout son livre, sachant qu’il en a lu deux pages le premier jour ? À l’aide d’une feuille de calcul d’un tableur, répondre à la question posée. 2 Combien de jours lui aurait-il fallu pour lire, dans les mêmes conditions, un atlas de 1 542 pages ?

4

45’

Addition de deux nombres avec Scratch

ALGO

Initier à la programmation à l’aide d’un programme réalisé pour calculer la somme de deux nombres. Comprendre ce programme, le tester. Créer un programme pour calculer le produit de deux nombres. Difficulté mathématique

Difficulté technique

Dans le logiciel Scratch

1 Écrire le programme ci-contre permettant de calculer la somme de deux nombres. 2 Choisir deux nombres et utiliser ce programme pour calculer leur somme. 3 Recommencer avec deux nombres différents. 4 Combien vaut la somme : 213 456 + 46 879 ? 5 En s’inspirant de ce programme, créer un nouveau programme permettant de calculer le produit de deux nombres. 6 Choisir deux nombres et utiliser ce programme pour calculer leur produit. 7 Recommencer avec deux nombres différents. 8 Combien vaut le produit : 213,96 × 1 789 ? Chapitre 2 • Addition - Soustraction - Multiplication

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Avant de commencer… … je revois mes acquis de début de cycle 3 Divisions euclidiennes b. 3 4 6 4 –32 85 26 –20 6

a. 3 4 6 4 –36 96 26 –24 2

c. 3 4 6 4 –32 86 26 –24 2

EN

1 Quelle division est correctement posée ?

116 6 –6 19 56 –54 2

2 Pour cette division, quelles affirmations sont justes ? a. 19 est le quotient et 2 est le reste. b. 116 est le diviseur et 2 est le reste. c. 116 est le dividende et 19 est le quotient.

3 Une grand-mère offre à ses trois petits-enfants un carnet de 20 tickets

SP EC

IM

pour les manèges de la fête foraine. Sachant que les enfants font toujours ensemble les mêmes attractions, combien de manèges chaque enfant pourra-t-il essayer ? Restera-t-il des entrées ?

Multiples d’un nombre

4 Quel nombre est un multiple de 5 ? a. 1

b. 22

c. 30

5 1. Donner trois multiples de 2.

2. Donner trois multiples de 5. 3. Donner trois multiples de 10. 4. Existe-t-il des nombres qui sont à la fois multiples de 2, de 5 et de 10 ?

6 Dire si chacune des phrases suivantes est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. 30 est un multiple de 2 et de 5. 2. Si un nombre est un multiple de 10, alors c’est un multiple de 5. 3. Si un nombre est un multiple de 5, alors c’est un multiple de 10.

Division décimale

7 294,6 : 100 est égal à : a. 29 460

b. 2,946

c. 0,2946

8 Calcul mental

a. 456 : 10 = … b. 568 : 1 000 = … c. 564,2 : 100 = …

9 Elliot, 7 ans, a cassé ses 2 tirelires

pour offrir à ses meilleurs amis 5 lots de cartes Pokémon. Sachant qu’il a dépensé 8 € en tout, combien coute 1 lot de cartes ?

Retrouve des QCM interactifs pour continuer à réviser sur www.bordas-myriade.fr

50

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SP EC

Grâce à l’école, les élèves peuvent effectuer ponctuellement des sorties et des voyages scolaires. Tu verras, page 64, comment résoudre un problème de financement de tels voyages.

IM

EN

3

Division

Attendus de fin de cycle

• Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux • Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

OBJECTIFS 1

Poser une division euclidienne

2

Poser une division décimale

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Tous les énoncés modifiables de ces activités et les fiches logiciel sont à télécharger sur www.bordas-myriade.fr

Acti

é vit

1

Poser une division euclidienne

OBJECTIF

1

21 cm

1 a. Dans une bande de papier de longueur

21 …

5 …

EN

21 cm, combien de morceaux de longueur 5 cm peut-on découper ? 5 cm Quelle est la longueur du morceau qui reste ? b. Recopier et compléter la division euclidienne ci-contre associée au découpage précédent. c. Recopier et compléter alors l’égalité suivante : 21 cm = … × 5 cm + … cm.

2 a. En posant une division, donner le nombre de morceaux de longueur 6 cm que l’on peut

IM

découper dans une bande de papier de longueur 21 cm. Quelle est la longueur du morceau qui reste ? b. Reprendre la question 2 a. avec une bande de papier de longueur 137 cm.

2

Reconnaitre la divisibilité par 2, par 5 et par 10

SP EC

Acti

é vit

OBJECTIF

1

1 a. Avec un tableur, ouvrir une nouvelle feuille

de calcul. b. À l’aide de formules : – dans la colonne A, A, saisir la liste des multiples de 2 jusqu’à la ligne 20 ; Tableurs 1 et 2 – dans la colonne B, B, saisir la liste des multiples de 5 jusqu’à la ligne 20. 20. Tableurs 1 et 2

2 Comment reconnait-on un multiple de 2 ? un multiple de 5 ?

3 Montrer qu’un multiple de 10 est également

un multiple de 5 et de 2. Comment reconnait-on alors un multiple de 10 ?

4 Recopier et compléter le tableau suivant en répondant par « oui » ou « non ». est divisible par 2

est divisible par 5

est divisible par 10

45 53 20 1 060 95 455 4 500 52

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Acti

é vit

3

Reconnaitre la divisibilité par 3 et par 9

A

OBJECTIF

1

Une méthode pour trouver des nombres divisibles par 3

• Reproduire le tableau suivant et compléter la première colonne en choisissant 20 nombres inférieurs à 1 000. Somme de ses chiffres

Divisible par 3 ? (Oui/Non)

EN

Nombre

• Dans la deuxième colonne, inscrire la somme des chiffres de chaque nombre. • Vérifier avec la calculatrice si les nombres choisis sont divisibles par 3 et compléter la troisième colonne.

B

IM

Pour qu’un nombre soit divisible par 3, quelle condition sur la somme de ses chiffres semble nécessaire ?

Les nombres divisibles par 9

SP EC

Comment reconnait-on un nombre divisible par 9 ?

Pour répondre à cette question, reprends la méthode précédente.

Acti

é vit

4

Poser une division décimale

1 a. Découper six morceaux de même

longueur dans une bande de papier de longueur 21 cm. Quelle est la longueur d’un morceau ? b. Recopier et compléter l’égalité suivante :

OBJECTIF

2

21 cm

21 cm = 6 × … cm.

2 En posant une division, retrouver la longueur des six morceaux de même longueur qui partagent une bande de papier de longueur 21 cm.

3 Reprendre la question

2 pour une bande de papier de longueur 21 cm à partager en huit morceaux de même longueur.

On a partagé une bande de papier de longueur 32 cm en cinq morceaux de même longueur.

4 Quelle est la longueur de chaque morceau ? 5 Pourquoi est-il difficile de partager en trois morceaux une bande de papier de longueur 10 cm ?

Chapitre 3 • Division

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53

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1

Division euclidienne

OBJECTIF

1

Dans une division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers. Diviseur

Dividende

1 3 2 26 –130 5 2 Quotient

EN

Reste PROPRIÉTÉS

• Dividende = (Diviseur × Quotient) + Reste diviseur.. • Le reste est toujours inférieur au diviseur : reste < diviseur

IM

Exemple Un collège accueillera l’année prochaine 132 nouveaux élèves en classe de 6e. Le principal se demande s’il pourra les répartir dans des classes de 26 élèves. Il cherche ainsi combien de fois il y a 26 dans 132 : 26. 132 = 26 × 5 + 2 avec 2 < 26 Il pourra donc faire 5 classes de 26 élèves, mais il lui restera 2 élèves à placer.

SP EC

2

Divisibilité

OBJECTIF

1

A Notions de multiple et de diviseur

Exemple 105 = 7 × 15 donc le reste de la division de 105 par 7 est égal à 0. On dit alors que 105 est un multiple de 7, que 7 est un diviseur de 105, que 105 est divisible par 7.

B Critères de divisibilité PROPRIÉTÉS

• Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8). • Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5. • Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.

Exemples • 26 ; 48 et 10 024 sont divisibles par 2. • 855 et 1 250 sont divisibles par 5. • 2 150 est divisible par 10.

Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4.

PROPRIÉTÉ

Exemple 428 836 est divisible par 4 car 36 est divisible par 4. 54

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PROPRIÉTÉS

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. • Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemples • 32 784 est divisible par 3 car 3 + 2 + 7 + 8 + 4 = 24 , or 24 est divisible par 3. • 468 est divisible par 9 car 4 + 6 + 8 = 18 , or 18 est divisible par 9.

3

Division décimale

OBJECTIF

2

45,000 – 40 05 0 –4 8 20 –16 40 –40 0

IM

A Valeur exacte

EN

Quand on pose la division décimale de deux nombres, deux situations peuvent se présenter. • Un des restes obtenus est nul : le quotient est alors un nombre décimal et sa valeur est exacte. • Les restes successifs semblent se répéter et la division ne se « termine » pas. Dans ce cas, l’écriture du quotient ne peut pas être exacte et on en donne une décimal. valeur approchée : le quotient n’est pas un nombre décimal.

SP EC

Exemple On effectue la division de 45 par 8. Le reste de la division est nul, donc 5,625 est la valeur exacte du quotient de 45 par 8.

B Valeur approchée Exemple

45,600 – 42 2 6 –2 4 20 –18 20 –18 2

6 7,433

8 5,625

Lorsque l’on « passe dans la partie décimale » du dividende, on ajoute une virgule au quotient.

Regarde ! Les restes successifs sont toujours égaux à 2. La division ne se termine pas : nous n’aurons qu’une valeur approchée du quotient.

Ainsi 7,433 est une valeur approchée au millième près du quotient de 44,6 par 6.

Le dico des

maths

• Dividende • Diviseur • Multiple • Quotient • Reste • Valeur approchée • Valeur exacte Voir p. 255

Chapitre 3 • Division

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55

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1 Je comprends

Poser une division

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. 791 est-il divisible par 9 ? 2. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de 791 par 9. 1. ÉTAPE 1 Je fais la somme des chiffres du nombre 791 : 7 + 9 + 1 = 19. ÉTAPE 2 19 n’est pas divisible par 9. 791 n’est donc pas divisible par 9. ÉTAPE 1 Je pose la division : 7 9 1 9 ÉTAPE 2

« En 71,, combien de fois 9 ? » Il y va 7 fois ! Donc 7 × 9 = 63 et 71 – 63 = 8 8..

Je m’entraine

1

798 9 87 –72 71 –63 8

Je conclus : en 791, il y a 87 fois 9 et il reste 8, donc 791 = 87 × 9 + 8.

SP EC

791 9 8 –72 7

791 9 8 –72 71

IM

Je cherche le premier chiffre du quotient. « En 7, combien de fois 9 ? » Il y va 0 fois ! Ensuite : « En 79, combien de fois 9 ? » Il y va 8 fois ! Je mets donc 8 au quotient. Ainsi : 8 × 9 = 72 et 79 – 72 = 7.

J’abaisse le 1 du dividende.

EN

2.

ÉTAPE 3

CALCULER

Activités rapides

On donne : 16 × 25 = 400. Parmi les propositions suivantes, dire lesquelles sont correctes. a. 400 est un multiple de 16. b. 25 divise 400. c. 400 est le quotient de 16 et 25. d. 16 est un diviseur de 400.

2 1. a. Recopier la liste de nombres suivants :

56 ; 4 365 ; 897 ; 50 ; 653 ; 367 ; 78 ; 780. b. Entourer en bleu les nombres divisibles par 2, et en rouge les nombres divisibles par 5. 2. Parmi les nombres ci-dessous, lesquels sont divisibles par 3 ? par 9 ? 201 ; 306 ; 456 ; 686 ; 6 702 ; 7 803 ; 12 765.

3 1. Écrire tous les multiples de 3 compris entre 31 et 58. 2. Écrire tous les diviseurs de 24 inférieurs à 10.

4 Compléter le tableau ci-dessous avec oui ou non. Nombre

484

670

1 665

1 968

Divisible par 2 Divisible par 3 Divisible par 4 Divisible par 5 Divisible par 9 Divisible par 10

5 Recopier, puis effectuer ces divisions euclidiennes. a. 742 4 –• ••• •• – •• •• – •• •

b. 657 7 – •• •• •• – •• •

c. 757 4

6 Calculer le quotient et le reste de ces divisions. a. 455 : 3 d. 2 359 : 5

b. 654 : 5 e. 9 359 : 8

c. 469 : 3 f. 4 109 : 9

56

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euclidienne Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

7 Pour son anniversaire, Léa a prévu 78 pancakes 12 Les maths autour de moi (épaisses petites crêpes). Elle les partage équitablement et donne ce qu’il reste à ses voisins. Sachant qu’il y avait huit enfants à cet anniversaire, combien de pancakes les voisins ont-ils reçus ?

1. Avec une calculatrice, préciser, parmi les nombres suivants ceux qui sont des diviseurs de 8 580. 10 33 39 45 65 70 120 2. Avec une calculatrice, préciser, parmi les nombres suivants, ceux qui ont pour diviseur 37. 190 296 444 489 2 146 2 293.

IM

13

EN

Pour un voyage scolaire, une vente de gâteaux a été organisée. Une classe de 6e, qui avait préparé 24 gâteaux, a gagné 384 €. 1. Quelle somme un seul de ces gâteaux a-t-il pu faire gagner ? 2. Les gâteaux étaient coupés en huit parts égales. Quel était le prix d’une part ?

8 Pour la fête des voisins, Drissa a préparé 260 bro- 14 Pour chaque nombre ci-dessous, compléter par

un chiffre pour que le nombre soit divisible par 5, mais pas par 9. b. 3 78■ c. 7 87■ d. 93 87■ a. 85■

SP EC

chettes de poulet mariné pour 23 personnes. Combien de brochettes mangera chaque invité ?

9 M. Papounet décide de partager équitablement

une cagnotte contenant 362 pièces de 50 centimes entre ses sept enfants. 1. Combien chaque enfant recevra-t-il de pièces ? 2. Quelle somme cela représente-t-il ? 3. Combien de pièces resteront dans la cagnotte ?

10 Chacune des divisions posées ci-dessous comporte une erreur. Retrouver ces erreurs et les corriger. a. 120

6 –12 2 00

b. 620

3 –6 26 020 –18 2

11 On considère les deux égalités suivantes : 322 = 4 × 80 + 2 et 1 204 = 80 × 15 + 4. À l’aide de ces égalités, trouver le quotient et le reste des divisions euclidiennes ci-dessous sans poser les opérations. a. 322 par 4 b. 1 204 par 80 c. 322 par 80 d. 1 204 par 15

15 Les maths autour de moi Une bouteille de 1 L de soda contient 105 g de sucre. Sachant qu’un morceau de sucre pèse 5 g, combien de morceaux de sucre y a-t-il dans une bouteille de 1 L de soda ?

16 Les maths autour de moi Les lapins de Mathilde mangent 3 kg de nourriture chaque jour. Sachant que Mathilde dispose de 87 kg de réserve de nourriture, combien de jours pourra-t-elle nourrir ses lapins avant de se réapprovisionner ?

17 TOP Chrono Construire un rectangle dont le périmètre est égal à 184 mm et dont la longueur d’un côté est huit fois plus petite que ce périmètre.

Chapitre 3 • Division

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57

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2 Je comprends

Poser une division

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Effectuer la division de 23,7 par 14, puis donner une valeur approchée du quotient au centième près par défaut. dividende. Je m’arrête lorsque j’atteins le rang des centièmes au quotient.

ÉTAPE 1 Je pose la division demandée.

2 3,7 1 4

2 3, 7 0 1 4 1,6 9 –14 97 –84 130 –126 4

ÉTAPE 2 Je cherche le premier chiffre du

EN

quotient. 2 3,7 1 4 1 –14 9

ÉTAPE 5 J’obtiens finalement :

ÉTAPE 3 Je passe à la partie décimale.

23,7 : 14 ≈ 1,69 1,69..

2 3, 7 1 4 1, –14 97

IM

On abaisse le 7.

Le symbole ≈ signifie « environ égal ».

1,69 est une valeur approchée au centième près par défaut du quotient de 23,7 par 14.

ÉTAPE 4 Je poursuis la division après avoir

SP EC

ajouté un « zéro » à la partie décimale du

Je m’entraine

18

CALCULER

21 Effectuer les divisions décimales suivantes et

Activités rapides

Le périmètre de chaque polygone ci-dessous est égal à 21 cm. Calculer la longueur des côtés de chacun de ces polygones.

trouver la valeur exacte de leur quotient. a. 235 : 4 b. 187,2 : 8 c. 231,6 : 6 d. 239,76 : 12

22 Effectuer les divisions suivantes et donner la

Triangle

Carré

Pentagone

Hexagone

1

2

3

4

19 Effectuer les divisions décimales suivantes et donner une valeur approchée au dixième près par défaut de leur quotient. a. 85 : 3 b. 375 : 7 c. 89,6 : 6 d. 35,7 : 11

valeur exacte de leur quotient. a. 178 : 4 b. 266 : 5 c. 3 624 : 15 d. 903 : 6 e. 390,96 : 12 f. 592,62 : 6

23 Dans chacun des cas suivants, calculer le facteur manquant. a. 6 × … = 38,4 c. 5 × … = 34

20 Effectuer les divisions décimales suivantes et 24 Calcul mental donner une valeur approchée au centième près par défaut de leur quotient. a. 87,68 : 9 b. 65,53 : 12 c. 374,2 : 7

a. 34 : 10 c. 67,91 : 1 000 e. 7,906 : 100

b. … × 11 = 575,3 d. … × 14 = 676,2

b. 568 : 100 d. 56,91 × 100 f. 6,004 × 1 000

58

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décimale Je résous des problèmes simples 25 Recopier et compléter les égalités suivantes.

entrainé au football plus de 6 000 heures en une année. Que penser de l’affirmation du garçon ? Expliquer.

30

tablement 3 500 g de confiture aux fraises dans huit jolis pots en verre. Calculer la quantité de confiture contenue dans chaque pot.

× 10

− 100

: 10

IM

27 Recopier et compléter cette chaine de calcul. …

COMMUNIQUER

29 Arsène Lafrime dit s’être

b. 945 : … = 9,45 d. 46,9 × … = 4 690 f. 87,87 × … = 87 870

26 Françoise a réparti équi-

CALCULER

EN

a. 45 : … = 4,5 c. … : 100 = 7,93 e. … : 1 000 = 9,8

MODÉLISER

+ 10

5,78

+ 1 000

SP EC

: 10

31 Les maths autour de moi

: 100

−1

Gamze collectionne des figurines. Bien qu’elle en possède déjà beaucoup, elle en achète un lot de 100 au prix de 32 €. Quel est le prix d’une figurine ?

32 Les maths autour de moi

× 1 000

Elia, qui revient de vacances, commande sur le site PhotoPro un lot de 25 photos au prix de 5,50 €. Quel est le prix d’une photo sur ce site ?

28 Recopier et compléter le schéma suivant. 3 900

:…

×5

3,9

7

33 TOP Chrono

×… 1 771 : 14 …

… :8 …

Bonnie a acheté un lot de trois shampoings au prix de 5,10 €. Dans un autre magasin, sa copine Nabila a acheté quatre shampoings de la même marque au prix de 6,60 €. Laquelle des deux amies a payé le moins cher le shampoing à l’unité.

Chapitre 3 • Division

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Avec ses questions, Une10bonne ce réponse QCM est = noté sur 10 ! un point ! Compte 1 point par bonne Pour t’évaluer, réponse vérifiantpage regarde les en réponses les corrigés XXX.p. 250 !

Pour chaque question, trouver la seule bonne réponse parmi les trois propositions.

Je fais le point QCM

1 Poser une division euclidienne A

B

C

11

0

9

92 16 12 5

92 5 12 16

16 12 5 92

34 Quel est le reste de la division dont le

dividende est 141 et le diviseur est 12 ?

35 À quelle division euclidienne l’égalité

EN

92 = 5 × 16 + 12 peut-elle être associée ?

36 Pour la division euclidienne 560 … ci-contre, quelles affirmations sont vraies ?

Le diviseur est égal à 62.

Le diviseur est égal à 9.

… 62

37 D’après l’égalité 216 = 9 × 24, quelle

9 divise 216.

affirmation est vraie ?

38 Le nombre 1 092 a pour diviseur :

24 est un multiple 9 est un diviseur de 216. de 24. 3

5

5 148

780

3 366

B

C

56,21 7 – 56 8,3 0 21 – 21 0

56,21 7 – 56 8,03 02 0 – 21 0

5

4,99

4,991

1 800

450

45

45,807 : 10 = 0,45807

45,807 : 100 = 0,45807

45,807 : 1 000 = 0,45807

IM

9

39 Quel nombre est à la fois divisible par 4 et par 9 ?

Le reste est égal à 9.

2 Poser une division décimale

SP EC

A

40 Quelle division est correctement

56,21 7 49 7,103 72 – 70 21 – 21 0

posée ?

41 Quelle est la valeur approchée au

millième par défaut du quotient de 54,9 par 11 ?

42 9 103,7 : 20 ≈

43 Compléter : 45,807 : … = 0,45807

Il faut revoir ton cours… COURAGE !

BRAVO ! 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tu peux continuer à t’entrainer page suivante.

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Cettepage pageest estfaite faite Cette pour t’entrainer tout(e) seul(e). pour t’entrainer tout seul. corrigés se trouvent LesLes corrigés se trouvent page page XXX250 ! !

Accompagnement personnalisé

Je fais le point EXERCICES 1

50 Le professeur de français a demandé à ses

Poser une division euclidienne 44 Calculer le quotient et le reste des divisions suib. 654 : 5

c. 586 : 7

45 Recopier et compléter le tableau.

51 En se rendant à la piscine avec ses quatre amis,

Égalité correspondante

457 19 … 24

457 = … × 24 + 1

… 58 24 …

256 = 58 × 4 + …

589 81 … …

… = … × 7 + 22

46 Calcul mental

Félix trouve par terre un billet de 50 €. Très généreux, il propose d’acheter deux sachets de churros à 2,10 € chacun et de partager ce qu’il reste entre ses amis et lui-même. Quelle somme chaque copain recevra-t-il ?

2

Poser une division décimale

IM

Division posée

EN

vantes. a. 455 : 3

élèves de lire un livre durant les quinze jours des vacances de Noël. Le livre comporte 245 pages. En lisant chaque jour le même nombre de pages, combien de pages par jour faudrait-il lire pour finir le livre à la fin des vacances ?

52 Donner une valeur approchée au dixième près des quotients suivants. a. 678 : 7 b. 785 : 3 c. 56,5 : 9

53 Donner une valeur approchée au millième près des quotients suivants. a. 75,8 : 7 b. 85,3 : 11 d. 45,4 : 12 e. 56,11 : 15

SP EC

1. Donner quatre multiples de chacun des nombres suivants : 3 ; 7 ; 11 ; 20 ; 50. 2. Donner quatre diviseurs de chacun des nombres suivants : 8 ; 20 ; 33 ; 40 ; 200.

47 Recopier et compléter les phrases ci-dessous à

l’aide des mots suivants : divise ; diviseur ; multiple ; produit ; quotient. 1. « Le … de 35 par 14 est 490. 35 est donc un … de 490. » 2. « Le … de 368 par 23 est 16. 368 est donc un … de 23. » 3. « 228 est un … de 12 et 19. Donc 19 … 228. » Attention, il y a un mot que l’on peut placer dans deux phrases !

48 Recopier la liste de nombres ci-dessous et

d. 589 : 11

c. 215,93 : 9 f. 85,63 : 6

54 Donner un ordre de grandeur de ces quotients. a. 503 : 2 d. 453 : 15

b. 41,2 : 8 e. 50 : 7

c. 5 965 : 3 f. 100 : 9

55 En une année, le jeune apprenti Camille Tomane

prétend avoir gagné 3 400 €. Quelle somme a-t-il gagnée chaque mois ? On donnera une valeur approchée de la somme au centime d’euro près par défaut.

56 Grâce à son dernier tube Matematicas amor, la star de la chanson Salvador el Compas gagne chaque semaine 8 550 €. Calculer ce que gagne Salvador chaque jour. On donnera le résultat arrondi au centime d’euro.

entourer en vert les nombres divisibles par 4 : 836 ; 2 024 ; 642 ; 57 881 ; 9 264 ; 67 972

49 Compléter chaque nombre ci-dessous avec un

chiffre qui convient pour qu’il soit divisible par 5. b. 7■0 c. ■575 d. 856■ a. 65■ Chapitre 3 • Division

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62 Vérifier une information

Objectifs 1 2

57 Compléter une division posée

DOMAINE 3 DU SOCLE

DOMAINE 2 DU SOCLE

Recopier et compléter les divisions ci-dessous. a. • • • b. •3• •1 – 4 1• – 2• 2 1 •• 29 – •• – •• • 5  

58 Débattre : vrai ou faux ?

DOMAINE 1 DU SOCLE

SP EC

IM

EN

1. Dans la division euclidienne, le reste est touEn combien de temps Mehdi prétend-il avoir fait jours inférieur au quotient. son devoir ? 2. Le reste de la division euclidienne de 458 par 8 est égal à 9. 3. Dans une division euclidienne, si le dividende 63 Résoudre un problème Le foyer du collège dispose cette année de 150 € est égal au diviseur alors le quotient est égal à 1. pour acquérir de nouvelles bandes dessinées. Il 4. Le quotient de la division de 581 par 7 est égal en existe deux formats : les petites au prix de 6 € à 81 et le reste est égal à 1. On peut alors écrire et les grandes au prix de 9,80 €. Le foyer soul’égalité 581 = 7 × 81 + 1. haite acheter la collection complète des Aventures 5. Sachant que 832 = 52 × 16, on peut dire que de Patouf (huit tomes grand format). La somme le reste de la division de 832 par 52 est égal à 0. restante permettra d’acheter des bandes dessinées petit format. 59 Calculer une longueur Combien pourra-t-on commander de bandes Le père Lapaille souhaite délimiter par une clôdessinées au total ? ture un des côtés de son champ de forme carrée et de périmètre égal à 322,6 m. Quelle longueur de clôture lui sera nécessaire ?

60 Calculer un prix

Florie a acheté un lot de trois tubes de colle au prix de 5,85 €. Dans un autre magasin, sa copine Mathilde a acheté quatre tubes de la même colle au prix de 7,40 €. Katja en achète cinq dans le magasin le moins cher. Combien va-t-elle payer ?

Trouver une erreur

61

64 Poser une division 1. Poser la division de 589 par 11, puis donner une valeur approchée du quotient en soulignant les décimales qui semblent se répéter à l’infini. 2. Même question avec la division de 52 par 7.

Tu devras effectuer ici les calculs jusqu’à la 7e décimale avant de retrouver une « répétition ».

DOMAINE 4 DU SOCLE

65 Utiliser la division

Après avoir vérifié les calculs avec la calculatrice, expliquer l’erreur de raisonnement commise par l’un des deux élèves.

DOMAINE 5 DU SOCLE

Pour ne pas se faire dévorer par l’ogre, le Petit Poucet s’est muni de cailloux pour retrouver le chemin de sa maison. Il a ainsi déposé 664 cailloux à la même distance les uns des autres pendant 8 km. 1. Combien de cailloux a-t-il laissé tomber à chaque kilomètre ? 2. Donner un arrondi au mètre près de la distance séparant deux cailloux.

62

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REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

CALCULER

66 Compléter une facture Anne travaille dans un club de sport. Elle se rend dans un magasin pour faire des achats pour son club. Recopier et compléter la facture ci-dessous des articles qu’elle a achetés. Prix unitaire

Total

Casquette

8

60,00 €

Paires de chaussures

7

298,20 €

Polo

9

254,25 €

Survêtement

1

Paires de chaussettes

4€

192,00 €

Total

879,95 €

MODÉLISER

Découvrir le critère de divisibilité par 11

69

6 248 est-il divisible par 11 ? • Pour le vérifier, recopier le nombre sans son chiffre des unités : 624. • Soustraire à ce nouveau nombre le chiffre des unités qui a été ôté : 624 – 8 = 616. • Recommencer en prenant 616 comme nombre de départ. Celui-ci devient 61. • Soustraire le chiffre des unités ôté : 61 – 6 = 55. • 55 est divisible par 11. 6 248 l’est également.

1. Vérifier avec une calculatrice que 6 248 est effectivement divisible par 11. 2. a. Appliquer la méthode ci-dessus pour vérifier que 7 579 est divisible par 11. Vérifier avec la calculatrice que ce nombre est effectivement divisible par 11. b. Même question avec 28 424 et 62 678. 3. a. En utilisant cette méthode, que peut-on dire du nombre 27 952 ? b. Vérifier à l’aide de la calculatrice si 27 952 est divisible par 11.

IM

Quantité

CHERCHER

EN

RAISONNER

SP EC

70 Compléter un nombre

67 Calculer un reste

Nadja, qui a remporté la finale d’un célèbre jeu télévisé, empoche la jolie récompense de 7 500 €. Elle partage généreusement cette somme avec ses quatre meilleures amies. Chacune reçoit la même somme d’argent, sauf Nadja qui conserve le double de la somme donnée à chacune de ses amies. Quelle somme Nadja garde-t-elle pour elle ?

68 Construire une figure Reproduire en vraie grandeur la figure ci-dessous sachant que son périmètre est égal à 17 cm. D

A

3,9 cm

N

M

C

B

1. Retrouver les chiffres manquants du nombre 5■8■ sachant qu’il est divisible par 4, par 5 et par 9. 2. Retrouver les chiffres manquants du nombre 7 9■■ sachant qu’il est divisible par 2, par 3, par 5 et qu’il n’est pas divisible par 4.

71 Problème ouvert L’association sportive Topissimo organise une sortie de fin d’année à la piscine municipale. 42 personnes y participent dont 13 jeunes et 22 enfants. La présidente de l’association donne à la caissière un chèque de 156,45 €. Retrouver le tarif manquant. Enfant (jusqu’à 11 ans) : Jeune (12-16 ans) : Adulte :

2,80 € 4,20 €

72 Le nombre de départ On multiplie trois fois de suite un nombre par 2, puis le résultat obtenu deux fois de suite par 5. Le résultat final est 17 048. Quel est le nombre de départ ? Chapitre 3 • Division

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63

22/03/16 12:21


Dans les autres matières 73 The starting number

pelle le titre d’une célèbre œuvre de Jules Verne. Retrouver ce titre en convertissant les 6 912 000 secondes en jours.

1. Inventer un énoncé de problème dont la solution conduirait à effectuer la division suivante : 434 : 7 2. Rédiger la solution du problème.

78 Effectuer les divisions soulignées, en les posant

75 1. Inventer un énoncé de problème dont la solution conduirait à poser la division euclidienne suivante : 2. Rédiger la solution du problème.

1. Le cœur humain bat en moyenne 37 931 096 859 : 3 fois en une vie, nombre formidable à première vue. Il n’y a pourtant pas de quoi s’étonner si l’on réfléchit qu’il n’a rien d’autre à faire ! Source : François Cavanna, Le saviez-vous ?

1. La superficie de la ville de Paris est de 105 km2. Sa population en 2010 s’élevait environ à 2 250 000 d’habitants. Si la population parisienne était répartie de façon uniforme sur la ville de Paris, combien d’habitants se trouveraient dans 1 km2. 2. La superficie de la France métropolitaine est de 550 000 km2. Sa population en 2013 s’élevait environ à 66 000 000 d’habitants. Si la population française était répartie de façon uniforme sur le territoire français, combien d’habitants se trouveraient dans 1 km2 ?

2. Chaque année, la perte nette de forêts sur la planète est de 87,6 : 12 millions d’hectares par an, soit l’équivalent de 36 : 8 fois la superficie de la ville de Lyon chaque jour.

IM

76

256 11

si besoin, pour simplifier les phrases suivantes.

EN

74

77 Le Tour du monde en 6 912 000 secondes rap-

We multiply a number by 5, then the result by 7. We then multiply this new number by 20. The final result is 1652. What is the starting number?

Source : FOA (Food and Agriculture Organisation of the United Nations), 2005.

SP EC

3. Pendant les quelques secondes qui vont vous être nécessaires pour lire ces 4 lignes, 600 : 15 humains et 8 400 : 12 millions de fourmis sont en train de naitre sur Terre… Source : Bernard Werber, Les Fourmis.

Retour sur la page 51

Les professeurs de deux classes de 27 élèves organisent une vente pour financer un voyage. Ils ont convenu de demander à chaque famille des élèves des deux classes de préparer deux tartes et un litre de jus de fruits. Les professeurs souhaiteraient récolter 800 €. À quel prix devront-ils vendre les parts de tartes et les verres de jus de fruits, sachant qu’une part de tarte doit couter plus cher qu’un verre de jus de fruits ?

DOC

1

Technique de découpe des tartes

DOC

2

Un verre de jus de fruits 20 cL

64

04733289_059-067_C03.indd 64

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ues

mathématiq

à la maison 82 Inventer un problème

Nombres croisés 1

2

3

4

1. Inventer un énoncé de six ou sept lignes environ dont la solution conduit à effectuer le calcul : (345 – 24) : 6 2. Sans donner la solution, faire lire l’énoncé à un parent, un frère, une sœur ou un ami et lui demander de le résoudre sur une feuille à part. Corriger cette feuille en rouge, la découper et coller sa solution sur la copie.

5

A B C D E

,

EN

79

83 Trouver un nombre

1. Trouver un nombre supérieur à 1 000 à la fois divisible par 3 et par 5. 2. Trouver un nombre supérieur à 10 000 à la fois divisible par 2 et par 9.

84 Quel jour es-tu né(e) ?

IM

Recopier et compléter la grille ci-dessus à l’aide des indications suivantes. Horizontalement A. Quotient de la division euclidienne de 5 887 par 7. B. Produit de 526 par 42. C. Reste de la division euclidienne de 455 par 12. – Multiple de 8. D. Diviseur de 765. – Nombre divisible par 3. E. Quotient de 1 121,04 par 9. Verticalement 1. Nombre divisible par 3. 2. Arrondi à l’unité du quotient de la division de 4 927 par 6. – Le double de la moitié de 2. 3. Ordre de grandeur du quotient de 161 par 3,9. – Nombre à deux chiffres divisible par 4. 4. Arrondi à l’unité du quotient de 96 327 par 5. 5. Nombre divisible par 9.

SP EC

Pour retrouver le jour de la semaine où tu es né(e), suis bien toutes les consignes !

80 Défi !

Certaines divisions ne s’arrêtent jamais. Leur quotient n’est pas un nombre décimal parce qu’il ne possède pas d’écriture décimale exacte. Saurais-tu retrouver la 100e décimale du quotient de la division de 1 000 par 155 ?

81

Énigme

inférieur à 5 000 Quel est le nombre à quatre chiffres par 5, par 6, par qui est divisible par 2, par 3, par 4, 7, par 8, par 9 et par 10 ?

Pour t’aider, je te conseille de recopier et de compléter au fur et à mesure le tableau ci-dessous : A

Q

N

J

S

R

1. Commencer par enlever 1901 à ton année de naissance. Appeler A ce nombre. 2. Calculer le quotient de la division de A par 4. Appeler Q ce nombre. 3. Compter le nombre de jours qui sépare le 1er janvier à la fin du mois qui précède ton mois de naissance. Appeler N ce nombre. Remarque

Si, par exemple, tu es né le 7 avril 1990 qui n’est pas une année bissextile, tu poses : N = 31 + 28 + 31 = 90. Jan. Fév. Mars

4. J est ton jour de naissance. Calculer A + Q + N + J + 1. Appeler S ce nombre. 5. Calculer le reste de la division de S par 7. Appeler R ce nombre. 6. Il ne reste plus qu’à lire le résultat dans le tableau. Si R = …

0

1

2

3

4

5

Chapitre 3 • Division

04733289_059-067_C03.indd 65

6

tu es né dimanche lundi mardi mercredi jeudi vendredi samedi un…

65

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Pour faire ces activités, télécharger les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur www.bordas-myriade.fr

1 20’

Mathémagie Donner une approche intuitive de la notion de variable et de fonction à l’aide de processus de calcul Difficulté mathématique

Difficulté technique

On donne le programme de calcul suivant :

IM

EN

• Choisir un nombre. • Diviser par 10. • Ajouter 2. • Multiplier par 8. • Calculer le quotient du nombre de départ par 5 et l’ajouter au résultat précédent. • Enlever 11. • Écrire le résultat.

SP EC

1 Avec une calculatrice, vérifier qu’en choisissant le nombre 23 au départ, on obtient 28 comme résultat. 2 Calculer, à l’aide de la calculatrice, le nombre obtenu lorsque le nombre choisi au départ est : a. 56 b. 598 c. 7 459 Pour épater tes copains, demande3 a. Connaissant le résultat, comment peut-on leur de choisir un nombre sans te le dire et fais-leur appliquer retrouver le nombre de départ ? le programme de calcul. Lorsqu’ils b. Quel nombre peut-on choisir au départ pour te diront le résultat, tu pourras leur que le résultat soit 567 ?

2

20’

donner le nombre de départ !

Programme de calcul

Donner une approche intuitive de la notion de variable et de fonction à l’aide de processus de calcul et mettre en application l’égalité euclidienne Difficulté mathématique

Difficulté technique

On donne le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre. • Calculer le quotient de la division euclidienne de ce nombre par 3. • Ajouter à ce quotient le triple du nombre de départ. • Multiplier par 10. • Calculer le reste de la division du résultat précédent par 7. • Écrire le résultat.

1 Vérifier, à l’aide la calculatrice, que le nombre 50 donne 1 comme résultat. 2 Calculer, à l’aide de la calculatrice, le nombre obtenu Aide lorsque le nombre choisi au départ est : Pour calculer le reste et le quotient d’une division a. 102 b. 589 c. 1 012 euclidienne, 3 a. Expliquer pourquoi il est impossible d’avoir 9 ; – sur TI-Collège, appuie sur les touches comme résultat. – sur Casio Fx-92, utilise la touche . b. Quels sont tous les résultats possibles ? 66

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3

Fabien le jardinier Donner du sens à la notion de division en l’exprimant comme une suite de soustractions

30’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

1 Fabien le jardinier voudrait répartir 80 géraniums dans des bacs à fleurs pouvant contenir 13 géraniums chacun. Pour calculer le nombre de bacs nécessaires, Fabien propose une méthode qu’il détaille ci-contre dans la feuille de calcul d’un tableur. a. Expliquer comment Fabien a obtenu les nombres de la colonne A. b. Où lit-on le nombre de bacs nécessaires ? c. Où lit-on le nombre de géraniums restants ?

EN

2 À l’aide d’un tableur et en s’inspirant de la méthode vue à la question 1 , résoudre la situation suivante. Fabien souhaite maintenant répartir 225 impatiens dans des pots pouvant contenir chacun 14 impatiens. Trouver le nombre de pots nécessaires à cette répartition et le nombre d’impatiens restants. Tableurs 1 et 2

4

Diviseurs

IM

3 Sur une feuille de papier, traduire chacune des deux situations précédentes (question 1 et question 2 ) par des divisions euclidiennes.

Trouver tous les diviseurs d’un nombre à l’aide du tableur 30’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

SP EC

1 L’objectif est de trouver tous les diviseurs de 273. a. Dans le tableau ci-contre, reconnait-on des diviseurs de 273 ? Lesquels ? Expliquer. b. Dans une feuille de calcul d’un tableur, reproduire et prolonger ce tableau afin d’obtenir tous les diviseurs de 273.

Pour calculer avec un tableur le reste d’une division, tu peux utiliser la fonction MOD() ! Pour obtenir, par exemple, le reste de la division de 14 par 5, on saisirait : =MOD(14;5)

2 Établir de même la liste des diviseurs de 180 puis de 420. 3 Didier souhaite construire une terrasse rectangulaire avec 48 dalles. Quelles sont toutes les possibilités qui lui sont offertes ?

Chapitre 3 • Division

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67

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Avant de commencer… … je revois mes acquis de début de cycle 3 Nommer les fractions

Encadrer une fraction

1 ? 3 b. Un quart c. Un tiers

7 Quelle fraction peut-on encadrer

1 Comment lit-on la fraction

Répondre par vrai ou faux pour chacun des exercices 2 à 4 .

2 Un dixième s’écrit

1 . 100

9 Recopier et compléter

1 4

3 La fraction se lit « un quart ». 1 2

l’encadrement ci-dessous par une fraction. Plusieurs solutions sont possibles. 2<…<3

IM

4 La fraction permet de représenter la moitié.

EN

a. Un demi

par les entiers 0 et 1 ? 5 1 7 b. c. a. 2 2 3 1 8 Encadrer la fraction par deux 3 entiers consécutifs.

5 Quelle fraction représente la surface

Différentes écritures d’une fraction

SP EC

de disque colorée en bleu ?

a.

3 5

b.

3 8

c.

8 3

6 Quel segment mesure le tiers

10

3 est égal à : 2 1 1 b. 2 + a. 3 + 2 3

c. 1 +

1 2

11 Écrire les fractions suivantes

comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. 5 5 7 a. b. c. 4 2 3

du segment [CD] ?

9 cm

A

3 cm

C E

G

1,5 cm

1 cm

a. [AB]

B

D

F

H

b. [EF]

c. [GH]

Retrouve des QCM interactifs pour continuer à réviser sur www.bordas-myriade.fr

68

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IM

SP EC

Dans un passé pas si lointain, les écoles françaises n’étaient pas mixtes : il y avait d’un côté l’école des filles, et de l’autre celle des garçons. Et maintenant ? Saurais-tu dire quelle est la proportion de filles et de garçons dans ta classe ? Tu verras, p. 84, comment calculer de telles proportions.

EN

4

Écritures fractionnaires

Attendus de fin de cycle

• Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux • Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

OBJECTIFS 1

Représenter des partages à l’aide de fractions

2

Modifier l’écriture fractionnaire d’un quotient

3

Prendre une fraction d’une quantité

69

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Tous les énoncés modifiables de ces activités sont à télécharger sur www.bordas-myriade.fr

Acti

é vit

1

Associer fraction et partage

OBJECTIF

1

1 Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en coloriant

chaque case de la couleur correspondant à celle de la figure. 1 8

1 2

4 8

2 4

3 8

EN

1 du disque 8 est coloré en bleu.

2 Reproduire le rectangle quadrillé ci-dessous et le

2 du rectangle 18 est coloré en rouge.

IM

compléter avec les bonnes couleurs en utilisant le tableau à sa droite.

SP EC

2 18

1 3

2 9

3 Sur la demi-droite graduée ci-dessous, on a placé les fractions 0

1 –– 6

1 –– 3

1 6

3 18

1 1 et . 6 3 1

2 5 a. Reproduire la demi-droite et y placer les fractions et . 3 6 4 b. Placer la fraction . Que constate-t-on ? Expliquer. 6

Acti

é vit

2

Associer fraction et quotient

OBJECTIF

2

70

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1 a. Après avoir lu le raisonnement des deux élèves page précédente, expliquer de la même manière pourquoi la fraction

5 est un quotient. 4

5 b. En déduire une écriture décimale de la fraction . 4 c. Donner de même une écriture décimale des fractions suivantes : 3 9 12 7 ; ; et . 5 2 3 10 1 ? Expliquer. 3 3 Proposer d’autres fractions que l’on ne peut pas écrire sous la forme d’un nombre décimal.

3

Déterminer des fractions égales

OBJECTIF

2

IM

Acti

é vit

EN

2 Peut-on trouver un nombre décimal égal à la fraction

1 a. Observer les surfaces colorées ci-contre.

Que peut-on en dire ? b. À quelle fraction correspond chacune des parties colorées du disque ?

2 Recopier et compléter alors l’égalité de fraction : ■

SP EC

4

=

8

3× ■ 6 = 4× ■ 8 b. Comment modifier une fraction pour obtenir une autre fraction qui lui soit égale ?

3 a. Recopier et compléter :

3 4

4 En déduire d’autres fractions égales à .

Acti

é vit

4

Calculer la fraction d’une quantité

OBJECTIF

3

Un artisan chocolatier vend des paquets contenant chacun vingt petits lapins en chocolat. Trois copines se cotisent pour acheter un paquet. Amandine mange le quart du paquet. Margot se régale avec les deux cinquièmes de ce même paquet. Quant à Karima, elle récupère ce qu’il reste après le passage des deux gloutonnes.

1 Diviser 20 par 4, puis en déduire le nombre de lapins mangés par Amandine. 2 Diviser 20 par 5, puis en déduire le nombre de lapins mangés par Margot. 3 Calculer le nombre de lapins mangés par Karima. Parmi les trois amies, qui est la plus gourmande ?

4 Comment écrire en une seule ligne les calculs effectués aux questions

1 et 2 ?

Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

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71

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1

Partage et fraction

OBJECTIF

1

A Partage DÉFINITIONS

a • Soit a et b des nombres entiers avec b non nul. Le quotient est appelé une fraction. b • Dans une fraction, le nombre situé au-dessus de la barre de fraction s’appelle le numérateur et celui situé en dessous le dénominateur.

EN

Exemple La bande ci-dessous est partagée en sept morceaux égaux.

IM

1 Chaque morceau représente un septième de cette bande. On l’écrit . 7

Trois morceaux ont été colorés, soit trois fois un septième ou trois septièmes. La partie 3 colorée représente ainsi les trois septièmes de la bande, ce qui correspond à la fraction . 7 3 est le numérateur (« le nombre de morceaux colorés »).

SP EC

3 est une fraction. 7

7 est le dénominateur (« en combien de morceaux est partagée la bande »).

B Fraction et demi-droite graduée

Exemple Sur la droite graduée ci-dessous, l’unité (la baguette de pain) est partagée en 5 parts égales.

0

1 –– 5

2 –– 5

M

A

N

B

3 –– 5

1

7 –– 5

2

• Pour prendre trois parts sur cinq, on compte à partir de 0 : « 1 part sur 5 », puis « 2 parts sur 5 » et, enfin, « 3 parts sur 5 ». 3 L’abscisse du point M est . 5 • Prendre sept parts nécessite d’entamer la deuxième baguette. 5 La première baguette se termine à 5 parts sur 5, donc . 5 6 7 On continue à compter avec la deuxième baguette, soit puis . 5 5 7 L’abscisse du point N est . 5 72

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2

Fraction et quotient

OBJECTIF

2

A Écriture fractionnaire d’un quotient Le quotient de deux nombres a et b (avec b non nul) est le nombre qui, multiplié par b, donne a. a Sous forme fractionnaire, le quotient de a par b s’écrit (avec b ≠ 0). b

DÉFINITION

Exemple Par quel nombre faut-il multiplier 3 pour trouver 5 ? 5 ×?

Soit 3 × ? = 5.

EN

3

B Quotients égaux

IM

5 Le nombre cherché est le quotient de 5 par 3, soit . 3 5 5 est le nombre qui multiplié par 3 donne 5 : 3 × = 5. 3 3

Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

PROPRIÉTÉ

SP EC

Exemples 1,2 1,2 × 10 12 • 8 = 8 × 10 = 80 12 12 12 : 4 3 • 80 = 80 : 4 = 20 : dans ce cas, on dit que l’on a simplifié par 4 la fraction 80 .

3

Fraction d’une quantité

OBJECTIF

3

Prendre une fraction d’une quantité revient à multiplier cette quantité par la fraction.

PROPRIÉTÉ

Exemple Combien font les trois quarts de 20 € ? 3 Chercher les trois quarts   de 20 € revient à calculer :  4 3 20 × = 20 × (3 : 4) = 20 × 0,75 = 15. 4 Les trois quarts de 20 € font 15 €.

Le dico des

maths

• Dénominateur • Écriture fractionnaire

• Fraction • Numérateur • Quotient

Voir p. 255

Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

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73

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1 Je comprends

Représenter des partages

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

2. Reproduire le carré quadrillé ci-dessous 3 et colorier les de la figure. 4

1. ÉTAPE 1 Je commence par compter en combien de parties égales le disque est partagé : en six morceaux égaux. Chaque morceau représente donc un sixième de la figure. Cinq morceaux ont été colorés. ÉTAPE 2

La figure est ainsi partagée en quatre morceaux égaux.

IM

J’en déduis que la partie colorée représente 5 les cinq sixièmes du disque, ce que je note . 6

EN

1. Quelle fraction de la figure est colorée ?

2. ÉTAPE 1 3 On me demande de colorier les de la figure : 4 il faut donc que je partage la figure en quarts.

SP EC

ÉTAPE 2

Je m’entraine

1

CALCULER

3 Reproduire quatre fois le carré

Activités rapides

Dans chaque cas, indiquer quelle fraction du carré est colorée. a.

b.

Je colorie trois de ces morceaux sur quatre.

c.

d.

quadrillé ci-contre. Sur chaque carré, colorier en vert une des fractions de carré suivantes : 5 3 3 7 ; ; et . 16 4 8 32

4 Dans chacun des cas ci-dessous, donner, en

2 Dans chaque cas, indiquer quelle fraction de figure est colorée. a.

écriture fractionnaire, les abscisses des points A, B, C et D. a.

b.

A

B 1

0

c.

d.

b. 0

C

A

2 B

1

D

C

D 2

74

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à l’aide de fractions Je résous des problèmes simples 5 Sur le diagramme ci-contre, on a

MODÉLISER

COMMUNIQUER

CALCULER

9 Utiliser les droites graduées ci-dessous pour donner, dans chaque cas, la fraction la plus grande. 3 4 13 9 7 5 b. et . c. et . a. et . 5 6 6 4 5 4 0

1

2

0

1

2

EN

représenté les résultats des élections de délégués de classe. Les parts vertes correspondent aux votes attribués à Laurent, celles en bleu à Marion et celles en orange à Salim. Donner les proportions des voix de chacun à l’aide de fractions.

1

0

6 En Alsace, il est de tradi-

10 1. Reproduire la demi-droite graduée ci-dessous et y placer les nombres suivants : 2 5 7 3 ; ; et . 6 3 6 2

IM

tion de confectionner pour Noël des petits biscuits appelés Bredeles. Lorsque le partage le permet, reproduire les différentes formes de bis2 cuits ci-dessous et en colorier les avec une 3 couleur chocolat.

2

0

1

2

SP EC

2. Classer ces fractions dans l’ordre croissant.

11 Les maths autour de moi

7 Quand cela est possible, indiquer quelle fraction de figure est colorée. a.

b.

c.

d.

Pour son anniversaire, Léo reçoit trois amis. Sa maman a préparé un gâteau qu’elle coupe en huit parts égales. Léo prend une part. Anna et Armand prennent deux parts chacun. Oscar, très gourmand, prend 3 parts. Reste-t-il du gâteau pour la maman de Léo ? On pourra expliquer la réponse à l’aide d’un schéma représentant le gâteau.

12 TOP Chrono

8 1. Reproduire la demi-droite graduée ci-dessous et y placer les nombres suivants : 3 5 3 ; ; et 2,25. 4 4 2

0

1

Dans chaque cas, indiquer quelle fraction de figure est colorée. a.

b.

2

2. En déduire le nombre le plus grand et le nombre le plus petit.

c.

d.

Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

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75

22/03/16 19:00


2 Je comprends

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. Recopier et compléter l’égalité : 2. Écrire le quotient

Modifier l’écriture

2 … = . 3 21

75 sous la forme d’une fraction la plus simple possible. 105

1. ÉTAPE 1 Je cherche par quel nombre est multiplié le dénominateur.

Simplifier une fraction, c’est l’écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

IM

×?

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur de 2 la fraction par un 3 même nombre non nul, on obtient une fraction 2 égale à . 3

EN

2 … = 3 21

2. ÉTAPE 1 Je dois diviser le numérateur 75 et le dénominateur 105 par un même nombre.. Pour trouver ce nombre, je peux utiliser les critères de divisibilité. 75 et 105 se terminent par 5, donc ils sont 75 75 : 5 15 divisibles par 5 : = = . 105 105 : 5 21

SP EC

ÉTAPE 2 Le dénominateur est multiplié par 7. Je multiplie donc le numérateur par 7 pour compléter l’égalité. 2 2 × 7 14 = = 3 3 × 7 21 2 14 J’obtiens donc : = . 3 21

Je m’entraine

13

ÉTAPE 2 Il est encore possible de simplifier la fraction obtenue car 15 et 21 15 15 : 3 5 sont divisibles par 3 : = = . 21 21: 3 7 75 5 = . Ainsi : 105 7

CALCULER

Activités rapides

15 a.

7 … = 11 22

b.

… 9 12 72 = c. = 63 7 5 …

d.

… 13 = 10 2

16 a.

32 8 = … 9

b.

70 10 36 6 = c. = … 11 42 …

d.

81 … = 72 8

17 a.

… 54 15 30 = b. = 7 63 32 …

d.

8 … = 11 66

c.

11 33 = … 42

Pour les exercices 18 à 21, simplifier le plus possible chaque fraction. 6 8 25 16 b. c. d. 18 a. 9 14 15 12

Pour les exercices 14 à 17, recopier et compléter les égalités. 3 … 4 … 2 6 6 24 b. = c. = d. = 14 a. = 4 12 5 25 7 … 5 …

19 a.

21 14

b.

12 27

c.

36 42

d.

30 35

20 a.

40 24

b.

36 27

c.

36 60

d.

45 75

21 a.

56 42

b.

20 50

c.

200 600

d.

100 125

76

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fractionnaire d’un quotient Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

COMMUNIQUER

CALCULER

22 1. Écrire sous forme de fraction chacun des 27 Recopier et relier les points des fractions égales. 72 63

b. Deux tiers d. Neuf quarts f. Trois centièmes

2. Sans effectuer de calcul, recopier et compléter les égalités et les phrases suivantes par les fractions trouvées à la question précédente. a. 4 × … = 9 b. 3 × … = 2 c. 8 × … = 7 d. … × 100 = 3 e. En multipliant 8 par …, on obtient 4. f. En multipliant 6 par …, on obtient 15.

23 1. Donner une écriture décimale des quotients

7 11

3 2

35 55

13 39

11 9

1 3

210 140

8 7

30 42

5 7

28 Simplifier le plus possible chaque fraction. 25 35 2 800 c. 300 100 e. 175 a.

64 16 90 d. 66 34 f. 51 b.

Pour chaque cas, tu devras trouver une fraction égale telle que le numérateur et le dénominateur soient les plus petits possible.

IM

suivants.

44 36

EN

nombres suivants. a. Un demi c. Sept huitièmes e. Quinze sixièmes

1 1 7 2 7 3 ; ; ; ; ; . 2 4 10 5 5 8

2. Classer ces fractions dans l’ordre croissant.

29 Écrire les quotients suivants sous la forme de fractions les plus simples possible. 5,6 5, 6 6,5 0,44 3,2 b. c. d. a. 2,5 1,04 1,2 ,2 10

24 1. Donner une valeur approchée par défaut au 30 Écrire chaque nombre suivant sous la forme

d’une fraction la plus simple possible. a. 0,6 b. 1,4 c. 3,6 d. 0,32 e. 12,5 f. 2,05

SP EC

centième près des quotients suivants. 4 11 14 ; et . 3 7 6

2. En déduire un encadrement de chacune de ces fractions par deux entiers consécutifs. Aide

Par exemple, 1 <

de

3 < 2 est un encadrement 2

3 par deux entiers consécutifs. 2

5 7

25 1. Écrire une fraction égale à dont le numérateur est 25.

5 2. Écrire une fraction égale à dont le dénomi6 nateur est 42.

26 Recopier et compléter les égalités suivantes. … 40 48 1,2 … 4 … a. = = = = = = 15 … 3 9 … … 15 b.

… … 30 36 … 6 2,4 = = = = = = 63 77 … 42 28 … …

31 Les maths autour de moi 1. Par le passé, les téléviseurs 4 respectaient le format . Ce 3 rapport désigne la proportion entre la longueur et la largeur. Quelle était alors la largeur d’un téléviseur de longueur 96 cm ? 2. Actuellement, le format d’écran le plus 16 répandu est le . Quelle est la largeur d’un 9 téléviseur de longueur 96 cm ?

32 TOP Chrono Dans chaque cas, dire si les fractions sont égales. 4 9 2 5 13 7 a. et b. et c. et 5 5 3 6 12 6

Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

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3 Je comprends

Prendre une fraction

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Dans une classe de 6e dont l’effectif est de 24 élèves, les trois huitièmes sont des filles. Combien y a-t-il de filles dans cette classe ? ÉTAPE 1 J’écris la fraction correspondant

ÉTAPE 3 Je conclus : les trois huitièmes de la classe correspondent à neuf élèves : il y a donc neuf filles dans la classe.

3 à « trois huitièmes » : . 8

ÉTAPE 2 Je veux prendre les trois huitièmes

IM

Je m’entraine 33

Suivant les situations, certains calculs seront plus faciles à effectuer que d’autres mais tous donnent, bien entendu, le même résultat !

EN

3 par 24. 8 Plusieurs calculs sont possibles : 3 24 × = (24 : 8) × 3 = 3 × 3 = 9 8 3 24 × = 24 × (3 : 8) = 24 × 0,375 = 9 8 3 24 × = (24 × 3) : 8 = 72 : 8 = 9 8 de 24, donc je multiplie

CALCULER

3 8 2 d. 12 × 24

38 a. 48 ×

SP EC

Activités rapides

Calculer et donner chaque résultat sous la forme d’une fraction. 4 9 5 b. × 2 c. 1,2 × a. 5 × 3 5 7 d. Le quart de 7. e. Les quatre sixièmes de 11. 2 f. Le double de . 9

15 5

b. 12 ×

14 3

14 35 a. 27 × 9

16 b. 8 × 4

10 3

b. 200 ×

36 a. 2,7 × 2 7

37 a. × 7 d. 25 ×

12 5

3 100

4 3 8 e. 12 × 6 b. 9 ×

c. 25 ×

6 5

9 c. 66 × 11 c. 54 ×

2 6

c. 36 ×

7 6

f.

11 × 100 50

4 × 100 10 9 f. × 12 54 c.

39 Calculer, puis donner les résultats sous forme décimale. 16 a. 6 × 12

d. Les

b.

7 ×2 14

4 de 42. 6

Pour les exercices 34 à 42 42,, calculer le plus simplement possible.

34 a. 7 ×

6 × 49 7 12 e. 35 × 30 b.

f. 5 ×

9 3 7 e. Le triple de . 6 c. 2,3 ×

7 ×3 15

40 Calculer, puis donner une valeur approchée par défaut au centième près. 6 4 a. 8 × b. 3 × 13 9

c. 2 ×

7 11

41 Calcul mental a. La moitié de 24. c. Le quart de 18.

b. Le tiers de 27. d. Les trois quarts de 100.

42 Calcul mental a. Les deux tiers de 60. b. Les quatre cinquièmes de 45. c. Les six huitièmes de 16.

78

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d’une quantité Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

43 Calcul mental. Exprimer en minutes chaque 50 On cherche un mot de six lettres dont : 5 c. d’heure 6 9 f. d’heure 4

44 Calcul mental. Combien de minutes représentent : a. le quart d’une heure ? 5 b. les de deux heures ? 6 2 c. les de deux heures ? 3

• le nombre de A représente la moitié du nombre total de lettres ; • le nombre de N représente un tiers du nombre total de lettres ; • le nombre de lettres S représente un sixième du nombre total de lettres. Trouver un mot respectant ces consignes.

EN

fraction d’heure ci-dessous. 3 1 a. d’heure b. heure 4 2 6 3 d’heure e. d’heure d. 12 10

51 Une course fait 45 km. Quel coureur est en tête ?

45 Mémé Jacqueline vient de se découvrir une pas-

IM

sion pour l’informatique : elle passe le sixième de sa journée devant son ordinateur sur les réseaux sociaux ! Combien d’heures par jour fait-elle de l’informatique ?

46 Titine, guichetière à la banque Crédit Sympa, a

SP EC

déposé les trois septièmes de sa caisse dans le coffre-fort de la banque. La caisse contenait 12 600 €. Quelle somme se trouve maintenant dans la caisse de Titine ?

47 Simon, qui adore la ran-

donnée, enfile ses chaussures de marche pour une ballade de 24 km. Il fait bien chaud, c’est l’été, mais heureusement pour lui, les sept huitièmes de sa balade sont en forêt ! Quelle sera la longueur de son parcours à l’ombre ?

48 Les trois gagnants d’un jeu-concours se par-

tagent la somme de 1 400 €. Le premier reçoit 4 3 les , le deuxième reçoit les et le troisième 7 8 reçoit ce qu’il reste. Calculer ce que reçoit chaque gagnant.

49 Lorsque Lisa fait la vaisselle, elle casse quatre assiettes sur dix ! Après sa fête d’anniversaire, Lisa doit laver les quinze assiettes. Combien d’assiettes sortiront intactes de cette vaisselle ?

52 Les maths autour de moi En début de semaine, la documentaliste a commandé 27 bandes dessinées pour le CDI. Le jeudi, les deux tiers de ces bandes dessinées sont déjà empruntés. 1. Combien de BD sont-elles empruntées ? 2. Combien en reste-t-il vendredi ?

53 TOP Chrono 1. Claire a dépensé les deux cinquièmes des 55 € se trouvant dans sa tirelire. Quelle somme a-t-elle dépensée ? 2. Jojo a bu les trois quarts de 2 L de lait. Quel volume cela représente-t-il ? 3. Isabelle a parcouru les trois septièmes des 7,7 km de sa course hebdomadaire. Quelle distance lui reste-t-il à courir ?

Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

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Avec ses questions, Une10bonne ce réponse QCM est = noté sur 10 ! un point ! ComptePour 1 point par bonne t’évaluer, réponse vérifiantpage regarde les en réponses les corrigés XXX.p. 250 !

Pour chaque question, trouver la seule bonne réponse parmi les trois propositions.

Je fais le point QCM

1 Représenter des partages à l’aide de fractions A

54 Dans quel cas a-t-on colorié les de la figure ?

B

C

2 3

EN

55 L’abscisse de A est égale à : A

4 8

3 2

A

B

C

9 11

11 9

1,22

15,4

0,26

3,75

2 4

24 10

1 2

4 12

16 4

4,2 1,4

A

B

C

9 × 21 : 7

21× 9 21× 7

21 × 7 : 9

Il en donne les cinq sixièmes à son amie Florie. Combien lui en reste-t-il ?

30

5

6

12 = 60

3 15

6 40

0,25

1 4

5 15

1 3

0

1,4

1

2

2 Modifier l’écriture fractionnaire d’un quotient

trouver 11 ?

57 Une écriture décimale de

IM

56 Par combien faut-il multiplier 9 pour 15 est : 4

SP EC

58 2,4 a pour écriture fractionnaire :

59 Quel quotient a un dénominateur égal au tiers de son numérateur ?

3 Prendre une fraction d’une quantité

9 7

60 21 × =

61 Romain possède 36 cartes Pocket-Mocket.

62

63 La fraction la plus simple égale à

25 est : 75

Il faut revoir ton cours… COURAGE !

BRAVO ! 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tu peux continuer à t’entrainer page suivante.

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Cettepage pageest estfaite faite Cette pour t’entrainer tout(e) seul(e). pour t’entrainer tout seul. corrigés se trouvent LesLes corrigés se trouvent page page XXX250 ! !

Accompagnement personnalisé

Je fais le point EXERCICES 1

69 Recopier et compléter les égalités suivantes.

Représenter des partages à l’aide de fractions

a.

5 … 30 = = 6 18 …

b.

7 28 … = = 5 … 25

64 Dans chaque cas, indiquer quelle fraction de 70 Simplifier le plus possible chaque quotient. figure est colorée. a.

a.

b.

66 88

b.

84 72

c.

54 48

d.

72 48

d.

c.

65 Pour chaque cas, donner en écriture fractionA

B

2

C

D

4

3

b.

B

C

D

72 Dans chaque cas, dire si les fractions sont égales. 14 7 et . 18 9 16 5 et . d. 20 4 a.

SP EC

A

ter les égalités suivantes avec les signes = ou ≠. 5 7 9 b. … 0,875 c. … 2,25 a. … 0,833 6 8 4 3 0 d. … 0,42857142 e. … 0 7 5 15 f. … 1,666 9

IM

naire les abscisses des points A, B, C et D. a.

EN

71 À l’aide d’une calculatrice, recopier et complé-

1

3

2

66 Reproduire la demi-droite graduée ci-dessous et placer les fractions suivantes. 1 7 10 9 ; ; et 2 4 8 4

25 5 et . 36 6 19 1 e. et . 38 2

73 Écrire une fraction égale à nateur est 9.

8 40 et . 12 60 0 0 f. et . 5 2

b.

c.

63 dont le dénomi81

3

Prendre une fraction d’une quantité

74 Calculer le plus simplement possible.

0

2

1

A=5×

12 2 10 ; B = × 14 et C = 5 × . 6 7 20

75 Claire dit posséder les deux tiers de l’argent que

2

Modifier l’écriture fractionnaire d’un quotient

sa petite sœur Adèle a dans sa tirelire. Sachant qu’Adèle a 45 € d’économies, quelle somme Claire possède-t-elle ?

67 Donner une écriture décimale de ces quotients. 76 Le vieux marin grec Nikos a.

7 10

b.

45 5

c.

8,1 9

d.

3 5

e.

25 4

f.

5,6 8

prétend que son pélican Petros a les deux cinquièmes de son âge. Nikos a 75 ans. Quel est l’âge de Petros ?

77 La clé USB de Fannie est remplie aux sept hui68 Donner une écriture décimale de ces quotients. tièmes de sa capacité de stockage, qui est de a.

6,7 100

b.

100 8

c.

0,42 3

32 Go. Peut-elle encore stocker ses photos de vacances qui représentent 5 Go ? Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

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Objectifs 1 2 3 2 1. Quels segments mesurent les du segment 3 [AB] ? C

B

D E

F

2. a. Reproduire la figure ci-dessus et placer le 1 point M tel que : AM = × AB. 6 7 b. Placer le point N tel que : AN = × AB. 6 3. Recopier et compléter les égalités suivantes par des fractions. a. AB = … × AD b. BE = … × AE c. BD = … × CE d. CD = … × CB

1. Avec une calculatrice, simplifier le plus pos7 650 sible la fraction . 8 550 On écrira les étapes de la simplification en précisant à chaque fois : « J’ai simplifié par …. » Aide 2. Reprendre la question 3 564 Utilise les critères précédente avec . de divisibilité ! 3 888

83 Résoudre un problème

DOMAINE 1 DU SOCLE

Pour la Chandeleur, Cécile a préparé 72 crêpes. Les 5 de ces crêpes sont salées pour faire des crêpes 8 complètes. Les autres sont sucrées pour les servir avec de la confiture. Combien de crêpes sucrées Cécile a-t-elle préparées ?

IM

79 Placer des fractions sur une droite graduée

DOMAINE 3 DU SOCLE

EN

78 Calculer des fractions de longueur

A

Simplifier une fraction

82

84 Estimer des quantités DOMAINE 1 DU SOCLE

Voici la liste des ingrédients pour préparer la recette du célèbre quatre-quarts.

SP EC

1. Reproduire la demi-droite graduée ci-dessous, puis placer les points A, B et C dont les abscisses sont les nombres respectifs suivants : 3 1 2 ; 1 + et 2 + . 5 5 5 0

2

1

2. Écrire, à l’aide d’une fraction, les abscisses des points B et C.

80 Lire des abscisses sur une droite graduée A

B

7

C

8

– Le tiers d’un paquet de farine. – Le quart d’un paquet de sucre. 7 – Les d’une livre de beurre. 8

– Trois œufs.

D

9

1. Recopier et compléter les propositions suivantes. … a. L’abscisse de A est : 7 + 6 … b. L’abscisse de B est : 7 + 3 … c. L’abscisse de C est : … + … 1 d. L’abscisse de D est : … – … 2. Dans chaque cas, écrire les abscisses du point à l’aide d’une seule fraction.

81 Calculer astucieusement Effectuer astucieusement ces opérations. 2 4 5 3 b. × × 12 × 15 a. 3 × × × 7 7 3 6 5

Estelle veut préparer quatre quatre-quarts ! Aura-t-elle les ingrédients suffisants avec un paquet et demi de farine, un paquet de sucre, trois livres de beurre et une boite de douze œufs ? Expliquer.

85 Résoudre un problème de partage Comment dois-je partager, avec mes deux frères, l’héritage de 9 000 $ que nous a légué notre oncle d’Amérique ? Son testament fait mention d’un curieux défi : Pour toucher l’héritage, il vous faudra d’abord calculer la part de chacun. L’ainé recevra les 9 de la part du cadet 8 qui recevra les 5 du tout. 18

82

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RAISONNER

REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

86 Comparer des proportions

CALCULER CALCULER

CHERCHER

MODÉLISER

90 Résoudre un problème historique

DOMAINE 5 DU SOCLE

2 d’un gâteau à la pistache. 9 1 Clairette mange les de ce même gâteau. Quant 5 à Eulalie, elle mange ce qu’il reste après le passage des deux gloutonnes. Laquelle des trois filles est la plus gourmande ? Expliquer.

87 Prendre une fraction d’une quantité

Cet œil, appelé Oudjat Oudjat,, est partagé par Seth en six morceaux, puis dispersé à travers l’Égypte. Thot,, le dieu magicien à tête d’ibis, reconstitue Thot l’œil, symbole du Bien contre le Mal. Chacune de ses parties symbolise une fraction de numérateur 1 et de dénominateurs 2, 4, 8, 16, 32 et 64, comme le montre l’illustration ci-dessus. Mais la somme de ces parts n’est pas égale à 1 (équivalent à l’œil entier). Calculer la fraction de l’œil manquante.

IM

Raphia mange les

EN

Il existe un épisode sanglant de la mythologie égyptienne. Lors d’un combat, Seth, dieu de la violence et incarnation du mal, arrache un œil à Horus, dieu à tête de faucon et à corps d’homme.

SP EC

2 L’oncle de Paulo lui dit : « Si tu me trouves les 3 3 des de 24 €, tu les auras ! » 4 Que doit répondre Paulo ?

88 Estimer une fraction de fraction

Le père Lapaille possède une belle bassecour de 240 animaux. Sa spécialité est l’élevage de poules : elles représentent les deux tiers de sa bassecour. Parmi elles, les trois cinquièmes sont des poules pondeuses. Les autres sont des poules de Bresse. Combien de poules de Bresse le père Lapaille possède-t-il ?

89 Vérifier des égalités

DOMAINE 2 DU SOCLE

1. a. L’égalité ci-dessous est-elle vraie pour N = 9 ? Expliquer. N 3 = 4 N +3 b. Même question pour N = 10. Expliquer. 2. Trouver un nombre M pour lequel l’égalité suivante est vraie. M 5 = . 7 M +6

91 Résoudre un problème scientifique

• Avec ses 143 000 km de diamètre, Jupiter est

la plus grande planète du système solaire. • Le diamètre de Saturne, la planète aux 5 anneaux, est environ égal au du diamètre de 6 Jupiter. • La planète Vénus, appelée également l’étoile 9 du Berger, a un diamètre égal au du diamè100 tre de Jupiter. • Mercure, planète la plus proche du Soleil, pos2 sède un diamètre égal environ aux de celui de 5 Vénus.

Saturne

Jupiter

Vénus

Mercure

Calculer le diamètre de Saturne, de Vénus et de Mercure. On donnera des valeurs arrondies au millier de kilomètre près. Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

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Dans les autres matières Aide

92 On a graduated line

a. Prouver que toutes ces activités occupent 39 quarts d’heure par jour. b. Quelle fraction d’une journée ces activités occupent-elles ? c. Sur une vie de 96 ans, en déduire le nombre d’années que passe un homme à effectuer ces activités. 3. « Reste encore un an pour faire ce qu’oiseaux font au printemps. Par jour l’homme a donc sur Terre un quart d’heure de bon temps. » Expliquer comment Boileau en est arrivé à ces conclusions.

Commence par calculer le nombre de quarts d’heure qu’il y a dans une journée.

1. Convert the following numbers into fractions: 1.5; 0.75; 0.25; 0.5; 2.5 2. Reproduce the graduated line below and place the above fractions on this line. 2

1

93 Le quart d’heure de bon temps

3

94 En 2012, sur les 105 000 véhicules impliqués

6 concernaient 25 des scooters. Combien de conducteurs de scooters cela représente-t-il ? dans un accident de la route, les

IM

Les extraits qui suivent sont issus d’un poème de Nicolas Boileau (1636-1711) : Le quart d’heure de bon temps. 1. « L’homme, dont la vie entière est de quatrevingt-seize ans, dort le tiers de sa carrière […] Ajoutons pour maladies, procès, voyages, accidents au moins un quart de la vie […] » a. Calculer le nombre d’années que passe un homme à dormir, selon Boileau. b. Calculer le nombre d’années passées « pour maladies, procès, voyages, accidents ». 2. « Par jour deux heures d’études ou de travaux […] Noirs chagrins, inquiétudes pour le double […] Pour affaires qu’on projette demi-heure […] Cinq quarts d’heure de toilette barbe et cætera […] Par jour pour manger et boire deux heures […] »

EN

0

95 Au second tour de l’élection présidentielle de

SP EC

2012, les quatre cinquièmes des électeurs inscrits ont voté. Environ 46 030 000 Français sont inscrits sur une liste électorale. Combien de personnes se sont abstenues lors de ce second tour ? Donner une valeur approchée au million près.

Retour sur la page 69

Avec les figures données dans le document 1, représenter, en rose, la part qui correspond au nombre de filles et, en bleu, celle qui correspond au nombre de garçons, dans la classe de 6e A présentée dans le document 2. Recommencer avec sa propre classe.

DOC

1

DOC

2

Les figures à reproduire

4 cm

3 cm 4 cm

Nombre de filles et de garçons dans la classe de 6e A

Nombre de filles

15

Nombre de garçons

10

5 cm

84

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ues

mathématiq

à la maison 99 Partage de figures

Recopier et compléter la grille à l’aide des définitions ci-dessous. 1

2

3

4

A B C D

Horizontalement

100 Demi-droite graduée

1. Reproduire la demi-droite graduée ci-dessous en remplaçant chaque point d’interrogation par une fraction.

IM

5 55 A. Nombre manquant dans l’égalité : = . 11 … 4 B. Les de 3 588. 3 2 C. du nombre de la colonne 4. – Écriture déci6 male d’un quotient dont le numérateur est égal au dénominateur. D. Chiffre pair. – Chiffre impair.

1. Construire un disque de rayon 3 cm, un carré de côté 5 cm et un rectangle de dimension 6 cm sur 4 cm. 3 2. a. Colorier en noir les du disque. 8 7 b. Colorier en bleu les du carré et en rouge 25 2 les du carré. 5 c. Colorier en vert un dixième du rectangle et en 13 mauve les du rectangle. 20 3. Pour chaque figure, donner une fraction de la surface qui n’a pas été coloriée.

EN

96 Nombres croisés

?

0

? 1

?

? 2

2. Sur cette même demi-droite, placer les fractions suivantes. 11 4 3 1 9 ; ; ; et . 6 3 2 4 12

SP EC Verticalement 2 1. Le double des de 333. 3

19 57 = . 59 … 57 1 3. Nombre manquant dans l’égalité =…+ . 2 2 – Tiers de 15. 3 dont 4. Dénominateur d’une fraction égale à 47 le numérateur est 9. 2. Nombre manquant dans l’égalité

97 Défi !

Mon gâteau a la forme d’un triangle équilatéral. Saurais-tu parfaitement couper les deux tiers du gâteau en deux coups de couteau seulement ?

98 Énigme

de filles. Parmi Ma classe contient trois cinquièmes tiers les yeux le et s bleu elles, la moitié a les yeux yeux verts. les ont s, troi t son marron. Les autres, qui ? se clas ma s dan s Combien y a-t-il d’élève

101 Élection des délégués Lors du second tour de l’élection des délégués de classe, chaque élève a voté pour un candidat : 2 • 12 des élèves ont voté pour Solange ; 1 • 3 des élèves a voté pour Salomé ; 1 • 4 des élèves a voté pour Élia ; 1 • 6 des élèves a voté pour Jean-Baptiste. 1. Quels sont les deux délégués élus ? Expliquer. 2. Quelle fraction d’élèves de la classe a mis un bulletin nul ou blanc dans l’urne ? 3. La classe est composée de 24 élèves. Calculer le nombre de voix obtenues par chaque candidat. Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

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85

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Pour faire ces activités, télécharger les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur www.bordas-myriade.fr

1

L’âge des Français Exploiter les représentations graphiques données par le tableur

20’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

EN

Le tableau ci-dessous représente la répartition de la population en France métropolitaine par groupe d’âges en 2010 (source : INSEE).

a. Moins de la moitié de la population a entre 20 ans et 59 ans. 3 b. Plus des de la population ont moins de 59 ans. 4 1 c. Moins de de la population a plus de 60 ans. 6 2 d. Les de la population ont entre 20 ans et 74 ans. 3

IM

1 a. Reproduire ce tableau dans une feuille de calcul d’un tableur. b. Représenter les données de ce tableau dans un diagramme circulaire présentant le nombre de Français pour chaque tranche d’âge. Tableur 4

SP EC

2 En observant le diagramme, répondre par vrai ou faux aux affirmations ci-contre.

2

Nombre d’enfants par famille

Exploiter les représentations graphiques données par le tableur

20’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

Le tableau ci-dessous représente la répartition des familles en 2012 en France métropolitaine ayant au moins un enfant de moins de 18 ans ((source : INSEE).

1 a. Reproduire ce tableau sur une feuille de calcul d’un tableur. b. Représenter ces données dans un diagramme circulaire présentant le nombre de familles selon le nombre d’enfants. Tableur 4 2 En observant le diagramme, répondre par « vrai » ou « faux » aux affirmations ci-contre.

1 des familles a un enfant. 3 1 b. Moins de des familles a 3 enfants ou plus. 4 3 c. Moins de des familles ont au moins deux 4 enfants. 1 d. Environ des familles a 3 enfants ou plus. 6

a. Environ

86

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3

Partage S’exercer à représenter des fractions de surface en utilisant le tableur comme outil de vérification

20’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

IM

EN

1 a. Dans une feuille de calcul d’un tableur, reproduire Pour les utilisateurs d’OpenOffice : le tableau ci-dessous en respectant les consignes avant de commencer, cliquer sur suivantes : Outils puis AutoCorrection . Dans l’onglet Remplacer, supprimer de la • le format des cellules A2, B2 et C2 est modifié liste 1/2, 1/4 et 3/4. pour obtenir un affichage des nombres en écriture fractionnaire : sélectionner ces cellules et cliquer-droit sur Formater les cellules, puis dans l’onglet Nombre, choisir la catégorie Fraction ; C2.. • la cellule D2 affiche la somme des nombres des cellules A2, B2 et C2 Modifier son format pour obtenir un affichage avec deux décimales.

b. Le diagramme ci-contre représente des parts de disque données par les fractions du tableau précédent. Afficher ce diagramme.

SP EC

A2,, B2 et C2 de façon 2 Écrire de nouvelles fractions dans les cellules A2 que leur somme soit égale à 1 et qu’elles correspondent au partage dans le diagramme ci-contre. « 1,00 » doit s’afficher dans la cellule D2 de ta feuille de calcul.

3 Même question avec les partages suivants :

4

1re part 2e part 3e part

1re part 2e part 3e part

1re part 2e part 3e part

1re part 2e part 3e part

Fraction d’un nombre

Utiliser un logiciel pour obtenir la fraction d’un nombre

20’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

1 Dans le programme ci-contre, à quoi correspond le nombre affiché à la fin ? 2 Saisir ce programme dans Scratch et calculer : 2 2 2 c. × 259 a. × 18 b. × 81 3 3 3 3 Modifier le programme pour obtenir les résultats des calculs suivants : 4 5 8 a. × 11 b. × 12 c. × 254 7 6 11 127 × … soit un nombre entier. 4 Trouver un nombre plus grand que 5 000 tel que 247 Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

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87

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Avant de commencer… … je revois mes acquis de début de cycle 3 Reconnaitre et utiliser la proportionnalité 1 À l’entrée d’un supermarché, il est écrit sur une affiche :

2 Le tableau de cette feuille de calcul

est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier la réponse.

Un pomelo pour 1,50 €… Trois pomelos pour 4 € !

EN

Y a-t-il proportionnalité entre le nombre de pomelos achetés et le prix à payer ? a. Non b. Oui c. On ne peut pas savoir.

3 Le prix de 2 kg de cassonade s’élève à 3 €. Quel est le prix de 8 kg de cette cassonade ? a. 9 €

b. 12 €

c. 4 €

4 À l’âge d’un an, Célia mesurait 65 cm. Quelle est sa taille à ses 2 ans ? b. 75 cm

c. On ne peut pas savoir.

IM

a. 130 cm

5 Un lot rassemblant les 15 premiers tomes du célèbre manga Dragon Bulle est vendu

SP EC

105 €. Chaque tome de cette série est au même prix. 1. Quel serait le prix d’un lot de 9 volumes de ce manga ? 2. Combien de tomes de ce manga peut-on acheter avec 161 € ?

Utiliser des pourcentages

6 Prendre 50 % d’une quantité, c’est prendre : a. sa moitié. b. son double. c. son triple.

7 Manger le quart d’un gâteau, c’est en manger : a. 50 % b. 25 % c. 4 %

8 Dans un magasin, un téléviseur

à écran plat full HD est affiché 200 €. Le vendeur propose à Léa une remise de 15 % sur le modèle exposé. Quel prix Léa va-t-elle payer pour ce téléviseur ?

Utiliser des échelles 9 Célia construit une maquette de voiture

à l’échelle 1/50. Ceci signifie que la maquette : a. mesure 50 cm. b. est 50 fois plus petite que la vraie voiture. c. est 50 fois plus grande que la vraie voiture.

10 Lors d’une balade en forêt, Hugo et son grand frère utilisent une carte à l’échelle 1/25 000. Sur cette carte, leur parcours mesure 10 cm. Quelle distance vont-ils parcourir en réalité ? Retrouve des QCM interactifs pour continuer à réviser sur www.bordas-myriade.fr

88

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SP EC

IM

Faire appel à des énergies « propres » permet de baisser la consommation globale de carburants en polluant moins : les véhicules électriques et solaires en sont de bons exemples. Cependant, cette technologie n’étant pas encore très répandue, on continue de voyager à l’aide du pétrole. Dans cette optique, page 104, tu aborderas avec la tâche complexe une problématique d’optimisation de déplacements.

EN

5

Proportionnalité

Attendus de fin de cycle

• Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples,

les nombres décimaux et le calcul ��� Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux

OBJECTIFS 1

Reconnaitre la proportionnalité

2

Utiliser la proportionnalité

3

Appliquer un taux de pourcentage

89

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Tous les énoncés modifiables de ces activités sont à télécharger sur www.bordas-myriade.fr

Acti

é vit

1

Reconnaitre la proportionnalité

OBJECTIF

La photographie ① ci-contre représente quelques vaches broutant paisiblement dans de verts pâturages. Quatre copies de cette photo, numérotées de ② à ⑤, ont été réalisées dans des formats différents. Le but de l’activité est de reconnaitre les copies dont les dimensions (longueur et largeur) sont proportionnelles à celles de l’originale.

1

EN

1

2

SP EC

IM

4

3

5

1 Observer ces images, puis indiquer pour chacune d’elles si elle semble être une copie bien proportionnée de la photo originale ①. 2 a. Mesurer les dimensions de chaque photo, puis compléter le tableau ci-dessous. b. Que remarque-t-on pour les ① ② ③ ④ Photographie Longueur ? quotients Longueur (en cm) Largeur c. Expliquer pourquoi cela permet de reconnaitre les copies bien proportionnelles à la photo ①.

Largeur (en cm) Longueur Largeur

90

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Acti

é vit

2

Utiliser la proportionnalité

OBJECTIF

1 Reproduire en vraie grandeur le puzzle repré-

6 cm

2

6 cm

4

3

8 cm

Cette activité est inspirée du « puzzle de Brousseau » dont on peut trouver d’autres exemples sur Internet.

1

EN

2 Agrandir ce puzzle en respectant la consigne : Un segment, qui mesure 4 cm sur le puzzle, devra mesurer 5 cm sur le puzzle agrandi.

4 cm

senté ci-contre.

2

IM

4 cm

3

Appliquer un taux de pourcentage

OBJECTIF

3

SP EC

Acti

é vit

2 cm

Dans un stade de football de 5 000 places, 4 catégories de places sont proposées à la vente pour le public. Le tableau ci-dessous, construit dans une feuille de calcul d’un tableur, montre la répartition (en pourcentages) de ces places dans chaque catégorie.

1 5 % des places de ce stade sont réservées pour les supporteurs en tribune VIP. Vérifier qu’il y a 250 places VIP.

2 Calculer le nombre de places disponibles pour les supporteurs dans les 3 autres catégories.

Chapitre 5 • Proportionnalité

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91

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1

Reconnaitre la proportionnalité

OBJECTIF

1

Dire que deux grandeurs sont proportionnelles signifie que les valeurs de l’une des deux grandeurs s’obtiennent en multipliant (ou en divisant) les valeurs de l’autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

DÉFINITION

Masse de pommes (en kg) Prix à payer (en €)

1

2

1,30

2,60

EN

Exemple Une situation de proportionnalité : le prix par rapport à la masse achetée Des pommes sont vendues au prix de 1,30 € le kg. Le vendeur indique les prix suivants en fonction de la quantité. Ainsi : 1 kg de pommes coute 1,30 € ; 2 kg de pommes coutent 2,60 € ; 4 kg de pommes coutent 5,20 €, etc. On constate qu’acheter deux fois plus de pommes coute deux fois plus cher : le prix est donc proportionnel à la masse.. On peut représenter cette situation de proportionnalité dans un tableau, comme ci-dessous. 4

10

5,20

13,00

× 1,3

IM

1,3 est donc le coefficient de proportionnalité. proportionnalité.

Pour obtenir le prix des pommes, on multiplie toujours la masse par le même nombre : 1,3.

SP EC

Exemple Une situation de non-proportionnalité : la taille en fonction de l’âge On a noté la taille de Vicky à différents moments de sa vie. Elle mesurait : 60 cm à l’âge de 1 an ; 1 m à 5 ans ; 1,40 m à 10 ans ; 1,70 m à 20 ans. À 20 ans, Vicky ne mesure pas deux fois la taille qu’elle mesurait à l’âge de 10 ans : la taille n’est donc pas proportionnelle à l’âge, comme le confirme le tableau ci-dessous. Âge (en années) Taille (en m)

2

1

5

10

20

0,60

1

1,40

1,70

Remarque Dans ce tableau, on ne peut pas multiplier l’âge par un même nombre pour obtenir la taille.

Utiliser la proportionnalité

OBJECTIF

2

Il existe plusieurs méthodes pour calculer une grandeur par proportionnalité. Nous allons les découvrir à travers l’exemple du calcul d’une grandeur : le prix d’un jus de mangue selon la quantité achetée. Exemple 4 L de jus de mangue coutent 7,20 €. Sachant que le prix est proportionnel à la quantité de jus de fruits, quel est le prix de 8 L de jus de mangue ? de 6 L ? de 14 L ?

• Calcul du prix de 8 L de jus de mangue à l’aide de la méthode multiplicative On connait le prix de 4 L de jus de mangue, on cherche celui de 8 litres. On remarque que 8 est le double de 4 car 4 × 2 = 8. On achète 2 fois plus de jus de mangue, on paye donc 2 fois plus cher. On calcule 7,20 × 2 = 14,40. ×2

Volume de jus de mangue (en L) Prix (en €) 92

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4

8

7,20

14,40

Le prix de 8 litres de jus de mangue est donc de 14,40 €.

×2

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• Calcul du prix de 6 L de jus de mangue à l’aide de la méthode du passage par l’unité (coefficient de proportionnalité) 7,20  = 1,80. On calcule combien coute 1 L de jus de mangue : 4 Volume de jus de mangue (en L) Prix (en €)

4

1

7,20

1,80

1,80 est le coefficient de proportionnalité.

On calcule le prix de 6 L de jus de mangue : 6 × 1,8 = 10,80. Volume de jus de mangue (en L) Prix (en €)

4

1

6

7,20

1,80

10,80

Le prix de 6 L de jus de mangue est donc de 10,80 €.

EN

• Calcul du prix de 14 L de jus de mangue à l’aide de la méthode additive On connait le prix de 6 L et 8 L de jus. On remarque que 14 est la somme de 6 et 8 : 6 + 8 = 14. Le prix de 14 L est donc égal à la somme du prix de 6 L et du prix de 8 L : 10,80 + 14,40 = 25,20. = +

Volume de jus de mangue (en L)

10,80

8

14

14,40

25,20

IM

Prix (en €)

6

Le prix de 14 L de jus de mangue est donc de 25,20 €.

+

=

Appliquer un taux de pourcentage

OBJECTIF

SP EC

3

DÉFINITION

Un pourcentage de t % traduit une situation de proportionnalité de coefficient

3

t . 100

t Ainsi, appliquer un taux de t % à une quantité, c’est multiplier cette quantité par . 100 Exemple Justine a acheté une tablette de chocolat de 250 g, contenant 35 % de cacao. Quelle masse de cacao contient la tablette ? Prendre 35 % de 250 g, c’est se demander : « 35 g pour 100 g, c’est combien, dans la même proportion, pour 250 g ? » 35 . Calculer 35 % d’un nombre revient donc à multiplier ce nombre par 100 35 = 87,50. 35 % de 250, c’est 250 × 100 Masse de la tablette (en g)

100

250

Masse de cacao (en g)

35

87,50

×

35 100

Il y a donc 87,50 g de cacao dans la tablette de chocolat. Remarque 100 % de la tablette de chocolat, c’est toute la tablette de chocolat !

Le dico des

maths

• Coefficient de proportionnalité • Grandeurs proportionnelles • Pourcentage • Tableau de proportionnalité Voir p. 255

Chapitre 5 • Proportionnalité

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93

22/03/16 16:54


1 Je comprends

Reconnaitre

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Situation 2 Dans la même boulangerie : – Izia achète 2 croissants pour 2,40 € ; – Astrid achète 4 croissants pour 4,80 € ; – Tao achète 6 croissants pour 7,20 €. Peut-on dire que le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés ?

Situation 1

Situation 2

ÉTAPE 1 Je calcule les quotients des tailles

par les âges. J’obtiens les résultats suivants : 140 110 = 14 et = 22. 10 5

1

les quotients des prix par les nombres de croissants ; j’obtiens les résultats suivants : 2,40 2, 40 4,80 4, 80 7,20 = 1,20 ; = 1,20 et = 1,20. 2 4 6 ÉTAPE 2 Je constate que les quotients sont tous égaux : le prix semble donc bien proportionnel au nombre de croissants achetés.

MODÉLISER

4 Il existe un tableau d’équi-

SP EC

Activités rapides

ÉTAPE 1 Pour chaque personne, je calcule

IM

ÉTAPE 2 Je constate que les quotients sont différents (14 et 22). J’en conclus donc que la taille n’est pas proportionnelle à l’âge.

Je m’entraine

EN

Situation 1 Le médecin de famille de Léa mesure cette dernière régulièrement afin de suivre le bon déroulement de sa croissance. Lors de sa dernière visite, le médecin note que Léa, âgée de 10 ans, mesure 140 cm. Quand elle avait 5 ans, elle mesurait 110 cm. Peut-on dire que sa taille est proportionnelle à son âge ?

a. Il a beaucoup plu ce mois-ci. Hier, il est tombé 20 mm d’eau. Peut-on calculer la quantité d’eau tombée au cours des 30 derniers jours ? Si oui, la donner. b. Une fontaine débite 100 L d’eau par heure. Peut-on calculer la quantité d’eau fournie en une journée ? Si oui, quelle est-elle ? c. Si la taille d’un arbre augmente régulièrement de 30 cm par an, de combien augmentera-t-elle en 7 ans ?

2 Un marchand de primeurs propose des pommes

de terre pour faire des frites au détail à 1,60 € le kilogramme ou en filets de 5 kg à 8 €. 1. Quelles sont les deux grandeurs qui interviennent dans cette situation ? 2. Ces grandeurs sont-elles proportionnelles ?

3 Un boulanger propose de délicieux cookies au

chocolat blanc à l’unité au prix de 0,80 € ou par lots de 5 pour 3,50 €. 1. Quelles sont les deux grandeurs qui interviennent dans cet énoncé ? 2. Ces grandeurs sont-elles proportionnelles ?

valence pour connaitre l’âge de son chat en « âge humain ». Dire si les grandeurs du tableau ci-dessous sont proportionnelles. Justifier la réponse. Âge du chat (mois)

3

Âge humain (ans)

5 10 12 16 20 28 40 48 64

6

8 12 18 36 72 96 144

5 À Paris, en 2015, un ticket de métro acheté à

l’unité coute 1,80 €. Le carnet de 10 tickets coute 14,10 €. Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de tickets achetés ?

6 Léa a 10 ans et mesure 1,40 m. 1. Peut-on dire que Léa mesurera 2,80 m à 20 ans ? Justifier la réponse. 2. Peut-on prévoir la taille qu’aura Léa à 20 ans ?

7 Un robinet ouvert au maximum peut remplir

un seau de contenance 15 L en 30 secondes. Peut-on savoir combien de temps il faut pour remplir une piscine de 20 000 L avec le même robinet ?

94

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la proportionnalité Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

8 Une boutique propose un système de location de 12 Les maths autour de moi jeux vidéos pour la Game Station et la X-Cube. À partir des tableaux ci-dessous, dire, pour chaque console, si le nombre de jeux loués est proportionnel au prix à payer. a.

Dire si les publicités suivantes traduisent des situations de proportionnalité. Justifier les réponses.

Nombre de jeux loués

2

3

4

5

Prix à payer (en €)

4

6

8

10

b.

Console X-Cube Nombre de jeux loués

2

3

4

5

Prix à payer (en €)

3

4

5

6

9 Le tableau suivant donne le prix de yaourts bios

IM

vendus par lots de 8, 12 ou 24. Le prix d’un lot est-il proportionnel au nombre de yaourts ? Justifier.

EN

Console Game Station

8

12

Prix d’un lot (en €)

2,40

3,60

24

7,20

13 TOP Chrono

SP EC

Nombre de yaourts

10 Le tableau suivant donne le prix de pots de

mousse au chocolat vendus par lots de 4, 6 ou 10. Le prix d’un lot est-il proportionnel au nombre de pots ? Justifier la réponse. Nombre de pots

Prix d’un lot (en €)

4

6

10

2,20

3,30

5,00

11 Les maths autour de moi

Le tableau suivant donne les tarifs de La Poste en 2016 pour l’envoi d’une lettre prioritaire en France métropolitaine. Le prix des timbres est-il proportionnel à la masse de la lettre ? Poids jusqu’à…

Tarif net (en €)

20 g

0,80

100 g

1,60

250 g

3,20

500 g

4,80

3 kg

6,40

Le tableau ci-dessous indique, pour les années 2011 à 2016, les films ayant réalisé le plus grand nombre d’entrées au cinéma en France et leurs budgets. Peut-on dire que le nombre d’entrées de ces films est proportionnel au budget investi ? Nombre d’entrées

Budget (en €)

2011 Intouchables

19 385 300

9 500 000

2012 Skyfall

7 003 902 145 000 000

Année

Film

2013 La Reine des neiges 5 149 518 110 000 000 2014

Qu’est-ce qu’on a fait au Bon Dieu ?

12 353 181 13 000 000

2015 Les Minions

6 401 791

70 000 000

2016 Star wars 7

10 402 227 186 000 000

Chapitre 5 • Proportionnalité

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95

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2 Je comprends

Utiliser

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

12 paquets de bonbons pèsent 3 kg. Quelle est la masse de 18 paquets de bonbons ? Je calcule donc le produit de la masse d’un paquet de bonbons par le nombre de paquets indiqué dans l’énoncé : 18 × 0,25 = 4,50. Ainsi, la masse de 18 paquets de bonbons est égale à 4,50 kg.

ÉTAPE 1

Je vérifie si la situation correspond à un cas de proportionnalité. C’en est une car la masse est proportionnelle au nombre de paquets. ÉTAPE 2

Remarque

Il est possible de représenter la situation à l’aide d’un tableau de proportionnalité avec 0,25 pour coefficient de proportionnalité.

IM

Méthode 1 • Je cherche à calculer la masse d’un paquet de bonbons. Pour cela, il faut calculer le quotient de la masse de 12 paquets par le nombre de paquets. 3 Je pose donc = 0,25 : le résultat obtenu 12 est égal à 0,25 (ou 0,250). J’en déduis qu’un paquet de bonbons pèse 0,250 kg et, ainsi, que 0,25 est le coefficient de proportionnalité. • Ensuite, je calcule la masse de 18 paquets, qui est égale à 18 fois la masse d’un paquet.

Méthode 2 • Je peux remarquer que 18 = 12 × 1,50. • Je calcule la masse de 18 paquets en multipliant la masse de 12 paquets par 1,50 : 3 × 1,50 = 4,50. La masse de 18 paquets de bonbons est donc de 4,50 kg.

EN

Pour calculer la masse de 18 paquets de bonbons, j’ai le choix entre plusieurs méthodes.

× 1,50

12

18

Masse (en kg)

3

4,5

SP EC

Nombre de paquets de bonbons

Je m’entraine

14

× 0,25

CALCULER

Activités rapides

a. Je prends mon pouls. Pour 20 secondes, je compte 25 pulsations. Mon pouls étant régulier, combien de pulsations devrais-je compter en une minute ? b. Au camping, Marc vend des bouteilles de jus d’orange au prix de 1,20 € l’unité. Quel est le prix de 3 bouteilles ? de 9 bouteilles ? de 7 bouteilles ?

15 Dans cet exercice, on considère que les gran-

deurs utilisées sont proportionnelles. 1. Le prix de 4 L de glace à la fraise est de 13 €. Quel est le prix de 8 L de glace ? 2. Le prix de 4 kg de confiture d’abricots est de 12 €. Quel est le prix de 6 kg de confiture ? 3. Le prix de 4 kg de confiture de framboises est de 10,60 €. Quel est le prix pour 7 kg ? 4. Le prix de 4 L de glace à la pistache est de 10 €. Combien peut-on en acheter avec 25 € ?

16 Un film est projeté en 24 images par seconde. 1. Combien d’images sont projetées pendant un court-métrage de 3 minutes ? 2. Combien d’images sont projetées pendant un film d’une heure et demie ?

17 Le Géant vert fait des pas de 5 m lorsqu’il marche. Recopier, puis compléter le tableau suivant. Nombre de pas du Géant vert

2

5

10

Distance parcourue (en m)

35

125

×5

18 Pour se repérer lors de la visite d’un zoo, Emma utilise un plan à l’échelle 1/500. Recopier, puis compléter le tableau suivant. Distances 500 réelles (en cm)

3 500

12 500

Distances sur le plan (en cm)

4,2

11,2

1

96

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la proportionnalité Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

19 Nicolas récolte de la fleur de sel dans un marais 24 Les maths autour de moi de Noirmoutier. Il la revend à une coopérative 8 € par kilogramme récolté. Son prix de vente est donc proportionnel à la masse récoltée. Recopier et compléter le tableau suivant. 3

5

10

Prix (en €)

12

42

20 Robert vend des poireaux sur le marché de Lyon

au tarif de 2,30 € le kilogramme. Aider Robert à compléter sa grille de tarifs proportionnels. 1

2

3

5

10

Prix (€)

1. Combien de temps lui faut-il pour télécharger un fichier de 100 Mo ? de 230 Mo ? 2. Combien de mégaoctets peut-elle télécharger en une minute ? en une heure ?

IM

Masse de poireaux vendus (en kg)

EN

Masse de fleur de sel (en kg)

Agathe a un nouvel ordinateur et une connexion Internet via fibre optique. Elle télécharge en 8 secondes le fichier de la démo d’un jeu de courses faisant 25 Mo.

21 Sur ce même marché, Robert vend également

Masse d’abricots (en kg) Prix (en €)

3

5

10

8,10

13,50

27,00

2

6

8

5,60

16,80

22,40

Chez Géraldine

Masse d’abricots (en kg) Prix (en €)

En observant l’information donnée en bas à droite de ce plan de Nantes, trouver la distance, à vol d’oiseau, entre le musée Dobrée et les Machines de l’ile. La Cigale

22 La voiture de Mourad consomme en moyenne

6,5 L d’essence aux 100 km. 1. Combien de kilomètres pourra-t-il parcourir avec son réservoir plein (78 L) ? 2. De quelle quantité d’essence aura-t-il besoin pour parcourir 350 km ?

Musée Dobrée

Mémorial de l’abolition de l’esclavage

La

SP EC

Chez Robert

25 Les maths autour de moi

e Loir

des abricots. Géraldine, sa concurrente, en vend aussi. À partir des deux tableaux de prix ci-dessous, peut-on dire qui est le moins cher ?

Machines de l‘ÎLe

100 m

23 Yassine adore faire de longues randonnées en montagne. Comme il marche toujours à la même vitesse, la distance qu’il parcourt est proportionnelle à son temps de marche. Il met ainsi 3 h pour faire 18 km. 1. Quelle distance parcourt-il en 4 h ? 2. Combien de temps mettrait-il pour faire le tour de l’ile d’Yeu (33 km environ) ?

26 TOP Chrono Marion est secrétaire médicale et dispose dans son cabinet d’une nouvelle imprimante lui permettant d’imprimer 15 pages en 2 minutes. Combien lui faudra-t-il de temps pour imprimer un rapport de 70 pages ?

Chapitre 5 • Proportionnalité

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97

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3 Je comprends

Appliquer

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Une paire de baskets coute normalement 62 €. Pour les soldes, le magasin Décasport annonce une baisse de ses prix de 30 %. Quel est le nouveau prix de cette paire de baskets ? ÉTAPE 1 Je commence par chercher à calculer le montant de la baisse pour avoir le nouveau prix. 30 Calculer 30 % On calcule 30 % de 62 : 62 × = 62 × 0,30 = 18,60. d’un nombre, c’est 100 multiplier ce nombre Le montant de la baisse est donc de 18,60 €. par

30 . 100

EN

ÉTAPE 2 Je calcule ensuite le nouveau prix.

Ancien prix – montant de la baisse = nouveau prix : 62 – 18,60 = 43,40. Le prix soldé des baskets est donc de 43,40 €.

27

Activités rapides

CALCULER

IM

Je m’entraine

SP EC

1. Calculer les montants demandés. a. 10 % de 30 €. b. 30 % de 30 €. c. 70 % de 70 €. d. 15 % de 300 €. 2. Calculer les quantités demandées. a. 60 % de 30 élèves. b. 75 % de 2 000 spectateurs. c. 45 % de 400 kg. d. 95 % de 10 000 spectateurs.

Prendre 75 % d’une quantité,

c’est en prendre le quart.

Prendre 100 % d’une quantité,

c’est en prendre les trois quarts.

Prendre 200 % d’une quantité,

c’est la prendre en entier.

30 1. Calculer les montants demandés.

28 Former des couples avec une étiquette verte et

une étiquette jaune pour obtenir des phrases correctes. Prendre 50 % d’un nombre,

c’est le multiplier par

30 . 100

Prendre 30 % d’un nombre,

c’est le multiplier par

10 . 100

Prendre 10 % d’un nombre,

50 . c’est le multiplier par 100

a. 3 % de 540 € b. 10 % de 540 € c. 30 % de 540 € d. 60 % de 540 € 2. Calculer les quantités demandées. a. 5 % de 32 kg b. 20 % de 32 kg c. 50 % de 32 kg d. 70 % de 32 kg 3. Calculer les volumes demandés. a. 20 % de 20 L b. 60 % de 60 L c. 150 % de 80 L d. 300 % de 110 L

31 Dans la ferme de la mère Poularde, il y a 75 poules. 60 % d’entre elles sont noires. Combien y a-t-il de poules noires dans cette ferme ?

29 Former des couples avec une étiquette verte et 32 Dans le club de sport de Salomé, il y a une étiquette jaune pour obtenir des phrases correctes. Prendre 25 % d’une quantité,

c’est en prendre la moitié.

Prendre 50 % d’une quantité,

c’est en prendre le double.

320 membres inscrits dont 40 % de filles. Quel est le nombre de filles dans ce club ?

33 Dans une recette dénichée sur un blog de cui-

sine, il est indiqué que pour 800 g de pâtes à gaufres, on doit utiliser 10 % de sucre en poudre. Quelle est la masse de sucre utilisée ?

98

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un taux de pourcentage Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

34 Dans une boutique de prêt-à-porter, avant les 42 Les maths autour de moi soldes, le prix d’une chemise était de 20 €. On annonce une baisse de 30 %. Quel est le nouveau prix de la chemise ?

35 Le prix du dernier album de Justine Bébert était

de 15 € à sa sortie. Un mois plus tard, il baisse de 20 %. Quel est le nouveau prix de cet album ? baril de pétrole brut a augmenté de 190 %. Le prix du baril était de 33 $ en janvier 2004. Quel était-il en janvier 2014 ?

43 Les maths autour de moi

En 2015, la consommation d’électricité de la France était de 470 TWh (térawattheures), dont 19,5 % issus des énergies renouvelables. Quelle quantité d’électricité consommée est produite par les énergies renouvelables ?

Recopier, puis compléter le tableau suivant. Prix avant réduction (en €)

100

Prix après réduction de 25 % (en €)

10

40

55

72

SP EC

38

En 1976, la France comptait 52 800 000 individus. En quarante ans, la population a augmenté de 27 %. Quel est le nombre de personnes vivant en France en 2016 ?

IM

37

Quelle affirmation est correcte ? 1. La tablette pèse 72 g. 2. La tablette contient 72 g de cacao. 3. La tablette contient 72 carreaux. 4. Si il mange 100 g de cette tablette, il mange 72 g de cacao.

EN

36 Entre janvier 2004 et janvier 2014, le prix du

39 Dans le collège de Lino, 66 % des 550 élèves sont demi-pensionnaires. Les autres sont externes. 1. Quel est le pourcentage d’élèves externes ? 2. Combien y a-t-il d’élèves dans chaque catégorie ?

40 En juillet 2015, 3 000 personnes ont assisté au

concert du groupe Shaka Ponk au festival de Poupet. 25 % des spectateurs étaient debout devant la scène. Quel nombre de spectateurs cela représente-t-il ?

41 Sur son pot de pâte à tartiner Noisella, Ludovic

lit : « Huile de palme : 20 % ». 1. Que signifie cette inscription ? 2. Recopier, puis compléter le tableau ci-dessous. Masse de Noisella (en g)

20

32

Masse d’huile de palme (en g)

16,5

23,1

Remarque

Un térawattheure est une quantité d’énergie correspondant à une puissance électrique de mille milliards de watts utilisés pendant une heure.

44 TOP Chrono 5 000 personnes ont voté lors des élections municipales de Mathéville. Voici les résultats pour les trois candidats qui se sont présentés : – Mme Camille Honnête : 36 % des voix ; – M. Clément Dibule : 55 % des voix ; – M. Larry Golade : 9 % des voix. 1. Qui a été élu maire de Mathéville ? 2. Retrouver le nombre de voix obtenues par chaque candidat.

Chapitre 5 • Proportionnalité

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Avec ses questions, Une10bonne ce réponse QCM est = noté sur 10 ! un point ! ComptePour 1 point par bonne t’évaluer, réponse vérifiantpage regarde les en réponses les corrigés XXX.p. 250 !

Pour chaque question, trouver la seule bonne réponse parmi les trois propositions.

Je fais le point QCM

Pour les exercices 45 à 47 utiliser ces tableaux de tarifs. Tableau B : Laissez-faire Télécom Tableau A : Jaune Télécom Forfait de communication (en h) Prix (en €)

Forfait de communication (en h)

2

4

10

2,80

5,60

14,00

Prix (en €)

2

4

10

3,00

6,00

9,00

EN

1 Reconnaitre la proportionnalité

A

B

C

le tableau A uniquement

le tableau B uniquement

les deux tableaux

A

B

C

46 Avec Jaune Télécom, le prix à payer pour

24 €

28 €

On ne peut pas savoir

47 Avec Laissez-faire Télécom, le prix à payer

30 €

18 €

On ne peut pas savoir

3,90 €

4,80 €

5,70 €

5,40 €

6€

7€

13,00 €

15,40 €

22,00 €

20 kg

16 kg

25 kg

A

B

C

52 20 % de 12 € représentent :

24,00 €

14,40 €

2,40 €

53 Augmenter un prix de 100 %, c’est :

doubler ce prix

laisser ce prix inchangé

impossible

3€

33 €

27 €

45 ll y a une situation de proportionnalité dans :

IM

2 Utiliser la proportionnalité

20 h de communication est de :

pour 20 h de communication est de :

SP EC

48 Une boite de bonbons est vendue 1,90 €.

Quel est le prix de 3 boites de bonbons ?

49 6 kg de sucre coutent 4 €.

Combien coutent 9 kg de sucre ?

50 5 paquets de gâteaux coutent 11 €.

Combien coutent 7 paquets de gâteaux ?

51 Des poires sont vendues 1,25 € le kilogramme. Combien peut-on en acheter avec 20 € ?

3 Appliquer un taux de pourcentage

54 Le prix d’une chemise à 30 € baisse de 10 %. Quel est le nouveau prix de cette chemise ? Il faut revoir ton cours… COURAGE !

BRAVO ! 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tu peux continuer à t’entrainer page suivante.

Continue à te tester avec d’autres QCM interactifs sur www.bordas-myriade.fr 100

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Cettepage pageest estfaite faite Cette pour t’entrainer tout(e) seul(e). pour t’entrainer tout seul. corrigés se trouvent LesLes corrigés se trouvent page page XXX250 ! !

Accompagnement personnalisé

Je fais le point EXERCICES 1 Reconnaitre la proportionnalité

55 Dans les deux cas suivants, dire s’il s’agit d’une situation de proportionnalité. a. 2 b. 3 3 5 8

12

20

100

6

10

200

300

61 Mme Poularde fait un très bon clafoutis aux cerises. Voici sa recette pour régaler 6 invités.

Comment faire un bon clafoutis ? Mélanger 100 g de farine, 9 cuillères à soupe de sucre roux et 2 cuillères à soupe de sucre vanillé. Ajouter 4 œufs entiers, puis délayer avec 25 cL de lait. Beurrer le plat et disposer 400 g de cerises, y verser la préparation. Cuire 20 minutes à four moyen. Quand le dessus du clafoutis est bien doré, c’est prêt ! Sortir le gâteau du four et attendre un peu pour ne pas se bruler…

même trajet de 100 km à des vitesses moyennes différentes. Le tableau ci-dessous montre sa consommation d’essence lors de chaque trajet pour 6 vitesses moyennes différentes. Vitesse (en km/h) 30

70

90 110 130

3,4 3,9 4,6 5,9 7,6

9,9

Bon appétit ! Votre amie, Mme Poularde

IM

Consommation d’essence (en L)

50

EN

56 Avec sa voiture, Mina a parcouru plusieurs fois un

1. La consommation d’essence est-elle proportionnelle à la vitesse ? 2. Est-il exact de dire que plus une voiture roule vite, plus elle consomme d’essence ?

SP EC

2 Utiliser la proportionnalité

1. Écrire la recette du clafoutis aux cerises de Mme Poularde pour 9 personnes. 2. Écrire la recette de ce clafoutis pour 16 personnes cette fois !

57 Au marché, Gillou achète

2 kg de cerises pour 6 €. 1. Combien aurait-il payé pour 3 kg de ces cerises ? 2. Quelle masse de cerises peut-il acheter avec 7,50 € ?

58 Une voiture consomme 6 L de carburant pour

parcourir 100 km. 1. Quelle sera sa consommation pour 300 km ? 2. Quelle distance peut-on parcourir avec un plein de 54 L de carburant ?

59 Avec un pot de 5 L de peinture, on peut peindre

une surface de 12,5 m2. 1. Quelle quantité de peinture faut-il pour peindre 50 m2 ? 2. Quelle surface peut-on peindre avec un pot de 12 L de peinture ?

60 En travaillant 5 jours, Myrtille a gagné 380 €. 1. Combien gagnera-t-elle en travaillant 11 jours ? 2. Combien de jours devra-t-elle travailler pour gagner 1 000 € ?

3 Appliquer un taux de pourcentage

62 Calculer les sommes suivantes. a. 70 % de 120 €. c. 30 % de 180 £.

b. 40 % de 70 $. d. 80 % de 250 CHF.

63 Calculer les distances suivantes. a. 5 % de 250 m. c. 21 % de 150 km.

b. 12 % de 3 km. d. 65 % de 6 cm.

64 Aujourd’hui, Vigo fête son anniversaire. Il a apporté au collège un paquet de 50 bonbons qu’il souhaite partager avec ses amis. Le matin, il distribue 20 % du paquet. L’après-midi, il donne 75 % de ce qu’il lui reste. Combien reste-t-il de bonbons dans le paquet ?

65 Olivier possède une carte micro-SD pour stocker

ses fichiers informatiques. La capacité totale de sa carte est de 2 Go. Elle est actuellement remplie à 85 %. Olivier a-t-il assez de place pour stocker un nouveau fichier de 250 Mo ? Aide Un Go correspond à 1 000 Mo.

Chapitre 5 • Proportionnalité

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68 Repérer une situation de proportionnalité pour DOMAINE 3 DU SOCLE anticiper un résultat

66 Utiliser un coefficient ou un tableau DOMAINE 1 DU SOCLE de proportionnalité Recopier, puis compléter les informations nutritionnelles d’une boite de céréales Chococrock. Pour une portion de 30 g

1 537 kJ

Glucides dont sucre

75,8 g …

… 6,0 g

Lipides dont acides gras saturés

3,6 g 0,7 g

… …

Fibres alimentaires

9,0 g

2,7 g

Sodium

0,28 g

Vitamines PP

4,6 mg

Fer

3,6 mg

Valeur énergétique

Utiliser un tableur

67

Format A2 A3 A4 A5 A6 A7 Longueur (en cm) 59,4 42,0 29,7 21,0 14,8 10,5 Largeur (en cm) 42,0 29,7 21,0 14,8 10,5 7,4 Surface de la … … … … … … feuille (en cm2)

1. Les longueurs et les largeurs des feuilles sontelles proportionnelles d’un format à l’autre ? 2. Calculer la surface d’une feuille de chaque format. 3. Calculer les dimensions et la surface des feuilles de formats A1 et A0.

IM

Pour 100 g

Chococrock

En 1922, l’ingénieur allemand Walter Porstmann a mis au point une gamme de formats de feuilles de papier appelée « série des A » : on passe d’un format de feuille à celui qui suit, plus petit, en pliant la feuille en deux. Le format A4 (21 cm × 29,7 cm) est le plus utilisé. Le tableau de caractéristiques ci-dessous donne les dimensions de certaines feuilles de cette série.

EN

Objectifs 1 2 3

DOMAINE 2 DU SOCLE

69 Utiliser l’échelle d’une carte

DOMAINE 4 DU SOCLE

Dans la salle de classe de Lisa, une carte de géographie représentant la France est accrochée à l’un des murs. Sur cette carte, les distances sont proportionnelles aux distances réelles séparant les grandes villes de France.

SP EC

Harry possède 400 € d’économies. Il place sa fortune dans une banque très spéciale. En effet, en plaçant tout son argent le 1er janvier 2017 sur un compte de cette banque, sa fortune augmentera chaque mois de 1 %. 1. Par le calcul, vérifier qu’Harry aura 404 € le 1er février 2017, puis 408,04 € le 1er mars de la même année. 2. À l’aide de la feuille de calcul d’un tableur comme ci-dessous, déterminer quelle sera sa fortune le 1er janvier 2018, puis le 1er janvier 2019. 3. Combien de temps doit-il attendre pour doubler son capital de départ ?

Lille Brest

Caen Rennes

Strasbourg

Paris

Nantes

Lyon Bordeaux Toulouse

Marseille Bastia

Aider Lisa à compléter son tableau. Distances sur la carte (en cm) Distances réelles (en km)

1

4,2

11,3

50

350

1 050

102

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REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

70 Appliquer un pourcentage dans un contexte DOMAINE 5 DU SOCLE économique Cet été, sur la plage où Tania passe ses vacances, un étudiant vend des chouchous au prix de 2,40 € le sachet. Comme Tania est venue avec de nombreux cousins, le vendeur de chouchous lui propose l’accord suivant : si elle en achète plus de 10, il lui fait une réduction de 20 %. Combien Tania va-t-elle alors payer si elle achète 9 achets ? 11 sachets ? Que peut-on lui conseiller ?

71 Travail en groupe

Clico’Bank vous propose

L’appareil photo numérique (APN) de Naomi lui permet de réaliser des photographies dans deux formats : 4/3 et 16/9. Pour chacun de ces formats, la qualité des photographies dépend de leur nombre de pixels qui est obtenu en multipliant la longueur de l’image par sa largeur (exprimées en pixels). Remarque

Un pixel est un point de couleur. Plus l’image est constituée de points, plus elle est de bonne qualité. On parle alors de haute définition.

A. Photographies au format 4/3 Le premier format d’image proposé par l’APN est le 4/3 : le quotient entre la longueur et la largeur de la photographie est de 4/3. 1. Quel coefficient de proportionnalité permet de passer de la première ligne à la deuxième ligne du tableau ci-dessous ? Largeur en pixels

480

Longueur en pixels

640

Votre fortune augmente de 1 % par mois !

options !

600 1 200

Nombre 480 × 640 de pixels = 307 200 de l’image

SP EC

Option Simplissimo

S’engager dans une recherche

73

IM

Marwan possède 500 € d’économies qu’il veut placer. Dans les transports en commun, il aperçoit la publicité suivante pour une banque en ligne :

MODÉLISER

CHERCHER

CALCULER

EN

RAISONNER

Vot V Votre otre re fortune fort fo rtun unee augmente de 80 € par an !

Quelle option Marwan doit-il choisir s’il veut doubler son capital le plus rapidement possible ?

72 Estimer une distance

Lors de la course de bateaux du Vendée Globe, la distance entre le bateau orange et le bateau noir est de 31,3 km. Quelle est la distance entre le bateau orange et le bateau bleu ?

… 2 240 2 560

2. Recopier, puis compléter ce tableau de proportionnalité. B. Photographies au format 16/9 Le second format proposé par l’APN est le 16/9 : le quotient entre la longueur et la largeur de la photographie est de 16/9. 1. Quel coefficient de proportionnalité permet de passer de la première ligne à la deuxième ligne de ce tableau ? Largeur en pixels

540

Longueur en pixels

960

720 1 080

Nombre 540 × 960 de pixels = 518 400 de l’image

… 3 200

… … 9 000 000 …

31,3 km

2. Recopier, puis compléter ce tableau de proportionnalité. Pour la dernière colonne, il faudra prendre des initiatives !

Chapitre 5 • Proportionnalité

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103

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Dans les autres matières 74 À la surface

76 En haut sur la colline

Distance parcourue (en km) Temps (en min)

2

3

5

10

12

2. Combien de temps Leïla met-elle pour arriver au sommet ?

Les continents sont la partie émergée de la surface de la planète…

77 Un peu d’air

L’air contient 21 % de dioxygène. La chambre de Marie est un pavé droit de 4 m de long, 3 m de large et 2,5 m de haut. Quel volume de dioxygène est contenu dans sa chambre ?

IM

75 L’œil de mouche

78 Speed reading

Max and Lili claim to be the fastest to read a book. Max has read 25 pages in 10 minutes. Lili has read 30 pages in 12 minutes. Who is the fastest?

SP EC

Cette photo d’un œil de mouche a été prise avec un objectif qui grossit 60 fois. Quelle est la taille réelle de l’œil de cette mouche ?

Leïla s’entraine pour le Tour de France cycliste. Elle monte le très difficile col de l’Alpe d’Huez (montée de 13 km avec une pente moyenne de 7,8 %). On suppose que Leïla roule toujours à la même vitesse et qu’elle parcourt 2 km en 12 minutes. 1. Recopier, puis compléter le tableau suivant.

EN

La surface de la Terre est d’environ 510 000 000 km2. Les mers et les océans couvrent environ 71 % de cette surface. 1. Calculer la surface des continents terrestres. 2. Les déserts occupent environ 20 % des continents. Quelle surface cela représente-t-il ?

Retour sur la page 89

Martin et Mélissa partent chacun en vacances avec leur voiture. Martin parcourt 680 km jusqu’à Toulouse par autoroute (à 130 km/h) avec un coffre de toit. Mélissa roule 460 km jusqu’aux Sables d’Olonne sur des routes nationales (à 90 km/h) avec une galerie et des bagages attachés sur le toit de sa voiture. À l’aide des docs 1 et 2, et sachant qu’un litre de carburant coute 1,20 €, estimer le cout (en euros) du carburant utilisé par chacun des deux amis.

DOC

1

Consommation de carburant en fonction Consommation Consommatio de la vitesse pour une voiture simple

Consommation (en L/100 km parcourus)

8 7 6 4,7 5 3,7 4 3,1 3 2 1 0

DOC

2

Pourcentage de consommation supplémentaire en fonction des chargements des véhicules Consommation supplémentaire

7,5

104

7,5 %

16 %

70

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90

110

130

150

Vitesse (en km/h)

39 % 0%

100 %

22/03/16 16:54


ues

mathématiq

à la maison 84 Les pâturages du berger

Hugo, 4 ans, marche dans la forêt avec son père. Hugo fait de tout petits pas de 40 cm. Son père fait de grands pas de 90 cm. Lors de sa promenade, Hugo compte ses pas : il en a fait 216. Combien de pas le père d’Hugo a-t-il faits ?

80 Un terrain d’entente

85 Merci pour le chocolat ! Armand le gourmand a mangé une grosse partie de sa dernière tablette de chocolat (voir l’illustration ci-contre). La partie restante pèse 70 g. Quelle masse de chocolat Armand a-t-il mangée ?

SP EC

Recopier la figure et colorier : – en vert, la part de Gustave ; – en rouge, la part de Bruno ; – en bleu, la part de Gaspard ; – en jaune, la part de René.

IM

Comme représenté par le quadrillage ci-dessous, le père Martin partage un champ rectangulaire entre ses 4 fils. – Gustave, l’ainé des 4 frères, hérite de 15 % du total. – Bruno, le deuxième, reçoit 40 % du champ. – Gaspard, le troisième, en reçoit 35 %. – René, le quatrième, reçoit le reste.

Sylvain Berger est éleveur de moutons. Il achète un terrain rectangulaire de 50 m de longueur sur 30 m de largeur afin de construire un enclos pour ses animaux. Aide 1. Dessiner un plan de ce Prendre 10 cm pour la longueur terrain. du rectangle, puis chercher la largeur correspondante. 2. Pour clore ce terrain, Sylvain veut planter des piquets séparés de 2 m et y accrocher un fil de clôture. Combien de piquets doit-il acheter ? 3. Sachant que les piquets coutent 2,50 € pièce et le fil de clôture 0,80 € le mètre, quel sera le montant de la facture ? 4. Pour ses travaux, Sylvain recevra une aide de l’Union européenne s’élevant à 25 % du montant de la facture. Quelle somme restera à sa charge ?

EN

79 Un petit pas pour l’homme, un grand pas pour l’enfant…

81 Les 7 boules de cristal

Placer dans chaque boule de cristal les nombres compris entre 2 et 7 de façon que la somme sur chaque alignement de 3 nombres soit la même. 1

82 Défi !

Ma montre est déréglée. Elle retarde de 12 minutes par jour. Es-tu capable de trouver de combien de minutes je dois l’avancer ce soir à 21 h si je veux qu’elle me donne l’heure exacte demain matin à 7 h ?

83

86 Le guépard Pour résoudre ce problème, tu devras prendre des initiatives et chercher des informations.

À sa vitesse de pointe, combien de temps mettrait le guépard (l’animal terrestre le plus rapide au monde) pour traverser Paris ? pour faire un marathon ?

Énigme

de riz 30 joueurs de rugby mangent 30 kg de rugby urs joue 15 en 30 jours. Combien de riz ? en mangent-ils 15 jours Chapitre 5 • Proportionnalité

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105

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Pour faire ces activités, télécharger les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur www.bordas-myriade.fr

1

La recette des crêpes Utiliser le tableur pour réaliser des calculs de proportionnalité

20’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

IM

EN

Voici la recette de papy Michel pour réussir de bonnes crêpes.

Emma souhaite faire des crêpes pour un nombre de personnes différent de 8, mais en gardant les mêmes proportions. Travail préalable (à faire sur papier) 1 Écrire les quantités d’ingrédients nécessaires à la réalisation de crêpes pour 4 personnes.

SP EC

Emma souhaite préparer des crêpes pour 16 personnes. Ouvrir une feuille de calcul sur tableur et reproduire le tableau à deux lignes ci-dessous. ■

2 Remplir le tableau avec les proportions pour 8 personnes suivant la recette de papy Michel. 3 En ajoutant une troisième ligne au tableau et à l’aide de formules de calcul du tableur bien choisies, Tableur 1 calculer les quantités d’ingrédients nécessaires pour faire des crêpes pour 16 personnes. Emma n’a que 4 œufs. 4 En ajoutant une ligne au tableau et à l’aide de nouvelles formules du tableur, calculer les quantités d’ingrédients nécessaires pour faire des crêpes en utilisant 4 œufs (et tous les autres ingrédients…). Tableur 1 ■

Emma souhaite préparer des crêpes pour 50 personnes. Quel coefficient permet de passer des quantités pour 8 personnes à celles nécessaires pour 5 50 personnes ? ■

6 Ajouter une nouvelle ligne au tableau pour établir, à l’aide d’une formule de calcul recopiée sur toute la ligne, les quantités nécessaires pour faire des crêpes pour 50 personnes. Tableurs 1 et 2 106

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2

Le périmètre et l’aire d’un carré Utiliser le tableur pour étudier des situations de proportionnalité dans un contexte géométrique

20’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

Travail préalable 1 Sur une feuille libre, dessiner un carré de côté 5 cm. 2 Calculer son périmètre, puis son aire. ■

Étude du périmètre 3 Dans une feuille de calcul d’un tableur, créer le tableau ci-dessous.

EN

4 Saisir une formule dans la cellule B2 pour calculer le périmètre du premier carré, puis la recopier sur toute la ligne. Tableurs 1 et 2 5 Pourquoi la longueur du côté d’un carré et son périmètre sont-ils proportionnels ? Comment le vérifier en utilisant les possibilités de calcul du tableur ?

SP EC

IM

Étude de l’aire 6 Sur la même feuille de calcul, créer le tableau ci-dessous. ■

7 Saisir une formule dans la cellule B2 pour calculer l’aire du premier carré, puis la recopier sur toute la ligne. Tableurs 1 et 2 8 Y a-t-il proportionnalité entre la longueur du côté d’un carré et son aire ? Utiliser le tableau pour justifier la réponse.

3

La hausse des prix

Employer le tableur pour utiliser des pourcentages dans un contexte économique

10’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

Marc est boulanger. La hausse du prix des céréales le contraint à augmenter le prix de ses pains de 12 %. 1 Dans une feuille de calcul d’un tableur, reproduire le tableau ci-dessous.

2 Dans la cellule B4, saisir une formule qui permet de calculer le nouveau prix d’une flute. Tableur 2 3 Recopier cette formule sur toute la ligne 4. Quels sont les nouveaux prix des différents pains ? 4 Chapitre 5 • Proportionnalité

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Tableur 1

107

22/03/16 16:54


Avant de commencer… … je revois mes acquis de début de cycle 3 Avec un tableau

Avec un diagramme

Nombre de jours de pluie

Printemps Été Automne Hiver 15

5

25

20

4 Le nombre de jours de pluie en été est de : a. 15

b. 0

c. 5

5 La saison la plus pluvieuse est : a. l’été

b. l’automne c. l’hiver

Le tableau ci-dessous est à utiliser pour les exercices 6 et 7 . Il donne les horaires de circulation d’un bus sur la ligne entre Riom et Clermont-Ferrand.

IM Jour

rd i rc re di Je ud i Ve nd re di Sa me di Di ma nc he Me

Ma

Lu

nd

i

Nombre d’élèves 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Saison

EN

Le diagramme ci-dessous est à utiliser pour les exercices 1 et 2 . On a demandé aux élèves d’une classe de 6e quel était leur jour de la semaine préféré. Voici les résultats de ce sondage :

Le tableau ci-dessous est à utiliser pour les exercices 4 et 5 . Il recense le nombre de jours de pluie par saison pour une ville de la côte d’azur.

SP EC

1 Combien d’élèves préfèrent le mercredi ? a. 6 b. 25 c. 30 2 Sachant que tous les élèves de la

classe ont répondu, combien d’élèves ont été interrogés au total ? a. 27 b. 7 c. 56

3 Le diagramme ci-dessous est une

pyramide des âges de la population française au 1er janvier 2015.

RIOM-ES-MONT. (Place du Monument) ST AMANDIN (Arrêt de bus SNCF) CONDAT (Arrêt de bus SNCF) EGUSENEUVE D’ENTRAIGUES (Devant Poste) SUPER-BESSE (En haut de la station devant station Transdôme) SUPER-BESSE D149 (Station abribus n° 58) PONT DE CLAMOUZE BESSE LOMPRAS (St Pierre Calamine) (Chez Chareyre) LE CHEIX LA BATAILLE LE RIVALET MONTAIGUT-LE-BLANC CHAMPEIX (Face à la Mairie) PLAUZAT CLERMONT-FD (Gare SNCF) CLERMONT-FD (Place des Salins - Gare routière)

08.45 08.45 I 09.00 09.03 09.07 09.09 09.15 19.20 09.25 09.30 10.00 10.10

09.30 09.40 19.50 10.00 I I 10.10 10.18 10.21 10.25 10.27 10.31 10.34 10.38 10.43 11.05 11.15

10.00 10.00 I 10.13 10.16 10.20 10.22 10.26 10.29 10.33 10.38 10.59 11.09

16.15 16.15 I 16.30 16.33 16.37 16.39 16.45 16.50 16.55 17.00 17.30 17.40

18.00 18.00 I 18.13 18.16 18.20 18.22 18.26 18.29 18.33 18.38 18.59 19.09

6 À quelle heure part le premier car de Super-Besse ?

7 Si je prends le car de 9 h 30 à Riom, à

quelle heure vais-je arriver à Plauzat ?

Retrouve des QCM interactifs pour continuer à réviser sur www.bordas-myriade.fr

D’après INSEE.

Quel était environ le nombre de Français (hommes et femmes) âgés de 20 ans au 1er janvier 2015 ? 108

04733289_108-125_C06.indd 108

21/03/16 19:12


6

SP EC

IM

EN

Avec les outils numériques, les distances ne sont plus un problème pour échanger et partager ! La puissance d’Internet permet à des individus distants de plusieurs milliers de kilomètres de communiquer en temps réel. Tu verras p. 122 comment organiser une visioconférence malgré le décalage horaire.

Organisation et représentation de données

Attendus de fin de cycle

• Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples,

OBJECTIFS

les nombres décimaux et le calcul

1

Exploiter ou construire un tableau représentant des données

2

Exploiter ou construire un graphique représentant des données

109

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21/03/16 19:12


Tous les énoncés modifiables de ces activités sont à télécharger sur www.bordas-myriade.fr

Acti

é vit

1

Exploiter un tableau

OBJECTIF

1

Voici un tableau récapitulant le nombre de médailles gagnées par sept pays ayant participé à tous les Jeux olympiques d’été, dans leur version moderne, de 1896 à 2012. Pays États-Unis

2

URSS + Russie

3

RFA + RDA + Allemagne

4

Royaume-Uni

5

France

6

Italie

7

Suède

976

Argent

Bronze

Total

757

666

2 399

527

441

438

1 407

411

432

461

1 304

236

272

272

780

202

223

246

671

199

166

185

550

143

164

176

483

IM

1

Or

EN

Rang

1 Quel pays a remporté le plus de médailles ? 3 Quel pays a remporté 143 médailles d’or ? 2 Combien de médailles d’or la France a-t- 4 Chercher le nombre de médailles obtenues elle remportées ? et l’Italie ?

Acti

SP EC

é vit

2

Construire un tableau

aux JO de Rio 2016. Actualiser le tableau.

OBJECTIF

1

Un cinéma équipé de quatre salles assure cinq séances par jour dans chacune des salles, aux horaires suivants : 11 h 00, 14 h 00, 17 h 00, 20 h 00 et 22 h 30. Le tableau ci-dessous, construit avec tableur, renseigne sur le nombre de spectateurs venus assister à chacune de ces séances le samedi 3 septembre 2016.

1 Combien de spectateurs ont vu La petite 3 En C10, on veut calculer le nombre de specprincesse à 17 h 00 ?

2 Dans la cellule B10, on a calculé le nombre

total de spectateurs qui ont vu le film Avator 2. a. Combien a-t-on trouvé ? b. Quelle formule de calcul a-t-on utilisée ?

tateurs ayant vu L’Âge du glacier 3. a. Quelle formule de calcul permettrait cela ? b. Quel résultat trouvera-t-on ?

4 Compléter le tableau sachant qu’il y avait 700 personnes à 20 h 00 et 410 à 22 h 30.

110

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Acti

é vit

3

Construire un diagramme

OBJECTIF

2

Bintou réalise une enquête dans son entreprise. Elle a demandé à ses collègues quel moyen de transport ils utilisent pour venir au travail. Voici les résultats de son sondage : À pied : À vélo : En voiture : En bus :

1 Quel est l’effectif total de ce sondage ?

EN

Vocabulaire

2 Vérifier dans ces résultats que 18 personnes viennent au travail à pied.

L’effectif de ce sondage est le nombre L’effectif de personnes ayant répondu.

3 Reproduire et compléter le tableau suivant. Transport

À pied

À vélo

En voiture

En bus

18

IM

Effectif

4 a. Reproduire et compléter le diagramme ci-contre.

Enquête sur les moyens de transport

On prendra 1 carreau pour deux personnes en ordonnées. Ce diagramme est dit « à barres verticales ». b. Colorier chaque barre obtenue avec une couleur différente. Ce diagramme à barres verticales est une deuxième façon de présenter les résultats de l’enquête de Bintou. La représentation graphique des données permet de les comparer plus facilement.

Nombre de personnes 30 25 20

SP EC

15 10 5 0

Acti

é vit

4

À pied

À vélo En voiture En bus

Exploiter un graphique cartésien

OBJECTIF

2

On a relevé les températures d’une journée d’été aux Sables-d’Olonne.

Température (en °C) 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 0 2 4 6

L’amplitude thermique est la différence entre la température la plus haute et la température la plus basse.

Heures 8

10

12

14

16

18

20

22

24

1 Quelle est la température la plus haute enregistrée ? 2 À quelle heure la température a-t-elle été la plus basse ? 3 Quelle a été l’amplitude thermique de cette journée ? Chapitre 6 • Organisation et représentation de données

04733289_108-125_C06.indd 111

111

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1

Organisation des données dans un tableau

OBJECTIF

1

A Tableaux simples

Les tableaux permettent de rassembler un grand nombre de données et de les présenter de façon organisée.

Allemagne Belgique Espagne France Grande-Bretagne

1 304 142

Luxembourg Suisse

Pays

Allemagne

Grande-Bretagne

Nombre de médailles 1 304 780

131

France

671

671

Italie

550

780

Suisse

185

550

Belgique

142

Espagne

131

SP EC

Italie

Nombre de médailles

IM

Pays

EN

Exemples Les deux tableaux ci-dessous indiquent le nombre total de médailles remportées par la France et ses voisins lors de tous les JO d’été depuis leur création (1896). Les données étudiées (le nombre total de médailles remportées) peuvent être organisées de plusieurs façons. • Dans le tableau de gauche, les données sont classées par ordre alphabétique de pays. • Dans le tableau de droite, les mêmes données sont classées par ordre décroissant du total de médailles obtenues.

2

185

Luxembourg

2

B Tableaux à double entrée

On peut aussi organiser des données dans des tableaux plus complexes. Les logiciels tableurs (par exemple : OpenOffice Calc, Excel) peuvent être utiles pour réaliser de tels tableaux. Exemple Pour refaire la décoration du foyer des élèves, le collège a organisé un sondage afin de choisir une couleur de peinture. Le tableau ci-dessous présente les résultats de ce sondage.

La cellule D5, intersection de la colonne D « Votes des élèves de 4e » et de la ligne 5 « Jaune », permet de voir que 11 élèves de 4e ont voté « Jaune ». 112

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2

Exploitation des données dans un graphique

OBJECTIF

2

A Diagramme en bâtons et diagramme circulaire Diagramme en bâtons

Diagramme circulaire ou semi-circulaire

Les diagrammes en bâtons (ou à barres) permettent de comparer facilement des données.

Les diagrammes circulaires et semi-circulaires permettent de mettre en évidence la répartition de données suivant plusieurs catégories.

DÉFINITION

Exemple Le diagramme en bâtons ci-dessous représente le nombre d’habitants de la France et de ses pays voisins.

DÉFINITION

EN

Exemple Le diagramme circulaire ci-dessous représente la répartition de la population mondiale par continent.

Population (en millions d’habitants) 90

Afrique

80 70

Amérique

60

Asie

IM

50 40 30 20 10

It Lu xe alie m bo Ro ur ya um g eUn i Su iss e

ce

e gn

ue

Fr an

pa

iq

Es

lg

ag

Be

m

Al le

Océanie

Ce diagramme montre que l’Asie (partie violette) représente plus de la moitié de la population mondiale, et que l’Océanie (partie orange) représente une part très faible.

SP EC

ne

0

Europe

B Graphique cartésien

Les graphiques cartésiens permettent de montrer l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre. Ils sont souvent utilisés pour étudier l’évolution d’une grandeur dans le temps. Exemple Le graphique ci-dessous est la courbe des températures enregistrées à Dublin au cours d’une journée de printemps en 2016.

Température (en °C) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Le dico des

maths

• Diagramme circulaire

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22 Horaires (en h)

• Diagramme en bâtons • Graphique cartésien • Tableaux de données Voir p. 255

• On peut lire sur ce graphique la température de chaque heure de la journée. • On peut également suivre l’évolution de la température sur 24 heures.

Chapitre 6 • Organisation et représentation de données

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113

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1 Je comprends

Exploiter ou construire

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Un groupe de vingt jeunes part en camp de vacances. Pour la première journée, ils ont le choix entre trois activités : piscine, golf ou escalade. Le chef du groupe organise un vote pour décider de l’activité à faire. Voici les réponses obtenues : Piscine – Golf – Piscine – Escalade – Escalade – Piscine – Piscine – Golf – Golf – Piscine – Escalade – Golf – Piscine – Escalade – Piscine – Piscine – Escalade – Escalade – Piscine – Piscine Comment faire pour présenter les résultats de ce vote sous la forme d’un tableau ? ÉTAPE 1 Je prépare un tableau à 2 colonnes. Nombre de votes

EN

Activité

Piscine – Piscine – Escalade – Escalade – Piscine – Piscine : il y a 10 votes Piscine. Piscine

ÉTAPE 3 De même, je compte le nombre de jeunes ayant répondu Golf et Escalade. J’obtiens 4 votes Golf et 6 réponses Escalade.

Piscine Golf Escalade

ÉTAPE 4 Je complète le tableau. Activité

Nombre de votes

IM

ÉTAPE 2 Je compte dans la liste combien de jeunes ont choisi la piscine.

Piscine

10

Golf

4

Escalade

6

SP EC

Piscine – Golf – Piscine – Escalade – Escalade – Piscine – Piscine – Golf – Golf – Piscine – Escalade – Golf – Piscine – Escalade –

Je m’entraine

1

REPRÉSENTER

3 Amandine et ses dix amies tiennent un blog sur

Activités rapides

Classes de 6e

48

60

Classes de 5e

57

102

Classes de 4e

58

la mode. Elles ont voté pour choisir le thème de leur prochain article. Voici le dépouillement de leurs bulletins : Sac à main – Sac à main – Tenues de sport – Lunettes de soleil – Sac à main – Tenues de sport – Sac à main – Sac à main – Sac à main – Tenues de sport – Lunettes de soleil

Classes de 3e

57

52

Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

Total

208

Recopier, puis compléter rapidement ce tableau présentant les effectifs d’un collège. Filles

Garçons

Total

Thème

2 Le tableau suivant donne le nombre d’élèves externes dans les différentes classes du collège Évariste Gallois. Classe Nombre d’externes

6e A

6e B

6e C

6e D

12

7

15

8

Nombre de votes

Sac à main

Tenues de sport

Lunettes de soleil

1. Quelle classe possède le plus d’externes ? 2. Combien y a-t-il d’élèves externes en 6e dans ce collège ? 114

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21/03/16 19:12


un tableau pour présenter des données Je résous des problèmes simples canards, des cochons et des lapins. Il affirme : « J’ai 4 canards mâles et 7 cochons femelles. J’ai autant de lapins que de lapines : 18 de chaque. En tout, j’ai 80 animaux, dont 52 femelles. » Reproduire et compléter le tableau suivant. Mâles

Femelles

Total

Canards

Cochons

Lapins

Total

leurs buteurs des championnats de football de plusieurs pays d’Europe, puis présenter le nombre de leurs buts respectifs sous forme d’un tableau.

Les maths autour de moi

8

Voici les effectifs d’un club d’athlétisme.

IM

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 1 Construire un tableau présentant le nombre d’apparitions de chaque chiffre.

1. Quel renseignement est donné en C4 ? 2. Quels nombres manquent-ils en B6 et C6 ?

SP EC

Les maths autour de moi

COMMUNIQUER

7 Chercher sur Internet les meil-

5 Voici les 50 premiers chiffres du nombre π (pi) :

6

CALCULER

EN

4 Dans la ferme du père Lapaille, il y a des

REPRÉSENTER

Voici les horaires du TGV Paris-Nantes.

1. Le TGV n° 8801 est le premier train de la journée au départ de Paris pour aller à Nantes. a. À quelle heure part ce train ? b. À quelle heure arrive-t-il à Nantes ? 2. Le TGV n° 8805 met-il le même temps que le TGV n° 8801 pour aller de Paris à Nantes ? Pourquoi ?

3. Léo prend le TGV de 8 h 00. À quel(s) arrêt(s) peut-il descendre ?

9

TOP Chrono Le Tournoi des six nations est une compétition de rugby qui oppose l’Angleterre, la France, l’Écosse, l’Irlande, le Pays de Galles et l’Italie. Voici tous les scores du tournoi 2015 :

1. Construire et compléter un tableau de ce type : Pays

Nombre Nombre Nombre de Points Points de vitoires de nuls défaites marqués encaissés

2. En déduire le classement du Tournoi 2015.

Chapitre 6 • Organisation et représentation de données

04733289_108-125_C06.indd 115

115

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2 Je comprends

Exploiter ou construire

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. Le bâton le plus haut représente le nombre d’élèves venant à pied. C’est donc le mode de transport le plus utilisé.

Je m’entraine

Marius fabrique de l’hu2016 2012 ile d’olive depuis 2012. 2015 Le diagramme ci-contre 2013 donne la répartition de 2014 sa production sur cinq années. a. Quel pourcentage du total de la production est colorié en rouge ? b. Quelle année représente la plus grande part dans cette répartition ? c. En quelle année la production a-t-elle été la même qu’en 2013 ?

ci-contre présente les résultats d’un sondage réalisé auprès de 1 000 personnes. La question était : « Pensez-vous que les achats sur Internet sont bien sécurisés ? »

04733289_108-125_C06.indd 116

120 80 40 0

À pied

À vélo

En voiture

En bus

1. Combien de personnes ont répondu « oui » ? 2. Combien de personnes pensent le contraire ?

12 Le diagramme circulaire ci-dessous présente la

répartition des langues vivantes étudiées par les élèves de 6e au collège Michel Galabru. 7% Anglais

18 %

Allemand

600

75 %

500

Espagnol

400 300 200 100 0

116

160

REPRÉSENTER

Activités rapides

11 Le diagramme en bâtons

200

3. Pour connaitre le nombre total d’élèves ayant répondu, il faut additionner : • le nombre d’élèves venant à pied : 230 ; • le nombre d’élèves venant à vélo : 120 ; • le nombre d’élèves venant en voiture : 100 ; • le nombre d’élèves venant en bus : 180. J’obtiens : 230 + 120 + 100 + 180 = 630. 630 élèves ont donc répondu au sondage.

SP EC 10

240

IM

2. Je cherche la hauteur du bâton représentant le nombre d’élèves venant en bus. Je lis la réponse sur l’axe vertical : 180. 180 élèves prennent le bus pour venir le matin.

Nombre d’élèves

EN

On a interrogé les élèves du collège Michel Galabru sur le mode de transport qu’ils utilisent pour venir en cours le matin. Le diagramme en bâtons ci-contre présente leurs réponses. 1. Quel mode de transport est le plus utilisé ? 2. Combien d’élèves prennent le bus ? 3. Combien d’élèves ont répondu au sondage ?

oui non sans opinion

1. Quelle langue est la plus étudiée ? 2. Pourquoi la partie coloriée en vert est-elle si petite ? 3. À l’aide de ce diagramme, peut-on connaitre le nombre d’élèves de 6e dans ce collège ?

21/03/16 19:12


un graphique représentant des données Je résous des problèmes simples

REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

CALCULER

13 Ce graphique montre les croissances de Thomas 15 Ce tableau donne, pour 2014, la production des Production de diamants (en millions de carats)

Pays Russie

34,9

Botswana

20,5

Canada

10,5

Angola

8,3

Afrique du Sud

7,1

Construire un diagramme illustrant la répartition de la production selon les pays.

16 Construire trois courbes dans un graphique cartésien illustrant l’évolution de la population de chacun des continents suivants.

IM

Taille (en cm) 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Âge (en années)

pays producteurs de diamants en millions de carats (unité de mesure des pierres précieuses).

EN

(en bleu) et de sa sœur jumelle Claire (en rouge).

SP EC

1. Jusqu’à quel âge ce graphique nous permet-il d’avoir des renseignements sur la taille des enfants ? 2. Quelle était la taille de Claire à 3 ans ? 3. À quel âge Claire a-t-elle atteint 150 cm ? 4. À quel âge Thomas a-t-il redépassé sa sœur ?

17 TOP Chrono

14 Les maths autour de moi

Djamila interroge ses amies pour connaitre leurs gouts musicaux. Voici les réponses.

ul

kSo

e

ctr o

Fu n

Éle

ga

B

Re g

R’n ’

tal Mé

e ss

iqu

nc e

Cla

Da

Po p

-R oc

k

Nombre de réponses 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1. Combien d’amies préfèrent la « dance » ? 2. Quelles musiques ont obtenu cinq réponses ? 3. Combien d’amies Djamila a-t-elle ?

Annie possède un magasin de confiseries. Elle vend des bonbons, des sucettes, des caramels et des chocolats. Le mois dernier, elle a vendu 8 000 confiseries. Le diagramme circulaire ci-dessous illustre la répartition de ses ventes. Chocolats

23 %

Caramels

9%

47 %

Bonbons

Sucettes

1. Déterminer le nombre de bonbons vendus. 2. Déterminer le nombre de chocolats et de caramels vendus. 3. Expliquer comment on peut déterminer le nombre de sucettes vendues.

Chapitre 6 • Organisation et représentation de données

04733289_108-125_C06.indd 117

117

21/03/16 19:12


Avec ses questions, Une10bonne ce réponse QCM est = noté sur 10 ! un point ! ComptePour 1 point par bonne t’évaluer, réponse vérifiantpage regarde les en réponses les corrigés XXX.p. 250 !

Pour chaque question, trouver la seule bonne réponse parmi les trois propositions.

Je fais le point QCM 50

Précipitations (mm) 100

Climat de San Francisco

40

80

30

60

20

40

10

20

0

J F M A M J J A S O N D

EN

Températures (°C)

0

1 Exploiter ou construire un tableau représentant des données

18 Combien y a-t-il de tarifs différents pour

B

C

2

3

5

IM

le vol Paris-San Francisco ?

A

19 Quel est le tarif pour un adulte en première

1 812,00 €

1 315,00 €

805,00 €

20 Quel est le tarif pour un enfant en première

1 812,00 €

1 315,00 €

805,00 €

21 Léa, 11 ans, voyage avec sa mère en classe

2 120,00 €

1 217,00 €

1 107,00 €

410,00 €

497,00 €

620,00 €

classe ?

SP EC

classe ?

éco. Quel sera le prix total de leur voyage ?

22 Quelle est la différence de tarif pour un adulte entre la classe affaire et la première classe ?

2 Exploiter ou construire un graphique représentant des données A

B

C

23 Pour quel mois le total des précipitations

Février

Avril

Septembre

24 Quel mois a connu le plus de précipitations à

Janvier

Juillet

Décembre

25 Lors de quel mois la température moyenne

Janvier

Juin

Septembre

26 Quelle est la température moyenne la plus

Environ 9 °C

Environ 17 °C

Environ 20 °C

27 Quel est le total annuel des précipitations ?

118 mm

90 mm

500 mm

est-il entre 30 et 40 mm ? San Francisco ?

la plus élevée a-t-elle été enregistrée ? élevée enregistrée ?

Il faut revoir ton cours… COURAGE !

BRAVO ! 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tu peux continuer à t’entrainer page suivante.

Continue à te tester avec d’autres QCM interactifs sur www.bordas-myriade.fr 118

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Accompagnement personnalisé

Je fais le point EXERCICES 1 Exploiter ou construire

2 Exploiter ou construire

un tableau pour présenter des données

un graphique représentant des données

28 Les élèves de 6e du collège Albert Uderzo ont 30 Dans sa ferme, Raymond a produit cette année voté pour choisir le film projeté lors de la soirée de fin d’année. Votes 6e A

Votes 6e B

Votes 6e C

Star Wars 7

7

8

3

5

23

Forest Gump

4

5

8

4

21

Vice-versa

1

9

9

8

27

Le Petit Prince

5

1

4

4

14

Zootopie

8

2

0

3

13

25

25

24

24

98

Production annuelle de céréales

Votes Total 6e D

EN

Colz a Tournesol

Maïs

Blé

0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 Production (en tonnes)

IM

TOTAL

quatre types de céréales.

1. Combien d’élèves ont participé à ces votes ? 2. Combien de 6e B ont voté pour Le Petit Prince ? 3. Quel est le nombre de votes pour Star Wars 7 ? 4. Donner le classement résultant de ces votes.

31 Le document ci-dessous montre l’évolution de

la proportion de bacheliers dans une génération arrivant à l’âge du baccalauréat.

Abricot

Décembre

1 1

Cerise

1 1 1

Fraise

1 1 1

Framboise

1 1 1 1 1

Kiwi

Novembre

Octobre

Septembre

Aout

Juin

Juillet

Mai

Avril

Mars

Février

Janvier

SP EC

29 Ce tableau donne les saisons de certains fruits.

1. Quelle céréale Raymond a-t-il le plus produit ? 2. Quelle est environ sa production totale, en tonnes ?

1 1 1

Mûre

1 1 1 1 1 1 1

Orange

1 1 1 1

Poire

Pomme

2011-2014 : réforme Nombre de bacheliers (en %) de la voie professionnelle 100

90 80 70 1986 : création 60 du baccalauréat 50

20

1 1 1 1 1 1

10

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

Raisin

1 1

1 Fruit de saison

1. Quels mois peut-on manger des cerises ? 2. Que peut-on manger en février ? 3. Quel(s) mois peut-on manger des mures et des oranges ? des pommes, mais pas des poires ? 4. Quel(s) mois peut-on manger le plus de fruits ?

16,0

Technologique

30

1 1 1

1 1

23,6 Professionnel

professionnel

40

1 1

Pruneau

2009 : création de l’épreuve de rattrapage au bac professionnel

0 1980

Général

1986

1992

1998

37,7

2004

2010 Sessions

1. Quelle était la proportion (en %) de bacheliers dans une génération en 1980 ? en 1990 ? en 2000 ? en 2010 ? 2. En quelle année le baccalauréat professionnel a-t-il été créé ? 3. Quelle proportion d’une génération a obtenu un baccalauréat général en 2014 ? Chapitre 6 • Organisation et représentation de données

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119

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33 Représenter de diverses façons les résultats DOMAINE 3 DU SOCLE d’une étude

Objectifs 1 2

32 Lire et comprendre des graphiques scientifiques DOMAINE 1 DU SOCLE

Cette courbe illustre les mesures de bruits faites dans la cour d’un collège un jour de mars 2016.

+

Exemple :

130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

=8

Dé rouge +

2

3

4

5

6

EN

1 1 2

Dé bleu

CALME

BRUYANT PÉNIBLE DANGEREUX

Niveaux sonores (en dB)

Rémy décide de lancer deux dés en même temps : un dé bleu et un dé rouge. Il veut construire un tableau à double entrée présentant toutes les combinaisons possibles.

Heures

4 5

8

IM

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3

6

1. Aider Rémy à terminer son tableau. 2. Quelle(s) somme(s) apparai(ssen)t le plus souvent dans ce tableau ? le moins souvent ?

SP EC

1. Quel est le plus haut niveau sonore enregistré ? 2. À quelle heure a-t-il été enregistré ? 3. Quel est le plus bas niveau sonore enregistré ? 4. À quelle heure a-t-il été enregistré ? 5. Comment expliquer les différents pics de bruit ?

34 En voiture !

Lille

Montpellier

Nantes

Nice

Paris

Toulouse

765

183

805

574

647

482

347

803

585

244

862

446

759

1 012

1 291

1 127

296

1 448

593

888

651

500

194

506

494

638

775

314

767

693

647

823

658

143

980

472

420

691

997

905

605

1 154

230

899

316

303

761

472

466

539

170

988

204

777

406

823

325

331

241

1 145

385

585

825

562

Marseille

La Rochelle

651

Lyon

Dijon

Bordeaux

Brest

Bordeaux

Le tableau suivant donne les distances routières (en kilomètres) entre plusieurs villes de France. 1. Quelle est la distance entre Lyon et Paris ? entre Marseille et Toulouse ? 2. Pourquoi n’y a-t-il rien dans les cases jaunes ? 3. Parmi les douze villes présentées, quelles sont les deux plus éloignées ?

Brest

651

Dijon

765

862

La Rochelle

183

446

651

Lille

805

759

500

693

Lyon

574

1 012

194

647

691

Marseille

647

1 291

506

823

997

316

Montpellier

482

1 127

494

658

905

303

170

Nantes

347

296

638

143

605

761

988

823

Nice

803

1 488

775

980

1 154

472

204

325

1 145

Paris

585

593

314

472

230

466

777

331

385

825

Toulouse

244

888

767

420

899

539

406

241

585

562

678 678

120

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RAISONNER RAISONNER

REPRÉSENTER REPRÉSENTER

35 Les marées

DOMAINE 4 DU SOCLE

COMMUNIQUER COMMUNIQUER

MODÉLISER MODÉLISER

CHERCHER CHERCHER

CALCULER

37 Travailler en groupe Le document ci-dessous présente les périodes de grand froid en France depuis 1947 selon deux critères : la durée de l’évènement (nombre de jours) ; • • la température moyenne de journée (en °C). La surface des disques représentés témoigne de l’intensité globale de l’épisode de froid enregistré.

Le tableau ci-dessous donne des horaires de marée à Granville en juillet 2015.

Les plus grandes vagues de froid depuis 1947 Températures (°C)

1. À quelle heure était la marée haute du matin le 4 juillet ? 2. Quel jour la marée était-elle basse à 16 h 05 ? 3. Quel est le coefficient de marée le plus important ? 4. Si je souhaite me baigner à marée haute le soir mais avant 20 h 00, est-ce possible ? Si oui, quel(s) jour(s) ?

–2

EN

23 au 28 décembre 1962

14 au 24 décembre 1963

–4

30 janvier au 10 février 2012

1er au 27 février 1956

–8

IM –12

Les courbes ci-dessous donnent les prix des carburants pour automobiles de 1991 à 2015.

22 au 31 janvier 1947

5

10

3 au 17 janvier 1985

15

20

25 30 Nombre de jours

SP EC

1. En quelle année y a-t-il eu une période de froid de 11 jours ? la période de froid la plus longue ? 2. Quelle était la température moyenne de la vague de froid de 1947 ? 3. Quelle est la vague de froid la plus récente ? Quelles sont ses caractéristiques ?

Évolution du prix du litre de carburant

1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0

8 au 23 janvier 1987

30 janvier au 7 février 1954

36 Utiliser des graphiques dans un contexte économique

12 janvier au 6 février 1963

23 décembre 1970 au 6 janvier 1971

–6

–10

DOMAINE 5 DU SOCLE

26 décembre 1996 au 8 janvier 1997

12 au 19 décembre 1966

38 Voici le tableau donnant les périodes d’ouverture

96 19 98 20 00 20 02 20 04 20 06 20 08 20 10 20 12 20 14

94

Année

19

19

19

92

Super Pb Sans plomb (SP)95

Gazole Écart SP95/Gazole

1. Au cours de quelle année y a-t-il eu une forte baisse du prix des carburants ? 2. En quelle(s) année(s) la différence de prix entre ces deux carburants était-elle la plus grande ? 3. Pour aller plus loin : rechercher le prix de ces deux carburants aujourd’hui et les comparer aux données de ce graphique.

 

 

Sandre

 

 

Truite

 

 

Ombre

 

 

Écrevisse

 

 

Grenouille

 

 

Pêche ouverte

Décembre

Octobre

Brochet

Pêche fermée

1. Durant quels mois peut-on pêcher la truite ? 2. Quels poissons peut-on pêcher en octobre ? 3. Durant quel(s) mois peut-on pêcher à la fois le brochet et la truite ? Chapitre 6 • Organisation et représentation de données

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Novembre

Aout

Septembre

Juin

Juillet

Mai

Avril

Mars

Février

Janvier

de la pêche dans le département du Cher (18) :

121

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Dans les autres matières 41 La population française au XXe siècle

39 Happy holidays ! The Dupont family divides its holiday budget as indicated by the following semi-circular diagram: Transport Sightseeing Accommodation Foog

14%

21%

28%

55 50

1. What is the greatest expense? 2. Is it true that the transport budget is twice that of the sightseeing budget? Explain your answer.

40 Composition gazeuse de l’air

45

EN

37%

Nombre d’habitants (en millions) 60

40

35 1900

Diazote

1940

1960

1980

2000

1. Quelle était la population française en 1914 ? 2. En quelle année la population française devientelle supérieure à 50 000 000 d’habitants ? 3. La population française a-t-elle toujours été en augmentation ? Pourquoi ? 4. En combien d’années la population française est-elle passée de 45 à 55 millions d’habitants ?

IM

Dioxygène Autres gaz

1920

SP EC

1. Quel est le composant principal de l’air ? 2. Peut-on dire que, dans l’air, il y a : entre 20 et 25 % de dioxygène ? entre 40 et 50 % de dioxygène ? entre 70 et 80 % de dioxygène ?

Retour sur la page 109

M. Lucas enseigne au collège Jules Verne de Nantes. Ce collège est jumelé avec le collège Maracaña de Rio de Janeiro, au Brésil, et le collège Gandhi de Bombay, en Inde. Les enseignants de ces collèges souhaitent organiser une visioconférence collective : il faut un moment qui respecte les horaires d’ouverture des trois établissements. En utilisant les documents ci-dessous, proposer un jour et une heure pour permettre à M. Lucas d’organiser une visioconférence entre les trois collèges jumelés. DOC

2

DOC

1

Fuseaux horaires

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12

Horaires d’ouverture des trois collèges

Collège Jules Verne Lundi, mardi, jeudi, vendredi 8 h – 18 h Mercredi 8 h – 13 h

LONDRES LOS ANGELES

Collège Maracana Du lundi au vendredi

8 h – 20 h

Collège Gandhi Du lundi au vendredi

9 h – 17 h

MEXICO

CARACAS

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LE CAIRE

PÉKIN BOMBAY

DJAKARTA RIO DE JANEIRO BUENOS AIRES

122

MOSCOU

PARIS

NEW YORK

SYDNEY

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12

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ues

mathématiq

à la maison

42 Message codé

45 Tourisme à Paris

Voici une méthode pour coder un message secret. On écrit dans l’ordre l’alphabet (sauf le Z) dans un carré de 25 cases repérées par les chiffres de 1 à 5. 1 A F K P U

2 B G L Q V

3 C H M R W

4 D I N S X

Nombre de visiteurs (en millions) 16

5 E J O T Y

14 12 10

EN

1 2 3 4 5

Ce diagramme montre le nombre de visiteurs des principaux sites touristiques français en 2015.

8 6 4

On code chaque lettre par un groupe de deux chiffres : celui de sa ligne et celui de sa colonne. Exemple : A est codé par 11, L par 32, X par 54… Cas particulier : le Z est codé 00. 1. Quel message est codé ci-dessous ? « 52 24 52 15 32 15 44 33 11 45 23 44 ! » 2. Échanger des messages codés avec un(e) camarade de classe et décoder le sien.

2

Sites

1. Quel est le site le plus visité en France ? 2. Combien de personnes ont visité la tour Eiffel ? 3. Quels lieux ont été visités par plus de 8 000 000 de personnes en 2015 ?

SP EC

43 Défi !

Di

IM

sn

ey l Pa and ri No tre s de Dam Pa e r Mu is s L ée Pa rc ouvr du de et c e Ve hâ rs tea ail u les To ur Eif fel Sa int M -M o ich nt el

0

Dans ce diagramme, on veut compléter les disques vides de façon à respecter les consignes suivantes : 1

46 Salles de concert

2

24

Les Zénith sont des salles de concert. Il y en a dans plusieurs villes de France.

20

1

2

15

24

20

• les dix nombres sont7 tous 3différents et le plus grand de ces dix nombres est 24 ; 15 • pour chaque petit carré, les deux « produits en 14 6 croix » donnent le même résultat 7 3 (voir l’exemple ci-contre où 7 × 6 = 14 × 3 = 42.) 14 6 Compléter le diagramme.

44

Énigme

que de sœurs. » Nils affirme : « J’ai autant de frères x fois plus de Sa sœur Lisa lui répond : « J’ai deu frères que de sœurs. » famille de Lisa Combien y a-t-il d’enfants dans la et Nils ?

1. Rechercher sur Internet la capacité (nombre de places) des Zénith de France. 2. Construire sur tableur un tableau permettant de rassembler les données trouvées. 3. Construire sur tableur un diagramme à barres permettant de comparer visuellement les capacités de ces différentes salles. Chapitre 6 • Organisation et représentation de données

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123

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Pour faire ces activités, télécharger les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur www.bordas-myriade.fr

1 30’

Vente de voitures Construire un tableau à double entrée sur tableur et utiliser les formules pour calculer les sommes des lignes et des colonnes Difficulté mathématique

Difficulté technique

EN

Olivier, Béatrice, Abdul, Simon et Natacha sont vendeurs de voitures chez Top Auto 3 000. Le directeur du magasin souhaite construire un tableau récapitulatif des ventes de la semaine passée pour voir combien de voitures ont été vendues chaque jour (du lundi au samedi) par chaque vendeur. Première étape : construction d’un tableau à double entrée (7 lignes et 8 colonnes). 1 Dans une feuille de calcul d’un tableur, reproduire le tableau ci-dessous.

IM

SP EC

Tu peux utiliser la recopie de cellule car le tableur connait les jours de la semaine : on écrit « Lundi » en B1 et on « étire » la cellule vers Tableur 2 la droite.

Deuxième étape : saisie des ventes de chaque vendeur

2 Compléter le tableau de la question 1 sachant que du lundi au samedi : • Olivier a vendu 2, 4, 4, 1, 5 et 7 voitures ; • Béatrice a vendu 3, 0, 5, 2, 0 et 9 voitures ; • Abdul a vendu 6, 3, 3, 5, 2 et 6 voitures ; • Simon a vendu 1, 1, 0, 1, 1 et 2 voitures ; • Natacha a vendu 3, 3, 1, 2, 2 et 8 voitures. Troisième étape : calcul du bilan des ventes Tableur 1 3 Dans la cellule B7, écrire une formule qui donne le total des ventes du lundi. Tableur 2 4 Compléter de même les cellules C7, D7, E7, F7 et G7 pour les autres jours de la semaine. 5 Dans la cellule H2, écrire une formule qui donne le total des ventes d’Olivier pour cette semaine. ■

Tableur 1 Tableur 2 6 Compléter de même les cellules H3, H4, H5 et H6 pour les autres vendeurs. 7 Compléter le tableau en écrivant dans la cellule H7 une formule permettant de calculer le total des ventes du magasin pour toute la semaine. Tableur 1

Quatrième étape : vérification des formules Abdul a en réalité vendu deux voitures de plus le mardi (elles n’avaient pas été comptabilisées dans le relevé de la question 2 ). 8 Corriger dans le tableur le nombre de voitures vendues par Abdul le mardi. 9 Que se passe-t-il pour le total des ventes d’Abdul ? pour le total des ventes du magasin ? ■

124

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2 30’

Vente de consoles de jeux vidéos Passer d’un tableau de données au diagramme correspondant Utiliser le tableur pour construire des diagrammes en barres ou circulaires Difficulté mathématique

Difficulté technique

EN

Le tableau ci-dessous donne le nombre de consoles de jeux vidéos vendues dans le monde au cours du 1er semestre de l’année 2015 pour 5 modèles récents. On souhaite construire des diagrammes permettant d’analyser et de comparer rapidement les ventes.

Première étape : reproduction du tableau de données 1 a. Sur une feuille de calcul de tableur, reproduire ce tableau de renseignements. b. Calculer le total des ventes à l’aide d’une formule pour vérifier qu’il n’y a pas d’erreur de saisie. ■

Tableur 1

Deuxième étape : construction de diagrammes 2 a. À partir du tableau de la question 1 , construire un diagramme en bâtons présentant le nombre de consoles vendues pour chaque modèle. Tableur 4 b. Construire à l’aide du tableau de la question 1 , un diagramme circulaire présentant la répartition des ventes de consoles par modèle. Tableur 4

IM

Troisième étape : comparaison et analyse des données 3 On souhaite savoir quel modèle de console s’est le plus vendu dans le monde en 2015. a. Quel diagramme permet de répondre le plus facilement à cette question ? b. Répondre à cette question. 4 On souhaite savoir quel constructeur (Microsoft, Nintendo ou Sony) a réalisé le plus de ventes. a. Quel diagramme permet de répondre à cette question ? b. Répondre à cette question.

SP EC

3

Médailles olympiques

Utiliser le tableur pour présenter, organiser et illustrer des données recherchées sur Internet

30’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

On souhaite comparer les performances françaises aux différents Jeux olympiques d’été depuis 1984. 1 Construire un tableau comme ci-dessous permettant d’organiser les données.

2 Rechercher sur Internet les années, les lieux et le nombre de médailles olympiques obtenues par la France aux JO d’été de 1984 à 2016 inclus, puis compléter le tableau. 3 Quelle année fut la meilleure pour l’équipe de France ? Justifier la réponse. Chapitre 6 • Organisation et représentation de données

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125

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Avant de commencerâ&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś je revois mes acquis de dĂŠbut de cycle 3 C

On considère la figure ci-contre pour rĂŠpondre Ă  lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des questions de cette page.

đ?&#x2019;&#x17E; B

(d1)

D O

(d3)

(d2) A

(d (d4)

E

EN

Alignement, milieu et longueur dâ&#x20AC;&#x2122;un segment

1 Dans la figure, quels sont les points alignĂŠs ? a. C, D et E.

b. B, O et E.

c. B, A et E.

2 La ligne brisĂŠe E-A-B-C est :

Cercle

8 Parmi les points suivants, quel est

IM

a. aussi longue que la ligne brisĂŠe A-E-D-C. b. plus longue que la ligne brisĂŠe A-E-D-C. c. plus courte que la ligne brisĂŠe A-E-D-C.

3 Le point D est : a. une extrĂŠmitĂŠ du segment [BD]. b. situĂŠ Ă  ĂŠgale distance de B et C. c. situĂŠ Ă  ĂŠgale distance de B et E.

SP EC

4 Le triangle ABC semble :

a. isocèle et rectangle. b. rectangle uniquement. c. isocèle uniquement.

5 Une hauteur du triangle CAE est : a. le segment [OA]. c. le segment [OD].

b. le segment [AE].

Droites parallèles ou perpendiculaires

celui qui appartient au cercle đ?&#x2019;&#x17E; de centre O ? a. Le point O. b. Le point E. c. Le point A.

9 Un diamètre du cercle đ?&#x2019;&#x17E; de centre O est : a. le segment [OB]. b. le segment [AC]. c. le segment [AD].

10 Parmi les segments suivants,

quel est le rayon du cercle đ?&#x2019;&#x17E; ? a. Le segment [OB]. b. Le segment [AB]. c. Le segment [BD].

6 Dans la figure, quelles droites semblent parallèles ? a. (AD) et (AE). b. (d1) et (d2). c. (d1) et (d3).

Retrouve des QCM interactifs pour continuer Ă  rĂŠviser sur www.bordas-myriade.fr

7 Dans la figure, quelles droites semblent perpendiculaires ? a. Les droites (EC) et (d3). b. Les droites (d1) et (d3). c. Les droites (d2) et (EC).

126

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22/03/16 14:43


IM

SP EC

Localiser un lieu sur une carte s’avère délicat quand les informations dont on dispose ne se limitent qu’à quelques minces indices. Les outils avec lesquels tu vas te familiariser tout au long de ce chapitre te seront très utiles pour aider Youri, page 142, à résoudre une des quêtes proposées par son nouveau jeu vidéo d’aventures sur tablette !

EN

7

RÈGLE - ÉQUERRE COMPAS

Attendus de fin de cycle

• Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire

des figures usuelles • Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques • Se repérer et se déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations

OBJECTIFS 1

Tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point donné

2

Tracer la parallèle à une droite passant par un point donné

3

Connaitre et utiliser la définition du cercle 127

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Tous les ĂŠnoncĂŠs modifiables de ces activitĂŠs et les fiches Logiciel sont Ă  tĂŠlĂŠcharger sur www.bordas-myriade.fr

Acti

ĂŠ vit

1

Utiliser des notations

OBJECTIF

Dans la figure ci-contre, on a tracĂŠ : â&#x20AC;˘ en rouge, la droite passant par les points A et B, notĂŠe (AB) ; â&#x20AC;˘ en vert, la demi-droite dâ&#x20AC;&#x2122;origine E et passant par le point P, notĂŠe [EP) ; â&#x20AC;˘ en bleu, le segment dâ&#x20AC;&#x2122;extrĂŠmitĂŠs E et B, notĂŠe [EB]. Sa longueur est notĂŠe EB.

1

E M A

N I

EN

B

P

Recopier les phrases suivantes, puis les complĂŠter en utilisant les notations qui conviennent.

1 La droite passant par les points M et P se note â&#x20AC;Ś.

â&#x20AC;Ś. 2 La demi-droite dâ&#x20AC;&#x2122;origine P et passant par N se note â&#x20AC;Ś.

IM

â&#x20AC;Ś 3 Le segment dâ&#x20AC;&#x2122;extrĂŠmitĂŠs A et B se note â&#x20AC;Ś et sa longueur se note â&#x20AC;Ś.

Notation

4 ComplĂŠter les propositions suivantes Ă  lâ&#x20AC;&#x2122;aide

des symboles â&#x2C6;&#x160; ou â&#x2C6;&#x2030;. a. A â&#x20AC;Ś (EP) b. N â&#x20AC;Ś (IP) c. N â&#x20AC;Ś [IP) d. I â&#x20AC;Ś [NP] e. M â&#x20AC;Ś [IN)

2

Construire la perpendiculaire ou la parallèle à une droite passant par un point donnÊ

SP EC

Acti

ĂŠ vit

Le symbole â&#x2C6;&#x160; signifie ÂŤ appartient Ă  Âť et le symbole â&#x2C6;&#x2030; signifie ÂŤ nâ&#x20AC;&#x2122;appartient pas ࠝ.

OBJECTIF

1

Les figures ci-dessous reprĂŠsentent quatre ĂŠtapes successives permettant de construire, par pliage, la droite (d (d2) perpendiculaire Ă  la droite ((d1) et passant par le point A. â&#x2018; 

â&#x2018;Ą

A

A

((d d1)

Sur papier uni, tracer une droite (d (d1) et placer un point A non situĂŠ sur ((d1).

â&#x2018;˘

â&#x2018;Ł

(d2)

A A

(d1)

(d1)

Plier la feuille selon la droite (d1).

(d1) Plier une seconde fois la feuille selon un pli passant par A, en faisant coĂŻncider les deux demidroites rouges.

1 RĂŠaliser chacune de ces ĂŠtapes en suivant les consignes indiquĂŠes. 2 Construire, de mĂŞme, la droite (d3) perpendiculaire Ă  (d2) et passant

DĂŠplier la feuille, puis tracer la droite (d2).

Notation Le symbole â&#x160;Ľ signifie ÂŤ est perpendiculaire Ă  Âť et le symbole  signifie ÂŤ est parallèle Ă  Âť.

par A.

3 a. Que peut-on dire de la position de (d1) par rapport Ă  (d3) ? b. ComplĂŠter la phrase suivante Ă  lâ&#x20AC;&#x2122;aide des symboles â&#x160;Ľ ou . Par construction, nous avons (d1) â&#x20AC;Ś (d2) et (d3) â&#x20AC;Ś (d2), donc (d1) â&#x20AC;Ś (d3).

Pour indiquer que deux droites sont perpendiculaires, on utilise un codage sous la forme dâ&#x20AC;&#x2122;un petit carrĂŠ rouge disposĂŠ comme sur la figure â&#x2018;Ł.

128

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Acti

ĂŠ vit

3

DĂŠcouvrir des propriĂŠtĂŠs

OBJECTIF

LĂŠa a rĂŠalisĂŠ un programme de construction donnĂŠ par son professeur de mathĂŠmatiques. Ă&#x20AC; gauche, le programme de construction et, Ă  droite, la construction de LĂŠa.

(d1)

(d)

(d2)

Programme de construction â&#x20AC;˘ Tracer une droite (d1) sur papier uni. â&#x20AC;˘ Tracer une droite (d) perpendiculaire Ă  (d1), puis une droite (d2) perpendiculaires Ă  (d). â&#x20AC;˘ Tracer une droite (d3) parallèle Ă  (d2).

ĂŠ vit

Acti

â&#x160;Ľ signifie ÂŤ est perpendiculaire Ă  Âť et  signifie ÂŤ est parallèle Ă  Âť !

IM

Que penser de la position de (d1) par rapport Ă  (d (d2) ? b. On sait que (d) â&#x160;Ľ (d2) et que (d3)  (d2). Que penser de la position de (d3) par rapport Ă  (d ((d) ? d) ? ) ?

4

(d3)

EN

1 VĂŠrifier que LĂŠa a correctement rĂŠalisĂŠ sa construction. 2 a. On sait que (d) â&#x160;Ľ (d1) et que (d) â&#x160;Ľ (d2).

2

DĂŠterminer la distance dâ&#x20AC;&#x2122;un point Ă  une droite

OBJECTIF

SP EC

1 a. Ă&#x20AC; lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;un logiciel de gĂŠomĂŠtrie dynamique, tracer une droite (AB). b. Placer les points C et D tels que C â&#x2C6;&#x2030; (AB) et D â&#x2C6;&#x160; (AB).

2 Tracer le segment [CD], puis afficher sa longueur.

2

GeoGebra 5

GeoGebra 2

GeoGebra 16

3 DĂŠplacer le point D sur (AB) afin que la longueur CD soit la plus petite possible. Dans cette position, le segment [CD] est le plus petit segment reliant le point C Ă  la droite (AB).

4 a. Tracer la droite (CD). Que peut-on dire de la position

de (CD) par rapport Ă  (AB) ? b. En dĂŠduire une mĂŠthode pour construire le plus court chemin qui relie un point Ă  une droite.

GeoGebra 1

La longueur de ce plus petit segment est appelĂŠe la distance de C Ă  (AB).

Acti

ĂŠ vit

5

Utiliser un cercle

OBJECTIF

1 Recopier ou dĂŠcalquer les points de la figure ci-contre. 2 Quels sont tous les points situĂŠs Ă  la distance AD du point A ?

E

D

I

F

3 Citer tous les points de la figure situĂŠs Ă  une distance infĂŠrieure

B

C

A

Ă  AD du point A, puis supĂŠrieure.

H

4 Le disque de centre A et de rayon AD est une figure contenant

tous les points situĂŠs Ă  une distance de A infĂŠrieure ou ĂŠgale Ă  AD. Citer tous les points de la figure appartenant Ă  ce disque.

K G

Chapitre 7 â&#x20AC;˘ Règle - Ă&#x2030;querre - Compas

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3

L J

129

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1

Droites sĂŠcantes et perpendiculaires

OBJECTIF

1

A Droites sĂŠcantes Deux droites sont sĂŠcantes lorsquâ&#x20AC;&#x2122;elles nâ&#x20AC;&#x2122;ont quâ&#x20AC;&#x2122;un seul point en commun : leur point dâ&#x20AC;&#x2122;intersection.

DĂ&#x2030;FINITION

Exemple Les droites (d) et (dâ&#x20AC;&#x2122;) sont sĂŠcantes au point O qui est leur point dâ&#x20AC;&#x2122;intersection.

(dâ&#x20AC;&#x2122;)

B Droites perpendiculaires

Pour indiquer que O appartient Ă  la droite ((d), on utilise le symbole â&#x2C6;&#x160; qui signifie : ÂŤ appartient Ă   . ((d On peut ainsi ĂŠcrire que O â&#x2C6;&#x160; (d) d)) et O â&#x2C6;&#x160; (dâ&#x20AC;&#x2122;). Le symbole contraire est â&#x2C6;&#x2030; qui signifie : ÂŤ nâ&#x20AC;&#x2122;appartient pas Ă  Âť.

EN

(d) O

Remarque

Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant quatre angles droits.

IM

DĂ&#x2030;FINITION

Exemple La droite (d)) est perpendiculaire Ă  (d ((dâ&#x20AC;&#x2122;) dâ&#x20AC;&#x2122;)â&#x20AC;&#x2122;) au point H qui est appelĂŠ le pied de la perpendiculaire Ă  (dâ&#x20AC;&#x2122;).

(d) ((d d))

((dâ&#x20AC;&#x2122;) dâ&#x20AC;&#x2122;)) dâ&#x20AC;&#x2122;

SP EC 2

Le petit carrĂŠ rouge est un codage. Il indique que (d) et (dâ&#x20AC;&#x2122;) sont perpendiculaires.

H

Droites parallèles et propriÊtÊs

Notation La phrase ÂŤ (d) est perpendiculaire Ă  (dâ&#x20AC;&#x2122;)  se note : (d) â&#x160;Ľ (dâ&#x20AC;&#x2122;)

OBJECTIF

2

A Droites parallèles DĂ&#x2030;FINITION

Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sÊcantes.

Exemple Les droites (d ((d) d)) et ((dâ&#x20AC;&#x2122;) sont parallèles. MĂŞme si on prolonge ces deux droites Ă  lâ&#x20AC;&#x2122;infini, elles ne se rencontreront jamais !

Notation (d) (dâ&#x20AC;&#x2122;)

La phrase ÂŤ (d) est parallèle Ă  (dâ&#x20AC;&#x2122;)  se note : (d)  (dâ&#x20AC;&#x2122;) 

B PropriÊtÊs Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles.

PROPRIĂ&#x2030;TĂ&#x2030;

Exemple (D)

(d1) (d2)

O n sait qu e

(d1) et (d2) sont toutes deux perpendiculaires Ă  (D).

O n conclu t qu e

(d1) et (d2) sont parallèles.

130

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Si deux droites sont parallèles et quâ&#x20AC;&#x2122;une troisième droite est perpendiculaire Ă  lâ&#x20AC;&#x2122;une dâ&#x20AC;&#x2122;elles, alors cette troisième droite est aussi perpendiculaire Ă  lâ&#x20AC;&#x2122;autre.

PROPRIĂ&#x2030;TĂ&#x2030;

Exemple O n s a i t q ue

(D)

OBJECTIF

2

(d2)

(D) est perpendiculaire Ă  (d2).

On con clut q ue

3

(d1)

(d1) et (d2) sont parallèles et que (D) est perpendiculaire à (d1).

Distance dâ&#x20AC;&#x2122;un point Ă  une droite

La distance dâ&#x20AC;&#x2122;un point Ă  une droite est la longueur du plus petit segment reliant ce point Ă  lâ&#x20AC;&#x2122;un des points de la droite.

EN

DĂ&#x2030;FINITION

La distance dâ&#x20AC;&#x2122;un point A Ă  une droite (d)) est la longueur du segment reliant le point A au pied de la perpendiculaire Ă  (d)) passant par ce mĂŞme point A.

PROPRIĂ&#x2030;TĂ&#x2030;

Cercle et disque

SP EC

4

IM

Exemple La perpendiculaire Ă  (d)) passant par le point A coupe (d) (d)) au point H. (d AH est la distance du point A Ă  la droite (d ((d). d). ).

A (d)

H

OBJECTIF

3

D

Un cercle est constituĂŠ de tous les points situĂŠs Ă  une mĂŞme distance dâ&#x20AC;&#x2122;un point appelĂŠ ÂŤ centre du cercle Âť. Cette distance est le rayon du cercle.

DĂ&#x2030;FINITION

O

A

Vocabulaire

B r

[OC] est un rayon du cercle đ?&#x2019;&#x17E;. đ?&#x2019;&#x17E;. [AB] est un diamètre diamètre, son milieu est le centre O du cercle đ?&#x2019;&#x17E;. [AD] est une corde : elle relie deux points appartenant au cercle đ?&#x2019;&#x17E;.

C

Pour un cercle de centre O et de rayon r donnĂŠs : â&#x20AC;˘ Si un point est Ă  une distance r du centre O, alors ce point appartient au cercle. â&#x20AC;˘ Si un point appartient au cercle, alors sa distance au centre O est ĂŠgale Ă  r.

PROPRIĂ&#x2030;TĂ&#x2030;S

Un disque de centre O et de rayon r est constituĂŠ de tous les points situĂŠs Ă  lâ&#x20AC;&#x2122;intĂŠrieur et sur le cercle de mĂŞme centre et de mĂŞme rayon.

DĂ&#x2030;FINITION

Le dico des

Exemple A

B r O

C

Les points A, O et B appartiennent au mĂŞme disque de centre O et de rayon r. En revanche, le point C nâ&#x20AC;&#x2122;appartient pas Ă  ce disque.

maths

â&#x20AC;˘ Cercle â&#x20AC;˘ Corde â&#x20AC;˘ Diamètre â&#x20AC;˘ Distance â&#x20AC;˘ Disque â&#x20AC;˘ Parallèle â&#x20AC;˘ Perpendiculaire â&#x20AC;˘ Rayon â&#x20AC;˘ SĂŠcant

Voir p. 255

Chapitre 7 â&#x20AC;˘ Règle - Ă&#x2030;querre - Compas

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131

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1 Je comprends

Tracer la perpendiculaire à

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

A

On considère une droite (d1) et un point A n’appartenant pas à cette droite. Tracer la droite (d2) perpendiculaire à la droite (d1) passant par le point A.

(d1)

ÉTAPE 1

ÉTAPE 3

Je prolonge le tracé à la règle.

Je place l’équerre comme indiqué sur la figure : l’un des côtés le long de la droite (d1), l’autre passant par le point A.

A

A (d1)

ÉTAPE 2

ÉTAPE 4

Appuie suffisamment fort sur l’équerre pour éviter qu’elle ne glisse pendant le tracé.

Je nomme ensuite la droite ((d2) et je code la figure (pour matérialiser l’angle droit).

IM

Je trace, le long de l’équerre, une partie de la droite (d2).

EN

(d1)

(d1)

A

SP EC

(d1)

Je m’entraine

1

(d2)

REPRÉSENTER

3 Reproduire la figure ci-dessous, puis tracer la

Activités rapides

a. Quel codage utilise-t-on pour indiquer la perpendicularité entre deux droites ? b. Deux droites perpendiculaires sont-elles deux droites sécantes ? c. (d)) et (d’) (d’)’) sont deux droites perpendicu(d laires. A et B sont deux points de ((d), C est un point de (d’). Les points A, B et C peuvent-ils être alignés ?

2 1. Reproduire la figure

A

(d) M

ci-contre. 2. Tracer à main levée N les perpendiculaires à la droite (d) passant par les points M et N. Que remarque-t-on ? Justifier la réponse.

droite perpendiculaire à (d) passant par le point M. M

(d)

4 1. Tracer une droite (d) et placer un point E n’ap-

partenant pas à cette droite. 2. Tracer la droite perpendiculaire à (d) passant par le point E, puis coder la figure.

5 1. Tracer un triangle isocèle NOM tel que : NO = OM. 2. Tracer la perpendiculaire au côté [NM] passant par le point O. 3. Que peut-on dire du point d’intersection de cette droite avec le côté [NM] ?

132

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une droite passant par un point donné Je résous des problèmes simples

RAISONNER

REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

6 1. Rédiger un programme de construction de la

T

figure suivante.

Élève : Emma Tématik Classe : 6e A DM : un programme de construction

E O

F

2. Reproduire cette figure sur papier uni.

7 1. Dans le triangle MIR ci-dessous, la hauteur

IM

passant par le point I a été tracée. Reproduire la figure, puis tracer les deux autres hauteurs du triangle. Voca bulaire

I

Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire à la droite passant par les deux autres sommets.

10 Les maths autour de moi

SP EC

R

• Tracer un triangle quelconque TAC. • Placer un point I sur le côté [TC]. • Tracer en rouge la …………………… à la droite (TC) passant par I : elle coupe le segment …………… en J. • Tracer en vert la perpendiculaire à la droite (IJ) passant par J : elle coupe (AC) en K. • Tracer en bleu la perpendiculaire à la droite (JK) passant par K : elle coupe le segment ….. en L.

EN

M

M

I

2. Qu’observe-t-on au sujet de ces trois hauteurs ?

8 1. Sur une feuille de papier uni, tracer une droite

La maison de Marion possède un toit végétal dont les côtés consécutifs sont perpendiculaires.

Deux côtés consécutifs sont deux côtés qui se suivent.

10 m 4m

10 m 6m

5m

(d)) et placer un point E non situé sur cette droite. 2. Construire le point F tel que (d ((d) d)) soit la médiatrice du segment [EF]. 3. Rédiger un programme de construction du point F. Vocabulaire

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui le coupe en son milieu.

Dessiner sur papier uni une représentation de ce toit avec pour échelle : 1 cm pour 1 m.

9 Emma avait parfaitement réussi un devoir à la

maison demandant de construire une figure et d’en rédiger un programme de construction. Malheureusement pour elle, Théo, son petit frère (spécialiste en farces douteuses), a effacé une partie de sa figure, ainsi que plusieurs mots de son programme. 1. À partir des informations restantes sur le devoir d’Emma, refaire intégralement son exercice. 2. Que remarque-t-on pour les droites (IJ) et (KL) ?

11 TOP Chrono Rédiger un programme de construction de cette figure. (d1)

(d2)

A

B

D

C

(d3)

Chapitre 7 • Règle - Équerre - Compas

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2 Je comprends

Tracer la parallèle à

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

A (d1)

On considère une droite (d1) et un point A n’appartenant pas à cette droite. Tracer la droite (d2) parallèle à la droite (d1) passant par le point A.

ÉTAPE 1

A

Je place l’équerre et la règle comme indiqué sur la figure : le grand côté de l’équerre le long de (d1), la règle venant prendre appui sur l’autre côté.

EN

(d1)

A (d1)

ÉTAPE 3

Je prolonge le tracé à la règle.

ÉTAPE 2

IM

A

ÉTAPE 4

Je termine en nommant la droite ((d2). A

(d2)

SP EC

En maintenant une légère pression sur la règle, je fais coulisser l’équerre le long de celle-ci jusqu’au point A. Je trace alors une partie de (d2).

(d1)

Je m’entraine

12

(d1)

REPRÉSENTER

Activités rapides

a. Si (d1) ⊥ ((d d2) et si (d (d2) ⊥ ((d d3), alors que peut-on dire de (d (d1) et (d (d3) ? (d2) sont deux droites parallèles. ((d) b. (d1) et (d est une droite coupant (d (d1) au point M et ((d2) la coupant au point N. Comment doivent être positionnées les droites (d) ( et (d1) pour que la distance de (d d1) à ((d2) soit égale à MN ?

13 1. Tracer deux droites perpendiculaires (d1) et

(d2). On nomme A leur point d’intersection. 2. Placer un point B sur (d1) et un point C sur (d2). 3. Tracer la droite (d3) parallèle à (d1) et passant par le point C. 4. Tracer la droite (d4) parallèle à (d2) et passant par le point B. 5. Que peut-on dire des droites (d3) et (d4) ?

14 1. Sur une feuille blanche, tracer un triangle CAR isocèle en A tel que AC = 5 cm. 2. Tracer la droite (d) parallèle au côté [AC] passant par le point R. 3. Tracer la droite (d’) parallèle au côté [AR] passant par le point C. 4. Les droites (d) et (d’) se coupent en O. Quelle semble être la nature du quadrilatère CARO ?

15 1. Reproduire la figure suivante sur papier uni. E (d) F

2. Tracer la droite (d1) parallèle à (d) passant par E, puis la droite (d2) parallèle à (d) passant par F. 3. Que peut-on dire des droites (d1) et (d2) ?

134

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une droite passant par un point donnÊ Je rÊsous des problèmes simples

RAISONNER

COMMUNIQUER

REPRĂ&#x2030;SENTER

16 1. RĂŠdiger un programme de construction de la 19 Les maths autour de moi figure suivante sachant que :

Le dessin ci-dessous reprĂŠsente une promenade dâ&#x20AC;&#x2122;un randonneur dans les Alpes. La route en lacets permettant de gravir une montagne est constituĂŠe de parties horizontales (segments rouges) et inclinĂŠes (segments verts). Les segments rouges sont parallèles entre eux, de mĂŞme que les segments verts.

(d1)  (AC), (d2)  (AB) et (d3)  (BC). (d1)

B

F

E

(d2)

G

(d3)

2. Construire cette figure sur papier uni.

17 1. Reproduire la figure ci-dessous en vraie gran-

C N

M

IM

deur sachant que : â&#x20AC;˘ AB = 6 cm, AC = 5,5 cm, BC = 4,5 cm, Mâ&#x2C6;&#x160; [AC] et AM = 2,5 cm ; â&#x20AC;˘ (d1)  (d2)  (d3), (BN)  (AC) et (NP)  (BC).

EN

C

A

(d3) (d d2) ((d d1)

B

P

SP EC

A

2. RĂŠdiger un programme de construction de cette figure.

18 La figure ci-dessous et son programme de

construction sont incomplets. 1. Reproduire la figure sur papier uni. 2. ComplĂŠter cette figure, ainsi que son programme de construction.

A

(d)

H

1. Lors de lâ&#x20AC;&#x2122;ascension, comment varie la distance entre deux segments rouges ? entre deux segments verts ? 2. Reproduire cette montagne et la route dâ&#x20AC;&#x2122;accès Ă  son sommet.

20 TOP Chrono Construire en vraie grandeur, sur papier uni, la figure ci-dessous sachant que : â&#x20AC;˘ (d)  (AC) ; â&#x20AC;˘ la distance du point A Ă  la droite (d) est ĂŠgale Ă  4 cm. Aâ&#x20AC;&#x2122; 1,5 cm

Programme de construction â&#x20AC;˘ Tracer une droite (d). â&#x20AC;˘ Tracer une droite (d1) â&#x20AC;Ś Ă  (d). â&#x20AC;˘ Appeler â&#x20AC;Ś leur point dâ&#x20AC;&#x2122;intersection. â&#x20AC;˘ Placer un point A sur (d1) tel que AH = 3 cm. â&#x20AC;˘ Tracer la droite (dâ&#x20AC;&#x2122;) â&#x20AC;Ś Ă  (d) et passant par â&#x20AC;Ś.

Câ&#x20AC;&#x2122;

Bâ&#x20AC;&#x2122; A

(d)

3 cm B

9 cm

Chapitre 7 â&#x20AC;˘ Règle - Ă&#x2030;querre - Compas

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C

135

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3 Je comprends

Connaitre et utiliser

VOIR LA VIDĂ&#x2030;O : www.bordas-myriade.fr

Tracer un triangle ABC sachant que : AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. Tu peux commencer en choisissant nâ&#x20AC;&#x2122;importe lequel des trois cĂ´tĂŠs du triangle. Par exemple, le cĂ´tĂŠ [AB].

A

5 cm A

B

6 cm

Ă&#x2030;TAPE 2 Je trace un cercle centrĂŠ en A de rayon 4 cm. Jâ&#x20AC;&#x2122;ai ainsi reprĂŠsentĂŠ tous les points qui se trouvent Ă  4 cm de A.

B

6 cm

EN

Ă&#x2030;TAPE 1

Ă&#x2030;TAPE 4

Chacun de ces deux points dâ&#x20AC;&#x2122;intersection est donc Ă  la fois Ă  4 cm de A et Ă  5 cm de B. Je garde un seul point dâ&#x20AC;&#x2122;intersection que je nomme C : il se trouve bien Ă  4 cm de A et Ă  5 cm de B. Je termine la construction en traçant [AC] et [BC].

A

IM

4 cm 6 cm

B

SP EC

Ă&#x2030;TAPE 3 Je trace un autre cercle de centre

B et de rayon 5 cm (en rouge). Jâ&#x20AC;&#x2122;ai ainsi reprĂŠsentĂŠ tous les points qui se trouvent Ă  5 cm de B. Ce deuxième cercle coupe le cercle prĂŠcĂŠdent (bleu) en deux points.

Je mâ&#x20AC;&#x2122;entraine

21

C 5 cm

4 cm A

6 cm

B

REPRĂ&#x2030;SENTER

ActivitĂŠs rapides

a. En additionnant le rayon et le diamètre dâ&#x20AC;&#x2122;un cercle, on obtient 9 cm. Combien le rayon mesure-t-il ? b. đ?&#x2019;&#x17E; est un cercle de centre O et de rayon r, đ?&#x2019;&#x; est un disque de mĂŞme centre et de mĂŞme rayon. Si E est un point tel que OE < r, Ă  quelle figure le point E appartient-il : au cercle đ?&#x2019;&#x17E; ou au disque đ?&#x2019;&#x; ? c. Deux cercles ont le mĂŞme rayon. Si la distance entre leurs centres est plus petite que leur diamètre, sans toutefois ĂŞtre nulle, combien a-t-on au maximum de points communs Ă  ces deux cercles ?

22 Construire un triangle ROC tel que : RO = RC = 5 cm et OC = 6 cm.

23 Construire un triangle MAT tel que : MA = 3 cm, AT = 5 cm et MT = 7 cm.

24 I et M sont deux points dâ&#x20AC;&#x2122;un cercle de centre O tels que : OI = 4 cm et IM = 4 cm. Que peut-on dire du triangle MOI ?

25 1. Tracer un segment [RT] de longueur 6 cm. 2. Colorier en bleu la surface oĂš se trouvent tous les points situĂŠs Ă  la fois Ă  plus de 8 cm de R et Ă  moins de 4 cm de T.

136

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la dÊfinition du cercle Je rÊsous des problèmes simples B

M ci-contre. L C A D 1. Citer au moins trois O I E points ĂŠquidistants du F H point O. J K 2. Citer au moins trois G points ĂŠquidistants du Vocabulaire point I. 3. Citer tous les points ĂŠqui- ÂŤ Ă&#x2030;quidistant Âť signifie : distants des points O et de I. ÂŤ situĂŠ Ă  une mĂŞme distance Âť.

27 1. Reproduire en grandeur rĂŠelle la figure cidessous.

A

N

29 Les maths autour de moi La Terre est assimilĂŠe Ă  une immense boule de 6 371 km de rayon. Elle est composĂŠe de diffĂŠrentes couches successives constituant sa structure interne.

B OA = 4 cm OB = 6 cm OM = ON = 2 cm

SP EC

O

2. ComplĂŠter la figure en suivant le programme de construction ci-dessous. â&#x20AC;˘ Colorier en rouge tous les points du triangle dont la distance Ă  O est infĂŠrieure Ă  2 cm. â&#x20AC;˘ Colorier en vert tous les points du triangle dont la distance Ă  O est supĂŠrieure Ă  2 cm. â&#x20AC;˘ Colorier en bleu tous les points du triangle dont la distance Ă  O est exactement ĂŠgale Ă  2 cm.

28 1. RĂŠdiger un programme de construction de la

On peut reprĂŠsenter chacune de ses couches par des cercles de mĂŞme centre (le centre de la Terre). En tenant compte des informations suivantes, construire la structure de la Terre, en prenant pour ĂŠchelle 1 cm = 1 000 km. â&#x20AC;˘ Noyau interne : rayon 1 216 km. â&#x20AC;˘ Noyau externe : ĂŠpaisseur 2 270 km. â&#x20AC;˘ Manteau interne : ĂŠpaisseur 2 185 km. â&#x20AC;˘ Manteau externe : ĂŠpaisseur 630 km. â&#x20AC;˘ Croute ocĂŠanique et terrestre : 70 km.

30 TOP Chrono 1. RĂŠdiger un programme de construction de la figure ci-dessous, sachant que đ?&#x2019;&#x17E;1, đ?&#x2019;&#x17E;2 et đ?&#x2019;&#x17E;3 ont pour rayons respectifs 3, 4 et 5 cm. 2. RĂŠaliser ce programme de construction sur papier uni.

zone colorĂŠe en bleu.

đ?&#x2019;&#x17E;1

đ?&#x2019;&#x17E;2

m

m

M

25

m

m

đ?&#x2019;&#x17E;1 15

COMMUNIQUER

IM

M

REPRĂ&#x2030;SENTER

EN

26 On considère la figure

RAISONNER

N

A

đ?&#x2019;&#x17E;3

đ?&#x2019;&#x17E;2 S

P

MN = 30 mm

2. Reproduire la figure en grandeur rĂŠelle. Chapitre 7 â&#x20AC;˘ Règle - Ă&#x2030;querre - Compas

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Avec ses questions, Une10bonne ce rĂŠponse QCM est = notĂŠ sur 10 ! un point ! ComptePour 1 point par bonne tâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvaluer, rĂŠponse vĂŠrifiantpage regarde les en rĂŠponses les corrigĂŠs XXX.p. 250 !

Pour chaque question, trouver la seule bonne rĂŠponse parmi les trois propositions.

Je fais le point QCM

1 Tracer la perpendiculaire Ă  une droite passant par un point (d1)

C

(d1) â&#x160;Ľ (d2)

(d4)  ((d d1)

((d4) â&#x160;Ľ (d3)

(d2)

De cette figure, on peut dĂŠduire que :

(d2) // (d3) (d3)

(d4)

B

EN

31

A

32 A, B, C sont trois points alignĂŠs, ainsi que E, B, F. Si E â&#x2C6;&#x2030; (AC), alors :

33 M, I, R sont trois points tels que MI = IR. Alors :

34 E est le milieu du segment [AC]. On peut ĂŠcrire :

(AC) â&#x160;Ľ (EF)

(AC) et (EF) sont sĂŠcantes

M, I, R sont alignĂŠs

I est le milieu MIR est un de [MR] triangle isocèle AE = CE

IM

[AE] = [EC]

(AC)  (EF)

(AC) = 2 Ă&#x2014; (AE)

2 Tracer la parallèle à une droite passant par un point

SP EC

35 Si (AB)  (AC), alors :

(d3), alors : 36 Si (d1)  (d2) et si (d2)  (d

A

B

C

AB = AC

A, B, C sont alignĂŠs

B est le milieu de [AC]

(d1) â&#x160;Ľ (d3)

(d1) et (d3) sont sĂŠcantes

(d1)  (d3)

[SA]

ST

SA

(d2)  (d3)

(d4) â&#x160;Ľ (d1)

(d4)  (d1)

A

B

C

IJ = OI

[IJ] est une corde de C

OIJ est un triangle ĂŠquilatĂŠral

Aâ&#x2C6;&#x2030;D

Bâ&#x2C6;&#x2030;D

Oâ&#x2C6;&#x2030;D

37 SAT est un triangle rectangle en A. Alors la distance de S à la droite (AT) est Êgale à :

38

(d1)

(d4)

((d d2)

De cette figure, on peut dĂŠduire que :

((d d3)

3 Connaitre et utiliser la dĂŠfinition du cercle

39 I et J sont deux points dâ&#x20AC;&#x2122;un cercle C de centre O. Alors :

40 [AB] est un segment de milieu O, tel que AB = 3 cm. D est un disque de centre A et de rayon 2 cm. Alors :

Il faut revoir ton coursâ&#x20AC;Ś COURAGE !

BRAVO ! 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tu peux continuer Ă  tâ&#x20AC;&#x2122;entrainer page suivante.

Continue Ă  te tester avec dâ&#x20AC;&#x2122;autres QCM interactifs sur www.bordas-myriade.fr 138

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Accompagnement personnalisé

Je fais le point EXERCICES 1

Tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point donné (d5)

41

44 1. Réaliser le programme de construction suivant sur papier uni.

• Tracer deux droites (d1) et (d2) perpendiculaires en A. • Placer un point B sur (d1) et un point D sur (d2) tels que AB = AD. • Tracer la droite (d3) parallèle à (d (d2) passant par B. • Tracer la droite (d (d4) parallèle à (d (d1) passant par D. • Placer le point C, intersection de ((d3) et (d4). • Coder la figure obtenue.

(d4)

(d6) B

C

(d2)

O

E

D

(d1)

F

2. a. Comment sont les droites ((d1) et (d3) ? b. Même question avec les droites ((d2) et (d4). c. Expliquer pourquoi ((d3) ⊥ (d4). d. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

IM

En observant attentivement la figure, citer, pour chaque cas suivant, le nom d’une droite qui : 1. passe par F en étant perpendiculaire à (d4) ; 2. passe par B en étant perpendiculaire à (d (d3) ; (d6) ; 3. passe par E en étant perpendiculaire à (d 4. est sécante avec (d2) en C ; 5. passe par A et qui n’est pas perpendiculaire à (d4).

EN

(d3)

A

3

Connaitre et utiliser la définition du cercle

SP EC

45 Réaliser le programme de construction suivant

42 1. Réaliser le programme de construction suivant sur papier uni.

• Placer trois points A, B et C non alignés. • Placer le point I, milieu de [AB]. • Placer le point J, milieu de [BC]. • Tracer la droite (d ((d) d)) perpendiculaire à (AB) et qui passe par le point I. • Tracer la droite (d ((d’) d’)’) perpendiculaire à (BC) et qui passe par le point J. • (d) et (d’)’) se coupent en O : placer le point O.

2. Comparer les longueurs OA, OB et OC.

sur papier uni.

• Construire en vraie grandeur un triangle SAR, isocèle en A, tel que : AS = AR = 8 cm et SR = 6 cm. • Colorier en rouge la partie du triangle contenant tous les points dont la distance à A est inférieure à 3 cm. • Colorier en bleu la partie du triangle contenant tous les points dont la distance à S et la distance à R sont inférieures à 4 cm.

46 Rédiger un programme de construction de la

figure ci-dessous, en partant d’un triangle équilatéral de côté 6 cm.

2

Tracer la parallèle à une droite passant par un point donné 43 1. Tracer un triangle isocèle NIL tel que :

IN = IL = 6 cm et NL = 5 cm. 2. Construire un point O dont la distance à (IN) est égale à 2 cm et la distance à (IL) égale à 3 cm. Combien y a-t-il de possibilités ? Chapitre 7 • Règle - Équerre - Compas

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B

Objectifs 1 2 3

47 DĂŠfinir des relations entre objets

DOMAINE 4 DU SOCLE

B

Bâ&#x20AC;&#x2122;

48 Travailler en groupe

P1

12 m

(Figure de lâ&#x20AC;&#x2122;exercice 49)

1m

D

50 Prendre des initiatives

DOMAINE 3 DU SOCLE

Les parents de ThÊo ont amÊnagÊ une aire de loisirs de forme triangulaire dont les côtÊs mesurent 6 m, 7 m et 10 m. Ils souhaitent y installer une piscine circulaire de 3,80 m de diamètre pour se rafraichir.

DOMAINE 2 DU SOCLE

IM

En cours de mathĂŠmatiques, lors dâ&#x20AC;&#x2122;une sĂŠance de travail en groupes, le groupe de Marion a choisi lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠnoncĂŠ suivant. đ?&#x2019;&#x; est un cercle dont le centre O a ĂŠtĂŠ effacĂŠ.

[AB] est une corde de ce cercle de longueur 3 cm. B

Cette aire de loisirs est-elle suffisante pour y installer une piscine de cette dimension ? RĂŠdiger la dĂŠmarche effectuĂŠe pour rĂŠpondre Ă  la question.

51 RĂŠdiger un programme de construction

SP EC

đ?&#x2019;&#x;

A

EN

Aâ&#x20AC;&#x2122;

C

20 m

Deux sources de rayon laser sont disposĂŠes de telle sorte que leurs origines respectives A et B soient sur une mĂŞme droite verticale Ă  70 cm lâ&#x20AC;&#x2122;une de lâ&#x20AC;&#x2122;autre. Les rayons ĂŠmis atteignent la paroi en Aâ&#x20AC;&#x2122; et Bâ&#x20AC;&#x2122;. Sachant que Aâ&#x20AC;&#x2122;Bâ&#x20AC;&#x2122; mesure ĂŠgalement 70 cm, peut-on affirmer que (AAâ&#x20AC;&#x2122;) et (BBâ&#x20AC;&#x2122;) sont parallèles ? Justifier la rĂŠponse. A

P2

3 cm

A

Chercher une mĂŠthode permettant de retrouver la position prĂŠcise du centre O du disque.

2. RĂŠdiger la mĂŠthode adoptĂŠe par le groupe de Marion. 3. a. Construire le disque đ?&#x2019;&#x;. b. Donner une valeur approchĂŠe de son rayon au millimètre près.

49 ModĂŠliser une situation Le croquis ci-après est celui dâ&#x20AC;&#x2122;une pelouse ABCD rectangulaire de 20 m de longueur et 12 m de largeur. Pour la tondre, on branche la tondeuse sur la prise 1 (point P1) situĂŠe sur [DC] Ă  1 m du point D ou sur la prise 2 (point P2) situĂŠe au milieu de [BC]. Sachant que la longueur du fil est de 13 m, pourra-t-on tondre entièrement la pelouse ?

DOMAINE 2 DU SOCLE

Voici lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠnoncĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;un devoir que JosuĂŠ doit effectuer Ă  la maison et rendre Ă  son professeur. 1. Tracer deux droites 1(d ) et (d 2) sĂŠcantes en O. 2. Construire un point A situĂŠ Ă  ĂŠgale distance des droites (d1) et (d 2). 3. RĂŠdiger un programme de construction de ce point.

Pour rĂŠpondre aux questions 1 et 2, JosuĂŠ a rĂŠalisĂŠ la construction suivante. H

G A

E

O

F

(d2)

(d1)

1. RĂŠdiger le programme de construction du point A Ă  partir des informations fournies par la figure. 2. Construire la figure en appliquant ce programme de construction.

140

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RAISONNER

REPRĂ&#x2030;SENTER

COMMUNIQUER

Sâ&#x20AC;&#x2122;orienter dans lâ&#x20AC;&#x2122;espace

52

DOMAINE 5 DU SOCLE

Louison et Marion visitent Paris. Après le Louvre, elles dĂŠcident de visiter le Quartier latin, oĂš est situĂŠe la Sorbonne. Elles peuvent sâ&#x20AC;&#x2122;y rendre Ă  pied ou en mĂŠtro. Le nom des stations est indiquĂŠ en bleu sur le plan ci-dessous.

CHERCHER

CALCULER

55 DĂŠbattre

MODĂ&#x2030;LISER

DOMAINE 1 DU SOCLE

En cours, ChloĂŠ et Erwan sont interrogĂŠs par leur professeur.

R Châtelet ue de Riv oli

Pont-Neuf La S

eine

Pont-Neuf

Pont au Change

s de ai iche

Bou

Sain

Sain

t-Ge r

Pont dâ&#x20AC;&#x2122;Arcole

HĂ´tel-Dieu CathĂŠdrale Notre-Dame-de-Paris

Rue

rd

leva

leva

rd S a

Bo u

int-M

OdĂŠon

que

t-Ja c

l

an Gr

Pont ds Saint-Michel Au gu s Saint-Michel tins

s

CitĂŠ

m ai n

1. Qui a donnÊ une bonne rÊponse ? 2. De quelles façons ChloÊ et Erwan ont-ils pu justifier leurs rÊponses ?

300 m

56 Analyser une copie dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlève

1. a. Calculer une valeur approchĂŠe de la distance Ă  vol dâ&#x20AC;&#x2122;oiseau entre les stations LouvreRivoli et Cluny-La Sorbonne. b. DĂŠcrire lâ&#x20AC;&#x2122;itinĂŠraire le plus court pour relier Ă  pied les deux stations. Quelle sera la distance parcourue ? Donner la rĂŠponse Ă  100 m près. 2. Rechercher sur le site de la RATP un plan du mĂŠtro parisien, puis indiquer Ă  Louison et Marion un itinĂŠraire pour se rendre en mĂŠtro de LouvreRivoli Ă  Luxembourg.

53 Problème ouvert

1. Tracer une droite (d ((d), d), ), puis placer un point A non situĂŠ sur (d ((d). d). ). 2. Tracer la droite (dâ&#x20AC;&#x2122;) ( passant par A et perpendiculaire Ă  (d) en utilisant uniquement une règle graduĂŠe et un compas.

54 Construire une figure dâ&#x20AC;&#x2122;après sa description 1. Tracer une droite (d) et placer un point A sur (d). 2. Tracer un cercle đ?&#x2019;&#x17E; rĂŠpondant aux caractĂŠristiques suivantes : â&#x20AC;˘ son diamètre mesure 8 cm ; â&#x20AC;˘ son centre O est situĂŠ Ă  3 cm de (d) ; â&#x20AC;˘ le point A appartient Ă  đ?&#x2019;&#x17E;.

DOMAINE 1 DU SOCLE

ShaĂŻna doit effectuer lâ&#x20AC;&#x2122;exercice suivant.

SP EC

Cluny-La Sorbonne

IM

Qu

Pont Notre-Dame

EN

Louvre-Rivoli R ue de Riv oli

1. RĂŠdiger un programme de construction dâ&#x20AC;&#x2122;une droite d ( â&#x20AC;&#x2122;) parallèle Ă  une droite d) ( telle que tout point appartenant Ă  â&#x20AC;&#x2122;)(d soit situĂŠ Ă  5 cm de ). (d 2. RĂŠaliser ce programme de construction.

Voici ce que ShaĂŻna a rĂŠpondu : 1. Le programme de construction â&#x20AC;˘ Tracer une droite (d) puis placer deux points A et B sur (d). â&#x20AC;˘ Tracer deux demi-cercles de rayon 5 cm, lâ&#x20AC;&#x2122;un de centre A, lâ&#x20AC;&#x2122;autre de centre B. â&#x20AC;˘ Placer la règle de sorte quâ&#x20AC;&#x2122;elle nâ&#x20AC;&#x2122;ait quâ&#x20AC;&#x2122;un seul point de contact avec chaque demi-cercle. â&#x20AC;˘ Tracer la droite (dâ&#x20AC;&#x2122;) passant par ces points. 2. La figure (d) // (dâ&#x20AC;&#x2122;) A m 5c

B

(d)

5c

m

1. Que penser de la mĂŠthode utilisĂŠe par ShaĂŻna ? 2. Proposer une autre mĂŠthode rĂŠpondant Ă  lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠnoncĂŠ. Chapitre 7 â&#x20AC;˘ Règle - Ă&#x2030;querre - Compas

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(dâ&#x20AC;&#x2122;)

141

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Dans les autres matières 57 La piste d’athlétisme

58 Parallel or perpendicular?

38,2 m

A

80 m

B 38,2 m

A

D

IM

6m

Look at the illustration to answer the following questions: 1. Which line is parallel to (BE)? 2. Name one line that intersects (AB). 3. How many lines are perpendicular to (AB)? 4. Does (ED) intersect (AB)? Explain. 5. Is (CD) perpendicular to (AD)? Explain. 6. Construct the figure with: AB = 5 cm, AD = 3 cm and CE = 2 cm.

EN

Une piste d’athlétisme est composée de plusieurs couloirs : un couloir par athlète. Le plus court mesure 400 m. Le schéma ci-dessous montre une piste d’athlétisme représentée sans ses quatre couloirs. Elle est composée de deux lignes droites de 80 m de longueur et de demicercles de rayon 38,2 m. Sa largeur est de 6 m.

Représenter cette piste d’athlétisme sur feuille de papier uni en prenant pour échelle 1 cm = 10 m.

B

C

E

SP EC

Retour sur la page 127

Dans un jeu d’enquête médiévale sur tablette numérique, Youri doit localiser les adresses de l’armurerie et de la maison du sorcier dans un village, en se plaçant au centre du belvédère, qui est le point le plus élevé. Aider Youri à retrouver ces deux adresses en téléchargeant la carte et en l’ouvrant dans GeoGebra.

DOC

1

DOC

2

L’armurerie et la maison du sorcier

La carte du village

Télécharger le fichier Chapitre_7_Carte_Tache_complexe sur www.bordas-myriade.fr .

① L’armurerie est située à 500 m à vol d’oiseau du centre du belvédère.

② La maison du sorcier est située à 850 m à vol d’oiseau du centre du belvédère.

142

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ues

mathématiq

à la maison 62 Le colimaçon

1. Dans cette illustration, les droites rouges sont-elles toutes parallèles ?

2. Vérifier en utilisant la règle et l’équerre.

60 Défi !

63 La figure téléphonée

Chloé était absente lors du dernier cours de mathématiques. Malik lui téléphone pour lui indiquer comment construire la figure ci-dessous. Que doit dire Malik à Chloé ?

IM

Pour le défilé du 14 Juillet, l’animatrice d’un club de majorettes désire disposer ses 10 élèves selon 5 alignements de 4 élèves chacun. Comment va-t-elle s’y prendre ?

Construire la figure suivante en partant du carré rouge de 2 cm de côté.

EN

59 Illusion ou réalité ?

SP EC

A

M

D

O 3 cm C

B

64 Le trésor du pharaon

61

Un archéologue a pu localiser en Égypte l’un des trésors ayant appartenu au pharaon Aton. Son croquis indique les positions relatives du Sphinx, de l’Ibis sacré et du Nil.

Énigme

À vol d’oiseau : deux à 4 km du • Marius et Fanny habitent tous les km de la mai4 de collège, mais Fanny est à plus son de Marius ; Marius et à 3 km • la poste est située à 5 km de chez du collège. Viennent ensuite Marius est le plus éloigné de la poste. plus proche. Fanny, puis le collège, qui en est le Poste

l Ni

70

10

0

m

Sphinx

m

Ibis sacré 5 km

3 km 4 km

Marius

Collège

s possibles où Représenter en bleu tous les endroit ny. pourrait être située la maison de Fan

1. Reproduire la figure à l’échelle 1 cm = 10 m. 2. Le trésor est situé à 50 m de distance du bord rectiligne du Nil, à 65 m du Sphinx et à moins de 55 m de l’Ibis sacré. Construire le point T correspondant à son emplacement. Chapitre 7 • Règle - Équerre - Compas

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143

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Pour faire ces activités, télécharger les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur www.bordas-myriade.fr

20’

Parallèles et perpendiculaires Tracer la perpendiculaire et la parallèle à une droite passant par un point Vérifier une propriété Difficulté mathématique

Difficulté technique

1 Placer trois points A, B et C non alignés. 2 Tracer la droite (AB).

Ces trois points doivent être suffisamment éloignés les uns des autres pour avoir plus de précision dans les tracés.

GeoGebra 2

GeoGebra 5

C

B

IM

A

EN

1

3 Tracer la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point C.

GeoGebra 8

4 Placer le point d’intersection de ces deux droites. On le nomme D.  GeoGebra 14 5 Marquer l’angle droit CDA.

GeoGebra 3

SP EC

GeoGebra 9 6 a. Tracer la droite parallèle à (AB) passant par C. b. Que peut-on penser de cette droite et de la droite (CD) ?  7 a. Placer un point E sur la dernière droite tracée et marquer l’angle DCE. b. Que constate-t-on ? c. Quelle propriété du cours cette construction illustre-t-elle ?

2

Des cercles pour construire un triangle Construire un triangle en connaissant la longueur de ses côtés

20’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

Avec un logiciel de géométrie dynamique, réaliser le programme ci-dessous permettant de construire le triangle ABC.

1 Placer un point A, puis tracer un cercle de centre A et de rayon 3 cm. 2 Placer un point B sur ce cercle.

GeoGebra 2

B

GeoGebra 13 3 a. Tracer un cercle de centre B et de rayon 5 cm. b. Tracer un cercle de centre A et de rayon 6 cm. c. Ces deux derniers cercles se coupent en deux points. Nommer C l’un de ces points. GeoGebra 3

4 Tracer le triangle ABC.

GeoGebra 13

GeoGebra 7

5 Afficher la longueur de chaque côté.

GeoGebra 16

6 Cacher chacun des cercles précédemment construits.

5 cm

3 cm

A

6 cm

C

GeoGebra 21

7 Colorier le triangle. 144

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3

Combien de points ? Déterminer tous les points soumis aux mêmes conditions de distance par rapport à deux droites

30’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

GeoGebra 2 1 a. Placer trois points A, B et C non alignés. b. Tracer en bleu les droites (AB) et (BC). GeoGebra 5 GeoGebra 13 2 a. Tracer le cercle de centre A et de rayon 2 cm. b. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A. GeoGebra 8 c. Le cercle et la perpendiculaire précédemment tracés se coupent en deux points D et E. Placer D et E. GeoGebra 3

E Les questions qui suivent vont te permettre de trouver tous les points situés à la fois à 2 cm de (AB) et à 3 cm de (BC) !

D B

EN

C

A

SP EC

IM

3 a. Tracer le cercle de centre C et de rayon 3 cm. b. Tracer la perpendiculaire à (BC) passant par C. c. Le cercle et la perpendiculaire précédemment tracés se coupent en deux points F et G. Placer F et G. GeoGebra 21 4 a. Masquer les cercles de centres A et C, ainsi que les droites (ED) et (FG). b. Tracer en vert la parallèle à (AB) passant par E, puis la parallèle à (BC) passant par G. GeoGebra 9 c. Placer le point d’intersection H des deux droites nouvellement tracées. d. Mesurer la distance de H à (AB), puis la distance de H à (BC). Le point H remplit-il les conditions de distance annoncées pour (AB) et (CD) ? e. Combien de points, autres que H et répondant à ces conditions, pourrait-on encore construire ? Pour mesurer cette distance, clique sur l’outil Distance , puis GeoGebra 16 successivement sur le point H et la droite (AB) ou (BC)

4

Un escalier !

Utiliser un algorithme pour construire une figure

25’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

1 a. Ouvrir le logiciel Scratch, puis diminuer la taille du chat (clic-droit avec la souris puis redimensionner l’objet). b. Saisir le programme ci-contre qui demande au chat d’effectuer un certain déplacement. Pour saisir le programme, il te suffit de faire un « glisser-déposer » des instructions, à l’aide de la souris, depuis la palette des blocs à gauche de l’écran jusqu’à l’aire des scripts au centre.

2 Exécuter ce programme. À quoi ressemble le trajet du chat ? Aide Pour exécuter le programme, cliquer sur le petit drapeau vert situé en haut à droite de la scène.

3 À quoi servent les instructions suivantes dans ce programme ? a. b. Chapitre 7 • Règle - Équerre - Compas

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145

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Avant de commencer… … je revois mes acquis de début de cycle 3 Tracer les angles 1 À l’aide d’une équerre, construire sur une feuille blanche plusieurs angles droits. 2 Tracer deux angles obtus et deux angles aigus. 3 1. Tracer un triangle et marquer un de ses angles.

EN

2. Découper ce triangle pour obtenir un gabarit de l’angle marqué. 3. À l’aide du gabarit, reproduire l’angle marqué.

IM

4 Fabriquer des gabarits pour reproduire les angles ④, ⑤ et ⑧ représentés ci-dessous.

Comparer les angles

SP EC

Pour les exercices 5 à 10 , on considère les différentes figures représentées ci-dessous.

5 Quels angles semblent superposables ?

6 Quel est l’angle dont la mesure est la plus petite ? 7 Quel est l’angle dont la mesure est la plus grande ? 8 Quels sont les angles aigus ?

9 Quels sont les angles obtus ? 10 Quel est l’angle droit ?

Retrouve des QCM interactifs pour continuer à réviser sur www.bordas-myriade.fr

146

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8

SP EC

IM

EN

Une constellation est un ensemble d’étoiles reliées entre elles par une figure géométrique imaginaire. En reconnais-tu parmi celles-ci ? Les astronomes, notamment, utilisent les constellations pour se repérer plus facilement dans le ciel. P. 160, tu verras comment représenter une constellation.

Rapporteur - Angles

Attendus de fin de cycle

• Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter,

construire des figures et solides usuels • Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques • Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux • Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesure spécifiques de ces grandeurs

OBJECTIFS 1

Reconnaitre et mesurer un angle

2

Construire un angle de mesure donnée

147

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Tous les énoncés modifiables de ces activités sont à télécharger sur www.bordas-myriade.fr

Acti

é vit

1

Découvrir la notion d’angle

OBJECTIF

1 Décalquer intégralement le « gabarit gradué »

Le gabarit que tu viens de décalquer s’appelle un rapporteur : il sert à mesurer les angles.

IM

EN

représenté ci-dessous et le découper sur son contour.

1

2 On a représenté une pièce vue de dessus avec ses six portes ouvertes.

SP EC

Classer les six portes de la moins ouverte à la plus ouverte.

3 À l’aide du gabarit décalqué, Tania compte six graduations pour l’ouverture de la porte ①. a. Expliquer comment elle a trouvé ce résultat. b. Faire de même pour les ouvertures des autres portes.

4 En observant maintenant un rapporteur que l’on peut trouver dans le commerce, répondre aux questions suivantes. a. Des nombres sont inscrits à proximité des graduations. Quel est le plus grand nombre ? le plus petit ? L’unité dans laquelle est gradué un rapporteur est le degré, symbolisé par °. b. Quelle est la mesure, en degrés, d’un angle droit ? c. Donner la mesure, en degrés, d’une des parties du gabarit décalqué. d. À l’aide du rapporteur, mesurer, en degrés, les angles d’ouverture de chacune des six portes de la pièce.

5 À l’aide du gabarit décalqué ou du rapporteur, mesurer les angles marqués.

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Acti

é vit

2

Mesurer des angles

OBJECTIF

Louis a effectué des mesures d’angles à l’aide de son rapporteur. Mais son professeur lui fait remarquer qu’il a commis quelques erreurs.

1

A

1 Dans quel(s) cas les mesures sont-elles correctes ? 2 Pour les cas où elles ne le sont pas, expliquer les erreurs 18 0 07 N SA

/1

b.

EN 0

0

18

IM

0 10 2 0 3 180 170 1 60 1 0 4 50 0 14 0

0 10 2 0 3 180 170 1 60 1 0 4 50 0 14 0

0 10 2 0 3 180 170 1 60 1 0 4 50 0 14 0

SP EC

B

80 90 100 110 70 120 80 7 0 0 60 110 10 60 130 0 50 0 12 50 13

07 SAN

170 180 160 0 150 20 10 0 30 40

A

L’angle ACB mesure 70°.

14

170 180 160 0 150 20 10 0 30 40

CM 12/180°

A

L’angle BAC mesure 85°. 14

07 SAN

150 160 30 20 170 10

d.

C

80 90 100 110 70 120 80 7 0 0 60 110 10 60 130 0 50 0 12 50 13

C

B

100 70 80

C

B

c.

°

CM 12/180°

80

L’angle ABC mesure 137°.

170 180 160 0 150 20 10 0 30 14 40

07 SAN

12

a.

CM

A 80 90 100 110 70 120 80 7 0 0 60 110 10 60 130 0 50 0 12 50 13

L’angle ABC mesure 42°.

0

commises par Louis, puis les corriger.

CM 12/180°

B

C

Acti

é vit

3

Construire des angles

OBJECTIF

Le but de l’activité est de reproduire le triangle ABC ci-contre.

2

C

1 Tracer le segment [BA] de longueur 6 cm.

2 Placer le centre du rapporteur sur le sommet A.

0 1 0 180 1 70 20 160 30 15 0

B

48°

A

6 cm

160 170 180 150 140 0 20 10 0 0 40 3 50

07 SAN

B

13

80 60 70 90 100 50 120 110 100 80 110 70 12 40 130 0 60 0 14

63°

CM 12 /18

A

3 a. Faire pivoter le rapporteur de façon qu’un « zéro »

0 10 2 0 30 180 170 16 0 15 0 1 40 40

4 Finir de représenter l’angle de mesure 48°.

07 SAN

170 180 160 0 150 20 10 0 30 40

du rapporteur repose sur la demi-droite. b. Expliquer comment utiliser les graduations du rapporteur pour repérer la mesure de l’angle cherché.

CM 12/180°

B

14

80 90 100 110 70 120 80 7 0 0 60 110 10 60 130 0 50 0 12 50 13

A

5 Construire de même l’angle de mesure 63°. En déduire la position du point C. Chapitre 8 • Rapporteur - Angles

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149

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1

Notion d’angle et rapporteur

OBJECTIF

1

A Vocabulaire Un angle est une partie du plan limitée par deux demi-droites de même origine.

DÉFINITION

Mes bras délimitent un angle.

Côtés de l’angle

EN

Sommet de l’angle

A

B Angles particuliers

Mes bras perpendiculaires délimitent un angle droit droit.

SP EC

Mes bras dans le prolongement l’un de l’autre forment un angle plat. plat.

Angle plat

A

A O

B

O

A, O et B sont alignés dans cet ordre, l’angle est plat.

Angle nul

A

O

A

Le sommet de l’angle coloré ci-contre est le point B. Ses côtés sont les demi-droites [BA) et [BC).  ou CBA.  Cet angle se note : ABC

B C C

Le sommet de l’angle doit être écrit au milieu.

Exemple Les angles marqués sur la figure ci-contre sont notés ainsi (voir figure) :

04733289_146-163_C08.indd 150

B

[OA) et [OB) sont perpendiculaires, [OA) et [OB) sont confondues, l’angle est droit. l’angle est nul.

C Notation

150

Mes bras l’un contre l’autre délimitent un angle nul.

Angle droit

B

C

B

IM

Exemple Dans un triangle, on trouve trois angles délimités par les côtés du triangle. Ici, le sommet de l’angle bleu est le point A et ses côtés sont les demi-droites [AB) et [AC).

BAC ou CAB A BAM ou MAB

M

ABM, MBA, ABC ou CBA B

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D Utilisation du rapporteur

• Pour mesurer un angle, on utilise un rapporteur.

Celui-ci est généralement gradué de 0 à 180.

• On utilise le degré comme unité de mesure des angles. Il se note °.

Exemple Ci-contre, on lit 52 graduations entre les côtés  de l’angle AOB.   = 52°. L’angle AOB a donc pour mesure 52° et on note AOB

O

Un angle nul mesure 0°.

0 10 2 0 3 180 170 1 60 1 0 4 50 0 14 0 30

A

Un angle droit mesure 90°.

0 10 180 170

20

EN

0 10 20 30 180 170 16 0 15 0 1 40 40

0 10 20 30 180 170 16 0 15 0 1 40 40

B

07 SAN

CM 12/180°

180 0

CM 12/180°

90 100 110 80 70 120 60 130 50

170 160 150 20 10 0 30 40

O

A

14

07 SAN

B

180 0

A

80

170 160 150 20 10 0 30 40

180 0

CM 12/180°

Centre du rapporteur

A 14

170 160 150 20 10 0 30 40

07 SAN

CM 12/180°

O

80 90 100 110 70 80 70 120 0 60 110 10 60 130 0 50 0 12 50 3 1

14

80 90 100 110 70 80 70 120 0 60 110 10 60 130 0 50 0 12 50 3 1