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Le manuel numérique élève pour travailler en classe et à la maison

COLLECTION

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CYCLE

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SE CONSULTE PARTOUT

Retrouvez l’intégralité du manuel papier enrichi de ressources multimédia vidéos • exercices interactifs • fichiers audios

maths

ÇON UNE FA E LUDIQU ER S I DE RÉV

Multisupports : tablettes + PC/Mac + smartphones

Pour plus de renseignements

www.manuelnumerique.com

programme

2016

maths

els Tous vos manulication ! app dans une seule

ISBN 978-2-04-733295-5

9:HSMAOH=XXW^ZZ: 04733295_000_CV-ELE.indd Toutes les pages

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CYCLE 4

programme

2016

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Sous la direction de

Marc Boullis Marc Boullis

Maxime Cambon Yannick Danard Virginie Gallien Élodie Herrmann Yvan Monka Stéphane Percot

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Bien que l’enseignement en cycle 4 soit désormais curriculaire, la lecture des repères de progressivité nous a cependant confortés dans l’idée qu’il était possible de travailler avec des manuels annuels, permettant ainsi aux élèves d’avoir à disposition toutes les ressources nécessaires à leur travail. Nous avons donc pensé une répartition des savoirs sur les trois années du cycle 4 qui respecte les recommandations du programme et offre toutefois la souplesse nécessaire aux enseignants pour organiser leurs cours à leur convenance.

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Pour structurer cet ouvrage, nous nous sommes appuyés sur les repères de progressivité du programme, les six compétences de l’activité mathématique et les cinq domaines du socle. Chaque chapitre est structuré par objectifs d’apprentissage, ce qui offre un large panel d’exercices faisant appel, de façon graduée, aux différentes compétences de l’activité mathématique (chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer). Cela permettra, notamment, aux enseignants de pouvoir travailler de façon différenciée sur un même objectif d’apprentissage. Plus loin dans le chapitre, les élèves peuvent travailler en utilisant toutes les connaissances du chapitre et aller ainsi vers une meilleure maitrise des cinq domaines du socle.

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avant-propos

Cet ouvrage a été écrit par une équipe de sept enseignants animés par la passion commune de l’enseignement des mathématiques. Nous avons été guidés par l’envie de faire vivre la réforme du collège en donnant du sens aux mathématiques à travers les exercices proposés.

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Les programmes du cycle 4 encouragent à travailler de façon interdisciplinaire et ancrée dans la réalité des élèves. Vous trouverez ainsi un grand nombre de problèmes qui montrent le rôle joué par les mathématiques dans les autres disciplines et dans la vie quotidienne.

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Enfin, nous avons porté une attention toute particulière au nouveau thème Algorithmique et programmation. Le livret qui se trouve dans ce manuel permet de travailler aussi bien l’algorithmique débranchée, sur papier, que l’algorithmique déjà tournée vers la programmation. Les élèves pourront ainsi travailler sur des exercices rapides de programmation, mais aussi sur des projets plus vastes dans lesquels ils seront épaulés, étape par étape.

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Nous espérons très sincèrement que cet ouvrage vous aidera dans la conception de vos cours et permettra à vos élèves de progresser, chacun à son rythme, dans l’apprentissage des mathématiques. Les auteurs

Conformément aux directives des nouveaux programmes de français des cycles 3 et 4, ce manuel applique les rectifications orthographiques proposées par le Conseil supérieur de la langue française, approuvées par l’Académie française et publiées au Journal officiel de la République française le 6 décembre 1990. http://academie-francaise.fr/sites/academie-francaise.fr/files/rectifications.pdf BO spécial n°11 du 26 novembre 2015 (enseignement du français – extrait) «  L’enseignement de l’orthographe a pour référence les rectifications orthographiques publiées au Journal officiel de la République française le 6 décembre 1990. »

© BORDAS/SEJER, 2016 • ISBN 978-2-04-733295-5 2

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Gérer l’hétérogénéité des classes Pour chaque objectif, la possibilité de différencier avec : – une partie explicative « Je comprends » ; – des exercices d’application directe « Je m’entraine » ; – des problèmes faisant intervenir la notion étudiée « Je résous des problèmes simples ».

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En fin de chapitre, une partie « Je résous des problèmes » permet de travailler tous les objectifs étudiés dans le chapitre.

Donner du sens aux mathématiques

Des exercices « Les maths autour de moi » dans chaque objectif.

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Des exercices interdisciplinaires dans chaque chapitre.

IM

Des idées d’EPI (Enseignement Pratique Interdisciplinaire) à mener avec les enseignants d’autres disciplines.

Aider les élèves à acquérir le socle commun Des exercices différenciés selon les six compétences de l’activité mathématique. Des exercices permettant de travailler tous les objectifs d’un chapitre.

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C

Des tâches complexes, dont certaines en vidéo avec les problèmes DUDU, et des problèmes de synthèse mêlant les connaissances de plusieurs chapitres.

Intégrer de façon naturelle et raisonnée les outils numériques

P

Explorer une situation à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel de géométrie dynamique à l’aide des fiches logiciel. Programmer un algorithme avec le logiciel Scratch.

S

Résoudre des problèmes à partir de vidéos avec les problèmes DUDU.

Favoriser l’autonomie des élèves Des exercices corrigés pour chaque objectif dans la partie « Je travaille seul(e) » que les élèves pourront travailler chez eux ou en « Aide personnalisée ». Des aides en vidéo, claires et précises, où un professeur explique des méthodes pour chaque objectif d’apprentissage.

Prendre plaisir à faire des mathématiques Des jeux mathématiques, un défi et une énigme dans chaque chapitre. Des jeux à programmer avec le logiciel Scratch. 3

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sommaire LIVRET

Algorithmique et programmation Séquence 1 : Instructions et algorithme .................... Séquence 2 : Utilisation des variables ........................ Séquence 3 : Utilisation des boucles............................ Séquence 4 : Utilisation des instructions conditionnelles ........................................... Séquence 5 : Utilisation d’un bloc d’instructions paramétré .....................................................

CHAPITRE 1

Arithmétique

24 26 28 30 32 34 36

38 40

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E

C

Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Utiliser des diviseurs, des multiples et des nombres premiers......................................... 2. Décomposer en produit de facteurs premiers et rendre une fraction irréductible ...................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes ..........................................................

42

44 46 48 52 54

CHAPITRE 2

S

Équations et inéquations Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Résoudre une équation.............................................. 2. Résoudre des problèmes se ramenant au 1er degré ..................................................................... 3. Propriétés des inégalités.......................................... 4. Résoudre une inéquation.......................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes ..........................................................

IM

Projet 1 : Le chiffre de César............................................ Projet 2 : Pluriel des noms communs .......................... Projet 3 : Quand deux blocs débloquent !................... Projet 4 : Le mage et la grenouille................................. Projet 5 : Un jeu sérieux : la roue tourne ....................

18 20 22

CHAPITRE 3

N

6 12

E

Programme du cycle 4 ......................................................... Le brevet des collèges.........................................................

80 82 84 86 88 90 94 96

CHAPITRE 4

Notion de fonction

Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Utiliser la notion de fonction ................................... 2. Déterminer l’image d’un nombre par une fonction ............................................................ 3. Déterminer un antécédent d’un nombre par une fonction ............................................................ Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes ..........................................................

98 100 102 104 106 108 110 114 116

CHAPITRE 5

Calcul littéral

Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Produire et utiliser une expression littérale... 2. Connaitre et utiliser la double distributivité et les identités remarquables ................................ 3. Prouver ou réfuter un résultat général ............. Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes ..........................................................

76 78

56 58 60 62 64 66 68 72 74

Fonctions linéaires, fonctions affines Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Utiliser et représenter une fonction linéaire .. 2. Utiliser et représenter une fonction affine ...... 3. Déterminer une fonction affine ............................. Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

118 120 122 124 126 128 130 134 136

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CHAPITRE 6

CHAPITRE 9

Proportionnalité

Le théorème de Thalès 138 140

142 144 146 148 150 154 156

Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Calculer une longueur avec le théorème de Thalès dans un triangle ...................................... 2. Calculer une longueur avec le théorème de Thalès .......................................................................... 3. Démontrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles ......................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes ..........................................................

N

Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes ............................................................... 2. Manipuler des variations exprimées en pourcentage.............................................................. 3. Manipuler des grandeurs produits et des grandeurs quotients ..................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes ..........................................................

198 200

202 204 206 208 210 214 216

CHAPITRE 10

Statistiques et probabilités 158 160

Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Connaitre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu ............................................................... 2. Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle............................................... 3. Déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle............................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes ..........................................................

IM

Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Étudier une liste de données .................................. 2. Étudier un tableau ou un graphique de données .................................. 3. Calculer des probabilités dans des contextes divers........................................ 4. Simuler une expérience aléatoire à l’aide d’un logiciel...................................................... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes ..........................................................

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Trigonométrie

CHAPITRE 7

162

164

P

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C

166

168

170 172 176

178

CHAPITRE 8

S

Les transformations du plan – Homothéties

Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Transformer un point ou une figure par symétries, translation, rotation..................... 2. Transformer un point ou une figure par homothétie .............................................................. Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes

..........................................................

180 182

184 186 188 190 194 196

218 220

222 224 226 228 230 234 236

CHAPITRE 11

Géométrie dans l’espace Cherchons ensemble .................................................... Cours ...................................................................................... Objectifs 1. Calculer l’aire d’une sphère et le volume d’une boule....................................................................... 2. Se repérer dans l’espace .......................................... 3. Calculer dans des sections de solides ............... Je travaille seul(e) ........................................................... Je résous des problèmes ........................................... Avec un logiciel ................................................................. Tâches complexes ..........................................................

242 244 246 248 250 254 256

Tâches complexes  ................................................................. Problèmes de synthèse ....................................................... En route vers le BREVET  .................................................... Corrigés des pages « Je travaille seul(e) »  ................ Lexique  ........................................................................................

257 265 271 279 287

238 240

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Programme du cycle 4 • Mathématiques Extraits du BO spécial n° 11 du 26 novembre 2015 La correspondance entre le programme et le manuel est indiquée par  CHAPITRE dans les Repères de progressivité.

Domaines du socle : 2, 4

Calculer Calculer avec des nombres rationnels, de manière exacte ou approchée, en combinant de façon appropriée le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté (calculatrice ou logiciel). Contrôler la vraisemblance de ses résultats, notamment en estimant des ordres de grandeur ou en utilisant des encadrements. Calculer en utilisant le langage algébrique (lettres, symboles, etc.).

E

Domaines du socle : 1, 2, 4

C

IM

Modéliser Reconnaitre des situations de proportionnalité et résoudre les problèmes correspondants. Traduire en langage mathématique une situation réelle (par exemple, à l’aide d’équations, de fonctions, de configurations géométriques, d’outils statistiques). Comprendre et utiliser une simulation numérique ou géométrique. Valider ou invalider un modèle, comparer une situation à un modèle connu (par exemple, un modèle aléatoire).

Domaines du socle : 2, 3, 4

N

Chercher Extraire d’un document les informations utiles, les reformuler, les organiser, les confronter à ses connaissances. S’engager dans une démarche scientifique, observer, questionner, manipuler, expérimenter (sur une feuille de papier, avec des objets, à l’aide de logiciels), émettre des hypothèses, chercher des exemples ou des contre-exemples, simplifier ou particulariser une situation, émettre une conjecture. Tester, essayer plusieurs pistes de résolution. Décomposer un problème en sous-problèmes.

Démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion. Fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maitrise de l’argumentation.

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Compétences travaillées

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P

Représenter Choisir et mettre en relation des cadres (numérique, algébrique, géométrique) adaptés pour traiter un problème ou pour étudier un objet mathématique. Produire et utiliser plusieurs représentations des nombres. Représenter des données sous forme d’une série statistique. Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides (par exemple, perspective ou vue de dessus/ de dessous) et de situations spatiales (schémas, croquis, maquettes, patrons, figures géométriques, photographies, plans, cartes, courbes de niveau). Domaines du socle : 1, 5

Raisonner Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées (géométriques, physiques, économiques)  : mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs, mettre à l’essai plusieurs solutions. Mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui.

Domaine du socle : 4

Communiquer Faire le lien entre le langage naturel et le langage algébrique. Distinguer des spécificités du langage mathématique par rapport à la langue française. Expliquer à l’oral ou à l’écrit (sa démarche, son raisonnement, un calcul, un protocole de construction géométrique, un algorithme), comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange. Vérifier la validité d’une information et distinguer ce qui est objectif et ce qui est subjectif ; lire, interpréter, commenter, produire des tableaux, des graphiques, des diagrammes. Domaines du socle : 1, 3

Thème A Nombres et calculs Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Utiliser le calcul littéral Connaissances et compétences associées Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique,

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Au cycle 3, les élèves ont rencontré des fractions simples sans leur donner le statut de nombre. Dès le début du cycle 4, les élèves construisent et mobilisent la fraction comme nombre qui rend toutes les divisions possibles. En 5e, les élèves calculent et comparent proportions et fréquences, justifient par un raisonnement l’égalité de deux quotients, reconnaissent un nombre rationnel. À partir de la 4e, ils sont conduits à additionner, soustraire, multiplier et diviser des quotients, à passer d’une représentation à une autre d’un nombre, à justifier qu’un nombre est ou non l’inverse d’un autre. Ils n’abordent la notion de fraction irréductible qu’en 3e CHAPITRE 1 .

N

La notion de racine carrée est introduite en lien avec le théorème de Pythagore ou l’agrandissement des surfaces. Les élèves connaissent quelques carrés parfaits, les utilisent pour encadrer des racines par des entiers, et utilisent la calculatrice pour donner une valeur exacte ou approchée de la racine carrée d’un nombre positif.

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Les puissances de 10 d’exposant entier positif sont manipulées dès la 4e, en lien avec les problèmes scientifiques ou technologiques. Les exposants négatifs sont introduits progressivement. Les puissances positives de base quelconque sont envisagées comme raccourci d’un produit.

IM

repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre. Nombres décimaux. Nombres rationnels (positifs ou négatifs), notion d’opposé. Fractions, fractions irréductibles, cas particulier des fractions décimales. Définition de la racine carrée ; les carrés parfaits entre 1 et 144. Les préfixes de nano à giga. Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels. Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée. Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire. Égalité de fractions. Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté. Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimaux (somme, différence, produit, quotient). Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique. Définition des puissances d’un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs).

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Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier. Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Division euclidienne (quotient, reste). Multiples et diviseurs. Notion de nombres premiers.

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Utiliser le calcul littéral Mettre un problème en équation en vue de sa résolution. Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples. Résoudre des équations ou des inéquations du premier degré. Notions de variable, d’inconnue. Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.

Repères de progressivité La maitrise des techniques opératoires et l’acquisition du sens des nombres et des opérations appréhendés au cycle 3 sont consolidées tout au long du cycle 4 CHAPITRE 1 . Les élèves rencontrent dès le début du cycle 4 le nombre relatif qui rend possible toutes les soustractions. Ils généralisent l’addition et la soustraction dans ce nouveau cadre et rencontrent la notion d’opposé. Puis ils passent au produit et au quotient, et, quand ces notions ont été bien installées, ils font le lien avec le calcul littéral CHAPITRES 2 ET 3 .

Dès le début du cycle 4, les élèves comprennent l’intérêt d’utiliser une écriture littérale. Ils apprennent à tester une égalité en attribuant des valeurs numériques au nombre désigné par une lettre qui y figure. À partir de la 4e, ils rencontrent les notions de variables et d’inconnues, la factorisation, le développement et la réduction d’expressions algébriques. Ils commencent à résoudre, de façon exacte ou approchée, des problèmes du 1er degré à une inconnue, et apprennent à modéliser une situation à l’aide d’une formule, d’une équation ou d’une inéquation. En 3e, ils résolvent algébrique­ ment équations et inéquations du 1er degré, et mobilisent le calcul littéral pour démontrer. Ils font le lien entre forme algébrique et représentation graphique CHAPITRES 2 ET 3 .

Thème B Organisation et gestion de données, fonctions Attendus de fin de cycle Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités Résoudre des problèmes de proportionnalité Comprendre et utiliser la notion de fonction Connaissances et compétences associées Interpréter, représenter et traiter des données Recueillir des données, les organiser. Lire des données sous forme de données brutes, de tableau, de graphique. Calculer des effectifs, des fréquences. 7

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Thème C Grandeurs et mesures

Attendus de fin de cycle Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

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Résoudre des problèmes de proportionnalité Reconnaitre une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité. Résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle. Résoudre des problèmes de pourcentage. Coefficient de proportionnalité.

N

Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples. Calculer des probabilités dans des cas simples. Notion de probabilité. Quelques propriétés : la probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1 ; probabilité d’événements certains, impossibles, incompatibles, contraires.

les représentations initiales des élèves, en partant de situations issues de la vie quotidienne (jeux, achats, struc­ tures familiales, informations apportées par les médias, etc.), en suscitant des débats. On introduit et consolide ainsi petit à petit le vocabulaire lié aux notions élémen­ taires de probabilités (expérience aléatoire, issue, pro­ babilité). Les élèves calculent des probabilités en s’ap­ puyant sur des conditions de symétrie ou de régularité qui fondent le modèle équiprobable. Une fois ce voca­ bulaire consolidé, le lien avec les statistiques est mis en œuvre en simulant une expérience aléatoire, par exemple sur un tableur. À partir de la 4e, l’interprétation fréquen­ tiste permet d’approcher une probabilité inconnue et de dépasser ainsi le modèle d’équiprobabilité mis en œuvre en 5e CHAPITRE 7 .

E

Tableaux, représentations graphiques (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires, histogrammes). Calculer et interpréter des caractéristiques de position ou de dispersion d’une série statistique. Indicateurs : moyenne, médiane, étendue.

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C

Comprendre et utiliser la notion de fonction Modéliser des phénomènes continus par une fonction. Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions (équations, inéquations). Dépendance d’une grandeur mesurable en fonction d’une autre. Notion de variable mathématique. Notion de fonction, d’antécédent et d’image. Notations f (x) et x ↦ f (x). Cas particulier d’une fonction linéaire, d’une fonction affine.

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P

Repères de progressivité Les caractéristiques de position d’une série statistique sont introduites dès le début du cycle. Les élèves ren­ contrent des caractéristiques de dispersion à partir de la 4e CHAPITRE 7 . Les activités autour de la proportionnalité prolongent celles du cycle 3. Au fur et à mesure de l’avancement du cycle, les élèves diversifient les points de vue en utili­ sant les représentations graphiques et le calcul littéral CHAPITRE 6 . En 3e, les élèves sont en mesure de faire le lien entre proportionnalité, fonctions linéaires, théorème de Thalès et homothéties, et peuvent choisir le mode de représentation le mieux adapté à la résolution d’un pro­ blème CHAPITRE 4 . En 5e, la rencontre de relations de dépendance entre grandeurs mesurables, ainsi que leurs représentations graphiques, permet d’introduire la notion de fonction qui est stabi­ lisée en 3e, avec le vocabulaire et les notations corres­ pondantes CHAPITRE 5 . Dès le début et tout au long du cycle 4 sont abordées des questions relatives au hasard, afin d’interroger

Connaissances et compétences associées Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités. Vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités. Notion de grandeur produit et de grandeur quotient. Formule donnant le volume d’une pyramide, d’un cylindre, d’un cône ou d’une boule CHAPITRE 11 . Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques Comprendre l’effet d’un déplacement, d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les aires, les volumes ou les angles. Notion de dimension et rapport avec les unités de mesure (m, m2, m3).

Repères de progressivité Le travail sur les grandeurs mesurables et les unités de mesure, déjà entamé au cycle 3, est poursuivi tout au long du cycle 4, en prenant appui sur des contextes issus d’autres disciplines ou de la vie quotidienne. Les grandeurs produits et les grandeurs quotients sont introduites dès la 4e. L’effet d’un déplacement, d’un agrandissement ou d’une réduction sur les grandeurs géométriques est tra­ vaillé en 3e, en lien avec la proportionnalité, les fonctions linéaires et le théorème de Thalès CHAPITRE 6 .

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Connaissances et compétences associées Représenter l’espace (Se) repérer sur une droite graduée, dans le plan muni d’un repère orthogonal, dans un parallélépipède rectangle ou sur une sphère. Abscisse, ordonnée, altitude. Latitude, longitude. Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides et de situations spatiales. Développer sa vision de l’espace.

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Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d’une figure géométrique. Coder une figure. Comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure. Résoudre des problèmes de géométrie plane, prouver un résultat général, valider ou réfuter une conjecture. Position relative de deux droites dans le plan. Caractérisation angulaire du parallélisme, angles alternes / internes. Médiatrice d’un segment. Triangle : somme des angles, inégalité triangulaire, cas d’égalité des triangles, triangles semblables, hauteurs, rapports trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente) CHAPITRE 10 . Parallélogramme : propriétés relatives aux côtés et aux diagonales. Théorème de Thalès et réciproque. Th��orème de Pythagore et réciproque.

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Attendus de fin de cycle Représenter l’espace CHAPITRE 11 Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer

La pratique des figures usuelles et de leurs propriétés, entamée au cycle 3, est poursuivie et enrichie dès le début et tout au long du cycle 4, permettant aux élèves de s’entrainer au raisonnement et de s’initier petit à petit à la démonstration CHAPITRE 10 . Le théorème de Pythagore est introduit dès la 4e, et est réinvesti tout au long du cycle dans des situations variées du plan et de l’espace. Le théorème de Thalès est introduit en 3e, en liaison étroite avec la proportionnalité et l’homothétie, mais aussi les agrandissements et réductions CHAPITRE 9 . La symétrie axiale a été introduite au cycle 3. La symétrie centrale est travaillée dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme. Les translations, puis les rotations sont introduites en milieu de cycle, en liaison avec l’analyse ou la construction des frises, pavages et rosaces, mais sans définition formalisée en tant qu’applications ponctuelles. Une fois ces notions consolidées, les homothéties sont ame­ nées en 3e, en lien avec les configurations de Thalès, la proportionnalité, les fonctions linéaires, les rapports d’agrandissement ou de réduction des grandeurs géo­ métriques CHAPITRE 8 .

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Thème D Espace et géométrie

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Repères de progressivité Les problèmes de construction constituent un champ privilégié de l’activité géométrique tout au long du cycle 4. Ces problèmes, diversifiés dans leur nature et la connexion qu’ils entretiennent avec différents champs mathématiques, scientifiques, technologiques ou artistiques, sont abordés avec les instruments de tracé et de mesure. Dans la continuité du cycle 3, les élèves se familiarisent avec les fonctionnalités d’un logiciel de géométrie dynamique ou de programmation pour construire des figures.

Thème E Algorithmique et programmation

Attendu de fin de cycle Écrire, mettre au point et exécuter un programme simple Connaissances et compétences associées Décomposer un problème en sous-problèmes afin de structurer un programme ; reconnaitre des schémas. Écrire, mettre au point (tester, corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné. Écrire un programme dans lequel des actions sont déclenchées par des événements extérieurs. Programmer des scripts se déroulant en parallèle. Notions d’algorithme et de programme. Notion de variable informatique. Déclenchement d’une action par un événement, séquences d’instructions, boucles, instructions conditionnelles. Repères de progressivité En 5e, les élèves s’initient à la programmation événemen­ tielle. Progressivement, ils développent de nouvelles com­ pétences, en programmant des actions en parallèle, en utilisant la notion de variable informatique, en décou­ vrant les boucles et les instructions conditionnelles qui complètent les structures de contrôle liées aux événe­ ments CHAPITRE ALGORITHMIQUE .

9

04733295_001-012_M3e_MA.indd 9

06/04/2016 17:11


pour découvrir le manuel Ouverture Une situation de la vie quotidienne pour introduire le chapitre, en relation avec la tâche complexe en fin de chapitre.

Cherchons ensemble 10 Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

Acti

é vit

1

Étudier une liste de données

OBJECTIF

1

On a relevé les températures de trois villes au cours d’une journée de mars 2016.

a parfois Pour naviguer, on besoin de quelques outils mathématiques. p. 236, En fin du chapitre, l’utilisation tu pourras tester outils afin d’éviter de certains de ces les fonds rocheux.

1 Étude des températures à Bordeaux

Tous les fichiers texte des activités téléchargeables sur le site.

La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux séries de même effectif.

a. Quelle est la moyenne des températures enregistrées à Bordeaux au cours de cette journée ? b. Quelle est la médiane des températures pour Bordeaux au cours de cette journée ? c. Quelle est l’étendue des températures enregistrées à Bordeaux au cours de cette journée ?

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’une série.

2 Étude des températures à Tamanrasset et à Moscou

Acti

é vit

2

OBJECTIFS

Utiliser les notions de géométrie

plane pour démontrer

1 2

r ce chapitre, Avant de commenceconnaissances fais le point sur tes as-myriade.fr. sur le site www.bord

3

le sinus Connaitre le cosinus, angle aigu et la tangente d’un d’un côté Calculer la longueur d’un triangle rectangle d’un angle Déterminer la mesure rectangle aigu d’un triangle

OBJECTIFS

1 et 2

position

somme le nombre égal à la série de données est La moyenne d’une total de la série. divisée par l’effectif données de la série

des

d’une série de données,

on peut ordonner la série

dans l’ordre croissant.

E

Exemples croissant. de notes rangées dans l’ordre Les données sont Pour Barbara, le nombre en a 9. ) elle de notes (données (données) est impair, Pour Alan, le nombre 14 12 12 13 13 est pair, il en a 8. 8 10 10 11 17 18 18 4 données 7 9 11 11 12 4 données médiane 4 données 4 données de Barbara est médiane médiane note La d’Alan est la moyenne la 5e note : 12. La note médiane , 11 et 12 : centrales des deux valeurs 11 + 12 = 11,5. 2

s de dispersion B Caractéristique

de données L’étendue d’une série DÉFINITION valeur de cette série. valeur et la plus petite

est la différence entre

minimale est 7. L’étendue Exemples d’Alan est 18. Sa note La note maximale est : 18 – 7 = 11. est : 14 – 8 = 6. l’étendue de la série De même pour Barbara, moins dispersées que celles d’Alan. sont Les notes de Barbara 160

E

C

y a : une valeur telle qu’il série de données est cette médiane ; Une médiane d’une s ou égales à des valeurs inférieure ou égales à cette médiane. es – au moins la moitié des valeurs supérieur – au moins la moitié Remarque

9,50

Tarifs (en €)

Des activités courtes et attrayantes pour découvrir les nouvelles notions propres à chaque objectif.

Je comprends explique étape par étape une méthode aux élèves. À chaque objectif, une vidéo où un des auteurs explique cette méthode sur d’autres exemples.

Pour Barbara : : 9 = 11,4. 8 + 14 + 12 + 10 + 11) (13 + 13 + 12 + 10 + est d’environ 11,4. La moyenne de Barbara

DÉFINITION

Pour trouver une médiane

7,50

Méthode et exercices par objectif

DÉFINITION

Exemples Pour Alan : 11 + 12 + 18) : 8 ≈ 12,9. (9 + 11 + 18 + 7 + 17 + est d’environ 12,9. La moyenne d’Alan

6,40

30/03/2016 17:36

IM

Les objectifs qui annoncent le découpage du chapitre.

e classe de 3  : Exemple de deux élèves d’une On étudie les notes ; 11  ; 12 ; 18 ; ; 11  ; 18  ; 7  ; 17  ; 11. – notes d’Alan : 9  ; 8  ; 14  ; 12  ; 10 13  ; 13  ; 12  ; 10  – notes de Barbara : cours. utilisé dans tout le Cet exemple sera

s de A Caractéristique

6,00

Comment appelle-t-on cette différence ?

0_3e.indd 217

Un cours structuré selon les objectifs du chapitre.

4,00

2 Quelle est la différence de prix entre le tarif le plus cher et le tarif le moins cher ? 217

N3450_M3e_C1

ue d’une série statistiq Caractéristiques

100

nous aurions eu la même recette totale. » A-t-il raison ? Justifier. b. Comment appelle-t-on cette valeur de 7,00 € pour la série de valeurs étudiées ? c. Le directeur ajoute : « Le tarif médian est de 6,40 € sur cette séance. » Que cela signifie-t-il ?

158

1

200

1 a. Le directeur dit : « Nous avons reçu 1 370 spectateurs et si chacun d’eux avait payé 7,00 €,

N3450_M3e_C07_3e.indd 158

Cours

2

300

000

01/04/2016 17:17

Des exercices interactifs autocorrectifs, sur le site compagnon, pour faire le point sur certaines connaissances avant d’aborder le chapitre.

OBJECTIF Nombre de spectateurs

500 400

N

Attendu de fin de cycle

Étudier un graphique de données En 2015, pour la sortie du film Star Wars, un cinéma proposait cinq tarifs : 4,00 € pour les moins de 14 ans ; 6,00 € pour les étudiants ; 6,40 € pour les abonnés ; 7,50 € pour les séniors ; 9,50 € en tarif normal. Le graphique ci-contre donne le nombre de spectateurs pour chaque tarif, dans ce cinéma, le jour de la sortie du film.

Trigonométrie

Les attendus de fin de cycle.

Déterminer la moyenne, la médiane et l’étendue des températures enregistrées à Tamanrasset, puis à Moscou.

la plus grande

2

Je comprends

B Hypoténuse

Côté opposé

27° A

6,7 cm Côté adjacent

C

ÉTAPE 2

On cherche quel rapport utiliser pour calculer la longueur AB. AB est le côté opposé et on connait le côté adjacent, on va donc travailler avec la tangente.

Je m’entraine 16

Je résous des problèmes simples

Donc AB ≈ 3,4 cm.

ÉTAPE 1

a. PRS est un triangle rectangle en P tel que ! = 27¡ et SP = 6 cm. Calculer un arrondi PSR à 0,1 cm près de SR et PR. b. TUV est un triangle rectangle en U tel que ! = 62¡ et UV = 5 cm. Calculer un arrondi VTU à 0,1 cm près de VT et TU.

C

9 cm

! = 22¡. KL = 11,7 cm et JKL 1. Calculer JK. 2. Calculer JL.

7 cm

E H

19 En utilisant les infor64° G

3 cm

veulent installer une grande tyrolienne dont le départ se situe dans un arbre, à 15 mètres du sol. À l’arrivée, le câble que l’on doit tendre doit faire un angle de 10° avec le sol. Quelle doit être la longueur du câble ?

« ABC est un triangle rectangle en A tel que B! = 53¡ et AC = 5 cm. Déterminer un arrondi à

0,1 cm près de la longueur de l’hypoténuse de ce triangle. » Rédaction de Léa :

liser le sinus. ! = AC , ce qui donne sin53¡ = 5 sin B BC BC et donc BC = 5 × sin53¡. BC ≈ 4 cm.

Un camarade de Léa lui fait remarquer qu’elle a certainement commis une erreur car l’hypoténuse étant le plus grand côté du triangle, sa longueur ne peut être inférieure à celle de AC qui vaut 5 cm. Aider Léa à corriger son erreur.

! = 40¡. QP = 9,1 cm et PQR 1. Calculer QR. 2. Calculer PR.

24 Le triangle STU est rectangle en U.

! = 78¡. ST = 9,1 cm et TSU 1. Calculer TU. 2. Calculer SU.

I

224

REPRÉSENTER

On cherche l’hypoténuse du triangle, ! et le côté c’est BC. On connait l’angle B

! = 59¡. OM = 5,3 cm et MNO 1. Calculer ON. 2. Calculer MN.

23 Le triangle PQR est rectangle en P.

56° D

21 Le triangle JKL est rectangle en J.

F

de la figure : calculer FD et FE.

mations de la figure : calculer GH et GI.

! = 40¡ et ON = 9 cm. MON Calculer un arrondi à 0,1 cm près de MO et MN.

22 Le triangle MNO est rectangle en M.

35°

MODÉLISER

Lukas veut déterminer la largeur du fleuve qui coule près de chez lui sans avoir à le traverser. Il a schématisé la situation ci-dessous. En A et B, se trouvent deux arbres qui sont de part et d’autre du fleuve. Lukas s’est écarté de 100 m du premier arbre pour se placer en C. Il ! et a trouvé 31°. Calculer, a mesuré l’angle ACB au cm près, la largeur AB de la rivière.

28 Les propriétaires d’un parc d’accrobranche

opposé à cet angle, AC. On va donc uti-

A

CALCULER

27 Les maths autour de moi

Donc BC ≈ 7,5 cm.

20 MNO est un triangle rectangle en M tel que :

B

Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle, qui mesure 50 m, est déroulée au maximum et elle est tendue. C La ficelle fait avec l’horizontale un angle ! qui mesure 60°. 50 m CSH Calculer la hauteur à laquelle vole le S H cerf-volant, c’est-àS : position de Simon. dire CH (on donnera C : position du cerfla réponse arrondie volant. au mètre près).

26 Léa a résolu ci-dessous l’exercice suivant :

Activités rapides

de la figure : calculer AC et AB.

ÉTAPE 3

On cherche quel rapport utiliser pour calculer la longueur BC. BC est l’hypoténuse et on connait le côté adjacent, on va donc travailler avec le cosinus. · = AC d’où cos 27° = 6,7 . cos ACB BC BC 6,7 . Donc BC = cos 27° En utilisant la calculatrice, on obtient :

CALCULER

17 En utilisant les informations

d’un côté d’un triangle rectangle

25 Les maths autour de moi

· = AB d’où tan27° = AB . tan ACB 6,7 AC Donc AB = 6,7 × tan27° . En utilisant la calculatrice, on obtient :

On fait un schéma et on nomme les côtés du triangle par rapport à l’angle que l’on connait.

18 En utilisant les informations

de sa série de notes

Calculer la longueur

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

ABC est un triangle rectangle en A. ! = 27¡. AC = 6,7 cm et ACB Calculer AB et BC en donnant leur arrondi au dixième de centimètre près.

29 TOP Chrono En utilisant les données codées sur la figure, calculer une valeur approchée du périmètre du quadrilatère ABCD. B 9,7 cm C

34°

A

26° D

Chapitre 10 • Trigonométrie

225

30/03/2016 17:36

7_3e.indd 160

N3450_M3e_C0

N3450_M3e_C10_3e.indd 224

S

P

Des exemples pour illustrer les propriétés et les définitions.

Je m’entraine propose des exercices d’application directe.

Je travaille seul(e)

N3450_M3e_C10_3e.indd 225

01/04/2016 17:18

Je résous des problèmes simples pour utiliser ses connaissances sur des problèmes et des exercices contextualisés : Les maths autour de moi.

Accompagnement personnalisé 55 ABC est un triangle rectangle en B.

Je fais le point sur mon cours

! = 36¡. On sait que AC = 4 cm et que A 1. Dans le triangle ABC, préciser l’hypoténuse, ! et le côté adjacent à A !. le côté opposé à A 2. a.  Pour calculer le côté AB, doit-on utiliser !  ? le sinus, le cosinus ou la tangente de l’angle  A Expliquer. b. Donner l’arrondi de AB à 0,1 cm près.

Corrigés page 279

A

B

C

45 Dans un triangle ABC, rectangle A,

AC AB

AC BC

AB BC

46 Dans un triangle ABC, rectangle A,

AC AB

AC BC

AB BC

AC AB

AC BC

AB BC

· =K sin ABC

· =K cos ABC

Un QCM pour faire le point sur le cours, comportant une seule réponse exacte.

01/04/2016 17:18

47 Dans un triangle ABC, rectangle A, · =K tan ABC

5,5 cm

8,9 cm

0,1 cm

31°

37°

53°

36°

A

· = 9 . Donc GHI ! ≈É tanGHI 15

3

63 1. Dans le triangle ABC, préciser l’hypoténuse, le 4,4 cm

2,6 cm

d’un angle aigu, (sin x)2 + (cos x)2  est égal à : c. x a. 1 b.  (tan x)2

W

E

Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle 54 1. Dans le triangle ABC, préciser l’hypoténuse, le ! et le côté adjacent à A !. côté opposé à A 2. a. Pour calculer le côté AB, doit-on utiliser le !  ? sinus, le cosinus ou la tangente de l’angle A Expliquer. b. Donner l’arrondi de AB à 0,1 cm près. ?

d’un angle aigu,

B

3,6 cm

52° 3,9 cm

D

57°

3,4 cm D

59 1. Tracer un triangle GHI rectangle en G tel que ! = 35¡ et HI = 7,8 cm. GHI 2. Calculer la longueur GH à 0,1 cm près. 3. Vérifier la cohérence du résultat obtenu en mesurant GH sur le dessin.

60 1. Tracer un triangle JKL rectangle en L tel que ! = 67¡ et JL = 4,3 cm. JKL 2. Calculer la longueur KL à 0,1 cm près. 3. Vérifier la cohérence du résultat obtenu en mesurant KL sur le dessin.

A

52 Dans un triangle rectangle, x étant la mesure c. x

F ? E

66° C

228

marqué en rouge. a. 

b.

A

C

6,6 cm

D

4,3 cm

2,2 cm

b.

F

µ , cos A µ et tan A µ en fonction des 1. Écrire sin A côtés du triangle. 2. Écrire sinB$ , cos B$ et tanB$ en fonction des côtés du triangle. 3. Parmi ces six rapports, lesquels sont égaux ?

a. 1

gueur EF à 0,1 cm près. a.  ?

2

2. a.  Avec les côtés connus du triangle ABC, peut-on calculer sinB$ , cos B$ ou tanB$  ? b. En déduire, à l’aide d’une calculatrice, l’arrondi au degré près de l’angle B! .

64 Déterminer l’arrondi au degré près de l’angle

D

58 Dans chaque cas, calculer l’arrondi de la lon-

Z

51 ABC est un triangle rectangle en C.

N3450_M3e_C10_3e.indd 228

35°

E

53 Dans un triangle rectangle, x étant la mesure

1

?

B

N3450_M3e_C10_3e.indd 229

E ?

3 cm F

65 1. Tracer un triangle JKL rectangle en K tel que

KJ = 5,8 cm et KL = 7,5 cm. 2. Déterminer un arrondi au degré près de l’angle !. KLJ

66 1. Tracer un triangle MNO rectangle en N tel que MN = 3,2 cm et MO = 5,6 cm. 2. Déterminer un arrondi au degré près de l’angle !. OMN

67 1. Tracer un triangle PRS rectangle en R tel que PR = 2,9 cm et PS = 7,2 cm. 2. Déterminer un arrondi au degré près de l’angle !. PSR Chapitre 10 • Trigonométrie

01/04/2016 17:18

Des exercices proposés par objectif.

C

F

Corrigés page 279

?

A

4,7 cm

sin x est égal à : cos x b.  tan x

B

B

63°

57 Calculer les arrondis à 0,1 cm près de ED et FD.

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

tangle en W. Écrire sin Z$ , cos Z$ et tan Z$ en fonction de TZ, TW et WZ.

côté opposé à B! et le côté adjacent à B! .

C

Je fais le point sur mes objectifs Connaitre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu 50 Le triangle TZW est rec- T

! = 33¡. YZ = 7,3 cm et YZA Calculer YA et ZA.

Déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle C

4 cm

A

2,8 cm

49 Dans un triangle rectangle, on a

! = 25¡. WX = 3,8 cm et WVX Calculer WV et XV.

B

?

56 Calculer les arrondis à 0,1 cm près de AB et BC.

48 Dans un triangle rectangle, on a cos38° = 7 . Donc DE ≈ … DE

61 Le triangle VWX est rectangle en W.

62 Le triangle YZA est rectangle en Y.

229

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Des exercices corrigés à la fin du livre pour apprendre à travailler seul(e) ou en accompagnement personnalisé.

10

04733295_001-012_M3e_MA.indd 10

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3

e

oblèmes

Je résous des pr

RAISONNER

CALCULER

CHERCHER

COMMUNIQUER

REPRÉSENTER

MODÉLISER

DOMAINE 2 DU SOCLE

76 Exploiter des méthodes SOCLE

DOMAINE 4 DU ces 71 Exploiter ses connaissan taille des écrans est sim-

DOMAINE 2 DU SOCLE

ces 68 Utiliser ses connaissan

dans de triangles rectangles 1. a. Combien y a-t-il s ? la figure ci-dessou eux. de chacun d’entre !, b. Faire un schéma EFH mesures des angles 2. a. Déterminer les !. ! et HGF HFG rectriangles dans les b. Reporter ces mesures question 1. b. tangles tracés à la lonà 0,1 cm près des 3. Déterminer l’arrondiet EG. HG FG, gueurs FH, EH,

Des problèmes faisant appel à tous les objectifs du chapitre et aux six compétences de l’activité mathématique.

, la Dans les magasins . En effet, par leur diagonale plement donnée la même la plupart du temps e tous ces écrans ont signifie écrans 16/9 . Cela forme. Ce sont des largeur est la longueur par la que le rapport de 16 . égal à la fraction 9

Mesurer à distance

l’arà laquelle culmine Pour mesurer la hauteur au sommet de l’abbaye situé change saint Michel Clara utilise un théodolite la baie. du Mont-Saint-Michel, angles à partir de afin de mesurer des

DOMAINE 4 DU SOCLE

et 77 Raisonner dans l’espace en bois à base carrée. une première mesure ABCDE est une pyramide m. Ainsi, elle effectue un angle de l’abbaye sous AB = 126 cm et OE = 72 c une observe le sommet s des angles valeurs approchée de 50 mètres et effectue 1. Déterminer des de 48°. Elle recule nt le sommet !. Elle voit maintena ! et AEO nouvelle mesure. père lui dit OAE angle de 40°. Son segment [BC]. hauteur de l’abbaye sous un 2. I est le milieu du nt trouver à quelle maintena à peut Clara qu’elle a. Calculer EI. de l’abbaye. Aider EBC. s. se trouve le sommet du schéma ci-dessou déduire l’aire du triangle En b. s’aidant en calcul faire ce cette pyramide. 3. On veut peindre 2 m , la surface à peindre. de a. Déterminer, en nt peinture permetta b. On dispose2 d’une Quelle quantité de peinlitre. peindre 10 m par pyramide ? pour peindre cette ture va-t-on utiliser en deux couches ?

F

7 cm E

35°

69 Calculer une hauteur

H

une Nejma vient d’acquérir e. maison à la campagn trouve Dans le jardin se voudrait un puits dont elle r. Le connaitre la profondeu de est diamètre de ce puits de 80 cm. Si elle s’écarte du bord plus de 20 cm du plus le puits, elle n’en voit grande, fond. Nejma est très de 182 cm. sol et ses yeux est e de la distance entre le une valeur approché En déduire, en mètre, arrondie au centimètre. puits la profondeur de ce

DOMAINE 5 DU SOCLE

G

16 sinus, le est égal à 9 ? Le 1. a. Quel rapport de l’angle rouge ? cosinus ou la tangente de la mesure valeur approchée b. En déduire une de l’angle rouge. de l’angle bleu. 2. En déduire la mesure e a pour diagonale 102 cm. 3. Un téléviseur 16/9 dimensions ? ses Quelles sont donc

DOMAINE 2 DU SOCLE

E

inaccessible

une longueur son 72 Calculer 5 DU SOCLE un cabanon dans DOMAINE du fleuve M. Moreira veut construire la longueur AC des sur la rive droite connaitre Arthur se trouve de celui-ci, jardin. Il voudrait calculer la largeur qu’il doit acheter. en Jamésencru. Pour tasseaux de bois mesures. Calculer, de degré arrondi au centième Arthur a pris certaines largeur de 1. Déterminer un approchée de la !. mètres, une valeur près de l’angle ABC au centimètre près. e près de ce fleuve arrondie arrondi au centimètr un déduire En 2. la longueur AC. 70 Choisir le bon outil

C

B

73 Réfléchir à un problème 62° 3 cm

ouvert

DOMAINE 2 DU SOCLE L’un de rectangle et isocèle. ABC est un triangle les valeurs 10 cm. Quelles sont ses côtés mesure aire ? périmètre et de son possibles de son

D

C

D O

DOMAINE 2 DU SOCLE

le i permet de calculer nt deux La formule d’Al-Kash triangle connaissa troisième côté d’un ABC, on a : 78 Pour un triangle · côtés et un angle. . 2 − 2AC × AB × cos BAC 2 BC2 = AB + AC AB = 6 cm, tout l’exercice que On considère pour ! = 60¡. AC = 12 cm et BAC conABC vérifiant les triangle un e 1. Construir ditions précédentes. · de cos BAC. 2. Donner la valeur i, que l’on la formule d’Al-Kash En déduire, avec 2 AC2 − AC × AB. a : BC2 = AB + 108 cm. Montrer que BC = rectangle le triangle ABC est 3. En déduire que

DOMAINE 2 DU SOCLE

A

48°

40° 50 m

75 Utiliser une formule

longueurs à 0,1 cm près des Calculer les arrondis près des arrondis au degré AC, DC et BC et les ! . ! ! et ACD angles BAC , BCA

4,7 cm

Des problèmes en relation avec les cinq domaines du socle.

B

A

DOMAINE 2 DU ces Mobiliser ses connaissancôté 10 cm.

SOCLE

de ABCD est un carré un point E demi-droite [AB) On place sur la On note x la au segment [AB]. n’appartenant pas [DE] coupe le segment longueur BE. Le segment [BC] en un point F. x. AE en fonction de 1. Exprimer la longueur · dans différents BEF l’angle 2. En considérant 10x . que BF = 10 + x triangles, montrer BF du point E pour que 3. En déduire la position

N

3 Objectifs 1 2

74

soit égal à 4 cm.

rie Chapitre 10 • Trigonomét

en B.

231

01/04/2016 17:18

230 01/04/2016 17:18

0_3e.indd 231

N3450_M3e_C1

atières

Des problèmes interdisciplinaires.

res Dans les autres matiè

, un de jardin en parpaings Pour réaliser un abri de dimende 300 parpaings bricoleur a besoin m pesant chacun 10 kg. situé à sions 50 cm × 20 cm × 10 c dans un magasin Il achète les parpaings les transporter, il loue Pour 10 km de sa maison. au magasin un fourgon.

On augmente l’augmenter successiv Combien de fois faut-il augmente globalement qu’il ment de 1 % pour de 100 % ?

68 Né un 29 février

50 cm

France qui de personnes en Évaluer le nombre . sont nées un 29 février

69 Trois pizzas in Trafalgar water to the pond Four taps supply Square in London. in one hour. the pond by itself The first tap can fill the third tap fill it in two hours, hours. The second tap can the fourth tap in four at the in three hours, and turns on all the taps Steven, a city worker, to fill same time. needed is the second) How much time (to pond? the Trafalgar Square

20 cm

10 cm

Information 1  du fourgon : Caractéristiques ; l × h) : • 3 places assises transportable (L × • dimensions du volume ; 1,84 m 2,60 m × 1,56 m × 1,7 tonne ; être transportée : • charge pouvant 80 litres ; • volume du réservoir : 8 litres aux 100 km). ation : • diésel (consomm

du four. Rita sort trois pizzas différent pizza en un nombre Elle découpe chaque moins deux). de parts égales (au est de 360 grammes. s, une La masse d’une pizza de trois parts différente e à La masse totale est strictement supérieur de chaque pizza, celle d’une pizza. totale  ? Trouver toutes Quelle est cette masse

IM

65 Tour du stade

rectanguautour d’un stade large. Des élèves courent de long et 60 m de laire mesurant 95 m de stade. la longueur d’un tour 1. Calculer, en m, effectuer 25  minutes pour 2. Les élèves ont de temps constante. Combien 15 tours à vitesse pour faire un tour ? un élève doit-il mettre minutes. six tours en neuf km/h. 3. Un élève parcourt en m/min puis en vitesse sa r ? Calculer fixé par son professeu Atteindra-t-il l’objectif

Interdisciplinaire Enseignement Pratique

es et logiques. e des jeux mathématiqu D’après, Finale international

Des devoirs à faire en temps non limité pour travailler les notions du chapitre.

78 €

moment Nantes au même Deux amis quittent est à la gare Paris. Le premier pour se rendre à d’une lontrajet Nantes-Paris et fait en TGV le second utien 1 h 55 min. Le gueur de 375 km, ris, d’une le trajet Nantes-Pa . lise la voiture et fera par autoroute en 3 h 45 min 385 km, de longueur véhicules le mouvement des On suppose que

ci-contre repréa. La figure en allumettes

C

61 €

74 TGV Atlantique

72 Énigme

24/03/2016 13:12

55 €

48 €

Information 3 coute 1,50 €. Un litre de carburant

effecce bricoleur devra er les 1. Expliquer pourquoi retours pour transport tuer deux allers et sa maison. 300 parpaings jusqu’à  ? total du transport 2. Quel sera le cout

le Es-tu capable de trouver 132017 ? chiffre des unités de

aérobie er la vitesse maximale d’EPS pour détermin être réalisés en cours per… tableur peut aider Plusieurs tests peuvent Léger-Boucher, demi-Coode formules, de pourcentages sur d’un élève : test de intensités de travail l’utilisation de tableaux, distances, des vitesses et des des En mathématiques, • de la VMA et au calcul de pourcentages à la détermination , de temps • Utilisation dans le cycle d’EPS. vitesses, de distances tiques : Calcul de mathéma Notions Travail sur tableur 152

km 1 jour 1 jour 1 jour supplé1 jour 100 km 200 km mentaire 50 km 30 km maximum maximum maximum maximum 2 €

71 Défi !

Pour les très importante qu’il aérobie) est une donnée et de travailler. convient de connaitre e aérobie, est la vitesse La vitesse maximal une à partir de laquelle . de course sur piste e le maximum d’oxygène personne consomm un sporest très utile pour Connaitre sa VMA à un rythme adapté. tif, afin qu’il s’entraine

Projet

carburant.

e est Boyard, un engrenag

composé d’une avec 25 dents. d’une grande roue le candide la petite roue fasse Combien de tours que la grande roue dat doit-il faire pour 5 tours ?

SVT & EPS Mathématiques &

et sécurité

Information 2 du fourgon Tarifs de location indiqué hors ent le kilométrage Ces prix comprenn

les possibilités.

fort 70 Dans les jeux depetite roue avec 12 dents et

maximale Calcul de la vitesse aérobie (VMA) (vitesse maximale athlètes, la VMA

Des idées d’E.P.I.

73 Vu au brevet

67 Pourcentages successifs ement un prix de 1 %. successiv e-

3, de l’eau est de 1 000 kg/m La masse volumique 3 que 1 L = 1 dm . ce qui signifie 1 000 kg d’eau occupent en kg/L. 1 m3. volumique de l’eau 1. Convertir la masse sur son balcon et l’eau de geler 2. Léa laisse un demi-litre. de glace occupent en kg/L. constate que 458 g volumique de la glace En déduire la masse d’eau de placer une bouteille 3. Il est déconseillé ur. Expliquer pourquoi. pleine dans un congélate

Corps, santé, bien-être

à la maison

tiques

mathéma 66 Tranfalgar Square

64 L’eau et la glace

Des jeux mathématiques pour explorer le côté ludique des mathématiques.

E

Dans les autres m

0_3e.indd 230

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sente un cube on peut voir dans lequel identiques. 8 « petits cubes »d’allumettes Combien faut-il r ?  pour le réalise ire un plus b. On veut constru lequel on ues. dans cubes » identiq grand cube  r ? 1 000 « petits pour le réalise pourrait voir t-il d’allumettes Combien faudra-

r de la est uniforme. de Paris le conducteu arrive À quelle distance TGV l au moment où le voiture se trouve-t-i en gare de Paris ? alité Chapitre 6 • Proportionn

153

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N3450_M3e_C0

Avec un logiciel

Des fiches GeoGebra et Tableur à télécharger sur le site pour travailler en autonomie.

E

Découvrir un lieu géométrique et démontrer une conjecture. Difficulté technique

1 Avec un logiciel de géométrie dynamique GeoGebra 13 a. Construire un cercle de centre A et de rayon 3. b. Placer un point B sur ce cercle. GeoGebra 2 et 19 c. Construire le point A’ image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport –0,5. d. Placer un point M sur le cercle. GeoGebra 2 e. Construire le point M’ image du point M par l’homothétie de centre B et de rapport –0,5. GeoGebra 5 f. Tracer les segments [AM] et [A’M’].

P S

Difficulté mathématique

« A » comme allumet tes !

40’

Théorème de Thalès et homothétie

40’

Des activités adaptées à l’usage du numérique en classe.

Une tâche complexe liée à une situation du quotidien et en relation avec l’ouverture du chapitre.

2

Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

GeoGebra 33 GeoGebra 33

2

Utiliser un logiciel pour Démontrer le résultat. conjecturer la solution d’un problème géométrique.

Difficulté mathématique Difficulté technique Avec trois allumettes , on sur la figure, de façon peut représenter un « A » comme montré du « A » ainsi formé. qu’une allumette soit parallèle à la base On admet qu’une allumette mesure 5 cm. 1 Construction a. Construire deux segments [AB] et [AC] de longueur 5 GeoGebra 6 . b. Placer un point D sur le segment [AB]. GeoGebra 2 c. Construire le cercle de centre D et de rayon 5. d. Construire le point GeoGebra 13 E intersection du cercle avec le segment [AC]. GeoGebra 3 e. Tracer le segment [DE]. GeoGebra 5 f. Cacher le cercle. GeoGebra 21 g. Afficher la longueur AE. GeoGebra 16 h. Afficher la mesure de l’angle BAC !. GeoGebra 14 Conjecture

Parallèles

a. Quelles sont les ! pour valeurs de BAC constructible avec lesquelles le « A » les trois est b. Quelle est la longueur allumettes ? du segment [AE] perpendiculaires ? lorsque les deux allumettes formant ! sont l’angle BAC 3 Démonstration Dans la suite, on suppose ! est que l’angle BAC a. Appliquer le théorème droit. de Pythagore pour calculer la valeur b. Appliquer le théorème exacte de BC. de Thalès pour calculer la valeur exacte de AE.

3

Spirales

ALGO

Construire une spirale 2 Conjecture GeoGebra 20 a. Afficher la trace du point M’. b. Que peut-on conjecturer sur la position du point M’ lorsque le point M décrit le cercle ? GeoGebra 1

c. Sur le cahier, reproduire la figure et tracer cet ensemble de points.

30’

Difficulté mathématique

par agrandissement.

Dans le logiciel Scratch

Difficulté technique

1 Saisir et exécuter le programme ci-contre. Quelle figure permet-il de réaliser ? 2 Modifier le programm e afin d’obtenir les spirales suivantes.

Dans la suite tu vas découvrir ce qui s‘appelle un lieu géométrique

Une activité utilisant le logiciel Scratch pour pratiquer l’algorithmique et la programmation.

3 Démonstration a. Démontrer que BA' = 1 . 2 BA b. Démontrer de même que BM' = 1 . 2 BM c. À l’aide du théorème de Thalès, exprimer A’M’ en fonction de AM. d. Démontrer la conjecture de la question 2. b.

210 Chapitre 9 • Le théorème N3450_M3e_C09_2e.indd 210

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de Thalès

211

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Tâches complexes 1

Utilisation de la calculatrice

Les engrenages de Mathilda Mathilda a trouvé dans son grenier un train d’engrenages formé de quatre roues dentées. La roue de gauche peut tourner uniquement dans le sens de la flèche. Elle entraine alors les trois autres roues. À partir de la position initiale, de combien de tours, au minimum, Mathilda doit-elle faire tourner la roue de gauche pour que l’ensemble revienne à sa position initiale ? DOC

1

Les pictos du manuel Utilisation d’un logiciel

Position initiale de l’engrenage

Pour repérer la position initiale des quatre roues, Mathilda a collé des étiquettes avec les quatre premières lettres de son prénom sur une dent de chaque roue.

Téléchargement d’un fichier texte Des problèmes DUDU posés à partir d’une vidéo.

DOC

2

Téléchargement d’une fiche logiciel

Position de l’engrenage après un tour

Mathilda fait tourner la roue de gauche d’un tour et obtient donc la position suivante.

Vidéo « Je comprends» sur le site www.bordas-myriade.fr

D’après Rallye mathématiques de Lyon, 2015.

2

Les problèmes DUDU Dans cette vidéo, les DUDU jouent à un nouveau jeu. Ils se disputent, car l’un pense que l’autre a triché. Peux-tu les aider ?

Vidéo des problèmes DUDU sur le site www.bordas-myriade.fr

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr 54

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11

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Le BREVET des collèges La maitrise du socle commun (400 points)

E

et dans chacun des quatre autres domaines : 5. les méthodes et outils pour apprendre ; 6. la formation de la personne et du citoyen ; 7. les systèmes naturels et les systèmes techniques ; 8. les représentations du monde et l’activité humaine.

N

La maitrise du socle commun de connaissances, de compétences et de culture s’appuie sur l’appréciation détaillée du niveau atteint dans chacune des quatre composantes du premier domaine : 1. comprendre, s’exprimer en utilisant la langue française à l’oral et à l’écrit ; 2. comprendre, s’exprimer en utilisant une langue étrangère et, le cas échéant, une langue régionale ; 3. comprendre, s’exprimer en utilisant les langages mathématiques, scientifiques et informatiques ; 4. comprendre, s’exprimer en utilisant les langages des arts et du corps ;

IM

Ces différents éléments sont évalués selon une échelle à quatre niveaux : • maitrise insuffisante 10 points ; • maitrise fragile 25 points ; • maitrise satisfaisante 40 points ; • très bonne maitrise 50 points.

C

Cette évaluation est réalisée par les enseignants tout au long du cycle 4.

Les épreuves de l’examen terminal (300 points)

S

P

E

L’examen comporte trois épreuves obligatoires : une épreuve orale qui porte sur un des projets menés par le candidat pendant le cycle 4 dans le cadre des enseignements pratiques interdisciplinaires, du parcours avenir, du parcours citoyen ou du parcours d’éducation artistique et culturelle ; une épreuve écrite qui porte sur les programmes de mathématiques, physique-chimie, sciences de la vie et de la Terre et technologie (ou leurs équivalents pour la série professionnelle) ; une épreuve écrite qui porte sur les programmes de français, histoire-géographie et enseignement moral et civique.

Chacune de ces trois épreuves est évaluée sur 100 points.

ATTRIBUTION DU DIPLÔME

Le diplôme national du brevet est attribué quand le total des points est supérieur ou égal à 350 points sur 700 points. Des mentions sont octroyées : « assez bien » si le total des points est au moins égal à 420 ; « bien » si ce total est au moins égal à 490 ; « très bien » si ce total est au moins égal à 560.

12

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C

IM

E

N

Livret

S

P

E

Algorithmique et programmation

Attendu de fin de cycle Écrire, mettre au point et exécuter un programme simple

Séquences

1. Instructions et algorithme 2. Utilisation des variables 3. Utilisation des boucles 4. Utilisation des instructions conditionnelles 5. Utilisation d’un bloc d’instructions paramétré

Projets

1. Le chiffre de César 2. Pluriel des noms communs 3. Quand deux blocs débloquent 4. Le mage et la grenouille 5. Un jeu sérieux : la roue tourne 13

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S

P

E

C

IM

E

N

SĂŠquence 1

14

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N E IM C

Dans ces menus se trouvent les instructions à faire glisser dans la zone de script. Il y a une couleur de blocs par menu.

S

P

E

La scène permet d’exécuter le programme.

Zone de gestion et de création des lutins et/ou arrière-plans.

C’est dans la zone de script que l’on assemble les instructions du programme. Algorithmique et programmation

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15

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Principales instructions dans Scratch Mouvement Ce menu sert principalement à déplacer les lutins dans la scène et à leur donner des directions de déplacement.

Apparence

N

Ce menu permet de changer l’apparence des lutins et surtout de leur faire dire des choses ce qui permet de communiquer les résultats d’un calcul par exemple.

Ce menu permet de faire jouer des sons courts ou une musique de fond et de gérer ces sons.

Stylos

IM

Ce menu sert à laisser une trace, ou non, lors des déplacements des lutins ce qui permet par exemple de tracer des figures.

E

Sons

Données

Événements

C

Ce menu permet de définir des variables et ensuite d’opérer sur celles-ci en ajoutant ou affectant des valeurs.

P

E

Ce menu permet de définir l’événement qui déclenchera le programme  : un appui sur le drapeau vert ou sur une touche du clavier par exemple.

Contrôle

S

C’est dans ce menu que se trouvent les différentes boucles et les instructions conditionnelles.

Capteurs Par ce menu, on aura la possibilité de faire poser une question aux lutins et de mémoriser temporairement la réponse. On trouvera également différents tests à insérer dans les boucles ou instructions conditionnelles.

Opérateurs Ce menu permet d’effectuer des calculs, de regrouper des chaines de caractères et de créer des tests à insérer dans les boucles ou instructions conditionnelles.

16

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Trucs et astuces Le lutin (sprite en anglais) prend beaucoup de place à l’écran. On peut réduire sa taille : Le stylo – Il est nécessaire de demander d’effacer ce qui a été tracé, ce n’est pas fait automatiquement d’une utilisation à l’autre. – Le crayon doit être mis en position d’écriture si on souhaite écrire.

N

– Et bien sûr, il ne faut pas oublier de le relever quand on veut déplacer un lutin sans qu’il ne laisse de traces.

Les événements

E

– Cet élément permet de démarrer les actions pour chaque programme.

IM

– Il suffit ensuite de cliquer sur le drapeau vert en haut à droite de la zone d’affichage pour lancer le programme et sur le bouton rouge pour le stopper. – Il y a d’autres façons de démarrer un programme, en appuyant sur une touche par exemple.

Les mouvements

E

C

– Cet élément permet de démarrer à l’endroit que l’on souhaite dans la zone d’affichage. Ici, on débute au centre de la zone qui va de –240 à + 240 pour x et de –180 à + 180 pour y. – On peut orienter les déplacements du lutin. Dans cette situation, il démarre verticalement tourné vers la droite.

P

Deux programmes pratiques…

S

Pour réinitialiser

L’algorithme peut démarrer aussi avec :

On remet le lutin en situation initiale dès que l’on appuie sur le drapeau (ou sur la barre espace).

Pour changer de direction Cet algorithme permet de changer la direction d’un lutin en faisant une symétrie par rapport à un axe vertical.

Algorithmique et programmation

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17

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Séquence 1

Une séquence d’instructions est une suite d’actions à exécuter dans un ordre donné. Exemple : Marc joue à un célèbre jeu de football sur console. Il communique des instructions aux joueurs à l’aide d’une manette. Voici la séquence d’instructions qui permet de célébrer un but en faisant des saltos arrière : – Maintenir la touche R2 . . – Appuyer deux fois brièvement sur la touche

1 Une recette algorithmique

E

N

Un algorithme est une suite finie d’instructions permettant de résoudre un problème. Exemple : Une recette de cuisine est un algorithme. En effet, on dispose d’ingrédients au départ, on applique les instructions données par la recette et on obtient le plat désiré à la fin. Niveau 1

Déguster !

IM

Écrire un algorithme permettant de faire des crêpes en remettant les instructions suivantes dans le bon ordre. Faire cuire les crêpes

Mettre la farine dans un saladier et former un puits

Mélanger délicatement en ajoutant le lait

Lire la recette

Mettre les œufs entiers, le sucre, l’huile et le beurre

Acheter les ingrédients (farine, beurre, œufs, sucre, lait, huile)

C

Faire chauffer une poêle en y mettant un peu d’huile

2 Le repas de l’ours

Niveau 2

E

Ici, pour que Ted l’ours puisse atteindre son repas le poisson, il doit suivre la séquence d’instructions suivante : ▲

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Instructions et algorithme

P

3.

S

2.

1.

Dans chacun des cas ci-dessous, écrire des algorithmes permettant à Ted de retrouver le poisson ▲ . à l’aide des quatre instructions

Attention ! Il faut éviter le chasseur et contourner la montagne.

3 Dans mon jardin

Niveau 3

Écris un algorithme qui te permet de planter un arbre. 18

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4 Cache-cache avec un triangle

E

N

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

Niveau 1

Aide

Utiliser l’instruction

2. Améliorer le programme en faisant dire au chat : « Je vais tracer un triangle rectangle… » avant qu’il ne commence.

pour démarrer

et revenir au point de départ.

IM

1. Programmer un algorithme permettant de tracer un triangle rectangle dont les côtés perpendiculaires ont pour dimensions 100 et 80, puis enregistrer ce programme.

Aide

Utiliser l’instruction

C

3. Améliorer le programme en masquant le chat une fois que le triangle rectangle est tracé.

Programmation avec Scratch

On peut programmer les algorithmes avec un logiciel dédié comme le logiciel Scratch. Ce logiciel, avec lequel nous allons apprendre à travailler toute l’année, est téléchargeable et utilisable gratuitement : http://scratch.mit.edu/ Exemple Ce programme permet de faire tracer au lutin la figure ci-dessous . à chaque fois que l’utilisateur appuie sur

Aide

Utiliser les instructions

et

Aide

ou

P

Utiliser l’instruction

E

4. Améliorer le programme en traçant chaque côté du triangle rectangle d’une couleur différente.

5 L’alphabet

Niveau 2

S

1. Programmer un algorithme permettant de dessiner une lettre T comme ci-contre et enregistrer ce programme. Aide

Utiliser l’instruction

2. a. Programmer un algorithme permettant de dessiner une lettre E et enregistrer ce nouveau programme. b. Modifier ce programme en mettant un accent sur le E pour avoir É.

puis

Aide Utiliser les instructions :

,

et

c. Modifier ce programme pour qu’il puisse tracer une autre lettre de l’alphabet, par exemple la première lettre de son nom de famille. d. En répartissant le travail entre tous les élèves de la classe, obtenir des programmes qui permettent de tracer toutes les lettres de l’alphabet. Algorithmique et programmation

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19

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Séquence 2

Une variable est une boite dans laquelle on stocke une information pour l’utiliser plus tard. On désigne une variable par un nom. Exemple : Le score d’un joueur est une variable qui pourra évoluer tout au long du jeu, une nouvelle valeur efface la précédente.

6

Niveau 1

N

Un jeu de cartes

♠ ♥ ♦ ♣

E

C

IM

E

Ce jeu se joue à deux, trois ou quatre joueurs. Matériel : un jeu de 52 cartes dont on a enlevé les valets, dames et rois. Règle du jeu : au début d’une partie, chaque joueur reçoit 100 points. – Tout au long du jeu, ce nombre de points va évoluer et chaque joueur va devoir gérer son nombre de points. Pour cela, chaque joueur prend une feuille blanche et note son nouveau nombre de points en barrant l’ancien à chaque fois. – Le premier joueur dans l’ordre alphabétique choisit un nombre entre 10 et 15 : ce sera le nombre de tours. Il devra les comptabiliser. Il distribue les cartes en premier, une par une pour que chaque joueur ait le même nombre de cartes (par exemple à 3 joueurs, chaque joueur aura 13 cartes). Personne ne regarde ses cartes. Elles sont posées, à l’envers, devant chaque joueur. – On procède ensuite comme à la bataille : chaque joueur retourne la carte du dessus de son tas et la pose au milieu de la table. C’est le pot. – La carte la plus forte remporte toutes les autres. L’as est la carte la plus faible. – En cas de valeurs identiques, il y a une hiérarchie des couleurs : Pique . Cœur . Carreau . Trèfle, soit . . . . Pique est la couleur la plus forte et Trèfle la couleur la plus faible. – Le gagnant augmente son nombre de points du total du pot. – Pour chaque carte perdue, on retire sa valeur du total de ses points. – Un joueur qui n’a plus de cartes avant que le nombre de tours demandé soit atteint perd 100 points. Le gagnant est celui qui a le plus de points à la fin de la partie.

S

P

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Utilisation des variables

Joue à ce jeu avec des camarades de la classe. Une fois la partie terminée, réponds aux questions ci-dessous.

1. Combien de variables ont été utilisées dans cette partie ? Dans ce jeu, il y a plusieurs variables : – une variable qui contient le nombre de tours effectués. On peut donner à cette variable le nom « TOURS » ; – une variable par joueur qui contient son nombre de points. On peut donner comme nom à ces variables le prénom de chaque joueur. 2. Supposons que, lors d’une partie à quatre joueurs, une joueuse s’appelle Elsa. Sur le logiciel Scratch, à la fin d’un tour, le nombre de points gagnés par Elsa peut se programmer : a. Quelle carte avait Elsa ? b. Quelles cartes avaient les trois autres joueurs ?

20

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Utilisation des variables

N

• Dès que la variable est créée, plusieurs actions se découvrent :

E

Exemple : Ce programme permet de faire dire au lutin où il se trouve chaque fois que l’utilisateur appuie sur

7 En pensant à Pythagore

IM

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

Programmation avec Scratch

Il est pratique de choisir un nom ayant une signification

• Avec le logiciel Scratch, on peut créer les variables à partir du menu . On commence par choisir le nom de ces variables.

Niveau 1

Aide Utiliser l’instruction

E

C

On considère un triangle rectangle. Écrire un programme qui demande les longueurs des deux côtés perpendiculaires de ce triangle et qui calcule ensuite la longueur de son hypoténuse. .

P

On attribue alors la réponse à la variable créée

8 Calculs dans un rectangle

.

Niveau 2

S

1. Demander les longueurs des deux côtés d’un rectangle. 2. Tracer ce rectangle. 3. Calculer alors son périmètre et son aire.

9 La distance d’arrêt

Niveau 3

La distance d’arrêt DA d’un véhicule est définie par : distance de réaction (DR) + distance de freinage (DF). Si on note V la vitesse du véhicule (en km/h), on a : 2 DR = V et DF = V , où f est le coefficient d’adhérence 3,6 254 × f égal à 0,8 sur route sèche et à 0,4 sur route mouillée.

Écrire un programme qui renvoie la distance d’arrêt d’un véhicule une fois que l’on a donné sa vitesse et le coefficient d’adhérence. Algorithmique et programmation

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21

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Séquence 3

Dans un algorithme, une boucle consiste à faire répéter un certain nombre de fois (connu à l’avance ou non) une même séquence d’instructions. Il existe principalement deux types de boucles : la boucle « Répéter x fois » et la boucle « Répéter jusqu’à » Exemple : Pour aider Teddy à rejoindre le poisson, on peut donner comme instructions . On peut aussi utiliser des boucles : « Répéter jusqu’à Le poisson est atteint » « Répéter 4 fois  » ▲

N

Niveau 1

IM

10 À la pêche !

On utilise la boucle « Répéter jusqu’à » quand on ne sait pas combien de fois on doit répéter les instructions mais quand on sait à quel moment on doit s’arrêter.

E

On utilise la boucle « Répéter x fois » quand on sait déjà combien de fois on doit faire répéter les instructions.

C

Dans chacun des cas ci-dessous, écrire des algorithmes permettant à Ted d’atteindre le ▲ ▲ poisson à l’aide des quatre instructions et d’une boucle. ▲

2.

3.

E

1.

P

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Utilisation des boucles

4.

S

5.

11 En natation

Aide On peut utiliser plusieurs boucles. De plus, une boucle peut contenir plusieurs instructions.

Niveau 2

En natation, l’épreuve du 4 fois 200 m nage libre consiste à parcourir quatre fois 200 m avec quatre nageurs différents dans un bassin de longueur 50 mètres. 1. Décrire simplement cette épreuve à l’aide de boucles et des instructions suivantes : « Traverser le bassin » , « Changer de nageur ». 2. Comment pourrait-on décrire de la même manière l’épreuve du 10 fois 100 m nage libre que l’on pratique souvent en interclubs ? 22

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Utilisation des boucles .

• On peut indiquer le nombre de répétitions souhaitées : ce nombre peut être une variable. • La répétition est ici effectuée jusqu’à ce qu’un test soit validé. . On a, par exemple : , Ces tests sont dans le menu ou encore .

N

• Cette boucle est souvent utilisée quand on attend une réponse au clavier. Cela nécessitera généralement l’usage d’une instruction conditionnelle.

IM

E

Exemple Ce programme permet de faire tracer au lutin la figure ci-dessous à chaque fois que l’utilisateur appuie sur

C

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

Programmation avec Scratch

Les différents types de boucles de Scratch sont dans le menu

12 Des polygones en boucles

Niveau 1

E

1. Reprendre le programme ci-contre en le simplifiant à l’aide d’une boucle afin de construire un hexagone, puis enregistrer ce programme. 2. Faire évoluer le programme précédent afin d’obtenir un octogone de côté 50.

P

3. Faire évoluer à nouveau le programme afin d’obtenir un polygone dont le nombre de côtés est demandé à l’utilisateur.

13 Attention au départ !

Niveau 2

S

1. Programmer un compte à rebours qui va de 10 jusqu’à 0. Aide

Utiliser l’instruction

pour voir le décompte défiler. On peut temporiser avec des fractions de seconde.

2. Améliorer le programme en faisant compter le chat au fur et à mesure. 3. Améliorer le programme pour qu’une fois arrivé à 0, il compte jusqu’à 10, puis décompte jusqu’à 0, et ainsi de suite…

14 Les créneaux

Niveau 3

Programmer un algorithme qui permet de reproduire le dessin ci-dessous :

Algorithmique et programmation

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23

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Séquence 4

Une instruction conditionnelle est de la forme :

15 Case après case

E

N

Si « Condition » ou Si « Condition » Alors « Instruction(s) » Alors « Instruction(s) 1 » Sinon « Instruction(s) 2 » Dans ce cas, Si la « Condition » est Dans ce cas, Si la «  Condition  » est réalisée, Alors les « Instruction(s) 1» réalisée, Alors les « Instruction(s) » seront effectuées. seront effectuées, Sinon ce sont les « Instruction(s) 2 » qui seront effectuées. Exemple Exemple Si le soleil brille cet après-midi, alors Si le soleil brille cet après-midi, alors j’irai à la piscine, sinon j’irai au cinéma. j’irai à la piscine. Niveau 1

IM

Écrire une ligne d’algorithme permettant à l’ours Ted d’attraper le poisson dans chaque cas : 1. en utilisant une instruction conditionnelle de type « Si … Alors … »

C

2. en utilisant une instruction conditionnelle de type « Si … Alors … Sinon… »

E

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Utilisation des instructions conditionnelles

P

16 La table de 3 n’est pas en reste !

Niveau 2

S

1. Voici un programme de calcul : • Choisir un nombre entier. • Si ce nombre est divisible par 3, le diviser par 3. • Si ce nombre n’est pas divisible par 3, lui ajouter 1. On obtient alors un nouveau nombre.

Réécris le programme en utilisant une instruction conditionnelle de type Si … Alors … Sinon.

2. Quel nombre obtient-on avec ce programme de calcul au bout de 12 tours en démarrant avec le nombre 100 ? Au bout de 15 tours ? 45 tours ?

24

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Utilisation des instructions conditionnelles .

et

IM

C

17 Faire les choses à moitié

,

E

Exemple : Ce programme donne la nature d’un nombre saisi par l’utilisateur.

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

comme

N

Les conditions sont à construire à partir des éléments du menu ou .

Programmation avec Scratch

Les différents types d’instructions conditionnelles de Scratch sont dans le menu

Niveau 1

E

1. Programmer un algorithme demandant un nombre pair. Si le nombre entré est pair, le chat doit alors dire : « Bravo ! », sinon le chat doit dire : « Ce nombre n’est pas pair ! » Enregistrer le programme.

P

2. Modifier ce programme pour que, dans le cas d’un nombre pair, le chat dise : « La moitié de … est … »

S

18 Allez l’aléa !

Niveau 2

1. Programmer un algorithme mettant dans une variable une valeur aléatoire de 1 à 6, et faire cacher cette variable à l’écran. Recommencer avec une variable Aide Utiliser l’instruction

et

2. a. Compléter le programme pour qu’il demande ensuite à l’utilisateur de choisir un nombre entre 2 et 12. La demande doit être répétée tant que la valeur donnée n’est pas comprise entre 2 et 12. b. Comparer la valeur choisie par l’utilisateur à la somme des deux dés : – si les deux valeurs sont égales, dire : « Gagné ! » ; – si les deux valeurs sont différentes, indiquer la valeur la plus grande (somme des deux dés ou valeur de l’utilisateur). Algorithmique et programmation

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25

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Séquence 5

19 Déplacements au hasard

N

Un groupement d’instructions paramétré (un bloc) est constitué d’une suite d’instructions dont l’une au moins utilise une information précisée dans le bloc luimême. Exemple On pourra utiliser ce groupement en commandant : Réveil matin(8 ; 2 ; croissants) ce qui donnera un réveil à 8h avec 2 croissants. Les paramètres sont ici les nombres 8, 2 et croissants.

Niveau 1

E

Règle du jeu : ce jeu se joue à plusieurs joueurs. Matériel : un dé. Premier lancer : si le nombre est pair , sinon

. La valeur du dé donne le déplacement.

Deuxième lancer : si le nombre est pair ▲ , sinon . La valeur du dé donne le déplacement. Les lancers (4 ; 3) par exemple donneront les déplacements . ▲

IM

E

C

Sur une feuille de papier quadrillée, chaque joueur dispose d’un crayon de couleur différente. Chaque joueur démarre du centre de la feuille, lance le dé à deux reprises et trace son trajet. Un joueur a perdu dès que son trajet sort de la feuille. Le gagnant est le dernier à rester sur la feuille.

Départ

S

P

Dans le cahier (algorithmique débranchée)

Utilisation d’un bloc d’instructions paramétré

À quatre joueurs par exemple, on pourrait obtenir ce premier tour : (5 ;4) (2 ;1) (4 ;2) (1 ;6) 1. Écrire les déplacements correspondants à : a. lancers (6 ; 6) ; b. lancers (1 ; 2). ▲

2. Quels lancers donneront les déplacements : a. ? ▲ ▲ ▲ ▲  ? b. 26

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Utilisation d’un bloc d’instructions paramétré

E

N

.

E

C

IM

Exemple : Ce programme permet, à l’aide du bloc vague, d’obtenir un joli dessin.

Programmation avec Scratch

Lorsque l’on crée un bloc, on doit le nommer et on peut aussi choisir des options : Exemples Ici, le bloc Carré a été créé avec un Ici, le bloc Carré a été créé avec deux paramètre : côté. paramètres : côté et taille. Avec Avec , on trace un carré de côté , on trace un carré de 100. côté 100 avec un stylo de taille 5.

P

Entre ce programme dans Scratch et exécute-le afin de vérifier qu’il produit bien le résultat attendu.

S

20 Des croix

Niveau 1

1. Écrire un algorithme contenant un bloc paramétré permettant de tracer ces deux croix en changeant les paramètres.

2. Modifier l’algorithme pour obtenir ce type de figure, sans changer le bloc.

21 Quel cirque ! Maximus !

Niveau 2

1. Écrire un programme qui donnera le plus grand de trois nombres donnés par l’utilisateur. 2. Faire évoluer ce programme pour indiquer si ces trois nombres peuvent correspondre aux côtés d’un triangle.

Algorithmique et programmation

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27

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Projet 1 Le chiffre de César Crypter… décrypter… voilà ce à quoi s’attaque le chiffre de César ! Cette forme simple de cryptage était déjà utilisée dans l’Antiquité. À ton tour de chiffrer un message comme les Romains !

Étape 1 Création et stockage de l’alphabet

N

E t u vw rs

IM

lm

nop q

C

k

t u vw rs

gh i j e f

nop q

y z a b cd

lm

x

y z a b cd x

gh i j e f

Si on décale de 2, on voit que le « a » devient « c » ou encore que le « y » devient « a ».

– Créer une variable contenant les 26 lettres de l’alphabet dans l’ordre. Il s’agira de reconstituer le principe du cercle de lettres ci-dessous à partir des 26 lettres de l’alphabet dans l’ordre mises dans la variable.

k

– Le chiffre de César est un procédé qui consiste à décaler les lettres de l’alphabet vers la droite ou vers la gauche d’un nombre de crans déterminés. On choisit ici de décaler vers la droite.

E

Étape 2 Saisie du décalage et du message à coder

S

P

– Demander le nombre correspondant au souhaité. – Demander le à coder. Attention ! Ce message sera tout d’abord un mot simple, c’est-à-dire sans trait d’union, sans apostrophe, etc. On dispose désormais du message (mot) à coder et du décalage souhaité : il faudra, à l’étape suivante, créer le message codé.

Étape 3 Création des variables nécessaires au codage – Créer une variable qui sera initialisée par du vide. – Créer ensuite une variable qui prendra successivement comme valeur chacune des lettres du mot à coder. qui permettra de – Créer une variable compter les lettres codées et que l’on initialisera à 1.

28

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;

éventuellement l’instruction

• ajouter le à la variable pour trouver la position de la lettre codée ; • affecter à la variable sa nouvelle valeur.

Par exemple avec la lettre b et un décalage de 3, on aura comme valeur successives des variables : • • • • •

N

– On affecte à la variable la lettre à coder. – On appelle un bloc qui va : • déterminer la position de cette lettre dans l’alphabet et la stocker dans une variable , en utilisant

et

C

– Créer une boucle qui va, pour chacune des lettres du message initial, trouver celle qui doit la remplacer à l’aide du et l’ajouter à la suite du bloc message codé. On pourra utiliser pour la boucle :

IM

Étape 5 Création et affichage du message codé

E

+ dépasse 26, il faut trouver un moyen Attention ! Dans le cas où la somme de redémarrer au début de l’alphabet (27 correspond à 1, 28 à 2, etc.) Pour cela, utiliser l’instruction qui donne le reste d’une division euclidienne.

Programmation avec Scratch

Étape 4 Création du bloc permettant le codage

E

et pour construire le message codé :

P

Vérifier que le codage fonctionne bien, par exemple en tapant l’alphabet entier comme message avec un décalage de 3 pour observer si chaque lettre se code bien.

Étape 6 Amélioration du programme pour coder des phrases entières

S

– Modifier le bloc pour prendre en compte les espaces, les apostrophes ou les traits d’union dans une phrase. Si le programme ne trouve pas la lettre à coder dans l’alphabet lors de la recherche de position, il doit conserver la lettre d’origine. Un espace sera donc codé par un espace, une apostrophe par une apostrophe, etc. On pourra pour cela utiliser boucle.

dans la

ÉVOLUTIONS POSSIBLES – Intégrer un codage spécifique pour les lettres accentuées. – Construire le programme de décryptage. – Améliorer le cryptage à partir d’une fonction affine (modulo 26). Algorithmique et programmation

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29

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Projet 2 Pluriel des noms communs Le chat s’attaque cette fois aux pluriels des noms communs. Après avoir géré le pluriel classique avec le « s » en fin de mot, il s’intéresse à différents cas particuliers qui peuvent se présenter.

E

La règle principale du pluriel consiste à mettre un « s ». De nombreux cas particuliers sont à prendre en compte cependant et doivent être étudiés avant. Ce programme va intégrer quelques cas particuliers. – Écrire un algorithme de base qui ajoute un « s » à un mot saisi par l’utilisateur.

N

Étape 1 Construction d’un programme simplifié

IM

On peut dès à présent prévoir que la réponse du chat se déclenche à la réception d’un message du type .

Étape 2 Intégration du cas des mots invariables

E

C

Premier cas particulier : les mots en « s », « x » ou « z ». Ces mots, tels que corps, voix ou gaz ne changent pas au pluriel. qui teste la dernière – Créer un bloc lettre du mot. Si ce mot se termine par « s », « x » ou « z », alors afficher le pluriel comme étant le mot de départ, sinon renvoyer vers le test suivant.

S

P

Si le mot choisi vérifie une condition, alors la réponse est donnée, sinon on va tester la condition suivante.

Étape 3 Intégration du cas des mots en « ou » Deuxième cas particulier : les mots en « ou ». pour cela. – Créer un bloc – Créer une variable et lui attribuer les deux dernières lettres du mot. – Créer une liste (cachée) qui contient les sept cas particuliers. Pour cela, créer une liste dans . On peut la compléter en y écrivant la liste des mots ayant un pluriel particulier. Si le mot se termine en « ou », alors vérifier s’il est dans la liste et construire le pluriel correct, sinon renvoyer vers le test suivant. et On utilisera 

30

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Quatrième cas particulier : les mots en « al ».

E

Étape 5 Intégration du cas des mots en « al »

N

Troisième cas particulier : les mots en « eu » ou en « au ». – Créer un bloc . La structure est la même que pour le bloc précédent. Il faut juste adapter les tests faits. En particulier, il faut créer une nouvelle liste contenant les quatre exceptions prenant un « s » et non un « x » au pluriel.

E

On utilisera

C

IM

– Créer un bloc . La structure est la même que pour le bloc précédent. Il faut juste adapter les tests faits. En particulier, il faut créer une nouvelle liste contenant les mots prenant un « s », les cas particuliers sont nombreux : écrire les mots les plus connus. Si le mot n’est pas dans la liste, reconstruire le radical dans une boucle et ajouter « aux ».

Programmation avec Scratch

Étape 4 Intégration du cas des mots en « au » ou en « eu »

Étape 6 Intégration du cas des mots en « ail »

S

P

Cinquième cas particulier : les mots en « ail ». – Créer un bloc La structure est la même que pour le bloc précédent. Il faut juste adapter les tests faits. En particulier, il faut créer une nouvelle liste contenant les 10 mots se terminant par « aux » au pluriel. Ceci ne termine pas les cas particuliers : on peut par exemple compléter par les pluriels de œil, ciel ou encore ail ! Le pluriel de « ail » donne un cas particulier supplémentaire de programmation puisque ce mot se termine par « ail » sans suivre le cinquième cas traité ici.

ÉVOLUTIONS POSSIBLES – Changer l’orientation de la croix de départ. – Construire le féminin d’adjectifs sans cas particulier : « grand → grande ». – Prendre en compte des cas particuliers tels que : « sage → sage » ou « bon → bonne » ou « léger → légère ». Algorithmique et programmation

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31

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Projet 3 Quand deux blocs débloquent ! Une construction géométrique où les paramètres permettent de définir les traits qui seront tracés pour un résultat assez spectaculaire !

– Réduire la taille du chat à 25%. – Écrire un algorithme qui trace deux axes perpendiculaires allant de –160 à +160 en abscisses et en ordonnées.

IM

E

avec quatre Cet algorithme utilisera un bloc paramètres : les deux coordonnées du point de départ et les deux coordonnées du point d’arrivée.

N

Étape 1 Tracer les axes

Étape 2 Tracer les premières mailles

S

P

E

C

– Créer un bloc avec quatre paramètres permettant d’obtenir la figure ci-contre. Les paramètres conseillés sont : • valeur d’abscisse ; • valeur d’ordonnée ; • coefficient (–1 ou 1) pour les déplacements en abscisses (1 correspondant à un déplacement vers la droite et –1 vers la gauche) ; • coefficient (–1 ou 1) pour les déplacements en ordonnées (1 correspondant à un déplacement vers le haut et –1 vers le bas).

Étape 3 Effectuer les tracés sur chaque quart du repère – Utiliser à plusieurs reprises le bloc tracé avec les bons paramètres pour obtenir la figure ci-contre.

32

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E

N

– Utiliser maintenant le bloc autant de fois que nécessaire, avec les bons coefficients, pour tracer un cadre tout autour de la figure.

Étape 5 Continuer les mailles

IM

– Utiliser le bloc autant de fois que nécessaire, avec les bons coefficients pour obtenir la figure ci-contre. Ceci peut nécessiter l’ajout de paramètres au bloc

et de le

E

C

Un clic droit sur le bloc permet de choisir compléter avec les paramètres nécessaires.

Programmation avec Scratch

Étape 4 Encadrer le dessin

Étape 6 De la couleur !

S

P

– Conclure la figure en cachant le chat à la fin et en faisant varier . les couleurs de chaque trait du bloc – Mettre la taille du stylo à 3. Dans la figure ci-contre, les couleurs ont été obtenues en les faisant varier de façon aléatoire. Les couleurs varient selon des nombres entiers allant de 0 à 200.

ÉVOLUTIONS POSSIBLES – Construire un cube en perspective cavalière. – Insérer des formes géométriques sur chaque face du cube. Algorithmique et programmation

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33

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Projet 4 Le mage et la grenouille Un mage doit viser une grenouille avec sa baguette magique. Lorsque la grenouille a reçu assez de magie, elle se transforme en prince ou en princesse…

Étape 1 Préparer la grenouille

E

IM

Pour plus de précision dans l’usage de la gomme, on peut utiliser l’outil loupe en bas à droite de l’écran.

N

– Choisir comme lutin la grenouille de Scratch et aller dans l’onglet costumes. – Dupliquer la grenouille. – Avec l’outil Gomme, supprimer la langue sur le costume 1.

Étape 2 Le mage et sa magie

C

– Écrire un algorithme de déplacement de la grenouille dans les quatre directions. On pourra utiliser Ajouter le lutin Wizard (le nommer mage) et créer un lutin magie de ce style :

E

– Créer une variable

et une variable

.

une valeur aléatoire entre –210

et 60 et à

une valeur aléatoire entre –120

P

– Attribuer à

S

et 120. – Créer une variable qui pourra prendre une valeur aléatoire entre –30 et +30. Faire tourner le mage de cette valeur.

Étape 3 Introduction du hasard dans le jeu – Créer une variable , lui attribuer une valeur aléatoire entre 1 et 10. Si la valeur de est inférieure à 8, le mage envoie de la magie par sa baguette : à cet effet, un message est envoyé au lutin magie. Prévoir ensuite une temporisation d’une seconde environ. Sinon, on refait bouger le mage et on relance le dé. À la réception de ce message, magie se positionne par rapport à la baguette du mage en prenant la même orientation. Magie avance alors jusqu’à toucher le bord : il est désormais caché.

34

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Étape 4 Traitement de l’événement victorieux

N

IM

C

On peut désormais cacher le compteur. À partir de la 11e fois où la grenouille a été touchée : – si le dé donne 1, la grenouille se transforme en prince (autre lutin), et le jeu s’arrête ; – si le dé donne 2, la grenouille se transforme en princesse (autre lutin) et le jeu s’arrête ; – dans les autre cas, le jeu continue.

E

Étape 5 Traitement de la fin de partie

Programmation avec Scratch

– Dès que la grenouille est touchée par magie, elle tremble en tirant et rentrant la langue. L’objectif est d’être touché le plus souvent possible par magie. Un doit donc mémoriser le nombre de fois où la grenouille est touchée .

Étape 6 Comptabilisation des points

P

E

– Choisir un arrière-plan. – Terminer le jeu en créant une variable « POINTS ». • Au démarrage, on a 1 000 points.

S

• À chaque fois que la grenouille tremble, on ajoute 200 points. • À chaque fois que la grenouille n’est pas touchée, on perd 100 points. • Lorsque le compteur dépasse les 10, on a 20 points à chaque tir jusqu’à la transformation.

ÉVOLUTIONS POSSIBLES – Faire varier la taille de la grenouille en fonction de la magie reçue. – Commander le mage et sa magie à l’aide de touches du clavier. – Imaginer un niveau 2 dans lequel deux mages combattent. Algorithmique et programmation

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35

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Projet 5 Un jeu sérieux : la roue tourne On peut apprendre tout en s’amusant ! Programme un jeu qui te permettra de mieux comprendre les lois du hasard et leurs rôles dans les jeux dits « de hasard »… Un rond de couleur qui permettra de choisir la couleur sur laquelle on mise en les faisant défiler. Si la roue donne cette couleur, on gagne, sinon on perd !

E

C

IM

E

N

Une cagnotte qui débute à 100 points et qu’il faut faire évoluer avant d’avoir tout perdu !

S

P

Une présentatrice de jeu qui va demander combien l’on veut miser, comment faire tourner la roue et dira ensuite si on a perdu sa mise ou gagné et si oui, combien.

Une mise en jeu qui pourra donner lieu à des gains qui s’ajouteront à la cagnotte ou qui sera définitivement perdue.

Une roue partagée en plusieurs secteurs identiques mais de couleurs différentes qui tourne aléatoirement quand on la lance.

Programme dans Scratch un jeu de ce type en y ajoutant éventuellement d’autres variantes et joue pour comprendre comment fonctionnent les jeux de hasard.

36

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E IM

E

C

Sur un vélo de course, la chaine relie un des plateaux dentés du pédalier avec un des pignons dentés de la roue arrière. Avec plusieurs plateaux et plusieurs pignons, il y a de nombreuses combinaisons possibles qui permettent, pour chaque tour de pédalier, des nombres de tours de roue différents. En fin de chapitre, p. 54, tu pourras utiliser ces combinaisons de nombres entiers.

N

1

S

P

Arithmétique Attendu de fin de cycle Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

OBJECTIFS Avant de commencer ce chapitre, fais le point sur tes connaissances sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

Utiliser des diviseurs, des multiples et des nombres premiers

2

Décomposer en produit de facteurs premiers et rendre une fraction irréductible 37

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Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

Acti

é vit

1

Trouver les diviseurs communs à deux nombres

OBJECTIF

1

OBJECTIF

1

A. Liste des diviseurs d’un nombre Dans son cahier, Marie recherche tous les diviseurs de 54. 1 54 est-il divisible par 2 ? Pourquoi ? 54 = 1 × ….

2 54 est-il divisible par 5 ? Pourquoi ? Certaines lignes du cahier de Marie peuvent être complétées avec des nombres entiers. 3 Aider Marie à finir son travail.

54 = 2 × ….

4 En déduire la liste des diviseurs de 54.

54 = 6 × ….

N

54 = 4 × ….

54 = 5 × ….

54 = 7 × ….

E

B. Diviseurs communs à deux nombres

54 = 3 × ….

5 Trouver tous les diviseurs de 36. Combien y en a-t-il ?

IM

6 En utilisant la partie A. de l’activité, trouver les diviseurs communs à 54 et 36.

Acti

é vit

2

Jouer au jeu de Juniper Green

P

E

C

Voici un jeu qui se joue à deux sur une grille de 20, 50 ou 100 nombres. Les règles sont très simples : – le premier joueur choisit un nombre ; – à tour de rôle, chaque joueur choisit un nombre parmi les multiples ou les diviseurs du nombre choisi précédemment par son adversaire (un nombre ne peut être joué qu’une seule fois). Un joueur est déclaré gagnant quand son adversaire ne peut plus jouer. Voici un exemple de début de partie :

S

1 Dans la partie ci-dessus, quels nombres Inès peut-elle cocher au tour suivant ? 2 a. Faire plusieurs parties avec un(e) camarade en essayant de trouver une stratégie gagnante. b. Quelle stratégie permet au joueur débutant la partie d’être certain de gagner ? c. Cette stratégie est basée sur l’utilisation de certains nombres particuliers. Lesquels ? d. Combien de diviseurs ces nombres-là ont-ils ? Y en a-t-il plusieurs dans la grille ?

3 a. Donner la liste des nombres premiers inférieurs à 20. b. Expliquer pourquoi le nombre  1 n’est pas premier.

Les nombres qui ont exactement 2 diviseurs, 1 et eux-mêmes, sont appelés les nombres premiers.

4 Pour éviter qu’un joueur puisse utiliser la stratégie gagnante vue à la question 2. b., on modifie la première règle : le premier joueur choisit un nombre pair. Faire plusieurs parties avec un(e) camarade ou bien seul(e) en essayant de faire la plus longue partie possible.

38

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Acti

é vit

3

Trouver la liste des nombres premiers : le crible d’Érathostène

OBJECTIF

1

Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Cette activité met en œuvre un algorithme appelé « crible d’Érathostène » permettant de trouver tous les nombres premiers inférieurs à 100.

1 Dans une grille, écrire tous les entiers de 1 à 100. 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99 100

La grille est à télécharger sur le site www.bordas-myriade.fr.

N

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

E

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

IM

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 a. Expliquer pourquoi le nombre 1 n’est pas premier, puis le barrer dans la grille. b. Le nombre 2 ne possède aucun diviseur autre que 1 et lui-même. 2 est donc un nombre premier. Entourer le nombre 2. c. Barrer tous les multiples de 2, qui ne sont donc pas des nombres premiers.

C

3 a. Le plus petit nombre non barré est 3. 3 n’a donc pas de diviseur autre que 1 et lui-même. 3 est donc un nombre premier. Entourer le nombre 3. b. Barrer tous les multiples de 3, qui ne sont donc pas des nombres premiers.

P

4

b. Poursuivre de la même façon jusqu’à ce que le plus petit nombre non barré soit supérieur à 10. Tous les nombres non barrés dans la grille sont les nombres qui n’ont pas d’autre diviseur que 1 et eux-mêmes. On obtient la liste des nombres premiers inférieurs à 100.

Décomposer en facteurs premiers et rendre une fraction irréductible

S

Acti

é vit

E

4 a. Entourer le plus petit nombre non barré et barrer tous ses multiples.

1 Simplifier les fractions suivantes en utilisant

OBJECTIF

2

Lorsqu'on ne peut plus simplifier une

fraction, on dit qu'elle est irréductible. les critères de divisibilité classiques. 14 270 14 b. c. d. a. 55 49 120 16 15 600 est divisible par 2. On peut écrire 600 comme le produit de deux facteurs : 600 = 2 × 300. 2 a. 300 est aussi divisible par 2. On peut donc aussi écrire 300 comme un produit de deux facteurs. Recopier et compléter l’égalité : 600 = 2 × 2 × … b. Poursuivre le processus en cherchant à décomposer les nouveaux facteurs obtenus en produit de deux facteurs dont au moins un est un nombre premier (2, 3, 5…) et vérifier que l’on obtient : 600 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5, c’est-à-dire 23 × 3 × 52.

3 Décomposer de la même façon le nombre 840 en produit de facteurs premiers. 4 En déduire une simplification de la fraction 600 . 840

Chapitre 1 • Arithmétique

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39

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1

Multiples, diviseurs et nombres premiers

OBJECTIF

1

A Multiples et diviseurs DÉFINITION

Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul.

Exemple 0, 1, 2 et 3 sont des entiers naturels.

Dire que l’entier naturel a est multiple de l’entier naturel b signifie qu’il existe un entier k tel que a = b × k. On dit aussi : « b est un diviseur de a » ou « a est divisible par b ».

Remarque

Tout nombre est multiple de 1. En effet, quel que soit le nombre entier naturel n, on a : n × 1 = n, donc 1 est diviseur de tout nombre entier.

Tout nombre est multiple de lui-même, donc tout nombre est divisible par lui-même.

Exemple 27 = 27 × 1

B Nombres premiers

IM

Exemple 12 × 1 = 12

Remarque

E

Exemple 15 = 3 × 5 donc 15 est un multiple de 5. Autrement dit, 5 est un diviseur de 15.

N

DÉFINITION

C

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.

DÉFINITION

E

Exemple Début de la liste des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31… Mais le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur.

P

C Critères de divisibilité

Un nombre est divisible par 2 s’il est pair, donc s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

S

Exemple 276 est divisible par 2, mais 375 ne l’est pas.

Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

Exemple 395 est divisible par 5, mais 921 ne l’est pas.

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Exemple 564 est divisible par 3, car 5 + 6 + 4 = 15 qui est un multiple de 3.

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Exemple 765 est divisible par 9, car 7 + 6 + 5 = 18 qui est un multiple de 9. 40

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D Diviseurs communs à deux nombres entiers Dire qu’un nombre d est un diviseur commun de deux nombres entiers a et b signifie que a et b sont divisibles par d.

DÉFINITION

Exemple 1, 2, 3 et 6 sont les diviseurs communs à 12 et 18.

Dire que deux nombres entiers sont premiers entre eux signifie que leur seul diviseur commun est 1.

DÉFINITION

E

2

N

Exemple Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Les diviseurs de 35 sont : 1, 5, 7 et 35. Le seul diviseur commun de 12 et 35 est 1. Donc 12 et 35 sont premiers entre eux.

Décomposition et fractions irréductibles

OBJECTIF

2

On peut toujours décomposer un nombre non premier en produit de plusieurs facteurs premiers.

IM

PROPRIÉTÉ

Exemple On peut décomposer 588 en produit de facteurs premiers :

E

C

588 = 2 × 294

2 × 147

3 × 49 7×7

Ainsi, 588 = 2 × 2 × 3 × 7 × 7 = 22 × 3 × 72

Soit a et b deux entiers. On dit que la fraction a est irréductible lorsque b a et b sont premiers entre eux.

P

DÉFINITION

S

Exemple 5 est un fraction irréductible car 5 et 7 sont premiers entre eux. 7 Remarque

On peut simplifier facilement une fraction et la rendre irréductible en décomposant son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers.

Exemple On veut simplifier la fraction 120 . 84 120 = 23 × 3 × 5 84 = 22 × 3 × 7 120 = 23 × 3 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2 × 5 = 10 84 2×2×3×7 7 7 22 × 3 × 7 10 est une fraction irréductible. 7 Chapitre 1 • Arithmétique

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41

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1 Je comprends

Utiliser des diviseurs,

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Léa possède 48 oranges et son ami Léo possède 47 pommes. Chacun d’eux veut partager ses fruits en sachets identiques sans qu’il leur reste de fruits. Combien peuventils faire, chacun de leur côté, de sachets ?

On trouve ainsi les diviseurs de 48 «  deux par deux » : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 On dit aussi que 48 est un multiple de 1, de 2, de 3, de 4… On essaye les nombres entiers dans l’ordre croissant.

ÉTAPE 1

Je m’entraine 1

N

E

6 Trouver tous les diviseurs des nombres suivants :

P

E

C

Vrai ou faux ? a. Il existe des nombres qui ne possèdent aucun diviseur. b. Un nombre possède toujours un nombre pair de diviseurs. c. Un nombre premier a seulement deux diviseurs. d. 14 est le plus grand diviseur de 28.

2 Les nombres suivants sont-ils divisibles par 2 ?

S

ÉTAPE 2

Pour Léo, on doit chercher tous les diviseurs de 47, mais aucun entier autre que 1 et 47 ne divise 47. On dit que 47 est un nombre premier. Léo ne peut faire qu’un seul sachet de 47 pommes ou 47 sachets de 1 pomme.

CALCULER

Activités rapides

par 4 ? par 5 ? a. 12 b. 14 e. 60 f. 110

Léa peut faire 1 sachet, ou 2, ou 3, ou 4, ou 6, ou 8, ou 12, ou 16, ou 24, ou 48.

IM

Pour Léa, on doit chercher tous les diviseurs de 48. On teste si 48 est divisible par chacun des nombres entiers dans l’ordre croissant : 1, 2, 3… 48 = 1 × 48 On s’arrête, car 48 = 2 × 24 8 est déjà écrit 48 = 3 × 16 dans la colonne 48 = 4 × 12 de droite. Non divisible par 5 48 = 6 × 8 Non divisible par 7

c. 15 g. 120

d. 24 h. 245

a. 50

b. 60

c. 70

d. 100

7 Parmi les nombres suivants, trouver ceux qui sont

divisibles par 2 et par 3, mais pas par 4 ni par 9. 42  ; 43  ; 54  ; 84  ; 102  ; 138.

8 Parmi les cinq nombres suivants, un seul est premier. Lequel ? 12  ; 13  ; 14  ; 15  ; 16.

9 Parmi les cinq nombres suivants, un seul n’est pas premier. Lequel ? 43  ; 53  ; 63  ; 73  ; 83.

10 Trouver trois nombres possédant exactement 3 Les nombres suivants sont-ils divisibles par 3 ? trois diviseurs. par 9 ? a. 32 e. 74

b. 39 f. 129

c. 45 g. 139

d. 72 h. 939

4 Les nombres suivants sont-ils des nombres premiers ? a. 12 e. 17

b. 13 f. 18

c. 14 g. 19

d. 15 h. 20

11 Trouver quatre nombres possédant exactement quatre diviseurs.

12 Donner trois multiples de chacun des nombres suivants. a. 7

b. 11

c. 15

d. 19

5 Trouver tous les diviseurs des nombres suivants : 13 1. Quels sont les deux plus grands diviseurs de 95 ? a. 10

b. 12

c. 16

d. 25

2. Quels sont les deux plus petits diviseurs de 45 ?

42

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des multiples et des nombres premiers Je résous des problèmes simples c. 12 f. 35

15 Parmi les nombres suivants, quel est celui qui a le moins de diviseurs ? a. 9 b. 15 d. 21 e. 29

c. 16 f. 39

16 Quel est le plus petit nombre possédant 5 diviseurs ?

17 Je suis un nombre entier compris entre 1 509 et 1 534. Je suis divisible par 2 et par 3, mais pas par 4 ni par 9. Qui suis-je ? muns aux deux nombres proposés et préciser le plus grand d’entre eux. a. 27 et 90 b. 48 et 72 c. 80 et 100

19 Les maths autour de moi

22 Le célèbre pirate Edward

Teach, dit «  Barbenoire  », pille, en 1718, un navire chargé d’or. Il dit à ses 300 hommes : «  Comptez ces pièces d’or. Partagez-les de façon à ce que chacun en ait le même nombre et donnez-moi le reste ! » Le décompte montre que le butin s’élève à 6 850 pièces d’or. Que peut-on dire de ce partage ?

23 Vu au brevet

À la fin d’une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les 397 ballons de baudruche qui ont servi à la décoration. Il reste alors 37  ballons. L’année suivante, les mêmes enfants se partagent les 598 ballons utilisés cette année-là. Il en reste alors 13. Combien d’enfants, au maximum, étaient présents ?

IM

18 Dans chaque cas, trouver tous les diviseurs com-

COMMUNIQUER

N

le plus de diviseurs ? a. 10 b. 11 d. 15 e. 25

CALCULER

E

14 Parmi les nombres suivants, quel est celui qui a

CHERCHER

24 Les maths autour de moi Tous les danseurs étaient en piste. Lorsqu’ils se regroupaient par 2, il en restait 1 tout seul. Lorsqu’ils se regroupaient par 3, il en restait 2. Lorsqu’ils se regroupaient par 4, il en restait 3. Lorsqu’ils se regroupaient par 5, il en restait 4. Combien y avait-il de danseurs (ils étaient moins de 100) ?

S

P

E

C

On a 12 croissants et 18 pains au chocolat que l’on veut répartir dans des corbeilles ayant toutes le même contenu. Combien faut-il prévoir de corbeilles  ? (Chercher toutes les possibilités.)

20 Dans chaque cas, donner des multiples com-

muns aux deux nombres proposés et trouver le plus petit multiple commun à ces deux nombres. a. 30 et 80 b. 25 et 60 c. 18 et 21

21 Jessy doit ranger 500 livres dans des cartons qui peuvent contenir 30 livres chacun. 1. Combien lui faut-il de cartons pour ranger tous les livres ? 2. Combien de livres le carton non plein contiendra-t-il ?

25 TOP Chrono Dans sa bibliothèque, Olivia a 420 bandes dessinées. Elle veut les ranger par paquets contenant tous le même nombre de BD. Comment peut-elle organiser ce rangement ? (Chercher toutes les possibilités.) Chapitre 1 • Arithmétique

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43

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1 2 Je comprends

Décomposer en produit

VOIR LA VIDÉO VIDEO : www.bordas-myriade.fr

Je m’entraine 26

31 En utilisant la simplification de fraction sur la

d. 9 11 i. 10 13

e. 9 12 j. 10 15

E

c. 5 10 h. 10 12

C

Quelles sont les fractions irréductibles ? b. 5 9 g. 10 11

27 Parmi les fractions suivantes, trouver celles qui

P

sont irréductibles. a.  7 b.  8 12 12

c.  9 12

d.  11 12

S

28 Parmi les fractions suivantes, trouver celles qui sont irréductibles. a.  10 b.  5 9 6

N

CALCULER

Activités rapides a. 5 8 f. 9 13

ÉTAPE 3

On simplifie la fraction en utilisation les facteurs communs au numérateur et au dénominateur : 882 882 == 22 ×× 3322 ×× 7722 == 22 ×× 3322 ×× 77 ×× 77 1134 1134 22 × 322 ×× 3322 ×× 77 22 ×× 3344 ×× 77 == 7722 == 77 99 33 La calculatrice permet de vérifier les calculs.

IM

ÉTAPE 1 On cherche à décomposer en facteurs premiers le nombre 882. 882 est un nombre pair, donc divisible par 2, donc 882 = 2 × 441. 441 est un multiple de 3. 441 : 3 = 147, donc 882 = 2 × 3 × 147. 147 est un multiple de 3. 147 : 3 = 49, donc 882 = 2 × 3 × 3 × 49. 49 = 7 × 7, donc finalement 882 = 2 × 3 × 3 × 7 × 7 = 2 × 32 × 72.

ÉTAPE 2

On cherche à décomposer en facteurs premiers le nombre 1 134 : 1 134 = 2 × 567 = 2 × 3 × 189 = 2 × 3 × 3 × 63 = 2 × 3 × 3 × 3 × 21 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 7 = 2 × 34 × 7

E

Trouver la fraction irréductible égale à 882 1134 en détaillant la méthode utilisée.

c.  27 35

d.  33 35

29 Parmi les fractions suivantes, trouver celles qui

calculatrice, rendre irréductibles les fractions suivantes. 900 255 a.  72 b.  120 c.  1200 d.  285 210 42

32 En utilisant la simplification de fraction sur la

calculatrice, rendre irréductibles les fractions suivantes. a.  532 b.  540 c.  8 897 d.  14 87 4 476 1485 15 252 14 606

33 Sachant que :

444 = 22 × 3 × 37 et 814 = 2 × 11 × 37, trouver les fractions irréductibles égales aux fractions suivantes : a.  444 b.  814 c.  4 440 814 444 8 140

sont irréductibles et simplifier les autres pour qu’elles le soient aussi. 34 Décomposer en produits de facteurs premiers 15 15 20 21 les nombres suivants : a.  b.  c.  d.  9 33 33 8 a. 72 b. 144 c. 242 d. 2 205 30 Parmi les fractions suivantes, trouver celles qui sont irréductibles et simplifier les autres pour 35 Vu au brevet qu’elles le soient aussi. Écrire la fraction 84 sous forme irréductible en 4 4 4 4 126 b.  c.  9 d.  10 a.  détaillant tous les calculs. 8 5 44

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de facteurs premiers et rendre une fraction irréductible Je résous des problèmes simples

CALCULER

CHERCHER

COMMUNIQUER

36 Sachant que le plus grand diviseur commun à 42 Les maths autour de moi

ne sont pas premiers entre eux. Décomposer 1 035 et 1 215 en produits de facteurs premiers. Écrire la fraction irréductible égale à 1 035 . 1215

38 Écrire chaque nombre sous la forme d’une frac-

IM

tion irréductible puis les classer dans l’ordre croissant. 8 C = 2,1 × 10 6 A = 0,18 B = 22 + 3 4,2 94 + 1 490 × 10

N

37 Sans calcul, expliquer pourquoi 1 215 et 1 035

Anna a acheté un paquet de 60 bonbons. Elle veut les partager avec ses amis mais tient absolument à ce que chacun d’eux (et ellemême) aient le même nombre de bonbons. Combien d’amis pourront recevoir des bonbons ? (Chercher toutes les possibilités.)

E

1 105 et 765 est 85, trouver les fractions irréductibles égales aux fractions suivantes. 1105 a.  765 b.  c.  76 500 765 1105 110 500

39 Écrire chaque nombre sous la forme d’une frac- 43 Le grand livre de magie de Merlin est ouvert à la

C

tion irréductible puis les classer dans l’ordre décroissant. 2 B = 2 × 3 × 11 C = 2 × 52 × 13 A = 7,2 2 0,56 2 × 3 × 11 4 × 5 × 13

40 1. Décomposer 378 et 270 en produits de fac-

S

P

E

teurs premiers. 2. En déduire le plus grand diviseur commun de 378 et 270. 3. Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de 378 billes et 270 calots. Il veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes et tous les calots. a. Combien de lots identiques pourra-t-il faire ? b. Quelle sera la composition de chacun de ces lots ?

double page de la recette de la potion magique pour être fort en mathématiques. Les numéros de ces deux pages sont composés chacun de trois chiffres différents. Le produit de ces six chiffres est égal à 2 400. Quel est le numéro de la première page de la recette ?

41 La caisse que Thomas doit livrer a la forme d’un

parallélépipède rectangle. Ses arêtes mesurent un nombre entier de centimètres. Les faces ont pour aire 2 700 cm2, 4 050 cm2 et 5 400 cm2. 1. Décomposer en produits de facteurs premiers les nombres 2 700, 4 050 et 5 400. 2. En déduire la longueur des côtés de la caisse et son volume.

44 TOP Chrono 1. Sans aucun calcul, expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction 4 114 . 7 650 2. Décomposer 4 114 et 7 650 en produit de facteurs premiers. 3. Rendre irréductible la fraction 4 114 . 7 650

Chapitre 1 • Arithmétique

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45

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Je fais le point sur mon cours

Corrigés page 279

B

C

2

5

3

diviseur de 5

multiple de 30

multiple de 5

5 diviseurs

4 diviseurs

3 diviseurs

36 48 La fraction irréductible égale à 56 est

18 28

3 5

9 14

49 La fraction irréductible est

7 15

45 145 est divisible par 46 15 est un 47 16 possède exactement

N

A

8 10

12 15

IM

E

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

Je fais le point sur mes objectifs 1

Corrigés page 279

56 Trouver tous les diviseurs communs à 66 et 44.

C

Utiliser des diviseurs, des multiples et des nombres premiers

57 Trouver tous les diviseurs communs à 52 et 78.

50 Les nombres suivants sont-ils divisibles par 2 ? 58 Parmi les quatre nombres suivants, un seul est d. 120 h. 235 910

E

par 3 ? par 5 ? par 9 ? par 10 ? a. 15 b. 27 c. 42 e. 541 f. 11 541 g. 5 310

P

51 Trouver un nombre supérieur à 100 divisible par 2 et par 3, mais pas par 4 ni par 9.

premier. Lequel ? 27 ; 37 ; 57 ; 87.

59 Parmi les quatre nombres suivants, un seul n’est pas premier. Lequel ? 59 ; 69 ; 79 ; 89.

52 Poser et effectuer la division euclidienne de 312 60 Trouver tous les nombres premiers compris

S

par 17 et compléter l’égalité ci-dessous : 312 = … × 17 + …

53 L’égalité suivante traduit une division euclidienne : 3 456 = 11 × 312 + 24. De quelle division s’agit-il ?

b. 49

c. 56

d. 64

55 Donner trois multiples de chacun des nombres suivants : a. 11

b. 17

c. 23

61 Donner trois multiples communs à 12 et 21. 62 Donner trois multiples communs à 16 et 24. 63 L’ensemble des écrits de Victor Hugo a été repu-

54 Trouver tous les diviseurs de chacun des nombres suivants : a. 42

entre 80 et 90.

d. 39

blié après sa mort en 53 volumes. La bibliothécaire classe ces volumes à raison de 8 volumes par étagère. 1. Combien faut-il d’étagères pour exposer toute l’œuvre de Victor Hugo ? 2. Combien de volumes l’étagère incomplète contiendra-t-elle ?

46

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Accompagnement personnalisé 70 Vu au brevet

64 Parmi les fractions suivantes, trouver celles qui sont irréductibles et simplifier les autres pour qu’elles le deviennent. a.  17 8

b.  18 16

c.  43 33

d.  540 360

65 En utilisant la simplification de fraction sur la

calculatrice, rendre irréductibles les fractions suivantes. a.  513 1 311

b.  1 232 784

c.  1 755 2 925

d.  1 513 2 403

66 Voici la liste des diviseurs de 128 :

71 1. Décomposer en produits de facteurs premiers

les nombres 60 et 84. 2. Plus grand diviseur commun. a. Utiliser les décompositions précédentes pour trouver tous les diviseurs communs à 60 et 84. b. Quel est le plus grand d’entre eux ?

C

IM

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Voici la liste des diviseurs de 224 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 112, 224. 1. Quel est le plus grand diviseur commun de 128 et 224 ? 2. Écrire la fraction 128 sous forme irréductible. 224

Un vendeur possède un stock de 120 flacons de parfum au tiar et de 144 savonnettes au monoï. Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets « Souvenirs de Polynésie » de sorte que : – le nombre de flacons de parfum au tiar soit le même dans chaque coffret ; –  le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret ; – tous les flacons et savonnettes soient utilisés. Trouver le nombre de coffrets à préparer et la composition de chacun d’eux.

N

Décomposer en produit de facteurs premiers et rendre une fraction irréductible

E

2

67 Sachant que le plus grand diviseur commun de

E

456 et 741 est 57, trouver les fractions irréductibles égales aux fractions suivantes : a.  456 741

b.  741 456

c.  4 560 7 410

P

68 Décomposer en produits de facteurs premiers

S

les nombres suivants : a. 81 b. 250 c. 16 170

69 1. Sans calcul, expliquer pourquoi 396 et 378 ne sont pas premiers entre eux. 2. Décomposer 396 et 378 en deux produits de facteurs premiers. 3. Écrire la fraction irréductible égale à 396 . 378

Remarque

On appelle ce nombre le plus grand diviseur commun de 60 et 84 et on le note PGCD (60 ; 84).

3. Déterminer : a. PGCD (25 ; 35) ; b. PGCD (36 ; 48) ; c. PGCD (75 ; 125).

72 1. Multiple commun

45 est un multiple de 3. C’est aussi un multiple de 5. On dit que 45 est un multiple commun à 3 et 5. a. Vérifier que 36 est un multiple commun à 2 et 6. b. Trouver un multiple commun à 7 et 11. c. Vérifier que 330 est un multiple commun à 3, 5 et 11. d. Trouver un multiple commun à 3, 5 et 7. 2. Plus petit multiple commun 3 et 5 ont plusieurs multiples en commun. Le plus petit d’entre eux est 15. On l’appelle le plus petit multiple commun de 3 et 5, que l’on note PPCM (3 ; 5) = 15. Déterminer : a. PPCM (2 ; 9) ; b. PPCM (5 ; 10) ; c. PPCM (15 ; 21) ; d. PPCM (2 ; 5 ; 7) ; e. PPCM (2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6). Chapitre 1 • Arithmétique

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47

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76 Étudier un objet technique

Objectifs 1 2

12 DOMAINE 1 DU SOCLE

« – Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400. – Je suis pair. – Je suis divisible par 11. – J’ai aussi 3 et 5 comme diviseurs. Qui suis-je ? » Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché et donner sa valeur.

10 30 5

9

90

DOMAINE 4 DU SOCLE

4

8

7

5

6

Le mécanisme ci-dessus est constitué de quatre engrenages. Les nombres notés en rouge représentent le nombre de dents de chaque engrenage. Dans le plus grand des engrenages se situe une aiguille qui tourne avec l’engrenage. Cette aiguille (calée au départ sur 12) pointera alors sur des nombres différents. On fait faire un tour complet à l’engrenage de 30 dents dans le sens indiqué par la flèche. 1. Combien de tours fera le plus petit engrenage ? 2. Sur quel nombre pointera l’aiguille du plus grand engrenage ?

IM

75 Utiliser l’arithmétique en astronomie

3

10

DOMAINE 3 DU SOCLE

1. Chloé affirme que pour tout entier n, le nombre 2n × 3n × 7n + 2n × 21n × 5 + 6n × 7n × 4 est divisible par 10. A-t-elle raison ? Justifier. 2. Martin, de son côté, affirme que deux nombres consécutifs sont toujours premiers entre eux. A-t-il raison ? Justifier.

2

E

74 Justifier une affirmation

1

11

N

73 Utiliser les critères de divisibilité

S

P

E

C

Le 6 juin 2012, Vénus est passée entre la Terre et le Soleil. Ces trois astres étaient alignés. Vénus tourne autour du Soleil en 225  jours environ. La Terre tourne autour du Soleil en 365 jours environ. 1. Montrer que si ces durées de révolution approximatives étaient parfaitement exactes, les trois  astres se retrouveraient exactement dans le même alignement et à la même position dans 45 ans. 2. Dans cette situation, combien de tours Vénus aurait-elle effectués autour du Soleil ?

Les différentes phases du passage de Vénus devant le Soleil vues par le satellite SDO, le 5 juin 2012.

77 Réfléchir à un problème ouvert Le centurion est fier de son armée. Pour le défilé à Rome, il demande à ses soldats de se ranger par lignes de cinq, mais il reste quatre soldats. Il leur demande alors de se ranger par lignes de six, mais il reste cinq soldats. Il leur demande de se ranger par lignes de huit, mais il reste sept soldats. 1. Combien cette armée comporte-t-elle de soldats sachant qu’elle compte moins de deux-cents hommes ? 2. Par lignes de combien de soldats ce centurion pourra-t-il ranger correctement son armée ?

La durée de révolution de la Terre autour du Soleil étant légèrement supérieure à 365 jours, et celle de Vénus légèrement inférieure à 225 jours, le nouvel alignement parfait de ces trois astres aura lieu en 2117 seulement. 48

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MODÉLISER

RAISONNER

78 Étudier un problème de divisibilité

CHERCHER

DOMAINE 2 DU SOCLE

COMMUNIQUER

81 Étudier une conjecture célèbre

La conjecture de Goldbach est un énoncé mathématique (non démontré) qui dit que « tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers ». Exemple : 8 = 5 + 3 (1 solution) 10 = 7 + 3 = 5 + 5 (2 solutions) 1. Tester cette conjecture avec les entiers : 26 ; 48 et 98. 2. Pour chacun de ces nombres, il y a plusieurs combinaisons possibles. Essayer de toutes les trouver.

82 Travailler avec les puissances

Un nombre premier de Mersenne est un nombre pouvant s’écrire sous la forme 2p – 1, avec p qui désigne un nombre entier premier. On note Mp = 2p – 1 chaque nombre de Mersenne. 1. Montrer que M2  =  3 et M3  =  7. Sont-ils des nombres premiers ? 2. Calculer M5 et M7. Sont-ils des nombres premiers ? 3. Calculer M11 et montrer que ce n’est pas un nombre premier.

E

Ludovic dirige un grand terrain de camping de forme triangulaire dont les dimensions sont 518 m, 448 m et 350 m. Pour le protéger du vent et du soleil, Ludovic envisage de planter des arbres, régulièrement espacés, le long des côtés, avec un arbre à chaque sommet du triangle. Il décide que la distance qui séparera deux arbres consécutifs doit être un nombre entier de mètres. 1. Quel est le nombre minimum d’arbres qu’il faut acheter ? 2. Sachant qu’un arbre coute 54 €, quel sera le cout de cet investissement ?

REPRÉSENTER

N

CALCULER

79 Démontrer un critère de divisibilité

S

P

E

C

IM

« Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. » « Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. » L’objectif de cet exercice est de démontrer ces propriétés. Nous allons prendre le cas d’un nombre à quatre chiffres. Soit abcd un nombre à quatre chiffres. 1. Compléter la décomposition suivante : Aide Chercher un diviseur compris entre 20 et 30. abcd = a × 1 000 + b × … + c × … + d 2. En déduire que : abcd = 9 × (111 × a + 11 × b + c) + a + b + c + d 83 Étudier des nombres célèbres 3. Expliquer pourquoi 9 (111 × a + 11 × b + c) est Remarque divisible par 3. Pierre de Fermat est né en 1601 et mort en 1665. Il a travaillé sur la théorie des nombres et sur l’étude de certaines courbes. 4. Conclure que abcd est divisible par 3 si a + b + c + d est divisible par 3. Un nombre de Fermat est un entier naturel qui n 5. Démontrer de la même manière le critère de peut s’écrire sous la forme 22 + 1, avec n entier. n divisibilité par 9. Le n-ième nombre de Fermat, 22 + 1, est noté Fn. Ainsi, en remplaçant n par 0, on obtient : 6. Peut-on généraliser ces démonstrations à des 0 nombres s’écrivant avec un nombre quelconque F0 = 22 + 1 = 21 + 1 = 2 + 1 = 3. de chiffres ? ou encore en remplaçant n par 1 : 1 F1 = 22 + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5. 80 Découvrir les nombres premiers jumeaux 1. Montrer, par des calculs détaillés, que F2 = 17 Deux nombres sont premiers jumeaux s’ils et F3 = 257. sont premiers et si leur différence est égale à 2. 2. Calculer F4. Voici quelques paires de nombres premiers 3. Pierre de Fermat pensait que tous les jumeaux  : (3  ; 5), (5  ; 7), (11  ; 13), (17  ; 19) nombres de Fermat étaient premiers. L’étude et (29 ; 31) des cinq nombres F0 ; F1 ; F2 ; F3 et F4 pourrait 1. Quel est le prochain couple de nombres prenous laisser penser qu’il a raison, mais l’étude miers jumeaux ? de nombre F5 nous montre que c’est faux. 2. Le couple (429  ; 431) est-il un couple de Calculer F5 et montrer que ce n’est pas un nombre nombres premiers jumeaux ? premier en vérifiant qu’il est divisible par 641. Chapitre 1 • Arithmétique

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49

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Dans les autres matières 84 La galerie des Glaces

85 Découper des plaques

Un ouvrier dispose de plaques d’aluminium de 2,20 m de longueur, 1,76 m de largeur et 5 mm d’épaisseur. Il a reçu la consigne suivante  : « Découper dans ces plaques des carrés d’épaisseur 5 mm, tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte. » 1. Quelle sera la longueur du côté d’un carré ? 2. Combien l’ouvrier peut-il faire de carrés dans une seule plaque ? 3. La masse volumique de l’aluminium est de 2  700  kg/m3. Quelle sera la masse d’un carré obtenu ?

E

N

La galerie des Glaces du château de Versailles est une grande pièce rectangulaire longue de 72,80 m, large de 10,40 m, éclairée par 17 fenêtres et décorée par 357 miroirs.

86 Lord Max Money

C

IM

Le conservateur du château décide de recarreler cette galerie avec des dalles carrées de côté 65 cm. 1. Montrer que ces travaux sont possibles sans qu’aucune plaque ne soit découpée. 2. Combien de dalles faut-il acheter ?

Lord Max Money gathers all his grandchildren and tells them: “I am going to give £1215 to all the girls and £945 to all the boys. But don’t worry, you will each have the same amount of money in pounds sterling, corresponding to a whole number.” How many grandchildren does he have?

E

Enseignement Pratique Interdisciplinaire

Langues et cultures de l’Antiquité

Mathématiques & Histoire

P

Les instruments scientifiques de mesure du temps

S

Dès les premières civilisations, les scientifiques, astronomes souvent, ont créé et utilisé des instruments scientifiques pour connaitre et mesurer les heures, les jours, construire des calendriers, en les liant aux observations astronomiques.

Projet

Construire des calendriers (lunaire, musulman, chinois, dates de Pâques…) et utiliser différents systèmes de numération… Notions mathématiques : Étude et utilisation des propriétés arithmétiques appliquées aux phénomènes astronomiques (cycle lunaire, planétaire…) Calendrier lunaire.

50

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ues

mathématiq

à la maison

87 La table ronde

Lors d’un banquet, toutes les places d’une table ronde sont occupées : – 7 femmes ont une femme à leur droite ; – 12 femmes ont un homme à leur droite ; – 3 hommes sur 4 ont une femme à leur droite. Combien y a-t-il de personnes autour de la table ? D’après Championnat mathématiques du Niger.

89 Le tour du monde

E IM

Construire un château de cartes à un seul étage, c’est très simple. Avec deux étages, ce n’est pas beaucoup plus compliqué. Mais alors, avec un jeu de 52 cartes, combien d’étages au maximum un château de cartes peut-il comporter ?

C

Phila fait un tour du monde en moins de 80 jours. La durée du tour est un nombre entier de semaines. Convertie en secondes, elle est le produit de nombres entiers se suivant sans interruption à partir de 1. Quelle est la durée du tour du monde en semaine ?

E

D’après Finale internationale des jeux mathématiques et logiques.

Trouve le plus petit nombre de 15 chiffres (qui ne commence pas par 0), divisible par 15 et dont la somme des chiffres est 15.

S

P

90 Défi !

On dit qu’un nombre est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs (autres que lui-même). Par exemple, 6 est parfait car 6 = 1 + 2 + 3. 1. Expliquer pourquoi 28 est parfait. 2. Expliquer pourquoi 64 n’est pas parfait à cause d’une unité près. On dit que 64 est presque parfait. 3. Trouver tous les nombres presque parfaits inférieurs à 20.

N

88 Le château de cartes

92 Les nombres parfaits... ou presque

91 Énigme

dix produits dont Un caddy de supermarché contient entiers stricteles prix en euros sont des nombres ment positifs tous différents. es par 2. Exactement deux prix sont divisibl par 3. Exactement trois prix sont divisibles 5. par Exactement cinq prix sont divisibles 7. par Exactement sept prix sont divisibles 11. Le total des prix est divisible par t possible. Le prix le plus grand est le plus peti Quel est le total des prix ? Finale internationale

D’après des jeux mathématiques et logiques.

93 Les nombres amicaux

Deux nombres sont amicaux quand chacun est égal à la somme des diviseurs de l’autre (excepté le nombre). Lister les diviseurs de 220 et 284 et dire s’ils sont amicaux ou non.

94 Les nombres gentils

Un nombre est gentil s’il est multiple des dix premiers nombres entiers. 1. Expliquer pourquoi 10 080 est gentil. 2. Trouver le plus petit nombre gentil, en expliquant la recherche.

95 Découvrir les nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers. Par exemple 7  et 3,12 sont des nombres ration5 7 nels car, est une fraction et 3,12 = 312 . 5 100 1. Jean dit : « Il est évident qu’un nombre décimal est rationnel. » Que peut-on en penser ? 2. Soit le nombre x tel que x = 0,2121212121… Combien vaut 100x ? Trouver une égalité contenant 100x et x. 3. Résoudre cette équation et en déduire une fraction égale à x. Chapitre 1 • Arithmétique

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51

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Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

Multiples de 6 et nombres premiers Utiliser le tableur pour trouver des nombres premiers.

20’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

N

1 Dans une feuille de calcul d’un tableur, construire un tableau à trois lignes avec tous les multiples de 6 inférieurs à 100 (autres que zéro) sur la ligne du milieu.

3 Pour chaque cellule de la ligne du bas, enlever 1 au multiple de 6 qui est juste au-dessus.

E

2 Pour chaque cellule de la ligne du haut, ajouter 1 au multiple de 6 qui est juste en dessous.

4 Dans la ligne du haut et dans celle du bas, effacer tous les multiples de 5 et tous les multiples de 7.

30’

Recherche de diviseurs et test de primalité sur tableur Utiliser le tableur pour trouver le nombre de diviseurs d’un nombre choisi par l’utilisateur et savoir si c’est un nombre premier. Difficulté mathématique

C

2

IM

5 Quelle remarque peut-on faire sur les nombres qui restent dans ces deux lignes ?

Difficulté technique

S

P

E

1 Dans une feuille de calcul d’un tableur, écrire un nombre entier à tester dans la cellule A1. 2 Dans la colonne B, construire la liste des nombres entiers successifs en partant de 1 et en allant au moins jusqu’à la valeur du nombre choisi en A1. 3 Test de divisibilité a. Dans la cellule C1, calculer le reste de la division euclidienne du nombre choisi au départ par l’entier de la cellule B1. b. Recopier cette formule dans toute la colonne C de façon à obtenir tous les restes des divisions euclidiennes du nombre choisi par les différents entiers possibles. c. Quelle valeur affichée dans une cellule de la colonne C permet d’identifier que l’on a bien trouvé un diviseur du nombre de départ ? 4 Compteur de diviseurs Aide a. Dans la cellule D1, compter le nombre de fois où apparait le 0 dans On pourra utiliser la fonction « NB.SI ». la colonne C. Aide b. Dans la cellule D2, à l’aide d’une formule du tableur, faire écrire La fonction CONCATENER sera bien utile. une phrase permettant de conclure sur le nombre de diviseurs trouvés. c. Dans la cellule D3, à l’aide d’une formule du tableur, Aide faire écrire une phrase permettant de conclure si le La fonction « SI » peut être utile pour cette dernière question. nombre choisi au départ est un nombre premier ou non.

52

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3 30’

Recherche de diviseurs et test de primalité sur Scratch

ALGO

Rechercher tous les diviseurs d’un nombre donné par l’utilisateur et savoir si c’est un nombre premier. Difficulté mathématique

Difficulté technique

Dans le logiciel Scratch 1 Créer trois variables nommées « nombreaetudier », « compteurdediviseurs », « compteurdetest » et créer une liste nommée « listedediviseurs ».

E

3 Initialiser les variables « compteurdediviseurs » à 0, « compteurdetest » à 1 et vider la liste « listedediviseurs ».

N

2 Demander quel est le nombre à étudier et stocker la réponse dans « nombreaetudier ».

IM

4 Répéter le test suivant pour toutes les valeurs entières possibles du « compteurdetest » comprises entre 1 et le « nombreaetudier »  : Si le nombre « nombreaetudier » est divisible par le nombre « compteurdetest », alors on a trouvé un diviseur et donc : – la variable « compteurdediviseurs » doit augmenter de 1 ; – la liste « listedediviseurs » doit comporter un nombre de plus. Aide

P

E

C

On peut utiliser une boucle « répéter jusqu’à » et les commandes suivantes :

S

5 Afficher un message donnant le nombre de diviseurs du nombre « nombreaetudier » et un autre précisant si ce nombre est premier ou non.

Chapitre 1 • Arithmétique

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53

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1

Les engrenages de Mathilda Mathilda a trouvé dans son grenier un train d’engrenages formé de quatre roues dentées. La roue de gauche peut tourner uniquement dans le sens de la flèche. Elle entraine alors les trois autres roues. À partir de la position initiale, de combien de tours, au minimum, Mathilda doit-elle faire tourner la roue de gauche pour que l’ensemble revienne à sa position initiale ? DOC

1

Position initiale de l’engrenage

DOC

2

IM

E

N

Pour repérer la position initiale des quatre roues, Mathilda a collé des étiquettes avec les quatre premières lettres de son prénom sur une dent de chaque roue.

Position de l’engrenage après un tour

D’après Rallye mathématiques de Lyon, 2015.

S

P

E

C

Mathilda fait tourner la roue de gauche d’un tour et obtient donc la position suivante.

2

Les problèmes DUDU Dans cette vidéo, les DUDU jouent à un nouveau jeu. Ils se disputent, car l’un pense que l’autre a triché. Peux-tu les aider ?

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr 54

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E IM

E

C

Chaque année, tes parents doivent remplir une « déclaration de revenus ». Avec les nouvelles technologies, cette déclaration évolue. Désormais, elle peut se faire par Internet et les revenus principaux sont déjà pré-remplis. Mais comment l’impôt à payer est-il calculé ? Tu le sauras en fin de chapitre, p. 74.

N

2

Homme remplissant sa déclaration d’impôts, Roger Violet, mars 1941.

S

P

Calcul littéral Attendu de fin de cycle Utiliser le calcul littéral

OBJECTIFS OBJECTIFS Avant de commencer ce chapitre, fais le point sur tes connaissances sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

Produire et utiliser une expression littérale

2

Connaitre et utiliser la double distributivité et les identités remarquables

3

Prouver ou réfuter un résultat général 55

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Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

Acti

é vit

1

Produire et utiliser une expression littérale

OBJECTIF

1

Le propriétaire d’un vignoble envisage de renouveler son stock de tonneaux. Les tonnelleries DAMY lui proposent trois dimensions pour ses tonneaux : Dimensions nº 2 Diamètre de tête d : 0,88 m Diamètre de bouge D : 1,05 m Hauteur h : 1,15 m

Dimensions nº 3 Diamètre de tête d : 0,77 m Diamètre de bouge D : 0,81 m Hauteur h : 1,10 m

N

Dimensions nº 1 Diamètre de tête d : 0,55 m Diamètre de bouge D : 0,70 m Hauteur h : 0,95 m

)

IM

(

E

Il existe de nombreuses formules pour calculer le volume d’un tonneau. En voici quelques-unes :  Formule de l’an II : πh (2D + d )2 36 D d 2 5D + 3d  Formule de Dez : πh 16  Formule de Kepler : πh (2D2 + d 2 ) h 12 1 Calculer les volumes des tonneaux proposés par DAMY avec chacune des trois formules.

2 En utilisant la Formule de l’an II, trouver les dimensions d’un tonneau de 1 000 L. 3 Le viticulteur produit 45 000 L de vin par an. En utilisant les résultats obtenus avec la Formule

C

de Kepler, dire combien de tonneaux il devra prévoir pour stocker son vin.

2

Connaitre et utiliser la double distributivité

OBJECTIF

E

Acti

é vit

2

P

Il existe de nombreuses techniques pour poser les multiplications. Voici deux façons de poser « à l’anglaise » la multiplication 76 × 28. Première façon de calculer 76 × 28

S

×

70 + 6 20 + 8 48 560 120 1 400 2 128

(= 76) (= 28) (= 8 × 6) (= 8 × 70) (= 20 × 6) (= 20 × 70)

Deuxième façon de calculer 76 × 28

× 70 6

20 1 400 120

8 560 48

1 400 (= 70 × 20) 560 (= 70 × 8) 120 (= 6 × 20) 48 (= 6 × 8) 2 128 1 Poser « à l’anglaise » (avec un tableau ou en colonne) la multiplication 56 × 93. + + +

+ + +

2 a. En s’inspirant de la technique « à l’anglaise » présentée ci-dessus (tableau ou colonne au choix), développer (a + b) × (c + d). b. Démontrer l’égalité obtenue en utilisant l’égalité k × (a + b) = k × a + k × b. 3 Développer les expressions suivantes : a. (2x + 3)(5 + 4x)

b. (7x − 1)(3x + 6)

c. (4x − 2)(5 − 2x)

d. (− 3 + x)(− x − 9)

56

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Acti

é vit

3

Découvrir les identités remarquables 1 Vrai ou faux ?

OBJECTIF

2

Le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces deux nombres.

N

2 Voici une autre affirmation du mathématicien français François Viète au xvie siècle :

E

Le double du produit de deux nombres ajouté à la somme de leurs carrés est égal au carré de leur somme.

a. Vérifier que cette affirmation est vraie en choisissant deux nombres au choix. b. Prouver que cette propriété est toujours vraie.

IM

3 Démontrer l’égalité suivante : (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. 4 a. Comparer 52 − 22 et (5 + 2) × (5 − 2). c. Comparer

92

82

et (9 + 8) × (9 − 8).

b. Comparer 72 − 32 et (7 + 3) × (7 − 3). d. Comparer 272 − 102 et (27 + 10) × (27 − 10).

5 a. Écrire au moins cinq autres égalités sur le même modèle, puis vérifier si ces égalités

C

sont vraies. b. Écrire alors une conjecture, puis la démontrer.

6 Utiliser les égalités précédentes pour développer les expressions suivantes : a. (6 + 3x)2

E

4

c. (6 + 3x)(6 – 3x)

Utiliser le calcul littéral pour démontrer une propriété

OBJECTIF

3

P

Acti

é vit

b. (6 – 3x)2

1 Écrire l’égalité proposée par Ibrahim et la vérifier en effectuant les calculs nécessaires.

S

2 Écrire le plus possible de nombres entiers inférieurs à

100 sous la forme d’une différence de deux carrés de nombres entiers.

3 Trouver toutes les façons différentes d’écrire 105 sous la forme d’une différence de deux carrés.

4 Ibrahim affirme maintenant : « Quand je calcule la différence des carrés de deux nombres consécutifs, j’obtiens toujours un nombre impair. » Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Donner une preuve.

5 Ibrahim affirme pour finir : « Quand je calcule la différence des carrés de deux nombres qui ont 2 d’écart, j’obtiens toujours un multiple de 4. » Vrai ou faux ? Donner une preuve. 7 et 9 ont 2 d’écart par exemple. Chapitre 2 • Calcul littéral

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1

Expressions littérales

OBJECTIF

1

Calculer la valeur d’une expression littérale, c’est attribuer un nombre à chaque lettre de l’expression afin d’effectuer le calcul.

DÉFINITION

Exemple Calculer A = 2x3 − y2 + 8(x − 1) lorsque x = − 2 et y = − 5. On écrit les signes × sous-entendus.

A = 2 × (− 2)3 − (− 5)2 + (− 2 − 1)

On remplace x par − 2 et y par − 5 en mettant des parenthèses. On effectue les calculs en respectant les priorités.

E

A = − 16 − 25 − 24 A = − 65

N

A = 2 × x3 − y2 + 8 × (x − 1)

Remarque

Double distributivité et identités remarquables PROPRIÉTÉ

C

2

IM

On peut aussi écrire les multiplications sous-entendues dans x3 en l’écrivant x × x × x, et dans y2 en l’écrivant y × y.

OBJECTIF

2

Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a : = a×c+a×d+b×c+b×d (a + b) × (c + d)

E

Produit de deux facteurs

Somme de quatre termes

Remarque

P

Cette propriété est une conséquence de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction. En effet : (a + b) × (c + d) = a × (c + d) + b × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d.

S

Exemple Développer B = (− 3 + 2x) × (7 − 4x). B = (( − 3) + 2x) × (7 + (− 4x)) B = (− 3) × 7 + (− 3) × (− 4x) + 2x × 7 + 2x (− 4x) B = − 21 + 12x + 14x − 8x2 B = − 8x2 + 26x − 21

Quels que soient les nombres a et b, on a : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2  (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Ces égalités s’appellent les identités remarquables.

Pour éviter les erreurs, il est conseillé d’effectuer mentalement ces étapes.

PROPRIÉTÉS

 (a + b)(a − b) = a2 − b2

Remarque Ces propriétés servent à développer plus rapidement certaines expressions, mais elles servent surtout à factoriser des expressions.

58

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3

Utiliser le calcul littéral pour démontrer une propriété

OBJECTIF

3

Deux expressions littérales sont égales si elles sont toujours égales, c’est-à-dire si elles sont égales pour n’importe quelles valeurs attribuées aux lettres de l’expression.

DÉFINITION

On peut utiliser une expression littérale pour écrire certaines propriétés des nombres entiers.

Exemples Un nombre n étant choisi : • n + 1 représente le nombre suivant ; • n − 1 représente le nombre précédent. Un nombre pair s’écrit toujours sous la forme 2n.

N

PROPRIÉTÉ

E

Un nombre impair s’écrit toujours sous la forme 2n + 1 ou 2n − 1. Un multiple de 3 s’écrit 3n et un multiple de 7 s’écrit 7n.

IM

Un nombre de trois chiffres peut s’écrire a × 100 + b × 10 + c. chiffre des centaines

chiffre des dizaines

chiffre des unités

Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel deux expressions donnent des résultats différents pour prouver que celles-ci ne sont pas égales.

C

PROPRIÉTÉ

Vocabulaire

Cet exemple s’appelle alors un contre-exemple.

E

Exemples Benjamin affirme : « Pour tous les nombres a et b, on a (a + b)2 = a2 + b2. » A-t-il raison ?

P

Contre-exemple Avec a = 2 et b = 3, on a (a + b)2 = (2 + 3)2 = 25, alors que a2 + b2 = 22 + 32 = 13. C’est un contre-exemple, l’affirmation de Benjamin est donc fausse.

S

Prouver que pour tout nombre x, on a (2x + 3)(5 − x) + 10 = 47 + x (7 − 2x) − 22. Pour prouver que deux expressions sont égales, on peut les développer et les réduire.

– On développe et on réduit le premier membre de l’égalité (2x + 3)(5 − x) + 10 : (2x + 3)(5 − x) + 10 = 10x − 2x2 + 15 − 3x + 10 = − 2x2 + 7x + 25 – On développe et on réduit le deuxième membre de l’égalité 47 + x (7 − 2x) − 22 : 47 + x (7 − 2x) − 22 = 47 + 7x − 2x2 − 22 = − 2x2 + 7x + 25 Les deux expressions obtenues sont égales, donc l’égalité : (2x + 3)(5 − x) + 10 = 47 + x(7 − 2x) − 22 est vraie pour toutes les valeurs de x. Chapitre 2 • Calcul littéral

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1 Je comprends

Produire et utiliser une

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

– Si AB = 6 cm, alors l’aire vaut 6 × 7 = 42 cm2. – Si AB = 13 cm, alors l’aire vaut : 13 × 14 = 182 cm2. – Si AB = 1 cm, alors l’aire vaut 1 × 2 = 2 cm2. – Si AB = 1,8 cm, alors l’aire vaut : 1,8 × 2,8 = 5,04 cm2.

On construit des rectangles dont la longueur mesure 1 cm de plus que la largeur comme ci-dessous : A

7

D

6

ÉTAPE 2 B

C

On généralise les calculs effectués à l’aide d’une expression littérale. Si on note C la mesure du côté le plus petit, le côté le plus grand vaudra 1  cm de plus, soit C + 1. L’aire du rectangle sera donnée par la formule : C × (C + 1).

N

Trouver une formule qui donne l’aire de ces rectangles en fonction du côté le plus petit. ÉTAPE 1

IM

Je m’entraine 1

CALCULER

MODÉLISER

4 1. Voici un extrait de tableur :

Activités rapides

E

C

On nomme n un nombre entier. Écrire en fonction de n : a. le nombre qui suit n ; b. le nombre qui précède n ; c. le double de n ; d. la moitié de n.

P

2 Soit A = − x2 + 4 (5 − x). Calculer A pour : a. x = 3

b. x = − 4

c. x = − 2,8

S

3 On fabrique des figures en accolant deux carrés dont les côtés ont un centimètre d’écart :

1

a. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B2, puis coller dans les cellules de la colonne B pour obtenir les nombres suivant ceux affichés dans la colonne A ? b. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C2, puis coller dans les cellules de la colonne C pour obtenir les nombres précédant ceux affichés dans la colonne A ? 2. M est un nombre entier. Écrire, en fonction de M, le nombre entier qui le suit et le nombre entier qui le précède.

5 1. n est un nombre entier.

2,5

2

E

On fait quelques calculs en leur cherchant des points communs.

1,5

1. Construire deux autres figures sur ce modèle. 2. Calculer l’aire et le périmètre de chacune des quatre figures. 3. Écrire une formule donnant l’aire d’une figure de ce type en fonction du côté du petit carré. 4. Faire de même pour le périmètre.

a. Calculer 2n pour différentes valeurs de n. b. Guilhem dit qu’il obtient toujours un nombre pair comme résultat. Vrai ou faux ? Expliquer. 2. Écrire, à l’aide d’une expression littérale, un nombre qui soit multiple de 5.

6 1. Écrire, à l’aide d’une expression littérale, un nombre impair. 2. Écrire le nombre impair suivant. 3. Écrire le nombre impair précédent.

60

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expression littérale Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

RAISONNER

COMMUNIQUER

7 Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle, 10 On construit une frise avec des allumettes comme (EF) est perpendiculaire à (AB) et (GH) perpendiculaire à (BC). B

c H d

G D

F

C

Écrire en fonction de a, b, c et d l’aire du rectangle ABCD. Trouver le plus d’expressions différentes possibles.

8 1. Calculer :

ALGO

Voici un algorithme réalisé avec Scratch :

S

P

9

E

C

IM

a. 2 + 3 × 4 + 2 b. 3 + 4 × 5 + 2 c. 5 + 6 × 7 + 2 d. 8 + 9 × 10 + 2 2. a. En effectuant les calculs mentalement, conjecturer le résultat de 198 + 199 × 200 + 2. Expliquer de façon détaillée la stratégie employée. b. Faire de même pour l’expression : 38 + 39 × 40 + 2. 3. Écrire une expression littérale correspondant à un calcul sur ce même modèle.

1. Combien faut-il d’allumettes pour faire 3 triangles ? 2. Combien faut-il d’allumettes pour faire 12 triangles ? 3. Combien faut-il d’allumettes pour faire 1 000 triangles ? 4. Écrire une expression qui donne le nombre d’allumettes nécessaires pour faire n triangles.

N

E b

a

E

A

dans le modèle ci-dessous :

1. Joshua a choisi 3 comme nombre. a. Quel sera le résultat final obtenu ? b. Écrire les calculs en une seule expression. 2. Traduire cet algorithme par une expression littérale. 3. Carla a choisi un nombre entre 10 et 20, elle a obtenu 5 184. Quel nombre avait-elle choisi ?

11 Les maths autour de moi Ce soir, Léa et Hamid se promènent sur la plage et la Lune est magnifique. – Hamid dit : « Ma chérie, je t’aime tellement que je pourrais t’offrir la Lune. » – Léa lui répond : « C’est très gentil mon amour, mais est-elle si grosse que ça ? » Calculer le volume de la Lune sachant que son diamètre est de 3 474 km environ. Aide

Le volume d’une boule se calcule grâce à la formule V = 4 πr 3 , 3 où r est le rayon de la boule.

12 TOP Chrono 1. Trouver le nombre qui est au milieu des nombres 6 et 10, c’est-à-dire celui qui est aussi proche de 6 que de 10. 2. Trouver le nombre qui est au milieu des nombres 2,5 et 18. 3. Écrire une expression qui donne le nombre qui est au milieu des nombres a et b. 4. Utiliser cette expression pour trouver le nombre qui est au milieu de 3,8 et 16 . 3

Chapitre 2 • Calcul littéral

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61

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2 Je comprends

Connaitre et utiliser la double

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. Développer et réduire (3x − 4)(− 6 + 2x).

2. Factoriser l’expression 9 − 4x2.

Je m’entraine 13

CALCULER

IM

C

Utiliser les identités remarquables pour calculer mentalement. a. 252 − 152 b. 26 × 34 2 2 d. 102 × 98 c. 201  − 199 f. 33 × 27 e. 482 − 472 2 2 h. 2,8 × 3,2 g. 3,5  − 0,5

14 1. Recopier et compléter le tableau suivant : −3

E

9x

P

2. Donner l’expression développée réduite de : (9x − 3)(5x + 4)

15 Développer et réduire les expressions suivantes :

S

a. (x − 1)(2x + 5) c. (− x + 1)(x − 1)

N

18 Calcul mental

Activités rapides

× 5x +4

2. Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit. 9 − 4x2 est une différence. En écrivant 9 − 4x2 sous la forme 32 − (2x)2, on reconnait l’identité remarquable : a2 − b2 = (a + b)(a − b), avec a = 3 et b = 2x. On a donc 9 − 4x2 = (3 + 2x)(3 − 2x).

E

1. Développer une expression, c’est transformer les produits de l’expression en somme. L’expression (3x − 4)(− 6 + 2x) est un produit de deux facteurs, (3x − 4) et (− 6 + 2x) (3x − 4)(− 6 + 2x) = 3x × (− 6) + 3x × 2x + (− 4) × (− 6) + (− 4) × 2x = − 18x + 6x2 + 24x − 8x = 6x2 − 26x + 24.

b. (4 − 2x)(5x − 9) d. (− 3 − 2x)(− 6 − 3x)

Effectuer les calculs suivants sans calculatrice et en effectuant toutes les étapes intermédiaires mentalement. 1. Calculer 422 en développant (40 + 2)2. 2. Calculer de la même façon : b. 312 c. 242 a. 1032

19 Recopier et compléter les égalités suivantes : a. (x + …)2 = … + … + 16 b. (… − 5)2 = 100x2 − … + … c. (2x + …)2 = … + 12x + … d. (x − …)(x + …) = … − 16 e. (… + 1)(… − 1) = 49x2 − …

20 Développer les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables : b. (x − 5)2 a. (x + 4)2 c. (1 + 3x)(1 − 3x) d. (5 + 2x)(− 2x + 5)

16 Développer et réduire les expressions suivantes : 21 Développer les expressions suivantes en utilia. 4 − 2x(3x + 5) c. (3x + 9)2

17 Calcul mental

b. (− 4 × 3x)(x × 9) d. (7x − 8)(4x − 6) + 10

Effectuer les calculs suivants sans calculatrice et en effectuant toutes les étapes intermédiaires mentalement. 1. Calculer 392 en développant (40 − 1)2. 2. Calculer de la même façon : a. 992 b. 292 c. 1952

sant les identités remarquables : b. (x − 3)2 a. (x + 6)2 2 c. (4 + 8x) d. (6 − 2x)2 e. (5 + 9x)(5 − 9x) f. (7 + 4x)(− 4x + 7)

22 Factoriser les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables : b. x2 + 2x + 1 a. 25 − x2 2 d. 4x2 − 12x + 9 c. 49x  − 100 f. 64 − 48x + 9x2 e. 16x2 − 16

62

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distributivité et les identités remarquables Je résous des problèmes simples

COMMUNIQUER

CALCULER

MODÉLISER

23 Associer chaque expression développée à l’ex- 27 Recopier et compléter le tableau suivant. S’il y a pression factorisée qui lui est égale. 3x2 − 11x + 10 • • (3x + 5)(x + 2) 2 3x  − 13x − 10 • • (x − 5)(3x + 2) 2 • (x + 5)(3x − 2) 3x  + 13x − 10 • 3x2 + 11x + 10 • • (3x − 5)(x − 2)

plusieurs possibilités, les donner. ×

− 24x − 40

12x2

28 Ces deux solides ont le même rayon pour leur R

• Choisir un nombre • Soustraire 2 • Multiplier le résultat par la somme du nombre choisi et de 3 • Ajouter 6 au résultat • Soustraire le carré du nombre choisi

E

h

R

h

R

Quel solide a le plus grand volume ?

IM

1. Selon Élie, on retrouve toujours le nombre de départ à la fin du programme. Faire le test en choisissant – 6 comme nombre de départ, puis refaire les calculs en prenant 4 7 comme nombre de départ. 2. Prouver que l’affirmation d’Élie est vraie.

N

disque de base et la même hauteur.

24 Voici un programme de calcul :

29 Les maths autour de moi

C

25 Calcul mental

E

Soit : A = 3 000 214 × 3 000 215 − 3 000 213 × 3 000 216.

P

1. Étienne n’a pas de calculatrice pour calculer A et il n’a pas vraiment envie de le faire à la main… Pour simplifier ce calcul, il a nommé N le nombre 3 000 215 et écrit l’égalité suivante : A = (N − 1) × N − (N − 2) × (N + 1) Justifier cette égalité. 2. Développer et réduire cette expression littérale, puis donner le résultat du calcul.

S

ble

3. a. Élodie a aussi utilisé une expression littérale pour simplifier le calcul, mais c’est 3 000 214 qu’elle a nommé x. Écrire l’expression littérale correspondant au calcul d’Élodie. b. Trouvera-t-elle le même résultat qu’Étienne ? 30

26 Voici le cahier de Samy : (2x + 5) × (

) = 6x2 + 33x + 45

Retrouver l’expression sous la tache.

L’énergie ’énergie liée à la vitesse est appelée « énergie cinétique ». Quand une voiture en percute une autre, l’énergie cinétique accumulée va contribuer aux dégâts en déformant la voiture. On peut calculer cette énergie E à l’aide de la formule : E = 1 mv2 2 avec E l’énergie cinétique exprimée en joule, m la masse en kilogramme et v la vitesse en mètre par seconde. 1. De combien augmente cette énergie si on double la vitesse ? 2. Exprimer, en fonction de m et de v, l’augmentation de l’énergie si on augmente la vitesse de 20 m/s.

TOP Chrono Vrai ou faux ? • Proposition 1 : « Pour tous les nombres a et b, on a l’égalité (a − b)(a + b)(a + b) = a3 − b3. » • Proposition 2 : « Pour tous les nombres a et b, on a l’égalité a2 = 4 + (a + 2)(a − 2). »

Chapitre 2 • Calcul littéral

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3 Je comprends

Prouver ou réfuter

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Prouver que la somme de deux nombres entiers consécutifs est un nombre impair. ÉTAPE 2

Je m’entraine Activités rapides

MODÉLISER

N

36 Voici un programme de calcul :

C

Vrai ou faux ? a. 8 + 4x = 12x b. 16x2 − 25 = (8x + 5)(8x − 5) c. (2x − 1)2 = 1 − 4x + 4x2 d. 9x2 + 4 + 12x = (3x + 2)2

32

RAISONNER

IM

31

CALCULER

On transforme cette écriture pour montrer qu’il s’agit d’un nombre impair : n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1 2n est un nombre pair, car c’est un multiple de 2. 2n + 1 est le nombre entier suivant, c’est donc un nombre impair.

E

ÉTAPE 1

On traduit l’énoncé en nommant n le premier nombre entier. Le nombre entier suivant n s’écrit donc n + 1. La somme des deux nombres entiers consécutifs s’écrit : n + (n + 1)

E

La somme de deux multiples de 3 est toujours un multiple de 3.

P

Mais non, la somme de deux multiples de 3 est toujours un multiple de 9 !

S

Dire si chacune de ces deux affirmations est vraie ou fausse. Donner une preuve.

33 La somme de deux nombres pairs est-elle tou-

jours paire  ? toujours impaire  ? parfois paire, parfois impaire ? Donner une preuve.

• Choisir un nombre à deux chiffres • Inverser les deux chiffres et faire la somme de ces deux nombres Le résultat est toujours un multiple de 11.

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Donner une preuve. Aide Un nombre à deux chiffres peut s’écrire a × 10 + b.

37 1. Prouver que, si on multiplie le côté d’un carré par 10, son aire sera 100 fois plus grande. 2. De combien augmentera l’aire d’un carré si on ajoute 10 cm à chacun de ses côtés ? Aide Exprimer cette augmentation en fonction de la longueur du côté du carré initial.

34 La somme de deux nombres impairs est-elle

toujours paire ? toujours impaire ? parfois paire, 38 Pour chacune des égalités suivantes, dire si elle est toujours vraie. Justifier la réponse en donparfois impaire ? Donner une preuve. nant une preuve. a. x2 = x 35 Démontrer que les égalités suivantes sont vraies b. (x + 3)2 + x2 = 2x2 + 6x + 9 pour n’importe quelles valeurs de a et b : c. (x − 1)(x − 2)(x − 4) = x3 − 5x2 + 8x − 4 a. (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) 2 2 d. 2x2 − 8x + 15 = 2(x − 2)2 + 7 b. 4ab = (a + b)  − (a − b) e. (x + 5)(x − 3) = (x + 1)2 − 16 c. (a + b)(a − b) + b2 = ab + a(a − b) 64

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un résultat général Je résous des problèmes simples 3

43 1. Calculer : Pour soustraire deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur.

2. Faire de même avec 1 − 1 , puis avec 1 − 1 . 3 4 6 7 3. Écrire cinq autres calculs du même type et les effectuer. 4. Trouver une technique qui permet d’obtenir facilement le résultat de 1 − 1 sans avoir à 10 11 faire tous les calculs. 5. Prouver que cette technique fonctionne quels que soient les nombres consécutifs choisis. En faisant la somme de trois nombres entiers consécutifs, j’ai obtenu 33.

a. 2 × 2 − 1 × 3 b. 3 × 3 − 2 × 4 c. 4 × 4 − 3 × 5 d. 8 × 8 − 7 × 9 2. Proposer trois autres calculs du même type, puis les effectuer. Quelle conjecture peut-on faire ? 3. Prouver cette conjecture.

44 Les maths autour de moi

C’est les soldes ! Avec sa carte de fidélité de Décasport, Max bénéficie d’une remise supplémentaire de 20 % par rapport au prix affiché en magasin. Il craque pour un skate soldé à 30 %. – Il dit  : «  Super, ça me fera une réduction de 50 % ! » – Sa mère lui répond : « Tu te trompes ! Fais les calculs et tu verras que tu n’auras que 44 % de réduction. » Qui a raison ? Donner une preuve.

IM

40 1.

MODÉLISER

N

2

RAISONNER

E

39 1. Calculer 1 − 1 .

COMMUNIQUER

Est-ce possible  ? Si oui, retrouver les trois nombres ; si non, expliquer. 2.

C

En faisant la somme de trois nombres entiers consécutifs, j’ai obtenu 37.

E

Est-ce possible  ? Si oui, retrouver les trois nombres ; si non, expliquer. 3. Quels sont les nombres que l’on peut obtenir en faisant la somme de trois nombres entiers consécutifs ? Donner une preuve.

P

41 Dire si chacune de ces deux propositions est vraie

côté pour faire son jardin potager. La mairie lui propose l’échange suivant : on raccourcit le côté [AD] du terrain d’une certaine longueur et on rallonge le côté [AB] de la même longueur, comme fait dans le dessin ci-dessous. Terrain initial A

Après transformation B

S

ou fausse, puis donner une preuve. • Proposition 1 : « La somme de quatre nombres entiers consécutifs est un multiple de 4. » • Proposition 2 : « La somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5. »

45 Papi Henri dispose d’un terrain carré de 15 m de

B

AB = 3x + 6 BC = 4x + 8 AC = 5x + 10 C

1. a. Faire la figure lorsque x = 0. b. Le triangle est-il rectangle ? Donner une preuve. 2. Le triangle ABC est-il toujours rectangle quelle que soit la valeur de x choisie ?

B

E

42 Soit le triangle ABC ci-dessous : A

A

D

C

D

F C

L’échange est-il équitable ?

46 TOP Chrono Les expressions : A  =  (2x  –  3)2 – 25 et B  =  (2x  +  2)(2x  –  8) sont-elles toujours égales ?

Chapitre 2 • Calcul littéral

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G

65

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Je fais le point sur mon cours

Corrigés page 279

B

C

9

−9

−6

23x − 12x2 − 10

12x2 − 7x − 10

− 12x2 + 7x + 10

(5x − 4)2

(5x − 8)(5x + 8)

(5x + 4)(5x − 4)

49x2 − 25 

49x2 − 70x + 25 

49x2 − 70x − 25 

(4x + 3) × x

12x3

47 Si x = − 3, alors − x2 vaut : 48 La forme développée

de (4x − 5)(2 − 3x) est :

49 Quelle est l’expression factorisée de 25x2 − 16 ?

50 La forme développée de (7x − 5)2 est :

N

A

7x3

51 L’expression 4x2 + 3x est égale à :

Corrigés page 279

IM

Je fais le point sur mes objectifs

E

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

54 Un fermier plante des pommiers en carré. Pour

Produire et utiliser une expression littérale 52 Douze ans après la

S

P

E

C

fonte de certains glaciers, on voit apparaitre sur les roches des lichens, plantes qui se développent en formant un cercle. La relation entre le diamètre de ce cercle et l’âge du lichen peut s’établir de façon approximative par la formule  : d = 7 × t − 12 , où d est le diamètre du lichen en millimètre et t . 12 le nombre d’années écoulées depuis la disparition de la glace. 1. En utilisant la formule, calculer le diamètre d’un lichen 16 ans après la disparition de la glace. 2. Anne a mesuré le diamètre d’un lichen et a trouvé 42 millimètres. Depuis combien d’années la glace a-t-elle disparu à l’endroit précis où Anne a trouvé le lichen ? Indiquer le calcul effectué.

les protéger du vent, il plante des conifères tout autour de son verger selon ce schéma :

D’après Pisa.

53 K est un nombre de la table de 6. 1. Écrire, en fonction de K, le nombre qui le suit dans la table de 6. 2. Écrire, en fonction de K, le nombre qui le précède dans la table de 6.

Trouver une formule qui donne le nombre de conifères à planter en fonction du nombre n de pommiers sur une rangée.

2

Connaitre et utiliser la double distributivité et les identités remarquables 55 1. Trier les douze expressions ci-dessous en met-

tant d’un côté les expressions factorisées, et de l’autre les expressions développées : (x + 3)2 x2 – 3x (x + 2)(x + 3) x(x – 3)

x2 – 9 (x – 3)2 x2 + 9 + 6x x2 + 5x + 6

x2 + 3x (x + 3)(x – 3) x(x + 3) x2 – 6x + 9

2. Associer chacune des expressions factorisées à l’expression développée qui lui est égale.

66

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Accompagnement personnalisé 56 Développer et réduire les expressions suivantes : 65 a. (3x + 2)(4x + 1)

b. (7 + 3x)(4x − 5) d.  3 x + 2 1 + 2x 4 3 5

(

c. (x + 6)(x + 6)

)(

Le carré d’un nombre pair est un multiple de 2.

)

57 1. Recopier et compléter le tableau suivant : × − 2x −3

Tu te trompes, c’est un multiple de 4.

−1

5x

Qui dit vrai ? Donner une preuve.

66 À l’aide d’un tableur, Johan a obtenu les résultats suivants :

N

2. Donner l’expression développée réduite de : (5x − 1)(− 2x − 3)

58 Développer et réduire les expressions suivantes : b. (6 − 3x)(7x – 5) d. (− 2 − 3x)(− 4 − 5x)

59 Développer et réduire les expressions suivantes : b. (x + 2)(x − 2) − (x + 3) d. (− 5 × 3x)(x × 4) f. (2x − 3)(5x − 6) + 8

1. Quelle formule a-t-il entrée dans la case B2 ? 2. Il affirme : « Le carré d’un nombre impair est un nombre impair. » Vrai ou faux ?

IM

a. 10 − 3x (4x + 1) c. (8 − x) − (2x + 4) e. (2x + 2)2

E

a. (x − 2)(3x + 1) c. (− x + 3)(x − 3)

60 Développer les expressions suivantes en utili-

C

sant les identités remarquables : b. (x − 5)2 a. (x + 3)2 2 c. (4 + 5x) d. (3 − 2x)2 e. (1 + 4x)(1 − 4x) f. (8 + 3x)(− 3x + 8)

61 Développer les expressions suivantes en utili-

P

E

sant les identités remarquables : b. (x − 9)2 a. (x + 5)2 c. (8 + 7x)2 d. (4 − 3x)2 e. (2 + 6x)(2 − 6x) f. (5 + 4x)(− 4x + 5)

62 Factoriser les expressions suivantes en utilisant

S

les identités remarquables : b. x2 + 6x + 9 a. 100 − x2 c. 36x2 − 25 d. 9x2 − 12x + 4 2 e. 49x − 49 f. 100 − 40x + 4x2

3

Prouver ou réfuter un résultat général 63 Prouver que la somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7.

64 Les expressions suivantes sont-elles égales  ? Donner une preuve. • A = (2x − 6)(4 − x) + 3x2 • B = (x + 5)2 − (1 − 4x)

67 1. Calculer :

a. 72 − 52 b. 552 − 532 c. 192 − 172 d. 112 − 92 2. La différence des carrés de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 8.

Vrai ou faux ? Donner une preuve.

68 Prouver que, si on choisit le même nombre de

départ, on obtient le même résultat final avec ces deux programmes. Programme A • Choisir un nombre • Ajouter 1 • Mettre au carré • Soustraire le carré du nombre de départ

Programme B • Choisir un nombre • Multiplier par 2 • Ajouter 1

69 Voici un programme de calcul : • Choisir un nombre entier positif • Mettre au carré • Ajouter 3 • Multiplier par 2 • Soustraire 6 • Diviser par 2

Raccourcir ce programme de calcul. Chapitre 2 • Calcul littéral

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67

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73 Prouver des résultats généraux

Objectifs 1 2 3

On liste les nombres entiers en partant de 1 :

70 Analyser une copie d’élève

Pour développer et réduire (3x + 5)2, Michael et Nicolas ont procédé de deux façons différentes. (3x + 5)2 = 3x2 + 2 × 3x × 5 + 52

Michael

= 3x2 + 30x + 25

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

= 9x2 + 30x + 25

74 Justifier des affirmations

IM

1. Les réponses de Michael et de Nicolas sontelles correctes ? Si oui, expliquer la stratégie utilisée. Si non, donner une preuve puis relever les erreurs éventuelles sur chacune des deux copies. 2. Si on ne fait pas d’erreurs de calcul, quelle est la stratégie la plus rapide ?

Sur cette liste, on déplace un cadre carré qui permet d’entourer neuf nombres. Puis on les additionne et on enlève 126 au résultat obtenu. Dans l’exemple ci-dessus, on a : 19 + 20 + 21 + 32 + 33 + 34 + 45 + 46 + 47 = 297, et 297 − 126 = 171. Prouver que l’on obtient toujours un multiple de 9 quels que soient les neuf nombres entourés.

N

= 9x2 + 15x + 15x + 25

Antoine propose ce jeu à sa sœur Zoé :

P

E

C

Pense à un nombre à deux chiffres. Multiplie ce nombre par 25. Au résultat, ajoute 426. Multiplie le total par 4. À ce résultat, ajoute le nombre entier formé par les trois premiers chiffres du nombre π. Puis retranche ton année de naissance. Tu trouves un nombre à quatre chiffres. Les deux premiers donnent le nombre que tu as choisi et les deux derniers donnent ton âge en 2018.

Faire le test, puis expliquer pourquoi ce programme de calcul donne toujours le résultat attendu.

S

72 S’engager dans une démarche scientifique

2.

3

E

Nicolas

= 3x × 3x + 3x × 5 + 5 × 3x + 5 × 5

1.

2

53 54 55 56 57 58 59 60 …

(3x + 5)2 = (3x + 5) × (3x + 5)

71 Mobiliser le calcul littéral pour démontrer

1

J’ai choisi deux nombres qui ont pour somme 250. Si j’augmente chacun des deux nombres de 6, de combien augmentera leur produit ? Expliquer.

J’ai choisi deux nombres qui ont pour somme 120. Si j’augmente chacun des deux nombres de 3, de combien augmentera leur produit ? Expliquer.

3. Inventer un problème du même type et proposer une solution.

1. Trouver deux nombres entiers x et y tels que x + y = x × y. 2. Vérifier que les nombres suivants vérifient cette propriété : a. x = 11 et y = 11 b. x = 12 et y = 12 7 4 3 9 7 7 et y = c. x = d. x = 8 et y = 8 4 3 3 5 3. Trouver cinq ou six couples de fractions qui ont la même propriété. 4. Expliquer comment faire pour en trouver davantage, puis apporter une preuve.

75 Établir une conjecture

DOMAINE 2 DU SOCLE

1. Calculer : a. 4 × 3 − 2 × 1 b. 6 × 5 − 4 × 3 c. 7 × 6 − 5 × 4 2. Écrire d’autres égalités du même type et effectuer les calculs. 3. Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.

76 Raisonner

DOMAINE 3 DU SOCLE

Un palindrome est un nombre qui se lit de la même façon à l’endroit et à l’envers. Exemple : 343 ou 123 321 sont des palindromes. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Les palindromes à quatre chiffres sont tous divisibles par 11.

68

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RAISONNER

REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

CALCULER

77 Mobiliser le calcul littéral pour démontrer 1. Vérifier les égalités suivantes : a. 12 + 1 = 22 − 2 b. 22 + 2 = 32 − 3 c. 72 + 7 = 82 − 8 2. Écrire une égalité du même type avec les nombres 42 et 43. 3. Établir une conjecture et la démontrer.

MODÉLISER

CHERCHER

80 Chercher des exemples ou des contre-exemples

Trouver une valeur de x pour laquelle l’expression 9x2 − 30x + 25 donne un résultat négatif. Si c’est impossible, donner une preuve.

81 Réfléchir sur un problème ouvert

78 Modéliser et prouver d. 552 h. 952

Aide Un nombre qui se termine par 5 peut s’écrire 10 × x + 5.

Retrouvons les tables de multiplication de 6, 7, 8 et 9 avec les doigts. Exemple : pour le produit 6 × 8, on enlève 5 à chacun des deux facteurs, puis on lève les doigts comme ci-dessous :

C

79 Comprendre un texte scientifique

82 Décomposer un problème en sous-problèmes

IM

2. Victor fait la proposition suivante : « Pour calculer mentalement le carré d’un nombre se terminant par 5, je fais le produit du nombre de dizaines par le nombre suivant ce nombre pour trouver le nombre de centaines et après j’ajoute 25.  » Vrai ou faux ? Donner une preuve.

Un cylindre et un cône ont le même rayon pour le disque de base mais ils n’ont pas forcément la même hauteur. Comment doit-on choisir la hauteur du cône et la hauteur du cylindre pour qu’ils aient le même volume ?

E

c. 352 g. 852

R

N

R

1. Calculer : b. 252 a. 152 e. 652 f. 752

Sur la notice d’un médicament, on peut lire :

P

E

Chez les enfants (12 mois à 17 ans), la posologie doit être établie en fonction de la surface corporelle du patient [voir formule de Mosteller].  […]  Une dose de charge unique de 70  mg par mètre carré (sans dépasser 70  mg par jour) devra être administrée.

S

Pour calculer la surface corporelle S en m², on utilise la formule de Mosteller : S =

Taille (en cm) × Masse (en kg) 3 600

Âge

Taille (en m)

Masse (en kg)

Dose administrée

Lou

5 ans

1,05

17,5

50 mg

Joey

15 ans

1,5

50

100 mg

Agathe

3 ans

0,9

14

Patient

1. La posologie a-t-elle été respectée pour Lou et pour Joey ? Justifier la réponse. 2. Quelle dose doit être administrée à Agathe ?

6 − 5 = 1, donc on lève un doigt de la main gauche. 8 − 5 = 3, donc on lève trois doigts de la main droite. – On lit les dizaines en faisant la somme des doigts levés : 1 + 3 = 4 dizaines. – On lit les unités en faisant le produit des doigts baissés : 2 × 4 = 8 unités. On obtient donc 6 × 8 = 48. 1. Tester cette technique avec 7 × 9, puis 6 × 7. 2. Nommer x et y les deux nombres multipliés. a. Écrire, en fonction de x, le nombre de doigts levés de la main gauche et le nombre de doigts baissés. b. Écrire, en fonction de y, le nombre de doigts levés de la main droite et le nombre de doigts baissés. 3. Prouver que cette technique fonctionnera toujours. Chapitre 2 • Calcul littéral

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69

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Dans les autres matières

84 Triangular numbers

1

3

6

Dans le jardin des grands-parents de Yoan, il y a un vieux puits. Yoan y jette une pierre et, en écoutant le bruit que fait la pierre en touchant le fond, il constate que le puits est vide. Il voudrait connaitre sa profondeur, pour cela il lance une autre pierre et chronomètre la durée de sa chute. Il trouve environ 1,2  s. 1. À l’aide de la formule suivante : H = 1 × 9,8t2 , 2 où H est la hauteur en mètre et t le temps en seconde, calculer la hauteur du puits. 2. Combien de temps la pierre aurait-elle mis pour tomber dans un puits de 12 m de profondeur ?

IM

1. What are the next five numbers in this sequence of triangular numbers ?

85 Le lancer de cailloux

N

Les mers et les océans recouvrent 71 % de la surface de la Terre. Pour calculer la surface d’une sphère, on utilise la formule : S = 4πr2, avec r le rayon de la sphère. 1. Calculer la surface de la Terre. 2. Calculer la surface occupée par les mers et les océans. 3. La France a une superficie de 640 679 km2. La superficie des mers et des océans est combien de fois plus grande que celle de la France ?

E

83 La belle bleue

E

C

2. Write down the term-to-term rule that describes the triangular number sequence. 3. Draw the next two diagrams in this sequence.

Enseignement Pratique Interdisciplinaire

P

Transition écologique et développement durable

Mathématiques & Physique & Technologie

Choisir un site pour un parc éolien

S

Pour choisir l’emplacement d’un parc éolien, on estime la vitesse moyenne du vent à un endroit donné, son orientation, sa régularité... Puis, en fonction des contraintes naturelles, il est nécessaire d’adapter le type d’éolienne choisi, notamment la dimension des pales. Enfin, il faut estimer la capacité de production de l’éolienne pour s’assurer de la viabilité économique du projet.

Projet

À partir de mesures de la vitesse du vent effectuées sur le terrain ou de relevés de Météo France, trouver le lieu le plus pertinent pour placer une éolienne construite au collège. Notions mathématiques : Utilisation d’une expression littérale • Moyenne • Conversion d’unités de vitesse 70

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ues

mathématiq

(x + 4)2

(x − 3)2

(x − 4)2

(2x + 1)2

(2x − 1)2

(x + 3)(x − 3)

(x + 4)(x − 4)

(2x + 1)(2x − 1)

x2 + 6x + 9

x2 + 8x + 16

x2 − 6x + 9

x2

− 8x + 16

4x2

+ 4x + 1

4x2

− 4x + 1

x2 − 9

x2 − 16

4x2 − 1

(2x + 3)2

(2x − 3)2

4x2 + 12x + 9

4x2 − 12x + 9

4x2 − 8x + 6

90 Un grand pas pour l’Homme… Contrairement à une idée répandue, le poids ne s’exprime pas en kilogramme mais en newton et il représente la force qu’exerce la planète sur le corps. La masse (m) et le poids (P) sont liés par la relation suivante : P = mg, où P est le poids en newton, m la masse en kilogramme de ce corps et g l’accélération de la pesanteur.

Place les nombres de 1 à 6 dans les cercles ou les carrés de façon à ce qu’en additionnant les nombres situés dans deux cercles consécutifs, on obtienne le nombre placé dans le carré entre les cercles.

S

P

E

87 Défi !

1. Effectuer les calculs ci-dessous en détaillant toutes les étapes : a. 1232 − 1222 − 1212 + 1202 b. 122 − 112 − 102 + 92 c. 452 − 442 − 432 + 422 2. Écrire trois calculs sur le même modèle et les effectuer. 3. Quelle conjecture peut-on faire ? 4. Écrire une expression littérale correspondant à ce type de calcul. 5. Développer et réduire cette expression pour démontrer la conjecture proposée.

IM

(x + 3)2

89 Curiosité

N

Le jeu se joue à 3 joueurs, toutes les cartes sont distribuées en début de partie. Règle du jeu : le joueur dont c’est le tour pioche une carte de son choix dans le jeu du joueur précédent. Puis, s’il peut associer deux cartes qui présentent des expressions égales, il les pose. Le vainqueur est celui qui a posé toutes ses cartes. Matériel : recopier, puis découper ces cartes.

E

Le mistigri

C

86

à la maison

88 Énigme a2 – b2 = 1 475 et a – b = 25. Trouver les nombres a et b.

1. Sachant que P = mg, quelles sont les égalités qui sont vraies ? g b. g = m c. m = a. m = P g P P P d. m = Pg f. g = Pm e. g = m 2. a. Sur la Terre, l’accélération de la pesanteur vaut environ 9,8. Calculer le poids sur Terre d’un homme ayant une masse de 70 kg. b. Sur la Lune, l’accélération de la pesanteur vaut 1,7. Calculer le poids sur la Lune de cet homme. 3. Est-il vrai que l’on pèse environ 5,5 fois moins sur la Lune que sur Terre ? Donner une preuve. Chapitre 2 • Calcul littéral

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71

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Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

Un cube Utiliser un tableur pour tester une conjecture.

30’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

E

N

1 Reproduire le tableau ci-dessous :

IM

2 Entrer un nombre entier dans la cellule A2, puis saisir une formule dans la cellule B2 qui permettra d’afficher le nombre précédant celui de la cellule A2. Tableur 1 3 Saisir une formule dans la cellule C2 qui permettra d’afficher le nombre suivant celui de la cellule A2. 4 Saisir une formule dans la cellule D2 qui permettra d’afficher la somme du produit des nombres écrits dans les cellules A2, B2, C2 et du nombre écrit dans la cellule A2. Tableur 1

Nombres et chiffres

E

2

C

5 Abdel dit : « On trouve toujours dans la cellule D2 le cube du nombre écrit dans la cellule A2. » a. Vérifier cette affirmation sur quelques exemples. b. Démontrer que cette affirmation est toujours vraie.

Utiliser le tableur pour établir et prouver une conjecture. Difficulté mathématique

Difficulté technique

Voici un programme de calcul :

• Choisir un nombre à deux chiffres • Soustraire à ce nombre la somme de ses deux chiffres

P

35’

S

1 a. Ouvrir une feuille de calcul d’un tableur et créer, dans la colonne A, la liste des nombres entiers supérieurs à 10 jusqu’à 99 inclus. Tableur 3

b. Saisir une formule dans la cellule B2 qui permettra d’afficher le chiffre des dizaines du nombre affiché en A2. Tableur 1

Aide On pourra utiliser la fonction ENT() du tableur.

2 Saisir une formule dans la cellule C2 qui permettra d’afficher le chiffre des unités du nombre affiché en A2. 3 a. Saisir une formule dans la cellule D2 qui permettra d’afficher le résultat du programme de calcul appliqué au nombre affiché en A2. Tableur 2 b. En observant cette dernière colonne, émettre une conjecture. 4 Prouver que cette conjecture est toujours vraie. 72

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3

Caravane de chameaux Utiliser un tableur pour résoudre un problème ouvert.

50’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

Nouveau format 55 x 33 271 dpi actuellem ent

Une caravane de Touaregs transporte des sacs de sel. Au cours de son périple, elle devra s’arrêter dans 42 oasis. Dans chacune d’elles, les Touaregs devront donner 2% de leur chargement en taxes de séjour et échanger 6 sacs de sel contre de la nourriture. Combien de sac doivent-ils prendre au départ pour arriver avec au moins la moitié de leur chargement initial ? Tableur 3

2 Entrer un nombre dans la cellule B1 qui correspond au nombre de sacs de sel que les Touaregs ont pris au départ de leur voyage.

E

3 Saisir une formule dans la cellule B2 qui permettra de calculer la quantité de sel restant aux Touaregs après le premier arrêt, puis la copier dans les cellules de la colonne B. Tableur 1 et 2

N

1 Ouvrir une feuille de calcul, puis recopier le tableau ci-contre.

ALGO

Créer un programme qui demande la masse en kilogramme et la taille en mètre pour calculer la valeur de l’IMC. Difficulté mathématique

Difficulté technique

E

50’

Masse et santé

C

4

IM

4 Combien de sacs les Touaregs doivent-ils prendre au départ ?

P

L’indice de masse corporelle, IMC, est un indice créé par l’Organisation Mondiale de la Santé pour évaluer et prévenir les risques de santé liés à la maigreur ou au surpoids. Il se calcule de la façon suivante : IMC = M2 , avec M la masse en kilogramme

T

S

et T la taille en mètre. Le tableau ci-contre permet d’interpréter les valeurs d’IMC.

Dans le logiciel Scratch

IMC (kg/m2) moins de 16,5 16,5 à 18,5 18,5 à 25 25 à 30 30 à 35 35 à 40 plus de 40

Interprétation dénutrition ou famine maigreur corpulence normale surpoids obésité modérée obésité sévère obésité morbide ou massive Source : Wikipédia

1 Dans un programme, créer une variable nommée « Masse ». 2 Demander « Quelle est votre masse en kilogramme ? » et stocker la réponse dans la variable « Masse ». Aide Utiliser

et

3 Faire de même pour demander la taille en mètre et stocker la réponse dans une variable. 4 Terminer le programme de façon à ce que le chat réponde : « Votre Aide IMC est de... ». Utiliser plusieurs 5 Améliorer le programme de façon à ce que le chat réponde en donnant directement l’interprétation de l’IMC calculé. Chapitre 2 • Calcul littéral

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73

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La déclaration mission du chapitre d’impôts00 Après avoir calculé les impôts des deux familles, discuter la pertinence de cette affirmation : « C’est injuste ! Cette année, j’ai gagné un peu plus, donc j’ai sauté une tranche d’impôt et je vais payer beaucoup plus d’impôts ! »

1

DOC

2

Le revenu net global imposable (R)

DOC

3

Pour faire sa déclaration, on doit aussi déterminer le nombre de parts (N). Chaque adulte du foyer compte pour une part. Les deux premières personnes à charge (enfants, personnes âgées, personnes handicapées...) comptent pour une demi-part, les suivantes comptent pour une part.

Barème 2014 (déclaration 2015)

Le revenu imposable Q se calcule avec le quotient : Q = R N

4

Les familles

Montant de l’impôt brut à payer 0 €

C

Q , 9 690 €

DOC

IM

Dans une déclaration « classique » d’impôt sur le revenu, on déduit 10 % de toutes les sommes perçues pendant l’année. Ensuite, on doit retrancher de ce revenu brut global les éventuelles charges déductibles comme les pensions alimentaires versées. On obtient alors le revenu net global imposable (R).

Les parts (N)

N

DOC

E

1

9 690 € , Q < 26 764 €

R × 0,14 − 1 356,6 × N

26 764 € , Q < 71 754 €

R × 0,3 − 5 638,84 × N

E

71 754 € , Q < 151 956 € R × 0,41 − 13 531,78 × N

S

P

Q . 151 956 € R × 0,45 − 19 610,02 × N

2

Les problèmes DUDU Dans cette vidéo, un DUDU dit à l’autre qu’il est un vrai « boss » en calcul mental, l’autre ne le croit pas. Peux-tu les aider ?

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr 74

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E IM

E

C

Avant d’ouvrir un magasin, il faut réaliser un business plan en calculant le seuil de rentabilité des produits que l’on veut vendre. Ce seuil représente la quantité de produit à vendre pour pouvoir gagner de l’argent. Comment le calcule-t-on ? Tu le sauras en fin de chapitre, p. 96, quand tu joueras au chef d’entreprise.

N

3

S

P

Équations et inéquations

Attendu de fin de cycle

OBJECTIFS

Utiliser le calcul littéral

Avant de commencer ce chapitre, fais le point sur tes connaissances sur www.bordas-myriade.fr. le site www.bordas-myriade.fr.

1

Résoudre une équation

2

Résoudre des problèmes se ramenant au 1er degré

3

Propriétés des inégalités

4

Résoudre une inéquation 75

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Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

Résoudre une équation

OBJECTIF

1

1 a. Premier défi : trouver le nombre à choisir

Voici deux programmes de calcul :

au départ pour obtenir 80 comme résultat final avec le Programme n° 1.

Programme nº 1 • Choisir un nombre • Multiplier par 3 • Ajouter 25 • Multiplier par 2

N

b. Deuxième défi : trouver le nombre à choisir au départ pour obtenir 80 comme résultat final avec le Programme n° 2.

Programme nº 2 • Choisir un nombre • Ajouter 10 • Multiplier par 11 • Ajouter 3

c. Troisième défi : trouver le nombre à choisir au départ pour obtenir comme résultat final le même nombre avec le Programme n° 1 et le Programme n° 2.

E

Acti

é vit

2 a. Pour résoudre les équations, un mathématicien arabe du ixe siècle, al-Khwarizmi, a trouvé

IM

une méthode qui s’appuie sur deux règles.

Règle n° 1 : on ne change pas les solutions d’une équation si on ajoute ou si on soustrait le même nombre à chacun des deux membres de l’équation. Règle n° 2 : on ne change pas les solutions d’une équation si on multiplie ou si on divise chacun des deux membres par un même nombre non nul.

P

E

C

Avec cette méthode, il essaie d’obtenir 80 avec le programme de calcul ci-dessous (le n° 3) :

La réponse proposée par al-Khwarizmi est-elle correcte ? b. Résoudre le troisième défi de la question 1.c en utilisant une équation.

Acti

S

é vit

2

Résoudre une équation-produit nul

Voici un programme de calcul : Ajouter 3 et multiplier par 4

OBJECTIF

2

Choisir un nombre Multiplier les deux résultats

Multiplier par 3 et soustraire 2

Écrire le résultat

1 Quels nombres doit-on choisir au départ pour obtenir 0 à la fin de ce programme de calcul ? 2 Juliette a utilisé une équation pour résoudre ce problème en nommant N le nombre de départ. a. Écrire l’équation de Juliette, puis essayer de la résoudre. b. Écrire un texte qui explique comment on peut résoudre une équation-produit nul. 76

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Acti

é vit

3

Propriétés des inégalités

OBJECTIF

3

1 Mohamed dit : « Pour comparer deux nombres, je regarde le signe de leur différence ».

Dans ce tableau se trouvent des nombres et leur différence. Comparer les deux nombres, puis écrire un texte qui explique de façon détaillée la technique de Mohamed. a

b

Différence a − b

521

36

521 − 36 = 485

− 75

− 19

− 75 − (− 19) = − 56

52 π 27 183

163 19,6 175

52 π − 163 ≈ 0,36 27 − 19,6 = 271 183 175 7 625

E

N

Comparaison de a et b

2

Aide Trouver le signe de la différence.

IM

Quels que soient les nombres a, b et c que je choisisse, si a , b, alors a + c , b + c.

Vrai ou faux ? Donner une preuve.

3

Quels que soient les nombres a, b et c que je choisisse, si a , b, alors ac , bc.

C

Vrai ou faux ? Donner une preuve.

4

Résoudre une inéquation

OBJECTIF

E

Acti

é vit

4

S

P

Florian et trois amis partent 15 jours en vacances à La Réunion. Ils souhaitent louer une voiture pour se déplacer et les agences de location leur proposent différentes formules : formule 1 : 25 € par jour de location et 0,75 € par kilomètre parcouru ; formule 2 : 43 € par jour de location et 0,22 € par kilomètre parcouru ; formule 3 : 37 € par jour de location et 0,32 € par kilomètre parcouru.

1 Trouver la formule la moins chère en fonction du nombre de kilomètres parcourus.  2 Pour résoudre ce problème, Florian a écrit l’inéquation suivante :

25 × 15 + 0,75 × x > 43 × 15 + 0,22 × x a. Que représente x dans cette inéquation ? Que permet de comparer cette inéquation ? b. Résoudre cette inéquation en utilisant les propriétés des inégalités.

3 Comparer les prix des trois formules à l’aide d’inéquations, puis répondre précisément au problème posé.

Chapitre 3 • Équations et inéquations

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77

05/04/2016 17:46


1

Équations du 1er degré à une inconnue

OBJECTIF

1

On ne change pas les solutions d’une équation si : – on développe, on réduit, on factorise chacun des deux membres de l’équation ; – on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l’équation ; – on multiplie ou on divise les deux membres de l’équation par un même nombre non nul.

PROPRIÉTÉS

N

Exemple Résoudre l’équation 6x + 5 = (3 − x) × 4. Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés précédentes pour isoler l’inconnue dans un membre de l’équation. On développe et on réduit les deux membres de l’équation.

6x + 5 + 4x = 12 − 4x + 4x 10x + 5 = 12

On ajoute 4x aux deux membres de l’équation, puis on réduit chacun de ces membres.

10x + 5 − 5 = 12 − 5 10x = 7 10x 7 = 10 10 x = 0,7

On soustrait 5 aux deux membres de l’équation, puis on réduit chacun de ces membres.

IM

E

6x + 5 = (3 − x) × 4 6x + 5 = 12 − 4x

On divise les deux membres par 10. L’équation n’a qu’une seule solution.

Équations-produit nul

E

2

C

Cette équation est du 1er degré parce qu’il n’y a pas de termes en x2, en x3, etc.

2

Dire qu’un produit est nul signifie que l’un de ses facteurs est nul.

P

PROPRIÉTÉ

OBJECTIF

Remarque

S

On utilise cette propriété et la distributivité (notamment les identités remarquables) pour résoudre des équations dont le degré est supérieur ou égal à 2.

Une équation est de degré 2 si elle comporte des termes en x2.

Exemple Résoudre (5x + 1) (3 − 2x) = 0. Grâce à la propriété ci-dessus, on peut dire que si (5x + 1) (3 − 2x) = 0, alors soit 5x + 1 = 0, soit 3 − 2x = 0. Cette équation a donc deux solutions. • Première solution • Deuxième solution 5x + 1 = 0 3 − 2x = 0 5x = − 1 3 = 2x x = − 0,2 1,5 = x L’équation (5x + 1)(3 − 2x) = 0 a deux solutions : –0,2 et 1,5. 78

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3

Inégalités

OBJECTIF

3

A Notations et définition a , b signifie que a est strictement inférieur à b. a < b signifie que a est inférieur ou égal à b. DÉFINITION

Quels que soient les nombres a et b, on dit que a , b si b − a est positif.

B Inégalités et opérations

Exemples 7 , 15, donc 7 + 10 , 15 + 10.

4

5 < 6, donc 5 × 2 < 6 × 2. 6 6 , 21, donc . 21 . −3 −3

IM

7 , 15, donc 7 − 10 , 15 − 10.

N

Quels que soient les nombres a, b et c (c ≠ 0), si a , b, alors :  a + c , b + c  si c . 0, alors ac , bc et a , b c c a  a − c , b − c  si c , 0, alors ac . bc et . b c c

E

PROPRIÉTÉ

Inéquations

Remarque L’inégalité change de sens car –3 , 0.

OBJECTIF

4

Une inéquation est une inégalité dans laquelle figurent des nombres inconnus désignés par des lettres. Les solutions d’une inéquation sont les valeurs que l’on peut attribuer aux lettres pour que l’inégalité soit vraie. Résoudre une inéquation, c’est en trouver toutes les solutions.

C

DÉFINITION

On ne change pas les solutions d’une inéquation si : – on développe, on réduit ou on factorise chacun des deux membres de l’inéquation ; – on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l’inéquation ; – on multiplie ou on divise les deux membres de l’inéquation par un même nombre positif non nul ; – on multiplie ou on divise les deux membres de l’inéquation par un même nombre négatif non nul à condition de changer le sens du signe de l’inéquation.

S

P

E

PROPRIÉTÉ

Exemple Résoudre l’inéquation 8 × (x + 2) ˘ 9 + 10x. 8 × (x + 2) ˘ 9 + 10x 8x + 16 ˘ 9 + 10x 8x + 16 − 10x ˘ 9 + 10x − 10x − 2x + 16 ˘ 9 − 2x + 16 − 16 ˘ 9 − 16 − 2x ˘ − 7 − 2x − 7 < −2 −2

On développe et on réduit les deux membres de l’inéquation. On soustrait 10x aux deux membres de l’inéquation, puis on réduit chaque membre. On soustrait 16 aux deux membres de l’inéquation, puis on réduit chaque membre. On divise les deux membres par –2. Comme c’est un nombre négatif, on change le sens de l’inéquation.

x < 3,5 L’inéquation a une infinité de solutions : tous les nombres inférieurs ou égaux à 3,5 sont des solutions. Chapitre 3 • Équations et inéquations

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79

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1 Je comprends

Résoudre

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

ÉTAPE 3

ÉTAPE 1

ÉTAPE 2

IM

On isole le terme qui contient l’inconnue. On soustrait 17 à chacun des membres : 17 − 9x − 17 = 22 − 17. On réduit les membres : − 9x = 5.

Je m’entraine Activités rapides

CALCULER

C

1

P

E

a. Résoudre mentalement 2x + 5 = 13. b. Résoudre mentalement 3x − 7 = 11. c. 5x + 2 = 3x + 11 a les mêmes solutions que 2x = … . d. Compléter l’équation 3x + 7 = 5x − … pour que le nombre 6 en soit solution.

2 Résoudre mentalement les équations d’incon-

S

nue x suivantes : a. x + 5 = 12 c. x − 7 = 5

b. x + 8 = 3 d. x − 2 = − 9

3 Résoudre mentalement les équations d’inconnue y suivantes : a. 5y = 35 c. − 3y = 36

ÉTAPE 4

On conclut. L’équation obtenue est facile à résoudre, sa solution est − 5 . 9 La solution de l’équation 17 − 5x = 22 + 4x est − 5 . 9

E

On fait disparaitre dans un des deux membres le terme contenant l’inconnue. Pour cela, on soustrait 4x à chacun des membres : 17 − 5x − 4x = 22 + 4x − 4x. On réduit les membres obtenus : 17 − 9x = 22.

On isole l’inconnue. On divise chacun des membres par − 9. −9 × x 5 = −9 −9 On réduit les membres : x = − 5 . 9

N

Résoudre l’équation 17 − 5x = 22 + 4x.

b. 4y = 32 d. − 7y = − 63

4 On veut résoudre l’équation 3x + 2 = 11.

1. Écrire une équation de la forme « 3x = … » qui a les mêmes solutions que l’équation 3x + 2 = 11. Expliquer l’action effectuée. 2. En déduire la solution de l’équation 3x + 2 = 11 sous la forme «  x = …  ». Expliquer l’action effectuée.

5 On veut résoudre l’équation 5x − 3 = 2x + 6. 1. Écrire une équation dont un seul des membres contient l’inconnue x et qui a les mêmes solutions que l’équation 5x − 3 = 2x + 6. Expliquer l’action effectuée. 2. En déduire la solution de l’équation 5x − 3 = 2x + 6 sous la forme « x = … ». Expliquer les actions effectuées.

6 Résoudre les équations d’inconnue x suivantes : a. 7x + 17 = 9x + 29 c. 8x + 26 = 5x + 14

b. 4x + 15 = 7x + 24 d. 23x + 31 = 16x +17

7 Résoudre les équations d’inconnue x suivantes : a. − 2x + 7 = − x + 9 c. − 7x − 12 = 8x + 3

b. 4x − 21 = 7x − 9 d. 7x + 13 = − 3x − 7

8 Résoudre les équations d’inconnue a suivantes : a. 7a − 8 = 3a + 7 c. 3a − 4 = − 5a − 8

b. − 2a + 3 = 14a − 1 d. 7a − 6 = 9a − 11

9 Résoudre les équations d’inconnue b suivantes : a. 17b − 6 = 9b − 11 c. 2b − 1 = − 13b + 5

b. − 3b + 4 = − 7b + 11 d. − 9b + 13 = 15b − 5

80

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une équation Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

REPRÉSENTER

10 Antoine a résolu une équation sur son cahier, mais 15 Les maths autour de moi son professeur pense qu’il a commis une erreur. Aider Antoine à trouver son erreur. Je résous l'équation d'inconnue x : 4x + 3 = − 5 4x + 3 − 3 = − 5

N

4x = − 5 4x − 5 = 4 4 x = − 1,25

Rémy, Lassana et Thomas ont acheté des jeux vidéos d’occasion qui coutent tous le même prix. Rémy en a acheté cinq, Lassana en a acheté trois de plus que Rémy et Thomas en a acheté pour 203 €. À eux trois, ils ont dépensé 580 € en jeux vidéos dans ce magasin. Quel est le prix d’un jeu ? 1. Mettre ce problème en équation. 2. Résoudre cette équation. 3. Mathieu a dépensé 87 € en jeux vidéos dans ce magasin. Combien en a-t-il acheté ?

E

11 Vrai ou faux ?

IM

Les équations 8x + 7 = 3x + 22 et 9x − 4 = 2x + 17 ont les mêmes solutions.

Justifier la réponse.

12 Voici quatre équations :

2x + 17 = 5x + 2

9 = 7x − 19 Quel est l’intrus ?

9x − 3 = 7x + 5

C

3x − 7 = 5

2x + 5

16 Le rectangle ci-contre a

13 Karen veut acheter des DVD qui coutent tous le

pour largeur x m et pour longueur (2x + 5) m.

x

1. Exprimer son périmètre, en mètre, en fonction de x. 2. Quelles sont les dimensions de ce rectangle quand son périmètre est égal à 31 m ?

S

P

E

même prix. Elle remarque que si elle en achète trois, il lui restera 25 €, mais il lui manque 11 € 17 Sachant que, dans chaque bulle, il ne peut y pour en acheter cinq. avoir qu’un seul nombre, recopier et complé1. On désigne par x le prix d’un DVD. Quelle équater ce schéma. tion correspond au problème ? ×5 +3 • 3x − 25 = 5x + 11 • 3x + 25 = 5x − 11 • 3x − 5x = 25 − 11 • 3x + 25 = 5x + 11 2. Trouver le prix d’un DVD.

14 Mélanie possède une

−7

2,4 cm

16,1 cm

boite carrée où elle range du matériel pour fabriquer des colliers. Elle aimerait construire, à l’intérieur de cette boite, 14 cases carrées identiques pour ranger des perles par couleurs. Elle aimerait aussi que sa boite respecte les dimensions indiquées sur le schéma ci-dessus. Quelle est la longueur du côté d’une case carrée ? D’après IREM Poitiers.

×2

18 TOP Chrono Emma part en ville acheter des cartes Majik pour sa collection. Si elle achète 17 cartes, il lui restera 0,15 €. En revanche, il lui manquera 0,45 € pour acheter 18 cartes. 1. Quel est le prix d’une carte ? 2. Avec quelle somme d’argent Emma est-elle partie ?

Chapitre 3 • Équations et inéquations

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81

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2 Je comprends

Résoudre des problèmes

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

2. Résoudre l'équation 4x2 + 6 = 106 + 3x2. 1. ÉTAPE 1 On reconnait une équation-produit nul. Un produit est nul quand l’un de ses facteurs est nul. Il y a donc deux possibilités ici : 4x − 2 = 0  ou 3 − x = 0

IM

ÉTAPE 3

On conclut. Il y a deux solutions : x = 3 et x = 0,5.

P

E

Factoriser mentalement les expressions suivantes : b. 25 − 4x2 a. x2 − 100 d. 64 − x2 c. 9x2 − 49

20 Résoudre les équations-produits suivantes :

S

a. (2x + 1)(4x − 1) = 0 b. (2x − 9)(− x − 2) = 0 c. (3x − 5)(8 − 2x) = 0 d. (10 − 4x) × 7 = 0

21 Résoudre les équations suivantes :

a. (x + 3) + (x − 4) = 0 b. 2x2 − 5x = 0 c. (x + 1)(x − 5) = 0 d. 4x2 − 5 = 2x(3 + 2x) e. (x + 1)(x + 2) = 2 f. (3x − 5)2 = 0

22 Résoudre les équations suivantes : a. 4(2 − x) + 5 = −3(2x + 3) − 12 b. 3x + 1 = 5x − 2 4 5 x 5 1 c. + = −x 3 6 2 d. x − (x + 1) = (x + 3) − (x − 3)

ÉTAPE 3

On résout l’équation-produit nul. Il y a deux solutions : x = 10 et x = −10.

CALCULER

C

Activités rapides

On factorise le membre de gauche pour faire apparaitre un produit. Ici, on reconnait l’identité remarquable : a2 − b2 = (a + b)(a − b). On a donc : x2 − 100 = 0 (x + 10)(x − 10) = 0.

E

On résout ces deux équations. 4x − 2 = 0 3− x = 0 4x = 2 x =3 x = 0,5

19

ÉTAPE 1

On la transforme pour avoir 0 dans l’un des deux membres. 4x2 + 6 = 106 + 3x2 2 4x + 6 − 3x2 − 106 = 106 + 3x2 − 3x2 − 106 x2 − 100 = 0 ÉTAPE 2

ÉTAPE 2

Je m’entraine

2. Cette équation est de degré 2 et n’est pas une équation-produit.

N

1. Résoudre l'équation (4x + 2)(3 − x) = 0 .

23 1. Imaginer un problème dont la solution serait donnée par l’équation 5x + 6 = 7x − 3. 2. Résoudre ce problème.

24 Dans chacun des cas suivants, factoriser le membre de gauche à l’aide d’une identité remarquable, puis résoudre l’équation obtenue. b. 1 + 8x + 16x2 = 0 a. x2 + 6x + 9 = 0

c. x2 − 2x + 1 = 0 e. 25x2 − 9 = 0

d. x2 − 16 = 0 f. 9x2 − 100 = 0

25 Résoudre les équations suivantes : a. (3x + 1) − (4x − 2) = 0 c. (4x + 3)(2 − 3x) = 6

b. 3x2 − 4x = 0 d. 4 + x = 2x − 9 8 3

26 1. Écrire trois équations du premier degré à une

inconnue qui ont 10 comme solution. 2. Écrire une équation à deux inconnues, x et y, qui a comme solution x = 8 et y = 12 . Vocabulaire 3. Écrire une équation du Une équation du second degré second degré à une incond’inconnue x contient un terme en x2. nue qui a 1 comme solution.

82

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se ramenant au 1er degré Je résous des problèmes simples a+b

chaque nombre est obtenu en faisant la somme des deux nombres a b situés en dessous de lui. Pour chacune des pyramides suivantes, trouver les nombres manquants. a. b. c. 129 22 21 5

4

11 21

12

1

4

CHERCHER

à avoir été impératrice de Chine, elle l’a été de 690 à 705. Pour s’entourer des meilleurs conseillers, la légende dit qu’elle avait pour habitude de choisir celui qui résoudrait le premier un problème de son choix. En voici un :

3

A

C H

C

D 15 G

E

IM

J’ai dessiné un carré ABCD, je l’ai transformé en rectangle en ajoutant 27 cm aux côtés [AB] et [CD], et en enlevant 15 cm aux côtés [AD] et [BC]. J’ai obtenu un rectangle qui a la même aire que le carré de départ.

B 27 F

32 1.

E

P

de 216 lorsque l’on diminue chacun des nombres de trois unités. Quels sont ces nombres ?

30 Hier soir, le Kawa Théâtre était plein à craquer

S

pour la représentation de la pièce 12 hommes en colère. 87 entrées ont été vendues pour une recette totale de 639 €.

Trouve a tel que a + b + c = 80 et a = b + c.

2.

Trouve a et b tels que a = 5b et a + b = 42.

3.

Trouve a et b tels que b + 8 = a et 5a = 30.

Quelle est la mesure du côté du carré de départ ?

29 Le produit de deux nombres consécutifs diminue

REPRÉSENTER

31 Wu Zetian est la seule femme

D’après Petit x.

28

MODÉLISER

N

27 Dans les pyramides ci-dessous,

RAISONNER

33 Les maths autour de moi Pendant les soldes, j’ai acheté un casque MP3 soldé à 30 %. Je l’ai payé 28 €. Combien valait le casque avant la réduction ?

34 TOP Chrono

Combien d’entrées à tarif réduit ont été vendues ?

Une délégation européenne va être envoyée à une conférence sur le climat. Elle sera composée de 75 personnes, parmi lesquelles il y aura 2 fois plus d’Italiens que d’Allemands, et 3 Allemands de moins que de Français. Calculer le nombre de représentants de chaque pays.

Chapitre 3 • Équations et inéquations

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83

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3 Je comprends

Propriétés

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Sachant que −5 , x ¯ 3, encadrer le plus précisément possible −2x + 1. ÉTAPE 1

ÉTAPE 3

ÉTAPE 2

On traite l’inégalité −5 , x pour faire apparaitre −2x + 1. −5 × (−2) . x × (−2)

Je m’entraine Activités rapides

CALCULER

C

35

E

Vrai ou faux ? a. Si x , 27, alors x ¯ 29. b. Si x ˘ 8 , alors x . 8. c. Si x . 8, alors x ˘ 8.

P

d. Si x . 9, alors −2x . − 18.

36 Dans chacun des cas suivants, trouver cinq nom-

S

bres qui vérifient les conditions attendues : a. x , −7  b. 0 , x , 8  c. x .12  d. 10 ˘ x .6  e. 3,1 ¯ x ¯ 3,2

37 Comparer les nombres suivants : a. −7,48 et − 38 5 b. 84,823 et 27π c. π et 104 348 33 215 13 860 33 461 d. et 33 461 80 782

ÉTAPE 5

On conclut. On a donc −5 ¯ 2x + 1 , 11.

IM

10 . − 2x 10 + 1. − 2x + 1 11. − 2x + 1

ÉTAPE 4

On fait une synthèse des deux inégalités. −2x + 1  doit être supérieur ou égal à – 5 et strictement inférieur à 11.

E

Comme on multiplie par un nombre négatif, il faut changer le sens de l’inégalité.

On traite l’autre inégalité x ¯ 3 pour faire apparaitre −2x + 1. x × (−2) ˘ 3 × (−2) −2x ˘ −6 −2x + 1 ˘ −6 + 1 −2x + 1 ˘ −5

N

Il est difficile de traiter les deux inégalités à la fois, il faut donc les séparer. −5 , x ¯ 3 signifie que −5 , x et que x ¯ 3.

REPRÉSENTER

38 Associer les inégalités équivalentes : n − 5 , 8

n,3

n , 13

n + 8 , 5

n + 5 , 8

n , –3

n − 5 , –8

n − 8 , 5

39 Associer les inégalités équivalentes : –5n , 20

n,4

n , 25

5n , 20

5n , –20

–5n , –20

n . –4

n.4

n . 25

n , –4

40 Sachant que −4 , a ¯ 5, proposer l’encadrement le plus précis possible pour : a. a + 3 b. a − 7 c. 6a

d. −2a

41 Représenter chacune des inégalités suivantes sur un axe gradué, comme dans l’exemple ci-dessous : 0

1

2

3

4

5

On prendra 1 cm pour 1 unité. a. x , −3 b. x ˘ 2,6 c. −4,5 , x , 2 d. 3 ˘ x ˘ 0,25

84

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des inégalités Je résous des problèmes simples

MODÉLISER CALCULER

COMMUNIQUER MODÉLISER

46 Les acrobates du cirque Panda réalisent des tours

N

extraordinaires. Voici trois dessins de Pierre, Julie, Igor et Florence sur une balançoire :

1. Qui est le plus léger ? Qui est le plus lourd ? 2. Si possible, classer les quatre acrobates du plus léger au plus lourd. Si c’est impossible, donner une preuve.

47 Les maths autour de moi

IM

concourent par catégories : • moins de 48 kg : poids mi-mouches ; • entre 48 et 51 kg : poids mouches ; • entre 51 et 54 kg : poids coqs ; • entre 54 et 57 kg : poids plumes ; • entre 57 et 60 kg : poids légers ; • entre 60 et 64 kg : poids superlégers ; • entre 64 et 69 kg : poids welters ; • entre 69 et 75 kg : poids moyens ; • entre 75 et 81 kg : poids mi-lourds ; • entre 81 et 91 kg : poids lourds ; • plus de 91 kg : poids superlourds. Traduire ces catégories à l’aide des signes ˘ , <, . et , en notant M la masse du boxeur.

COMMUNIQUER CHERCHER

E

42 Aux Jeux olympiques, les boxeurs

RAISONNER

43 Dans chaque cas, trouver tous les entiers relatifs notés x qui vérifient les deux conditions suivantes : a. x ˘ 19 et x , 52 32 ; b. −7 , x , 5 et −3 ¯ x ¯ 8.

C

44 Pour chacune des propositions suivantes, dire

E

si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. a. « Quel que soit le nombre x que je choisisse, si x ˘ 19 , alors x ˘ 21 ». b. « Quel que soit le nombre x que je choisisse, si x .7 , alors x ˘ 7 ». c. « Si x , −11, alors −2x + 3 , −19. »

P

45 Dans ce tableau se trouvent des nombres entiers.

S

Sous chaque est caché un chiffre. Recopier et compléter le tableau en cochant les bonnes cases et en justifiant chaque réponse. L'inégalité L'inégalité est toujours est parfois vraie vraie

24 < 12 < 19 < 2 2 < 98 <

L'inégalité n’est jamais vraie

Les parents d’Hugo élèvent des canards dans le Gers. Il leur faut chaque jour entre 21 et 26 kg de nourriture pour 100 canards. Donner un encadrement de la quantité de nourriture nécessaire à l’élevage de 3 000 canards pendant 10 semaines.

48 TOP Chrono Pour mettre une clôture autour d’une piscine, on a mesuré son périmètre avec une ficelle. Celle-ci mesure entre 97 cm et 1,03 m suivant qu’elle est relâchée ou tendue. Pour faire tout le tour, on a reporté 24 fois la ficelle, il restait alors un morceau d’environ 15 cm. Donner l’encadrement le plus précis possible du périmètre de cette piscine.

3 1 4 2 Aide

L’inégalité 27 < 3 est toujours vraie car quel que soit le , on aura toujours 27 < 3 . chiffre qui se cache sous

Chapitre 3 • Équations et inéquations

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85

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4 Je comprends

Résoudre

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Résoudre l'équation −2(3x − 1) ˘ 15 − (x − 6) . ÉTAPE 1

ÉTAPE 3

CALCULER

REPRÉSENTER

c.

1

−4 −3 −2 −1 0 −4 −3 −2 −1 0

3

4

5

6

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

P

d.

−4 −3 −2 −1 0

2

E

b.

1

C

Préciser à l’aide d’inégalités les nombres représentés sur chacun des axes gradués ci-dessous : −4 −3 −2 −1 0

50 Pour chacune des inéquations ci-dessous, dire

S

si le nombre − 7 est une solution ou non en justifiant la réponse. a. x ¯ 0 b. 10 − x ¯ −2x c. 3(x + 7) .0 d. 3x2 + 1.4x + 6

51 Pour chacune des inéquations suivantes, trouver cinq solutions distinctes : a. 2x + 9 , 50 b. 4 − x ˘ 3x c. 32 , 5x − 3 d. 10x + 5 ¯ x + 4

52 Résoudre mentalement les inéquations suivantes : a. 2x .8 c. 10.5x e. x − 6 ˘ 0 g. 8 ˘ x + 10

b. d. f. h.

ÉTAPE 4

On conclut. Tous les nombres inférieurs ou égaux à 3,8 sont des solutions de cette inéquation.

53 1. Écrire cinq inéquations différentes qui auraient

Activités rapides

a.

Comme on divise par un nombre négatif, il faut changer le sens de l’inéquation

IM

Je m’entraine 49

N

ÉTAPE 2

On utilise des opérations pour regrouper l’inconnue dans un seul membre de l’inéquation. −6x + 2 ˘ 21 − x −6x + 2 + x ˘ 21 − x + x −5x + 2 > 21

On isole l’inconnue. −5x + 2 − 2 > 21 − 2 −5x ˘ 19 −5x ¯ 19 −5 −5 x ¯ −3,8

E

On développe et on réduit les deux membres de l’inéquation. −2(3x − 1) ˘ 15 − (x − 6) −2 × 3x + (−2) × (−1) ˘ 15 − x + 6 −6x + 2 ˘ 21 − x

4 , −2x −5x , −15 9− x ¯6 −20 ¯ x + 10

les mêmes solutions que l’inéquation n . 10. 2. a. Reprendre la question précédente avec l’inéquation x , −5 . b. De même avec l’inéquation 2y − 8 ˘ y + 1.

54 1. Imaginer un problème que l’inéquation 8x + 6 , 50 permettrait de résoudre. 2. Résoudre le problème posé.

55 Résoudre les inéquations suivantes en justifiant chaque étape de calcul par la propriété utilisée : b. −4x ˘ 12 a. 9 , x + 3,2 d. 3x .15 c. x − 13 , 17 e. 3x + 4 , 16 f. − 5x , 9 7

56 Résoudre les inéquations suivantes : a. 6x + 5 ˘ 4x − 1 c. 5x + 1 ¯ 7x − 9

b. −5x − 6 , − x + 4 d. −8x + 1. 5x − 3

57 Résoudre les inéquations suivantes : a. 4x − 5 ˘ 3x + 1 c. 7x + 3 ¯ 4x + 5

b. −7x − 1 , − x + 2 d. −3x + 6 . 4x − 9

58 Résoudre les inéquations suivantes : a. 4(x − 1) , 5 c. − x + 2 ˘ 13 + 2x

b. 8 − 2x . − (2x + 6) d. 3 + 2(4 − x) ¯ 5x

86

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une inéquation Je résous des problèmes simples

RAISONNER

CHERCHER

MODÉLISER

59 À Barsac, en Gironde, la commune a proposé à 63 Quelle doit être la mesure du côté du triangle pour que son périmètre soit supérieur à celui du carré ?

N

ses habitants d’utiliser des poules pour réduire la quantité de déchets. La famille de Marion se porte volontaire pour cette expérience. Ils ont 30 m de grillage pour réaliser une clôture rectangulaire contre un mur de leur maison.

20 cm

64 Les maths autour de moi

E

IM

Le mur de la maison mesure 4,85 m. Trouver toutes les dimensions possibles pour l’autre côté de cette clôture.

Le collège de Julien a obtenu une subvention de 980  € pour la sortie de fin d’année des 3e. Les professeurs envisagent d’amener les élèves qui le souhaitent voir un spectacle de théâtre équestre.

60 Combien doit mesurer [AE] pour que le périmètre du rectangle EDCF ci-dessous soit au moins le double du périmètre du rectangle AEFB ? D

C

E

18 cm

A

F 24 cm

C

E

B

61 Avec la carte « Le Pass »,

S

P

on paie 262,80 € et 30 € de frais de dossier pour pouvoir aller au cinéma autant de fois que l’on veut pendant un an. Le tarif normal est de 11,50 € pour une séance. À partir de combien de séances par an cette carte devient-elle rentable ?

62 Quels nombres doit-on choisir pour que le résul-

tat du Programme n° 1 soit strictement supérieur à celui du Programme n° 2 ? Programme n° 1 • Choisir un nombre • Ajouter 6 • Multiplier par 5

Programme n° 2 • Choisir un nombre • Multiplier par − 3 • Ajouter 68

L’entrée du spectacle est de 18 € par élève, les accompagnants ne paient rien. Il faut prévoir également 350  € pour la location d’un bus de 55 places. Combien d’élèves pourront aller à ce spectacle ?

65 TOP Chrono Une entreprise fabrique des pièces de plomberie en quantité importante. Son gérant doit renouveler une de ses machines. Voici les propositions commerciales qui lui ont été faites : • machine A : cout d’achat 360 000 €, chaque pièce produite reviendra à 0,70 € ; • machine B : cout d’achat 480 000 €, chaque pièce produite reviendra à 0,50 €. Quelle est la machine la moins chère ? Étudier toutes les situations envisageables en fonction du nombre de pièces produites.

Chapitre 3 • Équations et inéquations

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87

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Je fais le point sur mon cours

A

B

C

2 + 3x = 40

x2 − 4 = 7x + 4

12 − x = 20

0

5

−5

x,4

−2x , −10

x+3,8

67 Quel nombre est solution de l’équation (7x + 1) × 2 + 100 = − x2 + 57  ?

68 Si x , 5, alors :

−3x , 6

69 Si x . − 2, alors : 70 Quel nombre est solution de

x +5,3

x,0

−2

10

E

12

N

66 8 est une solution de l’équation :

Corrigés page 279

l’inéquation −3 + x , 7 ?

IM

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

Je fais le point sur mes objectifs 1

C

Résoudre une équation

71 Pour chacune des équations ci-dessous, dire si

Corrigés page 279

. 2 Résoudre des problèmes se ramenant au 1er degré

S

P

E

les nombres 4 ; 5 ; –2 et −3 sont des solutions. 75 Résoudre les équations suivantes : 7 a. (5x − 1)(2x − 4) = 0 b. 25x2 − 9 = 0 a. − x + 8 = −5x   b. 4x2 + 16x = 6(4x + 10) c. 4x2 − 20x + 25 = 0 d. (x + 2)(x − 3) = x2 + 6 72 Résoudre les équations suivantes : c. 5 − x = x + 4 a. 2x + 5 = 3x − 9 76 Olivier et Denis s’associent pour investir dans une d. −6x + 4 = −2x b. 8 = 3x − 9 société. Olivier dispose d’un capital de 40 000 € et Denis d’un capital de 130 000 €. Chaque année, 73 Résoudre les équations suivantes : ils accroissent leur capital de 6 000 €. b. 5(x − 2) = 7x a. 2x + 4 − x = 13 Se peut-il qu’au bout d’un moment, le capital c. (5x + 2) × 3 + 1 = x d’Olivier soit égal à la moitié du capital de Denis ? Si oui, au bout de combien de temps ? 74 Aïcha veut acheter à l’aide d’une carte cadeau des Si non, donner une preuve. albums de musique au format MP3 sur Internet. Les albums sont tous au même prix. Elle voudrait en acheter sept mais c’est impossible, il lui manque 0,07 €. Finalement, elle en achète 5 et il lui reste alors 20,05 € sur sa carte cadeau. On désigne par x le prix d’un album. Quelle(s) équation(s) correspond(ent) au problème ? • 7x − 0,07 = 5x + 20,05 • 7x − 5x = 20,05 − 0,07 • 7x + 0,07 = 5x − 20,05 • 7x + 0,07 = 5x + 20,05

77 1. Trouver la valeur de x pour que le périmètre de la croix soit égal à 15 cm. x x

x

1 1 1

2. Trouver la valeur de x pour que l’aire de la croix soit égale à 8 cm². D’après Petit x.

88

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Accompagnement personnalisé 78 Une brique de lait en carton a la forme d’un pavé 83 Représenter sur un axe gradué les nombres droit dont la base est un rectangle de longueur 9,5 cm et de largeur 6,5 cm. Quelle doit être la hauteur de la brique pour qu’elle contienne 1 L de lait ?

décrits par les inégalités suivantes : a. x .8 b. x , 5 d. x ¯ 0 c. x ˘ −3 e. 2 , x , 4 f. −1 ¯ x ¯ 5

79 1. Un père a 42 ans. Il a trois enfants de 11, 9

C

81 Sachant que −4 ¯ y ¯ 6, donner un encadre-

E

ment le plus précis possible de : a. y + 3 b. y − 3 d. y × (−3) c. y × 3

82 Dans ce tableau, se trouvent des nombres entiers.

P

Sous chaque est caché un chiffre. Recopier et compléter le tableau en cochant les bonnes cases et en justifiant chaque réponse.

S

L'inégalité L'inégalité L'inégalité est toujours est parfois n’est jamais vraie vraie vraie

8<5

2

< 17

24 <

3

12 <

1

20 <

4

98 <

2

98 <

8 Aide L’inégalité 27 < 3 est toujours vraie car quel que soit le , on aura toujours 27 < 3 . chiffre qui se cache sous

D

C

6 cm x cm

IM

E

N

et 4 ans. Dans combien d’années l’âge du père 4 sera-t-il égal à la somme des âges de ses trois Résoudre une inéquation enfants ? 2. Un père a 38 ans. Ses quatre enfants ont 18, 84 Résoudre les inéquations suivantes : 12, 8 et 6 ans. Est-il possible que l’âge du père a. 3x + 5 ¯ 8 b. 15 ¯ 7 − 2x soit un jour égal à la somme des âges de ses c. −3 + 5x , 7x d. 4x − 8. 10x + 3 quatre enfants ? e. − x − 6. 0 f. 4 , −6x D’après IREM d’Aquitaine. 85 Résoudre les inéquations suivantes : a. 8 + (5x − 5) , 13x − 5 + 3x b. (4x + 2) × 3 ¯ 24 − x 3 c. 5(2 − x) + 3 . 10 − 3(x + 1) Propriétés des inégalités d. (2x + 1)(x − 9) ˘ 2(x2 + 3) 80 Sachant que 8 , x ¯ 15 , donner un encadrement le plus précis possible de : 86 Dans la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle a. x + 10 b. x − 10 et les points A, D et E sont alignés. 4 cm B A d. x × (−10) c. x × 10

E

Pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire du triangle estelle supérieure ou égale à celle du rectangle ?

87 Le journal Le Monde est un quotidien dont l’abon-

nement coute 300 € par an. Le tarif en kiosque est de 2,40 € en semaine, 4,20 € le samedi. Si on achète le journal tous les jours, à partir de combien de jours l’abonnement devient-il intéressant financièrement ?

88 Voici deux programmes de calcul : Programme n° 1 • Choisir un nombre • Ajouter 8 • Multiplier par 5 • Soustraire 9

Programme n° 2 • Choisir un nombre • Multiplier par 3 • Ajouter 5 • Multiplier par 2

Quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu avec le Programme n°  1 soit supérieur au résultat obtenu avec le Programme n° 2 ? Chapitre 3 • Équations et inéquations

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89

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93 Utiliser des informations

Une canette de soda en aluminium a la forme d’un cylindre de diamètre 6 cm. Quelle doit être la hauteur de la canette pour qu’elle contienne 33 cl de soda ?

90 Modéliser

DOMAINE 1 DU SOCLE

Voici les tarifs de différentes agences de location de voiture : Auto pas cher

Auto Sécurit-auto Classe-auto Discount

0,90 € 130 € kilométrage par illimité kilomètre

Forfait 45 € et 0,40 € par kilomètre

Forfait 80 € et 0,20 € par kilomètre

91 Vérifier une affirmation

DOMAINE 3 DU SOCLE

94 Traduire dans un langage mathématique DOMAINE 1 DU SOCLE

Un éditeur vient de publier un nouveau roman. Les frais d’impression s’élèvent à 60 € pour chacun des 450 premiers exemplaires et 5 € pour chacun des suivants. Le prix de vente du roman est fixé à 28,50 €. Combien faut-il vendre d’exemplaires au minimum avant de réaliser des bénéfices ?

IM

Quelle est l’agence la moins chère ? Étudier toutes les situations possibles en fonction du nombre de kilomètres parcourus.

N

89 Réfléchir sur un problème ouvert

DOMAINE 5 DU SOCLE

Deux à trois tonnes de bois sont nécessaires pour fabriquer une tonne de papier. On estime d’autre part qu’un hectare de forêt peut produire environ 9 m3 de bois par an et que 1 m3 de bois pèse entre 800 kg et 1 050 kg suivant l’espèce. En France, chaque année, la consommation de papier s’élève à 10 900 000 000 kg. 1. Donner un encadrement de la superficie de forêt nécessaire pour produire une tonne de papier. 2. Donner un encadrement de la superficie de forêt nécessaire pour produire le papier consommé en France chaque année.

E

Objectifs 1 2 3 4

S

P

E

C

La piscine extérieure d’une commune est rectangulaire et fait 25 m de long. Comme elle est en mauvais état, le maire envisage de la refaire. 95 Mettre en relation la géométrie et le numérique DOMAINE 1 DU SOCLE Pour qu’elle soit un peu originale, l’architecte proACGF et EFBD sont des rectangles. Le point F est pose de faire une piscine ronde et de l’entourer un point du segment [AB]. d’une bande de pelouse synthétique de 1,5 m de large et d’aire 120 m2. C G

1. Étienne n’est pas content : « La nouvelle piscine sera moins longue que l’ancienne. » A-t-il raison ? 2. Quel sera le rayon de la nouvelle piscine ?

92 Débattre

DOMAINE 3 DU SOCLE

Il existe des nombres dont le double est strictement supérieur au triple.

Vrai ou faux ? Donner une preuve.

5

E

A

F

D 3 B 17

1. Où doit-on placer F sur [AB] pour que les rectangles ACGF et EFBD aient la même aire ? 2. Où doit-on placer F sur [AB] pour que les rectangles ACGF et EFBD aient le même périmètre ?

96 Raisonner

DOMAINE 3 DU SOCLE

Une cartouche d’encre noire pour imprimante achetée en magasin coute 17,90 euros. Sur le site Internet Info+, la même cartouche coute 16,50 euros mais il y a des frais de port d’un montant de 4,90 euros quel que soit le nombre de cartouches achetées. À partir de combien de cartouches acheter sur Internet est-il plus économique qu’acheter en magasin ?

90

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COMMUNIQUER

CALCULER

97 Étudier un problème qui se ramène au 1er degré

Un patron fait trois propositions de rémunération à un commercial : – il reçoit 10 % du montant de ses ventes ; – il touche un salaire fixe de 800  € et 5  % du montant de ses ventes ; – il touche un salaire fixe de 1 500 € et 1 % du montant de ses ventes. 1. Quelle est la situation la plus avantageuse pour le commercial ? Étudier toutes les possibilités en fonction du montant des ventes réalisées. 2. Donner un argument en faveur de chacune des formules proposées.

98 Prouver avec un calcul littéral

A

G

B

x

C

E

6

F

D

x+4

MODÉLISER

100 Extraire les informations utiles

DOMAINE 4 DU SOCLE

EDF propose deux formules d’abonnement : • option de base : 117,20 € par an d’abonnement et 0,1467 € par kWh consommés ; • option heures creuses/heures pleines : 126,52  € par an d’abonnement, 0,1114  € en heures creuses et 0,16 € en heures pleines.

1. Combien coute une année d’électricité pour cette famille avec l’« option de base » ? 2. Combien paierait cette famille si elle prenait l’option «  heures creuses  » et que l’intégralité de sa consommation se fasse au tarif « heures creuses/heures pleines » ? 3. En pratique, le tarif « heures creuses » n’existe que 8 h par jour. Combien de kWh au minimum faut-il consommer à ce tarif pour que cet abonnement soit rentable pour cette famille ?

IM

1. Sur les figures ci-dessous, BCD et FGH sont des triangles équilatéraux et ABDE est un rectangle.

CHERCHER

N

REPRÉSENTER

E

RAISONNER

H

E

4x + 5

2x + 1

C

Est-il possible que ces deux figures aient le même périmètre ? Si oui, préciser tous les cas possibles ; si non, donner une preuve. DOMAINE 1 DU SOCLE 101 Argumenter une réponse 2. ABCD et EFGH sont deux rectangles : Fatou et Jérôme sont vendeurs dans un maga6 3 B sin de surf. Fatou perçoit comme salaire 15 % du C F G montant des ventes effectuées dans un mois et Jérôme perçoit un fixe mensuel de 700 € et 8 % du montant des ventes effectuées dans le mois. H E D

A

P

Est-il possible que ces deux figures aient la même aire? Si oui, préciser tous les cas possibles ; si non, donner une preuve.

S

D’après IREM d’Aquitaine.

99 Modéliser

DOMAINE 1 DU SOCLE

Pendant la période estiEn fonction du montant des ventes, dire qui de vale, un marFatou ou de Jérôme est le mieux payé. chand de glaces dépense 75 € environ 102 Mettre en équation un problème pour fabriquer Rémi part à pied de chez lui à 10 h 40 pour faire 150 glaces. une grande et belle promenade. Il marche à la Sachant qu’une glace est vendue 2,80 €, combien vitesse moyenne de 6 km/h. À 12 h 30, son frère doit-il vendre de glaces par jour en moyenne pour Gauthier part avec son vélo pour le rattraper. Il pouvoir faire un bénéfice supérieur à 2  000  € roule à la vitesse moyenne de 42 km/h. par mois ? À quelle heure Gauthier rejoindra-t-il Rémi ? Chapitre 3 • Équations et inéquations

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91

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Dans les autres matières 103 Cocktail !

104 The calculators

N

Andrew and Fiona enter the same number on their calculators. Andrew adds 4, then multiplies the result by 3. Fiona multiplies it by 5, then subtracts 2. 1. What numbers must they choose for Fiona's result to be higher than Andrew's? 2. What should the starting number be if their final results are the same?

105 Muscle ou cerveau ?

E

Le débit cardiaque est le volume de sang fourni par le cœur (en L/min), il dépend de l’effort physique réalisé. Des débits sanguins variables Repos Effort Cerveau 14 %

Cerveau 3,6 %

Muscles 20 %

Muscles 84 %

Reste du corps 3 300 mL/min

Reste du corps 3 100 mL/min

IM

1. Si on mélange 1  L de Tropi et 5  L de Quita, quelle sera la proportion de jus d’orange dans les 6 L obtenus ? 2. Guilhem souhaite mélanger du Tropi à du Quita pour obtenir un mélange contenant au moins 80 % de jus d’orange. Quelle quantité de Quita doit-il ajouter à 1 L de Tropi ? 3. Quelle quantité de Quita doit-il ajouter à 1 L de Tropi pour obtenir un mélange contenant 72 % de jus d’orange ? Aide

C

Il est possible d’utiliser un tableur.

1. Calculer le débit cardiaque (en L/min) au repos. 2. Calculer le débit cardiaque pendant l’effort.

Enseignement Pratique Interdisciplinaire

E

Sciences, technologies et sociétés

Mathématiques & Histoire

Les sciences arabes : un trait d’union entre l’Asie et l’Europe

S

P

Vers 600 après J.-C., l’influence arabe sur les sciences commence à se faire sentir. À cette époque, les Arabes ont conquis de nombreuses régions et s’intéressent aux connaissances qui s’y sont développées ce qui leur permet, après une phase d’assimilation, de diffuser, à partir du e siècle, une production originale. À partir du e siècle, les savants arabes et occidentaux se pressent à Bagdad qui devient alors un pôle culturel et scientifique de premier plan. Quelques ouvrages mathématiques arabes sont traduits en latin et en hébreu, favorisant ainsi la diffusion en Europe de la pratique du calcul avec le système décimal (les chiffres arabes), de l’algèbre avec ses équations et de la trigonométrie.

Projets

Étudier des textes anciens pour comprendre l’importance de l’apport des sciences arabes. Relier cet apport à leurs origines pour étudier le monde islamique au Moyen Âge. Notions mathématiques : Résolution d’équations • Algèbre élémentaire 92

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ues

mathématiq

à la maison 109 Essence ou diésel ?

Loto des équations Ce jeu se joue à trois, quatre ou cinq joueurs. Matériel : • cinq cartes-solutions numérotées de 1 à 5 : 5

7x − 2 = 2x + 3

x +1= x + 3 2

2x + 3 = 1 x+4

3x − 2 = x + 4

7x − 5 = 2x + 10

x +1= x + 9 3

2x + 4 = 1 3x + 1

3x − 2 = x + 8

7x − 7 = 2x + 18

x + 1 = x + 19 4

5x + 1 = 1 3x + 11

3x − 2 = x × x

7x − 4 = x + 8

x +1= x + 4 2

5x + 1 = 1 3x + 5

3x − 2 = 2x + 2

7x − 10 = 3x + 6

x + 1 = 4x − 1 3

x×x+6 =1 5x + 2

C

S

P

E

Règle du jeu : on distribue une carte-solution à chaque joueur et les cartes-équations forment la pioche face cachée. • Un joueur retourne une carte-équation et la montre. Le joueur qui a la carte-solution de l’équation gagne la carte. Si aucun joueur n’a la solution, la carte est remise dans la pioche. • Le premier joueur qui a quatre cartes-équations dit « Quine » et remporte la partie.

107 Défi !

Trouve tous les nombres de la chaine.

• Une Citrogeot 1.475 ch (essence) consomme en moyenne 6,7 L pour 100 km et coute 14 500 € à l’achat. • Un litre de diésel coute 1,099 €. • Un litre de SP95 coûte 1,288 €. 1. Pour quelqu’un qui roulerait 50 000 km, quelle est la voiture la plus économique ? 2. Pour quelqu’un qui roulerait 250 000 km, quelle est la voiture la plus économique ? 3. Quelle distance faut-il parcourir pour que la Citrogeot diésel soit le choix le plus économique ? 4.

IM

3x − 2 = x

N

1 2 3 4 • 20 cartes-équations ci-dessous :

• Une Citrogeot 1.4 HDI 90 ch (diésel) consomme en moyenne 5,1 L pour 100 km et coute 18 000 € à l’achat.

E

106

Quels choix ferais-tu ? Argumente ta décision.

110 Le beurre Le lait a une masse volumique moyenne de 1 030 g/L.

:3

−6

×4

×3

− 14 :2

108 Énigme

, apprend que Hector, âgé de 50 ans aujourd’hui actuellement est s l’espérance de vie dans son pay ue année. chaq s moi 2 de de 78 ans et qu’elle augmente année lle que en , vait Si cette évolution se poursui vie dans de nce péra l’es à l l’âge d’Hector serait-il éga son pays ?

frontières. D’après Rallye Mathématiques sans

Pour fabriquer du beurre, Julie a acheté 50 L de lait qui pèsent 51,29 kg. Elle soupçonne le vendeur d'avoir mis de l’eau dans son lait… 1. Julie a-t-elle raison ? 2. Quelle quantité d’eau y a-t-il dans le lait qu’elle a acheté ? Chapitre 3 • Équations et inéquations

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93

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Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

Eurêka : la légende de la couronne Résoudre un problème du premier degré par tâtonnement.

45’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

IM

E

N

Un jour, Hiéron, roi de Syracuse, commanda une couronne en or de 1 200 g à son orfèvre. La couronne réalisée par l’orfèvre avait bien une masse de 1 200 g mais Hiéron était persuadé que l'orfèvre l’avait dupé en substituant de l'argent à une partie de l'or. Il demanda alors à Archimède de déterminer si cette couronne était constituée d'or pur ou d'un mélange or/argent dont la composition exacte serait à déterminer. La légende dit qu'Archimède proposa le dispositif suivant pour déterminer le volume de la couronne :

1 cm3 d’or pèse 19,3  g et 1 cm3 d’argent pèse 10,5  g. Essayons de démasquer l'orfèvre sachant qu’Archimède a trouvé un volume de 75 cm3 pour la couronne.

C

1 Ouvrir une feuille de calcul comme la feuille ci-contre.

2 Compléter les cellules A2 et B2 de façon à ce que le volume total affiché en C2 soit toujours de 75 cm3.

E

Tableur 1

3 Dans la cellule D2, saisir une formule qui permette d’afficher la masse de la couronne en fonction des volumes d’or et d’argent saisis dans les cellules A2 et B2.

S

2

P

4 Quelle masse d’or l’orfèvre a-t-il gardée pour lui ?

Les danseurs

Utiliser une liste pour résoudre un problème.

35’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

63 personnes ont participé à un concours de danse à deux (un homme danse avec une femme). Au cours de ce concours, une première femme a dansé avec 8 hommes, une deuxième avec 9 hommes, une troisième avec 10 hommes, et ainsi de suite jusqu’à la dernière, qui a dansé avec tous les hommes. On veut connaitre le nombre de femmes et d’hommes présents à ce bal. 1 Répondre à ce problème en utilisant un tableur pour chercher la solution.

Tableur 3

2 Répondre à ce problème à l’aide d’une équation. 94

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3

Programme de calcul Utiliser un tableur pour résoudre une équation du second degré par essais-erreurs. Difficulté mathématique

20’

Difficulté technique

Voici deux programmes de calcul : Programme n° 2 • Choisir un nombre • Multiplier par 6,25 • Soustraire 7,5 • Multiplier par le nombre choisi au départ • Ajouter 2,25

Programme n° 1 • Choisir un nombre • Multiplier par 1,5 • Ajouter 4,5 • Élever le résultat au carré

N

Trouver le nombre qu’il faut choisir au départ pour que les deux programmes donnent le même résultat final.

A. Sur le cahier

E

1 Résoudre ce problème en utilisant une équation. Si ce n’est pas possible, expliquer pourquoi.

B. Avec le tableur

a. Ouvrir une feuille de calcul, puis reproduire le tableau suivant :

IM

2

E

4

C

b. Dans la cellule B2, saisir une formule qui permette d’afficher le nombre obtenu avec le Programme n° 1 en prenant comme nombre de départ le nombre saisi dans la cellule A2. c. De même, saisir une formule dans la cellule C2. d. À l’aide du tableur, trouver deux solutions différentes au problème posé.

Des équations algorithmiques

ALGO

50’

P

Créer un programme qui donne la solution d’une équation de la forme Ax + B = C. Difficulté mathématique

Difficulté technique

S

Dans le logiciel Scratch

1 Dans un programme, créer trois variables nommées A, B et C. 2 Demander « Combien vaut A ? » et stocker la réponse dans la variable A. Aide

Utiliser

et

3 Faire de même avec B et C. 4 Faire dire au lutin pendant 4 secondes : « La solution de l’équation est x = ….. . » Aide

Créer une variable x qui servira à calculer la solution de l’équation. Sur le cahier, écrire x en fonction de A, B et C, c’est-à-dire transformer l’équation A x + B = C en x = …

5 Proposer un nouveau programme qui permet de résoudre une équation de la forme Ax + B = Cx + D. Chapitre 3 • Équations et inéquations

04733295_075-096_M3e_C03.indd 95

95

05/04/2016 17:47


1

Le food truck Nicolas et Ahmed souhaitent ouvrir un food truck pour vendre des repas à consommer sur place ou à emporter. Avec leur banquier, ils font un business plan. Combien devront-ils vendre de repas pour rembourser les frais de départ ? Une fois ces frais remboursés, combien de repas doivent-ils vendre pour toucher chacun un salaire de 16 000 € par an ? DOC

1

DOC

2

Frais de départ

Prévision des tarifs

IM

E

N

• Achat, aménagement et décoration du camion : 25 000 €

DOC

3

C

• Petit matériel de cuisine : 1 000 € • Groupe électrogène : 2 000 € • Mange-debout et agréments terrasse : 1 600 €

Frais fixes et frais variables

DOC

4

Points de vente

Le camion aura quatre emplacements différents pour les repas du midi (un pour le lundi, un pour le mardi, un pour le jeudi et un pour le vendredi). Deux weekends par mois, le camion sera présent sur un évènement musical ou culturel.

S

P

E

• Frais fixes : environ 10 000 € par an pour la location de l’emplacement des points de vente, l’électricité, l’essence, les impôts et les taxes... • Frais variables : achats des produits frais pour la cuisine estimés à : • 3,70 €/repas pour la formule 1 ; • 2,90 €/repas pour la formule 2 ; • 2,50 €/repas pour la formule 3 ; • 2 €/repas pour la formule 4.

On estime que 50 % des clients prendront la formule 2 ; 25 % la formule 1 ; 12,5 % la formule 3 et 12,5 % la formule 4.

2

Les problèmes DUDU Dans cette vidéo, les DUDU prennent un verre dans un bar en attendant leur frère. Le serveur arrive avec une addition qui leur semble fausse. Peux-tu les aider ?

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr 96

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05/04/2016 17:47


4

E

C

IM

E

N

La lumière projetée sur le mur forme de belles courbes mathématiques. En fin de chapitre, p. 112, tu pourras en créer une à l’aide d’une lampe de poche.

S

P

Notion de fonction Attendu de fin de cycle Comprendre et utiliser la notion de fonction

Avant de commencer ce chapitre, fais le point sur tes connaissances sur le site www.bordas-myriade.fr.

OBJECTIFS 1

Utiliser la notion de fonction

2

Déterminer l’image d’un nombre par une fonction

3

Déterminer un antécédent d’un nombre par une fonction 97

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05/04/2016 18:59


Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

Acti

é vit

1

Introduire la notion de fonction

OBJECTIF

1

Avec une corde de longueur 11 m étendue sur le sol, on fabrique un rectangle. On désigne par x la longueur d’un côté de ce rectangle.

E

N

x

1 a. Quelles sont les dimensions du rectangle lorsque x = 1 m ? Calculer l’aire du rectangle

IM

dans ce cas. b. Mêmes questions pour x = 2 m.

2 a. Exprimer les dimensions du rectangle en fonction de x. b. Démontrer que l’aire A du rectangle s’exprime, en fonction de x, par la formule : A(x) = 5,5x − x2 .

C

On écrit A(x) car l’aire A dépend de la longueur x. A(x) se lit « A de x ».

3 On cherche la valeur de x pour laquelle l’aire A du rectangle est la plus grande possible. x A(x)

E

a. Pour les différentes valeurs de x données dans le tableau, calculer l’aire A(x) du rectangle. 1

1,4

1,8

2,2

2,6

3

3,4

3,8

4,5

P

b. Pour quelle valeur de x, l’aire A du rectangle semble-t-elle la plus grande ?

4 a. Dans un repère, placer tous les points dont les coordonnées (x ; A(x)) sont données dans

S

le tableau précédent. b. Estimer graphiquement l’aire maximale du rectangle.

Acti

é vit

2

Déterminer l’image d’un nombre par une fonction

OBJECTIF

2

On considère la fonction f qui, à un nombre x, fait correspondre la moitié de son carré. 2 1 Démontrer que f(x) = x2 . 2 Démontrer que f (4) = 8 et f (2) = 2. On dit dans ce cas que « l’image de 4 par la fonction f est égale à 8 » ce que l’on note « f : 4 ∞ 8 ». 98

04733295_097-116_M3e_C04.indd 98

05/04/2016 18:59


3 Calculer f (5) et en déduire l’image du nombre 5 par la fonction f. 4 a. Démontrer que f : 6 ! 18. b. Quelle est l’image du nombre 6 par la fonction f ? c. Recopier et compléter : f : 7 ! ... En déduire l’image de 7 par la fonction f.

5 a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : x

– 10

f (x)

–5

–2

0

2

5

10

N

50

3

IM

Acti

é vit

E

b. À l’aide du tableau, répondre aux questions suivantes. Quelle est l’image de – 5 par la fonction f ? Quelle est l’image de 10 par la fonction f ? Donner deux nombres qui possèdent la même image par la fonction f.

Déterminer un antécédent d’un nombre par une fonction

OBJECTIF

3

La courbe ci-dessous représente la fonction f qui donne la température, en degré Celsius, à Myriadole-les-bains durant une journée du mois de décembre 2016.

C

Température (en °C)

4

E

3 2

P

1

0

4

2

6

8

10

12

14

16

18

20

S

−1

22

24

Temps (en h)

−2 −3

1 Sur quel tracé peut-on lire que la température à 12 h est égale à 3 °C : le rouge, le vert ou le bleu ?

On dit dans ce cas que « 16 est un antécédent de 4 par la fonction f ».

2 Sur quel tracé peut-on lire que l’image de 16 par la fonction f est égale à 4 : le rouge, le vert ou le bleu ?

3 Déterminer un antécédent de – 2 par la fonction f.

4 Combien existe-t-il d’antécédents de 2 par la fonction f ? Donner une valeur approchée de ces antécédents.

5 Donner une valeur approchée de l’image de 6 par la fonction f. 6 Peut-on trouver un antécédent de 5 par la fonction f ? Expliquer. Chapitre 4 • Notion de fonction

04733295_097-116_M3e_C04.indd 99

99

05/04/2016 18:59


1

Vers la notion de fonction

OBJECTIF

1

Le processus qui, à un nombre, fait correspondre un autre nombre unique s’appelle une fonction.

DÉFINITION

Nombre de départ

Nombre correspondant

Fonction

A Exemple et notations

Nombre correspondant

E

4

6

7

8

37

50

65

IM

Nombre de départ

N

Exemple On définit la fonction, appelée f, par le programme de calcul suivant : « Élever au carré le nombre choisi, puis ajouter 1. » – Au nombre 4 correspond le nombre 17 ; en effet : 42 + 1 = 16 + 1 = 17. – Au nombre 6 correspond le nombre 37 ; en effet : 62 + 1 = 36 + 1 = 37. Les correspondances effectuées par la fonction f peuvent être résumées dans un tableau :

17

De façon générale : par la fonction f, à un nombre x, on fait correspondre le nombre x2 + 1.

Notations On note :

C

x s’appelle la variable. On peut faire varier ce nombre !

f : x ! x2 + 1

f(x) = x2 + 1.

ou

se lit : « f de x égal x2 + 1 ».

E

se lit : « la fonction f qui à x fait correspondre x2 + 1 ».

Remarque

P

Il ne faut pas confondre f et f (x). f est une fonction (un processus de calcul) alors que f (x) est un nombre.

S

B Représentation graphique Dans un repère, on considère les points M de coordonnées (a ; b) où f est une fonction, a est un nombre et b = f (a). L’ensemble de tous ces points forme une courbe # appelée la représentation graphique de la fonction f. 3

# 2

M

b 1

−1

0

1

a

2

3

100

04733295_097-116_M3e_C04.indd 100

05/04/2016 18:59


2

Image d’un nombre par une fonction

OBJECTIF

2

Par la fonction f, à un nombre a correspond un nombre b. Le nombre b s’appelle l’image du nombre a par la fonction f.

DÉFINITION

Exemples

–1 –3

0 –5

1 –3

2 3

a pour image

M2(–0,5 ; h(–0,5))

1

0,8

− 0,5

0

1

On lit graphiquement que l’image de 1 par la fonction h est 2 et que l’image de – 0,5 est 0,8.

Antécédent d’un nombre par une fonction

OBJECTIF

C

3

#

IM

– L’image de 0 par la fonction g est – 5. – L’image de 2 par la fonction g est 3.

M1(1 ; h(1))

2

N

x g (x)

On considère la fonction h représentée par la courbe # ci-dessous :

E

Soit la fonction f définie par f : x a 1 . x L’image de 2 par la fonction f est 0,5 ; en effet : f(2) = 1 = 0,5. 2 On peut noter f : 2 ∞ 0,5. La fonction g est donnée par le tableau de valeurs suivant :

3

Par la fonction f, à un nombre a correspond un nombre b. Le nombre a s’appelle un antécédent du nombre b par la fonction f.

E

DÉFINITION

S

P

Exemples Soit la fonction f définie par f : x ∞ x2. Un antécédent de 9 par la fonction f est 3. En effet, f (3) = 32 = 9. On peut noter f : 3 ∞ 9. La fonction g est donnée par le tableau de valeurs suivant : x g (x)

–5 4

–3 2

0 1

5 2

On considère la fonction h déterminée par la courbe # ci-dessous :

M2(−2 ; h(−2))

M1(2 ; h(2))

5 4

a pour antécédent

3 2

– Un antécédent de 4 par la fonction g est – 5. – Des antécédents de 2 par la fonction g sont – 3 et 5.

#

1 −2

–1

0

1

2

On lit graphiquement que des antécédents de 5 par la fonction h sont – 2 et 2. En effet, h (– 2) = 5 et h (2) = 5. Chapitre 4 • Notion de fonction

04733295_097-116_M3e_C04.indd 101

101

05/04/2016 18:59


1 Je comprends

Utiliser

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1. Appliquer ce programme au nombre 3 choisi au départ. 2. a. Exprimer le nombre N obtenu à l’issue du programme de calcul en fonction du nombre x choisi au départ. b. Simplifier l’expression obtenue. 3. En utilisant l’expression simplifiée, compléter rapidement ce tableau : 5

7

12,5

C

1. On choisit x = 3 au départ. • On enlève 2 et on obtient : 3 – 2 = 1. • On prend le double du résultat précédent et on obtient : 2 × 1 = 2. • On ajoute 4 et on obtient : 2 + 4 = 6. On obtient 6 en prenant 3 au départ.

1

On note ainsi : N(x) = 2x. 3. Pour compléter le tableau en utilisant l’expression simplifiée, il suffit de multiplier le nombre de départ par 2 car N(x) = 2x. Nombre de départ x Nombre obtenu N(x)

5 10

7 14

12,5 25

CALCULER

E

Je m’entraine

N peut se noter N(x) car le nombre obtenu à la fin du programme de calcul dépend du nombre x choisi au départ, N est une fonction.

IM

Nombre de départ x Nombre obtenu N(x)

N

• Choisir un nombre x • Enlever 2 • Prendre le double du résultat précédent • Ajouter 4

2. a. On choisit x quelconque au départ. • On enlève 2 et on obtient : x – 2. • On prend le double du résultat précédent et on obtient : 2 × (x – 2). • On ajoute 4 et on obtient le nombre N = 2 × (x – 2) + 4. b.  En appliquant la distributivité, on peut simplifier : N = 2 × (x – 2) + 4 = 2x – 4 + 4 = 2x.

E

On donne le programme de calcul suivant :

Activités rapides

S

P

a. A est égal au produit d’un nombre x par 7. Exprimer A en fonction de x. b. B est égal à la somme du carré d’un nombre x et de 5. Exprimer B en fonction de x. c. C est égal au quotient d’un nombre x par la somme de 4 et de x. Exprimer C en fonction de x.

2 On donne le programme de calcul suivant : • Choisir un nombre x • Prendre son carré • Diviser par 2 • Ajouter le nombre de départ

Exprimer le nombre N obtenu à l’issue du programme de calcul en fonction du nombre x choisi au départ.

3 On donne le programme de calcul suivant : • Choisir un nombre x • Prendre son carré • Multiplier par 3 • Ajouter 5

Exprimer le nombre N obtenu à l’issue du programme de calcul en fonction du nombre x choisi au départ.

4 À toute longueur x, on fait correspondre l’aire d’un carré de côté x. Écrire une expression de la fonction f ainsi définie.

5 À toute longueur x, on fait correspondre le volume

d’une pyramide de base 5 cm2 et de hauteur x. Écrire une expression de la fonction f ainsi définie.

6 À toute longueur x, on fait correspondre la lon-

gueur du cercle en fonction du rayon x. Écrire une expression de la fonction f ainsi définie.

102

04733295_097-116_M3e_C04.indd 102

05/04/2016 18:59


la notion de fonction Je résous des problèmes simples 7  mètres, puis rebondit. Ce graphique représente la hauteur de la balle en fonction du temps : Hauteur (en mètre) 7 6 5 4

9

Les maths autour de moi Comme tous les dimanches matin, Élise fait son footing le long du canal. À l’aide d’une application GPS, elle peut afficher un graphique représentant la distance à son domicile en fonction du temps : Distance (en kilomètre)

3 2

5

1

4 0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

Temps (en seconde)

2 1

0

C

IM

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 1. Quelle est la hauteur approximative de la balle après 0,2 seconde ? après 1 seconde ? 2. Combien de fois la balle se trouve-t-elle à une hauteur de 2 mètres ? 3. Quelle est la hauteur maximale de la balle après le premier rebond ? après deux rebonds ? 4. Après le deuxième rebond, combien de temps faut-il approximativement à la balle pour retoucher le sol ?

3

E

0

COMMUNIQUER

N

7 Une balle est lancée depuis une hauteur de

CALCULER

MODÉLISER

E

8 Ce graphique représente l’évolution du pourcentage de population atteinte par une épidémie de gastro-entérite en fonction du temps :

6

S

4

P

Pourcentage de la population 8

2

4

6

8

20

30

40

Temps (en minute)

La maison d’Élise se situe le long du canal qui est rectiligne. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 1. Quelle est la durée du footing d’Élise ? 2. Quelle distance Élise a-t-elle parcourue ? 3. Que se passe-t-il après 20 minutes de footing ? 4. Durant quelle période Élise est-elle la plus rapide ?

10 Écrire une expression de la

fonction f qui, à x, fait correspondre l’aire de la couronne mauve ci-contre.

m

L’aire d’un disque de rayon r est égale à πr2. 10 12 14 16 18 20

Temps (en jour)

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 1. Après combien de jours le pourcentage de la population atteinte par la maladie dépasse-t-il 5 % ? 2. Après combien de jours l’épidémie a-t-elle atteint son seuil maximal ? 3. Durant quelle période le pourcentage de la population atteinte est-il supérieur à 7 % ?

11 TOP Chrono On donne le programme de calcul suivant : • Choisir un nombre x • Enlever 5 • Prendre le carré du résultat précédent

Quel nombre faut-il choisir au départ pour trouver 1 à la fin ? Expliquer.

Chapitre 4 • Notion de fonction

04733295_097-116_M3e_C04.indd 103

x 6c

Aide

2

0

10

103

05/04/2016 18:59


2 Je comprends

Déterminer l’image

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

x g (x)

2 8

3 2

4 4

5 6

c. la courbe représentative de la fonction h :

1

On calcule f (3) =

4

3 2

4 4

Remarque Avec la calculatrice, il est possible d’obtenir un tableau de valeurs d’une fonction dont on connait Calculatrice 14 l’expression.

= 2.

0 –2

C

5 3 L’image de 3 par la fonction f est égale à 2.

12

1

A

CALCULER

E

Je m’entraine

5 6

c. On cherche le point de la courbe dont l’abscisse est égale à 3. On trouve A (3 ; – 2). L’image de 3 par la fonc1 3 tion h est égale à – 2.

a.  ÉTAPE 1 On remplace x par 3. ÉTAPE 2

2 8

IM

0

x g (x)

E

1

b.  Par lecture directe du tableau, on voit que l’image de 3 par la fonction g est égale à 2.

N

Pour chaque fonction f, g et h, déterminer l’image de 3. Les fonctions f, g et h sont données par : a. l’expression de la fonction f : f(x) = 4  ; 5− x b. le tableau de valeurs de la fonction g :

Activités rapides

S

P

Traduire chacune des phrases suivantes par l’expression d’une fonction de la forme x ! … a. L’image de x est égale à la somme du double de x et de 4. b. L’image de x est égale à l’inverse du carré de x. c. L’image de x est égale à la différence de x et du carré de x.

13 On considère la fonction f qui, à un nombre, asso-

cie son double. Calculer les images de 2 et – 3 par la fonction f.

14 On considère la fonction g qui, à un nombre,

associe son carré. Calculer les images de 3 et – 7 par la fonction g.

15 Soit f une fonction. Par cette fonction, on donne : • – 2 ∞ 5 • – 1 ∞ 6 • 3 ∞ 2 • 5 ∞ – 1 • f (7) = –3 • f (10) = 0 • f (12) = 5 • f (15) = 6 1. Quelle est l’image de –1 par la fonction f ? 2. Quelle est l’image de 5 par la fonction f ? 3. Quel nombre a pour image 0 par la fonction f ? 4. Quels nombres ont pour image 6 par la fonction f ?

16 On a représenté graphiquement la fonction f : 1 0

1

Lire graphiquement les images de 1 et – 2 par la fonction f.

104

04733295_097-116_M3e_C04.indd 104

05/04/2016 18:59


d’un nombre par une fonction Je résous des problèmes simples 17 On donne le tableau de valeurs d’une fonction g : x g (x)

–3 –5

–2 6

–1 0

0 –1

1. Donner les images de – 2 et – 1 par la fonction g. 2. Recopier et compléter : g (– 3) = … et g (…) = – 1.

CALCULER

MODÉLISER

22 Soit f une fonction. Recopier, puis compléter le tableau suivant :

L’image de 1 par la fonction f est 2. L’image de 3 par la fonction f est –1.

20 Soit trois fonctions f, g et h définies par :

f (x)

–4

–2

1

2

3

4

5

5

–2

5

–2

–4

1

1

P

E

• une formule : g(x) = 3x − 4 ; • la courbe #h ci contre. Dans chaque cas, pré#h ciser de quelle fonc1 tion il s’agit : a. l’image de 3 par 0 1 cette fonction est – 4 ; b. l’image de 4 par cette fonction est 8 ; c. l’image de – 2 par cette fonction est 2.

S

mensuel dans une entreprise en fonction de l’âge x des salariés : 20

25

N

La courbe ci-dessous représente la fonction f qui exprime le taux d’équipement en pourcentage des ménages de France métropolitaine en téléphone portable en fonction des années : 80

30

35

40

45

50

55

70

60

40

0 2004 2006 2008 2010 2012

Source : Insee

Vrai ou faux ? 1. f (2004) = 60. 2. f (2009) = 80. 3. L’image de 85 par f est environ 2 010. 4. 90 est l’image de 2013.

24 TOP Chrono

21 Soit f une fonction exprimant le salaire moyen x

23 Les maths autour de moi

20

C

• un tableau : x

f : 6 ∞ – 6

IM

f (x) = 5x exprime en km la distance parcourue en 5 h à la vitesse de x km/h. 2. Quelle distance parcourt-on en 5 h si on roule à 50 km/h ? à 70 km/h ? à 115 km/h ?

f : 1 ∞ 2

E

19 1. Expliquer pourquoi la fonction f définie par

f (1) = 2

f (– 1) = 5

18 On considère la fonction f définie par f(x) = 0,6x

exprimant le prix à payer après une réduction pour un article coutant au départ x euros. 1. Quel est le taux de réduction accordé en pourcentage ? 2. Combien va-t-on payer pour des articles affichés respectivement à 50 € et 60 € ?

COMMUNIQUER

60

f (x) 1 500 1 700 1 900 2 100 2 250 2 400 2 550 2 650 2 750

1. Quel est le salaire moyen à l’âge de 30 ans ? à l’âge de 50 ans ? 2. Recopier et compléter : f (35) = … et f : 25 ∞ …

Soit g une fonction définie par la # courbe  #. Répondre aux questions sui1 vantes par lecture graphique. 0 1 1. Quelle est l’image par la fonction g de – 1 ? 2. Quels nombres ont pour image 3 par la fonction g ? 3. Peut-on affirmer qu’au moins trois nombres ont pour image 0 par la fonction g ? Chapitre 4 • Notion de fonction

04733295_097-116_M3e_C04.indd 105

105

05/04/2016 18:59


3 Je comprends

Déterminer un antécédent

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

x g (x)

1 3

3 1

5 –1

7 2

c. la courbe représentative de la fonction h :

1

1 3

3 1

1

Je m’entraine

A

P

S

26 Soit h une fonction dont voici un tableau de valeurs : 1

2

B

C

1 − 2 −1 0

1

2

28 On considère la fonction f définie par la courbe # ci-dessous :

4

E

On considère les trois fonctions suivantes : •f(x) = 4x – 5  • g(x) = 9 – x2 • h(x) = x + 2 x –2 Compléter les phrases suivantes. a. 3 est un antécédent de 0 par la fonction … b. 3 est l’image de 2 par la fonction … c. 6 est un antécédent de 2 par la fonction … d. 0 a pour image – 1 par la fonction …

x

– 10 – 6

–2

h (x)

4,6

0,5 – 3,6 – 6

2

3

CALCULER

C

Activités rapides

7 2

4

#

a. On effectue quelques tests : f(1) = 12 + 2 = 3, f(0) = 02 + 2 = 2.

25

5 –1

7 est un antécédent de 2 par la fonction g. c.  On cherche des points de la courbe dont l’ordonnée est égale à 2. On trouve A(– 1 ; 2), B(1 ; 2) et C(2 ; 2). Des antécédents de 2 par la fonction h sont : – 1 ; 1 et 2.

IM

0

x g (x)

E

#

On constate que la valeur 0 convient, donc 0 est un antécédent de 2 par la fonction f. b.

N

Pour chaque fonction f, g et h, déterminer des antécédents de 2. Les fonctions f, g et h sont données par : a. l’expression de la fonction f : f(x) = x2 + 2 ; b. le tableau de valeurs de la fonction g :

3

5

7

9

–2

0,5

5

3

#

2 1

–2

–1

0

1

2

3

4

Recopier et compléter : a. un antécédent de 4 par la fonction f est le nombre ... ; b. le nombre 4 est un antécédent de … par la fonction f ; c. le nombre 0 est un antécédent de … par la fonction f.

1. Donner un antécédent de – 3,6 par la fonction h. 2. Donner un antécédent de – 6 par la fonction h. 29 Soit f une fonction. Par cette fonction, on donne : • – 6 ∞ 5 • – 4 ∞ 7 • – 2 ∞ 11 • 0 ∞ 9 3. Quelle est l’image de – 2 par la fonction h ? • f (2) = 7 • f (4) = 2 • f (6) = – 4 • f (8) = – 6 1. Donner un antécédent de 2 par la fonction f. 27 On considère la fonction f définie par f (x) = 3x – 1. 2. Donner un antécédent de – 4 par la fonction f. 1. Déterminer un antécédent de 2 par la fonction f. 3. Quel nombre a pour antécédent – 6 par la fonction f ? 2. Déterminer un antécédent de 14 par la fonction f. 106

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d’un nombre par une fonction Je résous des problèmes simples

CALCULER

MODÉLISER

COMMUNIQUER

33 Soit f une fonction. Recopier, puis compléter le

30 Dans la petite entreprise

tableau suivant :

Rouletaboule, le bénéfice réalisé par la vente de x jouets est donné, en euros, par la fonction f représentée ci-dessous.

2 est un 3 est l’image antécédent de 3 de 2 par f (2) = 3 par la fonction f. la fonction f. f (3) = 5

f : 2 ∞ 3

f (– 3) = 7 400

N

f : 1 ∞ – 5

300

34 On a représenté ci-dessous les courbes de deux

200

fonctions f et g :

100 10

20

30

40

50

60

31 On considère la fonction f définie par f (x) = 3x2 + 1.

E

C

1. Quelle affirmation est exacte ? a. 28 est un antécédent de 3 par la fonction f. b. 3 est un antécédent de 28 par la fonction f. 2. Parmi les nombres suivants, quels sont les antécédents de 4 : – 1 ? 0 ? 1 ? 2 ?

32 Les maths autour de moi

S

P

Sur route sèche, lorsque l’on conduit un véhicule et que l’on décide de s’arrêter, la distance d’arrêt D en mètre s’exprime en fonction de la vitesse du véhicule x en km/h. 2 On donne D(x) = x + x . 3,6 155 Sur sa mobylette, Charlotte roule à 30 km/h. Elle voit un chien qui traverse la route à 50 m et commence à freiner. Pourra-t-elle s’arrêter à temps ? On donnera une distance d’arrêt arrondie au mètre près.

#g

1

IM

1. Quel est le bénéfice réalisé pour 20  jouets fabriqués ? 2. Combien de jouets faut-il fabriquer pour avoir un bénéfice égal à 100 euros ? à 300 euros ?

E

0

#f

0

1

Recopier et compléter les phrases suivantes par « f » ou « g ». 1. L’image de – 2 par la fonction … est 3. 2. Un antécédent de – 1 par la fonction … est – 3. 3. Un antécédent de – 2 par la fonction … est 3.

35 TOP Chrono Soit f une fonction représentée graphiquement par la courbe # : 2

#

1 0 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

–2

Lire graphiquement : a. une valeur approchée d’un antécédent de 1 par la fonction f ; b. l’image de 1 par la fonction f ; c. un antécédent de 2 par la fonction f ; d. une valeur approchée de l’image de 2 par la fonction f ; e. une valeur approchée de l’image de 8 par la fraction f. Chapitre 4 • Notion de fonction

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107

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Je fais le point sur mon cours

Corrigés page 279

B

C

f  ! x2 – 5

f (x)  ! x2 – 5

f : x  ! x2 – 5

37 Si f (a) = b, alors :

a est l’image de b par la fonction f

b est l’image de a par la fonction f

f (a) est l’image de b

38 Si f (a) = b, alors :

a est un antécédent de b par la fonction f

b est un antécédent de a par la fonction f

b est un antécédent de f (a)

36 f (x) = x2 – 5, on peut noter :

39 Par lecture graphique, on peut affirmer que :

2 1

40 Le tableau permet d’affirmer que : x f(x)

3 5

2 est l’image de 1

3 est l’image de 5

4 est un antécédent de 5

IM

0

2 est un antécédent de 1

E

1 est l’image de 2

N

A

4 3

5 4

4 est un antécédent de 3

C

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

E

Je fais le point sur mes objectifs

P

Utiliser la notion de fonction

41 À tout nombre x, on fait correspondre la somme

S

de 5 et du quotient de ce nombre par 3. Écrire une expression de la fonction f ainsi définie.

Corrigés page 279

2

Déterminer l’image d’un nombre par une fonction 44 On considère la fonction f définie par f(x) = 3 + x .

5 Calculer les images de 1, 2, 3 et 4 par la fonction f.

42 À tout nombre x, on fait correspondre l’inverse 45 On considère la fonction f2 définie par : de la somme de ce nombre et de 1. Écrire une expression de la fonction f ainsi définie.

f : x ∞ x – 9 Calculer les images de – 1 ; 0 ; 1 et 3 par la fonction f.

43 1. À tout nombre x, on fait correspondre l’aire d’un 46 On considère la fonction g définie par : rectangle de côtés de longueurs x et le double de x. Écrire une expression de la fonction f de l’aire ainsi définie. 2. Calculer f (x) pour x = 6. 3. Trouver une valeur de x pour que f (x) = 18.

g (x) = x2 + 3x – 4 Calculer g (– 2), g (0), g (5) et g (10).

47 On considère la fonction g définie par : g : x ∞ 2x2 – 3x Calculer g (– 2), g (0), g ( 1) et g (103). 2

108

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Accompagnement personnalisé 48 Soit f une fonction dont voici un tableau de 52 On considère la fonction f dont la courbe représentative # est donnée ci-dessous :

valeurs : x

–4

–2

1

2

3

4

5

6

f (x)

7

5

0

–1

–5

–5

0

16

#

1. Recopier, puis compléter : a. f (2) = … b. f : … ! 16 d. f : 5 ! … c. f (– 2) = … 2. Quels sont les nombres qui ont la même image par la fonction f ? Dans chaque cas, dire quelle est cette image.

50 On considère la fonction f définie par f (x) = x2.

E

C

1. Calculer l’image de 105 par la fonction f. 2. Calculer l’image de 10 –4 par la fonction f. 3. Quel nombre a pour image 1020 par la fonction f ?

Déterminer un antécédent d’un nombre par une fonction

S

51 Soit h une fonction dont voici un tableau de valeurs : x

h (x)

–8 –6 –4

4,9

2

0

2

4

10

N

53 On considère la fonction g dont la courbe représentative # est donnée ci-dessous : 14 12

#

10 8 6 4 2 –1 0

P

3

1

Lire graphiquement : a. un antécédent de – 1 par la fonction f ; b. un antécédent de 0 par la fonction f ; c. un antécédent de 0,8 par la fonction f ; d. l’image de 3 par la fonction f.

IM

courbe représentative est donnée ci-contre. 1 Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 0 1 1. Quelle est l’image de – 1 par la fonction f ? 2. Quels nombres ont pour image 1 par la fonction f ?

0

E

49 Soit f une fonction dont la

0,2

1

2

3

4 5

6

7

8

Lire graphiquement des valeurs approchées : a. d’un antécédent de 14 par la fonction g ; b. de trois antécédents de 10 par la fonction g ; c. de trois antécédents de 8 par la fonction g ; d. de l’image de 7 par la fonction g.

100

– 1 – 9,6 – 1 – 1,6 – 1,9 – 1,99

1. Donner un antécédent de – 9,6 par la fonction h. 2. Donner un antécédent de – 1,9 par la fonction h. 3. Quel nombre a pour antécédent 2 par la fonction h ? 4. Quelle est l’image de 10 par la fonction h ? 5. Quel nombre a pour image 2 par la fonction h ?

54 On considère la fonction f définie par : f(x) = −2x2 + x

1. Quelles affirmations sont exactes ? a. – 15 est un antécédent de 3 par la fonction f. b. 3 est un antécédent de – 15 par la fonction f. c. – 1 a pour antécédent 1 par la fonction f. d. 1 a pour antécédent – 1 par la fonction f. 2. Parmi les nombres suivants, quels sont les antécédents de – 10 : – 2,5 ? – 2 ? 2 ? 2,5 ? Chapitre 4 • Notion de fonction

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109

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58 Faire des lectures graphiques

Objectifs 1 2 3

55 Calculer une aire 1. Exprimer, en fonction de x, le périmètre P de la figure ci-dessous. x

A

DOMAINE 1 DU SOCLE

Roberto le roi de la pétanque lance sa boule pour tenter de la plomber juste à côté du cochonnet. Ce graphique représente la hauteur de sa boule de pétanque en fonction du temps.

B

Hauteur (en m) 6

2

D

C

4 2

E

56 Faire des lectures graphiques

Soit g une fonction représentée graphiquement par la courbe # : #

0

C

0,2 0,2

S

P

E

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 1. Quelle est l’image de 0 par la fonction g ? Quelle est l’image de 0,6 par la fonction g ? 2. Quels nombres ont pour image 0 par la fonction g ? 3. Peut-on affirmer qu’au moins trois nombres ont pour image – 0,1 par la fonction g ? 4. Pour – 0,8 , x , – 0,2, donner une valeur approchée de la plus grande image par g.

57 Tracer une courbe point par point à la calculatrice

1. À l’aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau de valeurs : x

– 1,2 – 1 – 0,8 – 0,6

f (x) =

x2

0,8

1,2

1,6

2,0

Temps (en s)

Plomber une boule, c’est faire en sorte qu’elle ne roule pas après avoir touché le sol.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique en donnant éventuellement une valeur approchée. 1. À quelle hauteur la boule se trouve-t-elle après une demi-seconde ? après une seconde et demie ? 2. Durant combien de temps la boule se trouvet-elle à plus de 5 mètres du sol ? 3. Quelle hauteur maximale la boule atteint-elle ? Combien de temps met-elle pour atteindre cette hauteur ? 4. Au bout de combien de temps, la boule de pétanque retombe-t-elle au sol ?

IM

2. Calculer ce périmètre pour x = 4, puis pour x = 5,5. 3. Exprimer, en fonction de x, l’aire A de la figure. 4. Calculer cette aire pour x = 6, puis pour x = 7. 3

0,4

E

F

N

0

1,8 2

– 3x

Calculatrice 14

2. Représenter graphiquement les données du tableau dans un repère. On prendra 1 cm en abscisse pour 0,2 unité et 1 cm en ordonnée pour 0,5 unité.

59 Appliquer des programmes de calcul DOMAINE 4 DU SOCLE

On donne les programmes de calculs suivants : Programme n° 1 • Choisir un nombre • Prendre son carré • Ajouter 5

Programme n° 2  • Choisir un nombre • Ajouter 5 • Prendre son carré

1. Appliquer les deux programmes en choisissant le nombre 3 au départ. 2. On considère les deux fonctions f et g définies par f (x) = (x + 5)2 et g (x) = x2 + 5. Associer chacune des fonctions f et g à l’un des programmes de calcul ci-dessus. 3. On considère la fonction h définie par : h (x) = (x + 3)2 Écrire un programme de calcul correspondant à la fonction h.

110

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REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

60 Utiliser le théorème de Thalès

C

On considère un triangle ABC E rectangle en B tel que AB = 5 cm et BC = 3 cm. x D B D est un point A quelconque du segment [AB]. La droite perpendiculaire à [AB] et passant par D coupe le segment [AC] en E. On pose AD = x. 1. En appliquant la formule de Thalès, exprimer la longueur ED en fonction de AD. 2. Soit f la fonction qui, à x, fait correspondre la longueur ED. Vérifier que f(x) = 3 x . 5 3. Recopier et compléter le tableau de valeurs : 0

x

1

2

3

4

4. Quelle est l’image de 2,5 par f ? Donner une interprétation géométrique de ce résultat.

61 Résoudre une équation

C

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer toutes les valeurs entières comprises entre 1 et 6 prises par la fonction f : x ∞ x2 + 1,8x – 16. Calculatrice 14

3

3,1

f (x)

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

P

Calculatrice 14

E

2. À l’aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau de valeurs : x

3. En déduire une solution de l’équation : x2 + 1,8x – 16 = 0 4. Faire de même pour trouver une solution de l’équation x2 – 3,5x + 3 = 0.

S

Mejda dispose d’un petit plat à tajine qui a la forme d’un cône de révolution de hauteur 6 cm. On pose x le rayon de sa base. 1. Démontrer que la fonction V qui donne le volume du plat en fonction de x est définie par : V(x) = 2πx2 2. Le volume du plat est-il proportionnel au rayon de la base ? 3. Calculer l’image par V des nombres 5, 10 et 12. On donnera les valeurs exactes et les valeurs arrondies de ces images à 10 –2 près. 4. Trouver un antécédent de 128π et représenter dans ce cas une vue de face du plat.

IM

f (x)

5

63 Résoudre un problème de volume

N

MODÉLISER

E

CALCULER

62 Utiliser la courbe d’une fonction

DOMAINE 2 DU SOCLE

On considère la fonction g définie par : g(x) = x − 6 5− x 1. Quelle est l’image de 6 par la fonction g  ? En déduire que le point A(6 ; 0) appartient à la courbe représentative # de la fonction g. 2. Montrer que le point B(4 ; – 2) appartient à #. 3. Le point K(10 ; – 1) appartient-il à # ? 4. Expliquer pourquoi il n’existe pas de point d’abscisse 5 qui appartient à la courbe #.

64 Résoudre graphiquement une équation DOMAINE 3 DU SOCLE

Soit f et g deux fonctions. On a représenté cidessous la courbe représentative #1 de f et la courbe représentative #2 de g : #1 #2 1

0

1

1. En s’aidant des graphiques, associer chacune des expressions suivantes aux fonctions f et g : x ! x + 1 et x ∞ x2. 2 2. Peut-on affirmer que l’image de 1 par la fonction f est égale à l’image de 1 par la fonction g ? Expliquer. 3. Existe-t-il au moins un nombre dont son image par la fonction f est égale à son image par la fonction g ? 4. En déduire deux valeurs approchées de x pour lesquelles x + 1 = x2 . 2

65 Résoudre un problème ouvert

À l’aide d’une représentation graphique, déterminer une valeur approchée du rayon d’un cercle dont l’aire est égale à celle d’un carré de côté 5 cm. Chapitre 4 • Notion de fonction

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111

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Dans les autres matières Les tableaux ci-dessous présentent l’évolution de la population mondiale en millions d’habitants. Années 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Millions 250 200 200 225 250 400 375 575 950 d’hab. Années 1900 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Millions 1650 2525 3025 3700 4450 5275 6100 6850 d’hab.

2. Commenter l’allure de la courbe à partir de 1900 et en donner une interprétation démographique. 3. La peste noire a ravagé une partie de l’Europe. À l’aide du graphique, retrouver l’époque où elle a sévi.

67 Distance de freinage

La distance de freinage f d’un véhicule (en m) est fonction de sa vitesse v (en km/h). Sur route sèche, elle est donnée par la formule : 2 f(v) = v 155 1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : 20

40

60

80

100 120 140 160

E

v

N

66 Population mondiale

f(v)

IM

2. Représenter graphiquement les données du tableau dans un repère. On prendra : • 1 cm en abscisse pour 10 km/h ; • 1 cm en ordonnée pour 10 m. On reliera les points à main levée. 3. Peut-on affirmer que la distance de freinage d’un véhicule est proportionnelle à sa vitesse ?

E

C

1. Sur papier millimétré, représenter les données des tableaux par une courbe correspondant au nombre d’habitants en fonction des années. On prendra : • 1 cm en abscisse pour 100 ans ; • 1 cm en ordonnée pour 250 millions d’habitants.

Enseignement Pratique Interdisciplinaire Mathématiques & Physique-chimie

P

Sciences, technologie et société

Des courbes vertigineuses

S

Le Kingda Ka du parc de loisirs, Six Flags Great Adventure aux États-Unis est la plus haute montagne russe du monde. Les courbes de ce grand huit, qui culminent à 139 m, emmènent le train dans une chute vertigineuse qui lui permet d’atteindre la vitesse de 206 km/h. Les forces centrifuges exercées sur les armatures sont considérables. Pour cette raison, lors de la conception d’un grand huit, l’étude des courbes est confiée à des mathématiciens.

Projet

Rechercher des courbes mathématiques remarquables qui trouvent leurs applications dans de nombreux domaines de la physique, les représenter point par point et effectuer des lectures graphiques pour comprendre à quoi elles correspondent dans la réalité. Notions mathématiques : Fonctions • Représentation graphique 112

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ues

mathématiq

à la maison 72 Courbe point par point

Demander à un(e) camarade de choisir un nombre entier compris entre 1 et 10, puis, lui dicter les calculs suivants : – multiplier par 3 l’entier qui suit le nombre choisi ; – enlever 3 au résultat ; – soustraire le nombre de départ. Pour retrouver le nombre choisi par le ou la camarade, il suffit de prendre la moitié du résultat qu’il ou elle donnera après calculs. Pourquoi ?

1. Recopier et compléter le tableau suivant : x

x2

x2 2

16

8

2 f (x) = x + 5 – 3x 2

1 2 3 4

12

1

E

13

6 7 8

IM

Les quatre récipients ci-dessous ont le même volume et la même hauteur. On les remplit à ras bord avec un même robinet dont le débit est constant.

3x

0

5

69 Les récipients

x2 + 5 2

N

Mathémagie

68

9

2

1

4

3

Courbe 4

S

P

Courbe 3

Courbe 2

E

Courbe 1

C

Les courbes représentant la hauteur d’eau en fonction du temps de remplissage sont tracées ci-dessous. Associer chaque récipient à sa courbe :

70 Défi !

La fonction inverse est définie par f : x ! 1 . x Elle renvoie l’inverse d’un nombre. Saurais-tu calculer f (f (f (2))) ?

71 Énigme

 : Voici trois fonctions f, g et h telles que 2 +5 (x) h = (x) g f (x) = g (x) et est l’image lle que 4, à le éga Si l’image de 0 par h est de 0 par f ?

10

2. Pourquoi le point de coordonnées (4 ; 1) appartient-il à la courbe représentative de la fonction f ? 3. Dans un repère, placer les points de la courbe de la fonction f correspondants aux différentes valeurs de x du tableau. Relier ces points à main levée.

73 Images et antécédents On considère trois fonctions f, g et h définies par : • f(x) = 2x − 7 • g(x) = x2 • h(x) = 1 x−3 1. Calculer f (1), g (1) et h (1). 2. Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant : f(0), g(0) et h(0). 3. Ranger les nombres suivants dans l’ordre décroissant : f(2), g(2) et h(2). 4. Comparer les images de –1 par la fonction g et par la fonction h. 5. a. Résoudre les équations f(x) = 1 et h(x) = 1. b. Peut-on en déduire que des antécédents de 1 par les fonctions f et h sont égaux ? Expliquer. 6. Expliquer pourquoi 3 ne possède pas d’antécédent par h. 7. Expliquer pourquoi f ne possède pas d’antécédent de nombre négatif. Chapitre 4 • Notion de fonction

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113

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Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

Programmes de calcul et fonctions Démontrer qu’une même fonction peut posséder différentes expressions.

40’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

On considère les trois programmes de calcul suivant : Programme B • Choisir un nombre • Ajouter 10 • Élever le résultat au carré • Soustraire 100

Programme C  • Choisir un nombre • L’élever au carré • Ajouter au résultat précédent le produit de 20 par le nombre de départ

N

Programme A • Choisir un nombre • Ajouter 20 • Multiplier le résultat précédent par le nombre de départ

E

1 Quel résultat donne le programme A si le nombre choisi au départ est 5 ? Même question pour le programme B et le programme C.

IM

2 a. À l’aide d’un tableur, calculer les résultats donnés par le programme A pour tous les nombres entiers compris entre 0 et 100. Tableur 1, 2 et 3 b. Même question pour le programme B et le programme C. c. À partir des résultats précédents, quelle conjecture peut-on faire ?

La balle de tennis

P

2

E

C

3 Pour la suite, x désigne le nombre choisi au départ. On appelle f la fonction exprimant le résultat obtenu à l’aide du programme A, g la fonction exprimant le résultat obtenu à l’aide du programme B et h la fonction exprimant le résultat obtenu à l’aide du programme C. a. Justifier que f (x) = x (x + 20). b. Écrire les expressions des fonctions g et h. c. Démontrer alors le résultat conjecturé à la question 2. c.

Utiliser un logiciel pour effectuer des lectures graphiques. Difficulté mathématique

S

30’

Difficulté technique

Une machine lance une balle de tennis vers un joueur. On note t le temps (en seconde) qui s’est écoulé depuis que la balle a été lancée par la machine. La hauteur h (en mètre) de la balle est donnée, en fonction de t, par la fonction h définie par h(t) = –10t2 + 12t.

1 À l’aide d’un logiciel, tracer la représentation graphique de la fonction h. GeoGebra 26 2 Placer un point mobile sur la courbe et afficher ses coordonnées.

GeoGebra 2

3 Répondre graphiquement aux questions suivantes en déplaçant le point. a. À quel instant t la balle retombe-t-elle au sol ? b. À quel instant t la balle atteint-elle une hauteur de 2 m ? c. À quel instant t la balle atteint-elle sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ? 4 Vérifier par le calcul les résultats conjecturés aux questions 3. a et 3. b. 114

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05/04/2016 18:59


3

Les cochons d’Inde de Thomas Résoudre graphiquement un problème d’aire maximale à l’aide d’un logiciel.

30’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

1 Calculer l’aire de l’enclos pour x = 2 m. 2 Exprimer la longueur BC en fonction de x.

E

N

Thomas veut construire un petit enclos rectangulaire pour ses cochons d’Inde. Il dispose de 6,5 m de grillage. En plaçant l’enclos contre le mur de son jardin, le grillage ne délimitera que trois côtés. Thomas place un premier poteau A contre le mur. Il veut déterminer à quelle distance x placer le poteau B afin que la surface de l’enclos soit maximale pour ses cochons d’Inde. Le dessin ci-dessous schématise la situation.

IM

3 On considère la fonction A exprimant l’aire de l’enclos en fonction de x. Démontrer que A(x) = 6,5x – 2x2.

GeoGebra 26 4 a. À l’aide d’un logiciel, tracer la représentation graphique de la fonction A. b. Placer un point mobile sur la courbe et afficher ses coordonnées. GeoGebra 2

Magie-calcul

ALGO

E

4

C

5 a. Déterminer graphiquement une valeur approchée de x pour laquelle la surface de l’enclos est maximale. b. En déduire les dimensions de l’enclos de Thomas dans ce cas. c. Quelle est la surface maximale de l’enclos ?

Prouver un résultat à l’aide de calculs algébriques. 15’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

S

P

1 a. Saisir le programme ci-contre. b. L’exécuter et le tester avec différentes valeurs données au départ. c. Que constate-t-on ? 2 Justifier ce résultat en exprimant le nombre d’arrivée en fonction du nombre de départ x. 3 Écrire alors plus simplement ce programme. À ton tour d’inventer un programme qui passe par différentes étapes de calcul et qu’il est ensuite possible de simplifier.

Chapitre 4 • Notion de fonction

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115

05/04/2016 18:59


Un cône de lumière En réalisant l’une des expériences données dans les Documents 1 et 2, tracer sur une feuille une parabole, puis à l’aide du logiciel GeoGebra, trouver l’expression algébrique générale d’une parabole.

1

DOC

2

Experience n° 1

DOC

3

Avec le logiciel

À l’aide d’une lampe de poche ou de la lumière d’un smartphone,

on peut également obtenir une parabole.

IM

Pour obtenir une parabole avec une lampe, il faut d’abord placer la lampe de façon à ce que son axe soit perpendiculaire au mur, puis l’incliner doucement comme sur le schéma ci-contre.

Experience n° 2

N

DOC

E

1

E

C

Avec GeoGebra, il est possible de tracer une parabole. Pour cela, tracer une droite et placer un point pas trop éloigné de cette droite. Sélectionner l’outil « Parabole » en cliquant sur l’icône

.

S

2

P

Cliquer sur la droite et sur le point.

Les problèmes DUDU Dans cette vidéo, un des DUDU construit un abri à buches. Il n'a qu'un nombre limité de montants pour faire sa structure mais il aimerait optimiser le volume de son abri. Peux-tu les aider ?

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr 116

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05/04/2016 18:59


5

E

C

IM

E

N

Les feux tricolores sur les routes sont synchronisés pour permettre de mieux gérer la circulation. En fin du chapitre, p. 132, tu pourras calculer à quelle vitesse rouler pour avoir tous les feux au vert sur un trajet !

S

P

Fonctions linéaires, fonctions affines

Attendu de fin de cycle Comprendre et utiliser la notion de fonction

OBJECTIFS Avant de commencer ce chapitre, fais le point sur tes connaissances sur le www.bordas-myriade.fr. site www.bordas-myriade.fr.

1

Utiliser et représenter une fonction linéaire

2

Utiliser et représenter une fonction affine

3

Déterminer une fonction affine 117

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05/04/2016 17:36


Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

Acti

é vit

1

Découvrir les fonctions linéaires

OBJECTIF

1

1 Recopier et compléter le tableau : –2

0

2

4

Ce tableau est un tableau de proportionnalité.

×3

N

2 On désigne par x un nombre de la première ligne. Écrire une expression de la fonction f donnant les nombres de la deuxième ligne en fonction de x. Une fonction de la forme x ∞ ax où a est un nombre donné est appelée fonction linéaire.

E

3 La fonction f trouvée à la question 2. est-elle linéaire ?

4 Associer, à chacune des fonctions linéaires suivantes, un programme de calcul du type « Je multiplie x par … » : a. g (x) = 7x b. h (x) = – 3x

a. x

n (x)

3 4 – 9 – 12

c. x

p (x)

–1 5

Dire que 6 est l’image de 3 par la fonction m signifie que m (3) = 6.

1 –5

E

Représenter graphiquement une fonction linéaire

P

Acti

é vit

2

b. x

4 8

C

m (x)

3 6

IM

c.  k(x) = 1 x 2 5 Pour chacun des tableaux de proportionnalité suivants, écrire une expression algébrique d’une fonction linéaire où les nombres de la deuxième ligne sont les images des nombres de la première.

OBJECTIF

1

On considère la fonction f définie par f (x) = 3x.

1 Recopier et compléter

S

le tableau ci-contre.

x –2 –1 f (x) Points de coordonnées (x ; f (x)) (– 2 ; – 6)

0

1

3

5

2 a. Dans un repère, placer les points de coordonnées (x ; f (x)) du tableau.

Un point de coordonnées (x ; f (x)) appartient à la représentation graphique de la fonction f. b. Quelle semble être la nature de la représentation graphique de la fonction f ? Tracer cette représentation. La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine.

3 Dans le même repère, représenter les fonctions g et h définies par g(x) = 2x et h(x) = – 2x. Tu peux t’aider d’un tableau de valeurs comme à la question 1.

118

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05/04/2016 17:36


Acti

é vit

3

Découvrir les fonctions affines

OBJECTIF

1

Avec la carte Reduk, collégiens et lycéens ne payent que 2 € l’entrée pour tout spectacle de leur commune. Cette carte coûte 12 €.

1 Si Martin va voir 15 spectacles cette année, vérifier que 2 a. Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de spectacles auxquels Martin a assistés

5

8

10

15

20

42

E

Prix payé (en €)

N

cela lui coutera 42 €.

b. S’agit-il d’un tableau de proportionnalité ? Expliquer.

3 On désigne par x le nombre de spectacles auxquels Martin aura assistés durant l’année.

IM

Exprimer le prix total f (x) qu’il aura payé en fonction du nombre x de spectacles vus. Une fonction de la forme x ∞ ax + b, où a et b sont deux nombres, est appelée une fonction affine.

4 a. La fonction f trouvée à la question 3. est-elle affine ?

b. Décrire la fonction f par un programme de calcul du type : « Je multiplie x par … et j’ajoute … »

4

C

Acti

é vit

Déterminer une fonction affine

OBJECTIF

E

On a représenté ci-contre la fonction g définie par g (x) = 2x. Tracer cette droite dans un repère.

4

(dg)

1 Soit la fonction affine f définie par f (x) = 2x + 3. 1 0

1

2

S

P

a.  Quelle est l’ordonnée du point de la droite (dg) d’abscisse 2  ? En déduire l’ordonnée du point de la droite (df) d’abscisse 2. b. De façon plus générale, comment trouver l’ordonnée d’un point de (df) à partir du point de (dg) de même abscisse ? c.  Que peut-on en déduire pour la représentation graphique de la fonction f ?

1

2 a. Démontrer que le point de coordonnées (0 ; 3) appartient à la droite qui représente la

fonction f définie par f (x) = 2x + 3. b. Plus généralement, démontrer que le point de coordonnées (0 ; b) appartient à la droite qui représente la fonction f : x ∞ ax + b. c. Pour la fonction f définie par f (x) = ax + b, le nombre b s’appelle l’ordonnée à l’origine. Justifier l’expression « ordonnée à l’origine » utilisée pour le coefficient b.

3 a. Démontrer que, pour la fonction f définie par f (x) = 2 x + 3, si x augmente de 1, alors f (x) augmente de 2. b. Démontrer que, pour la fonction f : x ∞ ax + b, si x augmente de 1, alors f (x) augmente de a. Pour la fonction f définie par f (x) = ax + b, le nombre a s’appelle le coefficient directeur. Chapitre 5 • Fonctions linéaires, fonctions affines

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119

05/04/2016 17:36


1

Fonctions linéaires

OBJECTIF

1

A Définition et notation Une fonction linéaire est une fonction qui, à un nombre x, fait correspondre le nombre a × x, où a est un nombre donné. On la note f : x ∞ ax ou f (x) = ax.

DÉFINITION

N

Exemple La fonction qui, à un nombre, associe son double est une fonction linéaire. On la note f : x ∞ 2x ou f (x) = 2x.

E

Lorsque l’on applique une fonction linéaire f : x ∞ a x, cela revient à choisir un nombre, puis à le « multiplier par a ».

IM

B Tableau de valeurs d’une fonction linéaire

Un tableau dont les nombres de la deuxième ligne sont les images des nombres de la première ligne par une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

PROPRIÉTÉ

C

Exemple La fonction f : x  ∞ 5x est une fonction linéaire. Un tableau de valeurs associé à la fonction f est un tableau de proportionnalité. x f (x)

–2 – 10

0 0

2 10

4 20

×5

E

En effet, les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant par 5 les nombres de la première ligne.

P

C Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ∞ ax est une droite qui passe par l’origine du repère.

S

PROPRIÉTÉ

Remarque a est appelé le coefficient directeur de cette droite. La droite représentative de la fonction f de coefficient directeur a passe par le point de coordonnées (1 ; a).

Exemple La représentation graphique de la fonction f : x  ∞ 2x est la droite passant par l’origine du repère et le point A (3 ; 6). En effet, f (3) = 2 × 3 = 6. Cette droite passe par le point de coordonnées C (1 ; 2). En effet, f (1) = 2 × 1 = 2.

A(3 ; 6)

6 5 4 3 a=2

C(1 ; 2)

1 0

1

2

3

4

120

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05/04/2016 17:36


2

Fonctions affines

OBJECTIF

2

A Définition et notation Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, fait correspondre le nombre a × x + b, où a et b sont deux nombres donnés. On la note f : x ∞ ax + b ou f (x) = ax + b.

DÉFINITION

Exemple La fonction qui, à un nombre, associe la somme de son triple et de 4 est une fonction affine. On la note f : x  ∞ 3x + 4 ou f (x) =  3x + 4.

N

B Cas particuliers

 Une fonction affine f : x ∞ ax + b est une fonction linéaire si b  = 0. En effet, dans ce cas f : x ∞ ax.

IM

C Représentation graphique

E

 Une fonction affine f : x ∞ ax + b est une fonction constante si a = 0. En effet, dans ce cas f : x ∞ b.

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine f : x  ∞ ax + b est une droite.

PROPRIÉTÉ

Remarque

C

a est appelé le coefficient directeur de la droite et b est appelé l’ordonnée à l’origine. La droite représentative d’une fonction d’ordonnée à l’origine b passe par le point de coordonnées (0 ; b).

Accroissements

3 2

b=1 C(0 ; 1)

–2

–1 0 –1

1

2

3

–2

B(2 ; –3)

–3

OBJECTIF

S

3

P

E

Exemple La représentation graphique de la fonction f : x ∞ – 2x + 1 est la droite passant par les points A (– 1 ; 3) et B (2 ; – 3). En effet, f (– 1) = – 2 × (– 1) + 1 = 3 et f (2) = – 2 × 2 + 1 = – 3. La droite passe aussi par le point de coordonnées C (0 ; 1) car f (0) = – 2 × 0 + 1 = 1.

A(–1 ; 3)

3

f est une fonction affine de la forme f : x ∞ ax + b. Si x1 et x2 sont deux nombres tels que x1 ≠ x2, alors : f ( x2 ) − f ( x1 ) a= x2 − x1

PROPRIÉTÉ

Remarque Cette propriété signifie que les accroissements de f (x) et de x sont proportionnels. Le coefficient de proportionnalité est a. a est aussi le coefficient directeur de la droite représentant f. Le coefficient directeur permet de définir la direction de la droite.

Exemple On considère la fonction affine f telle que f (2) = 4 et f (5) = 10. Le coefficient directeur de la droite représentative de f est égal à : f(5) − f(2) = 10 − 4 = 2. 5−2 5−2 Chapitre 5 • Fonctions linéaires, fonctions affines

04733295_117-136_M3e_C05.indd 121

121

05/04/2016 17:36


1 Je comprends

Utiliser et représenter

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

cela permet d’avoir un moyen de contrôler son travail. En effet, les trois points construits doivent être alignés.

Représenter graphiquement la fonction f telle que f (x) = 0,5x. La fonction f est une fonction linéaire (f (x) = ax avec a = 0,5) donc sa représentation graphique est une droite passant par l’origine.

ÉTAPE 2

ÉTAPE 1

REPRÉSENTER

CALCULER

Activités rapides

E

C

On considère la fonction f telle que f (x) = – 5x. Calculer les images par la fonction f des nombres suivants : −3 a. 6 b. – 1 c. – 3 d.  6 e. 7 25

2 Associer à chaque fonction linéaire un pro-

S

P

gramme de calcul du type : « Je multiplie … par … » a. f (x) = 6x b. g (x) = – 5x c. h (x) = 3,5x d. k(x) = 2 x 3

3 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires ? a. f (x) = 4x b. g (x) = 5 + x c. h (x) = 3x – 5 d.  k(x) = 3 x 7

vantes, laquelle est celle d’une fonction linéaire ? Expliquer. ➊ ➋ 3 3 2

2

1

1

122

2

3

–3 –2 –1 0 –1

–2

–2

–3

–3

04733295_117-136_M3e_C05.indd 122

1

2

3

3

3

2

2

1 0

1

–3 –2 –1 –1

1

2

–3 –2 –1 0 –1

3

–2

–2

–3

–3

1

2

3

5 1. Recopier et compléter le tableau suivant de façon à ce que les nombres de la première ligne aient pour images les nombres de la deuxième par la fonction f : x ∞ 3x. x f (x)

4 Parmi les représentations graphiques sui-

1

E

IM

Je m’entraine

–3 –2 –1 0 –1

N

Pour tracer une droite, il suffit d’en connaitre deux points. On en connait déjà un : l’origine du repère. On établit donc un x 0 1 6 tableau de valeurs 0 0,5 3 f (x) en choisissant trois valeurs pour x, c’est plus que le nombre de points nécessaires pour tracer la droite mais

1

C(6 ; 3)

3 On place les 2 points obte1 nus dans le B(1 ; 0,5) A(0 ; 0) repère. 0 1 2 3 4 5 6 Les points A (0 ; 0), B (1 ; 0,5) et C (6 ; 3) appartiennent à la droite représentative de f. – Si ces points ne sont pas alignés, on vérifie les calculs, puis éventuellement le placement des points. – S’ils sont alignés, on trace la droite qui passe par ces trois points.

4

7

9 33

2. S’agit-il d'un tableau de proportionnalité  ? Expliquer.

6 1. Représenter les fonctions linéaires suivantes dans un même repère : a. f : x ∞ 3x b. g : x ∞ –x c. h : x ∞ 1,5x d. k : x ∞  − 2 x 3 2. Lire graphiquement les images de 1 par chacune de ces fractions.

05/04/2016 17:36


une fonction linéaire Je résous des problèmes simples

8

Les maths autour de moi

Nombre de places

4

12

Prix avec l’option 1

24

S

P

E

C

2. S’agit-il d’un tableau de proportionnalité ? 3. Déterminer la fonction f exprimant le prix à payer en choisissant l’option 1 en fonction du nombre de places de cinéma achetées. Cette fonction est-elle linéaire ? 4. Pour l’option 2, réaliser un tableau du même type que celui de la question 1. 5. Déterminer la fonction g exprimant le prix à payer en choisissant l’option 2 en fonction du nombre de places de cinéma achetées. Cette fonction est-elle linéaire ?

9 Associer à chaque fonction linéaire f, g et h la droite représentative correspondante : • f : x ∞ 2x (d1) 4 • g : x ∞ 0,5x 3 • h : x ∞ – 4x 2

(d2)

1

(d3)

–1

0 –1

10 On a représenté ci-contre la

fonction f dans un repère. 1. La fonction f est-elle linéaire ? Justifier. 2. Lire graphiquement l’image de – 1 par la fonction f. 3. En déduire une expression algébrique de la fonction f.

4 3 2 1 –1 0 –1

11 On a représenté

2 ci-contre la fonction g dans 1 un repère. –1 0 1 2 3 4 5 1. Lire graphi–1 quement : a. l’image de 4 par la fonction g ; b. un antécédent de 1 par la fonction g. 2. Donner une expression algébrique de la fonction g, puis calculer g (9).

1

2

12 On considère la fonction linéaire

f : x ∞ 2,5x qui représente le prix de vente en euros de x kg de cacao. 1. Quelle est la nature de la représentation graphique de f ? 2. a. Quel est le prix de 3 kg de cacao ? 4 kg ? 10 kg ? b. En déduire les coordonnées de trois points appartenant à la représentation graphique de f. 3. Représenter la fonction f dans un repère. 4. Le prix au kilogramme de cacao est passé à 3,50 €. Représenter dans le repère précédent la fonction linéaire associée.

13 TOP Chrono 1. Recopier et compléter ce tableau de façon à ce que les nombres de la première ligne aient pour images les nombres de la deuxième par la fonction f : x ∞ – 6x. x f (x)

–1

0

7 54

2. Représenter la fonction f dans un repère. Chapitre 5 • Fonctions linéaires, fonctions affines

04733295_117-136_M3e_C05.indd 123

1

IM

Le cinéma Capitol propose deux options à ses clients : – option 1 : chaque place de cinéma coute 7 € ; – option 2  : le client paye un abonnement annuel de 25 € et la place de cinéma coute 4 €. 1. Recopier et compléter le tableau :

COMMUNIQUER

N

1. Écrire une expression algébrique d’une fonction donnant le périmètre du carré en fonction de x. Cette fonction est-elle linéaire ? 2. a. Écrire une expression algébrique d’une fonction donnant l’aire du carré en fonction de x. b. Cette fonction est-elle linéaire ?

CALCULER

E

7 On considère un carré de côtés de longueur x.

MODÉLISER

123

05/04/2016 17:36


2 Je comprends

Utiliser et représenter

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Représenter graphiquement la fonction f telle que f (x) = 2x – 1. La fonction f, de la forme f (x) = a x + b, est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite.

– Si ces points ne sont pas alignés, on vérifie les calculs et éventuellement le placement des points. – S’ils sont alignés, on trace la droite passant par ces trois points. 7

+2

ÉTAPE 1

5

3

C(2 ; 3)

2 1

B(1 ; 1)

–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 A(0 ; –1) La droite représentative de f coupe l’axe des ordonnées au point A de –2 coordonnées (0 ; –1). En effet, l’ordonnée à l’origine de la droite est –1.

Je m’entraine

C

On place les points du tableau dans un repère. Les points A (0 ; – 1), B (1 ; 1) et C (2 ; 3) appartiennent à la droite représentative de f.

14

Le coefficient directeur de la droite est 2 donc, lorsque x augmente de 1, f (x) augmente de 2.

+1

IM

ÉTAPE 2

4

E

Pour tracer une droite, x 0 1 2 il suffit d’en connaitre –1 1 3 f (x) deux points. On établit donc un tableau de valeurs en choisissant trois valeurs pour x afin de pouvoir contrôler ensuite le travail effectué.

N

6

CALCULER

Activités rapides

P

E

On considère la fonction f telle que f (x) = – 4x– 7. Calculer les images par la fonction f des nombres suivants : e.  − 1 a. 8 b. – 4 c. – 2 d.  3 3 2

REPRÉSENTER

b. g (x) =  1 x− 3 4 4 d. k (x) =  − 1 x 3

18 a. f (x) = 4 c. h (x) =  − 1 x + 5 2

19 Représenter dans un repère la fonction affine dont la droite représentative a pour coefficient directeur – 3 et pour ordonnée à l’origine – 2.

15 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont 20 Donner le coefficient directeur et l’ordonnée à

S

des fonctions affines ? a. f (x) = 6x – 3 c. h(x) = 1 + 7 x

b.

g (x) = – 4x2

d. k(x) = x − 5 2

l’origine de chacune des droites (d1), (d2), (d3) et (d4) représentant respectivement les fonctions f, g, h et k. (d1)

Pour les exercices 16 à 18 , représenter graphiquement la fonction dans chaque cas.

16 a. f (x) = 3x – 2 c. h (x) = – x + 1

17 a. f (x) = 0,5x + 4 c. h (x) = – 2x – 6

b. g (x) = – 2x + 4 d. k (x) = – 3x b. g (x) =  3 x – 1 2 d. k (x) =  x + 1 4

(d4) 5 4 3 2

(d3) –3 –2 –1

(d2)

1 0 –1

1

2

3

4

124

04733295_117-136_M3e_C05.indd 124

05/04/2016 17:36


une fonction affine Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

CALCULER

COMMUNIQUER

21 Parmi les représentations graphiques suivantes, 25 On considère les fonctions affines suivantes : quelles sont celles d’une fonction affine ? Quelles sont celles d’une fonction linéaire ? (#2)

1 –1 0 –1

2

1

3

4

5

6

7

8

(#4)

–2 –3

22 Pour chacune des fonctions affines suivantes,

26 On considère un triangle dont les côtés mesurent

5 cm, 4 cm et x cm . La hauteur relative au côté de longueur x mesure 6 cm. 1. Donner une expression algébrique d’une fonction donnant, en centimètre, le périmètre du triangle en fonction de x. Cette fonction est-elle affine ? Est-elle linéaire ? 2. Donner une expression algébrique d’une fonction donnant, en centimètre carré, l’aire du triangle en fonction de x. Cette fonction est-elle affine ? Est-elle linéaire ?

IM

donner le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de leur représentation graphique. a. f (x) = 4x + 5 b. g (x) = – 2x – 5 c. h (x) = 6 d. k (x) = 7 – 5x

23 1. Recopier et compléter le tableau par lecture graphique.

C

Droite Coefficient directeur Ordonnée à l’origine (d2) (d1)

E

4

0,5 5

4

(d1)

P

3 2 1

–1 0 –1

S

–2

• k (x) = 3x – 14

Quelle semble être la nature du quadrilatère délimité par les droites représentatives de ces quatre fonctions ?

(#3)

(#1)

• h (x) = − 41 x + 49

N

2

• g (x) = 3x – 1

E

3

• f (x) = − 41 x  + 5,5

(d3)

(d4)

(d2) 1

2

3

4

5

6

2. Donner une expression des fonctions affines représentées par les droites (d1), (d2), (d3) et (d4).

24 On considère les fonctions affines suivantes :

27 Les maths autour de moi Voici l’offre d’un opérateur de téléphonie mobile : TELTEL+ 2 € par mois pour 180 minutes de communication + 0,05 € par minute de dépassement. 1. Chaque mois, Tom consomme plus que les 180 minutes comprises dans son forfait. Écrire une expression algébrique d’une fonction donnant le prix qu’il devra payer en fonction du temps total de communication en minutes en cas de dépassement de forfait. 2. Cette fonction est-elle affine ? linéaire ? 3. Au mois d’octobre, Tom a téléphoné durant 6 h 42 min. Combien a-t-il dû payer ?

• f (x) = x + 3 • g (x) = 2x – 1 • h (x) = – x + 5 Trouve la solution de cette énigme : « Je suis un point à coordonnées entières compris entre les droites qui représentent les trois fonctions f, g et h. Quelles sont mes coordonnées ? »

28 TOP Chrono On considère la fonction affine f : x ∞ – 5x + 4. Calculer les images de 0, 1 et 2 par la fonction f, pour représenter la fonction f dans un repère.

Chapitre 5 • Fonctions linéaires, fonctions affines

04733295_117-136_M3e_C05.indd 125

125

05/04/2016 17:36


3 Je comprends

Déterminer

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

f est une fonction affine telle que f (1) = – 1 et f (3) = 5. Donner une expression algébrique de la fonction f.

On calcule le coefficient directeur a. On applique la formule du cours (paragraphe 2).

Je m’entraine 29

D’après l’énoncé, f (1) = – 1 donc 3 × 1 + b = – 1. On résout cette équation d’inconnue b : 3 + b = – 1 b = – 1 – 3 b = – 4, donc f (x) = 3x – 4. ÉTAPE 3

On conclut. L’expression algébrique de la fonction f est donc f (x) = 3x – 4.

IM

a = f(3) − f(1) = 5 − (−1) = 6 = 3 , 2 3−1 3−1 donc le coefficient directeur est égal à 3.

On vient de prouver que f s’écrit sous la forme f (x) = 3x + b.

E

ÉTAPE 1

On calcule l’ordonnée à l’origine b.

N

f est une fonction affine, elle s’écrit donc sous la forme f (x) = ax + b.

ÉTAPE 2

CALCULER

33 g est une fonction affine telle que g (4) = – 1 et

Activités rapides

E

C

Dans chaque cas, déterminer l’expression algébrique de la fonction passant par les points A et B : a. A (0 ; 0) et B (1 ; 1) b. A (0 ; 3) et B (4 ; 3) c. A (– 5 ; – 3) et B (3 ; – 3) d. A (0 ; 0) et B (8 ; 0) e. A (0 ; 0) et B (2 ; 6) f. A (0 ; 1) et B (1 ; 2)

g (5) = – 4. Donner une expression algébrique de la fonction g.

34 h est une fonction affine telle que  h (2)  =  0 et

h (8) = – 3. Donner une expression algébrique de la fonction h.

P

30 f est une fonction affine de la forme f (x) = ax + b 35 f est une fonction affine telle que f (– 2) = – 1 et

S

telle que f (1) = 1 et f (2) = 3. 1. Calculer a. 2. Calculer b. 3. En déduire une expression algébrique de la fonction f.

31 g est une fonction affine de la forme g (x) = ax + b telle que g (– 1) = 3 et g (3) = 1. 1. Calculer a. 2. Calculer b. 3. En déduire une expression algébrique de la fonction g.

32 f est une fonction affine telle que  f (4)  =  1 et

f (7) = 2. Donner une expression algébrique de la fonction f.

f (6) = 3. 1. Donner une expression algébrique de la fonction f. 2. Préciser la nature de la fonction f.

36 g est une fonction affine telle que g (5) = – 6 et

g (6) = – 6. 1. Donner une expression algébrique de la fonction g. 2. Préciser la nature de la fonction g.

37 Vu au brevet (QCM)

La fonction affine f vérifie f (0) = 1 et f (1) = 2. f est définie par : A : f (x) = x – 1 B : f (x) = x + 1 C : f (x) = 3x – 1 D : f (x) = 3 – x

126

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une fonction affine Je résous des problèmes simples 4 3 2 1

ci-contre la fonction f B dans un repère. 1. À l’aide des points A et B, donner deux –1 0 1 2 3 nombres et leurs images par la fonction f. 2. En déduire une expression algébrique de la fonction f.

39 On a représenté

42 On a représenté

5 ci-contre la fonc4 tion affine f dans un 3 repère. 2 1. Le point M (3 ; 3,5) 1 semble-t-il appartenir à la droite repré0 1 2 3 4 5 6 sentative de f ? 2. a. En utilisant les nœuds du quadrillage, donner deux points qui appartiennent à la droite représentative de f. b. En déduire une expression algébrique de la fonction f. 3. Vérifier par le calcul le résultat de la question 1.

IM

2 ci-contre la foncB 1 tion f dans un 0 repère. – 2 –1 1 2 3 4 5 –1 1. À l’aide des A –2 points A et B, donner deux nombres et leurs images par la fonction f. 2. En déduire une expression algébrique de la fonction f.

COMMUNIQUER

N

A

CALCULER

E

38 On a représenté

MODÉLISER

40 On

Joe le taxi a déjà fait deux courses ce matin : une course de 20 km pour 59 € et une course de 45 km pour 114 €. Le prix de chaque course est composé d’un montant fixe que l’on appelle la prise en charge et d’un prix au kilomètre. Un nouveau client lui demande le prix d’un trajet de 57 km. Aider Joe à répondre en calculant ce prix.

S

P

E

C

a représenté 2 ci-contre dans un repère 1 la fonction affine f. 1. Le point M (2  ; 0,8) 0 1 2 3 4 5 semble-t-il appartenir à la droite représentative de f ? 2. a. En utilisant les nœuds du quadrillage, donner deux points qui appartiennent à la droite représentative de f. b. En déduire une expression algébrique de la fonction f. 3. Vérifier par le calcul le résultat de la question 1.

43 Les maths autour de moi

41 Le professeur Myriadus a demandé de déter-

miner une expression algébrique de la fonction linéaire f telle que f (5) = 1. Que peut-on penser de la solution rédigée par Julie ? f est une fonction linéaire donc elle s'écrit sous la forme f (x) = ax. On sait que f (5) = 1 donc 5 × x = 1 et donc x = 1 . 5 On en déduit que f (x) = 1 a . 5

44 1.TOP Chrono g est une fonction affine de la forme g : x ∞ ax + b telle que g (2) = – 10 et g (4) = – 22. 1. Calculer a. 2. Calculer b. 3. En déduire une expression algébrique de la fonction g.

Chapitre 5 • Fonctions linéaires, fonctions affines

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127

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Je fais le point sur mon cours

Corrigés page 279

A

B

C

45 Une fonction linéaire est de la forme :

f (x) = a + x

f (x) = ax

f (x) = ax + b

46 La représentation graphique d’une

une droite verticale

une droite passant par l’origine du repère

une courbe

fonction linéaire est :

linéaire a pour coefficient directeur 5. Elle passe donc par le point de coordonnées :

48 Une fonction affine est de la forme :

(1 ; 5)

a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l’origine b

IM

49 La droite représentative de la fonction f : x ∞ ax + b :

(0 ; 5)

(5 ; 0)

f (x) = ax

f (x) = ax + b

a pour ordonnée à l’origine a et pour coefficient directeur b

a pour coefficient directeur x et pour ordonnée à l’origine a

E

f (x) = a + x

N

47 La droite représentative d’une fonction

C

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

Je fais le point sur mes objectifs

E

1

Utiliser et représenter une fonction linéaire

Corrigés page 279

3. En déduire une expression algébrique de la fonction f. 4. Vérifier par le calcul le résultat de la question 1.

P

50 On considère la fonction linéaire f telle que 53 Le vaisseau spatial des Saturnos se dirige droit

S

f (x) = – 9x. Calculer les images par la fonction f des nombres suivants : a. 6 b. – 1 c. 0 d.  4 3

51 Représenter les fonctions linéaires suivantes dans un même repère : a. f (x) = – 3,5x b.  g(x) = x 3

52 On a représenté ci-contre dans un repère la fonction linéaire f.

1 – 5 – 4 – 3 – 2 –1 0 –1

1

vers la Terre à une vitesse de 12 000 km/min. 1. Soit f la fonction qui exprime la distance parcourue en kilomètre en fonction du temps en minute. Donner une expression de la fonction f. 2. Quelle distance parcourt le vaisseau en un jour ? 3. Le vaisseau se trouve actuellement à 50 millions de kilomètres de la Terre. Dans combien de temps nous aura-t-il rejoints ?

2

1. Le point M (– 2,5 ; 0,5) semble-t-il appartenir à la droite représentative de f ? 2. Déterminer le coefficient directeur de la droite. 128

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Accompagnement personnalisé 54 Soit f : x ∞ 0,3x la fonction qui exprime le nombre

2. Déduire des questions 1. c. et 1. d. une expression algébrique de la fonction g. de pages imprimées par la photocopieuse du collège en fonction du temps en seconde. 3. Calculer l’image de 13 par la fonction g. 1. Mme Ducarré, professeur de mathématiques dispose de 5 minutes avant son prochain cours. 58 Représenter les fonctions affines suivantes dans un même repère : Aura-t-elle le temps d’imprimer un devoir pour a. f (x) = 3x − 6 b.  g(x) = 2 x + 2 ses deux classes de 27 élèves ? 5

59 1. Une séance de cinéma coute 8,50  euros.

IM

2. M. Le Dico, professeur de français, a passé plus de 8 minutes à photocopier un ouvrage. En considérant que la photocopieuse a fonctionné sans interruption, combien de photocopies a-t-il faites ?

E

N

Calculer le prix à payer pour un groupe de 4 personnes. 2. On propose aux étudiants une carte d’abonnement de 22 euros par an qui permet de payer chaque séance 6 euros. Quel est le prix à payer pour 8 séances ? 3. On note : • x le nombre de séances ; •  N (x) le prix à payer pour x séances au tarif normal ; •  A (x) le prix à payer pour x séances au tarif abonné. a. Exprimer N (x) en fonction de x. b. Exprimer A (x) en fonction de x. 4. Représenter graphiquement la fonction N et la fonction A en prenant : – en abscisse : 1 cm pour 1 séance ; – en ordonnée : 1 cm pour 10 euros. 5. a. Résoudre l’équation : 8,5x = 22 + 6x. b. En déduire le nombre de séances au-delà duquel il est intéressant de prendre une carte d’abonnement. c. Vérifier graphiquement ce résultat.

2

C

Utiliser et représenter une fonction affine 55 On considère la fonction affine f telle que :

P

E

f(x) = − 2 x + 4 5 Calculer les images par la fonction f des nombres suivants : a. 5 b. – 15 c. – 7 d. 11

56 On considère la fonction affine f telle que :

S

f (x) = – 7x + 3 Calculer les antécédents par la fonction f des nombres suivants : a. – 4 b. 17 c. – 18 d. 20

57 On a représenté ci-contre la fonction affine g dans un repère.

2 1 – 2 –1 0 –1

1 2 3 4 5

1. Lire graphiquement : a. l’image de 4 par la fonction g ; b. un antécédent de 2 par la fonction g ; c. l’ordonnée à l’origine de la droite représentative de la fonction g ; d. le coefficient directeur de cette droite.

3

Déterminer une fonction affine 60 f est une fonction affine de la forme f (x) = ax + b telle que f (2) = 5 et f (4) = 9. 1. a. Calculer a. b. Calculer b. 2. En déduire une expression algébrique de la fonction f.

61 f est une fonction affine telle que  f (4) = – 1 et

f (6) = – 6. 1. Donner une expression algébrique de la fonction f. 2. Préciser la nature de la fonction f.

Chapitre 5 • Fonctions linéaires, fonctions affines

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129

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64 Résoudre graphiquement un problème

Objectifs 1 2 3

62 Déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine

On a représenté dans un repère les droites (a), (b), (c), (d), (e) et (f) : (e)

6

(a)

D

F

C

Salle à manger

Cuisine

(f)

5

(d)

Norbert Balaize, cuisinier de profession, vient d’acheter un local qu’il va aménager en restaurant. Le local peut être assimilé au trapèze schématisé ci-dessous :

4

A

2 1

–3 –2 –1 0 –1

(c)

1

2

3

4

5

6

7

B

On donne AB = 19 m, CD = 12 m et AD = 8,4 m. Norbert veut faire construire un mur EF perpendiculaire aux bases du trapèze pour séparer la cuisine et la salle à manger de façon à ce que les deux pièces aient la même surface.

E

(b)

E

N

3

–2 –3

IM

–4

63 Utiliser les fonctions

C

Quelle droite possède : a. le plus grand coefficient directeur ? b. le plus petit coefficient directeur ? c. le plus petit coefficient directeur positif ? d. la plus grande ordonnée à l’origine ? e. la plus petite ordonnée à l’origine ?

S

2.

P

E

Un site propose de télécharger des chansons. Si l’internaute paie un abonnement forfaitaire annuel, il pourra télécharger autant de chansons qu'il le souhaite à un tarif unitaire intéressant. 1. Démontrer que le prix à payer en fonction du nombre de chansons téléchargées s’exprime par une fonction affine. Sur ce site, j’ai téléchargé cette année 142 chansons et j’ai payé (abonnement compris) 98,20 €.

Sur le même site, j’ai téléchargé cette année 123 chansons pour 86,80 € (abonnement compris).

Donner une expression algébrique de la fonction affine de la question 1. 3. En déduire le prix de l’abonnement et le prix d’une chanson. 4. Combien paiera Mathys, un abonné du site, pour télécharger 267 chansons ?

1. Dans le cas où AE = 4 m, calculer l’aire de la cuisine et celle de la salle à manger. Cette situation conviendra-t-elle à Norbert ? 2. On note x la longueur AE. a. Exprimer, en fonction de x, l’aire f (x) de la cuisine, puis l’aire g (x) de la salle à manger. Pour calculer l’aire d’un trapèze, tu peux le partager en deux triangles.

b. Quelle est la nature des fonctions f et g ? 3. Représenter graphiquement dans un même repère les fonctions f et g. 4. Déterminer par lecture graphique une valeur approchée de la solution au problème de Norbert. 5. Résoudre l’équation f (x) = g (x), puis en déduire la valeur exacte de la solution au problème de Norbert.

65 Chercher les coordonnées de points

On considère la fonction linéaire h telle que : h(x) = 2 x 5 Les points A (– 5 ; m) et B (n ; – 4) appartiennent à la représentation graphique de h. Calculer m et n.

130

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REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

CALCULER

70 Résoudre un problème

1. Représenter dans un repère la fonction linéaire f dont la droite représentative (d) a pour coefficient directeur – 2. 2. Tracer la droite (d’) perpendiculaire à (d) passant par l’origine du repère. 3. a. Quel semble être le coefficient directeur de (d’) ? b. En déduire une expression algébrique de la fonction g dont la représentation graphique est (d’).

67 Interpréter le coefficient directeur

DOMAINE 3 DU SOCLE

71 Compléter un tableau de valeurs

C

68 Démontrer la proportionnalité des accroissements DOMAINE 4 DU SOCLE

P

E

f est une fonction affine de la forme f (x) = ax + b. On donne deux nombres x1 et x2 tels que x1 ≠ x2. 1. Démontrer que f (x1) – f (x2) = ax1 – ax2. 2. Factoriser le second membre de cette égalité. f(x2 ) − f(x1) . 3. En déduire que a = x2 – x1 4. Que vient-on de démontrer ?

S

69 Résoudre un problème

DOMAINE 5 DU SOCLE

Deux personnes quittent Strasbourg au même moment pour se rendre à Paris. L’une emprunte le TGV et fera le trajet Strasbourg-Paris d’une longueur de 506 km en 2 h 20 min ; l’autre utilise la voiture et fera le trajet Strasbourg-Paris d’une longueur de 490 km en 4 h 10 min. On suppose que les véhicules roulent à vitesse constante (leur mouvement est alors dit «  uniforme »). À quelle distance de Paris se trouve le conducteur de la voiture au moment où le TGV arrive à la gare de l’Est à Paris ?

DOMAINE 2 DU SOCLE

f est une fonction affine. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : x f (x)

IM

On considère les fonctions linéaires f, g et h dont les droites représentatives (d), (d’) et (d’’) ont pour coefficients directeurs respectifs 2, 5 et 8. 1. Sur quelle droite le point d’abscisse 1 a-t-il l’ordonnée la plus grande ? 2. Sur quelle droite le point d’abscisse – 4 a-t-il l’ordonnée la plus grande ? 3. Sur quelle droite le point d’ordonnée 2 a-t-il l’abscisse la plus petite ?

Paulo l’escargot est le plus lent de tous les escargots du monde. Il avance à la vitesse de 12 cm par minute. 1. Soit f la fonction qui exprime la distance parcourue par Paulo en centimètre en fonction du temps en minute x. Donner une expression algébrique de la fonction f. 2. Ce matin, Paulo a repéré une feuille de salade qui se trouve à 4 m de lui. Combien de temps lui faudra-t-il pour la rejoindre ? Donner le résultat en minute et seconde.

N

66 Déterminer une fonction

MODÉLISER

CHERCHER

E

RAISONNER

72 Aller plus loin

29

–2 19

11 – 16

15 – 66

DOMAINE 1 DU SOCLE

On a représenté 3 ci-contre la fonction affine définie 2 par f (x) = 2x – 1. 1 On dit qu’une fonction est crois–1 0 1 2 3 4 sante si, pour des –1 valeurs de x choisies croissantes, leurs images restent dans le même ordre. 1. La fonction f est-elle croissante ? Justifier. 2. Dans un repère, tracer une autre fonction affine également croissante. 3. Comment pourrait-on définir une fonction décroissante ? 4. La fonction affine g définie par g (x) = – 3x + 4 est-elle décroissante ? Justifier. 5. Dans le repère précédent, tracer une autre fonction affine décroissante. 6. Comment peut-on déterminer si une fonction affine est croissante ou décroissante à l’aide de son coefficient directeur ? Étudier les variations d’une fonction affine, c’est savoir si elle est croissante ou décroissante.

D’après activité Tice – Académie de Strasbourg. Chapitre 5 • Fonctions linéaires, fonctions affines

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131

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Dans les autres matières 73 Les téléviseurs

On souhaite comparer l’énergie consommée par deux téléviseurs. L’énergie, donnée en wattheure, se calcule comme le produit de la puissance de l’appareil, en watt, par la durée d’utilisation, en heure. Puissance 145 W 105 W

Modèle 1 Vision LCD Modèle 2 Pulse LED

74 Ca souffle…

Le nœud est une unité de mesure de vitesse utilisée dans l’aviation et la marine. 1. Tina la guerrière prétend que son petit horsbord est plus rapide qu’une voiture. Sa vitesse maximum est de 45 nœuds. A-t-elle raison ? 2. Avec son planeur, Tina vole à une vitesse environ égale à 70 km/h. Son ami lui avait conseillé de ne pas dépasser 50 nœuds. A-t-elle suivi son conseil ?

C

IM

E

N

1. a. Exprimer, à l’aide d’une fonction f, l’énerDonnées gie consommée par le Modèle 1 en fonction de • 1 nœud = 1 mille/h • 1 mille ≈ 1 852 m. la durée d’utilisation. b. Exprimer, à l’aide d’une fonction g, l’énergie consommée par le Modèle 2 en fonction de la 75 Instructions for computations durée d’utilisation. 1. Harry chooses a number, then multiplies it 2. Pour chacun des deux téléviseurs, calcuby 5 and adds 7 to the result. ler l’énergie consommée, en wattheure, durant Check to see if Harry chooses 4 as starting num3 heures d’utilisation. ber, then the final number is 27. 3. Pour une utilisation moyenne de 3 heures par 2. If we call x the starting number, write the forjour, calculer l’économie réalisée au bout d’un mula of a function f which gives the final numan en choisissant le téléviseur consommant le ber in function of x. Is this an affine function? moins d’énergie. Données 3. Which starting number must Harry choose if • Prix du kWh : 0,15 € • 1 000 W = 1 kW. he wants the final number to be 19 ? Enseignement Pratique Interdisciplinaire

L’écho

E

Sciences, technologie et société

Mathématiques & Sciences physiques & SVT

S

P

En montagne, lorsque l’on crie face aux parois d’une falaise, ce cri nous revient après un certain temps. Le déplacement du son est alors fonction du temps. Le son est une onde qui se propage dans l’air à la vitesse de 340 m/s. Les ondes sonores du cri émis se réfléchissent sur les parois de la falaise pour nous renvoyer le son émis. Sur le même principe, la chauvesouris utilise la réflexion des ultrasons pour se diriger ou se nourrir. À la manière d’un écho, le cri de la chauvesouris se réfléchit sur sa proie pour lui permettre de la localiser et de la capturer. Les phénomènes d’écho sont nombreux. On en trouve même en astronomie.

Projet

Étudier le phénomène de l’écho en effectuant quelques expériences en plein air, puis effectuer les calculs liés aux données collectées, en faire des représentations géométriques, etc. On pourra calculer, par exemple, la distance nous séparant d’un orage. Notions mathématiques : Fonction linéaire • Proportionnalité 132

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ues

mathématiq

à la maison

• Choisir un nombre  • Ajouter 2  • L’élever au carré  • Enlever 4  • Enlever le carré du nombre de départ

C

Tu pourras piéger tes camarades en leur faisant appliquer ce programme de calcul et en retrouvant rapidement le nombre qu’ils auront choisi.

Le centre de loisirs aquatiques Nautiplouf propose deux tarifs : – tarif Miniplouf : 6 € l’entrée ; – tarif Megaplouf  : achat d’une carte de 25  € donnant droit à un tarif réduit de 3,50 € l’entrée. 1. Quel est le tarif le plus intéressant pour 7 entrées ? pour 15 entrées ? 2. On note x le nombre d’entrées. a. Exprimer, en fonction de x, le prix f (x) payé avec le tarif Miniplouf, puis le prix g (x) payé avec le tarif Megaplouf. b. Quelle est la nature des fonctions f et g ? 3. Représenter graphiquement dans un même repère les fonctions f et g. On prendra en abscisse 1 cm pour 1 entrée et en ordonnée 1 cm pour 10 €. 4. Déterminer graphiquement le tarif le plus intéressant en fonction du nombre d’entrées x. 5. Retrouver le résultat précédent par le calcul.

IM

1. Vérifier qu’en prenant le nombre 5 au départ, on trouve 20 à la fin. 2. Si l’on choisit x au départ, écrire une expression algébrique d’une fonction f exprimant le nombre obtenu à la fin en fonction de x. 3. Prouver que la fonction f est linéaire. 4. a. Quel nombre a-t-on choisi au début si l’on trouve 36 à la fin ? b. Comment peut-on facilement retrouver le nombre choisi au début en connaissant celui obtenu à la fin ?

79 Problème de tarifs

N

On donne le programme de calcul suivant :

E

76 Maths et magie

P

E

77 Défi !

Sauras-tu calculer f (100) ?

S

80 Fonctions affines par morceaux

78 Énigme

ts. Tous les angles de la figure sont droi ? nés alig t-ils son F Les points C, E et E

5

C

D 8 A

8

B

13

F

1. Dans un même repère, représenter graphiquement les fonctions suivantes : a. f (x) = 2x + 5 b. g (x) = – 2x + 5 c. h (x) = 3 d. k (x) =  3 x e. m (x) = − 3 x 4 4 2. Repasser en vert sur : a. le morceau de la droite représentative de la fonction f telle que – 4 < x < 0 ; b. le morceau de la droite représentative de la fonction g telle que 0 < x < 4 ; c. le morceau des droites représentatives des fonctions h, k et m telles que – 4 < x < 4. Chapitre 5 • Fonctions linéaires, fonctions affines

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133

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Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr.

1 20’

Fonction affine et droite représentative Observer de façon dynamique la représentation graphique d’une fonction affine en faisant varier ses coefficients. Difficulté mathématique

Difficulté technique

1 Afficher la grille et les axes.

N

A. Construction GeoGebra 23

IM

3 On va afficher la représentation graphique de la fonction f définie par f (x) = ax + b, où a et b sont les nombres définis par les curseurs. a.  Dans le champ de saisie, entrer l’expression f (x) = a*x + b de la fonction f. La droite représentative de la fonction f est ainsi construite dans le repère. b. Donner une expression algébrique de la fonction f dont la droite représentative est affichée à l’écran.

E

2 Construire deux curseurs nommés a et b tels que les nombres a et b varient entre – 5 et 5 avec un pas de 0,1. GeoGebra 27

B. Manipulation et observation

C

À l’aide des deux curseurs a et b, il est possible de modifier l’expression algébrique de la fonction f. 4 Afficher la droite représentative de la fonction f telle que f (x) = 0,4x + 2. Donner les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des abscisses.

E

5 Donner une expression algébrique d’une fonction dont la droite représentative a pour coefficient directeur – 0,8 et passe par le point de coordonnées (– 5 ; 2). 6 Déplacer le curseur b seulement. Que peut-on dire de droites qui possèdent le même coefficient directeur ?

P

7 Déplacer le curseur a seulement. Que peut-on dire de droites qui possèdent la même ordonnée à l’origine ?

S

8 Étudier l’inclinaison de la droite en fonction du signe de son coefficient directeur.

2

40’

L’agence immobilière Résoudre un problème lié à des fonctions affines dont l’étude des représentations graphiques serait fastidieuse sans logiciel. Difficulté mathématique

Difficulté technique

Georges Poupin, PDG de l’agence immobilière Toutimmo, propose trois types de contrat à ses commerciaux. Pour les ventes qu’il aura réalisées, le commercial percevra chaque mois : – avec le Contrat One : pas de salaire fixe, mais 0,92 % des ventes ; – avec le Contrat Two : un salaire fixe de 1 075 € et 0,63 % des ventes ; – avec le Contrat Three : un salaire fixe de 1 482 €. 134

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A. Dans le cahier ou sur une feuille 1 Ce mois-ci, Patrick a vendu un splendide appartement de 245 000 €. Calculer son salaire mensuel sachant qu’il a opté pour le Contrat One. 2 a. Soit x le montant des ventes d’un commercial en euros. Exprimer, en fonction de x, son salaire mensuel f (x) s’il a opté pour le Contrat One. b. Écrire de même des expressions algébriques des fonctions g et h donnant les salaires mensuels respectifs avec le Contrat Two et le Contrat Three.

B. Avec un logiciel de géométrie GeoGebra 23 3 a. Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique et afficher la grille et les axes. b. Dans le champ de saisie en bas, entrer successivement les expressions des fonctions affines f, g et h pour tracer leurs droites représentatives respectives.

N

Si les droites ne sont pas visibles à l’écran, modifie l’échelle des axes avec la souris.

E

GeoGebra 2 4 a. Placer un point A sur l’axe des abscisses. b. Tracer la droite passant par A et perpendiculaire à l’axe des abscisses. Elle coupe les droites représentant les fonctions affines f, g et h respectivement en B, C et D. c. Afficher les coordonnées des points. GeoGebra 24

GeoGebra 8 et 3

3

C

IM

GeoGebra 1 5 Répondre graphiquement aux questions suivantes en déplaçant le point A. a. Le total des ventes de Medir est de 123 250 €. Quel contrat aurait été le plus intéressant pour lui ? b. Mike a vendu durant ce mois pour un total de 392 000 €. A-t-il bien fait de choisir le Contrat Two ? c. Le salaire de Bob avec le Contrat Two est de 2 996 €. Donner un arrondi à l’euro près du montant de ses ventes. d. Exprimer, en fonction du montant des ventes, le contrat le plus intéressant pour un commercial.

D’un degré à l’autre…

ALGO

20’

E

Utiliser le logiciel Scratch pour créer des programmes de conversion de températures. Difficulté mathématique

Difficulté technique

S

P

Le degré Fahrenheit (symbole : °F) est une unité de mesure de la température utilisée dans de nombreux pays anglo-saxons, mais, en France, nous utilisons le degré Celsius (°C). Soit f la fonction qui exprime la température en degré Fahrenheit en fonction de la température x en degrés Celsius. On a f (x) = 1,8x + 32.

1 a. À combien de degrés Fahrenheit l’eau bout-elle ? b. Quelle est la température normale du corps en degré Fahrenheit ?

Dans le logiciel Scratch 2 Saisir et tester le programme ci-contre qui permet de convertir en degré Fahrenheit les températures exprimées en degré Celsius. 3 Modifier le programme pour obtenir un convertisseur qui permette de faire l’inverse, c’est-àdire d’exprimer en degré Celsius des températures exprimées en degré Fahrenheit. 4 Quelle est la température qui s’exprime avec le même nombre en degré Celsius et en degré Fahrenheit ? Chapitre 5 • Fonctions linéaires, fonctions affines

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135

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1

Feux verts Victor se trouve au bout de l’avenue et se demande comment faire pour avoir tous les feux de l’avenue au vert. Pour avoir tous les feux au vert, à quelle vitesse constante devrait-il rouler ? Plusieurs réponses sont possibles. DOC

Plan de la route

DOC

2

IM

E

N

1

Fonctionnement des feux

3

Les limitations de vitesse

E

DOC

C

Les quatre feux de l’avenue sont synchronisés : ils passent en même temps au vert, au rouge et à l’orange. • Temps au vert : 40 secondes. • Temps au rouge et à l’orange : 20 secondes.

S

P

• Vitesse maximale en ville : 50 km/h. • Vitesse minimale conseillée : 35 km/h.

2

Les problèmes DUDU Dans cette vidéo, les DUDU vont à Abricot Dépôt avec un coupon de réduction. Mais arrivés là-bas, ils se rendent compte qu'ils ont le choix entre deux offres spéciales. Peux-tu les aider à en choisir une ?

VOIR LA VIDEO : www.bordas-myriade.fr 136

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6

E

C

IM

E

N

Les chutes du Niagara sont situées en Amérique du Nord. Avec un débit de 2 800 m3/s, elles sont parmi les plus puissantes chutes d’eau du monde. En fin de chapitre, p. 156, tu pourras utiliser les grandeurs composées pour calculer le temps de remplissage d’une piscine.

S

P

Proportionnalité Attendus de fin de cycle Résoudre des problèmes de proportionnalité Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

Avant de commencer ce chapitre, fais le point sur tes connaissances sur le site www.bordas-myriade.fr.

OBJECTIFS 1 2 3

Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes Manipuler des variations exprimées en pourcentage Manipuler des grandeurs produits et des grandeurs quotients 137

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Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

Acti

é vit

1

Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes

OBJECTIF

1

OBJECTIF

2

Pour arroser son jardin, Nicolas utilise l’eau de son puits. Son appareil pompe 20 litres en 3 minutes.

1 Quel volume d’eau Nicolas peut-il obtenir en une heure ? 2 Le jardin de Nicolas est un rectangle de 20 m de long sur

N

E

2

Appliquer des hausses et des baisses de pourcentages A. Augmentations

IM

Acti

é vit

6 m de large. Nicolas souhaite arroser entièrement son jardin avec une hauteur d’eau de 3 mm sur toute la surface. Combien de temps doit-il laisser sa pompe en marche pour obtenir la quantité d’eau nécessaire ?

Les parents de Mona et Lisa annoncent une bonne nouvelle à leurs deux filles : « À partir du mois prochain, nous augmenterons votre argent de poche de 15 %. »

1 L’ainée, Mona, recevait 20 €. Calculer le nouveau montant de son argent de poche. 2 Nouvelle technique : on désigne par x le montant de l’argent de poche avant augmentation.

E

C

a. Exprimer, en fonction de x, l’augmentation de l’argent de poche. b. Exprimer, en fonction de x, le nouveau montant de l’argent de poche. c. Démontrer que l’on peut obtenir le nouveau montant en multipliant l’ancien par 115 . 100 d. La plus jeune sœur, Lisa, recevait 12 €, quel sera son futur argent de poche ?

B. Réductions

S

P

Mathilda tient un magasin de maillots de bain. À la période des soldes, elle accorde une remise de 30 % sur tous ses maillots.

3 Expliquer pourquoi il faut multiplier l’ancien prix des maillots par 0,7 pour obtenir le prix soldé. 4 Mathilda expose en vitrine ses maillots préférés avec une étiquette indiquant leur ancien prix. Pour chacun d’eux, calculer rapidement le prix après remise.

C. Conclusion

( (

5 Démontrer que, pour diminuer un nombre de t %, on le multiplie par 100 − t , soit 1 − t

) )

. 100 100 + t , soit 1+ t . 6 Démontrer que, pour augmenter un nombre de t %, on le multiplie par 100 100 100 138

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Acti

é vit

3

Utiliser les grandeurs produits et les grandeurs quotients

OBJECTIF

3

A. L’unité binaire de l’informatique

N

En informatique, l’unité de base de la quantité d’informations est le bit (qui est égal à 0 ou à 1). On utilise aussi des multiples : le kilobit : 1 kb = 103 bits, soit 1 000 bits ; le mégabit : 1 Mb = 106 bits, soit 1 000 000 bits ; le gigabit : 1 Gb = 109 bits, soit 1 000 000 000 bits.

1 Exprimer en bit et à l’aide d’une puissance de 10 les quan-

E

tités d’information suivantes : a. 5 kb b. 3,2 Mb c. 150 Gb

B. Le débit Internet

IM

Les fournisseurs d’accès à Internet proposent aux particuliers de recevoir Internet à domicile avec différents débits de données qui expriment la quantité de données reçues par unité de temps. Le débit Internet s’exprime en b/s (bit par seconde) et ses multiples : – kb/s (kilobit par seconde) : 1 kb/s = 1 000 b/s ; – Mb/s (mégabit par seconde) : 1 Mb/s = 1 000 000 b/s.

2 Le fournisseur d’accès à Internet (FAI) Speedoweb propose une connexion ADSL à 28 Mb/s.

C

a. Si j’utilise Internet pendant une minute, quelle quantité d’informations puis-je recevoir ? b. Combien de temps dois-je attendre pour recevoir un gigabit d’informations ?

3 Le FAI Numériweb propose un très haut débit en fibre optique à 250 Mb/s.

E

a. Si j’utilise Internet pendant une minute, quelle quantité d’informations puis-je recevoir ? b. Combien de temps dois-je attendre pour recevoir un gigabit d’informations ?

C. L’octet

S

P

On regroupe les bits par paquet de 8  pour former des octets : 1 octet = 8 bits. Un octet est l’unité utilisée pour exprimer la taille des fichiers numériques. On utilise aussi ses multiples : le kilooctet (ko), le mégaoctet (Mo) et le gigaoctet (Go).

4 Mario a souscrit à l’offre ADSL du FAI Speedoweb. a. Montrer que cette offre lui permet théoriquement de recevoir 3,5 Mo de données chaque seconde. b. Quelle quantité de données peut-il télécharger en 1 min ? en 1 h ? c. Quel temps lui faut-il, en théorie, pour télécharger un fichier de 250 Mo ? d. En réalité, Mario constate que le temps de téléchargement de ce fichier de 250 Mo est de 2 minutes. Exprimer le débit réel de téléchargement en Mo/s puis en Mb/s.

5 Adèle a souscrit à l’offre fibre du FAI Numériweb. a. Quel est le débit (en Mo/s) théorique de ce FAI ? b. Adèle constate que le temps de téléchargement d’un fichier de 350 Mo est de 18 secondes. Exprimer le débit réel de téléchargement en Mo/s puis en Mb/s. Chapitre 6 • Proportionnalité

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139

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1

Situations de proportionnalité

OBJECTIF

1

A Tableau et coefficient de proportionnalité Un tableau de proportionnalité est un tableau dans lequel on obtient les nombres d’une ligne en multipliant ceux de l’autre ligne par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. Exemple Durée du film (en s) Nombre d’images

10 240

20 480

30 720

120 2 880

× 24

N

Le coefficient de proportionnalité est 24. C’est le nombre d’images par seconde d’un film.

B Représentation graphique

Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère. Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère, alors c’est une situation de proportionnalité.

Exemple

IM

E

PROPRIÉTÉ

Énergie (en kwh) 90 80 70 60

C

50

40

30 20

E

10

40

20

60

80

100

120

Temps (en heures)

P

0

C Calcul en situation de proportionnalité

S

Sur le plan d’une course d’orientation, 5 cm représentent 150 m dans la réalité. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la distance réelle représentée par 12 cm. Distance sur la carte (en cm) Distance réelle (en m)

5

12

150

d

1. Passage par l’unité 5 cm représentent 150 m, donc 1 cm représente 5 fois moins, c’est-à-dire 30 m. 12 cm représentent donc 30 × 12 = 360 m. 2. Utilisation du coefficient de proportionnalité Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 150, donc la distance est de 12 × 150 = 360 m. 5 5 3. Multiplication d’une donnée 12 = 5 ×  12 , donc la distance est de 150 ×  12  = 360 m. 5 5 4. Utilisation de l’égalité des produits en croix 5 × d = 150 × 12, donc d = 150 ×  12  = 360 m. 5

140

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2

Pourcentages

OBJECTIF

A Appliquer un pourcentage Un pourcentage de t % traduit une situation de proportionnalité de coefficient Exemple  60 % des 30 élèves d’une classe de 3e pratiquent un sport. Le nombre de sportifs dans cette classe est : 30 × 60 , soit 18 élèves. 100

Nombre de sportifs Nombre total d’élèves

2

t . 100

x 30

60 100

N

B Augmenter ou diminuer d’un pourcentage Augmenter un nombre de t % revient à le multiplier par 1 + t . 100 Diminuer un nombre de t % revient à le multiplier par 1 − t . 100

PROPRIÉTÉ

IM

E

Exemples 1. Augmentation Les tarifs d’une compagnie d’énergie augmentent de 9 %. a. La famille Martin payait une facture annuelle de 570,00 €. Le nouveau tarif est donc égal à 570,00 ×  1 +  9  = 570,00 × 1,09 = 621,30 €. 100 b. Un abonnement actuel est facturé 59,95 €. Son ancien tarif était de 59,95 :  1 +  9  = 59,95 : 1,09 = 55,00 €. 100

(

(

)

)

C

2. Réduction Dans un magasin, lors des soldes, on diminue tous les prix de 35 %. a. Le prix d’un pantalon était de 55,00 €. Son nouveau prix est donc de 55,00 ×  1 –  35  = 55,00 × 0,65 = 35,75 €. 100 b. Un blouson coute maintenant 44,20 €. Son prix initial était égal à 44,20 : 1 –  35  = 44,20 : 0,65 = 68,00 €. 100

Grandeurs composées

P

3

E

(

(

)

)

OBJECTIF

3

Une grandeur quotient est une grandeur obtenue en effectuant le quotient de deux grandeurs.

S

DÉFINITION

Exemple  La vitesse moyenne d’un mobile est la distance parcourue pendant une unité de temps. Elle s’exprime en km/h par le quotient de deux grandeurs : la longueur du parcours (en km) et la durée de ce parcours (en h). Un véhicule roulant à une vitesse constante égale à 120 km/h parcourt ainsi 120 km en une heure.

Une grandeur produit est une grandeur obtenue en effectuant le produit de deux grandeurs.

DÉFINITION

Exemple  L’énergie (en Wh) s’exprime par le produit de deux grandeurs  : la puissance de l’appareil (en W) et la durée d’utilisation de cet appareil (en h). Un appareil de puissance 100 W utilisé pendant 3 h consomme ainsi une énergie égale à 300 Wh. Chapitre 6 • Proportionnalité

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141

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1 Je comprends

Utiliser la proportionnalité

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1.

ÉTAPE 1

Je m’entraine 1

10,8

x

Quantité de boisson (en mL)

100

330

ÉTAPE 3

N

Pour déterminer x, on peut utiliser l’égalité des produits en croix : 100 × x = 10,8 × 330, donc x = 10,8 × 330 = 35,64 . 100 Il y a donc 35,64 g de sucre dans la canette. 2. On calcule le nombre de morceaux de sucre équivalents : 35,64 : 6 = 5,94. Une canette de ce soda contient l’équivalent d’environ 6 morceaux de sucre.

CALCULER

3 Le tour de piste d’un stade olympique d’athlé-

Activités rapides

E

C

Calculer mentalement : a. 5 × 210 L b. 5 × 250 $ c. 5 × 340 m d. 2,5 × 120 L e. 2,5 × 140 $ f. 2,5 × 160 m

2 Sur l’emballage de ses casse-croutes au chocolat, Dylan lit :

Masse de sucre (en g)

IM

On convertit une donnée : 33 cL = 330 mL, pour utiliser une seule unité par grandeur.

ÉTAPE 2

On remplit un tableau de proportionnalité :

E

Margot aime bien les sodas. Mais ses parents lui conseillent de ne pas trop en boire, car ils contiennent beaucoup de sucre. Sur l’étiquette, Margot lit : « Teneur en sucre : 10,8 g pour 100 mL de boisson. » 1. Quelle quantité de sucre y a-t-il dans une canette de 33 cL de ce soda ? 2. À combien de morceaux de sucre de 6 g chacun cela correspond-il ?

S

P

valeur nutritionnelle pour 100 grammes Energie 435 kcal Protéines 5,8 g Glucides 46,8 g dont sucres 28,1 g Lipides 24,9 g dont acides gras saturés 9,5 g

1. Chaque jour en rentrant de l’école, Dylan mange quatre casse-croutes pesant chacun 20 g. a. Quelle quantité de lipides (graisses) Dylan mange-t-il à son gouter ? b. Quelle quantité de glucides mange-t-il ? 2. Le médecin conseille à Dylan une alimentation correspondant à 2 700 kcal par jour. Combien de casse-croutes peut-il consommer s’il souhaite que son gouter lui apporte au maximum 10 % de cet apport ?

tisme mesure exactement 400 m. Un coureur de fond fait un tour en exactement 1 minute. 1. Quelle distance pourrait-il parcourir en 15 min ? 2. Combien de temps mettra-t-il pour parcourir 5 000 m ?

4 Sur une bande vidéo d’un film destinée à un

projecteur de cinéma, une image rectangulaire mesure 70 mm de long et 52,5 mm de large. On appelle « format de l’image » le rapport : longueur de l’image . largeur de l’image Montrer que l’image sur la bande est au format 4/3.

5 Une voiture met 2 h 30 min pour faire 200 km.

1. Calculer sa vitesse moyenne en km/h. 2. Calculer la distance parcourue en a. 3 h 15 ; b. 42 min ; c. 3 h 36 min. 3. Calculer le temps mis pour parcourir 540 km.

1 . 500 000 1. Quelle distance réelle un segment de 20 cm représente-t-il sur cette carte ? 2. Quelle distance sépare sur la carte deux villes distantes de 258 km en réalité ?

6 Karim utilise une carte à l’échelle

142

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pour résoudre des problèmes Je résous des problèmes simples 7

CALCULER

RAISONNER

COMMUNIQUER

10 Les maths autour de moi

Les maths autour de moi Pour partir en vacances, Mélina fait du covoiturage. Elle participe aux frais de route en payant un prix proportionnel à la distance parcourue. Voici quelques exemples de tarifs.

Bruno passe deux jours à Cauterets, dans les Pyrénées, pour faire de la randonnée.

400

480

325

Prix (en €)

24,00

28,80

19,50

P

E

C

IM

1. Vérifier que le prix à payer est proportionnel à la distance parcourue. 2. Calculer les tarifs pour la suite des vacances de Mélina : a. Jeudi : Marseille-Montpellier : 170 km. b. Vendredi : Montpellier-Barcelone : 350 km. c. Samedi : Barcelone-Toulouse : 390 km. d. Dimanche : Toulouse-Nantes : 590 km.

E

Distance parcourue (en km)

N

Lundi Mardi Mercredi Nantes- ParisLyonParis Lyon Marseille

8 Dans l’air, le son se déplace environ à la vitesse

S

de 340 m/s. 1. Quelle distance un son parcourt-il en 1 min ? 2. Combien de temps une explosion met-elle pour être entendue à une distance de 2 km ?

9 La vitesse de la lumière est proche de

300 000 km/s. La distance Terre-Soleil est d’environ 150 000 000 km. 1. Combien de temps la lumière du Soleil metelle pour venir jusqu’à la Terre ? 2.  Quelle distance la lumière parcourt-elle en une année ? (Exprimer cette distance en écriture scientifique.)

1,3 km

1. Lundi a. Bruno part de Cauterets à 8 h 00 et marche 7,5  km pour rejoindre Pont d’Espagne, où il arrive à 10 h 45. Quelle est sa vitesse moyenne sur ce premier trajet ? b. En marchant au même rythme, il arrive au lac de Gaube à 11 h 10. Quelle est la longueur de cette deuxième partie ? c. Il repart à 14 h 00 pour descendre à Cauterets en marchant à 4 km/h. À quelle heure arrivera-t-il ? 2. Mardi Bruno gare sa voiture à 9 h 00 au parking de la Raillère et souhaite monter jusqu’au refuge d’Estom. En utilisant l’échelle de la carte pour estimer la longueur de ce trajet, et en considérant que Bruno va monter à 3 km/h de moyenne, calculer l’heure à laquelle il arrivera au refuge.

11 TOP Chrono La maison rectangulaire d’Arthur mesure 15 m de long et 9 m de large. Un architecte a dessiné un plan de cette maison avec un rectangle de 30 cm de long et 18 cm de large. Quelle est l’échelle de ce plan ? Chapitre 6 • Proportionnalité

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143

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2 Je comprends

Manipuler des variations

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

« Chez Dédé, tout est soldé ! » 1. Calculer le nouveau prix du casque de moto. 2. Calculer l’ancien prix des bottes de motard.

Je m’entraine 12

C

E

P

S

)

15 Recopier et compléter le tableau suivant.

1. Augmenter une quantité de 30 %, c'est la multiplier par : a. 0,3 b. 1,03 c. 1,3 2. Diminuer une quantité de 5 %, c'est la multiplier par : a. 0,05 b. 0,95 c. 1,05 3. Multiplier par 1,6 revient à augmenter une quantité de : a. 6 % b. 16 % c. 60% 4. Multiplier par 0,85 revient à diminuer une quantité de : a. 15 % b. 25 % c. 85 %

14 Calcul mental

(

CALCULER

Activités rapides

13 Calcul mental a. 20 % de 30 €. c. 80 % de 30 g. e. 75 % de 80 L.

N

)

IM

(

2. On cherche à calculer le prix x des bottes avant réduction. Diminuer un nombre de 40  % revient à le multiplier par 1 –  40 c’est-à-dire par 0,60. 100 Donc 0,6x = 111 et x =  111  = 185. 0,6 L’ancien prix des bottes était donc de 185 €.

E

1. 240 € est le prix de départ du casque. Ce prix est diminué de 35 %. Diminuer un nombre de 35  % revient à le multiplier par 1 –  35 , c’est-à-dire par 0,65. 100 240 × 0,65 = 156 €. Le nouveau prix du casque est donc de 156 €.

b. 25 % de 30 L. d. 10 % de 65 €. f. 150 % de 50 g.

a. 50 m augmentés de 50 %. b. 50 kg augmentés de 30 %. c. 50 € augmentés de 150 %. d. 50 $ diminués de 50 %. e. 50 Mo diminués de 30 %. f. 50 L diminués de 100 %.

Ancien prix

Baisse de …

40,00 €

30 %

260,00 €

20 %

89,50 €

10 %

11,20 €

5 %

Multiplier Nouveau l’ancien prix prix par … 0,7

16 Recopier et compléter le tableau suivant. Ancien prix

Augmentation de …

Multiplier l’ancien prix par …

70,00 €

30 %

1,3

310,00 €

20 %

99,50 €

10 %

13,40 €

5 %

Nouveau prix

17 Recopier et compléter le tableau suivant. Ancien prix

Variation de …

17,00 €

Augmentation de 42 % Augmentation de 23 %

80,00 €

Nouveau prix 553,50 €

Baisse de 35 % Baisse de 26 %

12,95 €

144

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exprimées en pourcentage Je résous des problèmes simples

CALCULER

CHERCHER

COMMUNIQUER

24 Tafani a trouvé une jolie paire de lunettes de

18 Les maths autour de moi Les soldes sont lancées. Le magasin de vêtements Troclass accorde une remise de 15 % sur tous les articles. Calculer les nouveaux prix des articles ci-dessous.

soleil soldée 18,20 €. L’ancien prix était de 28 €. Quel est le pourcentage de réduction ?

25 Les maths autour de moi

19 Mohamed s’est offert un nouvel ordinateur dont

IM

la capacité du disque dur est 60 % supérieure à celle de son ancien ordinateur. Sachant que son nouvel ordinateur a une capacité de 800 Go, calculer la capacité de l’ancien.

E

N

Voici le rapport d’une entreprise. « Sur le premier semestre 2016, nos ventes de tablettes tactiles ont diminué de 20 %. Sur le second semestre, elles ont augmenté de 20  %, ce qui correspond à une baisse sur l’année de … %. » Chercher le pourcentage manquant.

20 Le professeur principal des 3e B félicite ses

E

C

élèves. Entre le premier et le deuxième trimestre, la moyenne générale de la classe a augmenté 26 Recopier et compléter cette facture de garagiste. de 12 %. Temps Pièces Prix unitaire Montant Au premier trimestre, cette moyenne était de 12,5. (en h) ou ou travail hors taxes hors taxes Calculer la moyenne du deuxième trimestre. quantité effectué (en €) (en €)

21 Un patron annonce à ses employés : « Je pré-

P

vois d’augmenter toutes vos primes de 15 % en janvier et de 20 % en février. » Montrer que cela revient à effectuer une augmentation de 38 %.

S

22 Chloé promet à ses parents d’améliorer ses

résultats au deuxième trimestre : « Je vais augmenter ma moyenne de maths de 15 %. » « Mais tu n’as que 5/20 actuellement », affirme son père. « Eh bien, 5 et 15 font 20 », répond Chloé. Calculer la moyenne réellement promise par Chloé au deuxième trimestre.

23 En 2015, la boulangerie-pâtisserie Aux délices a augmenté ses ventes de 10 %. En 2016, elle a de nouveau augmenté ses ventes de 10 %. Au total, de quel pourcentage ont augmenté les ventes sur les deux années ?

2,5 0,4 3 1 4

Forfait 28,40 révision Pose des 17,30 bougies Joints 0,80 Filtre 15,80 Bougies 1,51 TOTAL hors taxes TOTAL TTC*

* Le prix TTC (toutes taxes comprises) est égal au prix hors taxes augmenté de 20 %.

27 TOP Chrono Victor a touché son premier salaire d’apprenti, soit 341,25 €. Il dépose cette somme sur un compte qui lui rapportera 2 % par an. 1. Quelle somme possèdera-t-il après un an ? 2. Quelle somme possèdera-t-il après deux ans ? après cinq ans ?

Chapitre 6 • Proportionnalité

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3 Je comprends

Manipuler des grandeurs

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1.

ÉTAPE 1

Temps (en min)

1

Je m’entraine 28

80

N

CALCULER

E

Activités rapides

25

4

C

Nombre de pages imprimées

ÉTAPE 3

b. On obtient le nombre de pages imprimées en 4 minutes en multipliant 4 par 25. 4  ×  25  =  100. Jean imprime 100  pages en 4 minutes. 2. Avec l’imprimante SuperJet, Mike imprime 80 pages en 100 secondes. En divisant ces deux grandeurs, on obtient une vitesse de 80  = 0,8 page par seconde. 100 Comme il y a 60  secondes par minute, on multiplie 0,8 par 60 pour obtenir la vitesse en page par minute. 0,8 × 60 = 48 pages par minute. La vitesse d’impression de l’imprimante SuperJet de Mike est de 48 pages par minute.

IM

On sait qu’une vitesse d’impression de 25 pages par minute traduit une situation de proportionnalité de coefficient 25 et on peut réaliser le tableau suivant.

ÉTAPE 2

a. On obtient le temps nécessaire pour imprimer 80 pages en divisant 80 par 25. 80 : 25 = 3,2. Il faut donc 3,2 minutes c’est-àdire 3 minutes et 12 secondes (0,2 × 60 = 12).

E

L’imprimante SpiderLaser de Jean imprime en moyenne 25 pages par minute. 1. a. Jean doit imprimer son rapport de stage qui fait 80 pages. En combien de temps, en secondes, pourra-t-il le faire. b. Combien de pages pourrait-il imprimer en 4 minutes ? 2. Son ami Mike affirme qu’avec son imprimante SuperJet, il ne faudrait que 100 secondes pour imprimer le rapport de Jean. Trouver la vitesse d’impression, en page par minute, de l’imprimante de Mike.

P

Classer ces vitesses de la moins rapide à la plus rapide. a. 10 m/s b. 500 m/min c. 20 km/h

29 Lorsque Alice transfère des données de son ordi-

S

nateur vers son disque dur externe, la vitesse de transfert est de 75 Mo/min. 1. Combien de temps lui faudra-t-il pour copier un dossier de 450 Mo ? un dossier de 2 Go (1 Go = 1 000 Mo) ? 2. Quelle quantité d’informations peut-elle transférer en une heure ?

30 À la fin de son voyage, Christian lit les informations suivantes sur son GPS : – vitesse moyenne : 89 km/h ; – distance parcourue : 234 km. Combien de temps le voyage de Christian a-t-il duré ? Arrondir à la minute près.

31 Le nœud est une unité de mesure de vitesse

utilisée dans l’aviation et la marine. On donne 1 nœud = 1 mille/h et 1 mille = 1 852 m. 1. Joé prétend que son hors-bord, qui peut foncer à 80 nœuds, est plus rapide qu’une voiture. A-t-il raison ? 2. Mais aujourd’hui, Joé reste au port, car le vent souffle à 70 km/h en mer. Quelle est la vitesse du vent en nœuds ?

32 Bill l’escargot avance à la vitesse de 1,5 mm/s.

Combien de temps met-il pour traverser un jardin de 36 m de long ?

33 La sonde Helios 2 lancée en 1976 en direction

du Soleil est l'objet le plus rapide réalisé par l'Homme. Son record de vitesse est de 70,2 km/s. 1. Convertir cette vitesse en km/h. 2. À cette vitesse, combien de temps faudrait-il pour parcourir la distance Terre-Soleil d'environ 150 millions de km ?

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produits et des grandeurs quotients Je résous des problèmes simples

CALCULER

RAISONNER

COMMUNIQUER

34 Ce tableau présente la population et la superficie 36 En électricité, l’énergie E (en Wh ou kWh) produite Superficie (en km2) 547 782 504 782 301 230 41 290 357 021 30 528 2 586 244 520

1. Calculer la densité de population, exprimée en habitant par km2 (hab/km2), pour chaque pays.

37 Les maths autour de moi Un passionné d’aviron rame à une cadence moyenne de 35 coups de rame par minute. 1. Calculer sa cadence en nombre de coups de rame par heure. 2. En combien de temps fait-il 1 000 coups de rame ? Arrondir le résultat à la seconde près. 3. À chaque coup de rame, son aviron avance de 3  m. Quelle distance va-t-il parcourir en 15 minutes ?

IM

2. Quel pays a la plus forte densité ? Quel pays a la plus faible densité ? 3. La densité de l’Europe (46  pays) est de 102  hab/km2. La superficie totale de l’Europe est de 5,9 millions de km2. Calculer le nombre d’habitants en Europe en 2015.

N

Population (nombre d’habitants) France 66 663 766 Espagne 48 146 134 Italie 61 855 120 Suisse 8 121 830 Allemagne 80 854 405 Belgique 11 323 973 Luxembourg 570 252 Royaume-Uni 64 088 222 Pays

par un appareil de puissance P (en W ou kW) pendant une durée d (en h) est calculée par E = P × d. Louis a un congélateur d’une puissance de 90  watts qui fonctionne en permanence et un ordinateur de puissance 350  W qui fonctionne 4 heures par jour. 1. Quelle est l’énergie, en kWh, utilisée par chaque appareil en un jour ? 2. Le fournisseur d’électricité facture 0,145  € le kWh. Calculer le prix de revient de l’énergie consommée par chaque appareil en un an.

E

de la France et de ses pays voisins en 2015.

C

35 Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner a effectué

P

Altitude du saut

E

un saut d’une altitude de 38 969,3 mètres. La première partie du saut s’est faite en chute libre (parachute fermé), la seconde partie s’est faite le parachute ouvert. Son objectif était d’être le premier homme à « dépasser le mur du son » (340 m/s). 38 969,3 m

Distance parcourue en chute libre

36 529 m

Durée totale du saut

9 min 3 s

S

Durée de la chute libre

Vitesse maximale en chute libre

4 min 19 s 1 357,6 km/h

1. A-t-il atteint son objectif ? Justifier la réponse. 2. Calculer sa vitesse moyenne de chute libre.

38 TOP Chrono Sur le chantier de sa future maison, M. Dubois croise un maçon qui semble avoir des difficultés à porter une tige d’acier pleine, de forme cylindrique. Cette tige mesure 3,5 m de long et 3 cm de diamètre. 1. Calculer le volume de cette tige, arrondi au cm3 près. 2. L’acier a une masse volumique de 7,85 g/cm3. Calculer la masse de cette tige, arrondie au kg le plus proche.

Chapitre 6 • Proportionnalité

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Je fais le point sur mon cours

Corrigés page 279

A

B

C

5,00 €

6,50 €

7,50 €

le multiplier par 1,30

le multiplier par 30

le multiplier par 0,30

le multiplier par – 25

le multiplier par 0,75

15 km en 1 h

1 km en 15 h

39 Lucie achète 3 kg de pommes pour

4,50 €. Combien aurait-elle payé pour 5 kg ? revient à :

le multiplier par 0,25

41 Diminuer un nombre de 25 % revient à : parcourant :

15 km en 15 h

E

42 15 km/h est la vitesse d’un véhicule

N

40 Augmenter un nombre de 30 %

43 Le débit d’un robinet est de 3 L/min. Le

15 L

45 L

5 L

IM

volume obtenu en 15 minutes est de :

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

C

Je fais le point sur mes objectifs 1

E

Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes

44 Déterminer, dans chacun des cas suivants,

S

P

l’échelle de la carte utilisée. 1. Sur la carte de randonnée utilisée par Emmanuelle, la distance entre sa maison et le château d’eau est de 22 cm. En réalité, cette distance est de 5,5 km. 2. Sur la carte routière utilisée par Enzo, la distance entre son village et celui de Noé est 50 cm. En réalité, cette distance est de 62,5 km. 3. Sur la carte du monde affichée dans la salle de géographie, Camille remarque que la distance entre Paris et New York est de 28 cm. En réalité, cette distance est de 7 980 km.

Corrigés page 279

45 Le graphique ci-dessous représente l’évolution

de la distance de freinage d’une voiture en fonction de la vitesse du véhicule sur route mouillée (en rouge) et sur route sèche (en bleu). Distance de freinage (Df ) en fonction de la vitesse (v) Df (en m) Route mouillée Route sèche 200 100

0

30

60

90

120

150

v (en km)

À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes. 1. Quelle est la distance de freinage sur une route sèche d’un véhicule roulant à 90 km/h ? 2. Quelle est la distance de freinage sur une route mouillée d’un véhicule roulant à 120 km/h ? 3. Dans chaque condition météorologique, la distance de freinage est-elle proportionnelle à la vitesse du véhicule ? Justifier.

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Accompagnement personnalisé 2

3

Manipuler des variations exprimées en pourcentage

Manipuler des grandeurs produits et des grandeurs quotients

46 Le prix des disques durs a augmenté de 15 % en 51 Un téléviseur LCD de puissance 190 W fonctionne un an. Sachant que l’année dernière, un disque dur externe de 500 Go coutait 120 €, calculer son nouveau prix.

pendant 2 heures et demie. 1. Calculer, en kWh, l’énergie qu’il a consommée. 2. Exprimer cette énergie en joules (1 J = 1 Ws).

47 Mélina consommait 32 m3 d’eau par an. Elle a 52 1. En mai 1927, Charles Lindbergh a effectué la

48 1. Yacine obtient une réduction de 25 % sur un

N

IM

vélo valant 158 €. Quel est le prix final du vélo ? 2. Lylian a obtenu une réduction de 27 € sur une console de jeux qui valait 225 €. Quel pourcentage de réduction a-t-il obtenu ? 3. Marine a payé un appareil photo 245  € en bénéficiant d’une baisse de 30 % du prix initial. Quel était le prix initial de l’appareil photo ?

première liaison New York - Paris en avion en parcourant 6 300 km à la vitesse moyenne de 189 km/h. Combien de temps a duré son vol ? 2. Le 21 janvier 1976, le Concorde a réalisé le premier vol supersonique entre New York et Paris en parcourant 5 950 km en 3 h 26 min. Calculer la vitesse moyenne du vol (arrondir au km/h près). 3. Le 21 avril 2015, le Maglev, un train japonais, a battu le record de vitesse du TGV en se maintenant à une vitesse de 603 km/h pendant 10,8 s. Quelle distance a-t-il parcourue pendant cette durée ?

E

décidé de faire attention en réduisant les consommations inutiles. Sa dernière facture montre une consommation annuelle de 27 m3 d’eau en une année. Quel est le pourcentage de baisse de sa consommation ?

C

49 1. Prouver que les nombres 1,25  et 0,8 sont

P

E

inverses l’un de l’autre. 2. En déduire qu’une augmentation de 25 % suivie d’une diminution de 20 % revient à ne faire aucune variation. 3. Démontrer de même qu’une augmentation de 60 % suivie d’une diminution de 37,5 % revient à ne faire aucune variation.

50 Une balle est lâchée du deuxième étage de la

53 La vitesse d’essorage d’un lave-linge est 800 tr/min

(le tambour effectue 800  tours par minute). 1. Si un essorage court dure 3 min 30 s, calculer le nombre de tours effectués par le tambour. 2. Le tambour a effectué 3 800 tours pendant un essorage long. Calculer, en minutes et secondes, la durée de cet essorage.

S

tour Eiffel (116  m). Lorsqu’elle touche le sol, elle rebondit puis retombe de façon qu’à chaque rebond, elle remonte à 60 % de son altitude précédente. À partir de combien de rebonds ne remontera54 1. Pour ne pas abimer le moteur d’une voiture, un t-elle plus au-dessus de 1,60 m ? constructeur préconise de ne pas dépasser les 4 500 tours par minute. Exprimer la vitesse de rotation du moteur en nombre de tours par seconde. 2. Une analyse chimique révèle 15 mg de magnésium par litre d’eau. Exprimer le taux de magnésium en g/L de cette eau. 3. La masse volumique du cuivre est de 8,96 kg/dm3. Exprimer cette masse volumique en g/cm3. Chapitre 6 • Proportionnalité

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149

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57 Repérer une situation de proportionnalité DOMAINE 3 DU SOCLE pour anticiper un résultat

56 Utiliser un graphique

DOMAINE 2 DU SOCLE

C

Jean-Baptiste cherche sur Internet combien de poussins un couple de manchots peut-il élever en moyenne. Il trouve le diagramme suivant pour trois types de manchots : le manchot papou, le manchot gorfou et le manchot de Magellan. Nombre moyen de poussin par couple

E

1,2

Papou Gorfou Magellan

1,0

0,6

S

0,4

0,2 0,0

A

9m 9m

D

B

N

* Une seule couche de peinture suffit.

D

C

E

7,5 m

A

7,5 m

E

1. Quel est le montant minimum à prévoir pour l’achat des pots de peinture ? 2. Agnès achète la peinture et l’ensemble du matériel dont elle a besoin pour ses travaux. Le montant total de la facture est de 343,50 €. Le magasin lui propose de régler 2 de la facture 5 aujourd’hui et le reste en trois mensualités identiques. Quel sera le montant de chaque mensualité ?

58 Réfléchir à un problème ouvert

DOMAINE 5 DU SOCLE

Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l’acheteur ?

P

0,8

B

IM

Jupiter est une grosse planète. Son diamètre est d’environ 1,4 × 105 m. Des vents violents soufflent à la surface de Jupiter et une énorme tempête anticyclonique, appelée « la tache rouge », est toujours visible au sud de l’équateur. 1. En utilisant la photographie ci-dessus, déterminer la taille réelle de cette tache. 2. Comparer la taille de cette tache avec la taille de la planète Terre.

Agnès envisage de peindre la façade de son C à peindre. hangar. La zone colorée est la surface

6m

DOMAINE 4 DU SOCLE

6m

55 Déterminer une longueur par proportionnalité

E

Objectifs 1 2 3

59 Corriger une erreur

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2008 2009

Année

D'après le diagramme ci-dessus, les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. En 2000, le nombre moyen de poussins élevés par couple de manchots était supérieur à 0,6. 2. En 2006, en moyenne, moins de 80  % des couples de manchots ont élevé un poussin. 3. En 2015, ces trois types de manchots auront disparu.

Thibaut calcule l’augmentation d’un prix de 20 % suivie d’une augmentation de 30 %. Quelle erreur a-t-il commise ? 20 % + 30 % = 50 % Alors, si par exemple un article qui coute 8 € augmente de 20 %, puis augmente ensuite de 30 %, son nouveau prix sera de : 8 × 1,5 = 12 €

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RAISONNER

CHERCHER

REPRÉSENTER

60 Comparer des trajets

COMMUNIQUER

62 Appliquer un pourcentage

N

1. À l’achat de deux articles ou plus, le magasin offre une remise de 20 % sur la facture. Jérôme peut dépenser 200 zeds. Que peut-il se permettre d’acheter ?  a. Le lecteur MP3 et le casque audio. b. Le lecteur MP3 et les haut-parleurs. c. Les trois articles : le lecteur MP3, le casque audio et les haut-parleurs. 2. Le prix de vente des articles MP3 inclut une marge de bénéfice de 37,5 %. Le prix sans cette marge est appelé « prix de gros ». La marge de bénéfice est calculée en pourcentage du prix de gros. Parmi les formules ci-dessous, laquelle exprime la relation entre le prix de gros g et le prix de vente v ?  a. v = g + 0,375 b. g = v – 0,375 v c. v = 1,375 g d. g = 0,625 v

C

IM

Pour aller de La Roche-sur-Yon à Angers, Marie prend sa voiture. Elle programme son GPS qui lui conseille la route bleue, par l’autoroute A87, pour un trajet de 131 km. 1. En utilisant les indications de temps données sur la carte, calculer la vitesse moyenne de Marie sur ce trajet. 2. En mesurant sur la carte et en utilisant l’échelle indiquée, déterminer quelle est la distance à vol d’oiseau entre les points de départ et d’arrivée de Marie. 3. Le pigeon voyageur peut se déplacer à la vitesse de pointe de 85 km/h. En considérant qu’il peut maintenir cette vitesse sur tout le trajet, et qu’il part en même temps que Marie, qui arrivera en premier ?

E

CALCULER

E

1 h 21 min

P

15 km

61 Représenter l’infiniment petit

S

L’atome d’hydrogène est le plus petit des atomes. Il est constitué d’un noyau de rayon 1 × 10– 15 m, autour duquel gravite un seul électron à une distance de 5,3 × 10–11 m.

Jade réalise une maquette en respectant les proportions de cet atome. Elle choisit une pièce de 10 centimes pour représenter le noyau. À quelle distance de cette pièce doit-elle placer l’électron ?

63 Résoudre un problème complexe

Peio, un jeune Basque, décide de vendre des glaces du 1er juin au 31 aout inclus à Hendaye. Pour vendre ses glaces, il hésite entre deux emplacements : une paillote sur la plage ou une boutique en centre-ville. En utilisant les informations ci-dessous, aider Peio à choisir l’emplacement le plus rentable. Information 1 Loyers des deux emplacements proposés : • la paillote sur la plage : 2 500 € par mois. • la boutique en centre-ville : 60 € par jour. Information 2 Météo à Hendaye du 1er juin au 31 août inclus : • le soleil brille 75 % du temps ; • le reste du temps, c’est nuageux ou pluvieux. Information 3 Prévisions des ventes par jour selon la météo. Soleil

Nuageux-pluvieux

La paillote

500 €

50 €

La boutique

350 €

300 €

Chapitre 6 • Proportionnalité

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151

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Dans les autres matières La masse volumique de l’eau est de 1 000 kg/m3, ce qui signifie que 1 L = 1 dm3. 1 000 kg d’eau occupent 1 m3. 1. Convertir la masse volumique de l’eau en kg/L. 2. Léa laisse geler de l’eau sur son balcon et constate que 458 g de glace occupent un demi-litre. En déduire la masse volumique de la glace en kg/L. 3. Il est déconseillé de placer une bouteille d’eau pleine dans un congélateur. Expliquer pourquoi.

66 Trafalgar Square

N

64 L’eau et la glace

65 Tour du stade

E

Four taps supply water to the pond in Trafalgar Square in London. The first tap can fill the pond by itself in one hour. The second tap can fill it in two hours, the third tap in three hours, and the fourth tap in four hours. Steven, a city worker, turns on all the taps at the same time. How much time (to the second) is needed to fill the Trafalgar Square pond?

C

IM

Des élèves courent autour d’un stade rectangulaire mesurant 95 m de long et 60 m de large. 1. Calculer, en m, la longueur d’un tour de stade. 2. Les élèves ont 25  minutes pour effectuer 15 tours à vitesse constante. Combien de temps un élève doit-il mettre pour faire un tour ? 3. Un élève parcourt six tours en neuf minutes. Calculer sa vitesse en m/min puis en km/h. Atteindra-t-il l’objectif fixé par son professeur ?

Enseignement Pratique Interdisciplinaire

Corps, santé, bien-être et sécurité

Mathématiques & SVT & EPS

E

Calcul de la vitesse maximale aérobie (VMA)

S

P

Pour les athlètes, la VMA (vitesse maximale aérobie) est une donnée très importante qu’il convient de connaitre et de travailler. La vitesse maximale aérobie est la vitesse de course sur piste à partir de laquelle une personne consomme le maximum d’oxygène. Connaitre sa VMA est très utile pour un sportif afin qu’il s’entraine à un rythme adapté.

Projet

Plusieurs tests peuvent être réalisés en cours d’EPS pour déterminer la vitesse maximale aérobie d’un élève : test de Léger-Boucher, demi-Cooper… En mathématiques, l’utilisation de tableaux, de formules, de pourcentages sur tableur peut aider à la détermination de la VMA et au calcul des distances, des vitesses et des intensités de travail dans le cycle d’EPS. Notions mathématiques : Calculs de vitesses, de distances, de temps • Utilisation de pourcentages • Travail sur tableur 152

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ues

mathématiq

à la maison

67 Pourcentages successifs

73 Vu au brevet

68 Né un 29 février

Pour réaliser un abri de jardin en parpaings, un bricoleur a besoin de 300 parpaings de dimensions 50 cm × 20 cm × 10 cm pesant chacun 10 kg. Il achète les parpaings dans un magasin situé à 10 km de sa maison. Pour les transporter, il loue au magasin un fourgon.

On augmente successivement un prix de 1 %. Combien de fois faut-il l’augmenter successivement de 1 % pour qu’il augmente globalement de 100 % ?

50 cm

69 Trois pizzas

10 cm

E

Information 1  Caractéristiques du fourgon : • 3 places assises ; • dimensions du volume transportable (L × l × h) : 2,60 m × 1,56 m × 1,84 m ; • charge pouvant être transportée : 1,7 tonne ; • volume du réservoir : 80 litres ; • diésel (consommation : 8 litres aux 100 km).

IM

Rita sort trois pizzas du four. Elle découpe chaque pizza en un nombre différent de parts égales (au moins deux). La masse d’une pizza est de 360 grammes. La masse totale de trois parts différentes, une de chaque pizza, est strictement supérieure à celle d’une pizza. Quelle est cette masse totale  ? Trouver toutes les possibilités.

20 cm

N

Évaluer le nombre de personnes en France qui sont nées un 29 février.

D’après Finale internationale des jeux mathématiques et logiques.

C

70 Dans les jeux de fort Boyard, un engrenage est

E

composé d’une petite roue avec 12 dents et d’une grande roue avec 25 dents. Combien de tours de la petite roue le candidat doit-il faire pour que la grande roue fasse 5 tours ?

P

71 Défi !

S

Es-tu capable de trouver le chiffre des unités de 132017 ?

72 Énigme

a. La figure ci-contre représente un cube en allumettes dans lequel on peut voir 8 « petits cubes » identiques. Combien faut-il d’allumettes pour le réaliser ?  b. On veut construire un plus grand cube  dans lequel on identiques. pourrait voir 1 000 « petits cubes » r le réaliser ? pou Combien faudra-t-il d’allumettes

Information 2 Tarifs de location du fourgon : ces prix comprennent le kilométrage indiqué hors carburant. 1 jour 1 jour 1 jour 1 jour km 30 km 50 km 100 km 200 km supplémaximum maximum maximum maximum mentaire

48 €

55 €

61 €

78 €

Information 3 Un litre de carburant coute 1,50 €.

1. Expliquer pourquoi ce bricoleur devra effectuer deux allers et retours pour transporter les 300 parpaings jusqu’à sa maison. 2. Quel sera le cout total du transport ?

74 TGV Atlantique

Deux amis quittent Nantes au même moment pour se rendre à Paris. Le premier fait, en TGV, le trajet Nantes-Paris d’une longueur de 375 km, en 1 h 55 min. Le second utilise la voiture et fait le trajet Nantes-Paris, d’une longueur de 385 km par autoroute, en 3 h 45 min. On suppose que le mouvement des véhicules est uniforme. À quelle distance de Paris la voiture se trouve-telle au moment où le TGV arrive en gare de Paris ?

Chapitre 6 • Proportionnalité

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2 €

153

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Pour faire ces activités, télécharge les fiches logiciel GeoGebra et Tableur sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

Vitesse planétaire Utiliser le tableur pour travailler la proportionnalité.

30’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

IM

E

N

Toutes les planètes du système solaire tournent sur elles-mêmes. Le tableau ci-dessous donne le diamètre et la durée d’une rotation de chaque planète. Diamètre équa- Durée d’une Nom L’objectif de cette activité est de déterminer sur quelle planète torial (en km) rotation la vitesse d’un point situé sur l’équateur est la plus grande. 58 jours Mercure 4,88 × 103 15 h 38 min 243 jours Vénus 1,21 × 104 00 h 14 min Terre 1,27 × 104 23 h 56 min 3 Mars 6,80 × 10 24 h 37 min Jupiter 1,43 × 105 09 h 53 min 5 Saturne 1,20 × 10 10 h 24 min Uranus 5,10 × 104 15 h 30 min 4 Neptune 4,95 × 10 16 h 07 min

P

E

C

1 Dans une feuille de calcul, construire un tableau comme ci-dessous et y reporter les données.

S

Remarque

Le format des cellules de la colonne B peut être prédéfini comme « format scientifique » dans le menu contextuel : format de cellule / nombre / scientifique.

2 Circonférence des planètes a. Dans la cellule C3, saisir une formule pour calculer la circonférence de Mercure. Tableur 1 b. Recopier cette formule dans la colonne B pour obtenir la circonférence Aide de toutes les planètes. Tableur 2 La fonction « pi() » permet d’utiliser le nombre π dans un calcul.

3 Durée de rotation a. Dans la cellule G3, saisir une formule pour calculer la durée de rotation en heure de Mercure. b. Recopier cette formule dans la colonne G pour obtenir la durée de rotation des planètes.

Tableur 1 Tableur 2

4 Calcul de la vitesse a. Dans la cellule H3, saisir une formule pour calculer la vitesse d’un point situé sur l’équateur de Mercure. Tableur 1

b. Recopier cette formule dans la colonne H pour obtenir la vitesse d’un point situé sur l’équateur de chaque planète. Tableur 2 154

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2

Les lingots Utiliser le tableur pour travailler un problème liant volume et masse.

20’

Difficulté mathématique

Difficulté technique

Luc possède 5 lingots en forme de pavé droit. Chaque lingot est d’un métal différent. Luc mesure les dimensions de ces lingots et les reporte dans une feuille de calcul.

E

N

1 Reproduire le tableau ci-dessous.

2 Chercher (sur Internet ou dans un livre) la masse volumique des métaux utilisés.

IM

3 Dans la cellule F2, saisir une formule qui permette de calculer la masse du lingot d’aluminium. Tableur 1

Attention à bien exprimer cette grandeur en g/cm3.

4 Recopier cette formule dans la colonne F pour déterminer la masse des autres lingots.

Tableur 2

3

C

5 Luc souhaite acquérir cinq autres lingots (un de chaque métal qu’il possède déjà) qui pèseraient tous 4 kg chacun. Quelles dimensions sont possibles pour ces différents lingots ?

Des carrés en nombre

ALGO

20’

E

Construire, à l’aide d’un logiciel de programmation, une série de carrés. Difficulté mathématique

Difficulté technique

P

Dans le logiciel Scratch

S

1 Déclarer la variable « nombre carre » et, au clic sur le drapeau vert, demander à l’utilisateur de choisir un nombre de carrés à tracer que l’on affectera à cette variable. 2 Déclarer la variable « taille » et affecter 5 comme valeur initiale à cette variable. 3 Placer le lutin en position x = –100 et y = 100. 4 Construire un carré de côté la valeur de la variable « taille » en répétant 4 fois les instructions ci-contre. 5 Faire répéter cette construction de carré un nombre de fois égal à la variable « nombre carre  » en agrandissant entre chaque construction la taille du carré par un coefficient 1,5. Par exemple, pour un nombre de carrés souhaités égal à 6, on doit obtenir le résultat ci-contre. 6 Améliorer le programme pour effacer les constructions au démarrage et tracer chaque carré d’une couleur différente. Chapitre 6 • Proportionnalité

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155

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Une piscine à remplir La ville de La Roche-sur-Yon a construit une nouvelle piscine olympique. Les employés municipaux doivent la remplir à l’aide d’une pompe à eau. Ils enclenchent la pompe lundi matin à 8 h. Étudier les documents ci-dessous et déterminer l’heure à laquelle les employés municipaux doivent revenir pour surveiller la fin du remplissage afin que la piscine ne déborde pas.

1

Une piscine olympique

DOC

2

Une pompe à eau

IM

Une piscine olympique a la forme d’un pavé droit dont voici une vue en perspective. Sa longueur est de 50 m, sa largeur de 25 m et sa profondeur de 3 m.

N

DOC

E

1

3

Horaires de travail

Les employés municipaux se relaient du lundi au samedi de 8 h à 18 h. Il faut qu’ils soient présents durant les deux dernières heures du remplissage.

Les problèmes DUDU

S

2

P

E

C

Les employés municipaux ont choisi la pompe BX-23 (Débit : 36 000 L/h).

DOC

156

Installés dans leur canapé, les DUDU lisent. L’un d’eux remarque une promotion sur des portables, une double promotion, au point de penser que le portable est gratuit. Son frère lui dit que ce n’est pas ça. Peux-tu les aider à savoir qui a raison ?

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

156

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05/04/2016 19:04


E IM

E

C

Les casinos proposent des jeux de hasard. Apprends à calculer la chance de gagner à différents jeux de hasard. En fin de chapitre, p. 178, tu pourras appliquer cette méthode pour gagner à ces jeux.

N

7

S

P

Statistiques et probabilités

Attendus de fin de cycle Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Avant de commencer ce chapitre, fais le point sur tes connaissances sur www.bordas-myriade.fr. le site www.bordas-myriade.fr.

OBJECTIFS 1

Étudier une liste de données

2

Étudier un tableau ou un graphique de données

3

Calculer des probabilités dans des contextes divers

4

Simuler une expérience aléatoire à l’aide d’un logiciel 157

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05/04/2016 19:07


Tous les fichiers texte modifiables de ces activités sont disponibles sur le site www.bordas-myriade.fr.

Acti

é vit

1

Étudier une liste de données

OBJECTIF

1

1 Étude des températures à Bordeaux

E

N

On a relevé les températures de trois villes au cours d’une journée de mars 2016.

La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux séries de même effectif.

IM

a. Quelle est la moyenne des températures enregistrées à Bordeaux au cours de cette journée ? b. Quelle est la médiane des températures pour Bordeaux au cours de cette journée ? c. Quelle est l’étendue des températures enregistrées à Bordeaux au cours de cette journée ?

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’une série.

2 Étude des températures à Tamanrasset et à Moscou

C

2

Étudier un graphique de données

E

Acti

é vit

Déterminer la moyenne, la médiane et l’étendue des températures enregistrées à Tamanrasset, puis à Moscou.

S

P

En 2015, pour la sortie du film Star Wars, un cinéma proposait cinq tarifs : 4,00 € pour les moins de 14 ans ; 6,00 € pour les étudiants ; 6,40 € pour les abonnés ; 7,50 € pour les séniors ; 9,50 € en tarif normal. Le graphique ci-contre donne le nombre de spectateurs pour chaque tarif, dans ce cinéma, le jour de la sortie du film.

OBJECTIF

500

2

Nombre de spectateurs

400 300 200 100 000

4,00

6,00

6,40

7,50

9,50

Tarifs (en €)

1 a. Le directeur dit : « Nous avons reçu 1 370 spectateurs et si chacun d’eux avait payé 7,00 €, nous aurions eu la même recette totale. » A-t-il raison ? Justifier. b. Comment appelle-t-on cette valeur de 7,00 € pour la série de valeurs étudiées ? c. Le directeur ajoute : « Le tarif médian est de 6,40 € sur cette séance. » Que cela signifie-t-il ?

2 Quelle est la différence de prix entre le tarif le plus cher et le tarif le moins cher ? Comment appelle-t-on cette différence ?

158

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05/04/2016 19:07


Acti

é vit

3

Calculer des probabilités

OBJECTIF

3

Yannick joue avec un jeu de 52 cartes. Il y a 4 «  couleurs  » (pique  ♠, cœur  ♥, carreau  ♦ et trèfle  ♣)  comportant chacune 13 cartes différentes (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).

E

paquet. a. Expliquer pourquoi la probabilité que sa carte soit un trèfle est de 0,25. b. Quelle est la probabilité que la carte de Yannick soit un as ? un roi ? une figure (c’està-dire un valet, une dame ou un roi) ? c. Quelle est la probabilité de tirer l’as de trèfle ?

N

1 Yannick tire une carte au hasard dans son

IM

2 Yannick tire une carte et la remet dans le paquet. Il mélange et en tire une autre.

Quelle est la probabilité que cette seconde carte ait la même « couleur » que la première ?

3 Yannick tire une carte puis, sans la remettre dans le paquet, en tire une autre.

C

a. Quelle est la probabilité qu’il ait 2 cartes de la même « couleur » ? b. Quelle est la probabilité qu’il ait 2 cartes du même rang (c’est-à-dire deux 7 ou deux valets, par exemple) ?

4

Simuler une expérience aléatoire à l’aide d’un logiciel

E

Acti

é vit

OBJECTIF

4

P

On souhaite simuler 100 lancers de dé à six faces à l’aide d’un tableur.

1 Dans une feuille de calcul, construire un tableau

S

à deux colonnes avec, dans la colonne A, les numéros des lancers de 1 à 100. Tableur 3

2 Dans la cellule B1, simuler un lancer de dé à

l’aide de la fonction « ALEA.ENTRE.BORNES » et copier cette formule dans toute la colonne B. Tableur 6

3 Compter, avec la fonction « NB.SI() », combien de fois le 6 est apparu. 4 Recommencer la simulation et recompter le nombre de fois où le 6 est apparu. Le résultat est-il le même ? Est-ce normal ? Aide Pour relancer une simulation, la touche F9 ou les touches CTRL+MAJ+F9 peuvent être utiles.

5 a. Sur 1 000 lancers, combien de fois environ peut-on espérer voir apparaitre le 6 ? b. Réaliser plusieurs simulations de 1 000 lancers pour vérifier la prédiction faite. Chapitre 7 • Statistiques et probabilités

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159

05/04/2016 19:07


1

Caractéristiques d’une série statistique

OBJECTIFS

1 et 2

Exemple On étudie les notes de deux élèves d’une classe de 3e : – notes d’Alan : 9  ; 11  ; 18  ; 7  ; 17  ; 11  ; 12 ; 18 ; – notes de Barbara : 13  ; 13  ; 12  ; 10  ; 8  ; 14  ; 12  ; 10 ; 11. Cet exemple sera utilisé dans tout le cours.

N

A Caractéristiques de position La moyenne d’une série de données est le nombre égal à la somme des données de la série divisée par l’effectif total de la série. Pour Barbara : (13 + 13 + 12 + 10 + 8 + 14 + 12 + 10 + 11) : 9 = 11,4. La moyenne de Barbara est d’environ 11,4.

IM

Exemples Pour Alan : (9 + 11 + 18 + 7 + 17 + 11 + 12 + 18) : 8 ≈ 12,9. La moyenne d’Alan est d’environ 12,9.

E

DÉFINITION

Une médiane d’une série de données est une valeur telle qu’il y a : – au moins la moitié des valeurs inférieures ou égales à cette médiane ; – au moins la moitié des valeurs supérieures ou égales à cette médiane.

DÉFINITION

Remarque

C

Pour trouver une médiane d’une série de données, on peut ordonner la série dans l’ordre croissant.

E

Exemples Les données sont rangées dans l’ordre croissant. Pour Alan, le nombre de notes (données) Pour Barbara, le nombre de notes est pair, il en a 8. (données) est impair, elle en a 9.

P

7 9 11 11 12 17 18 18

S

4 données 4 données médiane La note médiane d’Alan est la moyenne des deux valeurs centrales, 11 et 12 : 11 + 12 = 11,5. 2

8 10 10 11 4 données

12 médiane

12 13 13 14 4 données

La note médiane de Barbara est la 5e note : 12.

B Caractéristiques de dispersion L’étendue d’une série de données est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série.

DÉFINITION

Exemples La note maximale d’Alan est 18. Sa note minimale est 7. L’étendue de sa série de notes est : 18 – 7 = 11. De même pour Barbara, l’étendue de la série est : 14 – 8 = 6. Les notes de Barbara sont moins dispersées que celles d’Alan. 160

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2

Probabilités

OBJECTIFS

3 et 4

Une expérience est dite « aléatoire » lorsqu’elle vérifie trois conditions : – on connait toutes les issues possibles ; – le résultat n’est pas prévisible ; – l’expérience est reproductible dans les mêmes conditions.

DÉFINITION

Un évènement est un ensemble d’issues que l’on peut obtenir lors d’une expérience aléatoire. Il est constitué par une ou plusieurs issues de l’expérience. Un évènement constitué d’une seule issue est appelé « évènement élémentaire ».

DÉFINITION

E

N

Exemples On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. Il y a six issues : 1  ; 2  ; 3  ; 4  ; 5  ; 6. On peut considérer : – l’évènement « obtenir un nombre impair » (qui est réalisé pour les issues 1, 3 et 5) ; – l’évènement « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » (qui est réalisé pour les issues 5 et 6).

Dans une expérience aléatoire où toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser, la probabilité d’un évènement est égale au quotient suivant : Nombre d’issues favorables à l’évènement Nombre d’issues possibles

IM

PROPRIÉTÉ

E

C

Exemples Sur cette roue, il y a 8 secteurs de taille identique colorés dont 3 sont jaunes. Si on fait tourner cette roue, la probabilité de l’évènement « obtenir jaune » est de 3 . 8

La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1.

P

PROPRIÉTÉ

Si on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un évènement est proche de la probabilité de cet évènement.

PROPRIÉTÉ

S

Exemples On a lancé un dé 50 000 fois, voici les résultats obtenus. Faces

Effectifs Fréquences

1

2

3

4

5

6

Total

8 281

8 387

8 299

8 338

8 397

8 298

50 000

16,56 %

16,77 %

16,60 %

16,68 %

16,79 %

16,60 %

100 %

Les fréquences d’apparition de chaque face sont toutes proches de la probabilité d’obtenir une face donnée, qui est de 1 ≈ 0,167 . 6 Remarque Des logiciels peuvent être utilisés pour simuler une expérience aléatoire. Par exemple, on peut simuler dans un tableur un lancer de dé à 6 faces avec la fonction : « ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) » qui renvoie un nombre entier choisi au hasard entre 1 et 6.

Chapitre 7 • Statistiques et probabilités

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161

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1 Je comprends

Étudier une liste

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Je m’entraine 1

ÉTAPE 3 : L’étendue

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.

Le meilleur lancer est de 73 m et le moins bon de 58 m : 73 – 58 = 15. L’étendue de la série est donc de 15 m.

IM

ÉTAPE 2 : La médiane On ordonne la série du moins bon lancer au meilleur : 58 m ; 59 m ; 62 m ; 62 m  ; 64 m ; 65 m ; 71 m ; 73 m. valeurs centrales

m = (62 + 64) : 2 = 63. La valeur médiane est donc de 63 m. Il y a autant de lancers inférieurs à 63 m que de lancers supérieurs à 63 m.

N

ÉTAPE 1 : La moyenne M = (62 + 73 + 58 + 64 + 71 + 62 + 65 + 59) : 8 = 64,25. La moyenne des lancers est donc de 64,25 m.

Dans le cas d’un nombre pair de valeurs, une valeur médiane est obtenue par la moyenne des deux valeurs centrales, ici 62 et 64.

E

Huit athlètes ont participé à un concours de lancers de javelot. Voici leurs performances : 62 m ; 73 m ; 58 m ; 64 m ; 71 m ; 62 m ; 65 m ; 59 m. Déterminer la moyenne, la médiane et l’étendue de cette série de lancers.

CALCULER

4 Martine a donné à Lucien une douzaine d’œufs.

C

Activités rapides

E

Déterminer la moyenne, la médiane et l’étendue de chacune des séries : a. 10 ; 6 ; 8 ; 20.  b. 2 : 12 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12.  c. 3 : 5 ; 3 ; 7 ; 2 ; 2 ; 8 ; 4.

P

2 Le professeur de SVT montre à ses élèves le

S

relevé des hauteurs de cinq peupliers : 35 m ; 38 m ; 34 m ; 41 m ; 32 m. 1. Quelle est la plus grande valeur de cette série ? la plus petite ? 2. Calculer l’étendue de cette série. Peut-on dire que les valeurs de cette série sont très dispersées ? 3. Calculer la hauteur moyenne des peupliers de la série. 4. Déterminer la médiane de cette série de hauteurs. Donner une interprétation de ce nombre.

3 Le magasin Pizza 25’ propose des pizzas de

différentes tailles aux tarifs suivants : 8,00 € ; 10,00 € ; 11,50 € ; 12,50 € ; 14,00 €. 1. Déterminer le prix moyen d’une pizza. 2. Déterminer la médiane de ces prix.

Il a pesé chaque œuf et a obtenu les masses suivantes : 61 g ; 62 g ; 61 g ; 58 g ; 56 g ; 63 g ; 55 g ; 64 g ; 61 g ; 63 g ; 63 g ; 65 g. 1. Calculer la masse totale de la douzaine d’œufs. 2. Calculer la masse moyenne d’un œuf. 3. Déterminer la médiane de cette série de masses. 4. Calculer l’étendue de cette série.

5 Ordonner chacune des séries ci-dessous, puis

déterminer la moyenne, la médiane et l’étendue de chacune d’elles. 1. 4,3 ; 3,4 ; 5,1 ; 4,7 ; 4,6. 2. 10 ; 6 ; 8 ; 20 ; 7 ; 24. 3. 7,2 ; 6,4 ; 8,3 ; 1,9.

6 Vu au brevet (QCM)

La médiane de la série de valeurs 7 ; 8 ; 8  ; 12 ; 12  ; 14 ; 15 ; 15  ; 41 : a. est égale à la moyenne de cette série de valeurs. b. est supérieure à la moyenne de cette série de valeurs. c. est inférieure à la moyenne de cette série de valeurs.

162

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de données Je résous des problèmes simples Sept athlètes ont couru un 200 m avec les temps suivants (en seconde) : 20,25 ; 20,12 ; 20,48  ; 20,09 ; 20,69 ; 20,19 ; 20,38. 1. Quelle est l’étendue de cette série ? 2. Quelle est la moyenne de cette série ? 3. Quelle est la médiane de cette série ? 4. Quelle est la vitesse moyenne, en m/s, de l’athlète le plus rapide (arrondie au millième) ?

10 Les maths autour de moi Le grand-père de Léa a installé un pluviomètre dans son jardin. Chaque jour, il relève la hauteur des précipitations. Voici les relevés qu’il a faits au cours de la semaine passée. Précipitations (en mm) 16 14 12 10 8 6 4 2 0

E

8 Six employés travaillent dans une petite entreprise

L

M

M

J

V

S

D

Jour de la semaine

1. Quel jour a été le plus pluvieux ? Quelle hauteur de précipitation est-il tombé ce jour-là ? 2. Quel jour a été le moins pluvieux  ? Quelle hauteur de précipitation est-il tombé ce jourlà ? 3. Léa dit à son grand-père « S’il avait plu tous les jours 9 mm, on aurait eu le même total de précipitations pour cette semaine. » A-t-elle raison ? Justifier.

C

IM

de menuiserie. Voici leurs salaires mensuels : Marc : 1 600 € Isabelle : 1 450 € Gérard : 2 400 € Mehdi : 1 800 € Théo : 1 700 € Yvan : 2 200 €. 1. Calculer la masse salariale mensuelle de cette entreprise, c’est-à-dire le total des salaires versés chaque mois. 2. Calculer le salaire moyen de cette entreprise. 3. Déterminer la médiane des salaires. 4. Calculer l’étendue des salaires.

COMMUNIQUER

N

7 Vu au brevet

CHERCHER

CALCULER

9 Lydie tient la comptabilité de sa boutique de prêt-à-

S

P

E

porter à l’aide d’un tableur.

1. a. Quelle formule Lydie peut-elle saisir dans la cellule E5 ? b. Calculer le total des ventes de la journée. 2. a. Quelle formule Lydie peut-elle saisir dans la cellule E7 ? b. Calculer le montant moyen dépensé par un client. c. Calculer le montant médian dépensé par un client.

11 TOP Chrono L’album de musique le plus vendu au monde est Thriller de Mickael Jackson (108 millions d’exemplaires vendus depuis sa sortie). Le tableau suivant donne les titres et les durées des chansons de ce célèbre album. Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chanson Wanna Be Startin’ Somethin’ Baby Be Mine The Girl Is Mine Thriller Beat It Billie Jean Human Nature P.Y.T. (Pretty Young Thing) The Lady in My Life

Durée 6 min 02 s 4 min 42 s 3 min 42 s 5 min 57 s 4 min 17 s 4 min 54 s 4 min 05 s 3 min 58 s 4 min 59 s

1. Calculer la durée totale de l’album. 2. Calculer la durée moyenne d’une chanson. 3. Calculer la médiane de cette série de durées. Chapitre 7 • Statistiques et probabilités

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163

05/04/2016 19:07


2 Je comprends

Étudier un tableau

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

1

2

3

4

5

Total

28

46

31 14

6

125

Je m’entraine 12

ÉTAPE 2

Dans cette série de 125 valeurs, on cherche la valeur « centrale » qui est la 63e. C’est un 2. La médiane est donc 2 livres.

IM

1. Déterminer le nombre moyen de livres empruntés par un lecteur. 2. Déterminer l’étendue et la médiane de cette série de livres.

2. ÉTAPE 1 On sait que le plus grand nombre de livres empruntés par un lecteur est 5. Le plus petit nombre de livres empruntés est 1. 5 – 1 = 4. L’étendue est donc de 4 livres.

N

Nombre de livres Nombres de lecteurs

1. On calcule le nombre total de livres empruntés divisés par le nombre total de lecteurs  : 1 × 28 + 2 × 46 + 3 × 31 + 4 × 14 + 5 × 6 = 2,392 125 En moyenne, un lecteur emprunte 2,4 livres.

E

Au cours d’une journée, 125 lecteurs sont venus à la bibliothèque municipale de Rideboucq-les-Bains. Le tableau suivant donne le nombre de livres empruntés par chaque lecteur.

CALCULER

15 Le professeur documentaliste du collège a

Activités rapides

E

C

Déterminer la moyenne, la médiane et l’étendue de chacune des séries : a. 10 ; 10 ; 10 ; 20. b. 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 120. c. 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 5.

13 Le tableau ci-dessous donne la répartition, par

P

âge, des participants à un camp de vacances.

demandé aux élèves d’une classe de 3e de compter le nombre de spams (courriels indésirables) reçus sur leur messagerie au cours d’un weekend. Le graphique ci-dessous montre les résultats de cette enquête. Nombre d’élèves 6 5 4

13 ans

14 ans

15 ans

16 ans

17 ans

3

Effectif

2

6

3

1

3

1

S

Âge des participants

1. Quel est l’effectif total de ce groupe ? 2. Quel est l’âge moyen d’un participant ? 3. Quelle est la médiane des âges des participants ?

14 Le tableau ci-dessous donne la répartition, par âge, de l’équipage d’un voilier. Âge des équipiers (en années) Nombre d’équipiers

18 20 22 28 1

4

3

2

1. Calculer l’effectif total de l’équipage. 2. Calculer l’âge moyen des équipiers de ce voilier. 3. Quelle est la médiane des âges des équipiers ?

2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nombre de spams reçus

1. a. Combien d’élèves n’ont reçu aucun spam ? b. Combien d’élèves ont reçu exactement trois spams ? c. Combien d’élèves ont répondu au sondage du professeur documentaliste ? 2. a. Déterminer le nombre total de spams reçus par les élèves de la classe. b. Calculer le nombre moyen de spams reçus par un élève de cette classe. c. Calculer le nombre médian de spams reçus par un élève.

164

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ou un graphique de données Je résous des problèmes simples 16 Vu au brevet

Voici les effectifs et les salaires des employés d’une petite et moyenne entreprise (PME). Catégorie Ouvrier Effectif

Ouvrier Cadre Cadre Dirigeant qualifié moyen supérieur

50

25

15

10

2

CALCULER

Une enquête a été réalisée pour connaitre les tarifs « étudiant » des salles de cinéma (hors séance 3D) dans plusieurs grandes villes françaises. Le diagramme suivant montre les résultats de cette enquête. Nombre de salles

1 300

1 700

3 500

8 000

16

N

950

14

17 Vu au brevet

C

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les notes obtenues en mathématiques par Mathieu tout au long de l’année scolaire.

S

P

E

Note 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

1

2

12 8 6 4 2

E

10

IM

1. Quel est l’effectif de cette PME ? 2. Calculer le salaire moyen arrondi à l’unité. 3. Déterminer l’étendue des salaires. 4. Les dirigeants décident une augmentation de 8 % du montant du salaire d’un ouvrier simple. a. Calculer le nouveau salaire de cet ouvrier. b. De quel pourcentage a augmenté le salaire moyen de cette entreprise ?

3

4

5

6

7

8

COMMUNIQUER

18 Les maths autour de moi

18

Salaire (en €)

RAISONNER

0

5,30 5,70 5,90 6,10 6,50 6,90 7,10 7,50 7,90

Tarif étudiant (en €)

1. Quelle est l’étendue de cette série de prix ? 2. D’après cette enquête, quel est le prix moyen d’un billet de cinéma « étudiant » ?

19 TOP Chrono Le graphique ci-dessous donne le nombre de buts marqués par match lors de la Coupe du monde de football 2014 au Brésil. Nombre de matchs 20 18 16 14 12

9 10 11 12

Numéro du devoir

1. À quel devoir Mathieu a-t-il obtenu sa meilleure note ? 2. Calculer la moyenne des notes de Mathieu sur l’ensemble de l’année. 3. Déterminer l’étendue de la série de notes de Mathieu. 4. a. Combien Mathieu a-t-il eu de notes strictement inférieures à 10 sur 20 ? b. Exprimer ce résultat en pourcentage du nombre total de devoirs.

10 8 6 4 2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

1. Combien de matchs ont été joués ? 2. Combien de buts ont été marqués ? 3. Quel est le nombre moyen de buts marqués par match ? 4. Quel est le nombre médian de buts dans cette série ? Chapitre 7 • Statistiques et probabilités

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8

Nombre de buts

165

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3 Je comprends

Calculer des probabilités

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Je m’entraine 20

E

CALCULER

22 On lance un dé à six faces et on regarde le nombre

Activités rapides

E

C

Dans un jeu de société, on lance un dé à 12 faces numérotées de 1 à 12. Quelle est la probabilité d’avoir : a. un 2 ? b. un nombre pair ? c. un multiple de 5 ? d. un multiple de 3 ?

21 Un sac contient six boules :

P

quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : – les blanches portent les numéros 1, 1, 2 et 3 ; – les noires portent les numéros 1 et 2. 1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? b. 6 c. 4 a. 2 3 3 2. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ? b. 1 c. 1 a. 1 4 6 3 3. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ? b. 2 c. 3 a. 1 3 4 6

S

2. Parmi les 20 boules, il y a 8 boules numérotées 2 et 4 boules numérotées 4. On a donc 12 chances sur 20 de tirer une boule paire. La probabilité d’obtenir un nombre pair est de 12 , soit 3 ou encore 0,6. 20 5

IM

1. Parmi les 20 boules, il y a 5 boules numérotées 1. On a donc 5 chances sur 20 de tirer une boule numérotée 1. On dit que la probabilité d’obtenir le nombre 1 est de 5 , soit 1 ou encore 0,25. 20 4

N

Dans un sac, il y a 20 boules numérotées de 1 à 4. On mélange, on tire une boule au hasard et on regarde le nombre inscrit. 1. Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 1 ? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?

de points inscrits sur la face du dessus. 1. Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 3 ? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?

23 Vu au brevet

À un stand du « Heiva », on fait tourner la roue de loterie ci-dessous. A

T

T

M

M

T T

M

On admet que chaque secteur a autant de chances d’être désigné. On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère les évènements suivants : – A : « on gagne un autocollant » ; – T : « on gagne un tee shirt » ; – M : « on gagne un tour de manège ». 1. Quelle est la probabilité de l’évènement A ? 2. Quelle est la probabilité de l’évènement T ? 3. Quelle est la probabilité de l’évènement M ?

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dans des contextes divers Je résous des problèmes simples

COMMUNIQUER MODÉLISER

CALCULER CALCULER

MODÉLISER COMMUNIQUER

24 Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non tru- 28 Trois boules, numérotées 4, 5 et 6, sont placées

boules noires. La probabilité de tirer une boule blanche est de 1 . Combien y a-t-il de boules 4 noires dans l’urne ?

26 Les forces de l’ONU larguent par avion des vivres

et du matériel sur des zones difficiles d’accès par la route. Voici, vu du ciel, la zone de largage rectangulaire composée d’une zone d’herbe (en vert) et d’une zone humide (en bleu).

L = 100 m

L = 50 m

IM

250 m

N

25 Une urne contient 12 boules blanches et des

dans une urne. À l’aide de ces trois boules, on va écrire un nombre à trois chiffres de la façon suivante : • on tire au hasard une première boule et on note le chiffre obtenu comme centaine ; • on tire une seconde boule sans remettre la première et on note le chiffre obtenu comme dizaine ; • on tire la troisième boule sans remettre les précédentes et on note le chiffre obtenu comme unité. 1. Combien de nombres différents peuvent être obtenus ? 2. a. Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 456 ? b. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ? c. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre divisible par 3 ? d. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 550 ? e. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre composé de trois chiffres identiques ? 3. Reprendre toutes les questions en remettant les boules dans l’urne après chaque tirage.

E

qué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une onzième fois. Quelle est la probabilité qu’il obtienne 6 au onzième lancer ?

E

C

Le largage est effectué au hasard sur la zone. Quelle est la probabilité que le matériel largué tombe sur la zone d’herbe ? sur la zone humide ?

P

Aire d’un triangle = (Base × Hauteur) : 2

27 Les maths autour de moi

S

Aline, Bertrand et Claude ont chacun un sac contenant des bonbons. Chacun tire au hasard un bonbon dans son sac. Le contenu des sacs est le suivant.

1. Qui a la probabilité la plus grande de tirer un bonbon rouge ? 2. On souhaite qu’Aline ait la même probabilité que Bertrand de tirer un bonbon rouge. Avant le tirage, combien de bonbons verts faut-il pour cela ajouter dans le sac d’Aline ?

29 TOP Chrono Léon part en vacances au soleil. Dans sa valise, il n’emporte que des bermudas et des chemises. • Il a 10 bermudas : 3 rouges, 2 verts et 5 blancs. • Il a 8 chemises : 1 rouge, 3 vertes et 4 blanches.

Arrivé sur son lieu de vacances, il ouvre sa valise et choisit au hasard un bermuda et une chemise. Quelle est la probabilité que Léon s’habille avec une tenue d’une seule couleur ?

Chapitre 7 • Statistiques et probabilités

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167

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4 Je comprends

Simuler une expérience

VOIR LA VIDÉO : www.bordas-myriade.fr

Nicolas souhaite effectuer 10 lancers de « pile » ou « face », mais il n’a pas de pièce de monnaie sur lui. Aider Nicolas à effectuer une simulation de 10 lancers de « pile » ou « face » dans une feuille de calcul d’un tableur. ÉTAPE 2

Avec la fonction « SI », on associe « pile » au 1 et on associe « face » au 2.

IM

E

N

ÉTAPE 1 On construit un tableau à 3 colonnes. On utilise la fonction « ALEA.ENTRE.BORNE(1;2) » pour simuler un tirage aléatoire entre 2 issues.

Remarque

30

6 faces

MODÉLISER

E

Je m’entraine

4 piles

C

À l’aide de la fonction « NB.SI », on peut compter le nombre de « pile » et le nombre de « face ». En appuyant sur la touche F9 ou sur les touches CTRL + MAJ + F9 suivant le tableur utilisé, on pourra simuler à nouveau 10 lancers de pièces.

Activités rapides

la somme des deux dés. 1. Sur une feuille de calcul d’un tableur, construire un tableau à 4 colonnes comme ci-dessous.

S

P

Quelle formule permet de simuler sur tableur un lancer de dé à 6 faces ? a. =ALEA.ENTRE.BORNES(1;2;3;4;5;6) b. =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) c. =6*ALEA()

34 Lili souhaite lancer 2 dés à 6 faces et calculer

31 À l’aide d’un tableur, simuler 100 lancers de « pile » ou « face ».

32 À l’aide d’un tableur, simuler 10 lancers de dé à 6 faces.

33 À l’aide d’un tableur, simuler 50 lancers de

dés à 12 faces et compter combien de fois le 11 est sorti.

2. Compléter les cellules B2 et C2 à l’aide de la fonction « ALEA.ENTRE.BORNES ». 3. Calculer la somme des deux lancers dans la cellule D2. 4. En recopiant les formules des cellules B2, C2 et D2, simuler 100 lancers de 2 dés. 5. À l’aide de la fonction « NB.SI », compter combien de fois le total de 12 a été obtenu.

168

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aléatoire à l’aide d’un logiciel Je résous des problèmes simples

MODÉLISER

REPRÉSENTER

COMMUNIQUER

35 Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, 37 Les maths autour de moi

0

E

Fréquence

IM

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Hugo propose un jeu de dés à sa sœur Léa. Il utilise trois dés : deux dés à 6 faces (numérotées de 1 à 6) et un dé à 12 faces (numérotées de 1 à 12). Il dit : « Je lance les deux dés à 6 faces et j’annonce le total des deux dés. Tu lances le dé à 12 faces et tu annonces le résultat. Celui qui a le plus grand total gagne, sachant qu’il peut aussi y avoir match nul. » On cherche les probabilités qu’Hugo et Léa ont de gagner à ce jeu. 1. À l’aide d’un tableur, construire un tableau à quatre colonnes comme celui ci-dessous :

N

soit verts, soit rouges, soit bleus. On considère l’expérience suivante : tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac. Chaque jeton a la même probabilité d’être tiré. Le professeur, qui connait la composition du sac, a simulé un grand nombre de fois l’expérience avec un tableur. Il a représenté ci-dessous la fréquence d’apparition des différentes couleurs après 1 000 tirages.

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000

Nombre de tirages

C

1. Quelle couleur semble être la plus présente dans le sac ? 2. Combien peut-on penser qu’il y a de jetons rouges dans le sac ?

36 Huit chasseurs se trouvent face à huit canards.

E

Chacun des huit chasseurs choisit au hasard un canard sans se concerter avec les autres et tire avec succès sur sa cible. Quel est le nombre moyen de canards survivants ?

S

P

On pourra, à l’aide d’un tableur, simuler, pour chaque chasseur, le canard visé à l’aide de la fonction « ALEA.ENTRE.BORNES » et ainsi comptabiliser pour chaque canard le nombre de balles reçues à l’aide de la fonction « NB.SI ». En répétant plusieurs fois cette simulation, on pourra ainsi approcher le nombre moyen de survivants.

2. Dans la colonne A, créer une liste de nombres entiers numérotant les parties. 3. Dans la cellule B2, saisir une formule pour simuler le lancer des deux dés d’Hugo. 4. Dans la cellule C2, saisir une formule qui permet de simuler le lancer du dé de Léa. 5. Dans la cellule D2, saisir une formule qui permet de tester qui est le vainqueur. 6. Recopier les formules précédentes pour simuler 100 parties de ce jeu. 7. Le jeu semble-t-il équitable ? Expliquer. Aide F9 ou Ctrl+Maj+F9 permet d’obtenir de nouveaux tirages aléatoires.

8. Donner une valeur approchée de la probabilité qu’a Hugo de gagner, puis celle de Léa.

38 TOP Chrono Un lièvre et une tortue font une course sur un parcours de six cases. Pour savoir qui avance, on lance un dé. Si le résultat est différent de 6, la tortue avance d’une case et on relance le dé. Si le résultat est 6, le lièvre avance de six cases et a gagné. Qui a le plus de chances de gagner la course ?

Chapitre 7 • Statistiques et probabilités

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169

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Je fais le point sur mon cours

Corrigés page 279

Pierrette élève des oies. Aujourd’hui, elle a récupéré 5 gros œufs dont voici les masses : 112 g ; 115 g ; 112 g ; 119 g ; 113 g. C

112 + 119 2

112 + 115 + 119 + 113 4

112 + 115 + 112 + 119 + 113 5

112 g

113 g

114,2 g

1 g

3 g

40 La masse médiane de la série est :

41 L’étendue de cette série est égale à :

42 Quelle est la probabilité

1 4

43 Quelle est la probabilité

qu’un œuf pris au hasard pèse 112 g ?

7 g 2 5

1 5

IM

qu’un œuf pris au hasard pèse 115 g ?

N

de cette série s’obtient en calculant :

B

E

39 La masse moyenne

A

1 4

2 5

1 5

C

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

1

E

Je fais le point sur mes objectifs Étudier une liste de données

44 Déterminer la moyenne, la médiane et l’étendue

S

P

de chacune des séries suivantes. a. 5 ; 2 ; 6 ; 1 ; 6. b. 18 ; 18 ; 16 ; 12. c. 50 ; 30 ; 80 ; 32 ; 20 ; 18 ; 44. d. 2,4 ; 4,3 ; 6,1 ; 7,7 ; 6,5.

45 Déterminer une série de cinq données pour laquelle la médiane est 130 et la moyenne 120.

46 Chaque jour, Warren fait le tour d’un lac à vélo.

Voici les temps chronométrés pour cette semaine : • lundi : 55 min 23 s ; •  mardi : 57 min 42 s ; • mercredi : 49 min 57 s ; •  jeudi : 56 min 27 s ; • vendredi : 55 min 29 s ; •  samedi : 52 min 31 s ; • dimanche : 55 min 59 s. 1. Quel est le temps moyen mis pour faire un tour du lac ? 2. Quelle est la médiane de cette série de temps ?

Corrigés page 279

2

Étudier un tableau ou un graphique de données 47 Voici les notes obtenues sur 20 par une classe de 25 élèves de 3e au dernier devoir de maths. 6

Effectif

5 4 3 2 1

0

7

8

9

10

11

12

13

14

1. Calculer l’étendue des notes. 2. Calculer la moyenne des notes.

15

16

17

Notes

3. Déterminer la médiane des notes. 4. Calculer le pourcentage d’élèves ayant eu une note inférieure ou égale à 14.

170

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Accompagnement personnalisé 3

4

Calculer des probabilités dans des contextes divers

Simuler une expérience aléatoire à l’aide d’un logiciel

48 Mamie Vano a préparé des glaces qu’elle a mises 50 Zia lance deux roues dentées comportant chadans des petits pots fermés et opaques. Le diagramme suivant donne le nombre de glaces de chaque parfum qu’elle a préparées. 9

cune 8 secteurs numérotés de 1 à 8. Elle gagne un lot si la somme des deux roues est 7.

Effectifs

8

N

7 6

À l’aide d’une simulation sur tableur, déterminer la probabilité qu’a Zia de gagner.

5 4 3

10

1 menthe

fraise

vanille

chocolat

P

IM

0

E

51 On considère le repère ci-dessous.

2

I

Parfum

C

Son petit-fils Martin choisit un pot au hasard. 1. Quelle est la probabilité que la glace de Martin soit à la fraise ? 2. Quelle est la probabilité que la glace de Martin ne soit pas à la vanille ?

49 Amélie mange au restaurant scolaire. Elle doit

S

P

E