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unidad 1 Conjuntos numéricos

contenidos

1. Números naturales 2. Números enteros

3. Números racionales 4. Números irracionales 5. Números reales 6. Potencias y raíces 7. Notación científica 8. Logaritmos

Todos solemos llamar números naturales a los que usamos «de toda la vida», o mejor dicho, desde que aprendemos a contar, aunque en realidad éstos se denominan «números arábigos», llamados así para poder distinguirlos de los números romanos (I, II, III, IV, V, VI, etc…). Los árabes popularizaron estos números, pero su origen se remonta a los comerciantes fenicios que los usaban para contar y llevar la contabilidad comercial. ¿Te has parado a pensar alguna vez, por qué el «1» se llama «uno», el «2» se llama «dos» y así sucesivamente? Pues la explicación no es tan sencilla: los números romanos son fáciles de entender pero… ¿y qué lógica hay tras este tipo de números? El truco está en los ángulos. Si lo pensamos detenidamente, llegaremos a la conclusión y por pura lógica, veremos que si escribimos el número en su forma primitiva, tenemos que: tEl número 1 tiene un ángulo. tEl número 2 tiene dos ángulos. tEl número 3 tiene tres ángulos. tY el «0» no tiene ángulos. Puedes verlos todos en la imagen siguiente:

Sin ángulos


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1. Números naturales 2. Números enteros

3. Números racionales 4. Números irracionales 5. Números reales 6. Potencias y raíces 7. Notación científica 8. Logaritmos

Todos solemos llamar números naturales a los que usamos «de toda la vida», o mejor dicho, desde que aprendemos a contar, aunque en realidad éstos se denominan «números arábigos», llamados así para poder distinguirlos de los números romanos (I, II, III, IV, V, VI, etc…). Los árabes popularizaron estos números, pero su origen se remonta a los comerciantes fenicios que los usaban para contar y llevar la contabilidad comercial. ¿Te has parado a pensar alguna vez, por qué el «1» se llama «uno», el «2» se llama «dos» y así sucesivamente? Pues la explicación no es tan sencilla: los números romanos son fáciles de entender pero… ¿y qué lógica hay tras este tipo de números? El truco está en los ángulos. Si lo pensamos detenidamente, llegaremos a la conclusión y por pura lógica, veremos que si escribimos el número en su forma primitiva, tenemos que: tEl número 1 tiene un ángulo. tEl número 2 tiene dos ángulos. tEl número 3 tiene tres ángulos. tY el «0» no tiene ángulos. Puedes verlos todos en la imagen siguiente:

Sin ángulos


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1. Números naturales Los números naturales los utilizamos para contar. El conjunto de los números naturales se designa con la letra ⺞ y tiene infinitos elementos: ⺞ = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...) r Decimos que un número a es múltiplo de otro b si se cumple que a = n · b, donde n es otro número natural. r Decimos que un número a es divisor de b si se cumple que b : a es división exacta. EJEMPLOS t Múltiplos de 2: 4, 6, 8, 10 ... t

Múltiplos de 5: 10, 15, 20, 25...

tt Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

1.1. Criterios de divisibilidad

En el siglo IX, Al-Juarismi escribió varios libros importantes sobre números arábigos y sobre los métodos de resolución de ecuaciones.

Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten saber si un número es: r Divisible entre 2: si acaba en 0 o número par. r Divisible entre 3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. r Divisible entre 4: si las dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4. r Divisible entre 5: si acaba en 0 o 5. r Divisible entre 6: si lo es entre 2 y entre 3.

El cero

r Divisible entre 8: si las tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

El cero, tal y como lo conocemos fue descubierto en la India y llegó a Europa a través de los árabes.

r Divisible entre 9: si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. r Divisible entre 10: si acaba en 0. r Divisible entre 11: si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan los lugares pares e impares es 0 o múltiplo de 11. EJEMPLOS t t Halla tres múltiplos de 2, 7 y 13. 2 q 4, 6, 8. 7 q 14, 21, 28. 13 q 26, 39, 52. tt Halla los divisores de 75, 100 y 132. 75 q 1, 3, 5. 100 q 1, 2, 4, 5, 10. 132 q 1, 2, 3, 4, 6, 11.

Grandes civilizaciones, como los romanos no conocieron su uso, con lo que los cálculos entrañaban gran dificultad. Otras teorías apuntan a Babilonia como cuna del número cero. El cero no se solía incluir en el conjunto de los números naturales por convenio. Y se representaba como ⺞* al conjunto de los números naturales cuando incluía al cero; por ello nos podemos encontrar con muchos libros donde los autores no consideran al cero como número natural. Sin embargo, las matemáticas actuales ya reconocen al cero como parte de los números naturales. El cero es el único número real por el cual no se puede dividir. Ejemplo: 8 : 0 = error; (5, 3) : 0 = error.


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1.2. Factorización r Decimos que un número es primo si solamente es divisible entre 1 y entre sí mismo. r Decimos que un número es compuesto si además del 1 y de sí mismo tiene otros divisores. EJEMPLOS t Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… t Números compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22… Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como un producto de números primos. EJEMPLOS Si entre dos expresiones numéricas no hay ningún signo, se entiende que es una multiplicación.

t 48 24 12 6 3 1

2 2 2 2 3

48 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 48 = 3 ⋅ 24

r 60 30 15 5 1

2 2 3 5

60 = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 60 = 5 ⋅ 3 ⋅ 22

1.3. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor r El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes. r El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes.

ACTIVIDADES 1. Factoriza los siguientes números: a) 84 y 450

EJEMPLOS t Calcular el mínimo común múltiplo de 12 y 18. Factorizamos los números:

b) 1 220 y 540.

12 = 2 · 2 · 3

2. Calcula el mcm y el mcd: a) 12 y 60

c) 25 y 150

b) 70 y 90

d) 14 y 84

18 = 2 · 3 · 3 Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente: mcm 2 · 2 · 3 · 3 = 36 t Calcular el máximo común divisor de 12 y 36. Factorizamos los números 12 = 2 · 2 · 3 36 = 2 · 2 · 3 · 3 Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente: mcd 2 · 3 = 6


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2. Números enteros Hay situaciones que no se pueden expresar con números naturales, como temperaturas bajo cero, saldos negativos, etc. Por este motivo surgen los números enteros, que están formados por los números naturales y sus opuestos, es decir, los números negativos.

Regla del producto de los signos (+) · (+) = (+)

(+) · (–) = (–)

(–) · (–) = (+)

(–) · (+) = (–)

El conjunto de los números enteros se designa con la letra ⺪: ⺪ = ( .... –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…) Los números enteros se representan en la recta real. Un número será mayor cuanto más a la derecha se sitúe en la recta real. –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Llamamos valor absoluto de un número a, que se representa |a|, al valor del número natural sin tener en cuenta el signo.

El valor absoluto siempre es, por tanto, positivo.

EJEMPLOS t |2|= 2 t

|3|= 3

|4|= 4

|5|= 5

tt |–2|= 2

|–3|= 3

|–4|= 4

|–5|= 5

2.1. Operaciones con números enteros r Para sumar y restar números enteros del mismo signo, se quitan los paréntesis usando la regla de los signos, se suman sus valores absolutos y se pone el signo correspondiente. r Para sumar y restar números enteros de distinto signo, se quitan los paréntesis usando la regla de los signos, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del mayor. r Para multiplicar o dividir números enteros, se multiplican o se dividen sus valores absolutos y se pone el signo que resulte de aplicar la regla del producto de los signos.

EJEMPLOS t (–6) · (–3) : (–2) = +18 : –2 = –9 t (+10) : (–5) · (–6) = –2 + 6 = 4 t (–25) : (+5) · (–2) = +5 · + 2 = 10 t (+50) · (+3) : (–2) = (–75)

EJEMPLOS t t (+3) + (+4) + (+5) = 3 + 4 + 5 = 12 tt (–2) + (–3) + (–5) = –2 – 3 – 5 = –10 tt (–4) – (+6) + (+2) = –4 – 6 + 2 = –10 + 2 = –8 tt (+5) + (–2) + (+4) = 5 – 2 + 4 = 9 – 2 = 7

Para expresar que un número pertenece a un conjunto numérico, se utiliza el símbolo ‘.

EJEMPLO t –5 ‘ ⺪

ACTIVIDADES 3. Efectúa las siguientes operaciones: a) (+2) – (–5) + (+17) – (+4) + (–3) + (+5) b) (–6) – (–3) + (–5) – (+4) + (+18) + (–3) c) (–3) + (–5) – (–2) + (+7) – (+4) + (+5) d) (+4) + (–5) – (–7) + (+10) – (+7) + (–1)


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2.2. Jerarquía de las operaciones Si existen operaciones combinadas, hay que realizarlas siempre en el mismo orden. 1. Paréntesis. 2. Corchetes. 3. Potencias. 4. Multiplicaciones y divisiones. 5. Sumas y restas. EJEMPLOS t (+1) + [(10 : 2) − 3] ⋅ (+4) − (+2) = (+7) t [(+5) ⋅ (+3) − (+3)] : (+4) = (+3) Sacar factor común Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. EJEMPLO tt –3 + [6 + 2 : (8 – 5 + 4 – 6)] · 4 + 2 = = –3 + [6 + 2 : (1)] · 4 + 2 = = –3 + [6 + 2] · 4 + 2 = = –3 + 8 · 4 + 2 = = –3 + 32 + 2 = 31

El factor común no tiene que ser siempre numérico, también puede ser literal.

EJEMPLOS t (+5) · (3) + (+5) · (–2) – (+5) · (–8) · (+5) · (+9) = t = (+5) · [(+3) + (–2) – (–8) – (+9)] = (+5) · (3 – 2 + 8 – 9) = 5 · 0 = 0 t (–2) · (+3) + (–2) · (+5) + (–2) · (–9) = = (–2) · [(+3) + (+5) + (–9)] = (–2) · (3 + 5 – 9) = (–2) · (–1) = 2

ACTIVIDADES 4. Realiza las siguientes operaciones: a) (–4) · 3 · 2 : 6

EJEMPLO tt 3x2 + 2x3 – 4x4 + 5x6 = = x2 (3 + 2 – 4x2 + 5x4).

b) –4 + (–3) · (–4) – 3 · (5 – 2 · 4 + 1) + 3 c) −3 + ( 4 + 2 − 1) + 3 [ 2 ⋅ (3 + 2 − (–2))] d) [18 : ( −6)] ⋅ 4 − 2 + [5 + ( −3) + 12 : 4 ] e) (–2) · 3 + (–2) · (–5) – (–2) · 4 f) 3 · (–2) + 3 · 3 + 3 · 4 – 3 · 5 5. Saca factor común a las siguientes operaciones: a) 2 + 5 · 6 – 4 · 2 b) –5 · 4 – 3 · (–4) + 6 · 8 c) 6 · [2 + 3 · (9 – 5)] + 7 · 2 – 35 d) 8a – 4b + 16c + 12d e) 9x3 – 6x2 + 12x5 – 18x7 f) x4 – 2x3 + 2x


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3. Números racionales El conjunto de los números racionales se designa con la letra ⺡ e incluye los números naturales, los enteros y los fraccionarios.

2 3

3.1. Fracciones

3 4

a Una fracción es una expresión de la forma donde a y b son números enteb ros y b ≠ 0. Una fracción se puede interpretar como:

Un número fraccionario también se puede expresar como decimal.

a) Operación. EJEMPLO 2 de los 60 litros de gasolina que caben en el depósito. 3 2 60 ⋅ 2 de 60 q = 40 litros. 3 3

t He gastado

a es el numerador y b es el denominador. El denominador indica el número de partes en que dividimos la unidad. El numerador indica el número de partes que elegimos.

b) Proporción. EJEMPLO t En mi casa, 2 de cada 3 bombillas son de bajo consumo. t 2 de las bombillas son de bajo consumo. 3

Fracción propia: El numerador es menor que el denominador. El cociente es menor que uno. Fracción impropia:

c) Porcentaje.

El numerador es mayor que el denominador. El cociente es mayor que uno.

EJEMPLO t Rebajas del 30 %, es decir, de cada 100 € nos rebajan 30 €. 30 100

3.2. Fracciones equivalentes Son fracciones equivalentes, aquellas que tienen el mismo valor. 6 8 12 18 = 2; = 2; = 2; = 2. 9 3 4 6 En las fracciones equivalentes el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c = b d

q

a · d = c · b;

a y d son los extremos;

ACTIVIDADES

Las fracciones equivalentes se obtienen multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número.

b y c son los medios. EJEMPLOS 1 15 = q 1 · 45 = 3 · 15 3 45 3 21 = t q 3 · 49 = 21 ·7 7 49 t

6. Calcula 5 fracciones equivalentes a: 7 21 3 a) b) c) 5 4 7


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3.3. Fracción irreducible Debemos simplificar siempre que sea posible hasta llegar a la fracción irreducible.

Se llama fracción irreducible a aquella cuyo numerador y denominador son números primos entre sí. Simplificar una fracción es hallar su fracción equivalente irreducible. Se puede obtener de tres formas:

EJEMPLOS tt Simplifica por los tres métodos. 60 24 t

60 30 15 5 = = = 24 12 6 2

60 5 = mcd 22 ⋅ 3 24 2 60 2⋅2⋅3⋅5 t = 24 2⋅2⋅2⋅3 t

r Dividiendo numerador y denominador entre el mismo número hasta que no haya más divisores comunes. r Dividiendo numerador y denominador entre el mcd. r Factorizando numerador y denominador y eliminando los factores comunes.

ACTIVIDADES 7. Simplifica por los tres métodos: a)

75 270

b)

35 210

c)

60 252

3.4. Reducción a común denominador EJEMPLOS tt 60 2 30 2 15 3 55 1

t 24 2 12 2 6 2 33 1

Reducir a común denominador es poner dos o más fracciones con el mismo denominador. Para eso procedemos de la siguiente forma: 1. Hallamos el mcm de los denominadores. Este será el denominador común. 2. Dividimos el mcm entre el denominador de cada fracción y lo multiplicamos por el numerador. Este será el numerador en cada fracción. EJEMPLOS t

1 2 15 : 3 ⋅ 1 15 : 5 ⋅ 2 5 6 y → y → y 3 5 15 15 15 15

t t Las siguientes fracciones son irreducibles: Al reducir a común denominador, obtenemos fracciones equivalentes a las fracciones dadas.

1 → 2

Como 2 no es divisor de 1, la fracción es irreducible.

8 → 9

8 y 9 no son primos, pero sí son primos entre sí.

7 → 3

7 y 3 son números primos y, por tanto, primos entre sí.

ACTIVIDADES 8. Reduce a común denominador. a)

2 7 y 15 20

b)

1 2 5 , y 2 9 6

c)

3 2 1 , y 4 5 2


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3.5. Comparación de fracciones r En fracciones con el mismo denominador, será mayor la de mayor numerador.

ACTIVIDADES

r En fracciones con el mismo numerador, será mayor la de menor denominador.

9. Ordena de menor a mayor.

r En fracciones con diferente numerador y denominador, hay que buscar el común denominador y comparar los numeradores.

2 3 4 8 10 , , , , 3 5 3 9 11

EJEMPLOS t t

7 11 y 15 15

3 3 27 12 y r y = 4 9 36 36

2 5 16 25 y r y = 5 8 40 40

111 mayor 15

3 mayor 4

5 mayor 8

Las fracciones hay que reducirlas siempre que sea posible.

3.6. Representación sobre la recta real Para representar una fracción, dividimos la unidad en tantas partes como nos indique el denominador y elegimos tantas partes como nos indique el numerador. Si el numerador es mayor que el denominador, necesitaremos más de una unidad. 5

3.7. Operaciones con fracciones

23 4

6

Suma y resta de fracciones: r Con el mismo denominador: el resultado es otra fracción cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores y el denominador es el mismo. r Con distinto denominador: se reduce a común denominador, se suman o restan los numeradores y el denominador es el común.

EJEMPLO t Suma o resta de número entero y fracción: 1+

4 ⋅1+ 3 7 3 = = 4 4 4

EJEMPLOS tt

1 3 4 + = 5 5 5

r

1 3 3 3 6 + = + = =1 2 6 6 6 6

Multiplicación de fracciones r Fracción y fracción: el resultado es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. r Fracción y número entero: se multiplica el numerador por el número entero y se mantiene el denominador.

En general, si una fracción es positiva: Cuanto mayor es el numerador, mayor es la fracción. Cuanto mayor es el denominador, menor es la fracción.

ACTIVIDADES 10. Opera estas fracciones: a)

2 7 1 + − 3 5 7

b)

2 3 4 + − 5 10 15


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EJEMPLOS t

ACTIVIDADES 11. Realiza estas operaciones. a)

2 4 5 ⋅ : 3 5 2

6 2 : b) 5 3 3 1+ 10

3 5 3 ⋅ 5 15 ⋅ = = 4 8 4 ⋅ 8 32

r

7 7 ⋅ 4 28 ⋅4 = = =1 2 2 2

División de fracciones r Fracción y fracción: el resultado es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. r Fracción y número entero: se procede como en el caso anterior: se convierte el número entero en fraccionario de denominador uno.

12. Calcula la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales, y redúcela si es posible:

EJEMPLOS t t

3 2 3 ⋅ 5 15 : = = 7 5 2 ⋅ 7 14

r

3⋅1 3 3 :5= = 8 5 ⋅ 8 40

a) 0,25

3.8. Números decimales

b) 0,17 c) 3,6

Toda fracción puede expresarse como un número decimal realizando el cociente del numerador entre el denominador.

d) 24,128

Pueden darse tres casos: r Decimal exacto: número finito de cifras decimales. r Decimal periódico puro: infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente. Las cifras que se repiten forman el periodo. r Decimal periódico mixto: infinitas cifras decimales, pero solo algunas se repiten de forma periódica. Estas forman el periodo y las que no se repiten, el anteperiodo. Regla del teléfono El cociente de dos fracciones puede expresarse como una fracción. a b = a⋅d c b⋅c d

Todo número decimal puede expresarse como fracción, es la llamada fracción generatriz. r Decimal exacto: la fracción generatriz, tiene como numerador, el número decimal sin la coma y como denominador, un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. EJEMPLOS t 1, 27 =

127 100

t 2, 041 =

2 041 1 000

53 10 27 t 0, 27 = 100 t 5, 3 =

t 0, 0002 =

2 10 000


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r Decimal periódico puro: la fracción generatriz tiene como numerador el número decimal sin coma menos la parte entera y como denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo.

ACTIVIDADES 13. Identifica qué tipo de decimales son los siguientes números: a) 1,8

EJEMPLOS  = t t 2,13

b) 4,7777

213 − 2 211 = 99 99

s c) 9,125 d) 371,42333

 = 2 125 − 2 = 2 123 t t 2,125 99 99  34 t t 0, 34 = 99

e)

5 11

14. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales: a) 1164 ,

r Decimal periódico mixto: la fracción generatriz tiene, como numerador, el número decimal sin coma menos la parte entera seguida de la parte no periódica (anteperiodo) y, como denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.

 b) 2, 524  c) 125, 5  d) 0, 78

EJEMPLOS tt t t t t

 e) 0, 3752

 = 1 234 − 12 = 1 222 = 611 1, 234 990 990 495  2 553 − 255 2 298 383 2, 553 = = = 900 900 165  5 1 = 0, 005 = 900 180  1 018 − 1 1 017 113 = = 1, 018 = 990 990 110

4. Números irracionales El conjunto de los números irracionales se designa con la letra I. Está formado por números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas. Son números irracionales cualquier raíz no exacta, el número pi, el número e, el número áureo...

5. Números reales El conjunto de los números reales se designa con la letra ⺢ e incluye todos los conjuntos numéricos que hemos visto hasta ahora, racionales e irracionales. Los números irracionales se pueden representar de forma aproximada o exacta.

1 0



1

"

En el cálculo de la fracción generatriz, hay que simplificar siempre que sea posible, ya que la fracción generatriz es irreducible.

2 2 1

p

2


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5.1. Intervalos Por su originalidad y sus aportaciones, Diofanto fue llamado el padre de los algebristas modernos.

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b, que se llaman extremos del intervalo. Los intervalos pueden ser: r Abierto: (a, b) es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x ‘ ⺢ / a < x < b} (a, b) a

b

r Cerrado: [a, b] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x ‘ ⺢ / a ≤ x ≤ b} [a, b] a

EJEMPLO tt Representa los siguientes intervalos:

r Semiabierto por la izquierda: (a, b] es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x ‘ ⺢ / a < x ≤ b}

t  

3

b

(a, b] 7

a

b

t <o 

–1

r Semiabierto por la derecha: [a, b) es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) = {x ‘ ⺢ / a ≤ x < b}

3

t < 

[a, b) 4

10 a

t o > –3

2

b

ACTIVIDADES 15. Representa en la recta real los siguientes intervalos. ¿Qué tipo de intervalos son? a) (1, 5) b) {x ‘ ⺢ / –1 ≤ x < 4} c) (–∞, 3] d) [0, 2] e) {x ‘ ⺢ / –3 < x} f) [2, 5) g) [6, ∞) h) {x ‘ ⺢ / –10 < x < –7}


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5.2. Aproximaciones y errores A veces resulta incómodo trabajar con muchas cifras decimales. En estos casos lo que se hace es una aproximación. Esta puede ser por exceso, cuando el número es mayor, o por defecto, cuando el número es menor.

ACTIVIDADES 16. Aproxima por exceso y por defecto a las centésimas: a) U = 3,14159265

EJEMPLOS Exceso

Defecto

t 3,1415926 t 1,414213

3,15

3,14

1,42

1,41

t 0,151 t 13,271

0,152

0,150

13,272

13,270

b) e = 2,718182 c) 23,7849578 17. Aproxima por truncamiento a las milésimas: a) 328,539762 b) –25,67941 c) 0,537578

La aproximación se puede hacer por: r Truncamiento: se toma el número de cifras que queremos y el resto las eliminamos. r Redondeo: se toma el número de cifras que queremos y modificamos la última si la siguiente es mayor o igual a 5.

18. Aproxima por redondeo a las milésimas: a) 328,539762 b) –25,67941 c) 0,537578

EJEMPLOS Truncamiento a las milésimas

3,14159

3,141

t Redondeo a las milésimas t Redondeo a las centésimas

3,14159

3,142

3,14159

3,14

t Truncamiento a las centésimas t Truncamiento y redondeo a las décimas

3,14159

3,14

3,14159

3,1

Siempre que aproximamos cometemos un error. Este puede ser de dos tipos: r Error absoluto: es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor exacto y el valor aproximado. r Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del valor exacto. Este error nos da idea de la precisión de la aproximación. EJEMPLOS Valor exacto Aproximación t

1,235

1,24

Error absoluto 0,005

Error relativo 0,005 / 1,235 0,0040 = 0,4 %

t

2,323

2,32

0,003

0,003 / 2,323 0,00129 = 0,129 %

ACTIVIDADES 19. Calcula el error absoluto y el error relativo aproximando a las milésimas por redondeo: a) 78,03756

b) –4,639356

c) 0,8509573


Unidad 1 →

18

6. Potencias y radicales ACTIVIDADES 20. Efectúa las siguientes operaciones: a) 70

6.1. Potencias de exponente natural Una potencia es un producto de factores iguales, como, por ejemplo: 2 · 2 · 2 · · 2 · 2 = 25. r La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo. En este caso es el 2.

b) 31 c) 32 ⋅ 35 ⋅ 34

r El exponente de la potencia es el número de veces que lo multiplicamos. En este caso es el 5.

d) 26 : 23 : 21 3 e) ( 42 ) ⋅ 42 : 45

6.2. Propiedades de las potencias de números naturales

f) 22 ·52 ·32 g) 103 : 53 : 13 h) ( −4)2 ⋅ ( −4)5 : ( −4)4 i) ( −2)7 : ( −2)3 ⋅ ( −2)1 3

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ j) − ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ k)

2

( −3)3 ⋅ ( −3)4 ( −3)10

Herón de Alejandría, matemático e ingeniero griego, desarrolló un procedimiento para el cálculo de las raíces cuadradas.

Un número elevado a0

Es igual a uno.

50 = 1

Un número elevado a1

Es igual a sí mismo.

51 = 5

Producto de potencias de la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

52 · 53 = 55

División de potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

53 : 52 = 51

Potencia de una potencia

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(52) = 56

Producto de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

52 ·32 = 152

Cociente de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

102 : 52 = 22

Exponente par.

Siempre son positivas.

Exponente impar.

Tienen el mismo signo de la base.

Exponente negativo.

Es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

Potencia de números enteros

3

EJEMPLOS 3

t t (42) · 42 : 45 = 46 · 42 : 45 = 4(6 + 2) : 45 = 48 : 45 = 4(8 – 5) = 43 = 64 2

3

2

3

4

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ tt ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ : 4 −4 = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 1

1 ⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ = ⎝ 4⎠ 4

3+ 2

4

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ :⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠

5− 4

=


Conjuntos numéricos

19

6.3. Radicales (raíces) La radicación es la operación inversa a la potenciación. r Las raíces de índice par solo existen para los números positivos y tienen dos soluciones (una positiva y otra negativa). r Las raíces de índice impar existen para todos los números y tienen una única solución que es siempre negativa. índice

raíz 6

64 " 2

símbolo de raíz

n

22 =

3

23 =

4

x = 1,732… tt 3 x y = 1,732… tt 3

radicando

EJEMPLO 4 =

EJEMPLOS

26 " 64

Se llama radicales equivalentes a los que tienen la misma raíz. Se obtienen multiplicando o dividiendo el índice y el exponente del radicando por el mismo número.

tt

Para hacer radicales con la calculadora, se utiliza la tecla x o x y .

24 =

5

Raíces cuadradas y cúbicas Si el índice de la raíz es 2, no hace falta escribirlo. A estas raíces se les llama raíces cuadradas.

25

A las raíces de índice 3 se les llama raíces cúbicas.

6.4. Forma exponencial de los radicales Todo radical se puede escribir como potencia de exponente fraccionario. La base es el radicando, el numerador del exponente es la potencia del radicando y el denominador del exponente es el índice de la raíz. Esto se hace para simplificar radicales o para operar con ellos.

1

4

27 =

5

4

1

2 4

33 = 3 4

112 = 114 = 112

121 =

4

8 =

23 = 2 2

3 4

a) 3

c) 3 ( −5)2

tt Expresa en forma de potencia: 7 = 73

21. Expresa en forma de potencia:

b)

EJEMPLOS

3

ACTIVIDADES

3

tt Expresa en forma de raíz: 7

3

22 =

23

34 =

5

73 =

37

3

75

5

1

52 =

4

ACTIVIDADES 22. Expresa en forma de raíz: 3 2

a) 2

b) ( −5)

2 3

1

⎛ 3⎞ 5 c) ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠


Unidad 1 →

20

6.5. Propiedades de los radicales ACTIVIDADES 23. Aplica las propiedades de los radicales:

Raíces equivalentes

n

am =

Raíz, operación inversa a la potencia

n

an =

n⋅q

( n a )n

a)

3⋅ 8 16 4

Raíz de un producto.

n

b)

a⋅b =

c)

( 5 )3

Raíz de un cociente.

n

a = b

d)

5 3

2

( n a )m

Potencia de una raíz. Raíz de una raíz.

m n

n

= a

4 =

a⋅nb

=

n

m⋅n

6

29

( 2 )2

4⋅9 =

a b

n

a =

n

23 =

am ⋅ q

25 = 4 am a

( 2 )3 3

4 ⋅ 9 = 2⋅3 = 6 25 5 = 2 4

=

2 =

= 2

23 6

2

6.6. Operaciones con radicales La suma y resta de radicales solo puede realizarse si estos son semejantes. Se dice que son radicales semejantes aquellos que tienen el mismo radical y el mismo radicando.

Se suman o restan los números que multiplican a los radicales y dejamos el radical semejante. EJEMPLOS t 7 3 + 2 3 − 6 3 = (7 + 2 − 6) 3 = 3 3 tt 5 5 + 12 5 − 7 5 = (5 + 12 − 7) 5 = 10 5 En el producto y en la división se pueden dar dos casos: a) Mismo índice: se mantiene el radical y se multiplican o dividen los radicandos. b) Diferente índice: se reduce a índice común. El índice común será el mcm de los índices. El radicando se calcula usando: n

am =

n⋅q

am ⋅q .

EJEMPLO tt Expresa en forma de potencia: 3

5 ⋅ 3 25 = 2⋅48 =

3 4

5 ⋅ 25 = 3 125 =

22 ⋅ 4 8 =

4

32 =

3

53 = 5

4

25 = 2 4 2

ACTIVIDADES 24. Resuelve: a) 3 2 − 2 + 4 2 − 5 2

b) 3 ⋅ 5 : 3 ⋅ 2

c) 2 ⋅ 4 2 ⋅ 3 4


Conjuntos numéricos

21

6.7. Extracción de factores de un radical Para extraer factores de debajo de un radical:

ACTIVIDADES

r Factorizamos el radicando.

25. Extrae fuera del radical:

r Si el exponente de un factor es igual al índice de la raíz, podemos sacar ese factor fuera de la raíz.

b)

128 =

27 = 23 2

t t

28 =

22 ⋅ 7 = 2 7

3

d)

135 300

c)

EJEMPLOS tt

75

a)

4

48

6.8. Racionalización La racionalización consiste en hacer desaparecer los radicales del denominador de una fracción. r Fracción con raíz cuadrada en el denominador: Multiplicamos numerador y denominador por la raíz cuadrada del denominador y operamos.

Productos notables ( a + b )2 = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 ( a − b )2 = a 2 − 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 ( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a2 − b 2

EJEMPLO 1 = 2

tt

2 2 = 2 2⋅ 2

r Fracción con raíz enésima en el denominador

n

am :

Multiplicamos numerador y denominador por

n

a n − m y operamos.

Expresiones conjugadas a+

EJEMPLOS 1 1 ⋅ 3 22 = t 3 = 3 2 2 ⋅ 3 22

3

22

3

23

3

=

1 1 ⋅ 3 22 r3 = 3 = 2 2 ⋅ 3 22

22 2

3

22

3

23

3

=

22 2

a−

b Conjugado → b Conjugado →

a− a+

b b

r Fracción con un binomio en el denominador: Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado y operamos. EJEMPLO t

4 4 (2 − 3 ) 4 (2 − 3 ) 4 (2 − 3 ) = 4 (2 − 3 ) = = = 2 4−3 2 + 3 ( 2 + 3 ) ( 2 − 3 ) 22 − ( 3 )

ACTIVIDADES 26. Racionaliza las siguientes expresiones. a) b)

2 3

c)

3 3 −1

1 2

d)

1 5− 3

3


Unidad 1 →

22

7. Notación científica La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Para expresar un número en notación científica escribimos la coma detrás de la primera cifra diferente de cero y una potencia de diez cuyo exponente será igual al número de lugares que hemos movido la coma. Este exponente será: r Positivo: si movemos la coma a la izquierda. r Negativo: si movemos la coma a la derecha. EJEMPLOS Notación científica y calculadora Par operar en notación científica con la calculadora procedemos de la siguiente forma:

t 0, 00000000017 = 1,7 ⋅ 10 −10

r 2 ⋅ 10 −3 = 0, 002

tt 3 530 000 000 000 = 3, 53 ⋅ 1012

r 7, 4 ⋅ 10 4 = 74 000

1. Escribimos el número. 2. Pulsamos la tecla

EXP

.

3. Escribimos el exponente.

7.1. Operaciones en notación científica Suma y resta: r Si tienen la misma potencia de diez, se suman o restan los números y se mantiene la potencia de diez. r Si no tienen la misma potencia de diez, debemos expresar todos los números con la misma potencia de diez. EJEMPLOS

La distancia media de Saturno al Sol es de 141,8 millones de km, es decir, 1,418 · 1011 m. El virus Varcinia tiene un diámetro de 0,267 micras, es decir, 2,67 · 10–8 m.

t 53 ⋅ 10 2 − 50 ⋅ 10 2 = 3 ⋅ 10 2 t 7, 5 ⋅ 10 9 + 5, 8 ⋅ 1010 = 7, 5 ⋅ 10 9 + 58 ⋅ 10 9 = 65, 5 ⋅ 10 9 = 6, 55 ⋅ 1010 Multiplicación y división: r Se multiplican o dividen las bases y se suman o restan los exponentes. EJEMPLOS

Para designar órdenes de magnitud existen algunos prefijos:

t 5, 24 ⋅ 10 6 ⋅ 2 ⋅ 1012 = 10, 48 ⋅ 1018 = 1, 048 ⋅ 1019

t Giga: 109

t 8, 4 ⋅ 1010 : 2 ⋅ 1012 = 4, 2 ⋅ 10 −2

6

t Mega: 10 t Kilo:

103

t Hecto: 102

ACTIVIDADES

t Deca: 10 t Deci: 10–1 –2

t Centi: 10 t Mili:

10–3

27. Efectúa las siguientes operaciones: a) 3,2 · 104 + 1,3 · 105 b) 2,4 · 10–5 – 1,2 · 10–3

t Micro: 10–6

c) 6,3 · 102 · 3,1 · 107

t Nano: 10–9

d) 2,5 · 105 : 5 · 102 e) 5,83 · 109 – 7,5 · 1010 + 6,932 · 1012 f) 5,12 · 103 · 4,2 · 107 : 1,8 · 1015


Conjuntos numéricos

23

8. Logaritmos El logaritmo en base a de un número x es el exponente al que hay que elevar la base para que resulte dicho número: Log a x " b . El número x debe ser siempre positivo. Log a x = b → a b = x Aunque la base puede ser cualquier número, en este curso solo vamos a estudiar logaritmos decimales, es decir, en base 10. EJEMPLOS • log 1 = 0

q 10 = 1

• log 100 = 2

q

Ln: se lee logaritmo neperiano y su base es el número e. Log: se lee logaritmo decimal y su base es el número 10.

0

102 = 100

• log 1 000 = 3 q

103 = 1 000

• log 0,01 = –2 q

10–2 = 0,01

8.1. Propiedades de los logaritmos El logaritmo de 1 es igual a 0

ACTIVIDADES

log 1 = 0

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log (3 · 2) = log 3 + log 2

El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

28. Calcula los siguientes logaritmos: a) log 0

5 log " log 5 – log 7 7

b) log 10

log x5 = 5 · log x

d) log 10−3

log 21 "

log 21 2

EJEMPLOS

c) log 105

⎛ 1⎞ e) log ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

5

29. Aplica las propiedades de los logaritmos:

• Expresa como un solo logaritmo: 2

3

• 3 (2 log x + 3 log x – log x) = 3 (log x + log x – log x) = x2 ⋅ x3 3 ⋅ log = 3 ⋅ log x 4 = log x12 x 3 • 3 · log x4 = log (x4) = log x12

a) 3 log 2 +

1 1 log 8 − log 25 3 2

b) 3 log 2 + log 5 + log

1 − log 4 25

• log (3x) – log 3 + 4 log x – log (xy) = log (3x) – 4 log x – log 3 – log (xy) = = log (3x) + 4 log x – [log 3 + log (xy)] = log (3x · x4) – log (3xy) = x4 3x 5 = log = log 3xy y • 2 Ln (a – b) – Ln (a2 – b2) = Ln (a – b) – Ln [(a + b) (a – b)] = ⎡ (a − b)2 ⎤ ⎡ (a − b) ⎤ = Ln ⎢ = Ln ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ (a + b)(a − b) ⎦ ⎣ (a + b) ⎦ Para hacer un cambio de base y así expresar como único logaritmo a una serie de logaritmos de distinta base, usaremos la siguiente fórmula: log a x "

log b x log b a


Unidad 1 →

24

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Realiza esta operación: 10 − [ +20 : (7 + ( −3))] = Resolvemos primero los paréntesis

10 – (+20 : 4) =

10 – (+5) = Como tienen distinto signo, restamos, +5 y ponemos el signo del mayor. 2. Se quiere solar una habitación de 615 cm. de largo por 225 cm. de ancho con baldosas cuadradas del mayor tamaño posible sin tener que cortar ninguna. ¿Cuántas baldosas tenemos que comprar y qué tamaño tendrá cada una? Buscamos el mcd de las longitudes de la habitación. 615 3 205 5 41

225 3 75 3 15 3 55 1

mcd = 3 ⋅ 5 = 15

Ésta será la longitud del lado de las baldosas: 15 cm. Dividimos las medidas de la habitación entre el tamaño de las baldosas y nos da el número de baldosas que necesitamos: 615 : 15 = 41 baldosas de largo. 225 : 15 = 15 baldosas de ancho. 3. Resuelve la siguiente operación: 1 5 2 + − 4 3 5 Buscamos el mcm que en este caso será: 22 · 3 · 5 = 60 Dividimos el mcm entre cada denominador:

60 : 4 = 15

60 : 3 = 20

60 : 5 = 12

Este resultado, lo multiplicamos por el numerador correspondiente: 1 ⋅ 15 5 ⋅ 20 2 ⋅ 12 + − = 60 60 60 =

15 100 24 91 + − = 60 60 60 60

4. Opera: 212 ⋅ 33 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 34 ⋅ 2−6 ⋅ 3−3 28 ⋅ 34 ⋅ 53 = = 23 ⋅ 3 = 12 26 ⋅ 53 ⋅ 36 ⋅ 3−3 26 ⋅ 33 ⋅ 53 Para multiplicar potencias de la misma base, sumamos los exponentes. Para dividir potencias de la misma base, restamos los exponentes.


Conjuntos numéricos

25

5. Realiza la siguiente operación: 2 1 + 3− 3 4 ⋅ 3 1 2+ − 4 2 1 5⋅ 2

3 2 1 5 =

Hacemos el mcm para sumar y restar. Multiplicamos en paralelo. Dividimos aplicando la regla del teléfono. 11 3 12 ⋅ 2 1 11 11 ⋅ 4 3 ⋅ 5 ⋅ 4 5 = 12 2 ⋅ 11 = 11 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 = 1 5 5 12 ⋅ 11 ⋅ 2 ⋅ 5 2 2

6. Suma las siguientes raíces: 24 + 150 +

486

Descomponemos los radicandos y extraemos los factores de la raíz: 2 6 + 5 6 + 9 6 = 16 6

7. Racionaliza:

1 . 23 5 3 2 3 2 3 3 1 1 5 5 10 10 = 3 ⋅ 3 = = = 3 3 2 2⋅5 10 2 5 2 5 5 2⋅ 5 3

8. Calcula el resultado: 8,6 · 105 – 2,15 · 104 + 4,27 · 104 = = 8,6 · 105 + (–2,15 + 4,27) · 104 = 8,6 · 105 + 2,12 · 104 = 86 · 104 + 2,12 · 104 = 88,12 · 104 = 8,812 · 105 9. Calcula el siguiente logaritmo: log 1 64 = x 4 x

log 1 64 = x 4

⎛ 1⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ = 64 → 4

( 4 −1 ) x = 4 − x

4− x = 44

–x = 4


Unidad 1 →

26

ACTIVIDADES FINALES Números enteros ○ 1.

Factoriza los siguientes números: a) 210

○ 2.

b) 480

c) 2 625

Efectúa las siguientes operaciones:

a) 12 − 4 [ ( −3) + 4 ⋅ ( 2 + 10 : ( −5))]

d) 6 930

b) − ( −10 + 25 − 3 + 4) + 8 ⋅ [ 2 − 15 : ( −2 + 32 : ( −4) + 5)]

Fracciones ○ 3.

Simplifica las siguientes fracciones: a)

◐ 4.

b)

1 2 3 , , 2 3 4

b)

c)

9 36

c)

1 5 3 , , 12 6 8

d)

3 5 4 , , 10 12 25

Resuelve: 1 1 1 a) ⋅ ⋅ 2 3 10

◐ 6.

32 80

36 60

Reduce a común denominador: a)

◐ 5.

12 15

1 ⎛ 3⎞ ⎜2 ⋅ ⎟ 5 ⎝ 5⎠ d) 1 2 1+ : 6 3

1 2⎞ ⎛ c) 2 + 3 ⋅ ⎜ 1 − ⋅ ⎟ ⎝ 5 3⎠

1 1 1 : : b) 20 15 5

2 1 ⎛ 3 1⎞ ⎜⎝ − ⎟⎠ ⋅ 3 : : 2 4 5 4 e) 2 +5 3

1 3 va por la rama de ciencias, por la rama de humanidades 5 5 y el resto por la rama tecnológica. ¿Cuántos alumnos van por cada rama? De los 80 alumnos de un curso de acceso a grado superior,

● 7.

¿Cuánto tiempo tardan 3 grifos en llenar un depósito si el primero solo, tarda 12 horas, el segundo tarda 4 horas y el tercero tarda 3 horas?

○ 8.

Calcula la fracción generatriz: a) 15,3 b) 2, 7

q c) 0, 36

q d) 0,1537

Números reales ○ 9.

Aproxima por truncamiento y redondeo, a tres cifras decimales. Halla el error absoluto y relativo de las aproximaciones a las centésimas de U y a) U = 3,14159

b) e = 2,718182

c)

2 = 1,4142136

d)

2. 5 = 2,236068

Potencias y raíces ◐ 10.

Efectúa las siguientes operaciones: a) 35 · 35 · 37

◐ 11.

◐ 12.

c)

3

35 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 5−2 34 ⋅ 53

5

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ d) ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

2

4

1⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ e) ⎜ 2 + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

Expresa en forma de potencia o raíz: 1

3

2

a) 52

b) 3 4

c) 75

1

d) ( −3) 3

5

e) 52

f)

3

f)

4 3

3

g)

23

Expresa como una sola raíz: a)

◐ 13.

b) 32 · 22 · 52

3⋅ 2

b)

3

( −2) ⋅ 3 4

c)

10 5

5

d)

8⋅58 5 2

e)

( 5 )2

2

Efectúa las siguientes operaciones: a) 3 2 + 5 2 −

2 4 2+ 2 5 3

b) 5 3x − 2 3x + 3x − 3 3x

c)

3⋅32

d)

2 ⋅ 35 ⋅ 42

2


Conjuntos numéricos

◐ 14.

Calcula: a) 3 3 27 + 2 12 −

◐ 15.

27

Realiza las siguientes igualdades notables: a) ( 2 + 2 )

2

● 16.

b) 5 20 − 3 45 + 125

48

b)

(

3 − 1)

2

c)

(

2 + 3) ⋅ ( 2 − 3)

c)

1 , 2+ 3

d) (1 + 5 ) ⋅ (1 − 5 )

Racionaliza: a)

2 , 2

b)

1 , 3

d)

2+ 2 , 2− 2

d)

1, 2 ⋅ 1012 2 ⋅ 108

7 . 2+ 5

e)

Notación científica y logaritmos ◐ 17.

Efectúa: a) 3,2 · 109 + 1,7 · 109

◐ 18.

c) 4 · 1023 · 2,5 · 10 –8

Calcula los siguientes logaritmos: a) log 1

○ 19.

b) 15 · 107 – 3 · 105

⎛ 1 ⎞ c) log ⎜ ⎝ 100 ⎟⎠

b) log 1 000 000

3

d) log 4 108

Calcula la base de los siguientes logaritmos: a) loga 125 = 3

b) loga 256 = 4

c) loga 10 000 = 4

d) loga 27 = –3

AUTOEVALUACIÓN 5. La aproximación por redondeo a las centésimas de 2,37528 es:

1. ¿Cuál es el resultado de esta operación? 7 – 3 · (–4) + 3 – 5 · (–2 + 7) a) –3

b) 3

3 1 3 2. Resuelve: − + − 2. 2 4 5 1 −3 b) a) 4 20

c) 15

d) –15

a) 2,37 6. El resultado de

c)

9 40

3. Una familia tiene un presupuesto de 1 500 € al mes. Gas1 3 en vivienda, en alimentación y el resto en gastos ta 3 8 variados. ¿Cuánto dinero destina a cada gasto?

a) 26

b) 2,38

c) 2,375

24 ⋅ 25 es: 23 b) 22

c) 23

64 es:

7. El resultado de a) 12

b) 24

c) 36

8. ¿Cuál es el resultado de a)

6

3

b)

6

a) 500, 600 y 400

6

3 : 3 3?

1 3

c)

3

3

9. Escribe en notación científica 0,0000000000125.

b) 500, 562,5 y 437,5

a) 1,25 · 1011

b) 1,25 · 1010

c) 12,5 · 1012

c) 560, 500 y 440 q es: 4. La fracción generatriz de 0, 214 a)

214 990

b)

212 900

c)

212 990

10. Calcula el valor de log 5 a) –15

b) −

5 3

1 : 103 c) −

3 5


Unidad 1 →

28

EN RESUMEN

Conjuntos numéricos

⺢: Reales

{

⺡: Racionales ⎛ a⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ b

{

⺙: Irracionales

⺪: Enteros

Decimales

{{

2,

{ {

⺞: Naturales: {1, 2, 3 ...} 0: Cero ⺪: Enteros negativos: {–1, –2, –3 ...}

Exactos: 1, 5 =

3 2

Periódicos: 0, 666... = 0, 6 =

3, π, e,...}

Recta numérica –5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

an  = a⋅ a ⋅ a ⋅ ..... 

Potencias

Raíces

Igualdades notables

Logaritmos

Se multiplica la base a tantas veces como el exponente n indica

n

m

am = a n

Cuadrado de la suma

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Cuadrado de la diferencia

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Suma por diferencia

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

loga b = c

ac = b

2 3


Conjuntos numéricos

29

1. Simplifique al máximo la siguiente expresión, de manera que no tenga exponentes negativos ni paréntesis. ⎡ (3a2 b −2 )(9a2 b3 )−3 ⎤ ⎢ ⎥ (3ab )2 ⎢⎣ ⎥⎦

A EB U PR

ACTIVIDADES DE PRUEBAS DE ACCESO −1

2. Indica si las afirmaciones siguientes son ciertas o falsas. Explica el porqué. a)

20 + 5 es un número irracional.

b) 3,261 261... es un número racional.

c)

4+a = 2 a

d) 3 7 =

21 7

3. Di si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones. a)

81 ∈ ⺡ (números racionales)

b) 3,515515551... ‘ ⺡ (números racionales)

c)

32 + 42 = 5

d)

3 = 2 3 4

4. Desde la antigüedad aparece con frecuencia el número de oro, +, en proporciones de la naturaleza y en obras de arte: Φ =

1+ 5 = 151, 61803… 2

Escribe la aproximación por redondeo hasta las centésimas del número de oro y halla el error absoluto y relativo de esta aproximación. 5. Pon bajo un mismo radical la siguiente expresión: 3 6. Un ser humano tiene, aproximadamente, 25 000 000 000 000 glóbulos rojos. a) Expresa esa cantidad en notación científica. b) Halla el número (expresado en notación científica) aproximado de glóbulos rojos que tendrán 40 millones de personas. 7. Aproxima el número 52,236067977 a las centésimas por redondeo y por truncamiento. Justifica tu respuesta. 8. La masa de un electrón es de 9,11 · 10–28 g y la masa de la tierra es de 5,98 · 1027 g. a) Si toda la materia estuviera hecha de electrones, ¿cuántos necesitaríamos para obtener 1 000 t de materia? (1 t = 106 g). b) Si la Tierra estuviera hecha de electrones, ¿cuántos habría?

Extracto de Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior: Navarra 2011 (1), Cataluña 2011 (2), Cataluña 2009 (3), Islas Baleares 2009 (4), Canarias 2010 (5 y 6), Islas Baleares 2010 (7), Castilla-La Mancha 2008 (8).

Pruebas de acceso a CCFF de Grado Superior: Matemáticas  

Unidad 1 Matemáticas - Pruebas de Acceso a CCFF de Grado Superior. www.editex.es

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