Issuu on Google+

TALLERES DE PROBABILIDAD

EDGAR ENRIQUE HERRERA MORALES VALLEDUPAR, 2012

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Pรกgina 1


RESEÑA HISTÓRICA DE LA PROBABILIDAD Sin lugar a dudas, Blaise Pascal, pudo haber sido uno de los talentos más grandes en la historia de las matemáticas. Su contribución más original fue en la teoría de la probabilidad, la cual comparte con el famoso matemático francés, Pierre Fermat, quien pudo haberla ideado fácilmente él solo. Aun cuando Pascal hizo contribuciones de primera categoría en matemáticas, sentía una pasión malsana por las sutilezas religiosas, desperdiciando su talento en la infructuosa búsqueda de respuestas a problemas irresolubles. Nació en la provincia francesa de Auvernia en junio de 1623, y partió con su padre y hermanas a París cuando tenía 7 años de edad. El niño fue dotado de una mente brillante y aquejado por un cuerpo débil. Su padre que temía quebrantar la salud del niño, trataba de apartarlo del estudio de las matemáticas; no obstante, Blaise, a la edad de 12 años insistió en saber que era la geometría. Al obtener una clara explicación de su padre, que era a su vez matemático, el muchacho se introdujo inmediatamente en el estudio de la geometría, logrando, incluso, la demostración de algunos teoremas sin ayuda de ningún libro. Alrededor de los 16 ó 17 años, Pascal había escrito un asombroso ensayo sobre las secciones cónicas, incluyendo teoremas nuevos y complejos acerca de las propiedades de estas curvas. Tan profundo fue este trabajo que Descartes no podría creer que hubiera podido ser hecho por alguien tan joven, y lo atribuía al padre. A la edad de 18 años, Pascal había inventado la primera máquina calculadora del mundo e iniciado su trabajo en física y en mecánica. Pero su labor científica continúo sólo unos cuantos años, suspendiéndola a la edad de 27 años para dedicarse a la contemplación religiosa. Sólo trabajó en matemáticas pocas ocasiones después de esto. Tenía 31 años, cuando el Chevalier de Meré le propuso un problema relativo al reparto de una apuesta en un juego no concluido. Pascal comunicó el problema a Fermat, y en la correspondencia subsiguiente, los dos hombres, en conjunto, establecieron los resultados básicos de la teoría de la probabilidad. Un comentario interesante acerca de la influencia de la religión en el pensamiento de Pascal está contenido en el argumento conocido como “La apuesta de Pascal”. El valor esperado de un billete de lotería es el producto del premio y la probabilidad de ganar. Aun si la probabilidad es pequeña, el valor es considerable si el premio es suficientemente grande. Pascal argumentó que aunque la probabilidad de que Dios exista es pequeña, la recompensa para la fe verdadera es la felicidad eterna. El valor de un boleto para el cielo es extremadamente grande. Por lo tanto, ¡apostemos a que Dios existe¡ Pascal sobrevivió unos años más, muriendo a los 39, víctima de las enfermedades que lo acosaron toda su vida. BRITTON, Jack R. y BELLO, Ignacio. Matemáticas Contemporáneas. 2da Ed. Harla. DATOS DEL ESTUDIANTE Cedula

Nombres

Apellidos

Carrera

Celular

Correo electrónico

CONTROL DE TALLERES Taller 1

Taller 2

Taller 3

Taller 4

Taller 5

Taller 6

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Miscelánea

Nota 60%

Página 2


TALLER 1: TÉCNICAS DE CONTEO Ejercicio 1: En un estudio de economía de combustible se prueban 3 carros de carreras con 5 diferentes marcas de gasolina, utilizan 7 sitios de prueba en distintas regiones, si se utilizan 2 pilotos en el estudio y las pruebas se realizan una vez bajo cada conjunto de condiciones, ¿cuántas pruebas se necesitaran? Ejercicio 2: Una agencia de viajes ofrece sus nuevos planes a los interesados en viajar para la temporada de vacaciones, la posibilidad de seleccionar entre: San Andrés, Santa Marta, Cartagena y Amazonas; y viajar en primera, segunda y tercera clase. ¿Cuántos planes pueden ofrecer la agencia de viajes a sus clientes? Ejercicio 3: a) ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos del 1 al 5? b) ¿Cuántas palabras de 4 letras no repetidas se pueden formar con las letras de la palabra MURCIELAGO? c) ¿Cuántas banderas de tres franjas de color diferente se pueden formar con 8 colores distintos? Ejercicio 4: a) ¿Cuántos comités integrados por 3 personas se pueden formar de un grupo de 7 personas? b) Un examen consta de 8 puntos para que el estudiante conteste 5. ¿Cuántas selecciones puede hacer el estudiante? c) El jefe del Departamento de Contabilidad de una empresa tiene a su cargo a 13 empleados, de los cuales 6 son mujeres. ¿De cuántas maneras puede invitar a 8 de sus empleados si desea que asista el mismo número de hombres que de mujeres? Ejercicio 5: En un examen de selección múltiple hay cuatro probables respuestas para cada pregunta. Si en total son 10 preguntas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede contestar el examen? Ejercicio 6: En una fiesta se lleva a cabo un concurso de baile. De los 10 concursantes se premia al primer, segundo y tercer lugar. ¿Cuántas opciones tendrá el jurado para entregar el premio? Ejercicio 7: El ministro de transporte de Colombia, conocedor del fenómeno del mototaxismo, desea saber cuántas placas de motos se pueden generar y distribuir, si se sabe que el serial de una placa estaría formado por dos letras, dos números y una letra en ese orden respectivamente. ¿Cuántas placas se pueden distribuir en Colombia, si se toman como letras del alfabeto 26? Ejercicio 8: ¿De cuántas formas se pueden ordenar 4 libros de matemáticas, 6 de física y 2 de química si deben estar juntos por materias? ¿De cuántas maneras si no deben estar juntos?

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 3


TALLER 2: CÁLCULO DE PROBABILIDADES Y SUS AXIOMAS Ejercicio 1: a) De ejemplos de experimentos aleatorios. b) De un ejemplo de un punto muestral en cada uno de los experimentos aleatorios dados. c) Liste el espacio muestral de cada uno de los experimentos aleatorios dados. d) De un ejemplo de un suceso o evento aleatorio en cada uno de los experimentos aleatorios dados. e) Encuentre la probabilidad de cada uno de los sucesos o eventos aleatorios dados. Organice sus respuestas en la tabla diseñada para este propósito. Ejercicio 2: A la luz de los axiomas de la probabilidad, diga si pueden o no ser posibles las siguientes afirmaciones: a) P(A)=0.39

b) P(A)=1.48

c) P(A)=-0.25

d) P(A)=√3/2

e) P(A)=3/8

f) P(A)=2¾

g) P(A)=7/3

h) P(A)=7/7

i) P(A)=0/7

j) P(A)=7/0

Ejercicio 3: Dos deportistas discuten sobre las probabilidades que tiene de ganar su equipo la próxima competencia deportiva. Ana afirma que el equipo tiene 2/5 de ganar y Jhon afirma que esta es de 7/3. ¿Cuál de los dos tiene la razón? Ejercicio 4: ¿Cuál es la probabilidad ganar el premio en una rifa, si se han comprado todas las boletas? Ejercicio 5: Si se lanza un par de dados corrientes, ¿cuál es la probabilidad de obtener trece puntos? Ejercicio 6: Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. Hallar la probabilidad que cada uno tiene de ganar. Ejercicio 7: Se hacen dos extracciones de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas extraídas sean ases, siendo las extracciones sin remplazamiento? ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas extraídas sean ases, siendo las extracciones con remplazamiento? Ejercicio 8: Una empresa industrial compra varios computadores portátiles al final de cada año, dependiendo el número exacto de la frecuencia de reparaciones en el año anterior. Suponga que el número de computadores portátiles “x”, que se compra cada año tiene la siguiente distribución de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo año tenga que comprar máximo dos computadores portátiles? ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo año tenga que comprar dos o más computadores portátiles? x f(x)

0 1/10

1 3/10

2 2/5

3 1/5

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 4


TALLER 3: LEYES DE LAS PROBABILIDADES Ejercicio 1: En una urna se tienen tres bolas verdes, cuatro blancas y cinco rojas. Si se extrae una bola de la urna, ¿Cuál es la probabilidad de que sea verde o blanca? Ejercicio 2: La oficina de Control de Calidad encontró 18 unidades de un producto con problemas en el empaque; 12 con problemas en el contenido y 5 con ambos tipos de problemas en 120 unidades del producto inspeccionadas. Si se seleccionar un artículo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte de mala calidad? Ejercicio 3: La Secretaría de Salud Municipal realiza sistemáticamente dos inspecciones independientes en cada restaurante de la ciudad. El restaurante pasa la prueba solo si ambos inspectores dan un dictamen positivo. El inspector A tiene mucha experiencia y, por lo tanto aprueba solo el 2% de los restaurantes que han violado el código sanitario. El inspector B tiene menos experiencia y aprueba el 7% de los restaurantes que han cometido alguna infracción. ¿Cuál es la probabilidad de que un restaurante con una irregularidad sea aprobado por la Secretaria de Salud? Ejercicio 4: El gerente nacional de una empresa de aeromensajería le preocupa la probabilidad de que algunos de sus empleados declaren la huelga. Sabe que la probabilidad de una huelga por parte de sus pilotos es de 0.75 y la probabilidad de que la declaren sus conductores es de 0.65. Más aun, sabe que si estos últimos van a la huelga, hay un 90% de posibilidades de que también los pilotos hagan lo mismo por solidaridad. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos grupos declaren la huelga? Ejercicio 5: La probabilidad de que se configure una tormenta, en las próximas 24 horas, en el mar Caribe es de 65%. ¿Cuál es la probabilidad de que en las próximas 24 horas se tenga una bonanza, en el mar Caribe? Ejercicio 6: La Secretaría de Tránsito Municipal descubrió que el 60% de los accidentes automovilísticos ocurren de noche, que el 52% tienen relación con el consumo de bebidas alcohólicas y que el 37% tiene lugar de noche y se relaciona con el consumo de bebidas alcohólicas. ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente se relacione con el alcohol si se sabe que ocurrió de noche? Ejercicio 7: Un fabricante en cierta área de producción tiene tres operarios. El operario 1 produce el 50% del total, el operario 2 produce el 20% y el operario 3 el 30%. De la producción se sabe que el operario 1 produce el 1%, el operario 2 produce el 4%, y el 3 el 2% de artículos defectuosos. Se selecciona aleatoriamente un artículo y se encuentra que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya producido el operario 1?

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 5


TALLER 4: TÉCNICAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES Ejercicio 1: Al entrevistar a 100 familias se observó que 83 de ellas estaban suscritas el periódico El Tiempo, 40 a El Espectador y 30 a ambos diarios. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia seleccionada aleatoriamente no tenga ninguna suscripción? Ejercicio 2: El jefe de la sección de cartera de un almacén de electrodomésticos emplea tres métodos para el cobro de las cuentas vencidas. Al consultar los archivos de cobranza encontró que el 70% de las cuentas se cobran en forma personal, el 20% se cobran por teléfono y el resto a través de cartas. La probabilidad de cobrar una cuenta vencida con los tres métodos es de 0.75, 0.60 y 0.65 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de conseguir el pago de una cuenta vencida? Ejercicio 3: Una cadena de almacenes a nivel nacional ha sido el blanco de muchos atracadores durante varios años, pero gracias a medidas más rigurosas de seguridad implementadas por sus directivos, 250 de ellos han sido atrapados. A cada ladrón atrapado se le anota el sexo y también si es su primer hurto o si ya ha cometido varios. Se sabe que 140 de ellos son reincidentes, 132 son hombres y 85 son mujeres reincidentes. Si se selecciona aleatoriamente un expediente de un ratero, ¿cuál es la probabilidad de que sea un varón y sea la primera vez que roba? Ejercicio 4: Un envío de una docena de cajas con vitaminas contiene 3 cajas adulteradas. Si se toman al azar 7 cajas de la docena, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan 2 cajas adulteradas? Ejercicio 5: Un grupo de interés público está planeando presentar una demanda judicial en contra de las tarifas de seguros de automóviles en una de las tres ciudades siguientes: Bogotá, Medellín o Cali. La probabilidad de que se escoja a Bogotá es de 0.40, de que se escoja a Medellín, 0.35 y de que se escoja a Cali es 0.25. El grupo sabe además que tiene un 45% de probabilidad de conseguir un dictamen favorable si selecciona a Bogotá, un 60% si selecciona a Medellín y un 35% si selecciona a Cali. Si el grupo obtuvo un dictamen favorable, ¿cuál es la probabilidad de que hubiese escogido a Cali para presentar la demanda? Ejercicio 6: En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los estudiantes juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar, juegue solo futbol? Ejercicio 7: Dos terceras partes de los conductores que salen a carretera revisan su auto antes de emprender el viaje. De los que lo hacen el 97% llegan a su destino sin contratiempo. Si no revisó el auto la posibilidad de que tenga un contratiempo es de 4/5. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un contratiempo? Si un conductor tuvo un contratiempo, ¿cuál es la probabilidad de que NO haya revisado su auto? Ejercicio 8: De los viajeros que llegan al aeropuerto de Cartagena, 60% utiliza Avianca, 30% utiliza aviones comerciales de otras aerolíneas y el resto usa vuelos privados. De las personas que usan la primera opción 50% viaja por negocios, mientras que el 60% los pasajeros de las otras aerolíneas y el 90% de los que viajan en vuelos privados lo hacen por negocios. Suponga que se selecciona al azar una persona que llega a ese aeropuerto: ¿Cuál es la probabilidad de que la persona viaje por negocios? Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 6


TALLER 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Ejercicio 1: Todos los días se seleccionan, de manera aleatoria, 15 unidades de un proceso de manufactura con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base en la información histórica disponible, se sabe que la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0.05. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o más unidades defectuosas. Hallar la probabilidad de que, en cualquier día, se encuentren 3 unidades defectuosas. Ejercicio 2: El número de camiones que en promedio que llegan a una central de abastos en cierta ciudad, es de 8 por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera lleguen siete camiones a esa central de abastos? Ejercicio 3: Un explorador en busca petróleo se propone perforar una serie de pozos ubicados en un área geográfica determinada a fin de encontrar un pozo productivo. Estudios anteriores indican que la probabilidad de tener éxito en cada perforación es del 20%. Hallar la probabilidad de que la tercera perforación sea la primera en dar con un pozo productivo. Hallar la probabilidad de que en la quinta perforación se completen tres pozos productivos encontrados. Ejercicio 4: Una secretaria debe llegar a su trabajo a las 8 a.m.; generalmente se retrasa 15 minutos o más el 20% de las veces. Si el presidente de la compañía llama ocasionalmente entre las 8:00 y las 8:15 ¿Cuál es la probabilidad de que en 6 llamadas que haga el presidente de la compañía, en tres no encuentre a la secretaria? Ejercicio 5: El número promedio de solicitudes de asistencia recibido por un servicio técnico es de 4 servicios por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de 2 horas se reciban exactamente 10 solicitudes? Ejercicio 6: Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Determine la probabilidad de que la tercera llave que pruebe sea la que abra el candado. Ejercicio 7: Según el gerente de la compañía Avianca, el 20% de las personas que hacen reservaciones para su vuelo, finalmente no acudirán a comprar el boleto. Determine la probabilidad de que el séptimo individuo que hace una reservación por teléfono un día cualquiera, sea el segundo que no se presente a comprar su boleto. Ejercicio 8: Las lámparas de colores producidas por una compañía son 50% rojas, 30% azules y 20% verdes. En una muestra de 10 lámparas, hallar la probabilidad de que 5 sean rojas, 3 sean azules y 2 sean verdes. Ejercicio 9: Un almacén tiene 15 televisores para la venta, pero 4 tienen dañado el control remoto. ¿Cuál es la probabilidad de que un vendedor despache en una remesa de 5 televisores, 2 de los televisores que tienen el control remoto dañado? Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 7


TALLER 6: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Ejercicio 1: Supóngase que la temperatura de una región está distribuida normalmente con una media de 20ºC y desviación estándar 5ºC. Hallar la probabilidad de que la temperatura de una determinada zona sea; a) entre 15ºC y 25ºC, b) entre 10ºC y 30ºC, c) entre 5ºC y 35ºC, d) entre 10ºC y 15ºC, e) entre 25ºC y 30ºC, f) entre 15ºC y 20ºC, g) entre 20ºC y 25ºC, h) a lo más 10ºC, i) por lo menos 30ºC, j) de 12ºC. Ejercicio 2: Los gastos de una familia están distribuidos normalmente con media $605.000 y desviación estándar $25.000. ¿Cuál es la probabilidad de que sus gastos estén entre $610.000 y $650.000? Hallar la proporción de familias que gastan más de $630.000. Ejercicio 3: Una empresa periodística desea publicar una edición especial de sus revistas. El gerente piensa que las ventas están distribuidas normalmente con una media 100 000 ejemplares, y además cree que hay una probabilidad de 0.2 de vender más de 120 000 ejemplares, ¿cuál es la desviación estándar? ESPERANZA MATEMÁTICA Ejercicio 4: Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos miles de pesos como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos miles de pesos como marca el dado. ¿Cuánto espera ganar el jugador en este juego? Ejercicio 5: Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $2000, $4000 o $8000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $20000. Determine la ganancia esperada del jugador. Ejercicio 6: Se ha hallado la distribución de probabilidad, para la variable aleatoria que representa el número de Maquinas de una fábrica de calzado que pudieran fallar en un día. Las probabilidades para que cero, una y dos maquinas fallen son, respectivamente, 60%, 30% y 10%. Determine el valor esperado. Ejercicio 7: Un ama de casa permite a sus hijos pequeños mirar la televisión un máximo de 200 horas por mes y sólo después de terminar sus tareas escolares. Ella lleva un control riguroso del tiempo que sus hijos mantienen la televisión encendida cada mes, de modo que se trata de una variable continua, “x”, que medida en unidades de 100 horas, tiene la siguiente función de densidad:

¿Cuál es la probabilidad de que un hijo vea entre 50 y 120 horas de TV al mes? Encuentre el promedio de horas de televisión que espera la mamá que vean sus hijos.

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 8


TALLER 1: TÉCNICAS DE CONTEO 1. Factorial: Factorial  n * (n  1)!

2. Principio Fundamental de Conteo (Principio Multiplicativo): Se utiliza cuando debemos realizar varias acciones, la primera de ellas se puede realizar de n maneras diferentes, la segunda de p maneras diferentes, la tercera de q maneras diferentes y así sucesivamente y deseamos saber de cuántas maneras diferentes se pueden ejecutar estas acciones juntas. Numero  n * p * q * .......

3. Permutaciones: dado un conjunto cualquiera de elementos, una permutación de ese conjunto (o de uno de sus subconjuntos) es cualquiera de las maneras de ordenar en una secuencia lineal a los elementos de ese conjunto (o subconjunto). ¿Cuántas permutaciones de r elementos (sin repeticiones) tomados de un conjunto de n elementos pueden formarse? Este número se representa por nPr, siendo n>r y es igual a: n Pr 

n! (n  r )!

4. Combinaciones: dado un conjunto cualquiera de elementos, se llamará combinación a cada una de las formas de escoger uno o varios de esos elementos, sin que el orden en que se escojan importe. ¿Cuántas combinaciones de r elementos (sin repeticiones) tomados de un conjunto de n elementos pueden formarse? Este número se representa por nCr, siendo n>r y es igual a: nCr 

n! r!(n  r )!

5. Combinaciones generalizadas: Numero 

n! n1!n2 !n3 !......

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 9


TALLER 2: CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE PROBABILIDADES a) Experimento aleatorio: Es una acción cuyo resultado depende del azar.

b) Punto muestral: Es el resultado que se obtiene de realizar un experimento aleatorio.

c) Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

d) Suceso o evento aleatorio: Es el conjunto de resultados que presentan cierta característica de interés.

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

e) Probabilidad: Es la relación entre el número de casos favorables y el número de casos totales o posibles.

Página 10


TALLER 2: CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE PROBABILIDADES Probabilidad de un suceso o evento aleatorio (enfoque clásico o a priori):

P( A) 

n( A) n( S )

Axiomas de la probabilidad:

a) 0  P(A)  1 Una probabilid ad debe ser un valor entre 0 y 1, inclusive b) P(A)  0 Una probabilid ad no puede ser inferior a 0 c) P(A)  1 Una probabilid ad no puede ser superior a 1 d) P(S)  1 Certidumbre(sucesoseguro): un sucesoque siempre ocurre e) P(φ(  0 Imposibilidad(sucesoimposible) : un sucesoque nunca ocurre

TALLER 3: LEYES DE LAS PROBABILIDADES 1. Ley de la adición de probabilidades. Se utiliza cuando la pregunta está formulada con “o”. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B?

P(A o B)  P(A)  P(B) Sucesos in compatible s. No pueden ocurrir al tiempo P(A o B)  P(A)  P(B)  P(AyB) Sucesos compatible s. Sí pueden ocurrir al tiempo 2. Ley de la multiplicación de probabilidades. Se utiliza cuando la pregunta está formulada con “y”. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B?

P(A y B)  P(A)xP(B) Sucesos independientes. La ocurrencia de un evento No incide sobre el otro P(A y B)  P(A)xP(B/A ) Sucesos dependientes. La ocurrencia de un evento Sí incide sobre el otro 3. Ley del complemento. Se utiliza cuando se pide la probabilidad de un evento pero es más fácil hallar la probabilidad del suceso contrario.

P(A)  1  P( A ) Sucesos contrarios 4. Probabilidad condicional. Se utiliza cuando un suceso ocurrió o cuando conocemos un resultado. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ocurrió el evento B?

P( A / B) 

P( A y B) P( B)

Nota: P(A / B) se lee así: Probabilidad de que ocurra el evento A, sabiendo que ya ocurrió el evento B.

5. Teorema de Bayes. Se utiliza cuando se tiene un conjunto particionado y se quiere hallar la probabilidad de un evento que se puede presentar en cualquiera de las particiones de dicho conjunto.

P(D)  P(A1)xP(D/A1)  P(A2)xP(D/A2)  .... P(An)xP(D/An)

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 11


TALLER 4: TÉCNICAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES Solución Ejercicio 1: Diagrama de Venn

Solución Ejercicio 2: Diagrama de Árbol

Solución Ejercicio 3: Tabla de Contingencia Totales

Totales

Solución Ejercicio 4: Combinaciones

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 12


TALLER 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Distribución Binomial

P( x) n C x p x q n  x Distribución Multinomial

P( x) 

n! k k k p1 1 p 2 2 ... p m m k1!k 2 !...k m !

Distribución Hipergeométrica

P( x) 

m

C x *N mC n x N Cn x 1

Distribución Binomial Negativa (Pascal) k xk x 1 k 1

P( x)

C

Distribución Poisson

P( x) 

x 

e

x!

Se utiliza cuando tenemos una población “pequeña” o finita de elementos, cada uno de los cuales presenta uno de dos estados posibles, y de ella se extrae una muestra y nos interesa saber cuántos elementos en esta presentan un determinado estado. Se utiliza cuando debemos realizar un proceso varias veces hasta que obtengamos el primer resultado favorable.

Distribución Geométrica

P( x)  pq

Se utiliza cuando tenemos una población “grande” o infinita de elementos, cada uno de los cuales presenta uno de dos estados posibles, y de ella se extrae una muestra y nos interesa saber cuántos elementos en esta presentan a un determinado estado. Se utiliza cuando tenemos una población “grande” o infinita de elementos, cada uno de los cuales presenta uno de varios estados posibles, y de ella se extrae una muestra y nos interesa saber cuántos elementos en esta se encuentran de cada uno de los estados.

p q

Se utiliza cuando debemos realizar un proceso varias veces hasta que obtengamos “k” resultados favorables.

Se utiliza cuando tenemos un evento que ocurre de manera aleatoria en el tiempo, con una determinada tasa promedio “λ” y nos interesa saber cuántas veces ocurre el evento un cierto intervalo de tiempo. PARA CONSULTAR

Ejercicio 1: Determine el valor de “c” de manera que la siguiente función pueda servir como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta “x”: f (x) = c (x2 + 4), x = 0, 1, 2, 3. Ejercicio 2: Sea “x” una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad: f(x) = a(4x - x3 ), si 0 < x < 2; f(x) = 0, en otro caso. Determine el valor de “a” para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad. Ejercicio 3: La variable aleatoria “x” tiene una distribución discreta uniforme sobre los enteros 51 = x = 61. ¿Cuáles son los valores de la media y la varianza?

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 13


TALLER 6: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional. La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

P( x) 

1 e  2

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

1  x     2  

2

Página 14


TALLER 6: DISTRIBUCION NORMAL

ESPERANZA MATEMÁTICA La esperanza matemática o valor esperado o media de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombres de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas. Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para el empresario. Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad f(x):

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 15


ÁREAS BAJO LA CURVA NORMAL ESTÁNDAR DE 0 A Z

Z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,00 0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4987 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000

0,01 0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,1950 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 0,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920 0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4987 0,4991 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000

0,02 0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628 0,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922 0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982 0,4987 0,4991 0,4994 0,4995 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,03 0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664 0,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732 0,4788 0,4834 0,4871 0,4901 0,4925 0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4988 0,4991 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,04 0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700 0,2054 0,2389 0,2704 0,2995 0,3264 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738 0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927 0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4988 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,05 0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736 0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929 0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,06 0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772 0,2123 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750 0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931 0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,07 0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808 0,2157 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,4808 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932 0,4949 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

0,08 0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844 0,2190 0,2517 0,2823 0,3106 0,3365 0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761 0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934 0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,09 0,0359 0,0753 0,1141 0,1517 0,1879 0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936 0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

Página 16


MISCELÁNEA 1.

En un centro médico, el promedio de urgencias que se reciben es de 12 por hora. Encontrar la probabilidad de que en la próxima media hora lleguen máximo dos urgencias.

2.

Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero. ¿Cuál es la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido? Si se sabe que un jugador se ha lesionado ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido un defensa?

3.

En una planta empacadora y procesadora de alimentos, hay, en promedio dos descomposturas de la máquina empacadora por semana. Suponga que las descomposturas semanales de la máquina siguen una distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos descomposturas en una semana determinada?

4.

Dos inspectores examinan un artículo. Cuando entra a la línea un artículo defectuoso la probabilidad de que el primer inspector lo deje pasar es 0,05. De los artículos defectuosos que deja pasar el primer inspector, el segundo dejará pasar dos de cada diez ¿Qué fracción de artículos defectuosos dejan pasar ambos inspectores?

5.

Tres industrias, X, Y y Z, producen el 35%, 25% y 40%, respectivamente, del total de repuestos comercializados por una empresa automotriz. Los porcentajes de producción defectuosa de estas industrias son del 1%, 2% y 3%. Si seleccionamos un repuesto al azar, ¿cuál de las industrias tienen la menor probabilidad de haberlo producido?

6.

Cinco amigos quedan de reunirse el sábado en la tarde en el restaurante “el sombrero” sucede que hay cinco restaurantes en la ciudad con el mismo nombre y no acordaron a cuál de ellos iban a ir. ¿De cuántas maneras puede ocurrir que cada uno vaya a un restaurante diferente? ¿Cuál es la probabilidad de que los cinco vayan a restaurantes diferentes?

7.

Si el número de hijos de una familia, es una variable aleatoria con distribución binomial, entonces en una familia que tiene cuatro hijos, ¿cuál es la probabilidad que dos de ellos sean hombres?

8.

Después de un extenso estudio, los archivos de una compañía de seguros revelan que la población de un país cualquiera, pueden clasificarse, según sus edades. Como sigue: un 35% menor de 20, un 25% entre 21 y 35 años, un 20% entre 36 y 50 años, un 15% entre 51 y 65 años y un 5 % menores de 65 años. Suponga que se puede elegir un individuo de tal manera que cualquier habitante del país tiene la posibilidad de ser elegido empleando la anterior información, ¿cuál es la probabilidad de que el individuo sea menor de 35 años?

9.

De un equipo de futbol se selecciona al azar tres jugadores para un examen antidoping Suponga que cuatro toman sustancias prohibidas antes del juego. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno resulte positivo?

10. Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria “x” que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado. Determine la función de probabilidad de “x”. 11. Tres boletos de lotería se extraen de un total de 50. Si los boletos se distribuirán a cada uno de tres empleados en el orden en que son extraídos, el orden será importante. ¿Cuántos eventos simples se relacionan con este experimento? 12. Un estudio médico, revela que aproximadamente el 70% de los pacientes piensan que los analgésicos efectivamente disminuyen y suprimen el dolor y el restante 30% que tan solo lo oculta por un tiempo. De acuerdo al estudio, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 de los siguientes 15 pacientes seleccionados aleatoriamente darán la misma opinión sobre la cura de la enfermedad? Ing. Edgar Enrique Herrera Morales. Cel: 320 540 82 22. edgar.herrera@unad.edu.co

Página 17


Talleres de Probabilidad