Page 1

1º Anais de Graduação do IFUSP

Geometria Fractal em Papel e Outros Materiais Adriana de O. Delgado e Luiz H. S. Kadowaki Instituto de Física da USP Com o objetivo de verificar a que tipos de materiais aplicam-se o modelo de geometria fractal, foram estudados diferentes tipos de papéis (alumínio, seda, crepom e celofane), uma fita de durex escolar e dois tipos de fios de cobre com diferentes espessuras. Tanto os papéis quanto a fita durex e os fios de cobre apresentaram uma dimensão fractal D entre 2 e 3, e estão de acordo com o modelo fractal proposto. Também foi realizado o estudo da abertura das bolas de papel com o tempo e verificou-se que este efeito pode influenciar na determinação dos diâmetros obtida pelos medidores.

I.

Para cada tipo de papel, foram realizadas 20 medições (10 por medidor) do diâmetro de cada bola.

Introdução

Buscando verificar a distribuição das medidas efetuadas por cada medidor, adotou-se a bola de massa relativa 128 como bola padrão. O diâmetro dessa bola foi medido 50 vezes por cada medidor e as medidas foram utilizadas na construção de histogramas referentes aos medidores A e B.

Segundo a definição tradicional, os fractais são definidos como estruturas auto-similares, ou seja, aquelas que apresentam a mesma forma qualquer que seja a escala de fragmentação. Atualmente, essa propriedade vem sendo entendida como uma propriedade média, não precisando se aplicar a todos os detalhes da estrutura. A principal diferença entre as estruturas euclidianas e fractais é a relação entre a massa do objeto e uma dimensão linear característica do mesmo. Enquanto nas primeiras a proporcionalidade se dá com um expoente d inteiro (1,2 ou 3), nas fractais ela se dá com expoente D fracionário. Um exemplo clássico de fractal embebido na dimensão 2 e a folha de samambaia rendada.

Figura 1: Divisão das folhas de papel, para construção das bolas e valor das massas relativas.

No estudo de bolas de diferentes materiais a dimensão linear de interesse é o diâmetro. Nesse caso, o modelo para a relação entre a massa e o diâmetro, é dado por:

M = K .φ D

(1)

onde K é uma constante. Na segunda etapa do experimento, calculou-se a dimensão fractal D de bolas de durex escolar. Para tanto, foram construídas sete bolas, cujas massas foram medidas com a balança analítica, devido a dificuldade de estabelecer o sistema de massas relativas com precisão.

Portanto, tomando bolas de diferentes tamanhos (diferentes M e φ) de um mesmo material é possível verificar se a eq.(1) é satisfeita e logo determinar os valores de K e D para esse material.

II.

Descrição Experimental

Na terceira etapa, calculou-se a dimensão fractal D de dois tipos de fios de cobre: grosso I, fino II. Inicialmente mediu-se o diâmetro e a densidade linear de cada fio, utilizando uma amostra representativa de 1,000 (5) m de comprimento. Em seguida, construiu-se 9 bolas de cada tipo de fio de cobre. Assim como no caso do durex, as bolas tiveram sua massa determinada pela balança analítica.

O experimento foi dividido em quatro etapas. Na primeira, calculou-se o diâmetro D de 4 diferentes tipos de papéis: alumínio, crepom, celofane e seda. Inicialmente tomou-se uma amostra representativa de cada tipo de papel: um quadrado de lado 20,0(5) cm. Essa amostra foi utilizada para medida da espessura e densidade superficial do papel.

Tanto na segunda, quanto na terceira etapa, as bolas com segunda maior massa foram adotadas como bolas padrão, tendo seu diâmetro medido 50 vezes, por cada medidor, para construção dos histogramas.

Em seguida, construiu-se 9 bolas, de cada tipo de papel, com massas relativas crescentes de um fator 2, conforme ilustrado na figura 1.

P00 - 1


1º Anais de Graduação do IFUSP Tabela 2: Valores médios do diâmetro para os medidores A e B, teste Z de compatibilidade e valor médio de todas as medidas p/ conjuntos com Z < 3, para 4 tipos de papel.

Os diâmetros de todas as bolas construídas (papel, durex e fio de cobre) foram medidos com um paquímetro. Como as bolas apresentavam grande variação estatística no valor do diâmetro, a incerteza instrumental, devida ao paquímetro, foi considerada desprezível em relação à incerteza estatística. Já na medida da massa, a incerteza foi considerada desprezível no caso dos papéis, devido ao sistema de massas relativas, e foi tomada como a incerteza da balança analítica, no caso do durex e dos fios de cobre.

teste Z

φm(mm)

Alumínio

Finalmente, na última etapa, analisou-se a abertura das bolas de papel com o tempo. Para isso tomou-se a amostra representativa de cada papel para construção das bolas representativas. Os diâmetros dessas bolas foram medidos ao longo de um dia: das 8 às 23h, e as medidas foram efetuadas em conjunto pelos medidores A e B. Assim como nas demais etapas, cada bola teve seu diâmetro medido 10 vezes, a cada horário de medição.

256

55,9(7)

55,2(4)

0,78

55,5(4)

128

42,8(5)

43,4(6)

0,76

43,1(4)

64

33,2(5)

33,2(6)

1,43

32,7(4)

32

24,7(3)

25,2(3)

1,10

24,9(2)

16

18,9(2)

19,1(3)

0,65

19,0(2)

8

13,8(3)

14,6(4)

1,70

14,2(2)

4

10,9(2)

11,3(2)

1,44

11,1(2)

2

7,5(2)

7,8(2)

1,01

7,6(2)

6,11(14)

0,83

6,03(10)

1 5,94(14) Seda

III. Resultados e Análise de Dados A tabela 1 apresenta os valores obtidos para densidade superficial σ e espessura E de cada papel e densidade linear λ e diâmetro φ dos fios de cobre. Tabela 1: Valores de densidade superficial e espessura dos papéis, densidade linear e diâmetro dos fios de cobre.

Material

φmA(mm) φmB(mm)

M

256

43,3(5)

44,1(5)

1,17

43,7(3)

128

35,9(5)

36,5(4)

0,98

32,0(9)

64

27,5(3)

28,2(4)

1,45

23,8(9)

32

20,2(2)

20,2(4)

0,05

17,8(6)

16

14,7(3)

15,5(3)

1,80

13,5(3)

8 11,51(15)

12,3(2)

3,64

10,0(4)

4

8,38(7)

8,54(15)

1,01

7,4(3)

2

6,2(3)

6,3(3)

0,36

6,3(2)

5,2(2)

0,69

5,12(12)

1 5,04(10)

Parâmetros σ (mg/cm2)

E(µm)

Crepom

alumínio

2,656(11)

17(4)

256

54,7(5)

54,8(2)

0,22

seda

2,073(9)

25(4)

128

43,0(3)

44,4(5)

2,42

33,9(4)

36,0(2)

5,01

Papel

crepom

2,464(10)

43(4)

64

celofane

3,372(15)

22(4)

32

25,8(3)

27,0(2)

4,22

λ (mg/cm)

φ (µm)

16

17,6(2)

19,7(2)

7,59

grosso I

22,100(9)

567(4)

fino II

3,7370(18)

258(4)

Fio de cobre

8 13,02(15) 15,00(13)

10,10

4

12,17(14)

5,65

8,5(2)

4,94

6,67(11)

4,37

256 92,9(13)

88,9(4)

2,91

128

63,9(3)

61,7(4)

4,55

64

51,9(8)

50,6(4)

1,55

32

43,9(6)

40,7(4)

4,20

16

28,2(4)

25,1(3)

6,01

8

19,6(3)

18,9(3)

1,65

4

14,1(2)

13,7(2)

1,61

2

11,2(2)

10,9(2)

0,79

1 8,13(13)

8,07(11)

0,36

10,9(2)

2 7,37(14) 1 As tabelas 2 e 3 apresentam os valores médios obtidos para os diâmetros das bolas dos diferentes materiais, pelos medidores A e B. As tabelas também apresentam o valor obtido no teste Z [2] de compatibilidade entre os diâmetros médios φmA e φmB e o valor da média de todas as medidas φm, para os conjuntos de dados compatíveis entre A e B.

6,06(9)

Celofane

P00 - 2


1º Anais de Graduação do IFUSP Tabela 3: Valores médios do diâmetro para os medidores A e B, teste Z de compatibilidade e valor médio de todas as medidas p/ conjuntos com Z < 3, para durex e 2 tipos de fio de cobre.

M(g) φ (mm) φmB(mm) (0,0001) mA

teste Z

φm(mm)

A linearização da eq.(2) leva à:

log φ = b + a log M onde

a=

Durex 19,0347

47,6(6)

49,1(5)

1,84

48,4(4)

9,4912

38,9(6)

40,3(4)

2,02

39,6(4)

4,7702

29,6(4)

29,9(4)

0,37

29,8(3)

2,3866

23,1(4)

22,9(5)

0,27

23,0(3)

1,1877

19,0(3)

18,9(2)

0,20

19,0(2)

0,6002

14,5(2)

14,4(2)

0,62

14,47(11)

0,2967

10,7(2)

11,1(2)

1,32

10,88(14)

(3)

1 D

e

b=

1 1 log D K

(4)

Logo, construindo o gráfico de logφ em função do log M, para cada material, e determinando os coeficientes lineares e angulares das retas ajustadas, foi possível determinar os valores de D e K. As figuras 2 e 3 apresentam os gráficos dos dados ajustados para os 4 tipos de papéis, para os medidores A e B, respectivamente. Figura 2: Gráfico do logφ em função do log M, para os 4 tipos de papéis medidos pelo medidor A.

Fio de Cobre I 2

37,2(5)

33,9(4)

4,99

18,8413

33,9(4)

34,6(4)

1,23

1,8

16,4753

32,5(3)

33,1(3)

1,00

1,6

14,1266

28,1(3)

29,7(2)

4,47

11,7489

25,1(5)

26,60(15)

3,13

9,4040

24,5(3)

25,1(2)

1,53

7,0630

21,4(2)

22,2(2)

2,97

1

4,6919

17,1(3)

18,3(3)

3,17

0,8

2,3395

13,0(2)

14,3(3)

3,12

0,6

Log φ (mm)

21,1989

1,4 1,2

Alumínio Al ajustada Seda Sd ajustada Crepom Cr ajustada celofane Ce ajustada

0,0

Fio de Cobre II 44,5(5)

44,1(3)

0,72

24,0981

33,4(2)

33,27(12)

0,52

12,0328

26,0(3)

26,8(3)

1,81

5,9579

22,6(2)

22,6(2)

0,03

3,0230

15,9(2)

16,41(16)

2,15

1,5122

12,94(14)

13,15(8)

1,29

0,7600

9,3(2)

10,08(5)

4,38

0,3737

7,5(3)

7,3(2)

0,53

1,1893

6,35(9)

6,3(2)

0,44

⎛M ⎞ ⎟ ⎝K⎠

φ =⎜

2,0

2,5

2 1,8 1,6

Conforme descrito anteriormente, foi possível determinar o valor da dimensão fractal D de cada material, verificando a relação entre a massa das bolas e o diâmetro médio das mesmas. Buscando facilitar a analise estatística†, optou-se por inverter a relação dada pela eq.(1), que resultou em: 1 D

1,0 1,5 Log M(relativa)

Figura 3: Gráfico do logφ em função do log M, para os 4 tipos de papéis medidos pelo medidor B.

Log φ (mm)

48,2178

0,5

1,4 Alumínio Al ajustada Seda Sd ajustada Crepom Cr ajustada celofane Ce ajustada

1,2 1 0,8 0,6 0,0

0,5

1,0 1,5 Log M(relativa)

2,0

2,5

As figuras 4 e 5, por sua vez, apresentam os gráficos dos dados ajustados para o durex e os fios de cobre, para os medidores A e B, respectivamente.

(2)

A tabela 4 apresenta os valores da dimensão fractal D e da constante K, determinados a partir dos ajustes apresentados nas figuras 2,3,4 e 5. †

A incerteza no valor de D, se deve principalmente a incerteza nos valores médios do diâmetro, sendo a incerteza instrumental da massa, quase irrelevante.

P00 - 3


1º Anais de Graduação do IFUSP Figura 4: Gráfico do logφ em função do log M, para o durex e 2 tipos de fio de cobre medidos pelo medidor A.

padrão de cada material. As figuras 6(a) a 6(l) apresentam esses histogramas.

1,80

Figura 6: Histogramas de distribuição para os valores de diâmetro referentes às bolas de papel alumínio (6a e 6b), crepom (6c e 6d), celofane (6e e 6f), seda (6g e 6h), à fita durex (6i e 6j) e ao fio de cobre I (6k e 6l). Valores obtidos através dos medidores A (à esquerda) e B (à direita) com o auxílio de um paquímetro.

Log φ (mm)

1,60 1,40 1,20 Durex D ajustada F Cobre I FI ajustada F cobre II FII ajustada

1,00 0,80 0,60 -1,0

-0,5

0,0

0,5 Log M (g)

1,0

1,5

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

2,0

Figura 5: Gráfico do logφ em função do log M, para o durex e 2 tipos de fio de cobre medidos pelo medidor B. 1,80

Log φ (mm)

1,60 1,40 Durex

1,20

D ajustada F Cobre I

1,00

FI ajustada 0,80 0,60 -1,0

F cobre II FII ajustada -0,5

0,0

0,5 Log M(g)

1,0

1,5

2,0

Tabela 4: Resultados obtidos para dimensão fractal D e constante K para os diferentes materiais.

D

K‡

Medidor

2,517(13)

0,0100(3)

AB

2,49(2)

0,0213(11)

AB

2,444(13)

0,0132(4)

A

2,687(12)

0,0050(2)

B

2,349(12)

0,0070(2)

A

2,306(9)

0,0083(2)

B

durex

2,82(2)

0,00032(2)

AB

fio de cobre I

2,13(3)

0,0106(8)

A

2,36(4)

0,0048(5)

B

fio de cobre II

2,86(2)

0,00102(5)

A

2,88(2)

0,00094(3)

B

Material alumínio seda crepom celofane

Além do cálculo do valor de D, analisou-se a distribuição das medidas do diâmetro das bolas medidas por A e B. Para isso, foram construídos histogramas com as medidas de diâmetro da bola

(k)

em *unidades de massa por mmD

P00 - 4


1º Anais de Graduação do IFUSP

Da análise de abertura, verificou-se que as bolas de papel alumínio tiveram um crescimento insignificante, enquanto as demais apresentaram um comportamento semelhante, com uma grande velocidade de abertura nas primeiras horas e uma estabilização após algum tempo. Esse comportamento pode ser visualizado na figura 7, onde também se observa que o maior crescimento foi observado no papel celofane, com cerca de 6 mm de aumento do diâmetro.

Finalmente, efetuou-se a análise da abertura das bolas com o tempo. A tabela 5 apresenta os valores dos diâmetros médios das bolas dos diferentes tipos de papéis ao longo do horário de medição. A variação temporal do diâmetro das bolas de cada papel pode ser mais facilmente visualizada na figura 7 abaixo. Tabela 5: Valores médios do diâmetro das bolas representativas ao longo do tempo, para os diferentes papéis.

T(h)

φmAlumínio (mm)

φmSeda (mm)

φmCrepom (mm)

φmCelofane (mm)

0:00

19,2(3)

19,4(3)

19,8(2)

21,2(2)

1:48

19,5(4)

21,0(3)

21,3(3)

24,5(3)

3:29 5:28

19,7(4)

22,1(4)

22,4(3)

25,0(3)

19,5(5)

21,3(3)

22,3(3)

26,0(5)

7:53 9:31

19,5(3)

21,7(3)

22,4(3)

26,0(6)

19,4(2)

21,9(2)

22,6(4)

26,4(4)

11:31

19,4(4)

21,9(2)

22,7(3)

25,9(5)

13:02

19,6(5)

22,1(2)

22,7(5)

25,7(5)

14:26

19,5(4)

21,4(3)

22,7(4)

26,2(7)

Figura 8: Rugosidade do papel crepom e dificuldade na divisão.

Os valores encontrados para a dimensão fractal D foram: Papel alumínio: D=2,517(13); papel seda: D=2,49(2); papel crepom A: D=2,444(13), B: D=2,687(12); papel celofane A: D= 2,349(12), B: D=2,306(9). Através do modelo fractal proposto, os valores de dimensão D obtidos, para todos os materiais, variaram no intervalo entre 2 e 3. É interessante observar que os valores de D para o papel celofane ficam abaixo dos demais resultados obtidos, devido, possivelmente, a grande quantidade de espaços vazios internamente. A incompatibilidade verificada nos valores de diâmetro médio das bolas de crepom, celofane e fios de cobre estão relacionadas ao critério de medida adotado por cada medidor. Nos histogramas referentes às bolas padrão dos papéis, observa-se que apesar de alguns dados discrepantes, em geral a gaussiana descreve bem a distribuição e se encaixa de forma satisfatória sobre o histograma. As bolas de durex escolar também descrevem o modelo de geometria fractal. O valor encontrado para dimensão fractal foi D=2,817(21). Esse valor elevado se justifica pelo fato de que as bolas ficaram bem compactadas devido à cola do durex, mas apesar de elevado o valor não é compatível com três (D=3), caracterizando o modelo fractal. O ajuste linear obtido para o durex não apresentou grandes flutuações e como os dados iniciais do diâmetro eram compatíveis entre A e B foi possível efetuar um único ajuste, assim como foi feito para o papel alumínio e seda. Apesar do bom comportamento, os histogramas obtidos para a bola padrão têm uma característica interessante: o pico se situa a esquerda da

Figura 7: Abertura das bolas de papel ao longo do tempo.

IV. Discussão e Conclusões O modelo de geometria fractal pode ser aplicado aos quatro tipos de papéis estudados: alumínio, seda, crepom e celofane. Porém, os papéis crepom e celofane apresentam uma grande flutuação de dados, dificultando um bom ajuste linear e um resultado compatível entre os medidores. As dificuldades encontradas podem ser atribuídas à fatores como: abertura do papel com o passar do tempo, conforme evidenciado na figura 7; a rugosidade do papel crepom, conforme ilustrado na figura 8 e diferentes critérios de tomada de dados para os diferentes medidores.

P00 - 5


1º Anais de Graduação do IFUSP

professor Zwinglio O. Guimarães-Filho oportunidade de publicação deste trabalho.

maioria dos dados, indicando que as medidas mais freqüentes são as maiores. Por fim, os fios de cobre I e II apresentaram um resultado muito interessante: para o fio de cobre I encontrou-se pelo medidor A, D= 2,129(31) e pelo medidor B, D= 2,362(41) enquanto que para o fio de cobre II, com diâmetro 2 vezes menor, encontrou-se pelo medidor A, D= 2,856(18) e pelo medidor B, D=2,884(29). Os resultados são explicados pela dificuldade que o fio I apresenta em ser “amassado”, ficando, portanto com muitos espaços vazios internamente, enquanto o fio II, sendo bastante maleável, pode ser tão bem compactado quanto o durex.

pela

Referências [1] H.L Guidorizzi, Um Curso de Cálculo -vol 1, editora LTC São Paulo, 1987. [2] J.H. Vuolo, Introdução a Teoria de Erros, 3º edição, editora Edgard Blüsher Ltda, 1999. [3] J.H. Vuolo et al, Apostila de Física Experimental 1- FEP 113, 2002. [4] J.H. Vuolo et al, Apostila de Física Experimental 2- FEP 114, 2002.

O histograma construído com os dados da bola padrão do fio de cobre II mostra que a distribuição é bem representada pela função gaussiana sobreposta.

[5] M. Amaku, M. Moralest, L. B.HorodynskiMatsushigue e P. R.Pascholati; Fractais no Laboratório Didático; Revista Brasileira do ensino de Física; 23 (2001), 422.

Agradecimentos

[6] Raphael H Ko e Charles P. Bean, A Simple Experiment that Demonstrates Fractal Behavior, The Phisics Teacher, 78 (1991).

Os autores agradecem às professoras Márcia de Almeida Rizzutto e Carla Costa Guimarães pelas contribuições durante a realização do experimento, e ao

P00 - 6

Geomtetría de Fractales  

Libro dedicado a la geometria basica de los fractales

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you